Matem´atica Discretamatematicadiscretaunsl.weebly.com/.../26340805/grafos_i.pdf · 2018-09-10 · Teor´ıa de Grafos Agust´ın G. Bonifacio Matematica Discreta. ... Teorema Todo

IntroduccionTrayectorias y Ciclos

Matematica Discreta

Agustın G. Bonifacio

UNSL

Teorıa de Grafos

Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta


DefinicionesEjemplos

Problema de los 7 puentes de Konigsberg (Leonhard Euler,1736).

Problema: encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad,pasando exactamente una vez por cada uno de los puentes yregresando al punto de inicio.




A B C

D

1

2

3

4

5

6 7




Los vertices intermedios necesariamente deben estarconectados a un numero par de aristas.

Los vertices inicial y final, en principio, son los unicos quepodrıan tener un numero impar de aristas incidentes, perocomo el vertice inicial debe coincidir con el final, estotampoco puede ser.

En el diagrama que acabamos de ver ningun vertice tiene unnumero par de aristas incidentes. Por lo tanto, es imposibleencontrar un recorrido como el especificado en el problema.




Definicion

Un grafo (no dirigido) G consiste en un conjunto V de vertices (onodos) y un conjunto E de aristas (o arcos) tal que cada aristae ∈ E se asocia con un par (no ordenado) de vertices. Si existe unaunica arista e asociada con los vertices v y w, se escribee = {v,w}.




Definicion

Un grafo dirigido (o digrafo) G consiste en un conjunto V devertices y un conjunto E de aristas tal que cada arista e ∈ E seasocia con un par ordenado de vertices. Si existe una unica arista e

asociada con el par ordenado e = (v,w), se escribe e = (v,w).




Observaciones

(a) Una arista e asociada con el par de vertices v y w es incidentesobre v y w, y se dice que v y w son adyacentes.

(b) Si G es un grafo con vertices V y aristas E, escribimosG = (V,E).

(c) Dos aristas asociadas al mismo par de vertices se dicenparalelas.

(d) una arista incidente en un unico vertice se llama lazo.

(e) Un vertice sobre el que no incide ninguna arista se denominavertice aislado.

(f) Un grafo sin lazos ni aristas paralelas se llama grafo simple.




e1 y e2 son aristasparalelas.

e3 es un lazo.

v4 es un verticeaislado.

El grafo de la figurano es simple.




Definicion

El grafo completo sobre n vertices, denotado Kn es el grafo simplecon n vertices en el que hay una arista entre cada par de verticesdistintos.

El grafo completo K4.




Definicion

Un grafo es bipartito si existen dos subconjuntos V1 y V2 (conalguno posiblemente vacıo) de V tales que: V1 ∩ V2 = ∅,V1 ∪ V2 = V y cada arista en E es incidente sobre un vertice en V1

y un vertice en V2.

Grafo bipartito. V1 = {v1, v2, v3}, V2 = {v4, v5}.




Grafo no bipartito:

Supongamos que es bipartito. Entonces existe particion de V

en V1 y V2 tal que, por ejemplo, v4 ∈ V1 y v5 ∈ V2.

Como v5 ∈ V2 y v6 es adyacente a v5, entonces v6 ∈ V1.

Como v6 ∈ V1 y v4 es adyacente a v6, entonces v4 ∈ V2.

Pero esto implica v4 ∈ V1 ∩ V2 !!!

Por lo tanto, el grafo no es bipartito.




Definicion

El grafo bipartito completo sobre m y n vertices, denotado Km,n,es el grafo simple en el cual: (i) el conjunto de vertices tiene unaparticion en los conjuntos V1 de m vertices y V2 de n vertices, y(ii) el conjunto de aristas consiste en todas las aristas e = {v1, v2}con v1 ∈ V1 y v2 ∈ V2.

El grafo bipartito completo K2,4.




Un grafo ponderado:




Aplicaciones:

(a) Redes: internet, sociales, economicas, contagios, etc.

(b) Asignaciones de trabajos en grafos bipartitos.

(c) Rutas en grafos ponderados.



DefinicionesTeoremas

Definicion

Sean v0 y vn vertices en un grafo. Una trayectoria de v0 a vn delongitud n es una sucesion alternante de n+ 1 vertices y n aristasque comienza en v0 y termina en vn :

(v0, e1, v1, e2, v2, . . . , en, vn),

donde la arista ei es incidente sobre vi−1 y vi para todoi = 1 . . . , n.

