Marcos Von Sperling

23º Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental

II-401 - DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE REAERAÇÃO DE CURSOS D’ÁGUA (K2) UTILIZANDO FÓRMULAS EMPÍRICAS

Marcos von Sperling(1)

Engenheiro Civil. Doutor em Engenharia Ambiental pelo Imperial College, Universidade de Londres. Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Sanitária e Ambiental da UFMG. Endereço(1): Departamento de Engenharia Sanitária e Ambiental – UFMG; Av. do Contorno, nº 842 – 7º andar – Centro – Belo Horizonte – MG – Brasil – CEP 30.110-060– Tel: (31) 3238-1935 – e-mail: [email protected] RESUMO

O presente trabalho apresenta duas metodologias empíricas e diversas fórmulas para a estimativa do coeficiente de reaeração (K2), utilizado na modelagem matemática do oxigênio dissolvido em cursos d´água. A primeira metodologia baseia-se na estimativa de K2 com base em dados hidráulicos e morfométricos do curso d´água, tais como profundidade, velocidade, declividade e vazão. São avaliadas as equações de O`Connor e Dobbins, Churchill et al e Owens et al, as quais possuem faixas de aplicabilidade que se complementam. Observa-se que os valores de K2 obtidos por estas fórmulas também se complementam, sem mudanças apreciáveis entre as mesmas. Analisam-se ainda proposições de duas outras referências (Tsivoglou e Wallace, e Melching e Flores), as quais podem ser especialmente úteis para cursos d´água rasos e em condições de vazão baixa. A segunda metodologia investigada baseia-se na determinação de K2 em função da vazão do curso d´água, em uma função do tipo K2 = m.Qn. São apresentadas curvas obtidas em 16 trechos de cursos d´água pequenos e grandes em Minas Gerais. PALAVRAS-CHAVE: Cursos d´água, modelagem matemática, oxigênio dissolvido, reaeração atmosférica INTRODUÇÃO

O coeficiente de reaeração (K2) é, ao lado do coeficiente de desoxigenação (K1), um dos dois coeficientes do modelo clássico de Streeter-Phelps para o oxigênio dissolvido em cursos d’água. Análises de sensibilidade demonstram que o modelo de OD é bastante sensível aos valores de K2. No entanto, existe uma grande dificuldade em se determinar este coeficiente em condições de campo e também uma grande incerteza quanto a seus reais valores, especialmente quando se obtém valores bastante elevados utilizando abordagens expressas na literatura. O presente trabalho avança com relação ao texto apresentado por von Sperling (1996), e apresenta uma síntese de alguns métodos empíricos para a determinação de K2, juntamente com uma visão crítica sobre sua aplicabilidade. Em uma amostra d'água, pode-se determinar o valor do coeficiente de reaeração através de métodos estatísticos. Tais fundamentam-se basicamente na análise da regressão da equação do déficit de OD ao longo do tempo (equação de primeira ordem). Os dados de entrada são os valores de OD a diversos t. Os dados de saída são a concentração de saturação Cs e o coeficiente K2. Em um curso d’água, no entanto, a determinação de K2 é bastante complexa, envolvendo métodos tais como a adição de traçadores, e encontra-se fora do escopo do presente trabalho. Existem três métodos para a estimativa do valor do coeficiente K2 para a simulação do oxigênio dissolvido em um curso d’água: (i) valores médios tabelados; (ii) valores em função das características hidráulicas e morfométricas do corpo d'água; (iii) valores correlacionados com a vazão do curso d'água. Com relação aos valores médios tabelados, sugere-se a consulta a von Sperling (1996). No entanto, vale o comentário de que os valores tabelados são usualmente bem menores do que os obtidos pelos outros métodos, expostos a seguir. ESTIMATIVA DE K2 EM FUNÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS HIDRÁULICAS DO CORPO D'ÁGUA

Alguns pesquisadores tentaram correlacionar o coeficiente de reaeração K2 com variáveis hidráulicas do curso d'água. Várias técnicas de campo foram empregadas na elaboração dos estudos, como por meio de traçadores radioativos, distúrbio de equilíbrio, balanço de massa e outras. A literatura relata diversas fórmulas,

ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 1

mailto:[email protected]

