Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Marija SkaricaSvojstvene vrijednosti linearnog operatora

Zavrsni rad

Osijek, 2011. godina

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Marija SkaricaSvojstvene vrijednosti linearnog operatora

Zavrsni rad

voditelj zavrsnog rada: doc. dr. sc. Darija Markovic

Osijek, 2011. godina

Sazetak

Neka nam je zadana kvadratna matrica A. Za koje skalare λ postoji vektor −→v 6= −→0takav da je A−→v = λ−→v ? Sve skalare za koje postoji vektor −→v 6= 0 takav da se zadovolji gorenavedena jednakost nazivamo svojstvenim vrijednostima matrice A, a pri tome se vektor−→v naziva svojstvenim vektorom. Da bi odredili sve svojstvene vrijednosti moramo rijesitijednadzbu

det(λI − A) = 0.

Tako dobiveni skalari λ1, λ2, ..., λk, k ≤ n su svojstvene vrijednosti matrice A.Nakon pronalaska svojstvenih vrijednosti, preostaje nam naci i svojstvene vektore, a njihdobiti kao rjesenje sustava

(λiI − A)−→v =−→0 .

Pri tome svojstveni vektori −→v1 ,−→v2 , ...,

−→vm koji pripadaju razlicitim svojstvenim vrijednostimaλ1, λ2, ..., λm su linearno neovisni.

Kljucne rijeci: linearni operator, svojstvena vrijednost, svojstveni vektor, karakter-isticni polinom

AbstractLet A be a square matrix. For which scalar λ exist a non-zero vector −→v such that A−→v = λ−→v ?All that scalars for which exist a non-zero vector −→v such that A−→v = λ−→v are called aneigenvalue of matrix A and corresponding vectors −→v are called eigenvectors. If we wantdetermine all eigenvalues, we must solve equation

det(λI − A) = 0.

So obtained scalars λ1, λ2, ..., λk, k ≤ n are eigenvalues of matrix A.After we found eigenvalues, we can find eigenvectors for each eigenvalue. Eigenvectors wewill find solving the system

(λiI − A)−→v =−→0 .

So obtained eigenvectors −→v1 ,−→v2 , ...,

−→vm belong different eigenvalues λ1, λ2, ..., λm and thoseone are linear independent.

Keywords: linear operator, eigenvalue, eigenvector, characteristic polynomial

3

Sadrzaj

1 Uvod 5

2 Pojam linearnog operatora 7

3 Svojstvene vrijednosti 93.1 Trazenje svojstvenih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Samoadjungirani operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Karakteristicni polinom 19

4

1 Uvod

Kako je tema moga zavrsnog rada iz linearne algebre, kao sami uvod u temu, ”proci” cukroz povijest kako bismo vidjeli sami razvoj linearne algebre i kako bismo se podsjetilimatematicara koji su dali veliki doprinos razvoju linearne algebre, pa tako i same matem-atike.

Cini se da linearna algebra kao ozbiljna znanstvena disciplina zapocinje prema [1]njemackim matematicarom prema Carlom Friedrichom Gaussom (1777 - 1855). Gauss,prema [8] nazivan kao ”princeps mathematicorum” (princ matematicara) je jedan od najvecihi najsvestranijih matematicara svih vremena. Studirao je na Gotingenskom sveucilistu od1795. do 1798.godine. Doktorirao je 1799., dokazavsi da svaka algebarska jednadzba imanajmanje jedno rjesenje. Taj je teorem nazvan temeljnim teoremom algebre.Gauss je prvi koji je dao razumljivo objasnjenje kompleksnih brojeva i objasnio ih kaododatak tockama u ravnini, kao sto se danas tumaci u elementarnim knjigama o algebri.Kasnije je prosirio svoju aktivnost na astronomiju, geodeziju i elektromagnetizam u obapravca - matematickom i prakticnom, a osim matematike bavio se i fizikom i geografijom.Gauss je bio prvi koji je svjesno i do kraja spoznao mogucnost i ravnopravnost drugacijihgeometrija pored ”standardne” euklidske. No tek poslije njegove smrti vidjelo se po ostavstinida je o tome imao neke rezultate znatno prije mnogih matematicara. Za zivota o tome nijenista publicirao, bojeci se, kako je sam priznao, ”vike Beocana”, tj. nerazumijevanja i kritikeonih koji nece biti u stanju shvatiti znacenje tog revolucionarnog otkrica.

Slika 1. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

Irski matematicar William Rowan Hamilton (1805 - 1865) je prema [9] uveo pojamkvaterniona, koji prethodi pojmu vektora. Poznat je Hamilton - Cayleyev teorem, koji kazeda matrica ponistava svoj karakteristicni polinom.

