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Matemática Discreta para Ciência da Computação
Segunda Parte
Conteúdo
• Funções e Equações– Funções Injetora, Sobrejetora e Bijetora – Função Inversa e Composta– Funções Como Regras
• Aplicações para Algoritmos– Equações do Segundo Grau
• Analise Combinatório e Probabilidade – Princípio da Contagem– Permutação– Arranjo– Combinação– Probabilidade Condicional
• Álgebra de Boole– Portas Lógicas– Tabela Verdade– Simplificação de Karnaugh– Máquina de Estado Finito
Funções Injetora, Sobrejetora e Bijetora
• Para as seguintes duas definições seja f uma função que possui o conjunto domínio X e conjunto imagem Y.
• Dizemos que uma função f é injetora se somente se f toma um valor diferente em cada ponto do domínio X
, , .a b X a b f a f b
, , . oua b X a b f a f b
Funções Injetora, Sobrejetora e Bijetora
• Suponha que nós quiséssemos provar a injetividade da função f : NN pela regra para todo n pertencente a N f(n)= n + 3
• Usando a primeira condição, temos que f(a)=f(b) sendo a,b pertencentes ao conjunto dos número naturais. Assim, assumimos que a+3=b+3a=b. Portanto, f(n) injetora.
Função Injetora
• Vamos agora verificar a injetividade da função
• Aqui temos um função um pouco mais complicada para provar sua injetividade
• Escolhendo a primeira condição g(a)=g(b) e assumindo que a, b pertencem ao conjunto dos números naturais
Função Injetora
FATORANDO O TERMO DO LADO ESQUERDA DA IGUALDADE ACIMA E ORGANIZANDO O TERMO DA DIREITA , TEMOS
AGORA, USAMOS A CONTRADIÇÃO. NÓS QUEREMOS MOSTRAR QUE a = b, ISTO É, QUE a – b =0. SE ISSO NÃO FOR VERDADEIRO ENTÃO NÓS TALVEZ POSSAMOS CANCELAR a – b DE AMBOS OS LADOS DA IGUALDADE E CHEGAMOS A
O QUE CONTRADIZ O FATO DE a e b SEREM POSITIVOS. ASSIM, POR CONTRADIÇÃO PODEMOS DIZER QUE a = b E A FUNÇÃO É INJETORA
Diagrama para função injetora
3.
2.
1.-1.
5.
7.
2.
CONJUNTO DOMÍNIO CONJUNTO
CONTRA DOMÍNIO
CONJUNTO IMAGEM
Função Sobrejetora
• A função é chamada de Sobrejetora se somente se seu alcance é igual ao seu contra domínio em número.
• As setas que chegam ao contra domínio alcançam todos os elemento do mesmo não havendo por parte deste elemento não relacionado com o conjunto domínio e há pelo menos um elemento possuindo uma mesma imagem
Função Sobrejetora
PARA
3.
2.
1.
7.
5.2.
4.
Função Sobrejetora
CONJUNTO IMAGEM
CONJUNTO CONTRA DOMÍNIO
CONJUNTO DOMÍNIO
Função Bijetora
• A função bijetora reuni as propriedades peculiares encontradas tanto na função injetora como na sobrejetora
• O diagrama abaixa mostra de forma geométrica tais propriedades
3.
2.
5. 6.
11.
7.
Função Inversa
• Dada uma função f(x) sua inversa é dada pelo símbolo f-1(x).
– Exemplof(x) = 2x – 3 f-1(x)=(x+3)/2
• Determine a função inversa das seguintes funções
1. f(x) =x+22. f(x) =3x+23. f(x) =x2 – 3
Função Composta
• Função composta é simbolicamente representada por f(g(x)) ou f(x) o g(x)
• Exemplo de aplicação:f(x) = x+2 e g(x)=x-3 determine f(x) o g(x)
f(x-3)=x-3+2=x-1.• Determine f(x) o g(x) para as seguintes
pares de funções:1. f(x)=x – 5 e g(x) = 7x + 12. f(x)=3x + 2 e g(x) = 3x + 5
Função como Regras
• A noção de uma função como regra é familiar para todos envolvidos com programação de computador.
