Maquinas Electric As III

8/2/2019 Maquinas Electric As III

1/21

MODELAMIENTO Y ANALISIS TRANSITORIO DE

MAQUINAS ELECTRICAS

OBJETIVO

Presentar al asistente los conceptos bsicos para realizar el modelamiento requerido

en el anlisis transitorio y control de las mquinas elctricas. En el caso de las

mquinas de corriente alterna se ofrece la orientacin para la obtencin de los

modelos, utilizados, en los anlisis de fallas y estabilidad en sistemas elctricos de

potencia.

SUPUESTOS PARA EL MODELAMIENTO DE LA MAQUINA ELCTRICA

La mquina elctrica es un dispositivo electromagntico, constituido por un circuito

magntico y circuitos elctricos. Una parte del circuito magntico tiene movimiento y

constituye lo primordial del sistema mecnico de toda mquina elctrica (M.E.).

En la mquina elctrica ocurre una complicada superposicin de fenmenos fsicos:

trmicos, mecnicos, magnticos, etc. Dentro del fenmeno magntico se tiene el

problema de la dispersin y desde luego la saturacin.

Por esta superposicin de efectos, los parmetros que permiten describir

matemticamente a la M. E., dependen del rgimen actual de operacin, es decir delas corrientes en los circuitos elctricos.

Por las razones mencionadas, el problema analtico es prcticamente inmodelable y es

necesario utilizar (incorporar) aproximaciones, separando los factores principales y

dejando de lado los que tengan menor participacin o influencia en lo que se busca del

modelo. Estas aproximaciones hacen viable, es decir, permiten llevar a cabo el

modelamiento de las M.E.

En la mquina elctrica ideal se cumple que:

1. No hay saturacin, ni histresis, ni prdidas magnticas: Este supuesto

permite utilizar una dependencia lineal entre el "flujo magntico" y la fuerza

magnetomotriz "f.m.m" (circuito magntico lineal), y de ese modo es posible

aplicar el Principio de la Superposicin. Como las prdidas magnticas son


2/21

despreciables, el flujo magntico y la f.m.m. correspondiente estn en fase con

la corriente magnetizante.

a. Si fuera necesario considerar este efecto en el estudio de la M.E. ideal

se corrigen algunos parmetros o se introducen correcciones en los

resultados finales. La incorporacin de la saturacin es necesaria en el

anlisis de transitorios que involucren grandes variaciones en la

permeabilidad del circuito magntico como por ejemplo en el estudio de

transitorios de autoexcitacin, tambin la saturacin del camino del flujo

de dispersin en el arranque de motores, etc.

b. Para el anlisis de procesos transitorios de pequea envergadura

alrededor de cierto rgimen de operacin, no es necesario corregir los

parmetros.

2. La distribucin espacial de la f.m.m. y el campo magntico tiene forma

cosenoidal: Este supuesto posibilita despreciar los componentes superiores

de la f.m.m. (armnicos espaciales) y del campo magntico (armnicos

dentales). Esta aproximacin facilita notablemente la descripcin matemtica y

el estudio de las mquinas elctricas. El efecto de los armnicos superiores

del flujo, de ser necesario, se podra tomar en cuenta en los clculos variando

la magnitud de la reactancia de dispersin de los devanados.

3. El efecto skin es despreciable y las reactancias de dispersin no

dependen de la posicin del rotor: Por el segundo supuesto la M.E. puede

ser tratada como un conjunto de bobinas o circuitos acoplados en diferente

forma. Los parmetros elctricos que identifican a tales circuitos son

resistencias, e inductancias propias y mutuas (que pueden ser constantes o

variables con la posicin del rotor).

Asimismo el sistema mecnico puede ser representado por el momento de

inercia y un coeficiente de friccin.


3/21

CONVECCIONES PARA LA DESCRIPCIN MATEMTICA DE LAS M.E.

1. La f.m.m. producida al excitar una bobina tiene su mximo en la direccin en

que circula la corriente. La direccin de este mximo, define el eje magntico

de la bobina.

2. Es positiva la velocidad mecnica antihoraria.

3. Todas las potencias que ingresan a la maquina, por los bornes o por el eje son

positivas.

ECUACIN MECNICA O DE MOVIMIENTO DEL ROTOR

Para el planteamiento de la ecuacin de movimiento del rotor es necesario considerar

el efecto del torque externo aplicado al eje por el motor primo, si se trata de un

generador; o por la carga mecnica, si se trata de un motor.

