Matemática Básica - Eduardo Espinoza Ramos.pdf

MATEMATICA BASICA

♦ LOGICA ♦ CONJUNTOS

e * = x f♦ N° REALES n = o n ! ♦ RELACIONES Y FUNCIONES

♦ INDUCCION MATEMATICA ♦ N° COMPLEJOS

♦ TEORIA DE POLINOMIOS ♦ VECTORES EN R2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PERÚ

IMPRESO EN EL PERÚ

05 - 05 - 2005

2 o EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método

gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas'de fotocopia,

registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento

del autor y Editor.

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Registro comercial N° 10716

Escritura Publica N° 4484

PROLOGO

La presente obra titulada “Matemática Básica” en su segunda edición contiene

esencialmente los temas que generalmente se desarrolla en los primeros cursos en las carreras de

ciencias. Ingeniería. Economía, Administración, Medicina, etc., así como también en los Institutos

Superiores.

En la actualidad el contenido científico de un libro debe complementarse con el aspecto

didáctico que es tan importante como el contenido científico, por tal motivo en el presente trabajo

se expone en forma Teórica y Práctica en donde en cada capítulo comienza con enunciados claros

de las definiciones y Teoremas juntos con sus respectivos ejemplos seguidos de una colección de

problemas resueltos y problemas propuestos.

En las definiciones importantes así como los Teoremas y Propiedades son explicados en

forma clara y amena ilustrado con gráficos y ejemplos en forma graduada.

La presente obra consta de ocho capítulos: Lógica, Conjunto, Sistema de los Números

Reales, Relaciones y Funciones, inducción Matemática, Números Complejos, la Teoría de

Polinomios y Vectores en R2 que es el capítulo que se ha agregado a la edición anterior así mismo

se ha incluido la divisibilidad de los números enteros, se ha incluido mas problemas y aplicaciones

a la economía.

El presente texto es básicamente para estudiantes recién ingresantes a las Universidades

en las especialidades de Ciencias Matemáticas, Físicas, Ingeniería y Economía y a toda persona

interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos.

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas de las diversas

universidades en donde presto mis servicios, quienes con su apoyo moral y sugerencias han hecho

posible la realización de este libro en su 2da edición.

Agradezco por anticipado la acogida que brinden a la presente obra.

Eduardo Espinoza Ramos

( OÍMMÍOÍ'j

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE Y DIANA

que Dios ilumine sus caminos para que puedan

ser guías de su prójimo

/UHTI Â3jQSki

12333448991213131818192021252526262828293333353649

INDICE

CAPITULO I

LÓGICA

1.1. Introducción1.2. Elementos de Lógica Simbólica1.3. Proposiciones Lógicas1.4. Definición1.5. Conectivos Lógicos1.6. Clases de Proposiciones Lógicos1.7. Proposiciones Compuestos Básicos1.8. Proposiciones Compuestas1.9. Jerarquía de los Conectivos Lógicos1.10. Tautológicas, contradicciones y contingencias1.11. Implicación Lógica y Equivalencia Lógica1.12. Proposiciones Lógicamente Equivalente1.13. Principales Leyes Lógicas o Tautológicas1.14. La Inferencia Lógica o Argumento Lógico1.15. Definición1.16. Teorema1.17. Inferencia Validas Notables1.18. El Método Abreviado1.19. Métodos de Demostración1.20. Forma o Método Directo de Demostración1.21. Forma o Método Indirecto de Demostración1.22. Definición1.23. Circuitos Lógicos1.24. Diseño de Circuitos Eléctricos en Sene1.25. Diseño de Circuitos Eléctricos en Paralelo1.26. Lógica Cuantificacional1.27. Cuantificadores Existencial y Universal1.28. Negación de Proposiciones en Cuantificadores1.29. Ejercicios Desarrollados1.30. Ejercicios Propuestos

69696970717273737376767779808310310410710811?117117125

140141143143

CAPITULO II

2.1. Definición2.2. Definición2.3. Relación de Pertenencia2.4. Diagrama de VENN - EULER2.5. Determinación de Conjuntos2.6. Conjuntos Numéricos2.7. Conjunto Finito2.8 Conjunto Infinito2.9. Relaciones entre Conjunto2.10. Igualdad de Conjuntos2.11. Propiedades de la Igualdad de Conjunto2.12. Conjuntos Especiales2.13. Representación Gráfica de los Conjuntos2.14. Ejercicios Propuestos? 15. Operaciones con Conjuntos2.16. Conjunto Potencia2.17. Propiedades del Conjunto Potencia2.18. Intervalos2.19. Operaciones de Conjuntos Aplicados a los Intervalos2.20. Familia de Conjuntos2.21. Numere de Elementos de un Conjunto2.22. Propiedades del Número de Elementos de un Conjunto2.23. Ejercicios Propuestos

CAPITULO III

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

3.1. Introducción3.2. Definición3.3. Axioma de Sustitución3.4. Axioma Distributivo

143143143144144144145149150151151151152152153153154154162168170170170172177181183185196221

238

239242244249254293

3.5. Teorema de la Igualdad para la Suma3.6. Teorema de la Igualdad para la Multiplicación3.7. Teorema de Cancelación para la Adición3.8. Teorema de Cancelación para la Multiplicación3.9. Sustracción de Números Reales3.10. División de Números Reales3.11. Ejercicios Desarrollados3.12. Representación de los Numero«. Reales3.13. Desigualdades3.14. Axioma de la Relación de Orden3.15. Definición3.16. Teorema3.17. Teorema3.18. Teorema3.19. Teorema3.20. Teorema3.21. Teorema3.22. Ejercicios Dejan'ollados3.23- Ejercicios Propuestos3.24. Inecuaciones3.25 Conjunto Solucion de una Inecuación3.26. Resolución de una Inecuación3.27. Inecuación de Primar Grado en una Incógnita3.28. Inecuación de Segundo Grado en una Incógnita3.29. Inecuaciones Polinómicas3.30. Inecuaciones Fraccionarias3 31. Inecuaciones Exponenciales3.32. Inecuaciones Irracionales3.33. Ejercicios Desarrollados3.34 Ejercicios Propuestos3.35 Valor Absoluto3.36. Propiedades Básicas para resolver Ecuación e Inecuaciones donde

interviene Valor Absoluto3.37. Máximo Entero3.38. Propiedades del Máximo Entero3.39. Inecuación Logarítmica3.40. Ejercicios Desarrollados3.41. Ejercicios Propuestos

314313

373332339343353356357358359360365365366370388399404

411411423433436438439441441454466477483

3.42. Aplicaciones de las Inecuaciones a la Administración y Economía3.43. Ejercicios Propuestos

CAPITULO IV

RELACIONES / FUNCIONES

4.1. Introducción4.2. Relaciones Binarias4.3. Gráfica de una Relación de R en R4.4. Ejercicios Desarrollados4.5. Ejercicios Propuestos4.6. Funciones4.7. Dominio y Rango de una Función4.8. Criterio para el Calculo de Dominio y Rango de una Función4.9. Aplicación de A en B4.10. Funciones Especiales4.11 Evaluación de una Función4.12. Funciones Definidas con Varias Regla de Correspondencia 4 13. Trazado de Gráfica Especiales4.14. Ejercicios Desarrollados4.15. Ejercicios Propuestos4.16. Operaciones con Funciones4.17. Composición de Funciones4.18. Propiedades de la Composición de Funciones4.19. Ejercicios Desarrollados4.20. Ejercicios Propuestos4.21. Función: Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva4.22. Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas4.23. Cálculo de Rango de Funciones Inyectivas Monótonas4.24. Función Inversa4.25. Función Inversa de una Composición4.26. Ejercicios Desarrollados4.27. Ejercicios Propuestos4.28. Aplicaciones de las Funciones en Administración y Economía4.29. Ejercicios Desarrollados4.30. Ejercicios Propuestos

4904914Q2493495495496496498499499500507511511516520523529534538539540541542543544546548548551

CAPITULO V

INDUCCIÓN MATEMATICA

5.1. Introducción5.2. Conjuntos Acotados5.3. Axioma del Supremo o Axioma de la Mínima Cota Superior5 4. Principio Arquimediano5 5 Principio del Buen Orden5 6 Menor Elemento y Mayor elemento de A cz R5.7. Proposición5.8 Sub Conjuntos Inductivos de R5.9. El Principio de Inducción Matemática Completa5.10 Teorema 1 (Primer Principio de Inducción)5.11. Teorema 2 (Segundo Principio de Inducción)5.12. Definición5.13. Ejercicios Propuestos5.14 Sumatorias5.15 Propiedades de la Sumatoria5.16 Fórmulas de la Sumatoria5.17. Notación del Producto de n Números5 18 Ejercicios Propuestos5.19. Divisibilidad en Z5.20. Máximo como Divisor M.C.D.5.21. Lema5.22 Mínimo Común Múltiplo5.23. Regla para averiguar si un número dado es primo5.24. Criba de Erastóstenes5.25. Ejercicios Propuestos5.26. La Función Factorial5.27. Números Combinatorios5.28. Principales Propiedades de los Coeficientes Binomiales5.29. El Triángulo de BLAISE PASCAL5.30. Potencias de un Binomio5.31. Ejercicios Propuestos

5575575575585585585595605605ó6566566567568589598600601604605606607619623

635637637

CAPITULO VI

6 .1. Ecuaciones sin Solución en K6.2. Definición6.3. Definición6.4. Plano Complejo6.5. Definición6 .6. Ejercicios Propuestos6.7. Cero y Opuesto de un Número Complejo6 .8. Operaciones con Complejos6.9. Unidad Imaginaria6.10. Forma Estándar o Binómica de Números Complejos6.11. Teorema6.12. La Conjugación en C6.13. Módulo de un Número Complejo6.14. Ejercicios Desarrollados6.15. Ejercicios Propuestos6.16. Forma Trigonométrica o Polar de un Número Complejo6.17. Multiplicación y División en Forma Polar6.18. Potencia y Raíces de Números Complejos6.19. Exponenciales Complejas (Fórmula de Euler)6.20. Logaritmos en C6.21. Exponencial Compleja General6.22. Ejercicios Desarrollados6.23. Ejercicios Propuestos6.24. Miscelánea de Ejercicios

CAPITULO VII

TEORIA d e e c u a c io n e s

7.1. Definición7.2. Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado7.3. Raíces y Discriminante de una Ecuación Cuadrática

638639640642643643645646646G46647647648649650651653t»53654654654655C566576606o2664666669

682685687

7.4. Relación Entre Raíces y Coeficientes de una Ecuación Cuadrática7 5 Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas7.6. Ecuaciones Irracionales7.7. Algoritmo de la División7.8. Teorema (Algoritmo de la División para Polinomio)7.9. La División Sintética7.10. Teorema del Resto7.11. Teorema del Factor7.12. Raíces de un Polinomio7.13. Teorema Fundamental del Algebra7.14. Número de Raíces de una Ecuación Polinómica7.15. Definición7.16. Raíces Enteras7.17. Forma Factorizada de un Polinomio7 18. Relación Entre los Coeficientes y las Raíces de una Ecuación Polinómica7.19. Naturaleza de las raíces de Polinomios Reales7.20. Raíces Racionales de un Polinomio7.21. Teorema del Limite Superior de las Raíces Reales (LAGRANGF.)7.22. Variación de Signos de un Polinomio7.23. Regla de los Signos de Descartes7.24. Ecuaciones Binómicas7.25. Ecuaciones Trinómicas Bicuadradas7.26. Ecuaciones Recíprocas7.27. Ecuaciones Polinomicas de Tercer Orden7.28. Ecuaciones Cuartica7.29. Gráfica de un Polinomio7.30. Regla7.31. Solución Numérica de Ecuaciones con el Método de Newton7.32 Ejercicios Propuestos

CAPITULO VII

VECTORES EN R2

8.1. Conceptos Básicos8.2. V'ectores B¡dimensional8.3. Operaciones con Vectores

69469669'7697698700701702703704705706

Tv6707708709710710712713714714715716717718720721722760784

8.4. Longitud o Módulo de un Vector8.5. Propiedades del Módulo de un Vector8.6. Vector Unitario8.7. Teorema

8 8. Dirección de un vector en R28.9. Producto Escalar de Vectores8.10. Propiedades del Producto Escalar de Vectores8.11. Vectores Paralelos y Ortogonales8.12. Criterio de Colinealidad8.13. Interpretación Geométrica de la Ortogonalidad de Vectores8.14. Teorema8.15. Teorema8.16. Teorema8.17. Corolario8.18. Combinación Lineal de Vectores8.19. Teorema8.20. Teorema

8.21. Dependencia en Independencia Lineal de Vectores en R28.22. Vectores Fundamentales8.23. Propiedades de los Vectores Ortogonales Unitarios8.24. Definición8.25. Proyección Ortogonal y Componente8.26. Definición8.27. Propiedades del Vector Proyección y Componente8.28. Relación entre Proyección y Componente8.29. Angulo entre Dos Rectas8.30. La Desigualdad de Cauchy - Schwarz8.31. Área de: Triángulo y Paralelogramo8.32. Ejercicios Desarrollados8.33 Ejercicios Propuestos

BIBLIOGRAFIA

Lógica 1

CAPITULO I

LÓGICA

1.1. INTRODUCCIÓN.-

Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. En la actualidad,

el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las Humanidades como el de las

ciencias y la técnica requieren conocer los fundamentos y mítodos del razonamiento

lógico preciso que permite al estudiante o profesional extraer y depurar ais cunclusiones

evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es

aun más en esta era de la computación, herramienta que es empleada en todus los campos

del desarrollo de una sociedad y con la velocidad a la cuál se procesan los datos cualquier

error de lógica puede originar problemas técnicos, sociales y económicos.

Siendo muy importante, en la matemática moderna análisis del lenguaje con un criterio

lógico: la L ó g ic a tiene como fin de conducimos a un hábil manejo del lenguaje

matemático y el empleo de métodos eficaces de razonamiento.

Existen dos tipos importantes del razonamiento: El inductivo y el Deductivo.

El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cuál una persoi a en base a sus

experiencias específicas, decide aceptar como válida un principio general.

El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cuál dicha persona utiliza el

principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su

vez nabrá de determinar el curso de su acción.

Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo, en el

desarrollo de nuestro estudio veremos lo esencial de la lógica preposicional, a través del

uso y manejo de una simbología adecuada.

2 Eduardo Espinoza Ramos

1.2. ELEMENTOS DE LÓGICA SlMBÓLICA.-

a) ENUNCIADO.- Se denomina enunciado a toda frase u oración.

Ejemplo.- i ) 11 es un número primo. © París está en Italia.

© ¿Qué hora es'/ 0 ¡Viva el Perú!

© 5 > 9 © 6 + 2 = 8

© x 2 <9 ( T 1 x 2 + y 2 < 4

Los enunciados que matemáticamente tienen significado son aquellos que pueden

ser considerados como verdaderos o falsos (proposiciones); algunos enunciados no

es posible afirmar si es verdadero o falso, como por ejemplo, las inte.rogaciones, las

exclamaciones o las preguntas.

b) ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y no

tienen la propiedad de ser verdadero o falso.

Ejemplo.-

© x < 7, es un enunciado abierto, porque no podemos afumar si es verdadero o

falso, solamente cuando a la variable x se le dá un valor numérico podemos

decir si es verdadero o falso.

Así por ejemplo: para x = 3, 3 < 7 es verdadero

para x = 9, 9 < 7 es falso

© x 2 + y 2 = 16, también es un enunciado abierto.

c) VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o

recorrido, a las variaLles representaremos por las letras

minúsculas x,

y, z. t, u, v, a estas variables se les dá el nombre de variables indeterminados.

Ejemplo.-

© y = ^ 5 es un número real, si x es un número real que sea mayor o igual a

5 El campo o recorrido dt- x es x > 5.

Lógica 3

© En la ecuación x + y 2 = 16

El campo o recorrido de x es • 4 < x < 4

El campo c recorrido de j es - 4 < y < 4 .

1.3. PROPOSICIONES LOCICAS.-

Llamaremos proposiciones lógicas a todo enunciado abierto que pueden ser calificado

como verdaderas o bien como falsas, ¡>in ambigüedades

NOTACIÓN.- Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras

minúsculas p, q, r, t, etc. A la veracidad o falsedad de una

proposición se denomina valor de veidad.

Ejemplos de Proposiciones Lógicas.-

© p: 15 - 4 = 1 1 , verdadei .■> ■ V)

© q: Lima es la capital del Perú, verdadero (V)

Q j r: 107 + 301=48, falsa (F)

t: 7 es un número par, falsa (F).

1.4. ÜEFINICIÓN.-

Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o

falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabl? de verdad en la forma.

PVF

1.5. CONECTIVOS LÓGICOS.-

Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes

conectivos lógicos tenemos.

La conjunción, disyunción, implicación, bicondicional, negación, contradicción, esto

mostraremos en el siguiente cuadru.


Nornore Expresión Simooio LógicoConjunción y

• *A

Disyunción ó V

Implicación S í,.... entonces,... ----->Bicondicional, equivalencia doble implicación

... Sí y sólo s í,... <-------»

Negación NoContradicción no equivalente,...

1.6. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS.-

a) PROPOSICIONES SIMPLES Ó ATÓMICAS.-

En una proposición que no contiene ningún conectivo lógico.

Ejemplo.- ^ 6 es par. @ 2 + 5 = 7

b) PROPOSICIONES COMPUESTOS O MOLECULARES.-

Es una proposición que contiene al menos un conectivo lógico.

Ejemplo.- © 5 es primo y 2 es par.

(2^ Si 5 es par entonces 2 es impar.

© Si n es par entonces n es divisible por 2.

1.7. PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSK OS.-

a) LA NEGACIÓN.- Dado una proposición P, llagaremos la negación de P, a otra

proposición que denotaremos por -P , y que se le asigna el

valor opuesto a p, y su tabla de verdad es:

El principio lógico de la negación es:

Lógica 5

Si una proposición es vercLder^ V, su negación es falsa F y recíprocamente, si dicha

proposición es falsa F, su negación es verdadera V.

La proposición ~P es leída así “no P”, ' no es cierto que P”

Ejemplo.- (T ) 2 es primo V

Su negación es: 2 no es primo F

( 2) 5 es par F

Su negación es: no es cierto que 5 es par V

© Dada la proposición P: 5 x 7 =35

Su negación es: ~P: no es cierto que 5 x 7 = 35

b) LA DISYUNCIÓN.- La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición

compuesta que reculta de unir p y q por el conectivo

lógico “o” en el sentido inclusivo y/o y que el principio lógico es ‘La proposición p v q es falsa únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera”. La tabla de verdad paia la disyunción es:

Ejemplo.- Hallar el valor de p v q donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5

Solu. ión

p v q

c) LA CONJUNCIÓN.- La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposicióncompuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo

lógico “y” que se simboliza p a q, donde el principio logico es “Lz conjunción p a q es verdadero V, sólo cuando p es verdadero y q es verdadero V, en todos los demás casos es falso”. Su rabia de verdad es:


p q p a qV V VV F FF V FF F F

Ejemplo.- Sí p: 4 < 7 y q: 6 es número par. Calcular el valor de verdad de p a q

Solución

P q pAqV V V

d) LA CONDICIONAL (IMPLICATIVA).- La implicación o condicional de dospr( posiciones p y q es la proposición

compuesta meuiante el conectivo lógico “s i , ..., entonces, ...” y se simboliza p -----»q, donde el principio lógico es “La proposición .mphcativa es falso únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos. Su tabla de verdad es:

P q D - » q

V V VV F FF V VF F V

La proposición p es llamado antecedente y la proposición q es llamado consecuente.

P --------------------------------- >qAntecedente ConsecuentePremisa Conclusión.Hipótesis Tesis.

OBSERVACIÓN.-

© Una implicación es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea el consecuente.

© Una impl.cación es verdadera si el consecuente es verdadera, cualquiera que sea el antecedente.

Lógica 1

Ejemplo.- Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8

Hallar el valor de verdad de p -----> q

Solución

Para calcular el valor de verdad de la proposición p -----> q, primero calcularemos el

valor de verdad de las proposiciones dadas.

p : Cristóbal Colón descubrió América es verdadera V

q : 6 + 3 = 8, es falsa F

e) LA BICONDICIONAL (Equivalente ó Doble Implicación).-

La doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición

compuesta mediante el conectivo lógico “si y sólo si” y se simboliza p <— » q son

verdaderos V o son falsos F, en otros casos es falso F. Su tabla de verdad es:

p tiV V VV F FF V FF F V

f) LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- La disyunción exclusiva de dosproposiciones p y q es la proposición

compuesto mediante conectivo lógico “o” y se simboliza p A q, donde ambas proposiciones p y q tengan valores de verdad opuestos y es falsa si ambas tiene idénticos valores. Su tabla de verdad es:

P q p AqV V FV F VF V V

F F F

8 Eduardo Espinoza Kamos

Ejemplo.- Sea p : k es par ; q : k es, impar. Hallar el valor de verdad de p A q.

Solución

Para calcular el valor de verdad de p A q, primero veamos lo siguiente:

Si k es par, si puede ser impar (Si p es V ; q es F)

© Si k es impar, no puede ser par (Si p es F ; q es V)

De las notaciones (1) y (2) vemos que p A q es verdadera.

En efecto:p q p A qV F VF V V

1.8. PROPOSICIONES COMPUESTAS.-

Mediante los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier numen > finito de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se puede indicar los valores resultantes de estas proposiciones compuestas, para todas las «'ombinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones compuestas.

Ejemplo.- La tabla de verdad de la proposición compuesta de:

[(p-----> q) a (q-----> r)]-----> (p-----* r)

Solución

Lógica 9

1.9. JERARQUÍA DE LOS CONECTIVOS LÓGICQS.-

Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las

operaciones primero se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las

proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las

negaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como

paréntesis).

Ejemplo.- Hallar la tabla de valor de verdad de la proposición:

[p v ( q - ----*~r)] A[(~pvi)<---->~ ql

p q r [P V (q- ->)] A [(~p v r) <— » ~q]V V V V V F F V F FV V F V V V V F V FV F V V V V V V V VV F F V V V F F F VF V V F F F F V F FF V F F V V F V F FF F V F V V V V V VF F F F V V V V V V

1.10. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.-

a) TAUTOLOGÍA.- Son proposiciones compuestos que siempre son verdaderos

cualquiera que sea el valor de las proposiciones componcnto

Ejemplos de Tautología.-

© p v - p (principio del tercio excluido)

( 2 ) [(p-----> q) a p ]-----■* q (5) (p ~p>

F n electo tenemos


©p P V ~pV V V FF F V V

Es Tautología

©

Es una Tautología

©P ~P 1 - (p a ~p)V F V FF V V F

b) CONTRADICTONES.

compuestas.

Es una tautología

Son proposiciones compuestas que siempre son falsas,

cualquiera que sea el valor de las proposiciones

Ejemplo de contradicciones.-

© p a ~p (principio de contradicción)

(T ) ~(p v ~p)

En efecto tenemos:

©

© ( p ------ > q ) A ( p A ~ q )

P ~P P A ' PV F FF V F

Es una contradicción

Lógica 11

©p ~P ~ (p V ~p)V F F VF V F V

Es una contradicción © - ________________________________„

P q (p— >q) A (P a ~q)V V V F FV F F F VF V V F FF F V F F

Es una contradicción.

c) CONTINGENCIA.- Son proporciones compuestas que no son ni tautología nicontradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos

casos es F, y en otros es V.

Ejemplos de Contingencia.-

© p <— > q © p a q

© (p— >q)— >p

En efecto tenemos:

©

Es una contingencia©

P q p AqV V VV F FF V FF F F

Es una contingencia

12 Eduardo Espinoza F amos

®p q (P ->q) »PV V V V VV F F V VF V V F FF F V F F

Es una contingencia

1.11. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA.-

i) A toda proposición condicional p —» q que sea tautología le llamaremos implicación lógica (o simplemente implicación) en éste caso a la condicional denotaremos por p=>q

Ejemplo de Implicación lógica se tiene: [((~p) v q) a ~q] => ~p

puesto que:

P q K(~p) v q) A ~q] => -PV V V F F V FV F F F V V FF V V F F V VF F V V V V V

X. __ /

Es una tautología. Por lo tanto es una implicación lógica.

ii) A toda bicondicional p <-» q que sea tautología se le llama equivalencia lógica (o simplemente equivalencia) y en éste caso a la bicondicional denotaremos por p<=> q. Ejemplo de equivalencia lógica se tiene: [p a (p v q)] <=> p

puesto que: > ______ ______________________P q [p A (P v q)] <=> pV V V V V V VV F V V V V VF V F F V V FF F F F F V F

' ' -1 ____Es una tautología. Por lo tanto es una equivalencia lógica.

Lógica 13

1.12. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES.-

Cuando sus tablas de verdad de dos proposiciones p y q son idénticos se denominan

equivalentes (o lógicamente equivalentes) en este caso se simboliza en la forma p=q.

Ejemplo.- Las proposiciones (p -----> q) y (~q-----> ~p) ,;ort lógicamente equivalentes.

puesto que sus tablas de verdad son idénticos. En efecto:

p q p — >q -.q-----> pV V V F V FV F F V F FF V V F V VF F V V V V

Idénticos

••• p — * q = ~ q — >~p

OBSERVACIÓN.-

© La equ valencia de este ejemplo es muy importante, porque viene a ser la base del

llamado método de demostración por Reducción al absurdo, en una forma indirecta

de un proceso de demostración que se va utilizar en el desarrollo del curso.

© Un par de proposiciones equivalentes p ee q resulta siempre una equivalencia

lógica p « q y viceversa, por esta razón cuando se tiene una equivalencia lógica

entre p y q, también se dice p = q.

1.13. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS.-

Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas preposicionales

tautológicas de caractcr general y que a partir de estas leyes lógicas se puede generar otras

tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas,

entre las principales leyes lógicas mencionaremos.


Io LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS.-

© Ley de identidad.

í P ----- 5 P•{ “una proposición sólo son idénticos así mismo”[P<---- >P

© Ley no contradicción.

~(p a -p) "una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez”

© Ley del Tercio excluido.

p v -p “una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posibilidad"

2o EIIIVALENCIAS NOTABLES.-

© Ley de la doble negación.

~(~p) = p “la negación de la negación es una afirmación”

© Ley de la Idempotencia.

a) p a p = p b) p v p ^ p

© Leyes conmutativas.

a) (p a q) = (q a p) b) ( p v q ) E ( q v p)

c) p <— >q = q<— >p

© Leyes Asociativa.

a) p a (q a r) s (p a qj a r b) p v (q v r) = (p v q) v r

c) p <— > (q <---- > r) = (p <— > q) <— > r

© Leyes Distributivas

a) p a (q v r) s (p a q) v (p a r) b) p v (q a r) = (p v q) a (p v r)

c) p ------»(q a r) = (p-----» q) a (p---->r)

d) p ------>l qvr ) = (p---- ->q)v(p----> r)

Lógica 15

© Leyes De Morgan

a) ~(p a q) = ~p v ~q b) ~(p v q) = - p a ~q

© Leyes del Condicional.

a) p ----- > q = ~P v q b) - (p ------>q) = p A ~ q

© Las Leyes del Bicondicional.-

a) (p<— ► q) = (p ------ > q )A (q ------>p)

b) (p <— > q) s (p a q) v (~p v -q)

© Leyes De La Absorción.

a) p a (p v q) = p b p a (~p v q) = p a q

c) p v íp a q) = p d p v (~p a q) = p v q

@ Leyes De Transposición.

a) (p----- > q ) s - q ----- >--p b) (p<— >q) = ~q<— >~p

© Leyes De Exportación.

a) ( pA q)----- >r = p---> (q------ > r)

b) (Pi a p 2 a ... a p n)------->r = { p x a P2 a ... a p n—i )-------K p n -------->r)

(l2) Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción.

a) p a V s p. V neutro de la conjunción.

b) p v F = p, F neutro de la Disyunción.

(O ) También:

a) (p v q) a (p v -q) = p b) (p a q) v (p a ~q) = p

OBSERVACIÓN.- Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplaza! una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.


Ejemplo.- Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas.

( 1 ) [ ( p v - q ) A q ] ------>pSolución

l(p v ~q) A q]-----> p = ~[(p v ~q) A q] v p

- [~(p v -q) v -q] v p

= t—(P v ~q)J v (p v -q)

E P v ~q

( 2) —[—(p a q )----- >~q]vqSolución

~l~(p a q)-------> -q] v q s [ -(p a q) a - (~q)] v q por (7b)

= ~Up a q) v (-q)] v q por toa)

S [~(p A q) A —(~q)] v q por (6 b;

= [(~p v -q) a q] v q = q v ((-p v ~q) a q) por (3b)

s qv [q a (~p v ~q)] = q por (9b)

© Comprobar que las tres proposiciones siguientes son equivalentes:

a) _ [(q v _p) v (q a (r v ~p))]

b) (p a -q) a [~q v (—r v p)]

c) ~(~q-----> -p) a [q-----> - (p ------ > r)]

Determinar si (a) y (b) son proposiciones equivalentes:

a) p ----------» (r v ~q)

b) (q--> ~p> v (—r — -p)

Dejamos el desarrollo de este ejercicio al lector.

Lógica 17

( j ) [((~P) a q )----- ! (r a ~r)J a - qSolución

[((~p) a q)-----> (r a ~r>] a ~q = [((~p) a q)-----> F] a ~q

= K (~P) A q) v F] a -q

= [(P v -q) v F] a -q

= (p v ~q) a q = q

Ejemplo.- Detenr.inar si a) y b) son proposiciones equivalentes:

a) p ---- >(rv ~q) b) (q----- > -p) v (~r-----> ~p)

Solución

Determinaremos la equivalencia mediante la tabla de verdad.

p q r (r v ~p)P Lq > I V v~r ' ■> --pjV V V V V V F V VV V F V F F F F FV F V V V V V V VV F F V V V V V FF V V F V V V V VF V F F V F V V VF F V F V V V V VF F F F V V V V V

... (2)

Idénticos ^1__________________________ J

Otra manera es mediante la simplificación.

a) p ----->(rv~q) = (~p )v ( rv~q )

b) (q-----> ~p) v (~r-----> ~p) = (—q v ~pj v r v ~p)

= (~q) v (~p v ~p) v r

= (-q) v (~p) v r

= (~p) v (r v ~q)

Luego de (1) y (2) se tiene: a) = b)


1.1 LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO.-

A1 proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se denomina inferencia

lógica o Argumento lógico.

La inferencia lógica es una condicional de la forma:

Í P i * P i a...ap„)-------...(a)

donde las proposiciones p\,p-i ,—.p„ son llamadas premisas y que originan como

consecuencia otra proposición q llamada conclusión.

OBSERVACIÓN.- Una inferencia 15gica puede ser una tautología, una contingencia o

una contradicción y por lo tanto se tiene:

Si la condicional (a) es una tautología se denomina argumento válido o inferencia

válida.

© Si la condicional (a) no es una tautología se denomina FALACIA.

Ahora veremos como se determina el valor de verdad de un argumento lógico.

1.15. DEFINICIÓN.-

EI argumento (a) es verdadero si q es verdadero cuándo todas las premisas p ¡, p 2,..., p n son verdaderos, en cualquier otro caso el argumento (a) es falso.

NOTACIÓN.- También el argumento (a) se denota por:

P 1 . P 2 - - ’ P n - - - - - - - - ->9 - ( P )

Ejemplo.- Determinar si p v q es una consecuencia válida de ~p----->~q,~q----->r, ~r

Solución

En este problema las premisas ~p---- > ~q, ~q----- > r, ~r y la conclusión es p v q, por lotanto se debe demostrar que (~ p -----> ~q) a (~ q -----> r) a ~ r -----» p v q es unatautología.

Lógica 19

p q r t( P -» ~q) a (~q ->r)] a [-~r—— * (P V q)]V V V V V V F F V VV V F V V V V V V VV F V V V V F F V VV F F V F F F V V VF V V F F V F F V VF V F F F V F V V VF F V V V V F F V FF F F V F F F V V F

__ T * .Es una tautología

Como es una tautología es una inferencia váliua.

1.16. TFOREMA.-Si el argumento (a) es válida y las premisas p x, p 2,...,pn son verdaderas, entonces la conclusión q es verdadera.

Demostración

Si el argumento (a) es válido, la condicional p, a p 2 a . . .a p n ------ >q es una tautologíaen que ( px / \ p <\ ..a pn) es verdadera (puesto que cada p lf p 2,..., P„ son verdaderos) de donde se tiene que la única posibilidad para la conclusión q es que sea verdadera, pues si fuese falsa, la condicional seria falsa y la inferencia no seria válida, contradiciendo la hipótesis.OBSERVACIÓN.- Una inferencia no se modifica si una o varias de las proposiciones componentes p , , p 2 , p„ - q se reemplaza por otra u otras que sean equivalentes.

NOTACIÓN.- Al aigumento (p, a p 2 a . . . a p„)------ >q, ¿ambién se denota en la

forma siguiente:

P\PiPi

Pnq


Ejemplo.- Demostrar que el argumento es válido.

Pp— >q

• • qSolución

Se debe demostrar que la condicional

[p a (p---- » q>]------» q es una tautología

[p a (p---- >q)] -»q — [p a (p----------->q)]vq

= [~pv~(p----->q)]vq

= (~P v q) v ~(~p v q)

= (~p v q) v (p a -q)

s ~(p a ~q) v (p a ~q) = V es tautología

También puede haberse demostrado con la tabla de verdad.

Es una tautología

1.17. INFERENCIAS VÁLIDAS NOTABLES.-

© Ley De Módus Pones.- [(p-------> q) a q] => qtambién se simboliza p --------------------> q

_P_______.-. q

© Ley De Módus Tollens.- [(p----- > q) a (~q)] => (~p)

también se simboliza p -----» q

Lógica 21

( 5 ) Ley Del Silogismo Hipotético, [(p-----»q) a (q-----» r)] => <p-----> r)

También se simboliza: p ----- »qq - -> r

p -----> r

© Ley Del Silogismo Disyuntivo, [(p v q) a (~p)] => q

También se simboliza: p ✓ q~P

q

Ley Del Dilema Constructivo, h p -----» q) a (r-----> s) a (p v r)] => (q v s)

También se simboliza: p ----- » qr -----> sp v r

q v s

© Ley De Simplificación

a ) p A q = > p b) p a q => q

También se simboliza:P P

_q__ q__de p q

1.18. EL MÉTODO A3REVI \D O .-

E1 desarrollo de la tabla de valores de la inferencia ( px a p 2 a ...a p n) ------ >q es muy

laborioso cuando se desea saber su validez, esto se puede evitar mediante el “método

abreviado” que es fácil de manejar y de gran precisión.

El método abreviado consiste en analizar la única posibilidad de ser falsa la

implicación p -----» q, es decir:

22 Eduardo Espinoza í amos

O sea que la implicación es falsa F sólo cuando el antecedente es verdadero V y el

consecuente falsa F.

Ahora haremos un análisis a la inferencia, (p, a p 2 a...a pn)-------» q

mediante los siguientes pasos:

I o Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas p , , p 2 ,—, P„ y falso F a la

conclusión, como el antecedente es verdadero y por ser una conjunción n premisas

entonces cada premisa p ¡, p 2,..., p„ es verdadera es decir:

(p, a p2 a ... a p n) ----------------->qv---------- v-----------'

2° Deducir el valor de cada una de las variabler proporcionales teniendo en cuenta las

reglas a , v ,------», ~ que se pueden presentar en cada premisa.

3° Si cada una de las variables proporcionales tiene un sólo valor, entonces la inferencia no es válida, es decir no hay implicación puesto que la conjunción de premisas es V y la conclusión es F.

4° Si una variable proporcional llega tener dos valores a la vez (V y F), entonces quedará demostrado que no es posible que la conjunción de premisas es V y la conclusión es F, por lo tanto hay implicación y la inferencia es válida

Ejemplo. Analizar la inferencia [(p----->q) a (r----->~s) a (~q v ~s)]-----» (~p v ~r)

Solución

[(p |— >q) a (r - — * ~s) a (~q y ~s)]----------- > (~p v ~r)v v W ! i

Lógica 23

Analizando la conclusión (~p v -r)

~p v ~r

de dondep es F j p es Vr es F I r es V

ahora analizaremos cada premisa

p ---- -j-----> q de donde p es V

V4_ ( ^ V

r ---- -j-— > ~s de donde r esV▲ ▼ V ~s es V entonces S es F.

(y ) ^

-q v s de donde - q es VA s es F entonces q es F

------ 1 F

como se puede apreciar que q es V por una parte y q es F por otra parte, lo cual es una contradicción por lo tanto la inferencia es válida.

Ejemplo.- Analizar la inferencia [(p----->q) a (~p— -» r) a (p v ~p)]------» (p v r)

Solución

[(p-----> q) a (~p-----> r) a (p v ~p)]----------- > (p v r)i I I

▼ ▼ T I I¡ I

v. v V v . T T

V. F'

Analizando la conclusión p v r

\p es Fp v r de donde {:es F

24 Eduardt ■ Espinoza Ramos

Ahora analizamos cada una de las premisas.

P ■> q de donde p es F ▲ q es V

~P- p ----------- >r■» r de donde -p es F entonces p es V

como podemos apreciar p es F por una parte

p es V por otra parte

lo cual es una contradicción, por lo tanto la inferencia es válida.

Ejemplo.- Analizar la inferencia: [(~p <— * (~q v r)) a (r-------------------------- » s)]--- » (s------» -p)

Solución

[(~p <— > (~q v r)) a (r----- > s)] * (s-----> -p)

▼V

V

Analizando la conclusión s -----» ~p

s 4 ~p de donde entonces p es V

Ahora analizamos cada una de las premisas.

~p <----------»(~q v r) ~q v r

de donde

Lógica 25

-> s de donder e s Fs es F

FT ▼L - ®

Corno se tiene una contradicción. Luego la inferencia nc tiene validez.

1.19. IVfÉTCDOS DE DEMOSTRACIÓN.-

En la demostración de teoremas y proposiciones qut se presentan en el álgebra y el análisis se aplican ordenadamente los pa os lógicos agotando todas las premisas (antecedentes o hipótesis) para verificar la conclusión (consecuente o tesis).Existen dos formas o métodos de demostración matemática, la directa y la indirecta.

1.20. I ORM¿ O MÉTODO D) RECTO DE DEMOSTRACIÓN.

En la tabla de verdad de la implicación p -----»q.

Si p es falso, la proposición p -----» q es válida cualquiera que sea el valor de q, entoncesno se tendrá nada que demostrar, es decr que interesan los casos de antecedente verdadero.

Sí a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma.

se deduce la verdad de la conclusión de q, se dice que se na usado una demostración directa.

Ejemplo.- Mediante el método directo comprobar la validez de la inferencia lógica.

( p i a p 2 a ... a p n )-------->q (1)

[~p a (p v q)]-----> q

Solución

[~p a (p v q)]-----» q = ~[~p a (p v q)] v q

= [p v ~(p v q ) ] v q

= ( p v q ) v ~(p v q)

V= tautología


1.21. FORMA O MÉTQuO INDIRECTO D e dEMOSTRACíON.-

A esta forma de demostración también se denomina demostración por contradicción o por

reducción al absurdo, este método consiste es negar la conclusión q y considerarla como

una premisa, y a una de las premisas p , , p , p n negarla digamos a p¡ y construir el

siguiente argumento lógico

((—q) A P2 A - A Pn ) ------ * ~Pl — (2)

ahora probaremos que el argumento lógico(2) es equivalente al argumento lógico (1).

((~q) r , p 2 a...a p n) ------ > ~Pl = ~[~q a p 2 a ... a p n ] v pj

= [ q v - f t v - v - p „ ] v - p i

= [ - p, V - p 2 v ... v - p n ] v q

= - [ Pl A P2 A A Pn ] V q

= ( P\ a p 2 a ... a p n ) ----- > q (argumento 1)

1.22. DEFINICIÓN.-

Cuando en una demostración se emplea el argumento lógico (2) se due que se está

aplicando el método indirecto o método por reducción al absurdo,

Ejemplo.- Por el método indirecto comprobar la validez a la inferencia lógica siguiente:

[~p a (p v q)]----- > q

Solución

Negaremos la conclusión q y la consideremos como premisa y negaremos a la premisa ~p

y considerarla como conclusión.

Lógica 27

t(-q) a (p v q)]-----> p = ~[(~q) a (p v q)] v p

= Iq v ~ÍP v q ; ] v p

= ( p v q ) v -(p v q)\ _____________ jv

V

s ¿autologh

Ejemplo.- Probar que él número -Jl no es racional.

Solución

La comprobación lo haremos por el método de reducción al absurdo,

lro. Suponemos que y¡2 es racional.

2do. Si y¡2 es racional => 3 m, n e Z primos entre sí lal que \¡2 = —n

23ro. Sí yÍ2 = — => 2 = — => m 2 =2n2 ... (ex)

n n

4to. Como m 2 - 2 n2 , con n entero => m 2 es par, por lo tanto m es par.

5to. Como m es par => m = 2k, para algún k entero.

6to. Reemplazando en (a) se tiene: 4k2 =2n2 => n 2 = 2k2

7mo Como n2 - 2 k 2 => n2 es par, por lo tanto n es par.

8vo. Como n es par n = 21, para algún 1 entero.

9no. De 5to. y 8vo. se tiene m = 2k, n = 21 de donde m y n nene un factor común 2,lo cual contradice a la hipótesis de que m y n son primos entre sí.

lOmo. Conclusión, por lo tanto \Í2 no es racional.


£23. CIRCUITOS LOGICOS.-

A un ensamblaje de interruptores automáticos que permiten el pa.,o de la corriente

eléctrica o la interrumpen de denomina circuitos eléctricos.

A un interruptor se puede representar por medio de una proposición p y viceversa, de tal

manera que el valor de verdad de la proposición p se identifique con el “paso de la

corriente” en este caso se dice que el “circuito está cerrado” y c.'ando el valor es “falso"

con la interrupción de la corriente en este caso se dice que el circuito está abierto.

Circuito cerrado Circuito Abierto

(pasa corriente V) (no pasa corriente F)

OBSERVACIÓN.- Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa la siguiente notación.

El 1 indica “pasa corriente”

El 0 indica ‘no pasa corriente”

Luego en circuitos eléctricos se usan como notación.

“El 1 en lugar de V”

“El 0 en lugar de F ’

En el diseño de esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones

compuestas y viceversa consideramos dos clases de instalaciones, en serie y en paralelo.

1.24. DISEÑO DE CIRCUITOS ELECTRICOS EN SERIE.-

Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie.

------------ p --------- ►----------- q ---------- ►---------- o

Pasa corriente

Lógica 29

Se observa que este circuito admite paso de comente cuando estos dos interruptores p y q

están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente, es decir ésta situación

corrc ponde a la tabla de verdad de la conjunción p y q.

p q P Aq1 i 11 0 00 i 00 0 0

En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los interruptores esté abierto ‘O

para que no circule la corriente en todo el circuito

A la expresión p a q se le llama la "Función Booleana del circuito en serie”.

1.25. DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN PARALELO.-

Consideremos dos interruptores p y q instalados en paralelo.

Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno de los

interruptores o ambos p o q esté cerrado “ 1” y no hay paso de comente si ambos

interruptores están abiertos (ambos con el valor "O”)-

Este circuito corresponde a la tabla de verdad de la disyunción p v q, es decir:


p q p v q1 i 11 0 10 i 10 0 0

A la expresión p v q se denomina la función Booleana del circuito en paralelo.

©

no pasa corriente

NOTACIÓN.- A un interruptor p representaremos simplemente como

o---------------------- p ----------------------oEjemplo.-

p A q ------------------ p -------------------- q ------------------

p v q

OBSERVACIÓN.- A una tautología se representa mediante un circuito siempre

cerrado (.donde la corriente siempre está circulando). En las computadoras no son de

utilidad.

Ejemplos.-

Construir el circuito lógico de las funciones Booleanas.

a) p ----->q

Solución

Logica 31

p -----> q = ~p v q (paralelo)

b) (p v q) a rSolución

p v q es en paralelo o-

©

(p v q) a r es en serie

Describir simbòlicamente el circuito.

r -------o

Solución

~q

en paralelo r v ~ q

-q

En serie p A (r v q)


©

©

[p a (r v ~q)J v (q a -r)

Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

--------- P ----------

--------- q ----------

-q ~P

-P

Sdudóg

[p v (q v (~q a ~p))] a -p = [p v (q v ~(q v p))] a ~p

= [(P v q) v ~(p v q)] a -p

s [(p v q) a -p] v [~(p v q) a -p] s [~p a q] v [~p a ~ q a ~p]

[~p a q] v [~p a ~q] = [(~p a q) v ~p] a [(~p a q) v -q]

-p a (~q v -p) = ~[p v (q v p)] v ~p

Determinar el circuito lógico que representa el esquema molecular. ~[p -

Solución

~[p-----» ~(q v r)] = ~[~p v ~(q vr)] = p a (q v r)

-(q v r)]

Lógica 33

1.26. LÓGICA CUANTIFIC ÍCIONAL.-

FUNC1ÓN PROPOSICION A L.-

A todo enunciado abierto de la forma P(x) se denomina función proposicional la cual

tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la vauable x por una

constante “a” especifica, al conjunto de todos los valores convenidos para la variable x se

denomina dominio de la variable.

De acuerdo a la definición de enunciado abierto, la función proposicional sobre D es toda

expresión P(x) donde P(a) es verdadero o falso para todo a e D.

Ejemplo.- P(x) = x + 1 < 9, si x pertenece al conjunto de los enteros, entonces P(x) es

una función proposicional cuyo dominio es los enteros.

Si x = -2 e Z, -2 + 1 < 9 es verdadero

x = 10 e Z, 10 + 1 < 9 es falso

por lo tanto P(x) es una función proposicional.

1.27. CUANTIFIC ADORES EXISTENCIAL Y UNIVERSAL -

Se ha visto un método que nos permite que a pan ir de una función proposicional P(x) se puede obtener proposiciones, sin embargo se tiene otro método completamente distinto que permite obtener proposiciones a partir de una función proposicional, dicho método es llamado cuantificadores.

Ejcmpko.- Sea la función proposicional P(x): x es un número primo ... (1)

Si a la función proposicional le anteponemos “para todo x” se obtiene:

"para todo x, x es un número primo’’ ... (2)

La frase "para todo x" se denomina el cuantificador universal y se simboliza por: V x

que se lee para todo x.


Luego (2) se puede escribir en la forma. V x: x es un número pi imo ... (3)

aclarando (1) es una función preposicional

(3) es una proposición.

A un cuantificador universal puede ser reemplazado por:

Vx: P(x) o V x / p(x) ó (V x) (P(x))

y en todas estas notaciones, se lee “para todo x, tal que se verifica P(x)” es decir:

V se lee “para todo”

El cuantificador El cuantificado

Vx : #>íx)Notación: Vx / P(x)

(Vx) (/>(X))

Ejemplo.- V x: x + 4 = x

El cuantificador universal no es el único cuantificador que permite obtener proposiciones

a partir de funciones proposicionales, existe otro llamado cuantificador existencial.

Sí en (1) P(x): x es un número primo antes ponemos la frase “existe x tal que” es nuevo

cuantificador, se obtiene:

“Existe x tal que x es un número primo” ... (4)

Al cuantificador existencial x “existe x tal que” se simboliza 3 x. de donde (4) se escribe

3 x: x es un número primo ... (5)

un cuantificador existencial puede ser representado por 3 x: P(x) o 3 x/P(x) o (3x) (P(x))

y en todas éstas notaciones se lee:

“Existe por lo menos un x, tal que se verifique P(x)” es decir: 3 se lee existe

Lógica 35

El cuantificador El cuantificatio

Notación3 x - P(x) 3.1 / P( x) (3x)(P(x))

Ejemplo.- Sea el conjunto A = {-2.-1,2,3.4} se tiene,

3 x e A: x 2 — 2jt = 8

3 x e A / i - 2jc = 8

A)'jc2 - 2 x = 8)

1.28. NEGACIÓN DE PROPOSICIÓN CON CU/vN HFICADORES.-

Proposición La negación

V x : P(x)

3 x : P(x)

V x e A : P(x)

3 x e A : P(x)

~ [V x : P(x)] = 3 x : - P(x)

-[3 x : P(x)] s V x : ~P(x.)

~[V x e A : Pix)] = 3 x e A : -P(x)

-[3 x e A : P(x)l = V x e A : ~P(x)

Ejemplo.- Negar la proposición, V x e N / x + 3 > 5

a>olucion

~[V x e N /x + 3>5] = 3 x e N / x + 3 < 5

Ejemplos.- Negar cada una de las siguientes proposiciones si el conjunto de referencia

es los reales R.

(7) (V x)(3 y)ÍP(x)-> (q(y)-» r(x)j]

( ? ) (V x )(3 y)(3 z) [P(x,y)-> q(x) a r(z)]

( D (3 x)(V y)(3 z)[~(P(x)-> q(y)) v r(z)]

( 4 ) (V x)(3 y)(V z)[~(r(\) v ~P(x)) v q(z)]

36 Eduardo Espinoza Kanos

Solución

© -(V x)(3 y)[P(x)----- » (q(y)-----> r(x'v)] = (3 x)(V y)[P(x) a ~(q(y)-----> r(x)]

= (3 x)(V y)[P(x) a (q(y) a -r(x))]

(2 ) ~(V x)(3 y)(3 y)(P(x,y)--------> (q(x) a r(z)) = (3 x)(V y)(V z)[P(x,y) a ~(q(x) a r(z))]

= (3 x)(V y)(V z)[P(x,y) a (-q(x) v -r(z))]

( 3) -(3 x)(V y)(3 z)[~(P(x)-------------------------------> q(y)] v r(z)] = (V z)(3 y)(V z)[P(x)-> q(y)) a ~r(z)]

( í ) ~(V x)(3 y)(V z)[~(r(x) v -P(x)) v q(z)] = (3 x)(V y)(3 z)[r(x) v ~p(x)) a ~q^z)]

|l.29. EJERCICIOS DESARROLLADOS^

© Deter m ar el valor de verdad ae cada una de las siguientes proposiciones:

a) Sí 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6= 12

Solución

Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero.

b) No es verdad que 3 + 3 = 7 sí y solo sí 5 + 5 = 12

Solución

Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera.

c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador.

Solución

Es falso puesto que ambas componentes son falsas

d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4

Solución

Es falso puesto que se está negando una proposición v erd adera

Lógica 37

V Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a) 4 + 8 = 1 2 y 9 - 4 = 5Solución

Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas.

b) 8 + 4 = 12 y 8 - 3 = 2

Solución

Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición simple fal sa.

c) 8 + 4 = 1 2 o 7 - 2 = 3So ución

Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera.

d) La UNMSM está en Arequipa o está en Lima.

Solución

Es verdadera V, puesto que es una disyunción exclusiva con una proposición simple verdadera.

e) La UNI está en Lima o está en Trujillo.

Solución

Es verdadera V, puesto que es una disyunción exclusiva con una proposición simple

verdadera.

f) Sí 5 + 2 = 7, entonces 3 + 6 = 9Solución

Es verdadera V, puesto que es una implicación con las dos proposiciones simples - verdadera».

g) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5= 10

Solución

Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.

38 Eduarde Espinoza Ramos

h) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1= 2

Solución

Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una

proposición falsa F.

i) Si 7 + 3 = 4, entonces 1 1 - 7 = 9Solución

Es verdadera V, pueito que las proposiciones que intervienen en la implicación son falsas.

(5 ) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta. ~(p a q) <— > (~p v ~q)

Solución

D Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición:

~{~[p v (~q-----» p)] v ~[(p <— > ~q)---- » (q a ~p)]

Solución

Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan:

— {[p v (~q-----» p)] a [(p r— > ~q)-----> (q a ~p)]} de donde se tiene:

[p v (~q------» p)] a [(p *— > - q )— (q a ~p)]

. . - j j ^ El valor de verdad

Lógica 39

© Determinar la proposición [((~p) v q) a ~q]-----» ~p es una ¿autologia.

Solución

p q [(~p v q) A ~ql ---- > ~pV V V F F V FV F F F V V FF V V F F V VF F V V V V V

\V Es una tautología

© Verificar que las .siguientes proposiciones son contradicciones:

a) (p a q) a ~(p v q) b) ~[p v (~p v ~q)]

Solución

P q (p Aq) A - ( p v q) - fP V (~p V ~q)]

V V V F F V F V V FV F F F F V F V V VF V F F F V F F V VF F F F V F F F V V

*

Contradicción Contradicción

© Demostrar que las proposiciones dada es una tautología: [(p v -q) a q] -

Solución

Es una tautología

40 Eduardo Espinovi Ramos

^8) Verificar que la proposición dada es una contingencia [~p a (q v r)] <— » [(p v r) a q]

Solución

p q r [~P A (q v r)] <— » [(p v r) A q]V V V F F V F V V VV V F F F V F V V VV F V F F V V V F FV F F F F F V V f FF V V V V V V V V VF V F V V V F F F VF F V V V V F V F FF F F V F F V F F F

I ^ 1I__________X_________ JAEs una contingencia

Determinar si las proposiciones [p-----> (r v ~q)] y [(q ----- > ~p) v (~r-----> -p)J sonequivalentes.

Solución

P q r lP -----» (r v ~q)] [(q— * p ) y ( r- —>~p)]V V V V V V F V VV V F V F F F F FV F V V V V V V VV F F V V V V V FF V V F V V V V VF V F F V F V V VF F V F V V V V VF F F F V V V V V

Por lo tanto son equivalentes es decir: [ p ——» (r v ~q)] = [(q----------------- » ~p) v (~r---------- » ~p)]

fíüi Determinar si las proposiciones [(-p v q) v (~r a ~p)] y ~q-----» ~ p son equivalentes.

SoIjcícji

Logica 41

p q r [(—P) v q) v(--r a ~p)] -q------->~pV V V V V F VV V F V V F VV F V F F F FV F F F F F FF V V V V F VF V F V V F VF F V V V F VF F F V V V V

^ — Idénticas — ^

Por lo tanto son equivalentes es decir: (~p v q) v (~r a ~p) = ~q-----» ~ p

Determinar los esquemas más simples de la proposición: ~[~(p a q)-----» -q] v p

Solución

~[~(p a q)-----» ~qj v p por la condicional

—[—(~(p a q) v -q)] v p por la negación

—[(p a q) v ~q] v p por conmutatividad en la conjunción

~[~q v (p a qtj v p por absorción

~[~q v p] v p por Morgan

(~p a q) v p por absorción

p v q ~[~(p a q)-----» ~q] v p = p v q

^ 2 ) De la falsedad de la proposición: (p---- ■> ~q) v (~r-----> s) determinar el valor de verdad

de los esquemas moleculares

a) (~p a ~q) v -q b) (~rvq)<— > '~qv r )A S

c) <p-----» q)-----»(p v q) a ~q

Solución


Determinaremos el valor de verdad de p, q, r y i

Por lu tanto: p es V, q es V , r es F, s es F

a) (~p a ~q) v ~q b) (~r v q ) « - -> (~q v r) a

♦ : i : ¡ ♦ ! * ! i ! ♦ !F ! F !

♦ i 1F ¡ F

v ! v l l 1 i 1

F ! F ! ■ i i! ♦ !! F !

i

t i l

c) (P- ->q)-+V

♦V

El valor de verdad es F

-»(p v q) a

♦ ! ♦V ! V

♦ ! ♦V ¡ F

♦F

El valor de verdad es F

♦F

| V | El valor verdad V

El valor de verdad de: —[(—p v q ) v ( r -----> q)] a [(~p v q)-----» <q a -p)] es verdadera.

Hallar el valor de verdad de p, q, y r

Solución

Lógica 43

Se sabe que p a q y q -----■> t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemasmoleculares siguientes:a) (~p v t) v ~q b) ~[p a (~q v ~p)]

<0 [(p----- >q a ~(q a t)] <— > l~p v (q a ~t)]

Soluciói.

Determ naremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t


por lo tanto p es F, q es V y t es F

a) (~p v t) v ~q

* i*V ¡ FI♦V

b)

IF

el valor de verdad es V

~[p a (~q v ~p)]+ ! +F ¡ V

♦ i ♦F ¡ V

iF

0 El valor de verdad es Vc) [(p-----» q) a ~(q a t)]

iF V

V

+: +v ! FI

♦F

V

V

[~p V (q A -t)]

+ : + v ! v

♦v

♦V

V

Si la proposición (~p a q) son verdaderas:a) ~[(p-------------->q)--------- >r]c) [(p v ~q) a p] v ~q

Solución

Detenninaremos los valores de p, q, r, s

0 El valor de verdad es V

---- » (~s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones

b) ~(~p a q) a [(~r v r) a s]

Lógica 45

por lo tanto jp es F , q es V s es V , r es F

a) ~1(P----->q)----->r] b) [~(~ p a q)] a [(~r v r) a s]

FiV

♦V

♦F

V V♦V

ÈF F

+ ! +V¡ F i

♦ ♦V

V

El valor de verdad es V [ I El valor de verdad F

c) [(p v ~q) a p] v ~q

F ! FI♦F

FiF

0 E1 valor de verdad es F

Por lo tanto únicamente es verdadero la a)

16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q)

Solución

[(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q) por distribución respecto a a

[(ip a q) v pj a ((p a q; v ~q)] v (~p a ~q) por absorciün

(p a (~q v p)] v (~p a ~q) por conmutatividad en v

[p a (p v ~q)] v (~p a ~q) por absorción

p v (~p a ~q) por absorción

p v - q

por lo tanto [(p a q) v (p a —q)] v (~p a -q) = p v ~ q


17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito lógico.

distribuidad respecto a a

distribuida respecto a v

por equivalencias

Solución

La ftmclón bo^leana del circuito dado es: [p v q v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p]

Simplificando la proposición obtenida se tiene:

[(P v q) v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p)l

[(p v q v ~ p) a (p v q v ~q)] a [(~p v q) a p]

(V a V) a [(p a ~p) v (p a q)]

V a [F v (p a q)] = V v (p a q) = p a q

Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (~p a ~q)] v [(~p v q) a p] = p a q

por lo tanto el circuito simplificado equivalente es:

O----------------- P ------------------ Q ----------------- o


---------P ------------

-------- q ------------

~q ~P

Solución

La función booleana del circuito dado es: [p v (~q a ~p) v q] a -p

ahora simplificamos la proposición obtenida

I ógica 47

[p v (~q a ~p) v q] a ~p s [p v q v ~p] a -p

= [(p v ~q) v q] a ~p

= (V v q) a ~p = q a ~p


-----------p ----------------------- q -

Solución

La función booleana del circuito dado es: [(~p a ~q) v (p a (~p v q)j]

ahora simpl.ficando ia pioposición obtenida

[(~p a -q) v (p a (~p v qj)] s [(-p A -q) a (p a q>] = p <— > q

Determinar la menor expresión que representa el circuito dado:

r -----

Solución

La función booleana del circuito dado es: (p v q) a [(~q a (r v ~q)) v (p a q)] a r

simplificando la proposición obtenida

(p v q) a [(~q a (r v ~q» v (p a q)] a r = (p v q) a [~q v (q a p)] a r

EE (p V c) A [~q v p] A r

= [p v (q a ~q>] a r

= ( p v F ) A r = p A r


Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares,

a) ~[p-----> -(q v r)]Solución

Simplificando se tiene:

~[p-----> ~(q v r)] s ~[~p v ~(q v r)] ° I

= p a (q v r)

b) (~p)<— >(p---- >~q)

ioli ción

(~p) <— »(p -» -q) = (~p) <— > (-p v -q)

= (~p a (~p v -q) v (p a (p a q))

o-------------= (~P) (P)

c) ( p v q ) ---- >[ (~pvq) -----> (p a q)]

Solución

(p v q)---- > [(~p v q)-----> (p a q)] = ~(p v q ) v [~(~p v q) v (p a q)]

= ~(p v q) v [(p a -q) v (p a q)]

s (-p a -q) v p

= (p V ~q)

~q

Lógica 49

1.30. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

© Determinar cuáles de los siguientes enunciado, son proporciones:

a) 5 + 7 = 1 6 - 4 b) 3 x 6 = 1 5 + 1 y 4 - 2 * 23 x5

c) ¿El silencio es fundamental para estudiar?

d) ¡Estudia lógica simbólica!

e) Nosotros estuuiamos en la Universidad Peruana

f) Los hombres no pueden vivir sin oxígeno.

g) ¡Arriba Callao!

h ) 5 + x = 7 i ) 2 + x * 3 + x

© Determine cuáles de los siguientes enunciados son enunciados abiertos:

a) x es hermano de y b) 28 <15

c) x + y + z * 1 d ) 9 x + 3 > 12

e) Tenga calma, no se impaciente

g) x es ingeniero y Juan es matemático.

h) La UNAC sobresalió en el deporte en el 2000.

© ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?

a) Sí 3 + 3 = 6, entonces 4 = 4

b) Si 5(7) = 35, entonces 10 - 3 = 13

c) Si 1 9 - 7 = 3. entonces 4(5 + 3) = 32

d) Si 2 = 3 entonces 8 es un número primo.

e) Si 3(7) es un número natural, ;ntonces 17 es un número pr no

f) Si x = 2, entonces 3x = 6


( ! ) Deten' ¡nar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (3 + 5 = 8) v (5 - 3 = 4) b) (3 + 8 = 11) v (7 - 3 > 1)

c) ( 5 - 3 = 8)------> ( 1 - 7 = 6) d) (4 + 6 = 9) <— > ( 5 - 2 = 4)

( ? ) Dados las siguientes proposiciones: p: 5 > 10

q: si x 2 +1 = 0, entonces x es un número real

r: “El punto medio de un segmento, equidista de los extremos del segmento”

t: Sí x + 3 = 0, entonces x = -3

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) [ (pAq)---- > r] a ~t b) [(p <— > q)--> ~ r A t ] v ( p v r )

(ó ) Si P{ x ) : x 2 -1 6 = 0: qvx): x - 12 = 0, r(x) : x 2 >9 . Hallar el valor de verdad de:

a) [p(2) a ~q(2)] <— > r(4)

b) [~p(4)----- > r(5)] v ~q(4)

c) [(p(l) a p(3)) <— > (r(2) v p(3)]---- > [~(p(2) v q(2))]

( 7) Si P(x): x 3 =27 \ q{x): x 2 = 9 ; r(x): x < 10. Hallar el valor de verdad de:

a) (p(l)----- > q(12)] [r(-3) v ~r(3)]

b) [p(0) a ~q(-1)] v [r(-5)----- > (r(-6) v r(0)]

c) [(p(3) v p(2)) <— > (r(2) a ~q(3))] <— > [~q(3) v -p(-3)]

© Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (p<— > ~q) <— >(q----- >p) b) (p A -q )-->(~pvq)

c) [(p v -r) a (p v r)] a [(q----- >p)A(qvp) ] d) ~(p v -q) a (~p v r)

e) [p a (~q-------> p)] a [~(p <— > ~q)------> (q v~p)]

lj)gica 51

® Construir la tabla de vi rrdad de las siguientes, proposiciones:

a) (p a q) v (~p) =>(pvq) b) (p q) r

c) (p ^ q) (q p) d/ ((~p) v q) => (~q => ~p)

e) (p a r) => (~q v r) f) (p a q) v r <=> (~p v ~q) a (~r)

(lO) Hallar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

a) p ----- >(pv ~q) b) [(p v ~q)------> (q----- > p,]

c) [ p v ( q ------) ~r)] a l(~p v r) <— > ~q] d) ~ H p a q)-----» ~q] v p

e) ~{[(p-----> q ) v ( q -----> r)]-----» (r----->p)}

Deducir el valor de verdad de

a) (p---- >r)----- » l(p v q) a ~q] b) ( ~ p A ~ q ) v ~ q

c) [(~r v q) a q] <-----> [(~q v r) a s]

(l2) Indicar cuál es la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

~[(p v q) a (-p v ~q)]

Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautología

a) [(p v -q) a q]-----> p b) [(p a q) v q] t— > q

c) [~p a (q a ~r)J <— > f(~p a q) v ~(p v r)]

(l4) Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes esquemasmoleculares es tautología, contingencia o contradictoria.

a) - [~ p ----- » ~(~q a ~p)J v ~( -p v -q) b) [(p v ~q) a ~p] a (~q-------- > p)

c) ~(p------> q) <— > ~(~q------» ~p)

d) lp ------ > (q---->r)]<— >[(pA- r ) ---- >~q]

e) lp a (~q------------ >p)]A~l(p ->~q)---> (q v ~p)]

f) f-p a (q v ~r)] <---- r lf~p a q) v ~(p v r)]


Determinar mediante la tabla de verdad, cuales de las siguientes proposiciones son: tautologías, contradicciones o contingencias

a) (p------> q) a (q -----» p) b) [ ( p v q ) A - q ] ------------ >p

c) ~[ (pvp)------>p] d) ~(p v q) a p

e) [p------> (q— r)J a [(q v p)---- » r]

Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautología, contradicciones y contingencias.a) ~(~P)<— >~H~p)] b) (~p v q) a (~q---------- > p)

c) (p v q) a r <— > ~(p a r) a -(q a r)

d) [(p a q a r)------> s] <— > [(p a q)----------------> (r-------> s)]

(17) Dadas las proposiciones siguientes:

a) ~(p a q) <— >(pv ~q) b) ~(p------> q) <— > ( p v - q )

c) -(p <— > q) <— > (~p <— > -q)

indicar cuál o cuales es una contradicción

(18) ¿Algunos de las siguientes proposiciones es una tautología?

a) - K p v q ) ------»~q]<— »(p------> q)

b) ~[(~p) <— » q] <— » (p-------> q)

c) ~[(p a q) v (p a (~p v q))] <— > (p -------------> -q)

Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o

contradictorias.

a) [(p a ~q) a (~p-----> r)]-----> (p v ~q)

b) {p v (q-----> -r)] a [(~p v r) <— » -q]

c) [(~p a q)-----»-r] <— » [r a ~(p v ~q)]

d) ~{(p a q) v [p a (~p v q)]} <— > (p-----» -q)

Lógica 53

@ t,Cual de las iguienies esquemas no señalar una tautología?

a) (p a q) <=> (q v p; b) (p a q) <=> (~p a ~q)

c) (p a q) <=> (q a p) d) (p-> q ) « ( - p A - q )

(2^ Determinar la validez del esquema: ~|~(~p a ~q)----- >~(pv q)] «— * [—(—P v q)]

(22) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es una tautología,

aj (p a q) v [p a (~p v q)] <— >(p----- > -q)

b) —[—(p v q)----- >~q]<— >(p-----> q) c) ~(~p----- > q) <---» (p <---------> q)

23) Construir la tabla de verdad y determinar cuáles son tautología, contradicción o contingencia.

a) (p----->q)<— M(r------>q)A(q------> p)]

b) (p-----» (q v ~r)] a ~Ip <— > rj

(24) ¿Cuales de las siguientes proposiciones es una tautología?

a) —{(p a q) v [p a (—p vq)]] <----> (p---------------> ~q)

b) ~(-p<— >q)<— >(p<— >q) c) [(p v —q) a q]------>p

d) —[(—p v q)----- > q] «— > (p-----* q)

e) [~p a (q v ~r)] <----> [(~p a q) v ~(p v r)]

@ Simplificar las siguientes proposiciones:

a) {[(~qj — » ( -q)]---------------------------------------> [(~p)---------- > (~q)]}-* ~(p a q;

b) [(p----> q) v -p] a (~q------- >p) c) ~{[~(~p a q) v ~q]---->Hpv~q) ] }

d) (~p v ~q) a [~p a (q > p)] e) [(p = > q ) ^ ( p A q)] v (p a r)

f) -[-(p a q) -» ~q] v p g) [(—p a q) => (q => p>] a p

'26 Simplificar la» siguientes proposiciones:


a) [(~p a q)-----»(r a ~r)] a ~q

b) K~q----- * ~p)----- * (~p---- > ~q)] a ~(p a q)

c) [(p a q) v (p a ~q)] v (-p a -q) d) (p a q) v (~p a ~q) v p

e) t => [(p => q) => q] a [~p a (q => p)] f) [~(p => q) => ~(q => p>] a (p v q)

g) [(p a -q) a (q p) a r] v p

27) Si ~[(~p v q) v ( r -----> q)] a [(~p v q )-----> (q a ~p)] es verdadera, hallar los valores deverdad de p, q y r.

( S ) Si la proposición (p -----> ~q)-----> ( r -----> ~s) es falsa. Hallar el valor de verdad de lasproposiciones p,q,r,s.

^ 9 ) Si la proposición ~(p a q) a (q <— » p) es verdadera; entonces hallar ios valores de verdadde p y q respectivamente.

30) Si la proposición (p => ~q) v (~ r ------> s) es falsa. Hallar el valor de verdad de lossiguientes esquemas moleculares.

a) (p = > q) => [(p v q) a ~q] b) (~r v q; <=> [(~q v r) a s ]

c) (~p a -q) v -q

(5 ^ Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la informaciónsiguiente:a) íp a q) <=> (p v q) es verdadero b) ~(pAq) es verdadero

(32) Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce que el valor deverdad del siguiente esquema [—(~p => q; => ~(p-----> ~q;] => (p-----> q) es falso.

(33) Si p y q son verdaderos ¿para qué valores de r, el esquema siguiente esverdadero? (r-----> p) (~q => r)

34) Si se tiene los siguientes datos: p es verdadero; r => ~p es verdadero y w t es verdadero, hallar el valor de verdad de ~r y de t.

/ vgica 55

35) Si el e »quema (p a q)-----> (p-----» r) tiene valor de verdad, falso, halla el valor de verdadde los esquemas.

a) [(p a q) v fq v ~r)] <=> (p v —r) b) (p v - q) (~r a q)

c) ~(q v r ) v ( p v q )

(36) Si la proposición (~p a q) => [(p a r) v t] es falsa, hallar el valor veritativo de:

a) ~[(~p v -q ) ----- >( rv ~t)] b) (~q v ~r) v [~t v (p v q)]

c) (~p =» t) =* (~q => r)

37 Si la proposición (p a q) => (q => r) es falsa y se tiene los esquemas moleculares,

a) ~(q v r) v (p v q) b) (p v ~q) => (~r a q)

c) [(P a q) v (q a ~r)] o ( p v ~r)

Cuáles son falsas

^ 8 ) Si la proposición (~p a q) => [(p a r) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de cada unade las siguientes proposiciones.

a) (~p => t) =* (~q =» r) b) (~q a ~r) v [~t a (p v q)]

c) ~[(~p v ~q) ^ ( r v ~t)]

(39) Sean p.q,r,s,t proposiciones. Si [(~p) a q] => [(r => p) v t] es una proposición falsa, hallarel valor de verdad de: ~(q v ~r) v ~[t (~q a p)]

^¡0) Si la proposición (~p a q) => (~s v r) es falsa, de las proposiciones siguientes, cuales sonverdaderas?

a) ~[('p => q) =? r] b) ~[(~p a q) a (~r v r)] a s

c) [(p v ~q) a p] v (-q)

Admitiendo la falsedad de: —[p v q v r] => ~(M a N a t). Hallar el valor de verdad de:

a) [(p A M ) ^ ( q v N ) ) A t b) [(p=>q)=>(q=> M)] <=> (r => t)

c) { [ ( p v q ) ------> í i a s )] A ( - q ----->~t)} =>[ (p— > q ) A ( q ------» M)]


42) Admitiendo la falsedad de la proposición: (p a q) => [(r v s) => (t => w)] hallar el valor de verdad de:

a) (p => w) a (r => q) b) ~(p a t) => (~s => p)

c) {[q => ~(t v r)] a [p => ~(r a w)]} « [(p => ~q) v ~t]

43) Si la proposición (~p a q)------- > [(p a q) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de:

a) ~[(~p v -q ) -----> (r v ~t)] b) (~p----- > t)-----> (~q-----> r)

c) (—q v ~r) v [~t a (p v q)J

@ Si q — —»t y p a q son falsas. Determinar el valor de verdad de:

a) (~p v t) v -q b) ~[p a (~q v ~p;]

c) [(p-----> q) a ~(q a t)j <— > [~p v (q a ~t)]

45) Si la proposición í~p / q )-------»(~s v r) es falsa. Determinar el valor de verdad de:

a) ~[(p------> q)----> r] b) ~(~p a q) a [(~r v r) a s]

c) [Cp v -q) a p] v ~q

(4ó) Si la proposición (~p-----> q) v (s -----» ~r) es falsa. Determinar el valor de verdad de lasproposiciones.

a) ~(p v q) v ~q b) ~[(pvq)A~q]----- >~(p-----> q)

c) [(r-----------> q) a q] <— > [(~q v r) a s]

47) Si la proposición (q a ~p)------> [(p a r) v t] es falsa, calcular el valor de verdad de laproposición: (~p-----> t)-----> (~q-----> r)

(48) Sabiendo que (q-----> t) y (pAq) son falsas, detei minar el valor de verdad de:

a) ~[p a (~q v ~p)] b) (~p v t) v s

c> [~pv(qA~t ) ] ( ----> 1 (p ----->q) A-(qAl)]

Lógica 57

(4$) s ; el esquema (~p-----> ~q) v (r A q) es falsa, determinar el valor de verdad de:

a) (p-----> q)-----> (r A ~q) b) - q ----- >[(p<— >q)Ar]

(SO) Si [(r-----> s) a t]-----> (p v q', es falsa determinar el valor de verdad de:

a) ~r v (~ó-----------> ~t) b) (p <— » t) v [q a (~r v s)]

c) [(r A s) v (t----- » s)] a (p a r)

(5^ Dado los esquemas proposic.onales denotados por A, B y C respectivamente:

A: p <— » ~(q a r) ; B: -p A ~r ; C: -(p a q) v - r

Determinar si A -----> C y B -- »C son implicaciones (tautología)

(52) Si la proposición (~p a q) => [(p a q) v t] es falsa Hallar el valor de verdad de:

a) ~[(~p v ~q) =}( rv ~t)] b) (~q a ~r) v [~t a (p v q)]

(53) Si el esquema indicado: [(~p v q ) v [(p -4 q) a t]] a q es veidadero, indicar el valor deverdad de:

a) p => q b) t v q c) - q v ( t v p )

(54) Si la proposición [(p v t) —» (p a q)] es falsa, dar el valor de verdad de las siguientesproposiciones.

a) [(~p a ~t) a (q > r)] b) [(p vt)<-> (~p v ~q)] c) [íp v t) A (p a q)]

55) Si la siguiente proposición lógica ~[(p a q) => (q <=> (r v s))] es verdadera, hallar los valores de verdad de p, r, q, s.

56) De la falsedad de la proposición: (p —» ~q) v (~r —» s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares.

a) (~p a ~q) v ~q b) (~r vq)<-> (~q v r) a s c) (p q) (p v q) a ~q

57) De la falsedad de (p => ~q) v (~r => ~s). hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) ~(~q v -s) ~p b) ~(~r a s) => (-p => q) c) p => ~(q => ~(s => r))


(58) Hallar los valores de v jrdad de: p, q, r si: [(~p v q) v (r => q)] a [(~p v q) => (q a ~p)] es falso.

(59) Si la proposición: [~(p => q) a (~r v s)] => r es falso, halle los valores de verdad de: p, qyr-

^ 0 ) Si: ~p v [(p a r) => (r <=> q)] es falso, halle el valor de verdad de. [(p => q) v r] <=> (p a r)

(ó l) Si [~(p =* q) a -r] =* [p a (q v r)] es falsa, halle los valores de verdad de: p, q y r.

(í>2) De la proposición compuesta: ~[(p a q a r) => s] => (~p v s) se conoce que es falso,señale el valor de: p, q, r y s.

( S ) Si la proposición “s” es falsa, y el siguiente esquema: (~p a q) <=v [(q => r) v (p a ~s)] esuna tautología, hallar los valores de verdad de p, q y r.

(6^ Demostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes:

a) - p A q = ~(p v q) b) p A - p = - [ ( p ' ' p ) « p ]

c) -q v p = ~(~p a q) = ~p <=> (p => ~q)

d) ~[(p a q) a ~r] s ~[(~p a -q) a (p v r)]

e) ~(p => q) = ~p « q = p «=> ~q s ~(~p «=> ~q)

(6S) Probar que son equivalentes p => q y (~p) v q

Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

a) ~(p => q) y p a (~q) b) ~(p a q) y (~p) v (-q)

c) ~(p v q) y (~p) a -q d) p => q y -q => ~p

e) (p q) a (q => r) y p => r

(67) Demostrar que las bicondicionales siguientes son equivalencias lógicas.

a) (p-----> q ) « ( ~ p ) v q

b) (p<— > q ) « ( p --------------------------------------------------------- > q) a (q-->p) c) ( p A q ) v p « p

d) ( p v q ) A p » p e) ~(p------» q) <=> (p a -q)

Lógica 59

(68) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando como universo a los números reales.

a) {Vxe R / x 3 — jc} b) { 3 x e R / 2 x = x}

c) {3jte R / x 2 + 3x — 2 = 0} d) {3jce R / x 2 —2jc + 5 = 0)

e) { Vx e R / 2x + 3x = 5x} f) {3xe R / 2 x '' +jc = 15}

g) { V x e R / x - 3 < x } h) { V x e R / x + 3<6}

i) {3 x e R / x + 3 <6} j) {Vxe R / x 2 -10<8}

Evaluar ~{~(p v ~q)} <=> {~[(r a p) —-> (p A --p)]} sí: p : {Vxe R ! x ° = 1}

q \ {3 x e Q / 3 x 2 = * - 5 } ; r : {3 x e Z / x2 - 2 x — l = —l, 4 = jc}

70) Sean las proposiciones p : {Vjce Q / ^ + x > 0 }, q: {3 x e I / x + 0 = 7t},

r : {Vjte R / x 2 +1 = 0}. Hallar el valor de [(p-----------> q) a r] <=> ~q

(7 ^ De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad.

a) ( V x e R / | x | = x ) A ( 3 x e R / x + l í x )

b) (-3 x e R / j t 2 * j t ) v ( ~ V x e z / x + l * x - l )

c) (~ V x e N / 1 x | * 0 )-----> (~3 x e Q / 1 x | * 0)

(72) ¿Cuáles son equivalencias lógicas?

a) ~(q---- > ~p) o ( q v p ) b) [í~p a ~q) v ~q] <=> [(p v q) a q]

c) ~(p---------> q) <=> [(p v q) a ~q]

(73) Sea U el conjunto universal y p, q, r las proposiciones:

U={-10,-9.... 80}, U c Z(números enteros) ; p: {Vxe U, 3 y e U / x - x 2 <-2y}


q: [ 3 j e U, V x e U / x - 5 y < 3 x - y ] : r: {Vze U 3 y e U , 3 x e U / x +y < »'■}

Evaluar (~p v r) <— > (p a -q)

(74^ Determinar el valor de cada uno de las siguientes proposiciones:

a) {3xe Z I x 2 = x) b) { V x e Z / x - 7 < x }

c) {3 x e Z / x + 5 = 5} d) { V x e Z / x + 8 > x l

e) {Vxe Z / x 2 > jc} f) { V x e Z / x + l = x }

^ 5) Si U = | x e R / 2 < x < 10) y p: (Vxe U)( 3 y e í/)(V¿e U ) / - x - y > - < z 2,

q : (Vxe i/)(3 z e í/)(3 z e U)(x+ y < z 2), hallar el valor de verdad de (~pv~q) => (pAq)

Si U = {1,2,3,... 99}, determinar cuáles de los siguientes proposiciones son verdaderos,

a) { 3 x e U / x + 5 = 2x} b) { V x e U / x + l e U )

c) {3 x e U / | x- 8| > 5} d) {V x e U / 2 0 - 3 x <0}

(¿n) Hallar el valor de verdad de la fórmula, [(p v q)------» (~r v ~w)] <=> (q ----------------» r) sí

p: 3 x e Q/ x +3 = y¡2+3, q: 3 x e I /x + 0 = 7t

r: V x e N /x + 2.5 = 5, w: 3 jce Q / x + 0 = y¡2

(78) Hallar el valor de verdad de: [(~p a -q ) ------»(r v q)] a [~(p a q) <— > r]

Sí U = ( x e Z /-100 < x < 100} ; p: ( V x e U)(3 y e U)(V z e U)(x + y - z > 30)

q: ( V x e U)(V y e U)(V z e U)(2x + z - 4y < 800)

r: (3 x e U)(V y e U)(3 z e U)(5x < z - y + 50)

'^9) Si x puede tomar cualquier valor 1,2,3, demostrar mediante contraejemplos la falsedad delas siguientes proposiciones.

a) {(Vx)/jc2 = jc} b) { 3 x / x = 2x}

Lógica 61

c) { V x / x + 2 = 5} d) { V x / x + l > 3 }

e) ~ { 3 x l x 2 =4} f) {3 x / x > 4}

y8^ Si x, y pueden ser cualquiera de los números 1 y 2, determine el valor de erdad de las siguientes proposiciones:

a) (3 x)(V y)(x < y + 2) b) (V x)(3 y)( x + y < 5)

c) ( (Vjc)(Vy)(jc2 + y 2 < 1) d) (Vj0(3 y)(x2 > y)

e) (3 x)(3 y)(x + y = 2)

(8l) Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si U = {1,2,3) es eluniverso y sí x, y e U

a) 3x, 3 y / x 2 < y + 1 b ) Vjc.By/x2 + y 2 <12

c) Vx,\ / y / x 2 + y 2 <12 d) 3 x , 3 y , V z / x 2 + y 2 < 2 z 2

e) 3 x , \ / y , 3 z / x 2 + y 2 < 2 z 2, z e U

( S ) Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones.

a) 3 r e /? /jc2 +1 = 0 b) 3 x b R / x 2 =1

c) (V x e R)(V y e R) / x + y = 7 d) ( V x e z ) ( 3ye z / x - y > 0 )

(83) Sean A= {1,2,3.4}, B = {1,4,5.8} ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas'

a) 3 x , y e A / x + y>z , V z e B b) ~[V x e A, 3 y e B / x > y J

c) V x e B, 3 y e A / x - y e A d) V r e A , V y e B / x + y < 1 0

(84) Si A = {0,1,2,3,4} hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) P: 3 x e A / 2x + 1 = 5 b) q: \/ n e Z + / 3n es divisible por 3

c) r : 3 x e R / x2 + 7 < 0 d) 5 : V .ve Q / x 2 > x


(85) Si M = {-1,1,2,7} cual es el valor de verdad, de las siguientes proposiciones:

a) V x e M, 3 y e M / r > v

c) 3 x e M , 3 y e M / ( x < 3 ) v (y2 > 2)

b) 3 x e M , V y e M / j c > y >0

Dadas las proposiciones P: 3 xe Z/(4x + 2)(3x - 7) = 0; q: V xe Z / (jt2 > 0) v (je -1 ) < 0 ,

r: 3 x e N / (4x + 2)(3x - 7) = 0, señale el valor de verdad df p, q, r y además f(p a q) =* fp v r)] =* r

Sea M = {0,1,2,3} el dominio de x e y, señale el valor de verdad de:

a) V x , 3 y / ( j t 2 - y 2 <10) v (je2 < y + l)

b) V x, V y / (x2 - y2 > -10) a (jc2 > y +1)

Negar las siguientes proposiciones para el conjunto z.

a) V x e z / x + l > x

c) 3 jte z / x 2 = x

Negar las siguientes proposiciones

a) 3 x / x + 7 < y

c) G x / p(x))------ > (Vy / ~p(y))

e) 3 x / q(x)_ 5x + 7 < 10

Negar los enunciados del ejercicio 56)

Negar los siguientes enunciados,

a) {3 x / p(x) v ~q(x)}

c) {V x, 3 y / x.y = 0}

e) {(3 y)(p(x))------ > (V x)(~q(x))}

b) 3 j t e z / x + l = 0

d) V x e z l x 2 -1 > 0

b) (Vx/p(x)) a (3 y / q(y))

d) ^ p v - q ) -----i ( p A - D

f) 3 x / 5 x + 8 < 4

b) | V x / p ( x ) ----- >q(x)}

d) {(V x)(p(x)) a G x)(q(x))}

f) {(3 x)( ~p( x)) v (V x)(q(x))}

Lógica 63

g) ( 3 x , 3y / p ( x ) v - q ( y ) ] h) {V x, 3 y /p(x,y)------->q(y)}i) {3x, 3y / p(x) a q(y)} j) {Vx, 3u, Vz / p(x,y,z)}

(92) Negar cada una de las proposiciones siguientes:

a) { 3 x / x + 7>2} b) ( V x / x + 0 = x)

c) {Vx/x2 +7 > x2 +3} d) {3x / ~(x*x) }

e) ~{Vx/x2 =x} f) ~ { 3 x / x t 3 = x]

(93) Negar las proposiciones del ejercicio 52) y verificar que estas .legaciones resultan ser proposiciones verdaderas

(5 ^ Si x puede ser cualquier número natural, determine el valor de verdad de lasp. oposiciones

p : (Vjc)(jc2 > x) =* (Vx)(x < 3x) ; q : (Vx)(jt2 > x) => (3 x)(x = x)

r: (3 x)(x + 3 = 5) «=> fVx)(x + I > x)

(95) Verifique la validez de los siguientes argumentos:

a) p a q b) (p a q)------> (r a s)

~p— >q (~q)v(~s)••• ( -p )v (-q )

c) p a (p v q) d) r — >~qp v q - p-------»qr ----->s - r - »s

s p ------>s

96) Demostrar, por la tabla de valores o por el método abreviado si los esquemas representano no reglas de inferencia válidas.


c) p ----- >q d) (p----- » q) a (r -----> s)q ----->p) p v r

p <— > q q v s

e) p<— > q f) q ->pr v q q ----- »( r v s)- r ~(~q v -s)

->(s----->p)

g) p ----- »q h) ( p v - q )q ----- > r r ------ >-pr ------ » s s <— > p

-» s p v (q------> ~r)

i) q ----->(~pvr) j) pr v s (~p v - s ) ----- > (~p a -r)-p <— > r s/. q v r

(5 ^ Determinar los circuitos lógicos qui: representan a los siguientes esquemas moleculares.

a) (~p) <---------------- »(P-------- > ~q) b) p a (q v ~p)

c) ~ [ p v ----------» - (qvr ) ] d) {[(r v q) a p] v - r) a q

e) ( p v q ) ------->[ ( ~pvq)-----» (p a q)] f) [(p-------> q ) v p H ( p ------>q)v -p]

($8) Representar mediante funciones boolianas los siguientes argumentos:

LSgica 65

c) P

q ~p

d)

~q-p -

-p

~q

~q

(99) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

a)o—

b) ~q

~ p

c)

q

66 Fduardo Espinozt fiamos

Lógica 67

~ p ---------- q

100) Determinarlos circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares.

a) {[ ( rvq)Ap] v~r ) Aq b) ~[(p v ~q) v (p a -r) v ~(r v q v ~p)]

@ Simplificar los siguientes circuitos lógicos:

a)- P -

—q-

q '

~P-P -

~q-

b)

—p-

-P-

q -

—q-

— q

c)

~p ~q ■

-q -

—P-------- q -

P —

~ p --------q ~P


d)~p

— q —

~r

-P

Dado el circuito lógico, hallar el circuito lógico más simple posible.

- q ------~r

------ p— r —

~r

Simplificar el siguiente circuito

------- P ----------

-------q ------------

.~p--------~q.

-P

q

Representar mediante funcione*. Bouieanas los circuitos.

------- q -------a) o----- P

-P

-~p-

- q ----- c

b)

-P

Teona de Conjuntos 69

C APITULO II

TEOKÍ/ l)E CQNJUN QS

2.1. DEFINICIÓN.-

Un concepto se dice que es primitivo, cuando dicho concepto se acepta sin definición, en la matemática son conceptos primitivos, el de conjunto, de elemento y la relación de pertenencia, sin embargo debido a su gran importancia en todas las ramas de la matemática aceptaremos las siguientes definiciones.

2.2. DEF1NICIÓN.-

Entenderemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que ‘ pertenecen a un conjunto” se llama elementos del conjunto.NOTACIÓN.- A los conjuntos representaremos con las letras mayúsculas A.B.C,..., y a

sus elementos representaremos con letras minúsculas a,b,x....

23 . REL ACIÓN DE PERTENENCIA (e ).-

La relación de pertenencia es el >-ímholo que relaciona a los elementos de un conjunto con

el mismo conjunto:

(elemento) e (conjunto)

Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto A, escribiremos

x e A

y leeremos “x pertenece al conjunto A”.

Si x no es un elemento del conjunto A. escribiremos

x í A

y leeremos "x no pertenece al conjunto A”


OBSERVACIÓN.-

Sea A el cc?. .junto formado por los nombres de los siguientes países, Perú, Chile,

Ecuador, Colombia, podemos escribir entonces

Perú e A

Colombia e A

Argentina g A

Brasil g A

Al conjunto A expresaremos en cerrando entre llaves a sus elementos:

A = {Perú. Chile, Ecuador, Colombia}

© Sea A el conjunto formado por las letras n. m. p. q, t del mismo modo podemos escribir:

p e A

qe A

w í A

z í A

Al conjunto A expresaremos encerrando entre llaves a sus elementos: A={n,m,p',q,t}_________ »___________________________________2.4. DIAGRAMAS DE VENN - EULER.-

Para facilitar nuestra compresión intuitiva de los conjuntos, los representaremos

gráficamente mediante los llamados “Diagramas de VENN”, estos diagramas son curvas

cerradas de la forma.

Teoría de Conjuntos 71

En el interior de estás curvas cerradas, representaremos mediante puntos a los elementos del conjunto.

Ejemplo.-

© Sea A={ 1,10,12,15}. El conjunto A será representado mediante el diagrama de Venn

( 2 ) Sea A = {-1,3,-5,0}, su diagrama de VENN es

2.5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.-

Un conjunto está bien determinado, cuando se conoce con exactitud que elementos

pertenecen o no al conjunto. Cuando se conoce qué elementos pertenece o no al conjunto

se dice que el conjunto está bien definido, un conjunto se puede definir por extensión y

por comprensión.

-► Por ExtensiónDefinición de un conjunto

— ► Por Comprensión

POR EXTENSIÓN.- Cuando se nombra cada uno de los elementos del conjunto, se

dice que el conjunto ha sido definido por extensión.

Ejemplo.-

© El conjunto A de los números naturali_s que son mayores o iguales a cero y menor o

igual a 10 queda definido por extensión si escribimos.

A= {0.1.2,3,4*5 b.7,8,9,10}


( y El conjunto A d t los números naturales que dividen simultáneamente a los números

8 y 12, queda definido por extensión si escribimos A = {1,2,4}

Observe que 3 g A, pues 3 no divide a 8 a pesar que 3 divide a 12.

POR COMPRENSIÓN.-Un conjunto se define por comprensión, cuando se da una

propiedad P. que sólo lo satisfacen los elementos del conjunto.

Ejemplos

© A = {x/x es una vocal} y se lee: “A es el conjunto de las x ¿al que x es una vocal”

© A = {x e N / 0 < x < 9} y se lee “A es el conjunto de las x perteneciente a los

naturales tal que los x sean mayores que cero y menores que 9.

2.6. CONJUNTOS NUMÉRICOS.-

En matemática los conjuntos numéricos característicos que se estudian son: Los números

naturales, los números enteros, los números rae lunales, los números irracionales, los

números reales y los números complejos.

El conjunto de los números naturales N = {1,2,3,...}

El conjunto de los números enteros Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

El conjunto de los números racionales Q = {— / m e Z a n e Z, «*0}n

El conjunto de los números irracionales I = {x/x tiene representación decimal

infinita no periódica}

El conjunto de los números reales R = {x/x es racional o x es irracional1

El conjunto de los números complejos C = {a + bi / a e R a be R, i = >/—I }


OBSERVACIÓN.- El conjunto de los números reales, es la reunión de los números

naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir:

R = N u Z u Q u l

A los números reales se representa mediante una rev'ta que se denomina recta real.

- OC --------------------- 1----- — ------- 1-------------------------1----------------------►+CJO

x 0 xx < 0 x > 0

2.7. CONJUNTO FINITO.-

Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos

Ejemplos.- Q ) A = {x/x es una vocal}

(2 ) B = [x e N / 5 < x < 12}

© C = {x/x es un día de la semana)

2.8. CONJUNTO ÏNF1NITO.-

Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos.

Ejemplo.- ( l ) A = [ x e Z / x e s impar}

= {x/x es número natural]

2.9. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.

a) INCLUSION DE CONJUNTOS.- (Sub - conjuntos)

Se dice que el conjunto A es un subconjunto B, o que A está contenido en B, o que

A es parte de B, si todo elementos de A pertenece al conjunto B se escribe A c B y

se lee “A está incluido en B, o A está contenido ei. B o A es parte de B”.

Esta definición en forma sunbulica se expresa.

A c B » { V i e A , x e A x e B]

74 Eduardo Espinoza Rann s

De la misma definición se sigue que es suficiente que exista al menos un elemento

del conjunto A que no sea elemento de B para que A no sea subconjunto de B, en

este caso se denota: A c B

A c B Aqt B AczB

Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {1,2,3,4,5.6,7} entonces A c B. En efecto se

observa por simple inspección que todo elemento de A es también

elemento de B.

Ejemplo.- Consideremos los siguientes conjuntos: A={ 1.3.5,7}, B={ 1,3,5,7,9,11}

M = {a,b,c,d,e}, N = {b,c,d,m,n}. Pódeme^ afirmar que:

i) AczB, por que todos, los elementos de A están en B.

ii) M ex N, por que algunos elementos de M no están en N.

Estos representaremos usando diagrama de VENN - EULER.

b) SUBCONJUNTO PROPIO.- Diremos que A es un subconjunto propio de B. oparte de B, si se verifica A c B y además existe

algún x e B tal que x í A.

Ejemplo.- El conjunto A = {2,4,6} es un subconjunto propio de B = {1,2,3.4,5,6}

puesto que A c B además le B, 3e B, 5e B tal que lg A, 3e A, 5 e A.

Teona de Conjuntos 75

c) PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN.-

© ijicA. V conjunto A. donde <J>es el conjunto vacío.

© A c A , (propiedad reflexiva)

© A c z B a B c z C => A c C (propiedad transitiva)

© Sí A czB y B c A => A = B (propiedad antisimétrica)

Demostración

f° V x. x e <{> => x e A, def. C

2o p ----- » q (es una tautología)

F F o V

3o <{> c A, por definición de C

© 1 ° Suponiendo que V x, x e A hipótesis

2° Como p ----- » p es una tautología

3o Sí x e A => x e A es verdadero por la parte 2o

4o A c A de3°y def. C

© Io A cz B hipótesis

2° V x, x e A => x e B, Io def. C

3o Be: C.hipótesis

4o V x, x e B =» x e C, 3o def. C

5o Por la Ley Transitiva (p----- >q)A(q——» r) => p --- j-r (ley del silogismohipotético)

6° V x e A => x € C. de 2 \ 4Ü y 5o

7o A c C , 6o def. C


2.10. IGUALDAD PE CONJUNTOS.-

DEFINICIÓN.- Dos conjuntos A y B se dice que son iguales sí y sólo sí A c B y B e A.

En forma simbólica se tiene:

A - B <=> A c B a B — A

Se lee “El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si A está contenido en B y B está

contenido en A”

2.11. PROPIEDADES DE L a IGUALDAD DE CONJUNTOS.

(7 ) A = A, VA (reflexiva) ( ? ) A = B => B = A (simétrica)

A = B y B = C => A = C (Transitiva)

Demostración

© Io A c A por reflexividad de inclusión.

2o A = A Io y definición de igualdad.

® Io A = B por hipótesis

2o A c B a B e A l°dei de =

3o B c A a A c B 2o y la ley conmutativa

4o B = A 3o y definición de =

( 3 ) Io A = B por hipótesis

2o A c B a B e: A, Io definición de =

3o B = C por hipótesis

4° B c C a C c B 3o definición de =

5o A c B a B c C 2o y 4o y transitiva de inclusión.

6o A c C 5o transitiva inclusión.

7o C c B a B c A, 4o y 3o y transitiva.

8o C c A, 7o transitiva inclusión.

9o A = C, 6o y 8o definición de =.


2.12. CONJUNTOS ESPEC1ALES.-

(7) CONJUNTO VACÍO (Nulo).- Es el conjunto qje no tiene elementos y se

representa simbólicamente por la letra giiega <¡)

(phi) y .se define como:

<¡) = {x /x # x}

y se lee: para cualquier x tal que, x es diferente de x, no se satisface para algún elemento

Ejemplo.-

(7) A = {a-6 R / x 2 +1 = 0} es un conjunto vacío, pues la ecuación x 2 +1 = 0 no tiene

raíz real, luego A = 0.

© A = { x e N / 2 < x < 3 } es un conjunto vac.o, porque no existe un número natural que sea mayor que 2 y menor que 3, luego A = <¡).

© A = {xe Z / I 5 x 2 — 11jc+2 = 0} es un conjunto vacío, pues al resolver la ecuaciónT 2 115jt‘ -1 U + 2 = 0 se obtiene x = —, jt=-que son números enteros por lo tanto A=<b.

5 3

OBSERVACIÓN.- El conjunto vacío <¡) está incluido en todo conjunto es decir (JxzA, VA

( 5 ) CONJUNTO UNIVERSAL.- Es el conjunto tomado como base o conjunto fijo,

para la determinación de otros conjuntos y se

denota por U. También al conjunto universal se le llama el universo.

Los conjuntos más importantes er matemática son los conjuntos numéricos: R, N,

Z, Q, 1, C en ese orden.

Ejemplos.-

(7 ) El conjunto universal U = (x e Z / -3 < x < 9] es universo de los conjuntos A= {-3,0,2,5}, B = {-2,1,3,7}, C = {-1,0,2,5,8/ porque tudos los elementos de los conjuntos A, B y C pertenecen al conjunto U.


© Dado el conjunto universal U ={xe Z +/ x < 4 b ] . DeD*nnjiar los siguientes conjuntos.

a) A = { x / x 2 < 28}Solución

Tabulando el conjunto universal U = {1,2,3,4,5,...,39,40}

1 6 A puesto que 1 < 28

2 6 A puesto que 22 < 28

3 € A puesto que 32 = 9 < 28

4 fi A puesto que 42 = 16 < 28

5 e A puesto que 52 = 25 < 28

6 « A puesto que 62 = 36 £ 28

por lo tanto el conjunto A está dad j por: A = {1,2,3,4,5}

b) B={x + 2 / x<9}Solución

Para x = l => x + 2 = 3 e B

x = 2 => x + 2 = 4 e B

x = 3 => x + 2 = 5 e B

x = 4 = > x + 2 = 6 e B

x = 5 => x + 2 = 7 e B *

x = 6 => x + 2 = 8 e B

x = 7 => x + 2 = 9 e B

Luego se tiene: B = {3,4,5,6,7,8}

( 3) CONJUNTO UNITARIO.- Se llama conjunto unitario, al conjunto que consiste de

un sólo elemento.


Ejemplos.- a) A = { x e R / x + 2 = 0} = {-2}

b) A = {x e N / 1 < x < 3} = {2}

c) A = {xeZ+ / jc2 — 1 = 0) = {1}

( 4 ) CONJUNTOS COMPARABLES.- Dos conjuntos A y B son comparables

sí: A c B v B c A .

Los conjuntos A y B no serán comparables sí: A c B a B c A .

Ejemplos.-

a) Si A={a.e,i) y B = {a.e.i.o.u} de donde A es comparable con B para que AcrB.

b) Si M = {l,5,7,8}y N = {2,5,6,8,9} los conjuntos M y N no son comparables

pues M C N a N C M.

( D CONJUNTOS DISJUNTOS - Si dos conjuntos A y B no tienen elementos

comunes, se dice que A y B son disjuntos.

En forma simbólica se expresa: A es disjunto con B si y solo si, 3 x/x 6 A a x 6 B

Ejemplos.- a) Los conjuntos A ={1,3,5,7} y B = {2,4,6,8} son disjuntos.

b) Los conjuntos A={a,b,c,d} y B={r,s,t,u} son disjuntos.

2.13. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS.-

Para mostrar a los elementos de los conjuntos o visualizar relaciones entre estos, existen

los llamados diagrama de VENN - EULER que son regiones del plano limitados por

líneas geométricas.

Al conjunto universal se acostumbra representar por medio de un rectángulo.

U

A C B


2.14. E JERCICIOS PROPUESTOS.-

© Determinar por extensión los siguientes conjuntos.

©

a) A = { x e N / x < 3 v 5 < x < 7 } b)

c) C = | 3 - 5 x / x e Z , - 2 < x < 5 a 3 < x < 8}

d) D = [ x e Z 1 x 3 — x 2 -10jc—8 = 0} e) E

f) F = {xe Z ! x 2 > 0 a x 2 <20} g) -

h) H = {jc6 R!(x2 + \ 6 x ) 2 =172}

Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a) A = {x! x* — 7x + 6 = 0} b)

c) C = { x / 2 x 3 - 3 x 2 -7jc + 3 = 0} d)

e) E = { x / x 4 + x 3 — 6 x — jc + 5 = 0}

f) F = [ x ! x A + 2 x 3 — 31jc2 -32JC+60 = 0}

g) £ = {jc/jc3 -19jc -36JC+1440 = 0}

© Hallar el conjunto solución del siguiente conjunto: A = {x / 64jt3 + 24x2 — 6x — 1 = 0}

¿-(-¿.-¿.¿i© Determinar los elementos de cada conjunto.

a) A = {números naturales x que satisfacen x 2 = 16 }

b) B = {números enteros x que satisfacen x 2 = 16 }

c) C = [ x e N / 2 x + 3 = 15} d) D = {x e Q/ (2x - l)(x - 2) = 0}

e) E = { x e Z / x 2 - 2 * - 3 = 0} f) G = {x e N / 5 < x < 12}


© Determinar por comprensión el siguiente conjunto T = {-1,1,2}

Rpta. T = {xe Z / x 3 —2x2 - x + 2 = 0]

© Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) A= {-7,-3,1,5,9,...} b) B = (-1 ,1 ,2 ,1 ,5 ,...}

c) C = {2,3,6.11,18,...}

(9 ) Si A = {2,3,5,7}, diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas ó falsas

a) 5 e A b) 3 c A c) ( 7 ) c A d) {3,5} 6 A

© Si A = { x e N / x < 2 v x = 7}, hallar todos los subconjuntos propios de A.

© Dados los siguientes conjuntos A = {7x + 2 / x e Z}, B = {7x - 26 / x e Z},

C = {4x + 1 / x e Z} y D = {2x + 1 / x e Z}, analizar y justificar debidamente su

conclusión en los siguientes casos.

a) A = B b) C = D

Rpta. a) A = B b) C * D

10) Sean U = {1,2,3.4,5,6,7.8,9}, A = {2,4,6,8}, B = {1,3,5,7,9} y C = {3,4,5}. Al hallar

un subconjunto x de U tal que x c C , x <z A, x d B , cuántas soluciones existe.

Rpta. tres

l l j Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos:

a) A = { x e U / x * l i } b) B = { x e Z / x 3 =3)

c) C = [xe R / - e R) d) D = { x e Q I x 2 - x = 2)X

e) E = {xe N / x 2 +1 = 0} f) F = { x e Z I 12i 1+ 4v2 - 3 * - l = 0}

82 Eduardo Espinoza Rames

12j ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el conjunto vacío?

a) {x / x es un entero par y x 2 =9] b) {xe Z + / jc < 0}

c) ( x e Z / x + 18= 18} d) {jee Z l t x 2 +5 jc-4 = 0}

e) {xe Z + / x 2 - 3 x - 4 = 0] f) { x e N / x * x }

(13) Dado A y B determinar si A = B en los siguientes ejercicios.

a) A = {-2,0,2} y B = {xe Z / x3—4x = 0}

b) A = {1,-2} y B = |x e Z / ( x —1 )(x + 2)(2x — 3) = 0}

c) A = {xe Z + / l < x < 6 ] y B = {1,2,3,4,5,6}

(14) Si A, B y C son conjuntos tal que A c B c C . ¿Cuál es la relación entre C - B y C - A?

Rpta. C - B c C - A

15) Si A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4}, C = {2,4,5}, D = {2,4}. ¿Cuái de las siguientes

proposiciones son verdaderas?

a) A c B b) A c D c) C c A

d) B c A e) B c C f) D c B

g) A c A h) B * C i) D c A

@ Sean A = { x l x 3 - \ l x 2 +71jc-55 = 0}; B = {jc/jc4 -15jc3 +37jc2 -16jc + l l0 = 0}es AcB

© Sea U={ 1,2,3,4,5,9} el conjunto universal, si A = {x2 I x e U] hallar A y A' por extensión

( l ^ Sea A= { -— I x e Z / 0 < x<4) y B = {X - - / x e Z, - 2 < x < 3 } determinar cual de

las relaciones se cumplen A c B , B c A , A = B .

Í9 ) Sí A = {jce N / x 3 - 3 x 2 -6jc+8 = 0} y B = { ^ ^ - ! x e Z, -4 < x < 3}. Determinar cual

de las relaciones se cumplen A c B , B c A , A = B.


(2^ Sea U = { x e N / l < x < 5 } , A = {x e U / x es par}, B = {x e U / x e s impar} y

C ■= (.ve A / x = 2 " , ne LWj^{12}. Si D = { x e U / x e U x e B ) n | x e A / x e s

múltiplo de 4) ¿cuantos subconjuntos de C contienen a D?

2.15. OPERACIONES CON C^NJÜNTQS.-

(T ) UNIÓN DE CONJ l NTOS.- La unión de los conjuntos A y B es el conjuntoformado por todas los elementos de A y todos los

elementos B.

A la unión de los conjuntos A y B denotaremos por: A ^ B y se lee “A unión B”.

En forma simbólica:

A u B = ( x e U / x e A o x e B }

La parte sombreada de los siguientes diagramas es una representación gráfica de la unión.

U

A y B disjuntos

Donde U representa al conjunto universal y la parte sombreada representa la unión AuB

Ejemplo.-

Sí A = { x e N / l < x < 6 } y B = j x e N / 3 < x < 8 | . C a l c u l a r A u B

Soluiion

Calculando los elementos de cada conjunto A y B: A = { 2 . 4 , 5 } , B ={■ 5,6,7}

A u B = {2,4,5} u {4,5,6.7} = {2,4 5,6,7}

© Sí A = {x e N / x es par} y B = { x e N / x e s impar} entonces

A u B = {x e N / x e s par v x es impai} = N


a) PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.-

© A u A = A © A u <{> = A

© A u U = U © A u B = B u A

© ( A u B ) u C = A u ( B u C ) © A cr A u B

© B cr A 'o B © A c C a B c C = í A l 'B crC

Dcmostración

© .» A u A c A por demostrar

Io x e A u A , por hipótesis

2o x e A v x e A, Io definición de U

3o por la tautología de P v P o P podemos afirmarque: x e A v x e A => x e A

4o x e A u A =$ x e A , 3o definición U

5o A u A c A , 4o definición C

ii) A c A u A por demostrar

1° x e A, por hipótesis

2° Sí x e A (x e A v x e A), por tautología p « p v p

3o X6 A => x e A u A , 2° definición U

4o A c A u A , 3o definición C

5o de i), ii) se tiene A u A = A definición de =

© o A u i f c A por demostrar.

Io x e Auî , por hipótesis

2° x e A v x e 0, Io definición U

3o x j e A, 2o definición de = > x e A, Io y 3C

5° A u <|> cr A, 4° definición C


ii) A c A u <|> por demostrar

1° X 6 A, por hipótesis

2 o X 6 A v x e <¡), 1° definición <t>

3o x e A tj), 2 ' definición U

4o X E A => x e A u <|>, 1° y 4o

5o A c A u ^ 4o definición U

de i) y ii) se concluye que A u <¡) = A definición de =

© o A u U c U por demostrar

Io x e A u U , por hipótesis

2° x e A v x e U, Io definición U

3o x e U , 2° y definición de U

4o x e A u U => x e U, Io y 3o

5° A u U c A , 4' definiciónC

ii) U c A u U por demostrar

Io x e U, por hipótesis

2° x e A v x e U , Io definición U

3o x e A u U , 2° definición U

4° x e U = > x e A u U , 1o y 3o

5C U c A u U , 4° definición C

6° A u U = U, poi i), ii) definición =

© i) A u B c B u A pcv demos'rar

1& x e A u B , por hipótesis

2° x e A v x e B , 1° definición U


3o x e B v x e A , 2°y tautología p v q o q v p

4o x e B u A , 3o definición U

5o x e A u B => x e B u A, Io y 4o

6o A u B c B u A , 5 ° definición C

ii) B u A c A u B por demostrar

Io x e B u A , por hipótesis

2° x e B v x e A , Io definición U

3o x e A v x e B , 2°y tautología p v q <=> q v p

4o x e A u B , 3o definición U

5o x e B u A => x e A u B, l ° y 4 °

6o B u A c A u B , 5 ° definición C

/. A u B = BU de i), ii) y definición =

( A u B ) u C c A u (Bu C) por demostrar

1° x e ( A u B ) u C , por hipótesis

2o x e A u B v x e C 1° definición U

3o x e A v x e B v x e C , 2° definición

4o x e A v ( x e B v x e C), 3o propiedad

5o x e A v x e B u C , 4o definición U

6o x e A u ( B u C ) , 5o definición U

7° x e (A u B) u C => x e A u (B u C), 1° y

8o ( A u B ) u C c A u ( B u C ) , 7° definición

ii) A u ( B u C ) c ( A u B ) u C , por demostrar

I o x e A u ( B u C ) , por hipótesis

Teoria de Conjuntos 87

2° x g A v x g B ^ C , 1c defiiiic.ón U

3o x g A v x g B v x g C , 2° definición U

4° (x g A v x g B) v x e C, 3o definición propiedad asociativa

5o x g A u B v x g C, 4° definición U

6o x e ( A j B ) u C , 5° definición U

7o x g A u ( B u C) => x e ( A u B ) u C , Io y 6o

8o A u ( B u C ) c ( A u B ) u C , 7o definición C

( A u B ) u C = A u v B u C ) , de i), ii) definición =

© 1 ° Sea x e A por hipótesis

2o Pero p -----------> (p v q), V q es una tautología

3o x e A => x g A u B, l ° y 2 °

4° A c A u B , 3o definición C

Q ) Io X G B por hipótesis

2o Pero p -----------> (p v q), V q es una tautología

3o x g B = > x g A u B, l ° y 2 °

4° B c A u B , 3o definición C

£ Io A c C , por Hipótesis

2o x e A => x e C, 1 ° y defirición C

3o B c C, por hipótesis

4° x g B => x g C, 3o definición C

5o (x g A v x g B) => x g C, 2o y 4°

6° x g A u B => x g C, 5o definición U

1° A u B c C , 6o definición C


( 2 ) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.- La intersección de los conjuntos A y Bes el conjunto de todos los elementos

comunes al conjunto A y al conjunto B, y que denotado por “A n B" y se lee “A

intei sección B”.

En forma simbólica:

A n B = {x e U / x e A a x e B }

La parte sombreada de las siguientes diagramas es una representación gráfica de la intersección.

U U

Ejemplo.- Sí A = {x e Z / -2 < x < 6} y B = {x e Z / 0 < x < 10}. Hallar A n B

Solución

Calculando los elementos de los conjuntos A y B.

A = {-1,0,1,2,3,4,5} y B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A n B = {1,2,3,4,5)

a) PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.-

( l ) A n A = A ( 2) An4> = 4)

( 5 ) A n B = B n A ( 4) A n U = A

© ( A n B ) n C = A n ( B n C ) © A n B c A

© A n B c B © A c B = > A n C c B n C , VC

( 9) Sí A c C y B c D => A n B c C n D

@ Si A c B => A n B = A * ( í j ) A u(B nC ) = (AuB)n(AuC)

(l2) A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A o C j


Demostración

© » A n A c A por demostrar

Io x e A n A, por hipótesis

2° x e A a x c A , Io definición n

3o Por tautología p a p <=> p se tiene

4o x e A, de 2o y 3o

5o x e A n A => x e A, Io y 4o

6o A n A c A , 5°y definición c

ii) A c A n A por demostrar

Io x e A, por hipótesis

2° por tautología p <=> p a p

© »

3o x e A a x e A, l °y2°

4o x e A n A, 3o definición n

5o x e A =) x e A n A , 1° y 4o

6o A c A n A, 5o definición c

\ n > II > i), ii) definición =

A n 4> c 4> por demostrar

1° x e A n <¡>, por hipótesis

2o x e A a x e <J>, 1° definición n

3o x e <)», 2o y p a q <=> q

4o x e A n <¡) x e <)>, 1° y 3o

5o C< cr 'b, 4o definición c

ii) 4> c A n 4>

como <{> es suheonjunto de cualquier conjunto entonces í t c A n j i .

Luego por lo tanto: A n <¡) = <}> de i), ii) y definición =


A n B c B n A , por demostrar

1° x e A n B , por hipótesis

2o x e A a x e B, 1° definición n

3o x e B a x e A, 2 °yp A q s q A p

4° x e B n A , 3o definición n

5o x e A n B => x e B n A, 1° y 4o

6o A n B c B n A, 5o definición c

B n A c A n B , por demostrar

1° x e B n A , por hipótesis

2o x e B a x e A,, 10 definición n

3o x e A a x e B, 2’ y p A q = q A p

4o x e A n B, 3 5 definición n

5o x e B n A =;> X e A n B, Io y 4o

6o B n A c A n B, 5o definición c

A n B = B n A, i), iij definición =

( 4) i) ( A n B ) n C c A n ( B n C ) por demostrar

Io x e (A r . B) n C, por hipótesis

2o x e A n B a x e C, Io definición n

3o x e A A x e B A x e C , 2o y definición n

4o x e A a (x e B a x e C), 3o propiedad asociativa.

5o x e A a x e (B n C), 4o definición n

6o x e A n f B n Q , 5o definición n

1° x e (A n B) n C => x e A n (B n C ), Io y 6o

8o | A n B ) o C c A n ( B n C), 7o definición c

Teotla de Conjuntos 91

ii) A n ( B n C ) c ( A n B ) n C , por demostrar

1° x e A n ( B n C ) , por hipótesis

2° x e A a x e B n C , 1° definición n

3° x g A a x g B a x g C , 2° definición

4o ( x g A a x g B )a x g C, 3o propiedad

5o x e A n B a x g C . 4o definición n

6o x g ( A n B ) n C , 5o definición n

7o s g A n ( B n C ) => x g (A n B) n C, 1 ° y

8o A n ( B n C ) c ( A n B ) n C , 7C' definición

( A n B) n C = A n (B n C), i), ii) definición =

0 Io x g A n B , por hipótesis

2o x g A a x g B 1 definición n

3o por tautología p a q <=> p se tiene.

4o x e A, 2° y 3o

5o x e A r B = > x e A . I °y4°

6o A n B c A . 5odefiniciónc

( 6 ) Io A c B , por hipótesis

2o x g A => x g B, 1c definición cr

3o x e A n C, por hipótesis

4° x e A a x g C, 3o definición n

5 o x g B a x g C, 2 o y 4 o

6o x e B n C, definición n

7o x e A n C => x e B n C , 3o y 6°

S A n C c B n C , 7o definición e

92 Eduardo Espincza Ramos

© Io A c C , por hipótesis

2° x e A => x e C, Io definición c

3o B c D , por hipótesis

4o x e B => x e D, 3 o definición c

5o x e A a x e B, 2° y 4°

6o x e A n B, 5o definición n

7o x e C a x e D, 2o y 4o

8o x e C n D , 7o definición n

9o l e A n B => x e C n D , 6o y 8o

10° A n B c C n D , 9o definición c:

© o A n B c A por demostrar

Io A c B , por hipótesis

2° x e A => x e B , l ° definición c

3o x e A n B , por hipótesis

4o x e A a x e B, 4o definición n

5o x e A, 2o y 4o y p a q => p es tautología

6o x e A n B => x e A, 3o y 5o

1° A n B c A , 6o definición c

ii) A c A n B por demostrar

Io A c B , por hipótesis

2° x e A, por hipótesis

3o x e A a x e B, 2o y Io definición i

4o x e A n B, 3o definición n

Teoría áe Conjuntos 93

5o x e A => x ^ A n B, l °y4°

6o A c A n B , 5o definiciónc

/. A n B = Apor i)„ ii) y definición =

© i) A u ( B O f G c ( A u B ) r i C A ^ C ) , por demostrar

Io x e A u (B n C), por hipótesis

2o x e A v x e ( B n C), Io definición u

3o x e A v ( x e B / \ x e C), 2o definición n

4o (xe A v xe B; a (xe A v x e C ) , 3o y pv*qA r) = ( p v q ) A(pv r)

5o x e ( A u B ) a x e ( A u C), 4odefinición u

6o x e (A u B) n (A u C), 5o definición n

7o x e A u ( B n C ) => x e (A u B ) n ( A u C ), Io y 6o

8C A u (B n C) c (A u B) n (A u C), 7o definición c

ii) ( A u B ) n ( A u C ) c A u i B n C), por demostrar

Io x e (A u B ) n ( A u C), por hipótesis

2° x e ( A u B ) a x e (A u C), Io definición n

3o (x e A v x e B) a (x e A v x e C), 2o definición u

4° x e A v f x e B A x e C), 3o pv(q a r) b (p v q) a (p v r)

5C x e A v x E l B n C), 4° definición n

6o x e A u ( B n C ) , 5o definición u

7o x e (A u B) n (A u C ) => x e A u (B n C ), Io y 6o

8o ( A u B i n ( A u C ) c A u ( B n C ) , 7o definición c

A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C), i), ii) definición =


® LA DIFERENCIA DE COP,\n NTOC.-

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a

A, pero que no pertenei en a B. a la diferencia de los conjuntos A y B denotaremos

por “A - B” y se lee “A i teaos tí**. En forma Simbólica:

A - B = { x e U / x e A a x í B)

La parte sombreada de los diagramas siguientes es una representación gráfica de la

diferencia.

Ejemplo.- Sí-A * (2.3,4,5t9J J&s* {1,2,5,7,8}. La diferencia es A - B = {3,4,9}

a) PROPIEDADES DE LA DíFERENC IA DE CONJUNTOS.-

©

It<1<

. ©

<II1<

© 4>-A = 4> © A - B * B - A

© A n ( B ' C ) : - < A o Q © ( A - B ) c A

© Si A c B => A - C c B - C , V C © A c B => A - B = 4>

© B n ( A - B ) == 0 @ Si A y B disjuntos=> AnB=<J>

Demostración

Dejamos como ejercicio para el lector.


( 4) COMPLEMENT ACIÓN DE UN CONJUNTO.-

a) DEFINICIÓN.- Si A es un subconjunto de B, al complemento del conjunto

A con respecto al conjunto B se define como la diferencia

B - A y que denotaremos por CbA = B - A .

La parte sombreada del siguiente diagrama es la representación gráfica del

complemento de A con respecto a B.

U

b) DEFINICIÓN.- El complemento de un conjunto A es el conjunto de

elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir: la

díierencia del conjunto univerral U y el conjunto A, al complemento del

conjunto A denotaremos por: A' o CA y se lee “complemento de A”

En forma simbólica Á = C A =U - A = [ x / x e U a x £ A)

La parte sombreada del siguiente diagrama es una representación gráfica del

complemento de A.

Ejemplo.- Sí U = {x e N / x < 10} y A = | x e N / 5 < x < 8 ) . Hallar A'

Solución

Calculando les elementos se tiene: U = {1,2,3,4,5,6,7.8,9,10}, A = {5,6,7}

A '=U - A = {1,2,3,4,8, 10}


Ejemplo.- Sí U = N, A = {x € N / x es par}, entonces-

A'=U —A = {jce N / x es impar}

c) PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.-

( l ) (A')'=A ( 2 ) A u A ’= í /

( 5 ) AnA'=(l) @ U'=$

( ? ) A - B = AnB" ( ó ) Ac z B => B' a A'

Demostración

© o (A' )' c: A , por demostrar

Io x € (A ' ) ', por hipótesis

2° x í A ' , 1° definición de complemento

3o x € A, 2r definición de complemento

4° Jce(A')' => x e A, Io y 3o

5o (A ')'a A , 4o definición c

ii) A <z (A') ', por demostrar

Io x € A, por hipótesis

2° x i A’, Io definición de complemento

3o jce (A')’, 2o definición de complemento

4° x € A => x e ( A ' ) \ Io y 3o

5o A c ( A ’)', 4° definición c:

(A’)'—A de i), ii) y definición =


A ^ j A ' a U , por demostrar

Io xe A uA ' , por hipótesis

2° x e A v x e A ', 1 ° definición u

3o x € A v x g A, 2° definición de complemento.

4o x € U, 3o definición de conjunto universal U

5o . veAuA' => x € U, Io y 4o

6o A u A' czU, 5° definición a

¡i) U c A u A ' , por demostrar

Io x € U, por hipótesis

2° x f c A v x g A , Io definición U

3o x € A v xe A',2° definición del complemento

4o x € A u A ' , 3o definición U

5o x e U => t e A u A ' , Io y 4°

6o U a A u A' , 5o definición c

A<uA'=U por i), ii) definición =

© « A n A 'c i|i por demostrar

Io x € A n A' , por hipótesis

2° x € A a x e A' , Io definición n

3o x e A a x í A, 2C definición de' complemento

4o x E f , 3o definici >n <)>

5o x e A n A' => x e <J), 1 ° y 4o

6o A n A c * . 5° definición c


ii) <|) c: A n A poi demostrar, pero como el conjunto vacío <)> essubconjunto de todo conjunto entonces i f c A n A

/. A n A' = <|), de i), ii) y definición =

© » l/'c<)) por demostrar

Io xr e í / ' , por hipótesis

2° x e U, Io definición de complemento

3o x € <)>, 2° definición ^

4o jc e í / ’ => x e <|>, Io y 3o

5o U' c <)>, 4° definición c

ii) <)> c:U' por demostrar, como el conjunto vacío <)> es subconjunto de cualquier conjunto entonces <)><zU' por lo tanto í/ ' = <J> de i), ii) y definición =

( 5 ) i) A - B c A n B ' , por demostrar

Io x € A - B , por hipótesis

2° x € A a x e B, Io definición-

3o x € A a jce B ' , 2° definición de complemento

4° jce An¡B' , 3o definición n

5o x e A — B => x e A d B ' , Io y 4°

6o A -B c: A n B ' , 5° definición c

ii) A n B' c A - B , por demostrar

Io x e An¡B' , por hipótesis

2° x e A a jce B ',1o definición o

3o x e A a x e B, 2o definición de complemento


4r x e A - B . 3o definición -

5o x e A c\B =» x e A - B , Io y 4o

6o A r \ B ' c : A - B , 5o definición c=

A — B = A n B' de i), ii) definición =

1° A c B , por hipótesis

2° x e A => x e B, 1c definición c:

3o xe B' , por hipótesis

4° x í B , 3o definición de un complemento

5o x e A, 4o y 2 ’ definición a

6o x e A ' , 5o definición de un complemento

7° x e B ' => x e A ' , 3o y 6o

8o B' a A ' , 7° definición cz

d) TEOREMA (Leyes de Morgen).-

Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal U y designaremos a los

respectivos complementos por A'=CVA, B'=CVB, se ênrican

a) ( A kjB) ' -A' r\B' b) (A n B ) '-A 'u fi '

Demostración

a) i) (A u Bv c A'r\B ' , por demostrar

Io i e ( A u B ) ' , por hipótesis

2o x g A u B. Io definición de complemento

3o x e A a x e B. 2o definición u

4 x e A' a x e B’, 3o definición de complemento


5o xeA'niB' , 4o definición de n

6o jce (i4 u ß ) ' => xe. A'r\B', Io y 5o

1° ( Au f i ) ' c A'r\B ' , 6° definición cz

ii) A’nfl' c (A u ß ) ' , por demostrar

Io <a e A 'n ß ', por hipótesis

2o jce A" a x e B \ Io definición n\

3o x g A a x é B, 2o definición de complemento

4° x í A u B , 3o definición u

5o x e ( A u ß ) ' , 4o definición de complemento

6o x € A'nB' => j r e ( AuB) ' , Io y 5o

7o A'r\B 'a ( A vjB)' , 6o definición c•»

/. ( A u ß ) ' c A'riB ' , de i), ii) y definición =

b) i) A'r^B'cziA ( j B)' , por demostrar

Io x; e ( A n í ) ' , por hipótesis

2o x i A r i B , Io definición de complemento

3o x í A v x í B , 2 ° definición d e n

4o x e A' v xe B',3° definición de complemento

5 ' x e A'kjB' , 4o definic ión u

6o x e ( A n ß ) ' => x e A'kjB ', Io y 5o

1° (A n B)'<z A'kjB' 6° definición c

Teoría de Cnniuntos 101

ii) A '^B 'a (A n B) ', por demostrar

Io a g A’vjB , por hipótesis

2° x e A' v jce B’, Io definición de u

3o x g A v x e B, 2° definición de complemento

4° x { A n B , 3o definición de n

5o x e ( A n B ) ' , 4o definición de complemento

6o J te A 'u í ' =* x e M n f l ) ' , Io y 5o

1° A'kjB' d (A n B i . 6o definición <z

(A n B)’= A'\j B' , por i), ii) definición =

DIFERENCIA SIMÉTRICA.- Sean A y B dos subconjuntos de U, a la diferencia

simétrica A y B denotado por A A B se define por:

A A B = jx e U / x e ( A u B ) a x e ( A n B ) }

= ( A u B ) - ( A o B , = (A - B ) u ( B - A )

La notación A A B se lee “La diferencia simétrica de a j B”.

En el diagrama de VENN - EULER, mostraremos la diferencia simétrica de A y B

que es la parte sombreada de la figura.

Ejemplo.- Sean A = {1,2.3,4,6} y B = {2.3,5,7}. Hallar A A B

1 0 2 Eduardo Espinosa Ramos

Solución

Calculando A u B = { 1,2,3,4,5,6,7] ; A n B = {2,3}

A A B = ( A u B ) - ( A n B ) = { l ,2,3,4,5,6,7} - {2,3 }= {1,4,5,6,7}

a) PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA.-

A A A = <¡) A A <J> = A

@ A A B = B A A (T ) (A A B) AC = AA(BAC)

© ( A A B ) n C = ( A n C ) A ( B n C )

( A A B ) u ( B A C ) = ( A u B u C ) - ( A n B n C )

Demostración

( l ) A A A = ( A u A ) - ( A n A ) = A - A - $ A A A = <|)

^2 ) A A (}»= (A <j <¡>) - (A n <¡>) = A - <|) = A AA«)i=A

( 3 ) A A B = ( A u B ) - ( A n B ) = ( B u A ) - ( B n A ) = B A A

A A B = B A A

© Para demostrar (A A B) A C = A A (B A C), aplicamos:

A A B = (A - B) u (B - A) como A - B y B - A son conjunto

disjuntos, entonces la unión d e A - B y B - A e s reemplazando por la

suma (+)

A A B = ( A - B ) u ( B - A ) = ( A - B ) + ( B - A ) = A n F + B n A '

Ahura haremos la demostración correspondiente.