• Um subprograma com um função pode ser visto como uma série de instruções que diz como calcular uma saída de alguma entrada.– Exemplo 1. As regras seguintes definem funções
• Seja H a função com domínio e contra domínio igual ao conjunto dos números naturais que as saídas n/2 para as entradas pares e 3n+1 para as entradas ímpares.
• Para n pertencente ao conjunto dos naturais, Fac(n) =n! como segue:
Input NFact =1Equanto N>0 Fact = Fact x N N= N – 1 Mostre Fact
Aplicação para Algoritmos
int main( )
{ int N, Fat;
Fat=1;
printf("\nEntre com um número natural\n");
scanf("%d",&N);
While (N>0)
{
Fat=Fat*N;
N=N - 1;
}
printf("%d",Fat);
}
int main( )
{ int i;
float N, Fat =1;
printf("\nEntre com um número natural\n");
scanf("%f",&N);
for( i=N;i<1;i--)
{
Fat=Fat*i;
}
printf("%f",Fat);
}
Equação do Segundo Grau
• Definição Geral
1. a.x2+b.x+c=0, representa uma parábola onde a, b e c são constantes.
2. Possui duas raízes solução determinadas pelo método de Bascara como segue
Δ=b2-4.a.c x’ =(-b + √ Δ)/2.a
x’’ =(-b - √ Δ)/2.a
Análise Combinatória e Probabilidade
• Princípio da contagem – Princípio multiplicativoSe um acontecimento (evento) ocorre por várias etapas
sucessivas e independentes, de tal modo que
p1 é o número de possibilidades da primeira etapa
p2 é o número de possibilidades da segundo etapa...
pk é o número de possibilidade da k-ésima etapa, então p1 . p2 . p3 ...pk é o número total de possibilidades de o evento ou acontecimento ocorrer..
Uso do Diagrama de Árvore
• Sendo as eleições de presidente e vice-presidente independentes, quais os possíveis resultados dessa eleição? Candidatos a presidente (A, F, C),
• Candidatos a vice-presidente (B,D)Presidente Vice-Presidente Resultados Possíveis
A B AB D ADF B FB 6 D FDC B CB D CD
Uso do Diagrama de Árvore
• Uma moeda possui cara (K) e coroa (C). Lançando uma moeda três vezes seguida e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantas e quais são os resultados possíveis
1- lançamento 2- lançamento 3- lançamento resultado possíveis K K K KKK C KKC C K KCK C KCCC K K CKK C CKC C K CCK C CCC • São possíveis 8 resultados. Por exemplo, KKK significa cara no
primeiro, no segundo e no terceiro lançamento
Uso do Diagrama de Árvore
• Adriano e Rafael disputam entre si um torneio de tênis, no qual o vencedor será o primeiro a ganhar duas partidas seguidas ou três alternadas. Descrever todas as possibilidades de desenvolvimento do torneio.
1º partida 2º partida 3º partida 4º partida 5º partida resultados possíveis
A A A AA A A R ARAA R R ARARA R ARARR A A ARR A A RAAR R R RARAA R R RARR RR
Exercícios de Fixação
1. Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os números 2, 5 e 7?
2. Pedro tem 5 camisas (branca, amarela, verde, azul e vermelha) e calças (preta, cinza e marrom). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir, usando uma calça e uma camisa?
3. Lançar uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas seqüências resultados são possíveis?
Arranjo Simples• Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a algumas formas de
organizar ou agrupar os elementos de um conjunto• Por exemplo, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5, quantos números de dois
algarismos (elementos) distintos podemos formar?• Seja p1 a posição das dezenas e p2 a posição das unidades• Lembrando que os dois algarismos são distintos, construídos a árvore da
possibilidades: 3 23 2 4 24 5 25 2 323 4 34 5 35 2 424 3 43 5 45 2 525 3 53 4 54p1 p2
Os eventos: Escolha de um algarismo para a posição p1 e a escolha de um algarismo para a posição p2, após a escolha de 2, por exemplo, para p1
Arranjo Simples
• No exemplo acima podemos notar que os números obtidos diferem entre si:– Pela ordem dos elementos: 23 e 32, por exemplo;– Pelos elementos componentes (natureza): 25 e 43,
por exemplo.– Cada número assim obtido é denominado arranjo
simples dos 4 elementos tomados 2 a 2. Indica-se o número desses arranjos por A4,2 ou A4
2
An,p=n!/(n – p)!
