Mar a Eugenia Cejas 12/03/2011demetrio/Monografias/Materias/AF/3. Teoria de... · por abiertos convexos (son los conjuntos descritos en la observacion 2.0.2) ... Sea Wla uni on de

Teorıa de distribuciones

Marıa Eugenia Cejas

12/03/2011

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Analisis Funcional Teorıa de distribuciones

Indice

1. Introduccion 3

2. Conceptos previos 32.1. Tipos de EVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Teorema de Hahn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Hahn Banach version separacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Topologıa debil * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6. El principio de acotacion uniforme (PAU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Los espacios C∞(Ω) y DK 9

4. El espacio de las distribuciones 104.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. El espacio de funciones de prueba y de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. Calculo con distribuciones 165.1. Distribuciones dadas por funciones y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2. Diferenciacion de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3. Multiplicacion de una funcion con una distribucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4. Sucesiones de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Localizacion 20

7. Soporte de distribuciones 21

8. Distribuciones dadas por derivadas 22

Departamento de matematica - UNLP 2 Hoja 2 de 25

2 CONCEPTOS PREVIOS

1. Introduccion

La teorıa de distribuciones surge porque existen funciones no diferenciables. Desde el comienzodel calculo diferencial se intuye la necesidad de extender estas nociones de modo que las operacionesfundamentales del analisis se puedan realizar siempre y sin hipotesis complicadas de validez. Setrata, pues, de alguna manera, de obtener una nocion generalizada de diferenciacion que permitaderivar funciones (en principio) que no lo son en sentido ordinario y poder aplicar el calculo en suforma orginal.

El otro antecedente principal del origen de las distribuciones esta relacionado con el anterior,aunque tiene unas raıces mas proximas: se trata de las funciones generalizadas que fueron apa-reciendo cada vez con mas frecuencia en diversas areas del analisis, ligadas bien a las ecuacionesdiferenciales o a los distintos calculos operacionales que fueron surgiendo (transformada de Fourier,transformada de Laplace)

2. Conceptos previos

Repasaremos algunos de los conceptos vistos en el curso de Analisis funcional, no entraremosen detalle porque ya han sido estudiados, por ello no demostraremos la mayorıa de los resultadosde esta seccion.

Sea X un espacio vectorial sobre K (con K = R o C).

Recordemos que un espacio vectorial topologico (EVT) es un espacio topologico (X,τ) en elque X es un K-espacio vectorial, y la topologıa τ es de Hausdorff y cumple que las operacionesvectoriales

X ×X 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ X y K×X 3 (λ, x)

son continuas, cuando en X × X y en K × X se usan las topologıas producto. Observar queTx : X → X dada por Tx(y) = x + y es un homeomorfismo, con lo cual podemos calcular losentornos de x ∈ X como

Oτ (x)=x+Oτ (0):=x+ U = Tx(U) : U ∈ Oτ (0) .

Repasemos que una p : X → R es una seminorma si dados x, y ∈ X y λ ∈ K, se cumple que

1. p(x) ≥ 0

2. p(λx) = |λ| p(x)

3. p(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

Definicion 2.0.1. Sea X un K espacio vectorial.

1. Una familia F de seminormas de X se llama separadora si para cada par de puntos x 6= yexiste p ∈ F tal que p(x − y) 6= 0. Entonces la familia de funciones dz,p : X → R+, condz,p(x) = p(x− z), separa puntos de X.

2. Llamaremos σ(X,F) a la menor topologıa sobre X que hace a las funciones dz,p continuas.

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Observacion 2.0.2. Vale lo siguiente

1. La topologıa σ(X,F) es de Hausdorff

2. Fijado un x ∈ X, los entornos Oσ(X,F)(x) tiene una base formado por conjuntos

y ∈ X : pk(y − x) < ε, k ∈ In

moviendo n ∈ N, n-uplas (pk)k∈In en X y ε > 0

3. σ(X,F) hace de X un EVT.

Proposicion 2.0.3. Sea X un K-espacio vectorial, y sea σ(X,F) la topologıa inducida por unafamilia de seminormas F que separa puntos de X. Dada una red x = (xi)i∈I en X, se tiene que

xi converge a x ∈ X con σ(X,F) si y solo si p(xi − x) converge a 0 en R, para toda p ∈ F .

Proposicion 2.0.4. Sea X un K-espacio vectorial y sea ϕ un funcional lineal en X. Dada unafamilia separadora F de seminormas para X, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La funcional ϕ es σ(X,F)-continua.

2. Existe un M ≥ 0 y una n-upla (pk)k∈In en F tales que

|ϕ(x)| ≤M maxk∈In

pk(x), para todo x ∈ X

2.1. Tipos de EVT

Sea X un K-espacio vectorial.Un conjunto C ⊂ X se dice convexo si tC+ (1− t)C ⊂ C para todo 0 ≤ t ≤ 1 , un conjunto B ⊂ Xse dice balanceado si αB ⊂ B, para todo α ∈ K con |α| ≤ 1 y un conjunto E ⊂ X es acotado si acada entorno del 0 en X le correspode un s > 0 tal que E ⊂ tV para cada t > s.

Sea X un EVT:

X es localmente convexo si cada punto tiene una base de entornos que consiste de abiertosconvexo.

X es localmente compacto si cada punto tiene un entorno cuya clausura es compacta.

X es metrizable si τ es compatible con una metrica d.

X es un F -espacio si su topologıa τ es inducida por una metrica completa e invariante portraslaciones.

X es un espacio de Frechet si es localmente convexo y un F -espacio.

Observacion 2.1.1. 1. Notemos que si nos dan una familia F separadora de seminormas en X,resulta que la topologıa σ(X,F) tiene, en cada punto x ∈ X una base de entornos formadapor abiertos convexos (son los conjuntos descritos en la observacion 2.0.2)


2 CONCEPTOS PREVIOS 2.1 Tipos de EVT

2. Un conjunto E ⊂ X es acotado si y solo si cada seminorma p ∈ F es acotada en E:

⇒ Fijemos una seminorma p ∈ F . Llamemos V = x : p(x) < 1, que es un entorno del 0por la observacion 2.0.2, luego E ⊂ kV para algun k <∞. Con lo cual p(x) < k para cadax ∈ E. Se sigue que cada p ∈ F es acotada en E.

⇐ Sea U un entorno del 0, luego contiene a x ∈ X : pk(x) < ε, k ∈ In para algun ε > 0 yseminormas pk ∈ F , para cada k ∈ In. Por otro lado, existen Mk <∞ tales que pk < Mk enE. Si n > Mkε

−1, para k ∈ In, se sigue que E ⊂ nU , o sea E es acotado.

3. Sea X un EVT localmente convexo para cada x ∈ X existe una base de entornos balanceadosy convexos. Basta verlo para una base del 0. Por ser X localmente convexo existe una baseγ de entornos convexos del 0. Veamos primero que cada entorno del 0 contiene un entornodel 0 balanceado . Supongamos que U es un entorno del 0 en X. Como la multiplicacion porescalares es continua, existe un δ > 0 y un entorno V de 0 en X tal que αV ⊂ U para |α| < δ.Sea W la union de todos estos conjuntos αV . Luego W es un entorno del 0, que es balanceadoy W ⊂ U .

Ahora veamos que cada entorno convexo del 0 contiene un entorno convexo y balanceado del0. Supongamos que U un entorno convexo del 0. Sea A =

⋂αU , donde |α| = 1. Elegimos W

entorno balanceado del 0 contenido en U (podemos hacerlo por lo que vimos antes). Como Wes balanceado y |α| = 1, α−1W = W , luego W ⊂ αU . Entonces, W ⊂ A, y esto implica que elinterior Ao de A es un entorno del 0. Claramente Ao ⊂ U . Como A es interseccion de convexos,resulta convexo, luego Ao tambien. Veamos que Ao es balanceado. Basta probar que A esbalanceado. Elegimos r y β tal que 0 ≤ r ≤ 1, |β| = 1. Luego rβA =

⋂|α|=1

rβαU =⋂|α|=1

rαU .

