Matemática 6 Caderno Professor

8/18/2019 Matemática 6 Caderno Professor

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-6-caderno-professor 1/86

NO VA EDIÇÃO:

De acordo com a s Me ta s Curriculare s

e o No vo Programa de 2013.

– 6.o ANO

Apresentação do projetoPrograma e Metas do 2.o Ciclo

Planificação a médio prazo

Passatempos

ELZA GOUVEIA DURÃO • MARIA MARGARIDA BALDAQUE





MATemática6–CadernodeApoioaoPr

ofessor

–

T E X T O

M A T e m á t i c a 6 –

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2

APRESENTAÇÃO DO PROJETO MATemática 6 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 3

PROGRAMA E METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Programa do 2.o Ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

Metas Curriculares do 2.o Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO A MÉDIO PRAZO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

PASSATEMPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 68

SOLUÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 78

Soluções dos Passatempos. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 78

Soluções das Provas Finais-Modelo (Os Meus Materiais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

ÍNDICE



2

Caros colegas,

A nossa experiência como professoras e autoras de materiais didáticos de Matemática contribuiu para a ela-boração do projeto MATemática 6 , de que destacamos as seguintes caraterísticas:

Simplicidade É de fácil utilização para o nível etário a que se destina e favorece o trabalho autónomo dosalunos.

Acessibilidade Tem em conta a diversidade de alunos de hoje e o facto de todos necessitarem de conhecer ecompreender a Matemática.

Diversidade Apresenta uma variedade de tarefas, exercícios, problemas, jogos e investigações, que permitemalcançar os objetivos do Programa e das Metas Curriculares, bem como desenvolver as capacidadestransversais de Resolução de Problemas, Raciocínio Matemático e Comunicação Matemática.

Abertura Proporciona a aquisição de conhecimentos e procedimentos básicos necessários à vida do dia a dia,bem como conduz à discussão de ideias e produção de argumentos convincentes.

Modernidade Está de acordo com as diretrizes do Programa e das Metas Curriculares vigentes e com a visãoatual do ensino da Matemática. Propõe uma utilização adequada das novas tecnologias.

Bom trabalho,

As autoras

INTRODUÇÃO



M A T e m á t i c a 6 – C a d e r n o d e A p o i o a o P r o f e s s o r –

T E X T O

APRESENTAÇÃO DO PROJETO MATemática 6

O projeto MATemática 6 é composto pelos seguintes elementos:

• Manual do Professor – Volumes I e II

• Manual do Aluno – Volumes I e II

• Os Meus Materiais (oferta online )

• Caderno de Apoio ao Aluno

• Caderno de Apoio ao Professor

• Planos de Aula

• Livro de Fichas

• Aluno (CD-Rom e online )

• Professor (CD-Rom e online )

• Apoio Internet em www.MAT6.te.pt

São objetivos deste projeto

• Proporcionar aos alunos o apoio necessário para aprender Matemática com compreensão e profundidade.

• Proporcionar ao professor instrumentos de apoio ao processo de ensino e aprendizagem, contribuindo paraa planificação das suas aulas, tendo em conta a diversidade dos alunos das suas turmas.

Componentes do aluno

• Manual do Aluno – Volumes I e II



• Aluno (CD-Rom e online )


Componentes do professor (exclusivo)


• Caderno de Apoio ao Professor (online )

• Planos de Aula (online )

• Livros de Fichas (online )

• Professor (CD-Rom e online )




4

Os dois volumes do Manual MATemática 6 (professor e aluno) estão organizados do seguinte modo:

• Volume 1

Capítulo 1 – Números naturais

Capítulo 2 – Potências de expoente natural

Capítulo 3 – Sequências e regularidades. Proporcionalidade direta

Capítulo 4 – Figuras geométricas planas. Perímetro e área de polígonos e círculos

Capítulo 5 – Sólidos geométricos

• Volume 2

Capítulo 6 – Volume

Capítulo 7 – Números racionais

Capítulo 8 – Isometrias do plano

Capítulo 9 – Representação e tratamento de dados

Nada impede que se altere a ordem proposta, desde que seja salvaguardada a sequência lógica dos conteúdos.

Componentes do aluno

• Manual do Aluno – Volumes I e II (organização por capítulo):

Abertura de capítulo Esta página dupla apresenta a listagem dos subtópicos a desenvolver ao longo docapítulo e contém indicações para consulta de sítios da Internet.

Ficha de Diagnóstico Em página dupla, contém questões que mobilizam conhecimentos anteriores e queajudarão o professor a decidir da necessidade, ou não, de abordar determinados conceitos, ou traba-lhar procedimentos necessários, para o estudo dos conteúdos iniciais do respetivo capítulo.

Tarefas, explicação dos conteúdos e «Pensar e Resolver» Organizado em página dupla, em que apágina da esquerda contém tarefas que permitem o arranque ativo da aula e o despertar de novasaprendizagens. Como meio de apoio à concretização das tarefas, encontram-se remissões paraOs Meus Materiais. A informação aparece destacada em linguagem rigorosa e objetiva, seguida deum exemplo ou de um método para pôr em prática a nova aprendizagem. Na página da direita, arubrica «Pensar e Resolver» contém exercícios diversos, que são aplicações diretas dos tópicos estu-

dados. No fim desta rubrica, surge a remissão para a ficha respetiva do Caderno de Apoio ao Aluno.Problemas Também organizados em página dupla, a página par contém problemas resolvidos, dando

relevo à estratégia escolhida para a sua resolução e, a página ímpar, propõe problemas para resol-ver. A resolução de problemas envolve o recurso sistemático às capacidades básicas do pensa-mento, bem como desenvolve o raciocínio, a capacidade de comunicar e o espírito de cooperação.

Tarefas Finais Apresenta exercícios com grau crescente de dificuldade e facilita o aprofundamento dosassuntos e a conexão com outros capítulos já estudados. Contém ainda atividades de pesquisa, jogos e pequenas investigações.




T E X T O

Usar o Computador Propõe atividades de exploração recorrendo à folha de cálculo e a um programa com-

putacional de Geometria Dinâmica, nomeadamente o GeoGebra.

Essencial Síntese global dos assuntos tratados no capítulo, de consulta rápida, sendo assim um auxiliar

dos alunos na memorização dos conteúdos que aprenderam.

Agora já… Lista das aprendizagens que os alunos deverão ter adquirido e respetivas páginas do Manual

onde aquelas se encontram, de modo a propiciar uma nova leitura.

Ficha Formativa Uma ficha que permite aos alunos aperceberem-se dos seus progressos e dificuldades, e

que orienta o professor no processo de ensino e de aprendizagem. A Ficha Formativa foi elaborada

com o intuito de exemplificar os objetivos específicos do capítulo estudado.

Ao longo do Manual surgem algumas notas históricas que humanizam o estudo da disciplina e mostram aos

alunos que a Matemática tem sido construída ao longo dos tempos.

No final do volume 1 é proposta uma Ficha Global que pretende fazer um balanço entre o estado real dasaprendizagens dos alunos e aquilo que era esperado no final do estudo dos cinco capítulos que constituem este

volume.

No final do volume 2 existe uma Prova Final que, juntamente com as duas provas finais de Os Meus Materiais,

pretende testar as aprendizagens dos alunos realizadas ao longo do 2.o Ciclo e averiguar se estão preparados para

prosseguir para o 3.o Ciclo, no âmbito da Matemática.

As soluções dos exercícios e dos problemas constam no fim de cada volume.


Contém materiais diversos que apoiam a concretização das atividades propostas no Manual e dão continui-

dade ao estudo dos conteúdos lecionados:

• Revisões sobre: triângulos, ângulos, paralelogramos

• Números racionais: adição e subtração

• Percentagens

• Determinar áreas e perímetros

• Polígonos inscritos e circunscritos

• Retas numéricas

• Planificações de sólidos

• Material de apoio às tarefas

• Papel quadriculado, ponteado e isométrico

• Duas provas finais-modelo



6


É um complemento do Manual a utilizar pelos alunos nas aulas de Matemática e nas suas sessões de estudo.

Este caderno apresenta a seguinte estrutura:

Saber Fazer Tem a finalidade de auxiliar os alunos a ultrapassarem as dificuldades mais frequentes.Apresenta, assim, questões relacionadas com as dúvidas mais frequentes dos alunos e a resposta

consiste numa explicação teórica com exemplo prático.Pratica Aplicação imediata e simples do «Saber fazer».

Ficha A elaboração de cada ficha foi focalizada num determinado conjunto de tópicos do Manual, tendo emvista a aplicação e treino dos respetivos conceitos e procedimentos. Tentou-se assim que este conjunto de fichas cobrisse todos os tópicos abordados no Manual.

Problemas Em forma de ficha, apresentam-se grupos de problemas para aplicação de conhecimentos eestratégias já estudadas.

Soluções Todos os exercícios e problemas propostos têm associadas as respetivas soluções, que se encon-tram nas últimas páginas.

Componentes do professor (exclusivo)


O Manual do Professor, para além de apresentar os mesmos conteúdos do Manual do Aluno, contém abanda lateral, cuja organização genérica é:

• na página da esquerda, constam as sugestões para a concretização da tarefa proposta (pré-requisitos,tópico, objetivos, tempo e material, capacidades transversais e metodologia);

• na página da direita, são apresentadas as soluções das propostas de trabalho.

Em Professor são disponibilizadas as resoluções das propostas de trabalho.

• Caderno de Apoio ao Professor

Para além da apresentação do projeto MATemática 6 , reproduz a documentação referente ao Programa e àsMetas Curriculares do 2.o Ciclo da disciplina.

De seguida, é feita uma proposta de planificação a médio prazo.

Disponibiliza-se ainda um conjunto de passatempos, com as respetivas soluções, assim como as soluçõesdas provas finais que constam em Os Meus Materiais.

Em , os professores utilizadores do nosso projeto terão acesso às resoluções dos exercí-cios e dos problemas de todos os capítulos.

• Planos de Aula

Apresentação, em forma de grelha, de uma planificação aula a aula de acordo com o Manual.

Estes planos de aula encontram-se disponíveis na em formato editável.




T E X T O

• Livro de Fichas

Este material, que foi pensado para que os alunos consolidem os seus conhecimentos, contém:

• Fichas de Avaliação, uma para cada um dos nove capítulos do Manual;

•Fichas de Remediação, num total de 14 fichas organizadas por assunto;

• Soluções de todas as fichas.

• Professor

Possibilita a fácil exploração do projeto MATemática 6 , através das novas tecnologias em sala de aula. Aoutilizar esta ferramenta inovadora, o professor poderá tirar o melhor partido deste projeto, simplificando oseu trabalho diário.

Aconselha-se que o professor projete e explore as páginas do Manual na sala de aula, podendo aceder a umvasto conjunto de conteúdos multimédia integrados com o Manual, para tornar a sua aula mais dinâmica:

Animações Abordam os principais pontos da matéria, possibilitando uma exploração interativa que propi-cia quer o cálculo mental, quer a exploração do sentido espacial.

Apresentações em PowerPoint Incluem todas as resoluções de exercícios e problemas presentes noManual, potenciando a exploração dos mesmos no contexto de sala de aula.

Jogos Permitem a revisão da matéria de todo o Manual de forma mais apelativa, mantendo a par as com-ponentes lúdica e didática.

Aplicações em GeoGebra Exploram diferentes conteúdos, nomeadamente volumes e simetrias.GeoGebra é um programa computacional de Geometria Dinâmica, que permite aos alunos visuali-

zar facilmente conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo.

Testes Interativos Extenso banco de testes interativos, personalizáveis e organizados segundo os diversoscapítulos do Manual.

Fichas de Avaliação e Fichas de Remediação Estas fichas, que são as que constam no Livro de Fichas ,encontram-se em formato editável, de modo que o professor possa ajustá-las às suas necessidades.

Planos de Aula Documento Word dos Planos de Aula.

Links Internet Endereços para páginas na Internet de apoio à matéria, para a obtenção de mais informação.

Resoluções Acesso às resoluções de todos os exercícios e problemas do Manual.



Na preparação de aulas, o professor pode:

• aceder aos Planos de Aula, em formato Word, e planificar as aulas de acordo com as características decada turma;

• utilizar as sequências de recursos digitais feitas de acordo com os Planos de Aula criados para si, que oapoiarão nas suas aulas com recurso a projetor ou quadro interativo;

•personalizar os Planos de Aula com recursos do projeto ou com os materiais criados por si.

Na avaliação dos alunos, sugere-se ao professor que:

• utilize os testes pré-definidos ou crie-os à medida da sua turma, a partir de uma base de mais de 200 ques-tões;

• imprima os testes para distribuir, projete-os em sala de aula ou envie-os aos seus alunos com correçãoautomática;

• acompanhe o progresso dos alunos através de relatórios de avaliação detalhados.

Com , o professor pode tirar partido das funcionalidades de comunicação e interação quelhe permitirão a troca de informação e a partilha de recursos com os alunos.

8



Programa do 2.o Ciclo

1. Introdução

A última Revisão da Estrutura Curricular, legitimada no Decreto-lei n. o 139/2012 de 5 de julho, bem como noDespacho n.o 5306/2012 de 18 de abril, visa melhorar a qualidade do ensino e da aprendizagem através de umacultura de rigor e de excelência desde o Ensino Básico.

De modo coerente com as diretrizes expressas nesses diplomas, a organização curricular da disciplina deMatemática nestes níveis de escolaridade é guiada pelo princípio de que deve ficar claramente estabelecido quaisos conhecimentos e as capacidades fundamentais que os alunos devem adquirir e desenvolver. Com base em

investigação recente sobre o ensino da Matemática, adota-se uma estrutura curricular sequencial, que se justifi-ca atendendo a que a aquisição de certos conhecimentos e o desenvolvimento de certas capacidades depende deoutros a adquirir e a desenvolver previamente. Promove-se desta forma uma aprendizagem progressiva, na qualse caminha etapa a etapa, respeitando a estrutura própria de uma disciplina cumulativa como a Matemática.Note-se também que a abstração desempenha um papel fundamental na atividade Matemática, permitindo agre-gar e unificar objetos, conceitos e linhas de raciocínio, e adaptar métodos e resultados conhecidos a novos con-textos. É no entanto reconhecido que a aprendizagem da Matemática, nos anos iniciais, deve partir do concreto,pelo que é fundamental que a passagem do concreto ao abstrato, um dos propósitos do ensino da Matemática, sefaça de forma gradual, respeitando os tempos próprios dos alunos e promovendo assim o gosto por esta ciência epelo rigor que lhe é característico.

No sentido de concretizar estas intenções, elaboraram-se as Metas Curriculares de Matemática, homologa-das a 3 de agosto de 2012. Encontram-se elencados, nas Metas Curriculares, objetivos gerais que são especifica-dos por descritores, redigidos de forma concisa e que apontam para desempenhos precisos e avaliáveis.O documento foi construído com base nos conteúdos temáticos expressos no Programa de Matemática do EnsinoBásico de 2007. A organização desses conteúdos numa hierarquia de ensino coerente e consistente originoualguns desfasamentos pontuais entre esse Programa e as Metas Curriculares. Com o presente documento ficaminteiramente harmonizados os conteúdos programáticos com as Metas Curriculares.

Este Programa e as Metas Curriculares constituem, pois, o normativo legal para a disciplina de Matemáticano Ensino Básico, sendo, em conformidade, de utilização obrigatória pelas escolas e professores. Em ambos estásubjacente a preocupação de potenciar e aprofundar a compreensão, que se entende ser um objetivo central doensino. Efetivamente, o desenvolvimento da compreensão – que resulta da ampliação contínua e gradual de umacomplexa rede de regras, procedimentos, factos, conceitos e relações que podem ser mobilizados, de forma flexí-vel, em diversos contextos – deve ocupar o centro das preocupações das escolas e dos professores, com vista amelhorar a qualidade da aprendizagem da Matemática no nosso país.

PROGRAMA E METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA


T E X T O



2. Finalidades do ensino da Matemática

Destacam-se três grandes finalidades para o Ensino da Matemática: a estruturação do pensamento, a análisedo mundo natural e a interpretação da sociedade.

1. A estruturação do pensamento – A apreensão e hierarquização de conceitos matemáticos, o estudo siste-mático das suas propriedades e a argumentação clara e precisa, própria desta disciplina, têm um papel pri-mordial na organização do pensamento, constituindo-se como uma gramática basilar do raciocíniohipotético-dedutivo. O trabalho desta gramática contribui para alicerçar a capacidade de elaborar análisesobjetivas, coerentes e comunicáveis. Contribui ainda para melhorar a capacidade de argumentar, de justifi-car adequadamente uma dada posição e de detetar falácias e raciocínios falsos em geral.

2. A análise do mundo natural – A Matemática é indispensável a uma compreensão adequada de grandeparte dos fenómenos do mundo que nos rodeia, isto é, a uma modelação dos sistemas naturais que permitaprever o seu comportamento e evolução. Em particular, o domínio de certos instrumentos matemáticosrevela-se essencial ao estudo de fenómenos que constituem objeto de atenção em outras disciplinas docurrículo do Ensino Básico (Física, Química, Ciências da Terra e da Vida, Ciências Naturais, Geografia…).

3. A interpretação da sociedade – Ainda que a aplicabilidade da Matemática ao quotidiano dos alunos seconcentre, em larga medida, em utilizações simples das quatro operações, da proporcionalidade e, espo-radicamente, no cálculo de algumas medidas de grandezas (comprimento, área, volume, capacidade…)associadas em geral a figuras geométricas elementares, o método matemático constitui-se como um ins-trumento de eleição para a análise e compreensão do funcionamento da sociedade. É indispensável aoestudo de diversas áreas da atividade humana, como sejam os mecanismos da economia global ou da evo-lução demográfica, os sistemas eleitorais que presidem à Democracia, ou mesmo campanhas de venda epromoção de produtos de consumo. O Ensino da Matemática contribui assim para o exercício de uma cida-dania plena, informada e responsável.

Estas finalidades só podem ser atingidas se os alunos forem apreendendo adequadamente os métodos pró-prios da Matemática. Em particular, devem ser levados, passo a passo, a compreender que uma visão vaga emeramente intuitiva dos conceitos matemáticos tem um interesse muito limitado e é pouco relevante, quer parao aprofundamento do estudo da Matemática em si, quer para as aplicações que dela se possam fazer. Não é possí-vel, por exemplo, determinar as propriedades de um objeto que não se encontra adequadamente definido. Nessesentido, as Metas Curriculares, articuladas com o presente Programa, apontam para uma construção consistentee coerente do conhecimento.