23º Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental conceituais e empíricas, relacionando K2 com a profundidade e a velocidade do curso d'água. O Manual do modelo QUAL2E (EPA, 1985) registra 17 equações, e comenta que nenhuma equação é universal e melhor que as demais, para todas as aplicações. A Tabela 1 apresenta três das principais fórmulas, com faixas de atuação que se complementam, e com dados de entrada facilmente obteníveis (velocidade e profundidade). Ambos os dados devem refletir as condições de vazão do período estudado. Desta forma, se o estudo for para vazões críticas (vazões mínimas), a velocidade e a profundidade devem ser compatíveis com esta situação. A nova versão do modelo QUAL2E para microcomputadores, denominada QUAL2K (Chapra e Pelletier, 2003) tem a opção de trabalhar com estas três fórmulas, com a seleção automática em função da velocidade e da profundidade do curso d´água. Tabela 1. Valores do coeficiente K2 segundo modelos baseados em dados hidráulicos do curso d´água (base e, 20°C)

Pesquisador Fórmula Faixa de aplicação aproximada Equação O'Connor & Dobbins

(1958) 3,73.v0,5

H-1,5 0,6m ≤ H < 4,0m

0,05m/s ≤ v < 0,8 m/s (1)

Churchill et al (1962) 5,0.v0,97

H-1,67 0,6m ≤ H < 4,0m

0,8m/s ≤ v < 1,5 m/s (2)

Owens et al (apud Branco, 1978) 5,3.v

0,67H

-1,85 0,1m ≤ H < 0,6m 0,05m/s ≤ v < 1,5 m/s

(3)

v: velocidade do curso d'água (m/s); H: altura da lâmina d'água (m) Faixas de aplicabilidade adaptadas e ligeiramente modificadas de Covar (apud EPA, 1985), para efeito de

simplicidade Empregando-se as equações da Tabela 1 dentro de suas respectivas faixas de aplicabilidade, para valores mais usuais de v e H, obtêm-se os valores de K2 apresentados na Tabela 2 e plotados na Figura 1. Observa-se que os valores das três equações se complementam razoavelmente bem, sem descontinuidades expressivas nas zonas limites de cada faixa de aplicabilidade. Tabela 2. Valores dos coeficientes de reaeração K2 segundo as equações de Owens et al, OĆonnor e Dobbins, Churchill e Dobbins, em suas respectivas faixas de aplicabilidade

Coeficiente de reaeração K2 (d-1) (base e, 20º C) H (m) v (m/s)

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,2 35,4 9,8 3,6 2,3 1,7 1,3 1,0 0,8 0,7 0,6 0,3 46,5 12,9 4,4 2,9 2,0 1,6 1,2 1,0 0,8 0,7 0,4 56,3 15,6 5,1 3,3 2,4 1,8 1,4 1,2 1,0 0,8 0,5 65,4 18,1 5,7 3,7 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 0,9 0,6 73,9 20,5 6,2 4,0 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,0 0,7 82,0 22,7 6,7 4,4 3,1 2,4 1,9 1,5 1,3 1,1 0,8 89,6 24,9 9,5 5,8 4,0 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 0,9 97,0 26,9 10,6 6,6 4,5 3,3 2,6 2,1 1,7 1,4 1,0 104,1 28,9 11,7 7,3 5,0 3,7 2,9 2,3 1,9 1,6

Notas: Equações utilizadas e faixas de aplicabilidade: ver Tabela 1 As hachuras e linhas horizontais e verticais dentro do quadro delimitam as faixas de aplicabilidade de cada equação (hachuras diagonais: Owens et al; hachuras verticais: OĆonnor; hachuras horizontais: Churchill et al)



Valores de K2 em função de H e v

H=0,2m

H=0,4m

H=0,8m

H=1,2mH=1,6mH=2,0m

0,1

1,0

10,0

100,0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20Velocidade (m/s)

K2 (1

/d)

Fig. 1. Valores de K2 em função da profundidade e da velocidade, combinando-se as três equações da Tabela 1 e plotando-se os valores resultantes da Tabela 2 Observa-se pela Tabela 2 e pela Figura 1 que valores bastante elevados de K2 podem ser obtidos no caso de cursos d´água rasos. Estes valores são substancialmente superiores aos valores médios tabelados na literatura (ver von Sperling, 1996), baseados em uma descrição qualitativa do rio. Apesar da incerteza introduzida, deve-se comentar que o manual do modelo Qual2E (EPA, 1985) registra diversos dados de K2 efetivamente medidos em cursos d´água com valores bastante elevados, que podem atingir entre 10 e 100 d-1. Thomann e Mueller (1987) apresentam ainda as equações de Tsivoglou e Wallace (equações 4 e 5), desenvolvidas especificamente para cursos d´água pequenos e rasos, e que mostraram ser as mais precisas para estas condições. A Tabela 3 e a Figura 2 apresentam os valores de K2 obtidos com o emprego das referidas equações. Dependendo da declividade, podem ser obtidos elevados valores de K2, possivelmente compatíveis com os apresentados na Tabela 2 e Figura 1 (equações em função da velocidade e da profundidade, especialmente a equação de Owens et al, para cursos d´água mais rasos). • Rios pequenos: K2 = 31,6 . v.i (Q entre 0,03 e 0,3 m3/s) (4) • Rios médios: K2 = 15,4 . v.i (Q entre 0,3 e 8,5 m3/s) (5) onde: v = velocidade do curso d´água (m/s); i = declividade do curso d´água (m/km) Tabela 3. Valores de K2 em função da velocidade e da declividade, segundo as equações de Tsivoglou e Wallace (equações 4 e 5)

