MATEMATICA FINANCIERA

La matemática financiera, es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital, tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o interés, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta a la hora de una inversión.

La práctica de créditos e inversiones se remonta a miles de años, surge el concepto de interés cuando el dueño del capital posterga su opción de consumo para trasladarlo a un tercero en la búsqueda de una contraprestación por este aspecto. Surgiendo entonces entidades que ofreciendo minimizar el riesgo del préstamo de dinero entre personas, ejercen labores de intermediación financiera.

Como lo que ocurre para cualquiera de los factores económicos, el uso del capital no es gratuito, si usas un terreno que no es de tu propiedad tienes que pagar un arrendamiento por el, si necesitas un trabajo el cual debe ser ejecutado por otra persona debes pagar un salario en contraprestación. Así el usuario de bienes, servicios ó dinero como en nuestro caso debe compensar la necesidad de rentabilidad de quien se lo suministra. El valor monetario de esta rentabilidad es lo que conocemos como interés y se encuentra en función del capital y del tiempo de uso, por lo anterior se habla del valor del dinero en el tiempo.

Otra forma de presentar el concepto seria: El costo por un crédito es el interés y provienen del principio de comprar ahora y pagar después, estos intereses han sido el tema principal de esta unidad enfocándose en el tipo de interés simple.

El interés puede ser visto como una renta o un pago por el uso del dinero dependiendo si se cede o si se obtiene el uso del dinero. Por ejemplo si abro una cuenta en un banco recibiré intereses de su parte ya que le cedo a la institución la posibilidad de contar con capital para realizar sus transacciones, por el contrario si obtengo un crédito del banco estaré pagando unos intereses por este beneficio.

El interés se convierte en el cuerpo de estudio de las matemáticas financiera y en centro de toda negociación o transacción financiera.

En general si realizamos una inversión hoy de P pesos, es decir postergamos nuestra opción de consumo, dentro un tiempo t recibiremos la suma de F pesos, de esta manera si representamos por I el dinero obtenido por concepto de intereses, se podría calcular mediante la siguiente relación: I=F – P

Teniendo en cuenta los problemas económicos que debe tratar dentro de su ejercicio y formación profesional un economista, tales como la evaluación económica y social de proyectos de inversión, la comparación de precios en diferentes fechas, elaboración de flujo de efectivo, entre otros, uno de los temas que dan un soporte fundamental a este tipo de análisis se encuentra en el campo de las matemáticas financieras.

Este módulo pretende contribuir con la instrucción, que deben recibir los alumnos en el área financiera, teniendo en cuenta que es el primer curso de la línea de finanzas. En el texto se emplea un lenguaje sencillo y elemental con el propósito de entregar al lector el material, lo másentendible posible, por supuesto, sin el deterioro del aspecto técnico propio de las matemáticas financieras. También, se les dan a los temas una orientación práctica, con el objetivo de motivar a los alumnos a la aplicación apropiada de los conceptos a casos reales y que además sirva como guía para la solución de diversos problemas, propios del sector financiero.

Hallar los valores de los diferentes elementos que conforman las operaciones que se efectúan con la modalidad de interés simple.

Conocer los conceptos y los parámetros necesarios para el cálculo de los descuentos de diferentes títulos valores.

Comprender y utilizar para efectos financieros y comerciales prácticos el concepto de interés compuesto.

Unidad Temática I

Unidad Temática I: Interés Simple

En el estudio del curso se tratarán temas relacionados con el interés compuesto y con el cálculo de rentabilidades de papeles comerciales, cuya fundamentación tiene origen en el concepto del valor del dinero en el tiempo y el interés simple como propuesta de acercamiento a los cálculos necesarios para el análisis e interpretación de la situación financiera presente y futura. Bajo este marco el objetivo de esta unidad es suministrar la terminología básica de las matemáticas financieras y los conceptos fundamentales del interés simple y el conjunto de técnicas de aplicación de interés simple a utilizar.

Se emplea en el texto lenguaje sencillo y elemental con el propósito de entregar al lector el material, lo más entendible posible, por supuesto, sin el deterioro del aspecto técnico propio de las matemáticas financieras. También, se les da a los temas una orientación práctica, con el objetivo de motivar a los alumnos a la aplicación apropiada de los conceptos a casos reales y que además sirve como guía para la solución de diversos problemas, propios del sector financiero.

Al terminar la unidad el estudiante: Reconoce el valor del dinero en el tiempo. Interpretar el concepto de tasa de interés simple. Diagrama toda transacción comercial o financiera. Realiza cálculos de valor presente y valor futuro. Realizar cálculos de tasas de interés y de tiempo de una transacción.

ProblemaAntes de entrar a efectuar cálculos y realizar operaciones, o aplicar fórmulas, debemos tener muy claro el significado de algunos conceptos básicos, los cuales se van a utilizar en la solución de todos los problemas de matemáticas financieras, con los cuales nos vamos a encontrar; de ahí la necesidad de tener muy bien entendidos los principios y fundamentos, puesto que su aplicación deficiente conducirá a errores.

Es costumbre de estudio entre los estudiantes, ante la propuesta de un problema, inmediatamente iniciar su desarrollo intentando aplicar fórmulas, sin antes realizar un análisis de la información dada, esto es, revisar los datos del problema a la luz de los principios que rigen las matemáticas financieras,teniendo en cuenta, además, el significado de cada uno de ellos, las implicaciones y consecuencias que se pueden derivar de los mismos.

Fundamentación

Estudio de las Matemáticas Financieras El primer concepto fundamental a conocer de las matemáticas financieras: Es el valor del dinero en el tiempo.

El valor del dinero en el Tiempo

Cuando se afirma que: "para la cancelación de una obligación, debemos hacer un pago de $50.000", y no precisamos la fecha en que debe ocurrir, nuestra aseveración es deficiente, pues intuitivamente cada uno de nosotros llega a determinar que no tiene el mismo efecto económico cancelar hoy o hacerlo en fecha posterior; ya que los $50.000 tienen diferentes implicaciones económicas, dependiendo de la fecha en que se haga la transacción. O sea, que no es lo mismo cancelarlo hoy que dentro de 6 meses o un año.

Lo anterior, debido a que el dinero tiene su valor, dependiendo de la fecha en que se considera. Si lo estudiamos en fecha posterior, la magnitud será mayor, puesto que en nuestro sistema económico aceptamos la capacidad que tiene el dinero de aumentar su magnitud, cuando transcurra el tiempo. Es familiar para nosotros, el hecho de que una inversión hoy, debe aumentar su valor en el futuro, y que solo aquellos casos en que permanece igual o disminuye de valor, son considerados particulares y no atractivas para la inversión. Esto nos lleva a la siguiente preocupación y es la de relacionar en todo momento las magnitudes (cantidades) con la fecha y así nuestros datos serán completos.

Teniendo en cuenta lo anterior, debemos fijarnos como una norma de trabajo la de siempre indicar toda la información del valor de un ingreso o un egreso además de su magnitud, la fecha en la cual, se efectúa; o en otras palabras, siempre debemos indicar el cuánto y el cuándo. Si cumplimos con éste primer concepto, vamos adelantándonos en el correcto manejo de las bases de las matemáticas financieras y estaremos cumpliendo con el principio de reconocer el valor del dinero en el tiempo.

En consecuencia con lo anterior, debemos observar que no podemos sumar pagos de diferentes fechas puesto que no tienen la misma implicación económica.

Cuando afirmamos que hoy pagamos $5.000, dentro de tres meses otros $5.000 y dentro de seis meses $12.000, no podemos sumar estos tres pagos ($5.000 + $5.000 + $12.000) y decir que cancelamos $22.000 debido a que estamos asignando el mismo valor a los $5.000 de hoy que dentro de tres meses, lo cual es un error; además cuando afirmamos que cancelamos $12.000, no le podemos asignar una fecha única por lo cual no estamos aplicando el principio del valor del dinero en el tiempo.

Resumiendo, debemos tener siempre presente que no podemos sumar pagos de diferentes fechas.

Interés

En el punto anterior tratamos el concepto de interés cuando hicimos notar que no tiene el mismo efecto económico el realizar una operación en diferentes fechas; ello se debe a la ocurrencia del interés, que se debe interpretar como la utilidad que nos produce el capital cuando lo prestamos a alguien. Esto es similar al arrendamiento que cobramos cuando alquilamos un inmueble.

La cantidad que vamos a recibir como intereses es función (o depende) de la cantidad entregada, así cuando esperamos recibir $3.000 al finalizar cada mes, por concepto del "uso" que hacen de $100.000 nuestros, fácilmente observamos que si la cantidad prestada hubiera sido el doble ($200.000), debemos recibir $6.000 (el doble ) de intereses. A su vez si la cantidad prestada hubiera sido la mitad ($50.000), hubiéramos recibido $1.500.

Estos dineros (los intereses), los vamos a distinguir con I, luego en cada uno de los casos anteriores, vamos a tener I = $3.000, I = $6.000, I = $1.500, respectivamente.

Relacionado con lo anterior, tenemos un parámetro muy importante en las matemáticas financieras y es la tasa de interés, que se conoce como la fracción entre lo que recibimos como intereses (I) y la cantidad prestada. Si llamamos a ésta como VP, vamos a tener que la tasa de interés es igual a los intereses devengados sobre el capital prestado, y lo denotamos por i.

En nuestro ejemplo tenemos que recibimos $3.000 de intereses (I = $3.000) por el préstamos de $100.000 (VP = $100.000).

Luego la tasa de interés es:

Lo cual si deseamos expresarlo como porcentaje, lo multiplicamos por 100 y tenemos

i = 0.03 * 100 = 3%

Es importante detenernos un poco en la interpretación de éste concepto y su notación, con el fin de buscar claridad y facilidad para su aplicación.

Para el estudiante es frecuente escuchar expresiones de tasas de interés, como porcentaje; por ejemplo afirmaciones tales como:a. Yo presto mi dinero al cinco por ciento mensual (5 % mensual).b. Estoy pagando el treinta y seis por ciento anual (36 % anual)

Lo que significa en el caso a) que por cada $100 de mi capital recibo mensualmente $5 por intereses. En el caso b), significa que por cada $100 que me presta debo pagar $36 cada año por concepto de intereses.

A pesar de que en la transacción la forma usual de expresarlo es en forma porcentual la tasa de interés, es importante resaltar que en todas las ecuaciones en donde halla que utilizar la tasa de interés (i), ésta se deberá expresar en su forma decimal. Es por ello que debemos transformar la tasa de interés expresada en forma porcentual a tasa de interés expresada en forma decimal, lo cual obtenemos dividendos la porcentual entre 100, así:

En la tabla siguiente podemos observar, la equivalencia entre la tasa de interés en forma porcentual y decimal:

Tasa s de sadaLa ecuación de hallar la tasa de interés i = I/VP puede expresarse como I =

(iVP) , la cual indica que los intereses son iguales al resultado demultiplicar la tasa de interés por la cantidad prestada.

Observemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1 En el día de hoy, entrego $200.000, esperando recibir al finalizar el año esta suma, más los intereses. Si la tasa de interés es del 24% anual. ¿Cuánto recibiré por concepto de intereses?.

Solución. Identifiquemos las variables conocidas y la desconocida. Sabemos que la cantidad prestada es igual a VP, luego VP = $200.000

que la tasa de interés es del 24% anual, pero de acuerdo con lo explicado anteriormente, debemos expresarla en forma decimal o sea, i = 0.24 anual

lo que nos pregunta el problema es el valor de los intereses que lo hemos llamado I = ?

Pero sabemos que I = iVP, al reemplazar los valores conocidos, tenemos, I =(0.24) ($200.000)I =$24.000

Se entiende que al finalizar el año, recibiré $24.000 por concepto de intereses causados por los $200.000 que entregué como préstamo.

Hasta este punto conocemos que la tasa de interés es el porcentaje que se debe pagar cuando utilizamos un préstamo, ahora consideremos el concepto de interés en forma amplia, y veamos que también se puede expresar como los rendimientos de una negociación, como la tasa de interés que se obtuvo por los dineros invertidos.

No todas las actividades comerciales se limitan al préstamo de dinero sino a la inversión de una determinada cantidad, esperando recibirla aumentada a medida que pasa el tiempo.

La relación entre los pesos ganados y los pesos invertidos, es desde luego, la tasa de interés que se obtiene en esa inversión. Cada persona en particular, dependiendo de la actividad a que se dedique, obtendrá un mayor o menor rendimiento (interés), debido a factores tales como naturaleza del negocio, nivel de riesgo, características económicas, habilidades personales, etc.

Sin embargo, en determinados momentos, los rendimientos se pueden considerar estables y cada persona tendrá una tasa de interés que le rentan oportunidad y representa un concepto fundamental para poder comparar las alternativas de inversión, la cual la veremos más adelante.

El tiempo de una TransacciónCuando se realiza una transacciones puede observar, que el tiempo transcurre, entre el momento en la cual se inicia hasta cuando se termina; a excepción cuando se realiza de contado (o en la mismafecha)

El tiempo que transcurre se puede medir en diferentes unidades, días, semanas, meses, trimestres, semestres y años, siendo estos los más frecuentes. Ahora entraremos a considerar en forma genérica eltiempo y decimos que transcurre en períodos entendiéndolo como el número de veces que la unidad de tiempo se repite (o esta contenida). Así, si realizamos una negociación desde el primero de enero hasta el treinta de septiembre, el tiempo comprendido lo podemos expresar en diferentes períodos, dependiendo de la unidad de tiempo deseado.

Observen:Si la unidad es días, tenemos N = 270Si la unidad es semanas, tenemos N = 36Si la unidad es meses, tenemos N = 9Si la unidad es semestres, tenemos N = 1.5Si la unidad es años, tenemos N = 0.75

En el cuadro anterior vemos que el número de períodos (llamado N), puede tomar valores enteros, fraccionarios y menores o mayores que la unidad.

Tasa de InteresEs la relación entre el interés y el valor presente. Generalmente se expresa en porcentajes. Se indica con ip.

La notación, ip, significa: "tasa de interés periódica". En ella, el subíndice p, que representa la periodicidad, tiene gran importancia, puesto que siempre indicará que, en cualquier problema de matemática financiera, se debe poner a concordar el período de aplicación de la tasa de interés dada con el período en que se halla dividido el tiempo total de la operación financiera, antes de aplicar algunas de las fórmulas utilizadas en el curso, así por ejemplo: si los períodos definidos son meses y la tasa dada es anual, se debe transformar, ésta, en una tasa mensual antes de iniciar la aplicación de fórmula alguna; si los períodos son semestrales y la tasa es mensual, previamente, la tasa mensual debe convertirse en una semestral.

Los métodos indispensables para realizar las conversiones requeridas los veremos en clases posteriores.

Lo anterior se resume en la siguiente regla fundamental: El primer paso del proceso de solución de todos los problemas de matemáticas financieras, debe ser: poner en concordancia el período de aplicación de la tasa de interés con el período en que se halla dividido el tiempo total de la operación financiera.

Las variables hasta aquí definidas:(I, VP, VF, N, ip ), constituyen el fundamento de la matemática financiera. Se observará luego, que las fórmulas para interés simple y compuesto con algunas excepciones, son funciones de estas variables.

EquivalenciasEntramos a estudiar otro fundamento de las matemáticas financieras.

Observamos en el ejemplo que para nosotros es indiferente $200.000 de hoy a $260.000 al finalizar el año,($200.000 de préstamo + $60.000 de intereses), teniendo una tasa de interés del 30% anual.

En éste ejemplo, aparece la equivalencia entre estos dos valores de distintas magnitudes y en fechas diferentes, pues tiene el mismo efecto económico.Observemos que para que exista equivalencia debemos tener definida la tasa de interés con la cual se está realizando. Si cambia la tasa de interés ya no se conserva (no permanece la equivalencia) este concepto de equivalencia, unido al del valor del dinero con respecto al tiempo, son las bases de las matemáticas financieras, conceptos estos que serán utilizados en todos los problemas.

