MATEMATICA FINANCIERA

Federico VillarrealU n i v e r s i d a d N a c i o n a l

GUA ACADMICA

MATEMATICA FINANCIERA

ECONOMIA CICLOII

EudedEscuela Universitaria

Educacin a distancia

MANUEL J. ESQUIVEL TORRES

MATEMATICAFINANCIERA Pgina2

INDICEPRESENTACION...................................................................................................................................................................4INTRODUCCION A LA ASIGNATURA...............................................................................................................................5ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO...............................................................................................................6TUTORIAS..............................................................................................................................................................................7CRONOGRAMA.....................................................................................................................................................................7EVALUACION.........................................................................................................................................................................8MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS..............................................................................................................................8OBJETIVOS GENERALES...................................................................................................................................................9UNIDAD I:NOCIONES BASICAS.......................................................................................................................................10TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES................................................................................................................................10TEMA 2: LOGARITMOS.....................................................................................................................................................12

2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS............................................................................................................122.2. APLICACIN A LA MATEMTICA FINANCIERA..............................................................................................14

TEMA 3: PORCENTAJE.....................................................................................................................................................143.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS...............................................................................................................153.2 CLCULO DEL PRECIO ANTERIOR A PARTIR DEL PRECIO ACTUAL.......................................................16

TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTFICA.....................................................................................................174.1. ENCENDIDO Y APAGADO....................................................................................................................................174.2. LEYENDAS DE TECLAS.......................................................................................................................................174.3. CONFIGURACIN DE LA CALCULADORA.......................................................................................................174.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES......................................................................................................184.5. CALCULOS BASICOS............................................................................................................................................18

TEMA 5: EL DINERO...........................................................................................................................................................195.1. DEFINICION:............................................................................................................................................................195.2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO...............................................................................................................195.3.PAGOS......................................................................................................................................................................20

TALLER N 1.........................................................................................................................................................................21UNIDAD II: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO MONTO Y TASAS DE INTERES.................................23TEMA 6: INTERS SIMPLE...............................................................................................................................................23

6.1DEFINICION:...........................................................................................................................................................236.2. INTERS SIMPLE EXACTO E INTERS SIMPLE ORDINARIO.....................................................................276.3. MONTO SIMPLE.....................................................................................................................................................286.4. VALOR ACTUAL A INTERS SIMPLE................................................................................................................29

TEMA 7: INTERS COMPUESTO:...................................................................................................................................297.1. DEFINICION:............................................................................................................................................................297.2. QU ES LA CAPITALIZACIN?.........................................................................................................................307.3. INTERESES SIMPLE Vs. INTERES COMPUESTO..........................................................................................32

TEMA 8: TASAS DE INTERS..........................................................................................................................................348.1. TASA DE INTERS NOMINAL.............................................................................................................................358.2 TASA DE INTERS EFECTIVA.............................................................................................................................368.3. TASAS EQUIVALENTES PARTIENDO DE UNA TASA EFECTIVA DADA...................................................37


TALLER N2..........................................................................................................................................................................38UNIDAD III: DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO..........................................................................39TEMA9: DESCUENTO SIMPLE........................................................................................................................................39

9.1. DESCUENTO COMERCIAL DE UN PAGAR...................................................................................................409.2. VALOR COMERCIAL DE UN PAGAR...............................................................................................................419.3. PLAZO Y TASA DE INTERS EN UN DOCUMENTO......................................................................................419.4. DESCUENTO INTERBANCARIO.........................................................................................................................429.5. DESCUENTOS SUCESIVOS, EN SERIE O EN CADENA...............................................................................43

TALLER N3..........................................................................................................................................................................44TEMA10: DESCUENTO A INTERS COMPUESTO......................................................................................................44ACTIVIDADES:.....................................................................................................................................................................45TALLER N 4:........................................................................................................................................................................47TEMA11: CLCULO DEL VALOR NOMINAL O VALOR DE VENCIMIENTO............................................................48TALLER N 5:......................................................................................................................................................................49UNIDAD IV: ANUALIDADES Y SEGUROS DE VIDA.....................................................................................................50TEMA12: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA....................................................................................................50

12.1. DEFINICION..........................................................................................................................................................5012.2. CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS..................................................................................5212.3. VALOR DE LA ANUALIDADES O RENTAS.....................................................................................................5312.4. FACTORES FINANCIEROS................................................................................................................................5612.5. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD......................................................................................................57

TALLER N 6:........................................................................................................................................................................58TEMA13: ANUALIDADES ANTICIPADAS........................................................................................................................59TALLER N 7:........................................................................................................................................................................61TEMA14: ANUALIDADES VENCIDAS..............................................................................................................................62TALLER N 8:........................................................................................................................................................................64TEMA15: ANUALIDADES DIFERIDAS.............................................................................................................................64TALLER N 9:........................................................................................................................................................................66TEMA16: RENTAS PERPETAS......................................................................................................................................66

16.1 DEFINICION:..........................................................................................................................................................66ACTIVIDADES......................................................................................................................................................................66TEMA 17: AMORTIZACIN...............................................................................................................................................69

13.1. DEFINICION..........................................................................................................................................................6913.2. CALCULO DE LA CUOTA CONSTANTE..........................................................................................................70

TEMA18 SEGUROS DE VIDA...........................................................................................................................................7214.1. DEFINICIN:.........................................................................................................................................................7214.2. TABLA DE MORTALIDAD...................................................................................................................................7214.3 OPERACIONES DEMOGRAFICO - FINANCIERA...........................................................................................7314.4. PRIMA DE UN SEGURO TEMPORAL..............................................................................................................77

TALLER N 11:.....................................................................................................................................................................79SOLUCIONARIO..................................................................................................................................................................80GLOSARIO............................................................................................................................................................................92ANEXO..................................................................................................................................................................................94


PRESENTACION


INTRODUCCION A LA ASIGNATURA

Matemtica Financiera es materia del segundo ciclo que corresponde a la carrera de Ciencias Econmicas, La matemtica financiera es parte de la matemticas aplicadas que es considerada la matemtica del dinero. Estudia aspectos financieros de la economa moderna. Esta gua ha sido elaborada a fin de que sirva como material de consulta para los estudiantes de educacin a distancia, siendo que en el contexto de la profesin y de la vida cotidiana se nos presenta problemas, encontrndonos con disyuntivas; para ello necesitamos capacidades financieras que nos permitan tomar decisiones a fin de optimizar los recursos financieros. Los problemas de esta naturaleza se complementan con una herramienta necesaria que nos permite solucionar los distintos temas financieros de las compaas, gobierno, etc. entre las causas que posibilitan el cierre de los negocios al corto tiempo de haber iniciado sus operaciones se debe a las decisiones financieras tomadas. El desarrollo de la asignatura nos permite establecer su importancia y utilidad, para ello recurrimos a las diversas noticias nacionales e internacionales de revistas especializadas de economa o negocios; mencionando diversas datas que nos dan la relevancia de tales problemas como comisiones de fondos de pensiones, inversiones y rentabilidades, seguros de vida, rentas vitalicias, crditos hipotecarios, entre otros; Para ello se utilizan necesariamente esta herramienta matemtica como parte de un conjunto de acciones de poltica empresarial e institucional. El estudio del curso tiene como propsito que el participante alcance los conocimientos necesarios que permitan tener el nivel de anlisis, criterio razonable tendiente a solucionar los diversos problemas de la sociedad. El inters por la materia; le va permitir al participante obtener el xito personal y profesional con la visin del conocimiento global en el mundo de los negocios. El desarrollo de los captulos comprende temas de: Nociones fundamentales, tasa de inters simple, compuesto, clculo del monto, Formulas, Descuento, anualidades.

Econ. Manuel J. Esquivel Torres


ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO


TUTORIAS

Las tutoras se desarrollan mediante la programacin de un calendario de tutoras en la modalidad presencial virtual.

CRONOGRAMA Se debe mostrar el cronograma de la signatura indicando su inicio y final, de cada unidad, fecha de entrega de trabajos, fecha de los foros, fecha de tutoras presenciales.

CRONOGRAMA Tutoras presenciales

Cantidad de horas acadmicas

Tutoras presenciales y virtuales

Horas

presenciales Horas

virtuales Horas video- conferencia

UNIDAD I Semana 1 2 2.5 3 Semana 2 2 2.5 3

UNIDAD II Semana 3 2 2.5 3 Semana 4 2 2.5 3

EVALUACIN PARCIAL VIRTUALES UNIDADES I-II

UNIDAD III Semana 5 2 2.5 3 Semana 6 2 2.5 3

UNIDAD IV Semana 7 2 2.5 3 Semana 8 2 2.5 3

EVALUACIN FINAL UNIDADES III IV

TOTAL

16 20 24 60 horas acadmicas

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE TRABAJOS

Fecha de tutoras presenciales

Fecha de foros

Presentacin trabajo

monogrfico

UNIDAD I Semana 1 Semana 2

UNIDAD II

Semana 3 Semana 4

UNIDAD III

Semana 5 Semana 6


UNIDAD IV

Semana 7 Semana 8

EVALUACION El promedio final de la asignatura en la modalidad Presencial - Virtual se obtiene aplicando los siguientes pasos porcentuales:

Evaluacin de trabajos acadmicos (TA): (40%) Evaluacin interaccin virtual (IV): (20%) Evaluacin Final (EF): (40%)

El estudiante que abandona la asignatura tendr promedio 00 (cero) en el acta final, debiendo registrar nuevamente su matrcula. El examen parcial ser virtual y se realizara en la 4 semana del mdulo. El examen final ser presencial y se realizara en la 8 semana del mdulo. Tambin se presentara un trabajo monogrfico la ltima semana de clase.

MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS

DIAZ MATA, ALFREDO; AGUILERA VCTOR MANUEL, 1998, MATEMATICA FINANCIERA, MEXICO, EDITORIAL MC GRAW HILL, ABRAHAM HERNANDEZ HERNANDEZ, MATEMATICAS FINANCIERAS TEORIA Y PRACTICA. 5TA EDICION

Textos complementarios

1. CESAR ACHING GUSMAN, 1998. MATEMATICAS FINANCIERAS PARA

LA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES http://proyectoempresarial.files.wordpress.com/2009/09/matematicasfinancierasparatomadedeci.pdf

2. JOS LUIS VILLALOBOS, 2007 MATEMTICAS FINANCIERAS 3RA. http://www.slideshare.net/kmerejo/matematicas-financieras-3ra-edicion-jose-luis-villalobos#

3. CARLOS ALIAGA VALDEZ, 2010, MANUAL DE MATEMATICA FINANCIERA: TEXTO, PROBLEMAS Y CASOS.

Plataforma

virtual

(MATEMTICAS FINANCIERAS [(ECONOMA)

(I BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=1n2dNr9T1cs (I BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=-E1r8gHlK0I

(MATEMTICAS FINANCIERAS [(ECONOMA) (II BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=_gXslhNPLnI (II BIMESTRE)http://www.youtube.com/watch?v=tZVNLP52yjs

PF=TA(0,4)+IV(0,2)+EF(0,4)


OBJETIVOS GENERALES

Capacitar al estudiante en el dominio de las tcnicas financieras para la toma de decisiones.

Desarrollar habilidades para reconocer los parmetros y principios fundamentales en que se basan la matemtica financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo.

Capacitar al estudiante para que se encuentre en condiciones de resolver con buen criterio, las operaciones financieras que se presentan en la actividad bancaria, comercial o industrial.

Capacitar al estudiante para que calcule los intereses y otros clculos financieros que utilizar en su carrera profesional.


UNIDAD I

Objetivos especficos.

Analizar y practicar las bases fundamentales de la matemtica, que sirven de base en la prctica del curso.

Formalizar y expresar con propiedad los conceptos bsicos del dinero. Identificar y explicar los conceptos bsicos de los logaritmos. Distinguir a travs de casos, las diferentes situaciones que se pueden

presentar en la utilizacin de los porcentajes. Uso de la calculadora cientfica.

Contenido temtico:

1. Leyes de exponentes 2. Logaritmos 3. Porcentaje 4. Uso de la calculadora 5. El dinero 6. Pagos

TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES Los exponentes tambin se llaman potencias o ndices

El exponente de un nmero dice cuntas veces se multiplica el nmero.

En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

NOCIONES BSICAS


Todas las "Leyes de los Exponentes" (o tambin "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

El exponente de un nmero dice multiplica el nmero por s mismo tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, as que un exponente negativo significa dividir

Un exponentefraccionario como 1/n quiere decir hacer la raz n-sima:

Leyes algebraicas

Leyes conmutativas: a + b = b + a a b = b a

Leyes asociativas: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c)

Ley distributiva: (a + b) c = a c + b c

Ley Ejemplo

x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 =

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

(xm)n = xmn (x2)3 = x23 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

x x


TEMA 2: LOGARITMOS El logaritmo es la potencia a la que deben ser elevada una base para que produzca determinado nmero (el logaritmo es un exponente). Es decir, el logaritmo es un nmero en potencia a la que hay que elevar 10 para reproducir ese nmero como en la siguiente tabla. 105 = 100000 por consiguiente, el logaritmo de 100000 es 5 104 = 10000 10000 es 4 103 = 1000 1000 es 3 102 = 100 100 es 2 101 = 10 10 es 1 100 = 1 1 es 0

En la prctica se emplea la abreviatura log en lugar de la frase logaritmo de. As se Tiene: log 100000 = 5; log de 10000 = 4 etc. 2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. Dos nmeros distintos tienen logaritmos distintos. Si

Si P es diferente de Q entonces logaritmo en base a de P es diferente a logaritmo en base a de Q.

2. El logaritmo de la base es 1

, pues

3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base

, pues

4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador


6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia

7. El logaritmo de una raz es igual al logaritmo del radicando dividido por el ndice

8. Cambio de base: El logaritmo en base a de un nmero se puede obtener a partir de logaritmos en otra base

Ejemplos: Se lee logaritmo en base de P

Ejemplos

(Logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el exponente al que hay que elevar 2 para que nos de 8 .

(Logaritmo en base 10 de 0.0001 es igual a -4) pues -4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que nos de 0.0001 Cuando no ponemos la base del logaritmo se entiende que es 10, o sea que se trata de logaritmo decimal. a) (Propiedad 6)

b) (Propiedad 6)


c) (Propiedad 6)

d) (Por la propiedad 7) 2.2. APLICACIN A LA MATEMTICA FINANCIERA Si un capital de 3500 soles ha dado como resultado $180 de inters bajo una tasa nominal semestral de 4% capitalizable quincenalmente Cul ser el nmero de meses de la operacin?

C1 1 1

1

1 nlog1 )

Solucin

. .

Peroenmesesdividimosentre2yaqueenelmeshay2quincenas

40.43/2=20.22

TEMA 3: PORCENTAJE Un porcentaje tambin se puede escribir como un decimal o una fraccin

La mitad se puede escribir...

Como porcentaje: 50%Como decimal: 0,5 Como fraccin: 1/2

I=180x2.80=504

(6x30das)/15=12


3.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS Calcula 25% de 80

25% =

ASI QUE EL 25% DE 80 ES 20 Un pantaln tiene una rebaja de 25%. El precio normal es $120. Calcula el nuevo precio

Calcula 25% de $120

25% = 25/100

(25/100) $120 = $30 25% de $120 es $30

As que la reduccin es $30 Quita la reduccin del precio

original $120 - $30 = $90

El precio del pantaln en rebajas es $90

Ejemplo 1 El X% de A es

(X/100)A o (XA)/100

Ejemplo (A) a) El 30% de 700 es 210 porque (30/100)700 = 210 b) 500 es el 125% de 400 porque (125/100)400 = 500 c) El X % de 7,350 es igual a 1,874.25 significa que X = 25.5 Porque (X/100)7,350 = 1,874.25 Y esto implica que X = 1,874.25 (100)/7,350 o X = 25.5% Ejemplo (B) Juan Gmez pag $427.50 por un par de zapatos Cul era el precio si los compr con el 25% de descuento? Solucin Juan pag el 75% del precio original P y por eso debe cumplirse que: (75/100)P = 427.50

25100

25100


Dnde: P = 427.50 (100)/75 o P = $570.00 Ejemplo (C) Los intereses, I, que durante un ao devenga un capital C que se invierte al 8.5% de inters anual estn determinados por I = Ci Solucin En este caso la tasa de inters es i = 8.5/100 o i = 0 0.085. Por lo tanto, un capital de $15,000 genera I = 15,000(0.085) o I = $1,275.00 por concepto de intereses Ejemplo (D) Qu le conviene ms a un empleado que recibe un aumento salarial? Primero un 20% y poco despus un 7% adicional, o recibir un 28% en total? Solucin Suponiendo que su salario original es S, despus del primer incremento, ste ser:

S1 = S + (0.20)S S1 = (1 + 0.20)S

S1 = (1.20)S Despus del segundo incremento, su salario ser un 7% mayor:

S2 = S1 + (0.07)S1 S2 = (1.07)S1

S2 = (1.07) (1.20) S porque S1 = (1.20)S S2 = (1.284) S ya que (1.07) (1.20) = 1.284

Es decir,

S2 = (1 + 0.284)S

Este resultado representa un incremento total del 28.4%, cifra que es un poco mayor que el 28% de la segunda opcin. 3.2 CLCULO DEL PRECIO ANTERIOR A PARTIR DEL PRECIO ACTUAL El precio de un refrigerador es de $7,650, cunto costaba hace un ao si aument un l2.5%? Si el precio anterior es X, entonces el aumento es un 12.5% de X y el precio actual es: X + (0.125)X = 7,650 (1 + 0.125)X = 7,650 porque ax+bx=(a+b)x (1.l25)X = 7,650 de donde X = 7,650/1.125 o X = $6,80


TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTFICA

4.1. ENCENDIDO Y APAGADO

4.2. LEYENDAS DE TECLAS

4.3. CONFIGURACIN DE LA CALCULADORA


4.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES

4.5. CALCULOS BASICOS


TEMA 5: EL DINERO 5.1. DEFINICION: Dinero es un medio de cambio y medida de valor en el pago de bienes y/o servicios, o como descargo de deudas y obligaciones. Por su aspecto externo puede ser moneda cuando es de metal, o billete cuando es de papel.

