Upload
others
View
48
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
IIB-n E esBlS
e3rle8 uBoI
nropuPrPLUS uelols
P3!uPlS ullPlP3
nuPuad snlleN
6TT8IItIIBOIt0rIOI00rL6
t6T668t8
8L
VL
.. . . . . .(.,.0.).1:.t.p.!^!put tnltoJouod nr+uad psrl
orenle^o op alsal
:::: : : : : : : : : : : : ji:l1-'l:-yl:lli:iadol':snlcalaeau pro 8 rialerur3az rricerl gnop e ea.rri.rgdr.ul '6il
' ' olelrorpouad 'pleur3az ericer; lellnzar no alErnleu roloraurnu eerrfrpdrui 'g'II9V) lEnpr^rpur 1nrlo;oyod nrlued gsr3
' aJenle^a op olsalalnuau aleu.|3az ap llu!+ leunu un are oles
aleuroaz rricer; reun e leJnleu luauodxe nc arelnd el eareorplu "g'Ii
: : :'ii: : .l :l::: ::li.l
:l:rjii jj": :8;ilil;iiilill:1fi:11'llll'r'"' x'ij ''"' arenle^a ap alsofalnuau oleurcoz op
lruu rBWnu un ne oJPs oleurcoz Jollllsell eoJop9ssrs eoreunpvrrgurrxo.rdy
TT
'olpt!naz rolrricell E rolaJot!nu exe ed eareluezerdat 'eoreuopto 'eerereduo3Z'il
,;," ; ",;;
;", " ; ;;,, ; ; ;,. ",,",",,,",,;,r;',jli"":iff il,:,J,l
'pleuJrooz grlrol qns OI rnl ole uelnd r.rolrrunu no oleurplo.rolrricerl eaJarJcs 'I'IIalerurcaz rricerg 'II
' ' ' ' 'e-IA e roselc lnleur+ e1 ap pleuorieN eorenle^3 nrlued lapoLu-lse1(?V) lenpr^tpur 1n11olo1lod n.riued p6rl
orenle^o ap olsalpreurpro arioerl o-rlurp nes lernleu rpunu un-rlurp eluecord/rrfcer1 'Z
: : : : : : : : t:*: :: ::t::ir r::l ;,,;,,r,,i-j ;:",':i"'l#;:l1t ' areurpro.rolrricer;eerrirpdul'0I'I' oreurpro rolil]3ell earilnuul '6'i
(7y) lenprnrpur 1n11o;opod n-r1ued gir3orenle^o ap olsaf
aJeurpro rolrrlcerJ eoropP3s 'g' ' areurpro lolil]f,el} eaJpunpv 'L
areurpro rolrricerl eareuopJo rs earereduo3Jolorou n u exe ed oreu r pJo .ro1 r r[cer; eereluezerdag
(1y) lenprnrpur 1n11o;opod nriuad p6r3" "' arEnle^o ap elsof
: : .:li:T:!.".,i i+::il '.rolrricerl earectltldtuts r6 eereotltldtuy "rr'1
" " olualenrqca rr[cer3 'E'ierBUrpJo.rolrricerleaJeotltselJ'E'i
onr]onporlur runriop 'arBUrpro lricer3 'I'IoJeurpJo rrlcBJc 'l
ErqoEN
69L999I969L9v9Z96VLV9VTV
LE
veIE6Z
LZ
OZ
LTZT8
II.q. Mediaaritmeticiadouasaumaimultefracliizecimalefinite ...... L21-
Ii.10. Metode aritmetice pentru rezolvarea probtemetor cu fracliiin care intervinsiunititidemdsurd ......124
Testedeevaluare ...1,26Figa pentru portofoliul individuat (A8) . . . 1"27
Test-model pentru Evaluarea Nalionali de [a finalut clasei a VI-a . . . . 129Ii.ll-" Probleme cu caracter aplicativ .. 131,
TI"12. Probleme pentru performanli gcolari 9i otimpiade . . . 135
Geo etrie
III. Elemente de geometriei1I.1. Punctu[. Dreapta. Planu[ .. 1,40
III.2. Semidreapta.Semip[anu[ ... ....L45IIi.3. Segmentulde dreaptd .. . . t49iIL4, Poziliite relative a doui drepte . . 151iil.s. Lungimeaunuisegment.... ....1'54Testedeevaluare ...1,59Figipentru portofoliulindividuat(G1) ... t61.Test-model pentru Evaluarea Nalionald de [a finalu[clasei a VI-a . . . . L63III.6. Unghiut .... 1.65
IIL?. Clasificarea unghiurilor . .. 1-70
III.8. Probleme cu caracter aplicativ . . 172III.9. Probleme pentru performanli gcolari 9i otimpiade . . . L75
IV. UnitS[i de masurdIV.1. Unitdlide mdsurh pentru [ungime. Perimetre. Transformdri . . . . .... 178IV.2. Unitilide misurd pentru arie. Aria pitratuluigi a dreptunghiutui.
