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5/9/2018 MAtematica A 12º - slidepdf.com
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• M a t r iz d e c o n t e u d o s p o r T e s t e d e A v a l ia g a o / T e s t e G lo b a l
• T e s t e s d e Ava l i a~ao a o lo n g o d o a n a c o m suqes toes d e r e s o lu g a o
• T e s te s G l o b a i s c o m s u q e s t o e s d e r e s o lu c a o
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tff PORTO ED ITOR A
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Co ns e lho s pra tico s a o s a lu no s
o sistem a educativo portuques e exigente. O s alunos, para ingressarem no Ensino
Superior, principal objective da populacao estudantil, necessitam nao 56 de adquirir
e apreender conhecimentos, como tarnbern de os aplicar correctamente a novas situacoes.
A proposta de trabalho que apresentamos pretende que 0 aluno adquira e aplique
conhecimentos, para que desse modo alcance os objectivos a que se propi5e.
Os exerdcios que compi5em este livro foram elaborados para 0 aluno:
iii rever conteudos:
iii in te rp re ta r quadro s, qraficos e t ex tos ;
Il c on stru ir um c on he cim e nto e stru tu ra lm en te o rg an iz ad o;
II a pe rc eb er-s e d e d eta lh es e d ific uld ad es ;
r a des envo lv er um esp fr ito crltico:
II a pre nd er a g erir 0 tempo.
o livro Testes de Avalia~ao de Matematica A 12.0 ana e constitufdo por m atrizes de
conteudos, testes de avaliacao, testes globais e propostas de resolucao. 0 tipo de questi5es
e diversificado, sendo inclufdas questi5es de resposta curta, de desenvolvimento e de
esc olh a m ultip le
Cada teste de avaliacao aborda questi5es relativas a conteudos de um a unidade
proqrarnatica. O s testes globais sao modelos de provas a realizar pelos alunos durante
o processo de avaliacao de conhecim entos e na sua globalidade contemplam todas as
u ni dade s p ro qr ar na tic as .Para que 0 aluno rentabilize da m elhor form a a utilizacao deste livre, sugere-se que:
II e stu de a s rnaterias a nte s d e te nta r re so lv er o s e xe rd cio s;
II le ia c ad a questao cuidadosamente;
1 :1 recolha ideias e as organize para estruturar bem a resposta;
• re sponda obje ctiv amente ;
confronte a resposta dada com a p ro po st a de resolucao:
a treine a qestao do tempo .
Para finalizar, esperamos que este livre,T estes d e A valia!= aa d e M atem citica A
12.0ana,
proporcione a todos os alunos a correcta cornpreensao dos conteudos e a necessaria
a ut ocon fi an c; :a p ar a a lc an ca r 0 su cesso e sc ola r.
1 I 1 O B -U V R O A U X I L I A R O E P . L E G A l2 7 1 9 6 9 /0 B I S B N 9 7 8 -9 7 2 -0 -4 6 1 61 - 2
Este livre foi produzido na unidade industri al do Bloco Graf ico . Lda .. cujo ~ ~
S is te ma d e G es ta o A m bi en ta l e st a c er ti fi ca do p el a A PC E R. c om 0 n . " 2 0 0 6/AMB .258 t . _ a i l c e r o : :0Producac de livros escolares e na o escolares e outros materiais impressos. '- ....1
~ISO
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T es te s d e Avaliacao
Temas Subtemas
1 2 3 4 5 6
lntroducao ao calculo de probabilidades X X
Probabil idades eAnalise combinat6ria X X
Combinat6ria
Dlstr ibuicao de frequencies relat ivas e distribuicso deX
probabilidades
Funcoss exponenciais e logarftmicas X X
lntroducao aoTeoria de limites X
Calculo Dif erenc iaL I I
Calculo diferencial X
Funcoes sene, co-sene e tangente X X
Trigonometria e
Numeros CompLexosComplexos X
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Nome D a t a
Tunna D u r a c l i . o - 9 0 m i n u l o s " - ,A ~ v a = l i = a c c : l i . , , , - o _
_ _ !lim
1.a Parte
As questiies da 1 . a parte sao de escolha muuipt«. Para cada um a delas, sao indicadas quatro
a lt erna ti va s, da s quai s 56 uma este correcta.
1. Seja 5 a espaco amostral associado a uma certa experisncia aleat6ria.
Sejam A e a dais acontecimentos, nao impossiveis, nem certos, tais que A C5 e a C 5 .
2 3 '_ 1Sabe-se que P(A ) ="3; pta) =5 e P (A na) =2'
7
Entao, P (A na) e :
(A)3
5'
(B) 1
6'
(C )110 .
(0)4
6'
2. 0 Francisco tern de utilizar diariamente dais transportes publicos para se deslocar 7
para 0 seu trabalho: a comboio e a autocarro. Se a probabilidade do comboio e do auto-
carro chegarem atrasados e de 0,2 e 0,5, respectivamente, entao a probabilidade de
ambos os transportes publicos cumprirem a horario e de:
(0) 0,7.
3. Um grupo de 30 praticantes de karate forma um rectanqulo com 3 filas e 10 praticantes
em cada fila.
Aprobabilidade de um grupo de 3 amigos ficar na mesma coluna do rectanqulo e:
7
(A)3! x 10
30!
(B)3! x 27!
30!
(C )3! x 10 x 27!
30!
(0)9-10
Mat em at ic a A - 12 ,' a na - T es te d e Aval ia~ao 1
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4. Num congresso de profissionais de saude, os participantes foram instaLados, aLeato- 7
ria mente, em tres hotels. A, Bee. Sabendo que 0 congresso tern dez oradores, a
probabilidade de estarem 5 instalados do hotel A, 3 no hotel B e 2 no C e:
(A)lOC5 5C
32C
2
3A'10
(B)5! x 3! x 2!
310
(C )5! x 3! x 2!
10 !
(0)1OC5 5C3 2C2
1°A~
5. Se a soma dos elementos de uma linha do trianqulo de Pascal ex, entao a soma dos 7
nurneros da linha seguinte e:
(A) 2x.
(B) x 2 •
(C) ~ .
(0) 2+ x .
6. Sabe-se que 0 desenvolvimento de [ x 2 + V x r tern 33 termos. 0(5) te rr no ls l m e dio ls l 7
deste desenvolvimento e(sao):
33C X4818 .
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( ,
2.a Parte
1. Atraves de um inquerito a 210 pessoas, chegou-se as seguintes conclusoes.
• 70% dos inquiridos sao proprietarios de habitacao e de automovel:
o 10% dos inquiridos nao sao proprietarios de habltacao nem de automovel:
087,5% dos inquiridos nao proprietaries de habitacao tarnbem nao sao proprtetar tos
de automove l ,
1.1. Considerando os acontecimentos:
H : "ser proprietario de habitacao"
A: "ser proprietario de autornovel"
8
complete a tabela que se segue:
H R Total
A
A
Total 210
1.2: Seleccionando um dos inquiridos ao acaso, qual a probabilidade de:
1.2.1. Ser proprietario de habitacao? t. .
1.2.2. Nao ser proprietario de autornovel, sabendo que e proprletario de habitacao? 4
2. Numa determinada localidade existe rede movel por
intermedlo de apenas duas operadoras, A K e BK, e
todos os habitantes que possuem telernovet tem um con-
trato com uma delas.
Para elaborar um estudo sobre a qualidade de sinal das
duas operadoras, seleccionaram-se alguns locais para
verificar a existencia de sinal, donde se concluiu que 72%
dos locais previa mente seleccionados tinham sinal para a
rede A K e 96% tin ham sinal para a rede BK.
Dos habitantes desta localidade com teternovet, sabe-se
que 81% adquiriu um aparelho da rede BK.
Escolhe-se, aleatoriamente, um habitante com telernovel desta localidade.
2.1. Qual a probabilidade de ter sinal num dos locais previa mente seleccionados? 10
2.2. Sabendo que nao tem sinal no local onde se encontra, qual a probabilidade de pos- 5
suir um telernovel da rede A K?
Mat er na ti ca A - 12 ,' a no - T es te d e Avalia~ao I
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..~ _ . -:: - ·.:~a_ " '~; :- 'I . ... .. .. ....:ij't'I.;!i~-:"',,:"~'W'::~-~·_~';~·~~~~~,·_r __
T E S T E D E ~ JU / ~ llA ; C : :~ Q - : '. . ~ . >
3. Um vendedor seleccionou 7 marcas de azeite para comercializar. Todos os produtos
tem precos diferentes, no entanto, duas marcas de azeite tem r6tulo azul, outras duas
r6tulo amarelo e, as restantes, r6tulo branco.
3.1. 0 vendedor p retende co locar um a garrafa de azeite de cada m arca num a prate-
le ira . De quan tas m aneiras diferentes:
3.1.1. pode ordenar estes produtos? 5
3.1.2. pode ordenar estes produtos, se p retender que as garrafas com r6 tu lo s da B
m esm a cor fiquem juntas?
3.1.3. pode ordenar as garrafas, de form a que as duas de r6 tu lo azul nao fiquem juntas? 10
3.2. As garrafas de azeite foram colocadas num a caixa para se lim par a p ratele ira . 0 ven-
dedor retira tres garrafas da caixa ao acaso . Determ ine a probabilidade de ter retirado:
3.2.1. tres ro tu lo s de cor diferen te; 12
3.2.2. pelo m enos dais r6 tu los de co r branca. 15
3.3. Os c6digos que serao atribufdos a cada garrafa de azeite no estabelecim ento
com ercial estarao com preendidos entre os nurneros 2000 e 7000. Determ ine de
q uan tas m an eiras e possfvel atribu ir um c6d igo se se pretender que esse c6d igo:
3.3.1. tenha 0 algarism o das centenas par e seja m ultip le de 5 ; 9
3.3.2. seja com posta por algarism os todos diferentes; 9
3.3.3. possua dois zeros nao consecutivos. 9
4. Um labirinto infantil tem a forma e os trajectos indi-
cados na figura ao lado.
A Ana encontra-se no ponto A, 0 Bernardo em B e
o Carlos em C .
Percorrendo a menor distancia possfvel, quantos
caminhos diferentes podem ser realizados:
4.1. pela Ana para ir ao encon tro da posicao do Ber- 14
nardo?
c
B
A
4.2. pelo B ernardo para ir ao encontro da posicao do 8
Carlos?
4.3. pelo C arlo s para ir ao encon tro da posicao da A na, passando pela do Bernardo? 8
5. Sejam A e B acontecimentos independentes.
Mostre que:
5.1. A e B tarnbern sao acon tecim ento s indep endentes; 10
5.2. PIA ] + P[B] -1= PIA ] x P [B] - P IA ] x P IB l . 10
FIM
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-,I",.. ....·"T o;l" ',~ .... ~ . ,', -.,.-._ ._~...:.:-.:r-~-"''::'r'.I-· '.'. _ u • •.
T E S T E _ D E A V A ~ IA _ C A o '
Nome Data
Turma N .O Duracao - 90 minu tos ~Ac!..!va~li~ac~a~o _
== -1.a !Parte
As questiies da 1 , a parte sao de escolha muuiol», Para cada um a delas, sao indicadas quatro
a lt erna tiva s, da s quai s 56 uma este correcta.
1. Seja [ ABCDEF ] um hexaqono. 7
F~ ......
AD
B c
Sao escolhidos, ao acaso, dois vertices do hexaqono, A probabilidade dos dois vertices
nao forrnarern urn dos lades do hexaqono e de:
(A) 6 x 36f;'
(B) 6 x 5
~
6(e) 1 - 6 C
2
•6
(0) 15'
2. Para uma certa experiencia aleat6ria estao dois acontecimentos A e B tais que: 7
(- 2
PA)=-'3'
P(B) = ~ e- - 3
P(AUB)=t;.
Relativamente aos acontecirnentos A e B podemos afirmar que:
0
lii
.,;. . .I
.. :1 l. ,""
~l!lI
~I
Ii:
~t:iw
g3 .
~
~
(A) sao independentes;
(B) sao contraries:
(e) a probabilidade de AU B e 172;
(0) sao incompativeis mas nao contraries.
Num saco ha cinco bolas: tres azuis e duas vermelhas. Retiram-se, ao acaso, tres 7
bolas com reposlcao. A probabilidade de se obter apenas uma bola vermelha nas
extraccoes e:
(A) lx ( l y . (B) ( l y xl,5 5' 5 5 '
(e) lxl. (0) ( ; Y5'
Mat em at ic a A - 12 ,' a no - T es te d e A va Ii a~ ii o 2
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4. Na figura estao representados os qraficos de duas distribulcoes norma is, N ( , u A ' O 'A I e 7
N ( , u B ' O 'B I, em que , u A = , u B .
Relativamente as duas dlstribulcoes podemos afirmar que:
(A I O 'A = 0'B .
(B) O 'A > O 'B .
(C ) O 'A < O 'B .
(0) Nenhuma das opcoes anteriores.
5. A soma dos nurneros de uma linha n do trianqulo de Pascal e 32768.
A soma dos tres primeiros termos da linha anterior e :
7
(A ) 121.
(B) 9 1.
(C) 455.
(0) 106. \
6. Seja X uma variavel aleat6ria cuja dlstribuicao de probabilidades e dada por: 7
Xj 0 1 2 3 4
P ( X=x j)1 1 1
b4 " 3 4
emque P(X<21=! .
Podemos concluir que:
(A ) a = b e ,u = 2 .
(B) a < b e ,u = 2 .
1[C) a = 0 e b = 6 .
1(0) a = 12 e ,u = 2,1 .
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2.a Parte
1. Seja Q 0 espaco de resultados associado a uma experiencia aleat6ria. Sejam A e B
dois acontecimentos compatfveis (AC Q e Be QJ .
1.1. Mostre que pIA nBl = P (A I - P IA n BI, em que P designa probabilidade. 16
1.2. Dos operarios de uma empresa, sabe-se que:
o 32% nao usam oculos e sao homens;
o 41% usam oculos e sao homens;
044% nao usam oculos.
Escolhendo aleatoriamente um operatic da empresa, qual a probabilidade de:
1.2.1. ser uma mulher?
1.2.2. usar oculos e ser mulher?
1.2.3. nEIOusar oculos, sabendo que e mulher?
Apresente 0 resultado sob a forma de percentagem, arredondado as decirnas.
9
9
11
2. Para pintar uma bandeira com cinco tiras, como a indicada na figura, tem-se 3 cores 1 6
diferentes.
Sabendo que as tiras dos extremos da bandeira tem de ter a mesma cor e que duas
tiras consecutivas nao podem ser pintadas com a mesma cor, numa pequena compo-
sicao indique de quantas maneiras diferentes se pode pintar a bandeira.
