Matematica_-_3_-_Didactica_geometriei_opti

Specializarea

Forma de învăţământ ID - semestrul III

MATEMATICĂ

DIDACTICA GEOMETRIEI

Mihaela SINGER Cristian VOICA

2011

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didacticedin învăţământul preuniversitar

pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Program de conversie profesională la nivel postuniversitar

pentru cadrele didactice din învăţământul preuniversitar

MATEMATICĂ

Didactica geometriei

Mihaela SINGER Cristian VOICA

2011

© 2011 Acest manual a fost elaborat în cadrul "Proiectului pentru Învăţământul Rural", proiect co-finanţat de către Banca Mondială, Guvernul României şi comunităţile locale.

Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului.

ISBN 973-0-04103-2

Cuprins

1

CUPRINS

INTRODUCERE ...................................................................................................... 4 Unitatea de învăţare 1 .................................................................................................. 12 Competenţele Unităţii de învăţare 1 ...................................................................... 13 1.1. Puţină istorie... ...................................................................................................... 14 1.2. Cum folosim intuiţia pentru a construi rigoare în raţionament? ............................. 17 1.2.1. Cum construim intuiţia la nivelul noţiunilor primare şi al axiomelor? ........... 17 1.2.2. Cum construim intuitia la nivelul sistemului deductiv? ................................ 23 1.2.3. Construcţia didactică a noţiunilor deduse şi a enunţurilor generate ............ 24 1.3. Tipuri de enunţuri matematice ............................................................................... 26 1.4. Configuraţii particulare utile ................................................................................... 32 1.4.1. Reţelele de pătrate ...................................................................................... 32 1.4.2. Caietul „dictando” ........................................................................................ 33 1.4.3. Pavaje ale planului ...................................................................................... 33 1.4.4. Cubul .......................................................................................................... 34 1.4.5. Tetraedrul .................................................................................................... 34 1.5. Analogia ................................................................................................................ 35 1.5.1. Cum putem folosi analogia în predare? ...................................................... 38 1.5.2. Analogia spaţiu-plan ................................................................................... 41 1.5.3. Pericole ale analogiei plan-spaţiu ............................................................... 42 1.6. Modalităţi de descriere a paralelismului şi perpendicularităţii ................................ 43 1.6.1. Descriere sintetică ...................................................................................... 43 1.6.2. Descriere vectorială .................................................................................... 44 1.6.3. Descriere analitică ...................................................................................... 45 1.6.4. Descriere cu ajutorul numerelor complexe .................................................. 46 1.7. Rezolvări comparative ........................................................................................... 47 1.8. Evaluarea la geometrie ......................................................................................... 55 1.8.1. Perspective ale evaluării ............................................................................. 55 1.8.2. Matricea de structurare a competenţelor .................................................... 57 1.8.3. Cum folosim matricea în evaluare? ............................................................. 58 Test de evaluare finală – notat de tutore ............................................................... 61 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 1 ..................................................................................................................... 62 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 1 ....................................... 65

Cuprins

2

Unitatea de învăţare 2 ................................................................................................. 66 Competenţele Unităţii de învăţare 2 ...................................................................... 67 2.1. Măsurarea: aspecte istorice ................................................................................... 68 2.2. Măsura ................................................................................................................... 69 2.3. Teorema lui Thales ................................................................................................ 71 2.4. Măsurarea - perspective didactice ......................................................................... 72 2.4.1. Măsurarea ariilor şi volumelor ..................................................................... 72 2.4.2. Măsurarea unghiurilor .................................................................................. 73 2.5. Formulele de calcul al ariilor şi volumelor .............................................................. 77 2.6. Exact sau estimativ? .............................................................................................. 81 2.7. Aria şi lungimea cercului; volumul corpurilor rotunde ............................................. 81 2.8. Teorema lui Pitagora ............................................................................................. 83 2.9. Teorema catetei, teorema înălţimii ......................................................................... 85 2.10. Formule trigonometrice: metode de deducere ..................................................... 87 2.11. Tipuri de probleme ............................................................................................... 90 2.12. Încadrarea problemei – sugestie în rezolvare ...................................................... 92 2.13. Culegerea datelor de tip metric ............................................................................ 93 2.14. Scenariul didactic ................................................................................................. 95 2.15. Evaluarea prin proiecte ........................................................................................ 99 Test de evaluare finală – notat de tutore ............................................................. 101 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 2 .................................................................................................................... 102 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 2 ..................................... 104

Cuprins

3

Unitatea de învăţare 3 ................................................................................................ 105 Competenţele Unităţii de învăţare 3 .................................................................... 106 3.1. Euristica rezolvării problemelor ........................................................................... 107 3.1.1. Dinamica procesului de rezolvare a problemelor ...................................... 107 3.1.2. Puncte de sprijin în explorarea strategiilor de rezolvare de probleme ....... 114 3.1.3. Strategii de gândire folosite pentru rezolvarea eficientă a problemelor ..... 116 3.1.4. Cum gândim şi rezolvăm o problemă de geometrie? O strategie de pus în practică de către elevi ............................................................. 122 3.2. Raţionament geometric. Congruenţă şi asemănare ............................................ 124 3.2.1. Logică şi raţionament ................................................................................ 125 3.2.2. Raporturi între noţiuni ............................................................................... 125 3.3. Congruenţa triunghiurilor.Metoda triunghiurilor congruente ................................ 126 3.3.1. Criteriile de congruenţă a triunghiurilor ..................................................... 127 3.3.2. Metoda triunghiurilor congruente .............................................................. 128 3.4. Relaţia de asemănare; poligoane asemenea ...................................................... 129 3.4.1. Criteriile de asemănare a triunghiurilor ..................................................... 130 3.4.2. Poligoane asemenea131 3.5. Proprietăţi. Mulţimi egale. Definiţii echivalente .................................................. 132 3.5.1. Cum formulăm o definiţie? ........................................................................ 133 3.5.2. Cum generalizăm în geometrie? ..................................................................... 3.5.3. Câteva precizări din perspectivă logică asupra condiţiei necesare şi suficiente .................................................................................................................... 134 3.6. Aplicaţii practice ale geometriei ........................................................................... 137 3.7. Secvenţe ale unei unităţi de învăţare .................................................................. 141 3.8. Evaluarea prin rezolvare de probleme ................................................................. 148 3.8.1. Cum pregătim elevii pentru evaluare prin probe scrise? ........................... 150 3.8.2. Căi practice de îmbunătăţire a performanţelor elevilor .............................. 132 Test de evaluare finală – notat de tutore ............................................................. 154 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii de Învăţare 3 ................................................................................................................... 155 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 3 ..................................... 156 BIBLIOGRAFIE PENTRU ÎNTREGUL MODUL .................................................. 157

Introducere

4

INTRODUCERE

Modulul Didactica Geometriei este o continuare naturală a modulului de Didactica Algebrei, parcurs anterior. El se adresează cadrelor didactice care predau sau urmează să predea matematica în şcoli din mediul rural şi este parte componentă a pregătirii profesorilor în cadrul Proiectului pentru Învăţământul Rural (PIR). Modulul Didactica geometriei îşi propune să ofere modalităţi de îmbunătăţire a demersului didactic la orele de matematică. Este unanim recunoscut faptul ca geometria este dificilă, deoarece elevii trebuie să facă raţionamente specifice. Nu este întâmplător faptul că, pe frontispiciul Academiei lui Platon scria: Cine nu este geometru, să nu intre aici! Cunoaşterea şi aplicarea la clasă a unor elemente ce ţin de Didactica Geometriei poate îmbunătăţi performanţele în învăţare ale elevilor şi îi poate ajuta pe aceştia să-şi structureze gândirea pentru a răspunde mai eficient unor cerinţe variate din şcoală şi din afara ei. Temă de reflecţie Cum procedaţi, la orele dumneavoastră, pentru a-i învăţa pe elevi să rezolve probleme? Folosiţi spaţiul liber de mai jos pentru a da un exemplu.

În conceperea modulului, am parcurs următoarele etape:

1. Stabilirea Unităţilor de învăţare Unitatea de învăţare este o parte componentă a modulului de studiu, care are următoarele caracteristici: • Integrează competenţe specifice • Determină dezvoltarea unui anumit comportament al cursantului,

generat de formarea competenţelor vizate • Este unitară din punct de vedere tematic • Se desfăşoară în mod continuu pe o perioadă de timp • Se finalizează prin evaluare. Acest curs este constituit din trei Unităţi de învăţare, axate pe temele principale ale geometriei: Geometrie poziţională, Geometrie metrică şi trigonometrie, Proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice.

2. Construirea competenţelor specifice modulului didactic Competenţele sunt ansambluri structurate de cunoştinţe şi deprinderi dobândite prin învăţare; acestea permit identificarea şi rezolvarea în contexte diverse a unor probleme caracteristice unui anumit domeniu. Pentru modulele didactice (aşa cum este şi modulul de faţă), competenţele au fost construite, pe de o parte, din perspectiva competenţelor meseriei de profesor şi, pe de altă parte, din perspectiva competenţelor generale vizate de domeniul de studiu (în cazul de faţă, Matematică). Am caracterizat activitatea matematicianului prin următoarele formulări sintetice: identifică structuri, relaţii, constante etc. în

Modul de concepere

a cursului

Introducere

5

contexte date, procesează date, foloseşte algoritmi, exprimă trăsături, generalizează proprietăţi, modelează situaţii. Pornind de aici am formulat, pentru fiecare unitate de învăţare din acest modul, câte cinci sau şase competenţe. Formarea lor este urmărită sistematic, pe parcursul fiecărei unităţi de învăţare; pentru a determina gradul de formare a competenţelor specifice, la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare sunt prevăzute teste de evaluare.

3. Stabilirea conţinuturilor Conţinuturile sunt informaţiile de diverse tipuri, transmise prin intermediul textului tipărit, al bibliografiei recomandate, al altor forme de transmitere (Internet, casete audio sau video, CD-uri). Conţinuturile acestui modul au fost alese astfel încât să răspundă competenţelor specifice anterior formulate. De exemplu, pentru competenţa Alegerea unei modalităţi adecvate de descriere a unei situaţii geometrice concrete, în vederea analizei acesteia cu metode sintetice, analitice sau vectoriale, unul dintre conţinuturile alese a fost: Metode sintetice, vectoriale, analitice sau folosind numere complexe, în rezolvarea problemelor de geometrie: avantaje şi dezavantaje ale acestora. Rezolvări comparative ale unei aceleiaşi probleme. Ulterior, conţinuturile au fost ordonate într-o structură care satisface logica internă a matematicii. Studiu individual Identificaţi cu ajutorul cuprinsului unităţile de învăţare ale modulului, apoi citiţi titlurile, competenţele specifice şi titlurile subsecţiunilor acestora.

4. Delimitarea secvenţelor unităţilor de învăţare Pentru a crea premisele unei formări eficiente a competenţelor specifice, fiecare unitate de învăţare a fost divizată în trei secvenţe, caracterizate, din perspectiva cursantului, de următoarele întrebări-cheie:

Aceste secvenţe sunt delimitate prin titlurile: Explorăm şi comparăm!, Înţelegem şi experimentăm!, Aplicăm şi dezvoltăm! Toate cursurile corespunzătoare Proiectului pentru Învăţământul Rural au fost realizate în forme grafice asemănătoare.

Modul de utilizare a cursului

Familiarizare:

Structurare:

Aplicare:

Evocare Ce ştiu deja? Problematizare Cum explorez? Sistematizare Cum organizez? Conceptualizare Ce este esenţial? Aprofundare Cum aplic? Transfer Cum dezvolt?

Introducere

6

Pe fiecare pagină, în partea dreaptă, a fost lăsat un spaţiu alb, întrerupt, din loc în loc, de elemente grafice sau de text (adnotări). Acest spaţiu are un dublu rol: pe de o parte, adnotările atrag atenţia şi vă ajută la identificarea sau consolidarea unor informaţii importante şi, pe de altă parte, spaţiul alb poate fi folosit pentru notiţe, completări, observaţii. Conţinuturile sunt întrerupte de diverse sarcini de lucru. Sarcinile de lucru sunt cuprinse în chenar şi sunt anunţate prin titluri specifice şi prin imagini sugestive. De exemplu, în chenarul de mai jos este formulată o sarcină de lucru.

Temă de reflecţie Identificaţi sarcinile de lucru formulate în paginile anterioare. Ce rol credeţi că au în această introducere? Folosiţi spaţiul liber de mai jos pentru răspunsuri.

Imaginile alăturate sunt asociate unei alte sarcini de lucru.

Studiu individual Răsfoiţi paginile cursului şi observaţi frecvenţa cu care apar sarcinile de lucru propuse. Acolo unde sarcinile de lucru necesită un răspuns, am lăsat un spaţiu în care puteţi scrie. Dacă acest spaţiu este prea mic în comparaţie cu necesităţile dumneavoastră, formulaţi răspunsurile pe un caiet special sau pe foi de hârtie, inserate între foile cursului. Este util să răspundeţi cu consecvenţă la întrebările formulate, imediat după ce aţi parcurs conţinuturile tematice. În acest fel, vă va fi mult mai uşor să sintetizaţi materia parcursă şi să vă pregătiţi pentru a răspunde la testele de autoevaluare, la testele de evaluare notate de tutore, precum şi la colocviul de evaluare finală. În unele cazuri, pentru a răspunde, va trebui să consultaţi şi suporturile de curs ale modulelor de Matematică, parcurse anterior. Dacă aveţi neclarităţi în legătură cu sarcinile de lucru propuse, puteţi folosi sugestiile de rezolvare ale acestora, care se află la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare. Pentru a identifica mai uşor răspunsurile, am numerotat sarcinile de lucru ale fiecărei unităţi de învăţare cu numere succesive, pornind, de fiecare dată, de la 1. În cazul în care

Folosiţi cât mai des aceste spaţii albe; ele au rolul să vă ajute în învăţare!

Folosiţi acest spaţiu pentru notiţe!

Introducere

7

neclarităţile persistă, este indicat să luaţi legătura cu tutorele, sau să îi adresaţi întrebări, la una dintre cele patru întâlniri prevăzute prin programă. În fiecare secvenţă a unităţilor de învăţare sunt formulate unul sau mai multe Teste de autoevaluare. Ele sunt anunţate prin simboluri şi titluri specifice, de tipul celor de mai jos. Test de autoevaluare Alegeţi răspunsul corect! Câte teste de autoevaluare se găsesc în acest curs? a) 4; b)5; c) 6; d)7; e) 8.

Răspunsurile la aceste teste se găsesc la sfârşitul unităţii de învăţare respective şi sunt asociate simbolului alăturat.

Cum se va face evaluarea? Pentru modulul Didactica Geometriei, evaluarea are două componente: evaluarea continuă şi evaluarea finală.

În ce constă evaluarea continuă? Evaluarea continuă este o modalitate de apreciere a activităţii cursantului, pe parcursul întregului semestru. Evaluarea continuă va fi făcută în principal pe baza Testelor de evaluare – notate de tutore. Aceste teste se găsesc la sfârşitul fiecăreia dintre unităţile de învăţare ale modulului şi sunt anunţate în Cuprins. Prin testele de evaluare este verificat gradul de îndeplinire a competenţelor specifice fiecărei unităţii de învăţare. Itemii de evaluare din care sunt formate testele corespund competenţelor specifice unităţii de învăţare; această corespondenţă este evidenţiată prin modul de aşezare în pagină, explicitat mai jos.

Pentru fiecare item de evaluare, sunt precizate modul în care trebuie formulat răspunsul şi baremul de notare. Testele de evaluare, rezolvate individual, vor fi transmise tutorelui în modul şi la datele

Acest desen

Localizează răspunsul la testele de evaluare

Testele de evaluare notate de tutore

Item de evaluare

Competenţă specifică

Item de evaluare

Am reuşit? 1. Una dintre temele majore ale programei de matematică pentru clasa a VII-a este Aria cercului. Folosiţi algoritmul indicat în secţiunea 1.5.2. pentru ... .

... să identific unităţi de învăţare, prin utilizare de algoritmi?

Competenţă specifică

Introducere

8

anunţate la începutul semestrului. Notele obţinute în urma corectării acestor teste reprezintă o parte importantă a evaluării continue a dumneavoastră. Studiu individual Identificaţi cele trei teste de evaluare notate de tutore, pe care va trebui să le rezolvaţi. Folosiţi spaţiul liber de mai jos, pentru a nota paginile la care se găsesc aceste teste.

O altă parte a evaluării continue provine din aprecierea activităţii de-a lungul semestrului şi din timpul întâlnirilor cu tutorele. Pentru aceasta, vor conta: respectarea calendarului de lucru, calitatea întrebărilor formulate, modul în care colaboraţi cu tutorele, precum şi alte aspecte, ce vor fi luate în considerare de la caz la caz.

În ce constă evaluarea finală? Pentru acest curs, forma de evaluare este verificare. Aceasta înseamnă că nu daţi „examen” (adică nu primiţi o notă, în urma rezolvării unor subiecte!), ci sunteţi apreciaţi în urma prezentării, susţinerii şi evaluării portofoliului şi a unei probe practice. Evaluarea finală şi evaluarea continuă contribuie fiecare la stabilirea notei pentru acest modul. O parte importantă a evaluării activităţii dumneavoastră în cadrul acestui modul o reprezintă evaluarea prin portofoliu. Portofoliul este un instrument de evaluare complementară, care regrupează rezultate ale învăţării pe o perioadă mai îndelungată1. Acesta conţine diverse produse realizate de către cursant, pe parcursul întregului semestru, în scopul evidenţierii vectorului de progres al învăţării.

Ce urmează să faceţi? Pe parcursul următoarelor unităţi de învăţare există câteva sarcini de lucru care se referă în mod explicit la portofoliul pe care îl veţi alcătui şi îl veţi prezenta în final. Aceste sarcini de lucru sunt denumite Temă pentru portofoliu şi sunt însoţite de simbolul din imaginea alăturată. Este important să rezolvaţi aceste sarcini de lucru atunci când ajungeţi la ele; a lăsa alcătuirea portofoliului pentru perioada imediat premergătoare evaluărilor – parţiale sau finale – ale acestuia, echivalează cu alcătuirea unui dosar ce nu prezintă relevanţă. Întocmirea portofoliului este o activitate care se desfăşoară în timp, periodic şi cumulativ.

1 Sarivan, L. (coord.), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR - CEDU 2000+

Portofoliul

Introducere

9

Studiu individual Identificaţi toate sarcinile de lucru ale acestui modul a căror rezolvare va trebui inclusă în portofoliu. Folosiţi spaţiul liber de mai jos, pentru a nota paginile la care se găsesc aceste sarcini de lucru.

În afara rezolvărilor la temele specifice, veţi include în portofoliu şi alte documente, despre care credeţi că au relevanţă în aprecierea activităţii dumneavoastră de-a lungul acestui semestru. Acestea pot fi, de exemplu: descrierea unor activităţi desfăşurate cu elevii, sarcini de lucru interdisciplinare propuse elevilor, referate de lectură din bibliografia recomandată, calendarul activităţilor de parcurgere a modulului etc. Alte informaţii despre portofoliu puteţi găsi în modulul Didactica ariilor curriculare Matematică şi Ştiinţe ale naturii şi Tehnologii, pe care l-aţi parcurs în primul semestru. De asemenea, veţi include în portofoliu trei fişe de autoevaluare, răspunzând la întrebările din lista următoare de fiecare dată când finalizaţi o unitate de învăţare2. Fişă de autoevaluare pentru portofoliu Am învăţat ........................................................................................ Am fost surprins/ surprinsă de faptul că ........................................... ........................................................................................................... Cel mai uşor a fost să..................... pentru că ................................... ........................................................................................................... Cel mai mult mi-a plăcut să ........... pentru că ................................... ........................................................................................................... Cel mai mult m-a ajutat .................. pentru că ................................... ........................................................................................................... Am întâmpinat următoarele dificultăţi ................................................. ........................................................................................................... Consider că activitatea mea în acest semestru a fost ....................... ........................................................................................................... Faţă de semestrul anterior, mi se pare mai dificil .............................. ........................................................................................................... Îmi propun ca în semestrele următoare ............................................. ...........................................................................................................

O formă preliminară a portofoliului va fi prezentată tutorelui, la a treia întâlnire pe care o veţi avea cu acesta, conform programului stabilit.

2 Sarivan, L. (coord.), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR - CEDU 2000+

Introducere

10

Observaţiile şi recomandările tutorelui vă vor parveni ulterior, astfel încât să aveţi timpul necesar întocmirii unui portofoliu de calitate.

Cum va fi evaluat portofoliul? Tutorele îşi va construi o listă de criterii de evaluare, pe baza cărora va evalua fiecare portofoliu în parte. Aceste criterii vă vor fi comunicate în timp util. Evaluarea portofoliului se va face prin completarea unei fişe de evaluare de tipul de mai jos, în care apare unul dintre posibilele criterii de evaluare.

În mică

măsură În măsură moderată

În mare măsură

Relevanţa materialelor incluse în portofoliu pentru demonstrarea

progresului cursantului, pe parcursul semestrului

Ulterior, fişa de evaluare va fi transformată într-o notă de la 1 la 10. O altă componentă importantă a evaluării finale este proba practică. În cadrul colocviului de evaluare finală, veţi avea de realizat un „produs” specific activităţii profesorului. Acest „produs” poate fi: un proiect de unitate de învăţare, o planificare calendaristică, un test de evaluare, un barem al unui test de evaluare dat etc. În realizarea „produsului” solicitat, veţi putea folosi orice material de lucru doriţi. De altfel, pentru a răspunde la proba practică, sunteţi obligaţi să aveţi la dumneavoastră: programele de matematică în uz pentru clasele a V-a – a X-a, câte un manual de matematică pentru fiecare clasă şi cursul de faţă. Tematica aleasă va avea legătură cu temele de geometrie alese ca titluri ale unităţilor de învăţare din acest curs. Pentru proba practică, evaluarea prin notă va ţine seama de concordanţa „produsului” cu cerinţele formulate, de posibilitatea utilizării acestuia în activitatea la clasă şi de argumentarea deciziilor de construire pe care le veţi lua. De asemenea, vor conta comentariile şi aprecierile pe care le veţi face, privitor la „produsele” realizate de către alţi colegi.

Cum se acordă nota? În fixarea notei finale, evaluarea continuă are ponderea de 30% din notă, iar evaluarea finală are ponderea de 70%. Nota minimă pentru promovarea acestui modul este 5. Nu ezitaţi să luaţi legătura cu tutorele pentru a obţine alte indicaţii sau precizări, sau pentru a depăşi eventualele blocaje în învăţare.

Succes!

Proba practică

Introducere

11

Test de autoevaluare Verificaţi dacă aţi înţeles corect! Evaluarea continuă se realizează pe baza........................................... .............................................................................................................. Pentru aceasta, va trebui ca fiecare cursant ...................................... ............................................................................................................................................................................................................................ În portofoliu se vor include .................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. La proba practică, putem folosi........................................................... ............................................................................................................. Pentru acest modul, sunt prevăzute ................. întâlniri cu tutorele. Modulul este format din ............. unităţi de învăţare. Pentru a obţine indicaţii de rezolvare a sarcinilor de lucru se poate proceda astfel: ................................................................................... .............................................................................................................. .............................................................................................................. Desenul alăturat semnifică ................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. Una dintre sursele bibliografice recomandate pentru acest modul este ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ Pentru a verifica dacă aţi răspuns corect, recitiţi introducerea!

Geometrie poziţională

12

Unitatea de învăţare 1:

GEOMETRIE POZIŢIONALĂ

Cuprins .................................................................................................... Pagina

Competenţele Unităţii de învăţare 1 ...................................................................... 14 1.1. Puţină istorie... ....................................................................................................... 15 1.2. Cum folosim intuiţia pentru a construi rigoare în raţionament? ............................. 18 1.2.1.Cum construim intuiţia la nivelul noţiunilor primare şi al axiomelor? ............. 18 1.2.2. Cum construim intuiţia la nivelul sistemului deductiv? ................................. 24 1.2.3. Construcţia didactică a noţiunilor deduse şi a enunţurilor generate ............ 25 1.3. Tipuri de enunţuri matematice ..................................................................................... 27 1.4. Configuraţii particulare utile ......................................................................................... 33 1.4.1. Reţelele de pătrate ...................................................................................... 33 1.4.2. Caietul „dictando” ........................................................................................ 34 1.4.3. Pavaje ale planului ...................................................................................... 34 1.4.4. Cubul ........................................................................................................... 35 1.4.5. Tetraedrul .................................................................................................... 35 1.5. Analogia ................................................................................................................ 36 1.5.1. Cum putem folosi analogia în predare? ....................................................... 39 1.5.2. Analogia spaţiu-plan .................................................................................... 42 1.5.3. Pericole ale analogiei plan-spaţiu ................................................................ 43 1.6. Modalităţi de descriere a paralelismului şi perpendicularităţii ................................ 44 1.6.1. Descriere sintetică ....................................................................................... 44 1.6.2. Descriere vectorială ..................................................................................... 45 1.6.3. Descriere analitică ....................................................................................... 46 1.6.4. Descriere cu ajutorul numerelor complexe .................................................. 47 1.7. Rezolvări comparative ........................................................................................... 48 1.8. Evaluarea la geometrie ......................................................................................... 56 1.8.1. Perspective ale evaluării .............................................................................. 56 1.8.2. Matricea de structurare a competenţelor ..................................................... 58 1.8.3. Cum folosim matricea în evaluare? ............................................................. 59 Test de evaluare finală – notat de tutore ............................................................... 62 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru

ale Unităţii de Învăţare 1 ....................................................................................... 63 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 1 ....................................... 65


13

COMPETENŢELE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 1

După studiul acestei unităţi de învăţare, veţi reuşi…

... să proiectaţi sarcinilor de lucru, din perspectiva comparării şi selectării metodelor adecvate de abordare a unei probleme

… să utilizaţi contexte geometrice standard pentru a dezvolta elevului intuiţia asupra relaţionării obiectelor geometrice

… să alegeţi modalităţi adecvate de descriere a unei situaţii geometrice concrete, în vederea analizei acesteia cu metode sintetice, analitice sau vectoriale

… să identificaţi competenţe specifice geometriei poziţionale, evaluabile prin raportare la criterii date în cadrul observării sistematice

… să evidenţiaţi proprietăţi comune ale unor configuraţii diferite, în scopul realizării de către elevi a unor analogii plan-spaţiu


14

EXPLORĂM ŞI COMPARĂM!

1.1. Puţină istorie... Este unanim acceptat faptul că orice ramură a matematicii – dar

în mod special geometria – a apărut din necesităţi practice. Odată apărute, însă, domeniile matematicii au părăsit utilitatea imediată, evoluând spre teoretizare şi abstractizare.

„Această tendinţă, de trecere de la ştiinţa aplicată la cea teoretică, se observă atât în istoria antică, cât şi în zilele noastre: este suficient să avem în vedere contribuţia adusă matematicii moderne de ingineri şi fizicieni”1.

În vechile culturi orientale – este vorba despre babilonieni, egipteni, indieni sau chinezi – se cunoşteau numeroase fapte geometrice, dar acestea erau mai degrabă rezultatul experienţei decât al extrapolării acesteia prin analiză şi interpretare. Abia în Grecia Antică, cunoştinţele matematice de până atunci au fost supuse unei analize filozofice sistematice; astfel, grecii au devenit conştienţi de dificultăţile generate de noţiunile de continuitate, mişcare, infinit, măsurabilitate. Pentru a depăşi aceste dificultăţi, filosofii greci au ajuns la necesitatea raţionamentului, ca modalitate de validare a unui rezultat. În acest fel, „geometria se desprinde din strânsa dependenţă de problemele practice şi se axează pe cercetarea dezinteresată a adevărului «pur»”2.

Apare astfel o diferenţă de substanţă între afirmaţii aparent asemănătoare. Să considerăm următorul exemplu3:

1. Fie dat un triunghi cu laturile de lungime 3, 4 şi 5. Atunci el este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii celei mai lungi.

2. Fie dat un triunghi cu laturile de lungime a, b şi c. Dacă 222 cba =+ , atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept

opus laturii celei mai lungi. Prima afirmaţie era cunoscută egiptenilor şi, se pare, şi

chinezilor. Ea poate fi verificată printr-o experienţă, desenând cât mai exact un triunghi dreptunghic cu laturile de lungimile date. Deşi are acelaşi enunţ (mai puţin lungimile laturilor!), este exclus ca cea de-a doua „problemă” să poată fi validată experimental, datorită necesităţii de a considera o infinitate de cazuri posibile. De aceea, a doua afirmaţie necesită o justificare logică.

Temă de reflecţie 1

De ce nu ar putea să fie măsurarea o metodă de validare a unora dintre faptele matematice?

Sunt segmentele AB şi BC, din figura alăturată, de aceeaşi lungime? Ne putem încrede în „simţul comun” atunci când emitem judecăţi?

1 R.Courant, H.Robbins, Ce este matematica?, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti,1969 2 E.Rusu, Metodica predării geometrie în şcoala generală, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. 3 E.Moise, F.Downs Jr., Geometrie, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

A C

B

Pe frontispiciul Academiei înfiinţate

de Platon scria: Nimeni nu intră aici până când nu este

geometru.

Platon era convins că filozofia se poate întemeia numai pe studiul geometriei.


15

În geometrie, unele dintre rezultate sunt aşa de evidente, încât mult timp nu a trebuit ca ele să fie exprimate în cuvinte. Cu atât mai mult, pentru aceste rezultate, matematicienii nu s-au întrebat dacă sunt sau nu adevărate. Grecia Antică a fost însă străbătută de tot felul de curente filozofice, în cadrul cărora se încerca explicarea realităţii. De aceea, apare ca naturală preocuparea grecilor pentru fundamentele geometriei, adică pentru identificarea unui sistem de noţiuni şi de relaţii, precum şi a unor reguli de deducere proprii acestei ştiinţe.

Două personalităţi au influenţat decisiv dezvoltarea geometriei ca ştiinţă şi impunerea raţionamentului ca modalitate de validare a rezultatelor. Este vorba despre Aristotel (384 î.H.-322 î.H.), care a pus bazele logicii şi Euclid (cca. 330 î.H.-275 î.H.), care a cristalizat tendinţa deductiv-axiomatică prin alcătuirea Elementelor.

Sistemul axiomatic al lui Euclid reprezintă o teorie neformalizată: în „Elemente”, el introduce noţiunile fundamentale de punct, dreaptă, plan prin descrieri intuitive, iar axiomele exprimă proprietăţi ale acestora sugerate de experienţă. De exemplu, Euclid defineşte dreapta (linia) prin următoarele caracterizări:

1. Linia este o lungime fără lăţime. 2. Extremităţile liniei sunt puncte. 3. Linia dreaptă este aceea la care toate punctele sunt

(sosesc în mod egal) la sfoară. Preocupaţi în egală măsură de adevăr şi frumos, filosofii greci –

acest termen desemnează, pentru acea epocă, persoane erudite – au fost preocupaţi de minimalitatea şi de noncontradicţia sistemului de axiome al geometriei. De aici a apărut una dintre cele mai importante probleme privind fundamentele matematicii: este postulatul al V-lea al lui Euclid (privind existenţa unei unice paralele la o dreaptă, ce trece printr-un punct exterior acesteia) o teoremă? Altfel spus: poate fi obţinută această afirmaţie ca o consecinţă a celorlalte axiome, utilizând regulile acceptate de deducţie logică?

Răspunsul negativ la această întrebare a putut să fie argumentat abia în secolul al XIX-lea, prin descoperirea geometriilor neeuclidiene. Acest fapt a determinat o reîntoarcere la fundamentele matematicii, prin conturarea unui vast program de cercetare, caracterizat de încercarea de îndepărtare a matematicii de filozofie.

Ca rezultat al discuţiilor, au fost elaborate sisteme axiomatice (semi-)formalizate, adică sisteme în care noţiunile şi relaţiile primare (cum ar fi, de exemplu, noţiunea de dreaptă şi relaţia de apartenenţă) sunt considerate entităţi date apriori, fără a fi definite. O astfel de construcţie a fost făcută de către David Hilbert (1862-1943)4.

Ulterior, au apărut alte sisteme axiomatice ale geometriei. Unele dintre acestea au un declarat scop didactic, aşa cum este, de exemplu, axiomatica lui George David Birkhoff (1884-1944)5. În acest sistem axiomatic, sunt presupuse cunoscute teoria mulţimilor şi teoria numărului real, iar noţiunile primare sunt punctul, dreapta, planul, distanţa şi măsura (unghiurilor).

4 v.de ex. R.Miron, D.Brânzei, Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Ed.Academiei, Bucureşti, 1983 5 v. de ex. E.Moise, F.Downs jr., Geometrie, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983

Euclid

Aristotel


16

Studiu individual Folosiţi modulele de geometrie şi bibliografia indicată la sfârşitul

acestei Unităţi de învăţare, pentru a compara diversele sisteme axiomatice ale geometriei.

Temă de reflecţie 2 Un exemplu de formalizare a geometriei afine plane este

următorul. Definim predicatele p, q, r, d, care, în vorbirea curentă, înseamnă: p(x): x este punct; q(y): y este dreaptă; r(x,y): x se află pe y; d(x, y): x este diferit de y.

Cu aceste notaţii, axioma „orice dreaptă conţine cel puţin două puncte” se exprimă astfel: (∀z, q(z))(∃x, p(x)) (∃y, p(y)) r(x,z)∧r(y,z) ∧ d(x,y).

Exprimaţi formal axioma: „două drepte diferite au cel mult un punct în comun”.


17

1.2. Cum folosim intuiţia pentru a construi rigoare în raţionament? În orice construcţie axiomatică, se lucrează cu două categorii

de concepte: noţiuni şi enunţuri. Un sistem axiomatic pleacă de la noţiuni primare şi axiome şi

construieşte, prin intermediul sistemului logic propriu disciplinei respective, noţiuni deduse şi enunţuri generate. Trecerea de la enunţuri simple (axiome) la enunţuri generale/ complexe presupune evoluţia elevului dinspre intuiţia primară, gândită ca fiind „dezvoltată în individ, independent de orice instruire sistematică, doar ca efect al propriei experienţe”6, spre rigoare. Ca urmare, elevul îşi poate construi o intuiţie de altă natură, numită de E. Fishbein „intuiţie secundară” şi definită ca fiind formată „nu prin experienţă, ci prin intervenţii educaţionale”7. În geometrie, rigurozitatea presupune, însă, atât adoptarea unui sistem minimal de noţiuni şi enunţuri primare, cât şi formalizarea acestuia. Totuşi, un exces de formalism distruge intuiţia secundară şi face ca întregul sistem deductiv să fie dificil de manevrat.

Temă de reflecţie 3 Aduceţi argumente şi contraargumente pentru următoarea

afirmaţie: “Geometria nu poate fi prezentată şi riguros, şi elementar.” – René Thom, laureat al premiului Fields. (Premiul Fields este cel mai important premiu atribuit unui matematician, similar cu premiul Nobel.)

Cum putem, totuşi, să folosim intuiţia pentru a construi

rigoarea? Este posibil ca, la nivelul gimnaziului, să construim o intuiţie secundară stabilă privind conceptele geometrice?

1.2.1. Cum construim intuiţia la nivelul noţiunilor primare şi al axiomelor?

Privitor la studiul geometriei în învăţământul preuniversitar, specialiştii în educaţie sunt puşi în faţa unei adevărate dileme: necesitatea de a păstra spiritul ştiinţific versus accesibilizarea pentru elev a cunoştinţelor.

6 Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dodrecht, Holland: Reidel. 7 ibidem


18

Comparativ cu aritmetica sau algebra, geometria are o structură mult mai complicată, ceea ce duce la necesitatea unui compromis în prezentarea ei pentru elevii de şcoală generală sau de liceu. De altfel, experienţa ne arată că, inclusiv pentru studenţi ai Facultăţii de Matematică, înţelegerea fundamentelor geometriei reprezintă o problemă greu de depăşit.

De aceea, apar ca fiind naturale încercările de a prezenta geometria la nivel „elementar”, făcute în învăţământul românesc în ultimii ani; manualele autorilor A. Hollinger (EDP, 1979), C. Ottescu şi I. Cuculescu (EDP, 1980), A. Coţa s.a. (EDP, 1981,1982) sunt astfel de exemple.

Studiu individual Comparaţi opţiunile de natură didactică, din manualele de

geometrie enumerate mai sus.

Cum putem proceda, ca profesori, pentru accesibilizarea pentru

elevi a axiomelor geometriei? Lista axiomelor cu care lucrăm variază, în funcţie de gradul de

minimalitate cu care operăm. De exemplu, în sistemul axiomatic al lui Birkhoff (în care se consideră ca noţiuni primare distanţa şi măsura unghiurilor), cazul de congruenţă LUL este o axiomă, în timp ce cazurile de congruenţă ULU şi LLL sunt enunţuri demonstrabile. Totuşi, pentru a uşura înţelegerea de către elevi, putem considera că şi aceste ultime cazuri de congruenţă sunt axiome.

Precizăm că în sistemul axiomatic al lui Hilbert, toate aceste cazuri de congruenţă sunt teoreme, adică pot fi deduse pornind de la axiomele acceptate. Pentru elevi, criteriile de congruenţă a triunghiurilor au o bună justificare intuitivă în cazurile de construcţie a triunghiurilor.

Studiu individual În cartea Geometrie elementară dintr-un punct de vedere

superior, indicată la bibliografie, se arată că, în sistemul axiomatic al lui Birchoff, axioma LUL este independentă de celelalte axiome ale geometriei plane, care o preced.

O demonstraţie se găseşte la pag. 87. Citiţi argumentele şi realizaţi un rezumat al acestei demonstraţii.


19

Unele axiome pot fi păstrate într-o formă implicită, deoarece convenţia de reprezentare prin desen conţine practic axioma. De exemplu, nu este necesar ca următoarea axiomă („axioma lui Pasch”, din sistemul axiomatic al lui Birchoff) să fie efectiv enunţată:

Fie ABC un triunghi şi L o dreaptă în acelaşi plan. Dacă L intersectează latura AC, atunci L intersectează sau latura AB, sau latura BC.

În introducerea axiomelor la clasă, este util să adoptăm punctul de vedere al lui Euclid şi să pornim de la experienţă, ca mod de validare a acestora. De aceea, înainte de a enunţa axiomele, este necesar să organizăm activităţi de învăţare ce vizează observarea şi compararea proprietăţilor unor figuri sau corpuri geometrice realizate din diverse materiale, desenarea unor configuraţii geometrice şi compararea acestora, determinarea prin măsurare a unor lungimi sau arii. În plus, prin identificarea unor proprietăţi specifice, putem conceptualiza şi noţiunile fundamentale de punct, dreaptă sau plan.

Câteva exemple de astfel de activităţi de învăţare sunt prezentate mai jos.

