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1 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Aulas 2
Profaª Msc. Érica Siqueira
Mini Currículo Professora: Érica Siqueira
• Formação:
Doutoranda em Administração pela FGV.
Mestre em Administração pela FEA USP (2014),
Especialista em Administração pela FGV (2011) e
Bacharel em Sistemas de Informação pelo Mackenzie.
• Professora nos cursos de Administração nas faculdades
Unisant´anna e Estácio.
• Professora convidada para cursos de pós graduação.
• Consultora de empresas para elaboração/análise de viabilidade de
projetos de inovação.
• Atua há 17 anos implantando e desenhando sistemas para gestão
empresarial, gestão pública, gestão financeira, cadeia de
suprimentos, etc..
Profaª Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender
• Utilizar a calculadora HP12c e o Excel para calcularFluxo de Caixa, Valores Presentes e futuros, Taxa ePeríodos
• Usar a calculadora HP12c e o Excel para calcularTIR
• Usar Excel para Calcular VPL e Payback• Usar o Excel para simular sistema PRICE e SAC
4 Profa. Msc. Érica Siqueira
Agenda do Curso
Data Horário Grande Tema Detalhado
05/05/2018
8:30 até 10:15
Juros Simples HP12C
Apresentação da Disciplina
Revisão de Porcentagens
Exercícios
10:30 até 12:30
Juros Simples
Desconto de Duplicata
Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples
Exercícios
13:30 até 15:00 Juros Compostos e Taxas HP12C
Juros Compostos
15:20 até 17:00Taxa Equivalente em Juros Compostos
Exercícios
12/05/2018
8:30 até 10:15
Fluxo de Caixa e Investimentos. HP12C e EXCEL
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Exercícios
10:30 até 12:30 Pagamentos e Depósitos Constantes
Fluxo de Caixa
13:30 até 15:00Fórmulas Matemática Financeira Excel
15:20 até 17:00Payback Simples e Descontado, VPL, TIR
Sistema de Amortização: SAC e PRICE
5 Profa. Msc. Érica Siqueira
Observações
• Usar HP12C
• Para estudar:
• Slides como grandes tópicos
• Livros indicados na bibliografia
• Lista de Exercícios
• Na prova poderá utilizar todo material: livros,
cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá
utilizar celular
6 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxas
7 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em
uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre
em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa
Nominal e Efetiva.
• Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa
nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso
significa que a taxa nominal é 24% a.a porém a taxa efetiva, a
qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12
• Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m
• Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual
equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a.
Taxa Nominal e Efetiva
8 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será
liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35.
• O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo
é de 45,33% a.a.
• Calcule a taxa efetiva mensal e anual
Exercício Taxa Nominal e Efetiva
9 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para calcular sucessivos aumentos, que produziram
uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a
taxa já esteja em índice
Exemplo de Taxa Acumulada
• Caso contrário, é preciso dividir a taxa por 100
10 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxa Acumulada de Inflação
Mês IPCA (%)
Janeiro 0,5
Fevereiro 0,4
Março 0,3
Abril 0,5
Maio 0,7
Junho 0,4
Julho -0,2
Agosto -0,5
Setembro 0,3
Outubro 0,7
Novembro 0,9
Dezembro 1
• Qual a taxa de inflação
acumulada no período de 12
meses da tabela ao lado?
• [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,0
05)x(1,007)x(1,004)x(0,998)x(
0,995)x(1,003)x(1,007)x(1,00
9)x(1,01) – 1] x 100.
• =5,1%
11 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A taxa aparente é formada por dois componentes: a
taxa real e a inflação.
• A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada
da inflação
• Fórmula para achar a taxa real:
• 1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I )
• Onde:
• ia = taxa aparente
ir = taxa real
I = inflação
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
12 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (BrasilEscola) - Um empréstimo foi realizado a uma taxa de
32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de
21%, determine a taxa real anual.
• Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21
• 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)
1,32 = (1 + ir) * 1,21
1,32/1,21 = 1 + ir1,09 = 1 + irir = 1,0909 – 1
ir = 0,0909
ir = 9,09%
• A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.
Exemplo de Taxa Real e Aparente
13 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxas Over
• É a taxa de juros de um dia útil, multiplicada por 30 (convenção de mercado, pois um mês tem 23 dias úteis).
• É uma forma de expressar a taxa de juros muito usada no mercado financeiro, mais especificamente no mercado aberto (open market)
• Muitos produtos do mercado tem sua rentabilidade ou custo expresso na taxa de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY).
• Toda taxa nominal “over’ deve informar o número de dias úteis que os juros serão capitalizados de forma que se possa apurar a taxa efetiva do período.
14 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxas Over - Exemplo
• Suponha que a taxa “over” em determinado
momento esteja definida em 5,4% a.m..
• No período de referência da taxa, estão previstos
22 dias úteis.