Carl Gustav Jacobi (1804 - 1851), njemacki matematicar, bavio se teorijom determi-nanata, a prema [10] je uveo ono sto danas zovemo jakobijanom. Pokazao je da je n realnihfunkcija s n realnih varijabali linearno nezavisno onda i samo onda ako njihov jakobijan nijeidenticki jednak nula. Poznat je kao izvrstan predavac kojeg su studenti voljeli te je bioprotiv svladavanja pretjerane kolicine matematickog gradiva u nastavi.

Algebru matrica (mnozenje i zbrajanje) razvio je engleski matematicar Arthur Cay-ley (1821 - 1895). Vazni su njegovi prilozi u teoriji determinanata i visedimenzionalnojgeometriji.

5

Determinante su se pojavile jedno stoljece prije matrica. Naziv matrica utemeljio jebritanski matematicar James Joseph Sylvester (1814 - 1897), u znacenju ”majka determi-nanata”. Jos je Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) rabio determinante. Najopseznijepriloge teoriji determinanata dao je Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857). Njemu pripadai prvi dokaz da je detAB = detA · detB, kao i definicija karakteristicnog polinoma matricete je medu prvima uveo strogu definiciju limesa niza.

Spomenimo i ime Charlsa Dodgsona (1832 - 1898), koji je napisao opseznu knjigu odeterminantama. Dodgson je mnogo poznatiji pod svojim pseudonimom Lewis Carrol (au-tor knjige ”Alisa u zemlji cudesa”).

Americki matematicar Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) zacetnik je vektorske anal-ize, o kojoj je objavio i monografiju. Uveo je pojam usmjerene duzine, vektora, jednakostvektora, zbrajanje vektora, mnozenje sa skalarom, vektorske i skalarne projekcije, kao sto ihdefiniramo i danas.

6

2 Pojam linearnog operatora

Definicija 1 Polje je skup K sa barem dva elementa na kome su zadane dvije komutativnei asocijativne binarne operacije, zbrajanje

+ : KxK → K, (α, β) 7→ α + β

i mnozenje· : KxK → K, (α, β) 7→ α · β = αβ,

tako da vrijedi

1. (K,+) je grupa sa neutralnim elementom 0;

2. (K\{0}, ·) je grupa sa neutralnim elementom 1;

3. mnozenje je distributativno u odnosu na zbrajanje: α(β + γ) = αβ + αγ.

[6, str.1]

Definicija 2 Kazemo da je neprazan skup V vektorski prostor nad poljem K ako je skup Vkomutativna grupa s obzirom na operaciju zbrajanja

+ : V xV → V, (−→v ,−→w ) 7→ −→v +−→w

i na kojem je definirana operacija mnozenja elementima polja K, tj. presklikavanje

KxV → V, (λ−→v ) 7→ λ−→v

koja je:

1. distributivna s obzirom na obje operacije zbrajanja:

λ(−→v +−→w ) = λ−→v + λ−→w ∀λ ∈ K, ∀−→v ,−→w ∈ V

i(λ+ µ)−→v = λ−→v + µ−→v ∀λ, µ ∈ K, ∀−→v ∈ V

2. ima svojstvo kvaziasocijativnosti:

(λ, µ)−→v = λ(µ−→v ) ∀λ, µ ∈ K, ∀−→v ∈ V

3. jedinica 1 ∈ K ima svojstvo:

1−→v = −→v , ∀−→v ∈ V.

Elemente vektorskog prostra V nazivamo vektori. [6, str. 2]

Svako preslikavanje T koje prema [5] za domenu i kodomenu ima vektorske prostore nadistim poljem K naziva se operator. Ako je operator T : V → W aditivan i homogen, tj. akovrijedi

T (λ−→v + µ−→w ) = λT (−→v ) + µT (−→w ), ∀λ, µ ∈ K, ∀−→v ,−→w ∈ V,

7

Definicija 3 Neka su V i W bilo koja dva vektorska prostora. Za operator T : V → Wkazemo da je linearan, ako je:

T (λ−→v + µ−→w ) = λT −→v + µT −→w

za sve skalare λ, µ i za sve vektore −→v , −→w ∈ V.

Teorem 1 Neka je −→e1 ,−→e2 ,−→e3 , ...,−→en bilo koja baza prostora V i−→f1 ,−→f2 ,−→f3 , ...,

−→fn bilo kojih n

vektora prostora W . Tada postoji jedinstven linearan operator T : V → W takav da je:

T (−→ei ) =−→fi , i = 1, ..., n.

Dokaz: Egzistencija: Svaki vektor −→v ∈ V na jedinstven nacin mozemo prikazati kao linearnukombinaciju vektora baze:

−→v = α1−→e1 + α2

−→e2 + . . .+ αn−→en.

Neka nam je taj vektor −→v zapisan na slijedeci nacin:

T (−→v ) = α1

−→f1 + α2

−→f2 + . . .+ αn

−→fn.

Na ovaj nacin smo definirali operator T : V → W za kojeg vrijedi T (−→ei ) =−→fi , j = 1, . . . n.