Tiene 3 funciones bsicas en el sistema econmico:

Medio de pago La funcin ms importante del dinero es servir de medio de cambio en las transacciones. Para que su uso sea eficaz, debe cumplir una serie de caractersticas:

1. Aceptado comnmente y generador de confianza 2. Fcilmente transportable 3. Divisible 4. No perecedero, inalterable en el tiempo 5. Difcil de falsificar

Unidad de valor

De la misma manera que la longitud se mide en metros, el valor de los bienes y servicios se mide en dinero. Es lo que llamamos precios, que representan el valor de cambio del bien o servicio.

Depsito de valor El dinero permite su acumulacin para realizar pagos futuros. La parte de dinero que no se gasta hoy, sino que se guarda para gastarlo en el futuro, se denomina ahorro.

5.2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflacin y se

nos plantea la posibilidad de elegir $ 100 hoy o $ 100 maana Qu preferimos?

La respuesta $ 100 hoy, ya que existe un inters que puede ser ganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en el un banco y al cabo de un ao recibir los 100 ms un inters.

Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas:

Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 ao tengo los mismos 100.

Pero Depositar los 100 en un banco al cabo de un ao tengo 110.


1. Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al final del

perodo analizado.

2. Inters: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo determinado. Si definimos:

r = tasa de inters P = Monto invertido

Invierto Po hoy Al cabo de un ao obtengo:

P1 = Po + r * Po Qu pasa si esto lo queremos invertir a ms de un perodo? n= 5 aos

Pn = Po * (1 + n * r) Supongamos que Po = $100 y r = 10% 5.3. PAGOS Por lo general las cuotas que se pagan para cancelar una deuda estn conformadas de dos componentes bsicos: Intereses y amortizacin del capital; a estos dos componentes se les llama servicio de la deuda.

Pn=100*(1+5*0.10) Pn=150


TALLER N 1 Taller aplicativo nociones bsicas Objetivo: Verificar la comprensin de los alumnos y que tengan una prctica intensiva de problemas optimizando sus tiempos que se entregarn por escrito o va virtual para su correspondiente desarrollo. Autoevaluacin: Resolver los siguientes problemas:

1) Obtenga el 15.38% de 429.5:

a) 66.0571 b) 27.9258 c) 6,605.71 d) 0.000358091 e) Otra

2) Es el 200.3% del 4.53% de 15,208:

a) 137,991.16 b) 1,379.9116 c) 13799,115.67 d) 1,379.9116 e) Otra

3) El precio actual de un televisor es de $5,521.50. Cul fue un precio anterior si

aument un 2.25%? a) $5,400 b) 5,645.73 c) 4,525.82 d) 4,507.35 e) Otra

4) En los problemas, evale las expresiones utilizando calculadora.

35.3 (5.23)4 (85.2)2/5 (2.03)2 50.83 log5 (42.3)

Meses Amortizacin Intereses Servicio de la deuda

Deuda pendiente

0 1000 10000 1 1000 100 1100 9000 2 1000 90 1090 8000 3 1000 80 1080 7000 4 1000 70 1070 6000 5 1000 60 1060 5000 6 1000 50 1050 4000 7 1000 40 1040 3000 8 1000 30 1030 2000 9 1000 20 1020 1000 10 1000 10 1010 0

Total 10000 550 10550

ln(28.3)1/2 log8 (50.382) (27.95)5/3 ln(10.93)3 12 (50.893


5) La solucin de (1.53)x = 9 es ______________________________________

6) La solucin de la ecuacin (1 + x/12)5 = 3 es __________________________

7) En qu porcentaje se redujo la cartera vencida si actualmente es de $138

millones y antes era de $150 millones?

8) A qu inters compuesto debe depositarse un capital de 6000 euros si en tres aos se ha convertido en 6749,20 euros?


UNIDAD II

Objetivos especficos.

Formalizar y expresar con propiedad los conceptos tericos del inters en el tiempo.

Que aprendan a calcular correctamente los intereses. Verificar la comprensin acerca de los elementos del inters compuesto. Distinguir a travs de casos las diferentes situaciones que se pueden

presentar. Contenido temtico: 1. Clculo del inters simple. 2. Clculo del inters compuesto 3. Tasas de inters

TEMA: 6 INTERS SIMPLE 6.1 DEFINICION:

El concepto de inters tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un prstamo debe pagar un cierto inters por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto inters por ese dinero.

A continuacin veremos cmo opera el clculo de intereses. REVISEMOS EL SIGUIENTE GRFICO:

INTERS SIMPLE E INTERS COMPUESTO MONTO Y TASAS DE INTERES


Componentes del prstamo o depsito a inters En un negocio de prstamo o depsito a inters aparecen: El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado. La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100

en concepto de inters; tambin llamada tanto por ciento. El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y

genera intereses. El inters, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del

capital durante todo el tiempo. El inters, como precio por el uso del dinero, se puede presentar

como inters simple o como inters compuesto

A continuacin veremos cmo opera el clculo de intereses. REVISEMOS EL SIGUIENTE GRFICO:

El inters simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El inters obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho inters no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base.

En relacin a un prstamo o un depsito mantenido durante un plazo a una misma tasa de inters simple, los clculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de 3 simples. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto:

El inters (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de inters (i): I=Cx i xn..(1)


esto se presenta bajo la frmula:

donde i est expresado en tanto por uno y t est expresado en aos, meses o

das.

Tanto por uno es lo mismo que. Entonces, la frmula para el clculo del inters simple queda:

Si la tasa anual se aplica por aos.

Si la tasa anual se aplica por meses

Si la tasa anual se aplica por das

Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin ms datos, se subentiende que es anual.

Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por das, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo

Ejemplo 1 Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durante 5 aos... Cunto inters recibirs al final del quinto ao, si el inters a recibir es de tipo SIMPLE?

Seleccionamos la frmula: I = C x i x n Reemplazando los valores en la frmula: I = 100.000 x 0.06 x 5 Efectuando los clculos se obtiene: I = $ 30.000

I=IntersC=Capital i = Tasadeinters n=Perodo


Ejemplo 2 Cul sera el inters de un capital de S/. 10000.00 puesto a inters simple por un ao, si la tasa de inters es de 6 %? Solucin: P = 10000 n = 1 ao i = 0.06 I = ? I = (10000) (1) (0.06) = 600 Respuesta: Es decir, el inters de 10000.00 puesto a inters simple al cabo de un ao al 6 % es de 600.00 soles. Ejemplo 3 Supongamos que desconocemos la tasa de inters. Un capital de S/. 10000.00 gener un inters de S/. 700.00 en un ao, cul fue la tasa de inters? Solucin: i = I/Pn i = 700 / (10000) (1) i = 700 / 10000 = 0.07 i = 7 % Respuesta: Un capital de S/. 10000.00 a un ao plazo, gener unos intereses de S/.700.00 con una tasa de inters del 7%. Ejemplo 4 Cul ser el inters generado por una inversin de US$ 15,000 durante 3 aos a una tasa de inters del 12%? Solucin: I = ? C = US$ 15,000 n = 3 aos i = 12% I = 15,000 * 0.12 * 3 ------ > I = US$ 5,400

Es necesario precisar que la tasa de inters (i) se expresa en porcentaje (%) y para usarla en una frmula, es necesario expresarla en decimales. Por Ejemplo: 6% = 0,06 (6 Dividido por 100)


El inters de 15000.00 puesto a inters simple al cabo de 3 aos al 12% es de $ 5400.00 Ejemplo 5 Qu inters dar un capital de US$ 50,000 colocado al 5% mensual durante 2 aos? Solucin: I = ? C = US$ 50,000 i = 5% n = 2 aos = 24 meses I = 50,000 * 0.05 * 24 ----- > I = US$ 60,000 El inters de 50,000 puesto a inters simple al cabo de 2 aos al 12% mensual es de $ 60.00 6.2. INTERS SIMPLE EXACTO E INTERS SIMPLE ORDINARIO Cuando hablamos del inters simple exacto estamos suponiendo que un da es 1/365 de ao o en el caso de los aos bisiestos un da es 1/366 de ao. Pero cuando hablamos del inters simple ordinario o del inters simple comercial, suponemos que un da es 1/360 de ao. Ejemplo 6 Cul sera el inters simple exacto y el ordinario de S/. 10000.00 por un da, si la tasa de inters es del 6 % efectivo anual? Solucin Inters simple exacto I = (10000) (1/365) (0.06) I = 600/365 I = 1.64 Inters simple ordinario I = (10000) (1/360) (0.06) I = 600/360 I = 1.66 Es decir, existe una diferencia de 2 cntimos a favor del inters simple ordinario Ejemplo 7 Cul sera el inters simple exacto y el inters simple ordinario de un capital de S/. 15000.00 a 60 das plazo si la tasa de inters es del 7 % efectivo anual? Inters simple exacto I = (15000) (60/365) (0.07) I = (1050) (12/73) I = 12600/73


I = 172.60 Inters simple ordinario I = (15000) (60/360) (0.07) I = 175 Es decir, existe una diferencia de S/. 2.4 soles a favor del inters simple ordinario.