Así, cuando estamos interesados en cambiar una obligación de hoy por un conjunto de otras en el futuro; estamos planteando la equivalencia entre diferentes valores en fechas distintas. Es el caso cuando un bien lo compramos a crédito; allí, estamos haciendo equivalente el valor de hoy (de contado) y el conjunto de pagos futuros.

Líneas de Tiempo y Valor

Representación GráficaExisten técnicas apropiadas para la solución de problemas, cada una orientada hacia caso particular; una de ellas es la representación gráfica que en nuestro caso la denominaremos como líneas de tiempo y valor. Que tiene como objetivo representar gráficamente la información del problema, sus datos, a un diagrama que nos permite visualizar que variables conocemos y controlar la solución, variable a calcular; dado el grado de dificultad de los problemas que a considerar, lo cual van aumentando, se hace indispensable acudir a su representación gráfica.

La representación de las líneas de tiempo, la iniciamos trazando una línea horizontal que nos muestra el tiempo que dura la transacción, a esta línea la dividiremos en el número de unidades de tiempo, de acuerdo a la información del problema o sea que vamos a trabajar en períodos.

Si tomamos el ejemplo anterior la línea de tiempo será dividida en meses, así:

Hasta aqui hemos tenido en cuenta únicamente el tiempo; incluyamos los valores diferenciando entre un ingreso (recibimos dinero) y un egreso (efectuamos un desembolso). Para efectos de la línea de tiempo y valor vamos a considerar la parte superior para los ingresos, representándolo con una flecha hacia arriba y la parte inferior para los egresos representándolos con flechas hacia abajo y denotaremos con líneas verticales y longitudes proporcionales a las magnitudes de las operaciones.

Veamos el siguiente problema y hagamos su representación gráfica con líneas de tiempo y valor:

Ejemplo 2. El primero de Abril, recibo en préstamo $200.000 de un banco comercial y me comprometo a cancelar con cuatro cuotas una cada trimestre, por valor de $60.000.

Solución: Como la negociación dura un año, cada trimestre ocurre un pago; debemos trazar una línea horizontal dividida en 4 períodos (trimestres).

El período cero equivale a la fecha de hoy (1o. de abril), el período 1 corresponde al 1o. de julio, el segundo período a 1o. de octubre, el tercero el 1o. de enero y el cuarto el 1o.de abril.

Ahora consideremos los ingresos y egresos:

Nosotros recibimos $200.000 luego se debe considerar como un ingreso, las 4 cuotas con que nosotros vamos a cancelar corresponde a egresos; grafiquemos teniendo en cuenta la fecha (o período) en el cual se realiza:

El gráfico refleja que aquí esta mos cumpliendo con los principios a los cuales nos hemos referido, los cuales dicen que a cada operación, además de conocer por cuánto se realiza, también debemos saber su fecha, o sea cuándo.

También se afirma que a la tasa de interés cobrado por el banco, es equivalente para nosotros recibir $200.000 hoy a cambio de 4 pagos cada uno en trimestres posteriores de $60.000 cada uno.

Como complemento podemos entrar a discutir el mismo problema, pero ahora planteado desde el punto de vista del banco.

Aplicando el mismo proceso, observamos que el banco tiene hoy un egreso de $200.000 y a cambio recibe durante los próximos cuatro trimestres la suma de $60.000

Gráficamente, tenemos;

Como norma de trabajo, se recomienda a los alumnos, en que una vez tenga el enunciado del problema, traslade los datos a un diagrama de línea de tiempo.

Transacciones

Formas de RealizarlasToda persona natural o jurídica se ve en forma continua en la necesidad de adquirir bienes, los cuales con lleva a que se encuentra en la decisión de comprar o arrendar. Si considera la opción de compra, la forma como realice los pagos, puede variar desde los establecidos por la costumbre propia de la actividad comercial o por una modalidad nuestra de acuerdo con una situación particular.

Al analizar, las modalidades que actualmente tenemos, se presentan:a. CONTADO: Cuando efectuamos la totalidad del pago en el momento de recibir el bien.b. CREDITO: Se pueden presentar las siguientes modalidades:b.1 Con cuota inicial (CI) y el saldo en N cuotas iguales.

b.2 Con cuota inicial y el saldo en un sólo pago (también conocido por 2 contados).

b.3 Con cuota inicial y el saldo en cuotas periódicas con dobles pagos en determinadas fechas.

b.4 Sin cuota inicial y el valor del saldo en cuotas iguales.

b.5 Sin cuota inicial y el saldo en cuotas periódicas que aumentan el mismo valor en cada una

b.6 Sin cuota inicial y el valor del saldo en cuotas periódicas que disminuyen el mismo valor en cada una.

Interés Simple

Anteriormente vimos el significado del concepto de interés; ahora vamos a estudiar que en la práctica se presenta dos modalidades, el interés simple y el denominado interés compuesto: el primero es una modalidad que si bien no es la más frecuente, si deriva su importancia en su sencillez, y nos permite iniciar los cálculos y obtener las primeras relaciones en las matemáticas financiera.

Se efectúa una operación con interés simple cuando durante todo el tiempo que dura la transacción solo el capital genera intereses, independiente de si estos se retiran (se cancelan) o no.

Representación gráfica,

Con base en la definición, el interés que debe pagarse en un año será:

Este interés, se obtuvo al multiplicar el capital o valor presente por la tasa de interés. Lo cual se puede generalizar con la siguiente fórmula:

Sin embargo, esta fórmula sólo permite calcular el interés para un período. Si el capital continua en préstamo, en cada período, deberá pagarse idéntica suma como se ilustra para el ejemplo con la siguiente línea de tiempo:

Se puede observar, que el interés devengado, en los 2 primeros años, es igual a:I = $350*2 = $700

Asimismo para N períodos, el interés será:I = VP* ip * N

Donde; interés de un período = VP*ip

Con esta fórmula y las presentes definiciones, se puede desarrollar otras fórmulas y determinar la manera de calcular cada una de las variables.

§ Valor Presente (principal o presente): es el valor de un bien o de una obligación medida en pesos de hoy, o sea en el momento en que iniciamos la operación. Lo denominamos VP.

§ Valor Futuro ( monto): es el valor de un bien o de una obligación, medida en pesos en una fecha posterior, la cual estará n períodos adelante, lo llamamos VF.

Equivalencia entre Valor Presente y el Valor Futuro

Como recordará el estudiante, ya estudiamos el concepto de equivalencia, pues bien, aquí iniciaremos su aplicación, la cual será permanente durante todo el curso.

Simbología:VP = valor en pesos que recibimos hoy.VF = valor en pesos de nuestra obligación dentro de n períodos (o sea el valor a cancelar en el futuro)N = número de períodos.ip = tasa de interés simple periódica.

Es importante que el estudiante tenga en cuenta la relación existente entre ip = la tasa de interés simple periódica y m = el número de períodos. Puesto que en todas las expresiones con que vamos a trabajar, estos dos parámetros deben corresponder a las mismas unidades de tiempo (períodos). Así, si tenemos que la tasa de interés es mensual, esto nos obliga a expresar a m como el número de meses, a su vez, si la tasa de interés es anual debemos expresar m como el número de años. Pero no confundirlo con N = n * m , que consiste en que n es número de años y m el número de meses en que se pagan o se reciben intereses.

Esta observación es fundamental y debemos tenerla presente cada vez que vayamos a realizar un cálculo.

Dibujemos un diagrama de las líneas de tiempo para este caso.Hoy vamos a recibir $VP luego son ingresos y en el futuro (en el período N), vamos a cancelar $VF luego es un egreso, entonces.

Nuestro interés ahora, radica en hallar el valor futuro (VF) conociendo la tasa de interés periódica, el número de períodos y el valor de la deuda (valor presente).

Al finalizar el 1er período tenemos la obligación:VP + ipVP.

Al finalizar el 2o.período tenemos la obligación:VP + ipVP + ipVP = VP + 2ipVP

Al finalizar el 3er período tenemos la obligación:VP + 2ipVP + ipVP = VP + 3ipVP

y continuando vemos que cada período se aumenta en ip, de donde observamos que al llegar al período N vamos a tener VP + NipVP

Luego el valor de VF = VP + Nip VP, al factorizar VP, es: VF = VP(1 + ip * N)

La anterior expresión, afirma que el valor futuro VF es igual (o equivalente) al producto del valor presente (principal) VP *(1 + Nip), lo cual significa que económicamente tiene igual efecto el recibir $VP hoy o recibir $VF dentro de N períodos, cuando hacemos la transacción a la tasa de interés simple por período ip.

Veamos lo anterior con unos ejemplos.Ejemplo 3: Hallar el valor a cancelar dentro de 10 meses, por un préstamo de $80.000 recibido el día de hoy, si la tasa de interés simple es de 1.5% mensual.

Solución.Construyamos el diagrama de líneas de tiempo;

Identifiquemos la información del problema, con los parámetros que conocemos.

Sea VP = $80.000 ip = 0.015 mensual N = 10 meses

Aquí observamos que tanto la tasa de interés como el tiempo (períodos) están dados en las mismas unidades (meses).

VF= ? valor a conocer

Pero sabemos que: VF = VP( 1 + Nip) entonces reemplazamos

VF = $80.000 (1 + 10*0.015) = $92.000

Aquí estamos afirmando que $80.000 de hoy son equivalentes a $92.000, dentro de 10 meses, cuando la tasa de interés simple es del 1.5% mensual.

Como se puede observar, si cambiamos la tasa de interés, la equivalencia sería con otros valores, ya no igual al calculado anteriormente.

Así, si el interés es ahora el 3% mensual tenemos queVF = $80.000 (1 + 10 *0.03) = $104.000

Ejemplo 4: Hallar cuánto debemos cancelar al finalizar el año, si el 1o. de enero nos prestan $410.000 cobrándonos una tasa de interés simple anual del 36%.

Solución:Representación gráfica:

Se conoce cuánto nos prestan y la tasa de interés. Nos preguntan el valor a cancelar, lo cual es igual a la suma de la cantidad prestada, más los intereses causados en el año.

Si presentamos esta información por medio de ecuaciones,

será:

Cantidad a cancelar = $410.000 + interesesPero los intereses I = ip*VP

I = (0.36) (410.000) = $147.600

Reemplazamos: Cantidad a cancelar = $410.000 + 147.6000 = $557.600

se sugiere al estudiante, que compruebe este resultado, utilizando la expresión:VF = VP (1 + Nip)

Otra forma de hallar la formula del valor futuro.Por definición : VF = VP + Iy como, I = VP. ip. NLuego, VF = VP + VP . ip . NSe factoriza VP, VF = VP(1+ ip * N)

Ejemplo 5: Hallar los valores futuros sucesivos de una deuda de $500.000, en los primeros cinco años con acumulación de intereses al final de de cada uno de los años y a una tasa de interés del 24% anual.

Año 0:Año 1: VF = $500.000 (1 +0.24 * 1) VF = $620.000Año 2: VF = $500.000 (1 +0.24 * 2) VF = $740.000Año 3: VF = $500.000 (1 +0.24 * 3) VF = $860.000Año 4: VF = $500.000 (1 +0.24 * 4) VF = $980.000Año 5: VF = $500.000 (1 +0.24 * 5) VF = $1.100.000

Calculo del Valor PresenteEn algunos casos, nosotros conocemos el valor futuro y deseamos hallar el valor presente: en éste caso nos basamos en el mismo análisis anterior y partimos de la expresión VF = VP (1 + Nip), solo que el valor a hallar es el valor presente VP y para ello, despejamos el valor de VP, dividiendo la expresión entre (1 + ipN) la cual nos da:

Veamos en el siguiente ejemplo, una aplicación de ésta expresión.

Ejemplo 6: Se conoce por medio de un documento que nos comprometimos a cancelar después de año y medio un valor de $109.000, con una tasa de interés simple es del 28% anual, hallar el valor inicial de la obligación.

Aquí tenemos que VF = $109.000, ip = 0.28 anual, luego el tiempo lo debemos expresar en años, entonces N=1.5 años

Sabemos que:

Calculo de la Tasa de Interés

En los apartes anteriores, aprendimos el cálculo del valor futuro, conociendo la tasa de interés periódica, el valor presente y el número de períodos. También aprendimos a calcular el valor presente a partir del valor futuro, la tasa de interés periódica y el número de períodos. Resumiendo lo anterior, lo obtendremos así:

Observemos que podemos calcular un valor desconocido a partir de otros 3 conocidos.

Pues bien, de los 4 parámetros que intervienen en estas expresiones [VF, VP, ip, N] podemos calcular uno de ellos si conocemos los 3 restantes. O sea que podemos calcular la tasa de interés simple periódica si conocemos los otros 3 parámetros [VF, VP, N].

Para su cálculo tomamos una de las expresiones anteriores (que podrá observar el estudiante, son fundamentalmente las mismas) y por medio de la aplicación de los principios algebraicos, vamos a tener:

Por medio de ésta expresión, podemos calcular la tasa de interés simple periódica, conociendo el valor presente, valor futuro y el número de períodos.

Al igual como se explicó en el apartado anterior, se debe cumplir la relación entre la tasa de interés periódica (ip) y el número de períodos (N). Así cuando reemplazamos en la anterior fórmula a N años, entonces vamos a obtener la tasa de interés simple anual y cuándo reemplazamos a N por el número de meses, esto nos define que la tasa de interés periódica será mensual.

Ejemplo 7: Hallar la tasa de interés simple periódica que obtendremos cuando invertimos $10.000 y al cabo de 11 meses podemos retirar $11.650.

Solución:Identifiquemos la información conocida. Los $10.000 invertidos correspondiente a un valor presente, luego; VP = $20.000

Los $24.650 que podemos retirar representa el valor futuro, luego; VF = $24.650

El tiempo de la negociación es de 11 meses, luego; N = 11 meses

Para hallar la tasa de interés tenemos:

Al reemplazar tenemos:

Como al reemplazar el valor de N lo hicimos en el número de meses, esto nos define que la tasa calculada es mensual. Entonces: ip = 0.021136 mensual

O expresada en forma de porcentaje tenemos: ip = 2.113% mensual

Ejemplo 8: Se compra un lote de terreno por valor de $7.000.000 esperando venderlo dentro de un año en $9.000.000 Cuál es la tasa de interés que rinden los dineros allí invertidos?

SoluciónIdentifiquemos las variables conocidas valor presente VP= $7.000.000valor futuro VF= $9.000.000tiempo N= 1 añointerés i= ?La tasa de interés simple

Otra forma de Calculo de la Tasa de InterésLa tasa de interés de una transacción también se puede hallar partiendo del supuesto que conocemos el interés devengado durante todo el tiempo que dure la transacción financiera.La fórmula básica es:

I = VP* ip * N

Conociendo [ VP, N, I], tenemos:

La tasa de i nterés periódica:

Ejemplo 9: Por un depósito de $500.000, la corporación Financiera de Occidente liquida $10.000 de interés mensual. Qué tasa de interés reconoce dicha corporación?.VP= $500.000ip= ?meses I=$10.000Fórmula: I = VP* ip * N

Donde,I = $10.000VP = $500.000

N = 1

Se reemplaza,

Que es la tasa mensual reconocida por la C.F.O.

Calculo del Tiempo de una Transacción

Número de períodos. En la anterior sección estudiamos que a partir del conocimiento de 3 parámetros, podemos hallar el restante. Es asi que si conocemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés, podemos hallar el número de períodos.

Debemos observar que se cumple la relación de concordancia entre la tasa de interés y el número de períodos, puesto que si utilizamos la tasa de interés anual, el valor de N será expresado en años.

Tomando la expresiónVF = VP(1+ ip * N)

obtendremos :

Ahora lo que nos interesa es hallar el número de períodos, entonces:

Por medio de esta expresión podemos calcular el número de períodos, conociendo el valor futuro, el valor presente y la tasa de interés.