Exemplul 1

Cereţi elevilor să marcheze pe caiet: un punct, două puncte, trei puncte, apoi să folosească rigla pentru a trasa cât mai multe drepte ce conţin toate punctele marcate.

Reluaţi acelaşi exerciţiu, folosind, în locul riglei, diverse alte materiale: şabloane pentru cercuri, „rigle” cu marginea zimţată etc. (Unele dintre aceste materiale sunt prezentate în imaginea alăturată).

Comparaţi apoi configuraţiile obţinute de elevi şi formulaţi axioma de determinare a dreptei: prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

În acest fel, ajungeţi nu doar la înţelegerea axiomei, dar construiţi şi noţiunea primară de dreaptă prin intermediul unei proprietăţi caracteristice a acesteia.

Exemplul 2

Pentru a introduce axiomele de congruenţă a triunghiurilor, solicitaţi elevilor desenarea unor triunghiuri (folosind rigla şi compasul) pentru care sunt date lungimile unor laturi şi/sau măsurile unor unghiuri. Cereţi elevilor să precizeze în ce cazuri se obţine câte o singură figură.

Pentru aceste cazuri, cereţi elevilor verificarea (prin măsurare) a corectitudinii construcţiei, decupaţi câteva dintre triunghiurile obţinute şi arătaţi, prin suprapunere, că acestea sunt congruente. Enunţaţi apoi criteriile de congruenţă.

În acest fel, accentuaţi natura cinematică a congruenţei, deoarece puneţi elevii să verifice prin suprapunere congruenţa unor triunghiuri.

A

B

C

L


20

Exemplul 3.

Comparaţi diverse suprafeţe (de exemplu: feţele unei cutii de carton, suprafaţa unui măr), din punctul de vedere al intersecţiei acestora cu o dreaptă (folosiţi, de exemplu, o andrea). În acest fel, puteţi construi noţiunea primară de plan, folosind o proprietate caracteristică, enunţată ca axiomă: dacă un plan conţine două puncte ale unei drepte, atunci el conţine întreaga dreaptă.

Cereţi elevilor să observe şi să descrie modul în care se îmbină: doi pereţi ai clasei; pereţii şi rafturile unui dulap; coperţile unei cărţi.

Enunţaţi apoi axioma de intersecţie a planelor: Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecţia lor este o dreaptă.

Cereţi-le apoi să analizeze desenul alăturat, în care sunt prezentate două plane care au punctul A comun şi să facă un desen mai sugestiv, gândindu-se la o cazma ce se înfige în pământ.

Exemplul 4.

Folosiţi un paralelipiped sau o carte deschisă (sugerată de imaginea alăturată), pentru a arăta că prin două puncte trec mai multe plane. Cereţi apoi elevilor să imagineze improvizarea unei măsuţe de lemn, obţinută prin sprijinirea unui blat de lemn pe câţiva pari înfipţi în pământ, apoi să decidă care este numărul minim de pari necesari pentru ca masa să fie stabilă.

Adresaţi elevilor întrebări de tipul: De ce o masă cu patru picioare se întâmplă adesea să nu fie stabilă? (Puteţi, de exemplu, să cereţi elevilor să scrie un eseu pe această temă!). În acest fel, caracterizaţi planul prin intermediul a trei puncte (necoliniare) ale sale şi ajungeţi în mod natural la enunţul axiomei de determinare a planului: trei puncte necoliniare determină un plan. Acest tip de demers didactic foloseşte intuiţia elevilor pentru a construi rigoarea in geometrie şi pentru a construi intuiţia secundară.

A

A

B


21

Temă de reflecţie 4 Imaginaţi sarcini de lucru, pe baza cărora elevii pot înţelege în

mod natural “axioma riglei”: Fiind date punctele O şi A pe dreapta d, există un sistem de coordinate h pentru d, astfel încât h(O )= 0 şi h(A) = 1.


22

La nivelul învăţământului preuniversitar se optează, de regulă, pentru o modalitate neformalizată în introducerea conceptelor şi relaţiilor. Astfel, putem „defini” punctul, de exemplu, pornind de la măsurare: un paralelipiped are trei dimensiuni, un pătrat are două dimensiuni, un segment are o dimensiune, în timp ce punctul geometric nu are nici lungime, nici lăţime, nici înălţime8.

Este indicat să atenţionăm elevii că punctele, dreptele şi planele sunt modele matematice, construite pornind de la realitate şi că ele nu există ca atare în natură, ci ni le putem doar imagina. A identifica, de exemplu, un punct cu urma lăsată de un creion ascuţit pe hârtie, fără alte precizări, poate conduce, în timp, la confuzii, aşa cum este cazul prezentat în interviul de mai jos, în care eleva D.F., din clasa a XII-a, confundă modelul matematic cu reprezentarea sa fizică, concretă (comentariul elevei este redat prin caractere italice):

- Uită-te un pic aici (Fig.1, n.n.) … astea sunt 60 de punctuleţe, aşezate pe un segment … Câte punctuleţe crezi că mi-ar trebui ca să umplu tot segmentul?

- Adică… să îl umplu… - Da, câte punctuleţe crezi că are de fapt segmentul ăsta? - Pai… o infinitate? - Are segmentul o infinitate de puncte? - Nu, nu are … are … deci distanţa dintre ele pare să fie

un alt punctuleţ … şi atunci, dacă aveam 60… mai punem încă 60, cel puţin…

- Deci, cum stăm cu afirmaţia ta de adineauri, că o dreaptă are o infinitate de puncte … pentru segmente, e adevărată?

- Pai nu e adevărat pentru segmente, că segmentul începe de undeva şi se sfârşeşte undeva…

- Deci un segment are un număr finit de puncte? - Da.

8 Imaginile sunt preluate din Drugan, Gh. şi al., Matematică. Manual pentru clasa a V-a, Ed.Sigma, 1997

Fig.1.


23

Temă de reflecţie 5 Consultaţi manualele de geometrie, discutaţi cu alţi profesori de

matematică, apoi scrieţi, în spaţiul liber de mai jos, modalităţi prin care le puteţi sugera elevilor conceptele de punct, dreaptă sau plan. Ce disfuncţionalităţi de înţelegere credeţi că pot genera aceste identificări între modelele matematice şi diverse obiecte din lumea reală?

1.2.2. Cum construim intuiţia la nivelul sistemului deductiv? Studiul geometriei, mai mult decât al altor domenii din

matematică, se bazează în principal pe un demers de tip deductiv. Acesta presupune ca, pornind de la axiome, toate celelalte rezultate să fie obţinute prin demonstraţie, folosind regulile de deducţie logică. De aceea, o bună pregătire a raţionamentului geometric trece obligatoriu prin înţelegerea de către elev a unor elemente de logică.

Atunci când încep „geometria bazată pe raţionament”, majoritatea elevilor din clasa a VI-a sunt derutaţi: ei nu au înţeles încă „ce au voie” şi „ce nu au voie” să facă! De obicei, un astfel de elev enunţă judecăţi de valoare folosind figura, adică apelează la intuiţia sa primară pentru a rezolva sarcini de lucru. Înainte însă de a trece la demonstraţii efective, elevul are nevoie să înţeleagă faptul că sistemul de argumentare s-a schimbat, că toate afirmaţiile sale trebuie susţinute prin utilizarea unei anumite scheme de deducţie, că unele afirmaţii, aparent corecte, pot fi dovedite ca fiind false. Apelarea la jocuri logice este o modalitate didactică pentru depăşirea acestui blocaj.


24

Exemplu

Pornim de la următorul sistem de „axiome”: Anca are 12 ani. Bogdan este fratele geamăn al lui Matei. Anca şi Matei sunt prieteni cu Lucia. Bogdan joacă fotbal în echipa clasei. Bogdan este fratele Ancăi. Matei este cu doi ani mai mare decât Lucia. Lucia şi Anca sunt născute în aceeaşi lună.

Pentru afirmaţiile de mai jos, precizaţi dacă sunt adevărate sau false, sau dacă nu se poate decide asupra valorii lor de adevăr, pe baza premiselor de mai sus:

a) Matei şi Anca sunt fraţi. b) Lucia are 13 ani. c) Bogdan are 14 ani. d) Matei nu joacă fotbal. e) Bogdan este fratele Luciei.

Adăugaţi alte două afirmaţii adevărate, care se pot deduce din „axiomele” date.

Temă de reflecţie 6 Daţi un alt exemplu de joc logic, prin care puteţi pregăti

introducerea axiomelor la geometrie.

1.2.3. Construcţia didactică a noţiunilor deduse şi a enunţurilor generate

Pornind de la noţiunile primare, geometria construieşte diverse noţiuni deduse cum ar fi, de exemplu, triunghi, mediană, cerc, pătrat.

Unele dintre aceste noţiuni sunt păstrate într-o formă implicită/ intuitivă, din motive de raţionalitate (ce ţin de uşurinţa manevrării anumitor concepte). Astfel de noţiuni sunt, de exemplu: interior al unui triunghi sau al unui unghi, poligon, poliedru. A apela la definiţii „riguroase” ale acestor concepte nu face decât să mărească contradicţiile dintre intuitiv şi riguros. De fapt, toate aceste noţiuni au un caracter topologic (deoarece au proprietăţi independente de formă şi măsură), iar gândirea umană are o evidentă componentă topologică. De aceea, aceste noţiuni pot fi păstrate doar la nivel intuitiv, fără pericolul unor disfuncţionalităţi sau confuzii.


25

Temă de reflecţie 7 Identificaţi şi alte noţiuni, pentru care este indicat să fie păstrate

într-o formă intuitivă.

Există teoreme de geometrie, a căror demonstraţie nu este

necesară, sau pentru care demonstraţia depăşeşte nivelul de înţelegere a elevilor clasei. Ca profesori, nu ne putem însă mărgini la enunţarea acestor teoreme şi aplicarea lor în probleme; elevilor trebuie să li se creeze convingeri matematice, pe baza cărora să poată accepta aceste rezultate chiar şi fără demonstraţie. De cele mai multe ori, aceste convingeri se pot crea apelând la intuiţia elevilor.

Exemplul 1

Teorema dreptelor paralele: Dacă două drepte sunt paralele, atunci ele formează cu o secantă arbitrară unghiuri alterne-interne congruente.

La nivelul clasei a VI-a, justificarea prin demonstraţie a acestei teoreme nu este recomandată: ar trebui folosite metoda reducerii la absurd, axioma LUL, axioma de determinare a dreptei şi axioma paralelelor, ceea ce este greu pentru nivelul de înţelegere al unui elev de clasa a VI-a.

Pentru a crea totuşi convingerea că teorema este adevărată, puteţi folosi, de exemplu, o foaie de caiet „dictando”, adică o configuraţie particulară de drepte paralele. Solicitaţi elevilor să aleagă două dintre paralele, să deseneze o secantă arbitrară şi să măsoare cu raportorul unghiuri în poziţie de alterne-interne, formate de acestea. Numai după compararea rezultatelor (şi mirarea necesară exprimată de profesor, faţă de obţinerea aceloraşi măsuri!), degajaţi rezultatul general. Aveţi grijă să atenţionaţi elevii că această teorema nu este încă demonstrată, dar că acest lucru se poate realiza, folosind doar cunoştinţele lor.

Activitatea descrisă poate fi şi un bun prilej de lucru cu manualul – puteţi cere unora dintre elevi să studieze acasă demonstraţia teoremei...

Paralelismul este o noţiune dificilă, deoarece implică infinitatea: odată desenate două drepte pe caiet, sau pe tablă, nu putem fi siguri de paralelismul lor, deoarece ele se pot intersecta undeva, în afara hârtiei sau a tablei. (De multe ori, se foloseşte chiar descrierea „două drepte sunt paralele dacă nu se intersectează, oricât le-am prelungi” – construcţie tautologică, evident.) Teorema anterioară este însă


26

extrem de importantă deoarece mută problema de la infinit în domeniul mărginit, al foii de hârtie. De aceea are sens să vorbim despre secantă şi proprietăţile sale...

Exemplul 2

Teorema de tranzitivitate a relaţiei de paralelism: două drepte distincte, paralele cu o a treia dreaptă, sunt paralele între ele.

Pentru geometria plană, demonstraţia acestei teoreme este suficient de simplă: ea este echivalentă cu axioma paralelelor. În geometria în spaţiu, dificultatea constă în argumentarea coplanarităţii celor două drepte date. Există mai multe posibilităţi de a demonstra această teoremă; oricare dintre demonstraţii este, însă, subtilă pentru un elev de clasa a VIII-a.

Din punct de vedere didactic, o posibilitate este enunţarea teoremei şi verificarea ei în cadrul unei configuraţii familiare, de exemplu pentru muchiile unui paralelipiped sau cub. Pentru aceasta, este util să confecţionaţi două prisme triunghiulare care, prin alipire, formează un paralelipiped secţionat după planul diagonal9.

O altă posibilitate este prezentarea unui material didactic de tipul „evantai”, confecţionat prin plisarea hârtiei, aşa cum este sugerat în figura alăturată. Putem arăta coplanaritatea unor muchii, prin aşezarea acestora pe o suprafaţă plană (de exemplu, pe catedră).

Exemplul 3

În argumentarea teoremei despre dreapta perpendiculară pe un plan (i.e. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan), puteţi folosi o carte deschisă, aşezată pe catedră, două echere sau un suport de brad.

Exemplul 410

Pentru ca elevii să înţeleagă intuitiv Teorema celor trei perpendiculare, este util să folosiţi un „teu” (instrumentul de lemn cu care se spală podelele): o latură a teului este „dreapta din plan”, coada este „perpendiculara”, iar „perpendiculara pe plan” este materializată de persoana care mânuieşte teul!

1.2.4. Tipuri de enunţuri matematice În matematică, lucrăm cu diverse tipuri de enunţuri. „Obiectele” geometrice se introduc prin definiţii. O definiţie

stabileşte, de fapt, însuşirile „obiectului” vizat, care, pe de o parte, îl caracterizează, iar pe de altă parte îl deosebesc de alte „obiecte”.

De regulă, o definiţie precizează genul proxim şi diferenţa specifică: un dreptunghi este un paralelogram (genul proxim) cu un unghi drept (diferenţa specifică).

9 Puteţi folosi, de exemplu, Decupează, construieşte şi verifică!, Ed.Sigma, 2001. 10 Exemplul a fost sugerat autorilor de către profesorii participanţi la Cursurile de formare, organizate de Universitatea din Bucureşti în 2005 şi 2006.


27

Temă de reflecţie 8 Scrieţi trei definiţii ale unor concepte geometrice, în care sunt

precizate genul proxim şi diferenţa specifică.

O definiţie trebuie să se dovedească exprimabilă prin condiţii

necesare şi suficiente. În acest mod, putem înlocui o definiţie dată cu alte definiţii echivalente.

Exemplu

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele două câte două.

Această definiţie este echivalentă cu: Paralelogramul este patrulaterul cu două laturi opuse, paralele

şi congruente. Paralelogramul este patrulaterul în care punctul de intersecţie a

diagonalelor este mijlocul fiecăreia dintre ele. Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse congruente

două câte două. Axiomele şi teoremele sunt enunţurile matematice pe baza

cărora este construită geometria. „Avem propoziţii pe care le admitem fără demonstraţie –

acestea sunt axiomele – şi propoziţii pe care le demonstrăm – acestea sunt teoremele. Axioma nu este un „adevăr evident” – concepţie care se formează în geometria elementară. (...) Nu poate fi „evident” că printr-un punct se pot duce mai multe nesecante la o dreaptă dată şi tot evident că se poate duce una singură. Dar noi admitem că se poate duce una şi construim o geometrie; apoi, admitem că se pot duce mai multe şi construim o altă geometrie. Tot astfel, teorema nu este „un adevăr neevident”. Ni se pare evident că o latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două, şi totuşi aceasta este o teoremă pentru că se poate demonstra pe baza axiomelor.”11

În geometrie, apar însă şi alte tipuri de enunţuri; ele sunt necesare pentru caracterizarea echivalentă a unor concepte importante. Reciprocele unei teoreme sunt propoziţii obţinute din teorema iniţială, prin schimbarea ipotezei (sau a unei părţi din aceasta), cu concluzia. Obţinem astfel propoziţii care pot fi adevărate sau false.

11 E.Rusu, Matematica în liceu - probleme de metodică, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970.


28

Exemplul 1: Reciproca teoremei paralelelor

Teorema dreptelor paralele este următoarea: Dacă două drepte sunt paralele, atunci ele formează cu o secantă arbitrară unghiuri alterne-interne congruente.

Reciproca acestei teoreme este: Dacă două drepte formează cu o secantă unghiuri alterne-interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Temă de reflecţie 9 Folosiţi axioma paralelelor pentru a demonstra că reciproca de

mai sus este adevărată.

Exemplul 2: Reciproca teoremei bisectoarei

Teorema bisectoarei este următoarea: Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi determină pe latura

opusă segmente proporţionale cu laturile care formează unghiul. Altfel spus, pentru figura alăturată:

AD bisectoare ACAB

DCBD = .

Reciproca acestei teoreme este:

Dacă D∈[BD] şi ACAB

DCBD = , atunci (AD este bisectoarea

unghiului BAC. Temă de reflecţie 10 Demonstraţi teorema bisectoarei, folosind construcţia sugerată

în figură. Verificaţi dacă reciproca este adevărată.

A

B C D

M

∠ 1

∠ 2

a

b

a // b ∠ 1 ≡ ∠ 2


29

Exemplul 3: Reciproca teoremei lui Thales

Enunţul teoremei lui Thales este: O paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

Reciproca acestei teoreme are nevoie de câteva precizări. Dat segmentul [AB], există două puncte pe dreapta AB care

împart acest segment într-un raport dat: unul dintre puncte este interior segmentului, iar celălalt este exterior.

2

2

1

1

BCAC

BCAC

=

De aceea, reciproca teoremei se enunţă astfel: Dacă punctele

D şi E se găsesc pe dreptele AB şi AC, ambele în interiorul sau ambele în exteriorul segmentelor [AB], respectiv [AC] şi dacă

ECAE

DBAD = , atunci dreptele BC şi DE sunt paralele.

O formulare prescurtată, de tipul:

ECAE

DBAD = DE // BC,

nu este o propoziţie adevărată; ipotezele privind poziţionarea punctelor pe laturile triunghiului sunt, de fapt, conţinute implicit în concluzia teoremei şi, de aceea, trebuie să figureze în enunţul reciprocei.

Exemplul 4: Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare

Teorema celor trei perpendiculare se poate formula astfel:

Se dau: planul α, punctul A şi dreapta d

Se ştie că: d ⊂ α, A ∉ α

Dacă: AB ⊥ α şi BC ⊥ d (unde B∈α, C∈ d)

Atunci: AC⊥ d. Observăm că în ipoteza teoremei apar două condiţii. De aceea,

teorema celor trei perpendiculare are două reciproce. Prima reciprocă se poate enunţa astfel:

Se dau: planul α, punctul A şi dreapta d, d ⊂ α, A ∉ α

Dacă: AB⊥ α şi AC ⊥ d (B∈α, C∈ d)

Atunci: BC ⊥ d

Dacă dintr-un punct exterior unui plan ducem perpendiculara pe plan şi perpendiculara pe o dreaptă din plan, atunci dreapta ce uneşte picioarele celor două perpendiculare este perpendiculară pe dreapta dată din plan.

A B C1 C2

A

B C

D E

D1

E1

AB ⊥ α

BC ⊥ d

AC⊥ d.


30

Prin schimbarea celei de-a doua condiţii din ipoteza teoremei, cu concluzia, se obţine o propoziţie falsă. De aceea, completăm ipoteza cu o condiţie suplimentară pentru a obţine o propoziţie adevărată. Enunţul obţinut este cunoscut sub numele de a doua reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare:

Înţelegerea modului în care formulăm reciproce ale unei

teoreme se pregăteşte, de regulă, prin exerciţii simple de logică. Putem propune, de exemplu, analiza unor propoziţii de tipul:

Dacă echipa joacă bine, atunci ea câştigă meciul. De aceea, dacă echipa a câştigat meciul, înseamnă că ea a jucat bine.

Studiu individual Studiaţi modul în care sunt enunţate şi argumentate reciprocele

unor teoreme în manualele de matematică de care dispuneţi.

Se dau: planul α, punctul A şi dreapta d, d ⊂ α, C ∈ d

Dacă: AC ⊥ d, AC ⊄ α, BC ⊥ d, BC ⊂ α şi AB ⊥ BC,

Atunci: AB ⊥ α.

Dacă într-un punct al unei drepte dintr-un plan se duc două drepte perpendiculare pe ea, prima exterioară planului şi a doua conţinută în plan, atunci perpendiculara dintr-un punct al primei drepte pe cea de-a doua este perpendiculară pe plan.

Temă de reflecţie 11 Alegeţi trei teoreme referitoare la incidenţă şi poziţionare şi formulaţi reciproce ale acestora. Precizaţi dacă reciprocele sunt propoziţii adevărate.


31

Temă de reflecţie 11 Alegeţi trei teoreme referitoare la incidenţă şi poziţionare şi

formulaţi reciproce ale acestora. Precizaţi dacă reciprocele sunt propoziţii adevărate.

Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect!

1. Personalităţile care au influenţat decisiv dezvoltarea geometriei ca ştiinţă şi impunerea raţionamentului ca modalitate de validare a rezultatelor sunt

................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................

2. O definiţie a unui concept precizează ………...………………..………………………………………….......... …………………..………………………………………………………….………………………………………………….………………………….

3. În spaţiul liber de mai jos, identificaţi două concepte de

matematică pentru înţelegerea cărora este util să apelaţi la intuiţia elevilor. Descrieţi pe scurt cum procedaţi.


32

ÎNŢELEGEM ŞI EXPERIMENTĂM!

1.4. Configuraţii particulare utile

Geometria presupune inventivitate şi creativitate. Acestea nu se

dezvoltă, însă, de la sine. De aceea, fiecare profesor caută să aplice la clasă metode prin care să formeze la elevi competenţe ce vizează efectuarea unui raţionament.

O posibilă modalitate de acţiune este „rezolvarea prin imitare”: rezolvăm o problemă, ca model, apoi propunem alte probleme care se rezolvă în acelaşi mod. Metoda are ca principal dezavantaj algoritmizarea excesivă: elevul antrenat doar în acest fel va fi dezorientat atunci când va avea de rezolvat probleme de alt tip, sau chiar problemele exersate, dacă acestea sunt formulate diferit.

O altă posibilitate de acţiune constă în utilizarea unor configuraţii particulare, în care să dezvoltăm sarcini de lucru diverse. În acest mod, învăţarea devine contextuală: am creat un cadru familiar, care nu mai are nevoie de timp suplimentar pentru percepţie şi interiorizare.

Utilizarea unor contexte geometrice standard permite dezvoltarea intuiţiei elevului asupra relaţionării obiectelor geometrice.

1.4.1. Reţelele de pătrate

Foile din caietul de matematică oferă o configuraţie utilă pentru

probleme diverse de matematică. Prezentăm câteva sugestii de utilizare a acestei configuraţii.

1. Congruenţa unor segmente (în absenţa

metodelor de geometrie metrică). Cereţi elevilor să deseneze diferite segmente şi să

justifice dacă acestea sunt congruente. Congruenţa poate fi validată prin măsurare şi poate fi argumentată folosind cazurile de congruenţă a triunghiurilor.

Pe de altă parte, reţeaua de pătrate oferă o modalitate de „orientare” de tip vectorial: elevii argumentează congruenţa unor segmente prin modul analog de construcţie a acestora („mergem 6 pătrăţele orizontal şi 3 pătrăţele vertical”).

2. Paralelismul dreptelor Elevii pot înţelege mai bine relaţia de paralelism,

dacă dreptele sunt trasate pe această configuraţie, deoarece avem deja evidenţiate două familii de drepte secante. În plus, exersarea paralelismului pe foaia cu pătrăţele este o bună pregătire pentru introducerea funcţiilor trigonometrice.

A

BC

D


33

3. Calculul lungimilor şi ariilor Formarea conceptului de arie este un proces dificil şi

de durată. Nu este vorba aici despre învăţarea formulelor prin care exprimăm ariile unor figuri plane, ci despre interiorizarea conceptului. Pentru aceasta, reţelele de pătrate se dovedesc utile, deoarece acestea conţin unitatea de măsură pentru arie, precum şi modalitatea efectivă de măsurare.

4. Aplicaţii în trigonometrie Folosind configuraţia din imaginea alăturată, se

poate demonstra egalitatea:

arctg(21

) + arctg (31

) = 4π

.

Pentru aceasta, calculăm funcţiile trigonometrice ale unghiurilor ascuţite din triunghiurile colorate pe figură şi observăm că triunghiul evidenţiat este triunghi dreptunghic isoscel.

5. Înţelegerea relaţiei de asemănare

Asemănarea figurilor geometrice poate fi gândită ca o copiere „la scară”. Propuneţi exerciţii de reprezentare a unui desen la scara 2:1, folosind reţele de pătrate pentru ghidare.

Temă de reflecţie 12 Fără a face măsurători, marcaţi mijlocul segmentului AB din figură. Explicaţi construcţia făcută.

1.4.2.Caietul „dictando” Liniatura din caietele „dictando” constituie o configuraţie

geometrică utilă pentru problemele de paralelism: liniile caietului constituie o reţea de paralele echidistante. Folosind această configuraţie, putem justifica teorema paralelelor echidistante şi proprietăţi legate de unghiuri formate de drepte paralele cu o secantă.

1.4.3. Pavaje ale planului Pavarea planului cu diverse configuraţii geometrice poate crea

convingeri matematice şi poate simplifica unele demonstraţii. Exemplificăm pentru câteva pavaje particulare.

A

B


34

1) Suma unghiurilor unui triunghi

Cereţi elevilor să construiască din carton triunghiuri congruente. (Puteţi folosi aceleaşi triunghiuri, utilizate la cazurile de congruenţă.) Pavaţi planul cu aceste triunghiuri, apoi observaţi că cele trei unghiuri ale unui triunghi formează un unghi alungit (sau că cele 6 unghiuri formate în jurul unui punct sunt două câte două congruente cu unghiurile triunghiului iniţial).

2) Teorema liniei mijlocii Prin alăturarea a patru triunghiuri congruente, putem ajunge la

teorema despre linia mijlocie a unui triunghi. Demonstraţia teoremei se face printr-o construcţie geometrică,

ce revine la alăturarea a încă unui triunghi congruent cu cele date. De aceea, pavarea planului cu triunghiuri congruente creează configuraţia naturală în care poate fi înţeleasă această teoremă.

3) Proprietăţile hexagonului regulat Poligoanele regulate (în special, hexagonul regulat) sunt

înţelese mai bine de către elevi dacă sunt descompuse în părţi componente mai simple. Prin pavarea planului cu triunghiuri echilaterale, se obţin proprietăţi ale hexagonului regulat, ce vizează: măsurile unghiurilor, aria, calculul unor segmente.

1.4.4. Cubul Pentru geometria în spaţiu, una dintre configuraţiile cele mai

utile este cubul. Pe un cub se pot exemplifica teoremele de paralelism şi de perpendicularitate, se pot evidenţia teoremele de determinare a planului. Cubul oferă o configuraţie familiară şi datorită faptului că putem „umple” spaţiul folosind cuburi identice.

Câteva exemple de probleme de geometrie poziţională, ce se pot exersa folosind drept context un cub, sunt enunţate în continuare.

În cubul ALGEBRIC, notăm cu M mijlocul laturii AL. Care dintre următoarele elemente determină un plan?

Dreapta AL; punctele A, M, L şi R; dreptele AL şi MG; dreapta MG şi punctul C; punctele G,M şi R.

Fie cubul ABCDEFGH. Găseşte un vârf al cubului care nu aparţine planului (EFC).

Fie cubul ABCDEFGH. Precizează poziţiile relative ale următoarelor perechi de drepte: EC şi BF; AE şi CG; EH şi BC; AB şi GH; BC şi AH; BG şi AF.

1.4.5. Tetraedrul O altă configuraţie utilă pentru geometria în spaţiu este

tetraedrul. Tetraedrul oferă exemplul cel mai clar de puncte sau drepte necoplanare şi este util pentru vizualizarea intersecţiei unor plane.


35

Câteva exemple de probleme de geometrie poziţională, ce se pot exersa folosind drept context un tetraedru, sunt enunţate în continuare.

Fie ABCD un tetraedru şi M, N, P, Q centrele de greutate ale feţelor ACB, ABD, ACD, respectiv BCD. Demonstrează că: dreptele AM şi DQ determină un plan; M, N, P, Q pot fi vârfurile unui tetraedru.

În tetraedrul ABCD, fie M şi N mijloacele muchiilor AB şi AD. Demonstrează că: dreapta MC este inclusă în planul (ABC); dreapta MD este secantă planului (ACN); dreapta MN este paralelă cu planul (BCD); dreptele MN, MC şi NC sunt coplanare.

1.5. Analogia În vorbirea curentă, expresia ”... este la fel cu ...” are o

semnificaţie bine determinată. Spre deosebire de aceasta, în matematică, „la fel” poate însemna mult mai mult.

Două triunghiuri „la fel” sunt asemenea. Dar faptul că două poligoane sunt „la fel” ar putea însemna că acestea au acelaşi număr de laturi, sau că au unele proprietăţi comune. De exemplu, putem spune că patrulaterele din figură sunt „la fel”, deoarece ele au diagonalele perpendiculare.

Aceeaşi caracterizare este valabilă pentru configuraţii din contexte diferite. De exemplu, triunghiul (din geometria plană) este „la fel” cu tetraedrul (din geometria în spaţiu), din perspectiva minimalităţii: ambele au numărul minim posibil de vârfuri şi laturi.

Pentru a nu folosi exprimarea prea vagă „...este la fel cu...”, vom spune că două configuraţii sunt analoage dacă proprietăţi ale uneia dintre ele se regăsesc în cealaltă configuraţie. De exemplu, analogul paralelogramului, în spaţiu, este paralelipipedul, deoarece putem lista o serie de proprietăţi ce se regăsesc de la una dintre configuraţii la cealaltă:

Paralelogramul Paralelipipedul

Laturile opuse sunt paralele Feţele opuse sunt paralele

Laturile opuse sunt paralele

Diagonalele sunt concurente şi se înjumătăţesc

Diagonalele sunt concurente şi se înjumătăţesc Planele diagonale sunt concurente

Laturile opuse sunt congruente Feţele opuse sunt congruente

Paralelogramul are centru de simetrie

Paralelipipedul are centru de simetrie


36

Temă de reflecţie 13 Care credeţi că ar putea fi analogul în spaţiu al pătratului? Ce

proprietăţi v-au condus la această concluzie?

Analogia plan-spaţiu permite înţelegerea conceptelor nou

introduse, prin comparaţie cu proprietăţi şi concepte ale altei configuraţii. Să analizăm, de exemplu, analogia trapez isoscel – trunchi de piramidă regulată, evidenţiată de tabelul comparativ de mai jos.12

În plan În spaţiu

Prin secţionarea un ui triunghi isoscel cu o dreaptă paralelă cu baza acestuia, se obţine un trapez isoscel.

Prin secţionarea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza acesteia, se obţine un trunchi de piramidă regulată.

Laturile neparalele ale unui trapez isoscel sunt congruente.

Muchiile laterale ale unui trunchi de piramidă regulată sunt congruente.

Feţele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată sunt trapeze congruente.

Aria trapezului se calculează cu formula:

2)( hbBA ⋅+=

Aria laterală a trunchiului de piramidă se calculează cu formula:

2)( tbB

laPP

A⋅+

=

Aria trapezului este diferenţa ariilor celor două triunghiuri

Volumul trunchiului de piramidă este diferenţa volumelor celor două piramide.

12 Tabelul este preluat din Matematică. Manual pentru clasa a VIII-a, Ed.Sigma, 2000.


37

De multe ori, evidenţierea unor analogii permite explicarea unor definiţii, care, altfel, pot părea nejustificate.

Exemplul 1: Medianele unui tetraedru

Denumim mediană a unui tetraedru segmentul cu un capăt într-un vârf al tetraedrului şi cu celălalt capăt în centrul de greutate al feţei opuse.

Pentru a înţelege că definiţia este consistentă şi pentru a justifica denumirea comună, ar trebui să determinăm o proprietate a medianelor unui triunghi, care se transpune analog şi medianelor unui tetraedru. O astfel de proprietate este, de exemplu, concurenţa acestor segmente în puncte care determină, pe fiecare dintre ele, acelaşi raport (raport egal cu 2:1 în cazul triunghiului şi cu 3:1 în cazul tetraedrului). O altă proprietate comună provine din fizică: medianele triunghiului şi medianele tetraedrului sunt concurente în centrele de masă ale acestora.

Exemplul 2: Unghiul a două drepte în spaţiu

Pentru a înţelege de ce se defineşte măsura unghiului a două drepte din spaţiu ca fiind măsura unghiului dintre două paralele la dreptele date, duse printr-un punct ales convenabil, este necesar să investigăm proprietăţile unghiului a două drepte din geometria plană.

Prin convenţie, măsura unghiului a două drepte concurente este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri formate de dreptele date. Dacă deplasăm prin translaţie una dintre drepte, adică dacă o înlocuim cu o dreaptă paralelă cu ea, măsura unghiului dintre cele două drepte se păstrează, deoarece unghiurile considerate sunt unghiuri corespondente.

Transferăm această proprietate şi pentru măsura unghiului a două drepte în spaţiu: chiar dacă nu am enunţat încă o definiţie a măsurii unui astfel de unghi, cerem ca aceasta să îndeplinească proprietatea de invarianţă la translaţii ale dreptelor date. Ajungem astfel la definiţia cunoscută. Totuşi, definiţia nu este completă atâta timp cât nu arătăm că ea nu depinde de punctul prin care ducem paralelele la dreptele date; pentru aceasta, este necesar să demonstrăm mai întâi teorema despre unghiurile cu laturile paralele.

Temă de reflecţie 14 Identificaţi o proprietate care poate justifica definiţia unghiului a

două plane în geometria în spaţiu, prin analogie cu definiţia unghiului a două drepte în geometria plană.


38

1.5.1. Cum putem folosi analogia în predare? Configuraţiile geometrice analoage nu se „aseamănă” doar prin

proprietăţile comune pe care le au: în cele mai multe cazuri, putem identifica şi metode asemănătoare de demonstraţie a acestor proprietăţi. De obicei, realizăm analogii dinspre geometria plană spre geometria în spaţiu, din două motive: pentru că elevii studiază mai întâi figurile plane şi, pe de altă parte, pentru că rezolvarea în geometria plană este foarte puternic susţinută de figura problemei.

Exemplul 1: Concurenţa medianelor în triunghi sau în tetraedru

Pentru a demonstra concurenţa medianelor unui triunghi, se arată că punctul de intersecţie a două dintre mediane determină pe fiecare dintre ele segmente în raportul 2:1. Pentru aceasta, se consideră mijloacele segmentelor AG şi BG (G este punctul de intersecţie al medianelor din A şi din B) şi se foloseşte teorema liniei mijlocii.

Aceeaşi metodă de demonstraţie se poate aplica şi în cazul medianelor unui tetraedru. (Reamintim că medianele unui tetraedru unesc vârfurile cu centrele de greutate ale feţelor opuse.) Mai precis, demonstrăm că punctul de intersecţie a oricare două dintre mediane determină pe fiecare dintre ele segmente în raportul 3:1.

Pentru aceasta, se împart segmentele AP şi PB în câte trei părţi congruente (P este punctul de intersecţie al medianelor din A şi din B) şi se foloseşte teorema liniei mijlocii, în triunghi şi în trapez.

Temă de reflecţie 15 Folosiţi figura alăturată şi completaţi demonstraţia pentru concurenţa medianelor unui tetraedru.

A

B

G

C

A

B

M

C

D

A

BM

P


39

Exemplul 2: Concurenţa mediatoarelor şi a bisectoarelor

Pentru a demonstra concurenţa mediatoarelor unui triunghi, folosim proprietatea de loc geometric a acestora: punctele mediatoarei unui segment sunt la distanţe egale de capătul segmentului. În acest fel, arătăm că punctul de intersecţie a două dintre mediatoare se află şi pe cea de-a treia.

Aplicăm aceeaşi metodă de demonstraţie şi pentru a demonstra concurenţa bisectoarelor unui triunghi; pentru aceasta, folosim caracterizarea bisectoarei unui unghi printr-o proprietate de loc geometric şi arătăm că punctul de intersecţie a două dintre bisectoare se găseşte şi pe cea de-a treia.

„Metoda locului geometric” se aplică şi în demonstrarea concurenţei mediatoarelor unui tetraedru: caracterizăm mediatoarele tetraedrului ca locuri geometrice, considerăm punctul de intersecţie a două dintre ele şi arătăm că acesta se află şi pe celelalte două mediatoare.

Temă de reflecţie 16 Demonstraţi că mediatoarele unui tetraedru sunt concurente. Concurenţa înălţimilor unui triunghi are un analog în spaţiu?

Exemplul 3: Analogia piramidă – con

În predare, analogiile între poliedre şi corpuri rotunde pot fi fructificate în diverse moduri. De exemplu, se poate trece de la aria/ volumul unei piramide regulate la aria/volumul conului, stabilind analogii între elementele acestor corpuri. Această analogie presupune un proces de trecere la limită, dat de aproximarea cercului prin poligoane „cu număr foarte mare de laturi”.


40

Piramida Conul

Baza piramidei este un poligon. Baza cilindrului este un cerc. Cercul poate fi aproximat de

poligoane regulate cu număr mare de laturi.

Perimetrul bazei Lungimea cercului

Apotema bazei Raza cercului

Apotema piramidei Generatoarea conului

Muchia piramidei Generatoarea conului

Aria laterală a piramidei regulate:

2pb

l

aPA

⋅=

Aria laterală a conului circular drept:

RGGL

A cl π=

⋅=

2

Temă de reflecţie 17 Evidenţiaţi analogii între elementele trunchiului de piramidă şi

elementele trunchiului de con. Deduceţi astfel formulele de arie şi volum ale trunchiului de con circular drept.


41

1.5.2. Analogia spaţiu-plan „Geometria studiază relaţiile dintre diferite elemente. Spaţiul

introduce ca elemente noi: planul, sfera, cuadricele, care principial extind natural proprietăţile figurilor plane corespunzătoare. Relaţiile studiate- poziţie, ordine, egalitate, paralelism, continuitate- sunt însă aceleaşi. De aceea, de multe ori, demonstrăm proprietăţi spaţiale reducându-le în cazul planului”.13

Dacă trecerea spaţiu-plan este naturală în demonstraţii, trecerea plan-spaţiu este şi ea utilă. Unele rezultate de geometrie, care se demonstrează relativ uşor cu metode ce ţin de geometria în spaţiu, pot determina, prin realizarea de analogii, identificarea unor rezultate pentru geometria plană.