Kako bi dokazali da je taj operator linearan, uzmimo λ, µ ∈ K i uz vektor −→v jos jedanvektor −→w ∈ V . Tada je

T (−→w ) = β1

−→f1 + β2

−→f2 + . . .+ βn

−→fn.

Nadalje, vrijedi

T (λ−→v + µ−→w ) = (λα1 + µβ1)−→f1 + (λα2 + µβ2)

−→f2 + . . .+ (λαn + µβn)

−→fn

= λ(α1

−→f1 + α2

−→f2 + . . .+ αn

−→fn) + µ(β1

−→f1 + β2

−→f2 + . . .+ βn

−→fn)

= λT (−→v ) + µT (−→w ).

Time smo dokazali egzistenciju takvog operatora.Preostaje nam jos dokazati jedinstvenost.

Jedinstvenost: Pretpostavimo da su T i U dva operatora takvi da je T (−→ei ) =−→fi i U(−→ei ) =

−→fi

za i = 1, . . . , n. Uzmimo proizvoljan vektor ∈ V

−→v = α1−→e1 + α2

−→e2 + . . .+ αn−→en.

Radi linearnosti operatora T i U imamo

T (−→v ) = α1T −→e1 + α2T −→e2 + . . .+ αnT −→en = α1

−→f1 + α2

−→f2 + . . .+ αn

−→fn

= α1U−→e1 + α2U−→e2 + . . .+ αnU−→en = U(−→v ).

Dakle, slijedi da je T (−→v ) = U(−→v ) za svaki vektor −→v ∈ V , a time je dokazana i jedinstvenostoperatora.

2

8

3 Svojstvene vrijednosti

Titranje tijela u prirodi, strojeva, brodova, aviona i raketa u tehnici, kuca, mostova ugraditeljstvu i jos mnogih drugih stvari (od sicusnih dijelova cipova, do velikih stadiona)opisuju se tzv. problemom svojstvenih vrijednosti za razne diferencijalne operatore. Pritomsu svojstvene vrijednosti proporcionalne reciprocnim vrijednostima vlastitih frekvencija sis-tema, a svojstveni vektori odreduju smjerove u kojima sistem titra. Stoga je vazno znatirjesavati matricni problem svojstvenih vrijednosti.

Primjer 1 Neka je zadana kvadratna matrica A n-tog reda. Zanima nas za koje skalare λpostoji vektor −→v 6= 0 takav da je A−→v = λ−→v .

Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, prirodno se postavlja zahtjev da se za svaki skalar λ,za koji vrijedi A−→v = λ−→v , odrede svi vektori za koje vrijedi tako definirana jednakost.

Definicija 4 Neka je zadana kvadratna matrica A n - tog reda. Za skalar λ ∈ C kazemoda je svojstvena ili karakteristicna vrijednost (eigenvalue1) matrice A ako postoji vektor−→v 6= 0 takav da je A−→v = λ−→v . Nadalje, za takav vektor −→v 6= 0 kazemo da je svojstvenili karakteristican vektor (eigenvector) matrice A pridruzen svojstvenoj vrijednosti λ. Skupsvih svojstvenih vrijednosti matrice A nazivamo spektar matrice A. [2, str. 250]

Ako vektori su −→v1 6= 0 i −→v2 6= 0 svojstveni i ako pripadaju istoj svojstvenoj vrijednosti λ,nebitno je jesu li istog smjera, tada je, prema [5], svaka njihova linearna kombinacija opetsvojstveni vektor.

T (α−→v1 + β−→v2) = αT (−→v1) + βT (−→v2) = αλ−→v1 + βλ−→v2 .

Ovdje skalari α i β ne smiju istovremeno biti jednaki nuli jer se−→0 iskljucuje iz definicje svo-

jstvenih vektora. Potprostor svojstvenih vektora V zovemo svojstveni potprostor pridruzensvojstvenoj vrijednosti λ, te on ne sadrzi ishodiste.Ukoliko bi svojstveni potprostor bio trivijalni prostor {−→0 }, to povlaci da bi svojstveni vek-

tor morao biti−→0 . Ali kako

−→0 iskljucujemo iz definicije svojstvenih vektora, dolazimo do

zakljucka da svojstveni potprostor nikako ne moze biti {−→0 }.Da se ne bi zbunili, 0 smije biti svojstvena vrijednost operatora, pa po definiciji svojstvenogvektora to znaci:

T (−→v ) = 0−→v , ∀−→v ∈ N (T ).

U ovoj situaciji prema [2] imamo dva moguca slucaja:

1. ako je N (T ) = {−→0 }, tada svojstvenoj vrijednosti 0 ne pripada niti jedan svojstvenivektor, pa u ovom slucaju 0 ne smatramo svojstvenom vrijednosti operatora T ,

2. N (T ) 6= {−→0 } ⇐⇒ 0 jeste svojstvena vrijednost operatora T .

1njem. eigen - vlastiti i eng. value - vrijednost

9

3.1 Trazenje svojstvenih vrijednosti

Neka je A realna kvadratna matrica n-tog reda matrica operatora T na Rn zadana ukanonskoj bazi {−→e }. Postavlja se pitanje kako odrediti sve svojstvene vrijednosti matriceA i njima pridruzene svojstvene vektore? Prema definiciji, skalar λ je svojstvena vrijednostmatrice A onda i samo onda ako postoji vektor −→v 6= 0 takav da je

A−→v = λ−→v .

