Marius PERIANUCdtslin STANICA

$tefan SMARANDOIU

atematicdclasa a V-a

II

Prezentul auxiliar a fost avizat de Ministerul Educatiei Nalionale p n Ordinul ff. 3022din 08.01.2018 qi se regaseqte la pozilia nr. 287 din anexa Ordinului.

Lucrarea a fost rcalizate in confomitate cu nora Programd tcolard pe tru ditciplinaMATEMATIC,|. CLASELE A V-A - A VI -A, a$obatA prin O.M. nI. 3393/28.02.2017.

Referenli rtiinlif cit prof. drd. Livia Harabagiuprof. gr. I. Dorin Irinel Popaprof. gr. I. Nicolae Bivol

R e d a c t or'. lina MllnteafuTe hnoredact are: Comel DrighiaCopettat Alexandfl) Dal

ISBN 978-606-003-148-2ISBN 978-606-003-150-5 (sem. II)

Pentru comenzi vd puteti adresa Departamentului DifuzareC.P. 12, O.P.63, sector l, BucurestiTelefoanet 0744 634 719'.07512817'74;021 796'73 83i 021 796 73 80Fax: 021 369 31 99www.art-educational.ro

Toate drepturile asupra acestei lucdri sunt rezervate Editudi Art Educalional.Nicio parte a acestei lucdri nu poate fi reprcdusi, stocati ori transmisi,sub nicio forma (electronic, mecanic, fotocopiere, lffegistrare sau altfel),fird acordul prealabil scris al Editurii Art Educafional,

O Art Educational, un imprint al Art Klett SRL, 2019

CupnrNsUnitatea 1. Fractii ordinare

l.'1. Fraclii ordinare. Noliuni introductive1.2. Clasifi carea fracliilor ordinare1.3. Fractii echivalente1.4. Amplificarea gi simplificarea fracliilor. Fraclii ireductibile

Teste de evaluareFit; pentru portofoliul individual (A1)

1.5, Reprezentarea frac.tiilor ordinare pe axa numerelor1.6. Compararea gi ordonarea fracliilor ordinare,,.....,..1.7. Adunarea fracliilor ordinare............. 35L8. Scdderea fracliilor ordinare.............. 39

7'i1

161925272932

Teste de evaluareFi$d pentru portofoliul individual (A2)

1.9. lnmultrirea fractiilor ordinare1.1 O. lmp64irea fracliilor ordinare1.1 1. Ridicarea la putere a unei fractii ordinare. Reguli de calcul cu puteri ............

Teste de evaluare...Fi$5 pentru portofoliul individual (A3)

1.12 Fracliilprocente dintr-un numdr natural sau dintr-o fractie ordinar;.,,......,,..Teste de evaluare...Fisd pentru portofoliul individual (A4)

Test - model pentru Evaluarea NalionalS

Unitatea 2. F;ac!ii zecimale2.1. scrierea fracliilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub

forme zecimalS. Transformarea unei fraclii zecimale, cu unnumEr finit de zecimale nenule, intr-o fraclie ordinar;............

2.2, Compararea, ordonarea ti reprezentarea pe axa numerelor afracliilor zecimale. Aproxim6ri

2.3. Adunarea $i scdderea fractiilor zecimale care au un numer finitde zecimale nenuleTeste de evaluareFigd pentru portofoliul individual (A5)

2.4.lnmul!irea fraciiilor zecimale care au un numer finitde zecimale nenule

2.5. Ridicarea la putere cu exponent naturala unei fraclii zecimalecare are un num;r finit de zecimale nenuleTeste de evaluare

4345475052555759636567

75

7985a7

89

Fi$d pentru portofoliul individual (A6)

939697

2.6. impirlirea numerelor naturale cu rezultat fractie zecimald.Periodicitate

2.7.lmpi4irea a doud fracliizecimaleoperaliilor. Aproximeri2.8. Ordinea efectudrii

Teste de evaluare

99104r08112r13ll5

118120121"t23

125't28

133138'143

"t45^t48

153155157159"t64

167169

173

176

180r83185187r89192

197202206

212

Figa pentru portofoliul individual (A7)

2.9. Media aritmeticd a doud sau mai multe fraclii zecimale finite.........................

2.10. Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracliiin care intervin ti unitdtide mesuriTeste de evaluareFi5; pentru portofoliul individual (A8) ............................'lest model pentru tvaluarea NaIiona16..................

2.1 1. Probleme cu caracter aplicativ2.12. Probleme pentru performanl5 tcolard ti olimpiade

Unitatea 3. Elemente de geometrie3.1. Punctul. Dreapta. Planul3.2. semidreapta. Semiplanul3.3. Segmentul de dreapti3.4. Poziliile relative a doui drepte3.5. Lungimea unui

Teste de evaluaFitd pentru portofoliul individual (G1)

Test - model pentru Evaluarea Najional;3.6. Unghiul3.7. Clasifi carea unghiurilor3.8. Probleme cu caracter aplicativ3.9. Probleme pentru performanld gcolard gi olimpiade

Unitatea 4. Unitili4.1. Unit;!i de mAsurS4.2. Unitilide mesuri

de misuripentru lungime, Perimetre. Transformdripentru arie. Aria pitratului ti a dreptunghiului.

Transformdri4.3. Uniuli de mdsurd pentru volum. Volumul cubului 5i al paralelipipedului

dreptunghic. TransformiriTeste de evaluareFigd pentru portofoliul individual (G2)

Test - model pentru Evaluarea Nalional;4.4 Probleme cu caracter aplicativ4.5 Probleme pentru performanli gcolard 9i olimpiade

Unitatea 5. Subiecte pentru evaluArile finale5.1. Variante de subiecte pentru tezd5.2. Variante de subiecte pentru evaluarea final;

Teste - model pentru Evaluarea Nationald

Solutii

UNITATEA

Fnacu oRDTNARE

Tema 1.1, Fraclii ordinare. Noliuni introductive

Tema 1,2, Clasificarea fracliilor ordinare

Tema 1.3. Fractii echivalente

Tema 1.4. Amplificarea gi simplificarea fracliilor. Fractii ireductibileTeste d€ evaluareFitd pentru portofoliul individual (Al )

Tema 1.5. Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numerelor

Tema 1 ,6. Compararea gi ordonarea fracliilor ordinare

Tema 1.7. Adunarea fraqiilor ordinare

Tema 1.8, Sciderea fracliilor ordinareTeste de evaluareFitA pentru portofoliul individual (42)

Tema 1,9. inmultirea fractiilor ordinare

Tema 1 .1O. imp;rlirea fracliilor ordinare

Tema 1 ,l I. Ridicarea la putere a unei fraclii ordinare. Reguli de calcul cu puteriTeste de evaluareFisd pentru portofoliul individual (A3)Test - model pentru Evaluarea Nalionald

Tema 1 .12. Fracliilprocente dintr-un numdr natural sau dintr-o fraqie ordinardTeste de evaluareFiti pentru portofoliul individual (A4)

Test - model pentru Evaluarea Nalionali

Competenle generale ti specifice vizate

1. ldentificarea unor date, mirimi gi relalii matematice, in contextul in care

acestea apat

1 .2. ldentificarea fracliilor ordinare sau zecimale in contexte variate

2, Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural,

cuprinse in diverse surse informa!ionale

2.2. Efectuarea de calcule cu fraclii folosind proprietSli ale operaliilor aritmetice

3, Utilizarea con(eptelor gi a algoritmilor specifici in diverse contexte

matematice

3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaliilor cu fra4ii ordinare sau

zecimale

4. Explimarea in limbajul specifi( matematicii a informaliilor' concluziilol

gi demersurilor de rezolvare pentru o situatie dati

4.2. Utilizarea limbajului specific fracliilor/procentelor in situalii date

5. Analizarea caractelisticilor matematice ale unei situa!ii date

5.2. Analizarea unor situalii date in care intervin fraclii pentruaestima

sau pentru a verifica validitatea unor calcule

6. Modelarea matematici a unei situalii date, prin integrarea achiziliilor

din diferite domenii

6.2. Reprezentarea matematic6, folosind fracliile, a unei situalii date, in

context intradisciplinar 9i interdisciplinar (geografie, fizicd, economie etc.)

Tema t.{Fraclii ordinare. Noliuni introductive

O parte dintr-un intreg, imp64it in pn4i egale, se numeqte rnitatefrdclionard.Exemple. Partea coloratd din urmdtoarele figuri reprezintd:

o doime sar o jumdlate sau unu pe doi; ," ,"ri. I.2

o lreime sav unu pe trei; se scrie \ .

o pdtrime sau un sJbrt sav unu pe patru; a" ,"ri" 1 .

4

mai multe uniteli fractionare se nvmeqte frqclie. Forma generala a

liacliei esle 1. unde r. b sunt numere narurale gi b + 0.b

Numirul a se nume$te numdrdtor qi arate cate unit6,ti ftaclionaxe s-au luat;numirul b se nume$te numitor gi aratd in cate pdrfi egale a fost impd4it intregul;linia orizontald (sau oblicd ) se numeqte linte defraclie.

t'ruclin este o pereche de numere nahtrale, a qi. b, scrisd subforma ! sau a'b, b + 0.b

Exemple. Partea coloratd din urmdtoarele figuri reprezintE:

1 citim trei pdtrimi sau trei supra petru sau trei pe potru.

faHUna sau

.t

d) o rreime;'e) o sutime;

J) trei optimi',

TJ

s

IF

EulF

=7

O 9 ! citrm patru treimi sau patru supra trei sau pahu pe trei.

1. Scrieli sub formd de fraclie:a) o pdtrtme;D) o qesime;c) o zecime;

2. Citi{i urmdtoarele frac{ii:1111111 I

"' s' t' 9' rr'40'19'17'loooooo'

g) o miime;ft.) o milionime;r) doud cincimi.

23s7 93 2210 1624 rs 13 12

"'7'5'4' 8 '

9 '

4 '

6 '

8 '

r 5 '

23 ' l 0 ' 8 '

8 ' 7

3. Reprezenra!i prin desene urmatoarel. fi".tii' 1.3. +.:. +.:' 3 4'5'2 4 2

4. Scrieji sub form6 de fractie:a) trei noimi;D) cinci gesimi;c,) qapte pitrimi;

5. Reprezentati, in

urmetor:

.l) opt zecim|'e) patru cincimi;, qase p6trimi;

g) cinci cincimi;fr) treizeci $i $apte de sutimi;t patru optimi.

Rezolvare. d,l trei noimi se scriel

desene direrite. fractiire ;.? r

I ; i : : din inhesul

6. Desenafi un pdtat cu lah.ra de 3 cm. ColoraEi cu roqu ] OU .t 9l "u

u.ra" ] Oin "1.'33

7. Desenati un dreptunghi cu dimensiunile de 6 cm gi 4 cm. Colorati din acest

drenrunshi f.n",iil. 1.5.7.1 |

"-'' '- 3' 6' 24't2'2'8. Scrieti in tabelul de mai jos fraclia reprezentati de partea haqurate din desen

ca in exemplul de la d).'

l.*.+-..t;!l#@@@Kffi@

a)

b)

2oozEE

e

IzF

=zsc,o.

.E

2

F--+--t +.,-l

sr:$xrx

ffi@ffirTTTl

Ih)

i)

m)

k)d)

J)

fi gura b d P h I k

fracfia ?8

J. .t-

- .. l3 9 810948 103 83c2x9. ('itiri urmatoarele -hacln: -. -. -. -.64127 42 16 50 201 96b5Y

I o. Folosind cite doui dintre numerele 3, 5, 7, scrieli toate fracliile posibile.

11. Folosind cate dou6 dintre numerele 6,4,10, scdeli toate fractiile posibile.

12. Scriefi toate fracliile de forma | , unde a gi 6 sunt numere naturale mai micib

dcc6t 6 qi mai mari dec6t 3.

t:1. scrieti toate fractiile de forma f, unde c Ai b sunt numere naturale prime

tlistincte cuprinse intre l0 5i 20.Rezolvare, Numercle p me cuprinse intre l0$i20sunt:11, 13, 17$i 19 Fracliile care

sc pot scrie cu aceste numere sunt: l1- 11.11-13- 13.13

-l'7 "l'7 .l'1 .19 1'9 19

13' 1'.7' lg' tt' l7' 19' I I ' 13 ' 19' 11' 13' l',l '

14. Scrieli toate fracJiile de forma 4, unde a gi b sunt numere nahrrale prime

diferite cupdnse intre 20 $i 40.

I 5. Scrieli in tabelul de mai jos frac{iaca in exemplul &):

n,,, /l\/.- \

"mm

reprezeltatd de partea hagurati din desen,

,'a)\_7,ffi\,oooffi

--l l|_HI f I

F-i.;:lg-,,i*,+;*]-]-- + _]

r[il,fE-rffr1llllll

.l)

e)

J)

EO\,/

i)

k)

T

!

vF

EulFE

9

l6oz4E

,E

gzF

.g

fzEt!o,a'-

10

16. Scrieli toate fractiile care indeplinesc, simultan, condiliile:. numeretorul este o cifri para, nenula;. numitorul este o cifre cu cel pufin 3 mai mare decdt numdrdtorul.

17. Scrieti toate fiacliile de forma 1 , unde a este dlizor al 12 5i b este divizor alb

lui 35.

18. Scrie{i toate fracliile de forma 1. unde a qi b sunt numere prime cuprinseb

intre 25 9i 45, iar a <b.

?k ?k ?k

19. Fie fiactia -4 , . Oa,"r-inu[i numaml natural r, patrat perfect, pentru care' 2x +lfraclia ale numitorul mai mic decdt numdrdtorul.

Rezolvare. Avem 2r + I < 23 e 2i < 23 - I <) 2x < 22 | : 2 e x < I 1. Cum' estepitrat pefect gi .r < I l, rezulte ce r poate f1 0, 1, 4, 9.

20. Fie fractia {l? . Dete.minufi numaxd natural x, pAtrat perfect, pentru care'98fraclia are numitorul mai mare decat numdrebrul.

21, Scrieli toate fracliile { unde a este parratul unui numAr naLural. b esLe cubulh

unui numdrnatural qi 0 < a <37, 0<, < 38.

22, Scrieli toate fracliile care indeplinesc, simultan, condiliile:. numfuAtorul este o cil'ra impara:. numitorul este o cifrd pari nenula mai mare dec6t numdritorul cu cel mult 5.

23. Determinati num6rul fracliilor d" fomu 4i i care au proprietatea cA suma

ha + I:t

dintue numlritor Si numitor este petrat perfect.

Probleme de ;apte stele

24. Determinafi numirul perechilor de fractii [ 9;1 | astfel incdt a-d=b.c=6.' \b d)

25. Determinali numdrul fiactiilor de fo.rnu :-]__=-ab+bc+ca

26. a) Delerminali numirul fiac{iilor d" fo.rru 4.ab

b) DinlJe frac{iile gasite la punctul anterior, afla{i-le pe cele care aupropdetatea ce numirdtorul qi numitorul au cel pulin un divizor comun maimare sau egal cu 2.

Tema t.2Clasificarea frac!iilor ordinare

Fie a gi b doui numere nanrale. cu b+0. Fractia { se numeSte:'b- echiunitqrd, dacd a =b (nurndritorll este egal cu numitorul);- subunitard, dacd a <6 (numdr6torul este mai mic decat numitorul);

- supraunitqrd, dacd a > b (numdrdtorul este mai mare decdt numitorul).

Exemple.

l Completafi

echiunitare:

.L,t

numerdtorul sau numitorul

61rIlo13!E'E' '3'n'n' u'

2. Daf cate trei exemple de:a) fracJii echiunitare;,.) fractii subunitare cu numirdtorul 7;c) fraclii subunitare cu numitorul 12;d) fraclii supraunitaxe cu numitorul 10;e) fractii supraunitare cu numdritorul 20.

astfel incat si obtineli fractiilipsi,

n103

iJ

-g

IJF

=qtFE

11

Fraclii echiunitare Frac!ii subunitare Fra(!ii supraunitare

mFtWJ fuut*nat i-o

K] (o oatrime)

ffiKrui$ ffif ($apte paffimi )

.i'h'W

- (trer fermr)3..- (trel crncrml )

&&w \_-/I ._...t (trer dormr)

I 11 23 t00 205

I'n'z'fio'2os7144307l0' 13' s'7' 300s

5 8 8 8 100

156'.? 25

3. Scrieli ftacliile echiunitare, frac{iile subunitare qi fracfiile supraunitare dinqirul de fraclii:

3 57 83lt9 914 31 90 103 405t'E' 1' 4'i' r2' s' ro'zo' 30'sl' x' 504

4. in urmdtorul qir de fiaclii, subliniali-le pe cele supraunitare:125517 2341 70 51 83 99 86 15

t'T'l'A'G'20' 43' 60' 41' E' r03'68'ros5. in urmitoarea secven{i de ftaclii, subliniali cu o linie pe cele subunitare qi cu

doud linii pe cele supraunitare:

12446436711 92354 18 43 72 86 97l'+'l' s 'j 'a'6'6'8'l0' t0' ts'2i' 4t' 43 ' 7l '86' 79

6. Aflali, in frecare caz, numarul natural .n pentru care fracliile urmdtoare suntechiunitare:.xq) .l

. 14et

-' x+2

b x+l:'7tt: flft:

,+l ,'7

-a4T,. 104

o' 2ox+4'

ofi;,, 3x +2' 2x+7

il++X

lui r in fraclia I,

7. Determinali, in fiecare caz, valorJe numdrului natural r pentru care fracliileurmatoare sunt supraunitare:.4s) -;x

. x-2 ..6c'' 10 : al zx

.c) ^;t-l

8. Aflali numarul natural r pentru care fracliile urmetoare sunt subunitare:,xa);i

J.. x+12tt-'17

fooz0c

E

UzF

f2OElll4

'-

=12

9. Indicali patru numere naturale care, puse in locul

determini o fiaclie subunitard.

Rezolvare. Fraclia este subunitari dacA numixitorul este mai mic decet numitorul,adici r < 13. Prin urmare.x poate fi unul dintre numerele 0, 1,2, ..., 12. Putem luaoricare patru dintre aceste valori; spre exemplu pentlu x - 2, x : 5, r : 8 !i r : I I se

. 2 5 8.llobtln ftactrle subunr,*" t:,t:-t: tttJ.

10, Aritati cd fiact ,^ tO4i:t este echiunitarS..

ac+cb+ba

11. Pentru cdte numere naturale n fraclia { este supraunitarA?n+ I

12. Se considerS fiacliile:233 ss387 698 8 911 14 ts 23 39 74 103 20s1'1'4' 4'a'1' 6'l'A'8' r0' r2't' B' t4'n' u' %'E' u' su

Selectali dintre acestea:a,) fracjiile subunitare; D) fracliile echiunitare; c) fractiile supraunitare.

-?- -t-

r3. Care dinhe urmbtoarele frac.tii sunt subunitare: !,t",i,i,i,1,4.!,'7' 3' 4' 6' 8'8' 3'15'

r4. Care dintre urmdtoaxele ftaclii sunt supraunitare: i,2,:,:,:,:.1!.9't5'3'7'5'12'10'59'90'

15. La cele dintre fractiile i.1.1.18.24.60. 35 ,8,19 rebuie sd modificdm' 3'4 6'13 53'60 104 8 14

num6rdtorii pentru ca toate sA devind, dupi modificare, fracJii echiunitare?

16. Pentru cete numere naturale n aacia ',+3 este s,rbooiturd?'2717. Determinali numerele naturale n care verifici simultan condiliile:

Rezolvare. r*"Uu !! este supraunitari daca n +l>5, adica n>4.Fr^cIia \J ."r"20

subunitari dacd h+'t <2O,ndrcd zc13. Ob$nem 4<n <13,d€cin poate lua valorile 5,

6,7,...,|,12.18. Determinali numerele naturale n caxe verificd simultan condiliile:

o) ! ""t" t u"1ie supraunitari;

a) f este fraclie subunitari;

D ff exe frac+ie subunitaxd.

U ! este ftac1ie supraunitarE.

19. Folosind ca numitori qi numdretori oricare doud dintre numerele 3, 5, 6 gi 9,

scrie{i toate fracf iile:a,) subunitare;

20. Subliniati fracfile subunitare:

D) supraunitare.

34823 68 350 16847302as' + ra-' 21'Z' 10' t3' 2s''' 40' 47' t2o''

21. cate numere naturale ,t existd astfel incdt fractia 17 ,e fr. supraunitari?' 2n+3

22. Dati exemplu de o fraclie echiunitard care si aibi la numerdtor cubul unuinumdx natural, iar la numitor pdtratul unui numir natural.

.LA23. Deteminali nwnerele naturale nenule a si b asfel incet " !" sd fie echirlnitari.'6

24, Determinali numerele naturale a qi b pentru care frac;ia &jq este:'12

IJ

o

F

EqtF

=13

a) echiunitard; ,) subunitara.

25. Determinati numerele naturale a qi b, nu ambele nule, astfel incat ftaclia

too2aa

=

IzF

3zoaE'4

'-

=14

15

-

sA fie echiunitard. iar suma a + b sd fie minimri.2a +'7 b

1SRezolvare. Fractia ----:- este €chiunitad dacd 2a+7b=35. Atunci 6 este numar' 2a+"lbimpar (daci 6 ar fi par, suma 2d + 7, ar fi fi ea numir par, deci nu poate fi egalA cu 35).

. daciL b =l =2a +7:35 =) a= 74.+ a + b = 75;

. dacd b= 3 =>2a + 2l:35 =+ a=7..> a + b= l0:

. dacdb:5 =2a +35 =35:+ a= 0 2 a + b- 5.

. dace 6 > 5 atunci f?aclia nu mai este echiunitari.

Numerele cerute sunt a=0ti6:5.26. Determinali numerele nat.lllale a $i 6, nu ambele nule, astfel incdt fraclia

s1-" sd fie echiunitard si suma a - b si fie maximd.4a+ th

J.L.L

27. a) Detemrinali numerele naturale d , b, c astfelincat ftactia -j . sa frea' t b" +c'

supraunitard.

,,, Determinati numerele naturaie a. b, c. astfel incet ftacia ;j , sA fiea'+h- +?-

echiunitard.

c) Determinali numerele naturale a $i , pentru care fiaclia ; ?; ; "rt"+b" +4echiunitari.Rezolvare. a) Fraclra datd este supraunitaxi dacd, 4 > a2 + b2 + cz . Numerele a, b, cpot fi cel mult egale cu l, dar nu pot fi toate egale cu 0. Cazurile se pot organiza intabelul:

28. a.) DeterminaJi fiacliile subunitare de forma { qtiind cd numdrbtorul x65y

pdtrat perfect, iar numitorul 3y este numdr prim.

doud dintre nwnerele a, ,, c sunt €gale cu I$i al treilea este egal cu 0

doue dinte numerele a, 6, c sunt egale cu 0Si al teilea este egal cu I

6./ Determinati fracliile supraunitare de forma 9. Utt"O cri numi'rdtorul 6xy7

cste pdtrar perfect. iar numitorul y7 este numdrprim.--

Rezolvare. a) Fraclia 4 esle subunitara dace xo . 3y. de unde x = I sau r. 2

Pentru r : l, rezultd .x6 : 16 = 42, iar pentu t = 2, numdrul x6-26tr]'] este pitrat

perfect. Numerele prime de lbrma 3;, sunt 3l ti 37. Fracliile ciutate sunt f qi f.3t ' 3'7

29, Anclrei scrie pe tabl6 toate fractiile de forma { , cu proprietate a cd al8.'8Bianca scrie toate ftacliile Ae forma |, cu proprietatea ca ,18. Corina scrieh'toate frac{iile de fo.-u { , und" al4 qi bl6.' h'Determinati fracliile echiunitare, fracliile subunitare qi fracfiile supraunitare

scrise de fiecare djntre cei trei copii.

30. Fie qirul de ffactii ordinare:| 2 3 4 2015 2016 2017

2on' 2016' 20t5'2014'" 3' 2' I

Scriefi fracliile echiunitare, fracliile subunitare qi ftacliile supraunitare dinacest qir.

Probleme de;aPte stele---- .^nlr\+ll

31. a., Stiind cd fra clia :_:1 esle echiunitara. determinali 4 -b.' ).nh + 121

ab5 + 12,/ Stiind cd fraclja JZ---!1 este subunitaxa, determinafi valoarea maxima' 2ab+123a sumei a +6.

. .2 .l a2010

32. Ardtati ci frac{ia(sz"* r"'

este supraunitard.

..r213214321 2033. Fie secventa de hactil -:-:-:- -^^--'" r ' r ' 2' t' 2' 3' l' 2' 3' 4""" 24

d) Determinati numirul termenilor secvenlei date.

,.) Determinati numirul fracliilor subunitare din secvenla date.

c.) Determinali numdxul ftacliilor supraunitare din secvenJa dat6.

TJ

!

utrEulFE

Tema 1.3Frac!ii echivalente

Analizand ligura alaturale. conshtam ca fracgiile ] qi ]' 2'4reprezintd aceeaqi parte din intreg. Putem

""ri. \ =].

Definilie. Frac1lile f, $i I snt echivalente dacd a.d = b.c. Scriem . = . .

^--.u-LFracliile f, ti; nu sunt echivalente dacd a d +b.c.Scnen !+fi.ExemDle. 1.I -19- d"n^r""" 6 ' I

. J U 5-3 10: 2, '=2d.deoarece 1 28=7.4:

t Z. $.d"o*"ce 2.22-tt.4: 4.lt=J.a.our.." t6.3=t2.4:

5. 1, !.deoarece3 -3+6.l:. o.f*I. deoarece J 7+5.5.61 5'7

.t-

1. Verificali dace urmdtoarele perechi de frac{ii sunt echivalente qi scrief intreele semnul corespunzdbr ( : sau * ), ca in exemplele c) qi 6).

36oz&

=e

9zF

f2Elll4

'-

16

.2-6 ..2r10c)=l =l d)=l)--l5vt5)

n i.+' r,:a#, c/ *!+, n +2|.. 15rr3 ,,60rr2 ,.70rr5 ,. l02 n 17tt Ul ,: ,l/ * L.l 5: *, ,,li: t) U | 4.

2. Verificali dacd urmdtoarele perechi de ftaclii sunt echivalente qi scrieti intreele semlul corespunzdtor (: sau +):

.1 2q) -==,Jt)

.1-,24t _t l-'7'14

. 2 n l8e) n L-l *:-. 6 -, 12t/ n LJ ,,:

u !=1;

,lr1, o #a+' d,, *!:,_ s r- 20 6 -,54 l, 911 19,J) itlls: C, iLl 6: s- 2t)

. rr70 _.tonr, h LllVI u L-t u: *) 4 --:1: s * t{)

3. Scrief in cisulele libere numere natuale astfel inc6t sd obline{i fraclii echivalente:

r Il - 7 2r ll 12 r r 24 ns) i=fr: b) s=8. () 7=i: d, E j. e, A=7:

^2o 4 .8ll I-l 36 .. 13 re llJ)+s=D: 8/s=E: htfr-T: u2o=Et t'cz=l'Rezofvare. c) 4. 12 : 16: 3:.";"- ]=]].416

4. Scrieli in cisqele libere numere naturale astfel inc6t sE oblineli fraclii echivalente:

6 3 ..2 l-l . l-l 18 .. ll ii .32 [la):=_- h,_=- t:) -=_ dt:=_ et-'4-n' "'a-qs' " s-+s' "!-28' " 8-s'- l-l 6 8 24 . t-l .ro 2 I-1 . ro llt i= 3t 8/ 15=EI' ui ffi=r00' 's0=ffi' r n=7'

.t .t

5. Determinaji numerul natural r, ttiind cd urmdtoarele propozilii sunt adevdrate:'7 n - n 3 48 6 80 8 18 3at _=- h)

-=_ ct

-=-. at)

-=_ e) :=_'9 21 14 2 n l0 50 n n 4

^ l00l 13 .l4O n n 48 .. l0l 505 5 nI lj|j=-: I s0=t, h)i=U: t) 3j=-: l6=n.

6, a) Dali trei exemple de fraclii echivalente cu fractia ! , ai caror numitori sa' 6',

fie mai mici decdt 40.

b) Dali fiei exemple de fracfii echivalente cu fraclia !, ai caror numitori sd'1fie mai mari dec6.t 20.

Rezolvare. a, Multiplii lui 6 mai mici decat 40 su:'t:. 12, 18,24,30 qi 36. Prin urmaret0 t5 20 25 t0 ^ 5a\em lracl le:12. ls. :a. 30. 36.caresunl.

llecare. ecnrvalenlecu traclra -.7. Stabilifi care dintre fracliile

813203224t640ro'B'x'A' 30'E' 50

sunt echivalente cu 1-5

-_l

8, Scrieti doud fractii de forma 4 care sunt echivalente cu ftactia:cd

.5a) 8:

"t lt' 18'

o*' 0#;efr; D3

ht 9:' 24',l1fla;tt

I

s

9F

EulF

=17