Marcello Varella Souto Filho Modelagem Numérica de Reforço ... Souto Filho, Marcello Varella; Velasco, Marta de Souza Lima. Numerical Modeling of Structural Strengthening of Reinforced

Marcello Varella Souto Filho

Modelagem Numérica de Reforço Estrutural em Vigas de Concreto Armado

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial paraobtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil daPUC-Rio. Área de concentração: Estruturas.

Orientador: Prof. Marta de Souza Lima Velasco

Rio de JaneiroAgosto de 2002

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0016584/CA


Modelagem Numérica de Reforço Estrutural em Vigas de Concreto Armado

Dissertação apresentada como requisito parcial paraobtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Estruturas do Departamento deEngenharia Civil do Centro Técnico Científico daPUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadoraabaixo assinada.

Prof. Marta de Souza Lima Velasco, D.sc.Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Luiz Fernando Martha, D.sc.Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Emil de Souza Sánchez Filho, D.sc.Departamento de Estruturas – UFJF

Eng. Sérgio Brasil FigueredoSbrasil Engenharia Ltda.

Prof. Ney Augusto DumontCoordenador Setorial

do Centro técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 09 de Agosto de 2002

DBD


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ouparcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e daorientadora.


Formou-se em técnico de programação de computadores em 1995.Monitor da cadeira de hiperestática em 1997 e 1998 na UERJ.Graduou-se em Engenharia Civil na UERJ (Universidade doEstado do Rio de Janeiro ) em 1998. Trabalhou de 1995 a 2000 naempresa de cálculo estrutural Caltec Engenharia Ltda. Prestouserviços na área de Engenharia Estrutural para Empresa SbrasilEngenharia Ltda. Trabalhou como professor da cadeira deResistência dos materiais no Departamento de Estruturas eFundações da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Trabalhaprestando consultoria e elaborando projetos estruturais em concretoarmado e aço para construção civil e indústria naval-offshore.

Ficha CatalográficaSouto Filho, Marcello VarellaModelagem numérica de reforço estrutural em vigas de concretoarmado / Marcello Varella Souto Filho; orientador: Marta de SouzaLima Velasco. – Rio de Janeiro : PUC, Departamento deEngenharia Civil, 2002.

[17],110 f. : il. ; 30 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Riode Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto armado. 3. Reforçoestrutural. 4. Compósitos. 5. Fibra de carbono. 6. Método doselementos finitos. 7. Modelos constitutivos. I. Velasco, Marta deSouza Lima. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.Departamento de Engenharia Civil. III. Título

CDD: 624

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Agradecimentos

Aos professores Marta de Souza Lima Velasco e Ricardo Einsfeld pela

compreensão, pelos ensinamentos prestados, atenção dedicada e orientação

segura.

Ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não

poderia ter sido realizado.

A todos os professores deste departamento pelos ensinamentos científicos

prestados.

Aos professores da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, em especial ao

Departamento de Estruturas e Fundações pelos ensinamentos de graduação e

apoio profissional.

A todos os amigos e familiares que de alguma forma participaram da elaboração

deste trabalho incentivando, apoiando e em algumas vezes até criticando.

A todos os colegas de departamento que dividiram comigo alegrias e angústias.

Às amigas Cristina Travessa Pinto e Ana Carolina Neves de Araújo pelo apoio e

pelo fornecimento de detalhes e experiências obtidas em seus trabalhos

experimentais.

À empresa Sbrasil Engenharia Ltda, todos seus funcionários e em especial ao seu

diretor Eng° Sergio Brasil pelo suporte profissional.

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Resumo

Souto Filho, Marcello Varella; Velasco, Marta de Souza Lima.Modelagem Numérica de Reforço Estrutural em Vigas de ConcretoArmado. Rio de Janeiro, 2002. 127pp. Dissertação de Mestrado –Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica doRio de Janeiro.

A necessidade cada vez mais freqüente de reforço em estruturas de

concreto armado, exige um completo conhecimento do comportamento da

estrutura reforçada devido a alterações de rigidez do conjunto, aumento da carga

de ruptura, alterações na distribuição de fissuras, modificação de comportamento

e posição da linha neutra, entre outros. Nos últimos anos diversos estudos

experimentais têm sido conduzidos, fornecendo parâmetros cada vez mais

confiáveis à elaboração de projetos e ao dimensionamento seguro em relação aos

estados limites de utilização e de ruptura. No desenvolvimento deste trabalho,

utiliza-se um programa computacional baseado no método dos elementos finitos,

capaz de descrever o comportamento de elementos estruturais prismáticos em

concreto armado reforçados à flexão. Descreve-se o modelo hipoelástico de Elwi

e Murray (1979) para o concreto simples e um modelo multilinear para simulação

dos reforços. Tais relações resultam de estudos analíticos e experimentais sobre o

concreto armado e estão originalmente implementadas no programa FEPARCS

(Elwi e Murray, 1980), que neste trabalho é modificado e adaptado de acordo com

a realidade da execução de reforços em estruturas em serviço. O programa

FEPACS, capaz de realizar análises numéricas não-lineares, é acoplado a um

programa de pré e pós-processamento gráfico especialmente desenvolvido para

geração, gerenciamento do processo de cálculo e para análise de resultados

obtidos. Os resultados obtidos utilizando o programa proposto são validados

através de uma comparação com resultados experimentais obtidos na literatura.

Palavras-chaveConcreto Armado; Reforço Estrutural; Compósitos; Fibra de Carbono;

Método dos Elementos Finitos; Modelos Constitutivos.

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Abstract

Souto Filho, Marcello Varella; Velasco, Marta de Souza Lima. NumericalModeling of Structural Strengthening of Reinforced Concrete Beams .Rio de Janeiro, 2002. 127pp. Master of Science – Civil EngineeringDepartment, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

The frequent use of composite materials, in the strengthening of reinforced

concrete structures requires complete knowledge of the structural behavior

because of the changes that such strengthening will cause to the overall stiffness,

the collapse load, the cracks distribution and the behavior and position of the

neutral axis. Over the last few years experimental studies have been performed,

bringing out more trustworthy parameters for ultimate strength design. In this

work, a computational program was implemented based on the finite element

method, which is able to describe the flexural strengthening of reinforced concrete

beams. The model used in this program is that of Elwi & Murray (1979), which

assumes a so-called hypo elastic theory for concrete and a approach to simulate

the reinforcement. These relationships were derived from reinforced concrete

analytical and experimental studies and are originally implemented in the

FEPARCS program (Elwi e Murray, 1980), which has been modified in order to

obtain a more realistic approach to in-service structural strengthening. The

program developed, which is able to perform non-linear numerical analyses, is

coupled to pre and pos-processing graphic programs specially developed for

model generation, management of the calculation sequence and presentation of

final results. The results produced by this program have been validated by

comparison with experimental results available in literature.

KeywordsReinforced Concrete; Strengthening; Composites; composites; Finite

Element Method; Constitutive models.

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Sumário

1. Introdução 18

1.1. Considerações Gerais 18

1.2. Objetivo 19

1.3. Organização deste trabalho 21

2. Reforço Externo à Flexão e ao Cisalhamento de Elementos

Estruturais em Concreto Armado 23

2.1. Introdução 23

2.2. Utilização de Reforços Estruturais 23

2.2.1. Problemas Estruturais 23

2.2.2. Mudanças na Utilização Definida em Projeto 24

2.3. Técnicas de Reparo e Reforço 24

2.3.1. Adição de Chapas de Aço 25

2.3.2. Adição de Compósitos de Fibras 27

2.3.3. Técnica de Estribos Externos Pré-tracionados 31

2.3.4. Técnica de Vergalhões Colados 32

2.4. Propriedades de materiais Utilizados em Reforço 32

2.5. Estudos Experimentais sobre Técnicas de Reforço Externo 33

2.5.1. Estudos de Cerqueira (2000) e Pinto (2000) 33

2.5.2. Estudo de Araújo (2002) 39

3. O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Analise Não-

Linear 47


3.2. Método dos Elementos Finitos 47

3.2.1. Método dos Elementos Finitos – Modelo da Rigidez 48

3.2.2. Elementos Finitos Bidimensionais Planos 51

3.2.3. Considerações Sobre o MEF e Não Linearidade 56

3.3. Modelos Adotados 56

3.3.1. Modelo Constitutivo Hipoelástico 57

3.3.1.1. Relação Constitutiva Incremental 57

3.3.1.2. Deformação Uniaxial Equivalente 58

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3.3.1.3. Coeficiente de Poisson 62

3.3.1.4. Superfície de Ruptura de William-Warnke 62

3.3.2. Modelo Elasto-Plástico Multilinear 67

3.3.3. Modelo Elasto-Plástico Multilinear Modificado 68

3.4. Estratégias de Solução Para Análise Não-Linear 69

3.4.1. O Método de Newton-Raphson 69

3.4.2. O Método do Comprimento de Arco 73

3.4.3. Critérios de Convergência 76

4. Pré e Pós-Processamento de Dados Para Análise por

Elementos Finitos 77


4.2. Conceitos de Computação Gráfica Utilizados no Programa

PREPOS 78

4.2.1. Inserção de Reforço e Suas Coordenadas 81

4.3. O Programa PREPOS 83

5. Aplicação Numérica 94


5.2. Resultados Experimentais e Análise Numérica 94

5.2.1. Estudo de Pinto (2000) 94

5.2.2. Estudo de Araújo (2002) 105

6. Conclusões e Sugestões 119

6.1. Conclusões 119

6.2. Sugestões para trabalhos futuros 122

Referências Bibliográficas 124

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Lista de Figuras

Figura 2. 1 – Uso de chapas coladas para reforço aocisalhamento e à flexão 26

Figura 2. 2 – Diagrama “tensão x deformação” específica dediversos tipos de fibras (Master Builders Tecnologies) 28

Figura 2. 3 – Diagrama “tensão x deformação” específica decompósitos de fibra de carbono comercializados pela Sika epor Master Builders Tecnologies, respectivamente 29

Figura 2. 4 – Esquema de reforço à flexão e aocisalhamento utilizando lâminas de fibras de carbono 30

Figura 2. 5 – Viga reforçada ao cisalhamento com o uso deestribos externos pré-tracionados 31

Figura 2. 6 – Viga reforçada à flexão e cisalhamento com ouso de vergalhões colados 32

Figura 2. 7 – Sistema estrutural, Diagrama de Esforçocortante e Momento Fletor de V1 a V5 34

Figura 2. 8 – Diagrama de “tensão x deformação” daLâmina Sika Carbodur tipo S utilizada 36

Figura 2. 9 – Detalhamento da armadura interna da viga V1 36

Figura 2. 10 – Reforço da viga V1 37

Figura 2. 11 – Posição em que foram medidas deformaçõesnas armaduras internas das vigas 38

Figura 2. 12 – Posição em que foram medidas deformaçõesnas lâminas do reforço das vigas 38

Figura 2. 13 – Sistema estrutural, Diagrama de Esforçocortante e Momento Fletor de VR e V1 a V6 40

Figura 2. 14 – Detalhamento da armadura interna das vigasVR e V1 a V6 42

Figura 2. 15 – Reforço da viga V1 a V3 43

Figura 2. 16 – Reforço das vigas V4 a V6 43

Figura 2. 17 – Posição para medição de deformações nasarmaduras e deslocamentos das vigas VR, V1 e V4 43

Figura 2. 18 – Posição para medição de deformações nasarmaduras e deslocamentos das vigas V2, V3, V5 e V6 43

Figura 3. 1 – Divisão do domínio de integração em pequenas áreasdenominadas Elementos Finitos 46

Figura 3. 2 – Placa de espessura ‘e’, solicitada por forçasexternas atuando em seu plano médio 51

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Figura 3. 3 – a) Elemento isoparamétrico Q4 no espaçoξη b) Elemento isoparamétrico Q4 no espaço xy 52

Figura 3. 4 – a) Elemento isoparamétrico Q8 no espaço ξη b) Elemento isoparamétrico Q8 no espaço xy 55

Figura 3. 5 – Relação “tensão x deformação” uniaxial paracompressão do concreto 60

Figura 3. 6 – Relação “tensão x deformação” uniaxial paratração e para o cisalhamento respectivamente 60

Figura 3. 7 – Espaço tridimensional de tensões, eixohidrostático e plano desviador 64

Figura 3. 8 – Superfície de William-Warnke: Seçãodesviadora 65

Figura 3. 9 – Superfície de William-Warnke: Seçãomeridional 66

Figura 3. 10 – Relação “tensão x deformação” que descreveo comportamento do material utilizado nos reforços 67

Figura 3. 11 – Relação “tensão x deformação” que descreveo material dos reforços inseridos durante o cálculo 68

Figura 3. 12 – Representação gráfica do Método deNewton-Raphson standard 70

Figura 3. 13 – Representação gráfica do Método deNewton-Raphson modificado 71

Figura 3. 14 – Representação gráfica do Método deNewton-Raphson rigidez inicial 71

Figura 3. 15 – Típica trajetória de equilíbrio com ponto-limitepara o caso unidimensional 72

Figura 3. 16 – Representação gráfica do Método doComprimento de Arco com processo iterativo do tipoNewton-Raphson modificado para um caso unidimensional 73

Figura 3. 17 – Decomposição do vetor wi segundoWelssels (1977) 75

Figura 3. 18 – Representação gráfica dos sistemas deequações, caso unidimensional, da decomposição deWelssels (1977) 75

Figura 4. 1 – Relação entre os sistemas de coordenadas domodelo e da tela de plotagem 79

Figura 4. 2 – implementação no modelo dos comandos detranslação direcionada e Pan 80

Figura 4. 3 – implementação no modelo de fatores deescala 80

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Figura 4. 4 –Introdução de reforço de acordo comcoordenadas do modelo original 81

Figura 4. 5 –Introdução de reforço de acordo comcoordenadas do modelo original 82

Figura 4. 6 – Possíveis intercessões entre funções definidaspelo reforço e as que definem o elemento 82

Figura 4. 7 – Tela inicial do programa PREPOS 83

Figura 4. 8 – Tela para geração da malha de ElementosFinitos 84

Figura 4. 9 – Tela demonstrando as opções de manipulaçãográfica do modelo 84

Figura 4. 10 – Tela demonstrando a introdução derestrições de deslocamento ao modelo 85

Figura 4. 11 – Tela para entrada de dados referente aspropriedades do material que compõe os elementos 86

Figura 4. 12 – Tela para entrada de reforço linear emqualquer direção 87

Figura 4. 13 – Tela para entrada de reforço linear emqualquer direção com possibilidade de cópia do original 87

Figura 4. 14 – Tela para entrada de propriedades referentea novos materiais de reforço 88

Figura 4. 15 – Tela para entrada das cargas nodais queincidem sobre a estrutura 89

Figura 4. 16 – Escolha do procedimento de cálculo a serutilizado 89

Figura 4. 17 – Tela para definição da estratégia de soluçãodo modelo e definição dos “steps” necessários 90

Figura 4. 18 – Tela para análise de resultados e definiçãode novos parâmetros pra reinicio do cálculo 91

Figura 4. 19 – Gráficos para análise resultados nos nós eelementos lineares 91

Figura 4. 20 – Tela para introdução de novos reforços 92

Figura 4. 21 – Visualização dos novos reforços e definiçãode novos parâmetros pra reinicio do cálculo 93

Figura 5. 1 – Discretização adotada para analise numérica:(a) Elementos de concreto; (b) Elementos de armadura; e(c) Elementos de reforço 95

Figura 5. 2 – Diagrama “Carga x Flecha” – Deflectômetro 1 98

Figura 5. 3 – Diagrama “Carga x Flecha” – Deflectômetro 2 98

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Figura 5. 4 – Diagrama “Carga x Deformação” da armaduralongitudinal interna no meio do vão - Extensômetro D-1 99

Figura 5. 5 – Diagrama “Carga x Deformação” da armaduralongitudinal interna - Extensômetro D-2 99

Figura 5. 6 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina defibra de carbono no meio do vão - Extensômetro F-1 100

Figura 5. 7 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina defibra de carbono Extensômetro F-2 100

Figura 5. 8 – Configuração da viga no início do processo defissuração – Passo de solução 9 101

Figura 5. 9 – Configuração da viga durante o procedimentode reforço – Passo de solução 11 102

Figura 5. 10 – Configuração da viga imediatamente antesao descolamento do compósito – Passo de solução 16 102

Figura 5. 11 – Configuração da viga imediatamente apósdescolamento do compósito – Passo de solução 17 103

Figura 5. 12 – Distribuição de tensões nas armadurasiniciais e de reforço – Passo de solução 17 103

Figura 5. 13 – Configuração da viga na iminência daruptura – Passo de solução 18 104

Figura 5. 14 – Discretização adotada para analisenumérica: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos dearmadura; e (c) Elementos de reforço 106

Figura 5. 15 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição doDeflectômetro 1 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 109


Figura 5. 17 – Diagrama “Carga x Deformação” na posiçãodo Extensômetro 2 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 110

Figura 5. 18 – Diagrama “Carga x Deformação” na posiçãodo Extensômetro 7 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 111


Figura 5. 20 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição doDeflectômetro 2 113

Figura 5. 21 – Diagrama ‘Carga x Deform.’ na posição doExtensômetro 2 113

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Figura 5. 22 – Diagrama “Carga x Deform.” na posição doExtensômetro 7 113

Figura 5. 23 – Configuração de tensões atuantes durante oprocesso de fissuração – Passo de solução 8 – Tensões decompressão e tração ao longo das seções transversais 115

Figura 5. 24 – Configuração de tensões atuantes no iniciodo processo de escoamento do aço – Passo de solução 16– Tensões de compressão e tração ao longo das seçõestransversais 115

Figura 5. 25 – Configuração de tensões atuantes ao iniciodo processo de escoamento do aço – Passo de solução 16– Tensões principais de Compressão 116

Figura 5. 26 – Configuração de tensões atuantes naeminência de ruptura do compósito de fibra de carbono –Passo de solução 19 – Tensões de compressão e tração aolongo das seções transversais 116

Figura 5. 27 – Configuração de tensões atuantes naeminência de ruptura do compósito de fibra de carbono –Passo de solução 19 – Tensões principais de Compressão 117

Figura 5. 28 – Configuração de tensões atuantes naeminência de ruptura do compósito de fibra de carbono –Passo de solução 19 – Armação e reforço de flexão 117

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Lista de Tabelas

Tabela 2. 1 – Propriedades físicas de compósitos utilizadosem reforço de estruturas 33

Tabela 2. 2 – Resistência média à compressão e à tração doconcreto de acordo com NBR5739 e NBR7222 35

Tabela 2. 3 – Características das barras de aço utilizadas 35

Tabela 2. 4 – Características do adesivo epóxico utilizado 35

Tabela 2. 5 – Características do compósito de fibra decarbono utilizado 36

Tabela 2. 6 – Resistência à flexão teórica das vigas semreforço 36

Tabela 2. 7 – Resistência ao cortante teórica V R 37

Tabela 2. 8 – Reforço utilizado nas vigas 37

Tabela 2. 9 – Resistência à flexão teórica das vigasreforçadas 38

Tabela 2. 10 – Tensão cisalhante longitudinal 38

Tabela 2. 11 – Valores de carga e modo de ruptura dasvigas 39

Tabela 2. 12 – Resistência média à compressão e à traçãodo concreto de acordo com NBR5739 e NBR7222 41

Tabela 2. 13 – Características das barras de aço utilizadas 41

Tabela 2. 14 – Características do compósito de fibra decarbono utilizado 41

Tabela 2. 15 – Resistência teórica à flexão e ao cortante dasvigas sem reforço 42

Tabela 2. 16 – Reforço utilizado nas vigas 42

Tabela 2. 17 – Seqüência para carregamento utilizado nosensaios. 44

Tabela 2. 18 – Resistência à flexão teórica das vigasreforçadas 44

Tabela 2. 19 – Carga de ruptura das vigas e maioresaberturas observadas 45

Tabela 2. 20 – Valores de carga e modo de ruptura dasvigas ensaiadas 45

Tabela 5. 1 – Propriedades do concreto utilizado em V1 95

Tabela 5. 2 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivo 95

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Tabela 5. 3 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do aço CA50A 96

Tabela 5. 4 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do compósito de fibra de carbono 96

Tabela 5. 5 – Desempenho do programa na obtenção deconvergência para NRs 97

Tabela 5. 6 – Comparação entre valores de carga edeformação na ruptura 101

Tabela 5. 7 – Propriedades do concreto utilizado 107

Tabela 5. 8 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivodas vigas V1a V6 107

Tabela 5. 9 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do aço CA50A 107

Tabela 5. 10 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do compósito de fibra de carbono 107




Tabela 5. 14 – Comparação entre valores de carga edeformação na ruptura. 111



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Lista de Símbolos

Gregos

Πp – Energia potencial total

Ωext – Potencial das forças externas

ε – Vetor de deformações

εο – Vetor de deformações iniciais

σ – Vetor de tensões

σο – Vetor de tensões iniciais

[ ]∂ – Operador diferencial

∆Q- Vetor das forças desbalanceadas

ϕb – Fator de carga associado

dσ – Tensores de incremento de tensão

dε – Tensores de incremento de deformação

γ – Deformações cisalhantes

υ – Coeficiente de Poisson

τ – Tensões cisalhantes

αt – Razão entre resistências uniaxiais de tração e de compressão

εc – Deformação associada a f’c

κt – Deformação associada a f’t

κbc – Deformação associada a f’bc em umas das direções de

carregamento

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Romanos

U – Energia de deformação

dV – Volume infinitesimal de material da estrutura

Uo – Densidade de Energia em cada ponto do material

u – Campo de deslocamentos no elemento

Fint – Vetor de forças internas ou equilibrantes

[C] – Matriz constitutiva do material

[N] – Funções de interpolação dos elementos

Ro – Vetor de cargas de referência

Ta – Vetor comprimento de arco

QTOL – Tolerância arbitrada para forças

uL – Deslocamentos nodais do elemento

[B] – Matriz que relaciona deformações e deslocamentos

Rext– Vetor de forças externas nodais

ne - Número de elementos

[K] - Matriz de rigidez global da estrutura

E – Módulo de elasticidade ortotrópico

G – Módulo de cisalhamento

W – Abertura de fissuras

Yi – Tensão normalizada

Xiu – Deformação uniaxial equivalente normalizada

f’t – Resistência à tração normalizada do concreto

Xt,máx – Máxima deformação normalizada

f’c,m – resistência à compressão da matriz de concreto

f’c – Resistência uniaxial à compressão do concreto

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1. Introdução 1.1. Considerações Gerais

O desenvolvimento tecnológico das últimas décadas tem influenciado

intensamente a dinâmica de crescimento das cidades, evidenciando novas técnicas

de construção, manutenção e modificação de estruturas em geral.