Transformiri . ... .. 1-81
IV.3. Unitdli de mdsurd pentru votum.Vo[umulcubuluigialparaletipipedutuidreptunghic.Transformdri ... ..... 185
Testedeevaluare ...189Figd pentru portofoliul individuat (G2) . . . 193Test-model pentru Evaluarea Nalionati de [a finalul clasei a Vi-a . . . . 195IV.4. Probleme cu caracter aplicativ . . a97IV.s. Probleme pentru performanli gcolard gi olimpiade . . . 200
V. Subiecte pentru evaludrile finaleVariantedesubiectepentrutez5. .......206Variante de subiecte pentru evaluarea finald . . . 21LTeste-model pentru Evaluarea Nalionatd de [a finalulclasei a VI-a . . 21-5
Sotu!ii 22t
O parte dintr-un intreg, impdrlit in parli egate, se numegte unitate t'racfionard.
Exemple: Partea co[orati din urmatoare[e figuri reprezinti:
EaH
Una sau mai multe unitS!i frac!ionare se numegte fraclie. Forma generatd a frac!iei este
unde a, b sunt numere naturale si b + 0.
Numdrula se numegte numdrdtor 9i aratd cAte unitdlifraclionare s-au [uat; numdrulb se numegtenumitor gi aratd in cAte pdr!i egale a fost impdrlit intregut; [inia orizontald (sau obticd) se numestelinie de fraclie.
Fractia este o pereche de numere naturale, a si b, scrisd sub forma
Partea co[orati din urmitoare[e figuri reprezinti:
3 ..i; citim trei patrimi sau trei supra patru sau trei pe patru.
t5;
citim patru treimi sau patru supra trei sau patru pe trei,
saualb,b+0.
o doime sau o jumdtofe sau unu pe dor; se scrie
o treime sau unu pe treii se scrie
o pdtrime sau un s/ert sau unu pe patru; se scrie
1.
5
1.
2
1,
n
a
b'
d
i
OOScrieli sub formd de f raclie:
o patrime; o treime;
o gesime; o sutime;
o zecime; treioptimi;
g o miime;
h o milionime;
i doud cincimi.
Citi!i urmitoarele f raclii:
1,11,1, t 1, 1,,_- 5' 'r' 9' 1L' 40' 19' 17'235793227'i'n'B'i'4' a'B'
1 oo0 ooo '
10 1,6 24
a5'23'AO'15 13 12
T,T'T
I.1, Frac!ii
6
o+@a
:rolp.uJn 1nBer1u1 urp 9
ffi
,8 .8 ,V ,V9Z9I
auosop uJ'lieluazoJdau E
'rurtldo ntled 1
:lLurlns ap a1de5 t5 toeztarl q
lrLuulpd eseS
Irr.urcurc nlled
Irirrcez ldo
irr-uu1qd elde5 e
lrursei rf,uro q
!t
ffi
ffio
X:p el op
1nldluaxe uJ ec 'uosap urp plelnseq eeyed ap gleluozardar ericer; sol teu ap lnleqe] u1 riar.rcS
.Z ,ZT ,VZ ,9 ,TI t L 9T
alrrice.r; !qBunldalp ]saf,e utp rie.ro1o3 'r-uc 7 r6 Luo 9 op eltuntsuotutp nc rqBunldoJp un rieueseo
EI 'la ulp 3 epren nc r5 1e urp : n6o.r nc rie.ro1o3 'LUo t op p nlel no lerlgd un t[euesa6 9
'i' i' 9 "l"ice'l'aluolr'
'+,'1, '9 :tticerJ aloreolgurn ouasop ut'td tieluezardag
13983094810383a2xulTltl urmaloare[elractll:
E' 4' 12' i' 42' .,6' 50' 2w' 96' b' w'Folosind cAte doui dintre numerete 3,5,7, scrieli toate fracliile posibile.
