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Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:41
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← R3 + 2R4
b) R2 ← 3R2
c) R2 ← R2 + 3R4
d) R2 ↔ R4
e) R2 ← 4R2
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 2 por 4
2) Sumarle al renglon 3 el renglon 4 multiplicado por 2
3) Multiplicar el renglon 2 por 3
4) Intercambiar los renglones 2 y 4
5) Sumarle al renglon 2 el renglon 4 multiplicado por 3
6) Intercambiar los renglones 2 y 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 2 −2 5
5 1 6
1 1 3
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ↔ R2
2) R1 ← 2R1
3) R2 ↔ R3
4) R1 ← R1 + 2R2
5) R2 ← R2 + 2R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
7 −14 −7 −7
0 8 0 1
0 0 7 8
b)
0 3 1 −3
7 3 −3 −1
0 −3 2 1
c)
1 −7 1 −3
0 8 −3 2
0 7 −1 −2
d)
7 1 3 −1
1 1 −3 −2
0 3 −3 −3
e)
7 7 −7 −7
0 1 0 −3
0 0 1 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 17 R3
2) R1 ← 17 R1
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← 17 R1
6) R3 ← R3 − 78 R2
7) R2 ← R2 − 17 R1
8) R1 ← R1 − 7R2
9) R1 ← R1 + 7R3
10) R1 ↔ R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 −1 0
1 −2 1
]b)
[0 −2 −2
0 0 −1
]c)
[0 0 0
0 4 2
]d)
[0 1 0
0 0 0
]e)
[1 0 2
0 1 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 41 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 −3
0 1 1 4
0 0 0 −1
b)
1 0 1 0
0 1 1 4
0 0 7 1
c)
1 0 0 0 −4
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 2
d)
1 1 −1 3
0 1 1 −4
0 0 5 2
0 0 0 0
e)
1 −2 −2 2
0 1 1 1
0 0 0 3
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 −2 −2 2
4 4 6 −1
4 4 8 5
4 4 0 −4
b)
−1 3 5 10
−2 5 9 17
−2 6 10 20
c)
2 −1 3 −12
6 −1 8 −29
−4 8 −10 46
0 0 0 0
d)
3 6 −1 0
−6 −12 5 −9
−6 −12 2 0
e)
2 −2 3 −7
−2 5 −5 16
−4 1 −6 11
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 25oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 2o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 5o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1, 1), Q(0, 0), y R(2, 2). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
colombiano y grano keniano. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de dominicano y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
dominicano, 100 g de colombiano y 100 g de keniano. Para
una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de dominicano,
200 g de colombiano y 200 g de keniano. El comerciante
dispone de 32 kg de grano dominicano, 23 kg de grano
colombiano, y 15 kg de grano keniano. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas de
la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−16− 9x+ 8x2 + 5x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
4 y′′ + 4 y′ + 2 y = 3 + 4x+ 4x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 41 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 40o, Tb = 19o, Tc = 20o
Td = 17o, Te = 37o, Tf = 15o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 9× 9 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
b) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
c) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, f ,d]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 1 >
b) < 3, 4, 2 >
c) < 5, 0, 5 >
d) < 0, 1, 1 >
e) < 1, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) e
2) e + f
3) d + e + f
4) 2 d + 3 e + 4 f
5) f
6) d + f
7) 5 d + 5 e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f , e,a]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
b)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
c)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
d)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
e)
1 0
0 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 41 4
1) [a, f , f ]
2) [a, e, f ]
3) [f ,a, f , f ]
4) [f ,a, e]
5) [e, e, f , f ]
6) [e,a]
7) [f ,a,a]
8) [f ,a]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 3) de
1 0
1 1
1 1
·
[1 0 1
1 0 0
]
2. (1, 3) de
[1 0 1
1 0 0
]·
1 1 0
0 0 1
0 1 0
3. (1, 2) de
1 0
0 1
1 0
·
[1 0
0 1
]
4. (2, 1) de
[0 1 0
1 1 1
]·
1 0
0 0
1 0
5. (1, 2) de
0 0 0
0 1 1
0 0 0
·
1 1
0 0
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
0 −1 4
0 −3 4
−3 −3 4
B =
5 2 5
−2 −1 2
0 3 −1
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
2 5 5
1 4 2
2 6 6 −4
6 2 4 4
2 2 1 0
=
38 38 43 0
44 32 37 12
30 18 24 12
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[5 2
3 −3
]
B =
[3 5
1 −3
]
C =
[4 −1
3 3
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C (−2 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[3 −1
1 2
]
D =
[−11 0
−2 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 41 5
22. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−2 3
3 −1
]
D =
[2 −5
−9 3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[8 −12
4 −4
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 2
4 3
]
B =
[3 2
4 2
]
C =
[7 3
8 6
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 5 objetos B
un objeto D se requieren 5 objetos A y 5 objetos B
un objeto E se requieren 5 objetos C y 5 objetos D
un objeto F se requieren 2 objetos C y 5 objetos D
3 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 1281
objetos A y 1740 objetos B
4 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 1805
objetos A y 2450 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 41 6
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
4 3 5 2
2 7 7 6
5 6 1 5
8 1 1 2
determine:
1. M41 2. C12
3. M23 4. M14
5. C13
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 4 0
0 2− λ 4
0 4 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −5 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2 A)−1
ii) A (−2 B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 6R2
2. R3 ← R3 − 4R1
3. R1 ← 6R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:1 1 5 4 2
0 0 5 5 4
0 2 3 5 5
0 0 0 2 2
0 0 0 2 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 0 −1 0 0 0
0 1 1 −1 −1 0 0
0 0 1 0 1 −1 −1
0 0 0 −1 −1 −1 1
0 0 0 0 1 −1 −1
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
1 −1 −1 0 0 0 0
1 1 1 −1 0 0 0
0 0 1 −1 −1 0 0
0 1 −1 0 −1 1 0
1 0 −1 1 −1 0 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 5R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 5R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R5
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
b) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 41 7
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
d) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es cero.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:42
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R2 ← 4R2
b) R4 ← R4 + 2R6
c) R2 ← 6R2
d) R2 ← R2 + 4R6
e) R2 ↔ R6
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 4 el renglon 6 multiplicado por 2
2) Multiplicar el renglon 2 por 6
3) Sumarle al renglon 2 el renglon 6 multiplicado por 4
4) Multiplicar el renglon 2 por 4
5) Intercambiar los renglones 2 y 6
6) Intercambiar los renglones 2 y 4
Respuesta:
2. Para la matriz A −3 1 −3
−2 3 −4
−2 −2 −7
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← −4R2
2) R1 ← R1 − 4R2
3) R2 ← R2 − 4R1
4) R1 ↔ R3
5) R1 ← R1 − 4R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
2 2 −2 4
0 1 0 −1
0 0 1 −2
b)
1 −2 1 −3
0 3 −2 −1
0 2 1 1
c)
2 −2 3 3
1 2 −2 3
0 −2 −3 −2
d)
2 2 −2 6
0 3 0 3
0 0 2 3
e)
0 −2 −1 −1
2 2 −1 1
0 2 1 3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ↔ R2
2) R3 ← R3 − 23 R2
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ← 12 R1
5) R2 ← R2 − 12 R1
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← R1 + 2R3
8) R1 ← 12 R1
9) R1 ← R1 − 2R2
10) R3 ← 12 R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 1 −3
0 1 0
]b)
[1 0 −4
0 1 1
]c)
[0 0 0
0 0 0
]d)
[1 −2 −4
1 −3 1
]e)
[4 −3 −4
0 4 −2
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 42 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 −4 2 4
0 1 1 −3
0 0 7 −3
0 0 0 0
b)
1 −2 −2 −3
0 1 1 −3
0 0 0 2
0 0 0 0
c)
1 1 −2 −4
0 0 1 4
0 0 −3 0
0 0 0 0
d)
1 0 1 0
0 1 1 −2
0 0 4 1
e)
1 0 0 0 −4
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 4
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −1 2 −4
−3 −3 9 −15
−3 −3 6 −12
b)
−2 −2 −2 −2
−4 −5 −1 −3
−6 −8 −2 −6
0 0 0 0
c)
−1 2 −1 1
−3 6 −2 0
−2 7 0 −10
d)
3 2 11 −15
−6 −5 −23 33
−3 −5 −14 24
6 1 19 −21
e)
2 2 −8 3
6 9 −30 9
−2 4 −4 −2
6 12 −36 8
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 25oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 10o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 6o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $3 en papel, $4 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $3 en papel, $5 en ilustraciones, y $7 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $4 en papel, $12 en
ilustraciones, y $17 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $229 en papel, $396 en ilustraciones, y $416 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros em-
pastados en piel a producirse.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (2,−2), Q(3,−3), y R(5,−1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−9 + 8x+ 15x2 + 6x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
6 y′′ + 2 y′ + 2 y = 4 + 5x+ 3x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 42 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 18o, Tc = 16o
Td = 26o, Te = 35o, Tf = 28o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL 4 × 4 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
d) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d,a, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 5, 3, 3 >
b) < 0, 1, 1 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 3, 3, 0 >
e) < 1, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 3 a + 5 d + 3 f
2) 3 a + 3 d
3) a + f
4) a + d + f
5) a + d
6) f
7) a
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,b,a]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
d)
0 0
0 1
1 0
e)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [a,b]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 42 4
2) [f ,b, f ]
3) [b,a]
4) [b, f ,a]
5) [f ,a,a]
6) [a,b, f ]
7) [b,b, f , f ]
8) [f ,a, f ,b]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
0 1
0 1
0 0
·
[1 1 1
0 0 1
]
2. (2, 1) de
[1 1 0
0 1 0
]·
0 1 1
1 1 0
0 0 1
3. (1, 2) de
0 1
1 0
1 1
·
[1 0
0 0
]
4. (2, 1) de
[1 1 0
1 0 1
]·
0 1
1 1
1 0
5. (3, 2) de
0 0 1
1 1 1
1 1 1
·
1 0
1 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
2 −3 3
3 −2 2
−1 −3 −2
B =
−2 0 3
0 0 4
1 −3 2
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
1 2 6
1 4 6
4 2 1 2
1 6 1 −5
5 5 3 0
=
23 25 9 −2
36 44 21 −8
38 56 23 −18
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 3
2 −3
]
B =
[−1 −1
3 5
]
C =
[−2 3
4 5
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C(−2 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −1
2 2
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((A XT
)TB
)T= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 42 5
22. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[2 3
1 −3
]
D =
[−8 −9
−3 5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−10 −9
−1 1
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 2
4 5
]
B =
[4 4
2 1
]
C =
[5 6
7 6
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 3 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 2 objetos B
un objeto D se requieren 2 objetos A y 4 objetos B
un objeto G se requieren 2 objetos E y 2 objetos F
un objeto H se requieren 5 objetos E y 4 objetos F
5 objetos G y 5 objetos H se requieren en total 840
objetos A y 1300 objetos B
2 objetos G y 5 objetos H se requieren en total 684
objetos A y 1060 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 42 6
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
e) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
6 1 6 5
7 5 1 3
5 3 1 3
4 3 7 1
determine:
1. C24 2. C23
3. C13 4. C34
5. C31
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ −3 −3
0 1− λ 3
0 3 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 1 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (4 A)−1
ii) A (4 B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 + 2R1
2. R1 ← 5R1
3. R4 ← R4 − 5R2
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:3 1 5 5 3
0 3 4 5 1
0 6 13 12 7
0 0 0 0 2
0 0 0 5 3
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 −1 −1 −1 1 0
0 −1 −1 1 1 1 −1
0 0 −1 0 1 1 1
0 0 0 −1 1 −1 0
0 0 0 0 −1 0 1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
1 −1 1 0 0 0 0
−1 −1 −1 −1 0 0 0
−1 0 −1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 5R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 5R3
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces det(A)
es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 42 7
c) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
d) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
e) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:43
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← 4R6
b) R6 ↔ R5
c) R4 ← R4 + 6R5
d) R6 ← R6 + 4R5
e) R6 ← 5R6
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 6 y 4
2) Multiplicar el renglon 6 por 4
3) Sumarle al renglon 4 el renglon 5 multiplicado por 6
4) Intercambiar los renglones 6 y 5
5) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 4
6) Multiplicar el renglon 6 por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A −3 1 −4
1 −1 2
3 −2 6
determine cada elemento (3, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← −4R3
2) R3 ← R3 − 4R1
3) R1 ↔ R2
4) R1 ← R1 − 4R2
5) R3 ↔ R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
0 −3 3 −3
11 −3 2 2
0 −1 −2 −1
b)
11 11 −11 11
0 1 0 2
0 0 1 −1
c)
1 −11 3 −3
0 12 2 1
0 11 −3 2
d)
11 3 2 −1
1 3 3 −3
0 2 −1 −2
e)
11 33 −11 22
0 12 0 −1
0 0 11 12
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← 111 R1
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← R1 − 11R2
4) R1 ← 111 R1
5) R2 ← R2 − 111 R1
6) R1 ← R1 + 11R3
7) R3 ← 111 R3
8) R1 ↔ R2
9) R3 ← R3 − 1112 R2
10) R1 ← R1 + 1R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[3 −4 −3
0 0 0
]b)
[0 3 −2
−3 4 −2
]c)
[0 0 0
0 0 0
]d)
[0 0 0
0 −2 3
]e)
[0 1 0
−3 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 43 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 −2
0 1 0 −4
0 2 0 −8
b)
1 0 0 3
0 1 1 −2
0 0 0 −1
c)
1 4 2 −2
0 1 1 1
0 0 8 2
0 0 0 0
d)
1 0 0 0 −3
0 0 1 0 3
0 0 0 1 −2
e)
1 1 −4 −4
0 0 1 −1
0 0 2 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 3 7 2
1 −5 −13 3
−2 2 2 15
−2 8 20 1
b)
3 3 −2 2
−3 −3 5 0
9 9 3 15
6 6 −10 9
c)
3 −3 3 −9
−3 3 −5 13
9 −9 9 −27
d)
−1 2 −2 5
−2 2 −2 2
1 2 0 5
0 0 0 0
e)
2 −1 −1 9
−2 1 2 −11
−2 3 0 −9
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
brasileno y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla de
la casa requiere 300 g de dominicano y 200 g de brasileno.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g de do-
minicano, 200 g de brasileno y 100 g de jamaquino. Para
una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de dominicano,
300 g de brasileno y 100 g de jamaquino. El comerciante
dispone de 12 kg de grano dominicano, 14 kg de grano
brasileno, y 4 kg de grano jamaquino. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas
de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $3 en papel, $5 en
ilustraciones, y $4 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $3 en papel, $7 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $4 en papel, $16 en
ilustraciones, y $19 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $198 en papel, $460 en ilustraciones, y $502 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 25oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 2o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 8o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−7 + x+ 3x2 + x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 43 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
3 y′′ + 5 y′ + 2 y = 3 + 3x+ 4x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 28o, Tb = 19o, Tc = 34o
Td = 33o, Te = 38o, Tf = 39o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
b) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
c) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
d) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, e, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 1 >
b) < 0, 0, 1 >
c) < 1, 0, 1 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 4, 3, 3 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) c + e + f
2) f
3) e + f
4) 4 c + 3 e + 3 f
5) c
6) c + f
7) 5 c + 2 e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b,d, e]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
b)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 43 4
c)
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
d)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
e)
0 1
1 0
0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [b, e]
2) [d,b, e,b]
3) [b,d,b]
4) [b, e,d]
5) [e,d,b]
6) [d,b]
7) [b, e,b,d]
8) [b, e, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 2) de
0 1
0 0
0 1
·
[0 1 1
0 0 1
]
2. (2, 2) de
[0 1 1
1 0 1
]·
0 1 1
1 0 0
1 1 0
3. (3, 2) de
1 1
1 1
1 0
·
[0 1
1 0
]
4. (2, 1) de
[1 1 1
0 1 1
]·
1 0
1 1
0 1
5. (3, 1) de
1 0 1
1 0 1
1 0 0
·
1 1
0 0
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
0 −3 4
5 2 0
−1 2 1
B =
2 −3 −1
1 2 0
4 4 1
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 1 4
5 4 5
5 2 4
0 −3 −1
5 5 x
2 3 y
6 3 z
=
51 40 40
63 52 60
53 43 45
−12 −12 −20
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[5 −1
4 −2
]
B =
[3 −3
5 4
]
C =
[1 5
0 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C(−3 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−2 0
−2 −2
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 43 5
21. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((A XT
)TB
)T= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[10 −3
−3 1
]
B =
[−1 −3
−1 2
]
C =
[−8 −25
−5 −15
]
D =
[−4 1
4 4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 4
5 6
]
B =
[5 5
1 1
]
C =
[8 9
2 4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 2 As y 5 Bs
un D se requieren 5 As y 3 Bs
un G se requieren 2 Es y 4 Fs
un H se requieren 4 Es y 3 Fs
un G se requieren 174 As y 188 Bs
un H se requieren 193 As y 226 Bs
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 43 6
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
7 1 5 6
4 3 6 8
3 4 5 7
7 1 8 6
determine:
1. C34 2. M21
3. M42 4. C44
5. C13
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 0 1
0 5− λ 6
0 6 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 5 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2 B)T
ii) (2 A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← 3R1
2. R2 ↔ R3
3. R4 ← R4 − 5R2
4. R3 ← R3 − 5R1
la convierten en la matriz:5 4 4 4 3
0 1 5 3 2
0 −1 −1 1 1
0 0 0 0 2
0 0 0 3 5
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 0 1 −1 −1 0 1
0 −1 −1 −1 1 0 −1
0 0 −1 0 1 −1 0
0 0 0 −1 −1 1 0
0 0 0 0 −1 0 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0 0
0 0 −1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0
−1 −1 0 1 1 −1 0
1 0 −1 1 0 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ↔ R6
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 43 7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← 6R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← R5 + 6R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
b) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
c) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
d) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es diferente de cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:44
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ← R5 + 4R2
b) R5 ↔ R4
c) R5 ← 2R5
d) R5 ↔ R2
e) R5 ← 4R5
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 5 y 2
2) Sumarle al renglon 4 el renglon 2 multiplicado por 5
3) Multiplicar el renglon 5 por 4
4) Multiplicar el renglon 5 por 2
5) Intercambiar los renglones 5 y 4
6) Sumarle al renglon 5 el renglon 2 multiplicado por 4
Respuesta:
2. Para la matriz A 3 −2 −5
−2 −3 −2
4 −3 −1
determine cada elemento (2, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ↔ R3
2) R3 ↔ R1
3) R3 ← R3 + 2R1
4) R2 ← R2 + 2R3
5) R2 ← 2R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −7 −3 −2
0 8 3 1
0 7 3 3
b)
7 7 −7 21
0 1 0 −2
0 0 1 3
c)
7 21 −7 −7
0 8 0 −1
0 0 7 8
d)
7 −2 3 −1
1 −3 −3 2
0 3 −2 −1
e)
0 −1 1 1
7 1 2 3
0 3 1 3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← 17 R1
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R2 ← R2 − 17 R1
5) R1 ← R1 − 7R2
6) R3 ← 17 R3
7) R1 ← 17 R1
8) R1 ↔ R2
9) R3 ← R3 − 78 R2
10) R1 ← R1 + 7R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 1 4
1 0 −1
]b)
[0 0 0
0 −1 −1
]c)
[1 1 −3
0 −2 1
]d)
[1 −4 4
1 −3 2
]e)
[1 0 −4
0 1 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 44 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 4 3 1
0 1 1 1
0 0 0 −4
0 0 0 0
b)
1 −1 3 −4
0 1 1 4
0 0 7 3
0 0 0 0
c)
1 0 0 −4
0 1 1 −3
0 0 0 −3
d)
1 1 1 1
0 1 0 1
0 2 0 2
e)
1 0 1 0
0 1 1 −3
0 0 8 1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −3 3 9
−2 −6 4 14
2 6 −6 −18
b)
3 −9 2 −1
−6 18 −2 1
6 −18 0 2
6 −18 8 −8
c)
−1 2 −2 −1
−3 4 −3 −4
1 −8 14 1
0 0 0 0
d)
−1 2 2 6
−3 6 7 21
−3 8 9 29
e)
−1 2 −1 1
−2 6 0 0
−2 4 −2 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−4, 1), Q(−3, 0), y R(−1, 2). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 516 para ensamble,
110 para pruebas, y 94 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
colombiano y grano keniano. Para una bolsa de mezcla de
la casa requiere 300 g de hondureno y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
hondureno, 100 g de colombiano y 100 g de keniano. Para
una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hondureno,
300 g de colombiano y 100 g de keniano. El comerciante
dispone de 19 kg de grano hondureno, 19 kg de grano co-
lombiano, y 7 kg de grano keniano. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas de
la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
30 + 14x− 4x2
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 44 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e2 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 4 y′ + 4 y =(5 + 5x+ 3x2
)e2 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 11o, Tb = 11o, Tc = 39o
Td = 15o, Te = 34o, Tf = 10o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 9 pivotes, entonces el sistema
tiene solucion unica.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, f ,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 2, 0, 4 >
e) < 0, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) f
2) a
3) 4 a + 2 d
4) a + d + f
5) 5 a + 2 d + 3 f
6) a + d
7) d + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f , e,d]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0
0 0
0 1
b)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 44 4
c)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
d)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
e)
0 1
1 0
0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f ,d, e]
2) [e,d, f ]
3) [e, f ]
4) [f ,d]
5) [d, f , f ]
6) [d,d, f ,d]
7) [f , e, f ]
8) [f ,d, f , e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 0
0 0
0 1
·
[0 1 1
0 1 1
]
2. (1, 1) de
[1 1 0
1 1 0
]·
1 0 0
0 1 0
1 1 0
3. (2, 1) de
0 1
1 1
0 1
·
[1 0
1 0
]
4. (1, 2) de
[0 0 0
0 0 1
]·
0 0
0 0
0 1
5. (2, 2) de
1 1 0
0 0 1
1 1 0
·
1 1
1 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
5 0 −1
−2 −3 0
3 4 5
B =
3 3 −1
5 −3 −3
2 −2 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
1 4 5
5 5 4
1 5 2
−4 −1 1
3 6 x
6 5 y
2 3 z
=
37 41 33
53 67 42
37 37 28
−16 −26 −9
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 3
5 1
]
B =
[2 −2
−3 −3
]
C =
[2 0
2 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C (−2 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −1
2 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 44 5
21. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−2 3
2 1
]
D =
[7 −5
−8 −3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[1 2
−3 −1
]
D =
[−7 −7
6 2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[0 −7
−1 −3
]
C =
[−2 1
−3 1
]
D =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 5
3 5
]
B =
[5 2
1 1
]
C =
[10 3
2 2
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 3 Cs y 5 Ds
un F se requieren 5 Cs y 4 Ds
un G se requieren 2 Es y 5 Fs
un H se requieren 3 Es y 4 Fs
un G se requieren 153 As y 184 Bs
un H se requieren 149 As y 178 Bs
Determine
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 44 6
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
1 4 7 1
1 2 2 8
3 5 2 6
3 7 5 2
determine:
1. M44 2. M33
3. C24 4. M11
5. C32
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 1 4
0 2− λ 1
0 1 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −4 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2 A)−1
ii) A (2 B)T
iii) A B−1
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 6R2
2. R3 ← R3 − 6R1
3. R2 ↔ R3
4. R1 ← 5R1
la convierten en la matriz:2 5 5 5 5
0 0 5 2 2
0 5 1 5 1
0 0 0 2 5
0 0 0 −2 −2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 0 −1 −1 0 1 −1
0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 −1 1 1
0 0 0 −1 −1 −1 −1
0 0 0 0 −1 1 1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0 0
1 −1 0 1 0 0 0
1 −1 0 1 1 0 0
0 −1 0 1 1 −1 0
0 1 1 −1 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ↔ R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← R1 + 6R4
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 44 7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← 6R1
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es diferente de cero.
b) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es cero.
c) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:45
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ← R5 + 4R6
b) R4 ← R4 + 5R6
c) R5 ← 6R5
d) R5 ← 4R5
e) R5 ↔ R6
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 5 el renglon 6 multiplicado por 4
2) Multiplicar el renglon 5 por 4
3) Multiplicar el renglon 5 por 6
4) Intercambiar los renglones 5 y 4
5) Intercambiar los renglones 5 y 6
6) Sumarle al renglon 4 el renglon 6 multiplicado por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A −1 −2 −6
3 2 −3
−3 −1 −3
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← R2 − 2R1
2) R1 ↔ R3
3) R1 ← R1 − 2R3
4) R2 ← −2R2
5) R2 ↔ R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
5 −5 −5 −10
0 6 0 −1
0 0 5 6
b)
1 −5 1 −2
0 6 −3 −3
0 5 −1 −3
c)
5 2 2 −2
1 −1 1 −1
0 −1 −1 −1
d)
5 5 −5 10
0 1 0 −1
0 0 1 −1
e)
0 −3 −2 −2
5 −2 −1 2
0 1 2 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← 15 R1
2) R3 ← R3 − 56 R2
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ← 15 R1
5) R1 ← R1 + 1R3
6) R1 ↔ R2
7) R2 ← R2 − 15 R1
8) R1 ← R1 + 5R3
9) R3 ← 15 R3
10) R1 ← R1 − 5R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 1 −4
−3 0 3
]
b)
1 0
0 0
0 0
c)
[1 −2 2
1 −1 −2
]d)
[−1 −2 3
0 −3 −3
]e)
[1 −3 −3
0 1 4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
2) Escalonada pero no reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 45 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 −1 −4
0 0 1 −2
0 0 3 0
0 0 0 0
b)
1 0 0 3
0 1 1 3
0 0 0 −4
c)
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 4 1
d)
1 1 1 −3
0 1 1 4
0 0 4 4
0 0 0 0
e)
1 1 1 1
0 1 0 −1
0 2 0 −2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 −6 −1 3
−4 −12 −4 8
4 12 2 −6
b)
2 6 2 3
6 18 5 11
−4 −12 −2 −8
c)
−2 −2 −6 2
−6 −7 −20 6
4 6 16 −3
−6 −5 −16 9
d)
3 3 2 −4
12 12 9 −18
12 11 11 −24
e)
2 −1 −5 1
4 −3 −11 −1
4 −2 −10 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 456 para ensamble,
97 para pruebas, y 86 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $6 en papel, $6 en
ilustraciones, y $3 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $6 en papel, $9 en ilustraciones, y $8 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $9 en papel, $18 en
ilustraciones, y $23 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $381 en papel, $528 en ilustraciones, y $474 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 20oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 8o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 5o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 4 y′ + 2 y = 4 + 5x+ 4x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
3− 12x+ 7x2 + 10x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 45 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 23o, Tb = 37o, Tc = 23o
Td = 18o, Te = 21o, Tf = 12o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
b) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
c) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,b, e]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 3, 4, 4 >
b) < 0, 1, 0 >
c) < 3, 2, 0 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 1, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a
2) 3 a + 2 b
3) a + b + e
4) b
5) 3 a + 4 b + 4 e
6) a + b
7) b + e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f ,b]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
b)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
c)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
d)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
e)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 45 4
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c,b, c, c]
2) [f ,b]
3) [c,b]
4) [c,b, f ]
5) [c, f , c]
6) [f , c,b, c]
7) [f , c, f ]
8) [f ,b, c]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
0 1
1 0
0 0
·
[1 1 0
1 0 0
]
2. (1, 3) de
[0 0 1
0 0 0
]·
1 1 1
1 1 0
0 1 0
3. (1, 2) de
1 1
1 1
1 0
·
[1 1
0 1
]
4. (2, 2) de
[0 1 0
0 1 0
]·
1 0
0 1
1 0
5. (2, 1) de
1 0 1
1 1 1
1 0 1
·
1 1
0 1
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
1 3 2
3 4 3
2 −1 −2
B =
2 3 0
−3 1 −1
−2 3 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 6 6
3 5 3
2 6 5
2 1 3
x 3 6
y 4 1
z 5 1
=
85 69 42
55 44 26
65 55 23
30 25 16
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[2 −2
0 2
]
B =
[2 3
−3 3
]
C =
[0 −2
0 3
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 4
−5 0
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[0 −1
−1 −3
]
D =
[−2 −1
3 7
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 45 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−3 −2
−3 3
]
D =
[4 5
3 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[7 2
−4 −1
]
B =
[−1 0
1 −1
]
C =
[15 27
−1 −2
]
D =
[1 2
2 −4
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 5
2 4
]
B =
[5 4
1 4
]
C =
[8 9
4 8
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 2 Cs y 3 Ds
un F se requieren 4 Cs y 3 Ds
un G se requieren 5 Es y 4 Fs
un H se requieren 5 Es y 5 Fs
un G se requieren 159 As y 186 Bs
un H se requieren 180 As y 210 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 45 6
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
5 5 3 6
3 2 2 6
5 4 3 2
8 7 4 8
determine:
1. C13 2. C31
3. C42 4. M44
5. C22
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ −3 3
0 3− λ 5
0 5 3− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −2 y |B| = −2
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) AT B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← −2R1
2. R3 ← R3 − 6R1
3. R2 ↔ R3
4. R4 ← R4 − 2R2
la convierten en la matriz:4 5 4 1 3
0 5 3 5 3
0 10 9 15 10
0 0 0 0 2
0 0 0 3 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 −1 0 1 1 1
0 1 −1 0 −1 0 1
0 0 −1 1 1 1 −1
0 0 0 −1 −1 −1 0
0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0
−1 −1 −1 0 0 0 0
−1 1 −1 1 0 0 0
−1 1 −1 0 −1 0 0
0 −1 1 1 0 −1 0
0 −1 0 −1 1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 2R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 2R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 45 7
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
c) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces det(A)
es cero.
d) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:46
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ↔ R3
b) R5 ← R5 + 6R3
c) R5 ← 6R5
d) R6 ← R6 + 5R3
e) R5 ← 3R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 5 por 3
2) Multiplicar el renglon 5 por 6
3) Intercambiar los renglones 5 y 3
4) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 6
5) Intercambiar los renglones 5 y 6
6) Sumarle al renglon 6 el renglon 3 multiplicado por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A 2 3 2
−3 1 −1
6 3 2
determine cada elemento (1, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← 4R1
2) R1 ↔ R3
3) R1 ← R1 + 4R3
4) R3 ↔ R2
5) R3 ← R3 + 4R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
2 −6 −2 6
0 3 0 −3
0 0 2 3
b)
2 2 −2 6
0 1 0 −3
0 0 1 1
c)
2 −3 2 −1
1 3 −2 −1
0 3 2 −1
d)
1 −2 −1 −2
0 3 3 −2
0 2 −1 2
e)
0 2 2 −3
2 1 −2 3
0 −1 −2 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R2 ← R2 − 12 R1
2) R1 ← 12 R1
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R3 ← 12 R3
5) R1 ← R1 + 2R3
6) R3 ← R3 − 23 R2
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R1 ↔ R2
9) R1 ← 12 R1
10) R1 ← R1 − 2R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 0 1
0 1 1
]b)
[0 1 3
−1 0 −4
]c)
[1 −3 3
0 1 −1
]d)
[0 −4 −4
2 4 −3
]e)
[−4 0 4
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 46 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 4 −4
0 1 1 1
0 0 5 3
0 0 0 0
b)
1 1 −1 −2
0 0 1 4
0 0 −4 0
0 0 0 0
c)
1 1 1 3
0 1 0 −3
0 2 0 −6
d)
1 4 −4 −4
0 1 1 1
0 0 0 3
0 0 0 0
e)
1 0 0 1
0 1 1 −1
0 0 0 −3
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 2 −1 −7
4 −5 4 15
−6 4 3 −21
b)
−1 −1 5 −2
2 4 −14 10
2 0 −6 −2
−2 −4 14 −10
c)
−1 3 3 4
1 −3 −2 −2
−3 8 12 19
d)
−1 3 5 1
−3 12 18 6
1 −3 −5 −1
e)
2 6 −1 −2
6 18 −1 −4
4 12 −4 −4
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $5 en
ilustraciones, y $4 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $6 en ilustraciones, y $11 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $5 en papel, $15 en
ilustraciones, y $23 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $158 en papel, $442 en ilustraciones, y $591 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
costarriqueno y grano jamaquino. Para una bolsa de mez-
cla economica requiere 300 g de dominicano y 200 g de
costarriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere
300 g de dominicano, 100 g de costarriqueno y 100 g de ja-
maquino. Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de
dominicano, 300 g de costarriqueno y 100 g de jamaquino.