Odnosno, zapisano u obliku jednadzbe

(λI − A)−→v = 0,

koju mozemo zapisati kao sustav linearnih algebarskih jednadzbi:

(λ− a11)v1 − a12v2 − ...− a1nvn = 0

−a21v1 − (λ− a22)v2 − ...− a2nvn = 0

...

−an1v1 − an2v2 − ...− (λ− ann)vn = 0.

Ovaj sustav linearnih jednadzbi je homogen sustav i on ima netrivijalno rjesenje, ako i samoako je determinanta sustava jednaka nuli.∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ− a11 −a12 ... −a1n

−a21 λ− a22 ... −a2n...

......

...−an1 −an2 ... λ− ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Razvojem ove derminante dobivamo polinom n-tog stupnja

λn − κ1λn−1 − ...− κn

koji se naziva karakteristicni (svojstveni) polinom matrice A te ga oznacavamo sa κA(λ).Dakle, skalar λ je svojstvena vrijednost matrice A onda i samo onda ako je κ(λ) = 0, tj. akoje λ nul - tocka svojstvenog polinoma matrice A.

Postupak odredivanja svojstvenih vrijednosti i njima pridruzenih svojstvenih vektora prema[5] svodi se na sljedece korake:

1. svojstvene vrijednosti matrice A su rjesenja λ1, λ2, ..., λk, k ≤ n, jednadzbe

det(λI − A) = 0,

2. rjesavanjem sustava(λiI − A)−→v = 0

dobivamo svojstvene vektore pridruzene svojstvenoj vrijednosti λi(i = 1, ..., k).

10

Primjer 2 Odredimo svojstvene vrijednosti i njima pridruzene svojstvene vektore matrice

A =

10 4 −2−7 −6 74 8 4

.Rjesenje: Kako bi izracunali λ1 i λ2, moramo rjesiti jednadzbu det(λI − A) = 0.

det(λI − A) =

∣∣∣∣∣∣λ− 10 −4 2

7 λ+ 6 −7−4 −8 λ− 4

∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 8λ2 − 64λ+ 512 = (λ− 8)2(λ+ 8) = 0.

Rjesavanjem ove jednadzbe slijedi da matrica A ima dvije svojstvene vrijednosti: λ1 = −8 iλ2 = 8.Sada kada smo odredili da su λ1 = −8 i λ2 = 8 svojstvene vrijednosti matrice A, mozemoodrediti i svojstvene vektore pridruzene tim svojstvenim vrijednostima.

• Za λ1 = −8 dobivamo sustav jednadzbi:

−18v1 − 4v2 + 2v3 = 0

7v1 − 2v2 − 7v3 = 0

−4v1 − 8v2 − 12v3 = 0.

Rjesenje ovog sustava (v1, v2, v3) je (12v3,−7

4v3, v3), pri cemu je varijabla v3 slobodna.

Pa tako, svi vektori −→v oblika

−→v = v3

1/2−7/4

1

, v3 6= 0

jesu svojstveni vektori pridruzeni svojstvenoj vrijednosti λ1 = −8.Zahtjev za v3 6= 0 potreban nam je radi toga sto nul - vektor ne smatramo svojstvenimvektorom.

• Za λ2 = 8 imamo sustav jednadzbi:

−2v1 − 4v2 + 2v3 = 0

7v1 + 14v2 − 7v3 = 0

−4v1 − 8v2 + 4v3 = 0.

Ako trecu jednadzbu podijelimo sa 2, dobivamo prvu jednadzbu. Ako trecu jednadzbupomnozimo sa -7/4 dobivamo drugu jednadzbu. Vidimo da su nam prva i druga jed-nadzba suvisne, pa nam ostaje samo treca jednadzba. Iz tog razloga, iz trece jednadzbedobivamo rjesenje ovog sustava: v1 = −2v2 + v3, gdje su v2 i v3 slobodne varijable.Prema tome, svi vektori −→v oblika:

−→v =

−2v2 + v3

v2

v3

, v2, v3 ∈ C

su svojstveni vektori pridruzeni svojstvenoj vrijednosti λ2 = 8.

11

Nas nadalje zanima sto se dogada ako u Rn dode do promjene baza. Kako su nama ovdjei polazni i dolazni prostor identicni, tako nam se i baze istovremeno mijenjaju tako da se

matricom promjene baze M povezuje kanonska baza −→e s drugom bazom−→e′ . U toj novoj

bazi svaki vektor −→v prelazi u drugi vektor−→v′ s komponentama (v′1, ..., v

′2). Ako su

−→e′1 = µ11

−→e1 + ...+ µn1−→en

...−→e′n = µ1n

−→e1 + ...+ µnn−→en,

vektori baze i

M =

µ11 ... µ1n...