(AA£)AC = [(A n B’) u (fl r , /V)]AC

= f ( A n B ' ) u ( £ n . A , ) ] - C u C - [ M n £ , ) u ( i J n / n ]

= [ (A n B ,) u ( B r .A ') ln C 'u C n [ ( A n J ? ,) u (B n A ') ] '

= [ ( A n B ') n C '] u [ ( B n A ') n C ,] u C n [ ( A n B )'n(fln/V)']

Teona de Cor juntos 103

- A n B ’n C ’u f l n /4'nC’u C n [(A'ufl) n (B'uA)]

= A n B 'n C 'u fi o A 'n C 'u C n [ (A 'u B )n fl'u (A ’u f l) n A ]

= i4n B'nC'vjB n A 'nC 'uC n[(A'nJ3' ) U ( f in B ') u i'A'nA) u (A n ü ) ]

= A n f l ’n C 'u f l n A 'n C 'u C n[( A ’n F ) u ( A n f i) ]

= [ A n B'nC'uB n A’nC' ] u [ A'nB'nC u (A n B n C ) |

= A n B'nC’+B n A 'n C ’+A'nB ’n C + A n B n C

= [ A n £ n C + A n B 'n C '] + [ B n iA 'n C ') + C n B 'n A ']

= A n [ B n C + B n C ] + [ (B n C ) + C n B '] n A '

= A n | B n C + (B u C ) 'l+ [ ijA r ] n A ’

= A n [ B u C n ( B n C ) '] + ( 6A C )n A '

= An(BAC )'+ (BAC )nA ' = A A (B A C)

(A A B) A C = A A (B A C)

2.16. CONJUNTO POTENCIA (O CONJUNTO ~DE PARTES DE UN CONJUNTO). __________________________________________________

Dado el conjunto A, llamaremos conjunto potencia de A al conjunto formado por todos

los subconjuntos de A incluyendo al conjunto vacío <|>.

Al conjunto potencia de A denotaremos por P(A) y de acuerdo a la definición P( \ ) se

expiesa

P(A) = {x / x c A}

OBSERVACIÓN.- Para todo conjunto A valen <}> c A y A c A. luego <|> y A son

subconjuntos de A, o sea que son elementos de P(A) por lo tanto,

para cualquiera conjunto A se verifica <¡) e P(A), A e P(A)

104 Eduardo Espii.oza Ramos

OBSERVACIÓN.- Un elemento de P(A) es un subconjunto de A, es decn

x € P( A) « x c A

2.17. PROPIEDADES DEL COíNJ UNTO POTENCIA.-

Para cualquier conjunto A, se cumple:

© Sí A c B « P(A) c P(B) © Sí B c A o B e P(A)

© Sí A = B <=> P(A) = P(B) © P(A n B ) = P(A) n P(B)

© P ( A ) u P ( B ) c P ( A u B )Demostración

© i) A c B = > P(A) c P(B)

Io A c B , po/hipótesis

2° x e P(A), por hipótesis

3o x c A , 3o definición P(A)

4o x c B , 3o y 1 ° propiedad transitiva

5o x € P(B), 4o definición PiA)

6o x e P(A) => x € P(B), 2o y 5o

1° Pi A) c P(B), 6o definición c

ii) P(A) c P(B) = > A c B

Io x € A, por hipótesis

2° {x} c A , Io

3o [x | e P(A), 2o definición P(A)

4° P(A)cP(B), por hipótesis

5o {x} € P(B). 3o y 4o definición c


6o {x} cz 8 . 5 “ definición P(B)

7° x e B, 6o definición B

8o x € A => x € B, Io y 7°

9o A cz B. 8° del inición cz

© Io BczA. por hipótesis

2° B € P(A), Io definición P(A)

© ¡» P( A) cz P(B), por demostrar

1° > II 03 por hipótesis

2° x e P(A) por hipótesis

3o x c A , 2° definición de P(A)

4° x cz B, de 3o y 1°

5o x € P(Bj, 4o definición Pi A;

6o x e P'A) => x e P(B), 5o y 1°

7° Pi A) cz P'B), 6o definición cz

P(B i cz P( A) por demostrar

1° A = B, por hipótesis

2° x e P(B), por hipótesis

3o x cz B, 2° definición de P(B)

4° x cz A, 1° y 3o

5 o x e P(A) 4o del P(A)

6o x e P(B) = > x e P ( A ) , 1° y 5o

7o Pi B) cz P( A). 6D definición cz

Pt A) = P(B), de i), ii) y definición =


( í ) i) P(A n B) cz Pi A) n P(B) por demostrar

1° x e P ( A n B ) , por hipótesis

2° x c ( An B ) , 1 ° definiciónP(An B)

3° x cz A a x cz B. 2° propiedad

4o x e P(A) a x e P(B), 3o del P

5° x e P(A) n P(B), 4° definición n

6o x e P(A n B) => x e P(A) n P(B), Io y 5o

7° P(A n B) cz P(A) n P(B), 6o definición cz

ií) P(A) n P(B) cz P(A n B), por demostrar

1° x e P(A) n P(B). por hipótesis

2° x e P(A) a x e P(B), Io definición n

3o x cz A a x cz B, 2° y definición P

4o x c A n B , 3° definición n

5o x e P(A n B), 4° definición P

6o x e P(A) n P(B) => x e P(A n B), 1° y 5°

7° P(A) n P(B) cz P(A n B), 6° definición cz

P(A n B) = P(A) r\ P(B) de i), ii) definición =

© 1° x e P(A) u P(B), por hipótesis

2° x e P(A) v x e P(B), Io definición u

3° x cz A v x cz B, 2° definición P

4° x c A u B , 3° definición u

5° x e P(A u B ) , 4o definición P


6 x e P ( A ) u P ( B ) => x e P(A u B) , Io y 5o

7° P(A) u P(B) c P(A u B), 6o definición <z

Ejemplos.-

Q Dados los conjuntos A={3} y B={2,3,5}. Determinar P(A), P(B), P(AuB), P(An B)

Solución

P(A)={{3}.<M, P(B) = {{2},{3},{5},{2,3},{3,5},{2,5},{2,3,5}.<j)}

A u B = {2 ,3 ,5 ) , A n B = {3}

P ( Au B) = {{2},{3},{5},{2,3},{2,5},{3,5},{2,3,5¡,<S)}

P(A n B) = {{3},(b}

2.18. INTER V A IOS^

Los intervalos son conjuntos de números definidos med'ante la relación de orden en el campo de los números reales.

Los intervalos son de varios tipos:

a) INTERVALOS CFRFAOOS: [a,h], a < b.-

Es el conjunto de los números reales “x” para los que se satisfacen a < x < b y se denota por [a,b]. ¿n forma simbólica.

[a,b] = {x e R / a < x , a < b.-

Es el conjunto de los números reales “x” para los que se satisfacen a < x . En forma simbólica.


<a,b> = | x e. R / a < x < b }


a b

También se tiene los siguientes conjuntos de números reales, los cuales se denominan, intervalos abiertos por la izquierda, e intervalos abiertos por la derecha respectivamente.

<a,b] = {xe R / a < x < b}


[a,b> = { x e R / a < x = {xe R / x> a}

[a,+°°> = {xe R / x > a}

<-°°,b> = {xe R / x < b }

<-°°,b] = {x e R / x < b}

2.19. OPERACIONES DE CONJUNTOS APLICADOS A LOS INTER V ALOS.-

Es este caso el conjunto de los números reales R será considerado como el conjunto universal.

Ejemplos.-

(T ) Si A = <-°° 2], hallar Ca = A'


Solución

&4 = { * e /? /* £ < -°°,2]} = {xe R / ~ ( x e <-°o,2]}

= { x f R / ~(x<2)} = {xe R / x > 2 } = <2,+°®>

--------------------------------- 1A = <-oo,2]

>+oo

oo ^ R9-----------------------------------

CA = A' = <2,+°o>

El complemento de A está formado por todo lo que no está en A dentro del conjunto

universal R.

( I ) Si A = <2,+°°>, Hallar HA = A'

Solución

Ca = A'= {jte R / 2 , + < > ° >} = {x e R / - (x e <2,+°°'>)}

= {x e R / ~(x > 2)) = {x e R / x < 2} = <-°°,2]

-------------------------------<>CA = A‘ = <-oo,2] +oo

OO)----

A = <2,+co> R

® Sí A = <1,11] y B = [7,18>. Hallar A u B y A n B

Solución

A u B = (x e R / x e <1,11] v x e [7,18>J = <1,11] u [7,18> = <1,18>

• ----------_ _ _ _ _ _ _ o

O------------------ »»---swn---9 +CO+

-oo 1O-

11 18-o

R

A u B = <1.18>


A n B = [ x e R / x e <1,11] a x e [7,18>) = <1,11] n [7,18> = [7,11]

f ------------ 1--------------- o

------------- 1-------------- 1-------------- 1-------------- 1------------ ►-oo 1 7 11 18 R

• ------------ •

A n B = [7,11]

Si A = <-7,-l> u <0,6], B = <-o°,l] u [4,8>. Hallar

a) Ca = A' b) A n B c) * A u B )

Solución

a) Ca = A'= [jce R / x e < -7 ,-1 > u < 0,6]} = [x e R /~ (x e <-7,-l> u <0,6])}

= (x e R /~ (x e <-7,-l>) a ~ (xe <0,6])}

= [x e R /~(-7 < x < -1} a ~ ( 0 < x < f>)}

= [X6 R / ( x < - 7 V X > -1) A (x < 0 A X > 6)}

A = <-7,-l>u<0.6]

O O O--------------------- •-+-------------- 1---------------- 1--------- 1----------------------- 1------co - 7 - 1 0 6----------------• • -------- • O—

CU = A'=< —o ,-7 ]u [-l,0 ]u < 6,+oo >

b) 0--------1

----------o1

0---1 I

I — T1 + C O

1-oo 1-7

1-1 l 0

If1 1 I u

A ¡ 6 8 R

1 I ¥ T 1O---------------------- o— o -—• —

1— • ------— •

-7 - 1 0 1 4 6

+oo —►

R

A n B = <-7 l> U <0,1] u [4.6]

Teoría de Conjuntos 1 1 1

c)------------------------------------------ • • --------------------- O B

o------------------o o-----------------------• A+ 0 0

« —I------------------- 1----1------ 1-----------1-----------1-------- 1------- *--«5 -7 -1 0 1 4 6 8 R----------------- — -------------------------------------------------------------------------------- •

A u B = <-°o,8>

O(AuB) = (A uB)'= ( í e R / x e < -t»,8 >} = {x e R /~ (x e <-°°,8>)}

= [x e R / —(x <8)}= [x e R / x > 8} = [8,+°°>

----------------------------------------ÉA U B = <-oo,8>

p+oo

CO 8 R>---------------------- ---------------

C ( AU B ) = [8,+co>

© Si A=<-°°,-4]u[4,6> y B = [ - 1 2 , - 6 > l x 5 ,7 ] , encontrar la diferencia simétrica A A B

Solución

A A B = (A u B) - (A n B) por definición de diferencia simétrica, ahora

calculamos A u B y A n B

-? ? ----------ri i i

<DI +oo

■co -1 2 1 ¡-6 -4 4 5 ¡ l 6 7 R- é ----------e----------------------------------O--------- ó-----------------

-12 -6 5 6

A u B = <-°°,-4] u [4,7]

-O O----------------------• BI A

+ co

• 0 0 - 1 2 -6 -4 ¡ 4 5 6 ¡ 7 R--------------------------------« ¿ ----------------------------------•

A n B = [ 12,-6> u <5,6>

112 Eduardo Espinazo Ramos

C(A n B) = <-oo,-i2> u [-6,5] u [6,+oo>

AA B = A u B - A n B = ( A u B ) n C(A n B)

--------------------------------• f ----------------------------------•--------- 1----------- 1------------ 1---------- 1---- ------- 1-------------1--------- f-

-co - 1 2 - 6 - 4 ¡ 4 5 6 7

-------- T f ---------- !--------- !----------T T--------r----¿----- i----- * A----- i------i-----i

-12 -6 -4 4 5 6 7

A A B = <-oo,-i2> u [-6,-4J u [4,5] u [6,7]

2.20. FAMILIA DE CONJUNTOS.-

Llamaremos familia de conjunto«; al conjunto cuyos elementos son también conjuntos.

A una familia de conjuntos denotaremos por [A, },>,, donde cada A¡ es un conjunto.

Ejemplo.- © {A¡} ,<,<3 = [ A,, A ,, A3}

MiliS8 = { A ’ ^2 > ^3» ^4 ’ ^5 > » ^7 > 8 1

( 5 ) tAlimpar = [ A,, Aj, A,,... }

Ejemplo.- Determinar los componentes de las siguientes familia de conjuntos.

© IA ) 1<¿<4 donde A, = {i + n / n e Z impar a n< 5}

Solución

[ A } 1<,<4 = [ A,, A ,, A3, A4 } de donde A,=[ l + « / « e Z + impar a « < 5} = [2,4}

A2 = | 2 + n / n e Z t impar a « < 5} = [3,5]

A3 =[3 + n / n e Z * impar a b <5} = [4,6}

A4 =[4 + n / « e Z + impar a « <5} = [5,7]

+ 0 0

R


a) L'MON DE FAMILIA OE CONJUNTOS.-

NOTACIÓN.-

2

© a ^ a > = I J a © A u ^ u - u A. = U 4,1=1 1=1

DEFINICIÓN.- La unión de familia de conjuntos es dado por:

n

A¡ = [x!x& A¡, para algún /}i=i

OBSERVACION.-

n n© Sí x e

1=]

Ejemplos.- Sea donde A¿ = {A + le N ¡ x< i y . v g N ) .

5

Hallar a) Ax u A3 vj Á5 b) Oí=i

Solución

a ) A¡ = {jc + l e 7 V / .v < l a x e 7V} = {2}

A , = { a + 1 e N / x < 3 a x e A } = {2 ,3 .4}

í45 = { * + l e W / * < 5 a jc e N} = {¿ ,3 .4 ,5 ,6 }

A¡ u A j u A 5 = {2 ,3 ,4 ,5 ,6 }

5

b) Ai - Al u A2 u A3 u A4 u A 5 = {2,3,4,5,6}1=1

114 Eduarac Espinoza Ramos

b) INTERSECCION DE FAMILIA DE CONJUNTOS.-

NOTACIÓN:n

© P |A © i41n / \ 2n A 3n...riA „ = f >| j4'1=1 1=1

DEFINICIÓN.- La intersección de familia de conjuntos es dado por:

n

| ^ | A, = {jt/jte A¡, para todo /} i= i

OBSERVACIÓN:

ti nj ) x e ^ A , <=> V i / x e A, jc^ <=> 3 i / x e A,

i=i i=i

Ejemplo.- Sea la familia M, },<,<5 donde A¡ = {x + l / x < i, x e N]

n

Hallar a) A, n A3 n A5 b) (A, u A ¡)n A 3 c) A,i=i

d) (A, -A 3)n (A , u A 2) e) (As - A 3) n ( A 4 - A, )

Solución

A, = {x + l / x < l , x e W} = { 2 } A2 = { x + 1 / x < 2 , x e } = {2,3 }

Aj = {x + l / x <3, x e N] = {2,3.4} A4 = {x + l / x < 4 , xe N] = {2,3,4,5}

A5 = {x +1 / x < 5, x e N) = {2,3,4,5,6}

a ) A , n A3 n A5 = {2 }

b) Al u A5 = {2.3,4,5,6}, (A, u A5) n A3 = {2,3,4}

nc) ( J a = A uA2 uA, u Aj = {2,3,4,5,6}

i=i


d) A , - A 3 = 0 , ( A , - A3)n(A, u A 2) = <J>n(A, u A 2) = <J)

e) - A s ={5.6}. A» - A, ={3,4,5} (A¡ - A3) n (A , - A ) = {5}

cj COMPLEMENTO DE FAMILIA DE CONJUNTOS.-

MOTACIÓN.- © C(A, u A 2) = Ca, n C Az

12 12

© c ( j A ) = n t '1= 1 1= 1

12 12

© « L k - O1=1 1=1

n n

OBSERVACIÓN.- jcg C ((jA > <=> * « ( J a <=> v í / a s a ,1=1 1=1

n n

i=l i=l

d) PROPIEDADES GENERALES DE FAMILIA DE CONJUNTOS.-

Sea E cualquier conjunto, entonces:

n n n n

© £ n ( j j A ) = U ^ ^ A ) © £ u ( ( J a,) = | J ( £ u A)i=1 f=l i=l ¿=1

n n n n

© E n ( p | A ) = P | ^ V @ £ u ( p | A ) - p | ( £ ^ A )i = i i = i í = i i = i

© C(P]a )=|J*Ca © C((Ja)=P|(Ca)1=1 i= i 1=1 i= i

Demostración

116 Eduardv Espii ozu Ramos

n© Io x e E n ( L > > por hipótesis

í=i

n

2° x e E a Io definiciónn

1=1

3o x e E a x e A ¡ , para algún i, 2o del u

4o x e E n A¡, 3o definición n

n

5° jce (E n ) , 4o definición u í=i

n n

6o xe En(| jA) => *e| J(EnA,), l°y5°*=1 1=1

n n

1° . 6o definición <i=i í=i

n8o jce ( E n At) por hipótesis

i=i

9o x e E .-'i A , para algún i, 8C definición u

10° x e E a .ce A,. 9o definición n

H10° definición u

i=i

n12° jcg A,), 11 ° definición o

;=i


13° - v e ^ J í f r i A ) => J c e E n c ^ j A ) . 8° y 12° 1=1 1=1

n n14° c ■ 13° definición cz

=i i=in n

15° c ^ J ( £ n A) > 1° y 14° definición =í=i í=i

2.21. NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CON JUNTO.-

DEFINICIÓN.- Sea A un conjunto cualquier, al numero de elementos distintos que

forman dicho conjunto denotamos por n(A) llamado cardinalidad del

conjunto.

NOTA: n(A) se lee “el número de elementos del conjunto A".

Ejemplos.- Sí A = {1,3,5,6}, B = {a.b,c,d,e}, C = {2,4,2,4,2 j, D =<|>

Solución

n(A) = 4, n(B) = 5, n(C) = 2, n(D) = 0

2.22. PROPIEDADES DEL NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO -

© Si A y B son conjuntos cualquiera, enionccs: n(AuB) = n(A) + n(B), sí AniB = <j>

Demostración

Supongamos que: A tiene x elementos => n(A) = x

B tiene y elementos => n(B) = y

Por hipótesis no hay elementos comunes a ambos conjuntos.

A u B tienen x + y elementos, esto es: n(A u B) = x + y = n(A) + n(B)

n(A t > B) = n(A) + n(B)

118 E li tardo E'pinoza Ramos

© Si A y B son conjuntos cualquiera, entonces n(A - B) = n(A) - n(A n B)

Demostración

Sea M = A - B = A r \ B ' , N = A n B, se tiene: M kjN = {AnB')Kj( A n B ) = A

M r \N = ( A n B ' ) n ( A n f i ) por asociatividad y conmutatividad de n

= A n (B'niB) n A pero como B’n B = <j>, se tiene

M n N = <{>, luego por la propiedad (1) se tiene:

n(A) = níM u N) = n».M> + n(N) = n(A - B) + n(A n B)

de donde n(A - B) = n( A) - n(A n B)

n(A u B ) = n(A) + n(B) - n(A n B)

Demostración

Como A u B = (A - B) u B y (A - B) n B = <¡>, entonces

n(A u B ) = n(A - B) + n(B) por la propiedad (1)

= ni A) - ni A n B) + n(B) por la propiedad (2)

= n(A) + n(B) - n(A n B)

n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)

n(AuBuC)= n(A) + n(B) + n(C) - n(An B) - n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C)

Demostración

Sea E = B u C, entonces Dor la propiedad .3) se tiene:

n(A u E ) = n(A) + mE) - n(A n E) entonces:

n(A u B u C ) = n(A) + n(B u C ) - n(A n ( B u C ) )

= n(A) + n(B) + n(C) - ^ B n C) - n((A n B ) U ( A n C))

= n(A) + n(B) + n(C) - n(B n C ) - [ n ( A n B) + n(A n C) - n(A n B nC)J

n(AuBuC) = n(A) + n(B) +n(C) - n(A nB)- n(A n C ) - n(B < 0+ n(AnBnC)

l'eoi ut de Conjunto!, 119

Ejemplo.-

© l iic' persona come plátano o naranja cad;. nibñana durante el mes de marzo, si come .araiiia 25 mañanas y plátano 18 mañanas ¿Cuantas mañanas come plátano y

n iranjes/Solución

Sea U = {mes de marzo' conjunto universal => n(U) = 31

A = (mañanas que come plátano) => ii(A) = 18

i = {mañanan que come naranja) => n(B) = 25

Lhiquemos ia información en un di .grama de Venn - Euler.

y Mañanas que comen plátano y naranjas = x

n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)

31 = 1 8 - x + 2 5 - x - x

3x = 43 - 31 = 12 de donde x = 4

Rpta 4 mañanas come plátano y naranja

( 2) Sean A y B dos conjuntos tales que n(A u B) = 24 y ni A - B) = 10, n.B - A) = 6.

Hallar 5[n(A)l - 4|n(B I]

Solución

l lhiquemos los datos un diagrama de Venn - Euler.

Calculando se tiene:

5[n(A)]—4[n(B)]=5( 18)— 4< 14) = 90 - 56 = 34

© En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban vanos idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42. Español y Alemán 8, Español y Francés 10. Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas?


b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

Solución

Ilustraremos el problema en un diagrama de Venn - Euler, para facilitar la -.olución.

En el diagrama se observa que:

n(E o A n F) = 3 ; n(A n F) = 5

n ( E n F ) = 1 0 ; n(E n A) = 8

n(F) = 42 ; n(A) = 30

n(E) = 28

n(AuEuF) = n(A) + n(E) + n(F) - n(A n E ) - n(A n F) - n(E n F) + n(A n E n F)

= 28 + 30 + 42 -8 - 1 0 - 5 + 3 = 80

por lo tanto a) No estudian idiomas = 100-80 =20

b) Sólo fr-incés 30

© En un instituto de investigación trabajan 67 personas. De estas 47 conocen el ingles,

35 el alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el

ingles ni el Alemán?

Solución

Para facilitar la solución utilizamos el diagrama de Venn - Euler.

I = ingles, A = Alemán

En el diagrama se observa que n(In A) = 23,

n(A) = 3*5, n(I) = 47 por conocer N(1 u A)

Hallaremos n(I'r\A ' ) = «((/u A ) ') = «(£/)-«(/u A ) = 67 - n(I u A) ...(1)

edemas n(I u A) = n(I) + p(A) - n(l n A) = 47 + 35 - 23 = 59 ... (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: n(U) - n(l u Ai = 67 - n(l u A) = 67 - 59 = 8

por lo tanto 8 personas no conocen el Ingles y Alemán.


© Sea A un conjunto tal que n(A) = 3p + q, B es un conjunto tal que n(Bj = 2q + 3, y

los dos tienen elementos comunes n(AnB)=p+q - 4 0cuántos elementos tien^ AABí

Solución

Debemos de calcular n(A A B) = ?

n(A A B) = n[vA u B ) - ( A n B)1 = n(A u B) - nvA n B)

= n(A) n(B) - n(A n B) - n(A n B)

n(A A B) = n(A) + n(B) -2n(A r\ B)= (2p + q +2q + 3) - 2(p + q - 4)

= 3p + 2q + 12 - 2p - 2q + 8 = p + 20

© De 120 alumnos de una universidad se obtuvo la información siguiente:

72 alumnos estudian Análisis Matemático.

64 alumnos estudian Biología.

36 alumnos estudian Ciencias Sociales.

12 alumnos estudian las tres asignaturas.

¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos asignaturas?

Solución

Sean A = {estudiantes de Análisis Matemático}

B = {estudiantes de Biología}

C = {estudiantes de Ciencias Sociales}

Ilustraremos medíame el diagrama de Venn-Euler.

Las variables x,y,z representan a los estudiantes

que estudian exclusivamente dos asignaturas.

Las variables a, b, c representan los estudiantes de

una sola asignatura, de acuerdo a los datos del

problema se tiene:


a + x + y+12=-72

b + x + z+ 12 = 64

c + y + z + 12 = 36

(a + b + c) + 2(x + y + z) = 136 ... (1)

como son 120 alumnos, del diagrama se tiene: a + b + c + x+y+z+12 = 120 de donde

(a + b + c) + (x + y + z) = 108 ... (2)

ahora al restar (2) de (1) se tiene: x + y + z = 136 - 108 = 28

por lo tanto, los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas son 28

© En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el

40% leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el

30% lee los periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee

los periódicos, y solo el 29? de la población total adultos lee los periódicos, ven

televisión y escuchan radio se pide:

a) Cuántos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión.

b) Cuántos habitantes leen periódicos solamente.

Solución

Consideremos los siguientes conjuntos:

A = {conjunto de personas que escuchan radio)

B = {conjunto de personal, que leen penodicos) .

C = {conjunto de personas que ven televisión)

Personas que escuchan radio 70% de 10 0U0 es 7,000

personas qye leen periódicos 40% de 10,000 es 4,000

Personas que ven televisión 10% de 10,000 es 1,000

Para facilitar la solución utilizaremos diagramas de Venn.

Teoría de ( onjuntos 123

U10000

C

a) Observando el diagrama se tiene:

n(A u B u C) = 4820 + 1900 + 1200 + 700 + 200 + 80 +20

= 4810 + 3100 + 1000 = 8920, además se conoce que n(U) = 10,000

Los que no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V. estará dado por:

n(U) - n | A u B u C ) = 10,000 - 8920 = 1080 es decir 1,080 personas adultas,

no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V.

b) Según el diagrama de Venn -Euler las personas que leen periódicos solamente

son 1,200.

En una encuesta realizada a 154 personas, se ohtu\ ieron las siguientes

desayunan y el triple de las que solo cenan, nadie declara almorzar y cenar

solamente. ¿Cuántas personas cenan por lo menos?

informaciones: 6 personas cenan y desayunan pero no almuerzan

5 personas desaj unan y almuerzan solamente

8 personas almuerzan solamente

Él número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de ias que sólo

Sol ación

Sean A = {conjunto de personas que almuerzan}

C - {conjunto de personas que cenan}

D = {conjunto de personas que desayunan}


Sea x el número de personas que desayunan solamente entonces las personas que

realizan las tres comidas es el séxtuplo de los que desayunan solamente 6x y esto es

el triple de los que quiere decir que los que cenan solamtnte es 2x.

Para facilitar la solución usaremos los diagramas de Venn - Euler.

Además se tiene que: n(U; = 154

Donde U = A u C u D , donde n(c) = 6x + 6 + 0 + 2x = 8x + 6

n(AuCuD)-n(U) = 154, de donde al observar el diagrama de Venn - Euler se tiene:

6x+6+2x+ 0 + 8 + 5 + x= 154, simplificando 9x + 19 = 154 =s 9x = 135 => x = 15

las personas que cenan pe ir lo menos es: n(c) = 8( 15) + 6 = 120 + 6 = 126

En una encuesta realizada en una población sobre su preferencia de tres diarios A, B

y C se encontró el 42% ben el diario A, el 34% leen B, el 28% leen C, el 17% lee A

y B el 15% lee A y C, el 8% lee B y C y el 66% leen al menos uno de los tres

diarios. Determinar-

a) Que tanto por ciento leen un solo diario.

b) Que tanto por ciento leen exactamente dos de los diarios.

c) Que tanto por ciento ninguno de lo» tres diarios

u

Solución


n(A) = 4 2 , n(B) = 34, n(C) = 28

n(Ai 'iB', = 17, ríA nC ) = 15, n(BnC) = 8

y n(A u B u C ) = 66

U

Sea x el porcentaje de personas que leen los tres diaiíos.

Sí n(AuBuC) = n(A) + n(B) + n(C) - n¡AnB) - n(AnC) - n(BrC) + n(AnBnCj

66 = 42 + 34 + 28 - 17 - 15 - 8 + x de donde 66 = 62 + x => x = 2

En el diagrama n(A) = a + (17 - x) + (15 - x) + x = 42 => a = 12

n(B) = b + (17 - x) + (8 - x) + x = 34 => b = l l

n(C) = c + (15 - x) + 18 - x) + x = 28 => c = 7

Luego: a) Leen un solo diario a + b + c = 30%

b) Leen exactamente dos de los tres diarios 15 + 17 + 8 - 3x = 34%

c) No leen ninguno de los tres d.arios 100 - 66 = 34%

|2.23. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

0 Dados los conjuntos A = {a,e,d}, B = {e,f,g} y C = {l,ej,k}. Hallar A u ( B n C )

(5) Sí U = {a,b,c,d,e}, A u B = {a,b,c,d}, A n B = { a , c } y A - B = { b } . Hallar A y B

Sean los conjuntos A = [xe N / x = -^(k2 - l) , k e N ] , B = {x& N / x 2 =8*},

C = {jre N I x 2 —3 2 jc + 192 = 0}. Hallar el resultado de (B - A) n C

© Consideremos los conjuntos siguientes: A = {x e N / x es divisor de 12},

B = {x e N / x es divisor de 18} y C = { x e N / x e s divisor de 16}.

Hallar a) ( A - B ) n ( B - C ) b) ( A - B ) u ( B - C )

126 Eduardo E'ipinoza Ramos

(5) Dados los conjuntos A = {5,6,7,8}. B = {6,7,1,2}. C = {4.5,7,9} y U = {1,2,3.4.5,6.7,8.9}

calcular:

a) A u B b) ( A n B ) u C c) A n ( B - C ) d) C - ( A r \B ) '

Dados los conjuntos A = (1,2,3,4}, B = {2,3,5,7}, C = {1,4,6,8} y U = { x e N / x < 8 )

calcular

a) A u B b) A n B c) ( A u B ) n C

d) (A- B)' respecto a U c) [ C - ( A u £)]' respecto a U

Si A = { x e N / x < 5 v x=7}, B = {2x + 1 / x e N a x <3}

Hallar a) A u B b) A n B c) A - B d ) B - A

(8 ) Sean A = {{1.2,3),3,1}, B = {1.2,3}, C = {2,3.4} y D ={{2,3), 1.2,5). Hallar:

a) A u B b) A u C c ) A u D

d) A n B e) A n C f) A n D

g) A - B h) A - C i) A - D

(5) Sí A u B = {1,2,3,4), A n B = {1,3} y A - B = {2}. Hallar A y B

Rpta. A = {1,2,3} y B = {1,3,4}

(lO) Si U = {a,b,c,d,e}, A u B = {a,b,c,d}, A n B = {a,c) y A - B = { b ) . Hallar A y B

Rpta. A = {a,b,c}, B = {a,c.d}

0 Si A = {x e Z /x es divisor de 60} ; B = {x 6 Z / x es divisor de 42} y

C = { x e Z + / xes múltiple de 2, menor que 20}. Verificar las siguientes igualdades

a) A u (B n C ) = (A u B ) n ( A u C ) b) A n (BuC) = (A n B) u (A n C)

@ Si A = { x e R / - 3 < x < 5 } , B = {x e R / 2 < x < 7} y C = { x e R/ 4 < x < 5). Hallar:

a) A u B u C b) ( A - B ) n ( A u C )


(13) Si P ={x e N / x es divisor de 12}, Q = (x e N / x e s divisor de 24}

R = {\ e N / x e s divisor de 36} cCuál de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) P n Q = P n R b) P n Q = R c) Q - R = P

d) P u R = Q e) P - Q = R

^ 4 ) Simplificar los siguientes conjuntos:

a) (<-2,3] u <0,4>) - [2,6] b) <0,4> u <-2,3] - [2,6]

c) (<-2,3] u C[2,6]) u (<0,4> n [<-°°,2> u <6,+°°>])

15) Si U = [-3,-2,-1,0,2,3} el conjunto universal y sean A = {-1,0 1}, B = [-2,-1,0,1,2},

C = { -3,1,2}. Determinar cada uno de los siguientes conjuntos.

a) B' b) A' c) (Ar\B)' d) A'ufí'

e) Br\C' f) (B nC )'

16) Sea 1 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} el universo. A = {1,2,3,4,5} y B = {2,4,6,8,10}.

Determinar los siguientes conjuntos.

a ) A u B b) A n B c) A - B d) B - A

e) CA f) CB g) C(A u B) h) Ca n CB

(í?) Si U = {1.2,3,4,5,6}, A = {1,4,5.6}, B = {2,4,6}. Determinar los siguientes conjuntos:

a) A' b) B' c) Ar\B' d) A'nB

e) A'niB' f) (A'nfí')' g) A n B h) A 'uF

18) Sea U = { x e N / x < 7 } el conjunto universal, siendo los subconjuntos

de U, A = {jre U / jc1 < 8}, B = {x e U /x es múltiplo de 3}, C = {.ve U /a " > 25}.

D= {xe U/xespar}. Hallai B'-[(C\j D' ) - A\

128 Eduardo Espinoza Ranos

19) Sean U ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}, A ={ t,2,3.4i, B = [1,4,13.14}, C ={2,8},

D = [10,11,12}. Hallar:

a) A u B b) A u C c) B u D d) D u C

e) CA f) (CA) u B g) C A u C B h) C(A u B)

i) CAr>CB j) C ( A n D ) k) C ( Au C ) I) ( A u B ) - D

II) ( A n B ) - D m) ( A - B ) u ( B - A ) n) ( A u B ) - ( A n B )

o) (A - B) n (B - A)

© Siendo Z el conjunto universal y sean los conjuntos A = [x e Z /x es número par},

B = [ x e Z / x e s número primo}, C = [x e Z / x e s u n cuadrado perfecto}. Hallar

a) Ar\B' b) C - ( B u A ) c) (A uB )'nC

(2 ^ Sean U = [ x e N / 2 < x < 12}, A = [x e U / x es impar, x * 3}, B=[x e U / 5 < x < 11},

C = [x 6 U / x es múltiplo de 3}. Calcular (A’—B)'

@ Dados los conjuntos A={ 1,2,5,7,8}, B={2,3,4,7,9}, C={1,3,5,6.8} y U = [xe N / x < 9}.

Hallar

a) p u B ) - ( A n C ) } ' b) [ (A n B )-M u C )] '

c) [ ( A- B) u( A- C) ] ' d) [(A '-fl)n (A -C )]'

e) [ (C -f l 'M A 'u C )]’ f) {A'-B')t^B\ jCy

(23) Si M = [xe N / x 3 <30} ,N = {x2 e N / x < 3 ] y e \ universo es U= {1,2,3,4,6,7,9}. Hallar

a) (M r\N)' — (M u A0’ b) Hacer un diagrama de Venn - Euler.

(24) Dado, los conjuntos A= [2,3,5,6,8} y B = [0,1,2,4,5.7,9} Si m es el número de

subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y n él número de subconjuntos no

vacíos oe 6 que son disjuntos con A. Hallar m + n. Rpta. 38


25J Sea U = {x e N / O < x < 10} y los subconjuntos A = {xe U/ xesppmo},

B= { \ e U / x es cuadrado períecio}, C = ( x g U / x e s impar}. Hallar:

a) ( Au f l ) ' - C b) ( A - O ' n B

c) ( A A B ) - ( A A C ) d) ( A n C V - ^ u C ) '

¿6) Dado los conjuntos A = {xeZ/~[ x <-2 v x > 3]}. B = {x e N / ~(-l <x <3 x = 5)}

y C = [ x £ Z / ( x < - 2 v x > 2) —» x > 1}. Hallar el resultado de (B n C) A (A n B)

(27) Sean los conjuntos A={xeN/7 - x = 3v x < 3}, B - {jce N / 5 - x > 2 a i (6 jr -2 ) > 2},

C = {x e N / x cuadrado perfecto, x < 10}. Hallar

a) ( A u B ) n ( C - A ) b) ( A - B ) U v B n C )

c) ( A n B ) - ( A - C ) e) ( A A B ) n ( B n C)

(28) Dado el conjunto universal U = { x e N / x < 50} y los subconjuntos:

- 1 2 1,4 = { - ^ — I x e U a es N° primo}; B ~ { X * /.ve U a x es N° impar}

C = {—^ —!-/jce U a x es N° par}. Hallar

a) A n B b) A A B c ) A A C

d) (AAB)AC' e) ( A u B ) A ( A u C )

29) Determinar los conjuntos X e Y si se tiene que X A Y ={ 1,2,3,4,5}, X' = {2.3,5,7}.

y = {1,4.7} siendo el universo U ={ 1,2,3,4,5,6,7,8}

,30) Sea U = {xe N / 0 < x < 10} y los subconjuntos A = { x e U / x e s primo},

B = {x e U / x es cuadrado perfecto}, C = { x e U / x e s impar}. Hallar

a) C ( A u B ) - C b) C (A - C) n B

c) ( í u B ) - ( A u C j d) C(A n C ) - C ( B u C )


Sí A = {jeg Z / x 5 + 4jc = 5jc3} y B = {.ve Z /3 y, y 2 = jc} . Hallar el complementu de B

con respecto a A es decir: A - B. Rpta. A - B = {-1 .-2,2}

Simplificar y expresar en términos de reuniones de intervalos:

a) [2,7>A<0,1> b) <1,4> A (<2,6> u <0,1>)

c) [2,9] n (E <-°°,-3] u [3,6J) - <2,8J) d) (<-°°,5> u <6.12>) A {1,7}

Determinar los elementos de A y B sabiendo que A A B = {1,2,11,4,5}, CEB = {1,7,4},

Ce A = {2,3,5,7}, E = {1,2,3,4,5,6,7,8}

En las siguientes proposiciones dadas indicar cuáles son verdaderas o falsas y justificar su

respuestas.

a) {x,y,z} = {z.x.y} b) {x,x,x} = {x} C) {<bl =<t>

d) {{x,y}} c {z,{x,y},w} e) {x,yj e Ix,{x,y}j f) lx,y) c {x,{x,y}}

g) {x,y} c {z,{x,y},y} h) {x,y] <= {z,[x,y},w} i) {x,y,z| = {y,x w,x,z}

j) a<= {a} k) {a} <= {{a}} e> {a}e {{a}}

Dibujar el diagrama que aparece a continuación, tantas veces como sea necesario, para

representar, por sombreado, cada uno de los conjuntos que a continuación se indican.

a) A n B

e) C A n C B

i) A n C A

f) A - B

j) \ u G A

g) E (A n B)

I) A n ( B u C )

d) A o B

h) t ( A u B)

U) A u ( B n C )

Teo na de Conjuntos í 3 1

(36) Vet it icar mediante diagi irna de Venn - Euier que se cumple

a) \ u B = B u A bi A n B - B n A c) ( A n B ) n C ) = A n ( B n C )

d) l A u B ) u C - ^ J ( B u C ) ej A n ( B u C ) = ( A r B) j ( A n C )

O C A n C B = C ( A u B ) g) A - B = A n Í B h) ÜA u CB = C(A n B)

(37) Mostiar. utilizando diagrama de Venn -Eulei que se cumplen las siguientes propiedades:

a) ( A n B ) u C - f A u C ) n ( B u C ) b) (A u B) - C = (A - C) u (B - C)

c) (A n B) - C = (A - C) n (B - C) d) A c B o Í B c Ca

e) A c ( A u B ) f) B c ( A u B ) g) A n B c A h) AnBczB

(38) Simplificar las siguientes proposiciones:

a) A n (¡> b) A n U c) A u C A d) A — <)>

e) A u <D f) A u u g) A n C A h) G ;C A)

i) t ( A n U ) j) Cí a n<J» k) C (A 0 <J») 1) G (A ' 1 U)

Sea A = {<>,!,{!} }- Hallar PÍA)

© Si A = {<>, 1,{1}} Hallar P(A). P(PíAj)

(di) Sean lo> conjuntos siguientes A=( 1,2,3}, = (»e Z / x 2 - x — 6 = 0}, C={xe N / 2<x<6},

D = C - (A n B) De terminar el conjunto potencia de P(P(A)).

( 4 ^ Sea A = 1 1 , y B = { 2 ,{ 1 },{2 |.«[)J, calcular los elementos de.

a) A A B b) P(A n B)

(43) Sí A = {2,<}>}. Determinar los e'ementos de P(P(A))

(44) Dados los conjuntos A = (xe N / x * - 2 x 2 — 5.v + 6 = 0}, B = {.re N / 2 x 2 —7 v + 3 = 0}.

C = 12,3} sí D = (A - B) u C Hallar el número de elementos de P(D).


(\5) Demostrar que: a) A c B ^ A n M c B n M , VM

b) A c B =* M u A c M u B , VM

(4ó) Probar que: a) AczB o A n C B = (¡i b) C A 3 C B <=> C B n A = <J>

Muestre que: A n B = A => A c B

^ 8 ) Sean A, B c S entonces B c A <=> S - A c S - B .

(49) Sean A, B c S, entonces A = B <=> S - A = S - B .

Muestre que:

a) A c B c C o A u B = B n C b) (A - B ) n C = ( A n C ) - ( B n C )

c) ( A n C ) - B = ( A - B ) n ( C - B ) d) A n (B - C) = (A n B) - (A n C)

(51) Demostrar las siguientes propiedades:

a) A = ( A n B ) u ( A n t B ) b) A - (B - C ) = (A - B) u (A r> C)

c) A u (B - C) = (A u B) - (C - A) d) A n (B - C) = (A n B) - (A n C)

e) ( A u B ) - C = ( A - C ) u ( B - C ) f) A - (B u C) = (A - B) - C

g) (A n E B) u (B n E A) = (A u B) n E (A n B)

h) ( A u ( B ) n ( B n t A ) = ( A n B ) u t í A u B )

(52) Dados los conjuntos A y B, demostrar que:

a) S í A - B = ( | ) y B - A = <J» => A = B b) Sí A A B = <¡> = > A = B

(53) Demostrar que: [ A n B n C ] u [(A - B) - C] = [A - (B - C)] n [A - (C - B)]

i54) Demostrar que: A' AB'= AAB

(5?) Si A,B,C son conjuntos y C c A ' , entonces demostrar que: {[(C ufl)nA ]uC }nfi = Bn,C

(Só) Probar que: A - ( B r \ A ' ) = A


(£7) Demostiar que:

a) A'AB = A A c B b) M t z A y M c z B => M c A n B

c) A n B = <¡) <=> B n A ' —B d) A c B <=> A - B = (j>

e) A'r\B ( z { B - A ) ’ => B c A f) A = CXB => A A B = X

(58) Demostrar que: A n (B A C) = (A o B) A (A n C)

(59) Demostrar ñor definición que: P((A n B) u C) = P(A u C ) n P(B n C)

(60) Probar que sí B cz A, entonces:

a) A - B e P ( A - B ) b) B - A e P ( A - B )

(óí) En una encuesta realizada en un gnipo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que

estudiaban varios idiomas fueron las siguientes: Ruso 28, Ingles 30, Latín 42, Ruso e

Ingles 8, Ruso y Latín 10, Ingles y latín 5, los tres idiomas 3

a) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?

b) ¿Cuántos alumnos tenían al Latín como único idioma de estudio?

c) ¿Cuántos estudiantes aprendían Ruso o Ingles pero no Latín?

Rpta: a) 20 alumnos b) 30 alumnos c) 38 alumnos

(62) Un club deportivo tiene 48 Jugadores de fútbol, 25 de basket y 30 de béisbol, si el total de

jugadores en 68 y solo l de ellos figuran en los tres deportes:

a) ¿Cuántos figuran exactamente en un deporte?

b) ¿Cuántos figuran exactamente en dos deportes?

Rpta: a} 39 b) 23

(63) Entre los varones que llegaron en un avión internacional; 40 fueron peruanos y 60

comerciantes, de lo< peruanos el 75% tenían bigote y la rrrtad eran comerciantes; 5 de

cada 6 comerciantes tienen bigotes; de los peruano' con bigote la mitad eran

comerciantes. Hallar-


a) El número de peruanos y comerciantes con bigotes.

b) El número de peruanos o comerciantes con bigotes.

Rpta: a) 15 b) 65

Un club está constituido por 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 voley.

Además 6 figuras en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si x es el total de

personas que practican exactamente un deporte, y es el total de personas que practican

exactamente dos deportes. Hallar x - y. Rpta: 12

(65) De 120 personas de cierta universidad se obtuvo la información:

72 alumnos estudian el curso A.

64 alumnos estudian el curso B.

36 alumnos estudian el curso C.

12 alumnos estudian los tres cursos.

¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos cursos? RD ta: 28

(66) En el ensamblaje de autos de cierta planta, han resultado 120 unidades con fallas, los

fallas son de embrague, dirección y caja de cambios. Sabiendo que 68 fallan en el

embrague por lo menos, 32 en la dirección por lo menos 40 fallan solamente en el

embrague, 5 tienen fallas en embrague y dirección perú no en la caja de cambios, 17

tienen fallas en la dirección y caja de cambio pero no en el embrague.

a) ¿Cuántos autos les falla sólo la caja de cambios?

b) ¿Cuántos autos tienen fallas en la caja Je cambios por lo menos?

Rpta: a) 29 b) 69

67J De una encuesta a 58 personas sobre un producto en sus tres tipos se obtienen los

siguientes resultados- 10 usan solo el tipo A, 15 solo usan el tipo B, 12 sólo usan el tipo

C. 8 usan el tipo A y B. 5 usan el tipo B y C, 15 usan el tipo A y C. Rpta: 1


(68) ¿Cuántos de los 2000 alumnos ectán inscritos en matemática básica pero no en física I,

sabiendo que, 1050 e>tán inscritos en matemática basica. 750 en física 1, 650 en Básica y

matemática I, 350 en física I y Básica, 300 en matemática I y física I, 1150 en matemática

I, y 200 llevan las tres materias. Rpta: 700

,69) Una encuesta de 200 votantes, revelo la siguiente información conveniente a tres

candidatos A, B y C de un cierto partido que se presentaban a tres diferentes cargos:

28 a favor de A y B

98 a favor de A o B pero no a C

42 a favoi de B pero no de A o C

122 a favor de B o C pero no de A

64 a favor de C pero no \ o B

14 a favor de A y C pe/o no de B

¿Cuántos votantes estaban a favor?

a) De los tres candidatos b) ¿Solamente de une de los candidatos ?

Rpta: a) 8 b) 142

(70) De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de aritmética; 53 no llevan álgebra y

27 no llevan álgebra ni aritmética ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos9

Rpta: 48 llevan solo un curso

(71) Supóngase que Juan come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de

Enero (31 di'as). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas,

cuántas mañanas come solamente huevos? Rpta: 6

72) De 150 personas consultados sobre el deporte que practican manifestaron lo siguiente: 82 juegan fútbol, 54 juegan básquet, 50 solo juegan fútbol, 30 sólo juegan sólo básquet. además, el número de personas que juegan sólo básquet y tenis es la mitad de las que juegan sólo fútbol y tenis: el número de persona1, que juegan sólo fútbol y básquet es el triple de las que juegan los 3 deportes las personas que no practican ningún depone son tantos corno las que practican sólo tenii. Hallar:


a) El numero de personas que practican sólo dos deportes.

b) El número de personas que no practican ninguno de los tres deportes.

Rpta: a) 36 b) 17

(73) En una investigación efectuada a 370 personas, se determino que: 20 personas leensolamente la revista A, 40 personas leen solamente la revista B y C, 10 personas leensolamente la revista A y B Él número de personas que leen las revistas A. B y C es: eldoble de las que leen solamente la revista B, el cuádruplo de las que leen solamente la revista C y es 8 veces mayor de las que leen solamente las revistas A y C. Hallar él número de personas que leen:a) Solamente la revista B b) Solamente la revista C.

Rpta: a) 80 b) 40

^74) En la edición de un libro hay un resultado de 120 ejemplares con fallas, en el papel, fallasde Impresión, fallas en encuademación; si se sabe que 68 libros tienen la primera falla, por lo menos 32 tienen la segunda falla; por lo menos 40 libros tiene la primera falla solamente, 5 tienen la primera y segunda falla, pero no la tercera falla, 17 tienen la segunda y tercera, pero no la primera, 4 tienen las tres fallas, se pregunta:

a) ¿Cuántos libros tienen solamente la tercera falla?

b) « Cuántos libros tienen la tercera falla por lo menos ?

(75) En la biblioteca de un colegio se realizó una encuesta sobre los libros que más leen los

alumnos, obteniindosc los siguientes resultados:

350 alumnos leen los libros de letras

380 alumnos leen los libros de ciencias

350 alumnos leen los libros de artes

además, el número de alumnos que leen sólo asignaturas de artes es — de los que leen4

solo asignatura de ciencias, él número de alumnos sólo leen libros de letras es de los

que leen sólo libros de ciencias y letras.


El nonicro de alümnos que leen Iac tres asignaturas es — de los que leen sólo libros de4

artes y letras y ^ de los que leen sólo libros de artes y ciencias ¿cuántos alumnos leen

solamente los libros de ciencias?

Una agencia de turismo realiza una encuesta entre 5000 personas para ver las preferencias

en materia de viajes a Cuzco, Iquitos y Trujillo; 2400 personas desean viajar por lo menos

al Cuzco, 3000 por lo menos a Trujillo, 2100 por lo menos a Iquitos. 1000 a Trujillo y

Iquitos, 800 al Cuzco y a Iquitos, 1500 a Trujillo y el Cuzco y 500 están dispuestos a

realizar tres excursiones se preguntan:

a) ¿Cuántos indicaron que no realizaran ningún viaje?

b) ¿Cuántos no mostraron interés por el viaje a Iquuos?

c) ¿Cuántos desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea el Cuzco?

d) ¿Cuántos están dispuestos a realizar dos viajes diferentes?

e) ¿Cuántos viajarán al Cuzco si y sólo si no lo harían a Iquitos ni a Trujillo?

(77) En una encuesta realizada en una Universidad sobre las marcas de cigarros que gustan a

los estudiantes, se obtuvieron los siguientes resultados.

28 estudiantes consumen Premier.

22 estudiantes consumen Ducal.

25 estudiantes consumen Winston.

11 estudiantes consumen Premier y Ducal.

15 estudiantes consumen Premier y Winston.

14 estudiantes consumen Ducal y Winston.

8 estudiantes consumen, Premier, Ducal y Winston.

a) ¿Cuántos estudiantes prefieren los cigarrillos Premier o Ducal?

b) ¿Cuántos fueron los estudiantes encuestados?


y7 ^ En una encuesta tomada a 160 ahorristas sobre el destino de sus futuros prestamos severifico que 120, se comprarían casa y que 90 se comprarían auto. ¿Cuántos se disponían a comprar las dos cosas?.

(79) De un grupo de 120 personas, 45 no estudian ni trabajan; 30 estudian, 9 estudian ytrabajan. ^Cuántas personas trabajan solamente?

(§<^ Consideremos tres conjuntos A, B, C tales que Ac: C, Be: C, n(C) = 120, n(A o B) = 90,

n(A n B) = 30 y n(A) = n(B) + 30. Hallar:

a) n[(C- B) n A] b) n[(A u B ) - ( A n B ) ]

@ Si A es un conjunto de 8n elementos B es un conjunto de 5n elementos, y 2n - 1elementos comunes, hallar la suma de los números de elementos de: ( A n B ) n ( A - B) y ( A u B ) n ( A - B ) .

(82) Demostrar que: n([A A B) u C) = n(A) -i n(B) + n(C) - n(AnC)- n(B n C) - 2n(A n B)

+ 2n(A n B n C )

(83) Demostrar que: n([AAB]-C)=n(A)+ n(B) - n(AnC)- n(Br iC) - 2n(Ai‘'tB) + 2n(AnBnC)

(84) Si x el máximo número de elementos d e A u B u C y sea z el máximo número de

elementos de DnEnF, sí n(A)=9, n(B) = 7, n(C) = 10, n(D) = 4, n(E) = 2 y n(F) = 9.

Hallar x + z

(¿S' Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A o B) = 24, n(A - B) = 10, n(B - A) = 6, hallar5n(A) - 4n(B).

86J Si los conjuntos A y B son tales que: n(A o B) = 30, n(A - B) = 12 y n(B - A) = 10, hallar n(A) + n(B).

87) Se sabe que “U” es un conjunto universal: n(B) = 28, n(C) = 19, n(A n B) = 14,«(A’n B n C ) = 5, n (A nC ' ) = 12, « ( An B ' n C ) = 1, n(A n B n C) = 6, n(U) = 50.

calcular n [ |A u C |n f i l


(88) Si n( Al = 4, n(B) = 3 y n(A r , B) = 2, hallar la suma de niP(A) u P(B)] + n[P(A u B)]

(89) Dado el conjunto U y los subconjuntos A, B y C, se tiene los siguientes datos: n(U) = 44,n(A» = 21, n(B)=17, n(A n B) = 12, n (A n f in C ') = 3, n(A n B n C ) = 5 y

n(A u B u C ) = 6. Hallar n(C).

A es un conjunto de 8n elementos, B un conjunto de 5n elementos y tiene 2n - 1 elementos comunes Si n(A - B) - n(B - A) = 12 ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A n B?

© Si A es un conjunto de 8n elementos, B un conjunto de 5n elementos y nene 2n - 1elementos comunes, halla la suma de los números de elementos de: ( A n B ) n ( A - B ) y( A u B ) n ( A - B).

(92) Sean A y B conjuntos tales que n( A) = 6, n(B) = 3, n(A n Bj = 2. Hallar n[PíA A B)]

(93) Si n(P) = 15, n(Q> = 22, n(P u Q ) = 30, hallar n ( P n Q )

(94) Si n(A u B) = 14, n(A n B) = 6, halle n(A) + n(B).

(95) Si n(A) = 18, n(B) = 20, n(A n B ) = 4, calcular n[(A u B) n (A - B)]

96) Si n(M) = 7x, n(R) = 9x, n(M n R) = 5x + 3, además n(M u R) = 63, calcular n[(M u / ? ) u ( / ? n A / ' ) ]

97) M y N son dos conjuntos tales que: n(M u N) = 16, n(M n N) = 7, n(M) + 3 = n(N) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene N - M?

98) Si A = {2x/x e Z, 3 < x <9}, B = {3n/n e Z, 5 < n < 10}, calcule

n[(A n B)] + n[(A u B)]

99) Si A = {x € N / x es impar, x < 25}, B = {y / y e N. y<20} ¿cuántos elementos tiene

P(A A B)

ÍOO) Si A ={2,3,4,5.......... 50}, B = { 2n / n e Z, l < n < 3 0 } , calcule n[(A u B) - (A n B)]


CAPITULO III

3. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.-

3.1. íNTRODUCCIÓN.-

E1 sistema de los números reales que ahora conocemos, fue obtenido después de muchas

reflexiones por parte del hombre.

Desde el comienzo de nue ¡tra civilización, ya se conocían los número* enteros, positivos,

o sea 1, 2, 3,... Los números enteros tan grandes como 100,000 se utilizaban en Egipto en

épocas tempranas, como es 300 A.C.

La aritmética que desarrollaron los antiguos Egipcios y Babilonios con los números

enteros positivos mediante los cuáles podían efectuarse las operaciones de adición y

multiplicación, aunque la división no se desarrollo por completo.

En estos dichos pueblos usaron ciertas fracciones, es decir que los números racionales

también aparecieron en una temprana etapa de nuestra civilización (un numero racional es

cociente de dos enteros).

Los que tuvieron mas éxito en el desarrollo de la aritmética y el álgebra fueron los

babilonios, ellos tenían una notación para los números, muy superior al de los Egipcios,

esta notación, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es

60 en lugar 10, una buena notación es el pre - requisito para el desarrollo de los

matemáticos.

Sistema de Numeros Reales 141

Nuestro sistema decimal de los números llamados análogos fue crtado por los Hindúes e

introducido en Europa Occidental en el siglo XII mediante la traducción de textos Arabes.

Sin embargo, esta notación demoro demasiado en una aceptación generalizada, mucho

más tarde fue la aceptación de los números negativos, que se prolongo hasta finales del

siglo XVI se descartaba las raíces negativas de las ecuaciones.

En contradicción de la geometría que desarrollaron los Griegos solamente para su

satisfacción intelectual y en su modelo del sistema lógico, con el desarrollo del calculo,

los números irracionales tales como y¡3 , n, , tuvieron que sustentarse sobre una

fundamentación lógica, esto se logró en la ultima parte del siglo XIX,. Ahora tenemos un

sistema de axiomas, que describen completamente los números reales partiendo de estas

axiomas podemos deducir todas las propiedades de los números reales.

Esto es el método usado en la Geometría Euclideana, se acepta un cierto numero de

proposición a los que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esos

axiomas se prueban todas las Teoremas de la Geometría.

3-2. DEFINICIÓN.-

Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna;, y una relación de orden denotado por “<” y el axioma del supremo, es decir:

1° LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

+: R x R — > R

(a,b) ——» +(a,b) = a + b

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:

A Cerradura: V a , b e R => a + b e R

A¡ Conmutatividad: a + b = b + a , V a . b e R

A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R


• : R x R - — > R(a,b) ——> a.b

A3 Identidad aditiva: V a t R, 3 Oe R /a + 0 = 0 + a = a

\ Opuesto Aditivo: V a e R, 3 - a € R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0

2° LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:

M 0 Cerradura: V a, b e R => a.b e R

Ai, Conmutativa: a.b = b.a. Va , be R

M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R

Ai 3 Identidad Multiplicativa: V a e R , 3 1*0 , le R, tal que: 1.a = a

M 4 Inverso Multiplicativo: Va ^ O, 3 a~l e R, tal que: a.a~l =a~l .a = 1

3° RELACIÓN DE ORDEN:

O, Va , be R una y solamente una de las relaciones se cumple a a + c 0 entonces a.c < b.c

OBSERVACIÓN:

i) A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al numero a + b suma de a y b.

ii) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y b.

iii) El opuesto es único, así mismo el inverso es único.

Sistema de Números Reales 143

3.3. AXiOMA DE SUSTITUCiÓN.-

Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación.

3.4. AXIOMAS DISTRIBUTIVAS.-

a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda

b) (a + b).c = a.c + b.c, V a, b, c e R distributiva a derecha

3.5. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADICIÓN.-

Sí a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, c e R

Demostración

Io a = b. por hipótesis.

2° a + c = a + c, propiedad reflexiva.

3° a + c = b + c, Io, 2° y axioma 1.3

3.6. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPL1CACIÓN.-

Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R

Demostración

Io a = b por hipótesis.

2° a.c = a.c, propíedaa reflexiva.

3° a.c = b.c, 1°, 2° y axioma 1.3

3.7. TFOÊMÁDE CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN.-A S- —1------------------------------------------------------------ ---------------i-------------------------

Sean a,b,c e R ; S ía + c = b + c entonces a = b

Demostración

Io a + c = b + c. por hipótesis.

2° a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4

144 Eduardo Espinoza Ramo?

3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2

4° a + O = b + O, 3° axioma A4

5° a = b, 4° axioma A3

3.8. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN.-

Sean a,b,c e R; Sí a.c = b.c y c * 0, entonces a = b

Demostración

Io a.c = b.c, ... por hipótesis.

2° c * 0, ... por hipótesis

3° 3 — e R /(a .c ).— = (b.c). —, . . .2 o, Io y axiomac c c

4o a.(c.—) = b.(c.—), . . .3 o y axioma M 2c c

5° a . l=b . l , . . . 4o y axioma M 4

6° a = b, ... 5o y axioma M 3

3.9. SUSTRACCIÓN DE NUMEROS REALES.-

DEFINICIÓN.- Para cualquier números reales a,b g R. definiremos a la sustracción de números reales por:

a - b = a + (-b)

3.10. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES.-

DEFINICIÓN.- Para cualquier números reales a,b g R, donde b * 0, definiremos al cociente de números reales por:

Sistema Je Números Reales 145

3.11. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

©

©

©

Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a

Deir'oftración

1° a = a.l ... Por M 3

2° a + a = a.l + a.l ... 1 ° y axioma 1.4

3° a + a = a.(l+l) ... 2° y axioma 1.3.a

4° a + a = a.2 ... 3° y por M 3

5° a + a = 2a ... 4° y por M 3

Para cada número real a g R, demostrar que a.O = 0

Demostración

1° a.O = a.0 + 0 ... Por A3

2° a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1° y por A4

3° a.0 = (a.0 + a) + (-a) ... 2° y por A2

4° a.0 = (a.O + a.l) + (-a) ... 3o y por Ai3

5° a.O = a(0 + 1 ) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a

6° a.0 = a. 1 + (-a) ... 5o y por A3

7° a.O = a + (-a) ... 6° y por Mj

8o

OIIo03 ... 7° y por A4

Para cada número real a e R, demostrar que: -a = (-1 ).a

Demostración

Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-1 ).a, y -a son inversos aditivos de a por A4


Luego a + (-l)a = 1.a + (-l)a, ... poraxom al.3

a + (-l)a = (1 + (-l))a, ... por axioma 1.3.b.

a + (-l)a = 0.a, ... por Aa

a + (-1 )a = 0, ... por ejercicio 2.

-a = (-l)a

© Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a

Demostración

©

©

1° a + (-a) = 0 ... por A4

2° (-a) + (-(-a)) = 0 ... por Aj

3° (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... 1°, 2°

4° -(-a) = a ... 3° y por teorema

Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b

Demostración

1° (-a).(-b) = [(-l)a][(-l)b] ... por el ejercicio 3

2° (-a).(-bj = (-l)[a((-l )b)] 0

ro

3° í-a).(-b) = (-1)[(-1 >a].b ... 2° y Ai,, M 2

4° (-a).(-b} = (-l)[(-a)].b ... 3° y ejercicio3

5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2

6° (-a).(-b)=a.b ... 5° y ejercicio4

V a,b e R, demostrar que a.(-b) = -(a-b)

Demostración

1° a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3


©

©

2o a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1° y por M 2

3° a.(-b) = ((-l)a).b ... 2° y por M,

4o a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3° y por M 2

5° a.(-b) = -(a.b) ... 4° y ejercicio 3

6° -(a-b) = (-l)(a.b) ... Por el ejercicio 3

7o -(ab) = ((-l)a).b ... 6° y por M 2

8o -(ab) = (-a).b ... 1° y ejercicio3.

9o a(-b) = -(ab) = (-a).b

0000v-i

V a,b e R, demostrar que a.(b -- c) = a.b - a.c

Demostración

1° a (b - c) = a.(b + (-c)) definición de sustracción

2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 1° y axioma 1.3.a

3° a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2° ejercicio6

4° a.(b - c) = a.b - a.c ... 3° derinirión de sustracción

Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a - —a

Demostración

1° fl_ l = ( a _,).l

2° a~x = l.(a_1)

3° a~l ^ -

por M 3

Io y A/,

2° definición de división

148 Eduardo Esvinoza Ramos

( 9) V a,b e R, a.b * O, demostrar que (aJb) 1 = a 1 b 1

Demostración

Io (aJb).—— = 1(ab)

por M a

2o (aJb).(aJb)' = 1 Io y definición de división

3o ( a m a ~ ' b ) = (a).(a)"1 Xb).(b~x) ... por M 2

4o (ab).(a b ) = (a.—).(b.~) c b

3o, M 2 y definición de división.

6o (ab).(a~xb~x) = 1

4o y M a

de 5o

7° (ab).(ab)~l = (ab)(a~l b ~l )

8o (ab)~x = a~xb~l

... de 2o y 6°

... 7° y “orema 1.7

. a c a A + bx:10] Va,b,c,d€ R , b # 0 , d / 0 , demostrar que: —+ —= ----------b d bjd

mostración

Io — + — = ab 1 +cd 1 b d

por definición de división

2° l + ?- = (ab-x).(d.±-) + (cjd-xUb.\-) b d d b

1° y por M a

3o — H — = (ab x).{dj) i) + (cJd x).(bb ') ... 2° y definición por división.b d

Sistema de Números Reales K 9

b d3°, M 2

4° y ejercicio 9

6 — + — = (a.d+b.c).xbd,b d

... de 5° y axioma 1.3.b.

a c a A + b.c ... 6° y definición de divisiónb ' d bd

3.12. REPRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS REALES.-

Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una correspondencia, es decir:

Si sobre una recta se fija su origen una unidad, y un sentido positivo, entonces, a

cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a caaa número

real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto

de la recta se le llama abscisa del punto.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

NOTACIÓN PARA LOS CONJUNTOS DE NUMEROS.-

N: Conjunto de los números naturales

Z: Conjunto de los números enteros.

Q: Conjunto de los números racionales.

1: Conjunto de los números irracionales

R: Conjunto de los número, reales.

C: Conjunto de los números complejos.


CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Qracionales

' Z * = \ N = H-2- 0 \ n o = {0,1,2.....

Z enteros negativos

entero positivo

Decimales periódicos = 0.abc -999

Decimales periódico mixto = 0.abcde = .a^ct e99900

Decimales exactos = 0.abc = abeÍOÜO

Q = { - l a ,be Z, b * 0} b

l propios:: V2, >/3 , ...Irracionales • trascendentes = {e, n,...}

3.13. DESIGLALDADES.-

La correspondencia entre los números reales y los puntos de una re .na pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.

La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.

A B

El símbolo < se lee “Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:

>, que se lee ‘Es mayor que \

<, que se lee “Es menor o igual que’

>. que se iee “Es mayor o igual que”!

Sistema de h úmeros Reales 151

3.13.a DEFINICIÓN.-

i) Un número real “a" e s positivo sí, a > 0.

ii) Un número real “a" es negativo sí. a < 0.

3.13.b DEFINICIÓN.-

U amaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9.

V a.b.c e R., se tiene:

O, Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple: a = b v a b

0 2 Orden transitivo: s í a a < c

O, Orden de adición: s í a a + c 0 => a.c<b.c

En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:

3.14. AXIOMA DE LA RELACIÓN DE ORDEN.-

3.15. DEFINICIÓN.-

i) a b - a e s positivo. ii) a > b « a - b es positivo

iii) a a = b v a b <=> a > b v a = b

3.16. TEOREMA.-

V a,b,c,deR; Sí a < c A b < d <=> a + b < c + d

Demostración

1° a < c por hipótesis


3o b < d por hipótesis

4o b + c < c + d 3°y 0 3

5° a + b < c + d 2o, 4o y 0 2

3.17. TEOREMA.

Para a,b e R, si a -a > -b

Demostración

Io a 0 1° y definición 1.14 i.

3o (b - a) + (-b) > 0 + (-b) 2o y 0 3

4° -a + (b + (-b)) > -b 3°, A2 y A3

5o -a + 0 > -b 4o y A»

6° - a>-b 5o y A3

3.18. TEOREMA.-

Sí a, b, c e R, donde a a.c>b.c

Demostración

Io a 0 2o y definición l . 14.i)

4o - a.c < -b.c Io, 3°y 0 4 y ejercicio 6

5o a.c > b.c 4o y teorema 1.16


3.19. TEOREMA.-

Para a e R, a * 0 => a 2 > 0Demostración

1° a * 0 por hipótesis

2 a > 0 v a < 0 Io y Oj

3 si a > 0 => a.a > 0.a 2o y o4

4o O rj V o 3o y ejercicio 2

5o sí a < 0 => -a > 0 2o y definición 1.15i

6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o4

7o a ~ > 0 6°, ejercicio 2 y 5

3.20. TEOREMA.

Para a e R, a * 0 entonces a tiene el mismo signo que “a” es dec >:

i) Sí a > 0 => a 1 >0 ii) Sí a < 0 => a

Demostración

i) 1° a > 0 por hipótesis

-i

2° a 1 < O hipótesis auxiliar

3o a.fl_1< 0 1°, 2° y teorema 1.18

4° 1 < 0 3o y M 4 es absurdo

5o a~l > 0 , por 2o y 4o

6o Sí a > 0 => o“1 > 0 Io y 5o

■i) Su demostración es en forma similar.


3.21. TEOREMA.-

Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, sí a a ' 1 > b 1

Demostración

Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos:

i) a > 0 A b > 0 ii) a < Ü A b < 0

1° a 0 a b > 0 por hipótesis

3o a~l > 0 a b~l >0 2o, teorema 1.20

4o axi~] <bxj_1 3o y 1°; 0 4

5o (a.a~l )b~1 < ( b x f1 )b~l 3o y 4o; 0 4

6o (axi~l )b~l < (bJb~l )a_1 5o y m 2

7o 1 b~x <1 x T x 6o y M 4

8o „ - i b <a 7o y m 3

9o sí a a~l >b~l Ioy 8o

ii) Su demostración es en forma anular.

3.22. EJERCICIOS PESARKOLLADOS.-

© Si a > b > 0 , Demostrar que: a 2 >b2 , dondea.be R.

Demostración

Por hipótesis se tiene a > b > O => a > O a b > O

Como a > b => a + b > 2b > O => a + b > O

a > b => a - b > O

... (a)

...(P )


de (a) y (ß) se tiene: (a + b)(a - h) > 0.(a - b)

de donde a 2 - b 2 >0 => a 2 >b2 S i a > b > 0 => a 2 >b2

( 2 ) S í a . b>0 y a 2 > b 2 = > a > b

Demostración

Por hipótesis se tiene a 2 >b2 => a 1 —b2 > 0 de donde (a + b ) ( a - b ) > 0 ... (a)

como a > 0 a b > 0 => a + b > 0 , de donde —-— > 0 ... (|3)a + b

r, (a + bYa—b) , , ,de (a) y (p) se tiene ---------------- > 0 , de donde a - b > 0 entonces a > b.a + b

( ? ) S i b > a > 0 y c >0. Demostrar: ° + C > —w b + c b

Demostración

Como b > a > 0 => a . b>0 ... (1)

b > a y c > 0 => b.c > a.c ... (2)

en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados, a.b + b.c > a.b + a.c

. . . a+c ab.(a + c) > a ib + c) , de donde: ------> —b + c b

a c „ a+c c> —4 ) Si a,b,c,d > 0 y — > — Demostrarb d b+d d

Demostración

Como — , dondeb,d>0 => a.d >b.c ••• (1)b d

Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0

Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d


ü + c cd.(a + c) > c ib + a) de donde: ------ > —

b + d d

© Para a,b,c números reales. Der.iostrar que a 2 + b2 +c2 >ab + a.c + b.c

Demostración

V f l i e í , (a - b ) 2 >0

V a,ce R, (a — c)2 >0

Vfc.ce /?, ( ¿ - c ) 2 > 0

a2 +b2 —2ab >0 a 2 +c2 - 2 a c > 0 b2 +c2 —2b.c>0

2(a2 +b2 +c2) - 2 ( a b + a.c + b.c)>0

dedonde a2 +b2 +c2 >ab+a.c + b.c

© Va . be R * , demostrar que ^ -Job

Solución

Como a,b e R + => yfa- 'Jb e R

Sí 4a-y¡b e R => (yfa-yfb)2 > 0 , dedonde a + b-2yfa-Jb>0 => a + b>2y[ab

2

( 7) Demostrar que sí a < b. Entonces a < — a + a < a + b = > 2 a < a + b ••• (1)

a a + b a + b < 2 b ... (2)

a + bde (1) y (2) por transitividad se tiene: 2a < a + b < 2b a < —-— a.c + b.d. para a,b,c,d e R

Sisteme de Súmcros Reales 157

Demostración

V a.c e R, (a — c)2 >0 => a 2 +c2 >2a.c ...(1 )

V b.d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b 2 + d 2 >2b.d ...(2 )

sumando(l) y (2) se tiene: a 1 +b2 +c2 + d 2 > 2( a r + W )

2 > 2(o.c + b.d) 1 > o.c + b.d

Va,b,c,de R* y n e Z + , demostrar que: a 2n +b2" +c2n + d 2n >4(abca)n/2

Demostración

a,b e R+ => a" ,bn e ft+ ,pero a " - b " e R, entonces:

(an - b " ) 2 > 0 => a 2n +b2n >2a"bn ... (1)

c.d e R* => c" ,d" e /?+ , pero c n —d n e R, entonces:

( c " - d n)2 > 0 => c 2n+ d 2n >2cnd n ...(2 )

Sumando (1) y (2) se tiene: a 2n +b2n +c2n + d 2n >2(a"bn +c"d") ...(3 )

( y [ ^ b " - y í ^ d " ) 2 > 0 => anbn +cnd" >2yla"bncnd n ...(4 )

a2n + b2n +c2n+d2n> 4yjanbnc"dn

fl2" + ¿>2n + c 2" + ¿ 2n > 4(abcd)nl2

(ío) Si a + b + c = 1, donde a,b,c > 0. Demostrar que (1 — a)( 1 — b)(l - c) > 8abc

Demostración

Como a,b,c>0 => -Ja.-Jb,-Jc >0 entonces:


©

^ E R b + c>2\¡bc

Te e R => a + c> 2yfac

4b e R a+ b> 2yfab

(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc

Pero sí a + b + c = 11—a= b+ c1 —b = a + c l - c + a + b

Reemplazando (2) en (1) se tiene: (1 - a)( 1 - b)( 1 - c) > 8abc

Si a,b,c,d e R + , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd

Demostración

Como a,b,c,d e R + => ab>0, cd>0, ae>0, bd>0

De donde yfab — yfcd e R, y yfac — yfbd e R, entonces:

Uyfab-yfcd)2 >0

\(y¡ac-yfbd)2 > 0

multiplicando se tiene:

I ab + cd > 2y[abcd

[ac + bd > 2y¡abcd

(ab + cd)(ac + bd) > 4abcd

...(1 )

- (2)

a c , a a+c cSean a,b,c,d e R tal cue — < — , demostrar que: — < ------ < —b d b b+d d

Demosti ación

G. CComo < => a.d < b.c por que b,d e R + a.d < b.c, sumando a.b, a ambos

b dmiembros ad + ab < be + ab, factonzando

a(b + d) < b(a + c), de donde a a + c— <b b + d

(1 )

En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd,


Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde: a + c cb + d d

(2 )

/.X ,1 , a a + C a + C CDe (1) y (2) se tiene: — < ------ a ------ < —b b + d b+d d

De donde por transitividad se tiene: — < a + c < —b b + d d

13) Sí a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a 4 +b4 + c4 + d 4 >4abcd

Demostración

Como a.b,c.d e R => a 2,b 2,c 2, d 2 e R, además:

ía2 - b 2e R ^ (a2 - b 2)2 >0{c2 - d 2 e R (c2 —d 2)2 >0

de donde al efectuar se tiene: a4 +b4 >2a 2b 2 ... (1)

c4 + d 4 >2c2d 2 ...(2 )

Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene:

a4 +b4 +c4 + d 4 > 2(a2b2 +c2d 2) ...(3 )

Como ab, cd e R => ab - cd e R, entonces: (a b - c d )2 > 0 de donde

a 2b2 +czd 2 >2abcd => 2 ( o V +c2d 2) >4abcd ...(4 )

de (3) y (4) por transitividad se tiene: a4 +b4 +c4 + d 4 > AabcJ

14) Si a > 0, a e R, demostrar que: a + — >2a

Demostración

Como a > 0 = > \[a > 0, de donde -Ja — e R por lo tantova


(yfa — Lr)2 > 0 , desarrollando se tiene: a — 2 + — > 0 de donde a + — > 2 y¡a a a

j be ac ab ^Si a,b,c, e R , demostrar que: — + — + — >a+b+ca b e

Demostración

Por hipótesis se tiene que a.b.c > 0. entonces

— > 0 , —> 0 , —>0 entonces aplicando el ejercicio 14). b c c

r. • a b __b c . a c „Setiene: —+ — > 2 , — + — > 2 , — + — >2 b a c b c a

Ahora a (1) multiplicamos por c.a.b respectivamente.

ac be _— + — > 2 c b aab ac „ac „be „ab---- h — >2 a => 2----h 2----- h 2— > 2c + 2« + 2¿>c b b a e

ab be— + — >2¿> c a

„,bc ac ab„2(— + — + — ) > 2(o + fe + c) a b e

be ac ab— + — + — > a+b+c a b e

» a+b a b16) S i a>0 , b> 0 , demostrar que: -----:— - < ------ +a+b+l ¿+1 ¿7 + 1

Demostración

Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene:

o + l> l fc + l> l

a + b + l>b + 1 a+ b+ l> a + l

ahora invirtiendc cada una de las desigualdades: ---- ----< —*— y ----- ---- < ——a + b + \ b + 1 a + b + l a + 1


multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente.

a ^ a b ^ b------------- < -------- y ------------- < --------¿7 + ¿ +1 £> + 1 a + b + \ ¿7 + 1

Sumado estas dos desigualdades se tiene: a + b < a + ^¿7 + +1 £> + 1 ¿7 + 1

IT) Sia,be R, b * 0 , demostrar que: [—---------- — < - ^ -^ ¿7 +ab + b 3b

Demostración

b 3bCompletando cuadrado en a 2 +ab + b 2 setiene: ¿72 +ab + b2 = (¿7 + — )2 + -— ... (1)2 4

b bComo a,b e R => ¿7 + — e R, de donde (o+ -)2 >0

2 2

. 3 b2 . . b , 3 b2 3 b2 ...Sumando ---- setiene: (a + —) ' h-----------------------------------------------------------> --- ...(2 )4 2 4 4

Ahora de (1) y (2) se tiene.

2 3b2 1 4a"+ab + b > ---- como b * 0 invertimos —----------- - < ——4 a2+ab + b2 3 b2

b +1 118) Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: ----- < —¿7 ¿7

Demostración

Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembro^ se tiene,

a + b.a < a, de donde a,b + 1) < a ... (1)

Como a > 0 => > 0 , ahora multiplicamos a (1) pora~ a~

- A a(b + \) a . ¿ + 1 1Obtenicndose ---- — simpliticando .. —— < —


19) Si a >0 , b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: ofc < -

Demostración

Como a > 0, b > 0 => a - b e R, de donde:

(a-fe)2 >0 => a 2 -2afe + fe2 > 0 sumando4ab.

a 2 +2ab + b2 >4ab dedonde: (a + b)2 >4ab

pero como a + b = 1, se tiene 1 > 4ab, por lo tanto ab < —4

20) Si a > 0, b > 0, 3a * 5b, demostrar que: — + — > 25 fe 3 a

Demostración

Como 3a* 5b => 3 a - 5 b * 0 y 3 a - 5 b e R entonces (3a-5b)2 >0

Desarrollando se tiene: 9a 2 — 30ab + 25fe 2 >0

Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a2 + 25fe2 > 30ab multiplicando por

9a2+25b2 30ab . . . 3o 5fe

15 ab

de donde: 1— l- — >215ofe 15ofe 5 fe 3a


(T) Si a y b son números reales positivos, demostrar que- (— + — )(a + fe) > 4a h

© Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que: (— + — + — )(a + b + c)> 9si bt r*a b e

(S ) Si a,b,c,d son ni.rneros reales positivos, demostrar 1 1 1 1

que:


( 4) Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que: — + — > — + 3b a a"

V a e R, a * 0, demostrar que: a2 + > 6a~

© Si a,b,c e R + . demostrar que: (b + c)(a + c)(a + b) > 8abc

Si a,b e R, demostrar que: a i b + abi < a4 + b4

Si a,b,c e R, demostrai que: a 2 +b2 +c2 + 3> 2(a + b + c)

Si 0 < a < 1, demostrar que a 2 < a

(ío) Si a,b,c son números reales positivos y Demostrar que:a b e

d d + e + f f— < ---------— < —a a+b+c c

© Demostrar que sí a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces:(a + b + c)(a2 +b2 +c2)> 9abe

© s¡ a,b,c son números positivos y 110 iguales entre si. Demostrar que:(a + b + c)(a~l +b~l + c _l) >9

13) Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:a2 16ír „ „ ^ 8 o 32 b— ■ + — —+ 24> — + -----b2 a2 b a

14) Si a 2 +b2 - 1. Demostrar que: —y¡2 <a + b< -Jl

Sug. U- ; y ) 2 >0 => 2(a2 + y 2) > (* + y)2

15) Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: u /3 + b2n > c 2/3

, a b e16 ) Si a + b > o u , demostrar que: ----- + ------> ------" 1 + f l l + f c l + r


17) Si a,b,c > O, demostrar que: 3abe < a 3 + b3 + c 3

d 3c18) Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que: — >1------3c 4 d

19) Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que: > 2y¡b yja

(20) Si a,b,c e R, demostrar que: b 2c 2 +c2a 2 4 a 2b2 > abc(a + b + c)

21) Sea a + b = 2. donde a y b son números reales, demostrar que: a4 + b4 > 2

22) Si a 2 +b2 +c2 = 1 y x 2 + y 2 + z 2 =1, demostrar que: ax + by + c z < l

a b 1 1b a a b

24) Si 0 < a < l , demostrar que: a < a

que25) Si a,b>0, demostrar que: \[ab > -a + b

26) Si a > 0, b > 0, demostrar que: — > (° ~ -)3

27) Si a >0 , a * 1, demostrar que: o3 +-^- > o2 +-^- ' a' a~

28) S i a > 0 y b>0 , demostrar que: 4(o3 + fe3) > (a + fe)3

(29) Si a y b son números reales, demostrar que: yj(a + c)2 +(b + d)2 < yja2 +b2 + 4 c 2 + d 2

(30) Si a,b,c e R + , demostrar que: (a + b + c)3 >27abc

2 2 2 “*Si a.b.c y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab + cd)~ <(a +c )(b + d ~)


32) Si a,b e R. demostrar que: a4 +b4 > — (a + b)48

33) Si a > 0 y b > 0, demostrar que: (a + — )2 h(fc + — )2 > — + + )2a b 2 a+b

1 1 2534L) Si a > 0, b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: (a + — )2 +(b + — )2 > —

35) Si a,b.c,d e R. demostrar que: ac + bd < yj(a2 +b' )(c2 +d2)

(36) Si a.b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a4 + b4 > —8

81¿7) Si a.b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a4 +b4 > —

8

Si a.b.c.de R +, demostrar que: — (a + b + c + d)> yjabcd4

39) Si a¡ ,a 2 —,an , bl ,b2,...,b„eR tal que: a} + a2 +... + 0 2 = 1 ,b f + b2 + ... + b 2 = 1.

demostrar que: a¡b¡ + a2b2 + ... + arbn < 1

10 Demostrar que si - l < a < 0 entonces a 3 >a

41) Si - a > 0 y (a — b) > ( a + /?)' , entonces b >0

(42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: a2 +b2 - ~

(43) Si a >0, b > 0 => a3 + b3 > a 2b + ab2

r - \ _ i------------------ A'i + X*) + AS + . . . + X„ .44) Si A,, x 2.... x„ e R y si P = y x v \7...xn y a = —----- -—------------. demostrar que-

P < a.

® a b c a b+a+c cSi a,b.c.m,n.p e R / m > 0, n > 0. p > 0: — < — entonces: — < ------------ < —

m n p m m + n+ p p


. \ C¡t + ÍÍ-) + ...+ G46; Probar que si at < a2 <.. < an entonces a, < —-----=---------— < an

a3 - b 347} Demostrar que si 0 < a 4 1 abcd \ pa.a a,b,c,de R

^ 9 ) Si a,b,c > 0, demostrar que: 2 (a3 +b3 +c3)>bc{b + c) + ac(c + a) + ab(ci+b)

Demostrar que: a~b~ +b~c~ +a c~ > abc{a+b + c) V a,b,c e R

jc" 1V x e R y n par, demostrar que: —-----< —x +1 2

52J Demostrar que si r > 0 y a — + —^ b2 a2 a b

(54) Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:

2x 2 + y 2 +z2 + w2 > —(jty + jez + jrw'+yz + yu'+zwO

(55) Si a y b con números desiguales positivos demostrar que: a + b< — + —b a

(ió) Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a+b + c)2 < 3(a2 +b2 + r2)

Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a +b )(a + b)> (a +b")

1 58 Si x.y son números distintos, demostrar que: ( jc4 + y * )(x2 + y2) > (jc3 + y3 )2

P ) Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xy/


^ , a - 2 b — 260 J Demostrar que: a (ax + by + cz)2

2) Demostrar que: 0 < d < c > d 2( c - d )

C4 ^3(63) S í 0 < d < c d i (c — d ) < ^ --------— <c2(c — d)

(64^ Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que:

a) xyz =1 x + y + z > 3

b) xyz =1 a x + y + z = 3 <=> x = y = z = 1

© Demostrar que: x>0 , y>0 , z > 0 ==> — + — + — >3 (sug: = 1 y ejercicio 64)y z x y z x

6fi) Demostrar para todo a y b real Ifab < — = ija2 + 1

67) Si x e y e R, demuestre que: |x | + | y | > | x + y|

68) Si a1,a'2,...,a„ € R+ tal que a,.a2 ...xn = 1 . Entonces a, + x 2 + ... + x n > 1

(69) Si a,b € R, demostrar que: (a+b) ' < 8(o4 + b4)

70) Si a > 0. probar que: —= > a +1VA2 + G

7 l) Si a.b.c e R + ,y si a ’ +b2 +c2 = 8 , demostrar que: a + b 1 +c3 > 16

72) Si a > 0, b >0, demostrar que: + +b2) >4a~ b

I


73) Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces — ■■— > yjabe

Sí V a,be R tal que a > 0 Ab>Ü y a < x 2 n

76 Si a,be R +, Demostrar que (a2 +b2)(a + b)2 >&a2b2

1 1 1 , 1 1 l- + - + - ) - — + - J + ~ a b e a~ b c~

'J2) Si a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ — + —)‘ = — + — + —

78) Si a,be R + , Demostrar que -V + r -a‘ b‘ (a + b y

3.24. INECUACIONES.-

3.24.1 DEFINICIÓN.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o máscantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica

para determinados valores de la incógnita o incógnitas.

Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.

3.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales quesirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos

intervalos sé representan gráficamente en la recta numérica real.

Consideremos los siguientes tipos de intervalos:

a) Intervalo cerrado.- a < b—t ------------------------ ]--►

[a,b] = { x e R / a < x 

b) Intervalo abierto.- a < b--------------- i0-

<a,b> = {x e R / a < x < b} a b

I


c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.

[a,b> = { x e R / a < x < b}

d) Intervalo abierto en a y cerrado en b.-

<a,b] = {xe R / a < x < b}

e) Intervalo infínitos.-

[a,+<*» = {xe R / x > a]

<a,+<*» = {xe R / x > a }

-4-

«— e -

<-<*>,b] = {xe R / x = {x g R / x , a> u <a,+°°> = (x e R / x * a}

Nota.- (T ) Sí x 6 fa,b] <=> a < x 2x + 3 € [7,11]

Por lo tanto, s i x e [2,4] 2x + 3 e [7,11]


© Sí x e :a,b> <■=> a < x x e <1,5>

Solución

2x - 6 e <-4,4> -4 < 2x 6 < 4. sumando 6

2 < 2x < 10 dividiendo entre 2

1 < x < 5 , entonces x e <1,5>

Por lo tanto, sí 2 x - 6 e <-4,4> xe<1.5>

3.25. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN.-

Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.

3.26. RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN.-

E1 resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución: es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

3.27. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO EN UNA INCÓGNITA.-

Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:

ax + b > 0 o ax + b < 0 o ax + b > 0 o ax + b < 0, a * 0

Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces:

b , bx > — o a

x< — a

Su representación gráfica es

e_ba

xó

xe_ba


Luego la solución es dado en la forma: x e < — ,+°o> ó x e <-«>,— >a a

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.

(T ) 3x - 4 < x + 6Solución

Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la forma-

En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:

3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e <-°°,5>

© * La solución es: x e <-°°,5>5

© 3(x - 4 ) + 4x < 7x + 2Solución

Poniendo en un sólo miembro la incógnita y en el otro miembro los números:

3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12 simplificando 0 < 14

esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el conjunto de todos los números reales (x e R).

© 5x - 4(x + 5) < x - 24Solución

En forma analoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y en el otro miembro los números: 5x - 4x - x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4

Como la desigualdad obtenida no es conecta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacio (<|>).

( 4 ) 2 < 5 -3x < 11Solución

Aplicando la propiedad de transitividad: a a 2 < 5 - 3 x a 5 - 3 x < 1 1

<=> 3 x < 5 - 2 a 5 - 1 1 < 3 x

<=> x < 1 a -2 < x ^---------- ©-

-2La solución es: x e < -2 ,l] __

3.28. INECUACION DE SEGUNDO GRADO EN UNA INCOGNITA*-

Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:

ax* +bx + c > 0 ó ax + bx+c< 0 , a * 0

donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de ¡as raíces del

trinomio ax2 + bx + c = 0 .

a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.

Consideremos el trinomio de segundo grado

ax2 -b\ + c = 0 , con a > 0

al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan tres casos:

1" Caso.- Si A = b 2 - 4 ac > 0, entonces hay dos valores reales diferentes r, < r2

que anulan al trinomio ax2 + bx + c = 0 .

Es decir: a(x— r, )(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta:

i) Cuando x toma valores menores que r , , los factores O - ^ ) y ( x - r 2) son

negativos, luego el trinomio ax2 +bx + c , tiene el mismo signo del coeficiente de “a'\

ii) Cupndo x toma valores intermedio entre r, y r2 ; entonces el factor (a —r,) es

positivo y el factor (x - r 2) es negativo, luego el trinomio ax2 +bx + c , tiene

signo opuesto del coeticiente de “a”.


iii) Cuando x toma valores mayores que r2, entonces los factores (x — r¡),

(x —r2) son positivos, luego el trinomio a x ’ -rbx + c , tiene el mismo signo

del coeficiente de “a”.

2° Caso.- Si A = ¿>2 — 4ac = 0 , entonces hay un sólo valor real r ,= r 2 = r ,q u e

anulan el trinomio ax2 +bx + c , luego como (x — r)2 es positivo, el

signo del trinomio ax2 +bx + c es el mismo del coeficiente de “a”.

3o Caso.- Si A= b~ - 4ac < 0, entonces se tiene dos valores no reales

r, = a + y r2 ~ a ~ ( í i que anulan el trinomio ax2 +bx + c , y para

cualquier valor de x, el trinom.o' ax i-bx+c tiene el mismo signo del coeficiente de ‘a”.

NOTA.- Sí ax1 bx + c — 0 entonces x =-b±\¡b —4 ac

2 a

b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.-

Tara resolver una inecuación cuadrática de las formas ax2 +bx+c>0 ó

ax2 +bx + c < 0 , donde a,b,c e R, a * 0, por medio de la naturaleza de las raíces

primero se resuelve la ecuación ax2 +bx+c = 0 , y de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presenta tres ca.ios

Io Caso.- Si la ecuación ax2 +bx + c = 0 . tiene dos raíces reales diferentesr, < r,

r~

'1 ' 2

i) Si la inecuación es de la forma ax2 +bx + c> 0 , con a > 0, la solución es todos

los valores de x que pertenecen al intervalo < —=*>, r, > U < r2,+°° >

ii) Si la inecuación es de ¡a forma ax2 +bx + c< 0 con a > 0, la solución es todos

lo valores de x que pertenece al intervalo < r¡. r2 >.

174 Eduardo E¡,pinoza Ramos

2o Caso.- Si la ecuación cu1 +bx + c = 0 , tiene una raíz reai única r, =r2 = r .

-------- ------------x f---------- ---------

•«------------- 1----------0 ------------1------------►r

i) Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0 . con a > 0.

La solución es todos los valores de x * r, es decir: x e <-<*>,r> U <r,+°°>

ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0 , con a > 0.

No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el <|>

3o Caso.- Si la ecuación ax2 +bx + c = 0, tiene dos raíces no reales,

i) Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0 , con a > 0.

La solución es todos los valores reales de x.

ü) Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0 , con a > 0.

No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el <(>

RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.

Forma de la InecuaciónRaíces de la Ecuación

ax" +bx + c = 0Conjunto Solución

ax2 +bx + c> 0 , a > 0Raíces diferentes

r, < r2< —oo, r, > U < r2, + ° ° >

Raíz Real Unica r R -{ r)

Raíces no reales R

ax2 +bx + c < 0 , a > 0

Raíces diferentes

r, < r2< r , , r2 >

Raíz Real Unica <t>Raíces no reales 0


Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.

(7 ) 2x2 - x -1 0 > 0Solución

Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales:

a.b > 0 <=> (a > 0 a b > 0) v (a < 0 a b < 0)

2jc“ - jc- 10>0 => (x + 2)(2x - 5) > 0

(x + 2)(2x - 5) > 0 <=> (x + 2 > 0 a 2x - 5 > 0) v (x + 2 < 0 a 2x - 5 < 0)

<=> (x > -2 a x > 5/2) v (x < -2 a x < 5/2)

O— -OO-- •*-

•+--2 -2

--O —©— ►

52

La solución es: x e < —<»,-2 >U < — ,-h» >o

©

Otra forma de resolver esta inecuación, es por la naturaleza de sus raíces de la ecuación

■> 5 T2x~ - \ -10 = 0 , de donde r ,= - 2 , r2 = — , luego r¡<r2 y como 2x~ - j r - 1 0 > 0 .

de acuerdo al cuadro la solución es:

x e < -oo,—2 > U < —,+oo >2

x +8jc-65 <0

-Ö --2

Solución

_5_2

Usando propiedades de los números reales.

a 2 <b, b>0<=> —yfb < a < J b

completando cuadrados en x ~ + 8jt — 65 < 0, se tiene:

176 Eduardo Espinozp Ramos

x 2 + 8jc + 16< 65 + 16 => (x + 4)2 <81, aplicando la propiedad

(jc + 4>2 <81 <=> —J&l < x + 4 < J&1

<=> -9 < x + 4 < 9 <=> -1 3 < x < 5

La solución es x e <-13,5>

Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de

x 2 +8jc-65 = 0 , es decir: (x + 13)(x - 5) = 0 de donde /j = —13, r2 =5

de acuerdo al cuadro es: xe<-13,5> * ® *-1 3 5

x 2 +20jc + 100> 0Solución

Mediante propiedad de los números reales se tiene:

x 2 +20.í + 100>0 => (jc + 10)2 > 0 entonces:

V x g R; x*-10 , (jc + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x g R-{-10}

Ahora veremos de acuerdo a la natnraleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10,

multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es:

x g R - {-10}

3 9-<Ul

Solución

( 4) X2 + — .X H——— < 0 W 5 100

Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R . jc'^ O

o 3 9 3 ry 3luego ,v + —jc + ------ < 0 => (x + — r <0 pero (_v + —)2 > 0 , entonces no existe

5 100 10 10

ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir- <¡>.


i 3 9Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x + —x + ---- -- 0 ,5 100

3 i 3 9de donde r = -----de multiplicidad dos, pero 3e tiene que x~+ — .v + ------ < 0 y de10 5 100

acuerdo al cuadro la solución es: <¡>.

3.29. INECUACIONES POI I NÓMICAS.-

Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente:

P(x) = anx n + ... + aix + a{) > 0 ó P\x) = anx n +...+a1x + a 0 <0

donde a0,a i ,...,an son constantes y 0 , n e Z +

a) RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINÓMICAS.-

Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 o P(x) < 0, se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma

sencilla y rápida, considerando an > 0 .

Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio

P(x) = anx" +... + axx + a0 = 0 , y como éste polinomio es de grado n entonces tiene

n raíces, los cuáles pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.

I o CASO.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales

diferentes. Es decir: r, < r2 < ... < rn ] < rn

a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio

P(x) - 0, se alternan los signos “+” y empezando por as.gnar el signo (+)

al intervalo < r , “ > .

-------------- v /------------------\ /------------------ \ /------------------\ / ;+ V ______ V!______±_____ V______ I______ V_____±--------^

r r r r............. ' n - 3 n -2 n -1 ' n


©

b) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx n +... + alx + a0 > 0 ,

an > 0 ; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le

ha asignado el signo

c) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx ” +... + a {x + a0 < 0 ,

an > 0 ; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le

ha asignado el signo

NOTA.- Explicar el método de Ruffini

Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes:

x5 +3x4 - 5 x 3 —I5x2 + 4jc +12 > 0

Solución

Expresamos el Io miembro de la inecuación en forma factorizada

(x + 3)(x + 2)(x - 1 )(x + 1 )(x - 2) = 0

1 3 -5 -15 4 12 1 4 -1 -16 -12

1

1 4 -1 -16 -12 2 12 22 12

0 2

1 6 11 6-1 -5 -6

0 -1

1 5 6-2 -6

0 -2

1 3-3

0 -3

1 0

Luego las raíces son:

r¡ = -3 , r2 = - 2 , r3 = -1 ,

r4 =l , r5 = 2

-3 - 2 - 1 1 2Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+).

Es decir: x e <-3,-2> U < -l,l> U <2,+°o>


© 2jc3 - 3 jc2 — 1 <0Cc lución

Hallaremos las raíces de la ecuación 2x3 - 3 x 2 -1 l.v+ 6 = 0

2 - 3 - 1 1 6 -2-4 14 -6

Luego las raíces del polinomio son:

2 -7 3 0 36 -3

2 - 1 01

\ r ~\ r

-2 1/2 3

2 0 ¡I

Como la inecuación es de la fonna P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos

2o CASO.- Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de

a) Cuando el orden de la multiplicidad dr una de las raíces del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 10 caso.

b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1 ° caso.

Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes.

© (jc-1 )2(jc+2)(jc + 4) >0Solución

Resolviendo la ecuación (jc-1)2(jc + 2)(jc + 4) = 0, de donde r, = — 4 , r2 = - 2, y

r3 = l , de multiplicidad 2.

donde aparecen el signo (-). Es decir:

multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:


- — V /-----------\ /_±____

-4 -2 1Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: x e <-oo,-4> U <-2.+°°> - {1}

© (2jc + 1)(3 x — 2)3 (2jc - 5) < 0Solución

1 2Resolviendo la ecuación (2jc + l)(3x -2 )1 (2x -5 ) = 0 , de donde /j = — —, r2 = — de

multiplicidad 3, r3 = ~ ______ \ / ~ + \ / ~ - \ / ~ +_____ ^-1 /2 2 /3 5 /2

Como la inecuación es de la forma P»x) < 0, la solución es la unión de los intervalos1 2 5

donde aparecen el signo(-). Es decir: x e — > í / >

3o CASO.- Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones.

Q (x2 —7)(jc2 +16)(jc2 —16)(x2 +1)<0

solución

Resolviendo la ecuación: (x2 - 7 ) ( x 2 +16)(jc2 -16)(.v2 +1) = 0 , de donde

r, = - 4 , r2 = - y f i , r3 = ~Jl , r4 = 4 . r5 = -4 / , r6 = 4/ , r7 = i , r8 = - í

_ /--------- \ r ~ — \ /--------- \ / - - ----+__ v___ :___ ____±___ ________ v:___±____ p.

-4 - \ f l \ Í 7 4

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es de la unión de los intervalos

donde aparecen el signo (-), es decir: x e < -4 , - \ l > U < - J.4>


2 ) (1 + -í + a2)(2 — x - x 2 ) > 0

Solución

La inecuación la expresaremos así: (x2 + x + l)(x2 +x — 2)<0

ahora resolviendo la ecuación ( x2 +x + l)(x2 + x - 2 ) = 0 de donde: r, = - 2 , r2 =l ,

-1 + yfíi - 1 - y[3i --------\ /----------- \ /----------r3 = — 2— ’ ^ — r __________________________ + v______ %_____ v______±______►

-2 1Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalosdonde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1]

ZM. INECUACIONES FRACCIONAÄ1AS.-

Una inecuación fraccionaria en una incóenita es de la forma:

P W > 0 ó — < 0 , Q(x) * 0Gl*) Q(x)

donde P^x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.

Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:

P( jc) (-*0------> 0 o -------< 0 , son equivalentes a las inecuacionesQ(x) Q(x)

P(x).Q(x) > 0 ó P(x).Q(x) < 0 es decir: Sí Q(x) * 0 =* Q2 (x) > 0 , de donde se tiene:

Sí ^ > > 0 =* P{x):Q- . ^ 1 > o.Q2(x) => P(x).Q(x)> 0g w e w

<D

Sí ^ > < 0 Q(x)

2GW

<0.(2 (jc) =* P(x).Q(x)<0

Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes:

(x2 - l)(x + 3)(x-2)(x-5 )(x + l )

>0

182 Euuurdo Espinoza Ramos

©

Solución

. . , (x2 -1)(* + 3)(x-2) . . .La inecuación------------------------- > 0 , es equivalente a la siguiente inecuación.(x-5) (x + 7)

(x2 — 1)Cjc + 3)(jc — 2)(x — 5)(.r + 7 )> 0 , para x * -7 ,5

ahora ha'laremos, las raíces de la ecuación (jc2 - 1)(x + 3)(jc - 2)(x - 5)(x + 7) = 0 .

De donde r¡ = —7, r2 = -3 , = -1 , r4 = 1, r5 = 2 , r6 = 5, que son reales diferentes.

------- \ /-----------\ /---------- \ /---------- \ /---------- \ /---------- \ /----------____ ± y___ :___ y___ ±___^_____________±___y___ :___ v____±____

- 7 - 3 - 1 1 2 5

P(x)Como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos(?(*)

donde aparecen el signo (+) es decir: x e <-oo,-7> U <-3,-1 > U < 1,2> U <5,+«»

x - 2 jc+1------< ------x + 3 x

Solución

La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir:

x - 2 *+1 jí(*V- 2) - O + 1)(jc + 3)-------------- < 0 ----------------------------< 0 , de donde:jt + 3 x jc(jc + 3)

-6 jc- 3 2x + l---------- < 0 => -----------> 0, que es equivalente a:_v(jc + 3) jt(jc + 3)

(2x + l )(x + 3)x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación.

(2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = - 3 , r2 = , r3 = 0

------ \ /--------- \ /---------\ /------ - \i + \j - \/ + ^-3 -1/2 0

Como la inecuación es de la forma: (2x + 1 )(x + 3)x > 0,


©

la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir:

x g < -3 ,— > U < 0,+oo >2

x x - l 2x- +----- <■.V — 1 X .V + 1

Solución

jc jt—1 2xLa inecuación dada expresaremos en la forma: ----- + ---------------< 0

x —1 x JC+1

JT (jc +1) + (jc - 1)(jc - 1)(jc +1) - 2x 2 ( jc -1 )

(x-1)jc(jt + 1)

2x2 - x + l

< 0 , simplificando

u -l) jc (x + l)< 0 , que es equivalente a la inecuación.

(2.v2 -jc + I)(jc —1)jc( jc + 1 ) < 0 . para x * - l,0 ,l

ahora encontramos las raíces de (2jc - x + 1)(jc - 1)jc(jc +1) = 0 , de donde sus raíces son:

1 + -Jli l - - J l ir¡ = -1 , r2 = 0 , r3 = l , r4 = -------- , r5 = ---- -—

------- \ /— /----------\ r ~ ~^ \J + M ~ \J + ^

-1 0 1P(x)Como la inecuación es de la forma ------ < 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)

donde aparecen el signo (-), es decir: x e <-«>,-1> U <0, 1>

3.31. INECUACIONES EXPONENCIALES.-

Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma:

ü f,x) > a glx) v a fix) < a g(x)


©

©

donde f(x) y g(> ) son expresiones e n x ,a e f i + , a # l .

Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos:

1 ’ CASO.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el mismo sentido prefijado, es decir:

Si a ^ M > a s(x) <=> f(x)>g(x)

Si a f(x) < a g x) <=> f(x) < g(x)

2o CASO.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en sentido contrario al prefijado, es decir:

Si a f M > a e{x) f(x)<g(x)

Si < a g(x) <=> f(x)>g(x)

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones:

3/3(5.v+1)/3 < J 93U+l)/5Solución

5a+ 1 3 (t+ l) Sjt+1 6jt+6

La inecuación dada es equivalente a: 3 9 < 9 10 3 9 < 3 10

5jc +1 6jc + 6como a = 3 > 1 entonces ------- <r —-—-9 10

50jc + 10<54jc + 54 =* -44<4,v => x > -11 => x g <-11,+°°>

La solución es: x e <-11 ,+«>>

8Solución

La inecuación dada se puede escribir en la forma:

(*+ !)( .v -2 ),0.0128 ,3,-

(A 4l)(jr-2)

(0,2) x~3 > (—------) de donde: (0,2) 1-3 >(0,2)8

12 a—4


como a = 0.2 < 1, se tiene: 1)(* 2) < 1 2 -4 =* U +1 )(a~ 2) _ 12a. + 4 < 0jc- 3 x —3

IIjc2 - 3 9 j c + 14efectuando operaciones y simplificando tenemos: -------------------> 0 , esta inecuación esjc- 3

equivalente a: (IIjc2 - 3 9 . r + l4 ) (x - 3 ) > 0 para x * 3.

Ahora hallando las raíces de : (II jc2 -3 9 jc + 14)(.v —3) = 0 , de donde:

3 9 - > / 9 0 5 „ 3 9 + >/905r. = --------------------------, r, = 3 , r , = ----------------------------1 22 3 22

• \ / ~ — v /---------------- v /— -v + y v +39-V9Ö 5 3 3 9 + \Í 9 0 5

22 22P(x)Como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)

, , . . , , . . 39->/905 _ 39 + >/905donde aparece el signo (+) es decir: x 6 < ------------- , 3 > U < ------------- , +°° >22 22

3.32. INECUACIONES IRRACION ALES.-

Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma:

F(x.yjP2(x),lJP3(x).....!^P„(x))> 0 ó F(x,yjP2(x),; P}(x)..... y]P„(x))< 0

donde P2 (jc), P3 (jc),..., Pn (jc) son monomios o polinomios diferentes de cero.

Para que la solución de la inecuación sea válida debe resolverse antes lá condición Pt(jc) > 0, i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par. cuyo conjunto solución

constituirá el universo o dentro del cuál se resuelve la inecuación dada. Debe observarse

que quiere decir, (+^jP(x)) y si se desea la raíz negativa se escribirá

expresamente como ( -yjP(x)) ; es decir:

i) V P(x) > 0 , yjP(x) > 0 ii) yjP(x) = 0 <=> P(x) = 0


para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades:

© 0 £ x £ y » 0 < -> x < yfy © 0 < x < y « 0 <y/x<*Jÿ

0 < x < y <=> 0 < J x < -J y

© » Si n es un entero positivo par.

a¡ ) V P(x) > 0 ?JP(x) >0 <=> P(x) > 0

a2) !¡¡P(x) = 0 <=> P(x) = 0

a 3) ^P(x) < ?¡Q(x) « 0 < P(x) < Q(x)

ii) Si n es entero positivo impar.

¿i) yjP(x) > 0 « P(xJ > 0

b2) !¡]P(x) < 0 » P(x) < 0

h ) « P(x) < Q(a)

Las propiedades b¡), b2) indican que nJP(x) tienen el mismo signo que P(x) si n es

impar.

OBSERVACIÓN.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se calculan los universos relativos Ui,U2,...,Uk para cada radical

y el universo general será U = Í7, n í / 2 n . . . n t / t .

Daremoc algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las diversas formas de inecuaciones irracionales.

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones

0 y fJ+5>-2

Sistema de h meros Reales 187

Solución

Como y[x + 5 >—2 es válida para todo x tal que x e U : x + 5 > 0 => x >-5

=> U = [-5,+°o>, luego el conjunto solución es [-5,+°°>

@ ylx + 1 >0Solución

Como yJx + 7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 => x > -7 => U = [-7,+°°>

Además yJx + 7 > 0 « x + 7 > 0 => x e <-7,+°°>.

Luego el conjunto solución es x e |-7,+°°> A <-7,+°°> x e <-7,+°°>

@ J x ^ 5 < 0Soludon

Como -Jx—5 < 0 , el conjunto universal es x - 5 > 0 => x > 5 => U = [5,+°°> y como

0 < -Jx-5 < 0 » yjx- 5 = 0 => x-5 =0 => x = 5 e U, luego el conjunto solución es {5}.

(T ) y[x^S<0Solución

Como y fx -8 < 0 es absurdo entonces la solución es <¡>.

® y¡7+9>0Solución

Como -Jx + 9 > 0 es verdadero V x e U : x + 9 > 0 es decir U = [-9,+°°>, luego el

conjunto solución es x e [-9,+°°>.

© \l& -2x <yfl3Solución

El conjunto universal es 8 - 2x > 0 => x < 4 de donde U = <-<*>,4].

•s/8-2jc < -Jl3 » 8 - 2x < 13 => de donde Jte > . Luego el

conjunto solución es: U >= [— ,4 ]


© >/I+3 + > /4 ^ 7 > -3Solución

Calculando los universos relativos.

t / ,: x + 3 > 0 => x > -3 => x e [-3,+°°>

U2: 4 - x > 0 => x < 4 => x e <-°°,4]

U =Uxn U 2 = [-3,+oo > n < —oo,4] = [-3,4]

como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo.

\lx + 3 + \ j 4 - x > —3 es valido V x e U = [-3,4].

(5 ) -Jx — 7 >3Solución

Sea U: x - 7 > O => x > 7 = > x e [7,+oo>

■Jx-1 >3 <=> x - 7 > 9 => x > 16 => x e <16,+°°>

el conjunto solución es x e U n <16,+°°> = <16,+°°>

Solución

- tJx - 5 > O <=> \ l x - 5 < O el conjunto solución es <|).

y f? - x -1 2 < yjx2 —6x + 5Solución

Calculando los universos relativos.

U. : x 2 —x — 12 > O => (x -4 )(x + 3) > O ------- \ / ---------- \ / ----------______± ___ V_____:_____V_____± ___

U, =< — ,-3] U [4,+°° >

í /2 : x 2 - 6 x + 5 > 0 => ( x - 5 ) ( x - 1 ) > O ---- \ /---------- \ /-------± __ sL * ----- ------- ►

l¡2 -00,1] U [5,+°° > 1 5


U — Ux nC /2 = < — 3] U [5,+«=>

4 x 2 — x -1 2 <y]x2 - 6 x + 5 » x 2 —x —12 < x 2 - 6 jc + 5

de donde 5x<17 => x< — => i e < ■« —15 5

Luego el conjunto solución es: jce U a < —° ° ,^ - ] = < —«»,—3]

ylx2 - 4 (jc- 2)2(jc3 -13jc + 12) >(jc + 4 )3 ( jc3 + 8jc2 + 4jc - 48)

Solución

Como y j x 2 - 4 tiene el mismo signo que jc2 —4 y (jc + 4)3 tiene el mismo signo que

x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente.

-n/jc2 - 4 ( jc - 2 )2 (jc3 -1 3jc +12) ^ Q ^ (jc2 - 4 ) ( jc- 2 ) 2(jc3 -1 3 jc + 12)

( jc + 4)3 ( jc3 + 8jc2 + 4jc — 48) ~~ (jc + 4 )(x3 + 8jc2 + 4jc - 48)

Como V x e R, (jc- 2 ) 2 > 0 entonces

( x 2 - 4 ) ( x - 2 ) V - 1 3 j c + 12) ^ ( x 2 - 4 ) ( x 3 - I 3 x + 1 2 )

(jc + 4 )(jc3 + 8jc2 + 4jc - 48) (jc + 4)(jc3 + 8jc2 + 4jc - 48)

U + 2 X x - 2 X * - U x 2+*-12>¿ 0 ^ „(jc + 4)( jc - 2)(jc + 6)( jc + 4 )

U + 2 ) ( x - l ) U - 3 )

(x + 6)(x + 4)> O, para x * 2, - 4

-\ !----------\ /---------- \ /----------\ /----------\ /— “V + M M + M ___ y___ ±_-6 - 4 - 2 1 3

Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4> u [-2,1] u [3,+°°>


12) i%x + 9 (jc - 8)3 (jc3 - 27 )(jc2 - 1 4x + 48)

Solución

Los radicales pares nos da el universo U. 1 0 - x > 0 A x + 9 > 0 => x < 10 A x >-9

X e <-9,10] => U = <-9,10] (no se incluye el -9 por que anula al denominador)

como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:

y/x + 7(x + 2)4(x + 3)y/x2 —7x + 12 ffiO-jc' # I + 7 ( j c + 2 )4( jc+ 3 )^ /x2 - 7 x + 12yfx-T9(x-8)3(x3 — 2 7 ) ( jc2 — 1 4jc + 4 8 ) ~ ( j c - 8 ) 3(jc3 - 2 7 ) ( j c 2 - 1 4 j c + 4 8 )

como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales entonces:

(jc + 7)(jc + 2 ) 4 (jc + 3)(jc2 —7jc + 12) 4------—---------------------------------------- < 0 , como para todo x e R (jc + 2) >0(jc — 8) (jc—3)(jc + 3jc + 9 ) ( j c - 6 ) ( j c - 8 )

( j c + 7 ) ( x + 3 ) ( j r - 3 ) ( x - 4 ) . . . .---------------------------------< 0 , para x * 3, 8 simplificando tenemos(jc - 8) ( jc— 3)( jc - 6)( jc - 8)

_ 7--------- \ r - ~ ~ \ /--------- \ r ~ ~ ~(jc + 7 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) -------:-------*-------± --------------------- ----------< 0 , x * 3 ,8 - 7 - 3 4 6

x — 6

x e [-7,-3] u [4,6> luego el conjunto solución es: x e U n ([-7,-3] u [4,6>)

x e [-7,-3] u [4,6> u |-2)

ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.

Io Para las inecuaciones irracionales de las forma::

a) -JP(x) > Q(x) . La solución se obtiene así:

y¡PW>Q(x)<^ (P(x) > 0 A Lí?U)íí0 V (P(x) > 0 A P{x)>Q2(x))\)


b ) yfPix) > Q(x) ; la solución se obtiene así:

VPÜ) > Q{x) « [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(jc) > 0 A P(x) > Q2(x)])]

2° Para las inecuaciones irracionales de las formas:

a) 'JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así:

yfPOÓ < Q(x) « [(/>(*) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2 (jc))]

b ) -JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así:

JP(¿) < Q(x) » P{x) > 0 A [0(x) > 0 A P{x) < Q2 (*)]

3o Para las inecuaciones irracionales de la forma:

a) JP(x) + tJQ(x) > 0 ; La solución se obtiene así:

JP(x) + y]Q(x) > 0 => (P(x) > 0 A Q(x) > 0) V (P(x)>0 A Q(x)>0)

b ) tJP(x) + y¡Q(x) > 0 ; La solución se obtiene así:

tJ P (x ) + ^JQ (x) > 0 = > P(x) > 0 A Q(x) > 0

4o Para la inecuación irracional de la forma:

y[P(x) + y¡Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así:

yJPOÓ + y ÍQ M > K => [ ( P ( x ) > 0 A Q ( x ) > 0 ) A P ( x ) > ( k - ^ Q Ü j ) 2]

5° Para las inecuaciones irracionales de la forma:

yjP(x) + y¡Q(x) < 0; La solución se obtiene así:

J p ( x j + J Q M < 0 => P(x) = 0 A Q(x) = 0

OBSERVACIÓN.-

Consideremos otros casos más generales.


l c Caso.- Si n es impar positivo mayor que une

w ® > 0 w w w > 0R{ x) R x )

b) < 0 <=> P{x) <0R(x)qQ(x) R(x)Q(x)

c) H¡P(x) < zIq ÓÓ « P(x) < Q(x)

2° Caso.- Si n es par positivo

a) ?]P(x)Q(x) > 0 <=> P(x) > 0 A Q (x)>0

b) ?]P(x)Q(x) < 0 <=> P(x) > 0 A Q(x) < 0

c) - P{X- -----> 0 « Q(x) > 0 A ^ > > 0yJQ(x)R(x) R(x)

d) P(JC)----< 0 <=> Q(x) > 0 A¡}jQ(x)R( x) R(x)

e) !¡fP(S) > Q(x) <=> (P(x) > 0 A IQ(x) < 0 V (Q(x) > 0 A P(x) > Qn (x))]

f) ¡ifP(¿) < Q(x) <=> P{x) > 0 A [Q{x) > 0) A P(x) < Qn (jc)]

Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones

( ? ) six2 — 1 4jc + 13 > x —3Solución

yjx2 -14x + 13 > x —3 <=> x 2 — 14x + 13 >0 A [ x -3 < 0 V

(x2 — 14x+13 >0 A x 2 -14x + 13> (x —3)2)]

•> -> 1 <=> jT-14jc + 13>0 a [x <3 v (jT — 14 jc -»-13 > 0 a


? 1<=> x —14.v + 13>0 a [jc<3 v jce< —00,1] u [13,00 > a x < —]

2

? 1<=> x ~14x + 13>0 a [x<3 v x < -]2

«=> x 2 -14x + 13>0 A x<3

<=> (x-13)(x-1)>0 A x£3

<=> x € <-oo,l] u [13,+oo> A x < 3 x e <-oo,l]

@ >/jc2 — 14 x + 13 < jc + 1

Solución

Aplicando la parte b) del Io caso:

Vjc2 — 1 4 jc + 13 < jc + 1 <=>(x2 — 1 4 x + 1 3 > 0 A [jc + 1 >0) A (jc2 —14jc + 13< (jc + 1)2 ])

<=> ((x —13)ix-l, >0 A [x > —1) A ((x —13)(x-l) < (x + 1)2])

3<=> ((x -13)(x —1) >0 a [x > -1) a x > —]

4

3<=> x e <-1,1] u [l3,+oo> A x > — ]

4

3«=> x e < —,1] u[13,+oo>4

Soluti'

Aplicando la parte b), del 3o caso: -JP(x) + JQ(x) > O <=> P(x) > O A Q(x) > O


<=> (x - 4)(x - 1) > O, x * 1 A ( 5 - x)(x + 3) > O, x * 3

<=> (x - 4)(x - 1) > O, x * 1 A (x - 5)(x + 3) < 0. x * -3

-----\ /-----------v /--------- ------- \ /-----------\ /-------_±__ _____:___ y___ ±___ w a ____ ±__ _____:___ v__ ±___ ►

-3

x e <-oo,l> U [4,°°> A x e <-3,5]

- O #■- e ----------------------------© -

-3 1 4 5O --------------------------------------------------------------- ■#

La solución es: x e <-3,l> U [4,5]

OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo impar, entonces:

Q ) V W S l / G M » P(x)SQ(x> ( i ) I’J P M d l O U ) o P(x)<Q(x)

© ¡ifñx) > ^fQ(x) <=> P(x) > Q^x) © <j/jP(jc) > <(/£>(*) <=> P(x) > Q(x)

>J3 — JtEjemplo,- Resolver la inecuación __ =-------- > O

Solución

El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de

cero: x 2 -1 > 0 , dé donde x 2 > 1 =5 x > l v x < - l x e <-00,-l> u <l,+oo>

luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación

yfx + 5> O, que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el

mismo signojc + 5 x + 5 _g

x e <-5,3>


Luego la solución de la inecuación es: x e <-5,3> o (<-°°,-l> u <l,+°°>)

x e <-5,-l> u <1,3>

Ejemplo.- Resolver la inecuación si¡x2 - 9 .U 3 +8jc2 + 4x — 48) ^ (jt + 4)5 (jt3 —13x + 12)

Solución

De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ylx2 —9 tiene el mismo signo que

x 2 —9 y que (jt + 4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada

resulta equivalente a la inecuación:

—— 9)(x +8x +4x—48) ^ q factorizando el numerador y el de nominador (jr + 4)(x — 13jc + 12)

(x + 3 )(x -3 )(x -2 )U + 6)U + 4) (x + 3)(x - 2)(x + 6)(x + 4) ^ Q ^ ^(x + 4)( x - 1)( x + 4)( x - 3) (jc + 4)2 (x - 1)

------ \ /---------\ /---------\ /---------\ /-------- \ /— - -(a + 3)U-2)(jc + 6)(jc + 4) ^ — I--- tí---------- ±--tí------«------------± =---------- tí--------- ---------- ----------

x _ l “ U -6 -4 -3 1 2

x u [-6,-4] u [-3,l> u [2,+°°> - {3}

OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo par, entonces:

@ t f ñ x ) < y]Q{x) « 0 < P(x) < Q(x) ( 2 ) t fPÜ) < !^Q(x) <=> 0 <P(x)< Q(x)

Ejemplo.- > \fx

Solución

Aplicando la observación a) se tiene:

V x +— 2x 32 —2jc<=> 0 < x < -

2 x + 2

32 —2x<=> x > 0 a x < :

x + 2

1% Eduardo Espinoza Ramos

« X > O A A--32 2* < 0x + 2

X > O Ax + 4 x —32

x + 2

(a + 8)(a-4)

x + 2

<=> x > O a x e <-<*>,-8] u <-2,4]

<0

<=> x > 0 <0------ \ r ■-±— 8—

—\ r - - — tí— —

-8 -2

x e [0.4]

3 J 3. EJERCICIOS DESARROLI A DOS.-

Resolver la inecuación cuadrática: - 4x ~ + 4a + 3 > 0

Solución

La inecuación dada expresaremos en la forma: 4a 2 — 4x — 3 < 0

factorizando (2x + l)(2x - 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales:

(2x + l)(2x - 3) < 0 <=> (2x + 1 > 0 A 2x - 3 < 0) V (2x + 1 < 0 a 2x - 3 > 0)

1 3 1 3<=> ( x> — A x < — ) V ( a < — A a > —)2 2 2 2

o--o

V— o o -------

- \ ------- ►- 1'2 3/2 -1/2 3/2

1 3La solución es: x e < — ,—> ? o

Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces la ecuación 4a " - 4a - 3 = 0 , de

donde r. = - —, r-, = — i v :-1 /2 3 /2

Como la inecuación es de la forma 4a 2-4 a -3<0, la solución es la unión de los

intenalos donde aparece el signo {-), es decir: 1 3x e < — —:2 2

Sistemo de Numeros Reales 197

©

©

A-5 + 8.V4 +1 2a-3 - x 2 - 8a— 12 > OSolución

Aplicaremos el criterio de las naces de la ecuación: x' 4-8jc4 +12jc3 - a 2 -8 jc-12 = 0

La ecuación que queda es:

jc2 + jc +1 = 0 , cuyas raíces

-l±y¡3i

1 8 12 -1 -8 -12 11 9 21 20 12

1 9 21 20 12 0 -2-2 -14 -14 -12

1 7 7 6 0 -6-6 -6 -6

1 1 1 0

son: r = -

Luego las raíces reales son: r, = —6 , r2 = —2 , r3 = 1

--------\ /-----------\ /---------- \ /“___:___ i¿___ ±___ )¿____ v__

-6 -2 1

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0. la solución es la unión de los intervalos

x e <-6, -2> u < 1 ,+«>donde aparece el signo (+), es decir:

1 2jc4 - 56a 3 + 89jc2 - 56* +12 < 0

Solución

Encontrando las raíces de la ecuación

12a 4 -5 6 jc3 +89jc2 -5 6 t + 12 = 0 dividiendo entrex 2

12 a2-5 6 a + 8 9 -— + - = 0 => 12(jc2+ 4 t)-5 6 (jc + - ) + 89 = 0 X x ~ x ~ X

Sea z = a + - => z2 = a 2 + 4 t + 2 ^ x 2 + Ar = z2 - 2

..(1 )

Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:

12(z2 - 2 ) - 56z + 89 = 0 , entonces: 12z2 -56z + 65 = 0 => (6z-13)(2z-5) = 0


de donde z = — , z = —6 2

13 1 13 3 2para z = — => x + - = — => 6jc 2 -13* + 6 = 0 , de donde rl = — , r2 = —6 x 6 2 3

para z = — => x + — = — => 2jc2 — 5jc + 2 = 0 , de donde r, = —, r¿ =22 x 2 2

ordenando las raíces en la recta numérica

- - - \ /--------- \ / - - - - \ /----------v '_ - r -+ \/ - \/ + \/ - y +1/2 2/3 3/2 2

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos

donde aparece el signo (-), es decir- 1 2 3X € > u < —,2 >

2 3 2

© x(2x + l)(x — 2)(2x - 3) > 63Solución

Hallaremos las raíces de la ecuación:

x(2x + 1 )(x - 2)(2x - 3) - 63 = 0, entonces x(2x - 3)(2x + 1 )(x - 2) - 63 = 0

(2jc2 - 3jc)(2jc2 - 3x- 2 ) - 6 3 = 0

Sea z = 2x2 -3>x => z (z -2 )-6 3 = 0

z2 - 2 z - 6 3 = 0 => (z-9 )(z + 7) = 0 , de donde z = 9, z = -7, entoncev

•> 3Para z = 9 => 9= 2x - 3 x => 2x — 3 j; — 9 = 0 , de donde: r. = — , r2 = 32

, 3± 47 iPara z = -7 => - 1 = 2x - 3 x => 2x -3jc+7 = 0 , de donde: r =

— \ /---------- \ r ~ ~+ M ~ V +

-3 '2


©

Como la inecuación es de la fom.a P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

uonde aparecen el signo (+), es decir:2

x jc —3

1 - j c - 2 - j cSolución

La inecuación dada se escribe en la forma:

x Jt-3

1 — JT 2-JC< 0 jc(2 - jc) - (x - 3 )(1 - jc)

(1-XK2-JC)< 0 , simplificando

-2 A-+ 3 (1 - j c ) ( 2 - j c )

<0 2 a - 3

(a -1 )(a -2 )> 0 , entonces la inecuación

2 a- 3 > 0 , es equivalente a la inecuación( j c - 1) ( j c - 2 )

(2x - 3)(x - l)(x - 2) > 0 para x * 1,2 encontrando las raíces de la ecuación

(2x - 3)(x - l)(x - 2) = 0, se tiene: r, = 1, r2 = , r3 = 2

\ /---------\ r~M + V__

-\ /------__ ±_

3 /2

P ( v)como la inecuación es de la forma > 0 , la solución es la unión de los intervalos

Qix)

donde aparecen el signo (+), es decir: jr e c l .—] u < 2,-H'o > 2

© x +

x - 2 jc + l <3 x

Solución

La inecuación dada se escribe en la forma:

200 Eduardo Espinoza R irnos

x - 2 x + l j:(j:-2)-(j:+ 1)(j: + 3)-------------- < 0 => —---------- ------ —----- - < 0 , simplificandojc + 3 x x(jc + 3)

—6jc — 3 2x+\ .. 2jc + 1 _ , ,--------- < 0 => ----------> 0. entonces la inecuación ---------- > 0 es equivalente a lajc(jc + 3) jc(jc + 3) x(x + 3)

inecuación (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahora encontraremos las raíces de la

ecuación: (2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = -3 , r2 = r3 = 0.

-------\ /----------\ /--------- \ /------__ :___v___ ±__ u.___ :___a__±__

-3 -1/2 0

Como la inecuación P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el

signo (+) es decir: x€ < -3 ,— > u < 0,+oo >2

x2 — 5x+6 >u

Sohiciói.W x + jc—42

x2 — 5jc + 6 ^ _ (x—2)(x-3) _ .—r---------------------------------------------------------------------------- >0 <=> -----> 0, esta inecuación es equivalente a:^ + * - 4 2 (a- + 7Xjc-6 )

(x-2)(x-3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x ^ -7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación,

(x - 2)(x - 3)(x + 7)(x - 6) = 0, donde r¡ = —1 , r2 = 2 , r3 = 3, r4 = 6 .