Exercícios de Fixação
1. Considere a palavra LIVRO • Quantos anagramas são formados com as letras dessa
palavra?• Quantos deles começam por L e terminam por O?• Quantos contêm as letras RO juntas e nessa ordem?
2. Quantos números pares de 4 algarismos obtemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?
3. Dentre todos os números de quatro algarismos distintos formados com algarismos pertencentes ao conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, quantos são divisíveis por 2?
4. Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 8?
Permutação com Elementos Repetidos
• O número de permutações distintas que podem obter com elementos repetidos é dado pela relação abaixo:
• Quantos anagramas tem a palavra NATÁLIA?• Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas.
De quantas maneiras é possível retirar, uma a uma as 8 bolas dessa urna?
, ,..., !
! !... !n
nP
Combinação Simples
• Até agora estudamos problemas de análise combinatória envolvendo agrupamento que diferiam entre si pela ordem ou pela natureza dos elementos que os compõem
• Agora, vamos estudar os agrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.
• O número de combinações simples de n elementos, em grupos de p elementos cada, é igual número de arranjos de n elementos tomados p a p , dividido por p!, isto é
,
!
!( )!n p
nC
p n p
Exercícios de Fixação
1. Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas?
2. Sobre um reta marcam-se 8 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos quaisquer do total desses pontos?
3. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e duas alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y.
4. De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores?
Probabilidade
• Algumas coisas que ocorrem em nosso dia a dia são previsíveis como por exemplo a temperatura de ebulição da água (100oC)
• Esses eventos são ditos deterministas, porém há outros que mesmo que sejam conhecidos os resultados não se pode com certeza determinar que resultado dentre o total de possibilidades qual predominará.
• Esses eventos são ditos aleatórios, por exemplo, o lançamento de uma moeda, sabemos que pode ser cara ou coroa, mas se não como ter certeza qual deles resultará
Probabilidade
• Espaço amostral: conjunto de todos possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral, que vamos indicar por U
• Probabilidade de um evento em um espaço amostral finito
P(A) = n(A)/n(U)
Exemplo • No lançamento de dois dados, um branco e um
vermelho, qual a probabilidade de a soma no dois dados ser maior que 7?
• Espaço amostral U ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
• Como U é um espaço equiprovável e n(U)=36, a probabilidade de cada evento simples é 1/36.
• Vamos chamar de E o evento “ a soma nos dois dados é maior que 7”.
• E={(2,6), (3,5), (6,2), (6,3), (6,5), (6,6), (5,6), (5,4), (6,4), (4,6), (4,5), (5,3), (3,6), (4,4), (3,6)}
P(E) = n(E)/n(U) =15/36
Exemplo • Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragada. Escolhendo
aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de :– Ambas não estarem estragadas;– Pelo menos uma estar estragada.
• Vamos calcular o número de maneiras de escolher duas frutas entre dez que se refere ao espaço amostral U. Como a ordem não importa, temos um caso de combinação
C10,2 = 10!/2!(10-2)!=45 maneiras
• Seja o conjunto A o evento “ambas as frutas escolhidas não estão estragadas”.
• Cálculo do número de maneiras de escolher duas frutas não estragadas entre sete (10 – 3 = 7) que se referee ao evento esperado.Também se trata de uma combinação, pois a ordem não importa levando em conta apenas a natureza
C7,2 = 7!/2!(7-2)!=21 maneiras
• A probabilidade desse evento é:
P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7/15
Exemplo (continuação item b)
• Seja o evento B “pelo menos uma fruta estragada” significa que ou uma fruta ou duas frutas devem estar estragadas. Esse evento B é o complementar Ᾱ do evento A.