O gosto pela Matemática e pela redescoberta das relações e dos factos matemáticos – que muitas vezes éapresentada como uma finalidade isolada – constitui um propósito que pode e deve ser alcançado através do pro-

gresso da compreensão matemática e da resolução de problemas. Neste sentido, é decisivo para a educação futu-ra dos alunos que se cultive de forma progressiva, desde o 1. o Ciclo, algumas características próprias daMatemática, como o rigor das definições e do raciocínio, a aplicabilidade dos conceitos abstratos ou a precisãodos resultados.

10



3. Objetivos

Para alcançar os propósitos anteriormente enunciados, estabeleceram-se os objetivos que traduzem osdesempenhos fundamentais que os alunos deverão evidenciar em cada um dos três ciclos de escolaridade básica.Esses desempenhos são explicitados por verbos a que se atribuem significados específicos em cada ciclo e queservem de base à leitura dos descritores elencados nas Metas Curriculares. Com efeito, cada descritor inicia-se

por um verbo, na quase totalidade dos casos constante das listas abaixo.1.o Ciclo – Neste ciclo requerem-se os quatros desempenhos seguintes, com o sentido que se especifica:

(1) Identificar/designar: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, não se exigindo que enuncieformalmente as definições indicadas (salvo nas situações mais simples), mas antes que reconheça os dife-rentes objetos e conceitos em exemplos concretos, desenhos, etc.

(2) Estender: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, reconhecendo que se trata de umageneralização.

(3) Reconhecer: O aluno deve reconhecer intuitivamente a veracidade do enunciado em causa em exemplosconcretos. Em casos muito simples, poderá apresentar argumentos que envolvam outros resultados já

estudados e que expliquem a validade do enunciado.

(4) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verifica-ção concreta.

2.o Ciclo – Neste ciclo requerem-se os quatros desempenhos seguintes, com o sentido que se especifica:

(1) Identificar/designar: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceitoapresentado como se indica ou de maneira equivalente, ainda que informal.

(2) Estender: O aluno deve definir o conceito como se indica ou de forma equivalente, ainda que informal,reconhecendo que se trata de uma generalização.

(3) Reconhecer: O aluno deve conhecer o resultado e saber justificá-lo, eventualmente de modo informal ourecorrendo a casos particulares. No caso das propriedades mais complexas, deve apenas saber justificarisoladamente os diversos passos utilizados pelo professor para as deduzir, bem como saber ilustrá-las uti-lizando exemplos concretos. No caso das propriedades mais simples, poderá ser chamado a apresentar deforma autónoma uma justificação geral um pouco mais precisa.


3.o Ciclo – Neste ciclo requerem-se os sete desempenhos seguintes, com o sentido que se especifica:

(1) Identificar/designar: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceitoapresentado como se indica ou de forma equivalente.

(2) Reconhecer: O aluno deve apresentar uma argumentação coerente ainda que eventualmente mais infor-mal do que a explicação fornecida pelo professor. Deve, no entanto, saber justificar isoladamente os diver-sos passos utilizados nessa explicação.

(3) Reconhecer, dado…: O aluno deve justificar o enunciado em casos concretos, sem que se exija que o provecom toda a generalidade.


T E X T O




(5) Provar/Demonstrar: O aluno deve apresentar uma demonstração matemática tão rigorosa quanto possível.

(6) Estender: Este verbo é utilizado em duas situações distintas:

(a) Para estender a um conjunto mais vasto uma definição já conhecida. O aluno deve definir o conceito

como se indica, ou de forma equivalente, reconhecendo que se trata de uma generalização.

(b) Para estender uma propriedade a um universo mais alargado. O aluno deve reconhecer a propriedade,podendo por vezes esse reconhecimento ser restrito a casos concretos.

(7) Justificar: O aluno deve justificar de forma simples o enunciado, evocando uma propriedade já conhecida.

No seu conjunto, e de modo integrado, estes desempenhos devem concorrer, a partir do nível mais elementarde escolaridade, para a aquisição de conhecimentos de factos e de procedimentos, para a construção e o desenvol-vimento do raciocínio matemático, para uma comunicação (oral e escrita) adequada à Matemática, para a resolu-ção de problemas em diversos contextos e para uma visão da Matemática como um todo articulado e coerente.

Conhecimento de factos e de procedimentos – O domínio de procedimentos padronizados, como por exem-plo algoritmos e regras de cálculo, deverá ser objeto de particular atenção no ensino desta disciplina. As rotinas eautomatismos são essenciais ao trabalho matemático, uma vez que permitem libertar a memória de trabalho,por forma a que esta se possa dedicar, com maior exclusividade, a tarefas que exigem funções cognitivas superio-res. Por outro lado, permitem determinar, a priori , que outra informação se poderia obter sem esforço a partir dosdados de um problema, abrindo assim novas portas e estratégias à sua resolução. A memorização de algunsfactos tem igualmente um papel fundamental na aprendizagem da Matemática, sendo incorreto opô-la à com-preensão. Memorização e compreensão, sendo complementares, reforçam-se mutuamente. Conhecer as tabua-das básicas, e outros factos elementares, de memória, permite também poupar recursos cognitivos que poderãoser direcionados para a execução de tarefas mais complexas.

Raciocínio matemático – O raciocínio matemático é por excelência o raciocínio hipotético-dedutivo, emborao raciocínio indutivo desempenhe também um papel fundamental, uma vez que preside, em Matemática, à for-mulação de conjeturas. Os alunos devem ser capazes de estabelecer conjeturas, em alguns casos, após a análisede um conjunto de situações particulares. Deverão saber, no entanto, que o raciocínio indutivo não é apropriadopara justificar propriedades, e, contrariamente ao raciocínio dedutivo, pode levar a conclusões erradas a partir dehipóteses verdadeiras, razão pela qual as conjeturas formuladas mas não demonstradas têm um interesse limi-tado, devendo os alunos ser alertados para este facto e incentivados a justificá-las a posteriori . Os desempenhosrequeridos para o cumprimento dos descritores nos vários ciclos apontam para uma progressiva proficiência nautilização do raciocínio hipotético-dedutivo e da argumentação matemática. Espera-se pois que no 3. o Ciclo, osalunos sejam capazes de elaborar, com algum rigor, pequenas demonstrações.

Comunicação matemática – Oralmente, deve-se trabalhar com os alunos a capacidade de compreender osenunciados dos problemas matemáticos, identificando as questões que levantam, explicando-as de modo claro,conciso e coerente, discutindo, do mesmo modo, estratégias que conduzam à sua resolução. Os alunos devem serincentivados a expor as suas ideias, a comentar as afirmações dos seus colegas e do professor e a colocar as suasdúvidas. Sendo igualmente a redação escrita parte integrante da atividade matemática, os alunos devem tam-bém ser incentivados a redigir convenientemente as suas respostas, explicando adequadamente o seu raciocínioe apresentando as suas conclusões de forma clara, escrevendo em português correto e evitando a utilização desímbolos matemáticos como abreviaturas estenográficas.

12



Resolução de problemas – A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretaçãode enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos, conceitos e relações, a seleção e aplicação adequadade regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégiapreconizada e a interpretação dos resultados finais.

Assim, a resolução de problemas não deve confundir-se com atividades vagas de exploração e de descobertaque, podendo constituir estratégias de motivação, não se revelam adequadas à concretização efetiva de uma

finalidade tão exigente. Embora os alunos possam começar por apresentar estratégias de resolução mais infor-mais, recorrendo a esquemas, diagramas, tabelas ou outras representações, devem ser incentivados a recorrerprogressivamente a métodos mais sistemáticos e formalizados.

Em particular, no 1.o Ciclo, solicita-se explicitamente que o número de passos necessários à resolução dosproblemas vá aumentando de ano para ano. É fundamental que os alunos não terminem este ciclo de ensino con-seguindo responder corretamente apenas a questões de resposta imediata. Estudos nacionais e internacionaisrecentes, como o Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), mostram que, em 2011, 60%dos alunos portugueses do 4.o ano não conseguem ultrapassar esse patamar (Intermediate International Benchmark ).

A Matemática como um todo coerente – Vários objetivos gerais e respetivos descritores das MetasCurriculares foram concebidos de forma a estabelecer ligações entre conteúdos sem relação evidente entre si. Éo caso, por exemplo, da relação entre a irracionalidade da raiz quadrada dos números naturais (que não sejamquadrados perfeitos) e o Teorema Fundamental da Aritmética ou entre a semelhança de triângulos e o Teoremade Pitágoras. Para além das situações que se encontram explicitamente ilustradas nas Metas Curriculares,outras podem ser trabalhadas no âmbito de exercícios e problemas. Estas atividades são propícias ao entendi-mento de que a Matemática é constituída por uma complexa rede de relações que lhe confere uma unidademuito particular.

4. Conteúdos

Os conteúdos encontram-se organizados, em cada ciclo, por domínios. A articulação desejável entre os domí-nios de conteúdos e os objetivos antes enunciados encontra-se materializada no documento das MetasCurriculares.

Nos 2.o e 3.o ciclos indica-se, a título não prescritivo, o número de tempos, de cinquenta minutos, que poderáser dedicado a cada domínio.


T E X T O



2. o ciclo

No 2.o Ciclo, os domínios de conteúdos são quatro:

• Números e Operações (NO)

• Geometria e Medida (GM)

•Álgebra (ALG)

• Organização e Tratamento de Dados (OTD)

Relativamente aos domínios Números e Operações e Álgebra , conclui-se neste ciclo o estudo das operaçõeselementares sobre frações e completa-se a construção dos números racionais, introduzindo os negativos. Os alu-nos deverão, à entrada do 3.o Ciclo, mostrar fluência e desembaraço na utilização de números racionais em con-textos variados, relacionar de forma eficaz as suas diversas representações (frações, dízimas, numerais mistos,percentagens) e tratar situações que envolvam proporcionalidade direta entre grandezas.

São igualmente estudadas potências de base racional positiva e expoente natural, sendo outros expoentesmais gerais introduzidos no 3.o Ciclo e no Secundário. A abordagem destes conteúdos pretende oferecer aos alu-

nos um primeiro contacto com os métodos simbólicos próprios da Álgebra , que permitem deduzir e organizar umcerto número de conhecimentos de forma sistemática. Finalmente, são apresentadas noções básicas de divisibili-dade, explorando-se o Algoritmo de Euclides no 5.o ano e o Teorema Fundamental da Aritmética, que dele podeser deduzido, no 6.o ano.

Em Geometria , são introduzidos alguns conceitos e propriedades – tão elementares quanto fundamentais –envolvendo paralelismo e ângulos, com aplicações simples aos polígonos. Em particular, é fornecida uma defini-ção geométrica de soma de ângulos, por justaposição, análoga à justaposição de segmentos de reta abordada no1.o ciclo. Tratando-se de uma etapa indispensável ao estudo sério e rigoroso da Geometria nos ciclos de ensinoposteriores, os alunos deverão saber relacionar as diferentes propriedades estudadas com aquelas que já conhe-

cem e que são pertinentes em cada situação. É também pedida aos alunos a realização de diversas tarefas queenvolvem a utilização de instrumentos de desenho e de medida (régua, esquadro, compasso e transferidor, pro-gramas de geometria dinâmica), sendo desejável que adquiram destreza na execução de construções rigorosas ereconheçam alguns dos resultados matemáticos por detrás dos diferentes procedimentos. O tópico da Medida ,neste ciclo, é dedicado a áreas de figuras planas, a volumes de sólidos e a amplitudes de ângulos. À imagem doconceito de medida de comprimento que decorre, na abordagem preconizada no 1. o Ciclo, da justaposição retilí-nea de segmentos de reta, as medidas de amplitude de ângulo alicerçam-se na noção de soma geométrica deângulos.

No domínio da Organização e Tratamento de Dados , retomam-se várias representações de conjuntos dedados e noções estatísticas elementares como a média, a moda e a amplitude. É o momento ideal para se intro-duzir a noção de gráfico cartesiano de uma correspondência, que será naturalmente revisitada com mais profun-didade no 3.o Ciclo no contexto das funções.

14



5.o ano

Domínio Conteúdos

NO5

54 tempos

Números racionais não negativos

• Simplificação de frações;• Frações irredutíveis;• Redução de duas frações ao mesmo denominador;• Ordenação de números racionais representados por frações;• Adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais não negativos representados na

forma de fração;• Representação de números racionais na forma de numerais mistos; adição e subtração de números

racionais representados por numerais mistos;• Aproximações e arredondamentos de números racionais;• Problemas de vários passos envolvendo números racionais representados na forma de frações, dízi-

mas, percentagens e numerais mistos.

Números naturais

• Critérios de divisibilidade por 3, 4 e 9;• Determinação do máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de

cada um deles;• Algoritmo de Euclides;• Números primos entre si; números obtidos por divisão de dois dados números pelo respetivo máximo

divisor comum; irredutibilidade das frações de termos primos entre si;• Determinação do mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de

cada um deles;• Relação entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois números;• Problemas envolvendo o cálculo do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum de dois

números.

GM5

88 tempos

Propriedades geométricas

Ângulos, paralelismo e perpendicularidade

• Ângulo igual à soma de outros dois; definição e construção com régua e compasso;• Bissetriz de um ângulo; construção com régua e compasso;• Ângulos complementares e suplementares;• Igualdade de ângulos verticalmente opostos;• Semirretas diretamente e inversamente paralelas;• Ângulos correspondentes e paralelismo;• Ângulos internos, externos e pares de ângulos alternos internos e alternos externos determinados

por uma secante num par de retas concorrentes; relação com o paralelismo;• Ângulos de lados diretamente e inversamente paralelos; pares de ângulos de lados perpendiculares.

Triângulos e quadriláteros• Ângulos internos, externos e adjacentes a um lado de um polígono;• Ângulos de um triângulo: soma dos ângulos internos, relação de um ângulo externo com os inter-

nos não adjacentes e soma de três ângulos externos com vértices distintos;• Triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos; hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo;• Ângulos internos de triângulos obtusângulos e retângulos;• Paralelogramos; ângulos opostos e adjacentes de um paralelogramo;• Critérios de igualdade de triângulos: critérios LLL, LAL e ALA; construção de triângulos dados os

comprimentos de lados e/ou as amplitudes de ângulos internos;• Relações entre lados e ângulos num triângulo ou em triângulos iguais;


T E X T O



Domínio Conteúdos

• Igualdade dos lados opostos de um paralelogramo;• Desigualdade triangular;• Pé da perpendicular traçada de um ponto para uma reta e, num dado plano, perpendicular a uma

reta num ponto;

• Distância de um ponto a uma reta e entre retas paralelas; altura de um triângulo e de um paralelogramo.Problemas

• Problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e triângulos.

Medida

Área

• Área de retângulos de lados de medida racional;• Fórmulas para a área de paralelogramos e triângulos;• Problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas.

Amplitude de ângulos

• Medidas de amplitudes de ângulos;• O grau como unidade de medida de amplitude; minutos e segundos de grau;• Utilização do transferidor para medir amplitudes de ângulos e para construir ângulos de uma dada

medida de amplitude;• Problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude expressas em

forma complexa e incomplexa.

ALG5

16 tempos

Expressões algébricas e propriedades das operações

• Prioridades convencionadas das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão; utilizaçãode parêntesis;

• Propriedades associativa e comutativa da adição e multiplicação e propriedades distributivas damultiplicação em relação à adição e subtração;

• Elementos neutros da adição e da multiplicação e elemento absorvente da multiplicação de núme-ros racionais não negativos;

• Utilização do traço de fração com o significado de quociente de números racionais;• Inversos dos números racionais positivos;• Produto e quociente de quocientes de números racionais; inverso de um produto e de um quociente

de números racionais;• Cálculo de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas e a utilização de

parêntesis;• Linguagem natural e linguagem simbólica.

OTD5

22tempos

Gráficos cartesianos

• Referenciais cartesianos, ortogonais e monométricos;• Abcissas, ordenadas e coordenadas;• Gráficos cartesianos.

Representação e tratamento de dados

• Tabelas de frequências absolutas e relativas;• Gráficos de barras e de linhas;• Média aritmética;• Problemas envolvendo a média e a moda;• Problemas envolvendo dados em tabelas, diagramas e gráficos.

16



6.o ano

Domínio Conteúdos

NO6

40 tempos

Números naturais

• Números primos;• Crivo de Eratóstenes;• Teorema fundamental da aritmética e aplicações.

Números racionais

Números racionais positivos e negativos

• Números racionais negativos;• Simétrico e valor absoluto de um número racional;• Semirreta de sentido positivo associada a um número; ordenação de números racionais;• Conjunto dos números inteiros relativos e conjunto dos números racionais.

Adição e subtração

• Segmentos de reta orientados; orientação positiva e negativa de segmentos orientados da retanumérica;

• Adição de números racionais; definição e propriedades;

• Subtração e soma algébrica de números racionais; definição e propriedades;• Módulo da diferença de dois números como medida da distância entre os pontos que representam

esses números na reta numérica.

GM6

60tempos

Figuras geométricas planas

• Ângulo ao centro e setor circular;• Polígonos inscritos numa circunferência;• Retas e segmentos de reta tangentes a uma circunferência;• Polígonos circunscritos a uma circunferência;• Apótema de um polígono.

Sólidos geométricos e propriedades

• Prismas; prismas oblíquos e regulares;• Pirâmides;• Bases, faces laterais e vértices de prismas e pirâmides;• Pirâmides regulares;• Cilindros; bases, eixo, geratrizes e superfície lateral de um cilindro;• Cones; base, vértice, eixo, geratrizes e superfície lateral de um cone;• Cilindros e cones retos;• Relação entre o número de arestas e de vértices de um prisma (ou pirâmide) e da respetiva base;• Poliedros convexos;• Relação de Euler;

• Planificações de sólidos;• Problemas envolvendo sólidos geométricos e respetivas planificações.

Medida

Área

• Fórmula para o perímetro do círculo; aproximação por perímetros de polígonos regulares inscritos ecircunscritos;

• Fórmula para a área de polígonos regulares;• Fórmula para a área do círculo; aproximação por áreas de polígonos regulares inscritos;• Problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de polígonos e círculos. M

A T e m á t i c a 6 – C a d e r n o d e A p o i o a o P r o f e s s o r –

T E X T O



Domínio Conteúdos

Volume

• Fórmula para o volume do paralelepípedo retângulo com dimensões de medida racional;• Fórmulas para o volume do prisma reto e do cilindro reto;• Problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos.