------- \ /----------\ /--------- \ y----------\ y---------__ + m___ :___ )¿___ ±_______ :___ u___ ±___

-7 2 3 6

P í a )Como la ecuación es de la forma ——- > 0 la solución es la unión de los intervalosQix)

donde aparecen el signo (+), es decir:

Solución

La inecuación dada escribiremos en la forma:

x3- x 2 - 2 2 x + 4 0 ^ 0 ^ -(x- 2)(x- 4-)(x + 5) jc(jc + 7) jc(jc + 7)

( x -2 ) (x -4 ) ( x + 5) .La inecuación ------- < 0 , es equivalente a:jc(jc+7)

(x - 2)(x - 4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * 7,0

ahora encontramos las raíces de la ecuación

(x - 2)(x - 4)(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = —7 , r2 = -5 , r3 = O, r4 = 2 , r5 = 4

-------\ /--------- \ /--------- \ /--------- \ /--------- \ /---------— :— tí------ ±— tí-----:— tí-----±— tí----------- :--tí-±—

-7 -5 0 2 4

P(x)Como la inecuación es de la rorma - < 0 , la solución es la unión de les intervalosQvx)


donde aparecen el signo (-), es decir:

24 —4jc— > u 15

Solución

x e <-<*>,-7> u [-5,0> u [2,4]

® 1+_ * z f ^ >0^ jc — 2jc — 15

i ■' j j u- i c x2 - t x + 9 (x - 3 ) 2La inecuación dada escribiremos en la forma: —-------------> 0 » ----------------> uJC2 -2JC-15 (jc-5 ) ( jc + 3)

2pero ( jc- 3 ) 2 > 0 , x 3, entonces: — — — — ---------------------------------------------------------------------------------------> 0 <=> ----------------- --------------------> 0 para x * 3H ( jc — 5)(jc + 3) ( jc— 5)(jc + 3)

----------------> 0 , x * -3, 5 <=> (x - 5)(x + 3) > 0, para x * -3, 5,( jc-5 ) ( jc + 3)

ahora encontraremos las raíces de (x - 5)(x + 3) = 0, de donde r, = — 3, r2 = 5

2 0 2 Eduardo Espinoza Ramos

---- \ r -_+_____

-\ /-------___ ±_

Como la inecuación es de la forma Pix)Q(x)

> 0 , la solución es la unión de los intervalos

donde aparecen el signo (+), es decir: x e <■ “v3 > vj <5,»>

3 jc + 5

2jc +1 <3

Solución

A la inecuación dada escribiremos en la forma:

3jc + 5 _ —3jc + 2 3jc — 2--------- 3 < 0 <=> ----------< 0 <=> -------->02x +1 2x +1 2jc +1

——— > 0 <=> (3 x -2 )(2 x + l) = > 0 , para x * —- 2jc+1 2

1 2ahora encontramos las raíces de: (3x - 2) (2x + 1) = 0, donde r, = —, r2 = —

------- \ r--------- \ r ~ ~ '+ v - v +

-1/2 2/3

P(x)Como la inecuación es de la forma ------> 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)

1 r2jce< —oo-— > u - , i-°° >2 3

jc+6


(2*2—8 a : + 8 ) ( a : + 3) > q

Solución

> 0 » — ' " v; " J ) > 0 , U - 2 ) ¿ > 0 , V x e R( 2 jc — 8 jc + 8 ) ( jc + 3 ) 2 ( í - 2 ) 2 ( jc + 3 ) _ , _ 2

jc + 6 jc+ 6

jc+ 3= > ---- - >0 <=> (x + 3)(x + 6) > 0, par* x * -6jc-t 6


Luego las raíces de (x + 3)(x + 6) = 0 son r, = - 6 , r-, = -3

------- \ /-----------\ /---------___ ±__ a___ :___ v +

-3P MComo la inecuación es de la forma ------> 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)

donde aparecen el signo (+), es decir: x e <-°o,-6> u [-3,+oo> o (2)

(1 - x - x ' ) ( 2 - x - x ) (3-a-)(2-jc)

>0

Solución

( 1 - jc- jc2) ( 2 - ^ - a2) (;T + * - 1 ) ( a-2 + .t- 2 ) ^• íi U O --------------------------- íi u( 3 - a) (2 - jc) (a- 3 ) u - 2 )

(.Y‘ + X - l ) ( jr + x - 2)> 0 <=> (x ; + jc-1 )(.v +.v -2 ) ( .t -3 ) ( a - 2 ) > 0 , para x * 2,3

U-3)(*-2)

ahora encontramos las raíces de: (x2 + a -1 ) ( jc2 + jc- 2 ) ( jc—3)(jc—2) = 0 , dé donde

r — -2 r — ^ r — ^+ r — \ r —2 r — 3ri - ¿ - r2 - 2 ’ 3 ~ 9 , r4 - i , r5 - ¿ . r6 - j

------- \ /---------- \ /----------\ /--------- \ /---------- \ /---------- V f ~ ~ ~ -+ \J ~ s / + \/ ~ \ / + \/ ~ V +

-2 -1 - \/5 -1 + \/5 1 2 32 2

JP(JC)Corno la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solucion es la unión de los intervalosQ(x)


íe < - o o , - 2 ] u [ - ^ ,— ] j [1,2>u <3,4~>

jf5 -1 x * -2a-4 +1 < -T4 + 2

204 Eduardo Espinjzft Ramos

Solución

V x e R, -t4 +1 > 0 , jc4 + 2 > 0 , entonces la inecuación dada se puede escribir en la

forma: (jc5 — 1)(jc4 + 2 )< ( jc5 -2 )(.t4 +1), efectuando operaciones y simplificando se

tiene: x 4 (jc +1) < 0 , luego encontrando las raíces de

jc4(jc + 1)= 0 setiene r, = —1, r2 = 0 , multiplicidad4.

-1punto critico de

multiplicidad par.

Como la inecuación ez de la forma p(x) < 0, la solución es:

(jc -2 a +4)(jc-1)

(2jc + 1)(jc + 4)<0

Soluciun

. , (a* - 2 x + 4)(x - l )La inecuación ----------------------- < 0 , es equivalente a:(2jc + 1)(jc + 4)

? 1(jc -2.x + 4)(jc-1)(2jc+1)(jc + 4)<0 , para x * - 4 , - —

ahora encontramos las raíces de la ecuación.

(jc2 -2 jc + 4)(jc-1)(2a + 1)(jc+4) = 0 , de donde.

r¡ = —4, r2 = — , r3 = 1, r4 = l + y/3i, r5 = 1 - \¡3i

' \ /------M +

-4 - 1/2

P(x)Como la inecuación es de la forma ------ < 0 , la solución es la unión de los intervalose u )

donde aparece el signo (-), es decir: jce<—o°,—4> u< — .1 > 2

Sistema de Números Reales 2Ü5

u s i m < x ~ ix - 6 x - 3

Solución

x + 5 x -1 .v + 5 x - l n ,< ------ < = > ---------------< 0 , efectuando operaciones se tiene:x — 6 x ~ 3 x - 6 x —3

3a - 7 < 0 <=> (3x - 7)(x - 6)(x - 3) < 0, x 3,6(x -6 )(a- 3)

ahora encontramos las raíces de la ecuación

7(3x — 7)(x - 6)(x - 3)= 0, de donde r, = —, r2 =z 3, r3 = 6

\ /--------- \ /----------\ /------___ ±___^___ :___ il__ ±_

7/3 3 6

P(x)Como la inecuación es de la forma ------ < 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)

donde aparece el signo (-), es decir: 1,l u < 3 ,6 >3

16) (a--3 )(.t + 2 )-(a-h l)(x —4) Q

x(x+2)(x2 -3 )(x + 3)Solución

(x+ 2)2 > 0 , para x ^ -2, la inecuación dada es equivalente.

------- —— + !)(-* +4)— > 0 , la cual es equivalente a:(a + 2)a( x + 3)(x + v3)(x — V3)

(a -3 X a + 1 )(a -4 )a (x + 3)(a + -\/3)(a—>/3)(a + 2) > 0 , x * 0 , -3, -2, y¡3 , -y¡3

ahora encontramos las raíces de la ecuaci *n,

(x+ 2)(a- 3)(a + l)(x- 4)x(x + 3)(x* y¡3)(x- y¡3) - 0 , de donde


r, = - 3 , r2 = —2 , r3 = —JS , r4 = - 1 , r5 = 0 , r6 = -v/3 , r7 = 3, r8 = 4

------ \ /--------- \ /---------\ /--------- \ /---------\ /---------\ /---------\ /---------\ /------_±__ sz___ :___v___±___sz___ :___v___±__ iz___ :___v___±__ v___ :___*z__±_

-3 -2 -s[3 -1 O v/3 3 4

P(x)Como la inecuación es de la forma ------> 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)


x e < -»0 ,-3> u < - 2 , "3 > u < - l ,0 > v j< > /3 ,3 > u < 4 ,+ o o >

©x —2 x2x+2 x +2

Solución

x - 2 x2 x —2 x2x+2 x + 2 x+2 x + 2

—4x2 + 2x—4 „ 2 o ? - x + 2

< O, de donde

-<0 <=> ------------------>0(x + 2)(x¿ + 2) (x+2)(v2 + 2)

, •, 1 V xeR , 2x - x + 2 > 0 y x~ +2 > O, entonces se simplifica la inecuación---- - > O

Luego —-— > 0 <=> x + 2 > 0 , para x * -2. La solución es: x+2

( , i ) £ ± 1 > ^ LV“/ x — l X+l

Solución

jc + 4 x x + 4 x n . . .------> ------ < = > ---------------> O , de dondex - 1 -v + 1 x - 1 x + l

12x + 4

x e <-2,+°°>

>0 <=> (3x+ l)(x -7 )(x + 1)>0, para x * -1,7U -7 )U + 1)

ili.-í i encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x - 7)(x + 1) = 0, de donde


j \ r - - ~ - \ /------------------\ r - - -r , = - l , r2 = - - , r3 = 7 ___:___ y + y - y +

-3 -1 /3 7

P(x)Como la solución es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalosQ(x)

donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:

jte< -1,— > u < 7,+°o >

19) 2f ~ 6 j t + 3 > ix ' - 5 A'+ 4

Solución

2x - 6 x + 3 2x2 - 6 x + 3— ------------------------------------------------------------> 1 <=> —------------- 1 > 0 , de dondej r - 5 x + 4 x - 5 x + 4

X X 1 > 0 <=> {x2 - x - l ) ( x 2 -5jc + 4 )> 0 para x * l ,4 ;x* —5jc + 4

ahora hallaremos las raíces de la ecuación.

(x2 —x — í)(x2 —5jc + 4) = 0 , de donde rt = r2 =1* r3 ~ ^

------- \ /---------- \ /--------- \ /----------\ /--------+ v___ :___ i¿___ ±___v ___ i¿___±___

1 - \ ¡ 5 1 1 + \ ¡ 5 4

2 2

P(x')Como la inecuación es de la fo rm a------ > 0 , la solución es la unión de los intervalosGW

donde aparecen el signo (+), es decir: \ -yf5 , 1 + V 5--------> u < 1,-------- > u < 4 ,+ °o >

(20 )

Solucióní + 4 x+ 4 v + 4

208 Lduardo F spinoza Ramos

2 a —1 x jc + 1 2 x - l x \ a + 1< -----< ------- <=>-----------< ------- A ------ <v + 4 x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 a + 4

— — ---- — < 0 A —:--------X + < 0 , de don Je < 0 A —-— - 0 , estasx + 4 x + 4 x + 4 a +4 x —4 a + 4

ecuaciones son equivalentes a:

(x l)(x + 4) < 0 A x + 4 > 0. pora x ?£ -4 ahora encontraron las raíces de las

ecuaciones, (x - 2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 . de donde r, = —4. r-, = 1 A r3 = -4

-------\ /----------\ /-------- -------\ /-------___±__u___ :___ íí___±__ ^ ___±__

-4 1 -4

de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: x e <-4,l> A x e [-4,+°°>

/. x e <-4,l>

yjx2 - x - 2 < 5 - xSolución

Aplicando la propiedad: -JÜfpc) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) >0) A (P(x) < Q2(x)])

yjx2 —x — 2 < 5 — x <=> (x2 — x — 2 > 0 A [5 — x > 0 A x 2 - x - 2 < (5 — x) ' ])

<=> (x2 - x —2) >0 A [5- a >0 A v2 - x —2 < 2 5 -1 0 v + x2])

« ( x —2 ) ( x + 1) >0 A ( a < 5 A a < 3 )

-----------( (------_L - e — > a +-----------é -

- 1 2 5-------------------------------------- o

x e <-oo,-l] U [2,5] A x e <-oo,j>

— e -

--------- or '

o----

O-1 2

,3

---- o


Solución

3x—4 4.T-4

La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 > (0.8) 40

como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir:

3jc — 4 Ax—4------- < ----------, efectuando y simplificando.16 40

3v_4 v_i i?------- < — => x < — , la solución es:

8 5 7

@ y ¡ 2 4 -2 x - x 2 < xSolución

Aplicando la propiedad siguiente:

yfPOO < Q(x) « (P(x) > 0 A [Q(x) > 0 A P(x) < Q2(x)])

y j 2 4 - 2 x - x 2 <x « ( 2 4 -2 j t-x 2 > 0 A [x >0 A 2 4 - 2 x - x 2 < x2])

« (jc2 + 2x < 24 A [x > 0 A 2x2 + 2x > 24])

« ((x + 1)2 <25 A [x> 0 A (x + - ) 2 > — ])2 4

<=> (-6 < x < 4 A | x > 0 A ( x > 3 V x< -4)])

» x e [0,4] A x e <-«>, -4> U <3,+°°>

12x e < —oo,— >7

x e <3,4]

6 1 -4 2 x -3 3x- 4 4 i - 2

(0.25; (0.5) 4 <(0.0625) 6 .(0.125) 9

Solución


12a- « 2-i -3 6a- 8 4y—2

La inecuación dada es equivalente a: (0.5) 3 .(0.5) 4 < (0.5) 3 .(0.5) 3

121 8 2a 3 6a—8 | 4 a- 2

Operando tenemos: (0.5) 3 4 < (0.5) 3 3

Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la, . 12.V-8 2 a: — 3 6jc-8 4jc- 2inecuación, es decir: ---------+ --------> -------- h---------

12jt —8 2 a: —3 lOx-lO ,.r. 2x + 2 2.V-3 „-------- + --------> -----------, simplificando: -------- + --------> 0 8jt + 8 + 6x — 9 12

>0

14x — 1 > 0 x > — ; la solución es: 14

X €< -,+ ® >4

( S ) 32y/2*+* > (42x.8x~3 )2/5Solución

JC+ I

La inecuación dada es equivalente a: 2*.2 2 > í24r.23t y) 75, de donde

x+11 4 r—18

2 2 > 2 5 , como a = 2 > 0. entonces:

x + 11 14a:—18 91 .,-------> - — => 5x + 5 5 > 2 8 x -3 6 => x < — La solucion2 5 23

C \ 1 3 a + 2 626) Si — < x < 1, Demostrar que: — < ------< --^— 2 8 at + 3 7

Solución

A + 2 = 1-í— (se obtiene dividiendo)at + 3 at + 3

91jre< — > 23

— < A" < 1 ~) — < x + 3 < 4 o1— < 4

1 2a; + 3 < 7

Sistema de Números Reales 2 1 1

2 1 1 , 2 , 1 , 1----< ---------< — => 1---- <1---------<1-----7 j t + 3 4 7 Jt + 3 4

5 J t + 2 3 3 5 x + 2 3 6=> —< ----- < — => —< —< ------- < —< —7 J t + 3 4 8 7 J t + 3 4 7

3 x + 2 6- <: - ■ - < ; —8 it-t-3 7

27) 5+ 7Solución

y í l ^ x < </5 + J t « • ( l - j t> 0 A j t + 5> 0) A ( > ^ I ) 2 < ( V x + 5 ) 2

<=> (x < l A j t> -5 ) A (1 —Jt< \lx + 5) ... (1)

■Jx + 5 > 1 —Jt « • [(jt + 5 > 0 A 1 -J t< 0 ) v (x + 5 > 0 A Jt + 5 > (1 - J t )2]

<=> [ ( j t > - 5 A jt> l)v (jr> —5 A x + 5 > 1 —2jt +jt2)]

«• [(jt > —5 A jt > 1) v (jr > —5 A jt2 — 3jt —4 < 0)]

« [(jt> -5 A jt > 1) v (jt > - 5 A Jte [-1,4])]

« [(jt > -5 A jt > 1) v jt e [-1,4]]

« [jt> -5 A jt > - 1 ] => Jt> -1 => Jte [ - I ,» > ...(2 )

ahora (2) en (1) se tiene: (x < 1 A x > -5) A x e [-1 ,+°°>

x e [-5, 1] A x e [-l,+°°> x e [-1,1]

2 8 ) >/3jt + 7 —yJx — 2 >9Solución

Calculando el campo de existencia 3.v + 7 > O a x - 2 > O <=> x > —— A

por lo tanto x e [2,+°°> es el campo de existencia

7 • j t > 2


&

V3x+7 >9 + ~Jx — 2 » x e [2 ,+ °°> A [3x + 7 <81 + 18>/jc- 2 + x - 2 ]

« jce[2,+o°> A (x - 3 6 < 9 - J x - 2 )

«• x e [2 Hoo > A x 2 -153jt + 1458< 0

. , 153 2 17577<=> jc e [2,+°o > A ( x --------) < ---------2 4

153->/l7577 153 + V17577« ! € [ ? , + « • > A -------------------------- < X < ---------------------------

153-/17577 153 + 7577 jce< -----------------,----------------- >

yfx+l+yJx-2

y]9-x2 - 4 x> 0

Solucion

Calculando el campo de existencia

( x - 1 >0 a x - 2 > 0 ) a ( 9 - J t2 > 0 a x > 0 )

(x> 1 a x > 2 ) a ( x 2 <9 a x > 0)

(x > 1 a x > 2) a (-3 < x < 3 a x > 0)

x e [2,3]| es el campo de existencia.x > 2 a 0 < x < 3 . de donde

Como yfx + l + -Jx -2 >0 , V x e [2,3]

yj X + 1 + \/x — 2

•J9-X2 -yf x>0 'Jx + l + \Jx - 2 1

_ jp- yfx ~*Jx + 1 + yj x — 2 yjx + 1 + yj x — 2>0.-

simplificando . -------> 0 <=> \ ¡ 9 - x 2 — yfx > 0S ^ x 2 - ^

de donde yfx < v9 - x~ :<9-x~


1 i 37X 1 + a — 9 < O => (a + — )■ < — (completando ruadradou)

1 , 37 >/j7 1 >/37 >/37+l ^ 3 7 -1(Jt + — ) ' < ------- = > ---------------------< AH--------< ------------- = > ----------------------------< A < --------

2 4 2 2 2 2 2

, , w ^ 7+1 J y ì —lLuego la solucion es: x e < ------------------,--------------> a [2,3]

r_ ^ 7 - 1 /. x e [2 -- - — >

y ¡ 2 - S + x < -J4 + X

«ni' cién

\}2-y¡3 + x <yj4 + x <=> (2 - -\/3 + jr > 0 A 4 + x > 0 ) /V (2-yj3 + x < 4 + a)

« (\¡3 + x < 2 A x > —4) A (_-j3 + x > - x - 2 ) • ••(!)

yj3 + x < 2 « . (3 + a > 0 A 3 + x< 4 )

« (x >-3 A x < l ) => x e[-3 ,l] ...(2 )

yj3 + x > - x - 2 » a + 3 > 0 A [ - a - 2 < 0 V (* + 3 > 0 A a + 3 > (a - t2 )2)]

« a > -3 A [a > -2 V (x > -3 A a 2 + 3a + 1 <0)]

3 5« a > -3 a [a > -2 v (a > -3 a (a + — )2 < —)]

>/5+3 > /5-3N1<=> A > -3 A [a > -2 v (a > -3 A ---------- < a < --------)]

2 2

y ß + 3 y ß - 3 ,<=> x >-3 a [ a > -2 V a e < ----------------------- ,->]

v5+ 3<=> A > -3 A A e< ---------- , + o o >

214 Eduarde Espinovi Ramos

/ 5 + 3A G < ----------------- , + « >

2... (3)

Luego de (2), (3) en (1) se tiene:

yj2 — yfx+3 <y¡4 + x « (x e [ -3 ,l] a x > —4) a x e < - ^ + ^ . + ° ° >2

yÍ5+3« jte [-3 ,l] a x s < ------ -,+<»>2

>¡5+3 x s < ----- — ,1]

3 13 1— < -+ ------x 4(jc—1) 4jc+12

Solución

A la inecuación dada expresaremos así:

13 1 3 13(x+3).t+4-v-l)-12(x-lXx+3)-+-------------- > 0, efectuando operaciones------------------------------------------ > 04 (x -l) 4(x+3) x 4(jc—lX*+3)x

1 3jc2 +39x+ x2 - x - l 2 ( x 2 +2x — 3) 4jc(jc-1Xjc + 3)

> 0 , simplificando

2x2 + 14*+ 36 4jc(jc-1X jc + 3)

>0 x ¿+ l x + \% jc(jc — 1 )(jc 3)

>0

2 X" + 7.X + 18V x e R, jc +7x + 18>0 entonces: ----------------- «

1jc(jc-1)(jc+3) jc(jc —1X + 3)

>0

1a(.v-1X* + 3)

>0 <=> a(x-1X jc + 3) > 0 , para x * 1, -3, 0

resolviendo la ecuación x(x - 1 )(x + 3) = 0, de donde, r, = - 3 , r2 —Q>, r, = 1


\ !-■ ___ ±___V.__

-\ /------M__ r_

conio la ecnación es de la forma P ( ')Q(x)

> 0 la solución es la unión de los intervalos donde

aparecen los signos (+), es decir: x e <-3,0> u <1 ,+<»>

3 1 3---- +------ > _JC — 1 JC + 1 X

Solución


3 1 3 n 3 v + 3 a *- x - x — 3a +3- + ---------->0 <=> ------------------------------- >0X — 1 Y + l X A-u—iXA + n

x +2x + 3 n<=> ---------------- >0a( a -1 )U + 1)

como V x e R, x +2x + 3 > 0 , entonces

a ' + 2x + 3 a(a — 1)(a + 1)

> 0 <=>1

a( t - l ) ( r + l)>0

1x( x l)(v + l)

> 0 c=> x(x - l)»x + 1) > 0. paia x^-1,0.1

Ahora resolviendo x(x - l)(x + 1 ) = 0, de donde r, = — 1, r2 = 0 , r3 = 1

--------r - - ~ \ / \ r - -M + V ~___ ___ ±___-1 0 1

p¡x)Como la inecuación es de la forma ------> O la solución es la unión de los intervalos

Q (A;

donde aparectji el sisno (+). es decir: x e <-!.()> U < 1 .+<=«>


f_ , 2x -2 5 2x + l l 1(¿3) ------------------+ ----- ------ >2(x2+2x-3 ) 2(at — 1) * + 3

Solución


2 * -2 5 2x + \ \ 12 ( a T + 2 j t - 3 ) 2 ( 2 — 1 ) a + 3

> 0 , factorizando en el denominador

2 x -25 2x + \ \ 1 . .+ --------------------------> 0 , efectuando operaciones2 ( a + 3 ) ( at- 1 ) 2 í r - l ) ( . r + l ) v + 3

( 2 a - 2 5 ) ( a t ! ) + ( 2 x + 1 lX x + 3 )-2 ( .r- l)l.r + l) 2 ( x : - l ) ( * + l ) ( * + 3 )

x 2 - 3 a t + 5

> 0 , simplificando se tiene:

> 0 , como V x e R, x~ — 3x + 5 > 0 , entonces(a -1)(a + 1)(* + 3)

* - - 3 * + 5 l>0 « -------------------->0

(x—l)(Ar + l)(Ar + 3 ) (jr-l)(x + l)(x + 3 )

1(jc-1X* + 1X*+3)

> 0 <=> (x - l)(x + l)(x + 3) > 0, x * - 3 , -1, 1

encontrando las raíces de (x — 1 )(x + l)(x + 3) = 0, donde r, = —3, r2 = — 1, r3 = 1

-------\ /--- \ r - ~ -V/ + V - V +-3 -1 .1

p<x)Como la inecuación es de la forma ------ > 0 la solución es la unión de los intervalos

GU)

donde aparece el signo (+), es decir: x e < - 3 , - l > u < l , + o o >

(34) <*-?>2a- f r + -2> ; * 0( x - 2 ) -(at + 1)

Solución


Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene:

[(a - 1 ) - ( a + 2)][(a -1 ) + ( a + 2)]

[(a- 2 ) - u +1;H(a - 2 ) + (a- + 1)]> 0 , simplificando.

3(â + 1) ^ q ^ + j - l) > 0 para x * —-3 (2a -1 ) 2

encontrando las raíces de (2x + l)(2x - 1) = 0, de donde, r¡ = — , r2 =\

---- \ r ■+ M

Como la inecuación es de la forma

- 1/2 1/2

P(x)

Q(x)> 0 la solución es la unión de los intervalos

donde aparecen el signo l+), es decir:

a4 + 5 a3 - 20 a — 16 <

Solución

1 1j r6 < - o o — > u < - + o ° >

2 2

a3 + 2a2-13 a + 10

Factorizando tanto en el numerador y denominador.

(a- -2 )(a- + 2)(a: + 1)(a: + 4) ___ „ ^ , o■ ■ '■ - s U < p a ra x ^ _3 , 1

(a + 5)(a - 2 ) ( a -1 )

la inecuación dada es equivalente a:

(x - 2)(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 2)(x - 1) < 0 para x * -5,1,2

(a - 2 ) 2(a + 2)(x +1)(a + 4)(a +5)(a + 1)<0 para x * -5,1,2

c o m o V x e R , x * 2 , (a - 2)2 > 0 entonces

(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) < 0 , para x * -5,1,2

encontrando las raíces de (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) = 0 , de donde:

218 Eduardo Espinqza Ramos

-5 , r2 = - 4 , r3 -1, r5 =1

' \ / - ' _V__

r - - - - \ /— ___ ±__ y__

-5 -2 -1

Como la inecuación es de la forma

donde aparecen el signo (-), es decir:

P(x)Q(x)

< 0 la solución es la unión de lo>> intervalos

x e <-°o,-5> u <-4,-2> u < -1,1>

2 j c + K ( j c - 2 )> (3 )

Solución

La inecuación dada expresaremos en la forma

32jr_1+4_jr_6jr+, > 3 <2*+l)U-2) dedonde; 3-5a+4 > 3 2a--3Jt-2

como a = 3 > 0 => —5x + 4 > 2 x — 3x — 2, de donde

2x2 —2 x - 6 < 0 <=> x 2 + jc - 3 < 0 , completando cuadrados x2 +x + -^<3 +

, 1 , 2 1 3 V Í 3 1 V Í 3(* + —) < --- < = > -----------< A + - < ------2 4 2 2 2

VÍ3 + 1 V Í3-1 . . .----------< x < --------- , de donde jc e < - VÌ3+1 v 13 — 1

1- + — >2x

x 2 —5x + 6 2 x 3 - 4 x + x 2Solución

A la inecuación dada expresaiemos en la forma

1 2xx 2 - 5 x + 6 1 x 3 - 4 x + x '

> 0, efectuando las operaciones:

-<) + ( , - 2 X * - 3 ) ( , - l ) - 4 , i (í - 2 > i ( ) desam)|lando: 2 x íx -3 i i x -2 X x -< )


I x ' -2.x1 + A-3 - 6 .v 2 +11 A- - 6 - 4jc3 + 8 > 2

2x(x -3 )(x -2 )(a -1 )> 0 , simplificando

x — 1 Lv + 6a ú - 3 ) ( x - 2 ) ( a - 1 )

<0 <=>

, 3 3 + v H(a - 3)U + — -— )(x + — -— ) _____ ?_________ 2

*(a -3 X * -? X * -»< 0

, 3 —-v/17 , 3 + yfV7Û + ---------X* + ---------)9 Opara x * 3 se tiene --------- --------------- ------< 0

* U -2 X * -1 )

■\ /----------\ /----------\ /— ;— \ /---------- v r ~ ~_v___ ±___ v___ :___ v___ ±___ v___ :___ v___+.

-3 - \ ¡ 7 -3 + \ ¡ 7 0

P(jf)Como la inecuación es de la forma ------ < 0 la solución es la unión de los intervalos

CU)

donde aparece el signo (-) es decir: 3 + 1 7 —3 + >/Í7xe< -oo,----------- > u < ------------ , 0 > < 1,2>

1 ? - 3 2— < ------< —5 A + l 3

Solución

Aplicaremos la propiedad siguiente: a c b c c <=> a - < ------ A ------< -5 A + l

x - 3 1— > 0 A

A + l 3

x - 3 2r+1 5

— <0x + 1 3

5 x - 1 5 - x - l 3x - 9 — 2x — 2----------------->0 A ------------------ < 05(x + l) 3(x + I)

x ~ 4 n * X~ U n<=> ------> 0 A --------< 0x + 1 x + 1


<=> (x -4 )(x + 1) > 0, x * - ! A ( x - l l ) ( x + 1) <0, x *-1

ahora encontrando las raíces de (x - 4)(x + 1) = 0, de donde r, = —1, r2 = 4 ,

r3 = -1 , r4 = 11_\ /----

A-1 4 -1

de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es:

11

x e <-°o,-l> LI <4,+oo> A x e <-1.11>O-------------------------

-1o-

11-o

x e <4,11>

5x2 + 36* -16 x -16

Solución

A la inecuación dada escribiremos en la forma

x4 5x2 + 36**-16 jc -16

< 0 <=> x4 —5x2 -16 < 0 , factorizando

U 2-9 )(x2 + 4 ) < 0 ^ 4 - 9 <0(x2 — 4)(x2 +4) x —4

(x+3)(x-3) < 0 <=> (x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2) < 0, para x * -2,2(x + 2)(x-2)

ahora encontrando las raíces de

(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2) = 0 de donde r, = - 3 , r2 = —2, r3 = 2 , r4 =3

---- \ /---------- \ /---------- \ /-------V + V/ \/ +------\ /■_+___v_

-2 2P(x)como la inecuación es de la formaQ(x)

donde aparecen los signos (-), es decir:

< 0 , la solución es la unión de los intervalos

x € <-3.-2> u <2,3>


( jc—9 ) “" (1 — jc3 ) 2n+1 ( . r 4 — 9 ) < 0 , s i n> l . n e N

Solución

P a ra x * 9 , (x -9 ) 2" > 0 , ( 1 — jc 3 )2,1 > 0 , para x * 1.

Entonces a la inecuación dado se puede simplificar, es decir: (1 - x 3 ){x* -9 ) < 0

Factorizando (x -l)(x 2 + jc + 1)(x—y¡3)(x + y¡3)(x2 + 3 )> 0 , x í 1 9

como V x e R, jc2 + x + 1 >0 , x2 + 3 > 0

entonces (x - l ) ( x - - j3 ) (x + -j3) > 0 , x * 1,9

ahora encontrando las raíces de: (x —1)(jc — -s/3)(x + -s/3) = 0

de donde: r, = —s/3 , r2 - \ , r3 = -s/3\ r - - - ~ \ r -

___ ±___vi__V a i n/ 3

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

donde aparece el signo (+), es decir: ce< -V 3,l > 0 < \S,+9° > - [9}

3 34. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

I.

©

©

©

Resolver las siguientes inecuaciones

5x - 2 < lOx + 8 < 2x + 16

1 -, 1 1— <3x— < -5 4 3

x 3x 5- + —— < ------- , a > b > 0a~ —b" a + b a - b

(4 ) — + 4 > — + 2a , a > b > 0W 3 a 6 b

Rpta. <-2,l>

1 7Rpta. [— ,— ]F 60 36

„ 5a + 5bRpta. < —°o,------------ >

1 + 3a - 3fc

24 abRpta. < ------------------>

5a + i2ab — 4b

Eduardo Espinosa Ramos

©

©

©

©II.

©

©

©

©

©

©

©

©

©

fío

o 6 ~ 3a „2v + ---------< 4

2x -6 < 3 +8

©

3(x - 5) - 4(4 — 3x) > 2(7 - x) - 3(x - 5)

Resober las inecuaciones siguientes:

2x2 - 6a + 3 < 0

2x2 +6jc—9 < 0

9x2 +54 v > —76

- 4x2 + 4a + 3 >0

4x2 + 9.v + 9 < 0

4x2 - 4.v + 7 > 0

a 4 - 2a 2 - 8 < 0

- 4 x 2 - 8 < -12x

X 2 - 2y¡3x - 2 > 0

3* 2 — 8v + 11 >4^x— 1)

W2 - 1 0.( + 3 < 0

Rpta. < -°°,2 >

abeRpta. <ac +be — ab

3bRpta. <-

Rpta. <3,+°°>

3~y¡3 3 + y¡3 Rpta. < ------ ,—

- 3 - 3 ^ 3 -3 + 3j~3 Rpta. < ----------- ,------------>

9 + yfe V 5 -9 Rpta. <-••*=, > u < ---------

Rpta. 0

Rpta. C.S. = R

Rpta. <-2,2>

Rpta. <-oo,l> u <2,+oo>

Rpta. < - 0 0 , yÍ3 - y¡5 > U < y¡3 + \Í5, + °° >

Rpta. V \ e R

Rpta. < - . 3 >


©

©

<3>

(21)

0

@

Í26

a(3a + 2) < (a + 2)

4 i 2 - 8 a + 1 <0

5x2 -14x: + 9 < 0

jc2 + 3 x + 2 > 0

1 -2 x - 3 a2 >0

3x2 - 5 x - 2 > 0

(x2 + 2x)(x2 -1) - 24 > 0

x(x - 3)(x - l)vx + 2) > 16

a4 +2x3 —A'2 +4a - 6 < 0

(a2 + a -6 )(4 x- 4 - a:2)< 0

2a3 + 3a2 — 1 1a- 6 > 0

r3 - 3 r 2 — 13x+I5>0

x * - 4 x \ - x 2 + 1 6 a-1 2 > 0

a 5 +3a 4 -5a-3 -I5.V2 +4.V + 12>0

a 5 - 6a4 - a 3 + 29*2 + 8*-15 < 0

Rpta. <-l,2>

_ . 2-y¡3 2 + SRpta. < -------- ,--------->

Rpta. [1,—]

Rpta. <-oo,-2> u <-l,+°°>

Rpta. [-1 ,-]

Rpta. < -o o -- -> u < 2 ,+ o o >

Rpta. <-°°,-3> u <2,+°°>

1 —V33 1 + V33Rpta. < — --------- > u < ----------,2 2

Rpta. <-3,l>

Rpta. <-oo,-3] i_; [2,+°°>

Rpta. [ -3 ,-^ ] o [2.+oo >

Rpta. <-3,l> u <5,+°°>

Rpta. <-°°,-2> u <1,2> u <3,+°°>

Rpta. <-3,-2> u < -l,l> u <2,+oo>

Rpta. > u < 3 ,5 >

224 Eduardo Espinoza Hamo v

@ (x 2 - 2 x - 5 ) ( x 2 - 2 a - 7 ) ( a 2 - 2 a - 4 ) > 0

Rpta. < -°o ,l-2-\/2 > U U < l + y¡5,l + y¡6 > U < 1 + 2y¡2, +00 >

(28) X s - 2 a 4 -1 5a3 > O Rpta. <-3,0> u <5,+oo>

( » ) ( a 3 —5 a 2 + 7 a - 3 ) ( 2 —a ) > 0 Rpta. [2 ,3 ]

(30) (x - a)(x - b)(x - c)(x - d ) < 0 , si a u <c.d>

(a2 +6a — 1 )(a 3 — 2 a 2 — 2 a + 4 ) ( a + 5 ) 5 > O

Rpta. < - ° ° ,-3 - V ¡0 > u < - 5 , - V 2 > u < - 3 + VÍO,-</2 > u < 2,+°° >

© ( 6 a + 3 ) 2 ( x 2 —1)3 ( 3 a - 5 ) 7 < 0 Rpta. < - ° ° , - 1 > u < 1 , ^ >

(33) (3 —a)3(a2 —1)2 (1 —a ) 5 a > 0 Rpta. < - 0 , 1 > u < 3 , + ° ° >

^ 4) a4 - 2 a 2 - 3 a - 2 > 0 Rpta. <-°°,-l] u [2 .+ °°>

© a4 —3 a 3 + 5 a 2 —2 7 a - 3 6 < 0 Rpta. <-l,4>

@ a4 < a2 Rpta. < - l , l > - { 0 ]

»7 » ( 2 a 2 - 4 a —1 ) (3 a 2 — 6a + 4 ) ( a 2 + 4 a - 2 ) > 0

1— 2 - y ¡ 6 I— 2 + y¡6Rpta. < -° o ,-2 -V 6 > u < -------- ,- 2 + V 6 > u < ---------- ,-h» >

2 2

(38) x 5 +8a4 +12a3 - a2 —8a —12 > O Rpta. <-6,-2> u <1 ,+°°>

^39) (a2 -1)(a2 +9)(a + 4 )(a -5 )> 0 Rpta. <-°o,-4> u <- l , l> u <5,+°°>

(40) (x + 2)(x + 3)(x - 4)(x - 5) > 44 Rpta. V x e R

a 6 + 6a4 + 9a2 + 4 > O Rpta. V x e R


42) x4 - 3 x 2 - 6 x - 2 < 0 Rpla. < 1 - ^ , 1 + ^ >

(43) x5 —6x4 — 17x3 +17x2 + 6 x - l >0

Rpta. < ^ 2 ^ ' ^ +2 ^ > ^ < 4 - -v/Ts. 1 > u < 4 + - v / T 5 , + o ° >

Í 4) x4 —2x2 + 8 x - 3 > 0 . Rpta.<—00,—l —1/2 > u < —l + -\/2,+oo>

(45) x4 - 2x3 - 5x2 + lOx - 3 < 0 Rpta. [— — — J ] u f- - - 3v / 2 2 2 2

46) (x - 7)(x - 3)(x + 5)(x + 1) > 1680 Rpta. <-«=,-7] u [9,+<=°>

Í7 ) (x + 9)(x - 3)(x - 7)(x + 5) < 385 Rpta. [-1 —>/7l, -41 o [2,-1 + x/tÌ]

III. Resolver las inecuaciones siguientes:

(7) * + < — - Rpta. <-°o,-3> u <2,+oo>w 2 - x 3+x

------- > -------- Rpta. < — ,2] u < —.j-oo >3x -7 3 — 2x . 2 3

® v + 2 x~ + -----> — ^ Rpta. <2,+°°>

q 1

® - — > - x— Rpta. < -00,-4 > u [ — , 2>x + 4 x - 2 2

© Vì _ 4 y-3 — 1—---- < ——- Rpta. <-2,0> u <0,+oo>A'-" + 2 + 1

® A H Ì< — ------— Rpta. < -° ° ,- l > u < 0 , l >x x + 1 x — 1


®

fío)

■ < 4

x~ —2x < x f 8 a - 4 ~ ~ T ’

1 3a+ 1— < -----X X

x + 8 ^ 5 a*— 8

x + 4 ~ 5

x <r 4 x —2 ------- >

x 2 + 4 x + 4 x 2 —4

1 2< -A + l 3 a - 1

2 a — 3 a + 3

2 ( a - 2 ) ( 2 a + 3 )

2 a -1 3a —1 „ x —1-------+ -------- < 4 + ------A + l X + 2 J f - 1

A _ A - 3a 2 +4 *2 + a + 4

( a - 2 ) ( a + 5 ) ( a - 3 ) >0a ( a + 2 ) ( a + 3 )

( 6 a + 3 ) 2 ( a 2 + 1 ) 3 ( 3 a - 5 ) 7

( a + 6 ) 2 ( 2 j t + 3 ) 17

Rpta. <-°°,4>

Rpta. <-oor 0> u <l,+o°>

Rpta. < - 4 , 6 ]

Rpta. V x € R - {-2,2}

Rpt: < -oo,-l > u < - , 3 >

3 7Rpta. < -°° ,— > u < 0 , —> u < 2,+oo>2 6

Rpta. < - 2 , — > u < - l , l > u < 5 ,4

Rpta. <f>

Rpta. < - o o , - 5 > u < - 3 , - > / 2 > u < 0 , > / 2 > u < 3 ,

> 0 Rpta.

( 4 a + 2 ) 2 ( a 2 + 2 ) 5 ( 2 a - 8 ) 9

( a + 1 ) ( 2 a + 5 )13

a + 4 a — 2------< -------a — 5 a + 3

7 1- + -----------< -2

< 0 Rpta. < - —, 4 > - { - l , - —}2 2

Rpt? < —° ° . - 3 > u < —- ,5 >

-4 x + 2Rpta. <-3.-2> u <1,4>

Sistema de Números Reale: 227

21) (x2 + x - * \ x 2 - x - ( » >0(x1 -4X.X2 - 2 )

Rpia < - 0 0 , - 3 > t j < —J2,yf2 >

x" - 2x + 3 X2 - 4.r + 3

> -3

5 1- + --------->2

a t 3 a -1

Rpta. < - ~ , l > o < — ,2 > kj< 3 ,~ >2

Rpta. v^<l,2>

2 > 3i ± ! > I Rpta. [-!,(#>

- 2 jt + 3 > -3x~ -4 .Ï + 3

2x4 + 7jc3 + 8a2 + 6_r + 1

6x5 + 17jc4 + 23x3 + 18x2 + 7jt-r 1> 0

Rpta. <-oo 1 > v j < —, 2 > u < 3 ,

—5 — 'Jl7 , 1 1Rpts> < ---------- ,-1 > ( j < — ,— > u <F 2 2 3

—5 + VÏ7

<5X - ì A — 1

12xi - 35a4 - 53a3 + 53a2 + 35.t -1 2

V6 +1 5.ï 5 + 78a4 + 155.Ï3 + V2 +15a +1

Rpta. <

Rpta. < - o c , - l > u < - j , l > u < 2 ,

<0

5->/27 4 3 —5 + -s/2l ir fc--------- > o < — ,— > u < ------------------------------- , 2 - v3 > l,2 + >/3 >2 3 4 2

2a - 1 a + 2 x — \ + ----------->-

a + 4 3 — a a + 3Rpta. <-oo,-4> u <-3,3>

1 + A 2 . 4 5A -A +.Ï — X + 9

(1 — A -)(l — *) (1 -A )-(1 + A)

Rpta. < -oo,-l-> /3 > u < -1 +^3.1 > u < 1 . 2 > ^ j < 2,-h» >


+ <8 Rpta. < - > / 6 , - 2 > u < - l , l > u < 2 , - \ / 6 >a-4 - 5 a-2 + 4

© Rpta. <2 ,+oo>W (a +1)(a —2)

¿ g v ( a 2 + 5 a t 6 ) ( a 4 - 1 6 ) ( a 2 - 4 a - 1 2 )

^ (1 — 3jc)3 (jt — 1)(jt2 +1)

Rpta. < - ° o , - 3 > u < - 2 , - > u < l , 2 > u < 6 , + ° ° >

6 4 ) — -------—— - < — Rpta. < 0 , 2 > u <4 ,+oo>4 - a 5 A

® 3 a 2 + 7 a + 5 ^ „ „ „ ,—:----------- < 2 Rpta. < -2 , -1 >a + 3 a + 2

(36) (* + * ~ 6)(* ~ * ~ 6) < o Rpta. <-4,-3] u [3,4>W (jc - 4 ) ( a - 1 6 )

(1 + J f+ A 2 ) ( 2 - J f - A 2 )(A4 - 2 A — 3 x —2 )

^ ( 2 a 2 - 4 a —1)(3a2 - 6a + 4 ) ( a 2 + 4 a - 2 ) ( a 2 - 7 ) "

Rpta. < -oo,-77 > u < - l —— ,—2 ]u [—1,—\/6 + 2 > u < — —1,1 > 2 . >/7 >u<-v/6 + 2,-h»>2 2

® a 12 A + l „ t 5 12----- < — < ------- Rpta. < —,— >A + l 19 a + 2 7 7

( 39) ( a - 3 ) ( a + 2 )2 ( a + 1) ( a —4 ) ^ Q

^ a ( a + 2 ) ( a 2 - 3)( a + 3 ) ( a 2 + 4 )

Rpta. < - 00, - 3] u < - 2 , - ^ 3 > u [ - 1 , 0 > < ^3,3] u [ 4 ,+00 >

40) — 3 a + 3 ^ — j_ Rpta. < —0 0 ,— > u < 2 , + ° ° >( a —2 ) ( 2a + 1) 2 2


2 3 jc + 5— + ----- >-A. + 1 x 1 1 - x2

2xX 2 —5x + 6 2 - x (3 —a)(1 —jc)

Rpta. <!,+«»

Rpta. <-«>,-6] u < 2 ,3 >

3 13 1- < ---------- + -x 4 ( a —1) 4 a + 12

r 31 + 8 9 „ ry/H89-31 „R|. 'i. [-------------- ,—3 > u [ ------------- , 0 > u < l , + ° ° >

(jT + 4 x + 4 ) ( A - - 9 r

( l l - j t ) U 2 + 5 )

3 1 3---- + ------> —X — 1 Jt+1 X

x - lx+2

<1

(x2 - 5 y x2 +7)(x2 + x + l ) ( x 2 — 3jc + 2 )

3x>1

x ' - x - 6

x2 - 3 x + 2 x2 —4x + 3

2x—25

<2

2(x2 +2a —3) ' 2(x2 -1 ) x + 3

x2 + 4x + 4 >0x — 4.v — 5

2 x - x 2 —1<0

(2x — 8 X + 8)( * + 3)

x + 6

<0 Rpta. <1 l,+oo>u {-2,9}

Rpta. <-l,0> u <l,-t °°>

Rpta. <-2,-h»>

> 0 Rpta. 1.2 > u [-\/5,-*-oo >

Rpta. < -2 ,2 -> /K j> u < 3 ,2 + >/Ì(j>

Rpta. <-«>,3> u <4,+°°> - {1}

Rpta. <-3, 1> u <1,+°°>

Rpta. <-oo,-l>u<5.+oo>

Rpta. <-1,0>u<0,1>

> 0 Rpta. <-«>,-6> u [-3,+°°> #

2a + 11 1- + ---- r----->-


©

©

©

x — 2 a + 1

A —1

2x + \

> 0

>3x + l

x2 + 4a + 9

x2 —4v-5

x2 +x + 2

a ( a 2 — x — 2)

< 0

<0

2 3<3x — 2 x + 2

32 xx2—4 x — 2 x+2

2 + x — x >0j r - 2 j c + 1

x3 — x2 — 8a + 12

x2 + 5x -14

x2 + 8x-12 —x3 I x - x 2 - 6

<0

> 0

a* + 3a +2 x — 2------------- < -------A — 2 A + 2

1 2 3-+ ------>x + l x + 3 a + 2

A + 1 1 ~ x1 —A X

x2 + 8 a + 24a + 2

>8

Rpta. <1,+«j>

Rpta. [-2,-l>

Rpta. <-l,5>

Rpta. <-oo,-l> u <0,2>

_ 2 10Rpta. < -2 ,—> u < — ,+«>>

Rpta. [-4,-2> u <2,6]

Rpta. [-1,1>U<1,2]

Rpta. <-oo,-7> u [-3,2>

Rpta. [-3,1> u <6,+oo> U {2}

Rpta. <-oo,-2> u <0,2>

Rpta. <-3,-2> o <-l,l>

Rpta. < -oo,-l > u< 0 ,-> u< l, 2

Rpta. <-2,+°o>


x - 2 2 . V - 3------> --------x+2 4 . Y - 1

6 3 7<0

x —1 i+ l x+2

a 4 - 3 j c 3 - 6 a 2 - 2 8 j c - 2 4

4 0 + ( x — 1 ) ( j c - 3 ) ( x + 4 ) ( x + 6 )-<0

Rpta. < - c o , - 2 > u < - , l ] u [ 4 , + o o >

Rpta. < - 2 , — > u < - l , l > u < 5 , + ° ° > 4

3xxz - x - 6

>1

7 3 0 7-----+ -------< -----x - 4 x + 2 jt+1

1 7- + ------< 2x — 2 j t + 4

IV.

®©©

©

©

3jc" + 7 a - 6 3jT + 16 jc-12— ---------- > — ;--------------

x~ — x — 6 x~ — 4x —12

2x2 jc ‘ + 7 v + 5 a ' + 6 j t - * -5

a _3a + 2 > oa*~ + 3 a' + 2

3 a 2 - 4< x + 6

A'- 6

Resolver las inecuaciones siguientes:

4jt—3 3jc-2

( 0 . 5 ) 2 > ( 0 . 0 6 2 5 ) 5

2 7 V-! < 9 *+ 3

2 x + l 2x-2

( 0 . 2 ) 2 < ( 0 . 0 0 1 6 ) 5

2*’1+8 < 16 1+5

-j2x-3 i4 - v

2x — 1 x — 2

x2 + 1 0 x + 1 6

jc-1>10

x — 2- + 4 > A. + 1 0

i+ 1- 8— <0 x + 4 a + 3

Rpta. < — ,+<»>4

Rpta. < - ° ° , 9 >

Rpta. < —oo}— >

Rpta. <-oo,l 2 >

- l - y f ñ - l + y¡33 Rpta. < ----------- ,----------- >


©

©

©

©

6 0 )

[(o.5r (o.5)br < —^ 8"

3 -x

9 t+3.3

x+\]&x+i < x~^322x+5

s j n x+l < t f y 1*

y]six+l5 <yj243x~w

3(.r-2 )2

© (256) 2 > 29u2_9)2.83jr+l.2565

729*'.243* 2436.27iT"6812x 21 Ax

3x¡.32x >27

x -5 x—9

2 2 > 8 3

5jc+3

(0 .2 1 6 )~I 2 x+ l

>V(0.36) 6

5 _1_

(42)x2-i > (64)jr_1

[(0.3)(jt-1,(jt_2) ] *~3 > [(0.09)*'“41*2-9

I 2x+l y j(0 .0 0 0 3 2 )5x~2 < \ ( 0 . 2 ) 2

t 5 )V 3 ~ r+ (0-2)2v"

Rpta. V x e R

Rpta. V x e R

Rpta. <-00,-1> u <l,+o°>

21Rpta. ——]

Rpta. <110,+°°>

V2293+33 v 2293-33 Rpta. < ---------------- ,--------------->86

Rpta. <-°°,-l> u <2,+oo>

86

Rpta. <l.+°°>

Rpta. <-oo,13>

131Rpta. < - ° ° - ------->217

Rpta. < - “ , - l > u < l , - >

Rpta. V x e R

43Rpta. < — ,+00 > 94

Rpta. <-°°.-3> u <-2,-11


© (' " ^ ( O - l ó l ^ .’ (0 .0 2 5 6 ) ’ )

©x-^j(O.OOS)x~l > x~yj(0.04)**3

@* ^ ( 0 .0 4 )2x- ' > $](0 .2 )2x~l

0 x+i j ( 0.0016)"3 > x~\j(0.2)Ax+ì

© X- $ 4 X~4 >

©^ (O .O l )^ 2 < ^ ( O . l ) 2*-3

© x+$ ( 0 .0 4 )2x_1 > y j(0 .2 )2x~l

© (^ )r (7 )4j[2+1 < (7 )x+2( - ^ - ) x2_3a 250 5 5 625

© " ~ é x ( i y 2 - À+\I9 (^ )X

© x+é à r " - xi (j )2x' 2

©

(2 2x~3)(24- x )

2 Sx~l

\5 X~' < ¡ ¡(0 .2 )x+l

i .

© 2t y j(0 .0 0 0 3 2 )x+1 < x^ ( j ) 3xJf

© y j(0 .5 )4x~3 > ì j ( 0.O25)3*-2

^ 0 .0 0 4 0 9 6

Rpta. < l,2>u[3,5]

Rpta. < -3 ,0 > u [ i ,3 ]

62 „Rpta. < ------ , -2 > u < 5 .+ o o >171

Rpta. <- l ,2 ]u<5 ,+«>>

Rpta. <-3,-l> u [3,+°°>

Rpta. < - 3 ,0 > u < - ^ ,3 >

Rpta. < -oo,-2]u[-^ ,+oo >

Rpta. <-3,3>

Rpta. <-oo,-3>u<-2,-l]

Rpta. < -1,+°° > -{“ “ )

(32) (O.l)*-3 <10x+3

(34) [(0.5)x2.(0.5)6](*2~3) > (° '12—8r


V. Resolver las ecuaciones siguientes:

© _ 1 .. +ylx2 2x 4 >2 yjx2- 2 x - 4

Rpta. > u < l + y/5,°° >

© ■Jx + 5 + yfx <5 Rpta. [0,4>

© J x + J 2 x - l +y jx - y Í2 x - l < y¡2 Rpta.

© ■Jx —9y¡X + 118>0 Rpta. [0,+oo>

© x + 2< y]x3 +8 Rpta. <-2,0>

© J x - 4 ~ y j & - x > l Rpta. ]

© ■Jx2 -1 < -Jx + 1 Rpta. [1,2>

© ■j2x—9 <3 — x Rpta. <fi

©^ 9 x - x 2 -8 (x 2 —8a + 12)

■JxRpta. [2,6] U {1,8}

©(x—4)y¡x2 —2x+2 ^

x2 + 2Rpta. <-°°,4]

0 ■Jx2 — 2x —15 > A + l Rpta. <-o°,-3]

©y¡3x-t > -y¡4x — \2 Rpta. [3,+«>

© 'JSx-3 — yJx-\ >0 Rpta. [ 1 ,+o°>

© 11

1 *1 IV o Rpta. [64.+°°>

©10

V 8 - xRpta. [7 ,8>u{0}


J .\ — 3 + -Jò — X < y jx + l Rpta. <3,+oo>

@

y l\ [ x — 3 + yjò — yfx<1

v + 1

- J 2 - X >0

y]x2- l A x + ì 3 > x - 3

yjx2 + 3 a + 4

JÌ]+y]x2 - 4>0

Rpta. [9, 84 + 1 6 > / 5 ,

Rpta. [ -2 ,^ 5]

Rpta. <-°°,3]

Rpta. <-oo,-2] u [2,+°°>

•J-x + 2 < yj—4x +2 + yj—9x + 6

^ 6 2 5 - a-2 i] x 2 - 4 ( a + 4 ) 8 ( a - 2 - 1 ) 2

a3 -2 x 2 - a + 2

• yfx + l

Rpta. < - » , - ]

< 0 Rpta. [-25,-2] u <-1,1 > u {25}

V T -i

l x + 6 I a + 2

V a < \ a - 1

Va2-14a -13< a + 1

n/a2 -4 .3 /774<0

Rpta. <l,2>

Rpta. <-oo,-6] u <1,2>

Rpta. < — ,l]u[13,+°° >4

Rpta. <-oo,-4] u <2,3>4x + 3

U x + 4 + 2

|2 -^ /Ä + 4< _r-4


(39)

1 x x — 2 - < <-

x — 2 x + 4 jt + 1

\ x z - 9 \ - 2 x

|x + 5|+5

4 x + 4

<0

<2x — 4 x — 4

3Jt+4(3*-4 -1) < 3* -81

I y j x 2 — 3 x — 4

Iy/21 — y j x 2 — 4>0

x - 3 x - 4

5 -V l6 -jc 2> x 2 — 2 x — 2 9

I3 2 - 2 x

x + 2> y T x

> x — 5y / x 2 - x — 2 — '4

>Jx2- 6 x + 5+yJx2 - 7 x + W < 0

■<Jx2—6x + 5+ 'Jx2 —7 x + \0 > 0

y¡4 — a/x + 13 < -Jx + 5

y j x 2 — 2 x — 15(jc3 — 6jc2 + 9 x )

(*-1)4(x -2 )5<0

x + 4> ¿ c

Rpta. <8,+«>

Rpta. o /ÍÓ -1 , 1 + >/Í0 >

Rpta. <18,+°°>

Rpta. <0,4>

Rpta. <-5,-2] u [4,5>

Rpta. [-4,-1] u {4}

Rpta. [0,4]

Rpta. [-4,-2] u [2.3|

Rpta. x = 5

Rpta. <-o°, 1] L- <5,+o°>

Rpta. [-5,3]

Rpta. [-3,0] u <2.5]

Rpta. <2,4]


'42) y¡3-3.x<yj2l + 4 x - x 2

y]xi - x - I 2 ( x - 5)(2*2 - 3x - 2) < O

V 4-V Í-X —y¡2 — x > O

x2 -16J \ x - 4 \ - \ x - l \

yjx2 —3x + 2 >2 - x

* -1 0

■J24- 2 x - x L<1

® >0

•Jx2 — 5x — yÍ3xI 9x > je —10

\

\]x 2 - 4 x - 5

\ — tJx2 - i>x — 6

52) -Jx2 —x — l2(x — 5)(2x2 — 3jc —2) < O

y/x2 + X — 2 +3

I y¡9-x2 -1

W x2 - 5 x + 4 - 2I 2 — yJx — 2

> x - 4

> x — 6

Rpta. [-2,1 J

Rpta. <-°°,-3] u [4,5]

-V Í3+5 VT3 - 5Rpta. < -1 5 ,----------- > u < ----------2 2

Rpta. <-0 0 ,-4>

Rpta. <2,+^°>

Rpta. Í7,8> u {0}

Rpta. [-6,3]

Rpta. <-2,l> u [3,5]

Rpta. [8,9>i^{0]

Rpta. [-5,-3] u {5}

Rpta. <-°o,-3] u [4,5]

Rpta. < - 2 V2 , -2] [1,2 V2 >

Rpta. [-2,0] 'u [4,5]

.1]


f e = s + j m > oV x - \ \ x + 3

4 x 2 -J t + l <y¡4-x

y¡x2 +l(x2 - 4 x + l) 4x + 4

>0

Rpta. < -3 ,l> u[4 ,5]

Rpta. < —j3,y¡3>

Rpta. < -l,2 -> /3 > u < 2 + >/3,°° >

yJx + 3+-Jx — 6 > -\/6 —J

— \+y¡3x — 2 >y¡4x- 3 + y¡5x — 4

’63) y¡2x + 3 + y l3x-2-y l2x+5<yj3x

3 - 4 ^ 2 . x —8

60) 4 x 2 - 2 x - \ 5 > x + \

62} yjx2 - 2 x - y ] x 2 + 4x > 2

■Jx — l +y fx -2

y ja - x 2 —yfx£ 0 , a > O

3.35. VALOR ABSOLUTO.-

a) DEFINICIÓN.- Al valor absoluto del número real x denotaremos por | x |, y se define por la regla.

x si jc>0 - x si x < 0

Ejemplo.- | 7 | = 7, | -7 | = -(-7) = 7

b) PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO ■

© | a | > 0, V a e R © | a | > a V a e R

( ? ) | a | = | -a | ( ? ) | ab | = | a 11 b |

( £ ) | ^ i^-J, b * 0 ( ó ) |a + b |< | a | + |b | (desigualdad triangular)


Demostraremos la 6° propiedad, las demás dejamo: para el lector.

|a + ¿ |2= |(a + b)2 | =(a + b)2 = a 2 +2ab + b2

< \ a \ 2 +21 c || fc | + 1 ¿ |2 = (| o | + 1 ¿ |)2

|o+ fc |2< ( |c | + |¿ |) 2 ntonces | a + b | < | a | + | b |

3.36. PROPIEDADES BÁSICAS PARA RESOL VER "ECUACIONES E INECUACIONES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO.

© |a | = 0 <=> a = 0

| a | = b <=> [b > 0 a (a = b v a = -b)]

( 5 ) | a | = | b | <=> a = b v a = -b

© Sí b > 0, entonces:

i) | a | - b < a - b < a b o a > b v a<- b ii) | a | > b < = > a £ b v a < - b

( 6 ) i) | a\=-Ja* ii) \a \2 = a2

La demostración de estas propiedades dejamos para el lector.

Ejemplo.- Resolver la ecuación 14x + 3 | =7

Solución

|4x + 3 | = 7 <=> 4x + 3 = 7 v 4x + 3 = -7

. 5x = 1 v jc — —2

Luego para x = 1, jc = - son soluciones para la ecuación dada.

2 4 0 Eduardo Espinozc Remos

Ejemplo.- Resolver la ecuación |2x + 2 | = 6 x -1 8

Solución

|2x + 2 | = 6 x -1 8 <=> [6 x -1 8 > 0 A (2x + 2 = 6 x -1 8 v 2x + 2 = -6x + 18)]

<=> [x > 3 A (x = 5 v x = 2)]

- l32 3 5

Luego la solución de la ecuación es x = 5.

Ejemplo.- Resolver la ecuación | x — 2 | = | 3 — 2x f

Solución

| x — 2 | = | 3 — 2x | <=> x - 2= 3 - 2x v x - 2 = -3 + 2x

<=> x = ^ v x = l , la solución es: {1

I 4jc +11 - jc—11Ejemplo.- Hallar el valor de la expresión: --------------------, sí x e <0,1 >

Solución

| 4jc +11

4jc + 1 , x > — 4

-4 jc-1 , jc< - —

X — 1 , JC>1

1 — X , JC < 1

si x e < 0 ,l> => |4 x + l | = 4x + l , | x — 1 | = I — x

|4jc + 1|-|jc-1| 4jc + 1 - ( 1 - . v) 5jt Luego: -------1—!--------= ------------------- = — = 5

X X X

| 4 jc + 1 1 — | jc — 1 1= 5 , para x e <0,1>

Sistema de Números Realms 241

Ejemplo.- Resolver la ecuación |2x + 2 | = 6 x -1 8

Solución

| 2x + 2 | = 6x - 18 <=> [6x - 18 > 0 A (2x + 2 = 6x - 18 v 2x + 2 = -6x + 18)]

<=> [x > 3 A (x = 5 v x = 2)]

2 3 5

Luego la solución de la ecuación es x = 5.

Ejemplo.- Resolver la ecuación | x — 2 | = | 3 — 2x |

Solución

| x — 2 | = | 3 — 2x | x - 2= 3 - 2x v x - 2 = -3 + 2x

<=> x = — v x = 1, la solución es: {1,—}3 3

Ejemplo.- Hallar el valor de la expresión: — — , sí x e <0,1 >

Solución

| 4jc +11 =

4jc + 1 , x > —4

—4jc -1 , x < —— 4

\ x - l \_Jjc-1 , JC > 1

[ l — X , x< 1

si x e <0.1> => 14x + 1 | = 4x + 1 , | x — 1 | = 1 — x

Luego:|4jc + l | - | j c - l | _ 4 j c + l - ( l - j c ) _ 5 j c _ g

242 Eduardo Lsplnoza Ramos

Ejemplo.- Resolver la inecuación | 2x — 5 | < 3

Solución

| 2x — 5 | < 3 <=;■ - 3 < 2 x - 5 < 3 <=> 2 < 2 x < 8

<=> l < x < 4 <=> x £ <1,4>

Luego la solución es x e <1,4>

2 x -5Ejemplo.- Resolver la inecuación: | ------- 1 < 3x - 6

Solución

i 2jc —5. 2jc —5 2x — 5 2 x - 5| ------- 1 < 3 <=> -3 < -------- <3 <=> -3 < -------- A ------- < 3x — 6 x — 6 jt — 6 jc —6

5x —23 .x—13<=> ---------> 0 A -------->0x —6 x — 6

<=> (5x - 23)(x- 6 ) > 0 A (x - 13)(x- 6 ) > 9, x ^ 6

“ \ /---------- \ /--------- --------\ /-----------\ /-----__sz___ :___ ____ ±___ ^ ___ +__ v ___ :___ a___ ±2 3 /5 6 6 13

23 > u < 6,+°°> A < —00,6> < 13,+«j>

-O O-----------------© ------------- ©--------- e ■23/5 6 13

----------------- o o --

I a solución es: j t e < — > u <13,+«j >5

i.37. MÁXIMO ENTERO.-

Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por [| jc |1 y es el mayor

de todo los entero menores o iguales a x, es decir:


l|jc|] = máx {ne Z / x > n}

Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden oon x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero [| x |] , por ejemplo:

-------- 1--------1--------1-------- 1— • —I-------1---------1------ ►-1 0 1 2 x 3 4 í

De donde [| x |] = 2

Ejemplo.- Hallar [| 3 .71]

«•— I------------------------------- 1-----1---------- h -De donde [| 3 .71] = 3 q 1 ^

Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:3 3.7 4

-@- ■n+1

Entonces: [ |x |] = n <=> n < x < n + l, n e Z

Ljunplo.- Sí [| x |] = 5 <=> 5 < x < 6

[| x |] = -5 <=> -5 < x < -4

NOTA.- Como se podrá observar siempre se toma él número entero más próximo a la izquierda.

OBSERVACIÓN.- Por definición de máximo entero se tiene:

[ |x |] = n <=> n < x < n + l, n e Z

« x e [n,n+l>, n e Z

[ |x |] = n <=> x e [n 'n + 1 > , n e Z

Ejemplo.-[| x |] = -4 <=> -4 < x < -3 x e f-4.-3>

Ejemplo.-[| x |] = 2.15, es absurdo, puesto que todo máximo entero es un número entero.

2 4 4 Eduardo Espinoza Rattles

3.38.' PROPIEDADES DEL MÁXIMO ENTERO.-

[| x |] e Z, por definición

© V x e R, [| x |] < x, por Jefimc.on © [| x |] < x < [| x |] + 1, V xe R

© 0 < x - [| x |] < 1, V x e R 0 p x | ] | ] = [ |x |] , V x e R

(7) [| x + n |] = [¡ x |] + n, n c Z

En efecto: Sea [| x |] = k, k e Z , entonces k < x < k + 1

k + n < x + n < (k + n ) + l

=> [jx + n |] = k + n = [ |x |] + n

© [| x |] < n «=> x < n + l , n e Z [ |x |] < n x < n, n e Z

(lO) [| x |] > n <=> x > n, n e Z , x e R [ |x |] > n <=> x > n + I

V x, y e R, sí x < y <=> [| x |] < fl y |]

(¿3, [| x + y |] > [| x |] + [| y |]

Í[|jt|l = wi m < x < m+\[| y |] = « n < y < n +1

m + n < x + y < (m + n) + 2

entonces [|x + y |] = m + n o m + n + 1

por lo tanto [|x + y |]> m + n [| x + y |] > [| x J] + [| y |]

Sí « e Z + [| nx |] > n [| x |]

En efecto: Sea [| x |] = m => m < x < m + 1

=> nm < nx < m.i + n

=> [| nx |] > nm .\ [| nx |] > n [| x |]


15) Si x e R y n e Z + , entonces [|iL iJl|] = [| — |]

(16) Si a y b e Z, x e R, entonces se cumple:

i) a < [ | x | ] a + 1 < x 2 < 3 x + l < 3 =? - $ jc< — entonces J te [—,—>1 1 3 3 3 3

© Resolver la inecuación [| 5x |] < 3

Solución

3[ |5 x |]< 3 =* 5x< 3 =* jc < - xe<-°° ,

0 [| 2x |] < xSolución

Sí x < 0 2x < x => [| 2x |] < 2x < x

Es decir [| 2x |] < x S, =<—°°.0>

Sí 0 < x < — => 0 < 2x < 1 [I 2x I] = 0 < x2

Es decir [| 2x |] < x S2 =< 0,— >

Si .V > — => 2x > 1 => [ |2 x |] > l es decir: [ |2 x |] ; tx S3 =<¡>2

5 =<—o ° .0 > u < 0 ,—>2

<n | vn


© [ |2 x |]< [ |4 x |]Solución

P P 1 PSea [|4x |] = P <=> P < 4x — < 2 x < - + - < — + 12 2 2 2

P P=> [I 2jc I] = — A - e Z

2 2

[| 2x |] < [|4x |] => =* 0 < -y => 0 0 < [|4x |] => 4x > 1

1 ^ Jx > — => Cs = [—,+°°>4 4

® [ |-5 x |]< [ |x |]Solución

Sí 0 < jc< - => ^ - i< - 5 x < 0 => [|-5x |] = -l y -1 < 05 UMl = o

„ 15 ,= < 0 ,->

Sí x > j => -5x < x => [| -5x |] < [| x |] S2 = I ^ >+0° >

/. S = <0,+°°>

© [ |x - l | ] < [ |x | ]Solución

Sí x > 1; supongamos que: [| x |] = k

=> [| x - l|] = k — 1 < k = [| x |] de donde 5, = [1,+°° >

Sí x < 1, entonces [| x — 1 |] < 0 a [| x |] < 0

entonces [| x — 1 |] < [| x |] S 2 —< —°°,1 > S = R

© ( t i x |] — 2 )(x - 2 )(x + 1) > 0S o lu c ió n


a) Si x < 2 => [| x |] - 2 < O, luego resolveremos

-(x - 2)(x + 1) > 0 es decir (x - 2)(x + 1) < 0 de donde 5, =< —1,2 >

b) Sí 2 < x < 3, entonces [| x |] - 2 = 0 de donde S2 -<l>

c) Si x > 3 => [| x |] - 2 > 0 luego resolveremos ( x - 2 ) ( x + l ) > 0

S3 = [3.+oo > Pl(< —oo,— l > U[2,+oo >) = [3,-t-oc >

S = <-1.2> u [3,+°o>

( ? ) (jc3 - 1)(jc2 + l)V tU |]-x > OSolución

[| x |] - x > O, entonces [| x |] > x, pero por definición se tiene: [| x |] < x,

V x e R => [ |x |] = x e Z

Luego resolveremos (x3 — l)(x2 +1)>0 => x > l S — Z +

® ([| x — 2 [| x |] |]) (x - l)(x + 1) > OSolución

[| x — 2[| x |] |] = [| x |] - 2[| x |] = - [| x |]

i) Si x < O, => -[| x |] > O, entonces resolveremos

(x - l)(x + 1) >0 /. S| =<—oo,-l]

ii) Si O < x < 1 => [| x |] = O entonces S2 = [0,1 >

iii) Si x > l => [| x |] > O, entonces resolveremos ( x - l ) ( x + l ) < 0 53 ={1)

s = <-oo,-l] u [0,1]

10) [ | i i f | l = 2-v + 3

S o lu c ió n

248 Edvardo Espinoza Ramos

Se conoce que [| x |] + n <=> n < x < n + 1

x + 2x+3

x+2 _ „ , 1= 2 <=> 2 < -------<3 2 < 1--------<3x + 3 Jt + 3

<=> 1 < — —— < 2 <=> 1 < ----- -— A ---- -— <2jt + 3 x + 3 x + 3

<=> l + — — < 0 A 2 + —— > 0jc + 3 x + 3

x+4 „ , 2x + l „<=> ------ < 0 A ---------->0x+3 x+3

<=> [(x + 4)(x + 3) < 0 A (2x + 7)(x + 3) > 0], x * -3

x e [ —4,-3> A x e < —°°,— > i/< -3,+ oo>

2

©

Luego 1a solución es: xe [-4,—— >

I x I —1Resolver la inecuación [| —-— |] > 4

Solución

Aplicando la propiedad siguiente: Sí y e Z, [| x |] > y <=> x > y

|x | - l4 e Z,I x I —1

>4 <=> i—!— > 4 <=> |x | - 1 >20

<=> |x |> 2 1 <=> x>21 V x<-21

La solución es: x 6 <-«>,-21] u [21,+°°>

Resolver la inecuación [|| x | -2 x |] = 0

S o lu c ió n

Sijtcma de Números Reales 249

Por definición de máximo entero se tiene:

111.v| —2.v|] = 0 $=> 0 < | x | - 2x < 1 í=> 2 x < | x | < l + 2 x

ahora por la propiedad transitiva ( a 2 x < | x | A | x | < l + 2x ...(1)

además se conoce que: | x \ =x, jc>0

—x, x < 0

Io Si x > 0 => | x | = x reemplazando en (1) se tiene:

2x < 0 A x < 1+ 2x = > x < 0 A x > - l => x e <-1,0]

La primera parte de la solución es: x e [0,+°o> A <-l,0] => x = 0

2o x < 0 => | x | = -x reemplazando en (1 ) se tiene:

2x < -x A -x < 1 + 2x =î x < 0 A x > => xe < - —,0]3 3

la segunda parte de la solución es: x e <-°°,0> A < —■ ,0] => x e < - i , 0 >

Por lo tanto la solución de [ ||x | 2x|] = 0 es. jce< - ^ , 0 > u (0} = < — ,0]

3.39. INECUACIONES LOGARÍ^MICAS.-

Para el estudio de las inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente:

En primer lugar la definición de logaritmo es decir:

logfcyV = x í=> N = b x , N > 0 a b > 0

En segundo lugar las propiedades del logaritmo

Aa) log,, AZ? = log;, A + log;, B b) logfc — = log¿ A - logfc B

B


c) logy, A" = n log,, A d ) log,, t fÁ = — \ogb An

e) log,, 1 = 0 f) log,, b = 1

log*«

En tercer lugar se observa la gráfica y = logfc x cuando b > 1 y 0 < b < 1. Tamb.én

dentro del campo de los números reales, sólo tiene logaritmo los números reales positivo: ahora gratificamos la ecuación y = logfc x .

Al observar la gráfica se tiene los siguientes casos:

Io CASO.- Cuando la base es b > 1. en la gráfica podemos observar:

i) Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo.

i i) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces para cualquier

jcj . x 2 e R h se tiene

S í b > l y 0 < a , < x 2 <=> logfc x, < logfc x 2

De donde deducimos las relaciones siguientes:

a) Sí x >0, b > 1; N 6 R => logfc x> N <=> x>b"

b) Si x > 0, b > 1: N e R => log¿ x < N <=> x < b n

0

Sistema áe Numeros Reales 251

2 CASO.- Cuándo la base es 0 < b < 1, en ia gráfica podemos observar:

i) Lns númeroi mayores que 1 tiene logaritmo negativo.

iit Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier jc, , x2 de

R+ se tiene:

Sí 0 xi > x2

de donde deducimos las relaciones siguientes:

Sí x > 0, 0 lóg* x > N $=> 0 < v 0 , 0 log¿ x < N <=> x > b N

OBSERVACIÓN.- Resumiendo, para la solución de las inecuaciones logarítmicas se obtiene de la siguiente manera

log. a > log. c <=>&b Bb 1-------- : n '¿ < 1{a > c si b > 1

a < c si 0 cI a> b‘ si b > 1

\ a log2í5x+ 3)Solución

Calculando el campo de existencia de los logarítmicos dados

3 32x + 4 > 0 a 5x + 3 > 0 de donde x > -2 a x > — U =<— ,+“ .

5 5

como la base e-. 2 > 1. entonces se tiene:

252 Eüua, do Espinoza Ramos

La solución es: .te< — . +°° > n < —OO — >=<--- — > 5 —< ------ — >5 ' ’3 5 3 5 ’ 3

® log, (2jc + 5) < -23

Solución

Calculando el campo de existencia del logaritmo

2x + 5 > 0, entonces a > —— de donde U =< ——,+«■ >2 2

como la base es — < 1, entonces se tiene:3

log, (2x + 5) < -2 <=> (2jc + 5 > (—)~2 => 2x + 5 > 9 = > x > 2 => x 6 <2,+°°>3 3

Luego la solución es: J t e < > n < 2,+°° >=< 2,+°° > .\ S = <2,+°°>

( ¿ ) log2(| jc—2 1-1) > 1Solucion

Calculando el campo de existencia del logaritmo

| x — 2 | - 1 > 0 => | x — 2 | > 1 => x - 2 > l v x - 2 < - l => x > 3 v x < l

de donde U = <-°Oj 1> u <3,+°°>

como la base es 2 > 1, entonces se tiene:

log2( |a 2 1 1)> 1 => IJC-2I-1 >2'

=> | x — 2 | > 3 = > x - 2 > 3 v x - 2 < - 3 => x > 5 v x < - l

x e <-«>,-1> u <5,+°°>

La solución es: x 6 (<-•», 1> u < 3 ,+ o o > ) n (<-«>,-1> ^ <5,+°°>)

S = -1 > u <5,+°°>


x + 15,i>1

Solución

x +15El logaritmo dado está bien definida sí x > 0 y x & 1 además ------- > 0x —1

Luego el campo de existencia es U = <l,+°°>

x + 15 x + 15 | x+15 ■log^í------- ) >1 => ------- > x = > ---------- x > 0 , de dondex — 1 jc — 1 a —1

-v + 1 5 - x 2 + a x 2 - 2 x - 15 „ , . , ( x - 5 ) ( x + 3 ) „>0 => -------------- < 0 de donde ----------------< 0X — 1 X — 1 x - 1

de donde x e <1 ,+«>> u <1,5>

La solución es: x e <l,+°°> n (<-°°,-3> u <1,5>) = <1,5> ,\ S = <1,5>

( ? ) Resolver la inecuación log1/3(2 \+ 5 )< -2

Solución

Aplicando la prop.edad siguiente: x > 0 , 0 x > b N

5para nuestro caso 2x + 5 > 0 => x > ——

logl/3(2x + 5) < — 2 <=> 2x + 5>(^)~2

2x + 5 > 9 $=> 2x >4 => x > 2 , la solución es: x e <2,+°°>

© Resolver la inecuación log2 (| x — 2 1 —1) > 1

Solución

Aplicando la propiedad siguiente: x > 0, b > 1. N e R, logh x> N <=> x > b N

para nuestro caso se tiene | x — 2 | - 1 > 0


| x - 2 | > 1 <=> x - 2 > l v x - 2 < -1 <=> x > 3 v x < l

log 2 (| jc — 2 1 — 1) > 1 <=> | x — 2 | - 1 >2

| x — 2 | > 3 <=: x - 2 > 3 v x - 2 < - 3 <=> x > 5 v x < - l

La solución es x e <-°°,-l> u <5,+°°>


Resolver las siguientes ecuaciones:

(T ) | jc2 + 2 |= 2 jc + 1Solución

Por definición de valor absoluto | x 2 + 2 | = x 2 + 2 ... (1)

Al reemplazar en | x 2 + 2 1 = 2x +1 se tiene:

x2 +2 = 2.v+ 1 de donde a' 2 - 2 x + 1 = 0

(jc —l)2 = 0 entonces x = l . Luego la solución es: x = l

| x 2 - x — 6 1 = x + 2Solución

\ x 2 - x — 6 \ = x + 2 <=> [x + 2 > 0 A (.v2 —x — 6 = x + 2 v x ? —x — 6 = - x - 2 ) ]

<=> [x> —2 A (.v2 —2x —8 = 0 v *2 =4)]

<=> [x>-2 A (x = 4, x - - 2 v .* = ±2)] I---------------------------------- ►I

La solución es el conjunto { -2,2,4} _2 2 4

(5) j c 2 — 2| jcI—3 = 0


Solución

La ecuación dada se exprese así:

2\x \ = x 2 — 3 « [a:2 - 3 > 0 A (2a: = a:2 - 3 v 2a: = - * 2 -*-3)]

<=> [a-2 >3 A ía-2 —2 x -3 = 0 v x 2 + 2 x —3 = 0)]

« (x>V3 V a < —VJ) A ( a : = 3,-1 V x= —3,1)

* I I I I I I *" La solución es {-3.3 ) -3 -n/3 -1 1 >/3 3

© | x - 4 | = | x - 2 |Solución

Aplicamos la propiedad: | a | = |b | <=> a = b V a = -b

| x — 4 | — | x — 2 | $=> x - 4 = x - 2 V x - 4 = -x + 2

<=> -4 = -2 V 2x = 6

<=> <[> V x = 3, La solución es x = 3

| x — 2 | = | 3 — 2x | <=> x - 2 = 3 - 2 x V x - 2 = -3 + 2x

© | x - 2 | = | 3 - 2x |Solución

« x = — V x = 1, La solución es: [1 —}3 3

© 2|t+21- 12A+1 - 1 1= 2*+l +1Soluciói

Aplicando la definición de valor absoluto

256 Educrdo Espinoza Ramos

para x < -2x + 2 1 = — jc — 2

|2 jr+l- l | = 1 — 2x+l

reemplazando en la ecuación 2 v+2' - 12JC+I -1 ¡ = 2JC+I +1, se tiene:

2~x~2 - (1 - 2jr+l) = 2JC+1 + 1. simplificando 2_JC“2 = 2 => -x - 2 = 1 => x = -3

Luego x < -2, la solución es x = -3

í|x + 2 | = x + 2 Para -2 < x < -1 => \

\ | 2 ^ ‘ - 1 1 = 1 — 2

reemplazando en la ecuación 2x+2 - (1 - 2 *+1) = 2 *+1 +1, simplificando

2X*2 =2 => x + 2 = l = > x = -l, como - 2 < x < - l entonces x = 1 no es solución

í|x + 2¡ = x + 2 Para x > - l => <

= 2 — 1

reemplazando en la ecuación se tiene: 2X+1 - (2*+l -1) = 2X+I +1, simplificando

2X+2 = 2X+2 => x + 2 = x + 2, V x e R

Luego la solución para x> 1 es R A = |-1.°°>

Por lo tanto la solución de la ecuación es: x = -3 y [-l,+°°>

© I-*2 - 9| + | jc2 -4 | =5

Solución

A la ecuación |jc2 -9 | + |jc2 -4 | = 5 expresaremos en la forma:

|x + 3 | | x - 3 | + | x - 2 | | x + 2 | = 5 ...(1)


' i ' 2 >3 l4 <5

------1-------- 1-------- 1-------- 1-------►- 3 - 2 2 3

analizando en cada intervalo I¡, i = 1, 2, 3, 4, 5

í|x + 31 = — a —3 ; |x 3 1 = 3 - xPara x < -3 => . . ... (2)

[|x + 2| = - x -2 I j: — 2 1 =2 — x

Reemplazando (2) en (1) se tiene: (-x - 3)(3 - x) + (-x - 2)(2 - x) = 5

efectuando y simplificando x 2 — 9 => x = ± 3

luego como x < -3 la solución es: x e <-00,-3> A {± 3} = <)>

f| jc + 3 1 = x + 3 ; I jv- — 3 1 = 3 - xPara - 3 < x < - 2 => \\ , . ..(3 )

[j x + 2 | = —x - 2 • | x — 2 1 = 2 - x

Reemplazando (3) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) - (x + 2)(2 - x) = 5

efectuando operaciones y simplificando: 9 - x 2 —4 + x2 =5 => 5 = 5 es valido V x e R

luego la solución es: [-3,-2> n R = [-3.-2>

ílx + 3| = x + 3 ; | a - 3 | = 3 - x Para - 2 < x < 2 . . .(4 )

[| x + 2 1 = x + 2 ; | x — 2 1 = 2 — x

Reemplazando (4) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) + (x + 2)(2 - x) = 5

9 - x 2 + 4 - x 2 =5 => x = ± 2

luego la solución es: [-2,-2> n {±2} = {-2}

, . , J| Jf + 3 1 = x + 3 , |x - 3 | = 3 - xpara 2 < x < 3 => , -.-(5)

[ |x + 2 | = x + 2 , | x — 2 1 = x — 2

reemplazando (5) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) + (x + 2)(x - 2) = 5

efectuando y simplificando 5 = 5 es valido V x e R


Luego la solución es: [2,3> n R = [2,3>

f| a+ 3 I = jc + 3 , I x — 3 1 = x — 3Para x > 3 => V

[ |x + 2 |= j : + 2 , \ x - 2 \ = x - 2

Reemplazando (6) en (1) se tiene: (x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2) = 5

efectuando y simplificando: x 2 =9 => x = ±3

Luego la solución es:

- (6)

[3,+°°> n [± 3} = {3}

Por lo tanto la solución de la ecuación es: [-3,-2> v {-2} u [2,3> v {3}

[-3,-2] u [2,3]

® \ x 2 - 4 \ = - 2 x + 4Solución

Por la propiedad: | a | = b <=> b > 0 A (a = b v a = -b)

| jc2 - 4 | = —2a + 4 <=> -2jc + 4 > 0 A (x2 - 4 = -2x + 4 \ x 2 - 4 = 2 x -4 )

<=> x < 2 A (x2 +2jc-8 = 0 v .v2 -2 j: = 0)

<=> x < 2 A ((x + 4)(x - 2) = 0 v x(x - 2) = 0)

<=> x < 2 A (x = 2, -4 v x = 0,2)

Luego [-4, 0, 21 son las soluciones de la ecuación dada

® | x2 + 3 1 = | 2j: + 11Solución

Por la propiedad: | a | = |b | <=> a = b v a = -b

| x 2 + 3 1 = | 2 j c + 1 | <=> j c 2 + 3 = 2 a : + 1 v x 2 +3 = - 2 x - l

<> x 2 - 2 x + 2 = 0 v j : 2 + 2 j : + 4 = 0

<=> c)) v <}> = (J)

La solución es él (J) puesto que V x e R, x~ — 2x + 2 > 0 . x~ + 2x + 4 > 0


© I»' + 6a + 1|=2a + 6

Solución

Por la propiedad: | a | = b <=> b > 0 A (a = b v a = -b)

|.v "+ 6 jc + 1 | = 2jc + 6 <> 2jc+ 6 > 0 A [x2 +6x + \ = 2.V + 6 v x + 6a + 1 = -2 j:-6 ]

<=> x > - 3 A (a 2 + 4 a - 5 = 0 v x 2 +8jc + 7 = 0)

« x >-3 A (x = 1,-5 v x = -1.-7) I----------------------

Luego la solución es {-1,1} -7 -5 -3 -1 1

3.Y + 8

2a - 3

Solución

3 a + 8 2a - 3

= - 8 , para x * ~

3<=> 3x + 8 = 8(2x - 3) v 3x + 8 = -8(2x - 3), x *■ —

<=> 13x = 32 v 19x = 16, Luego la solución es: x = — , x - —13 19

11 x | — 5 | = 2x — 3Solución

11 x | — 5| = 2x — 3 <=> 2x - 3 > 0 A ( | x | - 5 = 2 x -3 v | x | - 5 = -2x + 3)

<=> ^ (|a|=2x + 2 V |a |= -2 x + 8)

=> x = -2 v x = —, por lo tanto la solución es x - —

260 Educrdo Espinoza ¡tamos

13) | jc — 4 1 —5| a —4 1+6 = 0Solución

Factorizando se tiene: ( | x - 4 | - 3 ) ( | x - 4 | - 2 ) = 0

<=> | x - 4 | — 3 = 0 v | x - 4 | - 2 = 0

<=> | x — 4 | = 3 v | x — 4 | = 2

<=> ( x - 4 = 3 v x - 4 = - 3 ) v ( x - 4 = 2 v x - 4 = -2)

<=> x = 7 v x = l v x = 6 v x = 2, las soluciones son: {1,2,6,7}

14) Hallar el valor de la expresión: - — + ———— si x e <2,5>x

Solución

Por la definición de valor absoluto se tiene:

7

| 4jc + 7 | =

4a + 7 si x > — , _ _4 ; [ jt-71 S' X ~ 1

7 (7 — jc si jc<7—4jc — 7 si x < —4

ahora para x e <2,5> <=> |4x + 7| = 4x + 7, |x - 7| = 7 - x

I 4a + 7 I — I a — 7 I 4a + 7 - ( 7 - a ) 5a como x e <2,5> « --------- '■— ---- - =---------- ------ - = — = 5

I 4 a + 7 I — I a — 7 I r . -------- — -------- = 5 si x e <2,5>

I 5 a + 4 1 — 14 + 3a I15) Hallar el valor de la expresión: ---------------------- si x e <0,3>

Solución

Aplicando la definición de valoi absoluto


| 5a + 4 1 =

5a + 4 si x> — 5

4-5a — 4 si x < —; 14 + 3 jc | =

4 + 3jc si x> —

- 4 -3 * si x <

ahora para x e <0.3> <=> | 5x + 4 | = 5x + 4, 14 + 3x | = 4 + 3x

I---------------------------- 5jc -t- 4 1 — 14 — 3jc I 5jc + 4 —(4 + 3x) 2x „ corno xe< 0 ,3> <=> - — -------- - = ---------- -------- - = — = 2

15 a + 4 1 — 14 + 3a ' |

Hallar el valor de la expresión:

= 2 si x e <0,3>

| 5jc — 201 — | 3jc — 201 si x e <-3,-2>

Solución

Aplicando la definición de valor absoluto

Í5jc-2 0 si x > 4 |5a- 20|= . ; 13 jc — 201 =

[2 0 -5 jc si x < 4

3 x -2 0 si x >

20-3jc si x<

20320

3

ahora para x e <-3,-2> <=> |5x - 20| = 20 - 5x, |3x - 20| = 20 - 3x

15a - 201 - 1 3jc - 201 20-5jc —(20-3jc) 2x „<-3,-2> <=> ------ -— ----------- ------------------------- = ------ = -2corno x i

| 5jc — 201 — | 3jc — 201= -2 si x e <-3.-2>

17J Resolver la inecuación | a 2 -4 |< 5Solución

Por la propiedad: | a [ - b < a 0

| jc2 — 4 [< 5 <=> - 5 < a 2 - 4 < 5


« — 1 < jc“ <9 <=> - l < j r n a- <9

| 9 - a2 I >3

<=> x e R n - 3 < x < 3

<=> -3 < x < 3, Luego la solución es

Solución

x e <-3,3>

Por la propiedad | a | > b <=> a > b V a < -b

19 — jc2 | > 3 9 - jc2 > 3 v 9 - j c 2 < 3

<=> x 2 <6 v x 2 >12

<=> —\/ó < jc < -n/ó u jc > Vl2 u jc < —</l2

r"i

r -i

- n/12 -n/6"

Luego la solución es:

\/6 \/l2

xe< —oo-—\/l2] u [—yfó,- 6] u [ »12,+'* >

3jc - 3 |JC+1

<2

Solución

Mediante la propiedad: | a | - b < a -2 < ------- <2x +1 jc +1

3jc — 3 3jc — 3 <=> -2 < -------- A ------- < 2JC + 1 JC+1

5jc— 1 a - 5 „ ,<=> -------> 0 A - — < 0 , para x * - lJC + 1 JT+1

<=> (5x - l)(x + 1) > 0 A (x - 5)(x + 1) < 0, x * -1


-1 1/5 -1

xe< -«>,-1 > U < —,+ o o > A jcs< -1 ,5>

------------O

-1O-

1/5 5-O

Luego la solución es jce< —,5 >

Resolver: —!— e [—,1] x + 4 3

Solución

— e [-.1] => - < —í— <1 x + 4 3 3 .v + 4

1 < x + 4 < 3

-3 < x < -1, luego la solución es x e [-3,-1 ]

Resolver I—-— I > I—-— | 2jc—1 x — 2

Solución

- 5 . . 1 , 5 1 1 -------- > ------ <=> --------- > --------- para x * - ,2 se tiene2.V-1 x — 2 | 2jc- 1 | | Jc-21 2

5|x-2| > |2x - 1|, elevando al cuadrado 25(jc- 2 ) 2 > (2jc — l)2 efectuando y simplificando:

------ \ - -7a-2 -3 2 jc + 33>0 <=> (7x - 1 l)(x — 3) > O

11/7

Como (7x - 1 l)(x - 3) > O, se toma los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir

< - o o ,— ] u [3 ,+ o o >. Luego la solución es: 7

<-oo(—]u [3 ,+ o o > - { - ) 7 2


Resolver la inecuación: | a: — 112 +21 jc- 1 1 -3 < 0

Solución

Completando cuadrados se tiene:

( |jc- 1|+1)2 < 4 « - 2 < | x + 1 | + 1 <2

<=> -3 < | x + 1 | < 1

<=> - 3 < | x + l | A | x + l | < l <=> R A - l < x + l < l

<=> R A -2 < x < 0, la solución es x e <-2,0>

| Jc-312 —3 1 jc — 3 1 — 18 >0Solución

Factorizando se tiene:

(| x - 3 | - 6)(| x - 3 | + 3) > 0 <=> x - 3 | > 6 A |x - 3| > -3) v (|x - 3| < 6 A |x - 3| < -3)

<=> ( | x - 3 | > 6 A R ) v ( J >

<=> ( x - 3 > 6 v x - 3 < - 6 ) A R

<=> (x > 9 v x < -3) A R

<=> (x < -3 v x > 9)

La solución es x e 3> lj <9,+°°>

2 — xSolución

Por la definición de valor absoluto | x |=x, x > 0

- x, x < 0

Si x < 0 => | x | = -x, reemplazando en la ecuación dada se tiene


-JC-1> 0 JC + 1 >0 x+l > 0 <=> (x + 1 )(x - 2) > 0, para x *■ 2

------\ r '

2 - x x - 2 x - 2

de donde (x+ l ) (x -2 ) = 0 => r, = — 1, r2 - 2

JC +1como ------> 0 la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) íesx - 2

-1 2 -

decir:

Si x > 0

JC-1

x e (<-o°,-l] u <2,+°°>) A <-oo,0]

/. x e <-oo,-l] - ( I )

2 - x>0

| x | = x, reemplazando en la ecuación dada se tiene

x —1 „ . . .< 0 de dondex - 2

Si x — 1 < 0 <=> ( x - l ) ( x - 2 ) < 0 para x * 2----- \ /-±__ )¿.

x - 2

Entonces ( x - l ) ( x - 2 ) = 0 => ^ = 1 , r2 =2 -j

x — 1Como ------< 0 => la solución es: x e [0,+oo> A [1,2> = [1,2>x - 2

-\ /-------_V___ ±_

/. x e [1,2> ... (2)

La solución de la inecuación es la unión de (1) y (2) es decir: x e <-oo,-l] lj [1,2>

(2S) I - 1- ! < | - ^ - |2 a + 3 3 a + 7

Solución

J _ < _ N2x-+ 3 3x + l | 2jc + 3 | |3* + 7 |

266 E duardo Espinoza Ramos

-\ /----------\ /-•___ ±__V___

-7 /3 -3/2

a) si a < — 3

13-t + 7 | = —3-V — 7 \x\ = - x| 2a+ 3 1 = 2 a - 3

reemplazando (2) en (1) se tiene: -3x- 7 < (-x)(-2x - 3) de donde 2a

pero como V x e R, 2x2 + 6x + 7 >0

la solución es:

7 3b) Si — <x< ——3 2

7 7< —oo,— > A R = < — >3 3

|3 jc + 7 |= 3 a + 7

| 2a+ 3 1=-2a - 3

reemplazando (3) en (1) se tiene: 3x + 7 < -x< 2x - 3) de donde

2x2 - 7 >0 => ( j 2 x + y f i ) ( j 2 x - j 7 ) > 0

. n/71 2

7 3La solución es: < — ,— > A (<-«>.3 2

+°° >)

i

c) S i ----< A < 0 = >7

13x + 7 | =3a + 7 | x | = -a | 2a + 3 1 = 2 v + 3

... (2)

! + 6x + 7 > 0

. . . (3)

2a:2 —7 > 0

. . . (4 )

Sistema de Números Reales ?,67

reemplazando (4) en (1 ) se tiene: 3x + 7 < (-x)(7x + 3) de donde 2 f + 6a + 7 < 0

como V x e R, 2a 2 +6 v + 7 > 0 entonces la solución es:

d) Si x > 01 3 . v + 7 1 = 3 a + 7

I x I — ■*| 2 a + 3 | = 2 a + 3

- ( 5 )

reemplazando (5) en (1) se tiene: 3x + 7<x(2x + 3) => 2x~- 1 >0

2 a 2 - 7 > 0 « ( V 2 v + n/ 7 ) ( V 2 a - V 7 ) > 0

----\ r '_±__ V__

■vi ( I

La solución es: [0,+°°>n (<-7— 7

— , + o o > o

+oo >7 7 /7 / 7luego la respuesta es: < — > u < 1 u J j —•

i ^ l h L i i > o1 - | a | -

Solución

fjc — 1, si a > 1Aplicando la definición de valor absoluto: | _v — 11 = -i ; | a | =

11 — X, si x < 1a , si a > 0

—A , S Í A < 0

a) Si x < 0

----------- <D-0

M = - xI JC — 1 I = 1 —A"

... (2)

reemplazando (2) en la inecuación dada. — ~ 1 + A> 0

como ----- >0 <=> x + 1 > 0 . x * 1 <=> x > -1\+ l


La solución para este caso es: A <-<*>,-1 > = <-1 ,G>

b) Si 0 < x < 1 => í¡ X[\ a -1 |= 1 -a

... (3)

reemplazando (2) en la ecuación dada:

-———— > 0 — —- > 0 <=> (2x - l)(x - 1) > 0 para x * 11 - x A —1

ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

"\___±_

1/2 1

La solución para este caso es: [0,1) > A V < l,+ o o » = [0 ,-]2 2

c) Si x > 1I A | = -x| x — 11 = x -1

(4)

reemplazando (4) en la inecuación dada:

x — 1 — X 1----------> 0 <=> ------ > 0 <=> x - 1 > 0 para x / l de donde x > 1.1 - x x — 1

La solución para este caso es: [ I ,+<*>> A < 1 ,+<*» = < 1 .+<*»

Por lo tanto la respuesta es: < -1,0 > u [0,-1 u < l,+oo > = < -1 ,-1 u < l,+oo > ') o

| 2a7’ —3a —9 1< 2 1 a2 —2a —3 1Solución

2a - 3a— 9 = (2a + 3Xa - 3)Se conoce que: | (2x + 3)(x - 3) | < 2 | (x + l)(x - 3) |

de donde: |2x + 3 | | x - 3 | < 2 | x + l 11 x — 3 | para x * 3

se tiene | 2x + 3 | < 2 | x + 1 |, elevando al cuadrado:

4.v2 +12a +9 < 4x2 +8jc+4 => 4x < -5 de donde:

x < —— ; luego la solución es:4

5jte< -co,— >

4

(28) I —— 2 1 <11x

Mediante la propiedad: | a | - b < a a -------> 0 A --------->0

---- \ /---------- \ /---- -- ------- \ /---------- \ /---- --+ v ~ v + + v___ :___ )¿___±_

-1/9 0 0 1/13

La solución es: .ve (< —<»—- ><u< 0,-h» > )n (< -«>,0 ><J< — ,+°° >)9 13

1 1jte< -°° , — > u < ---,+oo >

9 13

© | 3x + 2 | < | 2x - 1 | + 1 x + 3 |S o lu c ió n

270 Eduardo Espinoza Hamos

Aplicando la desigualdad triangular

V x e R: | 3x + 2 | = | (2x - 1) + (x + 3) | < | 2 x - l | + | x + 3|

Por lo tanto la solución es: V x e R

4X + 2X+3 - 9 > 0Solución

Se conoce: 4 * = 2 2x, 2 1+3 = 8.2 *

4X + 2A+3 — 9 > 0 <=> 22x + 8.2* - 9 > 0

22x + 8 .2* -9 > 0 (2a +9)(2* -1) > 0

(2X + 9)(2A — 1) > 0 <=> (2A+ 9 > 0 A 2 l - l > 0 ) V (2a +9 < 0 A 2X

<=> ( 2 '> - 9 A 2 '> 1 ) V (2 r < -9 A 2 r <l )

<=> x e (R A iG,+°°>) V (c¡) A <-°°,0])

x e [0,+°°>

Demostrar que: Sí | x - a | < R => x e [a - R. a + R]

Solución

Si | x - a | < R = > - R < x - a < R

=> a - R < x < a + R

=> x e [a - R, a + R]

. . . . i 2jc + 3. 7Demostrar que: Si | x + 4 | < 1 => | ---------1 < —jv — 1 4

Solución

.. 2x + 3 2x + 3A la expresión ------- expresaremos en la rorma:x - l jc — 1

= 2 + -x - l

- 1< 0)

- (1 )


Como | x + 4 1 - I < x + 4 < 1 sumando -5 se tiene:

=> -6 < x - 1 < -4 inviniendo

• > 1 , ■ j— < ----- < — , multiplicando por 54 x — 1 6

5 5 5— < -< — sumando 24 x + l 6

3 5 7 7— < 2 + ---- < - < —4 jc-1 6 4

3 2jc+3 7— < ------- < — =>4 jc — 1 4

, 2jc + 3. 7

1— H < 7jc— 1 4

x - 2 x - 3Solución

Por deñnición de valor absoluto: 12x - 1 1=2 x - \ , x > -

2

\ - 2 x , x < -

-\ /----------_____ ±_

1/2

Sí jc< - => | 2x — 1 |= 1 -2 x2

Reemplazando en la inecuación dada:

1 - 2jc + 1 2x—2<0 <=> ------------------>0x¿ - 2 x - 3 (jc — 3(jc + 1)

( x - l)(x -3 )(x + 1)>0

para x -1,3- Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

272 Eduardo Espino?a Ramos

La solución para este caso es: a e< > A (< -1 .1] U < 3,+°° >)

Si x > — => |2x - 1| = 2x - 1, reemplazando en la inecuación dada

2 a - 1 + 1

x 2 — 2 jc — 3< 0 <=>

(* -3 )(x+ l)= 0 => x(x - 3)(x + 1) < 0, x *-1,3

Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:- \ /----------\ r '_v___±__ v__

-1

La solución para este caso es: x e [—,+°° > n (< -° ° .- l > u [0,3 >)

Por lo tanto la solución de la inecuación es: jre<-l,-* > u [—,3>=<-1 ,3>2 2

l ^ - * l - 2 >o \ x \ - l ~

Solución

A la inecuación expresaremos en la forma

I jc2 — jc I —2 | jc || jc — 11 — 1--------- -— > 0 <=> 1 1 — ■— >0| a | - 1 | * | - l

Ahora aplicamos la definición de valor absoluto.

, í x si x > 0 . . fjc — 1, si jc>1[ - j ís ij e c O [1 -x . si *<1

- ( 1 )

-----\ /_ h L

para x < 0 => | x | = - x, | x — 1 | = 1 — x ... (2)


- v ( l — a ' ) — 2

—.V — 1> 0 x - - x - 2

*+1<0 (-*-2)(jr + l)

AT+1)<0

(a - 2 )( jc + 1)para x * 1, ----------------< 0 => x - 2 < 0, x^ - 1x + l

=> x e <-°c l> u< -l,2 ]

Luego la solución para este caso es: x e <-°°,0> n (<-eo,-l>u <-!,!])

x e <-»0 ,-1 > u <-l,0>

para O < x < 1, => |x | = x, | x — 1 | = 1 — x

reemplazando (3) en (1) se tiene:

...(a)

... (3)

v l--v )-2 x — 1

>02 -> c — x - 2

x - i>0

X - - X + ?x - \

<0

1x - \

< 0 => x - 1 < 0

x * 1 => x < 1, luego la solución para este caso es: x e fO,l> n <-oo,l> = [0,1> ... í[l)

para x > 1 = > | x | = x, | x — 1 | = x — 1


xix~ l)- 2 >o =* £ ~ x ~ 2 >p ^ (a—2 x v + i) s 0X — 1 A" — 1 Y 1

=> (x - 2)(x + l)(x - 1) > 0, para x ?£ 1

Ahora por el criterio de los puntos críticos se tiene

x e [l,+oo> n ([ 1,1> [2,+oo>)\ /----------- \ /V + V ___±_1

x e [2 ,+ o o > ... ty)


Por lo tanto la solución general de la inecuación es: la unión de (a), (P) y (y)

x e <-oo,-1> u <-1,0> i j [0,1> u [2,-: ®°>

l i í ^ H ÍO i - - / ?

Solución

A la inecuación dada expresaremos en la forma.

\ 4 x - x 2 | —5 ^ Q ^ | Jr|| JT—4 |- S ==0

1 - V ? h * i

Aplicando la definición de valor absoluto:\ /---------- \

Í jc si x > 0 , . í x - 4 si x >4 + V_ • I* ~ 4 h . . . n

- x si jt< 0 [4 - j t si x < 4 U

Para x < 0 = > | x | = - x , | x - 4 | = 4 - x

—x( 4 — J i'l — S JC*- — 4x — 5Reemplazando (2) en (1) se tiene: --------------- >0 => ------------- > 0

1 + jt jí+1

—— + > o x * - l , x - 5 > 0 => x > 5jc + 1

La solución para este caso se tiene: x e <-°°,0> n [5,+°°> = <)>

Para 0 < x < 4 = > | x | = x, | x - 4 | = 4 - x

Reemplazando (3) en (1) se tiene:

o =* 2-5>q => ilzi£±l>01 - jc 1 — x jc—1

•> 1como V x e R, x~ - 4 x + 5 >0 => ----- > 0 => x - 1 >0, x * 1x — 1

entonces x > 1, por lo tanto la solución para este caso es:

. . (1)

••(2)

.. (a)

..(3 )


x e [0,4> n <l,+°°> x e <1,4>

para x > 4 = > | x | = x , | x - 4 | = x - 4


... (ß)

. . . ( 4)

y( a —4 ) - 5 > 0 x — 4 a — 5 >0 t — 4 jc- 5 > 0l-.v l- .v x — 1

para x * 1. (x - 5)(x+l)(x-l) >0, ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

------- \ /---------- \ /----------\ /-------~___v +___ 'i___ :___ sz__ ±___

la solución para este caso es- x e [4,+°°> n ([-1,1> u [5,+°°>)

x c [5,+°°>

La solución general es la unión de (a), (ß), y (y)

/. x e <1.4> u [5,+°° >

| 2 - jc| - jT

8a- 19 - jc2 |<0

Solución

A la inecuación dada se puede expresar en la forma:

12 — jc I — r2 U-2I-V2— ------- < 0 <=> --------------- < 0 (propiedad del valor absoluto)8 1 - 1 9 - .V2 | 8 a — | a 9 1

1 2 - a - I - a 2

8a - 19 — jc2 I<0 <=> \x-2\

— (y)

8a - I a + 3 II jc — 3 1<0 ... (1)

ahora aplicando la definición de valor absoluto.

í jf+3 , a > —3 [x ~2l - v + 3 | = | a- 2 | =

[ - . v — 3 . a < - 3 [ 2 — -vX ~ 2 , |jc-3 | = {* 3 ’ x <2 | 3 - a , a < 3

276 Eduarao Espinoza Ramos

------©--------©--------©— ►-3 2 3

Sí x <-3, => | x + 3 | = -x - 3. | x - 2 | = 2 - x, | x - 3 | = 3 - x ...(2 )

Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:

2 - x - x 2 n 2 - x - x 1<0 => -------------------------- <0

8jt — ( - X — 3)(3 — jc) 8* + (3 + x)(3 - x)

2 - x - x 2 x2 + x —2<0 <=> —---------- <0

8x + 9 - x 2 x2 —8x —9

(x + 2)(x- l)(x-9) (x + l)

<0 <=> (x + 2)(x- l)(x - 9)(x + 1) <0. x * - l,9

------\ /---------- \ /---------- \ /---------- \ /-------+ \/ - V + V - \/

- 2 - 1 1 9

de donde x e [-2,-l> u [1,9>

La solución para el caso en que x < -3 es: x e (f-2,-l> u [1.9>) n <-°°,-3> = <]>

para - 3 < x < 2 = > | x + 3 | = x + 3, | x - 2 | = 2 - x , | x - 3 | = 3 —x -.-(3)

reemplazando (3; en (1) se tiene:

< o = , 2 ~ * - ¿ < o a 4 ^ - a o8jc-(jc + 3 )(3 -x ) 8 x - 9 + x 2 x 2 + 8 x - 9

(.v+2)(.r-l)(* + 9)(x —1)

> 0 <=> (x + 2)(x - l)(x + 9)(x - 1) > 0, para x * -9,1

-------\ i--------- \ r ~ ~ -(x + 2)(x + 9)(jc-1)2 > 0 , x * -9 ,l -----±---- *------ 1----- V------- ±_

de donde x e <-°°,-9> u [-2.1> u <l.+°°>

La solución para este caso en que -3 < x < 2 es:


x e (<-°°,-9> u [-2.1 > u < 1 ,+oo> n [-3,2>

x e [-2,1> u <1,2>

8a - ( v + 3 ) ( 3 —a ) 8 v - 9 + jc‘ a T + 8 a - 9

corno x 2 - x + 2 > 0 V x e R => —— -------->0xJ + 8 a - 9

>0 => ------- -------- >0 => (x + 9)(x - 1) > 0 , x * -9 ,la ' + 8 a - 9 ( a + 9)( * —1)

---- \ /-----------\ /_+ V - ______

... (a)

para 2 <x <3 => |x + 3 | = x + 3, | x - 2 | = x - 2 , |x —3 | = 3 - x ...(4 )

reemplazando (4) en (1 )se tiene:

< 0 « <0 « ^ ~ X* 2 >0

• 9 1

de donde x e <-°°,9> u <l.+°°>

La solución para este caso en que 2 < x < 3 es:

x e <-°°,-9> u < 1 ,+°°> n [2,3> = [2,3> ... (P)

para x >3 = > | x + 3| = x + 3, | x - 2 | = x - 2 , | x - 3 | = x - 3 ...(5 )


Y — O — x2 X — 2 — V~ x~ — Y+ 7------ < 0 => - — <0 => - - -----------<0

8 v - ( a +3)(.v-3) 8a - x ~ + 9 x - 8 a - 9

como a 2 - a + 2 > 0 , V x = > — — --------------<0x - 8v- 9

--------\ /----------- \ r ~ ~ ------- -------<0 « ( x - 9 ) ( x + n < 0 , x ^ 9 .- l ----- -----^------ -------X----- I -----a 2 - 8 a - 9 9

de donde \ e <1.9>

278 Eduardo Esphioza Raines

La solución para este caso es: x e <-l,9> n [3,+°°> = [3,9> ... (y)

la solución es: x e [-2,1 > u <1,2> u [2,3> u [3,9>

x e [-2,1> <1,9>

Solución

v-i-3 x + 3| ------1 <4a + 3 <=> (4* + 3 > 0 A —4x - 3 < ------ <4*+ 3)

jc + 1 x + l

<=> (JC > A ( - 4 x —3 < A ^ ^ < 4 . v + 3))4 x + l x + l

<=> (x > —— A (* + 3 + 4x + 3 > 0 A 4x + 3 - * + 3 > 0))4 x+l x+l

. 3 2x2 +4x + 3 x(2x + 3)<=> (jc > — A (-------------------------------- >0 A —-- > 0))4 x+ l x+l

<=> ( * > - - A (— > 0 A Í ^ t 3)-> o))4 x+l x + l

puesto que 2x2 + 4x + 3 > 0

r / / " - \ / -\ / A /— 1-------- A ( -4------ é------- ► A <------ 8-------&------- &--3/4 \ -1 -3/2 -1 0

T '-4------ é ------► A

o --

-3/4 \ -3/2 -1 oO--------------O O— •

3x e < — ,+°°> A < 0,+°° >=< 0,+°° >

4/. x e <0,+o°>


| x2 + 4 1 X 2 + x + 4Solución

Aplicando la propiedad: V x e R. x 2 > 0 de donde

x + 4 > 0 A jc2 +jc + 4 > 0 , entonces

| a 2 + 4 1 = x 2 + 4 luego reemplazando se tiene:

v jc—3— > ^ r--------- <=> x(x2 +jc + 4 ) > ( ; c - 3 ) ( a 2 + 4 )

jT + 4 x +x + 4

<=> x 3 + x 2 +4x > x 2 — 3x2 +4x —12

<=> *2 > -3 => V x e R

vT H H E O E 3 H ! +v9 ^ > oi¡ I V + 2 1 + 1 | j r - l » .

Solución

H U H - 1 2 _ I N M ] + > 0 , emonces\ | i + 2 | + l |.V — 11 +4

.i

> | J | - . | - 12 _ | j 1- ,v !- 3 !a 0 A ,I a + 2 | +1 |a -1 |+ 4

A 9 _ a > o! a + 2 1 +1 IJC- 1 1 + 4

ademas como 4 ^—X j ~ > 0, entonces:| a — 1 1 + 4

l i l± .1 T.l b .1- > 111 ~ A j ~3 ! > o A a < 9 de donde ; a + 2 | + 1 I jc- 1 1 + 4

-A -———— > 0 A a < 9 como I x + 2 I + l > 0 entonces ! jc+ 2 | + 1


x | x - 1 | - 12 > 0 A x < 9 ... (1)

Por definición: ■ i:* >0

entoncesjc < 0

s i x < 0 ^ x | -x — 1 | - 12 > 0 x | x + l | - 1 2 > 0

: > - lcomo | jc +11

f jc +1 , jc> -1 { -* -1 , v < - l

x e <-oo,0> = <-oo,-l > u [-1,0>

si x e <-oo,-l > | x + 1 | = -x - 1 como

x | x + 1 | - 12 > 0 =* - jc2 — * -1 2 > 0 => a2 + * + 12<0

=> 3 x e R, tal que a2 + a + 12< 0; por lo tanto <(>

si x e [-1,0> => | x + 1 | = x + 1 => x(x + 1) - 12 > 0

a2 +JC-12> 0 => (x + 4 ) (x -3 )> 0

Luego x e [-1.0> A <-oo,-4] U [3,+ °o> = <¡>

Ahorasi x > O => x | x - l | - 1 2 > 0 A x < 9

=> x(x - 1) - 12 > O A x < 9

=> a2 — a —12 > O A <9 => (x -4 )(x + 3) > 0 A x < 9

-----\ r '±__ V__

-4

IA

x e <-oo,-3] u [4,+oo> n x < 9

x e <-oo.-3] u [4 .9]

como x > O n x e ( < - o o ,- 3 ] u [4.9]) x e [4,9]


— I-v +1 jT + 2x +1Solución

I ——rI < I—— ----- 1* + 1 x~+2x + l

1 \x[<=> —---- •<-l -V + l l | A' + 1 |2

1 I A'l , . Ix I j j j-------< -------- - parax^-1 => 1<—5—— de donde| x + l | x + 1 1~ I A + Jjl

|x + 11 < | x | para x * - l => x 2 + 2x + ì < x 2 , x * - l

2 x + l < 0 , X*- l => x < — , X *-l2

xe < -o o ,-l > u < -1 ,— > 2

| ^ ± i | 2 _ 2 | ^ ± i | > 0 x + 3 x+3

Solución

Completando cuadrados se tiene: | * + |2 - 2 1 X + | +1 > 1 de dondex+3 x+3

(| ^ 1 | _ 1 ) 2 >1 « | ^ | - 1 > 1 v | Ì ± 1 | - 1 < - 1x + 3 jc + 3 x + 3

« I---- - | >2 v | ---- -1<0jc + 3 jc + 3

i x + ì ,I ----- “ I > 2x + 3

JC +1 .v+1>2 v ------< -2x + 3 x + 3

JC+1 _ „ x+l . _- 2 > 0 v ------+ 2< 0x + 3 x + 3

x + 5 3x + 1< 0 v --------< 0.v + 3 x + 3


-----\ f+ V U

— \ r _±__

-5 -3 -7/3

A - e < - 5 , - 3 > u < - 3 , - - > 3

l\ — \] = 2X

Solución

[|^ -Jí|] = 2 <=> 2< -—— <3x x

_ 5-3jc 5 — 3x A 5 — 3x2 <------ <3 <=> 2 < ------- A ------ <3

<=> 2 -^ -^ < 0 A ——— — 3 < 0

5jc-5 6 x - 5<=> ------ < 0 A ------->0

z-----------v /— -_> _ _____

/-------- \ r ~ ~_±__u.___ :___u.__ ±_

0 5/6U

j c e < 0 , l ] n j : e < - o o , 0 > k j < — , + « = >6

o--0o — -

5/6 1

La solución es: xe< — ,1] 6

4 3 ) [|2 y f l - l

1 = 0


Solución

[|— í — 1] = 0 « 0 < — j í — <1 2yfx—l 2yfx — l

0 < — 1 — <1 <=> 0 < — 1 — A — ¡í— <1 2 \ [x - l 2VÄ-1 2y lx - l

la expresión esta definida para 2yfx - 1 * 0 , x > 0

2 \fx * 1 => 4.v * 11

= > A * —

Por lo tanto analizaremos en: [0,— > u < —,-H» >4 4

si a- > — entonces en (1) se tiene: x > 0 A x < 2-«/x -14

v> 0 A a-2>/x + 1<0

a >0 A (-n/a — l)2 < 0 =

si 0 < a < — => a < 0 A x > 2 v * - l => -v<0 A (-\/x-4

=> x < 0 A x > 0

44) [ |-.v |]> 0Solución

[| —jt [] > 0 => [ | - a | ] > 1 <=> - x > l

como -x > 1 => x < -1 = > x e <-«>,-1 ]

45} [ |-x |]< 0Solución

[| - a |] < 0 <=> -x <0 => x > 0 => x e <0,+°°>

- (1)

X £ <t>

l)2 >0

/. x = 0


4 6 ) [| 2 a —1 1] = - 3

Solución

[[ 2jc—1 |J = —3 « -3 < 2x - 1 < -2

<=> -2 < 2x < -1

1 1<=> -1< jc< — => *e [- l,— >

2 2

Solución

[| J x +11] = -1 <=> -1 < f x +1 < 0 . La solución es (¡) puesto que -v/x +1 > 0

4 b' [ |a2 - 2 a - 8 |] = -

Solución

Como - í Z => no tiene solución.2

g) [|> /x-[|x |] p = oSolución

[ I V * - [ M 1 |] = o <=> o < /a - [ | a |] 0 < * - [ | * | ] < l

<=> [ |a |] < a < [ |a |] + 1, V x e R

5 0 ) [ | * 2 |] < 1 5

Solución

[|a-2 |]<15 => [|x 2 |]< 16 => x 2 <16 => - 4 < x < 4

/. x e <-4.4>


[| X2 — 2jc — 3 1] = 0Solución

[ | j r - 2 * - 3 | ] = 0 <=> 0 < x 2 — 2 jc—3 < 1

0 < x 2 — 2x — 3 < 1 <=> 0 < x 2 —2x—3 A — 2x — 3 < 1

<=> ( jc- 3 ) ( a + 1 ) > 0 A ( jc — 1)2 < 5

------- \ t---------- \ /--------- _-----±--- x----- :----- ------±---- A - y ß + l < X < y ß + l

-1« jc e< - o o . - l ] u [3,+<=o > n x e < l - - v / 5 , l + -v/5 >

1 - J Eo----

1 + /5 — o

x e < l - y f 5 , - l ] v [ 3 , l + yß>

<0

Solución

II-*ll< 0 « (x > 0 A [|-jc]]<0) V (x < 0 A [| —x |] >0)

<=> (x > O A x > 0) V (x < 0 A x <-1)

<=> ( x > 0 V x < - l )

x e <-«>,-1] u <0,+oo>

x+ l-v> <2 U H M ]

Se conoce que | x |=

Solución

x . x > 0-x . , T < 0


i) si x > O =* — ———— < 2 <í=> ---- -—- < 1x-[ \x \] x - [ |x |]

x . _ i < 0 => Í Z £ ± M < 0 => J Í < ox - [ | jc|] * - [ |* |] * - [ |* |]

O <=> ([| Jc|]> O A jc-U jc|] < 0) V ([U |]< 0 A jc-tl jc|]>0)x - [ |x |]

<=> ([| jc |] > O A jc < [| jc |]) V ([| jc |] < O A |* |]> .x )

<=> (jc>0 A x e Z ¿ ) V (jc<1 A x e R)

<í=> (xe Zq ) V (x< 1)

<í=> x e <-°o,l> x e <0,+°°> n (<-°o,l>) = <0,1>

ii) Si x < 0 , j t e Z “ => |x | = -x

-----------< 2 = > 0 < 2 = > x < 0 , x e Z x e Z~-x - [ \x \ ]

x e Z ” u <0,1>

54) Demostrar que V x e R; | x |> y][\ x3 1]

Solución

Por propiedad: V x e R, [| x |] < x < [| x |] +1

Si x e R => x 3 e R ,

Luego V x 3 s R : [|jc3 |]<jc3 < [ |x 3 |] + 1 => [ |a 3 |]< x 3 ...(1 )

además V x e R: x < | x | => x 3 < | x 3 | ... (2)

Luego (2) en (1) se tiene: V x e R, [ |x 3 |]< x 3 < |x |3 . => [| x 3 |] < | x |J

3/ri j r 1< \x \ m * m ¿ \ i . V x e R

Sistema de Ni meros Reales 2 8 7

55) [|.v[| v|]|]= x

Solución

Se conoce que [| x |] e Z entonces como [U lu li l i = A G Z

Es decir x e Z => [|jc|] = jceZ => a[ |a |16Z

Luego: [ | x [ | . r | ] | ] = jc => [ | a . a | ] = a

|| v2 || = x => x2 = x => x(x - 1 ) = 0 => x = 0, x = 1

por lo tanto [| x [| x |] |] = r x e {0,1}

Solución

Aplicando la propiedad [| x + n |] = n + [| x |] , n e Z

\x\+\\]<2 ^ [ ||a ||] + 1<2 [|U ||]< 1

corno [|| x ||] < 1 => | x | < 1 => -1 < x < 1

P ) IH 3

Solución

Aplicando la propiedad [| a |} < a => x < a + 1

3a +1

~h—2|] — 3

3a +1

3a - 2< 4

3a + 1

3 1 -2— 4 < 0

3a + 1 -4 (3 v- 2) . 3 i + 1 — 1 2a + 8 n■ < 0 => ----------------- <03 v — 2 3a - 2

- 9 a + 9

3a — 2<0

A --1

3 . V - 2> 0, aplicando el criterio de lo> puntos críticos.


— \ r _±____

2/ 3 1

Como la inecuación es !- > 0 , entonces la solución es: í e < - « , - > u < 1 ,+ »>3jc-2 3

(S8) [| x 2 —2jc —2 1] < 13Solución

Por la propiedad: si [| jc |] < a => x < a

[| jc2 —2jc—2 |] < 13 => jc2 — 2jc —2 < 13 => jc2 - 2 j c + 1<16

(jc—l)2 <16 = > - 4 < x - l < 4 => - 3 < x < 5 x e <-3,5>

59) 2[|x + l|] - l l [ |x |] < - 4Solución

Como [ |jc + 1|] = [ |j»|] + 1 entonces: 2 ([|x |]+ l)2 — 11[ |jc|]< —4 desarrollando

2 [ | j c |]2 + 4 [ | jc|J + 2 - 1 1 [ | j c | ] < - 4

2[| Jc|]2 - 7 [ | jc|] + 6 < 0 (2[ | j c | ] - 3 ) ( [ | x | ] - 2 ) < 0

■\ r

3/2

como (2[| jc |] — 3)([| jc |] — 2) < 0 entonces [| jc |] e [— ,2] => [| jc |] = 2 => 2 < x < 3

/. x € [2,3>

[| 2jc- | x 11] = xSolución

Se sabe por propiedad que si [ |a |] e Z A [| o |] = a => a e Z

Luego como [| 2x- | x 11] = x => x e Z => 2x - | x | = x

De donde | x | = x => x e Z q La solución es {0 1,2....,n}


Solución

Calculando los valores de x en donde la expresión esta definida, es decir:

——- > 0 A a > 0 de donde x e [l,+°°>

ahora calcularemos [| — |] cuando x e [l.+°°>2x

como x e [ I .+»> => x > 1 => 2x > 2 inviniendo

0< — < — => [| — 1] = 0, por lo tanto: 2 x 2 2x

mo2 , n-------- < A => X - X + l > 0

como .v2 -.v + l > 0 . V x e R entonces para x e [l,-t«>, x 2 - x + \ > 0

Por lo tanto la solución es: x e [ 1 ,+o°>

62) logI/3(2.v + 5 )< -2Solución

Aplicando la propiedad: log(, \ x> a

logl/3(2’ h5) < -2 <=> 2.t + 5 > (—)

2x + 5 > 9 = > 2 x > 4 = > x > 2 => x e <2,-h»>

63) log^(3 \i-2 )-log2( l - 2 v ) > '7


Solución

loga x > b , a > l <=> x > a b A x > 0

3x + 2log-,(3x + 2 )-lo g -,( l-2 x )> 2 => log-,(------- ) > 2

l - 2 x

, ,3x + 2 _ 3x + 2 3x+2log,(------- ) > 2 <=> ------- > 0 A -------- > 2 “2 1 -2* l - 2 x \ - 2 x

3x + 2 3x + 2<=> ------- < 0 A ---------- 4 > 02x —1 l - 2 x

3x + 2 l l x - 2<=> ------- <0 A --------- <02x —1 2 x - l

---- \ i----------\ /-------- -------\ /--------- \ r_±______I______ ±__ ^ __ i

2/3 1/2 2/11 1/2

2 1 2 1x e < — ,—> A x e < — ,—>3 2 11 2

2 1x e < — , >11 2

( S ) log1/5(2x2 -3 x + 5) < log|/5(x2 +2x + l)

Solución

loga / ’(x)< logí( Q(x) <=> P(x)> Q(x) A (P(x)> 0 A Q(x)>0), 0 < a < l

7 7 1log1/5(2x -3 x + 5 )< log1/5(x + 2 x + 1), 0 < - < l

\ 7

2x2 - x + 5 > x 2 +2x + l A (2x~-3x + 5 > 0 A x2 +2v + l >0)

x 2 - 5 r + 4 >0 ^ x * -1

Sistena de Números Reales 291

(x -4 )(x - 1 ) >0 n x # - l f___ ±__ 'ul____I____

xe <-°°,l> u <4,+o°> x * - l

/. X € <-00,-1> <4,+eo>

f ä j l o g J ^ ) > lx - 1

Solución

x + 3La variable x debe cumplir x > O A ------> O

x - l------------- O <

■4--------------------------------------------------------------------3 Oo-

Como x > 1 aplicamos la propiedad: logjC(J‘ + 3) > 1 => X+3 > x 1 = xx - l x - l

v + 3 x + 3 „ x+3 —x2+x> x => ------- - x > 0 => — -— : > 0

x — 1 x — 1 x - l

x ^ - 2 x - 3 < o Vx - 3 ) U + 1 ) 0 - - \ r +

x - l x - l - 1 1 3

x e <-oo,- l > u < 1 , 3 >

La solución es: x e <l,+°°> n (<-°°,-l> u <1.3>) x e <1,3>

jc—9Ó6 ) Hallar el menor de los números M tales que: | ------1 < M , sí x e [2,5]k x - 6

Solución

——— = 1 ———, como x e [2,5] => 2 < x < 5 x - 6 x - 6

-4 < x - 6 < -1 => - 1 < —í— < - - x — 6 4

292 Eduardo Espinoza liamos

i < * < i4 x - 6

I + l £ * ^ 24 x - 6

¿ S | ^ l < 2 =, 4 x - 6

M = 2

Hallar el mayor número M de tal manera que:

Solución

| x z + 6 x + 1 4 1

x 3 + 27> M , si 3

x ' + 6 x + 1 4 = ( x + 3 ) " + 5 entonces: si x € [-2,2] = > -2 < x < 2

l < x + 3 < 5 => 1 < ( x + 3)2 <25 de donde 6 < ( x + 3 ) 2 +5 < 30

6 < x 2 + 6 x + 1 4 < 3 0

como x e [-2,2] = > - 2 < x < 2 => - 8 < x 3 < 8

19 < x 3 + 27 < 3535 x 3 + 27 19

, N „ 6 x + 6 x + 14 30de (1) y (2) se tiene: — < --t------- S —

35 x + 27 19

| x 2 + 6 x + 6 1 6

x 3 + 27 35M = —

35

Hallar el número mayor de m y el número M tal que para todo x e [

x + 2 , .m < ------< Mx + 3

Sol ción

A la expresión X + escribiremos en la forma- —----= 1---------x + 3 x + 3 x + 3

« 1ômo x e [—,1] — < x < 1 sumando 3

2

(1)

... (2)

,1] se cumple:


7 1 1 2— < x + 3 < 4 , inviniendo — < ------< — , multiplicando por - 12 4 x + 3 7

2 1 1— < -< — sumando 17 x + 3 4

de donde

2 1 1— < 1 - <1-7 a + 3 4

5 1m = - y M =1 4

5 x + 2 3— < ------< —7 .* + 3 4


©

Hallar lo? valores de x que satisfacen a las siguientes ecuaciones.

| 2x + 3 | + 4 = 5x Rpta. x = -

© | 3x - 1 | = 2x + 5

©

©

©

©

©

©

A' | _ | A ’ —16 |X - Ì x + 4

— A =~X — 1 A-

( a - 4 ) 2 - 2 1 a - 4 I - 1 5 = 0

| 2x + 9 | = x - 1

| a- 2 - 3 v - 7 | - 3

| ^ | = 3 A+4

® | 3x + 1 | = 7 ■

Rpta. { -—,6}

Rpta. {^}

Rpta. [2,-2+ 2^2)

Rpta. {-1.9}

Rpta. <)>

Rpta. {-1, 2,4,5}

Rpta. {-5,-2}

Rpta. {—4.—}


© | 4 - 8x | = | x - 1 2x + 1 11 Rpta.7 3

© | 3 x - 5 | + x - 7 = 0 Rpta. {-1.3}

© 15x - 3 | = | 3x + 5 | Rpta. 1-1,41

© | 2x - 6 | = 14 - 5x | Rpta. 2 101 3 ’ 7

© | 6x + 3 | = | 18 + x | Rpta. {-3,3}

© | 3x — 1 | = | 5x - 15 | Rpta, {2,7}

© | 5x + 3 | = 3x - 1 Rpta.

© ll*2 - l | - * l = * Rpta. {1.-1 + V2,

© | 2 x - 3 | + 2 = | x - 6 | Rpta. M .1 .

© | 3 x - 1 | - 1 x + 2 | = 1 Rpta. 4 - 2 .

© | x - 4 |2 —5 1 jc — 4 | +6 = 0 Rpta. {1,2.6,7}

© 2 1 jc2 - 2 1 +5 = 6 1 2jc2 - 3 1 Rpta. {±y/2 . ±2}

© | 6x + 3 | = | 18 + x | Rpta. {-3.3}

© 3 1| jr + 11 —4 12 —5 11 x +11 —4 1 = 2 Rpta. {-7,-3,1,5}

© | |x | - 3 | = | 3x + 2 | Rpta. { - - . - } 4 4

© || jc+ 2 1 —112 —5 1| Jc + 21 —11 —6 = 0 Rpta. {-9,5}

© | 2 x - 3 | - l = | x - 3 | Rpta. m 2 ,


27) Il a ' — 5.v + 151 —jr2 +S | — 3a + 9 Rpta. {^-.16}

28j | x + l | + 2 | x - 2 | = | x - 8 | Rpta.

