Прва крагујевачка гимназијаКрагујевац

МАТУРСКИ РАД ИЗ АНАЛИЗЕ СА АЛГЕБРОМПОБЕДНИЧКЕ СТРАТЕГИЈЕ У МАТЕМАТИЧКИМ ИГРАМА

Ученик: Професор:Јована Атанасијевић Јасмина Мицић

Крагујевац, 2015.год,

2

САДРЖАЈ

1. Резиме...............................................................................................32. Увод..................................................................................................43. Основни појмови...................................................................................64. Матричне нулте суме.............................................................................85. Нешов еквилибријум............................................................................10

5.1. Дилема затвореника.......................................................................116. Примери математичких игара и њихове победничке

стратегије.......................127. Примена теорије игара..........................................................................208. Закључак...........................................................................................219. Литература........................................................................................22

3

РЕЗИМЕ

Циљ овог рада је да прикаже основне појмове теорије игара на примерима из математике са којима се ученици могу сусрети током свог математичког образовања и стратегије за њихово решавање, као и да прикаже примену теорије игара на друге ситуације у животу. Овај рад је написан да покаже како се математика може учити и кроз игру, и на тај начин поспешити развој других способности ученика. Под решавањем математичке игре и налажењем победничке стратегије подразумева се детаљно анализирање задатка након чега се доноси закључак који играч ће сигурно победити и на који начин. Након сваког примера математичке игре биће представљено образложење победничке стратегије и разлоге због којих је победа у тим случајевима неизбежна.Теоријски материјал коришћен у овом матурском раду јесте део званичних метода пронађених у литератури.

Кључне речи:Теорија игара, играч, математичке игре, примена теорије игара, победничке стратегије

4

УВОД

Свакодневно се суочавамо са ситуацијама у којима смо приморани да доносимо одлуке, од којих нису све од велике важности али од неких потпуно зависи даљи развој неких догаћаја. Одлука може зависити само од нас, што нам омогућава да се водимо искључиво својим интересом, али је чешћа ситуација у којој последице одлуке не зависе само од нас, те морамо успоставити однос са осталим доносиоцима одлуке јер од нашег међусобног односа и комуникације зависи крајњи исход. У ситуацијама у којима су различите стране које доносе одлуке у конфликту, јавља се потреба за одређивањем најповољније стратегије за сваку страну. Ове ситуације су створиле потребу за применом теорије игара у свакодневном животу.Теорија игара је грана примењене математике која се бави ситуацијама између два или више играча, служећи се математичким моделима. Циљ ове теорије је да одреди које понашање је за играча најповољније, тј. да пронађе стратегију која ће играчу донети најмање губитка. Ситуације које теорија игара посматра су конфликтне ситуације регулисане строго дефинисаним правилима и односима, и као такве могу се свести на математички проблем. Почетком ове теорије сматра се књига „Theory of games and economic behavior“ (Теорија игара и економско понашање) математичара Џон фон Њумана (John von Neumann) и економиста Оскара Моргенстерна (Oskar Morgenstern), која се сматра основом данашње теорије игара.

Основна питања којима се бави теорија игара су:1. Која стратегија је рационална ако исход не зависи само од играча већ и

одстратегије противника?

2. У игри у којој је могући обострани добитак, да ли треба сарађивати како бисе остварио најбољи исход, или се понети агресивно без кооперације?

Играч има једну потпуну информацију – његова ситуација и потенцијалне стратегије за њу, и једну непотпуну информацију – претпоставке о противниковој стратегији. Током игре, играч сакупља нове информације на основу којих доноси рационалне одлуке, градећи тако своју стратегију. Један од проблема са којима се сусрећемо при изградњи победничке стратегије јесте одређени ниво неизвесности који има свака игра – резултат

5

је тешко предвидети због великог броја варијанти којима се она може одвијати (комбинаторне игре - шах), на исход утичу и случајни фактори који не зависе од играча и њихових стратегија (хазардне игре - рулет) и недостатак информација о противничкој стратегији (стратешке игре – ризико).Оно што повезује теорију игара са другим областима људског живота јесте могућност многих случајева из стварности да се сведу на некооперативне игре, а тиме је омогућено лакше решавање конфликтних ситуација помоћу математике.Ова математичка теорија повезује неколико грана математике а допринела је и многим другим областима захваљујући ширини и применљивости проблема којима се бави. Данас се примењује у економији, информатици, социологији, психологији, теорији еволуције…

6

ОСНОВНИ ПОЈМОВИ

У овој глави ће бити објашњени основни појмови теорије игара који ће се помињати и користити у даљем тексту овог рада.Игра – конфликт између две или више супротстављених страна који је регулисан тачно одређеним скупом правила.

