MATEMÁTICA (FGV 2013)

7/21/2019 MATEMTICA (FGV 2013)

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MATEMTICA II (QUESTES FGV (2013))VINICYUS PAZ

1.Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1 fileira h 10 lugares, na 2 h 12, na 3 h 14 e assim por diante (isto ,

cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente).O nmero total de cadeiras a) 250 b) 252 c) 254 d) 256 e) 258

2.Observe a tabela com duas sequncias.

1. termo 2. termo 3. termo 4. termo ...Sequncia 1 3 7 11 15 ...Sequncia 2 -3 -82 -161 -240 ...

Sendo nS a soma dos n primeiros termos da sequncia 1, e nb o n-simo termo da sequncia 2, ento, n nS | b | para n

igual a 1 oua) 26. b) 29. c) 38. d) 43. e) 46.

3.Sendo a, b, c, d, e, f, g constantes reais, o grfico da funo polinomial 5 4 3 2 e

P x x ax bx cx dx ,f g

com f g, tem 5 intersectos reais distintos com o eixo x, sendo um deles (0,0). Nessas condies, necessariamente

a) a 0. b) b 0. c) d 0. d) e 0. e) f 0.

4.Uma nica linha area oferece apenas um voo dirio da cidade A para a cidade B. O nmero de passageirosy quecomparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preo da passagemx, por meio de uma funo polinomial do

primeiro grau.Quando o preo da passagem R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preo da

passagem, h uma reduo de 4 passageiros. Qual o preo da passagem que maximiza a receita em cada voo?a) R$ 220,00 b) R$ 230,00 c) R$ 240,00 d) R$ 250,00 e) R$ 260,00

5.(Fgv) Com m e n reais, os grficos representam uma funo logartmica, e seu intersecto com o eixo x, e uma funoafim, e seu intersecto com o eixo y.

Se1 10 5

f g ,3 2

ento mn igual a

a)1

8

b)1

4

c) 12

d) 4 e) 8

6.Um capital A de R$10.000,00 aplicado a juros compostos, taxa de 20% ao ano; simultaneamente, um outro

capital B, de R$5.000,00, tambm aplicado a juros compostos, taxa de 68% ao ano.Utilize a tabela abaixo para resolver.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9logx 0 0,30 0,48 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,96

Depois de quanto tempo os montantes se igualam?a) 22 meses. b) 22,5 meses. c) 23 meses. d) 23,5 meses. e) 24 meses.


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7.Se uma pessoa faz hoje uma aplicao financeira a juros compostos, daqui a 10 anos o montante M ser o dobro docapital aplicado C.Utilize a tabela abaixo.

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4x2 1 1,0718 1,1487 1,2311 1,3195

Qual a taxa anual de juros?a) 6,88% b) 6,98% c) 7,08% d) 7,18% e) 7,28%

8.Uma mercadoria vendida com entrada de R$500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$576,00. Sabendo-se que asparcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao ms, o preo vista dessa mercadoria, em reais, igual aa) 1.380,00. b) 1.390,00. c) 1.420,00. d) 1.440,00. e) 1.460,00.

9.Sabendo que a inversa de uma matriz A 1 3 1

A ,5 2

e que a matriz X soluo da equao matricial

X A B, em que B 8 3 , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

10.O total de matrizes distintas que possuem apenas os nmeros 1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, semrepetio, igual aa) (4!)4 b) 16.4! c) 5.16! d) (16!)5 e) 1616

11.O total de nmeros naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus algarismos seja 14 a) 14. b) 28. c) 35. d) 42. e) 49.