Dentro deste processo, o desenvolvimento de tecnologias para modificação

das propriedades físicas e mecânicas de estruturas em serviço merece atenção

especial. Este procedimento, chamado de reforço estrutural, visa aumentar a

portabilidade dos elementos estruturais envolvidos, e utiliza do menor número

possível de intervenções. O reforço estrutural pode ser necessário em decorrência

de inúmeros fatores: erros de projeto ou execução, deterioração resultante do

envelhecimento natural, da ação de agentes agressivos ou devido a acidentes

como choques e incêndio, mudança no tipo de utilização original, ou através do

aumento dos carregamentos incidentes ou por alterações na geometria.

Alguns métodos de reforço estrutural estão listados a seguir:

Reforço de concreto armado utilizando-se barras e/ou chapas de

aço com aderência externa;

Reforço de concreto armado utilizando-se compósitos de fibra de

carbono;

Reforço de concreto armado utilizando-se compósitos de fibra de

vidro.

O reforço utilizando-se barras de aço com aderência externa e/ou chapas de

aço coladas com resina epóxi vem sendo muito utilizado e há um razoável

conhecimento de seu comportamento e métodos de dimensionamento.

A utilização de compósitos de polímeros armados com fibras (CFRP e

GFRP) como elemento de reforço é interessante devido às propriedades destes

materiais como leveza, alta resistência mecânica, resistência à corrosão,

neutralidade eletromagnética e facilidade de aplicação e manutenção das

dimensões originais da peça. Dentre os compósitos existentes, o de fibra de

carbono obteve melhor aceitação devido a seu alto módulo de elasticidade e baixo

fator de relaxação. A escolha do uso de compósitos de polímeros armados com

DBD


Introdução 19

fibras no lugar de chapas de aço, ou outro sistema de reforço tradicional, depende

da sua viabilidade econômica.

Paralelamente ao avanço nas pesquisas experimentais e teóricas dos

sistemas apresentados, surgiu a necessidade do desenvolvimento de modelos

matemáticos confiáveis, que retratem fielmente as características físicas e

mecânicas atuantes antes e após a aplicação do reforço estrutural. A criação deste

modelo se origina nas teorias do concreto simples trabalhando em conjunto com

barras de aço, modelo próprio para concreto armado. O carregamento é imposto e

surgem as deformações relativas a cargas de trabalho usuais em sistemas

estruturais. Após a introdução de novas barras e/ou compósitos com propriedades

físicas e mecânicas diferentes das do aço existente, as propriedades do elemento

estrutural são alteradas e prossegue-se com a análise.

A motivação deste trabalho deve-se à necessidade de programas

computacionais específicos a este tipo de análise, que permitam durante o

processo introduzir reforços. Outra motivação é a de gerar um software com

recursos gráficos sofisticados e de simples utilização, evitando-se gastos

desnecessários em softwares genéricos e de modelagem complexa.

1.2. Objetivos

Os objetivos principais do presente trabalho são:

Apresentar modelos que simulem o comportamento físico do

concreto armado e compatibilizá-los ao processo de reforço

estrutural pela adição de barras externas e/ou fitas de materiais

compósitos;

Implementar o modelo proposto em um programa de análise por

elementos finitos (módulo central de cálculo);

Criar interface gráfica, em ambiente Windows, para:

o Criação dos modelos em concreto armado, conversão

numérica para análise por elementos finitos e transferência

de execução para o módulo central de cálculo ;

o Leitura de dados e resultados do cálculo executado,

demonstração gráfica dos resultados através de isovalores,

possibilidade de introdução de reforço estrutural no cálculo

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Introdução 20

corrente, conversão numérica para análise por elementos

finitos e transferência de execução para o módulo central de

cálculo;

o Início de novos cálculos e recuperação de cálculos

executados anteriormente;

Aplicar o modelo através do programa de análise à simulação do

comportamento de estruturas em concreto armado reforçado com

a adição de compósitos em fibra de carbono;

Validar o programa computacional através de comparação entre

resultados numéricos e experimentais.

O modelo para concreto simples a ser apresentado baseia-se na formulação

hipoelástica ortotrópica proposta por Elwi & Murray (1979). O modelo é definido

através de uma relação tensão-deformação incremental axissimétrica,

incorporando o conceito de deformação axial equivalente de Darwin & Pecknold

(1974) e o critério de Willam & Warnke (1975). O aço do concreto armado e os

reforços são introduzidos obedecendo à formulação elástica não-linear, de acordo

com as características originais dos materiais utilizados. Tais considerações

obrigam que o cálculo seja sempre efetuado por aproximações sucessivas, e a

utilização do método dos elementos finitos exige estratégias de solução

adequadas, tendo em vista as mudanças nas propriedades do material refletidas na

matriz constitutiva [C], ao longo de sua historia de carregamento.

Como base para o módulo central de cálculo, escolheu-se o programa

FEPARCS – Finite Element Program for Analysis of Reinforced Concrete

Structures (Elwi & Murray, 1980), desenvolvido na Universidade de Alberta,

Canadá, próprio a análise linear e não-linear de estruturas em concreto armado e

modificado de acordo com as necessidades deste trabalho. O programa original foi

escrito em Fortran 77, e compreende uma série de modelos constitutivos para

concreto, inclusive o modelo de Elwi & Murray (1979). Sua capacidade de

processamento e adaptação à implementação de novos procedimentos e modelos

já foi comprovada anteriormente em Nascimento (1996) e Simões (1998).

Para o desenvolvimento do pré e do pós-processador gráfico foi escolhida a

ferramenta de desenvolvimento Visual Basic 6.0, onde, através da programação

em Basic, pôde-se manipular objetos gráficos e aplicar todo desenvolvimento

gráfico cabível a este trabalho.

DBD


Introdução 21

Visando-se avaliar e validar o desempenho dos programas desenvolvidos

em todos os aspectos, processa-se a análise de vigas em concreto armado

reforçadas através da colagem de compósitos de fibra de carbono (CFRP),

retiradas dos estudos experimentais de Pinto (2002) e Araújo (2002), este último

desenvolvido no Laboratório de Estruturas e Materiais da PUC-Rio. Os resultados

numéricos e experimentais são comparados em termos de curva “carga x flecha”,

desenvolvimento e distribuição de fissuras, progressão das deformações e do

escoamento das armaduras e modo de ruptura.

1.3. Organização Deste Trabalho

O presente trabalho encontra-se organizado em seis capítulos. Dando

seqüência à introdução, no Capitulo 2 são apresentadas técnicas de reforço

estrutural em elementos de concreto armado, que podem ter seu desempenho e

comportamento avaliados através dos programas computacionais desenvolvidos

neste trabalho. Apresentam-se técnicas de reforço através da colagem de chapas

de aço, colagem de materiais compósitos, tais como fibra de carbono e fibra de

vidro, adição de estribos pré-tracionados e colagem de vergalhões. Na seqüência,

são apresentados estudos experimentais do reforço de vigas em concreto armado

através da colagem externa de compósitos em fibra de carbono, sendo estes dados

utilizados na validação dos programas desenvolvidos.

No Capitulo 3 discute-se o método dos elementos finitos aplicado a

problemas de natureza não-linear e toda implementação feita no programa

FEPARCS(Elwi e Murray, 1980). São descritos o modelo constitutivo para o

concreto armado com adição de reforços em qualquer etapa de análise do modelo,

a formulação do modelo hipoelástico de Elwi & Murray (1979) para o concreto

simples, o critério de ruptura de Willam & Warnke (1974) com cinco parâmetros,

e o modelo elasto-plástico de Elwi & Hrudley (1989), que foi modificado para

poder ser utilizado na simulação do reforço inicial, versão original, e no reforço

durante o cálculo. São apresentadas as estratégias empregadas na solução das

equações não-lineares de equilíbrio, o Método de Newton-Raphson e o Método

do Comprimento de Arco e os critérios de convergência associados a elas são

apresentados.

DBD


Introdução 22

No Capitulo 4 são discutidos os conceitos de programação e computação

gráfica utilizados no desenvolvimento dos programas de pré e pós-processamento

gráfico desenvolvidos. Por fim, o programa PREPOS é apresentado mostrando-se

o seu funcionamento e todos os procedimentos de geração, cálculo, reforço e

análise do modelo a ser estudado.

No Capitulo 5 algumas vigas estudadas em trabalhos experimentais são

modeladas e analisadas pelo programa desenvolvido. A validação do referido

programa é feita pela comparação entre os resultados numéricos e os resultados

experimentais.

No Capitulo 6 são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos

futuros.

DBD


2.Reforço Externo à Flexão deElementos Estruturais em Concreto Armado

2.1. Introdução

Neste capitulo discutem-se diversos aspectos do reforço de elementos

estruturais em concreto armado. São analisados os fatores que geram a

necessidade de reforço, diversas técnicas e materiais que podem ser utilizados, e

são descritos alguns estudos realizados sobre comportamento de vigas reforçadas

à flexão.

2.2. Utilização de Reforços Estruturais

A necessidade de intervenção surge quando determinado elemento estrutural

ou a estrutura como um todo, não é mais capaz de resistir aos esforços provocados

por ações externas, cabendo ao especialista em recuperação de estruturas fazer

uma avaliação econômica para escolher entre abandonar a estrutura, demoli-la ou

recuperá-la. O reforço também pode ser utilizado quando há necessidade de

aumentar a carga atuante devido a modificações em seu regime de utilização, ou

através do aumento de solicitações, ou por alterações em sua geometria.

2.2.1. Problemas Estruturais

Os problemas estruturais podem se manifestar de diversas formas e podem

ser atribuídos a erros de origem humana, à deterioração dos materiais e aos

acidentes.

Os erros humanos podem ser identificados em vários estágios da concepção

de um empreendimento, e geralmente a ruína de elementos estruturais ocorre pela

combinação de falhas nas diversas fases. Estas falhas podem ser devidas à falta

de qualidade técnica na execução, seleção inadequada dos materiais, projetos e

detalhes incompletos, modelos de cálculo incorretos, erro na avaliação do

carregamento e instalações não previstas.

DBD


Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 24

A deterioração dos materiais pode ser atribuída ao envelhecimento natural,

aos ataques químicos (cloretos, sais, ácidos e sulfatos) e biológicos (raízes, fungos

e esgotos), a má utilização e à falta de manutenção necessária nas estruturas.

Quanto aos acidentes, eles podem ser de origem humana (explosões,

incêndios, choques, aterros, dragagem, etc.) ou natural (cheias, sismos, etc.).

2.2.2. Mudanças na Utilização Definida em Projeto

Atualmente há um acelerado processo de globalização, onde não é muito

difícil observar empresas mudando de sede, alterando o layout de escritórios e

fábricas, adequando empreendimentos já existentes às suas necessidades. Em

paralelo, as cidades crescem em um ritmo acelerado, superando previsões,

aumentando a necessidade de ruas mais largas e conseqüentemente pontes, túneis

e viadutos mais largos.

Dentro das ocorrências mencionadas acima, entre outras, a necessidade de

alterar e reforçar estruturas de concreto armado já faz parte do dia a dia do

engenheiro estrutural.

2.3. Técnicas de Reparo e Reforço

As técnicas de reparo podem ser divididas em reparos superficiais e reparos

estruturais, objetivando-se o restabelecimento das condições originais, físicas e

estruturais, do elemento ou da estrutura. O processo de reforço consiste em

aumentar a capacidade resistente frente a novos esforços atuantes no elemento, ou

estrutura a ser reforçada.

Para a execução de reparos e reforços deve-se seguir alguns procedimentos:

• Diagnosticar o problema e tomar as medidas emergenciais

necessárias;

• Analisar a viabilidade do projeto;

• Investigar o estado da estrutura com o auxílio de ensaios não

destrutivos, considerando sua rigidez e redistribuição de cargas;

• Selecionar o material e a melhor técnica a ser utilizada;

• Elaboração do projeto detalhado;

• Executar o projeto com um rigoroso controle de qualidade.

DBD



Os materiais utilizados devem possuir características especiais, tais como:

• Maior durabilidade;

• Baixa permeabilidade;

• Boa resistência estrutural;

• Boa aderência ao concreto e ao aço;

• Baixa retração;

• Boa trabalhabilidade;

• Fácil aplicação;

• Propriedades compatíveis com o concreto e o aço, com objetivo

de garantir a eficiência do processo de reparo e/ou reforço.

O reforço de elementos de concreto armado pela adição de armaduras

exteriores (chapas de aço coladas com resina de epóxi ou perfis metálicos) é uma

técnica adequada nos casos onde há deficiência nas armaduras existentes, sem

haver deficiência nas dimensões dos elementos estruturais ou na qualidade do

concreto. Outra alternativa a estes sistemas é a adição de compósitos armados com

fibras de carbono (ou de vidro), que são comercializados sob diversas formas,

sendo os mais comuns os laminados pré-fabricados, os tecidos bidirecionais e as

lâminas flexíveis unidirecionais impregnadas.

Estes compósitos são utilizados mais freqüentemente como elementos de

reforço de estruturas de concreto armado, com o objetivo de aumentar a

ductilidade e a resistência de pilares de pontes e viadutos (por confinamento

passivo), e de aumentar a capacidade resistente à flexão e ao cortante de vigas e

lajes. Este processo requer cuidado na escolha do sistema de ancoragem do

compósito, assim como a análise de tensões na ligação entre o compósito e o

substrato de concreto.

A seguir, são apresentadas algumas técnicas de reforço que podem ser

relacionadas ao desenvolvimento deste trabalho.

2.3.1. Adição de Chapas de Aço

Trata-se de uma técnica utilizada no reforço à flexão e/ou ao cisalhamento

de estruturas de concreto armado, consistindo na colagem de chapas metálicas na

superfície de concreto através de um adesivo epóxico. Sua aceitação em grande

parte se deve ao fato de ser um sistema de execução simples, não gerar grandes

DBD



alterações geométricas na estrutura e possibilitar rápida reentrada em serviço da

estrutura.

A superfície de concreto onde a chapa será colada deve ser escareada e

limpa, retirando-se a camada superficial e pedaços soltos de concreto. A superfície

da chapa de aço deve ser esmerilhada, para aumento da aderência e retirada de

escaras e oxidação. Devem também ser removidos os óleos e a gordura. Após o

tratamento das superfícies de contato, é feita a aplicação homogênea do adesivo

na chapa de aço e no concreto.

O adesivo tem como função transmitir os esforços atuantes na estrutura para

a chapa de aço. O sucesso de sua aplicação depende de sua qualidade, da

preparação das superfícies do concreto, da chapa e de sua cura.

Após a colagem e durante a cura da resina, é necessário aplicar uma pressão

leve e constante na chapa contra o concreto, somente desta forma é garantida a

perfeita ligação entre adesivo, chapa e concreto.

Figura 2. 1 – Uso de chapas coladas para reforço ao cisalhamento e à flexão.

O CEB (1983) recomenda alguns cuidados para que se obtenha resultados

confiáveis, como:

• Perfeita aderência entre a superfície de concreto, o adesivo

epóxico e a chapa, com tratamentos superficiais especiais para

o concreto e para a chapa de aço;

• A espessura máxima da camada aplicada do adesivo epóxico

igual a 1,5 mm;

• A espessura da chapa não deve ser maior que 3,0 mm, quando

não se utilizar dispositivos especiais de ancoragem nas

extremidades, tais como chumbadores químicos ou de

expansão;

DBD



• Manter uma pressão leve e uniforme na colagem da chapa de

aço contra a superfície de concreto, de acordo com tempo

especificado pelo fabricante do adesivo para inicio de cura e

aderência inicial (mínimo de 24 horas);

• Proteção do reforço contra mudanças de temperatura e, em

especial contra o fogo.

Quando as chapas forem coladas com o objetivo de reforço à flexão, deve-se

prever uma largura de chapa um pouco menor que a largura da viga, cobrindo as

extremidades com adesivo para evitar a penetração de água. Se a chapa necessitar

de um comprimento de ancoragem superior ao espaço físico disponível na

estrutura, deverá ser previsto o encamisamento do pilar junto à viga com chapas

soldadas, ou utilizar estribos pré-tracionados nas extremidades, estes podendo ser

em barras rosqueadas de aço ASTM A36.

Quando as chapas forem coladas com o objetivo de reforço ao cisalhamento,

para garantir o aproveitamento da chapa de aço, deve-se prever o uso de

chumbadores, pelo menos nas extremidades da chapa, pois há grande tendência de

descolamento nesta região devido à concentração de tensões. Além de evitar o

descolamento por excesso de esforço na cola, os chumbadores servem para a

fixação dos estribos externos de chapa durante o período de cura, e se acontecer a

ruptura, esta se dará de forma mais dúctil.

As principais desvantagens relacionadas a esta técnica de reforço são:

• Baixa resistência da chapa ao fogo. É necessário fazer a

proteção por meio de um revestimento isolante (Vermiculita

por exemplo);

• Impossibilidade de detectar a corrosão na face oculta da chapa

ou de visualizar fissuras na região sob a chapa colada;

• Tendência de descolamento dos bordos da chapa devido à

concentração de tensões.

2.3.2. Adição de Compósitos de Fibras

O reforço de elementos estruturais em concreto armado por colagem de

compósitos armados com fibras constitui um método muito simples e de rápida

DBD



execução, que em decorrência do seu peso reduzido e do processo de aplicação

pode, eventualmente, dispensar a utilização de escoramento.

Para a analise mecânica do compósito é necessário o conhecimento do

arranjo estrutural das fibras, de sua natureza, forma física e da interação entre as

fibras e os componentes da matriz. Independente da concepção física do

compósito, as fibras, com altíssima resistência e elevada rigidez, têm a função de

resistir aos esforços gerados no sistema, cabendo aos componentes da matriz,

geralmente composto por uma resina epóxica, envolver e transmitir esforços

tangenciais entre as fibras. Como materiais utilizados em sua forma fibrosa para

confecção de compósitos de reforço, pode-se citar o carbono, o vidro, o boro, a

sílica, fibras de Kevlar ou aramida e Pet fibras.

Figura 2. 2 – Diagrama “tensão x deformação” de diversos tipos de fibras

(Master Builders Technologies)

A Figura 2.2 mostra que a relação “tensão x deformação” para diversos

tipos de fibra tem um comportamento elástico-linear, apresentando ruptura frágil.

Este comportamento se repete em grande parte dos compósitos que utilizam estas

fibras.

Os compósitos de fibra de carbono combinam filamentos de fibras de

carbono imersos em uma matriz de resina epóxi, possuindo comportamento

elástico-linear e o módulo de elasticidade variando entre 100 GPa e 300 GPa. A

resina epóxica que forma a matriz do compósito tem a função de envolver e

DBD



proteger as fibras de agressões ambientais e aglutiná-las, permitindo a

transferência de forças entre estas. A contribuição da resina à resistência à tração é

muito pequena.

Figura 2. 3 – Diagrama “tensão x deformação” de compósitos de fibra de carbono

comercializados pela Sika e por Master Builders Tecnologies, respectivamente.

As fibras de carbono se destacam das demais fibras (aramida, vidro) devido

à sua resistência à corrosão, resistência a ataques químicos em geral, ótimo

comportamento quanto à fadiga sob atuação de cargas cíclicas, leveza, alta rigidez

e estabilidade térmica e reológica.

Existem atualmente no mercado compósitos de fibra de carbono em três

formas diferentes:

Ø Chapas poliméricas reforçadas com fibra de carbono, que podem

ser coladas para reforço de elementos estruturais em geral;

Ø Tecidos em fibra de carbono, pré-impregnados para colagem em

elementos estruturais através de resinas epoxídicas;

Ø Folhas flexíveis unidirecionais para colagem sobre o concreto,

que podem ser utilizadas como elemento confinante.

Com objetivo de garantir uma aderência compatível do reforço utilizando

compósito de fibra de carbono colado à superfície de elementos estruturais em

concreto, a superfície de colagem na peça de concreto deve ser preparada antes de

receber o compósito, devendo ser escareada e limpa, estando livre de qualquer

DBD



impureza. Sendo o compósito na forma de lâmina, este também deve ser limpo e

só então aplicado o adesivo na superfície do concreto e na lâmina. No caso da

utilização de tecido, o procedimento segue uma seqüência de escareamento e

limpeza da superfície, aplicação de argamassa para reparo quando necessária,

aplicação de resina de imprimação, massa epoxídica e resina epoxídica, sendo esta

última responsável pela aderência da argamassa ao tecido de fibra de carbono. O

tempo de cura e o procedimento de colagem variam de acordo com o fabricante

do adesivo e/ou do sistema utilizado.

Figura 2. 4 – Reforço à flexão e ao cisalhamento utilizando lâminas de fibras de carbono.

A ruptura de vigas reforçadas com compósitos de fibra de carbono, como

mencionado, se dá de maneira frágil, podendo ocorrer por destacamento da

camada de cobrimento do concreto, descolamento do compósito ou ruptura do

compósito. Adicionar sistemas de ancoragem nas extremidades dos elementos de

reforço pode ser útil para evitar a falha do elemento estrutural por destacamento,

contribuindo para o aumento da ductilidade da viga reforçada.

Algumas vantagens do reforço com adição de compósitos de fibras de

carbono são relacionadas abaixo:

• Rapidez na execução, devido ao baixo peso e simplicidade de

aplicação;

• Espessura reduzida e comprimento qualquer;

• Alta resistência química a ácidos e bases;

• Resistente à corrosão;

• O sistema é flexível, adaptando-se com facilidade a diversas

formas.

E como desvantagens:

• Alto custo do compósito;

• Necessidade de superfícies regulares para sua aplicação;

DBD



• Ruptura frágil;

• A impossibilidade de visualizar fissuras sob o reforço;

• Tendência de descolamento dos bordos devido à concentração

de tensões;

• O coeficiente de dilatação térmica não é igual ao do concreto;

• Precisa de proteção contra incêndio e radiação ultravioleta.

