Juros simples e compostos

Notas de aula –1o. semestre de 2010

Ref.: Matemática comercial e financeira – Walter Spinelli e M.Helena S. Souza

Ed. Atica, SP, 2004 14ª. Ed.

Definição . Juro é o acréscimo referente ao aluguel de uma quantia emprestada.

Exemplo: nas compras a prazo, é a diferença entre o preço a vista e o preço total a prazo.

Juros Simples

Quando a taxa de juros for fixa e os juros são calculados sempre a partir da quantia inicial,

temos juros simples.

Exemplo. Ao tomar emprestada a quantia de R$ 1000,00, com taxa de juros de 2% ao mês,

depois de um mês deverei pagar

1000 . 2/100 = R$ 20,00.

No segundo mês os juros dobram, no terceiro mês triplicam...

Especificando passo a passo a aplicação de um capital de R$1.000,00 a uma taxa de juros

(simples) de 2% ao mês por três meses temos a seguinte planilha:

Mês Montante Inicial Juros Montante Final 1 1.000,00 1.000,00*2%=20,00 1.020,00 2 1.020,00 1.000,00*2%=20,00 1.040,00 3 1.040,00 1.000,00*2%=20,00 1.060,00

Ao fim de n meses, deverei pagar 1000 . 2/100.n

Assim, sendo J = juros simples, resultantes da aplicação do capital C a uma taxa i por unidade

de tempo, durante um período n de tempo, podemos usar a fórmula abaixo para calcular o

total de juros.

J = C . i . n

Observe que i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se temos uma taxa diária, n

deverá ser calculado em dias; se a taxa for anual, n deve ser calculado em anos, etc.

Quando ao valor o capital inicial forem incorporados os juros, teremos o montante (M)

M = C + C . i . n

Exercícios

1) Qual o valor dos juros simples que um capital de R$ 30000,00 produz, quando

aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5%a.m. (ao mês)? Resp: R$ 5250,00

2) Qual o valor dos juros simples que um capital de R$ 2500,00 produz, quando

aplicado durante um ano, a uma taxa mensal de 2%? Resp: R$ 600,00

3) Um capital de R$ 10000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, foi sacado

após três meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento. Qual foi o

juro? Resp:R$ 361,11

4) Qual a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$

5000,00 para que este renda R$ 720,00 em quatro meses e meio? Resp: 3,2% ao

mês.

5) Que capital inicial rende R$ 2000,00 em ciquenta dias, a uma taxa simples de 0,2

a.d.(ao dia)? Resp:R$ 20000,00

6) Qual a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital para que

ele duplique de valor em um ano? Resp: 8,33% ao mês.

Juros compostos

Lembramos que os juros simples são calculados a uma taxa fixa, sempre a partir da mesma

quantia inicial. Os juros compostos são diferentes, pois sobre o capital inicial vão sendo

acrescentados os juros devidos, de modo que a quantia sobre a qual os juros são calculados

aumenta a cada intervalo de tempo. Exemplo:

Suponha um investimento de R$ 10000,00 a uma taxa de 2% ao mês. Podemos calcular o

montante após três meses usando juros simples:

J = 10000 . 2/100 . 3 = 600

O montante é de :

R$ 10000 + R$ 600,00 = R$ 10600,00

Se usarmos juros compostos, devemos aplicar a taxa sobre o montante do mês imediatamente

anterior. No exemplo, teremos:

Ao final do primeiro mês:

J = 10000 . 2/100 = 200

M1 = 10000+200 = R$ 10200,00

Ao final do segundo mês:

J = 10200 . 2/100 = 204

M2 = 10200+204 = R$ 10404,00

Ao final do terceiro mês:

J = 10404 . 2/100 = 208,08

M3 = 10404+208,08 = R$ 10612,08

Observe que o juro total produzido ao final do terceiro mês é de

R$ 10612,08 – R$ 10000,00 = R$ 612,08

Especificando passo a passo a aplicação de um capital de R$10.000,00 a uma taxa de juros

(compostos) de 2% ao mês por três meses temos a seguinte planilha:

Mês Montante Inicial Juros Montante Final 1 10.000,00 10.000,00*2%=200,00 10.200,00 2 10.200,00 10.200,00*2%=204,00 10.404,00 3 10.404,00 10.404,00*2%=208,08 10.612,08

Podemos encontrar a fórmula que nos permite calcular diretamente o montante a partir de

uma taxa constante i e um capital C.

Partindo de cada montante

M = C + J

Como J = C . i, temos:

1º. Período:

M1 = C + C . i = C . (1 +i)

2º. Período:

M2 = M1+ M1 . i = M1 . (1 +i) = C . (1+i) . (1+i) = C . (1+i)2

3º. Período:

M3 = M2+ M2 . i = M2 . (1 +i) = C . (1+i)2 . (1+i) = C . (1+i)3

Generalizando para um período n de tempo, o montante será dado por:

M = C . (1+i)n, onde C é o capital e i a taxa.

Agora calculando o montante de exemplo:

M = 10000 . (1 + 0,02)3 = 10612,08

Exercícios

1) Calcular o montante de um capital inicial de R$ 6000,00 a juros compostos de 5%

a.m., durante 6 meses. Resp: R$ 8040,57

2) Calcular o montante para um capital inicial de R$ 10000,00 a juros compostos de

4% a.m., durante 8 meses e 12 dias. Resp: R$ 13902,00 (aproximado)

3) Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$ 40000,00 a juros compostos de

2% a.m., durante 5 meses. Calcular a quantia. Resp: R$ 36229,23

4) Durante quanto tempo é preciso aplicar R$ 5000,00, à taxa de 7%a.m., para

produzir o montante de R$ 12000,00? Resp: 12 meses e 28 dias (aproximado)

5) Um capital de R$ 7500,00 aplicado durante 5 meses produziu um montante de R$

9500,00. Qual a taxa mensal aplicada? Resp: 4,8413% (aproximada)

6) Na porta de um grande banco, encontra-se um cartaz onde se lê: “Aplique hoje R$

1788,80 e receba R$ 3000,00 daqui a 6 meses”. Qual a taxa mensal de juros que o

banco está aplicando sobre o dinheiro investido? Resp:9%a.m. (aproximada).

Formulário

Juros simples

M = C + C. i . n

Juros compostos

M = C. (1+i)n

n = (ln M – ln C)/ln (1+i)

i = exp((ln M – ln C) /n) – 1

C = exp ((ln M – n . ln(1+i))