Leyes

La tasa de inters Siempre ingresa a las frmulas expresadas en tanto por uno, es decir, divididas entre 100.

Cuando no se indica nada acerca de la tasa de inters se asume que esta expresada en trminos Anuales.

La tasa de inters (i) y el tiempo (t) Siempre deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar a cualquiera de ellos o a ambos.

6.3. MONTO SIMPLE El monto de un capital puesto a inters simple es nada ms la suma del capital Ordinario y los intereses, es decir: Monto = capital ms intereses S = P + I (2) S = P + Pni S = P (1 + in) (3) Ejemplo 8 Cunto retirar al cabo de 5 aos 4 meses y 28 das si deposit US$10,000 a una tasa del 20% trimestral? Solucin: n = 5 * 360 = 1800+ 4 * 30 = 120 28 1948 das S= P (1 + i*n) S= 10,000 (1 + 0.20 * 1948) 90 S= 10,000 (1 + 0.0022222 * 1948) S= 10,000 * 5.328888888 Respuesta: El monto al cabo de 5 aos 4 meses y 28 das al 20% trimestral de inters de S/. 10,000.00 es de $ 53,288.89

P = 10,000 i = 0.20 90

S = $ 53,288.89


6.4. VALOR ACTUAL A INTERS SIMPLE Definicin de valor actual: El valor actual de una suma que vence en el futuro, es aquel capital que a tipo de inters dado en un perodo de tiempo tambin dado ascender a la suma debida. En la frmula (03) habamos visto que el monto de un capital puesto a inters simple es:

S = P (1 + ni) Despejando P, tenemos:

P = S / (1 + ni) (4) Es la frmula para el valor actual a inters simple.

Ejemplo 9: Supongamos que dentro de 6 meses debemos recibir la cantidad de S/. 10000.00, la tasa de inters es del 5 % efectivo anual. Cul ser su valor actual, es decir, su equivalente ahora? Solucin: S = 10000 n = 0.5 i = 0.05

Sustituyendo en la frmula 4, tenemos: P = 10000/(1 + (0.05) (0.05))

P = 10000/1.025 P = 9756.10

Respuesta: El equivalente en el mes cero es de S/. 9756.10. A este resultado tambin se le denomina descuento racional o matemtico que es muy diferente al descuento bancario simple.

TEMA 7: INTERS COMPUESTO: 7.1. DEFINICION: Proceso por el cual el inters generado por un capital en cada periodo definido de tiempo, se capitaliza. El inters simple es necesario de conocer, pero en la prctica se emplea muy poco. La gran mayora de los clculos financieros se basan en lo que se denomina INTERS COMPUESTO. Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligacin se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calculan los intereses en el siguiente intervalo o perodo de tiempo y as sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operacin financiera es a inters compuesto.


7.2. QU ES LA CAPITALIZACIN? Cuando el inters producido por un capital durante una unidad fija de tiempo se suma al capital anterior, forma un nuevo capital. Si este nuevo saldo se vuelve a invertir, por un periodo similar a la unidad fija de tiempo, generar un nuevo inters, que sumaremos al capital anterior. La repeticin de este proceso se denomina CAPITALIZACION acumulacin.

El dinero crece a cada frecuencia producto de la capitalizacin

Lo ms importante que debes recordar es que para efectuar el clculo de cada perodo, el nuevo capital es = al anterior ms el inters ganado en el perodo.

Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la frmula para inters compuesto:


Recuerda que el exponente de (1+i) es igual al nmero de perodos.

Un concepto importante que debes recordar se refiere a la CAPITALIZACIN de los intereses, es decir, cada cunto tiempo el inters ganado se agrega al Capital anterior a efectos de calcular nuevos intereses. En general la CAPITALIZACIN se efecta a Intervalos regulares:

Diario Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual


Para hallar Monto para hallar valor actual para hallar el tiempo

MONTO COMPUESTOS Nomenclatura: 1. S = Monto, Stock Final, Valor Futuro 2. P = Capital, Stock Inicial, Valor Presente, Valor Actual 3. n = # total de perodos, Tiempo 4. i = Tasa de Inters por perodo 7.3. INTERESES SIMPLE Vs. INTERES COMPUESTO. Hallar el Monto del Capital 3000 luego de 4 aos en un Banco que pago el 10% anual si el inters es: Simple

Perodo Simple Capital inicial 0.10 Inters Capital Final 1 2 3 4

3,000 3,300 3,600 3,900

300 300 300 300

3,300 3,600 3,900 4,200

M = C + I M = 3,000 + 1,200 = 4,200 M = C (1 +i x t) M = C (3,000 + (1 + 0.1 x 4) = 4,200 Compuesto

Compuesto Perodo Capital inicial 0.10 Inters Capital Final 1 2 3 4

3,000 3,300 3,630 3,993

300 300 300

399.3

3,300 3,600 3,900

4,392.3 S = P (1 + i)n S = 3,000 (1 + 0.1)3 = 3,993

M = S = P(1+i)n niSP ,1 ,1loglog

iPS

n


S = 3,000 (1 + 0.1)4 = 4,392. Ejemplos de capitalizaciones:

1) 24% Anual Capitalizable Anualmente: 24/100 = 0.24 2) 24% Anual Capitalizable Semestralmente: 0.24/2 = 0.12 3) 24% Anual Capitalizable Trimestralmente: 0.24/4 = 0.06 4) 24% Anual Capitalizable Bimestralmente: 0.24/6 = 0.04 5) 24% Anual Capitalizable mensualmente: 0.24/12 = 0.02

Ejemplos: 1. Hallar el Monto que se obtiene con un capital de 74,000 colocado al 42% anual Capitalizable Mensualmente durante un ao 3 meses. S = x S = P (1+i)n n = 15 P = 74,000 I = 0.42 = 0.035 12

S = 74,000 (1.035)15 S = 123.976

2. Cul es el Capital que colocado al 42% anual capitalizable mensualmente nos da un monto de 123976 S = 123,976 P = 123,976 P = x (1.035)15 I = 0.42 = 0.035 12 n = 15 P = 74,000 3. En qu tiempo un capital de 74,000 colocado al 42% anual capitalizable Mensualmente nos da un monto de 123,976. S = 123,976 Log 123,976 P = 74,000 n = 74,000 I = 0.42 = 0.035 Log (1.035) 12

n = x n = 15 meses

niSP ,1

,1loglog

iPS

n


TEMA 8: TASAS DE INTERS

Tasa Activa La tasa activa es la tasa cobrada por los bancos al conceder prstamos a sus

clientes. Esta tasa se determina en el momento de contratacin dependiendo de varios factores: caractersticas del prstamo, garanta, plazo, etc; Tasa Pasiva

La tasa pasiva es la tasa a la que se remuneran a los depositantes de fondos por prestar su dinero a los bancos y al igual que en la tasa activa depende de varios factores: tipo de depsito, monto, plazo, etc;

Tasa de inters discreta: Como su nombre lo indica, es la tasa de inters que se aplica cuando el tiempo o perodo de capitalizacin es una variable discreta; es decir, cuando el perodo se mide en intervalos fijos de tiempo tales como aos, semestres, trimestres, meses, das u otros como lo hemos venido haciendo hasta ahora.

Tasa de inters continuo: Se define una tasa de inters continua i % como aquella cuyo perodo de capitalizacin es lo ms pequeo posible. Supongamos que invertimos hoy una cantidad $ 1, a una tasa de inters continuo del i % capitalizable continuamente durante n aos, determinemos el monto $ S al final de ese tiempo.

Tasa de inters vencida: Una tasa de inters se llama vencida si la liquidacin se hace al final del perodo, cuando hablamos de la siguiente forma: 3 % efectivo anual o 3 % capitalizable mensualmente se sobreentiende que es una tasa vencida.

Tasa de inters anticipada: Se dice que una tasa es anticipada cuando su liquidacin se hace al principio del perodo, as por ejemplo, son tasas anticipadas cuando se especifica 3 % efectivo anticipado o 3 % capitalizable mensualmente anticipado. Supongamos por ejemplo que una institucin bancaria nos hace un prstamo por el valor nominal de $ 20 000.00 a un ao plazo, la tasa de inters es del 10 % anticipada. El banco nos entrega P = 20000 (20 000) (0.1) = 18 000.00.

TASA NOMINAL, TASAS EFECTIVAS Y TASAS EQUIVALENTES

Cuando se realiza una operacin financiera, se pacta una tasa de inters anual que rige durante el lapso que dure la operacin, que se denomina tasa nominal de inters. Sin embargo si el inters se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual. Dos tasas de inters anuales con diferentes periodos de capitalizacin sern equivalentes si al cabo de un ao producen el mismo inters compuesto.