• Como A∩Ᾱ=Ø e ᾹUA=U, temos n(A) + n(Ᾱ) =n(U), sendo n(U)ǂ0: n(A)/n(U) + n(Ᾱ)/n(U) = n(U)/n(U)
• P(A) +P(Ᾱ) =17/10 + P(Ᾱ) =1 – 7/10 P(Ᾱ) =8/15
Probabilidade com reunião e intersecção de eventos
• Numa pesquisa foram consultadas 470 pessoas, e o resultado foi o seguinte: 250 lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, vamos discutir a probabilidade de ele ser:
1. Leitor dos jornais A e B
2. Leitor do jornal A ou do jornal B– Usando o diagrama de Venn, temos
Probabilidade com reunião e intersecção de eventos
A B
190 12060
100
P(A∩B)=n(A∩B)/n(U) = 60/470=6/47
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A) = n(A)/n(U) = 250/470, P(B) = n(B)/n(U)=180/470
P(AUB) = 37/47
Probabilidade Condicional
• Como o próprio nome sugere há um evento anterior que influencia o evento esperado
• Definindo a probabilidade condição como
P(A/B) = n(A∩B) / n(B)Exemplo • Extraindo sucessivamente e sem reposição duas bolas da caixa da
figura, qual a probabilidade de ser retirar:
• Duas bolas azuis?• Duas bolas da mesma cor?• Uma bola vermelha na segunda extração?• Nenhuma bola vermelha nas duas extrações?
2. Vamos inicialmente formar os conjuntos de evento:• A1: o evento tirar bola azul na primeira extração• A2: o evento tirar bola azul na segunda extração• V1: o evento tirar bola vermelha na primeira extração• V2: o evento tirar bola vermelha na segunda extração• M1: o evento tirar bola verde na primeira extração• M2: o evento tirar bola verde na segunda extração
Probabilidade Condicional
Primeira extração
Segunda extração
5/10
2/10
3/10
4/9
3/9
2/9
5/9
2/9
2/9
5/9
3/9
1/9
1. Duas bolas azuis: 5/10 x 4/9 = 2/92. Duas bolas da mesma cor: 5/10 x 4/9 + 3/10 x 2/9 +
2/10 x 1/9 = 14/453. Uma bola vermelha na segunda extração: 5/10 x 3/9
+ 3/10 x 2/9 + 2/10 x 3/9 = 3/104. Nenhuma bola vermelha nas duas extrações: 5/10 x
(4/9 + 2/9) + 2/10 x (2/9 + 4/9) =7/15
Usando a relação para o item 1 P(A2/A1) = P(A2 ∩A1) / P(A1) P(A2 ∩A1)= P(A1). P(A2/A1) = 5/10. 4/5 =2/9
Eventos Independentes
• Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando a relação abaixo é confirmada
P(A∩B) = P(A).P(B)1. Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição, de um
baralho de 52 cartas, qual a probabilidade do naipe da primeira ser paus e o da segunda ser de copas?
P(A) = n(A)/n(U) =13/52 = ¼, como a segunda carta é retirada sem reposição da primeira, restam 51 cartas no baralho (retiramos uma carta de paus). A probabilidade de ocorrer o evento independente B: “ a segunda carta é de copas” é
P(B) = n(B)/n(U) = 13/51. A probabilidade de a primeira carta ser de paus e a segunda de copas é dada pelo produto:
P(A∩B) = P(A). P(B)= (1/4).(13/51) = 13/2042. Considere duas caixas, I e II. Na caixa I há 4 bolas pretas e 6 azuis
e na caixa II há 8 bolas pretas e 2 azuis. Escolhi ao acaso uma caixa e, em seguida, tirei uma bola. Qual a probabilidade desta bola ser:
• Preta?• Azul ?
Exercícios de Fixação de Probabilidade
• Um dado é lançado. Se o número é impar, qual a probabilidade dele ser primo?
U=espaço amostral={1,2,3,4,5,6}A=conjunto dos primos={2,3,5}B=conjunto dos ímpares={1,3,5}AUB=conjunto dos ímpares e primos={1,2,3,5}A∩B=conjunto dos primos ímpares = {3,5}
P(A∩B)=n(A∩B)/n(B)=2/3• Três moedas não viciadas são lançadas. Se ocorrem caras
e coroas, determine a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara
A=conjunto de eventos caras={k,k,k}, n(A)=3B=conjunto de eventos coroas={c,c,c}, n(B)=3U = conjunto de eventos do espaço amostral ={k,k,k,c,c,c},
n(U)=6P(c) = n(B)/n(U)=3/6=1/2
Exercício Probabilidade
• Um par de dados é lançado. Se ocorrem números diferentes, encontre a probabilidade de ser par.