El comerciante dispone de 30 kg de grano dominicano, 22
kg de grano costarriqueno, y 8 kg de grano jamaquino. De-
termina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar
si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta
solo las bolsas de la mezcla elite. Sugerencia: Primero
maneje todo en gramos y despues divida las ecuaciones
entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 23oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 10o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 7o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
6 y′′ + 4 y′ + 2 y = 4 + 3x+ 6x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 46 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−9− 22x+ 3x2 + 8x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 22o, Tb = 32o, Tc = 22o
Td = 15o, Te = 26o, Tf = 11o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 8× 8 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
b) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, e,d]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 1 >
b) < 1, 0, 0 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 1, 0, 1 >
e) < 4, 5, 5 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) c + d + e
2) c
3) d + e
4) 4 c + 5 d + 5 e
5) 3 d + 3 e
6) c + d
7) d
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,b, e]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
b)
0 1
1 0
0 0
c)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 46 4
d)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
e)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [b, e,a]
2) [e, e,a, e]
3) [a, e,b]
4) [b,a]
5) [e,a,a]
6) [b,b,a,a]
7) [a,b,a]
8) [b, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
0 0
0 0
0 1
·
[0 1 0
0 0 0
]
2. (1, 2) de
[0 0 1
1 1 0
]·
1 1 1
0 0 1
0 1 1
3. (2, 1) de
1 1
1 0
0 0
·
[0 1
0 1
]
4. (2, 2) de
[1 0 1
1 1 0
]·
0 0
0 0
0 0
5. (3, 2) de
0 0 0
0 0 0
1 0 0
·
1 0
1 0
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
1 3 4
0 4 −2
4 0 0
B =
−3 −1 −3
3 4 3
1 −1 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 5 4 6
x y z
6 2 6
1 5 3 −4
5 2 6 3
3 6 2 −3
=
43 69 51 −26
26 62 34 −36
34 70 42 −36
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[4 1
−2 2
]
B =
[−2 1
−2 5
]
C =
[0 3
−1 4
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C (−2 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −1
2 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 46 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A X−1
)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−18 −15
−3 −3
]
C =
[4 −1
−3 1
]
D =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 4
4 4
]
B =
[2 2
3 1
]
C =
[7 7
6 3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 4 Cs y 2 Ds
un F se requieren 3 Cs y 4 Ds
un G se requieren 4 Es y 4 Fs
un H se requieren 4 Es y 2 Fs
un G se requieren 260 As y 212 Bs
un H se requieren 190 As y 158 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 46 6
b) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
4 7 5 8
7 5 8 5
1 7 7 1
5 4 2 5
determine:
1. M41 2. C43
3. M11 4. M32
5. C13
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 2 1
0 5− λ 1
0 1 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 3 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) A−1 B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← 6R1
2. R4 ← R4 − 4R2
3. R3 ← R3 − 6R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:5 3 1 5 1
0 1 1 4 2
0 −2 −1 −5 −3
0 0 0 0 2
0 0 0 5 1
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 0 0 1 1 −1 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 −1 1
0 0 0 −1 1 −1 1
0 0 0 0 −1 −1 0
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
−1 −1 1 0 0 0 0
1 0 −1 1 0 0 0
1 −1 1 −1 −1 0 0
0 −1 0 1 1 −1 0
−1 1 1 −1 1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← R7 + 6R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ↔ R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← 6R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 46 7
b) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
d) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:47
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ↔ R2
b) R2 ← R2 + 5R3
c) R5 ← 3R5
d) R5 ← R5 + 2R3
e) R5 ↔ R3
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 5 por 3
2) Intercambiar los renglones 5 y 3
3) Sumarle al renglon 2 el renglon 3 multiplicado por 5
4) Intercambiar los renglones 5 y 2
5) Multiplicar el renglon 5 por 2
6) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 2
Respuesta:
2. Para la matriz A 4 −3 −7
9 1 −7
4 2 −4
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ↔ R3
2) R2 ← R2 − 4R1
3) R2 ↔ R1
4) R2 ← −4R2
5) R1 ← R1 − 4R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
11 2 3 3
1 −2 −2 1
0 1 −2 1
b)
1 −11 3 1
0 12 −2 −3
0 11 −3 2
c)
11 11 −11 −22
0 1 0 −2
0 0 1 −1
d)
11 −22 −11 −33
0 12 0 3
0 0 11 12
e)
0 −3 3 −1
11 1 −1 2
0 3 3 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 − 11R2
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R3 ← R3 − 1112 R2
4) R1 ← 111 R1
5) R1 ← 111 R1
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← R1 + 11R3
8) R1 ↔ R2
9) R2 ← R2 − 111 R1
10) R3 ← 111 R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 2 2
3 2 −3
]b)
[−2 1 3
0 0 0
]c)
[0 0 0
0 1 1
]d)
[1 4 −4
1 2 −2
]e)
[0 0 1
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 47 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 −3
0 1 0 0 3
0 0 0 1 3
b)
1 1 1 −2
0 0 1 2
0 0 4 0
0 0 0 0
c)
1 0 0 −2
0 1 1 −1
0 0 0 2
d)
1 2 3 4
0 1 1 3
0 0 0 1
0 0 0 0
e)
1 3 −2 −3
0 1 1 −3
0 0 8 −3
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 2 2 14
−4 −2 −5 −27
4 8 1 27
b)
3 2 −2 −2
−3 0 6 3
6 10 8 0
−6 −8 −4 5
c)
2 3 −2 2
4 8 −5 5
4 12 −9 1
0 0 0 0
d)
3 −1 −4 −7
6 0 −6 −18
−3 7 10 −5
−6 6 12 6
e)
−1 1 −1 3
−2 2 1 4
2 −2 11 −9
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 304 para ensamble,
64 para pruebas, y 60 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
colombiano y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g
de hondureno, 200 g de colombiano y 100 g de jamaquino.
Para una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hon-
dureno, 300 g de colombiano y 100 g de jamaquino. El
comerciante dispone de 18 kg de grano hondureno, 25 kg
de grano colombiano, y 7 kg de grano jamaquino. Deter-
mina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar
si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta
solo las bolsas de la mezcla gourmet. Sugerencia: Prime-
ro maneje todo en gramos y despues divida las ecuaciones
entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 24oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 10o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 8o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e3 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 6 y′ + 9 y =(4 + 4x+ 3x2
)e3 x
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 47 3
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
−18− x− x2
(−2 + x) (4 + x2)=
A
−2 + x+
C +B x
4 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 21o, Tc = 13o
Td = 26o, Te = 31o, Tf = 12o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 9 pivotes, entonces el sistema
tiene solucion unica.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f , e,b]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 0 >
b) < 3, 5, 4 >
c) < 0, 1, 1 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 0, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 5 b + 4 e
2) b + e + f
3) b + e
4) 4 b + 5 e + 3 f
5) e
6) e + f
7) b
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f ,a]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1
1 0
0 0
b)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 47 4
c)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
d)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
e)
0 0
1 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f ,a, c]
2) [f ,a]
3) [f , c]
4) [c,a,a]
5) [a, f , c]
6) [f , c,a, c]
7) [c, f , c]
8) [a,a, c,a]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
1 0
1 1
1 1
·
[1 0 0
0 0 0
]
2. (2, 2) de
[0 0 0
1 1 0
]·
1 0 0
1 1 0
1 1 1
3. (2, 2) de
1 1
1 0
0 0
·
[0 1
0 1
]
4. (2, 2) de
[1 0 0
1 0 1
]·
1 0
0 0
1 0
5. (1, 2) de
0 1 0
0 1 0
1 0 1
·
0 0
1 1
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
2 −1 0
−2 0 5
5 1 −3
B =
1 5 −1
2 0 0
−3 −2 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 1 4 3
x y z
1 2 4
2 6 4 −4
4 6 2 −2
6 3 5 3
=
36 39 27 −3
46 42 44 4
34 30 28 4
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 5
−2 0
]
B =
[3 3
4 3
]
C =
[2 3
−1 −1
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C(−5 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −2
3 2
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[−2 1
−3 1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 47 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A X)
TB)
C−B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[2 0
1 0
]
D =
[−10 −3
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[9 −15
0 −3
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]
D =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 4
5 5
]
B =
[4 3
2 5
]
C =
[7 6
3 8
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 3 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 2 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 4 As y 4 Bs
un D se requieren 2 As y 3 Bs
un E se requieren 3 Cs y 4 Ds
un F se requieren 5 Cs y 5 Ds
un G se requieren 250 As y 295 Bs
un H se requieren 140 As y 166 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 47 6
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
b) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
1 8 7 1
4 2 4 6
8 2 6 3
5 6 1 4
determine:
1. M41 2. C14
3. C11 4. M12
5. M44
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ 2 −4
0 3− λ 3
0 3 3− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −4 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 + 2R2
2. R3 ← R3 + 4R1
3. R1 ← 4R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:5 1 4 1 2
0 0 4 5 1
0 5 4 1 3
0 0 0 3 3
0 0 0 3 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 0 0 1 −1 −1
0 −1 0 1 0 −1 −1
0 0 1 0 −1 0 1
0 0 0 1 0 −1 0
0 0 0 0 −1 −1 1
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
−1 0 −1 0 0 0 0
−1 −1 1 1 0 0 0
0 −1 0 1 1 0 0
−1 1 1 −1 −1 −1 0
−1 0 1 0 0 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← R1 + 6R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← 6R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ↔ R5
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 47 7
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
e) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:48
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R4 ← 6R4
b) R4 ← 5R4
c) R4 ↔ R6
d) R4 ← R4 + 5R6
e) R4 ↔ R5
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 4 el renglon 6 multiplicado por 5
2) Multiplicar el renglon 4 por 5
3) Multiplicar el renglon 4 por 6
4) Intercambiar los renglones 4 y 6
5) Intercambiar los renglones 4 y 5
6) Sumarle al renglon 5 el renglon 6 multiplicado por 4
Respuesta:
2. Para la matriz A 6 −1 3
6 1 −7
8 −2 −6
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ↔ R3
2) R2 ← R2 − 3R1
3) R1 ← −3R1
4) R2 ← R2 − 3R3
5) R1 ← R1 − 3R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −5 3 2
0 6 1 3
0 5 −1 −2
b)
5 5 −5 10
0 6 0 3
0 0 5 6
c)
5 5 −5 −15
0 1 0 −1
0 0 1 −3
d)
5 −1 −3 3
1 3 1 2
0 3 −3 −3
e)
0 −1 −3 1
5 −3 1 3
0 −1 −3 −3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 5R3
2) R3 ← R3 − 56 R2
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← 15 R1
6) R1 ← R1 − 5R2
7) R2 ← R2 − 15 R1
8) R3 ← 15 R3
9) R1 ← 15 R1
10) R1 ↔ R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[−3 −1 −2
0 0 0
]
b)
1 0
0 0
0 0
c)
[1 −2 −4
1 −2 0
]d)
[1 0 −2
0 1 1
]e)
[−4 4 −2
0 3 −1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
2) Escalonada pero no reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 48 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 4
0 1 1 −4
0 0 0 1
b)
1 1 −4 −3
0 0 1 4
0 0 1 0
0 0 0 0
c)
1 −3 4 2
0 1 1 −2
0 0 8 −1
0 0 0 0
d)
1 1 1 −2
0 1 0 2
0 2 0 4
e)
1 4 −1 −4
0 1 1 −3
0 0 0 2
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 −6 2 3
−3 6 −4 0
−6 12 0 −13
−3 6 −6 0
b)
−2 4 3 7
−4 8 9 23
4 −8 −6 −14
c)
−1 −1 −1 −3
−3 −4 −5 −12
2 −1 −6 −9
0 0 0 0
d)
3 −1 3 5
−3 1 −2 −6
9 0 12 15
e)
3 3 9 −3
6 9 21 −3
−3 −3 −9 3
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 416 para ensamble,
88 para pruebas, y 82 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1, 3), Q(0, 2), y R(2, 4). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
9. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $3 en
ilustraciones, y $3 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $4 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $11 en
ilustraciones, y $28 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $248 en papel, $267 en ilustraciones, y $517 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
45− 19x+ 8x2
(−5 + x) (25 + x2)=
A
−5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e4 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 8 y′ + 16 y =(6 + 2x+ x2
)e4 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 48 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 26o, Tc = 32o
Td = 30o, Te = 38o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
c) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d,b, e]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 0, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 1, 1, 0 >
d) < 4, 2, 0 >
e) < 0, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) d
2) e
3) b + d
4) b + e
5) 2 b + 3 d + 4 e
6) b + d + e
7) 2 b + 4 d
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a, e, c]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
b)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
c)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
d)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
e)
0 1
1 0
0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [a, c,a,a]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 48 4
2) [e, c,a]
3) [c, c,a, c]
4) [e,a, e]
5) [a, c, c]
6) [e,a]
7) [a, c]
8) [a, c, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 3) de
1 1
1 1
1 0
·
[1 1 0
0 0 1
]
2. (2, 3) de
[0 1 1
0 1 1
]·
0 1 1
0 1 1
0 0 0
3. (3, 1) de
0 0
0 1
1 0
·
[0 1
1 0
]
4. (2, 2) de
[1 0 1
1 0 0
]·
1 1
0 0
0 0
5. (1, 2) de
0 0 1
0 1 1
1 1 1
·
0 1
1 0
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
3 0 0
−1 −2 4
−2 1 −1
B =
0 2 5
2 0 −3
1 1 5
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 3 3 2
x y z
3 4 3
6 4 4 2
1 2 6 −1
1 3 5 −2
=
23 24 40 −1
27 33 63 −6
25 29 51 −4
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[5 0
−3 −3
]
B =
[5 −1
1 −3
]
C =
[3 3
−2 4
]
Resuelva para X la ecuacion:
7 X + B = C(−4 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 2
−1 2
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[1 −3
−1 2
]
D =
[0 7
−1 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 48 5
22. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A X−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[23 −14
−9 4
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 4
4 5
]
B =
[2 2
1 2
]
C =
[4 3
2 6
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 5 objetos A y 2 objetos B
un objeto D se requieren 5 objetos A y 4 objetos B
un objeto E se requieren 5 objetos C y 5 objetos D
un objeto F se requieren 3 objetos C y 5 objetos D
3 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 2080
objetos A y 1282 objetos B
3 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 1800
objetos A y 1110 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 48 6
c) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
7 2 4 5
3 7 2 1
8 5 2 8
2 2 2 4
determine:
1. M42 2. C12
3. M32 4. M24
5. M14
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ 0 −2
0 2− λ 1
0 1 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −2 y |B| = −5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 + 6R2
2. R3 ← R3 − 6R1
3. R1 ← 4R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:4 4 3 4 5
0 0 5 4 4
0 5 2 2 2
0 0 0 5 4
0 0 0 −20 −15
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 1 0 0 1 −1
0 −1 −1 −1 −1 1 1
0 0 −1 1 0 1 −1
0 0 0 1 −1 0 −1
0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
−1 1 −1 0 0 0 0
−1 −1 −1 1 0 0 0
0 1 1 0 −1 0 0
1 1 0 0 −1 1 0
1 0 0 0 −1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ↔ R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← 5R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← R3 + 5R2
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(B)
es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 48 7
c) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:49
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ↔ R5
b) R3 ← R3 + 4R5
c) R3 ← 4R3
d) R4 ← R4 + 3R5
e) R3 ← 5R3
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 4
2) Multiplicar el renglon 3 por 4
3) Intercambiar los renglones 3 y 5
4) Sumarle al renglon 4 el renglon 5 multiplicado por 3
5) Multiplicar el renglon 3 por 5
6) Intercambiar los renglones 3 y 4
Respuesta:
2. Para la matriz A 10 1 −1
4 2 5
−3 3 −3
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 − 3R2
2) R2 ↔ R1
3) R2 ← R2 − 3R3
4) R3 ← −3R3
5) R3 ↔ R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
11 1 2 −1
1 2 −1 1
0 2 2 3
b)
11 33 −11 33
0 12 0 1
0 0 11 12
c)
1 −11 2 2
0 12 −3 1
0 11 −3 −2
d)
11 11 −11 33
0 1 0 −3
0 0 1 −1
e)
0 3 −3 1
11 1 3 −2
0 2 1 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 111 R3
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R3 ← R3 − 1112 R2
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← 111 R1
6) R2 ← R2 − 111 R1
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R1 ← R1 − 11R2
9) R1 ← R1 + 11R3
10) R1 ← 111 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 0 −4
0 1 4
]b)
[0 −3 2
3 −3 3
]c)
[0 1 −3
−1 0 2
]d)
[1 −1 3
0 1 −4
]e)
[0 4 −3
0 0 −1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 49 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 3
0 1 1 4
0 0 0 −4
b)
1 4 −2 −3
0 1 1 −4
0 0 6 1
0 0 0 0
c)
1 0 1 0
0 1 1 −1
0 0 7 1
d)
1 3 −3 1
0 1 1 −3
0 0 0 4
0 0 0 0
e)
1 0 0 0 2
0 1 0 0 −3
0 0 0 1 3
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 −2 −1 −8
6 −2 1 −9
−6 2 2 12
b)
−2 3 −5 −2
4 −3 1 2
−6 6 −6 −3
−6 15 −33 −7
c)
2 3 −1 −2
4 5 −3 −2
4 6 −2 −4
d)
2 3 −3 −10
4 4 −8 −16
−2 −9 −3 22
4 8 −4 −24
e)
−2 4 −1 −2
−4 8 −3 −5
−4 8 −4 −7
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−4, 1), Q(−3, 0), y R(−1, 2). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $3 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $5 en ilustraciones, y $8 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $7 en papel, $13 en
ilustraciones, y $18 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $286 en papel, $334 en ilustraciones, y $414 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 23oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 9o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 7o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
−160− 23x− x2
(−5 + x) (25 + x2)=
A
−5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−4 + 16x+ 6x2 − 2x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 49 3
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 36o, Tb = 37o, Tc = 33o
Td = 32o, Te = 10o, Tf = 12o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
b) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
d) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,a,b]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 5, 0, 2 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 0, 1, 0 >
d) < 1, 1, 0 >
e) < 2, 3, 5 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) b + e
2) 3 a + 5 b + 2 e
3) a
4) e
5) a + e
6) 2 b + 5 e
7) a + b + e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,a, c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
b)
0 0
0 1
1 0
c)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
d)
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e)
1 0
0 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f , c]
2) [f , c,a]
3) [f , c, f ,a]
4) [f ,a, f ]
5) [c,a, f ]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 49 4
6) [f , c, c]
7) [c, c, f , c]
8) [c,a]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 3) de
0 0
0 0
0 1
·
[1 0 1
1 1 0
]
2. (1, 2) de
[0 1 0
0 1 1
]·
1 1 0
1 0 1
1 0 0
3. (3, 1) de
0 1
0 1
1 1
·
[1 1
1 1
]
4. (2, 1) de
[0 0 1
0 0 0
]·
1 1
0 1
1 0
5. (2, 2) de
1 1 0
0 1 0
1 1 0
·
0 0
1 1
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
−2 5 2
5 1 5
−2 −2 5
B =
2 4 −1
−2 −2 3
−3 5 2
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 3 6 2
5 1 2
x y z
1 3 3 −2
4 3 6 1
4 3 5 1
=
35 33 55 2
17 24 31 −7
16 21 28 −5
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[5 3
1 −3
]
B =
[2 1
4 0
]
C =
[1 3
−3 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
7 X + B = C (−4 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 4
−3 2
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 49 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A XT
)TB
)T= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[8 −11
3 −3
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 2
4 4
]
B =
[2 4
5 2
]
C =
[4 7
8 3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 3 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 2 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 5 objetos B
un objeto D se requieren 3 objetos A y 4 objetos B
un objeto E se requieren 5 objetos C y 5 objetos D
un objeto F se requieren 3 objetos C y 5 objetos D
4 objetos G y 5 objetos H se requieren en total 1686
objetos A y 2920 objetos B
2 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 958
objetos A y 1660 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 49 6
Respuesta:
28. Si
A =
2 4 7 5
7 7 5 6
6 1 5 5
4 7 1 8
determine:
1. M14 2. M24
3. C12 4. M22
5. M21
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ −4 2
0 4− λ 1
0 1 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −2 y |B| = −5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−4 B)T
ii) (−4 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R4 ← R4 + 2R2
3. R1 ← −3R1
4. R3 ← R3 + 4R1
la convierten en la matriz:5 2 2 4 2
0 0 3 2 2
0 4 4 4 1
0 0 0 2 2
0 0 0 −8 −4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 1 −1 0 1 −1
0 1 1 −1 −1 1 −1
0 0 1 −1 1 1 −1
0 0 0 −1 0 −1 −1
0 0 0 0 −1 0 1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
−1 −1 −1 0 1 0 0
0 −1 1 1 1 −1 0
1 1 −1 −1 1 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← 4R7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← R7 + 4R5
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
c) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces det(A)
es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:50
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R4 ← 3R4
b) R4 ↔ R5
c) R4 ↔ R3
d) R4 ← R4 + 5R3
e) R5 ← R5 + 4R3
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 4 por 3
2) Intercambiar los renglones 4 y 5
3) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 4
4) Intercambiar los renglones 4 y 3
5) Multiplicar el renglon 4 por 5
6) Sumarle al renglon 4 el renglon 3 multiplicado por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A 9 −3 −5
1 −3 −3
9 3 −1
determine cada elemento (1, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← 3R1
2) R3 ↔ R2
3) R1 ↔ R3
4) R3 ← R3 + 3R2
5) R3 ← R3 + 3R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
0 2 3 −1
2 −2 −2 −2
0 1 −3 3
b)
2 −1 1 −3
1 −1 2 1
0 −1 −3 −2
c)
1 −2 3 3
0 3 2 1
0 2 1 −2
d)
2 −4 −2 4
0 3 0 2
0 0 2 3
e)
2 2 −2 2
0 1 0 2
0 0 1 −3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 2R3
2) R1 ← 12 R1
3) R1 ← R1 − 2R2
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← R1 + 1R3
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R3 ← 12 R3
8) R3 ← R3 − 23 R2
9) R2 ← R2 − 12 R1
10) R1 ← 12 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 0 2
0 1 −2
]b)
[1 −2 −3
0 1 −2
]c)
[0 0 0
0 1 2
]d)
[0 1 −4
−4 0 1
]e)
[0 0 1
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 50 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 −4
0 1 0 0 4
0 0 0 1 3
b)
1 1 2 −1
0 0 1 −4
0 0 −1 0
0 0 0 0
c)
1 0 1 0
0 1 1 −1
0 0 8 1
d)
1 1 −3 1
0 1 1 −2
0 0 5 −1
0 0 0 0
e)
1 1 1 −1
0 1 0 3
0 2 0 6
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 −1 2 2
6 0 2 14
9 −5 7 −2
b)
−2 −6 −1 −1
−6 −18 −4 −1
−4 −12 −1 −1
c)
−2 −1 3 1
−4 −3 7 −1
−4 0 4 8
4 −1 −3 −11
d)
3 9 3 2
6 18 5 7
9 27 6 18
9 27 11 −6
e)
3 2 −10 2
−6 −5 22 1
−6 −7 26 12
6 5 −22 −2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 30oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 6o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 6o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $3 en papel, $5 en
ilustraciones, y $3 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $3 en papel, $6 en ilustraciones, y $10 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $5 en papel, $15 en
ilustraciones, y $23 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $210 en papel, $450 en ilustraciones, y $566 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros em-
pastados en piel a producirse.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
costarriqueno y grano keniano. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de costa-
rriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g
de hondureno, 200 g de costarriqueno y 100 g de keniano.
Para una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hon-
dureno, 300 g de costarriqueno y 100 g de keniano. El
comerciante dispone de 17 kg de grano hondureno, 18 kg
de grano costarriqueno, y 5 kg de grano keniano. Deter-
mina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar
si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta
solo las bolsas de la mezcla gourmet. Sugerencia: Prime-
ro maneje todo en gramos y despues divida las ecuaciones
entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
−65− 18x− 9x2
(5 + x) (25 + x2)=
A
5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 50 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−6− 17x+ 12x2 + 13x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 20o, Tb = 27o, Tc = 19o
Td = 30o, Te = 14o, Tf = 40o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
b) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
c) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 2 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
d) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, c,b]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 0 >
b) < 3, 4, 3 >
c) < 0, 1, 1 >
d) < 1, 1, 0 >
e) < 1, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) c + e
2) 4 b + 5 c
3) 3 b + 4 c + 3 e
4) e
5) c
6) b + c + e
7) b + c
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, e,a]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
b)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
c)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
d)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 50 4
e)
0 0
0 1
1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [e,a]
2) [e,a,b]
3) [b, e,b]
4) [a,b,b]
5) [a, e]
6) [e,b,a,b]
7) [b,a,b,b]
8) [a, e,b]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 1) de
1 0
1 1
1 0
·
[0 0 1
0 0 0
]
2. (2, 2) de
[1 0 1
1 1 0
]·
0 0 0
0 0 1
1 1 1
3. (2, 1) de
0 0
1 1
1 0
·
[1 0
1 1
]
4. (1, 2) de
[1 0 0
0 0 0
]·
1 1
1 0
0 1
5. (3, 2) de
1 0 1
1 0 1
1 0 1
·
0 0
0 0
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
2 1 4
3 1 0
2 4 −3
B =
1 2 4
3 −2 5
4 0 0
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 4 2 5
6 2 2
x y z
6 6 2 0
2 5 4 −3
4 1 2 3
=
48 39 26 9
48 48 24 0
52 67 38 −15
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[−1 0
−2 2
]
B =
[1 0
4 1
]
C =
[3 −2
5 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C(−2 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −3
4 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[2 2
−2 2
]
D =
[−7 −3
0 −3
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 50 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A XT)T
B
)T= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[10 −5
−5 1
]
C =
[−3 −4
1 1
]
D =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 3
5 3
]
B =
[2 1
1 2
]
C =
[6 2
6 7
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 5 Cs y 4 Ds
un F se requieren 4 Cs y 4 Ds
un G se requieren 2 Es y 3 Fs
un H se requieren 2 Es y 5 Fs
un G se requieren 104 As y 148 Bs
un H se requieren 144 As y 204 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 50 6
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
3 6 1 3
2 6 3 5
1 7 3 3
6 6 1 3
determine:
1. C32 2. M24
3. C44 4. C22
5. C14
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 3 4
0 5− λ 1
0 1 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −5 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2 A)−1
ii) A (2 B)T
iii) A B−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 5R2
2. R3 ← R3 + 5R1
3. R2 ↔ R3
4. R1 ← −2R1
la convierten en la matriz:5 2 1 2 1
0 0 1 2 3
0 2 5 1 5
0 0 0 3 5
0 0 0 6 13
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 1 1 0 1 0
0 −1 −1 0 0 1 −1
0 0 −1 0 1 0 −1
0 0 0 −1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 −1
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
−1 0 −1 0 0 0 0
−1 0 −1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0
0 1 −1 −1 1 −1 0
1 1 −1 1 −1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ↔ R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← R2 + 5R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← 5R2
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 50 7
b) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
c) Si (A AT) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
d) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
e) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:51
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ↔ R2
b) R2 ← R2 + 3R4
c) R3 ← 4R3
d) R3 ← 2R3
e) R3 ↔ R4
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 3 y 2
2) Sumarle al renglon 2 el renglon 4 multiplicado por 3
3) Sumarle al renglon 3 el renglon 4 multiplicado por 2
4) Multiplicar el renglon 3 por 4
5) Intercambiar los renglones 3 y 4
6) Multiplicar el renglon 3 por 2
Respuesta:
2. Para la matriz A −2 −1 −1
2 −2 4
−3 −1 7
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ↔ R2
2) R2 ← R2 − 4R3
3) R2 ↔ R3
4) R1 ← −4R1
5) R2 ← R2 − 4R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
5 −5 −5 −10
0 6 0 3
0 0 5 6
b)
5 5 −5 5
0 1 0 3
0 0 1 3
c)
0 2 −1 2
5 1 −2 −3
0 1 2 −2
d)
1 −5 3 3
0 6 2 1
0 5 2 3
e)
5 2 1 −3
1 −3 −1 3
0 2 −1 2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R1 ← R1 − 5R2
3) R1 ← R1 + 5R3
4) R2 ← R2 − 15 R1
5) R1 ← 15 R1
6) R3 ← 15 R3
7) R1 ← 15 R1
8) R1 ← R1 + 1R3
9) R1 ↔ R2
10) R3 ← R3 − 56 R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 −1 4
1 4 −4
]b)
[1 3 0
0 1 −2
]c)
[0 3 3
−1 −2 −1
]d)
[1 0 4
0 1 1
]e)
[0 1 3
1 0 2
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 51 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 2 3 3
0 1 1 2
0 0 3 −2
0 0 0 0
b)
1 0 0 −3
0 1 1 1
0 0 0 2
c)
1 1 3 −1
0 1 1 4
0 0 0 −2
0 0 0 0
d)
1 1 −1 2
0 0 1 2
0 0 4 0
0 0 0 0
e)
1 0 1 0
0 1 1 3
0 0 4 1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Inconsistente
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 2 −1 −7
−6 6 0 −18
2 −2 1 7
b)
−1 2 2 −5
−4 8 9 −23
−3 5 9 −25
c)
−1 −1 −1 −1
−2 −2 −3 −3
−2 −2 −5 −7
d)
2 −1 −5 −9
−2 0 4 6
4 −2 −10 −18
e)
2 2 −8 2
−4 −2 10 −3
4 0 −4 3
−2 −4 14 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 316 para ensamble,
69 para pruebas, y 61 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
8. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 29oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 3o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 4o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de
cafe: mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Es-
tas mezclas se obtienen combinando grano dominicano,
grano brasileno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de dominicano y 200 g de brasi-
leno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
dominicano, 100 g de brasileno y 100 g de etıope. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de dominicano, 300 g
de brasileno y 100 g de etıope. El comerciante dispone de
29 kg de grano dominicano, 20 kg de grano brasileno, y
6 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
6 y′′ + 4 y′ + 2 y = 4 + 2x+ 2x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 51 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−5− 16x+ 5x2 + 8x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 10o, Tb = 23o, Tc = 35o
Td = 17o, Te = 20o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
d) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 2 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c,b, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 0 >
b) < 1, 0, 1 >
c) < 3, 2, 3 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 0, 4, 4 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 2 b + 3 c + 3 f
2) b + c + f
3) c + f
4) c
5) b + f
6) 4 b + 4 f
7) f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,b,d]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0
0 0
0 1
b)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
c)
0 0
0 1
1 0
d)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 51 4
e)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [a,d]
2) [a,d,a,a]
3) [d,b]
4) [a,b,a]
5) [b,b,a,a]
6) [b,a,d]
7) [b,d,a]
8) [b,a,b]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
0 0
0 0
0 1
·
[0 0 0
1 1 0
]
2. (2, 2) de
[0 0 1
1 0 0
]·
1 0 1
1 1 0
1 0 0
3. (3, 1) de
0 0
0 0
1 0
·
[1 0
1 1
]
4. (2, 1) de
[1 0 1
0 1 1
]·
1 1
0 0
0 0
5. (3, 1) de
0 1 0
1 0 0
1 1 0
·
1 1
1 1
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
5 2 3
0 3 2
4 3 1
B =
−2 2 2
1 −3 4
0 0 0
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
2 3 6
1 1 4
1 3 3 −2
1 5 4 −4
4 2 3 2
=
28 26 31 2
29 33 36 −4
18 16 19 2
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[2 5
−1 5
]
B =
[3 3
1 4
]
C =
[0 2
0 2
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 2
−2 2
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[−1 2
−1 −3
]
D =
[0 −3
−1 7
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 51 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−3 3
2 1
]
D =
[6 −8
−10 −2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−13 −23
6 4
]
C =
[−2 −3
1 1
]
D =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 2
3 4
]
B =
[5 1
4 1
]
C =
[9 3
5 2
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 4 objetos B
un objeto D se requieren 4 objetos A y 5 objetos B
un objeto G se requieren 3 objetos E y 4 objetos F
un objeto H se requieren 3 objetos E y 2 objetos F
3 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 792
objetos A y 1206 objetos B
5 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 996
objetos A y 1515 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 51 6
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
6 3 4 3
6 7 3 2
1 4 6 8
1 5 7 7
determine:
1. C44 2. M22
3. M42 4. M12
5. M11
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ 3 −1
0 1− λ 2
0 2 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −1 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2 A)−1
ii) A (−2 B)T
iii) A B−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R4 ← R4 − 3R2
3. R1 ← 4R1
4. R3 ← R3 − 4R1
la convierten en la matriz:4 5 5 1 4
0 0 5 5 1
0 4 3 2 2
0 0 0 1 5
0 0 0 −1 −3
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 1 0 0 −1 0
0 −1 1 1 1 −1 0
0 0 −1 −1 0 −1 −1
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 −1 −1 0 0 0 0
−1 −1 −1 1 0 0 0
−1 1 −1 0 −1 0 0
0 1 −1 −1 −1 −1 0
1 1 0 0 −1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ↔ R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← 3R1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 51 7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← R1 + 3R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A B) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
c) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(B)
es cero.