...µn1 ... µnn

,matrica promjene baze, slijedi da je

−→v′ = M−1−→v , −→v = M

−→v′ .

Tako matrica operatora T u bazi−→e′ postaje matrica

A′ = M−1AM, A = MAM−1.

Svojstvene vrijednosti od A u bazi (−→e ) su jednake svojstvenim vrijednostima od A′ u bazi−→e′ . Kako je A−→v = λ−→v , prema [1] slijedi da je:

(MAM−1)(M−→v′ ) = λM

−→v′ ⇒ A′

−→v′ = λ

−→v′ .

Pri izboru materice M mozemo uzeti bilo koju invertibilnu matricu n-tog reda. Odnosno,skup matrica koje mogu biti matrice operatora T u nekoj bazi je oblika:

A′ = {M−1AM : M − invertibilna}.

Ovaj skup nazivamo skupom slicnih matrica.Kako slicne matrice imaju isti skup svojstvenih vrijednosti, taj skup se naziva spektar 2

matrice A. Matrica B je slicna matrici A ako i samo ako je matrica A slicna matrici B.Matrica B je slicna matrici A ako postoji invertibilna matrica M takva da je

B = M−1AM.

Odnosno, kako je M1 = M−1, slijedi da je

A = M−11 BM1.

Teorem 2 Slicne matrice imaju isti karakteristicni polinom, sto znaci da im je skup svo-jstvenih vrijednosti isti, te da su im visestrukosti pojedine svojstvene vrijednosti iste. [2, str.255]

2lat. spectrum - slika u svijesti, predodzba

12

Dokaz: Neka su A i B slicne matrice.To znaci da matricu B mozemo zapisati u oblikuB = M−1AM . Dokazimo da je karakteristicni polinom matrice A jednak karakteristicnompolinomu matrice B.

κB(λ) = det(λI −B) = det(λM−1IM −M−1AM) = det(M−1(λI − A)M) =

detM−1 det(λI − A) detM = detM detM−1 det(λI − A) = κA(λ)

2

Ukoliko matrice imaju barem dvije razlicite svojstvene vrijednosti, one ne mogu bitislicne, ali isto tako ne mogu biti slicne ni one matrice koje imaju iste svojstvene vrijednosti,ali se kratnosti svojstvenih vrijednosti ne poklapaju.U prethodnom teoremu dokazali smo da slicne matrice imaju jednake karakteristicne poli-nome. Isto tako, slicne matrice imaju jednake determinante:

detA′ = det(M−1AM) = detM−1 detA detM = detA,

ali i neke druge parametre, kao npr. trag matrice.

Primjer 3 Neka je A =

[1 10 2

].

Vidimo da je determinanta matrice A detA = 2, a trag matrice A trA = 3.Tada je

det(λI − A) =

∣∣∣∣ λ− 1 −10 λ− 2

∣∣∣∣ = (λ− 1)(λ− 2).

Iz det(λI − A) = 0 dobivamo da je λ1 = 1 i λ2 = 2. Uvrstavanjem λ1 i λ2 u jednakost

A−→v = λ−→v ,

dobivamo:

za λ1 = 1 :

[1 10 2

] [4v1

v2

]= 1

[v1

v2

]v1 + v2 = v1

2v2 = v2

}⇒ v2 = 0,−→v =

[10

]

za λ2 = 2 :

[1 10 2

] [4v1

v2

]= 2

[v1

v2

]v1 + v2 = 2v1

2v2 = 2v2

}⇒ v1 = v2,

−→w =

[11

].

Pogledajmo sto se dogada ako promijenimo bazu. Neka je nova baza (−→e′ ) odredena vektorima

−→v i −→w (vektori −→v i −→w su neovisni). Pripadne matrice promjene baze su:

{ −→e′1 = −→e1−→

e′2 = −→e1 +−→e2

13

M =

[1 11 0

], M−1 =

[1 −11 0

].

Matrica operatora T u bazi−→e′ je matrica A′:

A′ =

[1 −11 0

] [1 10 2

] [1 11 0

]=

[1 −10 1

] [1 11 0

]=

[1 00 2

].

Ako izracnamo determinantu i trag matrice A′, dobit cemo da je

detA′ = 2,

trA′ = 3.

Karakteristicni polinom matrice A′ je

κA′(λ) =

∣∣∣∣ λ− 1 00 λ− 2

∣∣∣∣ = (λ− 1)(λ− 2).

Ocito je da je λ1 = 1 i λ2 = 2. U nastavku izracunajmo svojstvene vektore matrice A′:

• za λ1 = 1 : [1 00 2

] [v′1v′2

]=

[v′1v′2

]⇒−→v′ =

[10

],

M−1−→v1 =

[1 −10 1

] [10

] [10

],

• za λ2 = 2 : [1 00 2

] [v′1v′2

]= 2

[v′1v′2

]⇒−→w′ =

[01

],

M−1−→v2 =

[1 −10 1

] [11

] [01

].