De acordo com Pinto (2000), o dimensionamento do reforço com

compósitos de fibra de carbono e fibra de vidro pode ser feito utilizando-se as

mesmas regras aplicadas ao caso das chapas coladas, sendo fundamental a

caracterização mecânica (relação “tensão x deformação”) do compósito

efetivamente aplicado no local, e o estabelecimento do limite de deformação a

considerar, tanto no estado limite último como em serviço.

2.3.3. Técnica de Estribos Externos Pré-Tracionados

A técnica consiste no uso de um sistema mecânico composto por barras de

aço rosqueadas, para os estribos isolados, cantoneiras, arruelas e porcas para

fixação. A aplicação da pré-tração deve ser feita por meio de torquímetro, e serve

para compatibilizar o reforço aos níveis de tensão e deformação atuantes na

estrutura, evitando-se perdas por acomodação e deslocamento inicial das peças

que compõe o reforço. No caso de elementos estruturais em concreto armado

danificados em serviço pela insuficiência de estribos, a aplicação da pré-tração

nas barras coloca o sistema imediatamente em ação, compatibilizando o conjunto

com as ações externas atuantes.

Figura 2. 5 – Viga reforçada ao cisalhamento com o uso de estribos externos pré-tracionados

Por ser uma técnica de fácil execução e manutenção, consistindo-se em um

sistema simples e de baixo custo, é indicada sempre que se busca o aumento de

DBD



resistência ao cisalhamento de peças previamente carregadas ou não, e o controle

de aberturas das fissuras existentes, reduzindo rapidamente as deformações das

armaduras internas das peças reforçadas.

2.3.4 Técnica de Vergalhões Colados

A técnica consiste na execução de sulcos na região a ser reforçada, onde os

estribos e/ou armadura longitudinal são colados com resina epóxica, após uma

adequada limpeza do substrato. Esta técnica é utilizada para o reforço ao

cisalhamento e à flexão de vigas de concreto armado com ou sem carregamento

prévio. Ela é mais eficiente ao cisalhamento quando a colagem é feita utilizando-

se a laje como ancoragem final dos estribos de reforço.

Figura 2. 6 – Viga reforçada à flexão e cisalhamento com o uso de vergalhões colados

Trata-se de uma técnica econômica, na qual os estribos ou armaduras

longitudinais podem ser provenientes de sobras de obras, contudo é trabalhosa e

diretamente dependente da mão-de-obra que vai executá-la.

2.4. Propriedades dos Materiais Utilizados em Reforço

De acordo com as técnicas de reforço apresentadas, foi montado um quadro

onde estão listados alguns materiais utilizados, com suas respectivas

características físicas e mecânicas.

DBD



Tabela 2. 1 – Propriedades físicas de compósitos utilizados em reforço de estruturas.

PesoEspecífico

kN/m3

Limite deEscoamento

fyMPa

Resistência àRuptura

fuMPa

Módulo deElasticidade

GPa

Limite deDeformação

%

Fibra deVidro

(MBT*) GE-30 25,5 - > 1550 > 74 > 0,21

Tipo S 15 - > 2800 > 165 > 1,70

Tipo M 16 - > 2400 > 210 > 1,10

Compósitode FibraCarbono

(Sika)Tipo H 16 - > 1300 > 300 > 0,45

CF130 18,2 - > 3550 > 235 > 1,55Compósito

de FibraCarbono(MBT*) CF530 18,2 - > 3000 > 300 > 0,79

MR240 240 > 370 -

MR250 250 > 400 > 20,00Aço Chapas

AR345

77

345 > 450

205

>18,00

Aço Barras CA-50A 77 500 > 550 210 > 1,00

* - MBT – Master Builders Tecnologies.

2.5. Estudos Experimentais Sobre Técnicas de Reforço Externo

Neste item são apresentados estudos experimentais encontrados na

bibliografia sobre o reforço ao cisalhamento e à flexão de vigas de concreto

armado utilizando-se compósitos de fibras. Estes dados serão utilizados para

validação do programa computacional desenvolvido neste trabalho.

2.5.1. Estudo de Cerqueira (2000) e Pinto (2000)

Cerqueira (2000) estudou reforço ao cisalhamento e Pinto (2000) o reforço

à flexão. Todo o programa experimental foi desenvolvido e executado em

conjunto, e cada pesquisadora coletou e avaliou os dados pertinentes a seu

trabalho.

O programa experimental consistiu na confecção de cinco vigas

(V1,V2,V3,V4 e V5) em concreto armado com seção transversal retangular de 15

cm x 45 cm e vão de 450 cm. Elas foram simplesmente apoiadas, um apoio de 1°

DBD



e outro de 2° gênero, e carregadas com duas cargas concentradas aplicadas a 135

cm destes apoios.

Figura 2. 7 – Sistema estrutural, diagrama de esforço cortante e momento fletor de V1 a V5.

As vigas V1 e V3 possuíam taxas de armadura interna diferentes, mas sua

armadura longitudinal foi dimensionada para que atingisse a tensão de

escoamento antes da armadura de cisalhamento, e foram reforçadas somente à

flexão. As vigas V2 e V4 possuíam taxas de armadura interna idênticas, e sua

armadura transversal foi dimensionada para que atingisse a tensão de escoamento

antes da armadura de flexão, e foram reforçadas somente ao cortante. A viga V5

foi reforçada tanto ao cisalhamento quanto à flexão, sendo confeccionada com a

mesma taxa de armadura transversal interna das demais, porém, com a armadura

longitudinal interna dimensionada para escoar junto com a transversal.

O sistema de reforço foi formado pelo adesivo Sikadur 30 e lâmina Sika

Carbodur S 512. As três vigas foram reforçadas ao cisalhamento com lâminas

inclinadas a 45o e a 90o em relação ao eixo da viga, utilizando-se em algumas

sistema de ancoragem nas suas extremidades. Cada viga ensaiada foi

primeiramente submetida a dois ciclos de carregamento e depois reforçada (sob

carregamento constante), e então carregada até a ruptura. O comportamento das

vigas ensaiadas foi acompanhado por meio do monitoramento das flechas e das

deformações da armadura interna, das lâminas de reforço e do concreto.

1 7 .5 1 2 7 .5 1 3 0 .0 1 2 7 .5 1 7 .5 1 5 .0 1 5 .0

D . E . C

D . M . F .

P

- P

1 3 5 0 P

1 5 .0

4 5 .0

A

A

S e ç ã o A - A

P P

D i m e n s õ e s e m

c m

DBD



A seguir são apresentadas as características dos materiais utilizados no estudo

experimental relativas à análise numérica efetuada no Capítulo 5.

Tabela 2. 2 – Resistência média à compressão e à tração do concreto (NBR5739 e NBR7222).

Vigaft,ind

(MPa)fc

(MPa)

V1 3,63 34,8

As barras de aço utilizadas nas vigas foram de CA-50 ou CA-60. As da

armadura transversal tinham diâmetro de 5,0 mm, 6,3 mm e 8,0 mm, as da

armadura longitudinal de tração 16,0 mm, e as da armadura longitudinal de

compressão 8,0 mm.

Tabela 2. 3 – Características das barras de aço utilizadas.

φ

(mm)

φef

(mm)fy

(MPa)fst

(MPa)εy *(‰)

εy

(‰)Es

GPa

Viga V1e V3

5,0 4,7 688 750 3,6 5,8 191

6,3 6,3 575 730 2,9 4,8 205

8,0 7,9 590 785 3,0 5,0 200

16,0 15,8 630 730 3,3 3,3 191φ e φef - diâmetro nominal e efetivo das barras de açoεy* - deformação de escoamento correspondente ao diagrama tensão-deformação bilinear.** Viga V4.

O adesivo SIKADUR-30 foi utilizado para colagem do reforço de lâminas

Sika Carbodur, e segundo o fabricante apresenta as resistências mecânicas

aproximadas (aos 10 dias e 15oC):mostradas na tabela 2.4.

Tabela 2. 4 – Características do adesivo epóxico utilizado.

TensãoMassaEspecífica Compressão Flexotração Cisalhamento Aderência

Modulo deElasticidade

Kg/l MPa MPa MPa MPa Gpa1.77 95 28 15 4 12,8

Foram utilizadas para o reforço de todas as vigas as lâminas de fibra de

carbono em matriz de epóxi Sika Carbodur S tipo S512. De acordo com o

fabricante elas possuem no máximo 68% de conteúdo de fibras no volume e

resistem à temperatura de no máximo 150oC. As outras propriedades fornecidas

constam da tabela 2.5.

DBD



Tabela 2. 5 – Características do compósito de fibra de carbono utilizado.

PesoEspecífico

Tração mín.Tração méd.na ruptura

DeformaçãoEspecífica


Mínimo

Área deSeção

transversal g/cm3 GPa GPa ‰ GPa mm2

1,5 2,4 3,1 >17 165 60

Figura 2. 8 – Diagrama de “tensão x deformação” da Lâmina Sika Carbodur tipo S utilizada.

As vigas foram armadas de acordo com o desenho mostrado na Figura 2.9.

Figura 2. 9 – Detalhamento da armadura interna da viga V1.

De acordo com o estudo apresentado em Pinto e Cerqueira (2000), a

previsão teórica para o comportamento da viga sem reforço é apresentada na

Tabela 2.6.

Tabela 2. 6 – Resistência à flexão teórica das vigas sem reforço.

Vig

a As(mm2)

As’(mm2)

d’(mm)

D(mm)

MR(kN m)

MR*(kN m)

Pu(kN)

Pu*(kN)

NBR-6118/80

V1 603 101 27 420 147 119 108,6 87,9

Software utilizado por Pinto e Cerqueira (2002)V1 603 101 27 420 146 118 108,1 87,4

* Adotando-se valores nominais: εy=2,5‰ e fy=500 MPa.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Deformação (E-3)

Ten

são

(M

Pa)

Fabricante [15]

Ensaio

Módulo de Elasticidade (fabricante) = 165 GPaMódulo de Elasticidade (ensaio) = 164 GPa

1 N 5 Ø 1 6 m m 2 N 6 Ø 1 6 m m

2 N 3 Ø 8 m m

1 2 0

4 2 0 6 0 1 2 0

N 1 - 48

Ø 5 m m - 1 2 0 0 m m

6 0

c o r t e A - A

45 N 4

Ø 8 , 0 m m c . 1 0 0 m m

N 6 - 2 Ø 1 6 m m

- 5 1 5 0 m m

N 7 - 1 - Ø 1 6 m m

- 4 4 7 0 m m

N 3 - 2 Ø 8 m m

- 4 4 7 0 m m

A

A

B

B

A

A

4 3 3 0

3 0 0 3 0 0

DBD



A resistência ao cortante, VR, de uma viga com estribos pode ser

considerada igual à soma do cortante resistido pelo “concreto”, Vc, e o cortante

resistido pelos estribos, Vsw.

Tabela 2. 7 – Resistência ao cortante teórica VR.

VR* VR**VigaVc

1+Vsw Vc2+Vsw Vc

1+Vsw** Vc2+Vsw**

V1 285 308 255 2781 NBR6118/80 *calculado com valores experimentais2 NBR6118/2000 **calculado com valores nominais

A seguir é apresentada a Tabela 2.8. com a quantidade de material de

reforço utilizado e a descrição da colagem deste na viga.

Tabela 2. 8 – Reforço utilizado nas vigas

Viga Material ReforçoV1 Sika Carbodur S-512

Bf=50mm; ef=1.2mmDuas lâminas de fibra de carbono coladas na facetracionada da viga (Figura 2.10)

A seguir são mostrados na Figura 2.10. os desenhos detalhados para

execução do reforço na viga do experimento e analisada no Capitulo 5.

Figura 2. 10 – Reforço da viga V1.

O acompanhamento do comportamento estrutural da viga durante o ensaio

foi feito com auxílio de medições realizadas com extensômetros mecânicos,

elétricos e deflectômetros.

Os deflectômetros foram posicionados na parte inferior da viga, sob o ponto

de aplicação das cargas.

2 7, ,5 1 3 0 ,0 1 3 5 ,0 1 3 5 ,0

3 . 8 0 ,0

P P

2 7 ,5

D i m e n s õ e s e m

c m R e f o r ç o d e f l e x ã o

( 2 l â m i n a s )

DBD



Figura 2. 11 – Posição em que foram medidas deformações nas armaduras internas das vigas.

Figura 2. 12 – Posição em que foram medidas deformações nas lâminas do reforço das vigas.

No primeiro ensaio as vigas foram submetidas a dois ciclos de carregamento

para depois serem reforçadas.

No primeiro ciclo o carregamento variou de 0 kN, com incrementos de 10

kN, até a carga de 70 kN, no segundo ciclo de carregamento a carga variou de 0

kN até 60 kN, com incrementos de 20 kN. No fim deste ciclo de carregamento as

vigas foram atirantadas a uma placa de reação, onde procurou-se atingir uma

carga constante de aproximadamente 40 kN.

De acordo com Pinto (2000) a Tabela 2.9 apresenta os valores de tensão e

deformação nas lâminas de reforço à flexão.

Tabela 2. 9 – Resistência à flexão teórica das vigas reforçadas.

Viga fcMPa

Asmm2

As’mm2

fyMPa

Afmm2

dfmm

EfGPa

ε’s%O

εc,r%O

εs,r%O

εs%O

εf%O

UmKN.m

PukN

V1 34,8 603 100,5 630 120 450,6 165 2,77 2,75 6,20 7,90 6,86 195,5 144,8Os valores desta tabela são baseados na tensão de escoamento experimental do aço (εy e fy dos ensaios do aço)e εc=3,5%O

O valor da tensão máxima de cisalhamento entre a fibra e o concreto deve

ser verificada para previsão de descolamento da fibra.

Tabela 2.10 – Tensão cisalhante longitudinal.

Vigabf

mm

ef

mm

Ef

GPa

εf

%O

σf

MPa

ftm

MPa

τff

MPa

τlim

MPa

V1 50 1,2 165 6,86 1131,9 3,63 1,15 1,14

3 2 1 6 4 5

1 2 3

V 1,V3 e V5

V 2 , V 4 e V 5 V 2 , V 4 e V 5

DBD



Pode-se notar que existiu uma previsão teórica de ruptura simultânea por

flexão e descolamento da fibra para a viga V1.

A Tabela 2.11 apresenta as cargas últimas teóricas calculadas com valores

experimentais de fy e fyw , e as cargas de ruptura alcançadas nos ensaios.

Tabela 2.11 – Valores de carga e modo de ruptura das vigas.

Carga última teórica(kN)

Antes do reforço Depois do reforço

Carga

última exp.

(kN)

CortanteCortante lâminas

verticaislâminas

inclinadas

Vig

a

Flex

ão

(1) (2)

Flex

ão

(1) (2) (1) (2)

Cor

tant

e

Flex

ão

Modo de ruptura

Experimental

V1 109 285 308 145 - - - - - 140 Descolamento e

destacamento da lâmina(1) Vc da NBR6118/80 [20](2) Vc da NBR6118/2000 [22]

2.5.2. Estudo de Araújo (2002)

O programa experimental consistiu na confecção de sete vigas

(VR,V1,V2,V3,V4,V5 e V6) em concreto armado com seção transversal

retangular de 15 cm x 30 cm e comprimento de 400 cm. Elas foram simplesmente

apoiadas, um apoio de 1° e outro de 2° gênero, com um vão em balanço e

carregadas com uma carga no centro do vão bi-apoiado e outra no extremo do

balanço.

Todas as vigas possuem taxas de armadura transversal e longitudinal

idênticas, mas sua armadura longitudinal foi dimensionada para que atingisse a

tensão de escoamento antes da armadura de cisalhamento, e foram reforçadas

somente à flexão. Neste caso, o objetivo do estudo seria avaliar o comportamento

e o desempenho de vigas de concreto armado com vão em balanço e reforçadas à

flexão com tecidos de fibra de carbono, através da medição de flecha, deformação

do concreto, deformação das armaduras internas e de reforço, e obtenção da carga

de ruptura para as vigas reforçadas de modo a avaliar-se a ductilidade das

mesmas.

A programação inicial para execução dos reforços era de que V1, V2 e V3

fossem igualmente reforçadas com a colagem de uma camada de tecido em fibra

DBD



de carbono na face inferior, entre os apoios, e na face superior, na região do

balanço. O tipo de ruptura esperado seria por descolamento das fibras.

Porém, com a realização dos ensaios das vigas V1, V2 e V3 a ruptura na três

vigas aconteceu na região de momento negativo, por flexão e no compósito de

fibra de carbono. Este comportamento, diferente do esperado, alterou a

programação original para as vigas V4, V5 e V6, que seriam reforçadas nas

extremidades para combater o descolamento do compósito.

Desta maneira, julgou-se interessante estudar as vigas V4, V5 e V6,

reforçadas à flexão com uma camada de tecido com as mesmas dimensões que a

utilizada nas vigas V1, V2 e V3 para a região de momento positivo e com o dobro

da largura do tecido para a região de balanço, ou seja, o dobro da armadura de

reforço, e, esperando-se que a ruptura ocorresse na região de momento máximo

positivo ou por descolamento do tecido do substrato.

Figura 2. 13 – Sistema estrutural, diagrama de esforço cortante e momento fletor de V1 a V6.

A primeira viga ensaiada, VR, foi utilizada como viga de referência para

possibilitar as comparações de incremento de resistência e rigidez após o reforço.

A viga rompeu à flexão na região de momento máximo negativo.

O ensaio da viga de referência foi realizado em uma única etapa já que não

seria realizado nenhum tipo de reforço. Para as demais vigas o ensaio foi realizado

DBD



em duas etapas, uma vez que existia uma preocupação em simular uma situação

mais próxima da real. Assim, as vigas foram pré-ensaiadas, reforçadas sob

carregamento teoricamente constante e posteriormente levadas à ruptura.

Desenvolveu-se então um sistema de manutenção de carga com o objetivo de

conservar o carregamento aplicado durante o tempo necessário para aplicação e

cura do reforço.

São apresentadas na Tabela 2.12 as características dos materiais utilizados

no estudo experimental.

Tabela 2. 12 – Resistência média à compressão do concreto de acordo com NBR5739 e NBR7222.

Ensaio da viga Idade(dias)

Quantidade decorpos-de-

prova

fc(MPa)

VR 35 5 26,1V3 94 4 29,0V5 120 4 29,1V7 134 4 29,2

As barras de aço utilizadas nas vigas foram de CA-50 e CA-60. A da

armadura transversal tem diâmetro de 6,3 mm, a armadura longitudinal de tração

12,5 mm, e a da armadura longitudinal de compressão 5,0 mm (Tabela 2.13).

Tabela 2. 13 – Características das barras de aço utilizadas.φ

(mm)

fy(MPa)

fst(MPa)

εy *(‰)

εy(‰)

EsGPa

Viga VR e V1 a V66,3 550 800 5,0 5,0 -

12,5 635 680 7,0 7,0 -φ - diâmetro nominalεy* - deformação de escoamento correspondente ao diagrama tensão-deformação bilinear.

Para o reforço das vigas utilizou-se tecido de fibra de carbono do tipo

CF130 com as propriedades apresentadas na Tabela 2.14.

Tabela 2. 14 – Características do compósito de fibra de carbono utilizado.

Tração min.DeformaçãoEspecífica


Mínimo

Área deSeção

transversal

Largura dotecido

Espessura dotecido

Gpa ‰ Gpa mm2 mm mm3,55 >15,5 235 82,5 50 0,165

O comportamento “tensão x deformação” do tecido de fibra de carbono foi

admitido elástico-linear, de acordo com os dados fornecidos pelo fabricante.

As vigas VR e V1 a V6 foram armadas de acordo com o desenho mostradona figura 2.14.

DBD



Figura 2. 14 – Detalhamento da armadura interna das vigas VR e V1 a V6

A previsão teórica para o comportamento das vigas sem reforço é

apresentada na tabela 2.15.

Tabela 2. 15 – Resistência teórica à flexão e ao cortante das vigas sem reforço.

Nos dimensionamentos à flexão e ao cortante, foram utilizados os valores

nominais e os valores reais encontrados nos ensaios dos corpos-de-prova do

concreto e do aço. A armadura longitudinal composta de três barras de 12,5 mm,

armadura transversal com barras de 6,3 mm, e concreto com ckf igual a 20 MPa.

As vigas não foram armadas à compressão, e as barras com diâmetro de 5 mm têm

função de porta estribos.

A quantidade de material de reforço utilizado e a descrição da colagem deste

nas vigas é apresentado na Tabela 2.16.

Tabela 2. 16 – Reforço utilizado nas vigas.Viga Material ReforçoV1 aV3

Sika Carbodur S-512Bf = 50mm; ef = 1,65mm

Uma lâmina de tecido colada em cada face tracionadada viga (Figura 2.15)

V4 aV5

Sika Carbodur S-512Bf = 50mm; ef = 1,65mm

Duas lâminas de tecido coladas em cada facetracionada da viga (Figura 2.16)

As Figuras 2.15 e 2.16 detalham os reforços executados em cada uma das

vigas envolvidas no experimento.

39 φ 6.3 c/10 - 84

Resultados fc fy (φ = 6,3) fy (φ = 12,5) x z Mu P Vu asw

teóricos (MPa) (MPa) (MPa) (mm) (mm) (kN.m) (kN) (kN) (cm2/m)Valor nominal 20,0 500 500 116 91 49,63 152,71 76,36 5,58VR e V1 26,1 568 642 89 77 52,84 162,60 81,30 5,94V2 e V3 29,0 568 642 80 72 53,90 165,84 82,92 6,06V4 e V5 29,1 568 642 80 72 53,93 165,94 82,97 6,07

V6 29,2 568 642 79 72 53,96 166,04 83,02 6,07

DBD



Figura 2. 15 – Reforço da viga V1 a V3.

Figura 2. 16 – Reforço das vigas V4 a V6.

O acompanhamento do comportamento estrutural da viga durante o ensaio

foi feito com auxílio de medições realizadas com extensômetros elétricos e

deflectômetros, posicionados de acordo com as Figuras 2.17 e 2.18.