12.Desenvolvendo-se o binmio 5P(x) (x 1) , podemos dizer que a soma de seus coeficientes

a) 16 b) 24 c) 32 d) 40 e) 48

13.Tnia e Geraldo tm, cada um, uma urna contendo cinco bolas. Cada urna contm uma bola de cada uma dasseguintes cores: azul, verde, preta, branca e roxa. As bolas so distinguveis umas das outras apenas por sua cor. Tniatransfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Geraldo. Em seguida, Geraldo transfere, ao acaso, uma bola da suaurna para a de Tnia. Ao final das transferncias, a probabilidade de que as duas urnas tenham sua configurao inicial

a)1

2 b)

1

3 c)

1

5 d)

1

6 e)

1

10

14.Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cada uma, um nico nmero entre os quatro seguintes: 1, 2, 3 e 4.Nenhuma fica sabendo da escolha da outra.A probabilidade de que escolham quatro nmeros iguais

a)1

256 b)

1

128 c)

1

64 d)

1

32 e)

1

16

15.O quadrado ABCD est inscrito em uma circunferncia de raio r. Marcando-se ao acaso um ponto na regio interiordessa circunferncia, a probabilidade de que esse ponto esteja na regio interior do quadrado ABCD igual a

a)2

b)2

c)3 3

4

d)1

e)1

2

16.Um prisma reto de base triangular tem rea de uma face lateral igual a 20 cm2. Se o plano que contm essa face dista6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm3, igual aa) 18. b) 36. c) 48. d) 54. e) 60.

17.Um poo cilndrico circular reto, de profundidade 15 m e dimetro 6 m, foi escavado por 18 trabalhadores em 25

dias. Admitindo-se sempre proporcionalidade direta ou inversa entre duas das trs grandezas envolvidas no problema(volume escavado, nmero de trabalhadores e dias necessrios para o servio), para aumentar o dimetro do poo jescavado em mais 2 m, e com 4 trabalhadores a menos, sero necessrios e suficientes maisa) 20 dias. b) 21 dias. c) 23 dias. d) 24 dias. e) 25 dias.


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18.Um reservatrio tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do novoreservatrio, em relao ao volume inicial, aumentara) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8%19.Um cilindro circular reto de base contida em um plano foi seccionado por um plano , formando 30 com ,

gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE so, respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em, e raio da circunferncia de centro Q contida em . Os pontos A, B, P e D so colineares e esto em , e os pontos A,

C, Q e E so colineares e esto em .

Sendo BC = 1 m e CQ 3m, o menor caminho pelasuperfcie lateral do tronco ligando os pontos C e D mede,em metros,

a) 23 1 3

b) 3 3

c) 23 1

d)

2

9 3

e) 29

20.No plano cartesiano, considere o tringulo de vrtices A 1,4 , B 4,5 e C 6,2 .

A reta suporte da altura relativa ao lado AC intercepta o eixo x no ponto de abscissaa) 2 b) 2,2 c) 2,4 d) 2,6 e) 2,8

21.O conjunto S contm apenas pontos (x, y) do plano cartesiano ortogonal de origem (0, 0). Se um ponto qualquer P

pertence a S, ento tambm pertencem a S o seu simtrico em relao reta y x, o seu simtrico em relao ao eixo x

e o seu simtrico em relao ao eixo y. Se os pontos (0, 0), (2, 0), (0, 3) e (2, 3) pertencem a S, o menor nmero de

elementos que o conjunto S pode ter a) 7. b) 8. c) 13. d) 16. e) 17.

22.No plano cartesiano, h duas retas paralelas reta de equao 3x 4y 60 0 e que tangenciam a circunferncia2 2x y 4.

Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada

a) 2,9 b) 2,8 c) 2,7 d) 2,6 e) 2,5

23.Dados os pontos A(0,0), B(5,0), C(8,5) e D(11,8) no plano cartesiano ortogonal, P um ponto do 1. quadrante tal

que as reas dos tringulos APB e CPD so, respectivamente, iguais a25

2e 6. Em tais condies, o produto da abscissa

pela ordenada de P pode ser igual aa) 18. b) 20. c) 21. d) 24. e) 25.

24.Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equao analtica 2 2(x 2) 4(y 5) 36, e n o maior valor

real que y pode assumir nessa mesma equao, ento, m n igual aa) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3.

25. A soluo da equao log1 2log2 3log3 4log4 10log10 logx

a)1

2!3!4!...9!

b)10

2!3!4!...9!

c)10!

