Matematica_-_4_-_Tipologia_rezolvarii_problemelor_opti

MATEMATICĂ

Tipologia rezolvării problemelor

Cristian VOICA Mihaela SINGER

© 2012 Acest manual a fost elaborat în cadrul "Proiectului pentru Învăţământul Rural", proiect co-finanţat de către Banca Mondială, Guvernul României şi comunităţile locale.

Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României VOICA, CRISTIAN Tipologia rezolvării problemelor / Voica Cristian, Singer Mihaela. - Bucureşti : Politehnica Press, 2012 Bibliogr. ISBN 978-606-515-374-5

I. Singer, Mihaela

51(076)

ISBN 978-606-515-374-5

Cuprins

i

CUPRINS INTRODUCERE ........................................................................................................... iii-viii 1.STADII ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR Competenţele Unităţii de învăţare 1 .................................................................................... 2 Stadiul imaginii. Importanţa figurilor şi a reprezentărilor grafice .......................................... 2 Stadiul relaţiilor. Moduri de abordare a problemelor ............................................................ 8 Stadiul matematic. Probleme de utilizare a limbajului specific ........................................... 14 Stadiul euristic. Scheme de rezolvare ............................................................................... 21 Test de evaluare – notat de tutore ..................................................................................... 24 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 1 .......................................................................................................... 26 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de Învăţare 1 .................................................... 27

2.STRATEGII DE ABORDARE A PROBLEMELOR Competenţele Unităţii de învăţare 2 .................................................................................. 29 Condiţie necesară, condiţie suficientă. Probleme echivalente ........................................... 29 Rolul cazurilor particulare şi al exemplelor în analiza unei probleme ................................ 40 Interpretări grafice ale proprietăţilor algebrice sau geometrice. Justificări grafice ale problemelor ........................................................................................................................ 46 Raţionamentul inductiv. Raţionamentul deductiv. Justificarea intuitivă a problemelor ....... 50 Test de evaluare – notat de tutore ..................................................................................... 58 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 2 .......................................................................................................... 59 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de Învăţare 2 .................................................... 61

3.STRATEGII DE PRELUCRARE A PROBLEMELOR Competenţele Unităţii de învăţare 3 .................................................................................. 63 Criterii de alegere a problemelor pentru clasă ................................................................... 63 Metode alternative de rezolvare a problemelor .................................................................. 69 Criterii de comparare a metodelor de rezolvare ................................................................. 71 Rezolvarea contextuală .................................................................................................... 75 Metoda paşilor mici de rezolvare a problemelor ................................................................ 78 Formulări echivalente ale unei probleme ........................................................................... 81

Cuprins

ii

Învăţarea structurată .......................................................................................................... 82 Test de evaluare – notat de tutore ..................................................................................... 84 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 3 .......................................................................................................... 86 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de Învăţare 3 .................................................... 87 4.STRATEGII DIDACTICE PENTRU ACTIVITATEA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR Competenţele Unităţii de învăţare 4 ................................................................................... 89 Evaluarea iniţială ................................................................................................................ 89 Scopul probelor de evaluare iniţială ................................................................................... 89 Categorii de probleme ........................................................................................................ 93 Algoritmizarea .................................................................................................................... 95 Explorarea .......................................................................................................................... 99 Comunicarea în matematică ............................................................................................ 102 Test de evaluare – notat de tutore .................................................................................. 108 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 4 ........................................................................................................ 110 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 4 .................................................. 111

BIBLIOGRAFIE PENTRU ÎNTREGUL MODUL .............................................................. 112

Introducere

iii

INTRODUCERE

Utilitatea modulului Tipologia rezolvării problemelor de algebră şi geometrie

Este incontestabil că matematica are două feţe. Pe de o parte, ea este ştiinţa riguroasă, deductivă, ale cărei principii au fost fundamentate începând cu Euclid şi continuând cu Hilbert. Dar matematica are şi o altă faţă: în procesul (re-)creării ei, matematica are un pronunţat caracter inductiv, experimental.

Una dintre principalele activităţi ale matematicianului este rezolvarea de probleme. Această activitate pare să caracterizeze şi matematica şcolară. De aceea, este necesar ca, înainte de a fi pus să rezolve probleme, elevul să fie învăţat cum să facă asta; simpla înşiruire de modele sau exemple pare să nu dea decât rezultate limitate.

Există o tipologie a rezolvării problemelor? Dacă da, cum trebuie să procedăm ca profesori pentru a conduce elevii spre performanţe în acest domeniu? La aceste întrebări încearcă să răspundă cursul de faţă.

Scopul modulului

De ce ar fi util acest curs? Să ne imaginăm următorul scenariu. După o oră de matematică, în care profesorul a rezolvat o problemă grea de matematică, unul dintre elevi face următorul comentariu: „Am înţeles rezolvarea, ba chiar aş putea să reproduc principalele idei. Totuşi, cum aş putea să ajung singur să rezolv o astfel de problemă?” Cursul Tipologia rezolvării problemelor de algebră şi geometrie se adresează acelor studenţi/ profesori care vor să aibă un răspuns la întrebarea de mai sus…

Structura modulului

Unităţile de învăţare au fost concepute în structura: familiarizare, structurare, aplicare.

Primele două unităţi sunt construite din perspectiva

rezolvatorului de probleme, ca persoană. De aceea, competenţele acestor unităţi sunt competenţe specifice domeniului.

Celelalte două unităţi de învăţare sunt construite din perspectiva profesorului. Competenţele specifice ale acestor unităţi sunt construite la confluenţa dintre competenţele generale ale domeniului şi competenţele profesorului.

Introducere

iv

Pentru a realiza o corespondenţă coerentă, în formularea

acestor competenţe am utilizat o matrice de relaţionare, în care intrările sunt competenţele specifice matematicianului, respectiv competenţele specifice ale meseriei de profesor. Conţinutul modulului este astfel ales încât să răspundă competenţelor propuse.

Metode şi instrumente de evaluare

♦ Forma de evaluare: Verificare ♦ Metode de evaluare: proiect, la alegerea cursantului ♦ Număr de întâlniri cu tutorele: 4 ♦ Ponderi de evaluare: evaluare continuă 50%, evaluare

finală 50% ♦ Lucrări de verificare, transmise tutorelui: 4 Toate cursurile corespunzătoare Proiectului pentru

Învăţământul Rural au fost realizate în forme grafice asemănătoare. Pe fiecare pagină, în partea dreaptă, a fost lăsat un spaţiu alb,

întrerupt, din loc în loc, de elemente grafice sau de text (adnotări). Acest spaţiu are un dublu rol: pe de o parte, adnotările atrag atenţia şi vă ajută la identificarea sau consolidarea unor informaţii importante şi, pe de altă parte, spaţiul alb poate fi folosit pentru notiţe, completări, observaţii.

Conţinuturile sunt întrerupte de diverse sarcini de lucru. Sarcinile de lucru sunt cuprinse în chenar şi sunt anunţate prin titluri specifice şi prin imagini sugestive. De exemplu, în chenarul de mai jos este formulată o sarcină de lucru.

Temă de reflecţie Aceasta este o sarcină de lucru. Ce rol credeţi că are ea în această introducere? Folosiţi spaţiul liber de mai jos pentru a răspunde. Imaginea alăturată este asociată unei alte sarcini de lucru.

Studiu individual Răsfoiţi paginile cursului şi observaţi frecvenţa cu care apar sarcinile de lucru propuse.

Folosiţi cât mai des aceste spaţii albe; ele au rolul să vă ajute în învăţare!

Folosiţi acest spaţiu pentru notiţe!

Modul de utilizare a cursului

Introducere

v

Acolo unde sarcinile de lucru necesită un răspuns, am lăsat un

spaţiu în care puteţi scrie. Dacă acest spaţiu este prea mic în comparaţie cu necesităţile dumneavoastră, formulaţi răspunsurile pe un caiet special sau pe foi de hârtie, inserate între foile cursului. Este util să răspundeţi cu consecvenţă la întrebările formulate, imediat după ce aţi parcurs conţinuturile tematice. În acest fel, vă va fi mult mai uşor să sintetizaţi materia parcursă şi să vă pregătiţi pentru a răspunde la testele de autoevaluare, la testele de evaluare notate de tutore, precum şi la colocviul de evaluare finală. În unele cazuri, pentru a răspunde, va trebui să consultaţi şi suporturile de curs ale modulelor de Matematică, parcurse anterior.

Dacă aveţi neclarităţi în legătură cu sarcinile de lucru propuse, puteţi folosi sugestiile de rezolvare ale acestora, care se află la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare. Pentru a identifica mai uşor răspunsurile, am numerotat sarcinile de lucru ale fiecărei unităţi de învăţare cu numere succesive, pornind, de fiecare dată, de la 1. În cazul în care neclarităţile persistă, este indicat să luaţi legătura cu tutorele, sau să îi adresaţi întrebări, la una dintre cele patru întâlniri prevăzute prin programă.

În fiecare secvenţă a unităţilor de învăţare sunt formulate unul sau mai multe Teste de autoevaluare. Ele sunt anunţate prin simboluri şi titluri specifice, de tipul celor de mai jos.

Test de autoevaluare Alegeţi răspunsul corect! Câte teste de autoevaluare se găsesc în acest curs? a) 4; b) 5; c) 6; d) 7; e) 8.

Răspunsurile la aceste teste se găsesc la sfârşitul unităţii de

învăţare respective şi sunt asociate simbolului alăturat.

Cum se va face evaluarea?

Pentru modulul Tipologia rezolvării problemelor de algebră şi geometrie, evaluarea are două componente: evaluarea continuă şi evaluarea finală.

În ce constă evaluarea continuă?

Evaluarea continuă este o modalitate de apreciere a activităţii cursantului, pe parcursul întregului semestru. Evaluarea continuă va fi făcută în principal pe baza Testelor de evaluare – notate de tutore. Aceste teste se găsesc la sfârşitul fiecăreia dintre unităţile de învăţare ale modulului şi sunt anunţate în Cuprins. Prin testele de evaluare este verificat gradul de îndeplinire a competenţelor specifice fiecărei

Acest desen localizează răspunsul la testele de evaluare

Testele de evaluare notate de tutore

Introducere

vi

unităţii de învăţare. Itemii de evaluare din care sunt formate testele corespund competenţelor specifice unităţii de învăţare; această corespondenţă este evidenţiată prin modul de aşezare în pagină, explicitat mai jos.

Pentru fiecare item de evaluare, sunt precizate modul în care trebuie formulat răspunsul şi baremul de notare. Testele de evaluare, rezolvate individual, vor fi transmise tutorelui în modul şi la datele anunţate la începutul semestrului. Notele obţinute în urma corectării acestor teste reprezintă o parte importantă a evaluării continue a dumneavoastră.

Studiu individual Identificaţi cele patru teste de evaluare notate de tutore, pe care va trebui să le rezolvaţi. Folosiţi spaţiul liber de mai jos, pentru a nota paginile la care se găsesc aceste teste.

O altă parte a evaluării continue provine din aprecierea

activităţii de-a lungul semestrului şi din timpul întâlnirilor cu tutorele. Pentru aceasta, vor conta: respectarea calendarului de lucru, calitatea întrebărilor formulate, modul în care colaboraţi cu tutorele, precum şi alte aspecte, ce vor fi luate în considerare de la caz la caz.

În ce constă evaluarea finală?

La sfârşitul semestrului, urmează să prezentaţi un proiect,

care reprezintă o parte importantă a evaluării activităţii dumneavoastră în cadrul acestui curs. Acest proiect reprezintă în acelaşi timp o măsurăm a progresului dvs. profesional. De aceea el va fi numit în continuare proiect de dezvoltare personală.

Ce proiecte puteţi propune? - Un proiect de dezvoltare la nivelul clasei de elevi, care să detalieze activităţi complexe de învăţare organizate cu elevii, de tipul: proiect, investigaţie, dezbatere. Proiectul se va axa pe modul în care elevii pot fi învăţaţi să rezolve probleme de matematică.

Proiectul de dezvoltare personală

Item de evaluare

Competenţă specifică

Item de evaluare

Am reuşit? 1. Menţionaţi ipoteza şi concluzia problemei următoare. Enumeraţi pe scurt paşii de rezolvare. Pe un cerc cu centrul în O, se ia un punct A. Dintr-un punct C situat pe tangenta în A se duce a doua tangentă CB la cerc. Paralela prin B la dreapta AC intersectează dreapta CO în punctul D. Demonstraţi că ...

… să prelucrez ipoteza şi concluzia problemelor pentru a evidenţia relaţiile ce pot conduce la

Competenţă specifică

Introducere

vii

- Un proiect de cercetare, care îşi propune să evidenţieze modul cum are loc înţelegerea şi rezolvarea unei anumite probleme de matematică de către elevi şi se bazează pe analiza interviurilor şi a discuţiilor realizate cu elevii special în acest scop.

In procesul de dezvoltare a proiectului urmează să aveţi în vedere: - justificarea (vor fi identificate motivele care au generat opţiunea pentru un anumit proiect; această parte a proiectului răspunde la întrebarea De ce am ales acest proiect? - grupul ţintă (va fi menţionat grupul/ grupurile implicat/e în implementarea proiectului, de exemplu, elevii clasei...); această parte a proiectului răspunde la întrebarea Cui se adresează proiectul? - ţintele pe care şi le propune proiectul; această parte a proiectului răspunde la întrebarea Ce vizează proiectul? • în cazul unui proiect care testează impactul metodologiei inovative asupra achiziţiei elevilor, vor fi selectate acele obiective de referinţă ale programei care se doresc focalizate în procesul învăţării elevilor şi, prin urmare, în procesul evaluării achiziţiilor acestora; • dacă se optează pentru un proiect de cercetare la clasă, atunci se vor formula ipotezele vizate de observarea diferitelor aspecte didactice - criteriile de evaluare (măsura în care obiectivele sunt atinse); acest aspect va fi avut în vedere numai în cazul proiectului care vizează introducerea de metodologie nouă şi se va raporta la măsura achiziţiilor elevilor în termeni de niveluri de performanţă în dobândirea obiectivelor de referinţă; această parte a proiectului răspunde la întrebarea In ce măsură au fost dobândite de către elevi achiziţiile propuse? - planul de acţiune (acţiuni + calendar) (calendarul activităţilor - în mod necesar centrate pe elev - care urmează să fie întreprinse la clasă/ în afara clasei pentru a îndeplini obiectivele propuse); această parte a proiectului răspunde la întrebarea Cum se derulează proiectul? - lista rezultatelor obţinute ilustrată cu mostre ale activităţilor derulate la clasă/ în afara clasei - concluzii: consecinţele proiectului şi posibilităţile de continuare/ extindere/ generalizare (noi perspective pentru proiect)

Ce urmează să faceţi?

A lăsa dezvoltarea proiectului pentru finalul semestrului echivalează cu redactarea – în pripă, a unui referat. Proiectul este o activitate care se desfăşoară în timp.

In linii mari, veţi face următoarele: - veţi alege o temă (tema trebuie să vizeze un anume aspect didactic de abordat la clasă/ în afara clasei) - veţi scrie o justificare (explicaţi de ce anume aţi ales respectiva tema pentru proiect) - veţi formula obiective (arătaţi ce anume urmăriţi prin proiect), veţi identifica ipoteze de cercetat şi veţi menţiona metodologia adecvată în cazul proiectului de cercetare SAU

Paşi în elaborarea proiectului

Introducere

viii

- veţi selecta obiective de referinţă şi, în paralel, veţi defini criterii de evaluare pentru a vedea măsura atingerii acestora de către elevi prin intermediul noii metode – în cazul proiectului de dezvoltare - veţi elabora planul de acţiune - veţi decide asupra formelor de monitorizare/ (auto)evaluare - veţi derula proiectul - veţi monitoriza si evalua proiectul - veţi formula concluzii.

Pentru a verifica coerenţa internă a materialului pe care îl propuneţi, următoarea listă de criterii este foarte utilă.

Criterii de auto-evaluare

în mică măsură

în măsură moderată

în mare măsură

obiectivele concordă cu justificarea proiectului selecţia obiectivelor de referinţă vizează aplicarea unui demers didactic centrat pe elev (aplicarea metodologiei interactive) SAU obiectivele vizează cercetarea unui aspect didactic

criteriile de evaluare evidenţiază măsura în care obiectivele sunt atinse (elevii dobândesc achiziţiile propuse prin obiectivele de referinţă) SAU criteriile de evaluare evidenţiază măsura în care obiectivele cercetării sunt atinse

activităţile propuse prin planul de acţiune concură la atingerea obiectivelor propuse

rezultatele obţinute sunt ilustrate de mostre pertinente realizate pe parcursul derulării activităţilor

concluziile sunt pertinente în raport cu rezultatele obţinute

Atenţie! Rezultatele obţinute pot contrazice ipotezele proiectului.

Important este să evidenţiaţi acest lucru şi să-l explicaţi. Criterii similare vor fi folosite pentru evaluarea proiectului de dezvoltare personală.

.

Stadii în rezolvarea problemelor

1

Unitatea de învăţare 1 STADII ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR

Cuprins Competenţele Unităţii de învăţare 1 2 1.1.Stadiul imaginii. Importanţa figurilor şi a reprezentărilor grafice 2 1.1.1.Sisteme simbolice utile 2 1.1.2.Lectura textului 6 1.2.Stadiul relaţiilor. Moduri de abordare a problemelor 8 1.2.1.Date – rezultate; ipoteză – concluzie 8 1.2.2.Utilizarea convenţiilor de desen pentru a induce necesitatea raţionamentului geometric 10 1.2.3.Schema carteziană sau despre punerea în ecuaţie 11 1.3.Stadiul matematic. Probleme de utilizare a limbajului specific 14 1.3.1.Transferul de limbaj 14 1.3.2.Interpretarea reprezentărilor funcţionale 17 1.3.3.Raporturi între noţiuni 17 1.4.Stadiul euristic. Scheme de rezolvare 21 1.4.1.Tatonări în găsirea soluţiei 21 1.4.2.Scheme de rezolvare 22 Test de evaluare – notat de tutore 24 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 1 26 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de Învăţare 1 27


2

COMPETENŢELE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 1 Studiind această unitate de învăţare, veţi reuşi… … să prelucraţi ipoteza şi concluzia unei probleme, pentru evidenţierea relaţiilor ce pot conduce la rezolvare … să determinaţi formulele/ rezultatele matematice care conectează datele unei probleme, pentru ajungerea la încercări de rezolvare … să evidenţiaţi scheme generale de rezolvare a problemelor, prin analiza comparativă a stadiilor euristice ale rezolvărilor … să analizaţi procesul de rezolvare a unor probleme, din perspectiva stadiilor pe care evoluează acesta

EXPLORĂM ŞI COMPARĂM!

1.1. Stadiul imaginii. Importanţa figurilor şi a reprezentărilor grafice

Imaginile au avantajul că transmit sintetic informaţie complexă. De aceea, recurgerea la imagine este deosebit de importantă în înţelegerea noţiunilor matematice.

1.1.1. Sisteme simbolice utile

În algebră, folosim frecvent sisteme notaţionale pentru a caracteriza şi numi concepte matematice. Câteva dintre reprezentările fundamentale sunt următoarele:

Axa numerelor reale:

1–3 –2 –1 0– –

O

32

32

12

12

2 3

Mulţimile de numere: N, Z, Q, R

Convenţii de reprezentare şi efectuare a operaţiilor:

4225 6536625625===

125·5=625

Cercul trigonometric:

B

MA

x

y

O cos ttsin t

Simboluri utile în algebră


3

O serie de convenţii de reprezentare provenite din experienţa

cotidiană facilitează înţelegerea unor proprietăţi abstracte.

Exemplul 1 Desenul de mai jos este o imagine sugestivă pentru a introduce

elevii în ideea de densitate a lui R.

O

10 3

252

2 31

0,8 0,95

0,9

Exemplul 2

Proprietăţile egalităţii pot fi înţelese prin intermediul balanţelor: Dacă a = b, atunci a + c = b + c.

Dacă a + c = b + c, atunci a = b. Dacă a = b, atunci a⋅c = b⋅c.

Dacă ac = bc, atunci a = b, unde a, b, c≠� � � �

Imaginile următoare ilustrează aceste proprietăţi. Ele pot fi folosite cu succes pentru a facilita înţelegerea de către elevi a proprietăţilor egalităţii.

La geometrie, figurile ne ajută să construim raţionamente. De asemenea, ele au rolul de a concentra informaţia. Astfel, putem comunica rapid ce elemente sunt congruente în triunghiurile de mai jos pe baza desenelor:

Simboluri utile în geometrie


4

De fapt, această figură comunică mai mult. Ea este o

reprezentare sintetică a unui criteriu de congruenţă pentru triunghiurile dreptunghice, şi anume:

Criteriul I.C. (ipoteză - catetă): Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi câte o catetă respectiv congruente, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Convenţiile de notaţie şi interpretare trebuie învăţate explicit de către elevi; ele nu se interiorizează de la sine. Pentru a realiza acest lucru, recomandăm exersarea proprietăţilor geometrice prin rezolvarea de probleme direct pe figuri.

Temă de reflecţie 1 Determinaţi lungimile necunoscute în figurile de mai jos. Ce teoreme aplicaţi? Analizaţi demersul de rezolvare şi explicitaţi etapele prin care problema de calcul implică demonstraţie şi raţionament. Propuneţi două probleme similare.


5

O reprezentare frecvent folosită este sistemul de coordonate

carteziene. Reprezentarea datelor în acest fel transmite în mod condensat foarte multe informaţii. Decodificarea informaţiilor este una dintre dificultăţile posibile cu care se confruntă elevii.

Temă de reflecţie 2 Precizaţi coordonatele punctelor marcate pe figură.

x

A

B C

D

-2-3-4-5-6 654321

123456

-6-5-4-3-2-1

y

-1

A'

B' C'

D'

0

Caracterizaţi patrulaterele ABCD şi A’B’C’D’. Ce legătură este între ele? Justificaţi. Ce semnificaţie acordaţi axelor dublu orientate din figură? Propuneţi probleme care pot fi formulate pe baza figurii date.


6

1.1.2. Lectura textului

Pentru elev, este o problemă chiar descifrarea textului. Aceasta

este o activitate diferită de cea de rezolvare a problemei, care solicită alte abilităţi cognitive. Ea nu se învaţă automat: textul unei probleme, enunţul unei teoreme sunt ele însele ”figuri”, sisteme simbolice, care solicită o mobilizare cognitivă specială. Ca urmare, elevul trebuie învăţat să citească.

Efortul de atenţie şi concentrare pe care îl face elevul atunci când profesorul transformă teorema în problemă şi jalonează paşii spre rezolvarea ei este diferit de acela al descifrării personale. Se poate întâmpla ca a înţelege un text matematic, fără un antrenament special, să fie o problemă mai grea decât o problemă propriu-zisă. Textul matematic e o sinteză laconică, în spatele căreia se ascund fapte, întâmplări, ”personaje” pe care trebuie să le recunoaştem împreună cu ”istoria” lor. Un text matematic presupune în mod esenţial o citire activă. Fără încercările personale ale celui care citeşte de a concretiza enunţul pe exemple particulare, de a căuta explicaţii pentru opţiunea spre un anumit pas de raţionament, de a continua eventual rezolvarea independent etc., textul nu este, de fapt, înţeles.

Aşa cum sublinia Eugen Rusu, ”pentru a citi şi înţelege un text matematic – sau o lecţie expozitivă – cititorul trebuie să aibă o experienţă adâncă în rezolvări de probleme; mai mult: să-şi fi dat seama că descifrarea textului este în fond rezolvarea unei probleme, în care ni se dau, din loc în loc, indicaţii. Din loc în loc; căci textul, deşi complet din punct de vedere logic, este incomplet din punct de vedere psihologic, în el se spune: să considerăm funcţia auxiliară ... sau să ducem şi cercul care ... – ceea ce autorul este liber să facă – dar nu ni se spune – şi e neapărat necesar să gândim noi – care este raţiunea ascunsă care face utilă acea funcţie sau acel cerc, cum a intuit-o autorul, cum se integrează într-o idee unitară a demonstraţiei.

Astfel de explicaţii suplimentare, în lecţiile orale, le dă profesorul. Dar elevul nu va avea toată viaţa profesorul lângă el ca să-l lămurească. El trebuie să aibă şi priceperea de a folosi un text matematic: aceasta presupune o atitudine şi o tehnică: a considera citirea textului ca o problemă; a căuta să descoperi ce completări ale textului îţi sunt necesare, a redacta din nou, prin prisma propriului mod de a gândi, soluţia etc. Pentru deprinderea acestei tehnici, sunt utile lecţii de citire.”