Isometrias do plano

• Reflexão central como isometria; invariância da amplitude de ângulo;• Mediatriz de um segmento de reta; construção da mediatriz utilizando régua e compasso;• Reflexão axial como isometria; invariância da amplitude de ângulo; eixos de simetria; a bissetriz de um

ângulo como eixo de simetria;• Rotação de sentido positivo ou negativo como isometria; invariância da amplitude de ângulo;• Imagem de um segmento de reta por uma isometria;• Construção de imagens de figuras planas por reflexões centrais e axiais e por rotações;• Simetrias de rotação e de reflexão;• Problemas envolvendo as propriedades das isometrias e utilizando raciocínio dedutivo;• Problemas envolvendo figuras com simetrias de rotação e de reflexão axial.

ALG6

54tempos

Potências de expoente natural

• Potência de base racional não negativa;• Regras operatórias das potências de base racional não negativa;• Prioridade das operações;• Linguagem simbólica e linguagem natural em enunciados envolvendo potências.

Sequências e regularidades

• Determinação de termos de uma sequência definida por uma lei de formação recorrente ou por umaexpressão geradora;

• Determinação de expressões geradoras de sequências definidas por uma lei de formação recorrente;

• Problemas envolvendo a determinação de uma lei de formação compatível com uma sequência par-cialmente conhecida.

Proporcionalidade direta

• Noção de grandezas diretamente proporcionais e de constante de proporcionalidade direta;• Proporções; extremos, meios e termos de uma proporção; propriedades; regra de três simples;• Escalas em mapas;• Problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta entre grandezas mutuamente dependentes.

OTD6

14tempos


• População e unidade estatística;• Variáveis quantitativas e qualitativas;• Gráficos circulares;• Análise de conjuntos de dados a partir da média, moda e amplitude;• Problemas envolvendo dados representados de diferentes formas.

18



5. Níveis de desempenho

Tal como indicado na Introdução dos Cadernos de Apoio às Metas Curriculares, para vários descritores consi-deraram-se diferentes níveis de desempenho, materializados, nesses Cadernos, em exercícios ou problemas quepodem ser propostos aos alunos. Aqueles que aí foram assinalados com um ou dois asteriscos estão associados aníveis de desempenho progressivamente mais avançados. Tais desempenhos mais avançados não são exigíveis a

todos os alunos, tendo, portanto, caráter opcional. No caso de outros descritores, embora não se tenham apresen-tado exemplos que permitissem distinguir níveis de desempenho, considera-se que o seu total cumprimentoexige, só por si, um nível de desempenho avançado.

No quadro abaixo indicam-se todos os descritores atrás referidos, que se enquadram em três tipos distintos:

• Uns descritores mencionam propriedades que devem ser reconhecidas. Ainda que esse reconhecimentocom níveis de desempenho que ultrapassem o considerado regular seja, tal como foi explicado acima,opcional, os alunos deverão, em todos os casos, conhecer pelo menos o enunciado destas propriedades,podendo utilizá-las quando necessário, por exemplo na resolução de problemas;

• Outros descritores envolvem procedimentos. Todos devem ser trabalhados ao nível mais elementar, fican-

do ao critério do professor o grau de desenvolvimento com que aborda situações mais complexas, corres-pondentes a níveis de desempenho superiores;

• Os restantes descritores referem-se a propriedades que devem ser provadas ou demonstradas ; o factode se incluírem alguns descritores deste tipo na lista dos que podem envolver níveis de desempenho avan-çados significa que as demonstrações a que se referem, embora devam ser requeridas para se atingiremesses níveis de desempenho, não são exigíveis à generalidade dos alunos, devendo todos eles, em qualquercaso, conhecer o enunciado das propriedades e estar aptos a utilizá-las quando necessário.

Em todos os casos, as condições em que são abordados os níveis de desempenho mais avançados ficam ao cri-

tério do professor, em função das circunstâncias (tempo, características dos alunos ou outros fatores) em quedecorre a sua prática letiva.

Ano de escolaridade Descritores

5.o anoNO5 3.5, 3.6GM5 1.7, 1.14, 1.15, 1.16, 2.2, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.16, 2.20, 2.22, 4.2, 4.5ALG5 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

6.o

ano

NO6 2.9, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.1, 4.2, 4.6

GM6 1.4, 1.7, 3.2, 3.4, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 9.5, 9.13ALG6 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8


T E X T O



6. Metodologias

Tendo em consideração, tal como para os níveis de desempenho, as circunstâncias de ensino (de modo muitoparticular, as características das turmas e dos alunos), as escolas e os professores devem decidir quais as meto-dologias e os recursos mais adequados para auxiliar os seus alunos a alcançar os desempenhos definidos nasMetas Curriculares.

A experiência acumulada dos professores e das escolas é um elemento fundamental no sucesso de qualquerprojeto educativo, não se pretendendo, por isso, espartilhar e diminuir a sua liberdade pedagógica nem condicio-nar a sua prática letiva. Pelo contrário, o presente Programa reconhece e valoriza a autonomia dos professores edas escolas, não impondo portanto metodologias específicas.

Sem constituir ingerência no trabalho das escolas e dos professores, nota-se que a aprendizagem matemáti-ca é estruturada em patamares de crescente complexidade, pelo que na prática letiva deverá ter-se em atenção aprogressão dos alunos, sendo muito importante proceder-se a revisões frequentes de passos anteriores com vistaà sua consolidação.

O uso da calculadora tem vindo a generalizar-se, em atividades letivas, nos diversos níveis de ensino, porvezes de forma pouco criteriosa. Em fases precoces, há que acautelar devidamente que esse uso não comprome-ta a aquisição de procedimentos e o treino do cálculo mental e, consequentemente, a eficácia do próprio proces-so de aprendizagem. Por este motivo, o uso da calculadora no Ensino Básico apenas é expressamenterecomendado em anos escolares mais avançados e sobretudo em situações pontuais de resolução de problemasque envolvam, por exemplo, um elevado número de cálculos, a utilização de valores aproximados, operações deradiciação ou a determinação de razões trigonométricas ou de amplitudes de ângulos dada uma razão trigono-métrica, quando não haja intenção manifesta de, por alguma razão justificada, dispensar esse uso.

7. Avaliação

O Decreto-Lei n.o 139/2012, de 5 de julho, estabelece os princípios orientadores da organização, da gestão e dodesenvolvimento dos currículos dos ensinos Básico e Secundário, bem como da avaliação dos conhecimentosadquiridos e das capacidades desenvolvidas pelos alunos do Ensino Básico ministradas em estabelecimentosescolares públicos, particulares e cooperativos.

O Despacho Normativo n.o 24-A/2012, de 6 de dezembro de 2012, define as regras de avaliação do desempenhodos alunos nos três ciclos do Ensino Básico. Em particular, explicita-se nesse normativo que o sistema educativo

deve adotar como referencial de avaliação as Metas Curriculares.

É este documento que permitirá cumprir a função de regulação e orientação do percurso de aprendizagemque a avaliação do desempenho dos alunos deverá assumir. Os resultados dos processos avaliativos (de caráternacional, de escola, de turma e de aluno) devem contribuir para a orientação do ensino, de modo a que se possamsuperar, em tempo útil e de modo apropriado, dificuldades de aprendizagem identificadas e, simultaneamente,reforçar os progressos verificados. Todos estes propósitos devem ser concretizados recorrendo a uma avaliaçãodiversificada e frequente, contribuindo, assim, para que os alunos adquiram uma maior consciência do seu nívelde aprendizagem.

20



Nesta conformidade, qualquer tipo de avaliação deve ser concretizado por referência às Metas Curriculares edeve permitir efetuar um diagnóstico da situação da aprendizagem de cada aluno e de cada turma. A classifica-ção resultante da avaliação interna no final de cada período traduzirá o nível de desempenho do aluno no que serefere ao cumprimento das Metas Curriculares.

8. Bibliografia

1. Aharoni, R., Aritmética para pais , Lisboa: SPM/Gradiva (trad. de Arithmetic for Parents : A Book for Grownups about Childrens’ Mathematics , El Cerrito, CA, Sumizdat, 2007).

2. Anderson, J.R. & Schunn, C., Implications of the ACT-R learning theory: No magic bullets, Advances in instructional psychology, Educational design and cognitive science (pp. 1-33), Mahwah: Lawrence Erlbaum, 2000.

3. Bivar, A., Grosso, C., Oliveira, F. & Timóteo, M.C., Metas Curriculares do Ensino Básico – Matemática,Caderno de Apoio – 1.o Ciclo , Ministério da Educação e Ciência: Direção-Geral da Educação, 2012.

4. Bivar, A., Grosso, C., Oliveira, F. & Timóteo, M.C., Metas Curriculares do Ensino Básico – Matemática,Caderno de Apoio - 2.o Ciclo , Ministério da Educação e Ciência: Direção-Geral da Educação, 2012.

5. Bivar, A., Grosso, C., Oliveira, F. & Timóteo, M.C., Metas Curriculares do Ensino Básico – Matemática,Caderno de Apoio - 3.o Ciclo , Ministério da Educação e Ciência: Direção-Geral da Educação, 2013.

6. Common Core State Standards for Mathematics , Common Core State Standards Initiative, PreparingAmerica’s students for college & Career, 2011.

7. Elementary Mathematics Syllabus , Singapore Ministry of Education, 2009.

8. Geary, D., Berch, D.B., Ooykin, W., Embretson, S., Reyna, V., & Siegler, R., Learning mathematics: Findingsfrom The National (United States) Mathematics Advisory Panel, in N. Crato (Org.), Ensino da matemática: Questões e soluções , (pp. 175-221), Lisboa, Fundação Calouste Gulbenkian, 2008.

9. Geary, D.C., Development of mathematical understanding, in D. Kuhl & R.S. Siegler (Vol. Eds.), Cognition,perception, and language , Vol. 2., W. Damon (Gen. Ed.), Handbook of child psychology , 6th ed., (pp. 777-810),New York: John Wiley & Sons, 2006.

10. Kaminsky, J., Sloutsky, V. & Heckler, A., The advantage of abstract examples in learning math, Education Forum , 320 (pp. 454-455), 2008.

11. Karpicke, J.D. & Roediger, H.L., The critical importance of retrieval for learning, Science , 319, (pp. 966-968),2008.

12. Kirschener, P., Sweller, J., & Clark, R., Why minimal guidance during instruction does not work: An analysisof the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching,Educational Psychologist , 41 (2), (pp. 75-86), 2006.

13. Mathematics – The National Curriculum for England , Department for Education and Employment,London, 1999.


T E X T O



14. Mullis, I.V.S., Martin, M.O., Foy, P., & Arora, A., Trends in International Mathematics and Science Study,TIMMS-2011 International Results in Mathematics , Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International StudyCenter, Boston College, 2012.

15. NMAP – National Mathematics Advisory Panel, Foundations for success: Final Report , U.S. Department ofEducation, 2008.

16. Paas, F., Renkl, A., & Sweller, J., Cognitive load theory: Instructional implications of the interaction bet-ween information structures and cognitive architecture, Instructional Science , 32, 1-8, 2004.

17. Ponte, J.P., Serrazina, L., Guimarães, H.M., Breda, A., Guimarães, F., Sousa, H., Menezes, L., Martins, M.E. &Oliveira, P.A., Programa Nacional do Ensino Básico , Ministério da Educação: Direção-Geral da Inovação eDesenvolvimento Curricular, 2007.

18. Rittle-Johnson, B., Siegler, R.S. & Alibali, M.W., Developing conceptual understanding and procedural skillin mathematics: An iterative process, Journal of Educational Psychology , 93, (pp. 346-362), 2001.

19. Roediger, H.L., Karpicke, J.D., Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention,Psychological Science , 17, (pp. 249-255), 2006.

20. Roediger, H.L., Karpicke, J.D., The power of testing memory: Basic research and implications for educatio-nal practice, Perspectives on Psychological Science, 1, (pp. 181-210), 2006.

21. Rohder, D. & Taylor, K., The effects of overlearning and distributed practice on the retention of mathema-tics knowledge, Applied Cognitive Psychology , 20, 2006.

22. Sweller, J., Clark, R. & Kirschener, P., Teaching general problem-solving skills is not a substitute for, or aviable addition to, teaching mathematics (pp. 1303-1304), Doceamus 57(10), 2010.

23. Wu, H., Fractions, decimals and rational numbers, (http://math.berkeley.edu/~wu/), 2008.

24. Wu, H., On the learning of Algebra, (http://math.berkeley.edu/~wu/), 2001.

22



Metas Curriculares do 2. o Ciclo

O presente documento descreve o conjunto das metas curriculares da disciplina de Matemática que os alu-nos devem atingir durante o Ensino Básico, tendo-se privilegiado os elementos essenciais que constam doPrograma de 2007. Os objetivos gerais, completados por descritores mais precisos, encontram-se organizados emcada ano de escolaridade, por domínios e subdomínios, segundo a seguinte estrutura:

Domínio

Subdomínio

1. Objetivo geral

1. Descritor

2. Descritor

…

Os diferentes descritores estão redigidos de forma objetiva, numa linguagem rigorosa destinada ao professor,devendo este selecionar uma estratégia de ensino adequada à respetiva concretização, incluindo uma adaptaçãoda linguagem aos diferentes níveis de escolaridade. O significado preciso de certos verbos com que se iniciamalguns descritores («saber», «reconhecer», «identificar», «designar», «provar», «demonstrar») depende do ciclo aque se referem, encontrando-se uma descrição do que é pretendido explicitada nos parágrafos intitulados«Leitura das metas curriculares». Em particular, as técnicas de argumentação e de demonstração, que consti-tuem a própria natureza da Matemática, vão sendo, de forma progressiva, requeridas a todos os alunos.

A prática letiva obriga, naturalmente, a frequentes revisões de objetivos gerais e descritores correspondentesa anos de escolaridade anteriores. Estes pré-requisitos não se encontram explicitados no texto, devendo o profes-sor identificá-los consoante a necessidade, a pertinência e as características próprias de cada grupo de alunos.

Os temas transversais referidos no Programa de 2007, como a Comunicação ou o Raciocínio matemático,referem-se a capacidades estruturais indispensáveis ao cumprimento dos objetivos elencados, estando contem-plados neste documento de forma explícita ou implícita em todos os descritores.

Optou-se por formar uma sequência de objetivos gerais e de descritores, dentro de cada subdomínio, que cor-responde a uma progressão de ensino adequada, podendo no entanto optar-se por alternativas coerentes quecumpram os mesmos objetivos e respetivos descritores. Existem em particular algumas circunstâncias em quese torna necessário cumprir alternadamente descritores que pertencem a subdomínios ou mesmo a domíniosdistintos; com efeito, a arrumação dos tópicos por domínios temáticos, e simultaneamente respeitando dentro de

cada domínio uma determinada progressão a isso pode levar, dada a própria natureza e interligação dos conteú-dos e capacidades matemáticas.

São também disponibilizados aos professores cadernos de apoio às presentes metas curriculares (um por ciclo),contendo suportes teóricos aos objetivos e descritores, bem como exemplos de concretização de alguns deles.Nesses documentos, os níveis de desempenho esperados foram, sempre que possível, objeto de especificação.

2


T E X T O



2. o ciclo

24

Leitura das Metas Curriculares do 2.º ciclo

«Identificar», «designar»: o aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o

conceito apresentado como se indica ou de maneira equivalente, ainda que informal.

«Estender»: O aluno deve saber definir o conceito como se indica ou de forma equivalente, ainda que

informal, reconhecendo que se trata de uma generalização.

«Reconhecer»: O aluno deve conhecer o resultado e saber justificá-lo, eventualmente de modo informal

ou recorrendo a casos particulares. No caso das propriedades mais complexas, os alunos devem apenas

saber justificar isoladamente os diversos passos utilizados pelo professor para as deduzir, bem como

saber ilustrá-las utilizando exemplos concretos. No caso das propriedades mais simples, os alunos

poderão ser chamados a apresentar de forma autónoma uma justificação geral um pouco mais precisa.

«Saber»: Pretende-se que o aluno conheça o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta.



2


T E X T O

Números racionais não negativos

1.

Efetuar operações com números racionais não negativos

1. Simplificar frações dividindo ambos os termos por um divisor comum superior à unidade.

2. Reconhecer, dadas duas frações, que multiplicando ambos os termos de cada uma pelo

denominador da outra obtêm-se duas frações com o mesmo denominador que lhes são

respetivamente equivalentes.

3. Ordenar duas quaisquer frações.

4. Reconhecer que

(sendo , , e números naturais).

5. Reconhecer que

(sendo , , e números naturais,

).

6. Identificar o produto de um número racional positivo por

(sendo e números naturais) como

o produto por do produto de por

, representá-lo por

e

e reconhecer que

(sendo e números naturais).

7. Reconhecer que

(sendo , , e números naturais).

8. Designar por «fração irredutível» uma fração com menores termos do que qualquer outra que lhe

seja equivalente.

9. Representar números racionais não negativos como numerais mistos.

10. Adicionar e subtrair dois números racionais não negativos expressos como numerais mistos,

começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias

associadas, com eventual transporte de uma unidade.

11.

Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou porarredondamento, com uma dada precisão.

2.

Resolver problemas

1. Resolver problemas de vários passos envolvendo operações com números racionais representados

por frações, dízimas, percentagens e numerais mistos.

Números naturais

3. Conhecer e aplicar propriedades dos divisores

1.

Saber os critérios de divisibilidade por , por e por .

2. Identificar o máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada

um deles.

3. Reconhecer que num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do

produto.

4. Reconhecer que se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma

e diferença.

5. Reconhecer, dada uma divisão inteira , que se um número divide o divisor () e o

resto () então divide o dividendo ().

5. o an o

Números e Operações NO5



26

6. Reconhecer, dada uma divisão inteira ), que se um número divide o dividendo () e

o divisor () então divide o resto ( ).

7. Utilizar o algoritmo de Euclides para determinar os divisores comuns de dois números naturais e,

em particular, identificar o respetivo máximo divisor comum.

8. Designar por «primos entre si» dois números cujo máximo divisor comum é .

9. Reconhecer que dividindo dois números pelo máximo divisor comum se obtêm dois números

primos entre si.