2!3!4!...9!

d)10(10)

2!3!4!...9!

e)11(10!)

2!3!4!...9!


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26.O par ordenado x,y que satisfaz o sistema de equaes

1 39

x y

2 54x y

tal que sua soma x y vale

a)1

7 b)

1

6 c)

1

5 d)

1

4 e)

1

3

27.Laura caminha pelo menos 5 km por dia. Rita tambm caminha todos os dias, e a soma das distncias diriaspercorridas por Laura e Rita em suas caminhadas no ultrapassa 12 km. A distncia mxima diria percorrida por Rita,em quilmetros, igual aa) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.

28.Na figura, ABCD um quadrado de lado 4 cm, e M ponto mdio de CD . Sabe-se ainda que BD arco decircunferncia de centro A e raio 4 cm, e CD arco de circunferncia de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos de

interseco desses arcos. A distncia de P at CB , em centmetros, igual a

a)4

5

b)19

25

c)3

4

d)7

10

e)17

25

29.Um tringulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado.O valor de h2expresso em cm2 , aproximadamente, igual aa) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,62

30.Na figura, AB e AE so tangentes circunferncia nos pontos B e E, respectivamente, e BAE 60 .

Se os arcos BPC, CQDe DRE tm medidas iguais, a medida do ngulo

BEC, indicada na figura por , igual aa) 20

b) 40c) 45d) 60e) 80

31.Um tringulo issceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. Seja medida do ngulo da base, para aqual a rea do referido tringulo mxima. Podemos afirmar quea) 10 20

b) 20 30 c) 30 40 d) 40 50

e) 50 60

32.Trs irmos receberam de herana um terreno plano com a forma de quadriltero convexo de vrtices A, B, C e D,em sentido horrio. Ligando os vrtices B e D por um segmento de reta, o terreno fica dividido em duas partes cujasreas esto na razo 2 : 1, com a parte maior demarcada por meio do tringulo ABD. Para dividir o terreno em reasiguais entre os trs irmos, uma estratgia que funciona, independentemente das medidas dos ngulos internos do

polgono ABCD, fazer os traados de BD e DM, sendo


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a) M o ponto mdio de AB .

b) M o ponto que divide AB na razo 2:1.

c) M a projeo ortogonal de D sobre AB .

d) DM a bissetriz de ADB .

e) DM a mediatriz de AB .

33.Na figura, ABCDEF um hexgono regular de lado 1 dm, e Q o centro da circunferncia inscrita a ele.

O permetro do polgono AQCEF, em dm, igual a

a) 4 2

b) 4 3 c) 6

d) 4 5

e) 2(2 2)

34.No plano Argand-Gauss esto indicados um quadrado ABCD e os afixos dos nmeros complexos Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, eZ5.

Se o afixo do produto de Z0por um dos outros cinco nmeros complexos indicados ocentro da circunferncia inscrita no quadrado ABCD, ento esse nmero complexo a) Z1.

b) Z2.c) Z3.d) Z4.e) Z5.

35.Sejam m e n nmeros reais, ambos diferentes de zero. Se m e n so solues da equao polinomial2x mx n 0, na incgnita x, ento, m n igual a

a)3. b)2. c) 1. d) 2. e) 3.36.A equao 4x 16 tem

a) duas razes reais e duas razes imaginriasconjugadas.

b) pelo menos duas razes iguais.c) uma nica raiz imaginria.

d) quatro razes reais.

e) quatro razes cujo produto 1

.4

37.Um mercado vende trs marcas de tomate enlatado, as marcas A, B e C. Cada lata da marca A custa 50% mais doque a da marca B e contm 10% menos gramas do que a da marca C. Cada lata da marca C contm 50% mais gramas doque a da marca B e custa 25% mais do que a da marca A. Se o rendimento do produto das trs marcas o mesmo porgrama, ento, mais econmico para o consumidor comprar a marcaa) A.

b) B.

c) C.

d) A ou B, indistintamente.e) B ou C, indistintamente.