Pentru a putea citi un text matematic, este necesar să facem

deosebirea între tipurile de noţiuni cu care operăm în matematică. Astfel, folosim: A) noţiuni primare (care nu se definesc şi care intră în enunţarea axiomelor şi se folosesc numai prin intermediul axiomelor); B) noţiuni care se definesc (prin genul proxim şi diferenţa specifică).

Înainte de a deveni axiomatică, geometria este o ştiinţă despre spaţiul euclidian – despre spaţiul fizic; noţiunile primare, se formează din reflectarea realităţii, ca în orice ştiinţă a naturii, printr-un proces de abstractizare. Aceasta presupune o etapă intuitivă, pe care E. Rusu o numeşte idealizare. De exemplu, dreapta din geometrie se naşte din


7

dreptele reale printr-un proces de idealizare (ne imaginăm o dreaptă reală din ce în ce mai subţire, până ce nu va mai avea nici o grosime; din ce în ce mai lungă, până nu va mai avea nici un capăt). Fără acest sprijin în realitate, ideea de dreaptă – concept cu un mare nivel de abstractizare – nu se interiorizează în mintea copilului.

A înţelege semnificaţia unei definiţii matematice presupune de asemenea un efort de construcţie mentală. Iată cum exemplifică Eugen Rusu formalizarea unei definiţii care satisface genul proxim şi diferenţa specifică. ”Din mulţimea tuturor paralelogramelor detaşăm o submulţime, cu ajutorul unei proprietăţi: punem aici toate paralelogramele care au un unghi drept. Le numim dreptunghiuri.

Spunem că paralelogramul constituie genul iar dreptunghiul o specie a lui. Am putea defini dreptunghiul şi pornind de la patrulater; acesta ar fi tot gen, dar nu cel mai apropiat; ne-ar trebui mai multe proprietăţi până să delimităm submulţimea dreptunghiurilor în mulţimea patrulaterelor. De aceea spunem: paralelogramul este (pentru dreptunghi) genul cel mai apropiat; genul proxim; proprietatea cu ajutorul căreia am delimitat submulţimea, specia respectivă, o numim diferenţă specifică.

Temă de reflecţie 3 Definiţia „paralelogramul cu un unghi drept se numeşte dreptunghi” a fost dată arătând a) genul proxim; b) diferenţa specifică. Ce noţiune este definită în enunţul de mai jos? Care este genul ei proxim? Care este diferenţa specifică? Paralelogramul cu două laturi consecutive congruente se numeşte romb. Formulaţi o altă definiţie pentru romb.

Genul proxim şi diferenţa specifică


8

1.2. Stadiul relaţiilor. Moduri de abordare a problemelor

Componentele unei probleme implică o serie de relaţii. Înţelegerea corectă a acestor relaţii este adesea decisivă în rezolvarea problemei. De aceea, în continuare, analizăm modul cum interacţionează componentele problemelor.

1.2.1. Date – rezultate; ipoteză – concluzie

Pentru a începe rezolvarea unei probleme, trebuie mai întâi să

înţelegem conţinutul, esenţa ei, scopul pe care şi-l propune. După ce am înţeles problema în ansamblu, ne concentrăm

atenţia asupra părţilor ei principale. Trebuie să pricepem foarte clar: ce anume trebuie să găsim şi de ce natură este acel

obiect (NECUNOSCUTA sau necunoscutele); ce anume este „dat” în problemă, sau ce anume este

cunoscut (DATELE); în ce fel, prin ce relaţii, sunt legate între ele necunoscutele

şi datele (CONDIŢIA). O clasificare simplă cataloghează problemele în probleme ”de

aflat” şi probleme ”de demonstrat”. Prima categorie presupune determinarea unui rezultat numeric necunoscut, pe baza unor date cunoscute, cuprinse în enunţul problemei. Cea de-a doua categorie presupune desfăşurarea unor paşi de raţionament pentru ca, pe baza datelor din ipoteză, să arătăm adevărul unui enunţ ce reprezintă concluzia.

Există însă şi alte tipuri de probleme, mai complexe. De

exemplu, problemele de construcţii geometrice, problemele de loc geometric. Prezentăm mai jos o problemă de construcţie geometrică şi modul de rezolvare în detaliu.

Temă de reflecţie 4 Alegeţi câte două probleme ”de aflat” şi două probleme ”de demonstrat” din manualele şcolare în uz. Precizaţi componentele fiecărei probleme.


9

Exemplu

Construiţi un cerc tangent la trei cercuri date.

Fie cercurile de centre A, B, C cele trei cercuri date, ale căror raze sunt respectiv: R1 > R2 > R3.

Aflarea soluţiei. Presupunem problema rezolvată. Fie

O cercul tangent cercurilor date. Unim centrul cercului O cu centrele celorlalte cercuri. Vom obţine segmentele OA, OB, OC, care conţin punctele de contact M, N, P. Din centrul cercului O ducem un cerc care să treacă prin centrul cercului C, care are raza cea mai mică. Acest cerc intersectează segmentul AO în D, unde A D = R1 – R3, şi pe OB în E, în care BE = R2 – R3.

Dacă ducem un cerc de centru A cu raza egală cu AD şi un alt cerc din B cu raza egală cu BE, observăm că problema dată s-a redus construirea unui cerc ce trece prin punctul C şi este tangent la două cercuri. Acest rezultat constituie şi cheia dezlegării problemei date.

Construcţia. Dacă cercurile de centre A,B, C au, respectiv,

razele R1 > R2 > R3, atunci din A ca centru se construieşte un cerc cu o rază egală cu R1 – R3 şi din B un cerc cu o rază egală cu R2 – R3. După aceasta se construieşte un alt cerc care să treacă prin C, centrul cercului cu raza cea mai mică şi tangent la cercurile care au razele R1 – R3 şi R2 – R3. Centrul cercului astfel construit este şi centrul cercului tangent cercurilor A, B, C. Dacă notăm cu O centrul acestui cerc, atunci raza cercului tangent la cele trei cercuri date se obţine unind punctul O de exemplu, cu A şi punctul unde segmentul OA intersectează cercul A să-l notăm cu M. Raza cercului căutat este OM. Cunoscând centrul şi raza cercului O, el se poate construi.

Demonstraţia. Cercul de centru O şi rază OM este

cercul tangent cercurilor date. Într-adevăr, cercul cu centrul în O care trece prin C, centrul cercului de rază cea mai mică şi tangent cercurilor de rază R1 – R3 şi R2 – R3 are raza sa cu R3 mai mare decât raza cercului căutat. Dacă micşorăm cu R3 raza cercului ce trece prin C, atunci razele cercurilor de rază R1– R3 şi R2 – R3 cresc cu o mărime egală cu R3. Cu alte cuvinte, cercul O devine tangent cercurilor A, B, C.

Discuţia. Observăm că cercurile ABC ar putea fi tangente

interior cercului O; aceasta ar constitui o a doua soluţie. De asemenea, cercul O poate fi tangent exterior cercului A şi tangent interior cercurilor B şi C, sau tangent interior cercului A şi tangent exterior cercurilor B, C. Aceasta înseamnă că am mai obţinut două soluţii.

Dacă se înlocuieşte A cu B, apoi cu C se mai obţin încă patru soluţii. În total, problema admite opt soluţii.

O problemă complexă


10

1.2.2. Utilizarea convenţiilor de desen pentru a induce necesitatea raţionamentului geometric

Elevii întâmpină adesea mari dificultăţi în problemele de demonstrat. Aceste dificultăţi apar încă de la început, în transpunerea textului din enunţ într-o formă grafică – simbolică ce orientează către soluţie. În continuare, cerinţa redactării unei ”proze matematice” apare ca un obstacol greu de trecut. O soluţie pentru a crea elevului interes şi disponibilitate în abordarea problemelor de demonstrat este prezentarea unor figuri-problemă în care ipoteza şi concluzia sunt direct formulate pe desen. Aceasta scurtează intrarea în problemă şi conduce elevul direct la aplicarea raţionamentului necesar pentru a obţine rezultatul numeric cerut. Mai jos sunt prezentate două exemple de acest tip.

A

P N

G

Q

CM

B2434

a)

Q P

NM25

b)

20

Temă de reflecţie 5 Enunţaţi probleme corespunzătoare figurilor de mai sus. Formulaţi ipoteza şi concluzia în fiecare caz. Rezolvaţi problemele. Propuneţi o problemă asemănătoare.


11

1.2.3. Schema carteziană sau despre punerea în ecuaţie

René Descartes (1596-1650), filozof, matematician şi fizician cu contribuţii remarcabile la întemeierea fiecăreia dintre aceste domenii, a încercat să contureze o metodă universală de rezolvare a problemelor. Într-una din lucrările sale, Reguli utile şi clare pentru îndrumarea minţii în cercetarea adevărului1, precum şi cea mai binecunoscută, Discours de la Méthode2, Descartes expune această metodă despre care credea că ar putea fi aplicată la toate tipurile de probleme: o Mai întâi, problema, de orice tip ar fi ea, trebuie redusă la o

problemă de matematică. o După aceea, problema de matematică, indiferent de tipul ei,

trebuie redusă la o problemă de algebră. o În fine, orice problemă de algebră trebuie redusă la rezolvarea

unei singure ecuaţii.

Desigur, există numeroase cazuri în care această schemă nu poate fi aplicată, dar suficient de multe situaţii pot fi modelate pe baza acestei structuri. În cele ce urmează, reluăm regulile lui Descartes în varianta modernă, transpusă de Polya:

(1) După ce aţi înţeles bine problema, reduceţi-o mai întâi la

determinarea unui anumit număr de cantităţi necunoscute (Regulile XIII – XVI). Aceasta înseamnă să delimităm:

ce nu cunoaştem (necunoscuta sau necunoscutele); ce ştim (datele); în ce fel, prin ce relaţii, sunt legate între ele necunoscutele

şi datele (condiţia).

(2) Examinaţi problema în modul cel mai firesc, considerând-o gata-rezolvată şi reprezentându-vă într-o ordine potrivită toate relaţiile care, conform condiţiei, trebuie să existe între necunoscute şi date (Regula XVII).

Ne imaginăm că toate mărimile (cantităţile) necunoscute au valori care satisfac perfect condiţia problemei – aceasta se înţelege în esenţă, prin recomandarea „consideraţi problema gata rezolvată”. Considerăm, prin urmare, că sub un anumit aspect, putem să nu facem deosebire între necunoscute şi cantităţile date şi că putem să le tratăm, pe unele şi pe celelalte, pe picior de egalitate: ni le reprezentăm, în concret, legate între ele prin relaţiile pe care le stipulează condiţia problemei. Aceste relaţii trebuie apoi examinate şi

1 Descartes, Reguli utile şi clare pentru îndrumarea minţii în cercetarea adevărului, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1964 2 Descartes, Discurs asupra metodei, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1957

Descartes şi metoda universală de rezolvare a problemelor

Studiu individual Realizaţi un eseu, de maxim 15 rânduri în care să evidenţiaţi avantajele (sau dezavantajele) utilizării problemelor bazate pe imagini.

Regulile lui Descartes în varianta lui Polya

Determinăm necunoscutele problemei

Stabilim relaţii


12

studiate în ansamblu, exact în spiritul în care examinăm şi studiem o figură, când ne propunem să realizăm o construcţie geometrică. Scopul pe care-l urmărim este să descoperim vreo indicaţie utilă pentru pasul imediat următor.

(3) Separaţi din condiţie o parte care vă permite să exprimaţi o

aceeaşi cantitate în două moduri distincte, şi să obţineţi, în felul acesta, o ecuaţie între necunoscute. În cele din urmă, trebuie să împărţiţi condiţia în exact atâtea părţi – şi în felul acesta să obţineţi un sistem de exact atâtea ecuaţii – câte necunoscute are problema (Regula XIX).

Polya analizează în continuare astfel regula (3)3: ”Scopul urmărit este formulat destul de clar: trebuie să obţinem un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute. Se înţelege de la sine că sistemul trebuie astfel construit, încât rezolvarea lui şi calculul necunoscutelor să dea soluţia problemei propuse. Prin urmare, sistemul de ecuaţii trebuie să fie echivalent cu conţinutul condiţiei propuse. Dar dacă sistemul în ansamblu exprimă condiţia în ansamblu, înseamnă că fiecare ecuaţie în parte a sistemului trebuie să exprime o anumită parte a condiţiei. Deci pentru a stabili cele n ecuaţii trebuie să împărţim condiţia în n părţi. Bine – s-o împărţim, dar cum?

Consideraţiile precedente, de la punctele (1) şi (2), (care prezintă foarte schematic Regulile XIII – XVII date de Descartes) dau unele indicaţii generale în această privinţă, dar nu şi instrucţiuni concrete, bine definite. Desigur, trebuie să înţelegem problema, trebuie să vedem care sunt necunoscutele, datele, condiţia – şi toate acestea, foarte, foarte clar. Examinarea diferitelor stipulaţii ale condiţiei, reprezentarea concret a relaţiilor dintre necunoscute şi date – toate aceste activităţi şi operaţii ne pot fi de folos; dar ceea ce ne dau ele nu este decât şansa de a obţine sistemul de ecuaţii căutat, nu şi certitudinea că îl vom găsi.

Recomandarea de care ne ocupăm acum (parafraza la Regula XIX) subliniază un nou element: pentru a obţine o ecuaţie trebuie să exprimăm o aceeaşi cantitate în două moduri distincte. Corect asimilată, această remarcă ne ajută deseori să descoperim o ecuaţie între necunoscute – dar punctul ei forte este totuşi altul: ea ne ajută totdeauna să explicăm o ecuaţie după ce aceasta a fost descoperită.

Pe scurt, în ceea ce priveşte operaţia de punere în ecuaţie, există o serie de sugestii utile, dar nu şi o reţetă infailibilă, însă acolo unde nu ne putem sprijini pe precepte, ne poate veni în ajutor experienţa.”

(4) Reduceţi sistemul de ecuaţii la o singură ecuaţie (Regula

XXI). Aşa cum sublinia Polya, ”profesorul care va face un efort

conştiincios şi insistent pentru a aduce recomandările lui Descartes, prezentate mai sus, la nivelul de înţelegere al elevilor, şi pentru a le introduce în practică, va evita multe din capcanele şi dificultăţile frecvente în predare.

3 Polya, G., Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1971

Exprimăm ecuaţii

Rezolvăm ecuaţiile obţinute


13

Înainte de orice, elevul nu trebuie – în nici un caz – să înceapă

să rezolve o problemă, înainte de a o fi înţeles pe deplin. Se poate verifica, într-o oarecare măsură, dacă elevul a înţeles realmente problema: el trebuie să fie în stare să repete enunţul problemei, să arate care sunt necunoscutele şi datele, să explice condiţia cu propriile lui cuvinte. Dacă poate să facă toate acestea suficient de bine, el poate trece la rezolvarea propriu-zisă.

O ecuaţie exprimă o parte a condiţiei. Elevul trebuie să fie în stare să spună ce parte a condiţiei este exprimată de ecuaţia pe care o scrie – şi ce parte nu este încă exprimată. O ecuaţie exprimă o aceeaşi cantitate in două moduri distincte. Elevul trebuie să fie în stare să spună care anume cantitate a fost astfel exprimată.

Elevul trebuie să aibă, evident, cunoştinţele relevante necesare, de care n-ar putea înţelege problema. De pildă, multe dintre problemele obişnuite de şcoală medie sunt probleme cu viteze, probleme cu creşteri proporţionale. ...Înainte de a i se cere să rezolve o astfel de problemă, elevul trebuie să asimileze, într-o formă sau alta, ideea de viteză a unui proces, de creştere proporţională, de variaţie uniformă.”

Exemplu

Aplicăm consideraţiile de mai sus în rezolvarea următoarei probleme:

Bunicul lui Petrică are două sortimente de nuci: pe unele le

vinde cu 12 lei kilogramul, pe celelalte – cu 8 lei kilogramul. El vrea să le amestece şi să le vândă cu 9 lei şi 50 bani kilogramul. Câte kilograme dintr-un sortiment şi câte din celălalt trebuie să amestece, ca să aibă spre vânzare în total 50 kilograme?

Aceasta este o „problemă de amestec” tipică. Să presupunem

că negustorul amestecă x kilograme de nuci din primul sortiment cu y kilograme de nuci din al doilea; x şi y sunt necunoscutele. Ne va fi mai comod să analizăm necunoscutele şi datele dacă le aranjăm într-un tabel:

Primul sortiment Al doilea sortiment AmesteculPreţul/ kilogram 12 8 9,50 Masa x y 50

Exprimăm în două moduri masa totală a amestecului de nuci: x + y = 50 După aceea, exprimăm în două moduri preţul total al amestecului: 12x + 8y = 9,50 ⋅ 50.

Am obţinut un sistem de două ecuaţii pentru cele două necunoscute x şi y.


14

1.3. Stadiul matematic. Probleme de utilizare a limbajului specific

Matematica oferă strategii de rezolvare a problemelor atât în viaţa de zi cu zi cât şi în numeroase alte domenii. Pentru ca acest lucru să fie posibil, matematica, asemeni celorlalte domenii ale cunoaşterii umane, operează cu un limbaj specific. Acesta trebuie, bineînţeles, însuşit pentru a avea acces la codurile şi procedurile fundamentale. Pentru a putea folosi însă în mod adecvat limbajul specific, este necesară exersarea transferurilor succesive între diferite tipuri de limbaje: din limbaj grafic in limbaj algebric si invers, din limbaj cotidian in limbaj simbolic si invers, precum şi dobândirea unor tehnici de interpretare a reprezentărilor frecvent folosite.

1.3.1. Transferul de limbaj

Aşa cum am văzut în metoda generală de rezolvare a problemelor ce conduc la obţinerea unei ecuaţii, cheia în orientarea eficientă spre soluţie este transferul adecvat dintr-un limbaj în altul. Astfel, înainte de a trece la rezolvarea propriu-zisă de probleme sau ecuaţii, sunt utile exerciţii de transfer din limbaj grafic în limbaj algebric şi invers. Câteva exemple sunt date în continuare.

1. Exprimă prin simboluri:

a) jumătate din x; b) dublul lui y; c) de 3 ori mai mult decât z; d) de 4 ori mai puţin decât w.

Temă de reflecţie 6 Rezolvaţi sistemul şi obţineţi soluţia problemei. Treceţi de la „numere” la „litere” şi formulaţi o problemă generală.


15

2. x este lungimea acestui segment:

Desenează: a) 2x; b) 3x; c) 4x; d) 12 x ; e) 2

3 x ; f) 2,5 x; g) 3,75x.

De asemenea, sunt necesare exerciţii de transfer din limbaj cotidian în limbaj simbolic şi invers. Exemplul următor implică modelarea problemelor prin ecuaţii.

Găseşte modele pentru următoarele probleme: 1. Ion şi cei 3 prieteni ai lui au avansat aceeaşi sumă de bani

pentru a-i cumpăra lui Matei un cadou de 100 lei. Care este contribuţia fiecăruia?

2. Maria are 100 CD-uri. Ea are de 4 ori mai multe CD-urii decât Cristina. Câte CD-uri are Cristina?

3. Cristina a plătit de 3 ori mai mult decât Maria când a cumpărat 6 cutii cu bomboane de 15 lei fiecare. Cât a plătit Cristina?

4. Pentru o petrecere, elevii pregătesc feţe de masă din 10 m de material, a cărui lăţime este egală cu cea necesară pentru mese. Ei au confecţionat deja două feţe de masă cu lungimea de 1,5 m. Câte feţe de masă lungi de1,5 m se mai pot confecţiona din material?

O modalitate de a reprezenta sugestiv un număr mare de date constă în utilizarea diagramelor statistice. Astfel, pentru elevii din învăţământul obligatoriu, se pot folosi grafice cu bare sau diagrame circulare.

x

Temă de reflecţie 7 Scrieţi ecuaţia potrivită fiecărei probleme de mai sus. Ce observaţi?


16

1420 1610 1700 1820 1900

1998

1997

1996

1995

1994

1993

1992 Numãr de spectatori

Ani

1750 18500

120o

80o 60o

20o

50o30o

LECTURA

SPORT

MUZICA

ALTE

ACTIVITÃÞI

JOCURI PECALCULATOR

PICTURA

Temă de reflecţie 8 Pentru graficul cu bare de mai sus, formulaţi alte trei întrebări la care se poate obţine răspuns pe baza datelor. Pentru diagrama circulară de mai sus, determinaţi procentajul elevilor ce preferă fiecare dintre activităţile menţionate. Folosiţi măsurile unghiurilor la centru, marcate pe figură.

Graficul cu bare alăturat redă numărul de spectatori ai unui teatru în perioada 1992-1998. Pentru a facilita înţelegerea de către elevi a acestei reprezentări, sunt utile exerciţii care invită la compararea mărimilor implicate, respectiv a numărului de spectatori în diferite perioade, de tipul: În care an au fost cei mai puţini spectatori? Ce diferenţă este între numărul minim şi cel maxim de spectatori? Care este numărul mediu de spectatori în perioada menţionată?

În diagrama circulară alăturată sunt reprezentate preferinţele elevilor unei şcoli pentru diferite activităţi. La sondaj au participat 600 de elevi. Pe diagramă sunt marcate măsurile unghiurilor la centru. Folosind regula de trei simplă, se pot determina numărul şi procentul elevilor care preferă fiecare dintre activităţi.


17

1.3.2. Interpretarea reprezentărilor funcţionale Reprezentarea grafică a unei funcţii ne furnizează

numeroase informaţii despre comportarea acesteia. Astfel, din figura alăturată, putem deduce că funcţia x → x2 este:

crescătoare pe intervalul ( – ∞; 0); descrescătoare pe intervalul (0; + ∞); simetrică faţă de axa Oy; are valoarea 0 în origine.

De asemenea după forma funcţiei, fără a avea dată formula,

putem recunoaşte faptul că este vorba despre o funcţie pătratică. Aceasta ne ajută în efectuarea a diferite verificări.

1.3.3. Raporturi între noţiuni

Folosirea limbajului din teoria mulţimilor aduce mai multă precizie şi claritate în privinţa raporturilor între noţiuni din perspectiva logicii.

Manipularea unor mulţimi (atenţie, nu şi formalizarea acestei manipulări!) este utilă chiar în grădiniţă. Cu ce scop? 1) ca pregătire a bazei pentru introducerea unor noţiuni matematice, în primul rând, introducerea numărului natural; 2) ca exerciţii de logică – acesta fiind scopul principal. Mai jos sunt redate câteva astfel de exerciţii. Variante ale acestora pot fi utilizate şi în gimnaziu. Astfel de exerciţii au menirea de a construi fundamente pentru coerenţa logică a gândirii copilului.

–3 –2 –1 0 1 2 312

12–

x

–4

–n2 T n n( ; – )2

y = –x2

Temă de reflecţie 9 Formulaţi cât mai multe aserţiuni referitoare la funcţia din imaginea de mai jos.

14

4 y

n

n2 P n n( ; )2

y = x2


18

1. După o privire succintă asupra modului în care sunt

îmbrăcaţi elevii, educatoarea (învăţătoarea) poate propune următoarele exerciţii, sau altele similare, care pun în evidenţă operaţii: „şi“, „sau“, „nu“.

1. Copiii care au pantofi maro şi ciorapi albi să ridice mâna. Mâinile jos.

2. Copiii care au ciorapi roşii sau albaştri să se ridice în picioare. Staţi jos.

3. Copiii care nu au copertă albastră la manual să ridice mâna. Lăsaţi mâinile jos.

4. Copiii care au copertă maro la manual şi pantofi negri să ridice mâna.

2. Copiii au pe bancă plicuri cu figurile geometrice. Vor scoate din plicuri, pe rând, figurile solicitate, punându-le înapoi în plic doar în momentul terminării activităţii. Corectarea răspunsurilor se face de către elevi.

1. Ridicaţi un dreptunghi/ hexagon/ pentagon/ pătrat/ octogon/ triunghi/ cerc.

De fiecare dată, copiii privesc la colegii lor şi semnalează eventualele greşeli.

2. Ridicaţi un dreptunghi şi un triunghi/ un pentagon şi un cerc/ un pătrat şi un octogon/ un triunghi şi un hexagon.

Corectarea greşelilor se face ca mai sus. Se insistă asupra faptului că, cine nu a ridicat ambele figuri, a greşit.