Como αU es un convexo que contiene al 0, tenemos que rαU ⊂ αU . Esto es, rβA ⊂ A. Porlo tanto Ao es un entorno convexo y balanceado del 0 contenido en U .

Ahora para construir la base de entornos convexos balanceados del 0 consideramos para cadaU de γ un abierto W convexo y balanceado del 0 contenido en U . La coleccion de tales Wforman una base de entornos convexos y balanceados del 0.

El siguiente resultado se usara en la seccion siguiente

Teorema 2.1.2. Si X es un espacio vectorial topologico que satisface el primer axioma de nume-rabilidad, es decir todo punto tiene una base de entornos numerable. Luego existe una metrica den X que es compatible con la topologıa de X e invariante por traslaciones.

Demostracion. Consideremos el 0, por la observacion anterior existe Vn una base del 0 tal que

(1) Vn+1 + Vn+1 + Vn+1 + Vn+1 ⊂ Vn n = 1, 2, . . .

Sea D el conjunto de todos los racionales r de la forma

(2) r =∑∞

n=1 cn(r)2−n

donde cada ci(r) es 0 o 1 y solo para finitos valores es 1. Estos es, cada r ∈ D satisface 0 ≤ r ≤ 1.Sea A(r) = X si r ≥ 1; para cualquier r ∈ D, definimos

(3) A(r) = c1(r)V1 + c2(r)V2 + · · ·

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Notar que en realidad esta suma es finita. Definimos

(4) f(x) = ınf r : x ∈ A(r) x ∈ X y

(5) d(x, y) = f(x− y)

Para ver que d satisface las condiciones deseadas veamos la siguiente propiedad

(6) A(r) +A(s) ⊂ A(r + s) (x ∈ X , y ∈ X).

Asumamos que vale (6) y luego lo probamos.Como cada A(s) contiene al 0, por (6) se tiene que

(7) A(r) ⊂ A(r) +A(t− r) ⊂ A(t) (si r < t.)

Esto es A(r) esta totalmente ordenado por la inclusion de conjuntos. Veamos que

(8) f(x+ y) ≤ f(x) + f(y) (x ∈ X , y ∈ X)

Podemos asumir que el lado derecho de la desigualdad es < 1. Fijemos ε > 0. Existen r y s en Dtal que

f(x) < r , f(y) < s y r + s < f(x) + f(y) + ε.

Esto es x ∈ A(r), y ∈ A(s), y (6) implica que x+ y ∈ A(r + s). Ahora se tiene que,

f(x+ y) ≤ r + s < f(x) + f(y) + ε

como ε es arbitrario se tiene que vale (8).Como cada A(r) es balanceado (cada Vi lo es) f(x) = f(−x) (x ∈ A(r)⇔ −x ∈ A(r)). Es claro

que f(0) = 0. Si x 6= 0 luego x /∈ Vn = A(2−n) para algun n y entonces f(x) ≥ 2−n > 0.Con estas propiedades hemos probado que (5) define una metrica invariante por traslaciones en

X. Las bolas abiertas centradas en 0 son los conjuntos abiertos

(9) Bδ(0) = x : f(x) < δ =⋃r<δ A(r).

Si δ < 2−n, luego Bδ(0) ⊂ Vn. Luego Bδ(0) es una base de entornos del 0 para la topologıa de X.Con esto probamos que d es compatible con la topologıa de X.

Para completar la prueba nos queda ver que vale (6). Si r + s ≥ 1, luego A(r + s) = X y secumple trivialmente (6). Ahora supongamos que r + s < 1, usaremos la siguiente proposicion:

Si r, s y r + s estan en D y cn(r) + cn(s) 6= cn(r + s) para algun n luego en el menor n para elcual eso ocurre tenemos que cn(r) = cn(s) = 0 y cn(r + s) = 1.

Sea αn = cn(r), βn = cn(s), γn = cn(r + s). Si αn + βn = γn para todo n luego (3) porA(r)+A(s) = A(r+s). Ahora si esto no pasa, sea N el menor el ındice para el cual αN +βN 6= γN .Luego por la proposicion que citamos tenemos que αN = βN = 0 y γN = 1. Luego

A(r) ⊂ α1V1 + · · ·+ αN−1VN−1 + VN+1 + VN+2 + · · ·

⊂ α1V1 + · · ·+ αN−1VN−1 + VN+1 + VN+1.

donde estas contenciones valen por como se eligio la base Vn.De manera similar,

A(s) ⊂ β1V1 + · · ·+ βN−1VN−1 + VN+1 + VN+1.

Como αn + βn = γn para todo n < N tenemos entonces que


2 CONCEPTOS PREVIOS 2.2 Teorema de Hahn Banach

A(r) +A(s) ⊂ γ1V1 + · · ·+ γN−1VN−1 + VN ⊂ A(r + s)

pues γN = 1.

2.2. Teorema de Hahn Banach

Definicion 2.2.1. Sea X un R-espacio vectorial. Una funcion q : X → R se llama sublineal si

(1) q(x+ y) ≤ q(x) + q(y), x, y ∈ X

(2)q(λx) = λq(x), x ∈ X y λ ∈ R+

Teorema 2.2.2. (Hahn Banach) Sea X un R-espacio vectorial, q : X → R sublineal, Y ⊂ X unsubespacio y ϕ un funcional en Y que cumple la acotacion

ϕ(y) ≤ q(y), para todo y ∈ Y .

Entonces existe un funcional Φ sobre X que cumple:

1. Φ(x) ≤ q(x), para todo x ∈ X

2. Φ extiende a ϕ, o sea que Φ(y) = ϕ(y), para todo y ∈ Y

Teorema 2.2.3. (Hahn Banach con seminormas) Sea X un K-espacio vectorial, p : X → R+ unaseminorma, Y ⊂ X un subespacio y ϕ un funcional sobre Y que cumple la acotacion

|ϕ(y)| ≤ p(y), para todo y ∈ Y .

Entonces existe un funcional Φ sobre X que cumple:

1. |Φ(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ X.


Teorema 2.2.4. Sea X un espacio normado. Sea Y ⊂ X un subespacio y ϕ ∈ Y ∗ , o sea funcionallineal continua sobre Y. Entonces existe un funcional Φ ∈ X∗ que cumple


2. ‖Φ‖X∗ = ‖ϕ‖Y ∗

2.3. Hahn Banach version separacion

Teorema 2.3.1. (de separacion de Hahn-Banach) Sea (X, τ) un espacio vectorial topologico y seanU, V ⊂ X dos convexos disjuntos y no vacıos, tales que U es abierto. Luego existen φ ∈ (X, τ)∗ (eldual topologico de X) y t ∈ R tales que

Re ϕ(x) < t ≤ Re ϕ(y) para todo par x ∈ U , y ∈ V

Corolario 2.3.2. Sea (X, τ) un espacio localmente convexo y seanK,F ⊂ X dos convexos disjuntosy no vacıos, tales que K es compacto y F es cerrado. Luego existen ϕ ∈ (X, τ)∗R, o sea una funcionalR lineal continua, ε > 0 y t ∈ R tales que

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ϕ(x) ≤ t− ε < t ≤ ϕ(y) para todo par x ∈ K, y ∈ F

Corolario 2.3.3. Sea (X, τ) un espacio localmente convexo. Dados F ⊂ E un convexo cerrado, yx ∈ X − F , existen una ϕ ∈ (X, τ)∗R y un α ∈ R tales que ϕ(x) < α ≤ mın

y∈Fϕ(y)

Corolario 2.3.4. Si (X, τ) es un espacio localmente convexo, su dual X∗τ = (X, τ)∗ separa puntosde X

2.4. Topologıa debil *

Necesitamos definir la topologıa debil * para dotar de una topologıa al espacio de distribuciones.

Sea (X, τ) un espacio localmente convexo. Sea F = px : x ∈ X, donde px(ϕ) = |Jx(ϕ)| =|ϕ(x)|, (x ∈ X). Como X es localmente convexo, por el corolario 2.3.4, F es una familia separadorade seminormas. Consideramos la topologıa inducida por esta familia de seminormas la denotamosσ(X∗, X) , se la denomina topologıa debil * y se la abrevia w∗.