Игре можемо разликовати по следећим карактеристикама:

1. Интерес играча – зависно од тога да ли играчи сарађују или покушавају да надиграју једни друге, игре могу бити кооперативне и некооперативне.2. Сума – постоје игре са фиксном сумом, која је одређена на почетку игре и дели се међу играчима, и игре са променљивом сумом која зависи од стратегије.3. Потези – према томе да ли се одлуке о потезима доносе истовремено или секвенцијално, игре могу бити динамичке и секвенцијалне.4. Информације – уколико је на почетку игре играч упознат са свим потребним информацијама ради се о игри са потпуним информацијама, у супротном је у питању игра са непотпуним информацијама.5. Број играча – уколико имамо два супротстављена противника (две супротстављене стране) то је игра са два играча, у супротном је игра са више играча.6. Коначност – у односу на број расположивих стратегија, игре могу бити коначне и бесконачне.

Нулта сума – ситуација у којој је губитак играча једнак је добитку супарника. У играма са нултом сумом (игре са фиксном сумом), када се саберу укупни добици свих учесника, и од тог збира одузму сви губици, израз ће бити једнак нули. Ненулта сума – ситуација у игри где добитак неког од играча не мора да значи губитак другог, већ играчи сабирају своје добитке и губитке до одређене вредности.Потез – једна акција коју играч предузима у одређеном тренутку током игре.Стратегија – алгоритам за понашање играча током игре, који узима у обзир све потезе и контра потезе за сваки могући сценарио игре. Стратегијом је одређен сваки потез који ће играч да одигра у било ком стадијуму игре, за

7

сваки могући скуп претходно одиграних потеза. Играчи имају коначан број стратегија.Чиста стратегија подразумева јасно дефинисан начин на који играч игра и за сваки могући потез дефинише играчеву одлуку.Мешовита стратегија представља случајан избор неког од могућих потеза према одређеној расподели вероватноће. Другим речима, мешовита стратегија представља спој потеза из више чистих стратегија те игре. Уколико је при мешовитој стратегији нека од чистих стратегија изабрана са вероватноћом 1, а све остале са вероватноћом 0, та стратегија је такође чиста стратегија.Тотално мешовита стратегија је мешовита стратегија при чијој расподели вероватноћа свака од чистих стратегија се посматра са строго позитивном вероватноћом.Профил стратегија – скуп стратегија за сваког играча који у потпуности одређује све потезе у игри, где је једном играчу додељена једна и само једна стратегија.Овај рад ће бити концентрисан првенствено на игре измећу два супротстављена играча, јер је такве игре најлакше уопштити и користити за случајеве са другим бројем играча.

8

МАТРИЧНЕ ИГРЕ НУЛТЕ СУМЕ

Два играча учествују у коначној стратешкој игри. Нека играч I изабере неку од стратегија из скупа стратегија a i ,(i = 1,2,..,m), а други играч, играч II, неку од стратегија из другог скупа стратегија b i ,(i = 1,2,..,n). Исход игре ћемо описати на следећи начин: добитак првог играча је означен са c I(a i , b j), а губитак другог са c II(a i , b j).Дефиниција нулте суме поставља услов да је добитак првог играча једнак губитку другог:

c I(a i , b j) +c II(a i , b j) = 0

Уведимо c I = C. Тада је: c II(a i , b j) =−C(a i , b j).

Видимо да је циљ првог играча да функција C достигне максимум, а циљ његовог противника, играча II, да достигне минималну вредност која је за њега најповољнија.Следећом матрицом можемо приказати игру нулте суме са два играча и коначним бројем стратегија:

C = [ c11c12…c1n

c21c22…c2n

…cm1cm2…cmn

] ,где су елементи вредности које представљају добитак првог играча, односно, губитак другог. При томе, важи следећа једнакост: c ij=C (ai , b j), када знамо да је c ij добитак првог играча када он изабере стратегију a i а његов противник изабере стратегијуb j. Када играч I добија, вредност одговарајућег елемента матрице ће бити позитивна, у супротном је негативна, што означава добитак играча II.Гледајући врсте ове матрице, видимо све стратегије које играч I може да изабере, а по колонама видимо стратегије играча II. Матрица у ствари представља декартов производ свих стратегија оба играча.