3. Ridicaţi un triunghi sau un cerc/ un pentagon sau un hexagon/ un dreptunghi sau un octogon.

Se discută variantele de răspuns şi se corectează greşelile insistând asupra faptului că există trei posibilităţi de răspuns corect: sau o figură, sau cealaltă, sau ambele.

4. Ridicaţi un desen care nu are culoarea roşie. 5. Ridicaţi un triunghi şi o figură care are mai mult de patru

laturi. Se discută variantele de răspuns corect: un triunghi şi un

pentagon, sau un triunghi şi un hexagon, sau un triunghi şi un octogon.

3. Utilizarea termenilor: toţi, câţiva, nici unul 1. Se pun câteva întrebări în care apar termenii menţionaţi. De

exemplu: Toţi elevii şi-au făcut tema la matematică? Sunt câţiva elevi în clasă care nu au citit povestea despre Harap Alb? Toate ceasurile din clasă arată aceeaşi oră? etc.

2. Se desenează pe tablă două-trei pătrate şi triunghiuri şi li se cere copiilor să construiască pe baza acestor desene propoziţii în c re să utilizeze termenii menţionaţi. (De exemplu: Nici una dintre figuri nu este cerc. Toate figurile desenate sunt pătrate sau triunghiuri).

3. Se poate utiliza o planşă cu mai multe personaje în acţiune şi se cere comentarea ei, ca mai sus.

4. Metoda excluderii 1. Mă gândesc la o zi a săptămânii. Nu este nici prima, nici a

doua din săptămână şi începe cu M. La ce zi mă gândesc? Se scriu pe tablă iniţialele zilelor săptămânii: L M M J V S D. Se

taie pe rând variantele neconvenabile: L M M J V S D.


19

2. Spuneţi un număr par situat între 214 şi 218. Cum

procedăm? Să scriem numerele cuprinse între 214 şi 218: 215, 216, 217. Tăiem numerele care nu corespund. Rămâne 216.

3. Spuneţi 3 numere impare situate între 1124 şi 1132. (Se procedează ca mai sus).

5. Utilizarea sintagmei: „dacă - atunci“ 1. Pot avea în buzunar o monedă de 100 lei sau o bancnotă de

500 lei, sau una de 1000 lei, sau una de 5000 lei. Dacă nu am nici o bancnotă, câţi lei am în buzunar? (100 lei).

2. Se scriu patru numere pe tablă, de exemplu: 216; 3; 145; 92. Mă gândesc la unul din numerele scrise. Dacă el nu are nici două, nici trei cifre, la ce număr mă gândesc? (La 3).

3. Am 500 lei. Dacă aş primi de 3 ori mai mulţi, atunci câţi lei aş avea? Dar dacă aş primi de 4 ori mai mulţi, atunci câţi lei aş avea? Dar dacă aş primi de 5 ori mai mulţi, atunci câţi bani aş avea?

Se discută faptul că, schimbând datele problemei, se schimbă şi concluzia.

4. Dacă adun două numere, atunci cum este rezultatul obţinut faţă de fiecare din cele două numere? (Mai mare)

Din punct de vedere al raporturilor între noţiuni, definiţiile

analizează un caz particular: cazul în care cele două mulţimi sunt una inclusă în cealaltă (noţiunea definită, un caz particular al celei din genul proxim).

În raport cu acestea, teoremele analizează cazul în care noţiunile sunt deduse una din cealaltă.

Să analizăm procesul formulării unei definiţii folosind ca exemplu modul cum se definesc în clasa a VI-a paralelogramele particulare. Cele două condiţii de caracterizare sunt: a avea laturile congruente; a avea unghi drept. Din mulţimea tuturor paralelogramelor remarcăm două submulţimi: a) a acelor paralelograme care au laturile congruente (romburi); b) a acelora care au un unghi drept (dreptunghiuri). Există paralelograme care au ambele caracteristici: romb şi dreptunghi (anume pătratele).

Tot aici putem analiza raportul între sfera şi conţinutul unei noţiuni (conţinut mai mare, sferă mai restrânsă). Dreptunghiul are toate proprietăţile paralelogramului şi în plus: cea dată de definiţie (un unghi drept, deci toate); cele implicate de (deduse din) definiţie, cum ar fi: diagonalele lui sunt congruente. Pătratul are sfera şi mai restrânsă – numai unele dreptunghiuri, nu toate, sunt pătrate – are conţinutul şi mai bogat: diagonalele lui sunt şi congruente (pentru că e dreptunghi) şi perpendiculare (pentru că e romb).

Faptul că două noţiuni corespund cu, respectiv: a) mulţimi disjuncte, sau b) având o intersecţie nenulă, sau c) una este inclusă în cealaltă trebuie precizat explicit căci el are consecinţe pentru desfăşurarea raţionamentului.

În particular, o clasificare înseamnă împărţirea unei mulţimi în clase, deci în submulţimi disjuncte, a căror reuniune este mulţimea dată. Clasificarea triunghiurilor în ascuţitunghice, dreptunghice, obtuzunghice este o clasificare propriu-zisă; dar aşa-zisa clasificare după laturi: scalene, isoscele, echilaterale nu este o clasificare.


20

Ar trebui dată noţiunea de triunghi oarecare (scalen nu se

foloseşte mai deloc); apoi se desprinde o submulţime: a triunghiurilor care au două laturi congruente – isoscele, iar din aceasta o submulţime şi mai restrânsă: a triunghiurilor cu toate laturile congruente – echilaterale.

Sunt teoreme valabile într-un triunghi oarecare – deci, de la sine, şi în triunghiul isoscel care face parte din triunghiurile oarecare – tot astfel cum o proprietate demonstrată pentru paralelogram este, de la sine, valabilă pentru dreptunghi. Aspecte care par de la sine înţelese este necesar să fie explicitate. Sunt situaţii în care astfel de transferuri nu funcţionează. Astfel, de exemplu, teorema lui Pitagora nu o demonstrăm într-un triunghi oarecare ci pe rând şi în forme distincte pentru triunghiul dreptunghic, ascuţitunghic, obtuzunghic.

Temă de reflecţie 10

Pentru fiecare dintre figurile de mai jos a) formulaţi enunţul unei probleme b) precizaţi ipoteza, concluzia, condiţiile c) rezolvaţi problema d) propuneţi câte o problemă similară e) reprezentaţi schematic ideea problemei şi lanţul logic de rezolvare.

zs

110°130°

30° 70° 3y

2y

(Prin convenţie, dreptele marcate cu săgeţi de aceeaşi orientare indică drepte paralele.)


21

1.4. Stadiul euristic. Scheme de rezolvare

Majoritatea problemelor nu se rezolvă imediat, aplicând un algoritm sau o metodă infailibilă. De obicei, facem demersuri de tatonare, procedăm prin încercare-eroare, căutăm exemple sau contra-exemple, care clarifică legăturile posibile între ipoteză şi concluzie, între date şi necunoscute. Toate acestea reprezintă nivelul euristic. El este de fapt motorul întregii construcţii, căci el conţine întrebările care conduc, în cele din urmă, la apariţia unor structuri ce jalonează soluţia problemei.

1.4.1. Tatonări în găsirea soluţiei

Pentru a facilita procesul de tatonare, este utilă folosirea unor materiale auxiliare ce modelează probleme. Astfel de materiale pot fi, de exemplu, decupaje din carton. Ele pot fi folosite în geometria plană sau în cea spaţială. În continuare prezentăm un astfel de exemplu. Se poate propune elevilor următoarea problemă 4: 1. Din desfăşuratele de mai jos, formaţi două corpuri geometrice şi reconstituiţi cu ajutorul lor o piramidă patrulateră regulată. 2. Determinaţi prin măsurare valori aproximative pentru muchia laterală, apotema şi înălţimea piramidei patrulatere regulate. 3. Calculaţi aria laterală şi volumul piramidei regulate obţinute.

SS

S

DD

D

C

CC

NN

O

S S

M

N O

M M

SS

B

A

A

N

N

BB

S

MM

O

S

N

O

M

Ê

A

25

25

4 M.Singer, C.Voica, C,Voica, Decupează, construieşte şi verifică, Ed.Sigma, 2000.


22

Prin asamblarea celor două desfăşurări, se obţin corpurile de

mai jos.

S

M

B

CDM

S

A B

CD

N M

S

O

Ele permit vizualizarea corpurilor, aproximarea dimensiunilor, verificarea prin calcul şi măsurare, asigurând astfel simplificarea unor căi de acces pentru tatonări ulterioare la probleme pentru care nu mai există suportul material.

1.4.2. Scheme de rezolvare

Fiecare etapă a rezolvării unei probleme (fiecare situaţie care se conturează în mintea celui care rezolvă problema) se conturează treptat pe mai multe niveluri. Nivelul iniţial poate fi considerat nivelul imaginii. În fiecare etapă, rezolvatorul îşi conturează în minte o anumită reprezentare, însă această reprezentare se modifică odată cu trecerea la etapa următoare; unele detalii pot trece pe planul al doilea, altele, din contră, ies în evidenţă şi ne polarizează toată atenţia. În acest demers, apar treptat detalii noi, cărora le acordăm atenţie specială în anumite momente. Trecând la nivelul imediat următor, ajungem la nivelul relaţiilor, al legăturilor între necunoscute, date, necunoscute auxiliare. Mai departe, apare nivelul matematic, care constă din formule şi/ sau enunţuri formalizate.

Exemplu5

Dintr-o bucată de stofă s-a tăiat o dată 13

, iar altă dată 14

.

Măsurându-se restul, s-a găsit că este de 10 m. Ce lungime a avut bucata de stofă?

Transpunem problema din vorbirea curentă în limbaj algebric. Evidenţiem astfel legătura dintre nivelul relaţiilor şi nivelul matematic ale problemei.

5 Exemplul este preluat din: A.Boteanu, A.Hollinger, Matematică. Manual pentru clasa a VII-a, EDP, Bucureşti, 1969.

În vorbirea curentă În limbaj algebric Dintr-o bucată de stofă x

s-a tăiat o dată 13

3x

iar altă dată 14

4x

Măsurându-se restul, s-a găsit că este de 10 m. x –

3x –

4x = 10


23

Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect!

1. Cele patru stadii identificate în rezolvarea unei probleme sunt: ........................................................................................ ............. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ........................................................................................ .............

2. Câteva dintre informaţiile ce pot fi transmise prin intermediul desenului sunt:

....................................................................................... ............. ...................................................................................................... ......................................................................................................

3. În spaţiul liber de mai jos, daţi un exemplu de problemă în rezolvarea căreia este nevoie de un transfer de limbaj.

Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul acestei unităţi de învăţare. m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ........................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................. Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................


24

TEST DE EVALUARE – NOTAT DE TUTORE

Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 1: Stadii în rezolvarea problemelor

Am reuşit…???

1. Menţionaţi ipoteza şi concluzia problemei următoare. Enumeraţi pe scurt paşii de rezolvare. Pe un cerc cu centrul în O, se ia un punct A. Dintr-un punct C situat pe tangenta în A se duce a doua tangentă CB la cerc. Paralela prin B la dreapta AC intersectează dreapta CO în punctul D. Demonstraţi că patrulaterul ACBD este un romb.

În evaluare vor fi analizate: identificarea ipotezei şi concluziei (3p), enumerarea părţilor de rezolvare (6p). Se acordă 1 p din oficiu.

2. a) Prezentaţi două caracteristici ale funcţiei de mai jos. b) Descrieţi printr-o formulă restricţia funcţiei la intervalul (-∞; -1).

y

x0

Pentru a) se acordă 4p, pentru b) se acordă 5p. Se acordă 1 p din oficiu.

3. Transpuneţi într-o formă sintetică următoarea problemă, propusă de Euler. Scrieţi rezolvarea. Trei persoane joacă împreună: în prima partidă, primul pierde la fiecare din ceilalţi dublul sumei pe care o are fiecare din aceştia. În partida următoare, jucătorul al doilea pierde la fiecare din ceilalţi dublul sumei pe care aceştia o aveau în acel moment, în fine, în a treia partidă, primul şi al doilea jucător câştigă fiecare de la cel de-al treilea exact suma pe care o aveau înainte. După aceea ei se despart şi constată că au toţi aceeaşi sumă, şi anume câte 24 napoleoni. Ce sumă a avut fiecare înainte de a începe jocul?

… să prelucrez ipoteza şi concluzia problemelor pentru a evidenţia relaţiile ce pot conduce la rezolvare?

… să determin formulele/ rezultatele matematice care conectează datele unei probleme, pentru a ajunge la încercări de rezolvare?

… să evidenţiez scheme generale de rezolvare a problemelor, prin analiza comparativă a stadiilor euristice ale rezolvărilor?


25

4. Analizaţi rezolvarea problemei următoare. Menţionaţi stadiile rezolvării. Pentru identificarea fiecărui stadiu de rezolvare se acordă câte 2p. Din oficiu- 2p.

Pe fiecare latură a unui triunghi oarecare se construieşte în exterior câte un triunghi echilateral. Să se demonstreze că segmentele de dreaptă care unesc cel de-al treilea vârf al unui triunghi echilateral astfel construit cu vârful opus al triunghiului dat sunt congruente.

Rezolvare. Fie ABC triunghiul dat şi MBC, NAC, PAB triunghiurile echilaterale construite pe laturile lui ABC. Se cere să demonstrăm că PC, BN, AM sunt congruente, adică:

PC = BN = AM. i) Aplicând metoda analizei, vom pleca de la presupunerea că cele trei segmente sunt congruente şi observăm ce consecinţe se pot deduce imediat din presupunerea făcută.

Pentru început considerăm segmentele: I. PC = BN.

Triunghiurile BAN şi PAC sunt congruente. Aceasta este prima consecinţă dedusă din presupunerea făcută. b) Obţinem =BAN PAC .Aceasta este o altă consecinţă dedusă, tot ca urmare a presupunerii făcute. c) Însă, pe de altă parte, relaţia =BAN PAC se poate stabili direct, într-adevăr:

= + °60BAN BAC = + °60PAC BAC Rezultă congruenţa unghiurilor BAN şi PAC.

Din acest moment raţionamentul decurge în ordine inversă:

ΔBAN ≡ ΔPAC, etc.

… să analizez procesul de rezolvare a unor probleme, din perspectiva stadiilor pe care evoluează aceasta?


26

INDICAŢII, SUGESTII DE REZOLVARE, RĂSPUNSURI PENTRU SARCINILE DE LUCRU ALE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 1

Temă de reflecţie 1 Aplicăm asemănarea triunghiurilor. Temă de reflecţie 2 Patrulaterele date sunt asemenea. Orientarea dublă a axelor semnifică faptul că axele de coordonate sunt drepte, iar în desen putem reprezenta doar porţiuni ale acestora. Temă de reflecţie 3 Noţiunea definită: rombul. Genul proxim: paralelogramul. Diferenţa specifică: laturile congruente. Temă de reflecţie 5 De exemplu, pentru figura a): Pe baza datelor din figură: i) demonstraţi că MNPQ este un paralelogram; ii) calculaţi lungimea segmentului PQ; iii) calculaţi perimetrul paralelogramului MNPQ. Temă de reflecţie 7 De exemplu, pentru problema 1: 4x=100 Temă de reflecţie 8 De exemplu: exprimaţi procentual numărul de spectatori în 1998, faţă de spectatorii din 1996. Temă de reflecţie 10 De exemplu, pentru prima figură, ipoteza este următoarea: cele două drepte marcate prin săgeţi sunt paralele; ele formează cu secantele date unghiuri de 110°, respectiv de 130° . Se cere măsura unghiului s. Test de autoevaluare, pag. 23

1. Stadiul imaginii , Stadiul relaţiilor, Stadiul matematic, Stadiul euristic.

2. Congruenţa, paralelismul, monotonia.


27

BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1 POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică,

Bucureşti, 1971 POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed.

Ştiinţifică, Bucureşti, 1962. RADU, I. (coord.), Psihologia educaţiei şi dezvoltării,

Ed.Academiei, 1983 RUSU, E., Metodica predării geometriei în şcoala generală,

Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR:

Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005.

SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii. Liceu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S.C.ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001.

SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002.

SINGER, M., VOICA, C., Cum demonstrăm? De la intuiţie la rigoare matematică, Ed. Sigma, 2005.

SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003.

SINGER, M., VOICA, C., Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, PIR, CEDU 2000+, 2005.

SINGER, M., VOICA, C., VOICA, C.L., Decupează, construieşte şi verifică!, Ed. Sigma, 2000.

Strategii de abordare a problemelor

28

Unitatea de învăţare 2: STRATEGII DE ABORDARE A PROBLEMELOR

Cuprins Competenţele Unităţii de învăţare 2 29 2.1.Condiţie necesară, condiţie suficientă. Probleme echivalente 29 2.1.1.Condiţie necesară, condiţie suficientă, condiţie necesară şi suficientă 29 2.1.2.Reciproce nevalabile 32 2.1.3.Scheme echivalente 34 2.1.4.Probleme auxiliare 35 2.1.5.Construcţii geometrice auxiliare 37 2.2.Rolul cazurilor particulare şi al exemplelor în analiza unei probleme 40 2.2.1.Cazurile particulare – premise pentru intuirea soluţiei 40 2.2.2. Exemplele şi contraexemplele – certitudini pentru a evita capcane 43 2.3.Interpretări grafice ale proprietăţilor algebrice sau geometrice.

Justificări grafice ale problemelor 46 2.3.1.Ecuaţia ca rezultat al modelării problemei 48 2.3.2.Organizatori grafici 49 2.4.Raţionamentul inductiv. Raţionamentul deductiv.

Justificarea intuitivă a problemelor 50 2.4.1.Calea inductivă 50 2.4.2.Calea deductivă 52 2.4.3.Justificarea intuitivă a problemelor. Abordarea ”la două capete” 53 Test de evaluare – notat de tutore 58 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 2 59 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de Învăţare 2 61


29

COMPETENŢELE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 2 Studiind această unitate de învăţare, veţi reuşi… …să formulaţi probleme mai simple, din care se poate deduce

problema iniţială …să utilizaţi cazuri particulare, exemple şi contraexemple pentru

analiza unei probleme …să folosiţi desene, scheme sau organizatoare grafice pentru

comunicarea ideilor esenţiale din demonstraţie …să sintetizaţi scheme de rezolvare şi să le aplicaţi în situaţii similare


2.1. Condiţie necesară, condiţie suficientă A demonstra un enunţ înseamnă a construi inferenţe logice pe

baza unor enunţuri despre care ştim că sunt adevărate în sistemul considerat, fie ca axiome, fie ca teoreme. Pentru ca raţionamentul să funcţioneze, este necesar să cunoaştem modalităţi de derivare logică. Astfel de modalităţi presupun înţelegerea semnificaţiei logice a condiţiei necesare, a celei suficiente, a celei necesare şi suficiente, a echivalenţelor logice.

2.1.1. Condiţie necesară, condiţie suficientă, condiţie necesară şl suficientă

Considerăm următoarea teoremă: Dacă numărul a are un divizor compus, are el are şi un

divizor prim. Enunţul echivalent, al acestei teoreme, în care se folosesc

propoziţii negative, este: Dacă a nu are nici un divizor prim, nu are nici divizor compus

(căci dacă ar avea divizor compus, ar avea şi prim).

Exemplu Să urmărim raţionamentul prin care arătăm că 197 este număr

prim: Nu împărţim cu toate numerele până la 196, judecata ne ajută

să scurtăm aceste încercări; 197 nu e divizibil cu 2, nici cu 3. Cu 4 nu mai încercăm căci dacă ar fi cu 4, ar fi şi cu 2; încercăm cu 5, nu este; cu 6 nu mai încercăm etc., ajungem la câtul împărţirii 197:17, care este 11. Ca urmare, nu mai încercăm cu 19, căci dacă ar fi divizibil cu 19, ar fi şi cu câtul care e mai mic decât 11. Neavând nici un divizor prim până la 17, nu are nici un divizor (nici prim, nici compus), până la 17. Neavând nici un divizor până la 11, nu are nici mai mare ca 17. Deci 197 este prim.

Condiţie suficientă. Implicaţia p→ q se citeşte şi sub forma

dacă p atunci q sau e suficient să avem p pentru a avea q.


30

Exemplu

Teorema lui Pitagora: Â = 90° → a2 = b2 + c2; este suficient să ştim că unghiul A este drept pentru a afirma că între laturi există relaţia a2 = b2 + c2.

Condiţie necesară. Scriind teorema p → q sub forma echiva-lentă non q → non p, interpretăm: pentru a avea p este necesar să avem q (este necesar căci dacă nu-l avem pe q, nu-l avem pe p).

Multe manuale exprimă succint: p → q înseamnă: 1) condiţia p e suficientă pentru q; 2) condiţia q este necesară pentru p. Însă a doua afirmaţie nu se înţelege decât prin intermediul scrierii non q → non p.

Economia de timp, greşit înţeleasă, se manifestă şi în enunţuri de forma: condiţia cutare este necesară. Trebuie – cel puţin pe o perioadă până ne asigurăm că se gândeşte just – să cerem totdeauna enunţul complet: şi despre ce condiţie este vorba şi pentru ce altă condiţie este ea necesară (respectiv suficientă).

Forma non q → non p se întâlneşte şi în vorbirea curentă – relativ rar.

Exemple Unele proverbe conţin forma non q → non p, aleasă tocmai

pentru a fi mai expresive. Sine labore non erit panis in ore — Fără muncă nu mănânci

pâine ("Cine nu munceşte, nu mănâncă!"). De ce nu se enunţă acest proverb în forma echivalentă

mănâncă �→ munceşte (adică: cine mănâncă, munceşte)? Motivele sunt mai mult de ordin psihologic decât logic. Forma cu propoziţii negative accentuează restricţiile, fiind o modalitate de influenţare prin constrângere.

Alte câteva proverbe româneşti care folosesc aceeaşi construcţie logică sunt cele scrise mai jos.

Nu zice hop până nu sari gardul. Unde nu-i, nici Dumnezeu nu cere. Dacă n-ai noroc, / Nu sufla în foc. Dacă nu plouă în mai, / Nu se mănâncă mălai. Dacă nu ţi se trece vorba, nu-ti mai răci gura. Cine nu primeşte sfat nu e nici de ajutat.

Temă de reflecţie 1 Transcrieţi proverbele de mai sus în forma echivalentă, care foloseşte propoziţii afirmative.


31

Echivalenţa între contrară şi reciprocă este echivalenţa

discutată mai sus (cu notaţii adecvate). Avem: Directa: p → q ~ non q → non p. Reciproca: q → p ~ Contrara: non p → non q. Dacă este valabilă şi directa şi contrara, cele două propoziţii p

→ �q şi non p → non q se citesc: condiţia p este suficientă (p →q) şi necesară (non p → non q) pentru a avea q.

Dar ele pot fi scrise şi non q → non p şi q → p şi citim: condiţia q este necesară şi suficientă pentru a avea p.

Directa împreună cu contrara se enunţă, cum ştim, într-un singur enunţ: p → q şi non p →non q înseamnă dacă p atunci q, dacă nu are loc p, nu este nici q; condensat: dacă şi numai dacă p, atunci q.

Temă de reflecţie 2 Exprimaţi unul dintre criteriile de asemănare a triunghiurilor sub forma unor condiţii necesare şi suficiente.


32

2.1.2. Reciproce nevalabile

Manualele înregistrează, de regulă, numai teoreme reciproce (adevărate). Într-o învăţare problematizată, pe parcursul căreia elevul gândeşte şi îşi pune probleme, el ajunge în mod inerent şi la enunţuri false. Cititorul manualului clasic rămâne cu impresia că nu există decât teoreme reciproce; cercetătorul – elevul care cercetează pentru a învăţa eficient – întâlneşte şi enunţuri care nu sunt valabile în anumite contexte, adică sunt false, deci nu sunt teoreme.

Exemplu

Să considerăm următoarea teoremă referitoare la paralelogram:

(AB // CD; AD // BC) => (AB = CD; AD = BC). Obţinem propoziţii reciproce schimbând, în total sau în parte,

condiţii din ipoteză cu cele din concluzie. Reciproca 1. AB = CD; AD = BC => AB // CD; AD // BC. Reciproca 2. AB // CD; AB = CD => AD = BC; AD // BC. Reciproca 3. AB // CD; AD = BC => AB = CD; AD // BC. Reciproca 1 (dacă două laturi opuse sunt congruente şi

celelalte două tot congruente...) şi reciproca 2 (dacă două laturi opuse sunt congruente şi paralele...) sunt adevărate, ceea ce se demonstrează. Reciproca 3 (dacă două laturi sunt paralele şi celelalte două sunt congruente...) NU este valabilă.