Os deflectômetros foram posicionados na parte inferior da viga, sob o ponto

de aplicação das cargas. A determinação das cargas aplicadas foi realizada através

de um transdutor com capacidade para 500 kN, e a leitura de aberturas de fissuras

em alguns estágios de carregamento foi obtida com a utilização de um

fissurômetro.

Figura 2. 17 – Posição para medição de deformações e deslocamentos das vigas VR, V1 e V4.

Corte AA' Corte BB' Corte CC'

A'

A

B'

B

C'

C

Corte AA' Corte BB' Corte CC'

A'

A

B'

B

C'

C

DBD



Figura 2. 18 – Posição para medição de deformações e deslocamentos das vigas V2, V3, V5 e V6.

Os ensaios das vigas, com exceção da viga VR, foram divididos em duas

etapas de carregamento:

1) Primeira etapa, consistindo na aplicação de uma carga máxima

entre 90 e 100 kN ou abertura de fissuras na faixa de 0,2 mm,

com travamento do elemento estrutural para aplicação do

reforço ao final da etapa;

2) Segunda etapa, consistindo no procedimento para aplicação do

reforço e retomada do carregamento em incrementos de 10 kN

até a ruptura.

Descreve-se a seqüência de carregamento correspondente a cada viga

ensaiada na Tabela 2.17.

Tabela 2. 17 – Seqüência para carregamento utilizado nos ensaios.

∆P PParada Pretorno Prupt

Viga Incremento decarga( kN )

Carga deparada p/reforço( kN )

Carga deretorno do

reforço( kN )

Carga deruptura( kN )

VR 10 - - 176V1 10 70 32 206V2 10 90 40 220V3 10 90 50 200V4 10 70 30 228V5 10 90 - 207V6 10 90 0,8 216

Nesta fase do experimento as vigas foram reforçadas à flexão, como descrito

anteriormente, e sua resistência teórica calculada para a nova situação de acordo

com metodologia proposta no trabalho.

Tabela 2. 18 – Resistência à flexão teórica das vigas reforçadas.Viga Mu sem reforço

( kN.m )Mu com reforço

( kN.m )Pteórico com reforço

( kN )V1 73.98 85,5 263,22

V2 e V3 75,46 88,26 271,57V4 e V5 75,50 88,34 271,62

V6 75,55 88,43 272,08

DBD



De acordo com Araújo (2002), as tabelas a seguir apresentam os valores

teóricos esperados no ensaio, o tipo de ruptura, fissuras máximas constatadas e a

carga real de ruptura verificada no ensaio.

Tabela 2. 19 – Carga de ruptura das vigas e maiores aberturas observadas.

Carga de ruptura (kN)

Reforço Viga Vão Balanço

kmáxw

(mm)kseçaow %

(mm)

Sem reforço VR ----- 176,22 0,80 0,80

vão = fA

balanço = fA

V1V2V3

---------------

206,15219,55200,52

1,201,301,00

1,200,300,50

vão = fA

balanço = 2 fA

V4V5V6

-----207,50216,79

227,97----------

1,101,000,90

1,100,200,20

Sendo kmáxw a abertura de fissura máxima encontrada na viga, e kseçaow % a

abertura de fissura na seção onde ocorreu a ruptura.

Tabela 2. 20 – Valores de carga e modo de ruptura das vigas ensaiadas.

Viga fy fc ff Tipo de Pexp Pteórico Pexp Variação (MPa) (MPa) (MPa) ruptura (kN) (kN) Pteórico (%)

positivo negativo

VR 0,00 0,00 642 26,10 - Flexão no balanço 175,77 162,60 1,081 8,10

V1 8,25 8,25 642 26,10 1788 Flexão no balanço 206,15 179,43 1,149 14,89V2 8,25 8,25 642 29,00 2051 Flexão no balanço 219,55 183,50 1,196 19,65V3 8,25 8,25 642 29,00 2051 Flexão no balanço 200,52 183,50 1,093 9,28

V4 8,25 16,50 642 29,10 2062 Flexão no balanço 227,97 183,68 1,241 24,11V5 8,25 16,50 642 29,10 2062 Flexão no vão 207,50 183,68 1,130 12,97V6 8,25 16,50 642 29,20 2071 Flexão no vão 215,46 183,84 1,172 17,20

Momento

Armadura

de reforço Af (mm2)

DBD


3. O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 3.1.

Introdução

Neste capitulo, faz-se uma breve apresentação do Método dos Elementos

Finitos e dos conceitos aplicáveis para elaboração e aplicação em análises não-

lineares. Discute-se a introdução de elementos de interpolação, o tratamento

necessário para consideração das características do concreto armado, estratégias

de solução adequadas a problemas de natureza não-linear e os critérios de

convergência necessários. Todos os conceitos apresentados neste capitulo, mesmo

que resumidamente, fazem parte da modificações implementadas no programa

FEPARCS e são de extrema importância para compreensão do trabalho

desenvolvido nos capítulos 4 e 5.

3.2.

Método dos Elementos Finitos

O método dos Elementos Finitos (MEF) é um processo numérico próprio da

era da informática, sendo muito utilizado para análise de problemas da mecânica e

engenharia em geral. No caso específico de estruturas de concreto armado, desde

a década de sessenta, com o trabalho pioneiro de Ngo & Scordelis (1967), essa

técnica tem sido uma importante ferramenta de análise.

O MEF, baseado no método de Rayleigh-Ritz, prevê a divisão do domínio

de integração, tornando o meio originalmente continuo em discreto através da

divisão em pequenas áreas denominadas Elementos Finitos.

Elemento

Meio

q(x)

Pn(q(x))P1(q(x))

base

altu

ra

Malha de Elementos

Nós

Figura 3. 1 – Divisão do domínio de integração em pequenas áreas denominadas Elementos Finitos.

DBD


O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 47

O número de divisões do domínio é diretamente proporcional à precisão e

aproximação do resultado obtido com a realidade do modelo, sendo esta divisão

do domínio chamada de malha de elementos finitos e as interseções de nós. Neste

caso, ao invés de se procurar uma função admissível para todo o modelo ou

domínio, as funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento

finito.

Para cada elemento i é associado um funcional Πi, que junto aos outros

elementos formam o funcional Π de todo o domínio:

∑=

Π=Πn

1ii , [3.1]

onde para cada elemento i, forma-se uma função aproximadora, v, através de

variáveis, aj referidas aos nós do elemento e por funções de forma φj. Sendo j o

número dos nós que compõe o elemento:

∑=

φ=m

1jjj.av [3.2]

Desta forma, o funcional passa a ser expresso por:

∑=

Π=Πn

1ijij )a()a( [3.3]

A condição de estacionaridade gera um sistema de equações algébricas

lineares, tal como:

∑ ∑∑ =∂

Π∂=Πδ=Πδ 0

a)a(

)a()a(j

jijij [3.4]

A solução do sistema de equações formado pela expressão anterior fornece

os valores dos parâmetros nodais aj, que podem ser deslocamentos, forças

internas, ou ambos, dependendo da formulação que se utiliza.

No caso de descrever-se o campo de deslocamentos por funções

aproximadoras e empregar-se o princípio da mínima energia potencial, as

incógnitas são as componentes dos deslocamentos nodais, e o processo é

denominado de método dos elementos finitos modelo dos deslocamentos, ou

método dos elementos finitos modelo da rigidez. Utilizando-se outra formulação,

pode-se descrever o campo de tensões ou esforços internos nodais por funções

aproximadoras e empregar-se o princípio da mínima energia complementar, as

incógnitas são tensões ou esforços internos nodais, e o método dos elementos

DBD



finitos é denominado de método dos elementos finitos modelo das forças, ou

método dos elementos finitos modelo da flexibilidade.

No presente trabalho e na análise empregada pelo programa FEPARCS, a

formulação do método dos elementos finitos utiliza a composição do campo de

deslocamentos através de funções aproximadoras, onde os deslocamentos são

tomados como variáveis independentes, típico em um problema de análise de

tensões.

3.2.1. Método dos Elementos Finitos – Modelo da Rigidez

Na mecânica, a solução dos sistemas estruturais pode ser baseada nas

parcelas referentes à energia de deformação e ao trabalho realizado, sempre em

função de ações externas implementadas ao sistema. Sendo assim, ao associar-se

um funcional Π a um domínio, na verdade associa-se um funcional, uma função

que depende de outra função, que representa a energia potencial total do sistema

analisado.

O funcional que representa a energia potencial total para uma solução

apropriada ao tipo Rayleigh-Ritz, é representado por:

Ω+=∏ UP , [3.5]

onde:

ΠP – energia potencial total do sistema;

U – energia de deformação da estrutura;

Ω – energia Potencial das ações externas ao sistema.

A energia de deformação da estrutura corresponde ao trabalho realizado em

função de tensão e, conseqüente deformação, no material que compõe os

elementos estruturais. Desta forma, pode-se definir um cubo infinitesimal de

material da estrutura, e obter:

zxzxyzyzxyxyzzyyxxo d.d.d.d.d.d.dU τ+τ+τ+εσ+εσ+εσ= , [3.6]

Que também pode ser representado por:

[ ] [ ] ooo EEU

σ+ε−ε=σ=ε∂

∂ . [3.7]

Sendo Uo a energia de deformação por unidade de volume, ε o vetor de

deformações, εο o vetor de deformações iniciais, [E] a matriz constitutiva e

DBD



σo o vetor de tensões iniciais, através do tratamento matemático adequado das

expressões anteriores, obtém-se:

[ ] [ ] ooTT

o EE21U σε+εε−εε= [3.8]

A energia de deformação da estrutura é calculada através da relação:

∫=V

odVUU [3.9]

onde dV é o volume infinitesimal de material da estrutura.

Substituindo a expressão [3.8] em [3.9], chega-se a expressão final para a

energia de deformação da estrutura:

[ ] [ ] ∫

σε+εε−εε=

Vo

TTT dVEE21U [3.10]

Utilizando-se os conceitos de discretização e interpolação por elementos

finitos para os graus de liberdade, tem-se:

[ ] LuNu = [3.11]

onde:

u - campo de deslocamentos dos nós;

[N] - funções de interpolação de deslocamentos para o tipo de

elemento finito utilizado;

uL - deslocamentos nodais do elemento.

Desta forma:

[ ]

[ ]

uxy

y

x

vu

xy

y0

0x

u

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

γεε

⇒∂=ε

∂

ε

[3.12]

que gera:

[ ]

[ ] u

n

n

1

1

Bx,ny,1x,1y,1

y,ny,1

x,nx,1

xy

y

x

L

vu...vu

NN...NNN0...N0

0N...0NuB

=

γεε

⇒=ε

ε

[3.13]

onde:

DBD



[ ] [ ] NB ∂= é a Matriz que relaciona deformações e deslocamentos, e [ ]∂ é a

matriz de operadores diferenciais, que gera através das expressões de

interpolação do elemento finito utilizado-se ∑=

=nós

1iii u.Nu e ∑

=

=nós

1iii v.Nv ,

demonstradas na seção seguinte.

O potencial correspondente às ações externas Ω, refere-se ao trabalho

realizado pelas forças concentradas e/ou momentos aplicados se a estrutura

recuperasse sua configuração original. Desta forma, tem-se:

extT

yx RuvFuF −=−−=Ω [3.14]

onde:

u – vetor de deslocamentos associados aos graus de liberdade

globais da estrutura;

Rext – vetor de forças externas nodais.

Substituindo-se a expressão [3.13] em [3.10], seu produto em [3.5], e,

também a expressão [3.14] em [3.5] obtém-se:

[ ] ∑=

−=∏nelem

1next

TnLn

TnLP Ruuku

21 [3.15]

onde:

uLn – vetor de deslocamentos nodais do elemento n;

[ ] [ ] [ ] [ ]nnTnn BCBk = – matriz de rigidez do elemento n.

Executando-se o somatório na expressão [3.15], obtém-se:

[ ] extTT

P RuuKu21

−=∏ [3.16]

onde,

[ ] [ ]∑=

=nelem

1nnkK [3.17]

sendo [K] a matriz rigidez global da estrutura.

Aplicando-se o princípio da energia potencial estacionária, mencionado

anteriormente, tem-se:

0P =∏δ que é o princípio da energia potencial estacionária,

utilizado em [3.16]:

[ ] 0RuuKu extTT =δ−δ [3.18]

DBD



De [3.15], obtém-se:

[ ] 0RuK ext =− [3.19]

que também pode ser escrito na forma:

0FRQ intext =−=∆ [3.20]

com [ ] uKFint = , sendo o vetor de forças internas ou equilibrantes, e,

∆Q é o vetor das forças desbalanceadas.

Solucionando-se o sistema representado pela expressão [3.19] obtém-se o

vetor de deslocamentos nodais u, com o qual pode-se calcular:

- As deformações implementadas [ ] LuB=ε ;

- As tensões decorrentes das deformações [ ] ε=σ E .

3.2.2. Elementos Finitos Bidimensionais Planos

Quando se deseja analisar o comportamento mecânico de uma estrutura

utilizando-se o método dos elementos finitos, é de extrema importância a escolha

adequada do campo de deslocamentos a ser empregado para definir o melhor tipo

de elemento finito a ser utilizado. Dentre as possibilidades podem ser citados

elementos bidimensionais com dois graus de liberdade por nó, elementos de casca

possuindo de três a nove graus de liberdade por nó e elementos não planos com

três graus de liberdade por nó.

Ao analisar-se pelo método dos elementos finitos uma placa de espessura

‘e’, composta por um determinado material, solicitada por forças externas Px e Py

atuando em seu plano médio, este pode ser discretizado por elementos de formas e

funções aproximadoras diferentes. Esta variação de elementos e sua adequação,

dependem da forma que se deseja dar a malha composta por estes.

Os elementos mais utilizados são os retangulares com quatro e oito nós e os

triangulares com três e seis nós, onde o sistema de coordenadas cartesianas é

Py

Py

PxP x

x

y

Plano médio

Placa de espessura ‘e’

Figura 3. 2 – Placa de espessura ‘e’ solicitada por forças externas atuando em seu plano médio.

DBD



convertido em um sistema de coordenadas naturais. A utilização de funções

baseadas em coordenadas naturais na construção de elementos finitos, compõe a

chamada formulação isoparamétrica.

De acordo com o elemento utilizado por esta versão do programa

FEPARCS, serão analisados apenas os elementos isoparamétricos retangulares

com quatro e oito nós.

Elemento Isoparamétrico Q4

O elemento Q4 é composto por quatro nós, situados nas arestas do

elemento, e define um campo retangular, ou quadrado, de interpolação linear, ou

seja, todos os valores intermediários aos atribuídos aos nós, terão sua posição

definida dentro do elemento através de funções intepoladoras do primeiro grau.

Os valores atribuídos a estes nós podem ser deslocamentos, tensões e

deformações, sendo utilizadas as mesmas funções de interpolação para todos os

casos.

Trabalhando-se com elementos bidimensionais e cada um dos nós possuindo

dois graus de liberdade, tem-se oito possibilidades de valores diferentes, sendo

então os deslocamentos u e v aproximados por polinômios completos do primeiro

grau em x e y:

u(x,y) = d1 + d2x + d3y + d4xy e v(x,y) = d5 + d6x + d7y + d8xy

As expressões acima podem ser colocadas em função de coordenadas

naturais ξ = x / a e η = y / b. Resolvendo as mesmas para: ξ = -1 e η = -1, ξ = +1 e

η = -1, ξ = +1 e η = +1 e ξ = -1 e η = +1, e, explicitando as funções

aproximadoras em relação aos deslocamentos nodais, com objetivo de:

η

ξ 4 3

1 2

ξ=−1 ξ=−1/2 ξ=+1/2 ξ=+1 η

η

η=+1/2

η=+1

η=−1/2

η=−1 1 2

3 4

x,u

y,v

Figura 3. 3 – a) Elem. isoparamétrico Q4 no espaço ξη; b) Elem. isoparamétrico Q4 no espaço xy

DBD



∑=

=4

1iii u.Nu e ∑

=

=4

1iii v.Nv ,

tem-se:

−

−=

hy1

lx1N1 → .coord.transf

−

−=

by1

ax1

41N1 →

=η=ξby;

ax

( )( )η−ξ−= 1141N1

lx

hy1N2

−= → .coord.transf

−

+=

by1

ax1

41N2 →

=η=ξby;

ax

( )( )η−ξ+= 1141N2

lhxyN3 = → .coord.transf

+

+=

by1

ax1

41N3 →

=η=ξby;

ax

( )( )η+ξ+= 1141N3

hy

lx1N4

−= → .coord.transf

+

−=

by1

ax1

41N4 →

=η=ξby;

ax

( )( )η+ξ−= 1141N4

Que compõe a matriz [ ]

=

4321

4321

N0N0N0N00N0N0N0N

N e

de acordo com o exposto no início desta seção:

=

4

4

1

1

4321

4321

vu...vu

N0N0N0N00N0N0N0N

vu

⇒

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

γεε

vu

xy

y0

0x

xy

y

x

⇒

DBD



⇒

=

γεε

4

4

1

1

x,4y,4x,3y,3x,2y,2x,1y,1

y,4y,3y,2x,1

x,4x,3x,2x,1

xy

y

x

vu...vu

NNNNNNNNN0N0N0N0

0N0N0N0N

Onde, introduzindo-se o conceito da matriz do Jacobiano [J]:

[ ]

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂

η∂∂

η∂∂

ξ∂∂

ξ∂∂

=

η∂∂ξ∂

∂

y

xJ

y

xyx

yx

Se | J | é o determinante do Jacobiano, tem-se um fator de escala de área

para o mapeamento que leva do espaço paramétrico para o espaço cartesiano.

Utilizando este conceito e de acordo com a expressão [3.15], obtém-se:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∫∫ ∫ ∫∫− −

ηξ===1

1

1

1

TT

V

T dd|J|.t.BEBdxdy.t.BEBdVBEBk

Onde [k] é a matriz de rigidez do elemento isoparamétrico Q4, e t é a

espessura da placa representada pelo elemento finito.

Elemento Isoparamétrico Q8

O elemento Q8 é composto por oito nós, sendo quatro situados nas arestas

do elemento e mais quatro em seus pontos médios, e define um campo retangular,

ou quadrado, de interpolação quadrática. Todos os valores intermediários aos

atribuídos aos nós, terão sua posição definida, dentro do elemento, através de

funções intepoladoras do segundo grau. Como no elemento Q4, os valores

atribuídos a estes nós podem ser deslocamentos, tensões e deformações, sendo

utilizadas as mesmas funções de interpolação para todos os casos.

DBD



η

ξ

4 3

1 2

x

y

5

6

7

8

ξ=−1 ξ=+1 η

η

η=+1

η=−1 1 2

3 4

x,u

y,v 5

6

7

8

Figura 3. 4 – a) Elem. isoparamétrico Q8 no espaço ξη; b) Elem. isoparamétrico Q8 no espaço xy.

Trabalhando-se com elementos bidimensionais e cada um dos nós possuindo

dois graus de liberdade, obtém-se dezesseis possibilidades de valores diferentes,

sendo então os deslocamentos u e v aproximados por polinômios do segundo grau

em x e y.

u(x,y) = d1 + d2x + d3y + d4x2 + d5xy + d6y2 + d7x2y + d8xy2

v(x,y) = d9 + d10x + d11y + d12x2 + d13xy + d14y2 + d15x2y + d16xy2

Fazendo as expressões acima em função de coordenadas naturais ξ = x / a e

η = y / b, resolvendo para: ξ = -1 e η = -1, ξ = +1 e η = -1, ξ = +1 e η = +1, ξ = -1

e η = +1, ξ = 0 e η = -1, ξ = +1 e η = 0, ξ = 0 e η = +1 e ξ = -1 e η = 0, e,

explicitando as funções aproximadoras em relação aos deslocamentos nodais, com

objetivo de:

∑=

=nós

1iii u.Nu e ∑

=

=nós

1iii v.Nv

obtém-se:

( )( ) ( )581 NN2111

41N +−η−ξ−= ( )( )η−ξ−= 11

21N 2

5

( )( ) ( )652 NN2111

41N +−η−ξ+= ( )( )2

6 1121N η−ξ+=

( )( ) ( )763 NN2111

41N +−η−ξ−= ( )( )η+ξ−= 11

21N 2

7

( )( ) ( )874 NN2111

41N ++η−ξ−= ( )( )2

8 1121N η−ξ−=

Sendo a formulação para montagem da matriz rigidez do elemento,

semelhante ao procedimento apresentado para o elemento isoparamétrico Q4.

DBD



3.2.3. Considerações Sobre o MEF e Não-Linearidade

A abordagem feita até a seção anterior descreve o Método dos Elementos

Finitos para um modelo de material isotrópico e de comportamento linear.

Contudo, implementando-se uma relação constitutiva não-linear entre as tensões e

as deformações, caso do concreto armado, o vetor das forças internas passa a

depender não linearmente do vetor de deslocamentos u, logo a equação ∆Q(u) =

Rext – Fint = 0, apresentada na seção 3.1.1, será não linear, tornando

necessária a implementação de uma solução incremental e iterativa

(Crisfield,1991).

Analisando estruturas de concreto armado, pode-se observar que as não-

linearidades a serem implementadas no método surgem, principalmente, através

de fissuração, esmagamento, perda de encaixe do agregado e escoamento do aço.

Apresentando um comportamento progressivo e vinculado ao carregamento

implementado na estrutura, é necessário que a solução seja obtida aplicando-se

incrementos de carga, para possibilitar uma boa aproximação do comportamento

real.

De acordo com o exposto anteriormente, constata-se a existência de dois

pontos fundamentais na análise de estruturas de concreto armado pelo método dos

elementos finitos:

1. Um modelo constitutivo capaz de descrever as não-linearidades do

concreto e do aço;

2. Um método eficiente para solução incremental e iterativa das

equações de equilíbrio.

Nas seções seguintes serão apresentados o modelo constitutivo referente ao

concreto armado e os tipos de solução incremental implementados no programa

FEPARCS.

3.3.

Modelos Adotados Originalmente

Na análise não-linear de estruturas em concreto armado por elementos

finitos é fundamental um modelo constitutivo capaz de representar as não-

linearidades do material de forma que o comportamento da formação e

DBD



propagação de fissuras, esmagamento e perda de encaixe de agregados sejam

descritos realisticamente ao longo da história de carregamento da estrutura.