Esta topologıa se describe bien por convergencias, si ϕi ⊂ X∗τ , por la proposicion 2.0.3 setiene que

ϕiw∗→ ϕ⇐⇒ ϕi(x) −→ ϕ(x) para todo x ∈ X.

En otras palabras, la convergencia w∗ es la convergencia puntual.

2.5. Transformaciones lineales

Definicion 2.5.1. Supongamos que X e Y son espacios vectoriales topologicos y ∆ : X → Y eslineal, ∆ se dice acotado si ∆(E) es acotado si E es acotado. Valen los siguientes teoremas queusaremos a lo largo del trabajo.

Teorema 2.5.2. Sea ∆ un funcional lineal en un espacio vectorial topologico X. Supongamos que∆x 6= 0 para algun x ∈ X. Luego son equivalentes:

1. ∆ es continuo.

2. El nucleo N (∆) es cerrado.

3. N (∆) no es denso en X.

4. ∆ es acotado en algun entorno V de 0.

Teorema 2.5.3. Supongamos que X e Y son espacios vectoriales topologicos y ∆ : X → Y eslineal. Sean las siguientes propiedades:

1. ∆ es continua.

2. ∆ es acotada.

3. Si xn → 0 luego ∆xn : n = 1, 2, 3... es acotado.

4. Si xn → 0 luego ∆xn → 0.


3 LOS ESPACIOS C∞(Ω) Y DK 2.6 El principio de acotacion uniforme (PAU)

Vale que,

(1)→ (2)→ (3)

Ademas si X es metrizable, tambien vale

(3)→ (4)→ (1)

o sea, las cuatro propiedades son equivalentes.

2.6. El principio de acotacion uniforme (PAU)

Teorema 2.6.1. (PAU) Sean X e Y espacios de Banach. Si familia (Ti)i∈I de operadores linealesacotados tales que

Mx = supi∈I‖Tix‖Y <∞ para todo x ∈ X,

entonces,

M = supi∈I‖Ti‖ <∞

Corolario 2.6.2. (Teorema de Banach-Steinhaus) Sean X e Y dos espacios de Banach y sea(Tn)n∈N una sucesion de operadores lineales continuos tales que

para todo x ∈ X existe un yx ∈ Y tal que Tnx −→ yx para n→∞

entonces valen las siguientes propiedades:

(1) La sucesion es acotada, o sea que M = supn∈N‖Tn‖ <∞.

(2) El operador T : X → Y dado por

Tx = yx = lımn→∞

Tnx para cada x ∈ X

es lineal y acotado, y ‖T‖ ≤M .

3. Los espacios C∞(Ω) y DK

Empezamos esta seccion con algo de notacion y terminologıa que se usara en el desarrollo de lateorıa distribucional.

El termino multi-ındice denota una n-upla ordenada

α = (α1, α2, ..., αn)

de numeros enteros no negativos αi. A cada multi-ındice α se le asocia un operador diferencial

Dα =(

∂∂x1

)α1

· · ·(

∂∂xn

)αn

cuyo orden es

|α| = α1 + · · ·+ αn.

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Si |α| = 0,Dαf = f .Una funcion compleja f definida en un conjunto abierto no vacıo Ω ⊂ Rn pertenece a C∞(Ω)

si Dαf ∈ C(Ω) para cada multi-ındice α.El soporte de una funcion f (definida en un espacio topologico cualquiera) es la clausura de

x : f(x) 6= 0.Si K es un subconjunto compacto de Rn, DK denota el espacio de todas las funciones f ∈

C∞(Rn) cuyo soporte esta contenido en K.Ahora definiremos una topologıa en C∞(Ω), que hace a este espacio un espacio de Frechet y

ademas es tal que DK es un subespacio cerrado de C∞(Ω) para K ⊂ Ω.Para esto, elegimos compactos Ki (i = 1, 2, 3, . . .) tal que Ki ⊂ Ko

i+1 y Ω =⋃Ki (por ejemplo

pueden tomarse Ki = Bi(x)∩Ω, x ∈ Ω, son compactos relativos a Ω y cumplen lo pedido). Definimoslas seminormas pN en C∞(Ω), N = 1, 2, 3, . . ., de la siguiente forma

pN (f) = max |Dαf(x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N.

Esta es una familia de seminormas separadora, pues si f 6= g entonces f − g 6= 0, luego existeα multi-ındice tal que Dα(f − g) 6= 0, tomando N = |α| obtenemos que pN (f − g) 6= 0. Por ladefinicion 2.0.1 y el teorema 2.1.2 estas seminormas definen una topologıa en C∞(Ω) que hace deeste espacio un espacio vectorial topologico localmente convexo y metrizable.

Sea x ∈ Ω, el funcional f 7→ f(x) es continuo con esta topologıa, pues si fi es una red en C∞(Ω)que converge a f . Por la proposicion 2.0.3 pN (fi − f) → 0 para N = 1, 2, . . ., esto nos dice enparticular que (fi−f)(x)→ 0 o sea fi(x) converge a f(x). Es claro que DK es la interseccion de losespacios nulos de estos funcionales con x variando en el complemento de K. Luego por el teorema2.5.2 tenemos que DK es cerrado en C∞(Ω).

Una base de entornos del 0 es

VN = f ∈ C∞(Ω) : pN (f) < 1/N N = 1, 2, . . .

Si fi es una sucesion de Cauchy en C∞(Ω) y N es fijo, luego fi−fj ∈ VN si i, j son suficientementegrandes. Esto es |Dαfi −Dαfj | < 1/N en KN , si |α| ≤ N . Si cada Dαfi converge (uniformementesobre subconjuntos compactos de Ω) a una funcion gα. En particular fi(x) → g0(x). Luego g0 ∈C∞(Ω) y gα = Dαg0, entonces fi → g0 en la topologıa de C∞(Ω) .

Por lo tanto C∞(Ω) es un espacio de Frechet y entonces lo misma vale para cada DK (por sersubespacios cerrados).

4. El espacio de las distribuciones

4.1. Motivacion

Como ya dijimos la teorıa de distribuciones surge de la existencia de funciones no diferenciables.La idea es extender a una clase de objetos (llamadas distribuciones o funciones generalizadas) quees mucho mas grande que la clase de funciones diferenciables, en la cual el calculo pueda aplicarseen su forma original.

Para que sea util esta extension deberıan cumplirse al menos las siguientes propiedades:

(a) Cada funcion continua debe ser una distribucion.

(b) Cada distribucion debe tener derivadas parciales que sean distribuciones. Para las funcionesdiferenciables, la nueva idea de derivada tiene que coincidir con la original.


4 EL ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES4.2 El espacio de funciones de prueba y de distribuciones

(c) Las reglas usuales del calculo deben valer para distribuciones.

Para motivar la definicion, vamos a limitarnos al caso en una variable.Una funcion compleja f se dice localmente integrable si f es medible Lebesgue y

∫K |f | <∞ para

cada compacto K ⊂ R.

Sea D = D(R) el espacio de todas las φ ∈ C∞(R) cuyo soporte es compacto. Luego∫fφ existe

para cada funcion f localmente integrable y cada φ ∈ D. Si f ∈ C1(R), luego

(1)∫f ′φ = −

∫fφ′ φ ∈ D

Si f ∈ C∞(R) luego

(2)∫f (k)φ = (−1)k

∫fφ(k) φ ∈ D, k = 1, 2, 3, . . .

Donde (1) y (2) se obtienen integrando por partes y teniendo en cuenta que el soporte de φ escompacto.

Observar que el lado derecho de las integrales (1) y (2) tiene sentido sea f diferenciable o no, ydefinen funcionales lineales en D.

Entonces, podemos asignar a cada f localmente integrable una ”k-esima derivada”f (k) es lafunciona lineal en D que manda φ a (−1)k

∫fφ(k). Notar que a f le corresponde el funcional

φ 7→∫fφ.

Las funcionales anteriores, que sean continuas respecto a cierta topologıa, seran distribuciones.

Lo anterior sugiere que asociemos a cada distribucion ∆ su ”derivada”∆′ por la formula ∆′(φ) =−∆(φ′), φ ∈ D. Veremos que esta definicion (que la extenderemos a n variables) tiene las propie-dades deseadas.