29) 3 | x + l | - 2 | x — 2 | = 2x — 1 Rpta. { | . 8}

® 2 | |x - 5 |+ 2 |2 -11 II a - 5 1- 2 1+12 = 0 Rpta. {3,7}

II. Hallar el valor de las siguientes expresiones:

3 l) l 12 + 5v !7 j 12-::4f I si x e <1>3> Rpta. 9

32) I7a + 1 0 |5v 101 sf x e <01> Kpta. 6

33) l A j 8 1 — 12J7 — 8 1 sf <12> Rpta. 11

34) I *-■* + 3 1———— si x e <0,1 > Rpta. 3

35j 16 v + 4 1 +21 2 3a | si x £ <2 3] Rpta. 1" 12a

, |6 a +3 2 | —4 | 8 - a | , u * o36) ----------- --------------- si x e <-3.-2> Rpta. 25x

37) 1 + 11———— si x e <0,1 > Rpta. 5


III.

(41)

®

Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.

x + 2 |------- < 42x- 3

6 - 5 * . ^ 1 3 + a- ~ 2

5a + 4 1 - 14 + 4a- | ,-------- -— ---------- - si x e <0,3>

4 + - | <5x

x + — | < 6

X

A'“- + 3a + 11

x — 2

5 —— | <1A'

JC H---I < 6X

3 - 2 a-

2 + a-

A' + 3

6 - 3 a

2 aI > 6

I > 1

Rpta. 1

10Rpta. <-«»,— > u < 2 ,+ ° ° >

9

9 5Rpta. [— ,—] 11 3

Rpta. < - 00, - —> u < 1,+°° >

Rpta. [-4,-2] u [2.4]

Rpta. [-5,-1]

Rpta. < —,— >6 4

Rpta. [ -3 -2 > /2 ,-3 + 2a/2 ]u [3 - 2 a/2,3 + 2>/2]

1 1 5Rpta. <-«»,-----> u < — ,«o>

2 6

3 3Rpta. < — , - 1 > u < - 1 , — >

2 4

3 3Rpta. < — ,-1 > u < -1 ,— > 2 4

Rpta. < - 00,0 > u < 0,— >2

© ± d i z í ! <0| a: | +4

Ryta. <-1,0]

Sistema de humeros Reales 297

| * I _ Í | > 1

3 + iT 2Kpta. < -w .-3 > u < -3 .— ] u [ l , ° ° >

13

| — 1*14 - .

Rpta. <-°o,l ] u [ 3 , 4 > u < 4 , o o >

I A + 3 I > 1

6 - 2 .v 2Rpta. [0,3> u <3, oo>

, 3.V -1 |I— — I > - 6

v - 2Rpta. <-oo.2> u <2, oo>

| v2 -4 | < —2v + 4 Rpta. <-4.0>

i v + 3 iI— r i < 5 — -v

,\ +2Rpta. <-oo, 2 2 -y[\l > u < -2,1 + 2>/2 >

I 3a - 1 ¡ +2 x I a- +11 -3x

> 0 Rpta. <—00,— >

© I x - 2 I < 2x Rpta. I- .0 0 >

(« y

©(63)

13-v — 11 + 2a

I -v +11 — 3 v

I 3x - 9 I < x + 1

I A' — 2 I A 3

A + l ~ A - 6

> 0 Rpta. < —00,— >

Rpta. <2,5>

Rpta. <6, co>

I a 2 + 3 a | + a 2 - 2 > 0

x + 3 . 3>x + 1 6 a - 4

Rpta. < 00,4>

| 4 \ 2 - 8 x + 4 | < 4 a + 1 0 Rpta., 3-yf lS 3 + \f\5


<S

(68

{69)

Í70)

©

| x + 5 | > 2x - 3

„ I £ = iI ± U „x~ — 2x — 3

b) 14x - 3 | > x + 2

| a- 2 - 4 1 > —2x + 4

| 2 x + 1 | > 2 + x

| 4x + 3 | > x + 2

Rpta. <-°o,8 >

Rpta. <-1.3>

Rpta. < -o o ,j> u < 5 ,o °>

Rpta. <-°°,-4> u <0,2> u <2, °°>

Rpta. <-=«,-1 ] u [ 1, °°>

Rpta. < —«>,—l > u < —1 , co >

[72)

(73)

| 3x + 8 | > 8 x - 3

Demostrar que:

Rpta.

a) Si

c) Si

e) Si

g) Si

i) Si

x | < 3 1 I 1------ e < — ,------->x — 7 4 10

x | < 2 => I — | < 1 a + 4 2

x - 3 | < l => |^ - ^ | <7 x — 1

x I < 3 =* I— l < ] x - 4 4

, 1 1 1x - 3 <1 => - < ------< —' 8 x+4 6

b) Si

d) Si

f) Si

h) Si

j) Si

k) Si |jc— 2 1 = > \ x2 - 4 \ < | | x - 2 | I) Si

, 9 jt + 5 7x - 3 <1 => —< -------< —5 x + l 3

i . | x 1 i _x| < 1 => I-----I <2x — 2

x — 2 | < 1 => 1 jc2 — 4 1 < 5

. 1 1 tx - 4 <1 => —< ------<12 x - 2

. . x - 2 . 3x < 1 ------ < —

a + 3 2

x — 5 | < 1 => - < —— <1 3 i - 3

74) Sabiendo que: b > 0 y | x - a | < 2 b probar que. ---------------e< - J >\ - a + 2b 5


© Demostrar que si x. a e 11 U [ 1, « > entonces: | - - - | 

© 1 -v-21; —3 1 jc — 2 1 — 4 < 0 Rpta. <-2,6>

© \ x - l \ 2 +21 a- - 11 -3 < 0 Rpta. <0,2>

©

| v - 2 12 - 2 1 a - 2 1 - 15 > 0 Rpta. <-3,7>

© |a |2 +|a | < ^4

3 3Rpta. < — ,—>

2 2

© 2 < M 2 +M Rpta. <-«»,-1 ] u [ 1, oo>

© | * 3 1|2 -|a-3 l | - 3<0_ . A —yfl3 3 + VÍ3,Ruta. [--------- ----------- ]

2 2

© | a -3 |2 - 3 1 jc —3 1-18 > 0 Rpta. <-oo,-3> u <9. co>

© | JC—112 + 5 1 A - I | -36 > 0 Rpta. <-co,-3> u <5,+oo>

© 2 | x + 1 | - 3 | x - 2 | + | x - 5 [ > x + 2 Rpta. < -oo, -5 > u [1, —] 3

© | x - 1 | > 1 x |- 2 Rpta. R

© | x - 3 | + 2 | x | <52

Rpta. < - —,2>

© a 2 +21 v+ 3 1 -10<0 Rpta. [ ] - -Jl7, - \ + 'JS]

© \2x - 5 1 - 1 r - 2 | + M : >7 Rpta. < -oo,— 6] u [2 V 2 .


9 ^ jc2- | 3 a + 2 | + j c > 0 Rpta. < -OOf —O — -\/2]^J[] + 73.+°° >

92) | 3x - 2 | < | x + 6 | Rpta. <-1,4>

S3) | a + 2 1 < | jr | 2 Rpta. <-co,-l> u <2,+°°>

’ o . 1 + 7481 1-7481 2 294) |3a " - 2 a + P > 3 | a ‘ + j f - 7 | Rpta. < - » , -------—— > u < — —— ,— >

95) | x —1 | + | x + l | < 4 Rpta. <-2,2>

96) \2x2 - 4 a - 6 | > \ 2.x2 —3jc—9 1 Rpta. <-■*>,-]4

9 ^ |x + 6 | > | x + 9| + | x — 2 | Rpta. <[)

98) |4x + 2 | > | x - l | + 3 | x + l | Rpta. [—

99) |3x3 — 2x2 — 7jc — 2 1 > | jc3 +6x2 — 9a — 141 Rpta. <-°°,-2> u <3,

ÍÓo) | 10-3a + a 2 I < | v2 + a - 6 | Rpta. [4 , o o >

\

(lOlj |2x2 + jc —1 1 < | 2 a 2 — a —11 Rpta. < -o ° ,--J = > u < 0 ,-J = >

(l02j | x - 6 | - | x - 3 | < | x - l | Rpta. < — 2] u [-^,+°° >

(l03) (| a - 11 + 1 jc - 21)(| 1 - jc | - 1 jc - 21) < a2-6 Rpta. <-°o,-l] u [3, oo>

, , , 1 , 2 „ 15 3^ 30 , r25 3y/301{1C4J Rpla. ,

(105) | - í j | Rpla.

> 3 —5 + y/33106) 2.V +1 < -------- Rpta. < -o«, -2 > u < -2,----------- >

|a + 2| 4


3 5<-| 2 .r — 3 1 x2+ x + l

n t ,13 + 5 ^ -13 + 5yfñ, Rpta. [----- ------ ,-------------- J

t,08> ' ì q i ì ' 4Rpta. < -o o ,- l> u < - l,0 > u < — —-,1 >XJ< 1 ,+ io>

2

109) \x2 -2 x - 4 Z \ ( \ x 2 - 2 x \ - \ x - l 2 \ )\ x - 2 \ - 6

Rpta. {-6 } u <-4,-31 V I4’ 00>

[110) 2 12 nA| A' < o\ x - j t \ - 2

Rpta. <2, »>

u n i J ± U i1+ | X | A

l + y ßRpta. < - ° ° ,0 > u [ ------- ,°°>2

[112) A2 x - \ x — 2

Rpta. [—1->/6.— > u < — , - l + > / 6 > u < 2 ,° °> 2 2

113) |_ £ _ | >1^ + 31 Rpta. [-l--v/"7,—>/6 ] l j [ 1 + -v/7,2 > u [-\/6 ,+°° >

x+l 1< —

I x 2 + 11 X

Rpta. <0,1 >

lll5 l !í L ü Js _j !x + 4 | jc —

| 2 x 2 +1 Oa |

| 4 a |<3a Rpta. [l,+°°>

x + 4 a - 2>-| x “~ + 4 x + 4 ¡ x~ + 4

Rpta. R - {-2}

I h M I• > X — 1 Rpta. < —oo.

3 0 2

©

@©©©©

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©(l31)


\4x2 - 9 1 | 2 jc + 5 |

>0 Rpta. V jce / ? - { - —}

|x + l | - 2 | x | + 3 | x - 2 | < 6 1 1 1 Rpta. < —,— > 4 2

3 - 1 jc2 - 4 r 1

| x - 5 \+x2< 0

3 12x + 6 1 - [ x■ + — | <6A

Rpta. u [1,3] u [2 + yJl,+°° >

Rpta. < - o o , -3] u [ - 1, - y ] u < 0,

l± _ r l6. | + 8(^+ 4 ) <o a - 3 9 - a 2

Rpta. [-4,-3> vj <3,5]

x" — 4 a + 8 x - \Rpta. < - » , - ] - { ! }

I —A' x— 2Rpta. [->/2,>/2]-{0}

>0

>4

2 — | 2 — x | —a \ x 2 - x \ - 2

| JC I3 —4jc2 + 20 \x\+l

| 6 x - a 2 M ^4 - |* |

(I A + 2 I + I A — 2 |X| 1 — A I — I 2 — A |) > A2 — 6

Rpta. <-oo,-l> u <-l,2>

Rpta. <-°°,-4] u [-2,2] u [4,+°°>

Rpta. <-4,0> u <0,4> u <5,7>

Rpta. [-1,3]

| x — 1 | - | x | + | 2 x - 3 | > x + 2 Rpta. > u < 6 .

(7|a - 1 Í - 3 - a/5-|a - 4 | ) ( n/|a - 1 | - 3 + >/5-|a - 4 | ) < |a |- 6 Rpta. [4,7]

Sistema de humeros Reales 303

(| x | +2)(| x | 2)4x1 + 4 i 0

(| v ’ + 3 1 —4x)\lx +5Rpta. <-oo.-2] u <I,2] u <3.+°°>

| 3 1 .v | - x | < 1

.v + 1 x + 1

| L k !| > 2x — 3

Rpta. < —,5>-{3}

(x + 3)(x-5)| a |

M 2 + 2

. 3 a : - x2 ,I-----— Ix+2

( a + 3 ) ( a - 5 ) | a |

I a P + 2

<0

< 0

Rpta. <-3,5> - {0}

Rpta. < « , - ] — {—2}

Rpta. <-3.0> u <0,5>

138) ( | x | - l)(2x+ l)( |x | + 3)>0

139) |6x 2 + 9 x -3 |< |2 x : -9 x + 2 |1 1 2 1Rpta. < — ,— > u < —,—> 2 4 5 2

140) | x —5 |“ - 1 x“ - 5 1< 12

H l) (| x - 2 | + | x - 3 1)(| 2 - x | - 13 - x |) >| a 2

Rpta. [-3,-1] u [1,3]

Rpta. (¡)

1142) — 2— <3a + 2

Rpta. <-0 0 ,4 ] - {-2}

(143) Rota. < —oo,2 > k j < - , + ° ° >2

| x - 4 | + | 2 x + 3 l ^ ,l x - l l - 1

Rpta. <0.2>

3 0 4

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©


\ x - 5| + |a + 11^ 3

x - \

| a - 8 | - a + | x + 4 |

x + 2

I -v | -3 > 2 - 1 a |

<3

Rpta. < - ° o , l > u [3 ,+ °o >

Rpta. < -oo,-2 > u < —.+°° >

. 13, 13 cRpta. < -5 ,——]u [— ,5>5 - | a | I a I+ J

( V I j c - 1 | - 3 - V 5 1 7 r ^ 4 ] K > / | j t - 1 | - 3 + V 5 - | a - 4 | ) < v 6 Rpta. 1 4 , 7 ]

( 7 | a - 2 | - 4 - 7 6 - | a - 3 | ) ( 7 U - 2 | - 4 + 7 6 - | a - 3 | ) < | a - 2 | - 5 Rpta. [ - 3 , - 2 ] u | 6 . 9 ]

| A + 1 |. | | A — 1 | —2j _ j + I X a - 3> 0

| A — 1 | ^ | A2 + 4 | A2 + A + 4

Rpta. < -3] u [ - (1 + y/ñ), 3 > u [ - (3 + y/Í7), +<~ >

Ia | | a + 1 |-2 | 6 11a + 3 1 — 11V | a - 2 1+5 | a +11 +2

14 — a | + 1 2 a + 3 1

| A - l |-1

1

<2

1 < <2|a |-1

I A 2 + 2 A + 3 | + | A 2 — 11 < 6

| x — 1 | - 1 x | + | 2x — 3 | > x + 2

Rpta. [4,91

( 1 5 3 ) 1 * - + 2 | ( a 2 + a - 1 2 ) < q

| A* + A + 1 |

r - 3 A + | A - l | + 4

| a - 1 1 + a 2 + 1 0 a + 2 7

V a 2 - 9

| A 2 + 7T | ( A 2 — 5 a + 6 )

< 0

<0

(a - 9 ) ( a + a + 1)

| A2+ 9 1 + 3

> 0

a2 + 3 - 115 + 2 x — a2

" i r - 9 1 - 8

< 0i*2- n

( í —2 )ía —4)<1


| .y + 5 1 - 4 a + 1 a - 2 1

| a 2 + 2 |

>0 1 6 3 J 11 x | - 1 2 x + 3 11 < 11 x | - 1 2 x + 2 ||

v+2 \ - x<0

| a + 5 1 + 8

| 3 a + 2 1 y jx 2 + 5

—x2 + 6x - 3

____

>0

| a - + 4 | a ( a + 2 ) + 2 (.y + 3 )

16 5 ) \ x 2 - 4 | + 8 > | a - 2 | + 4 a

[ 1 6 7 ) l 3A'2 + 5 -y + 2 l < 0

a- + 5

1 6 9 ) | x — 1 | - | x + 2 | + | x + 4 | < 8

-2 1 A. I + I JC - A' | +1 ^ 0 a 2 - 5 a + 6

| a — 161 ^ x + 4

x + 4 | x — 11

1 7 4 1 <

a 2 + 3 - 1 a 2 - 2 a - 1 5 |

19 - a 2 | - 8 a

a 2 + I a I - 3

<0

i + | a |

( 1 7 6 ) I a' 3 1 + 7 x| a + 3 | - 2

11781

A3 — A 2 + 4 A

| a 2 — 3 a + 2 1

>0

[175) 4 < ( ^ + 2)2+ ) / ' + 2 l. 2 <25| x + 2 | + 2

12 v — x2 | —3< 0

| a 2 - 2 a - 1 5 | - a 2 - 3

| A'2 — X | —2 | A* COSTI I +1

a2 — 5a — 6cos n< 0

l u i + n> 2 a + 1 ( 1 8 1 ) | 2 * 1

x — 4 a + 8 l x

1 8 2 ) ll83) l £ H ^ z U >0a ( a - 1 )

184) | a ' I | + ^ + | a | > Il a2 + 6 1 - 3 1Il JT“ + 1 | + 3 I

185) \ 1 + A + l - l a3 — 11 > 0


uw i í = ! f t ! h M ÍO\\x\-l\

\J\ A - 3 | — | A — 1 |

A 2 - 9<0

| n / I ~ 8 | -> /a

|a2- 4 |>0

| a - a 2 |.(> /I - 1 )J x - 6 a

116 — A2 I —A2 ^ 0

a 2 - I 2 - A I

>0

i a 2+1 3a n | Y i 1 * 1

-4 193) | V a ^ - 6 v + 9 - 3 1 > yfT-

194) a ‘ + A + l — | a — 1 1 > 0 195) | a - 5 a + 7 |> a - 1

H £ z i d <0I x - 5 | +A

I I A — 1 1 +2 I — I A — 1 |2

A 2 +2>0

197) (A-2 - 6 a + S ) J l 2 - \ 4 - x 2 I <0

199] (I 4a - a 2 | —5)^/a (a - 1)(a 3 ) ^ 0

I A | — 1

(200)4— I a I

(2 0 1 ) | *2 - 6* + 7 | < - 2

A - l A — 1

(202) k - 3 l3 t ^ - 3)2 - 5 U - 3 l ^ < 0 '4 - .^ + ',2a + 3J < 2(.v - 2) 2 — 2 1 a — 2 1 -24 A - l | - 1

(204 ) | ^ - 8 | < | í — 6 | + |a — 2| (2 0 5 ) I3a" + ^ ' + 2 I~4 > 0a2 +5

(206) f : * 1 ***■*<> | a - 3a + 2 1

jT - 1 6

a/I A - 4 | | - 1 |> 0

U08J — ' - r — L OI a | — 1


IV. Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo xf Rse cumple:

© 2.v —-v2 < M Rpta. M = 1

( ¿ ) 1 - 4 a- a2 <AÍ Rpta. M = 3

© 2 - x 2 n - x ' n < M Rpta. = ~

( 4 ) 2a2/3 - a 4 ' 3 < M Rpta. M = 1

1 + 6.V— x2 < M Rpta. M= 10

© 3 + 36jc-12.v2 < M Rpt? M = 30

V. Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo xeR se cumple:

© aí <3 + 4 —- Rpta. M — —x2 x 6

© M < x 215 - x ' ,s - 2 Rpta. M = ~

© M < 9x2 - 48.v - 36 Rpta. M = -100

© M < 5a 2 - 20a +16 Rpta. M = -4

© Si 2x + 3 e [7,11] encontrar el valor M que satisface a la siguiente desigualdad

* * < M Rpta. Ma — 7 5

® Si a e [—,—] encontrar el mayor valor M que satisface a 1a desigualdad M < - ——2 2 x - 2

Rpta. r ■“

1 1 © Sí e /?(< - 00,1 > U < 2, +00 >] Hallar el menor valor de M tal que | - | < M

2x 4" 5


8) Sí |x — 3| < I. Hallar el número M tal que: | A + | < Mx + \

( n

Hallar M tal que sí | x | < 2 => | ——— | < Mx + 4

Encontrar un número M positivo tal que:



y13) Encontrar un número M positivo tal que:

^ 4) Encontrar un número M positivo tal que:

^ 5) Encontrar un número M positivo tal que:

x - l x 1 +7>x-4\ < M

x + 2 . , 1 3-------- < M si x e [—, —]x - 2 2 2

x 2 -3a + 4| < M sí x e [-2,2]

x2 + 4 x -3 | < M sí x e [-2,4]

x + 2 I < M sí x e [5,8]x - 4

x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 \ < M sí x e [-2,5]

16) Encontrar un número M positivo tal que: | x - 2x + x — 3 jc — 5 1 < M sí x e [-3,-1]

17) Encontrar un número M positivo tal que: x —6x + 2 - , 9-------------\ < M si x e [— ,4]jt + 5 2

18J Encontrar un número M positivo tal que: | x + 1x + 4 x + 4

< M sí x e [-1,3]

x —3x + 519) Encontrar un número M positivo tal que: | —----------1 < M sí x e [0,4]

x " - 2 x — 5

20) Hallar el mayor número N tal que: |x2 +6*+ 14

x3 +21I > N si x e [-2,2]

r2\) Si — e (< - 00,1 > U < 2, +00 >), Determinar el menor número M tal que | ——- 1 < M ■ X X + 4


© Determinar el número M tal que: | | < M , V x e <1,3>.V —4

@ Hallai el menor número M tal que:4-14

| —----------- 1 < M , sí x e [-1,2]jt — 4* + 14

© Hallar un número M tal que: sí | x |< 1 => |—— | < MX + Ò

VI.

©

Resolver las siguientes ecuaciones:

[|3a |] = * + 2 Rpta. x = 1

© [| 3a.|] = 2*+ 2 Rpta. *=2,^

©[ || * - 2 1+3|] = 5 Rpta. <-7,-5] u [9.11>

© l \ 2 - \ x \ \ ) = l Rpta. [-1,0> u <0,1 ]

© [|3v-5 |] = 2* + l „ 13, Rpta. (6,—)

© [ \ j 3 - x \ ] = 2 Rpta. <-6,-l]

©

esII

T—1*Rpta. <-9,-6] u [8,11>

© MRpta. (|)

© [|2a |] + [|4jc|] = 31 3 Rpta. [— >2 4

19Rpta. [-4, —— > U < —

" 1 , ^ 1 1 1 = 3

4Rpta. [-3, -2 > u < - —

310 Eduarno Espinoza Ramos

VII.

®

©

©

23 17Rpta. < - y , -9 ]U [6 .y >

1 1 ^ 1 1 = 2jc + 3

Rpta. < y ,8 ]

[|h _ 2 |+ 3 |] = 4 Rpta [-1,0> u <0,1 ]

II 2 - 1 x 11] = 1 Rpta. [7,9>

[ | ^ 4 l ] = 4a + 3

, 13 16Rpta. [-----,----->2 3

[| x 2 — 2 a |] = 3 Rpta. < l-> /5 ,-l]u [3 ,l + >/5 >

[| 2x |] - 1 x - 1| = 2x - 3 Rpta. 1-2, y , y , 4}

[|

U 2 |] - l |= 3

| jc — 2 1 + 1 2jc — 11 —211 = 1

Rpta. < —J s , — 2] u [2, y¡5 >

5 2, r8 11Rpta. < — ,— ] ^ [ - ,— >3 3 3 3

[|* -1 |]2+2IM ]2 =57

Resolver las siguientes inecuaciones:

Rpta. [-4,-3>

[|— ~ ! l < 2x + 2

Rpta. <-oo,-2> u <-l,3>

[| 4 a 2 — 5 jc — 4 1] < 1 Rpta. < — ,2> 4

[| | 2 r 2 + 5 v | - 2 | ] < 1, 3 1

Rpta. < - 3 ,— > u < - l , —>2 2


© | [ | —j f ] - l | < 2 Rpta. <-3,01

[ |a2 -1 | ] >0 Rpta. <-o°,-l] u [l,+°°>

© [ |V3-2JC|J < y ß Rpta. <0,+oo>

© [|a 2 - 1 | ] < 0 Rpta. < —y¡2, yjl >

© 5 - xRpta. <0,5>

© X IO 1 IA Rpta. <-2,2>

® [| | ^ - 1 | | ] < 1 A+l2Rpta. < —o°,— > u < 6 , + o o > 3

® 4Rpta. <-oo,-5) u [5,+o°>

® [|2a —— |]>1A

Rpta. [-2 .0 > , +oo >

© [|jr|]= - 2 t | j c | l - 2 < 0 Rpta. [0.2]

® Z ' 1"3 < 0[|a2 - 2 a -19| ]

Rpta. <1 —2>/5,-3]u[3 ,l + 2>/5 >

® n/[|a |12 -1 2 ([U |]2 - [ | a | ] - 6 ) > 0 Rpta. <-oo,-3> u <4,+°o>

®M - 2 s ( |

[| a- - 2 a - 3 | ]Rpta. [2,3>

® [ |a- 2 [ | a |] |](a'2 — 4) > 0 @ [| a: - 2 |].(.v2 - a: + 2) > 0

312 Eduardo Ejpinoza Ramos

VIII.

®

©

©

©

©

©

V-II »11-4

<0 ' p ) ([|.v|] —a ) ( j c - 2 ) ( a - 3 ) 2 > 0

M -»iM M

<1 \ 2 - .M [| jc-111-9

>0

I 5 a +26 jc+7 jc

( | jc — 5 1 + 2 a + - J x - 5 - [ | a- — 2 | ] a + 5 ) ( a - — )

y¡6^.- < 0 (28

[U 2 -9 |]<0

( a 2 + 4*+ 5 )>/*-!( 2* + sen a ) ( j c + 2)

([M i ~ )U2- 2 a-3)>0

Resolver la inecuación logarítmica.

log1/2 12v-31 >-3 5 11 ,3,Rpta.

log,( a — 3-Jx + i +3) < 1 Rpta. [-1,0> o <3.15>

a ~ + | j c - 5 |

Rpta. [—,+«=>

Rpta. [2,— > u < 4,+«= > 4

|0 g [ i ^ _ l l ] > lv+1

Rpta. 

'og ív -í,i3 “ v)< 2 Rpta. (|)

Sistema de Nátm&ros Reales 313

(7 ) log, (2v + 6) < -2 Bota <2,+°°>

5 11Rpta. < - 0 0 ,— > u < — ,+«=>4 4

10) Iog5 | 3 - 4 a |> 2 Rpta. < - 0 0 , - — > u < 3 ,+ °°>

© log6[ | ^ | +35]>2 Rpta. < —, 5> u < 5 , + ° ° >

,12) 16Rpta. < 3,1> u <3,4>

logJr ~ t ì ) - 1\x-2\Rpta. < - l + v6, 2>v_j<2,5]

14) log6(A -3 \/*+ 7 + 3) < 1 Rpta. [-1,0> u <3,15>

15) log5(3A -5)> logs(7 -2 \ )12 7

Rpta. < — ,—> 5 2

16) log ! ( a " — 4.V + 3) > —1 Rpta. [0.1 > u <3.4]

I T ) lo g 2 (| . r - 2 1 —1) > 1 Rpta. <-o*,-l> u <5,°°>

18J l o g ^ ( y - ^ - ) > 0 Rpta. <0,1 > u [2,+°°>

19) l og , (2 + A ) < l 2tì) log, (a2 -4 ) > log, (4.V-7)

2 l) log2(A2) + log2(v4) > 3 ‘i l i ) log, (%-2x) > 3


3.42. APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA.-

Muchas veces la resolución de problemas expresado en palabras nos conducen a inecuaciones como ilustraremos en los siguiente ejemplos. \

© El producto Interno Bnuo (PIB) de un país está proyectado en t 1 ->-2f +50 miles millones de dólares, donde t se mide en años a partir del año en curso. Determínese el instante en que el PIB del pa.s sea igual o exceda $ 58 mil millones.

Solución

El (PIB) del país será igual o excederá $ 58 mil millones cuando t 2 + 2/ + 50 > 58

Para obtener la solución de la inecuación expresaremos en la forma: /2+ 2 f - 8 > 0 ,donde al factorizar se tiene (t + 4)(t - 2) > 0.

Aplicando el criterio de los puntos críticos se tiene:

---------\ /------------ \ /------------____ ±______ :___ v!___ ±____».

-4 2

El conjunto solución de la inecuación es <-«v4] u [2,°°> como t debe ser positivo, entonces se considera t > 2 es decir que, el PIB será igual o excederá por vez primera a los $ 58 mil millones, cuanto t = 2 es decir dentro de dos años.

2 ¡ Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $ 5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado >in importar la producción) son de $ 60.000. Si el precio de venta de un termostato es de $ 7 ¿Cuanto» debe venderse para que la compañía obtenga utilidades?

Solución

Como: ganancia = ingreso total - costo total

Entonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuando su diferencia es positiva.


Sea q = el número de termostato que deben ser vendidos entonces su costo es 5q

Lugo el costo total para la compañía es 5q + 60,000, el ingreso total de q termostatos será 7q y como: Ganancia = Ingleso total - costo total > 0

ientonces: 7q - (5q + 60,000) > 0, de donde 2q > 60,000 entonces q > 30.000

por lo tanto se deben vender al menos 30,001 termostato para que la compañía obtenga utilidades.

3) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que prod'ice al precio de $ 60 cada artículo. Gasta $ 40 en materia piima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $ 3,000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 1,000 a la semana.

solución

Sea x = número de artículos producidos y vendidos a la semana.

Como el costo total de producir x unidades es de $ 3,000 más $ 40 por artículo, es decir: (40x + 3,000) dólares el ingreso obtenido por vender x unidades a $ 60 cada una será de 60x dólares, por lo tanto

Utilidad = ingresos - costos = 60x - í40x + 3,000; = 20x - 3,000

como debe tener una ganancia de al menos $ 1,000 al mes, tenemos la inecuación

ut-liüad > 1000 de donde 20x - 3000 > 1000 entonces x > 200

por lo tanto, el fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana

La gerencia de la misma Aniamina, un gran consorcio, ha estimado que necesita x miles

de dólares para adquirir 1 0 0 , 0 0 0 ( - 1 + n/T+ 0 . 0 0 1 a ) acciones de la compañía telefónica.

Determinar el dinero que necesita Antamina para adquirir un mínimo de 100,000 acciones de telefónica.

Solución

Calculamos la cantidad de dinero que Antamina necesita para adquirir un mínimo de100,000 acciones resolviendo la inecuación.


100.000(-1 + Vl+O.Oüljr) > 100,000 de donde -1 + Vi+ 0.001* > 1

entonces Vi + 0.001a > 2 elevando al cuadrado 1 + 0.00 lx > 4 0.00 lx > 3

x > 3000, por lo tanto Antamina necesita al menos $ 3 000,000

(? ) Un constructor debe decidir si renta o compra una maquina excavadora. Si renta la máquina el pago mensual sería de $ 600 (con base en un año), y el cocto diario (gas, aceite y conductor) sería de $ 60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual ¿ería de $ 4,000, y los costos por operación y mantenimiento serían de $ 80 por cada día que la máquina sea utilizada ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse h máquina para justificar la renta en lugar de la compra?

Solución

Determinaremos expresiones para el costo anual de la renta y el de la compra, así encontraremos cuándo el costo de la renta es menor que el de la compra.

Sea d = el número de días de cada año en que la máquina es utilizada.

Si la máquina rentada, el costo total anual consistiría en el pago de la renta, que es (12)(600) y los cargos diarios de 60d, si la máquina es comprada, el costo por año será

4000 + 80d, queremos Costo renta < costo compra

12(600, + 60d< 4000 + 80d => 7200 + 60d < 4000 + 80d, de donde

3200 < 20d => 160 < d, por lo tanto, el constructor debe utilizar la máquina al menos 161 días para justificar su renta.

(ó ) La» ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas por P = 200 - 3x. El costo de producir x unidades del mismo artículo es C = (650 + 5x) dólar ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse de modo que la utilidad mensual sea por lo meros de 2,500 dólares?

Solución

Sea R = el ingreso en $ obtenido por vender x unidades al precio de P dólares por unidad,

es decir: R = x (precio por unidad) = x(p) = x(2U0 - 3x) =* R — 200.*—3x~


C = el costo en $ de fabricar x unidad, es decir: C = 65C + 5x

Como utilidad = Ingresos - costos = (200a - 3 a 2 ) - (650 + 5x)

= 1 9 5 3 * 2 - 6 5 0

como la utilidad debe ser al menos de $ 2 ,5 0 0 , es decir:

utilidad > 2 ,5 0 0 , de donde 1 9 5 a - 3a:2 — 6 5 0 > 2 , 5 0 0 , simplificando

x2 - 6 5 . r + 1 0 5 0 < 0 , factorizando se tiene:

(x - 30)(x - 35) < 0, aplicando puntos críticos

-------- \ /----------- \ /-----------____ ±__V___ :___ v + h

30 35

La solución es 30 < x < 35

Luego para obtener una utilidad de al menos $ 2,500 al mes, el fabricante debe producir yvender cualesquiera unidades de 30 a 35.

® Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $ 1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 por revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10,000 ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades?

Solución

Sea q = número de revistas vendidas

El ingreso total recibido de los distiibuidores es 1.40q y el recibido por publicidad es

(0.10)[( 1.40)(q - 10,000)] el costo total de la publicación es 1.50q

como utilidad = ingreso - costo > 0

1.40q + (0.10)[( 1 -40)(q - 10,000)] - 1,50q > 0 = > 1.4q + 0.14 q - 1 4 0 0 - 1.5q > 0

0.04q - 1400 > 0 => 0.04q>1400 => q > 35,000


por lo tanto el numero total de revistas debe ser mayor que 35,000, es decir que al menos 35,001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades.

D Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y íes cobra $ 3 por corte por cada incremento de $ 0.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes ¿Qui precio ueberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene por una tarifa de $ 3?

Solución

Sea x = el número de incremento de $ 0.5 en la tarifa por encima de $ 3

$ (3 + 0.5x) = el precio del corte

100 - lOx = número de clientes por semana.

Ingreso total a la semana = (número de clientes) precio del corte

= (100 - 10x)(3 + 0.5x) dólares

el ingreso correspondiente a 100 clientes son de J 00 x $ 3 = *00

luego los nuevos ingresos semanales deben ser al menos 300 dólares, es decir:

(100 - 10x)(3 + 0.5x) > 300, simplificando x (x-4)<0, aplicando puntos críticos

0 4

por lo tanto la solución es 0 < x < 4

esto quiere decir que debería subir a lo más 4 x 0.5 = $ 2

El peluquero debería cobrar una tarifa máxima de$3 + $2 = $5 por corte, para obtener al menos los mismo ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $ 3 por corte.

|3.43. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que 5(C - 25) > 1.75 + 2.5C

Rpta. $ 50.70


Determine la ganancia máxima P (en dólares) dado que: 6(P — 2500) < 4(P + 2400)

Rpta. $ 12,300

(5 ) Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que: 2(1,5C + 80) < 2Í2.5C - 20)

Rpta. $ 100

( í ) Detennine la ganancia máxima P (en dólares) dado que: 12(2P - 320) < 4(3P + 240)

Rpta. $ 400

© La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y uncosto unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600,000, determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidos para que la compañía tenga utilidades.

©

Rpta. Al menos 120,001

El administrador de una fabrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 1.10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $ 800 al mes y el costo del material y de mano de obra será de Si 0 60 por cada empaque ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes' para justificar la decisión de fabncar sus propios empaques? Rpta. Producir al menos 1601 empaques al mes

® La publicidad indica que cierto auto rinde 20 millas por galón en la ciudad y 27 millas por galón en la carretera, y que la capacidad del tanque de gasolina es de 18.1 galones. Suponga que existen las condiciones ideales de manejo y determine la distancia que puede recorrer un auto de estas características con el tanque lleno.

Rpta. 1362,488.7]

Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por $ 400 mensual (con una base anual). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprarse el cano, el gasto fijo anual sería de $ 3,000 más $ 0.18 por milla ¿Cuál es el menor número de millas que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra?

Rpta. 22,500


(5 ) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de S 30 cada una.Tiene costos fijos de $ 12.000 aTmes; y además, le cuesta $ 22 producir artículo ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?

Rpta. más de 1,500

(lO) La comisión mensual de un agente de ventas es de 15% de las venias por arriba de$ 12,000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $ 3,000 por mes ¿Cuál es el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar? Rpta. S 32.000

© El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.65 se vende al distribuidor en$ 0.60 cada una, y la cantidad que recibe por publicidad es el 10% de la recibida por todas las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que pueden ser publicadas sin pérdida, esto es, que la utilidad > 0 (suponga que toda la emisión será vendida) Rpta. 60,000

(12) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para elventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores extemos a $ 2.50 cada unidad. La fabiicación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1,500 al mes, pero sólo le costará $ 1.70 fabricar cada correa ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?

Rpta. más de 1,875

\ y¡ Una compañía invierte $ 30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y6.75%. Desea una ganancia anual que no sea menor al 6.5% GCuál es la menor cantidad de dinero que debe invertir a la tasa de 6.75 por ciento? Rpta $ 25,714.29

^ 4) La fabricante de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado

por la expresión - 6 a 2 + 3 0 a - 10 donde x (miles) es el número de unidades producidas. ¿Qué nivel de producción el permitirá obtener una ganancia de al menos $ 14,000?

Rpta. Enfre 1,000 y 4,000 unidades

^ 5) Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura después de t segundo es

128f-16í2 + 4 pies. Determine el tiempo durante el cuál la pelota está arriba de una altura de 196 pies. Rpta. 4 segundos

Sistema de Numeros Reales 3 2 1

El costo de publicar cada ejemplar de la revista semanal compra y venta es de $ 0.35. Los ingresos del representante de ventas, ôn de $ 0.30 por ejemplar y los ingresos de la publicidad corresponden al 20% de los ingresos obtenidos por ventas que exceden los2,000 ejemplares ¿Cuantas copias deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales del al menos $ 1,000? Rota. 112,000, o más

(Ít) L’n fabricante tiene 2,500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $ 4. Elpróximo mes el precio por unidpd se incrementará en $ 0.50 El labricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2,500 unidades no sea menor que $ 10,750 tCuál es el número máximo de unidades que puede ser vendido este mes?

Rpta. 1,000

(18) Al precio de P por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en elmercado, con P = 600 - 5x ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por los menos de $ 18 0009 Rpta. 60 unidades

(19) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una El costo C

(en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C = 3,000+ 20* -0.1. 0Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad? Rpta. más de 150

(20) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerco disponible.Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2,ll)0 yardas cuadradas.

Rpta. 30 < x < 70, si x yardas es la longitud de un lado del terreno.

(21) Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $ 4 por cortepor cada incremento de $ 0.50 en el precio, el peluquero pierde 8 dientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales por lo menos $ 520 ?

Rpta. $ 6.50

(22) Un accionista invierte $ 100 a un interés anual del R por ciento y otros $ 100 al 2R porciento anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de2 años ¿Qué restricciones deben establecerse sobre R? Rpta. R > 4


(S ) Para producir 1 unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2.50 y el-dí'nrano de obra de $ 4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $ 5,000. Si ei precio para un mayorista es de $ 7.40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades.

(24) El margen de ganancia para un auto usado era de al menos 30% de su precio total al pormayor. Si el auto fue vendido en $ 6,500 ¿Cuál fue el precio máximo al por mayor?

(2^ t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto rultivo. el número

de bacterias está dado por ^ ’^ ^ + 2,000. Determine el momento en que el número der +1

bacterias esté por debajo de 4,000.

(26) Un editor puede vender 12,000 ejemplares de un libro al precio de $ 25 cada uno, porcada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares ¿Qué precio mínimo deberá fijarse a cada ejemplar con objetivo de lograr ingresos por lo menos de $ 300,000?

(28) Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de +1

(27) Una fabrica de camisetas produce N camisetas a un costo de mano de obra total de $ 1.2Ny un costo total por material de $ 0.3N. Los gastos generales para la planta son $ 6,000. Si cada camiseta se vende en $ 3 ¿Cuántas camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

100

9dólares por unidad ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que el ingreso por ventas sea mayor que $ 5,000?

(29) En cierto estanque se crían peces (se introducen n de ellos allí). Si se sabe que la gananciade peso promedio de cada pez es de (600 - 3n) gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28,800 gramos.

30) Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzana:, que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a P centavos por libra, venderá x libras, con x = 1000 - 20P ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $ 120?

Relaciones y Funciones 323

CAPITULO IV

RELACIONES Y FUNCIONES

4.1. INTRODUCCIÓN.-

a) PAR ORDENADO.-

Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.

Ejemplo.- Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), (etc).

b) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS--

Los pares ordenados (a.b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es:

(a,b) = (c,d) <=> a = c A b = d

Ejemplo.- Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son dnerentes.

Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es:

(a,b) * (c,d) <=> a * c y/o b * d

Fjemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2x- y)

Solución

Para calcular el valor de x e y aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados:


(5x + 2y,-4) = ( -l,2 x y) <=>5jr+2y = - l 2x— y = —4 y = 2

c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-

Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado DOr todos' los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B.

La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa:

También puede determinarse A x B mediante el método del “diagrama del árbol” el cual nos permite observar el conjunto de pares ordenados, este método consiste en disponer los elementos de A y B del modo siguiente

A x B = {(a,b) / a e A A b e B}

Nota: (a,bje A xB « a e A A b e B

Ejemplo.- Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} Entonces:

A x B = {(1,2),( 1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}

A B A xB

1

(1,4)

(3.2)

3

(3,4)

(5,2)

5

(5,4)

IRelaciones y Funciones 325

OBSERVACIÓN.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:

n(A x B) = n(A).n(B)

donde: n(A): es si número de elementos del conjunto A.

n(B): es el número de elementos del conjunto B.

n(A x B): es e) número de elementos del conjunto A x B.

Ejemplo.- Si A={2,4) y B = {1,3,5} entonces: AxB={(2,l),(2,3),(2,5U4 1),(4,3),(4,5)}

De donde. n(A x B) = n( A).n(B) = (2)(3) = 6

Además se tiene.

B x A = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} de donde se observa que A x B ^ B r A

d) PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

© A x B ^ B x A , no siempre se cumple © Ax<j) = <j)xA = <[>

© A x ( B u C ) = A x B u AxC © Ax(EnC> = AxE nAxC

© A x ( B - C ) = A x B - A x C © (AxB)xC = A x (B x C)

© Sí A c B => A xC c B x C , VC

© Si A c C y B c D Ax B c CxD

e) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO.-

En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo representaremos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se. representa sobre el eje hor,zontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B.


Sí A= {1,3,5} y B = {2,4} entonces:

A xB = {(1,2),( 1,4),(3,2)(3,4)(5,2)(5,4)}

A los elementos del conjunto A lo representaremos en el eje horizontal y a los elementos del conjunto Blo representaremos en el eje vertical.

OBSERVACIÓN

Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideremos los siguientes casos:

© Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por A x B = A x A — A 2

© Si A = B = R entonces A x B = R x R = R 2 este producto nos representa al plano cartesiano.

f) DIAGONAL DF UN CONJUNTO.-

Dado un conjunto A * <t>, a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por 1A y es definido por:

IA ={(JC*3')e A x A / y = x}

Ejen pío.- Sí A = {1,3,5} entonces:

A x A = {(1,1),(1,3)( 1,5),(3,1 ),(3,3),(3,5),(5,1 ),(5,3),(5,5)}

Entonces: IA = {(1,1), (3,3), (5,5)}

g, E TERCIOOS DESARROLLADOS.-

(T) Determinar los valores x e y, en cada caso:

a) (4, 2x - 10) = (x - 1, y + 2)Solución

Ejemplos.-Y

B A x B

III

-4-_1_


Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:

Í4 = jc-1 fjc = 5(4, 2x - 10) = (x — 1, y + 2) \

|2 * -1 0 = ;y + 2 b = -2

b) (y - 2, 2x + 1) = (x — 1, y + 2)

Solución

Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:

\ y - 2 = x — 1 í x - 2(y - 2, 2x + 1) = (x - 1, y + 2) => ; =>

[2*+l = y + 2 [y = 3

Dados los conjuntos A = {x e z /-1 < x < 3} ; B = { x e z / l < x < 4 }

C = { x e z / l < x < 4 }

Hallar los siguientes conjuntos y graficar:

a) A x B b) B x C c) (A - C) x B

Solución

Tabulando los conjuntos dados se tiene

A ={-l,0.1,2,3J. B = {1,2,3,4}, C={1,2,3,4}

a) A x B = {(-1.1),(-1,2),(-1,3),(-1,4).(0,1 ).(0.2).(0.3),(0,4).< 1.1).(1.2;,(1,3)( 1,4),(2,1),

(2.2)(2,3) C2.4)(3,1 ).(3,2),(3,3),(3,4)}

b) B x C = {(1 1),( 1,2),( 1,3),( 1,4),(2,1),(2,2,),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),

(4.2),(4,3),(4,4)}

c) A - C = {-1,0}

(A - C) x B = {(-1,1),(-1,2).(-1,3),( -1,4),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)}


A= {xe R / x - 3 <7}, B = {y e R/ -2 < y < 3}. Graficar A x B, B x A

Solución

Como x - 3 < 7 => x<10

A x B = ((x,y)/x< 10 A -2<y<3}

B x A = {(x,y) / -2 < x < 3 A y < 10}

Y3 A x B

-2

Y 'k10

1l111l

I¡BxAll

-2'i11ii

¡3 * l l I


©

©

Para A y B subconjuntos arbitrarios de R, geométricamente visualizar, como superficie, el

producto cartesiano A x B en el espacio bidimensional R 2, entonces:

Que parte del plano cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes productos cartesianos.

b) <-°°,0> x <-°°,0>

d)

Solución

a) <0,+°°> x <0,+°°> => {(x,y) / x > 0 A y > 0}

b) <-oo.0> x <-°°,0> => {(x,y)/x<0 A y<0)

c) <-°°.0> x <0,+°°> => {(x,y)/x<0 A y>0)

d) <0,+°o> x <-«.()> =* {(x.y) / x > 0 A y < 0}

330 Eáu irdo Espinoza Ramos

> '

“ Y X---- r------------------------ ►

0 \

h) EJERCIC'OS PROPUESTOS.

I. En cada caso determinar los valores de x e y.

® (x,4) = (-2,y) © (4, 2x - 10) = (x — 1. y + 2)

(y-2 , 2x + 1) = (x - 1, y + 2) © (5x + 2y, -4) = (-1, 2x - y)

© (x + 4, 6) = (10, y - x ) © (x + 5, 3 - y) = (7,2)

© (x + y, 3) = (5. y - x ) © (x-7y ,2x-6y) = ( 15,-10)

© (3x - 8y, 4x + 3y) = (4 - 2x - lOy, 2x + 4y + 7)

(5x + 2y, -4) = (-1, 2x - y) © (x3 -19, x2j - 6 ) = ( j 3, xy

© (2x - y, x + y + 3) = (x + y + 1, 2x + y)

@ 2 2 2+ 2, 2)

2

Relaciones j Funciones 3 3 1

II. En cada caso hallar los conjuntos y graficar

Q Dado los conjuntos: A ={xe z /-1 < x <3}, B ={xe z / 1 < x <4}, C= (xez / 1 < x <4);

Hallar los conjuntos y graficar:

a) A x B b) B x C c) (A - C) x B

Ij, Sea A = {x e R / 1 < x <3} y B = {y e R / 2 < y < 4}. Hallar A x B > graficar

StanA= [a.b}, B = {1,2,3,4,5J y E={3,5,7,9¡ Hallar(AxB) n ( AxE)

£) Rcpic eniar al conjunto producto cartesiano, {x e R / |x| < 5} x {x e R / -2 < x < 3}

Sombreando el área apropiada en el sistema bidimensional.

Dado los conjuntos A — {xe / V = "» k e N ] , B — \ x e N / x 2 — 1 4 a + 4 0 = 0 } ,

C = { x e N / x 2 - l = 0 } , entonces el número de elementos del conjunto

|(A n B ) u C ] x ( B - C) es.

(ó) Si A={ x e R / 2 < x < 5 } y B = { x e R / l < x < 4 } Graficar A x B, luego graficar BxA.

© Si A= {xe R / 2 < x < 5} , T = { x e R / l <x<4) . Graficar T x A, luego graficar AxT,

( ¡ ) Sí 4 = { ^ -p /( ,í -2 )U + 3)(A-5)=0} y B = \ + Í I .i(x + 2)C*-4) = 2} V x e R

Hallar A x B, B x A y graficar.

( 9) Si A = {*e k e N ) , B = { x e N / x 2 + l < \ 2 ) . Hallar iA n B) x (B - A)

(ío) Sí A = { 2 - l / 0 < v<5, .ve ¿}, B = | x - + l / - 5 < x < - 3 , t ez} ,

C = {a-3 + 4 / ( x - 1 ) ( i + 2)(jc-3') = 0 . xe ; } . Hallar A x B A xC BxC

© Si A = {—/.ve c A - 2< a <"4}, B = { x e N / x < 2 A xe {3,2,4,5)}

Hallar y graficar AxB y BxA

332 Eduardo Espinoza Hamos

(12) Si A = { 3 x + l / ( x e N A x < 3) V (x e z A O < x < 5)}

Calcular la diagonal del producto A x A y luego grafique.

(13) Dado A = (x e < / - 1 2 < x + 6 <20} y B = [ x e z / 10< x 2 <400}

Cuantos elementos tiene A x B.

( l^ Dados los conjuntos: A = { x e N / x < 3 } , B = { x e N / x e s par y x < 5},

C = ( x e N /x es impar y x <4} Hallar el conjunto ( A n B ) x ( C - A)

(j5) Sí A = { x e z + l x = ^ ^ - , k e z + ) y B = {xe z+ / x 2 +1 < 12}. Hallar (AnB) x (B-A)

( l í Si A y B son dos conjuntos arbitrarios demostrar que: AxB=<¡) <=> A = <J) VB = <¡)

f e ) Demostrar que: A x (B u C) = (A x B) u (A x C)

® Demostrar que: Ax(Br .C) = (Ax B) n ( Ax C )

® Demostrar que: (A - B) x C = (A x C) - (B x C)

© Demostrar que: Sí Ac:B entonces A x B c B x B

@ Demostrar que: Sí A c:B entonces A x A c A x B

@ Demostrar que: A x (E - B) = (A x E) - (A x B)

© Demostrar que: (A n B) x (E n F) = (A x E) n (B x F)

© Demostrar que: (Ax E)u (Bx F)e (Au B) x (Eu F)

© Demostrar que: A c B y E c D implica que A x E c B x D

4,2. RELACIONES BINARIAS.-

a) DEFINICIÓN.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre elementos de A y B a

todo subconjunto R del producto cauesiano A x B, esto es:

R es una relación dé A en B « R e A x B

R elación es y Fun don es 333

Ejemplo.- Sean A ={2,4} y B = {1,3,5} entonces

A x B = {(2,1 ),(2,3),(2,5),(4,1 ),(4,3),(4,5)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A a B:

R¡ ={(2,1), (2,5)}, R2 ={(2,3), (4,1), (4,5)}, R3 = {(2,1), (4,3), (2,3)}, R4 = A x B

Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B:

R5 = {(1,2), (4,1), (4,5)}, R6 = {(2,1), (4,1), (3,4)} puesto que (1,2) É A x B, (3,4) « A x B

por lo tanto R$ <£ A x B , Rh g: A x B .

OBSERVACIÓN.-

© Si A = B, entonces R es una relación en A o, R es una relación entre elementos de A.

© La definición 1.1 establece una comparación entre elementos de pares ordenados,motivo por el cuál se le llama “relación binaria”.

© Si R es una relación entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremos conjuntode partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada

© Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los númerosreales R, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es:

E= {(x,y) e R x R/Píx,y)}

© Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la función proposicional P(x,y) de larelación R, diremos que (a,b) e R en caso contrario (a,b) e R.

(ó ) Si A tiene p elementos y B tiene q elementos entonces 3 2" relaciones entre A y Bdonde n = pa

Ejemplos.-Sí A = {1,3} y B = {2.4} entonces A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}

El número de relación que se obtendrá de A x B es 22'2 = 2 4 =16 es decir: que se puede formar 16 relaciones:


{(1.2)}, {(1,2),(3,2)}, {(1,4)}, {(3,2)}, R3,4)}, {(1,2),(1,4)}, {(1,4).(3,2)}, {(1,2),(3,4)}, {(1,4),(3,4)}, {(3,2),(3,4)}, {(1,2), (1,4), (3,2)}, {(1,2),(1,4),(3,4)}, {(1,4),(3,2),(3,4)}. {(1,2),(3,2),(3.4)}, {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}, <|>

b) DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA.

Consideremos una relación R de A en B: es decir que R c A x B .

El dominio de la relación R denotado por D R es el conjunto definido por:

D R = { a € A / 3 b e t í A (a , b ) e R )

El rango de la relación R denotado por Rr es el conjunto definido por:

R r = [ b e B / 3 a& A A ( a , b ) e R]

Ejemplo.- Si R= {(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} entonces D R ={ 1,2}, Rr = {3,4,5}

OBSERVACIÓN.-

Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja "y” enseguida se analiza los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real.

Para determinar el rango de una relación se despeja “x”, enseguida se analiza los valores que puedan tomar “y" para que la variable “x” sea real.

Ejemplo.- Determinar el rango y dominio de la siguiente relación:

R = {(*, y)e R x R / x 2 + y 2 + 10y-75 = 0}

Solución

En primer lugar despejamos la variable “y” para obtener el dominio, es decir:

x 2 + y 2 + 10y —75 = 0 , completando cuadrado

(y+ 5)2 =100 —jc2 dedonde y = —5±-\/l00 — x2

Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que “y” sea número real es decir:

100 — x 2 > 0 de donde: x 2 <100 => -10<x<10 /. D j =[—10,10]


Ahora despejamos la variable “x” para obtener el rango, como x 2 + y 2 +1 Oy-75 = 0

=* a = ±^75 — 10 v — y~ entonces analizando los valores: que puede tomar “y” para quex sea número real se tiene: 75 — lOy — y 2 >0

donde (y + 5)2 <100 => -10<y + 5<10 => -15<y<5 /. Rf =[

c) PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA.-

Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades:

© PROPIEDAD REFLEXIVA.- Una relación R en A, diremos que esreflexiva si (a,a) e R para todo a e A esto es:

R es reflexiva en A <=> V a e A, (a,a) e R

PROPIEDAD SIMETRICA.- Una relación R en A diremos que es simétricasi (a,b) e R implica que (b,a) e R, esto es:

R es simétrica <=> V (a.b) e R (b,a) e R

(? ) PROPIEDAD TRANSITIVA.- Una relación R en A, diremos que estransitiva sí:

(a,b) e R A (b,c) e R implica que (a,c) e R, esto es:

R es transitiva <=> V a,b,c e A, l(a,b) e R A (b,c) e R => (a,c) e R]

(7 ) PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA.- Una relación R en A, diremos que esantisimétrica sí.

V a,b e A, (a,b) e R y (b,a) e R implica que: a = b, esto es:

R es antisimétrica <=> V a,b e A, [(a,b) e R A (b,a) g R => a = b]

(? ) PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA.-

Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo.- Si A = {1,2,3,4,5,6} las relaciones en A.


a) /?, = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} es reflexiva en A.

b) R2 = {(1,1), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} no es reflexiva en A por que falta (2,2).

Ejemplo.- Si A = {2,3,5,7}, las relaciones en A

a) R{ = { (5,3),(2,7),(3,5),(7,2),(2,2)} es simétrica porque (jc, _>’) e /?, => \ v, .v) e R¡

b) R2 = {(5,3), (2,7), (3,5), (2,2)} no es simétrica porque falta (7,2).

Ejemplo.- Si A = {1,3,7,9} las relaciones en A.I

a) Rt = {(7,l),(2,2),(l,2)}joes transitiyaporque (7,1)e R2 A(l,2)e /?2=>(7,2)e R2

Ejemplo.- Si A = {1,2,3,4,5} la relación R en A dado por R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)} es una relación de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

Ejemplo.- Sea Z = conjunto de los números enteros y la relación R definida sobre Z en R = {(x,y) e Z x Z / x - y = 3m, m e Z j e s una relación de equivalencia. En efecto:

® R es reflexiva porque: a - a = 0 = 0.3 V a e Z es decir: (a,a) e R, V a e Z

R es simétrica porque: Sí a - b = m.3 => b - a = -(a - b) = (-m).3

V a,b e Z => (a,b) e R => (b,a) e R ,

( 3) R es transitiva porque: Sí a - b = m.3 y b - c = m .3 entonces

a - c = (a - b) + (b - c) = m.3 +■ m .3

a - c = (m + ni )3 =* a - c =m.3, V a,b,c e Z

es decir: (a.b) e R A (b,c) e R => (a,c) e R, V a,b,c e Z.

Por lo tanto R es una relación de equivalencia.


d) DETERMINACIÓN DE UNA RELACIÓN BINARIA.

Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces auna relación determinaremos por extensión o por compresión.

\Ira. POR EXTENSIÓN.-

Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación.

Ejemplos.-

a) 7?, ={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} , R 2 = { ( a , b ) , ( c , d ) , ( e , f ) )

b) Si A ={2,3,6,9} y B = { 1,4,5,6,12}

Expresa por extensión cada una de las relaciones:

0 R = {(x,y)e A x B / y =2x)

Solución

R={(2,4),(3,6),(6,12)}

(2 ) R = ((x,y)e A x B / x + y= 12}

Solución

R= {6,6}

2da. POR COMPRENSIÓN.-

Una relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación.

Ejemplos.-

a) Si A = Z conjunto de los números enteros la relación R={(x,y)eZx Z /y = x} es una relación expresada por comprensión.

b) Si U = { xe N / x < 7 } . De'erminar por comprensión la relación:

R = {(3,1 ).(4.2),(5,3),(6,4),(7,5)}


Solución

Se observa que la diferencia enfe la primera componente y la segunda componente es dos unidades por' prensión:

e) RELACIÓN INVERSA.-

Si R c A x B es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo

Ejemplo.- Hallar la inversa de las siguientes relac iones,

a) R = ((x,y)G R x R / x + 3y = 12}

Solución

Para determinar la inversa de una relación se despeja x, es decir: x = 12 - 3y

Luego se permuta x por y es decir: y = 12 - 3x

denotaremos por R 1 y está definido por:

R ' = { ( y , x ) e B x A / ( x , y ) e /?}

Ejemplo.- SíR= {(3,2),(3,1),(4,2),(4,5),(6,8)} ■=> R l ={(2,3),(1,3),(2,4),(5,4),(8,6)}

R~l = { ( x , y ) e R x R ! y = \2-7>x]

b) R = {(x,y) e R x R/ 3x + 4y = 5 A l < x < 7 }

Solución

5 — AyPrimeramente despejamos x de 3x + 4y = 5 es decir: x = ------- , 1 < x < 7

Ahora veremos como va variando y; como l < x < 7 => 1<----- — < 7


R 1 = { ( x , y ) e . R x R! y = —4 < x < ^ ]

, - 4 < a < - 2

4.3. GRa FICA DE UNA RELACIÓN DE R EN R.-

a) DEFINICIÓN.- Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de

teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las formas:

E(x,y) = 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0.

b) DISCUSIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA RELACIÓN.-

Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E(x,y) = 0, daremos el siguiente criterio.

Ira. Determinación de las intersecciones con les ejes coordenados.

puntos P(x,y) cuyas coordenada;, satisfagan a dicha relación.

Intersección con el eje X: E(x,y) n eje x = {(,t, y) e R 2 / v = 0} = P

Es decir: para hallar el punto P de intersección con eE eje X se hace y = 0 en la ecuación E(x,y) = 0, o sea que se resuelve la ecuación E(x.O) = 0

Intersección con el eje Y: E(x,y) n eje y = ((.v, y)e R 2 / jr = 0} = Q

Es decir para hallar el punto Q de intercesión con el eje Y se hace x = 0 en la ecuación E(x,y) = 0, o sea que se resuelve la ecuación E(0,y) = 0.

2da. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados.

Simetría con respecto al eje X.

Existe simetría con respecto a eje X si se cumple E(x,y) = E(x,-y). Fig. (a)

340 Eduaido £ spinoza Ramos

Simetría con respecto al eje Y.

Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple E(x,y) = E(-x,y) Fig. (b)

Simetría con respecto al origen.

Existe simetría con respecto al origei áu se cumple E(x,y) = E(-x,-y). Fig. (c)

3ra. Determinación de la extensión de la curva.

Consiste en determinar el dominio y el rango de la relación.

4ta. Determinación de las Ecuaciones de las Asíntotas.

Trataremos solamente de las asíntotas verticales y horizontales.

Asíntotas Verticales.- La recta x=a, es una asíntota vertical de la relación E(x.y) = 0. si para cada (x,y) e E(x,y), se tiene que

para “y” bastante grande la distancia de “x”a“a” es decir |x-a| es muy pequeño.

Rciaciones y h unciones

Para calcular las asíntotas verticales se despeja la variable y de la ecuación

E(x,y) = 0 es decir: y = ----- de donde f y g son expresiones solamente de x,«<*>

entonces las asíntotas verticales se obtienen de la ecuación gvx) = 0, es decir haciendo el denominador igual ? cero.

Asíntotas Horizontales.- I-a recta y = b es una asíntota horizontal de la relación E(x,y) = 0 sí paia cada (x,y) e E(x,y) sé

tiene que para “x” bastante grande la distancia de “y” a “b” es decir |y - b| es muy pequeña.

Para calcular las asíntotas horizontales se despeja la variable x de laf

ecuación E(x.y) = 0, es decir: x = ( - donde f y g son expresiones£(>■)

solamente de y. entonces las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación g(y) = 0 es decir haciendo el denominador igual a cero.

\

I5ta. Tabulación. /

Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación E(x,y) = 0.

6ta. Trazado de la curva.- Mapeo de los pares ordenados.

OBSERVACIÓN

Diremos que el par (a,b> pertenece a la relación E(x,y) = 0 sí y sólo sí E(a,b) = 0.

Ejemplo.- Discutir y graficar la relación: R = {(x,y) e R x R / x y - 2 y - x = 0)

Solución

A la relación dada escribiremos en la forma: R(x,y) = xy - 2y - x = 0

1° Intersección con los ejes coordenados:

Con el eje X; hacemos, y = 0 ; R(x,0) = 0 - 0 - x = 0 => x = 0

Con el eje Y; hacemos, x = 0; R(0,y) = 0 - 2 y - 0 = 0 => y = 0

2° Simetrías:

Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y)

pero x(-y) - 2(-y) - x * xy - 2y - x, por lo tanto no existe simetría con el eje X.

Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y)

pero xy - 2y - x *■ -xy - 2y + x, por lo tanto no existe simetría con el eje Y.

Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y)

pero xy -2y- x * (-x)(-y) - 2(-y) - (-x), por lo tanto no existe simetría con el origen.

3o Extensión:

xCalculamos el dominio, para esto despejamos y es decir: v = ------.

x — 1

342__________________________________________________________ Eduardo Ekf>inoza Ramos

Luego Dr - R - {2}


Calculamos el rango, para esto despejamos x es decir: x -

Luego = /? — {1}

4o Asíntotas:

2 y y - l

Asíntota Vertical: se despeja y: v = — — la ecuación de la asíntota vertical es x - 2x — 2

Asíntota horizontal: se despeja x:

2yx = ----- , la ecuación de la asíntota horizontal es y = 1.

y - l

5o Tabulación:X 0 1 3 4 -1 -2Y 0 -1 3 2 0.3 0.5

4.4. EJERCICIOS DESARROI .LADOS

© Hallar el dominio y rango de la relación: R = {(jc, y)e RxR / xy 2 - x + 3 y z +1 = 0}

Solución

Calculando el dominio de la relación R, para esto despejamos y de la ecuación

I x — 1x y ' - j f + 3 v ' +1 = 0 => (x + 3) ~ = jc - 1 =>

344

©


Analizando los valores que pueda tomar x para que y sea real, en esite caso debe x — 1cumplirse: ----- > 0 . ------ \ /--------- \ /---------jc + 3 + m ~ v +

-3 1Luego D r - < -oo,-3 > í/[l,+°° >

Ahora calculamos ei rango de la relación R.

Para esto despejamos x de la ecuación: x y 2 - x + 3 y ¿ r 1 = O

y - l

Luego los valores que puede tomar y para x sea real es que y * ± 1

Por lo tanto Rr = R — {—1,1}

Hallar el dominio y el rango de la relación: R = [ ( x , y ) e R x R / x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 =0}

Solución

Sea x 2y 2 — 4 x 2 - 4 y 2 =0 ...(1)

Para calcular el dominio de la ecuación (1) despejamos y = ±. 4x2

x2 - 4

Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe

*2 1 1cumplir: —---- >0 => —---- >0 = > ---------------- >0*2- 4 x —4 (x + 2)(x — 2)

-----\ /----------- \ /+ V ~ v

La solución es x e <-°°,-2> u <2,+°<>>

Para x = 0 también se verifica. Por lo tanto: DR = < -°°,-2 > u < 2,+°° > u {0}

Relaciones y t unciones 345

Ahora calculamos el rango de la relación para esto despejamos x de la ecuación (1)

4 y2\ = ± I— ---- , analizando los valores que pueda tomar y para que x sea real, en este caso\ y - - 4

4y2se tiene —---- > 0y2- 4

V y e R , y “ >0 => y = 0 se cumple, —~ — >0 => ----------------> 0y - - 4 (y-2)(y + 2)4y2 1- r — >0

/----------\ /+ v - V

La solución es y e <-°°,-2> <2,+°°>

Por lo tamo: Rr - < - » ,-2 > < 2,-h» > u {0}

(3 ) Sí A = {2,3,6,9,11} y B = { 1,4,5,6,12,14}

Expresar por extensión cada una de las siguientes relaciones:

a) R = {(x,y) e A x B / y = 3x}

Solución

R = {(2,6)}

b| R = {(x,y) e A x B / x + y = 12}

Solución

R = {(6,6),(11,1)}

c) R= {(x,y)e A x B / y = x}

Solución

R = {(6,6)}


( í ) Si el universo es U = {1,2,3,4,5} determinar por comprensiór cada una de las relaciones:

a) R = {(1,1 ),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

Solución

R = {(x,y) e U x U / y = x}

b) R= {(3,1),(4,2),(5,3))

Solución

R = {(x,y) e U x U / y = x-2]

(? ) La relación R = {(x,y) e Z x Z / x - y = 2k, ke Zj . Es una relación de equivalencia

Solución

a) Reflexiva: Six = y => y - x = 0

=> x - x = 2(0), 0 e Z

Luego V (x,x) e R :.R es reflexiva.

b) Simetría: Como x - y = 2k, multiplicando por -1 se tiene: y - x = 2(-k), -k e Z

Luego (y,x) e R .\ R es simétrica

c) Transitiva: Sí (x,y) e R => x — y = 2kl , k ¡ e Z

(y,z) e R => y - z = 2k2 , k 2 e Z

x — z = 2(kl + k 2) , k ¡ + k 2 e Z

Luego (x,z) e R R es transitiva. Por lo tamo R es de equivalencia.

© La relación R definida por: R = {(x,y) e R x R / | x - y | < 4 ) , R e s d e equivalencia.

Solución

a) Reflexiva: V x e R , | x - x | = 0 < 4 => (x,x) e R Res reflexiva


b) Simétrica: (x,y) e R => | x - y | < 4

=> | y — x | < 4 => (y,x) e R R es simétrica.

c) R no es transitiva: para esto tomemos dos pares ordenados

(7,4) e R => | 7 — 4 | = 3 < 4

(4.1) e R => 14 - 1 | = 3 < 4

(7.1) e R => | 7 — I | = 6 í 4, luego R no es transitiva.

Por lo tanto R no es de equivalencia.

© Determinar sí la relación: R = { ( a , > ) / • > / * + <Jy — 1, x , y e R+} es reflexiva, simétrica y

transitiva.Smución

a) Reflexiva: Sí .ve R + => -Jx + -Jx * 1, x * —.4

Luego (x.x) g R => R no es reflexiva.

b) Simétrica: Sí (x,y) e R => J x + J y = 1

J y + J x = 1 => (y.x) e R

Por lo tanto R es simétrica.

c) Transitiva: Sí(x,y)e R entonces: J x + J y = 1

(y,z) e R entunces J y + J z = 1

Jx + Jz = 2(1 - -y/v) * 1

(x,z) g R, por lo tanto no es transitiva.


© Discutir y graficar la relación: R - [ ( x , y )e RxR I x 2y — 4y + a = 0}

Solución

La relación dada también se escribe así: R(x, y) = x 2y — 4 y + x — 0

Ahora narenjos la discusión correspondiente:

Ira. Intersección con los ejes coordenados

Con el eje X, hacemos y = 0; R(x,0) = 0 - 0 + x = 0 => x = 0

Con el eje Y, hacemos x = 0; R(0,y) = 0 - 4 y + 0 = 0=> y = 0

2da. Simetrías

Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y).

Pero a2 (—y) — 4(->) + x * x 2y - 4 y + x , por lo tanto no existe simetría en el eje X


Pero A2y —4y + A* (—a)2 y — 4 y — x , por lo tanto no existe simetría con el ejeY.

Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x.-y)

a2 y - 4 y + a = (—a) 2 - 4(->) - a , por lo tanto si existe en el origen.

3ra. Extensión.

—xCalculamos el dominio, para esto despejamos y, y = —----

a - 4

el dominio es: R = {-2,2}

Calculamos el rango, para esto despejamos x

el rango es todos los reales R, puesto que y = 0, x = 0, la ecuación se verifica.


4ta. Asíntotas

—XAsíntotas Verticales: se despeja y, y = —---- , las ecuaciones de las asíntotasj t - 4

verticales se obtienen de la ecuación x 2 — 4 = 0 de donde x = -2, x = +2 es decir: x = ± 2 son las asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales, se despeja x, x = ■2y

La ecuación de la asíntota horizontal es y = 0

5ta. Tabulación.

X -4 -2.5 -1.5 -1 0 1 1.5 2.5 4y 0.3 1.1 -0.9 -0.3 0 0.3 0.9 1.1 -0.3

(5 ) Discutir y graficar la relación: R = {(x, y ) e RxR / x 2 y 2 ~ 4 x 2 — 4y 2 = 0}

Solución

A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = x 2y 2 —4 x 2 - 4 y2 = 0

Ahora haremos la discusión correspondiente.


Ira. Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje X, hacemos y = 0 de donde /?(a,0) = 0-4;r2 - 0 = 0 => x = 0

ConelejeY, haremosx = 0 dedonde R(0, v) = 0 - 0 - 4> 2 = 0 => y = 0

2da. Simetrías:


Como x 2y 2 —4 x 2 - 4 y 2 = x 2'—y ) 2 - 4 x 2 —4(—y ) 2

Por lo tanto existe simetría en el eje X.

Con respecto al eje Y: R(x,y) = R,'-x,y)

Como jc2y2 - 4 x 2 - 4 y 2 = ( - x ) 2 y 2 -4 ( -a )2 - 4 y 2

Por lo tanto existe simetría en el eje Y.


Como x2y 2 - 4x2 - 4 y 2 = (—jc)2(-> )2 - 4( - * ) 2 - 4(-y )2

Por lo tanto existe simetría en el origen.

3ra. Extensión.

I 4a-2Calculamos el dominio para esto despejamos y, y = ±«|—5----

V x — 4

4 2 , ------------- \ / -------------------\ t--------~ _

y es real sí —;----------------------------- > 0 => ----------> 0 ---- i — ^ ^ -►x —4 U -2 ) (* + 2 ) _2 2

x e <-oo,-2> u <2,+o°> por lo tanto Dp =< -o»,—2 > u < 2,+°° > u {0}

I 4y 2Calculamos el rango, para esto despejamos x, x = ± —f —\ y - 4


4 ,2 j -~+~\ r - - ~ \ r - ~x es real si — — >0 => ---------------> 0 V

y2- 4 (y —2)(y + 2) -2

y e <-°°,-2> u <2,+°°>. p0r lo tanto Rh = < -°°,-2 > u < 2.+°o > u {0}

4ta. Asíntotas.

4x-Asíntotas verticales: se despeja v = + .1l x - - 4

Las asíntotas verticales se obtiene de la ecuación x 2 - 4 = 0 => x = ± 2

4y2Asíntotas horizontales: se despeja x - ± J — ----

Las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación y 2 — 4 = 0 =* y = ± 2

5ta. Tabulación.X + 3 ± 4 0y 6yf5

5l4 /3

3

0

(ío) Discutir y graficar la relación R = {(x, v)e RxR / yx”* - 4y - x7 = 0}

Solución

>) C\l


A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = y x 1 — 4y - x 1 = 0

Ahora haremos la discusión correspondiente

Ira. Intersección con los ejes coordenados.

Con el eje X , hacemos y = 0, de donde R(x,0) = 0 - 0 - x 2 - 0 => x = 0

Con el eje Y, hacemos x = 0, de donde R(0, y) = 0 - 4 y - 0 = 0 => y = 0

2da. Simetrías


pero yx2 - 4y — x 2 * — yx2 -4 (—y ) - x 2

por lo tanto no existe simetría en el eje X.


como y x 2 - 4 y - x 2 = y ( - x ) 2 - 4y - ( - a) 2

por lo tanto existe simetría en el eje Y.


pero yx 2 - A y - x 2 * -> (-* )2 -4 ( -y ) - ( -x )2

por lo tanto no existe simetría en el origen.

3ra. Extensión.jc2

Calculamos el dominio, para esto despejamos y de donde y = —= — ,x - 4

si x * ± 2, luego entonces D R = R -{-2,2}

4 vx es real sí: ----- > 0y —1 0 1

Relación es y F un cion es 353

y e <-°°,0] u <l,+°°>, Rr =< -®=.0] u < l,+°o >

4td. Asíntotas

2Asíntotas verticales, se despeja y, y = —---- , las asíntotas verticales se obtienen

de la ecuación x 2 - 4 = 0 =} x = ± 2.x2 - 4

Asíntotas horizontales, se despeja x

obtienen de la ecuación y - l = 0 => y = 1.

5ta. Tabulación.

\ y - llas asíntotas horizontales se

X 0 ± 1 ±1.5 ±2.5 ±3’ 0 -0.3 -1.2 2.7 1 .8

1.5. EJERCICIOS PROPUES1OS-

© Hallar el dominio y rango de las relaciones

a) R ~ {(a, y)e RxRI y = x 2 - 4x, y < 0}

c) R = {(a, y;e RxRI x 2 = >-1}

e) R = {(.v, y)e RxR / a + y = 1}

b) R = { ( a , y ) e RxR / y = y ¡ 4 - x 2 }

d) R = {(x,y) e RxR / xy -2y-x=0}

f) R = {(a,y)e R x R / x 2y 2 +x y = 5}

354 Eduardo Er.pinoza Ramos

g) R = { ( x , y ) e R x R / y - — í------ } h) R - {(*, y)e RxR l (x2 -4)y = y 2 }2x~ - 3 x - 5

i) R = { ( x , y ) e R x R / x 2y 2 - 2 x + y 2 - 4 = 0}

j) R = { ( x , y ) e RxR/ (x2 - 6 x + 5 ) y 2 = 4 y - l }

© Sí U = { x e Z* I x impar A x < 8}. Tabular las siguientes relaciones en U

a) R = {(x,y)e U x U / x = 3 V y = 5} b) R = {(x,y) e U x U / x + y = 8)

c) R = {(x,y) e U x U / xy = 21} d) R={(x,y)eUxU / x divide a 20}

© En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma:

R = l ( x , y ) e NxN / x +jc=y2 +)'}

es decir si es una relación de equivalencia, justifique su respuesta.

© En R se define las siguientes relaciones, V x,y e R

a) R = l(x,y) e R x R /1 x - 1 | = | y - 1 |} b) R = {(*,y ) e R x R / x 2 - x = y 2 ->} .

Demostrar que son relaciones de equivalencia.

© Siendo A = {1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias.

a) R=((x,y)e A x A / x + y > 0 | b) R = {(x.y) e A x A / x - y < 2}

c) R = {(x,y) e A x A /x < y}

Rpta. a y c es de equivalencia, b) es reflexiva

© En A = {1,2,3,4} se considera la relación R = {(x,y) e A x A / x = y V x + y = 3}

Es de equivalencia. Rpta. Si

( 7) En Z define la relación R: R = {(jc, y)e ZxZ l x 2 + x = y 2 + >}. Graficar R.

© Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a,b)R(a' , b') <=> ab'=ba'

Rpta. R es de equivalencia.


© Defin.mos en el conjunto Z x (Z - 0) la siguiente relación (a,b) R (c,d) « ad = be

Es una relación de equivalencia Rpta. R es una relación de equivalencia

Demostrar que la relación dada por: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d).(a,c),(c,a),(b.d),(d.b)}

En el conjunto A = (a,b,c,d} es una relación de equivalencia.

Discutir y graficar las relaciones siguientes:

a) ,rv" - 3 v' -1 = 0

-)•> 2 x~C ) V = -

e)

3-,v

x 2y 2 - x 1 + y 2 +1 =0

g) xy - 2x - y - 2 = 0


a) x v 2 + xv — 6x — 3 = 0

c) >- 4a

jc- - 4

e) x3 + x y 2 — y 2 =0

g) vx2—25y —x = 0


x2 -25a) v =

c)

x + 1

2x2 - 5 1 + 23x2 — 1 Ox + 3

b)

d)

0

h)

y2(x2 — 4) = x + 2

1'V 2x2 - 3 x - 5

x2y2 +4x2 - 4 y 2 =0

>2(x+l) = 4

bl v =

d) >•

f) y =

h) y =

3x -8x + 472

x2+l 2x2 - 5x + 2

x(x + 3)(x + 2)(r —2)

x2 - 3x + 2

b) >' =

u - i r

4x —5

d)

2(x2 —1)

x y 2 - 4 x 2 — 3v' +12x = 0

356 E iuardo Espinoza Ramos

C2 x - \ ) - 414 ) Discutir y graficar la relación R definida por: /? = {(*, y ) e t ixR/y = — --------- —}

x2-7.x+ 10

4.6. FÜÍNCIUNKS.

Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos cada elemento de A un único elemento en B.

a) DEFINICIÓN.- Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B, a la relación binaria f de A en B le llamaremos función de A en B, si y

sólo si, verifica:

i) f c A x B

ii) (a,b > e f A (a,cj e f =» b = c

esto quiere decir, que dos pares ord/nados distintos no pueden tener la misma primera componente.

Gráficamente:

OBSERVACIONES:

f es función, sí b = c

© Una función f de A en B denotaremos por: f: A -----» B; o A — - —> B y se lee “fes una función de A en B”, donde 41 conjunto A le llamaremos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.

© Si el par (a,b) e f, escribiremos b = f(a) y se dice que b es la imagen de “a” por f otambién, que b = f(a) es el valor de f en el punto a.

© Sí A = B = R, a la función f: R ----- > R, se denomina función real de variable reai

© Teniendo en cuenta la pañe 7) se tiene la siguiente notación:

y = f(x; <t-> (x,y) e f


donde y = f\x) se lee "y es función de x” ó "y es la imagen de x por f

(x,y) e f se lee “el par (x,y) pertenece a f \

Ejemplo.- f(l) = 3 » (1,3) e f

D De la parte 4), a la función f se puede escribir en la forma:

f= {(x,y) e R x R / y = f(x)}

donde la ecuación y = f(x) es llamada regla de correspondencia.

OBSERVACIÓN.- Una consecuencia inmediata de la definición a), es que toda función es una relación p:ro no toda relación es una función.

Ejemplo.- La relación: R = {(1,2),(2,3),(3,4) (2,5)} no es una función, puesto que para el elemento 2 existen dos elementos 3 y 5 tales que (2,3),(2,5) e R, que

contradice a la definición de función.

b) DEFINICIÓN GEOMÉTRICA.- f es una función <=> cualquier rectapeipendicular al eje X corta a la gráfica de f en

un sólo punto. Es decir: G^(/) n L = {punto}

G , ( / ) n L = { p } , C; (/i) nL=(P,Q)f es función => h no es función

4.7. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.-

Sea f: A-----B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjuntode todas mis primeras componentes, al cual denotaremos por D j , es decir-

358 Eduardo Espinozt fiamos

Df = { x e A / 3 y e B A (x, v)e f } c A

y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al cual denotaremos por Rf es decir:

Rj ={ y e B I 3 x e A A ( j c , y ) e / ) £ Í

fA B

x y

Ejemplo.- Sea f = {(1,2),(3,4),(5,6).(7,8)} su dominio y rango es: D¡ = {1,3,5,7}; Rf = {2,4,6,8}

4Ü! CRITERIO PARA EL CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.

El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado.

El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “y”, de tal manera que x sea real.

Ejemplo.- Hallar el dominio y rango de la función f ( x ) = J 2 + x - x 1

Solución

Calculando el dominio: como y = f(x,) entonces:

x2 - x — 2 < 0 => (x -2 )(x + l ) < 0-1 2


Luego el dominio es: Dy = [—1,2]

Calculando el rango: como y = \ 2 + x — x2 , y > 0

y 2 =2 +x - x 2 , despejamos x, es decir: x =

i 2 9 3 3Luego x es real si 9 - 4y > 0 => y < — => — < y < —

Ejemplo.- Hallar el rango de la función: f ( x ) = x 2 —Ax + 1 , x e [2,3]

Solución

En este caso el dominio esta especificado x e [2,3] ahora calculando el rango: como

A una función f, le llamaremos aplicación de A en B, si y sólo si: D j = A.

EN FORMA SIMBÓLICA: Un conjunto f c AxB es una aplicación de A en B <=>V x e A, 3 y e B, tal que y = f(x).

OBSERVACIÓN.- Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda aplicación es una función, pero toda función no siempre es una aplicación.

y = f ( x ) = x 2 —4x + 7. Despejamos x es decir: x = = 2 ± J y - 3

x = 2 ± J y - 3 e [2,3] => 2<2±-sj y - 3 < 3

0 < ± J v - 3 < 1 => 0 < J y - 3 <1 => 0 < y - 3 < 1

3 < y < 4 => y e [3,4] por lo tanto Rf =[3,4]

4.9. APLICACIONES DE A EN B.-

3G0 Eduardo Espinoza Ramos

NOTA.- Algunos autores consideran a la función y aplicaciones como sinónimos, en estos apuntes, a las aplicaciones las consideraremos como casos particulares de las funciones.

Ejemplo.- Sean A ={1,3,5}, B = {2,4,6}, calculando A xB

a) El conjunto f= {(1,4),(3,2)} es función donde Df ={1,3} y Rf ={4,2} pero f no es

una aplicación de A en B puesto que * A .

b) El conjunto f = {(1,2),(3,4),(5,6)} es una función donde: Dj = {1,3,5} y

R f = {2,4,6} como Dj = A entonces f es una aplicación de A en B.

[4.10. FUNCIONES ESPECIALES.-

( l ) FUNCIÓN CONSTANTE.- A la función f, le llamaremos función constante, si suregla de correspondencia es:

“ Yc f(x) = c, donde c es una constante.

También a la función constante, se puede definir por:

f = {(x,y)e R x R / y = c,cconstante}

0 X donde su dominio es Df - R , su rango es Rf = {c}

y su gráfica es:

FUNCIÓN IDENTIDAD.- A la función f, le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es:

t Y f(x) = x

f = {(x,y) e R x R / y = x}, donde D f = R , Rf =R

y su gráfica es:

También a la función identidad se define:

f(x) = x


©

©

©

FUNCIÓN LINEAL.- A la función f, le llarraremor función lineal, si su regla decorrespondencia es:

f(x) = ax + b f(x) = ax + b

donde a.b son constantes y a / 0. También a la función lineal se puede expresar en la forma:

f = l(x,y)eRx R / y = ax + bj, donde Df =R y

Rf = R; a,b e R y a * 0, cuya gráfica es:

FUNCIÓN RAIZ CUADRADA.- A la función f, le llamaremos función raíz cuadrada,si su legla de correspondencia es:

f(x) =\[* f ( x ) = yfx

También se puede expresar en la forma:

R~R/y = y[x}

X donde Df - R + y Rf - [0,-*-°° >

FUNCION VALOR ABSOLUTO.- A la función f, le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es:


f= {(x ,y )e R x R / y = |x |}

Donde D - R y Rf = [0,-k» > y su gráfica es:

(ó ) FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.- A la función f, le llamaremos función máximoentero, si su regla de correspondencia es:


í M = lIx |] donde [|jc|] = h <=> n < x < n + l , n e Z


donde Df = R y R ^ = Z

Si x e [1,2> <=> f ( x ) = [| x |J = 1 => f(x )= l

Si x e [2,3> <=> f ( x ) - [| x |] = 2 => f(x) = 2

Si x e [3,4> <=> f ( x ) = [| x |] = 3 => f(x) = 3

S ixe[-1 ,0> <=> f ( x ) = [| x|] = -1 => f(x) = -l

S ix e [-2 ,- l> <=> f ( x ) = [| x |] = -2 => f(x) = -2

Si x e [-3,-2> <=> / W = [| jc |] = —3 =» f(x) = -3


© FUNCION SIGNO.- A la función f. le llamaremos función signo, si su regla de correspondencia es:

f(x) = sig(x), donde sig(x) =

OII

* 0

También puede expresar en la forma:

f = {(x,y) e R x R / y = sig(?:)}

Donde D ¡ = R , ={-1,0,1} y su gráfica es:

® FUNCIÓN CUADRÁTICA.-

A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:

f ( x ) = ax2 +bx+c, a,b,c e R, a * 0

También a lp ecuación cuadrática se expresa así:

f = {(x,y)e RxR/ y = a\ +bx + c, a , b , c e R . a * 0 ]

La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje pe. pendicular al eje X en el cual se presenta dos casos.

Si a > 0 la gráfica se abre nacía arriba.

Si a < 0 la gráfica se abre hacia abajo.

El dominio de la función cuadrática es: D / = R El rango se determina completando

cuadrados.

Como f (x) = a\~ +b \ + c, - b b2 'f (x) = a(x~ H— x-i---- r ' + c ------

a 4 a~ 4 ¿7

b - 4ctc — b~f ( x ) = a(x + — )- + ---- ------

2a 4a


. - • , . b 4a c - b ~ ,Luego el vertice de la parabola es: V (----- .-----------)2a 4 a

„ A a c —b~D f =R, /?<■=[---------- ,+°°>

f 1 4aDf = R . Rf =<-«>,/

4 ac — b 4a ]

( 9 ) FUNCIÓN POLINOMIAL.-

A la función f, le llamaremos función polinomial, si su regla de correspondencia es:

f ( x ) = anx n +a„_¡xn 1 +.. +axx + a0, x e R

donde a0,a¡,a2 a„_,, a„ son números reales, an * 0 .

Ejemplo.- f ( x ) = 5jcs + 7x4 + 3.v + 6 , es una función polinomial.

(ÍO) FUNCIÓN RACIONAI .-

A la función f, le llamaremos función racional, si su regla de correspondencia es:

n-la„x +a„ tX + ...+ fl1Jc + fln/ ( * ) = - " ------- Í-!-----T------- ------n,m e Zbmxm + - + blx-rbl¡

donde a0,a 1,...,a„, b^,bx,...,bm son constantes reales y bm * 0

x 2 +5jc-17Ejemplo.- La función f ( x ) = —-— ----- , es una función racional cuyo dominio es elx~ — 5x+6

conjunto de todas las x, de tal manera que el denominador no se anule, es

decir: Dy = {.ve R ! x 1 — 5.v -1-6 * 0} = /? — {2,3}


4.11. EV ALUACION DE UNA FUNCION.-

Coíi.->ideremos una función f con regla de correspondencia.

y = f(x), x e D f

Si x toma valores específicos, por ejemplo: x = ,v0, entonces y0 = f ( a 0 ) se dice que la

función ha sido evaluada, en otras palabras es:

Cuando x = x0 el valor de la función es / ( v0)

Ejemplo.- Si f ( x ) = 2a3 + x 2 + a + 2, el valor de f en el punto x = 2 es f(2) es decir:

/(2 ) = 2(2)3 + (2)2 +2 + 2 = 16 + 4 + 2 + 2 = 24

Ejemplo.- Si / ( a ) = x 2 + x4-\ entonces / (^ ) = z2 +z + l

f (y jy) = y + -Jy + i

Ejemplo.- Si /(.v) = 5* , probar que f(x + y) = f(x).f(y)

Sor-rión

4.12. FUNCIONES DEFINIDAS CON VARIAS REGI AS DE CORRESPONDENCIA.

hn la:, funciones definidas con dos o más reglas de correspondencia, su dominio y rango se deiermi.ia» de la siguiente »orina:

Suponiendo que la función f es definida por:

/(*+ » = 5 = 5 ' 5' =/(*)./(>■>

f(x + y) = f(x).f(y)

el dominio de f(x) se detemiinan así: D^ = D^ u £ )^

366 Fdunrdfí E\¡¡¡t t . Ratvo\

el rango de la función f(x) se calcula por: R{ ~ R j kjR/2

Esta forma de calcular dominio y rango de una función con dos reglas de correspondencia, también se extiende a funciones de tres o más reglas de correspondencia.

Í2 r + l si .x > 1 Ejemplo.- Calcular el dominio y rango de la función: / (.v) = •! ,

x~ — 2 si x < 0Solución

Calculando su dominio se tiene:Í / i ( a ) = 2 a + 1, si v > l \D a = [ l . + ~ >

\ f 2(x) = x2 - 2 . si x < 0 [Dh = <-oo,0>

Luego su dominio de f(x) es: D = D¡ u Dj = [1, ¥& > u < -«».0 >

D f = < —oo,0 > U [l,+oo >

Ahora calcularemos el rango:

Si x > 1 =* y = 2 x + l despejamos x: x - — ~ * >1 => y > 3 de donde: y e [3,+<»>

Si x<0 => y = x 2 - 2 , despejando x se tiene x = y + 2 < O => J y + 2 > O => y > -2

de donde: y e <-2,+°°>

Luego el rango de la función f es dada por: R¡ = < -2,+°° > u [3.+°° > = < -2.+°® >

4.13. 1 RAZADO DE GRÁFICOS ESPECIALES.-

Cuando se conoce una función y = f(x), en base a esta función, se puede construir otra función en una forma rápida mediante el siguiente criterio:

Y i f(x) + c1er. Si se tiene la gráfica de y = ftx) entonces la "N

gráfica de la función:/ Si c > 0

y = f(x)F(x) = f(x) + c se obtiene desplazandoverticalmente la gráfica de y = f(x) en c .

Xunidades, siendo hacia arriba si c > 0 y ¡ x / ? x ) - chacia abajo si c < 0. Si c < 0


2do. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f(x - c) se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en c unidades, siendo hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si c < 0.

3er. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f(x - h) + k se obtiene desplazandu horizontal y vertica!ment3 la gráfica y = f(x) en h y k unidades respectivamente

4ta. Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = af(x), a > 0 se obtiene de la siguiente manera:

i) Si a > 1 la granea está estirándose verticalmente en un factor a en base al eje X.

ii) Si 0 < a < 1, la gráfica está encogiéndose verticalmente en su factor a.


Si se tiene y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f(ax), a > 0 se obtiene de la siguiente manera:

Si a > 1, la gráfica se en :oge horizontalmentr en un factor “a” en base al eje Y.

Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor “a” en base al eje Y.

a > 1

0 < a < 1

5 t a

i)

ü)

6ta. Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráika de la función F(x) = -f(x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f(x i alrededor del eje X.

Relaciones y Funciones 3 6 9

7ina.Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f(-x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f(\) alrededor del eje Y.

8va. Si se tiene la gráfica y = f (x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(-x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f(x) alrededor del eje X y el eje Y.

Ejemplo.- Graficar la función F(x) = v a - 2 + 2

Solución

La gráfica de F(x) — J x — 2 + 2 se construye a partir de la función f ( x ) ~ >fx, trasladando a la derecha 2 dos unidades y hacia arriba dos unidades.

Ejemplo.- Graficar la función F(x) = | x - 3 | +3

Solución

La gráfica de F(x) = | x - 3 | + 3 se construye a partir de la función f(x) = | x | , trasladando j la derecha 3 unidades y hacia arriba 3 unidades.

370 Eduardo Espinoza Ramoj

|4.14. EJERCICIOS DES ARROLLADOS.-

Determinar el dominio y rango de la función / ( a ) = \¡x2 — 1

Solución

Como v = f ( x ) = ylx2 -1 => y = y¡x2 -1 . Luego analizamos los valores que x puede

tomar para que “y” sea real, y como y = J x 2 -1 entonces “y” es real si x2 - 1 > 0

=> x 2 >1 => x < - l V x > l por lo tanto el dominio es: Df = < l]u[l,<» >

Ahora calculamos el rango, y para esto despejamos x y - yjx2 - f¡ y > 0 => x = ±y]y~ + 1 ,

Luego analizamos los valores que "y” puede tomar para que x sea real y como

jc = ±y]y2 +1 entonces x es real Vv e R .

Por lo tanto el rango de f es : R j = [0,+«> > o /? = [0,+°° >

( í ) Calcular el rango de / ( a ) = 2 x 2 + 5 x - 6

Solución

Como y = / (jc) => v = 2a2 + 5x - 6 es una función cuadrática en estos casos el rango se

determina completando cuadrados:

Relacicnesy Funciones 371

Lueso V/( - — ) por lo tantc el rango de f es: Rr = [ - — ,+°°>4 8 f 8

( 3) Determinar dominio, rango y construir la gráfica de la función / (x) =

Solución

4x -1 2 a + 1

Factori/ando y simplificando se tiene: / ( a )4.v2 — 1 (2x+ l)(2x -l) _ ,

= -------- = -------------------= 2x — 1.2 a + 1 2 a + 1

Luego como f(x) = 2x-l , a * —- su dominio es: D f = /? -{——}9 J 2

Ahora calculando el rango, para esto despejamos x: y = 2x -1 => v = y + l

1 1 v+1 1 1como e< —°°,— > u < — ,“ > entonces -----e < —°°,— > u < — ,°°>2 2 2 2 2

y + l 1 1 v + 1 „ „—00 < -----< — V -----< ------<00 entonces < y <—2 v — 2 < y < °°■ > 9 9 ?

(X) Determinar el dominio y rango de la función /(. v) = J~y~ ^2 a

S o lu c ió n

La función f(x) eslá bien definida si:

372 Eduardo Espinom Ramos

2xx 2 - 4

>0 entonces(x + 2 )U -2 )

> 0, ahora resolvemos la inecuación.

\ / ___ ±___ __ ±_

-2 0 2

Luego D f — < -2,0] u < 2,+°® >

Para determinar el rango despejamos x, como y = f(x)

I 2x i 2x i oEntonces y = —---- , y > 0 => y = — — de donde y " x " - 2 x — 4y~ =0, y > 0\ x - 4 x — 4

21^4 + 1 6 / _x =---- 1 ------ , y >0 racionalizando x =- -16y _8y

V ' 2y2(2+A/4 + 16y4) 2 + ¡4+\6)

x es real si y solo si y e R. Luego Rj = [0,+°® > a R = [0,-k* >

("s) Determinar dominio, rango y grafícar la función: f ( x ) = sig(———)^ Jt + 4

Solución

Aplicando la definición de la función signo se tiene:

x - 3

f ( x ) = sig(— = x + 4

-1 si

0 si

1 si

x + 4 x - 3 x + 4 x - 3 x + 4

•<0

= 0 al resolver cada una de las inecuaciones se tiene:

>0

/(x ) = sig(l—^-) = x + 4

-1 , si - 4 < x < 3 0 , si x = 3 1 , si x < —4 V x > 3

-4

Su dominio es: Dy =< 4 > u < - 4 , ° ° >

Su rango es Rf ={-1,0,1}


©

©

Determinar el dominio rango y graficar la función: f ( x ) = [| y f x |]

Solución

Calculando su dominio se tiene: f(x; está definida si x > 0 , luego D¿ = [0,°° >

Y ‘Por lo tanto su rango es: R¡ = Z$ = {0,1,2,...}

Sí [| >/x |] = 0 => 0 < y f x < 1 => 0 < Jt < 1

Si [| y f x |] = 1 = > 1 < y f x < 2 = > 1 < A < 4

Si [| y f x |] = 2 => 2 < y f x < 3 => 4 < X < 9

Determinar el dominio y graficar la función: f(x) = | x | + | x - l |

Solución

Por definición del valor absoluto se tiene:

J x si x > 0 [ — .y si .1 < O’

i .V — 1x — 1 si X > 1

- x +1 si X < 1 o

Ahora calculando las regias de correspondencia de f(x)

S i x c O = > | x | = -x, | x — 1 | = 1 — x

como f(x) = | x | + | x - 1 | => f(x) = -x + 1 - x = 1 - 2x, , para x < 0

S i 0 < x < l => | x | = x, | x — 1 | — 1 — x

Como f(x) = |x | + | x - l | = x+ l - x= l f(x) = 1, , para 0 < x < 1

S i x > l => | x | = x, | x — 1 | = x — 1

Como f(x) = | x | + | x - 1 | = x + x - 1 = 2x - 1 => f(x) = 2x - 1, para x > 1

374 Edi'a'do Espinoza Ramos

Luego la función toma la forma: / (jr) =1 — 2 jC a i X < 0

1 si 0 < Jt < 12jc — 1 si jc>1

Su dominio Dj = R, y su rango es R¡ = [1.+°° >

El gráfico es como se muestra en la figura:

© Determinar el dominio, rango y graficar la función:

f[| x |] si [| x |] es par[ 2 j c - [| jc +11] si [| jc [] es impar

f i x ) =

Solución

S i x e [ 0 , I > => [ |jc|] = 0 espar => f(x) = 0

S i x e [ l , 2 > => [|x |] = l es impar => f(x) = 2x -2

Si x e [2,3> => [| jc |] = 2 es par => f(x) = 2

Si x e [3,4> => [| x |] = 3 es impar => f(x) = 2x - 4

Si x e [-1,0> => [| x |] - -1 es .mpar => f(x) = 2x

S i x e [-2,-l> => [ |jc|] = —2 espar => f(x) = -2

Si x e [-3,-2> => [| jc |] = —3 es impar => f(x) = 2x + 2


Determinar el dominio, rango y graficar la función: / (jc) = ■JT—[\ x |]

Solución

Calculando el dominio de la función f es decir: f(x), está definida si x - f | a |] > 0 de

donde .v > [| x |] que por definición de máximo entero se cumple Vxe R. Luego D¡ — R

Como [ |.v|] = n <=> n < x < n +1, n e Z

Entonces / ( x ) = J x - n , V x e [n , n +1>, n e Z

Si x e [0,1> => [| a |] = 0 => f ( x ) = yfx

x e [2,3> =» [|jr|] = l =*• / ( x) = y[7^\

x e [2,3> => [|jc|] = 2 =* / ( x) = 4 7 ^ 2

xe[ - l ,0 >=> [| jc |] = —1 => / ( jc) = -s/jt + 1

x e [-2.-1 > => [|jc|] = -2 => / ( jc) = yJx+2

Luego el rango es: R¡ = [0,1 >

ío ) Hallar dominio, rango y graficar la función f definida por / (x) = ~ *| x \ -[| x |]

Solución

Calculando el dominio de la función, es decir:


f(x) es definida si x - [ |x |] * 0 esdecir: Df = 7 ? -{ x / |x |- [ |x |] = 0}

Como | x |= [ |x |] => x e N puesto que | x | > 0. Por lo tanto = R - Z

"Ií x si x > 0

Como | x |= •! , analizamos en la forma-x si x < 0

Si x > 0 => /(x ) = - 3 *

x e <0,1> => [ |j c |] = 0 = > / ( x ) = ^ - ^ = - - lX X

x e [1 ,2 > = » [ | x | l = 1 => f(x) = — 7jc — 1

3 - jcx e [2,3> =» [| x |] = 2 =» /(x ) 1=x - 2

x e [3,4> => [| jc |] = 3 => / (x) = - —— - -1jc — 3

x e [4,5> => t| x |] = 4 =» /(x ) = — jx - 4

3 —xx e [5.6> => [| x |] = 5 => / ( x ) :

x e [-l,0>=> [|.v|] = - l => f (x) —

x e [ - 2 , - l > = > [ | x | ] = - 2 = > / ( x ) =

x - 5

3 —jc

-x + 1

3 —x -x + 2

xe(-3 ,-2>=> [| v |J = —3 => fLx) = — -- x + 3


Luego el rango es : R ¡ = < —■»,— 2 > u {—1} u < 0,+°° >

© Determinar el rango y graficar la función definida por

f ( x ) = \\——— |] + 2x, s ix e< -l,0 >x - l

Solución

Por la propiedad [| x + n |] = n + [| x |], n e Z

/ (*) = [| ——— |] + 2x = [| * - |] = [|7 — — \] + 2xx - l x - l x - l x - l

/ (x) = 7 + [ |----|] + 2xx - l

Ahora definimos [ |------- 1] es decir:x - l

Com oxe<-l,0> => - l < x < 0 => - 2 < x - l < - l => - 1 < ----- < - —x - l 2

o O

=> -8 < ----- < -4 => 4 < ----------< 8x - l x - l

378 Eduarde L'spinoza Ramos

=> [|------ - | ] = 4 , 5 , 6 , 7x - \

8 8Además [ |------- 1] = n => n < -------- < n + 1x -1 x -1

1 A -l !----- < -------- < -n +1 8 n

8 , .8 - < - x + l < —n + 1

. 8 , 8- 1 + ------- < - x < 1 —n + 1 ;i + ]

« — 8 n — 7--------- < A < -----------

n n + 1

m - 8 n - 1 A c a lx e [------, ------ > entonces x e <-l,0> para n = 4, 5, 6, 7n n

Luego f(x) = 7 + n + 2x, n = 4, 5, 6, 7. Ahora definimos f para cada valor de n

/(* ) =

2x+7 + 4 = 2x + l l si x e < - l , —3/5 >2jc + 7 + 5 = 2x + 12 si x e < — 3 /5 ,—1/3>2x+7 + 6 = 2x+13 si x e [ -1 /3 ,-1 /7 >2x+7 + 7 = 2* + 14 si x e [ - l / 7 , 0 >

, Grafícando la función f se tiene:

Relaciones y Funciones 37«

49 r54 34 r37 89 .96* / = <9 ,— > u > u > u [— ,14>

1 5 5 3 3 7 7

Hallar el dominio, rango y graficar la función f(x) definida por: / (x) =

Solución

| 4 - x , si x < l

12+ x 2 , si j c > 1

El dominio se determina en la forma siguiente: D¡ l] u < 1,+°° >= R

Ahora calculamos el rango:

Si x < 1 => y — 4 — x2 => x2 = 4 —y

x2 = - (y — 4) => V(0, 4) de acuerdo al criterio de la función cuadrática.

P a r a x > l => y = 2 + x2 , de donde y —2 = x 2 => V(0, 2)

Ahora graficando se tiene:

Hallar el rango y graficar la función f definida por: /(x ) =

Solución

x2 -x -1 2 , si x e [-4 ,6 ] x —2x + 1

si x e < 6,+oo >

Calculando el rango de la función

3G0 Eduardo Espinoza Ramos

x e [-4, 6] => -4 < x < 6

9 1 11----< A-----< ---2 2 2

, 1,2 1210< (jc— )2 <------

2 4

_ 4 9 < _ 1 2 121 _ 494 ~ X 2 4 < 4 4

49 , 1 2 49----- < (x— ) ------ <184 2 4

49 49----- < y < 18 => ve [------ ,18 >4 4

, x - 2 3Si x e < 6, + «>> => y =------= 1 —JC + 1 JC + 1

x e <6, + «>> => 6 < x < +oo => 7 < x + 1 < + ■

0 < J _ 3 < 1x+l 7 jc + 1 7

3 3 n 4 , 3 .— < ------- < 0 => —<1-------- <17 jc + 1 7 jc + 1

t Y


Hallar el dominio, rango y graficar la función: / (x) =

Solución

JC + X ~ + JC + 1Lv +

Calculando el dominio de la función f(x) es decir, f(x) está definida si x * -1

Luego el D{ = /? — {—1}

Ahora a la función expresaremos en la forma:

{ JC + 1, si JC > —1 - x — 1, si x < - l

x3 + x z + X + 1 U 2 + l) u + l)/ ( * ) = ----- i---- ^ ------------- i---- 7T , como x + \

|* + l| 1*4 1|

Por lo tanto la función f(x) es dada por:

Ix 2 + 1 si x > - 1

- x ~ - 1 si JC < —1

Ahora graficando se tiene:

Si x > -1 => y = Jc2 + 1 => y — 1 = -V2 , V(0,1)

x < -1 => y = -je2 -1 => y + 1 = -JC2 , V(0,-1) i

Hallar el dominio, rango y graficar la función: / (x) = [| jc |] + x |]

Solución

La función f(x) está definida si x - [ | x |] > 0

De donde jc > [| jc |] es valida V x e R, luego D ¡ = R

Si x e | 0 , l > => [| jc |] = 0 => f ( x ) ~ y f x

x e [ l , 2 > => [|a '|] = 1 => f ( x ) = ] + y ! x - l

x e [2,3 > => [ | j c |] = 2 => f ( x ) = 2 + -Jx — 2

382 Eduurdo Espinoza Ramos

©

x e [3,4 >

X E [-1,0 >

x e (-2,-l>

[|* |] = 3 => /(* ) = 3 + 7 ^ 3

ti jc| ] = - i => / u i (F -i+ > /r+ x

[| j: |] = —2 => f ( x ) = - 2 + j 2 + x

Determinar el rango y grahcar la función f ( x ) = \ x 2 — 9 \

Solución

Aplicando la definición de valor absoluto a la función f(x) expresamos:

x 2 - 9 , si x2 >9

| 9 - x 2, si x 2 <9

\x - 9 , si x e < -<x>,-3] u[3 ,+~ >/ w = 2

[9 - x , si jce< -3,3 >

El rango de la función f(x) es Rj - [0,+«>>

La gráfica es como se muestra en la figura

Construir la gráfica de la función f ( x ) =|jr + [|; si [| x |] es par| x + [| x - 11] | si [| x |] es impar

Solución


Si X G [0,1 > =>

X G [1.2 > =>

x e [2,3 > =>

X G [3,4 > =>

X G [-1,0 > =>

x e [-2,-1 > =>

x e [-3,-2 > =>

x e [-4,-3 > =»

[|* |] = 0 es par => f(x) = | x | = x

[| x |] = 1 es impar => f(x) = | x | = x

[| x |] = 2 es par => f(x) = |x + 2 | = x + 2

[| x |] = 3 es impar => f(x) = |x + 2 | = x + 2

[| x |] = -1 es impar => f(x) = | x - 2 | = 2 - x

[| x |] = -2 es par => f(x) = | x - 2 | = -x + 2

[ |x |] = -3 es impar => f(x) = | x - 4 | = -x + 4

[ |x |] = —4 es par => f(x) = | x - 4 | = -x + 4

Hallar la gráfica de / ( x) = (x - [| x |])2

Solución

x g [0,1 > = > [M l = 0 = > f ( x ) = x 2

x e [ 1,2 > => [J jc|] = 1 => /U ) = Cv-l)2

x g [2,3 > => [|jc|] = 2 => f ( x ) = ( x - 2 ) ¿

x g |-1 ,0 > => [| jc |J = —1 J{x) = (x + \Y


x e [-2,-1 > => [| x |] = -2 => f ( x ) = (x + 2)2

^ 9 ) Graficar la función / (jc) = x |Solución

D f =R, R f =[0,1 >

/(* ) =>/x, si x > 0

IV-x, si x < 0

donde = R y R¡ =[0 ,+ “ >

Hallar el rango y graficar la función f definida por: f(x) = | 2x - 1 | - x

Solución

Por definición de valor absoluto 12x - 1 1 =2x—\ si jc> —

2

1 — 2jc si x< —

Sí x < — => |2x - 1| = 1 - 2x => f(x) = 1 - 3x

x > - => |2x- 1| = 2x - 1 => f(x) = x — 1

Ahora la función dada se expresa así: / O ) :1 — 3jc si x < —

2

x - \ si Jt> —


calculando el rango de la función f(.\)

1 , , , , J - V 1si x < — => y = 1 — 3x, despejando x => x = ——----í — 2 2y < 3 v >

Si -v - ~ y = x - 1, despejando x => x = v +1 > => y > —^

Por lo tanto R ■ - < - —, +oc > [ - —, +oc > = f—- , -i -x, > . Su gráfica es:2 2 2

Hallar el rango y graficar la función fl[x) dado por:

, si .ve [1,2 >

f ( x ) = | -vfJ + V ^ - tM ] > si * e [ - U >, si r e [ - 4 , - l >

Solución

x e [ - l , 0 > = > [ |jc|] = — 1 => / ( x ) = - l + Vx+T

x e [0,1 > => [| jc |] = 0 => J ( x ) = 4 x i4

‘ Y

Ahora expresaremos a la función: l—yf—x , si x e [-4 ,-1 > 1

]

/ (* ) = •- \ + yfx + \ , si x e [ - l , 0 > f /. x ^

\[x , si x e [0,1 > 4

k2 , si x e [ l , 2 > o____

Y 'A y1 2 3 X

-1

-2

R , = [-2,4 >


Graficando cada parte de la función

Si f (x) = a ' , Demostrar que f\x + y) = f(x) f(y)

Solución

Como / ( v ) = « 2 => f ( x + y) = a '+y = a ' . a' = f ( x ) . f ( v )

f(x + y) = f(x).f(y)

La función fl[x) es lineal, hallar dicha función sí f(-l) = 2 , f(2) = -3

Solución

Como f(x) es una función lineal entonces f(x) = ax + b

Ahora calculamos los valores de a y b

/ ( - l ) = —a + b = 2 f ( 2 ) = 2a + b = —3

53 -5v 1, por lo tanto f ( x ) = -----+ —

. 1 3 3b = —3

Dada la función f(x) = mx + b, V xeR, si se sabe que f(3) = 1 1 , f(-3) = 6.

Hallar m + bSolución

C alculando los valores de m y b

/(3) = 3»i+ ¿ = 11

/ ( - 3) = — 3 / 7 7 + b = 6

5”2 6 , 5 51 56 28, entonces: »;+& = — + — = — = —t 51 6 6 6 3b = —

6

i + b = 28

Dada la función f(x) = ax + b, x e R, donde a y b son constantes reales, si f(x + y) = f(x) + f(y) V x, y e R , y sí f(-2) = -6. Hallar a y b

S o lu c ió n

Relaciones j 1 Funciones 3 8 ^

Como f(* + y) = f(x) + f(y)

a(x + y) + b = ax + b + ay + b

a(x + y) + b = a(x + y) + 2b => b = 0

Luego fl[x) = ax + b => f(x) = ax

f(-2) = -2a = -6 => a = 3 a = 3. b = 0

26J Si /(.v + 4) = .v2 + 3*, Hallar f(a + 1)

Solución

Definiremos la función f(*) para esto se hace una sustitución z = x + 4 => \ = z - 4

Ahora se sustituye en /(.v+4) =.v2 +3.v => f { z ) = (z — 4)2 +3(r — 4) = ~ - 5 r + 4

Luego la función f(x) es dado por: f ( x ) = x 2 - 5x + 4

Calculando f(a + 1) es decir: f (a +1) = (a + 1)2 -5 (a + l) + 4 = a 2 - 3a - 4

f (a + \) = a 2 - 3 a - 4

(27) Dado el polinomio P(x) = x 3 +(a + l).v2 + .r , se define la función f con dominio

{0,1,2,3,5}, por f\a) = resto de la división de P(x) entre x + a , calcular f(2) + f(3)

Solución

Calculando el resto de la división de P(x) entre x + a

.y3 + (a + 1)a~2 + -V | x + a Como f ( a ) = a2 - a

f(2) = 4 - 2 = 2- x 3 - ax

X, +X f(3) = 9 - 3 = 6— .Y~ - OV

Luego fl;2) + fl;3) = 8(1 - a)>-(1 - a)x - a(l - a)

a~ - a = r e s t o

388 Eduardo Espinoza Raums


© Hallar el dominio de cada una de las funciones

a ) / ( a-) - yjx2 - 4 jc + 3

c) /(v) =4 - i

e)V x +3 . y

g) /(■*) ■3x+ 2 +y] 3 +2.x — x2

X + 2 \ yfli + .V

k) / <*>=. / — 49 (jr + 1)- v + 1

Rptas:

a) D f = < - x ,1] u [3,+oo >

c) Df = < -oo,-2 > u [0.2 >

e) Df =< -oo, -3 > u [- , 0 > u [1, +oo >

g) D f = < -1,1] u [ 2 ,3 >

i) £> ,= *

b) / ( * ) - V H T

d) / ( v ) =

0 A-v) =

h) / (v ) =

A'“ 1V A'7 — 5a + 6

(■v- - 4 ) V - 9 )

-A -4 + 17 a-2 - 1 6

yfv— x

j) f i x ) = + 2 V T I + yjx2 +1

1) /(*> =■ 3 . T - 4

yf2l -y l x2 - 4

b) Z>, =[-1,1]

d) D f =[1,2> u<3,oo>

f) D f = [—3,3 > — {-1,±2}

h) D ,

j) £>/=<!}

1) <-5,-2] u [4,5>


( 2 ) Halle el dominio de la función / O) = *, - Rpta. D f =< -°°,-4]u[4,+<» >w a¡1| x + 4 1] — x 1

© Hallar el dominio de la función / (jc) = ^/¡x2 - x —2 | - | l - x 2 \ — |* + l | + Vx

Rpta. Dy =< 1]

(7 ) Hallar el dominio de la frnción /(x ) = 4/¡A + ^ + - x\ | x | +1 I x | +3

Rpta. Df =[J3-1,7]

© Hallar el dominio de la función / (x)y[x 2si£(| x | + l ) - l + y¡4 -x

Rpta. Df =< -«»,-1 > u < 1,4]

© Dadas las funciones f ( x ) = x2 - 5 x + 5 , g(x) = -2x + , hallar el dominio de

F(x) = t Rpta. Df = R - { 1,10]/(x ) + 3*(x) 1

® \ x 2 —9 si x < 4 Determinar el dominio, rango y graficar la función: / (x) = <[5jc-2 si x > 4

Rpta. D f =R , Rf = [-9,+«» >

Haiiar el dominio de las funciones siguientes:

a) / W = T T T b) f W - , ' r i n c) = 7X — [| A' |] 2jc —[| jc|] X - [ \ x \ ]

d) / W = [ |- | ] e) /(jr) = r |_ í_ |] f) / ( x ) = [ | x 2 |]x —3x

g) f ( x ) = J — 7 h) f ( x ) = i) f ( x ) = V x + 1


j ) / ( * ) = > / k) / ( x ) = 1 - ^ 8 - A'2 - 2a-

1) /U ) = $Ix2 +4x -12 + - j= 3X$lx+ 20- x z

( 9) Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:

a) /(*) =\x si x< 1

1 - x 3 si x> 1b ) g(x ) =

3 * - 2 si —4 < x < 4 si 4 < x < 6

c) /(* ) =[ j x —2 si x > 2

Ijc“ 2a- — 3 si x s< —1,1 >

(iO) Hallar el dominio, rango y graficar la función:

a) f ( x ) =

\ x + 2 \ — x si Jce<-4,0>

si xe <0 , 4> 2 . r - 8 si xe< 4,°°>

d ) / ( * ) =Ix 2 —4 si x < 3 1 2jc — 1 si x > 3

b ) / ( * ) =f , 2 - l

[Ulsi 4 < x < 7 si x < 4

c) /(* ) = ■

2[| x |] + 2 si -5 < x < 1

si 1 < x < 4 6 si -7 < x < -5

d ) / ( * ) =í [ |jc-1 |] si 4 < x < 7

I V Ñ si x < 4

e) f(x) = I x - 1 I + I x + 1 I f ) f ( x ) = (x 2 +4)[|2*+3|]

g) f (x) =y¡4~x2 +2 si - 2 < x < 2 [|jc|] si x <22 si x< —2

f ( ^ = SÍ * e [ 0 ’ 3 ]

} [2[|x |] si xe< 3,5]

i ) f t x ) =

2[| x |] si x s < —5,1]

V I si xe< 1 ,4 ]

X2 + 3 si x e < -7 ,-5 ]

j ) f ( x ) =

I x + 3 1 si x < 0

2 ( j c - 1 ) 2 si j r e [ 0 , l >

2 — I jc — 4 1 si A e [ 2 , + o o >


© Hallar domin*o, rango y graficar cada una de las funciones siguientes,

a) f(x) = | x + 1 | + | x - 1 | - 2| x | b) f ( x ) = [| * |]-1 * |

c) f(x) = | x + 2 | + | 2x - 2 | + | -x + 5 |

e) f(x) = j x - 2 l + | x + l |

g) /U ) = V 2 [ |2 * + 5 M M ]

d) f(x) = | x 11 x - 1 |

f) f(x) = |x + 2 | + | x - 2 | - | x | — 1

h) n x ) = S x - 2 \ ] - [ \ X \]

i) / U H * H M ] j) / (* ) =

| x + 3 1, x < 0

2(jc — l)3, x e [0,2 >2— | jc — 4| , j re [2,«»>

k) f ( x ) = - x 2 U +TI-1x+3

, - 3 < x < 4 1) f ( x ) = - J l x - J x , s ixe[l ,9]

Determinar dominio, rango y gráficar cada una de las funciones siguientes.

a) f ( x ) = 2 [\x \\-2x b) f ( x ) = y j s~ \x -3 \ c) / U ) = [ | 2 - 3 * | ]

d) f ( x ) =

g) /(* ) =

[\2x\]e) f ( x ) = -

2 — x

1[I jc-3 |J-L | jc|J

h) f ( x ) =

f) /(* ) = M

i) /(* ) =

[ M l + i

\ x H \ x \ ]y¡2-[\x\\

j) / o o = [ M W l * H M ]

Construir la gráfica de las funciones siguientes.

a) f ( x ) = sig (| *2 - 1 1 -1) b) f ( x ) = [| y ¡4 -x 2 |]

d) f<x) = sig (x + 4

c) f(x) = s i g ( x + l ) - s i g í x - 1)

En cada una de las fun». iones dadas, hallar el dominio, rango y hacer su gráfica.

392 Eduardo Espinoz'i Ramos

a) f ( x ) =

c) / (* ) =

(jt + l)(jr +3jf-10) x + 6x + 5

4jc2 - 9 2x + 3

b) f ( x ) =

d) f ( x ) =(x + 3jc- 4 ) ( jT - 5 x + 6)

(je2 — 3jt -i- 2)( jc — 3)

e) /U ) = [U |]+ M + * + 2

g) /(* ) = Jc\ 1

i) / íx ) = : [M i|jr|-jc + l

Grafícar las funciones siguientes,

a) / W = [|-*2 |]

c) f ( x ) = VM

V w M ]e) /(*) = -

- t u n

h) f ( x ) = sig( [| A - 11]-1) + SÍg([ I -Y +11] — 1)

j ) f ( x ) = sigix + * - 6

JC+1

b ) / 0 c ) = [ | - * 2 + l | ]

d ) n x ) = J \ x \ ]

_ , „ |.y + 3 | - | jc + 5| _f) / ( * ) = ' — ¡— :— -, x e<-5,2]

jc{|2jc-1 | ] - 2 jc |jc + 1 |-4

En cada función, hallar el dominio, rango y hacer la gráfica.

2 - xa) /(*) =

c) /(*) =2x | -2[\ x |]

b) /(* ) =

d) /(* ) =

\ x\ - l \2x\]

M[\x\]

l + xf) / W = u - [ U |] ) 2

g) f ( x ) = A —[| | X | h) / U ) = [| jc |] + (a —[| * |])2


( í ^ Hallar el rango de la función f(x) = x - |x - 2|, x e R

(18) Graficar la función f ( x ) = (a2 + 4)[| 2x+3 1], Df = [-1,1]

(19) Hallar el rango de f(x) = |x + 2 | - 2 | 3 - x | , x e [-4,10> granear la función f.

(20) Sea f ( x ) = | x | -t—y/—jc — [| x | ] , 0 < x < 2 Hallar el rango de f.

(2 ^ Hallar el rango de f ( x ) = [|21 x +11|] (| x | -1) para x e <-5/2 , 2 > , graficar f.

(22) Hallar el dominio, rango y graficar la función

a) f ( x ) =

\x\~23—x

si —1 < jc < 1

J x 2 +2x si 1 < x < 2

si -2 < x < —1

b ) / ( * ) =

5 - jc , jc e < -2,3 >

2x +l - x

, Jce[3,5]

JC+1

b ) f ( x ) = x ~ - 2 x — 3

d ) / ( * ) = -

c ) / ( x ) = y l l - x + y j l + X

l - x z

h) f ( x ) = \ 6 + x - x 2 I

Hallar dominio, rango y graficar la función

[ 6—jc | —1

e) f ( x ) = yj[ IxD + l - y f ü ^

g) / U ) = JC2+M -JC + 1

a) f ( x ) =jc + 3

|1 6 -* 2 ||6* |

si -1< jc<8

si —5 < x < —3b ) / ( * ) =

Hallar el dominio, rango y graficar la función: f ( x ) —

U - r - í )X +1

x — 2 , — 3 ^ a < 0 x - \ x - 2 \ , 0 < a < 8

2 + J x - 4 , 4< jc<8

, si x < 3

[|-------1] +3a , si 4 < x < 6x2 - l

[| 3(A 6)— 4 1] ■ si 8 < * < 9


25) Hallar el rango de / (jc) = ^ sí x e [-2,4>

*2[| |] + 3a —126) Hallar el rango de / (jc) = ---------------------------------------- sí xe< -2 , — >^ | 5jc— 11 -15 + 6 | jc+ 2 1 5

^ 7 ) Determinar dominio, rango y graficar: / ( a ) = \ ¡ 9 - x 2 sig (^ 2 + A ) + [| 2X + |]-1x — 1 jc + 3

(28) Hallar el dominio, rango y graficar: / ( x) =

(2 ^ Construir la gráfica y hallar el rango de:

1-r-tU I] | , si [|* |] es par| a —[| jc + 11] | , si [| x |] es impar

[3a - [| x +11] | , si [| jc |J es impar

Rpta. Rf =[-7,-4] u [-3,0] u [1,4] u [5,8 >

® Sea f: [-2,4> —> R / /(jc) = —- Hallar el rango de f. Rpta. R , = [ - —, 1]1+1 jc — 3 1 5

(3 ^ Dadas las funciones f ( x ) = - x 2 + 3 a +1 , #(je) = 3 j c 2 + 2 a + 1 Hallar Rf / \RX

2 13 Rpta. [ - , —]

3 4

(32) Hallar los valores de a y b para que cada uno de los conjuntos de pares ordenados sea una función y determinar la función en cada caso.

/ = {(1,8), (2,-3), ( W +b2) ,{ -\,a + b ) M 2 +b,b)Áb+a2,b)}

g = {(4,3)(-5,-3)(4,a 2 - b 2),(-5 , a + b),(a2 + b,a),(a2 + b 2,b)}

Rpta: a) a = 2 , b = 2 b) a = -2 , b = -1

(33) Hallar el rango de la función f(x) = | x - 2 | + | x - l | + l , si x e <1,3].

Rpta. Rf = [2,4 >


® Í2.v —1, jre< 1,?]Hallar el rrngo de la función / (.v) = Rpta. R f =< 1,3] u < 5,50 >

[jc‘ +1 , jre< 2,7 >

Í5íg(-9), 0 < j r < l(351 Sea f: R -----> R una función definida por: f ( x ) - < , determine sil\x\] , K x < 2

rango de la función. Rpia. Rf = {-1,1,2}

(3ó) Sí /(.v) = x2 [| ^ |] - 4jc{| |] , x e <0,6]. Hallar el rango y graficar

J f I x — I X I!(37J Hallar dominio, rango y graficar la función f ( x ) = -—¡—-1—-

(38) Determinar el rango y graficar la función: /(* ) = | a2[| — 1 ] - 4 | , x e <1,3]

(3 9 ) Sí f ( x ) = ax2+bx+c, / ( - l ) + /(-^) = ^ f(-l) = 0 y f(l) = 8. Hallarf(5)

Rpta. a = 3 , b = 4 . c = 1, f(5) = 96

® Determinar las siguientes funciones lineales

a) f(1) = 1 y f(3) = 3 b) fíl) = 3 y fi3) = 1

c) f(7) = 0 y f(8) = 42

© Si f es una función real es de variable real tal que / ( x+2) = x 2 + x .

Calcular / (a + 3)- / (fl- .3). , a * ~ Rpta. 62a —3 2

@ Si f es una función real de variable real tal que / ( jc+1) = .y2 +3

Calcular , a * 0 Rpta. aa

(43) Sea f una función real de variable real definida por f(x) = nxx + b tai que :

39ó Eduardo Espinoza Ramos

2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) - f(l) =-16 Hallar el valor d e f ( l ) Rpta.

44) Sea f ( x ) = In(- - ) , demostrar que: f ( x ) + f ( y ) - / ( X+ ~V)—' 1 — jc ] + xy

(45) Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética, demostrar que:

f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0

4 ^ Sea <p(x) = ^ (a x + a~r) y y/(x) = ^ ( a - a~*)

Demostrar que: (p (x + y) = (p (x) (p (y) + \j/ (x) \j/(y) y

V (x + y) = (p (x) v (y) + (p (y) \j/ (x)

(47) Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir f ( x ) - a x (a < 0) y los

números jc,.jc2, jc3 constituyen una progresión aritmética, los números f ( x ]) , f ( x 2) y

f ( x }) forman una progresión geométrica.

(4^ Hallar analíticamente el rango de la función f ( x ) = 4 x - x 2 - l , x e [0.10],

(49) Determinar el rango de la función f ( x ) = J l x - y j x , sí x e [1,9]

(50) Determinar el dominio, rango y graficar la función f ( x ) = x 2 + \ x \ - x + \ .

(51) Hallar el dominio, rango y graficar las funciones dadas.

a) / U ) = [ | l - * 2 |] b) g(x) = y f x + 4 - y / x - 5

® í 1 - 2 j c , - 1 < * < 0 í ' , j c < 0S> f ( x ) = r „ „ , g(x) = \

|[| 3 + eos jc |] , x > 0 [sen x , 0 < x < n

Hallar dominio, rango y graficar f + g.

(53) Halle el dominio, rango y dibujar la gráfica.