38.O PIBper capita de um pas, em determinado ano, o PIB daquele ano dividido pelo nmero de habitantes. Se, emum determinado perodo, o PIB cresce 150% e a populao cresce 100%, podemos afirmar que o PIBper capita nesse

perodo crescea) 20% b) 25% c) 35% d) 45% e) 50%

39.No crculo trigonomtrico de raio unitrio indicado na figura, o arco AB mede . Assim, PM igual a

a) 1 tg

b) 1 cos

c) 1 cos

d) 1 sen

e) 1 cotg


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40.O relgio indicado na figura marca 6 horas e

a)7

5513

minutos.

b) 55511

minutos.

c)5

5513

minutos.

d)3

5411

minutos.

e)2

5411

minutos.

41.Se sen x sen y15

3 e cos x cos y 1, ento, sec x y igual a

a) 13

b) 12

c) 2 d) 3 e) 4

42.O grfico de barras indica como informao principal o nmero de pessoas atendidas em um pronto-socorro, porfaixa etria, em um determinado dia. Outra informao apresentada no grfico, por meio das linhas verticais, afrequncia acumulada. Em virtude de um rasgo na folha em que o grfico estava desenhado, as informaes referentes ltima barra, e apenas elas, foram perdidas, como se v na figura.

A mdia de idade do total de pessoas de 0 a 20 anos quefrequentou o pronto-socorro nesse dia foi 12,4 anos.

Nessas condies, na folha intacta do grfico original, ocomprimento da linha vertical posicionada na ltima

barra, que indica a frequncia acumulada at 20 anos deidade, em centmetros, era igual aa) 8,8.

b) 9,6.c) 10,4.d) 11,2.e) 12,0.

43.Ao conjunto {5, 6, 10, 11} inclui-se um nmero natural n, diferente dos quatro nmeros que compem esse conjunto.Se a mdia aritmtica dos cinco elementos do novo conjunto igual a sua mediana, ento, a soma de todos os possveisvalores de n igual aa) 20. b) 22. c) 23. d) 24. e) 26.

44.O algarismo da unidade do resultado de 1! 2! 3! 4! 5! ... 999! a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

45.Se2

2 1

xx 14, com x 0, ento

51

xx

igual a

a) 2 22 7 b) 37 c) 3 22 7 d) 102 e) 107


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Gabarito:

Resposta da questo 1:[B]

O nmero de lugares cresce segundo uma progresso aritmtica de primeiro termo igual a 10 e razo 2. Logo, onmero total de cadeiras

2 10 11 212 252.

2

Resposta da questo 2:[C]

A sequncia 1 uma progresso aritmtica de primeiro termo 1a 3 e razo 1r 7 3 4. Logo,

2n 2 3 (n 1) 4S n 2n n.

2

Por outro lado, a sequncia 2 uma progresso aritmtica de primeiro termo 1b 3 e razo 2r 82 ( 3) 79.

Desse modo,

nb 3 (n 1) ( 79) 79n 76.

Portanto,

2n n

2

2 2

2 2

S | b | 2n n | 79n 76 |

2n n 0, ne

(2n n 79n 76 ou 2n n 79n 76)

n

e

(n 40n 38 0 ou n 39n 38 0)

n 1 ou n 38.


Se o grfico de P intersecta o eixo x no ponto (0, 0), ento

e eP(0) 0

f g f g

e 0.

Logo,

4 3 2P(x) x (x ax bx cx d)

e, portanto, necessariamente deve-se ter d 0 para que P tenha cinco pontos distintos de interseo com o eixo dasabscissas (caso contrrio, x 0 ser, no mnimo, raiz dupla).


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Resposta da questo 4:[D]

Seja x o nmero de aumentos de R$10,00 no preo da passagem.

A receita de cada voo dada pelo produto entre o preo da passagem e o nmero de passageiros, ou seja,

R(x) (200 10x) (120 4x)

40 (x 20) (x 30).

Logo, o nmero de aumentos que proporciona a receita mxima

v20 30

x 52

e, portanto, o resultado pedido 200 10 5 R$ 250,00.