Ce înseamnă acest NU? Unii copii, grăbiţi, îl interpretează: dacă AB // CD şi AD = BC, figura nu-i paralelogram. Când spunem propoziţia NU este valabilă, negăm implicaţia; nu-i adevărat că din condiţiile AB // CA şi AD = BC rezultă în mod necesar că ABCD este paralelogram. Dar nu rezultă nici că nu este.

Cum arătăm că propoziţia nu este valabilă? Printr-un contraexemplu, desenăm un trapez isoscel ABCD şi arătăm că deşi AB // CD şi AD = BC, ABCD nu este paralelogram.

Exerciţiul de a nega o implicaţie are, pe de o parte, o valoare mare pentru gândirea logică cotidiană, iar pe de altă parte, este foarte important pentru facilitarea înţelegerii unor concepte matematice mai târziu, încât nu poate fi neglijat.

Pentru negarea unei judecăţi universal afirmative cu ajutorul unui contraexemplu, se poate porni cu exemplificări din mediul apropiat. Astfel, dacă spunem: toţi elevii din această clasă au participat la strânsul recoltei, am afirmat ceva despre toate elementele unei mulţimi. Dacă spunem că acest enunţ nu este adevărat, înseamnă că nu toţi au participat. Ca să arăt că nu toţi e suficient să arătăm pe unul dintre ei care nu a participat.

Dacă propoziţia este adevărată, ca să ne convingem că este, suntem obligaţi să verificăm fiecare element al mulţimii. Dacă nu este adevărată, ca să ne convingem că nu e, ajunge să am un caz care o contrazice.

În general, se caută condiţii necesare şi suficiente, care conduc la proprietăţi caracteristice ale elementelor unei mulţimi şi generează enunţuri echivalente.


33

Temă de reflecţie 3 Formulaţi reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare. Demonstraţi enunţurile adevărate şi infirmaţi-le pe cele false.


34

2.1.3. Scheme echivalente

Transformarea unei probleme date, sau a unei scheme de

rezolvare, într-o problemă/ schemă echivalentă poate fi o strategie eficientă de abordare a problemelor. De cele mai multe ori, în aceste transformări aplicăm formule ce ţin de logica matematică, fără a fi totdeauna conştienţi de aceasta.

Exemplu Să considerăm următorul raţionament.

Fie x şi y numere naturale, astfel ca x⋅y să fie multiplu de 5. Atunci x sau y este multiplu de 5. Produsul 437⋅365 este multiplu de 5. Cum 437 nu este multiplu de 5, deducem că 365 trebuie să fie multiplu de 5. Pe ce anume se bazează aceste raţionamente? De ce sunt ele corecte? De fapt, raţionamentul aplicat aici poate fi exprimat prin tautologia:

p → ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ non q) → r.

Este momentul să purtăm o discuţie asupra unei probleme de logică, importante dar dificile pentru foarte mulţi elevi şi anume, metoda ”reducerii la absurd”. În ce constă aceasta? Dacă notăm o teoremă sub forma p q, unde p reprezintă ipoteza şi q concluzia, trebuie să arătăm echivalenţa acestei implicaţii cu non q non p (contrara reciprocei).

Adică, reprezentând printr-o schemă:

( ) (non non )A B

p q q p ⇔ Să admitem că am demonstrat p q: A dacă p este adevărată atunci şi q este adevărată. Rezultă B: dacă q nu e adevărată, nici p nu este căci dacă ar fi,

conform A ar fi şi q, ceea ce contrazice ipoteza. Reciproc: dacă B atunci A. Să admitem că am demonstrat B:

dacă q nu e adevărat, nici p nu este. Rezultă A: dacă p e adevărat, atunci şi q este căci dacă n-ar fi,

conform B nici p nu ar fi, ceea ce contrazice ipoteza. Remarcăm că această reciprocă, dacă B atunci A, este identică

cu directa, dacă A atunci B. (p → q) → (non q → non p) (1) (non q → non p) → (p → q) (2) Relaţia (2) este tot (1) cu alte notaţii: p s-a înlocuit cu non q,

deci în membrul II în loc de non p vom pune non (non q) adică q; q s-a înlocuit cu non p deci non q cu p.

Raţionamentul prin absurd

�

��


35

2.1.4. Probleme auxiliare

Aşa cum remarca Polya, o problemă auxiliară este o problemă căreia îi acordăm atenţie, sau de care ne ocupăm, nu din interes pentru ea ca atare, ci fiindcă sperăm că examinarea sau rezolvarea ei ne-ar putea ajuta să rezolvăm o altă problemă, problema noastră iniţială. O problemă auxiliară este un mijloc de a atinge un scop, ea trebuie să deschidă calea spre o anumită ţintă, s-o facă accesibilă; ţelul, sau scopul, este problema iniţială6.

Pentru ca rezolvarea de probleme să se desfăşoare eficient în clasă, este util să puneţi la dispoziţia elevilor, înainte de a intra în problema propriu-zisă, probleme auxiliare conexe. Astfel, pentru a aborda o problemă cum este cea care urmează, e util de reamintit anterior concurenţa medianelor în triunghi.

Demonstraţi că cele patru segmente de dreaptă ce unesc fiecare

vârf al unui tetraedru cu punctul de întâlnire al medianelor de pe faţa

opusă, sunt concurente şi că acest punct se află la 34 din segmentul

de dreaptă, socotit de la vârf.

6 Polya, G., Cum rezolvăm o problemă?, „Problema auxiliară” p. 155-160, Ed. Stiinţifică, 1965.

Temă de reflecţie 4 Demonstraţi prin reducere la absurd următorul enunţ. Scrieţi formalizarea logică a demonstraţiei. Există o infinitate de numere prime.


36

Rezolvare. Fie tetraedrul ABCD. Ducem medianele BE şi DF în

triunghiul de bază BCD (sunt suficiente numai două, deoarece medianele într-un triunghi sunt concurente). Ele se intersectează în punctul G, iar segmentul de dreaptă este AG.

În triunghiul ABC ducem medianele AF şi BM. Ele se intersectează în punctul H, iar segmentul de dreaptă este DH. În acelaşi fel se pot construi şi segmentele de dreaptă ce unesc vârfurile C şi B, respectiv, cu punctele de intersecţie a medianelor de pe feţele opuse şi astfel obţinem segmentele de dreaptă B R şi CT.

Se cere să demonstrăm că: 1° segmentele AG, DH, B R şi CT sunt concurente; 2° 3= 4AP AG

În demonstraţia problemei plecăm de la faptul că două segmente oarecare din cele menţionate în concluzie sunt concurente, de exemplu AG şi DH.

Într-adevăr, planul determinat de dreptele FA şi FD conţine pe AG pentru că are cu aceasta două puncte comune, pe A şi G; de ase-menea, acelaşi plan conţine şi dreapta DH pentru că el conţine punc-tele D şi H, care aparţin şi dreptei DH, deci, dreptele neparalele AGDH găsindu-se în acelaşi plan sunt concurente în P.

Ne folosim de concurenţa medianelor într-un triunghi (medianele într-un triunghi sunt concurente şi se intersectează la o treime de bază sau două treimi de la vârf).

Bazându-ne pe aceste cunoştinţe, putem deduce că dreapta HG este paralelă cu dreapta AD.

Într-adevăr, 1 1şi3 3= ⋅ = ⋅FG FD FH FA , sau 1 1şi3 3= =FG FHFD FA .

Comparând ultimele două egalităţi, obţinem: =FG FHFD FA

Conform teoremei reciproce a lui Thales: GH ║AD.

Problema auxiliară privind concureţa medianelor în triunghi este esenţială în rezolvare!

Temă de reflecţie 5 Continuaţi rezolvarea problemei de mai sus.


37

2.1.5. Construcţii geometrice auxiliare

Numeroase probleme de geometrie care par dificile la prima vedere se rezolvă rapid atunci când, înţelegând bine contextul problemei, ne vine ideea salvatoare a unei construcţii auxiliare. Cum putem intui oportunitatea unei construcţii auxiliare? Cele câteva exemple care urmează indică posibile căi de acces.

Exemplul 1

În triunghiul oarecare ABC se duc semidreptele BP şi CP ce se intersectează în P astfel ca m(ABP)=m(ACP)=α. Din P se duc PI şi PJ perpendiculare respectiv pe laturile AD şi AC (I∈ [AB], J∈ [AC]). Se cere să se arate că IM=JM, unde M este mijlocul laturii BC.

Proprietatea este neaşteptată deoarece plecăm de la

segmente congruente puţine în ipoteză, anume [BM]≡[MC]. Doar o oarecare experienţă de rezolvare ne poate sugera strategia de rezolvare. Aceasta este extrem de simplă dacă ne folosim şi de mijloacele segmentelor BP şi CP, anume L respectiv N.

Observăm că: LM=PN=NJ (1), deoarece mediana MJ din

triunghiul dreptunghic PJC este congruentă cu jumătate din ipotenuza PC, deci cu [PN]. De asemenea, NM=LP=LI (2), deoarece [MN] este linie mijlocie în triunghiul BPC.

Pe figură apar acum şi două triunghiuri aparent congruente, anume ILM şi JNM. Acestea ar fi congruente dacă ∠ILM ar fi congruent, cu ∠JNM, căci IL=NM şi LM=JN din (1) şi (2). Unghiurile ILM şi JMI se dovedesc congruente printr-un raţionament simplu. Unghiurile ILP şi JNP sunt congruente deoarece, fiind unghiuri exterioare triunghiurilor BIL şi CJN, au fiecare măsură egală cu 2α, iar 1 şi 2 sunt congruente având acelaşi suplement, ∠BPC. Condiţiile sunt suficiente pentru ca ∆ILM ≡ ∆JNM (LUL), deci IM=JM.

B

A

C

P

I J

M

A

B C

JI

M

N

P

La o problemă în care intervin mijloacele unor segmente într-un triunghi, este util să ne gândim la construcţii suplimentare de tipul medianelor sau liniilor mijlocii.


38

Exemplul 2

În hexagonul convex ABCDEF, unghiurile au aceeaşi măsură.

a) Demonstraţi că laturile opuse ale hexagonului sunt paralele două câte două.

b) Arătaţi că AB – DE = EF – BC = CD – AF Rezolvarea problemei foloseşte, pentru fiecare punct , câte o

construcţie ajutătoare.

a) Deducem imediat că fiecare dintre unghiurile hexagonului are măsura de 120º. Fie T punctul de intersecţie a dreptelor BC şi ED. Triunghiul CDT este echilateral, deoarece măsurile unghiurilor ∠DCT şi ∠CDT sunt de câte 60º. Secanta BT determină cu dreptele AB şi ED unghiuri interne, de aceeaşi parte a secantei, suplementare:

m(∠ABT) + m(∠ETB) = 180º. Deducem că dreptele AB şi DE sunt paralele. Analog se procedează cu celelalte perechi de laturi opuse.

b) Prin punctele B, D, F construim paralele la CD, BC,

respectiv AB. Aceste paralele determină triunghiul MNP şi paralelogramele ABPF, BCDM, DEFN. Triunghiul MNP este echilateral, deoarece toate unghiurile sale exterioare au măsura de 120 º:

m(BMD) = m(BCD) = 120º m(PMN) = 60º. Deoarece

MN = DN – DM = EF – BC, NP = FP – FN = AB – DE, MP = BM – BP = CD – AF,

iar MN = NP = MP, obţinem relaţia din enunţ.

Exemplul 3

În triunghiul ABC, m(∠A) = 120º. Fie AD bisectoarea interioară

a unghiului BAC, unde D∈ BC. Demonstraţi că = +1 1 1AF AB AC

.

În rezolvarea acestei probleme, construcţia ajutătoare este paralela prin D la AB. În acest fel, se formează triunghiul echilateral ADE şi triunghiurile asemenea CED şi CAB. În rezolvare, se mai foloseşte teorema bisectoarei, care afirmă

că =CD CA

DB AB.

A

B C

D

E F

T

B C

D

E F

M N

P A

A B

C

D E


39


Rezolvaţi următoarele probleme, recurgând la o construcţie auxiliară. 1. Fie ABC un triunghi oarecare şi fie M şi N picioarele perpendicularelor din B respectiv C pe laturile opuse. Dacă P este mijlocul laturii BC, arătaţi că triunghiul MNP este isoscel. 2. În triunghiul ABC se duc înălţimile AA’ şi BD’ care fac cu [AB] respectiv unghiurile de 10º şi 50º. Fie A’D mediana triunghiului AA’C’, iar latura A’C un punct oarecare M. a) Calculaţi unghiurile triunghiului ABC b) Dacă BB’ şi A’D se intersectează în N, arătaţi că ∠DNB’≡∠AA’D. c) Perpendiculara din M pe [A’D] intersectează dreapta AC în F. Demonstraţi că triunghiul FCM este isoscel.


40

ÎNŢELEGEM ŞI EXPERIMENTĂM!

2.2. Rolul cazurilor particulare şi al exemplelor în analiza unei probleme 2.2.1. Cazurile particulare – premise pentru intuirea soluţiei

Cazurile particulare ale unei probleme sunt noi probleme, în

general mai simple, obţinute din problema iniţială prin adăugarea unor ipoteze suplimentare, prin transformarea unor variabile în constante sau prin suprimarea unei părţi a concluziei. În acest fel, obţinem noi probleme, care au o legătură evidentă cu problema iniţială.

De ce ar fi importante cazurile particulare ale unei probleme? În cele ce urmează, vom face o discuţie mai amplă asupra acestui subiect.

Exemplul 1

Să considerăm următoarea problemă: Fie ABCD şi EFGH două paralelograme în spaţiu şi M, N, P, Q

mijloacele segmentelor AE, BF, CG, respectiv DH. Să se arate că MNPQ este tot un paralelogram.

Considerăm cazul particular al problemei date, sugerat de figura de mai jos, în care laturile AB şi EF ale celor două paralelograme coincid.

În această situaţie, rezolvarea problemei este simplă: DCGH este paralelogram, iar Q şi P sunt mijloacele a două laturi opuse. De aceea, PQ || HG || AB. Pe de altă parte, segmentele PQ, HG şi AB sunt congruente. Deci MNPQ este un paralelogram.

Cazul particular analizat are rolul de a mări încrederea în enunţul problemei.

Alte cazuri particulare ale aceleiaşi probleme se obţin atunci când presupunem că planele celor două paralelograme sunt plane paralele, sau când degenerăm unul dintre paralelograme la un segment. Obţinem astfel noi probleme, a căror rezolvare este suficient de simplă.

A = E = M

B = F = N

C D

G H

P Q


41

Exemplul 2

Pentru problema următoare, cazul particular analizat are un alt

rol: prin intermediul lui, anticipăm rezultatul şi transformăm problema dată într-o problemă echivalentă. Enunţul analizat este următorul:

Într-un triunghi echilateral, suma distanţelor de la un punct

interior la laturile triunghiului este constantă. Considerăm situaţia în care punctul interior (ce poate fi ales

arbitrar, în interiorul triunghiului), coincide cu unul dintre vârfuri; dacă avem încredere în enunţul problemei, acest caz particular permite precizarea enunţului problemei, astfel:

Într-un triunghi echilateral, suma distanţelor de la un punct

interior la laturile triunghiului este egală cu lungimea înălţimii triunghiului.

Considerarea, în continuare, a cazului particular în care punctul

interior este centrul triunghiului echilateral are rolul de a mări încrederea în enunţ, deoarece formularea echivalentă a problemei se verifică pe acest caz.

Temă de reflecţie 7 Rezolvaţi toate cazurile particulare sugerate în problema de mai sus.


42

Exemplul 3

Uneori, cazurile particulare ale unei probleme pot oferi idei de

rezolvare pentru problema iniţială. Să considerăm, de exemplu, următorul enunţ:

Să se arate că pentru orice număr natural n, fracţia ++

2 13 2

n

n este

ireductibilă. Considerarea cazurilor particulare în care n ia valori mici (1, 2

sau 3) are rolul de a mări încrederea în enunţ, dar nu dă sugestii pentru a obţine soluţia în cazul general. Mult mai util este cazul particular în care n ia valori mari, de exemplu n= 216. În acest caz,

trebuie să arătăm că fracţia 433649

este ireductibilă. O încercare

naturală constă în descompunerea numărătorului şi numitorului în factori primi; să presupunem însă că nu ştim să facem o astfel de descompunere. Trebuie atunci să găsim, de fapt, CMMDC al numerelor 433 şi 649, ceea ce se face cu algoritmul lui Euclid. Aceasta este şi ideea de rezolvare a problemei generale: arătăm, prin aplicarea algoritmului lui Euclid (ce constă în împărţiri succesive) că numărătorul şi numitorul sunt prime între ele...

Temă de reflecţie 8 Rezolvaţi problema din exemplul 3, folosind indicaţiile date de cazul particular.


43

2.2.2. Exemplele şi contraexemplele – certitudini pentru a evita capcane

Pentru a deveni viabilă, orice teorie, orice noţiune, inclusiv cele

de natură matematică, are nevoie de concretizarea prin exemple. Atunci când vorbim despre funcţii monotone şi studiem proprietăţi ale acestora, întregul studiu este inutil fără exemple concludente.

Abilitatea de a da exemple nu se formează de la sine; de fapt, un elev care poate exemplifica adecvat noţiunile învăţate face dovada înţelegerii acestor noţiuni.

Care ar putea fi rolul exemplelor în învăţare? În primul rând, exemplele sunt modele ce arată consistenţa

unei teorii matematice. De exemplu, să considerăm următoarea teoremă:

Dacă polinomul P(X) = a0Xn + a1X

n-1 + ... + an are coeficienţii

întregi, iar p

qeste o rădăcină raţională a sa, exprimată printr-o fracţie

ireductibilă, atunci p divide an, iar q divide a0. Pentru a putea înţelege acest enunţ, un elev are nevoie de

aplicarea sa într-un caz particular, adică de un exemplu. La fel, teorema: un număr natural este divizibil cu 3 dacă şi

numai dacă suma cifrelor sale este un număr divizibil cu 3, poate fi înţeleasă şi reţinută, în absenţa unei demonstraţii, doar prin exemple.

Exemplele pot fi utile şi în precizarea relaţiilor corecte între

noţiuni. În geometrie, desenele pot juca un astfel de rol: prin desene de figuri geometrice, putem arăta că un pătrat este dreptunghi, dar nu şi invers.

Aplicaţiile în care se cere construirea unor exemple nu sunt

întotdeauna simple. Uneori, a da un exemplu este dificil. Problemele următoare cer construirea unor exemple de un anumit tip.

1. Daţi exemplu de funcţie bijectivă f : N → N, pentru care f ≠ idN, dar

f f = idN. 2. Arătaţi că există 50 de puncte în plan astfel că distanţele între

oricare două puncte sunt numere întregi. 3. Pentru orice număr natural n, există n puncte conciclice astfel

încât distanţele dintre oricare două să fie întregi. 4. Găsiţi un triunghi dreptunghic în care laturile sunt exprimate prin

numere întregi.


44

Contraexemplele sunt asemănătoare exemplelor, din punct de

vedere mental; ele au un rol diferit doar din punct de vedere logic, deoarece răspund cu nu unei probleme date.

Să considerăm întrebarea: Sunt congruente triunghiurile ABC şi DEF, în care AB≡DE,

BC≡EF şi ∠BAC ≡ ∠EDF? Enunţul poate fi reformulat astfel: dacă ştim că AB≡DE, BC≡EF

şi ∠BAC ≡ ∠EDF, putem deduce de aici congruenţa celor două triunghiuri? Fiind o problemă „de demonstrat”, în care nu suntem siguri de valoarea de adevăr a concluziei, există alternativa: ori enunţul este adevărat (caz în care este nevoie de demonstraţie), ori este fals şi trebuie să furnizăm un contraexemplu.

Un astfel de contraexemplu este sugerat de construcţia geometrică din desenul alăturat: ipoteza enunţului este îndeplinită, dar concluzia este falsă. Deducem că răspunsul la întrebarea de mai sus este negativ.

A=D B=E

C

F

Temă de reflecţie 9 Daţi exemple prin care răspundeţi celor patru probleme de mai sus.


45

Temă de reflecţie 10 Confirmaţi sau infirmaţi următorul enunţ. Dacă suma a trei numere naturale este divizibilă cu 3, atunci numerele dau acelaşi rest prin împărţirea la 3.


1. Un posibil rol al cazurilor particulare ale unei probleme este ........................................................................................ ............. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ........................................................................................ .............

2. Un contraexemplu pentru afirmaţia „suma a două numere iraţionale este număr iraţional” este

....................................................................................... ............. ...................................................................................................... ......................................................................................................

Completaţi următoarele enunţuri:

Pe parcursul secţiunii 2.2. m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ........................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................


46

APLICĂM ŞI DEZVOLTĂM!

2.3. Interpretări grafice ale proprietăţilor algebrice sau geometrice. Justificări grafice ale problemelor

Pentru a realiza o mai bună legătură între stadiul imaginii şi cel

al relaţiilor, precum şi pentru a dezvolta aportul intuiţiei în rezolvarea de probleme, este utilă evidenţierea unor interpretări grafice pentru proprietăţi matematice diverse.

Exemplul 1

Inegalitatea mediilor este una dintre cele mai accesibile inegalităţi, utilizate în gimnaziu. Ea se enunţă astfel: Dacă x, y sunt numere reale pozitive, atunci

+≤ ≤+

22

xy x yxy

x y.

Altfel spus: media armonică ≤ media geometrică ≤ media aritmetică. Putem interpreta această inegalitate cu ajutorul figurii geometrice de mai jos.

Considerăm trapezul isoscel ABCD circumscris cercului de centru O, în care bazele AD şi BC au lungimile 2x, respectiv 2y. Calculăm:

OG = +2

x y , OE = xy , EF = +

2xy

x y.

Din triunghiurile dreptunghice OEG şi OFE, deducem că

OG ≤ OE ≤ EF, (deoarece ipotenuza este mai mică decât orice catetă). Această inegalitate geometrică este echivalentă cu inegalitatea mediilor.

x

x

y

y

A

B C

D

O

E F

G

Temă de reflecţie 11 Justificaţi algebric şi geometric inegalitatea mediilor.


47

Exemplul 2

Fie a şi b două numere reale. Ne propunem să

interpretăm geometric inegalitatea + + ≤

2 2 2

2 2a b a b .

Pentru aceasta, considerăm funcţia f : R → R, f(x) = x2, al cărei grafic este reprezentat în figura alăturată. Fie A şi B punctele de abscise a, respectiv b, iar A1 şi B1 punctele corespunzătoare de pe graficul funcţiei f. Dacă C este mijlocul segmentului AB, atunci C are abscisa

+2

a b . Fie C1 punctul de pe grafic corespunzător lui C şi

fie C2 mijlocul segmentului A1B1. Inegalitatea de mai sus exprimă faptul că punctul C1 este situat sub punctul C2, adică C C1 ≤ C C2.

A B C

A1

B1

C2

C1

Temă de reflecţie 12 Justificaţi calculele din exemplul anterior. Demonstraţi analog inegalitatea:

++ ≥2 2

x yx y ,

unde x şi y sunt numere reale pozitive.


48

2.3.1. Ecuaţia ca rezultat al modelării problemei

Am analizat în capitolul anterior strategia generală de rezolvare

a unei probleme ce poate fi modelată prin sisteme de ecuaţii. Pentru ca această strategie să poată fi aplicată cu succes, este necesar să fie exersat procesul de modelare.

Exerciţii precum cel de mai jos, care oferă contexte de exprimare a ecuaţiilor pe baza a diferite tipuri de reprezentări sunt foarte utile în acest sens.

Fiecare dintre desenele de mai jos reprezintă modelul unei ecuaţii. Asociaţi fiecare ecuaţie cu reprezentarea adecvată. Propuneţi trei reprezentări asemănătoare celor de mai sus şi scrieţi ecuaţiile aferente.

Temă de reflecţie 13 Scrieţi ecuaţiile care modelează situaţiile reprezentate mai jos.


49

2.3.2. Organizatori grafici

Desenele şi schemele, sau alte organizatoare grafice, pot fi

utile în comunicarea esenţialului dintr-o demonstraţie sau în fixarea rapidă a unor algoritmi. De aceea, utilizarea lor la clasă poate ajuta elevii în învăţare.

Exemplul 1

Organizatorul grafic următor este util în transferul dintr-un limbaj în altul.

Desenăm Interpretăm Notăm

Planul α este determinat de punctele A, B şi C

α = (ABC)

Exemplul 2

În rezolvarea unei ecuaţii de forma ax+b=0 este utilă schema logică următoare.