Mat em a ti ca A - 1 2. ' a n a - T e s te d e Av a li a~ li o 2
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3. Uma turma e composta por 24 alunos (12 rapazes e 12 raparigasJ.
3.1. Num saco existe um papel com 0 nome de cada um dos alunos da turma. 10
Se cada aluno extrair um papel com 0 nome de um dos colegas, qual a probabili-
dade de se obter uma sequencia alternada rapaz-rapariga?
3.2. Nesta turma pretende-se escolher uma comissao para organizar uma festa de
Carnaval. A comissao sera formada por tres elementos: um presidente, um tesou-
reiro e um decorador. Quantas comiss6es diferentes se podem formar se:
3.2.1. 0 delegado e 0 subdelegado de turma tiverem de pertencer a comissao? ! 5
3.2.2. a comissao for formada s6 por raparigas? 5
3.3. Foram oferecidos a esta turma tres bilhetes para um concerto. Como todos os alu-nos estavam interessados no espectaculo, sorteou-se os tres elementos que iriam
ao concerto.
Seja X 0 nurnero de rapazes sorteados da turma.
3.3.1. Construa a tabela de distribuicao de probabilidades da variavet X , apresen- 20
tando as probabilidades na forma de fraccao irredutfvel.
3.3.2. Qual a probabilidade de 0 nurnero de raparigas ser superior ao numero de 12
rapazes sorteados?
4. As alturas das crlancas de uma determinada faixa eta ria seguem a distribuicao normal
N(85, 5).
Uma educadora de infancia tern, na sua sala, 26 crlancas dessa faixa etaria,
4.1. Escolhida, ao acaso, uma dessas crianc;:as, determine a probabilidade de:
4.1.1. a sua altura ser superior a 80 cm ; 15
4.1.2. a sua altura estar entre 85 cm e 95 cm . 15
4.2. Fac;:auma estimativa do nurnero de crianc;:as dessa faixa etaria com menos de 75 cm . 15
FIM
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-r.,:r·.::. ..--- ....'·..."~_:.'P'i:;:.:I: .. ~~ ....L.nn. ...::Jr", •• ~~~~~ ...'T.""!"~,_ '-J: ;. ....-u:y-- ;~ ......._ y- - "~ .. ~"_
'_ . _ r E ~ _ ~ ~ _ l ( ~ A ,~ A p .A C ~ :9 .
Nome Data
Turma Duracao - 90 minu tos "-,,A,-,-,va= li=ac=ao~ _
1.a Parte
As ouestiies da 1 .a parte sao de escolha multipla , Para cada um a delas, sao indicadas quatro
a iter na tiv as , d as q ua is 56 uma este corrects.
1. A expressao
(A) 5
2
(B)3
-2'(e)
7-2
(0)5
2'
In ( V e l + In lln e) -l093 ( ! ) tern urn valor nurnerico igual a: 7
2. A funcao f definida por f Ix) = Iln (x2- 3) I tern, respectivamente, dominic e contradominio: 7
(A ) IR~ e IR ;
(B) [3, + oo] e IR~;
(e) ]3, + oo[ e IR~;
(0) IW e IR _
3. a conjunto dos nurneros reais, solucoes da inequacao In (3 - 2x) ~ 1 , e: 7
0(A) ]~ + o o [ -
"2 ' ,
r~I ] - 0 0 ~ ] ,< (B)s
:3 ' 2 '-as
e.s" [~ ~ [,:! l
(e)2 '2 '~
I
a:
~ (0) ] - 0 0 - ~ [:iw ' 2 '~
~
II4. Considere as funcoes f e 9 definidas por f Ix) = e- X e 9 lxl = x " , respectivamente. ?
a lim [g Ix l x f lxll e igual a:x--++oo
(A) + 0 0 ; (B) - 0 0 ;
(e) 0 ; (0) 1_
Ma te rn at ic a A -1 2, ' a no - T es te d e A va ll ac ao 3
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5. Na figura seguinte esta a representacao qraflca de uma funcao h .
y
x
Sejam i e j as funcoes definidas por i lx l = eh lxl e j Ix ) = In Ih (xll .
5.1.0 dom fnio da funcao i e : 1
(A) ] - 00, ~[ ;
(B) [ 0 , e ~ ] ;
(e) IR ;
(0) ] 0 , V e ] .
5.2. 0 dom fnio da funcao j e : 7
(A) ] a , ~ [ ;
(B) r- 1 , 0[;
(e) t- 1 , 0] ;
(0) IW.
5.3. As solucoss da inequacao h lx l x e : , . ; ; 0 p erten cem ao c on ju nto -so lu cao : 7
(A) l-00, - 1[ U ]0 , + oo] ;
(B) [0, + oo] ;
Ie) ]- 1 , 0[;
(0) ]- 00, - 1] U [0, + oo] .
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2.a Parte
1. Na figura esta uma represernacao grMica da funcao f tal que f ( x ) = log3(ax + b ) ,
com a, bE IR .
y
f
x
(~.
1.1. Determine a e b. 10
1.2. Utilizando os valores obtidos na alfnea anterior, indique:
1.2.1.0 domfnio de f;
1.2.2. 0 contradomfnio de f;
1.2.3. 0 objecto cuja imagem por f e 2.
10
6
10
2. Na figura estao representadas as funcoes f e g definidas por f i x ) = e X - e
e g Ix l = t:' [x] .
x
2.1. Determine:
2.1.1. as coordenadas do ponto A ;
2.1.2. as coordenadas do ponto B ;
2.1.3. {fogJ ( O J .
10
10
9
Ma temat ic a 1 1 -1 2 .' a n o - T e st e d e Av al ia ~i io 3
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• • ~..... - • - -,.' r r • -....-_ ~=--
T E S T E D E A V A L IA C A o
2.2. Indique uma equacao da assimptota do qrafico da funcao f. 9
2.3. Mostre que f e injectiva. 10
2.4. Determine as coordenadas dos pontos de interseccao das func,:6es f e g , com 1 5
duas casas decimais, utilizando a calculadora qrafica.
2.5. Caracterize a funcao 9 l x l . 15
3. Num estudo de mercado, urn pequeno empresario concluiu que a quantidade de
produto vendido mensalmente pela sua empresa dependia do preco de venda do
mesmo ao publico.
o modele rnatematlco desta retacao e Q(x) = e5-x + 1,2 para x> 0, em que x eo
preco unitario de venda do produto, em euros, e Q lx l a quanti dade vendida por rnes,
em milhares.
3.1. No contexte do problema, indique 0 significado de Q [2J . 10
3.2. Mostre que 0 lucro mensal da empresa na venda deste produto, em milhares de 12
euros, e dado por:
LlxJ = l x - 2J (e5-x + 1,2J, para x > 0 ,
sabendo que 0 custo unitario da sua prcducao e igual a 2 € .
3.3. A empresa pretende ter lucros superiores a 7,5 mil euros. Determine os valores de 1 5
venda do produto, para os quais atinqira 0 objective proposto.
Redija uma pequena cornposicao rnaternatica onde explique, de forma clara, os
elementos recolhidos na calculadora qrafica de modo a justificar os valores obtidos.
FIM
,
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"~-::;!:..f.l.: 1 : ! . . . .;.:t:lI.·I"T"c...~W".~).lo~\t' " :.~ •...., .~~ ..-:"-'."..::,-a~ ' . 1 J 'f • • ~"'r - . -~ ~. . . ~
' . _ ..' _ . ! E ~ T F b ~ , .A V A L I A C A O .
Nome Da t a
Turma N .O D u ra c ao - 9 0 minutos , - ,A ," ," ,v a " " , ,l i= a C x .: : :a ~ o _
=
1.a Parte c o t a c ; a o
As questiies da 1 . a parte sao de escolha tm sitip t«. Para cada um a delas, sao indicadas quatro
a ite rn ativa s, d as q ua is 56 u ma esta co rrecta . 7
1. Na figura esta representada, num referencial o. n. Oxy, parte do qrafico da func;ao f,
de dominio IR , definida por f Ix) = e X - 2 .
Oa figura sabe-se que:
• 0 ponto A e 0 ponto de interseccao do qrafico
de f com 0 eixo das abcissas:
• 0 ponto B e 0 ponto de interseccao do qrafico
f com 0 eixo das ordenadas:
• 0 ponto C pertence ao eixo das ordenadas
tal que DB = DC ,
Qual e a area do tr ianqulo?
(A) 4 In 2 . (B) ln2
2.
(0) 2 In 2 .e) In 2 .
x
2. Seja 9 uma tuncao definida em IR por 9 (x ) = 5 _ ~ ~ 7x2+ 1) .
C id - d t l n2
+ 1onsl ere a sucessao e ermo gera u n = --3 - .
n
(~o valor de lim 9 ( u n ) e igual a:
n--.+oo
3(A) 4'
(e) 2
4
3(B) 5'
2(0) 5'
7
3. Seja h a funcao representada no referendal da figura.
Relativamente a funcao h :
3.1. Qual das afirmac;6es seguintes e verdadeira?
(A) Se u, = 2 + ~ entao lim h [ u n ] = 0 .
(B) Se V =-2-1 entao h [ v n ] > O , VnEIN.n n
l~. (el Nao existe lim h [ x ] .x-+2
(D) Existe lim h [ x ] .x-+O
TA_MI2-02
y
7
4
x
-2 ----.0
Mat em at lc a A -1 2. ' a no _ T es te d e Avalia~iio 4
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, . . :- .. . ' '" ~ - . ~
~ T E S T E D E A V A L IA C A O
3 .2 . Podem os afirm ar que:
(A) A funcao h e continua em todo 0 se u dornlnio.
(B) A funcao h e derivavel em x = 2 .
(e) 0 dominic d a tu nc ao h' e IR \ {- 2 , 0 , 2}.
(0) h" ( x ] < 0, v x E ]0, 2[.
7
4. No referendal da figura esta representada a funcao i' , funcao derivada da funcao i.
y
4 .1 . Podem os afirm ar relativam ente a tuncao j que:
(A ) item um extremo em x = 0 ;
(B) i" [0] = 0 ;
x
7
(e) A fu nc ao j e crescente no intervalo ] - 00, O [ e decrescente no in tervalo
]0, + oo[ ;
(0) i[- 1]< i[0] .
(A)
4.2. 0 qrafic o qu e corre spo nd e a representacao qrafica da funcao i" [ x ] e :
(B)
x
(e)
x
7
(0)
x
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2.a Parte
1 . Considere a fam ilia de funcoes definida por:
se x < a
se 0 :::;;;: : : ; ; ; 1
se x> 1
e a funcao 9 de dominic IR , representada graficam ente, em que y = a e y = 1 sao
assimptot as ho riz ont ais .
y
- - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -,,,,,
4 x
1.1.lndique:
1.1.1. lim ( g f ) l x l :x~+oo
7
flI,
1.1.2. lim [ f x g l [xl;x_.1 +
7
1.1.3. x~~ (;) l x l :
. glxl
1.1.4. lim -x-'x-+o-
7
7
1.2 . Calcule k E IR de modo que f seja continua no ponto x = 0 . 12
1.3. Considere k = 1 e determine f'1- 21, usando a definicao de derivada de uma
funcao num ponto.
12
1.4. Indique a equacao reduzida da recta tangente ao qrafico de f no ponto de abcissa
2.
12
Mate ma tlc a A -1 2.' an o - T este d e A val ia ¢o 4
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I • -.. - -., I • ,-. -_ L _ • - - _ _
T E S T E D E A V A L IA C A o
1.5. Apenas um dos qraficos que se seguem corresponde a representacao qrafica da 1 2
funcao g ' . Elabore um pequeno texto explicitando a sua escolha do qrafico corres-
pondente a g ' .
(A) (B)
y y
(e) (0)
y y
2. 0 lucro obtido por uma empresa, t meses apes a sua abertura , e dado pelo modele
rnatematico L (t ) = - 1 ~ In t em que 0 lucro e dado em rnllhoes de euros.e - t
2.1. Calcule L [41. com duas casa decimais, e interprete 0 resultado obtido no contexte 8
do problema.
2.2. A partir de que rnes a empresa cornecou a ter lucros? 1 1 1 ')
2.3. Apes a abertura desta empresa, realizou-se uma campanha publicitaria para pro-
mover os produtos da mesma. Durante a campanha verificou-se um aumento dos
lucros da empresa, mas quando esta terminou ocorreu uma diminuicao imediata
dos lucros. Utilizando apenas processos analfticos, determine:
2.3.1. quando e que a empresa terminou a sua campanha publicltaria: 15
2.3.2. 0 lucro maximo obtido pela empresa lcorn duas casas decimaisl. 10
2.4. A empresa decidiu voltar a fazer uma campanha publicitaria no rnes correspon- 1 2
dente ao ponto de inflexao do qrafico de L l r l . Determine 0 mes em que se iniciou
a segunda campanha publicitaria.
3. Considere a funcao h tal que h l x l = k X
2
X + 1 , com k E IR. Determine k de modo que:
3.1. Y= 5x defina uma assimptota oblfqua da funcao h ; 1 2
3.2. a funcao h tenha pelo rnenos um zero no intervalo ]1 , 2[, sabendo que h [2! < 0 . 15
FIM
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Nome
._ " ", --. ..... ' ~ -._~. !",IOL~. ,.:':!.r -. ~~' •• l ....".!j
T E S T E D E A V A L IA C A O ~- - ~l
D a t a
T u r m a N.D D u r a c i i o - 9 0 minutos ! - ,A c ! . . ! v a " " l i ~ a c < ! ! i i o ~ _
1.a Parte
As questiies da 1 . a parte sao de escolha muitipl». P ara cada um a delas, sao indicadas quatro
a lte rn ativ as , d as q ua is 56 uma e ste c or re cta .
1. De uma funcao f sabemos que:
• 0 seu contradominio e [0, 2]
• contern 0 ponto de coordenadas (0, 21.
Uma expressao analftica de f podera ser:
(A) sin 12xl + 1 ;
(e) 2 cos Ixl + 1 ;
7
(B) 1 sin lxl] + 1 ;
(0) 12 cos (2xl 1 .
2. A expressao geral dos zeros da fu ncao 9 (x ) = tg (~) e dada por:
kn(B ) x = "2' k E IR ;
(0) x = n + 2kn, k E IR .
(A) x = k«, k E IR ;
(e) x = 2kn, k E IR ;
7
3. Seja h Ix l = 2 sin (4x) + 3 uma tuncao. Uma representacao grMica da funcao h'(x ) , 7
derivada de h, e :
(A) (B)
x x
0
§
;:jI
<
~ (e)y
(0)yee
IE
"\il8:!l
I
~I
~i:iw
g
~
~ 1! x 1! x8 2
-8
y
-8
Ma temMic aA -1 2 .' a n o - T e st e d e Avallaeao 5
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4. A figura ao Ladecontem representacoes qraflcas das tuncces.
o / I x l = 1+sln (~)
• j(x ) = coslxl + 1
no intervalo x E [0, n;] .