Resposta da questo 5:[A]

Do grfico de f, temos1

f 0.100

Logo,

210 m log m log10100

m 2.

Sabendo que 1 10 5f g ,3 2

vem

1

2

1 10 5 1 10 12 log n 1 log n 1

3 2 3 2

1 10n 1 10

3

10 1n 3

1 10

n 3

Portanto, n 3 1

m 2 .8

Resposta da questo 6:[E]

Temos tAM 10000 (1,2) et

BM 5000 (1,68) . Logo,


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tt t

t

1,6810000 (1,2) 5000 (1,68) 2

1,2

log(1,4) log2

t (log2 log7 log10) log2t (0,3 0,85 1) 0,3

0,30t

0,15

t 2.

Portanto, os montantes se igualaro, aproximadamente, aps 2 anos (ou 24 meses).


A taxa anual de juros i procurada tal que

10 10

102 2

2

2

0,1

2 C C (1 i) (1 i) 2

log (1 i) log 2

10 log (1 i) 1

log (1 i) 0,1

1 i 2

i 1,0718 1

i 0,0718,

ou seja, 7,18% ao ano.


O preo vista da mercadoria igual a

2

576 576500 500 480 400

1,2 (1,2)

R$1.380,00.

Resposta da questo 9:

[A]

Sabendo que 1A A I, com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos

1 1

1

X A B X A A B A

X I B A

3 1X 8 3

5 2

X 24 15 8 6

X 9 2 .

Por conseguinte, a soma pedida igual a 9 ( 2) 7.


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Existem 5 matrizes com 16 elementos: 1 16, 2 8, 4 4, 8 2 e 16 1. Logo, como em cada uma dessas matrizes

podemos dispor os elementos, sem repetio, de 16P 16!

modos, segue-se que o resultado 5 16!.


Como 14 2 7, segue-se que os nmeros naturais de 7 algarismos cujo produto de seus algarismos igual a 14,

apresentam, necessariamente, cinco algarismos iguais a 1, o algarismo 2 e o algarismo 7.

Portanto, o resultado procurado igual a

(5)7

7!P 42.

5!


A soma dos coeficientes de P dada por

5 5P(1) (1 1) 2 32.


Sem perda de generalidade, suponhamos que a bola branca seja retirada da urna de Tnia e depositada na urna de

Geraldo. Logo, a configurao inicial ser restaurada se, e s se, uma das duas bolas brancas da urna de Geraldo fortransferida para a urna de Tnia. Portanto, como temos 2 casos favorveis dentre 6 possveis, segue-se que a

probabilidade pedida 2

,6

ou seja,1

.3


Os casos favorveis so exatamente quatro: 1111, 2222, 3333 e 4444. Por outro lado, existem 44 4 4 4 4 casos

possveis. Desse modo, a probabilidade pedida igual a4

4 1.

644


A rea do quadrado ABCD dada por 2 2r 2 2r . Por outro lado, a rea do crculo igual a 2r . Portanto, a

probabilidade pedida 2

2

2r 2.

r


Sejam h e , respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que 2h 20cm , conforme o

enunciado. Sabendo que a distncia do plano que contm essa face at a aresta oposta igual a 6cm, segue-se que essadistncia corresponde altura do tringulo que base do prisma. Portanto, o resultado pedido igual a


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36 h 3 h 3 20 60cm .2


Sejam V, t e d, o volume do poo, o nmero de trabalhadores e o nmero de dias necessrios para escavar o poo.

Sabendo que d e V so diretamente proporcionais, bem como d e t so inversamente proporcionais, temos

Vd k ,

t

com k sendo a constante de proporcionalidade.

Desse modo,

23 15 1025 k k .

18 3

Aumentando-se o raio do poo em 1m, segue que o nmero de dias necessrios para executar o servio ser

2 210 4 15 3 15d' 25.

3 14


[E]

Seja ro raio da esfera. Logo, aps aumentarmos rde 20%, teremos

3 3

3

4 4(1,2 r) r

3 3 100% (1,728 1) 100%4

r3

72,8%,

ou seja, o volume do novo reservatrio, em relao ao volume inicial, aumentar 72,8%.