K2 (d-1), 20º C, para cursos d´água pequenos (Q entre 0,03 e 0,3 m3/s)

K2 (d-1), 20º C, para cursos d´água médios (Q entre 0,3 e 8,5 m3/s)

Declividade i (m/km) Declividade i (m/km) v

(m/s)

0,05 0,10 0,25 0,50 1,00 0,05 0,10 0,25 0,50 1,00 0,2 0,32 0,6 1,6 3,2 6,3 0,15 0,3 0,8 1,5 3,1 0,3 0,47 0,9 2,4 4,7 9,5 0,23 0,5 1,2 2,3 4,6 0,4 0,63 1,3 3,2 6,3 12,6 0,31 0,6 1,5 3,1 6,2 0,5 0,79 1,6 4,0 7,9 15,8 0,39 0,8 1,9 3,9 7,7 0,6 0,95 1,9 4,7 9,5 19,0 0,46 0,9 2,3 4,6 9,2 0,7 1,11 2,2 5,5 11,1 22,1 0,54 1,1 2,7 5,4 10,8 0,8 1,26 2,5 6,3 12,6 25,3 0,62 1,2 3,1 6,2 12,3 0,9 1,42 2,8 7,1 14,2 28,4 0,69 1,4 3,5 6,9 13,9 1,0 1,58 3,2 7,9 15,8 31,6 0,77 1,5 3,9 7,7 15,4



K2 em função de v e i (Q<0,3 m3/s)

i=0,05m/kmi=0,1m/km

i=0,5m/kmi=1,0m/km

i=025m/km

0,1

1,0

10,0

100,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4v (m/s)

K2 (1

/d)

K2 em função de v e i (Q>0,3 m3/s)

i=0,05m/kmi=0,1m/km

i=0,5m/kmi=1,0m/km

i=0,25m/km

0,1

1,0

10,0

100,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4v (m/s)

K2 (1

/d)

Fig. 2. K2 em função da velocidade e da declividade, segundo as equações de Tsivoglou e Wallace (equações 4 e 5). (a) cursos d´água pequenos (vazão entre 0,03 e 0,3 m3/s); (b) cursos d´água médios (vazão entre 0,3 e 8,5 m3/s) Melching e Flores (1999) trabalharam um grande banco de dados do U.S. Geological Survey, baseados em medições de K2 em campo por meio da técnica de traçador-gás (considerada pelos autores como a mais confiável), relativos a 371 trechos em 166 rios nos Estados Unidos. Como resultado de análise da regressão com os dados de K2 e características morfométricas e hidráulicas dos trechos estudados, foram obtidas as equações apresentadas no Quadro 4. Quadro 4. Equações para estimativa do coeficiente K2, segundo Melching e Flores (1999) Tipo de curso d´água Vazão (m3/s) Equação para K2 Equação

Q < 0,556 m3/s K2 = 517 (v.i) 0,524 Q -0,242 (6) Rios com depressões e soleiras Q > 0,556 m3/s K2 = 596 (v.i) 0,528 Q -0,136 (7) Q < 0,556 m3/s K2 = 88 (v.i) 0,313 H -0,353 (8) Rios com controle de canal Q > 0,556 m3/s K2 = 142 (v.i) 0,333 H -0,660 B -0,243 (9)