U=conjunto de eventos do espaço amostral = {(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),
(5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Exercício Probabilidade
A=conjunto do eventos diferentes e soma par
{ (1,3), (1,5), (2,4), (2,6), (3,1), (3,5), (4,2), (4,6), (5,1), (5,3), (6,2),(6,4) }
B=conjunto dos eventos diferentes
{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),(5,3), (5,4), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}
P(A) =n(A)/n(B)= 12/30=2/5
Álgebra de Boole (ou Booleana)
• Desenvolvida pelo matemático britânico George Boole para estudo da lógica.
• Definida sobre um conjunto de dois elementos:
(falso, verdadeiro) (0, 1) (baixo, alto)• Seus elementos, a princípio, não tem
significado numérico.• Postulados: se x é uma variável boleana
então:– Se x 0 x = 1– Se x 1 x = 0
Álgebra de Boole: funções
• Uma variável booleana só pode assumir apenas um dos valores possíveis (0 e 1)
• Uma ou mais variáveis e operadores podem ser combinados formando uma função lógica– Z1(A) = f(A) = ... (expressão usando var. A)– Z2(A,B) = f(A,B) = ... (expr. usando var. A e B)
• Resultados de uma função lógica podem ser expressos numa tabela relacionando todas as combinações possíveis dos valores que suas variáveis podem assumir e seus resultados correspondentes: a Tabela-Verdade.
Álgebra de Boole: Tabela Verdade
0
1
A B Z=f(A,B)
0
0
01
1 1
Lista das combinações possíveis dos estados das variáveis de entrada
Variáveis Função Lógica
Resultados da função lógica para cada combinação dos estados de entrada
1
0
1
1
– Tabela-Verdade relaciona os resultados (saída) de uma função lógica para todas as combinações possíveis de suas variáveis (entrada).
– Na Tabela-Verdade acima a função lógica Z possui duas variáveis A e B, sendo Z = f(A, B) = A + B
Álgebra de Boole: operações
• São definidas algumas operações elementares na álgebra booleana:– Operação “Não” (NOT)
– Operação “E” (AND)
– Operação “Ou” (OR)
– NAND
– NOR
– Operação “Ou-Exclusivo” (EXCLUSIVE-OR XOR)
– XNOR
Álgebra de Boole
• Porta Lógica NOT– É a porta Inversora– Operador: Barra, Apóstrofo
– Símbolo
A , A’
A F = A’
0 1
1 0
Tabela da Verdade
Álgebra de Boole
• Porta Lógica OR– Necessita de duas ou mais entradas– Operador: +
– Símbolo
F = A + B
Tabela da Verdade
A B F = (A+B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Álgebra de Boole
• Porta Lógica AND– Necessita de duas ou mais entradas
– Operador: .
– Símbolo
F = A . B
Tabela da Verdade
A B F = (A.B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Álgebra de Boole
• Porta Lógica NAND– Equivalente a uma porta AND seguido de
uma NOT– Operador:
– Símbolo
F = (A . B)’
Tabela da Verdade
A B F = (A.B)’
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Álgebra de Boole
• Porta Lógica NOR– Equivalente a uma porta OR seguido de uma
NOT– Operador:
– Símbolo
F = (A + B)’
Tabela da Verdade
A B F = (A+B)’
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Álgebra de Boole
• Porta Lógica XOR– É o OU Exclusivo– Operador:
– Símbolo
F = (A B)
Tabela da Verdade
A B F = (AB)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Álgebra de Boole
• Porta Lógica XNOR– É o complemento da Função XOR– Operador:
– Símbolo
F = (A B)’
Tabela da Verdade
A B F = (AB)’
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
“NOT” CI 7404
• Desligue a Alimentação• A montagem de todos os circuitos intregrados no protoboard deverá obedecer: • Alim.(VCC) : +5.0 V pino 14 (fio vermelho). • Terra (GND) : 0.0 V pino 7 (fio preto). • Conecte um fio de protoboard longo, em série uma resistência de 1 ke um
LED. Através de outro fio, conecte o LED à terra. • Utilize esta ponteira lógica para analisar alguns sinais na entrada e na saída do
integrado. • Esta ponteira apresenta lógica positiva (saída alta=> led aceso). • Ajustar o gerador para uma frequência de 10 KHz e utilizar a saída TTL. Esta
é a saída adequada para funcionar operando junto com integrados de lógica TTL, ela já fornece o sinal no intervalo esperado de tensão para alimentá-los.