8.1. TASA DE INTERS NOMINAL

Se dice que una tasa es nominal cuando:

a. Se aplica directamente la operacin de inters simple. b. Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces

en el ao, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el inters simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a inters compuesto. Donde m es el nmero de capitalizaciones en el ao de la tasa nominal

La proporcionalidad de la tasa nominal

La proporcionalidad de la tasa nominal anual j puede efectuarse directamente a travs de una regla de tres simples considerando el ao bancario de 360 das.

Por ejemplo Cul ser la proporcionalidad diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria ser 0,066% = (24/360)

Ejercicios (tasa proporcional)

a) Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24% b) Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12% c) mensual, a partir de una tasa nominal trimestral del 12% d) De 18 das, a partir de una tasa nominal anual del 18% e) De 88 das, a partir de una tasa nominal trimestral del 6% f) anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2% Solucin a) (0,24/360)90 = 0,06 = 6% b) (0,12/180)90 = 0,06 = 6% c) (0,12/90)30 = 0,04 = 4% d) (0,18/360)18 = 0,009 = 0.9% e) (0,06/90)88 = 0,0586 = 5.87% f) (0,02/30)360 = 0,24 = 24%


8.2 TASA DE INTERS EFECTIVA Tasa de inters efectiva es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operacin financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalizacin, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el ao con la siguiente formula:

/ La relacin j/m (que es la tasa efectiva del periodo de tiempo) y n deben estar referidas al mismo periodo de tiempo: Por lo tanto, el plazo de i est dado por n. si m y n se refieren solo al periodo, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento Por ejemplo: El monto simple de un capital de S/. 1000 colocado a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto del mismo capital a una tasa efectiva anual del 24% arrojan un monto de S/.1240 Monto simple S = 1000(1+0.24x1) = 1240 Monto compuesto S = 10001 0.24 = 1240 La tasa efectiva i y la tasa nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse de la siguiente manera

Ejemplo: Calcule la TES para un depsito de ahorro que gana una TNA del 24% abonndose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros. Solucin: TES = ?

m = 12 (n de meses TNA) J = 0.24 n = 6 (n de meses TES)

TES = 12.62%

TES . .


Ejemplo: El 20 de enero la empresa Solid compro un paquete de acciones invirtiendo S/. 9000 el cual vendi el 28 del mismo mes, por un importe neto de S/. 9455 Cul fue el TEM de rentabilidad obtenida en esa operacin? Solucin: Tasa de rentabilidad obtenida durante 8 das: 9450/900-1 = 0.05 La TEM se calcula del siguiente modo: TEM = , / = 0,20077 = 20,08% La rentabilidad obtenida en 8 das ha sido del 5 % y asumiendo la reinversin a la misma tasa de los 3.75 periodos de 8 das (30/8) que tiene el mes la rentabilidad acumulada del mes ser del 20.08% 8.3. TASAS EQUIVALENTES PARTIENDO DE UNA TASA EFECTIVA DADA La tasa equivalente o efectiva peridica i se obtiene de la relacin de equivalencia de la formula

Y puede ser calculada cuando se tiene como dato la tasa efectiva

Si designamos a j/m = i como tasa equivalente entonces podemos despejar la incgnita i

/

i = tasa equivalente o efectiva peridica a calcular i = tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato f = nmero de das del periodo de tiempo de la tasa equivalente que se desea

calcular H = nmero de das correspondiente al periodo de tiempo de la tasa efectiva i

proporcionada como dato. A una TEA le corresponde un H de 360; a una TEM le corresponde un H de 30.

Como n = H/f entonces la formula queda expresada

/ Ejemplo: Calcule la TEA equivalente a una TNA del 12% capitalizable trimestralmente Solucin: TEA

/ TEA =? J = 12% TEA .

/ H = 360 TEA ,


f = 90 (3 meses) TEA , % Ejemplo: A que TEQ debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 4%? Solucin: / i =TEQ? n= 6 i = 0,04 n = 3

TALLER N2 Inters simple e inters compuesto monto y tasas de inters

1. Si P = US$ 100,000.00 n = 5 meses. TN = 8% trimestral Capitalizacin mensual Hallar S?

2. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. Cunto se obtendr por inters al cabo de un ao y medio?

3. Cunto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder retirar en 2 aos la suma de $5.000000.

4. Qu tiempo se requiere para que $1.500.000 invertido al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000?

5. Qu tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple?

6. Se tiene una inversin inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo y tasa de inters dados a continuacin:

a) Dentro de 6 meses: 3% mensual b) Dentro de un ao y medio: 5% bimestral c) Dentro de 1 ao: 8% trimestral d) Dentro de tres meses: 0.07562% diario e) Dentro de 3 aos: 34% anual.

. . /

. . %


UNIDAD III

Objetivos especficos:

Aprender la definicin de descuento como base terica Conocer las formas de descuento mediante problemas Diferenciar entre descuento comercial e interbancario El alumno puede Identificar Valor actual, valor nominal mediante

Ejercicios.

Contenido:

Descuento simple. Definicin Valor actual, Pagos parciales, Descuentos en cadena o en serie, Descuento a inters compuesto. Valor actual. Valor nominal Ecuaciones de valores equivalente Ejercicios y Problemas.

TEMA9: DESCUENTO SIMPLE. Cuando se consigue un prstamo por un capital C, el deudor se compromete a pagarlo mediante la firma de un pagar, cuyo valor nominal generalmente es mayor que C, puesto que incluye los intereses. Es prctica comn que el acreedor, es decir, el propietario del documento, lo negocie antes de la fecha de vencimiento, ofrecindolo a un tercero a una empresa de factoraje por ejemplo, a un precio menor que el estipulado en el propio documento, con un descuento que puede evaluarse de dos formas:

a) Descuento real. b) Descuento comercial. El primero se calcula utilizando la frmula del inters simple M = C(l + in), donde M es el valor nominal. Este descuento se explica en el primer ejemplo.

Ejemplo 1 Cul es el descuento real de un documento con valor nominal de $25,300, 72 das antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 11.4% simple anual?

En la frmula del inters simple, se sustituyen: M por 25,300, El valor nominal del documento n por 72 das, El plazo o tiempo que falta para el vencimiento

DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO


i por d = 0.114, La tasa de inters, es decir, de descuento Entonces, 25,300 = C[1 + (0.114/360)72] M = C(1 + in) 25,300 = C(1.0228) de donde C = 25,300/1.0228 o C = 24,736.02 El descuento real es, entonces, D = M C, es decir,

D = 25,300 24,736.02 o D = $563.98

A diferencia del anterior, el descuento comercial, llamado as por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen a sus artculos cuando los venden, quitando algunos pesos al precio de lista, se calcula restando al valor nominal un descuento. La adquisicin de CETES es un claro ejemplo de inversiones que se manejan con descuento comercial, el cual, en general, se obtiene multiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir,

D = Mnd

Donde d es la tasa de descuento simple anual, n es el plazo en aos, D es el descuento comercial y M es el valor nominal del documento correspondiente. 9.1. DESCUENTO COMERCIAL DE UN PAGAR El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6,500, tres meses antes de Vencer, es decir, n = 3/12, puesto que ste es el plazo en aos, con un tipo de descuento del 11.2% simple anual, es:

D = 6,500(3/12)(0.112) o D = Mnd D = $182

Si al valor nominal del pagar se le resta este descuento, entonces se obtendr su valor comercial o valor descontado P, que en este caso ser:

P = 6,500 182 o P = $6,318 Frmula general El resultado anterior se expresa generalmente como

P = M Mnd ya que D = Mnd Donde, al factorizar M, se obtiene la frmula del siguiente teorema. TEOREMA El valor comercial P de un documento con valor nominal M, n aos antes de su vencimiento es:

P = M(1 nd) Donde d es la tasa de descuento simple anual.


9.2. VALOR COMERCIAL DE UN PAGAR Cul es el valor comercial del 12 de mayo de un documento que ampara un prstamo de $26,500, recibido el 25 de enero pasado con intereses del 12% simple anual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 12.5%. En la figura se muestra un diagrama temporal, donde aparecen las fechas, las cantidades de dinero y los plazos. FIGURA

Primero es necesario hallar el valor futuro de los $26,500 del prstamo, mediante la frmula del inters simple:

M = 26,500[1 + (186/360)(0.12)] M = C(1 + ni) M = 26,500(1.062) o M = $28,143

Con este valor futuro, el plazo n = 79/360 aos y la tasa de descuento d = 0.125, se obtiene el valor descontado.