Exemplul 3 Algoritmul următor este util în rezolvarea sistemelor de ecuaţii

liniare cu două necunoscute. 1.Transformăm una dintre ecuaţii exprimând o necunoscută în funcţie de cealaltă. 2. Substituim necunoscuta determinată în ecuaţia rămasă, care devine astfel o ecuaţie cu o singură necunoscută. 3. Rezolvăm ecuaţia cu o necunoscută. 4. Înlocuim necunoscuta cu valoarea găsită şi determinăm cealaltă necunoscută. 5. Scriem soluţia sistemului.

A

B

C

α

START

CITEŞTE a, b

a ≠ 0 DA

S = −

b

a STOP

NU

b ≠ 0 NU DA

S = R S = ∅

STOP STOP


50

2.4. Raţionamentul inductiv. Raţionamentul deductiv. Justificarea intuitivă a problemelor

Raţionamentele matematice sunt diferite nu doar prin rezultatele aplicate şi modul în care acestea sunt înlănţuite, ci, mai ales, prin strategia adoptată pentru demonstraţie.

Există mai multe căi de argumentare. Simplificând lucrurile, spunem că aplicăm un raţionament de tip inductiv atunci când pornim dinspre particular spre general; dacă drumul este făcut în sens invers, dinspre fapte generale spre cazuri particulare, raţionamentul este de tip deductiv. O justificare intuitivă presupune un oarecare grad de incertitudine privind corectitudinea argumentelor, dar are avantajul unei înţelegeri imediate.

2.4.1. Calea inductivă

Raţionamentul inductiv are loc atunci când se trece de la

observaţii specifice la concluzii generale, care pot fi sau nu adevărate.

Exemplul 1

Raţionamentul următor conduce la o concluzie falsă: „am

observat că + <1 1 4,1 2

+ + <1 1 1 41 2 3

, + + + <1 1 1 1 41 2 3 4

, deci pentru

orice număr natural n avem + + + <1 1 1 41 2 n

.”

Spunem că am aplicat un raţionament de tip inductiv în rezolvarea

unei probleme, atunci când aceasta a determinat următoarea succesiune de situaţii:

a) nu ştiu! b) consider câteva cazuri particulare c) sesizez analogii şi formulez o primă ipoteză de lucru d) verific ipoteza pe noi cazuri particulare e) eventual, sesizez alte analogii şi formulez o altă ipoteză

de lucru f) încerc să demonstrez problema în cazul general.

Exemplul 2 Vrem să determinăm în câte regiuni este împărţit spaţiul de 100

de plane, aflate în poziţie generală (adică oricare două nu sunt paralele, iar oricare trei se intersectează într-un singur punct). Pasul 1. Generalizăm problema: în loc să ne ocupăm de numărul cerut, vrem să identificăm o formulă pentru numărul de regiuni determinate de n plane în poziţie generală. Pasul 2. Rezolvăm problema pentru câteva cazuri particulare, în care

putem efectua calcule explicite: Pentru n=1, numărul de regiuni este 2. Pentru n=2, numărul de regiuni este 4. Pentru n=3, numărul de regiuni este 8.

Generalizăm

Particularizăm


51

Pasul 3. Sesizăm analogii între cazurile particulare studiate şi formulăm ipoteze de lucru. Ipoteza cea mai naturală este: numărul cerut se calculează cu formula 2n. Pasul 4. Verificăm ipoteza de lucru pentru un nou caz particular: Pentru n=4, numărul de regiuni determinate este 15. Ipoteza de lucru nu se verifică. Pasul 5. Formulăm un analog plan al problemei date: să se determine numărul de regiuni în care este împărţit planul de n drepte în poziţie generală. Această nouă problemă are avantajul posibilităţii reprezentării prin desen. Pasul 6. Rezolvăm problema obţinută pentru câteva cazuri particulare: Pentru n=1, numărul de regiuni este 2. Pentru n=2, numărul de regiuni este 4. Pentru n=3, numărul de regiuni este 7. Nu observăm analogii evidente între aceste numere. Pasul 7. Formulăm un analog în dimensiune 1 al problemei date: să se determine numărul de regiuni în care este împărţită dreapta de n puncte „în poziţie generală” (adică oricare două diferite). Pentru această problemă găsim imediat un răspuns: numărul cerut este n + 1. Pasul 8. Revenim la problema în plan. Observăm că, atunci când trasăm o nouă dreaptă, pe lângă cele numărul de regiuni n trasate deja, numărul de regiuni creşte cu n + 1. Găsim răspunsul pentru problema plană. Pasul 9. Transferăm raţionamentul pentru problema în spaţiu.

Temă de reflecţie 14 Detaliaţi argumentarea de mai sus şi găsiţi răspunsul la problema dată.

Formulăm analogii

Particularizăm

Transferăm


52

2.4.2. Calea deductivă

A demonstra o propoziţie geometrică înseamnă a arăta că acea propoziţie poate fi redusă, printr-o serie de raţionamente care se succed fără a-şi pierde şirul logic, la axiome. De obicei însă, ne mulţumim să reducem teoremele geometriei la propoziţii care rezultă direct din axiome.

Demonstraţiile trebuie să fie riguroase şi generale. Rigurozitatea constă în aceea că orice enunţ trebuie mai întâi demonstrat pentru a fi acceptat. În plus, trebuie evitat ca afirmaţiile făcute să formeze un cerc vicios, adică trebuie avut grijă să nu folosim pe parcursul demonstraţiei tocmai ceea ce era de arătat, sau ceva echivalent cu ceea ce avem de arătat. Generalitatea cere ca afirmaţiile să nu fie valabile numai în cazuri particulare. Să observăm aici că figurile regulate sunt foarte periculoase pentru raţionamentul geometric. Dacă într-o problemă în care este vorba de un triunghi oarecare, facem raţionamentul gândindu-ne la un triunghi isoscel sau echilateral, sunt şanse foarte mari ca această demonstraţie să fie greşită.

Să luăm ca exemplu una din cele mai simple teoreme: concurenţa mediatoarelor. Demonstraţia este un lanţ de silogisme.

Fie O intersecţia a două mediatoare, cele pe AB şi pe BC. Silogismul 1. 1) Judecată universal afirmativă: Toate punctele mediatoarei sunt la egală distanţă de capetele segmentului 2) Judecată particulară: O este pe mediatoarea lui AB 3) Concluzie: O A = OB Silogismul 2. Analog OB = OC. Silogismul 3 1) Egalitatea este tranzitivă

2) OA = OB şi OB = OC. 3) O A = OC.

Silogismul 4. 1) Toate punctele la egală distanţă

de capetele unui segment sunt pe mediatoarea lui. 2) OA = OC 3) O este pe mediatoarea lui AC.

Silogismul 5. 1) Trei drepte care au un punct

comun se numesc concurente. 2) Punctul O se află pe cele 3 mediatoare 3) Mediatoarele sunt concurente.


53

Fiecare silogism în parte este simplu, dacă în prealabil am

asimilat cu claritate teoremele (directa şi reciproca) ce servesc ca premise majore în silogismele 1 şi 4. A ne convinge că fiecare silogism este corect, ca şi înlănţuirea lor este o operaţie a gândirii logice – operaţie destul de simplă, atât de simplă încât prescurtăm demonstraţia, nemaiscriind explicit fiecare silogism.

Dar găsirea raţionamentului nu se face prin raţionament – cu mers sigur, bine determinat; se face prin încercări de a schiţa nişte raţionamente, printr-o gândire care caută a se ghida de orice fel de indicaţii – nu numai de acele date de judecăţi logice, clare – pentru a intui care ar fi mersul unui raţionament ce conduce la succes.

2.4.3. Justificarea intuitivă a problemelor. Abordarea ”la două capete”

Pe parcursul rezolvării unei probleme, rezolvatorul îşi concentrează atenţia asupra diferitelor părţi ale figurii pe care o explorează şi astfel, noi detalii ale acestei figuri ies în evidenţă, iar sistemul de legături care constituie planul de rezolvare se dezvoltă treptat. Examinând atent evoluţia rezolvării, putem discerne în ea mai multe faze şi tipuri de activităţi.

De obicei se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză şi folosim această cale cât reuşim, după care se recurge la analiză. Dacă nu putem începe cu metoda sintezei, atunci apelăm la analiză până găsim două date care pot determina o mărime, iar pentru a afla necunoscuta, mai departe, calculele decurg în ordine sintetică. Cel mai frecvent, totuşi, în prima parte lucrăm descendent (folosind analiza, în formularea lui E. Rusu), de la necunoscute spre date, iar în partea a doua lucrăm ascendent (folosind sinteza, în formularea lui E. Rusu), de la date spre necunoscută.

Temă de reflecţie 15 Enunţaţi silogismele care compun următorul enunţ: Triunghiul cu două mediane congruente este isoscel.


54

Dar chiar şi în prima parte putem distinge două faze. În faza

iniţială, efortul principal al celui care rezolvă problema este îndreptat spre înţelegerea problemei, în cealaltă fază, rezolvatorul elaborează sistemul de legături logice, construieşte un plan de rezolvare a problemei. Această ultimă fază – elaborarea planului – pare să fie partea esenţială, cea mai importantă, a efortului de rezolvare.

Redăm mai jos rezolvarea unei probleme de calcul, punctând separat paşii de rezolvare.

1. Un punct P este la depărtarea de 13 dm de centrul unui cerc

O, care are raza de 5 dm. Din P se duce tangenta PT la cercul O. Se cere:

1° volumul şi aria corpului generat prin rotirea completă în jurul diametrului care trece prin P a figurii formate din segmentul PT, arcul mic TA şi segmentul PA;

2° aria corpului generat de triunghiul OPT când se roteşte complet în jurul diametrului perpendicular pe acela care trece prin P.

Rezolvare. Se dă: OT = 5 dm şi OP = 13 dm. 1° Volumul corpului format este egal cu volumul conului

generat de PT minus volumul segmentului sferic generat de figura TEA.

(I) ( )3224 1

3 3 2 2 π ⋅= − ⋅π + ⋅π ⋅

TE PE AEV TE AE .

Ca să calculăm volumul solidului cerut, din formula (I) se vede că avem nevoie de lungimile segmentelor TE, PE şi AE. Acestea nu sunt date în problemă, deci trebuie să le aflăm.

a) Din triunghiul dreptunghic OTE observăm că, dacă cunoaştem pe OE, atunci putem găsi lungimile segmentelor TE, PE şi AE.

b) În felul acesta am redus problema de la punctul 1° la rezolvarea altei probleme, şi anume la calculul lungimii segmentului OE.

c) Din triunghiul dreptunghic OTP observăm că, folosind teorema catetei, putem găsi lungimea OE.

Într-adevăr: OT2 = OE · OP, Însă OT şi OP sunt cunoscute din problema dată, deci:

25 dm13=OE .

d) În triunghiul dreptunghic OTE, cunoscând ipotenuza şi o catetă, putem afla cealaltă catetă, deci:

Am redus problema noastră la altă problemă, şi anume la calculul lungimilor unor segmente.

Aplicăm un raţionament de analiză.


55

TE2 = OT2 – OE2

( ) ( ) ( )− ⋅= − = − = − = =2

2 2 25 625 25 169 25 25 144TE 5 25 25 1 2513 169 169 169 19 , de

unde: 25 144 5 12 60 dm169 13 13

⋅ ⋅= = =TE .

e) Cunoscând pe OP şi OE, putem calcula lungimea segmentului PE.

25 169 25 14413 dm13 13 13−= − = − = =PE OP OE .

f) Folosind lungimile cunoscute ale segmentelor OA şi OE, putem calcula pe AE.

25 65 25 405 dm13 13 13−= − = − = =AE OA OE .

Înlocuind în formula (I), segmentele TE, PE şi AE prin lungimile aflate, putem calcula volumul cerut.

( ) ( ) ( )

( )( )

2

3 2

2 3 2

2 3 2

2

3

2 2

3 3

2 23

3

60 14413 13 4 20 1 60 40 ;3 3 13 2 13 1360 144 4 20 1 60 40 ;3 13 3 2 1313 13 1320 9 4 1144 20 9 40 ;3 3 21320 1296 80 540 20 676

3 3 3 313 1320 13 4 1600 dm3 3913

π ⋅= − ⋅π − ⋅π ⋅

π= ⋅ ⋅ − ⋅π − π⋅ ⋅

= π⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

π= π⋅ − − = ⋅

⋅ π= π⋅ ⋅ =

V

V

V

V

V

g) Calculul ariei suprafeţei generate de figura ATP când se roteşte în jurul axei OP.

Observăm că aria cerută este egală cu aria laterală a conului descris de segmentul PT adunată cu aria calotei sferice descrisă de arcul TmA:

A = πTE · PT + 2πOT · AE. Pentru a putea calcula aria cerută, trebuie să cunoaştem

lungimile segmentelor TE, PT, OT şi AE. Dintre segmentele cerute, numai lungimea segmentului PT nu o cunoaştem.

h) Observăm că segmentul PT îl putem calcula din triunghiul dreptunghic OTP, deci:

PT2 = OP2 – OT2; PT2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144;

144 12 dm= =PT . Având toate datele cunoscute, putem calcula aria cerută:

( ) 260 40 720 400 112012 2 5 dm13 13 13 13 13π π π= π ⋅ + π⋅ ⋅ = + =A

2° Prin rotirea completă a triunghiului OTP în jurul diametrului BB' se formează un solid care are forma unui trunchi de con din care s-a scos un con. Ţinând seama de „acest fapt, observăm că aria corpului format este egală cu aria laterală a trunchiului de con descris de segmentul PT, adunată cu aria laterală a conului descris de segmentul OT plus aria cercului descris de punctul P.

Mai departe aplicăm metoda sintezei.

Căutăm o formulă de calcul.

Am redus calculul ariei cerute la rezolvarea altei probleme, şi anume la calculul lungimii segmentului PT.


56

i) Cunoscând razele trunchiului de con, putem afla suma lor. 25 169 25 19413 13 13 13

++ = + = + = + = =R r OP TF OP OE .

j) Cunoscând suma razelor trunchiului de con şi generatoarea sa, putem afla aria laterală a lui:

2. . .

194 2328( ) 12 dm13 13= π + = π ⋅ = πlat tr conA R r PT .

k) Fiind cunoscute generatoarea şi raza conului descris de segmentul OT, putem calcula aria sa laterală.

Alat.con. = πRG = πFT · OT = πOE · OT; 2

. .25 1255 dm13 13

π= π⋅ ⋅ =lat conA .

l) Aria cercului descris de punctul P este: Acerc =πR2 = πOP2 = π · 132 = 169π dm2. m) Aria corpului descris de triunghiul OPT care se roteşte în jurul

diametrului BB' este: 194 12 125 16913 13

π⋅ ⋅ π= + + πA ,

22328 4650125 2197 dm13 13 13 13π ππ π= + + =A .

Pentru a determina aria cerută aplicăm metoda sintezei

Temă de reflecţie 16 Recitiţi rezolvarea de mai sus. Explicaţi formulele folosite la punctul g).


57

Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect! 1. O justificare grafică a formulei pătratului de binom este: 2.Raţionamentul deductiv constă în ....................................... ………………………………………………..………………………...... .………………………………………….……………………………...... ….…………………………………………………..……………………. …………………………………………………...................................... ……………………………................................................................... 3. Scrieţi enunţul unei probleme care poate fi abordată printr-un raţionament de tip inductiv. Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţelor 2.3 şi 2.4 m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ...................................................................... .. ............................................................................................................. ………………………………………………. ……………………………. Îmi este încă neclar: ............................................................................ .............................................................................................................. ………………………………………………. ……………………………


58


Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 2: Strategii de abordare a problemelor

.

Am reuşit…??? 1. Descompuneţi problema următoare în probleme mai simple. Pe fiecare latură a unui triunghi oarecare se construieşte în exterior câte un triunghi echilateral. Arătaţi că segmentele de dreapta care unesc cel de-al treilea vârf al unui triunghi echilateral astfel construit cu vârful opus al triunghiului dat, sunt concurente. În evaluare vor fi analizate: enunţurile problemelor ajutătoare (3p), coerenţa descompunerii (3p), legătura cu problema iniţială (3p). Se acordă 1 p din oficiu.

2. Este adevărat enunţul următor? Verificaţi în câteva cazuri particulare. Discutaţi rolul acestora în rezolvare. Din oricare n+1 numere întregi, putem alege două pentru care suma sau diferenţa este divizibilă cu 2n.

Pentru identificarea corectă de cazuri particulare, se acordă 5p; pentru identificarea rolului acestora se acordă 4p; 1p se acordă din oficiu.

3. Explicaţi schema de mai jos.

. Pentru fiecare corelaţie explicată corect se acordă câte 2p.

4.Realizaţi o schemă de rezolvare a problemei următoare, posibil de aplicat la clasă. Diagonalele paralelogramului ABCD se taie în O. Fie E∈(BD), E≠O şi F simetricul lui C faţă de E. Paralela prin F la AD taie AB în G, iar paralela prin F la AB taie AD în H. Demonstraţi că punctele E, G, H sunt coliniare. Pentru cazuri particulare: 4p, pentru probleme şi construcţii auxiliare: 4p, pentru rezolvare: 2p.

... să formulez probleme mai simple, pe baza cărora se poate rezolva problema iniţială?

... să utilizez cazuri particulare, exemple şi contraexemple pentru analiza unei probleme?

... să folosesc desene, scheme sau organizatoare grafice pentru a comunica ideile esenţiale ale rezolvării unei probleme?

... să sintetizez scheme de rezolvare şi să le aplic în situaţii similare?


59

INDICAŢII, SUGESTII DE REZOLVARE, RĂSPUNSURI PENTRU

SARCINILE DE LUCRU ALE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 2

Temă de reflecţie 2 O condiţie necesară pentru asemănarea a două triunghiuri este ca ele să aibă câte un unghi de aceeaşi măsură. Aceasta nu este o condiţie suficientă. Temă de reflecţie 3 De exemplu: dacă dintr-un punct exterior unui plan ducem perpendicular ape plan şi perpendicular ape o dreaptă din plan, atunci dreapta ce uneşte picioarele celor două perpendiculare este perpendiculară pe dreapta dată din plan. Temă de reflecţie 4 Presupunem prin absurd că p1, p2, ..., pn, sunt toate numerele prime. Notăm t = p1 p2 ..., pn . În descompunerea lui t apare un număr prim, diferit de cele anterioare. Contradicţie. Temă de reflecţie 6 De exemplu, la 1., construiţi dreptunghiul BMCE.

Temă de reflecţie 6 De exemplu, dacă EFGH este degenerat (se reduce la un segment), folosim proprietatea liniei mijlocii în triunghiurile ADE şi BCF.

Temă de reflecţie 8 3n + 2= (2n+ 1) ⋅ 1 + (n+ 1) 2n+ 1 = (n+ 1) ⋅ 1 + n n+ 1 = n⋅ 1 + 1. Deci CMMDC (3n + 2, 2n+ 1) = 1. Temă de reflecţie 9 De exemplu, la 1., f(n) = n-1, pentru n impar şi f(n) = n+1, pentru n par. Temă de reflecţie 10 Daţi un contraexemplu! Test de autoevaluare, pag. 45

1. furnizarea de idei de rezolvare 2. 2 şi − 2

A B

C D

E= H

F= G


60

Temă de reflecţie 11 De exemplu: OG este jumătate din linia mijlocie a trapezului. Temă de reflecţie 12 Folosiţi graficul funcţiei x→ x . Temă de reflecţie 14

Se obţine că numărul cerut este dat de formula + +3 5 66

n n

Temă de reflecţie 16 Aria unei calote sferice este 2πRh, unde R este raza sferei, iar h este înălţimea calotei. Test de autoevaluare, pag. 57

2. Raţionamentul deductiv este o înlănţuire de silogisme şi de reguli logice de deducere, pornind de la axiome.


61


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2 CHIŢEI, GH. A., Metode pentru rezolvarea problemelor de

geometrie EDP, Bucureşti, 1969 POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică,

Bucureşti, 1971 POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed.

Ştiinţifică, Bucureşti, 1962. RADU, I. (coord.), Psihologia educaţiei şi dezvoltării,

Ed.Academiei, 1983 RUSU, E., Metodica predării geometriei în şcoala generală,

Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR:

Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005.

SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii. Liceu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S.C.ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001.

SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002.

SINGER, M., VOICA, C., Cum demonstrăm? De la intuiţie la rigoare matematică, Ed. Sigma, 2005.

SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003.

SINGER, M., VOICA, C., Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, PIR, CEDU 2000+, 2005.

Strategii de prelucrare a problemelor

62

Unitatea de învăţare 3: STRATEGII DE PRELUCRARE A PROBLEMELOR

Cuprins Competenţele Unităţii de învăţare 3 63 3.1.Criterii de alegere a problemelor pentru clasă 63 3.1.1.Dificultăţi în înţelegerea unei probleme 63 3.1.2.Etape în rezolvarea unei probleme. Scheme de rezolvare 65 3.2.Metode alternative de rezolvare a problemelor 69 3.3.Criterii de comparare a metodelor de rezolvare 71 3.4. Rezolvarea contextuală 75 3.4.1.Ce este rezolvarea contextuală? 75 3.4.2.Avantaje şi dezavantaje în rezolvarea contextuală 77 3.5.Metoda paşilor mici de rezolvare a problemelor 78 3.6.Formulări echivalente ale unei probleme 81 3.7.Învăţarea structurată 82 Test de evaluare – notat de tutore 84 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 3 86 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de Învăţare 3 87


63

COMPETENŢELE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 3 După studiul acestei unităţi de învăţare, veţi reuşi… ... să identificaţi etapele de rezolvare a unor probleme şi a momentelor critice din rezolvare, în scopul alegerii adecvate a problemelor pentru clasă ... să comparaţi rezolvări diferite ale aceleiaşi probleme, în scopul determinării celei mai adecvate metode de abordare la clasă ... să conturaţi contexte (succesiuni de probleme), ce permit interiorizarea de către elevi a metodelor folosite în rezolvare ... să formulaţi întrebări suplimentare pentru o problemă dată, în vederea accesibilizării acesteia şi oferirii de puncte de sprijin pentru elevi ... să determinaţi probleme ce permit transferul de metode de rezolvare, în vederea formulării sarcinilor de lucru individual ... să elaboraţi sisteme ce permit abordarea structurată a rezolvării unei probleme date


3.1. Criterii de alegere a problemelor pentru clasă

Managementul situaţiilor de învăţare este una dintre componentele importante ale activităţii profesorului. Fie că este vorba despre numărul de ore alocate unei anumite teme, despre modul de introducere a unui concept nou, despre aplicaţiile alese pentru ilustrarea unor proprietăţi sau despre tipul de evaluare ales, toate acestea constituie un proces decizional.

„A decide înseamnă a alege un curs de acţiune în detrimentul altora. Ca urmare, un proces decizional există numai acolo unde apar mai multe alternative de desfăşurare a acţiunii respective7.”

Ca profesori de matematică, suntem deseori puşi în situaţia de a decide în legătură cu aplicaţiile făcute la clasă. Câte probleme să aleg pentru a exemplifica teorema ...? Câte probleme să propun spre rezolvare în clasă? Ce grade de dificultate să aibă acestea? Care anume să fie aceste probleme? Cum organizez clasa? – toate acestea sunt întrebări pe care ni le punem frecvent.

O alegere adecvată a problemelor pentru clasă nu se realizează cu uşurinţă. De aceea, conturarea unor puncte de sprijin în acest sens se poate dovedi foarte utilă.

3.1.1. Dificultăţi în înţelegerea unei probleme

Dezvoltarea la elevi a abilităţii de a descifra un mesaj (oral sau scris) şi de a urma indicaţiile acestuia este una dintre competenţele ce urmează a fi formate şi dezvoltate pe parcursul şcolarităţii. Este evident faptul că fiecare disciplină şcolară foloseşte un limbaj specific;

7 Iosifescu, Ş., Rădulescu, E., Andrei, A., Management educaţional, PIR, CEDU 2000+, Bucureşti, 2005, pag. 14

Reformularea problemei


64

dincolo de termenii proprii, s-au conturat, de-a lungul timpului, convenţii acceptate tacit, pe care un specialist în domeniu le foloseşte în mod natural, dar care trebuie explicate unui „novice”.