A este torque externo se le puede denominar genricamente Text y Te es el torque

electromagntico producido por la mquina.

De acuerdo con la convencin todas las potencias que ingresan a la mquina por los

bornes o por el eje, son positivas", se obtiene:

.r

rme L m

dWT T J DW

dt+ = +


4/21

CAPITULO 1

LA MQUINA GENERALIZADA DE CONMUTADOR

La mquina generalizada de conmutador (MGC) es la herramienta que ser utilizada

para la descripcin matemtica de todas las mquinas elctricas que poseen

conmutador, tiene las siguientes caractersticas bsicas:

(1) Es de 2 polos y tiene saliencia en el estator tal como se muestra en la Figura 1.1.

Figura 1.1 Estator de MGC

(2) El estator posee dos devanados, que se representan por las bobinas

concentradas D y Q, y sus ejes magnticos estn en cuadratura. El nmero de

vueltas de cada bobina esS

DN y S

QN , respectivamente.

(3) El rotor tiene un devanado de conmutador (de doble capa, cerrado a travs de

las delgas del conmutador) con dos juegos de escobillas: uno en el eje directo

y el otro en el eje cuadratura (Figura 1.2). Por las propiedades del devanado de

conmutador, en el rotor se identifica dos circuitos bobinas

seudoestacionarias de iguales caractersticas. En nmero de vueltas entre

cada par de escobillas es N

d y N

q, respectivamente.

(4) Las dimensiones fundamentales de la mquina son: dimetro interno del

estator (D), longitud del paquete magntico (l) y g el entrehierro frente a cada

polo.


5/21

Figura 1.2 Rotor de la MGC

En la Figura 1.3 se muestra el modelo circuital de la MGC, considerando sentido

positivo para la velocidad del rotor y la polaridad de las tensiones en las bobinas es tal

que la potencia elctrica ingresa por los bornes de la mquina.

Figura 1.3 Modelo circuital de la MGC

1.1 PARMETROS DE LA MGC

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de la MGC en todo

rgimen de operacin tendrn como coeficientes sus parmetros elctricos y

mecnicos. Debe recordarse que estas ecuaciones elctricas sern utilizadas para la

descripcin matemtica de las mquinas industriales de conmutador.


6/21

En este acpite se muestran las expresiones bsicas de los parmetros en funcin de

sus dimensiones. Se recomienda que los parmetros de las mquinas industriales de

conmutador, se obtengan a partir de ensayos.

Resistencias

La resistencia de un devanado circuito depende de la resistividad del conductor, la

longitud de la espira media, el nmero de vueltas y de la seccin del conductor.

Las resistencias de cada devanado de la MGC sern: D Q d q ar , r , r = r r=

Inductancias propias y mutuas

Para el clculo de la inductancia propia de un devanado de MGC, en funcin de las

dimensiones bsicas, se supone que ste es el nico que se encuentra excitado con

una cierta corriente instantnea que origina un campo magntico cuyas lneas de flujo

concatena con las espiras del mismo devanado.

Este campo magntico tiene dos componentes: el magnetizante y el campo de

dispersin; cada componente est asociada a una inductancia y la suma es la

inductancia propia del devanado.

La inductancia que se asocia al flujo concatenado entre un devanado cualquiera de la

mquina, que recibe la accin del flujo magnetizante, y el devanado excitado que

produce el campo, se denomina inductancia mutua.

Para el clculo de estas inductancias es cmodo suponer que el rotor est inmvil.

a) Excitando solamente el devanado D con una corriente instantnea Di y

considerando la aproximacin del circuito magntico de la MGC tal como se

muestra en la Figura 1.4.


7/21

Figura 1.4 Circuito magntico, fuerza magnetomotriz y campo magntico a lo largo del eje directo

maxDF : valor mximo de la f.m.m. DF del devanado D

maxDB : Valor mximo del campo magntico considerando uniforme el entrehierro,

dado por D

s

DD i

N

gB

2

40max

=

max1DB : Valor mximo del armnico fundamental del campo magntico, dado por

Dd

s

DD iK

N

gB

2

40max1

=

dk : Factor de forma del campo magntico a lo largo del eje directo


8/21

Entonces, el campo magntico a considerar ser:0 4( ) . cos

2

S

D D s d D s

N B K i

g

=

El flujo concatenado magnetizante de ste devanado:

2. ( ) DD mm

D

S S

D D D D d D

S

N B ds N i = =

md : Conductancia magntica a lo largo del eje directo

ddm kDl

g.