• Qual a taxa efetiva do período?
15 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Achar a taxa efetiva (diária)
• Achar a taxa efetiva para o período mensal,
considerando o mês de 22 dias úteis
Taxas Over - Exemplo
16 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fluxo de Caixa
17 Profa. Msc. Érica Siqueira
Aplicações
• Investimentos, aplicações ou empréstimos com
pagamento constante
• Registro de Saídas e Entradas no Fluxo de Caixa
• Avaliação de projetos e investimentos: Payback,
VPL, TIR
• Simulação de financiamentos pelo sistema PRICE e
SAC
18 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Representação gráfica das transações financeiras em
um período de tempo:
• O tempo é representado na horizontal dividido pelo número
de períodos relevantes para análise.
• As entradas ou recebimentos são representados por setas
verticais apontadas para cima.
• As saídas ou pagamentos são representados por setas
verticais apontadas para baixo.
Fluxo de Caixa
19 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fluxo de Caixa - Gráfico
• No tempo 0 há uma saída de 800
• Depois uma entrada de 500 e 200 nos tempos 1 e 2
respectivamente
20 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fluxo de CaixaExemplo ponto de vista do cliente
• Um banco concede um empréstimo de R$50.000,00 a um
cliente, para pagamento em seis parcelas iguais de
R$10.000,00.
50.000,00
01 2 3 4 5 6
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
21 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fluxo de CaixaExemplo ponto de vista do Banco
50.000,00
01 2 3 4 5 6
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
22 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fluxo de Caixa - Excel
23 Profa. Msc. Érica Siqueira
Séries de Pagamento
1. Série de pagamentos iguais com termosvencidos (postecipadas);
2. Série de pagamentos iguais com termosantecipados;
3. Série de pagamentos variáveis com termosvencidos;
4. Série de pagamentos variáveis com termosantecipados.
24 Profa. Msc. Érica Siqueira
Observações sobre Séries de Pagamento
1. A diferença de prazo entre dois termosconsecutivos é sempre constante;
2. O número de termos é finito (quando onúmero de termos é infinito trata-se derendas perpétuas.
3. Os cálculos são baseados no sistema decapitalização composta (juros compostos).
25 Profa. Msc. Érica Siqueira
Séries de Pagamento: Cálculos
• Montante após uma série de pagamentos;
• O valor do pagamento mensal (semestral,anual, etc.) para alcançar o montantedesejado;
• O valor atual ou presente de uma série depagamentos;
• Número de prestações ou pagamentos paraformar um montante
• Taxa de juros de uma série de pagamentos.
26 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fórmula do VF
• Calcular o montante após uma série depagamentos ou depósitos constantespostecipados.
i
iRVF
n11
27 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo de VF
Determinar o valor do montante, no final do5º mês, de uma série de 5 aplicaçõesmensais, iguais e consecutivas, no valor de$1000,00 cada uma, a uma taxa de 4% aomês, sabendo-se que a primeira parcela éaplicada no final do primeiro mês, ou seja, a30 dias da data tomada como base, e que aúltima, no final do 5º mês, é coincidente como momento em que é pedido o montante.
28 Profa. Msc. Érica Siqueira
Fórmula do VP
• Calcular o valor atual de uma série depagamentos constantes e postecipados.
n
n
ii
iRVP
)1(
11
29 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo de VP
Calcular o valor atual de uma série de 24prestações iguais, mensais e consecutivas de$ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxade 5% a.m
30 Profa. Msc. Érica Siqueira
Renda Perpétua
• A renda perpétua constante é a de duração infinita, na
qual os montantes de capital são sempre iguais (por
exemplo, um título de dívida pública em perpetuidade
a uma taxa fixa).
• Como a renda temporária, a renda perpétua pode ser
pós-pagável (os montantes originam-se no final de
cada sub-período) ou pré-pagável (originam-se ao
começo dos sub-períodos).
31 Profa. Msc. Érica Siqueira
Usos de Renda Perpétua
• Previdência
• Direitos Autorais
32 Profa. Msc. Érica Siqueira
Valor Atual de uma Renda Perpétua
• O valor atual de uma renda perpétua imediata é
dado pela fórmula:
P = R / i
Onde:
• P = Valor do Capital
• R = Renda ou pagamento
• i = taxa de juros
33 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo Renda Perpétua de R$ 2.000
• Durante 10 anos um investidor pretende depositar
mensalmente uma certa quantia para, após o término
dos depósitos, ter uma renda perpétua de $ 2,000 por
mês. Considere a convenção de fim de período e
juros de 1 % a m.