3.3.1. Modelo Constitutivo Hipoelástico Para o Concreto Simples

De acordo com o modelo hipoelástico ortotrópico, originalmente

desenvolvido por Elwi & Murray (1979), define-se um modelo constitutivo para

concreto na forma de uma equação incremental “tensão x deformação”, sendo os

parâmetros dos materiais atualizados através de relações “tensão x deformação

uniaxial equivalente” introduzidas por Darwin & Pecknold (1977). Para simular e

descrever as características de resistência do concreto sob estados multiaxiais de

tensão e deformação, o modelo utiliza o conceito das superfícies de ruptura de

Willam & Warkne (1974) utilizando cinco parâmetros.

As principais características deste modelo são:

- O material é ortotrópico, com os eixos de ortrotopia seguindo os eixos

de deformações principais;

- Desacoplamento entre tensões normais e deformações cisalhantes;

- Dependência das tensões às trajetórias de equilíbrio;

- Reversibilidade incremental dos estados de tensão e de deformação.

3.3.1.1. Relação Constitutiva Incremental

As relações incrementais constitutivas são dadas por:

[ ] ε=σ dCd [3.21]

sendo dσ o vetor de tensões incrementais, dε o vetor de deformações

incrementais e [C] a matriz constitutiva incremental.

De acordo com Darwin & Pecnold (1977), para o estado plano de tensões, a

matriz constitutiva hipoelástica [C] é dada em função de seis constantes

independentes ( E1 , E2 , µ12 , µ13 , µ23 , G12 ), e assume a forma:

[ ]( ) ( ) ( )

( )

φµ−

µ+µµµ−

φ=

12

2132

123213212321

GSimétrico01E0.EE1E

1C [3.22]

onde:

DBD



µ212 = µ2

21 = ν12 ν21

µ223 = µ2

32 = ν23 ν32

µ213 = µ2

31 = ν13 ν31

φ = 1 - µ212 - µ2

23 - µ213 - 2 µ12 µ23 µ13

E1 e E2 são os módulos de elasticidade longitudinal de acordo com os eixos

principais de ortotropia, G12 é o módulo de elasticidade transversal do material

dado em relação aos eixos ortotrópicos 1 e 2, e νij são os coeficientes de Poisson

em relação aos eixos de ortotropia i e j.

3.3.1.2. Deformação Uniaxial Equivalente

Deve-se então incorporar o conceito de deformação uniaxial equivalente de

modo a tornar possível a derivação dos parâmetros correntes dos materiais em

função do nível de tensão corrente. Ou seja:

i

iiu dE

dd σ=ε , i = 1,2,3 [3.23]

sendo que dεie, corresponde fisicamente, ao incremento de deformação que o

material exibiria se submetido a um incremento de tensão dσi, com as outras

tensões iguais a zero.

Integrando a expressão anterior:

∫σ

=εi

iiu E

d , i = 1,2,3 [3.24]

sendo εiu a deformação uniaxial equivalente total, para as direções i, pela

integração da expressão [3.23] ao longo da trajetória de carregamento. O que pode

ser interpretado no modelo utilizado, que para um ponto qualquer do material faz-

se seguir e coincidir os eixos de ortotropia com os eixos das deformações

principais até a fissuração. Desta maneira, εiu não provê a história de deformação

em uma direção fixa i, mas na direção “continuamente modificada” do eixo de

ortotropia i ( Chen & Salleb, 1982 ).

DBD



Relação “Tensão x Deformação” Uniaxial Equivalente Para Compressão

A relação uniaxial “tensão x deformação” para a compressão implementada

no modelo desenvolvido por Elwi & Murray (1979), segue a relação de Saenz

(1964) que interpola os dados do concreto. Esta relação em termos de deformação

uniaxial equivalente assume a seguinte forma:

2

ic

iu

ic

iu

s

o

iuoi

2EE1

.E

εε

+εε

−+

ε=σ [3.25]

Sendo Eo o módulo de elasticidade inicial, Es o módulo de elasticidade

secante dado por:

ic

icsE

εσ

= [3.26]

onde, σic é a tensão máxima, associada a direção i, que ocorre para um estado

corrente de tensões principais, εic é a correspondente deformação uniaxial

equivalente.

O módulo de elasticidade incremental pode ser definido como:

εσ

=ddEi [3.27]

Efetuando-se a derivação, tem-se:

22

ic

iu

ic

iu

s

o

2

ic

iuo

i

2EE1

1E

E

εε

+εε

−+

εε

−

= [3.28]

A curva “tensão x deformação” uniaxial equivalente para a compressão é

descrita em termos de suas componentes no ponto crítico ( σcu , εcu ) que

corresponde a ( σic , εic ) e dos módulos de elasticidade inicial Eo e secante Es. A

análise de comportamento do material implementado no modelo pode se dividida

em três etapas:

Trecho de curva ascendente do gráfico, onde o material resiste

plenamente às ações introduzidas no sistema e deve ser considerado

intacto e praticamente elástico;

DBD



Trecho de curva descendente do gráfico, onde se indica que existe

esmagamento parcial, com o material ainda apresentando uma reserva

de resistência, e módulo de elasticidade representado por seu valor

secante;

Atingida a deformação εcf o material é considerado rompido por

esmagamento, não havendo mais qualquer reserva de resistência em

termos de tensão.

Figura 3. 5 – Relação “tensão x deformação” uniaxial para compressão do concreto

Relação “Tensão x Deformação” Uniaxial Equivalente Para Tração e “Tensão x Distorção”

A relação “tensão x deformação” uniaxial equivalente para tração e

cisalhamento são representados em sua parte ascendente do gráfico pela mesma

expressão da relação para compressão, que é equação de Saenz.

Figura 3. 6 – Relação “tensão x deformação” uniaxial para tração e “tensão x distorção”

respectivamente.

DBD



Em sua parte descendente considera-se um modelo simplificado com o

comportamento descrito por seguimentos lineares, onde as curvas são descritas em

termos dos módulos de elasticidade inicial Eo e secante Es, e dos valores

correspondentes a tensão máxima, ( σtu , εtu ) para tração e ( τcu , γcu ) para

cisalhamento. Além destes pontos, há ainda aqueles referentes a ruptura, ( σtf , εtf )

para tração e ( τcf , γcf ) para cisalhamento. Para tração considera-se ainda o valor

σfis correspondente a εtu, sendo σfis um parâmetro de entrada podendo assumir o

valor de 0,20σtu a σtu (Elwi, 1990). Este ponto de descontinuidade é para simular a

perda instantânea de parte da resistência à tração devida a energia consumida

durante a formação brusca da fissura. Incorporando-se no modelo a energia de

fratura Gf, definida como sendo a energia por unidade de área consumida na

formação e propagação das microfissuras. O segmento reto da parte descendente é

descrito em função de Gf, σfis, εtu e εtf, e serve para indicar o grau de redução de

tensão com a propagação das microfissuras.

Assim como na análise da curva de compressão, a análise de

comportamento do material implementado no modelo para tração e cisalhamento

pode se dividida em três etapas:

Trecho de curva ascendente do gráfico, onde o material resiste

plenamente as ações introduzidas no sistema e deve ser considerado

intacto e praticamente elástico;

Trecho onde o material apresenta-se fissurado para tração e com perda

gradual do encaixe do agregado para o cisalhamento;

Por fim o material não apresenta mais resistência mecânica quando

experimenta fissuras largas à tração e perda de encaixe do agregado ao

cisalhamento.

Na parte pós-pico os módulos de elasticidade longitudinal e transversal

também são representados por seus valores secantes.

O fator αDBR para a curva de cisalhamento x distorção é para indicar o grau

de redução gradual do efeito de engrenamento do agregado.

DBD



3.3.1.3. Coeficiente de Poisson

Para implementação da relação incremental “tensão x deformação” é

necessário determinar, além dos módulos de elasticidade longitudinais e

transversais, o coeficiente de Poisson.

De acordo com resultados obtidos em ensaios de compressão uniaxial

realizados por Kupfer et al (1969) e após ajustes das curvas experimentais pelo

método dos mínimos quadrados, Elwi & Murray (1979) representam o coeficiente

de Poisson em função da deformação uniaxial equivalente εiu, como segue:

εε

+

εε

−εε

+ν=ν3

ic

iu2

ic

iu

ic

iui0i 586,8360,53763,10,1 [3.29]

onde, ν0i e νi são coeficientes de Poisson inicial e corrente e εic é a deformação

correspondente ao ponto de tensão máxima.

3.3.1.4. Superfície de Ruptura de Willam-Warnke

Para obtenção da relação “tensão x deformação” uniaxial equivalente são

necessários os valores de σic e εic correspondentes ao ponto crítico da curva, sendo

estes parâmetros modificados de acordo com o estado de tensões corrente, o que

gera a necessidade da aplicação de critérios de ruptura convenientes.

Para obtenção dos valores de σic define-se uma superfície de ruptura no

espaço das tensões, da qual possa ser gerada uma superfície análoga no espaço das

deformações uniaxiais para se obter os valores de εic. A superfície de Willam-

Warnke (1974) é descrita no espaço das tensões ou deformações principais em

termos dos invariantes de tensão ou deformação. Trata-se de um critério de

ruptura de cinco parâmetros obtidos através de dados experimentais.

O modelo constitutivo de Elwi & Murray (1979) utiliza a formulação

proposta por Willam-Warnke (1974), tendo, de acordo com Simões (1998), como

principais características:

- Sua construção requer cinco parâmetros envolvendo invariantes de

tensão e deformação do material utilizado. São estes:

Espaço das tensões:

fc’ - Resistência uniaxial à compressão do concreto;

DBD



ft’ - Resistência uniaxial à tração do concreto ;

fcb - Resistência biaxial à compressão para uma razão entre as

tensões principais de 1;

(-ξ1 , ρ1) - Ponto qualquer sobre o meridiano de tração –

normalizado com respeito a f’c – para altos valores de tensão

hidrostática ;

(-ξ2 , ρ2) - Ponto qualquer sobre o meridiano de compressão –

normalizado com respeito a f’c – para altos valores de tensão

hidrostática.

Espaço das deformações:

εc - deformação correspondente a f’c;

κt - deformação correspondente a f’t;

κcb - deformação correspondente à f’bc em uma das direções de

carregamento;

(-β1 , λ1) - Ponto qualquer sobre o meridiano de tração –

normalizado com respeito a εc – para altos valores de

deformação hidrostática;

(-β2 , λ2) - Ponto qualquer sobre o meridiano de tração –

normalizado com respeito a εc – para altos valores de

deformação hidrostática;

Sendo os três primeiros parâmetros utilizados para descrever os

meridianos de compressão e tração, e os outros dois para descrever a seção

transversal da superfície;

- Possui seção desviadora não-circular, composta por trechos de elipse a

cada 120°, e seus meridianos descritos por parábolas do 2° grau;

- É valida para todas as combinações tensão / deformação em

compressão e tração, e possui relatos de boas aproximações com

resultados experimentais;

- É suave, possuindo um único gradiente em cada ponto (derivada

contínua);

- Tem convexidade garantida tanto nos planos desviadores, quanto ao

longo dos meridianos, desde que algumas condições básicas sejam

satisfeitas (Chen,1992).

DBD



De acordo com o mencionado, pode-se definir a superfície de ruptura no

espaço das tensões, empregada neste trabalho, por:

( ) 0,,f mm =θτσ [3.30]

sendo σm e τm as tensões normal e cisalhante médias, θ o ângulo de similaridade,

onde estas grandezas são constituídas através das tensões principais σ1, σ2 e σ3

compondo as funções:

3321

mσ+σ+σ

=σ [3.31]

( ) ( ) ( ) 21

223

21

223

22

222

21m 15

1

σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ , [3.32]

( ) ( ) ( ) 21

231

232

221

321

2

2cos

σ−σ+σ−σ+σ−σ

σ−σ−σ=θ °≤θ≤° 600: [3.33]

sendo σ1 > σ2 > σ3.

Definido um espaço tridimensional de tensões em função das grandezas

adimensionais σ1 / fc’, σ2 / fc’ e σ3 / fc’ para descrever a superfície de ruptura no

espaço das tensões, esta forma-se no entorno do eixo hidrostático.

Perpendicularmente a este eixo, definido por σ1 = σ2 = σ3, tem-se o plano

desviador, definido pelo invariante adimensional ρ, e posicionado ao longo do

eixo hidrostático pelo também invariante adimensional ξ.

Figura 3. 7 – Espaço tridimensional de tensões, eixo hidrostático e plano desviador.

DBD



Os invariantes ρ e ξ são definidos a partir das expressões [3.31] e [3.32], e

são expressos por:

c

m

'f3 σ

=ξ [3.34]

2

c

m2

'f5

τ=ρ [3.35]

Nota-se que ao compor as possibilidades para um valor constante de ξ,

contido no plano desviador, se formará em função de ρ um contorno composto

por três trechos de elipse definidos a cada 120°, que é chamado de seção

desviadora, sendo que para análise, esta seção só necessita ser descrita no

intervalo de 0° < θ < 60°. O contorno desta seção é expresso por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

tc2

t2

c2

ctt22

t2

c2

ctct2

c2

c

2cos445cos42cos2

,ρ−ρ+θρ−ρ

ρρ−ρ+θρ−ρρ−ρρ+θρ−ρρ=θξρ

[3.36]

onde ρc e ρt são os raios máximo para θ = 60° e mínimo para θ = 60° da seção

desviadora, para um determinado valor de ξ.

Figura 3. 8 – Superfície de Willam-Warnke: seção desviadora.

DBD



Os parâmetros ρc e ρt variam de acordo a tensão hidrostática, o que gera

alterações na seção desviadora ao longo do eixo hidrostático, produzindo

meridianos de tração e compressão, ou seções meridionais.

Figura 3. 9 – Superfície de Willam-Warnke: Seção meridonal.

Estes meridianos são descritos por parábolas do 2° grau, e são construídos a

partir dos cinco invariantes de tensão e deformação do material utilizado,

mencionados no início da seção, e podem ser expressos por:

( ) 2210t aaa ξ+ξ+=ξρ [3.37]

( ) 2210c bbb ξ+ξ+=ξρ [3.38]

sendo,

bc22

1bc0 152a

94a

32a

bcα+α−α= [3.39]

( )tbc

bct2tbc1 25

6a231a

α+αα−α

+α−α= [3.40]

)92

31

32)(2(

)2(56)(

56

abctt1bc

21tbc

tbc1bctbct1

2αα−ξα+ξα−ξα+α

α+αρ+αα−α−αξ= [3.41]

20100 bbb ξ−ξ−= [3.42]

13

356

b31b

2

2

221 −ξ

ρ−+

+ξ= [3.43]

DBD



( )

( )

+ξ

−ξξ+ξ

ξ+ξ−

+ξρ

=

31

31152

31

b0220

2002

2 [3.44]

os coeficientes da parábola do 2° grau, e

2

20211

0 a2aa4aa −−

=ξ [3.45]

o vértice comum das parábolas ou apex da superfície.

A definição da superfície de Willam-Warnke (1974) em termos das

deformações uniaxiais equivalentes possui expressões análogas.

3.3.2. Modelo Elasto-Plástico Multilinear Para Armadura Inicial

Originalmente foi utilizado para se descrever o comportamento das

armações de reforço transversal e longitudinal o modelo elasto-plástico

multilinear, onde os elementos de armadura podem ser interpolados linearmente

ou de forma quadrática, e podem ficar de forma arbitrária no interior do elemento

de concreto (Elwi & Hrudey, 1989; Pinto, 1982).

Esta curva, Figura 3.10, é descrita em função dos pontos ( σi , εi ), obtidos

através de ensaios do material utilizado nos reforços ou, na ausência destes,

através de curvas correspondentes existentes na literatura.

Figura 3. 10 – Relação “tensão x deformação” que descreve o comportamento do material

utilizado nos reforços.

A relação constitutiva é dada por:

σ = σi-1 + Ei ( ε − εi-1) [3.46]

DBD



onde, σi-1 e εi-1 são os valores prescritos da tensão e da deformação, e Ei é o

módulo de elasticidade secante dado por:

1ii

1iiiE

−

−

ε−εσ−σ

= [3.47]

No caso de descarregamento a relação assume um comportamento linear da

forma:

σ = Ε ( ε − εP ) , [3.48]

onde, σ e ε são a tensão e deformação total e εP é a deformação plástica

acumulada.

Este modelo é bastante flexível, pois permite a descrição de uma grande

variedade de comportamentos, já que os pontos obtidos no ensaio do aço entram

como input para a descrição da curva.

3.3.3. Modelo Elasto-Plástico Multilinear Modificado Para o Reforço

De acordo com o modelo implementado no programa FEPARCS, descreve-

se o comportamento das armações de reforço transversal e longitudinal utilizando

cinco pontos do comportamento “tensão x deformação”, incluindo a origem, para

que seja descrito o comportamento do material utilizado na análise.

Neste trabalho adapta-se a formatação de entrada para dados de reforço

fazendo-se com que o programa administre e introduza reforços no sistema

estrutural, tanto antes do início do cálculo como também após um número

determinado de “steps” do tipo de análise não-linear utilizada.

Figura 3. 11 – Relação “tensão x deformação” que descreve o material dos reforços inseridos

durante o cálculo.

DBD



Assim, a curva “tensão x deformação” modificada, Figura 3.11, como a

original, é descrita em função dos pontos ( σi , εi ), sendo o ponto dois

correspondente à origem real do sistema, e de acordo com o estado de tensões

atuante em cada elemento de reforço.

A relação constitutiva é dada por:

σ = σi-1 + Ei ( ε − εi-1) – Einicial εinicial [3.49]

onde, Einicial e εinicial são, respectivamente, o módulo de elasticidade e a

deformação do elemento analisado no momento da ativação do reforço, σi-1 e εi-1

são os valores prescritos da tensão e da deformação e Ei é o módulo de

elasticidade secante dado por:

1ii

1iiiE

−

−

ε−εσ−σ

= [3.50]

No caso de descarregamento a relação assume um comportamento linear da

forma:

σ = Ε2 ( ε − εP − εinicial ) [3.51]

onde, σ e ε são a tensão e deformação total e εP é a deformação plástica

acumulada.

3.4.

Estratégias De Solução Para Análise Não-Linear 3.4.1. O Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é uma estratégia muito utilizada na solução

de problemas que envolvem equações de equilíbrio não-lineares, sendo o método

implementado através da aproximação da trajetória de equilíbrio da estrutura por

tangentes à mesma, até a obtenção da convergência.

A formulação do método permite dois tipos de abordagens: através de

controle de deslocamentos, e através do controle de carga. O controle de

deslocamentos é feito através da definição de incrementos pelo analista e os

incrementos de carga correspondentes obtidos por processo iterativo, e o controle

de cargas e feito através da definição prévia de incrementos pelo analista e os

deslocamentos correspondentes obtidos por processo iterativo. Neste trabalho e

nos programas desenvolvidos, toda a formulação e comentários sobre o método de

Newton-Raphson dizem respeito à formulação baseada em controle de carga.

DBD



O método consiste em obter o incremento de deslocamento ∆ui-1, para

uma iteração típica de um passo de solução a b, através de sucessivas

aproximações da forma,

[ ] 1ii1iT QuK −− ∆=∆ [3.52]

Figura 3. 12 – Representação gráfica do Método de Newton-Raphson standard.

sendo [KT]i-1 a matriz de rigidez tangente na iteração i-1, ∆ui é uma

correção do vetor de deslocamento corrente u, e ∆Qi-1 é o vetor de forças não

equilibradas dada por:

intob1i FRQ −ϕ=∆ − [3.53]

com R0 sendo o vetor das cargas de referência, Finti-1 é o vetor das forças

internas na iteração i-1, e ϕb é o fator de carga associado ao passo de solução a b.

Ao final de cada iteração, calculado o vetor de incrementos de

deslocamento∆ui, o mesmo é utilizado para corrigir o vetor de deslocamento

total ui, ou seja,

i1ii uuu ∆+= − [3.54]

Sendo que, as equações acima estão sujeitas às seguintes condições iniciais:

[ ] [ ]aT

oT KK = [3.55]

aint

oint FF = [3.56]

ao uu = [3.57]

De acordo com a expressão [3.52] e o exposto na Figura 3.12, tem-se que a

matriz de rigidez é atualizada a cada iteração, caracterizando o método de

DBD



Newton-Raphson padrão ou standard. De acordo com o procedimento para

atualização da matriz de rigidez, a técnica de Newton-Raphson admite duas

variações:

Método de Newton-Raphson modificado (MNRm), onde a matriz de

rigidez é atualizada apenas no início de cada passo de carga, reduzindo

a expressão [3.52] à forma:

[ ] 1iiaT QuK −∆=∆ [3.58]

Figura 3. 13 – Representação gráfica do Método de Newton-Raphson modificado.

Método de Newton-Raphson com rigidez inicial(MNRi), onde a matriz

de rigidez, previamente calculada, é utilizada em todos os passos de

carga subseqüentes, reduzindo a expressão [3.52] à forma:

[ ] 1ii0T QuK −∆=∆ [3.59]

Figura 3. 14 – Representação gráfica do Método de Newton-Raphson rigidez inicial.

DBD



A vantagem em se utilizar o Método de Newton-Raphson com rigidez

inicial (MNRi) e o Método de Newton-Raphson modificado (MNRm), está no

menor esforço computacional associado a cada iteração executada, não

necessitando-se calcular, reduzir e armazenar a matriz rigidez da estrutura ao final

de cada uma destas etapas. Contudo, o Método de Newton-Raphson standard

conduz a uma convergência mais rápida ao ponto de equilíbrio.

Mesmo sendo amplamente aplicável, o Método de Newton-Raphson possui

limitações e só pode ser aplicado com sucesso enquanto a matriz de rigidez do

sistema permanece positiva e definida, o que, em geral, ocorre no trecho

ascendente da curva “carga x deslocamento“ (Simões, 1998). Sendo assim, a

aplicação da estratégia a problemas que envolvem ponto-limite não permite que a

trajetória de equilíbrio do sistema seja seguida completamente (Napoleão, 1994).