2

40

=

La inductancia propia magnetizante del devanado D ser:

dm

s

DDm NL 2

)(=

De modo anlogo, la inductancia de dispersin se puede expresar como:

ds

DD NL2

)(=

d : Conductancia de dispersin del devanado D

Entonces la inductancia propia del devanado D:

DDmD LLL +=

El flujo concatenado con el devanado Q dado por:

. 0

Q

S

QD Q D Q

S

N B ds = =

Como el flujo concatenado es nulo, entonces la inductancia mutua 0=QDM

El flujo concatenado por el circuito devanado entre escobillas en eje directo resulta:

0 4. .2

S

dD d D d D

D l N N K i

g

=

Entonces, la inductancia mutua entre el devanado D y el circuito entre escobillas en d

estar dada por:


9/21

. .SdD d D dm

M N N =

El flujo concatenado por el circuito entre escobillas en eje cuadratura dado por:

q

S

DqqD dsBN

q

.=

Es nulo, por lo tanto la inductancia mutua 0=qDM

b) Excitando ahora solamente el devanado Q con una corriente instantnea Qi

y considerando el circuito magntico de la MGC tal como se muestra en la

Figura 1.5.

Figura 1.5 Circuito magntico, fuerza magnetomotriz y campo magntico a lo largo del eje

cuadratura.


10/21

qk : Factor de forma del campo magntico a lo largo del eje cuadratura.

QF : f.m.m. del devanado Q.

maxQB : Valor mximo del campo magntico considerando uniforme el entrecierro,

dado por: Q

s

Q

Q iN

gB

2

40max

=

maxQ1B : Valor mximo del armnico fundamental del campo magntico, dado por:

Qq

s

Q

Q iKN

g

B

2

40max1

=

El campo magntico a considerar ser:

0 4( ) . cos( / 2)2

S

Q

Q s q Q s

N B K i

g

=

El flujo concatenado magnetizante de ste devanado:

2. ( )m m

Q

S S

QQ Q Q Q Q q Q

S

N B ds N i = =

mq : Conductancia magntica a lo largo del eje cuadratura

qqm kDl

g.

2

40

=

Por lo tanto, la inductancia propia magnetizante del devanado Q ser:

qm

s

QQm NL 2

)(=

En forma anloga, la inductancia de dispersin se puede escribir como:

qs

QQ NL2)(=

q : Conductancia de dispersin del devanado Q

Entonces la inductancia propia del devanado Q:


11/21

QQmQ LLL +=

De modo similar al caso anterior resulta:

. . ; 0S

qQ q Q qm dQ DQ

M N N M M = = =

c) Aplicando procesos similares se puede obtener:

ddmd LLL +=

qqmq LLL +=

dmd

s

DDd NNM

=

qmq

s

QQq NNM

=

qDdQQd MMM ==

Donde:

dmddm NL 2)(=

qmqqm NL 2)(=

dddd NLL2

)(==

Inductancias rotacionales

Se produce mxima tensin inducida de tipo rotacional en el circuito establecido entre

un par de escobillas de un devanado de conmutador, cuando se cumple las

condiciones siguientes:

a) El rotor se impulsa a cierta velocidad

b) Existencia de un campo magntico cuyas lneas de fuerza se orienten a lo largode un eje magntico que sea perpendicular a la recta que une las escobillas

(Figura 1.6).

En el caso de la figura 1.6 el valor mximo de la tensin inducida entre las

escobillas y con la polaridad indicada es:

rmyxyx WiGe =


12/21

Fig. 1.6 Tensin inducida rotacional

xyG : Inductancia rotacional del devanado y sobre el circuito entre escobillas

x. Est dada por:

YmXYXY NNG =

Donde: Ym es la conductancia magnetizante a lo largo del eje y.

1.2 ECUACIONES ELCTRICAS

Las ecuaciones (de tensin) elctricas de cada devanado (Fig. 1.7) se escriben

considerando los siguientes componentes:

(1) Las tensiones en terminales, las cuales se han elegido de modo que la energa

ingrese al devanado.

(2) La cada de tensin en la resistencia.

(3) La tensin debida al cambio de la corriente en el propio devanado, es la tensin

inducida por el flujo propio.

(4) Las tensiones debidas al cambio de las corrientes en todos los otrosdevanados, son las tensiones inducidas por el flujo mutuo.

(5) Las tensiones rotacionales inducidas solo en los circuitos entre escobillas de

los devanados de conmutador.