P = 28,143[1 (79/360)(0.125)]

P = 28,143(0.972569445) o P = $27,371.02 9.3. PLAZO Y TASA DE INTERS EN UN DOCUMENTO Qu da se negocia en $32,406 el siguiente documento con descuento del 10.02% simple anual? Suponiendo que ampara un crdito en mercanca por $32,000, cul fue la tasa de inters simple anual? Bueno por $33,050.00 Por este pagar me obligo a pagar incondicionalmente a la orden de CH Impresiones en Mxico D.F. el da 17 de febrero de 2005 la cantidad de $33,050.00 (treinta y tres mil cincuenta pesos 00/100 m.n.), valor recibido a mi entera satisfaccin. Lugar y fecha: Naucalpan, Estado de Mxico, a 5 de octubre de 2004 Nombre: Antonio Gutirrez Domicilio: Calle 4 # 27, Col. Alce Blanco


Solucin: a) El valor nominal es de $33,050, el valor en que se comercializa es de $32,406,

la tasa de descuento es d = 0.1002, por lo tanto,

32,406 = 33,050[1 n(0.1002)] P = M (1 nd) de donde 32,406/33,050 1 = n(0.1002)

n(0.1002) = 0.019485628

n = 0.019485628/0.1002 n = 0.194467343 aos, porque la tasa es anual, esto es, 0.194467343 (360) = 70.00824359 das

Significa que 70 das antes del 17 de febrero, es decir, el 9 de diciembre de 2004, el documento se comercializa en $32,406.

b) El plazo entre el 17 de febrero y el 5 de octubre anterior es de 135 das, el

capital es el valor de la mercanca $32,000, el monto es M = 33,050 y la tasa de inters i se obtiene despejndola de la siguiente ecuacin: 33,050 = 32,000[1 + i(135)] M = C(1 + in) 33,050/32,000 1 = i(135) 0.0328125 = i(135) o i = 0.000243056 diaria, porque el plazo est en das. Para la tasa anual se multiplica por 360: 0.000243056 (360) = 0.0875, es decir, 8.75%

9.4. DESCUENTO INTERBANCARIO El Banco del Sur descuenta al seor Gmez el 15% de inters simple anual de un documento con valor nominal de $30,000 que vence 45 das despus. El mismo da, el banco descuenta el pagar en el Banco Nacional con el 13.5% anual. Cul fue la utilidad para el Banco del Sur? Solucin: El plazo es n = 45/360 aos, el monto (valor nominal) es M = 30,000, la tasa de descuento es d = 0.15; entonces, el capital que el seor Gmez recibe por el documento es P = 30,000[1 (45/360)(0.15)] P = 30,000(0.98125) o P = $29,437.50 Ahora bien, el capital que el Banco del Sur recibe del Nacional, dado que la tasa de descuento es d = 0.135, es P = 30,000[1 (45/360)(0.135)] P = 30,000(0.983125) P = $29,493.75


La diferencia entre los dos resultados es la utilidad para el Banco del Sur: U = 29,493.75 29,437.50 U = $56.25 Note que esto es igual a la utilidad de los $30,000 al 1.5% en 45 das. U = 30,000(0.015)(45/360) U = $56.25 El 1.5% es la diferencia entre los porcentajes 9.5. DESCUENTOS SUCESIVOS, EN SERIE O EN CADENA O ESLABONADOS

Estos tienen que cumplir las siguientes propiedades: 1era: No se puede sumar dado que su deduccin o aplicacin es uno por uno a

saldos, absolutos. Luego para aplicar los descuentos en s, se les deduce uno por uno.

2da: Los descuentos sucesivos pueden deducirse en el orden de su enunciado o cambiar este orden sin que ello afecte para nada el valor lquido a pagar.

3era: Los descuentos sucesivos o en serie o en cadena o eslabonados se pueden, convertir a una tasa nica equivalente (T.U.E.) aplicando la frmula emprica que dice lo siguiente: TUE = 1 - [(1 d1) (1 d2) (1 dn)] En donde d1, d2 dn son los valores de las tasas de descuento sucesivas indicadas.

Problema: La empresa avcola Santa Nrida S.A. ofrece descuentos del 20 % + 8 % + 2.5 % a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/ 50000.00. Si la tienda Comercial S.A. hace una compra de huevos por valor bruto de S/.75 000.00. Cunto pagar por su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? Respuesta: Valor Original de la compra: S/. 75 000.00 Menos el 1er descuento del 20 %: S/. 15 000.00 Saldo insoluto despus de deducir 1er dcto. S/. 60 000.00 Menos el 2do descuento del 12 %: S/. 7 200.00 Saldo insoluto despus de deducir el 2do dcto: S/. 52 800.00 Menos el 3er descuento del 8 %: S/. 4 224.00 Menos el 4to descuento del 2.5 % S/. 1 214.40 Por ser el ltimo descuento por deducir Se le llama saldo a pagar o valor lquido S/. 47 361.60 Resultado que tambin se podra obtener si aplicamos la TUE; es decir, si convertimos Las 4 tasas de descuento en una nica equivalente aplicando la frmula a la siguiente informacin:


Si d1 = 20 % o 0.2; d2 = 12 % o 0.12; d3 = 8 % o 0.08 y d4 = 2.5 % o 0.025 TUE = 1 - [(1 0.2) (1 0.12) (1 0.08) (1 0.025)] = 0.368512 Luego si el valor bruto de la compra es de S/. 75 000.00 y a esta le descontamos el 36.8512 % de descuento nico tendr un valor lquido a pagar por la compra de: 75 000.00 (0.368512 X 75 000.00) = 75 000.00 27 638.40 = S/. 47 361.60.

TALLER N3 Actividad aplicativa: Descuento simple o bancario o financiero Objetivo: verificar la comprensin acerca de los elementos del descuento bancario o financiero. Autoevaluacin: Resolver los siguientes problemas:

1. Si la Empresa Avcola Santa ngela ofrece descuentos del 20% + 12% + 8% + 2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. Si la Tienda Comercial Central hace una compra de S/. 75 000,00. Cunto pagar por su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos?

2. Una letra de cambio de valor de vencimiento $22,500 va a ser vendida el da de hoy en el Banco Interamericano de Finanzas, cuando faltaban 60 das para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 25%. Cul ser la retencin o descuento practicado por el banco al documento, y cul ser el valor lquido abonado por dicho instrumento?

3. Una obligacin financiera paga a su vencimiento $360,000 va a ser

vendida el da de hoy al Scotianbank, cuando faltan 540 das para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 14,5%. Cul ser la retencin o descuento practicado por el banco al documento, y cul ser el valor lquido abonado por dicho instrumento?

4. Determinar el valor de vencimiento de una letra de cambio si con ella se consigue un financiamiento de $2250 500,00 documento que va a ser emitido el da de hoy siendo su vencimiento programado a 5 aos si el banco aplica una tasa de descuento del 7,5%.

TEMA 10: DESCUENTO A INTERS COMPUESTO 10.1. DEFINICION: El descuento bancario es una operacin que consiste en la aplicacin reiterada o repetitiva del descuento simple al valor nominal o valor del vencimiento o valor futuro del instrumento o documento que se descuenta por unidades temporales o perodos de tiempo preestablecidos, obteniendo sucesivamente tambin valores lquidos durante el plazo u horizonte temporal de la operacin.


Consideremos el siguiente cuestionamiento. En cunto tiempo se acumulan $120,000, si ahora se invierten $107,800 al 15% nominal mensual? Con la frmula del inters compuesto se obtiene el plazo:

120,000 = 107,800(1 + 0.15/12)x M = C(1 + i/p)np

120,000/107,800 = (1.0125)x o (1.0125)x = 1.113172542 de donde x = Ln(1.11317254)/Ln(1.0125) o x = 8.630622812

Este resultado de 8 meses y casi 19 das es terico, porque en la prctica, en la vida real, los intereses de cualquier periodo se hacen efectivos hasta que ste termina, y si por alguna razn el inversionista necesita su dinero antes de que concluya el periodo, y dependiendo de las condiciones contractuales, puede ser que tenga que esperarse hasta la fecha de vencimiento, para que le den su inversin sin contar los intereses de la fraccin del periodo o, en el mejor de los casos, que le entreguen la parte proporcional de tales intereses. Por ejemplo, el monto acumulado durante los 8 meses en las condiciones supuestas es

M = 107,800(1 + 0.15/12)8 o M = $119,063.60

y la diferencia con los pretendidos $120,000 sera la parte proporcional que corresponde a los cerca de 19 das despus del octavo mes. Esta diferencia es

120,000 119,063.60 = $963.40

Pero tambin es una prctica comn la que algunos llaman regla comercial, la cual consiste en calcular el monto que se acumula durante los periodos de capitalizacin completos, utilizando la frmula del inters compuesto, para luego sumarlo con los intereses acumulados durante el periodo incompleto, pero considerando inters simple. Antes de comenzar con los ejemplos, cabe sealar que se procede de manera semejante cuando se trata de evaluar el capital al iniciar el plazo.