4.2. El espacio de funciones de prueba y de distribuciones

Definicion 4.2.1. Consideremos un conjunto abierto no vacıo Ω ⊂ Rn. Para cada compactoK ⊂ Ω,hemos descrito el espacio de Frechet DK en la seccion anterior. La union de estos espacios DK ,sobre todos los compactos K contenidos en Ω, es el espacio de funciones de prueba D(Ω). Es claroque D(Ω) es un espacio vectorial con la suma y la multiplicacion escalaras de funciones complejas(ESCRIBO LA VERiFICACION DE QUE ES EV??). Se tiene que φ ∈ D(Ω) si y solo siφ ∈ C∞(Ω) y el soporte de φ es un subconjunto compacto de Ω.

Definimos las las siguientes normas

‖φ‖N = max |Dαφ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N

para φ ∈ D(Ω) y N = 0, 1, 2, . . ..

La restriccion de estas normas a cualquier DK ⊂ D(Ω) fijo induce la misma topologıa en DKque definen las seminormas pN de la seccion anterior. Para ver esto, recordemos que Ω =

⋃iKi

con Ki ⊂ Koi+1 , Ki compacto. Si K ⊂ Ω compacto, entonces K ⊂ KN para todo N ≥ N0. Para

estos N , ‖φ‖N = pN (φ), con φ ∈ DK . Ademas

‖φ‖N ≤ ‖φ‖N+1 y ‖p‖N ≤ ‖p‖N+1

ahora las topologıas inducidas por una sucesion de seminormas no cambia si consideramos la suce-sion arrancando de N = N0 en vez de 1. Con lo cual estas desigualdades nos dicen que las topologıasson equivalentes. Una base de entornos del 0 esta formada por los conjuntos

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VN = φ ∈ DK , ‖φ‖N < 1/N N = 1, 2, . . .

Las normas ‖‖N forman una familia separadora de normas, luego definen una topologıa enD(Ω) que hace de este espacio un espacio vectorial topologico localmente convexo y metrizable(observacion 2.0.1 y teorema 2.1.2). Sin embargo esta topologıa tiene una desventaja, ya que lametrica no es completa. Veamos un ejemplo de esto.

Ejemplo 4.2.2. Tomamos n = 1, Ω = R, elegimos φ ∈ D(R) con soporte en [0, 1] y φ > 0 en (0, 1)y definimos

ψm(x) = φ(x− 1) + 12φ(x− 2) + · · ·+ 1

mφ(x−m).

El soporte de ψm esta contenido en⋃mi=0 [i, i+ 1] y ademas ψm es una sucesion de Cauchy en la

topologıa inducida por ‖‖N :

‖ψm+p − ψm‖N = max |Dα(ψm+p − ψm)(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N =

max∣∣∣Dα( 1

m+1φ(x− (m+ 1)) + · · ·+ 1m+pφ(x− (m+ p))

∣∣∣ : x ∈ Ω, |α| ≤ N

≤ max∑p

i=11

m+i |Dαφ(x− i)| : x ∈ Ω, |α| ≤ 1

≤ 1

m+1max ∑p

i=1 |Dαφ(x− i)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N

= 1m+1

∑pi=1max |Dαφ(x− i)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N

= 1m+1p ‖φ‖N

m→∞−→ 0, para cada p ∈ N

Ahora lim ψm no tiene soporte compacto, pues si x > 0 y x /∈ N,entonces x ∈ (k, k + 1) para ununico k ∈ N, luego para todo m ≥ k se tiene que ψm(x) = 1

kφ(x− k) 6= 0.

Definiremos otra topologıa τ localmente convexa en D(Ω) en la cual las sucesiones de Cauchysean convergentes, pero τ no sera metrizable (lo cual no sera un gran inconveniente).

Definicion 4.2.3. Sea Ω ⊂ Rn abierto no vacıo.

1. Para cada compacto K ⊂ Ω, τK denota la topologıa en DK dada por las seminormas pN

2. β es la coleccion de todos los conjuntos W ⊂ D(Ω) convexos balanceados tales que DK ∩W ∈τK para cada compacto K ⊂ Ω.

3. τ es la coleccion de uniones de conjuntos de la forma φ+W , con φ ∈ D(Ω) y W ∈ β.

Veremos en los siguientes teoremas que τ es una topologıa cumpliendo lo deseado.

Teorema 4.2.4. Vale que

1. τ es una topologıa en D(Ω), y β es una base del 0 para τ .

2. τ hace a D(Ω) un espacio vectorial topologico localmente convexo.



Demostracion. (a). Sean V1, V2 ∈ τ y φ ∈ V1 ∩ V2, veamos que V1 ∩ V2 ∈ τ . Basta probar que

(1) φ+W ⊂ V1 ∩ V2 para algun W ∈ β

Por definicion de τ , existe φi ∈ D(Ω) y Wi ∈ β tal que

(2) φ ∈ φi +Wi ⊂ Vi (i = 1, 2).

Elegimos K tal que DK contiene a φ1, φ2 y a φ (tomo por ejemplo la union de los compactos quecontienen a los soportes de estas funciones). Como DK ∩Wi es abierto en DK tenemos que

(3) φ− φi ∈ (1− δi)Wi

para algun δi > 0 (POR QUE EXISTE ESE DELTA?? POR SER BALANCEADO?).Como Wi es convexo entonces

(4) φ− φi + δiWi ⊂ (1− δi)Wi + δiWi = Wi

entonces

φ+ δiWi ⊂ φi +Wi ⊂ Vi (i = 1, 2)

Luego (1) se cumple si tomamos W = (δ1W1) ∩ (δ2W2).Ahora si Wλ ∈ τ por definicion de τ tenemos que

⋃λ∈∆Wλ ∈ τ . Ademas ∅,D(Ω) ∈ τ . Con lo

cual τ es una topologıa en D(Ω).Por otro lado β es una base del 0: es claro que 0 ∈W por ser W balanceado, sea V un entorno

del 0, entonces existe W ∈ β y φ ∈ D(Ω) tal que 0 ∈ φ + W ⊂ V , φ + W ∈ β (invarianza portraslaciones).

(b) Sean φ1,φ2 ∈ D(Ω), φ1 6= φ2 COMO VEO QUE τ es HAUSDORFF??La suma es τ -continua, pues como cada W ∈ β es convexo tenemos que,

(ψ1 + 12W ) + (ψ2 + 1

2W ) = (ψ1 + ψ2) +W

para ψ1, ψ2 ∈ D(Ω).La multiplicacion por escalares es τ -continua. Elegimos un escalar α0 y a φ0 ∈ D(Ω). Luego

αφ− α0φ0 = α(φ− φ0) + (α− α0)φ0.

Si W ∈ β, existe δ > 0 tal que δφ0 ∈ 12W . Elegimos c tal que 2c(|α0|+ δ) = 1. Como W es convexo

y balanceado, se sigue que

αφ− α0φ0 ∈W

si |α− α0| < δ y φ− φ0 ∈ cW .Ahora como ya dijimos β es una base de entornos del 0 , pero ademas dichos entornos son

convexos. Con lo cual τ hace de D(Ω) un espacio vectorial topologico localmente convexo.

De ahora en mas, el sımbolo D(Ω) denotara al espacio vectorial topologico (D(Ω), τ) con τ latopologıa descrita en la definicion 4.2.3. Todos los conceptos topologicos de D(Ω) seran respecto aτ .

Teorema 4.2.5.

(a) Un conjunto convexo y balanceado de D(Ω) es abierto si y solo si V ∈ β.

(b) La topologıa τK de cualquier DK ⊂ D(Ω) coincide con la topologıa de τ relativa a DK .

13


(c) Si E es un subconjunto acotado D(Ω), luego E ⊂ DK para algun K ⊂ Ω y existen numerosMN <∞ tal que para cada φ ∈ E se satisfacen las desigualdades

‖φ‖N ≤MN , N = 0, 1, 2, . . .

(d) Si φi es una sucesion de Cauchy en D(Ω), luego φi ⊂ DK para algun K ⊂ Ω y

lımi,j→∞

‖φi − φj‖N = 0 , N = 0, 1, 2, . . .