Ejemplo 10: Una cuenta de ahorros reconoce el 3% mensual de interés simple. Depositando hoy $280.000. Cuánto tiempo debo esperar para retirar $448.000 ?.

Solución. Identifiquemos la información.El depósito inicial, es el valor presente, luego: VP = $280.000El valor que deseo retirar significa que es el valor futuro: VF = $448.000La tasa de interés es : ip = 0.03 mensualConocemos que la expresión para calcular el número de períodos es:

que al reemplazar tenemos:

Como utilizamos la tasa de interés mensual, este número de períodos corresponde a meses.

Luego N = 20 meses, o sea, que debemos esperar año y ocho meses para poder efectuar ese retiro.

Otra forma de calcular el número de periodos.Partiendo del concepto que conocemos el interés que se va a devengar, durante el período de la transacción, tenemos:

Interés devengado : I = VF -VP - ó - I = vp* IP * N

Conociendo,[ I, ip, VP}, tenemos:

Ejemplo 11: La empresa Noel emitió bonos en 199x, con una tasa de interés del 23% anual y liquidación mensual de interés. Si María Cristina Olaya compró un bono de $5.000 y obtuvo $5.750 por concepto de interés en todo el plazo. Cuál fué el período de redención, en años, del bono ?.

Solución

Donde,I = $5.750VP = $5.000ip = 23%

Se reemplaza;

Que es el plazo de redención del bono. Período de redención es el tiempo entre la fecha de compra y la de vencimiento del bono.

ECUACIONES DE EQUIVALENCIA

Con el nombre de ecuaciones de valor, conoceremos aquella transacción en la cual en una fecha dada, se van a cambiar un conjunto de valores por otro conjunto, haciéndolo a interés simple.La fecha en la cual se determina la equivalencia se denomina fecha focal. Siendo ésta la fecha a donde debemos trasladar todos los valores, aplicándoles a cada uno su correspondiente equivalencia. Al afirmar que se aplica el principio de equivalencia, estamos indicando que debemos llevar a ella los valores equivalentes.

Así, si los valores están dados antes de la fecha focal entonces debemos llevarlos a su valor futuro. Si es una fecha posterior a la fecha focal, se debe trasladar a ésta por medio del valor presente. Son de gran utilidad éste tipo de ecuaciones de valor cuando tenemos necesidad de refinanciar obligaciones, cambiar planes de pagos, etc o en general, deseamos reali zar diferentes transacciones a interés simple, en una misma fecha (llamada fecha focal).

Ejemplo 12: Asumamos que nosotros tenemos 3 documentos para cobrar así: $50.000 para el 1o. de mayo, $95.000 para el 1o. de junio y $250.000 para el 1o. de julio y dadas nuestras necesidades de efectivo, nos vemos en la opción de entregarlos a un intermediario financiero que como producto de sus actividades, obtiene rendimiento del 3% mensual.

La pregunta es. Cuánto dinero esperamos recibir si la negociación la realizamos el 1o. de abril ?.

Solución. Apliquemos lo anterior al presente problema. Los 3 documentos por cobrar son:$50.000 el 1o. de mayo$95.000 el 1o. de junio$250.000 el 1o. de julio

La fecha focal 1o. de abril y la tasa de interés ip = 0.03 mensual.

Observemos que vamos a cambiar 3 ingresos en las fechas dadas por recibir el 1o. de abril, que es la cantidad que vamos a determinar, y lo llamamos $x.

El diagrama de líneas de tiempo para los 3 documentos:

Y vamos a hallar el valor equivalente de $x en 1o. de abril, Así:

Ahora planteamos la ecuación de valor llevando todos los valores equivalentes a la fecha focal (1o. de abril). Como nuestros pagos se efectúan en fechas posteriores a la fecha focal, debemos trasladarlos a los meses anteriores; por tanto los pagos se consideran valores futuros y debemos hallar su valor presente equivalente.

La ecuación que nos permite hallar el valor de X la planteamos así:

X =Valor- presente-1a.obligación+Valor- presente-2a.obligación+Valor- presente- 3a.obligación

Teniendo en cuenta que todos estos valores presentes deben calcularse para el 1o. de abril.

Sabemos que:

Hallemos el valor presente equivalente para cada una de las obligaciones.

Primera obligación:VF = $50.000 que debemos hallar su equivalente del 1o. de mayo al 1o. de abril.

luego N = 1 mes ip = 0.03 mensual

al reemplazar,

Segunda obligación:

VF = $ 95.000 que son del 1o. de junio, debemos hallar su equivalente en el 1o. de abril.

Luego N = 2 meses ip = 0.03 mensual

Entonces, ,

La tercera obligación:

VF = $250.000 del 1o. de julio y hallar su equivalente al 1o. de abril.

luego, N = 3 meses ip = 0.03 mensual

entonces,

Ya tenemos los valores presentes equivalentes de todas las obligaciones, en el 1o.de abril, luego reemplazamos en:

X = $48.543,69 + $89.622,64 + $229.357,79 = $367.524,12

Este resultado indica que nosotros debemos recibir el 1o. de abril $367.524,12 a cambio de 3 obligaciones futuras y estaremos reconociendo una tasa de interés del 3% mensual al intermediario financiero.

Ejemplo 13: Con la misma información del problema anterior, hallar el valor del pago, pero tomando como fecha focal el 1o. de junio, considerando que no hemos podido hacer efectiva (cobrar) la primeraobligación.

Solución: Veamos el diagrama de línea de tiempo

Al plantear la ecuación de valor para el 1o. de junio observamos que el pago de $50.000 del 1o. de mayo es un valor presente respecto de su valor equivalente junio (en fecha posterior) o sea que debemos pasar de un presente a un futuro. Con los pagos de junio y julio son valores futuros con respecto a la fecha focal del 1o. de junio.

Entonces debemos calcular su valor presente equivalente.

La ecuación que nos permite calcular la suma X a recibir el 1º de Junio así:

X = Valorequivalente–1a.oblig+valorequivalente–2aobligc+Valorequivalente–3aobligc

Primera obligación:Sabemos que VP = $50.000 y los meses N = 1(de mayo a junio), la tasa de interés ip = 0.03 mensual.

VF = ? el valor de junio.

Pero, VF = VP(1 + ip * N) = 50.000 (1 + 1*0,03) = $51.500

Segunda obligación:Sabemos que VF = $95.000 y al llevarlos a junio, tenemos N = 0.

VP = $95.000 . = $92.233,oo (1 + 1 * 0.03)

Tercera obligación:Tenemos VF = $250.000 y al llevarlos a junio tenemos N = 1 meses.

VP = $250.0000 . = $242.718,44 (1 + 1 * 0.03)

Como todos los valores ya están expresados en valores equivalentes para el 1º de junio, podemos reemplazarlos en la ecuación, así:

X = $51.500 + $95.000,00 + $242.718,44 = $389.218,44.

El anterior cálculo nos indica que el primero de junio debemos recibir $389.218,44 por nuestras 3 obligaciones.

Deberá notar el estudiante que un valor puede corresponder en unos casos a un valor presente, y ese mismo en otros pueden ser un valor futuro como lo tenemos en la primera obligación que en este segundo ejemplo fue considerado como presente y el primera era futuro.

En conclusión: Podemos decir que un valor dador será un presente, cuando deseamos trasladarlo para una fecha posterior (o hallarle su valor futuro equivalente) y será un futuro cuando deseamos hallar para una fecha anterior su valor equivalente (o calcular su presente).

Veamos en un diagrama:

Para este valor de $50.000, si deseamos hallar su valor en fecha posterior entonces este será presente así:

VP = $50.000 y el valor a calcular igual aVF = VP (1 + Nip)

Pero si lo que deseamos es hallar su equivalente en fecha anterior, entonces este será un futuro VF = $50.000 y el valor a calcular será: VP =?

VP=? $50.000

Interés Simple Exacto y ComercialHasta el momento hemos tenido en cuenta que el tiempo se expresa en años y meses y buscando la concordancia que debe existir entre tiempo y tasa de interés que se exprese en la misma unidad de medida, sin embargo en todas las transacciones comerciales y financieras no siempre es así, a veces se expresa en días, y es, lo que vamos a estudiar en este aparte y que da origen a dos formas de ver el interés simple, en interés simple exacto e interés simple comercial.

Medidas del tiempo. La unidad de tiempo para las operaciones financieras y comerciales es un año que equivale a 365 días agrupados en 12 meses así: 7 de 31 días que son enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre; 4 de 30 días que son abril, junio, septiembre y noviembre; y uno de 28 días; hacen excepción a lo anterior los años bisiestos que tienen 366 días y se presentan cada 4 años; en ellos el mes de febrero tiene 29 días, las anteriores unidades miden el tiempo exacto o calendario.

Año Comercial. Con el fin de facilitar los cálculos, se acostumbran suponer el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días; esta modalidad recibe el nombre de año comercial.

Equivalencia de decimales de año en días y meses. Es frecuente en los problemas comerciales y financieros que el tiempo venga expresado en decimales de año y es necesario convertir los decimales a meses, días; para efectuar su conversión en el caso en que los decimales venga en año comercial se procede así;

§ Sí es a meses se multiplica por 12§ Sí es a días por 360En caso en el que los decimales expresen año calendario, se multiplican por 365 días.

Ejemplo 14: 2.736 años comerciales§ 2 se refieren a los años§ 0.736 es el decimal, se procede,§ 0.736 * 12 = 8.832 donde 8 es meses§ 0.832 * 30 = 24.96 donde 24 es días Rta: 2 años, 8 meses y 24 días

Ejemplo 15. 1.7894 años calendario1 se refiere a año completo0.7894 que es el decimal, se procede,0.7894 * 365 = 288.131 días Rta; 1 año y 288 días

Equivalencia de días a decimales de año. Para efectuar la conversión, primero se determina si va a ser año comercial o año calendario.

Sí es año comercial, tomamos el número de días que hay entre fechas y lo dividimos por 360 días, así; Sí el tiempo es 195 días año comercial, tenemos;

195 ÷ 360 = 0.54167 año comercial

Sí es año calendario, tomamos el número de días que hay entre fechas y lo dividimos por 365 días, así; si el tiempo es 278 días año calendario, tenemos;

278 ÷ 365 = 0.76164 año calendario.

Cálculo del tiempo exacto entre dos fechas. Cuando se va a calcular años completos basta con indicar que son años calendarios - 365 días año calendario y 366 días años bisiestos -, pero para período memores de un año implica el dispendioso trabajo de contar los días con ayuda de un calendario o utilizar una de las dos tablas que se presentan en el documento Tablas financieras. Sin embargo para fines explicativos adjuntamos uno de los modelos con fines didácticos.

Tabla para calcular el numero exacto de dias entre dos fechas (años no bisiestos. No incluye el día inicial)

El uso de la presente tabla en el calculo del tiempo exacto es la siguiente:1. Conocido el mes inicial de la transacción, lo ubicamos en la columna de la izquierda que corresponde a meses.2. Conocido el mes final de la transacción, lo ubicamos en la parte horizontal y superior de la tabla.3. Seguir a lo largo de la línea del mes inicial de la transacción, hasta llegar al número exacto que está en la columna encabezada por el mes final de la transacción. Esta cantidad será el número exacto de días entre las mismas fechas de los dos meses. Por ejemplo; del 10 de febrero al 10 de noviembre, tenemos que el tiempo es, 273 días.4. Si el día en el mes final de la transacción, está después del día inicial del mes, se le agrega la diferencia al número de días de la tabla. En caso contrario, la diferencia se le resta del número de días que muestre la tabla.

Ejemplo 16: Día final está antes del día inicial.De marzo 15 a agosto 8, tenemos:De marzo 15 a agosto 15 = 153 díasDe Agosto 8 a agosto 15 = 7 díasSe le resta153 días - 7 días = 146 días

Ejemplo 17: Día final está después del día inicialDe Abril 5 a Octubre 17, tenemos:De abril 5 a octubre 5 = 183 díasDe octubre 5 a octubre 17 = 12 díasSe le suma183 días + 12 días = 195 días

Por cada año completo, se le agrega 365 días. Si el período de tiempo incluye el mes de febrero que corresponde a un año bisiesto, se le agrega 1 día al número total.

Fórmulas Modificadas para el cálculo del Interés SimpleEl efecto de que el tiempo se exprese en días exactos entre fechas, hace que se presente algunas modificaciones de forma en las fórmulas ya conocidas y da origen a los formas de interpretar y calcular el interés simple.

Interés simple exacto. Se calcula sobre la base del año de 365 días (366 años bisiesto), luego en estos casos las fórmulas quedarían así;

Interés simple comercial u ordinario. Se calcula sobre la base del año de 360 días y cada mes de 30 días, luego en estos casos, la fórmula quedaría así;

Ejemplos

Problemas Resueltos IConstruir los diagramas de líneas de tiempo y valor para los siguientes problemas:

1. Hoy recibo $450.000 que me comprometo a cancelar con 4 cuotas trimestrales de $120.000, siendo la primera dentro de 3 meses.

Solución:Como los pagos los vamos a realizar cada 3 meses, es conveniente utilizar el trimestre como unidad de período.

Como hoy recibo $450.000, estos corresponden a un ingreso en la fecha, o sea, en el período cero.

Las 4 cuotas trimestrales de $120.000, cada una corresponde a egresos nuestros y que ocurren dentro de un período (o sea 3 meses), la primera cuota y luego cada trimestre (cada período) una cuota.

Al tener en cuenta que los ingresos los graficámos hacia la parte superior, y los egresos hacia la parte inferior, vamos a tener la siguiente gráfica.

El diagrama de líneas de tiempo y valor muestra que la última cuota ocurre en el período 4, esto es, dentro de 12 meses término de cancelar la deuda.

2. Por la compra a crédito de un electrodoméstico que tiene un valor de contado igual a $210.000, me exigen el 10% de cuota inicial y el saldo lo puedo cancelar con 12 cuotas mensuales cada una por valor de $18.500

Solución:Conocemos que el electrodoméstico tiene un valor en la fecha, igual a $210.000, lo cual significa que si hoy recibo el electrodoméstico, es equivalente a obtener un ingreso (hoy) por valor de $210.000. Esto es independiente de si lo compramos de contado o a crédito.

La forma de pago me define los egresos (desembolsos) que debo hacer en el futuro.Como los pagos periódicos van a ser mensuales, es conveniente definir el período en meses.

Veamos los egresos:§ La cuota inicial es del 10% de $210.000, luego hoy debo hacer un pago de ($210.000 * 0.10) $21.000.

§ Las 12 cuotas mensuales cada una por valor de $18.500. Aun cuando no lo define explícitamente el enunciado, fácilmente podemos considerar que la primera cuota será dentro de un mes y así continuaremos hasta cancelar la número 12.

Al efectuar el diagrama tenemos:

3. Deseo vender un local en un centro comercial por $4.180.000 de contado o a crédito de acuerdo con el siguiente plan: Cuota inicial del 35 %, saldo en 5 años cancelando $70.000 mensuales, más cuotas extras cada 6 meses por valor cada una de $250.000

Solución:Si vendo el local, es igual a entregar en la fecha un equivalente de $4.180.000, que es su valor, luego este sería el valor del egreso.

A cambio voy a recibir:§ La cuota inicial igual al 35 %, o sea, que hoy tengo un ingreso igual a $1.463.000*($4.180.000*0.35).§ El saldo en 5 años con cuotas mensuales de $70.000 cada una. En total número de cuotas es 5 * 12 = 60.§ Las cuotas extras de $250.000 cada 6 meses, luego en total son 2 * 5 = 10 cuotas.§ Al pasar ésta información al diagrama de líneas de tiempo, tenemos:

El estudiante puede observar que hemos utilizado un artificio al graficar los 60 períodos, recurriendo a la interrupción intermedia, con lo cual queremos mostrar que continua lo mismo, a lo mostrado al iniciar y al finalizar la línea de tiempo.