Desta forma, ao aplicar-se o MNRs para problemas de ponto limite, sempre

acontecerá de a matriz de rigidez [K] tender a se singularizar nas proximidades

deste ponto em sua trajetória ascendente. Mesmo ao se aplicar MNRi ou MNRm,

manipulando-se a matriz de rigidez [K] para que não atinja a singularidade, o fato

de os incrementos serem controlados pelo analista gera dificuldade em se situar o

equilíbrio para as forças desequilibradas.

Deve-se portanto, buscar outros métodos de solução, para que associado

com o método de Newton-Raphson seja possível detectar e ultrapassar o ponto

limite.

Figura 3. 15 – Típica trajetória de equilíbrio com ponto-limite para o caso unidimensional.

DBD



3.4.2. O Método do Comprimento de Arco

Esta técnica caracteriza-se por apresentar um controle concomitante de

carga e deslocamento, através do conceito do comprimento de arco (Simões,

1998). Sendo assim, surgem duas incógnitas: o incremento do fator de carga ∆ϕ e

o vetor de incrementos de deslocamento ∆u. Em cada passo de solução, as

trajetórias de iteração são perpendiculares aos arcos, que por sua vez podem ser

aproximados por tangentes à trajetória de equilíbrio, nos pontos iniciais destes

passos, conforme (Ramm, 1981).

Figura 3. 16 – Representação gráfica do Método do Comprimento de Arco com processo iterativo

do tipo Newton-Raphson modificado para um caso unidimensional.

Trata-se de um método muito eficiente, pois ao definir-se um comprimento

de arco finito, na forma de equação de restrição, determina-se a existência de uma

relação única entre o comprimento de arco, o fator de carga e a norma de

incremento de deslocamentos.

O método do comprimento de arco com o processo de iteração tipo Newton-

Raphson modificado (Ramm, 1981) é ilustrado graficamente para um passo de

solução a b, em um problema não-linear, onde, objetiva-se encontrar o ponto de

equilíbrio ‘b’ a partir de ‘a’, sobre a trajetória de equilíbrio, na forma “carga x

deslocamento” de uma estrutura qualquer.

Considerando-se uma iteração típica i →j, o vetor iteração∆wj é ortogonal

ao vetor comprimento de arco AA, sendo que o último tem a direção da matriz

DBD



de rigidez tangente [KT]A da estrutura no ponto ‘a’. Como componentes do vetor

comprimento de arco, tem-se:

( )1ia ;u:T ϕ∆∆ [3.60]

sendo ∆u1 o primeiro vetor de incrementos de deslocamento do passo de

solução a b, e ∆ϕ o primeiro incremento do fator de carga no referido passo.

Como componentes do vetor de iteração, tem-se:

( )iii ;u:w ϕ∆∆∆ [3.61]

sendo ∆ui correspondente aos incrementos de deslocamento associados a

iteração i, e ∆ϕi correspondente ao incremento do fator de carga nesta iteração.

Pode-se impor a condição de ortogonalidade, o que implica o produto escalar

entre o vetor comprimento de arcoTa transposto e o vetor iteração ser nulo, ou

seja:

0w.T ia =∆ [3.62]

portanto,

0uu i1i1 =ϕ∆ϕ∆+∆∆ ; i=2,3,.... [3.63]

As equações de equilíbrio para i-ésima iteração podem ser escritas como:

[ ] 1io

iiaT QRuK −∆+ϕ∆=∆ [3.64]

onde R0 é o vetor de cargas de referência e ∆Qi é o vetor de cargas não

equilibradas ao final da iteração i-1, dado por:

iint

1iext

1i FRQ −=∆ −− [3.65]

sendo, Rexti-1 o vetor das forças externas e Finti-1 o vetor de forças nodais

internas, ao final da iteração i, este último é obtido através da integração das

tensões. O vetor Rext deve ser escrito em função do fator de carga ϕ i-1,

atualizado ao final da iteração anterior, e do vetor cargas de referência R0,

constante, através da relação:

o1i1i

ext RR −− ϕ= [3.66]

Colocando-se em forma matricial as expressões [3.63] e [3.64], que formam

um sistema de ordem n+1, equivalendo n ao numero de graus de liberdade da

estrutura, tem-se:

DBD



[ ] ( )

∆

=

ϕ∆∆

ϕ∆∆− −−

0Qu

uRK 1i

i

1i

11o

aT [3.67]

Pode-se notar que a resolução acima, mesmo que a matriz de rigidez [KT]a

seja singular, gera um sistema de equações com solução não-trivial, o que

representa uma grande vantagem para solução de problemas com ponto limite.

Contudo, existe o problema de a matriz rigidez não ser simétrica, o que

torna desaconselhável, em termos práticos, a resolução do sistema. Afim de

contornar este problema, Welssels (1977) propôs uma alternativa que consistiu em

dividir o vetor de incremento de deslocamentos ∆ui em duas parcelas, ∆uQi e

∆uRi, ou seja:

( ) ( )iR

iiR

i ;u0;uwo

ϕ∆∆ϕ∆+∆=∆ [3.68]

onde, tais parcelas são obtidas pela resolução dos sistemas:

[ ] 1iiQ

aT QuK −∆=∆ [3.69]

[ ] oi

Ra

T RuK =∆

Figura 3. 17 – Decomposição do vetor ∆wi segundo Welssels (1977).

Figura 3. 18 – Representação gráfica dos sistemas de equações,

caso unidimensional, da decomposição de Welssels (1977).

DBD



Implementando-se mais uma vez o conceito de ortogonalidade dado pela

expressão [3.62], obtém-se:

0uuuu 1iiR

1i1iQ

1 =ϕ∆ϕ∆+∆∆ϕ∆+∆∆ − , [3.70]

de onde se pode-se obter o incremento do fator de carga, colocando-o em

evidência na expressão acima:

1i

R1

iQ

1i

uu

uu

ϕ∆+∆∆

∆∆−=ϕ∆ [3.71]

3.4.3. Critérios de Convergência

Com objetivo de limitar os processos iterativos descritos neste item, são

estabelecidos dois critérios de convergência: um para deslocamentos e outro para

forças.

O critério de convergência para deslocamentos deve obedecer a relação:

Toli

1j

j

i

u

u

u≤

∆

∆

∑=

[3.72]

onde o numerador é a norma euclidiana do incremento de deslocamento

correspondente a iteração i, ao passo que o denominador é a norma euclidiana do

incremento de deslocamento acumulado, desde a primeira iteração até a i-ésima

iteração. Esta relação deve ser menor ou igual a tolerância arbitrada pelo analista

para deslocamentos uTol.

O critério de convergência para forças deve obedecer a relação:

( ) Tol

oai

i

QR

Q≤

ϕ−ϕ

∆ [3.73]

onde o numerador é a norma euclidiana do incremento da carga não

equilibrada correspondente a iteração i, ao passo que o denominador é a norma

euclidiana do incremento de força do passo de solução. Esta relação deve ser

menor ou igual a tolerância arbitrada pelo analista para forças QTol.

DBD


4.Pré e Pós- Processamento de DadosPara Análise Por Elementos Finitos

Neste capitulo faz-se uma apresentação do programa PREPOS, que é o

módulo de processamento gráfico de pré e pós- processamento de dados para

análise por elementos finitos desenvolvido neste trabalho.

4.1. Introdução

O programa FEPARCS (Elwi e Murray, 1980) é uma ferramenta

computacional que implementa o Método dos Elementos Finitos e foi

desenvolvido em FORTRAN77, que é uma linguagem considerada própria para

processamento numérico intenso. Mesmo tendo sido desenvolvido há mais de

vinte anos, o programa FEPARCS vem sofrendo atualizações constantes através

dos tempos, sempre ampliando a sua utilização para análise comportamental de

sistemas estruturais. Como ferramenta de programação para atualização e

adequação do programa FEPARCS às necessidades deste trabalho, foi escolhido o

Visual Fortran 6.1 que possui opções de desenvolvimento de acordo com os

sistemas operacionais atuais. Contudo, para não gerar problemas ou possibilidade

de conflito dentro da programação original, manteve-se a estruturação lógica e o

seqüenciamento original.

O FEPARCS é um programa que agrega apenas rotinas numéricas de

análise por Elementos Finitos, não estando ligado originalmente a rotinas de pré e

pós-processamento gráfico próprias, o que dificulta em muito a geração e análise

de dados. Sendo assim, incluiu-se como um dos objetivos deste trabalho o

desenvolvimento de um programa computacional de interface gráfica para pré e

pós-processamento.

Foi escolhida como ferramenta de programação gráfica, o Visual Basic 6.0,

que une a simplicidade da programação em Basic com todos os recursos gráficos

próprios ao sistema operacional utilizado. Uma das maiores vantagens do Visual

Basic é a programação baseada em eventos e objetos. Neste tipo de ambiente, a

programação pode ser feita associada a eventos realizados pelo usuário, tal como

cliques e movimentos de mouse, e objetos de interface, que introduzidos pelo

programador compõem as telas de trabalho do programa a ser desenvolvido. Neste

DBD


Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 78

caso, todos os objetos introduzidos (botões, tela de desenho, menus, entre outros)

possuem propriedades de formatação e associação a outros objetos previamente

programados, o que gera um enorme ganho de tempo na elaboração de programas,

já que a programação lógica passa a ter enfoque nos procedimentos a serem

realizados, e, neste caso, no tratamento gráfico associado.

4.2. Conceitos de Computação Gráfica Utilizados no Programa PREPOS

O Método dos Elementos Finitos baseia-se na divisão do domínio continuo

em sub-domínios denominados Elementos Finitos. Uma vez escolhido o tipo de

elemento a ser utilizado, todo o procedimento geométrico relacionado ao método

é realizado em função das coordenadas e propriedades associadas aos nós que

definem estes elementos.

Desta forma, todas as operações realizadas pelo pré e pelo pós-processador

devem seguir este princípio e basear-se nas coordenadas dos nós que definem os

Elementos Finitos empregados no modelo estudado.

Coordenadas e Plotagem do modelo

O pré-processador é composto por módulos para geração de coordenadas e

propriedades do modelo. O layout gráfico contém uma tela para visualização do

modelo, menus e ícones de comando.

Uma das preocupações foi a de se utilizar na montagem do modelo o maior

número possível de eventos associados ao mouse, o que por conseqüência libera o

usuário de ter que associar numericamente os nós aos eventos executados. Este

conceito de trabalho, que é simples para o usuário, é mais complicado de ser

programado, pois todas as coordenadas de movimento e toque do mouse na tela

têm que ser convertidas nas coordenadas reais do modelo. Quer dizer, a janela

onde o modelo é exibido pode ter diversos tamanhos diferentes, maximizado,

reduzido ou a diferença de resolução gráfica entre computadores, o que gera a

necessidade de converter as coordenadas locais da tela para as coordenadas reais

do modelo.

Visando facilitar estas conversões de coordenadas, utiliza-se um tratamento

vetorial para deslocamentos e conversões de escala, e uma forma de

armazenamento matricial para nós e coordenadas, elementos e nós, elementos e

DBD



propriedades, e variáveis de tratamento gráfico. Independente do tipo de exibição

empregado em um instante qualquer, o modelo gráfico é armazenado em uma

matriz de coordenadas gráficas e o modelo mantém-se com suas coordenadas e

propriedades originais à parte.

Quanto à plotagem do modelo, definiu-se como sendo a origem do sistema

de coordenadas na tela o canto inferior esquerdo (Figura 4.1), e como referência

de tratamento gráfico as medidas originais da tela de exibição com o modelo

projetado totalmente enquadrado nesta.

Figura 4. 1 – Relação entre os sistemas de coordenadas do modelo e da tela de plotagem.

Conforme são utilizados os recursos gráficos, fatores de escala e translação

são implementados através de transformações afins das coordenadas correntes e

geram uma nova visualização do modelo de acordo com os itens apresentados a

seguir ( Rogers, 1990 ).

Coordenadas e Translação

A translação do modelo na tela é executada através da soma ou subtração

dos chamados fatores de translação Ftx e Fty às coordenadas correntes, ou seja, é

executada uma soma de vetores cada vez que se executa um destes comandos

(Figura 4.2).

y

x

y’

x’

P1(x1,y1)

Pn(xn,yn)

xo

yo

Janela de visualização

DBD



+

=

y

x

Ft

Ft

y

x

'y

'x

Figura 4. 2 – implementação no modelo dos comandos de translação direcionada e Pan.

A diferença entre os comandos de translação encontra-se na forma como os

fatores de translação são determinados, sendo através de incrementos pré-

determinados ao acionar-se setas de direcionamento (Pan), ou através de

incrementos associados ao toque do mouse na tela.

Coordenadas e Escala do Modelo

Independentemente do acionamento dos comandos de zoom, sempre que um

novo modelo é gerado, ou a tela de exibição modificada, fatores de escala FSx e

FSy são calculados para atualizar o tamanho do modelo de forma proporcional à

alteração realizada.

Para o caso de modificação de tela, os fatores FSx e FSy são calculados de

acordo com a diferença percentual entre medidas de inicio e fim da janela de

visualização, aplicando-se o menor dos dois nas duas direções, estando o ponto

fixo para aplicação dos fatores de escala no centro da tela de exibição (Figura

4.3).

=

y

x.

Fs0

0Fs

'y

'x

y

x

Figura 4. 3 – implementação no modelo de fatores de escala.

Para o caso de aplicação de Zoom In e Zoom Out é aplicado um fator de

escala FSx igual a FSy, de acordo com um valor pré-determinado, diretamente na

matriz de coordenadas gráficas, sendo o ponto fixo para aplicação dos fatores de

escala o centro da tela de exibição.

P(x1,y1)

P(xn,yn)

P’(x1 ,y1)

P’(xn ,yn)

x

y

P(x1,y1)

P(xn,yn)

P’(x1 ,y1)

P’(xn ,yn)

x

y

DBD



Selecionando Pontos Graficamente

Sempre que for solicitada uma seleção gráfica, através de mouse, na verdade

o programa estará fazendo uma verificação entre intervalos de domínio fechado

nas direções x e y. Ao utilizar o mouse para seleção, o programa armazena as

coordenadas de início e fim da janela desenhada, fazendo uma comparação com as

coordenadas de nós existentes e atribuindo flag de seleção aos que se encontrem

dentro do retângulo desenhado.

4.3Inserção de Reforço e suas Coordenadas

As armaduras de reforço são sempre introduzidas dentro de Elementos

Finitos, e são lidas pelo programa FEPARCS através das coordenadas de

interseção com as linhas de contorno destes elementos. Estas interseções formam

os nós destes elementos, chamados de elementos de barra ou elementos finitos

unidimensionais.

Com objetivo de facilitar a introdução destes reforços e o cálculo de todas

estas interceções, foi programada uma rotina onde só é necessário fornecer as

coordenadas de início (x1,y1) e fim (x2,y2) de toda a barra, sem preocupar-se com

interseções. A geração das intersessões é feita através de funções do 1° grau,

determinadas a partir dos valores (x1,y1) e (x2,y2), e validados para os intervalos

entre nós existentes em x e y (Figura 4.4).

Figura 4. 4 – Introdução de reforço de acordo com coordenadas do modelo original.

Desta forma teremos as funções da forma:

abY

)Y(fX

baX)X(fY

−==

+==[4.1]

onde

y

x

y1

y2

x2x1

Ponto 1 de interseção

Ponto 2 de interseção

DBD



12

12

xxyy

xy

a−−=

∆∆= [4.2]

−−

+=+=12

1211 xx

yy1x1yaxyb [4.3]

Substituindo-se as expressões [4.2] e [4.3] em [4.1], chega-se a

)xxyy

xy(Xxxyy

)X(fY12

1211

12

12

−−

++−−

== [4.4]

−−

−−

+−==

12

12

12

1211

xxyy

xxyy

xyY

)Y(fX [4.5]

As expressões [4.4] e [4.5] são as funções que representam o reforço que

está sendo introduzido no modelo e em alguns dos elementos da malha de

Elementos Finitos.

Figura 4. 5 – Introdução de reforço de acordo com coordenadas do modelo original.

A determinação das coordenadas de interseção entre o reforço e as linhas

que definem o elemento é feita substituindo as coordenadas (x, y) dos nós nas

expressões [4.4] e [4.5], e verificando-se a localização para os intervalos

apresentados na Figura 4.5, de acordo com o apresentado na Figura 4.6.

Figura 4. 6 – Interseções entre funções definidas pelo reforço e as que definem o elemento.

P3(x3, y3)

P2(x2, y2)P1(x1, y1)

P4(x4, y4)

f(y) = x1 = x4 f(y) = x2 = x3

f(x) = y1 = y2

f(x) = y3 = y4

P1 P2

P4 P3

P1 P2

P4 P3

P1 P2

P4 P3

P1 P2

P4 P3(x1=x4, y)

(x, y1=y2)

(x1=x4, y)

(x2=x3, y)

(x, y3=y4)

(x1=x4, y)

(x, y3=y4)

(x, y1=y2)

DBD



4.3. O Programa PREPOS

O Programa PREPOS foi desenvolvido com o objetivo de trazer praticidade

e velocidade aos estudantes e pesquisadores interessados na utilização do

programa FEPARCS para análise do comportamento estrutural de peças em

concreto armado, concreto armado reforçado com materiais compósitos, ou outro

tipo de situação que se encaixe na modelagem oferecida pelo programa.

Atualmente, apenas modelos de vigas contínuas retas estão sendo considerados.

Desenvolvido sobre uma plataforma totalmente gráfica, o programa gera o

modelo de acordo com comandos dados pelo usuário, e permite um total

gerenciamento dos incrementos de carga e demais valores necessários a análises

de não-linearidade física e numérica. Tendo o programa FEPARCS como

responsável pela solução do modelo, o PREPOS é responsável pela conversão de

elementos gráficos para o formato de dados utilizado pelo FEPARCS. Assim

como na conversão necessária para processamento do FEPARCS, o mesmo lê os

dados gerados na análise e plota todos os resultados no modelo original abrindo a

opção de continuar o cálculo ou reforçar o modelo existente, caso não tenham se

esgotado as possibilidades de convergência. Sendo assim, o programa PREPOS é

apresentado a seguir.

Figura 4. 7 – Tela inicial do programa PREPOS.

A tela inicial do programa abre a possibilidade de o usuário gerar um novo

arquivo de análise ou abrir um modelo existente e pré-calculado, pois só os

DBD



modelos que passaram por todos os passos de elaboração, e foram efetivamente

calculados, são gravados em disco rígido.

Figura 4. 8 – Tela para geração da malha de Elementos Finitos.

Após dar nome ao arquivo, a única opção de modelagem disponível é de

geração da malha de Elementos Finitos, que neste caso tem disponível para

modelagem elementos Q4 e Q8, como mencionado no item 3.1.2. Abre-se na

mesma tela a possibilidade obter-se mais ou menos elementos para uma mesma

medida, e o número de Pontos de Gauss a se utilizar na integral de solução (Figura

4.8). Definida a malha de Elementos Finitos que corresponde à forma do modelo

original, pode-se optar por um refinamento da malha dividindo-se os elementos

em linha ou colunas (Figura 4.9). Selecionado o elemento a ser dividido, o

programa pede a seqüência de divisão e executa as divisões especificadas em toda

a linha ou coluna, de acordo com a opção escolhida.

Figura 4. 9 – Tela demonstrando as opções de manipulação gráfica do modelo.

DBD



Após gerar a malha com um dos elementos oferecidos e suas propriedades,

deve-se definir as restrições (Figura 4.10), ou apoios, e propriedades do material

(Figura 4.11) que compõe cada elemento. Com o objetivo de facilitar as

visualizações e captura dos pontos, estão disponíveis no programa opções de

manipulação gráfica, tais como: Zoom In, Zoom Out, Pan (translação) e botões de

deslocamento direcionado nos eixos x e y. Além disso, também foi introduzido

um mostrador onde as coordenadas percorridas pelo indicador do mouse são

atualizadas a cada movimento, e fornecem a posição (0,0) como sendo sempre o

“nó 1” do modelo analisado.

Figura 4. 10 – Tela demonstrando a introdução de restrições de deslocamento ao modelo.

A introdução das restrições de deslocamento (Figura 4.10) pode ser feita

graficamente através de seleção por janelas aos nós desejados. Após a seleção dos

nós, que são marcados com indicadores de seleção, definem-se as direções para

introdução das restrições de movimento. No caso de acionar-se o botão Cancelar,

todas as seleções são desfeitas e o modelo permanece como antes de iniciada a

opção.

DBD



Figura 4. 11 – Entrada de dados referente as propriedades do material que compõe os elementos.

Como material de composição para os elementos Q4 e Q8, são oferecidos

dois tipos diferentes, onde o primeiro é um modelo de comportamento isotrópico

elástico linear, e o segundo é um modelo que retrata o comportamento do concreto

simples através de um modelo hipoelástico ortotrópico, originalmente

desenvolvido por Elwi e Murray (1979) e apresentado no item 3.2.1.

Após a escolha do material (Figura 4.11), os parâmetros podem ser inseridos

pelo usuário ou obtidos através do menu - Recomendação dos autores, no caso do

concreto simples. São estes:

E – Módulo de Young ou módulo de elasticidade em toneladas/m²;

ν - Coeficiente de Poisson;

α - Coeficiente de dilatação térmica em 1/°C;

Fcu – Tensão última de compressão em tonelada-força/m²;

Ftu – Tensão última de compressão em tonelada-força/m²;

εcu – Deformação correspondente a Fcu em ‰;

ξ1, ρ1 e ξ2, ρ2 – Parâmetros que definem a superfície de ruptura de Willam-

Warnke;

GFT – Energia de fraturamento à tração do concreto simples em tonelada-

força/m;

GFC – Energia de fraturamento à compressão do concreto simples em

tonelada-força/m;

DBR – Valor que pode variar de 0,2 a 1,0, e corresponde a σfis;

DBD



Definidas todas as propriedades do modelo, pode-se entrar com o reforço

(Figuras 4.12 e 4.13). No caso da Figura 4.12 será introduzido simulando a

armação longitudinal inferior de uma viga em concreto armado.

Figura 4. 12 – Tela para entrada de reforço linear.

Como opção para introdução deste reforço, pode-se optar por introdução de

barras isoladas ou pela opção “Estribos”, onde é possível gerar um reforço que

pode ser copiado de acordo com as medidas definidas pelo usuário (Figura 4.13).