Fotosind cAte doud dintre numerele 6, 4, lO, scrieli toate fracliile posibile.
Scrieli toate fracliite de forma $, unde a gi b sunt numere naturale mai mici decAt 6 si mai marib'
decAt 3.
Scrieli toate f racliite de forma $ , unde a 9i b sunt numere naturale prime distincte cuprinse intreD
10 9i 20.
Rezolvare: Numerele prime cuprinse intre 10 gi 20 sunt: 11, !3, !7 9i 19. Fracliile care se pot
. !1_ lt !L 13 13 13 17 17 t7 t9 19 !9scrle cu aceste numere suntl
- ' i ' .-:9' i' 17 ' rg' i' 13' rg' i' a3' L7 '
Scrieli toate fracliite de forma f , unde o gi b sunt numere naturale prime diferite, cuprinse intreb'20 9i 40.
Scrieli in tabeluI de mai jos fraclia reprezentatd de partea haguratd din desen, ca in exemplul h:
!',
1t
10
11
13
2(
21
22
15
AH e#
==o15 Scrieli toate fracliite care indeplinesc, simultan, condi!iile:
. numirdtoruI este o cifrd pari, nenuld;
. numitoruleste o cifri cu cel pulin 3 mai mare decAt numirltoru[.
26
10
Consolidare
1!t2
7.4
d
TT'z nr leBa nes e-:*
lnJolqrPunu E3 ealelaudord ne ares alas ac :'-
9+DqrS roipJpunu orlurp euns pc eoleloudoJd ne olec '
96
D.-.q-qDeurol ap rolil]3eJ] lnJetunu rleururalao 9z
L
pq '9=c. Q=o.o lgf,uJla+]se t;,;,
rrice:; ep roltqcaled lnrPuinu tieutLurelac tZ
a - -- -a:,.rozrnrp un urind lao ne lnroltr.unu ts
'-= -.- -t -31ue lnicund e1 elrsgE elrricellollulc E
l:-: :!.to+ ap toltticell lnleulnu tieutulela6 e)7'
'1ce;led letlgd also Joltunu
euuol ep .ro1 r ricerl I nJptu nu tieu t r-uraleo gz
9Z
(t
:!c!e relqc eualqord p^lozou
'g llnLu lao no lnlo]glpunu lgcap areur reu plnuau gted gl;tc o also lnloltutnu .
lgredutprJre o olso lnJolplpunu .
:e1tritpuoo 'uellnLUts 'csautldapul elec a1tticell oleol tierrcS
'8t>g>O'f,t>o>gt51er
-nleu rpunu rnun lnqnc olsa g'1ern1eu Jptunu rnun 1n1er1gd also D "prn'9
elrricell eleol tiettcg
'lnJolPJPLUnu l93ap oJeu leu lnl
-olrunu ale ericell elec nllued 'lcepad leriqd 'x letnleu lnteunu lieutulele6 #erioel;
ar3
' 6'V'T'g r; eleod xpo pllnzaJ'11 > x tS
lceped 1er1qd alsa x LunJ'II > x <+ Z i I ZZ > xZ e I - tZ > xZ e tZ > T + xZ ua^V :orenlozau
'lnJolPJPurnu }gcop cru leu lnJ
-olrurnu ere ericerl erec nrlued 'lceped 1er1gd 'x lelnleu lnlpunu tfeutulele6 #
ericer; all 5r
q
0Jl
loc
zz
tz
oz
aJ]
'g > D let 'g? !5 gZ ellut asut:dnc eut.td aJaunu 1uns g 16 o apun '9 "rroJ
ep elrricer; e1eo1 tiettcg
'gE lnl lB rozr^rp atso g 15 zT !nl le rozt^tp alsa D .prn 'fl euilol ep elrricer; eleol riatlcsLI
le
8I
Fie o 9i b doui numere naturate, cu b +0. Fraclia I se numegte:'b- echiunitard, daca o: b (numdrdtoruI este egal cu numitoru[);. subunitaro, daci o < b (numdrdtoruI este mai mic decAt numitoru[);. supraunitard, daci o > b (numirdtoruI este mai mare decAt numitoru[).