Llamamos nuevamente la atención del estudiante en la correcta aplicación del concepto del valor del dinero en el tiempo.

Utilicemos los problemas 1, 2, 3 que acabamos de graficar.

En el problema 1, nosotros no podemos afirmar que cancelamos el total de $480.000, puesto que estaríamos sumando pagos de diferentes fechas.

En el problema 2, tampoco podemos afirmar que cancelamos por el saldo 12 * 18.500 = $222.000, por la misma razón anterior, y

En el problema 3, no podemos decir que recibimos por el saldo:

60 cuotas de $70.000 = $4.200.000y 10 cuotas de $250.000 =2.500.000para un total de $6.700.000

Cuánto cancelamos en los problemas 1., 2?.

y cuánto recibimos en el problema 3. ?.

Lo aprenderemos a calcular en las unidades siguientes; por ahora, lo importante es saber que estas sumas no la podemos efectuar.

Problemas Propuestos I

1. Almacén La Piñata negociará con la fábrica de juguetes El Niño el 1o. de agosto del presente año, $2.000.000 en productos navideños, los cuales espera obtener como producto de sus ventas unos ingresos de $1.500.000 el 15 de Diciembre y de $1.900.000 el 31 de diciembre del mismo año.

a. Hallar el número de períodos entre la compra y la primera venta, expresados en:§ Semanas§ Quincenas§ Meses§ Trimestres

b. Hallar el número de períodos entre la compra y la segunda venta, expresados en:§ Días§ Bimestres§ Meses§ Años

c. Hallar el número de períodos entre la primera y segunda venta, expresados en:§ Días§ Semanas§ Meses

d. Graficar en un diagrama de tiempo y valor la transacción.

2. En el año de 1.994 Febrero 1o., compre una vivienda usada por valor de $12.000.000, a los dos meses más tarde le efectúe algunas reparaciones menores que ascendieron a $1.200.000. El 15 de Noviembre del mismo año, la vendí y la cancelaron conforme al siguiente acuerdo:

Cuota inicial de $5.000.000 y 3 cuotas cada una por valor de $3.000.000 a recibir a 60, 90 y 120 días, después de la venta.

a. Hallar el número de períodos entre la fecha de compra y la venta, expresado en:§ Días§ Semanas§ Meses§ Semestres§ Años

b. Hallar el número de períodos entre la fecha de las reparaciones y el último pago, expresados en:§ Meses§ Bimestres§ Trimestres§ Semestres§ Años

3. Si usted comienza ahora y efectúa cinco depósitos de $50.000 por año en una cuenta que paga el 24 % de interés. ¿Cuánto dinero se habrá acumulado inmediatamente después de haber hecho el último pago ?.Elabore el diagrama de tiempo y valor.

4. Supongamos que usted quiere hacer un depósito total de $50.000 hoy en una cuenta que paga el 18 % de interés anual y usted se propone retirar una cantidad final de año de $10.000 durante cinco años, a partir del año entrante. Al final del sexto año, piensa cerrar la cuenta retirando los fondos restantes. Defina las variables y represéntelas gráficamente.

5. La Compañía El ambiente invirtió $1.500.000 en un nuevo compresor de aire hace siete años. El ingreso anual del compresor era de $350.000. Durante el primer año se gastaron $30.000 de mantenimiento y este costo aumento cada año en $10.000. La compañía piensa vender el compresor con fines de recuperación al final del año próximo (año 8) en $300.000.Represente gráficamente la transacción y elabore una tabla donde especifique el comportamiento de los flujos.

Problemas Propuestos II

1. Calcule el tiempo exacto entre las fechas que se indica.a. De Enero 5 a Diciembre 2.b. De febrero 12 a Mayo 15 de un año bisiesto.c. De Marzo 6 a Octubre 17.d. De Abril 26 a Noviembre 26.e. De Enero 1 a Diciembre 31.

2. Hallar la fecha final, conocida la fecha inicial y el número de días hasta la fecha de vencimiento.a. El día 3 de abril se firmó una letra a 150 días, hallar la fecha final.b. Hallar la fecha final de vencimiento de una pagaré firmado el 23 de mayo a 75 días calendario.c. Hallar la fecha de vencimiento de un pagaré firmado el 15 de octubre de 1994 a 240 días calendario.d. Una letra fue firmada el 22 de junio de 1994 con vencimiento a 150 días; el deudor lo pago el 29 de diciembre del mismo año; hallar el número de días en que se anticipó o se excedió en el pago.e. Un contrato se firmó el 10 de enero de 1994 con vencimiento dentro de 180 días, fue pagado 0.365 años calendarios más tarde: Determine; (a) la fecha de vencimiento, (b) la fecha de pago, (c) la fecha en que se anticipó o se excedió en el pago.

Problemas Resueltos II1. Vendemos hoy a crédito unos muebles por valor de $250.000, con el plazo de pagarlo dentro de 9 meses. Si el almacén cobra una tasa de interés simple del 24 % anual. ¿Cuanto dinero recibiremos en el momento de hacer el cobro?

Datos: El valor de los muebles asciende a $250.000 y se debe considerar como el valor presente y es un egreso, luego

VP = $250.000

El tiempo para la cancelación es de 9 meses, luego, N = 9 meses La tasa de interés es del 24 % anual, pero como debe haber concordancia con la expresión del tiempo, que en éste ejemplo es mensual, debemos convertirla a meses, o sea, tenemos,

i = 24 % que equivale a 1 año, pero el año tiene 12 meses, tasa de interés mensual, sería,

Lo que nos pregunta, el ejercicio es, cuál será el valor a recibir, en esta caso es el valor futuro,; VF = ?.

Gráficamente, queda, así:

Aplicando la fórmula,VF = VP(1+ ip * N) = 250.000(1+ 9 * 0,02) = $295.000

2. El Sr. Jaime López estima que su finca puede ser negociada dentro de 4 años por $30.000.000. ¿Cuánto debe ser lo máximo en lo cual el debe pedir por su finca, si la tasa de interés en el mercado es del 32 %.

Datos: El valor de la finca dentro de 4 años es de $30.000.000, luego se debe considerar como el valor futuro, VF = $30.000.000

Tiempo durante el cual va a tener la finca es de 4 años, luego, N = 4 años

La tasa de interés que rige es del 32 % anual, como debe haber concordancia con la expresión del tiempo que es forma anual, en este caso, ambos vienen expresado en la misma unidad de medida,

i = 32 % tasa de interés anual

Lo solicitado en el ejemplo es el valor presente, VP = ?.Su representación gráfica es,

Fórmula:

3. Un amigo tiene la suma de $3.500.000 y se encuentra ante varias alternativas de inversión, la cual debe seleccionar la mejor, con la asesoría de uds:a. Comprar de contado un terreno de engorde por $3.500.000, esperando que dentro de 3 años lo pueda vender en $4.800.000.b. dejar éste dinero en su cuenta de ahorros, que le reconoce una tasa de interés simple anual del 28 %.

Datos:

Alternativa a: Comprar de contado el terreno, su valor es de $3.500.000, lo cual debe considerarse como el valor presente, luego, VP =$3.500.000

Espera venderlo dentro de 3 años, éste es el tiempo de la transacción, luego; N = 3 años

Espera recibir dentro de 3 años, por la venta del terreno, la suma de $4.800.000, que se debe considerar como el valor futuro,

VF = $4.800.000

En esta alternativa desconocemos la tasa de interés que se gana, por lo tanto, es la incógnita a resolver.

Representación gráfica:

Fórmula: VF = VP(1+ ip * N)

despejando ip, tenemos;

Alternativa b: Continuar con el dinero en el Banco, los $3.500.000, que viene a ser el valor presente,VP = $3.500.000

El Banco no paga su tasa de interés, que es el 28 % anual.

Comparando alternativas. Si comparamos la alternativa a, que nos da una tasa de interés anual del 12.38 %como ganancia, con la alternativa b, que dice que ganamos en el Banco 28%, es fácil deducir, que la mejor alternativa es la b, porque produce una tasa de interés mayor.

Otra forma de resolver este problema, es comparar lo que produce la alternativa b, o sea hallar el valor futuro y compararlo con el valor futuro de la alternativa y aquel que tenga el mayor valor futuro es la mejor alternativa.

4. El 1o. de abril se consignó $500.000 en una Entidad bancaria que reconoce el 2.5 % de interés simple mensual. El primero de Noviembre efectuó otro depósito por valor de $200.000. En que fecha puedo retirar $950.000?.

Datos:Consignación efectuada:1o. de abril $500.0001o. de Noviembre $200.000Tasa interés pagada por el banco forma mensual es 2.5%

Representación gráfica:

En el gráfico nos indica que conocemos el valor futuro, VF= $950.000, pero desconocemos el tiempo en la cual sucede, por lo tanto no conocemos la fecha, o se el valor de N. Con este fin simplificamos un poco el problema, en el sentido de hallar los valores acumulados a noviembre 1o., que vendría hacer un valor futuro.

Fórmula: VF = VP(1+ ip * N) + 200.000 = 500.000(1+ 7 * 0,025) + 200.000 = $787.500

O sea que los $500.000 consignados el 1o. de abril y los $200.000 consignados el 1o. de noviembre, nos da un valor futuro de $787.500, por cuanto son pesos de la misma fecha.

Ahora nuestro problema se centra, en que conocemos,VP = $787.500im = 2.5 %VF = $950.000

Gráficamente es;

Fórmula: VF = VP ( 1 + Nip)

Despejamos N, tenemos,

N =8,2539 donde 8 son meses y los decimales se convierten a días, así; 0,2539*30 = 7 días.

Rta: A partir del 1o. de diciembre se le agrega 8 meses y 7 días, lo que nos da, julio 8 del año siguiente.

5. Un vendedor de nuestro mercado en Pamplona, al momento de adquirir un lote de maíz, encuentra que existen 3 alternativas:a. Comprarlo de contado por valor de $1.000.000b. Un pago inicial de $400.000 y otro dentro de 6 meses de $800.000.c. Un pago único al cabo de 5 meses por $1.100.000.

Pero al decidir, se recuerda que el gerente de su banco, le dice que si lo deposita en la cuenta de ahorros le va a rentar un interés simple del 3 %, mensual, con disposición inmediata.

1. ¿Fue buena o mala decisión?.2. ¿Cuánto gano? ¿Cuánto perdió?.

Para resolver, el problema, procedamos por pasos, así:

Para escoger si fue buena o mala la decisión, calculamos la tasa de interés que nos cobran al escoger la alternativa c) y la comparamos con la que ganamos al dejar la plata en el banco. Y efectuamos el siguiente análisis; si nos cobran una tasa de interés mayor que la ganada por el vendedor (pagada por el banco), esto quiere decir que perdimos dinero y por ende no fue buena la decisión, si por el contrario, nos reconocen una tasa de interés mayor que la pagada por nosotros, tenemos que entre estas dos, fue buena la decisión, el mismo análisis lo haríamos con las otras alternativas.

Cálculo de la tasa de interés que nos cobran al elegir la alternativa c).

Datos: Por los datos del problema, conocemos que el valor de contado del lote de maíz, en el día de hoy, es de $1.000.000 y este valor es equivalente dentro de 5 meses a $1.100.000.

O sea:VP = $1.000.000N = 5 mesesVF = $1.100.000ip = ?

Gráficamente, tenemos,

Fórmula: VF = VP(1+ ip * N)

despejando ip,

Esto nos indica que al elegir la alternativa c) nos cobran una tasa del 2 % mensual, que al compararla con la ganada por el vendedor en el banco que es de 3 %, nos indica que la decisión es buena.

Calculemos la alternativa b) y veamos cuanto nos cobra.

Datos: En esta alternativa tenemos, que nos cobran una valor hoy de $400.000 y un segundo pago adicional dentro de 6 meses por $800.000.

Al analizar esta alternativa, vemos que lo que realmente nos da a crédito es la diferencia entre el pago de contado y la cuota inicial, o sea; (1.000.000 - 400.000 = 600.000). Estos $600.000 que viene a ser el valor presente es equivalente a $800.000 dentro de 6 meses, y a una tasa de interés mensual que es la incógnita a averiguar.

VP = $600.000VF = $800.000N = 6 mesesip = ?

gráficamente es;

Fórmula: VF = VP(1+ ip * N)

Esto significa que la tasa que estamos pagando por cancelar bajo esta modalidad es del 5.55 % la cual es mayor a la que estamos ganando en el banco del 3 %. Por lo cual si la aplicamos, la decisión es bastante mala.

6. Un artículo vale $50.800 al contado. Un comprador conviene pagar $25.000 al contado y el resto a 90 días, con un recargo del 6 % sobre el precio de contado. Qué tasa de interés simple anual paga ?.

El interés que se devenga en esta transacción, es lo mismo que se considera como el recargo por la venta a plazos, lo cual lo calculamos, así;

Recargo por ventas = 50.800 * 0.06 = $3.048

De acuerdo, a lo anterior, tenemos,I = $3.048VP =$50.800 - 25.000 = 25.800N = 90 díasip = ?Formula; I = VP * N * ip

Donde, 7. El 15 de febrero se firmó una letra de $780.000 con el 30 % de interés. En qué fecha los intereses serán de $92.000 ?.

Datos: Conocemos,VP = $780.000I = $92.000i = 30 % anualFecha inicial: febrero 15N = ?fecha final = ?

Formula: I = VP * N * ip

donde,

Convertidos a días, tenemos: 0.39316 * 360 = 141 días

La fecha final será, utilizando la tabla No. 2, que aparece en el documento Tablas financieras, tenemos que,

Tiempo transcurridos desde 1o. de enero a 15 de febrero, corresponde a 46 días más los 141 días en que se devenga intereses, nos da 187 días que ubicados en la tabla respectiva, corresponde a la fecha del 6 de julio.

8. Siendo la tasa de interés bancario del 28 %. ¿Qué oferta es más conveniente por la venta de un carro ?.a. $6.500.000 de contado.b. $3.000.000 al contado y el saldo en dos pagarés; el primero de $2.500.000 a 90 días y el segundo de $1.700.000 a 150 días.

Datos: La alternativa a), nos sirve de referencia, para poder efectuar las comparaciones, sobre la base de los $6.500.000

Calculamos el valor presente total de la alternativa b), reduciendo los dos pagarés al día de hoy, para ello conocemos cuota inicial = $3.000.0001o. cuota a 90 días por $2.500.0002o. cuota a 150 días por $1.700.000tasa de interés que rige el 28 %.

Gráficamente, es:

Como el punto de es escoger el cliente que más de, tenemos que si lo vendemos al contado recibimos $6.500.000 pero si lo vendemos a crédito y sus valores a precio de hoy, nos da $6.858.836.50, mejor laalternativa b) porque nos dan un valor mayor.

9. Una persona presta $300.000 el 5 de Enero de un año por el término de 120 días al 24 %; al cumplirse el plazo de la deuda recibe el dinero y sus intereses; el 5 de mayo presta la suma total recibida al 2.5 % mensual por el término de 90 días; cumplido el plazo recibe el préstamo y sus intereses. Hallar: a) el monto de los intereses recibidos durante todo el tiempo de la transacción, b) la fecha de pago del último préstamo, c) el monto a recibir en la fecha final de la transacción, y d)la tasa de interés que efectivamente gano, desde la fecha inicial y final de la transacción.

El ejercicio comprende dos etapas, la primera que comprende del 5 de enero hasta 120 días después,VP =$300.000Fecha inicial: 5 de eneroN = 120 díasi = 24 % anualVF = ?.

La segunda parte, comprende del 5 de mayo hasta 90 días después.VP = Valor que se halla en la primera parte como VF=?N = 90 díasi = 2.5 % mensualVF = ?.

Gráficamente, tenemos,

Cálculo de la primera parte, hallar el Valor futuro, o sea lo que se recibe el 5 de mayo, tenemos

VF = VP(1+ ip * N) = $300.000(1+ 0,24 *120 / 360) = $324.000

Cálculo de la segunda parte, se presta la suma anterior el misma día pero a 90 días con la tasa de interés del 2.5 % mensual, hallar el valor futuro.