Exemplul 1 Să analizăm următorul enunţ:

Să se arate că proiecţiile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe laturile triunghiului, sunt puncte coliniare. Este evident că acest enunţ (care defineşte dreapta lui Simson) este greu de descifrat de către elevi. O posibilă soluţie ar fi reformularea acestuia folosind notaţii explicite sau/ şi desene. Textul problemei poate fi explicitat astfel: Find dat triunghiul ABC, alegem un punct D situat pe cercul circumscris triunghiului. Construim proiecţiile lui D pe dreptele AB, AC şi BC şi notăm aceste proiecţii cu M, N şi P. Demonstrează că punctele M, N, P sunt coliniare.

Temă de reflecţie 1 Demonstraţi enunţul anterior, referitor la dreapta lui Simson.


65

Exemplul 2 Să analizăm următorul enunţ:

Să se formeze ecuaţia de gradul al treilea care admite ca rădăcini pătratele diferenţelor rădăcinilor (două câte două!) ale ecuaţiei x3+px+q=0. Este un enunţ dificil de înţeles; pentru a înlătura bariera generată de limbaj, este utilă reformularea problemei anterioare astfel: Fie x1, x2, x3, soluţiile ecuaţiei x3+px+q=0. Scrieţi ecuaţia algebrică de grad 3, care are ca soluţii numerele

(x1 – x2)2, (x2 – x3)

2, (x3 – x1)2.

3.1.2. Etape în rezolvarea unei probleme. Scheme de rezolvare O componentă importantă a rezolvării unei probleme este „traducerea discuţiilor verbale, în date analitice”.8 Această etapă este descrisă în curricula românească prin competenţele organizate în jurul cuvântului „receptare”.9 În această etapă a rezolvării, se pune accentul pe înţelegerea limbajului folosit. Odată înţeles enunţul problemei, se ajunge la etapa de interiorizare a acestuia, care corespunde categoriei de competenţe organizate în jurul cuvintelor prelucrare primară.10 Aceasta se poate concretiza prin compararea, clasificarea şi reprezentarea unor date, calcularea unor rezultate parţiale, sortarea-discriminarea. Ulterior, după ce s-au remarcat regularităţi şi s-au anticipat rezultate, adică s-au construit structuri mentale ce permit algoritmizarea, se trece la prelucrarea secundară a rezultatelor şi la transpunerea în limbaj, prin exprimarea soluţiei.

8 Steven Krantz, Techniques of Problem Solving, American Mathematical Society, 1999. 9 M.Singer (coord.), Programe şcolare pentru clasa a X-a, MEC, CNC, Bucureşti, 2000. 10 ibidem

Temă de reflecţie 2 Rezolvaţi problema din exemplul anterior.


66

Exemplul 1 11 Să considerăm următoarea problemă: Află cu câte zerouri se termină numărul 100! .

Rezolvarea problemei începe cu transcrierea enunţului într-un limbaj mai accesibil: După ce facem toate înmulţirile şi scriem rezultatul, câte zerouri apar la sfârşitul numărului n = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 99 ⋅ 100 ?

Este de presupus că prima reacţie a copiilor este să realizeze înmulţirile: dacă numărul de factori ar fi mai mic, aceasta ar fi, de fapt, soluţia cea mai naturală! Comparăm datele şi calculăm un prim rezultat: adăugarea unui 0 la sfârşit se face atunci când înmulţim cu 10, sau cu 20, sau cu 30,...; produsul se termină deci cu unsprezece de 0. Totuşi, nu acesta este rezultatul corect: şi din produsul 12⋅ 15 apare un număr terminat cu 0. De aceea, este nevoie de o analiză mai atentă a problemei. Va trebui să determinăm câţi factori egali cu 5 apar în descompunerea lui n. Între 1 şi 10, doar 5 şi 10 dau factorul 5. Numărul 5 trebuie grupat, la înmulţire, cu factorul 2 pentru a da un 10. Deci factorii dintre 1 şi 10 contribuie cu două zerouri la produsul care dă numărul n. Între 11 şi 20, doar factorii 15 şi 20 pot da un zero final; aceşti factori contribuie deci cu două zerouri la produsul tuturor factorilor. Numerele dintre 21 şi 30 au o contribuţie diferită. Ca şi mai înainte, 25 şi 30 au ca factor pe 5, dar

22⋅24⋅25 = 11⋅12⋅ (2⋅5) ⋅ (2⋅5); de aceea, 25 contribuie cu două zerouri la produsul final. De aceea, numerele dintre 21 şi 30 contribuie cu trei zerouri la produsul final. O analiză de acelaşi fel se face pentru toate celelalte grupe de câte 10 numere; găsim astfel că numărul n se termină cu 24 de zerouri.

În concluzie, pentru a rezolva problema, am acţionat după următoarea schemă:

- am identificat ce este esenţial pentru problemă (şi anume: cifrele finale de 0 provin din înmulţirea cu 10);

- am analizat un caz special (şi anume produsul 1⋅2⋅3⋅ ... ⋅ 10); - am determinat modul de trecere de la cazul special la întreaga

problemă.

11 Exemplul şi comentariile sunt preluate din: Steven G.Krantz, Techniques of problem solving, AMS, 1999.

Schema de rezolvare


67

Exemplul 2 Să considerăm următoarea problemă:12 Determină câte numere de forma 35abc se divid prin 29.

Pentru o problemă de acest tip, o primă întrebare naturală, pe care o poate formula un elev, este: care este criterul de divizibilitate cu 29? În absenţa unui astfel de criteriu, suntem puşi în situaţia de a găsi o altă schemă de rezolvare, care să apară în mod natural. Putem începe, de exemplu, cu întrebări de tipul:

- Este numărul 35427 multiplu de 29? - Reprezintă pe axa numerelor, apoi găseşte un multiplu de

29, cât mai apropiat de 35427; - Care este cel mai mare multiplu de 29, de forma 35abc ?

Ca urmare a acestor întrebări, putem delimita următoarea schemă de rezolvare:

- Scriem cel mai mare şi cel mai mic număr de forma dată - Exprimăm mulţimea multiplilor de 29; - Transformăm problema într-o inecuaţie:

35000≤ 29 k≤ 35999, k∈ N - Rezolvăm inecuaţia şi formulăm răspunsul

12 Problema este preluată din: M.Singer, C.Voica., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003.

Temă de reflecţie 3 Determinaţi cu câte zerouri se termină numărul n = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 999 ⋅ 1000.

Schema de rezolvare


68

Temă de reflecţie 4 Formulaţi încă două întrebări adresate elevilor, care îi pot ghida în rezolvarea problemei anterioare.


1. Teorema referitoare la dreapta lui Simson se enunţă astfel: ........................................................................................ ............. ...................................................................................................... ......................................................................................................

2. Traducerea discuţiilor verbale, în date analitice, este descrisă în curricula românească prin cuvântul …………………………………….

3. În spaţiul liber de mai jos, analizaţi critic schema de rezolvare a uneia dintre problemele prezentate în secţiunea 3.1.2.


69


3.2. Metode alternative de rezolvare a problemelor

De regulă, problemele de matematică pot fi rezolvate prin mai multe metode. Acestea pot evidenţia perspective diferite asupra unui acelaşi concept; de aceea, este util să evidenţiem la clasă rezolvări comparative ale unei aceleiaşi probleme, folosind metode de rezolvare diferite.

Exemplul 1

Să se demonstreze că, pentru orice număr real a, avem:

⏐a – 1⏐+⏐a –3⏐≥ 2.

O primă rezolvare a problemei poate fi obţinută prin explicitarea modulelor şi considerarea cazurilor: a∈( – ∞; 1], a∈(1; 3), a∈[3; +∞).

O altă rezolvare este următoarea: Ridicăm la pătrat ambii membri ai inegalităţii şi obţinem inegalităţile echivalente: a2 – 2a + 1 + a2 – 6a + 9 + 2⏐(a – 1)(a – 3)⏐≥ 4 ⇔ 2 a2 – 8a + 6 + 2⏐a2 – 4a + 3⏐≥ 0 ⇔ ⏐a2 – 4a + 3⏐≥ – (a2 – 4a + 3). Ultima inegalitate este evidentă, deoarece, pentru orice număr real y, avem ⏐y⏐≥ y şi ⏐y⏐≥ –y.

O a treia rezolvare a problemei foloseşte interpretarea geometrică a modulului unui număr real: dacă numărul real y se reprezintă pe axa numerelor prin punctul P, atunci ⏐y⏐ este lungimea segmentului OP ( unde O este originea pe axă). De aceea, dacă numărul a se reprezintă pe axă prin punctul A, atunci ⏐a – 1⏐ este lungimea segmentului AU, unde U este punctul de abscisă 1.

De aceea, inegalitatea cerută exprimă inegalitatea geometrică a triunghiului (în acest caz, un triunghi degenerat):

AU + AT ≥ UT.

O(0)

U(1) T(3)

A(a)


70

Exemplul 2 Să se calculeze sin(75°).

O primă rezolvare a problemei poate fi dată prin aplicarea formulei: sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin (b) cos(a). Mai precis:

sin(75°) = sin (45° + 30°) = ... = 6 24+ .

O altă rezolvare poate fi dată prin analizarea unei configuraţii geometrice, în care putem evidenţia un triunghi dreptunghic cu un unghi de 75°. Prin suprapunerea unui triunghi echilateral peste un pătrat de aceeaşi latură, se obţine figura geometrică alăturată. Triunghiul ADC este isoscel şi m(∠ADC) = 150°. De aceea, m(∠ACB) = 75° şi putem calcula sin(75°) din triunghiul dreptunghic ABC.

Temă de reflecţie 5 Rezolvaţi problema, detaliind fiecare dintre metodele sugerate.

A

B C

D


71

3.3. Criterii de comparare a metodelor de rezolvare

Aşa cum am văzut şi în paragraful anterior, o problemă de matematică poate avea rezolvări diferite. Ca profesori, suntem de multe ori puşi în situaţia să alegem o anumită abordare la clasă, pentru o problemă dată. Ce criterii am putea avea pentru a alege între rezolvări diferite ale aceleiaşi probleme?

Un prim criteriu de alegere a rezolvărilor este cel al accesibilităţii: o demonstraţie pe care elevii o pot înţelege mai uşor este de preferat unei demonstraţii poate mai scurte sau mai „frumoase”, dar care se înţelege mai greu.

Exemplu Demonstraţi că 2 3 5 6 8+ + + ≤ .

O posibilă soluţie a problemei este următoarea, în care gruparea termenilor apare „hocus-pocus”: Demonstrăm că 2 6 4+ ≤ şi 3 5 4+ ≤ , de unde rezultă inegalitatea dorită. Fiecare dintre aceste inegalităţi se poate demonstra prin transformări echivalente, de tipul:

2 6 4 2 6 2 2 6 16 12 4 12 16+ ≤ ⇔ + + ⋅ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ , ceea ce este evident adevărat. O soluţie mai accesibilă decât aceasta este însă următoarea:

Temă de reflecţie 6 Detaliaţi calculele din problema anterioară.

Criteriul accesibilităţiisoluţiei


72

Membrul stâng al inegalităţii de demonstrat nu poate fi scris într-o formă mai simplă: cunoaştem acest număr doar prin valorile aproximative ale termenilor. De aceea, pentru a demonstra inegalitatea din problemă, este suficient să aproximăm prin adaos cei patru radicali, cu erori destul de mici. Aproximarea la partea întregită nu este eficientă, deoarece aceasta conduce la inegalitatea mai slabă:

2 3 5 6 2 2 3 3 10+ + + ≤ + + + = . De aceea, folosim aproximarea prin adaos la ordinul sutimilor:

2 1, 42< , 3 1,74< , 5 2, 24< , 6 2, 45< , deci

2 3 5 6 1, 42 1,74 2, 24 2, 45 7,85 8+ + + < + + + = < .

Un al doilea criteriu este cel al naturaleţii: o rezolvare care se bazează pe caracteristicile de bază ale noţiunilor implicare este de preferat unei rezolvări „spectaculoase”, dar despre care elevii simt că este artificială.

Exemplu Pe laturile AB, BC, CD, DA ale pătratului ABCD se iau

respectiv punctele M, N, P şi Q astfel încât AM = BN = CP = DQ. Să se arate că patrulaterele ABCD şi MNPQ au acelaşi centru.

O demonstraţie accesibilă a problemei este următoarea: Intersecţia diagonalelor în pătratul ABCD este mijlocul fiecăreia dintre ele. De aceea, este suficient să arătăm că MP şi NQ trec prim mijlocul segmentului AC. Observăm că patrulaterul AMCP este paralelogram, deoarece are laturile AM şi PC paralele şi congruente; de aici, deducem că MP trece prin mijlocul lui AC. Această cale de justificare se bazează pe transferul unei diagonale, dintr-un paralelogram în altul, valorificând proprietatea paralelogramului de a admite un centru de simetrie.

Temă de reflecţie 7 Realizaţi un comentariu privind accesibilitatea soluţiilor din problema anterioară.

A

B C

D

M N

P

Q

Criteriul naturaleţii soluţiei


73

O altă demonstraţie a problemei se poate face prin reducere la absurd: Unim mijlocul O al segmentului MP cu mijlocul lui AD, respectiv cu mijlocul lui BC şi folosim formula de calcul a lungimii liniei mijlocii într-un trapez. Arătăm prin reducere la absurd că punctul O este şi mijlocul lui AC. În mod cert, prima demonstraţie este mai naturală, valorificând direct proprietatea diagonalelor. Alte demonstraţii ale problemei pot fi date folosind metode analitice sau vectoriale. Este clar însă că, pentru înţelegerea acestora, nivelul de cunoştinţe al elevilor trebuie să fie altul, comparativ cu cel necesitat de înţelegerea demonstraţiei de mai sus.

Un al treilea criteriu de alegere a rezolvării adecvate pentru o problemă este cel al utilităţii: putem da o anumită rezolvare unei probleme, pentru a exemplifica teoria sau pentru a arăta avantajele sau dezavantajele unei anumite metode.

Exemplul 1 Arătaţi că 106 – 1 este divizibil cu 9.

Pentru această problemă, soluţia „naturală” este cea calculatorie: de fapt, 106 – 1= 999999, număr evident divizibil cu 9. Soluţia următoare are avantajul că exersează o formulă algebrică, într-un context aritmetic:

106 – 1= (10 – 1) ( 105 + 104 + 103 + 102 +101 + 1) = 9⋅N, deci 106 – 1 este un număr divizibil cu 9.

Exemplul 2

Pe laturile triunghiului ABC se construiesc spre exterior pătratele ABDE şi ACFG. Să se arate că EC şi BG sunt segmente congruente şi perpendiculare.

Fie P punctul de intersecţie al dreptelor BG şi EC. O posibilă soluţie a problemei este următoarea.

Temă de reflecţie 8 Demonstraţi problema anterioară prin metode analitice.


74

Demonstrăm congruenţa triunghiurilor AEC şi ABG (cazul LUL), de unde rezultă că [EC] ≡ [BG] şi că m(∠AEC) = m(∠ABG). În patrulaterul EPBD, calculăm

m(∠PED) + m(∠PBD) = = 90° – m(∠AEC) + 90° + m(∠ABG) =

=180°, deci m(∠EPB) = 90°.

Aceasta este, probabil, cea mai accesibilă şi cea mai naturală rezolvare a problemei. Rezolvarea următoare este însă utilă în a exemplifica avantajele metodei transformărilor geometrice:

Considerăm rotaţia de centru A şi unghi de 90°, efectuată în sens trigonometric pentru figura noastră. Prin această rotaţie, punctul E se transformă în punctul B, iar punctul C se transformă în punctul G. De aceea, segmentul [EC] se transformă în segmentul [BG]. Deducem că [EC] ≡ [BG] şi că dreptele EC şi BG sunt perpendiculare.

A

B C

D

E

F

G

P

Temă de reflecţie 9 Detaliaţi rezolvările indicate pentru problema anterioară.


75

3.4. Rezolvarea contextuală 3.4.1. Ce este rezolvarea contextuală?

Conform DEX, un context este „un text mai larg într-o scriere în care se încadrează un cuvânt sau un pasaj interesant dintr-un anumit punct de vedere”.

În cele ce urmează, vom folosi cuvântul context în sensul încadrării unei probleme date într-o „familie” mai largă. Această încadrare are rolul de a facilita nu doar înţelegerea rezolvării problemei date, ci, mai ales, realizarea de conexiuni şi transferuri.

Odată conturat contextul, elevii întâmpină mai puţine dificultăţi de raţionament: problemele legate contextual evoluează într-un acelaşi „decor”, reprezentat, de exemplu, de figura comună sau asemănătoare a unor probleme de geometrie. În acest fel, există o parte comună, care se transferă automat de la o problemă la alta. Elevii pot prelua astfel o parte a raţionamentului anterior, pentru a-l continua şi îmbogăţi prin rezolvarea noilor probleme.

Exemplul 1

Pentru geometrie, rezolvarea contextuală poate presupune o succesiune de probleme, care se referă la o aceeaşi configuraţie. Să considerăm, de exemplu, contextul următor 13.

Partea comună („contextul”) este dată de următoarea configuraţie: Considerăm piramida patrulateră regulată SABCD, în care AB=6 cm şi SA= 5cm. Fie {O}= AC ∩ BD şi M mijlocul muchiei [SB].

Pe această configuraţie, putem rezolva problemele de mai jos.

1. Calculează AO, SO şi Aria(ASB). 2. Determină d(A; SB) şi d(A, SC). 3. Demonstrează că planele (SAC) şi (SBD) sunt

perpendiculare. 4. Arată că m(∠AOM) = 90°. 5. Calculează măsurile diedrelor formate de feţele laterale ale

piramidei cu planul bazei. 6. Determină perpendiculara din M pe AD, apoi calculează

d(M;AD). 7. Calculează măsura unghiului dintre AM şi planul (ABC). 8. Determină un punct N∈SB astfel încât Aria(ANC) să fie

minim posibilă. 9. Determină lungimea drumului minim de capete A şi C,

inclus în suprafaţa laterală a piramidei. 10. Demonstrează că d(C; (SAB))=2⋅d(O; (SAB)).

13 Matematică. Manual pentru clasa a VIII-a, Ed.Sigma, 2000.

S

A

B C

D

O

M


76

Observăm că fiecare dintre problemele de mai sus poate fi considerată independent de celelalte: unui elev i se poate propune spre rezolvare doar problema 5. Totuşi, rezolvarea la clasă a tuturor acestor probleme, în aceeaşi secvenţă didactică, permite o mai uşoară înţelegere a lor, deoarece anumite tehnici (legate, de exemplu, de calculul unor distanţe) se transferă imediat de la o cerinţă la alta.

Temă de reflecţie 10 Pentru contextul din exemplul anterior, propuneţi încă două probleme, care se referă la aceeaşi configuraţie. Rezolvaţi aceste probleme.


77

Exemplul 2

Pentru algebră, un context poate fi reprezentat de exersarea unei operaţii algebrice. Să considerăm, de exemplu, următoarele probleme:

1. Calculează 23479 + 9243. 2. Descoperă cifrele care lipsesc: 45¤2 + 2¤4¤ = ¤131. 3. Află numărul necunoscut: 1208 + a = 3921. 4. Reconstituie adunarea:

A A A A + B B B B C C C C

A B B B C

5. Descoperă regula şi completează numerele necunoscute:

23, 27, 31, ?, ?, 43, 47. 6. Calculează suma: S = 9 + 99 + 999 + ...+ 99...99 (ultimul

termen al sumei are 100 de cifre de 9), apoi calculează suma cifrelor lui S.

Fiecare dintre aceste probleme poate fi rezolvată separat.

Rezolvarea lor simultană poate însă facilita realizarea de transferuri, de exemplu între problema 1 (în care apare o adunare cu trecere peste ordin) şi problemele 2 şi 3 (în care adunarea cu trecere peste ordin trebuie reconstituită).

3.4.2. Avantaje şi dezavantaje în rezolvarea contextuală În exemplele din paragraful anterior, am evidenţiat o serie de

avantaje ale rezolvării contextuale. Aceasta are însă şi o serie de dezavantaje, pe care le vom discuta în continuare.

Un prim dezavantaj îl poate constitui monotonia. Un context presupune mai multe probleme cu un acelaşi „decor”: uneori, dacă problemele alese nu sunt destul de diferite între ele, această situaţie poate fi un motiv de plictiseală pentru elevi.

Un alt dezavantaj ar putea fi sugerarea implicită a unor modalităţi de abordare a problemelor, prin evoluţia într-un context construit de către profesor. Repetarea unor probleme într-un acelaşi context poate conduce la stereotipii de rezolvare, care, odată fixate, pot fi mai greu perturbate la schimbarea contextului. De aceea, rezolvarea unor liste lungi de probleme „la fel” din culegeri poate avea reversul că, deşi elevul automatizează anumite tehnici, el pierde disponibilitatea şi creativitatea în abordarea altor probleme.


78

3.5. Metoda paşilor mici de rezolvare a problemelor

Elevii îşi exprimă deseori nelămuririle în legătură cu modul de rezolvare a unei probleme prin întrebarea: „cum aş putea să procedez pentru a avea şi eu ideea de rezolvare?”

O cale naturală de a aduce elevii la găsirea soluţiei problemei este împărţirea acesteia într-o succesiune de probleme mai simple. Identificarea acestora chiar de către elevi poate fi o strategie eficientă de rezolvare a problemelor de matematică.

Exemplu Considerăm următoarea problemă 14:

Determină un număr natural de şase cifre, care are cifra unităţilor egală cu 6 şi care se măreşte de patru ori atunci când ultima cifră este mutată la începutul numărului.

Putem conduce elevii în rezolvarea acestei probleme, formulând mai multe probleme simple, care constituie paşi în înţelegerea şi rezolvarea problemei date. În acest mod, nu doar indicăm o cale de rezolvare, dar conturăm şi un context în care încadrăm problema dată. I: Aminteşte-ţi şi răspunde! 1. În scrierea unui număr natural, cifrele au semnificaţii diferite.

Astfel, 427 înseamnă „patru sute două zeci şi şapte”, adică 400 + 20 + 7. Scriem 427 = 4 ⋅ 102 + 2 ⋅ 101 + 7. Procedează analog pentru a exprima numerele 1025 şi 32546 ca sume de puteri ale lui 10.

2. Ce reprezentare este sugerată de exprimările următoare: ”douăzeci şi trei de zeci şi cinci unităţi”; „treisprezece sute şaptezeci şi trei”.

3. Atunci când nu cunoaştem una sau mai multe dintre cifrele unui număr natural, folosim o notaţie specială. Astfel, 2a înseamnă numărul care are cifra zecilor 2 şi cifra unităţilor a (în timp ce 2a înseamnă dublul numărului real a). Determină toate numerele de forma 2aa care sunt divizibile cu 6.

II: Utilizează indicaţiile şi construieşte rezolvarea! 4. Dacă notăm cu x numărul căutat, el trebuie să fie de forma

abcde6 . Notăm y = abcde ; exprimă x în funcţie de y. 5. Exprimă în funcţie de y numărul ce se obţine prin mutarea la

începutul lui x a cifrei 6. 6. Completează ecuaţia problemei: 4 ⋅ (10y + 6) = .... 7. Determină numărul x.

14 Exemplul este preluat din: M.Singer, C.Voica, Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed. Sigma, 2003


79

III: Verifică dacă ai înţeles! 8. Procedează în acelaşi mod pentru a rezolva problema următoare: Determină un număr natural de şase cifre, care are cifra unităţilor egală cu 4 şi care se măreşte de patru ori atunci când ultima cifră este mutată la începutul numărului. IV: Încearcă-ţi puterile!

9. Rezolvă altfel problema dată, observând şi continuând calculele de mai jos, prin care determinăm succesiv cifrele numărului cerut în problemă.

8 4 6 × 4 8 4

10. Demonstrează că nu există numere naturale care au cifra

unităţilor egală cu 3 şi care se măresc de patru ori atunci când ultima cifră este mutată la începutul numărului.

Temă de reflecţie 11 Formulaţi mai multe probleme mai simple, care constituie paşi mici în rezolvarea problemei următoare: Dacă un paralelipiped are diagonalele congruente, atunci acel paralelipiped este dreptunghic.


80


1. Rezolvarea contextuală presupune ............................................ ........................................................................................ ............. ...................................................................................................... ......................................................................................................

2. O metodă alternativă de rezolvare a problemelor de matematică este

........................................................................................ .............

......................................................................................................

......................................................................................................

3. În spaţiul liber de mai jos, analizaţi critic schema paşilor mici de rezolvare a problemelor, prezentată secţiunea 3.5.

Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul acestei părţi din Unitatea de Învăţare 3, m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ......................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................. Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..........................................................................................................