Vidimo da se promjenom baze vrijednosti funkcija det i tr ne mijenjaju, ali dolazi do trans-formiranja svojstvenih vektora.

2

U ovom primjeru vidjeli smo da su svojstveni vektori pridruzeni razlicitim svojstvenimvrijednostima medusobno neovisni, te ta opcenitost vrijedi i inace.

Teorem 3 Svojstveni vektori −→v1 ,−→v2 , ...,

−→vm, koji pripadaju razlicitim svojstvenim vrijednos-tima λ1, λ2, ..., λm matrice A n-tog reda, linearno su neovisni. [2, str. 263.]

Dokaz: Neka su −→v1 ,−→v2 , ...,

−→vm svojstveni vektori koji pripadaju medusobno razlicitimsvojstvenim vrijednostima λ1, λ2, ..., λm. Ako na linearnu kombinaciju vektora −→v1 ,

−→v2 , ...,−→vm

c1−→v1 + c2

−→v2 + ...+ cj−→vj =

−→0

djelujemo s A i pomnozimo sa λj, dobivamo:

14

A: c1λ1−→v1 + c2λ2

−→v2 + ...+ cjλj−→vj =

−→0

λj : c1λj−→v1 + c2λj

−→v2 + ...+ cjλj−→vj =

−→0 .

Ako drugu jednadzbu oduzmemo od prve, dobivamo:

c1(λ1 − λj)−→v1 + c2(λ2 − λj)

−→v2 + ...+ cj−1(λj−1 − λj)−−→vj−1 =

−→0 .

Sada na ovu jednadzbu djelujmo sa A i pomnozimo sa λj−1:

A : c1λ1(λ1 − λj)−→v1 + ...+ cj−1λj−1(λj−1 − λj)

−−→vj−1 =−→0

λj−1 : c1λj−1(λ1 − λj)−→v1 + ...+ cj−1λj−1(λj−1 − λj)

−−→vj−1 =−→0 .

Kao rezultat oduzimanja druge jednadzbe od prve dobivamo:

c1(λ1 − λj)(λ1 − λj−1)−→v1 + ...+ cj−2(λj−2 − λj)(λj−2 − λj−1)

−−→vj−2 =−→0 .

Ovaj postupak nastavljamo sve dok ne dobijemo

c1(λ1 − λj)(λ1 − λj−1)...(λ1 − λ2)−→v1 =−→0 .

Iz toga slijedi da je c1 = 0, pa nam ostaje j − 1 vektora −→v2 , ...,−→vj takvih da je

c2−→v2 + ...+ cj

−→vj =−→0 .

Istim se postupkom dobivamo da je i c2 = 0.Na kraju nam ostaju vektori −−→vj−1 i −→vj . Ako je njihova linearna kombinacija jednaka nuli,

cj−1−−→vj−1 + cj

−→vj =−→0 ,

djelovanjem matricom A i mnozenjem sa λj

A : cj−1λj−1−−→vj−1 + cjλj

−→vj =−→0

λj : cj−1λj−−→vj−1 + cjλj

−→vj =−→0 ,

te oduzimanjem druge jednadzbe od prve, dobivamo:

cj−1(λj−1 − λj)−−→vj−1 =−→0 ,

sto daje da je cj−1 = 0. Na kraju nam ostaje

cj−→vj =

−→0 ,

iz cega je cj = 0, odnosno c1, c2, ..., cj = 0 sto dokazuje da su svojstveni vektori −→v1 ,−→v2 , ...,

−→vm

linearno neovisni.

2

15

Teorem 4 Svakoj realnoj svojstvenoj vrijednosti realne matrice pripada barem jedan realnisvojstveni vektor. [2, str. 264]

Dokaz: Neka je A realna matrica te neka ima svojstvenu vrijednost λ0. Ako je λ0 svojstvenavrijednost matrice A, onda je λ0 realno rjesenje jednadzbe

det(λ0I − A) = 0.

I za taj λ0 realna matrica λ0I − A je singularna. To znaci da je

N (λ0I − A) 6= {−→0 }.

Nul - potprostor je potprostor od Rn, pa u njemu postoji barem jedan −→v0 6=−→0 . Po definiciji

nul - potprostora vrijedi(λ0I − A)−→v0 =

−→0 ,

odnosnoA−→v0 = λ0

−→v0 ,

iz cega slijedi da je −→v0 realni svojstveni vektor pridruzen svojstvenoj vrijednosti λ0.

2

16

3.2 Samoadjungirani operatori

U primjenama prema [5] se vrlo cesto susrecu simetricne kvadratne matrice. Matrica A jesimetricna ako je realna i ako vrijedi A = AT .Ako za matricu A pridruzenu realnom operatoru T vrijedi da je A = AT , onda kazemoda je T samoadjungirani operator. Tako definirana matrica A je simetricna obzirom nadijagonalu.