As coordenadas do ponto A, interseccao das
funcoes i e j, sao:
(A ) (~ , 2 + 2 \ 1 ' 3 )
(B) (~, 1 )(e) (~, ;)
(D ) (~ , 2 + 2 0 )
7
y
2
o 1t x
5. Considere a funcao h-(x) = sinlxl + x. Relativamente a funcao h Ixl podemos afirmar 7
que:
(A) possui uma assimptota oblfqua y = x ;
(B) lim h(x) = 2·x--+O x '
(e) h'(x) > 0, v x E IR ;
to } tem contradomfnio [- 1, 1].
6. A figura apresenta uma representacao qrafica da funcao m definida por:
m (x)= - 2 coslxl + sin Ixl - ~ x
A recta r, de inctlnacao e , e tangente ao
gratico de m no ponto A de abcissa x = ~ .
o valor de e e igual a:
(A ) ~ ;
(B ) - ~ ;
(e) ~;
( D )n;
6
7
x
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2.a Parte
1. Considere a funcao real de variavel real
{
a + b cosx,
fIx) =x - ! Ee 2, se x< ~
com a e bE IR.
1.1. Sejam a = 3, b = - 1 e tg () = 2, com ()> ~ . 12
Recorrendo unicamente a processos analfticos, determine f W ] .
1.2. Sejam a = b = 1 .
1.2.1. Mostre que a funcao f e continua em x = ~ . 12
1.2.2. Determine 0 dominio e 0 contradominio de f. 12
1.2.3. CaLcuLe:
)L
· fIx]a 1 m _ .x~+oo X ' 8
b) L im fIx];x_-oo x
8
) L· fIx] - f l 7 t ]
C 1 m .Xlt X - 7 t
8
1.2.4. Mostre que:
a) nao existe f' (~) ; 8
]7 t 7 t [ V 2) 3 x E - - - . fIx) = - .2' 2' 2 '
10
c) a funcao f tem uma infinidade de pontos de inftexao. 10
Matema ti c a A- 12 , ' an o - T e st e d e Avalia~ao 5
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'I
2. Numa empresa que promove pereursos turlsticos de barco, 0 Luero obtido e dado peLo
modeLo maternatico:
em que L representa a Luera da empresa, em miL euros, t meses apes a inlcio
de 2006.
2.1. QuaLfoi 0 Lucro obtido peLa empresa no primeiro rnes de 2006? Apresente 0 resuL- B
tado obtido com tres casas decimais.
2.2. QuaLfoi 0 mes em que a empresa obteve 0 lucro maximo no ana 2006? 12
2.3. Quantos meses por ana (em 2006 e 2007J esta empresa uLtrapassou os cinco 10
miL euros de Lucro?
Apresente 0 resuLtado obtido arredondado as centesirnas.
2.4. Comente a seguinte afirrnacao: 10
"Nesta empresa de turismo observou-se um aumento nos Lueros obtidos em 2007,
reLativamente ao ana de 2006, e espera-se que estes continuem a aumentar se as
variaveis em causa nso modificarem."
3. Seja f uma funcao de domlnio [0, 21t], cuja derivada, f', esta definida em [0, 21t]
e e dada por:
f' Ixl = ~ - sin x
Sem reeorrer a ealcuLadora gratica determine:
. {'(xl3.1.0 vaLor de Lim -x ;
x-a1 2
3.2. 0 sentido das concavidades do qrafico de f e os respectivos pontos de inflexao. 1 8
FIM
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Nome Data
1.a Parte
Turma Duracao - 9 0 minutos !..!A~va~li~ac~a~o _
1. A equacao r+ 2X 2 + X + 2 = 0 admite, em C, as solur;6es:
(A) x = - 2 ; x = i ; x = 2 i
(B) x = i ; x =- i
(e) x = - 2 ; x = i ; x = - i
(0) x = - 2; x = 2i
2. Considere 0 losango da figura com vertices Z1 , Z2' Z3
e Z4' de perirnetro 20 em que
IZ11 = ~ IZ21.
Entao:
(A) Z1=3, Z2 = 4i , z3=-3 e Z4= - 4i
(B) Z1=4, Z2= 3i , z3=-4 e Z4=-3i
(e) Z1=2, Z2= 3i , Z3=- 2 e Z4= - 3i
(0) Z1= 1 , Z2= 4i , Z3 = - 1 e Z4=- 4i
As questiies da 1 . a parte sao de escolha m iiitip l». Para cada uma delas, sao indicadas quatro
a itern ativas, d as q ua is 56 u ma esta co rrecta .
7
1 m 7
Z, R e
3. De um mirnero complexo Z sabemos que iz = Z, Re lz ] < 0 e 1 z I = v3 .o nurnero complexo z e:
(A) v3 cis ~ ;
(e)~r ; : ; . 3nv s cls4;
(B) - v3 cis ~ ;
(0)~r ; : ; . 3n
- v s ClsT'
4. Considerando a figura ao lado, a imagem qeorne-
trica de - iZ1 e dada por:
(A) Z1;
(B) Z2;
(e) Z3;
(0) Z4'
7
-3 3 : R e
1 m
3
Z3 2e··------------------
_ __ __ _ __ __ __ _ Z 2
7
o-2
-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - eZ,
: -3e-------------
Z4
Ma temat ic aA _ 1 2. ' a n a - T e st e d e Av al ia ~ ii a 6
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5. 0 conjunto Iz E IC: o c arg z:s:;;~ 1\ I z I :s:;; 1\ 1mz ~ 1} corresponde a representacao 7
qeornetrica:
(A)1 m
(B)1 m
2 2
2 R eR e
(e)1 m
(D)1 m
2 R e R e
6. Seja z = sin (~) - cos (~) i J entao 0 argumento positivo rnlnlmo de z e : 7
(A)1t
6 '
(B)20n
6,
(e)_ n .
6'
(D)2n
3
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2.a Parte
1. Sejam Z1 = a + (2 - bl i, com a, bE IR
Z2 =- 1+ 2i e Z3 = i .
1.1. Determine a e b de modo que:
1.1.1. Z1 seja um nurnero reaL; 1.1.2. Z1 seja um irnaqinario puro. 8
1.2. CaLcuLe e apresente 0 resuLtado na forma alqebrica: 35
1.2.1. Z2 + Z3 ; 1.2.2.-Z2 - Z3 ;
(( 1.2.3. Z2 + Z3 ; 1.2.4. iZ2 x [ Z 2 + z31 ;
Z21.2.6.
Z3 .1.2.5. Z3 ; -I
Z2
1.2.7. [ z 2 13.
~ 2.
~I-c
.~""~;:;lI
E SI
~w
8
~
'I
1.3. Mostre que a imagem qeornetrica de w = Z.2 - Z 3 i pertence a bissectriz dos qua- 7I
drantes fmpares.
1.4. Sabendo que Z3 e solucao do polinornio P lz l = 2z3 + Z2 + 2z + 1 1 determine todas 10
as solucoes do polinornio em C.
1.5. Represente na forma triqonornetrica os nurneros compLexos:
1.5.1. Z1, para a=2 e b=2-2V3;
1.5.2. Z3 .
7
5
Na figura estao representados, no plano complexo, dois trianqutos equililteros, centra-
dos na origem e inscritos em duas circunferencias de raios 2 e 8.
Os vertices dos dois trianqulos, A, B, C, D,
E e F, sao a imagens geometricas dos
nurneros complexos ZA' Z8' zc, ZD, ZE' e ZF'
respectivamente.
2.1. Apresente, na forma trigonometrica, os
nurneros complexos:
2.1.1.z8;
2.1.2. ZA;
2.1.3. ZF'
1 m
R e
4
4
4
Ma temat ic aA -1 2 .' a no - T e st e d eAv aI ia ~f io 6
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2.2. Indique as nurneros complexos da figura que sao iguais a:
2.2.1. zc;
2.2.2. [ZAP;
4
6
2.2.3. ZA x Za x Zc ; 6
162.2.4. z;. 6
2.3. Mostre que ZA, Za e Zc sao rafzes cubicas de ZE. 1 2
2.4. Determine, na forma alqebrica, 0 numero complexo ZA. 8
2.5. Defina par uma condicao em C a zona sombreada da figura. 10
3. Traduza, por uma ccndlcao, 05 conjuntos seguintes representados no plano complexo:
3.1.1 m
______--:: 4
,- ,~" .:- ,
, ' . ~ . . . . ".".'
. .'. '.
: "M" ,. '. ', ',,' .. -. " ,.. , .: .. .: /',' ,
11
-4 -1 0 Re
f v 1 e 0 ponto medic de [AB] ,
em que A l-4, OJe B [0, 4J .
3.2.1 m
11
FIM
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Testes Globais
Temas Subtemas
1 2 3
ln tro du ca o a o c alc ulo d e p ro ba bilid ad es X X X
Probabilidades e An a li se c ombi na t6 r ia X X X
Comblnatoria
D istribuicao de Irequencias re la tivas e d istribu icao deX X
probabil idades
F un co es e xp on en cia is e lo ga rftm ic as X X X
lntroducao ao T eoria de lim ite s X X X
Calculo Diferencialll
Ca lc u lo d if er en c ia l X X X
Funcoes seno , co-sene e tangen te X X X
Trigonometria e
Nurneros ComplexosComplexos X X X
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Nome D a t a
T u n n a N .O D u r a y a o - 9 0 minutos ! . . !A c ! .C v a ~ h ~ · a c ! C a ~ o _
---1.a Parte
As questoes da 1 . a parte sao de escolha multipla. Para cada uma delas, sao indicadas quatro
alternativas, das quais s 6 uma este correcta.
1. 0 valor de lim -9 2 2 e :x--3+ - X
7
(A) 0;
(B) - 00;
(e) +00;
(0) 2.
2. Indique 0 conjunto dos nurneros reais que sao sctucces da equacao: 7
e2lnx = l092 8
(A) { - v '2 , v '2 } ;
(B) { y I 3 } ;
(e) { - y I 3 , y I 3 } ;
(0) {- 3, 3}.
3. Seja t uma funcao, de dominic IR, tal que:
• t e continua;
7
• ((0) > 0 ;
• a recta y = x + 1 e assimptota do grMico de ( quando x - +00 e quando x -. - 00•
No que diz respeito a exlstencia de assimptotas, 0 grMico da funcao 9 definida por
g(x) = (Ix) :x
(A) tem uma assimptota vertical x = 0 ;
(B) nao tem qualquer assimptota;
(e) a recta y = x + 1 tarnbern e assimptota do qrafico de 9 quando x --+ + 00 e
quando x--oo;
(0) tem uma assimptota vertical x = 0 e uma assimptota horizontal, y = 1 , quando
x - + 00 e quando x _ - 00.
Mat em a ti caA - l2 .' a n a - T e s te G l ob a ll
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4. Na figura pode ver-se a representacac grMica da funcao h lxl = sin x, de dominic .,
[- 1t, 1t] .
y
-1t x
-1
Seja i a tuncao, de dominic ]-1t, 1t[, cuja representacao grMica e :
y
-1t 1t X
Entao a expressao anaUtica de i (xl e :
(A) In [sin x l ;
(B) In llsin xll :
(C)_1_;Sin x
(0) -ISi~ .l
5. Numa feira de "Prova de vinhos", todos os enotoqos
demonstraram preferencia por, pelo menos, urn tipo
de vinho: branco ou tinto.
Sabe-se que:
3 5% dos enotoqcs preferem apreciar vinho branco:
70% dos enoloqos preferem apreciar vinho tinto.
. ,
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EscoLheu-se ao acaso urn dos eneloqos da feira e soube-se que este aprecia vinho
branco.
QuaLa probabilidade de tambern apreciar vinho tinto?
(A)1
7'
(B)5
100 '
(e)35
100 '
(0)1
12 .
6. Considere todos os nurneros impares com 7 aLgarismos. EscoLhe-se ao acaso urn destes 7
nurneros. A probabilidade do nurnero escoLhido ter 7 aLgarismos Irnpares e :
(A)5 A ~
5 x 10 4'
(B)7 !
5 x lO C4
'
(e)
5 A ~
5 x lO A ~ ,
(0)5 A 7
5 x lO C4
•
7. No pLano compLexo, 0 Lugar qeometrico das imagens dos nurneros compLexos z que
satisfazem a condlcao
7
~-z= 0 e :i
(A) uma recta vertical;
( B ) a mediatriz do segmento de recta [ P Q l , em que P [ O , 1 J e Q [ 1 , O J ;
(e) a bissectriz dos quadrantes fmpares;
(0) uma circunterencia.
2.a Parte
1. Seja z = cis a.
1.1. Mostre que z +Z= 2 cos a . 12
1.2. Admitindo que 0 < a < ~, determine 0 valor de Arg [z1J , em funcao de a, de 14
modo que z, xz=4i.
TA_M12·03 Ma te rn it ic aA - 1 2. ' a no - T es te G lo ba l 1
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,.-., ~-~ • ~ - ~.- -:;:--. -. - - t- - - ~ J ~ •• -r--.~ - _~,
T E S T E G lO B A L
2. Na figura estao representadas tres caixas, A, Bee. A caixa A contern tres bolas
brancas e duas bolas pretas. A caixa B contem duas bolas com 0 nurnero 50 e uma
bola com 0 nurnero 100. A caixa C contern duas bolas com 0 nurnero 30 e uma bola
com 0 numero 20.
--00 @
@@
C aixa A Caixa B Caixa C
Realiza-se a seguinte experiencia:
Q retira-se uma bola da caixa A ;
• se a bola extra fda for preta, retiram-se, sucessivamente e sem repcslcao, duas bolas
da caixa C e soma-se os numerus obtidos:
o se a bola extra fda for branca, retira-se uma bola da caixa B e regista-se 0 nurnero
obtido.
2.1. Determine a probabilidade de obter 0 nurnero 100, nesta experiencia. 15
2.2. Qual a probabilidade de obter um nurnero inferior a 80? 1 4
2.3. Sejam F e P os acontecimentos:
F : "obter 0 nurnero 50"
P : "obter uma bola preta na l.a tiragem"
2.3.1. Indique, justificando, a probabilidade de P IF I PI. 10
2.3.2. Verifique se os acontecimentos F e P sao independentes. 1 4
3. Considere a funcao t , de domfnio IW, definida por {(xl = x In x - x .
3.1. Sem recorrer a calculadora qrafica:
3.1.1. determine uma equacao da recta tangente ao qrafico de f no ponto de 1 4
abcissa 2;
3.1.2. estude a tuncao f quanto ao sentido das concavidades do seu grMico e 10
quanto a existencia de pontos de inftexao.