Exemple:
(treitreimi)
23 10023' 1,OO'
205 58881003'B' 6'7' 25
(o pdtrime)
(treicincimi)
L443O7
1.
n
205 10' 13' 5' 7 ' 3008
3
5
3;
811-t-lE11
Compteiali numiritoruI sau numitoru[ [ipsi, astfelincAt sd obline!
6 11, tl 10 13 tl trtr'tr-' i.3'E'E' *' ,*'
fraclii ech
Dati cAte trei exemple de:
fractii echiunitare;
fraclii subunitare cu numdritoru[ 7;
fraclii subunitare cu numitoru[ 12;
fractii supraunitare cu numitoru[ 10;
fraclii supraunitare cu numdrdtoru[ 20.
Scrie!ifrac!iite echiunitare, fractii[e subunitare gifrac!iiLe supraJ. tare din girutde fractii:
3 5 7 B 3 11 9 9 1,4 31 90 _33 4052' 6' 7' 4' 5' 1,2' 8' 1,0' 20 ' 30' 9--' :3 ' 504'
L2
r.z
Exersare10
1t
t2
EE.06"og
,69 ,OTTL II
.9r,€"rt oz
7'fctcc tvv tJ.!.t, -.^ -
'--:t g g g z =- -^:-cns luns tticell aloleolPulrn orlulp ole]
OOOf,C,,o,o, / ,v ,r .- .
- .crEl unQf S ]UnS ll]3ell alaleolPl.J.lln ollUlp o]eSL6nV9r
IT
,z-x 'Tt
.6L ,98 ,TL ,€i .TV ,LZ ,9T ,OTL698ZLEV 8IN9TZ 6
:orPlrunqns ]uns oreolPturn olllicel] oJes nlluad x lelnleu lnreunu tietlv e
,LTZT+ X
t .- 11
x
X
v
I,+ XZ'- u
Z+ XE
xz.- ir
9
L.- !,1
T+X
T-x .- 4TZ
L,-tT+X
z+x .- eVT
vX
xz .mg"
0r q 2,2yTTL9I.V
'arelrunerdns olilic€Jl 3:alelrunrqoa alri3er+ q :oleltunqns al.licelJ €:eolsoce arlurp rlelsolas
.zo9,T8,LV,t6,iT,ZT,Vl,tr,6,2T.0r,8,9,t,9 .L,9,V,V,2,t,902 tor vL 6€, €z 9r vT TT 6 I I 6 9 L 8 t 9 I t t Z
:alilicerl Praprsuoc as
. r+uagrelrunerdns olsa
- ellcell u alelnleu oleulnu olgf, nlluad
Dq+qc+cD'pJeltuntq3o alsa pe + 3q,+ qrD
elleeJJ pc tlelPlv
'El ,sTI'
ET TT II892"
also3e allutp nlled alef,uo enl uolnd '2T "" 'Z'T'O aleJatunu allulp lnun U aleod x oleuln ulld'EI > x potpe 'lntolrunu ]gf,op cil.u teu olsa lnlolgrpunu Poep Plellunqns alsa elicell :oJPnlozau
'prelrunqns aricpr+ o EUrurelap' f e,icerl uJX rnl lnool uJosnd 'e;ec elernleu orotttnu nrled tiectpul
xv
€T,
:olelru nerdns
]uns oleolptuln ollicell aleo nlluad xlernleu rnlnrpunu aluolen'zpc oleca4 uJ'tiBUtLUloloO 4
,OIc-^
,V+XOZ' voT
,0r 'z- x
:arelrunrqra ]uns oreolPrurn alilif,erl ojel nlluad x lernleu lnlPUnu 'ze3 oJecall uJ'lieltv 9
,9,9,.t,t9V ZT
:oJelruneldns
oloo od lutl pnop no ts oleltunqns allioerJ arurl o no rierurlqns 'lricerl op giuanoos eateoleuln uI I
90r,89,80r,9T,TV,09,tV,02,9T,2,9,T,291 98 66 18 I9 OLIV t,Z LT 9 9 ZT
:a,teltunetdns olal ac e1-rierurlqns'rrioer; ap rl6 lnlolPUrn uI
L6
L7
La cAte dintre fracliite 9 . g. 1. 18 . 24 . 60 35 8 19
3' 4' 6' a3' 53' 6' t*';'i trebuiesimodificSm numdritorii
pentru ca toate sd devini, dupi modificare, frac!ii echiunitare?