Exemplul 1

Paralelogramele ABCD, ABEF şi BEGC au două câte două o latură comună şi vârful B comun. Demonstraţi că dreptele AG, FC şi DE sunt concurente.

Cea mai uşoară rezolvare a acestei probleme provine din interpretarea figurii ca desen al unui corp geometric (în acest caz, un paralelipiped). Concurenţa cerută de problemă este asigurată de concurenţa diagonalelor paralelipipedului.

Exemplul 2: Teorema lui Desargues

Triunghiurile ABC şi DEF au proprietatea că dreptele AD, BE şi

CF sunt sau paralele, sau concurente. Punctele de intersecţie ale dreptelor AB şi DE, AC şi DF, respectiv BC şi EF sunt coliniare.

Dacă cele două triunghiuri nu sunt coplanare (deci dacă întreaga configuraţie este spaţială), teorema este o consecinţă a axiomei despre intersecţia a două plane: cele trei puncte care ne interesează aparţin intersecţiei planelor (ABC) şi (DEF), care este o dreaptă.

Pentru configuraţia plană, demonstraţia „directă” a teoremei este mult mai dificilă. O posibilitate de demonstraţie în acest caz este identificarea analogului în spaţiu, demonstrarea acestei noi probleme (folosind metodele specifice geometriei în spaţiu), apoi „trecerea la limită”, prin considerarea unor configuraţii din ce în ce mai aplatizate.

Temă de reflecţie 18 Demonstraţi Teorema lui Desargues în plan. (Veţi aplica

teorema lui Menelau în trei triunghiuri, apoi reciproca acesteia.)

13 N.N.Mihăileanu, Complemente de geometrie sintetică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965.

A

B

C

E

F

D


42

1.5.3. Pericole ale analogiei plan-spaţiu O insuficientă analiză comparativă plan-spaţiu poate conduce la

transferarea mecanică de proprietăţi. De exemplu, elevii extind prin analogie proprietăţi de paralelism

de la geometria plană la geometria în spaţiu. Astfel, ei sunt tentaţi să aplice enunţuri de tipul: două drepte paralele cu un plan sunt paralele între ele.

Pentru a evita astfel de greşeli, este util să enunţaţi astfel de rezultate şi să cereţi elevilor să le verifice pe configuraţii particulare (de exemplu, folosind muchiile şi feţele unui cub). De asemenea, este util să propuneţi în testele scrise de evaluare itemi cu alegere duală, de tipul următor:

Răspundeţi cu DA sau NU! Două drepte distincte, perpendiculare pe o a treia dreaptă, sunt

paralele între ele? Temă de reflecţie 19 Enunţaţi alte două posibile rezultate de paralelism sau

perpendicularitate, care ar putea fi obţinute de elevi prin analogia plan-spaţiu. Justificaţi dacă acestea sunt adevărate.


43

1.6. Modalităţi de descriere a paralelismului şi perpendicularităţii

1.6.1. Descriere sintetică În geometria plană, drepte paralele înseamnă drepte care nu au

puncte comune. Tendinţa naturală a elevilor este să transfere prin analogie această definiţie şi pentru geometria în spaţiu. Utilizarea unor configuraţii standard, în care elevii să poată găsi rapid contraexemple, este utilă nu doar pentru această analogie, dar şi în alte situaţii. De regulă, pentru rezultate ce ţin de incidenţă, paralelism şi perpendicularitate, cea mai indicată configuraţie este cubul.

Caracterizarea paralelismului a două drepte prin intermediul unghiurilor formate de acestea cu o secantă este cea mai des utilizată. Pentru a fi mai bine înţeleasă şi reţinută de elevi, este util să reţineţi câteva reguli simple:

1. Desenaţi dreptele în diverse poziţii, nu doar orizontal sau vertical;

2. Folosiţi modalităţi diverse de descriere a configuraţiei, care ar putea să atragă atenţia: de exemplu, explicaţi elevilor că trebuie să identifice pe figură „semnul lui Zorro”.

Alte caracterizări ale paralelismului în geometria plană pot fi, de exemplu, cele sugerate de figurile alăturate.

Paralelismul este o proprietate de incidenţă: două drepte (în plan) sau două plane (în spaţiu) sunt paralele dacă nu au puncte comune. Paralelismul poate fi deci definit independent de măsură. Spre deosebire de aceasta, perpendicularitatea este o proprietate metrică: unghiul drept presupune măsurare sau, cel puţin, comparare cu complementul său.

Putem evidenţia legături diverse între paralelism şi perpendicularitate. De exemplu: două drepte perpendiculare pe o aceeaşi dreaptă sunt paralele între ele; două plane perpendiculare pe o aceeaşi dreaptă sunt paralele între ele; două drepte perpendiculare pe un acelaşi plan sunt paralele între ele, etc. Aceste legături pot fi sugerate, în clasele mici, de modul de reprezentare grafică a unor drepte paralele. De exemplu, prin deplasarea unui echer de-a lungul unei drepte, se construiesc drepte paralele; folosim astfel, la nivel intuitiv, teorema: două drepte perpendiculare pe o aceeaşi dreaptă sunt paralele între ele.

Temă de reflecţie 20 Descrieţi o altă construcţie grafică prin care sugeraţi elevilor

legături între paralelism şi perpendicularitate.


44

1.6.2. Descriere vectorială Descrierea vectorială a paralelismului este generată de relaţiile

şi operaţiile cu vectori. Un vector este o clasă de echivalenţă, relativ la relaţia de

echipolenţă a segmentelor orientate. Această construcţie generează o modalitate de descriere a paralelismului a două drepte: dacă

vectorii AB şi CD sunt egali, atunci dreptele AB şi CD sunt paralele sau confundate.

De exemplu, date punctele A(2, 4, -1), B(4, 3, 0), C(0, 1, -2) şi

D(2, 0, -1), atunci AB = CD = 2 i - j + k , deci AB // CD. O caracterizare asemănătoare provine din operaţia de înmulţire

a unui vector cu un scalar: doi vectori proporţionali şi nenuli sunt situaţi pe două drepte paralele sau confundate.

Temă de reflecţie 21 Folosiţi descrierea vectorială a paralelismului pentru a

demonstra următoarea problemă: Fie ABCD şi EFGH două paralelograme. Demonstraţi că mijloacele segmentelor AE, BF, CG şi DH sunt vârfurile unui paralelogram.

Pentru a descrie vectorial perpendicularitatea, este nevoie de

un concept nou: produsul scalar a doi vectori. (În termeni geometrici, trebuie să trecem de la un spaţiu afin, la un spaţiu euclidian.) Obţinem

astfel caracterizarea: vectorii nenuli AB şi CD sunt perpendiculari

dacă şi numai dacă AB ⋅CD =0. De exemplu, fie A(0, 1, 2), B(-1, 2, 0), C(1, 0, 3) şi D(1, 2, 4).

Calculăm

AB = - i + j -2 k , CD = 2 j + k , deci

AB ⋅ CD = 0. Deducem că AB⊥CD.


45

Temă de reflecţie 22 Demonstraţi sintetic, apoi vectorial următoarea problemă: Dacă

în tetraedrul ABCD există relaţiile AB ⊥ CD şi AC ⊥ BD, atunci avem şi AD⊥ BC.

Comparaţi cele două rezolvări, din punctul de vedere al dificultăţii ideii de rezolvare.

1.6.3.Descriere analitică În descrierea analitică a paralelismului sau perpendicularităţii,

un rol important îl are posibilitatea de a face conexiuni între informaţia geometrică şi exprimarea algebrică, trigonometrică sau vectorială a acesteia.

În plan, direcţia unei drepte este caracterizată de panta dreptei. Panta unei drepte plane este egală cu tangenta unghiului

format de dreaptă cu axa Ox, măsurat în sens trigonometric. Panta evidenţiază viteza de creştere de-a lungul dreptei:

panta = xy

ΔΔ

.

De aceea, panta poate fi calculată dacă ştim coordonatele a două puncte ale dreptei.

Fie d dreapta de ecuaţie: aX+bY+c=0. Dacă b ≠ 0, atunci panta

dreptei d este egală cu ba− .

Folosind secanta Ox, deducem caracterizarea analitică a paralelismului:

Drepte a şi b sunt paralele dacă şi numai dacă pantele lor sunt egale.

Condiţia de perpendicularitate a două drepte poate fi exprimată tot în funcţie de pantele lor. Pe figura alăturată, dreptele a şi b sunt perpendiculare dacă şi numai dacă între unghiurile x şi y există relaţia

y− x = 90° sau, echivalent: tg(y)= − )(

1xtg

.

Obţinem astfel caracterizarea analitică a perpendicularităţii: Dreptele a şi b sunt perpendiculare dacă şi numai dacă

produsul pantelor lor este -1.

Δy

Δx

x y

a

b

a

b


46

În spaţiu, direcţia unei drepte este caracterizată de un vector director. Fie a o dreaptă, iar A şi B două puncte distincte ale dreptei

a. Vectorul AB este un vector director al dreptei a. Fie p un plan. Un vector nenul, perpendicular pe planul p, se

numeşte vector normal la acest plan. Dacă planul p este descris prin ecuaţia aX+bY+cZ+d=0, atunci un vector normal la planul p este

vectorul n = (a, b, c). Folosind vectori directori ai dreptelor, sau vectori normali la

plane, obţinem caracterizări analitice pentru paralelism sau perpendicularitate.

Temă de reflecţie 23 Demonstraţi că planele de ecuaţii 4x+2y-3z=0, respectiv 3x-

3y+2z+1=0, sunt perpendiculare.

1.6.4. Descriere cu ajutorul numerelor complexe Numărul complex z = x+ yi se reprezintă în plan prin punctul de

coordonate (x; y). Reciproc, fiecărui punct din plan îi asociem un număr complex, numit afixul punctului dat. În acest fel, numerele complexe se corespund cu vectori de poziţie, care au originea în originea sistemului de axe. Corespondenţa descrisă are proprietatea că suma a două numere complexe corespunde sumei vectorilor de poziţie asociaţi termenilor.

Fie numerele complexe a, b, c, afixele punctelor distincte A, B, C din plan. Punctele A, B, C sunt coliniare dacă şi numai dacă vectorii AB şi AC sunt proporţionali (factorul de proporţionalitate fiind un număr real).

Obţinem astfel caracterizarea coliniarităţii cu ajutorul numerelor complexe:

Punctele A, B, C sunt coliniare dacă şi numai dacă între afixele

lor a, b, c există relaţia: ∈−−

acab

R.

În planul complex, rotaţia cu un unghi de 90° în sens direct trigonometric, în jurul originii, corespunde înmulţirii cu i. De exemplu, pentru a roti cu 90° punctul de afix 2+3i, reprezentăm în plan numărul i⋅(2+3i).

Rotaţia cu 90° în sens invers trigonometric, în jurul originii, se realizează prin înmulţire cu –i.

Obţinem astfel caracterizarea perpendicularităţii cu ajutorul numerelor complexe:

Dreptele AB şi AC sunt perpendiculare dacă şi numai dacă între

afixele a, b, c ale punctelor A, B, C există relaţia: ∈−−

acab

iR.

z

2+3i -3+2i


47

Temă de reflecţie 24 Demonstraţi că punctele de afixe 2+i, 3+2i şi 5+4i sunt coliniare.

1.7. Rezolvări comparative

Exemplul 1 14

În triunghiul ABC, alegem punctele M∈[AB] şi N∈[AC] astfel ca segmentele [BM] şi [CN] să fie congruente. Fie D şi E mijloacele segmentelor [MN], respectiv [BC]. Demonstraţi că dreapta DE este paralelă cu bisectoarea unghiului BAC.

Rezolvare vectorială Considerăm vectorii MB , NC şi DE . Aplicând

succesiv regula triunghiului, obţinem că DE = ½ ( MB + NC ).

Înlocuim segmentele orientate MB şi NC cu alte

două segmente orientate, echipolente cu acestea şi având originea în A. În acest fel, determinăm alţi reprezentanţi pentru vectorii MB şi NC . Aplicând regula paralelogramului, obţinem egalitatea:

MB + NC = AF .

Aceste calcule ne arată că AF = 2 DE . Dar paralelogramul construit pentru adunarea celor

doi vectori este un romb, deoarece are laturile de lungimi egale; de aceea, direcţia vectorului AF este de-a lungul bisectoarei unghiului BAC. Cum dreptele suport ale unor vectori proporţionali sunt paralele sau coincid, problema este complet rezolvată.

14 Din: G.Ţiţeica, Probleme de geometrie, Ed.Tehnică, 1981.

A

B C

M

N D

E A

B C

M N D

E

A

B C

F


48

Rezolvare sintetică Construim paralelogramul MNCP. Fie G şi H

mijloacele segmentelor CP, respectiv BP. Deoarece EG ≡ HP şi DG ≡ MP, iar EG şi HP, respectiv DG şi MP sunt perechi de drepte paralele, deducem că triunghiurile DEG şi MHP sunt congruente şi că DE este paralelă cu MH.

Triunghiul MBP este triunghi isoscel; de aceea mediana MH este şi bisectoare a unghiului BMP. Cum unghiurile BMP şi BAC au laturile două câte două paralele, deducem că şi bisectoarele acestor unghiuri sunt paralele. De aceea, dreapta DE este paralelă cu bisectoarea unghiului BAC.

Temă de reflecţie 25 Comentaţi rezolvările anterioare, din perspectiva accesibilităţii

lor pentru elevi.

Exemplul 2 15

Laturile opuse AB, CD ale patrulaterului ABCD se întâlnesc în E; AD, BC în F. Se iau pe prelungirile dreptelor BAE, CDE, BCF, ADF, segmentele orientate EH = BA , EK =CD , FL = BC , FM = AD .

Să se arate că figura HKML este paralelogram. Rezolvare sintetică

Construim paralelogramul AOCD. Triunghiurile BCO şi LFM sunt congruente, deoarece au laturile BC şi FL, respectiv CO şi FM congruente şi au laturile OC şi FM situate pe drepte paralele. Deducem că BO ≡ ML şi că dreptele OB şi ML sunt paralele.

Analog, triunghiurile BAO şi HEK sunt congruente şi deducem că BO ≡ HK şi că dreptele OB şi HK sunt paralele.

De aceea, ML ≡ HK şi dreptele ML şi HK sunt paralele, deci HKML este paralelogram. Rezolvare vectorială Calculăm:

HK = EK − EH =CD − BA , LM = FM − FL = AD − BC .

Dar CD − BA = AD − BC , deoarece

BC +CD = BA + AD = BD .

Deci HK = LM . Această egalitate conduce la concluzia problemei.

15 Din: G.Ţiţeica, Probleme de geometrie, Ed.Tehnică, 1981.

E

A

B C

M N D

P G H

B

H

A

C

D

E

F

K

M

L

O


49

Temă de reflecţie 26 Recitiţi rezolvarea sintetică de mai sus. Realizaţi o altă

construcţie, cu ajutorul căreia demonstraţi direct că segmentele MK şi HL sunt congruente. Descrieţi în spaţiul liber de mai jos construcţia făcută.

Rezolvări vectoriale sau analitice nu pot fi utilizate în

învăţământul gimnazial. Totuşi, o astfel de rezolvare poate să îi sugereze profesorului modul în care să realizeze construcţii ajutătoare, sau poate conduce la crearea unor probleme de antrenament pentru elevi.

Exemplu

În patrulaterul ABCD, notăm cu A1, B1, C1, D1 centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, ACD, ABD, respectiv ABC. Demonstraţi că dreptele AA1, BB1, CC1, DD1 sunt concurente.

Vom arăta că demonstraţia vectorială a acestei probleme sugerează o construcţie auxiliară pentru demonstraţia sintetică.

Rezolvare vectorială Fie O un punct fixat, faţă de care considerăm vectori

de poziţie ai punctelor figurii. Vom arăta că există un punct M pe dreapta AA1 al cărui vector de poziţie se exprimă simetric în funcţie de vectorii de poziţie ai vârfurilor patrulaterului.

Un punct M este pe dreapta AA1 dacă şi numai dacă există un număr real t astfel ca

OM = t⋅OA + (1-t)⋅ 1OA . Pe de altă parte, centrul de greutate A1 al triunghiului

BCD este caracterizat de relaţia: 3⋅ 1OA = OB +OC +OD .

Fie M ∈ AA1 astfel ca OM = ¼ OA +¾ 1OA .

Atunci OM =¼ (OA +OB +OC +OD ),

A

B

C

D

A1

B

C

D

A1

O

A

B

C

D

A1

O

M


50

deci acest vector nu depinde de vârful A, cu care am început demonstraţia. De aceea, punctul M se va găsi pe fiecare dintre dreptele AA1, BB1, CC1, DD1.

Temă de reflecţie 27 În demonstraţia anterioară, se afirmă că centrul de greutate A1

al triunghiului BCD este caracterizat de relaţia: 3⋅ 1OA =

OB +OC +OD . Justificaţi această relaţie. Este util să vă reamintiţi regula

paralelogramului.

Rezolvarea vectorială ne permite să înţelegem

modul în care se poate face o construcţie geometrică, ajutătoare pentru demonstraţia sintetică a problemei. Pentru aceasta, definim punctul M pe segmentul AA1

astfel ca AM =3⋅AA1 şi arătăm că toate dreptele definite în problemă trec prin M.

De exemplu, să considerăm dreapta BB1. Pentru a

lega între ele elementele figurii, evidenţiem triunghiul AEB, unde E este mijlocul laturii CD. Punctele A1 şi B1 sunt situate pe laturile acestui triunghi şi le împart în rapoarte egale cu 2:1, iar M împarte segmentul AA1 în raportul 3:1. Trebuie să demonstrăm că punctele B, M şi B1 sunt colineare. Am transformat astfel o problemă de concurenţă într-o problemă de coliniaritate.

Putem demonstra această nouă problemă în diverse

moduri. Vom indica o demonstraţie în care folosim doar teorema liniei mijlocii. Fie N punctul de intersecţie între AA1 şi BB1. Pentru a arăta că B, M şi B1 sunt coliniare, trebuie să arătăm că M şi N coincid, deci că N împarte segmentul [AA1] în raportul 3:1. Aplicând teorema liniei mijlocii în triunghiurile AA1B1, BA1B1, EPQ, deducem imediat că A1B1FG este un paralelogram, deci că N este mijlocul segmentului [A1F]. Dar F este mijlocul segmentului [AA1], deci N împarte acest segment în raportul 3:1.

A

B

C

D

A1

M •

B1

E

A

B

E

A1

B1

N P

Q

F G


51

Temă de reflecţie 28 Detaliaţi demonstraţia schiţată mai sus.

O justificare a problemei poate fi făcută şi prin pavarea planului

în două feluri, folosind pentru fiecare pavare în parte triunghiuri congruente. Cele două tipuri de triunghiuri folosite pentru pavări sunt desenate separat în figura alăturată. (În fiecare dintre cele două acoperiri ale planului, am colorat alternativ triunghiurile acoperirii. Observaţi că triunghiurile colorate şi triunghiurile albe sunt congruente, în fiecare dintre acoperiri.)


52

Prin suprapunerea celor două pavări peste triunghiul ABE, se obţine figura alăturată.

Triunghiul iniţial ABE are vârfurile în nodurile primeia dintre reţele, în timp ce punctele A, B, A1, B1 şi M sunt noduri ale celei de-a doua reţele. Analizând figura cu atenţie, se poate arăta coliniaritatea punctelor B, M şi B1

Temă de reflecţie 29 Determinaţi raportul între ariile triunghiurilor din cele două

acoperiri ale planului. Ce alte relaţii mai există între aceste triunghiuri?

Problema din exemplul analizat mai poate fi demonstrată

folosind metodele geometriei în spaţiu. Interpretăm figura ca fiind desenul plan al unui tetraedru.

Deoarece prin desen păstrăm rapoartele (în geometrie, desenul este o proiecţie paralelă a corpului real), problema revine la a demonstra următoarea teoremă:

Dreptele ce unesc vârfurile unui tetraedru cu centrele de greutate ale feţelor opuse sunt concurente.

Aceste drepte nu sunt coplanare; de aceea, este suficient să arătăm că ele sunt două câte două concurente. Dar acest lucru este evident, deoarece cele două drepte considerate (reprezentate color pe figura alăturată), sunt conţinute în planul determinat de o muchie a tetraedrului şi de mijlocul muchiei opuse.

A B

M

A1 B1

E


53

Temă de reflecţie 30 În paragraful anterior se afirmă că mai multe drepte din spaţiu,

concurente două câte două, sunt sau coplanare, sau toate concurente. Demonstraţi această afirmaţie!

Temă pentru portofoliu Alegeţi o problemă de geometrie plană. Propuneţi două rezolvări ale

acestei probleme, folosind metode diferite, apoi rezolvaţi o problemă de geometrie în spaţiu, formulată prin analogie cu problema aleasă. Comentaţi şi comparaţi rezolvările date, din perspectiva găsirii acestora de către elevi.

În aprecierea temei, vor conta: adecvarea la cerinţele sarcinii de lucru,

diferenţele dintre metodele alese şi comentariile didactice făcute.


54

Test de autoevaluare Pentru întrebările următoare, completaţi cu răspunsul corect! 1. Paralelismul a două drepte poate fi caracterizat vectorial prin ...................................................................................................... ............................................................................................................. ............................................................................................................. 2. Două configuraţii sunt analoage dacă ............................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................. 3. O configuraţie utilă în geometrie este, de exemplu, ....................... ............................................................................................................. .................................................................................................... Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţelor 1.6. şi 1.7. m-am confruntat cu următoarele

dificultăţi: ..............................................................................................

..........................................................................................................................

................................................................................................. Îmi este încă neclar: ............................................................................

..........................................................................................................................

.................................................................................................


55

APLICĂM ŞI DEZVOLTĂM!

1.8. Evaluarea la geometrie

1.8.1. Perspective ale evaluării

Evaluarea rezultatelor învăţării la matematică ar trebui să ofere

elevilor repere la care aceştia să poată raporta nivelul de performanţă atins în învăţare. O evaluare eficientă vizează, de regulă, mai multe perspective.

Pe de o parte, evaluarea vizează stabilirea unui diagnostic asupra achiziţiilor dobândite de elev. Termenul, preluat din medicină, are practic aceeaşi semnificaţie ca şi acolo, indicând faptul că, pentru a îmbunătăţi nivelul învăţării, este nevoie de o cunoaştere precisă a zonelor în care elevul întâmpină dificultăţi. Probele cu rol diagnostic se structurează în categoriile descrise în continuare.

Probele scrise pentru evaluarea curentă au în vedere aprecierea nivelului de realizare a obiectivelor programei şcolare. Acestea sunt lucrări de mici dimensiuni, ce se aplică la un interval de câteva lecţii şi urmăresc să evalueze un singur tip de competenţă. Ele permit profesorului/ profesoarei să depisteze natura dificultăţilor, pe parcursul procesului de învăţare – nu abia la sfârşit!

Testele de fixare urmăresc confirmarea atingerii nivelului minimal al obiectivelor programei şcolare. Acestea cuprind itemi de nivel minimal, iar aprecierea se face prin certificarea „admis – respins”. Asta însemnă că un elev a dobândit cunoştinţele de bază vizate de testul respectiv, doar dacă a răspuns satisfăcător la toate sarcinile testului.

Testele de sinteză cuprind itemi cu diferite grade de dificultate şi reflectă conţinuturi parcurse într-o perioadă mai mare de timp. Evaluarea acestor teste se face, de regulă, prin punctaj convertit în notă.

Pe de altă parte, evaluarea determină o învăţare eficientă atunci când profesorul/profesoara încadrează elevii într-un program de recuperare – aprofundare, ce cuprinde seturi de activităţi adaptate nivelului de competenţe dovedit în cadrul evaluării diagnostice. Aceasta înseamnă că fiecărui elev i se propun sarcini de lucru care conduc la formarea competenţelor la care acesta s-a dovedit deficitar sau, după caz, se propun exerciţii de antrenament sau exerciţii de dezvoltare.

Exemplul 1

Următorul test de evaluare curentă, propus la clasa a VIII-a, vizează gradul de formare a competenţei: Utilizarea convenţiilor de desen şi notaţie în geometria în spaţiu.

1. Răspunde cu DA sau NU! În tetraedru ABCD din figură, sunt dreptele AC şi BD concurente?

Probe cu rol diagnostic

Programul de recuperare- aprofundare


56

2. Alege răspunsurile corecte!

a) În tetraedrul ABCD: b) B aparţine planului (ABD); c) AC ⊂ (BCD); d) A ∉ BC.

3. Referitor la desenul alăturat, precizează propoziţiile

adevărate. a) Dreapta AB este inclusă în planul α; b) Punctul B aparţine planului α; c) Punctul C aparţine planului α; d) A, B şi D sunt puncte necoplanare; e) BD⊂α; f) DC ⊂α; g) C ∈ AD; h) EC ⊂ α; i) Punctele A, B, C, D sunt coplanare; j) EC şi BD sunt drepte concurente.

Exemplul 2

Următoarea sarcină de lucru poate fi propusă în cadrul programului de recuperare, elevilor care, în urma aplicării testului de mai sus, au dovedit că nu au încă formată competenţa vizată.

Reciteşte din manual, de la pagina..., convenţiile de desen şi notaţie pentru puncte, drepte şi plane. Analizează tabelul, citeşte explicaţiile la problema rezolvată, apoi răspunde la întrebările următoare.

a) Reprezintă prin desen: planul p, punctele A şi B din planul p, punctul C exterior planului p.

b) Completează acelaşi desen cu dreptele AB şi AC. c) Descrie figura alăturată, folosind notaţiile matematice.

Exemplul 3

Următoarea sarcină de lucru poate fi propusă în cadrul

programului de aprofundare, ca antrenament pentru elevii care, în urma aplicării testului de evaluare curentă, au dovedit că au formată competenţa vizată.

Fie cubul ABCDEFGH, din figura alăturată. a) Găseşte un vârf al cubului care nu aparţine planului

(ABF). b) Justifică dacă punctele A, B, C şi H determină un

tetraedru. c) Desenează separat piramida HABCD. d) Desenează pe figură planul (BCE). e) Reprezintă pe figură dreapta paralelă cu AC, ce trece

prin B.

A

B

C

D

A

E

B

D

C

α

d

E M

D

q

A B

C D

E F

G H


57

1.8.2. Matricea de structurare a competenţelor

La matematică, aprecierea gradului de dificultate a aplicaţiilor

se poate face în diverse moduri. Uneori, se iau în considerare numărul de operaţii aritmetice necesar pentru finalizarea problemei; în alte situaţii, dificultatea înseamnă îndepărtare de algoritm, noutate, creativitate.

Pentru o apreciere coerentă şi uniformă, este nevoie să identificăm niveluri de dificultate, a căror atingere se poate cuantifica prin note. În acest sens, se dovedeşte utilă o matrice de structurare a competenţelor matematice dezvoltate la elevi.

Matricea pe care o prezentăm în continuare16 ia în calcul patru niveluri de dificultate, diferenţiate în funcţie de efortul mental făcut de elev în rezolvarea sarcinii de lucru. Aceste niveluri de dificultate descriu acţiuni observabile ale elevului şi pot fi caracterizate sintetic prin:

A. identificare în contexte standard; B. utilizare în aplicaţii imediate; C. calcul/ demonstrare; D. analizare/ generalizare. Matricea de structurare se completează cu comportamente

observabile ale elevului, pentru fiecare nivel de dificultate în parte şi pentru fiecare domeniu fundamental al matematicii şcolare. Pentru geometrie, am considerat următoarele patru domenii, care apar explicit şi în acest curs:

• Geometrie poziţională; • Geometrie metrică şi trigonometrie; • Proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice; • Raţionament geometric. •

Detalierea comportamentelor cuprinse în matricea de structurare este făcută în aşa fel, încât, în general, atingerea unui nivel presupune depăşirea tuturor nivelurilor de dificultate inferioară acestuia. De exemplu, demonstrarea paralelismului a două drepte sau plane nu se poate face decât prin utilizarea unor caracterizări ale paralelismului, în aplicaţii imediate.

Matricea de structurare a competenţelor pe care o propunem pentru geometrie este redată în pagina următoare.

16 M.Singer, C.Voica, Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului. Ed.Sigma, 2002.


58

Elevul.... Geometrie poziţională

Geometrie metrică şi trigonometrie

Proprietăţi ale figurilor şi corpurilor

geometrice

Raţionament geometric

A. identifică în contexte standard...

... proprietăţi evidenţiate prin condiţii de desen şi de notaţie ... drepte şi plane paralele sau perpendiculare ... drepte şi plane concurente sau secante

... unghiuri dintre drepte şi/sau plane ... cea mai potrivită unitate de măsură a unei mărimi date

... axe sau plane de simetrie ale figurilor sau corpurilor geometrice ... descompuneri de figuri sau corpuri în componente mai simple

... relaţii între figuri sau corpuri geometrice, de tipul: inclus, determinat, înscris, circumscris... ... reprezentări sugestive pentru enunţul unei probleme

B. utilizează în aplicaţii imediate...

... diverse caracterizări ale paralelismului şi perpendicularităţii ... proprietăţi de paralelism şi perpendicularitate ... proprietăţi de incidenţă

... formule pentru calculul ariilor sau volumelor ... teoreme de calcul pentru diferite măsuri (t.Thales, t.Pitagora, t. celor trei perpendiculare)

... proprietăţi caracteristice ale unor figuri sau corpuri geometrice ... criterii de congruenţă sau de asemănare

... raţionamente implicite, pentru a obţine măsurile unor elemente în cadrul unor configuraţii date ... exemple, contraexemple sau materiale didactice, pentru a verifica enunţuri

C. calculează/ demonstrează...

... paralelismul, perpendicularitatea sau incidenţa unor drepte şi plane

... distanţe, arii, volume, măsuri de unghiuri, folosind metode alternative ... perpendicularitatea sau paralelismul unor drepte şi plane, folosind proprietăţi metrice

... ariile sau volumele unor figuri sau corpuri, prin raportare la ariile altor figuri sau corpuri, exprimabile prin formule

... enunţuri, folosind metode specifice de raţionament, de tipul: reducere la absurd, construcţii ajutătoare, afirmaţii echivalente

D. analizează/ generali-zează...

... analogii între poziţiile dreptelor în plan şi/sau poziţiile dreptelor şi planelor în spaţiu

... situaţii în care se atinge minimul sau maximul distanţei, ariei, volumului sau măsurii unui unghi

... proprietăţi ale unor corpuri geometrice, prin analogie cu proprietăţi ale unor figuri geometrice

... rezolvări diferite ale aceleiaşi probleme ... probleme diferite care au aceeaşi idee de rezolvare ... reciproce ale unor teoreme învăţate

1.8.3. Cum folosim matricea în evaluare? Un exemplu de probă scrisă pentru competenţele de geometrie

poziţională, structurată conform acestei matrice, poate fi următorul: Fie cubul ABCDEFGH.

a) Răspunde cu DA sau NU: sunt dreptele EF şi DH concurente?


59

b) Numeşte o dreaptă paralelă cu AB, apoi o dreaptă perpendiculară pe AB;

c) Colorează pe desen trei muchii ale cubului, perpendiculare pe AE, apoi numeşte un plan perpendicular pe dreapta AE;

d) Precizează dacă punctele C, D, H şi F sunt coplanare; e) Trasează pe desen dreptele EC şi AF, apoi justifică

dacă aceste drepte sunt concurente; f) Arată că dreptele AB şi GH sunt paralele; g) Demonstrează că dreapta AD este paralelă cu planul

(EFG); h) Justifică dacă este adevărată sau falsă afirmaţia: două

drepte paralele cu un plan sunt paralele între ele. Temă de reflecţie 31 Asociaţi itemii probei de evaluare prezentată mai sus cu

nivelurile de dificultate (A, B, C, D) detaliate în matricea de structurare a competenţelor.

Justifică pe scurt asocierile făcute. Temă pentru portofoliu Proiectaţi o probă de evaluare pentru clasa a VII-a, la tema

Calcul algebric, conform matricei de structurare a competenţelor. Proba trebuie alcătuită astfel încât, prin aplicarea ei, să verificaţi

gradul de atingere a fiecăruia dintre cele patru niveluri de dificultate. Justificaţi modul de alegere a itemilor probei.

A B

C D

E F

G H


60

Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect! Evaluarea formativă se realizează ...................................................

..............................................................................................................

.............................................................................................................. Matricea de structurare a competenţelor este structurată după ……………..…………………………………………………………

……..................................................................................................................................................................................................................

Folosiţi spaţiul liber de mai jos pentru a evidenţia avantaje şi

dezavantaje ale utilizării matricei de structurare a competenţelor în evaluarea la clasă a elevilor.


61

TEST DE EVALUARE – NOTAT DE TUTORE

Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 1: Geometrie poziţională.

Am reuşit…???

1. Formulaţi o sarcină de lucru, în urma căreia elevii rezolvă o problemă de geometrie poziţională prin mai multe metode şi compară ulterior metodele de rezolvare.

În evaluare vor fi analizate: modul de formulare a sarcinii de lucru (3p), problema aleasă (3p), posibilitatea de a sublinia avantajele uneia dintre metode (3p). Se acordă 1 p din oficiu.

2. Identificaţi trei probleme, în analiza cărora este

util ca acestea să fie plasate într-un context standard, de fiecare dată altul. Rezolvaţi problemele identificate.

Fiecare problemă corect identificată şi rezolvată primeşte 3p; 1p se acordă din oficiu.

3. Pentru problema ilustrată în figura următoare,

exprimaţi ipoteza şi concluzia folosind limbajul sintetic, vectorial, respectiv analitic.

Pentru fiecare descriere corectă a configuraţiei din figură se

acordă câte 3p; un punct se acordă din oficiu. 4. În matricea de structurare a competenţelor, din

secţiunea 1.8.2., completaţi prima coloană cu competenţe specifice clasei a VI-a. Explicaţi pe scurt alegerea făcută.

Pentru fiecare nivel de dificultate completat şi explicat, se acordă câte 2p.

5. Comparaţi proprietăţile pe care le au diagonalele unui paralelogram, respectiv planele diagonale ale unui paralelipiped. Formulaţi trei analogii paralelogram-paralelipiped, la care se poate ajunge pe baza proprietăţilor analizate.

Pentru proprietăţile identificate se acordă 2p, la fel pentru fiecare analogie corect formulată; 1p se acordă din oficiu.

... să proiectez sarcini de lucru, din perspectiva comparării şi selectării metodelor adecvate de abordare a unei probleme?

... să utilizez contexte geometrice standard pentru a dezvolta elevului intuiţia asupra relaţionării obiectelor geometrice?

... să aleg modalităţi adecvate de descriere a unei situaţii geometrice concrete, în vederea analizei acesteia cu metode sintetice, analitice sau vectoriale ?

... să identific competenţe specifice geometriei poziţionale, evaluabile prin raportare la criterii date în cadrul observării sistematice?

... să evidenţiez proprietăţi comune ale unor configuraţii diferite, în scopul realizării de către elevi a unor analogii plan-spaţiu?


62

INDICAŢII, SUGESTII DE REZOLVARE, RĂSPUNSURI PENTRU

SARCINILE DE LUCRU ALE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE 1

Temă de reflecţie 1 Măsurarea furnizează doar rezultate aproximative; prin măsurare, putem doar să

mărim încrederea într-un enunţ, nu să demonstrăm!

Temă de reflecţie 2 Axioma dată se formalizează astfel: (∀a, q(a))(∀b, q(b))(∀x, p(x))(∀y, p(y)): r(x,a) ∧ r(x,b) ∧ r(y,a) ∧ r(y,b) → (d(x,y)).

Temă de reflecţie 4 De exemplu: reprezentarea pe axă a numerelor naturale, apoi întregi, apoi raţionale,

apoi a celor iraţionale conţinând radicali de ordinul 2. toate construcţiile se vor face cu rigla negradată şi cu compasul.

Temă de reflecţie 5 De exemplu: porniţi de la măsurarea celor trei dimensiuni ale unui paralelipiped, a

celor două dimensiuni ale unui dreptunghi, a lungimii unui segment.

Temă de reflecţie 6 Cereţi elevilor să analizeze următoarele tipuri de enunţuri: Nu plouă afară: dacă ar ploua, atunci oamenii care vin pe uşă ar fi uzi, dar nu sunt. Doar oamenii neatenţi fac greşeli. Eu nu sunt niciodată neatent. Deci, eu nu fac

greşeli. Ulterior, cereţi elevilor să formuleze alte enunţuri de acelaşi tip.

Temă de reflecţie 7 De exemplu: unghiuri adiacente; semidreaptă.

Temă de reflecţie 8 De exemplu: Rombul este un paralelogram cu toate laturile congruente. Ge proxim:

paralelogramul; diferenţa specifică: laturile congruente.

Temă de reflecţie 9 Construiţi o paralelă la una dintre cele două drepte, aplicaţi teorema directă, apoi

aplicaţi axioma raportorului.

Temă de reflecţie 10 În figura dată, MC şi AD sunt paralele, iar triunghiul MAC este isoscel. Se aplică

teorema lui Thales în triunghiul BCM.


63

Temă de reflecţie 11 De exemplu: dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă dintr-un plan, atunci este

paralelă cu planul (teorema directă); dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci ea este paralelă cu o dreaptă din acel plan (teorema reciprocă). Reciproca este adevărată.

Test de autoevaluare, pagina 32 1. Aristotel şi Euclid. 2. genul proxim şi diferenţa specifică 3. De exemplu: semiplan.

Temă de reflecţie 12 Folosiţi teorema paralelelor echidistante.

Temă de reflecţie 13 Cubul. De exemplu: pătratul are laturile congruente/ cubul are feţele congruente.

Temă de reflecţie 14 De exemplu: teorema unghiurilor cu laturile paralele.

Temă de reflecţie 15 Folosiţi teorema paralelelor echidistante şi arătaţi că P se găseşte pe fiecare

mediană la ¼ de bază.

Temă de reflecţie16 Pentru concurenţa mediatoarelor, este util să identificaţi o proprietate de loc

geometric a acestora. Înălţimile unui tetraedru oarecare nu sunt concurente.

Temă de reflecţie17 Recitiţi analogiile piramidă-con şi procedaţi la fel.

Temă de reflecţie18 Dacă aveţi nelămuriri, discutaţi cu tutorele!

Temă de reflecţie19 De exemplu: două plane perpendiculare pe un plan sunt paralele între ele.

Temă de reflecţie 21 Fie M, N, P, Q mijloacele segmentelor AE, BF, CG şi DH. Arătaţi că 2 MN = AB +

EF . Găsiţi o relaţie de acelaşi tip pentru QP .


64

Temă de reflecţie22 Demonstraţia sintetică foloseşte Teorema lui Pitagora. Demonstraţia vectorială: AD ⋅ BC = ( BDAB + ) ( DCBD + ) = BDAB ⋅ + BDBD ⋅ + DCBD ⋅ = BDAC ⋅ = 0.