За играча I, најнеповољнији резултат можемо представити следећим изразом:

9

α i=minjc ij

Овим изразом представљамо његов минимални добитак када изабере стратегију i за све могуће стратегије j другог играча. Пошто ће први играч током игре покушавати да свој добитак макцимално повећа, потребно је одредити максималну минималну вредност коју он може добити:

α=maximinjcij

Ово заправо представља његов сигуран добитак за било коју стратегију другог играча, његов ниво безбедности. Стратегија којом би се он користио и при којој би му ова вредност била његов ниво безбедности, назива се maxmin стратегија. Аналогно, за II играча имамо:

β j=maxic ij β=min

jmaxicij

Њему је важно да минимизира максимални могући губитак изабраном стратегијом, тј. да изабере ону стратегију са којом може најмање да изгуби у односу на стратегије првог играча.Уколико у матрици постоји неки елемент c ij који је истовремено минималан елемент у реду I матрице C и максималан у колони j, тај елемент се назива седласта тачка. Она одређује пар оптималних чистих стратегија у матрици, тј. по стратегију за оба играча које ће их довести до оптималног резултата игре.

10

НЕШОВ ЕКВИЛИБРИЈУМ

Нешов еквилибријум представља предвиђено решење игре. Он подразумева да сваки играч зна стратегије еквилибријума осталих играча, и ни једном играчу није исплативо да промени своју стратегију знајући да ће остале остати исте. Када је испуњено да су сви играчи изабрали своје стратегије и нико од њих не може да профитира мењајући своју стратегију, скуп свих изабраних стратегија и њихових вредности добитка представља Нешов еквилибријум.Нека је игра одређена скупом профила стратегија и скупом профила добитака . Нека је профил стратегија свих играча изузев играча . При избору стратегије сваког играча , добијамо профил стратегија

. Тада играчев добитак представљамо са , који не зависи само од играчеве стратегије већ и од избора његових противника. Онај профил стратегија који означава ситуацију у којој ни једном од играча није профитабилно да промене своју стратегију под условом да се остале не мењају, јесте Нешов еквилибријум.

11

ДИЛЕМА ЗАТВОРЕНИКА

Нешов еквилибријум можемо приказати на једном од најпознатијих примера стратешких игара – „Дилема затвореника“.Два затвореника су осумњичена за неки већи злочин и налазе се у две раздвојене ћелије. Постоји довољно доказа да обојица буду оптужени за неколико мањих преступа али не и за главни злочин, осим ако неко од њих не призна и ода другог. Сходно томе, имамо три исхода: Обојица одлуче да не признају и обојица оду у затвор на 1 годину због мањих преступа; Само један призна злочин – он ће бити ослобођен и сведочиће против овог другог, који ће добити 4 године затвора; Обојица признају злочин и добију по 3 године у затвору.Математички модел ове игре изгледа овако: Игра између 2 играча (затвореници) у којој сваки играч може бирати између две акције: да призна (P) и да не призна (NP). Представљено у табели, то изгледа овако:

У врстама се налазе могуће акције затвореника 1, а у колонама акције затвореника 2. Елементи представљају добитке при одабраној стратегији. Нешов еквилибријум у овом примеру представља ситуацију у којој оба затвореника признају, иако при њему затвореници не добијају најмању могућу казну.Понекад, стратегија коју Нешов еквилибријум предлаже не делује увек рационално, јер она није увек и најпрофитабилнија.

12

ПРИМЕРИ МАТЕМАИЧКИХ ИГАРА И ЊИХОВЕ ПОБЕДНИЧКЕ СТРАТЕГИЈЕ

1. Игру играју два играча који наизменично постављају једнаке жетоне на кружни сто. Жетони су такође кружног облика и има их довољно да се њима прекрије цео сто. Победник је онај играч који последњи стави жетон на преостало празно место на столу.