81

APLICĂM ŞI DEZVOLTĂM! 3.6. Formulări echivalente ale unei probleme

A avea în vedere posibilitatea unor formulări echivalente ale unei probleme este, de multe ori, calea salvatoare în rezolvarea acesteia.

Exemplul 1

Să se arate că într-un trapez, punctul de intersecţie a diagonalelor şi mijloacele bazelor sunt trei puncte coliniare.

Putem aborda această problemă în paşi mici, aplicând proprietăţi ale liniei mijlocii în diferite triunghiuri, recurgând la construcţii auxiliare şi/ sau aplicând proprietăţi de asemănare. Pentru o soluţie rapidă, este însă util să reformulăm această problemă, transformând-o dintr-o problemă de coliniaritate în una de concurenţă; astfel, problema devine:

Să se arate că într-un trapez, diagonalele şi dreapta ce uneşte mijloacele bazelor sunt trei drepte concurente.

În acest fel, putem aplica teoreme prin care demonstrăm concurenţa unor drepte, de exemplu Teorema lui Ceva.

Exemplul 2 Fie a, b, c numere reale strict pozitive. Să se arate că

+ + ≥+ + +a b c 3

b c a c a b 2.

În mod normal, o astfel de inegalitate se demonstrează

construind inegalităţi echivalente. Operarea directă cu numitorii daţi conduce însă la expresii care complică foarte mult problema. Căutăm atunci o cale prin care să obţinem o altă problemă, echivalentă cu cea dată, în care apare o formă mai simplă a numitorilor. Pentru aceasta, notăm a + b = x, b + c = y, c + a = z. Cu aceste notaţii, problema iniţială devine:

Studiu individual Căutaţi în bibliografia recomandată enunţul teoremei lui Ceva. Identificaţi situaţii standard în care se aplică această teoremă.


82

Fie x, y, z numere reale pozitive. Să se arate că:

+ − + − + −+ + ≥x y z x z y y z x 3

2z 2y 2x 2.

Problema echivalentă obţinută astfel conduce la rezolvarea

problemei iniţiale. Fără această formulare echivalentă, rezolvarea este dificilă.

3.7. Învăţarea structurată

Succesiunea aplicaţiilor propuse la clasă, de către profesor, nu poate fi întâmplătoare. Aceasta trebuie să se desfăşoare în cadrul unei structuri, care să permită optimizarea învăţării. Astfel, o succesiune posibilă de aplicaţii poate fi următoarea: 1. Situaţii-problemă motivaţionale: reprezintă punctul de plecare în

argumentarea necesităţii noilor concepte 2. Aplicaţii imediate/ cazuri particulare/ exemple: familiarizează elevii

cu noile concepte. 3. Exerciţii utilitare: arată utilitatea noilor concepte. Aplicaţii care fac

vizibil faptul că noile metode/ concepte rezolvă mai bine/mai eficient/ mai complet anumite categorii de probleme.

4. Exerciţii de limitare/ contraexemple: evidenţiază situaţii în care noile concepte sau rezultate nu se pot aplica.

5. Exerciţii de relaţionare: evidenţiază legături între noile concepte şi concepte anterioare.

6. Exerciţii de transfer: constituie punţi de legătură pentru conceptele viitoare.

Temă de reflecţie 12 Demonstraţi inegalitatea propusă mai sus.


83

Test de autoevaluare

1. Pentru problema următoare, propuneţi o formulare mai accesibilă elevilor. Fie ABCD un tetraedru regulat. Demonstrează că suma distanţelor de la un punct interior tetraedrului, la feţele acestuia, este constantă.


Pe parcursul secvenţelor 3.6 şi 3.7.. m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ............................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................

Temă de reflecţie 13 Pentru propria activitate la clasă, descrieţi structura pe care o folosiţi cu cele mai bune rezultate.


84


Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 3: Strategii de prelucrare a problemelor.

Am reuşit…??? 1. Pentru problema următoare, identificaţi principala

dificultate în rezolvare, apoi propuneţi o problemă ajutătoare. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi. Demonstraţi că

+ + = +2 2 22 2 ( )a b c a b c dacă şi numai dacă ABC este triunghi echilateral. În evaluare vor fi analizate: discuţia punctelor dificile ale problemei (5p), formularea problemei ajutătoare (4p). Se acordă 1 p din oficiu.

2. Identificaţi avantaje şi dezavantaje ale rezolvărilor de mai jos ale următoarei probleme. Calculaţi aria triunghiului ABC în care laturile au lungimile 9, 15, respectiv 18. Soluţia 1. Construim înălţimea AD a triunghiului. Din triunghiurile dreptunghice ADB şi ADC, exprimăm în două moduri AD şi obţinem:

− = − −2 2 2 29 15 (18 )x x , de unde x= 5. Putem calcula acum AD = 2 14 , apoi calculăm

aria(ABC) = 18 14 . Soluţia 2. Aplicăm formula lui Heron:

= − − −( )( )( )aria p p a p b p c , unde p este semiperimetrul triunghiului, iar a, b, c sunt lungimile laturilor. În cazul nostru, p= 21, deci

= ⋅ ⋅ ⋅ =( ) 21 12 6 3 18 14aria ABC . Pentru detalierea rezolvărilor problemei: 2p. Pentru discuţii asupra acestora: 4p. Pentru compararea rezolvărilor: 3p ; 1p se acordă din oficiu.

...să identific etapele de rezolvare a unor probleme şi a momentelor critice din rezolvare, în scopul alegerii adecvate a problemelor pentru clasă?

... să compar rezolvări diferite ale aceleiaşi probleme, în scopul determinării celei mai adecvate metode de abordare la clasă?

A

B C

9 15

18 D

x 18 – x


85

3. Enunţaţi o succesiune de cinci probleme, care formează

un context util în rezolvarea următoarei probleme. Demonstraţi că un număr natural este divizibil cu 9 dacă şi numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Pentru fiecare problemă formulată conform cerinţelor, se acordă câte 2p.

4. Pentru problema următoare, formulaţi o succesiune de 9 întrebări, utile în înţelegerea acesteia de către elevi şi în oferirea de puncte de sprijin pentru rezolvare. Se secţionează o piramidă triunghiulară cu un plan paralel cu baza piramidei. Demonstraţi că vârful piramidei şi centrele de greutate ale bazei şi, respectiv, secţiunii, sunt puncte coliniare. Pentru fiecare întrebare se acordă 1p. Un punct se acordă din oficiu.

5. Identificaţi şi rezolvaţi cinci probleme ce permit

exemplificarea metodelor de descompunere în factori a polinoamelor. Pentru fiecare sarcină de lucru, formulată conform cerinţelor, se acordă 2p.

6. Identificaţi „exerciţii de diferenţiere”, care permit

profesorului să explice utilitatea teoremei celor trei perpendiculare. Pentru fiecare problemă formulată conform cerinţelor, se acordă câte 2p.

... să conturez contexte (succesiuni de probleme), ce permit interiorizarea de către elevi a metodelor folosite în rezolvare?

... să formulez întrebări suplimentare pentru o problemă dată, în vederea accesibilizării acesteia şi oferirii de puncte de sprijin pentru elevi?

... să determin probleme ce permit transferul de metode de rezolvare, în vederea formulării sarcinilor de lucru individual?

... să elaborez sisteme ce permit abordarea structurată a rezolvării unei probleme date?


86



Temă de reflecţie 1 O rezolvare se poate găsi, de exemplu, în: Gh.Ţiţeica, Probleme de geometrie, Ed.Tehnică, 1981, pag.184. Temă de reflecţie 2 Folosiţi relaţiile lui Vieta. Temă de reflecţie 3 Se termină cu 249 de zerouri. Calculaţi la ce putere apare factorul prim 5 în descompunerea în factori primi a produsului. Temă de reflecţie 4 De exemplu: ce distanţă este între doi multipli consecutivi ai lui 29? Test de autoevaluare, pag. 61

1. Proiecţiile unui punct al cercului circumscris unui triunghi, pe laturile acestuia, sunt trei puncte coliniare. 2. receptare


Dacă latura pătratului este a, atunci BC = a/2, iar AB= +⋅ 2 32

a .

Temă de reflecţie 8 Alegeţi ca axe de coordonate două dintre laturile pătratului. Temă de reflecţie 11 De exemplu: un paralelogram cu diagonale congruente este un dreptunghi.

Test de autoevaluare, pag. 80

1. ... o succesiune de probleme, care se referă la o aceeaşi configuraţie.

2. de exemplu, folosirea aproximărilor Temă de reflecţie 12

Folosim inegalitatea: + ≥ 2x y

y x, pentru x, y numere reale pozitive. Această inegalitate este

echivalentă cu ( )− ≥2 0x y .


1. Dat un tetraedru regulat, de muchie a, găsim un număr s (ce depinde de a), astfel încât, dacă M este un punct arbitrar ales în interiorul tetraedrului, suma distanţelor de la M la feţele tetraedrului este s.


87


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 3

CHIŢEI, GH. A., Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie EDP, Bucureşti, 1969 D.BELL, D., HUGES, E.R., ROGER, J., Arie, masă, volum, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 HARRIS, R., Problem Solving techniques, version January 5, 2002, http://www.virtualsalt.com MOISE, E. , Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980 KRANTZ, S., Techniques of Problem Solving, AMS, 1999. ONICESCU, O. et al., Figuri ilustre ale antichităţii, Ed.Tineretului, Bucureşti, 1967. POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică, Bucureşti, 1971 POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1962. RADU, I. (coord.), Psihologia educaţiei şi dezvoltării, Ed.Academiei, 1983 RUSU, E., Metodica predării geometriei în şcoala generală, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR: Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005. SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii. Liceu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S.C.ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001. SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002. SINGER, M., VOICA, C., Cum demonstrăm? De la intuiţie la rigoare matematică, Ed. Sigma, 2005. SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003. SINGER, M., VOICA, C., Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, PIR, CEDU 2000+, 2005.

Informaţii importante pentru această unitate de învăţare se pot obţine şi prin vizionarea casetei video cu titlul: Howard Gardner, Inteligenţe multiple, care se găseşte, de exemplu, la Biblioteca Universităţii din Bucureşti.

Strategii de didactice pentru activitatea de rezolvare a problemelor

88

Unitatea de învăţare 4: STRATEGII DIDACTICE PENTRU ACTIVITATEA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Cuprins Competenţele Unităţii de învăţare 4 89 4.1.Evaluarea iniţială 89 4.2.Scopul probelor de evaluare iniţială 89 4.2.1.Metode de aplicare 90 4.3.Categorii de probleme 93 4.4.Algoritmizarea 95 4.4.1.Rolul exerciţiului în matematică 97 4.5.Explorarea 99 4.6.Comunicarea în matematică 102 4.6.1.Comunicarea profesor – elev 103 4.6.2.Comunicarea elev – profesor 104 4.6.3.Comunicarea elev – elev 106 Test de evaluare – notat de tutore 108 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 4 110 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 4 125


89

COMPETENŢELE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 4 După studiul acestei unităţi de învăţare, veţi reuşi… ... să stabiliţi nivelul de cunoaştere de către elevi a unor noţiuni ce apar în

problema propusă, în vederea înţelegerii acesteia ... să organizaţi rezultatele parţiale ale unei probleme, pentru a determina

sesizarea de către elevi a unor regularităţi ... să evidenţiaţi categorii de probleme, în scopul facilitării la elevi a încadrării

unei probleme date şi aplicării de algoritmi/metode specifice de rezolvare ... să comentaţi redactări posibile, în vederea formării la elevi a capacităţii de a

exprima coerent şi sugestiv rezolvarea unei probleme ... să folosiţi metode de rezolvare a cazurilor particulare, ca bază de

investigare de către elevi a cazului general ... să puneţi în discuţie limitele de aplicabilitate a rezultatelor obţinute sau a

metodelor folosite în rezolvare, pentru activizarea la elevi a nivelului euristic al rezolvări


4.1. Evaluarea iniţială

Proiectarea şi organizarea demersului didactic pornind de la conceptul de Unitate de Învăţare solicită din partea profesorului organizarea unui „ansamblu de activităţi corelate în cadrul unui proiect de învăţare centrat pe elev”.15

Acest ansamblu presupune organizarea activităţii didactice într-o succesiune de secvenţe cu finalităţi precise, care pot fi descrise, din perspectiva profesorului, respectiv din perspectiva elevului, astfel:16 1. Actualizare → Evocare → Ce ştiu deja? 2. Problematizare → Explorare → Cum explorez? 3. Sistematizare → Explicare → Cum organizez? 4. Conceptualizare → Esenţializare → Ce este esenţial? 5. Aprofundare → Exersare → Cum aplic? 6. Transfer → Extindere → Cum dezvolt?

În secvenţa de actualizare, rolul profesorului constă în crearea de situaţii de învăţare care produc amintirea noţiunilor, operaţiilor şi comportamentelor necesare pentru înţelegerea conceptului ce urmează a fi predat. Profesorul stabileşte nivelul de cunoaştere de către elevi a unor noţiuni ce urmează a fi folosite.

4.2. Scopul probelor de evaluare iniţială

De regulă, secvenţa de actualizare se realizează prin intermediul unor probe de evaluare iniţială. Aceste probe au rolul de

15 Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii, MEC, CNC, 2002. 16 Ibidem


90

a-i face pe elevi să analizeze ceea ce ştiu deja şi să identifice noţiuni, termeni, relaţii, fenomene, metode pe care le cunosc şi au legătură cu noile conţinuturi.

Probele de evaluare iniţială au mai mult un rol diagnostic: în aceste probe, nota ca atare este mai puţin importantă. Pentru profesor, este util mai mult să creeze acele punţi de legătură cu noţiunile deja învăţate, care ar putea înlesni elevului demersurile proprii de căutare.

4.2.1. Metode de aplicare

Un test de evaluare iniţială nu se poate alcătui la întâmplare: printr-un astfel de test, verificăm cât de solidă este „fundaţia” edificiului noţional ce urmează a fi construit. De aceea, itemii propuşi şi noţiunile evaluate nu pot fi alese la întâmplare.

Exemplu Să presupunem că urmează să predaţi Unitatea de Învăţare

Elemente de combinatorică, statistică şi probabilităţi, la clasa a X-a de la Şcoala de Arte şi Meserii. Conform programei şcolare, pentru această unitate de învăţare sunt prevăzute următoarele competenţe specifice şi conţinuturi:

Competenţe specifice Conţinuturi

1. Identificarea unui mod de lucru în probleme de numărare şi a datelor de tip probabilistic în situaţii concrete

2. Prelucrarea şi reprezentarea în forme diverse a datelor statistice

3. Exprimarea cu ajutorul formulelor, a elementelor de combinatorică, statistică sau probabilităţi a unor situaţii diverse în scopul simplificării modului de lucru

4. Utilizarea unor metode de numărare, a datelor statistice sau probabilistice pentru analiza unui caz

5. Utilizarea unor metode de numărare şi a instrumentului statistic sau probabilistic în situaţii practice

• Probleme de numărare • Permutări, aranjamente,

combinări • Date statistice, eşantion • Reprezentarea grafică a datelor

statistice: diagrame circulare, diagrame cu benzi, histograme; interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice

• Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment

Ce este necesar să verificăm prin testul de evaluare iniţială,

corespunzător acestei unităţi? Formulele combinatoriale şi problemele de numărare folosesc

calcul numeric. Pentru înregistrarea datelor statistice, este nevoie de organizarea acestora după diverse criterii. Reprezentarea datelor are nevoie de sisteme de coordonate (pentru grafice), proporţionalitate (pentru diagramele circulare), elemente de geometrie (pentru diagramele cu benzi şi pentru histograme), în timp ce interpretarea datelor are nevoie de lectură grafică şi aproximări.


91

Un posibil test preliminar de evaluare pentru această Unitate de învăţare este prezentat în continuare17.

Test preliminar de autoevaluare

Rezolvând exerciţiile următoare, vă veţi aminti noţiuni necesare pentru parcurgerea unităţi de învăţare: ELEMENTE DE COMBINATORICĂ, STATISTICĂ ŞI PROBABILITĂŢI

17 Exemplul este preluat din: M.Singer, C.Voica, Matematică. Manual pentru clasa a X-a, SAM, Ed.Sigma, 2005

Operaţii cu numere reale

Indicaţi propoziţiile adevărate! 1. a) (-2)+ (-5) = +7; b) (+2) – (– 4) = – 2; c) (+2) – (+4) = – 2. 2. a) (– 3) ⋅ (+4) = +1; b) (+2)⋅ (– 5) = – 10; c) (–3)⋅( –2) = +5.

3. a) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 3 99 1...2 3 4 100 100

; b) ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ =2 2 2

1 3 2 4 98 100 1...2 3 99 99

.

Proporţionalitate

Răspundeţi la întrebări! 4. a) Dacă 4m de mătase costă 58 lei, cât costă 7 m din acelaşi material?

b) Dacă aria unui sector de cerc determinat de un unghi la centru cu măsura de 120º este de 18 m2, ce arie are un sector al aceluiaşi cerc, determinat de un unghi la centru cu măsura de 40 º? c) Dacă 4 automate identice îmbuteliază 600 l apă minerală în 20 de minute, în cât timp vor îmbutelia 5 automate aceeaşi cantitate?

5. Fiecare dintre figurile geometrice desenate alăturat are aria de 6 cm2. Cât sunt ariile porţiunilor colorate?

Sisteme de coordonate

6. Reprezentaţi într-un sistem ortogonal punctele: A(1; 3), B( –1; 2), C(–3; – 2), D(–1; 0), E(0; 4).

7. Determinaţi coordonatele punctelor reprezentate în desen.

Elemente de geometrie

8. Observaţi figurile, apoi calculaţi ariile lor.

Organizarea datelor

9. La concursul de săritură în lungime, sportivii au obţinut rezultatele din tabel. Pentru fiecare sportiv, contează săritura cea mai bună, în caz de egalitate departajarea fiind făcută după cel de-al doilea rezultat. Care este clasamentul final? (Semnul „-„ înseamnă depăşirea pragului)

Încercarea Sorin Marius Alin Mihai Cătălin Radu

1 5,40 6,25 - 6,35 5,58 5,70 2 - 5,85 6,18 5,93 5,90 6,25 3 6,10 6,15 5,95 6,05 6,10 -

Aproximări

10. Aproximaţi prin rotunjire la ordinul sutimilor:

a) 4,318+ 2,758; b) 29 : 7; c) 0,(3) ⋅ 5; d) 5

A

BC

DE

2 4

2 3

2


92

Temă de reflecţie 1 Comentaţi modul de alcătuire a testului de evaluare de mai sus. Pentru una dintre Unităţile de Învăţare, parcursă recent la una dintre clasele la care predaţi, propuneţi un test de evaluare iniţială. Justificaţi pe scurt opţiunile avute.


93


4.3. Categorii de probleme

Este oare posibilă o clasificare a problemelor de matematică? Putem găsi criterii de clasificare, care să poată fi aplicate oricărei probleme?

La o primă vedere, aceste întrebări par a fi simple: orice profesor de matematică, pus în faţa lor, ar putea propune diverse criterii de clasificare. Totuşi, o clasificare universală şi obiectivă este foarte greu de conturat. O aceeaşi problemă poate fi percepută ca fiind „grea” sau „uşoară” (depinzând, de exemplu, de nivelul de instruire al rezolvitorului), poate fi încadrată atât în categoria „probleme de algebră”, cât şi în „probleme de geometrie” (depinzând de modul de abordare a rezolvării), poate fi „frumoasă” sau „urâtă”.

În cartea „Cum gândim şi rezolvăm 200 de probleme”, E. Rusu foloseşte următoarea clasificare: problemele discutate sunt de „perspicacitate”, de „logică”, de „inventivitate” sau de „orizont”. La rândul său, G.Polya vorbeşte despre probleme „de aflat” şi probleme „de demonstrat”. Alţi autori propun clasificarea problemelor în termeni cinematici sau după criteriul algoritmic-creativ.

De ce ar fi utilă totuşi o clasificare a problemelor? Îl poate ajuta pe rezolvitor o astfel de clasificare, în demersul său de explorare a soluţiei?

Argumente în acest sens sunt date în exemplele următoare. Exemplul 1

Fie un triunghi ABC şi A1, A2, B1, B2, C1, C2 intersecţiile unui cerc cu segmentele BC, AC, AB. Să se arate că dreptele A A1, B B1, CC1 sunt concurente, dacă şi numai dacă dreptele A A2, B B2, CC2 sunt concurente.

Încadrarea largă a problemei este în categoria „geometrie”. Avem o problemă de concurenţă; de aceea, prima întrebare pe care ne-o adresăm este: cum putem demonstra concurenţa unor drepte? Pe de altă parte, contextul în care se dezvoltă problema este cel al unui triunghi, iar dreptele despre care se cere să arătăm concurenţa trec prin vârfurile acestui triunghi. De aceea, aceste încadrări ale problemei pot sugera calea de rezolvare: aplicarea Teoremei lui Ceva. Pe de altă parte, aceasta este o problemă „cu cerc”: încadrarea în această categorie este cheia spre rezolvarea completă, deoarece este nevoie de teorema despre puterea punctului...

A B

C

A1

A2 B1

B2

C2 C1


94

Exemplul 2

Determină numerele reale a şi b care satisfac relaţia: + − + + =2 2 6 2 10 0a b a b .

În ce categorii de probleme putem încadra această problemă?

Cum ne ajută încadrările făcute să o rezolvăm? Putem caracteriza problema dată astfel: ecuaţie de gradul al

doilea, cu două necunoscute, ce trebuie rezolvată în mulţimea numerelor reale.

Pornind de la această încadrare, găsim o primă rezolvare a problemei: exprimăm una dintre necunoscute în funcţie de cealaltă şi studiem discriminantul ecuaţiei.

Δ = − − − ≥2 2 1 0b b . O a doua caracterizare a problemei este: ecuaţie de grad par,

cu mai multe necunoscute, în mulţimea numerelor reale. Această caracterizare poate conduce la o altă idee de rezolvare:

( ) ( )+ − + + = + + − =2 22 2 6 2 10 1 3 0a b a b a b .

Temă de reflecţie 2 Rezolvaţi complet problema din exemplul 1. În ce alte categorii mai poate fi încadrată această problemă?


95

4.4. Algoritmizarea

În ultima vreme se discută mult despre algoritmizare, ca mod specific de gândire şi acţiune în informatică. Algoritmii nu apar, însă, doar în informatică: şi matematica foloseşte din plin gândirea algoritmică.

Un algoritm reprezintă o metodă prin care se descriu paşii succesivi, necesari pentru rezolvarea unei probleme.

Cele mai importante proprietăţi ale unui algoritm sunt:

- finititudinea: este proprietatea algoritmului de a se termina într-un număr finit de paşi - corectitudinea: este proprietatea algoritmului de a furniza o rezolvare corectă a problemei date - generalitatea: este proprietatea unui algoritm de a rezolva o clasă de probleme, şi nu doar o problemă particulară - claritatea: este proprietatea algoritmului de a descrie cu exactitate paşii pe care îi parcurge în rezolvarea problemei, fără neclarităţi, fără ambiguităţi - optimalitatea: este proprietatea unui algoritm de a se termina după un număr minim de paşi.

Matematica şcolară furnizează suficiente exemple de algoritmi: operaţiile cu numere naturale, întregi sau raţionale, calculul divizorilor comuni a două numere naturale, determinarea ariilor unor figuri geometrice plane – toate acestea pot fi exprimate algoritmic.

Temă de reflecţie 3 Detaliaţi cele două rezolvări sugerate în exemplul 2.

Ce este un algoritm?


96

În curriculumul românesc, algoritmizarea are în vedere:18

- reducerea la o schemă sau model; - anticiparea unor rezultate; - reprezentarea datelor; - remarcarea unor invarianţi; - rezolvarea de probleme prin modelare şi algoritmizare.

Pornind de aici, programele şcolare de matematică pentru învăţământul obligatoriu prevăd următoarele:

Obiectivul cadru 1: Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii; Competenţa generală 3: Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete.

18 Cf. Programe şcolare pentru clasa a X-a, MEC, CNC, 2000

Temă de reflecţie 4 Exprimaţi sub forma unei succesiuni de paşi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate.