Temă de reflecţie 23 Arătaţi că vectorii normali la aceste plane sunt perpendiculari.

Temă de reflecţie 24 Prin translaţie, cele trei puncte devin afixele numerelor 0, 1+ i, 3 + 3i.

Temă de reflecţie 26 Construiţi simetricele lui M şi K faţă de D.

Temă de reflecţie 27 Reprezentaţi pe figură suma vectorilor OB şi OC .

Temă de reflecţie 29 Raportul cerut este 2:1.

Temă de reflecţie 30 Presupunem că există trei drepte concurente două câte două, care nu sunt toate

concurente. Ele determină un plan. Dacă există o dreaptă dintre cele date care nu este inclusă în acest plan, ea nu poate intersecta toate cele trei drepte considerate.

Test de autoevaluare, pagina 55 1.Proporţionalitate 2. Au proprietăţi comune. 3. Cubul.

Temă de reflecţie 31 A: a, b, c; B: d, e; C: f, g; D: h.

Test de autoevaluare, pagina 61 1. pe parcursul unităţii de învăţare 2. niveluri de dificultate şi domenii fundamentale ale matematicii.


65

BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1

COURANT, R., ROBBINS, H., Ce este matematica?, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti,1969

FISCHBEIN, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dodrecht, Holland: Reidel.

MIRON, R., BRĂNZEI, D. , Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Ed. Academiei, Bucureşti, 1983

MOISE, E., DOWNS, F., Jr., Geometrie, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

RUSU, E., Metodica predării geometrie în şcoala generală, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968.

SARIVAN, L. (coord.), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR - CEDU 2000+

SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Matematică primar-gimnaziu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S.C.ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001.

SINGER,M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului. Ed. Sigma, 2002.

*** Suporturile de curs ale modulelor obligatorii din pachetul 1 de Matematică, PIR.


66

Unitatea de învăţare 2:

GEOMETRIE METRICĂ ŞI TRIGONOMETRIE

Cuprins Pagina

Competenţele Unităţii de învăţare 2 .............................................................. 67 2.1. Măsurarea: aspecte istorice ............................................................................... 68 2.2. Măsura ............................................................................................................... 69 2.3. Teorema lui Thales ............................................................................................. 71 2.4. Măsurarea - perspective didactice ..................................................................... 72 2.4.1. Măsurarea ariilor şi volumelor ............................................................. 72 2.4.2. Măsurarea unghiurilor ......................................................................... 73 2.5. Formulele de calcul al ariilor şi volumelor ........................................................... 77 2.6. Exact sau estimativ? .......................................................................................... 81 2.7. Aria şi lungimea cercului; volumul corpurilor rotunde ......................................... 81 2.8. Teorema lui Pitagora .......................................................................................... 83 2.9. Teorema catetei, teorema înălţimii ..................................................................... 85 2.10. Formule trigonometrice: metode de deducere .................................................. 87 2.11. Tipuri de probleme ........................................................................................... 90 2.12. Încadrarea problemei – sugestie în rezolvare ................................................... 92 2.13. Culegerea datelor de tip metric ........................................................................ 93 2.14. Scenariul didactic ............................................................................................. 95 2.15. Evaluarea prin proiecte ..................................................................................... 99 Test de evaluare finală – notat de tutore ..................................................... 101 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru ale Unităţii

de Învăţare 2 ............................................................................................... 102 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 2 ............................. 104


67


După studiul acestei unităţi de învăţare, veţi reuşi… ... să elaboraţi scenarii didactice pentru diverse activităţi de

învăţare la tema Geometrie metrică şi trigonometrie, în scopul anticipării situaţiilor care pot să apară la clasă

... să organizaţi activităţi de învăţare vizând obţinerea de

formule trigonometrice, prin generalizarea proprietăţilor geometrice ale unghiurilor dintre 0º şi 180º

... să încadraţi probleme de geometrie sau trigonometrie într-o

categorie specifică, pentru identificarea unor căi adecvate rezolvării acestora

... să evaluaţi elevii prin proiecte cu teme practice, în scopul

aplicării cunoştinţelor de geometrie în probleme ale vieţii cotidiene ... să culegeţi date metrice din realitatea imediată, în vederea

generării de situaţii-problemă


68


2.1. Măsurarea: aspecte istorice Matematica modernă se construieşte punând la baza

sistemelor sale axiomatice noţiunile de mulţime şi de număr. Numărul natural a apărut în mod firesc, pentru a caracteriza

mulţimile discrete şi finite. În geometrie însă, lucrăm cu mulţimi continue şi infinite: segmente, curbe şi suprafeţe plane, corpuri spaţiale, unghiuri. Caracterizarea numerică a acestora a condus, de-a lungul timpului, la apariţia unor alte tipuri de numere, prin intermediul operaţiei de măsurare. De altfel, înseşi denumirea de geo-metrie sugerează că această disciplină îşi are începuturile în măsurarea Pământului.

În construcţia axiomatică a geometriei, distanţa, aria, volumul, măsura unghiurilor se introduc axiomatic. De exemplu1, aria este definită prin intermediul funcţiei α : ℜ → R , unde ℜ este mulţimea tuturor regiunilor poligonale, iar R este mulţimea tuturor numerelor reale, având proprietăţile:

A1. Pentru orice regiune poligonală P, avem α(P) > 0; A2. Dacă două regiuni poligonale sunt congruente, atunci ele

au aceeaşi arie; A3. Dacă două regiuni poligonale se intersectează doar în

muchii sau în vârfuri (sau deloc), atunci aria reuniunii lor este suma ariilor lor.

În practică (inclusiv în practica didactică), avem însă nevoie de noţiunile de lungime, arie sau volum ca noţiuni asociate operaţiei de măsurare: înţelegerea acestor concepte este un proces de durată. „Noi vedem mereu lumea din jurul nostru, dar de multe ori nu o observăm. Procesul de observare cere unei persoane să privească şi să analizeze ceea ce vede. (...) Observaţia este o abilitate care se formează şi se recomandă ca profesorul să inventeze mijloacele prin care ea trebuie promovată şi dezvoltată. (...) Pentru a observa corect, copilul trebuie să aibă practică. În ştiinţă, observaţia conduce în mod natural la măsurare.”2

În general, mărimile pe care le măsurăm în geometrie sunt aditive: asta înseamnă că, dacă sunt date două „obiecte” geometrice, pentru care numerele asociate din punctul de vedere al mărimii alese sunt a şi b, atunci putem găsi un nou „obiect”, de acelaşi fel, căruia i se asociază numărul a+b.

1 Din: Edwin Moise, Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980 2 D.Bell, E.R.Huges, J.Roger, Arie, masă, volum, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

ab

a+b


69

Temă de reflecţie 1 Cum definiţi „suma” a două unghiuri? Este măsura unghiurilor o

mărime aditivă?

O altă proprietate a mărimilor cu care lucrăm în

geometrie este omogenitatea: dacă unui „obiect” geometric i se asociază, din punctul de vedere al unei mărimi date, numărul v, iar n este un număr natural, atunci există un alt „obiect” de acelaşi fel,

căruia i se asociază numărul nv

.

2.2. Măsura Pentru a măsura o mărime oarecare, este nevoie de o unitate

de măsură. De-a lungul timpului, oamenii au ales diferite unităţi de măsură pentru lungime. Unele dintre acestea – pasul, cotul, nodul din navigaţie – se regăsesc, din motive practice, în diverse etape istorice. De exemplu cotul este şi astăzi, la unele populaţii, unitatea de măsură cea mai la îndemână în măsurarea ţesăturilor.

Odată convenită o unitate de măsură, a măsura o mărime oarecare revine la a determina un raport: când spunem că o sală de clasă are lungimea de 5 metri, determinăm raportul între lungimea sălii şi unitatea de măsură aleasă (în acest caz, metrul). Spunem că măsurarea se face prin cuprindere.

Măsurarea presupune deci două operaţii distincte: alegerea unei unităţi de măsură adecvate şi compararea a ceea ce se doreşte măsurat cu unitatea aleasă. În acest fel, asociem un număr mărimii date iniţial.

Matematicienii antici au crezut multă vreme că orice două segmente sunt comensurabile, adică există o unitate de măsură bine aleasă care se cuprinde de un număr întreg de ori în ambele segmente. Teoria lor este de natură atomistă: ei credeau că orice obiect fizic se poate diviza doar până la „cărămizile” componente ale materiei, pe care le-au numit atomi.

În şcoala lui Pitagora, s-a descoperit cu uimire că există şi mărimi incomensurabile. De exemplu, diagonala şi latura unui pătrat nu pot avea o unitate de măsură comună. Acest fapt, care contrazicea întregul sistem filozofic de până atunci, a fost atât de surprinzător, încât pitagoricienii l-au ascuns vreme de câteva sute de ani! Ulterior, reconsiderarea acestui fapt a condus la formarea conştiinţei că există şi altfel de numere, în afara celor raţionale, numere pe care anticii le-au denumit iraţionale. Cu timpul, această denumire a primit şi o conotaţie nematematică (iraţional=care nu se conduce după gândirea logică; contra raţiunii 3).

3 Cf. DEX

v v/3


70

Temă de reflecţie 2 Urmăriţi demonstraţia următoare, prin care se arată

că diagonala şi latura unui pătrat sunt incomensurabile. Completaţi argumentele care lipsesc.

Fie ABCD un pătrat. Presupunem prin absurd că segmentele AD şi BD

sunt comensurabile. Alegem o unitate comună de măsură.

Fie E ∈ BD astfel ca AD ≡ DE. Segmentele BE şi BF sunt comensurabile, cu aceeaşi unitate de măsură ca şi AD şi BD:

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

............................................................................. Construim pătratul BEFG şi repetăm raţionamentul: ............................................................................ ............................................................................. Laturile pătratelor construite succesiv se

micşorează. În urma măsurării, ele trebuie însă să se exprime prin numere naturale:

............................................................................

............................................................................. Obţinem o contradicţie: ............................................................................ ............................................................................. Deci:

............................................................................ Ulterior, atunci când numerele iraţionale au fost gândite ca

„obiecte” matematice de sine stătătoare, au apărut demonstraţii algebrice ale iraţionalităţii lui 2 (ceea ce este echivalent cu incomensurabilitatea diagonalei şi laturii unui pătrat). O astfel de demonstraţie a fost dată de către Euclid, folosind metoda reducerii la absurd:

Presupunem prin absurd că 2 ∈Q, deci că există numerele

naturale p şi q astfel că qp=2 . Putem presupune că p şi q sunt

prime între ele; altfel, simplificăm fracţia până când numitorul şi numărătorul devin prime între ele. Prin ridicare la pătrat, avem

222 pq = , deci p este număr par, 12 pp = . Obţinem 21

2 2 pq = , deci şi q este număr par. Dar atunci p şi q nu sunt prime între ele, contradicţie.

Compararea unor mărimi de acelaşi fel revine la exprimarea raportului măsurilor lor, atunci când mărimile sunt măsurate cu aceeaşi unitate de măsură. Folosirea raportului are avantajul că acesta nu depinde de unitatea de măsură aleasă: alegând unităţi de măsură diferite, dar care se cuprind de un număr întreg de ori în mărimile ce trebuie comparate, rapoartele obţinute prin măsurare sunt egale.

Numărul raţional a apărut ca raportul măsurilor a două mărimi de acelaşi fel

A

B C

D

E

F

G

Euclid (cca. 300 î.H.)


71

2.3. Teorema lui Thales Unul dintre cele mai importante rezultate privitoare la

măsurarea segmentelor este teorema paralelelor echidistante: Dacă mai multe drepte paralele determină pe o dreaptă secantă

segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.

Dincolo de importanţa ei matematică, această teoremă evidenţiază o proprietate de „omogenitate” a planului: ceea ce se întâmplă pe o dreaptă din plan, se regăseşte (ca proprietate) pe oricare altă dreaptă.

Folosind teorema paralelelor echidistante, Thales a demonstrat teorema: o paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

Demonstraţia dată de Thales este valabilă doar într-un caz particular: aşa cum se credea în acea perioadă, Thales a presupus că segmentele determinate de paralelă pe una dintre laturile triunghiului sunt comensurabile, deci că raportul acestora este exprimabil printr-un număr raţional. Acest lucru este, însă, suficient din punct de vedere didactic, deşi demonstraţia completă a teoremei include şi cazul raportului iraţional.

De ce este atât de importantă această teoremă? Dintre posibilele argumente, există două care se impun de la sine.

Pe de o parte, teorema stabileşte o legătură între geometria poziţională (paralelism / incidenţă) şi geometria metrică: o proprietate de incidenţă – paralelismul între baza triunghiului şi dreapta construită – conduce la egalitatea unor rapoarte, adică la o relaţie metrică, ceea ce face uşor de abordat o categorie largă de probleme.

Pe de altă parte, teorema stabileşte o legătură între algebră şi geometrie: pornim cu ipoteze de natură geometrică şi obţinem concluzii de natură algebrică. În general, acele rezultate care stabilesc legături între domenii diferite ale matematicii, sau între domenii diferite ale cunoaşterii umane, se dovedesc a fi de cea mai mare importanţă în dezvoltarea ştiinţei.

Temă de reflecţie 3 Identificaţi şi alte teoreme ce fac legătura între domenii diferite

ale matematicii.

Thales (640 – 550 î.H)


72

Studiu individual Folosiţi bibliografia indicată la sfârşitul acestei Unităţi de

învăţare, pentru a identifica variante ale Teoremei lui Thales în geometria în spaţiu.

2.4. Măsurarea - perspective didactice

2.4.1. Măsurarea ariilor şi a volumelor Dacă pentru măsurarea lungimilor, a timpului şi a maselor,

deprinderile se formează încă din ciclul primar, pentru formarea competenţelor de măsurare a ariilor şi a volumelor este nevoie de o atenţie specială.

Măsurarea suprafeţelor se aseamănă unui joc de puzzle: a măsura o suprafaţă presupune a afla de câte piese identice (unităţi de măsură) este nevoie pentru a acoperi suprafaţa respectivă. De aceea, pentru a-i face pe elevi să înţeleagă în ce constă măsurarea, activităţile de învăţare recomandate într-o primă etapă vizează compunerea/ descompunerea de figuri geometrice complicate din/ în figuri mai simple. Astfel de activităţi se pot organiza sub forma unor jocuri didactice. Ele necesită însă o proiectare atentă, pentru ca elevii să nu ajungă la neglijarea realizării obiectivelor, în favoarea jocului.

Temă de reflecţie 4 Pe baza figurii de mai sus, inventaţi un joc didactic, ce are ca

scop calculul ariei figurii evidenţiate. Propuneţi câteva reguli, de care profesorul trebuie să ţină cont pentru buna desfăşurare a acestei activităţi.


73

O dificultate didactică, unanim recunoscută de profesori, este înţelegerea de către elevi a relaţiilor între unităţile de măsură standard. Este necesar deci să identificaţi şi să folosiţi la clasă diverse reguli mnemotehnice sau figurative, privitoare la aceste transformări. De exemplu, pentru ca elevii să înţeleagă relaţia 22 1001 cmdm = , este util să exerseze diverse sarcini de lucru pe un material de forma celui alăturat (în care pătrăţelele au latura de 1 cm).

Astfel de materiale didactice se

dovedesc utile pentru înţelegerea şi memorarea relaţiilor între multiplii/ submultiplii şi ai altor unităţi de măsură. De exemplu, puteţi folosi metrul tâmplarului (pliabil în zece părţi), pentru a vedea că 1m = 10 dm = 100 cm.

Pentru a mări gradul de atractivitate al acestui tip de activităţi, puteţi folosi schema alăturată, în care apar Făt-Frumos şi Zmeul Zmeilor4.

Temă de reflecţie 5 Imaginaţi un material util pentru înţelegerea relaţiei între

decimetrul cub şi centimetrul cub.

2.4.2. Măsurarea unghiurilor Utilizarea riglei gradate şi a raportorului sunt deprinderi

importante pentru geometria metrică; ele pot fi exersate şi în cadrul orelor de Educaţie Tehnologică. Aceste activităţi conduc elevii de gimnaziu la convingerea că oricărei mărimi i se asociază, prin măsurare, un număr unic, iar măsurarea se face într-un singur mod.

În clasele mici, elevii învaţă că unghiurilor li se asociază o măsură, prin utilizarea raportorului. Atunci când se începe studiul sistematic al trigonometriei, în clasa a IX-a, se folosesc însă mai multe scale de măsură pentru un unghi. De multe ori apar egalităţi de tipul 60° = π/3, care reprezintă măsuri ale unor mărimi diferite,

4 M.Singer, C.Voica, Cum demonstrăm? De la intuiţie la rigoare matematică, Ed. Sigma, 2005.


74

realizate cu unităţi de măsură diferite. Trecerea dintr-o scală de măsură în alta poate crea confuzii pentru majoritatea elevilor; de aceea, este util să se acorde acestui subiect o atenţie mărită.

De fapt, în trigonometrie se lucrează cu trei scale de măsură, care determină trei sisteme de referinţă, cu ajutorul cărora caracterizăm poziţia unui punct de pe cercul trigonometric.

Un prim sistem de referinţă este dat de sensul trigonometric şi de măsura (în grade) a unghiurilor: fiecărui unghi care are semidreapta Ox ca latură, i se asociază o măsură orientată.

De exemplu, pentru figura alăturată, m(∠ xOA) = +120°, iar m(∠ xOB ) = –30°.

În acest fel, putem caracteriza poziţia unui punct de pe cercul trigonometric cu ajutorul unei măsuri unghiulare orientate.

Pentru punctele de pe cercul trigonometric, un al doilea sistem de referinţă este dat de „funcţia de înfăşurare”: caracterizăm poziţia unui punct prin lungimea arcului de cerc parcurs de la originea măsurării arcelor până la punctul dat şi prin sensul de parcurgere. De exemplu, pentru figura alăturată, punctul A1 este

caracterizat de numărul 3

2π, iar punctul B1 este

caracterizat de numărul 6π− .

Un al treilea sistem de referinţă pentru punctele cercului trigonometric este dat de coordonatele carteziene ale punctelor.

Temă de reflecţie 6 Fiecare dintre sistemele de referinţă folosite în trigonometrie

are avantaje şi dezavantaje. Scrieţi câteva dintre acestea.

Determinarea valorilor funcţiilor trigonometrice ale unui număr

real revine, de fapt, la asocierea dintre numărul real dat şi un punct al cercului trigonometric, şi la trecerea dintr-o scală de măsură în alta.

De exemplu, pentru a calcula sin(6π

) procedăm astfel:

1. Reprezentăm pe cerc punctul M pentru care măsura arcului PM, parcurs în sens trigonometric, este π/6.

2. Determinăm măsura orientată, în grade, a unghiului POM: m(∠POM) =+ 30°.

+ 120°

– 30° O x

B

A

P

B1

A


75

3. Determinăm coordonatele carteziene ale lui M:

M( 23 , 2

1 ).

În acest fel, prin treceri succesive între scalele de măsură, am

determinat sin(6π

) = 0,5.

Temă de reflecţie 7 Pentru fiecare etapă descrisă mai sus, identificaţi scala în care

lucrăm. Scrieţi toate formulele de transformare dintr-o scală în alta.

P

M(π/6)

O

P

M

O + 30° P

M

O + 30°

23

21


76

Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect! A măsura o mărime înseamnă .........................................................

..………………………………………………. ……………………………. Două segmente sunt comensurabile dacă ………………………

….…………………………………………………..…………………......… …………………………………………………. ..………………………….

3. Reprezentaţi pe cercul trigonometric punctul care

corespunde numărului 2. Caracterizaţi poziţia acestui punct, în toate cele trei sisteme de referinţă de pe cercul trigonometric.

Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţelor 2.3. şi 2.4. m-am confruntat cu

următoarele dificultăţi: ............................................................................................. ...........................................................................................................................................................................................................................

Îmi este încă neclar: ............................................................................ ...........................................................................................................................................................................................................................


77


2.5. Formule de calcul pentru arii şi volume O parte importantă a matematicii din gimnaziu este ocupată de

calculul ariilor unor poligoane şi de calcului volumelor unor poliedre. Pentru ambele situaţii, nu este importantă doar reţinerea formulelor de calcul de către elevi. Studiile arată că, în lipsa unor metode de deducere a acestora, formulele devin „algoritmi rigid aplicaţi”, care reprezintă doar „un şir sintactic introdus în memorie”5.

Pentru calculul ariilor, se poate porni de la poligoane desenate pe foaia cu pătrăţele – ceea ce nu este doar un exerciţiu de numărare! Această configuraţie are avantajul că „piesele” – unităţile de măsură – apar deja suprapuse peste aria ce trebuie calculată.

Ulterior, poligoanele a căror arie este cerută vor fi desenate pe o foaie velină. Aria poate fi calculată prin trasarea unui caroiaj, adică prin acoperirea poligonului dat cu unităţi (pătrate de arie 1).

Deducerea formulelor de calcul se face „din aproape în aproape”. În această activitate, se porneşte de la unitatea de măsură pentru arie (pătratul de latură1) şi se determină de câte ori se cuprinde acest pătrat într-o figură geometrică dată. Formulele de calcul trebuie să reprezinte generalizări ale unor situaţii particulare, analizate anterior.

Temă de reflecţie 8 Observaţi succesiunea de mai sus. Proiectaţi o activitate

didactică prin care urmăriţi deducerea de către elevi a formulelor de calcul pentru ariile unor poligoane. Ce dificultăţi credeţi că ar putea să apară în desfăşurarea acestei activităţi? Propuneţi modalităţi de depăşire a acestora.

5 H.Gardner, Mintea disciplinată, Ed.Sigma, 2005


78

Există o deosebire fundamentală între determinarea formulelor de calculul pentru ariile poligoanelor şi a celor pentru calculul volumelor poliedrelor. Vom explica această deosebire în cele ce urmează.

Două poligoane sunt „la fel constituite” dacă, partiţionând convenabil atât primul poligon, cât şi pe al doilea, părţile componente sunt două câte două congruente. Altfel spus, dacă poligoanele sunt realizate, ca şi corpuri fizice, din carton, tăind convenabil primul poligon şi lipind altfel părţile componente (fără suprapuneri!), să obţinem al doilea poligon.

De exemplu, un triunghi poate fi

transformat în paralelogram. Triunghiul şi paralelogramul din figura alăturată sunt la fel constituite.

Se poate demonstra următoarea teoremă: Două poligoane sunt la fel constituite dacă şi numai dacă sunt

echivalente (au arii egale). Această teoremă permite determinarea ariei oricărui poligon,

pornind de la pătratul de latură 1, ca unitate de arie. Pentru poliedre, proprietatea de a fi „la fel constituite” se

defineşte analog. Există însă poliedre echivalente (cu volume egale), care nu sunt la fel constituite. De aceea, determinarea formulelor de calcul pentru volume nu se mai poate face „din aproape în aproape”: pentru unele poliedre, cum ar fi piramidele, formula pentru calculul volumului lor are nevoie de un alt argument, şi anume de Principiul lui Bonaventura Cavalieri:

Dacă două corpuri geometrice au proprietatea că intersecţiile lor cu orice plan orizontal sunt figuri geometrice plane, de arii egale, atunci corpurile considerate au volume egale.

Imaginile următoare pot forma o idee despre acest principiu. Pentru elevi, este mai importantă formarea intuiţiei privitoare la

modul în care se aplică principiul, decât cunoaşterea enunţului acestuia. Pentru clasă, sunt indicate aplicaţii de tipul următor6:

1. Într-o găleată de forma unui trunchi de con, se toarnă apă până la jumătatea înălţimii sale. Ocupă apa mai mult de jumătate din capacitatea găleţii?

2. Demonstrează că regiunile cu lăţime constantă, colorate în figura alăturată, au arii egale.

3. a) Construieşte mai multe figuri din care poţi forma tetraedre de volume egale.

6 Problemele sunt preluate din: Marinescu, G. şi al., Culegere de exerciţii şi probleme, Ed. Sigma, 2004.

Principiul lui Cavalieri este un exemplu de calcul de tip integral, aplicat în geometrie...

Cavalieri (1598-1647)


79

b) Dacă dublăm toate laturile unui paralelipiped, volumul său se măreşte de 8 ori. Cum se modifică volumul unui tetraedru, dacă toate laturile sale se dublează? Pentru a verifica răspunsul dat, construieşte mai multe tetraedre de volume egale, apoi asamblează-le pentru a obţine un tetraedru mai mare.

Temă de reflecţie 9 Imaginaţi diverse materiale didactice, cu ajutorul cărora sugeraţi

elevilor Principiul lui Cavalieri. Realizaţi o descriere sau un desen al acestora, în spaţiul liber de mai jos.

Principiul lui Cavalieri arată, de exemplu, că două piramide cu

bazele echivalente şi cu înălţimi egale, au volume egale. Aplicând acest rezultat, putem deduce formule de calcul pentru volumul piramidei şi al trunchiului de piramidă.

De multe ori, profesorul de matematică face din memorarea şi aplicarea formulelor pentru arii sau volume un scop în sine. Dincolo de atingerea unor obiective pe termen scurt, cum ar fi rezolvarea unor probleme sau promovarea unui examen, este mult mai importantă însă întreaga construcţie logică. Este de preferat un elev care nu cunoaşte de exemplu, formula pentru volumul cubului, dar care ştie că a măsura volumul revine la umplerea cubului dat cu cuburi cu latura de 1, unui elev care „recită” formula, dar nu are nici cea mai mică idee de unde provine aceasta. De aceea, pentru temele ce vizează calcule de arii sau volume, importante sunt activităţile de învăţare propuse elevilor, pentru deducerea şi descoperirea formulelor de calcul, şi nu formulele în sine.


80

Temă de reflecţie 10 Proiectaţi o secvenţă didactică pentru tema Volumul piramidei.

În spaţiul liber de mai jos, descrieţi principalele momente ale secvenţei, apoi detaliaţi una dintre activităţile propuse.


81

2.6. Exact sau estimativ? Matematica este unanim considerată ca fiind o „ştiinţă exactă”.

În măsurare însă, exactitatea este excepţia şi nu regula: nu doar procesul ca atare conduce la erori (datorate metodei de măsurare, instrumentelor de măsură, etc.), dar, atunci când măsura unei mărimi nu se exprimă printr-un număr raţional, nu putem decât să indicăm aproximări prin lipsă şi prin adaos ale acesteia.

Să considerăm, de exemplu, aria figurii colorate în desenele de mai jos. Considerând ca unitate de măsură pătratul din prima reţea, obţinem aproximarea 19 < A < 39. Prin trecerea la o reţea mai fină, în care pătratele au latura jumătate din cea a pătratelor iniţiale, obţinem încadrarea 22,75 < A < 32,25.

Estimarea ariei va fi cu atât mai bună (adică diferenţa dintre

aproximarea prin lipsă şi cea prin adaus va fi cu atât mai mică), cu cât reţeaua de pătrate considerată va fi mai fină. În figurile de mai jos se arată cum se poate estima aria unui cerc.

2.7. Aria şi lungimea cercului; volumul corpurilor rotunde Calculul lungimii cercului a preocupat matematicienii din toate

timpurile. Mesopotamienii considerau că raportul între lungimea cercului şi diametru (număr pe care astăzi în notăm cu π) este 3. Aceeaşi valoare apare în scrieri egiptene, hinduse, chineze, chiar şi în Biblie.7 Arhimede (sec. III. î.H.) a găsit că π este cuprins între

71103 şi

713 . În secolul al XIII-lea, Fibonacci a găsit valoarea

aproximativă π ≈ 3,1418, şi exemplele ar putea continua. Ce este atât de special cu acest număr şi cum putem să îl

introducem în matematica şcolară?

7 F.Câmpan, Poveşti despre numere măiestre, Ed. Albatros, Bucureşti, 1981


82

Un prim aspect asupra căruia trebuie insistat este faptul că orice două cercuri sunt asemenea, raportul lor de asemănare fiind egal cu raportul razelor. De aceea, prin analogie cu poligoanele asemenea, putem deduce că raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul acestuia este acelaşi, oricare ar fi cercul dat.

Pe de altă parte, dacă ştim lungimea cercului, putem determina

relativ uşor aria acestuia: prin secţionare în sectoare congruente, discul se transformă într-o figură asemănătoare unui paralelogram, în care „baza” are lungimea unui semicerc, iar înălţimea este egală cu raza cercului. Aria cercului se deduce astfel printr-un proces de trecere la limită. Pentru a crea o imagine adecvată acestei transformări, la clasă se poate folosi, de exemplu, o cutie de brânză topită.

Volumele cilindrului, conului şi trunchiului de con pot fi calculate

prin analogie cu prisma, piramida şi trunchiul de piramidă. O situaţie specială o constituie formula pentru volumul şi aria sferei. Deşi poate părea ciudat, formula pentru volumul sferei poate fi calculată anterior formulei pentru aria sferei.

Pentru aceasta, considerăm un cilindru cu secţiune pătrată şi două conuri, cu vârfurile în centrul cilindrului, care au cercurile de la bază egale cu cercul mare al sferei. Considerăm corpul obţinut prin îndepărtarea celor două conuri din cilindru şi arătăm că se verifică Principiul lui Cavalieri.

În timp ce pentru volumul sferei putem aplica Principiul lui Cavalieri, pentru a calcula aria sferei construim un poliedru convex, format prin alăturarea unor tetraedre care au vârful în centrul sferei şi au înălţimile egale cu raza sferei. Cu aceste tetraedre, demonstrăm

că aria sferei este legată de volum prin relaţia: 3.rSV = . De aici,

deducem că aria sferei este S = 4π r2. Temă de reflecţie 11 Detaliaţi metoda de calcul pentru aria sferei.


83

2.8. Teorema lui Pitagora Probabil că cea mai cunoscută teoremă de geometrie

elementară este teorema lui Pitagora. Se pare că această teoremă era cunoscută şi

înaintea lui, de către sumerieni şi chinezi. Ei ştiau, de exemplu, că triunghiul cu laturile de 3, 4 şi 5 unităţi de lungime este triunghi dreptunghic.

Nu există însă nici-o dovadă că anterior lui Pitagora s-ar fi cunoscut vreo demonstraţie a acestei teoreme: ea era folosită ca regulă de construcţie a unghiurilor drepte, în aplicaţiile practice. După cum relatează anticii, Pitagora ar fi fost primul care a făcut din matematică o ştiinţă demonstrativă şi exactă. Importanţa teoremei constă în faptul că este pentru prima dată în istoria omenirii când se demonstrează un rezultat referitor la relaţii metrice.

Anterior, Thales stabilise teorema ce îi poartă numele, în care segmentele aflate pe drepte diferite pot fi măsurate cu unităţi diferite de măsură. In teorema lui Pitagora, însă, toate mărimile care apar trebuie măsurate cu o aceeaşi unitate de măsură.

Matematicienii antici dădeau oricărei mărimi un înţeles practic, cotidian. De aceea, în formularea originală, Teorema lui Pitagora se enunţa astfel:

Suma ariilor pătratelor ridicate pe catetele unui triunghi

dreptunghic este egală cu aria pătratului ridicat pe ipotenuza triunghiului considerat.8

De-a lungul timpului, au fost găsite câteva sute de demonstraţii ale teoremei. În figura alăturată, este sugerată o astfel de demonstraţie, ce se poate realiza prin decuparea hârtiei. De fapt, această demonstraţie arată că figura geometrică formată prin alipirea celor două pătrate construite pe catete este la fel constituită ca şi pătratul construit pe ipotenuză (în sensul definiţiei din secţiunea 2.5.)

Această demonstraţie, chiar dacă poate părea insuficient de

riguroasă, creează convingeri matematice puternice, ce pot înlocui alte demonstraţii mai elaborate.

O altă demonstraţie a teoremei foloseşte acoperirea figurii din stânga cu patru figuri congruente, de tipul celei colorate din desenul de mai jos. Aceste patru figuri congruente se suprapun peste patrulaterele DEFG, DCBG, ACJI şi ABHI.

8 O. Onicescu et al., Figuri ilustre ale antichităţii, Ed. Tineretului, Bucureşti, 1967.

Pitagora

A

B C

D

F

G

H

I

J

E

E

D

G

F


84

Temă de reflecţie 12 Despre figura geometrică de mai sus, demonstraţi că: - patrulaterele DEFG şi ACJI sunt congruente - măsura unghiului CAI este de 45°; - AB2 +AC2 = BC2

Demonstraţia cuprinsă, de obicei, în manualele şcolare pentru

Teorema lui Pitagora îi aparţine lui Euclid. La o analiză mai atentă, această demonstraţie este un exemplu de aplicare a raţionamentului de tip inductiv în geometrie.9

Considerăm un triunghi dreptunghic de laturi a, b, c. Vrem să demonstrăm egalitatea:

(A): a2 = b2 + c2. Această relaţie ne sugerează construcţia unor pătrate pe

laturile triunghiului dat; în acest fel, ajungem la figura I, de mai jos. Ideea de demonstraţie presupune să observăm analogia între

această figură şi figura II, în care triunghiul a fost împărţit în alte două

9 G.Polya, Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1962.

Fig.II Fig. I

a2

Fig.III

λa2

generalizare particularizare

analogie


85

triunghiuri dreptunghice, prin trasarea înălţimii. Această analogie poate fi clarificată prin intermediul figurii III, în care au fost construite pe laturile triunghiului iniţial trei poligoane asemenea, însă în rest arbitrare.

Este clar că egalitatea (A) este echivalentă cu egalitatea: (B): λa2 = λb2 + λc2.

În acest fel, figura III apare ca o generalizare a teoremei lui Pitagora, de la care am plecat:

Dacă construim trei poligoane asemenea pe cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, poligonul construit pe ipotenuză are aria egală cu suma poligoanelor construite pe catete.

Această teoremă generală nu este însă echivalentă doar cu cazul I, ci şi cu orice alt caz particular. De aceea, dacă un astfel de caz particular s-ar dovedi evident, cazul general ar fi demonstrat. Un astfel de caz particular este configuraţia II: toate cele trei triunghiuri dreptunghice construite (spre interior) pe laturile triunghiului dat, sunt asemenea, iar aria unuia dintre ele este evident egală cu suma ariilor celorlalte două.

Temă pentru portofoliu Pornind de la imaginea de mai jos, proiectaţi o activitate de

învăţare, prin care elevii ajung la demonstraţia Teoremei lui Pitagora. Precizaţi: sarcina de lucru, modul de organizare a clasei,

resursele necesare, modul de evaluare. Pe o pagină, faceţi comentarii despre oportunitatea unei astfel de activităţi.

2.9. Teorema catetei, teorema înălţimii Teorema lui Pitagora este, indiscutabil, principala teoremă de

geometrie metrică din gimnaziu. Insistenţa asupra acestei teoreme şi numărul mare de aplicaţii propuse elevilor ar putea însă duce la neglijarea altor teoreme de geometrie metrică, cum sunt, de exemplu, teorema catetei şi teorema înălţimii. „Cele mai durabile cunoştinţe de matematică sunt formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul II şi teorema lui Pitagora. Recomandăm deci ca insistenţa pe astfel de chestiuni importante să nu conducă la inhibarea celorlalte cunoştinţe, care îşi au şi ele importanţa lor.”10

10 E. Rusu, Metodica predării geometriei în şcoala generală, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968.


86

De regulă, aceste teoreme se demonstrează ca aplicaţie a asemănării. Nu trebuie neglijată însă interpretarea geometrică a acestor teoreme, cu ajutorul ariilor. De exemplu, teorema catetei spune că, în figura de mai jos,

Aria(ABD) = Aria (BFE). Putem demonstra teorema catetei folosind proprietăţi ale ariilor

şi congruenţa unor triunghiuri. De fapt, tot ceea ce vom folosi este următorul rezultat: prin deplasarea unuia dintre vârfurile unui triunghi pe o dreaptă paralelă cu baza triunghiului, aria se păstrează.

Aplicăm acest rezultat pentru figura următoare şi obţinem:

• Aria (ABD) = Aria (CBD) , deoarece AC // BD; • Aria (CBD) = Aria (EBA), deoarece triunghiurile CBD şi

EBA se obţin unul din altul printr-o rotaţie de 90° în jurul lui B, deci sunt congruente;

• Aria (ABE) = Aria(FBE), deoarece AF // BE.

Temă de reflecţie 13 Enunţaţi avantaje şi dezavantaje ale demonstrării teoremelor

catetei şi înălţimii cu ajutorul ariilor. Care dintre aceste teoreme ar trebui demonstrată prima?

D

E

B

A

F

A

B C

E


87

2.10. Formule trigonometrice: metode de deducere Trigonometria are ca principal scop rezolvarea triunghiului (în

particular, a triunghiului dreptunghic). Faptul că putem calcula toate elementele unui triunghi, de îndată ce ştim măsurile unora dintre laturile şi/sau unghiurile triunghiului este o proprietate de determinare: un triunghi este determinat de unele dintre laturile şi/ sau unghiurile sale. Această idee se fixează mai ales prin construirea efectivă a figurii, cu instrumente de geometrie, ceea ce conduce, de altfel, şi la înţelegerea cazurilor de congruenţă.

Definirea funcţiilor trigonometrice ale unghiurilor ascuţite necesită o discuţie specială. Aşa cum remarca E. Rusu11, „dacă începem cu o definiţie de felul: sinusul unghiului este raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză, înseamnă că ne plasăm într-un triunghi dat şi avem în vedere numai scopul practic, tratat îngust: elevul să ştie ce are de făcut pentru a rezolva triunghiul.” De aceea, este recomandabil să aduceţi elevii la înţelegerea faptului că sinusul sau cosinusul sunt asociate unui unghi, şi nu unui triunghi.

Temă de reflecţie 14 Proiectaţi o activitate o activitate la clasă care are drept scop

definirea sinusului unui unghi. Precizaţi sarcina de lucru, modul de organizare a clasei, resursele necesare, modul de evaluare.

În gimnaziu, se lucrează în principal cu valorile trigonometrice

ale unghiurilor de 30°, 45° şi 60°. De regulă, pentru eficientizarea calculelor, aceste valori se reţin „pe dinafară”. O regulă mnemotehnică utilă este sugerată de tabelul următor.

0° 30° 45° 60° 90°

sin

20

21

22

23

24

cos

24

23

22

21

20

Pentru a evita uitarea acestor valori principale, este nevoie însă

ca elevul să dispună de modalităţi simple de deducere a acestora. Evidenţierea unor configuraţii standard, de tipul celor din figurile alăturate, poate fi o modalitate de acţiune în acest caz.

Pe de altă parte, nu trebuie neglijate nici valorile trigonometrice ale altor unghiuri. În acest scop, se pot folosi tabele trigonometrice sau calculatoare de buzunar, care au incorporate funcţii trigonometrice. O bună pregătire a temei aproximări şi estimări presupune şi efectuarea unor astfel de calcule.