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:52
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R4 ↔ R2
b) R3 ← R3 + 4R2
c) R4 ← 2R4
d) R4 ↔ R3
e) R4 ← 3R4
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 3 el renglon 2 multiplicado por 4
2) Sumarle al renglon 4 el renglon 2 multiplicado por 3
3) Multiplicar el renglon 4 por 2
4) Intercambiar los renglones 4 y 3
5) Intercambiar los renglones 4 y 2
6) Multiplicar el renglon 4 por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 4 1 −5
5 2 6
7 −3 7
determine cada elemento (1, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 − 2R2
2) R1 ← −2R1
3) R3 ← R3 − 2R1
4) R1 ↔ R3
5) R3 ↔ R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
0 −2 3 −1
3 −2 −3 −3
0 −3 1 1
b)
3 3 −3 9
0 4 0 −1
0 0 3 4
c)
1 −3 3 3
0 4 −2 −2
0 3 −3 2
d)
3 −1 2 2
1 3 −3 −1
0 2 1 1
e)
3 3 −3 9
0 1 0 1
0 0 1 −2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R1 ↔ R2
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ← R1 − 3R2
5) R3 ← 13 R3
6) R1 ← R1 + 3R3
7) R2 ← R2 − 13 R1
8) R3 ← R3 − 34 R2
9) R1 ← 13 R1
10) R1 ← 13 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 0 4
0 1 1
]b)
[0 1 −4
−4 0 2
]c)
[2 4 4
0 −3 −4
]d)
[0 0 0
0 3 −4
]e)
[0 4 −3
−1 2 −4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 52 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 0 1 −4
b)
1 2 4 4
0 1 1 −2
0 0 6 −4
0 0 0 0
c)
1 0 0 −1
0 1 1 2
0 0 0 −2
d)
1 1 1 4
0 1 0 −2
0 2 0 −4
e)
1 1 −3 −1
0 0 1 −3
0 0 −1 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −1 −2 2
−3 −5 −8 10
1 −3 1 3
b)
2 −2 2 6
6 −6 4 16
4 −4 4 12
c)
3 2 −1 4
6 4 −1 6
9 9 0 0
d)
−2 6 −2 −1
4 −12 2 0
−6 18 −10 −8
e)
−1 −1 −2 −1
−3 −4 −7 −2
−2 −2 −4 −2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $6 en papel, $3 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $6 en papel, $5 en ilustraciones, y $6 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $8 en papel, $13 en
ilustraciones, y $21 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $428 en papel, $363 en ilustraciones, y $445 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros em-
pastados en piel a producirse.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
costarriqueno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de dominicano y 200 g de costa-
rriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g
de dominicano, 100 g de costarriqueno y 100 g de etıope.
Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de domi-
nicano, 200 g de costarriqueno y 200 g de etıope. El co-
merciante dispone de 21 kg de grano dominicano, 16 kg
de grano costarriqueno, y 8 kg de grano etıope. Determi-
na cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si
tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta solo
las bolsas de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje
todo en gramos y despues divida las ecuaciones entre 100
antes de resolver.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 29oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 2o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 8o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
4 y′′ + 3 y′ + 2 y = 4 + 4x+ 5x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 52 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
15 + 7x− x2 + x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 35o, Tb = 19o, Tc = 35o
Td = 38o, Te = 10o, Tf = 15o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
c) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL homogeneo 8× 8 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,b, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 0 >
b) < 3, 3, 2 >
c) < 1, 0, 0 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 0, 2, 5 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) b + f
2) b + e
3) b + e + f
4) f
5) 3 b + 3 e + 2 f
6) 2 b + 5 f
7) e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, f ,a]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1
1 0
0 0
b)
1 0
0 0
0 1
c)
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 52 4
d)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
e)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [b,a, f ]
2) [b,a,b, f ]
3) [b, f ,b]
4) [b,a]
5) [f ,b]
6) [f ,b,a]
7) [a,a,b,a]
8) [a,b,b]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 1) de
1 1
1 1
0 0
·
[1 1 0
0 0 0
]
2. (1, 1) de
[0 1 1
0 1 1
]·
1 1 1
0 0 1
0 1 1
3. (3, 1) de
0 1
1 1
0 0
·
[0 0
0 1
]
4. (2, 1) de
[0 1 1
1 1 0
]·
0 1
1 1
1 0
5. (3, 1) de
0 1 0
1 1 1
1 1 1
·
0 0
1 0
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
2 5 2
3 3 −2
1 −2 −3
B =
4 2 1
5 −1 4
−1 −1 5
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 4 1 4
5 6 2
x y z
6 5 4 1
4 4 4 0
4 2 3 2
=
44 32 32 12
62 53 50 9
38 33 31 5
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 1
5 1
]
B =
[1 2
1 −2
]
C =
[0 4
0 0
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C (−7 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[1 −2
0 2
]
D =
[0 7
−4 −7
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 52 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A X−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−22 −4
−18 −4
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 5
4 5
]
B =
[3 1
4 1
]
C =
[4 2
6 3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 3 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 3 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 3 Cs y 5 Ds
un F se requieren 4 Cs y 4 Ds
un G se requieren 2 Es y 3 Fs
un H se requieren 4 Es y 2 Fs
un G se requieren 124 As y 160 Bs
un H se requieren 152 As y 192 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 52 6
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
e) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
6 3 5 4
6 5 6 2
4 7 3 4
4 7 1 2
determine:
1. C11 2. C12
3. C14 4. M43
5. C22
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ 3 −1
0 6− λ 6
0 6 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 4 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2 A)−1
ii) A (−2 B)T
iii) AT B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 5R2
2. R2 ↔ R3
3. R1 ← −4R1
4. R3 ← R3 + 6R1
la convierten en la matriz:2 4 2 2 3
0 1 4 1 4
0 −4 −15 −1 −15
0 0 0 0 3
0 0 0 1 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 1 0 0 0 1
0 1 −1 −1 1 −1 −1
0 0 1 0 −1 −1 1
0 0 0 1 −1 1 0
0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
−1 1 1 −1 0 0 0
0 −1 1 0 −1 0 0
0 1 1 −1 1 1 0
−1 0 1 0 −1 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 5R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 5R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
b) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 52 7
c) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es cero.
d) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:53
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R2 ↔ R4
b) R2 ← 5R2
c) R2 ↔ R5
d) R5 ← R5 + 2R4
e) R2 ← R2 + 5R4
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 2 el renglon 4 multiplicado por 5
2) Intercambiar los renglones 2 y 5
3) Sumarle al renglon 5 el renglon 4 multiplicado por 2
4) Multiplicar el renglon 2 por 4
5) Intercambiar los renglones 2 y 4
6) Multiplicar el renglon 2 por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A −1 −3 6
5 −3 2
−3 3 −3
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← −4R3
2) R2 ↔ R1
3) R3 ↔ R2
4) R2 ← R2 − 4R1
5) R3 ← R3 − 4R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
11 3 3 2
1 2 2 1
0 −2 −2 −3
b)
0 2 −1 1
11 2 2 −1
0 −2 −3 −3
c)
11 −11 −11 −22
0 12 0 2
0 0 11 12
d)
11 11 −11 −22
0 1 0 −1
0 0 1 −2
e)
1 −11 −2 −2
0 12 1 3
0 11 −3 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← R3 − 1112 R2
2) R1 ← R1 − 11R2
3) R1 ↔ R2
4) R1 ← 111 R1
5) R3 ← 111 R3
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R2 ← R2 − 111 R1
8) R1 ← R1 + 1R3
9) R1 ← 111 R1
10) R1 ← R1 + 11R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 −1 4
1 −1 4
]b)
[1 0 −4
0 1 2
]c)
[3 −2 −1
0 0 0
]d)
[0 0 0
0 0 0
]e)
[0 1 3
1 0 4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 53 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 1 0
0 1 1 −3
0 0 2 1
b)
1 2 −2 −1
0 1 1 −2
0 0 4 3
0 0 0 0
c)
1 1 1 1
0 1 0 −2
0 2 0 −4
d)
1 1 −3 −1
0 0 1 −3
0 0 −3 0
0 0 0 0
e)
1 0 0 −1
0 1 1 3
0 0 0 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 2 −1 1
−3 9 −5 2
−2 10 −4 4
0 0 0 0
b)
2 2 8 2
−2 1 −5 4
6 6 24 6
c)
−2 2 −6 −2
2 −4 10 8
−6 0 −6 13
4 −8 20 15
d)
−1 −1 −1 5
2 1 0 −7
−2 −5 −8 19
−2 −4 −6 16
e)
2 2 2 6
6 9 4 3
4 −2 10 48
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano
colombiano y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de mexicano y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g
de mexicano, 100 g de colombiano y 100 g de jamaquino.
Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano,
200 g de colombiano y 200 g de jamaquino. El comerciante
dispone de 32 kg de grano mexicano, 24 kg de grano co-
lombiano, y 14 kg de grano jamaquino. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas
de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−3, 2), Q(−2, 1), y R(0, 3). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
9. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 476 para ensamble,
102 para pruebas, y 89 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
−144− 30x+ 3x2
(−6 + x) (36 + x2)=
A
−6 + x+
C +B x
36 + x2
Reporta el valor de A.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 53 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
4− 11x+ 6x2 + 9x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 34o, Tb = 38o, Tc = 22o
Td = 18o, Te = 17o, Tf = 37o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 9× 9 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
b) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
c) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
d) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
e) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,d,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 1, 1, 0 >
e) < 0, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 3 d + 4 f
2) a + d
3) d + f
4) d
5) a + d + f
6) a
7) 5 a + 5 d + 3 f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f , e,d]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0
0 1
1 0
b)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
c)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
d)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 53 4
e)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f ,d, e]
2) [e,d]
3) [f , e, f ]
4) [e, e, f , f ]
5) [e, f ,d]
6) [e, f ,d, f ]
7) [d, e]
8) [d, f , f ]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
1 1
1 0
1 0
·
[0 0 0
1 1 0
]
2. (1, 3) de
[1 0 1
1 1 1
]·
0 0 1
0 1 0
1 1 0
3. (3, 1) de
0 0
1 1
0 0
·
[0 0
0 0
]
4. (2, 2) de
[1 1 1
0 0 0
]·
1 1
0 0
1 0
5. (3, 2) de
0 0 0
0 0 0
0 0 0
·
1 1
1 0
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
1 −3 2
3 2 −1
−1 2 2
B =
1 0 5
4 −2 5
3 −2 −1
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
6 6 3
2 3 3
5 1 3
4 3 0
x 1 2
y 6 3
z 1 5
=
30 45 45
16 23 28
18 14 28
14 22 17
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[−1 0
−3 −2
]
B =
[4 4
5 5
]
C =
[2 5
2 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C(−2 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 −2
2 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 53 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A X)
TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−2 −1
−2 3
]
D =
[0 −1
3 −7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[1 3
−2 −3
]
C =
[7 4
7 5
]
D =
[0 −3
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 3
5 3
]
B =
[1 1
1 1
]
C =
[5 3
2 5
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 4 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 4 Cs y 3 Ds
un F se requieren 5 Cs y 3 Ds
un G se requieren 4 Es y 4 Fs
un H se requieren 3 Es y 4 Fs
un G se requieren 204 As y 192 Bs
un H se requieren 180 As y 169 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 53 6
a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
e) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
3 2 1 6
8 3 8 6
6 1 5 4
3 2 5 4
determine:
1. M23 2. M21
3. M11 4. M12
5. C42
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ 1 2
0 2− λ 1
0 1 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 4 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−4 A)−1
ii) A (−4 B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R4 ← R4 + 4R2
3. R3 ← R3 − 3R1
4. R1 ← −3R1
la convierten en la matriz:1 1 3 2 2
0 0 5 4 3
0 3 2 4 2
0 0 0 5 3
0 0 0 20 13
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 0 −1 1 −1 1
0 −1 1 −1 −1 0 −1
0 0 −1 0 1 0 0
0 0 0 1 −1 −1 −1
0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 −1 −1 0 0 0 0
−1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 −1 0 0 −1 1 0
0 −1 0 1 −1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← R7 + 4R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ↔ R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← 4R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 53 7
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
b) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
e) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:54
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R4 ← 6R4
b) R6 ← R6 + 4R3
c) R4 ↔ R3
d) R4 ↔ R6
e) R4 ← 3R4
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 4 por 6
2) Sumarle al renglon 4 el renglon 3 multiplicado por 6
3) Sumarle al renglon 6 el renglon 3 multiplicado por 4
4) Intercambiar los renglones 4 y 6
5) Intercambiar los renglones 4 y 3
6) Multiplicar el renglon 4 por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 8 1 5
−2 −3 −3
6 3 4
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ↔ R2
2) R1 ← R1 + 2R2
3) R2 ← R2 + 2R1
4) R1 ← 2R1
5) R2 ↔ R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
3 −2 2 3
1 1 −3 3
0 3 2 1
b)
0 −3 1 −1
3 2 1 −1
0 −3 3 1
c)
3 6 −3 6
0 4 0 −1
0 0 3 4
d)
1 −3 2 −1
0 4 −2 −1
0 3 2 −1
e)
3 3 −3 −3
0 1 0 1
0 0 1 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 13 R3
2) R2 ← R2 − 13 R1
3) R1 ← 13 R1
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← 13 R1
6) R1 ↔ R2
7) R3 ← R3 − 34 R2
8) R1 ← R1 − 3R2
9) R1 ← R1 + 3R3
10) R1 ← R1 + 1R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 1 2
4 0 3
]b)
[0 −2 3
4 −1 1
]
c)
1 0
0 0
0 0
d)
[1 2 −3
0 1 −2
]e)
[0 1 0
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 54 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 3
0 0 1 0 1
0 0 0 1 4
b)
1 0 1 0
0 1 1 −3
0 0 2 1
c)
1 0 0 −1
0 1 1 −2
0 0 0 −2
d)
1 −2 2 2
0 1 1 −3
0 0 0 −1
0 0 0 0
e)
1 −1 2 2
0 1 1 2
0 0 7 −4
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Inconsistente
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 −3 2 −2
−6 6 −6 2
9 −9 10 −3
9 −9 10 0
b)
−1 3 3 11
−2 6 7 23
−3 8 12 34
c)
2 −6 3 3
−2 6 0 −5
6 −18 6 9
d)
3 2 −10 3
9 8 −34 10
−6 2 8 −2
9 4 −26 6
e)
−1 −1 2 0
−2 1 −5 −3
−2 4 −14 −6
2 8 −22 −6
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de
cafe: mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet.
Estas mezclas se obtienen combinando grano mexicano,
grano colombiano y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de mexicano y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
mexicano, 100 g de colombiano y 100 g de etıope. Para una
bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de mexicano, 200
g de colombiano y 200 g de etıope. El comerciante dispone
de 32 kg de grano mexicano, 23 kg de grano colombiano,
y 15 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de ca-
da mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo
el grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla
gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y
despues divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
8. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 26oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 3o mayor que el
promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 10o menor que el promedio de temperatu-
ras en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
9. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 504 para ensamble,
109 para pruebas, y 98 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
34 + x+ 4x2
(2 + x) (4 + x2)=
A
2 + x+
C +B x
4 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 54 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 4 y′ + 2 y = 3 + 6x+ 2x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 23o, Tb = 36o, Tc = 13o
Td = 34o, Te = 22o, Tf = 38o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
c) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
d) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 8 pivotes, entonces el sistema
tiene infinitas soluciones.
e) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,d, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 0, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 2, 2, 4 >
d) < 1, 0, 1 >
e) < 5, 4, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + d
2) a + f
3) f
4) a + d + f
5) 5 a + 4 d
6) d
7) 2 a + 2 d + 4 f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, c,d]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
b)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
c)
0 0
0 1
1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 54 4
d)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
e)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d, e, e]
2) [c, e, c]
3) [d, c]
4) [c, c, e, e]
5) [c,d, e]
6) [c, e,d, e]
7) [e,d]
8) [d, c, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 0
0 1
1 0
·
[0 0 1
1 0 0
]
2. (1, 1) de
[0 1 0
1 0 0
]·
1 0 0
1 1 1
0 1 1
3. (1, 1) de
1 0
0 0
0 0
·
[1 1
0 1
]
4. (1, 2) de
[1 1 1
1 0 1
]·
0 1
1 0
1 0
5. (3, 2) de
1 0 0
0 1 0
1 1 0
·
0 0
0 1
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
1 3 3
−2 −2 1
3 −1 4
B =
3 −3 0
−3 2 −2
−3 2 2
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
x y z
5 4 1
3 4 5
1 1 6 0
3 3 3 0
5 6 4 −1
=
35 39 61 −4
22 23 46 −1
40 45 50 −5
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 2
−2 5
]
B =
[4 5
3 0
]
C =
[5 1
−3 2
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C(−6 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 54 5
21. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[3 2
2 −3
]
D =
[−6 −10
−5 8
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[−2 −2
−1 3
]
D =
[9 2
4 −10
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[6 −1
−5 −3
]
C =
[2 1
−3 −1
]
D =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 4
4 4
]
B =
[4 2
2 2
]
C =
[6 3
4 4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 5 Cs y 2 Ds
un F se requieren 4 Cs y 4 Ds
un G se requieren 2 Es y 4 Fs
un H se requieren 4 Es y 4 Fs
un G se requieren 158 As y 210 Bs
un H se requieren 204 As y 276 Bs
Determine
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 54 6
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
6 2 6 6
8 8 1 7
1 3 6 5
3 8 7 3
determine:
1. C24 2. C32
3. C41 4. M31
5. C11
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ −2 4
0 3− λ 4
0 4 3− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −2 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R3 ← R3 + 5R1
3. R1 ← −2R1
4. R4 ← R4 − 2R2
la convierten en la matriz:3 2 1 2 4
0 4 5 4 1
0 −16 −17 −11 −3
0 0 0 0 3
0 0 0 4 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 0 1 0 −1 −1
0 1 0 −1 0 1 −1
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 −1 −1 −1
0 0 0 0 −1 0 1
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0
1 1 −1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0
−1 0 −1 0 −1 0 0
−1 0 1 −1 0 −1 0
1 1 −1 1 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← R5 + 2R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← 2R5
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 54 7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ↔ R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es diferente de cero.
b) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
c) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
d) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(B)
es cero.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:55
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← 5R6
b) R6 ↔ R5
c) R6 ← 2R6
d) R6 ↔ R2
e) R6 ← R6 + 5R2
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 6 por 5
2) Intercambiar los renglones 6 y 2
3) Intercambiar los renglones 6 y 5
4) Multiplicar el renglon 6 por 2
5) Sumarle al renglon 6 el renglon 2 multiplicado por 5
6) Sumarle al renglon 5 el renglon 2 multiplicado por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 6 −1 −4
5 3 −2
1 −2 4
determine cada elemento (1, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ↔ R3
2) R1 ← R1 + 3R3
3) R3 ↔ R2
4) R3 ← R3 + 3R2
5) R3 ← R3 + 3R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −7 1 2
0 8 −3 1
0 7 −3 1
b)
7 7 −7 7
0 1 0 −1
0 0 1 −3
c)
7 −3 3 −2
1 −2 2 1
0 −1 2 3
d)
7 −21 −7 −21
0 8 0 −3
0 0 7 8
e)
0 3 −1 −1
7 2 2 3
0 −3 −3 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R1 ↔ R2
3) R1 ← 17 R1
4) R3 ← R3 − 78 R2
5) R1 ← R1 + 7R3
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R2 ← R2 − 17 R1
8) R1 ← 17 R1
9) R3 ← 17 R3
10) R1 ← R1 − 7R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 0 0
0 −2 2
]b)
[0 1 0
1 0 2
]c)
[0 −4 2
0 0 1
]d)
[0 1 0
0 0 0
]e)
[1 0 0
0 1 4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 55 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 −3
0 0 1 2
0 0 1 0
0 0 0 0
b)
1 1 1 2
0 1 0 2
0 2 0 4
c)
1 2 −4 4
0 1 1 −2
0 0 0 4
0 0 0 0
d)
1 0 1 0
0 1 1 −4
0 0 8 1
e)
1 0 0 4
0 1 1 −1
0 0 0 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −1 3 −6
2 5 −3 0
1 7 1 −14
b)
3 −1 −10 −4
−3 0 9 6
6 −2 −20 −8
c)
3 −9 −2 15
−3 9 5 −24
−6 18 4 −30
d)
3 2 3 13
9 6 10 42
9 8 12 46
e)
3 −1 6 10
6 −4 18 22
−3 −5 12 −4
9 −7 30 34
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 580 para ensamble,
123 para pruebas, y 103 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1,−2), Q(0,−3), y R(2,−1).
A manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
9. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $6 en papel, $6 en
ilustraciones, y $6 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $6 en papel, $8 en ilustraciones, y $14 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $8 en papel, $17 en
ilustraciones, y $30 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $418 en papel, $563 en ilustraciones, y $844 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
84− 11x
(4 + x) (16 + x2)=
A
4 + x+
C +B x
16 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
2 y′′ + 4 y′ + 2 y = 6 + 6x+ 4x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 55 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 38o, Tb = 40o, Tc = 21o
Td = 35o, Te = 32o, Tf = 37o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
b) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
c) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
d) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
e) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f ,d]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 0, 1, 1 >
d) < 2, 4, 0 >
e) < 5, 2, 2 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) c + d + f
2) d
3) c
4) c + d
5) d + f
6) 2 c + 4 f
7) 5 c + 2 d + 2 f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a, f ,d]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
b)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
c)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
d)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
e)
1 0
0 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [a,d,a, f ]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 55 4
2) [a, f ,a]
3) [f ,d,a]
4) [f ,a,d]
5) [f ,a,d,a]
6) [a,d,d]
7) [d, f ]
8) [a,d]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 1) de
0 0
0 0
1 0
·
[0 1 1
1 0 0
]
2. (1, 1) de
[0 0 0
0 1 1
]·
0 0 1
1 0 0
0 0 1
3. (2, 1) de
1 0
0 0
0 0
·
[0 0
0 0
]
4. (2, 1) de
[0 0 1
1 0 1
]·
0 0
1 1
1 1
5. (1, 1) de
1 0 1
1 0 1
1 0 0
·
1 0
1 0
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
−2 −3 0
4 2 4
3 −3 1
B =
5 −1 0
0 −1 2
1 1 −2
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
1 1 3
3 2 5
2 2 1
−2 −1 −2
3 x 4
6 y 6
3 z 1
=
18 17 13
36 33 29
21 19 21
−18 −16 −16
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[0 5
−2 1
]
B =
[2 −3
5 2
]
C =
[4 1
−3 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
7 X + B = C (−7 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 2
−1 2
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[1 −2
−3 −1
]
D =
[2 1
5 3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 55 5
22. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A X−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[3 −1
−8 −2
]
C =
[−2 1
−3 1
]
D =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 5
5 5
]
B =
[4 4
1 2
]
C =
[9 9
6 7
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 3 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 2 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 3 objetos B
un objeto D se requieren 2 objetos A y 4 objetos B
un objeto G se requieren 2 objetos E y 2 objetos F
un objeto H se requieren 5 objetos E y 2 objetos F
2 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 308
objetos A y 536 objetos B
5 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 574
objetos A y 1000 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 55 6
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
e) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
8 5 4 6
5 2 6 7
6 6 5 3
6 2 6 5
determine:
1. M41 2. C34
3. M33 4. C24
5. C44
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 4 −3
0 6− λ 3
0 3 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 1 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−2 B)T
ii) (−2 A)−1
iii) A−1 B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 − 2R1
2. R4 ← R4 − 3R2
3. R2 ↔ R3
4. R1 ← 4R1
la convierten en la matriz:5 4 3 5 4
0 0 5 3 4
0 5 2 5 2
0 0 0 2 5
0 0 0 −6 −10
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 0 1 1 1 −1 1
0 −1 −1 −1 −1 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 −1 −1 −1 1
0 0 0 0 −1 0 1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 −1 0 0
1 −1 0 0 1 1 0
1 1 −1 0 −1 0 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← R2 + 4R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ↔ R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← 4R2
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
b) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 55 7
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:56
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← R6 + 5R2
b) R5 ↔ R2
c) R5 ← 6R5
d) R5 ↔ R6
e) R5 ← 2R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 5 por 2
2) Multiplicar el renglon 5 por 6
3) Sumarle al renglon 5 el renglon 2 multiplicado por 6
4) Sumarle al renglon 6 el renglon 2 multiplicado por 5
5) Intercambiar los renglones 5 y 2
6) Intercambiar los renglones 5 y 6
Respuesta:
2. Para la matriz A −2 −3 −7
−2 3 −2
10 2 −3
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← −3R2
2) R1 ↔ R3
3) R1 ← R1 − 3R2
4) R2 ↔ R1
5) R1 ← R1 − 3R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
7 7 −7 −21
0 8 0 2
0 0 7 8
b)
0 3 3 3
7 −3 −2 −2
0 2 −3 3
c)
1 −7 3 −2
0 8 2 −1
0 7 1 −1
d)
7 7 −7 14
0 1 0 1
0 0 1 −1
e)
7 −1 3 2
1 −2 3 2
0 −3 −3 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 − 7R2
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R3 ← 17 R3
4) R3 ← R3 − 78 R2
5) R1 ← 17 R1
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← R1 + 7R3
8) R1 ← 17 R1
9) R1 ↔ R2
10) R2 ← R2 − 17 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 3 3
−4 1 −4
]b)
[0 1 0
0 0 0
]c)
[1 1 4
0 1 −3
]d)
[−1 2 3
0 −1 −1
]e)
[0 1 4
−1 0 −2
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 56 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 1
0 1 0 −3
0 2 0 −6
b)
1 4 1 2
0 1 1 2
0 0 0 2
0 0 0 0
c)
1 0 0 0 4
0 1 0 0 4
0 0 0 1 2
d)
1 3 −1 −4
0 1 1 3
0 0 6 1
0 0 0 0
e)
1 0 1 0
0 1 1 2
0 0 3 1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 −6 3 −10
4 −12 9 −26
−4 12 −6 20
b)
−1 −4 3 −1
−3 −12 7 0
−2 −8 0 10
c)
2 2 2 −6
4 2 7 −15
−4 −10 4 6
0 0 0 0
d)
3 −1 7 −4
−6 1 −16 7
9 −6 15 −15
−6 0 −18 6
e)
−2 −4 −1 −2
−6 −12 −1 −7
4 8 −2 4
4 8 6 6
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 572 para ensamble,
121 para pruebas, y 109 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de
cafe: mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite.