(e) Si φi −→ 0 en la topologıa de D(Ω), luego existe un compacto K ⊂ Ω que contiene el soportede cada φi, y Dαφi −→ 0 uniformemente ,cuando i→∞,para cada multi-ındice α.

(f) En D(Ω) cada sucesion de Cauchy converge.

Demostracion. (a) Si V ∈ τ , elegimos φ ∈ DK ∩ V , para algun K ⊂ Ω compacto. Por el teorema4.2.4 φ + W ⊂ V para algun W ∈ β. Luego, φ + (DK ∩W ) ⊂ DK ∩ V . Como DK ∩W es abiertoen DK entonces DK ∩ V ∈ τK .

Ahora es claro que si V ∈ β entonces V ∈ τ .(b) Supongamos que W es abierto en la topologıa relativa, o sea W = V ∩ DK para V ∈ τ por elinciso anterior W ∈ τK .

Ahora sea E ∈ τK , debemos ver que E = DK ∩ V para algun V ∈ τ . Por definicion de τK , paracada φ ∈ E existe un N > 0 y δ > 0 tal que

ψ ∈ DK : ‖ψ − φ‖N < δ ⊂ E.

Sea Wφ = ψ ∈ DK : ‖ψ‖N < δ. Es claro que Wφ es convexo y balanceado, ademas Wφ ∩ DK =ψ ∈ DK : ‖ψ‖N < δ ∈ τK . Luego Wφ ∈ β y

DK ∩ (φ+Wφ) = φ+ (DK ∩Wφ) ⊂ E

Si V es la union de estos abiertos φ+Wφ, sobre φ ∈ E. Luego V tiene las propiedades deseadas.(c) Supongamos que E ⊂ D(Ω) y E no esta contenido en ningun DK . Luego existen funcionesφm ∈ E y xm ∈ Ω (todos distintos) que no tienen punto lımite en Ω y tales que φm(xm) 6= 0(m = 1, 2, . . .). Sea W el conjunto de todas las φ ∈ D(Ω) que satisfacen

|φ(xm)| < m−1 |φm(xm)| (m = 1, 2, . . .).

Si K es compacto, entonces debe contener solo finitos xm (si hubiera infinitos habrıa un puntolımite). COMO VEO QUE DK ∩ W ∈ τK??. Entonces W ∈ β. Como φm /∈ mW , ningunmultiplo de W contiene a E. Por lo tanto E no es acotado.

Luego cada conjunto acotado de D(Ω) esta contenido en algun DK . Por el inciso (b) E esacotado en DK , como consecuencia

sup ‖φ‖N : φ ∈ E <∞ (N = 0, 1, . . .) ( por observacion 2.1.1 (2))

luego para cada N existe MN <∞ tal que ‖φ‖N ≤MN para toda φ ∈ E.(d) Si φi de Cauchy en D(Ω) entonces φi es acotado:Si V y W son entornos balanceados del 0 con V +V ⊂W luego existe N tal que xn ∈ xN +V paratodo n ≥ N . Tomamos s > 1 tal que xN ∈ sV . Luego

xn ∈ sV + V ⊂ sV + sV ⊂ sW (n ≥ N).



Luego xn ∈ tW para todo n ≥ 1, si t es suficientemente grande.

Como φi acotado esta contenida en DK para algun K compacto, por (b) φi es τK -Cauchyentonces lım

i,j→∞‖φi − φj‖ = 0

(e) Si φi → 0 entonces φi de Cauchy en D(Ω). Luego φi ⊂ DK para algun K compacto. Sesigue que, el soporte de cada φi esta contenido en K y entonces lım

i→∞‖φi‖N = 0 ,N = 0, 1, . . ., esto

es,

lımi→∞

∣∣Dβφi(y)∣∣ ≤ lım

i→∞max |Dαφi(x)| : |α| ≤ N, x ∈ K = 0

para cada y ∈ K y |β| ≤ N , con lo cual Dβφi → 0 uniformemente para cada multi-ındice β.(f) Sea φi de Cauchy en D(Ω). Por (d) φi ⊂ DK para algun K. Como DK completo φi convergea φ ∈ DK ,por (b) φi es τ convergente.

Teorema 4.2.6. Supongamos que ∆ es una aplicacion lineal de D(Ω) en un espacio localmenteconvexo Y . Luego son equivalentes

(a) ∆ es continua

(b) ∆ es acotada

(c) Si φi → 0 en D(Ω) entonces ∆φi → 0 en Y

(d) Las restricciones de ∆ a cada DK ⊂ D(Ω) son continuas.

Demostracion. (a)⇒ (b) lo vimos en el teorema 2.5.3

(b)⇒ (c) Sea φi → 0 en D(Ω), por el teorema anterior φi → 0 en algun DK y la restriccion de ∆ aeste DK es acotado, por el teorema 2.5.3 aplicado a ∆ : DK → Y tenemos que ∆φi → 0 en Y.

(c)⇒ (d) Basta ver que las restricciones son continuas en 0. Sea φi ⊂ DK , φi → 0 en DK . Porel inciso (b) del teorema anterior, φi → 0 en D(Ω), entonces por (c) ∆φi → 0. Como DKmetrizable, tenemos que la restriccion a DK de ∆ es continua.

(d)⇒ (a) Sea U un entorno convexo y balanceado de 0 en Y , sea V = ∆−1(U). Luego V esconvexo y balanceado por ser ∆ lineal. Por (a) del teorema anterior V ∈ τ si y solo siDK ∩ V ∈ τK para cada DK . Pero V ∩ Dk = DK ∩∆−1(U) = (∆/DK)−1(U) ∈ τK por (d).

Corolario 4.2.7. Cada operador diferencial Dα es continuo de D(Ω) en D(Ω).

Demostracion. Sale del teorema anterior, pues ‖Dαφ‖N ≤ ‖φ‖N+α, N = 0, 1, . . .

Definicion 4.2.8. Un funcional lineal en D(Ω) continuo con respecto a τ es lo que se llama unadistribucion.

El espacio de todas las distribuciones en Ω se denotaD′(Ω). Notar que el ultimo teorema se aplicaa funcionales lineales sobre D(Ω). Luego tenemos la siguiente caracterizacion de las distribuciones.

Teorema 4.2.9. Si ∆ es un funcional lineal en D(Ω), las siguientes condiciones son equivalentes:

15


(a) ∆ ∈ D′(Ω)

(b) A cada compacto K ⊂ Ω le corresponde un numero entero no negativo N y una constanteC <∞ tal que vale la siguiente desigualdad:

|∆φ| ≤ C ‖φ‖N

para cada φ ∈ DK

Demostracion. (a)⇒ (b) Como ∆ es continua, entonces ∆/DK continua. Luego existe N0 ∈ N talque K ⊂ KN para todo N ≥ N0 (por como se eligen los KN ), entonces por la proposicion 2.0.4existen C > 0 y pi1 , pi2 , . . . pil , con los ij ≥ N0, tales que

|∆(φ)| ≤ C maxj=1,2,...,l

pij (φ) = C maxj=1,2,...,l

‖φ‖ij = C ‖φ‖N , N = max ij : j = 1, 2, ..., l

para toda φ ∈ DK .

(b)⇒ (a) De(b) se deduce que ∆ restringida a DK es continuo para todo K ⊂ Ω compacto. Luegopor el ultimo teorema ∆ ∈ D′(Ω)

Definicion 4.2.10. Si ∆ es tal que existe un mismo N para todos los K (no necesariamente elmismo C), luego el menor de tales N se llama el orden de ∆. Si no existe tal N se dice que ∆ tieneorden infinito.

Ejemplo 4.2.11. Cada x ∈ Ω determina un funcional lineal δx en D(Ω) por la formula

δx(φ) = φ(x)

|δx(φ)| = |φ(x)| ≤ ‖φ‖0, para toda φ ∈ DK . Luego por el teorema anterior δx es una distribucion,de orden 0.