(55

a) / ( a ) =

c) / ( a ) =

16[| x 1 - 1 6 1]

*+|*|

b) /(* ) =yfex — l

* H \ x \ \

e) f ( x ) = [\x2 - 2 x - 3 \ ] O f ( x ) = yj[\x\]-3x

g) f ( x ) =

i) f ( x ) =

J x 2 - 9 , * e < -5 ,-3 ]| x + 3 1 -2 , x e < -3,5]

x 2 — lo*-*-26 , *e<5 ,7]

5 - x , x e< -2 ,3 >2

h) /(* ) =x - 2 , j te [ -3 ,0 >x-1 x - 2 1 , x e [0,4 >

2 + y fx-A , Jte[4,8>

x +1 - *

. a e [3,5] j) /(* ) =

|* |+2 , x e [-7 ,-2]

l l~| ] + l *l <2

1-1*+ 112 * - l

, x e [2,5]

k) / ( *) = •

1) f ( X )■{

[| | jc— 1 1 —2 | ]a 2 — 2 jc , a g < - 1 , 2 >

| jc-4) , x e [2,9 >

3jc — [| 1 + jc |] si [ |jc|] es impar[| —jc |] si [|jt|] es par V x e [-2,4]

11) /(* ) = ■

25 —a:1 — x

x e [-5 .— ] 27

> / l x - * 3 1 , a g [ - , 4 >

(54) Determinar una función polinómica de segundo grado f(x) tal que f(0)=-5,f(-l)=l, f(l)=-7

Hallar el rango de la función f ( x ) =

Hallar el rango de la función / ( a ) =

x" + x+ 2

[ |1 -* |] + [ |* -1 |]

2 - V M 4 M ]

sí x e [-1,10]

, sí x e <0,1>


© Hallar el rango de la función f ( x ) = 8jct| ——— II + x" I I —- 1| donde D ¡ =< -1,11jc— 4 x + 2 1

Hallar el rango de la función /(jc) = ^ I * + M 5 sj x e < .3 5>2 1 jc - 2 | +1

©

(62}

Si /(* ) = - ^ —r y Df =14,20], Hallar 1 + jc

x 2Hallar el rango de la función / ( jc) = — ----- , sí x e [1,10]4jc +1

Dado f ( x ) = 4-yJ(x + 6)2 - 9 , x e <-<»,-ll>. Hallar Rf

1 — XDeterminar le rango y graficar la función /(jc) = 14 - x2 [| —— |] |

Determinar él domino, rango y graficar la función f ( x ) =

Hallar el rango y graficar las funciones:

1 - x, x > l

COS7T, - 1 < a < 1

x - x 2, * < - 1

a) f ( x ) = [\x 2 x e [-1,3] b) / (* ) = x e [-2.1:

Calcular el rango y graficar las funciones dadas:

*+5

a) / (* ) =

x — 2si I jc— 2 1 >3

y jx2 + 4 x - l , si 0 < jc < 1 b) /(* ) =

2-h I2jc- 5 1, si 2 < jc<3

y¡x2 - 9 - 2 , - 5 < jc< - 3

I jc-l- 2 1 —3, 0 < jc< 5

3jc —16

c -5x > 6

c) f ( x ) =

I jc -t- 3 1, si —4 < jc < 0

3 - jc2 , si 0 < jc< 4 d) / (* ) =- 2 , si I x I > 4

- 1 jc + 4 1, si -8 < jc < 2

jc2 -4 j c - 2 , si 2<jc<5

-jc2 +10jc — 22, si 5 < x < 8 - 3 , si I x I > 8


4.16. OPERACIONES CON FUNCIONES.-

Consideremos dos funciones reales d“ variable real, f,g: R —» R si D ^ n D ? * 0 , Entonces:

a) IGUALDAD DE FUNCIONES.-

Diremos que las funciones f y ¿ son iguales sí y sólo sí

i)

ii) f(x) = g(x) => V x e Df = D g

Ejemplo.- Las funciones f ( x ) = x3 - 1 , g(x)=x3 -1

Son iguales porque Dj = Dg = R y f(x) = g(x).

Ejemplo.- Las funciones f ( x ) = y /(x - l)(x -6 ) y g(.x) = - J x - l - J x - 6 no son iguales

puesto que = <-°°,l] u [6,+®° > y Dg =[6,+°° > de donde Df *■ Dg

Ejemplo.- Las funciones f ( x ) = 2x2 - I x , x e <0,5] y g(x) = 2x2 - I x , x e [1,9] no

son iguales a pesar de tener la misma regla de correspondencia, debido a que sus dominios no coinciden.

b) SUMA DE FUNCIONFS.-

Teniendo en cuenta que una función está definida cuando se indica su dominio y su regla de correspondencia

DEFINICIÓN.- Si f y g son dos funciones con dominio D f y Dg

respectivamente, entonces a la suma de f y g denotado por f + g se define:

Df *g ~ Df n D s

ii) ( / + g)U) = /(* )+ g(x) Va e D - f i Dg


Ejemplo- Hallar f+gs i : f={(-l,2),(0,0),(2.4),(3,-l),(4,3)}. g= {(2.0),(3.4),(4,7).(6.2)}

Solución

Primero calculamos el dominio de f y g.

Df = {-1,0,2,3,4} , Dg = {2,3,4,6}

Luego calculamos el dominio de la suma: Df + = Df a Dg = {2,3,4}

ahora calculamos los pares ordenados que pertenecer a f + g.

( / + g)(2) = / ( 2) + ¿(2) = 4 + 0 = 4 (2,4) e f + g( / + g ) ( 3 ) = / ( 3 ) + g ( 3 ) = —l -i 4 = 3 =* ( 3 , 3 ) 6 f + g( / + g)(4) = /(4) + g(4) = 3-t-7 = 10 (4,10)e f + g

Luego la suma de f y g es: f + g = {(2,4),(3,3),(4,10)}

12*+ 1, si jc > 1 Í3a + 1, si .v<8Ejemplo.- Calcular (f + g)(x) sí: f ( x ) = , g(x) = •!

[ j t - 2 , s i j r < 0 [2jc , si x > 10

Solución

Primero calculamos el dominio de f y g

Dj = <-°°. 0 > u [l.+oo > , Dg = < —°°,8] u <10,+°°>

Luego calculamos el dominio de la suma f + g es: D j+g = Dj c\Dg

-*D,

10O------------ ► D0

D j+g = Df <~\Dg = < -o», 0 > u [1,8] u < 10, +°° >

Ahora definimos la suma en cada intervalo

Si x< 0 , ( / + g)(x) = f (x) + g(x) = x 1 —2 + 3x + l = x 2 +3a -1

Sí 1 < x < 8, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 1 + 3x + 1 = 5x + 2


Si x < 10. ( / + g)(x) = f ( x ) + g(x) = 2x+l + 2x3 = 2x3 + 2x4 1

Luego la suma i.f + g)(x) es: (f + g)(x) =

c) DIFERENCIA DE FUNCIONES.-

x + 3 x - l si x < 0 5x + 2 si 1 < x < 8

2 x 3 + 2 x + 1 si x>10

Si f y g son dos funciones con dominio y Dg respectivamente entonces a la

diferencia de f y g denotada por f - g se define:

i) Df _g =Df n D g

ii) (f - gXx) = f(x) - g(x), V x e Dr n D ?

Ejemplo.- Hallar f - g sí f = {(1,2),(2,5),(3,4m 4,1)} y g = {(0,2),(1,0),(2,1),(-1,3)}

aoiución

Primeramente calculamos el dominio y Dg : Df = {1,2,3,4}, Dg = {—1,0,1,2}

Ahora calculamos el dominio de la diferencia Df _g ~ r\D g = {1,2}

Calculando los pares ordenados que pertenecen a f - g

í ( / - g ) ( l ) = / ( l ) - g ( l ) = 2 - 0 = 2 ^ í(l,2)e f - g\ ( f - g ) ( 2 ) = f ( 2 ) - g ( 2 ) = 5 - \ = 4 ^ [(2,4) e / —g

Luego la diferencia f - g es: f - g = {(1,2),(2,4)}

d) MULTIPLIC \CIÓ N DE FUNCIONES.-

Si f y g son dos funciones con dominio D y Dg respectivamente, entonces a la

multiplicación de f y g denotado por f.g se detine:

i) Df .g =Df n D s

ii) (f.g)(x) = f(x).g(x), V x e D f n D g


Ejemplo.- Hallar f.g si: f = {(1,4),(4,5)(2,3),(3.2)} y g = {(0,2),(1,2),(2,-1),(3,0),(5.2)}

Solución

Primeramente calculamos el dominio Df y Dg : Df ={1,2,3,4}, D - (0,1,2,3,5}

Ahora calculamos el dominio del producto: Dj = Dj a Dg = {1,2,3}

Calculamos los pares ordenados que pertenecen a f.g

(/■SXD = /(1) + *(1) = 4.2 = 8 (/•£)( 2) = /(2 ) + g( 2) = 3 .(-l) = -3 (/•£ )(3) = /(3 ) + g(3) = 2.(0) = 0

(1,8) e f . g (2,-3) e f . g (3,0, e f . g

Luego el producto f.g es: f.g = {(1,8),(2,-3),(3,0)}

Í2x + l , x > l Í3x + l , x < 8Ejemplo.- Hallar (f.g)(x) donde, f í x ) = •{ , g(x) = \

| x - - 2 , x < 0 [2x , x > 1 0

Solución

Pi ¡meramente calculamos los dominios de f y g:

Df = < —°°,0 > u [l,+oo > , Dg = < -oo,8] u < 10,-r«> >

Ahora calculamos el dominio del producto f.g

D, ■*----------- o o-

1 8 10------------------ o o------------- ► Do

Df g = Df r\D g = < oo,o > u [1,8] kj <10,oo >

Ahora definimos el producto en cada intervalo

Si x < 0, (f . gÁ x) = f(x).g(x) = (x2 - 2).(3x +1) = 3x3 + x2 - 6x - 2

Si 1 < x < 8 , ( f g ) ( x ) = / (x).g(x) = (2x + l)(3x -(-1) = 6x2 +5x + l

S ix> 10, (f.g)(x) = f(x).g(x) = (2x + l)2x3 = 4x4 + 2x


OBSERVACIÓN. Para que exista la composición de funciones g o f es necesario que:

Rf r D g *<t>.

ILUSTRACIÓN GRÁFICA

En esta representación gráfica se tiene:

i) Dgof^ D j C Z A

ü) Rgjf c~ Rg

Ejemplo.- Sean f = {(0,1).(1,2),(2,3),(4,3),(5,2)} y g= {(6,7),(5,4),(4,3),(2,4),(1.4),(0,7)}

Hallar Dgof , Dgof , así como f o g y g o f.

Solución

i ) Calculando Dgof( - 3 . 3 ) e / - g ( 2 , - 3 ) e f - g ( 7 , 6 ) e f - g


Dfog = [xe Dg / x e Dg *g ( x ) e Df ] por definición:

Dg= { 0, 1, 2, 4, 5, 6}

g(0) g(l) g(2) g(4) g(5) g(6)

veremos cuales pertenecen al Df

Se observa que el 4 e Df entonces Dfog=[ 1,2,5}

Ahora veremos su regla de correspondencia.

(fog)(\) = / (g(l)) = / (4 ) = 3 (W k 2 ) = /U (2 )) = / (4 ) = 3 (/og)(5) = /(g (5 )) = / ( 4 ) = 3

fo g = {(1,3),(2,3),(5,3)}

ii) Calculando Dgof ;

(1.3) e fog(2.3) e fog(5.3) e fog

g o f

Dgof ={jfe D f / x e Df a f ( x ) e Dg} por definición.

Df = { 0, 1. 2, 4 , 5}

X X *<L X X

f(0) f(l) f(2) f(4) f(5)

1II2

Veremos cuáles de estos elementos pertenecen al Dg , entonces 1 e Dg , 2 e Dg luego:

Dgnf = {0,1,5}


Luego e! producto (f.g)(x) es: (f.g)(x) =

3x + x ' — 6x - 2, si x < 0

6jc + 5* +1

4x4 + 2*3

, si 1 < x < 8

, si x>10

e) COCIENTE DE FUNCIONES.-

Si f y g son dos funciones con dominios Dj y Dg respectivamente entonces el

cociente de f y g denotado por f/g se define

i) Df / g =Df r ,Dg - { x e D f;/g(x) = Q}

ii) (A (* ) = - — , V * e D Jfí 8 8(x)

Ejemplo.- Hallar f/g si:

f ={(-2,3), (0,3), (4.0), (5,-3), (6,3)} y g ={(0,-2), (-2,5), (3,2,, (5,0), (8,-2)}

Solución

Primeramente calculamos el dominio de f y g: = {-2,0,4,5.6}, Dg = {-2,0,3,5,8}

Ahora calculamos el dominio del cociente f/g

Df/g = D f n D t¡ “ í * 6 Dg / g( x) = 0]

= {-2,0,4,5,6}n{-2,0.3,5,8}-{5e Dg I g( 5) = 0} = {-2,0,5j - {5} = {-2,0}

Calculando los pares ordenados que pertenecen a f/g

g g(-2) 5f f ( 0) 3 3(—)(0) = — = — = — * g (Q ) 2 2

(~2,^)e — 5 8

( 0 , > ' 2 8

f f 3 3Luego el cociente — es: — = {(-2, —), (0, — )}8 8 5 2


i ” i u n r f v y J2* + l, si x e [-3 ,0 > lx‘ +1, si *e -2.2]Ejemplo.- Hallar (—)(*) si: f ( x ) = \ • £(*) = ig [x + 2 , si xe [0,4] [ x - 4 , si jre<2,5]

Solución

Calculando los dominios de f y g: Dj = [-3,0 > u [0.4] , Ds =[-2,2] ü < 2,5]

Ahora calculamos el conjunto {.ve Dg / g(x) = 0}

a) Si x e [-2,2] => g(x) = x 2 +1 = 0 => 2 x tal que g(x) = 0

b) Si x e <2,5] => g(x) = x - 4 = 0 => x = 4 entonces: x e <2.4> u <4.5]

j ___ L

-o-i J____L

-3 -2 2 4 5

A8

= D/ n Dg

2x + lx2+l '

'i — - x+2) —

x2 +l 'x+2v + 4 ’

, si *e<0,2]

si x e < 2 ,4 >

4.17. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.-

DEFINICIÓN.- Dadas dos funciones f y g, tales que: f: A -----> B ; g: B -----> C y queRf n Dg * 0 , entonces la función compuesta “g o f ’ es aquella función

definida por:

i) Dgl1 = { v /a € Dj a f<\ )e Dg ]

ii) «gof)(x) = gí ti x i»es la regla de correspondencia.

Relaciones y Fundones 407

Ahora veremos su re¿la de correspondencia.

Uc>/)(0) = £ (/(0 )) =£(] )= \ (gof)( 1) = £ ( / ( 1)) = g(2) = 4 (gof)(5) = f (g ( 5)) = g(2) = 4

(0.4) e gof(1.4) e gof(5.4) e gof

g o f= {(0,4),(1.4).(5.4)}

Ejemplo.- Sean f. g: R -----> R tal que: f(.v) = x2 + 2.t + 3 , g(x) = x - 5

Hallar f(go/XD + (fog)(2).(fog)(3)~(gog>(2) 2 Uog)( 2)

Solución

Calculando cada una de las operaciones

(gof)( 1) = (g(f( 1)) = g(6) =1 ; (fog)(2) = íf(g(2)) = f(-3) = 6

(fog)<3) = i(g;3)) = f(-2) = 3 : (gog)(2) = g<g(2) = g(-3) =-8

Ahora reemplazamos en la expresión dada:

A gof )(i) + (frg )(2).(fog)Q) - (gogX2) 2 = 1 + (6)(3)- ( -8 ) 2 = 27 2 = 9 2 = A_(fog)(2) 6 6 2 81

Kjempta.- Sea í W = { - 3 t ' +1 SÍA:21. Halla, < ^ X D - > 2 8 ( - l )JC-1 S I J T < 1 ( g o g ) ( - l ) + g " ( l )

Solución

Calculando cada operación se tiene:W X D = m (D ) = £1-2) = -3 (g0g)(-l) = g(g(-D ) = g(~ 2) = -3 g ( -n = -2 ,g(l) = -2

, (gog)(l) + 2g(-l) -3 + 21-2) -3 “ 4Ahora reemplazamos en la e x p r e s ió n : --------------- -— = ----------- =- = —----- - - /

(g0g)(-l) + g2(l) -3+ 4-2 )“ -3 + 4

* 0 8 Eduardo Espinoza Ramus

Ejemplo.- Si f(x) = x 2 encontrar do‘. funciones g para los cualos

(fog,(x) = 4x2 - l 2 x + 9

Solución

(fog )( a) = f ( g ( x ) ) = 4 a2 -1 2a + 9 = £ 2 * -3 )2

g 2(x) = (2 x -3 )2 => g u ) = ± ( 2 x - 3 )

/ . £ , ( x ) = 2a - 3 , £ 2 ( a ) = - 2 a' + 3

Ejemplo.- Dadas las funciones f(x) = 3x - 2 sí x e < 0 .+°°> ; g(x) = x2 sí x e <-3.5>

a) Hallar fog (la función f composición g)

b) Hallar gof (la función g composición 0

Solución

a) 1ro. calculamos el dominio de f o g: DJog = { x e D g / xe D ? / \g(x)e D f]

xe D g a g (* ) e D f

x e< -3.5 > a r e c O , » > entonces x e <-3,5> A <-°°,0> u <0°°>

x e <-3,0> u <0,5>

2do. Calculando la regla de correspondencia de f o g

(/<?£)(*) = / ( # ( a )) = / ( a 2 ) = 3a 2 - 2

Por lo tanto: (fog)(x) = 3a2 - 2 para x e <-3,0> u <0,5>

b) 1ro. Calculamos el dominio de g o f: D gof = {xe D f I xe D ¡ a f (x ) e D g )

xe D f a f ( x ) e D g

x e <0,°o> A 3x - 2 e <-3,5> entonces x e <0,»> A -3 < 3x - 2 < 5

1 7 7x e < 0 , » > A - l < 3 x < 7 entonces a g < 0 , oo> a — < a < — = > x e < 0 , — >3 3 3

2do. Calculando la regla de correspondencia de g o f

(gof)(x) = g(f(x)) = g(3*-2) = (3a- 2 ) 2 = 9 a 2 -12* + 4

Por lo tanto: (gof)(x) = 9 a 2 - 1 2 a + 4 , para: a e < 0, >


Ejemplo.- Hailar fog si f(x) = 3x + 2, x e <-oo,3>, ^(x)

Solución

! 2 a si A < 0

[ —3 a si A > 1

¡8 i ( * ) = 2 a si a < 0 g(x) = < , donde D =D u D dominio de la función g

l í ’ W = - 3* si a > 1

Ahora calculamos el dominio de f o g

Dfog = { * e Dr / x e Dg / \ g ( x ) e D f ) = {x e Dg I x e Dg¡ u Dg¡ a £ (a )g Df }

= { a g Dg¡ * g l (x)Df ]'u{xe Dg, a ¿ 2 ( a ) g Df ] = Dfog¡ v D fogi

Luego: (fog)( a ) =$fo8${x) si a£ Dfogt

f og2){x) si x £ Dfog2

Ahora calculando Dôg¡ y Dfog

D fogt D e ¡ l x e ° g , A « , W E D / >

x e < °o,0> A 2x e <-°o,3>

x e <-oo,0> A x e <-o°,3/2> entonces x e <-°°.0> por lo tanto Djog¡ = < -°°,0 >

D fi>g2 D S2 /jce D í¡2 A ^ 2 ( ^ ) e D / í

x e ll,oo>A-3xe <-°°,3> entonces x e [1,»> A x e <-l,°°> entonces x e [1,°°>

4 1 0 Eduardo Espiti iza Ramos

Diog2 = n . ~ >

(/o# ,)(*) = / ( # ! (a)) = /(2 x ) = 3(2x) + 2 = 6x + 2

(fog 2 )(jf) = f ( g2(x)) = / ( - 3a) = 3(-3x) + 2 = -9 * + 2

{6 a + 2 s/ a e < —oo.O >

o - . ri- 9 x + 2si jrell,«T>

Íx 2 si jc < 1 í— x si x <2, , £U ) = i j .

- a 3 s / a > 2 s i a > 4

Solución

Veremos el caso cuando las funciones tienen dos reglas de correspondencia.

í / ,(x ) si x e D f íg U ) si x e Df W = \ , , y ■ n ’ * (aH ^ ■| / 2(*) si x e D fi [^2W Sl x e D gl

el dominio de f o g se obtiene siguiendo el mismo criterio del ejemplo anterior, es decir:

¡> Dí«g, = i* e ° g, /XB Ds, A ^ i W £ D/ , )

x e <-oo,2> A -x e <-oo,i> entonces x e <-°°,2> A x e <-1 ,°°> de donde x e <-l,2>

i ¡ ) D f o gl = V e D El l x * gl A * 2 M 6 / , }

x e [4,°°> a 2x e <-oo,l> entonces x e [4-°°> A x e <-°°,l/2> => x e <¡)

Üi) Dhogi = ^ e D*. /Jce D*. Agl W e }

x e <-oo,2> A -x e [2,°°> entonces x e <-°o,2> A e <-°°, 2> de donde x e <-°°,-2]

iv> D/ 2 = t xe D«2 /jfG D«2 A«2W e % }

x e [4,°°> A 2x e [2,°°> entonces x e [ 4 , » > A x e [1,“ > deuonde xe[4.°°>

Luego de i ) , i i i), iv), la regla de correspondencia es:


(f\Og\)(■*) = /] (gl (A )) = / , ( - A ) = A

(f i ° g \ x*) = h (gi (■*)>=y 2 ( i ? ) = x

( f i ° 8 2 )W - f i (82 (x)) - /2 (2-v) - - 8x 3 , luego

(/og)( A ) =

(/iOg,)(A) , s i .ve< —1 ,2 >

( f 2og,)(x) , si A e < - o o , - 2 ] (fog)(x) =( / 2og-,)(*) , si a e [4,00 >

a , s i a e < - o ° , - 2 ]

a 7 , si A e < - 1 , 2 >

- 8.v3 , s i a e [4 ,0 0 >

4.18. PROPIEDADES DE LA COMPOSICION DE FUNCIONES.-

Consideremos las funciones f, g, h, I (identidad)

® f o g * g o f no es conmutativa © (fog) o h = fo(goh) asociativa

(f + g) o h = (foh) + (goh) distributiva © (fg)oh = (f o h ).(g o h)

( ? ) f o I = f , I o f = f , V f © I"o¡m = I m\ n , m e Z +

( 7 ) I Uno t n = /" o I Un = / , ne z * , n impar ( 5 ) / ” =

4.19. EJERCICIOS DESARROLL ADOS.-

® Dada las funciones f = {(2,1),(-2,3),(1,5),(-3,4),(7,8)}; g = {(3,-2),(7,2),(-3,l),(2,4)}

Calcular f + g, f - g, f.g , f/gSolución

Calculando el dominio de cada función: = {-3,-2,1,2,7} ; Dg ={-3,2,3,7}

Como Df+g = Df _g = Df g = Df n D g = {-3,2,7}

( / + g)(-3) = / ( —3) + g(-3) = 4 + 1 = 5 ( / + g)(2) = /(2 ) + g(2) = 1 + 4 = 5 ( / + g)(7) = /(7 ) + g(7) = S + 2 = 10

(-3,5) e f + g (2,5) e f + g (7 ,1 0 ) e f + g

.-. f + g = {(-3,5;,(2,5),(7,10)}


©

( / - g)(-3) = / ( -3 ) - g(-3) = 4 -1 = 3 ( / - g ) ( - ) = / ( 2 ) - g ( 2 ) = l - 4 = -3 ( / - g X 7 , = / ( 7 ) - g ( 7 ) = 8 — 2 = 6

f-g={<-3,3),(2,-3),(7,6)}

(/•gX-3) = / (-3).g(-3) = 4(1) = 4 ( / -gX2) = /(2).g(2) = 1(4) = 4 (/•g)(7) = /(7).g(7) = 8(2) = 16

[(-3,3) e / - g (2,-3)e / - g (7,6; g / - g

[(-3,4) e / .g (2,4) G / .g (7.16) e / .g

f.g={(-3,4),(2,4),(7,16)}

Calculando el dominio de f/g: Df l g =Dj C\ Dg - \ x l g(x) = 0} = {-3,2,7}

s II '-sS 1 U) II 1 II (-3 ,4)e —

g g(—3) 1 g

( / X 2 )= / ( I ) =1- - • (24 ) e -g g(2) 4 4 g

(Z )(7) = Z í Z ) = i = 4 (7,4)e —. g g(7) 2 g

— = {(—3,4),(2,-|-),(7,4)}g 4

Sean f = {(1,3),(3,5),(2,4),(4,6)}; g = {(4,1),(0,-3),(3,2),(1.0)}. Hallarf/g

Solución

Calculando el dominio de cada función: Dy = {1.2,3.4} Dg - {0,1,3,4}

Calculando el dominio de f/g: Dflg = Df n D g -{x/g(.v) = 0} = {1,3.41 - {1 }={3,4}

g g(3)52

<£»‘4)=¿s r T = 6g g(4) 1

( 3 , f ) e - 2 g

(4,6)e —- = {(3,^<,(4.6)}g 2


® íx + 4, a < — 1 í-2x, — 4 < a < 3Sí f ( x ) = \ g(x) = \ . Calculando f + g

[a-3 , - 1 5 a: < 4 [-4 , x> 3

©

Solución

Calculando el dominio de cada función:

Df = < -oo,-i > u [-1,4 > '; Dg = < -4,3 > u [3,°° >

Ahora interceptamos los dominios —O-4O-

Df+g = Df n D g = < - 4 , - l > u [-1,3 > u [3,4 >

Si x g <-4,-l>, f(x) + g(x) = x + 4 - 2 x = -x + 4

x e I-l,3>, f(x) + g(x) = x - 3 - 2 x = - x - 3

x e [3,4>. f(x) + g(x) = x - 3 - 4 = x - 7

de donde ( f + g )(a) = ■- x + 4 si A 6 < -4 ,- l> - a - 3 si a g [ —1.3> x - 7 s í 'ag [3 ,4 >

[ 1 * 1 1 . si — 3 < A < 1

- 2 , si 1 < a < 2

1 - 2 * , si x < 2

D,

3 4-O

-► D„

Hallar (f + g)(x) si f y g están definidas por:

• - *1 ^ _ 11- 1 t ,= i , k , ’ S(*) =[ 3 a , SI | A - 1 1> 1

Solución

| x - l | < l => -1 < X - 1 < 1 => O < x < 2

|x - 1| > 1 => x — 1 >1 V x - 1 < -1 => x > 2 V x < O

| a - 1 | si O < a < 2Ahora a la función f(x) expresamos así: / ( a ) =

3 a si x e < - o o , 0 > u < 2 .+ o o >


Dibujando los dominios de cada función en una recta horizontal.

-o_JL_

O-_

-3 1-o

©

Df+g =Df n D g = [-3,0 > u [0,1 > u [1,2] u < 2,°° >

Calculando la suma en cada intervalo

x e T-3,0> => /(x ) + g(jr) = 3jr + [|x|]

x e [0,1> => / W + gU ) = |A-l |+[ | jc| ]

x e [1,2] => f ( x ) + g(x)= | x —1|-2

x g <2,oo> => f(x) + g(x) = 3 x + l - 2 x = x + l

NOTA.- Se efectúa la operación en sus propias reglas de correspondencia

( / + g)(x) = ■

3jc + [ |jc|] , si jce[-3,0>| x - 11 +[| x |], si x e [0,1 >| x - 11 -2 , si x e [1,2]x + 1 , si xe<2,+°°>

Sí f(x) = | x - 2 | + | x + 2 | , g(x)Í3x + 2, si x< 0 [l — x, si x > 0

y H(x) = f(x) + g(x) ,

Dh - [ -2.3 > . Hallar la gráfica y el rango de H.Solución

Primero definiremos los valores absolutos

( x - 2 , si x > 2_______________ . , ,x + 2 , si x > -2l x ~ 2 l = ^ 2 - x , si x < 2 ' ]x + 2 l = \ - x - 2 , si x < - 2

— \ r + . .v__

-2


Ahora definiremos f(x, en cada intervalo

Si x < -2 , f(x) = (2 - x) + (-x - 2) = -2x

-2 < x < 2 , f(x) = 2 - x + x + 2 = 4

x > 2 , f(x) = x - 2 + x + 2 = 2x

por lo tanto / ( x) -— 2a , si x< -2

4 , si — 2 < x < 2 2x , si x > 2

Ahora calculemos los dominios de cada función

O-O

-2 0-O

I

3l

Dh = [-2.3 > = [-2.0 > u [0.2 > u [2.3 >

Definiremos a la función H(x) en cada intervalo

x e [-2,0> => H(x) = 4 + 3x + 2 = 3x + 6

x e [0,2> => H(x) = 4 + 1 - x = 5 - x

x e [2.3> => H(x) = 2 x + l - x = x+ l

Por lo tanto la función H(x) queda definida por:

H(x) = -3x + 6 si —2 < x < 05 —x si 0 < x <2 jc + 1 si 2 < x < 3

Graficando la función H(x) se tiene:

Rh = [0,6 >


Calculando f(x), para esto x + 2 = y => x = y - 2

Como x e <-5,5] =» y-2 e <-5,5] de donde -5< y- 2 < 5 =» - 3 < y < 7 = > y e <-3,7]

Luego f ( x + 2) = x 2 =* / ( y ) = ( y - 2 , 2, y e <-3,7]

Ahora evaluamos en x: /(jc) = ( x - 2 )2 , x e <-3,7]

Calculando g(x), para esto x - 1 = y => x = y + l

Como x e [-2.2] =» y + 1 e [-2,2] => - 2 < y + l < 2 = » - 3 < y < l =» y e [-3,1]

Luego g ( x - l ) = x 2 =» g(y) = (y + l)2 , y e [-3,1]

Ahora veremos en x: g(x) = (x + l)2, x e [-3.1]

( ? ) Calcular (f+g)(x) y (f/g)(x), donde f ( x ) =V i- x, si x < 1 r ; g(x) = ■

■Jx , si x > 4

x2 -1 , si x < 0 x , si 0 < x < 2 x + 5 , si x > 2

Solución

Calculando el dominio de cada función

D f = < —°°,1] u [4,+o° > , D g = < - °°,0 > kj [0,2J yj < 2,+°° >

Ahora calculamos D j+g

* D,

0 1 2 4O

O * D,9

£>/+g =Df n D g = < -o° ,0> u[0 , l ]u [4 ,+oo>


Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo

Síxe<-oo,0>, f ( x ) + g(x) = -J l - x + x2 -1

X6 [0,1], f ( x ) + g(x) = -J \-x + x

X e [4,+oo> , f ( x ) + g(x) = yfx+x + 5

( f + g)(.x) = f ( x ) + g(x) =

V i - x + x2 -1 , si x < 0

y j l - x + X , SÍ 0 < X < 1

■Jx+x + 5 , si x > 4

Ahora calculamos Df¡g es decir:

D fig = D f n D g - { x / g ( x ) = 0 } = < -« > ,0 > u [ 0 , 1 ] u [ 4 ,+ ° o > - { 0 , - 1 }

= < - o o , - l > u < - l , 0 > u < 0 , 1 ] U [4 ,+ o o >

y j l - x

8 *(*)

x2- \J l ^ x

J~x

, si x e < - o o , - l > u < - l , 0 >

, si xe<0, l ]

jc + 5, si x> 4

( s ) Calcular (f + g)(x) y (f/g)(x) donde

/(* ) =

x -1 , si x < - 2

\ l \ - x , si - 2 < x < 0 ; g(x) =x , si O < x < 20

| jc — 1 , si —10 < jc < 2

I y¡X , SÍ X>2

Solución

Calculando el dominio de cada función

D f = < -oo,-2 > u [-2,0 > u [0,20 > , Dg = < -10 ,2> u [2,+°o>


Ahora calculamos el D

-o D,

-10o—

-2 20

-*• D„

Df+g =Df n D g =< -10, -2 > u [-2,0 > u [0,2 > u [2,20 >

Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo.

x e <-10,-2>, f ( x ) + g(x) = x í - 1 + a-2 -1 = 2x2 —2

x G [-2.0>, f (x) + g(x) = y/\ - x + x2 -1

x e [0,2>, /(* ) + #(*) = x + x2 -1

x g [2,20>, f (x) +g(x) = x + Jx

Luego se tiene: ( / + g)(x) = /(* ) + g(.x) = ■

Calculando (f/g)(x)

si —10<jc<2 — {—1,1}

(—)(*) =

í l " 1 *2- lr r ~

v si —2<jc<0 — {—1,1}*2 - l

x2- l

4~x

si 0 < * < 2 -{ - l . l }

2 a :2 - 2 si - 1 0 < j c < —2

y ¡ l-x + x2 -1 si -2 < x < 0

x2 + 2x -1 si 0 < x < 2

X + yfx si 2 < X < 20

1 si -10<jc<-2

X si x e [-2,-1 > u < -1,0 > x2 - l

si x g [0,1>u <1,2>ósea (—Xa) =

si 2 5 x < 20

*2 - l

— f = s/ jcg[2.20>V*

Dadas las funciones definidas por:

f = { ( 0 , 0 ) , ( 4 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( - 3 , 2 ) , ( 3 , - 1)} y g = {( 6 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 2 , 0 ) , ( 4 , 7 ) } . Calcular f o g


Solución

Calculando Dfog es decir: Djog = { x / x e Dg Ag(x )e ]

2, 3. 4, 6

i i i ig(2) g(3) g(4) g(6)

II II II II0 __ _

4 7— _ — —

2

Veremos cuales pertenecen al D¡

Se observa que: Oe Df , 4 e Df , 2e Df entonces Dfog ={2,3,6}

Ahora calculamos los elementos de f o g

(fog)(2) = f (g(2)) = f (0) = 0 (./b*X3) = /(*(3)) = /(4 ) = 3 ( f o g m = f ( g m = f ( 2 ) = 4

(2,0) e Dfog

(3.3)6 Dfog

(6.4)6 Dfog

f o g = {(2,0),(3,3),(6,4)}

10) Sean las funciones reales de variable real f ( x ) = Á ’ , g(x) = X\x + 2 , x < l

l = 1[jc-1 , x > 1 l - x ,Hallar f o g

Solución

De acuerdo a los criterios establecidos se tiene:

\ f 2(x) = x - l , *>1 [g 2(jc) = l-A:, x > 0

Calculando Dfog¡ = {jce Dg¡ A g,(x)e Df¡}

x e< -°°,0 > A x 2 < 1 desarrollando x 6 <-°o,0> A -1 < x 5 1 =» x e [-1,0>

x < 0 * > 0

(fiOg1)(x) = f l (g,(x)) = f ¡(x2) = x 2 + 2 , x 6 [-1,0>


Calculando D f¡og = {x! x e DgiA g 2(.x)e D ¡ }

x e [ 0 , + o o > A 1 - x e < - o o . l ] entonces x e [ 0 , + o o > A 0 < x < « => x e [ 0 , + ° o >

(/i og 2 )(*) = / , (g2 (*» = f \ (1 “ x) = 1 ~ x + 2 = 3 - x

Calculando D hng¡ = {x / x e Dg¡ A g , (jc; e D f i }

xe<-«>,0 > A x 2 e< 1,-k» >

x e <-oo,0> A x e <-<»,-1 > vj <l,+«o> = <-<»,-1> =» x e <-<»,-1>

( f 2° g \ )W = /2 (g¡ W) = h (x 2 ) = x 2 - 1

Calculando D ^ ogi = { x l x e D giA g 2( x) e D f i )

x e [0,+oo> A 1 - x e <!,+«>> entonces x e [0,+°°> A x e <-°o,0> =» 0

(/»£)(*) =

x 2 -1 si jc<-1 ;c2 + 2 s i jce[-l,0> 3-Jc si xe[0,+oo>

- a - í *• -«e < -<=o,l] [ je — 8 , jc < O11) Dadas las funciones: f ( x ) = \ g(x) = <[-1, xe<l,+oo> Ul*|] , a:>0

Calcular (f o g)(x;Solución

f(x) = J / i (*> = ■*• * e < - = ° , l ] í g , W = jc2 - 8 s i * < 0

t / 2 (*) = -!. xe<l,+o°> ’ g 1^2Cc) = [ | | ] si x > 0

Dfog D f¡og¡ u D fi0gi u D ji0¡¡¡ u D flCtgl

D ftoS¡ ~ { x f x e D g A g l (Lx ) e D f¡}

x< 0 A x 2 -8e<-oo,l] =» j r < 0 A - o “ <x <9

= > x < 0 A ( - o o < a : 2 A x 2 < 9 ) = > x < 0 A ( R A - 3 < x < 3 )


=> x < O A - 3 < x < 3 = > x e [-3,0>

( f iOgi ) = f i ( g i ( x ) ) = f ¡ ( x 2 -8 ) = *2 -8

(.fiOgi)(x) = x 2 -8 , x € [-3,0>

D f,og2 = { x / x e D gi A g 2( x ) e D f¡}

*> 0 A [|x |]e< -oo,l] => x > 0 A — oo< [|je|]< 1

=» x > O A -oo<x< 2 => x e [0,2>

(/i°£ 2 )(*) = f \ i g i ( x ) ) = / , ([| x |]) = [| x |]

(/iOg2)W = [|* |]. x e t°.2>

D hogt = { x / x e D gi A g { x ) e D h )

x < 0 A x 2 -8g<1,+o°> => * < 0 A 9<jtn<oo

x < O A (9 < x 2 A x2 < t-°°) => x < O A (x < -3 V x > 3) => xe <-oo-3>

( /20£i )(*) = / 2 (gi (*)) = f i i * 2 ~ 8) = “ I

( / 2°S, X*) = -1 , x e <-oo,-3>

D hog, Dg2A g2(*)e D ,,}

x > 0 A [|jc|]e<l,+o°> =» jc>OAl<[|jr|]<+o°

=> x > 0 A 2 < x < o o => x e [2,+oo>

( / 2°g2) = / 2(^2W) = / 2([|-í |]) = _1’ X£ [2,+°°>

( / 20£2X*) = -1 , x e [2,+°o>

(fogXx) =x 2 — 8 si ;c e [-3,0 >[|jc|] si xe[0,2>— 1 si x e < —oo,—3 > l^2,+oo>

4 2 2 Eauardo Espinoza Ramos

(l2) Si / ( x) = x 2 y (ifbg)(x) = 4a-2-12A+9 encontrar dos funciones g(x).

Soluc'on

(fog)(x) = f (gyx) ) = 4 x 2 - 1 2 x + 9

g 2(,x) = (2x — 3)2 => g(x) = ± (2 x -3 ) g l (x) = 2 x - 3 , g 2(x) = - 2 x + 3

(l?) Sí f ( x - l ) = x - 2 y (gof)(x; + 2 ) - 2 x 2 - x . Calcular g(x)

Solución

f(x- 1) = x - 2 =» f(x) = x - l

(gof) (x + 2) = 2 x 2 - x =» (gof'){x) = 2 ( x - 2 ) 2 - ( x - 2 ) = 2 x 2 -9 a + 10

(gof)(x) = 2 x 2 - 9 x + \ 0 dedonde g( f ( x ) ) = 2 ~ l - 9 x + 10

g( x — 1) = 2 x 2 — 9x + 10 => g(x) = 2( jc +1)2 — 9(x + l) + 10 = 2x2 — 5x + 3

(14) Si f ( x ) = y + 2 y g(x) = x + a . determinar el valor de a de modo que

(f o g)(3) = (g o f)(a - 1).Solución

(fog)(3) = f (g(3) ) = f ( 3 + a) = (3 + a ) 2 + 2 = a 2 + 6 a + U ...(1)

(gof) (a - 1) = g ( f ( a - 1)) = g((a - 1)2 + 2)

= g( a2 - 2 a + 3) = a 2 - 2 a + 3 + a = a 2 —a + 3 ... (2)

9 2 8Igualando (1) y (2) se tiene: a" +6g + 11 — a - a + 3 => a — ——

Si H(x) = eos 2x y f(x) = sen x encuentre una función g tal que H(x) = (g o f)(x)

Solución

H (x ) = (g o f ) ( x ) = g ( f (x ) ) = eos 2x

g (s e n x) = cos2 x - s e n 2 x = 1 - 2 se n 2 x g(x) = l - 2 \ ~



© Calcular f± g , f.g . f/g , donde f = {(1,2),(3,4,,(2,5),(4,1)}; g={(3,-l),(2,l),(l,0)(0,2)}

© Calcular f ± g . f.g , f/g . donde f = {(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-1 ),(4,3)} ,

g={(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}

© Si f = {(1,3),(2,6),(4,8),(6,2)} y g = {(1,2),(2.-1),(0,1),(4,5),(7,0)}

Hallarf + g , f - g , f.g, f/g

© Si f={(l,4),(2,5).(3,6),{4,-6),(5,-5)} y g = {(0,8),(1,3),(2,0),(3,7),(4,0),(5,10)}

Calcular f + g , f - g , f.g , f/g

® Sean f = {(2.8),(8,4),(6,9),(4,7),(3.6),(1,5)} y g = {(7,1),(3,2).(5,5),(10,5),(1,3)}

Hallar f + g , f - g , f.g , f/g

® Sean f = {(4,1),(6,5),(5,4),(8,3),(9,2),} y g = {(8,-5),(2,2),(5,-4)}

Calcular f + g , f - g, f g , f/g

© Calcular f + g , f.g . f/g de las funciones

f 2jc -h 1, jc > 1 f 3jc +1, a: <8a) f ( x ) = \ , g(x) = |

[jt2 -2 ,* < 0 [3a: ,a:>10

Í7 ,*<10 Í3jc—1 ,b) /(*> = , . . . • *(*> =[jc-1 , a: >11 [ x ,

I a: 11< 1x > 3

¡x2 si x > 1 [ V a: + 1 , a: > —1

| ac- 1 | j í a: < 1 [ j c - 1 , ac< - 1

d) f ( x) =x 2 si Are [-1 0 ,-7 >

2x si A :e [-4 .0 > , g(x)

2x2 - 2 si A:e<0,8>

- x 2 + x , si A re< -8 , -4 ]

- a:+ 3 , si A :e < -4 ,0 ]

a:2 +2 , si Are< 0,3]


e) f ( x ) =

f) /(* ) =

g ) / ( * ) =

] 2jc — 1 , x e [0,1 > [a2 , a s [2,5 >

| a | , a e [-1,3>— 2x +3 , a s [3,6]

x 2 - l , \ x \ < 2

x , x > 2

xe< -1,1] x e < 1,4]

Í3a ,

*(H < .

— 1 , x e [ l ,4 >g W =

[Mi . a s [5,7>

Hallar (f+g)(x) y (f / g)(x) sí: / ( a ) =

íx - \ ,

ÍVT^ , * 4; g W =

x -1 , x< 0 x , 0 < a < 2

x + 5 , x > 2

Hallar (f + g)(x), donde:

f ( x ) =

[|a- 1|] , xe< -4-1]

[|a |] + 1 , as [0,2]

| jc — 2 1-t-3 , x e < - l ,0 > u < 2 ,3 ]g(x) =

5 , x e < - 3 , - l >- 2 , x e < 0,2 >- 3 , xe [-1,0 > k >[2,3 >

í 4 jc + [|jc|] , xe< -3 ,0> Dadas las funciones definidas por: /(x ) = < ,

y jc +11 —3 , a s < 1,6 >[| —jc|] — 5jc , jce<-4,-l]

| jc — 31 , xe<0,2]Hallar (f + g)(x) y graficar

Hallar (f/g)(x) donde: / ( jc) =M2x

x e [-5 ,- l] xe [1,4]

Hallar (f + g)(x) y graficar donde

/ « =[ |x - l |] , x e <-4,-1][| a |] + 1 , A S [0,2] , g(x) =| a — 2 1 +3 , xe< - l ,0> u < 2 ,3 ]

f[|x -2 |] , a■= [0,3>

. « [3 ,6 ]

7 , A S [-3,-1 >I , a e [0.2. >— 2, a e [—1,0 > u[2,3]

g(x) , x e < - l,2 >Halle Df+ r \ Rf si / (x )= l ' , g(x)

1 g 1 g X +2 , A E [2,oo >= í K x ) ,

!2a-1 ,X E < —oo, — l >

A E < 2 , + o o >

R p ta . <9,+o">


Dado las funciones f(x) = 2 x - 3 , - l < x < 3 ; g(.r) = jc — [| je |] , x e R, hallar (—)(jc)

g

15) Dadas las funciones: f ( x ) =

. 25 — jc . j : + 2 5[ | - ----- |] , -----“ < 0 A X < —

1 - x x - 4 2

, ^ < x < 4

. . í[|| x - 1 | -2 |]jT - 2jc , - 1 < x < 2 . ..£(*) = •{ , , ■ H?llar (f + g)(x) y graficar

1 jc — 4 1 , 2 < jc<9

Hallar (f + g)(x) y graficar donde

/ ( * ) =[| jc2 |]+1 jc2 - 11 -3 , jc s [ -2 ,2 ]

2jc — 1

jc- 1x e < 2 , 4 >

g(x) =j4 -t|J c2 1] , x < 2

- 2 , jc> 2

Dada las funciones / ( jc) = 2jc- [ | 2jc+[| jc |] | ] , ^ < jc < 1

g(x) = | | x - 2 | - | x | | , | x | < 1 ; Hallar (f + g;(x)

Hallar (f + g )(x ), (f-g)(x), (f.g)(x) donde

Í3jc + 1 , x e [-1,1 > í 2V3c — 1[5jc , j: e < 1,6] jc — 2

Hallar (2f - 4g)(x), donde

m í i i m ’ i i . * « < - u > ,l[| jc — 3 1] , x e [1,4 >

l*? - 4 |jc + 2

jte [0,3 > jce< 3 ,5]u[6 ,8 >

jc g < -2,1 >

l - l | ] - I I ^ I ] • [1,10 >x 3x + 5

(20) Calcular (f + g) (x), (f.g) (x), (f/g) (x) y graficar donde


b) f ( x ) =X X < 1

3jc, 1 < x < 3 ; g (jc) =

eos x , x > 3

— x 11 3 4

x < - 2

2 < x < 3x < 6

* « í[|x|] [ |*2 “ 411 ’ X<3c) f ( x ) = < -------------------------------------------- , g(x)I vjc - 1 6 , jc>4

fjt , x 5

f l — 2 jc , — 3 < jc < —1 i**d) f ( x ) = £(*) = ]

[[I-4+ cosx |] , x > 0 I sen x , 0 < x < n

Íjc + 3 si x e [-4,0]

e) /W = L t ’ g(x) =[3jc+2 si x e < 0 , 5 >

2 x - 4 , jee [ - 3 ,2 ]

2 — x , jce<2,8>

í -Jx- 2 , jce[2.4>0 f ( x ) = \ , . £(*) =

I jc -1 4 jc + 48 , jce[6,10>

[| |] , x e [1,8 >

| 2jc —101, x e [8,12 >

s) / w = p ; 41’ ' 6^ 01 . s(,)={” 2 - X- - J2 , t e [1,6> [ 1 , x < —2

h) Si f ( x ) =j l * - l | [ | « g ( 3 - * ) | ] , x e [0,6]

x 2 , j c e < 6,1 0 >«(x)

= Í| jc -2 | .

\ jc I JC— 2 1 ,

x e < - 8 , 3 >

x e < 3,8]

i) ” u_,|>1 ° 1,-11 <3.sw =I jc2 — 4jc—4 sig (| jc | —3) , x e [0,2]

x 2 +1|], si x < 3

X + JC + 1

x - l, si x e [5 ,1 0 >

j) Sí f ( x ) =Vjc2 + 1 6 , j c e < - 4 , - 2 >

[|jc|]-2jc , x e [ - 1, 2 >

| jc2 + 2 1 , j c e < 4 , 6 >

g(x) =Í2jc + 4 , jce<-3,-1 >

l U 2 - 2 | j e e [—1,5 >

( 2 ^ Determinar fog , cuando f = {(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)} y g = {(4,l),(l,2),(6,3),(0,-2)}

Relaciones y Funcionen 427

22) Determinar fog , g o f, cuando: f = {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3;,(5.2)}

g = {(6,7),(5,4).(4,3),(2,4),( 1.4),(0,7)}

<23) Hallar gof sí: f = {(2,5),(3,4),(6,2),(5,0),(1,7)} y g = {(4,8),(5,3),(0,9),(2,2),(7,4)}

(24) Hallar gof sí: f= {(2,5),(5,7),(3,3),(8,1)} y g = {(1,2),(2,3),(4,5),(6,7)}

® |3 jc-2 . jcg [-4,4 > 7Si / ( * ) = ] rA : g(x) = x +1. Hallar (fog)(x)

[jc . x e [4,6]

(2ó) Consideremos las funciones reales de variable real

íx~ x < 0 Íjc + 2 , x < l£(*) = ] ; f ( x ) = \ . Hallar fog

[l — x , x > 0 [jf-1 , j o l

(2 ^ Sean las funciones f y g definidas por:

, , . ¡ x 2 - 5 x , x < - 2 J2jf"4 , x > —2

[ |jc -2 |-2 jc , jc> -2 [jc +3jc , x < - 2

Hallar: f(0) + g(0) , f( l) f(-3) , (fog)(-2) , ~ ~ ~ , (gof)(3) , (gog)(-3/2)g ( - l)

(28) Hallar fog sí / ( jc) = 2 jc2 + 1 , x e < - 2 ,2 0 > , g{x) = j

29) Hallar fog sí f(x) = 3x + 2 , Df = < -°°,3 > , g(x) =

- j c + 1 , x e < - ° ° , - 2 >2 x , j c g < 6, « > >

2 x , x < 0

- 3 j c , jc> 1

r 2 x — 1 * x ^ —130) Determinar gof si, f ( x) = { ' , g(x) x + 2 , x > 2

\ jc < —1

Jx , x < 0 [ 2 j c , x > 0

(3 ^ Hallar fog s í , f ( x ) = -1 , 1 < jc < 2 , g(x) =

1 , jc> 4

2 , jc < 1

1 , jc>2

® Í2jc-1 , jcg [0,2] ¡—Hallar fog y g o í , donde, f ( x) = \ , g(x) = yjx

[ jc , v e < 3,5]

428 Eduardo Espinoza Rnmos

(S ) Sí H ( x ) = Jx2 - 2 x + 3 y (Hof)(x) = [1 x|] + 3 . Calcular f(x)

® [|jc2 — 11 , x < 3 [Calcular (f o g)(x), donde f ( x ) = ] ----- , g(x) = |

Ivjc2+1 , ü

|jT-1| , x < 3 v \ x , x > 4

| x | —x , x < 0

® í[|x|] , x < 0 ,-----Calcular f o g y grafícar sí: p(jc) = { , f ( x ) = yjx + l , -l<x<2

\x , x Z O % '

® Í2jc—5 , x <2 \ x 2 - 2 x , x < lCalcular f o g , donde, = 4 - gW = i

\ - x - 2 , x £2 L* , *>1

(37) Sí f ( x ) = yfax-1 y g(x) = \¡2x2 - 7 . Hallar la función h tal que f o h = g

(38) Dadas las funciones / ( x) = 2jc — [| 2jc + [| 2jc (] |], ^ < x < 1

g(x) = | x + 2 | -1 x | , 1 x | < 1. Hallar f o g , g o f

(39) Sean f ( x ) = 2x2 -1 , g(x) = 4 x 3 - 3 x , x e R , probar que f o g = g o f

(40, S if(x + 1) = 3x + 1 ,g(x) = 2 x - 3 , hallar(fog)(x + 1)

®í x 2 , <1 í - x , x < 2 t „

Sean f ( x ) = \ , g(x) = , hallar g o f[ - x \ x > 2 [2jt . x> 4

(42) Hallar fog y gof si existen, donde

f ( x )—— , x e < -1,1 > \[\x\] , jce [0,1 >x 1 , g (.x) = ‘

I n/jc -1 , xe [1,3 >| jc2 -t-11 , xe< l ,2>

Hallar (f o g o h^x) si f ( x ) = x 1 + 2x +1 , g(x) = x - 2, h(x) = x - 3

¿4 Sean f(x) = ax + 2 , g(x) = x - 6 , a *■ 0 , b *■ 0 si fog = gof hallar b(a-l)


©

(si

(S4j

»se

sean /MD = j >/ÍTT ’ “ 1<X- 3 y *(*) = {v2[|*2 | ]_ 2 M l Si[ j c / 2 , 4 < j c s 6 [jc [|jc — 3|] + 2 , si 2 < jc< 4

Hallar fog si existe

Dadas las funciones f y g definidas por: / ( jc) -^ [ | ^ - ^ | ] . x e < - l , l >3 — x

ylx2 + 2x , jc e [ l ,2 >

£(*) = jc — 1 ’ x e l 2’ l > Calcular (fog)(x) y (gof)(x)1 — jc , jcg<0,6>

Íjc , jce [—3,0]Determinar gof sí f ( x ) = < , g(x) = x - 15, x e <-10 , 9]

Ijc , jce<0,5]

Sean / ( jc) = [ |jc|] y g(x) =[| Jc — 4 1] , jc> 0

. Hallar: h(x) =\ ( fog) (x2) , jc< 0

jc* , jc< 0 { (gof)(yfx) , jc> 0

Si F(x) = ctgx y g(x) = cosecx encontrar una función f tal que F(x) = (fog)(x)

Si ( gof ) ( x+2) = 2 jc2 -jc y f ( x - l ) = x - 2 Calcular g(x).

Si ( fog)(jc— 1) = jc2 -2jc y g(x) = x + 3 Determinar f(x).

Dadas las funciones f,g: R-----) R, definidas por:

f(2x + 3) = 4x + 1 y g( jc) = jc2 + 3. Determinar (f o g)(x) y (g o f)(x)

Sí F(x) = (1 - cos2x) secx y f(x) = senx. Hallar una función g tal que F(x) = (gof)(x)

, 1Si F(x) - eos jc y / ( jc) = ----- , hallar una función 3 tal que F(x) = (fog)(x)

1 + JC**

Si F(x) = sen 2x y g(x) = eos x , encontrar una función f tal que F(x) = (fog)(x)

Detem mar gof sí, f ( x ) = <O , jc<0

jc2 , jc e [0,1] , £ ( jc) =

0 , jc > 1

1 , jc< 0

2jc , jc e [0,1]

1 , jc > 1


57) Si f ( x ) = 4 x - x ^ , 0 < x < 7, g(x) =

(59

— 4 , j c < 0

jc + 2 : > 2, hallar (gof,(x)

Si (g o f)(x) = x + 2 , /(jc) = x3 + 6jc2 + 12jc + 8 , hallar g(x).

Dadas las funciones y(jc) =| jc2 — 11 y g(x) = y ¡ 9 - x 2 . Determinar (gof)(x)

í[ |* - l |] , 0 < x < 3 x +iSi f ( x ) = < ,------ ¡— y gU) = -determinar gof

[-y/íl-xl-2 , x> 3 x - 4

61) Hallar fog , siendo /(jc) =2 x - l , - 4 < jc < 4

UMl , x > 4

Si g ( 2 - x ) = y j x - l y (gof)(x) = 2x - 1, hallar f(x)

g(x) = x - 2x

Sí f ( x ) = 2x , si x es impar , g(jr) = — * . Hallar gof s. es que existe.2 x + l , si x es par

2 .

0 . si x no es entero

Sean las funciones f y g definidas por:

/(* ) =|----- 1 , si x < - 2

1 — X(jc + 2)2 , si jc g [-2,-1]

l * + 6 | , si jce< -4 ,-l> | x + 3 1 — 3

y ¡ 5 - x - 2 , si jce< —1,5>

Hallar las funciones (fog)(x) y (gofj(x)

Sean las funciones f y g definidas en R, tales que:

\x + 2 , x < l \ x 2 - 2 , x > 1/ w = , . s ( * H ,[(jc—1)“ + 3 , jc> 1 [ jc-5 , x < 2

Hallar las funciones (fog)(x), (gof)(x)

Sean las funciones /(jc) = Í* ’ X< , g(*) = i . • Hallar gof-jc , ,c> 2 [2x , x > 4


(67) Hallar gof, si f y g son funciones reales, tales que:

Ía'2 +1 , jc< 1 Íjc — 1 , x < 2/(* ) = ] , y *(*) = ]

[-jc~ , x > 4 [ 2 , x > 4

(6f Sean las funciones f y g definidas por:

¡ x 2 - 3 x si jc<3 f jc — 1, x < 2f ( x ) = \ y g(jc) = Hallar fog y su rango

- j c 2 + 3 s ¡ jc>3 l 2 , x > 4

(69) Sean las funciones f y g definida por:

/(* ) =| x~ +1 , x < 1I — JC2 , x > 4

y g(x) =x - 4 , jre. [0,4]

0 , x f < 4,7 >Hallar fog

70) Dada las funciones f y g definidas poi-

/(* ) =Ijc +1 , Jf<l

\ - x 2 , jc > 4y g W =

x - 4 , x e [0,4]0 , x e < 4,7 >

(7l) Dadas las funciones f y g definidas en R por:

f (x) t =

sig(|jc2 - 4 | ) si | jc |53 jc + 6

si xe<3,9> y g(x) = 3 , x e <-°°,9>

jc2 +10x + 21 si |jc—3 1 > 6

Construir la gráfica de f + g, indicando explícitamente su rango.

Íx +1 , X < -v 3 f V2 — 2x si x(x — 2) 0

y g ( x ) = \

x , x > 3 I [|x|] si jc(jc-2)<0

u f ¡ x si xe< -oo,l] Íjc2—4 , xe[0,4]73) Hallar fog, siendo: /(jc) = < y g(jc) = ^1 si j c e < 1 + ° o > O , jce<4,7>

432 Eduardo Espmoza Ramos

74) Hallar fog siendo: /(x ) =2x + l , —3 < jc < —1

1 , - 1 < x < 1 y g(x) =

- , x > lX

\x - 4 , xe [0.4]0 , xe<4,7 >

Dadas las funciones f ( x ) = -----— y g(x) = 1 - x determinar los dominios de las1 + x

composiciones fog y gof.

Si g ( 2 - x ) = - J x - l y (g o f)(x) = 2x - 1, Hallar la función f(x)

Dadas las funciones /(x ) -------— y g(x) = 1 - x, determinar los dominios de lasi — jc“

composiciones fog y gof y sus reglas correspondientes.

'2x + l, —3 < x < -1

Hallar (fog)(x) sí: f ( x ) = 1. —1 < x < 1 , g(*) =-1, x < 0 3x + 2, x> 0

Si f ( x ) = yjx2- 16 y g(x) = -^ —, Hallar (fog)(x)x + 2

. , x“ +3x, si x<3 , x Í3-x, si x < lSean las funciones f y g definidas por: /(x) = < , glx) = <[ -x 2 +3, si x > 3 l5“ *’ si X >1

Hallar (fog)(x).

1Si /(x) =

,xe<-2 ,2> ÍL|Je—1|], x e [0,1 >x -2 , g(x) = \ ¡-^— Hallar (fog)(x) si es que existe|2x“+3|, xe<2,3> x" — 1, xe[l,3>

Si /(x ) = x2 + 2x+ 2, hallar la función g(x) tal que (/og)(x) = x -4 x + 5

83) Hallar, , ,, , , , , . \x. x e< -» ,l] Jx -8 , x < 0(fog)(x)si f (x) = s , gOO H, ,

[-1, xe<l,+°° > [[ x ], x > 0


f[| AT — 11], 0 < J C < 3 X +184) Si f ( x ) = < -----— y g(x) = ----- - , calcular (gof)(x)

x > 3 x — 4

Sean f y g dos funciones, tales que: f ( x ) =

2

í l ^ - ^ | ] . x e < - l . l > 3 —jc

yjx2 + 2x, j c e [ l , 2 >

g(x) =x e [-2,-1 >

jc—1 . Hallar fog, si es que existe.| jc—11, jce<0,3>

Si H\.x) = y]x2 - 2 x + 3 y (HoF)(x) = J[\ x |] + 3 calcular F(x)

í j c - 1 , j c g [0,1] I * 3 , j r e [ -1 ,1 ]Dados / ( x) = , , g ( jc) = . Hallar

[ jT + 1 , x e < - ° ° , 0 > u < l , + o ° > [ 2 x + [ | jc|]jc", j c g [3 ,4 ]

(fog)(x) si es que existe.

(88) Halle el complemento del dominio de (f o g)(x), donde / ( jc) = jc2 -1 , x e <6,13>;

p(jc) = jc2 - 6jc + 6 , j c g < 4 , — >2

13 13Rpta. < - m,6]u [— ,+°°>

jc , jce [5,9 >Si f ( x ) = \ , g(x) = x + 5, x e [1,12]. Halle (fog)(x).

[ V jc , jce [10,16 >

Rpta. (f o g X x )■|(jc + 5) , x e [1,4 > [>/jc + 5 , jce[5.11>

4.21. FUNCIONES: INYECTIYAS, SURYECTIYAS Y BIYECTIVAS.-

a) FUNCIÓN INYECTIVA.-

La función f: A —» B es inyectiva (univalente) si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento en el dominio, es decir, si existen dos elementos jcj jc2 e D f distintos .v, ^ x 2 cuyas imágenes son distintas / ( j c , ) * f ( x 2) loque

es equivalente a decir:


Si x¡ , x2 e D f : f ( x l ) = f ( x 2) => xt = x 2 que es la forma más práctica para determinar t,i una función es invectiva

Ejemplo.-

f función inyectiva f no es inyectiva

OBSERVACIÓN.- Si la función f(x) tiene varias reglas de correspondencia es decir:

/(* ) =

/]W . x e D ff 2(x) , x e

/ ,W x e D/„

diremos que es inyectiva si y solo si cada función / , , f 2 ..... /„ deben ser inyectivas y

además RJ r \ RJt =<¡> V i * j

Ejemplo.- Determinar que la función f(x) = 5x + 3 es inyectiva

Solución

f es inyectiva sí f ( x }) = f ( x 2) => xx = x 2

f ( x i ) = / (x2) => 5.í, + 3 = 5x2 +3 => x¡ = x 2

f ( x ) = 5x + 3 es inyectiva

OBSERVACIÓN.- En forma gráfica se puede determinar si una tunción es inyectiva o no, para esto tracemos una recta paralela al eje X, si dicha recta

corta a l5 gráfica en dos panes o más, entonces la fundón f no es inyectiva y si corta en un sólo punto, entonces la función f es inyectiva.

E je m p lo .- Si f ( x ) = x2 y g(x) = J x


f no es función inyecliva

FUNCIÓN SURYECTIVA.-

g es inyectiva

x2

b)

La función f: A —» B, es suryectiva (o sobre) si y sólo si, V y e B, existe x e A tal que y = f(x); esto quiere decir que todo elemento de B es imagen por lo menos de un elemento de A es decir que f: A —» B es suryectiva si R¡ = B

R,= B

Ejemplo.- La función f: [0,°°> —» [0,°°> tal que f ( x ) = y[x es suryectiva puesto que Rf = [0, 00 >

Ejemplo.- Determinar si la función f(x) = 3x + 5 es suryectiva.

Solución

Como f: R —» R / f(x) = 3x + 5

y = 3x+5 despejamos x es decir x = Luego V y e R, 3 i = ^

y — 5 y — 5Tal que / ( x) = f ( ~ —) = 3( ) + 5 = y entonces f es suryectiva.

c) FUNCIÓN BIYECTIVA.-

La función f: A —> B se llama función biyectiva, si la función f es inyectiva y suryectiva simultáneamente.


Ejemplo.- Determinar si la función f: [0,2> —» <-oo,0] tal que f ( x ) - X es biyeciiva.x - 2

Solución

i) Veremos si f es inyectiva, es decir: f ( x ) = /(x ,) => x = Xj

x x , „------= — i— => x x , - 2 x = x , x - 2 x ,x - 2 x ¡ - 2 1 1 1

—2x¡ = —2x2 => xy = x2 por lo tanto f es inyectiva.

ii) Ahora veremos si f es suryectiva, para esto es suficiente ver si el rango de f coincide con el conjunto de llegada.

y = - ^ — =>jt = - v e [0,2>=> 0 < -^ -< 2 x - 2 y - 1 y - l

0<-^ -<2 <=> 0 < -^ a -^ -< 2 <=> 0< ——— a —~— <0 y —1 y - l y —1 y —1 y —1

-------x t--------- x ,-------- -------\ /--------___±__v.___ :___ )L___±__ a ___ :__ v— ±—

y e luego Rf =< —°°,0] entonces f es suryectiva.

Como f es inyectiva y suryectiva entonces f es biyectiva.

4.22. FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y MONOTONAS.-

a) FUNCION CRECIENTE.-

La función f se llama creciente si para todo x x, x 2 e D; se nene:

.v, < x 2 => . f ( x 1) < f ( x 2 )


b) FUNCION DECRECíFNTE.-

La función f se llama decreciente si para todo par x ¡, x2 e D se tiene:

c) FUNCIÓN MONÓTONA.-

La función f se llama monótona si la función f es creciente o decreciente

d) TEOREMA.- Si una función f es creciente, entonces f es inyectiva (univalente).

Demostración

Sean x¡, x 2 e Df , tales que jc, x2 , de donde se tiene x, < x 2 6 x 2 < x,

Si x, < x 2 entonces f ( x ¡ ) < f ( x 2) por ser f creciente


Si x 2 < jc, entonces / ( x2) < / ( a , ) por ser f creciente

Por lo tanto en ambos casos se tiene f ( x l) * f ( x 2) es decir, si x, * x 2 entonces

f ( x ]) * f ( x 2) . Luego la función f es inyectiva.

e) TEOREMA.- Si una función es decreciente, entonces f es inyectiva (univalente).

Demostración

La demostración se hace en forma similar al teorema anterior.

4.23 CÁLCLLO” DE RANGOS DE FUNCIONES INVECTIVAS MON<v TONAS.-_________________________________________________

Cuando las funciones dadas son inyectivas su rango se encuentra en forma muy práctica de la siguiente manera:

Sea la función inyectiva cuyo D f =[a, b] entonces se tiene:

Si f es creciente se tiene: Rf = [/(o), f ( b ) ] ; Fig (a)

Si f es decreciente se tiene: Rf = [ f ( b ) , /(o)]; Fig(b)

Ejemplo.- Calcular el rango de f ( x ) = a3 para x e [-2,2],

Solución

f es inyectiva y creciente entonces Rf = [ / ( - 2 ) , / ( 2 ) ] => R f = [-8,8]

Relaciones y Funciones *39

q.24 FUNCIÓN INVERSA.-

a) DEFINICIÓN.- Consideremos, la función: / = {(x, f ( x ) ) / x e D f ) con dominio

D f y rango Rf entonces diremos que existe la función inversa

de f. si y sólo si. f es myectíva.

A la función inversa de f denotaremos por f * ó / _l, la cuál es definida en la forma

siguiente:/* = { ( / ( , x) , x) /xe D f J

donde: Df , = Rf y Rf . = Df

Ejemplo.- Consideremos una función inyectiva f = {(1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,11)}

entonces la función inversa de f es: f * = {(3,1), (5,2), (7,4), (9,6), (11,8)}

donde Df „ = {3,5,7,9,11} = Rf y Rf , = {1,2,4,6,8} = Df

b) GRÁFICO DE LA FUNCIÓN INVERSA.-

Consideremos una función f y su inversa / *, el gráfico de la función inversa / *

es simétrica a la función f con respecto i la función identidad I(x) = x por tal motivo dicho gráfico se obtiene por reflexión con respecto a la recta I(x) = x.


c) PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS.-

Sí f: A—>B es una función inyectiva y / *: B—>A es la función inversa de f entonces:

/* ( /(* )) = * . Vxe D f

/( /* (* )) = x , Vjce D f,

d) CÁLCULO DE LA FUNCIÓN IN\ ERSA.-

Sea f: A—>B una función inyectiva, entonces a la función inversa /* : B —> A se

puede hallar resolviendo la ecuación f U * ( x ) ) = x v / * ( / (x)) = x

Ejemplo.- Hallar la inversa de la función f(x) = 7x + 3

Solución

/ ( /* (* ) ) = A => 7 f * ( x ) + 3 = x f * t ¡ X ) = ? y -

También la inversa de una función inyectiva se puede obtener en la forma siguiente:

Ejemplo.- Hallar la inversa de la función f(x) = 5x-3 sí x e [0,5]

S o lu c ió n

Como y = f(x) => y = 5x - 3, x e [0,5]


y + 3Primeramente se despeja x: x = —-— , x e [0,5]

Luego se determina la variación de y

-3 < y iS 22 => y e [-3, 22]

y + 3x = ------ , y e [-3, 22], ahora permutaremos x por y es decir:

y = ~ ~ ~ , x e [-3, 22]. Por lo tanto f * ( x ) = , x e [-3, 22]

4.25. FUNCIÓN INVERSA DE UNA COMPOSICIÓN.

Si dos funciones f y g son inyectivas y la función composición f o g existen entonces la función f o g es inyectiva por lo tanto tiene inversa (f o g)* en este caso tiene la siguiente propiedad, (f o g)* = g* o f*

4.26. EJERCICIOS DESAB ROLLADOS.-

(T) Determinar si la función es inyectiva f ( x ) = ^ +* + 2

Solución

Simplificado 3xV2 + 2x112 = >]x(3x+2) de aquí se tiene que x>0 => | x | = x entonces

i 2 \ x \ + x + 2 _ I 3 x + 2

I 3x 3/2 + 2 x U2 \ J I ( 3 x + 2 ) $ x

debemos probar que f(a) = f(b) => a = b con lo cual se determina que es inyectiva.

f(a) = f(b) => 4 = = 4 = => a = b. Por lo tanto f es inyectiva.


(? ) Demostrar que f es inyectiva donde /(-*) = 5 *, V x e R.

Solución

Debemos probar que: f(a) = f(b) => a = b

f(a) = f(b) => 5° =5'’ => a = b

Por lo tanto f es inyectiva.

(5 ) Dada la función f ( x ) = x + J x 2 + 7 , x e [-3,3], demostrar que f es inyectiva.

Solución

Probaremos que f(a) = f(b) => a = b

f(a) = f(b) => a + J a 2 + 7 = b + \ b 2 + l

a - b = J b 2 + l - > [ a 2 + 7 , elevando al cuadrado:

( a - b ) 2 = (y]b2 + 1 - y]a2 + 7)2

ab + 7 = J a 2 + 7 J b 2 + 7 , elevando al cuadrado.

a 2b 2 + 14afc + 49 = a 2b 2 + l a 2 + l b 2 +49

a 2 —l a b + b 2 =0 => ( a - b ) 2 = 0 =>a = b .\ fesinyectiva

© La función f: R ->[0,+°°> definida por f ( x ) = 5x2 . ,.Es f suryectiva?

Solución

Debemos de comprobar que: V y e [0,+°°> , 3 x e R tal que f(x) = y

pero como y = 5 x 2 => x = ± y / 5 entonces:

3 x - ± y / 5 , y e [0,°°>tal que f ( x) = f ( ± J y / 5 ) = 5 ( ± J \ / x ) 2 = v

.\f(x) = y => f es suryectiva.


© Determinar si la función f ( x ) = x 4 1 -[| x |j , x e R es inyectiva.

Solución

Definimos el L| x |] , V x e R

[|x|] = £ <=> k < x < k + l , k e Z . Luego la función f(x) queda definida

/(* ) =x + 3 . jte [-2 ,-l>x + 2 , jte[-1.0>jt + 1 , jce[0,l>

Luego la función f(x) es la unión de una familia de funciones lineales donde cada una de las cuales es inyectiva, es decir:

f ( x ) = jc+l—[|jc|] => f(x) = x + l - k

Probaremos que si f(a) = f(b) => a = b

f(a) = f(b) => a + ] - k = b+ l - k => a = b

Por lo tanto cada función f(x) sea inyectiva falta ver que la intersección de Ioí, rangos de dos en dos es el vacío.

f k(x) = x + l - k

x e [k. k +1> =* k < x < k +1 => k + l < x + l < k + 2 => l < x + l - k < 2

1 < f k (x) < 2 / . y e [1,2> => Rft = [1,2 >

r > (x) = [1,2 >* definida por f(x) = -2x + 1 es biyectiva.

Solución

*1 =*2

/ ( * , ) = - 2x, +1 f ( x 2) = - 2 x 2 +1

= > - 2 x x +1 = —2 x 2 +1

Veremos si f es inyectiva, es decir: /(je,) = f ( x 2 )

X| = x 2 . Por lo tanto r es Inyectiva.

Ahora veremos si f es suryectiva, e* decir: Ry = [-9,13 >

1 — vComo y = -2x+l => x = ----- G<-4,3]2

—4 < -—— < 32

-5 < y < 9

R j = [-5,9 >* [-9,13 >, por lo tanto f no es suryectiva.

Luego la función f no es biyectiva.

Deternwar el dominio de la función /(a ) = x 2 — 6a+ 8 para que la función f sea

inyectiva.Solución

El dominio de una función cuadrática para que sea inyectiva se ueiermina completando cuadrado es decir:

f ( x ) = x 1 - ó j t + 8 = ( j c - 3 ) 2 - 1 que es

una parábola con vértice en el punto (3 , -1 ) por lo tanto f es inyectiva si D j = [3 ,+°° > o para Df = < -°°,3]

© Si existe f o g, donde f y g son inyectivas. Demostrar que f o g es inyecta a

Demostración


Como f y g son inyectivas, entonces: {/U ,) = / U 2) g(x3) = f ( x 4)

. . . ( 1) ... ( 2)

Probaremos que f o g es inyectiva, es decir:

( fog) (x ,) = (fog) (x2) =* x, = x 2

(fog) (xl ) = ( fog) (x2) => f ( g ( x l )) = f ( g ( x 2))

=> g( xx) = g 0 2), por ser f inyectiva.

=> x¡ = x 2 , por ser g inyectiva.

Como ( fog) (x, ) = (fog)(jc2) => x, = x 2 , entonces f o g es también inyectiva.

Si f: R-----» B es una función suryectiva. Tal que f(x) = |x - 3| - x, Hallar el conjunto B.

Solución

Luego a la función f expresaremos así: f ( x ) =

Donde = < -°°,3 > u [3.+«> >, ahora calculamos el rango

Si x > 3 => y = f(x) = -3 => y = -3

Rj - < —3,+°° > u {—3} = [ - 3,+°° >

Por lo tanto la función f es suryectiva cuando: B = [-3,+°°>

Si la función f es creciente en todo su dominio demostrar que f es inyectiva.

Sol jfór:


Aplicaremos la definición siguiente de función inyectiva f es inyectiva, si x, * x2

implica que f { x l ) * f ( x 2) , V x ,, x 2 e D¡

Como X| * x2 => X| < x2 V x2 < x, pero f es creciente entonces:

f { * \ ) < f { x 2) V / ( x 2)< / ( x j ) de donde / ( x , ) * / ( x 2) por lo tanto f es inyectiva.

© Demostrar que la función f es inyectiva, donde: /(x ) =

Solución

2—f= , si xe<4,+°°> Vx—x2 , si x< 0

2Primero veremos si /, (x) = —¿= y / 2 (x) = - x 2 son inyectivas.

Vx

2 2V X|,X2 e D/ => /j(Xj) = f \ ( x 2 ) => i— = i— => x, = x2VX1 Vx2

Por lo tanto / , (x) es inyectiva.

V x, , x2 e D/z => f 2(x,) = f 2(x2) => - x 2 = - x 2 => x , = x 2

Por lo tanto f 2 (x) es inyectiva.

Ahora veremos que A Rf i =<¡>

„ 2 4Para x e <4,+°°> => y - —¡= => x = —Vx y

4 4 7x = —— e < 4, +<x> > => —z- > 4 => y <1 => y e <0,1> => < 0,1 >y“ y

para x < 0 => y = - x 2 => x = - - J - y < 0 => -J-y > 0 => -y > 0 => y <0

R j 2 = < —°°,0 >


Solución

La función f l (x) = , x < 0, es inyectiva.

La función f 2(x) = —5x 2 + 7x - 3, x > 0 no es inyectiva. Por lo tanto la función no es

inyectiva.

[2x + l , x< 0Hallar la inversa f (x) si existe, de la función f definida por: /(x ) = < ,

[x* +1 , x > 0Solución

Grafícando a la función f(x) se tiene: Si x < 0 => R ^ = < —°°,1]

x > 0 => Rj2 = < 1,+°° > además cada función / , (x)

y / 2(x) son inyectivas, y como R j <^Rj2 = O, f 2(x) = x +1

para esto: f 2 (f 2 (*)) = x , x e <1 ,+°°>

f P (x)+1 - x > de donde f 2 (x) = - J x - I , x e <l,+°°>

rx - lpor lo tanto: / (x) =

, x <, 12

■Jx — l , x > l

Probar que f ( x ) — 4 J x - x para 0 < x < 1, posee inversa y hallar la función inversa si es

que existe.Solución

Para que f(x) tenga inversa debe de ser inyectiva y para esto debe cumplir que:

/(* ,) = / ( x 2)

4y j x^- x l = 4 y f x ^ - x 2 => 4 ( j x ¡ - y / x ^ ) - ( x i - x 2) = 0

= > 4 ( yf x i - y ¡ x ^ ) - ( y [ x ^ - y ¡ x ^ ) ( y [ ^ + y f x ^ ) = 0

=> (-s/x¡’--v/^ ) ( 4 - ^ ¡ ’- x 2) = 0

Como 0 < x , < l => 4 - yfxj"- yfx¡ * 0

Luego yfx¡" - Jx^ = 0 => x\ - x 2 por lo tanto

f(x) es inyectiva entonces existe f*(x), ahora calculamos la inversa f*(x) para esto:

f(f*(x)) = x, x e [0,3]

despejando f*(x) se tiene: f * ( x ) = (2 + y ¡ 4 - x ) 2 , xe[0,3]

( í? ) Hallar f*(x) si existe donde f ( x ) =-* [ |1 -- |1 si —2 < x < 0

| j “ — 11 —1 si 0<*<1


Soluciur.

Primeramente definiremos el máximo entero [ | l -^ | ] y el valor absoluto |x 2 - l | en

cada intervalo [| 1 -^ |] = 1+[| - ~l l = 1 + 0 = 1

Como -2 < x < 0 0 < -x <2

=> 0 < - - < l => [ | | ] = 02 2 ---- \ /

+ v-1 1

=> x - l = (x+l)(x-l)

Para 0 < x < 1 => | x2 - 1 1 = 1 - x2 por definición

Por lo tanto la función f(x) queda en la forma:

/(* ) = ■I — x si - 2 < x < 0

[ -x si 0 < x < l

Como f(x) es inyectiva, entonces f*(x) existe:

Si -2 < x < 0 , / , (x) = —x , calculando su inversa

/ i (/i* (*)) = *

x e < 0 , 2> , - /,* (x) = x , de donde .\ /,* (x) = - x , 0 < x < 2

Si 0 5 x < 1 , / 2(x) = - x 2, calculando su inversa / 2 (x)

Se tiene: / 2( /2 (x)) = x ,-1 S x < 0, de donde - / 22(x) = x, - l < x < 0

/ 2 (x) = y f ^x , -1 < x <0

Por lo tanto la inversa de f(x) es {-x si 0 < x < 2 /—

V—x si - l < x < 0

© Hallar f*(x) si existe donde /(x ) = I +X+. ,V 3x + 2x


Solución

Calculando el dominio para definir | x |

3 X 3' 2 + 2x1/2 = >/x(3x+2) de aquí x > 0 => |x | = x

.. ..... , . . 2 |x |+ x+ 2 I 3x + 2 1Ahora simplificado se tiene: / ( x) = ,1 - 1 -I 3 x 3 / 2 + 2 x 1' 2 \y/x(3x + 2) 4y[x

Determinaremos si f(x) es inyectiva: f(a) = f(b) => a = b (f es inyectiva)

=> ^ a=b

Por lo tanto f(x) es inyectiva entonces f(x) tiene inversa. Ahora calculamos la inversa.

fíf*(x)) = x

* ■ = x , de donde / * (x) = ^x4

Si f es la función definida por /(x ) = Vx2 +16 + 2x, x e [0,3] determinar si existe f*(x)

Solución

Par? que exista f*(x) la función fíx) debe de ser inyectiva, es decir:

Sí f(a) = f(b) entonces a = b

J a 2 +16+2a = J b 2 +16 + 2b entonces 2( a - b ) = J b 2 + 1 6 - \ l a 2 +16

para que sea f inyectiva debe cumplir a = b de donde

a -b = 0=> yjb2 +16 —J a 2 +16 = 0

•Ja2 +16 = J b 2 +16 => a 2 = b 2 => |a |2=¡¿>|2

=> | a | = | b | a = b puesto que a , b e [0,3]

por lo tanto f(x) es inyectiva => 3 f*(x)


Miora calculamos f*(x) mediante la ecuación: f(f*(x)) = x . x e [4,11]

\ j f * x))2 + \6 + 2 f * { x ) = x => yj ( f *(x))2 +16 = \ - 2 f * ( x ) elevado al cuadrado

( /*(x))2 +16 = x 2 -4x/'*(x) + 4(/*(x))2 => 3(/*(x))2 - 4 x f * ( x ) + x 2 —16 = 0

, 4x±-y/l6x2-12(x2-16) 4x±2\/x2 +48f * \ x ) = ------ ------ -------------- => f * 0 0 = ---------T-------6 6

2 x ± \ l x 2 +48 2x + y¡x2 +48 r* . nf * { x ) = ------- ------- . \ / * (x ) = --------- ------- , x e [4.11 ]

í J x — 3 , X > 318J Si /(x ) = -j Determinar si f*(x) si existe.

[x2+ 2x-3 , x e [ - l , l >

Solución

Determinaremos si f(x) es inyectiva

Sí x > 3 => /, (x) = J x — 3 donde = [0, °° >

Si / , (x,) = / , (x2) => J x l —3 = yjx2 —3 elc\ ando al cuadrado => x, = x2 => /j es inyectiva

Si -1 < x < 1 => / 2(x) = x2 + 2x—3 = (x + 1)2 —4

C o m o - l< x < l => 0 < x + l < 2 => 0<(x + l)2 <4

=> —4<(X+1)2 —4 < 0 => =[—4,0>

Si f 2(x,) = f 2(x2) => (x, +1)2 — 4 = (x2 +1)2 - 4

=> (x, +1)2 =(x2 +1)2=> x, +l = x2 +1

=* x, = x 2 puesto que x , ,x 2 e 1—1,1 > . Por lo tanto f 2 es inyectiva.

Como Rj a Rj = [0,°° > a [-4,0 > = tp .


Entonces f(x) es inyectiva y por lo tanto 3 f*(x)

Ahora calculando la inversa de cada función: / , (/,* (*)) = x , x e [0,+°°>

yjifi ( x ) ) - 3 = x =>/,*(*) = x 2 +3, xe[0,+oo>

/ 2 (/*(*)) = * ,x e [-4,0>

( / 2*W)2 + 2 /* (x ) -3 = x => / 2*(x) = Vx + 4 -1 , x e [-4,0>

I x2 + 3 , x > 0|Vx + 4 - l , -4< jc<0

(l9) Si f(x) = 2x - 3b , determinar el valor de b de manera que f ( b +1) = 3 / * i b2 )

Solución

Calculando la inversa de f(x): f(f*(x)) = x, x e

2f*(x)-3b = x, x e D p , de donde / * ( x ) = X+^ , x e D f *

como f ( b + \) = 3 /* (b2) , entonces 2(b + l ) - 3 b = 3(-— — )

3b2 +11¿>-4 = 0 => (3b- l)(b + 4) = 0, de donde b = i , b = -4

® íjt2 -8x + 7 si 4 < x 5 7 V - 3 < x < - l .Sea f ( x ) = < . Hallar f*(x) si existe.y i - 2 x si - l < x < 3

Solución

Analizaremos sí f¡(x) = x 2 -8x + 7 , f 2{x) - J l - 2 x es inyectiva

Sí 4 < x S 7 V - 3 < x <-1 => f { (x) = x 2 - 8 x + 7

f i (x) = x 2 - 8x + 7 = ( jc -4 )2 - 9

Funciones y Relaciones 453

Sí x,.x2 e D fi ; / 1íx1) = / ,rx2) => x , = x 2

(■*, —4)2 — 9 = (x2 —4)2 —9 = > 1 jc, - 4 |2=|x 2 -4| '

=> | x, - 4 1 = | x2 - 4 1 => x¡ = x 2 , puesto que |x - 4| = x - 4

Sí 4 < x < 7, |x - 4| = 4 - x si -3 < x < -1. Luego f y (x) es inyectiva

S í - l < x < 3 => f 2(x) = y j l - 2 x

Sí a, ,x2 e D h ; f 2 (x,) = f 2(x2) => x, = x2

y]l - 2i, = y¡7 - 2 x 2 => 2x, = 2x2 => x, = x2. Luego f 2 (x) es inyectiva.

Ahora calcularemos el ranBo de cada función.

Sí 4 < x < 7 V - 3 < x < - 1 => 0 < ( x - 4 ) 2 <9 V - 7 < x - 4 < - 5

- 9 < ( x - 4 ) 2 - 9 < 0 V 16<(x-4)2 - 9 <40, pro lo tanto = < -9.0] u < 16,40]

Sí —I < x < 3 => - 6 < - ?x <2 => 1 < 7 - 2x < 9 => l< V 7 - 2 x < 3

Entonces R^ = < 1,3]

Como R f a R^ = 0 entonces f es inyectiva en todo su dominio.

Ahora calculamos f*(x)

ft (/i*(*J) = X , x e <-9,0] u <16,40]

(/,*(x))2 -8/,*(x) + 7 - x = 0 ,x e <-9,0] u <16,40]

/,* (x? = 4 ± yfx+9


/ 2( / 2* (*)) = * - x e cl,3] => y j l - 2 / 2 (x) = x , x e <1,3]

= - x 2) - x e <L3]

Luego la función f*(x) queda en la forma: f * ( x ) =

4 + J x + 9 , *e<-9,0] 4 - J x + 9 , Jte<16,40] 1/2(7 — x2) , *e<l,3]

y . EJERCICIOS PROPUES OS.-

© Sea la función f: [1,4] —» [a,b], tal que f ( x ) = x 2 - 2 x + 3 , Demostrar que f es inyectiva

y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva. Rpta. a = 2 , b = 11

?j ¿Es inyectiva la función real f ( x ) = — ? Rpta. No es inyectiva

® Sea f: A -» <1,10] dada por f ( x ) = ----

x ¿ + \

4 - l l x4 -2 x

a) Determinar A Rpta. <-<*>,0]u[4,°o>

b) Mostrar que f es inyectiva

10 + 3*,© Sea f: A —> <-4,1] definida por f { x ) = -10 - 2x

a) Determinar A Rpta. <-«>,0] u <10,°°>

b) Mostrar que f es inyectiva

3 + 4x© Sea f: A -»[-9,-1 > dada por f ( x ) ~ ----

3 -x

a) Determinar A

b) Probar que f es inyectiva

c) ¿f es suryectiva?

Rpta. <0,°°>

Rpta. no


© Dadas las funciones reales siguientes:

j r X +1f(x) = 3x + 2 x |, = ------ , x * 1 y h(x) = 3x + 7, p(x) = x + 2| x |x - l

¿Cuál de estas funciones es inyectiva?

( 7) Demostrar que las siguientes funciones son inyectivas

a) f(x) = 3x - 2, x > 0 b) f(x) = sen x, x e < ]2 2

c) f ( x ) = ( x - h ) 2 +k , x > h d) f ( x ) = 2 - x 3 , x e R

e) f ( x ) = J 9 + x2 , x > 1. En forma analítica y gráfica

© Demostrar que la función f definida por: f ( x ) = l - y j x 2 - 4 x —5 , x <, - 1 es inyectiva

Demostrar que f ( x ) = ——- , x * -2 es inyectiva x + 2

10) Sean f: A —>B, g: B —> c, demostrar que:

a) Si g o f es suryectiva entonces g es suryectiva

b) Si g o f es inyectiva entonces f es inyectiva.

© La función f ( x ) = -¿Es suryectiva?

( li) Sea f una función definida por: f ( x ) - —j -— , x e < 0,2 > u < 2,°°>x - 4

Determinar si f es una función biyectiva Rpta. si es biyectiva

(l3) Determinrr si la función f ( x ) = 6 x - x 2 - 5 es f inyectiva, si no lo es, restringir su

dominio para que sea inyectiva. Rpta. No es inyectiva


® Sea f una función definida por / O) = -—7— , D f = R . Es f una función invectiva? *M + l

Rpta. f es myectiva

., . . . (x + 2)(x2 + 6*-16)(jt-6) w r ■ rDada la función / (x) = -------------- ---------------- Mostrar que f es myectiva y granear( x - 2 ) ( x -4.V-12)

16) Sea f ( x ) = ---- - + ------- - - 1 , xe<l,2>. Demostrar que f es inyectiva (ó univalente)jc—3 1x - l (jc — 1)

(Í7) Si se sabe que f(-l) = 4 y f(3) = -2 , donde f es una función lineal, hallar la ecuación que

define f *(x) Rpta. f * ( x ) = — + ^

(18) Sí f (x) = 2 x + c y /(c ) = 2 / * (c2). Encontrar el valor de :

a) f(0).f*(0) Rpta. -8 b) Rpta.- 4

(19) Si f(x) = 3x + 2a, Determinar los valores de a de modo que f ( a 2) = f * ( a + 2)

2Rpta. a = — 1 V a = —

(20) Hallar la inversa f*(x) si existe para la función. f ( x ) = x 2 + 4 x - l , x e <-4.-3>

Rpta: f * ( x ) = - 2 - J x + 5 ,xe[-4 ,- l>

(2^ Hallar la inversa f*(x) si existe de la función, f ( x ) = x 2 - 2 x - l , x > 2

Rpta. /*(jc) = 1+ x + 2 , x > - l

(22) Hallar la función f*(x) si existe, para la función, /U ) = <1 x-5|+1 + x)y/s - x


23) Sí f ( x ) = •[jc2 + 2jc + 2, jc > 1

Ijc3 + 4 , j i < 1. Hallar la función inversa de /(x) si existe

-1 + Vj¡— 1, jc > 5Rpta. /* (* ) = •

V jc-4 , jc < 5

Sí la función f: <-l,l>—» R, definida por: / ( jc) = — ■—- Hallar la inversa de f(x) si existe1-1*1

25) Hallar f*(x) si existe de:

a) f ( x ) =—V i—jc, jc < 0

x2 + 1, x > 0

Rpta. / * ( jc) =1+U|

b) /(* ) =- jc, x < 0

- x 2, x > 0

C) / ( * ) = (| x - 3 1 + X ) j 3 - XI jc — 6 1 + j c + J x — 6 — f i j e — 4 | 1 jc + 6

d) / ( j c ) = ^ ü -----------y J l - X

26; Dada la función / (jc) =2jc+3 7 9, jce<—,—>. Hallar f*(x) si existe. jc — 1 2 2

f| 2 — jc |, x > 2Sí f: R —> R tal que / ( jc) = , . Determinar la función inversa f*(x) si existe.

- j t , j t < 0

(28) Consideremos la función f definida poi: / ( jc) =

jt+3, jc < —3

/x2 + 4 x - 2 , 0 < jc< 3

, JC<114 —jc

Determinar si f es inyectiva, si lo es hallar f*(x).

29) Sea f : R —> R tal que / (jc) =* - [ M ]

, si f es inyectiva hallar f*(x).

(30) Hallar la inversa f*(x) si existe de:


a) f ( x ) ~

2jc —1, x < —1 4 x 2 - 1 < x < 0

x + 4 , x > Ob) / ( x) =

—yJ—X + 1 , X < 1 x - [ x ] , l<.v<2 3.V-5 , . v e < 2 , 4 >

c) /(* ) = .—4x , x < O

(3^ Dada 11 función / (jc) =

y ¡ 4 - x 2 , 0 < x < 2

\ x 2 - 4 \ , 0< jc< 2

------ + JC-14

d) /(* ) = \-yJ9 - x2 , -3<jc<0[3jc , 0< jc<4

jc> 2

Hallar f*(x) si existe.

Í2V-X4 2, x< 0Rpta: f * ( x ) = j ---------

[yj 4 - x , 0 < x < 4

(32) Dada la función / (jc) :

2x — 1 , jc < —14*2, - 1 < jc < O, Hallar f*(x) si existe.jc + 4, jc > O

Rpta: f * ( x ) =

x + \ 2

r—

, .V < —3

"I , Ü < jc < 4

jc —4 , jc > 4

(33) Dada la función f ( x ) =x + 2 x + 2 , jc< -1

—Vx + 1 , jc> — 1

, Hallar f*(x) si existe.

Rpta. / * 0 ) =— 1 — vjc —1 , jc > 1

JC2 — 1 , jc < O

34) Dada la función f definida por: / ( v) ■yl -x2 + x + 2 + 1 , —1 < at< 1/2

72 —

A' + 1, 2 < x < 4

Funciones y Relaciones 45 O

Hallar f*(x) si existe. Rpta. f * i x ) =

je + 5

2~ x1 1

— < x < - 3 5

l * + 4 |Hallar ia inversa si existe paia la función. /(* ) = -------— , x e <-2,0> u <0,1 >|AT-1|—1

Rpta. /* (* ) = ------- ,x e <-oo,-5> u <1,°°>Jt + 1

*36) La función f definida por la regla de correspondencia

/(* ) =\ 4 - J x 2 + f t x + 27 , si * < - 1 1

[x2 +6x'+6 , sí jc>0

Demostrar que f es inyectiva y hallar f*(x)

Rpta. f*(x)=f6- ' /j;í-tfe + 25 J * S° [>/jc+3 — 3 , *> 6

Sea la función f : R —*R. definida por- f ( x ) = [| x |] + -y/*-[| * |] , hallar f*(x) si existe

Rpta. f * ( x ) = k + ( x - k ) 2 ,xe[k,k+l>

S.=a las funciones f y g definida por:

/(* ) =yjx2 + 4 j c - 5 , 6 < x < 7

. g(x) =[|jc|] , 9 < * < 1 0

) je — 2 1 — 13 — jc | , 3 .5 < * < 7 .5

(jc — 8)2 —9 , 7 . 5 < j c < 9 . 5

x , 9 .5 < j c < 13.5

Hallar (f + g)* si existe

(39 Dadas las runa anes f y g definidas por: / ( jc) =

0, jc< 0

j t ,0 < jc < 2 , g(x) = n, x > 2

2, jc<0

4j(, 0 < x < 1.

— 1,jc > 1

Hallar (f o g)(x). determinar si es inyectiva en caso afirmativo, calcular (f + g)* (x)


Dadas las funciones f ( x ) = ------, x<-2 y g (je) =jc + 2

2jc“ — 12 jc + 2 , —2 < jc< 3

23

x > 3

Hallar f* o g Rpta. (/*og)(x) =

4(jc — 6jc + 1)- ( 2jc2 - 12 jc + 1)

2 4 x + 2

, -2 < jc < 3 — -v/Ï7

J x —3 —J x + 2x > 3

Sean las funciones / (jc) = ----- y g(x) = 3x - 1. Hallar la intersección del dominiojt + 1

f* o g con el dominio de (f o g)(x). Rpta. R - {0,2}

42) Sí / ( jc) = 3* -2 jc + 5 , Dy =< 1,4 > y g(x) = |x | + 3. Determinar el dominio de f*o g.

Si f ( x - 2 ) = ----- . Hallar el valor de x que satisfaga ( f * o / ) ( —)jc + 3 jc

44 ) Dada la función f definida por: /(jc) =

Hallar f*(x) si existe.

| jc - 5 1 +4jc + y f x — 5 — [| x |]* + 5

y / 6 — X¡

Rpta. /* (*) =6jc2 +5

jc2 +

x + 4 . „Si f* es una función biyectiva tal que / *(------) = D . Hallar el conjunto solucion de la3jc

inecuación: / (c) > 3jc

jc + 4Rpta. x e <-4,-l> u <0,2>

Sean / ( jc) = jc3 + 2 , g(jc) = 1— - si g * ( f * ( a ) ) - ~ . Hallar g*(a + 5).v + 3 3

Rpta.

Dada las funciones reales / (jc) = ^ , g(*) = — , x 0. Hallar el dominio de f*og*.v x

Rpta. <-1 , 1> - {0} = <-1, 0> U <0, 1>


Si f y g son dos funciones donde f(x-l) = 3x+2, g(2x+3) = 4x+4 . Hallar (g* o g)(x)

u . (3 jc + 7 )Kpta. ---------

^9) Analice la unívalencia de la función / (jc) = yj[\ jc |] — jc + 4 x + 4\¡x2 - 2 x y halle la

función inversa. Rpt¡.. f * ( x ) =8(*-4)

ju' Sea f ( x ) =

jc +8jc + 12, jc e < -6 ,-4 >

\Jjc + 2 , jce [-2,1 > determine f*(x) si existe.* + 5 „— - , x e [1,4]

Rpta. / * ( jc) =

—4 —VJc + 4 , jce<-4,-l>

jc2 + 2 , jc e [ 0 , > / 3 >

3 jc —5 , jce[2,3 ]

51j Sea f: <-l,l> -»R , tal que / (jc) = -— j— |, analizar si f es uiyectiva.

(52) Hallar f*(x) si existe, donde, / ( jc) = +jc + jc , jc > 5

7 jc jc < —l

Íjc+ ( jc2 +1)1/2 , JC > l53) Analizar la inyectibilidad de la función, / (.v) = .------------------------------------ , en caso

[—■v — jc3+1 , jc < —l

afirmativo hallar f*(x)

(54) Sea f y g dos funciones, tales que:

/ U ) =

■ | jc | —2 - , ,I V ---- |] , JCG<—l , l >

3-Jc ,g(x)-

yjx2 + 2x , .ve'[l,2>

----- , jce [1,2 >*-1 . Hallar f o g si es que existe.|j c — 11, jce< 0,l>


Hallar f*(x) si es que existe de la función, / ( je) =

x~ + 2 x — 2,

|a + 3|

Ijc-21-1 ’

,56) Analizar la inyectibilidad de tal función, / ( je) =

afirmativo hallar f*(x)

a “ + 2 je-

—x

57) Hallar f*(x) si existe donde

a) / ( je) = -Ix + 4 x - 5 , jEe[-2,l>

*-5 , jEe[5,+°°>

b) f i x )

c) / ( je) =

2je-1 , A E < -00,-1 >

4a’ , je e [ —1,0]

a + 4 , jEe<0,+o°>

d) /(* ) = <

e) / ( x) =x~ — 8 a + 7 , A6< -3,-1 > u< 4,7]

4 l — 2x , .re [—1,3 >

f) f ( x ) =jjE +10je + 21 . x e [-7,-5 >u[-2,-l >

I-v/jÊ+7 + 1 , Ae<-1,3]

g) /(*) =|a + 2a + 2 , a e < — —1 >

I—n/a + Î , j t e [ - l,+oo>

h) / {X) :

-(a + 6a + 8)

a + 3

a/a — 1

a e < -oo,-4]

a e < 0,3 >

AE [10,+oo >

i ) / ( * ) =- x 2 -4je-3 , x e < -oo,-2]

3 + yfx , X G [1, +oo >

-3 < a < -2

— 1 < A < 1

-1 , A < 2, en caso

, a > 2

a 2+2a + 2 , a >1

A2 +4 , A < 1

— + 1 , A£ [—4,-2 >2

V* + 2 , a ê [—2,2]


j ) / « = ■—x — 2x

2 + f i + 2 x - x ¿

x e [-3,-1 >

x e [—1,1]

k ) f ( x ) = 14 - Vjí ™+T2j +

jc2 + 6 jc + 6

27 jc < —1 x > O

D /(* ) =

11) /(* ) =

x x e [1,2 >

[ M ] + V * - [ U D . * e [ - i , i >- y f - x , jce[-9,- l>

—4 — (x + 2)2 , x e [—5, —2]2jc[ |jc + 3|] , jcg< —2 , - l>2 + >/jc + 1 , x e < —1,3 >

4 , jc = 1

X - 1 , X < —1Dadas las funciones f ( x ) = i " ’ ‘ y g(x) = , _[ jc + 1 , jc> —1 [yjx

Hallar si existe fog*

Analizar sí las funciones reales f y g son inyectivas

2 jc — 1 , jc< 0

jc > 0

/ « =

—2 jc + 10 , jc< 0

y¡x2 +16 , 0 < x < 33

g(x) =

jc2 — 4jc > 3

- jc -IOjc-21 | jc - 2 1 — 1

I Jc + 31

x e [-5,-1]

jc e < l , 2 ]

(60) Sí g: A —» B y f: B —» C, son funciones inyectivas, demostrar que fog: A -* C es inyectiva.

, j c < 0(61) Analizar la inyectividad de la función / ( jc) = < en caso[ —5jc2 + 7 jc- 3 , jc> 0

afirmativo, hallar su inversa.


62) Si /(* ) =—x x < 0

1 probar si es inyectiva, si lo es, haiiar su inversa.— , x > 0x

Í 2 - x 2 , y f 3 < x Z 2 ¡—2-----—/ ( x) = \ ------- , g(x) = J \ x - 4 1- 3 , xe <-°°,-4]

[ l - y j x 2 - 4 , x ú - 4Dadas las funciones

U<0,2] tal que f = h*og

i) Demostrar que f y g son funciones inyectivas.

ii) Hallar la función h.

Dadas las funciones / ( ■*) =■- - , x e l0 ,4 ] - { 2 } y g(x) = ^ ,x - 2 ( * + 3 . - 6 £ jc < 1

Hallar f*og si es que existe.

(bá) Determinar la inversa f*(x) si existe donde / (jc) =

x —4 , x < - 2

—yJx — 2 , 2 < x < 6-2 jc + 10 , jc>6

Sí f ( x ) =yJx — 3 . X > 3

x2 + 2 x - 3 , ; c e [ - l , l >. Determinar f*(x) si existe

x 4 , si x -267) Si f ( x ) = \ ___ ’ . Determinar f*(x) si existe

-■n/x-2 , si x > 2

(68) Hallar la inversa de f si existe donde / ( jc) =

Jjc + 2 jc- 3 , jc5 2

- jc 3 , jc>2

M , x < —iDecir si f(x) es inyectiva, si es así hallar f*(x) donde / (a) = < 2

2-jc , jc > 11

2jc, jc < 370) Dado / ( jc) = -j „ , probar que f(x) es inyectiva y hallar f*(x).

jc , 3 < jc< 5


Analizar si es inyectiva la función f (x) = x 2 - 3 x + 2 , x e [0,+°°>, en caso que no sea,

determinar el dominio para que sea inyectiva y hallar su inversa.

Analizar si la función / ( jc) - x 4 - 2 x 2 - 3 , x > 2 es inyectiva, en caso afirmativo, hallar

su inversa.

(73) Sea / ( jc) =J x - i , x > 4

-V3-JC, x < 2mostrar que f es inyectiva y hallar f*(x).

jc-3 174) Si f ( x ) —------- +--------- - 1 , x e <1,2>, analizar ngarosamcnte si f es inyectiva, en

x - l ( x - \ ) 2

caso afirmativo, hallar f*(x) y sus dominios.

(7? ) Encontrar f(x) y f*(x), si se sabe que:

i) gW = - ---- 7 , (fog)(x) = 2x + 34jc + 1

ii) g(x) = 3x - 2, (gof)(x) = 2x + 4

x — 276) Sean f ( x ) = 2 x - 4 x - \ , x e [l,+°°>, g(x) = —---- , xe R. Calcular (gof*)(x) si existe.

x2 + 4

,77) Si f ( x - l ) = 3x + 2, g(2x + 3) = 4x + 4, encontrar (g*of)(x)

(7^ Calcular f*(x) si existe, donde: / ( jc) =

*2+4jc- 1, Jte<-4,-3]

\ x + 4\, jce<-2,0>u<0,i>

(79) Sean / ( * ) = - ---- , x<-2 y g(x) =2 + x

( 8 ^ Hallar f*(x) si existe donde / (x) =

2JC2 - 1 2 j c + 3 , j c e < ~ 2 , 3 ]

x + 2 _ . Calcular (f*og)(x), si existejc- 3

, jc> 3

jc + 2, jc < 2

\ ¡ 9 x - 2 . * e < 2,3 >

(jc- 3 ) 2 + 5 , x > 3

466 Eduardo Espineta Ramos

4.28. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EN LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA.-____________________________

Se ha estudiado las funciones en forma general, ahora estudiaremos las aplicaciones de estas funciones en administración y economía y para esto recordemos el concepto de función en términos económicos.

a) MODEI OS MATEMÁTICOS.- Al proceso de formular los problemas en ellenguaje de las matemáticas se denomina

modelación matemática, por lo tanto un modelo matemático puede describir con precisión el problema en cuestión.

Ejemplo.- El tamaño de un tumor canceroso se puede aproximar mediante el volumen4 n r2de una esfera V = ------ , donde r es el radio del tumor en centímetros, ahora

3observemos las siguientes expresiones:

Un fabricante desea conocer la relación entre la ganancia de su compañía y su nivel de producción.

l Tn biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo.

Un Químico le interesa la relación entre la velocidad inicial de una reacción química y la cantidad de sustrato utilizado

Ahora nos preguntamos ¿Cómo depende una cantidad de otra?

Esta dependencia entre dos cantidades se describe convenientemente en matemáticas mediante una función; por lo tanto, una función es una regla que ae gna a cada elemento de un conjunto A uno sólo un elemento de un conjunto B y la notación que se tiene es- f: A-----> B, donde Df = A y Rf = B .

Todo esto se puede pensar en una función f como en una máquina. El dominio es el conjunto de entrada (la materia prima) para la máquina, la regla describe la forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la máquina.

Relaciones y Funciones 46'7

ENTRADAx

I t

IiIT \f(x)

SALIDA

NOTACIÓN.- El símbolo f(x) se lee “f de x’\ la regla de correspondencia es dado por

una fórmula, como por ejemplo f ( x ) = J x 2 + 1, esta fórmula puede

considerarle como un conjunto de instrucciones .

nombre deLa función r— númeru de entradaI

numere de salida

instrucciones que indican, que hacer con la *■ entrada x para producir la salida correspondiente;

esto es, elevar al cuadrado, sumarle 1 y sacar la raíz cuadrada al resultado

Ejemplo.- La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $ 10 por unidad

para las primeras 50 unidades y $ 3 por unidad para cantidades que exceden las 50 unidades. Determine la función C(x) que dá el costo de usar x

unidades de electricidad.

Solución


b) FUNCIONES LINEALES DE COSTOS, INGRESOS Y GANANCIAS.-

La conducción de una empresa, debe mantener un registro constante de los costos de operaciones, de los ingresos íesultantes de la venta de productos y servicios; tres funciones ofrecen a los conductores de una empresa para tomar las mediadas de estas cantidades: La función lineal de costos totales, la función de ingresos y la función de ganancia.

i) FUNCIÓN LINEAL DE COSTO TOTAL (MODELO DE COSTO LINEAL).-

En la producción de una empresa de cualquier bien, se tiene dos tipos de costos, los costos fijos y los costos variables, a los costos fijos se le considera sin _mportar la cantidad producida del artículo, es decir que no depende del nivel de producción.

Ejemplo de costos fijos: son las rentas, interés sobre prestamos y salarios de administración.


Los costos variables dependen del nivel de producción, o sea de 'a cantidad de artículos producidos.

Ejemplo de costos variables: son los costos de los materiales y de la mano de obra.

Luego el costo total está dado por:

Cuando el costo variable por unidad del artículo es constante, en este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos.

Si m representa el costo variable por unidad, entonces los costos totales al producir x unidades de artículos en mx $ y si los costos fijos son de b dólares, se desprende que el costo total C(x) = yc (en dólares) de producir x unidades

está dado por:

Costo Total = Costos Totales Variables + Costos Fijos

La ecuación (1) es un ejemplo de un modelo de costo lineal, la gráfica de laecuación (1) es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable porunidad y cuya ordenada al origen da los costos fijos.

NOTA.- m = pendiente de la recta L

Costo Total = Costos Variables + Costos Fijos

C(x) = yc — )nx ¿ b ... (1)

Y i


OBSERVACIÓN.- En la función lineal de costo C(x) = mx + b. el costo fijo se

obtiene haciendo x = 0, es decir: C(0) = m(0) + b = b, así, entonces, el costo fijo es la intersección de la función costo con el eje Y.

En economía, el codo marginal es la razón de cambio del costo, el costo marginal es importante en la administración al tomar decisiones en áreas como control de costos, fijación dt precios y planeación de la producción. Si la función de costo es C(x)=mx

+ b, entonces su gráfica es una recta con pendiente m, como la pendiente representa la razón de cambio promedio, el costo marginal es el número m.

Si C(x) es el costo total de fabricar x artículos, entonces e) costo promedio por

artículo está dado por:

c w = £ Ü ÍX

Ejemplo.- El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de $ 0.5 y los

costos fijos por día son $ 300.

a) Dé la ecuación de costo lineal y dibujar su gráfica.

b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café por un día.

Solución

a) Como C(x) = yc representa el costo de procesar x kilos de granos de cafe por

día, y como el modelo lineal es:

C( x) = yc = m x+b

en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo y para

nuestro caso es m = 0.5, b = 300 por lo tanto C(x) = 0.5x + 300 ... (1)

para graficar la ecuación (1), primeru ubicamos dos puntos sobre la gráfica (la

recta).


x = 0 y = 300

x = 200 y = 400

Observe que la porción de la ¿ráfica está situada por completo en el primer cuadrante, puesto que x y yc no pueden ser cantidades negativas.

b) Al sustituir x = 1000 en la ecuación (1) se obtiene:

yc = 0.5(1000; + 300 = 500 + 300 = 800

por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de $ 800.

ii) FUNCIÓN LINEAL DE INGRESO.- Supóngase que una empresa tienecostos fijos por b dólares y costo de

producción de m dólares por unidad y un precio de venta de a dólares por unidad, entonces la función de ingreso R(x) está dado por:

R(x) = ax

Donde x es el número de unidades de un producto fabricados o vendidos.

iii) FUNCIÓN LINEAL DE GANANCIA.- Si C(x) = mx + b, es la funciónde costo y R(x) es la función de

ingreso, entonces la función de ganancia denotado por P(x) es dado por:

P( x) = R(x) - C(x) = ax - (mx + b)

P(x) = (a - m)x - b

Donde x representa la cantidad de unidades del artículo producidos y vendidos.


Ejemplo.- Puritrón, fabricantes de filtros para agua, tiene costos fijos por $ 20,000, costos de producción de $ 20 por unidad y un precio de venta unitario

de $ 30. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias para Puritrón.

Solución

Sea x = números de unidades producidas y vendidas

Luego la función de costo es: C(x) = 20x + 20,000

La función de Ingreso es: R(x) = 30x

Y la función de ganancia es: P(x) = R(x) - C(x)

P(x) = 30x - (20x + 20,000) = lOx - 20,000

c) APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS.-

Como el vértice de una función cuadrática y = f ( x ) = ax2 + bx + c , a * 0 es el punto

más alto o más bajo sobre la gráfica, se puede usar en las aplicaciones para encontrar

un valor máximo o un valor mínimo; es decir:

® Cuando a > 0, la gráfica se abre hacia arriba y por lo tanto la función tiene un mínimo.

© Cuando a < 0, la gráfica se abre hacia abajo y por lo tanto la función tiene un máximo.

(5 ) El vértice de la función cuadrática es V (——, / ( ——))2a 2a

® E1 eje de simetría de la función cuadrática es 1 = ——.2a

© La intersección con el eje X (si existe) se determina resolviendo f(x) = 0.

© La intersección con el eje Y es f(0) = c.


f ( - - )2a

Df = R ; Rf = [ f { ~ ) , + o c > D , = R - Rf =<—2a 2a

Ejemplo.- Juan López atiende y es el dueño de la pastelería Milagros, contrató un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que

sus ganancias P(x) de la venía de x unidades de pasteles, están dadas por

P(x) = 1 2 0 x - x 2 ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias? ^Cuál es

la ganancia máxima?Solución

A la func.ón ganancia dada expresamos en la forma P(x) = —x 2 + 120x

su gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y su vértice es:

V(——, / ( ——)) donde a = -1, b = 120 y c = 0 2a 2a

_ A = = 60 , / ( - — ) = /(60) = 3600 , por lo tanto V(60,36n0)2a -2 2a


La coordenada x es el número de pasteles, la coordenadas y es la ganancia con ese

número de pasteles. Sólo la porción de la gráfica en el cuadrante I (donde ambas coordenadas es positiva) es importante aquí, porque no puede vender un número negativo

de pasteles y no tiene interés en una ganancia negativa. La ganancia máxima ocurre en el punto con la mayor coordenada “y”, es decir, el vértice como en la figura: la ganancia máxima de $ 3Ó0C se obtiene cuando se vende 60 pasteles.

Ejemplo.- La ganancia trimestral de una tienda de calzado (en miles de dólares) está?x~dada por: />(x) = — + 7x + 30. (0<x<50) donde x (en miles de3

dólares) es la cantidad de dinero que la tienda gasta en publicidad cada trimestre.

Determine la cantidad que la tienda debería invertir en publicidad para obtener una ganan,'.a trimestral maxima ¿Cuál es la máxima ganancia trimestral que puede lograr la

tienda?Solución

Como la función ganancia P(x) es una función cuadrauca, entonces su gráfica es una

x2 1parábola P{x) = ------ i-7x + 30 de donde a = — , b = 7, c = 303 3

su vértice es V(——, / ( ——)), de donde —— = ----- ^— = — = 10.52 a 2a 2 a 2

3

/ ( ——) — /(10.5) = 66.75, por lo tanto el vértice de la parábola es V(10.5; 66.75) como 2a

la parábola se abre hacn abajo, el vértice de la parábola es el punto más alto sobre la

parábola, luego la ordenada del vértice proporciona el valor máximo de P(x), esto

significa que la máxima ganancia trimestral de $ 66.750 se presenta cuando la tienda

gasta $ 10,500 por trimestre por concepto de publicidad


d) ANALISIS DE EQUILIBRIO.-

Sean C(x) la función de costo lineal' R(x) la función de ingresos, y P(x) la función ganancia de una empresa donde C(x) = mx + b, R(x) = sx, P(x) = R(x) - C(x) = (s - m)x - b, donde m denota el costo de producción por unidad, s el precio de venta por unidad; b los costos fijos de la empresa, y x, el nivel de producción y ventas.

El nivel de producción en que la empresa no tiene ganancias ni perdidas es el “nivel operativo de equilibrio” y se puede determinar resolviendo las ecuaciones P = C(x) y P = R(x) en forma simultanea.

El nivel de producir jc0 , la ganancia es cero, de modo que:

P(x0) = R(x0) — C(x0) = 0 por lo tanto R(x0) = C (.*0)

El punto P0(x0. y0) que es la solución de las ecuaciones simultaneas P = R(a) y

P = C(x), se conoce como el “punto de equilibrio”; el número x0 y el número P0

son la cantidad de equilibrio y el ingreso de equilibrio respectivamente.

Geométricamente, el punto de equilibrio P0{xfí, y0) es el punto de intersección de

las líneas rectas que representan las funciones de costos e ingresos, esto es así porque P0(x0, y(j) es la solución de las ecuaciones simultaneas P = R(x) y P = C(x)

y debe estar en ambas rectas al mismo tiempo.


Se observa que si x < xQ . entonces R(x) < C(x1 de modo que P(x) = R(x) - C(x) < 0

y así la empresa tiene pérdidas en este nivel de producción, sin embargo si x > x(í

entonces P(x) > 0 y la empresa opera con ganancia.

Ejemplo.- La compañía J.J. Servicios fabrica sus productos con un costo $ 4 por unidad y los vende a $ 10 la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de

$ 12000 al mes, determinar el punto de equilibrio de la empresa.

Solución

De los datos del problema, las funciones de costos, y de ingresos están dados por:

C(x) = 4x + 12000 y R(x) = lOx respectivamente al hacer R(x) = C(x), se obtiene:

lOx = 4x + 12000 =í> 6x = 12000 de donde x = 2000

Al reemplazar este valor de x = 2000 en R(x) = lOx se tiene

R(2000) = 10(2000) = 200000

Esto quiere decir que para una empresa de equilibrio, la empresa debe fabricar 2000 unidades de su producto, a fin de producir un ingreso de equilibrio de $ 20000.


Ejemplo.- Con los datos del ejemplo anterior, responder las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1500 unidades por mes?

b) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 3000 unidades por mes?

c) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual mínima de $ 9000?

Solución

Como la función ganancia P(x) está dado por la regla

P(x) = R(x) - C(x) = lOx - (4x + 12000) = 6x - 12000

a) Si se producen y venden 1500 unidades por mes, se tiene

P(1500) = 6( 1500) - 12000 = -3000 de modo que la empresa tendrá una pérdida de $ 3000 por mes.

b) Si se producen y venden 3000 unidades por mes. se tiene

P(3000)=6(3000)- 12000 = 6000 es decir, se tiene una ganancia mensual de $ 6000.

c) Al reemplazar a P(\) por 9000 en la ecuación P(x) = 6x - 12000 se tiene

9000 = 6x - 12000 de donde 6x = 21000 entonces x = 3500 es decir, la empresadebe producir al menos 3500 unidades para obtener una ganancia mensual mínima de $ 9000.

¡*39 . EJERCICIOS DESARROLLADOS^

© El costo marginal de producir un medicamento es de $ 10 por unidad mientras que elcosto de producir 100 unidades es de $ 1500. Encuentre la función de costo C(x), suponiendo que es lineal.

Solución

Como C(x) es lineal =* C(x) = inx + b

El costo marginal es de S 10 por unidad, es decir que m = 10 entonces C(x) = lOx + b

47 £ Eduardo Espinoza Ramos

Ahora calculamos el valor b y para esto se tiene que el costo de producir 100 unidades del medicamento es de $ 1500 es decir C(100) = 1,500 y como

C(x) = lOx + b =* C(100) = 10(100) + b

1,500= 1,000+ b =* b = 500

Luego la función de costo es C(x) = lOx + 500 donde el costo fijo es b = $ 500

© La compañía financiera de Alpamayo planea abrir dos sucursales dentro de dos años en

dos lugares: un complejo industrial y un centro comercial en la ciudad. Como resultado de

estos planes de ampliación, se espera que los depósitos totales de Alpamayo durante los

y¡2x + 20 ; si 0 < x < 21 donde— x2 + 20 ; si 2 < x < 52

próximos 5 años crezcan de acuerdo a la regla: / ( x) =

y = f(x) proporciona la cantidad total de dinero (en millones de dólares) en depósitos con

Alpamayo en el año x (x = 0 corresponde al presente) trace la gráfica de f(x).

Solución

Se observa que el dominio de f(x) es [0,5], donde f ( x ) = y¡2x + 20 para 0 < x < 2, los

valores de f(x) correspondiente a x = 0, 1 y 2 presentamos en la tabla

X 0 1 2

f (x) = y¡2x + 2 0 2 0 21.4 2 2

Para f ( x ) = — + 20 para 2 < x < 5. los valores de f(x) correspondiente a x = 3, 4 y 5

aparecen en la tabla

X 3 4 5

/ ( * ) = — + 2 024.5 28 32.5


La ganancia de la compañía de controles S.A. debe decidir entre dos procesos de producción de su termostato electrónico modelo C. El costo mensual del primer proceso está dado por C, (x) = 2(Jx +10 000 dolares, donde x es la cantidad de termostato

producidos, y el costo mensual del segundo proceso está dado por Cz (x) = 10x+30,000

dólares. Si las ventas proyectadas son de 800 termostatos a un precio unitario de $ 40 ¿Cuál proceso debe elegir la gerencia para ma ximizar las ganancias de la compañía?

Solución

Veremos el nivel operativo de equilibrio con el primer proceso y que se obtiene resolviendo la ecuación

40x = 20x + 10,000: de donde 20x = 10,000 entonces x = 500

lo que nos da como resultado 500 unidades, ahora veremos el nivel operativo deequilibrio con el segundo proceso y que se obtiene resolviendo la ecuación:

40x = lOx + 30000, de donde 30x = 30,000 =* x = 1,000

lo que nos dá 1000 unidades como las ventas proyectadas son de 800 unidad'*'; , seconcluye que la gerencia debe elegir el primer proceso.

© Un fabricante tiene costos fijos mensuales de $ 60,000 y un costo de producción unitario de $ 10. El producto se vende por $ 15 la unidad.

a) ¿Cuál es la función de costos?


b) ¿Cuál es la función de Ingresos?

c) ¿Cuál es la función de ganancia?

d) Calcule la ganancia (o ptrdida) correspondiente a los niveles de producción de 10,000 y 14,000 unidades.

Solución

Sea x = el número de unidades producidas y vendidas

a) Como m = 10 y b = 60,000 costo fijo, entonces Ctx)=mx + b =* C(x = lOx + 60,000

b) Como cada producto se vende a $ 15 entonces la función ingreso es: R(x) = 15x

c) La función ganancia es: P(x) = R(x) - C(x)

Pix) = 15x - (lOx + 60,1)00) = 5x - 60,000

d) Cuando se produce x = 10,000 se tiene: P{10,000) = 5(10,000) - 6,000 = -10,000se tiene una perdida de $ 10.000 cuantío se produce x = 140,00 se tiene:

P(14,UÜ0> = 5(140,000) - 60,000 = 70,000 - 60,000 = 10,000

Es decir que se tiene una ganancia tíe $ 10,000

La función de demanda para c.erta marca de videocasetes está dada por

P = D(x) = -0,01jc2 - 0,2x + 8 donde P es el precio unitario al mayoreo. en dólares, y x

es la cantidad demandada cada -emana, en unidades de millar. Trace la curva de demanda correspondiente ¿Arriba de cuál precio ya no habrá demanda? ¿Cuál es la cantidad máxima demandada por semana?

Solución

Ls función demanda P = -0,0 Ijc2 — 0,2x + 8 es cuadrática y su gráfica se puede trazar por el método de completar cuadrados y calcular su vértice.

P -8 = -0.01(jc2+20jt) => P - 8 - 1 = -0,0Kjc2 +20* + 100)

P - 9 = -0,01(x + 10r => V(-10,9)


La intersección con el eje P que es 8, dá el precio unitario por el mayoreo arriba del cual ya no habrá demanda, ahora para obtener la máxima cantidad demandada se hace P = 0

es decir: -0,01-v2 -0 .2 jc + 8 = 0 (multiplico por-100)

x2 + 20x -80u = 0, factorizando

(x + 40)(x - 20) = 0, de donde se tiene: x = -40 y x = 20, como x es positiva entonces nos quedamos con x = 20, luego él número máximo de videocasetes demandadas por semana es 20000.

*> La función de oferta para cierta marca de videocasetes está dado por

P - S(x) = O.Ol.v2 +0,1a + 3 , donde P es el precio unitario al mayoreo, en dólares, y x

representa la cantidad que el proveedor pondrá en el mercado imeaida en unidades de millar). Trace ia curva de oferta correspondiente ¿Cuál es el precio mínimo para el cual el proveedor colocara los videocasetes en el mercado?

Solucion

Como la función oferta P = S(x) = 0,OLv2 + 0, \x + 3 es cuadrática y su gráfica se puede

trazar por el método de completación de cuadrados por determinar su vértice.

PÔ .O Ijc2 + 0,Lv+3 = 0,01(jc2 +1Qjc) + 3 =* P - 3 + 0,25 = 0 ,0 lU 2 +10jr+25)

P - 2,75 = 0 , 0 1 ( j e + 5)2 =* V(-5 -2,75)

482 Eduardo Esp noza Ramos

La intersección con el eje P que es 3 dá el precio min.ino que el proveedor estaría

interesado en dejar los videocasetes en el mercado.

Cuándo una empresa vende x unidades de un producto, sus ganancias son

P(x) = - 2 x 2 + 40x + 280 encuentre:

a) El número de unidades que deben venderse para que la ganancia sea máxima.

b) Cuál es la ganancia máxima.

Solución

Como la función ganancia es: P(x) = - 2x2 + 40 jc + 280 su gráfica es una parábola que se

abre hacia abajo y su vértice se determina por el método de completar cuadrados

y = P(x) = -2 x 2 +40x+280 =í> y - 280 = -2(*2 -2 0 * + 100)+ 200

y -480 = -2(.v-10)2 =* V(10.480)

a) Luego la coordenada x = 10 es el número de unidades producidas.

b) La coordenada y = $ 480 es la ganancia máxima que se obtiene al vender 10

unidades del producto


® El costo total de producir 10 unidades de una calculadora es de $ 100. El costo marginal por calculadora es $ 4. Encuentre la función de costo, C(x) si es lineal.

Solución

Como C(x) es lineal => C(x) = mx + b

Como el costo marginal por calculadora es $ 4 es decir m = 4

Luego C(x) = 4x + b, como la producción de 10 unidades es $ 100 es decir: C(10) = 100

entonces 100 = C(10) = 40 + b =í> b = 60 .\ C(x) = 4x + 60


© Suponga que la venta esperada (en miles de dólares) de una pequeña compañía para los próximos diez años está aproximada por la función

S ( x) = 0 . 0 8 jc4 - 0 , 04x3 + x2 +9x + 50 .

b) ¿Cuál será la venta en tres años?a) ¿Cuál es la venta esperada este año?

Rpta. a) $ 54,000 b) $95,400

© Un contratista estima que el costo total de construir ;c grupos de departamentos en un año

está aproximado por 5(jc) = x2 +80.X + 60, donde S(x) representa el costo en cientos de

miles de dólares. Encuentre el costo de construir.

a) 4 grupos

R p ta . a ) $ 39’600,000

b) 10 grupos

b ) $ 96’000,000


© En cierto estado, el impuesto T sobre la cantidad de artículos es de 6% sobre el valor delos artículos adquiridos “x”, donde T y x se miden en dólares.

a) Exprese T como función de x. b) Determine T(200) y T(5.65)

Rpta. a) T(x) = 0,06x b) $12 ; $0,34

© Según las fuentes de la industria, el ingreso correspondiente a la industria de ventas adomicilio durante los años posteriores a su introducción se puede aproximar mediante la

f ni \ f-0,03/3+0,25f2 -0,12/ si 0 < / < 3 ■función R(t) = < donde R(t) se mide el ingreso en[0,57/-0,63 si 3 < / < l l

miles de millones de dólares y t se mide en años con t = 0 correspondiente al inicio de 1984 ¿Cuál fue el ingreso al inicio d2 1850 y 19939

Rpta. $ 0,1 mil millones; $ 4,5 mil millones

© Puritrón, fabricante de filtros para agua, tiene costo fijos por $ 20,000; costos deproducción de $ 20 por unidad y un precio de venta unitario de $ 30. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancia para puritrón.

Rpta. C(x) = 20x + 20,000 ; R(x) = 30x ; P(x) = lOx - 20,000

© La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $ 10 por unidad para lasprimeras 50 unidades y a $ 3 por unidad para cantidades que exceden las 50 unidades. Determine la función C(x) que d i el costo de usar x unidades de electricidad.

Rpta. C(x) =10jc , jc<50 350 + 3* ; a >50

Una empresa que fabrica radio - receptores tiene costos fijos de $ 3000 y el costo de la mano de obra y del material es de $ 15 por radio. Determine la función de costo, es decir, el costo total como una función del número de radio producidos. Si cada radio receptor se vende por $ 25, encuentre la función ingresos y la función de utilidades.

Rpta. C(x) = 15x + 3,000 , R ú) = 25x , P(x) = lOx - 3,000

© Un granjero tiene 200 yardas de cerca para delimitar un terreno rectangular. Exprese el área A del terreno como una función de la longitud de uno de sus lados.

Rpta. A(x) = x( 100 x)


Se construye una cisterna de modo que su capacidad sea de 300 pies cúbicos de agua. La cisterna tiene como base un cuadrado y cuatro casas verticales todas hechas de concreto y una tapa cuadrada de acero. Si el concreto tiene un costo de $ 1.50 por pie cuadrado y el acero cuesta $ 4 por pie cuadrado, determine el costo total C como una función de la

longitud del lado de la base cuadrada. Rpta. C(jr) = 5,5jc2 +x

(ío) Un fabr.cante tiene gastos fijos mensuales de $ 40,000 y un costo unitario de producciónde $ 8. El producto se vende a $ 12 la un.dad.


b) ¿Cuál es la función d t Ingresos?


d) Calcule la ganancia (o pérdida) correspondiente a niveles de producción de 8,000 y12,000 unidades.

Rpta. a) C(x) = 8x + 40,000 b) R(x)=12x

c) P(x) = 4x - 4U.000 d) $8,000; $8,000

Encuentre el punto de equilibrio para la empresa con función de costo C(x) = 5x + 1,000 } función de ingresos R(x) = 15x. Rpta. 1,000 unidades ; $ 15,000

(l2) Encuentre el punto de equilibrio para la empresa con función de costos C(x) = 0,2x +120 y función de ingresos R(x) = 0,4x Rpta. 600 unidades; $ 240

^ 3 ) Encuentre el punto de equilibrio para la empresa con función de costosC(x) = 150x + 2,000 y función de ingresos R(x) = 270x.

Rpta. 1000 unidades ; $270,000

^ 4) El azúcar tiene un costo de $ 25 para cantidades hasta de 50 libras y de $ 20 por libra enel caso de cantidades por encima de las 50 libras. Si C(x) denota el costo de x libras de azúcar, exprese C(x) por medio de expresiones algebraicas apropiadas y graficar.