10. Saber que uma fração é irredutível se o numerador e o denominador são primos entre si.

11. Identificar o mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada

um deles.

12. Saber que o produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo

mínimo múltiplo comum e utilizar esta relação para determinar o segundo quando é conhecido o

primeiro, ou vice-versa.

4. Resolver problemas

1.

Resolver problemas envolvendo o cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comumde dois ou mais números naturais.



2


T E X T O

Propriedades geométricas

1. Reconhecer propriedades envolvendo ângulos, paralelismo e perpendicularidade

1. Identificar um ângulo não giro como soma de dois ângulos e se for

igual à união de dois ângulos adjacentes e respetivamente iguais a e a.

2. Identificar um ângulo giro como igual à soma de outros dois se estes

forem iguais respetivamente a dois ângulos não coincidentes com os

mesmos lados.

3. Construir um ângulo igual à soma de outros dois utilizando régua e compasso.

4. Designar por «bissetriz» de um dado ângulo a semirreta nele contida, de origem

no vértice e que forma com cada um dos lados ângulos iguais, e construi-la

utilizando régua e compasso.

5. Identificar dois ângulos como «suplementares» quando a

respetiva soma for igual a um ângulo raso.

6. Identificar dois ângulos como «complementares» quando a respetiva soma for

igual a um ângulo reto.

7.

Reconhecer que ângulos verticalmente opostos são iguais.

8. Identificar duas semirretas com a mesma reta suporte como tendo «o mesmo sentido» se uma

contém a outra.

9. Identificar duas semirretas com retas suporte distintas como tendo «o mesmo

sentido» se forem paralelas e estiverem contidas num mesmo semiplano

determinado pelas respetivas origens.

10. Utilizar corretamente as expressões «semirretas diretamente paralelas» e «semirretas

inversamente paralelas». 11. Identificar, dadas duas semirretas e contidas na mesma reta e com o

mesmo sentido e dois pontos e pertencentes a um mesmo semiplano definido

pela reta , os ângulos e como «correspondentes» e saber que são

iguais quando (e apenas quando) as retas e são paralelas.

12. Construir segmentos de reta paralelos recorrendo a régua e esquadro e utilizando qualquer par de

lados do esquadro.

Geometria e Medida GM5



28

13. Identificar, dadas duas retas e intersetadas por uma secante, «ângulos internos» e «ângulos

externos» e pares de ângulos «alternos internos» e «alternos externos» e reconhecer que os

ângulos de cada um destes pares são iguais quando (e apenas quando) e são paralelas.

14. Reconhecer que são iguais dois ângulos convexos

complanares de lados dois a dois

diretamente paralelos ou de lados dois a dois

inversamente paralelos.

15. Reconhecer que são suplementares dois ângulos convexos complanares que

tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversamente

paralelos.

16. Saber que dois ângulos convexos complanares de lados perpendiculares dois

a dois são iguais se forem «da mesma espécie» (ambos agudos ou ambos

obtusos) e são suplementares se forem «de espécies diferentes».

2.

Reconhecer propriedades de triângulos e paralelogramos

1. Utilizar corretamente os termos «ângulo interno», «ângulo externo» e «ângulos adjacentes a um

lado» de um polígono.

2. Reconhecer que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso.

3. Reconhecer que num triângulo retângulo ou obtusângulo dois dos ângulos internos são agudos.

4. Designar por «hipotenusa» de um triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto e por «catetos»

os lados a ele adjacentes.

5. Reconhecer que um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos

ângulos internos não adjacentes.

6. Reconhecer que num triângulo a soma de três ângulos externos com vértices

distintos é igual a um ângulo giro.

7. Identificar paralelogramos como quadriláteros de lados paralelos dois a dois e reconhecer que dois

ângulos opostos são iguais e dois ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares.

8. Utilizar corretamente os termos «triângulo retângulo», «triângulo acutângulo» e «triângulo

obtusângulo».9. Construir triângulos dados os comprimentos dos lados, reconhecer que as diversas construções

possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão

«critério LLL de igualdade de triângulos».

10. Construir triângulos dados os comprimentos de dois lados e a amplitude do ângulo por eles

formado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar

corretamente, neste contexto, a expressão «critério LAL de igualdade de triângulos».

11. Construir triângulos dado o comprimento de um lado e as amplitudes dos ângulos adjacentes a

esse lado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar

corretamente, neste contexto, a expressão «critério ALA de igualdade de triângulos».



2


T E X T O

12. Reconhecer que num triângulo a lados iguais opõem-se ângulos iguais e

reciprocamente.

13. Reconhecer que em triângulos iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais

e reciprocamente.

14.

Classificar os triângulos quanto aos lados utilizando as amplitudes dos respetivos ângulos internos. 15. Saber que num triângulo ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor

ângulo, e vice-versa.

16. Reconhecer que num paralelogramo lados opostos são iguais.

17. Saber que num triângulo a medida do comprimento de qualquer lado é menor do que a soma das

medidas dos comprimentos dos outros dois e maior do que a respetiva diferença e designar a

primeira destas propriedades por «desigualdade triangular».

18. Saber, dada uma reta e um ponto não pertencente a , que existe uma reta

perpendicular a passando por , reconhecer que é única e construir a

interseção desta reta com (ponto designado por «pé da perpendicular»)utilizando régua e esquadro.

19. Saber, dada uma reta e um ponto a ela pertencente, que existe em cada

plano contendo , uma reta perpendicular a passando por , reconhecer que

é única e construí-la utilizando régua e esquadro, designando o ponto por

«pé da perpendicular».

20. Identificar a distância de um ponto a uma reta como a distância de ao pé da perpendicular

traçada de para e reconhecer que é inferior à distância de a qualquer outro ponto de .

21. Identificar, dado um triângulo e um dos respetivos lados, a «altura» do

triângulo relativamente a esse lado (designado por «base»), como o

segmento de reta unindo o vértice oposto à base com o pé daperpendicular traçada desse vértice para a reta que contém a base.

22. Reconhecer que são iguais os segmentos de reta que unem duas retas

paralelas e lhes são perpendiculares e designar o comprimento desses

segmentos por «distância entre as retas paralelas».

23. Identificar, dado um paralelogramo, uma «altura» relativamente a um

lado (designado por «base») como um segmento de reta que une um

ponto do lado oposto à reta que contém a base e lhe é perpendicular.

24. Utilizar raciocínio dedutivo para reconhecer propriedades geométricas.

3.

Resolver problemas

1. Resolver problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e

triângulos.

Medida

4. Medir áreas de figuras planas

1. Construir, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números naturais e , um quadrado

unitário decomposto em retângulos de lados consecutivos de medidas

e

e reconhecer

que a área de cada um é igual a

unidades quadradas.



30

2. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números racionais positivos e ,

que a área de um retângulo de lados consecutivos de medida e é igual a unidades

quadradas.

3. Exprimir em linguagem simbólica a regra para o cálculo da medida da área de um retângulo em

unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de dois lados consecutivos em

determinada unidade, no caso em que são ambas racionais.

4.

Exprimir em linguagem simbólica a regra para o cálculo da medida da área de um quadrado em

unidades quadradas, dada a medida de comprimento dos respetivos lados em determinada

unidade (supondo racional), designando essa medida por « ao quadrado» e representando-a por «».

5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um paralelogramo com uma base e uma

altura a ela relativa com comprimentos de medidas respetivamente iguais a e a (sendo e

números racionais positivos), que a medida da área do paralelogramo em unidades quadradas é

igual a , verificando que o paralelogramo é equivalente a um retângulo com essa área.

6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um triângulo com uma base e uma altura

a ela relativa com comprimentos de medidas respetivamente iguais a e (sendo e números

racionais positivos), que a medida da área do triângulo em unidades quadradas é igual a metade de

, verificando que se pode construir um paralelogramo decomponível em dois triângulos iguais

ao triângulo dado, com a mesma base que este.

7. Exprimir em linguagem simbólica as regras para o cálculo das medidas das áreas de paralelogramos

e triângulos em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de uma base e

correspondente altura em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais.


1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas.

6.

Medir amplitudes de ângulos

1. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo

como

(sendo número natural) quando o ângulo unidade for igual à soma de ângulos iguais

àquele.

2. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo

como

(sendo e números naturais) quando for igual à soma de ângulos de amplitude

unidades e representar a amplitude de por «

3. Identificar o «grau» como a unidade de medida de amplitude de ângulo tal que o ângulo giro tem

amplitude igual a graus e utilizar corretamente o símbolo «».

4.

Saber que um grau se divide em minutos (de grau) e um minuto em segundos (de grau) e

5. Utilizar o transferidor para medir amplitudes de ângulos e construir ângulos de determinada

amplitude expressa em graus.


1. Resolver problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude

expressas em forma complexa e incomplexa.




T E X T O

Expressões algébricas

1. Conhecer e aplicar as propriedades das operações

1. Conhecer as prioridades convencionadas das operações de adição, subtração, multiplicação e

divisão e utilizar corretamente os parênteses.

2. Reconhecer as propriedades associativa e comutativa da adição e da multiplicação e as

propriedades distributivas da multiplicação relativamente à adição e à subtração e representá-las

algebricamente.

3. Identificar o e o como os elementos neutros respetivamente da adição e da multiplicação de

números racionais não negativos e o como elemento absorvente da multiplicação.

4. Utilizar o traço de fração para representar o quociente de dois números racionais e designá-lo por

«razão» dos dois números.

5. Identificar dois números racionais positivos como «inversos» um do outro quando o respetivo

produto for igual a e reconhecer que o inverso de um dado número racional positivo é igual a

.

6. Reconhecer que o inverso de

é

(sendo e números naturais) e reconhecer que dividir por

um número racional positivo é o mesmo do que multiplicar pelo respetivo inverso.

7. Reconhecer que o inverso do produto (respetivamente quociente) de dois números racionais

positivos é igual ao produto (respetivamente quociente) dos inversos.

8. Reconhecer, dados números racionais positivos , , e , que

e concluir que o

inverso de

é igual a

.

9. Reconhecer, dados números racionais positivos , , e , que

.

10.

Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticase a utilização de parênteses.

11. Traduzir em linguagem simbólica enunciados matemáticos expressos em linguagem natural e vice-

versa, sabendo que o sinal de multiplicação pode ser omitido entre números e letras e entre letras,

e que pode também utilizar-se, em todos os casos, um ponto no lugar deste sinal.

Álgebra ALG5



32

Gráficos cartesianos

1. Construir gráficos cartesianos

1.

Identificar um «referencial cartesiano» como um par de retas numéricas não coincidentes que se

intersetam nas respetivas origens, das quais uma é fixada como «eixo das abcissas» e a outra como

«eixo das ordenadas» (os «eixos coordenados»), designar o referencial cartesiano como

«ortogonal» quando os eixos são perpendiculares e por «monométrico» quando a unidade de

comprimento é a mesma para ambos os eixos.

2. Identificar, dado um plano munido de um referencial cartesiano, a «abcissa» (respetivamente

«ordenada») de um ponto do plano como o número representado pela interseção com o eixo das

abcissas (respetivamente ordenadas) da reta paralela ao eixo das ordenadas (respetivamente

abcissas) que passa por e designar a abcissa e a ordenada por «coordenadas» de .

3. Construir, num plano munido de um referencial cartesiano ortogonal, o «gráfico cartesiano»

referente a dois conjuntos de números tais que a todo o elemento do primeiro está associado um

único elemento do segundo, representando nesse plano os pontos cujas abcissas são iguais aos

valores do primeiro conjunto e as ordenadas respetivamente iguais aos valores associados às

abcissas no segundo conjunto.


2. Organizar e representar dados

1. Construir tabelas de frequências absolutas e relativas reconhecendo que a soma das frequências

absolutas é igual ao número de dados e a soma das frequências relativas é igual a .2. Representar um conjunto de dados em gráfico de barras.

3. Identificar um «gráfico de linha» como o que resulta de se unirem, por segmentos de reta, os

pontos de abcissas consecutivas de um gráfico cartesiano constituído por um número finito de

pontos, em que o eixo das abcissas representa o tempo.

3.

Tratar conjuntos de dados

1. Identificar a «média» de um conjunto de dados numéricos como o quociente entre a soma dos

respetivos valores e o número de dados, e representá-la por «».

4.

Resolver problemas

1. Resolver problemas envolvendo a média e a moda de um conjunto de dados, interpretando o

respetivo significado no contexto de cada situação.

2. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados em tabelas de frequência,

diagramas de caule-e-folhas, gráficos de barras e de linhas.

Organização e Tratamento de Dados OTD5





34

11. Identificar o conjunto dos «números inteiros relativos» (ou simplesmente «números inteiros»)

como o conjunto formado pelo , os números naturais e os respetivos simétricos, representá-lo por

e o conjunto dos números naturais por .

12. Identificar o conjunto dos «números racionais» como o conjunto formado pelo , os números

racionais positivos e os respetivos simétricos e representá-lo por .

3.

Adicionar números racionais

1. Identificar um segmento orientado como um segmento de reta no qual se escolhe uma origem de

entre os dois extremos e representar por o segmento orientado de origem ,

designando o ponto B por extremidade deste segmento orientado.

2. Referir, dados dois números racionais e representados respetivamente pelos pontos e da

reta numérica, o segmento orientado como «orientado positivamente» quando é menor

do que e como «orientado negativamente» quando é maior do que .

3. Identificar, dados dois números racionais e representados respetivamente pelos pontos e

da reta numérica, a soma como a abcissa da outra extremidade do segmento orientado de

origem e de comprimento e orientação de ou pelo ponto se for nulo, reconhecendoque assim se estende a todos os números racionais a definição de adição de números racionais não

negativos.

4. Reconhecer, dados números racionais com o mesmo sinal, que a respetiva soma é igual ao número

racional com o mesmo sinal e de valor absoluto igual à soma dos valores absolutos das parcelas.

5. Reconhecer, dados dois números racionais de sinal contrário não simétricos, que a respetiva soma

é igual ao número racional de sinal igual ao da parcela com maior valor absoluto e de valor absoluto

igual à diferença entre o maior e o menor dos valores absolutos das parcelas.

6. Reconhecer que a soma de qualquer número com é o próprio número e que a soma de dois

números simétricos é nula.

4. Subtrair números racionais

1. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação da diferença entre

dois números e como o número cuja soma com é igual a .

2. Reconhecer, dados dois números racionais e , que é igual à soma de com o simétrico de

e designar, de forma genérica, a soma e a diferença de dois números racionais por «soma

algébrica».

3. Reconhecer, dado um número racional , que é igual ao simétrico de q e representá-lo por «».

4. Reconhecer, dado um número racional , que

5. Reconhecer que o módulo de um número racional é igual a se for positivo e a se for

negativo.

6. Reconhecer que a medida da distância entre dois pontos de abcissas e é igual a e a

.



3


T E X T O

Figuras geométricas planas

1. Relacionar circunferências com ângulos, retas e polígonos

1. Designar, dada uma circunferência, por «ângulo ao centro» um ângulo de vértice no

centro.

2. Designar, dada uma circunferência, por «setor circular» a interseção de um ângulo

ao centro com o círculo.

3. Identificar um polígono como «inscrito» numa dada circunferência quando os

respetivos vértices são pontos da circunferência.

4.

Reconhecer que uma reta que passa por um ponto de uma circunferência decentro e é perpendicular ao raio interseta a circunferência apenas em e

designá-la por «reta tangente à circunferência».

5. Identificar um segmento de reta como tangente a uma dada circunferência se a

intersetar e a respetiva reta suporte for tangente à circunferência.

6. Identificar um polígono como «circunscrito» a uma dada circunferência quando os

respetivos lados forem tangentes à circunferência.

7. Reconhecer, dado um polígono regular inscrito numa circunferência, que os

segmentos que unem o centro da circunferência aos pés das perpendiculares

tiradas do centro para os lados do polígono são todos iguais e designá-los por

«apótemas».

Sólidos geométricos

2. Identificar sólidos geométricos

1.

Identificar «prisma» como um poliedro com duas faces geometricamente iguais («bases do

prisma») situadas respetivamente em dois planos paralelos de modo que as restantes sejam

paralelogramos, designar os prismas que não são retos por «prismas oblíquos», os prismas retos de

bases regulares por «prismas regulares», e utilizar corretamente a expressão «faces laterais do

prisma».

2. Identificar «pirâmide» como um poliedro determinado por um polígono («base da pirâmide») que

constitui uma das suas faces e um ponto («vértice da pirâmide»), exterior ao plano que contém a

base de tal modo que as restantes faces são os triângulos determinados pelo vértice da pirâmide e

pelos lados da base e utilizar corretamente a expressão «faces laterais da pirâmide».

Geometria e Medida GM6



36

3. Designar por «pirâmide regular» uma pirâmide cuja base é um polígono regular e as arestas laterais

são iguais.

4. Identificar, dados dois círculos com o mesmo raio, (de centro ) e (de centro ), situados

respetivamente em planos paralelos, o «cilindro» de «bases» e como o sólido delimitado

pelas bases e pela superfície formada pelos segmentos de reta que unem as circunferências dos

dois círculos e são paralelos ao segmento de reta designado por «eixo do cilindro» e utilizar

corretamente as expressões «geratrizes do cilindro» e «superfície lateral do cilindro».5. Designar por cilindro reto um cilindro cujo eixo é perpendicular aos raios de qualquer das bases.

6. Identificar, dado um círculo e um ponto exterior ao plano que o contém, o «cone» de «base»

e «vértice» como o sólido delimitado por e pela superfície formada pelos segmentos de reta

que unem aos pontos da circunferência do círculo e utilizar corretamente as expressões

«geratrizes do cone», «eixo do cone» e «superfície lateral do cone».

7. Designar por cone reto um cone cujo eixo é perpendicular aos raios da base.

3. Reconhecer propriedades dos sólidos geométricos

1. Reconhecer que o número de arestas de um prisma é o triplo do número de arestas da base e que

o número de arestas de uma pirâmide é o dobro do número de arestas da base.

2. Reconhecer que o número de vértices de um prisma é o dobro do número de vértices da base e

que o número de vértices de uma pirâmide é igual ao número de vértices da base adicionado de

uma unidade.

3. Designar um poliedro por «convexo» quando qualquer segmento de reta que une dois pontos do

poliedro está nele contido.