Победничку стратегију има први играч: 1) први жетон стави у центар стола 2) након што други играч одигра свој потез, први увек бира место за свој жетон симетрично претходно постављеном жетону другог играча (у питању је централна симетрија у односу на центар кружне површине стола). Овај корак се понавља док други играч има слободно место за свој жетон.Како је могућност првог играча да постави свој жетон на сто централно-симетрично у односу на противников жетон, први ће имати где да постави свој жетон докле год је други играч претходно поставио свој жетон. Пошто је игра коначна, једини могући завршетак јесте да други нема места на столу за свој жетон, односно, да је први победио постављањем свог жетона на последње празно место.

2. На табли 11х11 су постављени жетони тако да је свако поље заузето (један жетон заузима једно поље). Наизменично, играчи

13

Слика 1. Слика уз задатак 1, примена симетрије

уклањају жетоне са табле, тако да сваки играч у једном потезу може уклонити било који број жетона, докле год се они налазе у истом хоризонталном или вертикалном реду. Победник је онај играч који последњи узме жетоне са табле.

Ова игра је слична претходној, замењени су почетак и циљ. Иста стратегија ће бити победничка и у овој игри: први играч ће осигурати своју победу уколико у првом кораку покупи жетон који се налази у самом центру табле, а сваки други потез одређује зависно од противничког потеза – поља бира централно симетрично (у односу на центар табле) изабраним противниковим пољима.

3. Табла 10х10 се покрива доминама 1х2 тако што два играча наизменично постављају своје домине, које се не смеју преклапати. Изгубио је играч који нема где да стави своју домину.

У овој игри ће победити други играч уколико користи стратегију симетрије: која год два поља да заузме први играч, на табли ће постојати два празна поља, централно симетрична (у односу на центар табле) пољима првог играча. Користећи се овом стратегијом од самог почетка, други играч ће себи обезбедити сигурну победу.

4. Цвет има 10 латица. Два играча наизменично откидају латице, док све не буду откинуте. У једном потезу је дозвољено откинути само једну латицу, или две које су једна до друге. Победник је онај који откине последњу латицу.

14

Слика 2. Слика уз задатак 2, централна симетрија у табели

Бирајући сваки пут латицу која се налази симетрично у односу на латицу коју је изабрао први играч, другом играчу ће остати латица да откине докле год је то могао и први играч. Једини крај игре јесте да други играч победи, односно, да откине последње латице.Под симетријом мислим на централну симетрију са центром у средини цвета.

5. Испред двојице играча налазе се две гомиле каменчића и на свакој по 5 каменчића. У једном потезу, играчу је дозвољено да узме колико хоће каменчића, али само са једне од гомила. Победник је онај играч који узме последњи каменчић.

Одмах ћемо уклонити случај у којем први играч узима све каменчиће са неке од гомила, јер то за њега инстантно значи губитак (други играч ће само покупити преостале каменчиће и победити). Покушајмо да применимо симетрију и на овај задатак. Нека први играч узме n каменчића са неке од гомила (у овом случају n ≤ 5). Другом играчу преостаје да бира са које ће гомиле узети каменчиће и колико. Претпостављајући да неће покупити све преостале каменчиће са неке од гомила и тако себи осигурати губитак, мора узети мање од укупног броја каменчића из гомиле са које узима. Уколико настоји да одржи симетрију између гомила, односно да број каменчића на првој и на другој гомили буду једнаки, увек ће остављати паран број потеза до краја, и тиме обезбедити да он одигра последњи потез – да победи.

6. На табли је написано n минуса у низу, један до другог. Два играча играју игру у којој редом преправљају минусе у плусеве, тако да у једном потезу могу преправити или један минус или два минуса који се налазе један до другог. Победник је играч који последњи минус преправи у плус.

У овој игри разликујемо два случаја: када је n парно и када је n непарно.I случај: n је непарноУ овој игри први играч може лако победити уколико за креирање своје стратегије користи идеју симетрије. Избором минуса који се налази у средини низа, први играч ће поделити низ на два дела која су симетрична међусобно (као центар симетрије посматрамо изабрани минус у средини). Уколико на сваки противников потез одговори тако

15

што ће изабрати сваки минус који је симетричан минусу који је противник изабрао, осигураће себи победу.II случај: n је парноИ у овом случају, први играч може победити уз коришћење идеје симетрије: у првом потезу преправи два централна минуса у плус, а у наставку игре сваки свој потез формира зависно од противниковог потеза – преправља онај минус који је симетричан последњем минусу који је противник преправио.

7. Два играча наизменично ломе чоколаду 5х10 али само по удубљењима на чоколади. Победник је први играч који одломи комадић 1х1.