Si x = 0 en Rn, el funcional δ = δ0 se conoce como la delta de Dirac en Rn.Dado que, para cada K ⊂ Ω, DK es la interseccion de los nucleos de los funcionales δx, sobre

los x ∈ Ω − K, se sigue que cada DK es cerrado en D(Ω) (teorema 2.5.2). COMO VEO QUECADA Dk TIENE INTERIOR VACIO RELATIVO A D(Ω)??. Dado que hay una coleccionnumerable de conjuntos Ki ⊂ Ω tal que D(Ω) =

⋃iDKi , se tiene que D(Ω) es de primera categorıa.

Como D(Ω) es completo no puede ser metrizable, pues si lo fuera, aplicando el teorema de Bairetendrıamos que D(Ω) es de segunda categorıa.

5. Calculo con distribuciones

Notacion: Como antes Ω denotara un abierto de Rn. Si α = (α1, α2, ..., αn) y β = (β1, β2, ..., βn)son multi-ındices, luego

|α| = α1 + · · ·+ αn

Dα = Dα11 · · ·Dαn

n donde Dj = ∂∂xj

Decimos que


5 CALCULO CON DISTRIBUCIONES 5.1 Distribuciones dadas por funciones y medidas

β ≤ α si βi ≤ αi para 1 ≤ i ≤ n

α± β = (α1 ± β1, · · · , αn ± βn)

Si x ∈ Rn y α es un multi-ındice, el monomio xα se define como

xα = xα11 · · ·xαn

n .

5.1. Distribuciones dadas por funciones y medidas

Supongamos que f es una funcion localmente integrable en Ω. Definimos

∆f (φ) :=∫

Ω φ(x)f(x)dx (φ ∈ D(Ω)).

Es claro que vale la siguiente desigualdad

|∆f (φ)| ≤(∫K |f |

)‖φ‖0 (φ ∈ Dk).

Por el teorema 4.2.9 se sigue que ∆f ∈ D′(Ω). Es comun identificar la distribucion ∆f con la funcionf y decir que tales distribuciones ”son”funciones.

De manera similar, si µ es una medida compleja Boreliana en Ω, o si µ es una medida positivaen Ω con µ(K) <∞ para cada compacto K ⊂ Ω, la ecuacion

∆µ(φ) =∫

Ω φdµ φ ∈ D(Ω)

define una distribucion ∆µ en Ω, que usualmente se identifica con µ.

5.2. Diferenciacion de distribuciones

Si α es un multi-ındice y ∆′(Ω), la formula

Dα∆(φ) = (−1)|α|∆(Dαφ) φ ∈ D(Ω)

define un funcional lineal Dα∆ en D(Ω). Como ∆ continua, por el teorema 4.2.9 si K ⊂ Ω compacto,

|∆(φ)| ≤ C ‖φ‖N C > 0 , N ∈ N (φ ∈ DK)

luego se tiene que,

|Dα∆(φ)| = |∆(Dαφ)| ≤ C ‖Dαφ‖N ≤ C ‖φ‖N+|α|.

Aplicando nuevamente el teorema 4.2.9 se sigue que Dα∆ ∈ D′(Ω).

Vale la formula DαDβ∆ = Dα+β∆ = DβDα∆ se sigue para cada distribucion ∆ y cada par demulti-ındices α y β:

(DαDβ∆)(φ) = (−1)|α|Dβ∆(Dαφ)=(−1)|α|+|β|∆(DβDαφ) =(−1)|α+β|∆(Dα+βφ) =(Dα+β∆)(φ)

donde la anteultima igualdad vale dado que Dα y Dβ conmutan en C∞(Ω)

17


5.3. Multiplicacion de una funcion con una distribucion.

Supongamos que ∆ ∈ D′(Ω) y f ∈ C∞(Ω). El lado derecho de la ecuacion

(1) (f∆)(φ) = ∆(fφ) (φ ∈ D(Ω))

tiene sentido pues fφ ∈ D(Ω) cuando φ ∈ D(Ω). Esto es, (1) define un funcional lineal f∆ enD(Ω). Veremos que, de hecho, f∆ es una distribucion. La prueba de esto depende de la formula deLeibniz

(2) Dα(fg) =∑β≤α

cαβ(Dα−βf)(Dβg),

valida para toda f y g en C∞(Ω) y todo multi-ındice α. Dicha formula se obtiene de iterar laformula (uv)′ = u′v + uv′. Los numeros cαβ son enteros positivos que no calcularemos porque sonirrelevantes en nuestro estudio.

A cada compacto K ⊂ Ω le corresponde un C > 0 y N ∈ N tal que |∆φ| ≤ C ‖φ‖N para cadaφ ∈ DK . Por (2) existe una constante C ′ > 0, que depende de f , K y N , tal que ‖fφ‖N ≤ C ′ ‖φ‖N ,para φ ∈ DK . Luego,

(3) |(f∆)(φ)| ≤ CC ′ ‖φ‖N (φ ∈ DK),

por el teorema 4.2.9 tenemos que f∆ ∈ D′(Ω).Ahora queremos mostrar que vale la formula (2) pero en lugar de una funcion g con una

distribucion ∆, osea,

(4) Dα(f∆) =∑β≤α

cαβ(Dα−βf)(Dβ∆).

La prueba de esta propiedad no es mas que hacer varios calculos. Asociamos a cada u ∈ Rn lafuncion hu definida por

hu(x) = exp(u.x).

Luego vale que Dαhu = uαhu. Apliquemos (2) a hu y hv en lugar de f y g tenemos que

(u+ v)αhu+v = Dα(hu+v) = Dα(huhv) =∑β≤α

cαβuα−βvβhv =

∑β≤α

cαβuα−βvβhu+v,

de donde resulta la formula

(u+ v)α =∑β≤α

cαβuα−βvβ u, v ∈ Rn.

En particular,

uα = [v + (−v + u)]α =∑β≤α

cαβvα−β ∑

γ≤βcβγ(−1)|β−γ|vβ−γuγ

=∑γ≤α

(−1)|γ|vα−γuγ∑

γ≤β≤α(−1)|β|cαβcβγ .

Luego debe ser

(5)∑

γ≤β≤α(−1)|β|cαβcβγ=

(−1)|α| si γ = α0 si γ 6= α


5 CALCULO CON DISTRIBUCIONES 5.4 Sucesiones de distribuciones

Ahora, aplicando (2) a Dβ(φDα−βf) y usando (5) obtenemos∑β≤α

(−1)|β|Dβ(φDα−βf) = (−1)|α|fDαφ.

Ahora si φ ∈ D(Ω), luego

Dα(f∆)(φ) = (−1)|α|(f∆)(Dαφ) = (−1)|α|∆(fDαφ) =∑β≤α

(−1)|β|Dβ(φDα−βf) =∑β≤α

cαβ(Dβ∆)(φDα−βf) =∑β≤α

cαβ[(Dα−βf)(Dβ∆)](φ),

que era lo que querıamos probar.

5.4. Sucesiones de distribuciones

Como D′(Ω) es el espacio de todas las funcionales lineales continuas en D(Ω), sabemos que enD′(Ω) tenemos definida una topologıa, la w∗, inducida por D(Ω) y que hace de D′(Ω) un espaciovectorial topologico localmente convexo. Si ∆i es una sucesion de distribuciones en Ω, cuandoescribimos ∆i → ∆ , nos referimos a la convergencia con la w∗. Sabemos que la convergenciaesta caracterizada por la convergencia puntual, esto es

lımi→∞

∆iφ = ∆φ,

para toda φ ∈ D(Ω).En particular si fi es una sucesion de funciones localmente integrables en Ω, ”fi → ∆” en el

sentido distribucional si

lımi→∞

∫Ω φ(x)fi(x)dx = ∆φ,

para cada φ ∈ D(Ω).

Teorema 5.4.1. Supongamos que ∆i ∈ D′(Ω) para i = 1, 2, . . . y sea

∆φ := lımi→∞

∆iφ,

o sea, suponemos que ese limite existe para cada φ ∈ D(Ω). Luego ∆ ∈ D′(Ω) y

Dα∆i → Dα∆,

para cada multi-ındice α

Demostracion. Sea K un subconjunto compacto de Ω. Como cada DK es un espacio de Frechet,por el teorema de Banach-Steinhaus tenemos que ∆ restringida a DK es continua. Por el teorema4.2.9 resulta que ∆ es continua en D(Ω).Ahora,

(Dα∆)(φ) = (−1)|α|∆(Dαφ) = (−1)|α| lımi→∞

∆i(Dαφ) = lım

i→∞(Dα∆i)(φ).