4. Reconhecer que a relação de Euler vale em qualquer prisma e qualquer pirâmide e verificar a sua

validade em outros poliedros convexos.

5. Identificar sólidos através de representações em perspetiva num plano.


1. Resolver problemas envolvendo sólidos geométricos e as respetivas planificações.

Medida

5.

Medir o perímetro e a área de polígonos regulares e de círculos

1. Saber que o perímetro e a área de um dado círculo podem ser aproximados respetivamente pelos

perímetros e áreas de polígonos regulares nele inscritos e a eles circunscritos.

2. Saber que os perímetros e os diâmetros dos círculos são grandezas diretamente proporcionais,

realizando experiências que o sugiram, e designar por a respetiva constante deproporcionalidade, sabendo que o valor de arredondado às décimas milésimas é igual a .

3. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que o perímetro de um círculo é igual ao

produto de pelo diâmetro e ao produto do dobro de pelo raio e exprimir simbolicamente estas

relações.

4. Decompor um polígono regular inscrito numa circunferência em triângulos isósceles com vértice no

centro, formar um paralelogramo com esses triângulos, acrescentando um triângulo igual no caso

em que são em número ímpar, e utilizar esta construção para reconhecer que a medida da área do

polígono, em unidades quadradas, é igual ao produto do semiperímetro pela medida do

comprimento do apótema.



3


T E X T O

5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a área de um círculo é igual (em unidades

quadradas) ao produto de pelo quadrado do raio, aproximando o círculo por polígonos regulares

inscritos e o raio pelos respetivos apótemas.


1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de polígonos e de círculos.

7. Medir volumes de sólidos

1. Considerar, fixada uma unidade de comprimento e dados três números naturais , e , um cubo

unitário decomposto em paralelepípedos retângulos com dimensões de medidas

,

e

e reconhecer que o volume de cada um é igual a

unidades cúbicas.

2. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados três números racionais positivos , e

que o volume de um paralelepípedo retângulo com dimensões de medidas , e é igual a

unidades cúbicas.

3. Reconhecer que o volume de um prisma triangular reto é igual a metade do volume de um

paralelepípedo retângulo com a mesma altura e de base equivalente a um paralelogramo

decomponível em dois triângulos iguais às bases do prisma.

4. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um prisma

triangular reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades

quadradas) pela medida da altura.

5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um prisma reto (em

unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela

medida da altura, considerando uma decomposição em prismas triangulares.

6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um cilindro reto

(em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela

medida da altura, aproximando-o por prismas regulares.


1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos.

Isometrias do plano

9. Construir e reconhecer propriedades de isometrias do plano

1. Designar, dados dois pontos e , o ponto por «imagem do ponto pela reflexão central de

centro » quando for o ponto médio do segmento e identificar a imagem de pela

reflexão central de centro como o próprio ponto .

2. Reconhecer, dado um ponto e as imagens e de dois pontos e pela reflexão central de

centro , que são iguais os comprimentos dos segmentos e e designar, neste contexto,

a reflexão central como uma «isometria».

3. Reconhecer, dado um ponto e as imagens , e de três pontos , e pela reflexão central

de centro , que são iguais os ângulos e .

4. Designar por «mediatriz» de um dado segmento de reta num dado plano a reta perpendicular a

esse segmento no ponto médio.



38

5. Reconhecer que os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantes das respetivas

extremidades.

6. Saber que um ponto equidistante das extremidades de um segmento de reta pertence à respetiva

mediatriz.

7. Construir a mediatriz (e o ponto médio) de um segmento utilizando régua e compasso.

8. Identificar, dada uma reta e um ponto não pertencente a , a «imagem de pela reflexão

axial de eixo » como o ponto tal que é mediatriz do segmento [ e identificar a imagemde um ponto de pela reflexão axial de eixo como o próprio ponto.

9. Designar, quando esta simplificação de linguagem não for ambígua, «reflexão axial» por «reflexão».

10. Saber, dada uma reta , dois pontos e e as respetivas imagens e pela reflexão de eixo ,

que são iguais os comprimentos dos segmentos e e designar, neste contexto, a reflexão

como uma «isometria».

11. Reconhecer, dada uma reta , três pontos , e e as respetivas imagens , e pela reflexão

de eixo , que são iguais os ângulos e .

12. Identificar uma reta como «eixo de simetria» de uma dada figura plana quando as imagens dos

pontos da figura pela reflexão de eixo formam a mesma figura.

13.

Saber que a reta suporte da bissetriz de um dado ângulo convexo é eixo de simetria do ângulo (e do

ângulo concavo associado), reconhecendo que os pontos a igual distância do vértice nos dois lados

do ângulo são imagem um do outro pela reflexão de eixo que contém a bissetriz.

14. Designar, dados dois pontos e e um ângulo , um ponto por «imagem do ponto por uma

rotação de centro e ângulo » quando os segmentos e têm o mesmo comprimento

e os ângulos e a mesma amplitude.

15. Reconhecer, dados dois pontos e e um ângulo (não nulo, não raso e não giro), que existem

exatamente duas imagens do ponto por rotações de centro e ângulo e distingui-las

experimentalmente por referência ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio, designando

uma das rotações por «rotação de sentido positivo» (ou «contrário ao dos ponteiros do relógio») e

a outra por «rotação de sentido negativo» (ou «no sentido dos ponteiros do relógio»).

16. Reconhecer, dados dois pontos e , que existe uma única imagem do ponto por rotação de

centro e ângulo raso, que coincide com a imagem de pela reflexão central de centro e

designá-la por imagem de por «meia volta em torno de ».

17. Reconhecer que a (única) imagem de um ponto por uma rotação de ângulo nulo ou giro é o

próprio ponto .

18. Saber, dado um ponto , um ângulo e as imagens e de dois pontos e por uma rotação

de centro e ângulo de determinado sentido, que são iguais os comprimentos dos segmentos

e e designar, neste contexto, a rotação como uma «isometria».

19. Reconhecer, dado um ponto , um ângulo e as imagens , e de três pontos , e por

uma rotação de centro e ângulo de determinado sentido, que são iguais os ângulos e

.

20. Identificar uma figura como tendo «simetria de rotação» quando existe uma rotação de ângulo não

nulo e não giro tal que as imagens dos pontos da figura por essa rotação formam a mesma figura.

21. Saber que a imagem de um segmento de reta por uma isometria é o segmento de reta cujas

extremidades são as imagens das extremidades do segmento de reta inicial.

22. Construir imagens de figuras geométricas planas por reflexão central, reflexão axial e rotação

utilizando régua e compasso.



3


T E X T O


1. Resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias utilizando raciocínio dedutivo.

2. Resolver problemas envolvendo figuras com simetrias de rotação e de reflexão axial.

23. Construir imagens de figuras geométricas planas por rotação utilizando régua e transferidor.

24. Identificar simetrias de rotação e de reflexão em figuras dadas.



40

Potências de expoente natural

1. Efetuar operações com potências

1. Identificar (sendo número natural maior do que e número racional não negativo) como o

produto de fatores iguais a e utilizar corretamente os termos «potência», «base» e

«expoente».

2. Identificar (sendo número racional não negativo) como o próprio número .

3. Reconhecer que o produto de duas potências com a mesma base é igual a uma potência com a

mesma base e cujo expoente é igual à soma dos expoentes dos fatores.

4. Representar uma potência de base e expoente elevada a um expoente por e

reconhecer que é igual a uma potência de base e expoente igual ao produto dos expoentes e

utilizar corretamente a expressão «potência de potência».

5. Representar um número racional elevado a uma potência (sendo e números naturais)

por e reconhecer que, em geral,

.

6.

Reconhecer que o produto de duas potências com o mesmo expoente é igual a uma potência com o

mesmo expoente e cuja base é igual ao produto das bases.

7. Reconhecer que o quociente de duas potências com a mesma base não nula e expoentes diferentes

(sendo o expoente do dividendo superior ao do divisor) é igual a uma potência com a mesma base

e cujo expoente é a diferença dos expoentes.

8. Reconhecer que o quociente de duas potências com o mesmo expoente (sendo a base do divisor

não nula) é igual a uma potência com o mesmo expoente e cuja base é igual ao quociente das

bases.

9. Conhecer a prioridade da potenciação relativamente às restantes operações aritméticas e

simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas

e potências bem como a utilização de parênteses.


1. Traduzir em linguagem simbólica enunciados expressos em linguagem natural e vice-versa.

Sequências e regularidades


1. Resolver problemas envolvendo a determinação de termos de uma sequência definida por uma

expressão geradora ou dada por uma lei de formação que permita obter cada termo a partir dosanteriores, conhecidos os primeiros termos.

2. Determinar expressões geradoras de sequências definidas por uma lei de formação que na

determinação de um dado elemento recorra aos elementos anteriores.

3. Resolver problemas envolvendo a determinação de uma lei de formação compatível com uma

sequência parcialmente conhecida e formulá-la em linguagem natural e simbólica.

Álgebra ALG6




T E X T O

Proporcionalidade direta

4. Relacionar grandezas diretamente proporcionais

1. Identificar uma grandeza como «diretamente proporcional» a outra quando dela depende de tal

forma que, fixadas unidades, ao multiplicar a medida da segunda por um dado número positivo, a

medida da primeira fica também multiplicada por esse número.

2.

Reconhecer que uma grandeza é diretamente proporcional a outra da qual depende quando,fixadas unidades, o quociente entre a medida da primeira e a medida da segunda é constante e

utilizar corretamente o termo «constante de proporcionalidade».

3. Reconhecer que se uma grandeza é diretamente proporcional a outra então a segunda é

diretamente proporcional à primeira e as constantes de proporcionalidade são inversas uma da

outra.

4. Identificar uma proporção como uma igualdade entre duas razões não nulas e utilizar corretamente

os termos «extremos», «meios» e «termos» de uma proporção.

5. Reconhecer que numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

6. Determinar o termo em falta numa dada proporção utilizando a regra de três simples ou outro

processo de cálculo.7. Saber que existe proporcionalidade direta entre distâncias reais e distâncias em mapas e utilizar

corretamente o termo «escala».


1. Identificar pares de grandezas mutuamente dependentes distinguindo aquelas que são

diretamente proporcionais.

2. Resolver problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta.



42


1. Organizar e representar dados

1. Identificar «população estatística» ou simplesmente «população» como um conjunto de

elementos, designados por «unidades estatísticas», sobre os quais podem ser feitas observações

e recolhidos dados relativos a uma característica comum.

2. Identificar «variável estatística» como uma característica que admite diferentes valores (um

número ou uma modalidade), um por cada unidade estatística.

3. Designar uma variável estatística por «quantitativa» ou «numérica» quando está associada a uma

característica suscetível de ser medida ou contada e por «qualitativa» no caso contrário.

4. Designar por «amostra» o subconjunto de uma população formado pelos elementos

relativamente aos quais são recolhidos dados, designados por «unidades estatísticas», e por

«dimensão da amostra» o número de unidades estatísticas pertencentes à amostra.

5. Representar um conjunto de dados num «gráfico circular» dividindo um círculo em setores

circulares sucessivamente adjacentes, associados respetivamente às diferentes categorias/classes

de dados, de modo que as amplitudes dos setores sejam diretamente proporcionais às

frequências relativas das categorias/classes correspondentes.

6. Representar um mesmo conjunto de dados utilizando várias representações gráficas,

selecionando a mais elucidativa de acordo com a informação que se pretende transmitir.


1. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados de diferentes formas.

2. Resolver problemas envolvendo a análise de um conjunto de dados a partir da respetiva média,

moda e amplitude.

Organização e Tratamento de Dados OTD6





A p a r t i r d a t a r e f a d a p á g

i n a 1 8 ,

i n t r o d u z i r o c á l c u l o d o m

. d . c .

d e

d o i s n ú m e r o s u s a n d o o s

d i v i s o r e s

e u s a n d o a d e c o m p o s i ç ã

o e m

f a t o r e s p r i m o s .


i n a 2 0 ,

e x p l o r a r o c á l c u l o d o m .

m . c .

u s a n d o m ú l t i p l o s e u s a n

d o a

d e c o m p o s i ç ã o e m f

a t o r e s p r i m o s .

C o m e

x e m p l o s , d e d u z i r q u e :

m . d . c .

( a ,

b ) × m . m . c .

( a ,

b ) = a × b

C o m o

s a l u n o s , r e s o l v e r

o s

p r o b l e m a s p r o p o s t o s e t r a b a l h a r

a s r u b r i c a s « E s s e n c i a l » ,

« A g o r a J á » e « F i c h a F o

r m a t i v a » .

44





P r o m o v e r r a c i o c í n i o s r e v e r s í v e i s

d o t i p o :

(

)

7 =

(

)

5 ×

( 1 , 5

) 2

(

)

1 2

= 7 1 2 :

4 1 2

4 3 =

( 2 2 ) 3

E d i s t i n g u i r

d e ( 2 4 ) 2

.

Q u a n t o à s p r o p r i e d a d e s

d a s

o p e r a ç õ e s e r e g r a s o p e r

a t ó r i a s , é

i m p o r t a n t e r e f e r i r e r e c o r d a r a s

p r o p r i e d a d e s d a s o p e r a ç õ e s q u e

f a c i l i t a m o

s c á l c u l o s , b e m c

o m o a s

p r i o r i d a d e s d a s o p e r a ç õ

e s n o

c á l c u l o c o m n

ú m e r o s r a c i o n a i s

a s s u n t o s j á e s t u d a d o s n o 5 . o a

n o .

D e v e m s

e r e x p l o r a d a s s i t u a ç õ e s

p a s s í v e i s d e s e r e m r

e p r e

s e n t a d a s

p o r e x p r e s s õ e s n u m é r i c a s q u e

e n v o l v a m t

o d a s a s o p e r a ç õ e s

a r i t m é t i c a s e p o t ê n c i a s ,

b e m

c o m o a u t i l i z a ç ã o d e p a r

ê n t e s e s .

A t r a d u ç ã o d e l i n g u a g e m

s i m b ó l i c a p a r a l i n g u a g e m

n a t u r a l

e v i c e - v e r s a d e v e s e r p r a

t i c a d a .

E x p l o r a r o c á l c u l o m e n t a l e

s i t u a ç õ e s d o t i p o :

0 , 3 7 5 ×

+ 0 , 3 7 5 ×

=

= 0 , 3 7 5 × 1 = 0 , 3 7 5

T r a b a l h a r r e g u l a r i d a d e s

c o m

p o t ê n c i a s .

46





R e c o n h e c e r q u e s e u m a g r a n d e z a

é d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a

o u t r a , e n t ã o a s e g u n d a é

d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a

l à

p r i m e i r a e a s c o n s t a n t e s

d e

p r o p o r c i o n a l i d a d e s ã o i n v e r s a s

u m a d a o u t r a .

I d e n t i f i c a r u m a p r o p o r ç ã o c o m o

u m a i g u a l d a d e e n t r e d u a

s r a z õ e s

n ã o n u l a s e u t i l i z a r c o r r e t a m e n t e

o s t e r m o s « e x t r e m o s » , « m e i o s » e

« t e r m o s » d e u m a p r o p o r

ç ã o .

R e c o n h e c e r q u e n u m a p r

o p o r ç ã o

o p r o d u t o d o s m e i o s é i g u a l a o

p r o d u t o d o s e x t r e m o s .

D e t e r m i n a r o t e r m o e m f

a l t a

n u m a d a d a p r o p o r ç ã o u t i l i z a n d o a

r e g r a d e t r ê s s i m p l e s o u o u t r o

p r o c e s s o d e c á l c u l o .

S a b e r q u e e x i s t e p r o p o r c i o

n a l i d a d e

d i r e t a e n t r e d i s t â n c i a s r e

a i s e

d i s t â n c i a s e m m

a p a s e u t

i l i z a r

c o r r e t a m e n t e o t e r m o « e

s c a l a » .

R e s o l v e r p r o b l e m a s i d e n t i f i c a n d o

p a r e s d e g r a n d e z a s m u t u

a m e n t e

d e p e n d e n t e s e d i s t i n g u i n

d o

a q u e l a s q u e s ã o d i r e t a m e n t e

p r o p o r c i o n a i s .

R e s o l v e r p r o b l e m a s e n v o

l v e n d o a

n o ç ã o d e p r o p o r c i o n a l i d a d e

d i r e t a .

P a r t i n d o , p o r e x e m p l o ,

d e u m a

s e q u ê n c i a d e r e t â n g u l o s

,

c o m p o s t a p o r d u a s c o r e

s , o u d e

u m a r e c e i t a d e c u l i n á r i a

, o s

a l u n o s d e v e m c

h e g a r a u m a

i g u a l d a d e e n t r e d u a s r a z õ e s

« p r o p o r ç ã o » .

I n t r o d u z i r o v o c a b u l á r i o

r e l a t i v o

à s p r o p o r ç õ e s e e x p l o r a r

e x e m p l o s q u e p r o p o r c i o

n e m a

o s

a l u n o s a v e r i f i c a ç ã o d a

p r o p r i e d a d e f u n d a m e n t

a l d a s

p r o p o r ç õ e s .


i n a 6 8

a m p l i a ç ã o d e u m p

u z z l e

,

i n t r o d u z i r o c o n c e i t o d e

« p r o p o r c i o n a l i d a d e d i r e

t a » .

S e g u e - s e o p r e e n c h i m e n

t o d e

u m a t a b e l a c o m a

s m e d i d a s d o s

l a d o s d a s p e ç a s d o s d o i s

p u z z l e s e ,

a s s i m , e s p e r a - s e q u e o s

a l u n o s

d e s c u b r a m a

c o n s t a n t e d e

p r o p o r c i o n a l i d a d e d i r e t a .

S u g e r e - s e a e x p l o r a ç ã o d e

e x e m p l o s e c o n t r a e x e m p l o s d e

s i t u a ç õ e s d e p r o p o r c i o n

a l i d a d e

d i r e t a .

M o s t r a r a o s a l u n o s q u e

s e a

g r a n d e z a A é d i r e t a m e n t e

p r o p o r c i o n a l à g r a n d e z a

B ,

t a m b é m e

s t a é d i r e t a m e

n t e

p r o p o r c i o n a l à g r a n d e z a

A , s e n d o

i n v e r s a s a s r e s p e t i v a s c o

n s t a n t e s

d e p r o p o r c i o n a l i d a d e d i r e t a .