Pentru cAte numere naturate n fractia n*3
".1" subunitari?'27
Determinali numerele naturale n care verificd simultan conditiile:
" 'I1 este fractie supraunitari;5
',, frt7 este fractie subunitara.
20
Rezolvare: Fraclia 'f 1 este supraunitari daci n+1> 5, adici n >4. Fracli^ Tl este sub-520
unitarddacin+7<2l,adicin<13.Oblinem4<n<13,decinpoateluavalorile5,6,7,...,!1,,12.
Determinali numerele naturale n care verifici simultan condiliile:
26
" n::
este fractie subunitari;15
b 1- este fraclie supraunitari.7
19 Folosind ca numitorisinumdritorioricare douddintre numerele 3,5,6 9i9, scrielitoatefracliile:
a subunitare;
2o Subliniali fracliite subunitare:
b supraunitare.
34823683501.6847302q5' 4' ],B' 21-' 4 ' 10 ' 13 ' 2s' 32' 40' 47' L2o' 5a'
Cite numere naturale n existi astfetincit fractia !7 si fie supraunitar6?' 2n+3
Dali exemplu de o fraclie echiunitari care sd aibi ta numirltor cubul unui numdr natural,iar [a numitor pitratulunui numir naturat.
23 Determinalinumerele naturale nenule o Sib astfetincAt
24 Determinali numerele naturale o gi b pentru care fraclia
a+b -- - si fie echiunitari.6
2a+3b
-
este:12
a echiunitar6; b subunitari.
i.:ii Determinati numerele naturale a gi b, nu ambe[e nule, astfetincAt fraclia = 'U- si fie echi-' 2a+7b
unitard, iar suma o + b si f ie minimi.
Rezolvare: Fraclia =IL este echiunitari daca 2a- 7b= 35 Atrnci b este numdr impar2a+7b
(dacd b arfi par, suma 2o +7b ar figiea numdr par, deci nu pci:=' =1=.i :r 35).
t4
2:
ST
']ca}lod ]EJlpd alsa xg lnjolPrPunu p3 pu[]a '
']caIod lerlPd alsa 9x lnrolqrPurnu p3 pu rls
I nf, leEa alsa eolor] le t6 O n3 oleBo ]uns , 'q 'D ala.lauinu allulp gnop
O no leBe alsa ealto.ll le t5 I nJ aleBa luns 3 'q 'D alolaunu arlulp Pnop
qt'+oV_tu3o atl es
-t9
'Lrud rqunu elsa Zzf lnrolrunu rer
= *- -- :p areyunerdns alrricer; rieuruurele6 q
'uud rgunu e+sa z{t lnro}runu Jer
?.1lJo+ op arPlrunqns elrricer; rieururalag eq
ti_x9
AE
9x
r000r0007TTOr0tOIT
red
lncaleEelunsaleo] T i I i t I
erincsrq 3 q E
--r---- ---- )
:lnlaqe] ul eztueElo tod as olunze3 'g nc aleFe oleo] tl 1od nu tep '1 nc aleBe
llnur la3 r11od c'q 'D oloJoLunN 'zo + "Q
* "o
< ? pep gleltuneldns olsa glep erioerS P :oJEAlozoU
'prelrunrq3o a.sa !!An-t- ericer; arec nrlued q t5 o a1e.rn1eu olorarunu tieuturala6 c
_3+ _O+ _D'prelrunrLlca oll es I_-{---1 ericerl lgouJla;1se 'o'q'D olernleu olaJarunu tieutuuele6 q
^9
'grepune:dnsauEs zc+ zq+ zo erice.r;lgcuJlo+lse c'q'Dalprnleu olaroulnu r[eurturalag e 1,7v
'ler
!7!7!7TTT
:!c!E relqc euelqord pnlozou
'pturxeu oll qs g + D eruns 15 grelrun
erice.r; ]gJuJ loJlse 'alnu alaqup nu 'g t5 n alernleu aloraunu t[eututaleg
'9 = I !S 0 = D luns alnJac alolaunN'prelrunrq3a olso rptu nu ericer; rgunle 'g < q ece6 .
'9=Q +P € 0=P € 9t:9t+ DZ€ 9=QE3E[ o
'OT:q +D€ L=oe9t,=TZ+DZ= g=gpceQ .'9I=Q +Detl=o e9t= L+DZ=T=q 9ce0 .
:al
,ZI
-qn
JO
ReeoEvare: a Fraclia 4 estesubunitarddacix6<3y,deunder-- S:, .=2. Pentrux=1,3y
rezulti x6=1,6=4',iar pentru x=2,numd,rulx6= 26 nu este patral 3:-j3.:. Numerete prime
de forma 3y sunt 31 si 37. Frac!iite cdutate srnt f gi *31 37
Andrei scrie pe tabtd toate fractiite de forma 9, ., proprietatea cd o B, Bianca scrie toate frac-o
-atiitedeformal,cuproprietateacdbls.Corinascrietoatefrac!iitedeformaa,undeal+giAlO.' b' b
Determina!i frac!iite echiunitare, frac!iite subunitare si fractiite supraunitare scrise de fiecaredintre cei trei copii.
Fie giruI de f rac!ii ordinare:
L 2 3 4 201,5201,620172017'201-6'201,5'201-4'"'' 3 ' 2' 1
Scrielifracliite echiunitare, fracliite subunitare gifracliite supraunitare din acest 9ir.
31 a gtiind cifraclia :+l+este echiunitari, determinali o+b.2ab+123
b gtiind ci fractia :Pl+ este subunitari, determinali valoarea maximi a sumei o + b.2ab+!23
30
33 Fie secvenla de fraclii +,1,+, 1,'rt+, 1,1,lt +,...,20
24
32 Aretali cd fraclia2.2' .2' . ....2'o'o
este supraunitard.(32tooe1zst
a Determinali numdruI termenilor secvenlei date.
b Determinali numirulfracliilor subunitare din secvenla datd.
c Determinali numdrutfracliitor supraunitare din secvenla dat5.
t6
29
!.7
LVTL_.1 iz
tV1-=- pTTT
:elualenrqce ricerl
.9T _ .ZT
riauriqo ps lgruJ
fl 6.E-Z'.0r 9
Cllc
n
E, lal.}sBale,lnleU orounu eraqrl aleinsqo ul rierrcg g
0r-- I '-l l- r
igt tzv'oz
-9 '* L-le '9.------0t
:_t t- o9I IZT
.i _vznlZor,v
-gZ s L--l er
,9t _Lor L--l Z
o/' f----) "
ysl 9
L_6V t_gL__-]17
T_ t9 tzL)oor I,9T nZToz L--l?
IT'------II ,-l l- Izrttg
,66 _TTsrlZ,iTnL ._t_(AL
:(+ nes =; rolezund-seroo lnuues alo orluJ rieucs rS eluelenrqDa luns rricer; ep rqoared aloreolgurn gcep liecrlueTl 7
L_09 tt_s!ol
,9 n92r L--l sr
,t-08 .-lzt I og
,0r 9 '9 9
9V .-+-9I
'q r5 e elaldruoxo uJ er '(+ nes =) rolgzundserocriaucs r5 elualenrqoa ]uns rricerJ ep rqce.red aloJpolptuln gcep riecrluoA r
L9 '9.9*Z.tasareoep'-+- '9t
iV .ZT= t..9To3oleoop '9= -q 'v9T
:i. L=82 .I arare o"p'9! =! VL
t9 :I.9+t.taooreoa?'-+- 'rt:v . TT = ZZ. zoooreoop'99 =+ vc
:OI't=9 9osareoep'Z=l '0T9
p q p,q 'i+ D rilou3s'3.q + p .D Esep oluale^rqsa ]uns nu '
!. t olil]3erl
p q p,q-=: LUOll3S'3.q:g.DPJepalUalDA.lqJaluns - ls - ellllfPlr "6i r;:!.!-'tlx D -- ..; -r - -t t- 3 D
L=9 auos rualnd 'Berlul urp epedZT
rseeace plurzerdar | ,t ! elrricer,t po rlplelsuo3 'plernlple ernBr; pugzrleuyz'r ""
ore
'el
, o}€Elgxf