Observacion

En ausencia de aristas paralelas, al denotar una trayectoria sepueden suprimir las aristas.




(1, e1, 2, e2, 3, e3, 4, e4, 2) es una trayectoria de longitud 4 delvertice 1 al 2.

(6) es una trayectoria de longitud 0 del vertice 6 a sı mismo.




Definicion

Un grafo G es conexo si para todo par de vertices v y w en G,

existe una trayectoria de v a w.

Grafo no conexo o disconexo.




Definicion

Sea G = (V,E) un grafo. Diremos que G′ = (V ′, E′) es unsubgrafo de G si:

1 V ′ ⊆ V y E′ ⊆ E,

2 para toda arista e′ ∈ E′, si e′ incide en v′ y w′, entoncesv′, w′ ∈ V ′.




El grafo G y todos sus subgrafos.




Definicion

Sea G un grafo y sea v un vertice de G. El subgrafo G′ de G queconsiste en todas las aristas y vertices de G que estan contenidosen alguna trayectoria que comienza en v se llama componente(conexa) de G que contiene a v.

Observacion

Un grafo es conexo si y solo si tiene exactamente una componente.




Observacion

Otra caracterizacion de las componentes de un grafo G = (V,E)se obtiene al definir una relacion R en el conjunto de vertices Vmediante la regla

v1Rv2 si existe una trayectoria de v1 a v2.

Se puede demostrar (ejercicio) que R es una relacion deequivalencia y que, si v ∈ V, el conjunto de vertices en lacomponente que contiene a v es la clase

[v] = {w ∈ V : wRv}.




El grafo G = (V,E) tiene tres componentes:

1 G1 = (V1, E1) con V1 = {v1, v2, v3} y E1 = {e1, e2, e3},

2 G2 = (V2, E2) con V2 = {v4} y E2 = ∅,

3 G3 = (V3, E3) con V3 = {v5, v6} y E3 = {e4}.




Definicion

Sean v y w vertices en un grafo G.

(a) Una trayectoria simple de v a w es una trayectoria de v a w

sin vertices repetidos.

(b) Un ciclo (o circuito) es una trayectoria de longitud no nula dev a v sin aristas repetidas.

(c) Un ciclo simple es un ciclo de v a v en el que no hay verticesrepetidos excepto v.







Definicion

Un ciclo en un grafo G que incluye todas las aristas y todos losvertices de G se llama ciclo de Euler.a

aSi G = (V,E) es tal que V = {v} y E = ∅, vamos a considerar que (v) esun ciclo de Euler.

Definicion

El grado de un vertice v, denotado δ(v), es el numero de aristasque inciden en v.




Teorema

Todo grafo con n vertices y k aristas tiene al menos n− k

componentes.

Prueba. Un grafo con n vertices y 0 aristas tiene n componentes.Al agregar una arista, la cantidad de componentes se reduce en 0 oen 1, por lo que cuando se han agregado k aristas el numero decomponentes es de al menos n− k. �




Teorema 8.2.17

Si un grafo G tiene un ciclo de Euler, entonces G es conexo ytodos sus vertices tienen grado par.

Prueba. Supongamos que G tiene un ciclo de Euler C. Cada pasode C a traves de un vertice usa dos aristas incidentes, y la primeraarista se conecta con la ultima en el primer vertice. Por lo tanto,todo vertice tiene grado par. Si v y w son vertices en G, la porcionde C que va de v a w sirve como trayectoria de v a w. Por lotanto, G es conexo. �




Teorema 8.2.18

Si un grafo G es conexo y cada vertice tiene grado par, entonces Gtiene un ciclo de Euler.

Prueba. (por induccion sobre el numero de aristas n en G).

Paso Base (n = 0). Como G es conexo, consiste de un solo verticev. Entonces (v) es un ciclo de Euler.




Paso Inductivo. Supongamos que G tiene n aristas.

Hipotesis Inductiva: Cualquier grafo conexo con k aristas, k < n, y todos sus vertices

de grado par, tiene un ciclo de Euler.

Ejercicio: Ver que todo grafo conexo con uno o dos vertices, cada uno de grado par,

tiene un ciclo de Euler.

Suponemos entonces que G tiene al menos 3 vertices.

1 Como G es conexo, existen vertices v1, v2 y v3 y aristas e1 y e2 tales que e1incide en v1y y v2 y e2 incide en v2 y v3.