• Caso seja necessário, utilize diodos para evitar tensão negativa na entrada do integrado.
• Ligue o gerador de onda quadrada em alguma das entradas inversoras. • Observar no osciloscópio a saída invertida. Meça o tempo de atraso da saída
em relação à entrada.
“AND” CI 7408
• Desligue a Alimentação e troque o CI• Tabela verdade • Utilizando a ponteira lógica, obtenha a tabela-verdade. • A obtenção de dará através da conexão da alimentação (1) e do
terra (0) às entradas da porta AND. • Utilize lógica inversa para a ponteira (conecte o led à alimentação)
e obtenha a nova tabela lógica. • A porta "AND" como controlador de transmissão. • Conecte o gerador de onda com pulso quadrado de 100 ms à
entrada A de uma porta AND. • Com um fio de protoboard, contacte a entrada B a 1 ou a 0 (GND
ou Vcc).
• Observe os valores na saída, em função dos sinais de entrada.
“OR” CI 7432
• DESLIGUE A ALIMENTAÇÃO e
substitua o integrado.
• De forma similar à montagem anterior, observe maneira similar à montagem anterior,observe o funcionamento destas portas.
• Obtenha as tabelas verdade com lógica positiva e negativa em função das entradas.
“NAND” CI 7400
• DESLIGUE A ALIMENTAÇÃO e
substitua o integrado.
• A partir de um circuito integrado 7400 (quatro portas "NAND") construa um operador XOR e obtenha sua tabela verdade (lógica direta), utilizando a ponteira lógica.
• Esquematize as ligações necessárias, utilizando as leis de Morgan e as identidades booleanas.
• Antes de realizar esta montagem, prove que é possível realizá-la esta montagem. Para isto, utilize as leis de Morgan e as identidades booleanas já apresentadas.
Álgebra de Boole: precedência
• Precedência das Operações– (0) parêntesis– (1) “Negação”– (2) “E”– (3) “Ou”, “Ou-exclusivo”
• O uso de parêntesis altera a precedência “normal” dos operadores, como na álgebra comum.
Álgebra de Boole: propriedades
• Sendo A, B e C variáveis boleanas
– Propriedade Comutativa
• A . B = B . A
• A + B = B + A
• A B = B A
– Propriedade Associativa
• ( A . B ) . C = A . ( B . C ) = A . B . C
• ( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C
• ( A B ) C = A ( B C ) = A B C
– Propriedade Distributiva
• A . (B + C ) = A . B + A . C
• A + B . C = (A + B) . (A + C)
Funções de 2 Variáveis
• A• B• AB (AND)• A+B (OR)• AB (XOR)
• Ā• B• AB (NAND)• A+B (NOR)• AB (XNOR - equivalência)• 0 (Constante zero)• 1 (Constante um)
Revisão de Álgebra de Boole e Simplificação usando mapa de
Karnaugh
Tópicos
• Revisão Álgebra Booleana
• Revisão portas lógicas
• Circuitos lógicos– soma de produtos– produto de somas
• Simplificação por postulado da Álgebra
• Simplificação por mapa de Karnaugh
Álgebra Booleana
• Variáveis só podem assumir 1 entre 2 valores
• Uso de tabelas (tabela verdade) para listar combinações de valores de entrada e os correspondentes valores de saída
Álgebra Booleana
• Proposição – todo enunciado que pode se afirmar ser verdadeiro ou falso.
• Exemplo– Amanhã vai chover – não constitui uma
proposição, pois existe mais de duas respostas possíveis: Sim, Talvez e Não
– Lisboa é a capital de Portugal é uma proposição
Princípios da Álgebra Booleana
• Não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa
• Terceiro excluído: uma proposição só pode tomar um dos dois valores possíveis, ou é verdadeira ou falsa, não sendo possível terceira hipótese.