R, la . C(x)■{

25.í si jc<50 20jc si x > 50

486 Eduardo Espinoza Ratros

^ 5 ) Auto - time, fabricante de cronómetros,, tiene gastos fijos mensuales de $ 480UU y un costo unitario de producción de $ 8. Los cronómetros se venden a $ 14 cada une


b) ¿Cuál es la función de ingresos?


d) Calcule la ganancia (o pérdida) correspondiente a niveles de producción de 4,000,6,000 y 10,000 cronómetros, respectivamente.

Rpta. a) C(x) = 8x + 48,000 b) R(x) = 14x

c) P(x) = 6x - 48,000 d) $24 ,000 ; $ 12,000 ; $ 12,000

Los impuestos personales en Estados Unidos entre 1960 y 1990 son aproximados por:Í7.9* + 50.4 de 1960 a 1975

f ( x ) = < trace la gráfica de la función si x = 0 representa35 4-361.6 de 1975 a 1990

1960 ¿Qué sucedió a los impuestos personales en 19759

( l ^ El costo de cuidados de '¿alud en Estados Unidos, como porcentaje del producto nacionalÍ0.22x + 5.5 para 1960 a 1985

bruto entre 1960 y 1992, esta dado por: f ( x ) = < . Haga|0.29* + 3.7r — — —.75 para 1985 a 1992

la gráfica de esta función si x = 0 representa 1960 ¿Qué sugiere la gráfica respecto al costo de las ciudades por salud?

Rpta. Se elevaron más rápidamente de 19»5 a 1992 que de 1960 a 1985

18) Suponga que las ventas de una guitarra eléctrica satisface la relación S(x) = 300x + 2000, donde S(x) representa el numero de guitarras vendidas en el año x, con x = 0 correspondiente al año 1987. Encuentre las ventas en cada uno de los siguientes años.

a) 1987 bf 1990 c) 1991

Rpta. a) 2000 b) 2900 c) 3200


^ 9 ) La demanda mensual, x, de cierto artículo al precio de P dólares por unidad está dada porla relación x = 1350 - 45p el costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $ 5 por unidad y los costos fijos son de $ 2,000 al mes ¿Qut precio por unidad P deberá al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?

Rpta. $ 5031.25 al mes

(20) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por

R(x) = I 2 x -0 ,0 l x 2 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada

mes con el propósito a maximizar el ingreso ,Cuál es el correspondiente ingreso máximo?

Rpta. 600 unidades, $ 3,600

(2 ^ Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2,000 y el costo variable por unidad de suproducto es de $ 25.

a) Determine la función de costo.

b) El ingres^ R ootenjdo por vender x unidades está dado por R(x) = óOjc-O.OIjc2 .

Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo maximicen el in§ reso ¿Cuál es estt ingreso máximo?

c) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima?

Rpta. a) C(x) = 25x + 2,000 b) 3,000; $90,000

c) 1,750; $28,625

^ 2) £1 ingreso mensual R obtenido por vender zapatos modelo de lujo es una función de lademanda x del mercado. Obsérvese que, como una función del previo P por par, el

ingreso mensual y la demandan son R - 3 0 0 p - 2 p 2 y x = 300 - 2p ¿Cómo depende R

dex? Rpta. R(x) = 150x-0,5jc2

(23) La demanda x de cierto artículo está dada por x = 2000 - 15p, en donde p es el preciopoi unidad del artículo. El ingreso mensual R obtenido de las ventas de este artículo esta

jc(2OC0-jc)dado por R = 2000 -1 5 p ¿Cómo depende R de x? R pta. R(x) = -

15


@ El número “y” de Unidades vendidas cada semana de cierto producto depende de la

cantidad x (en dólarec) gastada en publicidad y está dado por y = 70 + 150*-0,3*2 .

¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad con el objeto de obtener un volumen de ventas máximo? (Cuál es este volumen de ventas máximo?

Rpta. $ 250; 18,820 unidades

Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son de $ 200 y el costo variable por unidad es de $ 0.70. La empresa puede vender x unidades a un precio de $ p por unidad en donde 2p = 5 - 0.0 lx ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana de modo que obtenga?

a) Ingresos máximos b) Utilidad máxima

Rpta. a) 250 unidades b) 180 unidades

(26) Lynbrook West, un complejo habitacional, tiene 100 departamentos de dos recamaras. Laganancia mensual obtenida por la renta de x departamentos está d ido por

P(*) = -10*2 +1,760*.-50,000, dólares LCuantas unidades deben rentarse para

maximizar la ganancia mensual? ¿Cuál es la máxima ganancia mensual que se puede obtenerse? Rpta. 88 unidades ; $ 27,440

127) La ganancia mensual estimada obtenida por la empresa cannon al producir y vender x

unidades de cámaras modelo MI es P(*) = -0.04*2 +240*-10,000 dólares. Encuentre

cuántas cámaras debe producirse cada mes para maximizar sus ganancias.

Rpta. 5,000 unidades ; $ 40,000

(28) La relac.ón entre las ganancias trimestrales de cunningham P(x), y la cani dad de dinerox invertido en publicidad por trimeatre queda descr ta mediante la función

*2P(x) -------+ 7* +30 (0 < x < 50), donde P(x) y x se miden en n ules de dólares.

8

a) Trace la gráfica de P

b) Determine la cantidad de dinero que debe invertir la compañía en publicidad poi trimestre para maximizar sus ganancias trimestrales.

Rpta. $ 28


.29' El ingreso mensual R (en cientos de dólares) obtenido por la venta de rasuradoreseléctricas Royal se relaciona con el precio unitario P (en dólares) mediante la ecuación

P2R(P) = ------ + 30P.

2

a) Trace la gráfica de R.

b) ¿Cuál precio unitario maximiza el ingreso mensual?

Rpta. b) $ 30

',30) Una firma de confecciones, tiene costos fijos de $ 10,000 por año. Estos casos, comoarriendo, mantenimiento, etcétera, deben pagar independientemente de cuánto produzca la compañía, para producir x unidades de un tipo de vestido, éste cuesta $ 20 por prenda (unidad) además de los costos fijos. Es decir, los costos \ anables para producir x de estos vestidos es 20x dólares.

Estos son los costos que se relacionan directamente con producción, como material, salarios, combustibles, etcétera. Por tanto, el costo total C(x) de producir x vestidos en una año está determinado por una función C:

C(x) = (costos variables) + (costos fijos) = 20x + 10,000

a) Representar gráficamente las funciones de costos variables, costos fijos y costos totales.

b) ¿Cuál es el costo total de producir 100 vestidos? ¿400 vestidos?

c) ¿Cuánto más debe costar producir 400 vestidos, en vez de producir 100 unidades?

Rpta. b) $ 12,000; $18,000 c) $ 6,0u0


CAPITULO V

IN D U C C IÓ N M A T E M Á T IC A

5 li-; I RODUCCIÓN.-

Un método de demostración muy útil en matemática es el llamado por inducción o recurrencia que se fundamenta en la propiedad de los números naturai 2S llamado el principio del “buen orden”.

También trataremos de la notación sigma “L” para la suma finita ya que es de gran importancia en matemática y la notación de producto “71”.

Para el estudio de inducción matemática daremos algunas notaciones de los números naturales.

Al conjunto de los números naturales se simboliza por N, es decir:

N = {0,1,2,3,4,5, ..y

Que se representa en la recta numérica

• ------- • ------- • ------- • ------- • ------- m------------------------0 1 2 3 4 5 ........... +00

Al conjunto de los números naturales son el cero, se simboliza por N0 , es decir:

N(j = {1,2,3,4,5,—}

OBSERVACIÓN.- El cero “0” que significa “ausencia de elementos” se considera como un numero natural para algunos autores y para otros no, en

el presente libro el cero “0” será considerado como un numero natural; considerar o no el cero como un numero natural es una cuestión de convenio.

Inducción Matemática 491

5.2. CONJUNTOS ACOTADOS.-

a) DEFINICIÓN.- Llamaremos cota superior de un conjunto A c R a todo

que sea mayor o igual que los elementos de A se llama “cota superior de A”.

Cuando A tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto A es acotado superiormente.

Ejemplo.- Sea A = <-»,3> y la cota superior k = 5

Observamos que cualquiera de los números reales mayores que 3 e incluso el 3 es cota superior de A.

De todas estas cotas superiores de A, él número 3 es la menor. Luego daremos la siguiente definición.

b) DEFINICIÓN.- A la menor de las cotas superiores de un conjunto A c R y

La menor cota superior k = Supremo de A = Sup A está caracterizada por las condiciones siguientes que es equivalente a la definición.

K = Sup A « V x e A y para toda cota superior k' de A, se tiene que x < k < k '

El supremo de un conjunto A, si existe, no es necesariamente un elemento de A, como en el caso de A = <-»,3> cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto A.

número k e R tal que x < k, Vxe A, o sea que cualquier número

Acotas superiores de A

-e----------1----------- 1----------- 1----------- 1-3 4 5 6 7

R

x

acotado superiormente, se le llama supremos de A o mínima cota superior de A y se dem ita por Sup(A).

OBSERY ACIÓN.-

E1 supremo de A es también una cota superior de A.

La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente está dado por el siguiente axioma.


5.3. AXIOMA DEL SUPREMO O AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR.-

Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor cota superior en R.

Ejemplo.- Demostrar que sí A = <-°°,3> entonces Sup A = 3

Solución

Probaremos esta afirmación por el absurdo.

Supongamos que 3 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que. k+3 _existe una cota superior k de A tal que k < 3 y puesto que k < < 3

it + 3Tomamos k' = ------ => k<k '< 3 ...(1 )2

De donde k'e A = < -<»,3 > , pero siendo 1 cota superior de A debería tenerse k'< k

contradiciendo a (1).

La suposición es absurda por lo tanto Sup A = 3.

a) DEFINICIÓN.- Llamaremos cota inferior de un conjunto A c R a todo número k e R tal que k <, x, V x e A . O sea que cualquier

número que sea menor o igual que los elementos de A se llama “cota inferior de A”

Cuando A tiene alguna cota inferior, diremos que el conjunto A es acotado inferiormente.

Ejemplo.- Sea A = [-2,7> y la cota inferior k = -2.

cotas superiores de A

-4 -3 -2 7

Se observa que cualquiera de los números reales menores que -2 e incluso el -2 es cota inferior de A.

Inducción Matemática 4 9 3

De todas estas cotas inferiores de A el número -2 es la mayor. Luego daremos la siguiente definición.

b) DEFINICIÓN.- A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto A c R yacotado inferiormente, se le llama ìnfimo de A o máxima cota

inferior de A y se denota por inf (A).

ObSER V ACIÓN.-

El ínfimo de A es también una cota inferior de A.

La ma;, or cnta inferior k = mf(A) = ínfimo de A está caracterizada por la condición.

K = inf(A) <=> V x e A y para toda cota inferior k' de A se tiene k'<k < x .

© El ínfimo de un conjunto puede no ser elemento del conjunto dado.

Ejemplo.- El conjunto A = [-2,7> esta acotado superiormeníe por 8 e inferiormente por -3, además la mayor cota inferior es -2 y la menoi cota superior es 7 por lo tanto: Sup(A) = 7 y Inf(A) = -2 de donde Sup(A) g A, Inf(A) e A

Cuando en un conjunto A se tiene que Sup(A) e A entonces el Sup(A) también se le llama el máximo de A y si el Inf(A) e A entonces al ínfimo de A también se le llama el mínimo de A.

c) DEFINICIÓN.- Un conjunto A se dice que es acotado, si es a la vez acotadoinferiormente y superiormente.

Ejemplo.- El conjunto A = <1,7> u [30,50] es acotado y Sup(A) = 50, Inf(A) = 1.

Ejemplo.- El conjunto A = <-°°.-5] u <1,-h»> no es acotado inferiormente ni superiormente.

5.4. PRINCIPIO ARQUIMEDIANO.-

Si x es un número real positivo entonce^ existe un número natural n0 tal que

0 < — < x (o equivalentemente tal que xn0 > 1 )

m Eduardo Espinoza Ramos

Demostración

Demostraremos por el absurdo. Suponiendo que nx < 1, V n e N

Por lo tanto el conjunto A= {nx / n e N) está acotado superiormente al menor por k = 1, y por el axioma del supremo el conjunto A posee una menor cota superior k (Sup A) en R que satisface la condición nx < k < 1, V n e N pero siendo x > 0 => k - x < k y por lo tanto (k - x) no puede ser cota superior de A puesto que k es la menor de todas ellas. Luego existe un elemento de A: irux como m¡ e N tal que k - x < m¡x < k ...(1 )

Pues si así no fuese, entonces se tendría que n x < k - x , V n x e A => k - x sena cota superior de A lo cuál es falso.

Luegodc(l) => /:< (» ! ,+ 1)jc => k c m x con m = (/«( +l )eA/

lo cuál es absurdo, pues siendo k = Sup A debería tenerse mx < k, de esta manera el principio queda demostrado por el absurdo

Ejemplo.- Probar que el conjunto A = { - / « e N ) es acotado.n

Solticim»

Ubiquemos los elementos de A en una recta para x = —, n e N.n

n = 5 n = 3 n = 2 n = 1 R--------1-----1-----1------ 1---------1-----------------------1--------

o i i i 1 1n 5 3 2

Ahora encontraremos el supremo y el ínfimo de A como:

V n e N => n > l => 0 < x = - < l ...(1 )n

Cuando n crece los elementos de A se acercan al cero (0) pero sin coincidir con el 0 para

n e N d e esta observación se tiene:

Sup (A) = 1 g A inf (A) = 0 « A


Probaremos que mf(A) = 0, de (1) se vio que 0 es una cota inferior, si no fuese la mayor existiría otra cota inferior k mayor que 0 y por principio Arquimechano se tiene que existe

un n0 e N tal que 0 < — < k lo cual es absurdo pues — e A y siendo k cota inferior «o no

de A debería cumplirse que k < — , de manera que Inf A = 0."o

5.5. PRINCIPIO DEL BI EN ORDEN.-

Todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo .

En general, un conjunto de números A es bien ordenado si todo subconjunto no vacío de A posee elemento mínimo así por ejemplo, el conjunto de los números enteros positivos es bien ordenado, por ejemplo el sub conjunto formado por todos los números enteros positivos impares tiene elemento mínimo 1.

5.6. MENOR ELEMENTO Y MAYOR ELEMENIO D E A c R -

DEFINICIÓN.- “a" es menor elemento (o primer elemento) de A, sí y sólo si a e A y

“a" es cota inferior de A

DEFINICIÓN.- “b" es mayor elemento (o ultimo elemento) de A, sí y sólo si b e A y

“b” es cota superior de A.

NOTACIÓN.- a = Min (A) ; b = Máx (A)

Ejemplo.- Sea A = [0,2> entonces “0” es un menor elemento: 0 = Min (A)

2 no es mayor elemento, puesto que 2 g A

Ejemplo.- Sea B = N, entonces 0 es menor elemento de B y no existe elementomayor de B.

Ejemplo.- Sea A = { - / n e Z +) entonces % Min (A), 3 Máx (A) =1


OBSERVACIÓN.-

Todo conjunto finito tiene mínimo y máximo.

( 2) Todo intervalo cerrado tiene mínimo y máximo.

© Todo intervalo abierto no tiene mínimo ni máximo.

5.7. PROPOSICIÓN.-

Todo A c Z+ , A * (}> tiene menor elemento, acotado inferiormente.

Demostración

1ro. Sea A c Z+ , A * 0 y acotado inferiormente (hipótesis)

2do. Entonces 3 a = inf (A) (por el axioma del ínfimo)

3ro. Luego a < x, V x e A (definición de inf(A))

4to. Además a + 1 no es cota inferior de A (pues de lo contrario si fuera así a no seria la mayor de las cotas inferiores)

5to. Si (V x e A, a + 1 < x) definición de cota inferior.

6to. 3 x0 e A tal que a +1 > x0

7mo. Así jc0 e [ « . a + 1 > (es decir a < x0 < a +1 )

8vo. x0 será el menor elemento de A (pues xQs A por 6to) como A c Z entonces

todo entero menor que jc0 no puede estar en A.

DEFINICIÓN.- Diremos que A c R e s un conjunto inductivo sí y sólo si se cumple:

5.8. SUB CONJUNTOS INDUCTIVOS DE R.-

i ) 1 e A i i ) x e A = > x + l e A


NOTA.- Si no se cumple ninguno de los dos o alguna Je ellas, no es conjunto inductivo.

Ejemplos.-

El conjunto A = Z + es un conjunto inductivo.

En efecto: i) le Z*

ii) i e Z* =í> x > 0

= » x + 1 > 1 > 0 = » J t + l e Z +

© El conjunto A = N es un conjunto inductivo.

En efecto: i) 1 e N

ii) x e N => x > 0

= » x + 1 > 1 > 0 = í x + 1 € N

(3 ) El conjunto A = [-2,-k»> es un conjunto inductivo.

En efecto i) l e [-2,°°>

ii) x e [-2,oo> =* x £ 2

=> x + l > - l > 2 => x + 1 e [-2,oo>

© El conjunto A = N -{101] no es inductivo.

En efecto: i) 1 e N — {101}

ii) x e A = # x + l e A

100 e A ^ x + 1 = 100 + 1 = 101 e A

no es inductivo

© El conjunto A = [0,2> u N no es inductivo.

En efecto: i) 1 e A


ii) ,t = —e A => a + 1 = — e A2 2

5 , 9 .x = — e A => x+l = —e A 4 4

----- • --------• ------ • ------ • --------• -------- • ------ • --------0 1 2 9 3 4 5

4

5.9. EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA COMPLETA.-

Este principio establece que dado un subconjunto de enteros postivos S cz N tal que:

i) El número 1 pertenece a S (1 e S)

ii) h e S entonces h + 1 e S entonces S coincide con el conjunto de los enterospositivos, es decir S = N

Este es uno de los métodos que se utiliza generalmente para demostrar la validez de proposiciones que incluyen todos los valores de n.Ilustraremos este método mediante un ejemplo puramente intuitivo.

Supongamos que tenemos una escalera con un número indefinido de peldaños y queremos demostrar que podemos subir hasta un determinado peldaño cualquiera, esto podemos hacerlo si conocemos dos hechos:

a) Podemos subir el Io peldaño.

b) Si estamos en un peldaño cualquiera podemos subir al peldaño siguiente; de a)sabemos que podemos subir al primer peldaño y de b) sabemos que podemos subiral segundo peldaño, nuevamente de esto y de b) sabemos que podemos subir al 3opeldaño, etc. con el propósito de generalizar este razonamiento a otras cosassimilares, veamos un ejemplo numérico, esto es:

1 = 1 = 12

l + 3 = 4 = 2 2

l + 3 + 5 = 9 = 32


1+4 + 5 + 7 - \ 6 = 42

podemos demostrar por inducción completa qae: V n e N es válida la proposición.

/ >(/i) = l + 3+5 + ... + (2 « -l) = / r

5.10. TEOREMA 1 (PRIMER PRINCIPIO DE INDUCCIÓN).-

Si S es un conjunto de todos los números naturales n que satisface la propiedad P(n) es decir:

S = {n e N / P(n) es verdadera} si se cumple:

® I e S ( 2 ) Sí n g S entonces n + 1 e S

Demostración

Debemos demostrar que el conjunto S es igual al conjunto de todos los números naturales.

Sea T el conjunto de todos los números naturales que no están en S ahora veremos que T

es el conjunto nulo, para esto supongamos que T no es nulo, entonces por el principio del

buen orden, T tiene un elemento mínimo a e T, como 1 e T, entonces a * 1, a - 1

es menor que a, entonces a - l g T => a - l e S , pero entonces por la parte2),

a = (a - 1) + 1 e S, lo cual contradice a que a e T de donde T es nula, concluyendo que S

es el conjunto de todos los números naturales.

5.11. TEOREMA 2 (SEGUNDO PRINCIPIO DE INDUCCIÓN).-

Sea P(n) una propiedad asociada a n, para cada entero n, si son verdaderos:

i) P(l) ii) P(h) => P(h+ 1), VhS: 1

entonces P(n) es verdadera para todo entero positivo n.

Demostración

Sea S el conjunto de todos los enteros positivos n, para los cuales P(n) es verdadera, S

satisface la hipótesis del teorema 1, por lo tanto S contienen a todos los enteros positivos,

es decir: P(n) es verdadero para todo entero positivo n.

5U0 Eduardo Espinoza Ramos

5.12. DEFINICIÓN.-

La suposición de que n e S o lo que es lo mismo la proposición P(n) es verdadera se

llama “hipótesis inductiva”.

OBSERVACIÓN.- En la hipótesis (1) d¿l teorema decimos 1 e S, equivalentemente P(l) es verdadera, como S es un conjunto de números naturales o

enteros positivos, por el principio del buen orden, tiene un elemento mínimo, naturalmente ese elemento no necesariamente es 1, puede ser cualquier otro n > 1.

EJEMPLOS DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN.-

Probarque: l + 2 + 3 + ...+ n = ^ y ^ , V n > l

Solución

V n > 1 se verifica P(n) -1 + 2 + 3 + ...+« n^n +

i) Para n=l comprobaremos que se verifique: PO) = 1 = ——■-- = 1 es verdadero

h ( h + 1 )ii) Para n = h, P{h) = —----- - es verdadera por la hipótesis inductiva.

iü) ahora probaremos si P(h) es verdadera entonces P(h + 1) es verdadera.

En efecto tenemos:

P(h + 1) = 1 + 2 + 3 + ...+h + (h + l) = P(h) + (h + l)' v Jhipótesis inductiva

por lo tanto la proposición es válida V n > 1


© Probarque — h——h——+ ...H----- ----= —— , V ne Z + .1.2 2.3 3.4 n(n +1) n + l

Solución

Como V n e Z + se verifica P(«) = — + — + - + ...+ — -— = —1.2 2.3 3.4 n(n +1) n + l

i) para n= 1, comprobaremos que se verifica: P(l) = — = —— = — = — se verifica1.2 1 + 1 2 1.2

¡i) para n = h, P(_h) = — es verdadera por la hipótesis inductiva.h + 1

iii) ahora probaremos que si P(h) es verdadera entonces P(h + 1) es verdadero. En

efecto tenemos:

P(h + 1) = — h------ 1------h... + --------------------------------------- h-------- — P(h ) + ----------1.2 2.3 3.4 h(h +1) (h-rlXh + 2) {h + l ) ( h + 2)

hipótesis inductiva

h | 1 _ h(h + 2) + l _ h + 1 h + 1~ h + 1 (h + 1X/i + 2) ~ (h + l)(/i + 2)~ h + 2 ’ [(/i + l) + l]

por lo tanto la proposición es vàlidi, para n = h + 1

Probar que n3 +2n es divisible por 3.

Solución

Sea P(n) = n3 +2n

i) Si n = l , P ( l ) = l + 2 = 3 es divisible por 3.

ü) Para n = h, se supone que: P(h) = h3 +2h es divisible por 3 (o sea que P(h)

es verdadera por hipótesis inductiva).

iii) Para n = h + 1, se debe probar que P(h + 1) es divisible por 3.


P(h + l) = (h + l)3 +2(h + l) = (h3 + 2h) + 3(h2 +/i + l)

los dos sumandos es divisible por 3, el primero por la hipótesis inductiva y el

segundo por tener como factor a 3.

P(h +1) = 3m + 3(/i + Ai +1) = 3(iw + h2 + /i + l)

Luego P(h + 1) es divisible por 3.

Por lo tanto se concluye que: P(l) es V y P(h) es V entonces P(h + 1) es V

© Probar que: 52" + 7 , es divisible por 8.

Solución

Sea P(n) = {«e N / 5 2n +1 es divisible por 8}

i) Para n = l , P(l) = 52 +7 = 25-*-7 = 32 = 8(4) es divisible por 8

Luego P( 1) es verdadero.

ii) Para n = h se supone que P(h) = 52h +7 es divisible por 8, por la hipótesis inductiva.

iii) Para n = h + 1, debemos de probar que P(h + 1) es divisible por 8.

P(/i + 1) = 52(,i+I) +7 =52.52h +1 =52h +7 + 24.52/l = (5 ^ + 7 ) + 8.(3.52/')es divisible por 8 es divisible por 8 por la hipótesis por tener factor 8 inductiva

Luego P(h + 1) es divisible por 8.

Por lo tanto P(l) es V y P(h) es V entonces P(h + 1) es V.

Probar por inducción que 2 " > 8 t n - 2 ) , V n > 4

Solución

i) para n = 4, 24 > 8(4 - 2) = 16 = 24 se verifica es verdadero.


ii) para n = h, 2h > 8(/i - 2) es: verdadera por la hipótesis inductiva.

iii) Ahora probaremos para n = h + 1.

2h+1 =2.2'' > 2.8(/i-2) = 8.2(Ji-2) > 8[(h + 1) - 2]

puesto que para h > 4 => h > 3

=» 2 h - 4 > h - l =» 2(h - 2) > h - 1

por lo tanto se concluye que: 2" > 8(n - 2), V n > 4

( ó ) Probar que: 11 "+2 + 122,I+1 tiene como factor a 133, V n > 1

Solución

Sea P(n) = {ne 7V/11"+2 +122n+1, tiene como factor a 133}

i) para n = 1, />(1) = 11I+2 + 122+1 = l l ’ +123 =133(11 + 12)

Luego P( 1) tiene como factor a 133 se verifica es verdadero.

ii) para n = h, P(h) = l l ft+2 +122,| H tiene como factor a 133 por la hipótesis

inductiva es verdadero.

iii) ahora probaremos para n = h + 1.

P(h + 1) = \ ll,+3 +I22h+3 =11.l ) h+2 +122.l22h+x +11.\2lh+] - 1 1 .121I,+'

= l l . ( l l ' ,+2 +122/l+1) + (122 -11).122/i+i - 11.(11/|+2 +122,1+i) + 133.122/l+1

el primer termino de la derecha tieno como factor a 133 por la hipótesis inductiva y el segundo término tiene como factor a 133 con lo cual se concluye

que 1 l n+2 + 122n+1 tiene como factor a 133.

( j ) Probar que: 10" + 3(4"+2) + 5 es divisible por 9.

S o lu c ió n


Sea P(n) = 103 + 3(411+2) + 5 es divisible por 9.

i) Para n=l,P(l) = 10+3(43)+5=9(23)es divisible por9 Luego P(l) es verdadero

ii) Para n = h, P(h) = 10a + 3y4h+1) + 5 es verdadero por la hipótesis inductiva.

ii¡) Ahora probaremos para n = h + 1, es divisible P(h +1) por 9.

/>(¿i + l) = 10,,+I +3(4h+2) + 5 ■= 10.10a +3.4/,+2.4 + 5

= 10* +3(4ft+2) + 5 + 9(4h+2) + gao*) = P(h) + 9(4h+2 + I0h)

el primer término de la derecha P(h) es divisible por 9 por la hipótesis inductiva y el segundo término es divisible por 9 por tener como factor a 9 por lo tanto P(h + 1) es divisible por 9.

Es decir P(l) verdadero y P(h) es verdadero entones P(h + 1) es verdadero

© Demostrar que 2" < n ! , V n ¿ 4

Solución

Sea P(n) = {ne N 12" < «!}

i) Para n = 4, /^l) = 24 < «!= 1.2.3.4 = 3.23 se verifica

ii) Para n = h, P(h) = 2h < h\ es verdadero por la hipótesis inductiva.

iii) Ahora probaremos para n = h + 1 que P(h + 1) es verdadero es decir:

P(h +1) = 2ft1 <(h +1)! es verdadero, en iTlecto,

V h > 4 => h + l >4, luego2.2h < 22.2;' <h'.(h + l)

Luego 2h+l <(li + l)! de donde P{h + \) = 2h*x <(/i + l)!

Es verdadero por lo tanto se concluye que: 2" < « ! ,V n > 4


( ? ) Probar que: 32n+2 + 26,,+1 es múltiplo entero de 11.

Solución

Sea P(n) = {ne N I 32n+2 + 26,I+1 es múltiplo entero de 11}

i) Para n = 1, P(l) = 34 + 27 = 11(19) es verdadero.

¡i) Para n = h, P(h) = 32/l+2 + 26ft+1 es verdadero por la hipótesis inductiva

iii) Para n = h + 1, probaremos que P(h + 1) es un múltiplo entero de 11 es decir:

P{h +1) = 3-(h+1)+2 + 26(/,+1)+1 =9 32/1+2 +64 96/,+1

= 9(3 2/1+2 + 26ft+1) + 1 1(5(26,1+i )) = 9P(h) +11[5(26,,+1)]

el primer término de la derecha es múltiplo entero de 11 por la hipótesis inductiva y el segundo término es múltiplo entero de 11 por tener un factor 11

Por lo tanto P(h + 1) es un múltiplo entero de 11 con que concluye que P(h + 1) es verdadero.

^ 0 ) Probar que para cualquier número real P > -1 y cualquier entero positivo n,

(1 + p)n > 1 + np

Solución

Sea P{n) = {ne Z + /(1 + p)n > l + np]

i) Para n = l , P ( l ) = l + p > l + p es verdadero se verifica.

ii) Para n = h, P(h) = (1 + p )h >1 + hp es verdadero por la h'pótesis inductiva.

iii) Ahora probaremos que para n = h + 1; P(h + 1) es verdadero.

P(h +1) = (1 + p)h+l = (1 + p)h (1 + p) > (1 + hp i l + p)

= 1 + p + hp + h p ' >l + (/i + l)p


Luego P(h +1) = (1 + p)h+x £ 1 + (h + l)p se verifica por lo tanto Píh+1) es verdadero

© Sea {*„ / n e W | un conjunto de números reales tales que jt, = \¡60 ,

*«+1 ~ y]xn + 60 , V n £ 1, entero entonces probar por inducción matemática que jc„ < 4 , V n e N.

Solución

i) P a r a n = l , xy = n/óO < Vó4 = 4 => jt, < 4 se verifica.

ii) Para n = h, xh < 4 es verdadera por la hipótesis inductiva.

iii) Ahora probaremos para n = h +1, xh+l < 4 se cumple:

xh <4 => xh + 60 < 60 + 4 = 64 => J x h + 60 < $ 64 = 4

jrA+1 = J x h + 60 < 4 => *A+1 < 4 es verdadero

por lo tanto xn <4 , V n e N

^ 2 ) Probar que j:2"-1 + y 2”-1 es divisible por x + y, V n > 1

Solución

Sea P(n) = {ne N / x 2n~l + >’2”-1 es divisible por x+ >’}

i) Para n = 1, P(l) = j:2-1 + >’2-1 =x+ y se verifica.

ii) Para n= h, P(h) = *2,1-1 + y2/1-1 es divisible por x+y por la hipótesis inductiva.

iü) Ahora probaremos para n = h +1, P(h + 1) es divisible por x + y, en efectotenemos:

Inducción Matematica 507

el primer término de la derecha es divisible por x + y por la hipótesis inductiva el segundo término es divisible por x + y por tener como factor a x + y por lo tanto P(h + 1) es divisible por x + y.


1. Ejercicios de Conjuntos Acotados.

© Si A * <|>, B * <}>, dos conjuntos acotados superiormente tales que A c B , probarque Sup A son dos conjuntos acotados inferiormente tales que A c B probarque Inf (B) < Inf(A).

( 3) Hallar supremos y el ínfimo de A = {-—— /n e N ) , B = -+-—- /« e N]3n + 4 3n + 8

Rpta. sup(A) = , inf(A) = - 2 , sup(B) = 4 , inf(B) = 0.2

Determinar el supremo y el ínfimo si existen en cada uno de los ejercicios.

a) A = { x e R / x 2 <9} Rpta. Sup A = 3, Inf A = -3

b) A = [xe R / 2 l + 4 x - x 2 >0} Rpta. SupA = 7, Inf A =-3

c) A = [^ +2n / n e N } Rpta. Sup A = 5, Inf A = -73 — 2 n

d) A = [xe R / x 2 -4 j:-1 2 < 0 } Rpta. SupA = 6, InfA = -2

e) A = {xe R ! \ jc || j: + 1| <2} Rpta. Sup A =1, InfA = -2

f) A = {xe R/ ¡ 6 + x - x 2 ¡ <6} Rpta. SupA = 4, Inf A = -3

( 5) Encontrar el supremo y el ínfimo de A = {C°SnK / n e N ] , B = { —4 ! n ^ N)


Rpta. sup(A) = - , inf(A) = - — , sup(B) = , inf(£) = -24 3 7

© Hallar el supremo y el ínfimo si existe de:

A = {xe R / x 2 - 4 j:-12 < 0}, B = [x2 — 4 * -1 2 / x s < -<»,m >}

Rpta. Sup (A) = 6, Inf (A) = -2, Sup (B) = 3 , Inf (B) = -16

© Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B, mediante intervalos tales que

Inf (A n B) > Sup {Inf(A), Inf(B)}.

© Determinar el supremo y el ínfimo si existe de los siguientes conjuntos.

a) A = {jre R t | 4 - * | > *} b) A = {*e /?/ | x 2 - 4 | <16}

c) A = {xe / ? / | * + 6| + | 3 - * | =9} d) A = {x& R / \ x 2 + 2 x - A \ < l )

e) A = {xe /? / 1 jc — 8 1 — | 4jc 2 - 1 | <0}

II. Demostrar por inducción matemática.

( í ) 1 + 3 + 5 + .., + (2 n -l) = n 2

©

©

1 1 1 1 ^ n1.3+ 3.5 5.7 (2n-l)(2n + l) 2« + l

2 o2 o2 2 _ n(n + 1)(2n + 1)© l2 +22 +32 + ... + H2 =W 6

© 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

0 3 + 6 + 9 + ... + 3« = y ( « + l)

1 1 1 , 1 - + — + ----- + ... + -2.5 5.8 8.11 (3n -l)(3n + 2) 6n + 4


(7) 1+3 + 32 + ... + 3"-1 = 3” -1

(8 ) 1.2+2.3 + 3.4 + ...+ n(n + l) = -j(n + l)(;i + 2)

© 1 1 1 1 «(« + 3)- + --------+ — + ... + -1.2.3 2.3.4 3.4.5 #?(« + !)(«+ 2) 4(n + !)(« + 2)

10J 1.V + 2.3 + 3.5* +... + n(2n - 1)~ = - (n + 1)(6n~ - 2n +1)6

1 1 ) l 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + ( 2 « - l ) 3 = n 2(2n2 - 1 )

( 1 2 ) 23 + 4 3 + 6 3 +... + (2n)3 = 2«2(« + l)2

1 3 ) l2 +32 +52 + ... + (2 n - l)2 = —(4n2 - 1)

( 1 4 J 1.3+ 2.4 + 3.5 +... + n(n + 2) = — (w + l)(2w + 7)6

(15J 2.5 + 3.6 + 4.7 + ...+(« + IX« + 4) = -j (« + 4 )(n + 5)

1 1 1 1 n1 6 ) — + — + — + . . . + -

1.2 2.3 3.4 «(« + 1) h + 1

.-■v 1 1 1 1 n(3n + 5)1 7 ) — + — + — + . . . + -

1.3 2.4 3.5 mn + 2) 4(n + l)(n + 2)

(lS) 1.2 + 2.22 +3.23 +... + «. 2" = (« —l).2”+l +2

(19) 1.3 + 3.32 +5.33 + ... + (2«-l).3" = (« -l) .3 n+1 +3

(20) -^ - + -^ - + - í - + ... + ------ ------= ——- , V n > 2^ 2.4 4.6 6.8 2n.{ 2n —1) 4 n

6 l) Pruébase que: s í x > l y n e entontes x ” >1

510 EJuaido Espinoza Ramos

® Pruébase que: s í x < 0 y « e Z + entonces JT2,1—1 < 0

@ Demuéstrese que:

a) (aJb)n = a nJbn , V n e Z + b) (a" )" r=amn, V n e Z +

® V P e R, P > 1 y V n e Z +, pruébase que: (1 + P)'i . , «(«- I ) 2> 1 + np H------— p

III. Probar por inducción matemática que:

© 5" 21 + 4«, V n > 1 © 3” >1 + 2«, V n > 1

© « ! > 2 " . V n > 4 © 2" > « 2. V n >5

© 4" >n4 , V n > 5 © 24" es divisible por 15. n > 1

© 4" -1 es divisible por 3, n > 1 © 32" +7 es divisible por 8, V n>l

© 22" +5 es divisible por 8, n > 1

d ? 3« 2 +15« + 6 es divisible por 6, n > 1.

32""3 + 2n+3 tiene un factor al número 7, V n > 1

© r? + n es divisible por 2. V n > 1 © n 3 - n es divisible por 3, V n >1

® n5 - n es divisible por 5, V n > 1 © n1 - n es divisible por 7, V n >1

® 32n+2 - 2”+1 es divisible por 7, V n > 1

® 32n+3 + 2n+3 es divisible por 7, V n > 1

© 22n+1 + 32n+1 es divisible por 5, V n > 1

® 3.5 2,1+1 + 2 3n+I es divisible por i7, V n > 1

32„+2 + 26«+i es un múltiplo de n .

® Demuéstrese que a + b es un factor de g 2,1-1 +b'— \ para todo entero positivos n.


5.14. S*JMATORIAS.-

A la suma de los n números al ,a2....,an es decir: ax + a2 + ... + «„, representaremos porn

la notación a¡ = ax+a2 + ... + ern, que se lee “surnatoria de los al desde i = 1 hasta í=i

i = n”, a 1 se denomina limite inferior, a “n” se denomina limite superior y el símbolo X se llama signo de sumación y es la letia Griega mayúscula del alfabtto Griego.

Por ejemplo a la suma de los 5 primeros números enteros positivos impares se puede expresar así:

5 5

= ^ ( 2 ¿ - l ) = l + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (=1 í=i

GENERALIZANDO.- Consideremos m y n dos números enteros de tal manera que

m < n y f una función definida para cada i e Z donde m < i < n.M

Luego la notación ^ / (í), nos representa a la suma de los términos f(m), f(m + 1),i—m

nf(m + 2 ),..., f(n) es decir: ^ / ( / ) = f ( m ) + f ym +1) + / (w + 2) +... + /(« )

t-m

Donde i es el índice o variable, m es el limite inferior y n es el limite superior.

6 6i 'V V " i 1 2 3 4 5 6

Ejemplo.- Sí /( / ')= .entonces: > / ( 0 = > i— r = r + T + T + 7 + - + 31 + / + / 2 3 4 5 6 7í=l /=!

5.15. PROPIEDADES DE LA SI AMATORIA.-

/i® I k = nk , k constante cualquiera.

i=iDemostración

/i

I k = k + k + k + ... + k =nk,=i n-veces k


n n© k m = k ^ m

i=l 1=1Demostración

n£ k m = k /(1) + k f ( 2 ) + k /(3 ) + ...+ k f (n )

n= k (f(l) + f(2) + f(3) + ... + f(n)) = /(O

i'=l

1=1

w+1 n© £ / ( * ' ) = £ / ( « ' ) + / ( « + !)

/=1 1=1Demostración

Aplicando la definición de ¿umatoria se tiene:

w+1 n

/ ( i ) = / ( l ) + / ( 2 ) + ■■■ + /(« ) + / ( « +1) = / ( i ) + / ( « +1)1=1 1=1

w « n

® I [ / ( o ± ( t)]= / ( / ) ± g(oí=i i=i i=i

Demostración

La demostración se puede hacer por definición de sumatoria pero también se puede demostrar por inducción.

i i ii) Para n = 1, ±g(*)] = / ( O ± g ( 0 = ^ / ( O ? U ) luego se verifica.

1=1 i=i f=iPor lo tanto es verdadero.

h h hii) Para n = h, ^ [f%Qd¡ g(Q] = ^ f ( i ) ± ^ g[T) es verdadero por la hipótesis

í=i í=i í=iinductiva.

iii) Ahora probaremos para n = h + 1, en efecto:


f/(/') ± g (/)] = [/(i) ± g(i )] + [/(* +1) a: g (/? +1 )]1=1 (=1

h h= ^ f ( j ) ± ^ g(j) + f j h +1) ± g(h +1)

1=1 1=1

h h = i £ f ( i H m +m ± i £ g í i)+gíh + m

i=1 1=1

/l+l /í+1

/=1 1=1

Con la cual queda demostrado.

= ^ /(O ± g(f') (por la propiedad 3).

© £ / ( o - 2 / a - oi-ÍJ i=0+c

¿7 fr-C

© X / ( ,)= X í^(,+c)i=fl ¿=a—c

n( ? ) [/(O - / ( i -1)] = / ( « ) - /(O) (1° regla telescópica).

/=I

II^8) £ [ / ( / ) - / ( , - l ) ] = / ( « ) - / ( f c - l ) ( Io regla telescópica generalizada).

I=k

n® y ^ [ / ( ¿ +1) - / ( / -1)] = / (« +1) + /(« ) - / ( l ) - /(O) (2o regla telescópica).

í=i100

^r* i iEjemplo.- Hallar el valor de > (---------)i i +1i=i

S o luc io r.

Mediante la regla telescópica se tiene


f (i) = —í— => / ( i -1) = - , entonces se tiene:i +1 i

Y ( - - t 1 :) = - Y < = - ( / d 0 0 ) - / ( 0 ) ) = - ( - ^ - - 1 ) = ^ ¿— t i í + i i + í i 10i 101 1=1 Í=1

40

Ejemplo.- Hallar el valor de ( J l i +1 - \¡2i — \ )1=1

Solución

Aplicando la regla telescópica se tiene: /(/') = \¡2i +1 => / ( i -1) = V2í

40

^ (V2t + 1 - yf2i - 1) = /(40 ) - /(O) =y¡8\--J\ = 9 - 1 = 81 = 1

Ejemplo.- Hallar una fórmula para la sumatoria 5'í=i

Solución

Aplicando la regla telescópica se tiene:

n n(5i+1 - 5‘ ) = / ( « ) - / (0) => ^T(5.5' -5 ' ) = 5"+1 - 5

1=1 Í=1

n w4 ^ 5 ' = 5(5” - 1 ) , de donde se tiene: = —(5" -1)

i=i i= i

Ejemplo.- Si p, q, a¡ ,b¡e R , probar para todo n e N que:

2pq*£j a,b¡ z + P2^ hf i=i /=i i=i

Solución

Aplicaremos la propiedad x 2 + y 2 > 2.xy , V x, y e R

-1 , dé donde


1i) para n= 1, 2pq 'Sâ ib¡ ^ tp q a fy = 2(qal).(pbl) <(qax)2 + (p¿>,)2

1=1

1=1 1=1

h h hii) Para n = h, 2 p q ' ^ ' a lbl < q 2 ' ^ ' a f + p 2 ^ ' b f es verdadero por la hipótesis

l=] i- 1 1=1inductiva.

iii) Ahora probaremos para n = h + 1, en efecto:

/i+i2 p q ^ a ¡b¡ = 2 p q ^ a ¡ b ¡ +2pqah+lbh+x

i=i i=i

< (q2^ a 2 + p 2^ b 2) + (q2a¡+x + p 2b^+{)1=1 1=1

h h h+1 h+1= <?2( ^ Q ,2 + a 2+i) + p 2( * } b 2 + 2+1) = <72 + P2^J > ¡ (por la propiedad 3).

i=i ¡=i í=i i=i

Con lo cual queda demostrada

ii nEjemplo.- Probar V n e N, ' ^ (.a¡b¡) ' 5 ú2) ( ^ ^ ¿ 2) (Desigualdad de CAUCHY

i=i <=i i=i- SCHWARZ)

Solución

i) P a r a n = l , a 2b 2 < (a2)(b2) se verifica es verdadero.

ii) Para n = h, {aibi )2 < (^T cf2)(^T ¿ 2) es verdadero por la hipótesis inductiva.i=i í=i i=i

iii) Ahora probaremos para n = h + 1, en efecto-

h+\ h h h( ^ « , A )2 = «,A + «/,+A +i)2 = ( ^ fl.A)2 + 2fl*+A + i - ^ flA ,+^*A 2+i

í=1 i=l i=l í=l


2 .2 7i+I A+l

i=l í=l

h h

*=1 i=l

h

i=l i=l

*+1 fc+1

i=1 í=l

Í=1 í=l

con lo cual queda probado la desigualdad

Vi+l Ji=i

fc+i fc+i

i=l í=I

5.16. FORMUI \S D £ LA SUM ATO RIA.-

n(n +1)© 2 > J '

.2 rt(/l + l)(2rt + l)

1=1

■i «2(n + l)2 f = ------------1=1

- H(« + l)(6n3 +9n2 + n - l )

1=1 30

Demostración

© Existen varias formas de hacer la demostración, una es mediante la inducción, otra

mediante la regla Telescópica y otra la que demosii aremos en ia forma.

ny « = l + 2 + 3 +... + (n -2 ) + (n —1) + m

I I1 I 1 l■ 1* +

i’ = n + (n — l) + (n — 2) + ...+ 3 + 2 + 11 = 1 __________________________________________________________________________________________________________________ _

tí

2y t = («+ !) + (« + !) + («+ !) + ■■■ +(» + !) +(« + !) + (» + !)1=1 n-veces (n+1)

UEntonces se tiene: 2 ^ ^ / = n(« +1)

1=1

n (n + 1 )V 1 • n (n H

í=i


© La fórmula (2) demostraremos aplicando la regla Telescópica.

n^ [ ( i + l)3- / 3] = / ( « ) - / ( 0 ) . de donde f ( i ) = (í + 1)3 => / ( í — 1) = i 3 entonces se tiene:;=i

£ [ ( . ’ + 1)3 - 1'3 ] = (n + 1)3 - 1 , desarrollando se tiene:i=i

n n n

(i3 + 3 / 2 +3 / + 1 —í3) = (n + 1)3 — 1 => 3 ^ V + 3 ^ í + ^ l = (n + l )3 - l i= i í= i i= i i= i

n, \ ' .2 3«(n + l) 33 > i + — ------ -+ n = (/i + l) -1

i=i

n

3 \ i2 = (n + l)3- — vn + l ) - ( n + l) =(« + l)[(/i + l)2 - — - l ]¿ - i 2 2 1=1

3y , « = + 2 . - y , ; = - Kwi ) ( 2»<- i )2 2 6 i=i f=i

NOTA.-Las fórmulas 3) y 4) se deja como ejercicio.

EJEMPLOS DESARROLLADOS.-

n

© Hallar una fórmula para la sumatoria ^ ^ ln (i)í= i

Solución

Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:

n

ln(0 = ln(l) + ln(2) + ln(3) + ... + ln(n) = ln( 1,2.3...n) = ln(n!)/=!

nln ( /) = 1n(n í)

i=i


n12) Hallar una fórmula para la sumatoria > --------------w ^ ( i + l)(t-l)!1=1

Solución

Multiplicando numerador y denominador por i, es decir:

y » 1 y 1 i _ y 1 i _ V 1 ¿ + 1 —1 _ y 1 . / +1 1 .2 w (i + l ) ( í - l ) ! ' / <(i + l ) i ( i - l ) \~ 2 - i( i+ l)\ ~ 2 * i (i + 1)!' ■ (i +1)! (i +1)!

= y ( i - _ l _ ) = _y = _(_ ^ _i] (/ + !)! ^ (i + 1)! i! (n +1)!

1):(71 + 1)!—1

( / + 1 ) ! ( i + 1)! i! (n + 1 ) ! (n + 1 )!1 = 1 1 = 1

y » 1 _ (n+ !)!-!(/ + l)(i-1)! ” (n + 1)!

1 = 1

n© Hallar una fórmula para la sumatoua 5'

1 = 1

Solución

Mediante la regla Telescópica se tiene: ^ (5 1 - 5') = /(n ) - /(O) donde / ti) = 5i=i

^ ^ (5 .5 ‘ - 5 ') = 5"+1- 5 , simplificando 4^T 5‘ = 5 (5 "-l)¡=i ¿=i

v , ¡ 5(5"-1)por lo tanto: y 5 = ---- -----i=i

© Hallar una fórmula para la sumatoria y U !1 = 1

S o lu c ió n


nAplicando la regla telescópica se tiene: [(/ + !)!-/!] = / ( « ) - / ( 0 ) de donde f(i)=(i+l)!

1=1

n n n

^^[(i + l)i! -i!] = (n+l)!-l => /!.(i + 1-1) = (« + 1)¡ -1 de donde^T i.i! = (n + l)!-li=i i=i í=i

n( ? ) Hallar una fórmula para la sumatoria ^Tsen(ijc)

1=1

Solución

^ Ûsando la identidad: eos A + eos B = -2 sen(------- )sen(------- ) —(l)

2 2

De donde haciendo la sustitución se liene:

A + B■ = IX

= A

2 \A + B = 2ix=* < resolviendo el sistema:

A - B \ A - B = 2a

A = ( i + l )x ; B = ( i - l ) x ...(2)

Reemplazando (2) en ( 1) se tiene: eos (i + 1 )x - eos (i - 1 jx = -2 sen ix . sen x

aplicando la sumatoria a ambos miembros:

n n

£ [ c o s ( , + 1)a - cos(z - 1)a] = -2 sen A^^sen(rv) i=i 1=1

y mediante la segunda regla Telescópica se tiene.

n n

eos(n + 1)a + cos(ma) - eos x - 1 = -2 sen a^ T sen(iA), despejando sen(iA) se tiene:i= i i = i

V"1 , l + coSA-cosnA-cos(n + l)A> sen(i.r) = ------------------------------------2senAí=i


H© Hallar una fórmula para la sumatoria senh(9úr)

1=1

Solución

Mediante la segunda Regla Telescópica se tiene:

n^ [cosh 9(i + 1)jc - cosh 9(i - 1)jc] = cosh 9(m + 1)jc + cosh 9nx - cosh 9x - 1 i=i

n2 senh(9x)^^ senh(9¿x) = cosh 9(n +1)* + cosh(9/u) - cosh 9x -1

i=i

n^%enh(9ú:) = cosh 9(n + 1)at + cosh(9n*) - cosh 9jt -1

2 senh(9jt) 1=1

5.17. NOTACIÓN DEL PRODUCTO DE n NÚMEROS.-

A1 producto de los n números al,a2,a3,...,an, es decir: ai.a2.a-i ...xin representaremos

por la notación:n

Q a , =al.a2.a3....an i=i

que se lee el producto de los a¡ desde i = 1 hasta i = n, donde a “1” se denomina limite

inferior, a “n” se denomina limite superior y al símbolo n se llama “Pi” y es la letra mayúscula griega.

Ejemplo.- Hallar los 5 primeros números enteros positivos impares.

5 5

n « , = n ( 2 t _ i ) = i '3'5'7‘9=945 i=i i=i

S o lu c ió n


GENERALIZAXDO.- Si f es una función definida para i e Z, donde 1 < i < n, lan

notación | | / (i) nos representa al producto de los términos1=1

f( l ), f(2), t'(3).f(n), es decir:

= /O )-/(2 )./(3 ).../(n )i=i

donde i es el índice o variable, n es el limite superior.

6 6Ljempiu. Si / ( i ) = ——, entonces: I 1 / ( 0 = I I —

i + 1 1 1 1 l i + 1 2 3 4 5 6 7 7(=i i=i

OBSERVACIONES.- Si m y n son entero« tal que m < n y a, representa una

expresión en i. entonces:

n n-1 m

© r h - r h - ® o ° 'i=m t=m

1 = 1

n n5.17.1. TEOREMA.- n ° n b

í=i i=i i=i

Demostración

La demostración es por inducción

i iSi n = 1, entonces por definición se obtiene:

1=1 1=1 l-i

h h h Si n = h, | 1 l ^ ' l CS ’’ '“fdadero por la hipótesis inductiva


Ahora probaremos para n = h + 1, en efecto:

h+\ h h h;J“h+\-bh+\

i=l 1=1 1=1 1=1

h h >i+l h+l

= o * * i=i i=i i=i .=i

por lo tanto, para todo entero positivo n.

IÍ«a =fM > ,i=l í=l i=l

n5.17.2. TEOREMA.- Si c es una constante, entonces J e = c"

í=iDemostración

n rtSea c = c ,, para todo i, entonces n - n ,

¿=i 1=1

iSi n = 1 entonces por definición se tiene: | | c , = c, =c = c

i=i

hSi n = h, | | c¡ = ch es verdadero por L hipótesis inductiva

i=i

h+l hAhora probaremos para n = h + 1, en efecto: r i ' T i 1

f=i i=i

npor lo tanto: | | c , = c” , esto es, para todo entero positivo n.

i=l

nn

Ck+1 =Ch.C = Ch+i

\c = c1=1


5.17.3. TEOREMA.- Si c es una constante, entonces:

I Í ” ‘ I T1=1 i=i

Demostración

La demostración se deja como ejercicio para el lector.


I. Hallar el valor de las siguientes sumatorias.

99

5 > 2'1=1

100

¿— i 2 + 21=1

®20

^ 3 í (i 2 + 2 ) 1

®25

£ 2 i ( / - l )1 = 1

®100

£ s e n 2' ( 2 * )i=i

® í >i=-2

Rpta. 4950 ln 2

2Rpta. ln(---- )102

Rpta. 133,560

Rpta. 10,400

Rpta. tg 2 (2x)(l - sen 200 2x)

* 63 Rpta. —

R pta. 27( 2 - ^ )


©

40Y 360 Rpta. 7.560

(yflÓ)2*-32

©

50

^ ( 2 r + i - l )i=14

Rpta. 85,359

® È Ti=l

Rpta. 712

II. Escriba en forma explícita las siguientes sumas:

© X ‘*=i

©*=1

© P7=1

©6

I “ ”í=2

© É ' “ -'*=i

©5

^ ( k 2+3k)it=l

© 1 ?T* 1 © - ( * - l ) 2]

k=1© ¿ [ * 3- ( f t - n 3]

i-=i

®5

«.=1©

n

^ ( n - k + l)4 *=i

@ ¿ r t + 2 )<

* = 1

III. Hallar la fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.


( ? ) y -------- -------- Rpta. 4nw Ámj (4/ — 3)(4i + 1) 4n + l

1=1

n© I ln(t + l) Rpta. ln(n + 1)!

1=1

n© t.2'_1 Rpta. ( n - l )2 " + l

1=1

2 + rc© X r Rp,a' 2‘

1=1

0 Rpta.w ti* ^

Ti j

1 __ n +3« + 3Rpta.( | (1 + l)(i2 + 5i + 6) 2(n + 2)(n + 3)

.2V ------- ---------- Rpta.^ ( 2 / + l)(2 i-l)

w(n + l)^ -( (2 í + 1)(2í - 1) ‘ 2(2n +1)1=1

1 1© Y ---- :— l-------- —— Rpta.

ln(/' )[ln(l + 1) ] 21n2 (/i + l)ln(n + l)

n

(l2) sen2,(2jt) Rpta. tg2 -r (l-sen 2n(2.r))1=1

® V"" „ , sen(3/i + 3)jt + sen(3n*)- sen3jt> cos(3iat) Rpta.

2 sen x

Í 4 ) £ c o s '2 * Rpta.1=1

senn+1 (2x) 2 n+1 sen a:

526 Eduardo Espinoza Ram„

© Y Í - Í ! « ± I > Rpu. 1— ‘------------V_/ Zw 2 {i +(') 2n + 2 2

IV. Pruébese cada una de las siguientes fórmulas por inducción matemática.

® V — -— = — (2) V (3*2 - 3 * + l) =*=1 *=1

n n© = l + (n -l)2 " ( 3 ) ^ cos(2 * -1 ) jc =

k =1 *=1

© X ‘ > = í (,,4+2"J + "2) © ' L y ‘ 2~ 2"*=1 t=l

V.

ti1 — cos(2n*)© Pruébese que: ^ sen(2fc - 1)jc =

2 sen* *=1

n nPruébese que: ^ ^ a r * -1= — —— , r * l

k=\ T

n n© Pruébese que: sí ak < bk , k = 1,2,3.... n; implica ' ^ '^ k -

*=1 *=1

n nPruébese que: | ak \ < | ak \

*=1 *=1

5 / Hallar el valor de n para que: y (2 + í2) = y (l + i2)

sen». 2 nx) 2sen;c


©VI.

©

©

©

y , 'n n nSi jc = — -----, demostrar que ^ ^ (x ¡ - x)2 = ^ ^ x f - x ^ ^ x ¡

í=t 1=1 i=i

Calcular los valores de las siguientes sumai:

a, £ 3 » b) ±7*=1 *=1

Encontrar en términos de n el valor de:

n

I -*=1

n

■> 11 1 1 i■=— -i-— +...+-

*=i /c(Jt -Hl) 1.2 2.3 n(n +1)

m V 1 1 1 1b) / ------------------------1-----¿ J ( k + l)(k + 2) 2.3 3.4

1

*=i (k + l)(k + 2) 2.3 3.4 (« + l)(n + 2)

« i ?*=1

nd) ^ ( 2 * _1+3*_1)

k= l

k= \(*+!)(*+ 3)

n

» Ik+4

k =i k(k+l)(k + 2)

nSi a( = ax.a2.a3...an, evaluar

i=i

a) n „ b)í=i

r¡

IIí=i

. i

d) f í (1—11 (i+i)2i= i


1 v n + 1

n

© Si | l a , = ü |M2.a3...an, pruébese que: i=i

n n 2n+l

■> r i (“')í=<r i “')í b> n ° - F i = 2„+1i=l i=l k=2

n n n

c) ]^ [(ü , + b ¡ ) î=I 1=1 ¿=1

41

© Obtenga la suma de ^ (yj3i-1 - \j3i + 2)i=i

10 12

( ? ) Si ^ ( A k - B ) = 22 y ^ ( A k - — B) = 62, Hallar A + B*=0 *=3

nSí (i2 - — = 72 . Hallar el valor de n

i=i

5 5

Si (ai + b) = 7 y ^ (ai +b) = 20. Hallar a - b.i=-i 1=1

4

© Determinar a y b sí: (aA:+¿) = 10 y (ai + í>) = 14*=o ¿=i

® Sean A y B números enteros positivos tales que sí:

A B

^ ( i 2 - —- i ) = 1944 y (2 i- l) = 1024 . Hallar A + B i=i i=i

( l l ) Demostrar los siguientes ejercicios:

n n n n

a) f J í / ( o r = [ f [ j K o r b)1=1 i=l 1=1 1=1

I

w+1 n n n wC) P [ / ( 0 = / ( « + l ) - J ~ [ / ( i ) d) / ( ' ) ] ” [ «(O

¡=1 1=1 1=1 1=1 1=1

e) J | / ( i ) = JJ/O-l) f) f I - /(0 " /(W)


1» 1 1=1 1=1

w ng) ^ logfc / ( / ) = logfc ( | ~ | /(/))

i=l i=l

/ ( / - 1 ) /(O)

5.19. DIVISIBILIDAD EN z 7 |

5.19.1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.-

Un número entero “a” es múltiplo de otro número entero “b” si existe un número entero “c” tal que a = b.c, de donde se dice que b y c son factores o divisores de “a” y que “a” e s múltiplo de b y c.

Ejemplo.- Como 3 x 5 = 15, el número 3 es un factor o divisor de 15 y el 15 es un múltiplo de 3.

También 5 s un factor o divisor de 15 y el 15 es un múltiplo de 5.

El número 15 también tiene otros factores o divisores, por ejemplo -3 y -5puesto que (-3)(5) =15.

NOTACIÓN.- Usaremos el símbolo b\a paia indicar que “b” es un factor o divisor de “a”.

Si b no es un factor de “a” escribiremos bjfa .

i) DEFINICIÓN.- Un número entero diferente de cero y de uno, es unnúmero primo si tiene únicamente dos divisores; la

unidad y al mismo número.

Ejemplos.-

( V 5 es numero primo, porque sus únicos divisores son 1 y 5.


11 es número primo, porque sus únicos divisores son 1 y 11.

ii) DEFINICIÓN.- Un número encero es compuesto si tiene más de dosdivisores.

Ejemplos.-

4 es un número compuesto, puesto que tiene como divisores a 1, 2 y 4.

© 6 es un número compueîo, puesto que tiene como divisores a1.2, 3 y 6.

© 8 es un número compuesto, puesto que tiene como divisores a1.2, 4 y 8.

iii) DEFINICIÓN.- Sean a * 0. a e Z, el numero a “divide” al número b yescribiremos así:

a\b <=> B c e Z /b = a.c

NOTA.- (T ) a\b significa a * 0, a divide a b.

© Caso contrario ajfb

© Si: a\b diremos “a número factor de b” o “a es un

divisor de b” o “ b es divisible por a”.

E je m p lo .-^ ) 3 1 —12 puesto que existe c = -4 e Z tal que -12 = (-4).3

© 5 | 15 puesto que existe c = 3 e Z tal que 15 = 5(3).

© 3^16 puesto que no existe c e Z tal que 16 = 3c

(3 c = j * Z ) .

Ejemplos.- (T ) 1 | a, V a e Z, puesto que existe c = a / a = a.l.

© a | a. V a í O . a e Z, puesto que existe c = 1 / a = a. 1.

a, V a * 0, a e Z, puesto que existe c = 0 / 0 = a.0.


5.19.2. TEOREMA.-

© Si a | b y c e Z entonces a | be.

Demostración

1ro. a | b hipótesis

2do. 3 k e Z / b = ka 1ro. y definición ai)

3ro. V c e Z / be = (ka) c (propiedad en R)

4to. be = a(kc), V c e Z (propiedad asociativa)

Sto Sea A, = kc e Z entonces be = Xa

6to. a | be 5to. definición iii)

a | b a b | c entonces a | c

Demostración

1ro. a |b a a |e hipótesis

2do. 3 /c,, k2 e Z / b = ak¡ a c = ak2 1ro. y definición iii)

3ro. b + c = akt + ak2 = a(fc, + k2 ) 2do. propiedad distributiva

4to. Sea k = kl +k2e Z => b + e = ak

5to. a | b + c, 4to. definición iii)

a | b a a | c entonces a ! bx + ey, V x,y e Z

Se deja como ejercicio.

© a | b /\ b | a entonces a = ± b


© a , b e Z + /\ a | b entonces a < b



5.19.3. TEOREMA.- (ALGORITMO DE LA DIVISIÓN O TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN)

Dado a, b e Z, con b *■ 0 entonces 3 q, r e Z, tales que a = bq + r, con 0< r < | b |.

Demostración

le r caso: Si b > 0

O Sea A = { a - b x / x e Z a a - b x > 0 ] , construcción.

© A * <¡>, pues si a > 0 a x = 0 d» donde a - bx = a > 0 entonces a e A

S i a < 0 =» - a > 0 y ademas b > 0 por hipótesis

.\ 3 * e ZH / - a 3 *e Z +/ a > -bx => a>b(-x)

entonces 3 jce Z + / a - b ( - x ) > 0 =» 3 a - b ( - x ) e A A * 0

© Entonces A c N a A * <¡> de (1) y (2)

© 3 r = ler elemento de A (del 3) y propiedad del buen orden en N.

© r e A, luego r = a-bxQ para algún x0 e A (definición de A)

© 3 x 0, r e Z / a = bx0 + r , con r > 0 (pues r e A c N ) falta demostrar

que r < b, por contradicción.

© Supongamos que r > b (hipótesis auxiliar)

© r = a -b x 0 >b de 5) y 7)

^9 ) r - b = a - b x 0 - b > 0 (restandob)

(ío ) r - b = a - b ( x 0 + 1) > 0 , luego r - b e A (definición de A)

© Pero r - b < r (pues b > 0 ) a r - b e A entonces r no es el lerelemento de A =>//<= (4)


(Í2) Luego debe cumplirse que r 0 (propiedad de números reales)

@ 3 q, r e Z /a = (-b)q + r con 0 < r < -b parte ' er caso)

(íó ) 3 -q, r e Z / a = b(-q) + r con 0 < r < | b |

17) Dados a, b e Z con b * 0, 3q , r e Z / a - b q + r como 0 < r < | b | de13) y 16) falta probar la unicidad de q y r.

18) Suponiendo que existen otros ql,rl e Z tal que a = bqx + rx con

0 < /¡ < | b | y además cupongamoc que r¡ > r (hipótesis auxiliar).

Entonces tenemos: a = bq + r = bqí +rl de 17) y de la hipótesis auxiliar

b{q ~q{) = rx- r > 0 (restando) => b\ri - r definición iii)

=* \b\\rx- r (prop.edad de la división) => \b\<rl - r ... (a)

de 18) ^ 0< r, - r< | ¿> | - r< | /> | (pues r >0 )

=* rx- r < \ b \ ...(P) =>//<= (a)

debe ser r, = r , como b{q -q \ ) = rx- r = 0 => q = q¡

OBSERVACIÓN.- Si en el teorema anterior r = 0, se tiene a = bq, en estecaso se dice que la división es exacta, y también se dice

que no hay residuo y además rminimo = 1, rm4ximo = b - 1

NOTA.- © Si a = bq, si y solo si b | a si y solo si r = 0.

a = bq + r con 0 < r 1 es divisor común de M y N si n divide a M y también n divide a N.

Ejemplo.- Hallar los divisores de 28 y 36 por separado, es de.ir:

Número Divisores

28 2 , 4 , 7 , 1 4 , 2 8

36 2, 4 , 6 , 9 , 12 ,18 , 36

Los divisores comunes simultáneos son 2 y 4

Luego el máximo común divisor de 2 8 y 36 es 4 , es decir que es el mayor de los divisores comunes.

5.20.1. DEFINICIÓN.- Sean a, b e Z no nulos simultáneamente.

El número D > 0 se llama máximo común divisor (D = (ab)) si y solo si D satisface las propiedades:

i) D | a a D | b

ii) d | a a d | b entonces d | D : d = algún número.

NOTA.- © (0,0) = 0

© Si D existe => D es único es decir:

Si D = (a,b) y D, = (a,b) entonces

\D \a y D \b ^ D \D X|D, \a y Dt \b => Dx \ D

entonces D, = ±D => D¡= D (pues D > 0)

NOTA.- Máximo común divisor = M.C.D. de a y b = (a,b)

E je m p lo .- (8 ,12 ) = 4


5.20.2. LEMA 1.- (a,b) = (b,a)

Demostración

1ro. Sean(a,b) = D y (b,a) = D¡ (construcción)

2do. D | a a D | b de 1ro y definición de M C.D

3ro. D | b a D | a de 2do y tautología

4to. D | (b,a) es decir D | D, condición ii) de M.C.D.

5to. D, | b a Dx\a de 1ro. definición M.C.D.

6to. Dy | a a Di \b de 5to y tautología.

7mo. D, | (a,b) es decir Dl \ D de 6to y condición iij de M.C.D.

8vo. D = DX de 4to. y 7mo.

5.20.3. LrM A 2.- (a,b) = (a,-b)

Demostración

La demostración es similar al lema 1, se deja como ejercicio.

5.20.4. TEOREMA.- Sean a, b en Z no ceros simultáneamente entonces 3 «q.Wq en

Z / D = nâ+m^p ; D = (a.b.t

Demostración

1ro. Sean a y b enteros positivos (por el lema anterior, siempre >e puede tenera y b enteros positivos).

2do. Sea A={an + bm/n, m e Z a aa + bm > 0} (construcción)

3ro. A c N (de la definición de A en 2do)

4to. A * <(> hasta considerar a + b e A

5to. 3 D, = an0 +bm0, 1er elemento de A de 3er y 4to y axioma del buen

orden.


6to. D = (a,b) hipótesis

7mo. D | a a D | b 6 to definición de M.C.D.

8vo. D | an0 + bm^ 7mo y propiedad de la divisibilidad

9no. D | Dj 5to y 8vo.

Probaremos que D, | D por contradicción

lOmo. Suponiendo que D, \^D (hipótesis auxiliar)

1 lvo. a = Dtf + r con 0 <r<D¡ (teorema de la división)

12vo. r = a -D¡q = a-(.an0 +bmv)q 8voy l l vo

13vo. r = a(,í-qn0) + b(-qm0) = an'+bnt' 12vo

14vo. r e A (13vo y 4to y definición de A en 2do)

15 vo. r > D, ( D, es 1er elemento de A en 5to)

de donde =>//<= l lvoyI 5vo

16vo. Luego debe cumplirse D¡ \b de lOmo y 15vo

17vo. En la misma forma D¡ | b (repetir los pasos 1 lvo al 16vo)

18vo. D, | (a, b) de 16vo y 17vo y condición ii) de M.C.D.

19mo. Dx | D 18vo y 6to

20vo. D = D¡ es decir: D = an0 + bm^

COROLARIO 1.- D = el M.C.D. de a y b es el menor entero positivo de la forma an + bm, con n,m e Z.

Demostración

Es inmediato del 5to paso del teorema anterior


COROLARIO 2.- Si m > 0 entonces (ma,mb) = m(a,b)

Demostración

Aplicando el corolario (1) se tiene:

D - (ma,mb) - (ma)n0 +(mb)mVí =m(an0 + bmí))

= m(a,b) por el corolario 1

.*. (ma.mb) = m(a,b)

COROLARIO 3.- S i D > 0 A D | a a D I b entonces: — (a, b)D D D

Demostración

1ro. D | a a D | b (hipótesis)

2do. 3 x, y e Z / a = Dx; b = Dy 1ro y definición iii)

3ro. (a,b) = (Dx,Dy) = D(x,y) Corolario 2

4to. x = — , y = — de 2do.D D

5to. (x,y) = -^(a,b) de 3ro.

L 16to. ^—,—) = — (a,b) de 4to y 5to

D D D

5.20.5. DEFINICIÓN.- Sean a, b e Z no ceros simultáneamente: a y b son “primosentre si” o “coprimos” si y solo si (a,b) = 1.

Ejemplo.- (4,15) = 1 entonces 4 y 15 son primos entre si, además 4 y 30 no son primos entie si puesto que (4,30) * 1

5.20.6. DEFINICIÓN.- ar a2.... an e Z son primo« entre sí, sí y sólo si

(fl1,fl2....,ÍJn) = l


5.20.7. DEFINICIÓN.- av a2,.. ., an son primos entre si 2 a 2 si y solo si (a¡. üj ) = 1.

V i * j

Ejemplo.- 4, 10, 15 son primos eiitre si puesto que (4,10,15) = 1, pero 4, 10,15 no son primos entre si 2 a 2 puesto que (4,10) * 1, (10,15) * 1

Ejemplo.- 4, 9, 5 y 77 son primos entre si 2 a 2.

5.21. LEMA.-

Si a = bq + r, entonces (a.b) = (b,r)

Demostración

1ro. a = br + r

2do. Sean D = (a,b), D, = (b, r)

3ro. D | a a D | b

4to. D | b a D | r

5to. D | D,

6to. D, | b a D, | r

7mo. D, | a a Dx \ b

8vo. D, | D

9no. D = D,

lOmo. Luego (a,b) = (b,r)

Ejemplo.- Calcular (1348,72)

hipótesis

notación

2do definición M.C.D.

(combinación a |b a a | c => a | b x + cy de 1ro y teorema 5.20.4)

4to y 2do y definición M.C.D.

2do y definición M.C.D.

(igual que el 4co paso)

7mo y 2do definición M.C.D.

5to y 8vo puesto que D, D, e Z+

2do y 9no.

Solución


1348 | 7272 18 .-. 1348 = 72 x 18 + 52628 (1348,72) = (72,52) = 4576

52

522. MÍNIMO COMIAN MÚLTIPLO.-

5.22.1. DEFINICIÓN.- Sean a, b e Z no nulos, M > 0, M es el mínimo comúnmúltiplo de a y b denotado por M = [a,b] si y solo si satisface las propiedades.

i) a | M y b | M ii) a | m y b | m = > M | m

OBSERVACIÓN.- Si existe M = la.b] => M es único.

En efecto: Si M = [a,b] y Af,=[a,í>J

í “ 1M, j\M A b \ M M A M

Entonces •{ . . => . => M =M ,i\M] a b \ M x M \ M X 1

NOTACIÓN.-

0 M = [a,b| = es el mínimo común múltiplo de a y b.

© M = [o,,a2 an) es el mínimo común múltiplo de av a2 an .

Ejemplo.- [8.12] = 24

5.22.2. TEOREMA.-

© Si b es un múltiplo de ai,a2,...,an , entonces [ax,a2,...,an]\ b

(a,b) [a.b] = | ab | , Va , be Z

( J ) [ka.kb] = k[a,b], V fc e Z +


demostración

Queda como ejercicio.

5.23. REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NÚMERO Da DO ES PRÍMO.-

La forma práctica para saber si un número es primo es la siguiente:

1ro. Se extrae la raíz cuadrada del número dado, tomando solo la parte entera.

2do. Se divide el número dado entre todos los números primos menores o iguales a la raíz entera.

3ro. Si todos los divisores efectuadas son inexactas, el número dndo es primo.

Ejemplo.- Averiguar si los números dados son primes.

© 97Solución

lro. Sacamos la raíz cuadrada -797 = 9

2do. Los números primos menores que 9 son: 2, 3, 5, 7 y dividimos:

97 12 97 13 97 15 97 1717 48 7 32 , 47 19 , 27 13

1 1 2 6

3ro. Como todas las divisiones son inexactas entonces el número 97 es primo

© 149Solución

lro . Sacamos la raíz cuadrada: >/94 = 12

2do. Los números primos menores que 12 son: 2, 3 ,5 ,7 ,1 1 y dividimos así:


149 [2___ 149 [3___ 149 |_5___ 149 [7___ 149 | j l1 74 29 49 , 49 29 , 2 21 39 13

2 4 6

3ro. Como todas las divisiones son inexactas, entonces el número 149 es primo.

5.24. CRIBA DE ERASTÓSTFNES.-

Es una manera de formar la tabla de los números primos que no son mayores que 100.

9 3 5 X 7 X X11 S 13 V X 17 19 XX X 23 X XX X 29 X31 X X X ' * v 37 X X41 43 x 47 X XX X 53 X X X X 59 X61 X X X X 67 X X71 X 73 X AH 79 XX X 83 X X X 89

X Xx V X X 97 *

En la tabla suprimimos el 1 porque no es primo.

Se toma el 2 el primer primo (porque es divisible por la unidad y por si mismo).

Se suprime en la tabla todos los múltiplos de 2 excepto el 2.

De los que no hemos suprimido, el primer número es 3 que es primo.

Suprimimos en la tabla todos los múltiplos de 3 excepto el mismo 3.

El primer número no suprimido es 5 que también es primo.

Suprimimos en la tabla todos los múltiplos de 5 excepto el mismo 5 y así sucesivamente.

Todos los números no suprimidos serán primos.



© Demostrar que si a y b son enteros positivos tales que a | b y b | a, entonces a = b.

© Si a. b e Z, Demostrar que: s i a | b y b | a => b = ±a

© Demostrar que si a, b e Z, entonces a | bx + cy

© Si a 11 entonces a = ± 1

© Si a, b e Z, entonces si a | b <=> | a | | | b |

© Si a | b.c => a 11 b | c, para a, b, c e Z

© Si c | ab y (b,c) = 1, entonces c | a

© Si (a,m) = (b,m) = 1, entonces (ab,m) = 1

© Demostrar que si ac | be entonces a | b

Dado a | b y c | d. probar que ac | bd

© Demostrar que: Si b |c y (a,c) = l, entonces (a,b) = 1.

@ Dado que (a,4) = 2 y (b,4) = 2 probar que (a + b, 4) = 2.

Probar que si (b.c) = 1 y r | b entonces (r,c i = 1.

© Demostrar que: si b | c, entonces (a,b) = (a + c, b)

® Demostrar que: s i (a ,c)=l , entonces (a,b) = (a, be)

© Demostrar que: si a | c y b |c y (a,b)=l , entonces ab | c

© Demostrar que: si (b,c)=l , entonces (a,be) = (a,b).(a,c).

© Demostrar que: si (a,be) = 1 entonces (a,b) = 1 y (a,c) = 1

© Probar que (a2,b2) = c2 si (a,b) = c.

© Probar que: si (a,b) = (a,c), entonces (a2 ,b2) = {a2 ,c2)


Probar que: si (a.b) = (a,c) entonces fa.b) = (a,b,c)

(22) Probar que: si a 3 \ c 3 , entonces a | c

( 3 ) Probar que: si b \ a 2- \ , entonces fc|a4 - l

(24) Probar que si a y b son enteros positivos que satisfacen (a,b) = [a,b], entonces a = b

(25) Encontrar los enteros positivos a y b que satisfacen simultáneamente las ecuac iones(a,b) = 10 y [a.b] = 100, encontrar todas las soluciones.

5.26. LA FUNCIÓN FACTORIAL.-

a) DEFINICIÓN.- La función factorial es la aplicación / : N 0 —> N definida por:

'/(0 ) = 1 • /(1) = 1

/ ( / i + 1) = (/i + 1)/(/i) si h > l

el símbolo característico de la función factorial es !, en lugar de f escribiremos h!

para indicar f(h) por lo tanto:

0!= 1 1!= 1(/i + l)!=(/i + l)Ji!

La expresión h! se lee “factorial de h” ó “h factorial”.

La función factorial no es inyectiva, puesto que: 0 * 1 y 0! = 1!

b) PROPIEDADES DEL FACTORIAL.-

tiT ) V n e N, n > 2, el factorial de n es dado por n\ = 1.2.3...« =

© (n + 1)! = n! (n + 1) Propiedad degradativa

Sí a! = b! => a = b, a.b e N

1=1


( 7 ) S ía ! = l = * a = l v a = 0

n 1 1©©

(n + 1)! ni (n + 1)!, n e N

1 2 3 n , 1— + —+ — + ...+-------- = 1 —2! 3! 4! (n + 1)! (n + 1)!

nTambién se expresa: > — -— = 1----------

Z w (i + 1)! (n + l)!i=i

© Sean nü, n e N, entonces: nü = n(n - 2)!! Propiedad degradativa de los

semifactoriales.

© Producto de semifactoriales y el factorial:

a) (2«)!!= 2"n! b) (2n + l)!!= (2” + 1)!, n e N2"(«)!

Ejemplo.* Verificar la igualdad: 1 1

1 1 n + 1 1

(n + 1)! n! (n + 1)!

Solución

1n + 1 n + 1-1n! (n + 1)! n!(n + l) (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)!

11n! (n + 1)! (n + 1)!

5.27, NUMEROS COMBINATORIOS.-

a) DEFINICIÓN.- Consideiemos n y k números enteros positivos tales que n > k,rn k

V

d e fin id o por:

llamaremos números combinatorios n sobre k, al símbolo

nik } fc!(n-fc)!

Inducción Matemática 54«

Los elementos de un numero combinatorio se ¿aman numerador y denominador

9Ejemplo.- 9! 5!.6.7.b.9 6.7.8.9 = 7.2.9= 126

5!(9-5)! 5!.4! 1.2.3.4

bl C VSOS ESPECIALES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS.-

©

©

’CP0 /

0 /

0! 0'0!f0—0!)’ 0!.0!

= 1

ni

'n + nn

0 !(« -0 )' n '

(n + 1)! (« + !)' «'(« + !)

© ir ©

ni________ y t)!n!!(« —1)' (» -!)!

' n 'n v /

= — » !n!.0! w*

= « + 1nin!(w + l -n ) ! «'

c) PROPIEDADES DE LOS NÚMER< >S COMBINATORIOS.-

Si dos números combinatorios de igual numerador son tales que la f> ni a de ¡ _» denominadores coinciden con aquel, se llama numero: combinatori a V orderea complementarios.

( 9 ( 9Ejemplos.- I y I son números combinatorios de ordenes compler“*r*dr c-s

© Dos números combinaton >s de ordenes cumplementarras son tgua1::

En efecto:f - \n n

k n - k\ /

' n 'kv

ni nin - kk \ n - k ) \ ( n -k ) lk i

© La suma ae dos números combinatorios es en general un número comoinatoriu

pero si tiene igual numerador y denominador consecutivos vale la formula


n — 1 k - l

n - 1 (« -D ! + (« -D !(k — l)l(n — k)\ k ' . ( n - l - k ) \

k Kn - l ) l | ( /i-fc ).(n -l)! _ , ( .n-k) .(n- l) ' .( k - l ) \ k ( n - k ) \ k\(n — k).{n — l — k)\ k \ . ( n - k ) l k ' . . (n-k)\

(k + n -k ) .{ n — 1)! «.(« — I)! n\ ' n 'k\(n — k)l k\.(n — k)\ k' .(n-kV. k /

Ejemplo.* Si<32> r 32 '

X y je +18< /, Hallar el valor de E =

4 / 5 \ /

'32 ' f 32 'X\ jc+ 18k /

Solución

de donde x + (x + 18) = 32

por lo tanto x = 7 entonces

E-' V

+4 5V > /

7! 7!- + -(7 —4)!4! (7 — 5) !5 !

4Ï.5.6.7 7! 5.6.7 5!.6.7 c 6.7 „----------+ ------ = -------* --------=5.7 + ----- = 35 + 21 = 563!.4! 2!.5! 6 2.5! 2

5.28. PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIAI ES.-

0 . N ® ( :

® [ ó) =‘ - neR ® ("

© Propiedad de los coeficientes binomiales complementarios:

= 0 sí n, k e N, n < k

= n , n e R

V ' n 'k n - k\ /

,n> k, n,ke N


® n l [ n (n + nSuma d t pares de coeficientes binomiales: + = , s i k e N ,n e R

v I* b t+ i jt + iv / V, / V /

© Suma de los coeficientes binomiales de inferiores iguales y superiores decrecientes.

/ \ f i \ / í \ í , i \ m ( m — 1 [ m — 2 íi| w + l i+ + +...+ = ; n e N

n n n n n +1\ / \ / / \ / \

© Suma equivalente en la versión de complemento:

í m \ í m - 1 W m - 2 \ f n ' ( m + V, n e N

m — n m - n - lm — 1

m - n - 2 0 / n + 1

©f \ m0 / 1v /

m2 /

mn /

/ \ / \ / \ / \m m m m

— + — + ...±1 3 5 1 /n--1

\

r > r \ í \ f > /m m m m m

+ + + + ...+0 2 4 6 m- -1V / v / V / \

/ \ í \ r \ / \ / \1 m m m m fti

— + — + ...± =

1 2 3 4 mv > v. / / \ >

= 2 " ' , m e N , pares

= 2” 1, m e N, impares

= 0 , m e N

(o i |np lo

m Y n

p - i hw Y n

{ p - H 2 ) 0 I pV A r /donde m. n, p e N

(l4) Igualdad de coeficientes binomiales:Vb

a = p a b=q , b,qe.N v

a = p a b-i q~a = p, a,b,p,qe N

( ís ) Propiedades degradatividad de los coeficientes binomiales:

n - 1

*1 fc -1, degraden el superior e inferior, n e R, k e N

548 Eduardo Espinoza liam os

n - k, degrada únicamente el superior, n e R , k e N

M i a 1 /—V í ” Ìk y k k - l\ /

degrada únicamente el inferior, n e R, k e N

5.29. EL TRIANGULO DE BLAISE PASCAL O DE TARTa GLIA.-

11

11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 iO 5 11 6 15 20 15 6 1

11

87

2821

5635

7035

5621

287

81

11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 45 120 210 252 210 120 45 1011 55 165 330 462 462 330 165 55 11

Los elementos equidistantes de cada fila son iguales

5.30. POTENCIAS DE UN BINOMIO.-

a) BINOMIO DE NEW1ON.- L'na aplicación de los i íúmeros combinatorios sepresenta en el desarrollo de la potencia de un b’nomio

con exponente natural que se conoce con el nombre de binomio de Newton que está dado por:

( \ f \ ( $■a + b)” = " W +

n3”~ V + .. .+ " I v

o r 1 1 2 n ) / K / \ / \ /

mediante el símbolo de la sumatoria, se expresa:

(i)a”' kbk

k=<) ' k )

El binomio de Newton se demuestra por inducción matemática:


i) Para n = 1 se tiene: a + b ■- Í Í 1 V * -k= o

O v /a +

ii) Para n = h se tiene: (a+b)n =- I1=0'' /

es verdadero por la hipótesis

inductiva.

A f /i +1 'iii) Para n = h + 1. demostraremos que: (a + b) = > I

* =o v /

a(h+$-kbk

En efecto se tiene:

(a + b)h+] =(a + b)h(a+b) = ( £ ¡ hk W'*=0

kbk )(a+b)

,h~k +1

ah+' + -h—k+lrka b

I a M +

h + i

„h+\-kuk a D

"aM +f h 'h /

bM +*=i * -1v /

«*♦' +if/¡ + l \

„ h + \ - k u k , a b +'h + \ '

&a+ih + l

v. >

i+lh + \ ah+¡ k^k (propje(iadcs de N° combinatorios)

A = 0 v '

550 Eduardo Espinova Ramos

OBSERVACIÓN.- En el desarrollo del binomio de Newton se tiene:

Ca -

se tiene:*=o '

an~kbk =V

an +

g

a"-lb + ...+ r -1 an-kbk + ...+V

\ k J 0 \ / 1\ / n\bn donde

es el coeficiente del primer término

es el coeficiente del segundo término

es el coeficiente del k + 1, término

de donde él término que ocupa el lugar k + 1 es: *+1 — k

esta fórmula nos permite obtener un término cualquiera cin necesidad de conocer los anteriores.

Ejemplo.-

( ? ) Hallar el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de (a-8 — í-)12x

Solución

„96-12 k

Él término independiente corresponde a 96 - 12k = 0 de donde k = 8 luego el

coeficiente es: (-1)12k\ /

= ( - i y12!

8 !(12 — 8) != 495

( 2) H a lla r e l desa rro llo de l b in o m io (x2y + —)5

Inducción Matema.iea 551

t=o ‘

Í 5 N

Solución

2 a

0 r w +í’5 '11V A' 2 / 3 /

( a 2 > ) 2 ( - ) 3 +A'

r5 ' , J . 2.„ 4 5Â *(A2 >’)(-) +

4\ X 5 r

= i ' V V l í » * 7 / + 4 0 a V 4 8 0 A 7 2 + G O a - 2 y + 3 2 a - 5

®

i ^ n I rEncuéntrese él término que contiene x~y~ en el desarrollo de: ( a >’-------—)y

Solin ión

Suponiendo que k + 1 es él término que contiene a x12_y2 esto es:

x 2y)n~k ( -y~2)k para n = 8

7/t+i _ r 8 V r t ' - ‘ ( - y - 2)‘ =k\ /

Luego 2C8 - k) = 12 de donde k = 2

Por lo tanto A12_y 2 es el tercer término y su valor es: ^ 2y 2 = 2&x,2y 2


0(n + 2)! (« + 12)! - , ,Si ---------= 5 H------------ , para n e N, encontrar el valor de n.

«! (« + 11)!

552 Ed ta rd o Espinoza Ramos

©

©

©

©

©

©

©

„ ni 3 ni ni 3Demostrar que: ---------H-----------h---------- - n(n —3)! (n —2)! (n-1)!

Demostrar que: (n + l)[n.n! + (2n - l).(n - 1)! + (n - l).(n - 2)!] = (n + 2)!

(w + 1)! mi (w-1)! , < .Si ----- -— + ------ — + ------ -— = 6 y n = 2m t-1. Hallar el valor demi (m-2) l ( m - 2)1

f nm

V /

Sí

Si

Si

Si

1\

+ 142 M 3

+ 2 4

k'n + r rn + f

= 1 y'« + r rn + 1 >

+ Tm +1\ mK > m\ > w -1 /

: 256 . Hallar el valor de n.

= —, Hallar m.n 3

' n ^m\ m + \ y 4

( n \ J n ' m - 1m\ /

= 5 . Hallar m + n

'22'' r 2 1 ' 1 1

= — y'm+ 3 ' w + 2"

2« A 2- - 1, 7 3 3 2k /= m + 2, Hallar el valor de m2 +n2

SiV V '18' f 18 'II 00 y —

5\ > 4V

4\ w + 2V /= 0 , para m * 2. Hallar el valor de m + n

, Si n e N y

O00 000

3n2 - 4\ > 2«—1V. /

, Hallar el valor de A = n - 5

Si' 50 ' ' 50 ^je2 -2 0 y S' 00 1

>-----

----

. Hallar el producto de todos los posibles valores enteros de x.

V '2 n - f r2 n - l " 2 n - 3 ' r2 * - 3 N; Sean >4 = + y fi = +

n — 2\ n - 1 \ > n - 1 / n\ /

A 132 „ „tal que — = ---- . Hallar nM £ 35

14) Sea x e N ta l que40 ' 40 ’ V '— , entonces hallar el valor de A =

a 2 + 15jc — 10\ 5.V + 6\ y3

V /


15 t Demostrar que:

@

rt + 1: £ ( - V

k=0

r« + r= ( - l )"+1

r n 'k\ V rt + 1V /

, V n e Z +

Determinar el valor de “n” sí: Cw + 0 -(w+9). _ 28?(n + 10)!+(«+9)!

, 2(2n-+10n + 12).(2« + 5)!(2n + 4)!Calcular n en: -------------------------------- 1------- — = 86!(2n + 5)! —(2n + 4)!

íl2 0 '+ lV -5 m i. Calcular a y b en — —rr:— = (a!!)(120!— 1)!

19) Calcular m en 1!.2‘ + 2!.32 + 3!.42 + ... + 20L212 = m \ - 2!

Calcular n en: (/1 + 1)! + ■■ + 1)!+... + — = 209n\ (« —1)! ( « — 2)! 1!

Calcularn en: ——— —^ - = 5040(«2—8/1 + 15)(« - 3)! - (« -4 )!

m\n\(22) Calcular n y m en la relación: 12m\ +«! /i2 — wj2 +3

si m!.n = n!

14423) Resolver [ |jt|]!+------ = 30, x e R - {0}L J [| jc|]!

24) Calcular “n" en **■ + l°"* 8 X 3 . + 5)K3.-f4 )!^(3« + 5)! -(3n + 4)!

2" [(2 n)\]225) Simplificar

Rpta. n = 18

Rpta. n = 40

Rpta. a = 5, b = 2

Rpta. m = 23

Rpta. n = 19

Rpta. n = 13

Rpta. n = 34

Rpta. n!(4n)'!.(2n-l)ü

^¿ó) Sí (x — 3)! = 1, cuáles son los posibles valores que puede tomar x. Rpta. x = 3 o x=4

.¡7) S i se cum p le que (a - 2 )! = 6 entonces e l v a lo r de a es. R p ta . a = 5

554 Eduardo Espinoza Ramus

28) Calcular el valor de “x” sí: ——— *■— = 720(a2 - 1 2 * + 35) Rp.a. x = 14(x-5)! -(a-6)!

(X + k ) ' n + it +1'

{* J k + 1k, /29) Demostrar que:

a=ü

Hallar el coeficiente de a *1 en ( 2 a 4 - a ) 9

pan* todo entero no negativo n y k.

(31) Hallar el coeficiente de a en (a + — )x~

$2) Hallar el coeficiente de y en (— - — )7 „„ ,_1__ 2y2 Ni44 y3 3

(33) Demuestrese que ^ 1= 2"jt=o v >

( 2 ) Desarrolle, usando el teorema del binomio.


(35) Proporciónese el término *}ue contiene a a 8 en el desarrollo de (2v3 —yJ.X

(3ó) Proporciónese el término que contiene y7 en el desarrollo de (x + y )M

(3 ^ Proporciónese el termino que contiene a a 5 como factor en el desarrollo de ( v 2 - x )

38) Encuéntrese el término que contiene x y 2 en el desarrollo de (x2v — y )8y

^ 9 ) Determine él término que no tiene factor a x en el desarrollo de:

a) (x2 +-j> b) (jr + -V)3” c) (4 - + — )12X x- x4 4

(40) Sean x e y dos números reales positivos, tales que x + y = 3,

Hallar x 2 + y 2.

52 /

3 2 x y + = 120.

(41y El sexto término de - 2y )” es 33av y . Hallar (a + n)

(42) Al desarrollar (jc + oy)” , en orden decreciente con respecto a las potencias de x, se tiene

el cuarto término igual a 672a 6y 3, hallar n - a.

® 3x2 2Que término del desarrollo de (—----- )15 está formado por potencias iguales a x e y.

y 3 a

^ 4) Que término del desarrollo de 0—— ^ - ) 18 tiene a x e y con el mismo exponente.— y- a

( 4 5 ) Si el quinto término del desarrollo de ( 2 a 2 — — es 2 6 4 0 a-1 8 y 12, determinar el

coe fic ie n te de l té rm in o que con tiene a a 15 .


46) En el desarrollo del binomio (9.v2 ■ Hallar el coeficiente que contiene a *12.

(4 7 ) Hallar el téirr„no independiente de x e y en el desarrollo de (—r+ -^ -7-)12y~ 4x

Rpta. 495

.2® 3x 1H allar el término independiente de x en el desarrollo de (—— — )9

Rpta. — 18

© Hallar el coeficiente del término central del desarrollo de )" , si la parte literalya+1 jt°

de dicho término es x 20y 24. Rpta. 70

Números Complejos 557

C A P I f U L O V I

N U M E R O S C O M P L E J O S

6.1. ECUACIONES SIN SOLUCIÓN EN R.-

Consideremos una ecuación sin raíces reales: x~+2 = 0, es[ x s R I x 2 +2 = 0)=(¡>. esto es debido a que: VxeR, * ‘ > 0 ,

decir:luego

x 2 + 2 > 0 x e R..

GENERALIZANDO.- Consideremos la ecuación ax' hdjc + c = 0, 6 * 0 , con

coeficientes reales, no tiene solución en R. Sí el discriminante

es menor que cero, es decir: b2 - 4 a c < 0 .

Luego para resolver la ecuación ax1 +bx+c = 0 , ampliaremos a otro conjunto llamado

el conjunto de los “ Números Complejos”.

6.2. DEFINICION.-

Llamaremos números complejos a todo par ordenado de números reales el cual

denotaremos por z = (a , b).

Al conjunto de los números complejos denotaremos por:

C = R x R = Ua,b) / a e R A b e R J

6.3 DEFINICIÓN.-

La parte real de un número complejo es su primera componente y la parte imaginaria es su segunda componente, luego tanto la parte real como la parte imaginaria de un número complejo son números reales. Si z = (a,b) es un númeru complejo, entonces la parte real de z = (a,b) denotaremos por: Re(z) = a, y la parte imaginaria de z = (a,b)denotaremos por: Im(z) = b


6.4. EL PL/vNO CCMPLEJO.-

Entre los núm iros complejos y los puntos del plano cartesiano, existe una correspondencia biunivoca, de tal manera que todo número complejo z = (a.b) se puede representar geométricamente por un seg: nento orientado (flecha), que tiene su origen, en el origen de coordenadas y su extremo en el punto (a,b).

Un número complejo es real, si y sólo si, su parte imaginaria es cero; un número complejo

es imaginario puro, si y sólo si, su parte real es cero. Ez decir:z = (a,b) un número

complejo es real <-> Im(z) = b = 0

z = (a.b) un número complejo es imaginario puro <-> Re(z) = a - 0

Ejemplo.- Determinar analíticamente y gráficamente los complejos z = (x,y), tal que

verifiquen:

Y“

b Z = (a,b)

0 a X

6.5. DEFINICION.-

Re(z) = 5 Im(z) < 4

Ro(z) + Im(z) = 3 a -1 < Im(z) < 1

SoluciónY

© Sea z = (x,y) un número complejo, entonces

Retz; = x. pero como Re(z) = 5, entonces

x = 5. es ana recta paralela al eje de ordenad?c

que pasa por el punto de abscisa x = 5 0 5 X


Sea z = (x,y) un número complejo entonces

Im(z) = y, pero como Im(z) < 4 entonces

y < 4, que corresponde al semiplano que

contiene al origen , cuyo borde es la recta

de la ecuación y = 4 (ver gráfica ).

Sea z = (x,y) un número complejo de

donde Re(z) = x a Im(z) = y, pero como

Re(z) + Im(z) = 3, entonces x + y = 3,

que nos representa la recta que pasa por

los puntos (3,0), (0,3)-

© Sea z = (x,y) un número complejo, de

donde Re(z) = x a Im(z) = y pero como

-1 < Re(z) <1 a -1 < Im(z) < 1 entonces

-1 ¿ x < 1 a -1 < y < 1

6.ó! EJERCICIOS PrtOPUESTOS.-

Describir analíticamente y gráficamente las siguientes relaciones:

© Re(z) = -3 © Im(z) = -2

© Re(z) < 0 © Im(z) > 0

© Re(z)+ Im(z) = -2 © Re(z) - Im(z) = 4

© Re(z) = Im(z) © 5 Re(z) - 3 Im(z) = 1

© -2 < Re(z) < 2 © -2 < Im(z) < 2

© Re(z) + Im(z)< 0 © Re(z) + Im(z) < 1

© Re(z) + Im(z) > -2 © 4 Re(z) - 5 Im(z) < 1

® -3 < Re(z) < 2 a -2 < Im(z) <3

560 Eduardo Espinazo Ramos

-2 < Re(z) < 2 A -2 < Im(z) < 2

2 < Re(z) < 4 A 2 < Im(z) < 4

@ -6 v Re(z) < -2 A -6 < Im(z) <-2

® -3 < Re(z) < 5 A -5 < Im(z) <-2

® -5 < Re(z) < -3 A 2 < lm(z) <5

6.7. CERO Y OPUESTO DE LN NÚMERO COMPLEJO.-

Un número complejo es cero; si, tanto su parte real, como su parte imaginaria es cero, es decir: z = (a,b) es un número complejo cero <=> a = 0 a b = 0.

El opuesto de un número complejo z = (a,b; es definido por:

- z = - (a,b) = (-a, -b)

Z = (-a,-b)

(a,b)

6.8. OPERACIONES EN COMPLEJOS.-

a) IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS.-

Dos números complejos son iguales cuando tienen iguales su parte real y su parte

imaginaria, Es decir: (a,b) = (c.d) <=>a = C A b = d

E je m p lo .- z ,= ( 2 ,3 ) y ¿2 ~ (2 ,3 ) son iguales ( £ [ = z 2 )


Ejemplo.- z ,= (2 .3) y z2 = (3,5) no son iguales 2)

Luego: (a,b) *■ (c,d) <=> a *■ c y/o b * d

b) SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS.-

La suma de dos numeres complejos, es un número complejo, que tiene por parte real a la suma de las partes reales de los sumandos y por parte imaginaria a la suma de las partes imagjiar.as de las miomas, es dec.r:Sí = (a,b) y z2 =(c,d) entonces la suma: zi + z2 =(a + c,b + d)

Ejemplo.- Calcular la suma de (2,4) y (3,5) es decir:

(2,4) + (3,5) = (2 + 3 ,4 + 5) = (5,8)

c) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS.-

Sean z¡ =(a.b) y z2 = (f. d) dos números complejos, entonces se tiene:

Zi + z2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = z3

d) PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS.-

Sean Z!. z2, z3 e C , entonces:

Px Propiedad de Clausura: z, + z2 e C

P2 Propiedad Conmutativa: z, + z2 = z 2 + z¡

P3 P rop iedad A soc ia tiva : (z , + z 2 ) + z 3 = Zi + ( « 2 + z 3 )


P4 Propiedad de Existencia y Unidad del Neutro Aditivo:

Existe el elemento neutro w e C tal que:

z + w = z, V z e C

Ps .- Propiedad de Existencia del Inverso Aditivo, para cualquier z e C existe otro

elemento que denotaremos por -z, tal que z + (-z) = (0,0).

NOTA.- La demostración de estas propiedades se deja para el lector,

e) SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS.-

Sean z, =(a,b) y z2 = (c,d) dos números complejos, definimos la diferencia de

z, y z2 por: z, - z2 = Z| + ( -z 2) . es decir;

zx - z 2 =(a,b) -(c ,d) = i a - c , b - d )

Ejemplos.- Efectuar las operaciones indicadas analíticamente y gráficamente.

© (3,4)+ (5,2)

Solución

(3,4) + (5,2) = (3 + 5, 4 + 2) = (8,6)


© (6, 2) - (2,-5)Solución

(6,-2) - (2,-5) = (6,-2) + (-2,5) = (6 - 2, -2 + 5) = (4,3)

(2,3) - (-4,5) = (2,3) + (4,-5) = (2 + 4. 3 - 5) = (6, 2)

\

(2 ,3 )

564 Eduardo Espinozo Ramos

f) MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS.-

Sean z, = {a,b) y z2 = (c,d) dos números complejos, al producto de z, y z2

definiremos por:

z, .z2 = (a, b).(c, d) = (a c - b d , ad + be)

Ejemplo.- Sean z, = (2,3) y z2 = (1.5)

Luego zv z2 = (2,3).(1,5) = (2-15, 10+3) = (-13,13)

g) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CC MPLEJOS.-

Sean z ,, z2, Z3 e C , números complejos, entonces:

P j.- Propiedad de la Clausura: z, .z2 e C

P2.- Propiedad Conmutativa: z l.z2 = z 2.zl

P3 .- Propiedad Asociativa: (z,.z2).z3 = z¡ -(z2.Zj,)

PA.- Propiedad Distributiva: z,.(z2 + Zj J = Z|-Z2 + Zi -z3

P5 Propiedad de Existencia y unicidad del neutro multiplicativo. Existe un único

número complejo u tal que u.z = z, V z e C siendo u = (1.0)

Pb Propiedad de Existencia y unicidad del inverso multiplicativo. Para cada

número complejo z * (0,0), 3 a e C tal que, z.cx = u siendo a = z_1; u=(l,0)

P - , Para z e C, k e R, k.z = k.(a,b) = (ka, kb).

Demostraremos la propiedad Pb , las otras propiedades dejamos como ejercicio para el lector.

Sea z = (a,b) *(0,0), suponiendo a = (x,y) tal que, z.a = u, siendo u = (1,0), es decir: (a,b).(x,y) = (1,0). que al efectuar la operación se tiene:

(ax - by , ay + b x ) = (1 ,0 ), p o r d e fin ic ió n de igua ldad tenemos

Múmeros Complejos 565

{:ax—by = 1 ay + bx = O

resolviendo el sistema se tiene: x = —---- -a +b

b

Observamos que: (a,b) * (.0,0) <=> a * 0 y/o b * 0, entonces a 2 +b2 * 0

por lo tanto:

Ejemplo.- Sí z = (3,5) => z '= ( — ,——)34 34

h) UKIDAD Y RECÍPROCO.-

E1 elemento neutro multiplicativo es la unidad compleja y denotaremos por

u = (1,0) o también i = (1,0).

El inverso multiplicativo a de un número complejo z = (a,b) *■ (0,0) se llama

Obser ación.- El número complejo (a,0) se identifica con el número real a, y denotaremos como (a, 0) = a, en forma intercambiable.

i) DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS.-

Sean z,, z2 e C , siendo z2 * (0,0), la división de z, y z2 definiremos por:

— = z, .z21 de esta definición obtenemos la regla para la división.Z2

reciproco de z y denotaremos por: a = z_1 = (

Sí z, = (a,b) y z2 = (c,d ) *(0 ,0), entonces: z2‘ = ( C ,— d 2)c +d c +d

— =zi-z2l =(a,b).( 2 , j2 c +dc d ac + bd b c -a d

TT' ~ * ü TT * ó IT'

Luego:ar +bd b e -a d

566 Eduardo Espinosa Kamoc

6.9. UNIDAD IMAG1NARIA.-

E1 número complejo imaginario puro de segunda componente igual a 1, se llama unidad

imaginaria y denotamos por: i = (0,1).

OBSERVACIÓN.- La multiplicación de un número complejo real por la unidad

imaginaria permuta las componentes, es decir:

(í>.0).i=(í>,0).(0,l) = (0,í>)

6.10. FORMA STANDAR (RECTANGULAR O BIMOMíCA) DE DOS NÚMFROS COMPLEJOS.-_____________________________________

Sea z = (a,b) un número complejo, por definición de suma tenemos :

z = (a,b) = (a,0) + (0,b) = a (1,0) + b (0,1) = a + bi

Luego z = a + bi es la forma estándar (rectangular o binómica) del numero complejo z.

6.11. TEOREMA.- Demostrar que: i2 = -1

Demostración

i2 = i.i = (0,1).(0,1) = (-1,0) = -1 por lo tanto i2 = -1 , como i 2 = -1

entonces i = >/—1

6.12. L \ CONJUGACIÓN EN C.-

a) DEFINICIÓN.- Llamaremos conjugado de z = a + bi al número complejo a - bi,

al cual representaremos por z = a - b í

b) DEFINICIÓN.- Dos números complejos son conjugados si difieren solamente en

sus partes imaginarias en los signos.

Los números complejos conjugados caracterizan puntos simétricos respecto al

eje real, asi: Si z = a + bi su conjugada es: z = a - bi


PROPIEDADES: Sean z ,,z 2, e C, Entonces:

z ,± z 2 = z ,± z 2 P2 .- z ^z2 = z x.z¡

Pi - Z] = Z[ ^4-— (Z[) = (Z| ) . Zj * (0,0)

p5.~ (— ) = = , z2 * ( 0,0) z2 z2

6.13. MÓDULO DE UN N UMERO COMPLEJO.-

E1 módulo de un número complejo z = a + bi es un número real positivo definido por:

\\z\\=Ja2+b

Geométricamente; el módulo de un número complejo z = a + bi, es la longitud del

segmento orientado que representa a z = a + bi

Ejemplo: Sí z = 3 + 4i => || z || = J s 2 +42 = 5

a) PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Sean z ,, z2, z3 e C, entonces:

Px Sí z, * (0,0) => || z, || > 0 P2 Sí || Zl || = 0 =» z, = (0,0)

56G Eduardo Espinoza Ramos

P3 - Sí || Zj ||=|| -z , || = || z, || P* - Sí || z, ||2= zj .zx

p5 - | |z ,+ z 2 II ^ ||z , Il + I1z2 II

P n - II Z,-Z2 II = II z, II-IU2 II Pg.- Re(z)< II z II, Im (z )< ||z ||

Demostraremos la propiedad P5 , los demás dejamos para el lector:

II Zi + z2 ll2= CZi + Z2).(Z, +Z2) =(Zl +Z2)-(Zl + z2)

= Z,.Z, +Z,.Z2 +Z2.Z,+Z2.Z2 =|| Zj II2 +Zi-Z2 +Z,.z2 + | |z 2 |f

= II Z, II2 +2Re(Z] .Z2)+ II Z2 II2 < II z, ||2 +21| z, | | . || z2 || + 1| z2 ||2

= 11 Zi II2 +2|| Z, II-IU2 ll + llz2 II2 = ( ||z I IM Iz .JI)2

Por lo tanto: || z, + z 2 ||2<(|| z, || + | |z 2 ll)2

••• II z, + z 2 II ^ llz. II + IU2 II


Sean z, = 1 + 2i = (1,2)

z2 = 3-5/= (3-5)

z3 =1-3/= (1.-3)

Como (1 + 2i)x + (3 - 5i) y = 1 - 3/, entonces

(1,2)*+ (3,-5) y = (1,-3)

(x,2x) + (3 >’,-5 > ’) = (1 ,-3 )

© Hallar los valores de x e y s í : (1 + 2i)x + (3 — 5í)y = 1 - 3i

Solución


(^ + 3y , 2 * -5 y) = (1,-3) , por igualdad

Íjc + 3>’ = 1 4 5< resolviendo el sistema se tiene x = ----- , y = —\ 2jc—5y = —3 11 11

© Determinar los números reales a y b sabiendo que. (-1 + /') a + (1 + 2i) b = 1

Solu~i3n

Sean = -1 + í = (—1,1)

z2 = 1 + 2/ = (1 ,2)

z3 = i = 1 + 0/ = (1,0)

Como ( - l + z')a + (1 + 2/>í» = 1 , entonces: (-J,1)a + (1,2)¿> = (1,0)

(—o + b . a + 2b) = (1,0) , por igualdad

- a + b - \ . . 2 , 1, resolviendo el sistema a = — , b = —

a + 2b = 0 3 3

© Expresar cada uno de los siguientes ejercicios como: 1,-1, i, —i

a) i3S>oluc.on

i3 = i 2, i = - i ,de donde i3 = - i

b) z7Solu

i1 = (j2)3j = (-1)3/' = - / ' de donde i1 = - i

c) i®Solucion

/ 8 = ( j '2 ) 4 = ( - l ) 4 = 1 , de donde /'8 = 1


d) i 14Solución

i 14 =(¿2)7 = ( - l ) 7 = - 1 , de donde í14 = —1

e) i17Solución

i17 = (z2)8 ./ = (—l)8/' = i , de donde i17 = i

© Efectuar las siguientes operaciones y el resultado expresar en la forma binómica

a) (5 + 70 + (8 + 2/)Solución

(5 + 7i) + (8 + 2i) = (5 + 8) + (7 + 2)i = 13 + 9/

b) (2 + a/3/).(5-6a/3í)Solución

(2 + n/3i).(5 - 6>/3i) = (2, n/3).(5, -6-Ü)

= (10 + 18.-12n/3 +5n/3) = ( 2 % - l S ) = 2%-lJSi

(2 + i).(3 - 2i).(l + 2¿)

Solución

c)(1 -0 2

d)

(2 + 1').(3- 2/).(l + 2/) = ( 8 - i)(l + 2/) = 10 +15/, además ( l - / ‘)2 = -2 i, luego

(2 + 0.(3-2Q.(l + 2Q 10 + 15/ _ (10 + 15Q.(Q _ -15 + 10i _ 15 t g ( 1 -0 2 ~ "21 ” (-20-i 2 2

/4 +«9 + /162 -« 5+ /10- / ' 5

S o lu c ió n

/'4 + i 9 + 116 = 1 + / + 1 = 2 + 1


2 - i5 + i 10- « 15 = 2 — i — 1 + i = 1

. i4 + i9+ i16 2 + i . . LUe8° 2 - i , + ii0—i15 = i =

, 3 (1 + i ) 2 2(1 - O 3e) y------------------ T

(1-0* (1+0Solución

3(1 + 0 = 3(111)2 = 2[(1 + 0(1 + / ) j2 _ 3 ^ 2 _ _3 (1 -0 i - i (1-0(1 + 0 2

2(1 1)3 = 2(— )3 = 2[——— ——]3 = 2(— )3 = 2/ (1 + 0 i + i (1 + 0 (1 -0 2

3(1 + O2 2(1- O 3Luego se tiene: -------- ------------— = -3 - 21(1—0 (l+O

f) l ± i + - í - I 1 - /'

Solución

l + i i _ (1 + 0(-Q /(l + O _ 1—i * —1 _ 1 i~ T 7 ^ 7 “ i ( - i ) (/ —l)(l + 0 ~ 1 2 ~ 2 2

g) d + 0 " + ( l - 0 "Solución

Si n es par entonces:

a) n = 4k. k e Z . Entonces (1 + i)” = ( l + i)4* = ( —4)*

(1 -0 " = ( l - 0 4* =(-4JÉ

(1 + 0 ” + (1-0" =(-4)* + (-4)* = 2(-4/, k e Z


b) n = 4k + 2 , k e Z entonces: (1 + j)" = (1 + j)4t+2 = (-4)*(+21)

(1 -0 " = (1-|-)4*+2= M )* ( -2 i)

(1 + 0" + ( l - 0 " = 2i(—4)* -2 i( -4 )k =0

Si n es impar entonces:

a) n = 4 k + l, k e Z, entonces:

(1 + 0" = (l + i)4*+I = (—4)* (1 + 0

(1 -0 " = ( l - i ) 4t+l = (■ 4)* (1 — 0

(l + i ) " + ( l - 0 " = (—4)*(l + 0 + (“4)*(1 —i) = 2(—4)* , k e Z

b) n = 4k + 3, k e Z, entonces

(1 + 0" = (l + i)4t+3 = (-4)*(-2+2i)

(1 -0 " = ( l - 0 4*+3 = (-4 ) * ( -2 -2 0

(l + i ) " + ( l - 0 " = (~4)k {—2 + 2fl + (-4 )k (-2 - 2i) =

( 5) Calcular 1", donde n es un entero.

Solución

Si n es par entonces

a) n = 4k, k e Z, entonces: 1" = ¡4* =1

b) n = 4k + 2, k e Z, entonces: 1" = i4*+2 = iAk i2 = -1

Si n es impar entonces:

a) n = 4k + 1, k e Z, entonces: 1" = i4*+l = i4k.i = i

b) n = 4k + 3, k e Z entonces: i" = i 4k+3 = i4k J3 = - í


Ct) Demostrar que: ^ + , = i" (1 - i)W 4 (1 - 0”_1

Solución

(1+/)" _ (1 + í)"-1 (1 + 1) = !+£„_, +(1 -0 (1-i)" 1-»

= (O"“1 ( l +0 = <n(1+l) = - A t iK j l - i" (i - i)i /(-/)

© Probar que:

a) Re(z) = —-7—

Sea z = x + y => z = x - i y , luego

b) Im(z) = - —-2 i

Solución

Sea z = x + íy => z = x - i y

^ = x + i y - ( x - j y) = 2iy = y = m z )2 2 i 2 i

c) Im(iz) = Reí z)

Solución

Solución

Z + Z x + iy + x - i y 2x2 2 2

x = Re(z)

Im(z) = 2i

Sea z = x + iy => iz = -y + ix => Im(iz) = x

además Re(z) = x entonces Re(z) = Im(iz)

574 Euiiardo Espinoza Ramos

d) Im(z,.z2) = ReU ^.Im U jJ + Im újVReízj)

Solución

Por el ejercicio b) se tiene Im(z) = Z Z

Luego Im(z,.z2) =

2 /

z,.z2 -z iz 2 _ 2 z,z2 - 2 z,z22 i 4 i

jm / ■ _ z,z2 ztz2 | z¡z2 z,z2 _ Z¡ + Z¡ Z2__ z¡_+ z¡ z2 + z2

1 2 4 i 4i 2 ■ 2 í 2 i ' 2

= Re(z1).Im(z2) + Im(z,).Re(z2)

Si z es un número complejo tal que: || z || = 1, calcular || 1 + z ||2 + 1| 1 - z ||2

Solución

II1 + Z II2 + II1 - Z II2 = (1 + z)(l +"z) + (1 - z)(l -1 )

= l + z + z + ||z ||2 +1-Z-Z+1| z ||2 = 2 + 2 | |z | |2 = 2 + 2 = 4

© Demostrar que: || z - —i II = — sí z = ——— , donde a es un número real.4 4 1 + 2 ai

Solución

3 . i - a 3 . 2a + iz — i = -------------1 = --------4 l + 2ai 4 4 + 8cí

3._ 2a + i _ (2a+ 0 (4 -8 « /) _ 16o 4 16^4 4 + 8fli (4 + 8o0(4 - 8ai) 16 + 64o2 16 + 64c2

3 . a 1 - 4 a1 . . . .z — i = -------- + ---------- i , de donde4 l + 4 a 2 4 + 1 6 a 2

z - - í II = J ( - £- 2')2 + (-L ^ £r > 2 = i4 V 1 + 4 « 4 + 1 6 « » 1 6 4


Calcular z2 siendo Z = - 1| -1 + / 1|

Solución

||1 -» || = >/Í+I = V2 => z = -y¡2 + yf2i

z2 = ( -y ¡ l+ j2 í )2 = 2 - 4 / - 2 = -4¿ /. z2 = - 4í

Hallar el número complejo z tal que: || z || = 1 y Re(z) = 0

Solución

Sea z = x +iy => Re(z) = x = 0 => z = 0 + iy

Como || z || = 1 => || z || = ' Jy2 = 1 => >’2 =1 => y = ± l z = ± i

Describir y construir la gráfica del lugar representado para cada una de las ecuaciones

siguientes

a) || z - i || = 2Solución

Como z = x + iy

entonces || z - í || = yjx2 + ( y - l ) 2 = 2

de donde x 2 + ( y - l ) 2 = 4 , que es

una circunferencia de centro (0,1) y radio 2.

b) Re[z(z + 2)] = 3Solución

Sea z = x + iy => z = x - i y

Como z(z + 2) = 3 => (x + iy)[x - iy + 2J = 3*r.

x 2 + 2 x + y 2 +2>#*= 3 Je dondi x~ + 2 x + y 2 =3 entonces (x + 1)2 +>'2 - 4 que

es una circunferencia de centro (-1,0) y radio 2.


c) Im(z 2) = 4Solución

S eaz = x + iy => z 2 = x 2 - y 2 +2xyi , de donde

Im(z2) = 2xy como Im(z2) = 4 entonces

2xy = 4 => xy = 2 que es la ecuación de una hipérbola, su gráfico es:

d) || z || = Re(z) + 1Solución Y

Sea z = x + iy => Re(z) = x

\\Z\\ = 4 x 2 + y 2

Como || z || = Re(z) + 1, entonces 1 \ 02 \

X

Se tiene ^ x 2 + y 2 = a + 1

x 2 + y 2 = x 2 +2x+l de donde se tiene y 2 =2.* + l que es la ecuación de la

parábola


@

e) || z + 2i || + || z - 2i || = 6Solución

Sea z = x + iy z + 2i = x + (y + 2>i

||z + 2i|| =yjx2+(y + 2)2

z — 2i = jc -n<3' — 2)i

| |z - 2 / | | = ^ 2+ (> '-2 )2

como || z + 2i || + 1| z - 2 /1| = 6 , entonces:

yjx2+(y + 2)2 +yjx2+ ( y - 2 ) 2 = 6 , de donde al quitar el radical y simplificando

se tiene: 9x2 +8)>2 = 45 , que es la ecuación de una elipse.

Describir gráficamente la región representada por cada una de las siguientes desigualdades.

a) || z || S 1Solución

Sea z = x + iy => || z || = yfx2 + y 2

Cumo || z || S 1 => yjx2 + y 2 < 1

De donde x 2 + y < 1, su gráfico es:

b> || z || > 1Solución Z |

S eaz = x + iy => || z || = <Jx2 +y2f

* T v l |z |l* 1

A ] .Como || z || > 1 => -Jx2 + y2 > 1, de V ! J x

Donde x 2 + y ' > 1, su gráfico es:


c) 1 £ || z + i || £ 2Solución

S eaz = x + iy ^ z + i = x + (y + l) i

|| z + i || = tJx2 +(y + l)2 como 1 £ ||z + i || £ 2

entonces 1 £ \Jx2 + (y + l)2 £ 2 , de donde

1 £ x 2 + (y + l)2 £ 4

d) Re(z ) > 1Solución

Sea z = x + iy Z2 = x 2 - y 2 + 2 xyi

Luego Re(z 2) = x 2 - y 2 , como

Re(z2) > l =* *2 - y 2 > l . Su gráfico es

e) | |z - l | |£ 2 | |z + l | |

Solución

Sea z = x + iy =* z - l = ( x - l ) + iy

z + 1 = (x + 1) + iy

Además || z - 1 1| = ■Jix-lj2 + y2

1 s II z + i || s 2

RevZ2) -> 1

||z + 1||;=n/u + 1)2 + )'2

: - 1 || £ 2 || z + 1 || => y j ( x - \)2 + y 2 £ 2N/(x + l)2 + y 2 , de dondecomo z ■

x 2 - 2 x + \ + y 2 £ 4(jc2 +2x + l + y 2)

3x2 + 3 y 2 +10.V + 3 S 0 entonces ( x + ^ ) 2 + y 2 > ^ -

Número& Complejos 579

(l4) Demostrar la identidad: || 1 — zw||2 - | | z - w||2 = (1—1| z ||2)(1-1| w ||2)

Demostración

Se conoce que || z ||2 = z.z, por lo tanto

|| 1 - zw ||2 = (1 - zw)(l - z w )

|| z - w ||2 = (z - w).(z - w)

|| 1 - zw ||2 - 1| z - w ||* = (1 - zw)(l - zw) - (z - w)(z - w)

= (1 - z w - zw+ zz.ww) — {zz - w z — zw+ ww)

= 1 + Z .Z .W .W -Z.Z -W .W = 1-4-1| z II "II vv | | 2 — II z | | 2 — II W | | 2

= (1- II * II2 ) - \\w II2 (1- II z II2) = (1- II z II2 )(1- II w II2)

Sí || z || < 1 y || w || < 1. Demostrar que: | Z | < 1, z, w e C1 - zw

Demostración

Por hipótesis se tiene: || z || < 1 y || w || < 1 =* || z ||2< 1 y || w ||2< 1

Luego 1-|| Z ||2> 0 y 1-|| w ||2> 0 , de donde (1 —1| z ||2).(! —1| w||2) > 0 ... (1)

En el ejercicio 19) se tiene: (l-1| z ||2) - ( 1 - | | w ||2) =|| l - z w ||2 —1| z — w ||2 ...(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: || 1 - zw ||2 - 1| z -w || 2> 0

de donde || z - w | |2< || 1 — z*v ||2 ^ ||z — w ||< || 1 — z*v || =* || || < 11 - zw

(Ífí) Si z,w e C, Demostrar que: Reí— - ) + Re(—— ) = 1^ Z + W z+w

' »emostracior


Sean z = a + b i, w = c + d i, entonces: z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

z + w (a + c) + (b + d)i [(a + c) + (¿7 + rfi)][(íi + c)-(¿7 + rf)j]

_ a(a + c) + b(b + d) [ a(b + d) + c(b + d)i (a + c)2 +{b + d)2 (a + c)2+(b + d)2

m - i - i . <*■+*>+*»+«> mz + w (a + c) + (b + d)~

w _ c + di _ (a + di)((a + c) — (b + d)i)z+w (a + c) + (b + d)i [(a + c) + (b + d)i\[(a + c ) - (b + d)i\

c(a + c) + d(b + d) ,—c(b + d) + d(a + c)^.=------- 5---------- + (---------- 5---------- 5-)«

(a + c) +(b + d) (a + c) +(b + d)

Re(- 2 L , = Í Í £ ± Í 2 ± Í . '» ± ^ . . . (2)z + w (a + c)~ + (b + d)

sumando (1) y (2) se tiene:

d / z \ . d / w \ a(a + c)+b(b + d) c(a + c) + d(b + d ) _ { a + c)2+(b + d)2) *<ei ) _ _+ _ * 1z + w z + w (a+c) +(b+d)' (a + cY + (b+d) (a+c)~ +(b + d)~

Re(—-—) + Re(—— ) = 1 Z + w z+w

z a + bi (a + bi).((a + c ) - ( b + d)i)

^ 7 ) Simplificar la expresión:\J sen x + i\leos x -i*Jsen x-iy /cosx

Solución

Multiplicando por su conjugando se tiene:

■\l sen x + i^Jeos x + i\jsenx — isleosx senx + iVeosx + senx i-Jcosx


sen x + i-Jcoz x - 2i \ >en2 x + eos x - sen x + iyfieos Jt

2 sen x

_ 2i(-Jcosx-ylsen2 jc + cosjc) _ i(\]co¿x — Vsen2 jr + cosjt)2 sen* sen*

(j8 ) Probar que: || z, + z 2 ll + IU, -Z 21 = 2 (IU , ||2 + | |z 2 ||2)

Solución

lUl +Z2 H2=(Zl +Z2)(Zi + Z2) = Zl Zl + Z2Z2 +Z1 Z2 +Z2Z{

= II Zl II2 + II ¿2 II2 +Zl *2 + Z2-Zl — ( ! )

II Z \~ Z 2 \\2= ( z l - z 2)(zi - z 2) = ZiZt+Z -2 z2 - z xz 2 * Z 2Zi

= II Zi II2 + |\ z 2 II2 ~Z\Z2 —Z2.Z\ ... (2)

Sumando (1) y (2) se tiene:

II Z\ + z2 1|2 +IUi - z2 ||2=|l Z\ ||2 +1| z2 1|2 +z¡Z2 + Z2Zi+1| Zi ||2 + 1| z2 ||2 - z , z2 - z2z¡

= 2|U , ||2 +21|z2 l|2= 2(|U l ||2 + ||z 2 ||2)

IU , + z2 II2 + IU . ~ ^2 II2 = 2(|| z, ||2 + II z 2 ||2 )

19) Hallar el módulo de *+ cos^ + l sen^ _ 0 < 0 < nl - c o s 0 + isen0

Solución

_ l+ cos0+ isen 0 (l+ cos0-i:sen 0> .(l-cos0-isen 0) sen26 sen6.eos6 .Sea z = ------------------- = -------------------------------------------- = ---------------------------1

l-c o s0 + /se n 0 (1 - eos 6 +i sen 0).(1 - eos 6 - i sen 0) l-c o s 0 l-c o s 0

sen-4© sen2©eos26 _ /sen2©(sen26 + eos20Ìeos©)2 ( l-c o s0 )2 V (1 -cosfi)


1 sen2 6 _ 1-cos2 6 1 + COS0

(1-COS0)2 \ (1 -C O S 0 )2 \ 1 -C O S 0 \

2cos2 —

2sen2 —= Í Ctg2 2 =

IU I I = k t g | |

f ío . Hallar el módulo de: (2 30(3 + 40 6+4^ ^ _ ^ +^ (6 + 40(15-80 5 + i

Solución

- (2-30(3 + 40 _ VÍ3.5 5S e a z i = = > II * i II = -(6 + 40(15-80 V52.V289 34

(6+40(3 — 0 ¡i n /J z2 = -— 7^ — ' =» IU2 II=2V55 + í

z3 = (a/3 - i\Í2)(3 + 40 => || z3 1| = >/5.5

Luego Hzj.z2.z3 ll = II Zi II - II z2 II - IIZ3 II = ^ - 2^ - ^ - 5 = 1 7

••• Ilzi-z2-z3ll = y

21) w = ^ . donde z = eos a + i sen a, hallar w.