v = velocidade do rio (m/s); faixa dos dados experimentais: 0,003 a 1,83 m/s i = declividade do rio (m/m); faixa dos dados experimentais: 0,00001 a 0,06 m/m Q = vazão do rio (m3/s); faixa dos dados experimentais: 0,0028 a 210 m3/s B = largura do rio (m) (medida no topo); faixa dos dados experimentais: 0,78 a 162 m H = profundidade (m) (calculada pela equação da continuidade H=Q/(v.B)); faixa dos dados experimentais: 0,046 a 3,05 m Os rios com depressões e soleiras correspondem a uma sucessão de trechos com remansos, seguidos por corredeiras. Os rios com controle de canal são aqueles em que a profundidade de escoamento é determinada pelas características de atrito ao longo do canal, ou seja, com a ocorrência de escoamento uniforme (Baptista e Lara, 2002). Segundo Melching e Flores (1999), em condições de vazão de estiagem, a maioria dos cursos d´água se comporta como uma seqüência de depressões e soleiras. Para estes cursos d´água, o Quadro 5 e a Figura 3 apresentam os valores de K2 resultantes das equações 6 e 7, para valores selecionados de v, i e Q. Observa-se a maior influência da declividade e da velocidade, comparada com a vazão, nos valores de K2 calculados. Em condições de alta declividade e elevada velocidade (a qual deve ser para período seco), pode-se obter valores bastante elevados de K2.


23º Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental Quadro 5. Valores de K2 para rios com depressões e soleiras, segundo equações de Melching e Flores (1999) (equações apresentadas no Quadro 6.9)

K2 (d-1), 20º C Declividade i (m/km) Q (m3/s) v (m/s)

0,05 0,10 0,50 1,00 5,00 0,2 0,2 1,8 2,6 6,1 8,8 20,4

0,5 3,0 4,3 9,9 14,2 33,0 0,8 3,8 5,4 12,7 18,2 42,3

1,0 0,2 1,4 2,0 4,6 6,6 15,5 0,5 2,2 3,2 7,5 10,8 25,2 0,8 2,8 4,1 9,6 13,8 32,3

5 0,2 1,1 1,6 3,7 5,3 12,5 0,5 1,8 2,6 6,0 8,7 20,2 0,8 2,3 3,3 7,7 11,1 25,9

10 0,2 1,0 1,4 3,4 4,9 11,4 0,5 1,6 2,3 5,5 7,9 18,4 0,8 2,1 3,0 7,0 10,1 23,6

50 0,2 0,8 1,2 2,7 3,9 9,1 0,5 1,3 1,9 4,4 6,3 14,8 0,8 1,7 2,4 5,6 8,1 19,0

Obs: notar que o Quadro 5 apresenta as declividades em m/km (as quais foram devidamente convertidas a m/m para uso nas equações do Quadro 4)

Q = 0,2 m3/s

0,2m/s0,5m/s0,8m/s

1

10

100

0,01 0,1 1 10Declividade (m/km)

K2

(1/d

)

Q = 1,0 m3/s

0,2m/s0,5m/s0,8m/s

1

10

100


K2

(1/d

)

Q = 10,0 m3/s

0,2m/s0,5m/s0,8m/s

1

10

100


K2

(1/d

)

Q = 50,0 m3/s

0,2m/s0,5m/s0,8m/s

1

10

100


K2

(1/d

)

Fig. 3. Valores de K2 para rios com depressões e soleiras, segundo equações de Melching e Flores (1999), para diferentes valores de vazão, declividade e velocidade (equações apresentadas no Quadro 4) Para se ter uma visualização complementar dos valores resultantes da fórmula de Melching e Flores (1999) para rios com depressões e soleiras (equações 6 e 7), efetuou-se uma simulação Monte Carlo, com 1000 cálculos. Para cada cálculo, os dados de entrada foram gerados aleatoriamente, segundo uma distribuição uniforme, de acordo com as seguintes faixas: v = 0,2 a 1,0 m/s; i = 0,00005 a 0,001 m/m; Q = 0,2 a 50 m3/s. Os valores de K2 resultantes das equações do Quadro 4 para rios com depressões e soleiras, segundo sua respectiva faixa de aplicabilidade para a vazão, são apresentadas na Figura 4. Observam-se valores de K2 variando entre 1 e 15 d-1, com uma grande dispersão.



0,02,04,06,08,0

10,012,014,016,0

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200v (m/s)

0,02,04,06,08,0

10,012,014,016,0

0,00000 0,00020 0,00040 0,00060 0,00080 0,00100 0,00120

i (m/m)

0,02,04,06,08,0

10,012,014,016,0

0,000 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000Q (m3/s)

Fig. 4. Valores de K2 resultantes de simulação Monte Carlo, segundo a fórmula de Melching e Flores (1999) para cursos d´água com depressões e soleiras (v = 0,2 a 1,0 m/s; i = 0,00005 a 0,001 m/m; Q = 0,2 a 50 m3/s) ESTIMATIVA DE K2 COM BASE NA VAZÃO DO CURSO D'ÁGUA