Estas mezclas se obtienen combinando grano mexicano,
grano brasileno y grano keniano. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de mexicano y 200 g de brasi-
leno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
mexicano, 100 g de brasileno y 100 g de keniano. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano, 300 g
de brasileno y 100 g de keniano. El comerciante dispone
de 23 kg de grano mexicano, 24 kg de grano brasileno, y
8 kg de grano keniano. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (2, 0), Q(3,−1), y R(5, 1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
6 y′′ + 3 y′ + 2 y = 4 + 3x+ 4x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 56 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−10 + 8x+ 6x2
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 33o, Tb = 31o, Tc = 36o
Td = 11o, Te = 29o, Tf = 24o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 10 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
c) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
d) Si un SEL homogeneo 8× 8 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,d,b]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 1 >
b) < 5, 2, 4 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 0, 2, 3 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 5 a + 4 b + 2 d
2) a
3) b + d
4) a + b + d
5) a + b
6) 3 b + 2 d
7) b
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, f , c]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
b)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
c)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
d)
0 0
1 0
0 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 56 4
e)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c, f ,b]
2) [c,b,b]
3) [c, f ]
4) [b, c, f ]
5) [b, f ,b]
6) [f ,b, c,b]
7) [b, c,b,b]
8) [f , c]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 3) de
0 0
0 1
1 0
·
[1 0 1
0 1 1
]
2. (1, 2) de
[1 1 1
0 1 0
]·
1 0 0
1 1 0
1 1 1
3. (3, 2) de
1 1
1 0
1 0
·
[0 0
0 1
]
4. (2, 1) de
[1 1 1
0 0 1
]·
0 1
1 0
0 0
5. (1, 2) de
1 0 0
1 0 0
1 1 0
·
0 1
0 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
−2 1 −1
1 2 −1
−1 0 4
B =
0 5 2
−2 5 5
3 0 −1
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 3 3 6
1 5 6
x y z
4 6 6 −2
4 1 6 3
6 6 3 0
=
60 57 54 3
60 47 54 13
68 59 66 9
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[−3 5
−1 −3
]
B =
[−2 3
−3 2
]
C =
[5 −3
2 4
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C(−2 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[3 1
−4 −1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 56 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A XT
)TB
)T= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A X−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 4
1 4
]
C =
[−4 −19
1 6
]
D =
[−4 3
4 −4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 5
2 5
]
B =
[3 1
1 3
]
C =
[5 5
2 4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 3 objetos B
un objeto D se requieren 3 objetos A y 5 objetos B
un objeto G se requieren 5 objetos E y 2 objetos F
un objeto H se requieren 5 objetos E y 4 objetos F
3 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 1080
objetos A y 1740 objetos B
2 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 925
objetos A y 1490 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 56 6
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
1 5 1 1
8 5 8 4
5 6 1 2
2 4 2 5
determine:
1. C42 2. M32
3. C33 4. M34
5. M41
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ 3 −4
0 5− λ 5
0 5 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 3 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (3 A)−1
ii) A (3 B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 5R2
2. R1 ← 6R1
3. R2 ↔ R3
4. R3 ← R3 + 5R1
la convierten en la matriz:2 3 5 4 4
0 0 3 4 1
0 2 5 2 2
0 0 0 3 2
0 0 0 −12 −3
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 −1 1 1 −1 1
0 1 0 0 −1 −1 0
0 0 1 −1 0 1 −1
0 0 0 1 0 0 −1
0 0 0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
−1 0 1 0 0 0 0
1 −1 1 −1 0 0 0
1 −1 0 1 −1 0 0
0 1 1 −1 −1 1 0
−1 1 0 −1 0 0 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← 4R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← R3 + 4R7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ↔ R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 56 7
a) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
e) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:57
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← R6 + 2R5
b) R2 ← 6R2
c) R2 ↔ R5
d) R2 ← 5R2
e) R2 ↔ R6
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 2 por 5
2) Multiplicar el renglon 2 por 6
3) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 2
4) Intercambiar los renglones 2 y 5
5) Intercambiar los renglones 2 y 6
6) Sumarle al renglon 2 el renglon 5 multiplicado por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A −3 1 2
5 −1 −7
8 1 6
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← R2 + 4R3
2) R3 ↔ R2
3) R3 ← R3 + 4R2
4) R2 ↔ R1
5) R3 ← 4R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
2 −2 1 −1
1 1 2 2
0 −3 1 3
b)
2 6 −2 6
0 3 0 1
0 0 2 3
c)
0 1 −2 −2
2 3 1 −3
0 2 1 2
d)
2 2 −2 −6
0 1 0 1
0 0 1 −1
e)
1 −2 1 −3
0 3 1 2
0 2 −2 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← 12 R1
2) R3 ← R3 − 23 R2
3) R3 ← 12 R3
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← R1 + 2R3
6) R1 ↔ R2
7) R1 ← 12 R1
8) R1 ← R1 + 1R3
9) R2 ← R2 − 12 R1
10) R1 ← R1 − 2R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 1 −1
0 1 −1
]
b)
1 0
0 0
0 0
c)
[1 −3 −4
1 −1 −2
]d)
[0 2 4
0 0 −4
]e)
[0 0 1
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 57 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 −1
0 1 0 0 −3
0 0 0 1 4
b)
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 6 1
c)
1 4 4 −1
0 1 1 1
0 0 7 −1
0 0 0 0
d)
1 −3 3 −1
0 1 1 −1
0 0 0 1
0 0 0 0
e)
1 1 1 4
0 1 0 1
0 2 0 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 6 2 2
−6 18 9 5
−4 12 −2 9
−4 12 −2 15
b)
2 −6 3 11
−4 12 −4 −16
−2 6 −3 −11
c)
−1 2 3 −2
−2 4 7 −5
−4 11 14 −13
d)
3 3 0 3
−3 −5 −6 −1
6 0 −18 12
−6 −10 −12 −2
e)
−2 4 3 −1
−4 8 9 0
−6 12 3 −9
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−3, 0), Q(−2,−1), y R(0, 1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $3 en papel, $3 en
ilustraciones, y $6 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $3 en papel, $5 en ilustraciones, y $14 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $4 en papel, $14 en
ilustraciones, y $23 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $167 en papel, $285 en ilustraciones, y $606 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 28oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 2o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 2o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e2 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 4 y′ + 4 y =(4 + 6x+ 2x2
)e2 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
2 y′′ + 6 y′ + 2 y = 2 + 6x+ 3x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 57 3
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 26o, Tc = 39o
Td = 24o, Te = 33o, Tf = 40o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
b) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 9 pivotes, entonces el sistema
tiene solucion unica.
d) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
e) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 2 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f ,b]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 1 >
b) < 1, 1, 0 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 4, 4, 3 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) b + c
2) 3 b + 5 c
3) b + c + f
4) c + f
5) b
6) c
7) 3 b + 4 c + 4 f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,d, c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0
1 0
0 1
b)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
c)
1 0
0 0
0 1
d)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
e)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f , c, c]
2) [c, c, f , c]
3) [d, c]
4) [d, f , c]
5) [f , c]
6) [f , c,d]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 57 4
7) [f ,d, f ]
8) [d,d, f , f ]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 1
0 1
0 1
·
[0 1 0
0 0 1
]
2. (2, 2) de
[0 0 0
1 1 0
]·
0 0 0
0 1 1
0 1 1
3. (1, 1) de
0 1
1 1
0 0
·
[0 0
0 1
]
4. (1, 2) de
[0 1 0
1 1 1
]·
1 1
0 1
1 1
5. (3, 1) de
0 0 0
1 0 1
1 1 0
·
0 0
1 0
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
4 −1 4
−2 −1 3
2 4 0
B =
2 5 0
5 −3 3
−1 −1 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 1 5 1
x y z
6 5 3
6 1 1 5
5 5 5 0
1 1 3 0
=
32 27 29 5
45 15 23 30
64 34 40 30
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[2 5
4 5
]
B =
[−2 2
−2 4
]
C =
[−2 −3
0 4
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C (−2 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 2
−2 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 57 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A X−1
)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−10 1
−11 5
]
C =
[−3 −4
1 1
]
D =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 4
3 3
]
B =
[2 5
3 2
]
C =
[3 7
7 4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 3 As y 5 Bs
un D se requieren 5 As y 4 Bs
un E se requieren 2 Cs y 5 Ds
un F se requieren 3 Cs y 2 Ds
un G se requieren 100 As y 106 Bs
un H se requieren 169 As y 182 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 57 6
28. Si
A =
3 4 8 1
4 6 2 4
4 5 3 1
2 3 7 7
determine:
1. M33 2. M21
3. M43 4. C24
5. C22
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ −3 −1
0 1− λ 5
0 5 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −5 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−4 A)−1
ii) A (−4 B)T
iii) A B−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 + 4R1
2. R1 ← 2R1
3. R2 ↔ R3
4. R4 ← R4 − 2R2
la convierten en la matriz:2 2 1 5 3
0 5 1 2 1
0 15 5 7 5
0 0 0 0 3
0 0 0 2 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 −1 1 −1 −1 1
0 −1 −1 0 1 0 −1
0 0 −1 −1 1 1 −1
0 0 0 1 0 0 −1
0 0 0 0 −1 −1 1
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0
1 −1 −1 0 0 0 0
1 0 −1 1 0 0 0
1 0 1 1 −1 0 0
0 −1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 −1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← R5 + 5R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← 5R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ↔ R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
b) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
c) Si (A B) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
d) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
e) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:58
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ↔ R5
b) R5 ← R5 + 6R3
c) R6 ← R6 + 5R3
d) R6 ← 5R6
e) R6 ↔ R3
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 6 el renglon 3 multiplicado por 5
2) Multiplicar el renglon 6 por 5
3) Intercambiar los renglones 6 y 5
4) Multiplicar el renglon 6 por 3
5) Intercambiar los renglones 6 y 3
6) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 9 −3 2
8 −1 3
2 3 3
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ↔ R1
2) R3 ← 2R3
3) R3 ← R3 + 2R2
4) R3 ↔ R2
5) R2 ← R2 + 2R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −3 2 −3
0 4 1 3
0 3 3 −1
b)
3 3 −3 −9
0 1 0 −2
0 0 1 −2
c)
3 −3 1 −2
1 3 −3 −2
0 −1 1 2
d)
0 −3 −2 1
3 −3 −3 3
0 −2 1 −2
e)
3 −3 −3 −6
0 4 0 3
0 0 3 4
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 13 R3
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← 13 R1
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R3 ← R3 − 34 R2
6) R1 ↔ R2
7) R2 ← R2 − 13 R1
8) R1 ← R1 − 3R2
9) R1 ← 13 R1
10) R1 ← R1 + 3R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 0 −3
0 1 1
]b)
[0 0 1
0 0 0
]c)
[0 1 3
−4 0 3
]d)
[0 0 0
0 −3 2
]e)
[0 −4 −3
0 0 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 58 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 −4 4 −4
0 1 1 3
0 0 7 3
0 0 0 0
b)
1 −2 4 1
0 1 1 3
0 0 0 −3
0 0 0 0
c)
1 1 1 4
0 1 0 1
0 2 0 2
d)
1 0 0 0 1
0 1 0 0 −1
0 0 0 1 1
e)
1 0 1 0
0 1 1 −3
0 0 2 1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 2 −12 −1
−2 −4 18 −2
−2 2 0 8
−4 0 12 11
b)
−1 3 5 −7
−3 11 17 −25
−2 6 10 −14
c)
−2 −2 2 −1
−4 −4 6 0
2 2 −6 −4
4 4 0 3
d)
−1 −1 4 4
−2 −4 12 14
1 −5 8 14
2 6 −16 −20
e)
2 −6 2 −12
4 −12 2 −18
−2 6 −2 12
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
costarriqueno y grano jamaquino. Para una bolsa de mez-
cla de la casa requiere 300 g de hondureno y 200 g de cos-
tarriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300
g de hondureno, 100 g de costarriqueno y 100 g de jama-
quino. Para una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de
hondureno, 200 g de costarriqueno y 200 g de jamaquino.
El comerciante dispone de 28 kg de grano hondureno, 19
kg de grano costarriqueno, y 13 kg de grano jamaquino.
Determina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden prepa-
rar si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta
solo las bolsas de la mezcla gourmet. Sugerencia: Prime-
ro maneje todo en gramos y despues divida las ecuaciones
entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $6 en
ilustraciones, y $5 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $7 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $7 en papel, $14 en
ilustraciones, y $22 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $346 en papel, $590 en ilustraciones, y $706 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros em-
pastados en piel a producirse.
Respuesta:
9. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 468 para ensamble,
99 para pruebas, y 87 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 58 3
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
3 y′′ + 3 y′ + 2 y = 5 + 2x+ 5x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
20 + 14x+ 2x2 + 2x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 23o, Tb = 20o, Tc = 27o
Td = 27o, Te = 15o, Tf = 17o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
c) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
d) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
e) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, c,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 1 >
b) < 1, 0, 0 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 2, 4, 5 >
e) < 5, 4, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) e
2) c
3) 5 a + 4 c + 2 e
4) a + c + e
5) 4 c + 5 e
6) a + e
7) a + c
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,a,b]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 58 4
b)
0 1
1 0
0 0
c)
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
d)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
e)
0 0
0 1
1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [a, e]
2) [a, e,b, e]
3) [e,b, e,a]
4) [e,b,b]
5) [a, e,b]
6) [b,a]
7) [e,b,a]
8) [e,a, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 3) de
0 1
0 0
0 0
·
[1 0 0
1 0 0
]
2. (2, 2) de
[0 1 0
1 0 1
]·
1 0 1
0 0 0
0 1 1
3. (2, 2) de
1 0
0 1
1 1
·
[0 1
1 0
]
4. (1, 1) de
[1 0 0
1 1 0
]·
1 1
1 0
1 0
5. (2, 1) de
0 1 1
0 0 0
0 1 0
·
1 0
0 1
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
−1 0 3
4 −2 −1
4 0 −1
B =
−3 0 0
1 −2 −2
−2 −3 3
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
3 5 5
6 2 4
2 4 1
−3 3 1
2 x 6
6 y 4
6 z 5
=
66 63 63
48 62 64
34 36 33
18 1 −1
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 −1
−2 4
]
B =
[0 −1
0 3
]
C =
[5 4
3 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C(−2 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 −2
2 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 58 5
21. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A XT)T
B
)T= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[2 3
2 −1
]
D =
[−3 −8
−10 2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[6 −1
−11 −2
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 2
5 3
]
B =
[2 3
2 5
]
C =
[7 7
4 7
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 2 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 5 Cs y 2 Ds
un F se requieren 3 Cs y 2 Ds
un G se requieren 3 Es y 5 Fs
un H se requieren 4 Es y 3 Fs
un G se requieren 92 As y 122 Bs
un H se requieren 86 As y 115 Bs
Determine
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 58 6
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
e) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
7 3 2 3
5 5 6 6
7 4 2 3
5 4 6 4
determine:
1. M44 2. C42
3. M43 4. C12
5. M13
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 0 −1
0 6− λ 2
0 2 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −3 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−4 B)T
ii) (−4 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 + 2R1
2. R1 ← −5R1
3. R4 ← R4 + 2R2
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:3 4 1 3 4
0 0 1 1 4
0 2 1 1 5
0 0 0 4 2
0 0 0 12 11
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 0 −1 1 1 −1
0 1 1 −1 0 1 1
0 0 1 0 −1 −1 1
0 0 0 1 −1 −1 −1
0 0 0 0 −1 1 −1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
−1 −1 0 −1 0 0 0
−1 1 0 0 −1 0 0
0 −1 −1 1 −1 −1 0
−1 1 0 1 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← R1 + 4R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ↔ R4
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 58 7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← 4R1
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
b) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
d) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:59
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R2 ← 5R2
b) R2 ↔ R5
c) R2 ← R2 + 5R3
d) R2 ← 3R2
e) R5 ← R5 + 2R3
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 2 el renglon 3 multiplicado por 5
2) Intercambiar los renglones 2 y 3
3) Intercambiar los renglones 2 y 5
4) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 2
5) Multiplicar el renglon 2 por 5
6) Multiplicar el renglon 2 por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 10 −1 −6
6 2 −6
3 −1 2
determine cada elemento (3, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 − 3R2
2) R3 ← −3R3
3) R3 ← R3 − 3R1
4) R1 ← R1 − 3R3
5) R3 ↔ R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −2 1 3
0 3 −1 2
0 2 1 −3
b)
0 −3 2 2
2 −3 −3 −3
0 3 3 −2
c)
2 2 −2 −4
0 1 0 −1
0 0 1 −1
d)
2 2 −2 −6
0 3 0 1
0 0 2 3
e)
2 −1 −1 3
1 −3 3 3
0 −1 −2 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← 12 R1
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R3 ← R3 − 23 R2
4) R1 ← R1 − 2R2
5) R2 ← R2 − 12 R1
6) R3 ← 12 R3
7) R1 ← R1 + 2R3
8) R1 ↔ R2
9) R1 ← 12 R1
10) R1 ← R1 + 1R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 1 0
0 0 0
]b)
[1 −2 −3
1 −3 −2
]c)
[1 −3 1
0 1 −4
]d)
[0 1 −4
1 0 1
]e)
[1 0 2
0 1 −3
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 59 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 3
0 1 0 −1
0 2 0 −2
b)
1 0 0 −2
0 1 1 2
0 0 0 4
c)
1 1 −1 3
0 0 1 −4
0 0 3 0
0 0 0 0
d)
1 0 0 0 1
0 1 0 0 −4
0 0 0 1 1
e)
1 3 −4 −4
0 1 1 −1
0 0 0 −4
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 2 −2 −10
2 0 1 5
−4 8 −4 −28
b)
3 −2 −2 −16
9 −8 −7 −55
9 −10 −9 −65
0 0 0 0
c)
−1 1 −2 2
2 −2 6 −5
1 −1 −2 3
2 −2 8 3
d)
2 −4 −2 −2
−2 4 0 0
6 −12 −10 −8
e)
−1 2 2 −7
−2 4 5 −17
1 1 1 −5
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de
cafe: mezcla economica, mezcla especial y mezcla gour-
met. Estas mezclas se obtienen combinando grano hon-
dureno, grano colombiano y grano etıope. Para una bolsa
de mezcla economica requiere 300 g de hondureno y 200 g
de colombiano. Para una bolsa de mezcla especial requie-
re 300 g de hondureno, 100 g de colombiano y 100 g de
etıope. Para una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g
de hondureno, 200 g de colombiano y 200 g de etıope. El
comerciante dispone de 23 kg de grano hondureno, 13 kg
de grano colombiano, y 9 kg de grano etıope. Determina
cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene
que utilizarse todo el grano disponible. Reporta solo las
bolsas de la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero mane-
je todo en gramos y despues divida las ecuaciones entre
100 antes de resolver.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 328 para ensamble,
70 para pruebas, y 63 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (1, 1), Q(2, 0), y R(4, 2). A ma-
nera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
36 + 4x+ 3x2
(2 + x) (4 + x2)=
A
2 + x+
C +B x
4 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 59 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 2 y′ + 2 y = 2 + 3x+ 5x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 18o, Tb = 27o, Tc = 17o
Td = 19o, Te = 26o, Tf = 34o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
b) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, c, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 2, 5, 2 >
d) < 1, 1, 0 >
e) < 5, 2, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) b + c + f
2) c
3) 2 b + 5 c + 2 f
4) b
5) c + f
6) b + c
7) 5 b + 2 c
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,d, e]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
b)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 59 4
c)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
d)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
e)
0 0
1 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d,d,a,a]
2) [d, e]
3) [d,a,d]
4) [a, e]
5) [a, e, e]
6) [a, e,d]
7) [e,d,a]
8) [d,a, e,a]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
1 1
0 0
0 1
·
[0 1 0
1 0 1
]
2. (1, 1) de
[0 1 1
0 0 1
]·
1 1 0
1 1 1
1 0 0
3. (1, 1) de
0 1
0 1
1 0
·
[0 0
1 0
]
4. (1, 2) de
[0 0 0
1 1 1
]·
1 0
1 1
0 1
5. (3, 1) de
1 0 1
0 0 1
1 1 1
·
1 1
0 1
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
0 0 5
2 3 3
−1 −1 1
B =
−3 −1 1
3 −3 5
3 2 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
4 2 6
1 4 2
x y z
4 6 3 −2
2 6 2 −4
6 3 4 3
=
56 54 40 2
24 36 19 −12
34 57 27 −23
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 −3
4 5
]
B =
[5 4
0 −1
]
C =
[−3 3
2 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C (−7 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 1
−2 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 59 5
21. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[0 2
−2 3
]
D =
[4 −7
3 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−1 0
−3 2
]
D =
[0 1
5 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[10 −12
−2 4
]
C =
[4 −1
−3 1
]
D =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 3
2 5
]
B =
[3 3
3 2
]
C =
[8 4
7 3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 2 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 3 objetos A y 4 objetos B
un objeto D se requieren 2 objetos A y 5 objetos B
un objeto G se requieren 2 objetos E y 2 objetos F
un objeto H se requieren 4 objetos E y 2 objetos F
5 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 730
objetos A y 1300 objetos B
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 59 6
5 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 530
objetos A y 940 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
6 8 3 2
5 5 2 2
6 4 7 1
2 5 1 4
determine:
1. M34 2. C41
3. C12 4. M31
5. C14
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 4 3
0 3− λ 2
0 2 3− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −4 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−4 B)T
ii) (−4 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R4 ← R4 − 6R2
3. R1 ← −6R1
4. R3 ← R3 + 3R1
la convierten en la matriz:2 5 3 4 4
0 5 3 1 1
0 −15 −4 2 0
0 0 0 0 4
0 0 0 3 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 0 1 −1 1 0
0 1 1 0 1 −1 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 −1 1 −1 0
0 0 0 0 1 0 −1
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
−1 1 −1 0 0 0 0
−1 0 −1 1 0 0 0
1 −1 1 0 1 0 0
−1 −1 1 0 −1 −1 0
−1 1 0 −1 1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) A B
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 59 7
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← R2 + 5R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← 5R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ↔ R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
c) Si (A AT) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
d) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:60
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← 5R3
b) R5 ← R5 + 3R6
c) R3 ↔ R5
d) R3 ← 6R3
e) R3 ↔ R6
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 3 por 6
2) Sumarle al renglon 5 el renglon 6 multiplicado por 3
3) Multiplicar el renglon 3 por 5
4) Intercambiar los renglones 3 y 5
5) Intercambiar los renglones 3 y 6
6) Sumarle al renglon 3 el renglon 6 multiplicado por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A 4 −2 5
6 −2 −5
8 2 −3
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← R2 + 3R1
2) R3 ← 3R3
3) R3 ← R3 + 3R2
4) R3 ↔ R2
5) R2 ↔ R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
11 33 −11 11
0 12 0 −3
0 0 11 12
b)
1 −11 1 −3
0 12 −2 −2
0 11 2 1
c)
0 2 −2 −1
11 −2 1 2
0 −3 1 2
d)
11 11 −11 −33
0 1 0 −3
0 0 1 −3
e)
11 1 −1 2
1 3 1 2
0 2 2 2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 111 R3
2) R3 ← R3 − 1112 R2
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R2 ← R2 − 111 R1
5) R1 ← R1 + 1R3
6) R1 ← 111 R1
7) R1 ← R1 − 11R2
8) R1 ↔ R2
9) R1 ← 111 R1
10) R1 ← R1 + 11R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 2 2
1 4 −1
]b)
[0 1 0
0 0 0
]c)
[1 −1 1
0 1 1
]d)
[0 0 0
0 4 3
]e)
[0 3 −2
1 −1 −1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 60 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 −3 3 4
0 1 1 −4
0 0 6 −4
0 0 0 0
b)
1 −4 −3 4
0 1 1 4
0 0 0 1
0 0 0 0
c)
1 0 0 0 2
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 −4
d)
1 0 1 0
0 1 1 2
0 0 3 1
e)
1 1 2 −3
0 0 1 3
0 0 4 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −2 2 4
−3 −6 9 15
1 2 −2 −4
b)
−1 −2 5 5
1 4 −7 −9
−3 0 9 3
1 6 −9 −13
c)
2 2 3 −7
4 7 4 1
−4 5 −13 62
d)
−1 2 2 9
−3 6 7 29
−4 11 11 45
e)
3 −1 −10 −2
9 −1 −28 −6
−6 8 26 5
−3 −3 6 4
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1, 1), Q(0, 0), y R(2, 2). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano
costarriqueno y grano keniano. Para una bolsa de mezcla
de la casa requiere 300 g de mexicano y 200 g de costarri-
queno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
mexicano, 100 g de costarriqueno y 100 g de keniano. Para
una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de mexicano,
200 g de costarriqueno y 200 g de keniano. El comerciante
dispone de 23 kg de grano mexicano, 13 kg de grano cos-
tarriqueno, y 9 kg de grano keniano. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas de
la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 21oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 3o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 9o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−37− 12x+ 27x2 + 14x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
39− 2x− x2
(3 + x) (9 + x2)=
A
3 + x+
C +B x
9 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 60 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 29o, Tb = 10o, Tc = 34o
Td = 31o, Te = 10o, Tf = 13o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
b) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
c) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
d) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 2 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,d, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 2, 4, 4 >
b) < 0, 0, 1 >
c) < 0, 1, 0 >
d) < 4, 3, 0 >
e) < 0, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) d + f
2) d
3) f
4) 2 a + 4 d + 4 f
5) a + f
6) 4 a + 3 d
7) a + d + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f ,d]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
d)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
e)
0 0
0 1
1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f , c]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 60 4
2) [d, f ]
3) [c,d, c, c]
4) [f , c,d]
5) [d, f , c]
6) [d,d, c,d]
7) [f , c, f ]
8) [c, f , c]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 3) de
1 1
1 0
0 0
·
[1 1 1
1 0 1
]
2. (1, 1) de
[0 0 1
0 1 1
]·
0 1 1
0 1 0
0 1 0
3. (3, 2) de
1 1
0 0
1 1
·
[1 1
0 1
]
4. (1, 2) de
[1 0 1
1 0 0
]·
0 1
0 0
0 1
5. (1, 1) de
0 1 0
1 0 0
1 0 1
·
0 0
1 0
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
4 3 4
−2 −2 1
1 3 5
B =
3 5 4
2 2 2
−3 3 −1
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 2 5 5
5 6 6
x y z
6 2 4 4
1 2 4 −1
6 6 4 0
=
47 44 48 3
72 58 68 14
49 38 36 11
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 2
−2 −1
]
B =
[4 0
−1 4
]
C =
[−2 2
1 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 −1
0 0
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((A X−1
)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 60 5
22. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[1 1
−2 −3
]
D =
[0 −7
7 8
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[10 2
−12 −2
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 5
4 3
]
B =
[3 3
3 1
]
C =
[5 4
4 5
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 3 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 4 Cs y 3 Ds
un F se requieren 4 Cs y 4 Ds
un G se requieren 4 Es y 5 Fs
un H se requieren 4 Es y 3 Fs
un G se requieren 204 As y 244 Bs
un H se requieren 156 As y 188 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 60 6
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
6 5 1 3
8 7 5 7
5 6 8 7
7 5 8 3
determine:
1. C32 2. M13
3. C14 4. C44
5. M42
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ −1 4
0 2− λ 1
0 1 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 5 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−3 A)−1
ii) A (−3 B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R1 ← −4R1
3. R3 ← R3 − 3R1
4. R4 ← R4 − 6R2
la convierten en la matriz:4 3 2 3 1
0 4 2 5 3
0 16 13 24 13
0 0 0 0 5
0 0 0 4 5
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 1 −1 0 0 0
0 −1 1 1 1 −1 −1
0 0 1 1 1 −1 −1
0 0 0 −1 1 1 1
0 0 0 0 −1 −1 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 −1 1 0 0 0 0
−1 0 1 −1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0
−1 1 −1 −1 0 1 0
1 1 1 1 −1 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 4R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 4R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R3
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
c) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 60 7
d) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es cero.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:61
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← 3R6
b) R6 ← 2R6
c) R6 ↔ R2
d) R3 ← R3 + 6R2
e) R6 ↔ R3
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 6 y 3
2) Sumarle al renglon 3 el renglon 2 multiplicado por 6
3) Multiplicar el renglon 6 por 2
4) Intercambiar los renglones 6 y 2
5) Sumarle al renglon 6 el renglon 2 multiplicado por 3
6) Multiplicar el renglon 6 por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 6 2 5
8 −3 3
5 −3 −3
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ↔ R2
2) R2 ← R2 − 2R1
3) R3 ← R3 − 2R2
4) R2 ↔ R1
5) R3 ← −2R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
7 7 −7 14
0 1 0 1
0 0 1 1
b)
7 7 −7 14
0 8 0 −3
0 0 7 8
c)
1 −7 −3 2
0 8 −3 2
0 7 −2 3
d)
0 −2 3 −1
7 −3 3 −1
0 −3 −1 1
e)
7 −1 −1 1
1 −2 −3 2
0 −1 2 −3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← R3 − 78 R2
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← R1 + 7R3
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← R1 − 7R2
6) R1 ← 17 R1
7) R1 ← 17 R1
8) R2 ← R2 − 17 R1
9) R1 ← R1 + 1R3
10) R3 ← 17 R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 0 −4
0 1 −3
]b)
[1 −3 −2
1 −4 −1
]c)
[0 0 1
0 0 0
]d)
[1 2 0
0 1 2
]e)
[−2 −2 −4
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 61 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 −3 −2 −2
0 1 1 −1
0 0 0 −1
0 0 0 0
b)
1 1 −3 −2
0 0 1 4
0 0 2 0
0 0 0 0
c)
1 −2 −2 −3
0 1 1 −4
0 0 3 1
0 0 0 0
d)
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 4 1
e)
1 1 1 −2
0 1 0 −4
0 2 0 −8
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 2 −1 13
9 6 −2 36
12 10 −2 50
b)
2 6 −2 2
−4 −12 2 −1
−4 −12 −2 4
−2 −6 6 −7
c)
3 −1 −4 1
−6 1 10 −4
−6 3 6 0
6 0 −12 6
d)
2 3 3 2
−4 −8 −3 11
−4 −12 2 38
0 0 0 0
e)
2 −1 −3 3
−2 −1 9 −1
4 0 −12 5
−4 4 0 −10
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $4 en
ilustraciones, y $4 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $6 en ilustraciones, y $12 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $3 en papel, $10 en
ilustraciones, y $21 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $130 en papel, $346 en ilustraciones, y $592 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 668 para ensamble,
140 para pruebas, y 123 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (0, 1), Q(1, 0), y R(3, 2). A ma-
nera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−29− 15x+ 21x2 + 13x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
3 y′′ + 4 y′ + 2 y = 6 + 6x+ 3x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 61 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 29o, Tb = 14o, Tc = 28o
Td = 28o, Te = 11o, Tf = 12o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 10 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
d) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,b, e]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 3, 5, 5 >
b) < 1, 0, 0 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 0, 0, 1 >
e) < 1, 0, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) e
2) f
3) b + e + f
4) 3 e + 2 f
5) e + f
6) b + f
7) 5 b + 5 e + 3 f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,a,b]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
b)
0 1
1 0
0 0
c)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
d)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
e)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [e,b, e, e]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 61 4
2) [e,b,b]
3) [e,b,a]
4) [a, e,b]
5) [a,b]
6) [a, e,b, e]
7) [e,a, e]
8) [a, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 2) de
0 0
1 0
0 1
·
[0 0 0
1 0 1
]
2. (1, 1) de
[0 0 1
0 1 0
]·
1 1 1
1 0 0
1 1 1
3. (3, 1) de
0 1
1 1
0 1
·
[1 1
1 0
]
4. (1, 2) de
[1 0 1
0 0 0
]·
0 1
1 1
0 0
5. (3, 1) de
1 1 0
1 0 1
1 1 1
·
0 0
1 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
−1 2 3
0 0 1
−3 4 5
B =
−3 5 −2
2 0 5
3 2 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 1 2 1
x y z
5 5 4
2 3 5 −1
6 5 6 1
4 4 5 0
=
18 17 22 1
50 49 64 1
56 56 75 0
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[2 2
2 5
]
B =
[−2 −1
−1 3
]
C =
[5 4
3 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C (−5 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 −3
3 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[1 0
0 −2
]
D =
[−5 1
−3 7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 61 5
22. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−10 −11
1 1
]
C =
[2 1
−3 −1
]
D =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 3
4 6
]
B =
[5 5
4 1
]
C =
[6 10
6 5
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 2 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 4 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 2 As y 5 Bs
un D se requieren 4 As y 4 Bs
un E se requieren 2 Cs y 2 Ds
un F se requieren 5 Cs y 2 Ds
un G se requieren 96 As y 156 Bs