Planificando a metade da superfcie lateral do tronco, obtemos a figura abaixo.


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O resultado procurado a hipotenusa do tringulo CDE.

O cateto EC o semipermetro da base do tronco. Logo, EC 3 m.

Dado que CQ raio da circunferncia de centro Q, temos EQ 3 m.

Sabendo que BC 1m, do tringulo retngulo ABC, vem

BCtg30 AC 3 m.

AC

Da semelhana dos tringulos ADE e ABC, obtemos

DE AE DE 3 3

1 3BC AC

DE 3 m.

Portanto, aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo CDE, encontramos

2 2 2 2 2 2

2

CD DE EC CD 3 ( 3 )

CD 9 3 m.


O coeficiente angular da reta AC dado por

C A

C A

y y 2 4 2.

x x 6 1 5

Assim, o coeficiente angular da reta suporte da altura relativa ao lado AC 5

2e, portanto, sua equao

5 5y 5 (x 4) y x 5.

2 2

A abscissa do ponto de interseo dessa reta com o eixo x tal que

50 x 5 x 2.

2


Se P ( , ) S, ento {( , ), ( , ), ( , )} S. Portanto, como os pontos (0, 0), (2, 0), (0, 3) e (2, 3)

pertencem a S, o menor nmero de elementos que o conjunto S pode ter 17, conforme a figura abaixo.


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Considere a figura.

Sejam s e t as retas paralelas reta 3x 4y 60 0, e tangentes circunferncia 2 2x y 4.

Seja ra reta que passa pelos pontos de tangncia P e Q.

Como r perpendicular reta 3x 4y 60 0, conclumos que seu coeficiente angular igual a1 4

.3 4 3

Da,

como rpassa pela origem, sua equao 4

y x.3

Dado que as alternativas apresentam apenas valores positivos, queremos calcular o coeficiente linear da reta t (ordenadado ponto M).

Resolvendo o sistema formado pelas equaes da circunferncia e da reta r, obtemos


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MATEMTICA

22 2

P

4x 36x 4 x

3 25

6x

5

e

P

4 6 8y .

3 5 5

Logo, a equao da reta t

8 3 6 3 25y x y x

5 4 5 4 10

e, portanto, o resultado pedido 2,5.


Seja P ( , ), com , 0.

Temos

1 25 1(APB) AB 5

2 2 2

5.

Alm disso,

8 11 81 1(CPD) 6 | 40 8 55 5 55 64 |

5 5 8 52 2

4 | 8 |

4 ou 12.

Portanto, 4 5 20 ou 12 5 60.


Reescrevendo a equao 2 2(x 2) 4(y 5) 36, obtemos

2 2

2 2

(x 2) (y 5)1,

6 3

que a equao de uma elipse centrada em (2, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo das abscissas. Logo, como

a 6 e b 3, temos m 2 6 8 e n 5 3 2. Portanto, m n 8 ( 2) 6.


Temos


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2 3 4 10

2 3 4 10

2 3 4 10

log1 2log2 3log3 4log4 10log10 logx

log1 log2 log3 log4 log10 log x

log1 2 3 4 10 logx

x 1 2 3 4 10 .

Como

10 10 10 10 10 10

2 3 4 10 9 8 7 6

2 3 4 10

(10!) 1 2 3 4 10

1 2 3 4 10 1 2 3 4 9

1 2 3 4 10 2! 3! 4! 9!,

segue-se que

10(10!)

x .2! 3! 4! 9!


Temos

1 3 2 69 18

x y x y

2 5 2 54 4

x y x y

1 3 9x y

1122

y

1x

3 .1

y2

Por conseguinte,

1 1 1x y .

3 2 6


Sejam e r, respectivamente, as distncias percorridas diariamente, em km, por Laura e Rita.

Temos 5 e r 12 . Portanto, a distncia percorrida por Rita ser mxima quando a distncia percorrida porLaura for mnima, ou seja, r 12 5 7km.