Ако неко од играча одломи у првом кораку део чоколаде ширине 1, други играч моментално побеђује, па ћемо овај сценарио избацити као нерационалну одлуку.У овој игри, први играч може победити уколико у првом кораку подели чоколаду на два једнака дела (5х5), а сваки следећи корак одговара симетрично у односу на противников потез. Ово је још један пример примене симетрије за налажење победничке стратегије.

8. На пољима табле 9х9 два играча наизменично стављају крстиће и кружиће. Поени се додељују на основу броја кружића, односно крстића, у свакој од колона и врста. Уколико има више крстића него кружића, поен добија први играч; у супротном, поен иде другом играчу. Победник је играч са више поена.

Победничку стратегију има први играч: у првом потезу крстић стави у централно поље табле, а сваки следећи крстић ставља на поље које је централно симетрично у односу на поље на које је противник ставио последњи кружић. (Центар симетрије је у централном пољу табле).

16Слика 3. Слика уз задатак 9, приказани случајеви када први игра А и када први игра Б

9. Игра се састоји у постављању лоптица разних боја на темена коцке. Лоптица има 8: 2 црвене, 2 плаве, 2 беле и 2 црне. Два играча наизменично распоређују лоптице на темена. Први играч (играч А) покушава да пронађе теме тако да у њему и у остала три суседна темена буду распоређене све 4 боје (све суседне лоптице да буду различитих боја), а други играч (играч Б) покушава да га спречи у томе.

Зависно од тога да ли А игра први, или Б, имамо два случаја:Игру почиње играч А.Које год боје да је лоптица коју играч А изабере, играч Б ће лоптицу исте те боје ставити на суседно теме, и тако у сваком кораку до победе. У овом случају играч А увек губи, а победничка стратегија играча Б је да поставља лоптицу исте боје као противникова лоптица, у суседно теме.Игру почиње играч БУ овом случају побеђује играч А уколико се користи симетријом: када играч Б стави лоптицу на неко од темена, играч А треба да узме лоптицу исте те боје и стави је централно симетрично (у односу на центар коцке – лоптице су крајеви једне од дијагонала коцке). Овом стратегијом играч А обезбеђује себи победу.

10.Два играча наизменично пишу на табли једну до друге различите цифре (0,1,..,9) све док је то могуће, тј. док се не испишу свих 10 цифара. Уколико је добијени десетоцифрени број дељив са 6, побеђује први играч, у супротном – победник је други играч.

Прво питање које треба размотрити јесте: када је број дељив са 6? Тада број мора бити дељив са 2 и са 3, тј. мора бити паран и збир цифара му мора бити дељив са 3.Цифре добијеног десетоцифреног броја ће увек бити исте, само промењеног редоследа, а њихов збир је непроменљив: 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Пошто је 45 дељиво са 3, самим тим је и наш десетоцифрени број дељив са 3, па је потребно обезбедити још само да наш број буде паран, како би први играч победио.Последњи потез, тј. последњу записану цифру записује други играч Уколико он запише паран број, први играч побеђује, а уколико напише непаран – први играч губи. Потребно је натерати другог играча да напише парну цифру у последњем потезу, а то је могуће уколико је једина преостала незаписана цифра парна. Први играч може осигурати

17

ову ситуацију тако што ће у сваком свом потезу записивати непарну цифру, докле год је то могуће.

11.Игра се састоји од табеле 3х3 у коју треба уписати бројеве од 1 до 9. Два играча играју наизменично, уписујући по један од бројева у неко од преосталих празних поља, поштујући правило да сваки број може бити само једном записан. Победник је онај играч који, записујући свој број, направи збир од 15 у том реду (хоризонтално, вертикално или дијагонално).

Први играч ће обезбедити себи победу уколико у средишње поље упише број 5, а онда на сваки записан противников број n, одговара уписивањем броја 10-n у поље централно симетрично у односу на противниково (центар симетрије је у средишњем пољу).

12.Дат је цртеж правилног двадесетоугла са обележеним теменима. Два играча наизменично повлаче дијагонале, али тако да се оне међусобно не секу. Победник је онај играч који последњи повуче такву дијагоналу.

Први играч може победити користећи следећу стратегију: у првом потезу споји 10. и 20. теме. Када други играч споји i-то и j-то теме, први играч треба да споји (20-i)-то и (20-j)-то теме, одржавајући симетрију.