ACTIVIDADES: Utilizando la regla comercial, determinar cunto se acumula al 23 de octubre, si el 10 de marzo del ao anterior se depositan $85,000 en una cuenta que bonifica el 17.7% de inters anual capitalizable por cuatrimestres. Solucin Del 10 de marzo al 10 de julio del ao siguiente se comprenden 4 cuatrimestres, y de esta fecha al 23 de octubre se tienen 105 das naturales. El monto acumulado durante el primer lapso, puesto que C = 85,000, el capital inicial


i = 0.177, la tasa capitalizable por cuatrimestres p = 3, los tres cuatrimestres que tiene el ao np = 4, el nmero de cuatrimestres completos, es M1 = 85,000(1 + 0.177/3)4 M = C(1 + i/p)np M1 = 85,000(1.257719633) o M1 = $106,906.17 El valor futuro de este monto 105 das despus, es decir, el 23 de octubre, considerando inters simple es M = 106,906.17[1 + 105(0.177/360)] M = C(1 + ni)

M = 106,906.17(1.051625) M = $112,425.20

Solo para efectos de comparacin, note usted que el monto que se acumula con inters compuesto desde el 10 de marzo, fecha de la inversin, hasta el 23 de octubre del ao siguiente, con un plazo fraccionario y considerando que un cuatrimestre tiene 121 das, es

np = 4 + 105/121 o np = 4.867768595 cuatrimestres es

M = 85,000(1.059)4.867768595 M = 85,000(1.321867037) o M = $112,358.7

Problema: Por qu cantidad se concedi un crdito en mercanca si se ampara con un documento con valor nominal de $50,200, que incluye intereses del 16.8% nominal trimestral y vence en 35 semanas? Utilizar la regla comercial. Solucin: En 35 semanas quedan comprendidos 2 trimestres de 13 semanas cada uno y 9 semanas adicionales para un periodo incompleto. El valor presente de los $50,200, 2 trimestres antes es

C = 50,200(1 + 0.168/4)2 C = M(1 + i/p)2

C1 = 50,200(0.921010459) o C1 = $46,234.72504

y 9 semanas antes, con inters simple, esto nos da C = 46,234.72504 [1 + (9/52) (0.168)]1 C = M (1 + ni)1 C = 46,234.72504 (0.971744656) C = 44,928.34696 o C = $44,928.35 redondeando Problema: Cunto dinero puede retirar Laura el 23 de diciembre, si el 8 de enero anterior deposit $68,500 en un banco que bonifica el 9.6% anual capitalizable por bimestres? Utilizar la regla comercial y comparar resultados considerando inters compuesto para el plazo completo.


Solucin a) Con la ayuda de un diagrama de tiempo, se aprecia que desde el 8 de enero al

8 de noviembre se cumplen 5 bimestres, y desde esta fecha hasta el 23 de diciembre se tienen 45 das. Los valores que se tienen para reemplazar en la frmula del inters compuesto son

C = 68,500, el capital que se invierte p = 6, la frecuencia de conversin, 6 bimestres cada ao np = 5, el plazo en bimestres, los que son completos i = 0.096, la tasa de inters nominal bimestral Entonces M = 68,500(1 + 0.096/6)5 M = C(1 + i/p)np M = 68,500(1.082601289) o M = $74,158.1883 y para el periodo incompleto se tiene C = 74,158.1883, el capital n = 45, el plazo en das i = 0.096/360 o i = 0.000266667, la tasa de inters simple por da El monto al 23 de diciembre es, entonces, M = 74,158.1883[1 + 45(0.000266667)] M = C(1 + ni) M = 74,158.1883(1.012) o M = $75,048.09

b) Considerando que en un bimestre caben 60 das, el plazo para el monto compuesto en bimestres es 5 + 45/60 = 5.75 y el monto es, en este caso, M = 68,500(1 + 0.096/6)5.75 M = 68,500(1.095566693) o M = $75,046.32 Esto significa que lo ms que Laura podra retirar el 23 de diciembre es este monto

TALLER N 4: Taller aplicativo: Descuento compuesto Objetivo: Verificar la comprensin acerca de los elementos del descuento compuesto. Se propone a los alumnos la prctica intensiva en sus casas de problemas que se entregarn por escrito para su correspondiente desarrollo. Autoevaluacin: Resolver los siguientes problemas:

1) El 31 de agosto de 2000, el Banco Santander acept descontar una letra de cambio de su cliente la empresa Transportes Altursa S.A. de valor de vencimiento S/.8 800,00 que vence en 120 das. Cul fue el valor lquido que recibi la empresa en dicha fecha si la tasa nominal del descuento aplicada fue del 42%, con periodo bancario de descuento de 30 das?


2) Un pagar de valor nominal $13 750,00 es descontado por un banco 4 meses

antes de su vencimiento aplicando una tasa de inters adelantado del 21% con capitalizacin mensual Cunto deber pagarse para cancelarlo 3 meses antes de su vencimiento?

3) Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 das, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual.

4) La empresa constructora Graa y Montero S.A. requiere para la ejecucin de un proyecto a 120 das de capital de S/.250 000,00, por ello utiliza su lnea de crdito de descuento de pagars. Determine el valor nominal o de vencimiento del instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la operacin es del 54% con periodo de descuento bancario quincenal?

5) Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 das, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual.

TEMA 11: CLCULO DEL VALOR NOMINAL O VALOR DE VENCIMIENTO O VALOR FUTURO DE UN DOCUMENTO A DESCONTAR

Hay casos en los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que necesitamos y que conseguimos por va del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra pregunta es: cul sera el importe del documento a suscribir en dicho caso si este es descontado? En ese caso y a partir de la ecuacin:

S = P (1 d)n Ejemplo: La empresa constructora Arana y Monte blanco S.A requiere para la ejecucin de un proyecto a 120 das de capital de $ 250 000.00, por ello utiliza su lnea de crdito de descuento de pagars. Determine el valor nominal o de vencimiento del instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la operacin es del 54 % con perodo de descuento bancario quincenal. Respuesta: P = $ 250 000.00; n = 8; d = 0.54/24 = 0.0225; S = ?

S = 250 000.00 (1 0.0225)-8 = $ 299 920.3126 S = $ 299 920.31


Ejemplo: La empresa El gallo Ronco S.A.C requiere de $ 250 000.00 para la ejecucin de un proyecto de inversin a ejecutarse en los prximos tres aos. Si el dinero es 43 conseguido descontando un pagar a la tasa del 18 %, cul ser el importe del documento a emitirse por concepto de dicho crdito? Respuesta: Factores: P = $ 250 000.00; d = 0.18; t = 3 aos; fc o m = 1; n = 3 S = ? S = 250 000.00 (1 0.18)-3 = $ 453 417.68 El valor de vencimiento del documento pagar a emitirse por dicho crdito es de:

$ 453 417.68

TALLER N 5: Taller aplicativo: Clculo del valor nominal o valor de vencimiento o valor futuro de un documento a descontar Objetivo: Verificar la comprensin acerca de los elementos del valor nominal Autoevaluacin: Resolver los siguientes problemas:

1) El 7 de marzo la empresa AILLIN, correntista del BBVA, acepto un pagare de S/. 9000 con vencimiento a 90 das Cul fue el valor lquido que AILLIN recibi en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue de 48%, con periodos de descuento bancario cada 38 das

1) Un pagare con valor nominal de S/.50000 se descuenta bancariamente 6 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con capitalizacin mensual Qu importe debe pagarse para cancelarlo 2 meses antes de su vencimiento?


UNIDAD IV Objetivos especficos.

Calcular el valor futuro y el valor actual de cualquier conjunto de flujos de efectivo en las anualidades.

Comprender cmo estn inversamente relacionadas el valor actual y la tasa de inters, cundo una aumenta y la otra disminuye.

Uso y aplicacin de los factores financieros.

Contenido temtico:

Definiciones y clasificacin de las anualidades Anualidades vencidas Monto de una anualidad anticipada Valor presente de las anualidades ordinarias Rentas equivalentes Anualidad diferida rentas perpetuas Algunos problemas de aplicacin

TEMA 12: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA 12.1. DEFINICION La palabra anualidad se utiliza por costumbre que tiene su origen en los pagos que se hacan anualmente. En el mundo de las finanzas la palabra anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales.

En particular en la matemtica financiera se utiliza esta palabra con un concepto ms amplio, para referirse al sistema de pagos de cantidades fijas a periodos de tiempo iguales, que no solamente pueden ser anuales, sino de cualquier otra magnitud. Son ejemplos de anualidades: los sueldos, los pagos que hacemos por servicios pblicos, los programas de crditos pagaderos a plazos, las pensiones universitarias, las pensiones de jubilacin etc. Definicin.- Una anualidad es una serie o sucesin de pagos, depsitos o retiros peridicos de cantidades iguales con inters compuesto. Definicin de factores vinculados con las Anualidades o Rentas. Tiempo o Plazo de la Anualidad o Renta.- Es el tiempo que transcurre entre las fechas de inicio o comienzo del periodo y vencimiento o trmino del ltimo Intervalo o Periodo de Pago o Periodo de Renta.- Es el tiempo medido o fijado entre dos pagos sucesivos de la anualidad o renta.

ANUALIDADES Y SEGUROS DE VIDA


Pago Peridico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de los pagos, depsitos o retiros que se hacen. Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un ao. Tasa Inters de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que regir para la anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva. Una persona adquiere un equipo DVD mediante un contrato de compra-venta a plazos en una tienda de electrodomsticos, a un plazo de 2 aos por el que pagar $36,00 mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36% efectivo anual. Los factores de la Anualidad o Renta son: Tiempo o plazo de la anualidad: 2 aos Intervalo de Pago: Es de un mes o Mensual Pago Peridico: $36,00 Renta Anual: $432,00 La tasa de inters efectiva anual es del 36% de la que se deduce la

TEM i = (1+0,36) Conceptos bsicos que no debes olvidar: Elementos de una anualidad Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un ao, para rentarlo en $6,500 por mes, entonces: El plazo es de un ao, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes. Adems, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibir un capital menor a los $78,000 que obtendra durante el ao. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad. Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que redita un inters compuesto, entonces el dinero que al final del ao tendr en la institucin bancaria ser mayor a los $78,000 y eso ser el monto o valor futuro de la anualidad. Clasificacin de las anualidades Genricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalizacin de intereses, pero es posible que no coincida. Quiz tambin la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos despus.