3.2. 0 conjuntc-solucao da inequacao /Ix l ~ l~ X e um intervalo fechado [a , b]. 14
Recorrendo as capacidades da calculadora qraflca, determine os valores de a e de b,
arredondados as centesirnas.
Nota: Na sua resposta, apresente os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora qrafica,
nomeadamente, 0 qrafico ou qraficos obtidos, coordenadas de pontos relevantes e ferra-
mentas utilizadas na calculadora.
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4. Numa cidade determinado indicador de polulcao da atmosfera varia periodicamente.
Durante os ultirnos 2 anos a rnedicao deste indicador e representada pelo qraflco da
figura seguinte, referente ao modele rnaternatico:
p (x ) = c + a cos (b x) , 0 ~ x ~ 104
em que P representa 0 numero de toneladas de poluicao Libertadas para a atmosfera
durante x semanas apes 31 de Marco,
o 13 26 39 52 65 78 91 104 x
( semanas)
4.1. Determine a, bee. 17
4.2. Para uma cidade ser considerada "verde" tem de obedecer as seguintes condicoes: 17
• a poluicao atrnosferica tem de ser inferior a 1 tonelada, em 50% dos ultirnos
dois anos;
• nao podera existir perfodos superiores a sete meses com poluicao acima de
1 tonelada;
• entre 0 dia 1 de Julho e 25 de Dezembro a poluicao atrnosferica tem de ser
inferior a 1 tonelada.
Numa cornposicao rnaternatica expLicite se a cidade apresentada pcdera ser consi-
derada "verde", justificando devidamente a sua resposta.
FIM
Mat em at ic aA -1 2. ' a na - T es te G lo ba l 1
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';'- '= _ ,- ,-_ ..., . -a : ....L,- 1 .:. -,~ j. ~ .~'.,
T E S T E G L O B A L- ,
Nome Da t a
Turma N .O D u ra ca o - 9 0 minu tos = -- 'A "" 'v a li= ·= ac= a" ' -o _
1.a Parte
As questiies da 1 . a parte sao de escolha muitipi«. Para cada uma delas, sao indicadas quatro
alternativas, das quais s 6 uma este correcta.
1. Indique 0 conjunto dos nurneros reais que sao sotucoes da lnequacao Logs(2 - x) > 1 . 7
(A) t- 3, 2[;
(B) l-00, - 3[ ;
(C ) l-3, + oo] ;
(0) ]- 2, 3].
2. Seja f: [0 , 21t] --+ IR uma funcao continua. Sabendo que 2 e 0 maximo absoLuto da 7
funcao f, entao fIx) pode ter expressao anatitlca iguaL a:
(A) 2 sin x - cos x :
(B) 3 - cos x :
(C) 3 cos x + sin x ;
(0) 2 - 2 sin x .
3. Na figura apresenta-se uma representacao grMica da funcao f continua de domlnio
]0, + 00[.
y
- - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x
3.1. 0 qrafico da funcao 9 (xl = f ~ J e dado por: 7
(A) (B)
Y \ U ~- - - - - -~ - - - - - - - -
- ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -, ,, ,
: b,,,,,,,,,,,
x a :,,,,,
x
Mat em at ic a A - 1 2. ' a na - T es te G lo ba l 2
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(C ) y (D)
,'L: :, ,, ,
, ,
, ,, ,, ,------ - - ~ - - - - - - - - - - - ~ - - - - " - - - - - - - - - - - - -
,,
xx
3.2. Sabendo que i' e t" sao, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas da 7
funcao f, entao a afirrnacao verdadeira e :(A) t' l a l - t' [b J = 0 ;
(B) f ( a J - f O O [ a J > O ;
(C ) f [ b J + f O O [ b J > O ;
(D) r: la l + t" [b J < 0 .
4. Na figura esta representado urn dado equilibrado "lmaqinarlo" e a sua respectiva 7
planificacao. '
-i
1 i -1
-i
i
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t
Lanc;:a-se0 dado duas vezes. Seja X a variavet aleat6ria "produto dos nurneros saldos
nos dois lanc;:amentos".
Indique 0 valor de k tal que:
P(X=-1)=k.
4(A) 36 ;
10(B) 36'
8(e) 36 ;
12(0) 36 .
5. Num clube desportivo existem 7 modalidades diferentes das quais 3 sao de cornpetlcao 1
em equipa.
Um jovem pretende inscrever-se em 3 modalidades diferentes. Quantas opcoes dife-
rentes tem, sabendo que se ira inscrever em, pelo menos, uma modalidade de
equipa?
(A) 3x4 C .,
(B) 4 x 3 C + 3 x4 C .2 2 ,
(e) 3 C x 4 C + 1 .1 2 ,
(0) 1 + 4 X 3 C 2 + 3 X 4 C 2 •
~,
6. A area da reqiao do plano complexo definida pelo conjunto: 7
{ZEC: 1~lzl~2 /\ ~~Arg(z)~~} e :
(e) 1 ;
1
" 4 '0)
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2.a Parte
1. Em {:, conjunto dos numerus complexos, considere:
z, =2 + 2i, Z2 = 2 cis ~ e Z3 = 2 cis 7: .
z,1.1. Sem recorrer a calculadora, determine Z2' apresentando 0 resultado na forma 10
alqebrica .
1.2. Z2 e Z3 sao duas rafzes consecutivas de fndice n de um determinado nurnero com- 14
plexo z. Determine n e as restantes rafzes fndice n de z.
2. Considere uma turma de 24 alunos. Qual a probabilidade de, pelo menos, dois alunos 15
desta turma fazerem anos no mesmo dia?
Numa pequena ccmposlcao, com cerca de 10 lin has, justifique a sua resposta e orga-
nize-a de modo a evidenciar os seguintes aspectos:
• lei de Laplace;
• procedimentos de contagem do nurnero de casos
favoraveis:
• procedimentos de contagem do nurnero de casospossfveis;
• nocao de acontecimento contrario.
Na resolucao do problema considere 0 ana com 365 dias.
3. Num saco ha 20 cartoes, indistingulveis ao tacto, em que 8 sao azuis e 12 amarelos.
3.1. Retiram-se do saco dois cartoes ao acaso. Qual a probabilidade de terem sido
retirados:
3.1.1. dois cartoes azuis? 7
3.1.2. um cartao de cada cor? 7
3.2. Suponhamos que sao retirados dois cartces, sucessivamente e sem reposicao.
Considere os seguintes acontecimentos:
A : retirar dois cartoes de cores diferentes;
B: 0 primeiro cartao retirado ser amarelo.
Determine:
3.2.1. P IA I B I ;
3.2.2. P 1 . 4 I B J .
10
10
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,. N a figura ao lade esta representada um a
circunferencia d e cen tro 0 e raio 1 , num
referencialor tonormado xOy, em que:
y
15
• P percorre a circunferencia n o sentid o
po si ti vo , i ni ci ando 0 seu percurso em R e
term inando em 5;5 R x
'.1. M ostre que PO + 00 + PO e dado, em
funcao de a, por:
P raj = ; + ~ 5 - 44cos a .
3 - v '3'.2. Determine 0 valor de a para 0 qual P raj = 2 .
'.3. Mostre que a funcao P [ a J e estritamente crescente em todo 0 seu d om in io .
14
15
5. N um a vila 0 caudal de urn ribeiro e dado pela funcao
{
235 - 12 log3 (3t + 27 )
L (t ) = 75 + k eO ,o s ( 1- 72 1
se 0 ~ t « 72
se i» 72
em que Leo num ero de litros por hora do caudal, t dias apes 0 in lcio da medlcao e k
um a c on sta nte .
5 .1 . Qualo caudal do ribeiro quando se iniciou a sua rnedicao? 5
5 .2 . Sabendo que a funcao L e c on tin ua , d ete rm in e 0 valor de k . 14
5.3. 0 caudal do ribeiro com ec;:ou a aumentar quando in iciaram as chuvas. Recorrendo
a calculadora qrafica . determ ine qual fo i 0 prim eiro dia de chuva apes 0 in ic io d as
m edic;:6es e em que dia e que 0 caudal atingiu os 500 litros por hera .
15
FIM
MatemAticaA - 1 2.' ano - T este G lobal 2
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- - - - -
T E S T E G L O B A L '
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~-F" _.~~ ........ ~r:.", • .! . _ .. ~ .~ - ' .....ri -: . r~. -~~. ' - r;' ."- •. ,. ~ -.:r~ __.._~
. '_ _ T ~ S T E , G L O B A L
N o m e D a t a
T u r m a D u r a c ; a o - 9 0 minutos ! . - 'A ,- , - ,v a ~ l i" " ,a c " " a " , -o _
1.a Parte
A s q uestiies d a 1 , a pa rte sao de escolha rmsi t ipl». P ara cad a u ma d elas, sa o ind icad as qu atro
a it er nat iv a s, das qua is 56 uma este corrects.
1 5, f f - d f ld IR f( ) sin (x ) + 1. eja a uncao e In! a em por x = 2x+1
Considere a sucessao de termo geraL u; = ~ ,n-n
7
o vaLor de Lim f( u n) e:
(A) 0;
(B) + 00 ;
1(C) 2'
(0) 1.
2. 0 quarto termo do desenvoLvimento de (Ln(2e2) - 1 )5 e : 7
(A ) - 20 Ln121- 40 ;
(B ) - 40 In 12e l - 40 ;
(C) 20 In 121+ 40 ;
(0) 40 In 12e l + 40 ,
3. Seja f uma tuncao de domlnio IR, continua, com derivada finita em todos os pontos
do seu dominic.
Na figura seguinte encontra-se uma representacao gratica de f', funcao derivada
de f.
y
x
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_ • :_...-:.~ ".~\""):~·~8 :'~}.:;a- ..,~~~~~ '=~...--.~--
T E S T E G L O B A L ' . ' . . < : ~• • ..... ~ ~ - • • .. \..,1. ••••
3.1. Sabendo que: 7
f[ - 51 = 2. t[- 41 = -1 • t [41 = 1 e f[51 = - 2. quantas solucces tem a equacao f[xl = 0 ?
(A) 2;
(8) 3;
(e) 0;
(0) 1.
3.2. Quais as abcissas dos pontos de inflexao da funcao f?
(A) x =- 4; x =4 ;
(8 ) x = - 5 ; x = 5 ;
(e) x = 0 ;
(0) x = - 4; x = 0 ; x = 4 .
7
4. Numa caixa existem tres bolas brancas e uma bola preta. Retiram-se duas bolas da 7
caixa, com reposlcao, e regista-se a sua cor.
Seja X a variavet aleatoria "nurnero de bolas pretas obtidas nas duas tiragens". Qual
das seguintes distribuic;6es de probabilidade pode ser a da variavel X ?
(A)Xj 0 1
P (X=x j ) ( ~ y 3 12x-x-
4 2
(8)Xj 1 2
P (X=x j )
1 3
( % Yx-x-4 4
(e)Xj 0 1 2
P (X=x j )
( t Y1 3
( % yx-x-4 4
(0)Xj 0 1 2
P (X=x j ) ( % Y3 1
( ± Yx-x-4 4
5. Seja S 0 conjunto de resultados, finito, associado a uma certa experisncia aleatoria. 7
Sejam A e 8 dois acontecimentos, contidos em S, tais que AU 8 = SeA n 8 * - 0 .
Sabendo que P (A ) + P (8) = = ~ , temos que:
4 1(A) P [AUB I=3" ; (8) p[AnBI=3" ;
2(e) P IA n BI = 3 " ;
- - 1(0) P IA UBI = 3 " '
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~-. ""'~I~""""~."""~M~tcr ..1":-_"'~:r"' ....--..*-~~~~f,.1';'" ~I' 0 - ~~ • - --- - _ . ~ - ~ '!
'T E :S ~ T r E · :G .L O B A L . 1
- - ~- . _ . ' .. - ~- '"-. - " - - ' - :.. . - - (
6. Em ([, conjunto dos numerus complexos, considere:
Z1 =4 + 3i e Z2 =2i x W
Sabendo que Z2 e urn irnaqinario puro em que 1m ( Z 2 ) < 0 e que I Z1 I = I z21 , entao:
7
(A) 5 . 31tW= CS-
2 '
(8)5 . 31t
W=-CS-
2 2'
(e) W= cis 1t ;
(0) W = ; cis 1t .
2.a Parte
1. Em ([, conjunto dos nurneros complexos, determine, sem recorrer a calculadora,
v '3 . ( . ( ; : . 2 • 1t)4 '194 VLCISg +1 ,
1 0
apresentando 0 resultado na forma triqonornetrica,
2. Seja z urn nurnero complexo tal que
z = k cis 321t , com k EIR .
Determine:
s=. 2.1. a que quadrante pertence [1 - ilz :
2i 22.2. 0 valor de k, sabendo que z = - 3 . 12
14
3. Uma empresa de reparacoes de redes de tetecomunlcacoes vai realizar 12 obras, das
quais 4 sao no distrito do Porto. A sequencia das obras vai ser realizada de forma
aleatoria,
3.1. Qual a probabilidade de que as 4 primeiras obras sejam exactamente as do distrito
do Porto?
Apresente 0 resultado em percentagem, arredondado as decirnas.
12
3.2. Para 0 rnes de Janeiro sao seleccionadas tres obras. Qual a probabilidade de
serem realizadas exactamente duas do distrito do Porto? Apresente 0 resultado em
percentagem, arredondado as decirnas,
12
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4. Num exame medico e medida a pressao sangufnea e registam-se dois numeros na
f d - l 120orma e razao, por exemp 0,
80'o primeiro ruimero representa a pressao sistolica, isto e, a pressao nos vasos sangufneos
quando 0 coracao contrai (bate) e espalha 0 sangue pelo sistema circulatorio. 0
segundo numero representa a pressao dlastolica, isto e, a pressao minima nos vasos
sangufneos no instante em que 0 coracao repousa entre dois batimentos.
De acordo com esta razao, a pressao sangufnea pode ser classificada do seguinte
modo:
• normal se for menor que ~350;
• moderadamente alta se estiver entre ~~~ e ~~: ;
• perigosamente alta se for maior que ~~~ .
A pressao sangufnea de determinado paciente e aproximadamente modelada por:
Pi t ) = 135 + 30 cos (2 ,51 t t ) , t ~ 0
onde P ea pressao em mmHg (milfmetros de rnercuriol, t segundos depois de uma
contraccao cardiaca.
4.1. Escreva a razao de dois nurneros que sejam apropriados a pressao sanguinea "
deste paciente e classifique-a no contexte do problema.
4.2. Qual 0 periodo do batimento cardiaco deste paciente? Explique 0 seu significado. 1 0
4.3. Indique a pulsacao deste paciente, em batimentos por minuto. 7
4.4. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que existe um valor de t compreendido l'
entre 1,8 e 1,9 para 0 qual a pressao sanguinea e 115 mmHg.