SoluciónReemplazando z en w se tiene:

2 a a a „ a a .2 cos —+ 2isen—eos— 2cos— eos—+ isen1 + z 1 + co sa + tsena ____ 2_ 2 2 ____2 2___1 — z 1 -c o s a - i 's e n a 2sen2 a '*■ a — a a a —- a

al H


22) Demostrar que: Sí z, + z2 = Zj + z3, Entonces z2 = z 3 (Propiedad de cancelación

para la suma)

Soluciun

Como z, e C => 3 -z , e C tal que z, + (~z¡) = (0,0)

Luego z i+ z 2 = z i+ z 3 => - z ,+ ( z ,+ z 2) = - z ,+ ( z ,+ z 3)

=* (—Zj + z,) + z2 =(-Zi +Z]) + Z3

=> 0 + z2 = 0 + z 3

=> ¿2 =¿3

( S ) Demostrar que: Sí z, * 0 y sí z,z2 = z tz3 Entonces z2 = z3 (Propiedad de cancelación

para la multiplicación)Solución

Como z, * 0 3 z f1 tal que z, .zj-1 = 1

Luego z,.z2 = z ,.z3 => z r1.(z1.z2) = z,_1.(z,.z3)

=> l.z2 = l.z3

=> z2 = z 3

¿4) Sí z, .z2 = 0 entonces Zj = 0 o z2 =0

Solución

Suponiendo que z¡ ? 0 => 3 z f1 tal que z, .zf1 = 1

Como z,.z2 = 0 => zj"1.(z1.z2) = z f1.0

(zt 1 -Zi ).Z2 =0

=> l . z 2 = 0 de donde z 2 = 0


en forma similar para z, = 0

Suponiendo que z 2 * 0 =* 3 j j 1 tal que z2-Z2l =1

Como Zi-Z2 = 0 => Z21.(zi.z2) = z21-01

=> (z2 ‘ -Z2 )- i = 0

=> l.Zj = 0 de donde z, = 0

(25) Hallar dos números complejos z, y z2 cuya suma sea el número real x y cuya diferencia

sea el número imaginario iy.Solución

Por condición del problema se tiene:z¡ + z2 =x (1)

z i -¿2 =iy (2)

x ySumando (1) y (2) se tiene: 2zj =x+iy de donde zl = - + —i

x yrestando (1) y (2) se tiene: 2z2 = x - i y de donde Z2 = — - —i

26) Demostrar que: | |z | |2> 2 ||R e(z)||.||Im (z)||

Solución

Sea z = x + iy => || z || = yjx2 + y 2 , además Re(z) = x, Im(z) = y

Luego ||z || =VRe(z)2 + Im(z)2 => || z ||2= | Re(z) |2 + |Im (z)|2 ... (1)

como (| Re(z) | - 1 Im(z) |)2 > 0 , de donde

Re2 (z) + Im(z)2 > 2 1 Re(z) | . | Im(z) | ... (2)

p o r lo tan to de (1 ) y (2 ) se tiene: || z ||2 > 2 1 R e (z) | . | Im (z ) |


^2?) Demostrar que: yjl || z ||2S | Re(z) | + | Im(z) |

Solución

Como | |z | |2> 2 |R e(z) |.|Im (z )| sumando | |z | |2

2 1| z ||2> II z II2 +2 |R e(z)|.|Im (z)|

2 1| z II2 > | Re(z) |2 + 1 Im(z) |2 +21 Re(z) | . | Im(z) |

2 | |z | |2> (|R e(z)| + |lm (z)|)2 => 2 ||z || > lRe(z)| + |lm (z)|

Probar que | — LÍ-1™ - | < || z || < | Re(z) | +1 Im(z) |

Solución

Sea z = x + iy de donde Re(z) = x, Im(z) = y

Además || z || = \jx2 4 y' , la demostración del problema equivale probar que:

\ ^ Y - \ S y j x 2 + y 2 < |* |+ |y |

como x,y e R entonces (x - y )2 > 0 , V x,y e R

(A -y )2 > 0 => .t2 + V > 2xy

2 x 2 + 2 y 2 > x 2 + 2 .r y 4 - y 2

2(jr2 + y 2 ) > (a + v)2

y¡2 y¡x2 + y 2 > | A" 4- y |

de donde | X+J / \ < yjx2 + y 2 \ 2

1 i Re(z) + Im(z ) . .. n ....Luego | ---------=------ |< IU i| ... (1)y¡ 2


Como | x |.| y | > 0. V x ,y e R, entonces

2 I x |.| y | > 0 =* \ x \2 + \ y \ 2 +2 \ x \ . y \ > \ x \ 2 + \ y \ 2>0

(M + M ) 2 > M 2 + |y |2> 0

\x\ + \ y \ >y j x2 + y 2

Re(z) + Im(z) > || z ||

Luego || z || < | Re(z) | + | Im(z) | ... (2)

de (1) y (2) se tiene: | — ' | < || z || < | Re(z) | + 1 Im(z) |\ 2

S ) Hallar z tal que: || z || - z = 1 + 2i

Solución

Sea z = x + iy II z II = + y 2 * al reemplazar se tiene:

yjx2 + y 2 - x - i y = \ + 2 i , por igualdad

=» 3_y — 2 \ x +4 = l + x => x = -

Luego z = ^ - 2 /

(Soi Sí z=cos 0 + i sen0, z n = l . z * 1 y M = l + 2z + 3z2 +... + n.zn_l. Hallar Re(M) y lm(M)

Solución

Como M = l + 2z + 3z2 +...+«.zn_l, multiplicando por z

zM = z + 2z2 +3z3 +... + n.zn, ahora restando se tiene

M - z M = I + z + z2 + ...+ zn_1 - n z n — (1)


como zn = 1 => z " - l = 0 => ( z - l ) ú n 1 + z" 2 +...+ Z2 + z + l) = 0

como z / 1 zn_1 + z"~2 +...+ Z2 + z + l = 0 ...(2 )

reemplazando (2) en (1) se tiene: M — zM = 0 — nzn

M ( l - z ) = -n.z" de donde M = — — puesto que z " = l1 — z

Como z = eos 0 + i sen 0, entonces

M =-1 -eos© —i sen© ( l-c o s0 )- is e n 0

- n -n<, 2 e e e _ e , e . e ,2 s e n -2i sen —eos— 2 sen —(sen-----1 eos—)

2 2 2 2 2 2

, e . e,—n( sen — +1 eos .M = --------- g » ,

2» » « 2 2 22

de donde Re(M) = - — y Im(AÍ) = - —ctg —2 2 2

31) Sí w = eos 0 + i sen 0. Hallar (l + >v)n

Solución

& & & G G Gl + w = l + cos0 + /sen0 = 2eos2 —+ 2sen —eos - i = 2eos—(eos—+»»er:—)2 2 2 2 2 2

■tiB(1 + w)n = 2" eos" — (eos— + i sen — ) = 2" eos" — .e 2

2 2 2 2

32) Simplificar (1 + r )” , donde >v = c o s ^ -+ is c n ~ -

S o lu c ió n


, 2n . 2n _ 2 n „ re n .1 + w = 1 + eos— + 1 sen — = 2cos —+ 2sen—eos—13 3 3 3 3

„ 7T , 7 T . 7TX 7t . 7Z= 2 eos—(eos— + ¿sen—) = eos—+ /sen—*3 3 3 3 3

.rae, n . n nn nn ‘~r(1 + w) = (eos— u se n —) =eos— +isen— = e i

3 3 3 3

(33) Hallar la suma de sen2 x + sen 2 3x +... + sen 2 (2n — 1)jc

Solución

Aplicando la identidad sen —■ = -—

sen2 jc + sen2 3x + sen2 5jr + ... + sen2(2«-l)jr

1 - cos2jc 1 - cos6jc 1 - coí10jc l-c o s2 (2 n -l)= ----------- + ------------+ ------------- + ... + ------------------ -2 2 2 2

= (eos 2x+ eos 6x + coslO* + ...+eos 2(2« - l) )2 2 2 2

= ———(cos2jc+cos6jc + cosl0jc+...+cos2(2n-l)) ... (1)2 2

A = eos 2x + eos 6x + eos lOx + ... + eos 2(2n - l)x

B = sen 2x + sen 6x + sen lOx + ... + sen 2(2n - 1 )x

iB = i sen 2x + i sen 6x + i sen lOx + ... + i sen 2(2n - l)x

ahora sumando A y iB se tiene:

A+ iB = (eos 2x + i sen 2x) + (eos 6x + i sen 6x) +...+ (cos 2(2n - 1) + i sen 2(2n - 1))

= z2 + z 6 + z 10+ ...+ z2(2n-l)

donde z = eos x + i sen x => z " = eos nx + i sen nx


A + iB = z2(l + z4 + z8 +... + z4'"-» ) = z2( ^ A = z2( - - C°s4m' - |sen4njr,1 + Z 1—cos4*-isen4x

->, 2 sen 2 2nx—2i sen 2nx eos 2n x.= z (--------ÿ--------------------------- )

23en 2x - 2i sen 2 jc.c o s 2x

- -, - ~ _ cos( — -2n*)-/sen( —~2nx). _ 2 2sen2ro: sen2/ur-icos2n* ->sen2/urr 2 2 iA+/5=z .--------- (--------------------) = r -------- [------- ----------------- ------- ]2sen2v senZv-zcosZv sen2x ^ | _ Zv)_ Isen(

sen 2wc= --------- (eos 2x + i sen 2*)[cos(-2nx + 2x) + i sen(2n* - *)1sen 2*

sen 2/u r x sen 2wr r _ „ -----------[cos(2* - 2nx—2xf+i sen(2/u - 2x+ 2*)] -----------[eos 2 nx - 1 sen 2nx\sen 2* sen 2x

sen 2nx „ sen 4nx „ sen 2nx _ sen2 2nxA = ------- - eos 2«jc = ------ - y B = --------- sen 2nx =sen 2* 2 sen 2* sen 2* sen 2*


(7 ) Hallar los números reales x e y tal que: 2x-3iy -2y-5-10i = (x+y-2)-(y-x+3)i

Rpta. x = 1 , y = -1

( ! ) Que valores han de tomar x e y para satisfacer la ecuación

(2 - 5i)x + (1 + 3i)y - 8 + 9i = 0Rpta. x = 3 , y = 2

® í (1 + i)x - iy - 2 Resolver el sistema de ecuaciones en C. <1(2 + 0*+ (2 - /) y = 2 i

= __2_ _ 1 0 ._ . X 13 13* Rpta.

v 12 1 1 .y - --------+ ----- ,13 13

( 4) Hallar los valores de a y b sí (a + b) + (a - b)i = 7 + 2i

Rpta. a = 4.5, b = 2.5


Hallar los valores de a y b sí: (a + b) + {a-b) i - (2 + 5í)2 + i'(2-3í)

Rpta. a = 2 , b = -20

® Si z = x + iy, donde x,y e R, hallar los valores de x e y cuando + — = —— .3 1 -f / 3 - i

Rpta. x = 0.27, y = 0.53

© Efectuar las siguientes operaciones y el resultado expresar en la forma binómica.

a) --------------------- Rpta. —i( 1 -0 ( 2 -0 ( 3 - 0 2

(3 -0 (2 + 0 u , - _.b) z = -------t----- - Rpta. z = 1 - 7i

i 4 2c) z = 1+-------- ;---- Rpta. z - —+ - i1 + — ^ 3 3

l + - i - 1 + i

d) + — Rpta.í(4 — 5/) i 41 41

e) 5(7 + 2,)-t(4-60 Rpta.3-4 i 5 25

f) (— )2 + (— )2 Rpta. -2 + Oi1- i l+ i

g) —1—i—1— Rpta. 1 + Oil + i 1 — i

h) —--------— Rpta. 0 - i1+í 1 - í

.j l + ilga_ Rpta. eos 2a + i sen 2a1 - j tg a


©©

j)

k)

1)

(1 + 2Q2- ( 1 - i ) 3 (3 + 2/)3 - (2 + i)2

( l-O 5- l (l + /)5+ l

D * 44 5 .R p ta .------------ 1318 318

d . 1 32 •R p ta .----------- 125 25

Calcular

(1+09( l - . ) 7

(1 + 0°(l-O "-2

Rpta. 2

, donde n es un entero positivo. Rpta. 2in_l

Resolver el sistema de ecuaciones:

J(3 + /)jt+(4 + 2 /)y = 2 + 6/

a) \(4 + 2i')jc — (2 + 3/)y = 5 + 4/

Í ( 2 + O j c + ( 2 - / ) > ’ = 6

{(3+2i)x+(3 - 2i)y = 8

Rpta.

Rpta.

x = 1 + 1

y — i

x = 2 +i

y - Z~i

c)x + i y - 2 z = 10 z — y + 2/z = 20 ix + 3 iy — (1 + i)z = 30

x = h—11/ Rpta. y — 3-9 i

Z = 1 —7/

Demuestre que: a) Re(zw+zw) = zw+zw, z, w e C

b) Im(zM'-zw) = zw -zw , z, w e C

Resolver el sistema de ecuaciones:

x+iy = 1a)

/*+ y = 1 + /

Í(1-/)jc + 2/v = 3 [4jc + (1-/)> = 2 + /

Rpta.

Rpta.

x = 1 —— 2

/ 7X - —H-----2 10

= J ___9i_

y " i o 10

592 Eduardo Espinoza Ramcls

© Sì x e y son reales, resolver la ecuación: ix 3x+411 + iy x + 3 v

Rpta. x = ±2 , > = ± |

(Í3) Si z = x + iy, probar que: |j t | + |y | <> /2 | jc + í>|

( l í ) Probar que sí Zj,z2e C entonces: Re(zi-z2) = Re(zi)Re(z2) - I m(Zi)Im(z2)

( ís ) Probar que: V z¡,z2 e C entonces || z¡ + z2 ||2 + 1| Zi - z2 ||2= 2(|| z, ||2 + 1| z2 ||2)

(ló) Sí z, = 1 - 1, z2 = -2 + 4 i , Z3 = -s/3 - 2í . Hallar el valor numérico de la expresión

a) || z>+z2 + | n kpta |z, - z2 +1 5

b) Rpta. - i2 z3 z3 7

X T , zl-z2^ n * 6\/3+4c) Im( 1 ) RDta. -----*3 * 7

d) Re(2z,3 +3z2 - 5 z |) Rpta. -35

(í?) Sí w = 3 i z - z 2 y z = x + iy. Hallar || w||2 en términos de x e y.

Rpta. Jt4 + y4 +2Jt2y 2 -6 jc2y - 6 y 3 +9jc3 +9> 2

@ Resolver las siguientes ecuaciones en z.

a) iz = 1 Rpta. z = -i

b) (1 + iz) = 1 Rpta. Z =

I 21c) (2 - i)z = 1 Rpta. z = - - + y


©

d) - = iz

e) iz = (1+ i)( l- i)

Rpta. z = -i

Rpta. z = -2i

z - 2 iSi z = x + iy, siendo x e y reales. Demostrar que el lugar geométrico ------ = 2 esz + 2

una circunferencia y determina un centro y radio.

Describir geométricamente la región representada por cada una de las siguientes desigualdades.

a) 1 < || z + 1 || < 2

c) || z + 2 - 3i || + 1| z - 2 + 3i || < 10

e) 4 < || z - 1 || + || z + 1 || < 5

g) || z — i || < || z -r i ||

i) II z + 1 || > 2

k) -0.5 < Re(z) < 0.5 a | |z ||= 2

b) || z + 3i || > 4

d) 2 < || z || < 4

f) || 2z + 3 || < 1

h) II z || < || 2z + 1 ||

j) -2 < Im(z) £ 3 a 1 <Re(zi<5

1) -2 < Im(z) < 2 a -2<Re(z)<2

(¿ l) Qué lugar describe el punto z = x + iy, cuando satisface a las siguientes ecuaciones.

a) || Z - 2 || + || z || =4 b) N 1 N) 1 N 11

c) II z - 2 || - 1| z || = -1 d) II z - i || + || z + i || = 5

e) z + z = l f) z + z = ||z | |2

g) II z - i || = || z + 1 || h)

OII+7

i) z - z ~ ] = 0 j) z + z 1 e R

k) II z + i || = || z + 2i || 1) N 1 t—» II L/i

11) N 1 II m) 1 1 ^ 1 1 = 4z — 1

n) Im(z2) =4


22) Sí z = 2 + 3i , w = 1 + 2i , v = 3 + i

Hallar a) Re(z - w) b) Im(— )v

\ 1 1 , , Z - wc) - + — d) -Z W V

(23) Demostrar que la elipse ||z + 3|| + ||z - 3|| = 10 se puede 1 ¿presentar en forma rectangular

* 2 y 2 — + 2 _ = i 25 16

(24/ Describir cada uno de los siguientes lugares geométricos expresándolos en términos de

las coordenada^ conjugadas z, z .

a) z.z = 16 b) z .z - 2 z - 2 z - 3 = 0

c) z + z = \4 d) z = ^+6i

Rpta. a) x 2 + y 2 =l6 bj x 2 + y 2 -4 jc-8> ’ = 10

c) x = 2 d) y = 3

(25) Mostrar que la ecuación de una recta es determinado por do® puntos z, y z2 que cumple

con la ecuación Im£-........j = 0z2-z ,

(2ó) Determinar analíticamente y gráficamente los subconjuntos de C que verifican.

a) || z + 1 || + || z - 1 || = 3 Rpta. = i

b) \\z + c \ \ . \ \ z - c \ \ = c 2 Rpta. (x2 + y 2) - 2 c 2(x2 - y 2) = 0

Ti) Verificar la identidad, donde z,w e C. || z + vv-(zw )2 || + || Z+™ +(zw)2 || —1| z|| + || vv ||2 2

¿8) Sí | < 1 . A, > 0 , i= 1,2..... n

A, +A2 + A3 + ...+An =1 . Probarque lAj«, + A2a 2 +...+ A„an | <1


29) Simplificar- cos 2a _ 1 sen 2a)(cos b - i sen b)2 + (eos 2a + i sen 2 a )(cos b - 1 sen b)2cos(a + b) + i sen(a + b) cos(a + b ) - i sen(a + b)

Rpta. 2cos (3a - b)

30j Si z = x + iy, hallar:

a) Re(—) b) Im(—) c) Im(z3)z z

d) Re(-^r-) c) Re(z2 + z) f) Re(-zz2)Z 2

g) Re(——)Z - i

Rpta. a) X b) — - c) x 3 - 3 x y 2x + y X + y

.2 2

d) V + y 2 . c) A'2 - y 2 + .* f) 2xy(x + y )

g)x 2 + (y — l)2

i z w31) Si z,w e C. Demostrar que: Im(------ ; + Im(-------) = 0Z+W z + w

(32) Si z,w e C. Probar la desigualdad: W J z* J li lL- < — ^ ..W \\z + w\\ | |z || + ||zw||

a<’ +~- donde a,b,c,de R. Demostrar que: w - w = — — cz + d H \cz + d \2

(¿4) Calcular ; 2 siendo z = - 1| —1 + 1|| + V2/. Rpta. 4i

(3 5 ) D ado z = 1 + sen a + i eos a. D e te rm ina r || z 2 - z ||

R p ta . [(sena - cos2a)2 + (3cosa - sen2a)2 ] 1/2


„ . . (l-i\/3).(cos0 + /sen0) _ t 4 l r . . . re. . . . . re ,36) C alcular-------- --------------------- Rpta ----[cos(20-----) + zsen(20---- .1k J - i).(cos 6 - i sen 6) 2 2 2

r 1 337) Demostrar que sí || z || < — , entonces | (1+/)Z3 +iZ\ < —

,38j Sí Zj =2 + i , z2 = 3 - 2 i . Hallar el valor numérico de:

a) || 3z, “ 4^2 || Rpta. VÍ57

b) | | ^ ± Í ± 4 | | Rpta. 12z, - z 2 + 3 - í

§ ) Si z y w son complejos y u= \fzw . Probar que: || z || + II w || = ||-^y^-m II + I I^ y ^ + mII

40) Mostrar que una ecuación para una circunferencia que pasa por 3 puntos z ,, z2, z3 está

dado por: ( - ^ - ) /(-^—^-) = /(J l^ÍL )Z - Z 2 Z3 - Z 2 z - z 2 Z3 -Z 1

(4^ Hallar z tal que || z || + z = 2 + i Rpta. z = ^ + i

(42) Hallar todos los z e C tales que Im(z+ —) = 0

® Sea p > 0 y p * l , probar que ||^— -|| = p representa a una circunferencia1 + z

(44) Hallar todos los z que satisface la relación z(l + ai) = 1 - ai

(4?) Demostrar que: Re(z, .z2) = ^ (z! .z2 + Z! .z2)

4 6 ) D em ostra r que: Im (z 1.z2) = ^ ; ( z , . z 2 - z 1.z2)


^ 7 ) Hallar los z = x + i> que satisfacen la condición dada:

a) II z - 3i || - 1| z + 2i || < 9 b) \\l +z 2 \\ < \\2z\\

c) II z + 2 || - 1| z - 2 || >5 d) || z - 3 || + || z - 4 || < 5

e) I I II < 2 0 l l ^ l l > 2z + 2 z+2

(48) Sean a, b y c tres constantes complejas, z una variable compleja. Probar que:

a + a + bz-rbzi-(c-c)z.z= 0 es la ecuación de una circunferencia.

49J Sea a y b dos constantes complejas, si b * 0 probar que: a + a + bz+bz= 0 es la

ecuación de una recta, donde z es una variable compleja.

15/ Si l U i l l ^ y II z2 II < 1 • Probar que: || zx + z2 || < || l + z ^ ||

(5l) Si || z || * 0 , probar que H - 1 1| < | arg(z) |w z

[§2) Si || z || ^ 0. Demostrar que: || z-11|<||| z | | - 1 1 + 1| z || .| arg(z)|

o 3 ) Demostrar que: || Zl + z2 || > ¿2 ID II it 1 |i+ TrLñ Hw 2 || z, || || z2 1|

(54) Si || z, ||< 1 y || z2 ||< 1, probar que: || — 2 || < 1. ¿En qué caso se cumple la igualdad?1 - Z |Z 2

(55) Demostrar que: 112,11 + 1122 11 = || ~ - - - ( z v z2)2 H + H - ^ -^ + (;).z2)2 IIZ] Z\

(56) Demostrar que: || z0 + z, + ...+ z„ ||>|| z0 II “ II ¿i II “ II Z2 II - - - |U « II

(57) Determinar el conjunto de puntos del plano que satisface a la relación: || z — 1 + i || = 2.

R p ta . O - l ) 2 + ( v + l ) 2 = 4

598 Eduardo Fspinoza Ramos

Hallar los conjuntos de puntos del plano de la variable z que se determina por las

condiciones dadas.

a) l l ^ - i ||<1 z + 1

b) | |z 2 - l | |> c r2, a > 0

d) || z - i || - 1| z + i || = 2c) 4 < || z - 1 || + || z + 1 || <8

e) || z || - 3 Im(z) = 6 f) || z — 2 1| = || 1 — 2z ||

59) , Quí curva determina la ecuación |z + c | + |z - c | = 2a, donde a y c e R + , a > c?

© ¿Qué curva del plano XOY se determina por la ecuación z.z + i(z — z) — 2 = 0?

6.16. FORMA TRIGONOMETRICA O POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO.-

Sea z = a + bi, un número complejo distinto de cero, entonces el módulo de z es

r= || z || = 4 a 2 +b2 * 0

Denotaremos por 0 el ángulo formado por el segmento orientado que representa al

número complejo z, con el eje X. en sentido antihorario.

Luego del g rá fico se tiene:

eos© = —

sen 6 = —, dé donde {:::= reos©

sen©

Números Co.nplejos 599

z = r(cos 0 + i sen 0)Como z = a + bi. al reemplazar a y b se tiene:

Que es llamado forma trigonométrica o forma polar del número complejo z.

Al ángulo 0 se le llama argumento de z y r = || z || es el módulo de z que denotaremos por:

0 = arg(z) , r = || z || = Va2 + b2

por lo tanto: z = a + bi = r(cos 0 + i sen 0)

r = || z || = j a 2 + b2 y 6 = arctg(—)

Ejemplo.- Expresar z = 1 + y¡3i en fum a trigonométrica o polar.

Solu :ión

Calculamos su módulo y su argumento

r = | |z | |= V Í T 3 = 2

R0 = arctg(—p ) => tg6 = y¡3 => 0 = 60°

z = 1 + y¡3i = r(cos 0+i sen 6)

z = 2(cos 60° + i sen 60°)

Ejemplo.* Expresar z = -3 + y¡3i en forma trigonométrica o polar

Solución


Calculando su módulo y su argumento, r = || z || = yj9 + 3 = 2y¡3 => r = ] Z I

0 = arctg(— ) de donde 0 6 2do. cuadrante.

p ;

Es decir 0 = 1 8 0 °- a , donde tg a = — =* a = —3 6

„ 71 5ji O 5ji6 = n ---- = — =* 0 = —6 6 6

z = -3 + y¡3i = 2%/3(cos— + i sen — ) 6 6

6.17. MULTIPLICACION Y DIVISION EN FORMA POLAR.-

Sean zx =rx (eos 0, + i sen 6 ,) y z2 = r2 (eos 02 + i sen 0-,)

Dos números complejos en su forma trigonométrica, entonces-

zv z2 = r¡ (eos 0! +«sen 0, )r2 (eos 2+ i sen d2) = r,r2 f e o ^ +02)+i sen(0j +0->)]

Sí z2 * (0.0) y r2 * (0,0), entonces:

¿ t 1= ¿ río s íe , - « ¡ i + iseníe, *-62)]z2 r2(cos62 + /sen02) r2

Ejemplo.- Sí z, = 3(cos—+ i'sen—) y z2 = 4(cos— + 1 s:n6 6 3 3

Entonces Z¡ .Z2 = (3)(4)[cos(-- + —) + tsen(—+ —)] = 12(cos^- + i'sen Í-)6 3 6 3 2 2

y! / ^ • 7T14(cos—4-zsen—) . .z2 3 3 4 ,;r ;r. . jr., 4 . Jr , . 7T— = ------- - ------- — = -[cos( - - - ) + 1 sen(— —-)] = -(cos- +«sea-)Zt 7t . k 3 3 6 3 6 3 6 6^ 3(cos—+isen—)

= 2^3

Números Complejos 6 0 1

6.18. POTENCIAS Y RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS.-

TEOREMA (FORMULA DE MOIVRE)

Para todo z = a + bi y todo entero positivo n se cumple la siguiente relación.

(a + bi)n = r" (eos n0 + i sen r 0)

Llamada fórmula de MOIVRE

Demostración

La demostración lo haremos por inducción

i) Para n = 1, a + bi = r(cos 9 + i sen 0)

ii) P aran = h, (a + bi)h = r h(coshO+isenh6)

jIeO

iii) Para n = h+l,

(a+ bi)h+l ~(a+bi)h (a +bi) = rh (coshfl + i senh0)r(cos0 + i sen0)

= r M (cos(h0 +0) + isen(h0 +0)) = r h+ lcos(/z i-l;0 +j ti. <h^-l)0]

Por lo tanto se cumple la fórmula para todo entero positivo n.

Ejemplo.- Calcular (1 + %/3í)7Solución

Z = l + y¡3i => r = ||z || =>s/í+3 = 2 y 6 = a r c t g ^ = y

(1 + V3i)7 = 2 7 ( c o s — + i sen— ) =128(cos— + /sen— )3 3 3 3

TEOREMA.- Si z = a + bi es un número complejo y n es un entero positivo. La raíz, . , 1/n l/nr 0 + 2kit 0 + 2knn - ésima de z es z =r [eos----------+ isen---------- ] para

n nvalores de k = 0,1,...,n - 1

Demostración


Sea w = x + iy, la raíz n -ésima de z

Es decir: w" = z pero como z = r(cos 0 + i sen 6)

w = p(cos a + i sen a)

(x + iy)n =a + b i , reemplazando setiene: p n (eos no + i sen na) - r(cos0 +i sen0)

de donde p n = r , an = 6 + 2kn , k = 0,l,2..... n - 1

Luego p = r l / n , a = ® + , k = 0,1,2,.., n - 1n

_ , . . . i / n r Q + 2 k n . Q + 2 k n ~Como w = p(cos a + i sen a) setiene: w = r [eos----------+ /sen---------- ]n n

como w es la raíz n - ésima de z, se tiene:

-»i/n í/n r 6 + 2 k n 6 + 2 k n ^ , „ , _ ,Z =r [eos---------- + í»en-----------] para k = 0,1,2,.., n - 1n n

1/5' )n>* * •Ejemplo.- Hallar las raíces de (-4 + 4i)

Solución

Calculando su módulo y su argumento

z = -4 + 4i => r = II z II = 4\/2 , 6 = arctg(— ) => 0 6 2do. cuadrante-4

Luego 0 = 1 8 0 °- a , donde tg a = 1 =* a = 45°

Por lo tanto 0 = 180° - 45° =* 0 = 135°

, „ „-U/5 /^\i/5r 135° + 2fc;r . 135° + 2kn-,(—4 + 4z) = (4v2) [eos---- --------- + isen-- --------- ]

rr. 135° + 2 kn . 135 +2Att,= V2[cos------------- + jsen-------------- J5 5

para k = 0 , Wj = V 2 (c o s 27° + i sen 27°)

Números Complejos 6 0 3

k= 1, w2 = •'''!(co:99° + isen99°)

k = 2, vv3 = \/2(cosl710-t-/senl710)

k = 3, vv4 = >/2(cos 243° + i sen 243°)

k = 4, w5 =-\/2(cos3150 + /senl350)

m iTEOREMA.- Sea z = a + bi, definimos z" = (z")'", para m y n enteros positivos,

donde m y n son primos entre sí, se cumple la relación siguiente:

~ — m m I--------- bz n = r" [eos—(0 + 2fc;r) + isen— {6 + 2kn)\ siendo r = \ a 2 +b2 , 0 = arctg(—) n n a

Ejemplo.- Efectuar la operación (1 + %/3¿)5/6

Solución

Calculamos r = \]a2 +b2 , 0 = arctg(—)a

r = J Í + 3 , 0 = arctg = 60° = —1 3

(1 + V3i)5/6 = 25/6[cos - (— + 2kn) + i sen - (— + 2kn)]6 3 6 3

oII w, = 25/6(cos50° + isen50°)

k = 1 , w2 = 2 5/6 (eos 350° + / sen 350°)

CNII vv3 = 25/6 (eos 290° + i sen 290°)

II u> w4 = 25' 6 (eos 230° + i sen 230°)

■'tII w5 = 2 5/6 (eos 170° + «sen 170°)

k = 5 , w6 = 25/6 (eos 110° + / sen 110°)


6.19. EXPONENCIALES COMPLEJOS (F ORMULA DE EULFR).

Por el momento admitiremos la definición de la exponencial real.

que más adelante demostraremos, en dicha expresión observamos que:

e° = I , ex+y= ex£ y

Definimos la exponencial compleja por: e‘x = eos x + i sen x (e: número de Euler)

que es llamado la fórmula de Euler.

Sí z = x + iy => e = ex+,y = ex.e'y = ex (eos >> + ; sen >>)

Cuando y = 0, e z - e x se obtiene la función exponencial real.

Cuando x = 0, ez = e iy = eos y + i sen y , se obtiene ¿a fórmula de Euler.

PROPIEDADES.- Sean z, w 6 C

/ | . — e = e £ P-,.- — = ez~w

P3. - Si e z = l => z = 2nrci, n es un entero. P4. - (e~) =e ‘ , n es un entero

Si en la fórmula de Euler sustituimos x por -x, es decir:

ea =cosjc+í'senx se obtiene: e lx = cos(—a) + i sen(—x) de donde e = cosx—tsenx

Luego ea = eos x + i sen x

e = co sx -ísen x Sumando

e ,x + e a = 2 eos x , ósea que: eos x = -


analógicamente para el sen x

e = eos x + 1 sen x

e a = eos x - i sen x , restando se tiene:

e - e ' = 2i sen x , de donde: sen x = ■2 i

Por lo tanto: ser» x2i

eos t = -

Estas fórmulas sirven para el estudio de las funciones trigonométricas.

Si z = r(cos 0 + i sen 0) entonces z = re‘e es la fórmula exponencial del complejo

donde r = || z || y 0 se denomina argumento de z que es denotado por 0 = arg (z)

Ejemplo.- Sí z = e,e => || z || = 1

Solución

Como z = e'e => z = eos 0 + i sen 0 de donde || z || = -\/cos2 6 + sen2 6 =1 => || z || = 1

niEjemplo.- Probar que: e 2 = i

Solución

ni n . n r\ . . 9e L = eos — + 1 sen — = 0 + j = z e ¿ —i2 2

6.20. LOGARITMO EN C.-

La exponencial compleja z = re'6 es un número complejo el valor de 0 se denomina

argumento pr.ncipal de z, que denotaremos por: 0 = arg(z)


Para todo complejo z*0, le corresponde solamente un valor de 0 con O<0< 2n.

Sin embargo cualquier otro intervalo de longitud 2jt por ejemplo -n < 0 < n se puede

emplear.

El logaritmo complejo es la inversa de la exponencial compleja, es decir:

Si z = re'6 es un número complejo => 3 w e C único tal que r = || z || y 0 = arg(z)

Generalizando se tiene: Ln z = w = ln r + k0 2kn)

El valor principal de ln z es el que se obtiene cuando k = 0 , es decir:

V.P. de ln z = ln r + i0

Ejemplo.- Hallar ln z, donde z = 1 - i

Solución ---------?

z = 1 — i => r = | |z | |= \ /2 , tg 0 = — =>1 4

ln z = ln(l - i) = ln r + i(0 + 2kn) = lny¡2 + í(— + 2kn) = ln%/2+ (—+ 2k)ni4 4

yel V.P. de lnz = lny¡2+ — i* 4

6.21. EXPONENCIAL COMPLEJA GENERAL.-

Sean z, y z 2 donde zt * 0, entonces consideremos la exponencial compleja w = 2|~: ,

aplicando logaritmos en base natural se tiene:

ln w = ln z, 12 = z 2 ln , y por definición se tiene: w = * e ¡ ^

Números Coi.iplejos 607

6.22. ajERCiCKOS DESARROLLADOS.

0 Obtener la forma polar o trigonométrica de los s.guientes números complejos,

a) z = y¡3 + iSolución

Sea z = x + iy = r (eos 0 + i sen 0)

Donde r = || z ¡| = 2 y tg© = — => 6 = —V 3 6

: = \¡3 + i = 2(cos— + 1 sen —) 6 6

Z = \¡3 + i

b) z = - 2 - 2 y f 3 iSolución

c) z = -1 - iSolución

Y

z = -1 — i => r = || 2 1| = \¡26

-1 (

tg6 - ~ => 0 e 3er cuadrante

" " T yl / i a v y i / i /| /

0 X

Sea a / tg a = 1 => a = 45°1 / i / i /

z = -1 -i_ "-1

Lu eg o 0 = 180° + 4 5 ° = 225°


©

z = r(cos 0 + i sen 0) entonces z = >/2(cos 225° + i sen 225°)

d) z = - 4iSolución

r = II z || = 4

- 4tge=-

o0 = 270°

z = r(cos 0 + i sen 0)

z = 4(cos 270° + i sen 270°)

Calcular las potencias indicadas

a) ( l - / ) 5Solución

Sea z = l - i= > r = | |z | |= - s /2

tg© = - 1 => 0 e 4to cuadrante

Sea a / tg a = 1 => a = —4

Luego 6 = 2n - — = —4 4

(1 — i)3 = r5(cos50+ ísen50) = 4>/2(cos— /r+ isen— tt)4 4

35

b) ( y / 3 - i fSofución

Sea z = \ ¡ 3 - i => r = || z || = 2

- ltg 0 = —= => 0 € 4to cuadrante

S e a a /tg a = —=r ■=> a = — yft 6

V

Y

i > \ i X

-i 1

N II 051 i


. _ , n U nLuego 8 = 2 n ----- = —6 6

(y¡3 - i)6 = r6 (eos 06 + i sen o © ) = 64(cos 11 n + i sen 1 17T)

c) ( - l + J li )7Solucion

Sea z = - l + >/3/ => r = ||z || = 2 z = -1+v/3i Y

J3tg 6 = —- => 0e 2to cuadrante

Sea a / tga = \¡3 => a = —3 1

Luego 6 = n —— — ——3 3

(—1 -t- >/3 i)7 =128(cos + i sen }3 3

^ Efectuar las operaciones indicadas,

a) (-128 + 128^0*Solución

Sea z = -128 + 128-\/l# => r = || z || = 256

n o J otg0 = -------- => 0 € 2do. cuadrante

-128

Sea a / tga = >/3 => a = —3

, o n 2nLuego 6 = n ----= —6 3 3

(-128 + 128-\/3/)8 = r* (eos + + i sen + ) donde k =0,1,2,3,4,5,6,78 8

610 Eduardo Espinoza Ram es

(-128 +128 J ï i )8 = (256)8 (eos 2n + 6kn + ¡ sen 2K + 6 k n )24 24

para k = 0 , w, = 2-coc— + i'sen— ) F 1 12 12

k = 1 , w2 =2(cos t i sen —)

k = 2 , w, = 2(cos— + /sen— )3 12 12

k = 3 , w4 = 2(cos— + isen— )

. o/ 13?r 13/r\k = 4 , w, = 2(cos---- + isen----- )12 12

i c o/ 4 7T.k = 5 , w, = 2(cos— + isen— )

i z: 197rk = 6 , w-, = 2(cos-----+ 1 sen----- )7 12 12

. „ _ 71 1 ITTLuego 6 = 2 n ----= -----6 6

ía R yi-\i ii, 6 + 2kn 6 + 2kn(4v3 — 4i)J =r-’(cos--------- + isen----------)3 3

<■>, lkr + 12kn U n + \2kTts'4V 3-403 =2(cos------------- + jsen-------------- )18 18

prra k = 0 . w, = 2(cos^-^ + 1 senv 1 1« 18

IItt . 11/r.k = l , w2 - 2(cos--------- + /sen-- )6 6


• m a . 3 5/i 35tt .k = 2 , w-, = 2(cos-----+ 1 sen----- )3 18 18

© Demostrar que: (1 + 0" = 2 2 (eos - + i sen — )4 4Solución

Sea z = 1 + i => r = |f z || = >/2

tge = I = i => 0 = ^6 1 4

(1 + /)" = r n (eos n6 + i sen nd)

njt /ITT.(1 + 0 = 2 2(cos— + /sen— )

( ? ) Demostrar que ( \ l 3 - i ) n = 2" (eos — - í sen — )6 6

S o lu c ió n

612 Eduardo Espinoza Ra.nos

Sea z = \ f l - i => r = || z || = 2

tge = - ¿ => 0 e 4to. Cuadrante V3

0 , 1 nSea a / tga = —=■ => a = —6

Luego 0 = 2 n ~ — = o © = - — 6 6 6 6

( r J 3 - i ) n =2"(cos/i0+i'sen/i0) = 2" [cos(-— )+ i sen(-— )] = T [cos— - / sen— ]6 6 6 6

(ó ) Calcular (1 + cosa + i sena)"Solución

, _ 2a - . a a 0 a . a . a ,1 + cosa + isena = 2cos — i-2isen—cos— = 2cos—(cos—+ isen—) 2 2 2 2 2 2

©

(l+cosa+i'sena)! =[2cos—(cos— +jsen—)]" =2" cos’1—(cos— +i'sen— ) 2 2 2 2 2 2

Demostrar que: Sí z + — = 2cos© . Entonces z m +— - 2cos(m0) z z'"

Solución

Sí z + —= 2cos© z

z = cos 0 + i sen 0

— = cos© -/sen© z

aplicando MOIVRE se tiene: zm = cos mQ + i sen n £

1 = cos mQ - i sen m6 Sumando

z "1 + — = 2 cos md


© Usando la forréala de MOIVRE, demostrar las siguientes fórmulas:

a) sen 2x = 2 eos x sen x . eos 2 a = eos2 a —sen2 x

Solución

(eos x + i sen x , 2 = eos 2x + i sen 2x ... (1)

(eos x + i sen v)2 = eos 2 x + 2i eos a sen x — sen 2 x

= eos 2 x - sen 2 x + 1'(2 eos x sen a ) ... (2)

■y 2de (1) y ( 2 ) se tiene: eos 2x + i sen 2 a = eos“ x — sen a + i(2 eos a sen a )

De donde: sen 2x = 2 eos x sen x ; eos 2a = eos 2 x —sen 2 a

b) sen3A = 3 eo s2 a s e n * —sen3 x ; cos3a = eos3 a - 3 cosAsen2 a

Solución

(cosa + í sen a ) 3 = eos 3a + i sen 3a ... ( 1 )

(cosA + j'sen a ) 3 = c o s 3 a + 3ícos2 Asen a —3eosA sen2 x —/s e n 3 x

= cos3 A -3 e o sA se n 2 a + (3cos2 Asen A -s e n 3 x)i ... (2)

de (1) y (2) se tiene:

eos 3a + / sen 3a = eos3 x - 3 eos x sen 2 a + (3 eos 2 x sen x —sen3 x)i

i ->de donde por igualdad se tiene: eos 3a = eos x —3 eos a sen ‘ x

sen 3a = 3 eos2 x sen a - sen3 a

© Desarrollar eos3 6 en términos de sen 0 y eos 0 de múltiplos de 0.

Solución

8cps3 6 = (z + —)3 = z 3 + -^-+ 3( z + —) = 2cos30 + 6cos0\ z z 3 z

cos30 + 3cos0eos O = ------------------4

(lo) Probar que: sen3 6 eos2 6 = ( s e n 50 — s e n 30 — 2 s e n 0)

Solución

(2jsen0)3(2cos0)2 = ( z - - ) 3-(z + - ) 2 = (z5 — ir) - (z3 - -4 ) - 2(z - - )z z z z Z

321 sen3 6 eos2 6 - 2i sen 56 - 2i sen 36 - Ai sen 6

sen3 6 eos2 0 = (sen 50-sen 3 0 -2 sen 0)16

( l^ Demostrar que la raíz cuadrada de z = a + bi es el complejo x + iy, donde:

solución

Si x+iy es la raíz cuadrada de z = a + bi => (x + iy)2 = a + b i , aplicando módulos

|[ x + iy ||2 = || a + bi || y por definición se tiene:

6 1 4 ______ j _______________________________________________ Eduardo Esputoza Ramos

x2 + y 2 =y¡a2 + b 2 es decir x 2 + y 2 = || z || ••• (1)

Como (x + iy )2 = a + b i , desarrollando x 2 - y 2 + 2xyi = a + b i , por igualdad

x y - a ... (2) sumando y restando (1) y (2)2xy = b ... (3)

¡\niñeros Complejos 615

13)

/ qu.’ se obtiene cuatro pares de miembros reales, de los cuales seleccionamos dos de la ecuación (3).

Si b > 0 x, y se eligen con el mismo signo.

Si b < 0 => x, y se eligen con distinto signo.

Resolver la ecuación en C; z 2 =2iSolución

Rf solver esta ecuación es equivalente a sacar la raí? cuadrada.

Luego a = 0, b = 2, || z || = 2

■v = ±„ 2 + 0 = ±1 ; v = ±.V 22 V 2

como b > 0 => z = y¡27 = x + iy = ±(1 + i)

Resolver la ecuación z 2 = —3 — 4i"

Solución

Como ||; || =V9 + 16=5. a = - 3 ,b = -4

¿II +a = + J -x = ± 5 -3 = ±1 ; v = ±V 2 - =±\ I W ‘ ±2

Como b < 0 , x e y se eligen con signo distinto, es decir (1.-2), (-1,2)

Luego, z = -J—3 — 4/ = ±(1 - 2/)

(14) Escribir las expresiones siguientes en la forma: a + bi

i+*,a) e 3

S o lu c ió n

¿16-i—


1--1b) e 4

Solución

e 4 =e.e 4 = e[cos(-—) + 1 sen(-—)]4 4

7r 7r. -v/2 .-v/2 ...= e[cos-isen— ] = e (-------------------------------- 1----- ( = ------(1 — 04 4 2 2 e

15J Si z = 6 e 3 , Hallar el valor numérico de | |

Solución

Como z = 6 e 3 =6[cos— + isen— ] = 3 + 3\/3i3 3

=> iz = -3y¡3 + 3¿, de donde eiz = í>-3 /3+3i = ¿T3 (eos 3 + 1 sen 3)

\e* II = e - 3

1 6 ) Si z = x + iy, Hallar el lugar geométrico arg(z + l) =

Solución

ySe conoce arg(z) = G => arg(z) = arctg(—)

x

S íz = x + iy => z + l = x + l + i y

arg(z +1) = arctg( ) = —, de donde = t g — = y¡3 => y :jc + 1 3 y+ l 3

17) S i z = x + iy , ha lle la ecuación de l lu g a r geom é trico a rg (z 2) =

S o lu c ió n

V3(* + l)


S iz = x + iy => z~ = x - y ~ + 2xyi

arg( z 2) = arctg( ) = ~x ~ - r 4

2*v , n . , ? ~, ' , = tg(——) — — 1 => >’ =* +2xyx~ - V 4

./j + 1. ,nx.sen(—-)A.sen(— )1* Demostiar que: sen x + sen 2.t +... + sennx -------- —

sen( X)9

Solución

T = sen x + sen 2x + ... + sen nx

Sv= eos x + eos 2x + ... + eos nx

X XSea a = eos— + í sen —, luego 2 2

a ~ = eos x + 1 sen x

a 4 = eos 2x + i sen 2x

a" - eos nx + 1 sen n x , entonces

4 . „ 2 „ „ 2 , a 2" ( c c n - a n )s + iT = a + a + . . :+a = cTF^— -) = cra" — — = a m („+1 a - aa ¿ -1 a ( a - a ') a - a 1

donde a ”+1 - cos(” + x) + 1 sen(—— x) 2 2

618 Eduardo Espinoza Ramor

, . x iix sen(/7 + I j - s e n —sen jt + sen2jE + ...+ sen/ut = -------------------—

xsen —2

(19) Calcular

a) ln i 1-2Solución

Se conoce que: ln z = ln r + ¿(8 + 2kn) donde r = || z ||= 1 y 8 = arctg(z) =t- 8 = y

lnf^ = — lní = — (lnl + /(— + 2kn)) => lni^ = — (— + 2kn)2 2 2 2 2

b) ln (1 + i)Solución

z = l + / => / = || z || = y¡2, 0=arctg(y) = 3 1 5 ° = ^

ln(l + 1) = ln V2 + + 2kn)6

(2ü) Resolver la ecuación x n - 2x ‘ +2 = 0

Solución

x — — — = " ~ = 1 ± i de donde se obtiene x' = 1 +1 v x ‘ =1 — 12 2

aplicando logaritmo se tiene: i ln x = ln( 1 + 1) v i ln x = lníl - i)

1 ln je = ln >/2 + /(— + 2kn) v i ln x = lnyÍ2+i (— +2kn )4 4

lnx = — 2 k n - i l n \ Í 2 v ln* = -^ - + 2&7r-jln>/24 4

——i'ln2 —-/In2jc = e4 v x = e A donde k = 0.



© Calcular z 4 siendo:

a) z = ------- -------- , a e R, 0 < a < 2izsena- i sena

b) z = (—s/3+i)-1 c) z=V 3-/

D * , f l4 1 - > /2 y /3 iRpta. a ) ------ -— b ) ----------+ 1 — c) -----------sen a 32 32 2 2

( 2) Sabiendo que n = 3k demostrar que: + (-■ - i- ~ ) n = 2

© Calcular 1+2 eos x + 2 eos 2x + ... + 2 eos nx, sug. eos kx =Jkx , —ikxe + e

© Si z = x + iy, hallar la ecuación del lugar geométrico definida por arg(z + 2) = —.w 5

n * X + 2Rpta. y = — f ~

( 5) Si z = x + iy, hallar las ecuaciones del lugar geométrico definido por:

a) arg(Z^ ) = - Rpta. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y = 0

b) arg(——-) = — Rpta. x 2 + y 2 + x - 2 = 0x — 2 2

(ó ) Si z = x + iy, demostrar que el lugar geométi ico arg(———) - — es una circunferencia,— z — 2 6

hallar su centro y radio.

7) Demostrar que: arg- - - t'-2-) = —, entonces || z, || = || z2Z1-Z2 2


® _ l + /tgci „ l + i t g n aDemostrar que: (- —) = ---------- —1-í'tga 1 - i t g n a

^9 Efectuar las operaciones siguientes

a) (-1 + 0 6 b)2 2

d) (2+2 O"1 e) (1 + 0 -8

(10 , Calcular las raíces siguientes:

a) Z f T l b) i F i

d) \/8 e) ^ 4

g) Vi h) y j l - l s j y

j) (-1 )4/5 k) (l + ) 5/6

11) ^2+7 m) 6i

ñ) 6| - ^ = o) ( 2 j 3 - 2 i )

1 - i

y¡3 + i

■0 / 2

Í1+1V3

q) (-4 + 4i)1/5 r) (-16/)1/4

Demostrar que:

a) e 2*1 = \ b) e iK = - l

n .á) e 2 = i . e) e z+m ——e z

12) S í z = re‘e => z = re~ie

c) (1 + V307

c) \]\¡3 + i

0 tfí

i) l l j 3 - i

1) ( - 2 0 2/3

7

p) (2+2y¡3i)in

S) ( 0 2/3

c ) = _ e 2

f ) — = e*'-z*


^ 3) Hallar el módulo de los números complejos

a) e 2+l b) e~

Rpta. a) e 2 b) e 2

,2-3/ 3+4/c) e

c) e s

d) e -3- 4/

d) e -3

(14) Expresar en la forma binómica los números complejos.

a) e f b) 2e 3 c) e A + e—I ----14 . „ 4

d) 2/e2” e) 6cK .—i6

^ 5) Hallar la solución de las ecuaciones en C. z 2 = -2>/3 + 2i

Rpta. z = ± y ¡ 2 - j 3 + iyj 2 + y¡3

(íó) Simplificar las expresiones siguientes:

I)1 + e 4

ir.l - e 4'

a) Z = 1+COS0 + isen fl 1 - c o s 0 + ise n 0

w = ( l i i ig e „ +i —/ tg0 i+ictge

c) z = (—— )"+<■r ' - i (—/)” ' +1

)n

(l7) Resolver las siguientes ecuaciones.

a) e 2z~l = 1 c) /¿= e ln:+/

d) ln ; = 2 + — /4

f) senZ ~ 2 + — 4

e) eos z = 1 - i

Dado 1 = - 1| -1 + 2 /1| +V2i, Hallar In ; Rpta. In ; ì ln n/7 + i(0 + 2kn )

b22 Eduardo Espinoza Ramos

19) Determinar los valores principales de las exponenciales siguientes:

a) z = j 2 - i b) ; = (1-iS/3),/' c) * = (3í)2

,, ... fz --------- ----- +3/in 22Rpta. a) - = eíi-okic 2-.l b) , = <,6_,in2 c) e 2

(20) Calcular: a) ]3"' b) ( l - i ) 4'

c) (l + i)-' d) ( ^ + r

(21) Calcular: a) ln(-i) b) ln/1/3

c) ln(l + i) d) ln( 3 — \fii)

/22) Obtener los siguientes complejos.

1 0 0 1 0 0

a) z = z = 1 «*1=0 *=1

ion 100

Sugerencia: | | i* = í ^ ^ i kk =I k =1

e‘~ _ g-» gfc _ e~'~(23) Sí eos z = ---------- , sen z = ----------- . Demostrar que:

2 2i

a) eos z = eos x . cosh y - i sen x . senh y

b) sen z = sen x . cosh y + i eos x . senh y

24) S ic ,.z2 e C , Probar que: arg(T,z2) = arg(z, ) + arg(z2 ) + 2kn k=0,±l,±2,.

^ . n 2n 5n I n 9n 1Demostrar que: a) eos — + cos— + cos— + cos — + cos— - —H 11 11 11 11 11 2


6.24. MISCELAMA IiE EJERCICIOS.-

© Hallar las soluciones reales de las ecuaciones

a) (3x - i)(2 + i) + (x - iy)( 1 + 2i) = 5 + 6i Rpta. jc = y y , y = —

b) ( x - i y ) ( a - b i ) = i 5 , donde a y b son números reales |a |* |b | .

„ , b aRpta. x = ——— , y = —1 i Z ¿ ¿a —b a - b

c) (4 + 2i)x + (5 - 3i)y = 13 + i Rpta. x = 2, y = 1

( 2) Si z = (a.b) y w = (c,d) resolver el sistema: iz + (1+i)w = 3 + i ; (l + i)z-(6 -i)w , = 4

© Demostrar que: Vi + es reaj)x — i ^ l + x 2

(4 ) Expresar x e y mediante u y v sí: —-— + —í— = 1, x,y ,u,v son realesx + iy u + iv

2 2T1 . u +v - uRpta. * = - ---- -— y = -(1 - u ) 2 + v 2 ’ (1 —m ) 2 + V2

© Comprobar que:

. 5 i 1 + 2/ 2 —i 21a) -------------------- = — b) ------ +------= -----(1 —i)(2-/)(3 —í) 2 3-4« 51 5

Si z = x + iy demostrar que: z.z = x 2 + y 2

( 7 ) Demostrar si 0 es un ángulo arbitrario, entonces: ------- -------- = eos 6 + 1 sen 6eos 6 ± i sen 6

8) Demostrar que:

a) z + 3 i = z - 3 i b) iz = - i z c) = 13 - 4 i


( 9) Si a y b son números reales, Demostrar que: || a- —-~ || = 1b + ai

@ ¿Cuáles Re(z2 -2z) e Im(z3-2z) de donde z = x + iy?

@ Comprobar que si || z2 ||*|| z3 II secumple || Z| | |<| | -— — r\\z2 + z3 || z2 || - 1| z3 ||

@ Demostrar que: || J i l M i d || < 1, Z,+ Z 2 * 0W llz,|| + ||z2 ||

^3) Reducir las siguientes expresiones algebraicas a -r bi

a) (1 —O 2 +(2 + i ) 2 Rpta. 3 + 2i

bj ——————- Rpta. 2il - i l+ i

. 1 + 1 u . 1 1 .c) ------------- R p ta .-------- 1

(3 —i')(l —1) 5 10

d) ----- --------- Rpta. 1 - i(2 + 0(1 + 20

. 3 + 2 1 „ 5 ie) — — Rpta. - - -

l + i 2 2

f) - Rpta. -i1

z + 2 „ „ x2 + y2 + 3x + 2 iyg) ----- Si z = x + iy Rpta. — ---- ---------------r---- 5---------

z +1 x + y + 2x + 1 x + y + 2x +1

h) (1 + i)(2 -i)(l - i ) Rpta. 4 -2 i

12 + 8 / + 52 + 13. R p ta . l - 4 i2 - 3 / 13/

Números Complejcs 625

1 + 1 n * 1 . 1 •j) --- Rpta. — +—i( 1 - i f 2 2

. /Re(Z) Dk) ----- -— Rpta. iIm(fZ)

(Tí) Reducir las siguientes expresiones a la forma a + bi

a) [1 + Re(z) + i Im(z)] [1 - Re(z) - i Im(z)] Rpta. [1 - Re(z)]2 +[Im(z)]2

b) [-------—-------f Rpta. 2i(1 —4/)(5 + 3i)

c) (2 + 3i)(3 - 2i) + (2 - 3i)(3 + 2i) Rpta. 12 + 5i

4 + i 5 -3 / _ . 16 3.d) ------ + ------- Rpta. - + - i2 - i 3 - / 5 5

. 1 1 _ . 5 3/e) ------- + ------ R p ta .--------------l + 4i 4 - / 17 7

f) (L tM ±Í)_0zZ K 3zi) Rpta. .2i3 —i 3 + i

g) (5 + 5i)(->/3+3i) Rpta. 5-\/3(l - / )—v 3 —i

h) (—\/3 + 3/)6 Rpta. 1728

i) (2 v3 + 2í')(3-3.'3í) Rpta. 1 2 ,3 -1 2 /

j) Rpta. 2y¡3 + 2/2V3 + 2/

k) (4 + 4^31)2 Rpta. 4^3+4/2 + 2/

1) — 1— + — L - , ' R p t a . * ^( a + fc /)2 (a — b iY (a + b )


15) Hallar el valor absoluto o módulo de:

( 4 - 3 / ) ¿ + /)4a) — - — -------- Rpta. 1

( l-4 « )(-3 + 404

b) (— )8 Rpta. 11-1

c) (3+ 4/)3(—1 —/)

d) (3+4i)(V6 h/)(2-V3¿) Rpta 35

(6 + 7i).(4 2 i ) -----1 _ Rpta. 14 + 2/ 7 + 6/

<1 + .).(V3 + 70 54 + 6/

16) Si z = 1 + i, representar geométricamente los puntos z, —, z2, z 3

17) Si z, =1 + /, z2 = 2 - / , representar geométricamente los punto«, z,, z2 , Zi + z2, Z)Z2.

( i l )Zl

(18,. Si z = x + iy, hallar:

a) Re(—) b) lm(—) c) Im(z3)Z z

d) Re(- -) e) Re(z2 +z) f) Re(-iz)

1g) Im(4/z - 6z + 8/) h) Re(—- /)


19) Demostrar que sí (cosa + isena)" =1 entonces (co sa -i sen a)" =1

(20) Siendo z un número complejo demuéstrese que:

a) || z || > |Re(z)| _ b) || z || > |Im(z)|

c) || z ||2> 2 1Re(z) || Im(z)| d) -Jl || z || > | Re(z) | +1 lm(z) |

® Si w = ———, Demuestre que II z II < 1 implica Im(w) > 01 + z

(2^ Indicar que líneas se determina por las siguientes ecuaciones:

a) Im(z2) = 2 Rpta. Hipérbola xy = 1

b) Re(z~2) = l Rpta. Hipérbola x 2 - y 2 =1

c) Im(—) = — Rpta. Circunferencia x2 +(y + l)2 = —Z 2 4

d) Im(z2 - z) = 2-Im(z) Rpta. Hipérbola xy = -1

c) z2 +z =1 Rpta. Hipérboia x2 - y 2 =-^

f) 2zz + (2 + /)z + (2 -i)z = 2 Rpta. (x+1)2 + (> ---)22 4

x2 v2g) II z - 11| + 1| z + 11| = 4 Rpta. Elipse — +— = 13 4

( y + - ) 2 2

h) || z || - 2 lm(z) = 6 Rpta. Hipérbola 4 * ~ 1(! )2 (f )24 2


j) || 2 - 1 + i || = 1 k) Re(z-i) = 2

1) || z - i || = || z + i || 11) IU -/|| = - ; -

O) Re(z2 - z ) = 0 m) Re(l + z) = || z ||

n) || z + i || = 2 lm(z) ñ) Re(z-/) = 2

Determinar la región que describe la región siguiente:

a) ||z - l||<Re(z) b) 0 < Re(z) < lm(z)

c) 0<arg(z)<^-2

d) 0 < arg(-) < ~ z 2

c) || z - 2 + i || < 1 f) II 2z + 3 || > 4

g) 0 < arg(z) <: 2.4

h) NArriN

i) 1 Re(z) | < || z ¡| j) R e(-)<^ z 2

k) || z || > 2 + Imtz) 1) || z || - Re(z) < 0

ID — < Re(—) + lm(—) < — 4 z z 2

m) 1 < || z + 2 + i || < 2

n) iNVI1N

Determinar la forma polar de

a) z = - 2 b) z=-1 + y¡3i _2 - 2i

Usar la forma polar de un número complejo para demostrar que:

c) z = (>/3- i')6

a) (l + 3 ir10 =2““ (-1 + í>/3) b) (_i +,-)7 = -8(l + i)

Demostrar que si c es una constanterrcáf positiva, entonces la ecuación representa un círculo sí c * 1 y una recta sfc = 1.


1 27) Demostrar que z = a + bi es una solución de la ecuación:

z3 —4 (a + b i ) z 2 +5 ( a 2 —b 2 +2abi)z — 2(ai — 3ab2 + i(3a2b —b 3)) = 0

(28) Demostrar que si || z - 4i || + || z + 4i || = 10 es una elipse.

I 5 ) Calcular las potencias indicadas.

a) (2 -2 /)7 Rpta. 2l0(l + i)

b) ( & - 3 i ) 6 Rpta. 1728

O ( i + ^ / o Rpta. -2 ,9(1 + «V3)1 - í

d) ( ^ ) 8 Rpta. 1l + i

e) ( 5p 5< )6 Rpta. - J -10V3 + 10i 512

f) (f ; 6')-3 Rpta.6 + 61 4 4

g) ( ’ - ^ J 4 h) (V2->/6i)R2

^ Hallar las ralees indicadas:

a) /T+7 b) y]y[3-l c) i j l í l S i

d) n/^32 e) Sll6-I6y¡3i f) (4 j3 -4 /)

g) (1 6 V 2 + ^ )1/5 • h) ( i i í ) ,/6 i) tf=íV2 I-«

j) ^=7 k) \ j&-5-j3i

■\l/3


1) s|-\/2(cos^ + ísen

(3l) Resolver las siguientes ecuaciones:

) U) [(24 +24í)(24 - 2 4i)]i/9

a) z 1 +9 = 0 b) , 2

c) z2 +2z+5 = 0 d) z5

e) N00 + II O n z6

g) N Ñ) 1 II O h) z8

i) z12 + 1 = 0 j) z6

(32) Aplicando la fórmula de Movre expresar las potencias de sen 0 y eos 0 las siguientes funciones de ángulos múltiples.

a) sen40 Rpta. 4sen0.cos3 0 -4sen 3 6 c o s 6

b) eos 40 Rpt. eos4 0 -6 c o s2 0.sen2 0+sen4 0

c) sen 50 Rpta. 5sen0.eos4 0 -lOcos2 0.sen3 0 + sen5 0

d) eos 50 Rpta. eos5 0 -lOcos3 0.sen2 0 + 5cos0.sen4 0

(33) Si e'z = eos z + i sen z , demuéstrese que:

x e‘z +e~tz e,z - e~'za eos z = ---------- b) sen z = -----------2 2i

(S ) Verificar que:

a) senh iz = i sen z b) cosh iz = eos z

c) sen iz = i senh z d) eos iz = cosh z

c) i tgh z = tg(iz) f) ctg iz = -i ctgh z


-w—W) ,Cal"ular a y b en: [e i-v-2 y + a + bi = e 2

Demuéstrese que:

j e , „-¿e\ ¿e -ie _ e +ea) e = e b) eos6 ----------------------2

\ a em - e ~ a . 2 o 1- eos 20c) sen0 = ----------- d) sen 0 = ------------2/ 2

„ 2« 1T eos20 _ 3 _ cos30 + 3cos0e) eos 0 = ------------ f) eos 0 = ------------------2 4

g) eos iz = eos iz h) sen i z * sen iz

i) senh (z + i) = - senh z j) cos(z + iit) = - cosh z

(5^ Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en la forma x + iy.

. jr 3* 2k . 7jt .a) 3 e 3 .2 - j2e4 ' b) 5 c3 '.4e6 '

5jt. jt. 3jt. 5jt.c) 2e6 .3e2 d) V2e4 .>/3e4

„ a3e2

(38) Determinar todas las raíces de las siguientes ecuaciones:

3eu

a) eos z = 2 b) sen z = cosh 4 c) cosh z = —2

d) senh z = i e) cosh z = -2

(39) E xpresar en la fo rm a c om p le ja los s iguientes e je rc ic ios .

632 Eduardo Espinozi Ramos

■ v (1 + 0 ‘ „ , 10 6 .b) -------------------------------------------------------------------------- R uta.-+ —i4 - i 17 7

c) >/-7 + 24i Kptü. ±(3 + 4i)

3 -4 /d) z = l - i f1 5 i , (3~>/3)-(l "3^3)1

3- i

. 7 - i 3 — i 5 — 2/ 5 + 3/e) .----- .------- f) ---------- —;3+/ 7+í 5 + 2/ 4 + j_ _ L ll

4 - i+ —3 - /

(40) Determinar los z e C tales que Im( ¿ + —) = 0

(41) Hallar todos los valores reales de x y los correspondientes de w que hacen que el númerocomplejo w = (x — i)[(x + 3) - 9i] sea imaginario puro.

Rpta. x = ~3+^ , w = (12-!5>/5)i

x = 3 3>/5 w = (12+ 15V5)i'

(4^ Si z e C, Demostrar que (z)2 = z2

(43) Hallar el módulo de las siguientes expresiones.

a) (2~3»X3 + 4i) Rpta. A b) Rpta. 2^5(6 + 4i)(15- 81) 34 5 + i

/T?\ ^ ,l + /tg« „ 1+ttgna(44) Demostrar que: (----^ —) = ----- ——1-ttga 1 - í tg na

:45) Calcular:

a) (1 + I )4Q b) (— )8 c) W3 -3 i)6l - i l+ i


• 26

d) (V3 +i)6 e) ( 4 ^ - ) ‘2 d é + b ' b2 2

g)(3 + 3i')n_3(3>-3«y

Hallar todos los valores de las raíces de las siguientes expresiones.

a) yfi b) í T i c) >/3+4i

Exprés ai' el siguiente número complejo en su forma polar:

3 — 4/

d) >/2Í/-20

Z = l - Í + -(3 + >/3)-(l + 3>/3)!

3 - i

Dado z = (5 - i) (1 + 1) probar que:

Hallar a) Re(e'~ )

Rpta. a) e 2jcv cos(,t2 - y 2)

Rpta. z = 2.8e' donde a = arctg(-0.416)

n , 1 1— = 4 arctg — arctg-----4 5 239

b) Im(e'Z2)

b) e~2xy sen(y2 - x 2)

Hallar una fórmula reducida para:

a) 1 + eos x + eos 2x + .. . + eos (n -l)x

b) sen x + sen 2x + ... + sen (n - 1 )x

c) eos x + eos 3x + . .. + eos (2n - 1 )x

d) sen x + sen 3x + ... + sen (2n - l)x

„ „ 1 - c o s j c — cosnx + cos(n-l)jcRpta. a) ------------------------------ :-----2(1- eos x)

Hallar z, tal que || e ‘z ||< 1

b)sen(n -1) - x sen nx + sen x

2(1-eos x)

H a lla r a ) Re(««-fe" ) b ) Im (c '; ) , n e Z

634 Edi ardo Espinoza Ramos

Sea Z — X + iy = re'6 , Demostrar que: a) r" cos«0 = x"

b) r" senn0 =

Calcular z A siendo:

a) z=:(-^/3 + 7^,

l + i

2\" /x +

4\ /

| * - y - "“V + -

« . 1 i V3R p ta .----- + -----32 32

b) z = Rpta. - - - - i2 2

(55) Determinar los valores principales ae las expresiones siguientes:

b) w = (3i)2'a) w = (V2 -z)1“'

Rpta. a) p = >/3

Obtener el valor principal de z en los siguientes casos:

c) w = (l — iyj3)Ui

b) (¡p = arctg(— - ) c) w = c(1 ,)lní'^

a) ( l - i ) z =l

Rpta. a) z = 0

b) (I±JÎ): =,■ 2

b) z = -

(5?) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) je2' — 2x‘ V 2 = 0 b) x2 - x ^ +1 = 0

Rpta. a) x = en -— i ln 2 4

—~ij2 ? 4

sÆ.

58) Probar que z * 0

, 1 ,a) Re(—) >0 <=> Re(z) > 0z

b) Im(—) < 0 <=> lmíz)>0z

Teoría de Ecuat iones 635

CAPITULO VII

TEORÍA DE ECUACIONES

7.1. DEFIN1CION.-

Llamaremos polinomios de grado n en la variable x a la expresión algebraica definido en la forma:

donde n > 0 es entero positivo y a0, a l ,.. . ,an son números arbitrarios llamados

coeficientes y además ^0 es llamado coeficiente principal.

Al coeficiente a 0 le llamaremos término independiente; a cualquier número constante

diferente de cero le llamaremos polinomio de grado cero.Él numero cero es el único polinomio constante que su grado no está definido.

Cuando en un polinomio el coeficiente principal es (an = 1) le llamaren.Cj polinomio mónico.

Ejemplo.- El polinomio P(x) = x4 + 2x3 + Ax + 5, es un polinomio mónico.

P(x) = a„xn + a n_jxn 1 +. . .+ üiX + ü0 . . . (1)

NOTACIÓN.-

Con K, denotamos a uno de los conjunto Z, Q, R, ó C.

A los polinomios denotaremos en la forma P(x), Q(x), R(x), H(x), etc.

El conjunto de todos los polinomios en x, con coeficientes en K, denotaremos por

K[x], es decir: K[x\ = {P(x) lP(x) = anx" + an_xx - \ + ... + axx + a0, n > 0, aí e K}

@ S i e l grado de l p o lin o m io P<x) es n denotarem os en la fo rm a grad (P (x )) = n.


En el conjunto K[x| definimos dos operaciones, una de suma (+) y la otra de producto (.) es decir:

Sí P (x ) = a nx n + a n_i\"~' + . . .+ a ]x + a 0 y Q{x) = b mx m + b ll Ax ,n~l + . . .+ b1x + b 0

son dos polinomios en x, entonces:

P ( x ) + Q ( x ) = ( a 0 + b (l) + ( a l + b x )A + ... + ( a , + b ¡ ) x ‘ + . . .

P (x ) .Q {x ) = c0 + c , a + ... + c m+nx m+n, donde

r co — a0b0

c , = a ab x + a xb a

c 2 = a 0b 2 + a \b \ + a 2b()

\ •

Cj = a 0bj + a,í>,_, +... + d jb0

C,„+n ~ a n n

Ejemplo.- Hallar la suma y el producto de los polinomios:

P ( x ) = 5 + 3 x - x 2 y Q ( x ) = 4 + 6 a —1 0 a 4

Solución

a ) P ( x ) + Q ( x ) = (5 + 3 x - x 2 ) + (4 + 6 x 2 - 1 0 a 4 )

= (5 + 4 ) + (3 + 0 ) a + ( - 1 + 6 ) a 2 + (0 + 0 ) a 3 + ( 0 - 1 0 )x 4 = 9 + 3 a + 5 x 2 - 1 0 x 4

b ) P (x ) .Q (x ) = (5 + 3 x —, t 2 ) .(4 + 6 a ' 2 - 1 0 a 4 )

= 2 0 + 1 2 a + 2 6 a 2 + 1 8 a 3 - 5 6 a 4 - 3 0 a 5 + 1 0 a 6

Teoría de Ecuaciones 637

7.2. ECUACIONES POLINOMÍCAS DE SEGUNDO GRADO -

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado son de la forma:

ax +bx + c = 0, a ¿ 0

donde a,b.c e R

7.3. RAICES Y DISCRIMINANTES DE UNA ECUACION CUADRÁTICA

Para determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado

ax2 + bx + c = 0 , a * 0 completamos cuadrados, es decir:

ax2 + b x + c = 0 como a * 0 entonces x2 + —x + - = 0a a

(x + — )2 = —----sacando la raíz cuadrada x + — = ± de donde2 a 4 a" 2 a 2a

- b ± 4 b ‘ -4ac2a

... (2)

ahora denotaremos por A = b 2 - 4 a r , al cuál le llamaremos discriminante.

Luego analizamos sus raíces.

lro. Si A - b 2 -4a í-> 0 , entonces la ecuación ax2 +bx + c = 0 . tiene dos raíces reales distintas xt, x 2 dadas por la fórmula (2).

oEn este caso siempre es posible factorizar ax + b x + c como

ax2 + bx + c = a(x — jc( ) ( j c - x 2) .

2do. Si A = ¿i2 - Aac = 0 , entonces la ecuación ax2 +bx + c - 0 , tiene una raíz real

(doble) x¡ = x2 = x = — .ba

638 Eduarde Espinoza Ramos

Luego en este caso la ecuación ai + b x + c = 0 es un cuadrado pnrfecto.

ox~ +b x + c = a ( x + — y 2a

3ro. Si A = b 2 — 4 a c < 0 , en este caso se tiene:

Si a > O, aj + bx + c > O, V x e R, nunca se anula

Si a < O, ax2 + bx + c < O , V x e R, nunca se anilla

Por lo tanto la ecuación ax2 +bx + c = O, no tiene soluciones reales.

7.4. RELACIÓN ENTRE RAICES Y COEFICIENTES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.-

Suponiendo que a , y x 2 son las raíces de la ecuación x~ + b x + c ~ 0 , entonces:

x~ +bx + 0 = ( a — a ' j ) ( j t - a 2 ) = -X — ( X] + A 2 ) a + a 1a 2

A ~ +bx + C = x~ — (A j + . í 2 ) a + a ( a 2

por el criterio de la identidad se tiene:X, + x 2 = —b

JC, .x2 = c

por lo tanto:

a) La sun.a de la» .'aíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente de x. con el signo cambiado.

b) El producto de ambas raíces es igual al término independiente.

Ejemplo.- Hallar el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación

2kx2 -(12A + 1 ) a + 2 = 0 sea 7.Solución

A la ecuación 2 kx2 - ( l 2k + 1 ) i + 2 = O , escrib irem os así.

Teoria de Ecuaciones 639

2 I2k + l 1 . , ,x -----— — x + — = O, suponiendo que a , . x2 son las raíces entonces:

1 2 * + 1 , 1x, + Xj — - b —--------= 7 => k = —1 2 2k 2

Ejemplo.- Hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación

(k - 2)x2 —x + 2 k = 0 sea 6.

Solución

Suponiendo que a , , x 1 sean las raíces. a , . a 2 — c (c término independiente)

para esto a la ecuación (k - 2)x 2 - 5a + 2k — 0 escribiremos en la forma:

2 5 2k nA --------+------ = 0k - 2 k - 2

2k , 3 A, .A , = c = -= 6 = > k = —2 k - 2 2

7.5. ECUACIONES REDUCIBiÆS A CI ADRÁTICAS.-

Como su nombre lo indica son aquellas ecuaciones que no son cuadráticas, pero que mediante una sustitución adecuada se transforma en una ecuación cuadrática, ilustraremos estos casos con los ejemplos siguientes:

Resolver la ecuación (x + 9)(x - 3)(x - 7)(x + 5) = 385

Solución

Primeramente ordenaremos los factores.

[(x + 9)(x - 7)][(x - 3)(x + 5)] = 385 => (a 2 +2a-6)(a2 +2a— 15) = 385

observamos que la sustitución adecuada es m = x 2 + 2x

(m - 63)(m - 15) = 385 => (m2 — 78w+945>=385

m ~ - 7 8 w + 560 = 0 => ( w - 8 ) ( w - 7 0 ) = 0 d e d o n d e m = 8. m = 70


Ja2 + 2a - 8 = O a1 = 4 , a2 = - 2

| a 2 + 2 * —70 = 0 x3 = - l + J ñ , x4 = ~ l ~ y j f i

© Resolver la ecuación, v - - 9 5xx x2 - 9

= 4

Solución

Al ' A'2 - 9 5 aA la ecuación----------------- = 4 , expresaremos asi:A A 2 - 9

a 2 - 9 5 , ............. a - - 9A A 2 - 9

: 4, observamos que la sustitución adecuada es ------- = m ,

entonces w - — = 4, de donde m 1 - 4m -5 = 0 => (m-5)(m+l)=0 => m=5, m= -1 m

a 2 - 9 2Sí m = 5 => -----— = 5 => a - 5 a — 9 = 0

5±V25 + 36 5 ± j 6 l , , . 5 + S l 2 5-^61---------------= ---------- de donde x, = --------- , x = ---------7 7 1 2 7

A 2 - 9 7Sí m = -l => - ----- = -1 => x + a - 9 = 0

-i±V í+36 —i ±\fyJ , , , - i + J r f - 1 -V 3 ?------------- ------------ , de donde a, = ----------- , xA = -O O J O2 2

7.6. ECUACIONES IRRACIONALES.-

Las ecuaciones irracionales son aquellas ecuaciones que contienen radicales. La solución se obtiene por el método de eliminación de los radicales, luego se resuelve la ecuación resultante por los métodos conocidos, sin embargo, al sustituir todas las raíces posibles en la ecuación original puede resultar que algunas de estas raíces no sean solución de la ecuación original debido a que el método de eliminación de radicales requiere elevar a una determinada potencia a los dos miembros de una igualdad y en éste procedimiento puede introducirse raíces que no corresponde a la ecuación original.


Veremos algunos ejemplos.

Ejemplos.- Resolver las ecuaciones siguientes:

(1 ) y¡2x — 3 + ' J x - - l = y¡3x — 2

Solución

El método consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación

( V l x - í + ^ f x ^ ) 2 = { y j 3 x - 2 ) 2

2 x - 3 + x - 1 + 2-j2x — 3 y f x - l = 3 a - 2 , simplificando

y¡2x—3\¡x — 1 = 1 , elevando al cuadrad? 2 a 2 - 5 a + 3 = l => 2 a 2 - 5 a + 2 = 0

(2x - l)(x - 2) = 0 de donde a = , x = 2, ahora comprobando se tiene:

para a = , y / l — 3 + . l ——l - . ¡ ——l => -j2i + - ^ i * - L = falso2 V 2 V 2 v2 V2

x = 2 , \ ¡ 4 - 3 + y¡2 — 1 = •v/ó — 2 => 1 + 1=2 = 2 verifica

Luego el conjunto solución es {2}

( 2 ) V 2 a + 8 + > / 7 + 5 = 7

Solución

Cuando en un miembro se encuentra dos radicales y en el otro miembro no hay radical es más fácil, pasar un radical al otro miembro de elevar al cuadrado, es decir:

> /2 a + 8 = 7 - yfx + 5 , elevando al cuadrado

2 a + 8 = 4 9 - 1 4 > / a + 5 + a + 5 , simplificando

a - 4 6 = - 1 4 - v / a + 5 , elevando al cuadrado

v 2 - 2 8 8 a + 1 1 3 6 = 0 => (x - ? 8 4 H x - 4 ) = 0 de donde x = 4 , x = 2 8 4

6 4 2 Eduardo Espinazo. Ramos

ahora comprobaremos cual es la solución para x = 4, Vsl-8 + \¡4 + 5 = 4 + 3 = 7

x = 284, V568 + 8 W 284 + 5 = 24 + 17*7 falso

por lo tanto la solución es {4}

7/7. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN.-

Consideremos dos polinomios P(x) y Q(x) dados por

P(x) - 2 a 5 + 3 a 4 + 5 j c 3 + 6a 2 - a + 6 ; Q(x) = a 3 + l x 2 + 8a —1 ahora efectuaremos la

división de P(x) entre Q(x), y para esto adecuamos cada polinomio en potencia decreciente de x.

P(x) = 2x5 + 3 a 4 + 5 a 3 + 6 a 2 - x + 6 | x 2 - 3 a + 2 = ( 2 ( y )_____________

- 2 a 5 + 6a 4 - 4 a 3 2 a 3 + 9 a 2 + 2 8 a + 7 2 = C(a)

9 a 4 + a 3 + 6 a 2 - x + 6

- 9 . v 4 + 2 7 a 3 - 1 8 a 2

2 8 a 3 - 1 2 a 2 — x + 6

- 2 8 a 3 + 8 4 a 2 - 5 6 a

7 2 a 2 - 5 7 a + 6

- 7 2 a 2 + 2 1 6 a + 1 4 4

159x - 138 = R(x)

COMEN i ARIO.-

Primero se divide 2 a 5 entre a 2 , que resulta 2 a 3 ; luego se multiplica 2 a 3 por Q(x) y el resultado con signo cambiado, se escribe debajo de P(x) y se efectúa la suma se repite este

proceso tomando P { x ) - 2 x i Q(x) en lugar de P(x), hasta obtener el residuo R(x), en este

ejemplo, el cociente es C(a) = 2 a 3 + 9 a 2 + 2 8 a + 7 2 y el residuo es R(x) = 159x - 1 3 8

Luego el resultado podemos indicar escribiendo:

2 a 5 + 3 a 4 + 5 a 3 + 6a 2 — a + 6 = (a 3 - 3 a + 2 ) ( 2 a 3 + 9 a 2 + 2 8 a + 7 2 ) + 1 5 9 a - 1 3 8 ósea

P(x) = Q(x).C(x) + R(x)Con este ejemplo de ilustración mencionaremos el teorema del algoritmo de la división.


7.8. TEOREMA (ALGORITMO DE LA DIVISION Pa RAPOLINOMIOS).-________________________________________________

Dado dos polinomios P(x), Q(x) e K[x], donde n > 1 es el grado de P(x) y m es el grado

de Q(x) con 1 < m < n entonces existen dos polinomios de modo que:

P(x) = Q(x).C(x) + R(x) donde el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).

7.9. LA DIVISIÓN SINTÉTICA.-

La división sintética es un procedimiento práctico para encontrar el cociente y el resto de

la división de un polinomio P(x) entre x - r, a la división sintética también se le conoce con el nombre Je “Regla de Ruffini”.

Supongamos que P(x) = a nx" + a n_lx n~] +. . + a tx + a 0 de grado n, aividiejido entre el

polinomio x - r. de grado 1, entonces por el teorema del algoritmo existe

Q ( x ) = b n_lx" 1 + b n -.jt"-2 +... + fcj de grado n - 1 y R(x) un polinomio constante tal que:

P(x) = Q(x).(x - r) + R(x) ...(1)

Ahora reemplazando el polinomio Q(x) y R(x) en (1)

a„x" + a n_lx"~[ + + a lx + a 0 =(,bn_lx n~l + b n_ 2x"~2 + —+ b 2x i - b l ) (x—r) + R

= bn_lx n +(b_2 -r¿7n_,)x"_1 + (b n_ 3 - r b n_2 )xn~2 +... + (¿7, - rb2)x + (R - rbx)

por igualdad de polinomios se tiene:


estas relaciones nos permite expresar los coeficientes sucesivos de C(x) y R(x) en

términos de los coeficientes de P(x) y C(x), previamente derermin«¿do:

a n -1 a 2 «i «0 r

rK - \ rb3 rb2 rb\

K -1 = a n bn-2 b2 R

Los números de la primera fila son los coeficientes de P(x) dispuestos en rom1 a decreciente a las potencias de x, como a n = bn_x, ésta lo bajamos a la tercera fila y el

producto se escribe como primer elemento de la segunda fila y bn_2 es la suma de

los elementos que están encima de el y así sucesivamente de la tercera fila de ésta tabla

escribiremos el cociente C(x) = bn_tx"~l + b n_2x"~2 +... + bx y el resto R(x) = a0 + rb{ .

OBSERVACIÓN.-

Iro. Cuando el divisor es un polinomio de segundo grado factorizable de la forma

(x - a)(x - b), también es aplicable la división sintética.Es decir: Si P(x) es el polinomio dividendo y (x - a) es el polinomio Divisor,

entonces por la división sintética podemos encontrar el cociente C’(a) y el resto

R\ tal que / ’(a) = (a-íi)C ,(a) + /?1 ---(l)

Ahora tomamos a C'(a) como polinomio dividendo y (x - b) como polinomio

divisor de donde encontramos el cociente C(x) y el íesto R 2 tak que:

C \ x ) — (x — b).C(x) + R2 -” (2)

Luego sustituyendo (2) en (1) se tiene: P(x) = ( x - a ) ( x - b ) . C ( x ) + R2(x — a) + Rx

de donde se observa que C(x) es el cociente y el resto es R = R2( x - a ) + Ri

EJEMPLO DE APLICACIÓN.-

Por división sintética, hallar el cociente y resto de la división

P(x) = 2.*4 -7 a 3 +1 2a2 -1 1a- 7 entre 2 v2 - 3a - 2

S o lu c ió n


Factorizando 2 x 2 - 3 x - 2 = (2x + l ) ( x - 2 ) , ahora hallaremos sucesivamente C'(a) y

C(x) de la división de P(x) entre (x - 2)(2x +1).

2do. Cuando el divisor es un polinomio de segundo grado factorizable o no factorizable o un polinomio de grado mayor que 2, también se aplica la división sintética y esto se realiza por el método de “HORNER”.

7.10. TEOREMA DEL RESTO.-

Si al polinomio P(x) se divide entre x - r, siendo R una constante arbitraria, hasta obtener el cociente Cix) y su residuo R entonces P(r) = R, en efecto: por el algoritmo de la división se tiene:

P(x) | x - r R C(x) entonces P(x) = C(x).(x - r) + R

*Como ésta igualdad es válida para todo x, en particular es válida para x = r, de donde:

P(r) = (r-r).Cu) + R

= O.C(r) + R = R entonces P(r) - R

Ejemplo.- Hallar el residuo de la división de P(x) = x3 - 3a 2 - 3x - 3 entre x - 1a

Solución

Por el teorema del Testo sejiene P( 1) = R

R = P(-I) = -1 - 3 + 3 - 3 = -4 => R = -4


7.11. TEOREMA DEL FACTOR.-

Si P(x) es un polinomio, entonces d.remos que r es una raíz de P(x) si y sólo si x - r es un

factor de P(x).Demostración

Por el teorema del algoritmo de la división se tiene: P(x) = (x - r).C(x) + R

Por el teorema del resto se tiene que R = P(r), pero como r es una raíz de P(x) (o un cero)

es decir: P(r) = (r — r).C(r) + R = R = 0 => R=0

Por lo tanto P(x) = (x - r).C(x)

Luego x - r es un factor de P(x) recíprocamente, si se tiene que x - r es un factor de

P(x) => P(x) = C(x).(x - r), como el resto es R = P(r) = 0 entonces P(Y) = C(r).(r - r) = 0,

esto quiere decir que r es una raíz de P(x).

7.12. RAICES DE UN POLINOMIO.-"

De acuerdo al teorema del factor se conoce que dado un polinomio P(x) con grado n > 1,

un número r se flama raíz o cero del polinomio P(x) sí P(r) = 0.

Ejemplo.-Sea P(x) = x 3 + 3x2 +3jc + 1 el número r=-l es raíz de P(x) puesto que P'-1)~0

7.13. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA.-

Todo polinomio P(x) de grado n > 1, definido por

P(x) = a nx n + a n_lx n~l +... + a lx + a 0 , con a n * 0 tiene por lo menos una raíz la cual

puede ser real o compleja.

Por ahora admitiremos válida la proposición, ya que no es posible dar una demostración

elemental de el.

Teoría de Ecuaciones 6 4 7

7.14. NÚMERO DE RAICES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA ■

a) TEOREMA.- Todo polinomio de P(x) de grado n > 1 de la forma

P(x) — a nx n + a n_lx n~i +... + a lx + a0 , con a n * 0 , tiene

exactamente n raíces.Demostración

Mediante el teorema fundamental del álgebra se tiene: que el polinomio P(x) tiene almenos una raíz r, y por el teorema del factor tenemos: P(x) = (jc-r,).C,(jr)

donde C¡ (x) es el cociente de la división de P(x) por x — r,.

En forma similar C¡ (x) tiene una raíz r2, de modo que ai aplicar el teorema del

factor se tiene: C¡(x) - ( x — r2).C2(x) porlotanto P(x) = (x-r¡).(x — r2).C2(x)

ahora comentamos: Como cada nuevo cociente es de grado menor en una unidad al del cociente anterior, podemos continuar el proceso hasta finalmente obtener:

P ( x ) - ( x - r l ) ( x - r 2) . . . ( x -r n) ... (1)

donde cada r¡ es una raíz o cero de P(x).

Si en la ecuación (1) hacemos x = r, donde r es un número arbitrariamente tenemos:

P(r) = (r -r ,).(r -r2)...(r-rJ

Si r í r¡ , Vi ninguno de los factores ( r — r¡) es cero, donde a n * 0, P(r) * 0 y r no

es un cero de P(x), se concluye que hay exactamente n raíces con lo cual el teorema queda demostrado.

7.15. DEFINI CIÓN.-

A la raíz r de un polinomio P(x) diremos que es de multiplicidad m > 1 sí

P(x) = ( x - r ) ' n C(jt) , donde C(x) * 0.


Ejemplo.- El polinomio P(x) — (x+)(x-2)4(x -3 )2 es de grado 7 y sus raíces

son-1,2,2,2,2,3,3, en donde r, = —1 es una raíz simple

r2 = 2 es una raíz de multiplicidad 4

r3 = 3 es una raíz de multiplicidad 3.

7.16. RAICES ENTERAS.-

Si en la ecuación pol.nomica P(x) = 0. tenemos raíces entera, entonces estas raíces son divisores del término independiente.

Ejemplo.- Hallar las raíces enteras de P(x) = 2 x3 — x 2 — 4 x + 3

Solución

Las posibles raíces enteras son los divisores de 3 es decir, ±1, ±3, ahora comprobaremos

P(l) = 2 - 1 - 4 + 3 = 0 => P(1) = 0 =* r = 1

Es una raíz entera P(-l) = -2 - 1 + 4 + 3 = 4 * 0 no es raíz

P(3) = 54 - 9 - 12 + 3 = 36 * 0 no es una raíz

Ejemplo.- Hallar las raíces enteras de P(x) = x 4 + x 3 —x 2 —7x — 6

Solución

Las posibles raíces enteras son los divisores de 6, es decir:

±1, ±2, ±3, ±6, ahora probaremos:

P(l)= 1 + 1 - 1 - 7 - 6 ) - 1 2

P(-l)= 1 — 1 — 1+7 — 6 = 0

P(2) = 16 + 8 - 4 - 1 4 - 6 = 0

P(-2) = 1 6 - 8 - 4 + 1 4 -6 = 12

P(3) = 81 + 27 - 9 - 21 - 6 = 62


P(-3) = 81 - 27 - 9 + 21 - 6 = 60

P(6) = P.96 + 216 - 36 - 42 - 6 = 1428

P(-6) = 1296 - 216 - 36 + 42 - 6 = 1080

ComoP(-l) = 0 yP(2) = 0 entonces r = - l , r= 2 son la* raíces enteras.

7.17. FORMA FACTORIZ ADA DE UN POLINOMIO.-

TEOREMA.- Si el polinomio P(x) = a nx n + a n_lx n l +. . .+ a lx + a0 se anula para

ri ’r2' r3’—' rn valores diferentes, entonces el polinomio Pí'x) puede

expresarse en la forma: P(x) = a n (x - r, ).(x - r2 )...(x - rn)

Demostración

Sea P(x) = a nx n + an_,jcn_1 + ... + a¡jc + a0

Si x =r¡ anula a Pfxi entonces por el teorema del factor se tiene que x - r, es un factor de P(x), por lo tanto P(x) = ( x - r ] ).C i (jc)

Si x = r2 es una raíz de P(x) => P(r2) = (r2 - r,).C,(r2) => P(r2) = 0 => x -r 2es un

factor de C, (a) .

Luego P(x) = ( x - r l X x - r 2)C2(x)

En forma similar para x = r3 se tiene:

P(x) = ( x - r, )(.r- r2 )(*- r, )C3 (a)

P(x) = (* - r, ) { x - r 2 ) ( x - r 3 ) . . . ( x -r n )C„ (a)

donde an = Cn (x ) ; p o r lo tanto: P(x) = a n ( x - r , ) ( x - r 2)...(x—rn )


7.18. RELACION ENTRF LOS COEFICIENTES Y LAS RAICES DE UNA ECUACIÓN POIINÓMICA.-

Consideremos la ecuación polinómica P(x) = 0, de grado n,. es decir:

P(x) = a nx" + a n_ix"~i + ... + aijc + a0 =0,con a n *0

como a n * 0, a al ecuación podamos esciibir en la forma:

jr" + ^ ± x n~i +... + - x + - = 0a n a n a n

x n + b 1x n~1 + . + bnM £ F b ? = 0 (1)

por descomposición factorial se tiene: ( x - rt ) ( x - r 2 )...(jc — rn) = 0 ...(2)

dor.de r¡, r2 rn son las raíces de la ecuación P(x), ahora efectuaremos el producto de la

ecuación (2) e igualando coeficientes con la ecuación (1).n

^ j¡■ = rj + r2 +... + rn = - b x, suma de raícesi=in

r¡rj =r¡r2 +r2ri +... + rn_lrn = b2 , suma de los productos de las raíces de dos en dos.¡<j

n

r:rjrh = rxr2ri +~- + rn -2rn-\rn = — suma de los productos de las raíces de tres en tres.K j<h

r,r2r3....rn = (-l)"fcn, producto de todas las raíces, casos particulares:

para n = 2, ósea: P(x) — x 2 + x + b = 0 ...(1)

P(x) = (a - r, )(jc - r2) = 0, r,, r2 son raíces efectuando las operaciones.

P(x) = x 2 -(r, + r2)x+ r,r2 ...(2)

igua lando coe fic ien tes de (1 ) y (2 ) se tieneí'i+ 'z = ~ a[r,r2 - b


ahora veremos para n = 3, ósea P(x) = x 3 + a x 2 +b x + c ...(3)

si r,, r2, r3 son las raíces de (3) entonces: P{x) = (x — r, )(x — r2 )(x — r3)

efectuando operaciones se tiene: P(x) = .t3 — (r, + r 2 + r3 )x2 + (r,r2 +r,r3 -(- r2 r3 )x - r, r2 r3

igualando los coeficientes con la ecuación (3)

r, + r2 + r3 = a• r,r2 +r2r3 +r[r3 = b

r \ r 2 r 3 = c

7.19. NATÚRa LÉZA D E L AS RAICES DE POLINOMIOS RALEST

Mí diante el teorema fundamental del álgebra, se conoce que todas las raíces de un polinomio con coeficientes reales se encuentra C, en donde algunas de estas raíces son reales y las otras complejas.

Veremos enseguida que las raíces, tanto complejas como irracionales, se presentan por pares.

a) TEOREMA.- Consideremos un polinomio real no constante

P(x) = a nx n + a n_lx n~l +. . .+ a lx + a Q si un número complejo

r = a + ip. P * 0. a, P e R, r es una raíz de P(x) = 0 entonces su conjugado

r — a —¿P también es raíz de P(x) = 0.

Demostración

Si r es una raíz entera de P(x) = 0, esto es:

a „( r )n + a n_] (r)"~l + . . . + a l (r) + a 0 = 0 , como los a, son reales, tomando

conjugados se tiene: a„ (r ) n +a„_1(r)"-1 +... + a¡ (r) + a0 = 0 , lo cual demuestra

que r es una raíz de P(x) = 0.

b) COROLARIO.- Todo polinomio real P(x) con coeficientes reales y de gradoimpar, tiene por lo menos una raíz real.


demostración

Sí n = 1 => P(x) = ax + b, a * 0, a,b e R

Entonces x = — — es una raíz real de P(x) a

Si n > 3 y r¡ = a + /J,, P * 0 es una raíz de P(x).

Luego por el teorema (2.19) a), r2 =a¡ ~ P xi también es una raíz de P(x), por lo tanto

por el teorema del factor: P(x) = ( x - r ¡ ) ( x - r 2)Q(.x) = ( x 2 - 2 a x + f i 2 +<X' 'Q(x)

donde el grado Je Qíx) es n - 2 > 1, donde n - 2 es impar por ser n impar.

Razonando por inducción podemos afirmar que Q(x) tiene una raíz real que también es raíz de P(x).

c) COROLARIO.- A todo polinomio real P(x) con coeficientes reales podemosescribirlo como un producto de factores lineales y cuadrático

con coeficientes reales donde a cada factor lineal le corresponde un cero real y a cada factor cuadrático le corresponde un par de ceros complejos conjugados.

d) TEOREMA.- Si un binomio irracional cuadrando a + -Jb es raíz del polinomio

real. P ( x ) - a „ x n + a n_lx n~l +...+ a,jc + a0, con coeficientes

racionales entonces el binomio irracional cuadrático a - 4 b es también raíz de P(x)=0

Demostración

Como r = a + 4 b es raíz de P(x) = a nx n +a„_1jc'1-1 +...+ a[Jc + a0 = 0, entonces

se cumple: a nr" +a„_xr n~l +.. + a lr + a0 =0

Ahora aplicamos conjugada se tiene:

a n( r ) n + a „ _ ¡ ( r ) n~I +... + a ¡ ( r ) + a 0 = 0 , lo cual quiere decir que r = a - y f b es

raíz de P(x) = 0.

Teona de Ecuaciones 653

7.20. RAICES RACIONALES DE UN POLINOMIO.-

Consideremos un polinomio P ( x ) - a „ x n + a n_lx n 1 +. . .+a ¡x + a Q, con a Q * 0 , a n * 0 ,

cuyos coeficientes son enteros.

Si él número racional — es raíz de P(x) = 0 entonces P es divisor del término

independiente a 0 y q es divisor exacto de a n .

Ejemplo.- La ecuación polinómica P ( a ) = 9 a 4 - 4 2 a 3 + 1 3 a 2 + 8 4 a + 26 = 0 tiene cuatro raíces.

Las raíces enteras posibles son los divisores del término independiente 36; ±1, ±2, ±3,

±4, ±6, ±12, ±18, ±36 raíces fraccionarias posibles — donde p es divisoi de 36; q es

1 2 2 4 4d iv is o r d e 9 : ± 1 , ± 3 , ± 9 e n to n c e s la s r a íc e s p o s ib le s s o n ± — , ± — , ± — , ± — , ± — .

3 3 9 3 9

7.21. TEOREMA DEL LIMITE SUPERIOR DE LAS RAICES REALES (LAGPANGE).-_________________________________________________

Si en la ecuación P(x) = a nx n + a n_¡xn 1 +... + a¡x + a0 = 0, de coeficientes reales, k

representa el número de términos positivos o nulos anteriores al 1er. término negativo y G es el mayor valor absoluto de los coeficientes negativos, entonces toda raíz real de P(x)=0

es menor que 1 + 1 — ( a n es el coeficiente de x n ) es decir que 1 + */— es una cota\ an \ an

superior de las raíces positivas del polinomio.

Ejemplo.- Hallar la cota superior de las raíces P (x)-3x5 +7x4 - 1 8 a 3 + 5a 2 - 1 2 a + 1 = 0 de acuerdo al criterio la cota

superior es: L = 1 + J — , donde a n = 3 , k = 2, G= |-18| = 18, reemplazando

L - 1 + = 1 + -Jó = 4 cota superior.

654 Eduardo Espi nóte Ramos

7.22. VARIACIÓN DE SIGNOS DE UN POLINOMIO.-

Si en un polinomio ordenado en forma descendiente dos términos difieren en Mgno. se dice que dicho polinomio tiene una variación de signos.

Ejemplo.- P ( x ) = 8a4 + 7 a3 - 2 v2 -3*+ 5, 2 variaciones

P ( x ) = 7 x* + 8 a 2 + 1 x - \ , 1 variación

P(x) = l x 2 +5.V + 8 , ninguna variación

7.23. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES.-

Si P(x) = 0 es una ecuación polinómica entera con coeficientes reales y con raíces reales, entonces:

i) Él número de raíces positivas con coeficientes reales es igual al número de variaciones de signos de dicho polinomio o es menor que este número en un número entero positivo par.

ii) El número de raíces negativos es igual al número de raíces positivas de P(x).

Ejemplo.- P(x) = 8x5 -7 a 4 + 5x3 - l x 1 - x + 5 = 0 tiene 4 variaciones de signo.

P(-x) = -8a5 - 7a 4 - 5» -2 a ’ +3a-c5 tiene 1 variación ce signos

4+ r■ 2+ 1' 2 imaginarios

0 1“ 4 imaginarios

7.24. ECUACIONES BINÓMICAS.-

Una ecuación binómica es la que consta de dos términos de la forma.

a". ± a - Ü

La solución de estas ecuaciones se encuentra pór medio del teorema de MOIVRE o por factorización.


Ejemplo.- Resolver la ecuación x3 +1 = 0Solución

Resolviendo por factorización se tiene:

x 3 +1 = ( x + l ) ( x 2 — x + 1) = 0 de donde x + l = 0 v x 2 - x + 1 = 0

x = -1 v x = ^ - ^ - = — ± ^ - i , otra forma es por MOIVRE.2 2 2

Jt3 +1 = 0 => X = y f - 1 => Z = -1+0Í

r = II z || = 1, tg0=-9j- = O => 0 = 180° = n

x = >/—T = || z |p [eos + ¿sen— ], donde k = 0,l,2.

k = 0, x. = eos— + 1 sen — = — + — -f1 3 3 2 2

k = 1, x2 = eos 3/r + i sen 3n = -1 + 0.« = -1

, ~ l n . 1k 1 y¡3 .k = 2, x, = eos — + 1 sen— = --------------13 3 2 2

7.25. ECUACIONES TRINÓMICAS BICU ADRAD AS.-

ax i + bxn + c = 0Estas ecuaciones son de la forma siguiente:

Estas ecuaciones se resuelven transformándolas en una ecuación cuadrát ic a haciendo la

sustitución siguiente y = x n => y 2 = x 2n

Luego la ecuación transformada será: a y ' + b y + c = 0

E je m p lo .- Resolver la ecuación-»iguiente: x 2 / , i + 6 = 5 i ‘ "

S o lu c ió n

6 % Eduardo Espinoza Ra>nos

La ecuación dada es: x 2'" —5x llr +6 = 0

sea y = x Un => y 2 = x 2/n, reemplazando v2 -5 +6 = 0 => (y - 2)(y - 3) = 0 de donde

jy = 2 = jc1/" x x = 2"[y = 3 = jcl/n ^ x 2 = 3 n

7.26. ECUACIONES RECÍPRQCAS.-

A los polinomios que tienen la propiedad característica de tener los coeficientes extremos y los equidistantes de los extremos iguales se denomina polinomios recíprocos, es decir:

P ( x ) - a nx n + a n_xx n~l + ...+ a„_2x 2 + a„_xx + a„

la ecuación P(x) = 0 se denomina ecuación recíproca, el nombre es debido a que el

cambio de x es por su recíproco * , la ecuación no se altera como caso particular veremosx

a un polinomio de 4to. grado.

ax4 + b x 3 + c x 2 +bx + a - 0

para resolver esta ecuación la transformamos al dividir por x 2 , es decir:

ax + bx + c + ^ + a =0 => a{x2 + ^ - ) + b( x+ -) + c = 0X X 2 X ¿ X

Sea Z = x + - => Z2 = x2 + -^- + 2 => Z2- 2 = *2+-^ x x x

Reemplazando se tiene: o(Z2 — 2) + bZ + c = 0 , de donde a Z 2 + bZ + c — 2a =0

Que es una ecuación de segundo grado.

E je m p lo .- R eso lve r la ecuación sigu iente. jc4 + - 4 a 2 + * + 1 = 0

S o lu c ió n


Como la ecuación x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0 es recíproca entonces lo dividimos entre v2 , es decir:

x + X - 4 + — + — - = 0 => (x + — ) + (.* + —) - 4 = 0X X X X

Sea Z = x + - => Z 1 = x 2 + \ + 2 => Z2 - 2 = x2 + \X X 2 * 2

Reemplazando en la ecuación ( 1 ).

Z2 —2 + Z -4 = 0 => Z2 + Z - 6 = 0 => (Z + 3)(Z-2) = 0 => Z = -3, Z = 2

como x + = Z entonces se tiene:x

para Z = 2, x + —= 2 => x -2 x + l= 0 => (jc — 1) =0 => x = l de multiplicidad 2 x

■7 - 3 1 a ^ 2 o , n -3 ± -j9 — 4 -3±y¡5paraZ = -3. x + — = -3 => a +3.t + l = 0 => x = ------------- = ----------

7.27. ECUACIONES POLINOMICAS DE TERCER ORDEN.-

Consideremos la ecuación polinómka de tercer grado

3 2a3x + a 2x +aix + a0 = 0, 0 3 * 0 ..(1)

como £¡3 * 0 , entonces la ecuación (1) se transforma en la forma

A3 + bx 2 + cx + d = 0 ... (2)

La ecuación polinómica (2) lo transformamos en otra ecuación polinómica mediante la

sustitución

b* = y - -

esdecir (v - — )3 + b ( v - —)2 +c( \ - —) + d = 03 3 3

658 Eduardo Espi loza Rame s

desarrollando y simplificando se tiene: y3 + (c - — )y + d —— —— = 03 27

> + py + q - 0 ... (3)

b , bc b3donde p — c — ■, q — a -----------3 3 27

ahora hacemos y= A + B, de donde y3 = A 3 + B 3 + 3AB(A + B) => y 3 = A 3 + B 3 + 3ABy

y 3 - ó A B y - (A3 + B 3) ... (4)

comparando (3) y (4) se tiene: 3AB = -p , A 3 + B 3 = - q

3 3corno B = —— => A3 — — r- = - q , de donde (A3)2 +qA3 ------= 0

3 A 27 A3 27

R = ‘

2 4 p3 q + — 27

2

q ' + ^27

a

a w

a w2

P* P w

P w 2

F órm u la de C ardano


Luego y ->’i =tx + p

y 2 = ce H’+ p w 2

y3 = a M'2 + p w

Como x = v — , la soluciones: ' 3

x. = a + p - ~1 3

n 2 bx-, — a w + Bw —3

'’ o bx3 = a w + p w —

Ejemplo.- Resolver la ecuación de tercer grado: x3 -9.x 2 -9 x -15 = 0

Solución

9Sea x - y - ( - —) = y + 3, reemplazando en la ecuación:

(yi-3)3 -9(v + 3)2 -9 (y + 3)-15 = 0 , desarrollando y simplificando se tiene:

y3 -3 6 y -96 = 0 , donde p = -36, q = -96

sea y = A + B siendo: A -

1 •o +

27 272 2

,|96 + >/9216-1728 ,,(96 + 8^17J 2 V 2

J96-V9216-1728 _ JÍ96-8VÍT7J 2 2

^4(12 + VÍT7) -»- /4(12-VTT7)

v3 = ^4{\2 + JUT)w2 + 4 (12-V ÍT 7)v


como x = y - — , la solución es: x¡ = ^4(12+ >/l 17) +^4(12->/l 17) +3

Jt2 =^4(12 + y f n ^ + $ 4 ( 1 2 - y f ñ 7 ) + 3

= ^ 4 ( n + ~Irñ)w 2 +^4(12 —■v/Ti7)h' + 3

7.28. ECUACIONES CUARTICAS.

La ecuación de cuarto grado es de la forma: jc4 + 2 p x 3 + qx2 + 2 rx + s = C (n

para obtener la solución, a la ecuación (1) descomponemos en 2 ecuaciones de segundo grado y estos se consigue de la siguiente manera:

Sumamos a cada miembro de la ecuación (1) (ax + b)

x ’ +'¿px3 -<r(q + a 2)x2 + 2 (r-Lab)x + s + b'c = ( a x + b ) J (2)

donde a, b son cantidades por determinar de tal man :ra que el primer m embro sea un cuadrado perfecto.

• ■ 2 2 Supongamos que el primer miembro de la ecuación (2) sea igual a (x + p x + k ) es

decir:

x + 2 p x + ( p +2k) x + 2 p k x + k = (a x + b) ... (3)

comparando las ecuac.ones (2) y (3) se r ene:

eliminando a y b de estas ecuaciones se ñeñe:p 2 + 2 k = q + a 2

pk = r + ab

k 2 = s + b 2

j p 2 + 2k = q + a 2

k 2 = s + b 2

ía 2 = p 2 + 2 k - q

\ b 2 = k 2 - s

pk=r+ab ^ pk-r = ab, elevando al cuadrado ( p k - r ) 2 = a 2b~ = ( p ~ + 2 k —q ) ( k ~ - s )


efectuando operaciones y agrupando se tiene: 2A 3 — q k 2 + 2 ( p r - s ) k — p 2s + q s - r =0

de esta ecuación siempre se halla un valor real para k y con estos valores se hallan los valores de a y b.

como {x2 + px + k ) 2 = (ax + b ) 2 , dedonde

( x 2 + px + k ) 2 - (ax + b ) 2 = 0, por diferencia de cuadrados

[a-2 + ( p + a)x + (k +b) ] [x2 + ( p - a)x + (k — b)] = 0

Luego los valores de x se obtienen de las dos eruaciones cuaaráticas.

x 2 + (p + a)x + k + b = 0

x 2 + ( p —a)x + k —b - 0

Ejemplo.- Resolver la ecuación cuadrática x4 + 2 x 3 —I x 1 -8x + 12 = 0

Solución

Como la ecuación de cuarto giado es de la forma: x 4 + 2p x 3 + q x 2 + 2rx + s = 0 /

entonces comparando con la ecuación dada se tiene:

p=l, q = -7, r = -4, s = 12, además se conoce que:

2k 3 - q k 2 + 2 ( p r — s)k — p 2s + qs — r 2 =0

al reemplazar los valores de p,q,r y s, se nene: 2k 3 + Ik 2 - 32k — 112 = 0

Luego por Ruffini se tiene el valor de k.

2 7 -32 -1128 60 112 li

2 15 28 0

¡a2 = p 1 + 2k — q a = 4como < =>

|fc2 =A:2 - 5 0 = 2

66? Eduarde Espinoza Ramos

como las ecuaciones de cuarto grado se descompone

j x 2 + ( p - a ) x + k - b = Q

[x2 + ( p + a)x + k + b = 0

reemplazando p =1, a = 4, b = 2, k = 4

i x 2 - 3 x + 2 = 0 *1-1 - jc2 = 2[a2 +5x + 6 = 0 x 3 = - 2 , xa - —3

7.29. GRÁFICA DE U>. ?OJ JNOMIO.-

Como un polinomio P(x) es una función continua, entonces las coordenadas de los puntos de la gráfica de un polinomio se determina dando valores reales a la variable x, luego

calculamos dando valores reales a la \ ai iable x, los valores correspondientes a P(x) y poi‘

lo tanto la gráfica del polinomio P(x) es el conjunto de puntos {(x,P(x)) / x e R}.

Ahora veremos algunos criterios que nos permita aproximar la gráfica de un polinomio

evitando de ésta manera la forma laboriosa de :abular los puntos ix, Pí.x)).

En primer lugar, los puntos de la gráfica que corresponde a los ceros o raíces reales de un

polinomio P(x) están sobre el eje X y son de la forma (x,0).

Io Si x = a es una raíz real simple de la ecuación P(x) = 0 la gráfica de P(x) corta al eje X en el punto (a,0).

Teoría de Ecuaciones 0 6 3

2° Si x = a es una raí z de multiplicidad m par, la gráfica de P(x) es tangente al eje X en el punto (a,0).

3o Si x = a es una raíz de multiplicidad m impar la gráfica de P(x) es tangente y corta al eje X en el punto (a,0) en este caso se dice que (a,0) es un punto de inflexión de la gráfica de P(x).

Mediante el criterio de los puntos críticos se determina en que intervalos la gráfica está sobre el eje X y en que intervalos está la gradea debajo del eje X.

Ejemplo.- Graficar el polinomio P(x) = x3 - l x —6

Solución

Calculando las raíces de la ecuación P(x) = 0

1 0 -7 -6 x = -1-1 1 6

1 -1 -6 0 x = -2_2 6

1 -3 0 IIX

31 0


ahora ubicamos las raíces de P(x) = 0 en el eje X y luego aplicamos el criterio de los puntos críticos.

Se puede determinar, los intervalos en los cuáles se encuentra las raicea reales de la ecuación P(x) = 0. mediarte la siguiente regla.

7.30. REGLA.-

Sean a y b dos enteros consecutivos con a < b.

i) Si P(a) y P(b) son de signus iguales, entonces entre a y b existe por lo menos un par

de raíces reales o ninguna raíz real de P(x) = 0.

ii) Si P(a) y P(b) son de signos contrarios entre a y b existe un número impar de raíces reales de P(x) = 0.


Ejemplo.- Hallar el intervalo donde se enruentra las raíces de la ecuación x 2 + 3x — 2 = 0 .

Solución

Calculando la cota superior de las raíces de x 2 + 3 x - 2 = 0

L = 1 + */— donde k = 2 es el número de términos anteriores al 1er. termino negativo.Va*

G = 0 es el mayor valor absoluto de los coeficientes negativos

a n = 1 es el coeficiente de x 2 , reemplazando tenemos: L = 1 + 0 = 1

Sí P(x) = x 2 + 3 x - 2 de donde:

[7>(0) = -2< => existe una raíz real en (0,1)[P{1) = 2

l>(—1) = 4< => en(-l ,-2) no existe otra raíz \P (-2) = -4

ÍP(-3) = 9 - 9 - 2 = -2\ = > 3 otra raíz en (-4,-3)| / \ —4) = 16-14 = 2

Ejemplo.- Determinar donde se encuentra las raíces de jc3 — 3jc2 +3x + 2 = 0.

Solución

Calculando la cota superior de las raíces.

L = 1 + 1 — donde k = 1, G = 4, a n = 1, reemplazando se tiene:Vo-

L = 1 +4 = 5 cota supenor

P(x) = x * - 4 x 2 + 3 x + 2 de donde

P(5) = 42

P(4) = 14


P(3) = 2

P(2) = O es una raíz

P(l)=2

P( 0) = 2 ]} => 3 una raíz real en (-1X0

P(-l) = -6j

P(-2) = -28

7.31. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES CON EL METODO DE NFVVTON. ___ _____ ____________

Consideremos la ecuación de la forma: F(x) = 0 ... (1)

A las soluciones de la ecuación 1 se le llama raíces de la ecuación ó ceros de la función F

Si F es una función polinomial de grado menor que cinco, existen fórmulas para calcular sus raíces, por ejemplo para el caso de la función lineal o la función cuadré tica, para el caso de una función polinómica de grado tres o cuatro, el método general de obtener las raíces es complicado; además para obtener las raíces de una función polinómica de grado cinco o mayor existe un teoiema, que corresponde a “Niels Abel 1802 - 1829” el cuál manifiest? que no puede haber fórmula general en ténninos de un número finito de operaciones sobre los coeficientes, sin embargo existen procesos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones y que debido al uso creciente de las computadoras y calculadoras programables son de mayor importancia que antes, uno de estos métodos es la aplicación de la derivada y que fue desarrollada por Sr. Isaac Newton en el siglo XVII y que se conoce con el nombre de el Método de Newton.

El Método de Newton es un procedimiento que aproxima una raíz de la ecuación F(x)=0 es decir:

Un número r tal que F(r) = 0, para esto daremos una interpretación geométrica tomando la gráfica de y = F(x).

Teoría de. Ecuaciones 667

E l n ú m e ro r e s la in te r s e c c ió n d e la g rá f ic a d e F c o n e l e je X , p a r a o b te n e r u n a p r im e ra

a p ro x im a c ió n p a r a r, s e to m a u n n ú m e ro jc, o b s e rv a n d o la g rá f ic a y se t ra z a la r e c ta

ta n g e n te T¡ a la g rá f ic a d e F e n e l p u n to (jc, , F ( jc , )) q u e in te rc e p ta a l e je X e n jc2 , a h o ra

x 2 s irv e c o m o u n a s e g u n d a a p ro x im a c ió n d e r , n u e v a m e n te e l p r o c e s o t r a z a n d o la r e c ta

ta n g e n te a la g rá f ic a d e F e n e l p u n to P2 ( x 2 , F ( x 2 )) q u e in te rc e p ta a l e je X e n jc3 e l c u a l

e s u n a te r c e ra a p ro x im a c ió n , se c o n tin u a e l p ro c e s o h a s ta q u e se te n g a e l g ra d o d e

p re c is ió n r e q u e r id o p a r a o b te n e r la s a p ro x im a c io n e s s u c e s iv a s jc2 , jc3 , . . . , a p a r t i r d e la

p r im e ra a p ro x im a c ió n jc, s e u s a n la s e c u a c io n e s d e la s ie c ta s ta n g e n te s .

L a r e c ta ta n g e n te 7 , e n e l p u n to Px (jc, , F(jc, ) ) t ie n e u n a p e n d ie n te F ' (jc, ) y p o r lo ta n to

s u e c u a c ió n e s : 7 ^ : y — F(jc, ) = F'(jc,)(jc — jc,)

L a in te r s e c c ió n d e T¡ c o n e l e je X e s c u a n d o jc = x 2 , y = 0 .

F (jc )0 - F ( jc, ) = F '(jc, )(jc2 — jc, ) => jc-, = jc, --------— Sí F '( jc) * 0

F '( * i )

e n jc = jc2 , la e c u a c ió n d e la r e c ta ta n g e n te T 2 e s : T2 : y — F(jc2 ) -= F '(jc2 ) ( x — x 2 )

L a in te r s e c c ió n d e T2 c o n e l e je X e s c u a n d o x = jc3 , y = 0

0 - F ( x 2) = F' (x2)(x3 - x 2) => x3 = x 2 - s í F ' ( x 2 ) * 0

668 Eduardo Esp.noza Ramos

continuando de esta manera se obtiene la fórmula general para la aproximación xll+l en

términos de la aproximación anterior xn .

F{ xn)■*n+l = Xr „ > Sí F (xn) ^ 0

F'('n)... (2)

La fórmula (2) es la que se usa en una computadora o calculadora programable.

Ejemplo - Utilice el método de Newton para calcular la raíz real de la ecuación

x 3 —4x2 - 2 = 0 con cuatro cifras decimales.

Solución

Sea F(x) = x 3 - 4 x 2 - 2 => F'(x) = 3x2 -8 *

Los extiemos relativos se encuentran cuando F'(x) = 0

Q3x2 — 8jc = jc(3jc-8; = 0 -=> x = 0, x ~ ~

F(0) = -2, F(2) = -10, F(3) = -11, F(4) = -2, F(5) = 23

La raíz se encuentra entre 4 y 5.

Luego una primera aproximación seria x, = '4.5

n Xn - X2 — 2 3**-8x „ 2

3x2-8 x„

Xn+\

1 4.5 8.125 24.85 0.33 4.17

2 4.17 0.96 18.81 0.05 4.12

3 4.12 0.03 17.96 0.0017 4.11

4 4.11 -0.13 17.8 -0.007 4.117

5 4.117 -0.02 17.91 -0.001 4.118



I. Problemas sobre ecuaciones de segundo grado

© Hallar el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación

2kx2 -(12& + l).r + 12 = 0 sea7. Rpta. k= —2

© Hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación

(k — 2)x2 - 5 x + 2k = 0 sea 6. Rpta. k = 3

® Hallar el valor de k en la ecuación x 2 +(2k+ 5)x + k = 0 si una raíz excede a la otra en 3

unidades. Rpta. k = -2

© Determinar los valores de m para que la ecuación x 2 - 2(1 + 3w)jc + 7(3 + 2m) = 0 ,

tenga una solución. Rpta. m = 2, m = ——9

( Í ) Si a y P son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 , hallar el valor de:

2 o í

a) —— 1----- Rpta. b (3 a c -b 2)P a

b) a~3 +P~3 Rpta. -^-(3a c - b 2)c

© Hallar la suma de las raíces de la ecuación (2k +2)x2 + 4x-4kx + k — 2 = 0, sabiendo que

D * 10estas son inversas. Rpta. —

@ x2 — x m — 1Para que valores de m, la suma de las raíces de la ecuación --------= -------, es igual alH 4jc —5 wi + 1

duplo del producto de las raíces de dicha ecuación menos 1.

© Si r y s son las raíces de la ecuación mx2 — 2(m — 1)jc + m = 0 , con m constante y cumplen

— + — = 4 , Hallar la suma de todos los valore^ de m que satisfacen tal propiedad. s r

R p ta . -4


® Si {a,b) es el conjunto solución de la ecuación 3jc2 1)jc + (w -1) = 0 . hallar m

para que se cumple 9ab2 +3o 3 + 9azb + 3bi = 192 Rpta. m = 5

(ío) Hallar m para que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuador

x 2 - (m + 3)jc + m + 2 = 0 sea igual a 2. Rpta. {-1,-3}

( í í ) Determinar k en la ecuación x 2 + fcr-M2 = 0, de modo que entre las raíces r y s exista la

. . . 1 1 1 _ , 32relación — + — = — R p ta . -------r s 9 3

12) Hallar todos los \alores no negativos de P para los cuáles las raíces de la ecuación2 18cuadrática ( p - 3 ) x - 2 p x + 6p = 0 sean reales y positivos. Rpta. < 3, — >

13) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son la suma y el producto de las raíces de la

ecuación ax2 - ( a + \)x + a = 0 , donde a ^ 0. Rpta ax2 — ya2 +a+)x + a 2 +1 =0

( l ^ Si a y b son constantes en R, se tiene que las raíces de la ecuación x 2 + ax + b = 0 son

los cuadrados de las raíces de 2x2 + jc -6 = 0. Hallar |4a + b|. Rpta. 16

15/ Las raíces r y s de una ecuación cuadrática satisfacen 4 r-1 6 s = 7 y 8r + 4s = 5.

Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son respectivamente lab inversas de r y s.

Rpta. 3a2 +8jc-16 = 0

^ 6 ) Hallar el valor de k para que la ecuación 25jc2 +Jb: + 1 = 0 tenga sus dos raíces reales e

iguales. Rpta. ± 10

1'/) Si las raíces de la ecuación mx + (m + 1) = (2m + 1)jc se d ifie re n en 0.5 . H a lla r las raíces.

R p ta . 1, — y 1 ,—2 2


(l8) S xy p son las raíces de x ? + px + q = 0 , fórmese la ecuación cuyas raíces son (a + /3)2

y ( a ~ P ) 2. Rpta. x 2 + (.2q-¡ l ) x + p 2( p 2 -4q ) = 0

^ 9 ) Hallar el valor de k en la ecuación x 2 + (2k + 5)jc + k = 0 , si una raíz excede a la otra en 3

unidades. Rpta. k = -2

20) Si r y s son las raíces de la ecuación x - px + q = 0 , hallar

a) r2 +s2 b) r3+s3

Rpta. a) p 2 - 2 q b) p (p2 -3q)

21) Si a y p son soluciones de la ecuación jc + ¿jc + c = O y s í a - p = 2 y c r - / 3 = 2 6

Hallar | — | . Rpta. —b 4

(22) Si r y s son las raíces de la ecuación *2 - 4x +1 = 0 . Hallar la ecuación cuyas raíces sean

r2 +— y s2 + - . Rpta. jc2 -18jc + 54 = 0r s

(2^ Si a y b son las raíces de la ecuación x2 +mx+2m2 = 0 . Hallar el valor de a5b1 +a7b5.

Rpta. -9 6 m'2

En la ecuación 2jc2- ( w -1 )jc + (w + 1)=0 ¿Qué valor positivo debe darse a ‘m” jara

que sus raíces se diferencien en uno? Rpta. m = 11

(25) Sean a y P raíces de la ecuación ruadiática (m - 2)x2 — 2mx + 2m - 3 = 0, sí

a -1 + P~] = . Hallar el valor de | a - P | Rpta. ^

(2^ Hallar los valores de m para los que la ecuación cuadrática (m + 3)jc2 — 2mx + 4 = 0 tienen

soluciones reales. Rpta. m e <-°°,-2] u [6,+°°> - {-3}


s~\ ? 1 1 527J Sea P un número real fijo, si r y s son las raíces de x + p.\ + 36 = 0 tales que — h— = — .

Hallar el valor de p 2 - 2 p + l. Rpta. 252

,28) Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces ¡,ean la suma y el producto respectivamente

de las raíces de ax2 +bx+c = 0 , a * 0. Rpta. ax2 +a{b — c)x — be = 0

II. Resolver las siguientes ecuaciones:

© (jc ——)2 — 4jc + — = 12X X ©

7 2x - j c + — ------ = 18X — X

x(2x + l)(x - 2)(2x - 3 ) = 6 3©

( 2 j c - 7 ) ( j c 2 —9)(2jc + 5) = 91

x2 +x = 7\jx2 + X + 2 —12 © (jc2 — 3jc) 2 — 2( jc2 —3 j c ) - 8 =

®( * + l )2 * + l 2 = Q

jc- 3 jc — 3 ©x + 3 2 4 * + 3 + 1 = 0

2 jc — 1 2 jc —1

® X + 2 3 4 2 = 0 x - 2 -+2

© r+ 3 5 + 4 JC + 1 - 0 jc + 1 Jc + 3

3x + 2 10+92x~ 1 =0 2 jc - 1 3jc + 2 © jc6 + 7 x 3 —8 = 0

© ÍJC + l + - ; » J C - l + - ) = 2 4X X

© jc8 —17jc4 + 1 6 = 0

@ % + 9yJ(3x-l)(x-2) = 3jc2 - 7 j c

© Hallar la suma de las soluciones reales de 1 1 1l a ecuación 2 ( jch— ) - 7 ( x + — ) + 5 = 0

JC X

x2 - 3 2x — 2 x - \ x 2 - 3 © 4jc2 - 3 j c + — 7- - - 6 = 0

4 * - 3 j c

®2x 2 1 4 x _ 3Q

X — 1 X — 1©

x + l l x - 3 o _ 0 v - 3 V v + 1


III. Hallar todas las raíces enteras y racionales de las ecuaciones.

© 12a3 + 7a2 - 4 2 a - 4 0 = 0 © a3 - a2 - 14a + 24 = 0

© 6a3 + 7a2 - 9 a + 2 = 0 © 24a3 —2a2 — 5a + 1 = 0

© 108a3 -2 7 0 a2 - 4 2 a + 1 = 0 © 3a4 - 4 0 a3 +130a2 —120a + 27 = 0

© a3 — 6a2 + 15jc -1 4 = 0 © 6a4 - 3 7 a3 +79a2 - 6 8 a + 20 = 0

© a4 — 2jc3 - 8 a2 + 13a -2 4 = 0 © 12a4 - 6 7 a3 -1 5 a2 + 484a - 480 = 0

jc5 — 7jc3 — 1 2jc2 + 6a + 36 = 0 © 6a4 +19x3 —7a2 —26a + 12 = 0

24a5 + 10a4 - x3 -1 9 a 2 - 5 a + 6 = 0 © a 45 - 2 a 4 - 4 a 3 + 4 a 2 - 5a + 6 = 0

® 10a4 -1 3 a 3 + 15a2 - 1 8 a - 24 = 0 © a 4 + 2 x 3 —13a2 -3 8 a —24 = 0

IV. Resolver las siguiente., ecuaciones

©

©

\¡5x -*-9 = 2 a + 3 © >/5a + 1 =-\/2a + 1 + 2

>/3a + 1 + 1 = -J4x + 5 a >/3a + 12 -1 = yj5x + 9

Q 'Jx + l +V3a + 4 = y¡5x + 9 (£> y¡3x + l + -J2X + 6 =yjll — 5x

© yjx2 + a - 4 = 2 © y]x2 — 2x+ 8 =2

© y¡2x — 3 + V a-1 = \ ,3 x - 2 © \ J l2 - \X + & — y¡ 2 — 2 a

® y¡3x-6+yj2x + 6 = >/9a + 4 © y¡4x2 - 7 a - 5 -V a2 —3a = 4x2 - 9

© ■J3x-ll +>/3a =yJ\2x-23 (14) >/9a-8-V4a + 1 =>/a-3

( g ) y¡2-*-yJx-4 = Vl2-A ® >/3a2 - 2 a + 9+>/3a2 - 2 a - 4 = 13

© \Jx-2a =-Jx-5a —yjx + 3 a

674 Eduardo Espinoza R am o<

V. Resolver las siguientes ecuaciones

( ¡ ) Que valor debe tomar k para que el polinomio

P(x) = x 6 + 2x5 + k 4 - x 3 + 2(8 + A)jc2 + 6jc—18 sea divisible por jc3 +2x2 - 3 .

Rpta. k = -2

© Dados los polinomios x 4 +ax2 +b, x 2 + 2x + 5 , determinar a y b de modo que el

prímeru sea divisible por el segundo. Rpta. a = 6, b = 25

© Encontrar valore» para a y b de tal manera que 2x2 - 4 \ x + b sea divisible de

6jc3 - \ 3 1 x 2 + a x - 91

© Determinar p, q, r en x 4 +3x3 + px2 +qx + r para que sea divisible exactamente por

(x2 - 4 )(a + 1) . Rpta, p = -2, q = -12, r = -8

© Determinar el valor de k de manera que:

a) P(x) = 3x3 +7jc2 + k x - 3 sea divisible por x + 3. Rpta. k = -7

b"» P(x) = 2x4 - k x J - x - 6 sea divisible por x - 2. Rpta. k = 3

© Determinar “n” y “m” para que el polinomio jc4 + 2x3 — 7 x 2 *mx+n sea divisible por

jc2 — 3x + 15. Rpta. m = 16, n = 15

( 7) Si el polinomio P\x) = x 4 -3 a x 3 +a2x 2 + ma3x - n a es divisible entre el polinomio

Q(x) = x 2 - a x + 2a2. Hallar él valor de (m + n)(m2 -m n + n 2) . Rpta. 215

(q ) Que valor ha de tener X para que sea divisible el pohnumio 2x4 -3 x 3 + h - 9 x + 9

por x - 3. Rpta. X = 7

© Que valores han de tener p y q para que sea divisible el polinomio 3a 3 + px~ + qy +42

por (x - 2)íx - 3). Rpta. p = 8, q = -17


10J Qué valore!, han de tener a y b para que sea divisible el polinomio

x 4 - ax3 + bx2 +bx + 9 por x 2 -1 .

Hallar el valor de k para que el cual 3x3 — 2x2 +kx—% sea divisible entre x - 2.

Rpta. k = -4

112) Si el polinomio P(x) = 2x4 - m x 3 + x 2 - n x + 2 es divisible por x - 1 y x + 2, hallar el

valor de n - m . Rpta. 21

13) Determinar "m” y “n” para que el polinomio jc4 + 2jc3 — l x 2 +mx + n sea divisible por

jc2 - 3 jc + 5. Rpta. m = 16, n = 15

(14) Determinar la relación que debe existir entre “p” y “q” para que el polinomio

x 3 +px + q , sea divisible entre x 2 +mx — l . Rpta. p + q2 +1 = 0

15J Si se sabe que el polinomio (a - b ) x 3 + {b -c )x2 +(b + c)x + a - b es divisible entre

x 2 +n2 calcular — —- Rpta. —a +c 2

16) Sea P(x) = x 3 +ax2 +bx + c al dividir P(x) tanto por x + 2 como x + 3 el residuo

obtenido es cero, pero al dividir por x - 1 el residuo es -12. Calcular A = 14a - 5b + 3c

' Determinar a, b, y c de modo que (x - 3)(x + l)(x - 1) sea un factor de

x5 -2 jc4 - 6 x 3 +ax2 +bx + c .

VI.

Hallar el valor de k en la ecuación jc3 +fct+16 = 0 sabiendo que tiene dos raíces iguales.

^2) Hallar el valor de k er la ecuación jc3 — 3jc2 - b x + k = 0 para que sus raíces estén en

progresión aritmética.