Anualidad es una sucesin de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con inters compuesto. Renta de la anualidad es el pago peridico y se expresa con R. Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del ltimo. El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.


Dependiendo de stas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera: 12.2. CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS.

Criterio

Tipo

Descripcin

Tiempo (fecha de inicio y

fin)

CIERTAS

Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crdito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ltimo pago.

CONTINGENTESAnualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del ltimo pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cnyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cnyuge, que no se sabe exactamente cundo.

INTERES

GENERALES

Anualidad general. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalizacin. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente.

SIMPLES

Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalizacin de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente.

PAGOS

VENCIDAS

Anualidad vencida. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

ANTICIPADAS

Anticipadas. Los pagos se efectan al principio de cada periodo.

INICIACION

INMEDIATAS

realizacin de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalizacin del trato. Ejemplo: se compra un artculo a crdito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habr de realizarse en ese momento o un mes despus de adquirida la mercanca (puede ser as, anticipada o vencida).

DIFERIDAS Diferidas. La realizacin de los cobros o pagos se hace tiempo despus de la formalizacin del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un artculo a crdito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habr de hacerse 6 meses despus de adquirida la mercanca.


12.3. VALOR DE LA ANUALIDADES O RENTAS El valor de una anualidad o renta puede ser calculado al final o vencimiento de su plazo, a dicho clculo se le denomina monto o valor futuro y en este caso lo pagos peridicos se capitalizan y el valor de una anualidad o renta calculado al inicio o principio de su plazo se llama valor presente o valor actual siendo en este caso que los pagos peridicos son descontados. Tambin el valor de una anualidad o renta puede ser calculado en posiciones intermedias de su tiempo o plazo que da lugar al clculo del monto o valor futuro parcial, cuando se refiere al clculo de la parte vencida de la anualidad y valor presente o actual parcial, cuando dicho clculo se refiere a la parte de los pagos que faltan por vencer de la anualidad o renta. Clculo del Monto o Valor Futuro de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias e Inmediata El monto o valor futuro de una anualidad de este tipo es el capital acumulado correspondiente todos los pagos peridicos y todos los intereses generados por stos, al trmino del plazo o mejor dicho, es la suma de todos los montos compuestos determinados por los pagos peridicos hechos a la anualidad o renta. En la prctica es el caso que ms se presenta en lo que se refiere al clculo del valor de las anualidades. A partir de una ecuacin de equivalencia financiera y tomando como fecha de referencia la fecha de vencimiento del plazo, el monto o valor futuro F de esta anualidad la obtenemos de la siguiente manera: Momento Actual Vencimiento del Plazo 0 R1 R2 R3 ,,,,,,,,,,, Rn-2 Rn-1 Rn VFn = VR(1 + i)

0 ------------ VFn-1 = VR(1 + i)

1 -------------------------- VFn-2 =VR(1 + i)

2 ..

------------------------------------ VF 3 = VR(1 + i)n-3

------------------------------------------------------ VF2 = VR(1 + i)n-2

------------------------------------------------------------------- VF1 = VR(1 + i)n-1

VF = ? Utilizando un procedimiento que nos presenta de manera inversa el orden de los pagos peridicos realizados observamos en el grfico que cada pago peridico de la anualidad esta impuesto a inters compuesto por n nmeros de periodos diferentes. El primero R1 estar durante n -1 periodos, el segundo R2 Durante n 2, el tercero R3 durante n 3, el antepenltimo durante 2 periodos, el penltimo durante 1 perodo y el ltimo pago por coincidir con la fecha de vencimiento del plazo no devenga inters por lo que tericamente le hemos puesto al FSC exponente 0.


Luego el monto o valor futuro de la anualidad o renta simple cierta ordinaria e inmediata ser igual a la suma de los montos compuestos parciales o valores futuros parciales a inters compuesto generados por cada pago computados al vencimiento del plazo. VFn = R(1 + i)

n-1 + R(1 + i)n-2 + R(1 + i)n-3 +..........+ R(1 + i)2 + R(1 + i)1 + R(1 + i)0 Si invertimos el orden de la progresin anterior nos queda: VFn = R + R(1 + i)

1 + R(1 + i)2 +...................+ R(1 + i)n -3 + R(1 + i)n -2 + R(1 + i)n -1 En conclusin tenemos que el monto o valor futuro de la anualidad VFn es igual a la suma de los trminos de una progresin geomtrica cuyo primer trmino a1 es R, su razn r es (1 + i), la que obtenemos aplicando la ecuacin de la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica (Sn ).

Sn = a1 (rn 1)

r - 1 r 1 Luego basados en esa frmula y adecuando a la nomenclatura o trminos de las anualidades tenemos que:

VFn = R )1( 1)1( ii in

Finalmente nos queda la siguiente ecuacin: VFn = R i

i n 1)1(

El trmino encerrado entre corchetes se le llama Factor de Capitalizacin de la Serie (FCS) o tambin Factor de Capitalizacin de la Renta Unitaria o tambin Factor del Valor Futuro de la Anualidad o Renta, el mismo que se lee: El Factor de Capitalizacin de una Serie a una tasa i efectiva por periodo y por un nmero n de periodos de capitalizacin transforma una serie uniforme de pagos peridicos en un valor futuro VFn. Ejemplo de aplicacin: Una persona deposita en una cuenta de ahorros $7,500 dlares anuales durante 6 aos. Cunto habr acumulado en la cuenta si percibi una tasa efectiva anual del 9%? Para R = $ 7 500 i = 0,09 y n = 6


Para desarrollarlo utilizaremos un diagrama de flujo y tendremos: 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 R1 R2 R3 R4 R5 R6

--------VF6 = 7 500,00(1 + 0,09)0 = 7 500,00

---------------VF5 = 7 500,00(1 + 0,09)1 = 8 175,00

-----------------------VF4 = 7 500,00(1 + 0,09)2 = 8 910,75

--------------------------------- VF3 = 7 500,00(1 + 0,09)3 = 9 712,72

---------------------------------------VF2 = 7 500,00(1 + 0,09)4 = 10 586,86

----------------------------------------------VF1 =7 500,00(1 + 0,09)5 = 11 539,68

Si sumamos los montos compuestos calculados VF1+VF2+VF3+VF4+VF5+VF6 obtenemos el Valor Futuro o Monto de la Anualidad VF = $56 425,01 Observamos que cada uno de los pagos peridicos ha sido multiplicado por su FSC, obteniendo montos compuestos parciales a partir de cada pago peridico. En la prctica este mtodo de clculo empleado se llama mtodo largo para el clculo del monto o valor futuro de una anualidad o renta, que es un mtodo demostrativo de su concepto. Utilizable cuando el nmero de pagos de la anualidad es relativamente corto, y poco til por lo largo y tedioso que sera aplicarlo a un nmero de pagos peridicos bastante grande. En reemplazo de esta forma de determinacin utilizamos la ecuacin directa de estimacin. Aplicando la ecuacin del Valor Futuro o Monto de la Anualidad o Renta y obtenemos:

VF6 = 7 500,00 09,01)09,01( 6 = 7 500,00 x 7,523334565 = $ 56 425,01

Un trabajador de la empresa X, ha aportado a la AFP Nueva Vida, S/. 450,00 mensuales durante 20 aos. Cunto tendr acumulado a la fecha si en ese lapso la tasa de inters pagada era del 14,4% capitalizable mensualmente? Rpta. R= S/.450,00 j = 14,4% i = 14,4%/12 = 1,2% t = 20 aos n = 20x12 = 240

Aplicando la frmula: VF240 = 450 012,0

1)012,01( 240 = 450 x 1 375,957165 = S/. 619 180,72


12.4. FACTORES FINANCIEROS

-> factor simple de capitalizacin FSC

-> factor simple de actualizacin FSA

-> factor de capitalizacin de la serie FCS

-> factor de depsito de fondo de amortizacin FDFA

-> factor de recuperacin del capital FRC

-> factor de actualizacin de la serie FAS

APLICADO S, C, R

a) S = C.FSCi,n VALOR FUTURO EN FUNCION DE UN VALOR PRESENTE

b) C = S.FSAi,n VALOR PRESENTE EN FUNCION DE UN VALOR FUTURO

c) C = R.FASi,n VALOR PRESENTEEN FUNCION DE UNA RENTA FUTURA

d) R = C.FRCi,n RENTA FUTURA EN FUNCION VALOR FUTURO

e) S = R.FCSi,n VALOR FUTURO EN FUNCION A UNA RENTA

f) R = S.F

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MATEMATICA FINANCIERA