2 Creamos un nuevo grafo G′ eliminando las aristas e1 y e2 y agregando una

arista e incidente en v1 y v3. G′ tiene menos de n aristas y todos sus vertices

tienen grado par.

3 G′ tiene a lo sumo dos componentes. Sea v un vertice cualquiera, sea P una

trayectoria en G de v a v1 y sea P ′ la porcion de P que esta en G′. Entonces v

esta en la componente de v1 o en la de v2.




4 Si G′ tiene una componente, por H.I. tiene un ciclo de Euler C′. Podemos

modificar el ciclo de Euler en G′ para obtener uno en G reemplazando la

ocurrencia de e en C′ por las aristas e1 y e2.

5 Si G′ tiene dos componentes, por H.I. la componente de v1 tiene un ciclo de

Euler C′ y la componente de v2 tiene un ciclo de Euler C′′. Podemos obtener

un ciclo de Euler en G modificando C′ de la siguiente manera: si C′ va de v1 a

v3, sustituimos e por e1 seguido de C′′ seguido de e2, si C′ va de v3 a v1,

sustituimos e por e2 seguido de C′′ seguido de e1.

El paso inductivo queda completo. Por lo tanto G tiene un ciclo de Euler. �




G

Verificar que G tiene unciclo de Euler.

G es conexo,

δ(v1) = δ(v2) =δ(v3) = δ(v5) = 4,

δ(v4) = 6 yδ(v6) = δ(v7) = 2,

por el Teoremaanterior, G tiene unciclo de Euler.

El ciclo es

(v6, v4, v7, v5, v1, v3, v4, v1, v2, v5, v4, v2, v3, v6).




Teorema 8.2.21

Si G es un grafo con m aristas y n vertices v1, . . . , vn, entonces

n∑

i=1

δ(vi) = 2m.

En particular, la suma de los grados de todos los vertices de un grafo es siempre par.

Prueba. Cuando se suman los grados de todos los vertices del grafo se cuenta cada

arista dos veces. �

Corolario 8.2.22

En todo grafo existe un numero par de vertices de grado impar.

Prueba. Sean x1, . . . , xm los vertices de grado par y sean y1, . . . , yn los de grado

impar. Definamos

S = δ(x1) + . . .+ δ(xm) y T = δ(y1) + . . .+ δ(yn).

Por el Teorema anterior, S + T es par. Como S es par, T tambien lo es. Esto implica

que n es par. �




Teorema 8.2.23

Un grafo G tiene una trayectoria sin aristas repetidas de v a w, conv 6= w, que contiene a todas las aristas y vertices si y solo si G es conexoy v y w son los unicos vertices de grado impar.

Prueba. (=⇒) Supongamos que G tiene una trayectoria sin aristasrepetidas de v a w, con v 6= w, que contiene a todas las aristas yvertices. Entonces es conexo. Si agregamos una arista entre v y w, elgrafo resultante tiene un ciclo de Euler. Por el Teorema 8.2.17, todovertice tiene grado par. Si sacamos la arista entre v y w, tanto v como w

quedan de grado impar.(⇐=). Supongamos que G es conexo y v y w son los unicos vertices degrado impar. Insertemos una arista de v a w. El nuevo grafo G′ que seobtiene es conexo y todos sus vertices tienen grado par. Por Teorema8.2.18, G′ tiene un ciclo de Euler. Removiendo la arista entre v y w

llegamos a que G tiene una trayectoria sin aristas repetidas de v a w, conv 6= w, que contiene a todas las aristas y vertices. �




Teorema 8.2.19

Si un grafo contiene un ciclo de v a v, entonces contiene un ciclo simplede v a v.

Prueba. Sea C = (v0, e1, v1, . . . , ei, vi, ei+1, . . . , ej, vj , ej+1, . . . , en, vn)un ciclo con v0 = vn = v. Si C no es simple, entonces vi = vj para algunpar i, j tal que i < j < n. Sustituyamos C por

C′ = (v0, e1, v1, . . . , ei, vi, ej+1, . . . , en, vn).

Si C′ no es simple, se repite el proceso anterior. En algun momento seobtiene un ciclo simple de v a v. �


Documents

Matem´atica Discretamatematicadiscretaunsl.weebly.com/.../26340805/grafos_i.pdf · 2018-09-10 · Teor´ıa de Grafos Agust´ın G. Bonifacio Matematica Discreta. ... Teorema Todo