Como la tasa de interés es mensual, la pasamos a anual,ia = 0.025 * 12 = 0.30

VF = 324.000(1+ 0,30 * 90 /360) = $348.300

Respuestas:a. El monto recibido en las transacciones, es I = VF -VP = 348.300 - 300.000 = $48.300

b. La fecha del último pago es; Fecha final = fecha inicial + tiempoFecha final = tiempo expresado en la tabla de fecha inicial(125) más los 90 últimos días es igual 215 días, que corresponde en la tabla al 3 de agosto.

c. c) El monto o valor futuro a recibir es de $348.300

d. d) La tasa que efectivamente se gano, se calcula así,

10. El Sr. Rodríguez vende su vehículo Mazda y recibe $6.000.000 en efectivo; $4.500.000 en una letra con vencimiento a 120 días y tasa de interés mensual del 3 %, pagadera al final del plazo. ¿ Cómo requiere del efectivo, decide proponerle a un amigo la transferencia de la letra, quien afirma que, él en cualquiera de sus negocios gana el 4 %. ¿Cuánto está en capacidad de ofrecerle el amigo?.

Este ejemplo, comprende dos partes.

PRIMERA: hallar el VF de la letra o sea en su vencimiento.

Convertimos la tasa de interés mensual a anual: ia = 0.03 * 12 = 0.36VF = 4.500.000(1+ 0,36 *120 / 360) = $5.040.000

SEGUNDA PARTE: hallar el valor presente, lo que ofrece el amigo conociendo que la tasa de interés que desea ganar es el 4 % mensual y el valor de la letra al vencimiento es $5.040.000.

Fórmula:

Conocemos que la tasa de interés es mensual, la pasamos a anual.ia = 0.04 * 12 = 0.48

El amigo, le ofrece por la letra al comprarla en el día de hoy, la suma de $4.344.827.50, lo que indica que esta perdiendo la diferencia entre $4.500.000 - $4.344.827.50 = $155.172.50.

PROBLEMAS PROPUESTOS III

1. Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de los siguientes pagarés. (Utilice las tablas para las fechas).

Valor Nominal Fecha inicial Plazo Tasaa. $45.000 22 de abril 5 meses 24 %b. $120.000 14 de Agosto 3 meses 28 %c. $97.000 3 de Enero 120 días 30 %d. $145.000 24 de julio 175 días 26 %

2. Calcular el interés Simple comercial de:a. $70.000 durante 6 meses 18 %.b. $66.000 durante 75 días al 24 %.c. $35.000 durante 120 días al 30 %.d. $80.000 al 21 % en el tiempo transcurrido entre el 5 de Febrero a 27 de Septiembre del mismo año.e. $50.000 durante 2 años al 0.1 % mensualf. $68.000 durante 3 años y 4 meses al 0.5 % mensual.g. $35.000 durante 4 años y 2 meses al 12 % semestral.h. j) $40.000 durante 7 meses y 15 días al 2,5 $ mensual.

3. Calcular el interés simple exacto de:a. $56.000 durante 205 días al 30 %.b. $67.000 de el 12 de abril al 20 de octubre al 28 %.c. $100.000 durante 4 meses al 21 %.d. $240.000 de el 20 de Julio a 28 de octubre al 2 % mensual.

4. Jaime Silva pagó $560.000 por una letra de $430.000 firmado al 5 de Enero de 1.994 con el 3 % de interés. ¿ En que fecha lo pagó?.

5. El propietario de un inmueble recibe el 15 de julio de 1.994 las tres ofertas que se describen. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es de 26 %a. $300.000 al contado y un pagaré al 20 de Noviembre por $600.000b. $500.000 a 120 días y $450.000 a 180 días c. $200.000 al contado y una letra con intereses del 24 % por $770.000 a 90 días.

6. El Sr. Páez recibió una letra por valor de $500.000 que gana intereses del 21 %, el día 1o. de enero a 180 días. El 15 de abril del mismo año lo ofrece al Sr. Wilsón que desea ganar el 24 %. ¿Cuánto recibe por el pagaré el Sr. Páez.?.

7. Una persona solicita a un Banco un crédito a interés simple, el cual fue concedido por valor de $300.000 a 3 meses, con el 28 % de interés. Si el crédito tiene una cláusula penal que, en caso de mora, se cobrará el 36 % por el tiempo que exceda el plazp fijado. ¿Qué cantidad paga la persona 80 días después del vencimiento?. y ¿Cuál es el interés real que pago la persona por el crédito.?.

8. El Sr. García tiene dos pagarés por cobrar, el primero dentro de 3 meses por valor de $70.000 y el segundo por $200.000 dentro de 6 meses. A su vez, tiene un crédito que debe cancelar con 3 cuotas de $65.000 cada una dentro de 1,3,5 meses respectivamente. Hallar el valor del saldo (positivo o negativo) dentro de 6 meses, si la tasa de interés simple es del 2.5 % mensual.

9. El primero de agosto consigno $300.000 en una Entidad Bancaria que reconoce el 3 % mensual simple. El primero de Diciembre hago otro depósito por valor de $500.000. ¿En qué fecha puedo retirar $1.250.000 ?.

10. ¿Cuánto tiempo debo esperar para que se dupliquen una inversión en una Corporación financiera que paga el 3 % mensual simple?.

11. El 1o. de enero dispongo de $350.000, el 1o. de junio de $450.000 y el 1o. de Agosto de $150.000. Si cada uno de estos dinero los consigno, en sus fechas, en un Banco que me paga el 2.7 % mensual simple. ¿Cuánto dinero puedo retirar el 30 de junio del año siguiente.

12. Deseo disponer, al finalizar al año de $800.000. ¿Cuánto debo depositar el 1o. de Enero en una Entidad Bancaria que reconoce el 2.8 % mensual ?.

13. Hace un año disponía en mi cuenta de ahorros la suma de $780.000 y se me presentaba las siguientes opciones.a. Continuar con mi cuenta de ahorros que me pagan el 30 % anual.b. Comprar un saldo de mercancías por este valor, que a precios de hoy valen $1.100.000.

Después de analizarlo, me decidí por la primera opción.Fue buena o mala mi decisión?.Cuánto gané o perdí con respecto a la segunda alternativa?.

14. La empresa donde trabajo tiene las siguientes deudas por pagar; $2.000.000 que se vencen hoy, $3.000.000 con fecha de vencimiento dentro de 4 meses, $6.000.000 que se vencen dentro de 9 meses. Y teniendo en cuenta la disponibilidad del flujo de caja, deseo hacer un pago hoy de $7.000.000 y otro dentro de 9 10 meses. ¿Cuánto debo pagar en esa fecha, si los intereses de negociación pactado son del 2.8 %?.

15. El Gerente del Almacén La Garantía hace un estudio de sus cuentas por cobrar y cuentas por pagar y encuentra lo siguiente:

Cuentas por Pagar: Factura #125: Del 1o. de Marzo por valor de $3.000.000 a una tasa de interés simple del 24 % anual y para cancelarla dentro 6 meses más tarde.

Factura #126: Del 1o. de Julio por valor de $2.800.000, a una tasa mensual del 2.5 % y para cancelarla a 4 meses más tarde.

Cuentas por Cobrar: Pagaré #89: Valor de $3.500.000 firmado el 1o. de febrero, para cancelarla el 1o. de Septiembre con interés del 3 % mensual simple.

Pagaré #90: Valor de $2.800.000 firmada el 1o. de Enero, para cancelarla el 20 de Diciembre, con intereses del 2.8 % mensual simple.

Si se toma como fecha focal el 31 de julio y un interés del 4 % mensual simple. ¿Cuánto será el superávit o déficit en esta fecha, después de cobrar y pagar las cuentas ?.

16. Los Títulos de Ahorro cafetero, TAC, fueron entregados a los caficultores como parte de pago de su cosecha. Estos papeles se redimían a los 2 años, con un interés anual de 24 %, liquidable mensualmente. ¿Qué interés mensual y que interés total recibieron, $120.000 representados en estos Títulos.?.

17. En siete trimestres, el Sr. Martínez recibe $200.000 de interés, producidos por una inversión de $600.000 en Bonos de seguridad ciudadana. ¿Qué tasa de interés trimestral y anual están produciendo esos bonos.?.

18. $400.000, en Bonos Pamplona, han producido $1.000.000 a Javier González, en un período de 5 años. ¿Cuál es la tasa de interés anual y bimensual que reconocen estos bonos ?.

19. En un préstamo extrabancario, José Luis acepta pagar un 5 % mensual. Si la suma recibida es de $700.000 y al finalizar el período ha pagado, por interés, la suma $380.000. ¿Cuál ha sido el número de meses durante los cuales José Luis ha utilizado el crédito?. ¿Qué tasa de interés anual le han cobrado?.

20. María José entrega sus ahorros $600.000 en depósito a término, a la Corporación del Norte, que le reconoce el 36 % anual y le liquida el interés bimensual. Si María José guarda el interés en su casa. Cuál será la suma que tendría al cabo de un año, y cuál es el interés recibido por los dos primeros bimensual?.

21. Se invierte las cesantías que ascienden a $560.000 en Bonos que reconoce el 28 % anual; el interés se paga mensualmente. Si este se coloca con la misma periodicidad en una caja fuerte. ¿Cuántos meses se requerirán para completar un total de $1.400.000?.

22. Un Banco concede un préstamo personal por valor de $700.000 y cobra una tasa de interés del 25 %. Si el crédito se otorga por 120 días y el interés es cobrado por anticipado. ¿Cuánto debe pagar el cliente por concepto de interés?.

23. Cecilia Buenpie obtuvo un préstamo que le costaba el 28 % anual. Si ella recibió $1.000.000 de préstamo y ha pagado otro tanto de interés. ¿Cuánto tiempo ha conservado el préstamo ?.

24. Al cabo de 2 años, Juan Fernando recibe $660.000 de la Corporación Financiera del Norte por concepto de interés, de un depósito a término que se encuentra al 30 % anual. ¿A cuánto ascendió el depósito y Cuál es el total recibido?.

A partir de su propia experiencia, conocimiento e intuición, genere un listado de posibles interrogantes que se pueda plantear el estudiante a partir de la lectura y respóndalas como lo haría en la clase presencial.

¿Cuándo se efectúa una operación con interés simple?Se efectúa una operación con interés simple cuando durante todo el tiempo que dura la transacción sólo el capital genera intereses, independiente de si estos se retiran (se cancelan) o no.

¿Qué es el valor presente?Valor Presente (principal o presente): es el valor de un bien o de una obligación medida en pesos de hoy, o sea en el momento en que iniciamos la operación. Lo denominamos VP.

¿Qué es ecuaciones de valor?Con el nombre de ecuaciones de valor, conoceremos aquella transacción en la cual en una fecha dada, se va a cambiar un conjunto de valores por otro conjunto, haciéndolo a interés simple.

¿Cómo se calcula el interés simple exacto?Interés simple exacto. Se calcula sobre la base del año de 365 días (366 años bisiesto)

Ejemplo retomado de la webEn esta ocasion vamos a visitar la página de matemáticas financieran.com de José Tovar Juménez, donde encontrará un artículo que le ayudará a ampliar las temáticas de la unidad. http://www.matematicas-financieras.com/Prologo- P1.htm

URL´saulafacil.com http://www.aulafacil.com/

Pasos de la navegación:Una vez en la pagina principal de aulafacil, seguir las siguientes recomendaciones:En la parte central de la pantalla encontrará la opción “Selecciona tu curso”, debe hacer clic sobre ella.

Una vez desplegada la lista de opciones debe seleccionar “Curso de Matemáticas Financieras”.

Luego haga clic en el botón “Entrar”. En la parte inferior de la pantalla haga clic en el icono “Temario” Encontrará una lista de lecciones, debe visitar las siguientes: Lección 1 Valor temporal del dinero Lección 2 Capitalización simple (I) Lección 3 Capitalización simple: Ejercicios Lección 4 Capitalización compuesta Lección 5 Capitalización compuesta vs capitalización simple Lección 6 Capitalización compuesta: Ejercicios En cada una de las tres primeras lecciones debe revisar los conceptos y los ejemplos. Las siguientes tres lecciones le servirán como soporte para la siguiente unidad de nuestro

curso.

Resultados esperados:Una vez consultadas las lecciones del curso de Matemáticas Financieras de Aulafacil.com, se reafirmarán los conceptos tratados en el curso y los ejemplos facilitarán la realización de los ejercicios propuestos y la visión de la aplicación práctica de los conceptos.

Unidad Temática II: Interés Compuesto

Una persona o empresa con excedente de efectivo en general, normalmente no lo mantiene improductivo sino que trata de invertirlo en alguna actividad agrícola, comercial o industrial, lo coloca en una cuenta de ahorros o en un título valor, o finalmente los entrega en préstamo a una tercera persona. Por este tipo de inversiones el interesado usualmente trata de obtener una retribución económica, exigiendo que le devuelvan el monto inicial, incrementado en una suma porcentual por cada mes o periodo transcurrido el mismo, que compense la desvalorización de la moneda, cubra el riesgo corrido y le pague el valor del alquiler del dinero, dado que las personas prefieren utilizarlo en el presente y no en el futuro. Esta retribución económica se denomina interés y es consecuencia de la capacidad que tiene el dinero de producir más dinero. El interés, como todo precio, depende del mercado y de las condiciones de cada transacción principalmente del plazo y del riesgo.

El interés pagado y recibido se puede considerar como simple o compuesto, dependiendo del tratamiento que se le dé. En el mundo de los negocios la mayoría de las transacciones se realizan con base en el interés compuesto que es el tema central de esta unidad.

Para las empresas, las decisiones tomadas en las negociaciones y relacionadas con el manejo adecuado en el tema de los intereses a recibir o a pagar, marcan el rumbo financiero y estratégico de la organización. Por lo tanto, cualquier profesional de áreas administrativas debe ser un experto en el cálculo y análisis de alternativas de inversión, lo cual tiene su fundamento en el interés compuesto.

Al terminar esta lección, el estudiante debe ser capaz de: Comprender y utilizar, para efectos financieros y comerciales prácticos, el concepto de interés

compuesto. Calcular valores futuros utilizando el interés compuesto.

Diferenciar entre interés simple e interés compuesto, y tener la capacidad suficiente de calcular los valores presentes y las tasas de interés compuesto

ProblemaEn los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo y, así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

Fundamentación

INTERÉS COMPUESTO

1.1 Fórmulas del Interés CompuestoConsideremos el caso, en el cual las Corporaciones financieras por los depósitos a término, pagan intereses trimestralmente, es decir, lo hacen cuatro veces al año y reconocen una tasa nominal del 30%. Si se depositan $1.000 a interés compuesto, ¿Cuál será su valor al final del año?

Convirtamos la tasa de interés anual i, a una tasa trimestral, it,

It = i / m, donde, m, número de capitalización por año

Para generalizar, ip, representará la tasa de interés del periodo o tasa periódica, y para este caso,

ip = it

it = 0,32 / 0,08 = 8,00%

A continuación la tabla y la línea de tiempo muestran la solución cuando se capitalizan los intereses en cada trimestre:

Esta línea de tiempo representa la adición del interés al capital, en cada período, que se denomina: CAPITALIZACIÓN.

La línea de tiempo-valor para este ejemplo, es la siguiente:

1.2 Fórmula del monto a interés Compuesto o Valor FuturoLas cifras anteriores representémoslas por sus respectivos símbolos, el capital inicial VP puesto a interés ip por periodo de capitalización. Vamos a calcular el Valor futuro para N periodos de capitalización.

PERIODO

Las líneas de tiempo y valor de estas expresiones son las siguientes:

En donde, la fórmula general para hallar el valor futuro VF, a interés compuesto, es:VF = VP (1+ip)N ó VF = VP (1+(i/m))nm

Los valores del factor de acumulación o capitalización (1+ip)N pueden calcularse, utilizando máquinas de calcular, logaritmos o por el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica, se utilizan tablas financieras en las que están calculadas hasta para diez decimales.