Con esto hemos completado la prueba del teorema.

Teorema 5.4.2. Si ∆i → ∆ en D′(Ω) y gi → g en C∞(Ω) (o sea, con la topologıa definida en laseccion 3), luego gi∆i → g∆ en D′(Ω).

19


Demostracion. Fijemos φ ∈ D(Ω), tenemos que probar que (gi∆i)(φ) → (g∆)(φ). Definimos elfuncional B en C∞(Ω)×D′(Ω)

B(g,∆) = (g∆)(φ) = ∆(gφ).

Luego, B es continua con funcion de g para ∆ fijo y como funcion de ∆ para g fijo. Entonces B escontinua, con lo cual

B(gi,∆i)→ B(g,∆) cuando i→∞

O sea,

(gi∆i)(φ)→ (g∆)(φ).

6. Localizacion

Definicion 6.0.3. Supongamos que ∆i ∈ D′(Ω) para i = 1, 2 y ω es un subconjunto abierto de Ω.Decimos que ∆1 = ∆2 en ω si

∆1φ = ∆2φ, para cada φ ∈ D(ω)

Ejemplo 6.0.4. Sea f una funcion localmente integrable y µ una medida. Luego ∆f = 0 en ω siy solo si f(x) = 0 para c.t.p x ∈ ω, y ∆µ = 0 en ω si y solo si µ(E) = 0 para todo E subconjuntoboreliano de ω.

Veremos que es posible describir una distribucion globalmente, sabiendo como se comportalocalmente. Para ello necesitamos el concepto de particiones de la unidad, que estudiamos entopologıa.

Teorema 6.0.5. Si Γ es una coleccion de abiertos de Rn cuya union es Ω, luego existe una sucesionψi ⊂ D(Ω), con ψi ≥ 0 tal que:

(a) Cada ψi tiene soporte en algun abierto de Γ

(b)∑i≥1

ψi(x) = 1 para cada x ∈ Ω

(c) A cada compacto K ⊂ Ω corresponde un numero entero n y un abierto W ⊃ K tal que

ψ1(x) + · · ·ψm(x) = 1,

para cada x ∈W .

Tal coleccion ψi se llama una particion de la unidad localmente finita subordinada al cubrimientoΓ de Ω.

De (b) y (c) se sigue que cada punto de Ω tiene un entorno que interseca solo finitos soportesde ψi, por esto llamamos ψi localmente finita.

Teorema 6.0.6. Supongamos que Γ es un cubrimiento abierto de Ω ⊂ Rn y supongamos que acada ω ∈ Γ le corresponde una distribucion ∆ω ∈ D′(ω) tal que


7 SOPORTE DE DISTRIBUCIONES

∆ω′ = ∆ω′′ en ω′ ∩ ω′′

cuando ω′ ∩ ω′′ 6= ∅.Luego existe una unica ∆ ∈ D′(Ω) tal que

∆ = ∆ω en ω

para cada ω ∈ Γ.

Demostracion. Sea ψi una particion de la unidad localmente finita, subordinada a Γ. Asociamosa cada i un conjunto ωi ∈ Γ tal que ωi contiene el soporte de ψi.

Si φ ∈ D(Ω), luego φ =∑ψiφ. Solo finitos terminos de esta suma son distintos de 0, dado que

φ tiene soporte compacto (condicion (c) del teorema anterior). Definimos

∆φ :=∑i≥1

∆ωi(ψiφ).

Es claro que ∆ es un funcional lineal sobre D(Ω). Ahora veamos que ∆ es continua. Basta ver(c) del teorema 4.2.6. Supongamos que φj → 0 en D(Ω). Por (f) del teorema 4.2.5, existe K ⊂ Ωcompacto, que contiene los soportes de cada φj . Elegimos n como en (c) del teorema anterior, luego

∆φj =∑n

i=1 ∆ωi(ψiφj) para j = 1, 2, . . ..

Como ψiφj → 0 en D(ωi) para j →∞ y cada ∆ωi es continua, se sigue que ∆φj → 0. Por lo tanto∆ ∈ D′(Ω).

Sea φ ∈ D(ω), entonces ψφ ∈ D(ωi ∩ ω) i = 1, 2 . . .. Luego por hipotesis ∆ωi(ψiφ) = ∆ω(ψφ),se tiene entonces que

∆φ =∑

∆ω(ψiφ) = ∆ω(∑ψiφ) = ∆ωφ

Probamos que existe ∆ cumpliendo lo pedido. Ahora, es facil ver que es unica, sea ∆ cumpliendolas hipotesis del teorema, entonces

∆(φ) = ∆(ψiφ) =∑

∆ψiφ =∑

∆ωi(ψiφ) = ∆φ,

donde usamos que la suma en realidad es finita y que ∆ es lineal.

7. Soporte de distribuciones

Definicion 7.0.7. Sea ∆ ∈ D′(Ω). Si ω es un abierto de ω y si ∆φ = 0 para cada φ ∈ D(ω) decimosque ∆ se anula en ω. Sea W la union de todos los abiertos ω ⊂ Ω para los cuales ∆ se anula. Elcomplemento de W (relativo a Ω) es el soporte de ∆.

Teorema 7.0.8. Sea W como en la definicion anterior, luego ∆ se anula en W .

Demostracion. W es la union de abiertos ω en los cuales ∆ se anula. Sea Γ la coleccion de estosω y sea ψi una particion de la unidad localmente finita en W , subordinada a Γ. Si φ ∈ D(W ),luego φ =

∑ψiφ, y solo finitos terminos en esta suma son no nulos. Entonces se tiene que

∆φ =∑

∆(ψiφ) = 0,

dado que cada ψi tiene soporte en algun ω ∈ Γ

En el siguiente teorema el inciso (d) sera de gran importancia.

21


Teorema 7.0.9. Supongamos que ∆ ∈ D′(Ω) y S∆ es el soporte de ∆

(a) Si el soporte de alguna φ ∈ D(Ω) no interseca a S∆, luego ∆φ = 0.

(b) Si S∆ es vacıo, luego ∆ = 0.

(c) Si ψ ∈ C∞(Ω) y ψ = 1 en algun abierto V que contiene S∆, luego ψ∆ = ∆.

(d) Si S∆ es un conjunto compacto de Ω, luego ∆ tiene orden finito; de hecho, existe una contasteC y un entero no negativo N tal que

|∆φ| ≤ C ‖φ‖N para cada φ ∈ D(Ω).

Mas aun, ∆ se extiende de manera unica a un funcional lineal continuo en C∞(Ω).

Demostracion. (a) Como el soporte de φ no interseca a S∆ se tiene que el soporte de φesta contenido en W , entonces por el teorema anterior ∆φ = 0.

(b) Si S∆ es vacıo, luego W = Ω. Entonces ∆φ = 0 para toda φ ∈ D(Ω).

(c) Sea ψ ∈ C∞(Ω) con ψ = 1 en V abierto , S∆ ⊂ V . Entonces φ− ψφ = 0 en S∆, o sea elsoporte de φ− ψφ no interseca a S∆, luego por (a) ∆(φ− ψφ) = 0 por lo tanto ψ∆ = ∆.

