Master Partea 1_2013

STUDII MASTER - HIDROTEHNICĂ2013

Modelarea matematică aplicată înhidrotehnică

Partea I Introducere in metoda

mdelării,exemple

UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA

MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICĂ

aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa


1.CONSIDERATII INTRODUCTIVE DESPRE MODELARE

•MODELAREA este procesul de generare de reprezentări/imagini simplificate ale realitatii complexe, constituind astfel o parte esentială indispensabilă a oricărei activităţi de cercetarea

ştiinţifică si nu numai.

•MODELAREA reprezintă in acelasi timp un instrument si o metodologie de bază prin care cercetătorul (modelatorul) descoperă aspecte noi despre lume.


MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA



•MODELAREA se caracterizeaza printr-o complexitate si varietate structurală imensă si are o cuprinderespatio-temporală foarte largă (0 → ∞)

-de la particulele elementare, la galaxii

-de la organisme monocelulare, la om si mai departe la societatea umană

-de la descrierea căderii unui măr la teoria relativitătii

-de la desenul naiv al unui copil la operele lui Picasso

„ALL MODELS ARE FALSE, SOME ARE USEFUL“(Centre for Modelig and Simulation, University of Pune)





EXEMPLE DE

COMLEXITATE si VARIETATE

IN MODELARE




!

NIVELUL SI GRADUL DE PLAUZIBILITATE A MODELELOR DE REPREZENTARE

a cunoasterii in general

EXTINDEREA SPATIO-TEMPORALĂ A UNIVERSULUI SUPUS CERCETARII

0

NIVELUL DE ACCESIBILITATE

DIMENSUNE

SP

O SCHEMĂ A CUNOASTERII SI MODELARII UNIVERSULUI (MATERIAL)

0

?

-∞

∞

☺

EX.1





SCHEMĂ PENTRU ANALIZA MODELĂRII UNUI SISTEM ACVATIC DE SUPRAFAŢĂ

(aspecte relevante la diferite scări geometrice)EX.2





SCHEMĂ PENTRU ANALIZA MODELĂRII UNUI SISTEM ACVATIC SUBTERAN

(aspecte relevante la diferite scări geometrice)

EX.3





F

Kartographie

Monitoringul mediului

Geodezie inginereasca

Navigation

GISManagement teritorial

Modelare-3D

Fotogrametrie

OD

ELAR

COM

P L EX

EA

EX E M

UP L

EX.4

Geoid

Cartografie

Mde

Geo





MODELARE DE MARE COMPLEXITATESchema de modelare a proceselor fizico-chimice in atmosfera terestră

Dupa:Scientific modelling-Wilkipedia, the free encyclpedy

EX.5




2.NOŢIUNI SI CONCEPTE FUNDAMENTALEDEFINITORII PENTRU MODELARE

În fundamentarea bazelor modelării ca metodă si instrument indispensabil în cercetarea ştiinţifică este necesar să se

precizeze unele noţiuni şi concepte fundamentale (primare) care stau la baza construirii modelelor.




A. Definiţia generală descriptivă a unor concepte fundamentale

UNIVERS (U)realitatea complexă în totalitatea ei, in care suntem si noi integrati si de care luăm

cunoştinţă în mod direct sau indirect prin diferite activitati, prin percepţii şi senzaţii (real-material/social), respectiv prin informatii si gândire (abstract)

SISTEM (S)orice parte a universului, constituit din entităţi (elemente) structurate prin relatii de

conexiune/interacţionează (interacţiuni interne), formând o unitate bine delimitată si de sine stătătoare (complex whole, sau inetgrated whole) in raport cu universul complementar sistemului cu care are de asemenea interacţiuni (interacţiuni externe)




O reprezentare schematică simplificată a unui sistem.

Re,i şi Ri,e sunt relaţiile de conexiune externe-interne-externe prin care se reprezintă interacţiunile sistemului cu

alte sisteme din univers;

SISTEM(entitati /elemente componente

de orice fel, structurate prin relatii de conexiune interne Ri,i)

Re,i Ri,e




CLASIFICAREA SISTEMELOR

•După natura existenţială-SISTEM Exitent (SE), (decupaj din natură, cum ar fi un sector de râu neamenajat, un lac de acumulare, globul pământesc, sistemul solar, ..., atomul element etc., dar si o forma de organizare politică, economică, socială etc. )

unui

-SISTEM Proiect (SP), (sistem care urmează a fi realizat cu un anumit scop pentru satisfacerea unor necesitati cum ar fi o constructie, o masină, o retea de cunicatii sau transport, dar si un set oganizat de idei sau/si principii după; o forma de organizare politică, economică, socială; maniera in care este organizată o institutie

•După natura entitătilor/componentelor-Sistem material (SM), denumit de regulă sistem real (entitatile/elementele constituentesunt materiale : obiecte, substante, fiinţe)-Sistem abstract (SA) (multimi, relatii, legi, reguli, proceduri etc.)

•După interactiunile cu universul complementar:-Sistem deschis când există interactiunii cu universul complementar (exterior) (toatesistemele: ex. alimentarea cu energie)-Sisteme inchise (exista numai ipotetic, când interactiunile cu exteriorul sunt neglijabile)




CLASIFICAREA SISTEMELOR (continuare)

•După comportamentul in timp:-Sistem dinamic (stări/interactiuni variabile in timp)-Sistem static (stări/interacţiuni constante in timp)

•După natura schimbării stărilor:-Sisteme continue (“umple” complet domeniul spatial)-Sisteme discrete (concentrat în subspatii/puncte izolate)

•După natura stării sistemului in raport cu interactiunile interne/externe:-Sisteme deterministe (in conditii similare evoluţia stărilor esteidentică si previzibila cu exactitate, ex. siteme mecanice si fizice newtoniene)-Sistem stochastice (in condiţii similare evoluţia stărilor este previzibila (se poate aprecia) numai cu o anumită probabilitate ( ex. sănătatea unui om, apele mari in râuri)

•După natura schimbării stărilor ca urmare a modificării interacţiunilor:-Sistem stabil (modificari normale ale interactiunilor determina modificari de stare tot normale)-Sistem instabil (modificari foarte mici ale interactiunilor determina modificari de stare foarte mari/ critice /catastrofale)




MODELIn procesul cunoasterii, sistemele supuse investigatiei tehnico-stiintifice cercetării/conceperii/proiectării sunt de regula de prea mare complexitate pentru a putea fi analizate/studiate la scara reală si in toata complexitaea lor. Pentru depasirea acestei dificultati se recurge la sipmlificari, schematizari, abstractizari, retinand caraceristicile esntiale ale sistemului supus investigatiei din punct de vedere al scopului urmarit.Etimologic notiunea de MODEL provine din latina “modulus”, adică “măsură”, “scară”

DefinitieIn sensul stiintelor naturii, filozofiei, sociologiei, psihologiei, stintelor economice, st. politice, informaticii, ciberneticii etc. MODELUL este un sistem real (material sau/si abstract), (SM) pe care SUBIECT-ul (cercetatorul) (SC) il concepe/construieste si il utilizeaza drept baza pentru efectuarea investigatiilor, studiilor si cercetrilor necesare rezolvarii unor probleme legate de un sistem dat, existent sau de realizat numit sistem original (SO), al cărui studiu direct nu este posibil, sau este numai partial posibil, fie din motive de cost, fie din motive de complexitate.Obs. -Pentru notiunea/conceptul de MODEL exista numeroase alte definitii si acceptiuni.




Exemple de acceptiuni/definitii diverse pentru notiunea de MODEL

MODEL in artele plastice (pictură) –un obiect din natură, sau o fiintă (umană) pe care artistul plasic îl utilizează în realizarea operei sale

MODEL (MACHETA) in sculptură/arhitctură/tehnică –un obiect/clădire/sistem realizat la scară redusă pe care sculptorul/arhitectul/inginerul îl utilizează în realizarea operei sale.

MODEL in moda- o îmbrăcăminte ralizată ca unicat (sau în număr limitat)





THE THREE BULLES

(from Picasso Bulls series)

după Centre for Modelling and Simulation of Pune

„MODELARE“-CREATIE IN DOMENIUL ARTEI




CLASIFICAREA MODELELOR

►Modele fizice•modele de similtudine-elementele constituente si structura SM si SO sunt de aceeasi natură fizica•modele analogice-elementele componente si structura SO si SM sunt de natura fizica diferita-ecuatii matematice generale identice (definind clasa de analogie)

►Modele matematice relaţii cantitative între simbolurile parametrilor destare ale sistemului modelat:

-deterministe,-probabiliste,-vagi/fuzzy logic, )

•Modele anlaitice (MA), (EcAlg, EcDif, EcDePa, Eintegr., EcOpt. etc.)•Modele numerice (MN), (MEDIF, MEFIN, MEFRO, etc. +Progr.)•Modele empirice (ME), (Progr. prelucr.observatiiprin regresii/corelatii etc.)




MODELAREA (stiintifică)

este un proces prin care SUBIECTUL (SC) (cercetător, subiect-modelator) efectueaza studii si cercetări pe un Sistem Model (SM), necesare rezolvarii unor probleme legate de un sistem dat, existent sau de realizat, numit Sistem Original (SO) al cărui studiu prin observatii/masuratori directe nu este posibil, sau este numai partial posibil, fie din motive de cost, fie din motive de complexitate.MODELAREA este strucurata deci intodeauna pe trei entităti (sisteme) intr-o conexiune bine determinata:•SISTEMUL ORIGINAL (SO)•SUBIECTUL (SC)

•SISTEMUL MODEL (SM)

SO-EXISTENT

-PROIECT

☺SM




B. PREZENTAREA MATEMATICĂ FORMALIZATĂ A MODELĂRII

Pornind de la definiţiile descriptive prezentate (A.) se pot introduce noţiunile de UNIVERS, SISTEM, MODEL etc. Printr- o formalizare matematică (abstractă) riguroasă, obţinîndu-se astfel o generalizare a lor care se va dovedi de mare utilitate în obţinerea unei imagini globale şi sistemice in utilizarea modelării în cercetarea ştiinţifica.



acinp ℘

eh℘aavidq

otrD d℘oan�

BHi⋅ B

Ing. eI d-.D arf. ero atP tl

UNIVERS (U) : o mulţime U care conţine la rândul ei mulţimi , elemente şi părti ale acestor mulţimi, relaţii între mulţimi,reuniuni şi intersecţii de mulţimi fiind înzestrată cu o structură definită printr-o mulţime de relaţii de conexiune. In particular universul material (Um) este un univers.

SISTEM (S) in general, ( S ( B, Γ ))orice parte conexiune

a unui univers definite pe

, împreună cu relaţiile deîn raport cu care este conexă, adică:

-reprezintă suportul sistemului

-relatie binara reprezintand structura (conexiunile) sistemului.

∀(X ,Y )∈BxB, ∃p,q∈N , p, q ≥0

(X ,Y )∈Γp ⊕Γ−q sau (X ,Y )∈Γ−q ⊗Γp

∀(X ,Y )∈BxB, ∃p,q∈N , p,q ≥0

(X ,Y )∈Γp ⊕Γ−q sau (X ,Y )∈Γ−q ⊗Γp

B(Γ)

U , B ⊂UB

B

(Γ)




•SISTEM MATERIAL (SM), Sm (Bm ,Γm )

este un sistem care are drept suport mulţimea materială

{Γm} reprezinta mulţimea relaţiilor de conexiune

•SISTEM ABSTRACT (SA),

Sa (Ba ,Γa )

este un sistem care are drept suport o mulţime Ba

dintr-un univers abstract

Bm

Ua

S ( M )al unui sistem material dat considerat “original” Sm

(o)

( M ) )( M ) ( ( M ) ,(o) )(o) ,(o) ( RSm Bm Γm B Γ←→ S

•MODEL-ul




PROPRIETATE (specie de proprietate/marime fizica P, intensiva sau extensiva)

Βm ∋X → P( x) ∈Πm(o) (o)

Bm ⊃X → P(x)∈Π m(o)

Β(o) ∋X → P(x) ∈Π(o)m m

(o) (o)( )∈ΠBm ⊃X → P X m

IMPLICAŢIE CAUZALĂ este reprezentată printr-o relaţie binară de conexiune

Λ(o) ∋( P( X ), P(Y )) ⊂Π(o) × Π(o)m m m

SISTEM REPERABIL (realizabil)

(:o) ( (o) ,

(M ) )(M ) ,(M ) ;(M ) ,(o) ; (o) , (o) ) (M ) ((o) ( (o) ,Bm Γm Πm Λm ↔ SrSmr B ΛΠΓ(o )

Γ(o ) ← RΓ → Γ ( M )

Π(o ) ← R Π → Π ( M )

Λ(o ) ← RΛ → Λ( M )

( M )R B

m

m

m

B m ← → B

MODEL-ul/MODELAREA unui sistem original (realizabil)

(o) ; (o) , (o) )Bm Γm Πm ΛmSmr


Prof

.Dr.-

Ing.