4.5. Utilizando rnetodos exclusivamente analiticos, determine os valores de t, perten- 16
centes ao intervalo [0, 2], para os quais a pressao sanguinea deste paciente emaxima e minima.
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t
• , , , - u , . - • - " . ' - - - - J :. ~ . .. .. .. . A__~
T E S T E G L O B A L ~•
5. Considere a funcao fIx) = loga (2x) , com a E IR, e a funcao 9 l x l = 33-Y x•
No referencial apresentado na figura est a parte das representacoes grMicas das funcbes
f e g, em que:
• A eo ponto de interseccao de f com 0 eixo das abcissas;
• Ceo ponto de interseccao de f e g, cuja ordenada e 3;
• [A D] .1Ox e [CB] / / [A D ] .
Recorrendo a metodcs exclusivamente analiticos:
5 .1 . determ ine a ;
5 .2 . m ostre que a area do trapezio [ ABeD ] e igual a 241(3 4 - / 2 + 1 ) u. a . .
7
10
5 .3 . prove que f e 9 tern um e apenas um ponto de in terseccao em todo 0 se u d om in io . 13
FIM
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)
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~ ~ ~ G E S T O E S D E R E S O lU C A O
1." Parte
1 . C .
3. C.
5. A.
2 . B .
4. D.
6 . B .
2 ." Parte
1 .1 . Nurnero de inquiridos que sao proprietaries de habita-
c;:aoe autornovel: 0,7 x 210 = 147.
Nurnero de inquiridos que nao sao proprietarios de
h ab ita ca o n em d e a uto rn ov el: 0,1 x 21 ° = 21 . Donde:
H H Total
A 1 4 7
A 2 1
Total 2 1 0
Como 87,5% dos inquiridos nao proprietaries de habi-
tacao tarnbern nao sao proprietaries de autornovel,
en tao este s 87,5% correspondem a 21 inquiridos,
logo 0 nurnero de nao proprietaries de habitacao e :
~ = 24 , donde se obtern a tabela.0,875
HH
Total
A 1 4 7 3 1 5 0
A 39 2 1 6 0
Total 1 8 6 2 4 2 1 0
186 311.2.1. P ( H I = 2 1 0 = 35
- p IA n H I 39 131 .2.2. P (A IH I P (H I = 18 6 = 62
2. C onsidere-se os acontecim entos:
A : " te r te lern ov el da re de A K " ;
B : "ter te le rno vel d a red e B K " ;
R : " te r r ed e" .
T em os que
p [ R I A I = 0,72, p [ R I B I = 0,96 e P ( B I = 0,8 1 , donde
P [ A I = 1 - P [ B I = 0 , 1 9
p ( R I A I = 1- p [ R I A I =0,28
p [ R I B I = 1 - p [ R I B I = 0,04
2.1. P [ R I = P [ A n R I + P ( B n R I < = >< = > P [ R I = 0 , 1 9 x o , 7 2 + O , 8 1 xo,96
< = > P [ R I = 0,9144
A probabilidade de ter rede movel e de 91,44%.
2.2. P [A I R I = P (~(~/?I < = >
< = > p [ A I R I p I A n R I < = >p IA n R I + P [ B n R I
< = > p [ A I R I 0,19 x 0,28 < = >0,19 x 0,28 + 0,8 1 x 0,04
< = > p [ A I R I = 0,05320,0856 < = >
< = > p ( A I R I " ,0 , 6 2 1 5
A probabilidade de ter um telernovel da rede A K ,
sabendo que nao tem
2
rede num determ inado local, e ,aproximadamente, 6 ,15%.
3.1.1 . Existem 7 garrafas para 7 posicces, logo,o nurnero
de maneiras diferentes de as ordenar e 7 ! = 5040 .
3.1.2. Existem 2 garrafas diferentes com rotulo azul, logo
2! m aneiras diferentes de as ordenar, 0 que t ar nb ern
acontece para as 2 garrafas com rotulo amarelo.
Quanto as 3 de rotulo branco, ha 3! m ane iras d ife-
rentes de as ordenar. R elativam ente a posicao relativa
das cores dos rotulos, existem 3! possibilidades.
Pode-se concluir que no total ha
3! x 2! x 2! x 3! = 14 4 m aneiras diferentes de ordenar
estas garrafas de azeite com os rotulos da mesma cor
juntos.
3 .1 .3 . V e jamo s 0 nurnero de possibilidades de colocar as
duas garrafas de rctulo azul juntas.
Como as duas garrafas estao juntas, temos 6 ! x 2!
possibilidades de as ordenar (6 ! relativamente a
posicao de cada garrafa, considerando as azuis como
uma so, e 2! possibilidades de ordenar as garrafas de
rotuto azul], de forma que as duas garrafas com
ro tulo az ul fiqu em jun tas .T fnh am os c on clu fdo q ue e xistia m 7! pos si bi li da de s d e
ordenar estas sete garrafas, logo, existem
7 ! - 6 ! x 2! = 3600 possibilidades de ordenar as sete
garrafas de forma que as de rotulo azul nao fiquem
juntas.
3 .2 .1 . S eja A 0 acontecimento "obter tres rotulos de cor
diferente".
Nurnero de casos possiveis: 7 C 3 lnurnero de sub-
conjuntos de tres elementos de um conjunto de sete
elementos!'
N urn ero de cas os I avo rav eis:2 C
1x 2 C
1X 3 C
1
[das duas garrafas de rotulo azul obter uma, das duas
de rotulo amarelo obter uma e das tres de r6tulo
branco obter tarnbem urnal,
P [ A I = 2 C 1 x 2 C 1 X 3 C 1 = E7 C 3 35
I})
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o
iii
3.2.2. Se ja B 0 a co n te c im e nto : "o bte r pe lo m e no s do is
r6 tu lo s b ra n co s ."
N um e ro de ca so s p os sfv e is : 1 C 3 = 35
N u rn ero d e ca s os Ia v o ra v eis : 3 C 2 x 4 C 1 + 3 C 3
Do co nju nto da s ga rra fa s com r6 tu lo bra nco re tira r
du a s e do co nju nto de ga rra fa s s em r6 tu lo bra nco
re tira r u m a ga rra fa :
3 C 2x 4 C 1 = 12 ,
o u re tira r t re s ga rra fa s co m r6 tu lo bra nco de u m co n-
ju nto de t re s :
3 C 3 = 1 .
3.3.1.0 a lga rism o do s m ilha re s te m 5 po ss ib il ida de s, po is
tem de pe rte nce r a o co n ju n to {2 , 3, 4 , 5, 6 } .
o a lga rism o da s ce nte na s te m 4 po ss ib il ida de s, po is
pe rte nce a o co n ju n to {2, 4 , 6 , 8 }.
o a lga rism o da s de ze na s te m 10 po s s ib il ida de s ,
po rq ue po de s er q ua lq ue r.
o a lga rism o da s u nida de s te m 2 po ss ib ilida de s, po is
o c6 dig o e m ult ip le de c inco , lo go e s te a lga rism o
p erte nc e a o co nju nto {O , 5} .
T em o s e nta o:
5 x 4 x 10 x 2 = 400
po ss ib ilid ad es de a trib uir u m c6 digo ne sta s co ndico e s,
3.3.2. Se o s a lga rism o s s a o to do s d ife re n te s e 0 c6digo eco mpo s to po r q ua tro a lga rism os e ntre 2000 e 7000,
t emos :
5 x 9 x 8 x 7 = 2520
po ss ib ilid ade s de a tr ibu ir u m c6 digo n es ta s co ndicce s.
3.3.3. Pa r a 0 a lga rism o do s m ilha re s te mo s 5 po ss ib ilida -
de s , d ife re n te s de ze ro . E nta o , com o o s do is ze ro s
do c6d igo s a o na o co ns e cu tiv o s, te rn de s e r o s a lga -
rism o s da s ce n te na s e da s u n ida de s , s e ndo 0 da sd ez en as q u a lq u e r.
L o go , t em o s :
5 x 1 x 10 x 1 = 50
p os sib il ida de s d e a trib uir u m c6 dig o ne s ta s co ncico e s.
4.1. Pa ra a A na ir a o e nco ntro da pcs ica o do B e rna rdo tem
de to m a r tre s v e ze s a dire cca o "pa ra ba ixo " e um a v e z
a dire cca o "pa ra a e sq u erda ", re la tiv a me nte a figu ra
dada .
L ogo , 0 r n i r n e r o de fo rm a s d ife re n te s de re a liza r e s te
tra je cto re s um e -s e a s d ife re n te s co rnbina cce s da s
le t ras B B B E , em q u e B re pre s e nta "pa ra ba ixo " e E
"p ara a e s q ue rd a".
En t a o , 0 tra je cto po de s er re a liza do de :
3~~! = 4 C 1 = 4 fo rm a s dife re nte s .
4.2. Pa r a 0 B erna rdo ir a o e nco ntro da po sica o do Ca rlo s,
te m de to ma r tre s v e ze s a d ire cca o "pa ra cirna " e tre s
v e ze s a d ire cca o "pa ra a s s q u e rda ", re la t iv am e n te a
fig ura d ad a.
Lo go , e xis te m 3~ ~! = 6 C 3 = 20 .
O u tra fo rm a de re s o lv e r e s ta q u e sta o s e ria u til iza r 0
tria ngu lo de P as ca l, o bte ndo o s 20 tra je cto s dife re nte s
e ntre B e C.
C 20 10 4
10 6 3
4 3 2
B
4.3. Se 0 Ca rlo s te m de pa ss a r pe la po sica o do B erna rdo ,
te m 20 tra je cto s dife re nte s [de te rm ina do s na a lfne a
4.2.1 e pa ra ir da po sica o do B erna rdo a da A na e xis te m
4 tra je cto s d ife re nte s [de te rm ina do s na a lfne a 4.1.),
lo go , e xis tem 20 x 4 = 8 0 tra je cto s do C arlo s a po sica o
da A na , p as sa ndo p ela p os ica o do B e rn ard o.
5.1. Com o A e B s ao a co nte cim ento s inde pe nde nte s e nta o
P IA n B) = PIA) x P [B) .
Te mo s q ue :
pI A n a)=1-p [A n a l== 1 - P[ AUB) =
= 1- [ P IA ) +P [B )- P [A n Bll=
= 1- P IA ) -P [B) +P [A n B) =
= 1 - P [ A ) - P [ BI + P [A ) x P [B ) = ,
po r q u e A e B s a o a co nte cim e nt os in de pe nd en te s
=1 -P [A )-P [B]x[1 - P [A ll=
= [1- prAll [1- P [B)] =
=p(A I x p@
Logo ,
pI A n a ) = pIA) x p@ ,
do nde s e po de co nclu ir q ue A e B s a o a c o n te c im e n -
t os i ndependen tes .
5.2. P[A)xP(B)-P [A) x p[a )=
=p[AnB)-p(A n a)= ,
po r q u e A e B s a o a co nte cim en to s inde pe nde nte s e A
e a s a o a c o nt e cim e n to s in de p e nd e nt es .
=P [A ) +P [BI -P [AUB) - [, - P IA naIl =,
po r q u e PIA) = 1 - pIA)
= P [A I +P [B) - P IA UB ) -1 +P[AUB)=
=P[A)+P[B)-1 .
51
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S U G E S T O E S D E R E S O L U C A O
1," Parte
1. C. 2. C. 3. B. 5. D. 6 . A .. C .
2." Parte
1 .1 . Se A e a sao acontecimentos com pativeis, entao
A n a ; t { l,
as acontecimentos A nB e A n a sao in co mp ativeis e
A = ( A n BJ u ( A n aJ , donde
P ( A J = = P ( A nEiJ + P ( A n aJ ~
~ p (A nE iJ = p (A J - p (A n a J .
1 .2 . S ejam o s a co nte cim en to sA : "0 o pe ra rio u sa o cu lo s"
a : "0 operario e u m h om em "
De acordo com as co ndicfie s iniciais temos que
P (A n BJ = 0,32 ,
P (A n aJ = 0,41 e P ( A J = 0 ,4 4.
1 .2 .1 . Ap li ca ndo 0 referido na alfnea anterior, tem os que
p (a J = p (A n aJ + p (A n a )
= 0 ,3 2 + 0 ,4 1 = 0,73
Como Ei (" 0 operario e um a r nu lh er "] e co ntrario ao
acontecimento a , p(8 j = 1 - p ( a J = 1 - 0,73 = 0,27.
1 .2 .2 . C om o A e c on tr ar io a o a con te cimen to A , entao
P ( A J = 1 - p ( A J =
= 1 - 0,44 = 0,56 .
Logo , P (A nEiJ = P ( A J - P ( A n aJ =
= 0 ,5 6" ":0 ,4 1 = 0 ,1 5 .
1 .2 .3 . P ( A I BJ = P ( ! (~JaJU sando a igualdade da alinea 1 .1 ., tem os que:
P ( A n EiJ = P (A J - p ( A n aJ =
=0,44-0,32=0,12.
Logo:
p ( A - la - l= p ( A n a ) 0 , 1 2 = 4 4 4 ° ; 'p ( a ) 0,27 ,0.
2. A bandeira tem cinco tiras, em que as tiras dos extre-
mos tem a mesma cor, pelo que existem 3 formas
d iteren tes d e colo rir as d uas ti r as d as ex trem id ad es.
Relativam ente as tiras centra is, tem os duas situacces
distintas:
• S e a tira cen tral e igual as das extrem idades, tem os
c or d if er en te d a 1 ~ p o si ca o
J l3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12 formas diferentes de
lj c olo rir a b an de ir a
igual a 1~ posicao
q ualq uer co r p ara a 1 ~ p osicao
!i?
• Se a tira central e d ifere nte d a c or d as ex tre mid ad es
temos
3 x 2 x 1 x 1 x 1 = 6 form as diferentes de
~
c olo rir a b an de ir a
igual a 1~ pos ic a o
c or d ife re nte d a 1 ~ e 3 ~ p os ico es
c or d ife re nte d a 1 ~ e 2 ~ p os ico es
'-----cor diferente da 1~ poslcao
'------- qualquer cor para a 1 ~ posicao
L ogo, existem 12 + 6 = 18 form as diferentes de colorir
a b an deira n esta s c on dico es.
3.1 . N." d e casos po ssiveis: 24 !.
Como existem 12 raparigas tem 12! sequencias dife-
rentes, e para os 12 rapazes tarnbern 12! sequencias ,
Como se pode iniciar a sequencia com rapaz ou com
rapariga, 0 n urn ero d e ca so s fav orav eis e :2x12!x12!.
L b a b i l i d a d , . l 2x12!x12!ogo, a pro a I I a e e i qua a 24!
3 . 2. 1. E x is tem % x 22 = 13 2 form as diferentes de realizar
e st a c om is sa o.