E s c a l a s e p e r c e n t a g e n s s ã o b o n s

e x e m p l o s d e p r o p o r c i o n

a l i d a d e

d i r e t a .

R e s o l v e r p r o b l e m a s q u e

e n v o l v a m

o s c o n c e i t o s e s t u d a d o s .

48





p e r p e n d i c u l a r e s t i r a d a s d o

c e n t r o

p a r a o s l a d o s d o p o l í g o n o

s ã o t o d o s

i g u a i s e d e s i g n á - l o s p o r

« a p ó t e m a s » .

S a b e r q u e o p e r í m e t r o e a á r e a d e

u m d

a d o c í r c u l o p o d e m s

e r

a p r o x i m a d o s r e s p e t i v a m e n t e

p e l o s p e r í m e t r o s e á r e a s

d e

p o l í g o n o s r e g u l a r e s n e l e s i n s c r i t o s

e a e l e s c i r c u n s c r i t o s .

S a b e r q u e o s p e r í m e t r o s

e o s

d i â m e t r o s d o s c í r c u l o s s ã

o

g r a n d e z a s d i r e t a m e n t e

p r o p o r c i o n a i s r e a l i z a n d o

e x p e r i ê n c i a s q u e o s u g i r a

m , e

d e s i g n a r p o r

a r e s p e t i v a

c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d e ,

s a b e n d o q u e o v a l o r d e

a r r e d o n d a d o à s d é c i m a s

d e

m i l é s i m a é i g u a l a 3 , 1 4 1 6

.

R e c o n h e c e r , f i x a d a u m a u n i d a d e d e

c o m p r i m e n t o , q u e o p e r í m

e t r o d e

u m c í r c u l o é i g u a l a o p r o d u t o d e

p e l o d i â m e t r o e a o p r o d u t

o d o

d o b r o d e

p e l o r a i o , e e x

p r i m i r

s i m b o l i c a m e n t e e s t a s r e l a ç õ e s .

D e c o m p o r u m p

o l í g o n o r

e g u l a r

i n s c r i t o n u m a c i r c u n f e r ê n

c i a e m

t r i â n g u l o s i s ó s c e l e s c o m v é r t i c e

n o c e n t r o ,

f o r m a r u m

p a r a l e l o g r a m o c o m e

s s e s

t r i â n g u l o s , a c r e s c e n t a n d o u m

t r i â n g u l o i g u a l n o c a s o e m

q u e

s ã o e m n

ú m e r o í m p a r , e

u t i l i z a r

e s t a c o n s t r u ç ã o p a r a r e c o n h e c e r

q u e a m e d i d a d a á r e a d o

p o l í g o n o , e m u

n i d a d e s q u a d r a d a s ,

é i g u a l a o p r o d u t o d o

s e m i p e r í m e t r o p e l a m e d i d a d o

c o m p r i m e n t o d o a p ó t e m

a .

C o m a t a r e f a d a p á g i n a 9 6

, p r e t e n d e -

- s e q u e o s a l u n o s o b s e r v e

m q u e o

c o m p r i m e n t o d a c i r c u n f e r ê n c i a é

s u p e r i o r a o p e r í m e t r o d o

p o l í g o n o

r e g u l a r i n s c r i t o e i n f e r i o r a o

p e r í m e t r o d o p o l í g o n o r e g u l a r

c i r c u n s c r i t o ; r e c o r r e r à s n o ç õ e s d e

v a l o r e s a p r o x i m a d o s p o r d e f e i t o e

p o r e x c e s s o .

A t a r e f a d a p á g i n a 9 8 c o

n d u z o s

a l u n o s a o s v a l o r e s d e P

: d ; s e r á

a l t u r a d e i n t r o d u z i r o

e a l g u n s

d o s s e u s v a l o r e s a p r o x i m

a d o s e

c h e g a r à s f ó r m u l a s P

d

e P

r .

F a z e r e x e r c í c i o s s o b r e v a l o r e s

e x a t o s e v a l o r e s a p r o x i m a d o s d e

p e r í m e t r o s d e c í r c u l o s c o

n h e c i d o s o

d i â m e t r o o u o r a i o d o c í r c u l o .

F a z e r a c o n e x ã o c o m a

p r o p o r c i o n a l i d a d e d i r e t

a , u m a

v e z q u e P e d s ã o g r a n d e z a s

d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n

a i s .

S e g u i r - s e - á o r a c i o c í n i o

r e v e r s í v e l , i s t o é , c o n h e

c i d o o

p e r í m e t r o d o c í r c u l o o b

t e r o

d i â m e t r o o u o r a i o .

C o m a

t a r e f a d a p á g i n a

1 0 2 , e e m

d i á l o g o c o m o

s a l u n o s s

o b r e

f i g u r a s e q u i v a l e n t e s , c h

e g a r - s e - á

à f ó r m u l a q u e d á a m e d

i d a d a

á r e a d o p o l í g o n o r e g u l a

r i n s c r i t o

n u m a c i r c u n f e r ê n c i a .

C o n h e c i d a s a s f ó r m u l a s d a á r e a d e

u m p

o l í g o n o r e g u l a r e d o

p e r í m e t r o d o c í r c u l o e c o

m a

r e a l i z a ç ã o d a t a r e f a d a p á g i n a 1 0 4 ,

o s a l u n o s d e v e r ã o d e d u

z i r a

f ó r m u l a p a r a o c á l c u l o d a m e d i d a

d a á r e a d e u m c

í r c u l o .

50



R e c o n h e c e r , f i x a d a u m a u n i d a d e d e

c o m p r i m e n t o , q u e a á r e a d e u m

c í r c u l o é i g u a l , e m u

n i d a d e

s

q u a d r a d o d o r a i o , a p r o x i m

a n d o o

c í r c u l o p o r p o l í g o n o s r e g u l a r e s

i n s c r i t o s e o r a i o p e l o s r e s p e t i v o s

a p ó t e m a s .

R e s o l v e r p r o b l e m a s e n v o l v e n d o o

c á l c u l o d e p e r í m e t r o s e á r e a s d e

p o l í g o n o s e d e c í r c u l o s .

E s t e s c o n t e ú d o s e x i g e m

a

r e s o l u ç ã o d e u m a g r a n d

e

v a r i e d a d e d e p r o b l e m a s , p o i s s ó

a s s i m é

p o s s í v e l s o l i d i f i c a r b e m

o s c o n h e c i m e n t o s n o v o

s e o s

a d q u i r i d o s n o a n o a n t e r i o r .

S u g e r e - s e q u e o s a l u n o s

c o n s t r u a m o

s e u p r ó p r i o a u x i l i a r

d e m e m ó r i a c o m f

ó r m u

l a s e

c o n h e c i m e n t o s f u n d a m

e n t a i s .


T E X T O





5


T E X T O

q u e u n e m a

s c i r c u n f e r ê n c

i a s d o s

d o i s c í r c u l o s e s ã o p a r a l e l o s a o

s e g m e n t o d e r e t a [ O 1 O 2 ]

,

d e s i g n a d o p o r « e i x o d o c i

l i n d r o » , e

u t i l i z a r c o r r e t a m e n t e a s

e x p r e s s õ e s « g e r a t r i z e s d o

c i l i n d r o »

e « s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c i l

i n d r o » .

D e s i g n a r p o r « c i l i n d r o r e

t o » u m

c i l i n d r o c u j o e i x o é p e r p e n d i c u l a r

a o s r a i o s d e q u a l q u e r u m

a d a s

b a s e s .

I d e n t i f i c a r , d a d o u m c

í r c u

l o C e

u m p

o n t o P e x t e r i o r a o p

l a n o q u e

o c o n t é m , o « c o n e » d e « b

a s e » C

e « v é r t i c e » P c o m o o s ó l i d o

d e l i m i t a d o p o r C e p e l a s

u p e r f í c i e

f o r m a d a p e l o s s e g m e n t o s

d e r e t a

q u e u n e m

P a o s p o n t o s d a

c i r c u n f e r ê n c i a d o c í r c u l o

C , e

u t i l i z a r c o r r e t a m e n t e a s

e x p r e s s õ e s « g e r a t r i z e s d o

c o n e » ,

« e i x o d o c o n e » e « s u p e r f í c i e

l a t e r a l d o c o n e » .

D e s i g n a r p o r « c o n e r e t o » u m

c o n e c u j o e i x o é p e r p e n d i c u l a r

a o s r a i o s d a b a s e .

R e c o n h e c e r q u e o n ú m e r

o d e

a r e s t a s d e u m p

r i s m a é o

t r i p l o d o

n ú m e r o d e a r e s t a s d a b a s e e q u e

o n ú m e r o d e a r e s t a s d e u

m a

p i r â m i d e é o d o b r o d o n ú

m e r o d e

a r e s t a s d a b a s e .

R e c o n h e c e r q u e o n ú m e

r o d e

v é r t i c e s d e u m p

r i s m a é

o d o b r o

d o n ú m e r o d e v é r t i c e s d

a b a s e e

q u e o n ú m e r o d e v é r t i c e

s d e u m a

p i r â m i d e é i g u a l a o n ú m e r o d e

v é r t i c e s d a b a s e a d i c i o n a d o d e

u m a u n i d a d e .

O e s b o ç o d e p e r s p e t i v a s

d e a l g u n s

s ó l i d o s e a o b s e r v a ç ã o d

a s v i s t a s

d e f r e n t e , t o p o e l a t e r a l

d i r e i t a

c o n t r i b u e m p

a r a u m a m

e l h o r

c o m p r e e n s ã o d o e s p a ç o

e

f a c i l i t a m a

p a s s a g e m d o

c o n c r e t o

a o a b s t r a t o .

P a r a a d e s c o b e r t a d e u m

a

p l a n i f i c a ç ã o d a s u p e r f í c i e d e u m

s ó l i d o d e v e s e r f o r n e c i d o a o s

a l u n o s o m a t e r i a l n e c e s s á r i o .

U t i l i z a r a s p l a n i f i c a ç õ e s q u e s e

e n c o n t r a m e

m O

s M e u s

M a t e r i a i s

p a r a c o n s t r u i r a l g u n s m o d e l o s d e

s ó l i d o s .

N ã o e s q u e c e r a c o n e x ã o

d e s t e

c a p í t u l o c o m o

c á l c u l o ,

a p r o v e i t a n d o p a r a r e v i s i t a r

a s s u n t o s d e g e o m e t r i a j á

e s t u d a d o s , t a i s c o m o p e

r í m e t r o s

e á r e a s .

Q u a n d o p o s s í v e l , u s a r p r o g r a m a s

d e g e o m e t r i a d i n â m i c a p a r a

e x p l o r a r c o n c e i t o s a b o r d a d o s

n e s t e c a p í t u l o . C o m a

c o

l a b o r a ç ã o

d o p r o f e s s o r d e E d u c a ç ã

o V i s u a l ,

c o n s t r u i r m o d e l o s d e s ó

l i d o s ,

f o r r á - l o s c o m p

a p e l d e l u s t r o

c o l o r i d o e u t i l i z á - l o s c o m

o

e n f e i t e s d e N a t a l o u o u t

r o s .



D e s i g n a r u m p

o l i e d r o p o

r

« c o n v e x o » q u a n d o q u a l q u e r

s e g m e n t o d e r e t a q u e u n e o s

d o i s p o n t o s d o p o l i e d r o

e s t á n e l e

c o n t i d o .

R e c o n h e c e r q u e a r e l a ç ã o d e

E u l e r v a l e e m q

u a l q u e r p

r i s m a e

q u a l q u e r p i r â m i d e e v e r i f i c a r a

s u a v a l i d a d e e m o

u t r o s p

o l i e d r o s

c o n v e x o s .

I d e n t i f i c a r s ó l i d o s a t r a v é s d e

r e p r e s e n t a ç õ e s e m p

e r s p

e t i v a

n u m p

l a n o .


l v e n d o

s ó l i d o s g e o m é t r i c o s e a s

r e s p e t i v a s p l a n i f i c a ç õ e s .

54





R e c o n h e c e r , f i x a d a u m a u n i d a d e

d e c o m p r i m e n t o , q u e a m

e d i d a

d o v o l u m e d e u m p

r i s m a

r e t o

( e m u

n i d a d e s c ú b i c a s ) é i g u a l a o

p r o d u t o d a m e d i d a d a á r

e a d a

b a s e ( e m u

n i d a d e s q u a d r

a d a s )

p e l a m e d i d a d a a l t u r a ,

c o n s i d e r a n d o u m a d e c o m

p o s i ç ã o

e m p

r i s m a s t r i a n g u l a r e s .

R e c o n h e c e r , f i x a d a u m a u n i d a d e

d e c o m p r i m e n t o , q u e a m

e d i d a

d o v o l u m e d e u m c

i l i n d r o

r e t o

( e m u

n i d a d e s c ú b i c a s ) é i g u a l a o

p r o d u t o d a m e d i d a d a á r

e a d a

b a s e ( e m u

n i d a d e s q u a d r

a d a s )

p e l a m e d i d a d a a l t u r a ,

a p r o x i m a n d o - o p o r p r i s m

a s

r e g u l a r e s .


l v e n d o o

c á l c u l o d e v o l u m e s d e s ó

l i d o s .

A t a r e f a d a p á g i n a 1 6 p e

r m i t i r á

o b t e r o v o l u m e d o p r i s m

a

t r i a n g u l a r r e t o a p a r t i r d

a

d e c o m p o s i ç ã o d o p a r a l e

l e p í p e d o

e m d

o i s p r i s m a s t r i a n g u l a r e s .

D e d u z i r , e m s

e g u i d a , a f ó r m u l a

p a r a o c á l c u l o d o v o l u m e d e u m

p r i s m a r e t o r e g u l a r a p a

r t i r d a s u a

d e c o m p o s i ç ã o e m p

r i s m

a s

t r i a n g u l a r e s r e t o s .

A f ó r m u l a d o v o l u m e d o

c i l i n d r o

d e v e s e r d e d u z i d a a p a r t i r d e

p r i s m a s r e g u l a r e s i n s c r i t

o s n o

c i l i n d r o , m o s t r a n d o q u e

o v o l u m e

d e s s e s p r i s m a s v a i a u m e

n t a n d o à

m e d i d a q u e o n ú m e r o d

e f a c e s

l a t e r a i s c r e s c e , a p r o x i m a n d o - s e

d o v o l u m e d o c i l i n d r o e

t e n d e n d o

a i g u a l á - l o .

É i m p o r t a n t e p r o p o r c i o n

a r a o s

a l u n o s t r a b a l h o e x p e r i m

e n t a l

e x p l o r a r p l a n i f i c a ç õ e s d a s

s u p e r f í c i e s d e p r i s m a s , d

e c u b o s e

d e c i l i n d r o s , c o n s t r u i n d o

, e m

s e g u i d a , e s s e s m o d e l o s d e s ó l i d o s

e f a z e n d o m e d i ç õ e s p a r a c a l c u l a r

o s r e s p e t i v o s v o l u m e s .

R e s o l v e r p r o b l e m a s e n q

u a d r a d o s

e m s

i t u a ç õ e s r e a i s , c o m o , p o r

e x e m p l o , n a c o m p a r a ç ã o d e

v o l u m e s d e e m b a l a g e n s

.

56





I d e n t i f i c a r u m n

ú m e r o r a

c i o n a l

c o m o m a i o r d o q u e o u t r o

s e o

p o n t o a e l e a s s o c i a d o p e r t e n c e r à

s e m i r r e t a d e s e n t i d o p o s i t i v o

a s s o c i a d a a o s e g u n d o .

R e c o n h e c e r q u e z e r o é m

a i o r d o

q u e q u a l q u e r n ú m e r o n e g a t i v o e

m e n o r d o q u e q u a l q u e r n

ú m e r o

p o s i t i v o .

I d e n t i f i c a r o « v a l o r a b s o l u t o » o u

( « m ó d u l o » ) d e u m n

ú m e

r o a

c o m o a m e d i d a d a d i s t â n

c i a à

o r i g e m d

o p o n t o q u e o r e p r e s e n t a

n a r e t a n u m é r i c a e u t i l i z a

r

c o r r e t a m e n t e a e x p r e s s ã o « a » .

R e c o n h e c e r , d a d o s d o i s n

ú m e r o s

p o s i t i v o s , q u e é m a i o r o d e m a i o r

v a l o r a b s o l u t o e ,

d a d o s d

o i s

n ú m e r o s n e g a t i v o s , q u e é m a i o r o

d e m e n o r v a l o r a b s o l u t o .

R e c o n h e c e r q u e d o i s n ú m

e r o s

r a c i o n a i s n ã o n u l o s s ã o s i m é t r i c o s

q u a n d o t i v e r e m o

m e s m o v a l o r

a b s o l u t o e s i n a i s c o n t r á r i o s .

I d e n t i f i c a r o c o n j u n t o d o s

« n ú m e r o s i n t e i r o s r e l a t i v

o s » ( o u

s i m p l e s m e n t e « n ú m e r o s

i n t e i r o s » ) c o m o o c o n j u n

t o

f o r m a d o p e l o z e r o , p e l o s

n ú m e r o s

n a t u r a i s e p e l o s r e s p e t i v o s

s i m é t r i c o s ; r e p r e s e n t á - l o

p o r Z Z

e o c o n j u n t o d o s n ú m e r o

s

n a t u r a i s p o r I N .

I d e n t i f i c a r o c o n j u n t o d o s

« n ú m e r o s r a c i o n a i s » c o m

o o

c o n j u n t o f o r m a d o p e l o z e r o , p e l o s

n ú m e r o s r a c i o n a i s p o s i t i v o s e

p e l o s r e s p e t i v o s s i m é t r i c o s , e

r e p r e s e n t á - l o p o r Q I . .

r a c i o n a i s e d e v e s e r c o m

p l e t a d a

c o m a

u t i l i z a ç ã o d a r e t a

n u m é r i c a .

A l o c a l i z a ç ã o d e n ú m e r o

s

r a c i o n a i s n a r e t a n u m é r i c a

p r e t e n d e a u x i l i a r o s a l u n o s n a s u a

c o m p a r a ç ã o e o r d e n a ç ã

o .