1.3 Cálculo del Valor FuturoEjemplo: ¿Cuál será el valor futuro de $5.000, en 3 años, a una tasa de interés anual del 34%, si el interés se capitaliza una vez por año?. Representación gráfica,

Fórmula:VF = VP (1+ip)N

Donde:VP = $ 5.000ip= 34 %N = n * m

n = 3 añosm = 1 capitalización por añoN = 3 * 1 = 3

Se reemplaza,VF = 5.000 (1+0,34)3 = $12.030,50

1.4 Comparación entre Interés Simple e Interés CompuestoEjemplo: Calcular bajo la modalidad de interés simple y de interés compuesto, el valor futuro de $3.000.000, que fue depositado en una Entidad financiera, durante 5 años, a una tasa del 27 % anual capitalizable mensualmente.

Modalidad de interés simple:Fórmula:

VF = VP (1+ip.N)Donde:VP = $ 3.000.000N = 5 añosip = ii = 0,27

Reemplazando,VF = 3.000.000 (1 + 0,27*5) = $7.050.000

Modalidad de interés compuesto.Fórmula:

VF = VP (1+ip)N

Donde,VP = $3.000.000N = n * mn = 5 añosm = 12 capitalizaciones por añoN = 5 * 12 = 60ip = i/m; ip = im; im = 0,27/12, im = 2,25%

Se reemplaza, tenemos,VF = $300.000(1+0,0225)60 = $3.800.134,79

1.5 Valor futuro de la unidad monetariaEjemplo: Si se deposita $1.000, en un Banco que reconoce el 30 % anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el valor de la unidad monetaria al cabo de un año?

Línea de tiempo y valorFórmula:

VF = VP (1+ip)N

Donde,VP = 1.000ip = im; im = 0.30/12 = 0,025n = 1 añom = 12 capitalizaciones por año.N = 1 * 12 = 12

Se reemplaza, entonces tenemos:VF = 1.000 (1+0,025)12 = $1344,88

1.6 Cálculo del Valor Futuro para n periodos mayor que 100

En algunos problemas financieros, suele ocurrir que el número de períodos de la transacción resulta mayor que 100, que es lo máximo que algunas tablas financieras trae. Si utilizamos en estos casos las propiedades de los productos de potencias, el exponente del factor de acumulación o capitalización se descompone en sumandos, empleando tantos de valor 100 como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por productos de factores cuyos valores figuran en la tabla financiera.

(1 + i)x+y = (1 + i)x(1 + i)y

Ejemplo 5.6: Calcular el valor futuro al cabo de 50 años de una deuda de $100.000, al 12 % de interés, con capitalización bimensual.

Datos:VP = $100.000n = 50 añosm = 6 capitalizaciones por añoN = 50 * 6 = 300 periodosip = ib; ib = 0,12/6 = 2 %

Reemplazando,VF = 100.000 (1+0,02) 300

Aplicamos las propiedades de los productos de potencias, y sus respectivos valores lo encontramos en las tablas, tenemos,

VF =100.000(1+0,02)100 (1+0,02) 100 (1+0,02) 100

VF =100.000(7,24464612)(7,24464612)(7,24464612)VF = $38.023.450

1.7 Cálculos de Valor Futuro con periodos de capitalización fraccionarios.En las transacciones financieras a interés compuesto, fijan el período de capitalización suponiendo que serán períodos enteros. Cuando en estas condiciones se presente fracciones de períodos, la costumbre comercial es calcular el valor futuro para los períodos enteros de capitalización y utilizar la modalidad del interés simple, para las fracciones de períodos. Este planteamiento da como resultado que el interés simple en las fracciones de período es mayor que el compuesto a la misma tasa, debido a que significacapitalizar los intereses en un período menor que el convenido y, como consecuencia la tasa efectiva resulta mayor.

Ejemplo: Un préstamo de $50.000 convenida al 24 % con capitalización anual es pagada a los 3 años y 4 meses, ¿Calcular el valor futuro a cancelar?.

De acuerdo al planteamiento anterior, relacionado con la costumbre comercial, nos indica cobrar los intereses compuestos para los 2 períodos completos y simples para los 4 meses.

Datos:VP = $50.000n = 3 años períodos completosm = 1 capitalización por añoN = 3 * 1 = 3 períodos completosFracción de período = 4 meses, 4/12 = 1/3ip = ia; ia = 24%

Parte a interés compuestoVF = 50.000 (1 + 0,24)3

VF = 50.000(1,906624)VF = $95.331,20

Parte a interés simple:

VF = $95.331,20 (1 + 0,24 * 1/3)VF = $102.957,69

Valor presente o valor actual a interés compuesto

2.1 Cálculo del Valor Presente o Valor Actual a Interés CompuestoEn el mundo financiero y de negocios es fundamental la determinación del valor de aquellos bienes o transacciones expresadas en dinero, que por alguna condición, se recibirán en fecha futura. ¿En cuánto puede venderse hoy un inmueble que está entregado en concesión por 6 años? ¿Qué vale hoy un CDT que nos será entregado dentro de 5 años? ¿Cuánto debo consignar hoy por una maquinaria que debo cambiar dentro de 5 años?

Valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se recibirá en fecha futura, es aquel capital que a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se recibirá en la fecha convenida.

Utilizando la fórmula empleada para calcular el valor futuro, podemos deducir, la fórmula para el valor actual o presente.

VP=VF(1+ip)-N

Obtenemos: VP=VF/(1+ip)-N

Para su utilización, está fórmula se modifica en, VP=VF(1+ip) -N Donde el factor (1+ip)-N es el valor actual o presente bajo la modalidad de interés compuesto de una unidad monetaria por recibir dentro de N períodos. También se denomina como factor de actualización a interés compuesto.

Como lo expresamos para la modalidad de interés compuesto, se puede hallar empleando una máquina de calcular, logaritmos o empleando las tablas financieras.

2.2 Valor Presente o Actual de la Unidad Monetaria.Ejemplo: ¿Cuánto se debe depositar hoy en una unidad financiera que reconoce el 36% anual capitalizable mensualmente, si al cabo de un año se quiere tener $1?

Línea de tiempo y valor

Donde,VF = $1,00n = 1 añom = 12 capitalizaciones por añoN = 1 * 12 = 12ip = 0,36/12 = 0,03

Fórmula: VP=VF(1+ip)-N

VP=$1,00(1+0,03)-12 = $0,91514166

Este factor se denomina factor de actualización o de valor presente y como se expresó anteriormente se puede hallar con la calculadora o en las tablas financieras.

Cálculo del número de periodos

En forma análoga el cálculo de la tasa de interés, el número de período o tiempo, se puede hallar, usando la tabla financiera o aplicando logaritmos.

Ejemplo: ¿En qué tiempo un depósito de $1.000 se convertirá en $1.500 al 6 % con capitalización semestral?

Líneas de tiempo-valor;

Utilizando las tablas financierasDonde,VP =$1.000VF =$1.500n = ?m = 2 capitalizaciones por añoN = n * 2ip = 0,06/2; is = 0,03 semestral

Fórmula: VF=VP(1+ip)N

(1+ip)N = $1.500/$1.000

Se busca en las tablas, en la columna del 3 %, y no lo encontramos en forma precisa, sino dentro de un intervalo que nos indica por excesos y defecto, más próximo a 1,5. Este valor entre 1,46853371 que corresponde a 13 períodos y 1,51258972 que corresponde a 14 períodos. Interpolando como el caso anterior de la tasa de interés, tenemos,

a 14 corresponde 1,51258972 a 13 + x corresponde 1,500000000a 13 corresponde 1,46853371 a 13 corresponde 1,468533711 es a 0,04405601 como x es a 0,03146629(1/0,04405601)=(X/0,03146629)X = 1*(0,03146629) / 0,04405601 = 0,7142337

Donde,N = 2*n

Reemplazando tenemos,2n = 13 + 0,71423372n = 13,7142337n = 6,8571 años

Luego el tiempo en algunos problemas se puede dar en forma aproximada.

Tasas de interés nominal y efectiva

Tasas Nominal:Es la tasa que se declara en las operaciones financieras y que es aparente por cuanto no refleja toda la realidad. Se denomina i. Cuando no se mencione el periodo de la tasa, se supone que se refiere al año.

Tasas efectivas:Es la tasa que se utiliza para determinar el interés periódico que efectivamente debe sumarse al capital en el momento de la liquidación. A diferencia de la anterior, la tasa efectiva puede darse en forma: diaria, semanal, mensual, trimestral, semestral y anualmente, etc., y muestra en fin, lo que efectivamente se gana. Cuando la capitalización se presenta una sola vez en el año, la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal.

Operaciones en Moneda Corriente.Fórmula para convertir una tasa nominal en una tasa efectiva.

Ejemplo: Se hace un depósito de $1.000 en una cuenta de ahorros que capitaliza el interés sobre saldos mínimos trimestrales y reconoce una tasa nominal de interés del 18%. Simultáneamente se entregan en préstamo $1.000, a la misma tasa nominal, pero con una sola capitalización en el año.a. ¿Cuánto dinero habrá acumulado a fin de año, en cada caso?b. ¿Cuál es el interés y la tasa que efectivamente se reconoce en cada operación?c. ¿Cuál es la fórmula para convertir tasas nominales en tasas efectivas equivalentes?

Solución:a. ¿Cuánto dinero acumulado habrá, a fin de año, en cada caso?1. Cuando se capitalizan sobre saldos mínimos trimestrales, tenemos 4 capitalizaciones:Gráficamente:

Fórmula: VF=VP(1+ip)N

Donde,VP = $$1.000i = 0,18m = 4; n = 1; m = 4; N = 1 x 4 = 4ip = 0,18/4 = 4,5%;

Se reemplaza, VF = 1.000 (1 + 0,045)4 = 1.227,10

Que es el dinero acumulado a fin de año y lo que efectivamente recibe el ahorrador.

2. Cuando solo existe una sola capitalización.

Fórmula: VF=VP(1+ip)N

Donde,P = $1.000i = 18%m = 1ip=0,18/1N = nxm; n = 1; m = 1-; N = 1 x 1 = 1;

Se reemplaza; VF = 1.000 ( 1+0,18)1 = 1.180

Que es el dinero acumulado a fin de año y que efectivamente recibe el ahorrador.

Al observar los resultados anteriores, no obstante utilizar la misma tasa de interés, los valores acumulados son distintos, debido a que los periodos de capitalizaciones son diferentes.

b. ¿Cuál es el interés y la tasa que efectivamente se reconoce en cada caso?

Fórmula: I = VF – VP

Primero: Con cuatro capitalizaciones;

Donde:VF = 1.117,10VP = 1.000

Se reemplaza,I = 1.227,10 – 1.000 = 227,10

Es decir, por $1.000, se recibe efectivamente $227,10 o sea el 22,71%. A esta tasa, que corresponde el interés efectivo, se denomina tasa efectiva anual equivalente.

Segundo, con una sola capitalización:VF = 1.180VP = 1.000

Se reemplaza,I = 1.180 – 1.000 = 180

O sea, que $1.000, se recibe efectivamente $180 en el año. Es decir, el 18% efectivo anual equivalente. Es importante anotar que, siempre, como en este caso, con una sola capitalización al año, la tasa nominal coincidirá con la tasa efectiva.

c. ¿Cuál es la fórmula para convertir tasas nominales en tasas efectivas equivalentes?

En el primer caso, tenemos la siguiente ecuación: F=P(1+ip)N

Que dio como resultado F = 1.227,10 y que al reemplazarlo por sus valores, resulta:

1.227,10 = 1.000 ( 1+0,045)4

Se dividen ambos miembros por $1.000

1,22710 = ( 1+0,045)4

Y si se descompone, el primer miembro, en 1 + 0,22710.

1 + 0,2271 = ( 1+0,045)4 ó 0,2271 = ( 1+0,045)4 – 1

Como, 0,2271, es la tasa efectiva anual equivalente, que se seguirá denominando ip = 4,5% y N = 4, luego;

ia=(1+ip)N -1

Que es la fórmula para convertir tasas nominales en tasas efectivas anuales equivalentes, donde:Ip = i/mi = tasa nominalm = número de capitalizaciones por año

n = 1 añoN = nmComo; n = 1 luego N = m

La fórmula queda: ia=(1+ip)m -1 Conversión de Tasas de Interés. De la fórmula anterior podemos concluir que pueden presentarse tres tipos de conversiones:

Tasas nominales en tasas efectivas anuales Tasas efectivas anuales en tasas nominales Tasas efectivas equivalente entre sí para distintos períodos.

5.1 Convertir una tasa Nominal en una tasa Efectiva Anual Equivalente.Con capitalizaciones vencidas.

Ejemplo: Determinar la fórmula, la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 30% capitalizable; a) semestralmente, b) trimestralmente y c) mensualmente.

a. Capitalización semestral

Fórmula: ia=(1+ip)m -1

Donde,m = 2 semestres por añosis = 0,30/2 = 0,15 G 15%

Se reemplaza,is = (1+0,15)2 – 1 = 32,25%

b. Capitalización trimestral

Fórmula: ia=(1+ip)m -1

Donde,m = 4 trimestres por añosis =0,30/4 = 0,075 G 7,5%

Se reemplaza,is = (1+0,075)4 – 1 = 33,35%

c. Capitalización mensual

Fórmula: ia=(1+ip)m -1

Donde,m = 12 meses por añosis =0,30/12 = 0,025 G 2,5%

Se reemplaza,is = (1+0,025)12 – 1 = 34,49%

Es importante destacar que la tasa efectiva se hace mayor a medida que aumenta el número de capitalizaciones.Capitalizaciones Vencidas. En muchas oportunidades en las operaciones financieras, se observa que el interés se liquida anticipadamente y las capitalizaciones se hacen de la misma forma. Esta

circunstancias, implican una tasa efectiva mayor puesto que el proceso de capitalización se inicia inmediatamente.

Fórmula para obtener la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal cuando las capitalizaciones son anticipadas. Para ello, tenemos los siguientes símbolos.

Ip’ = ip / (1-ip)

Donde ip´= Es la tasa efectiva periódica anticipada, que reemplazada en:ia=(1+ip)m -1ia=(1+ (ip / 1-ip))m -1ia = ((1- ip + ip) / 1-ip) -1ia=(1/ (1-ip))m -1ia=(1 - ip)-m -1

El procedimiento para la solución de los problemas se reduce a hallar la tasa efectiva periódica, ip, se divide la tasa nominal por el número de capitalizaciones y se reemplaza en la fórmula.

5.2 Convertir una Tasa Efectiva Anual en una Tasa Nominal Equivalente.Para obtener la tasa nominal a partir de la tasa efectiva anual se despeja, i, de cada una de las fórmulas obtenidas atrás, así:

Capitalización vencidaFórmula: ia=(1 - ip)-m -1

Se despeja ip,(1+ia)=(1+ip)m

(1+ia)1/m=1+ip(1+ia)1/m -1 = ipIp = (1+ia)1/m -1; pero como ip=i/m, tenemos:i/m=(1+ia) 1/m -1i = m[(1+ia) 1/m -1]

Que es la fórmula para hallar la tasa nominal equivalente, i, conocida la tasa efectiva, ip, cuando las capitalizaciones son vencidas.

Ejemplo: Una compañía de financiamiento comercial asegura a los inversionistas una tasa efectiva anual del 38,48%, mediante la capitalización trimestral del interés. ¿Qué tasa nominal está ofreciendo?

Fórmula:i = m[(1+ia) 1/m -1]

Donde,m = 4;ia = 38,48%

Se reemplaza,i = 4[(1+0,3848) 1/4 -1] = 33,92%

Capitalizaciones Anticipadas.

Fórmula: ia=(1 - ip)-m -1

Se despeja, ip.