18

13.Дата је кружница на којој је распоређено 30 тачака. Наизменично играјући, два играча спајају две тачке са дате кружнице, тј. повлаче тетиве. Свака тачка може припадати највише једној тетиви, и тетиве се не смеју међусобно сећи. Победник је онај играч који последњи повуче тетиву која испуњава задате услове.

Користећи се симетријом, креирамо победничку стратегију за првог играча: у првом потезу повуче тетиву која ће са обе своје стране оставити слободних по 14 тачака. На сваки од противникових потеза, први играч одговара повлачећи тетиву која симетрично одговара противниковој.

14.На табли 3х3 два играча наизменично уписују у једно од поља крстић или кружић. Победник је онај играч који успе да добије низ од три једнака знака у реду (хоризонтала, вертикала, дијагонала).

С обзиром на број поља, јасно је да је могуће највише 9 потеза, а најмање 5 до краја игре. Ово је пример коначне стратегијске игре у којој учествују два играча.Први играч у свом првом потезу има три опције за постављање свог крстића: поље у углу, поље на бочној страни или средишње поље.Први играч изабере неко од 4 поља у углу. Други играч може осигурати нерешен резултат постављањем свог кружића у централно поље. У осталим случајевима, први играч има шансу да победи, стављајући крстиће у остала поља у угловима.Сигурна победа првог играча обезбеђена је његовим постављањем крстића у централно поље. На противников следећи потез, први играч одговара поставком крстића у поље које је централно симетрично у односу на оно које је противник изабрао. Шта год да сада одигра други играч, први је победио.Доказ да при правилној игри, први играч увек побеђује:Претпоставимо да други играч има победничку стратегију. Тада у свом првом потезу, први играч треба да стави крстић на било које од поља, а

19

Слика 4. Слика уз задатак 12, приказ симетрије у двадесетоуглу

онда настави са игром користећи добитничку стратегију другог играча, што доводи до контрадикције.

20

ПРИМЕНА ТЕОРИЈЕ ИГАРА

Осим у математици, ова теорија има примену у многим другим аспектима човековог живота. Методе теорије игара могу бити корисне у различитим областима као што су економија, међународни односи, еволуциона биологија, војна стратегија, психологија, социологија… Све већи утицај ове теорије је и у логици и компјутерским наукама, где се игре користе као интерактивни модели за налажење решења одређених проблема.

У економији се користи теорија игара при проучавању конкурентских односа на тржишту, у политици приликом сукоба партија. Психологија се посебно бави ривалством као сукобом интереса, што је опет доводи у контакт са теоријом игара. У свакој људској дисциплини може доћи до конфликтне ситуације која се може свести на формализован математички модел како би се дошло до најповољнијег избора. Овде се под појмом „игра“ мисли на интеракцију две или више особа (противничких страна) између којих постоји конфликт, а чији исход зависи од њихових међусобних стратегија.

21

ЗАКЉУЧАК

Овај матурски рад је написан са циљем да кроз једноставне и блиске примере математичких игара прикаже неке основне појмове Теорије игара и приближи ову важну и широко примењену дисциплину примењене математике школском градиву и ученицима.

Сама игра по себи је битна у човековом развоју јер кроз њу учимо да схватамо одређене односе и како да примењујемо разум и своје вештине како би решили проблем. Достизањем задатог циља игре постижемо осећај успеха, који нам може помоћи да изградимо самопоуздање при одлучивању у свакодневним ситуацијама са којим се сусрећемо.

Теорија игара се користи математиком како би људима олакшала свакодневни живот и помогла у доношењу одлука, али не треба заборавити како математичке игре могу бити поучне и забавне истовремено.

22

ЛИТЕРАТУРА

„Математичке игре“ – Драгана Стошић-Миљковић, Богољуб Маринковић

“Several milestones in the history of Game Theory” – Magdalena Hyksova

http://www.viva-fizika.org/teorija-igara-i-oligopoli/ https://www.khanacademy.org/economics-finance-domain/

microeconomics/nash-equilibrium-tutorial http://sr.wikipedia.org/wiki/Затвореникова_дилема http://e.math.hr/teorijaigara/index.html http://sr.wikipedia.org/sr/Стратегија_(теорија_игара) http://sr.wikipedia.org/wiki/Теорија_игара

23