un H se requieren 96 As y 168 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
b) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 61 6
e) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
7 5 5 3
8 4 8 5
1 5 3 8
3 8 2 1
determine:
1. M42 2. M34
3. M13 4. C23
5. M44
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ 0 −2
0 5− λ 3
0 3 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −1 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4 B)T
ii) (4 A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← 4R1
2. R4 ← R4 + 6R2
3. R3 ← R3 − 6R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:4 1 2 2 5
0 0 3 1 1
0 4 3 5 2
0 0 0 3 3
0 0 0 9 11
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 −1 0 −1 1 1
0 1 1 0 −1 1 0
0 0 −1 1 1 −1 1
0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
−1 1 −1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 0 −1 0 0 −1 0
1 0 1 −1 0 1 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BT A B−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 6R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 6R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R5
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
b) Si (A AT) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
c) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:62
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← 5R3
b) R3 ← R3 + 5R6
c) R3 ← 6R3
d) R5 ← R5 + 3R6
e) R3 ↔ R5
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 5 el renglon 6 multiplicado por 3
2) Intercambiar los renglones 3 y 5
3) Intercambiar los renglones 3 y 6
4) Sumarle al renglon 3 el renglon 6 multiplicado por 5
5) Multiplicar el renglon 3 por 5
6) Multiplicar el renglon 3 por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 8 −2 −5
10 1 4
3 3 6
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 − 3R3
2) R2 ← −3R2
3) R1 ← R1 − 3R2
4) R1 ↔ R3
5) R2 ← R2 − 3R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
3 3 −3 3
1 −1 −3 1
0 3 1 −2
b)
3 −9 −3 −3
0 4 0 −3
0 0 3 4
c)
1 −3 −2 −3
0 4 1 −1
0 3 1 −2
d)
0 1 2 1
3 −1 2 3
0 2 −3 2
e)
3 3 −3 −9
0 1 0 2
0 0 1 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R2 ← R2 − 13 R1
3) R3 ← R3 − 34 R2
4) R1 ← R1 − 3R2
5) R1 ↔ R2
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← 13 R1
8) R1 ← 13 R1
9) R3 ← 13 R3
10) R1 ← R1 + 3R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 −1 0
1 1 2
]b)
[0 0 0
0 −3 −4
]c)
[0 1 0
0 0 0
]d)
[1 2 −4
1 −1 −4
]e)
[4 −4 3
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 62 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 −1
0 1 0 4
0 2 0 8
b)
1 4 −2 3
0 1 1 −1
0 0 3 3
0 0 0 0
c)
1 0 1 0
0 1 1 −4
0 0 5 1
d)
1 1 1 4
0 1 1 1
0 0 0 3
0 0 0 0
e)
1 1 −1 4
0 0 1 −4
0 0 −3 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 2 −2 2
2 −2 5 −4
4 −4 10 −6
−4 4 −10 14
b)
3 −6 3 −3
9 −18 8 −7
−6 12 −6 6
c)
3 2 −7 2
−6 −5 13 −7
−6 −3 15 0
−6 −7 11 −10
d)
−1 3 12 −7
−3 8 33 −18
2 −5 −21 11
1 −1 −6 1
e)
−2 2 −2 −8
4 −1 6 23
2 −8 1 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
brasileno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla de la
casa requiere 300 g de dominicano y 200 g de brasileno.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de do-
minicano, 100 g de brasileno y 100 g de etıope. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de dominicano, 200 g
de brasileno y 200 g de etıope. El comerciante dispone de
20 kg de grano dominicano, 14 kg de grano brasileno, y
6 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 676 para ensamble,
142 para pruebas, y 123 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
9. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $3 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $5 en ilustraciones, y $8 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $5 en papel, $10 en
ilustraciones, y $28 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $182 en papel, $351 en ilustraciones, y $602 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
4 + 10x− 2x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 62 3
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
4 y′′ + 5 y′ + 2 y = 6 + 3x+ 3x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 18o, Tb = 32o, Tc = 11o
Td = 37o, Te = 25o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
b) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
d) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
e) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, f ,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 0 >
b) < 2, 3, 2 >
c) < 0, 2, 3 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 0, 0, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 2 a + 2 e + 3 f
2) a + e
3) a
4) e + f
5) 3 a + 2 f
6) e
7) a + e + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, c, f ]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
b)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
c)
0 1
1 0
0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 62 4
d)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
e)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [b, f , c]
2) [c, c,b,b]
3) [f ,b,b]
4) [c, f ,b]
5) [c, f ]
6) [b, f , f ]
7) [c,b]
8) [f , f ,b, f ]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 3) de
1 1
0 1
0 0
·
[1 0 1
1 0 0
]
2. (1, 1) de
[0 0 0
0 0 0
]·
1 0 1
1 1 1
1 1 0
3. (1, 1) de
1 0
0 0
1 0
·
[1 0
0 1
]
4. (2, 2) de
[1 1 0
1 0 1
]·
1 0
1 1
1 0
5. (1, 1) de
0 0 1
0 1 1
1 1 1
·
0 0
1 0
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
3 5 0
1 −3 5
5 4 3
B =
3 −1 3
3 1 2
5 3 0
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 1 5
x y z
5 6 3
6 6 5 0
3 3 2 0
3 1 6 2
=
48 38 57 10
33 25 41 8
57 51 55 6
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 1
−2 −1
]
B =
[5 4
1 −1
]
C =
[1 −2
−1 2
]
Resuelva para X la ecuacion:
7 X + B = C(−3 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 62 5
21. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[2 1
2 3
]
D =
[−2 −5
−3 −7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−3 −2
1 −1
]
D =
[8 5
−5 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[1 4
1 0
]
C =
[−4 −13
−3 −10
]
D =
[−2 4
−2 2
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 2
5 5
]
B =
[5 1
4 3
]
C =
[9 4
9 8
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 2 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 4 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 2 As y 4 Bs
un D se requieren 4 As y 5 Bs
un E se requieren 2 Cs y 3 Ds
un F se requieren 5 Cs y 4 Ds
un G se requieren 194 As y 292 Bs
un H se requieren 210 As y 315 Bs
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 62 6
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
7 1 2 2
4 6 3 5
5 5 5 5
8 7 5 2
determine:
1. C12 2. C43
3. C44 4. C13
5. C34
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ −3 2
0 3− λ 3
0 3 3− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 3 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4 B)T
ii) (4 A)−1
iii) A−1 B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 − 6R1
2. R2 ↔ R3
3. R4 ← R4 + 2R2
4. R1 ← −6R1
la convierten en la matriz:4 3 1 5 1
0 0 1 3 5
0 5 5 1 3
0 0 0 2 1
0 0 0 2 3
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 0 1 −1 0 1
0 1 −1 0 0 −1 −1
0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1 −1
0 0 0 0 −1 −1 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
0 −1 1 −1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 −1 −1 0
−1 0 1 0 −1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R7
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 62 7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 4R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 4R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
b) Si (A B) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
d) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:63
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R2 ↔ R5
b) R2 ← 5R2
c) R2 ↔ R3
d) R2 ← 3R2
e) R3 ← R3 + 2R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 2 por 3
2) Sumarle al renglon 2 el renglon 5 multiplicado por 3
3) Intercambiar los renglones 2 y 3
4) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 2
5) Multiplicar el renglon 2 por 5
6) Intercambiar los renglones 2 y 5
Respuesta:
2. Para la matriz A 3 −2 3
10 3 2
2 2 −7
determine cada elemento (3, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 − 2R3
2) R3 ← −2R3
3) R3 ↔ R1
4) R1 ↔ R2
5) R3 ← R3 − 2R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
2 −6 −2 2
0 3 0 3
0 0 2 3
b)
0 −3 1 −3
2 −3 −2 −2
0 1 −2 3
c)
2 −2 2 −2
1 1 −3 −2
0 −3 1 1
d)
1 −2 2 −2
0 3 2 3
0 2 2 2
e)
2 2 −2 −2
0 1 0 3
0 0 1 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ↔ R2
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← R1 + 2R3
4) R3 ← R3 − 23 R2
5) R2 ← R2 − 12 R1
6) R1 ← R1 − 2R2
7) R1 ← 12 R1
8) R1 ← R1 + 1R3
9) R1 ← 12 R1
10) R3 ← 12 R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[4 −2 4
0 0 0
]b)
[1 0 −4
0 1 −2
]c)
[0 −3 −4
2 −2 −3
]d)
[0 1 0
0 0 0
]e)
[0 0 0
0 −1 −3
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 63 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 1 0
0 1 1 −1
0 0 4 1
b)
1 1 3 −2
0 1 1 −2
0 0 2 3
0 0 0 0
c)
1 1 1 1
0 1 0 4
0 2 0 8
d)
1 1 1 2
0 0 1 −1
0 0 −2 0
0 0 0 0
e)
1 0 0 0 3
0 1 0 0 1
0 0 1 0 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 2 2 6
−3 6 5 16
−3 6 6 18
b)
−2 3 −3 −1
−4 8 −4 −5
−6 13 −5 −8
2 1 7 −6
c)
2 2 −2 −1
4 4 −1 0
−4 −4 1 3
d)
−1 3 2 4
1 −4 −3 −6
2 −9 −5 −16
0 0 0 0
e)
−2 −4 −2 −1
−6 −12 −7 −1
4 8 2 4
2 4 0 −1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 23oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 3o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 4o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 584 para ensamble,
124 para pruebas, y 112 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
costarriqueno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de costarri-
queno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g de
hondureno, 200 g de costarriqueno y 100 g de etıope. Pa-
ra una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de hondureno,
300 g de costarriqueno y 100 g de etıope. El comercian-
te dispone de 13 kg de grano hondureno, 17 kg de grano
costarriqueno, y 5 kg de grano etıope. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas
de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−28− 6x+ 20x2 + 10x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 63 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e2 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 4 y′ + 4 y =(1 + 6x+ 3x2
)e2 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 15o, Tb = 11o, Tc = 15o
Td = 32o, Te = 31o, Tf = 34o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
b) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
d) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
e) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, f ,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 3, 0, 5 >
b) < 1, 0, 1 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 0, 1, 0 >
e) < 3, 4, 4 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 4 a + 3 d + 4 f
2) d + f
3) a + d
4) a
5) f
6) a + d + f
7) 5 a + 3 d
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, f , c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 63 4
c)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
d)
0 0
1 0
0 1
e)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f , f , e, e]
2) [e, c, e, e]
3) [f , e, c]
4) [c, e, e]
5) [f , c]
6) [c, f ]
7) [e, f , e]
8) [c, f , e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 3) de
0 1
1 0
1 1
·
[0 0 1
0 0 0
]
2. (1, 3) de
[0 1 1
0 0 0
]·
0 1 1
1 0 0
0 0 0
3. (2, 1) de
0 1
0 1
0 1
·
[0 1
1 1
]
4. (2, 2) de
[1 1 0
0 1 1
]·
1 1
1 1
1 0
5. (2, 1) de
1 0 1
1 1 1
1 1 1
·
1 1
0 0
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
0 4 3
−3 −3 0
5 4 1
B =
3 −3 3
5 3 2
1 −1 3
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 4 5
5 5 1
x y z
6 3 1 3
1 2 3 −1
2 6 4 −4
=
44 53 37 −9
37 31 24 6
18 22 16 −4
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 −2
−2 5
]
B =
[3 1
−2 1
]
C =
[−1 −3
−1 −1
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 2
−2 2
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 63 5
21. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[3 3
1 1
]
D =
[−12 −13
−2 −2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−2 −2
0 −1
]
D =
[8 3
1 2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−20 −13
−7 −5
]
C =
[2 −3
1 −1
]
D =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 4
3 3
]
B =
[1 3
1 5
]
C =
[5 8
3 9
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 3 objetos A y 2 objetos B
un objeto D se requieren 4 objetos A y 4 objetos B
un objeto G se requieren 3 objetos E y 2 objetos F
un objeto H se requieren 3 objetos E y 4 objetos F
3 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 920
objetos A y 812 objetos B
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 63 6
2 objetos G y 5 objetos H se requieren en total 954
objetos A y 840 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
8 3 1 1
2 5 5 7
6 8 8 4
8 4 6 7
determine:
1. M22 2. C23
3. M13 4. C32
5. C43
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ 1 1
0 5− λ 5
0 5 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −1 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (3 B)T
ii) (3 A)−1
iii) AT B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R1 ← 2R1
3. R3 ← R3 − 4R1
4. R4 ← R4 + 4R2
la convierten en la matriz:2 4 2 1 3
0 0 2 1 2
0 3 2 1 1
0 0 0 3 2
0 0 0 −6 −1
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 0 0 1 0 1
0 −1 −1 0 1 −1 −1
0 0 1 0 1 1 −1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0 0
−1 1 0 1 −1 0 0
1 −1 −1 1 0 1 0
0 −1 0 −1 1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) B A
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 63 7
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← R3 + 6R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← 6R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ↔ R5
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces det(A)
es cero.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
d) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:64
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← 4R3
b) R5 ← R5 + 3R4
c) R3 ← R3 + 5R4
d) R3 ↔ R4
e) R3 ← 5R3
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 3 y 5
2) Sumarle al renglon 3 el renglon 4 multiplicado por 5
3) Multiplicar el renglon 3 por 5
4) Sumarle al renglon 5 el renglon 4 multiplicado por 3
5) Multiplicar el renglon 3 por 4
6) Intercambiar los renglones 3 y 4
Respuesta:
2. Para la matriz A 3 −1 −6
5 2 7
2 1 −2
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ↔ R3
2) R1 ← R1 + 4R2
3) R1 ↔ R2
4) R2 ← R2 + 4R1
5) R1 ← 4R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
0 −3 −2 1
7 −3 1 2
0 −2 −1 3
b)
7 7 −7 7
0 1 0 2
0 0 1 −3
c)
7 −3 −2 3
1 3 −3 2
0 −1 1 3
d)
1 −7 1 3
0 8 −3 2
0 7 2 −1
e)
7 −21 −7 7
0 8 0 −2
0 0 7 8
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 17 R3
2) R1 ← 17 R1
3) R1 ↔ R2
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← R1 + 7R3
6) R1 ← 17 R1
7) R3 ← R3 − 78 R2
8) R1 ← R1 − 7R2
9) R1 ← R1 + 1R3
10) R2 ← R2 − 17 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 2 −3
0 1 −2
]b)
[0 0 0
0 −2 3
]c)
[0 0 0
0 0 0
]d)
[1 −4 2
1 2 −3
]e)
[1 0 −2
0 1 −1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 64 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 2
0 1 0 0 3
0 0 0 1 2
b)
1 2 1 4
0 1 1 −2
0 0 0 1
0 0 0 0
c)
1 1 1 −4
0 1 0 3
0 2 0 6
d)
1 1 −1 2
0 0 1 4
0 0 3 0
0 0 0 0
e)
1 4 −4 −1
0 1 1 −3
0 0 4 1
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 −4 −2 −2
−2 4 4 0
−2 4 −2 8
b)
3 −6 2 3
6 −12 7 4
9 −18 0 11
−6 12 2 −8
c)
−1 −1 −1 5
−2 −2 0 6
−3 −3 −3 15
d)
−1 2 −1 −3
−3 5 −4 −8
2 −2 4 4
1 −1 2 2
e)
2 3 −1 −2
−4 −7 1 5
−4 −8 0 7
4 8 0 −7
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−4, 1), Q(−3, 0), y R(−1, 2). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 376 para ensamble,
82 para pruebas, y 78 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
9. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $2 en
ilustraciones, y $6 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $4 en ilustraciones, y $10 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $9 en
ilustraciones, y $23 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $282 en papel, $261 en ilustraciones, y $689 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e3 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 6 y′ + 9 y =(6 + x+ 4x2
)e3 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 64 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
4 y′′ + 6 y′ + 2 y = 3 + 4x+ 4x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 32o, Tb = 20o, Tc = 17o
Td = 26o, Te = 32o, Tf = 10o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
b) Si un SEL homogeneo 8× 8 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
c) Si un SEL homogeneo 9× 9 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
d) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
e) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, f ,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 3, 3, 5 >
b) < 0, 1, 1 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 1, 1, 0 >
e) < 0, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) f
2) 2 a + 5 b
3) 5 a + 3 b + 3 f
4) a + f
5) a
6) b + f
7) a + b + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c,d, f ]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0
0 1
1 0
b)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 64 4
c)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
d)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
e)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c, f ]
2) [d, c,d]
3) [d, c, f , c]
4) [c, f , f ]
5) [d, c, f ]
6) [f ,d]
7) [d,d, c, c]
8) [f ,d, c]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 1
1 0
1 1
·
[0 1 0
0 0 0
]
2. (1, 1) de
[0 1 1
1 0 0
]·
1 1 0
0 0 1
1 0 0
3. (3, 1) de
1 0
0 0
1 0
·
[0 1
1 1
]
4. (1, 1) de
[1 0 0
1 0 0
]·
1 0
1 0
1 1
5. (2, 2) de
1 0 0
1 1 0
0 1 0
·
0 0
1 0
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
−2 0 2
−3 −2 0
2 4 1
B =
2 4 5
1 1 1
0 4 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
4 3 1
x y z
5 1 6
6 3 5 3
2 6 4 −4
5 4 1 1
=
35 34 33 1
37 41 22 −4
62 45 35 17
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[2 4
−2 1
]
B =
[4 0
3 −2
]
C =
[3 −1
−1 −2
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C (−5 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 4
−5 0
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 64 5
21. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[3 −1
3 0
]
D =
[−3 3
−10 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[3 −12
3 −1
]
C =
[4 −1
−3 1
]
D =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 4
2 4
]
B =
[2 5
3 1
]
C =
[4 7
8 2
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 2 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 3 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 4 objetos A y 3 objetos B
un objeto D se requieren 3 objetos A y 2 objetos B
un objeto E se requieren 2 objetos C y 4 objetos D
un objeto F se requieren 5 objetos C y 2 objetos D
4 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 988
objetos A y 706 objetos B
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 64 6
5 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 1520
objetos A y 1088 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
6 7 8 7
5 8 4 6
3 1 2 2
8 2 4 5
determine:
1. M42 2. C34
3. C43 4. M32
5. M12
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ −3 2
0 5− λ 4
0 4 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −4 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2 B)T
ii) (2 A)−1
iii) A B−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← 5R1
2. R2 ↔ R3
3. R3 ← R3 − 4R1
4. R4 ← R4 + 6R2
la convierten en la matriz:2 2 4 4 3
0 4 1 5 1
0 −12 2 −13 2
0 0 0 0 3
0 0 0 1 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 0 1 −1 0 −1 0
0 1 −1 1 0 −1 0
0 0 1 −1 0 −1 −1
0 0 0 1 −1 −1 0
0 0 0 0 1 0 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
−1 −1 1 0 0 0 0
−1 1 1 −1 0 0 0
0 0 −1 −1 1 0 0
0 −1 −1 −1 0 1 0
1 −1 −1 0 0 −1 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) A B
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 64 7
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← R5 + 6R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ↔ R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← 6R5
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(B)
es cero.
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:65
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← R6 + 3R5
b) R3 ← 6R3
c) R3 ↔ R5
d) R3 ← R3 + 6R5
e) R3 ↔ R6
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 3 y 6
2) Multiplicar el renglon 3 por 6
3) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 6
4) Intercambiar los renglones 3 y 5
5) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 3
6) Multiplicar el renglon 3 por 5
Respuesta:
2. Para la matriz A −3 −3 3
1 −1 1
7 −2 1
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 − 2R2
2) R1 ↔ R2
3) R1 ← −2R1
4) R2 ← R2 − 2R3
5) R2 ↔ R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −5 3 1
0 6 1 1
0 5 −3 −2
b)
5 5 −5 −5
0 1 0 3
0 0 1 −3
c)
5 −10 −5 −15
0 6 0 −3
0 0 5 6
d)
0 −2 −1 1
5 −1 3 1
0 −1 −3 2
e)
5 1 −2 1
1 −3 −1 −3
0 −1 3 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R1 ↔ R2
3) R1 ← R1 − 5R2
4) R1 ← 15 R1
5) R3 ← 15 R3
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R3 ← R3 − 56 R2
8) R2 ← R2 − 15 R1
9) R1 ← 15 R1
10) R1 ← R1 + 5R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[2 −4 2
0 0 0
]b)
[0 0 1
0 0 0
]c)
[1 0 2
0 1 1
]d)
[0 2 −4
1 3 1
]e)
[−3 −2 3
0 −1 3
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 65 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 1 0
0 1 1 −1
0 0 2 1
b)
1 0 0 0 4
0 1 0 0 2
0 0 1 0 2
c)
1 3 −3 −2
0 1 1 −4
0 0 8 −2
0 0 0 0
d)
1 0 0 −4
0 1 1 3
0 0 0 4
e)
1 1 −4 −1
0 0 1 −2
0 0 2 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 −2 3 3
−4 −4 4 9
2 2 −7 5
4 4 −10 −2
b)
2 3 5 −4
−2 −4 −6 6
6 9 15 −12
c)
2 −6 3 −2
−2 6 0 1
−4 12 −12 4
d)
−1 2 3 16
−3 9 7 51
−3 12 7 60
e)
−1 −1 −1 −2
−2 0 −4 4
2 0 7 −10
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1,−2), Q(0,−3), y R(2,−1).
A manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
colombiano y grano keniano. Para una bolsa de mezcla de
la casa requiere 300 g de dominicano y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
dominicano, 100 g de colombiano y 100 g de keniano. Para
una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de dominicano,
200 g de colombiano y 200 g de keniano. El comerciante
dispone de 17 kg de grano dominicano, 12 kg de grano
colombiano, y 6 kg de grano keniano. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas
de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 30oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 7o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 9o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e4 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 8 y′ + 16 y =(6 + 2x+ 4x2
)e4 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−6− 19x+ 8x2 + 11x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 65 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 29o, Tb = 30o, Tc = 13o
Td = 17o, Te = 30o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
d) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,d,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 0 >
b) < 4, 3, 5 >
c) < 0, 1, 1 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 1, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 5 a + 3 d + 4 e
2) e
3) d + e
4) d
5) a + d + e
6) a + d
7) 4 d + 4 e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,d,a]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
b)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
c)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
d)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
e)
0 0
1 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d, f ]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 65 4
2) [f ,a,d]
3) [d, f ,d]
4) [f ,a, f ,d]
5) [f ,d, f ]
6) [d, f ,a]
7) [d,d, f , f ]
8) [d,a]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 2) de
0 1
1 1
1 1
·
[1 0 1
1 0 0
]
2. (1, 3) de
[1 1 1
0 1 1
]·
0 0 0
1 1 1
1 1 0
3. (1, 2) de
1 1
0 1
0 0
·
[0 0
1 1
]
4. (1, 1) de
[1 1 1
0 1 1
]·
0 0
0 1
0 0
5. (1, 1) de
1 1 0
0 0 1
0 1 1
·
1 1
1 1
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
−2 0 5
−2 0 −2
2 1 −1
B =
1 3 4
−3 3 −2
2 4 0
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 3 5
5 2 1
5 2 3
0 1 4
4 6 x
3 2 y
4 5 z
=
49 61 69
30 39 42
38 49 54
19 22 27
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[4 3
5 1
]
B =
[−1 −1
1 1
]
C =
[5 3
−2 0
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C (−3 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 −1
0 0
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−1 3
−3 2
]
D =
[7 −12
8 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 65 5
22. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[0 1
2 −1
]
D =
[2 −1
−7 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[3 2
−4 3
]
C =
[−4 −11
3 9
]
D =
[−4 1
1 −4
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 2
3 6
]
B =
[1 4
3 4
]
C =
[2 7
6 9
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 4 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 5 objetos A y 3 objetos B
un objeto D se requieren 4 objetos A y 5 objetos B
un objeto E se requieren 4 objetos C y 2 objetos D
un objeto F se requieren 2 objetos C y 2 objetos D
5 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 1266
objetos A y 1056 objetos B
5 objetos G y 5 objetos H se requieren en total 1650
objetos A y 1380 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 65 6
c) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
1 1 8 8
7 6 3 3
2 4 4 1
2 5 4 1
determine:
1. M42 2. M33
3. M12 4. M41
5. M22
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ 4 2
0 1− λ 4
0 4 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 5 y |B| = −5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2 A)−1
ii) A (2 B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 + 2R2
2. R3 ← R3 − 4R1
3. R2 ↔ R3
4. R1 ← −4R1
la convierten en la matriz:3 2 3 5 3
0 0 2 5 5
0 1 2 4 5
0 0 0 4 5
0 0 0 −16 −16
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 1 0 1 −1 0
0 1 −1 1 −1 −1 0
0 0 −1 −1 0 1 1
0 0 0 1 −1 −1 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
−1 0 −1 0 0 0 0
1 1 1 −1 0 0 0
−1 0 1 0 −1 0 0
−1 1 0 −1 −1 1 0
1 1 0 1 0 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 2R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 2R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 65 7
c) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:66
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ↔ R2
b) R2 ← R2 + 6R5
c) R6 ↔ R5
d) R6 ← 2R6
e) R6 ← R6 + 2R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 6 por 5
2) Intercambiar los renglones 6 y 2
3) Intercambiar los renglones 6 y 5
4) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 2
5) Sumarle al renglon 2 el renglon 5 multiplicado por 6
6) Multiplicar el renglon 6 por 2
Respuesta:
2. Para la matriz A −2 1 −5
9 −2 1
6 −1 −5
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← −2R2
2) R2 ↔ R1
3) R2 ← R2 − 2R1
4) R1 ↔ R3
5) R1 ← R1 − 2R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
11 11 −11 −22
0 1 0 −2
0 0 1 3
b)
11 −22 −11 22
0 12 0 −2
0 0 11 12
c)
1 −11 −1 1
0 12 −2 2
0 11 −3 3
d)
0 1 1 1
11 1 1 1
0 2 −3 1
e)
11 −2 3 3
1 −2 −2 2
0 −1 2 2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R1 ← R1 − 11R2
3) R3 ← 111 R3
4) R1 ← R1 + 11R3
5) R1 ↔ R2
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← 111 R1
8) R2 ← R2 − 111 R1
9) R1 ← 111 R1
10) R3 ← R3 − 1112 R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
1 0
0 0
0 0
b)
[2 −4 −4
0 0 0
]c)
[1 −2 1
1 3 1
]d)
[2 4 −2
0 −4 −3
]e)
[1 2 0
0 0 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
2) Escalonada pero no reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 66 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 −4
0 1 1 1
0 0 0 −3
b)
1 1 1 −2
0 1 0 3
0 2 0 6
c)
1 2 −3 −4
0 1 1 2
0 0 0 −1
0 0 0 0
d)
1 −1 −2 −1
0 1 1 −2
0 0 4 −2
0 0 0 0
e)
1 1 2 −1
0 0 1 −4
0 0 2 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 3 9 −9
4 9 21 −21
4 6 18 −18
b)
−2 −2 0 2
−6 −3 −3 3
2 −1 3 2
−4 −10 6 9
c)
−2 −2 2 −10
−4 −1 7 −23
4 10 5 8
d)
−1 −1 −1 −4
−2 −2 0 −4
−3 −3 −3 −12
e)
−1 −1 −1 2
2 2 0 −6
−2 −2 2 11
−2 −2 0 3
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (0,−2), Q(1,−3), y R(3,−1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 544 para ensamble,
118 para pruebas, y 102 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 25oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 5o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 8o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
4 y′′ + 2 y′ + 2 y = 6 + 5x+ 3x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e4 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 8 y′ + 16 y =(3 + 4x+ 2x2
)e4 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 66 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 10o, Tb = 24o, Tc = 39o
Td = 36o, Te = 16o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
b) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
c) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,a,b]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 2, 4, 0 >
b) < 0, 1, 1 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 1, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) b
2) 2 a + 3 b + 4 e
3) 4 a + 2 e
4) a + e
5) e
6) a + b + e
7) a + b
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,b, c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0
0 1
1 0
b)
1 0
0 0
0 1
c)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
d)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
e)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c,b]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 66 4
2) [b, f , c]
3) [b, f , c, f ]
4) [b, f ,b]
5) [c,b, f ]
6) [f , c]
7) [c, c, f , c]
8) [f ,b, f ]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 0
1 1
0 0
·
[0 1 1
0 1 1
]
2. (2, 3) de
[0 0 1
0 0 0
]·
1 1 1
1 1 1
1 1 1
3. (1, 1) de
0 1
0 1
1 0
·
[0 0
1 0
]
4. (1, 1) de
[0 1 1
1 0 0
]·
0 1
1 1
1 1
5. (3, 2) de
1 1 1
1 0 1
0 1 1
·
1 0
0 1
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
1 2 −1
−2 −3 −1
5 −3 −2
B =
−1 −1 1
5 −3 −1
1 5 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
4 6 1
4 5 3
3 6 3
0 1 −2
x 3 4
y 3 2
z 2 4
=
46 32 32
44 33 38
48 33 36
2 −1 −6
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 2
−3 2
]
B =
[1 1
4 2
]
C =
[1 −2
1 2
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C (−3 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −1
2 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−3 −3
−2 0
]
D =
[5 6
5 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 66 5
22. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((A X−1
)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[2 4
−2 4
]
C =
[0 3
1 3
]
D =
[3 0
−2 −3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 2
4 6
]
B =
[1 5
5 2
]
C =
[5 9
6 6
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 3 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 3 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 4 objetos A y 2 objetos B
un objeto D se requieren 3 objetos A y 3 objetos B
un objeto E se requieren 3 objetos C y 4 objetos D
un objeto F se requieren 2 objetos C y 2 objetos D
2 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 492
objetos A y 360 objetos B
2 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 728
objetos A y 532 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 66 6
c) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
1 1 5 6
2 6 8 8
5 7 6 6
7 3 8 4
determine:
1. C22 2. M34
3. C23 4. C32
5. M31
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ 2 3
0 1− λ 3
0 3 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 5 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4 B)T
ii) (4 A)−1
iii) A B−1
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← −6R1
2. R2 ↔ R3
3. R4 ← R4 + 6R2
4. R3 ← R3 − 3R1
la convierten en la matriz:2 5 3 5 3
0 2 4 3 1
0 −2 −2 2 0
0 0 0 0 4
0 0 0 1 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 1 −1 −1 1 1
0 −1 1 1 0 1 1
0 0 1 −1 −1 1 −1
0 0 0 −1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 −1
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
−1 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 −1 0 0 0
−1 −1 0 0 −1 0 0
1 −1 −1 −1 1 1 0
1 1 1 1 1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ↔ R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← R7 + 3R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← 3R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 66 7
c) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(B)
es cero.
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:67
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R4 ↔ R3
b) R4 ← 3R4
c) R4 ← 5R4
d) R3 ← R3 + 4R5
e) R4 ← R4 + 3R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 4 por 5
2) Sumarle al renglon 4 el renglon 5 multiplicado por 3
3) Multiplicar el renglon 4 por 3
4) Intercambiar los renglones 4 y 5
5) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 4
6) Intercambiar los renglones 4 y 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 5 1 3
−3 2 3
8 2 7
determine cada elemento (2, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ↔ R1
2) R2 ↔ R3
3) R2 ← R2 − 2R3
4) R3 ← R3 − 2R2
5) R2 ← −2R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
7 −7 −7 7
0 8 0 −3
0 0 7 8
b)
1 −7 −1 −1
0 8 −3 1
0 7 −2 −1
c)
7 7 −7 −14
0 1 0 −3
0 0 1 1
d)
7 −1 2 −2
1 3 −3 −1
0 −2 3 3
e)
0 1 3 −3
7 3 −3 3
0 3 −1 1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R1 ← R1 + 7R3
3) R3 ← R3 − 78 R2
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← 17 R1
6) R1 ↔ R2
7) R2 ← R2 − 17 R1
8) R3 ← 17 R3
9) R1 ← R1 − 7R2
10) R1 ← 17 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 −2 −2
1 −2 2
]b)
[0 1 2
−1 0 −2
]c)
[1 −4 −3
0 1 0
]d)
[0 1 0
0 0 0
]e)
[1 0 1
0 1 −4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 67 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 −4 3
0 0 1 1
0 0 −2 0
0 0 0 0
b)
1 3 −4 −1
0 1 1 2
0 0 7 2
0 0 0 0
c)
1 0 0 3
0 1 1 −1
0 0 0 4
d)
1 0 1 0
0 1 1 −4
0 0 6 1
e)
1 0 0 0 −1
0 1 0 0 −2
0 0 1 0 3
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Inconsistente
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 3 2 −7
6 8 2 −16
6 10 −2 −14
b)
−2 −8 −2 −2
−6 −24 −8 −4
−4 −16 −2 −3
c)
−1 −1 −3 −3
−2 −3 −7 −8
−3 −3 −9 −9
d)
2 −6 −2 8
−2 6 4 −14
6 −18 −6 24
e)
−1 3 6 3
2 −7 −13 −9
1 −1 −4 4
−3 7 16 1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $6 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $8 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $4 en papel, $14 en
ilustraciones, y $17 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $160 en papel, $554 en ilustraciones, y $503 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
8. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 24oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 3o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 3o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de NY.