[A]Considere a figura.


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Sejam Q, S e H, respectivamente, o p da perpendicular baixada de P sobre BC, a interseo de AM com DP e o p

da perpendicular baixada de M sobre CP.

Queremos calcular PQ.

Como AB AP 4cm, MD MP 2cm e AM lado comum, segue-se que os tringulos ADM e APMsocongruentes por LLL. Desse modo, AM mediatriz de DP.

Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo APM, vem

2 2 2 2 2 2AM AP MP AM 4 2

AM 2 5 cm.

Alm disso, temos

2 2MP AM MS 2 2 5 MS

2MS cm.

5

fcil ver que o tringulo CPD retngulo em P. Logo, HP MS. Por outro lado, CM MP e HM CP implica

em CH HP. Da,4

CP 2 HP cm.5

Finalmente, como os tringulos HMPe QCP so semelhantes, encontramos

4

PQ CP PQ 52 2HP MP5

4PQ .

5


Considere a figura, em que AC 1, AB 2,BC 2,5

e AH h.


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Faamos HB x, com 0 x 2,5.

Aplicando o Teorema de Pitgoras nos tringulos AHC e AHB, obtemos

2 2 2h 1 (2,5 x)

e2 2 2h 2 x .

Logo,

2 21 6,25 5x x 4 x 5x 9,25

x 1,85cm.

Portanto,

2 2h 4 (1,85) 0,58.


Seja S um ponto do menor arco BE.

Como BPC CQD DRE 2 , segue-se que BSE 360 6 . Portanto, como EAB excntrico exterior, temos

BQE BSE 6 (360 6 )EAB 60

2 2

60 6 180

40 .


Como cada ngulo da base mede , segue que o ngulo do vrtice igual a (180 2 ). Portanto, a rea do tringulo

pode ser obtida por meio da expresso

21 255 sen(180 2 ) sen2 .2 2

Sabendo que a funo sen2 atinge seu valor mximo para 2 90 , ou seja, 45 . Logo, 40 50 .


Considere a figura.


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Sabendo que (ABD) 2 (BCD), o terreno ficar dividido em trs partes iguais se, ao traarmos DM, obtivermos

(BDM) (ADM). Logo, como DH a altura relativa ao vrtice D dos tringulos BDMe ADM, devemos ter

BM AM para que (BDM) (ADM), ou seja, M deve ser o ponto mdio de AB.


[B]

Como EF FA AQ QC 1dm, basta calcularmos CE.

Sabendo que CDE 120 e CD DE 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2

CE CD DE 2 CD DE cosCDE

11 1 2 1 1

2

3.

Portanto, CE 3 dm e o resultado pedido

EF FA AQ QC CE (4 3 )dm.


fcil ver que o centro da circunferncia inscrita no quadrado ABCD o ponto ( 1,5; 1,5). Desse modo, queremos

calcular kZ , tal que

0 kZ Z 1,5 1,5 i.

Assim, como 0Z 1 i, temos

k

2

1,5 1,5 iZ

1 i

1,5 1,5 i 1 i

1 i 1 i

1,5 1,5 i 1,5 i 1,5

1 1

1,5 i

Z .



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Sabendo que m e n so as razes da equao, pelas Relaes de Girard, obtemos

mm n n 2m

1

en

m n n (1 m) 0 m 1.1

Portanto, n 2 e o resultado m n 1 ( 2) 3.


Temos

4 4

2 2

1x 16 x 0

16

1 1x x 0

4 4

1 1 1 1x x x i x i 0.

2 2 2 2

Portanto, como o conjunto soluo da equao 1 1

, i ,2 2

segue que a equao possui duas razes reais e duas

razes imaginrias conjugadas.


Sejam A Bp , p e Cp , respectivamente, os preos unitrios das latas das marcas A,B e C.

Sejam ainda A Bq , q e Cq , respectivamente, a massa de tomate, em gramas, contida nas latas das marcas A,B e C.