Teorem 5 Svojstvene vrijednosti realne simetricne matrice su realne. [2, str. 276]

Dokaz: Svojstvene vrijednosti realne matrice A mogu biti iz skupa kompleksnih brojeva.Ukoliko za svojstvenu vrijednost λ dobijemo kompleksan broj, svojstveni vektor −→v , koji jerjesenja jednadzbe

A−→v = λ−→v ,

takoder je kompleksnan. Definiramo li konjugirano kompleksnu vrijednost vektora −→v s

−→v =

v1...vn

,konjugirano kompleksna vrijednost umnoska A−→v je

A−→v =

a11v1 + ...+ a1nvn...

an1v1 + ...+ annvn

=

a11 v1 + ...+ a1n vn...

an1 v1 + ...+ ann vn

= A−→v .

Matrica A oznacava matricu koja umjesto ajk ima clanove ajk. Kako je umnozak AB matrica

sa stupcima A−→b1 , ..., A

−→bn , gdje su

−→b1 , ...,

−→bn stupci od B, slijedi

AB = AB.

Kako je

A−→v = λ−→v ⇒ −→vTA−→v = −→v

Tλ−→v .

Kako je matrica A realna i simetricna, slijedi da je

A−→vT

= λ−→v ⇒ −→vTA = −→v

Tλ⇒ −→v

TA−→v = −→v

Tλ−→v .

Usporedbom ove dvije cinjenice, imamo:

−→vTλ−→v = −→v

Tλ−→v

(−→vT −→v )λ = (−→v

T −→v )λ.

Kako je svojstveni vektor −→v 6= −→0 , slijedi da je i −→vT−→v 6= 0. Stoga je λ = λ, tj. λ je realna

svojstvena vrijednost.

2

17

Dokazom Teorema 5 pokazali smo da realnoj svojstvenoj vrijednosti odgovara baremjedan realni svojstveni vektor. No vrijedi i slijedeci teorem:

Teorem 6 Razlicitim svojstvenim vrijednostima simetricne realne matrice pripadaju medusobnookomiti realni svojstveni vektori. Ti se vektori mogu uvijek svesti na jedinicne svojstvenevektore. [2, str. 277]

Dokaz: Neka su λ1 i λ2 svojstvene vrijednosti a −→v1 i −→v2 svojstveni vektori koji im redompripadaju. Tada je

A−→v1 = λ1−→v1

A−→v2 = λ2−→v2 .

Ako pomnozimo transponiranu prvu jednadzbu s desne strane sa −→v2 , a drugu s lijeve stranes −→v1

T :

(A−→v1)T−→v2 = λ1−→v1

T−→v2 ⇒−→v1

T (A−→v2) = λ1−→v1

T−→v2−→v1T (A−→v2) = λ2

−→v1T−→v2 .

Primjetimo da su nam lijeve strane jednake, pa stoga moraju biti jednake i desne strane, stoznaci da je

(λ1 − λ2)−→v1

T−→v2 = 0.

Po pretpostavci je λ1 − λ2 6= 0, pa prema tome slijedi da je

−→v1T−→v2 = 〈−→v1 |−→v2〉 = 0,

odnosno −→v1 i −→w2 medusobno su okomiti.

2

Posljedica ova dva teorema jeste slijedeci teorem:

Teorem 7 Simetricna realna matrica koja ima n razlicitih svojstvenih vrijednosti ima nneovisnih medusobno okomitih realnih jedinicnih svojstvenih vektora, pa je u bazi od tihvektora dijagonalna. [2, str. 278]

Neka nam je A realna simetricna matrica koja ima n razlicitih svojstvenih vrijednosti. Takvumatricu A mozemo dijagonalizirati ortonormalnom matricom Q, i pri tome vrijedi:

QTAQ = Λ, A = QΛQT .

Matrica Q je matrica ciji stupci formiraju ortonormalnu bazu, i pri tome vrijedi:

QQT = I,

odnosno Q−1 = QT , a matrica Λ je matrica kojoj se na dijagonali pojavljuju svojstvenevrijednosti u strogo padajucem nizu.Tako dolazimo do najvaznijeg teorema ovog poglavlja:

Teorem 8 Svaka se realna simetricna matrica A moze dijagonalizirati ortonormalnom ma-tricom Q promjene baze tako da se na dijagonali pojave svojstvene vrijednosti matrice Aonoliko puta koliko je kratnost svojstvene vrijednosti koju ima kao korjen svojstvenog poli-noma.3 [2, str. 280]

3Dokaz ovog teorema moze se pogledati u knjizi D. Butkovica, Predavanja iz linearne algebre,Grafika d. o. o., Osijek, 2010., str. 280. - 283.