11 E. Rusu, Metodica predării geometriei în şcoala generală, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968.

60°

30°

45°


88

La liceu, trigonometria devine mai dificilă, datorită, în special, existenţei celor trei sisteme de referinţă, prezentate în secţiunea 2.4.2. Formulele trigonometrice numeroase pot crea elevului impresia de „sufocare”. De aceea, activităţile de învăţare propuse şi întregul demers de obţinere a formulelor trigonometrice sunt mult mai importante decât formulele însele.

Utilizarea proprietăţilor geometrice poate constitui un punct de acces în înţelegerea cercului trigonometric şi a formulelor. De exemplu, formula trigonometrică:

sin(α) = cos (π/2 - α), exprimă, de fapt, o proprietate de simetrie faţă de prima bisectoare, aşa cum se arată pe figura alăturată. O interpretare de aceeaşi natură se poate da pentru paritatea sau imparitatea funcţiilor trigonometrice, sau pentru reducerea la primul cadran.

Formulele trigonometrice pentru sumă sau diferenţă de unghiuri pot fi deduse într-un demers de tip inductiv, în care se pleacă, de exemplu, de la formula

cos(a+b)=cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b)

şi se folosesc proprietăţile de paritate şi de simetrie pentru a deduce toate celelalte formule.

Redăm în continuare activitatea desfăşurată la clasa a IX-a de

către profesorul D.M., pentru desfăşurarea temei Transformarea sumei în produs.

Clasa a fost organizată în grupe de lucru de câte 4-5 elevi.

Activitatea a început cu reactualizarea formulelor pentru sinusul şi cosinusul sumei şi diferenţei de unghiuri. Lucrând frontal, a fost obţinută, prin adunare, formula:

cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos(a).cos(b).

Ulterior, profesorul a indicat modul de obţinere a formulei pentru transformarea sumei a două cosinusuri în produs.

Sarcina de lucru a fost scrisă pe foi, diferenţiat pentru fiecare grup de lucru în parte. Aceasta a vizat stabilirea, prin analogie, a formulelor pentru transformarea unei sume de sinusuri în produs şi verificarea formulei găsite pe cazuri particulare relevante.

Raportarea a fost făcută prin sondaj: elevii nominalizaţi au scris la tablă rezultatele la care au ajuns grupele lor de lucru.

cos

sin

α

π/2 – α


89

Temă de reflecţie 15 Imaginaţi o activitate de învăţare pentru tema transformarea

produselor trigonometrice în sume, desfăşurată cu elevi de clasa a IX-a. Elaboraţi un scenariu didactic, în care precizaţi eventualele dificultăţi ale elevilor şi modalitatea de remediere a acestora.


90

2.11. Tipuri de probleme O clasificare a problemelor de matematică poate fi utilă din mai

multe perspective. Pe de o parte, clasificând problemele şi aplicaţiile propuse,

profesorul poate avea un control asupra aplicaţiilor pe care le propune la clasă. Menţinerea unui echilibru între diversele tipuri de probleme conduce la dezvoltarea unor competenţe diverse ale elevilor. De exemplu, alternarea unor probleme algoritmice cu probleme creative are rolul umbrelor în pictură: acela de a evidenţia lumina.

Pe de altă parte, încadrarea unei probleme într-o tipologie cunoscută poate duce la conturarea unui plan de rezolvare a problemei sau chiar la identificarea unor idei de rezolvare.

Pentru geometrie, o clasificare grosieră este următoarea: problemele sunt „de calcul” sau „de demonstraţie”. O altă clasificare grosieră poate fi în probleme „în plan” sau probleme „în spaţiu”. Alte clasificări se pot referi la conţinutul problemei. Astfel, problemele de geometrie pot fi: probleme de incidenţă (coliniaritate, concurenţă, coplanaritate); probleme de construcţie (construcţii de configuraţii geometrice, ...); probleme de trigonometrie (calculul măsurii unor unghiuri, demonstrarea unor identităţi); probleme de loc geometric (explicitarea unei mulţimi de puncte, descrisă printr-o proprietate); probleme de congruenţă sau asemănare, etc.

Pot oare ajuta aceste clasificări elevii, în rezolvarea unei probleme? Un posibil răspuns poate fi dat de parcurgerea mentală a schemei următoare.

Practica didactică arată că, atunci când fac analiza unei

probleme, profesorii folosesc diverse clasificări pentru a sugera modul de abordare a acestora. De exemplu, dacă se cere congruenţa unor segmente, elevilor li se sugerează încadrarea lor în două triunghiuri şi demonstrarea congruenţei acestor triunghiuri.

Fiecare categorie de probleme are metode şi rezultate specifice acesteia. Încadrarea problemei în categoria respectivă conduce la încercarea de a aplica în primul rând aceste metode specifice. De aceea, un inventar al metodelor poate fi util în rezolvare. De exemplu, pentru demonstrarea coliniarităţii unor puncte se pot folosi:

...cere să demonstrăm că...

...cere să calculăm...

Ne amintim formule de calcul

Ce putem deduce din ipoteză? Ce ar implica concluzia?

Calculăm datele cerute

Legăm ipoteza şi concluzia, prin raţionament

Problema

Cum clasificăm problemele de matematică?

Cum demonstrăm probleme de coliniaritate?


91

- unicitatea semidreptei: m(∠ AOB) = m(∠ AOC) O, B, C coliniare

- unghiuri opuse la vârf: m(∠ AOB) = m(∠ DOC) O, B, C coliniare

- calcule de distanţe: AB + BC = AC A, B, C coliniare

- calcule de arii: aria(ABC) = 0 A, B, C coliniare

- unicitatea paralelei: AB // d, AC // d A, B, C coliniare

- măsura unghiului: m(∠ AOB)= 180° A, B, O

coliniare

- teorema lui Menelau:

1−=⋅⋅NBNA

PAPC

MCMB

M, N, P coliniare

- locuri geometrice: d(A, m) = d(B, m) = d(C, m) A, B, C coliniare Temă de reflecţie 16 Inventariaţi metode pentru demonstrarea asemănării unor

triunghiuri.

O A

B

C

O A

B

C

D

A B C

A B C

d

A

B C M

N

P

A B C

m


92

2.12. Încadrarea problemei – sugestie în rezolvare Să presupunem că vrem să rezolvăm la clasă o problemă de

geometrie. Cum procedăm?

Exemplul 1

Dat pătratul ABCD, de latură a, se construiesc triunghiurile echilaterale BCF şi DCE, primul spre exteriorul, iar al doilea spre interiorul pătratului.

a) Demonstraţi că punctele A, E şi F sunt coliniare. b) Calculaţi AF. c) Comparaţi ariile triunghiurilor ADE, ABF, DEC şi ECF.

O primă încadrare a problemei: prima întrebare este „de demonstraţie”, următoarele sunt „ de calcul”. O încadrare mai precisă este: problema este una de geometrie metrică, deoarece toate întrebările se referă la calcule de unghiuri, distanţe şi arii.

Câteva sarcini de lucru şi întrebări pe care le puteţi adresa elevilor, pentru a-i ajuta în rezolvare, sunt sugerate în continuare.

- Care este ipoteza problemei? Dar concluzia? Notaţi-le într-o formă prescurtată.

- Citiţi din nou enunţul. Ce înseamnă triunghi echilateral? Dar pătrat?

- Realizaţi o figură a problemei, cu instrumente geometrice. Aţi obţinut toţi aceeaşi figură? Sunt toate figurile obţinute congruente?

- Eu am îndoieli că problema este adevărată. Cum ne putem convinge? E suficient să verificăm coliniaritatea şi să măsurăm segmentele pe figură, ca să spunem că am rezolvat problema?

- Cum putem demonstra coliniaritatea unor puncte? Enunţaţi câteva metode de demonstraţie.

- Ne ajută calculul lui AF în rezolvarea primei întrebări? - Putem calcula măsura unghiului BAE?

În tot acest demers, ţineţi seama de recomandarea: Nu grăbiţi rezolvarea problemei contrapunând încercărilor elevilor experienţa dumneavoastră de adult!

Exemplul 212

În cubul ALGEBRIC, fie M mijlocul lui AL. Demonstrează că planele (BIM) şi (CEL) sunt perpendiculare.

Aceasta este o problemă de perpendicularitate. Pregătirea rezolvării efective a problemei poate fi făcută prin următoarea sarcină de lucru:

Subliniază propoziţiile care sunt echivalente cu enunţul: „Planele α şi β sunt perpendiculare”.

a) α ∩ β = ∅; b) orice dreaptă din α este perpendiculară peβ; c) există o dreaptă din α perpendiculară pe β; d) orice dreaptă din α este perpendiculară pe orice dreaptă din

β; e) unghiul dintre o perpendiculară pe α şi o perpendiculară pe β

este unghi drept. 12 Exemplul este preluat din: M.Singer, C.Voica, Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003.

A

C

B

D

E F


93

Ulterior, elevilor li se poate da indicaţia: pentru a rezolva problema iniţială, determină o dreaptă perpendiculară pe unul dintre plane, conţinută în celălalt plan.

Temă de reflecţie 17 În conducerea rezolvării problemei de mai sus, identificaţi

întrebările-cheie. Ce alte tehnici utile au fost sugerate?

2.13. Culegerea datelor de tip metric Matematica s-a dezvoltat, în principal, din considerente

practice. Calculul unor mărimi prin măsurare a condus la apariţia mulţimilor de numere. Geometria s-a dezvoltat însă, în principal, din încercarea de a determina mărimi inaccesibile, a căror măsurare este imposibilă sau foarte dificilă. Istoria matematicii conţine numeroase exemple în acest sens.

Exemple

Unul dintre cele mai celebre exemple de calcul a unor elemente inaccesibile este datorat lui Thales (640-550 î.H.). În timpul unei călătorii în Egipt, el a anunţat că poate măsura înălţimea piramidelor egiptene, fără să se urce pe ele. Uimirea egiptenilor a fost cu atât mai mare cu cât, în acea perioadă, doar preoţii aveau cunoştinţe de matematică, însă doar de natură algoritmică; în plus, aceştia îşi păstrau cu grijă secretele, pe care le considerau ca provenind de la zei. Însuşi regele Egiptului a asistat la experienţă - care a constat în compararea a două triunghiuri asemenea...

Evenimentul a fost atât de comentat de către contemporani, încât şase secole mai târziu, Plutarh (celebru istoric grec, din sec. I d.H) descrie amănunţit întâmplarea şi procedeul de măsurare, în operele sale.

Un alt exemplu celebru de calcul a unor elemente inaccesibile îl constituie aproximarea razei Pământului, de către Eratostene (276-195 î.H.) Pentru a determina mărimea Pământului, el a ales două localităţi, despre care se credea, la acea vreme, că sunt situate pe acelaşi meridian: Alexandria şi Siene.

Eratostene

Thales


94

Observaţiile şi măsurătorile au fost făcute în ziua solstiţiului de vară, la amiază. În timp ce la Siene, soarele putea să fie văzut în fântânile din oraş, iar copacii nu aveau umbră, la Alexandria, lungimea umbrei corespundea unui unghi cu măsura de 7°36′, adică tangenta unghiului format de razele solare cu verticala locului era 1/50. Prin urmare, distanţa dintre Alexandria şi Siene, adică 785 km, este de 1/50 din lungimea cercului ecuatorial. Aceste calcule dau pentru diametrul Pământului o valoare estimativă de 12 625 km, cu doar 75 km mai mică decât lungimea diametrului Pământului, acceptată în zilele noastre. (Toate unităţile de măsură au fost actualizate. În acest calcul, s-a presupus că Pământul are o formă perfect sferică.)

Studiu individual Puteţi găsi mai multe informaţii de istoria matematicii accesând

internetul. În activitatea la clasă, determinarea unor mărimi inaccesibile

din mediul apropiat poate mări motivaţia pentru învăţare a elevilor. Formularea unor sarcini de lucru ce vizează obţinerea unor

date prin măsurare, organizarea şi interpretarea acestora, realizarea unui desen la scară, calculul tuturor elementelor figurii sunt exemple de activităţi de învăţare pe care le puteţi propune elevilor. Câteva sugestii în acest sens sunt date în continuare13.

Exemplul 1: Măsurarea lungimilor

Reflectaţi: de ce metrul utilizat de vânzătorii de stofe, de tâmplari, de croitori, au aspecte diferite.

Confecţionaţi şi gradaţi : un metru din lemn, un metru din hârtie. Măsuraţi: lungimea sălii de clasă, lungimea băncii, înălţimea şi

talia colegului/ colegei de bancă, grosimea unei coli de hârtie, măsura calotei pălăriei bunicului.

Transformaţi în unităţi standard: 3 mile marine, 7 yarzi.

Exemplul 2: Măsurarea suprafeţelor şi măsuri agrare

Observaţi: anunţuri privitoare la preţul terenurilor. Estimaţi: suprafaţa clasei, a şcolii, a grădinii. Trasaţi: o suprafaţă de 3 m2. Calculaţi: suprafaţa unui zid. Aflaţi: care este preţul mediu al metrului pătrat de teren

intravilan, al hectarului de teren arabil în zona voastră?

13 Exemplele sunt prelucrate după: J. Gourdon, A. Godier, L’Arithmétique et la vie, Ed. Gédalge, Paris, 1943.


95

Exemplul 3: Măsurarea capacităţilor şi a volumelor

Observaţi: etichetele sticlelor/ cutiilor/ recipientelor pe care sunt trecute capacităţile acestora. Notaţi aceste capacităţi pe caiete.

Aflaţi: preţul litrului de lapte; preţul metrului cub de lemn de fag. Gradaţi o sticlă de 1 litru în subunităţi de măsură a capacităţii. Estimaţi: capacitatea unui vas de bucătărie. Calculaţi apoi

volumul aceluiaşi vas şi comparaţi estimarea făcută cu rezultatul obţinut.

Daţi exemple de recipiente în care poate să încapă 1 m3 de apă.

Citiţi: un contor de apă, de gaz lichefiat, de benzină, de electricitate.

Determinaţi volumul unei pietre, folosind un vas gradat.

Exemplul 4: Utilizarea hărţilor

Observaţi curbele de nivel de pe o hartă. Interpretaţi semnele convenţionale.

Calculaţi: distanţe dintre localităţi ale judeţului vostru, folosind măsurători pe hartă şi scara acesteia.

Aproximaţi: suprafaţa judeţului vostru, folosind măsurători pe hartă şi scara acesteia.

Calculaţi: distanţa în linie dreaptă dintre două localităţi aflate la altitudini diferite.

Temă de reflecţie 18 Identificaţi 5 teme de matematică la care puteţi folosi o hartă, ca

material didactic.

2.14. Scenariul didactic Când construieşte o casă, un individ are nevoie de un plan

anume al activităţilor desfăşurate. Mai întâi, casa trebuie să răspundă unor necesităţi. Apoi, beneficiarul trebuie să prevadă modul de finanţare, amplasamentul, să facă un proiect arhitectonic, să obţină diverse aprobări legale, să procure materiale, să angajeze o firmă de construcţii, etc. Toate aceste activităţi au o anumită ordine de desfăşurare şi o anume coerenţă: ele nu se pot desfăşura la întâmplare.

Acelaşi lucru se poate spune şi despre activitatea didactică. Pentru eficientizarea activităţii sale, un profesor trebuie să aplice

Este util

scenariul

didactic?


96

diverse forme de proiectare didactică. O modalitate de a anticipa activitatea la clasă este scenariul didactic.

Scenariul constituie forma cea mai detaliată de proiectare. Într-un scenariu de film sunt precizate, pe lângă acţiunile preconizate, şi ceea ce se vede sau se aude (adică sunt precizate replicile şi gesturile actorilor). În mod asemănător, scenariul didactic trebuie să precizeze întrebările profesorului şi răspunsurile elevilor, ce şi când se scrie pe tablă, cine face acest lucru, posibilele greşeli ale elevilor şi modul de acţiune pentru înlăturarea acestora. Desigur, există o mare diferenţă între scenariul de film şi cel didactic: în timp ce la un film pot fi trase mai multe duble, până când scena ajunge la perfecţiunea dorită de regizor, activitatea didactică nu permite reluări – efectul asupra elevilor nu ar mai fi acelaşi... Mai mult, scenariul didactic poate fi încălcat sau se poate chiar renunţa la el, deoarece reacţiile şi replicile elevilor pot fi cu totul altele decât cele anticipate.

Cum trebuie să procedăm într-o astfel de situaţie? Este necesar să menţinem scenariul proiectat, sau putem să ne abatem de la acesta?

Este dificil de dat reţete; credem însă că o abordare flexibilă a situaţiei de la clasă este de dorit, în locul unei abordări rigide. De multe ori, spontaneitatea elevilor poate conduce la abordări didactice mai utile decât cele anticipate.

Exemplu

Scenariul didactic de mai jos a fost elaborat pentru lecţia cu tema Aria dreptunghiului, de la clasa a V-a.

Ce face profesorul Ce fac elevii 1. Intră în clasă, salută elevii Îşi iau locul în bănci, se

pregătesc să înceapă lecţia. 2. Adresează întrebări despre tema de

acasă: La problema..., ce rezultat aţi obţinut? Cere unui elev să rezolve la tablă problema..., care este mai dificilă.

Se uită în caiete. Răspund atunci când sunt întrebaţi. Îşi notează pe caiete rezolvarea la problema ..., sau verifică rezultatele obţinute acasă.

3. Adresează clasei o primă întrebare şi determină o ştafetă a răspunsurilor: Cât este 3x4? Dar 5X9?

Îşi aşteaptă rândul. Răspund atunci când sunt întrebaţi.

4. Împarte elevii în grupe de lucru. Distribuie materialele didactice (pătrăţele din carton, de dimensiuni egale) şi fişele de lucru. Sarcina de lucru: Din pătrăţelele primite, alcătuiţi cât mai multe dreptunghiuri diferite. Desenaţi pe caiete aceste dreptunghiuri. Scrieţi în dreptul fiecăruia dimensiunile laturilor şi numărul de pătrăţele folosite în construcţie.

Se aşează în jurul unei bănci, în grupurile de lucru precizate. Ascultă indicaţiile profesorului, apoi citesc fişele de lucru.

5. Urmăreşte activitatea grupelor. Intervine numai dacă este nevoie.

Se consultă între ei, manevrează meterialele primite, desenează, numără.


97

6. Cere elevilor să ridice deasupra capetelor desenele făcute.

Ridică la vedere desenele.

7. Cheamă în faţa clasei câţiva elevi, care au obţinut desene diferite.

Elevii chemaţi vin în faţa clasei. Ceilalţi elevi urmăresc desenele făcute de colegi.

8. Comentează desenele. Trece la loc elevii scoşi în faţă.

Arată pe rând desenele făcute.

9. Întreabă elevii ce înseamnă aria unui dreptunghi. Numeşte un elev să răspundă. Eventual, revine cu o nouă întrebare, dacă răspunsul primit nu este corect.

Răspund la întrebări.

10. Cere elevilor să observe legături între lungimile laturilor dreptunghiurilor formate şi numărul de pătrăţele utilizate pentru aceasta.

Numără, formulează ipoteze, le verifică, ridică mâna şi răspund când sunt numiţi.

11. Enunţă formula de calcul pentru aria dreptunghiului şi o scrie pe tablă.

Notează pe caiete formula pentru aria dreptunghiului.

12. Propune spre rezolvare problema ... din manual. Se plimbă printre bănci, observă elevii şi intervine acolo unde elevul nu se descurcă singur.

Deschid manualele, citesc problema, scriu pe caiete. Încep să rezolve problema.

13. Cheamă la tablă un elev, pentru a rezolva prima parte a problemei. Urmăreşte activitatea tuturor elevilor clasei.

Elevul de la tablă scrie rezolvarea. Elevii care au terminat primul punct al problemei urmăresc calculele. Ceilalţi elevi îşi notează rezolvarea corectă pe caiete.

14. Cheamă la tablă un alt elev, pentru a rezolva a doua parte a problemei. Adresează întrebări şi altor elevi din clasă.

Elevul de la tablă scrie rezolvarea. Ceilalţi elevii urmăresc calculele şi răspund atunci când sunt întrebaţi.

15. Formulează tema pentru acasă. Notează pe caiete tema.

Temă pentru portofoliu Elaboraţi un scenariu didactic pentru o temă de geometrie

metrică, pe care urmează să o predaţi la una dintre clasele dumneavoastră. Desfăşuraţi apoi activitatea proiectată. Într-un material scris pe 3 pagini, comparaţi modul în care aţi gândit iniţial activitatea la clasă şi modul în care aceasta s-a desfăşurat efectiv. Colaboraţi cu unul dintre colegii dumneavoastră, sau cu conducerea şcolii, pentru asistenţă la această temă.


98

Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect! 1. Principiul lui Cavalieri se enunţă astfel:

..........................................

………………………………………………….…………………………. ………………………………………………….…………………………………………………..…………………….................................................

2. Interpretarea geometrică a Teoremei lui Pitagora este:

………… ….…………………………………………………..……………………… ……………………………………………….…………………………….

….…………………………………………………..……………………

…………………………………………………. …………………………….

3. Scrieţi trei metode specifice pentru rezolvarea problemelor

de loc geometric. Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţelor 2.12 şi 2.13 m-am confruntat cu

următoarele dificultăţi: ...................................................................... ............................................................................................................. ………………………………………………. …………………………….

Îmi este încă neclar:

............................................................................

.............................................................................................................. ………………………………………………. …………………………….


99


2.15. Evaluarea prin proiecte Dintre toate formele de evaluare, proiectul este activitatea cel

mai pregnant centrată pe elevi. Un proiect este un produs al imaginaţiei elevilor care îl realizează, menit să permită folosirea liberă a cunoştinţelor însuşite, într-un context nou şi relevant. Proiectul este o activitate personalizată: elevii pot decide nu numai asupra conţinutului proiectului, dar şi asupra modului de realizare, a calendarului activităţilor şi formei de prezentare. În plus, proiectul încurajează cel mai bine abordarea integrată a învăţării: elevilor li se creează ocazia de a folosi în mod unitar cunoştinţe şi tehnici de lucru dobândite la mai multe discipline.

Fiind o activitate centrată pe elev, proiectul îi dă acestuia posibilitatea de a asambla într-o viziune personală cunoştinţele pe care le are, răspunzând astfel unei întrebări esenţiale: „Ce pot face cu ceea ce am învăţat la şcoală?”.14

Proiectul începe în clasă, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru şi precizarea echipei care îl realizează. În afara orelor de curs, dar sub îndrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de lucru, îşi definesc (dacă este cazul) statutul şi rolul în cadrul grupului şi fixează termene pentru diferite etape ale proiectului. După colectarea datelor şi organizarea materialului, proiectul se încheie în clasă, prin prezentarea rezultatelor obţinute. În urma derulării unor proiecte, se pot realiza: broşuri, pliante, postere, pagini de revistă sau ziar, etc.

Proiectul prezintă avantajul antrenării elevilor în activităţi complexe, ce presupun identificare şi colectare de date, precum şi prelucrarea şi organizarea acestora într-un mod original.

Pentru buna desfăşurare a proiectului, este indicat să ţineţi cont de sugestiile următoare.

• Ajutaţi elevii să stabilească o listă de întrebări esenţiale legate de tematica proiectului şi să centreze conţinutul proiectului în jurul acestor întrebări. Pregătiţi-vă cu grijă activitatea.

• Acordaţi elevilor libertate în privinţa organizării şi structurării proiectului, dar conturaţi împreună câteva elemente obligatorii (de exemplu: introducere, concluzii, bibliografie etc.). Nu zoriţi desfăşurarea activităţilor, dar cereţi elevilor să întocmească un calendar al activităţilor cu termene realiste de finalizare a diferitelor etape.

• Urmăriţi activitatea de elaborare a proiectelor, cerând elevilor să raporteze periodic gradul de realizare. Interveniţi în activitatea unui elev sau a unui grup numai dacă este strict necesar. Lăsaţi elevii să se descurce cât mai mult singuri.

• Folosiţi „gălăgia lucrativă”, atunci când activitatea se desfăşoară în clasă. Nu renunţaţi uşor, chiar dacă aveţi impresia că lucrurile nu avansează aşa cum v-aţi dori.

• Evaluaţi atât calitatea proiectului (având în vedere adecvarea la temă, completitudinea, structurarea, semnificaţia datelor, creativitatea), cât şi calitatea activităţii elevilor (având în

14 Din: M.Singer, C.Voica, Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, PIR, CEDU 2000+, 2005.


100

vedere documentarea, modul de comunicare, calitatea rezultatelor).

În desfăşurarea cu succes a proiectelor, un rol important îl are tema aleasă. Nu este uşor de formulat teme de proiecte; acestea trebuie să fie atât interesante, cât şi realizabile; să lase elevilor suficientă libertate, dar să şi conducă la o idee clară de realizare. În cele ce urmează, sugerăm câteva astfel de teme pentru geometria metrică.

Exemplu

Proiectul următor permite abordarea unităţii de învăţare „Ariile şi volumele corpurilor rotunde” în cadrul unui demers practic-aplicativ.

Titlul proiectului: Vase şi containere: care este forma cea mai avantajoasă?

Paşi în derularea proiectului: • Familiarizare: investigarea formelor uzuale ale vaselor

din gospodărie, comparativ cu volumul lor, determinat prin măsurarea capacităţii.

• Structurare: determinarea măsurilor (lungime, lăţime, diametru, înălţime etc.) acestor vase; determinarea volumelor lor (aplicând formule sau măsurând capacităţi), calculul ariilor vaselor şi containerelor; înregistrarea datelor; determinarea unor modalităţi de comparare e unor vase de capacităţi şi forme diferite; identificarea acelor vase care sunt realizate prin consum minim de material şi au volum maxim.

• Aplicare: utilizarea concluziilor obţinute în luarea unor decizii practice.

Procedura de evaluare Evaluarea proiectului cuprinde două faze: evaluarea activităţii

desfăşurate de copii pe parcursul derulării proiectului şi evaluarea produsului final. Evaluarea se face, de regulă, global pentru toţi membrii unei grupe, ţinând cont de nivelul de implicare a grupei în desfăşurarea activităţii, de metodele de lucru utilizate, de claritatea prezentării şi a argumentării folosite în rapoartele parţiale şi finale, precum şi de gradul de finalizare a sarcinii. Se pot avea în vedere următoarele criterii, detaliate sub forma unor descriptori de performanţă, pentru acordarea notei:

- Echipa desfăşoară o activitate susţinută pe toată perioada derulării proiectului.

- Echipa propune şi rezolvă probleme variate. - Echipa prezintă într-o formă clară şi concisă rezultatele

observaţiilor, recurgând la scheme şi tabele. - Membrii echipei susţin şi argumentează convingător propriile

puncte de vedere.


101


Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 2: Geometrie metrică şi trigonometrie.

Am reuşit…???

1. Elaboraţi un scenariu didactic pentru lecţia Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic, de la clasa a VII-a. Insistaţi asupra dificultăţilor în învăţare şi a întrebărilor şi neclarităţilor pe care le pot avea elevii.

În evaluare vor fi analizate: succesiunea şi coerenţa secvenţelor lecţiei (3p), descrierea situaţiilor problematice (3p), modalităţile de remediere (3p). Se acordă 1 p din oficiu.

2. Proiectaţi o activitate de învăţare pentru obţinerea formulei: cos(2x) = cos2(x) – sin2(x). Porniţi de la figura alăturată şi aplicaţi teorema bisectoarei.

Pentru rezolvarea problemei în cazul unghiului mai mic de 45° se acordă 4p; pentru proiectarea activităţii prin care formula este generalizată se acordă 5p; 1p se acordă din oficiu

3. Enunţaţi patru categorii în care poate fi

încadrată problema următoare. Formulaţi apoi cinci întrebări, care ar putea ajuta la rezolvarea problemei date.

În piramida patrulateră regulată VABCD, notăm cu M mijlocul muchiei VA. Ştiind că muchia bazei şi muchia laterală ale piramidei sunt AB = 4, respectiv VA = 6, calculează distanţa de la punctul M la dreapta BC.

Pentru fiecare item al problemei se acordă 1p; un punct se dă din oficiu.

4. Elaboraţi o grilă de evaluare a unui proiect

desfăşurat cu elevii dumneavoastră, pe o temă legată de geometria metrică.

Pentru coerenţa grilei, se acordă 4p. Pentru posibilitatea de aplicare efectivă a grilei, se acordă 5p. Un punct se acordă din oficiu.

5. Imaginaţi o situaţie de învăţare, pornind de la necesitatea construcţiei unui atelier. Formulaţi patru sarcini de lucru, referitoare la teme de geometrie metrică.

Pentru fiecare sarcină de lucru, formulată conform cerinţelor, se acordă 2p; alte 2p se acordă din oficiu.

... să elaborez scenarii didactice pentru diverse activităţi de învăţare la tema Geometrie metrică şi trigonometrie, în scopul anticipării situaţiilor care pot să apară la clasă?

... să organizez activităţi de învăţare vizând obţinerea de formule trigonometrice, prin generalizarea proprietăţilor geometrice ale unghiurilor dintre 0º şi 180º?

... să încadrez probleme de geometrie sau trigonometrie într-o categorie specifică, pentru identificarea unor căi adecvate rezolvării acestora?

... să evaluez elevii prin proiecte cu teme practice, în scopul aplicării cunoştinţelor de geometrie în probleme ale vieţii cotidiene?

... să culeg date metrice din realitatea imediată, în vederea generării de situaţii-problemă?


102



Temă de reflecţie 1 Suma se poate defini doar pentru unghiuri adiacente, la care suma măsurilor este

mai mică decât 180.

Temă de reflecţie 2 BE şi BF se obţin din AD şi BD prin sume şi diferenţe. În noul pătrat, latura şi diagonala sunt comensurabile, folosind unitatea de măsură

iniţială. Nu există şiruri de numere naturale, strict descrescătoare.

Temă de reflecţie 3 De exemplu: teorema lui Pitagora.

Temă de reflecţie 4 De exemplu: să se afle figura de arie maximă, care include în interior exact trei

puncte ale reţelei.

Temă de reflecţie 5 Cuburi realizate din carton.

Temă de reflecţie 6 De exemplu: sistemul de referinţă dat de măsura unui arc nu reprezintă o

corespondenţă bijectivă.

Temă de reflecţie 7 Iniţial, lucrăm cu sistemul de referinţă al măsurării arcelor. Ulterior, trecem la sistemul

măsurării unghiurilor, apoi la sistemul cartezian. Test de autoevaluare, pagina 76

1....a determina de câte ori se cuprinde în mărimea dată o unitate de măsură. 2. ... există un segment ce se cuprinde de un număr întreg de ori în amândouă.

Temă de reflecţie 8 Exemple de dificultate: imposibilitatea de a înţelege modul de calcul. Se poate depăşi

confecţionând din carton figurile geometrice şi folosind decuparea acestora în piese mai simple.

Temă de reflecţie 9 De exemplu: mai multe cărţi aşezate teanc.

Temă de reflecţie 11 Calculaţi suma volumelor tetraedrelor, treceţi la limită şi aproximaţi suma ariilor

bazelor cu aria sferei.

Temă de reflecţie 12 - folosiţi descompunerea patrulaterelor în triunghiuri congruente, la fel

aşezate; - arătaţi că punctele C, A, B, H, I, J sunt pe un cerc de diametru AI; - aşezaţi în două feluri figurile colorate, apoi îndepărtaţi câte două triunghiuri

dreptunghice.


103

Temă de reflecţie 13 Teorema înălţimii ar trebui demonstrată prima, deoarece triunghiurile folosite în

asemănare sunt disjuncte şi se pot vedea mai bine.

Temă de reflecţie 14 De exemplu: Porniţi de la un unghi şi construiţi perpendiculare pe o latură, apoi

folosiţi triunghiurile asemenea formate.

Temă de reflecţie 15 Recitiţi modul de organizare a activităţii, prezentat ca exemplu.

Temă de reflecţie 16 Alcătuiţi o listă pornind de la manualele şcolare. Puteţi implica elevii în această

activitate.

Temă de reflecţie 18 De exemplu: asemănare, proporţii, teorema lui Pitagora. Test de autoevaluare, pagina 98

1. Dacă două corpuri dau figuri de arii egale, prin secţionarea cu orice plan orizontal, atunci volumele lor sunt egale.

2. Suma ariilor pătratelor construite pe catetele unui triunghi dreptunghic, este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

3. De exemplu: identificarea unor locuri geometrice fundamentale.


104


D.BELL, D., HUGES, E.R., ROGER, J., Arie, masă, volum, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

HARRIS, R., Problem Solving techniques, version January 5, 2002, http://www.virtualsalt.com

MOISE, E. , Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980

ONICESCU, O. et al., Figuri ilustre ale antichităţii, Ed. Tineretului, Bucureşti, 1967.

POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1971

POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1962.

RADU, I. (coord.), Psihologia educaţiei şi dezvoltării, Ed. Academiei, 1983

RUSU, E., Metodica predării geometriei în şcoala generală, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968.

SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR: Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005.

SINGER, M. (coord), Ghid metodologic. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii. Liceu, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Ed. S.C.ARAMIS PRINT, Bucureşti, 2001.

SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002.

SINGER, M., VOICA, C., Cum demonstrăm? De la intuiţie la rigoare matematică, Ed. Sigma, 2005.

SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed. Sigma, 2003.

SINGER, M., VOICA, C., Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, PIR, CEDU 2000+, 2005.

Informaţii importante pentru această unitate de învăţare se pot obţine şi prin vizionarea casetei video cu titlul: Howard Gardner, Inteligenţe multiple, care se găseşte, de exemplu, la Biblioteca Universităţii din Bucureşti.

Proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice

105

Unitatea de învăţare 3: PROPRIETĂŢI ALE FIGURILOR ŞI CORPURILOR GEOMETRICE

Cuprins Pagina Competenţele Unităţii de învăţare 3 .................................................................... 106 3.1. Euristica rezolvării problemelor ........................................................................... 107 3.1.1. Dinamica procesului de rezolvare a problemelor ...................................... 107 3.1.2. Puncte de sprijin în explorarea strategiilor de rezolvare de probleme ....... 114 3.1.3. Strategii de gândire folosite pentru rezolvarea eficientă a problemelor ..... 116 3.1.4. Cum gândim şi rezolvăm o problemă de geometrie?

O strategie de pus în practică de către elevi ...................................................... 122 3.2. Raţionament geometric. Congruenţă şi asemănare ............................................ 124 3.2.1. Logică şi raţionament ................................................................................ 125 3.2.2. Raporturi între noţiuni ............................................................................... 125 3.3. Congruenţa triunghiurilor.Metoda triunghiurilor congruente ................................ 126 3.3.1. Criteriile de congruenţă a triunghiurilor ..................................................... 127 3.3.2. Metoda triunghiurilor congruente .............................................................. 128 3.4. Relaţia de asemănare; poligoane asemenea ...................................................... 129 3.4.1. Criteriile de asemănare a triunghiurilor ..................................................... 130 3.4.2. Poligoane asemenea ................................................................................ 131 3.5. Proprietăţi. Mulţimi egale. Definiţii echivalente .................................................. 132 3.5.1. Cum formulăm o definiţie? ........................................................................ 133 3.5.2. Cum generalizăm în geometrie? ..................................................................... 3.5.3. Câteva precizări din perspectivă logică asupra condiţiei necesare şi

suficiente ............................................................................................................ 134 3.6. Aplicaţii practice ale geometriei .......................................................................... 137 3.7. Secvenţe ale unei unităţi de învăţare .................................................................. 141 3.8. Evaluarea prin rezolvare de probleme ................................................................ 148 3.8.1. Cum pregătim elevii pentru evaluare prin probe scrise? ........................... 150 3.8.2. Căi practice de îmbunătăţire a performanţelor elevilor .............................. 132 Test de evaluare finală – notat de tutore ............................................................. 154 Indicaţii, sugestii de rezolvare, răspunsuri pentru sarcinile de lucru

ale Unităţii de Învăţare 3 .................................................................................... 155 Bibliografia recomandată pentru Unitatea de învăţare 3 ..................................... 156


106


Studiind această unitate de învăţare, veţi reuşi…

… să proiectaţi unităţi de învăţare pe teme de geometrie, pe

baza comparării unor proiecte personale sau ale colegilor … să desfăşuraţi activităţi practice, în care se folosesc

proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice pentru rezolvarea optimă a unei situaţii-problemă

… să evidenţiaţi tehnici de analiză a problemelor de

raţionament geometric, în scopul formării unor deprinderi adecvate de lucru ale elevilor

… să dezvoltaţi un sistem complex şi coerent de evaluare în

cadrul rezolvării de probleme cere implică raţionamentul geometric … să analizaţi algoritmi specifici problemelor de geometrie,

pentru a-i folosi în alte contexte didactice


107


3.1. Euristica rezolvării problemelor

3.1.1. Dinamica procesului de rezolvare a problemelor

Matematica presupune în multe cazuri aplicarea unor paşi

predeterminaţi bine stabiliţi, ce conduc la obţinerea unor rezultate scontate. Aceasta este zona din matematică bazată pe aplicarea de algoritmi. În aceaşi măsură însă, matematică presupune explorare, tatonări, încercare-eroare. Aceasta este zona care vizează descoperirea unor noi relaţii, concepte, teorii. E. Rusu înţelegea prin euristică „pasiunea şi întreaga activitate legată de punerea şi rezolvarea unor probleme noi”. Euristica reflectă matematica privită ca proces.

Cum rezolvăm probleme?

În ceea ce urmează, parafrazăm demersul de construcţie

empirică dezvoltat de George Polya1. Pentru a da consistenţă aspectelor pe care dorim să le

evidenţiem, alegem o problemă foarte simplă de geometrie în spaţiu:

O piramidă hexagonală regulată are înălţimea de 6 cm. Ştiind că muchiile laterale fac cu planul bazei unghiuri cu măsura de 60˚, care este aria piramidei?

(O piramidă regulată are baza poligon regulat şi toate muchiile

congruente. Într-o piramidă regulată, înălţimea piramidei ”cade” în centrul bazei. Înălţimea este distanţa dintre baze, măsurată pe perpendiculara comună.)

Primul pas spre rezolvarea problemei constă în a ne concentra

asupra scopului pe care ni-l propunem. Ne întrebăm: Ce urmărim?, Ce vrem să aflam?, şi ne reprezentăm (grafic), cât mai clar, forma obiectului ale cărui elemente vrem să le determinăm, în cazul nostru, aria piramidei. Să notăm această arie (totală) cu At. Asupra acesteia trebuie să ne concentrăm toată atenţia.