Respuesta:
9. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 632 para ensamble,
134 para pruebas, y 120 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
16 + 13x+ 2x2 + x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
42− 7x+ x2
(3 + x) (9 + x2)=
A
3 + x+
C +B x
9 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 67 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 22o, Tb = 20o, Tc = 24o
Td = 27o, Te = 26o, Tf = 32o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL homogeneo 9× 9 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
c) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
d) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,d,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 3, 4, 3 >
b) < 0, 1, 0 >
c) < 1, 0, 1 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 3, 0, 5 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 5 a + 3 e
2) 3 a + 4 d + 3 e
3) a + d + e
4) a + d
5) d
6) a + e
7) e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c,b, f ]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
b)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
c)
1 0
0 0
0 1
d)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
e)
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 67 4
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c, f ,b]
2) [c, f , f ]
3) [f , c, c]
4) [b, f ]
5) [b, c, f , c]
6) [b, f , c]
7) [c, f , c,b]
8) [c, f ]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 3) de
1 0
1 0
1 0
·
[1 1 0
1 1 0
]
2. (1, 1) de
[0 0 1
1 0 1
]·
0 0 1
0 0 1
1 1 1
3. (1, 1) de
1 1
1 0
0 0
·
[0 1
0 1
]
4. (2, 1) de
[0 1 1
0 1 0
]·
1 1
1 0
1 1
5. (3, 1) de
1 1 0
1 0 0
1 0 1
·
1 1
0 0
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
0 1 1
0 2 −2
−1 5 −1
B =
2 −1 −1
5 0 3
3 2 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 2 1
5 2 6
6 1 1
0 0 −5
1 5 x
3 1 y
5 5 z
=
16 32 21
41 57 31
14 36 22
−25 −25 −10
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[−3 4
−3 1
]
B =
[2 1
4 2
]
C =
[−2 3
4 −2
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C(−2 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 −2
2 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[3 2
3 −3
]
D =
[−4 −7
−5 5
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 67 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[1 1
−1 −1
]
D =
[−5 −1
−2 3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[4 −11
3 −1
]
C =
[4 −3
−1 1
]
D =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 3
4 3
]
B =
[3 1
4 2
]
C =
[4 2
8 7
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 3 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 2 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 4 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 3 objetos A y 5 objetos B
un objeto D se requieren 3 objetos A y 4 objetos B
un objeto E se requieren 2 objetos C y 5 objetos D
un objeto F se requieren 2 objetos C y 3 objetos D
2 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 669
objetos A y 970 objetos B
2 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 786
objetos A y 1140 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 67 6
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
3 3 2 2
5 1 6 7
4 6 1 2
4 8 3 6
determine:
1. M23 2. M21
3. C32 4. M14
5. C34
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ 1 0
0 4− λ 3
0 3 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −3 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 + 4R1
2. R2 ↔ R3
3. R1 ← −4R1
4. R4 ← R4 + 2R2
la convierten en la matriz:4 3 4 3 5
0 3 2 1 2
0 6 7 5 7
0 0 0 0 4
0 0 0 2 3
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 1 1 1 0 −1
0 −1 0 1 1 −1 1
0 0 −1 −1 1 −1 0
0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
−1 −1 0 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0 0
−1 1 0 1 0 0 0
1 0 1 −1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0
−1 0 0 −1 1 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← 3R3
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 67 7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← R3 + 3R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ↔ R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es cero.
b) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces det(A)
es cero.
c) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(B)
es cero.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:68
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← 5R3
b) R6 ← R6 + 3R5
c) R3 ↔ R6
d) R3 ← 6R3
e) R3 ↔ R5
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 3 y 5
2) Multiplicar el renglon 3 por 5
3) Intercambiar los renglones 3 y 6
4) Multiplicar el renglon 3 por 6
5) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 3
6) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 4 −1 −5
5 −1 5
9 3 2
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ↔ R1
2) R1 ← R1 + 3R2
3) R2 ← R2 + 3R1
4) R1 ← R1 + 3R3
5) R2 ← 3R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
0 −3 −2 −1
2 −2 −2 −3
0 −3 3 −3
b)
2 −2 2 2
1 −1 1 −2
0 2 −1 3
c)
1 −2 −2 −2
0 3 3 3
0 2 −2 −2
d)
2 2 −2 2
0 1 0 2
0 0 1 2
e)
2 6 −2 −6
0 3 0 3
0 0 2 3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 2R3
2) R2 ← R2 − 12 R1
3) R1 ← 12 R1
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← R1 − 2R2
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← 12 R1
8) R3 ← R3 − 23 R2
9) R1 ↔ R2
10) R3 ← 12 R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
1 0
0 0
0 0
b)
[1 4 −2
1 −1 1
]c)
[0 4 −2
0 0 −3
]d)
[0 0 1
0 0 0
]e)
[1 −2 −2
0 1 4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 68 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 −1
0 1 0 0 −3
0 0 0 1 −3
b)
1 0 0 1
0 1 1 3
0 0 0 −3
c)
1 −3 1 −4
0 1 1 4
0 0 4 −2
0 0 0 0
d)
1 1 −1 2
0 0 1 3
0 0 4 0
0 0 0 0
e)
1 1 1 −1
0 1 0 3
0 2 0 6
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 12 3 2
9 36 7 9
9 36 3 18
b)
2 3 −1 −1
−4 −3 5 −1
6 3 −10 2
c)
2 2 −1 3
−4 −4 5 −4
6 6 6 14
−4 −4 −4 −13
d)
−2 2 −4 −4
2 −3 3 5
2 −5 1 7
−4 2 −10 −6
e)
−2 −2 −1 −11
−6 −4 −4 −30
−4 −8 −1 −31
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 22oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 6o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 9o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $2 en
ilustraciones, y $6 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $5 en papel, $5 en ilustraciones, y $14 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $8 en papel, $11 en
ilustraciones, y $22 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $374 en papel, $317 en ilustraciones, y $786 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
9. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 632 para ensamble,
135 para pruebas, y 116 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
25 + 16x− x2
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
155− 19x
(5 + x) (25 + x2)=
A
5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 68 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 31o, Tb = 13o, Tc = 11o
Td = 11o, Te = 10o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
c) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
d) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,d,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 0 >
b) < 4, 5, 0 >
c) < 5, 5, 3 >
d) < 0, 0, 1 >
e) < 1, 0, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + d + e
2) 5 d + 4 e
3) 3 a + 5 d + 5 e
4) a + e
5) a
6) d + e
7) e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c,b, e]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
b)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
c)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
d)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
e)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c,b, c]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 68 4
2) [e, e, c, e]
3) [b,b, c, c]
4) [e,b]
5) [b, c,b]
6) [e,b, c]
7) [c, e]
8) [b, c, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 3) de
1 1
1 0
0 1
·
[0 1 1
0 1 1
]
2. (2, 3) de
[1 0 1
1 0 0
]·
1 1 0
0 1 1
1 0 1
3. (2, 2) de
0 0
0 0
0 0
·
[1 0
1 1
]
4. (1, 2) de
[0 1 1
1 0 1
]·
1 0
0 1
1 1
5. (3, 2) de
0 0 0
0 1 0
0 0 1
·
1 0
0 0
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
5 0 −2
−1 2 3
−1 −3 0
B =
−3 1 4
0 5 −3
0 4 3
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
4 5 4
2 1 2
4 5 3 −1
5 2 2 3
2 3 2 −1
=
46 43 30 3
49 42 30 7
17 18 12 −1
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 −2
0 1
]
B =
[1 −2
−3 −1
]
C =
[5 −1
0 3
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[2 0
2 2
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[2 0
3 2
]
D =
[−8 −1
−9 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 68 5
22. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[0 0
−3 −2
]
D =
[−4 −3
5 3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[7 −4
2 −1
]
B =
[4 1
1 −3
]
C =
[3 −15
−3 12
]
D =
[3 −3
−2 −4
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 5
3 5
]
B =
[3 4
3 5
]
C =
[6 6
5 10
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 3 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 4 Cs y 3 Ds
un F se requieren 4 Cs y 4 Ds
un G se requieren 5 Es y 3 Fs
un H se requieren 3 Es y 2 Fs
un G se requieren 209 As y 231 Bs
un H se requieren 131 As y 145 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 68 6
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
7 3 5 4
3 5 1 5
5 6 8 2
3 6 6 8
determine:
1. M12 2. M33
3. C14 4. C22
5. C32
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ −3 −1
0 4− λ 3
0 3 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −5 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (3 B)T
ii) (3 A)−1
iii) AT B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← −6R1
2. R2 ↔ R3
3. R4 ← R4 + 6R2
4. R3 ← R3 − 4R1
la convierten en la matriz:5 2 4 5 1
0 3 5 3 1
0 −3 −3 1 1
0 0 0 0 3
0 0 0 4 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 −1 0 0 −1 1
0 1 1 −1 0 1 0
0 0 −1 1 0 1 −1
0 0 0 −1 −1 1 −1
0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
1 0 −1 0 0 0 0
−1 0 −1 −1 0 0 0
1 0 0 −1 1 0 0
1 −1 1 1 −1 −1 0
−1 −1 1 −1 0 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← 3R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← R5 + 3R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ↔ R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
b) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 68 7
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
e) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:69
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← R6 + 3R2
b) R3 ← R3 + 6R2
c) R6 ↔ R2
d) R6 ← 3R6
e) R6 ↔ R3
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 6 y 3
2) Intercambiar los renglones 6 y 2
3) Sumarle al renglon 3 el renglon 2 multiplicado por 6
4) Multiplicar el renglon 6 por 2
5) Multiplicar el renglon 6 por 3
6) Sumarle al renglon 6 el renglon 2 multiplicado por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 10 3 −6
6 −2 4
−3 2 3
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← R2 + 3R1
2) R2 ← 3R2
3) R2 ↔ R1
4) R1 ← R1 + 3R3
5) R1 ← R1 + 3R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
11 11 −11 −33
0 1 0 −3
0 0 1 1
b)
1 −11 −3 1
0 12 −3 −2
0 11 1 −3
c)
11 2 −3 3
1 −1 3 3
0 −3 −1 −2
d)
0 1 3 −3
11 1 −1 1
0 −2 3 −1
e)
11 11 −11 −11
0 12 0 3
0 0 11 12
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 11R3
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R3 ← 111 R3
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← 111 R1
6) R1 ← R1 − 11R2
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R3 ← R3 − 1112 R2
9) R2 ← R2 − 111 R1
10) R1 ← 111 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[−3 2 −1
0 3 −4
]b)
[0 1 −2
−4 0 4
]c)
[1 0 −3
0 1 −4
]d)
[1 3 0
1 −1 −4
]e)
[1 0 3
0 1 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 69 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 7 1
b)
1 0 0 0 −4
0 0 1 0 −3
0 0 0 1 −4
c)
1 0 0 −1
0 1 1 2
0 0 0 −4
d)
1 −2 2 4
0 1 1 −2
0 0 5 −3
0 0 0 0
e)
1 1 1 1
0 1 0 −1
0 2 0 −2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
3 −3 3 −3
−3 3 −1 −1
−6 6 −6 6
b)
−1 −1 −4 1
2 0 4 2
2 −2 0 6
1 −3 −4 7
c)
3 −1 −2 −3
9 −4 −3 −3
−6 4 0 0
0 0 0 0
d)
−2 −4 −1 2
−6 −12 0 5
4 8 11 −4
2 4 −2 −7
e)
2 2 −2 −8
4 7 −1 −22
4 4 −4 −16
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 376 para ensamble,
79 para pruebas, y 72 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1, 0), Q(0,−1), y R(2, 1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
brasileno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla de la
casa requiere 300 g de hondureno y 200 g de brasileno.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de hon-
dureno, 100 g de brasileno y 100 g de etıope. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de hondureno, 300 g
de brasileno y 100 g de etıope. El comerciante dispone de
22 kg de grano hondureno, 21 kg de grano brasileno, y
7 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e3 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 6 y′ + 9 y =(2 + 5x+ 5x2
)e3 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 69 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
3 y′′ + 6 y′ + 2 y = 3 + 3x+ 2x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 32o, Tb = 25o, Tc = 38o
Td = 27o, Te = 26o, Tf = 15o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
c) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, e,d]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 1 >
b) < 0, 2, 4 >
c) < 5, 4, 3 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 1, 0, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) e
2) 4 d + 2 e
3) c + d
4) c
5) c + d + e
6) d + e
7) 5 c + 3 d + 4 e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b,d, c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
b)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
c)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 69 4
d)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
e)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [c, c,b, c]
2) [d,b, c,b]
3) [d,b]
4) [b,d,b]
5) [b, c, c]
6) [c,d]
7) [d,b, c]
8) [b, c,d]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 1) de
0 0
1 0
1 0
·
[0 0 1
1 0 0
]
2. (2, 3) de
[1 1 0
1 1 0
]·
1 1 0
1 0 1
0 1 1
3. (1, 1) de
1 1
1 0
0 0
·
[0 0
1 0
]
4. (2, 2) de
[1 0 0
1 1 0
]·
0 1
0 0
1 0
5. (2, 1) de
0 1 1
0 0 0
0 1 0
·
1 0
1 1
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
−3 5 −2
5 −2 −3
0 2 5
B =
1 0 2
−3 4 1
−3 5 0
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 3 5 2
1 4 1
x y z
3 2 1 1
5 4 2 1
3 3 1 0
=
40 32 15 8
26 21 10 5
51 41 19 10
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 4
5 −2
]
B =
[−1 −2
0 0
]
C =
[−1 3
1 4
]
Resuelva para X la ecuacion:
2 X + B = C (−2 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 4
−4 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 69 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A X)
TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−11 5
−16 5
]
C =
[−2 −3
1 1
]
D =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 2
4 5
]
B =
[3 1
2 1
]
C =
[6 5
5 3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 3 objetos A y 3 objetos B
un objeto D se requieren 2 objetos A y 3 objetos B
un objeto G se requieren 2 objetos E y 2 objetos F
un objeto H se requieren 2 objetos E y 5 objetos F
4 objetos G y 3 objetos H se requieren en total 661
objetos A y 735 objetos B
5 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 604
objetos A y 672 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 69 6
b) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
2 7 7 6
5 1 6 2
7 2 1 5
5 8 4 7
determine:
1. C43 2. M13
3. C14 4. M24
5. C34
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ 2 −2
0 6− λ 6
0 6 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 1 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (4 A)−1
ii) A (4 B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 4R2
2. R3 ← R3 + 4R1
3. R2 ↔ R3
4. R1 ← 4R1
la convierten en la matriz:2 2 3 5 4
0 5 2 3 4
0 −10 0 −2 −5
0 0 0 0 4
0 0 0 5 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 0 −1 1 0 1
0 1 −1 −1 1 −1 −1
0 0 1 0 −1 0 1
0 0 0 1 −1 0 1
0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
−1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
−1 1 1 −1 1 0 0
0 1 1 1 −1 1 0
−1 −1 −1 1 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 5R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 5R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 69 7
b) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
d) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
e) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:70
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ↔ R3
b) R5 ← 3R5
c) R5 ← R5 + 6R3
d) R5 ↔ R6
e) R6 ← R6 + 5R3
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 5 y 3
2) Multiplicar el renglon 5 por 3
3) Multiplicar el renglon 5 por 6
4) Sumarle al renglon 6 el renglon 3 multiplicado por 5
5) Intercambiar los renglones 5 y 6
6) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 3 3 5
5 −2 −1
10 −2 7
determine cada elemento (3, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 + 2R2
2) R2 ← R2 + 2R1
3) R2 ← R2 + 2R3
4) R2 ↔ R1
5) R3 ← 2R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −2 −2 1
0 3 −1 −1
0 2 −1 −3
b)
2 −2 −2 2
0 3 0 −3
0 0 2 3
c)
2 2 −2 −2
0 1 0 −2
0 0 1 3
d)
0 3 −3 −1
2 1 1 −1
0 3 −3 −3
e)
2 2 −2 −1
1 −3 2 3
0 −2 −3 3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ↔ R2
2) R2 ← R2 − 12 R1
3) R1 ← 12 R1
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R3 ← R3 − 23 R2
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← R1 − 2R2
8) R1 ← R1 + 2R3
9) R3 ← 12 R3
10) R1 ← 12 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 2 0
0 0 0
]b)
[1 −4 −4
0 3 0
]c)
[1 2 −1
1 −3 3
]d)
[0 −3 2
−1 −2 −1
]e)
[0 0 0
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 70 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 1 0
0 1 1 −4
0 0 6 1
b)
1 −4 −3 −3
0 1 1 3
0 0 5 −2
0 0 0 0
c)
1 1 4 −3
0 0 1 2
0 0 −1 0
0 0 0 0
d)
1 0 0 0 1
0 1 0 0 −1
0 0 0 1 −2
e)
1 0 0 −1
0 1 1 −4
0 0 0 3
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −3 −1 −2
−3 −9 −4 −3
−3 −9 −2 −6
b)
2 4 −1 3
−2 −4 0 −6
6 12 −3 9
c)
2 2 −10 2
4 7 −26 −2
6 12 −42 −6
−4 2 8 −16
d)
2 2 −2 −2
−4 −6 10 10
6 2 6 7
4 −2 14 13
e)
−2 3 3 −7
−4 9 9 −17
2 6 8 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 456 para ensamble,
98 para pruebas, y 85 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (1, 4), Q(2, 3), y R(4, 5). A ma-
nera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
costarriqueno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de costarri-
queno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
hondureno, 100 g de costarriqueno y 100 g de etıope. Pa-
ra una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de hondureno,
200 g de costarriqueno y 200 g de etıope. El comercian-
te dispone de 23 kg de grano hondureno, 16 kg de grano
costarriqueno, y 6 kg de grano etıope. Determina cuantas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas
de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
8− 10x− 5x2
(4 + x) (16 + x2)=
A
4 + x+
C +B x
16 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 70 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
4 y′′ + 3 y′ + 2 y = 3 + 4x+ 5x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 26o, Tb = 12o, Tc = 12o
Td = 22o, Te = 32o, Tf = 36o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
d) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 2 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
e) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c,b,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 0 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 0, 5, 3 >
e) < 3, 5, 3 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) b + c
2) b
3) a + b + c
4) 3 a + 5 b
5) 3 a + 5 b + 3 c
6) a
7) a + c
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, f ,a]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
b)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
c)
0 0
1 0
0 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 70 4
d)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
e)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f , f ,d,d]
2) [f ,a,d]
3) [f ,d]
4) [f ,a]
5) [d,a,a]
6) [a,d,d]
7) [f ,d,a]
8) [f ,d,a,d]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 0
0 0
1 1
·
[0 1 1
1 1 1
]
2. (1, 2) de
[1 1 0
1 0 1
]·
1 0 1
0 0 1
1 1 1
3. (3, 1) de
1 1
1 0
1 0
·
[0 1
0 1
]
4. (2, 2) de
[1 0 0
1 1 1
]·
0 1
0 0
1 1
5. (2, 1) de
0 1 1
0 1 0
1 1 1
·
1 0
0 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
1 0 −3
−3 −2 −2
−3 −3 0
B =
5 5 −1
2 4 1
−2 3 2
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
2 2 4
3 5 1
1 6 2 −5
5 3 5 2
3 2 4 1
=
47 51 57 −4
24 26 30 −2
31 35 35 −4
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[0 −3
5 1
]
B =
[4 0
0 1
]
C =
[−2 1
−1 −2
]
Resuelva para X la ecuacion:
7 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 −3
3 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 70 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((A X)
TB)
C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
22. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[2 −2
1 0
]
D =
[−9 2
−2 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[6 5
1 1
]
B =
[3 0
0 1
]
C =
[4 −19
1 −3
]
D =
[0 3
−2 −3
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 5
3 4
]
B =
[1 1
4 2
]
C =
[2 4
6 3
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 3 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 2 As y 3 Bs
un D se requieren 3 As y 5 Bs
un G se requieren 5 Es y 3 Fs
un H se requieren 3 Es y 5 Fs
un G se requieren 98 As y 155 Bs
un H se requieren 110 As y 173 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 70 6
a) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
4 3 7 8
4 3 3 8
8 6 8 7
1 3 2 5
determine:
1. M34 2. C23
3. C41 4. M32
5. C12
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −4− λ −2 −3
0 1− λ 1
0 1 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 4 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2 A)−1
ii) A (2 B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← −6R1
2. R4 ← R4 − 2R2
3. R2 ↔ R3
4. R3 ← R3 + 6R1
la convierten en la matriz:3 5 5 4 1
0 0 3 1 5
0 1 2 5 4
0 0 0 1 2
0 0 0 1 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
0 −1 1 −1 −1 0 0
0 0 −1 1 −1 1 0
0 0 0 1 1 1 −1
0 0 0 0 −1 −1 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
1 0 −1 0 0 0 0
0 −1 −1 1 0 0 0
−1 1 1 0 −1 0 0
−1 0 1 −1 −1 −1 0
0 −1 −1 1 1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← 6R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R3 ← R3 + 6R5
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 70 7
a) Si (A BT) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es cero.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
d) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
e) Si (A AT) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:71
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ↔ R5
b) R6 ← R6 + 5R2
c) R6 ← 2R6
d) R6 ← 5R6
e) R6 ↔ R2
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 6 el renglon 2 multiplicado por 5
2) Intercambiar los renglones 6 y 5
3) Sumarle al renglon 5 el renglon 2 multiplicado por 6
4) Intercambiar los renglones 6 y 2
5) Multiplicar el renglon 6 por 5
6) Multiplicar el renglon 6 por 2
Respuesta:
2. Para la matriz A 8 2 3
10 3 −5
3 1 4
determine cada elemento (2, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← R2 − 2R3
2) R3 ← R3 − 2R1
3) R3 ↔ R1
4) R3 ← R3 − 2R2
5) R2 ← −2R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
5 −5 −5 5
0 6 0 2
0 0 5 6
b)
0 2 −3 −2
5 2 −1 −3
0 −1 2 1
c)
5 1 2 −1
1 1 1 2
0 −2 −1 1
d)
1 −5 −1 3
0 6 −2 −1
0 5 −3 −3
e)
5 5 −5 5
0 1 0 3
0 0 1 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← 15 R3
2) R2 ← R2 − 15 R1
3) R1 ← R1 − 5R2
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← 15 R1
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R1 ← 15 R1
8) R1 ← R1 + 5R3
9) R3 ← R3 − 56 R2
10) R1 ← R1 + 1R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
1 0
0 0
0 0
b)
[0 −1 −2
0 0 −3
]c)
[1 3 0
1 4 −4
]d)
[0 1 0
0 0 0
]e)
[3 −2 3
0 −3 3
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 71 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 2 −4 1
0 1 1 −2
0 0 3 −4
0 0 0 0
b)
1 0 0 0 −2
0 1 0 0 −4
0 0 0 1 −4
c)
1 0 0 −4
0 1 1 1
0 0 0 −4
d)
1 3 2 3
0 1 1 −3
0 0 0 4
0 0 0 0
e)
1 0 1 0
0 1 1 3
0 0 6 1
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 4 3 2
−6 12 8 8
−6 12 11 5
−4 8 8 6
b)
−1 3 2 −1
−2 6 3 0
2 −6 −4 2
c)
−2 2 6 2
2 −4 −10 2
−6 2 10 14
−4 −2 0 16
d)
2 −1 −5 3
−4 4 16 −5
−4 0 4 −6
6 −5 −21 7
e)
3 3 2 −2
9 9 7 −7
6 8 6 −8
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $5 en
ilustraciones, y $5 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $7 en ilustraciones, y $12 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $11 en
ilustraciones, y $20 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $320 en papel, $490 en ilustraciones, y $718 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros em-
pastados en piel a producirse.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 416 para ensamble,
88 para pruebas, y 82 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
costarriqueno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de costa-
rriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300
g de hondureno, 100 g de costarriqueno y 100 g de etıope.
Para una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hon-
dureno, 200 g de costarriqueno y 200 g de etıope. El co-
merciante dispone de 24 kg de grano hondureno, 15 kg de
grano costarriqueno, y 11 kg de grano etıope. Determina
cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene
que utilizarse todo el grano disponible. Reporta solo las
bolsas de la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero mane-
je todo en gramos y despues divida las ecuaciones entre
100 antes de resolver.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e4 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 8 y′ + 16 y =(3 + 3x+ x2
)e4 x
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 71 3
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
1− 7x+ 3x2 + 5x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 31o, Tb = 19o, Tc = 23o
Td = 18o, Te = 11o, Tf = 20o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 8 pivotes, entonces el sistema
tiene infinitas soluciones.
b) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Si un SEL 4 × 4 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, e, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 4, 3 >
b) < 1, 1, 0 >
c) < 0, 0, 1 >
d) < 2, 5, 3 >
e) < 1, 1, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) d + e
2) 2 d + 5 e + 3 f
3) d + f
4) f
5) 4 e + 3 f
6) d
7) d + e + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, f ,b]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0
0 1
1 0
b)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
c)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 71 4
d)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
e)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [b, e, e]
2) [b, f ]
3) [e,b, f ]
4) [f , e]
5) [f , e, f ]
6) [b,b, e,b]
7) [f , e,b]
8) [e,b, e, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 1) de
1 0
1 0
0 1
·
[0 1 0
1 1 0
]
2. (1, 3) de
[0 1 1
0 0 1
]·
1 0 1
0 0 0
0 0 0
3. (3, 1) de
1 1
0 1
1 0
·
[0 0
0 0
]
4. (1, 1) de
[0 1 1
0 0 1
]·
1 1
1 1
1 0
5. (2, 1) de
0 1 1
1 1 1
0 1 1
·
0 0
1 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
4 4 2
2 2 3
2 1 3
B =
−3 −3 −1
1 5 1
4 1 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 6 5 1
5 1 4
x y z
4 1 1 3
1 2 3 −1
2 6 2 −4
=
31 22 23 9
29 31 16 −2
17 26 17 −9
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[−2 −3
−2 3
]
B =
[2 0
−3 3
]
C =
[−2 1
−1 5
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C (−4 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 4
−4 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[2 −1
2 −2
]
D =
[−1 −2
−3 3
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 71 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A X−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−12 −5
−15 −3
]
C =
[4 −3
−1 1
]
D =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 5
5 4
]
B =
[4 3
2 2
]
C =
[6 8
7 3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 4 As y 2 Bs
un D se requieren 2 As y 2 Bs
un E se requieren 2 Cs y 2 Ds
un F se requieren 2 Cs y 3 Ds
un G se requieren 90 As y 62 Bs
un H se requieren 76 As y 52 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 71 6
c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
d) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
2 8 7 4
3 1 3 8
3 7 8 4
3 1 3 1
determine:
1. C44 2. C14
3. C12 4. C34
5. M24
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ 2 −1
0 2− λ 1
0 1 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −1 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4 B)T
ii) (4 A)−1
iii) A B−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R4 ← R4 + 5R2
3. R3 ← R3 − 6R1
4. R1 ← 5R1
la convierten en la matriz:4 5 4 5 4
0 0 5 3 2
0 3 4 1 1
0 0 0 4 3
0 0 0 4 7
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 1 0 0 1 −1
0 1 0 1 −1 −1 0
0 0 −1 1 −1 1 1
0 0 0 1 −1 1 0
0 0 0 0 −1 0 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
−1 −1 −1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0
1 −1 0 −1 1 0 0
−1 0 1 −1 0 −1 0
1 0 1 0 0 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← R2 + 6R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ↔ R7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R2 ← 6R2
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A BT) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
b) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 71 7
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
d) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:72
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ← 2R6
b) R2 ← R2 + 6R4
c) R6 ↔ R4
d) R6 ← 4R6
e) R6 ← R6 + 2R4
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 2 el renglon 4 multiplicado por 6
2) Multiplicar el renglon 6 por 2
3) Intercambiar los renglones 6 y 2
4) Intercambiar los renglones 6 y 4
5) Multiplicar el renglon 6 por 4
6) Sumarle al renglon 6 el renglon 4 multiplicado por 2
Respuesta:
2. Para la matriz A −3 1 −7
10 3 2
10 −1 4
determine cada elemento (1, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ↔ R2
2) R1 ↔ R3
3) R3 ← R3 + 2R2
4) R1 ← R1 + 2R3
5) R1 ← 2R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −11 3 −2
0 12 −2 −1
0 11 3 1
b)
0 −3 1 −1
11 −2 −2 1
0 3 3 −1
c)
11 −3 1 −1
1 −2 −2 2
0 2 1 −3
d)
11 11 −11 −22
0 1 0 1
0 0 1 1
e)
11 −22 −11 −33
0 12 0 −3
0 0 11 12
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← 111 R1
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← R1 + 11R3
6) R2 ← R2 − 111 R1
7) R3 ← 111 R3
8) R3 ← R3 − 1112 R2
9) R1 ← 111 R1
10) R1 ← R1 − 11R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
1 0
0 0
0 0
b)
[0 0 0
0 −2 0
]c)
[0 −2 −4
0 0 1
]d)
[1 3 3
0 1 −1
]e)
[0 1 −2
3 0 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 72 2
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 −3
0 0 1 0 4
0 0 0 1 −3
b)
1 0 1 0
0 1 1 −2
0 0 3 1
c)
1 1 2 2
0 1 1 −4
0 0 0 4
0 0 0 0
d)
1 1 3 3
0 0 1 3
0 0 −2 0
0 0 0 0
e)
1 −2 −3 4
0 1 1 −1
0 0 6 −4
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −2 −4 3
−2 −2 −2 7
1 6 16 0
1 6 16 2
b)
−2 2 −2 −8
4 −1 3 12
−6 15 −11 −38
c)
3 −9 −2 −2
−3 9 4 0
9 −27 −2 −8
d)
2 3 −2 10
6 7 −3 17
−4 −12 16 −68
0 0 0 0
e)
−1 3 1 3
−3 11 5 13
−2 6 2 6
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1, 2), Q(0, 1), y R(2, 3). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $2 en
ilustraciones, y $5 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $5 en papel, $5 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $8 en papel, $14 en
ilustraciones, y $29 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $358 en papel, $328 en ilustraciones, y $677 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano
colombiano y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g
de hondureno, 100 g de colombiano y 100 g de jamaquino.