3 . 2. 2. E x is tem 1 2 A 3 = 1320 formas diferentes de realizar
e st a c omi ss ao .
3.3.1 . X ; 0 1 2 3
P[X=x; l 5 9 9 546 23 23 46
1 2 C 3 5porque P ( X = OJ= 2 4 C 3 = 46
1 2 C x 1 2 C 9P ( X = l J = 1 2 =_
2 4 C 3 23
1 2 C 2x 1 2 C , 9
P ( X = 2J = 2 4 C 3 = 23
1 2 C 3 5P ( X = 3 J = 2 4 C 3 = 46
3 .3 .2. A probabilidade de 0 nurnero de raparigas ser supe-
rio r ao n urnero d e rap azes e :5 9 23 1
P ( X = O J + P ( X = l J = = " 4 6 + 2 3 = 46 = '2
4 .1 .1 . S eja X a v ariav el ale at6 ria "a ltu ra d as c rian ca s" .
Como J l = 85 e a = = 5, entao
J l- a= 80 ; J l +a= 9 0 ;
J l- 2 a= 75 e J l+ 2 a= 9 5
donde se obtern a curva de Gauss do tipo:
p ( X > 80 J = = 1 - P ( X ~ 80J '" 1 _ (1
- ~,683 ) = 0,8415
"
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4.1 .2. P [8 5 < X < 95) = 0,5 - P [X~ 9 5) =
=05_(1-0,954)=0477, 2 '
(1 - 0,954)4.2. P IX < 75) = 2 = 0,023
Com o 0,023 x 26 = 0,59 8, estima-se que haja na sala
um a crianca dessa faixa eta ria com rnenos de 75 cm
de a ltu ra .
Teste de Avalia~ao
1." Parte
1. A .
2. C.
3. B .
4 . C.
5.1. D.
5.2. B .
5.3.0.
2." Parte
1 .1 . Recorrendo ao qraf ico da tuncao f, tem os que:
{
f[-ll = 0 ¢:::} {l093 [- a + b ) = 0 ¢:::} {- a + b = 3° ¢:::}
f r O ) = 1 lOg3 [b ) = 1 b = 3 1
< = > { - a + b = 1 ¢:::} { a = 2
b=3 b=3
1 .2 .1 . C omo fIx) = lO g3 [2 x + 3), temos que
O ,= {xEIR: 2X +3 >0}= ] - % , +00[ .
1.2.2. a co ntradom fnio de f e IR.
1 .2 .3 . lO g3 [2 x + 3) = 2
¢:::} 2x + 3=32 ¢:::}
¢:::} 2x = 9 - 3 ¢:::}
¢:::} 2x= 6 ¢:::::}
6¢:::::} x="2=3.
Logo, f[3) = 2.
2.1.1. a ponto A tem coordenadas da form a lx, 0), em que
x eo objecto cuja imagem, pela funcao i , e z er o.
f I x ) = 0 ¢::} e X - e = 0 ¢:::::} e X = e ¢:::::} x = 1
donde A [1 , 0) .
2.1.2. a ponto B tem coordenadas da forma [0, y ), em que
yea imagem de zero, pela t uncao g , isto e ,
y= 9 [ 0 )= f-1 [0) = 1 , porque 9 e a funcao in versa d e f.
Logo, B [0, 1 ).
S U G E S T O E S D E R E S O L U C A o
2.1.3. [ f o g ) [ 0) = fI g [ 0) ) = f[l) = 0 .
2.2. r = - e e assimptota horizontal da funcao f.
2.3. f e injectiva se e 56 se
V X l, X 2 E Of ' X l ;tx 2 ~ f[x 1 );t f[x 2 ) .
Consideremos X l , X 2 E Of tais que { [ X l ) = f[x 2 ) .
Entao e X, - e = e X, - e < = > e X , = e X , < = > X l = x2 •
A funcao f e injec tiva.
2.4. Com o f e 9 sao f uncoes inv ersas, logo, as suas repre-
san tac f i e s grM icas sao s i rne tr icas relativamente a bis-
sectriz dos quadrantes fmpares [recta de equacao y = x) .
Entao, os pontos de interseccao de f e 9 tarnbern
pertencem a equac ao y = x. I ntro du zin do as t uncoes
f I x ) = e X - e e h lx ] = x n a calcu lad ora g rM ica, o btem os
os grM ico s das m esm as.
Com ~,CALC e 5:intersect obtemos os pontos de
interseccao:
C r2,65 ; - 2,65) e 0 [1 ,42; 1 ,42)
[ com d uas casas d ecim aisl.
da s f uncoes f e g.
2.5 . fIx) = e X - e e 0,= IR .
e X - e = y < = > e X = y + e ¢:::} x=ln[y+e).
O ,_,=Og={yEIR: y+e> 0}=1-e, +00[.
Assim, a funcao g , in versa d a funcao t , e a funcao
9 : 1 - e , + 00 [ - IR
x-ln [x+ e)
3.1 . Q [2) = 21,286 [com t res casas dec imals) sig nifica q ue,
num rnes que 0 preco de venda do produto e de 2 euros,
por unidade, sao vendidas 21 286 unidades do produto.
3 .2. Como 0 custo u n i t a r i o da p r c d u c a o e de 2 euros, e n t a o
o lucro obtido por produto e de lx - 2), em que X e 0
valor em euros da venda ao publico do mesmo.
Como a quanti dade de produto varia em funcao do
p re co uni ta ri o deste, entao 0 lucro mensal da em presa
e dado por
L lx l = lx - 2 ) x Q lx l == [x - 2) x [e 5
-x + 1,2) , x > O .
3 .3 . Introduzindo as f uncoes L e y = 7,5 na calculadora
g ra ti ca obt emos:
A r - . .. B /<::»: C
onde se pode observar que 0 lucre pretendido e atingido
entre os pontos A e B e a partir de C. Com IJEQ],C AL C e 5:intersect, o btem os os po nto s de interseccao
A [2,6 31 ; 7,5), B [4 ,225; 7,5) e C [8,0 01 ; 7,5)
donde os valores de venda do produto devem variar nos
seguintes intervalos 12,63 1 ; 4,225[ e 18,001 ; + oo] .
53
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1."Parte
1. C.
2. B.
3.1. A .
3.2. C.
4 .1 . B .
4 .2 . A .
2 ." P a rt e
1.1.1. + 00 .
1.1.2. D .
1.1.3. +00.
1.1.4. +00.
1.2. A funcao f e continua no ponto x = 0 se e 56 se lim f i x )• )(--+0
existe e e igual a f l O ) .
Como flO) = 1 = lim fIx) entao f e continua sex-o+
lim fix) = 1x-o-
¢::> k = 1 . logo a funcao f e continua para k = 1 .
1.3. f'(-2)= lim fIx) - f(- 2)x~-2 x+ 2
=limx--2
2x2+1_(_9)
x+ 1
x+ 2
l' 2X 2 + 1 + 9x + 9
=x ~~2 lx + 1 ) lx + 21
= lim 2x2+ 9x + 10 ( 8 )
x--2 (x+1)(x+2)
u (2 x + 5)(x + 2 )
= x~~2 Ix + l)(x + 2)
= lim 2 x + 5 =x--2 x+ 1
2 x (- 2) + 5
-2+1
1=--=1=-1.
Ca lculo aux il ia r:
2 9 10
-2 -4 -10
2 5 l Q _ _
donde 2x 2+9x+1D=(x+2)12x+5)
5 4
1.4 . 0 declive da recta tangente ao qrafico de f, no ponto de
abcissa x = 2, e f' ( 2) .
1 21n xComo f'(x)=tnx-xln2=---xln2, para x> l
. , t2assrrn fI2)=-ln2=2- 1+1n 2xln2
2
Como f ( 2 ) = tn 2, entao 0 ponto [2, 21n2 ) p er te nc e arecta tangente de f no pon to x = 2, donde
21n 2= 2-1+1n 2 X In 2 x 2 + b ¢::>
¢ : : : : : > 21n2 = 2 1n2 X In 2 + b ¢::> b = tn 2 11 - In 2)
L og o, a re cta p re te nd id a e Y= 2-1+1n 2 x+ 21 n21 1-ln 2)
1.5. Por observacao do qrafico d a f un~ao g, sabem os que:
quando x -+-00, a derivada de 9 tende para zero;
quando x -++ 00, a derivada de 9 ta rnbe rn tende
para zero; em x = - 1 e em x = 4 a derivada tem valor
zero.
Podemos tarnbern observar que 9 e crescente no
intervalo l- 1 , 4J e e decrescente no intervalo
J- 00, - 1) U [4 , + 00 l,donde g' [x ) > 0 em
x E J- 1 , 4[ e g' [x ] < 0 em x E J- 00, - 1[ U J4, + o o [ ,
logo, 0 qrafico que cor re sponde a rs pre s en ta ca o q ra fic a
de g' eo ! A I .
2.1. L (4 ) = - 14;_~n 4 = 1,94, 0 que significa que 0 lucro
obtido pela empresa no quarto rnss foi de 1,94 milh6es
de euros .
2.2. LI t ) = 0 ¢ :: : : :> - 1 ~ In t = 0 ¢ : : : : : >
e t
¢ :: : ::> - 1 + In t = 0 t\t; t 0 ¢::>
¢ : : : : : > In t = 1 t\t; t 0 ¢ : : : : : >
¢ : : : : : > t= e 1¢::> t= e
I
Como t = e = 2,72, a empresa cornecou a ter lucro no
terceiro m eso
2.3.1. L I t ) = - 1 + ~ntt e
- e3 + e3ln t
t
L ' [t ) = 0 ¢ : : : : : > 2 e3 - e3 In t = 0 t\t 2 ;t 0 ¢ : : : : : >
¢::> In t =1\t ;t 0 < = >
¢::> t = e2
T emos quet 0 e
2
L'{t) + 0 -
L{t) / Max. \
L ogo, a em presa atingiu 0 lucro m axim o em t = e2=7,39,
au seja, no oitavo m eso
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S U G E S T 0 E S D E R E S 0 l U C A'(f
(
2.3 .2. 0 lucro maximo obtido pela empresa foi
-1 + I n le 2)
L le 2)
- 1 ;- 2 = e '" 2,72e
isto e, 2,72 m ilh6es de euros.
e3.::._ x t2 - 12 e3 - e3 In tl x 2 t
2 .4 . L " ltl =_t __ --,-=- _I t 2 ]2
- e3 t - 4e 3 t + 2 t e3 In t
rt 1 - 5e3 + 2e 3ln tl
t 4
- 5e 3 + 2e 3ln t
f
LUlt l= 0 ¢::> - 5e3
+ 2e3
In t = 0 1\ t3
;t: 0 ¢::>
¢::> In t = % 1\ t;t: 0 ¢::>
5
¢::> t= e 2 ¢::> t=W", 1 2 , 1 8
d onde se pede concluir que a segunda cam panha publi-
citaria inic iou durante 0 13.0 meso
3 .1 . Pretende-se calcular k , tal que y = 5x seja uma
, b l f d f - h I I kx2
+ 1ass i rnpto ta 0 t q u a a u nca o x = -x-,
Como m= lim ~=x-±oo x
kx2 + 1
= lim __ x_x __ eee X
li ki+ 1(~)= 1m --=
x _±oo x 2
kx2
= lim -2 = k, d on d e k = 5.x _ _ ±oo X
Para verificar que existe a assimptota oblfqua y = 5x
para a funcao h, tem os que ter
b = lim Ihlxl - mxl = 0x __ ±co
Como b = lim ( 5 X 2 + 1 - 5 X ) =x _ _ ± 00 X
= lim ~ + 1 - ~ = lim .l = 0x _ _ ±oo X x-±oo X
Donde y= 5x e assim ptota oblfqu a de h I xl p ara k = 5 .
3 .2. Pelo corolario do teo rem a B olzano-C auchy : se u ma funcao
h e contin ua num intervalo [a, b1 e h lal x h I bl < 0 ,
entao 3 c E la, b [ : h lcl = 0 .
Como h e continua no intervalo [1 , 21 lporque e 0
quociente de duas funcoes polinom iais continuas neste
in terv alo l e h 121 < 0, se h 111 > 0 podemos garantir
que 3cE11, 2I: hlcl=O.
h111>1 /\ h121<0 ¢::>
¢::> k + 1 > 0 1\ 4k + 1 < 0 ¢::>1 2
¢::> k > - 1 1\ 4k + 1 < 0 ¢::> k > - 1 1\ k < - ±L ogo, para k E ]- 1 , - ± [ a fu ncao h tem pelo
rnenos um zero no intervalo 11 , 2[.
Teste deAvalia~ao
1." Parte
1. 0
2. C
3 . C
4 . C
5. B
6. A
2. " Parte
1 .1 . C om o e> % entao f(el=a+bcose=3-cose,
porque a= 3 e b=-1,sin e .
tg e = 2 ¢::> --e = 2 ¢::> Sin e = 2 CD S e ;CD S
sin 2 e + cos? e = 1 ¢::>
¢::> 12 CD S e ) 2 + cos' e = 1 ¢::>
¢::> 5 cos' e = 1 ¢::> cos' e = .l ¢::>5
- V s V s¢::> CD S e=-5- Y CD S e=T
Como tg e> 0 entao e E 3 .° Q., donde cos e = - ~ ,
( - V s )og o fW l = 3 - -5- =
V s=3+ -=
5
1 5 + V s5
1.2.1 .Afun~ao fecontlnuaem x=%se
lim flxl= lim f lxl=f('?£2)'7[- n+
X-'2 x-2'
T em os quex-!!
lim flxl= lim e 2=eo=1,x-~- x-~-
lim f( xl= lim ll scos xl«7[+ 7[+
x-2' x-2'
= 1 + cos.?£ = 1 + 0 = 12
e f (%) = 1 +cos%= 1,
donde f e continua em x=%,
1 .2.2. 0 dom inio de f e IR ,
1tPara x < '2 temos
x -!! x 1t
o < e 2 < eO ¢::> 0 < e -2 < 1 .
1tPara x~ '2 temos
- 1 , . ; ; CD S X , . ; ; 1 ¢::> 0 ,. ; ; 1 + CD S X , . ; ; 2 ,
Temos entao que 0;= [0, 21 .
55
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1.2.3. ( )
al lim !_!_=x_+oo X
= lim 1 + cos x =x_+oo X
I' 1 I' cosx= 1m -+ 1m _-x_+oo X x-+oo X
=0+0=0 ,
porque - 1 0 ; ; ; cos x 0 ; ; ; 1 .
b lI' fIx) I ' eX-~ 01m - = 1m -=__ oo X x __ oo X
I I' f(xl - fix)
c Im----X-1t X-1t
= ("(x) = - sin 1 t = 0
1 .2.4. f(xl - f(~ )
al lim 2x-j+ X _ ~
2
=-sin~=-12
f(x l- {~ )Iim __ ___:.__:_
x-~- xx-2
Logo , na o existe f ( ~ ) ,
b l Como f e continua no intervalo [- ~, ~] porque
e um a fun~ao exponencial e e continua em x = ~ ,
tem os qu e:
f ( - ~ ) =e-l=.l< V 22 e 2
( x ) x V 2f 2 =1+Cos2=1+0=1> 2
L o go , p elo T eo rema d e B olz an o-C au ch y,
]1 t 1 t [ V 2
3xE -2' 2 :f(xl=-2-'
c J O s pontos de in f lexao da fu nca o f sao os zeros dei", segunda derivada de f.
Como para x < ~ a funcao e e xp on en cia l, c om
co nc avida de vo ltad a pa ra cim a, na o tem pontos de
inf lexao n e ss e i nt er va lo .
Para x> ~ , ("(x) = - cos x, logo (" '(x) = 0 ~
~ -cosx=O ~ cos xeD ~
~ x = ~ + k 1 t , k E 7 l . . , donde existe um a
in finidad e d e p on to s de inf lexao da funcao f.
2.1. L ( 1) = 5 + 3 10-3 cos~'" 2,677 m il euros6, 5
2.2. 0 ana de 2006 e re presen tad o na fu nc ao L lt) no inter-
valo [0 , 1 31 .
Temos crt) = 310+ ~ ~ sin ( :.~) ,
56
U tiliza nd o a calc ulado ra qrafic a o btem os 0 q raflco da
funcao crtl :
donde se obtern os zeros de C(t) com [ ]EQJ CALC ,
2:zero.
O tbem os assim que L'(t) = 0 ~
~ t " , 6 , 5 5 V t " , 1 2 , 9 5 , para 0 0 ; ; ; t 0 ; ; ; 1 3 ,
Pela obsarvacao do qrafico de L'(t) obtern-se :
t a 6,55 12,95 13
L'l t]1 a a 1
3 ii + - + 3 ii
LIt] 2 / 8,22 -, 2,43 / 8,43
donde a empresa obteve um lucro maximo durante 0
rnes de J ulho de 2006,
2.3. U t ili za nd o a c al cu la do ra q r a f i c a obtemos 0 q r a f i c o da
funcao LI t ) e da t uncao y= 5.
Com [ ]EQJ, C AL C 5:intersect obtem os os pontos de
i n t e r seccao d os d ois q r a f i co s :
o nurnero de m eses que ultrapassou 0 lucro de 5 m il
euros em 2006 foram X2 - Xl = 6,8 meses e em 2007foram x 4-x 3=7,41 meses.
2.4. A afirmacao e ve rdade i r a ,
Segundo 0 modelo rnaternatico do s lucros o bt id os p el a
empresa nos anos de 2006 e 2007, observa-se um
aumento dos mesmos no ana de 2007, ja que 0 n u r n e r o
de meses com lucre superior a 5 m il euros e superior
em 2007 relativam ente a 2006, e segundo este m odelo ,
aumentara progressivam ente cada ana que passe, pois
lim LI t ) = + 00 ,t-++oo
x .--smx
31 I· fIx) I' -=2_
.. Im -= 1mx-a X x-a X
I' x I' sin x= Im -- Im --=x-o 2x x-o x )
1 1=--1=--2 2
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3 .2 . ( "( xJ = = ~ - cos x
('"(xJ = = 0 ¢::> ~ - cos x = = 0 ¢::>
1¢::> cos x = = - ¢::>2
1t¢::> cos x = = cos 3 ¢::>
¢::> x = = ~ + 2 k 1 t V X = = - ~ + 2 k 1 t , k E Z .3 3
01t 51 t
21 t3 3
(" [x) - 0 + 0 -
f Ix) ".......... P . 1 . <:» P . 1 . "..........
A tuncao i , d efin id a em [0 , 21tl, tem dois pontos de
. _ (1 t 1 t 0) (51 t 51t 0)mflexao P I 3' 6-2 e P 2 36+2 .
A fu ncao ( tem concavidade voltada para cim a no
intervalo ]~, 5; [ e concavidade voltada para baixo
no interva lo ] 0 , ~ [ U ] 5; , 21t[.
Teste de Avalia~ao m
1." Parte1. C
4. 0
2. A
5. A
3. C
6. B
2. " Parte
1.1.1. Zl e um nurnero real se
a :;t 0 / \ 2 - b = = 0 ¢::> a E [R \ { O J e b = = 2
1.1.2 . z, e um irnaqinario puro se
a = = O / \ 2-b:;tO ¢::> a = O / \ bEIR\{2}
1.2.1. Z2 + Z3= - 1 + 2 i + i = - 1 + 3 i
1.2.2. Z 2 - Z3= - 1 - 2i - i = - 1 - 3 i
1.2.3 . Z2 + Z3 = - 1 + 2i + i =
=- 1 + 3 i =
=- 1 - 3 i
1.2.4. iZ2x ( Z 2 +z 3J = i 1-1 + 2iJ x 1-1 + 3 iJ=
= 1- 2 - il x 1-1 + 3i J =
= 2+3-6i + i=
= 5 -5i
1 .2 .5 . Zz = - 1 + 2i __Z3
1-1 +2iJ 1- iJ=
1
2 + i=-1-=
=2+i
Z3 iI- 1 - 2il
1 .2 .6 . Z z = 1- 1 + 2iJ 1 - 1 - 2il
2 - i 2 1.
=1+4="5-"51
1 .2 .7. I Zz J 3= 3 Co1-1 J312iJo+ 3 C 11- 1 J Z I2 iJ 1 +
+ 3 C 21 - 1 J1 12 i] 2+ 3C31- 1JO12i ]3=
= 1- 1 J + 3 x 2i + 3 x (- 1 J x (- 2J + 1- 8il =
= - 1 + 6i + 6 - 8i = 5 - 2i
1 3Zz -.
. . w = - : - Z3 I=I
-1 + 2i 1_ il i =
= (- 1 + 2iJ (- iJ _ 1 =
1
=2+i -1=1+i
Como Re (w J = 1m Iw l entao w p erte nce a b issectriz d os
q uad ra nte s fmp are s.
1.4 . Como Z3 e raiz de P l z J , utilizando a regra de Ruffini,
p od emos d ecompor 0 polin6mio P :
2 2
2i -2+i -1
2 1 +2i
Assim, P l z l = [z - illU + (1 + 2il 1+ iz J .
Como 0 conjugado de i, - i , t a r n b e m e raiz d o p olin 6-
mi o P e recorrendo mais uma vez a regra de Ruffini,
temos:
-i
2 1 +2i
-2i -i
2 o
Assim, P l z l = ( z - il lz + i] (22+ 1 1 .
L 'd P l l - . . -1o go , as ra izes e z sao Z= I, Z=-I e z=2'
1.5.1. z, = 2 + [2 - 2 + 20J i = 2 +20 i .
20Seja () = A rg z, entao tg () = -2- = 0 .
Como z, pertence ao 1.° quadrante, entao
tg ( ) = 0 /\ ( ) E ] 0 , ~ [ , donde () = ~ .
Como Izll = . J 2 z + (20)2 =
= v ' 4 + 1 2 =
= 1 / 1 6 = 4
E - 4 . 1tntao, z, = CIS3.
52 1· 1 t . 1 t '.. , .
1 ... Z3= CIS"2 = CIS"2' porque e urn rmaqrnano puro
com Im(z3 1 > O e IZ31 = 1.
57
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~ - ,S ' UG E S T 0 E S 0 E R E S O L U C A 0
2.1.1 . lzsl ==2
A rg [ z s ) ==7t
Logo, Z s ==2 cis 7t .
2n; 7tA rg [ Z A ) = 7t - 3 " " = 3
Logo, Z A ==2 cis ~ .
2 . 1 . 3 . l z F I ==8
2n; 5n;A rg [ z F l ==7t + 3 " " = 3 " "
L 8' 5n;
ogo, Z F = = CIS 3 " " '
2 .2 . 1 . Z A
[ 13 23 ' 3n;
2 . 2 . 2 . Z A == CIS 3 " " ==
==8 cis 7t ==Z E
2 . 2 . 3 . Z A x Z s x Z c ==2 x 2 x 2 cis (~ + 7 t + 5;) ==
8 ' 9n ; 8 '== CIS 3 " " = CIS 7t ==Z E
16 16, ( 7t )2.2.4. -,-n;- = TCIS 27t - 3 ==
2cls3
==8 cis ( 2 ~ ) = Z F
2 .3 . Z E ==8 cis 7t
V '4= %cis (n; +32k7t
) , kE{O, 1, 2}
V '4==2CiS(~+ 2~n;), kE{O, 1, 2}
Para k ==0, Z = 2 c is ~ ==Z A
Para k == 1 , Z = 2 c is (~ + 2;) ==2 cis 7 t ==Z s
Para k = 2 , Z = 2 C iS ( ~ + ~n;)==2CiS 5 ; = = Z c
Logo, Z A ' Z B e Z c sao ra fzes cubicas de Z E '
2.4. Z A ==2 cis ~ = 2 (co s ~ + i s in ~ ) =
=2G+i~)==
==l+V3i
7t ,lln; 1 12.5. " 6 ~ A rg [z - 8 CIS 7t I~ -6- 1\ Z ~ 8
3.1.1
<1Z 1
<4 1\ 1
z+41 == 1Z - 4i1
3.2. -I~A rg [z] ~ I 1\ 1m lz ] < 2
58
1." Parte
1 . C
4. B
2. C
5. A
2. " Parte
. )
3. 0
6. A 7. C
1 .1 . Como z eci s c . e nt ao z == cis [ -a l,
Temos que :
Z + z ==cis a + cis l- al ==
==cos a+ i s in a+ co s [-al + i s in [-al ==
= cos a + i ~ a + cos a - i ~ a ==
==2 co s a
1.2 . Seja z, ==k cis e ,
Zl x Z ==4i < = > [k cis e ) [cis al ==4 c isI= >
< = > k cis [e + al ==4 c isI= >
< = > k ==4 1\ e + a ==I2k7t, k E Z
Como o<a<I '
entao e ==2 ! . - a2 '
7tdonde A rg [Zl ) =="2 - a '
f ) t
2. Cons ide re m-se os acontecim ento s:
B : "tira r um a bo la branca"
P : "tira r uma bo la pre ta "
E : "obter 0 numero 100"
F : "obter 0 nurnero 50"
G : "obter 0 nurnero 60"
Pa ra res olve r as ques tbes se gu intes e ne ce ss ario o rga -
niza r a into rmacao num diagrama de arvo re :
2 . 1 . P [ E I ==P [ B n E ) ==
==P [ B I x p [ E I B ) ==
3 1 1=5"x'3=5"'
P ( E I B ) = i E
B~F
3
2
p~F
P ( G I P ) =1 G3
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2.2. Seja H 0 acontecim ento "obter um nurnero inferior a
80". Como nesta experiencia s6 e possivel obter os
nurneros 50, 60 ou 100, temos:
P [H ) = .P [F ) + P IG ) =
= [ p [ F n B ) + p [ F n pJ ) + P I P ) xp [ G iP ) =
= [ P [B ) x p [ F i B ) + P I P ) x p [ F i pJ ) + P [ P J x p [ G i P J
3 2 222 1= - x - + - x - + - x - =
5 3 5 3 5 3
6 4 2= " 1 5 + " 1 5 + " 1 5 =
12 4
= " 1 5 = 5
2.3.1. T emos que
p [ F iP J = P [ F n p J =p [ p J
2 1 22 1-x-+-x-x-5 3 532
2
5
2 4" 1 5 + 3 0
2
5
8
30 40 2-=-=-
2 60 3
5
2.3.2. T em os que:
P [F J = p [ F n PJ + P[Ff) B)
3 2 2 2 6 4 10 _ 2= 5 x 3 " + 5 x 3 " = " 1 5 + " 1 5 = " 1 5 - 3 "
Y1 .a tiragem de bola branca
L l.a tiragem de bola preta
e P [ F i P J = t
Entao como P [ F J = P [ F i P J en tao o s aco ntecim en to s
F e P sao i ndependen te s.
3.1.1.0 declive da recta tangente ao q r a f i c o de , no pontode abcissa 2 e f' [ 2J .
Como f' [xJ= x' ln x + x [ l n xl' - x ' =
= In x + x x . . !_ - 1 =x
= In x + 1 - 1 = I n x
logo f' [2J = In 2 .
A imagem de 2 pela funcac , e 2 I n 2 - 2,
donde
2 In 2 - 2 = 2 In 2 + b ~
~ b = 2 1n 2 - 2 I n 2 - 2 ~
~ b = - 2
L ogo, a recta tangente ao qrafico de , no ponto de
abcissa 2 e :
y=[ln2Jx-2.
3.1.2. Como ' ' ' [ x J = + / \ x > O entao ' ' ' [ x J > O para x > O ,
donde a concavidade da I uncao t e voltada para cim a
em todo 0 seu dominio, logo nao existem pontos de
i n f texao,
3.2. I n se rindo na c alc ul ador a qrafica.
Y l = x In x - x
eX
e Y 2= 1 O x
na ca lculadora q ra fi ca o b te rn -s e os qra f i cos
U tiliz an do a fe rrame nta [ ]EQJ, CALC e 5 :in te rs ec t,
obtern-se as dois pontos de interseccao de Y1
e Y2,
arredondados as cen tes imas :
[3 ,61 ; 1 ,02J e [5,09 ; 3,20)
Como Y 1 ~ Y 2 para 3 ,61 ~ x ~ 5 ,0 9 , en tao
eX
'[x) ~ 1 O x
no intervalo fechado [3 ,61 ; 5,09 ],
donde a=3 ,61 e b = 5 , 0 9 .
4.1. Temos que 0 ~ P I x ) ~ 2.
Como
- 1 ~ cos [ b x ) ~ 1 , 'i f b E IR
- a ~ a co s [ b x ) ~ a
c - a ~ c + a co s [ b x ) ~ c + a
Logo
c - a = O ~ c = a ,
donde vem que
c + a = 2 / \ c = a ~ c = a = 1
Entao
p [ x J = 1 + co s [ b xJ .
P [ 1 3 J = 1 ~ 1 +cos [ 1 3 b J = 1 ¢:}
~ cos [ 1 3 b ) = 0 ~
~ cos [13bJ=COS(%) < = >
~ 1 3 b =% + k n , K E l l < = >
n kn~ b = U + 1 3 ' K E 7 1
Logo,
P [x ) = 1 +cos (~ x ) , 0 ~ x ~ 104 .