Nu putem însă găsi necunoscuta At, dacă nu ne raportăm la

ceea ce cunoştem. Care sunt datele?, sau: Ce ni se dă? Ştim înălţimea h şi unghiurile α de măsură 60. Pentru a descrie

această situaţie în mintea noastră, figurăm două puncte – notate cu h şi α, ce reprezintă datele – două puncte separate de necunoscuta At printr-un spaţiu liber. Acest spaţiu liber simbolizează problema „deschisă”, întrebarea la care trebuie să răspundem; problema ne cere să legăm între ele necunoscuta A şi datele h şi α: avem de construit o punte peste acest interval.

1 Polya, G., Descoperirea în matematică, Ed. Ştinţifică, Bucureşti, 1971

hα

At

Care este scopul?


108

Am început, aşadar, să lucrăm la problemă prin a-i vizualiza

(concret şi simbolic) scopul urmărit, necunoscutele şi datele. Cum vom acţiona însă mai departe, ce procedeu trebuie să adoptăm?

Dacă nu putem rezolva problema propusă, să căutăm o problemă înrudită, adecvată situaţiei şi care ne convine mai bine.

În cazul dat, necunoscuta este aria unei piramide. Care este definiţia ei? Suma ariilor tuturor feţelor. Cum am putea afla suma acestor arii? Desigur, calculând aria fiecărei feţe.

l bA A A= + În felul acesta, am redus problema iniţială – găsirea lui A – la mai

multe probleme auxiliare înrudite cu problema noastră, determinarea ariilor fiecărei feţe.

Dar întrucât piramida hexagonală are 7 feţe, am trecut de la determinarea unei necunoscute la determinarea altora 7. Ce am câştigat? Am câştigat faptul că avem acum de-a face cu figuri plane familiare, cărora am putea mai uşor să le determinăm aria.

Am început să întindem puntea peste spaţiul „deschis” dintre necunoscuta iniţială şi date; intervalul rămas este acum mai îngust.

Unde suntem în acest moment? Ce urmărim? Urmărim să găsim

ariile feţelor (necunoscutele de la a la f). Putem oare reduce numărul de necunoscute? Revenim asupra ipotezei: piramida noastră este regulată. Aceasta înseamnă că, având laturile respectiv congruente, feţele laterale – triunghiuri – sunt congruente. Aşadar, a = b = c = d = e = f. Găsind o relaţie între aceste elemente, am redus numărul de necunoscute, de la 7 la 2.

6l VABAA = ⋅

6 AOBb AA = ⋅

Cine este necunoscuta Al? – Este aria unui triunghi. Cum putem obţine acest tip de obiect? Cum putem găsi acest tip de necunoscută? Din ce date putem calcula acest tip de necunoscută? Aria triunghiului poate fi calculată dacă dispunem de două date, baza şi înălţimea corespunzătoare în triunghi. Înălţimea nu este dată, dar putem totuşi lucra cu ea, s-o notăm cu x. Atunci

2xbAVAB

⋅=

Nu cunoaştem nici b, nici x. Suntem într-un impas. Să ne

întoarcem din nou la ceea ce cunoaştem. Ştim înălţimea h a piramidei. Cum o putem lega de necunoscutele noastre? Să observăm figura.

Procedeul cel mai obişnuit de a obţine lungimea unui segment

este să folosim un triunghi – dacă e posibil, un triunghi dreptunghic – sau o pereche de triunghiuri asemenea. Pe figură nu există însă nici un triunghi utilizabil, şi noi am avea nevoie de unul care să aibă o latură x.

Identificăm triunghiul VAO. Pasul imediat următor este căutarea

unui alt element ce ne permite să determinăm muchia piramidei. Pentru aceasta, folosim funcţii trigonometrice. Ele ne permit să determinăm VA şi OA.

O problemă înrudită

O idee de pornire

Ideea pare productivă. S-o dezvoltăm!


109

A B

C

DE

F

V

O A O

V

Cum putem determina AO? Aceasta ne obligă să ne mutăm într-

o altă figură, baza piramidei. Care este necunoscuta care a mai rămas? – Este x, lungimea unui segment. Cum putem găsi acest tip de necunoscută? Cum putem obţine acest tip de obiect?

Triunghiul AOB este echilateral, deci AB rezultă

imediat. Mai departe, determinăm apotema VM a piramidei, folosind triunghiul VAB. Am terminat!

Faptul cel mai important în acest moment este că x poate fi exprimat în funcţie de cele două date a şi h. În acest mod am reuşit să construim o punte între date şi necunoscute, prin intermediul lui b şi x (necunoscute auxiliare).

Ceea ce a mai rămas de făcut în continuare este o activitate de rutină, anume efectuarea propriu-zisă a calculelor.

Începem partea a doua a lucrului, de acolo de unde am terminat-o pe prima. Ne ocupăm mai întâi de necunoscutele auxiliare x şi b. Obţinem

2VABb xA ⋅= .

,sin

h hVA b AOtg

= = =α α

.

2 2 2 2

2 2

cos 4 cossin 4 sin 2sin

h h hx α − α= − =α ⋅ α α

Înlocuim apoi aceste valori şi determinăm aria auxiliară A. Apoi

determinăm aria bazei. Tot ceea ce am făcut efectiv în paragraful de faţă este reprezen-

tat adecvat şi sugestiv în figura de mai jos, unde fiecare linie de legătură poartă câte o săgeată care arată direcţia în care am folosit acea legătură.

A B

C

DE

FO

V

MA B

Ştim calea, s-o punem în practică!


110

At

Ab Al

AVAB AAOB

At

Ab Al

AVAB AAOB

At

AbAl

b x b

h α h α hα

AVAB AAO

At

Ab Al

b x b

h α

VA

l bA A A= + 6l VABAA = ⋅ 2VAB

b xA ⋅= ,sin

h hVA b AOtg

= = =α α

6 AOBb AA = ⋅

A B

C

DE

FO

V

MA B

A B

C

DE

F

V

O A O

V


111

Temă de reflecţie 1 Mai jos este redat un citat din lucrarea lui George Polya, ”Descoperirea în

matematică”.

“A descoperi o rezolvare, a găsi o soluţie înseamnă a descoperi o legătură între lucruri (obiecte) sau idei până atunci separate (între obiectele pe care le avem şi obiectele pe care le dorim, între date şi necunoscută, între ipoteză şi concluzie). Cu cât erau mai depărtate, iniţial, obiectele legate, cu atât mai mare este meritul celui care descoperă legătura dintre ele. Uneori vedem legătura aceasta în chip de punte: o descoperire mare ne taie răsuflarea ca o punte impresionantă aruncată peste prăpastia adâncă dintre două idei foarte depărtate una de alta. Deseori vedem legătura realizată sub formă de lanţ: o demonstraţie ni se înfăţişează ca o înlănţuire de argumente, ca un lanţ – uneori lung – de concluzii intermediare. Lanţul nu este mai solid decât veriga lui cea mai slabă, şi nu există demonstraţie valabilă, nu există înlănţuire neîntreruptă de raţionamente, dacă din ea lipseşte măcar o singură verigă. Şi mai frecvent folosim însă firul ca imagine, a legăturii stabilite prin raţionament. [... ] Un fir subţire se transformă într-o simplă linie geometrică, obiectele legate între ele devin simple puncte geometrice şi iată că, aproape inevitabil, apare o imagine grafică – o diagramă – a înlănţuirii concluziilor matematice.” Analizaţi propriul mod de rezolvare a problemelor şi exemplificaţi cu câte o

situaţie în care ideea (ideile) de rezolvare s-a conturat în chip de punte, lanţ sau fir director.


112

Să privim secvenţa din pagina anterioară de la stânga la dreapta.

Observând-o în succesiune rapidă, obţinem o reprezentare dinamică a progresului realizat de cel care rezolvă problema, un fel de film al desfăşurării procesului de descoperire a rezolvării.

În această reprezentare, fiecare etapă a rezolvării (fiecare

situaţie care se conturează în mintea celui care rezolvă problema) este dată pe mai multe niveluri, elementele care se referă la o aceeaşi situaţie sunt dispuse pe verticală, unele sub altele. La nivelul cel mai de sus, nivelul imaginii, vedem evoluţia figurii geometrice investigate în mintea rezolvatorului. În fiecare etapă, acesta îşi conturează în minte o anumită reprezentare a figurii geometrice pe care o studiază, însă această reprezentare se modifică odată cu trecerea la etapa următoare; unele detalii pot trece pe planul al doilea, altele, din contră, ies în evidenţă şi ne polarizează toată atenţia. În acest demers, pe figură apar detalii noi cărora le acordăm atenţie specială în anumite momente.

Trecând la nivelul imediat următor, ajungem la nivelul relaţiilor, al

legăturilor. În reprezentarea grafică, obiectele considerate (necunoscute, date, necunoscute auxiliare) apar sub formă de puncte, iar relaţiile care leagă obiectele, sub formă de linii care leagă punctele corespunzătoare.

Imediat sub nivelul relaţiilor găsim nivelul matematic, care constă

din formule şi care contrastează net cu cel al relaţiilor. La nivelul relaţiilor este prezentat întregul sistem de relaţii obţinute până în acel moment; relaţia obţinută ultima este în acel moment, în centrul atenţiei, dar ea nu este reprezentată cu mai multe detalii decât cele precedente. La nivelul matematic, dimpotrivă, relaţia obţinută ultima este prezentată în întregime, iar relaţiile precedente nu mai apar deloc.

Nivelul care nu mai apare reprezentat aici este nivelul de bază,

nivelul euristic. Este de fapt motorul întregii construcţii, căci el conţine întrebările care au condus la apariţia acestor structuri. Preocuparea noastră este în continuare este să studiem de ce natură sunt aceste întrebări şi sugestii.

Privind pe rând etapele din schemele de mai sus, vedem cum cel

care rezolvă problema îşi concentrează atenţia asupra diferitelor părţi ale figurii pe care o explorează, cum noi şi noi detalii ale acestei figuri ies în evidenţă, şi cum se dezvoltă pas cu pas sistemul de legături care constituie planul de rezolvare. Examinând atent evoluţia rezolvării, putem discerne în ea mai multe faze şi tipuri de activităţi.

Am remarcat că în prima parte lucrăm descendent, de la necunoscute spre date, iar în partea a doua lucrăm ascendent, de la date spre necunoscută.

Dar chiar şi în prima parte putem distinge două faze. În faza iniţială, efortul principal al celui care rezolvă problema este îndreptat spre înţelegerea problemei, în cealaltă fază, rezolvatorul elaborează

sistemul de legături logice, construieşte un plan de rezolvare a problemei.

Să analizăm demersul făcut

Este timpul să formulăm concluzii!


113

Această ultimă fază – elaborarea planului – pare să fie partea esenţială, cea mai importantă, a efortului de rezolvare.

Temă de reflecţie 2 Aplicaţi acelaşi demers pentru a rezolva problemele următoare:

O piramidă hexagonală regulată are înălţimea de 4cm. Muchiile laterale fac cu planul bazei unghiuri cu măsura de 30°. Care este aria totală a piramidei?

Într-o piramidă hexagonală regulată, aria laterală este dublul ariei bazei. Ştiind că înălţimea piramidei este de 12, calculează aria totală a piramidei.


114

3.1.2. Puncte de sprijin în explorarea strategiilor de rezolvare de probleme

Am observat că, rezolvând problema analizată iniţial în această

unitate de învăţare, au apărut probleme auxiliare (probleme „ajutătoare”, subprobleme). Acestea le-am evidenţiat atunci când am propus modalităţi de pregătire a problemei înainte de abordarea ei în clasă.

O problemă auxiliară este o problemă căreia îi acordăm atenţie, sau de care ne ocupăm, nu din interes pentru ea ca atare, ci fiindcă sperăm că examinarea sau rezolvarea ei ne-ar putea ajuta să rezolvăm o altă problemă, problema noastră iniţială. O problemă auxiliară este un mijloc de a atinge un scop, ea trebuie să deschidă calea spre o anumită ţintă, s-o facă accesibilă; ţelul, sau scopul, este problema iniţială2.

A-ţi deschide calea spre rezolvarea unei probleme aparent inaccesibile elaborând şi rezolvând în prealabil o problemă auxiliară adecvată este tipul cel mai caracteristic de acţiune conştientă, inteligentă.

Pentru ca rezolvarea de probleme să se desfăşoare eficient în clasă, este util să puneţi la dispoziţia elevilor, înainte de a intra în problema propriu-zisă, probleme auxiliare conexe. Spre exemplu, pentru problema analizată anterior, următoarele sarcini de lucru se constituie în instrumente pregătitoare semnificative.

1. Calculează lungimile segmentelor marcate pe

poligoanele regulate de mai jos:

3 42

2. Completează: într-o piramidă regulată, înălţimea uneşte vârful cu ......................................................................... ...................................................................................................

3. Utilizează instrumente de geometrie pentru a desena înălţimea piramidei regulate alăturate.

4. Pentru cuburile din figura alăturată, marchează pe desen unghiurile formate de dreapta şi planul evidenţiate prin culoare.

5. Calculează funcţiile trigonometrice precizate.

2 Polya, G., Cum rezolvăm o problemă?, „Problema auxiliară” p. 155-160, Ed. Stiinţifică, 1965.

3 2

u

3t

4

4α

2

tg =α sin =t cos =u

Probleme în interiorul problemelor – probleme auxiliare


115

Care dintre diferitele etape ale rezolvării ilustrate în schema de mai sus este cea mai importantă? Deşi poate fi vorba de o anumită doză de subiectivitate, probabil că evidenţierea triunghiului dreptunghic din interiorul piramidei a fost ideea decisivă care a conturat calea de rezolvare.

Apariţia ideii decisive n-a avut nimic impresionant în cazul de faţă, dar să nu uităm că problema de care discutăm este foarte simplă. În orice situaţie, ideea decisivă este cea care scurtează încercările şi dă senzaţia unui drum mai clar ce leagă ipoteza de concluzie, sau datele de rezultate.

Soluţia unei probleme poate surveni cât se poate de brusc. După ce ai lucrat îndelung la o problemă şi fără nici un progres aparent, ideea importantă pare să apară brusc, ca ”o clarificare fulgerătoare care face lumină, care ordonează, structurează şi dă scop unor detalii care păreau până atunci obscure, confuze, haotice şi fără nici o semnificaţie”3.

De foarte multe ori ideea revelatoare apare spontan. Ea introduce un element nou şi pregnant, şi modifică modul în care concepem problema. Ea aduce după sine (este urmată îndeaproape de) convingerea fermă că scopul urmărit ne este de acum la îndemână, ne-a devenit accesibil. Spontaneitatea este o trăsătură cu totul caracteristică, dar destul de greu de descris.

Modificarea modului în care concepem problema constă în a restructura concepţia de ansamblu asupra relaţiilor dintre elementele problemei. Când apare ideea, elementele îşi asumă noi roluri, capătă noi semnificaţii. La rezolvarea problemelor de geometrie, elementele sunt reamestecate (ca un pachet de cărţi de joc) şi sunt regrupate în alte asociaţii: sunt asamblate în triunghiuri cu laturi corespondente, sau în romburi, sau în orice configuraţie familiară rezolvatorului şi utilă scopului urmărit în investigaţie. O linie care înainte de apariţia ideii revelatoare nu era decât o linie şi nimic mai mult capătă acum o anumită semnificaţie: ea devine latură a unui triunghi a cărui congruenţă cu un alt triunghi este esenţială pentru rezolvare; sau devine o secantă a două paralele; sau se înscrie în vreun alt fel într-un tablou comprehensibil. După apariţia ideii, vedem mai multe – semnificaţii mai multe, posibilităţi multiple, corelări mai multe. Apariţia ideii este ca lumina pe care o aprinzi într-o cameră întunecoasă.

Ideea revelatoare apare simultan cu convingerea că ţelul a devenit accesibil. Această convingere se exteriorizează prin exclamaţii de genul „Am găsit!”, „Ştiu acum cum să fac!”, „Ăsta era trucul.”

Avem nevoie de idei „bune”, de idei utile, şi am vrea, fireşte, să avem oricând la dispoziţie asemenea idei; în realitate, însă, lucrurile sunt mai complicate. Ideile ne pot fulgera în minte pe neaşteptate, dar mult mai adesea se lasă aşteptate îndelung. Ideile vin când vor ele să vină, nu când vrem noi, iar de multe ori, a aştepta să-ţi vină o idee este un fel de rămăşag cu hazardul. Pe de altă parte însă, deşi apariţia ideii revelatoare pare bruscă şi arbitrară, experienţă are un cuvânt greu de spus în procesul rezolvării problemelor.

3 Polya, G.,Descoperirea în matematică, p. 240, Ed. Stiinţifică, 1971.

Ideea generatoare de succes


116

În reprezentarea grafică a rezolvării problemei, semnul cel mai evident că aceasta progresează îl constituie apariţia de noi şi noi detalii. Pe măsură ce rezolvatorul avansează, apar noi şi noi linii atât pe figura geometrică, cât şi pe diagrama relaţiilor. Dincolo însă de complexitatea crescândă a figurii, ceea ce trebuie să sesizăm este cristalizarea unei structuri în mintea celui care rezolvă problema. Cu fiecare pas semnificativ, el introduce un alt element relevant din bagajul său de cunoaştere; identifică o configuraţie familiară, aplică o teoremă cunoscută. În felul acesta, ceea ce se petrece în mintea celui care rezolvă problema ne apare ca o rememorare de elemente relevante din experienţa acumulată şi o racordare a acestora la problema investigată, o muncă de mobilizare şi de organizare.

3.1.3. Strategii de gândire folosite pentru rezolvarea eficientă a problemelor

Când „avem o problemă” ea ne revine deseori în minte, şi

poate chiar atât de des, încât devine o obsesie. La problemă trebuie însă să ne gândim nu numai în termeni vagi, la modul general, ea trebuie înfruntată deschis, trebuie înţeleasă clar – trebuie să ne întrebăm: Ce urmărim? Ce vrem să obţinem?

Se ivesc multe ocazii, în cursul rezolvării, de a ne pune această întrebare. Când ne-am angajat prea departe pe o cale lăturalnică care, la urma urmelor, s-ar putea dovedi irelevantă când gândurile încep să o ia razna, poate fi util să ne întrebăm: Ce vrem să obţinem, ce urmărim? şi în felul acesta să ne concentrăm din nou asupra scopului urmărit, să-l readucem în centrul atenţiei, să-l precizăm din nou.

Ţinta unei probleme de aflat este necunoscuta: pentru a ne preciza această ţintă trebuie să întrebăm: Care este necunoscuta? Scopul unei probleme de demonstrat este concluzia, aşa că forma adecvată a întrebării este: Care este concluzia?

După ce am înţeles clar ţinta, scopul urmărit, trebuie să inventariem obiectele de care dispunem, şi pe care le-am putea folosi pentru a ne atinge obiectivul urmărit; trebuie deci să ne întrebăm: Ce avem? Ce este dat?

În fapt, dacă vrem să stabilim o legătură între cele două puncte, să găsim o cale care duce de la un punct la altul, poate fi foarte util să examinăm alternativ cele două puncte, mai întâi unul, apoi pe celălalt, aşa că avem deseori ocazia să ne întrebăm în ordinea: Ce vrem să obţinem? Ce ni s-a dat?

Adaptate la problemele de aflat, întrebările sunt: Care este necunoscuta? Care sunt datele? Care este condiţia? Adaptate la problemele de demonstrat – Care este concluzia? Care este ipoteza?

După ce am înţeles bine problema în ansamblu, ne îndreptăm atenţia asupra părţilor ei principale. Părţile principale ale unei probleme de aflat (necunoscutele, data şi concluzia) sau ale unei probleme de demonstrat (concluzia şi ipoteza) trebuie să stea mereu în atenţia noastra pe parcursului încercărilor de rezolvare.

Un rezolvator de probleme care este serios preocupat de problema lui sesizează acut orice modificare de situaţie care

Organizarea gândirii

Ne precizăm scopul

Evaluăm perspectivele


117

afectează perspectivele planului pe care şi l-a făcut. Când şi când, este însă de dorit să mergem ceva mai departe de simpla impresie, să ne cântărim mai lucid situaţia faţă de problemă, să diagnosticăm problema, să-i evaluăm perspectivele – şi tocmai aceasta este intenţia, tendinţa întrebărilor care urmează.

Există probleme a căror şansă să fie rezolvate este foarte mică. Or, dacă întâmplător problema de care ne ocupăm este dintre cele fără speranţă, nu trebuie să ne complicăm prea mult cu ea şi de aceea ne întrebăm: Există oare răspuns la această întrebare? Există oare un răspuns clar, un răspuns tangibil? Şi dacă există un răspuns, aş putea oare să-l găsesc?

Când avem de-a face cu o problemă de aflat, trebuie să (ne) întrebăm: Există (problema are) oare soluţie? Întrebarea poate fi şi mai elaborată: Câte soluţii admite problema? Există o singură soluţie, există mai multe, sau nu există nici una? Condiţia propusă este exact cea necesară pentru determinarea necunoscutei, sau cere prea puţin (faţă de ceea ce ar putea pretinde), sau cere prea mult?

Când avem de-a face cu o problemă de demonstrat, întrebarea adecvată este: Conjectura (afirmaţia din enunţ) este adevărată, sau este falsă? Putem întreba şi ceva mai elaborat: Oare pentru a implica concluzia este nevoie de o ipoteză mai restrictivă? Teorema este formulată cu acurateţe? Sau ar fi suficientă şi o ipoteză mai largă, pentru a implica concluzia? Cât de plauzibil este acest enunţ/rezultat? Şi aşa mai departe.

De fapt la nici una din aceste întrebări nu putem da un răspuns definitiv, decât după ce am terminat lucrul şi am rezolvat problema. Dar întrebările nu urmăresc realmente un răspuns definitiv, ele nu pretind decât un răspuns provizoriu, o anticipare cât mai potrivită. Prin anticipare, ghicire, intuiţie, ne putem clarifica poziţia în raport cu problema.

Temă de reflecţie 3 Pentru următoarea problemă, folosiţi întrebările de mai sus. Care dintre aceste întrebări se dovedesc eficiente pentru rezolvare? Se secţionează o piramidă triunghulară cu un plan paralel cu baza. Demonstrează că vârful piramidei şi centrele de greutate ale bazei şi, respectiv, ale secţiunii, sunt puncte coliniare.


118

De multe ori, tocmai scopul sugerează mijloacele; aşa încât, examinarea ţelului (a necunoscutei, a concluziei) poate sugera o cale de acces. Lanţul întrebărilor generate de aici poate fi: Ce urmărim? Care este necunoscuta? Cum putem găsi acest tip de necunoscută? Din ce date putem deduce acest tip de necunoscută? Iar aceste întrebări pot iniţia o abordare regresivă a problemei: dacă sesizăm din ce „date” am putea deduce necunoscuta problemei propuse, putem alege acele date drept ţintă a unei probleme auxiliare, şi în felul acesta, putem l începe să lucrăm descendent.

La o problemă de demonstrat, întrebările corespunzătoare sunt: Ce urmărim? Care este concluzia? Cum putem deduce acest tip de concluzie? Din ce ipoteză putem deduce acest tip de concluzie?

În loc de a scoate în evidenţă necunoscuta (concluzia), putem pune accentul pe date (pe ipoteză): Care sunt datele? Cum putem folosi aceste date? Ce putem deduce din astfel de date? Există şi la probleme de demonstrat o înlănţuire corespunzătoare de întrebări: Care este ipoteza? Cum putem folosi o astfel de ipoteză? Ce putem deduce dintr-o astfel de ipoteză? Aceste întrebări pot iniţia o abordare progresivă. Aşa cum Polya sublinia, în general, planificarea regresivă a rezolvării este de preferat celei progresive.

În unele situaţii însă, se poate foarte uşor întâmpla să nu reuşim să elaborăm un plan utilizabil, nici lucrând regresiv, nici lucrând progresiv. Există însă şi alte întrebări care ne pot sugera o cale de acces, un mod de abordare a problemei, şi iată câteva din cele pe care (ni) le putem pune cu folos încă de la începutul investigaţiei: De ce tip este această problemă? (Nu cumva) este înrudită cu vreo problemă cunoscută? (Nu cumva) seamănă cu vreo problemă cunoscută? Încercând să clasificăm problema, încercând să găsim legături şi asemănări cu probleme cunoscute, s-ar putea să sesizăm că problemei în cauză i se poate aplica o anumită schemă familiară (de rezolvare) şi atunci, avem ceva cu care putem începe să „vedem" primii câţiva paşi pe calea care s-ar putea să ne ducă la soluţie.

Când încercăm să găsim o problemă înrudită utilizabilă, un pro-cedeu este să trecem în revistă relaţiile (legăturile) despre care ştim din experienţă că se întâmplă foarte frecvent să se dovedească utile: Cunoaştem vreo problemă înrudită? Am putea imagina o problemă înrudită? Cunoaştem sau am putea imagina, vreo problemă de acelaşi tip, sau o problemă analogă, sau una mai generală, sau o problemă mai particulară? Aceste întrebări ne pot însă îndepărta de problema propusă, aşa că, de regulă, este preferabil să (ni) le punem ceva mai târziu, cînd problema este de acum clarificată şi ne-am întipărit-o atât de bine în minte, încât nu riscăm s-o pierdem din vedere/lucrând la oarecare „distanţă” de ea.

Cum procedăm când avem de rezolvat o problemă care nu se

lasă soluţionată imediat? Încercăm, în minte, să ”întoarcem problema pe toate feţele”, doar-doar găsim o cale de abordare. Este util să (ne) întrebăm: Este oare exprimată problema sub forma cea mai simplă, cea mai clară, cea mai sugestivă? N-am putea oare reformula problema?

Identificăm o cale de acces

Reformulăm problema astfel încât să scoatem în evidenţă un aspect care leagă mai bine datele de necunoscute


119

Aşadar, reformulăm problema (adică o transformăm într-o problemă echivalentă), în aşa fel încât ea să devină mai familiară, mai atrăgătoare, mai accesibilă, mai promiţătoare.

Scopul efortului nostru este să construim o punte peste pră-pastia dintre ceea ce urmărim şi ceea ce avem, să legăm necunoscuta de date, concluzia de ipoteză. N-am putea oare reformula astfel problema încât necunoscuta şi datele, sau ipoteza şi concluzia, să ni se înfăţişeze mai apropiate unele de altele?

Să transformăm deci concluzia, sau să transformăm ipoteza, sau să le transformăm şi pe una şi pe cealaltă, dar s-o facem în aşa fel încât să le aducem mai aproape una de alta. Să transformăm necunoscuta, sau să transformăm datele sau condiţia, sau să transformăm întreaga problemă, dar s-o facem astfel încât să aducem necunoscuta mai aproape de date.

Pe măsură ce rezolvarea progresează, pe figura considerată apar noi linii; noi materiale şi noi relaţii se adaugă la structura care se cristalizează în mintea celui care rezolvă problema. Fiecare tranformare a problemei este capabilă să introducă elemente noi. O cale importantă de a adăuga noi materiale la viziunea asupra problemei o constituie revenirea la definiţii. Revenind la definiţiile elementelor date o dată cu problema, introducem elemente noi, care, la rândul lor, introduc alte elemente noi, şi continuând în felul acesta, ne dezvoltăm, ne completăm, ne amplificăm viziunea asupra problemei. Deseori, o astfel de operaţie ne apropie de rezolvare, dar nu neapărat; uneori s-ar putea să nu facă altceva decât să încarce problema cu date inutile.

A rezolva o problemă înseamnă, în esenţă, a stabili legături

între problema propusă şi anumite elemente adecvate din cunoştinţele dobândite anterior. Este însă evident imposibil să trecem în revistă toate cunoştinţele, dobândite anterior. În consecinţă, trebuie să începem prin a explora acele compartimente ale cunoştinţelor noastre, despre care ni se pare cel mai plauzibil să se dovedească relevante pentru problema de care ne ocupăm.

Dacă suntem familiarizaţi cu domeniul din care face parte problema, înseamnă că-i cunoaştem „elementele-cheie”, faptele care avem cel mai des ocazia să le folosim. Să ni le pregătim, să ni le împrospătăm în minte, ca să le putem utiliza oricând, aşa cum îşi pregăteşte un bun meseriaş uneltele favorite, ca să le aibă oricând la îndemână.

Dacă avem o problemă de aflat – problemele cu aceeaşi necunoscută sunt cele la care merită să ne gândim în mod deosebit; o asemenea problemă s-ar putea să ne servească drept punct de plecare pentru un proiect de rezolvare regresivă a rezolvării. Dacă avem o problemă de demonstrat – teoremele cu aceeaşi concluzie ca teorema de care ne ocupăm sunt cele la care merită să ne gândim în mod deosebit, ca eventuale puncte de plecare.

Care sunt faptele-cheie (în acest domeniu)? Există vreo problemă (în special, vreo problemă rezolvată anterior) cu acelaşi tip de necunoscută? Există vreo teoremă (în special, vreo teoremă rezolvată anterior) cu exact aceeaşi concluzie? Aceste întrebări au multe şanse să „extragă” din cunoştinţele dobândite de noi anterior vreun element utilizabil; şi este, de aceea, foarte potrivit să începem

Căutăm să legăm ceea ce ştim de noul context al problemei.


120

cu ele, când vrem să adunăm fapte pertinente. S-ar putea însă ca ele să se dovedească fără rezultat, şi să fim nevoiţi să schimbăm perspectiva, să fie nevoie de alte elemente de examinat. Cum am putea ajunge la acele elemente din achiziţiile noastre care se leagă pertinent de problema noastră? Putem recurge la generalizare, la particularizare, la analogie, la inducţie etc.

Desigur, cu cât avem cunoştinţe mai ample, mai structurate şi o experienţă de rezolvator reflexiv, cu atât şansa de a găsi răspunsuri pertinente la întrebările puse este mai mare. Cităm în continuare din cartea de referinţă a lui Polya4:

”Nu suntem de loc mulţumiţi de felul cum progresează rezolvarea; toate ideile pe care le-am avut au dat greş, toate căile pe care le-am încercat au dus la un impas. Figura pe care o avem în faţă, întreaga noastră viziune despre problemă aşa cum o „vedem” în acest moment este deconcertantă şi de neînţeles, este supraîncărcată şi totuşi incompletă; lipseşte ceva, vreun element hotărâtor, vreo verigă esenţială.

S-ar putea ca totul să vină de acolo că ne-am angajat pe un drum lăturalnic, că ne-au copleşit faptele irelevante pe care le cărăm după noi. Să încercăm să ne întoarcem la viziunea „nudă” asupra problemei „despuiată” de tot ce-am îngrămădit pe drum; să examinăm din nou necunoscuta, datele şi condiţia, sau ipoteza şi concluzia. Am ţinut seama de întreaga condiţie? Am folosit toate datele? Am ţinut seama de întreaga ipoteză, i-am utilizat oare toate părţile?

Aceste întrebări sunt deosebit de relevante dacă ne-am convins în prealabil că toate datele şi toate părţile condiţiei sunt realmente necesare pentru a determina necunoscuta, sau că este nevoie de întreaga ipoteză pentru a putea deduce concluzia. Dar chiar şi dacă nu ştim sigur lucrul acesta, şi doar bănuim că toate datele şi toate clauzele condiţiei, sau ale ipotezei, s-ar putea să fie esenţiale – chiar şi atunci întrebările precedente sunt justificate şi se pot dovedi utile. Ele ne sugerează că trebuie să încercăm să folosim o dată sau o clauză, pe care până acum am neglijat-o şi în felul acesta ele ne pot conduce la veriga care lipseşte.

Sau s-ar putea ca totul să vină de acolo că n-am înţeles suficient de bine semnificaţia termenilor esenţiali ai problemei. Am înţeles oare – ne-am reprezentat oare palpabil (vizual) – toate conceptele implicate esenţial în problemă? Această întrebare ne poate incita să revenim la definiţia unor termeni, şi în felul acesta ne poate sugera că ar trebui să „dezghiocăm” mai bine problema; există şansa ca în felul acesta să ajungem la o reformulare mai satisfăcătoare) la noi elemente utilizabile.”

Dacă este pusă la momentul potrivit şi în locul potrivit, fiecare din întrebările listate anterior poate sugera, poate aduce în minte răspunsul corect, ideea cea bună, decizia de luat care face să progreseze rezolvarea. În felul acesta, întrebarea poate acţiona ca un stimul care provoacă exact reacţia de care este nevoie. Aceste întrebări sunt „inspiratoare de idei”. Desigur, s-ar putea să nu ştim dintr-o dată ce întrebare trebuie să (ne) punem în circumstanţele concrete date. Putem însă încerca mai multe întrebări, una după alta, până ajungem la cea care ne este utilă. Tocmai acest demers de încercare orientată spre un scop care se clarifică pas cu pas este euristica rezolvării problemelor.

4 Polya, ibidem

Reevaluăm perspectivele

Întrebările bine puse – cheia spre succes


121

Temă de reflecţie 4 În paragrafele anterioare am conturat o listă de întrebări care se pot dovedi utile în demersul de rezolvare a unor probleme. Analizând întrebările, nu din simple descrieri, ci dintr-o experienţă, de practicant-rezolvator, ajungem să tratăm problemele cu mai mult profesionalism şi avem şansa să putem explica mai bine elevilor cum pot ei deveni performanţi în rezolvarea de probleme. Redăm mai jos metafora folosită de Polya pentru a explica modul în care astfel de liste de întrebări pot fi folosite în cazul concret al construirii soluţiei unei anumite probleme.

...Întrebările trebuie folosite aşa cum îşi foloseşte un meseriaş priceput lada cu scule. El se uită bine la ceea ce are de făcut şi numai după aceea îşi alege sculele. S-ar putea să fie nevoit să încerce mai multe unelte, până o va găsi pe cea potrivită, dar el nu le ia la întâmplare, sau într-o ordine stabilită mecanic; el îşi alege uneltele în mod deliberat....

Bineînţeles, meseriaşul şi-a dobândit măiestria probabil printr-o practică îndelungată, şi observând cu atenţie cum procedează alţi meseriaşi. ... Desigur, un bun meseriaş îşi păstrează uneltele într-o bună stare şi aranjate în perfectă ordine în lada lui de scule.

Explicaţi în două fraze sensul acestei metafore. Alegeţi o problemă de geometrie pe care o consideraţi semnificativă şi listaţi întrebările care vă conduc la rezolvarea ei.


122

3.1.4. Cum gândim şi rezolvăm o problemă de geometrie? O strategie de pus în practică de către elevi

Următoarea succesiune de etape este o strategie utilă în

rezolvarea problemelor de geometrie. Aplicarea ei consecventă poate forma competenţe ce vizează rezolvarea de probleme.

Pasul 1: Observ şi înţeleg

Desenez o figură care satisface datele problemei. Reformulez enunţul pe baza desenului. Identific ipoteza şi concluzia; le scriu folosind notaţiile din

figură.

Pasul 2: Cercetez şi planific Caut răspunsul la următoarele întrebări:

• Cum se leagă ipoteza de concluzie? • Ce cale de raţionament aleg? • Ajută o construcţie auxiliară, sau o problemă auxiliară? • Este util să modific figura? Să desenez detalii ale ei sau s-o

desenez în altă poziţie, din altă perspectivă? (Am grijă să evit cazurile particulare, care pot fi capcane.)

• Este util să pornesc de la ipoteză spre concluzie? • Este mai util să pornesc de la concluzie spre ipoteză? • Ce informaţii de legătură între ipoteză şi concluzie sunt

semnificative? • Nu cumva am căzut în capcana unui cerc vicios?

Dacă am găsit răspunsul la aceste întrebări şi am descoperit

calea spre concluzia/soluţia problemei, trec la pasul următor. Pasul 3: Organizez şi redactez

Prezint rezolvarea problemei sub forma unui şir de deducţii. Folosesc: ipoteza, definiţii, axiome, teoreme cunoscute sau alte probleme rezolvate anterior.

Pasul 4: Verific şi dezvolt

Am rezolvat problema. Privesc soluţia şi mă întreb: • Am folosit toate datele? • Soluţia este acceptabilă în condiţiile problemei? • Problema admite şi alte soluţii? • Problema admite un caz particular interesant? • Pot obţine şi alte consecinţe din ipotezele date? • Pot extinde sau generaliza problema?

Studiu individual Studiaţi în profunzime unul dintre capitolele referitoare la euristica rezolvării problemelor (la alegere), din carţile lui George Polya, listate la bibliografie.


123

— Test de autoevaluare Pentru întrebările 1 şi 2, completaţi cu răspunsul corect!

1. Etapele parcurse în rezolvarea problemelor de geometrie sunt: ....................................................................................................................... .......................................................................................................................

2. Nivelurile pe care evoluăm în rezolvarea unei probleme sunt:

………………..……………..………………………………………………….. …………………………………………………. …………………………….

.......................................................................................................................

3. Alegeţi o problemă de geometrie. Rezolvaţi-o. În spaţiul liber de mai jos,

descrieţi cât mai complet modul în care au evoluat ideile de rezolvare.

Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţei 3.1.. m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ......................................................................... ....................................... ................................................................................................................. ................................................................................................................. Îmi este încă neclar: ................................................................................ .................................................................................................................. ............................................................................................................


124


3.2. Raţionament geometric. Congruenţă şi asemănare

Aşa cum numeroşi profesori au remarcat, a achiziţiona o

informaţie înseamnă de fapt a face faţă unei probleme. Atunci când cerem elevului să citească un enunţ, îl punem în faţa unei probleme: problema de a descifra textul dat, de a-l înţelege, de a-l putea folosi ulterior în variate contexte, mai apropiate sau mai îndepărtate.

În general, problema de a înţelege un text matematic este, fără un antrenament special, mai grea decât o problemă propriu-zisă. Căci, spre deosebire de lectura unui roman sau a unei nuvele, un text matematic presupune în mod esenţial o citire activă. Fără încercările personale ale celui care citeşte de a continua anumite etape la un moment dat, de a concretiza pe exemple particulare un enunţ, de a căuta explicaţii privind justificarea unui pas de raţionament etc. , textul matematic nu poate fi înţeles. Aşadar, însăşi lectura (sau ascultarea) unui text matematic necesită o experienţă în rezolvarea de probleme.

Temă de reflecţie 5 Citirea unui text matematic presupune implicit un demers de rezolvare de

probleme deoarece textul, deşi complet din punct de vedere logic, este incomplet din punct de vedere psihologic. De exemplu, într-un text matematic se menţionează: ”considerăm triunghiul ...” sau ”construim o paralelă care ...” dar nu se menţionează care este raţiunea ascunsă care conduce la utilizarea acelui triunghi sau a acelei paralele, cum se integrează acestea într-o idee unitară a demonstraţiei. Astfel de explicaţii suplimentare, în lecţiile orale, le dă, eventual, profesorul. Elevul însă nu va avea mereu profesorul alături să-l lămurească, de aceea el trebuie înzestrat cu instrumentele necesare citirii active.

Analizaţi două demonstraţii cuprinse în manualele şcolare. Listaţi mai jos paşii din demonstraţie care credeţi că ar suscita întrebări/nelămuriri/îndoieli din partea elevilor. Verificaţi dacă aţi intuit adecvat, supunând cele două demonstraţii analizei unor elevi.