Para una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hon-
dureno, 200 g de colombiano y 200 g de jamaquino. El
comerciante dispone de 34 kg de grano hondureno, 23 kg
de grano colombiano, y 13 kg de grano jamaquino. Deter-
mina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar
si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta
solo las bolsas de la mezcla gourmet. Sugerencia: Prime-
ro maneje todo en gramos y despues divida las ecuaciones
entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
4 + 16x− 4x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e2 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 4 y′ + 4 y =(2 + 3x+ 4x2
)e2 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 72 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 18o, Tb = 18o, Tc = 37o
Td = 12o, Te = 21o, Tf = 16o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
c) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 8 pivotes, entonces el sistema
tiene infinitas soluciones.
e) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f ,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 0 >
b) < 1, 0, 1 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 1, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + c + f
2) c + f
3) f
4) c
5) 2 a + 3 c + 4 f
6) a + c
7) 2 a + 4 c
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b,d, f ]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
b)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
c)
0 1
1 0
0 0
d)
0 0
1 0
0 1
e)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 72 4
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d,b]
2) [d, f ]
3) [d,d,b,b]
4) [b, f ,d]
5) [b, f ,b,b]
6) [d,b, f ]
7) [d,b,d]
8) [f ,b,b]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 2) de
1 0
1 1
0 0
·
[1 1 0
1 1 0
]
2. (1, 2) de
[0 0 1
1 0 1
]·
1 1 1
0 0 1
0 0 1
3. (3, 2) de
1 1
0 0
0 1
·
[1 0
0 0
]
4. (1, 2) de
[0 1 0
0 1 0
]·
0 0
0 0
0 1
5. (3, 2) de
0 0 1
1 1 0
1 1 1
·
0 1
0 0
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
−1 0 4
1 −2 4
−1 1 −2
B =
0 2 −3
1 1 −1
2 2 5
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
6 5 4
6 3 1
3 4 3 −1
6 4 2 2
5 1 4 4
=
32 29 23 3
68 48 44 20
41 37 28 4
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[−2 2
1 5
]
B =
[1 0
−2 −1
]
C =
[−3 4
2 −1
]
Resuelva para X la ecuacion:
5 X + B = C (−7 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−2 −4
2 −2
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[1 3
−3 3
]
D =
[−6 −9
5 −7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 72 5
22. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[−2 −1
−3 −2
]
D =
[2 2
6 5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−9 −8
−7 −4
]
C =
[2 −3
1 −1
]
D =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[6 5
3 3
]
B =
[4 4
1 2
]
C =
[8 9
4 4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 5 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 4 As y 2 Bs
un D se requieren 3 As y 4 Bs
un E se requieren 2 Cs y 4 Ds
un F se requieren 3 Cs y 5 Ds
un G se requieren 168 As y 164 Bs
un H se requieren 181 As y 178 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
b) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 72 6
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
28. Si
A =
1 1 8 4
3 5 4 8
6 4 2 4
8 8 8 2
determine:
1. M21 2. C33
3. C43 4. C24
5. C22
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ −3 2
0 4− λ 4
0 4 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −3 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2 A)−1
ii) A (−2 B)T
iii) A B−1
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 − 2R1
2. R2 ↔ R3
3. R4 ← R4 − 2R2
4. R1 ← 6R1
la convierten en la matriz:4 2 1 4 4
0 1 2 2 1
0 2 9 8 5
0 0 0 0 1
0 0 0 2 1
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 0 −1 −1 0 0 −1
0 1 −1 1 0 1 −1
0 0 −1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1 −1
0 0 0 0 −1 0 1
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0 0
1 −1 0 1 0 0 0
1 1 0 −1 1 0 0
−1 −1 1 −1 0 1 0
1 −1 1 0 1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 4R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 4R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es cero.
b) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
c) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 72 7
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:73
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← 6R3
b) R3 ← 5R3
c) R3 ← R3 + 6R5
d) R6 ← R6 + 3R5
e) R3 ↔ R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 3 por 5
2) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 6
3) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 3
4) Intercambiar los renglones 3 y 5
5) Intercambiar los renglones 3 y 6
6) Multiplicar el renglon 3 por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 2 −1 −1
10 −3 −3
−2 −3 3
determine cada elemento (3, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 + 4R1
2) R3 ← 4R3
3) R1 ← R1 + 4R2
4) R1 ↔ R2
5) R3 ↔ R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −2 2 3
0 3 1 1
0 2 −2 3
b)
0 3 −1 −1
2 2 −1 2
0 3 3 1
c)
2 −2 −3 1
1 −3 −3 3
0 −3 −1 −3
d)
2 2 −2 −2
0 3 0 −3
0 0 2 3
e)
2 2 −2 6
0 1 0 3
0 0 1 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← R3 − 23 R2
2) R1 ← R1 − 2R2
3) R1 ← 12 R1
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R3 ← 12 R3
6) R1 ← R1 + 2R3
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R1 ↔ R2
9) R2 ← R2 − 12 R1
10) R1 ← 12 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 3 3
0 1 −2
]b)
[0 −1 0
−3 1 −3
]c)
[1 0 −4
0 1 0
]d)
[0 1 1
−1 0 1
]e)
[1 −2 0
1 4 −4
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 73 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 4 −1
0 1 1 3
0 0 4 −2
0 0 0 0
b)
1 0 0 4
0 1 1 −4
0 0 0 −3
c)
1 −2 4 −4
0 1 1 −2
0 0 0 −3
0 0 0 0
d)
1 1 4 −3
0 0 1 −3
0 0 −2 0
0 0 0 0
e)
1 0 0 0 1
0 1 0 0 −2
0 0 0 1 4
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −2 3 2
1 2 −4 −3
−3 −6 10 10
1 2 −2 5
b)
3 −2 −2 4
9 −7 −8 19
9 −8 −8 22
0 0 0 0
c)
−2 3 −2 −11
−6 7 −8 −25
2 −1 6 1
d)
−2 2 −4 −2
−6 8 −10 −10
−4 0 −12 5
−4 0 −12 2
e)
−1 2 3 0
1 −2 −2 −1
−3 5 11 −5
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
colombiano y grano etıope. Para una bolsa de mezcla de la
casa requiere 300 g de dominicano y 200 g de colombiano.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de domi-
nicano, 100 g de colombiano y 100 g de etıope. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de dominicano, 300 g
de colombiano y 100 g de etıope. El comerciante dispone
de 28 kg de grano dominicano, 24 kg de grano colombiano,
y 8 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 572 para ensamble,
121 para pruebas, y 109 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1, 4), Q(0, 3), y R(2, 5). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e3 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 6 y′ + 9 y =(1 + x+ x2
)e3 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 73 3
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 3 y′ + 2 y = 5 + 6x+ 6x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 17o, Tb = 27o, Tc = 11o
Td = 23o, Te = 38o, Tf = 16o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
c) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
e) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a, e, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 0, 1 >
b) < 1, 0, 1 >
c) < 3, 0, 2 >
d) < 1, 1, 0 >
e) < 1, 0, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + e + f
2) a
3) 2 a + 5 e + 3 f
4) a + e
5) 3 a + 2 f
6) f
7) a + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d,b, f ]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
b)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
c)
1 0
0 0
0 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 73 4
d)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
e)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d,b,d]
2) [b,b,d,d]
3) [f , f ,d, f ]
4) [b, f ]
5) [d, f ]
6) [b,d,b]
7) [b,d, f ]
8) [f ,b,d]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 2) de
0 1
1 1
0 1
·
[0 0 1
0 1 0
]
2. (1, 2) de
[1 1 0
1 1 1
]·
1 1 1
1 0 1
0 0 0
3. (1, 1) de
1 1
0 1
0 1
·
[0 0
1 1
]
4. (1, 1) de
[1 0 0
0 0 1
]·
0 0
1 1
0 0
5. (2, 2) de
1 0 1
1 1 1
1 1 0
·
1 0
1 1
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
0 −1 2
5 0 5
5 4 −2
B =
1 1 2
5 0 1
−1 0 −2
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 1 5 5
3 6 4
x y z
5 2 2 3
6 2 1 4
6 5 6 1
=
65 37 37 28
75 38 36 37
74 41 42 33
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[4 0
3 5
]
B =
[0 0
2 −1
]
C =
[5 −3
2 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
7 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 1
−2 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 1
−1 −2
]
D =
[−4 −1
−1 3
]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 73 5
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
22. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[1 −3
2 3
]
D =
[−7 6
−7 −10
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[−3 −1
−3 3
]
C =
[13 10
9 7
]
D =
[1 3
0 −4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 5
2 5
]
B =
[4 2
3 1
]
C =
[6 4
8 2
]
Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 3 piezas del tipo a, 3 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 5 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 4 objetos A y 4 objetos B
un objeto D se requieren 4 objetos A y 2 objetos B
un objeto E se requieren 2 objetos C y 2 objetos D
un objeto F se requieren 2 objetos C y 3 objetos D
3 objetos G y 2 objetos H se requieren en total 544
objetos A y 396 objetos B
4 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 848
objetos A y 616 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 73 6
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
2 3 4 2
2 8 2 8
7 6 5 8
7 7 7 3
determine:
1. M31 2. M23
3. M33 4. C14
5. M22
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ 1 1
0 1− λ 4
0 4 1− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 2 y |B| = −2
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2 B)T
ii) (2 A)−1
iii) A B−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R1 ← −6R1
3. R4 ← R4 − 4R2
4. R3 ← R3 − 5R1
la convierten en la matriz:4 2 3 3 1
0 3 1 4 3
0 −3 2 0 2
0 0 0 0 1
0 0 0 1 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 −1 1 1 0 1
0 −1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 −1 0
0 0 0 −1 1 1 −1
0 0 0 0 1 0 −1
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
−1 1 1 0 0 0 0
−1 −1 1 −1 0 0 0
−1 1 1 −1 −1 0 0
1 1 0 1 1 −1 0
0 0 1 −1 1 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 6R5
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 73 7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 6R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es diferente de cero.
c) Si (A AT) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
e) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:74
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R6 ↔ R5
b) R6 ← 5R6
c) R5 ← R5 + 6R3
d) R6 ← 3R6
e) R6 ↔ R3
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 6 por 5
2) Sumarle al renglon 6 el renglon 3 multiplicado por 5
3) Intercambiar los renglones 6 y 5
4) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 6
5) Multiplicar el renglon 6 por 3
6) Intercambiar los renglones 6 y 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 8 1 −7
7 −2 −5
3 −3 4
determine cada elemento (2, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 + 4R1
2) R2 ↔ R3
3) R3 ↔ R1
4) R2 ← R2 + 4R3
5) R3 ← R3 + 4R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
2 2 −2 4
0 3 0 1
0 0 2 3
b)
1 −2 1 2
0 3 2 3
0 2 2 2
c)
2 2 −2 6
0 1 0 −2
0 0 1 1
d)
0 2 3 3
2 1 −2 1
0 −3 −3 −2
e)
2 1 2 1
1 3 −2 3
0 1 3 −2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 2R3
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ↔ R2
4) R3 ← 12 R3
5) R1 ← 12 R1
6) R2 ← R2 − 12 R1
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R1 ← 12 R1
9) R1 ← R1 − 2R2
10) R3 ← R3 − 23 R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 −2 0
1 2 −2
]b)
[0 1 1
4 0 4
]c)
[1 2 −4
0 1 3
]d)
[1 3 −3
1 2 2
]e)
[0 0 0
0 0 0
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 74 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 0 0 −3
0 1 0 0 −4
0 0 0 1 4
b)
1 −4 −4 2
0 1 1 1
0 0 5 −1
0 0 0 0
c)
1 0 0 4
0 1 1 1
0 0 0 −2
d)
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 2 1
e)
1 4 −3 1
0 1 1 −1
0 0 0 4
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con solucion unica
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 −2 −1 5
4 −4 1 1
4 −4 −2 10
b)
3 3 −1 −4
6 6 −1 −7
9 12 0 −15
c)
2 3 1 −5
−2 −1 1 3
−2 −3 −1 5
d)
2 3 −1 −2
6 8 −4 −6
6 10 −2 −5
4 3 −5 −2
e)
3 2 −10 4
6 6 −24 6
9 12 −42 6
6 2 −16 10
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 23oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 6o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 4o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 544 para ensamble,
117 para pruebas, y 100 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (2,−2), Q(3,−3), y R(5,−1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
6 y′′ + 5 y′ + 2 y = 4 + 2x+ 5x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e3 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 6 y′ + 9 y =(1 + 3x+ x2
)e3 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 74 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 35o, Tb = 39o, Tc = 34o
Td = 26o, Te = 10o, Tf = 10o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
b) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL 5 × 5 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, c, e]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 1 >
b) < 1, 0, 0 >
c) < 5, 4, 5 >
d) < 1, 0, 1 >
e) < 0, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 5 c + 4 d
2) d
3) c
4) c + d + e
5) c + e
6) 4 c + 5 d + 5 e
7) d + e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e,a, f ]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
b)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
c)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
d)
1 0
0 0
0 1
e)
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [e, f , e, e]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 74 4
2) [e, f , e,a]
3) [e, f ,a]
4) [e, f , f ]
5) [e,a, e]
6) [e, f ]
7) [a, e]
8) [f ,a, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 1) de
1 0
0 1
0 1
·
[0 0 0
0 0 1
]
2. (2, 2) de
[1 1 1
1 0 0
]·
1 0 1
0 1 0
0 1 1
3. (3, 2) de
0 0
0 0
0 0
·
[0 0
1 1
]
4. (1, 1) de
[0 1 1
1 1 0
]·
0 0
0 0
1 1
5. (1, 2) de
0 1 0
1 0 0
0 0 0
·
1 1
0 1
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
−1 0 2
5 −2 1
−3 −3 3
B =
3 −2 4
2 5 2
−2 1 4
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
1 2 5
4 5 3
6 1 5
−3 −3 2
3 x 1
3 y 6
2 z 6
=
19 31 43
33 44 52
31 42 42
−14 −13 −9
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[4 1
4 3
]
B =
[−3 3
2 4
]
C =
[4 −1
2 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
2 X + B = C (−6 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 4
−4 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((A XT
)TB
)T= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 74 5
22. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[−3 1
0 −3
]
D =
[5 −6
−1 8
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[3 4
−4 1
]
C =
[8 27
3 11
]
D =
[−2 −2
3 −4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 2
5 5
]
B =
[4 5
3 4
]
C =
[7 9
8 8
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 5 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 3 As y 3 Bs
un D se requieren 4 As y 5 Bs
un G se requieren 4 Es y 2 Fs
un H se requieren 2 Es y 3 Fs
un G se requieren 118 As y 134 Bs
un H se requieren 109 As y 125 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 74 6
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
8 7 7 1
7 8 6 6
7 7 2 5
3 5 3 6
determine:
1. C32 2. M33
3. C11 4. M43
5. C21
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ −3 −4
0 5− λ 6
0 6 5− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −1 y |B| = −5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−2 B)T
ii) (−2 A)−1
iii) A B−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R1 ← 5R1
3. R3 ← R3 − 3R1
4. R4 ← R4 + 2R2
la convierten en la matriz:2 4 4 5 2
0 0 4 1 3
0 4 1 4 1
0 0 0 5 4
0 0 0 −15 −9
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 1 1 −1 −1 −1
0 −1 1 0 0 −1 1
0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 −1 −1 0 0
0 0 0 0 1 −1 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
1 1 −1 0 0 0 0
−1 1 0 −1 0 0 0
0 1 1 −1 −1 0 0
−1 1 −1 −1 1 −1 0
1 1 −1 −1 −1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← R7 + 3R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ↔ R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R7 ← 3R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
b) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 74 7
d) Si (A AT) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
e) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:75
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ↔ R5
b) R3 ↔ R6
c) R3 ← R3 + 6R5
d) R6 ← R6 + 3R5
e) R3 ← 6R3
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 3
2) Intercambiar los renglones 3 y 6
3) Multiplicar el renglon 3 por 6
4) Multiplicar el renglon 3 por 5
5) Intercambiar los renglones 3 y 5
6) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 6
Respuesta:
2. Para la matriz A −1 −2 −2
1 −1 −1
−2 −1 1
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← 3R1
2) R2 ← R2 + 3R3
3) R2 ↔ R3
4) R1 ↔ R2
5) R2 ← R2 + 3R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −5 −1 −3
0 6 −2 −2
0 5 −1 3
b)
0 −3 3 −1
5 3 1 −2
0 3 1 −2
c)
5 −10 −5 10
0 6 0 −1
0 0 5 6
d)
5 5 −5 10
0 1 0 −1
0 0 1 3
e)
5 2 −3 −1
1 2 2 −2
0 −3 1 2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R3 ← R3 − 56 R2
2) R1 ← R1 + 5R3
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ← 15 R1
5) R1 ← 15 R1
6) R1 ← R1 + 1R3
7) R3 ← 15 R3
8) R1 ↔ R2
9) R2 ← R2 − 15 R1
10) R1 ← R1 − 5R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 −2 4
1 1 −4
]b)
[0 0 1
0 0 0
]c)
[0 1 −2
3 0 3
]d)
[1 0 2
0 1 1
]e)
[1 −3 3
0 −3 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 75 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 4 −4
0 1 1 −3
0 0 7 −3
0 0 0 0
b)
1 1 −4 4
0 0 1 4
0 0 −2 0
0 0 0 0
c)
1 0 0 −3
0 1 1 2
0 0 0 −1
d)
1 0 1 0
0 1 1 −3
0 0 4 1
e)
1 −2 1 −2
0 1 1 −4
0 0 0 −1
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Inconsistente
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 −1 3 −10
−3 −3 10 −33
−2 0 5 −21
b)
−1 2 4 −1
−3 9 15 0
1 −2 −4 1
c)
−1 −1 3 −2
−3 −3 7 −4
1 1 1 1
1 1 1 −5
d)
2 −4 3 −2
−2 4 0 0
−2 4 3 −4
e)
3 3 3 −15
6 5 4 −24
9 10 14 −57
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $6 en
ilustraciones, y $5 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $8 en ilustraciones, y $12 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $3 en papel, $16 en
ilustraciones, y $30 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $134 en papel, $510 en ilustraciones, y $693 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−1,−2), Q(0,−3), y R(2,−1).
A manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
9. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 480 para ensamble,
103 para pruebas, y 92 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 6 y′ + 2 y = 6 + 6x+ 3x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
180− 19x+ x2
(5 + x) (25 + x2)=
A
5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de A.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 75 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 12o, Tb = 24o, Tc = 28o
Td = 28o, Te = 16o, Tf = 40o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
b) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 8 pivotes, entonces el sistema
tiene infinitas soluciones.
e) Si un SEL homogeneo 7× 7 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f ,b,a]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 4, 3, 2 >
b) < 1, 0, 0 >
c) < 1, 0, 1 >
d) < 1, 1, 1 >
e) < 0, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 2 a + 3 f
2) a + b
3) a + f
4) b
5) f
6) 2 a + 3 b + 4 f
7) a + b + f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, f ,d]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
1 0 0
0 1 0
b)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
c)
0 0
1 0
0 1
d)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
e)
0 1
1 0
0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 75 4
1) [f ,d, e]
2) [f , e]
3) [f , e,d, e]
4) [e,d, f ]
5) [f ,d]
6) [f , e, f ]
7) [d, e, e]
8) [f , f , e, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 1) de
1 1
0 1
1 0
·
[0 0 1
0 1 0
]
2. (1, 3) de
[0 1 1
0 1 0
]·
0 0 0
0 1 0
1 1 1
3. (1, 2) de
0 1
1 0
0 0
·
[1 1
1 0
]
4. (1, 1) de
[1 0 1
1 1 1
]·
1 1
1 1
1 0
5. (3, 1) de
1 0 0
1 0 1
0 0 1
·
1 0
1 1
0 1
Respuesta:
17. Si
A =
0 −2 3
4 −2 −2
3 −1 −2
B =
3 −1 1
4 4 −3
0 2 3
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
3 2 4
4 1 6
1 1 4
−1 1 −2
1 6 x
6 6 y
4 5 z
=
31 50 45
34 60 59
23 32 32
−3 −10 −14
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 4
−2 −2
]
B =
[−2 −2
0 1
]
C =
[5 5
−1 4
]
Resuelva para X la ecuacion:
6 X + B = C(−5 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[3 0
3 −1
]
D =
[−12 −4
−8 4
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 75 5
22. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[3 −2
−2 0
]
D =
[−6 2
7 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[9 −4
−2 1
]
B =
[3 3
1 2
]
C =
[2 12
2 10
]
D =
[4 4
−1 −4
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 3
2 6
]
B =
[4 1
2 2
]
C =
[7 5
3 5
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 2 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 2 As y 3 Bs
un D se requieren 4 As y 2 Bs
un G se requieren 3 Es y 5 Fs
un H se requieren 2 Es y 2 Fs
un G se requieren 148 As y 118 Bs
un H se requieren 72 As y 60 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 75 6
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
4 6 5 3
5 5 4 6
8 3 6 3
4 2 4 4
determine:
1. C12 2. C34
3. M23 4. M44
5. M14
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ 4 −4
0 4− λ 4
0 4 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 4 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−3 A)−1
ii) A (−3 B)T
iii) A B−1
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 + 2R1
2. R4 ← R4 + 3R2
3. R1 ← 3R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:5 5 4 5 4
0 5 3 5 1
0 −5 2 −4 0
0 0 0 0 4
0 0 0 1 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 −1 0 1 0 0
0 −1 0 −1 0 −1 1
0 0 1 −1 1 0 1
0 0 0 1 0 −1 1
0 0 0 0 1 1 −1
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
−1 1 1 0 0 0 0
0 −1 −1 1 0 0 0
−1 0 1 1 −1 0 0
0 1 0 1 1 1 0
1 1 1 1 −1 1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BT A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ↔ R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← R4 + 6R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R4 ← 6R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
b) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
cero.
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 75 7
d) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
e) Si (A B) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:76
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← R3 + 6R5
b) R6 ↔ R3
c) R6 ← R6 + 3R5
d) R6 ← 5R6
e) R6 ↔ R5
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglon 6 por 3
2) Sumarle al renglon 6 el renglon 5 multiplicado por 3
3) Intercambiar los renglones 6 y 3
4) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 6
5) Multiplicar el renglon 6 por 5
6) Intercambiar los renglones 6 y 5
Respuesta:
2. Para la matriz A 7 −1 −7
6 −2 5
3 1 6
determine cada elemento (3, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 + 4R1
2) R3 ↔ R1
3) R1 ← R1 + 4R2
4) R1 ← R1 + 4R3
5) R1 ↔ R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
0 1 −3 −3
3 1 1 −1
0 1 −1 −3
b)
3 −1 2 1
1 −3 −2 −1
0 3 3 −2
c)
3 3 −3 6
0 1 0 1
0 0 1 −3
d)
3 −3 −3 6
0 4 0 2
0 0 3 4
e)
1 −3 3 1
0 4 −3 −2
0 3 3 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 3R3
2) R1 ← 13 R1
3) R1 ← R1 − 3R2
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ↔ R2
6) R3 ← R3 − 34 R2
7) R2 ← R2 − 13 R1
8) R3 ← 13 R3
9) R1 ← R1 + 1R3
10) R1 ← 13 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 2 0
0 0 0
]b)
[0 0 0
0 4 0
]c)
[0 1 −2
4 0 −4
]d)
[0 −1 3
0 0 4
]e)
[1 3 4
1 3 2
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Diferente de la forma escalonada
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 76 2
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 3
0 1 0 −4
0 2 0 −8
b)
1 0 0 −4
0 1 1 −2
0 0 0 −3
c)
1 0 0 0 3
0 1 0 0 4
0 0 0 1 4
d)
1 0 1 0
0 1 1 2
0 0 2 1
e)
1 1 3 −4
0 0 1 −1
0 0 4 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Inconsistente
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−2 3 3 −1
−6 12 18 0
−6 3 −9 −9
4 0 12 8
b)
2 6 −2 8
−2 −6 0 −6
6 18 −6 24
c)
2 −1 −5 −3
6 −1 −13 −7
6 −3 −15 −9
d)
2 2 2 −1
−4 −4 −5 4
4 4 5 −2
−2 −2 −5 11
e)
2 −1 3 14
−2 3 −4 −19
−2 7 −8 −35
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano
colombiano y grano etıope. Para una bolsa de mezcla de
la casa requiere 300 g de mexicano y 200 g de colombiano.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de me-
xicano, 100 g de colombiano y 100 g de etıope. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano, 300 g de
colombiano y 100 g de etıope. El comerciante dispone de
16 kg de grano mexicano, 18 kg de grano colombiano, y
6 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
8. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (0, 4), Q(1, 3), y R(3, 5). A ma-
nera de comprobacion, reporte solo el valor de B.
Respuesta:
9. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $4 en
ilustraciones, y $3 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $5 en papel, $5 en ilustraciones, y $11 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $15 en
ilustraciones, y $27 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $321 en papel, $391 en ilustraciones, y $626 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e4 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 8 y′ + 16 y =(4 + x+ 6x2
)e4 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
19 + 4x− 5x2
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 76 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 20o, Tb = 20o, Tc = 33o
Td = 11o, Te = 10o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
b) Si un SEL homogeneo 5× 5 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
c) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
d) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
e) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b,a, e]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 4, 0, 2 >
b) < 0, 1, 1 >
c) < 4, 3, 4 >
d) < 0, 0, 1 >
e) < 1, 0, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + e
2) 4 b + 2 e
3) e
4) 3 a + 4 b + 4 e
5) b
6) b + e
7) a + b + e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, f , e]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
b)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
c)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
d)
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
e)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 76 4
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d, e]
2) [e, e,d, e]
3) [f ,d]
4) [d, e, f ]
5) [d, f ,d]
6) [e, f ,d]
7) [f , f ,d,d]
8) [f ,d, f ]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (3, 1) de
1 1
1 0
0 0
·
[0 0 1
0 0 1
]
2. (2, 2) de
[1 1 1
0 1 0
]·
0 0 1
1 1 1
0 1 1
3. (1, 1) de
1 1
0 1
1 0
·
[1 1
1 1
]
4. (1, 2) de
[1 0 0
1 0 1
]·
0 0
1 0
0 0
5. (2, 2) de
1 1 0
0 0 0
1 0 0
·
1 1
0 0
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
5 3 0
5 3 3
−1 2 0
B =
−2 −2 −1
−2 4 −1
2 −2 2
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 5 4 5
2 3 4
x y z
1 6 4 −5
2 1 1 1
6 6 2 0
=
43 64 34 −21
32 39 19 −7
35 49 23 −14
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[5 −2
−3 0
]
B =
[3 −2
−2 1
]
C =
[2 5
2 5
]
Resuelva para X la ecuacion:
2 X + B = C (−5 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 −2
3 2
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
A XT)T
B
)T= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 76 5
22. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−1 0
−2 −2
]
C =
[−8 −28
1 4
]
D =
[−1 −1
3 2
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[4 2
2 4
]
B =
[3 5
2 3
]
C =
[7 7
7 5
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 5 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 2 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 2 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 5 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 5 As y 2 Bs
un D se requieren 2 As y 3 Bs
un E se requieren 4 Cs y 2 Ds
un F se requieren 4 Cs y 3 Ds
un G se requieren 200 As y 124 Bs
un H se requieren 124 As y 76 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 76 6
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
28. Si
A =
4 5 6 5
3 2 7 5
4 4 3 4
1 3 6 2
determine:
1. C43 2. M41
3. M11 4. M31
5. C23
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ −2 4
0 6− λ 5
0 5 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −2 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2 B)T
ii) (2 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R4 ← R4 + 2R2
3. R3 ← R3 + 2R1
4. R1 ← −2R1
la convierten en la matriz:2 3 2 5 3
0 0 3 1 3
0 5 2 4 3
0 0 0 4 2
0 0 0 4 3
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 −1 0 1 −1 0 −1
0 1 0 −1 −1 0 −1
0 0 1 1 −1 0 0
0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
−1 0 −1 0 0 0 0
−1 1 −1 −1 0 0 0
0 1 −1 0 1 0 0
1 −1 −1 1 −1 −1 0
0 −1 0 1 −1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 4R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 4R3
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
b) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 76 7
c) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
d) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
e) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:77
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ← 4R3
b) R3 ↔ R4
c) R3 ← 5R3
d) R3 ↔ R5
e) R4 ← R4 + 3R5
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 3 y 4
2) Sumarle al renglon 3 el renglon 5 multiplicado por 4
3) Multiplicar el renglon 3 por 5
4) Multiplicar el renglon 3 por 4
5) Sumarle al renglon 4 el renglon 5 multiplicado por 3
6) Intercambiar los renglones 3 y 5
Respuesta:
2. Para la matriz A −3 3 −3
10 1 −3
5 −1 1
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 + 3R3
2) R1 ↔ R3
3) R2 ↔ R1
4) R1 ← R1 + 3R2
5) R2 ← 3R2
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
5 −10 −5 −10
0 6 0 −2
0 0 5 6
b)
5 −2 −2 2
1 −2 −3 −2
0 −3 1 −1
c)
5 5 −5 −5
0 1 0 −3
0 0 1 1
d)
0 −3 −1 −2
5 −2 3 −2
0 −3 1 −3
e)
1 −5 −2 2
0 6 3 1
0 5 −2 −3
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 5R3
2) R2 ← R2 − 15 R1
3) R1 ← R1 + 1R3
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← R1 + 1R3
6) R1 ← 15 R1
7) R3 ← R3 − 56 R2
8) R1 ← R1 − 5R2
9) R1 ← 15 R1
10) R3 ← 15 R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[1 3 −1
1 −4 1
]b)
[1 3 0
0 0 0
]c)
[0 0 1
0 0 0
]d)
[0 −1 −2
0 0 −3
]e)
[0 0 0
0 3 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 77 2
2) Diferente de la forma escalonada
3) Escalonada pero no reducida
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 −2 3
0 0 1 3
0 0 2 0
0 0 0 0
b)
1 −2 2 −1
0 1 1 −2
0 0 7 4
0 0 0 0
c)
1 0 0 0 −3
0 1 0 0 −4
0 0 1 0 −4
d)
1 1 1 −1
0 1 1 −1
0 0 0 −1
0 0 0 0
e)
1 0 0 −3
0 1 1 −2
0 0 0 −4
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Inconsistente
3) Consistente con soluciones infinitas
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 6 3 2
4 12 4 3
−2 −6 1 −1
b)
−1 3 −7 3
−2 4 −10 7
2 −2 6 −7
1 −1 3 −2
c)
−2 −2 −2 2
2 2 5 −4
2 2 8 −3
−4 −4 −10 14
d)
2 2 3 −5
−4 −1 −4 11
−2 7 6 5
e)
2 3 3 9
8 12 13 38
4 9 5 13
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 648 para ensamble,
139 para pruebas, y 122 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo canon.