34 Profa. Msc. Érica Siqueira
1° Passo: Renda Perpétua
• Calcular o valor que proporciona uma renda mensal
vitalícia
• P = R / i
• P = 2.000 / 0,01
• P = $ 200.000
35 Profa. Msc. Érica Siqueira
2° Passo: Renda Perpétua de R$ 2.000
• Dado o Montante de R$ 200.000, achar a Renda (R),
sabendo que i = 1% a.m. e que n= 120 meses
• S = R . ((1 + i)n - 1) / i
• 200,000 = R . ((1 + 0,01)120 – 1) / 0,01
• 200,000 = R . (1,01120 – 1) / 0,01
• 200,000 = R . (1,01120 – 1)/ 0,01
• R = 200,000 x 0,01 / (1,01120– 1)
• R = 2000 / 2,3003841
• R = $ 869,42
36 Profa. Msc. Érica Siqueira
Projeção de Renda Perpétua
• http://www.confiancainvestimentos.com/ferramenta-1
37 Profa. Msc. Érica Siqueira
VPL, Payback e TIR
38 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Orçamento de capital é um processo que envolve a
seleção de projetos de investimento e a quantificação
dos recursos a serem empregados e busca responder
a questões como:
• O projeto vai se pagar?
• O projeto vai aumentar a riqueza dos acionistas ou vai
diminuí-la?
• Esta é a melhor alternativa de investimentos?
Questões sobre Projetos
39 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Payback Descontado
• Valor Presente Líquido – VPL
• A Taxa Interna de Retorno – TIR
Critérios para Avaliação de Projetos
40 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Payback Descontado é o período de tempo
necessário para recuperar o investimento, avaliando-
se os fluxos de caixa descontados, ou seja,
considerando-se o valor do dinheiro no tempo.
Payback Descontado
41 Profa. Msc. Érica Siqueira
• O Valor Presente Líquido é a ferramenta mais
utilizada pelas grandes empresas na análise de
investimentos (COPELAND, 2005), sendo definido
como o somatório do valor presente das entradas de
caixa e o valor presente das saídas de caixa.
• Portanto, o VPL (Valor Presente Líquido) é o valor
presente do fluxo de caixa ao longo do projeto.
• O valor de um projeto (ou de uma empresa) depende
de sua capacidade de gerar fluxo de caixa futuro
(renda econômica).
VPL – O que é
42 Profa. Msc. Érica Siqueira
• O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL leva em conta o valor do dinheiro no tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente.
• O VPL de um investimento é igual ao valor presente do fluxo de caixa líquido do projeto em análise, descontado por uma taxa, que pode ser o custo médio ponderado de capital, por exemplo.
• Essa taxa, usualmente chamada de taxa de desconto ou Taxa Mínima de Atratatividade, é o retorno mínimo que deve ser esperado para que o projeto seja aceito (BREALEY, 1992).
VPL e o Fluxo de Caixa Descontado
43 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Se o fluxo de caixa do projeto, após ser descontado
ao valor da taxa de desconto, for maior ou igual a zero
significa que executar o projeto é viável, pois este
remunera o capital investido a uma taxa igual ou
maior que a taxa mínima de retorno.
• Quando o VPL for menor do que zero, rejeita-se o
projeto (COSTA, 1987).
VPL - Critério
44 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, seja igual aos valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente.
• O conceito foi proposto por John Maynard Keynes, de forma a classificar diversos projetos de investimento: os projetos cujos fluxos de caixa tivessem uma taxa interna de retorno maior do que a taxa mínima de atratividade deveriam ser escolhidos.
TIR – O que é
45 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se
iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido
em um projeto. Em outras palavras, é a taxa que
iguala o VPL de um projeto a zero.
TIR
46 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:
• Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo.
• Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.
• Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno já definido.
Avaliando a TIR
47 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Tanto o projeto A e B são previstos para durar 6 anos
e tem, ambos, previsão de investimento de R$
5.000,00
• Levando em consideração que o dono da empresa
considera que os investimentos devem ter uma taxa
de rentabilidade de no mínimo 18% responda:
• Os projetos se pagam?
• Qual é mais recomendável, A ou B? Por que?