125

Un proces didactic efficient presupune înzestrarea elevului cu

atitudinea şi tehnica necesară lecturii unui text matematic. Aceasta presupune problematizarea lecturii de text (considerarea citirii textului ca pe o problemă), în care elevul caută să descopere ce completări ale textului îi sunt necesare, redactează din nou, prin prisma propriului mod de a gândi, recurge la scheme, diagrame, prescurtări, reformulează într-un limbaj personalizat etc.

3.2.1. Logică şi raţionament Aşa cum am văzut anterior, geometria pe care o studiem în

şcoală se bazează pe un sistem deductiv, în care enunţurile se construiesc prin deducere din enunţuri de bază, unele dintre ele fiind axiome. Acest model deductiv a fost descris în detaliu în cele treisprezece cărţi ale lui Euclid şi, cu mici variaţii, el este studiat de fiecare generaţie de copii. Lunga sa existenţă în şcoală, în toate sistemele de învăţământ, arată că aportul pe care această construcţie îl aduce gândirii este incontestabil. Pentru ca acest aport să fie optim valorificat, este necesar ca, pe de o parte să fie înţeles miezul construcţiei deductive şi, pe de altă parte, să fie antrenată creativitatea construcţiei euristice. Matematica-produs şi matematica-proces merg mânâ în mână şi se completează, contribuind la formarea unui mod de gândire structurat, analitic-dialectic şi creativ.

După o incursiune în euristica rezolvării problemelor, revenim la logică din perspectiva construcţiei sistematice de raţionamente.

3.2.2. Raporturi între noţiuni

Folosirea limbajului din teoria mulţimilor aduce mai multă precizie şi claritate privind raporturile între noţiuni.

Un antrenament de logică poate fi practicat informal încă de la vîrste mici, în grădiniţe şi şcoala primară. De exemplu, intersecţia a două mulţimi se poate intui în cadrul unui joc în care apar două caracteristici, fiecare dintre ele definind o mulţime: se marchează două cercuri pe podea, unul roşu şi unul albastru şi se cere să treacă toate toţi copiii cu bluză albastră în cercul albastru şi toţi copiii cu ciorapi albi în cercul roşu. În acest mod, copiii pot constata că unii dintre ei, care au bluză albastră şi ciorapi albi sunt în partea comună a celor două discuri.

Acelaşi exerciţiu se face în clasa a VI-a când se definesc paralelogramele particulare. Cele două caracteristici devin: a avea laturile egale; a avea unghi drept. Din mulţimea tuturor paralelogramelor s-au degajat două submulţimi: a) mulţimea acelor paralelograme care au laturile congruente (romburi); b) mulţimea acelora care au un unghi drept (dreptunghiuri). Există paralelograme care au ambele caracteristici: romb şi dreptunghi (pătratele)! Evident, că un elev care în clasele primare a practicat astfel de jocuri, va înţelege mai uşor definiţia pătratului ca „romb şi dreptunghi”.


126

Caracterizarea paralelogramelor particulare este un bun prilej pentru a analiza raportul între sfera şi conţinutul unei noţiuni (conţinut mai mare, sferă mai restrânsă). Dreptunghiul are toate proprietăţile paralelogramului şi în plus: cea dată de definiţie (un unghi drept, deci toate); cele implicate de (deduse din) definiţie, cum ar fi: diagonalele lui sunt egale. Pătratul are sfera şi mai restrânsă – numai unele dreptunghiuri, nu toate, sunt pătrate – are conţinutul şi mai bogat! diagonalele lui sunt şi egale (pentru că e dreptunghi) şi perpendiculare (pentru că e romb).

Faptul că două noţiuni corespund cu a) mulţimi disjuncte sau b) având o intersecţie nenulă sau c) una este inclusă în cealaltă trebuie precizat explicit căci el are consecinţe pentru desfăşurarea raţionamentului.

În particular, o clasificare înseamnă împărţirea unei mulţimi în

clase, deci în submulţimi disjuncte, a căror reuniune este mulţimea dată. Clasificarea triunghiurilor în ascuţitunghice, dreptunghice, obtuzunghice este o clasificare propriu-zisă; dar aşa-zisa clasificare după laturi: scalene, isoscele, echilaterale nu este o clasificare. Ar trebui dată noţiunea de triunghi oarecare (scalen nu se foloseşte mai deloc); apoi se desprinde o submulţime: a triunghiurilor care au două laturi egale – isoscele, iar din aceasta o submulţime şi mai restrânsă: a triunghiurilor cu toate laturile egale – echilaterale.

Sunt teoreme valabile într-un triunghi oarecare – deci, de la sine, şi în triunghiul isoscel care face parte din triunghiurile oarecare – tot astfel cum o proprietate demonstrată pentru paralelogram este, de la sine, valabilă pentru dreptunghi. Lucruri care nouă ni se par de la sine înţelese necesită o explicaţie în clasă – altfel, elevii ajung să accepte drept evidenţe lucruri care sunt complet false. Psihologia cognitivă modernă arată că dacă astfel de concepţii eronate sunt interiorizate, foarte greu mai pot fi eliminate din gândirea copilului.

3.3. Congruenţa triunghiurilor. Metoda triunghiurilor congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă prin suprapunere

acestea coincid. Două triunghiuri se numesc congruente dacă au laturile congruente şi unghiurile corespunzătoare congruente.

În privinţa congruenţei triunghiurilor, este important ca elevii să

fie atenţionaţi asupra următoarelor aspecte: 1. La notarea unei relaţii de congruenţă pentru triunghiuri, vârfurile trebuie scrise în aceeaşi ordine, astfel încât să corespundă elementelor congruente.

[AB] ≡ [DE] [BC] ≡ [EF] [AC] ≡ [DF].

<C ≡ <F <A ≡ <D <B ≡ <E

şi ∆ ABC≡ ∆DEF


127

2. În două triunghiuri congruente, laturilor congruente li se opun unghiuri congruente şi reciproc, unghiurilor congruente li se opun laturi congruente. 3. Pentru două triunghiuri congruente, elementele corespunzătoare sunt de asemenea congruente (medianele, înălţimile, bisectoarele). 4. Două triunghiuri congruente cu un al treilea sunt congruente între ele.

3.3.1. Criteriile de congruenţă a triunghiurilor

Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latură)

Dacă două laturi şi unghiul cuprins între ele ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu două laturi şi unghiul cuprins între ele ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Ipoteză [AB] ≡ [DE] <A ≡ <D [AC] ≡ [DF] Concluzie ∆ABC ≡ ∆DEF

Criteriul U.L.U. (unghi-latură-unghi)

Dacă două unghiuri ale unui triunghi şi latura lor comună sunt respectiv congruente cu două unghiuri şi latura lor comună ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Ipoteză <A ≡ <D [AB] ≡ [DE] <B ≡ <E Concluzie ∆ABC ≡ ∆DEF

Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură)

Dacă două triunghiuri au laturile respectiv congruente, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Ipoteză [AB] ≡ [DF] [BC] ≡ [DE] [AC] ≡ [FE] Concluzie ∆ABC ≡ ∆FDE


128

Atunci când în probleme intervin triunghiuri dreptunghice, este util să se recurgă la criteriile de congruenţă a triunghiurilor dreptunghice.

Criteriul C.C. (catetă - catetă)

Dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Criteriul I.C. (ipoteză - catetă)

Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi câte o catetă respectiv congruente, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Criteriul I.U. (ipotenuză - unghi) Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele şi

câte un unghi ascuţit respectiv congruente, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Criteriul C.U. (catetă - unghi) Dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă şi

câte un unghi ascuţit respectiv congruente, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

3.3.2. Metoda triunghiurilor congruente

Se utilizează pentru a demonstra congruenţa unor segmente sau a unor unghiuri. Ea constă în parcurgerea următorilor paşi: • se identifică două triunghiuri care au ca laturi sau ca unghiuri elementele a căror congruenţă urmează să fie demonstrată; • se demonstrează congruenţa acestor triunghiuri aplicând unul dintre criteriile de congruenţă; • se deduce congruenţa elementelor corespunzătoare.

Atunci când se introduce pentru prima dată această metodă, la nivelul clasei a VI-a, este important să se prezinte cât mai multe configuraţii posibile în care pot fi deduse congruenţe de unghiuri sau segmente, apelând la un caz de congruenţă pe baza proprietăţilor ilustrate pe desen.


129

Exemplu5.

În figură, se dau: OL ≡ ON, EL ≡ NF şi m(∠ DOL) = m(∠ GON). Demonstraţi că: a) ∠E ≡ ∠F; b) DL ≡ NG; c) DF ≡ EG.

3.4. Relaţia de asemănare; poligoane asemenea

Figurile F1, F2, F3 ... sunt asemenea dacă ele se pot obţine

una din alta printr-o mărire sau micşorare proporţională. Două poligoane sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv

congruente şi laturile opuse unghiurilor congruente, proporţionale. În acest caz, raportul dintre laturile care se opun unghiurilor congruente este constant şi se numeşte raport de asemănare. De exemplu pe figura alăturată avem:

aa

bb

3

1

3

1

12

= = ;

aa

bb

3

2

3

2

23

= =

deci triunghiurile formate sunt asemenea.

Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente şi laturile respectiv proporţionale.

∆ABC ~ ∆A‘B‘C‘ �<A ≡ <A‘ <B ≡ <B‘ <C ≡ <C‘ ABA B

ACA C

BCB C

r‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘

= = =

r = raportul de asemănare

Unul dintre cele mai importante rezultate privind asemănarea este Teorema fundamentală a asemănării:

Fiind dat un triunghi, o paralelă la una din laturile triunghiului formează cu celelalte laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat.

Pentru Teorema fundamentală a asemănării, este util să se lucreze de la început cu toate cele trei situaţii posibile, illustrate în figurile de mai jos.

5 Singer, M., Învăţarea geometriei prin exercitii, Ed. Sigma, 1991.

F1

F2

F3

O

D G

L N

E F

M


130

De exemplu, pentru ultima situaţie:

ΔABC oarecare şi KL // BC � ΔAKL ~ ΔABC

3.4.1. Criteriile de asemănare a triunghiurilor Criteriul L.L.L.

Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporţionale cu cele trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt asemenea. Ipoteză: AB

A B

AC

A C

BC

B C‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘= =

Concluzie: ∆ABC ~ ∆A‘B‘C‘

Criteriul L.U.L.

Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporţionale cu două laturi ale unui alt triunghi şi unghiurile determinate de aceste laturi sunt congruente, atunci aceste triunghiuri sunt asemenea. Ipoteză <A ≡ <A‘ AB

A B

AC

A C‘ ‘ ‘ ‘=

Concluzie: ∆ABC ~ ∆A‘B‘C

Criteriul U.U.

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea. Ipoteză <A ≡ <A‘ <B ≡ <B‘ Concluzie: ∆ABC ~ ∆A‘B‘C

Temă de reflecţie 6 Formulaţi o reciprocă a teoremei fundamentale a asemănării. Este aceasta o propoziţie adevărată?


131

3.4.2. Poligoane asemenea

Două poligoane sunt asemenea dacă ele pot fi descompuse în triunghiuri asemenea situate în poziţii analoage.

∆A1E1D1 ~ ∆A2E2D2 ∆A1C1D1 ~ ∆A2C2D2 ∆A1B1C1 ~ ∆A2B2C2

A1B1C1D1E1 ~ A2B2C2D2E2

Pentru aplicaţii, sunt utile următoarele proprietăţi:

Raportul perimetrelor a două figuri asemenea este egal cu raportul lor de asemănare. Raportul ariilor a două figuri asemenea este egal cu pătratul raportului lor de asemănare.

pp

A B B C C AA B B C C A

A BA B

r1

2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

= + ++ +

= =

1 1 1

2 2 2

221 1 1

2 2 2

AriaAria

A B C

A B C

A ABr

A A B = = =

Temă de reflecţie 7 Identificaţi trei situaţii în care proprietăţile enunţate anterior sunt esenţiale în demonstrarea unor rezultate de geometrie.

Temă pentru portofoliu Observaţi figurile de mai jos şi enunţaţi pe baza lor câte o problemă. Rezolvaţi problemele propuse.


132

3.5. Proprietăţi. Mulţimi egale. Definiţii echivalente 3.5.1. Cum formulăm o definiţie?

Pe lângă proprietăţile date prin definiţie (ale genului proxim; cea sau cele indicate prin diferenţa specifică), o noţiune are şi proprietăţi deduse din cele date. Nu punem în definiţii proprietăţi ce pot fi deduse, le punem numai pe acelea strict necesare pentru a delimita noţiunea. Se urmăreşte astfel un criteriu de optimalitate: maximum de informaţie cu minimum de condiţii.

Pe aceea, de exemplu, când definim dreptunghiul, spunem cu un unghi drept. Faptul că şi celelalte unghiuri sunt drepte rezultă ca o consecinţă a acestuia.

Proprietăţile se enunţă în general printr-o judecată universal afirmativă (se afirmă ceva despre toate elementele unei mulţimi).

Exemplu

„Dreptunghiul are diagonalele congruente”, cu înţelesul orice dreptunghi sau toate dreptunghiurile au ... A avea diagonalele congruente este o proprietate a dreptunghiului. Ea nu s-a dat prin definiţie, se stabileşte printr-o demonstraţie, deci judecata menţionată constituie enunţul unei teoreme. Deşi aparent banale, din cauza gradului de abstracţie, aceste lucruri nu sunt uşor înţelese de elevi. Este necesar să stimulăm pe elevii să-şi pună întrebări, de exemplu: dintre toate paralelogramele numai dreptunghiurile au această proprietate? Cu aceasta am introdus – fără s-o spunem explicit – o nouă noţiune, mai bine-zis am luat în consideraţie o nouă submulţime: paralelogramele cu diagonale congruente.

Avem acum două mulţimi: A, a paralelogramelor cu un unghi drept; B, a paralelogramelor cu diagonalele congruente. Teorema menţionată poate fi tradusă printr-o incluziune: A ⊂ B; orice element din A (orice dreptunghi) este şi în B (are diagonalele egale).

Să examinăm cu atenţie întrebarea pe care ne-am pus-o:

numai dreptunghiurile au această proprietate? Răspunsul ar putea fi nu (nu numai ele) sau da (numai ele). Ce înseamnă nu? Înseamnă că mulţimea B, pe lângă toate elementele lui A, are şi alte elemente (nu numai dreptunghiurile au diagonalele egale, ci şi alte paralelograme), incluziunea A _ B este strictă. Ce înseamnă da? Înseamnă că B nu mai are alte elemente, are numai dreptunghiuri. Ca să arătăm că B nu mai are alte elemente (dacă acest lucru este adevărat), adică elementele notate cu semnul (?) în figura l nu există, putem proceda în două moduri: a) să arătăm că orice element din B este şi în A; b) dacă elementul P nu e în A, nu e nici în B. În a) avem teorema reciprocă celei enunţate: orice paralelogram cu diagonalele egale este dreptunghi; în b) avem teorema contrară: dacă P nu este dreptunghi, el nu are diagonalele egale.

Teorema directă împreună cu una din teoremele cea reciprocă, cea contrară arată că incluziunea A ⊂ B nu este strictă, că avem şi B ⊂ A, adică A = B.

Mulţimea A este aceeaşi cu mulţimea B. De ce le-am notat cu litere diferite? Pentru că, atunci când le-am definit nu ştiam că sunt egale. Chiar mijloacele de a le defini erau net distincte: pentru a


133

delimita mulţimea A, am măsurat unghiuri; pentru a delimita pe B, am măsurat (sau am comparat) segmente.

O proprietate pe care o au toate elementele unei mulţimi şi numai ele se numeşte proprietate caracteristică. Proprietatea „are diagonalele congruente” este caracteristică pentru dreptunghiuri; aşa cum s-a stabilit prin două teoreme, o au toate dreptunghiurile şi numai ele (în mulţimea paralelogramelor, în a patrulaterelor sunt şi altele). De aceea se foloseşte şi exprimarea: dacă şi numai dacă paralelogramul este dreptunghi, el are diagonalele congruente. O proprietate caracteristică poate fi pusă în locul celei din definiţie. În exemplul considerat, am putea spune: „Definiţie. Paralelogramul cu diagonalele congruente se numeşte dreptunghi”; în acest caz, după această definiţie ar urma teorema: într-un dreptunghi unghiurile sunt drepte.

Întrucât noua definiţie, cu ajutorul proprietăţii caracteristice (care poate consta şi din un ansamblu de proprietăţi), conduce la aceeaşi mulţime, la aceeaşi noţiune spunem că ea este o definiţie echivalentă cu prima. Pentru a stabili că două definiţii sunt echivalente, demonstrăm două teoreme (una reciprocă celeilalte) prin care stabilim două incluziuni, adică o egalitate de două mulţimi).

3.5.2. Cum generalizăm în geometrie?

Trecem acum la cazul când, la întrebarea „numai ele?” se

răspunde nu numai ele. Exemplu: teoremă; orice pătrat are diagonalele congruente. Întrebare: numai pătratele? Răspuns: nu numai ele; sunt şi alte paralelograme decât pătratele care au diagonalele egale. Pentru a dovedi că nu numai ele ar fi destul să arătăm un singur nepătrat cu diagonalele egale Dar, în general, matematica nu se mulţumeşte cu un astfel de răspuns; ea pune o nouă problemă: să se stabilească mulţimea (incluzând-o pe cea dată) în care proprietatea dată devine caracteristică. Spunem că generalizăm problema iniţială.

Dacă în cursul unei demonstraţii nu s-a folosit o parte a ipotezei ea poate fi eliminată şi obţinem că proprietatea aparţine nu numai mulţimii determinată de ipoteza iniţială, ci acelei determinată de ipoteza sărăcită, reprezentînd deci o noţiune cu sferă mai mare, mai generală.

Să atragem însă atenţia elevilor că acesta nu e un criteriu decisiv pentru a generaliza. O demonstraţie foloseşte toată ipoteza; dar nu ştim dacă nu există o altă demonstraţie pentru aceeaşi proprietate în care nu se foloseşte toată ipoteza. Interesant este să căutăm o astfel de demonstraţie şi, dacă o găsim, obţinem o generalizare. Uneori, demonstraţia pentru cazul general o foloseşte pe acea pentru cazul particular, alteori se poate da direct demonstraţia generală.


134

3.5.3. Câteva precizări din perspectivă logică asupra condiţiei necesare şi suficiente

O problemă de logică, importantă dar dificilă pentru majoritatea

elevilor, este aşa-numita „metoda reducerii la absurd”. În fond, dacă notăm o teoremă sub forma p → q, unde p reprezintă ipoteza şi q con-cluzia, trebuie să arătăm echivalenţa acestei implicaţii cu non q → non p (contrara reciprocei).

Există elevi care înţeleg lucrurile direct pe schemă:

( ) (non non )A B

p q q p ⇔

Să admitem că am demonstrat p → q; o spunem în cuvinte sub forma: dacă p este adevărată atunci şi q este. Rezultă B: dacă q nu e adevărată, nici p nu este căci dacă ar fi, conform A ar fi şi q, ceea ce contrazice ipoteza.

Reciproc: dacă B atunci A. Să admitem că am demonstrat B:

dacă q nu-i adevărat, nici p nu este. Rezultă A: dacă p e adevărat, atunci şi q este căci dacă n-ar fi, conform B nici p nu ar fi, ceea ce contrazice ipoteza.

Remarcăm că această reciprocă (dacă B atunci A), este identică cu directa (dacă A atunci B):

(p → q) → (non q → non p) (1) (non q → non p) → (p → q) (2)

Relaţia (2) este tot (1) cu alte notaţii: p s-a înlocuit cu non q,

deci în membrul II în loc de non p vom pune non (non q) adică q; q s-a înlocuit cu non p deci non q cu p.

Efortul de înţelegere a acestor chestiuni, de a gândi concentrat toate condiţiile – ce am admis, ce vrem să stabilim – este educativ prin el însuşi, dar e şi instructiv în sensul că dotează pe elev cu o schemă, aplicabilă în multe raţionamente.

Condiţie suficientă. Implicaţia p → q se citeşte şi sub forma dacă p atunci q sau e suficient să avem p pentru a avea q.

Exemplu

Teorema lui Pitagora: Â = 90° → a2 = b2 + c2; este suficient să ştim că unghiul A este drept pentru a afirma că între laturi există relaţia a2 = b2 + c2.

Condiţie necesară Scriind teorema p → q sub forma echivalentă non q → non p,

interpretăm: pentru a avea p este necesar să avem q (este necesar căci dacă nu-l avem pe q, nu-l avem pe p).

Multe manuale exprimă succint: p →q înseamnă: 1) condiţia p

e suficientă pentru q; 2) condiţia q este necesară pentru p. Însă a doua afirmaţie nu se înţelege decât prin intermediul scrierii non q → nonp.

Forma non q → non p se întâlneşte şi în vorbirea curentă – rar. Exemplu: de unde nu-i foc, nu iese fum. De ce nu se enunţă acest


135

proverb sub forma echivalentă fum → foc (dacă se vede fum înseamnă că este foc)? Motivele sunt mai mult de ordin psihologic decât logic. Omul vede fumul (vorbele) adică efectul, dar trebuie să se pronunţe despre cauză (focul, faptele). De aici forma cu propoziţii negative: e foc, căci dacă nu ar fi, nu ar fi nici fum ...

Echivalenţa între contrară şi reciprocă este echivalenţa

discutată mai sus (cu notaţii adecvate). Avem: Directa p → q ~ non q → non p. Reciproca q → p ~ Contrara: non p → non q. Dacă este valabilă şi directa şi contrara, cele două propoziţii p

→�q şi non p → non q se citesc: condiţia p este suficientă (p → q) şi necesară (non p → non q) pentru a avea q. Dar ele pot fi scrise şi non q → non p şi q → p şi citim: condiţia q este necesară şi suficientă pentru a avea p.

Directa împreună cu contrara se enunţă, cum ştim, într-un singur

enunţ: p → q şi non p →non q înseamnă dacă p atunci q, dacă nu-i p, nu este nici q; condensat: dacă şi numai dacă p, atunci q.

Reciproce nevalabile

Manualele înregistrează numai teoreme reciproce. Dacă propoziţia reciprocă nu este valabilă, nu o menţionează, ce rost ar avea? Dar când problematizăm, când invităm pe elev să gândească şi să-şi pună probleme, el ajunge în mod inerent şi la enunţuri nevalabile. Cititorul manualului rămâne cu impresia că nu există decât teoreme reciproce. Cercetătorul dă şi peste propoziţii care nu sunt valabile, nu sunt teoreme: explorarea unor astfel de situaţii de către elevi este foarte utilă.

Să considerăm ca exemplu, teorema asupra paralelogramului (AB // CD; AD // BC) → (AB = CD; AD = BC).

Obţinem propoziţii reciproce schimbând, în total sau în parte, condiţii din ipoteză cu cele din concluzie.

Reciproca 1. AB = CD; AD = BC → AB // CD; AD // BC. Reciproca 2. AB // CD; AB = CD → AD // BC; AD = BC. Reciproca 3. AB // CD; AD = BC → AD // BC; AB = CD Reciproca l (dacă două laturi opuse sunt congruente şi celelalte

două tot congruente...) şi reciproca 2 (dacă două laturi opuse sunt congruente şi paralele...) sunt valabile, ceea ce se demonstrează. Reciproca 3 (dacă două laturi sunt paralele şi celelalte două sunt congruente...) [concluzia fiind în toate cazurile, şi celelalte condiţii sunt îndeplinite sau patrulaterul este paralelogram], nu este valabilă.

Ce înseamnă acest nu? Unii copii, grăbiţi, îl interpretează: dacă AB // CD şi AD = BC, figura nu-i paralelogram. Când spunem propoziţia NU este valabilă, negăm implicaţia; nu-i adevărat că din


136

condiţiile AB // CA şi AD = BC rezultă în mod necesar, ABCD este paralelogram. Dar nu rezultă nici că nu este.

Cum arătăm că propoziţia nu este valabilă? Printr-un contraexemplu, desenăm un trapez isoscel ABCD şi arătăm că deşi AB // CD şi AD = BC, ABCD nu este paralelogram.

În general, se caută condiţii necesare şi suficiente, care conduc

la proprietăţi caracteristice ale elementelor unei mulţimi. Un caz special, de un interes deosebit, întâlnim la punctul de trecere de la geometria absolută la geometria Euclid sau Lobacevski. Găsim o propoziţie reciprocă care nu este nici valabilă (teoremă), nici nevalabilă; atât afirmarea cât şi negarea ei puţând fi admise ca axiome.

Temă de reflecţie 8 Studiaţi reciproce ale teoremei: Dacă diagonalele patrulaterului ABCD sunt perpendiculare şi se intersectează la mijlocul lor, atunci AB = BC = CD = DA, AB // CD şi AD // BC.


137

3.6. Aplicaţii practice ale geometriei

Studiul geometriei are importanţă în şcoală nu numai pentru

fundamentarea şi dezvoltarea la elevi a unui mod de gândire articulat logic ci şi pentru stimularea capacităţii de a aplica practic noţiunile studiate. Interesul pentru matematica aplicată dezvoltă elevului orientarea spre eficienţa activităţii. Relevând aspectele practice ale unor teoreme/teorii/contexte, profesorul poate îmbina atracţia pentru problematic cu satisfacţia obţinerii unor rezultate utile. Aplicabilitatea practică a unor rezultate poate constitui stimulul pentru derularea unui efort conştient. Pot interveni, de exemplu, calcule lungi, migăloase, lipsite de simetrie; le efectuăm cu efort, pentru că este util rezultatul.

Este de asemenea de reliefat faptul că aici rigoarea logică poate să nu mai aibă caracter dominant. Pot exista teorii de matematică aplicată, riguros stabilite pe modele, dar conformitatea modelului cu realitatea poate fi aproximativă. De exemplu, măsurăm segmente de dreaptă pe teren, dar este vorba de măsuri aproximative pe drepte fizice, nu perfect „geometrice”. Sunt însă şi cazuri când se folosesc instrumente matematice chiar în sine neriguroase, din cauză că un instrument riguros – cum ar fi întotdeauna de dorit – nu a fost încă realizat. În cazul când cercetarea este urmată de o verificare experimentală decisivă, impedimentul lipsei de rigoare logică devine mai puţin important.

Vom analiza în continuare câteva mecanisme simple care pot fi privite ca spectaculoase prin numeroasele contexte în care sunt folosite. Unele dintre ele pot chiar fi realizate de elevi şi analizate în cadrul unor proiecte.

Unul dintre cele mai simple mecanisme este patrulaterul articulat6. Spre deosebire de triunghi, care este rigid, ptrulaterele sunt mobile. Considerând un patrulater ABCD, care are latura AD fixă, poziţia uneia dintre cele trei tije determină poziţia celorlalte două. Avem astfel un mecanism cu un singur grad de libertate. Un astfel de mecanism este cel care pune în funcţiune, de exemplu, o bicicletă. În acest caz, gamba biciclistului şi braţul pedalei formează cu o parte a cadrului bicicletei un patrulater articulat. Acest patrulater articulat are posibilitatea deosebit de interesantă şi neaşteptată de a transforma mişcarea circulară a roţii care ancorează pedalele în mişcare rectilinie.

6 Exemplele prezentate în continuare au la bază lucrarea Au dela du compas. La geometrie des courbes, Scuola Normale Superiore, Diagonale, Roma, 2000


138

Fenomenul transformării mişcării de rotaţie

în mişcare rectilinie apare frecvent în cotidian. O astfel de tranformare are loc, spre exemplu, ori de câte ori răsucim cheia în broască sau ridicăm apăsând o pedală capacul unui coş de gunoi.

De asemenea, un patrulater articulat stă la

baza modului de funcţionare al amortizoarelor automobilelor.

Dacă tijele opuse ale unui patrulater articulat au aceeaşi

lungime, sistemul devine un paralelogram articulat. Un astfel de mecanism, care aplică proprietăţile paralelogramului, este de asemenea frecvent întâlnit în cotidian. De exemplu, anumite lămpi de birou, jaluzelele de la ferestre, anumite tipuri de macarale se bazează pe paralelograme articulate.

Paralelogramul articulat are calitatea că, în timp ce o anumită parte este mobilă, se asigură o fixitate totală pentru unele componente ale mecanismului. Aceasta este importantă, de exemplu, în cazul unor platforme destinate controlului instalaţiei electrice la înâlţime. În acest caz, platforma respectivă trebuie să rămână perfect orizontală. Uneori se utilizează două paralelograme, astfel încât să se obţină două direcţii ale mişcării (două grade de libertate), asigurând în acelaşi timp paralelismul mişcării.


139

O altă aplicaţie interesantă este pantograful, folosit la trasarea

unor curbe asemenea. În figurile de mai jos sunt reprezentate două astfel de mecanisme.

Schema din stânga reprezintă modul de funcţionare a unui pantograf care se bazează pe un dublu romb articulat. Având PC = CD = DE = EB = AE = AC, punctele P, A şi B sunt întotdeauna aliniate şi distanţa de la B la punctul fix P este întotdeauna dublul celei de la A la P. Ca urmare, atunci când A descrie o curbă, B descrie o curbă similară cu coeficientul de asemănare 2. În dreapta este reprezentată schema unui pantograf ce redă figuri cu coeficientul de asemănare 4.

Temă de reflecţie 9 Explicaţi modul de funcţionare a cântarului din imagine.

Temă de reflecţie 10 Justificaţi modul de funcţionare a pantografelor din imaginile anterioare. Propuneţi un pantograf pentru raportul de asemănare 3:1.


140

Numeroase alte contexte din geometrie permit recurgerea la o situaţie-problemă cu aspect practic.

Exemplul 1 Cum putem măsura volumul unui obiect cu formă de piramidă,

realizat dintr-un material omogen? Putem organiza activitatea pe grupe de lucru, fiecare grupă aplicând o altă metodă de calcul: folosirea densităţii şi măsurarea masei; calculul volumului, prin utilizarea formulelor: utilizarea unei mensure şi scufundarea corpului în lichid; prin compararea capacităţii unor vase.

Exemplul 2 Prezentaţi trunchiul de con circular drept ca fiind obţinut prin

secţionarea unui con circular drept, sau prin înfăşurarea unei figuri plane, sau prin rotirea unui trapez dreptunghic. Fiecare dintre aceste moduri de definire conduce la determinarea unor alte proprietăţi ale trunchiului de con. Pentru a prezenta intuitiv trunchiul de con circular drept ca un corp de rotaţie, puteţi folosi un trapez dreptunghic din carton, care are lipită pe o latură o sfoară. Prin răsucirea sforii, trapezul se roteşte şi se obţine iluzia unui corp geometric. Puteţi obţine acelaşi efect dacă dispuneţi de un trunchi de con realizat dintr-un material transparent, ce are evidenţiată o secţiune axială.

Exemplul 3 Deduceţi formulele pentru aria şi volumul trunchiului de con

circular drept utilizând analogia cu trunchiul de piramidă regulată sau formulele pentru aria şi volumul conului circular drept. În oricare dintre situaţii, cereţi elevilor să deducă singuri aceste formule.

Temă de reflecţie 11 Detaliaţi etape ale unei activităţi didactice care porneşte de la o situaţie- problemă practică.


141

3.7. Secvenţe ale unei unităţi de învăţare

Aşa cum ştim, unitatea de învăţare reprezintă activitatea didactică desfăşurată într-o perioadă determinată de timp, care are ca scop formarea la elevi a unui comportament specific generat prin integrarea unor competenţe/obiective de referinţă.

O unitate de învăţare este: ▪ coerentă din punctul de vedere al activităţilor

desfăşurate; ▪ unitară din punct de vedere tematic; ▪ desfăşurată sistematic şi continuu pe perioada stabilită

prin planificare; ▪ finalizată prin evaluare.

Pentru stabilirea unităţilor de învăţare: • identificaţi temele majore din cadrul programei, teme

care necesită verificare prin evaluare sumativă; • grupaţi în jurul acestor teme elementele de conţinut şi

obiectivele prevăzute în programă. Pentru a putea conduce la un demers didactic eficient, o

unitate de învăţare nu trebuie să grupeze prea multe conţinuturi. De regulă, un număr de 3-7 lecţii este considerat optim pentru a depista din timp nivelul de achiziţii al elevului şi a interveni adecvat înainte ca volumul de cunoştinţe ce trebuie recuperat să fie prea mare. De aceea, recomandăm ca fiecare unitate de învăţare să grupeze un număr cât mai mic de conţinuturi care pot asigura unitate tematică.

Selectarea unităţilor de învăţare necesită anticiparea modului

de organizare a acestora (cel puţin mental). Aceasta conduce la proiectarea în avans a derulării la clasă a unităţilor de învăţare, pe baza unei succesiuni de secvenţe înlănţuite logic. Secvenţele avute în vedere în proiectarea unităţilor de învăţare în învăţământul obligatoriu sunt: familiarizare, structurare, aplicare.

Secvenţa de familiarizare

Presupune:

actualizare - înseamnă amintirea noţiunilor de bază şi a

comportamentelor operatorii necesare pentru înţelegerea şi prelucrarea noului conţinut;

- se poate realiza printr-o probă de evaluare iniţială sau prin antrenament mental pregătitor. problematizare

- înseamnă oferirea unui pretext-problemă motivant - se poate realiza prin recurgerea la situaţii-problemă din

viaţa reală.


142

Secvenţa de structurare

Presupune:

conceptualizare - înseamnă descrierea şi / sau definirea noţiunilor noi; - se poate realiza prin identificarea noţiunilor ce apar din

situaţiile-problemă analizate şi caracterizarea acestora prin folosirea unui limbaj matematic simplu şi clar. sistematizare

- înseamnă esenţializarea unor observaţii, identificarea unor algoritmi;

- se poate realiza prin caracterizarea noilor noţiuni în relaţie cu alte noţiuni, definite anterior.

Secvenţa de aplicare

Presupune:

exersare direcţionată - înseamnă interpretarea unor concluzii, realizarea unor

modele şi generalizarea unor proprietăţi în scopul identificării unor strategii de rezolvare;

- se poate realiza prin aplicaţii diverse, efectuate sub supravegherea şi direcţionarea profesorului. transfer

- înseamnă aplicarea modelelor în contexte noi, variate; - se poate realiza prin identificarea legăturilor cu alte

domenii sau prin transferarea prin analogie a unor proprietăţi cunoscute.

Organizarea unităţii de învăţare pe baza secvenţelor enumerate mai sus conduce la organizarea lecţiilor în jurul unor activităţi dominante, ceea ce generează diferenţierea lecţiilor în funcţie de secvenţa căreia îi aparţin. Aceasta are cel puţin două avantaje. Pe de o parte, favorizează accesul elevului la demersul natural de formare a noţiunilor. Pe de altă parte, datorită accentelor şi a rolului diferit pe care îl capătă lecţia, în funcţie de etapa în care se află în cadrul unităţii de învăţare, acest tip de organizare evită monotonia unor lecţii care se derulează la fel de-a lungul unui întreg capitol.

De fapt, modelul propus se regăseşte în activitatea multor profesori care, datorită experienţei acumulate, îşi structurează predarea în acest mod; noutatea constă în aceea că modelul este urmărit sistematic în proiectarea şi desfăşurarea activităţii didactice.

Tabelul următor prezintă sintetic, strategii didactice specifice

unităţilor de învăţare din perspectiva rolurilor asumate de către profesor şi elev pentru a deveni parteneri într-un demers de învăţare eficientă.

Pro

prie

tăţi

ale

figur

ilor şi

cor

puril

or g

eom

etric

e

14

3

Ro

lul

pro

feso

rulu

i R

olu

l el

evu

lui

Exe

mp

lu:

U.Î

. C

orpu

ri ge

omet

rice

Cla

sa a

V-a

Într

ebăr

i-ch

eie

Act

ivităţ

i

Num

ăr e

stim

at d

e or

e: 4

(di

n ca

re 1

oră

pt.

eval

uare

)

Fam

iliar

izar

e •

Cum

le v

oi

trez

i ele

vilo

r cu

riozi

tate

a?

• C

um î

i voi

fa

ce p

e el

evi

să f

orm

ulez

e în

trebăr

i (p

robl

eme)

şi

ţelu

ri pe

ntru

în

văţa

re?

• C

um v

or

ajun

ge e

levi

i să

ana

lizez

e ce

ea c

e şt

iu

deja

(c

unoş

tinţe

le

ante

rioar

e)?

•

Ce

conţ

inut

vo

i pre

zent

a (î

n ca

litat

e de

pr

ofes

or) şi

ce

conţin

ut v

a fi

expl

orat

de

cătr

e el

evi?

Act

ualiz

are/

Prob

lem

atiz

are

• cr

eează

situ

aţii

de

învăţa

re c

are

prod

uc

amin

tirea

noţ

iuni

lor,

op

eraţ

iilor

şi

com

port

amen

telo

r ne

cesa

re p

entr

u înţe

lege

rea

conc

eptu

lui

ce u

rmea

ză a

fi p

reda

t (a

sub

iect

ului

pro

pus)

; •

stab

ileşt

e ni

velu

l de

cuno

aşte

re d

e că

tre

elev

i al u

nor

noţiu

ni

refe

ritoa

re la

con

cept

ul

ce u

rmea

ză a

fi p

reda

t (a

sub

iect

ului

pro

pus)

; •

prop

une

prob

e de

ev

alua

re in

iţială;

•

înle

sneş

te d

emer

sul

de cău

tare

al e

levu

lui,

fără

a p

resc

urta

ace

ste

căutăr

i prin

pro

priu

l lui

pr

oiec

t de

adu

lt.

Evoc

are/

Expl

orar

e •

caută

mijl

oace

pen

tru

real

izar

ea s

copu

lui:

iden

tifică

noţiu

ni,

term

eni,

relaţii

, fe

nom

ene,

met

ode

pe c

are

le

cuno

aşte

în

legă

tură

cu

subi

ectu

l pr o

pus şi

îm

părtăş

eşte

cu

ceila

lţi

cunoşt

inţe

, pă

reri,

pun

cte

de

vede

re p

erso

nale

des

pre

aces

ta;

• fa

ce o

prim

ă în

cerc

are

de

real

izar

e a

prod

usul

ui,

com

plet

ând

sau

ajus

tând

et

apel

e de

cău

tare

; •

urmăr

eşte

sau

efe

ctue

ază

verif

icar

ea p

ract

ică,

obs

ervă

fe

nom

ene,

cul

ege

date

din

su

rse

varia

te, c

are

îl aj

ută

să s

e gâ

ndea

scă

la s

ubie

ct.