Respuesta:
8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano
brasileno y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla de
la casa requiere 300 g de mexicano y 200 g de brasileno.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de mexi-
cano, 100 g de brasileno y 100 g de jamaquino. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano, 200 g de
brasileno y 200 g de jamaquino. El comerciante dispone de
25 kg de grano mexicano, 20 kg de grano brasileno, y 10
kg de grano jamaquino. Determina cuantas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−3, 2), Q(−2, 1), y R(0, 3). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
40− 22x− 4x2
(5 + x) (25 + x2)=
A
5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 77 3
11. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
−26− 17x+ 16x2 + 11x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 12o, Tb = 19o, Tc = 34o
Td = 30o, Te = 24o, Tf = 27o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
b) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 10 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
e) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
2) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c,d, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 0, 0 >
b) < 1, 1, 0 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 5, 2, 3 >
e) < 5, 5, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) c
2) 5 c + 5 d
3) d
4) c + d + f
5) c + d
6) d + f
7) 5 c + 2 d + 3 f
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [c, f , e]
para las diferentes matrices X:
a)
0 0
0 1
1 0
b)
0 1
1 0
0 0
c)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
d)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 77 4
e)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [f , f , c, c]
2) [e, f , c]
3) [f , c, e, c]
4) [f , c]
5) [f , c, f ]
6) [e, c, c]
7) [e, f ]
8) [f , c, e]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 2) de
1 1
0 1
1 1
·
[1 1 0
0 1 0
]
2. (1, 2) de
[1 1 0
1 0 1
]·
1 0 1
0 0 0
1 1 0
3. (1, 2) de
1 0
0 1
0 0
·
[1 0
0 0
]
4. (2, 2) de
[0 0 1
1 0 1
]·
0 1
0 0
1 0
5. (3, 2) de
1 1 1
0 1 0
1 0 1
·
1 1
1 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
2 −3 1
−1 −3 3
5 0 5
B =
3 −1 5
−3 −2 −2
3 3 1
Calcule la suma de los elementos del renglon 1 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: x y z
2 6 3
5 5 5
1 3 6 −2
1 4 3 −3
1 6 6 −5
=
9 45 45 −36
11 48 48 −37
15 65 75 −50
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[−2 2
2 0
]
B =
[−1 0
−1 3
]
C =
[4 3
1 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
2 X + B = C (−2 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 −3
3 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 77 5
22. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[2 2
3 1
]
D =
[−9 −5
−13 −2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 3 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−5 −15
2 4
]
C =
[4 −3
−1 1
]
D =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 5
2 5
]
B =
[4 4
1 5
]
C =
[5 9
6 8
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 2 piezas del tipo
b, y 2 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 5 armados del tipo B. El tipo D que requiere 2 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 3 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 3 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 4 Cs y 5 Ds
un F se requieren 5 Cs y 4 Ds
un G se requieren 3 Es y 4 Fs
un H se requieren 3 Es y 5 Fs
un G se requieren 189 As y 220 Bs
un H se requieren 216 As y 251 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 77 6
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
6 8 2 4
3 4 1 7
5 4 5 6
8 6 5 4
determine:
1. M33 2. C42
3. M23 4. C12
5. C34
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ 4 −4
0 4− λ 3
0 3 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 5 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2 A)−1
ii) A (2 B)T
iii) AT B
iv) AT B A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 4R2
2. R1 ← −6R1
3. R2 ↔ R3
4. R3 ← R3 − 4R1
la convierten en la matriz:1 2 1 2 4
0 2 4 4 3
0 8 18 17 15
0 0 0 0 1
0 0 0 2 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 −1 0 1 0 1
0 −1 1 −1 0 1 −1
0 0 −1 1 0 −1 0
0 0 0 −1 1 0 0
0 0 0 0 −1 −1 −1
0 0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 −1 −1 0 0 0 0
1 −1 −1 −1 0 0 0
−1 −1 0 0 −1 0 0
0 0 0 1 −1 −1 0
−1 0 0 0 −1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 4R7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 4R6
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A B) x = b tiene solucion unica para un b, en-
tonces det(B) es diferente de cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 77 7
d) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
e) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:78
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ↔ R4
b) R5 ← 4R5
c) R5 ↔ R6
d) R4 ← R4 + 5R6
e) R5 ← 6R5
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 4 el renglon 6 multiplicado por 5
2) Intercambiar los renglones 5 y 4
3) Sumarle al renglon 5 el renglon 6 multiplicado por 4
4) Multiplicar el renglon 5 por 6
5) Multiplicar el renglon 5 por 4
6) Intercambiar los renglones 5 y 6
Respuesta:
2. Para la matriz A 7 1 1
2 1 −3
10 1 −6
determine cada elemento (2, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R2 ← R2 − 4R3
2) R3 ↔ R1
3) R2 ← −4R2
4) R3 ← R3 − 4R1
5) R2 ↔ R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −5 1 −2
0 6 1 1
0 5 2 2
b)
0 −3 −2 −1
5 2 −2 −2
0 −2 1 −1
c)
5 1 −1 3
1 −3 2 −2
0 3 −3 −1
d)
5 10 −5 −5
0 6 0 −2
0 0 5 6
e)
5 5 −5 5
0 1 0 −1
0 0 1 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 5R3
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← 15 R1
4) R1 ← R1 − 5R2
5) R3 ← R3 − 56 R2
6) R1 ↔ R2
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R2 ← R2 − 15 R1
9) R3 ← 15 R3
10) R1 ← 15 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 1 −1
4 0 −1
]b)
[1 2 −3
1 3 1
]c)
[1 −4 3
0 1 3
]d)
[1 0 4
0 1 1
]e)
[0 0 0
0 −1 −2
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 78 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 0 1 0
0 1 1 4
0 0 5 1
b)
1 0 0 0 3
0 0 1 0 −3
0 0 0 1 2
c)
1 −1 1 2
0 1 1 −2
0 0 7 4
0 0 0 0
d)
1 2 2 3
0 1 1 2
0 0 0 −1
0 0 0 0
e)
1 1 4 −2
0 0 1 −1
0 0 3 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 2 2 0
4 4 5 2
8 11 7 −11
b)
3 −1 −7 −8
6 −3 −12 −18
−3 −2 13 2
6 −4 −10 −20
c)
3 −1 −7 9
9 −1 −19 21
6 −2 −14 18
d)
2 −2 −2 0
4 −4 −1 −6
−4 4 4 0
e)
−1 1 3 2
−3 3 8 8
1 −1 −2 −6
−2 2 8 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (1,−2), Q(2,−3), y R(4,−1). A
manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $3 en
ilustraciones, y $5 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $5 en ilustraciones, y $10 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $5 en papel, $11 en
ilustraciones, y $26 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $277 en papel, $342 en ilustraciones, y $703 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
9. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 21oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 9o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 8o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
−30− x− 9x2
(3 + x) (9 + x2)=
A
3 + x+
C +B x
9 + x2
Reporta el valor de A.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 5 y′ + 2 y = 3 + 3x+ 2x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 78 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 20o, Tb = 35o, Tc = 31o
Td = 34o, Te = 22o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
b) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
c) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
e) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [f , c, e]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 1 >
b) < 1, 1, 1 >
c) < 0, 1, 0 >
d) < 1, 0, 0 >
e) < 1, 1, 0 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 3 c + 3 e + 4 f
2) 4 c + 3 e
3) c
4) c + e + f
5) c + f
6) f
7) c + e
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, e,b]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
b)
0 1
1 0
0 0
c)
1 0 0
0 0 0
0 1 1
d)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
e)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [d,b]
2) [d,b, e]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 78 4
3) [e,d, e]
4) [e,d]
5) [e, e,d,d]
6) [e,d,b]
7) [d,b,b]
8) [b,b,d,b]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (2, 1) de
1 1
0 0
1 0
·
[1 0 0
0 1 0
]
2. (1, 1) de
[1 1 1
0 0 0
]·
1 0 0
0 0 0
0 1 1
3. (2, 1) de
0 0
0 1
1 1
·
[0 0
0 0
]
4. (1, 1) de
[1 0 1
0 0 0
]·
0 0
0 0
1 1
5. (1, 2) de
1 1 1
1 1 0
1 1 0
·
1 0
1 0
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
5 2 1
−1 0 3
2 −2 −3
B =
3 5 −1
1 0 0
1 2 3
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 3 3 2
x y z
2 2 1
5 4 2 1
5 6 2 −1
6 2 1 4
=
42 34 14 8
49 36 14 13
26 22 9 4
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[1 3
−2 1
]
B =
[−1 1
0 5
]
C =
[4 2
0 0
]
Resuelva para X la ecuacion:
2 X + B = C(−4 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 4
−4 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 78 5
22. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[1 −2
0 −3
]
D =
[−4 5
−3 7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[12 −1
−11 −4
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 5
3 6
]
B =
[2 1
3 5
]
C =
[6 5
7 8
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + Y + A Z = B
X + A Y + A Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 4 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 3 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 3 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 3 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 5 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 4 As y 4 Bs
un D se requieren 5 As y 3 Bs
un E se requieren 3 Cs y 4 Ds
un F se requieren 4 Cs y 3 Ds
un G se requieren 220 As y 172 Bs
un H se requieren 219 As y 173 Bs
Determine
a) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto G.
b) Cuantos objetos C y cuantos D se requiere para en-
samblar un objeto H.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 78 6
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
8 7 2 4
7 5 6 7
5 7 8 6
3 6 1 2
determine:
1. C24 2. C12
3. C22 4. C42
5. C44
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −1− λ −4 −4
0 6− λ 4
0 4 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 2 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (3 A)−1
ii) A (3 B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 + 5R2
2. R2 ↔ R3
3. R3 ← R3 − 4R1
4. R1 ← 4R1
la convierten en la matriz:3 1 2 5 5
0 4 1 1 2
0 −4 1 4 −1
0 0 0 0 5
0 0 0 5 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 −1 1 0 0 0 0
0 −1 0 1 −1 0 0
0 0 −1 1 0 1 −1
0 0 0 −1 −1 0 1
0 0 0 0 −1 1 −1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
−1 1 1 0 0 0 0
−1 −1 1 1 0 0 0
0 1 0 −1 −1 0 0
1 −1 −1 −1 1 −1 0
0 −1 −1 −1 1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ↔ R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← 6R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R1 ← R1 + 6R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene infinitas
soluciones.
c) Si AT x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 78 7
d) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
e) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:79
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ← 3R5
b) R5 ← R5 + 3R4
c) R3 ← R3 + 5R4
d) R5 ↔ R4
e) R5 ← 4R5
Dentro de la lista:
1) Sumarle al renglon 3 el renglon 4 multiplicado por 5
2) Intercambiar los renglones 5 y 4
3) Intercambiar los renglones 5 y 3
4) Sumarle al renglon 5 el renglon 4 multiplicado por 3
5) Multiplicar el renglon 5 por 4
6) Multiplicar el renglon 5 por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 3 3 2
−1 −3 2
−2 −2 7
determine cada elemento (3, 1) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R3 ← R3 + 2R1
2) R1 ↔ R2
3) R3 ↔ R1
4) R3 ← 2R3
5) R1 ← R1 + 2R3
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
1 −2 1 1
0 3 3 1
0 2 −1 −3
b)
2 2 1 2
1 3 −3 1
0 −3 1 3
c)
0 −3 −3 1
2 −3 −2 −2
0 −3 1 3
d)
2 −6 −2 −6
0 3 0 1
0 0 2 3
e)
2 2 −2 −6
0 1 0 1
0 0 1 −2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R2 ← R2 − 12 R1
3) R1 ↔ R2
4) R1 ← R1 + 2R3
5) R1 ← 12 R1
6) R1 ← R1 − 2R2
7) R1 ← R1 + 1R3
8) R1 ← 12 R1
9) R3 ← 12 R3
10) R3 ← R3 − 23 R2
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 1 −1
1 0 4
]b)
[1 2 0
0 0 0
]c)
[0 0 0
0 1 0
]d)
[0 2 −3
0 0 1
]e)
[1 −1 −4
1 −2 −1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 79 2
2) Escalonada pero no reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 −4
0 1 0 3
0 2 0 6
b)
1 2 −4 1
0 1 1 −2
0 0 0 2
0 0 0 0
c)
1 0 0 0 4
0 1 0 0 1
0 0 0 1 1
d)
1 0 1 0
0 1 1 −4
0 0 2 1
e)
1 1 3 −1
0 0 1 2
0 0 4 0
0 0 0 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 1 3 −2
−3 3 8 −4
2 −2 −9 13
1 −1 −6 17
b)
3 3 2 6
6 6 5 9
6 5 6 5
c)
−2 2 −4 4
−4 2 −10 6
−4 8 −4 12
−4 −2 −14 2
d)
−2 −6 −1 2
−4 −12 −4 6
2 6 5 −8
e)
2 6 3 −1
−4 −12 −8 4
4 12 6 −2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 28oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 4o mayor que el
promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 10o menor que el promedio de temperatu-
ras en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo canon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fabrica dispone en horas por mes de 264 para ensamble,
56 para pruebas, y 52 horas para instalacion de progra-
mas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?
Solo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (2, 4), Q(3, 3), y R(5, 5). A ma-
nera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen:
1 + 8x+ 9x2 + 4x3
(1 + x)2
(−3 + x2)=
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+Cx+D
x2 − 3
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp = Ax2 +B x+ C
sea solucion a la ecuacion diferencial
5 y′′ + 2 y′ + 2 y = 6 + 3x+ 2x2
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 79 3
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 25o, Tc = 15o
Td = 34o, Te = 31o, Tf = 18o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 10 × 10 tiene una matriz au-
mentada reducida con 9 pivotes, entonces el sistema
tiene solucion unica.
b) Si un SEL homogeneo 4× 4 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 2 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
c) Si un SEL 8 × 8 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 7 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
d) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 10 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL 6 × 6 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 4 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
2) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
3) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a, e,d]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 2, 4, 0 >
b) < 1, 1, 0 >
c) < 1, 1, 1 >
d) < 1, 0, 1 >
e) < 5, 3, 5 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + d
2) 2 a + 4 e
3) 5 a + 5 d + 3 e
4) e
5) a + e
6) a + d + e
7) d
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [d, e, c]
para las diferentes matrices X:
a)
1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 0 0
b)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
c)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
d)
1 0 1
0 1 0
0 0 0
e)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [e,d, e]
2) [e,d, c,d]
3) [d, c]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 79 4
4) [d, e,d]
5) [c, e,d]
6) [e, c,d]
7) [e,d]
8) [d, c,d,d]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 1) de
1 1
0 1
1 0
·
[1 0 1
1 1 1
]
2. (2, 3) de
[1 1 0
1 1 0
]·
0 0 1
0 1 1
0 1 1
3. (2, 1) de
0 0
0 0
0 1
·
[1 1
1 0
]
4. (1, 2) de
[1 1 1
0 0 0
]·
0 1
0 1
0 1
5. (1, 2) de
1 1 1
1 1 1
0 1 1
·
0 1
1 1
1 0
Respuesta:
17. Si
A =
−2 −3 −2
0 2 −2
4 5 5
B =
0 0 −3
4 −1 0
−1 −3 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
5 5 3
1 6 6
3 5 6
4 −1 −3
1 5 x
5 5 y
4 4 z
=
42 62 46
55 59 30
52 64 40
−13 3 16
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[−2 4
3 1
]
B =
[3 4
2 4
]
C =
[0 3
3 1
]
Resuelva para X la ecuacion:
4 X + B = C(−3 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[1 2
−3 2
]
D =
[−6 −7
5 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 79 5
22. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−2 3
0 −3
]
D =
[1 −5
−4 7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−5 −10
−1 −3
]
C =
[4 −1
−3 1
]
D =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 4
3 5
]
B =
[2 1
1 1
]
C =
[6 4
2 6
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 2 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 3 piezas del tipo b, y 5 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 5 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 5 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 4 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 6 armados tipo E y 4 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un objeto C se requieren 2 objetos A y 5 objetos B
un objeto D se requieren 2 objetos A y 2 objetos B
un objeto E se requieren 3 objetos C y 2 objetos D
un objeto F se requieren 4 objetos C y 2 objetos D
3 objetos G y 5 objetos H se requieren en total 568
objetos A y 1120 objetos B
3 objetos G y 4 objetos H se requieren en total 488
objetos A y 962 objetos B
Determine
a) cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto G
b) cuantos objetos E y cuantos F se requiere para en-
samblar un objeto G
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 79 6
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
e) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
5 6 2 3
5 5 3 8
6 2 7 7
7 4 2 7
determine:
1. M11 2. C34
3. C23 4. M13
5. C42
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −2− λ 4 4
0 6− λ 6
0 6 6− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −1 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2 A)−1
ii) A (−2 B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R3
2. R3 ← R3 + 2R1
3. R1 ← −6R1
4. R4 ← R4 − 2R2
la convierten en la matriz:4 2 3 4 3
0 0 2 4 4
0 4 5 1 2
0 0 0 1 2
0 0 0 −1 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 1 1 −1 −1 0 1
0 1 −1 1 1 1 0
0 0 −1 −1 −1 1 0
0 0 0 1 1 1 −1
0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0
1 1 −1 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0 0
0 0 −1 0 −1 0 0
−1 0 1 1 1 −1 0
−1 −1 −1 0 0 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) A B
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← R5 + 3R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ← 3R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R5 ↔ R2
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A) es
diferente de cero.
b) Si (A A) x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces
det(A) es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 79 7
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
cero.
d) Si (A B) x = b tiene solucion para todo b, entonces
det(B) es diferente de cero.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:80
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ← R5 + 2R3
b) R2 ↔ R3
c) R2 ← 5R2
d) R2 ← 3R2
e) R2 ↔ R5
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 2 y 3
2) Multiplicar el renglon 2 por 3
3) Sumarle al renglon 2 el renglon 3 multiplicado por 5
4) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 2
5) Multiplicar el renglon 2 por 5
6) Intercambiar los renglones 2 y 5
Respuesta:
2. Para la matriz A 6 −3 −2
8 −2 −5
10 −2 −6
determine cada elemento (1, 3) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 − 3R3
2) R3 ← R3 − 3R2
3) R1 ← −3R1
4) R3 ↔ R2
5) R3 ← R3 − 3R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
5 5 −5 5
0 1 0 −1
0 0 1 −1
b)
5 5 −5 −10
0 6 0 −2
0 0 5 6
c)
1 −5 1 −1
0 6 −1 2
0 5 −2 −1
d)
5 2 3 2
1 2 −2 3
0 1 −2 2
e)
0 −3 −1 −2
5 −2 1 2
0 −2 2 −1
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 + 1R3
2) R3 ← 15 R3
3) R1 ↔ R2
4) R1 ← R1 + 1R3
5) R1 ← 15 R1
6) R1 ← 15 R1
7) R3 ← R3 − 56 R2
8) R1 ← R1 − 5R2
9) R1 ← R1 + 5R3
10) R2 ← R2 − 15 R1
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 0 0
0 −4 2
]b)
[0 −2 −2
−1 2 1
]c)
[1 0 3
0 1 1
]d)
[1 −1 −2
1 −3 −4
]e)
[−3 4 2
0 −2 1
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 80 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 1 1 −2
0 0 1 −2
0 0 4 0
0 0 0 0
b)
1 0 1 0
0 1 1 3
0 0 3 1
c)
1 0 0 0 −1
0 1 0 0 −4
0 0 1 0 3
d)
1 0 0 1
0 1 1 −2
0 0 0 −1
e)
1 1 1 −1
0 1 0 1
0 2 0 2
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con solucion unica
2) Consistente con soluciones infinitas
3) Inconsistente
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
−1 1 2 3
1 −1 1 0
2 −2 −7 −10
b)
2 −1 5 −3
−4 1 −7 5
−2 3 −11 5
−4 4 −16 8
c)
−1 −2 2 −2
1 0 1 5
−2 −10 12 2
d)
3 −1 2 −3
6 −2 5 −5
12 −2 11 −11
e)
2 −6 −1 0
−4 12 0 −4
4 −12 −2 0
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (−2,−2),Q(−1,−3), y R(1,−1).
A manera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
8. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 26oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 3o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 9o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Boston.
Respuesta:
9. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:
mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano
costarriqueno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla
economica requiere 300 g de dominicano y 200 g de costa-
rriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g
de dominicano, 200 g de costarriqueno y 100 g de etıope.
Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de domi-
nicano, 300 g de costarriqueno y 100 g de etıope. El co-
merciante dispone de 22 kg de grano dominicano, 23 kg
de grano costarriqueno, y 5 kg de grano etıope. Determi-
na cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si
tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta solo
las bolsas de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje
todo en gramos y despues divida las ecuaciones entre 100
antes de resolver.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e2 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 4 y′ + 4 y =(5 + 5x+ 2x2
)e2 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
11. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
72− 30x− 5x2
(6 + x) (36 + x2)=
A
6 + x+
C +B x
36 + x2
Reporta el valor de C.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 80 3
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 30o, Tb = 18o, Tc = 32o
Td = 36o, Te = 35o, Tf = 17o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogeneo 8× 8 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.
b) Si un SEL homogeneo 6× 6 tiene una matriz aumen-
tada reducida con 5 pivotes, entonces el sistema tiene
solucion unica.
c) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
d) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a,d, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 1, 1, 1 >
b) < 1, 0, 1 >
c) < 1, 1, 0 >
d) < 0, 1, 0 >
e) < 0, 0, 1 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) 3 a + 4 d + 4 f
2) a + d + f
3) a + f
4) f
5) a + d
6) 4 a + 2 f
7) d
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [a, e, c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1
1 0
0 0
b)
0 0 1 0
0 0 0 0
1 1 0 1
c)
1 0
0 0
0 1
d)
0 1 1
0 0 0
1 0 0
e)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 80 4
1) [a, c, e]
2) [e, e,a,a]
3) [c, e,a]
4) [a, c, c]
5) [e,a]
6) [a, c]
7) [c, c,a, c]
8) [c,a,a]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 3) de
1 0
1 0
1 0
·
[0 0 1
1 0 1
]
2. (2, 2) de
[1 0 0
0 1 1
]·
0 0 0
0 1 0
1 0 1
3. (1, 1) de
0 0
1 1
1 0
·
[1 1
1 0
]
4. (2, 2) de
[0 0 1
0 0 1
]·
1 1
1 1
1 1
5. (1, 1) de
1 1 1
0 0 0
1 0 1
·
1 1
1 1
0 0
Respuesta:
17. Si
A =
0 0 −1
4 0 3
1 −3 5
B =
0 4 0
1 −1 2
2 −2 −3
Calcule la suma de los elementos del renglon 3 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla: 6 2 6
x y z
4 6 1
5 3 6 2
4 1 1 3
4 6 6 −2
=
62 56 74 6
18 13 19 5
48 24 36 24
Como comprobacion reporte solo el valor de x.
Respuesta:
19. Si
A =
[4 2
1 2
]
B =
[2 3
−1 −3
]
C =
[1 3
4 −3
]
Resuelva para X la ecuacion:
3 X + B = C (−7 A + C)
Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[1 2
−1 2
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[−2 −1
−2 −1
]
D =
[6 −1
5 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)−1 − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 80 5
22. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[2 3
−2 −2
]
D =
[−10 −10
3 5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
23. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[0 −2
3 0
]
C =
[2 5
3 5
]
D =
[1 −4
3 0
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobacion, reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[5 5
2 6
]
B =
[5 3
1 1
]
C =
[9 5
3 5
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
X + A Y + A Z = C
A X + Y + A Z = B
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 4 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 2 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 2 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 3 armados
del tipo A y 5 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 3 armados del tipo C
y 4 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 6 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un E se requieren 3 Cs y 3 Ds
un F se requieren 2 Cs y 3 Ds
un G se requieren 4 Es y 2 Fs
un H se requieren 3 Es y 4 Fs
un G se requieren 116 As y 68 Bs
un H se requieren 127 As y 76 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 80 6
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
e) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
1 2 8 4
1 4 7 6
2 2 3 6
1 2 4 5
determine:
1. C42 2. M32
3. M33 4. C21
5. M44
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −3− λ 4 −2
0 4− λ 6
0 6 4− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 5 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3 B)T
ii) (−3 A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT B A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 − 3R1
2. R4 ← R4 + 6R2
3. R1 ← −6R1
4. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:4 2 4 4 5
0 0 3 5 2
0 3 4 5 3
0 0 0 5 3
0 0 0 −15 −5
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
−1 0 0 0 −1 1 0
0 −1 1 0 −1 −1 0
0 0 1 1 1 0 −1
0 0 0 −1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0
1 −1 0 0 0 0 0
−1 −1 1 0 0 0 0
1 −1 0 1 0 0 0
−1 1 −1 −1 −1 0 0
−1 −1 −1 −1 −1 1 0
1 0 0 1 1 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) AT B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 4R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 4R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R7
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
b) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces |A| es
diferente de cero.
c) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 80 7
d) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
e) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
Matematicas AvanzadasExamen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial
Maestra Sofıa Salinas, Enero-Mayo 2014
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:81
1. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R5 ↔ R3
b) R5 ↔ R6
c) R5 ← 3R5
d) R6 ← R6 + 5R3
e) R5 ← 6R5
Dentro de la lista:
1) Intercambiar los renglones 5 y 6
2) Multiplicar el renglon 5 por 6
3) Intercambiar los renglones 5 y 3
4) Sumarle al renglon 6 el renglon 3 multiplicado por 5
5) Sumarle al renglon 5 el renglon 3 multiplicado por 6
6) Multiplicar el renglon 5 por 3
Respuesta:
2. Para la matriz A 9 2 −7
−2 −1 3
5 −1 1
determine cada elemento (1, 2) de la matriz resultante de
A despues de aplicarle
1) R1 ← R1 − 4R2
2) R1 ← −4R1
3) R1 ↔ R2
4) R2 ← R2 − 4R3
5) R2 ← R2 − 4R1
Aplique cada operacion sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resulta-
dos numericos.
Respuesta:
3. Para cada una de las siguientes matrices y de acuerdo al
algoritmo de eliminacion gaussiana
a)
5 5 −5 −15
0 1 0 −3
0 0 1 1
b)
0 −2 −3 1
5 −1 −3 1
0 −1 −1 −1
c)
5 −10 −5 10
0 6 0 1
0 0 5 6
d)
5 −2 3 −2
1 1 −3 3
0 2 −3 −2
e)
1 −5 2 1
0 6 −1 2
0 5 −2 −2
indique cuaal es la opcion que contiene la siguiente opera-
cion que debe efectuarse de acuerdo a la siguiente lista:
1) R1 ← R1 − 5R2
2) R1 ← R1 + 1R3
3) R1 ← 15 R1
4) R1 ↔ R2
5) R1 ← 15 R1
6) R3 ← 15 R3
7) R2 ← R2 − 15 R1
8) R1 ← R1 + 5R3
9) R3 ← R3 − 56 R2
10) R1 ← R1 + 1R3
Respuesta:
4. Respecto a las matrices:
a)
[0 −3 −4
1 1 3
]b)
[1 3 0
0 0 0
]c)
[0 −3 3
0 0 −2
]d)
[1 0 3
0 1 0
]e)
[0 1 −4
1 0 −2
]indique como se clasifican respecto a los conceptos:
1) Escalonada pero no reducida
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 81 2
2) Escalonada reducida
3) Diferente de la forma escalonada
Respuesta:
5. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
1 −3 −2 −1
0 1 1 2
0 0 0 4
0 0 0 0
b)
1 0 0 0 4
0 0 1 0 −1
0 0 0 1 4
c)
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 5 1
d)
1 2 4 −3
0 1 1 4
0 0 3 4
0 0 0 0
e)
1 1 1 3
0 1 0 3
0 2 0 6
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Inconsistente
3) Consistente con solucion unica
Respuesta:
6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes:
a)
2 3 −1 −11
6 9 −2 −32
6 11 −1 −35
b)
3 2 −1 2
−6 −6 6 −4
−6 0 −6 −3
6 −2 10 6
c)
2 4 3 3
−4 −8 −7 −4
6 12 7 15
4 8 8 −2
d)
−2 2 −1 −2
−4 4 1 −1
−4 4 −8 −12
e)
−1 2 −2 −5
1 −2 5 8
−2 4 −4 −10
Indique como se clasifica el sistema correspondiente:
1) Consistente con soluciones infinitas
2) Consistente con solucion unica
3) Inconsistente
Respuesta:
7. El promedio de temperaturas en las ciudades de Boston,
New York, y Montreal fue de 21oF durante cierto dıa de
invierno. La temperatura de New York fue 5o mayor que
el promedio de temperaturas de las otras dos ciudades. En
Montreal fue 8o menor que el promedio de temperaturas
en las otras dos ciudades. ¿Cual fue la temperatura en
cada una de las ciudades? Solo como comprobacion de la
temperatura de Montreal.
Respuesta:
8. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
cion rustica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rusticos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $4 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $7 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $15 en
ilustraciones, y $22 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $316 en papel, $490 en ilustraciones, y $540 en pas-
tas. ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?
Solo como comprobacion reporte el numero de libros rusti-
cos a producirse.
Respuesta:
9. Determine la ecuacion de la parabola con eje vertical
y = Ax2 +B x+ C
que pasa por los puntos P (0, 1), Q(1, 0), y R(3, 2). A ma-
nera de comprobacion, reporte solo el valor de A.
Respuesta:
10. Calcule las constantes A,B y C que cumplen:
−130− 19x+ x2
(−5 + x) (25 + x2)=
A
−5 + x+
C +B x
25 + x2
Reporta el valor de B.
Respuesta:
11. Determine los valores de A, B y C para que
yp =(Ax2 +B x+ C
)e3 x
sea solucion a la ecuacion diferencial
y′′ + 6 y′ + 9 y =(5 + 4x+ 2x2
)e3 x
Como respuesta, solo reporte el valor de C.
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 81 3
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 13o, Tb = 39o, Tc = 29o
Td = 10o, Te = 14o, Tf = 40o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
13. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogeneo.
b) Si un SEL 10× 10 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 10 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
c) Si un SEL tiene infinitas soluciones, entonces el sis-
tema debe de tener mas incognitas que ecuaciones.
d) Si un SEL 9 × 9 tiene una matriz aumentada redu-
cida con 8 pivotes, entonces el sistema tiene solucion
unica.
e) Si un SEL tiene solucion unica, entonces el sistema
debe de tener el mismo numero de incognitas que de
ecuaciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cum-
ple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situacion que puedo construir no se
cumple.
3) Cierto: En toda situacion que puedo construir se cum-
ple.
Nota: Cuando se dice SEL n×m significa que el sistema
tiene n ecuaciones y m incognitas.
Respuesta:
14. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [e, c, f ]
para los diferentes vectores columna x con tres componen-
tes:
a) < 0, 1, 0 >
b) < 1, 0, 0 >
c) < 5, 4, 5 >
d) < 1, 0, 1 >
e) < 3, 0, 5 >
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) e
2) c + f
3) c + e + f
4) 4 c + 5 e + 5 f
5) 3 e + 5 f
6) e + f
7) c
Respuesta:
15. Considere una matriz n× 3 descrita en columnas
A = [b, e, c]
para las diferentes matrices X:
a)
0 1 0
1 0 1
0 0 0
b)
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
c)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
d)
0 0
0 1
1 0
e)
0 0
1 0
0 1
indique la opcion que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
1) [b, c, e]
2) [c, e,b]
3) [e,b, c,b]
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 81 4
4) [e,b, e]
5) [c, e]
6) [b, c,b, e]
7) [e, c]
8) [b, c, c]
Respuesta:
16. Determine el elemento correspondiente de:
1. (1, 3) de
1 1
0 0
0 1
·
[1 0 0
1 1 1
]
2. (2, 1) de
[0 1 1
1 0 1
]·
0 1 0
0 1 0
0 1 1
3. (3, 1) de
1 0
0 0
1 1
·
[1 0
0 0
]
4. (1, 1) de
[0 1 1
1 0 0
]·
1 0
0 0
1 1
5. (3, 1) de
0 0 1
1 0 1
0 0 1
·
1 0
0 0
1 1
Respuesta:
17. Si
A =
−1 5 −3
0 −1 5
5 −3 0
B =
−3 4 −2
−3 −1 3
−3 −2 2
Calcule la suma de los elementos del renglon 2 de
a) A B
b) B A
.
Respuesta:
18. Determine en orden los valores de x, y y z para que secumpla:
1 5 5
1 6 2
3 6 3
0 −1 3
1 2 x
3 5 y
2 2 z
=
26 37 39
23 36 26
27 42 39
3 1 13
Como comprobacion reporte solo el valor de y.
Respuesta:
19. Si
A =
[3 3
2 3
]
B =
[5 5
1 −1
]
C =
[−1 1
2 2
]
Resuelva para X la ecuacion:
2 X + B = C(−6 A + CT
)Como comprobacion determine el renglon 1.
Respuesta:
20. Si:
A =
[−1 −1
0 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
21. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((A X)
TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 81 5
22. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[1 1
−3 3
]
D =
[−5 −6
7 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 2 C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
23. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[14 −15
1 −5
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]
D =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
24. Si:
A =
[3 3
4 6
]
B =
[3 2
2 5
]
C =
[4 7
7 9
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:X + Y + Z = B
A X + A Y + Z = B
X + A Y + Z = C
Reporte el primer renglon.
Respuesta:
25. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 4 piezas del tipo a, 5 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 3 piezas
del tipo a, 4 piezas del tipo b, y 3 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 4 armados del tipo A
y 2 armados del tipo B. El tipo D que requiere 5 armados
del tipo A y 4 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 2 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 5 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el numero de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobacion,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 5 armados tipo E y 3 armados tipo F.
Respuesta:
26. Suponga una maquiladora con tres etapas de ensamble
encadenadas. En la primera etapa los insumos son los ob-
jetos A y B, y los productos son los objetos C y D. En
la segunda etapa los insumos son los objetos C y D, y los
productos son los objetos E y F. Y en la tercera etapa
los insumos son los objetos E y F, y los productos son los
objetos G y H. Se tiene los siguientes datos: Para esam-
blar. . .
un C se requieren 4 As y 4 Bs
un D se requieren 2 As y 5 Bs
un G se requieren 4 Es y 3 Fs
un H se requieren 3 Es y 5 Fs
un G se requieren 132 As y 186 Bs
un H se requieren 154 As y 211 Bs
Determine
a) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto E.
b) Cuantos objetos A y cuantos B se requiere para en-
samblar un objeto F.
Respuesta:
27. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 81 6
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solucion unica.
e) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
28. Si
A =
3 1 8 7
2 7 6 7
5 1 5 3
4 7 7 4
determine:
1. M13 2. M43
3. M24 4. C23
5. C12
Respuesta:
29. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: 2− λ 0 0
1 3− λ 0
0 1 1− λ
Respuesta:
30. Determine el(los) valor(es) de λ que hacen cero el deter-
minante de la matriz: −5− λ −4 2
0 2− λ 1
0 1 2− λ
Respuesta:
31. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 4 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−2 B)T
ii) (−2 A)−1
iii) A B−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
32. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 − 6R1
2. R2 ↔ R3
3. R4 ← R4 − 5R2
4. R1 ← −3R1
la convierten en la matriz:2 5 5 4 3
0 0 1 5 3
0 1 2 3 4
0 0 0 2 3
0 0 0 −8 −8
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
33. Si:
A =
1 1 −1 0 1 0 −1
0 −1 −1 0 0 −1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 −1 −1
0 0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
−1 −1 −1 0 0 0 0
−1 1 0 −1 0 0 0
−1 −1 −1 −1 −1 0 0
0 1 1 1 1 −1 0
1 0 −1 1 1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) B A
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← 3R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ← R6 + 3R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacion
R6 ↔ R4
Respuesta:
34. Sean A y B matrices n×n y b un vector diferente del vec-
tor cero en Rn. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si det(A) es diferente de cero, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
b) Si (A B) x = 0 tiene solucion unica, entonces det(A)
es cero.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces det(AT) es
diferente de cero.
Ma3002, Examen para Llevar a Casa: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Algebra Matricial, Tipo: 81 7
d) Si det(A) es cero, entonces A x = 0 tiene solucion
unica.
e) Si A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces det(A)
es cero.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta: