Program Studi Pendidikan MatematikaFakultas Keguruan Dan Ilmu
Pendidikan
Universitas Dr. Soetomo SurabayaTahun Ajaran 2014/2015
1
7/24/2019 Mas Ardison
2/3
1 1 Ekspansi Kofaktor; Aturan Cramer
pada bagian ini kita meninjau sebua metode untuk menghitung
determi-nan yang berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan
dan se-cara teorites penting dan penerapannya. sebagai konsekuensi
dari kerja kitadisini, kita akan mendapatkan rumus untuk invers
dari matriks yang dapatdibalik dan juga akan mendapatkan rumus
untuk pemecahan sistem-sistempersamaan linear tertentu yang
dinyatakan dalam determinan.Definisi: jika A adalah matriks
kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan
oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang
tetep sete-
lah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. bilangan dinamakan
kofaktorentriaij
contoh:
A=
3 1 42 5 6
1 4 8
(2)
minor entri a11 adalah
M11=
3 1 42 5 61 4 8
=
5 63 8
= 16 (3)
kofaktor a11 adalah
C11=
(1)1+1M11=M11= 16
(4)
demikian juga minor entri a32adalah
M32=
3 1 42 5 6
1 4 8
=
3 42 6
= 26 (5)
kofaktor a32 adalah
C32=
(1)3+2M32= M32= 26
(6)
perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda
dalam tan-danya, yakni Cij = +Mij. cara cepat untuk menentukan
apakah peng-gunaann + atau - merupakan kenyataan bahwa penggunaan
tanda yangmenghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke i dan
kolom ke j dari
2
7/24/2019 Mas Ardison
3/3
susunan
+ + +... + + ...+ + +... + + .... . . . .
. . . . .
. . . . .
(7)
misalnya,C11= M11.C21= M21, C12= M12, C22=M22, dan
seterusnya.tinjaulah matriks 3 3 umum
A=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
(8)
pada contoh 7 kita telah memperlihatkan bahwadet(A)
=a11a22a33+a12a23a32 a13a22a31 a12a21a23 a11a22a32yang dapat
ditulis kembali sebagaidet(A) =a11(a12a33a32) + a21(a13a32 a12a33)
+a31(a12a23 a13a32)karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tak
lain dari faktor-faktorC11,C21 , dan C31 (buktikan) maka kita
peroleh
det(A) =a11C11+a21C21+ a31C31 (9)
persamaan (9) memperlihatkan bahwa determinan A dalat dihitung
denganmengalikan entri-entri dalam kolom pertama A dan
kofaktor-kofaktornya danmenembahkan hasil kalinya. metode hitung
det(A) ini dinamakan ekspansikofaktorsepanjang kolom pertama A.