59
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4.2. A cidade apresentada no problema pode ser conside-
rada uma cid ad e "v erde" po rq ue relativam en te a :• 1? co ndica o - temos que a f uncao P l x l tem e xa cta-
mente 52 semanas 150% das 104 semanasl. com polui-~ao inferior a 1 tonelada, logo satisfaz esta condicao,
• 2? condicao - 0 maior perfodo com poluicao superior a
1 tonelada durou 65 - 39 = 26 semanas; como sete
meses correspondem a 28 semanas, a cidade nao
ultrapassou os sete meses consecutivos com poluicao
superior a 1 tonelada, logo satisfaz esta condicao,
• 3? co nd ic ao - 0 dia 1 de Julho e 0 9 1.0 dia ape s 0 dia
31 de Ma r co , logo 13 semanas ape s 0 in fcio d as
rned icces, em que a po lu icao e inferior a 1 tonelada;
o dia 25 de Dezembro e 0 269.0 dia apos 31 de
Marco , logo 3 8,43 semanas apes 31 de Marco , ondea pol ui ca o e inferior a 1 tonelada, entao tambern
sa tis fa z e sta co nd ic ao .
Teste Global fJ
1."Parte
1 . B 2. A
3.1 0 3.2 C
4. B 5.0 6. B
2.' Parte
1.1 . Como Z 1 = 2 + 2i , temos que
p = './22 + 22 = v B = 20
e tg ()= 1 /\ ()E ]0 , % [ , donde () =~, logo
Z 1 = 20 cis ~.
20 CiS~4Z 1
2
. 11 :CI S 2 "
= 0 cis ( ~ - ~) =
= 0 cis ( - % ) = - 0 i .
1.2. Como Z2 e Z3 sao duas rafzes consecutivas de indice n
de um certo nurnero complexo e os argumentos das n
solucoes estao em proqressao aritrnetica de razao 2;,
p odem os con cluir q ue:
211:= 711:_~ < = >n 6 2
< = > 211:= 711 :- 3 1 1: < = >n 6
< = > 211:= 411: < = >n 6
< = > 211:= 211: < = >n 3
< = > n= 3
60
Don de, a terceira raiz cub ics, W, tendo 0 m esm o m odu lo
que Z2 e Z3 , P = 2, tem argum ento:
() _ 711: 211:_ 711:+ 4 11 :_ ~-6+3- 6 -6'
l 2. 1111:
ogo W= cls-6-.
2. Numa turma de 24 alunos, 0 acontecimento
A : "pelo menos dois alunos fazerem anos no mesmo
dia" e c cn tr ar io a o a conte cimento
A : "nenhurn aluno faz anos no mesmo dia",
logo P I A l = 1 - P IA l .
Para 0 acontecimento A , 0 nurnero d e c as os f avorava is
e' 365A 365! ds a seouf . d 2420 = 341! ' que correspon e a sequenc i as e
dias diferentes de aniversar io , no ano, sem repet icoes,o ruirnero de casos possiveis sao 36520 , 0 que c or re s-
ponde a 365 possibilidades de datas de ar i i versar io
para cada um dos 24 alunos.
Segundo a lei de L aplace, a probabilidade de um aeon-
tecimento e igual ao quociente entre 0 nurner o de
casos tavoravals ao acontecimento e 0 numero de
casos possiveis, donde:
_ 3 65A2o
P I A l = 365 20 '" 0 ,4 61 65 .. .= 0,46 12 c . d . l .
Como PIAl = 1- P I A l = 1- 0,46 = 0,54.
3.1.1. Plretirar dois cart6es azuisl = 280 x 179=
56 14
38 0 = 95
3.1.2. Plretirar um cartao de cada carl = 280 x ~~ =
96 24
= 380 = 95
3.2.1. P IA I Bl representa a probabilidade de retirar dais
cart6es de cores diferentes, sabendo que a primeiro ede cor amarela, isto e , a probabilidade do segundo
cartao ter cor azul, logo P IA I BI = 189 .
3.2.2. P IA I BI representa a probabilidade do acontecim entoA lcontrario de A I, retirar dois cart6es da mesma
cor, sabendo que 0 primeiro e de cor amarela, isto e , aprobabilidade do segundo cartao ter a mesma cor do
prim eiro, am arela, logo P I A IB I = ~~ .
4 .1 T em os que:
op= 1 lp or qu e e um r aio da c ir cunf er en ci al , 00 = 1 eo
ponto P tem coordenadas lees a, sin aI, 'i f a E [0 , 1 t1 .
Como po=(i-cosa, -sina), entao
I l p o l l = ( i - cos a Y + 1- sin aJ2 =
, )
= ~ ±- cos a + cos' a + sin2 a =
=~t-cosa
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Logo, p[al=l+~+~%-cosa=
=%+~%-cosa=
_ 3 /5 - 4 co s a-"2+ Y 4 .
3 - \ 1 34.2 P[al=-2-~
~ /5 - 4 c os a 3 - \ 1 32+Y 4 -2-~
~ 5 - 4 cos a = ( 3 - V 3 _ l ) 2 ~42 2
~ 5 - \ C O S a = ( - r Y ~3
~ 5-4cosa=4xt; ~
~ - 4 cos a= 3 - 5 ~
~ -4 cosa= -2 ~
1~ cosa= "2 ~
1t~ cosa=cos"3 ~
1t 1t¢=> a= "3 + 2 k 1 t V a= - "3 + 2 k 1 t , k E 7 L
Como aE [0 , 1 t J entao para a= ~ temos
3 - \ 1 3P[a)=-2-'
4.3 Como P ' [ a ) =~ (5 - \ C O S a t ~ (% - cos a ) '
1 . 1=-Snax =
2 ~5 - \COsa
si n a
e para 0 ~ a~ 1 1 : temos
sin a~ 0 / \ 2 ~ 5 - 44cos a > 0
P ' [a ) ~ 0, if a E [0, 1 tJ ,
logo a funcao Pta) e e st ri tamen te c re sc en te .
5. 1 L I D ) = 235 - 12 log3 [27) =
= 235-12 x 3 =
= 235 -36 =
= 1991 /h
520 lim L [ t )= l im_[235-12log3 [3t+27)]=• 1-72- 1-72
= 235 - 12 log3 [3 x 72 + 27) =
= 235 - 12 log3 243 =
= 235 -12 x 5 =
= 235 - 60 = 175
Como L e con ti nu a, e nt ao :
L (72) = 1 75 ¢=>
~ 75 + k eO .051 72-7211 75 ¢=>
~ 75 + k eD= 175 ¢=>
~ k = 175 - 75 ¢=>
~ k= 100.
5.3 Apo s in tr od uz ir a s funcces
Y , = 235 - 12 loq, [3 t + 27) , 0 ~ t < 72 ,
e Y2= 7 5 + 1 00 eO .0 51 1-7 2I ,> 72
na ca lcu ladora qra f i ca ,
obtern-se 0 qra f ico :
Por observacao do qrafico podem os afirm ar que 0 cau-dal do ribeiro comecou a aumentar no 72.° dia, logo,
este loi 0 p rim eir o dia de c huv a.
I ntr od uz in do uma n ov a funcao Y 3 = 5 00 ,
obtem os os qra f i cos :
1
onde, com a ferramenta ~,CALC e 5:intersect,
s e d et erm in a 0 ponto de interseccao de Y 2 e Y 3 :
1
r - - - - ' JInt~rl>l:<:tion1 I= 10 0.~ J :B n ~ y = s o ;.( J _ _
L o go , lo i d ur an te 0 1 01 .° dia que se atingiu 0 caudal de
500 litros por hora.
61
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Teste GloballJ
1." Parte
1 . C
2. A
3 .1 B
3 .2 C
4. D
5. B
6. D
3 .1 . Nurnero de casos favoraveis: 4! 8!
Nurnero de casos possiveis: 1 2!
4 ! 8 ! t x 1 > x 2
P=""""12T"= )1xll x l0x9=
1
11 x 5 x 9
1
49 5
'" 0,0 02 = 0 ,2%
2. " Parte
1 V 3 " ( ' '2 " 1 t ) 4 " '9. T I V L CIS 8 + I
= ( ~ cis ~ ) ( 4 cis ~ ) + i3=
= V 3 cis ( ~ +~) - i =
= V 3 ci s ( 1 t) - i =
= -V3-i=
2" 71 t
= CIS6porque
3 .2 . N u rn er o d e c as os favoraveis: 3 A 2x 9 A ,
Nurnero d e c as os poss l v e i s . '2 A 3
3 A 2 x 9 A , 3 x 2 x 9
P = '2 A3
12 x 11 x 10
9= 220 '" 0 ,041 = 4,1 %
4.1 . A pressao sist6lica e dada por
PIO)= 13 5+30 xl = 165 r n m rl q .
A pressao diast6lica e a pressao san guine a m inim a d ad a
po r P It) "
Como
- 1 . .; cos 12,51 ttl ~ 1
- 3 0 ~ 30 cos (2,51 tt) ~ 30
105 ~ 135 + 30 cos [ 2,5 1 tt ) ~ 165
Logo , 105~P[ t )~165"p = . . j [ - V 3 ) 2 + [- 1 f = V 4 = 2 e
-1 V 3 3 1 ttg e = _ V 3 < = > tg e = """3 /\ 1 t< e < 2" '
do nde se co nc lu i qu e
1 t 71 t( J= 1 t + (; =6
A razao de do is numerus que sao apropriados a pressao
[nea d "' 1 65 l ts anqumea este pacrente e 105' ogo, em uma pres-
sao sanguinea m oderadam ente alta .
2.1. T em osquepara w =l-i,
p = . . j 1 2 + (_ 1 ) 2 = V2 e
1 ttg e =- 1 / \ - " 2 < e < 0
do nde se co nc lu i qu e
e=- ~"
As sim , w =V2C iS (- ~) .
1 1 - i ) Z = ( V 2 c i S ( - ~ ) ) ( k C i S 3 ; ) =
= V 2 k cis (- ~ + 3 ;) = V2 k c is ( 5: )
E n t a o 11 - il z p erte nc e a o 3 .° q ua dr an te .
2" 1 t
2" 2 CIS " 2 2
2 .2 . -k " 1 3 1 t = -" 3 < = > k " 3 1 t = -" 3 < = >clsT clsT
< = > iC iS(~- 3 ;)= _~ < = >
2 " I ) 2¢:::} - CIS - 1 t =- - < = >k 3
¢:::} _1=_1 < = > k = 3k 3
4.2 . T em os que
o . . ; 2,5 1 tt ~ 21 t
o c
o ~
Logo , 0 p erio do d o b atim en to ca rd ia co d este p acien te e~ = 0,8 segundos, is to e , que de 0,8 em 0,8 segundos
o cora cao se co ntrai.
4.3 . Com o na alfnea anterior se determ inou que 0 c o r a c a o
se contrai de 0,8 em 0,8 segundos, temos que:
60 75 b " "-= a urn en to s p or r nin uto0, 8
e a p ulsac ao d este pa cie nte.
4 .4. Como a funcao PIt) e um a I u n c a o triqonornetrica,
sab e-se q ue P ItI e c on tin ua em IR , l og o , em pa rt ic u la r,
e continua em [1 ,8; 1 ,9 ) .
Como:
P ll,8 )= 13 5; P (1 ,9)= 11 3,79 e Pll,9)<115<Pll,81.
entao, pelo teorema de Bolzano-Cauchy , podemos
concluirque 3 tE]1 ,8 ; 1 ,9 [ : Pl t l=115.
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4.5. O s v alo re s de t pa ra o s q ua is PltJ e m axim o e m inim o
sa o a s so lu cce s da e qu aca o P ' ItJ = 0, em qu e P'ltJ e a
prim eira de riv ada de Pl tJ.
Temos que P ' It J = - 30 X 2,5n s in {2,5ntJ
= - 75 n s in 12,5ntJ
donde P ' tt l = 0 ¢:::} - 75 n s in {2,5ntJ = 0 ¢:::}
¢:::} s in 12,5ntl = 0 ¢:::}
¢:::} s in {2,5ntl = s in (0 1 ¢:::}
¢:::} 2, 5nt = kn , k E ~ ¢:::}
1¢:::} t=2.5k,kE~
Para k = 0, t = 0
1k=1 , t=25=0,4
k= 2, t= 0,8
k=3, t= 1 ,2
k=4, t= 1 ,6
k=5,t=2
d ond e, pa ra t = 0, t = 0,8 e t = 1 ,6 a funcao P{tJ em axim a e pa ra t=0,4, t=1,2 e t= 2 a Iuncao P{tJ eminima.
5.1. Como 0 po nto C e ponto de inte rse cca o da s fu ncoe s f
e g , e nta o C pe rte nce a os q ra fico s da s du as fu ncde s,
9 IxJ =3 ¢:::} 33-vX = 3 ¢:::}
¢:::} 3 - V x = 1 ¢:::}
~ V x = 2 ¢:::}
~ x=2 2
~ x=4
Entao f { 4 J = 3 ¢:::} lo g. {2 x 4 J = 3 ¢:::}
¢:::} a3 = 8 ¢:::}
¢:::} a = V s
¢:::} a = 2
_ ... _ ·-T._r1_:'''';c
§U G E S T 0 E S DE RJ S 0 L - ~ ~ C : _ ~ ~ ~ ~
5.2. A a re a do trapezio e dada po r B; b x h , em que B
representa 0 co mprim ento da ba se m aie r, AD, b repre-
senta 0 co mprim ento da ba se m eno r, CB , e h a a lt u ra ,
AB.
Ja sabemo s qu e b = CB = 3 .
Como A l x , O J e a i n t e r s e c c a o de f co m O x , te mo s q ue :
f I xJ = 0 ¢:::} l 0 9 2 12xl = 0
¢:::} 2 ° = 2x ~
¢:::} 1 =2x ~
1¢:::} x=-
2
donde A ( . ! _ 0 ) e AB = 4 - . ! _ = 2 .2' 2 2·
( 1 ) 33-!f 33-0Como 9 " 2 = Y2 = 2,
3-Y len t a o B= 3 2
A a re a do trapezio e :
Vi3 3-T + 3 7 3 ( 2 - Y l ) 7
---::-- x-=- 3 2 + 1 x-=2 2 2 2
21 ( 4 -0 )=1;= 3-2- + 1 u.a.
5.3. Te mo s q ue :
r Ix l = 2x ~n 2 = x l~ 2 e
g'{xl=33 - v ' X x (- ~ ) =- _3 3- v ' X X ~
- V x '
donde f' Ix l > 0 e g' lx l < 0, V x E IW .
Lo go , co mo f{xl e cre scente e m todo 0 s e u d om in io ,
9 lx l e de cre sce nte e m to do 0 se u dom inio e sendo C 0
ponto de inte rse cca o de f e g , e nta o Ceo unico
po nto de inte rs ecca o de sta s fu n~ 6e s.
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