Figura 4. 13 – Tela para entrada de reforço linear com cópias paralelas.

O material a ser utilizado para o reforço pode ser escolhido de acordo com a

biblioteca disponível no programa. A introdução de novos materiais pode ser feita

através da opção “Novo Material”, no menu reforço, onde não necessários cinco

pontos que descrevam a curva “tensão x deformação” correspondente (Figura

4.14).

DBD



Figura 4. 14 – Tela para entrada de propriedades referente a novos materiais de reforço.

Quanto às ações externas que podem atuar sobre o modelo, somente a opção

de introdução de cargas nodais está disponível, e podem ser na direção do eixo x

ou eixo y e carga momento. As cargas podem ser introduzidas através da opção

introduzir no menu cargas, e a seleção dos nós onde será aplicada a carga é feita

através de janela com clique do mouse na área de trabalho do programa (Figura

4.15). Dentro desta opção, as cargas introduzidas anteriormente podem ser

removidas através da opção limpar, ou atribuindo-se o valor de carregamento zero

ao nó que se deseja eliminar a carga.

Uma observação importante a ser feita é a de que como o cálculo a ser

realizado é de natureza não-linear, as cargas originalmente introduzidas nesta

etapa receberão incrementos a cada passo, ou recálculo, definido na etapa seguinte

a esta. Como exemplo, pode-se dizer que um carregamento pontual de valor 10

toneladas-força, após 10 passos de cálculo com um fator de incremento igual a

um, corresponderá a uma ação total de 100 toneladas-força.

Figura 4. 15 – Tela para entrada das cargas nodais que incidem sobre a estrutura.

DBD



Definido o modelo, o programa abre o acesso à configuração dos passos do

cálculo existente, caso de utilização de modelos já calculados, e do novo cálculo a

ser executado. Nesta opção, a opção Limpar o Calc. Existente exclui todos os

passos de cálculo existentes, a opção Formulação abre a possibilidade de escolha

em se utilizar os métodos mencionados no item 3.3, e a opção Livre permite ao

usuário configurar livremente os passos a serem executados (Figura 4.16).

Figura 4. 16 – Escolha do procedimento de cálculo a ser utilizado.

No caso de se carregar, ou abrir, um modelo previamente calculado, pode-se

optar pela análise de resultados selecionando-se a opção Analisar Calc. Existente,

sendo o controle transferido imediatamente ao pós-processador.

Escolhido o método de análise a ser executado, torna-se necessária a

definição de alguns parâmetros responsáveis pela precisão e evolução do cálculo

não-linear (Figura 4.17). São eles:

Ø ITRMX – Número máximo de iterações;

Ø ITRKR – Número de iterações admitido antes de atualizar a matriz de

rigidez;

Ø TU – Tolerância para convergência de deslocamentos;

Ø TP – Tolerância para convergência de carregamentos;

Ø RX – Fator de Relaxação;

Ø NSOLV – Estratégia de solução não-linear a ser utilizada;

Ø DS – Comprimento de arco no caso de utilizar-se o método do

comprimento de arco;

DBD



Ø CCL – Fator para incremento de carga, associado ao passo de solução

corrente, no modelo em questão;

Ø Matriz – Armazena a matriz de rigidez ao final do passo de solução

corrente, sendo que esta pode ser utilizada em passos de solução

subseqüentes fazendo-se ITRKR=0.

Estando estes parâmetros de acordo com as estratégias de análise não-linear

para o Método dos Elementos Finitos apresentadas no item 3.3.

Figura 4. 17 – Tela para definição da estratégia e passos de solução do modelo.

Definidos os parâmetros de cálculo pode-se acionar a opção Gravar

Arquivo, que gera todos os arquivos de cálculo, a opção Gravar Como... que gera

todos os arquivos de cálculo de acordo com um novo nome especificado pelo

operador, e Calcular que gera todos os arquivos, fecha o pré-processador e

transfere a execução para o programa FEPARCS. Concluído o cálculo, o

programa FEPARCS transfere a execução para o pós-processador, que carrega

todos os resultados para análise, com a opção de introduzir elementos de reforço

(Figura 4.18).

DBD



Figura 4. 18 – Tela para análise de resultados.

Figura 4. 19 – Gráficos para análise resultados nos nós e elementos lineares.

Para análise de resultados, o programa permite:

Ø Análise de deslocamentos nas direções principais e em uma resultante

através de curvas de isovalores, clique do mouse no nó desejado para

obtenção de resultados de deslocamento ou plotagem de gráfico

“Fator de Carga x Deslocamento” (Figura 4.19);

Ø Análise de tensões e deformações de todos os elementos lineares de

reforço por isovalores e através de gráficos “Tensão x Deformação”,

“Fator de carga x Deformação” e “Fator de carga x Tensão”

exclusivos do nó selecionado;

Ø Opção de exibir graficamente os dados do modelo original, tais como

malha, reforço inicial, numeração de nós, cargas introduzidas e

restrições;

Ø Todos os resultados referentes a cada passo de solução são analisados

de forma independente e progressiva, com o programa desenhando a

DBD



deformação real e incrementada de acordo com escala definida pelo

usuário;

Ø Todas as opções de Zoom, Pan (translação), deslocamento e

mostrador de coordenadas continuam disponíveis;

Ø Opção de tela independente com todos os dados de convergência

obtidos no cálculo;

Ø Mostrador de coordenadas e Fator de Carga total aplicado no passo de

solução analisado.

Figura 4. 20 – Tela para introdução de reforços.

Após analisar os resultados pode-se optar pela introdução de novas

armaduras de reforço, onde somente é aceito o reinicio de cálculo e a

implementação dos mesmos associados ao último incremento de carga validado

pelo programa (Figura 4.20).

A metodologia para criação dos reforços é igual e com as mesmas opções do

processo descrito para o pré-processador, onde as coordenadas de entrada devem

ser introduzidas como se a estrutura não apresentasse qualquer tipo de

deformação. O programa se encarregará de qualquer conversão e incluirá

graficamente todos os novos reforços introduzidos.

DBD



Figura 4. 21 – Visualização das tensões atuantes no passo de solução selecionado e definição de

novos parâmetros para reinicio do cálculo.

Após análise de resultados e, caso necessária, a introdução dos reforços,

chega-se novamente à fase onde devem ser definidos novos incrementos de carga

e/ou estratégias de solução não-linear, da mesma forma como descrito

anteriormente. Em seguida a estas definições deve-se acionar a opção calcular,

que volta a transferir a execução para o FEPARCS e interrompe a execução do

pós-processador. Ao final do cálculo, o FEPARCS volta a transferir a execução

para o pós-processador, onde todo o processo se reinicia com as atualizações

determinadas e aceitas, ou não.

Uma deficiência do programa PREPOS é a de não possuir implementado em

seu algoritmo o traçado de isovalores para análise de tensões em elementos finitos

planos. Este problema foi contornado com a utilização do programa MVIEW,

desenvolvido pelo Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica da PUC-Rio

(Tecgraf, 1993) e funciona de forma independente ao FEPARCS e ao PREPOS.

Esta operação é possível devido a um módulo previamente programado por

Nascimento (1996), e que gera um arquivo de saída neutro compatível com o

programa MVIEW.

DBD


5. Exemplos Numéricos 5.1. Introdução

Neste capítulo, algumas vigas reforçadas à flexão com compósitos de fibra

de carbono, estudadas em trabalhos experimentais, foram analisadas através do

programa desenvolvido e os resultados comparados com os resultados

experimentais. Os trabalhos experimentais escolhidos para esta verificação

encontram-se resumidos no Capítulo 2, com detalhes técnicos pertinentes a este

estudo, e podem ser estudados detalhadamente em Pinto (2000), Cerqueira (2000)

e Araújo (2002).

5.2. Análise Numérica e Comparação de Resultados 5.2.1. Estudo de Pinto (2000)

Na modelagem numérica, elaborada através do pré-processador

desenvolvido neste trabalho, foram utilizados 810 elementos bidimensionais

planos de quatro nós (Q4) para o concreto e 585 elementos de barra para armadura

e reforço, com interpolação quadrática de deslocamentos. A discretização adotada

e as condições de contorno do problema são mostradas na Figura 5.1. Devido ao

tipo de implementação, e sendo esta a primeira avaliação de desempenho

utilizando-se os programas desenvolvidos, optou-se por descrever a aderência

entre armaduras e o concreto adjacente como sendo perfeita.

(a)

(b)

10kN 10kN

10 kN 10 kN

DBD


Exemplo Numérico 95

Tabela 5.1 – Propriedades do concreto utilizado em V1.

f’cu – Resistência à compressão 35,0 MPa

εc – Deformação associada a f’cu 3 ‰

f’tu – Resistência à tração 3,6 MPa

Eo – Módulo de elasticidade tangente inicial 18 GPa

υo – Coeficiente de Poisson 0,20

Tabela 5.2 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivo.

βbc = fbc / fcu 1,25

βt = ftu / fcu 0,103

(ξ1, ρ1) (22,5;0)

(ξ2, ρ2) (22,5;0)

Energia de fraturamento à tração 80,0 N/m

Energia de fraturamento à compressão 440 N/m

σfis 0,75

Os parâmetros necessários à formulação do modelo computacional estão

resumidos em duas tabelas, sendo as propriedades do concreto, obtidas

experimentalmente, apresentadas na Tabela 5.1 e os parâmetros necessários à

montagem das superfícies de ruptura, item 3.2.1, na Tabela 5.2. Alguns dos

valores apresentados correspondem a valores sugeridos pelos autores da

implementação original do programa FEPARCS (Elwi & Murray, 1980), para o

caso de não existirem informações experimentais suficientes. Nas Tabelas 5.3 e

5.4 são apresentados os pontos para construção da curva “tensão x deformação”,

correspondente ao aço e ao compósito de fibra de carbono utilizados no reforço.

(c)

Figura 5.1 – Discretização adotada para analise numérica: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos de

armadura; (c) Elementos de reforço.

10 kN 10 kN

DBD



Tabela 5.3 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do aço CA50A.

Armação inferior – φ16.0 Estribos e armação superior – φ8.0

Tensão (MPa) Deformação Tensão(MPa) Deformação

0 0,000 0 0,000

630 0,003 590 0,004

640 0,020 600 0,006

700 0,040 700 0,035

725 0,050 720 0,050

Tabela 5.4 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do compósito de fibra de carbono.

Tensão (MPa) Deformação

0 0,000

2970 0,018

Analisando-se o estudo experimental desenvolvido para a viga V1, foi

observado que o colapso do sistema estrutural ocorreu devido ao descolamento e

destacamento do compósito de fibra de carbono, e para valores abaixo da

resistência individual de cada material, o que indica a possibilidade do conjunto

resistir a esforços superiores caso este tipo de problema não ocorresse. Esta

observação conduz a análise realizada a valores abaixo do ponto limite, descrito

no item 3.3.

Na análise foi utilizado o método de Newton-Raphson standard até o nível

de carga mais próximo do ponto limite permitido pelo método. Estabelecendo-se

um limite máximo de 200 iterações para obtenção da convergência em cada passo

de solução, atualizando-se a matriz de rigidez a cada uma destas iterações, e

controlando-se os valores de tolerância em termos de carga e deslocamento, foram

obtidos 16 pontos de convergência para análise e comparação de resultados. Os

resultados obtidos em termos de desempenho e fator de multiplicação (CCL) são

apresentados na Tabela 5.5.

DBD



As curvas “carga x deslocamento”, obtidas nos trabalhos experimental e

numérico, são mostradas nos Gráficos 5.2 e 5.3. No procedimento experimental, a

viga foi submetida a um ciclo de carga onde primeiro atingiu-se um valor de 70

kN, foi completamente descarregada, recarregada a 60 kN e descarregada até o

valor de 41 kN, para então ser reforçada. Este procedimento gerou um gráfico

“Carga x Deslocamento” onde aparecem deformações residuais. Analisando-se

através do programa e do modelo proposto, constatou-se que o aço apresentou

durante todo este primeiro ciclo um comportamento elástico, sendo a deformação

residual proveniente da acomodação dos apoios e dos pontos de aplicação de

carga. Este comportamento é notado claramente se o ciclo 0-70-0 kN for ignorado

e as deformações igualadas a zero neste ponto.

Observa-se que o modelo foi capaz de representar todos os estágios de

comportamento da curva. O fato de considerar-se a aderência como sendo perfeita

entre aço-concreto e compósito-concreto, leva o modelo a valores superiores aos

experimentais, podendo o colapso ser atingido apenas por excesso de tensão nas

partes. Este fato não causa distorções no modelo teórico, pois o descolamento

ocorre de forma brusca, e nota-se que os valores obtidos na análise estão bem

próximos dos valores experimentais.

Tabela 5.5 – Desempenho do programa na obtenção de convergência para NRs.

Passo N° de Iterações

1 5 0,25 2 2 0,50 3 3 0,75 4 3 1,00 5 4 1,25 6 4 1,50 7 6 1,75 8 5 2,00 9 24 2,25

10 9 2,75 11 16 4,10 12 47 6,80 13 31 9,10 14 26 10,60 15 85 12,45 16 30 13,00 17 42 15,10 18 95 17,35

x Cargas Aplicadas

DBD



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Flecha (mm)

Car

ga (k

N)

EXPERIMENTAL PROGRAMA

Figura 5.2 – Diagrama “Carga x Flecha” – deflectômetro 1.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Flecha (mm)

Car

ga (k

N)


Figura 5.3 – Diagrama “Carga x Flecha” – deflectômetro 2.

Analisando-se as Figuras 5.2 e 5.3, observa-se um comportamento

diferenciado entre pontos notáveis do procedimento. Inicialmente as curvas são

aproximadamente lineares com os materiais - concreto e aço - trabalhando sob

baixas tensões e apresentando comportamento linear. No passo de solução 9

observa-se uma mudança na declividade dessas curvas relacionada ao inicio do

processo de fissuração, e a conseqüente perda de rigidez da estrutura, a partir da

qual apresentam uma tendência não linear. No passo de solução 11,

correspondente a um carregamento de 41 kN, é introduzido o reforço, e a estrutura

passa a apresentar um comportamento mais linear, o que pode ser atribuído ao

aumento em torno de 15% da rigidez total à flexão do conjunto. A partir deste

ponto, aço e compósito apresentam praticamente a mesma posição no sistema, e

DBD



cada um com seu módulo de elasticidade absorve carga em função das

deformações impostas. O início do processo de escoamento da armadura

longitudinal (passo 14) é marcado por nova mudança de declividade e nova

alteração na rigidez do conjunto à flexão, onde o aço mantém a tensão de

escoamento e o compósito passa a ser responsável por todo esforço excedente. O

comportamento da armadura longitudinal e do compósito pode ser observado nos

Gráficos de 5.4 a 5.7.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25 30

Deformação (‰)

Car

gas (

kN)


Figura 5.4 – Diagrama “Carga x Deformação” da armadura longitudinal interna –

extensômetro D-1.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)


Figura 5.5 – Diagrama “Carga x Deformação” da armadura longitudinal interna –

extensômetro D-2.

DBD



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)


Figura 5.6 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina de fibra de carbono – extensômetro F-1.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)


Figura 5.7 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina de fibra de carbono - extensômetro F-2.

Analisando-se o comportamento da armadura longitudinal e do compósito, é

possível observar que os valores teóricos e experimentais em muito se

aproximam, inclusive descrevendo o limite de deformação para o conjunto

compósito-cola-concreto com pequena e ajustável diferença para o valor

experimental.

Quanto à compatibilidade de deformação entre o aço e o compósito, nota-

se que a distância entre eixos não é superior ao valor do cobrimento e por isso as

deformações devem ser compatíveis por posicionamento. Os Gráficos 5.4 e 5.5

apresentam valores de deformação elevados no escoamento do aço, que em

primeira análise são incompatíveis com a deformação do compósito e da viga.

Contudo, nota-se que a partir de 130 kN não se registra mais a deformação do

compósito em função do inicio do processo de descolamento, e somente após a

DBD



perda total da capacidade de resposta deste, a armadura longitudinal deforma-se

livremente sem capacidade de resistir aos esforços. Com isso, recomenda-se como

valor de colapso para o conjunto estrutural o valor de 130 kN, correspondente ao

início de descolamento do compósito, quando se torna inevitável o colapso

estrutural. São apresentados na Tabela 5.6 valores comparativos entre a resposta

experimental e teórica, baseando-se na deformação do compósito e sem corrigir as

diferenças entre os modelos teórico e experimental mencionadas anteriormente.

Tabela 5.6 – Comparação entre valores de carga e deformação na ruptura.

Pmáx

(kN)

∆máx

(mm)

εfmáx

(‰)

Pmáx / Pmáx,

exp

∆máx / ∆máx,

exp

εfmáx / εfmáx,

exp

Teórico 138,0 30,00 5,21 1,06 0,92 1,00

Experimental* 130,0 32,25 5,21 1,00 1,00 1,00

* - Ultimo registro antes do inicio de descolamento do compósito.

Nas Figuras 5.8, 5.9, 5.10, 5.11 e 5.13, são apresentados os campos de

tensões horizontais para todos os passos de solução e pontos notáveis já

mencionados. Na Figura 5.12 é apresentada a distribuição de deformações no aço

e no compósito, no inicio do descolamento e referente ao passo de solução 16.

Figura 5.8 – Configuração da viga no início do processo de fissuração – passo de solução 9.

DBD



Figura 5.9 – Configuração da viga durante o procedimento de reforço – passo de solução 11.

Figura 5.10 – Configuração da viga imediatamente antes ao descolamento do compósito – passo de

solução 16.

DBD



Figura 5.11– Configuração da viga imediatamente após descolamento do compósito – passo de

solução 17.

Figura 5.12 – Distribuição de tensões nas armaduras iniciais e de reforço – passo de solução 17.

DBD



Figura 5.13 – Configuração da viga na iminência da ruptura – passo de solução 18.

Comparando-se os campos de tensão representados nas Figuras 5.8 e 5.9,

pode-se notar uma redução no valor das tensões de tração, parte inferior da viga,

associado ao inicio do processo de fissuração da viga e correspondente

plastificação dos Elementos Finitos. Este processo é descrito através da relação

uniaxial equivalente à tração do concreto, item 3.2.1.2.2, podendo, fisicamente,

ser atribuído à perda gradual do engrenamento dos agregados do concreto e da

conseqüente transferência de resistência para as armaduras longitudinais. Este

comportamento fica evidente ao analisar-se a distribuição de tensões ao longo da

seção transversal B-T, no meio do vão, onde aparecem as tensões de compressão,

ainda com distribuição linear, e o patamar de tensão residual de tração associado a

resultante dos esforços de tração nas armaduras.

Imediatamente após inicio do escoamento da armadura de tração o

compósito torna-se o único a resistir aos esforços excedentes implementados no

sistema, sendo que o aço mantém a tensão de escoamento e o compósito recebe

incrementos de tensão proporcionais a deformação. Neste momento, de acordo

com a Figura 5.10, as tensões de compressão no concreto mantêm uma relação

sem nenhuma indicação de plastificação mantendo-se linear. Ou seja, não fosse

DBD



pelo descolamento do compósito o conjunto estrutural continuaria resistindo aos

esforços implementados.

Desconsiderando-se o descolamento e continuando-se a análise, nota-se no

passo 17 o inicio da plastificação dos elementos que representam o concreto à

compressão, ou seja, a distribuição de tensões na seção B-T começa a apresentar

um comportamento não-linear, no que diz respeito à compressão. Nota-se uma

redistribuição nas tensões de compressão máximas na região entre a aplicação das

cargas, com início do processo de fraturamento à compressão. Na Figura 5.12 é

observada a distribuição de tensões atuantes no aço e no compósito, estando o

compósito sob uma tensão máxima de 1175 MPa e deformação equivalente de

7,12‰ na posição correspondente ao extensômetro D-1. No passo 18 a viga

apresenta uma distribuição quase que completamente plastificada, ou danificada,

com processo de fraturamento à compressão na iminência de levar o sistema ao

colapso com o compósito apresentando tensão de 2074 MPa e deformação de

14,18‰.

Analisando-se as tensões atuantes, constata-se a existência de valores de

tensões superiores ao valor de f’c. No passo de solução 16 a viga apresenta uma

distribuição de tensões ainda linear, mas seu valor máximo à compressão é maior

que f’c, sendo o valor de βbc responsável pela tensão atingida neste tipo de

confinamento. Atingido um determinado valor, as tensões principais de tração e

compressão combinam-se levando a região entre cargas a distribuições de tensão

não-lineares e com processo de fraturamento progressivo. Contudo, na região de

aplicação das cargas o confinamento existe em todas as direções, e somado a

existência do aço de compressão consegue-se atingir nestas regiões uma tensão de

aproximadamente 54 MPa.

5.2.2. Estudo de Araújo (2002)

Para esta análise foram utilizados 480 elementos bidimensionais planos de

quatro nós (Q4) para o concreto e 422 elementos de barra para armadura e reforço,

com interpolação quadrática de deslocamentos. A discretização adotada e as

condições de contorno do problema são mostradas na Figura 5.13. De acordo com

o adotado na seção anterior, a aderência entre armaduras e o concreto adjacente é

considerada perfeita para efeito de cálculo do modelo.

DBD



(a)

(b)

(c)

Figura 5.14 – Discretização adotada para analise numérica: (a) Elementos de concreto; (b)

Elementos de armadura; (c) Elementos de reforço.

De acordo com o estudo experimental desenvolvido e os resultados obtidos,

apresentados em 2.5.2, foram escolhidas as vigas V1 e V4 como referência para o

desenvolvimento deste estudo. Sua escolha foi baseada na representatividade dos

resultados obtidos, já que possuíam a mesma instrumentação, extensômetros

posicionados nos pontos de esforço máximo à flexão e reforços com seção

transversal diferentes.

Os parâmetros necessários à formulação dos modelos computacionais estão

resumidos em duas tabelas, sendo as propriedades do concreto, obtidas

experimentalmente , apresentadas na Tabela 5.7 e os parâmetros necessários à

montagem das superfícies de ruptura, item 3.2.1, na Tabela 5.8. Alguns dos

valores apresentados correspondem a valores sugeridos pelos autores da

implementação original do programa FEPARCS (Elwi & Murray, 1980). Nas

Tabelas 5.9 e 5.10 são apresentados os pontos para construção da curva “tensão x

deformação”, correspondente ao aço e ao compósito de fibra de carbono utilizado

no reforço.