Álgebra Booleana
• Operações Básicas– OU (OR) - Adição Lógica F = X + Y
X Y
0 00 11 01 1
F
0111
Álgebra Booleana
• Operações Básicas– E (AND) - Multiplicação Lógica F = X . Y
X Y
0 00 11 01 1
F
0001
Álgebra Booleana
• Operações Básicas– Não (NOT) - Complemento (Negação) F = X´
ou F = X
X
01
F
10
Tabela Verdade
• Cada entrada = 1 coluna
• Cada saída = 1 coluna
• As possíveis Combinações entradas podem assumir: N = 2n, onde n = quantidade de variáveis de entrada e N as combinações entre zeros (0) e uns (1).
Tabela Verdade
S = A + B . C
A B C0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
S00101111
Portas Lógicas
Porta AND (Função Multiplicação Lógica (E))
F
A
B
F = A . B
Portas Lógicas
• Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos que operam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, a qual é dependente da função implementada no circuito.
Portas Lógicas
• Um computador é constituído por uma infinidade de circuitos lógicos, que executam as seguintes funções básicas:
a.realizam operações matemáticas
b.controlam o fluxo dos sinais
c.armazenam dados
Portas Lógicas
• Naturalmente, a cada operação lógica estudada na Álgebra de Boole está associada a respectiva porta lógica.
Portas Lógicas
Porta OR (Função Adição Lógica (OU))
F
A
B
F = A + B
Portas Lógicas
Porta NOT (Função Negação Lógica (Complemento))
F = A
AA
Circuitos Lógicos
• Representação– Produto de Somas
• lista todas as combinações das variáveis de entrada para as quais a função de saída vale 0
– Soma de Produtos• lista todas as combinações das variáveis de
entrada para as quais a função de saída vale 1
Definição de uma função booleana através de uma tabela-verdade
Expressão algébrica da função
Soma de Produtos
Mintermo = termo-produto no qual cada variável aparece exatamente 1 vez, complementada (se bit da tabela = 0) ou não (se bit da tabela = 1)
X Y Z0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
Termo-produto X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
mintermo m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
Produto de Somas
Maxtermo = termo-soma no qual cada variável aparece exatamente 1 vez, complementada (se bit da tabela = 1) ou não (se bit da tabela = 0)
X Y Z0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
Termo-soma X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z
maxtermo M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
Notações
X Y Z0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
F10100101
F = XYZ + XYZ + XYZ + XYZ = m0 + m2 + m5 + m7 = m (0,2,5,7)
Soma de Produtos
Produto de Somas F = (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) = M1 . M3 . M4 . M6 = M(1,3,4,6)
Simplificação de Expressões Booleanas
• Usada para economizar componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de fabricar e de manutenção, além de diminuir seu tamanho.
• Tipos:– Postulados da Álgebra Booleana– Mapas de Karnaugh
Postulados da Álgebra Booleana
• Identidades Booleanas A + 0 = A 1 A . 0 = 0 5 A = A 9
A + 1 = 1 2 A . 1 = A 6
A + A = 1 3 A . A = 0 7
A + A = A 4 A . A = A 8
• Propriedade Comutativa
A + B = B + A 10 A . B = B . A 11
Postulados da Álgebra Booleana
• Propriedade Associativa(A + B) + C = A + (B + C) 12 (A. B) . C = (B. C) . A 13
• Propriedade DistributivaA . (B + C) = A . B + A . C 14
• Consenso A . B + A’ . C + B . C = A . B + A’ . C 15
(A+B) . (A’+C) . (B+C) = (A+B) . (A’+C) 16
• Teorema de De MorganA . B... = A + B + ... A + B + ... = A . B ... 17
Expressões Auxiliares
18 A + ( A . B ) = A
19 A + ( A’ . B ) = A + B
20 ( A + B’ ) . B = A . B
21 ( A . B ) + ( A . B’ ) = A