( 3) Hallar las raíces de la ecuación 2x~ + (k + 2)x2 + (2k - 2)x + 1 = 0. sabiendo que su suma1es —.2

( 4) Hallar las raíces de P(x) = x 4 +2x2 +25 conociendo la raíz r = y¡2 + y¡3i.

© Hallar todas las raíces de P(x) = x3 + 2x3 - 4 x 2 — 14jc — 21 sabiendo que r = - l + y¡3i esuna raíz.

( é ) Hallar todas las raíces de P(x) = x 4 +2x3 - 4 x 2 - 1 4 x - 2 1 sabiendo que a = —1 + y¡3ies una raíz.

( 7) Demostrar que la ecuación x 1 —4x6 + 2x3 —9x2 —6 = 0 tiene por lo menos cuatro raíces

complejas y por lo menos una raíz positiva, pero ninguna raíz negativa.

Hallar todas las raíces 4x4 -15x2 -3 x + 7 = 0 sabiendo que r = ^ - \ l es una de sus

raíces.

( 9) Hallar todas las raíces de 3x5 -2 0 x 4 +62*2 -51x + 10 = 0 sabiendo que r1= 2 -> /3 ,

r2 =l — y¡6 son dos de sus raíces.

19 Hallar todas las raíces del polinomio x4 -10x3 +53x2 -140x +196 = 0 . sabiendo que

tiene dos raíces dobles.

( l l ) Hall?r las raíces del polinomio 3x4 +8x3 +6x2 + 2 4 x -9 = 0 conociendo dos raíces r, y

r2 que satisface rlr2 = -1 .

'.12, Resolver la ecuación x3 - 7 x 2 + 14x-8 = 0 que tiene las raíces en progresión

geométrica.

( o ) Resolver la ecuación x3 -1 2 x 2 + 39x-28 = 0 que tiene las raíces en progresión

geométrica.


© Resolver la ecuación a 4 + 4 a 3 —2x2 - 1 2 * + 9 = 0 que tiene dos pares de raíces iguales.

( l i ) Hallar las raíces enteras de:

a ) 3a 3 - 3 7 x 2 + 93a - 27 = 0 b ) a 3 - 4 a 2 - a + 4 = 0

c) 2 a 3 - a 2 - 4 a + 3 = 0 d) x 1 + x3 — x 2 - I x — 6 = 0

( lé ) Hallar los valores de a y b para los cuales -3 y 2 sean raíces de la ecuación

a 4 + x 3 + o a 2 + 6 a + 30 = 0

^ 7 ) Hallar las raíce» de los polinomios siguientes conociendo las raíces que se indican.

a ) a 3 + 6 a 2 - 2 4 a + 160 = 0 , r, = 2-2y¡3i

b ) a 3 - 3 a 2 - 6 a - 2 0 = 0 , r, = - l + >/3i

c) a 4 + 2 a 2 + 25 = 0 , r, = \¡2 + y¡3i

d) a 4 + 2 a 3 - 4 a 2 — 1 4 a - 2 1 = 0 , r, = — 1 + -J3Í

e) a 4 - 4 a 2 + 8 a - 4 = 0 , r, = 1 + /

f ) a 3 - 3 a 2 — 5a + 7 = 0 , r,

g ) a 4 - 1 3 a 2 + 4 a + 2 = 0 , r = 2-y¡2

h ) 4 a 4 - 1 5 a 2 — 3 a + 7 = 0 , r = — — yÍ22

i ) a 4 - 2 j - 5 r 2 - 6 a + 2 = 0 , r = 2 — y¡3

j ) a 4 - 3 a 2 + 1 0 a - 6 = 0 , r = -l+y¡3

VII. Resolver las siguientes ecuaciones:

( l ) a 4 - 2 a 2 + 7 = 0 ( 2 ) A 4 - 1 0 a 2 + 9 = 0

@ 4 a 4 - 5 a 2 + 1 = 0 0 a 4 + 2 a 2 + 2 5 = 0

678 Eduardo Espinosa Ramos

2 1 1 1

© x3 + x 3 -1 = 0 6x2 - l l x 4 - 2 = 0

©

ix - 4 x 2 + 3 = 0

VIII. Resolver las siguientes ecuaciones

© x4 +4; - 3 x2 + 4x + 1 = 0 © x4 - x 3—4x2 —x + l = 0

© x 4 - 2 x 3 - x 2 - 2 x + l = 0 © x4 - 8 x 3 +17x2 —8x+ 1

© x 4 + 5x3 +6x2 + 5x + l = 0 © 2x4 + x 3 - 6 x 2 + x + 2 =

© x 4 -10x3 +26x2 -10x + l = 0

IX. Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones cúbicas.

© y 3-9 y -1 2 = 0 @ y 3 +18y + 6 = 0

© y 3 —6y — 6 = 0 © y3 +21y —42 = 0

© y 3 -1 5 y -3 0 = 0 © y3 —18y — 3 = 0

© y3 +15y —20 = 0 © y 3 +12v +12 = 0

© x3 - 9 x 2 -9 x -1 5 = 0 © x3 —3x2 — 18x-2>6 = 0

oll001*¡(NTVO1 @ x3 —6x2 —6x-14 = 0

© x 3 +9x — 6 = 0 © x3 — 6x- 6 = 0

@ x 3 — 12x-34 = 0 © x3 + 9 x -6 = 0

© x 3 + 18x-6 = 0 © 2x^ + 6x + 3 = 0

© 2x3 -3 x 2 + 5 = 0 © 3x3 - 6 x 2 - 2 = 0

x3 +6x2 -3 6 = 0 © x 3 +3x2 +9x + 14 = 0


® a 3 + 6a 2 + 6a + 5 = 0 © a 3 - 1 5 a 2 + 1 0 5 x —2 4 5 = 0

8a 3 + 1 2 a 2 + 1 0 2 a - 4 7 = 0 a 3 + 3 a 2 + 9 a + 14 = 0

® x 3 - 6a 2 - 1 2 x - 8 = 0 ® a 3 + 3 a 2 - 3 a - 1 = 0

a 3 + 9 x 2 + 1 8 a + 2 8 = 0 ® a 3 - 6a 2 + 5 7 a - 1 9 6 = 0

2 a 3 + 3 a 2 + 3 a + 1 = 0 ® a 3 - 1 5 a 2 - 3 3 a + 8 4 7 = 0

a 3 + 6a 2 + 6a + 5 = 0 © a 3 - 1 5 a 2 + 1 0 5 x - 2 4 5 = 0

8 a 3 + 12 a 2 + 1 0 2 a - 4 7 = 0 ® a 3 + 6 a 2 - 2 4 a + 160 = 0

© a 3 - 3 a 2 - 6 a —20 = 0 ® a 3 + 9 a - 6 = 0

® 2 a 3 - 6 a 2 + 3 = 0 a 3 + 1 2 a —12 = 0

® a 3 + 1 8 a - 3 0 = 0 © a 3 + 2 1 a + 342 = 0

a 3 + 4 a - 1 = 0 @ a 3 - 6 a 2 - 4 = 0

© a 3 —1 5 a - 3 0 = 0 © 28 a 3 - 9 a 2 +1 = 0

© a 3 - 6 3 a - 3 1 6 = 0 ® a 3 + 7 2 a - 1 7 2 0 = 0

X. Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a 4 - 2 a ? - 8 a —3 = 0 © - 4 - a 2 + 2 a —1 = 0

a 4 - 2 5 a 2 + 5 4 a + 10 = 0 © * 4 - 1 3 a 2 + 3 6 a - 1 8 = 0

©a 4 - 3 a 2 + 1 8 a - 2 0 = 0 ® * 4 - 6 a 2 + 2 0 a - 24 = 0

©a 4 —11a 2 —6 a + 10 = 0 © * 4 - 2 4 a 2 + 1 6 a + 10 = 0

®a 4 - 2 8 a 2 + 24 a + 12 = 0 © A 4 - 3 1 a 2 i -54 a - 1 4 = 0

©a 4 - 2 5 a ’ + 1 2 a + 18 = 0 - 3 a 2 - 1 2 a + 4 0 = 0


@ a 4 + 1 0 a 2 + 1 2 a + 4 0 = 0 @ a 4 + 1 1a 2 + 1 0 a + 5 0 = 0

© a 4 - 8 a 2 - 4 a + 3 = 0 ® a 4 - 4 a 2 + a + 2 = 0

© a 4 + a 3 - 5 a 2 + 2 = 0 ® 2 a 4 + 5 a 3 — 8a 2 — 17a - 6 = 0

© a 4 - 3 a 2 + 6 x - 2 = 0 © a 4 - a 2 — 2 a - 1 = 0

a 4 + 3 x 3 - 2 a 2 — 10a - 1 2 = 0 221 a 4 + 5 a 3 + a — 13a + 6 = 0

® a 4 + 2 a 2 + a + 2 = 0 © a 4 + 5 a 2 + 2 a + 8 = 0

® 2 a 4 + a 3 + 2 a 2 - 3a - 2 = 0 © a 4 + a 3 + 5 a 2 + 5 a + 12 = 0

@ a 4 - 2 a 3 - 5 a 2 - 6 a + 2 = 0 © a 4 — 2 a 3 - a 2 - 2 a + 1 = 0

¥ ) a 4 - 2 a 3 + 2 x 2 - 4 a - 8 = 0 © a 4 + 2 a 3 + 8 a 2 + 2 a + 7 = 0

® a 4 — 2 a 3 + 4a - 2 a + 3 = 0 © a 4 - 6 a 3 + 1 0 a 2 - 2 a - 3 = 0

® a 4 - 8 a 3 + 1 7 a 2 - 8 a + 1 = 0 a 4 + 2 a 3 - 2 a 2 + 6 a — 1 5 = 0

® a 4 — 4 a 3 + 3 a 2 + 2 a - 1 = 0 a 4 - 2 a 3 + 4 a 2 + 2 a - 5 = 0

® a 4 - 6 a 3 + 6 a 2 + 2 7 a — 56 = 0 © a 4 + 2 a 3 + 9 a 2 - 8 a - 10 = 0

@ a 4 + 2 a 3 - 7 a 2 — 8a + 1 2 = 0 © a 4 - 2 a 3 - 1 2 a 2 + 1 0 a + 3 = 0

® a 4 — a 3 - 3 a 2 + 5a - 10 = 0 © a 4 - 3 a 3 + x 2 + 4 a - 6 = 0

® a 4 + 5a 3 + 6 a 2 + 5a + 1 = 0 © a 4 + 2 a 3 - 4 a 2 - 1 4 a — 21 = 0

0 a 4 - 9 a 3 + 1 2 a 2 - 8 0 a - 1 9 2 = 0 © a 4 + 2 a 3 —1 3 a 2 — 3 8 a - 2 4 = 0

© a 4 - 2 a 3 — 8 a 2 + 1 3 a —2 4 = 0 © 2 4 a 4 - 4 2 a 3 - 7 7 a 2 + 5 a + 6 0 = 0

a 4 - 1 3 a 2 + 4 a + 2 = 0 © a 4 - 3 a 2 + 1 0 a — 6 = 0

(g) ©

© ©

© £

© ©

©Teoría de Ecuaciones 681

-V4 — 4 a 2 + 8 a —4 = O (s£) 3 a 4 - 4 0 a 3 + 1 3 0 a 2 - 1 2 0 a + 2 7 = 0

6 a 4 + 1 9 a 3 —7 2 — 2 6 a + 1 2 = 0 ( S ) 1 0 a 4 - 1 3 a 3 + 1 5 a 2 - 1 8 a - 2 4 = 0

6 a 4 - 3 7 a 3 + 7 9 a 2 - 6 8 a + 2 0 = O (sé) 1 2 a 4 - 6 7 a 3 - 1 5 a 2 + 2 8 2 a - 2 8 0 = O

Utilizar el Método de Newton para calcular la raíz de la ecuación con cuatro cifras decimales.

6v3 + 9 a + 1 = 0

a 3 — 2 a + 7 = 0

a 4 - 1 0 a + 5 = 0

3 a 3 —7 a - 2 = 0

a 3 + a 2 - 2 a - 2 = 0

a 3 + 2 a 2 - 8 a - 1 6 = 0

©

0 II

001*¡1H

© a 4 - 1 0 a + 5 = 0

© 2 a 3 + a — 2 = 0

© a 3 - a - 3 = 0

a 3 —4 a 2 - 5 a + 2 0 = 0

© a 3 + 2 a 2 - 3 a - 6 = 0

G82 Eduardo Espinozft Ramou

CAPITULO VIH

V E C T O R E S B 1 D IM E N S IO N A L

8.l7^ CONCEPTOS bÁSICÓsT,

a) IN TRODUCCl ( )N.- Lo» antiguos Gnegos desarrollaron la Geometría e'emental,eUos crearon una forma sistemática de anali7ar las

propiedades de los puntos, las rectas, los triángulos, las circunferencias y otra, configuraciones

Todos sus trabajos estaba" sistematizados en “Los cementos de Euclides” que fueron las bases de la geometría plana y de' espacio hasta nuestros días, sin embargo no se nabía conseguido a\ anees importantes, pero en 1637, el filosofo y matemanco France Re.ie Descartes revolucionó la matemática de su epoca, al crear la geometría analítica en la que introduce las coordenada» rectangulares, ¡amada? también en su memoria, coordenadas cartesianas y de esta forma consigue algebrizar las ideas geométricas ck sus antecesores.

El propósito de este método consiste en mtroduû mediante un sistema de coordenadas, los conceptos de relaciones geometncas a conceptos de relaciones algebraicas y \ iceversa, por lo tanto en este capítulo estudiaremos el método analítico j nara esto nos taminanzaremos con el concepto de vector que es una herrairu >nia de gran 'mportancia en la matemauca moderna.

b ) PAR ORDENADO ■ Llamaremos par ordenado ? dos objetos cualquiera “a” y “b”;que denotaremos por <a.b), donde “a" es llamado la pi 'mera

j nmera componente y “b” la segunda componente.

Ejemplo.- Son pare» jrdenados( 2,5j, (-1,3), ,Pedro Mana), (hombre, mujer).

Dos pares ordenados (a,b) y (c,dj son iguales, si sus punieras omponentes sor. iguales y las segundas tambiéi

Vectores Bidimensional G83

En forma simbólica es. (a,b) = (c.d) <=> a = c a b = d

c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-

Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, al conjunto de los paros ordenados (a,b) donde “a” pertenece al conjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B, es decir:

A x B = {(a,b) / a e A A b e B }

Ejemplo.- Sean A = {1,2,3 J y B = {a,b}, el producto cartesiano de A y B es:

A x B = {(l,a), (1 ,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Si A = B, denotaremos A x A = Á2 y para nuestro caso tomaremos A = D = R, es decir R x R = y a sus elementos llamaremos pares ordenados de números reales.

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y a los puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremos por P¡ (x,, y,) ,

F2U2, y2), P3U3, y3) , etc.


d ) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- Consideremos dos puntos /¡(jcj,)»,) y

P2{x2,y ’<2) , a la distancia de P] a P2

denotaremos por d(P¡,P2) y es dado por la formula:

d(Pv P2) = ^(x2 - x 1)2 + ( y 2 - y 1f


Es decir: En él APXAP2 , por Pitágoras se tiene

d{Pi.P2) = y j m . A)]2 +[d(A,P2) f ... (1)

adernás se tiene:

d(Pl,A) = x2- x i d(A,P2) = y2 -y¡ y2 -Vi


d(Px,P2) — yj(x2 -*i)2 + (y2 — ^1)*•> X

e) SUMA DE ELEMENTOS EN RxR = R 2

Dados dos puntos (jCj, >>j) y P2(x2, y2) de i?2, la suma de elementos de R 2 se

define del modo siguiente:

f) MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO REAL POR UN ELEMENTO DE

Sean r e R y P(x,y) e R 2, el producto de un escalar r por un par P(x,y), denotamos por r.p(x,y) y se define como:

Dentro de las aplicaciones de la matemadca a la física e ingeniería se usan frecuentemente cantidades que poseen magnitud y dirección; por ejemplo, tenemos la fuerza, velocidad, aceleración y desplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente por un segmento de recta dirigido de P a Q que denotaremos por

PQ donde el punto P se llama punto inicial y el punto Q se llama punto terminal o

final. Luego el segmento dirigido t*Q se llama vector de P a Q y denotaremos por:

PyKXi 13’i )+ P2 (x i , y2) = P¡ (*1 + *2. Ji + )

r.P(x, y) = P(rx, ry) e R¿

Vectores Bidim enJonal 685

PQ = a

3.2. VECTORES BIDIMENSiONAL.-

8.2.1. DEFINICIÓN.- Un vector tridimensional es una pareja ordenada de númerosreales (x,y), donde “x” se llama la primera componente y, “y”

se llama la segunda componente.

8.2.2. OBSERVACIONES.-

A los vectores bidimensional se representan por una letra minúscula y en la parte superior se le coloca un segmento de recta o una flecha, es decir:

—> —> —♦ a = (a¡,a2) , b=(b¡,b2), c = (c,,c2) , ...

© Al conjunto de los vectores bidimensional denotaremos por V2, tal que:

V2 =R'<R ={a =(at ,a2)/a¡ e R a a -e

© Al vector cero simbolizaremos por 0 = (0,0).

© Si a e V 2, entonces el opuesto del vector a =(a¡,a2) quedará definido —»

por: - a =(-a¡,-a2)

© El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación de la otra —*a = (íJj , a2)

© El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la otra:

a = donde es la primera componente.a2

a 2 es la segunda com ponente.

686 E iuardo Espinoza Ramos

8.2.3. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR BIDIMENSIONAI

—>

Un vector bidimensional a = (a¡,a2) es representado mediante un segmento de

recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto P(x,y) del plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadas son: Q(x + ax, y + a2) , tal como

se muestra en la figura.

8.2.4. VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.-

A1 vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema de coordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante del plano cartesiano, se denomina vector de posición o radio vector, así como se muestra en la figura.

OBSERVACIÓN.- Al vector 0 lo representaremos por cualquier punto siendo su dirección indefinida.

—>■ Ejemplo.- Representar gráficamente al vector a , cuyo punto inicial es P(x,y), sabiendo

que su representación de posición es:

Vectores Bidim endonal 687

© a = (3,4), P(2,l) (Verfigurai)

© a = (4,0), P(2,6) (Ver figura 2)

© a = (-2 ,5 ) , P(3,-4) (Ver figura 3)

Solución

Y Y* Q(5,5)

aP(2,6) Q(6,6)

1 -/-/P (2 ,1 )' 1 >

0 2 3 x 0 X(figura N° 1) (figura N° 2)

8.3. OPERACIONES CON VECTOk ES.-

8.3.1. IGUALDAD DE VECTORES.- Dos vectores a y b son iguales si y sólo si,sus componentes correspondientes toman los

mismos valores; es decir:t

—► —» —> —>Si a , b e V2 , entonces a = (a¡,a2) , b = (Jbl,b2) y expresaremos así:

688 Eduardo Espinozo Ramos

a = b <=> ct| = ftj a ü2 — b2

Si a y b no ¿on iguales, entonces escribiremos:

a *■ b <=> a- *b¡, para algún i = 1,2,3.

Ejemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si a = b donde —> —>

a =(5jr + 3y, 4 j r - y - 4 ) , b =(4jc+2j’ + 5. 3x+y + 7)

Solución

Aplicando el concepto de .gualdad de vectores.

—> —>

a = b <=> (5x + 3y, 4x - y - 4) = (4x + 2y + 5, 3x + y +7)

Í5jc + 3 j ' = 4 x + 2 y + 5 \x = 7{ de donde <[4jc- y - A = 3x+ y + 1 [y = -2

M = 7x + 5y = 7(7) + 5(-2) = 49 - 10 = 39 M = 39

8.3.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA IGUALDAD DE VECTORES.-

VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la mismadirección, el mismo sentido, el mismo tamaño,

—► -*el mismo punto inicial y el mismo punto final y se denota por a = b .

punto inicial

VECTORES EQUIVALENTE S,- Dos vectores son equivalentes sitienen la misma dirección, el mismo

sentido, el mismo tamaño pero diferente punto inicial y se denota por

Vectores Bidimensíonal 689

punto inicial punto inicial

8.3.3. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-

—>Sea X un escalar (X e R; y sea a e V2 un vector bidimensíonal. entonces

—> —>

llamaremos producto de X por a denotado por A. a , al vector resultante cuyas

componentes deben ser multiplicados por X, es decir:

Si a e V2 entonces a = (a¡.a2) , luego

A a = A,.(al,a2) = (Xa],Xa2)

Ejemplo.- Sea a = AB un vector donde:

( T ) A ( l , l , ) , B (4 ,3 ), X = ± 2 , g ra fic a r los vectores AB y XAB

S o lu c ió n


A a = 2(3,2) = (6,4) 5v

A a = -2(3 ,2 ) = (-6 ,-4 ;3

-5 1" í '

1 1 r! > ' o 1 4 7 X

-3

© Si a =(2,3; graficar 3 a y -3 a

Solución

3a = 3(2,3) = (6.9)

-3 a =-3(2,3) = (-6 ,-9)

8.3.4. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-

—> —>

Para todo escalar r.s e R y los vectores a , b e V2 , se verifican las siguientes

propiedades:

© r. a es un vector.

“* “* -* -* r(a+b) = ra + rb

1.a = a

(f + s ) a = r a + s a

© r(s a ) = (r.s) a

© 0 .a = 0

8.3.5. SUMA DE VECTORES BIDIMLNSIONAL.-

—» —*Dados los vectores a y b , el vector resultante suma a + b se obtiene sumando

sus correspondientes componentes, esto es-

Vectores Bidimensional 691

Si a , b e V2 , entonces a = (a , ,a 2) , b=(b l,b2)

a + b = (flj +£>(,02 + 2)

Ejemplo.- Si a =(3,5) y b = (1,4), entonces:

a + = (3,5)+ (1,4) = (3 + 1, 5 + 4) = (4,9)

8.3.6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-

En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los métodos jiguientes:

ler. METODO DEL PARA1 El OGRAMO.-

—> —>

Se dibujan las representaciones de los vectores a y b desde el mismo punto (se—* —*

hace coincidir los puntos terminal de a e inicial de b ) y se completa el—) —>

paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto común representa a + b .

2do. MÉTODO DEL TRIÁNGULO.-

—> —>

Los vectores a y b se grafican uno a continuación del otro, luego el vector—> —> —»

resultante a +b se obtiene del punto inicial del vector a con el punto final del—>

vector b .

punto inicial


8.3.7.

3er. METODO DEL POLIGONO VECTORiAL.-

La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los vectores una continuación de otro haciendo coincidir el extremo de uno con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

a = 1 + 2+ 3 + ...+ n

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES.-—> —> —>

Para todo vector a , b , c se verifican las siguientes propiedades:

© a + b es un vector. © a+ b = b+ a . conmutativa

—. —> —» —*a + (b + c ) = ( a + b ) + c , asociativa

4 ) V a vector, existe un único vector 0 , tal que a + 0 = a , neutro aditivo.

j V a vector, existe un Unico vector - a , tal que a + ( - a ) = 0 , inverso

aditivo.


8.3.8. DIFERENCIA DE VFCTORES.-

-»-* - Consideremos los vectores a, b ; a la diferencia de estos vectores se define de la

siguiente manera:

a - b = a + ( - b )

Si a , b e V 2 => a = (a l ,a^l , b = (b¡,b2) , de donde:

a - b = (a, -^ ,«2

Ejemplo.- Sean a =(-1,3) y ¿>=(4,8) Hallar 3.( £>-2 a ) + 6 a - 2 ¿

Solución

fc - 2 r = (4,8) - 2.(—1,3) = (4,8) - (-2,6) = (6,2)

6 a -2 fc = 6 .(- l,3 ) - 2(4,8) = (-6,18) - (8,16) = (-14,2)

3(b - 2 a ) + 6 a - 2 b = 3.(6,2)+ (-14 ,2) = (18,6) + ( - 14,2) = (4,8)

8.3.9. INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIA DE VECTORES.-

—> —> )A los vectores a,b lo íepresentaremos por los segmentos dirigidos PQ y

PR con la condición de tener el origen común en el punto P, entonces la —» —> —> -*

diferencia de a,b es decir: a—b quedará representado por el segmento---- » -4

dirigido QR , puesto que b + ( a - b ) = & (ver gráfico).

-b


—* —► —► —*

Ejemplo.- Dado la representación de a y b dibuje a — b , usando la definición de resta y la regla del triángulo para la suma.

Dibujando los vectores a = AB , b = A C , desde el mismo punto inicial A.

C

Ahora dibujamos — bB

Empleando la regla del triángulo para la suma se dibuja a - b

8.4. LONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.-

La longitud o módulo de un vector a es el número real no negativo, representado por —>

|| a || y es definido por la raíz cuadrada de la suma de los -vadrado de sus componentes.

esto es:


Si a e V , => a = (a , ,a 2) de donde:

|| a |\ = y¡á[+e

cuya representación gráfica es:

Si a = (a],a2j es un vector de posición cuyo módulo y representación gráfica es:

Ejemplo.- Si a =(2,4) y b = (3,5) entonces:

|| 2 3 fc || = || 2 .(2 ,4 ) - 3(3 ,5) || = || (4 ,8 ) - (9,15) || = || (4 - 9 8 - ■ 15) ||= || ( - 5 , - 7 ) ||

= V ( - 5 ) 2 + (—7 )2 = V 25 + 49 = yj74

696 Eduardo Espmoza Ramos

8.5. PROPIEDADES DEL MÓDULO DE UN V ECTOR.

Se verifican las siguiente^ propiedades:

© || a || > 0 , V a vector || a || = 0 <=> a = 0

( ¿ ) || r. a || = | r | || a | | , V a vector, r e R.

—> —> —> —> —> —>

\ 4 J | |a + ¿ || < | |a || + | |o ||, V a,b (desigualdad triangular)

Demostración

© Si a = (a,,a2) * (0,0) => a¡ * 0 v a2 * O

— /---------- / —|| a || = yjaf + a2 * O, como \]a2 +a2 > 0 entonces /. | | a | |> 0

© i) Si | |a | | = 0 => T = Ü

Si a =(a¡,a2) => || a || = yja^ + a2 =0 entonces

—> —>a¡ +a2 =0 <=> a, = 0 a a 2 = 0 . Por lo tanto a = (0,0) = O

—>En forma similar si a = («j, a2, «3) entonces

ii) Si a = O => || a || = O

Si a = (0,0) => || a || = Vo2+n2 = 0 => | |a | | = 0

Si a= (0 ,0 ,0 ) =* | |a | | = V02 + 02 + 02 = 0 =* | l a | | = 0

© Si a = (a,,a2) , r eR entonces: r a = r(ai.a2) = (ra¡ ra2) su módulo es:

|| r a || = ^ íra ,)2 + (ra2)2 = yjr2(.a2 +a\) = 'ir2-Jo- + (A = | r 11| a ||

Vectores B idim ensiom l 697

Por lo tanto: || r a || = | r | j| a | | .

© La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en base a la desigualdad de CAUCH Y-SCHW ARZ.

8.6. VECTOR UNITa RIO.-

Se llama vector unitario, al vector cuyo módulo es la unidad, es decir: a es un vector—>

unitario si y solo si || a || = 1.

- » 3 4 - » fg 16^ [25Ejemplo.- El vector a = (^>^) es unitario por que || a || = J — + — = J — = 1

8.7. TEOREMA.

-> -» -> aDado un vector a * 0 , entonces el vector u = -----es un vector unitario.

HallDemostración

—> —>Sea a € V2 => a = (a, ,a2) *■ (0,0) entonces:

21 , d t v * 11 II iu = ------= ( ) es unitario si | |u | | = lII a || || a || || a ||

«decir: |M | = _ | _ + 4 _ = ! ! ± £ = ,\ II a II | | a | | Vil a II2 II a ||2 V ll a ||2

—> —>Por lo tanto como || u || = 1 entonces u es unitario.

Ejemplo.- Si a =(3,4) => || a || = >/9 + 16 = >/25 =5

a 3 4p o r lo tan to : u = --------= (—, —) es u n ita r io

i.-*.. 5 5


8.8. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R 2

—»Cada vector no nulo a =(a¡,a2) y su representación como radio vector le corresponde

una dirección dada por la medida del ángulo 0 formado por el vector a y el eje X

positivo en sentido anühorario.

—> —> —> —>

a = (a ,,a 2) = (ll a Heos©, || a ||sen©) =|| a || (cos0,sen0)

por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y su dirección.

—> —* —> —>Si u = a es un vector unitario, es decir || u || = || a || = 1

—♦Luego si u es un vector unitario se puede expresar en función de 0 es decir:

—>u =(cos0,sen0)

y el ángulo 0 se denomina ángulo de inclinación o ángulo de dirección del vector a

OBSERVACIÓN.- La medida del ángulo 0 se obtiene de la forma siguiente:

Mediante un ángulo de referencia a y haciendo uso de una tabla de valores se halla el

valor de a con 0o < a < 90° para el cual tga = | — | , a, * 0 .«i

Si f l ] > 0 , a 2 > 0 => 0 e 1er. cuadrante: 0 = a

Vecto. t s Bidimensional 699

a , < 0 , a2 >0 => 0 € 2do. cuadrante: 0 = 1 8 0 ° - a

a , < 0 , a2 <0 => 0 e 3er. cuadrante: 0= 180°+ a

« [ > 0 , a2 <0 => 0 e 4to. Cuadrante: 0 = 360° - a

Ejemplo.* Hallar un vector a de longitud 6\/3 y que tiene la misma dirección de un

vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo del eje X.

Solución

a = || a || (eos 30°, sen 30') = ó V 3 ( ^ ,^ ) = (9,3\/3)

Ejemplo. Expresar el vector a = (3,-3\/3) en términos de su magnitud y su ángulo de

inclinación o dirección.solución

Como a = || a || (cos0,sen0), de donde || a || = y¡9 + 9(3) = >/36 = 6

Calculando 0 se tiene: tg 8 = — = — => 0 e 4to. Cuadrante 0 = 360° - aa, 3


donde tg a = ^ = \/3 =* a = — = 60°3 3

Luego 6 = 360° - a = 360° - 60° = 300°

—>

Por lo tanto a = 6(cos0.sen0) = 6(cos300o,sen300°)

8.9. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES -

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores a y b está dado por la suma

de los productos de sus componentes correspondientes, es decir:

Sí a ,fceV2.=> a=(a, , f l2) , b={bl,b7)

-* -i + ♦a .b =(a1,a2).(bl,b2) = a1Jpl +a2Jb2

♦ ♦

de modo quex + 7Ejemplo.- Si a=(x,3y) y b = ( -2 y , z ) , hallar el valor de -----1y

a+ b = (8 -4) y a . b x- 0 .

Solución

—> —>a +b = (8,-4) = (x,3y) + (—23-, z) = (jc — 2y,3y + z), de donde

[ x - 2 y = 8(x - 2y, 3y + z) = <8,-4), por igualdad de vectores se tiene: ... (1)

|3v + z = -4

como b = ( -2 y , z ) => b x=(-z , -2y) yco.no a .b =0

(x,3y).(-z,-2y) = 0 => - xz - 6y = 0 6y~

x... (2)

al reem plazar (2 ) en (1 ) se obtiene:


x —l y - 8 jc = 2;y + 8

3 v - ^ l = -4 ^ 3 y — —— = —4 => 3 y - ^ — = -4 y x 2y+S y + 4

3>(y + 4 )-3 > = —4(y + 4) => 16y = -16 => y = -l

como x = 2y + 8 entonces x = -2 + 8 = 6 => x = 6

6 y - 6 ( - l ) x + z 6 - 1como z = — -— = ---------------------------------= -1 => z = -L Luego ----- = -------- = -5x 6 y -1

OBSERVACIÓN,- El producto escalar de dos vectores es un número real

8.10. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.-

Cons. aeremos tres vectores a ,b , c e V 2 y r e R un número real cualquiera; entonces:

©—> —> —» —» a.b = b.a © ->

( r a ) b =r.(a

©—> —* —* —>

a .{b+ c ) ~ a .b+ a .c © II a || = \ a . a

© ( ¿ + c ) . a = fc. a + c . a © l |a ||2 = a . a

© lU + h l f H M I 2 + 2 r . t + | | b |p © l | a - f c | | 2=| |a

NOTA.- La prueba de estas propiedades son bastantes simples por lo tanto dejamos para el lector.

Ejemplo.- Sí || a || = 7 . || b || = 3 y a . f o = - 4 . Hallar M =(11 a + 3¿?).(2 a + 7¿?)

S o lu c ió n


= 22 a. a + 77 a. b+6 a . ¿+21 b. b = 22 || a ||2 +83 a . b + 21 ||i>||2

= 22(49) + 83(-4) + 21(9) = 1078 - 332 + 189 = 1267 - 332 = 935

M = 935

8.11. VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES.-

—> —> —> —>

M J Dos vectores a y b son paralelos (a II b) si uno de ellos es igual al otro vector

multiplicado por un número real, es decir:

a II b <=> 3 r e R tú que a = i b

—> —> —> —> —*Ejemplo.- Sí a =(2,3), b - ( l ,—), entonces a II b <=> r = 2, tal que a = 2 .b

—) —>

Ejemplo.- Loe vectores a =(2,3) y b =(5,3) no son paralelos porque 1 r e R, —> —>

tal que a = r.b .

OBSERVACIÓN.- El vector nulo 0 es paralelo a todoo los vectores, en efecto:

0 = 0 .a , Va vector, 0 e R, entonces: a y 0 son paralelos.

CONSECUENCIAS.- Sean a ,b&V2 =* a = ( a , , a 2) ; b = (¿j, b2), entonces

—> —> —> —>

a II b <=> 3 X e R tal que a = A b , es decir:

(a,,a2) = A ( ¿ , d o n d e «, = Xb , a2 = ^ 2

Q ü —> —>Luego tenemos A = — = — , es decir: si a II b

¿>j t)2

entonces existe proporcionalidad entre las componentes correspondientes.

—» —>Ejemplo.- Determinar si los vectores a =(-6,4,10) y b = (9,-6,-15) son paralelos.


Solución

Si a II b => debe existir proporcionalidad entre los componentes correspondientes:

, 6 4 10 2 -» r»A = — = — - — — = — . Luego a y b son paralelos.9 6 15 3

8.12. CRITERIO DE COLINEALIDAD.-

E1 conjunto de puntos A, B y C son colineales si y sólo si pertenecen a una misma recta.

-------- •-------------- •-------------- •---------- LA€L B€L C€L

Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos, AB/I AC .

Ejemplo.- Determinar si los puntos A(3,1), B(2,2) y C( 1,3) son colineales.

Solución

Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan vectores paralelos*

AB = B — A = (2,2) —(3.1) = (—1,1)

AC = C -A = (1,3)-(3,1) = 2(—1,1 f *

BC = C - B = (1.3)-(2.2) = (-l.l)

Luego A C - 2 A B => AC y AB son paralelos

BC = 1 AB => BC y AB son paralelos

por lo tanto los puntos A, B y C son colinealest

i— —> —> —♦ —*Mi) Dos vectores a y b son ortogonales ( a i b) si se v e r i f i c a la siguiente relación.

■704 Eduardo Espinoza Ramos

lia-

así por ejemplo, los vectores a ={a,0) y b = (0,b) son ortugonabs. en efecto:

|| a +b || = || (a,0) + (0.fc) || = || (a.b) || - yja2 +bx ... (1)

|| a - b || = || (a .0 )-(0 ,b) ||p || (a, -b) || = y¡a2+(-b)2 = y f ^ + b 1 ... (2)

—> —> —> —>

Comparando (1) y (2) se tiene: | |a+ b || = || a - b ||

—► —» —> —»si los vectores a y b son ortogonales, entonces denotaremos por a 1 b , es decir:

a ± b <=> || a + ¿ || = || a-¿? ||

8.13. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA ORTOGONALÍDAD DE VECTORES.-

Como los vectores &+ b y z —b son las—>

diagonales del paralelogramos cuyos lados son a—* —>

y Z?. entonces si los vectores a y b son

ortogonales, esto significa que el paralelogramo

es un rectángulo, por lo tanto sus diagonales son

congruentes.

Otro modo de interpretar la ortogonal "iad de los—* —*

vectores a y b es:

a


8.14. TEOREMA,

Los vectores a y b son ortogonales sí y sólo sí a . b = 0

Demostración

—> —> —> —>i) Sí a i t => a .¿?=0 (pordemostrar)

—> —> —> —> —í —>

por Hipótesis se tiene que a y b son ortogonales, entonces || a f » || = || a - b\

(por definición de ortogonalidad).

—> —> —> —>

Luego || a + b ||2 = || a - b ||2 , desarrollando los cuadrados se tiene

|| a ||2 + 2 a . b + || b ||2 = || a ||2 - 2 a . b +|| b ||2 de donde 4 a . fo = 0 => a . ¿7 = 0

— > —>ii) Si a . ¿ )= 0 => a X ¿? (por demostrar)

Como a . ¿7=0 => 4 a . ¿7= || a+ ¿71|2 - || a - ¿71|2 , de donde

|| a + ¿71|2 = || a - ¿71|2 => || a + ¿71| = || a - ¿71|, esta relación nos indica que los—) —>

vectores a y ¿7 son ortogonales (por definición de ortogonalidad)

Ejemplos.- Determinar cual de los pares de vectores dados son ortogonales.

( í ) a =(2,1), ¿7 = (-1 ,2 ), de donde

—> —> —> —

a . ¿ 7 = (2,1).(-1,2) = -2 + 2 = 0 => a y ¿7 son ortogonales.

© a = (2,3) y b = (-2 ,7 ), de donde

—» —» »a . ¿7 =(2,3).(-2,7) = -4 + 21 = 17í¿0 => a y ¿7 no son ortogonales.


8.15. TEOREaIA.-

— — — — -j — ^

Los vectores a , fc son ortogonales si y sólo sí || a - r b ||" = || a ||‘ +|| b ||~

La demostración de este teorema queda como ejercicio para el lector.

r —> —>

OBSERVACIÓN.- Consideremos el vector a e l 2 entonces a = {aûij) definiremos—> —>

un \ector ortogonal al vector a al cual denotaremos por a 1

cuyos componentes son ( - a2,a{) y que es obtenido aplicando ur giro de 90° sobre el —>

vertice del vector a en sentido antihorario.—> —>

El vector a x= (~a2,a,) así definido es. ortogonal al vector a .

—♦ —>En efecto: a . a ' = (a,, a2 ) (~a2 > ai ) = ~°ia2 + chci2 = 0

“‘i i Luego a . a = 0 => a l a

Ejemplos.- Sea a =(-1,3) => su ortogonal es a = (-3 ,-1 )

Sea a =(2,3) => su ortogonal es a = (-3,2)

8.16. TEOREMa .

Dados los vectores a =(a , ,a2) y b = (fc,, ) diferentes de 0 , se tiene que a es —> —> —»

ortogonal a fc si y sólo si a 1// b .


Demostración

—> —> •—>

Como a * 0 , entonces por lo menos una de las componentes de a es diferente de cero, supongamos que a, * 0 .

q fya J. b <=> a .b = a¡b¡ + a-,b-, = 0 <=> ¿>¡ = — =-=-

.

« b - ( b ^ b - , ) , b y ) = — {-a-,,at) ai ' ai

—■► h —■► —> —> b = — a => b II a x

b¡

8.17. COLÜRa RIO.-

Dados los vectores a y 6 no nulos, entonces a y fc no son paralelos si y sólo si —> —♦ —♦ —>a i ^ O y a x.fc * 0 .

Demostración

-» -> ->

Del Teorema anterior es una equivalencia, entonces a y b no son paralelos <=> a no—> —♦ —> —♦ —>

es ortogonal a 6 y de igual manera que b 1 no es ortogonal a a si y solo si a .b * 0 .

Ejemplo.- Hallar todos los valores de x de tal manera que el vector a = (jc, 2x +1) sea

paralelo al vector b = (2jc-1,jc + 2)

Solución

Aplicando el teorema 2.16. se tiene:

Si a l /b => a x±fc => a x.fc=0

Como a = ( jc, 2 jc+ 1 ) => a x = ( - 2 x - l , x )


a ±.b = (-2x — \,x).(2x — l,x + 2) = D

—(4jc2 -1) + jc(x + 2) = 0 => 3jc2-2 jc-1=0 => x = 1, jc = —i

8.18. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.-

Sean a y b dos vectores no paralelos diferentes del vector 0 , se dice que el vector c—> —►

es una combinación lineal de los vectores a y fe si existen esralare" r, s (r, s e R) tales que:

Los vectores r a y sb geométricamente se puede construir del hecho que a y i no—►

son paralelos de tal manera que la suma sea igual al vector c .

-> -> -* Analíticamente que a y b no sean paralelos es equivalente a decir que a .b /O y—> —>a ■L. b * 0 (corolario 1.37) y por lo tanto podemos calcular r y s de la siguiente manera.

Partimos de c = r a + s b (1)

—►

Multiplicamos ambos miembros de (1) por a ^

—> —» —> —> —* —i» —» —»c . a 1= r a . a ±+s¿?.a , como a . a = 0

c , a ±= s b . a 1—>C

b 2*


—*multiplicamos ambos miembros de (1) por b 1

c . b ±= r a . b ±+ s b . b ± , como b , b L= 0

c , b L=r z . b 1

8.19. TEOREMA,

Si los vectores a y b no nulos de R2, no son paralelos, entonces cualquier vector c de

R puede expresarse de manera única c = r a *■ s b donde los números r y s son calculados en la forma anterior explicada, es decir:

Ejemplo.- Expresar al vector c = (2,3) en combinación lineal de los vectores

a =(1,-1) y b =(1,2).

Solución

—» —> —> —y —> —♦

Si c es combinación lineal de a y b entonces 3 r s e R, tal que: c = r a i- s b

Como r = , donde b = (1,2) => b "L= (-2,1)a . b 1

c .fc1 _ (2,3).(-2,1) -4 + 3 _ 1 c . a - 1 (2,3).(1,1) _ 2 + 3 _ 5r " ¡ >^ ± _ (l, - l ) . ( -2 , l ) - - 2 - l _ 3 y “ (l,2).(l,l)- l + 2 3

p o r lo tan to (2 ,3 ) = ^ ( l , - l ) + j ( l , 2 )


8.20. TEOREMA.-

Consideremos dos vectores a y b no nulos. Si estos vectores no son pa-aitlos, la

igualdad r a + s ¿> = 0 , implica que r = s = 0.

Demostración

Por hipótesis tenemos que: r a + s ¿ = 0 y que a , b son vectores no paralelos

—* s —* —suponiendo que r * 0 => a H— b = 0

r

s sLuego a = — b = k b , donde k= — r r

—> —» —> —> —* —*

Como a = k b , esto significa que a y b son paralelos (a II b) lo cual contradice a la

hipótesis, por lo tanto r = 0.

—> —> —> —> Y —♦ —► ySuponiendo que sÔ se tiene — a + b = 0 , de donde b - — a = A a , donde A = —

s s s

—» —» —♦ —>Como fc = A a , esto significa que a y b son paralelos lo cual contradice a la hipótesis,por lo tanto s = 0.

8.21. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES EN R2.-

Dos vectores a y b son “linealmente ii.Jependiente” si ra + s b = 0 entonces—> —>

r=s = 0, en caso contrario se dice que los vectores a y b son “ inealmente dependientes”.

—> —>

Ejemplo.- Determinar si los vectores a = (—1,1) y b = (4,3) son linealmente

independiente o dependiente.

S o lu c ió n


ra + s b = 0 => r(-l,l) + s(4,3) = (0,0)

(-r,r) + (4s,3s) = (0,0) => (-r + 4s, r + 3s) = Í0,0)

- r + 4 j = 0 r + 3s = 0

ir = 0 { j = 0

r = s = 0

por lo tanto a y b son linealmente independiente.

Ejemplo.- Determinar si los vectores a = (-6 ,3) y b = ( 2,-1) son linealmente

independiente o dependiente.

Solución

ra + s b = 0 => r(-6,3) + s(2,-l) = (0,0)

(-6r + 2s, 3r - s) = (0.0), de donde por igualdad

—6r + 2s = 0 s = 3r . . .=> , donde r es arbitraru i

3r — s = 0 s = 3r

entonces a y b son linealmente dependientes.

OBSERVACIÓN.- Tres vectores cualesquiera en R2 son linealmente dependientes entre si.

OBSLRV ACIÓN.-

& Los vectores a, b son linealmente dependiente cuando los vectores a y b son coiineales.

2 Los vectores a , b son linealmente independiente cuando los vectores a y i no

son coiineales.


a

8.22. VECTORES FUND AMENT ALES.-

Consideremos los vectores (1,0) y (0,1) en V2 al cual denotaremos así: i =(1,0),—►y =(0,1), estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de

coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados en sentido positivo al de los ejes, a estos

vectores se les llama Vectores fundamentales.

Todo vector de V2 se puede expresar en combinación lineal de los vectores —> —»

fundamentales i =(1,0), y =(0,1)

—» —* —>Sea a e V2 =* a = ( a , , o 2), pero al vector a expresamos así:

a = (a,, a2 ) = (fli, 0) + (0, a2 ) = a, (1,0) + a, (0,1)

a = a, i + Oj j

A los números se denominan componentes escalares de a y a los vectores Cj i y—> ~>

a, j se denominan componentes vectoriales del vector a .

Vectores Bidirr.ensional 713

8.23. PROPIEDADES DE LOS VECTORES ORTOGONALES UNITARIOS.-

En la combinación lineal de dos vectores se presenta un caso importante cuando estos—>

vectores son unitarios y perpendiculares entre si como es el caso i =(1,0) y j = (0,1).

—> —> —* —>Si se considera un vector unitario u de i y el vector u 1 en lugar de j , entonces el

-» -» ->. -» -».vector c = 3 h + 4 h es una combinación lineal de los vectores unitarios u y u

4 u

Luego la longitud del vector c es || c ||= ^32 + 42 = 5 por la hipotenusa de un triángulo

rectángulo donde la medida de sus catetos son 3 y 4 respectivamente.

—♦OBSERVACIÓN.- Si u es un vector unitario se cumple las siguientes relaciones.

( I ) \ \ x u + y u ±\\=yj x 2 + y 2 ( £ ) \\x u - y u ^1= yjx2 + y2

Ejemplo.- Calcular la longitud de los vectores dados a = 3 u - 4 u ,

b = 3 5 h + 1 2 h j' , c = 5 « + 1 2 m ' l

Solución

|| a | |= | | 3 u - 4 u ^ 1 = ^ 3 2 + ( —4 ) 2 = v'9 + 16 = 5

| fe | |= | | 35 m + 1 2 m -*-11= >/352 + 1 2 2 = V 1 2 2 5 + 1 4 4 = 37

| | c | |= | |5 m + 1 2 m -l| |= > /5 2 + 1 2 2 = ^ 2 5 + 144 = 1 3


DEFINICIÓN.-

Si dos vectores a y b son unnarios y ortogonales entre si, entonces los vecto-es a y —►b se denominan vectores ortonormales.

1 ^ : PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPQNENTE.-

Consideremos dos vectores a y b no nulos, construyamos un ti lángulo rectángulo cuya —* —»

hipotenusa sea el vectoi a y su base sea el vector r. b (donde r e R) paralelo al vector—> —>b de modo que los laaos dei tnai.gulc quedará representado así: hipotenusa el vector a

—* —*y por catetos los .ectorts r b , c = a - r.b dond'* c ± b

Como c -L b , lo cual es lo mismo expresar así

( a - r . b ) ± b => ( n - r b ) . b = 0 , dedonde a . b - r || b ||2 — 0

entonces r = - a .b

II* II2es el único numero real.

como c -L b , significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector a tendrá por catetos -> -> -> -» -> -> a .b a .b „ . a .b , .a los vectores: — — b ; a ------------hn consecuencia al vector — — .b que es paralelo

II ~l>\\2 II ¿II2 II b f

al vector b , llamaremos proyección ortogonal del vector a sobre el vector b .


a b * a b * a b bAl vector — :— . b expresaremos en la forma siguiente: — :— .b = (—:—).-------, dondeb r II b ||2 \\b\\ || b ||

^ es el vector unitario en la dirección del vector b , en tanto que el número JLlíl esIIMI II 6 II

—*la longitud dirigida del vectoi protección le llamaremos la componente del vector a en

—yla dirección del vector b .

8.26. DEFINICIONES.-

© Sean a y b dos vectores, donde b * 0 . definimos la proyección ortogonal del—> —>

vector a sobre el vector b y los representaremos del modo siguiente:

—* —* —* —* a bSean a y b dos vectores, donde b * 0 , al número —:— que es la longitud

11*11“* —♦

dirigida del vector proy“ le llamaremos la componente del vectoi a en lab

—>

dirección del vector b y denotaremos así:

Ejemplo.- Hallar la proyección del vector a = (7,12) sobre el vector b = (3,-4).

Solución

a b —*Por definición se tiene: proyt = — -— . b

h \ \ b \\2


: (7,12).(3,-4) ^ 21-48 „ 27 „ ^pmy_ = ---------- — .(3, -4) --------------------------(3, -4) = --(3, -4)' * ||(3, -4) ||2 25 25

proyl = - |^ ( 3 ,- 4 ) b 25

Ejemplo.- Dados los vectores a = (3,%/3) y fe = (%/3,-l). Hallar 2(proyt + proy t )a 6

Solución

2( proyt + proyt ) = 2 ( - ^ - . a + - ^ - . f e ) b l | a | |2 || fe||2

(3,>/3).(>/3,-l) /r (3,V3).(V3,-1) /r

■ 2( iK 3 ,^ ) f a '5 ) i i ( A - i ) if <'& _1))

= 2 ( ^ ( 3 , n / 3 ) + ^ ( A - 1 ) ] = ^ (3 ,V 3 ) + v/3(v/3.-1)

= ( i i , l ) + (3,-y[3) = (3 + yÍ3,l-y¡3)

8.2?. PROPIEDADES DET, VECTOR PROYECCIÓN Y COMPONENTE.- ______________________________

© La proyección ortogonal de una suma de vectores en la dirección de algún vector no

nulo c es la suma de las proyecciones ortogonales.

proy[? 1 = proyt + proyt

-» —*( 2 ) La proyección del vector t a en la dirección de fe es igual a t veces el vector

—»

perpend icu la r de a .

proy[\~ ' = tproya b b


© La componente de una suma de vectores en la dirección de algún vector c es la suma de los componentes.

comp^+b = rompt + compt

© La componente del vector t a es igual a t veces la componente de a .

comp\\ “ = tro. npt

8.28. RELACION ENTRE PROYECCION Y COMPONEN!!

Consideremos dos vectores a y b , donde b * 0 por definición de proyección ortogonal sabemos que:

—» —»« a.fc r proy_ = — — .bb \\b\\2

al vector proyt expresaremos en la forma siguiente: ' b

7 a .b -» (a.fe) b 7 a.feproy_, = ------- . ¿> = -------- .------ , como comp_ = ------* II * II* ll*lP | | * | | | | * | |

Entonces se tiene:

i) Si la compt > 0 , la proyt y b tienen la misma dirección. b b


ii) Si la compt < O, la proyü y b tienen direcciones opuestas. b b

¡ii) Si la comp* = 0 , quiere decir que a ± b b

OBSERVACIÓN.- La diferencia entre proyección ortogonal y componente radica en que la proyección ortogonal es un vector y la componente es un número real.

8.29. ANGUI O ENTRE DOS VECTORES.-

TEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores a y i no nulos

corresponden a la siguiente relación.

Demostración

—) —)Como a y b son dos vectores no nulos y 0 es el ángulo formado por estos dos vectores

—> —>(6 = jC ( a , b )), de modo que el campo de variabilidad está dado por 0 < 0 < n.

*• b

Vectores Bidimensic.ial 7 1 9

Por definición de componente sabemos que:

b=> Il b II compt = a . b

b . . . (1)

11*11

comptdel gráfico se sabe que eos0 = -------— de donde compt = || a || eos0 ... (2)

l |a | |

reemplazando (2) en (1) se tiene: || a || || b || cos0 = a . b

Ejemplo.- Dados los vectores a = (4,3), b = (1,-1). Hallar:

—» —»a) La proyección de a sobre b

—» —*

b) La componente de a en la dirección de b

c) El ángulo entre los vectores propuestos.

Solución

COS0 =a .b

a) proy% -1 a .b 7 (4,3).(1,-1)_> ---------------------- .b = --------- —b II b il2 II a.-D IIb

c ) C O S 0 =a.fc => 6 = arccos(— j=)

5 j2HalIHHI


8.30. LA DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ.

TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector a y b vectores se verifica la—♦ —♦ —) —♦

siguiente relación. | a . b | < || a | | . || b ||

Demostración

Veremos primero para el caso en que a V b

*■ b

b

del gráfico aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

|| proyt ||2= || a ||2 - 1| c ||2< || a ||2, lo que es lo mismo b

—> —> —> —>

|| proyt II < II a | | , además a . b = II b || co.npt f b

I a-b | = || b | | . || compt || < || a ||.|| b || por lo tanto: | a .b | <lfa | | .ft b || ... (1)*

—> —>

ahora veremos el caso cuando a II b es decir:

Si a II b => 3 re R tal que a = r. b

| 'a .fc | = | (r fc). fc | = | r | . || ||2 = | r ID | | . || £> || = || r || || || =|| ^ || \\b\\

—> —> —> -4

por lo tanto: | a .b \ = || a | | . || b || ...(2 )

—> —> —) —>

Luego de (1) y (2) se tiene: .’. | a .b | < || a || .|| b ||


APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos la desigualdad—> —) —♦ —>

triangular: || a + b || < || a || + 1| b ||

a+ b ||2 = II a ¡I2 +2 a .b + II b ||2< || a ||2 + 2 II a | | .11 b II + 1| b II2

|| a+ b ||‘ < || a ||- +21| a | | . || b || + 1| b || , de donde

|| a+ b ||2< (|| a || + 1| b ||)2 por lo tanto: || a+ b || < || a || + 1| b ||

8.31. AREA DE: TRIÁNGULOS Y P4 RALELOGRAMOS.-

Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores a y b

La altura del paralelogramo es h =|| c | | , de donde

h = || c || = || proyt || = || compt | | , además se conoce que: b 1 b 1

área del paralelogramos es: A = base x altura

A = || fe | | . || compl || = || fe || =| a . b "|IP 'XH

A = \ a . b ±\

En consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores a y b está dado por:


Ejemplos.- Hallar el área del triángulo cuyoá vértices son los pur.ios A(-3,2), B(3,-2), C(4,5).

Solución

a = AB = B - A = (7,3)

b = AC = C - A = ( 6,-4)

¿= (6 ,^1) => b x=(4,6)

A = - | a . f c J-| = - | 2 8 + 18| = 23


0 Dados los vectores a =(-2 ,2) , b = (3.-2) y c = (—1.1), resolver la ecuación:

3 a —2[3(¿>—2 c) + 2a ] + 3jc = 2c + x .

Solución

—» —> —> —> —> —* —>

3 a-2[3(fc-2 c) + 2 a] + 3 x = 2 c+ x , efectuar las operaciones

—> —) —> —> —> —>

3 a - 6 f c + 1 2 c - 4 a + 3jt = 2 c + * , simplificando

2 x = a+6¿> —10 c , reemplazando los vectores

—>

2 je = (-2,2) + 6(3, -2) - 1 0(— 1,1), efectuar las operaciones

2 ~x = (-2 ,2) + (18 ,-12)-(-10 ,10) = (-2+18 + 10,2-12-10)

2 jc =(26,-20) de donde *=(13,10)


© Sean P(c,d) y Q(c 4 a ,b + d). Muestre que la magnitud de PQ es y]a2 + b2 .

Solución

PQ = Q - P = (c + a,b + d) — (c,d) = (c + a - c , b + d - d ) = (a,b)

\\PQ\\=yla2+b2

_ -> -> -» -»^3^ Sí a = ( x + l, 3 jc-2) y b = (1 —jc, jc) . Hallar x para que a + 5 b sea paralelo a

c=(l , -7 )Solución

a+5¿>=(jc + l, 3jc — 2)+ 5(1 — x, jc) = ( 6 — 4jc, 8jc — 2)

—♦ —) —) —) —> —♦

como a + 5 b / / c =* 3 X e R tal que: a +5 b = X c , dé donde:

(6 - 4x, 8x - 2) = X(l,-7) por igualdad se tiene:

6 - 4x = X ; 8 x - 2 = -7A, => 8x - 2 = -7 (6 -4x)

=> 20x = 40 de donde x = 2.

M ) Deten nar para qué valores de a los vectores a + a b ; a - a b son perpendiculares—> —>

entre sí, sabiendo que || a || = 3, || b ||= 5.

Solución

Com.j & + a b L a —a b => (an aí>) . (a-afc) = 0

dedonde a . a - a 2 b . b = 0 => || a ||2 - a 2 || fe ||= 0

, || a ||2 9 3a = -—— =— => a = ±-II t> ||:

i2 25 5


(T ) Calcular || a - b || sabiendo que: || a ||= 13, || b ||= 19 y || a + 1> || = 24

goluci¿n—> —>

Como || a + b || = 24, elevando al cuadrado tenemos:

a+ fc ||2=242 =» || a ||2 + || b ||2 +2&.b =576, de donde

169 + 361+ 2 a.fc =576 => 2a .f c= 46

l l - H | 2= l | a | | 2 + | | H | 2 —2s./b =169 + 361-46 = 484

| |a - f c | |2=484 => || a - | | = 7484 = 22

© Los vectores a y b forman un ángulo a = 60°, se sabe ademar, que: || a || = 5 y

|| b ||= 8 . Determinar: | |a + fc|| y ||a —¿ | | .

Soluciun

¿ ( a , b ) = 60° => eos 60° = — — — => a .b = 2 0II * l i é ||

| | : + M 2= IM |2 + ||H |2 + 2~&.~b = 2 5 + 64 + 4 0 = 129 || a+ || = v 7 2 9

| | T - | | 2= ||r||2 + | | a ||2 - 2 a .b = 2 5 + 6 4 - 4 0 = 4 9 11 7 - 611 = 7

r-, ---->( 7 ) Los vectores a y b forman entre sí un ái'gulo de 45° y el módulo de a es 3. Hallar el

módulo de b , de modo que (a - b) sea perpendicular al vector a

Solución

—> —» —► lf.il¿ ( a , f c ) = 45° => a .b =|| a |||| b ||cos45° = ----- 1| b ||

—» —» —» -»—* —»—» —» —» —» a /o —»

a - ¿ _L a => ( a - b). a = 0 , de donde a . a - a . i > = 0 => || a ||2= a .b = —— b

9 = 1 1 * 1 1 =» \ \b \\ = 3 ^

-* -* -*(8 ) Los vectores a y b forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo de a es 3. Hallar el

—) —> —♦ —♦módulo de b para oue a + b forme con a un ángulo de 30°.

Solución

—♦ —♦ —>Por datos tenemos: ¿L ( a, b) = 45° y | | a | | = 3

—> —> —) —>Determinaremos || b | | . para que jL (a , a+ ¿>) = 30°

—> —» -» -» 'í^Jñ —»Como ¿ ( a , a+fe) = 45° => a . fe = || a |||| fc ||cos45° = —— 1| b ||

¿ (a ,a+fc) = 30° => a .(a + ¿) = || a Hll a + í» ||cos30°

—♦ —> — —♦ —> —> —♦

a . a + a .b =|| a |||| a + ¿? ||cos30° , de donde

-> _ _/í -> -» -* -> 3J 3IMI2 + ^ I M I = 3 | | « + ¿ I I ^ =» 9 + ^ l i H — l b + H I

y¡2 J33H— 1| b ||= — 1| a+ b || elevando al cuadrado y simplificando

|| b ||2 -3>/21| b || -9 = 0 => \\b\\=^(yf6+yl2) = -


2 2senl5°

—> —> —> —> 7T 7Z —Q9) Sean a = eos© i + sen6 j y b =cos(0+—) i + sen(0+—) j dos vectores. Demostrar

—» —»

que a y b son ortogonales.

S o lu c iu n


a J. b ( a y b ortogonales) <=> a b - 0

a .b = (cosí?, sen 0).(cos(0+— )).sen{6+—) = eos 6. cos(0 + — J + sen 0. sen(0 + —)2 2 2 2

= eos 0[cos 6. eos — — sen 6. sen —1 + sen 0[sen 6. eos — +- eos 0.sen —12 2 2 2

= eos 0 (0 - sen 0) + sen 0 (0 + eos 0) = - sen 0 eos 0 + sen 0 eos 0 = 0

—* —» —» —»Como a . ¿> = 0 => a J. b

—> —> —> —> —> —)10) Demostrar que a + b y a - b son ortogonales sí solo sí || a || = || b | | .

Solución

—> —> —> —> —> —♦i) Si a + b ± a - b => || a || = || b || por demostrar

como a + b ± a - b => i a + ¿ ) . ( a - ¿ ) = 0

II a ||2 - \ \ b ||2= 0 => || a ||2 = || ¿ | |2 de donde || a || = || ¿ | |

ii) Sí || a || = || ¿ || =? a + b X a - b por demostrar

como || 7 1| = || ib || => II a ||2= || ¿ ||2 => II a ||2 - | | ¿ ||2= 0

=> (a+ fc ).(a -b) = 0 => a + ¿ ± a - ¿ (ortogonales).

l l j Demostrar que: Si dos vectores son unitarios, entonces la suma es un vector unitario si y

sólo si el ángulo formado por dichos vectores es de 120°.

Solución

—> —»

i) Sean a , b vectores unitarios de modo que:

Vectores Bldimensional 727

a II = II b II = II a + b II -1 => 8 = /C(a,b) = l20° poi demostrar

a + ¿ | | 2=l => II a II2 +11 ¿II2 + 2 |h 11.11 b ||=1

a ||2 +|| ¿ | | 2 +2| | a (MI ¿||eos© = 1

1 + 1 + 2 eos 0 = 1 =✓ 2 eos 0 = -1 => eos <9 = - — => 0 = 1 2 0 °?

¡i) Sí 8 = ¿ ( a , ¿ ) = 120° => || a + ¿ || = 1

a + ¿ ||2= || a ||2 + || ¿ ||2 + 2 1| a ||.|| b ||=1

= II » II2 + II * II2 + 2 II a | | . || b || eos 120° = 1 + 1 - 2 ¿ ) = 1 =* || a +

como ||a + fc || = l => a +b es unitario.

^ 2 ) Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir: a+ b = b+ a

Solución

Se observa que: AD + DC = AC por definición

de suma de donde: a + ¿ = c ...(1 )

i4B + BC = AC por definición de

suma de donde: ¿+ a = c ... (2)

—* —» -» —>ccr’parando (1) y (2) se tiene: a + b = b + a

o- i

728 Eduardo Espinoza Ramo!

—♦ —♦ —> —♦ —> —♦

(l3) Demostrar que la :uma de vectores es asociativa, es decir: (d+ b)+ c = a + (b+ c ) .

Solución

Se observa que: AB + BC — AC , por definición de suiru. de vectores, de donde:

a+ b = AC ... (1)

BC + CD — BC , por definición de suma de vectores, de donde:

...(2 )

AB + BD = AD , por definición de suma de vectores, de donde:

a+(b+c) = d ... (3)

AC + CD = AD , por definición de suma de vectores, de donde:

(a + b)+ c = d ... (4)

—> —»

comparando (3) y (4) se tiene: (a + b)+ c = a +(b+c)

14) Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud


Solución

Sea A ABC, de modo que:

AB = B —A, BC =C — B, AC = C - A

m v = n - m

como MN = ^ - ^ - = ^ A B entonces: MN || AB , a continuación se debe comprobar

que el segmento que une los puntos medio de dos lados de un triángulo es igual a la mitad

de la longitud del tercer lado del triángulo, para ello sabemos que:

\MN\\ = \ \ ^ A B | | = ^ | | ~AB ||, por lo tanto: || MN || = i || AB

Sean a y b dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la expresión de cualquier —> —> —»

vector c del plano determinado por a y b .

Solución

Sabemos que el vector t b es paralelo al—»

Vector b , V t e R, análogamente el vector —> —*

s a es paralelo al vector a , V s e R, y

aplicando la regla del paralelogramo —> —» —*

tenemos: c = s a + t b , V s, t e R ; q u e e s

la expresión pedida.

Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la altura.

S o lu c ió n


Por hipótesis tenemos que: || a || = || 1> ||

debemos demostrar que: h .c — 0 .

Según el gráfico sabemos que:

h e -1 a ---- ). c2 - . ( I )

—* —► —> —♦ —♦ —>igualmente según el gráfico se tiene: c+ b = a => c = a - b ...(2 )

—* q —> —* —* *reemplazando(2) en (1) tenemos: ( a ---- — - ) .(a - b ) = h .c , de donde

h . c = ^ ( a + b ) . ( a - b ) = - ^ ( a . a - b . b ) = -^(||a ||2 -||fc]| ) = 0

entonces h .c = 0 => h ± c

17j Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo.

47 »lución

Luego: ( a+ c ).( a - c ) = a . a - c . c = || a |f - | | c ||

pero como ||a || = ||c || => (a + c ) .(a -c )= || a ||2-|| c ||2 - || a||2-||a ||2 =0

En consecuencia ( a+ c ).( a - c ) = 0 =* a + c - L a - c


—* “♦ —* —* —*

(18) Demostrar que si los vectores a y b no son paralelos la igualdad r a + i b = 0 , implica que r = s = 0.

Solución

—* —»Por hipótesis tenemos que: r a + s b = 0 donde a . b son vectores no paralelos.

—* s — j —> —> ^Suponiendo que r * 0 => a + — = 0 . Luego a= — b = k b , donde k - — ; como

r r r—> —> —» —» —* —*

a = k b , esto significa que a y b son paralelos ( a // b ) lo cual contradice a lar -» -» -»

hipótesis, por lo tanto r = 0. Suponiendo que s * 0 se tiene — a + b = 0 de donde5

-* r ~* -* r b = — a = fc a , donde /: = — .

5 s

Como b — k a esto significa que a y b son paralelos lo cual contradice a la hipótesis,

por tanto s = 0.

'19 Demostrar que si a, b son dos vectores cuyas direcciones se cortan, entonces la igualdad

vectorial a¡ a+P¡ b = 0^ a+P2b , implica que a ¡ = a 2‘, P\ = P2 ■

Solución

—* —* —>

Por hipótesis se tiene que los vectores a y b se cortan, entonces los vectores a

y b no son paralelos; como a, a + /J, b = a 2 a + P2 b . entonces:

—> —> —>(a, - a 2) a + (A -/3 2)¿ = 0 (por el ejercicio 18). Se tiene: a , - a 2 = 0 y /J, ~ P 2 = 0 ,

de donde se tiene: a, = a 2; P\ = P2 ■

(20) Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Solución

• 32 Eduardo Espinoza Rami s

Consideremos el paralelogramo OA BC

cuyas diagonales se cortan en el punto P, a

además en la gráfica se observa que:

Db

i) a+ AC = b entonces A C = b —a y A P = r .A C o AP = r ( b - a ) , r e R

puesto que AP y AC son paralelos.

ii) OB = a +b y OP =s. OB o OP = s (a + b ) , s e R puesto que OP y

OB son peálelos.

iii) a = O P - AP reemplazando i), ii) en iii) se tiene:

» —» —» —»

a - s(a+ b ) - r ( b - a ) , de donde a =(s + r)a + (s — r)b

—> —*como a y ¿ no son paralelos y de acuerdo al (ejercicio 19) se tiene que:

1s + r = 1 S ~ j

entonces por lo tanto:s - r = 0 Ir - —

2

~AP = rÂC =-~AC2 2

con lo que se afirma que P es el punto medio de las diagonales.

21) En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales yparalelos del primero.

S o l ic ió n

Vectores Bidimertsional 733

La condición para que tres vectores a ,b ,c formen un l>iángulo es: a+ b+ c = 0

En la figura (2) se tiene: d = —(b+ c)

e = — (a+ b)2

Figura (2)

/ = —(c + a ) Sumando se tiene:2

d+ e + f =— (a+ b+ c)= a+ b+ c = 02

Luego d + e+ f = 0 cumple la condición de formar un ti ¿ángulo.

Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Solucio.i

Se sabe que: || a ||2 + 1| b ||2= || c ||2

Y como la trayectoria es cerrada entonces

a + ¿ + c = 0 .pcro a + b = — c .

( a + ¿ X a + fc) = ( - t 'X - c )


|| a ||2 + 1| b ||2 +2 a . b = || c ||2 de donde || c |¡ +2 a . b = || t ||2 en.onces a . b = 0 po.- lo —» —> —» —»

tanto a ± b ; como a y b son ortogonales, por consiguiente el triángulo es un triángulo rectángulo.

Demostrar vectorialmente que en un triángulo isósceles hay dos medianas de igual medida.

Solución

Sabemos por hipótesis que: f| a || = || b || po* ser triángulo isósceles:

además del gráfico se tiene: V = — + b

por definición de suma de vectores

u = a + —, por definición de suma de vectores. ?

B

Luego demostraremos que: || v || = || u

l |a | |2 - - -v||2= ll |+ ¿ l + a . b + 1| b\\ , como || a = |\b \

ti “* m2 5 a f “* 7* entonces: v = ---------- + a . b (1)

I u lr= II a + y II = || a || + a .¿»+ ^ como II a || = || ¿7

( 2 )

—* —» —» —* al comparar (1) y (2) se tiene: || v ||2=|| u ||2 => || v || = || u ||

por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, sus medidas son iguales.

Vectores Bidlmensional 735

u'A) Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares.

Solución

-4 —>

Consideremos dos vectores a y b , entonces por condición del prohHma se tiene: —♦ —> —>

|| a + b || = || a - fc | | , de donde se tiene:

a+ b ||2= || a — b ||2, desarrollando tenemos:

|| a ||2 + 1| b ||2 +2 a . b = || a ||2 + 1| b ||2 -2 a . b , simplificando

—> —>

4 a .¿ = 0 => a .b = 0 , esto indica que los vectores a y o son perpendiculares.

( S ) Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, entonceslos vectores tienen magnitudes iguales.

Solución—» —>

Consideremos dos vectores a y b de tal manera que:

a+ b ± a - b =* ( a + ¿ ) . ( a - ¿ ) = 0 , desarrollando el producto escalar se tiene:

II a ||2 - a . ¿ + f c . a - | | ¿ ||2= 0 => || a ||2= || ¿ ||2 entonces | |a | | = | |¿ | |

*— -*¿6 Sumar gráficamente y analíticamente los vectores A,B y C que se muestran en la figura


Solución

Analíticamente: A = (3,0), B = (0,4)

tg a = = 1.73 a = 53°

Cy =12sen53° = 9.58

Cx =12cos(180°-53°) = -7.22

Como R = A+ J9+ C = (—4 *22,13.58)

|| R || = ^/(-4.22)2 + (13.58)2 = 14,22

27) Sea u = 2 i - 3 j y v = - i + 2 j . Encuentre un vector unitario en la mirria dirección

que w+ v .Solución

u = 2 i - 3 j = (2.-3) y v = - i + 2 j = (-1.2)

«+ v = (2,-3) + (-l,2 ) = (2 - l ,-3 + 2 ) = (l,-l)= fc => || 1c ||= y¡2

—» —*Sea m el vector unitario en la misma dirección que el vector k =(1,-1) es decir

-» t i m = - ^ - = - U l , - l ) .

i l*l r i

t 1 1 A■ • m = ( - = , — j=) n/2 v 2

(28) Si a , b y a + b son vectores unitarios, hallar la nurma del vector a - b

Solución

—* —» —P —» —' —r ' Como a , fc y a - fc son unitarios => || a ||=|| ||=|| a+ b ||= 1


Como II a -r b 11= 1 => || a + b ||2= 1 , desarrollando

a || +2 a .b + 1| b || = 1 de donde l+ 2 a .f e + l= l entonces 2 a . f c = - l

a - b ||2=|| a ||2 + 1| ||2 -2 a .fc =1+1 + 1 = 3

(29) En la figura adjunta determinar el vector v .

U a -fc |j= >/3

—* —* —* .—Como a es un vector de posición => a =(1,1) de donde ||a ||= > /2

* . ( U ) . 1 1 , ^ 1 1 ^“ a “ -> “ Py~ f r ' R rr ' ir)y a || V2 V2 V2 • V2 V2

,§60° = W = >^ => || fe ||= >/31|7 1|= -s/3v2 = \/6 l |a | |

fe =|| b || u = (-V5.V5)V2 v2

v = r + fe= (l,l) + ( - ^ , ^ ) = ( l - ^ , l + ) v = ( l - V 3 , l + V5)

738 Edi ardo Espinoza Rames

(30) En la figura adjunta determinai AC sabiendo que || AB ||= *Jl3 , || BC ||=

-* VCalculando el vector unitario u v = ------ dondeII -I!

II v ||= V42 +62 = 716 + 36 = y¡52 = 2yjtt

v (4,6) 2 3 ->_l _____3___ 2_2V t3= ( ^ P ^ ) ^ “ r l

Z T b = - ^ ~ => AB = Il AB H iTâb = >/Ï3(—= = ,—iî=) = i2,3)

ll^ ll ^ ^

u i = - ^ - =» BC =|| BCII « i= | > / Í3 (— | = , - f = ) = ( ^ , 3 )

v || BC || 2 Vl3 Vl3 2

AC = AB+BC = (2,3) + (——,3) = (——,6) AC = ( - | , 6 )2 2 2

(3 l) En la figura adjunta determinar las componentes del vector v

k> I

u>

Vectores Bidimensionaí 739

Calculando el vector unitario en la dirección del vector a

^ 1 (-1,2) , 1 2 x _ - ± , 2 1 , . -»j. , 2 1 ,U a = ---— = —! = = (--- rr '—fr) => « - = (----/=’--- 1=' ’ ~ U ,= {.—= ,—¡=)

a V 5 V 5 « V 5 v 5

Ub

II a II—»

¿>

II 6 II

>/í+4 V s’Vs

=> =|| fc || h * como || a ||=|| ||= \ 5

r 2 1por ser un triangulo isósceles se tiene: b = v5(-^=r,--^=) = (2,1)


(32) Demostrar que si G es el centro de gravedad del triángulo de vértices A, B y C, entonces

G = —{A + B + C ) .3

Solución

Se conoce que el centro de gravedad Je

un triángulo, es el punto de intersección

de sus medianas.

En este caso las medianas son: AA , BB' y CC' (ver gráfico)

además mediante el ejercicio (14) se tiene. C ' A' = i AC

por otra parte AG - r G A '= r(GC +C'A) de donde AG = r(GC'+C' A') ...(2)

... (3)1ahora reemplazando (2) en (1) obteniéndose: AG = r(GC '+ — A C )

por otro lado: AG = AC + CG

pero CG = t GC'


igualando (3) y (6) se tiene:

r(GC'+-~AC) = ~AC + tGC' => 2

AG = AC + tGC'

( r - / ) C C '+ ( - - l ) AC = 0

... (4)

... (5)

... (6)

pero como GC' y AC son no nulos y ni paralelos, entonces por el ejercicio (19)

setiene: r - t = 0 y —r —1 = 0 de donde r = t = 2.2

Vectores Bidimensiortal 741

Luego AG = 2 GA' => G — A = 2A'-2G de donde 3G = A + 2A’ ... (7)

B + CComo A' es un punto medio de B y C entonces A' = - — ... (8)

B + C1 1ahora reemplazando (8) en (7) se tiene 3G = A + 2(—-—) G = —(A + B + C)

33) Si G es el centro de gravedad del triángulo de vértices A, B, C demostrar que:

GA+ GB + ~GC = 0 .Solución

Mediante el ejercicio (32) el centro de gravedad del AABC es:

G = ^(A + £ + C) dedonde 3G = A + B + C . . . ( 1)

GA +GB +G C = A -G + B -G + C -G = A + B + C -3 G ... (2)

ahora reemplazamos (1) en (2) y se obtiene: GA + GB + GC - 3G-3G = 0

GA + GB + GC = 0

( S ) Dado un paralelogramo de vértices los punto A, B, C y D. Si M es el punto medio de

CD y P está en AM a de la distancia de A a P, demostrar vectorialmente que:

~BP =—~BD3

Sol ición

De las condiciones del problema se tiene:


por demostrar BP = — BD , de donde:3

~BP = BA+ ~AP = CD +—~AM = CD 1 l- (A D ^D M )3 3

BP = ~CD + — (BC — — CD) = CD+ - B C - —3 2 3 3

= - CD + — BC =—(B C + C D ) = ~~BD3 3 3 3

por lo tanto: BP BD

Deducir la ley de los cósenos en un triángulo empleando

Solución

Se conoce que: || A | | ' = A . A

c ||2 = || A+B\\=(A+B).(A+B)

|| c j|2 =|| A ||2 + || B ||2 +2|| A|||¡ ¿ | |c o s a , donde a = ¿ (A ,B )

Un automóvil recorre 5 km. hacia el norte, luego 8 km. hacia el noreste, representar gráficamente y hallar la resultante del recorrido.

Solución

OA = a (representa el desplazamiento

de 5 km. hacia el norte).

AB = b írepresenta el desplazamiento

de 8 km. hacia el noreste).

producto escalar.

Vecíorez Bidimensional 743

OB = c (representa a la resultante del reconido, es decir: c = a+ b .

—> —> —♦

En el triángulo OAB los lados son los vectores a , b y c cuyas longitudes son:

IU 11=5, II 11=8, II c ||=?

—>

para determinar la longitud de c , aplicamos la ley del coseno, es decir:

c Il2= II a ||2 + II fc ||2 - 2 1| a || || ¿> || cos0 .

—* —* —9|| c ||2 = 8 9 -8 0 eos© , de modo que 0 es el ángulo comprendido entre a, b cuyo valor es:

0 + 90° + 45° => 0 = 135° (ver gráfico)

/O —eos 6 = eos 135° = ------ . Luego reemplazando se tiene: || c ||2 = 89 - 80(------- ) = 89 + 4CK/2

|| c || = ^89 + 40^2 kms.

A qué distancia del punto de partida se encuentra una persona que recorrió 5 m. hacia el sur-oeste, 10 m. hacia el norte y 8 m. hacia el este 30° norte.

Solución

Representaremos por:

OA = a el desplazamiento de 5 m.

—>

hacia el sur-oeste || a || = 5 m.

AB = b el desplazamiento de 10 m.

—>hacia el norte || ¿> ||= 10 m.


BC - c el desplazamiento de 8 mts. hacia el sur-oeste

—* --- -> —*Este 30° norte; || c ||=8 m ., OC = d el desplazamiento resultante, es dccir:

d = a+ b+ c , ahora determinaremos || d ||= ?

—> —> —> —>

como II d II = II a-i- b+ c | | , entonces elevamos al cuadrado

I ^ IP - II a il2 + II ¿ IP + II c II2 +2(a.b+ a .c+ b .c )

como 6 = jC ( a ,b) = 135° entonces a .b = || a || || b ||cosl35° = -25yf2

también a = Z (b .c ) = 60° entonces

b .c - \ \b INI c ||eos60° = 40

P = ¿ ( a, c) = 45°+90°+ 30° = 165°, entonces

a .c = || a || || c ||eos 165° = 40(-cosl5°)

a .c = -40cosl5° = ^ 0 ( ^ + > ) = -10(>/2+>/6)

|| d ||2 = 25 +100 + 64 + 2(- 25\Í2 *- 40 - 10(n/2 + Vó)) = 189 - 70>/? f 80 - 20v/ó

|| d || = y ¡269 -10y Í2 -20S

En la figura propuesta, es un cuadrado de lado “a". Hallar el valor del ángulo 0 si P y T son los puntos medio de los lados del cuadrado.

S o lu c ió n


Sean OT y OP los vectores que forman el

ángulo 0, como T, P son puntos medios de la

figura entonces: T (^ ,a ) y P(a,^) de modo

a aque: OP = (a,—) y OT = (— ,a ) , ertonces:

eos© =- OP .OT

OP II II OT

____► ____» 2 2

pero OP . OT = — + — = a2 2 2

---- * \/5 ----- *además || OP || = ~ a y II OT || = — a , reemplazando en la relación

<r 4 n 4c o se =—=— 1- —=— => e o se = — V5 y¡5 5 5— a.— a 2 2

e = arccos(—)

Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases, y su longitud es igual a la mitad de la suma de las longitudes de las bases.

Solución

DA =2 MA

2M = A+ D

A - D = 2A - 2M

A + DM = . .. (1)

2 PB = DB => 2B - 2P = B - D

2P = B + D => P = - ( B + D)2

BC =2 BN C - B = 2N - 2B N = B + C

... (2)

... (3)


pero MP = P — M = - KB + D ) - - ( A + A ) = - AB2 2 2 2

|¡ MP || = —1| AB || ... (4)

PN = N - P = - ( B + C ) - - ( B + D) = - ( C - D ) = - D C2 2 2 2

/W || = - | | DC ... (5)

sumando (4) y (5) se tiene: MP || + 1| W || = I | | A» \\+^\\DC

|| ^ 1 1 = -(II a B ¡I+ || DC ||)

Sean a y b dos vectores no nulos tales que || a || = || b || = m si el ángulo entre a ynb es de — radianes y la norma de su diferencia es 2 - m. Hallar m.3

Solución

itComo — = ¿ ( a , b ) entonces:3

n a .bCOb— = --------------

3 II a || || fe |como || a || = |\b \ = m

l a .b ~ m~— = — — => a .b - —2 m 2

(1)

además || a - b || = 2 - m => || a - b ||2= (2 -m )2

|| a ||2 + || b ||2 -2 a , b - 2 a .b = 4 -4 m + m2 , reemplazando || a ||=|| b ||= m

m2 +m2 - m 2 = 4 - 4 m + m2 => 4 - 4 m = 0 de donde m = 1

Vectores bidimensional 141

Un sólido de 100 N. de peso depende del centro de una cuerda (como se observa en la figura).

Deternuíiar la tensión T en la cuerda.

Solución

—► —►Por nipótesis se tiene: || a || = || b || = T

—> —►así mismo sabemo! que: || w ||= || - w || = 100 N.

—» —» —►además a + b = - w

a+fc II =11-w II =100 a ||2 + 1| b ||2 +21| a || || fc ||cosl20° = 1002

donde ¿ ( a ,f c ) = 120° entonces T2 + T2 +2T2( - —) = 1002

T2 =1002 => T = 100 N

—♦ -4 - » — * — * — * — *

Dados los vectores unitarios a, b y c que satisfacen a+ b+ c = 0 , calcular —> —► —♦ —► —♦ —» a . b + b .c + a . c

Solución

—► —> —►

Por hipótesis se tiene: || a || = || b || = |] c || = 1

Y además a+ b+ c = 0 => || a +b+ c || = 0 , entonces:

748 Eduardo Fspinoza Ramos

|| a || + || ¿ || + || c || +2(a ,fe+ fe. c+ a . c) = O v------------ v------------ '

3 + 2 (a .fe + a .c + fe .c ) = 0 de donde a.fe+fe.c+ a .c = —2

—* “* —> #—Los vectores a y b forman un ángulo a = —, además sabemos que: || a || = V3 .

6—► —♦ —► —> —> —► —>

|| fe || = 1, calcular el ángulo 0 formado por los vectores p = a + b y q = a - b .

Solución

n¿ (a ,b )= c c = — , y ¿ ( p . q ) - 66

a . fe = | a || b jcos30c = —

de donde a .b = —2

cose = - :^ ^ - , donde || p || = || a+fe || y |M I = | |a - f e | |

II HUI 9 II

Lp l|2- II ^ II2 + II * II2 +2 íT.fe = 3 + l + 2(—) = 4 + 3 = 7 => || p ||= y/l

I 9 l|2= II II2 + 1| fe ||2 —2 a .fe =3 + 1 — 2(— > = 4 - 3 = 1 => | | 9 ||=1

cos0 = p q - (a+fc)-(a-fe; = || a ||2 - | | fe ||2

II P IIII 9 II II a+fe || || a -fe || || a+fe || || a -fe ||

3 - 1 2 2= —= -= = - = => 6 = arccobí—= )yfiyR y¡7 V7

Vectores Bidimenstonal 749

(44) Dado el vector a = (-3 ,4 ), encontrar otro vector b , tal que sea perpendicular al vector —►

a y que su módulo sea 10.Selarién

Sea b = ( x , y ) => || b || = ^ x 2 + y* - 10 => jt2 + y 2 =100

-* -► -»Por otro lado se tiene que a ± b entonces a . b = 0

(-3,4).(x.y) = 0 =» 3x + 4y = 0

T fjc2 + y 2 =100 - . , . >Luego < resolví nao el sistema se tiene x = ±8, y = +6 entonces[—3jc + 4y = 0

b = (±8,±6)

®

~* * 1 4 ^73 —*Dados los vectores a = (a ,,a2) , 6 = ( - , - —) . Hallar a 2 - « f , si || a || = — — y si a y

—»¿7 tienen direcciones opuestas.

■solución

—► —>

Como a y b tienen direcciones opuestas entonces 3 X < 0, tal que

, 7* . , . , . 4 , A 4A A 4Aa = Á b de donde: (a„ a ,) = A(—,----■)=(—,------) => a, = —, a , = ------2 3 2 3 2 3

yÍT3 A2 16A2 73 . . .como a = ----- => — + ----------------------------= ------- =* h = ± 23 4 9 9

—* —>

como a y b tienen direcciones opuestas => X = -2

750 Eduarao Espinoza Ramos

(4 6 ) En la figura se tiene || a || = 6 , || b ||= 8 Hallar a .b

Solución

El ángulo formado entre los vectores a y b es

-¥ —»120° = ¿ ( a ,f c ) =* eos120° = — — —

I M I H M I

de donde: a . b = || 7 1| II b || eos 120* = —1(6)(8) = -24

(4^ Determinar el ángulo formado por los vectores: a = (VÍ2,2), b = (-3, V ?).

Solución-» -4

—* —* ¿7Sea 6 = ¿ ( a , b ) => cosd = • -----, de ¿onde

II a || || H

fí _ -3y¡ñ + 7 .S -6V3 + 2V3 —4-^3 1C°S ” VÍ2 + 4.V9 + 3 ~ 4V12 8>/3 2

como eos# = —— => 0 =120°2

Si A + B + C = 0 y A = ||A ||= 3, B = ||B ||= 5 . C = ||C ||= 7 . —► -*

forma A y B .Sofncion

—> —¥Sea a - ¿ (A, B) = 180° - 6 , ahora por la ley de los cósenos:

Determine el ángulo que

Vectore„ bidime.monal 751

49=34-30 eos 0 de donde eos# = —— => 0=120°2

Luego a = 180° - 0 = 180° - 120° = 60° /. a = ¿ (A, B) = 60°

^49) Los vectores a y b tienen igual longitud y forman un ángulo de y si la longitud de

—) —> —¥a +b es 4 unidades mayor que la longitud que uno de ellos. Hallar || a | | .

Solución

Datos del problema: || a ||=|| b ||= x \ j£.(a,b) = ^ \ || a+ b ||= x+4

Si ¿ ( a ,fc) = y => a .b =|| a |||| b ||cos^- = -^- => a - b =~ —(1)

|| a+ b ||2= (jc + 4 )2 => || a ||2 + 1| b ||2 + 2 a .b = x2 +8jc + 16 — (2)

reemplazando (1) en (2) se tiene: jt2 - 4 * - 8 = 0 , de donde

jc2 - 4 je = 8 => ( jc — 2 )2 = 1 2 => x - 2 = ±2\3

x = 2±2-j3 de donde x = 2 + 2\¡3 porlotanto || a ||= 2 + 2>/3

(Ío) Ln la Figura: a + b = (—j3,3), si | | a | | = m y | |¿ | |= n . Hallar m + n

S o lu c ió n


El vector a = (ai,a2) se expresa en la forma:

a =(|| a ||eos60°, || a || senóCH = ( y , ^ ^ )

—>

de igual forma para el vector b = (fc,, b2)

b = ( - II b || eos 30°, || b || sen 30°) =

como ,m y¡3iw y¡3 ca+ b = (—,------) + (-------n,—) = ( -v 3,3), de donde

2 2 2 2

= ->/3m -J3n~2 2 ~

y¡3m n + — = 3resolviendo el sistema se tiene: n = 3, m = y¡3

2 2

Luego: m + n = 3 + y¡3

La presente figura es un hexágono regular de lado “a”. Si s = a+ b+ c+ d . Calcular

II s II -

Ubiquemos la figura en un sistema de coordenadas

B

Vectores Bidimensiottal 753

a yj3 3a y¡3 3a y¡3 a J3A ( - , - —a ) , B(-—,- — a), C(2a,0), D(— , - ^ - a ) , E ( ^ - ^ - a ) 2 2 2 2 2 2 2 2

Calculando los vectores a, fc, c y d se tiene:

2 = OD = D - 0 = (— - — a) 2 2

c = CB = B - C = a)2 2

b = OB = B - 0 = (— ,— a)2 2

d = ~AO = 0 - A = ( - - , - — a)2 2

s = a + b+ c+ d =(2a,0) => | |s | |= 2 a

Demostrar que si dos vectores tienen la misma magnitud M y hacen un ángulo 0, su suma0 6

tiene una magnitud s = 2M cos(—) y su diferencia D = 2M sen(—).

Solución

—► —*

Sean A y B dos vectores tal que:

A = |U | | = ||B || = A/ y 6 = ¿ ( A .B )

S = A+ B => s = || S || = VIIA II2 + II5 II2 +2A.B

■ = \ MII2 + IIB ||2 +21| A || || B || eos© = a/a/2"-*- M 1 +■ 2M1 eos 6

= -j2MyJl + cos6 =\¡2M ^2cos—= ?A/cos—2 2

NOTA.- Como eos2 — = *+ C°S => Vi + eos 62 2 = ) j2cos f

i = 2A/ eos

en forma similar para D = A -B

754 Eduardo Espinoza Ramo*

D = \\D\\ = y¡\\A ||2 + 1| B ||2 -2 A .ä = . ^ 2 ||2 + 1| k ||2 - 2 1| A || || B || eos©

= y¡M2 + M 2 —2M 2cos6 = V 2 . M . V P c ü s 0 =

D = 2M sen(—)2

NOTA.- sen2 — = -—Cos^ => Vi -eos© = y¡2sen —2 2 2

(53) Sea ABCD un rectángulo tal que 2 AB = AD y sean E y F puntos medios de los lados

BC y DC , respectivamente. Sí M = AE + a C + AF Hallar el valor de:

compM + comp2 A'AB AD

Solución

De los datos del problema el gráfico es

Como M = AE + AC + AF ... (1)

Calculamos los vectores: A E . AC y AF

A E = (a ,a ) , AC =(2a,a), AF =(2a,—) •••(2)2

Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:

M = AE+ AC+ AF =(a,fl) + (2a,a) + (2ü,^) = (a + 2a + 2a,a + a + = (5a,— )

también calculamos AB , AD y 2 M

Vectort s Bidimensiottal 755

m M.~AB (°-a >-(5a’ 2 ) 5acomp = ----------= -------------- - — = —

---- * a 2AB II AB II

comp2m 2 M .A D _ (2q,0).(10q.5q)

AB II AD II2a

M 2 M . . 25comp + comp = — + 10a = — a~AB ~AB ^ 2

(54) En la figura, calcular FD

Del gráfico se tiene || FG ||= 4

calculando FG :

-----> ->como OP = (12,5) de donde U

OP

además FG y OP tienen la misma dirección y sentido

756 Eduardo Espinoz'i Ramos

Luego FG = | FG \ U~* = 4(— ,—) = )13 13 13 13

---- * “* “* 5 12ahora calculamos GD : U = U ’ = (—— ,—)— * — * 13 13GD o p

como GD = || GD || ¿7 = 3( - — ) = ( - — ,— )■ d 13 13 13 13

reemplazando (2), (3j en (1) se tiene:

-rr» 48 20, , 15 36, ,33 56FD = FG+GD = (— ,— ) + (-----13 13 13 13 13 13

... (2)

... (3)

13 13

(5?) Dado el gráfico ABC donde ¿ A =120°, |] AB ||= 4 y || AC || = 7

a) Giaficar el triángulo ABC b) Hallar compAB y compACBC BC

Solucion

Las coordenadas de AB = ( - | | AB ||cos60‘, || AB ||sen60°) = (-2,273) y AC =(7,0).

~BC =~AC-~AB =(7,f)-(-2,2>/3) = (9,-2\/3) => || BC || =781 + 12 =793

compA B .B C (-2,2y¡3U9-2y¡3) _ -1 8 -1 2 =

BC II BC IIy¡93 793 793 31


-¡c A C .B C (7,0).(9,-2>/3) 63 - 0 21 / -comp = ------------= ---------7==--------= —7= r-— — v93fie V93 ^93 31

II BC ||

(5 t>) En la figura M es un punto, tal que el área del triángulo A es 3 veces d ¿rea del triángulo

B. Hallar | |p | | .

Del gráfico dado se tiene: Px (-6,0) y P2 0-8)yl

Por condición del problema se tiene: área A = 3 área B entonces — = 3= r siendo r la

razón o relación entre las áreas; si M(x,y) es un punto que divide al augmento Pt a P2 entonces se tiene:

jc, + rx2 -6 + 3(0) 6 31 + r " H 3

v _ ?! +ryi _ 0 + 3 (8 ) _ 24 _ 6

1+r 1+3 4

3x = — 2

y = 6

3 -* — * -i -* ¡9 Vi 53Luego Af( - —.6) => p = OM = ( - - ,6 ) =» H P II = ^ 4 + 3 6 = —2 ~

Hallar la proyección del vector a = (7,12) sobre el vector b = (3,-4).

solución

a b —*Por definición se tiene pro\ = — - bII * II2


7 (7.12W3U-4) 21 — 48 2 7 ,. , xproy : = -------------— .(3 ,-4 )= ---------(3.-4) = ------(3,-4)^ * | | (3 - 4 ) || 25 2 5 '

27proyl = - — (3,-4)

i 25

(58) Dados los puntos A(-l,3). B(5,6) y C(7,5); si P divide al segmento AB en 1;

AP : PB - 2 , hallar la proyección del vector AP sobre el vector BC

Solución

A P — —

Sea P(x,y), si — = 2 => AP = 2 PBPB

= 3 5

(x + l = 10-2* [x =(x+ l , y - 3 ) - 2 ( 5 - x . 6 - y ) » | => i

l> _ 3 = 12 -2y [y =

Luego P(3,5) => AP = P - A = (3.5)-(-1,3) = (4,2)

BC = C - B = ( 7 ,5)-(5,6) = (2 ,-l)

Entonces pray" = AP BC B C = {4' 2U2’ 1).(2 ,-l) = - f 2 , - l )BC |¿C II2 ^ 5

proy* = ^(2 ,-1)

Los lados de un triángulo ôn a , b , a - b si | |a | |= 6 , ||£>||=2 y || a —

calcular comp1 - compb a

b

S o lu c ió n

razón

o-i


36 + 4 - 2 a . b =25 - ? 15 a . fc = — 2

r fc &.b &.b 15 15 15 5 10 5comp^ — c o m p -------------- ----------- = -------- — = —b a- 4 12 4 4 4 2

Il H l | |a | |

a fj 5comp-, - comp = —

(60) Encontrar el vector D£ de la figura adjunta.

Sea u el vector unitario en la dirección del vector OB pero del gráfico se tiene B(-15,8)

y por ser OB un vector de posición entonces OB = (-15,8), luego el vector unitario.

u o b = -■ OB

liòfili

(-15,8) (—15.8) 15 _8_7225 + 64 “ 17 17 ’ 17

rW» , 15 8 .como u o b = ( -------- , — )17 17

u 1 = ( - — - — ) 17’ 17

por otra parte del triángulo DCE se tendría.

760 Eduardo Espineta Ramos

, 120 64 48 9 .-120 + 48 64 + 90, , 72 134^* T T 'n * v i ' v i ¡7 ' 7 7 n ' l “

DE = (~— ) 17 17


^1^ Sea a =(2,1), b = (3,-3) una flecha que representa al vecto* 2a-4£> tiene su punto

terminal en (5,5). Hallar el punto inicial. Rpta. (13,-5)'

s . -* -* -*( 2 ) Sí a = (2x-3y , 4 x - y ) , b = (2,-3). Hallar los valores de x e y par? que a = 5 b .

Kpta. x = -1, y = -4

( 3) Encontrar el valor de M = 5x - 8y sí a =■b , donde a.= ( 3 * - y+1, -2x +y) y

fc = ( jr -3 y + 3, jr + 5 y - l) Rpta. M = 31-

( 4) Dados los vectores a = (3jc- 5, jc-2y+ 2) y £> = ( x - y - 2 , 3 - 2 y ) . Hallar x e-* -» . 9

y de modo que 3a= 4£> . Rpta. x = 5, y - .—

— —>5 , El vector a cuyo origen es el punto A y cuyo extremo es el punto B. Expresar al vector

—> —> —> —

a en la forma a = a{ i + ay j , sabiendo que las coordenadas de A,B se dan acontinuación.

i) A(-7,2) . B(3,4) ii) A(i,V2)- , ^ -7 ,5 ^ 2 )

iii) A(0,0) . B(3,-7) iv) A(0.5) , B(-6,-l)

R p ta . i ) 10 i + 2 j i i ) i + 4sÍ2 j i i i ) 3 / - 7 j iv ) - 6 i - 6 7


y-v —> -4 -»

( ¿ ) El vector c = (2 ,- l ) es expresado como c - a+ b , donde los vectores a y b son —> —>

paralelos a x = (3m,4m) e y = ( —3n,—n) respectivamente, además m ^ 0, nÔ . Hallar

a - b . Rpta. a -fc = - —(48,31)

Desde el punto A(0,1) se ha trazado un segmento hasta el punto B(-4,3), hasta que punto

es necesario prolongarlo en la misma dirección para que se triplique su longitud.

Rpta. (-12,7)

(8 ) Hallar el vector x en las siguientes ecuaciones:

i) -3<l,3, + 2 ; = 5(0,-2, + 4 ; R p„. Í = ( - ¡ , I )

ii) (15,-12) + 2*+2(-6 ,5) = 4 (l,-2 )+ * Rpta. * = (-^,-2)

¡ii) 3(0, -2) + 2 jc- 5(1,3) = (-3, -5) Rpta. * = (1,-8)

iv) 3( jc- ( 8,-2)) = 6(7,0) Rpta. * = (22,2)

Muestre analíticamente y. gráficamente que existen números r y s, que satisfacen

c = r a + sb , donde:

i) 7 = (5,1); 1 = (3,5); c = (5,4) ii) a = (2,1); b = (3,2); c = (5,2)

(ío) Si a = (jc, y) y b - ^ (2 ,-4 ) tienen direcciones opuestas y x 2 + y 2 = 25 . Hallar y - x.

Rpta. 3y¡5

© Si a =(-2,1), b = (3,-2) dos vectores no colineales (direcciones diferentes) y

r - 2 i - 4 j es otro vector. Hallar los escalares k y m de modo que r = k a + m b .

P p ta . k = 8, m = 6


12) Se dan tres vectores a = (3 ,-1 ), ¿>=(1,-2), c = (-1.7). Determinar la descomposición

de1 vector p = a+ b+ c en la base a y b . Rpta. p = 2& -3b

@ Dado tres vectores en el plano a = (3 ,-2 ), ¿>=(-2,1) y c = (7,-4). Determinar la

descomposición de cada uno de los vectores con relación a los otros dos.

—» —» —> —» 1 —> 1 —» —► —> —>

Rpta. a = 2 b+ c , b= — a — c , c = & -2b2 2

( í í ) Sí a = (4x, jc-3) y b - ( 2 , x + 3 ) . Determinar los valores de x tales que a sea'—>

perpf .idicular a b . Rpta. x = 1 o x = -9

15) Si a y b son vectores no paralelos tales que: c = (m + n -1 ) a + (m + n) b ,—» —» —> -»

d = (m- n) a + (2m- n +1) b . Hallar m y n tal que c - 'id .2 1Rpta. m = — , n -------3 12

®

—> —» —> —> —> 7tSean a = eos 1 + sen6 j y fc = cos(0 + —) i +ser¡{6+—) j dos vectores. Demostrar que

—> —>

a y b son ortogonalts.

s17) Dados los vértices consecutivos de un paralelogramo AÍ7.-1). B(-3.1) y C(-5,5).

Determinar el cuarto vértice D y la longitud de la diagonal BD .

Rpta. D(5,3) , || BD ||= 2VÍ7

(l8) Dados los puntos A(2,l), B(3,2) y C(-4,-l). Hallar la longitud de BD sabiendo que el

punto D está definido por la relación DC = AB Rpta. || BD || = 10

—> —*Hallar un vector c cuya magnitud es igual a la del vector a = (4, -3) y cuya dirección es

la misma que la del vector b = . Rpta. c = C—2 2

Vtctores Bidimensional 763

(jky Dadus los vectores a = (-5 ,2) y b — (3,-4). Hallar un vector unitario de seiitiuo opuesto—* 4 - 3al vector a - b . Rpta. «a-b )

—> —> —> —> —► —► —► —> —> —*

(2l) Los vectores a, b y c de ■'V2 cumplen que: 2 a - 3 b = c y 3 a - 2 f c = 5 c fiendq a—♦ -r> —* —> ^

un vector unitario, calcular la norma de b— c . Rpta. || fc — c || = —

-*[22J Sean a y b vectores de V2 tales que b es el opuesto de a . Si b tiene el mimo

-* j 1 -»sentido que el vector c = (— ,—) y la norma de a es 5. Hallar el vector x = 2 b+ a

3 4

Rpta. x - (4,-3)

( 2 ) Sean a, b y c vectores diferentes, mostrar con un ejemplo que si se cumple

a . b = a . c , no se puede afirmar que b = c .

(24) Hallar un vector que tenga la misma magnitud deí \ector que va de A(-2,3) a B{-5,4) y

que tenga el sentiao opuesto al vector que va de S(9,-l) a T( 12,-7). Rpta. a = V2(-l, 2)

(25) Sean a = (2 ,-3 ), b = (-2,1) y c = (3,2). Hallar un vector unitario ortogonal al vector- * - » - » - » -» 24 7v = 5 a - 3 (b + c ) . Rpta. u =(.— ,— )

(2é) Pruébese que: si c / 0 y si a y é son paralelos al vector c , entonces a y b son

paralelos.

—► —* —* —* —» —»(27) Demostrar que si a + b y a - b son ortogonales sí y sólo sí || a || = || b ]|

.— -» -* -* -* -»(28) Si a y fc son vectores no nulos ni paralelos. Demostrar que a a + ¡i b = 0 implica que

a - P = 0.

.—. - * - * - * -» -» -* -» ,(29) Pruébese que sí: d = b+ c y si b es paralelos a a entonces d es paralelo a a si y

—* —>

sólo si r es paralelo a a .

754 Eduardo Espinoza Ra.nos

(30) Hallar la longitud de la suma de los vectores unitarios u y v si u tiene la misma3 1—dirección que a = (4 ,—3) y v nene Ja direcvidn opuesta de ¿>=(-5,0). Rptu. —VIO

31) Sí a = (-3,5), b = (2,-3) . Hallar la Tongitud del vector c sí:

i) c =(a + b ) . ( a - 2 b ) b ± ii) c = (a .b).b "L- ( a L.b) a

Rpta. i) 29\¡13 ii) 5^259

(32) Hallar un vector v de longitud 6^3 y que tiene la misma dirección de un vector que

forma un ángulo de 30° con el senúdo positivo del eje X. Rpta. v = (9, ±3-s/3)

✓■v —* —> —> —► —> —¥ *(33) Demostrar que el vector ¿>.(a . c ) - c .(a . fe ) es perpendicular al vector a .

—* —¥

Demostrar que el vector b -----:— .a es perpendicular al vector a .II a ||2

® —* —¥ ^Demostrar que si a y b son vectores paralelos en R~ entonces | a . b | = || a | | . || b | | .

—> —> ~¥ —* —* —¥ —¥ —►Si a y b son vectores tal que a + b x= a + b . Demuestre que || a || = || b | | .

—¥ *4 —> *4 —> —* —¥(37) Pruebe que c es paralelo al vector (b ±.<r) a - ( a . c )b

(38) Sea c = t a + s b , hallar el valor de — sí c ± ( a + f c ' donde a= (3 ,5 ) y b = ( 2,2).

í 12Rpta. - = -----s 25

(39} Dado el vector a = (3 ,-4 ) , encontrar otro vector b , tal que sea perpenoicular al vector

—» —*a y que su nio Julo sea 10. Rpta. b - (±8. ±6)


40) Halle || u | | , || 2 w + 3 v | | ; si || v ||= 6 y u J_ v y los vectores («+ v) y (4 u —9 v) son

ortogonales. Rpta. \8\Í2,9

41) Si el vector jc = (,1.18) es expresado como a = x+ y , donde xII b , yII c y sí

—» —> —* —»

b = (-1.4), c = (2m,3m) Hallar el vector x . Rpta. x = (-3,12)

—> —> —► —> —> —> —> —> —>

(42) Los vectores a , b y c de V2, cumplen que a + 2 b = c y a —3fc = 2 c . Siendo a un

vector unitario. Hallar la norma de b+ c .

Sí a = (a,,a2) . || a || = 2 , — - 4 H allaraa-,

Rpta. || b+ c ||= —

Rpta. a = ± —== (8,2)Ví7

( S ) El vector a tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1,-1) encontrar el vector a si la—>

abscisa del punto terminal es 4. Rpta. a = (3, ±4)

-> -» -» -* -» -» fl¿,Dados los vectores u = (a.-b) , v = (2b, c) , u + v = (1,1); si ull v , calcular —

c

Rpta. - i

En la figura adjunto, Si P es tal que el área

del triángulo APC es el doble del área del

triángulo CPB. Hallar || CP | | .

Rpta. |V 7 3

@ Si a= (m .2m ), b \ \a , a - ¿ = (2w,p) y || a -fc || =^0 calcular || || donde m 0

Rpta. || b ||= 10


(48; Se tiene los vectores a = r p , b = t q ,

c = ( - 3.2y¡3) calcular || b || sí

c = r p + t q

Rpta. ||* ||= 5

—* —» —» —» —»

Encontrar los vectores a y fa tales que a+ fc x= (-1 ,5 ), a x+ b es ortogonal a (-5,3),—> —* —» —» -4 -4

a + fc es paralelo a (1,-1) y a .é + l l = 0 . Rpta. a = (-3 ,4 ), £> = (1, —2)

—» —» —» —» —» —* —»

Si a + f c + c + d = 0 , calcular 2 c . d , sabiendo que || a + b || = 6 , | |c | |= 3 , ||< /||= 4

Rpta. -y

—> —> —►

Dados los vectures a , b y p de V2 , determinar los números r y s en términos de sus

productos esca.are^. de manera tal que el vector p - r a - s b sea perpendicular a los—» —>

vectores a y b simultáneamente.

(52) Pruebe que en cualqu.er paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes.

(53) Deducir la ley de los cosenos en un triángulo empleando el producto escalar.

(54) Sí PC =3 PA y PB = 2 PD . En que razón el punto O de intersección de las rectas

(55

AB y CD divide a AB y CD ?,

En la figura ABCD es un paralelogramo:

~AF =-~AD , ~ED = 5~BE 3

Sí EF =m AD + n AB . Hallar m + n

Rpta -2 y - -

Veciores Bdimensional 767

Hallar las coordenadas del vector

AC ae V’2 del gráfico

Sí II AC 11=10, || AB | | - 6 ,

|| EF ||=15 y || FB ||=8

(s7) La figura PQRS as un rombo

tal que || r’Q || = a

Demostrar que: PR . SQ = 0 Q

( S ) Si ABCD es un cuadrilátero y M un punto medio de DC probar que AE -

DE = — DB .3

En la figura adjunta tenemos un cubo y “techo”

una pirámide regular, todas de arista x, sí:

’s=~DE + ~BA+~KC + ~HC + ~FG .—>

Hallar la norma de s .—>

Rpta. || s ||= x H

<N | <Tí


En la figura: OC — — O B , AD = — A B , E3 3

es punto medio de OA , probar que: OD y

BE se cortan en O y también:

OP = - O D , 4P = - A C y BP = PE4 4

Si ABCDEF, es un hexágono que se

muestra en la figura cuyo lado mide

“x” unidades, dptem.inar

1----* 2 ----*I- A E + - C F3 3

B

Rpta. -j>/Í9

Dados los puntos P(l,2), Q(2,5), R(5,8), S(9,10) que forman un trapecio, encontrar dos

~PS-Q Rpuntos M y N sobre las diagonales, si se sabe que: MN - -

figura.

, tal como en la

Si ABCD es un paralelogramo y M es punto medio del segmento AB, hallar

6m - 9n si AM - m AC + n MD

Rpta. 6m - 9n = 5

Víctores Bidimt nsiortal 769

O

En el triángulo ABC, se tiene B

EB = s BA + r BC .

Rpta. 2 4s = — , t = — 5 5

En el paralelogramo ABCD, M es punto medio de A B . Hallar s y t sí

~AM =s~AC + t~DM

Rpta. s = t = 1

En la figura ABCD es un paralelogramo sí

~BP = - T c y sí ~BE =m~BC+n AP .3

Calcular mn

Rpta. mn = -----16

En el triángulo ABC se tiene AM = — MC

Sí BM = r BA+t BC . Hallar r - 1

B

Si M y N son puntos de trisección del lado BC del triángulo ABC y

AN = m AC + n AB . Calcular — - —rn n


8 Rpta. —2

En la figura adjunta OABC es cuadrado. P,Q,R y

S son puntos medios de los lados (JA, A B , BC

y CD respectivamente. Halla' || ST + BH || si T

es punto medio de PQ y H es punto medio de

~QR . Rpta. | |~ST+~BH\\ = 2>¡2

¿70) En el triángulo MPQ, ME es la mediana del lado PQ, demostrar que:

i 'MP ||2 + 1| MQ ||2= 2 ,| ME ||2 + i || ~PQ l|2

@ En la figura consideremos: || OM ||= 12.

Sí ON =m.OM + nO M 1 . Hallar m + n

Rpta. 3 + J3

(72) En la figura 1 p \ \O X , || OP || = 8

Si OT = m OP + n OP x , calcular m y n

V5 + 1Rpta. m = -------- , n = --------


,73) Encontrar ?1 vector AB de la figura.

Rpta. AB = — (429,460)

(74) En la figura, si P es un punto tal que el área dei triángulo A es cinco veces el área del

triángulo B. Calcular || OP ||

75) Dados los vectores a = (x ,-3y ) , b = (2y,-z) ■ Hallar x + y + z para que a+¿>=(8,-4) —* —>

y a // b . Rpta. x + y + z = 8

”6) Dados los vectores a = (x,3y) y b = (-2 y, z ) . Hallar x + z, de modo que a r é = (8,4)—» —»

y sea a II b . Rpta. x + z = 5

En el hexágono regular ABCDEF, de lado “a”,—>

hallar la norma de s , sabiendo que:

-> 2 ----* 1---- " 1 ----*5 =—(AD + — DE) + — EB .

3 2 2

R p ta . —a3

B

772 Eduardo Espinoza Ram^s

✓"N —♦ —> —* —> —> —)(7 8 ) En la figura, si q = a+ b+ c , determinar q sabiondo que la segunda componente de q

3 -> —* i—es cero (asumir sen37c = —) y || b ||= 20, || a || = 10V2 y que la primera componente de

—>

c es igual a 20.

8QJ Sean los vectores a y b . tal que a = (x,2x), a - b = ( 2 a . y ) , b II a y el módulo de

a — b es Vi 12 . Hallar || b | | . Rpta. || b || = 2yfl

x.yConsideremos los vectores a = (* ,-)’), b = ( 2 y. z ) , a h h = (1 ,1 ) y a II b . Hallar

Rpta.z 2

“* -* 1 4 -» -* -»(82) Dados los vectores a = (x , y) y fc = ( - , - —). Hallar y + x si | | a | | = —— y si a y b

tienen direcciones opuestas. R p ta . v + x = —


(83) Dados || a || = 1, ||fa ||= 2 3 , || a - b || = 30 . Calcular | |a + ¿ | | . Rpta. | | a + é | | = 20

'84, Los vectores a y b son perpendiculares entre sí y | |a | | = 5 , || ¿> || = 12, calcular

II a + ¿ || • | |a - f c | | . Rpta. || a+ b || = || a - b || = 13

\85) Si c = a - b , Hallar || c | | , sí || a || = 4 , ||fa ||= 5 y a.¿>=11.5 Rpta. | |c | |= 8

,86) Los lados de un triángulo son los vectores a, b y a - b sí || a || = 2 , || b ||=3 y

a .b = . Hallar | |a - f a | | Rpta. | | a - ¿ | | = 4

§7j Si a = (m, 2m ), b ll a , a - b = (2m, p) y || a — b || = 20 calcular el módulo de b .

Rpta. | |¿ | |= 1 0

r¿ ) Sí a+¿>+ c = 0 , || a || = 3 , || * ||= 4 y || c | |= 6 . Hallar el valor de a . ( 2 b - a)

Rpta. 2

89) Sean los vectores a,¿> y c tales que | |a | | = \/26 , \\b\\ = 3yf2 y b . c = 12 sí

a = b - c . Hallar || c || Rpta. || c || = 4yf2

—y —r —» ' » » » ' r—£0) Sean los vectores a,b y c tales que a = b+ c , || a || = 5, || b || = 2v5 y b . c = 10.

Hallar || c | | . Rpta. || c ||= 5

91) Sí a+ ¿>- c = 0 y || a || = 2 , | |é | | = 4>/3, || c ||= 8 . Calcular a . c .

—> —»

Rpta. a . c = 10

—> -> —>92) Sabiendo que | | a | | = 3, | |* | |= 1 , || c ||= 4 y a + fe + c = 0 . Calcular la suma


93) Si a + b+ c+ d = O , calcular 2 c .d , sabiendo que || a+ b || = 6 , | |c | |= 3 , | |d | |= 4

11Rpta. —2

94) Sí a+ b+ c = 0 y || a || = 2 , | |¿ | |= 5 , || c | |= 6 . Calcular a .b . Rpta

95) Dados los vectores a = ( 8 , 6 ) y ¿> = (—2 , 6 ) . Hallar los vectores p y q tales que pA.q

q II b y a = p+q . Rpta. /? = (l,-3), g = ( 9,3)

/9ó) En la figura se tiene: || a ||= 4 , || b ||= 6 . Hallar a . b .

120°

Rpta. a = 12

.97 J Calcular-» -» a y b .

98 Dos vectores a y b forman un «ngulo agudo cuyo sen 0 = 0.75, averiguar el módulo del—> —> —> —> —>

vector b , sabiendo que a — b es ortogonal a a y que el módulo de a es 27.

Rpta. | |f c | |= ^ V 7

(99) Los vectores a y fc forman un ángulo de 0 = 120°, sabiendo que || a || = 3 y || b ||= 5.

Determinar || a + é | | , || a — fc||. Rpta. | |a + b || = y¡\9 : || a — í» || = 7

a .b , siendo || a || = 4 , || b || = 2 * 3 , donde en la figura aparece los vectores

Rpta. a b = 4\/3


@ Los vectores a y b forman un ángulo de 45° y el módulo de a es 3. Determinar el—> —> —> —> —> __

módulo de b de modo que a - b sea perpendicular a a . Rpta. || b || = 3%/2

(101) Calcular || a + b || sabiendo que a y b forman un ángulo de 150° y que || a || = V48 y

| |¿ | |= 6 . Rpta. ||a+ fc || = 2>/3

/ —v -> -> -» -*(102) Los vectores a y b forman un ángulo de 60°, sabiendo que | | a | | = 5 , || ¿ || = 8 ,

—¥ —> —i —i

determinar || a + b || y || a — £> | | . Rpta. -s/129 y 7

-» -> -» -» ->

f 1031 Sean a , b y c vectores diferente de cero, y suponiendo que el ángulo entre a y c es—» —» —»

igual al ángulo entre ¿ y e ; para qué valor de t es el vector c perpendicular al vector

d = || b || a + 1 b Kpta. t = - 1| a ||

© Dados dos vectores a y b forman entre sí un ángulo de 60° y el módulo || a || = 6 .—> —> —> —> —>

Hallar el módulo de b para que a - b forman con a un ángulo de 30°. Rpta. || b ||= 3

10* Si a, b son vectores unitarios y 0 es el ángulo entre ellos. Demostrar que:

^11 a - ¿ || = | s e n | |

106) Consideremos los vectores de la figura:

-» —» —*Sí c =m a + n a ± , donde:

|| c ||= 8, || a || = 2 . Hallar m-y¡3n

R p ta . 2y¡3 - -<¡6

En la figura adjunta se dan los vectores.

Si c =ma + n b , siendo:

II a || = 3, || fc ||= 2, | M M

5^3Hallar m + n Rpta. ——

Se tiene los vectores de la figura:

Sí || a || = 2y¡3 . Hallar: m + n

donde b = ma + n b .

3Rpta. m *-n = —

2

En la figura: ||fc ||=10 , | |c | |= 2 0 ,

—> —* —> —> además a = (20,-3). Hallar a + 2 c

c A7Rpta. (— ,2 + 20>/3)

6

Calcular a . b , donde a y b son los

vectores de la figura adjunta para los

cuales || a || = 8 y || b || = -Jl2 .

Vectores Bidimensiona/ 777

111J Dados los vectores que se muestran en

la figura. Hallar m + \¡3n, sabiendo

que c = w a + « a x , siendo a un

vector unitario y || c || = 8 .

Rpta. 8>/3

—) —>

En la figura se tiene los vectores a, b y

—> —♦ __ —> —* —>c donde || a || = 2V3 sí c = m a + n b .

Hallar m - n.

Rpta,

113J En la figura: AB || OY y || OA ||= 4 .

Si OB = m OA + n O A 1 , Hallar el

valor de m - n.

Rpta. ^(3-> /3)

114) Los lados de un triángulo son los vectores a, b, a - b , sí ]| a ||= 5 , || b |!=3, además

comp?, = — . Hallar || a - b \ b 2

Rpta. || a - b ||= >/l9

1151 Sean a y b dos vectores tales qué a = (5 ,-2 ), compt = -58 y l| b ñ= 29 Hallar

Rpta. -2y¡29

116) Si a es un vector del mismo sentido que v = (1,2) tal que || a ||= 50 y || b ||= 29. Hallar

comp^ Rpta. -40


111) Los lados de un triángulo son los vectores a, b y a +b sí | |a | |= 4 , || b ||= 6 y~* —y — —► —>

compt = 2 . Hallar [| a + b | |. Rpta. || a + b ||= -v/76b

l í Encontrar el vector proy^ si comp_ = -3 y si (1,-1) es un vector que tiene la mismab b

-* "* 1 dirección que b . Rpta. proyt, = —¡=(-3,3)

b V 2

» —> —> —> —* —► —> .—.l l í Los lados de un triángulo son los vectores a, b y a + b , tales que || a ||= 3, || b ||= 2V2

y || a+ b ||= y¡53 . Calcular 2comp* -comp^ +b).b a

120J Los vectores a y fc son los lados de un paralelogramos si || a ||= 6 , || a ||= 2 1| b || y

comp* = — , determinar || a - b | | . Rpta. || a - b ||= 5b 3

121) Dados los vectores a = (k + 2, 2A:) y b = (-3, A: +1), determinar los valores de k de-» 3

manera que proy* y ¿ están en direcciones opuestas. Rpta. A e < — , 2> b 2

122) Dado el triángulo de vértice A, B y C con ángulo en A igual a 45°; || AB ||= 6>/2 ,

graficar y hallar || BC | | , comp AB — comp ACBC BC

A" —► —* —> —> —> —> *^123j Los lados de un triángulo son a, b y a —b tales que || a ||= 10, || b ||= 6 y comp0, = -5 .

—> —► —> —>

Hallar la longitud de a —b Rpta. || a —b ||= 14

124) Los lados de un triángulo son a . b y a +b tales que ||a | |= 8 , || b ||= 6 y

|| a+ b ||= -v/68 . Hallar comp(z, -3comp[*~b) Rpta. 32

Vectores Bidimensiontil 779

(l25) Sí || a - b ||= 4, || b ||= 3 y comp* b = — . Hallar la norma de a . Rpta. || a ||= \¡69b 3

, —► __ —* —» -* 1Q9 “* ”*126) Sea || a ||= v65 , || a+ b ||= 164 y + = -------. Hallar compi?~b).

I | a| |

Rpta. comp^ b} = — b 5

(l27) Sabiendo que p r o y ^ ^ = (1,2) y proy^’y' = (-4 ,—8 ). Hallar proyí?a Jr' 4fc y)

128) Si a y fc son dos vectores no nulos tales que el módulo de || a || = || b || = k y el ángulo71entre a y b es — y la norma de su diferencia es 2 - k. Hallar k Rpta. k = 1

@ Sí proy* = (2 ,- 5), proy i = (-3 ,2) y 6 = 2 a + a i . Hallar || b || Rpta. ||fc||=5>/2b bí

^3(j) Dados los vectores a = (3. >¡3) y b = . Hallar 2(proyt + proy*)

Rpta. (3 + >/3,

(131) Dado el AABC en el cual ¿ A = 120° || AB ||= 4 y || AC ||= 7 , encontrar || BC || y

las proyecciones de AB y AC sobre BC .

(132) Dado el AABC con ¿ A = 45°, || ~AB ||= 8 , || AC ||= 6 y f l , encontrar || BC || y las

proyecciones de AB y AC sobre BC .

(133) Dado el triángulo ABC con |¡A fí||= 10 , |¡ AC ||= 9 , || BC ||= 7 , encontrar las

proyecciones de AC y BC sobre AB .

(Í34) Dado el AABC con || AB ||= 5, || AC ||= 7 , || BC ||= 9 , encontrar las proyecciones de

AB y AC sobre CB .

780 Eduardo Espii:oza Ramts

,135) Sí d = a + b + c , || a ||= p , ||fc|l=<7> || c ||= r , a .b = pq , a .c = pr y proy

—► —>

Hallar el módulo de d . Rpta. \\d \\= p + q + r

/^~ \ -* -* -*^136) Hallar el ángulo formado por los vectores a y proy* sí a = (1,2) y h = (1,3).

Rpta. 6 - arccos(—p ) v5

s -* -» > -*Q j7) Si proyt = (1,3) y proyt — (3,1), calcular a+b y el ángulo entre los ve tores a y

? ^ ? ,20 20, fc . Rpta. a+ h = (— ,— )3 3

© Demuestre que: comp^J+c) — cump* + compí,b b b

© Demuestre que: Sí comp® - cotnpt _ = 0 entonces || a || = || b ||a+b a+b

/ —\ —» —> —► —► »Q40) Sí a . b ^ O y a . c * 0 . Demuéstrese: proyt = proyt <=> c =Xb

®—> —» —> —►

Sean a, b, c ,d vectores en V2 ta* qlle a - b+ c+ d . Demostrar que:

i) proyt + proyl, + proyt = aa a a

ii) Si || b ||=|| c ||=|| d || entonces proyt + proyt + proyt es paralelo a a .b c d

^42) En el paralelogramo ABCD. ¿C (BAD) = 60J.

|| AB ||= a , || AD ||= 2a , donde a e R - {0}

Sí p = || proy AC || y q = || proy AC¡AD Ali

9Hallar p + q Rpta. p + q= — a


143J En la figura, a , b y c son tres vectores de

V2. tales que h es unitario, c es ortogonal a

a y a . b = — 1| a | | . Hallar compt2 c

Kpta. c o m p = ----c 2

En el rectángulo de la figura" H, P y Q son

puntos medios =4 FB , || OC ||= 4 a ,

||~OA ||= a Sí v = « F + A P + e C .—* -*

Hallar: compv +compv AB QB

Rpta. ^ (2 6 > /5 + 53)fl

Dados tres puntos A, B y C, los cuales forman un triángulo, hallar la dirección de una

altura cualesquiera del triángulo, usando el vector proyección.

Rpta. La altura relativa al lado AB : PC = AC - proy AC

Ab

Consideremos el cuadrilátero ABCD tal que E(l,5) es el punto medio de AB , H(4,2) es

el punto medio de AD ; CE es paralelo al vector (2,3), DE es paralelo a (1,-2) y

proy™ = (5,5) encontrar los vértices A, B, C y D.AC

Rpta. A(3,7), B(-l,3), C(-3,-l) y D(5,-3)

147) En el paralelogramo ABCD, ¿ iBAD) = 60°, || AB ||= 2 , | | AD| | =4 , sí

p =|| proy AC | | , q =|| proy AC | | . Hallar p + q. Rpta. p + q = 9AD AB

78? r duardo Espinoza Ramos

[148J Si a y b no son nulos y proyt + (prov t)x =(a) ' L + ¿> entonces probar que:b a

a || = || ¿II y a _L(a-fc).

(149) Si a = - ^ — — — y compi = 4 . Hallar a L.bII¿II I I ¿ i

150) Sean P(2,3), Q(5,7), R(2,-3) y S( 1.2) calcule proy.S Rpta.p q p q 25 25

En la figura adjunta, determinar los

vectores A C , AB y B C , sabiendo

que: ||A B ||=3 y AC paralelo aleje Y.

— * 9 12 — ' 9 27Rpta. Afi = ( - | , y ) , BC = { j , ^ ) ,

AC = (.0, —)4

^52) En la adjunta, determinar los vectores AB , O C , Cfí sabiendo que || /4C ||= -Jvi ,


[153J Un triangulo DEF se encuentra sobre un plano inclinado como se muestra en la figura

adjunta. Hallar el vector DF .

En el paralele igramu.-. de la figura se

tiene: DE = E C , m ¿ (BAD) = 60°.

La altura relativa a la base AD es h. Si

M = AB+ AE— BD y P — proy

hallar || P || en función de h.

AD

Rpta. DF = (2,3)

( 0 ) Si b y c son diferentes de 0 , demuestre que:

i) Si b y c son paralelos, entonces proy-, - proy_b c

ii) Si romp*^ =-compZ , si r > 0 (b * 0)r b b

iii) Si c om p \ =-comp¿' , si r < 0 (b * 0)rb b


BIbLIOGRAFÍA

Conjuntos y Estructuras.......................................... ,. por: Alvaro Pinzon.

© Teoría de Conjuntos y Temas Afines,.................... por SEYMOUR LIPSCHUTZ.

© Lógica Matemática,................................................ . por: Patrick Suppes.

© Introducción a la Lógica......................................... . por: Alfredo TARSKI.

© Matemática Básica,................................................ . por: JOHN C. PETERSON.

© Análisis Matemático Vol. I..................................... Hasser - La Salle - Sulliva.

© Análisis de una Variable Real,............................... .. por: Miguel A. Sanz Alix.

© Álgebra Superior..................................................... Leithold LEVIS.

© Cálculo v Geometría Analítica,.............................. . por: Stein.

© Cálculo y Geometría Analítica,.............................. , por: Larzon - Hosttler

Calculo y Geometría Analítica,.............................. .. por: Louis Leithold.

Elementos de Álgebra Superior,............................. . por: Pablo Miguel y Merino.

® Álgebra I,................................................................. . por: Armando Rojo.

© Álgebra,................................................................... . por: PAULK REES.

© Álgebra,................................................................... . por: Stanley A. SMITH.

® Variable Compleja,................................................. por: ARTHUR A. HAUSER.

® Variable Compleja,................................................. por: Willian R. Derrick.

® Variable Compleja,................................................. DAVIS WUNSCH.

® Ejercicios y problemas de Análisis Matemática,.. . por: B. Deminovich.

® Ejercicios y problemas de Análisis Matemático,.... . por: G. N. Berman.

PEDIDOS AL POR MAYOR Y MENOR

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Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura.

Catedrático de las principales Universidades de la Capital

\líilRR.\\LC,EBR\

Solucionarlo de Análisis Matemático por Demidovich tomo III Solucionarlo de Análisis Matemático por GBerman, tomo I, II Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectoi ial en R'

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Matemática Básica - Eduardo Espinoza Ramos.pdf