DBD



Tabela 5.7 – Propriedades do concreto utilizado.

V1 a V3 V4 a V6

f’cu – Resistência à compressão 29,0 MPa 29,1 MPa

εc – Deformação associada a f’cu 3 ‰ 3 ‰

f’tu – Resistência à tração 2,9 MPa 2,9 MPa

Eo – Módulo de Elasticidade tangente inicial 20 GPa 20 GPa

υo – Coeficiente de Poisson 0,20 0,20

Tabela 5.8 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivo das vigas V1a V6.

βbc = fbc / fcu 1,25

βt = ftu / fcu 0,103

(ξ1, ρ1) (22,5;0)

(ξ2, ρ2) (22,5;0)

Energia de fraturamento à tração 80,0 N/m

Energia de fraturamento à compressão 440 N/m

σfis 0,75

Tabela 5.9 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do aço CA50A.


0 0,000

500 0,0025

620 0,0055

650 0,024

100 0,040

Tabela 5.10 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do compósito de fibra de

carbono.


0 0,000

3645 0,015

Analisando-se os resultados experimentais obtidos para as vigas V1 a V6,

foi observado que o colapso do sistema estrutural ocorreu pela ruptura do

compósito de fibra de carbono, imediatamente após a plastificação do aço de

flexão. Não havendo indicativo de ruptura por esmagamento do concreto e como a

DBD



ruptura do compósito acontece de forma frágil, a análise será conduzida a valores

abaixo do ponto limite, descrito no item 3.3, sem necessidade analítica e prática

de ir além deste.

Sendo assim, para obtenção dos resultados desejados foi utilizado na análise

o método de Newton-Raphson standard até o nível de carga mais próximo do

ponto limite permitido pelo método e pelos materiais utilizados.

Viga 1:

Estabelecendo-se um limite máximo de 200 iterações para obtenção da

convergência em cada passo de solução, atualizando-se a matriz de rigidez a cada

uma destas iterações, e controlando-se os valores de tolerância em termos de carga

e deslocamento, foram obtidos 19 pontos de convergência para análise e

comparação de resultados. Os resultados obtidos em termos de desempenho e

fator de multiplicação (CCL) são apresentados na Tabela 5.11.

Analisando-se a curva “carga x deslocamento” obtida na análise, mostrada

nos Gráficos 5.14 e 5.15 em conjunto com o resultado experimental, percebe-se a

existência de dois pontos que marcam a perda gradual de rigidez do sistema

estrutural.



1 5 0,50 2 3 1,00 3 4 1,50 4 4 2,00 5 6 2,50 6 6 3,00 7 7 4,00 8 8 5,00 9 3 6,00

10 15 8,00 11 16 9,00 12 14 10,00 13 34 14,00 14 29 17,00 15 37 19,00 16 33 20,00 17 26 20,75 18 31 21,50 19 44 22,50

x Cargas Aplicadas

Introdução do reforço

DBD



0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

Flecha (mm)

Car

ga (k

N)

Experimental Teórico

Figura 5.15 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição do deflectômetro 1 -

Comparação entre o valore teórico da viga reforçada e o experimental.

0255075

100

125

150175

200225250

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

Flecha (mm)

Car

ga (k

N)




O primeiro ponto pode ser notado próximo ao passo de solução que gera um

fator multiplicador igual a cinco e refere-se ao inicio efetivo da propagação das

fissuras de tração. Neste momento o concreto perde capacidade de resistência à

tração nas partes afetadas, e o conjunto aço-compósito atua única e efetivamente

gerando o binário resistente. Vale ressaltar que diferentemente do estudo anterior,

a adição do compósito aconteceu antes de iniciar-se o processo de fissuração.

Após acomodações entre os materiais, o conjunto segue resistindo através

de um comportamento linear até valores próximos de um fator multiplicador igual

a 20. Este comportamento linear se deve ao fato do aço se encontrar em seu

DBD



regime elástico, e trabalhar combinado ao compósito de fibra de carbono, sempre

elástico. Ocorre uma nova redução de rigidez do conjunto quando o aço, de

acordo com ensaio próprio, começa a perder rigidez gradualmente, causando

aumento na parcela de contribuição do compósito e sua conseqüente ruptura por

excesso de esforço. Este processo é notado claramente nas deformações que

ocorrem no vão biapoiado, inclusive invertendo a rotação no apoio do balanço e

causando redução na deflexão geral do balanço.

Comparando os resultados dos deslocamentos obtidos na análise numérica,

Gráficos 5.14 e 5.15, notam-se algumas diferenças de desempenho que podem ser

justificadas pela simplicidade do sistema experimental para aplicação de forças e

o do programa que é pré-definido e vetorial. O sistema experimental para

aplicação de forças é mecânico e deve ser desmontado para aplicação dos

reforços, enquanto o sistema do programa é predefinido e vetorial, o que permite a

rotação negativa de apoio já descrita. Os comportamentos do aço de flexão e do

compósito podem ser observado nas Figuras de 5.17 a 5.18.

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)


Figura 5.17 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 2 -

Comparação entre o valor teórico da viga reforçada e o experimental.

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0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)


Figura 5.18 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 7 -

Comparação entre o valor teórico da viga reforçada e o experimental.

Analisando-se o comportamento do aço que compõe a armadura

longitudinal, é possível observar que os valores teóricos e experimentais estão de

acordo com as considerações feitas anteriormente. O sistema mecânico

experimental de distribuição de cargas forçou os pontos de contato em suas

direções de deslocamento, causando a perda de rigidez no meio do vão e no

balanço quase ao mesmo tempo, diferente da análise teórica. Nota-se a perda do

“extensômetro 2” durante o ensaio, o que compromete em parte a análise gráfica

efetuada, pois de acordo com seu traçado inicial poderia constatar-se um

alinhamento quase semelhante entre e justificado para o extensômetro 7.

São apresentados na Tabela 5.12 valores comparativos entre a resposta

experimental e teórica. Tabela 5.12 – Comparação entre valores de carga e deformação na ruptura.

Pmáx

(kN)

∆máx

(mm)

εfmáx

(‰) Pmáx / Pmáx, exp

∆máx / ∆máx,

exp

εfmáx / εfmáx,

exp

Teórico 225,00 19,15 - 1,09 | 1,02 | 1,12 - -

Experim. V1 206,15 - - 1,00 - -

Experim. V2 219,55 - - 1,00 - -

Experim. V3 200,52 - - 1,00 - -

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Viga 4:

Seguindo-se o mesmo procedimento de modelagem e cálculo da viga V1,

com aumento da seção transversal do compósito no reforço negativo de acordo

com o item 2.5.2, os resultados obtidos em termos de desempenho e fator de

multiplicação são apresentados na Tabela 5.13.

Analisando-se as curvas “Carga x Flecha” é possível notar a

compatibilidade no desempenho entre o modelo teórico e o experimental,

mostrando que houve uma razoável concordância de resultados, o que confirma os

comentários feitos para a análise da viga V1.

025

5075

100125150

175200225250

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0

Flecha (mm)

Car

ga (k

N)






1 5 0,50 2 3 1,00 3 4 1,50 4 4 2,00 5 5 2,50 6 5 3,00 7 3 4,00 8 6 5,00 9 20 6,00

10 17 8,00 11 15 9,00 12 12 10,00 13 20 14,00 14 29 17,00 15 27 19,00 16 22 20,00 17 26 20,75 18 27 21,50 19 40 22,60

x Cargas Aplicadas

Introdução do reforço

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0255075

100125150175200225250

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0

Flecha (mm)

Car

ga (k

N)


Figura 5.20 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição do deflectômetro 2.

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)


Figura 5.21 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 2.

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0

Deformação (‰)

Car

ga (k

N)

Experimental Teorico

Figura 5.22 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 7.

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O comportamento estrutural das vigas V1 e V4 são semelhantes, sendo

possível verificar que os mesmos pontos marcam a perda gradual de rigidez do

sistema estrutural. A confirmação é obtida analisando-se os gráficos de “Carga x

Flecha” e “Carga x Deformação”, onde o resultados experimentais e teóricos

praticamente se sobrepõem. Analiticamente nota-se que as tensões atuantes nos

pontos de esforço máximo praticamente se equivalem, sendo determinante para a

ruptura do compósito e do sistema uma diferença mínima entre propriedades.

Esta observação está retratada no fato de todos os gráficos de deslocamento e

deformação serem compatíveis entre valores teóricos e experimentais,

diferenciando-se apenas na eminência de ruptura.

São apresentados na Tabela 5.14 valores comparativos entre a resposta

experimental e teórica, baseando-se na deformação do aço-compósito e sem

corrigir os valores para eventuais distorções experimentais, mencionadas

anteriormente.

Tabela 5.14 – Comparação entre valores de carga e deformação na ruptura

Pmáx

(kN)

∆máx

(mm)

∗εfmáx

(‰) Pmáx / Pmáx, exp ∆máx / ∆máx, exp

εfmáx / εfmáx,

exp

Teórico 226,0 19,78 7,623 0,99 | 1,09 | 0,83 0,95 | 0,80 | 1,06 1,00

Experim. V3 227,97 20,89 7,620 1,00 1,00 1,00

Experim. V5 207,50 24,77 - 1,00 1,00 -

Experim. V6 272,08 18,57 - 1,00 1,00 -

* - Leitura correspondente à perda do extensômetro 2 em 180kN.

Devido à semelhança no comportamento estrutural das vigas estudadas, foi

escolhida para representar a analise de tensões no concreto o modelo gerado para

a viga V4. Assim, são apresentados nas Figuras 5.23, 5.24, 5.25, 5.26 e 5.27, os

campos de tensões horizontais para todos os passos de solução e pontos notáveis

mencionados. Na Figura 5.28 é apresentada a distribuição de tensões atuantes no

aço e no compósito de reforço, correspondente ao passo de solução 19 e a

distribuição de tensões horizontais representado na Figura 5.27.

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Figura 5.23 – Configuração de tensões atuantes durante o processo de fissuração – passo de

solução 8 – tensões de compressão e tração ao longo das seções transversais.

Figura 5.24 – Configuração de tensões atuantes no inicio do processo de escoamento do aço –

passo de solução 16 – tensões de compressão e tração ao longo das seções transversais.

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Figura 5.25 – Configuração de tensões atuantes ao inicio do processo de escoamento do aço –

passo de solução 16 – tensões principais de Compressão.

Figura 5.26 – Configuração de tensões atuantes na eminência de ruptura do compósito de fibra de

carbono – passo de solução 19 – tensões de compressão e tração ao longo das seções transversais.

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carbono – passo de solução 19 – tensões principais de compressão.


carbono – passo de solução 19 – armação e reforço de flexão

Estudando-se o campo de tensão representado nas Figura 5.23, pode-se

notar um patamar no valor das tensões de tração, parte inferior da viga, associado

ao inicio do processo de fissuração da viga e correspondente a primeira perda de

rigidez mencionada na analise do gráfico “Carga x Deslocamento”. Este

comportamento fica evidente ao analisar-se as distribuições de tensão ao longo

das seções transversais detalhadas, onde aparecem as tensões de compressão,

ainda com distribuição linear, e o patamar de tensão residual de tração associado a

resultante dos esforços de tração nas armaduras.

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Analisando-se a distribuição de tensões ao longo da seção transversal após

inicio do escoamento da armadura de tração, passo de solução 16, nota-se uma

distribuição linear das tensões de compressão com valores máximos já

ultrapassando o valor de f’c. Neste ponto, verifica-se que as fissuras, visualizadas

na Figura 5.24, já começam a comprometer as regiões de momento máximo.

Na eminência do colapso a viga apresenta um estado avançado de fissuração

e o concreto na zona comprimida mostra sinais de degradação com distribuição de

tensões não-linear. Entretanto, nota-se na Figura 5.28 que o compósito encontra-se

na eminência de ruptura, apresentando tensões de 3300 MPa, o aço com tensões

máximas entre 503 e 736 MPa, e a clara indicação do colapso do sistema pela de

ruptura destes elementos no vão bi-apoiado.

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6. Conclusões e Sugestões 6.1. Conclusões

A alteração das propriedades de elementos estruturais em concreto armado

através da colagem de tecidos ou lâminas de fibra de carbono ou fibra de vidro,

colagem de chapas de aço, adição de estribos pré-tracionados e colagem de barras

de aço, entre outros, representam uma alternativa extremamente interessante na

reestruturação, adaptação e recuperação de estruturas. Seguido a realização de

diversos estudos experimentais utilizando-se materiais compósitos, firmam-se os

conceitos de aplicação e colagem, junto a leveza, dimensões reduzidas e

resistência a altas tensões de tração. Estes materiais não tradicionais, têm através

destes estudos e de sua aplicação em campo definido parâmetros e critérios de

segurança confiáveis a sua aplicação em projetos.

Levando-se em conta esta evolução e a crescente confiabilidade no material,

torna-se cada vez mais presente a necessidade de estudos e ferramentas de análise

estrutural pertinentes. Esta evolução, baseada em dados experimentais e nos

métodos tradicionais de análise, pode levar a situações de análise e

dimensionamento mais elaborados, com melhor aproveitamento do material e a

determinação matemática de esforços e deformações de todo o conjunto.

De acordo com esta filosofia, apresentou-se neste trabalho um modelo

constitutivo de formulação hipoelástica proposto por Elwi & Murray (1979) para

concreto simples. Essa formulação utiliza o conceito de deformação uniaxial

equivalente de Darwin & Pecknold (1974) e o critério de ruptura de Willam &

Warnke (1975). Através da incorporação de relações uniaxiais entre tensões e

deformações, o concreto simples é descrito em seu comportamento à compressão,

à tração e ao cisalhamento. O comportamento à compressão é baseado em tensão

máxima, deformação equivalente, rigidez inicial e energia de fraturamento. O

comportamento à tração é baseado em tensão máxima, deformação equivalente,

rigidez inicial, na perda brusca de rigidez pela energia consumida pela formação

da fissura e pela energia de fraturamento. O comportamento ao cisalhamento é

descrito de forma semelhante ao descrito para compressão e tração até o valor de

tensão máxima, e na parte pós-pico pelo valor secante do módulo de elasticidade

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Conclusões e Sugestões 120

transversal e por um fator representativo da perda de engrenamento do agregado.

Junto ao modelo hipoelástico proposto por Elwi & Murray (1979) foi apresentado

o modelo elasto-plástico multilinear, utilizado para descrever o comportamento

das armações longitudinais e transversais dentro da malha de Elementos Finitos.

De acordo com o objetivo deste estudo, adaptou-se o modelo original de forma a

torná-lo capaz de reproduzir o comportamento estrutural de elementos em

concreto armado reforçados em serviço. Ou seja, as propriedades do sistema são

alteradas com a introdução de uma rigidez adicional e correspondente nos

elementos que representam o compósito, durante a atuação das cargas pertinentes.

Para implementação computacional do modelo apresentado foi utilizado o

programa de análise por Elementos Finitos FEPARCS (Elwi & Murray, 1980),

que incorpora estratégias de solução adequadas a problemas de natureza não-

linear, além de dispor de uma série de modelos constitutivos para concreto,

inclusive o modelo de Elwi & Murray, (1979). Sendo o FEPARCS (Elwi &

Murray, 1980) um programa originalmente de processamento numérico, foi

implementado um programa de pré e pós-processamento gráfico. Através deste

programa é possível gerar malha de elementos finitos, restrições, aplicar cargas,

definir propriedades, definir estratégias de cálculo para elementos bidimensionais

planos Q4 e Q8, e transferir automaticamente para a função de cálculo no

FEPARCS (Elwi & Murray, 1980). Efetuado o cálculo, pode-se através do pós-

processador analisar os resultados de esforços, deformações e deslocamentos para

os passos de solução válidos, além de introduzir reforços e reiniciar o cálculo para

novas configurações das estratégias de cálculo e análise não-linear.

A validação do programa desenvolvido foi feita utilizando-se os estudos

experimentais de Pinto (2000) e Cerqueira (2000) e o estudo de Araújo (2002),

onde, os procedimentos experimentais foram analisados, de acordo com o

apresentado no Capítulo 2, e algumas vigas escolhidas para serem modeladas e

analisadas. A validação consistiu na análise comparativa entre valores

experimentais e teóricos de colapso, e dos gráficos: “Carga x Flecha”, “Carga x

Deformação do Aço” e “Carga x Deformação do Compósito”, correspondente a

posições de monitoramento experimental. Para obtenção de resultados foi

utilizada como estratégia de solução não-linear o método de Newton-Raphson, em

sua versão standard, sem necessidade de utilização do método do comprimento de

arco para descrever os pontos pós-pico da curva “Carga x Deslocamento”. Este

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fato pode ser justificado pelo comportamento dos elementos estruturais reforçados

pela adição de compósitos de fibra de carbono, demonstrando aumento da rigidez

na região reforçada, retardo da entrada do aço em escoamento em relação à

estrutura não reforçada e ruptura frágil do compósito sem comportamento

definido além do ponto limite, exceto em casos de colapso por esmagamento do

concreto.

Analisando-se o estudo experimental desenvolvido por Pinto (2000) e

Cerqueira (2000), e fazendo-se considerações em relação a acomodações do

sistema, pôde-se observar a existência de pontos notáveis sobre a curva “Carga x

Flecha” – inicio da fissuração, inicio de escoamento do aço de flexão,

compatibilização entre as deformações no momento de descolamento do

compósito - , para os quais foram representados os campos de tensões na viga , a

distribuição de tensões no meio do vão e a configuração das deformações atuantes

nas armações (Figuras 5.8 a 5.13). Verificou-se que após um ajuste para

desconsiderar acomodações do sistema e de um ciclo de carga e descarga, o

comportamento entre as curvas referentes à análise numérica e as curvas obtidas

pelo monitoramento do ensaio realizado é praticamente o mesmo, tendo tangentes

e pontos notáveis praticamente iguais. Este comportamento, junto ao demonstrado

pelos gráficos “Carga x Deformação” do aço e do compósito, também

coincidentes até o ponto de descolamento do compósito, mostram a

correspondência de resultados entre a análise numérica e os resultados

experimentais. O estudo experimental desenvolvido por Araújo (2002) também

pode ser verificado e compatibilizado pela análise numérica, apesar de algumas

diferenças existentes entre os resultados experimentais. Constatam-se os mesmos

pontos notáveis descritos no estudo anterior, e foi possível verificar grande

aproximação com o estudo da viga V1, e uma completa concordância com os

resultados experimentais da viga V4, representados por gráficos “Carga x Flecha”,

“Carga x Deformação aço/compósito”, campos de tensões atuantes no concreto,

distribuição de tensões nos pontos de esforço máximo, configuração de

deformações do aço e do compósito e campos de tensões principais com indicação

de fissuras, representados pelas Figuras 5.23 a 5.28.

Assim, baseando-se nos exemplos verificados, pode-se dizer que o

programa desenvolvido foi capaz de descrever com grande aproximação o

comportamento estrutural de vigas em concreto armado reforçadas, em carga,

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através de compósitos de fibra de carbono. Algumas diferenças encontradas

podem ser justificadas pela diferença entre o procedimento experimental e

numérico, sendo as diferenças e considerações listadas a seguir: Teórico Experimental

Aplicação do reforço Numérico e por coordenadas

Desmontam-se os deflectômetros, é inserido um

pórtico de ancoragem e retoma-se o ensaio c/ carga atuante

diferente da prevista.

Aderência Perfeita

Podendo variar de acordo com zona de má ou boa aderência do

concreto e podendo sofrer acomodações durante o ensaio.

Sistema p/ aplicação de forças Numérico e com direcionamento vetorial

Mecânico, com direcionamento imposto pelo macaco hidráulico

e possibilidade de variação durante o ensaio

Mesmo com os resultados obtidos, deve-se salientar que as implementações

realizadas representam apenas um primeiro passo na obtenção de um modelo

completo e confiável para este sistema estrutural, sendo necessários outros

estudos e novas implementações nos programas desenvolvidos.

Quanto a elaboração de projetos de reforço utilizando-se materiais

compósitos, é válido salientar a importância da relação ( Ef . εf / Af ) / ( ES . εS /

AS ), que para valores muito baixos pode mascarar a iminência de ruptura do

conjunto, inevitável e quase que imediato ao escoamento do aço. Sendo assim, sua

parcela de contribuição no binário resistente é proporcional à relação apresentada,

e praticamente acompanha a deformação imposta pelo escoamento do aço,

apresentando ruptura do compósito e inevitável ruptura do aço. Nestes casos o

compósito não descola, pois mesmo com tensões normais altas, a força de

arrancamento e as tensões tangenciais são relativamente baixas.

6.2. Sugestões Para Trabalhos Futuros

Como sugestões para trabalhos futuros relacionados ao tema, propõe-se:

O estudo experimental da aderência de compósitos ao concreto

através de vigas, obtendo relações entre armadura longitudinal e

quantidade de fibra empregada no reforço;

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Implementar o controle de aderência nas armações, utilizando-se

inclusive parâmetros para determinação de descolamento ou não do

compósito utilizado na análise numérica;

O estudo numérico e experimental de vigas em concreto armado

com furos executados após a sua moldagem, reforçados através da

adição de compósitos de fibra de carbono;

O estudo numérico e experimental de consolos e ligações viga

coluna reforçados através da adição de compósitos de fibra de

carbono;

Continuar as implementações no programa de pré-processamento,

adicionando-se um módulo para criação de malha com qualquer

forma, introdução de furos, determinação de diferentes

propriedades para partes do concreto que compõe a viga, entre

outros.

Continuar as implementações no programa de pós-processamento,

adicionando-se um módulo para interpolação através de isovalores

para tensões e deformações nos elementos finitos Q4 e Q8, modulo

para elaboração de gráfico que monstre a distribuição de tensões ao

longo de uma seção transversal selecionada, entre outros.

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Marcello Varella Souto Filho Modelagem Numérica de Reforço ... Souto Filho, Marcello Varella; Velasco, Marta de Souza Lima. Numerical Modeling of Structural Strengthening of Reinforced