Temos

B A

A B

C AC A

A CC A

C B

B A

2p p

3p 1,5 p

5p pp 1,25 p 4 .q 0,9 q 10

q q9q 1,5 q

20q q

27

Logo, como

AB A

B AA

2pp p93

20q 10 q

q27

e


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AC A

C AA

5pp p94 ,

10q 8 qq9

segue-se que a marca B a que apresenta o menor custo por grama para o consumidor.


Sejam p e n, respectivamente o PIB e a populao do pas.

A variao percentual pedida dada por

2,5p p 0,5p

2n n 2n100% 100%p p

n n25%.


Considere a figura.

Como o menor arco AS mede 90 e AQS um ngulo inscrito, segue-se que AQS 45 . Da, como BMQ 90 , vem QPM 45 e, portanto, MQ PM. Alm disso, OA OQ 1. Donde podemos concluir que OM 1 PM.

Por outro lado, como AQ BM, segue que M o ponto mdio de BM. Assim, tomando a potncia do ponto M em

relao circunferncia de centro O, obtemos

2MB MN MQ MA MB PM (2 PM).

Adicionalmente, tem-se QOB QB 180 . Logo, do tringulo retngulo OBM, encontramos

MBsen(180 ) sen MBOB

e, portanto,


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2 2 2

2 2

sen PM (2 PM) (PM 1) 1 sen

(PM 1) cos

PM 1 cos .

Porm, como 90 180 implica em cos 0, segue-se que PM 1 cos (pois PM 1).


Seja 6 horas e x minutos a hora marcada no relgio.

O ngulo , percorrido pelo ponteiro das horas em30

x 556

minutos, tal que

30

55 306 2 552 6

13 360

360.

13

Portanto,

x 360x 2

2 13

720x

135

x 55 .13


Sabendo que 2 2sen cos 1, cos( ) cos cos sen sen e1

sec ,cos

vem

2 2

2 2

2 2

2 2

1515 sen x 2senx seny sen ysenx seny

93cosx cosy 1 cos x 2cosxcosy cos y 1

sen x cos x 2 (senx seny cosx cosy)

5sen y cos y 1

3

22 (senxseny cosx cosy)

3

13

senx seny cosx cosy

13

cos(x y)

sec(x y) 3.



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[E]

De acordo com o grfico, obtemos a seguinte tabela.

Anos de idadei

x i

f i ix f iF

0 | 4 2 1 2 1

4 | 8 6 3 18 4

8 |12 10 2 20 6

12 |16 14 4 56 10

16 | 20 18 k 18k 10 k

if 10 k i ix f 96 18k

Sabendo que a mdia de idade igual a 12,4, temos

i i

i

x f 96 18kx 12,410 kf

18k 12,4k 124 96

k 5.

Portanto, como a frequncia acumulada na ltima barra 10 k 10 5 15, segue-se que o seu comprimento igual

a 8 15 120mm 12cm.


Seja m a mediana do conjunto {5, 6,10,11, n},com m, n e n {5, 6,10,11}.

Sabendo que a mdia dos elementos do conjunto acima igual a sua mediana, temos

32 nm n 5m 32.

5

Como m e n so naturais, devemos ter m 7. Logo, por inspeo, segue-se que os nicos valores possveis de n son 8 e n 18.

Portanto, o resultado 8 18 26.


Seja u(n) o algarismo das unidades do nmero natural n.

Reescrevendo a expresso, obtemos

1! 2! 3! 4! 5! 999!

1! 3! 5! 7! 999! (2! 4! 6! 998!)

1 6 5! 42 5! 999 6 5! (2 24 6 5! 998 6 5!)

7 5! (1 42 999 6) 26 5! (6 998 6)].

Desse modo, como 5! 120, segue-se que

u(5! (1 42 999 6)) u(5! (6 998 6)]) 0


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e, portanto, o resultado

u(7) u(26) 7 6 1.


Se2

2 1

xx 14, com x 0, ento

22

2

1 1x x 2

x x

14 2

16.

Da,1

x 4x

e, portanto,5

5 101x 4 2 .x

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MATEMÁTICA (FGV 2013)