Ioan

Daa

vid

Dep

arta

men

tul d

e H

idro

tehn

ica



3. SCHEMA GENERALĂ A ETAPELOR MODELARII IN

TEHNICĂ

EXEMPLE DE MODELARE

in hidrotehnică



Sistem preexistent (SE)

Subiect (SC)

(observator)

SISTEM - MODEL ( S M )

MODEL CONCEPTUAL:- Dscrierea si structura SO- Elemente componente- Marimi fizice/relatii-Conexiuni/interactiuni relevante- Date generale caracteristici.

MODELE FIZICE

Modele MATEMATICE

Model matematic general:•Ecuatii matematice (ex.Ect. Dif.).•Formularea matematica (ex. Ect. Dif. + condt. la limita, cond. inititiale

MODELE MATEMATICE

Model fizic simil:Elemente componente deaceeasi natura ale SM si SO•Model matematic (ecuatii generale, relatii criteriale)•Legi/criterii de similitudine•Dimensionarea/relizrea modelului

Modele de SIMILITUDINE

Metode/Modele numerice :-metode numerice (MDIF,

MEF, MEFRO,...)-elaborarea/alegerea

programelor (software)

SIST

EMO

RIG

INA

L (S

O)

Sistem proiectat (SP)

cad ehni

iaav otD droan HiIng. deI-D ea.rf at.o tPr

Facul

PROIECT DHI-BAZE HIDRAULICE

SCHEMAgenerala a

MODELĂRII


VALIDARE/SIMULARE-Testare/calare model

-Simulare- scenarii rerezentative pentru SO

-Sinteza/Analiza obiectivelor propuse

Exploatarea/realizarea SO

Modele ANALOGICE

Model fizic analog Elemente componente de natura diferita in SM -SO• Ecuatii generale identice SO-SM.• Corespodenta marimilor fizice.

REZULTATE

Modele EMPIRICE•Observatii, masuratori

•Prelucrari

matematice:.

-metode statistice

- Corelatii

MACHETE


ăcin hdrote aav

dii DH oanIde .ng.I-

r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

EXEMPLU REPREZENTATIV DE MODELARE MATEMATICĂ-NUMERICĂ

TEMA:Modelara miscarii si transportului poluanților inacvifer la depozitul de deșeuri Parța-Timiselaborata in cadrul proiectului de cooperare internationala

romano-olandez:

Establishing measures to rehabilitate the polluted groundwater altered due to landfill, in order

to reach the environmental objectives required by the EU Water Framework

Directive and the Groundwater DirectiveProiect de Cercetare-Dezvoltare (nr.737/03.09.2007)Universitatea POLITEHNICA Timisoara, Facultatea de Hidrotehnica, 2008-2009 (David,I., Beilicci, R.,

Sumalan, I.)



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

HIDROTEHNICA

PROBLEMĂ: Stabilirea evolutiei poluarii provenita de la depozitul de deseuri PARTA.

Locatia depozitului de deseuri Parta

MODELAREA MATEMATICA APLICATA INUNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA

SISTEM ORIGINAL (SO)

SISTEM ABSTRACTPrognoza evolutiei poluarii in SO

SCENARIISIMULARI

•MODEL CONCEPTUAL(MC)-delimitare spatiala, parametri caracteristici, interactiuni

-formularea problemelor de rezolvat etc.

MODEL

D E

S I M U L A R E

NUM

Va Li

dat

•MODEL MATEMATHIC (MM) :-Ecuatii fundamentale (EDP ale

miscarii si transportului poluantilor)-Conditii de margine si initiale

(nivele, concentratii etc.)

METODE DE REZOLVARE:

analitice numerice-MDF-MVF (MODFLOW)-MEFIN

• MODEL NUMERIC :-program (software) si/sau-calcule numerice

•TESTARE, VALIDARE-MODEL(comparatie date/calcule)

Schema/etapele modelării TRANSPORTULUI POLUANTIROR IN

ACVIEREcain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



MODEL CONCEPTUAL

•Stabilirea perimetrelor hidrogeologicee semnificative pentru pentru propagarea poluarii

•Schematizari ale configuratiei/structurii hidrogeologice, a caracteristicilor acviferului (adancime,stratificatie, conductivitatea hidraulica, porositatea, niveluri de apa caracteristice etc.)

•Identificareasurselor, a locatiei si naturii poluantilor, concentratii initiale etc.

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

• Stabilirea perimetrului hidrogeologic PARTA(Harta interfluviu Timis-Bega)

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Locatia depozitului de

la Parta



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Localizare depozitululi de deseuri Partavedere in plan

Sectine transversala interfluviu Tims-Bega in zona Parta

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

•Stabilirea perimetrului hidrogeologic semnificativ pentru depozitul de deseuri PARTA

Limitele zonei reprezentative pentru modelare au fost stabilite de comun acord cu hidrologii DAB şi cu reprezentanţii firmelor olandeze pe baza hartii cu hidroizohipse multianuale la scara 1:100.000, pusă la dispozitie de DAB dupa cum urmeaza:

-cursurile de apă Timis si Bega care constitue condiţii demargine hidrogeologice naturale si

-hidroizoipsele de 84.00 amonte, respectiv de 81.00 în aval, suficient de îndepărtate de amplasamentul depozitului de deşeuri Parţa (cca. 2-3 km în amonte şi 5-7 km în aval)



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

• Stabiliraea perimetrului hidrogeologic PARTA.

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

perimeter

Landfill location

MODEL



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

• Parametri hidrogeologici ai acviferului

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

•Cooficientul de filtratie ( conductivitatea hidraulica)

•Grosimea acviferului: 10 m


F1 F2 F3

kf in m/zi 31,50 23,20 26,5

kf in m/s 3,6x10-4 2,7x10-4 3,07x10-4


cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

•Porozitatea

-Din datele de la forajele Parta F1, F2, F3 structura acviferului seincadrează in categoria nisip mijlociu cu d60/d10=2,5 – 5,0

-Dupa Busch, Luckner, „Geohydraulik” pg.26 este indicat pentru acest tip de acvifer (nisip mijlociu- depuneri naturale) sunt precizate următoarele valori:

Porozitatea:Porizitatea efctivă:

n=0,30 – 0,38ne =0,10 – 0,15

Pentru modelarea transportului s-a acceptat valoare maidefavorabilă din pdv. al transportului de:

ne =0,10



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Niveluri caracteristice ale apei in puturile de observatie

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Tab. 1 Nivele medii multianulale in puturi-Parta


F1 F2 F3 F4

82,28 82,36 81,99 80,11 (cade în afara

domeniului)


cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

•Identificarea surselor si locatiilor poluantilor:

•Sursa de poluare principala-depozitul de deseuri Parta•Concentratia poluantilor-C=0 in zone indepartate-C=100% in zona (sub) depozitului ca sursa permanenta de poluare

•dispersivitatea: αL=50; αT/αL=0.1



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Modelul matematic general pentru miscarea apei si transportul poluantior in

acvifere



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

MODELARE MATEMATICA NUMERICA

Baze teoretice

MODELUL MATEMATIC :

•Ecuatii de baza si conditii restrictive•Conditii la limita si initiale

Solutii:-analitice (limitate)-numerice (general aplicabile)

-FDM-FVM (MODFLOW)-FEMNUMERICAL MODEL :-calcule numerice (cu o metoda numerica)-softuri (programe) (MT3D)-constructia modelului numeric folosind softul

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

SCARI ALE DOMENIULUI DE CURGERE IN AQUIFER

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu x

zy

M(x,y,z)

Marcostructura (Aquifer)

Mircostructura

p* v*

v*

z

h

z

v* : Fluid Velocity p*: Pressure inFluid

• Modelul de mediu continuu in Aquifer si Ape subterane

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Porozitatea

•Porozitatea medie a acviferului

V -voluma acvifer

VP-Volum pori

• Porositatea efectiva

=ne (x, y, z)VV fne = REV

Sandy Gravel: n = 0, 25 - 0, 30,ne = 0, 20 – 0, 25;

Medium Sand: n = 0, 30 – 0, 38,n e = 0, 10 – 0, 15;

Sandy Silt: n = 0, 35 - 0, 45,ne = 0,05 – 0,10;

Silt Clay: n = 0, 45 - 0, 65,n = 0, 02 – 0, 05e

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



VV

n p=

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

AREV

Qv =Fluid

Q

AREV

v*n

•Viteza liniara

Solid

•Specific Discharge/Linear Velocity

•Debit specific

REVf

vf = AQ v =ne ⋅vf

AREV :Suprafata totala

AREVf

:Suprafata disponibila curgerii tinand cont de pori

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Definitia inaltimii piezometrice

ρgPresiune M(x,y,z) acviferDensitate apa subteranaAcceleratia gravitationala (9,81 m/s2)

•Inaltime geodezica z•Inaltime piezometrica p

p:ρ:g:

Piezometru

x

zy

M(x,y,z)h

z

Bottom impermeable layer

Acvifer

Top impermeable layer

ρgp

h = p + zρg

h =h(x, y, z, t)

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Ecuatii de baza in modelarea curgerii in apele subterane

Ecuatii:

•Ecuatia clasica Darcy•Ecuatii de curgere in forma diferentiala(1D, 2D,3D)

Ecuatia de continuitate•Ecuatii in forma diferentiala (1D, 2D,3D)

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Impermeabilh

Acviferv

Impermeabil

Gradient Hidraulic

x

•1D-Acvifer sub presiune

Reprezentare Matematica

Ecuatii de curgere in forma diferentiala (1D, 2D,3D)

Schema curgerii 1D

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



xhKvx ∂∂

−=

Inaltime piezometrica Debit specific

h = h(x) v y = 0

vz = 0

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

xReprezentare Matematica

Gradient hidraulic

impermeabil

•2D-Acvifer sub presiune

Schema 2 D cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu


h (x,y) vy

y v

vx


yhKv

xhKv

y

x

∂∂

−=

∂∂

−=

Inaltime piezometrica

Componente debit specific

Debit specific forma vectoriala

h = h(x, y) v = − kf ∇h

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Ecuatii de continuitate•1D curgere stationara acvifer sub presiune

•Sectiune de volum elementar

mQ(x) +dQQ(x)

ql

dx

x x + dx

h(x)

m

V(x)

x

HO HU

x

0ql

h(x)Q(x)

m

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

= qld(mV)

dx



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Formulare matematica a problemelor de curgere a apelor subterane

Exemplu 1: 1D acvifer sub presiune

leakingAquiferq L

H O Aquifer 1

Aquife r 2

H U

River 1 River 2S ection A - A

Section A - A:

predominating parallel Flow lines

River 3

H L

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

qLHO HUh (x)m vkf

x0

HL

k0

Ecuatii fundamentale

m0

•Conditii de margine

Conditii la limita: h(x = 0) = HO; h(x = L) = HU

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



xhKvx ∂∂

−= ( ) qmvdxd

= qdxdhkm

dxd

=

Curgere Continuitate Fundamentale

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

river 2

river1

x

y A

D

CB

E

mqn

(Top view)

Natural Section:

Ax

D

C

Impermeable boundary

B

E

Potential boundary

Flow AreaG ( x,y )Potential boundary

Inflow boundaryqn

Flow Line (no cross flow) impermeable

y

Conditii la limita tip 1

h AB∪BC = H(xR , yR ); (xR , yR )∈AB∪BC

Conditii la limita tip 2

∂h |CD∪AE

∂h= 0

= − qn

T∂n |CD

∂h

∂ (k m ∂h )+ ∂ (k m ∂h )=0∂x f ∂x ∂y f ∂y

T=kf m:with

•Boundary value problem for 2D Groundwater FlowsEcuatii de baza

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Solutii

Analitice Numerice

Finite Differences Method FDMFinite Volume Method FVMFinite Element Method FEMBoundary Element Method BEMMethod of Characteristics MOCRandom-Walk-Process RWP

Discretizare

exacte din integrare

Aproximative

Solutii in forma inchisa

Solutii discrete

Resultate: Solutii ale curgerii in distributie spatiala si temporala

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Metode Numerice

Finite Difference Method FDM Finite Volume Method FVM

Finite Element Method FEM Boundary Element Method BEM

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Modelare 2D curgere stationara cu FDM

(x,y)

h(x,y)

x

y

h

h

Schema standard

x

y

Discretizare cu noduri (FDM)

hi,j-1

hi,jhi,j+1

j+1j-1 j

i-1i

i+1

(x i,yj)

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

i x

y

j

i-1,j i,j i+1,j

i,j+1

i,j-1

δδ

δ

δ

FDM → Discretizare cu noduri knots

ii-1 x

hi,j(k+1)

hi,j(k)

i+1

δx

t

yk+1

k

δt

j-1j

j+1δy

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

FVM → Discretizare cu celule (volume)

(x,y)

h(x,y)

x

y

h

Schita standard problema 2D

h

h(x,y)

x

y

2D Discretizare cu volume (celule)

hi,j-1 hi,j hi,j+1

i

j-1 j j+1

i-1i+1

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

FVM → Discretizare cu celule 2D (Volumes 3D)

i x

y

j

Vij

i,j+1δ

Ti,j+1

δ

i-1,j i,j i+1,j

i,j-1

δδδ

Ti-1,j Ti,j Ti+1,j

Ti,j-1

h =i , j T (ä)

Ti−1, j Ti , j

T + Th +

Ti , j Ti+1, j

T + Th +

Ti , j Ti , j+1

T + Th +

Ti , j Ti , j−1

T + T

h

q δ+ L

2Ti , j

T (ä ) = Ti , j i , j

Ti−1, j

T + T

Ti+1, j

T + T

i , j i−1, j i , ji−1, j

i , j i+1, ji+1, j

i , j i , j+1i , j+1

i , j i , j−1i , j−1

(ä )

i , j i−1, j i , j

+

1

2

i+1, j

Ti , j−1

i , j i , j−1

Ti , j+1

i , j i , j+1 T + T T + T+ +

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

FEM → Discretizare cu elemente finite (2D elemente triunghiulare)

2x

Solutie de aproximare RITZ's element (e) cu trei noduri (1,2,3) :

y

h

(e)

h1(e) h3

(e)

(e)

h2(e)

13

h(e)(x,y)

h(e)(x,y)

h( e)( x, y) = h( e)φ( e)( x, y)+ h( e)φ( e)( x,y)+ h( e)φ( e)( x, y) =

3

∑ h( e)φ ( e) ( x, y )i ii =1

1 1 2 2 3 3

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Modelare matematica numerica

Baze teoretice- Transportul poluantilor

MODEL MATEMATIC :

•Ecuatii de baza si conditii restrictive•Conditii initiale se de margine-Constructie modelSolutii:

analitice (cazuri limitate) numerical (general applicable)

-FDM-FVM (MODFLOW)

-FEM

Primul pas: descrierea curgerii

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

• Transportul poluantilor

Exemple de poluare a apelor subterane din depozite:

Old Deposit Site

GW -Flow

Pollutant Dispersion

Impermeable Layer

Old Depos it Site

Ton

Pollutant Dispersion

Impermeable Layer

GroundW ater-Flow Sand

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Descrierea si reprezentarea matematica a proceselor de transport in apele subterane

•convectia•difuzia moleculara•dispersia

- dispersia datorata structurii (10-3 m)- dispersia la scara mica (100 m)- dispersion la scara macro (103 m)

•adsorbtia,•degradare (chimica, biologica, radioactiva.)

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

drotei;Hdeeatat l

Facu

•Advectia/Convectia

t = 0

Poluant

t = t 1

Poluant

va

z

y

xLinie de curent actuala

Linie de curent Ideal

•flux convectiv

q = n cvK e a

• Difuzia moleculara~q = q = −n D ∇CDf Df e m

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

Datorata structurii La scara mica La scara mega

macrodispersia

10-3 m 10 0 m 10 3 m

a.)

b.)

c.)

•Dispersia

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Adsorbia / Desorbtia

Corn matrix

DesorptionPolluted grundwater

Adsorption

Adsorbed material

REV

ca = f (c)Functia f(c) izoterma

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

σ =−λcne + (1−ne )ρkca in mgs ab m3s

•Degradare

Aport de poluant in acvifer

M E (V ) = ∫ σVE dvV

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Ecuatii fundamentale de transportFluxuri de masa

Convectia

Difuzia

Dispersia

qK = necva

qDf = −neDm∇c−

qDS = −neDDS ⋅∇c

Principiul generalizat al conservarii masei de poluant

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Ecuatia de transport in forma locala

σVE

(Rn c) +∇⋅ v n c −n D ⋅∇c −λcn R = ∇⋅q c∂t e a e e e E inj

0

∂

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

•Conditii initiale si la limita

c(x, y, z; t = 0) = c0 (x, y, z) x, y, z ∈ G ∪ R

c(x,y,z,t)(R =c (x ,y,z ,t)

1 R R R R

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

REZULTATE

PARTA LANDFILL

Timis



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

MODELUL de CURGEREcu PMWIN PARTA



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Harta cu (hidroizohipse)

PARTA


Prof

.Dr.-

Ing.

Ioan

Daa

vid

Dep

arta

men

tul d

e H

idro

tehn

ica


cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Harta cu (hidroizohipse)PARTA



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Calibrare model



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

MODEL de TRANSPORTcu PMWIN PARTA



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Localizarea sursei de poluare: depozit PARTA

C=0

Exterior depozit



C=100%Sursa

permanenta

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

Distributia Concentratiei

10 years



cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




20 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




30 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




40 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




50 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




60 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




70 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




80 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




90 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu




100 years

cain h

droteiHdeeatat l

Facu

cain hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

10 a 50 a

100a



ăcin hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu

EXEMPLE DE MODELARE FIZICA:

»MODELARE prin ANALOGIE(ex. Analogie electrohidrodinamica)

MODELAREE prin SIMILITUDINE(apa-apa)



ăcin hdrote aav


r Dea Pr

.fo

tat l

Facu



EXEMPLU DE MODELARE FIZICAprin

ANALOGIE (electrohidrodinamica)

SO- miscarea apei subtrane

SM-“miscarea“ curentului electric intr-o cuva cu electrolit

ϕ- functia de potential specific celor doua sistemeT- parametrul conductivitatii/transmsivitatii/rezistivitatii specific celor doua sisteme

0zφT

zyφT

yxφT

x=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂


l

S0

2r0LF

qn (l)Q

LB

q (l) hv << S0

Flow-rate distribution along the laterals

hv ≈ S0

Initial piezometric surfacepiezometric head pressure head distribution

in the lateral:- with inner head loss- without inner head loss

hv (l)

Sk (l)hv (LF)

m

SO-Sistemul fizic Original - put cu 3 drenuri radiale orizontale

sectiune tranversala sectiune orizontla




Exemplu de modelare prin analogie electrohidrodinamicaPut cu drenuri radiale (Sistemul fizic Model→tanc electrolitic)




Alte modele analogice (laboratorul de Hidrotehnica Timioara)




EXEMPLU DE MODELARE FIZICAprin

»SIMILITUDUNE

SO- miscarea apei peste deversorul amenajarii hidrotehnice (Stanca- Costesti)

SM- miscarea apei peste un deversor model in laboratorul de hidrotehnica

Baza matematica:-Ecuatiile de miscare Navier-Stokes (Reynolds)

-Legile de similitudine (Froude)




•Modelul hidraulic prin similitudine al descarcatorului de ape mari Stanca-Costesti




HIDROTEHNICA

•Alte modele de similitudine (laboratorul de Hidrotehnica UP Timisoara, 1980-1990)

MODELAREA MATEMATICA APLICATA INUNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA


Bibiografie

1. Nichici, A. Formarea profesională în inginerie, Editura Politehnica, Timişoara, 2004

2.David, I. Mathematisch numerische Modellierung technischer Systeme im Bauwesen. Cuvillier Verlag, Göttingen, 2005, ISBN 3-86537-590-1

3.David, I. Grundwasserhydraulik. Strömungs und Transporprozesse. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 1998, ISBN 3-528-07713-1

3.Kastens, U., Büning Kleine, H. Modellierung. Grundlagen und formale Methoden.HANSER Verlag München, 2008, ISBN 978-3-446-41537

4.*** Scientific modelling-Wilkipedia, the free encyclopedia

5.*** Contracte de Cercetare, Catedra de Hidrotehnica, 1980-1990



Documents

Master Partea 1_2013