Exemplo: Investir no Projeto A ou B
48 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Investimento no aplicativo A
Projeto A Fluxo de Caixa
Investimento em t₀ -R$ 5.000,00
Retorno em t₁ R$ 2.000,00
Retorno em t₂ R$ 1.500,00
Retorno em t₃ R$ 1.500,00
Retorno em t₄ R$ 1.000,00
Retorno em t₅ R$ 1.000,00
Retorno em t₆ R$ 1.000,00
TOTAL R$ 3.000,00
Projeto A
49 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Investimento no aplicativo B
Projeto B Fluxo de Caixa
Investimento em t₀ -R$ 5.000,00
Retorno em t₁ R$ 2.700,00
Retorno em t₂ R$ 1.800,00
Retorno em t₃ R$ 1.300,00
Retorno em t₄ R$ 800,00
Retorno em t₅ R$ 500,00
Retorno em t₆ R$ 500,00
TOTAL R$ 2.600,00
Projeto B
50 Profa. Msc. Érica Siqueira
Período
Fluxo de Caixa VP
0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00
1 R$ 2.000,00 R$ 1.694,92
2 R$ 1.500,00 R$ 1.077,28
3 R$ 1.500,00 R$ 912,95
4 R$ 1.000,00 R$ 515,79
5 R$ 1.000,00 R$ 437,11
6 R$ 1.000,00 R$ 370,43
TotalR$
3.000,00 R$
8,47
VPL
Projeto A - VPL
51 Profa. Msc. Érica Siqueira
Período Fluxo de Caixa VPAcumulado
0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00
1 R$ 2.000,00 R$ 1.694,92 -R$ 3.305,08
2 R$ 1.500,00 R$ 1.077,28 -R$ 2.227,81
3 R$ 1.500,00 R$ 912,95 -R$ 1.314,86
4 R$ 1.000,00 R$ 515,79 -R$ 799,07
5 R$ 1.000,00 R$ 437,11 -R$ 361,96
6 R$ 1.000,00 R$ 370,43 R$ 8,47
Total R$ 3.000,00 R$ 8,47
Do quinto para o sexto ano
resultado fica positivo
TIR projeto A = 18%
Projeto A - Payback
52 Profa. Msc. Érica Siqueira
Período
Fluxo de Caixa VP
0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00
1 R$ 2.700,00 R$ 2.288,14
2 R$ 1.800,00 R$ 1.292,73
3 R$ 1.300,00 R$ 791,22
4 R$ 800,00 R$ 412,63
5 R$ 500,00 R$ 218,55
6 R$ 500,00 R$ 185,22
Total R$ 2.600,00 R$ 188,49 VPL
Projeto B - VPL
53 Profa. Msc. Érica Siqueira
Período Fluxo de Caixa VPAcumulado
0 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00 -R$ 5.000,00
1 R$ 2.700,00 R$ 2.288,14 -R$ 2.711,86
2 R$ 1.800,00 R$ 1.292,73 -R$ 1.419,13
3 R$ 1.300,00 R$ 791,22 -R$ 627,91
4 R$ 800,00 R$ 412,63 -R$ 215,28
5 R$ 500,00 R$ 218,55 R$ 3,27
6 R$ 500,00 R$ 185,22 R$ 188,49
Total R$ 2.600,00 R$ 188,49
Do quarto para o quinto ano
resultado fica positivo
TIR projeto B = 20%
Projeto B - Payback
54 Profa. Msc. Érica Siqueira
Sistema SAC e Sistema PRICE
55 Profa. Msc. Érica Siqueira
Financiamento de Habitação
• Há duas formas de amortização de um contrato de
financiamento reconhecido pelo Sistema Financeiro
da Habitação: Sistema SAC e Sistema PRICE
56 Profa. Msc. Érica Siqueira
Sistema PRICE
• As prestações calculadas neste sistema são
constantes.
• Cada prestação é composta de uma cota de
amortização e juros, que variam em sentido inverso
ao longo do prazo de financiamento.
• A prestação inicial tende a ser menor, é só é
aumentada em razão da aplicação da TR.
• Outro ponto importante a destacar, é que só se
percebe a diminuição do Saldo Devedor, com
aproximadamente 50% das prestações pagas.
57 Profa. Msc. Érica Siqueira
Sistema SAC
• SAC (Sistema de Amortização Constante): Trata-se
do sistema atualmente mais utilizado pelos bancos.
• Ao longo do prazo a amortização é constante,
reduzindo o principal.
• Como os juros são calculados com base no principal,
este tende a ser decrescente.
• Assim, neste sistema a parcela inicial é maior, porém
decresce ao longo do prazo.
• O Saldo devedor decresce a partir do 1º pagamento
das prestações.
58 Profa. Msc. Érica Siqueira
Comparativo PRICE x SAC
Fonte: financiamento.com.br
59 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo PRICE x SAC
Fonte: financiamento.com.br
60 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplos de Mercado
61 Profa. Msc. Érica Siqueira
Debenture
• Dívida de empresas S/A (captação de recursos)
• Maior rentabilidade que o tesouro pois tem maior
risco
• Algumas debentures podem ser livres de IR
(incentivadas - infraestrutura) – lei 12.431
• Podem ser nominais ou Escriturárias
• Selo: CETIP Certifica
• Não garantido pelo FGC
62 Profa. Msc. Érica Siqueira
Bibliografia
BibliografiaI. Básica:
1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentosfinanceiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20).São Paulo: Atlas, 2008.
2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014.
3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo:Atlas, 1996.
II. Complementar1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração econtabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000
2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: LapponiTreinamento, 1997.
3. Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria eaplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
4.-MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.
5. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.