Uma abordagem complementar é através da correlação entre a vazão do curso d'água e o coeficiente K2. Tal se justifica pelo fato da profundidade e da velocidade estarem intimamente associadas à vazão. Assim, esta, por transitividade, pode estar relacionada ao K2. O procedimento se baseia na determinação de K2 por meio das fórmulas hidráulicas (Tabela 1), para cada par de valores de v e H da série histórica dos dados fluviométricos disponíveis. Posteriormente, efetua-se uma análise da regressão entre os valores de K2 obtidos e os correspondentes valores da vazão Q. A relação entre K2 e Q pode ser descrita pela forma K2 = m.Qn, onde m e n são coeficientes de ajuste. A vantagem desta forma de expressão é a obtenção do coeficiente de reaeração para quaisquer condições de vazão (por interpolação ou pequena extrapolação), principalmente para as vazões mínimas, independentemente do conhecimento da profundidade e da velocidade. K2 = m.Qn (10) onde: Q = vazão (m3/s); m e n = coeficientes da equação A Figura 5 apresenta as curvas plotadas de 16 cursos d’água em Minas Gerais (von Sperling, 1983). Os cursos d´água são separados em duas categorias: cursos d´água principais (representados por vazões superiores a 10 m3/s - equação de OĆonnor) e tributários (representados por vazões inferiores a 10 m3/s - equação de Owens et al). As faixas de valores obtidas podem servir de referencial aproximado para outros estudos, mas deve-se ter em mente que parte da região estudada tem uma topografia acentuada.



K2 EM FUNÇÃO DA VAZÃO

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,

0

Vazão (m3/s)

1

2

3

45678910

20

30

405060708090100

K2

(d-1

)

Fig. 5 Valores de K2 em função da vazão para cursos d’água em Minas Gerais. Q < 10 m3/s: tributários (equação de Owens et al); Q > 10 m3/s: rios principais (equação de OĆonnor). Deve-se observar que valores bastante elevados de K2 são obtidos em condições de baixa vazão. Para alguns tributários, valores de K2 superiores a 100 d-1 (valor máximo do QUAL2E) seriam obtidos. Deve-se destacar que, particularmente estes cursos d’água situam-se em região semi-árida e, em períodos de baixa vazão, apresentam lâmina d’água bastante baixa, o que causa a grande elevação no valor de K2 (K2 é bastante sensível à profundidade, segundo as equações 1 a 3). Há uma grande variação entre as curvas de cada curso d´água, mas a faixa de K2 dos tributários não apresenta uma grande descontinuidade para os rios principais. As equações médias obtidas para cada condição foram: • Tributários (Q < 10 m3/s - equação de Owens et al): K2 = 15,98.Q0,60 (11) • Rios principais (Q > 10 m3/s - equação de OĆonnor): K2 = 20,74.Q0,42 (12) CONCLUSÕES

Os métodos empíricos para a estimativa do coeficiente de reaeração K2 baseados em características hidráulicas e morfométricas do curso d’água (profundidade, velocidade, declividade, vazão) são uma prática ferramenta no contexto da modelagem do oxigênio dissolvido, pelo fato de poderem ser aplicados em distintas condições de vazão. Os métodos de Owens et al, OĆonnor e Dobbins, Churchill et al possuem suas próprias faixas de aplicabilidade, em função da profundidade e da velocidade. No entanto, os resultados obtidos são complementares entre si, não causando descontinuidades no valor de K2. Desta forma, o modelo, dependendo do valor da profundidade e da velocidade, poderá ter uma opção de escolha automática de qual equação a ser utilizada, sem causar descontinuidades com os valores calculados por outra fórmula. A determinação da declividade dos cursos d´água é simples e útil, pois pode permitir a estimativa de K2 por meio de outras fórmulas empíricas (Tsivoglou e Wallace, e Melching e Flores), bem adaptadas para as condições de rios rasos. Com qualquer dos métodos discutidos, pode-se obter em cursos d’água rasos valores de K2 bastante elevados, e eventualmente superiores ao máximo assumido pelo QUAL2E (100 d-1). O risco de se ter valores excessivamente altos, que eventualmente não sejam verdadeiros, é o de se ter resultados de simulações com


23º Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental valores elevados de OD quando, na realidade, os valores deveriam ser mais baixos. Dada a alta sensibilidade dos modelos de OD ao valor do coeficiente de reaeração, tem-se, em decorrência, um grande componente de incerteza. Há necessidade da caracterização de corpos d’água rasos e aprofundamento nas pesquisas da determinação do K2 nestas condições. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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