(d) Como S∆ es compacto, por (c) del teorema 6.0.5 existe ψ ∈ C∞(Ω) y ψ = 1 en algun abiertoV que contiene a S∆. Fijemos una ψ cumpliendo esto y llamemos K a su soporte (compacto) .Por el teorema 4.2.9, existe C1 > 0 y N ∈ N tal que |∆φ| ≤ C1 ‖φ‖N , para toda φ ∈ DK . Por otrolado, por la formula de Leibniz existe C2 > 0 tal que ‖ψφ‖N ≤ C2 ‖φ‖N , para toda φ ∈ D(Ω).Aplicando esto tenemos

|∆φ| = |∆(ψφ)| ≤ C1 ‖ψφ‖N ≤ C1C2 ‖φ‖N .

para cada φ ∈ D(Ω). Y esto nos dice ademas que ∆ tiene orden finito.Como ∆φ = ∆(ψφ) para toda φ ∈ D(Ω), la formula ∆f = ∆(ψf) , para f ∈ C∞(Ω), define unaextension de ∆. Esta extension es continua, pues si fi → 0 in C∞(Ω) luego cada derivada de fitiende a 0, uniformemente sobre compactos de Ω, y por la formula de Leibniz cada derivada deψfi converge a 0, o sea ψfi → 0 en D(Ω). Como ∆ ∈ D′(Ω) se sigue que ∆(ψfi)→ 0, con lo cualla extension es continua.Ahora si f ∈ C∞(Ω) y K0 cualquier compacto de Ω, existe φ ∈ D(Ω) tal que φ = f en K0, sesigue que D(Ω) es denso en C∞(Ω). Luego la extension a C∞(Ω) es unica.

8. Distribuciones dadas por derivadas

Ya comentamos en la introduccion, que la idea de la teorıa de distribuciones era extender elconcepto de funcion de manera tal que la derivacion parcial pueda realizarse sin restricciones. Yvimos que las distribuciones satisfacen esto. Recıprocamente, veremos que cada distribucion es (almenos localmente) Dαf para alguna funcion continua f y algun multi-ındice α.

Teorema 8.0.10. Supongamos que ∆ ∈ D′(Ω) y K es un subconjunto compacto de Ω. Luegoexiste una funcion continua f en Ω y un multi-ındice α tal que


8 DISTRIBUCIONES DADAS POR DERIVADAS

(1) ∆φ = (−1)|α|∫

Ω f(x)(Dαφ)(x)dx.

para cada φ ∈ DK .

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que K ⊆ Q, donde Q es el cubounitario en Rn, que consiste de todos los puntos x = (x1, . . . , xn) con 0 ≤ xi ≤ 1, para i = 1, . . . , n.Por el teorema de valor medio

(2) |ψ| ≤ maxx∈Q|(Diψ)(x)| con ψ ∈ DQ.

Para i = 1, 2, . . . , n. Sea T = D1D2 · · ·Dn. Para y ∈ Q, sea Q(y) el subconjunto de Q tal quexi ≤ yi , 1 ≤ i ≤ n. Luego

(3) ψ(y) =∫Q(y)(Tψ)(x)dx ψ ∈ DQ.

Si N es un numero entero no negativo y aplicamos (2) a las derivadas de ψ,y usando (3) obtenemos

(4) ‖ψ‖N ≤ maxx∈Q

∣∣(TNψ)(x)∣∣ ≤ ∫Q ∣∣(TN+1ψ)(x)

∣∣ dxpara cada ψ ∈ DQ.

Como ∆ ∈ D′(Ω), existen N y C tales que

(5) |∆φ| ≤ C ‖φ‖N φ ∈ DK .

Luego por (4)

(6) |∆φ| ≤ C∫K

∣∣(TN+1φ)(x)∣∣ dx φ ∈ DK

Por (3) T es uno a uno DQ y entonces en DK :

Tψ = 0⇒∫Q(y) Tψ(x)dx = 0 ∀y ∈ Q⇒ ψ(y) = 0 ∀y ∈ Q⇒ ψ = 0

Luego TN+1 : DK → DK es uno a uno. Entonces podemos definir un funcional ∆1 en el rango deTN+1, que llamaremos Y , como sigue:

(7) ∆1TN+1φ = ∆φ φ ∈ DK

y por (6) tenemos que

(8) |∆1ψ| ≤ C∫K |ψ(x)| dx ψ ∈ Y .

Por el teorema de Hanh-Banach ∆1 puede extenderse a un funcional lineal en L1(K), esto es, existeuna funcion g en L∞(K) tal que

(9) ∆φ = ∆1TN+1φ =

∫K g(x)(TN+1φ)(x)dx φ ∈ DK .

Definimos g(x) = 0 fuera de K y sea

(10) f(y) =∫ y1−∞ · · ·

∫ yn−∞ g(x)dxn · · · dx1 y ∈ Rn.

Luego f es continua e intengrando n veces por partes por (9)

(11) ∆φ = (−1)n∫

Ω f(x)(TN+2φ)(x)dx φ ∈ DK .

Esto es (1) con α = (N + 2, . . . , N + 2), salvo por un posible cambio de signo.

Cuando ∆ tiene soporte compacto, el resultado local puede transformarse en un resultado global.

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Teorema 8.0.11. Supongamos que K es compacto, V y Ω son abiertos de Rn y K ⊂ V ⊂ Ω.Supongamos ademas que ∆ ∈ D′(Ω), K es el soporte de ∆, y que ∆ tiene orden N . Luego existenfunciones continuas en Ω, fβ (una para cada multi-ındice β con βi ≤ N + 2 para i = 1, 2, · · · , n)con soporte en V , tal que

∆ =∑β

Dβfβ.

Estas derivadas tienen que entenderse en el sentido distribucional, o sea,

∆φ =∑

(−1)|β|∫β fβ(x)(Dβφ)(x)dx φ ∈ D(Ω)

Demostracion. Elegimos un abierto W tal que W es compacto, K ⊂ W y W ⊂ V . Aplicamos elteorema anterior con W en lugar de K. Sea α = (N + 2, N + 2, . . . , N + 2). Por la demostraciondel teorema anterior existe una funcion continua f en Ω tal que

(*) ∆φ = (−1)|α|∫

Ω f(x)(Dαφ)(x)dx

φ ∈ D(W ). Podemos multiplicar f por una funcion continua que valga 1 en W y cuyo soporte estecontenido en V , sin modificar (*).

Fijemos ψ ∈ D(Ω), con soporte en W , tal que ψ = 1 en algun abierto que contiene a K. Luegopor (3), tenemos que para cada φ ∈ D(Ω)

∆φ = ∆(ψφ) = (−1)|α|∫

Ω fDα(ψφ) = (−1)|α|

∫Ω f

∑β≤α

cαβDα−βψDβφ.

Esto es lo que querıamos probar, con

fβ = (−1)|α−β|cαβfDα−βψ (β ≤ α)

El siguiente teorema describe la estructura global de las distribuciones.

Teorema 8.0.12. Supongamos que ∆ ∈ D′(Ω). Luego existen funciones continuas gα en Ω, unapara cada multi-ındice α tales que

(a) Cada compacto K ⊂ Ω interseca los soportes de solo finitas gα y,

(b) ∆ =∑αDαgα.

Si ∆ tiene orden finito, luego las funciones gα pueden elegirse de modo tal que solo finitas sean nonulas.

Demostracion. Sean Qi cubos compactos y abiertos Vi (i = 1, 2, . . .) tales que Qi ⊂ Vi ⊂ Ω, Ω esla union de los cubos Qi, y ningun subconjunto compacto de Ω interseca infinitos Vi. (POR QUEPUEDO ELEGIRLOS ASI?) Existe una φi ∈ D(Vi) tal que φi = 1 en Qi. Usamos esta sucesionφi para construir una particion de la unidad (COMO LO USO?) ψi, con el soporte de cadaψi contenido en Vi.

Aplicamos el teorema anterior a cada ψi∆. Entonces existen finitas funciones continuas fi,α consoporte en Vi tal que

(1) ψi∆ =∑αDαfi,α.


8 DISTRIBUCIONES DADAS POR DERIVADAS

Definimos

(2) gα =∑i≥1

fi,α

Estas sumas son localmente finitas, en el sentido de que cada compacto K ⊂ Ω interseca los soportesde finitas fi,α. Se sigue que cada gα es continua en Ω. Luego vale (a)

Como φ =∑ψiφ para cada φ ∈ D(Ω), tenemos que ∆ =

∑ψi∆ y luego por (1) y (2) se tiene

(b).

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Mar a Eugenia Cejas 12/03/2011demetrio/Monografias/Materias/AF/3. Teoria de... · por abiertos convexos (son los conjuntos descritos en la observacion 2.0.2) ... Sea Wla uni on de