18

4 Karakteristicni polinom

Polinom definiramo kao linearnu kombinaciju potencija elemenata λ iz polja realnih ilikompleksnih brojeva, ukljucujuci i potenciju λ0 = 1,

P(λ) = a0λn + a1λ

n−1 + a2λn−2 + ...+ an−1λ

1 + anλ0, a0 6= 0 za n 6= 0.

Matricnu funkciju prema [1] definiramo kao funkciju na polju R ili C kojoj su varijablerealne ili kompleksne matrice izMn. Matricne polinome, bilo realne ili kompleksne, bi moglidefinirati kao linearne kombinacije potencija od A iz Mn kojima su koeficijenti matrice izMn.Neka je A matrica n-tog reda. Karakteristicni polinom matrice A je

κA = det(λI − A).

Koeficijenti polinoma κA oznacavaju se na slijedeci nacin:

κA = λn − κ1λn−1 − ...− κn.

Za realnu matricu koeficijenti κ1, ..., κn su realni. Takoder vrijedi da je κ1 trag matrice A:

κ1 = trA = a11 + a22 + ...+ ann.

Faktorizirati polinom κA znaci prikazati ga u obliku

κA(λ) = (λ− λ1)r1 ...(λ− λs)

rs ,

gdje su λ1, ..., λs svojstvene vrijednosti matriceA, a r1, ..., rs njima odgovarajuce visestrukosti:

r1 + r2 + ...+ rs = n.

Nas zanima sto nastaje kada se u κA(λ) uvrsti λ = A.Znamo da je nultocka polinoma ona tocka u kojoj je vrijednost polinoma jednaka nuli, tj.kazemo da ta tocka ponisti polinom.Isto tako, uvrstavanjem matrice A u karakteristicni polinom, kao rezultat cemo dobiti nul -matricu.

Teorem 9 (Hamilton - Cayleyjev4 teorem)Kvadratna matrica A ponistava svoj karak-teristicni polinom

κA(A) = [0].

[2, str. 310]

Dokaz: Dokaz ovog teorema prema [4] se temelji na tome da svaka kvadratna matrica Azadovoljava jednakost

AA = I detA,

gdje je A adjunkta matrice A.Neka nam je C = A− λI, pa slijedi da je

detC = κA(λ) = λ0 + α1λ+ α2λ2 + ...+ αnλ

n.

4Arthur Cayley (1821. - 1889.) u jednom od djela je razvio aksiomatsko zasnivanje grupa i algebarskuteoriju matrica.

19

Sada jeCC = AC − λC

teCC = (detC)I.

Elementi matrice C su polinomi n−1-og stupnja, pa matricu C mozemo zapisati kao polinomn−1-og stupnja sa matricnim koeficijentima. Usporedimo rezultate umnoska CC preko jednei druge jednakosti:

αnλnI + αn−1λ

n−1I + ...+ α1λ1I + α0I =

ACn−1λn−1 + ACn−2λ

n−2 + ...+ AC1λ+ AC0 − Cn−1λn − Cn−2λ

n−1 − . . .− C1λ2 − C0λ.

Usporedbom odgovarajucih koeficijenata, dobivamo:

αnI = −Cn−1

αn−1I = ACn−1 − Cn−2

αn−2I = ACn−2 − Cn−3

...

α1I = AC1 − C0

α0I = AC0

Sada prvu jednakost pomnozimo sa An, drugu sa An−1 te analogno redom dalje a na krajuzadnju jednakost pomnozimo sa I i sve zbrojimo, iz cega slijedi da je κA = 0.

2

Hamilton - Cayleyjev teorem nam pokazuje da uvijek postoji normalni polinom n-tog stupnja kojeg matrica A n-tog reda ponisti. Cinjenica je da za neke operatore nan-dimenzionalnom prostoru postoje polinomi stupnja manjeg od n koje ce taj operatorponistiti. Takve polinome nazivamo minimalnim polinomima.

20

Literatura

[1] F. M. Bruckler, Povijest matematike IIhttp://www.mathos.hr/∼bruckler/main2.pdf

[2] D. Butkovic, Predavanje iz linearne algebre, Grafika d. o. o., Osijek, 2010.

[3] V. Hari, Linearna algebra, Prirodoslovno - matematicki fakultet, Zagreb, 2005.

[4] K. Horvatic, Linearna algebra, Golden marketing - Tehnicka knjiga, Zagreb, 2004.

[5] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika 1, Gradska tiskara, Osijek, 2000.

[6] H. Kraljevic, Vektorski prostori, Osijek, 2005.

[7] D. Zubrinic, Skripta sa predavanja iz linearne algebre, Fakultet elektrotehnike iracunarstva, Zagreb, 2002.

[8] Wikipedia, slobodna enciklopedija, Carl Friedrich Gausshttp://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss, 9. 11. 2010.

[9] Wikipedia, slobodna enciklopedija, William Rowan Hamiltonhttp://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton, 9. 11. 2010.

[10] Wikipedia, slobodna enciklopedija, Carl Gustav Jacob Jacobihttp://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacobi, 9. 11. 2010.

21