13/21

Fig. 1.7 Modelo de mquina generalizada de conmutador

Por lo tanto las ecuaciones elctricas de la MGC (con sus bobinas desconectadas)

son:

+

+

+

+

=

iQ

i

i

i

pLrpM

pLrpM

pMWGpLrWG

WGpMWGpLr

v

v

v

v

D

q

d

QQq

DDd

qr

mqDqar

mqd

rmdQd

rmdqda

Q

D

q

d


14/21

1.3 TORQUE ELECTROMECNICO

Las ecuaciones elctricas de la MGC pueden escribirse de modo matricial:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IGWpLRVr

m { ++=

Donde:

[V], [I]: vectores de tensin y corriente

[R]: matriz de resistencias;

Diag [R] = a a D Qr , r , r , r

[L] matriz de inductancias

=

Qq

Dd

qq

dd

LM

LM

ML

ML

L

00

00

00

00

][

[G]: matriz de inductancias rotacionales

=

0000

0000

00

00

][

qDqd

dQdq

GG

GG

G

r

mW : Velocidad mecnica del rotor


15/21

Pre-multiplicando ambos miembros por [I]t se obtiene:

[I]t [V] = [I] t [R] [I] + [I]t [L] p [I] + Wrm [I]t [G] [I]

inP = p rdidasP + magP + emP

inP : Potencia elctrica instantnea entregada a la mquina

p rdidasP : Prdidas elctricas en los devanados

magP : Potencia almacenada en el campo magntico

emP : Potencia electromagntica (potencia elctrica convertida en mecnica)

Luego el torque electromagntico resulta:

Te = [I] t [G] [I]

Reemplazando la matriz de inductancias rotacionales, el torque resulta:

( )dq qd d q dQ d Q qD q DTe G G i i G i i G i i= +


16/21

1.4 ECUACIONES DE LAS MQUINAS DE CONMUTADOR

a) La mquina de excitacin independiente

Para obtener la mquina de excitacin independiente solo deben usarse los

devanados D y q de la MGC.

Fig. 1.8 Mquina de excitacin independiente

Las ecuaciones elctricas son:

+

+

=

q

D

qaqDr

m

DD

q

D

i

i

pLrGW

pLr

v

v

La ecuacin de movimiento del rotor ecuacin mecnica:

.r r

e ext m mT T J pW D W + = +

Donde:

e qD D qT G i i=


17/21

Motor de excitacin independiente con giro positivo

Si las tensiones aplicadas son: av y fv

Fig. 1.9 Motor de excitacin independiente

Al hacer v =-va q a qi i= , y al cambiar los subndices D por f y q por a en los

parmetros, se obtiene las siguientes ecuaciones elctricas:

+

+

=

aaaafr

m

ff

a

f

i

i

pLrGW

pLr

v

vf

La ecuacin mecnica ( ext LT T= ):r

mr

mLafaf WDWJTiiG +=


18/21

Generador de excitacin independiente con giro positivo

Fig. 1.10 Generador de excitacin independiente

En ste caso: qv v= , a qi i= ; adems ( ) av r L p i= +

Por lo tanto la ecuacin elctrica ser:

+++

+

=

a

f

aaafr

m

fff

i

i

pLLrrGW

pLrv

)()(0

La ecuacin mecnica:

rm

rmafafm WDWpJiiGT +=


19/21

Motor serie con giro positivo

Fig. 1.11 Motor serie

Si en las ecuaciones del motor de excitacin independiente se cambia el subndice f

por s, y se reemplaza:

s a s av v v ; i i ; i i= + = =

Se obtiene la ecuacin elctrica (E.E.)

( ) ( )( ) rs a s a m asv r r L L p i W G i= + + + +

La ecuacin mecnica (E.M.)

2 r r

as L m mG i T J p W D W= +


20/21

Motor shunt con giro positivo

Fig. 1.12 Motor shunt

Procediendo de modo similar que en los casos anteriores se obtiene:

+

+

=

a

f

aaafr

m

ff

i

i

pLrGW

pLr

v

v

.

r r

af f a L m mG i i T =JpW +DW

Generador shunt con giro positivo

Fig. 1.13 Generador shunt


21/21

Las ecuaciones resultan:

+

+

=

a

f

aaafr

m

ff

i

i

pLrGW

pLr

v

v

.

r r

m af f a m mT G i i JpW DW = +

Documents

Maquinas Electric As III