A t a r e f a d a p á g i n a 4 2 p r

e t e n d e

i n t r o d u z i r ,

d e u m m

o d o

i n f o r m a l ,

a a d i ç ã o d e n ú m e r o s i n t

e i r o s . É d e

s a l i e n t a r q u e a a d i ç ã o d e

v e , e m

n o s s a o p i n i ã o , s e r t r a b a l h a d a

p r i m e i r o c o m n

ú m e r o s i n t e i r o s e ,

d e p o i s , e s t e n d e r - s e a t o

d o s o s

n ú m e r o s r a c i o n a i s f o i e s s a a

o r i e n t a ç ã o d a d a n o m a n

u a l .

P a r a f o r m a l i z a r a a d i ç ã o

d e

n ú m e r o s i n t e i r o s , i n t r o d u z i r a

n o ç ã o d e s e g m e n t o s o r i e n t a d o s e

u t i l i z á - l o s n a r e t a n u m é r i c a p a r a

e f e t u a r s o m a s d e n ú m e r o s

i n t e i r o s .

É a p a r t i r d a u t i l i z a ç ã o d

e

s e g m e n t o s o r i e n t a d o s p

a r a

c a l c u l a r s o m a s q u e o s a l u n o s

p o d e m d

e d u z i r r e g r a s p a r a o

c á l c u l o d e s o m a s c o m n

ú m e r o s

i n t e i r o s .

B e m c

o n s o l i d a d a a a d i ç ã

o c o m

n ú m e r o s i n t e i r o s , e s t e n d ê - l a a o s

n ú m e r o s r a c i o n a i s , u t i l i z

a n d o

t a m b é m o

s s e g m e n t o s

o r i e n t a d o s .

E m c

á l c u l o s d o t i p o

+ (

)

n ã o d e v e m o s e s c r e v e r

=

, m a s s i m

:

+ (

) =

+

) =

58



5


T E X T O

I d e n a r u m s

e g m e n t o

o r i e n t a d o o m o u m s

e g m

e n t o d e

r e t a n o q u a l s e e s o l h e u m a

o r i g e m d

e e n t r e o s d o i s e

x t r e m o s

e r e p r e s e n t a r p o r [ A , B ]

o

s e g m e n t o o r i e n t a d o [ A B ] d e

o r i g e m

A ,

d e s i g n a n d o o

p o n t o B

p o r e x t r e m i d a d e d e s t e s e

g m e n t o

o r i e n t a d o .

R e f e r i r , d a d o s d o i s n ú m e

r o s

s a e b r e p r e s e n t a d o s

r e s p e v a m e n t e p e l o s p o n t o s

A e B d a r e t a n u m é a ,

o

s e g m e n t o o r i e n t a d o [ A , B ] o m o

o r i e n t a d o p o s i v a m e n t e

q u a n d o

a é m e n o r d o q u e b e o m o

o r i e n t a d o n e g a v a m e n t e

q u a n d o

a é m a i o r d o q u e b .

I d e n a r , d a d o s d o i s n ú

m e r o s

s a e b r e p r e s e n t a d o s

r e s p e v a m e n t e p e l o s p o n t o s

A e B d a r e t a n u m é a ,

a s o m a

a + b m

s s a d a

o u t r a

e x t r e m i d a d e d o s e g m e n t

o

o r i e n t a d o d e o r i g e m

A

e d e

o m p r i m e n t o e o r i e n t a ç ã

o d e

[ O , B ] o u p e l o p o n t o A s e b f o r

n u l o , r e o n h e e n d o q u e a s s i m s

e

e s t e n d e a t o d o s o s n ú m e

r o s

r a o n a i s a d e n i ç ã o d e a

d i ç ã o d e

n ú m e r o s r a o n a i s n ã o n e g a v o s .

R e o n h e e r , d a d o s d o i s n

ú m e r o s

r a o n a i s o m o

m e s m o s

i n a l , q u e

a r e s p e v a s o m a é i g u a l a o

n ú m e r

m o

m

e s m o

s i n a l e d e v a l o r a b s o l u t o i g u a l à

s o m a d o s v a l o r e s a b s o l u t

o s d a s

p a r e l a s .

A t a r e f a d a p á g i n a 4 6 , r e

o r r e n d o

a u m j

o g o ,

o n d u z à o p e

r a ç ã o

s u b t r a ç ã o e a o d

e s

t a s e r a

o p e r a ç ã o i n v e r s a d a a d i ç ã o .

O s a l u n o s d e v e m

o n u

i r q u e

e f e t u a r a d i f e r e n ç a e n t r e

d o i s

n ú m e r o s r a o n a i s e q u i v

a l e a

s o m a r a o a d v o o s i m é t r i o d o

s u b t r a v o .

R e o r d a r o v o a b u l á r i o d a

s u b t r a ç ã o e ,

n o v a m e n t e a s e g m e n t o s

o r i e n t a d o s , o n s t r u i r

g e o m e t r a m e n t e o p o n

t o q u e

r e p r e s e n t a n a r e t a n u m é a a

d i f e r e n ç a d e d o i s n ú m e r

o s

s .

M o s t r a r q u e :

0 a = 0 + ( a ) = a

e ( a ) = 0 ( a ) = 0 + ( +

a ) = a

N a t a r e f a d a p á g i n a 4 8 , o m a

a j u d a d a r e t a n u m é a ,

o s a l u n o s

d e t e r m i n a m a

d i s t â n i a

e n t r e d o i s

p o n t o s u j a s a b s s a s s ã o

o n h e d a s .

M o s t r a r g e o m e t r i a m e n

t e q u e a

m e d i d a d a d i s t â n a e n t r e d o i s

p o n t o s A e B d e a b i s s a s a e b ,

r e s p e v a m e n t e ,

é i g u a l

a o

m ó d u l o d a r e s p e v a d i f e

r e n ç a .

R e s o l v e r t o d o s o s e x e r í i o s e

p r o b l e m a s p r o p o s t o s , p a r a q u e o s

a l u n o s o n s o l i d e m e

s t a s

a p r e n d i z a g e n s .




ú m e r o s

r a c i o n a i s d e s i n a l c o n t r á r

i o n ã o

s i m é t r i c o s , q u e a r e s p e t i v a s o m a é

i g u a l a o n ú m e r o r a c i o n a l

d e s i n a l

i g u a l a o d a p a r c e l a c o m m

a i o r

v a l o r a b s o l u t o e d e v a l o r

a b s o l u t o

i g u a l à d i f e r e n ç a e n t r e o m a i o r e o

m e n o r d o s v a l o r e s a b s o l u

t o s d a s

p a r c e l a s .

R e c o n h e c e r q u e a s o m a d e

q u a l q u e r n ú m e r o c o m z e

r o é o

p r ó p r i o n ú m e r o e q u e a s

o m a d e

d o i s n ú m e r o s s i m é t r i c o s

é n u l a .

E s t e n d e r d o s r a c i o n a i s n

ã o

n e g a t i v o s a t o d o s o s r a c i o n a i s a

i d e n t i f i c a ç ã o d a d i f e r e n ç

a a b

e n t r e d o i s n ú m e r o s a e

b c o m o

o n ú m e r o c u j a s o m a c o m

b é

i g u a l a a .


ú m e r o s

r a c i o n a i s a e b , q u e a

b é

i g u a l à s o m a d e a c o m o

s i m é t r i c o d e b e d e s i g n a

r , d e

f o r m a g e n é r i c a , a s o m a e

a

d i f e r e n ç a d e d o i s n ú m e r o

s

r a c i o n a i s p o r « s o m a a l g é b r i c a » .

R e c o n h e c e r , d a d o o n ú m

e r o

r a c i o n a l q , q u e 0 q é

i g u a l a o

s i m é t r i c o d e q e r e p r e s e

n t á - l o

p o r « q » .

R e c o n h e c e r , d a d o u m n ú

m e r o

r a c i o n a l q , q u e ( q ) =

q .

R e c o n h e c e r q u e o m ó d u l o d e u m

n ú m e r o r a c i o n a l q é i g u a l a q s e

q f o r p o s i t i v o e a q s e

q f o r

n e g a t i v o .

R e c o n h e c e r q u e a m e d i d a d a

d i s t â n c i a e n t r e d o i s p o n t o s d e

a b c i s s a s a e b é i g u a l a

b a

e a

a b

60





C o n s t r u i r a m e d i a t r i z ( e o

p o n t o

m é d i o ) d e u m s

e g m e n t o

u t i l i z a n d o r é g u a e c o m p a

s s o .

I d e n t i f i c a r , d a d a u m a r e t a r e

u m p o n t o M

n ã o p e r t e n c

e n t e a r ,

a « i m a g e m d

e M

p e l a r e f l e x ã o

a x i a l d e e i x o r » c o m o o

p o n t o

M t a l q u e r é m e d i a t r i z d o

s e g m e n t o

[ M M ] e i d e n

t i f i c a r a

i m a g e m d

e u m p

o n t o d e

r p e l a

r e f l e x ã o a x i a l d e e i x o r c o m o o

p r ó p r i o p o n t o .

D e s i g n a r , q u a n d o e s t a

s i m p l i f i c a ç ã o d e l i n g u a g e m n

ã o

f o r a m b í g u a , « r e f l e x ã o a

x i a l » p o r

« r e f l e x ã o » .

S a b e r , d a d a u m a r e t a r

, d o i s

p o n t o s A e B e a s r e s p e t i v a s

i m a g e n s A e B p e l a r e

f l e x ã o d e

e i x o

r , q u e s ã o i g u a i s o s

c o m p r i m e n t o s d o s s e g m

e n t o s

[ A B ] e [ A B ] e d e s i g n a r , n e s t e

c o n t e x t o , a r e f l e x ã o c o m

o u m a

« i s o m e t r i a » .

R e c o n h e c e r , d a d a u m a r

e t a r ,

t r ê s p o n t o s A , O

e B e a s

r e s p e t i v a s i m a g e n s A , O e B

p e l a r e f l e x ã o d e e i x o r , q u e s ã o

i g u a i s o s â n g u l o s A O B e

A O B .

I d e n t i f i c a r u m a r e t a r c o m o

« e i x o d e s i m e t r i a » d e u m

a d a d a

f i g u r a p l a n a q u a n d o a s i m a g e n s

d o s p o n t o s d a f i g u r a p e l a

r e f l e x ã o d e e i x o r f o r m a m a

m e s m a f i g u r a .

S a b e r q u e a r e t a s u p o r t e d a

b i s s e t r i z d e u m d

a d o â n g u

l o

c o n v e x o é e i x o d e s i m e t r i a d o

â n g u l o ( e d o â n g u l o c ô n c a v o

a s s o c i a d o ) , r e c o n h e c e n d o

q u e o s

P a r t i n d o d e f i g u r a s , p e d i r

a o s

a l u n o s q u e c o n s t r u a m , e m

p a p e l

q u a d r i c u l a d o e l i s o , a s r e s p e t i v a s

i m a g e n s o u t r a n s f o r m a d o

s p o r

r e f l e x ã o c e n t r a l d e c e n t r o

c o n h e c i d o ; p a r t i n d o d e f i g u r a s e

d a s r e s p e t i v a s i m a g e n s o b t i d a s p o r

r e f l e x ã o c e n t r a l , p e d i r a o s a l u n o s

q u e d e t e r m i n e m o

s r e s p e

t i v o s

c e n t r o s d a r e f l e x ã o c e n t r a l .

C o m a

t a r e f a d a p á g i n a 6 8 , o s

a l u n o s c o n s t r o e m a

p e r p e n d i c u l a r

a o p o n t o m é d i o d e u m s

e g m e n t o

d e r e t a d a d o e o p r o f e s s

o r

i n t r o d u z a n o ç ã o d e « m e d i a t r i z d e

u m s

e g m e n t o d e r e t a » e

e x p l o r a

a s p r o p r i e d a d e s d a m e d

i a t r i z , q u e

d e v e m s

e r d e m o n s t r a d a

s . O s

a l u n o s d e v e r ã o a p r e n d e

r a

c o n s t r u i r a m e d i a t r i z d e

u m

s e g m e n t o d e r e t a c o m r

é g u a e

c o m p a s s o .

A p r o v e i t a r p a r a r e c o r d a r

a n o ç ã o

d e « r e f e r e n c i a l o r t o g o n a l

m o n o m é t r i c o » ,

d e m o d o

a d e f i n i r

u m s e g m e n t o d e r e t a p e l a s

c o o r d e n a d a s d o s d o i s p o n t o s

( 1 . o q

u a d r a n t e ) , q u e s ã o a

s s u a s

e x t r e m i d a d e s , e p r o s s e g u

i r c o m o

t r a ç a d o d a m e d i a t r i z d e s s e

s e g m e n t o .

A t a r e f a d a p á g i n a 7 0 , r e c

o r r e n d o a

f i g u r a s e e s p e l h o s , c o n d u

z à n o ç ã o

d e « r e f l e x ã o a x i a l » d e e i x

o r ,

à

a p r e s e n t a ç ã o d o v o c a b u l á r i o

a s s o c i a d o e à e n u n c i a ç ã o

d a s

p r o p r i e d a d e s d a r e f l e x ã o

a x i a l , q u e

d e v e m s e r p r o v a d a s .

D a d a u m a f i g u r a e a s u a

i m a g e m

p o r r e f l e x ã o a x i a l , o s a l u

n o s

d e v e m t

r a ç a r o e i x o d e r

e f l e x ã o

62



6


T E X T O

p o n t o s a i g u a l d i s t â n c i a d o v é r t i c e

n o s d o i s l a d o s d o â n g u l o s ã o

i m a g e m u

m d

o o u t r o p e l a

r e f l e x ã o d e e i x o q u e c o n t é m a

b i s s e t r i z .

D e s i g n a r , d a d o s d o i s p o n

t o s O e

M

e u m â

n g u l o

u m p

o n t o M

p o r « i m a g e m d

o p o n t o M

, p o r

u m a r o t a ç ã o d e c e n t r o O

e

â n g u l o

, q u a n d o o s s e g

m e n t o s

[ O M ] e [ O M ] t ê m o

m e

s m o

c o m p r i m e n t o e o s â n g u l o

s

e

M O M a m e s m a a m p l i t u d e .

R e c o n h e c e r , d a d o s d o i s p o n t o s

O e M

e u m â

n g u l o ( n

ã o n u l o ,

n ã o r a s o e n ã o g i r o ) , q u e e x i s t e m

e x a t a m e n t e d u a s i m a g e n s d o

p o n t o M

p o r r o t a ç õ e s d e

c e n t r o

O e â n g u l o

e d i s t i n g u i - l a s

e x p e r i m e n t a l m e n t e p o r r e f e r ê n c i a

a o s e n t i d o d o m o v i m e n t o

d o s

p o n t e i r o s d o r e l ó g i o ,

d e s i g n a n d o

u m a d a s r o t a ç õ e s p o r « r o

t a ç ã o

d e s e n t i d o p o s i t i v o » ( o u «

c o n t r á r i o

d o d o s p o n t e i r o s d o r e l ó g

i o » )

e a o u t r a p o r « r o t a ç ã o d e

s e n t i d o

n e g a t i v o » ( o u « n o s e n t i d o

d o s

p o n t e i r o s d o r e l ó g i o » ) .

R e c o n h e c e r , d a d o s d o i s p

o n t o s

O e M ,

q u e e x i s t e u m a ú n i c a

i m a g e m d

o p o n t o M

p o r r o t a ç ã o

d e c e n t r o O e â n g u l o r a s o q u e

c o i n c i d e c o m a

i m a g e m d

e M

p e l a r e f l e x ã o c e n t r a l d e c

e n t r o

O , e d e s i g n á - l a p o r i m a g e m

d e M

p o r « m e i a v o l t a e m

t o r n o

d e O » .

R e c o n h e c e r q u e a ( ú n i c a ) i m a g e m

d e u m p

o n t o M

p o r u m a r o t a ç ã o

d e â n g u l o n u l o o u g i r o é o p r ó p r i o

p o n t o M .

m e d i a t r i z d o s e g m e n t o d e r e t a d e

d o i s p o n t o s c o r r e s p o n d e n t e s à

f i g u r a e à s u a i m a g e m ,

r e s p e t i v a m e n t e .


n d u z à

n o ç ã o d e « e i x o d e s i m e t

r i a d e

u m a f i g u r a » .

E x p l o r a r f i g u r a s q u e t ê m

o u n ã o

e i x o s d e s i m e t r i a .

E n s i n a r a c o n s t r u i r a « b i

s s e t r i z d e

u m â

n g u l o » e c o n c l u i r q u e a r e t a

s u p o r t e d a b i s s e t r i z é e i x o d e

s i m e t r i a d e s s e â n g u l o .

P r o v a r q u e o s p o n t o s a i g u a l

d i s t â n c i a d o v é r t i c e d e u

m â

n g u l o ,

p e r t e n c e n t e s a a m b o s o

s l a d o s

d e s s e â n g u l o s ã o i m a g e m u

m d

o

o u t r o p e l a r e f l e x ã o d e e i x o q u e

c o n t é m a

b i s s e t r i z d e s s e

â n g u l o .


n d u z à

n o ç ã o d e « r o t a ç ã o » e à

s u a

c a r a c t e r i z a ç ã o n o q u e r e

s p e i t a a o

c e n t r o d e r o t a ç ã o ,

à a m p l i t u d e d o

â n g u l o d e r o t a ç ã o e a o s e n t i d o d e

r o t a ç ã o .

P e d i r e x e m p l o s d e r o t a ç

ã o n o d i a

a d i a e a p r o v e i t a r p a r a

e s t a b e l e c e r d i f e r e n ç a s e

m r

e l a ç ã o

à r e f l e x ã o a x i a l .

E x p l i c a r q u e à r o t a ç ã o d e c e n t r o O e

a m p l i t u d e 1 8 0 o s

e p o d e d

a r o n o m e

d e « m e i a v o l t a e m t

o r n o

d e O »

o u « r e f l e x ã o c e n t r a l d e c e n t r o O » .

U s a n d o m a t e r i a l a d e q u a

d o ,

c o n s t r u i r i m a g e n s d e f i g u r a s p o r

r o t a ç ã o , c o m o

c e n t r o d e r o t a ç ã o

p e r t e n c e n t e o u n ã o à f i g

u r a d a d a .

E m d

i á l o g o c o m o

s a l u n o s , f a z e r

u m a s í n t e s e d a s p r o p r i e d a d e s d a

r o t a ç ã o e d a s o u t r a s i s o m e t r i a s j á

e s t u d a d a s .





6


T E X T O


l v e n d o

f i g u r a s c o m s

i m e t r i a s d e r o t a ç ã o e

d e r e f l e x ã o a x i a l .

u m p

o l í g o n o r e g u l a r c o m

o

n ú m e r o d e s i m e t r i a s d e

r o t a ç ã o .