• re

pere

ază

o an

umită

di

ficul

tate

pe

care

dec

ide

să o

co

rect

eze

prin

rea

lizar

ea u

nui

prod

us;

•

refa

ce, î

n fu

ncţie

de

crite

riile

da

te/găs

ite,

ansa

mbl

ul e

tape

lor

şi m

ijloa

celo

r pr

evăz

ute

iniţi

al

Act

ivita

tea

de î

nvăţ

are:

Sor

tare

a şi

cla

sific

area

după

form

ă a

corp

urilo

r ge

omet

rice.

P

entr

u ac

eastă

activ

itate

de

învăţa

re s

e pr

opun

două

sarc

ini d

e lu

cru.

C

lasa

est

e îm

părţ

ită în

5 g

rupu

ri om

ogen

e de

lucr

u ca

re v

or

prim

i sar

cină

unică,

pe

câte

o fişă

de

lucr

u.

Mat

eria

l did

actic

: Fie

care

gru

p ar

e co

rpur

i geo

met

ice

din

cart

on,

lem

n sa

u pl

astic

, câ

te 2

de

fie

care

fel

. C

ele

două

corp

uri a

u măr

imi d

iferit

e.

Sar

cina

de

lucr

u 1:

a)

Gru

paţi

prin

sor

tare

cor

puri

le p

rimite

în c

el p

uţin

două

m

odur

i b)

Exp

licaţ

i mod

ul d

e gr

upar

e şi

num

iţi p

ropr

ieta

tea

cara

cter

istică

a fie

căre

i gru

pe d

e ob

iect

e

Rap

orta

re -

fiec

are

grup

pre

zintă

clas

ei c

orpu

rile

grup

ate,

nu

meş

te ş

i exp

lică

de c

e a

ales

ace

l crit

eriu

. E

valu

are

- se

apr

ecia

ză c

orec

titud

inea

sor

tării

şi c

alita

tea

exp

licaţ

iilor

. C

lasa

va

lucr

a to

t pe

grup

e la

rez

olva

rea

sarc

inii

următ

oare

: S

arci

na d

e lu

cru

2:

A

lătu

raţi

fiecă

rei g

rupe

de

cor

puri,

imag

inile

şi d

esen

ele

potr

ivite

. M

ater

ial d

idac

tic:

fieca

re g

rup

prim

eşte

cât

e 2-

3 cu

buri,

co

nuri,

sfe

re ş

i cili

ndr

i de

măr

imi d

iferit

e şi

cât

e 2-

3 de

sene

şi

imag

ini a

le c

orpu

rilor

dat

e (f

ieca

re g

rupă

va

prim

i alte

de

sene

şi i

mag

ini)

Pro

prie

tăţi

ale

figur

ilor şi

cor

puril

or g

eom

etric

e

144

• C

e ac

tivităţi

de e

xplo

rare

vo

r de

sfăş

ura

elev

ii pe

ntru

a

ajun

ge la

înţe

lege

rea

conc

eptu

lui?

• of

eră

pret

exte

-pr

oble

mă

(cre

ează

co

nflic

te c

ogni

tive)

car

e m

otiv

ează

ele

vii să

se

anga

jeze

în s

arci

na d

e lu

cru;

•

recu

rge

la s

ituaţ

ii-pr

oble

mă

din

viaţ

a re

ală

(cre

ează

con

flict

e so

cio-

cogn

itive

) m

otiv

ante

pen

tru

elev

i; •

se a

bţin

e să

de

finea

scă

term

eni ş

i să

exp

lice

cons

tată

ri în

le

gătu

ră c

u no

ul

conc

ept

de în

văţa

t, pâ

nă c

ând

elev

ii nu

au

efec

tuat

mul

tiple

ex

perim

ente

sau

un

număr

suf

icie

nt d

e în

cercăr

i.

• ca

ută

mijl

oace

le n

eces

are şi

ev

entu

al,

refa

ce e

xper

imen

tul

cu u

n al

t m

ijloc

, da

că

prec

eden

tul n

u a

fost

efic

ient

•

prin

ana

logi

e cu

situ

aţii

ante

rioar

e, a

ntic

ipea

ză ţ

inte

de

atin

s (răs

puns

uri l

a în

trebăr

i) şi

ca

ută

mijl

oace

pen

tru

atin

gere

a lo

r (c

once

pe in

vest

igaţ

ii/

expe

rimen

te p

entr

u a-şi

test

a ip

otez

ele)

, înc

ercâ

ndu-

le la

în

tâm

plar

e

• cu

lege

dat

e,

înre

gist

rează,

com

pară

, cl

asifi

că,

prel

ucre

ază şi

re

prez

intă

dat

e în

for

me

adec

vate

ţin

telo

r vi

zate

, ca

lcul

ează

rez

ulta

te p

arţia

le,

înce

rcân

d să

-şi c

onst

ruia

scă

prop

ria î

nţel

eger

e a

conc

eptu

lui.

Rap

orta

re -

fiec

are

grup

pre

zintă

clas

ei m

ulţim

ea f

orm

ată.

E

valu

are

- pr

ofes

orul

con

sultă

ele

vii î

n le

gătu

ră c

u co

rect

itudi

nea

asoc

ieril

or făc

ute

de f

ieca

re g

rup.

A

ctiv

itate

a de

învăţ

are:

Con

stru

cţia

uno

r co

rpur

i geo

me

tric

e fo

losi

nd d

esfăş

urăr

i al

e ac

esto

ra.

Act

ivita

tea

urmăr

eşte

ca,

pr

in r

econ

stitu

irea

unor

cor

puri

să o

fere

ele

vilo

r o

imag

ine

su

gest

ivă

în l

egăt

ură

cu m

odul

în

care

, di

ntr-

un a

nsam

blu

de

figur

i ge

omet

rice

plan

e se

po

ate

real

iza

un

corp

ge

omet

ric

Mat

eria

l did

actic

- d

esfăşu

rări

ale

unor

pol

iedr

e: c

ubur

i, cu

boiz

i, pr

ism

e şi

pira

mid

e cu

baz

e în

formă

de păt

rat,

triu

nghi

, pa

rale

logr

am, t

rape

z; (

pot f

i dat

e şi

des

făşu

rări

dife

rite

ale

acel

uiaş

i cor

p)

În c

adru

l fie

căru

i gru

p, e

levi

i au

liber

tate

a să

-şi a

leagă

desfăş

urar

ea d

in c

are

vor

cons

trui

cor

pul

Sar

cina

de

lucr

u: F

olos

ind

desfăs

urar

ea a

leasă,

con

stru

iţi,

prin

plie

re ş

i lip

ire, u

n co

rp g

eom

etric

E

levi

i vor

col

abor

a în

cad

rul g

rupu

lui p

entr

u a

real

iza

sarc

ina.

A

ctiv

itate

a ar

e ca

sco

p gă

sire

a de

căt

re e

levi

a u

nor

proc

edee

de

lucr

u va

riate

pen

tru

pun

e în

evi

denţă

figur

ile

geom

etric

e ca

re s

unt f

eţe

ale

unor

cor

puri

Pro

prie

tăţi

ale

figur

ilor şi

cor

puril

or g

eom

etric

e

14

5

Stru

ctur

are

• C

um v

or

valo

rific

a el

evii

activ

itate

a de

ex

plor

are?

•

Cum

vor

co

ntro

la (

verif

ica)

el

evii

prop

ria

înţe

lege

re a

co

ncep

tulu

i?

• C

um v

or

valo

rific

a el

evii

înţe

lege

rea

conc

eptu

lui?

•

Cum

vor

fi

îndr

umaţ

i să

caut

e in

form

aţii

supl

imen

tare

şi

răsp

unsu

ri la

în

trebăr

ile c

are

mai

exi

stă?

Sist

emat

izar

e/

Con

cept

ualiz

are

• es

enţia

lizea

ză

obse

rvaţ

iile

făc

ute

de e

levi

cu

priv

ire la

sub

iect

ul

stud

iat;

• aj

ută

elev

ii să

exp

rime

ceea

ce

au o

bser

vat,

să

form

ulez

e co

nclu

zii (

bine

-ră

u, a

devă

rat-

fals

etc

.) p

e ba

za o

bser

vaţii

lor,

co

nsta

tăril

or

făcu

te.

• in

trod

uce

term

enii

noi,

core

spun

zăto

ri su

biec

tulu

i st

udia

t; •

ajută

elev

ii să

idea

lizez

e pr

in m

odel

e ob

iect

ele

expl

orat

e şi

să

gene

raliz

eze

la a

lte

obie

cte

obse

rvaţ

iile,

co

nsta

tăril

e făc

ute

în

activ

itate

a de

exp

lora

re;

• aj

ută

elev

ii să

des

crie

şi

/sau

să

defin

ească

noţiu

nile

, co

ncep

tele

noi

.

Expl

icar

e/Es

enţia

lizar

e

• re

flect

ează

asu

pra

exem

plel

or/c

azur

ilor

part

icul

are,

ana

lizea

ză r

ezul

tate

le a

ctiv

ităţii

de

expl

orar

e, c

alcu

lează

rezu

ltate

parţia

le;

• el

abor

ează

un

prim

enu

nţ g

ener

al î

n le

gătu

ră

cu p

rodu

sul s

au c

once

ptul

viz

at;

• pr

eluc

rează

exem

ple şi

con

trae

xem

ple

ale

conc

eptu

lui/p

rodu

sulu

i, de

scrie

sis

tem

e, s

tări,

co

mpo

rtam

ente

, fen

omen

e ob

serv

ate;

•

îşi a

mel

iore

ază

prim

a el

abor

are

a en

unţu

lui

gene

ral (

defin

iţie,

reg

ulă

de g

ener

are,

te

orem

ă) c

a ac

east

a să

con

vină

noi

lor

exem

ple

şi să

nu c

onvi

nă c

ontr

aexe

mpl

elor

. •

rem

arcă

inva

rianţ

i, id

entif

ică

cons

tant

e,

punc

te c

omun

e al

e pr

oces

elor

stu

diat

e;

• ge

nera

lizea

ză c

arac

teris

ticile

; •

elab

orea

ză r

egul

i, de

finiţi

i şi l

egi c

are

expr

imă

gene

ralizăr

ile făc

ute;

•

argu

men

tează,

dem

onst

rează

enunţu

rile

gene

rale

obţ

inut

e.

Act

ivita

tea

de î

nvăţ

are:

Det

erm

inar

ea p

rin

măs

urar

e sa

u pr

in c

alcu

l, a

perim

etre

lor

unor

dre

ptun

ghiu

ri , t

riung

hiur

i sau

păt

rate

ca

re s

unt

feţe

ale

uno

r co

rpur

i A

ctiv

itate

în

pere

chi

Mat

eria

l did

actic

: D

iver

se p

rism

e S

arci

na d

e lu

cru:

Det

erm

inaţ

i prin

măs

urar

e sa

u pr

in c

alcu

l per

imet

rul c

ât

mai

mul

tor

feţe

ale

unu

i cor

p al

es d

e vo

i di

n ce

le d

e pe

mas

a de

lucr

u.

Exp

licaţ

i şi a

rgum

entaţi

mod

ul d

e lu

cru.

A

ctiv

itate

de

învăţa

re:

Rez

olva

re ş

i co

mpu

nere

de

prob

lem

e ca

re im

plică

utili

zare

a măs

urilo

r un

or e

lem

ente

ale

uno

r co

rpur

i geo

met

rice.

Act

ivita

tea

de î

nvăţ

are:

Citi

rea

enunţu

lui

unei

pro

blem

ei, r

edar

ea li

beră

cu

voce

ta

re a

enu

nţul

ui. A

naliz

a pă

rţilo

r co

mpo

nent

e al

e p

robl

emei

. Rez

olva

rea

prob

lem

ei.

Act

ivita

te p

e gr

upe

de lu

cru;

Act

ivita

te

fron

tală

/col

ectivă

Pro

prie

tăţi

ale

figur

ilor şi

cor

puril

or g

eom

etric

e

146

Apl

icar

e •

Cum

vor

folo

si

elev

ii co

mpe

tenţ

ele

dobâ

ndite

? •

Cum

voi

put

ea

verif

ica

efec

tiv

înţe

lege

rea

conc

eptu

lui d

e că

tre

elev

i?

• C

e as

pect

e ar

m

ai tr

ebui

ap

rofu

ndat

e?

• C

e lim

ite/

cond

iţii p

ot f

i ev

idenţia

te î

n pr

oces

ul d

e ap

licar

e a

conc

eptu

lui?

•

Cum

poa

te f

i fr

uctif

icată

expe

rienţ

a obţin

ută

în

abor

dare

a al

tor

situ

aţii?

Apr

ofun

dare

/ Tra

nsfe

r •

prop

une şi

orie

ntea

ză

sarc

ini d

e lu

cru

aplic

ativ

e;

• pr

opun

e ac

tivităţi

supl

imen

tare

pen

tru

apro

fund

area

sub

iect

ului

st

udia

t;

• of

eră

elev

ilor

ocaz

ii să

-şi

dezv

olte

inde

pend

ent

idei

le,

să e

xers

eze

inde

pend

ent a

plic

aţiil

e pr

opus

e.

• pr

opun

e co

ntex

te n

oi,

varia

te, p

entr

u ap

licar

ea

mod

elel

or;

• si

stem

atiz

ează

de

schi

deril

e: r

elaţ

ia

conc

eptu

lui/s

ubie

ctul

ui c

u al

tele

din

dom

eniu

, sau

di

n al

te d

omen

ii;

• ex

tinde

învăţa

rea

în

afar

a cl

asei

.

Exer

sare

/ Ext

inde

re

• ex

plor

ează

apl

icaţ

ii al

e co

ncep

tulu

i/pro

dusu

lui o

bţin

ut în

situ

aţii

noi;

• ilu

stre

ază

rezu

ltate

le o

bţin

ute

(con

cept

ul,

prod

usul

) p

rin e

xem

ple

cât

mai

dife

rite,

ju

stifi

când

car

acte

ristic

ile e

xem

plel

or c

are

core

spun

d sa

u nu

;

• po

rnin

d de

la o

def

iniţi

e, d

escr

iere

a

conc

eptu

lui s

au a

pro

dusu

lui d

e re

aliz

at,

cree

ază

exem

ple

part

icul

are

care

con

vin

aces

tei d

efin

iţii ş

i exp

licite

ază

cara

cter

istic

ile

acel

or e

xem

ple

care

sun

t sau

nu

conf

orm

e cu

de

finiţi

a;

• pu

ne în

dis

cuţie

lim

itele

de

aplic

abili

tate

ale

re

zulta

telo

r obţin

ute

(con

cept

, pro

dus)

; •

relaţio

nează

dife

rite

tipur

i de

repr

ezen

tări,

co

nstr

uieş

te r

elaţ

ionă

ri în

tre

repr

ezen

tare

şi

obie

ct,

priv

eşte

nou

l con

cept

în

lum

ina

prop

riei

expe

rienţ

e.

• tr

ansf

eră

prin

ana

logi

e cu

o s

ituaţ

ie-p

robl

emă

întâ

lnită

ant

erio

r pr

oprie

tăţil

e şi

mod

elel

e de

term

inat

e;

• fa

ce î

ncer

cări

succ

esiv

e, o

bser

vă ş

i an

aliz

ează

reuşi

tele

şi e

labo

rează

crit

erii

de

eval

uare

a p

rodu

sulu

i; •

reacţio

nează

la c

onte

xt: i

nteg

rează,

op

timiz

ează

, neg

ocia

ză c

onte

xte

care

priv

esc

subi

ectu

l stu

diat

, ia

atitu

dine

faţă

de

prob

lem

ele

pe c

are

le r

idică

noile

cun

oştinţe

; •

prez

intă

pro

iect

ul r

ealiz

at;

• si

stem

atiz

ează

bila

nţu

l: st

abileşt

e în

ce

măs

ură

au fo

st găs

ite răs

puns

uri l

a în

trebăr

i.

Act

ivita

te d

e în

văţa

re: R

ezol

vare

a şi

cr

eare

a de

pro

blem

e M

ater

ial d

idac

tic:

Pos

tere

cu

prob

lem

e di

ferit

e A

ctiv

itate

pe

grup

e de

lucr

u S

arci

na d

e lu

cru:

R

ezol

vaţi

prob

lem

a de

pe

post

er, f

olos

ind

mat

eria

lele

de

care

aveţi

nevo

ie

Dacă

term

inaţ

i de

rezo

lvat

pro

blem

a,

com

plic

aţi-

o cu

cel

puţ

in o

înt

reba

re

Prin

tr-u

n re

prez

enta

nt a

l gru

pulu

i rap

ortaţi

în f

aţa

într

egii

clas

e re

zolv

area

Act

ivita

te in

depe

nden

tă

Mat

eria

l did

actic

: M

anua

lul

Sar

cina

de

lucr

u:

Rez

olvaţi

prob

lem

a (c

are

impl

ică

utili

zare

a măs

urilo

r un

or e

lem

ente

ale

uno

r co

rpur

i ge

omet

rice)

D

acă

aţi t

erm

inat

, co

mpu

neţi

o pr

oble

mă

în c

are

să s

e re

fere

la u

n co

rp g

eom

etric

ob

serv

at

Eva

luar

ea s

e fa

ce p

rin a

utoc

orec

tare

prin

co

mpa

rare

cu

rezo

lvar

ea d

e la

tablă


147


1. Secvenţele unei unităţi de învăţare sunt: ........................................... .................................................................................... .......................

2. Două poligoane sunt asemenea dacă …………………………………………

…………………..………………………………………………………………. ..…………………………………………………. …………………………….

3. În spaţiul liber de mai jos, analizaţi un enunţ din perspectiva logicii

matematice.

Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţelor 3.5 şi 3.7 m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................


148


3.8. Evaluarea prin rezolvare de probleme

David Hilbert, creatorul Axiomaticii, face o frumoasă pledoarie

privind rolul problemelor: „Marea importanţă a problemelor pentru progresul matematicii în general şi rolul esenţial pe care astfel de probleme îl joacă în activitatea matematicienilor sunt de netăgăduit. Atâta vreme cât o ramură ştiinţifică are din abundenţă probleme, ea este plină de viaţă; lipsa problemelor denotă atrofia sau încetarea unei dezvoltări independente. Ca şi în orice activitate umană, cercetarea matematică are nevoie de probleme. Datorită rezolvării problemelor abilitatea cercetătorului este întărită. El găseşte noi metode, noi puncte de vedere, el descoperă orizonturi mai largi şi mai limpezi”. Realitatea contemporană arată că nu numai matematicianul are nevoie să rezolve probleme, ci şi fiecare persoană care desfăşoară o viaţă activă integrată social. Matematica şcolară are datoria să înzestreze fiecare elev cu abilităţile necesare rezolvării de probleme în contexte variate. Modul cum se face evaluarea este esenţial în acest sens.

O definiţie adecvată a activităţii matematice trebuie să reţină ca esenţială natura – nu obiectul – cercetării: descifrarea implicaţiilor logice ascunse. Sfera cunoştinţelor poate fi sensibil lărgită, fără sprijinul unor experienţe noi, numai prin acţiuni mentale. Schematic, o teorie matematică sau o teoremă, sau o problemă se înfăţişează astfel:

Cel mai activ semn de întrebare este uneori în B, alteori în A, adeseori chiar pe lanţul dintre A şi B. 1) Ce concluzii noi se pot trage din condiţiile cunoscute A

Exemplu istoric: A = legile electricităţii şi magnetismului cu-noscute experimental (Coulomb, Ampere, Faraday). B ce se poate de-duce, nou, din ele. Maxwell prin raţionamente şi calcule matematice dă răspuns (unde electromagnetice) care abia ulterior este verificat experimental (Herz) sau folosit tehnic (Marconi, Branly, ...)

2) Ce alte ipoteze implică B? Exemplu istoric: B = legile lui Kepler (stabilite prin observaţii); A

= oare din ce premise pot fi trase deductiv aceste legi? Răspunsul îl dă Newton

3) Se dau şi A şi B. Care este lanţul de silogisme prin care putem arăta că din A rezultă B?

Foarte multe probleme şcolare cu enunţ de felul: să se demonstreze că dacă ... (A), atunci... (B). Este şi tipul unor cercetări în care A şi B sunt fixate provizoriu, intuitiv, şi trebuie explicitată (eventual, infirmată) implicaţia.

Nu există metode infailibile pentru stabilirea unor astfel de implicaţii. Nu există nici măcar ghidaje de linii mari, universal valabile. Stabilirea efectivă a unei implicaţii logice constituie un act de creaţie, uneori uşurat de cunoştinţe şi de experienţă, alteori îngreunat de

A B

A ?

? B

A ? B


149

obsesia unei experienţe din trecut, care nu se mai potriveşte într-o situaţie nouă, totdeauna cu o doză de nesigur, de problematic. Tocmai atracţia pentru un astfel de problematic – trăsătură psihică profund umană, naturală, explicabilă biologic – constituie motorul principal al activităţii matematice.

Atracţia pentru problematic poate fi intensificată (interesul de cunoaştere sau interesul practic sau competitivitatea de tip sportiv etc.) sau poate fi inhibată, mai ales în cadrul unor activităţi şcolare defectuoase.

O contribuţie importantă la sporirea interesului şi a atracţiei către problematic o are evaluarea prin probleme.

Pentru a evalua competenţa elevului de a rezolva probleme, se va urmări în ce măsură elevul este capabil:

- să lucreze sistematic pe baza unui plan coerent; - să finalizeze o sarcină de lucru, descompunând-o în

activităţi mai uşoare; - să reformuleze un enunţ uzual sau matematic; - să imagineze şi să folosească diverse reprezentări

pentru depăşirea unor dificultăţi sau pentru ilustrarea, intuirea sau justificarea unor metode de rezolvare;

- să folosească în probleme transferul, particularizarea, analogia, generalizarea, reducerea la absurd, contraexemplul;

- să aprecieze critic soluţiile sau metodele folosite în rezolvare.

Observarea sistematică poate furniza informaţii relevante asupra nivelului de cunoştinţe şi deprinderi ale elevilor, asupra comportamentului şi calităţilor lor personale. Mulţi profesori utilizează observarea elevilor în mod subiectiv, transformând în notă impresia pe care o au despre activitatea unui elev pe o perioadă mai lungă de timp (de obicei, un semestru). Pentru a spori gradul de obiectivitate, observarea sistematică presupune utilizarea unei grile de observare şi înregistrarea observaţiilor într-o manieră cât mai simplă.

Temă de reflecţie 12 Discutaţi cu colegii dumneavoastră, apoi descrieţi cel mai interesant mod de înregistrare a observaţiilor asupra elevilor, pe care îl cunoaşteţi.


150

În administrarea şi corectarea testelor este indicat să aveţi în vedere câteva reguli.

1. Acordaţi pentru un test o perioadă de timp suficientă pentru ca majoritatea elevilor clasei să poată finaliza lucrarea înainte de expirarea timpului.

2. Dacă optaţi pentru notarea analitică a testului (prin punctaj acordat fiecărui item), fixaţi scala de notare astfel ca orice notă de la 1 la 10 să poată fi, în principiu, obţinută. Pentru itemii subiectivi, luaţi în calcul diverse variante de răspuns la întocmirea baremului. Utilizaţi o scală de notare unitară. Nu diferenţiaţi punctajul unor probleme după percepţiile pe care le aveţi asupra nivelului lor de dificultate; probleme diferite sunt percepute diferit de rezolvitori diferiţi. De exemplu, nu notaţi mai puţin problemele mai grele – în acest fel, dezavantajaţi elevii performanţi!

Un test este bine întocmit dacă: este adaptat nivelului de achiziţii al elevilor clasei; răspunde obiectivelor vizate pe parcursul unităţii de învăţare evaluate; are o scală de notare echilibrată. Puteţi verifica dacă testul a fost bine întocmit reprezentând

frecvenţa notelor obţinute de întreaga clasă: diagrama obţinută trebuie să aibă alura curbei lui Gauss, cu zona de maximă frecvenţă în jurul notei 7.

3. Dacă optaţi pentru notarea holistică (globală), nu uitaţi că aceasta are semnificaţie numai prin compararea lucrărilor. În urma comparării, se structurează în mod natural criterii de acordare a notei. De aceea, în acest caz, recomandăm următoarea secvenţialitate:

corectaţi lucrările fără a le evalua prin punctaj; comparaţi lucrările şi ierarhizaţi-le în funcţie de nivelul general al rezultatelor elevilor; fixaţi categoriile de notare; comparaţi din nou lucrările incluse în aceeaşi categorie; efectuaţi eventuale modificări de încadrare; acordaţi nota.

3.8.1. Cum pregătim elevii pentru evaluare prin probe scrise? În anii terminali, activitatea de evaluare a elevului vizează în

egală măsură progresul şcolar şi pregătirea pentru examenul/testul/proba de absolvire. Pentru aceasta, este necesar ca profesorul să aibă în vedere:

• Proiectarea unor teste de tipul celor propuse la examenele anterioare.

• Proiectarea unor teste conţinând variate tipuri de itemi. • Pregătirea cognitivă şi afectivă a elevilor pentru

susţinerea unui examen. • Aplicarea sistematică pe parcursul anului şcolar a

tipurilor de teste menţionate anterior. • Analiza sistematică a rezultatelor obţinute.


151

• Folosirea unor teste de autoevaluare ca o modalitate de conştientizare a elevului asupra progreselor sale şcolare.

Deşi apar frecvent în procesul didactic, o serie de situaţii

contextuale legate de evaluare nu sunt abordate în mod explicit de către profesor în activitatea la clasă.

Prezentăm în continuare câteva sugestii menite să orienteze activitatea profesorului, astfel încât acesta să-i ajute pe elevi să rezolve cu succes diferite tipuri de teste aplicate în evaluarea curentă sau în condiţii de examen.

Dificultate întâmpinată Sugestii de remediere Elevii nu sunt familiarizaţi cu forma testului, cu modul de completare a răspunsului, cu utilizarea unor foi de răspuns.

Daţi elevilor să exerseze rezolvarea a diferite tipuri de teste, cu tipuri variate de itemi. Pe parcursul clasei a VIII-a este necesar ca la capătul unei unităţi de învăţare, ca şi la sfârşit de capitol, elevii să fie verificaţi printr-un test cuprinzând itemi standard în forme variate. Obişnuiţi-i pe elevi să utilizeze tehnica excluderii la itemii cu alegere multiplă.

Evaluarea prin teste îi poate face pe unii elevi să aibă impresia că trebuie să facă faţă unor cerinţe foarte înalte.

Încurajaţi-i pe elevi să privească testul doar ca un mod de a arăta ceea ce au învăţat. Amintiţi-le elevilor să nu se necăjească dacă au întâlnit un item care nu le este familiar. Poate fi avantajos să sară peste acel item, să revină la el mai târziu, sau să încerce ghicirea soluţiei.

Elevii nu sunt pregătiţi mental şi/sau fizic pentru a fi testaţi.

Informaţi părinţii asupra condiţiilor testului. Încurajaţi-i pe părinţi să creeze copiilor o atmosferă de calm şi încredere în preajma testului şi să se asigure că aceştia s-au odihnit suficient. Asiguraţi-vă că elevii au toate materialele necesare pentru test (creion, gumă, riglă etc.) Nu daţi impresia că testul este mai important decât este în realitate. În această situaţie, elevii devin mult mai anxioşi şi stresaţi.

Majoritatea elevilor săvârşesc greşelile tipice.

Analizaţi în mod continuu în clasă greşelile elevilor. Comentaţi aceste greşeli, atenţionaţi asupra condiţiilor de apariţie a lor şi asupra căilor de remediere. Atenţie! Nu culpabilizaţi elevii în cadrul acestor discuţii. Propuneţi sistematic elevilor exerciţii-capcană, în care trebuie identificată greşeala.

Limbajul sau vocabularul unui test standardizat pot crea elevilor dificultăţi.

Folosiţi forme variate de exprimare pentru a reda o anumită sintagmă sau un anumit concept. Formulaţi periodic întrebările unor teste în limbaj standard, dar şi în limbaj uzual.


152

3.8.2. Căi practice de îmbunătăţire a performanţelor elevilor

Evaluarea trebuie să contribuie la motivarea activităţii elevului

şi să furnizeze profesorului diagnoze şi prognoze asupra activităţii didactice. Recomandăm în continuare câteva modalităţi prin care evaluarea poate contribui la îmbunătăţirea performanţelor elevilor:

- Aplicaţi metode şi instrumente cât mai variate de evaluare. Anterior, explicaţi elevilor aceste metode şi simulaţi evaluarea prin câteva exemple.

- Analizaţi rezultatele testelor, discutând metodele posibile de rezolvare, greşelile tipice, modalitatea de acordare a notelor.

- Dacă rezultatele unui test nu sunt conforme cu aşteptările dumneavoastră sau ale elevilor, repetaţi testul într-o formă echivalentă la un interval scurt de timp şi fixaţi nota finală prin medie ponderată. În acest fel, puteţi verifica fidelitatea testului şi acordaţi elevilor posibilitatea unei a doua şanse.

- Alternaţi metodele de evaluare spontane (examinare orală, lucrări neanunţate) cu metode planificate. Nu faceţi publică o regulă de succesiune a elevilor pentru examinarea orală!

- Folosiţi metoda observării sistematice pe o perioadă mai mare de timp pentru a impulsiona activitatea elevilor.

- Încurajaţi elevii să vorbească despre activitatea pe care o desfăşoară. Întrebaţi-i de ce au luat o anumită decizie în rezolvare. Adresaţi-le întrebări care să-i facă să gândească, să prezinte un raţionament. In acest mod puteţi descoperi unde s-a produs neînţelegerea.

- Toate aspectele legate de limbaj şi de vocabular sunt esenţiale pentru succesul elevului la teste. În activitatea de rezolvare a unei probleme, elevii trebuie să recunoască simbolurile, să relaţioneze aceste simboluri cu imagini şi cuvinte. Ei trebuie să înţeleagă conţinutul unui test adresat lor indiferent de forma în care este prezentat. Următoarele aspecte trebuie avute în vedere.

- Se poate întâmpla ca un elev să răspundă greşit numai din cauză că limbajul folosit în enunţ îi este nefamiliar. Stimulaţi elevii să abordeze sarcini variate, chiar dacă acestea apar în contexte neobişnuite.

- Adesea elevii nu realizează că materialul din test este similar celui întâlnit în activitatea la clasă. Este important să fie conştientizată ideea că aceleaşi exerciţii şi probleme pot apărea în diferite forme.

- Terminologia utilizată în diferite teste standard poate fi diferită de cea utilizată în mod curent în clasă. Utilizaţi cât mai frecvent denumiri şi/sau definiţii echivalente.

- Unele confuzii pot fi generate de utilizarea unor cuvinte cu sensuri multiple sau cu sensuri diferite în cotidian faţă de sensul matematic. Identificaţi şi evidenţiaţi situaţiile respective.

- Apariţia unui enunţ formulat ambiguu poate avea consecinţe nefaste pentru un elev aflat în emoţiile unui examen. Pentru a preîntâmpina această situaţie:

• propuneţi enunţuri incomplete şi cereţi elevilor să le completeze; • propuneţi enunţuri discutabile şi cereţi elevilor să le interpreteze; • conduceţi elevii spre formarea unei strategii de abordare a unor

astfel de situaţii.


153


1. Notarea holistică presupune: ........................................................................................................... .......................................................................................................... 2. Un motiv pentru care evaluarea îi poate ajuta pe elevi în învăţare este

...........................................................................................................

.......................................................................................................... ……………..…………………………………………………………………

3. Elaboraţi un scenariu didactic privind activitatea de rezolvare de probleme, în care precizaţi eventuale dificultăţi de înţelegere şi modalităţile de acţiune.

Completaţi următoarele enunţuri: Pe parcursul secvenţei 3.8. m-am confruntat cu următoarele dificultăţi: ......................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................ Îmi este încă neclar: ............................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................


154


Testul de evaluare de mai jos vă va ajuta să verificaţi gradul de îndeplinire a competenţelor specifice Unităţii de Învăţare 3: Proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice.

Am reuşit…???

1. Proiectaţi o unitate de învăţare cu tema „Congruenţa triunghiurilor”, pentru clasa a VI-a. Colaboraţi cu o colegă/ un coleg din cadrul PIR, schimbaţi între dv. proiectele realizate, apoi identificaţi asemănări şi deosebiri. Realizaţi un eseu de 2 pagini. În evaluare vor fi analizate: modul de proiectare (4p), identificarea unor modalităţi de acţiune diferite(5p). Se acordă 1 p din oficiu.

2. Explicaţi modul de funcţionare

a macaralei reprezentată schematic alăturat. Descrieţi o activitate de învăţare în care elevii aplică în contexte practice noţiuni de geometrie. Explicaţia în limbaj matematic 4p; descrierea activităţii 3p; originalitate 2p; 1p se acordă din oficiu.

3. Considerăm problema: medianele unui triunghi

echilateral sunt congruente. Dezvoltaţi o schemă de rezolvare a acestei probleme, de tipul celei din secţiunea 3.1.1. Formulaţi şi demonstraţi reciproce ale acestui enunţ. Pentru schema de rezolvare se acordă 5p; pentru reciproce se acordă 4p; un punct se acordă din oficiu.

4. Alegeţi o problemă de raţionament geometric.

Elaboraţi un scenariu privitor la întrebările adresate elevilor în evaluarea orală privind rezolvarea problemei alese. Detaliaţi modul în care se acordă nota, într-un eseu de 2 pagini. Scenariul de evaluare: 4p; descrierea modului de notare: 5p.

5. Descrieţi modul în care un tâmplar poate

verifica dacă o cutie realizată din lemn are formă perfect paralelipipedică. Enunţaţi şi demonstraţi rezultatele geometrice folosite. Pentru modalităţile practice de verificare identificate se acordă 6p, iar 3p se acordă pentru enunţul şi analiza matematică a acestora; 1p se acordă din oficiu.

... să proiectez unităţi de învăţare pe teme de geometrie, pe baza comparării unor proiecte personale sau ale colegilor?

... să desfăşor activităţi practice, în care se folosesc proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice pentru rezolvarea optimă a unei situaţii-problemă?

... să evidenţiez tehnici de analiză a problemelor de raţionament geometric, în scopul formării unor deprinderi adecvate de lucru ale elevilor?

... să dezvolt un sistem complex şi coerent de evaluare în cadrul rezolvării de probleme cere implică raţionamentul geometric?

... să analizez algoritmi specifici problemelor de geometrie, pentru a-i folosi în alte contexte didactice?


155



Temă de reflecţie 2 Porniţi de la întrebările: ce se dă? Ce se cere? Cum putem afla ce se cere? Ce rezultă din ceea ce se dă? Etc.

Temă de reflecţie 3 Întrebarea cea mai eficientă este: cum pot transforma problema într-o problemă de geometrie plană?

Test de autoevaluare, pag. 123

1. desenez o figură; analizez cum se leagă ipoteza de concluzie; redactez rezolvarea; verific şi generalizez.

2. nivelul imaginii, nivelul relaţiilor, nivelul matematic, nivelul euristic.

Temă de reflecţie 6 Nu este adevărată. Temă de reflecţie 7 De exemplu: volumul piramidei. Temă de reflecţie 8 De exemplu: Dacă AB // CD, AC şi BD sunt perpendiculare, atunci AB = BC = CD= DA şi AD // BC Temă de reflecţie 10 Raportul PA : PB este constant. Se aplică o omotetie de centru P.


1. Familiarizare, structurare, aplicare

2. dacă ele pot fi descompuse în triunghiuri asemenea situate în pozi-ţii analoage.


1. compararea lucrărilor, pe baza impresiei generale, apoi acordarea unei note.

2. conştientizarea progreselor şcolare


156


*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru

Curriculum, Programe şcolare pentru clasele a V-a – a VIII-a. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii, Ed. Cicero, Bucureşti, 1999.

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasa a IX-a. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii, Vol. al II-lea, Ed. Cicero, Bucureşti, 1999.

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Curriculum Naţional pentru învăţământul obligatoriu. Cadru de referinţă, Ed. Corint, Bucureşti, 1998.

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasa a X-a. Un model de proiectare curriculară centrat pe competenţe, Ed. Humanitas Educaţional, Bucureşti, 2000.


*** Suporturile de curs ale modulelor obligatorii din pachetul 2 de Matematică.

POLYA, G.,Descoperirea în matematică, p. 240, Ed. Stiinţifică, 1971.

POLYA, G., Cum rezolvăm o problemă?, „Problema auxiliară” p. 155-160, Ed. Stiinţifică, 1965.

SINGER, M., Învăţarea geometriei prin exercitii, Ed. Sigma, 1991. SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002.


SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003.


Informaţii importante pentru această unitate de învăţare se pot obţine şi prin vizionarea casetei video cu titlul: Howard Gardner, Inteligenţe multiple, care se găseşte, de exemplu, la Biblioteca Universităţii din Bucureşti.


157

BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU ACEST MODUL

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasele a V-a – a VIII-a. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii, Ed. Cicero, Bucureşti, 1999.

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasa a IX-a. Aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii, Vol. al II-lea, Ed. Cicero, Bucureşti, 1999.

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Curriculum Naţional pentru învăţământul obligatoriu. Cadru de referinţă, Ed. Corint, Bucureşti, 1998.

*** Ministerul Educaţiei Naţionale, Consiliul Naţional pentru Curriculum, Programe şcolare pentru clasa a X-a. Un model de proiectare curriculară centrat pe competenţe, Ed. Humanitas Educaţional, Bucureşti, 2000.


*** Suporturile de curs ale modulelor obligatorii din pachetul 2 de Matematică. D.BELL, D., HUGES, E.R., ROGER, J., Arie, masă, volum, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

HARRIS, R., Problem Solving techniques, version January 5, 2002, http://www.virtualsalt.com

MOISE, E. , Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980

ONICESCU, O. et al., Figuri ilustre ale antichităţii, Ed.Tineretului, Bucureşti, 1967.

POLYA, G., Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică, Bucureşti, 1971 POLYA, G., Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1962.

RADU, I. (coord.), Psihologia educaţiei şi dezvoltării, Ed.Academiei, 1983

RUSU, E., Metodica predării geometriei în şcoala generală, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968.

SARIVAN, L. (coord), Predarea interactivă centrată pe elev, PIR: Dezvoltare profesională pe baza activităţii proprii desfăşurate în şcoală, Bucureşti, 2005.

SINGER, M., Învăţarea geometriei prin exercitii, Ed. Sigma, 1991. SINGER, M., VOICA, C., Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul profesorului, Ed.SIGMA, 2002.


158


SINGER, M., VOICA, C., Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, Ed.Sigma, 2003.


Unitatea de Management al Proiectelor cu Finanţare Externă

Str. Spiru Haret nr. 12, Etaj 2,Sector 1, Cod poºtal 010176,

Bucureºti

Tel: 021 305 59 99Fax: 021 305 59 89

http://conversii.pmu.roe-mail: [email protected]

ISBN 978-606-515-200-7

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didacticedin învăţământul preuniversitar

pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Documents

Matematica_-_3_-_Didactica_geometriei_opti