97

4.4.1. Rolul exerciţiului în matematică

Multă lume caracterizează matematica şcolară ca „rezolvare de probleme”. Prin aceasta, se înţelege mai ales rezolvarea unor probleme de rutină, adică acele probleme care pot fi rezolvate „fie prin substituirea unor date particulare într-o problemă generală rezolvată anterior, fie urmărind pas cu pas, fără pic de originalitate, un model care apare frecvent.”19

De exemplu, o problemă de rutină este problema descompunerii în factori a expresiei algebrice

−24 9x , dacă formula generală privind diferenţa de pătrate a fost explicată şi exemplificată înainte, astfel că elevul nu mai are altceva de făcut decât să înlocuiască noii termeni în acea formulă.

În învăţământul românesc, problemele de rutină sunt denumite şi „exerciţii”.

O caracterizare a exerciţiului este făcută şi de către I.Cuculescu20:

„Una din primele adevărate probleme de aritmetică ce le

întâlnesc copiii în şcolile primare este de tipul următor: Ion şi Gheorghe au împreună 125 lei. Ion are cu 9 lei mai mult

decât Gheorghe. Câţi bani are Ion şi câţi Gheorghe? Un învăţător ar putea răspunde: Eu i-am învăţat pe elevii mei şi

ei ştiu să rezolve o astfel de problemă. Scădem 9 din 125 (eventual cu completarea: pentru a pune deoparte surplusul lui Ion) şi obţinem 116. Împărţim 116 la 2 şi obţinem 58. Deci Gheorghe are 58 lei şi Ion are 58+ 9 = 67. Se şi verifică: 58+67= 125.

Prin aceasta însă întrebarea pusă a încetat de a mai fi o problemă! Ea a devenit o întrebare pentru verificarea însuşirii unui algoritm. Repetând-o de mai multe ori cu alte date numerice, riscăm chiar ca elevii să sfârşească prin a uita raţionamentul, concentrându-se asupra rapidităţii de efectuare a calculelor, de aplicare a algoritmului.”

Este indiscutabil faptul că, în învăţarea matematicii, exerciţiile

joacă un rol important. Ele contribuie, în primul rând, la formarea unor automatisme de calcul. Pentru a opera, de exemplu, cu conceptul de funcţie, elevul trebuie să depăşească „bariera” calculului numeric şi/sau literal; aceasta presupune un „antrenament” anterior, prin exerciţii specifice.

Ce tipuri de exerciţii putem propune la clasă? Exemplele următoare dau câteva sugestii în acest sens.

Exemplul 1 Pentru tema Drepte perpendiculare, distanţa de la un punct la

o dreaptă, de la clasa a VI-a, putem propune următoarele exerciţii: 21

19 G.Polya, Cum rezolvăm o problemă?, Ed.Ştiinţifică, Bucureşti, 1965 20 I. Cuculescu, Olimpiadele internaţionale de matematică ale elevilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1984 21 Exerciţiile sunt preluate din: M.Singer, Învăţarea geometriei prin exerciţii, Ed. Sigma, 2005.


98

Câte unghiuri determină două drepte perpendiculare? Ce fel de unghiuri sunt acestea?

1. Fie o dreaptă d şi un punct P aparţinând dreptei. Folosind echerul, duceţi din punctul P o perpendiculară pe dreapta d.

2. Desenaţi o dreaptă d şi un punct exterior ei, P. Uniţi cu un creion colorat punctul P cu piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă, apoi cu mai multe puncte de pe dreaptă. Ordonaţi lungimile segmentelor obţinute.

3. Transcrieţi desenul din Fig.1. Desenaţi folosind echerul perpendicularele duse din punctul M pe dreptele din figură.

4. Care dintre segmentele din Fig. 2. pot fi folosite pentru a

măsura distanţa de la un punct la dreapta d? Verificaţi folosind echerul!

5. Desenaţi un unghi obtuz. Construiţi bisectoarea unghiului. Fixaţi apoi un punct pe bisectoare şi construiţi perpendicularele duse din acel punct pe laturile unghiului.

Exemplul 2 Un posibil exerciţiu pentru tema Compararea numerelor

raţionale este următorul:

Comparaţi fracţiile 49

şi 38

.

În rezolvarea acestui exerciţiu, funcţionează algoritmul învăţat anterior de elevi: pentru a compara două fracţii, este necesar să le aducem la acelaşi numitor. Nu acelaşi lucru se poate spune despre enunţul următor, pentru a cărui rezolvare este nevoie de un raţionament adecvat.

Aflaţi între ce numere naturale consecutive este cuprinsă

fracţia 257

.

Unele probleme de matematică pot fi rezolvate algoritmic -

adică prin precizarea apriori a unei „reţete” de rezolvare. La o privire superficială, aceasta corespunde obiectivelor şi competenţelor din programele şcolare. A transforma însă matematica şcolară doar într-o aplicare automatistă a unor algoritmi ar fi o mare greşeală. Aşa cum apreciază G.Polya, „problemele de rutină – chiar multe probleme de rutină – sunt necesare, dar este de neiertat dacă-i dăm elevului numai astfel de probleme.”22 De aceea, este nevoie ca profesorul să propună la clasă aplicaţii diverse şi să urmărească formarea la elevi atât a unor competenţe de aplicare a algoritmilor şi procedurilor de calcul, cât şi dezvoltarea competenţelor de explorare/ investigare în rezolvarea de probleme.

22 G.Polya, Cum rezolvăm o problemă?, Ed.Ştiinţifică, Bucureşti, 1965

M

Fig.1.

d

Fig.2.


99

4.5. Explorarea

A explora înseamnă a cerceta o regiune puţin sau deloc cunoscută, cu scopul de a face descoperiri sau studii ştiinţifice. Extinzând sensul acestui cuvânt, putem vorbi despre explorare şi în învăţarea matematicii: a explora (un domeniu al matematicii, un concept, o problemă) înseamnă a cerceta, cu mijloace proprii, noţiuni puţin sau deloc cunoscute anterior.

Explorarea este contrară algoritmului; ea presupune încercare-eroare, modificarea din mers a planului de lucru, pe scurt, presupune surpriză şi neprevăzut.

În matematica şcolară, explorarea/investigarea unei probleme presupune un raţionament de tip inductiv, bazat pe particularizare, generalizare şi analogie.

Exemplu

Propunem la clasă următoarea problemă: Să se calculeze suma: Sn = 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 +...+ n⋅(n+1). Ni se cere deci să găsim o formulă (care depinde de numărul

natural n) prin care exprimăm suma dată. Considerarea câtorva cazuri particulare conduce la următoarea

serie de rezultate: S1 = 2; S2 = 8; S3= 20; S4= 40; S5 = 70; S6= 112. Va trebui să identificăm analogii între aceste 6 numere.

Organizarea de mai sus a rezultatelor nu ne ajută prea mult – este greu să ne dăm seama ce formulă generală se aplică acestui şir de numere. În schimb, următoarea organizare a datelor este ceva mai bună, deoarece sugerează mai clar modul de variaţie a termenilor şirului:

+ + + + +⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ →6 12 20 30 422 8 20 40 70 112 ...

Putem formula analogii şi ipoteze de lucru prezentând datele

într-o altă formă, prin descompunerea în factori a termenilor şirului: S1 = 2 S2 = 8 = 2⋅ 2 ⋅ 2; S3= 20 = 2⋅ 2 ⋅ 5; S4= 40 = 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5; S5 = 70 = 2⋅ 5⋅ 7 S6= 112 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7

Particularizăm

Organizăm altfel datele


100

Observăm că: - factorul 2 apare în toate aceste descompuneri; - factorul 5 apare doar în S3 , S4 şi S5 ; - factorul 7 apare în descompunerile lui S5 şi S6. Pentru a obţine mai multe informaţii, calculăm şi

S7 = 168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7; S8= 240 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5.

Vedem astfel că 7 apare în descompunerile termenilor S5 , S6 şi S7 , dar nu mai apare în descompunerea lui S8. Dar acelaşi lucru se întâmpla şi cu 5 (care apare în S3 , S4 şi S5, dar nu şi în S6 !)

Suntem astfel conduşi la următoarea analogie: grupăm factorii

descompunerilor astfel ca factorul n să apară explicit în descompunerile lui Sn-2, Sn-1, Sn. Din cauza primilor termeni, va fi însă nevoie să folosim fracţii cu numitorul 3. Obţinem astfel exprimările următoare:

S1 = ⋅2 33

S2 = ⋅ ⋅2 3 43

S3= ⋅ ⋅3 4 53

S4= ⋅ ⋅4 5 63

S5 =⋅ ⋅5 6 73

, ...

În urma acestor calcule, putem avansa ipoteza de lucru următoare (care poate fi confirmată prin inducţie matematică):

⋅ + ⋅ += ( 1) ( 2)

3n

n n nS .

Odată rezolvată această problemă, este de aşteptat că elevii

vor face singuri transferul de raţionament pentru calculul sumelor: Tn = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ... + n⋅ (n+1) ⋅ (n+2); Pn = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n⋅ (n+1) ⋅ (n+2) ⋅ (n+3). Este util să atrageţi atenţia elevilor că formulele găsite sunt

generalizări ale următoarei formule, învăţată anterior:

⋅ ++ + + = ( 1)1 2 ...2

n nn .

Ideea!!!


101

Temă de reflecţie 5 În spaţiul liber de mai jos, formulaţi câteva avantaje şi dezavantaje ale învăţării algoritmice, respectiv ale învăţării prin explorare/ investigare.


1. Propuneţi un algoritm de rezolvare a următoarei probleme: Determinaţi toate numerele de forma 23x divizibile cu 3.


102

APLICĂM ŞI DEZVOLTĂM! 4.6. Comunicarea în matematică

Modul în care oamenii îşi exprimă ideile poate reprezenta o

barieră în comunicare. Aceasta se întâmplă în orice domeniu de activitate: pentru a te face înţeles, este necesar să expui propriile opţiuni, folosind un limbaj accesibil celorlalţi. De exemplu, pentru a se face înţeles de către clienţii săi, un avocat trebuie să treacă de la limbajul „legislativ”, în care se folosesc termeni de specialitate, la un limbaj accesibil şi celor ce nu au o pregătire juridică.

Acelaşi fenomen se întâlneşte şi în matematica şcolară. Dincolo de termenii folosiţi (cum ar fi incompatibil, secant, monoton), termeni inaccesibili unui neiniţiat sau exprimând altceva decât în vorbirea curentă, în matematică utilizăm diferite convenţii de limbaj, asupra cărora este util să reflectăm.

Exemplu

Unghiurile ∠AOC şi ∠COB sunt adiacente, iar (OE şi (OF sunt bisectoarele unghiurilor ∠BOC, respectiv ∠AOB. Dacă m(∠AOC) = 82º, aflaţi m(∠EOF).

Acest enunţ este prescurtat, prin folosirea cuvântului „respectiv”. O variantă completă a enunţului este următoarea:

Se dau unghiurile adiacente ∠AOC şi ∠COB. Notăm (OE bisectoarea unghiului ∠BOC. Notăm (OF bisectoarea unghiului ∠AOB. Dacă m(∠AOC) = 82º, aflaţi m(∠EOF).

O altă componentă a limbajului specific matematicii o

reprezintă simbolurile, precum şi convenţiile de desen şi notaţie folosite. Astfel de simboluri pot fi, de exemplu: Δ, ∝, ⇔, , ∈, ≤, ∅. Înţelegerea semnificaţiei simbolurilor şi utilizarea lor adecvată, pentru exprimarea ideilor, reprezintă o altă componentă a comunicării în matematică.

De altfel, curriculumul românesc acordă o atenţie specială comunicării. Printre obiectivele cadru ale programelor şcolare pentru gimnaziu apar: Limbi străine: Dezvoltarea capacităţii de exprimare orală; dezvoltarea capacităţii de exprimare scrisă; Istorie: Înţelegerea şi utilizarea adecvată a limbajului de specialitate; Fizică: Dezvoltarea capacităţii de comunicare folosind limbajul specific fizicii; Matematică: Dezvoltarea capacităţii de a comunica, utilizând limbajul matematic.


103

În orice domeniu de activitate şcolară, comunicarea se

desfăşoară în următoarele sensuri: profesor → elev, elev → profesor, elev → elev. Dezvoltarea capacităţii de comunicare presupune dezvoltarea comunicării în toate aceste sensuri.

4.6.1. Comunicarea profesor – elev

Comunicarea profesor - elev se manifestă în predare, dar şi în modul de formulare a sarcinilor de lucru sau în explicarea rezolvării unei probleme.

De multe ori, atunci când elevii susţin că nu au înţeles mesajul transmis, profesorii reiau explicaţiile, eventual le detaliază, folosind aceleaşi argumente. Neînţelegerile nu însă generate întotdeauna doar de fondul problemei ci, de cele mai multe ori, limbajul utilizat nu este cel adecvat. Putem depăşi această barieră prin utilizarea unui alt limbaj – de exemplu, prin realizarea unui desen, a unei scheme logice sau a unei diagrame, în locul explicaţiilor verbale.

Temă de reflecţie 6 Folosiţi unul dintre manualele de matematică şi identificaţi două enunţuri de probleme, în care limbajul utilizat poate genera confuzii. Reformulaţi enunţurile respective.


104

4.6.2. Comunicarea elev – profesor

Aspectele legate de comunicare sunt esenţiale pentru evaluarea eficientă a elevilor. În activitatea de rezolvare a unei probleme, ei trebuie să recunoască simbolurile, să interpreteze convenţiile de notaţie, să relaţioneze toate aceste elemente de limbaj matematic cu imagini şi cuvinte. Ulterior, elevii trebuie să prezinte clar, corect şi concis (în scris sau oral), succesiunea etapelor de rezolvare.

Se poate întâmpla ca un elev să răspundă greşit numai din cauza limbajului folosit în enunţ. De asemenea, unele confuzii pot fi generate de utilizarea unor cuvinte cu sensuri multiple sau cu sensuri diferite în cotidian, faţă de sensul matematic. Unii elevi nu pot explica modul de rezolvare a problemei, deşi au ajuns la un rezultat corect. Toate aceste aspecte, ca şi altele de acelaşi tip, trebuie avute în vedere în procesul de comunicare profesor-elev.

O strategie utilă pentru dezvoltarea abilităţilor de comunicare scrisă constă în analiza comparativă a redactărilor unei aceleiaşi probleme, comentarea acestor redactări şi identificarea unor modele de redactare.

Temă de reflecţie 7 Discutaţi cu colegii de diferite specializări asupra modului în care reuşesc să depăşească la clasă dificultăţile generate de comunicarea ideilor de la profesor la elevi. În spaţiul liber de mai jos, consemnaţi câteva dintre aceste modalităţi de acţiune.


105

Exemplu23

23 Exemplul este preluat din: G.Marinescu şi al., Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasa a VIII-a, Ed.Sigma, 2001.


106

4.6.3. Comunicarea elev – elev

Comunicarea între elevi nu are doar un rol psihologic, de

realizare a coeziunii colectivului clasei. Dezvoltarea competenţelor de comunicare ale elevilor oferă şi soluţii pentru numeroase probleme de învăţare. În acest scop, este recomandată organizarea activităţii la clasă în grupuri de lucru.

Învăţarea în grup presupune distribuirea elevilor în grupuri de 4-5 membri şi formularea unor sarcini de lucru ce urmează a fi realizate în comun de către elevii fiecărui grup. Învăţarea în grup ajută la un mai bun management al clasei, prin fructificarea disponibilităţii elevilor de a învăţa unii de la alţii. Într-un grup mic, devine mai uşoară verbalizarea ideilor; este mai simplu pentru elevi să îşi expună ideile, fiecare membru al grupului având timpul necesar pentru aceasta. Prin lucrul în grup, elevii capătă senzaţia că este valoroasă contribuţia fiecăruia şi astfel se stimulează încrederea în sine şi în ceilalţi. Învăţarea în grup este eficientă atunci când elevii sunt îndemnaţi să comunice între ei. Faptul că, în acest fel, se produce zgomot în clasă nu trebuie să îngrijoreze. Profesorul trebuie să menţină echilibrul comunicării în cadrul grupului şi intergrupuri printr-un management adecvat.

Temă de reflecţie 8 Identificaţi avantaje şi dezavantaje ale lucrului în grup referitoare la dezvoltarea abilităţii de comunicare a elevilor.


107


1. Pentru problema următoare, propuneţi câteva sfaturi utile privind

redactarea soluţiei de către elevi. Graficul funcţiei liniare f : R → R trece prin punctele A(1; 2) şi B(2; 1).

a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Calculaţi distanţa dintre punctele A şi B. c) Determinaţi formula prin care se exprimă funcţia. d) Determinaţi m ∈ R astfel încât 2f(m) – f(2m) = 2m.


Pe parcursul secvenţelor 4.3., 4.4. şi 4.5. m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................


108


Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 4: Strategii didactice pentru activitatea de rezolvare a problemelor.

Am reuşit…??? 1. Să presupunem că doriţi să propuneţi spre rezolvare

problema următoare. Bogdan a determinat două soluţii ale sistemului

− + = + =

1 02 2

x y

ax y.

Ce valoare are numărul a, care nu este precizat în enunţ? Propuneţi un test iniţial de evaluare, cu 5 itemi, prin care puteţi stabili nivelul de cunoaştere de către elevi a noţiunilor şi tehnicilor necesare în rezolvare. Fiecare item formulat conform cerinţelor notat cu 2p.

2. Triunghiul lui Pascal este o

modalitate de organizare a coeficienţilor care apar în dezvoltarea puterilor succesive ale unui binom, aşa cum se vede în figura alăturată.

Observaţi că: 1-1 = 0; 1-2 +1=0; 1-3 +3-1=0; 1-4 +6-4+1=0. Generalizaţi, demonstraţi, redemonstraţi pe altă cale această proprietate. Explicitarea modului de completare a triunghiului lui Pascal: 1p.; generalizare: 2p.; fiecare dintre demonstraţii: 3p; 1p se acordă din oficiu.

3. Propuneţi patru categorii de probleme, în care poate fi încadrată şi problema următoare. Discutaţi influenţa pe care o pot avea aceste încadrări în rezolvarea problemei. Fiind date aria şi perimetrul unui triunghi dreptunghic, să se găsească ipotenuza. Pentru fiecare categorie identificată conform cerinţelor, se acordă câte 1p. Pentru discuţie, se acordă 5p, iar din oficiu se acordă 1p.

...să stabilesc nivelul de cunoaştere de către elevi a unor noţiuni ce apar în problema propusă, în vederea înţelegerii acesteia?

... să organizez rezultatele parţiale ale unei probleme, pentru a determina sesizarea de către elevi a unor regularităţi ?

... să evidenţiez categorii de probleme, în scopul facilitării la elevi a încadrării unei probleme date şi aplicării de algoritmi/metode specifice de rezolvare?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1


109

4. Comentaţi critic redactarea de mai jos. Propuneţi o

redactare-model a aceleiaşi probleme.

Demonstraţi că dacă a, b∈ R şi a-b=1, atunci

− ≥3 3 14

a b .

Soluţie: Folosind a=b+1, avem: − = − + + =

= + + = + + + + == + +

3 3 2 2

2 2 2 2

2

( )( )( 1) ( 1)

3 3 1.

a b a b a ab b

a ab b b b b b

b b

Atunci

− ≥ ⇔ + + ≥ ⇔

⇔ + + ≥ ⇔ + ≥

3 3 2

2 2

1 13 3 14 4

12 12 4 1 3(2 1) 0,

a b b b

b b b

ceea ce este adevărat.24 Pentru comentariu: 4p. Pentru redactare-model: 5p. Se acordă 1p din oficiu.

5. Formulaţi două cazuri particulare ale problemei următoare, apoi daţi o rezolvare a lor. Precizaţi dacă rezolvările cazurilor particulare conduc la găsirea unei rezolvări în cazul general. Raportul dintre suma pătratelor medianelor şi suma pătratelor laturilor unui triunghi este aceeaşi, independent de triunghiul ales. Pentru fiecare caz particular, formulat şi rezolvat: 3p. Pentru discuţie: 3p. Din oficiu: 1p.

6. Discutaţi dacă metodele de rezolvare ale problemei A

se pot aplica şi în rezolvarea problemei B.

A. Într-un paralelogram, suma pătratelor tuturor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalelor.

B. Într-un paralelipiped, suma pătratelor tuturor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalelor.

Pentru rezolvarea problemei A: 3p. Pentru discuţie: 6p. Din oficiu: 1p.

24 Problema şi soluţia sunt preluate din: Gazeta matematică, Nr.4/2000.

... să comentez redactări posibile, în vederea formării la elevi a capacităţii de a exprima coerent şi sugestiv rezolvarea unei probleme?

... să folosesc metode de rezolvare a cazurilor particulare, ca bază de investigare de către elevi a cazului general?

... să pun în discuţie limitele de aplicabilitate a rezultatelor obţinute sau a metodelor folosite în rezolvare, pentru activizarea la elevi a nivelului euristic al rezolvării?


110



Temă de reflecţie 2 Dreptele A A1, B B1, CC1 sunt concurente dacă şi numai dacă este îndeplinită relaţia lui

Ceva: ⋅ ⋅ =1 1 1

1 1 1

1BA CB AC

CA AB BC. Analog, pentru concurenţa dreptelor A A2, BB2, CC2. Pe de altă

parte, folosind puterea punctului faţă de cerc, obţinem: ⋅ = ⋅1 2 1 2AC AC AB AB , şi încă trei relaţii analoge. De aici, deducem echivalenţa cerută. Temă de reflecţie 3 Pătratul unui număr real este pozitiv sau zero. De aceea, dacă o sumă de pătrate este egală cu 0, atunci fiecare dintre termenii sumei este 0. Temă de reflecţie 5 De exemplu, explorarea creează deprinderi de gândire ştiinţifică. Test de autoevaluare, pag. 101

1. Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.

2. 3 2+3+x 3. deci 3 2+x 4. deci x ∈ { 1; 4; 7}


De exemplu: pentru ambele axe, se stabileşte o aceeaşi unitate de măsură; dacă în rezolvarea problemei se foloseşte un rezultat teoretic, acesta trebuie enunţat.


111

BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 4

HARRIS, R., Problem Solving techniques, version January 5, 2002, http://www.virtualsalt.com MOISE, E. , Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980 KRANTZ, S., Techniques of Problem Solving, AMS, 1999. PĂCURARI, O. (coord.), Să ne cunoaştem elevii, PIR, CEDU 2000+, MEC, Bucureşti, 2005 POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică, Bucureşti, 1971 POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1962. POLYA, G.,, Cum rezolvăm o problemă?, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1965 RADU, I. (coord.), Psihologia educaţiei şi dezvoltării, Ed.Academiei, 1983 RUSU, E., Metodica predării geometriei în şcoala generală, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR: Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005. SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii. Liceu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S.C.ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001. SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002. SINGER, M., VOICA, C., Cum demonstrăm? De la intuiţie la rigoare matematică, Ed. Sigma, 2005. SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003. SINGER, M., VOICA, C., Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, PIR, CEDU 2000+, 2005.

Bibliografie pentru întregul modul

112

BIBLIOGRAFIE PENTRU ÎNTREGUL MODUL

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasele a V-a – a VIII-a. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii, Ed. Cicero, Bucureşti, 1999. *** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Curriculum Naţional pentru învăţământul obligatoriu. Cadru de referinţă, Ed. Corint, Bucureşti, 1998. *** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasa a X-a. Un model de proiectare curriculară centrat pe competenţe, Ed. Humanitas Educaţional, Bucureşti, 2000. ***Inquiry and the National Science Education Standards: A Guide for Teaching and Learning, Center for Science, Mathematics, and Engineering Education, The National Academies Press, Washington 2000; ***Hidden Challenges to Eduaction Systems in Transition Economies, World Bank, 1999 ***Programe şcolare pentru învăţământul obligatoriu, MEN-CNC, 1998-1999 BRANSFORD ET AL., How People Learn, National Research Center, 1999 CHIŢEI, GH. A., Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie EDP, Bucureşti, 1969 MEYER, G., De ce şi cum evaluăm, Ed. Polirom Iaşi 2000 KRANTZ, S.G., Techniques of problem solving, AMS, 1999 PĂCURARI, O., TÂRCĂ, A., SARIVAN, L. (coord.) – Strategii didactice inovative, Ed. Sigma, 2003 POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică, Bucureşti, 1971 POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1962. POLYA, G., Cum rezolvăm o problemă?, Ed. Ştiinţifică, Buc., 1965 SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR: Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005. SILBERMAN, M., Active Learning. 101 Strategies to Teach Any Subject, Allyn and Bacon, 1996 SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii. Liceu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S. C. ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001. SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed. SIGMA, 2002.

Documents

Matematica_-_4_-_Tipologia_rezolvarii_problemelor_opti