O p r o f e s s o r p o d e a p r o v e i t a r p a r a

t r a b a l h a r o u t r a s f i g u r a s

e d i s c u t i r

s e a d m i t e m o

u n ã o s i m e

t r i a d e

r e f l e x ã o e d e r o t a ç ã o .

É i m p o r t a n t e t r a n s p o r t a

r p a r a o

q u o t i d i a n o o t e m a i s o m e t r i a s n o

p l a n o . A s s i m , a r u b r i c a «

A r t e e

M a t e m á t i c a » , n a s p á g i n a s 8 4 e

8 5 , p o d e s e r d e s e n v o l v i d a , n u m a

p e r s p e t i v a i n t e r d i s c i p l i n a r , e m

c o l a b o r a ç ã o c o m o

p r o f e s s o r d e

E d u c a ç ã o V i s u a l .

O u s o d e p r o g r a m a s d e g e o m e t r i a

d i n â m i c a a p o i a m a

c o m p r e e n s ã o

d o s a l u n o s n o e s t u d o d e

s t e

a s s u n t o .





6


T E X T O

p r o p o r c i o n a i s à s f r e q u ê n

c i a s

r e l a t i v a s d a s c a t e g o r i a s / c

l a s s e s

c o r r e s p o n d e n t e s .

R e p r e s e n t a r u m m

e s m o c o n j u n t o

d e d a d o s u t i l i z a n d o v á r i a

s

r e p r e s e n t a ç õ e s g r á f i c a s ,

s e l e c i o n a n d o a m a i s e l u c i d a t i v a

d e a c o r d o c o m a

i n f o r m a

ç ã o q u e

s e p r e t e n d e t r a n s m i t i r .


l v e n d o a

a n á l i s e d e d a d o s r e p r e s e n t a d o s

d e d i f e r e n t e s f o r m a s .


l v e n d o a

a n á l i s e d e u m c

o n j u n t o d

e d a d o s

a p a r t i r d a r e s p e t i v a m é d

i a , m o d a

e a m p l i t u d e .

R e c o r r e n d o a e x e m p l o s , o s

c o n c e i t o s « e x t r e m o s » e

« a m p l i t u d e » d e v e m s

e r

a b o r d a d o s e o s c o n c e i t o

s « m o d a »

e « m é d i a a r i t m é t i c a » d e

v e m s

e r

r e v i s t o s . U m a c h a m a d a d e

a t e n ç ã o d e v e s e r f e i t a q u a n d o s e

p r e t e n t e e f e t u a r o c á l c u

l o d a

m é d i a a r i t m é t i c a c o m d

a d o s

s i m p l e s e c o m d

a d o s a g r u p a d o s .

N a t e n t a t i v a d e d e s p e r t a r n o s

a l u n o s o s e u s e n t i d o c r í t i c o ,

i n f o r m á - l o s q u e m u i t o s g r á f i c o s

q u e s u r g e m , p o r e x e m p l o , e m

j o r n a i s e r e v i s t a s e s t ã o i n c o r r e t o s .

D i s c u t i r c o m o

s a l u n o s a

s e l e ç ã o

d o g r á f i c o m a i s a d e q u a d

o p a r a

m o s t r a r a s c o n c l u s õ e s d

e

d e t e r m i n a d o e s t u d o e s t a t í s t i c o .



68

PASSATEMPOS

Passatempo n.o 1: Sopa de letras

Na grelha de letras abaixo representada, descobre as palavras seguintes:

• Horizontal • Quadrado

• Vertical • Raio

• Paralelo • Simetria

• Perpendicular • Triângulo

• Congruente • Pentágono

• Cilindro • Hexágono

• Cone • Círculo

P C H T P S I M E T R I A P D

W E I Y X T T R C M N D R T C

Z G N R T V N E I H N T N O O

P Y C T C O A N L H T V N B N

G M R N A U P O I E Q E R S G

I D N P H G L L N X I R R S R

N R P S U E O O D A B T R K U

R J A F L R T N R G F I X D E

N E A A F F R X O O T C Y P N

E F R H O R I Z O N T A L L T

P A O Y R G P N R O N L N N E

P E R P E N D I C U L A R G H

X R C D L T T N O N P Q A J P

Z R Q U A D R A D O X Y I N N

X S P W T R I A N G U L O Z Z



6


T E X T O

Passatempo n.o 2: Puzzle

Copia as seis peças desta página, recorta-as e, usando todas as peças, constrói um retângulo.

Com as seis peças, constrói também um triângulo.



70

Passatempo n.o 3: Brincar com números

Utiliza os seguintes números:

21 3 2

para completar as igualdades abaixo, de modo a serem verdadeiras. Cada número pode ser utilizado uma únicavez em cada igualdade.

– × = 0,5

× – = 5,5

+ : =

143

+ : =

47

+ × = 2,5

: + = 0,1

× + = 7,5

: × =

31

× : = 0,75




T E X T O

Passatempo n.o 4: Desenhar e pintar

Em cada figura desta página está desenhado um segmento de reta ou uma reta ou uma semirreta numamalha quadriculada, em que a unidade de comprimento é o centímetro.

Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói e pinta as figuras pedidas em cada malha.

1. O segmento de reta [AB ] é lado de um triânguloretângulo isósceles com 4,5 cm2 de área.Desenha o triângulo.

2. O segmento de reta [CD ] é diâmetro de um círculo.Desenha o círculo.

3. A semirreta E •F é bissetriz de um ângulo reto.

Desenha o ângulo.4. A reta r é eixo de simetria de um retângulo com

10 cm de perímetro.Desenha o retângulo.

5. O segmento de reta [MN ] é lado de um triânguloescaleno obtusângulo.Desenha o triângulo.

6. A reta t é eixo de simetria de um triângulo isós-celes.Desenha o triângulo.

A

B C

D

F

E

r

N

M

t



72

Passatempo n.o 5: Números misteriosos

Descobre os números que se escondem em , de modo que as seguintes afirmações sejam verdadeiras.

1.

5

7

+ = 22

2. –21

2= 8

3. + 23 = 32

4. 6 = 9

5. ×

45

= 5

6. ×

21 +

51 =

32

+35

7.

32

+ 2

× =21 +

32

8. ×23 = 28

9. 312 = 32

10. ×

21 + ×

51 =

25 + 1

11. 2012 × + 2012 × = 2012

12.41 = 0



7


T E X T O

Passatempo n.o 6: Adivinhas

1. É um número natural de dois algarismos.É número primo.É menor do que 33 e maior do que 24 .

Se o elevares ao quadrado, o algarismo 1 fica no lugar das unidades.

2. É um número natural de três algarismos.É divisível por 5 e por 3.É menor do que 122 e maior do que 112 .Se o elevares ao quadrado, o algarismo que fica no lugar das unidades é o 5.

3. É um número ímpar de dois algarismos.

É múltiplo de 3.É divisível por 9.É o quadrado de um número ímpar.É maior do que 22

× 3 × 5 .

4. É um número natural de três algarismos.É múltiplo de 2, de 3, de 5 e de 10.É menor do que 132 e maior do que 122 .

5. É um número natural menor do que 2× (9 + 3) e maior do que 4 × 22 .É número ímpar.É múltiplo de 7 e de 3.

6. É um número com dois algarismos.É número primo.É maior do que 10× 32 .É menor do que 10 + 2× 45 .



74

Passatempo n.o 7: Equilibrar a balança

Observa as balanças 1 e 2 e indica a fruta que deves colocar no prato direito da balança 3 para a equilibrar.

Balança 1

Balança 2

Balança 3

?



7


T E X T O

Passatempo n.o 8: Crucigrama

1. Reta perpendicular a um segmento de reta no ponto médio.

2. Nome dado a polígonos com seis lados.

3. Nome dado a polígonos com a mesma área.4. Ângulos cuja soma das amplitudes é 180o.

5. Quadrilátero com quatro ângulos retos.

6. Segmento de reta que une dois vértices opostos de um polígono.

7. Transformação geométrica em que a imagem de uma figura se obtém fazendo rodar a figura dada emtorno de um ponto.

8. Nome dado a um triângulo que admite apenas um eixo de simetria.

9. Posição relativa dos eixos de simetria de um retângulo não quadrado.

10. Polígonos com quatro lados.

11. Nome dado ao triângulo com os três lados diferentes.12. Nome dado a um ângulo cuja amplitude é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos de um triân-gulo.

13. Polígono regular que admite simetria de rotação de ordem 4.

14. Transformações geométricas que conservam as medidas dos comprimentos e das amplitudes.

15. Transformação geométrica que muda o sentido dos ângulos mas mantém a sua amplitude.

16. Polígono regular que admite nove eixos de simetria.

17. Nome que se dá a duas figuras que podem ser levadas a coincidir ponto por ponto.

18. Semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

1

10

3

5

8

912

11

13

7

6

14

4

16

2

15 17

18



76

Passatempo n.o 9: Números cruzados

Horizontais

1. Múltiplo de quatro;

913× 9

5

: 915

2. 75 : 73× (62 + 82) ;

cubo de um número natural.

3. Um quinto de 275;167 : 87

4. A diferença entre o cubo de sete e a quinta potência de três.

5. 25% de 3328;quadrado de um número natural.

6. 4 : 54 + 4 × 32 2

;a soma do quadrado de nove com o quadrado de dois.

Verticais

A. 6 × 102 + 4 × 101 + 5 ;97: 93

: 34

B. m.m.c. (45, 99)quarto termo da proporção 1 : 4 = 8 : ?

C. 0 : 7 ;número capicua.

D. 20% de 35 050.

E. Número primo;27× 26 : 22

F. 103 – 122× 122

: 123 ;a diferença entre o quadrado de dez e a metade de dez.

A B C D E F

1

2

3

4

5

6



7


T E X T O

Passatempo n.o 10: Quadrado mágico

Completa o quadrado mágico abaixo representado.

5

–3 –2 0

1 2 –4

4 –7 7

Passatempo n.o 11: Sequências

Descobre os termos desconhecidos nas sequências A e B.

A B125

216

343

512

729

?

?

36

216

1296

?

?



Soluções dos PassatemposPassatempo n.o 1: Sopa de letras

Passatempo n.o 2: Puzzle

Passatempo n.o 3: Brincar com números

– × = 0,5

× – = 5,5

+ : =143

+ : =47

+ × = 2,5

: + = 0,1

× + = 7,5

× : = 0,75

: × =31

Passatempo n.o 4: Desenhar e pintar

1. Por exemplo: 2.

A = = = 4,5

.4.3 Por exemplo:

P = 3 + 3 + 2 + 2 = 10

5. Por exemplo: 6. Por exemplo:


1.1

5

32.

3

4

33. 1

4. 54 5. 4 6. 3

7.31

8. 25 9. 310

10. 5 e 5 11.21

e21

12. 0


1. 19 2. 135 3. 81

4. 150 5. 21 6. 97

P C H T P S I M E T R I A P D

W E I Y X T T R C M N D R T CZ G N R T V N E I H N T N O OP Y C T C O A N L H T V N B NG M R N A U P O I E Q E R S GI D N P H G L L N X I R R S R

N R P S U E O O D A B T R K UR J A F L R T N R G F I X D EN E A A F F R X O O T C Y P NE F R H O R I Z O N T A L L TP A O Y R G P N R O N L N N EP E R P E N D I C U L A R G HX R C D L T T N O N P Q A J PZ R Q U A D R A D O X Y I N NX S P W T R I A N G U L O Z Z

2 321

21

21

21

21

21

21

23

3 2

3 2

23

3 2

23

21

21

3

3 2

2

A

B C

D

r F

E

N

M

t

SOLUÇÕES E RESOLUÇÕES

b ×a 2

78


1.1

5

3 2.

3

4

3 3. 1

4. 54 5. 4 6. 3

7.

31 8. 25 9. 310

10. 5 e 5 11.

21 e

21, por exemplo 12. 0


1. 19 2. 135 3. 81

4. 150 5. 21 6. 97





80

Prova Final-Modelo 1

PARTE A

1.1 Telmo

1.2 60,5

2. Sara

3.1

3.2 18

4. 45

5. 10 × 103 → 10 000 5312

: (0,6)10 →

295

143 : 73 → 23 0,75 ×

34 → 1100

23× 22

→ 25 130

2× 0,3 → 0,027

1 + 3 × 5 → 24 10

31 – 5

12 →

269

6. Nome: prisma hexagonalNúmero de faces: 8Número de arestas: 18Número de vértices: 12

7. Octógono

8. 273 – 161 = 7 × 39 – 7 × 23 = 7 × (39 – 23) = 7 × 16 ; logo, 273 – 161 édivisível por 7.

9. Se o João cortou um quadrado, têm ambos razão, porque umquadrado também é retângulo (tem os quatro ângulos retos).

10. 60o

11.1

38

11.2

2

3

0

2

12.

32 ;

12 ;

32

13. 5,76 cm2

14. 9,25 cm2

15. m.d.c. (525,126) = 21 ;

265

16.1 Ângulos c e d .Ângulos e e a .Ângulos e e f .Ângulos e e a , por exemplo.

16.2 a

^

= c

^

= f

^

= d

^

= 44

o

45’ porque são ângulos de lados paralelos damesma espécie.b ^

= 135o 14’ porque os ângulos a e b são suplementares.

17.1 DB ^A = 50o ; AD

^B = 90o

17.2 Por ALA.17.3 Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

18. 66o 24’

19.

PARTE B20. 40%

21.

22. 35

23. (7,25 – 3,5 ) : 5

24.1

24.2

6 9

20 24

2 11

17 29

Soluções das Provas Finais-Modelo (Os Meus Materiais)

y

x

1

10 2

B

A

C

D

3 4 5 6

2

3

4

C

2 cm

1 cm

0

S

42-2

0

S

-4 2-2




T E X T O

24.3

25.

26. 537,5 m2

27. 64o

28. Os pontos pertencentes à mediatriz de um segmento de reta

são equidistantes dos extremos desse segmento de reta; logo,EC —— = ED —— e FC

—— = FD —— . O lado [EF ] é comum aos dois triângulos.Então, os triângulos são iguais por LLL.

29.1 H ; I29.2 Z ; S ; N

30.1

32

30.2 –1,1

30.3 ou 0,35

31.1 35%

31.2 75 €

32.1 0,8 m32.2 3,60 €

33.1 A = = 8

A área é 8 cm2.

33.2 180o

34.1 Pirâmide: 12 arestas, 7 vértices.Prisma: 15 arestas, 10 vértices.

34.2 É o dobro.34.3 O número total de vértices da pirâmide é igual ao número de

vértices da base adicionado de uma unidade.34.4 107,5 cm3

35.1 23,625 cm3

35.2

Prova Final-Modelo 2

PARTE A

1. A Ana no dia 15 e o Rui no dia 20.

2.

3. Luísa: 10 €; José: 6 €; Manuel: 8 €; Teresa: 16 €.

4.

5. ; ;

6. 319 984 é divisível por 4 porque 2× 8 + 4 = 20 e 20 é divisível por 4.278 842 não é divisível por 4 porque 2 × 4 + 2 = 10 e 10 não édivisível por 4.

7.1 70 42 42 28 28 14 m.d.c. (70, 42) = 1428 1 14 1 0 2

7.2 70 2 42 2 70 = 2× 5 × 7 m.d.c. (70, 42) = 2× 7 = 1435 5 21 3 42 = 2× 3× 7

7 7 7 71 1

8.1 A parte das flores que não são tulipas nem dálias, isto é, a partedas flores que são orquídeas.

8.2 O número total de dálias e tulipas.

8.3 51 +

31 × 30 =

51 × 30 +

31 × 30 = 16 ou

51 +

31 × 30 =

135 +

155 × 30 =

185 × 30 = 16

8.4 14 orquídeas.

9.1 CA^B = 68o

7

20

4 × 4

2

1

5

77

20

3

5

1,5 cm

0

S

-7

8

-1 -3

4-13

8

A

B

C ==

A’

B’

C’

80°

1 cm

0-1

0,1 0,5 0,8 -

3

10-1

2

65

100 -1

1

10

-1

4



82

9.2 Os ângulos BCA e DAC são alternos internos em duas retasparalelas intersetadas pela reta CA ; logo, são congruentes.

9.3 Os ângulos do triângulo são todos agudos; logo, o triângulo éacutângulo.

10. O Pedro.

11.1 Pares de ângulos alternos internos em duas retas paralelas

cortadas por uma secante; logo, iguais.11.2 Por ALA.

12. 30,9o

13. 4,3; –3,7; 0,5

14. É 1.

15. Figura 2.

16.1

16.2

17.1

17.2 Por exemplo:

18.1 2,1744 cm2

18.2 Triângulo [DOC ].

19.1 É um quadrado com 12 cm de lado; logo, a área é 144 cm 2.19.2 279 cm3

PARTE B20. 324 €

21. 12,3 oC

22.1 30 alunos.22.2 40%

22.3 Por exemplo: «Só 10% dos alunos da turma preferem filmes deterror, isto é, 3 alunos.»

23.

24.1 Sim, = = = 2,5

24.2 11,25 €

25.1 1225.2 27 cm3

26. 6

27.1 81

27.2

27.3 16 alunos

28. Num triângulo equilátero, os três lados têm o mesmocomprimento e a lados com o mesmo comprimento opõem-seângulos com a mesma amplitude: 180o : 3 = 60o. Logo, otriângulo equilátero não tem um ângulo de 90o.

29.1 2, 4, 8, 16, 3229.2 128 cm

30. 75 m

31. 2,7 cm

32.

33.

3

1,25

28,75

3,5

1

15

3,5 cm

4,5 cm

r

0,5 cm

0,5 cm

A

C

C’

A’

B’ == B

A

B

C C’ A’D

B’==

A

L U

110°

4,5 cm

2,5 cm

0

S

1-1 -2

3-7

6 -11

6



8


T E X T O

34. Prisma: 120 arestas laterais; 360 arestas totais (120 × 3).Pirâmide: 120 arestas laterais; 240 arestas totais (120 × 2).

35.

36. Admite só simetria de rotação de grau 3.

37. 5 cm

32%2.o ano

30%

1.

o

ano

20%

4.o ano

18%

3.o ano

Ano de escolaridadedos 500 alunos de um colégio



Documents

Matemática 6 Caderno Professor