(1+ia)=(1+ip)-m

(1+ia)-(1/m) =(1-ip)

Se cambia de signo y se despeja ip,ip=1- (1 - ia) -(1/m)

Como:ip=i/mi/m = 1-(1+ia) -1/m

i = m[1-(1+ia) –(1/m)]

Que es la fórmula para hallar la tasa nominal equivalente a una tasa efectiva anual, cuando las capitalizaciones son anticipadas.

Conversión de una tasa efectiva periódica en una tasa efectiva anual equivalente.

Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente a la tasa efectiva mensual del 3%?

Número de meses en el año: 12

Se reemplaza,ia = (1+0,03)12 -1 = 42,58%

Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa efectiva periódica equivalente.

Ejemplo: Convertir la tasa efectiva anual mensual a una tasa efectiva anual del 26,82%

ia = 26,82%;m = 12;

Se reemplaza,im = (1+0,2682)1/12-1 = 2%

Conversión de una tasa efectiva periódica en otra tasa efectiva periódica equivalente.

Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa efectiva trimestralmente de 4,04%?

Fórmula: is = (1+it)N – 1

Donde:Número de trimestres en un semestre son 2.

Se reemplaza:is = (1+0,0404)2 –1 = 8,24%

5.3 Rentabilidad Neta y RealLa rentabilidad efectiva de cualquier inversión se halla mediante el cálculo de la tasa efectiva. Sin embargo, existen otros dos factores que inciden sobre la rentabilidad y son determinantes para seleccionar una inversión. Ellos son los impuestos y la inflación.

Ambos reducen el rendimiento y se hace necesario cuantificar su impacto, y se obtiene mediante el cálculo de la rentabilidad neta y real.

Rentabilidad Neta: Es la tasa de interés que representa la rentabilidad después que han sido descontados los impuestos de la rentabilidad efectiva.

Se representa por iN y está definida por la fórmula:iN = ia ( 1 – it)

Donde,

ia = Rentabilidad efectivait = Tasa de impuestos.

Rentabilidad Real: Es la tasa de interés que representa la rentabilidad después de que ha sido descontada la tasa de inflación de la rentabilidad neta.

Esta tasa se representa por iR y está dada por la fórmula:iR = iN –if

Donde ,iN = tasa netaif = tasa de inflación.

Ejemplo: Los CDT tienen un 12% de impuestos por retención en la fuente. Si la Corporación ofrece una tasa efectiva anual del 36,70% y la tasa de inflación del año fue del 9,23%. ¿Cuál será la rentabilidad neta y la rentabilidad real de estos certificados?

Rentabilidad Neta.Fórmula:iN = ia(1-it)IN = 0,3670( 1 – 0,10) = 33,03%

Rentabilidad Real.Fórmula:iR = iN – ifiR = 0,3303 – 0,023 = 23,80%

Que significa que la inversión en estos papeles estuvo cubierta de los impuestos y la inflación y se capitalizó en 23,80% efectivo en el año.

Sitios WebPágina Web de geocities.comEn este sitio encontrarás un artículo sobre Interés compuesto, cuya autoría corresponde al Ingeniero Jesús Franco Sánchez. http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/interescomp.htm

Ejemplos

Ejemplo 1. Un banco ofrece la tasa de interés del 10 % para los depósitos en las cuentas de ahorros. Calcular el valor futuro de un depósito de $1.000 al cabo de 10 años, empleando a) máquina de calcular, b) Logaritmos, c) tablas financieras

Línea de tiempo y valor:

Fórmula:VF = VP (1+ip)N

Donde:VP = $1.000n = 10 años

m = 1 capitalización en el añoN = 10 * 1 = 10ip = 10 %

a. Para este cálculo se emplea una calculadora de bolsillo de 8 dígitos.

VF = $1.000(1+0,10)10 = $2.593,74

b. Empleando logaritmos

c. Empleando tablas financierasSe busca en la tabla en donde la intercesión de la columna de la tasa de interés del 10 % y la fila N=10 y encontramos el factor de 2,59374246; reemplazando en la fórmula, tenemos:VF = 1.000 * 2,59374246VF = $ 2.593,74

Ejemplo 2. ¿Cuánto se debe depositar hoy en una unidad financiera que reconoce el 36 % anual capitalizable mensualmente, si al cabo de un año se quiere tener $7.300.000?.

Línea de tiempo y valor

Donde,VF = $7.300.000n = 1 añom = 12 capitalizaciones por añoN = 1 * 12 = 12ip = im; im = 0,36/12 = 0,03

Fórmula:VP=VF(1+ip)-N

VP=7.300.00(1+0,03)-12 = $6.680.533,60

Con ayuda de la tabla el problema se resuelve, así: Buscamos en la tabla financiera, la columna que se refiere a valor presente, la cual se distingue por el nomenclador para N = 12 períodos y tasa de interés del 3 % y encontramos el factor de 0,91514166, luegoVP = 7.300.000 * 0,91514166VP = $6.680.533,60

Que coincide con el resultado obtenido con la fórmula.

Ejemplo 3. Un padre al morir, deja un CDT de $100.000 para que con sus intereses sean entregados a su hijo al cumplir 18 años de edad, que en los actuales momentos tienen 7 años de edad. Si el hijo al cumplir la edad fijada recibe $190.071,20 ¿Qué tasa de interés están pagando por el CDT?.

Línea de tiempo y valor

Usando la tabla de factores

Donde,VP = $100.000VF = $190.071,20n = 7 añosm = 1 capitalización por añoip = ia; ia = ?.Empleando la fórmula:VP=VF(1+ip)N

(1+ip)11 =$190.071,20/$1.000.000=1,900712

Al buscarlo en la tablas financieras para N = 11 períodos, vemos que el factor buscado no se encuentra en forma precisa, sino dentro de los factores 1,89829856 que corresponde al 6% y 1,9991514 que corresponde al 6 1/2 %. Luego el interés buscado es mayor que el 6% y menor que el 6 1/2 %. Su valor aproximado se encuentra por interpolación lineal.

a 0,065 corresponde 1,99915140 a 0,06+x corresponde 1,90071200a 0,06 corresponde 1,89829856 a 0,06 corresponde 1,898298560,005 es a 0,10085284 como x es 0,00241344x = 0,00012i = 0,06 + 0,00012i = 0,06012tasa de interés = 6,012 %.

Cálculo utilizando logaritmos190.071,20 = 100.000 (1+ip)11

log 190.071,20 = log 100.000 + 11 log (1+ip)log(1+ip)=(log190.71,20g100.000)/11=(5.278916-5,00000000)/11log (1+ip) = 0,0253561 + ip = 1,06012ip = 0,06012 = 6,012%tasa de interés = 6,012 %

Ejemplo 4. Por la venta de una máquina nos cancelan $30.000 la cual fue adquirida en $10.781,50. Si la tasa de interés existente en el mercado por los depósitos es del 21 % capitalizable trimestralmente, ¿Durante cuántos trimestres usufruté la máquina?

Línea de tiempo y valor Donde,VF = $30.000

VP = $10.781,50n = ?m = 4N = 4 * nip = 0,21/4; it = 5,25 %

Fórmula,VF=VP(1+ip)N

NVP=$10.781,50VF=$30.000ip=0,21/4log 30.000 = log 10.781,50 + N log (1+0,0525)N = (log30.000 – log10.781,50) / log 1,0525N = 20 trimestres

Ejemplo 5. Hallar con la fórmula, la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 24%, capitalizable anticipadamente a) mensualmente, b) trimestralmente y c) semestralmente.

a. Capitalización mensual.Fórmula:ia=(1 - ip)-m -1

Donde,m = 12 meses por añoim = 0,24/12 = 0,02

Se reemplaza,ia = (1-0,02) –12 – 1 = 27,43%

b. Capitalización trimestralFórmula:ia=(1 - ip)-m -1

Donde,m = 4 trimestres por añoim = 0,24/4 = 6%

Se reemplaza,ia = (1- 0,06) –4-1 = 28,08%

c. Capitalización semestralFórmula:ia=(1 - ip)-m -1

Donde,m = 2 semestres por añois = 0,24/2 = 12%

Se reemplaza,ia = (1 – 0,12)-2 -1 = 29,13%

Se observa cómo, a medida que disminuyen las capitalizaciones, la tasa efectiva se hace mayor. O sea ocurre todo lo contrario de cuando las capitalizaciones son vencidas.

Ejemplo 6. La Corporación Financiera ofrece una tasa efectiva anual del 34,49% para sus CDTs, que dicen corresponder a una tasa nominal capitalizable mensualmente de manera anticipada. ¿Cuál es esa tasa nominal?.

Fórmula:i = m[1-(1+ia) –(1/m)]Donde,ia = 34,49% y m = 12.

Se reemplaza en la fórmula.i = 12[1-(1+0,3449) –(1/12)] = 29,27%

Ejemplo 7. ¿Cuál es la tasa efectiva para los 8 meses equivalente a una tasa efectiva mensual del 2%?.

Fórmula:is = (1+it)N – 1

Donde:is = ( 1+0,02)8-1 = 17,17%

Problemas específicos

Problema 1. Martín Mantilla debe pagar en 18 meses la suma de $2.000.000 ¿Cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga 8% efectivo trimestral, para poder retirar esa suma?

Problema 2. ¿A qué tasa efectiva mensual se triplica un capital en 3 ½ años?

Problema 3. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital al 24% nominal mensual vencido?Problema 4. Dado el 5% efectivo bimestral, calcular una tasa efectiva trimestral que sea equivalenteProblema 5. Dado el 36% nominal mensual hallar:a. Una tasa efectiva anual.b. Una tasa nominal semestralc. Una tasa efectiva bimestrald. Una tasa nominal por semestre anticipado.

Problema 6. Dado el 30% nominal trimestral anticipado calcular una tasa efectiva que sea equivalente.

Problema 7. Dado el 20% periodo de 200 días anticipado, calcular una tasa nominal vencida con periodo de 150 días.

Problema 8. Una persona se comprometió a pagar $250.000 en 3 meses, $300.000 en 8 meses y $130.000 en 15 meses. Ante la dificultad de cumplir con las obligaciones tal como están pactadas, solicita una nueva forma de pago así: $60.000 hoy, $500.000 en 12 meses y el saldo en 18 meses. Suponiendo que el rendimiento normal de la moneda es del 3% efectivo mensual, determine su saldo.

Problema 9. Una persona debe pagar $10.000.000 con vencimiento en 3 meses; $15.000.000 a 10 meses y $20.000.000, con vencimiento en un año. Si se hace un pago único de $45.000.000, hallar la fecha en que debe hacerse, suponga una tasa del 18% nominal mensual.

Problema 10. Una persona debe pagar $70.000 en 3 meses y $85.000 en 8 meses; ante la imposibilidad de cancelar las deudas en las fechas previstas le ofrece al acreedor que le cancelará 50.000 en 4 meses y $130.000 en 12 meses. Si el acreedor acepta esta nueva forma de pago ¿Qué tasa de interés efectiva mensual estará pagando?

¿Qué es la tasa nominal?Es la tasa que se declara en las operaciones financieras y que es aparente por cuanto no refleja toda la realidad. Se denomina i. Cuando no se mencione el periodo de la tasa, se supone que se refiere al año.

¿Qué son las tasas efectivas?Es la tasa que se utiliza para determinar el interés periódico que efectivamente debe sumarse al capital en el momento de la liquidación. A diferencia de la anterior, la tasa efectiva puede darse en forma: diaria, semanal, mensual, trimestral, semestral y anualmente, etc., y muestra en fin, lo que efectivamente se gana. Cuando la capitalización se presenta una sola vez en el año, la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal.

¿Qué es la rentabilidad Neta?Es la tasa de interés que representa la rentabilidad después de que han sido descontados los impuestos de la rentabilidad efectiva.

¿Qué es la rentabilidad Real?Es la tasa de interés que representa la rentabilidad después de que ha sido descontada la tasa de inflación de la rentabilidad neta.

¿Qué es el valor actual o presente a interés compuesto, de un dinero que se recibirá en fecha futura?

Es aquel capital que a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se recibirá en la fecha convenida.

¿Cuáles son los Tipos de Conversiones de Tasas de Interés?De la fórmula anterior podemos concluir que pueden presentarse tres tipos de conversiones:1. Tasas nominales en tasas efectivas anuales2. Tasas efectivas anuales en tasas nominales3. Tasas efectivas equivalente entre sí para distintos períodos.

En esta oportunidad vamos a visitar el sitio de monografias.com, donde encontrarás una serie de problemas resueltos de matemáticas financiera. Éstos te servirán para que practiques lo aprendido http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml

Pasos de la navegación1. Ingresa a la dirección propuesta.2. Al cargar la página podrás observar el título “Problemas resueltos de matemáticas financiera”. Debajo de este título, hallarás un Índice con unos vínculos que al ser pulsados te llevarán a cada aspecto en específico. 3. Recorre cada uno de estos subtítulos y analiza de manera profunda los ejemplos y problemas presentados, junto con sus respectivas soluciones.

Resultados esperadosEl estudiante, mediante la página Web propuesta, podrá afianzar los conocimientos presentados en la unidad así como desarrollar mayores habilidades para el análisis y desarrollo de problemas reales relacionados con interés compuesto y tasas nominal y efectiva.

Unidad Temática III: Anualidades y Gradientes

Muchas transacciones en nuestro medio se ajustan a pagos o depósitos iguales, crecientes o decrecientes, en periodos también iguales. Por tal razón, es que se han derivado una serie de relaciones que abrevian o agilizan los cálculos pertinentes a esta situación, dando lugar a lo que corrientemente se conoce como anualidades y gradientes.

En el ambiente de los negocios todos los actores se verán enfrentados a la toma de decisiones financieras relacionadas con los conceptos de gradientes y de anualidades ya que éstos conforman la estructura fundamental en la determinación de pagos de créditos en cuotas fijas o con saldos decrecientes respectivamente.

Por lo tanto, y según lo expresado anteriormente, esta unidad pretende generar las competencias necesarias para tomar decisiones adecuadas basadas en el análisis de alternativas financieras relacionadas con anualidades y gradientes.

Al terminar esta unidad, el estudiante debe ser capaz de comprender y analizar flujos de caja de pagos -que pueden ser ingresos o egresos que tienen la característica de ser todos iguales y que, además, tienen intervalos iguales de tiempo.

El estudiante deberá tener la destreza, al finalizar la unidad, de calcular el valor presente, el valor futuro y el valor de los pagos, así como de utilizar el concepto de anualidades para casos financieros reales.

El estudiante debe ser capaz de manejar aquellas series periódicas que van aumentando o disminuyendo a través del tiempo, conocidas como gradientes.

El estudiante deberá conocer y emplear los conceptos de gradiente aritmético creciente y decreciente y, para estos gradientes, calcular su valor presente.

Problema En las unidades anteriores, los problemas se planteaban para los casos en los cuales un flujo de caja constaba de un pago único o de varios pagos diferentes en tiempos también diferentes. Y en estos problemas, calculamos tanto el valor presente como el valor futuro y, para algunos pocos, el tiempo y la tasa de interés. Sin embargo, en la vida real, igualmente se presentan flujos de caja que ya están formados por pagos, también denominados cuotas (que pueden ser un ingreso o egreso) y que tienen la característica de ser todos iguales y tener unos intervalos iguales de tiempo. Tales flujos de caja o conjuntos de pagos reciben los nombres de uniformes, anualidades o rentas uniformes. Son los casos, por ejemplo, de las cuotas de pago de un carro comprado a crédito, cuotas de arrendamientos, el sueldo de un empleado, el recibo del cupón de un bono, entre otros, que no cambian su valor durante algunos períodos. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y las costumbres locales.

En esta unidad, estudiaremos las anualidades más comunes y, por lo tanto, de mayor aplicación en los problemas de matemáticas financieras.

Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Aquí el término de pago hace referencia tanto a ingreso como a egreso. De la misma forma, el término anualidad se utiliza para indicar que los pagos son periódicos y no necesariamente cada año. Los períodos pueden ser el día, la semana, la quincena, el mes, el trimestre o el año, entre otros.

Así mismo, es de considerar que debido a la inflación se observa que casi todos los renglones de la economía van aumentando de precios. Por esta razón, es necesario elaborar problemas matemáticos que, ajustándose a los índices de inflación, puedan compensar los efectos erosionantes en el dinero a través del tiempo. Entre los modelos matemáticos que pueden suplir estas necesidades están los gradientes.

Las circunstancias que rodean una operación financiera para realizar las anualidades variables, cuyos pagos periódicos aumentan o disminuyen en una cantidad constante, se consideran anualidades de variación lineal o uniforme y reciben el nombre de gradientes aritméticos que pueden ser crecientes odecrecientes, según el tipo de variación, bien sea de incremento o decremento. Esto también será sujeto de estudio en la segunda parte de esta unidad.

Fundamentación

Anualidades vencidas.

Se llama anualidad vencida a aquella en la que el pago se hace al final del periodo. El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la adquisición de vehículos o de electrodomésticos por el sistema de financiación, son casos de anualidades vencidas.

El valor de la anualidad calculada a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculada al comienzo es su valor presente. Estos valores pueden, también calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Así por ejemplo, una renta de $5.000 pagaderas cada final de año durante 4 años, tendrá un valor futuro, F, al finalizar los cuatros años y tendrá un valor presente, P, en su fecha inicial.

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como lo muestra la gráfica adjunta.

1.1 Cálculo del Valor Futuro.Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan intereses compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal, se tiene, entonces.

Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes periodos. El primer pago acumula durante (n-1), el segundo (n-2) periodos y, así, sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de término.

Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por los últimos serán: A, A(1+i), A(1+i)2, ......, A(1+i)n-2, A(1+i)n-1.

El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas A, o sea:

F = A+ A(1+i) + A(1+i)2 +......,+ A(1+i)n-2 + A(1+i)n-1

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de n términos, razón (1+i) y primer término. Al aplicar la fórmula de la suma dada, se tiene:

En notación estándar; F = A(F/A, i%, n)

Se pide hallar F, dados: el pago periódico A, la tasa i% por periodo y el número n de periodos.

Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor futuro F corresponde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo, el cual se denomina factor de valor futuro de una anualidad.

Notación algebraica

Notación estándar (F/A, i%,n) = factor de valor futuro.

Los valores del factor (F/A,i%,n) pueden establecerse de diferentes formas: Con una calculadora o usando las tablas financieras, que se adjuntan al final del libro, tabla No.5, la cual tiene los valores del factor de valor futuro de una anualidad, calculados para las tasas y números de periodos que se utilizan.

1.2 Cálculo del Valor Presente.El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de una anualidad, proporcionará un valor futuro equivalente de la anualidad.

Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha al final, se tiene;

Notación estándar P = (P/A,i%,n)

(Se pide P, dado el pago periódico A, la tasa i% por periodo y el número n de periodos).

Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor presente P corresponderá al valor presente de una anualidad de uno por periodo y se expresa por el factor de valor presente de una anualidad de $1.

Notación algebraica:

Notación estándar (P/A,i%,n) = factor de valor presente.

Los valores del factor presente de las anualidades pueden hallarse mediante calculadora o mediante las tablas financieras que tienen tabuladores estos valores.

Ejemplo: Una persona que viaja fuera de la ciudad deja un apartamento en una arrendadora por 5 años, con la condición de que paguen $200.000 por trimestre vencidos. Esta suma se consignará en una cuenta de ahorros que paga el 7% anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente delcontrato de arrendamiento.

F = A (F/A,i%,n)A = $200.000; j = 0,07; i t= 0,07/4= 0,0175; n = 4*5 = 20F = 200.000 (F/A,0,0175, 20); En las tablas (F/A,0,0175,20) = 23,70161119F = 200.000 * 23,70161119 = $4.740.322,24P = A(P/A,i%,n) = 200.000(P/A, 0,0175,20)En las tablas, tenemos que (P/A,i%,n) = 16,35143334P = 200.000*16,35143334 = $3.270.286,67

1.3 Cálculo de la renta en una AnualidadEs frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos, para lograr determinado resultado; así, por ejemplo: ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de años? ¿Qué cantidad habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo? ¿Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la tasa de interés?

En esta sección se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futuro para cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos periódicos.

a) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor futuro:

De la fórmula:

Se obtiene:

De la notación estándar: A = F(A/F,i%,n)

El factor de [ì/(1+i)n-1] = (A/F,i%,n) recibe el nombre de factor del fondo de acumulación, que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por periodo de pago.

b) Cálculo de la renta, cuando se conoce el valor presente:

De la fórmula:

Se obtiene:

De la notación estándar: A = P(A/P,i%,n)

El factor [i/1-(1+i)-n] = (A/P,i%,n); recibe el nombre de factor de amortización, que corresponde al valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad monetaria, en n pagos, a la tasa i por periodo de pagos.

Ejemplo: Se deben reunir $850.000 para dentro de dos años. Con tal fin se decide hacer depósitos iguales por mes vencido en una institución que paga, el 2,65% mensual. Hallar el valor de los depósitos.

El diagrama de flujo de caja

Los datos del problemas, son:F= $850.000; n = 24 pagos; i = 2,65% mensual; A =?

A = 850.000(A/F,2,65%,24) = $25.792

El resultado anterior, se puede interpretar como que $850.000 dentro de dos años (24 meses) son equivalentes financieramente a los 24 depósitos de $25.792 siempre y cuando el dinero rinda el 2,65% mensual.

1.4 Cálculo del tiempo o plazo de una AnualidadSi en la fórmula se conoce el valor futuro o el valor presente, la tasa de interés y la anualidad A, puede calcularse el valor de n, o sea, el número de pagos. Mediante logaritmos, se puede resolver para n, de la siguiente forma:

iF = A(1+i)n-A; % A(1+i)n =iF+Alog A + n log(1+i) = log (iF+A)n log(1+i) = log(iF+A) – log A

En la práctica, el cálculo de n también se puede hallar utilizando ecuaciones de equivalencia, interpolando entre dos valores de las tablas o mediante un programa de computación.

Ejemplo: ¿Cuántos pagos semestrales de $600 deberán hacerse para cancelar una deuda de $4.500, al 8% de interés capitalizable semestralmente?.

Datos del problema:Valor actual de la deuda = $4.500;Para el cálculo del número de pagos, se aplica:P = A(P/A,i%,n); P = $4.500; j = 8%; m=2; is = 0,08/2 = 4,0%4.500 = 600(P/A,4,0%,n)(P/A,4,0%,n) = 4.500/600(P/A,4,0%,n) = 7,5

Se busca en la tabla del valor presente de una anualidad y encontramos que en la columna de 4,0%, no existe para n entero el valor de 7,5, ya que éste se encuentra comprendido entre:

(P/A,4,0%,9) = 7,43533161 y (P/A,4,0%,10) = 8,11089578

Se necesita calcular un valor decimal aproximado al número de periodos, luego se actúa de la siguiente forma, por interpolación lineal, así:

n = 9,09572501 periodos semestrales

En las actividades financieras se acostumbran a dar soluciones prácticas, optando por cualquiera de las dos alternativas, que se expresan a continuación:

a. Aumentar el pago correspondiente al último periodo entero (en este caso el 9).

b. Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el último periodo (en este caso, se trabajaría con 10 periodos, efectuando un pago menor al final del 10 pago).

Al tomar el caso b, debemos plantear una ecuación de equivalencia y escogemos la fecha inicial, como fecha focal, así;

4.500 = 600(P/A,4%,9) + X(1+0,04)-10

4.500 = 600(7,43533161) X(0,67556417)4.500 = 4.461,20 + 0,67556417XX = (4.500 – 4.461,20) / 0,67556417X = $57,43

Luego la anualidad, en éste caso, estaría conformada por 9 pagos de $400 y un décimo de $57,43.

Para el cálculo del último pago, es posible aprovechar la interpolación anterior y se tendría:

1.5 cálculo de la tasa de interés de una AnualidadLa tasa i de una anualidad puede ser una incógnita cuando se conocen los demás elementos de una anualidad. Con el fin de hallarla desde el punto de vista matemático, se acostumbra a interpolar, pero para fines prácticos se toma el valor aproximado.

Ejemplo: Una institución ofrece, por sus cédulas de capitalización, un pago inmediato de $480.000, una renta anual de $15.000, durante 24 meses, al comprador.

¿Qué tasas de interés está ofreciendo?.

A partir de la notación estándar, tenemos: A(P/A,i%,n) = P %(P/A,i%,n)=P/AP = $480.000; A = $25.000; n = 24;(P/A,i%,n) % (P/A,i%,24) = 480.000/25.000 = 19,20000000

Para encontrar los valores de (P/A, i%, 24) entre los cuales se halle comprendido el valor 32,00000, se busca en la tabla de valor presente de una anualidad, en la línea correspondiente a n = 24. Estos valores encontrados son:

Para (P/A,1,75%,24) = 19,46068565Para (P/A,2,00%,24) = 18,91392560Para el valor dado de (P/A,i%,24) = 19,32, se calcula i por interpolación, así:

i = 0,02 + 0,00130819 = 0,02130819 = 2,13%

Sitios Web

Tomado del sitio Monografías.com. "Problemas resueltos de Matemáticas Financiera" por Ena María Vera Espinoza. Cuando cargue el sitio, analiza cada uno de los ejercicios propuestos por temática.http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml

Anualidades

Este concepto resulta interesante al saber que hoy en día el sector financiero ofrece en su portafolio de servicios modalidades de crédito que denominan “cuotas fijas” en las cuales un deudor se compromete a cancelar alícuotas durante el tiempo en que se pacte el crédito.

Por ejemplo, si usted desea crear un fondo para el estudio de su hijo que tiene cinco años, de modo que reciba $20 millones cuando tenga 18 años, efectuando depósitos iguales al final de cada año en un banco que le paga el 24% de interés anual, desearía conocer el valor de cada depósito para alcanzar su objetivo.

La forma de dar respuesta a su interrogante sería utilizando el concepto de anualidades, que se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

Por lo tanto, usted tendría que programar sus pagos anuales por un valor de $311.965,07 durante los próximos trece años.

De igual manera, en el sistema financiero se ofrecen un sinnúmero de alternativas de inversión y crédito que van ligadas a la conceptualización de “saldos decrecientes” que representa el concepto de gradientes, bien sean aritméticos o geométricos. La diferencia entre estos dos tipos de gradientes está en que un gradiente aritmético tiene variaciones constantes que bien pueden ser crecientes o decrecientes, en tanto que el gradiente geométrico presenta variaciones exponenciales de igual manera crecientes y decrecientes, lo que se traduce en que si por ejemplo se va a adquirir un crédito en donde la primera cuota es menor que la última se infiere un gradiente creciente, en tanto que si la primera cuota es mayor que la última podríamos decir que el gradiente es decreciente.

Tomemos el siguiente ejemplo para evidenciar la aplicabilidad del concepto: Un taxi consume 250 galones de gasolina por mes; ECOPETROL anuncia que los precios aumentarán el 1% mensual y

actualmente el galón cuenta $3.600. El dueño desea determinar el costo uniforme por mes para un año de trabajo teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 2% mensual.

La solución se encuentra gracias a la expresión matemática que modela los gradientes:

Donde:A1=240*3.600=864.000j=1% por mes.I=25 por mes.n=12 meses

Lo que significa que el costo uniforme del combustible por mes es de $910.999,62.

Este sencillo ejemplo nos permite identificar que es posible hacer equivalencias entre los diferentes conceptos tratados en la unidad, como son las anualidades y los gradientes.

Por último, es de anotar que el simple desarrollo de la herramienta denominada matemáticas financieras constituye por sí sola, una base sólida en la toma de decisiones en el campo financiero. Es por esta razón que el estudiante debe tomar con la mayor seriedad del caso, la aplicación de los conocimientos adquiridos llevándolos a su vida personal y profesional, con la finalidad de reducir al máximo los riesgos de incertidumbre que se presentan en los mercados financieros de la economía emergente.

Problemas específicos

Problema 1. Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Si tan pronto como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final de un año?

Problema 2. Una persona deposita $10.000 al final de cada mes, durante 5 años en un banco que le paga el 2,5% mensual. Si no retiro ninguna cantidad durante ese tiempo ¿Cuál será el monto del fondo al cabo de los 5 años?

Problema 3. Un padre desea crear un ahorro de vida para su hijo que tiene 5 años, de modo que reciba $20.000.000 al llegar a los 18 años. Para asegurar esta suma el padre hace depósitos iguales al final de cada año en un banco que le paga el 24% de interés anual. Determine la cantidad necesaria de cada depósito, para alcanzar la meta fijada.

Problema 4. Una persona que ha venido pagando un vehículo mediante cuotas de $230.000 mensuales, a la fecha le faltan por cancelar 10 cuotas. Si desea cancelar con un pago único sus 10 cuotas ¿Cuánto debe cancelar si la tasa de financiación cobrada fue del 3,5% mensual?

Problema 5. Actualmente el Fondo de Empleados de la Universidad de Pamplona tiene una línea de crédito para compra de vivienda a 36 meses con un interés del 2,6% mensual. Si uno de sus socios pide prestado a dicho fondo $50.000.000 ¿Cuál será la cuota mensual que debe pagar?

Problema 6. Un taxi consume 240 galones de gasolina por mes. Si se anuncia que los precios aumentarán el 1% por mes y actualmente el galón cuesta $5.200, determine el costo uniforme por mes para un año de trabajo

Problema 7. Calcular la tasa a la cual una deuda de $800.000 se cancela mediante el pago de 12 cuotas iguales de $110.000.

Problema 8. Una entidad del Estado puede usar el edificio A que requiere $5.000.000 cada año como costo de mantenimiento y $6.000.000 cada 5 años para reparaciones o, puede usar el edificio B que requiere $5.100.000 cada año como costo de funcionamiento y $1.000.000 cada 2 años para reparaciones. Suponiendo una tasa del 30% efectivo anual y que el edificio que se ocupe será por tiempo indefinido, ¿Cuál de los dos edificios le resulta más conveniente utilizar?

Problema 9. Hacer la gráfica de un gradiente aritmético de 6 pagos con primera cuota de $1.000, además de a) crecimiento de $250 y b) decreciente en $250.Problema 10. Amortizar la suma de $100.000, en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8%a. Crecimiento lineal de la cuota de $12.000b. Decremento lineal de la cuota de $12.000

Problema 11. Calcular el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en $1.000, si el primer pago vale $20.000 y la tasa es del 3%.

¿Qué es una anualidad?Es una sucesión de pagos periódicos iguales. Aquí el término de pago hace referencia tanto a ingreso como a egreso. De la misma forma, el término anualidad se utiliza para indicar que los pagos son periódicos y no necesariamente cada año. Los períodos pueden ser el día, la semana, la quincena, el mes, el trimestre o el año, entre otros.

¿A qué se le llama anualidad vencida?Es aquella en la que el pago se hace al final del periodo. El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la adquisición de vehículos o de electrodomésticos por el sistema de financiación, son casos de anualidades vencidas.

¿Qué es el factor del fondo de acumulación?Corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por periodo de pago.

¿Qué es una anualidad anticipada?Es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo de pago.

¿Qué es una anualidad perpetua?Es aquella cuyo plazo no tiene fin. En los negocios se da el caso de ciertas rentas, salvo casos imprevistos, que se pagan indefinidamente. Entre éstas se pueden destacar, cuando por ejemplo, se pagan a perpetuidad la renta de un terreno, los legados para instituciones de beneficencia, los dividendos sobre acciones preferentes, las sumas que es necesario reservar cada año para proveer la reposición periódica de puentes, acueducto y en general, todos los elementos de servicios de una comunidad.

José Javier Mogollón CarvajalLic. Matemáticas.