22 ( A + B ) . ( A + B’ ) = A
Simplificação pelos Postulados da Álgebra
Booleana
CABCBABCACBAF
CABCBAC)CB(AF
CABCBABAF
F A B1 AB C ABC
Pela prop. (6), A B1=A B
C C =1Pela prop. (4),
Pela prop. (14), A(BC) A B AC
Soma de Produtossimplificada
Simplificação pelos Postulados da Álgebra
BooleanaO termo poderia ter sido simplificado com o termo
CABCBABCACBAF
CAB ABC
Utilizando a propriedade (3), que permite a seguinte manipulação:
ABC ABCABC
Simplificação pelos Postulados da Álgebra
Booleana
Soma de Produtos simplificada (mínima, no caso)
F ABCABCABC ABC ABC Pela prop. (3), ABC ABCABC
F AB(CC)ABC (A A)BC
Pela prop. (14)
Pela prop. (4)
F A B1 AB C1BC Pela prop. (6)
F ABABCBC
Circuito Lógico
CABCBABCACBAF
A
C
F
B
1o nível 2o nível
Complexidade:4x3 + 1x4 = 16
Soma de mintermos Circuito com (lógica de ) 2 níveis
Circuito Lógico Expressão Simplificada
CBCBABAF
Complexidade:2x2 + 2X3 = 10
A
C
F
B
1o nível 2o nível
Soma de produtos(simplificada) Circuito com (lógica de ) 2 níveis
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Cada célula corresponde a um mintermo• Representa a função como soma de produtos• Para 2 variáveis
YXYm0
XYm2
XYm3
XYm1
X 0 1
0 1
• Exemplo:
F = m(1,2,3) = XY + XY + XY
0
YX 0 1
0 1
1
11
Y
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Simplificação algébrica é de difícil automatização
• Simplificação por mapa fornece uma maneira “visual” para a simplificação
• Baseia-se na identificação de produtos vizinhos
Simplificação por Mapa de Karnaugh
m0
m2 m3
m1
YX 0 1
0 1 região onde X = 1
região onde Y = 1
Junta-se 2n posições20 = 1 23 = 821 = 222 = 4
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Mapa com 3 variáveis
Concatenar bit da linha com bits dacoluna para identificar mintermo
m0 m1 m3m6
m2
m4 m5 m7
00 01 11 10
01
YZX
• Mintermos não seguem a ordem crescente => útil para simplificação• 2 células vizinhas (adjacentes): mintermos diferem por uma variável
m5 e m7
XYZ XYZ
única diferença é Y
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Atenção para a vizinhança entre bordas
• Região com 2 células adjacentes termo com 2 literais...
m0
m4 m6
m2m0 m1 m3
m6
m2
m4 m5 m7
00 01 11 10
01
YZ
X
Simplificação por Mapa de Karnaugh
F = m(2,3,4,5)
• Exemplo de simplificação
0 0 1
0
1
1 1 0
00 01 11 100
1
YZX
F = XY + XY
0 0 1
1
0
1 0 1
00 01 11 100
1
YZX F = m(3,4,6,7)
F = YZ + XZ
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Mapa com 4 variáveis
m0 m1 m3 m2
m6
m11
m15
m7
m9
m13
m5
m8
m12
m4
m14
m10
00 01 11 10
00
01
11
10
YZWX
• Notar adjacências através das bordas
m0
m1 m9
m8
m4 m6
m2m0
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Exemplo de simplificação
1 1 1
1
11
1
11
1
00 01 11 10
00
01
11
10
YZWX
1
WZ
XZF = Y + WZ + XZ
célula isolada
região com 2 células
região com 4 células
região com 8 células
termo com 4 literais
termo com 3 literais
termo com 2 literais
termo com 1 literal
Y
Simplificação por Mapa de Karnaugh
• Mapas com mais de 4 variáveis tornam-se difíceis de manipular
Don´t Cares
• Saída :não importa o valor da saída gerado por determinada combinação de entradas
• Entrada: é indiferente o valor da entrada para determinar um valor na saída
Funções com Saídas não Especificadas
A B C D F0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 10 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 0 1 01 0 1 0 X1 0 1 1 X 1 1 0 0 X1 1 0 1 X1 1 1 0 X1 1 1 1 X
•Valor da saída não precisa ser especificado
don’t care = X
Simplificação com Don´t Cares
11X X X X
X X
11
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
• X pode ser 0 ou 1 => o que for mais conveniente para simplificar a função
F = CD + CD