Mapas mentalesTercer Parcial

Lenin GomezAlexander Cajas

Luis SanguaMichael Yugcha

Integrales Mltiples

Propiedades

Las integrales mltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son

funciones continuas en una regin cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a

todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:

Justificacin Geomtrica

Magnitud del espacio entre el objeto

definido por la ecuacin

y una regin en el espacio definido por los ejes

de las variables independientes de la

funcin (si es una regin cerrada y

acotada y est definida en sta).

La integral de sobre est dada por:

Integrales Dobles

Integrales Mltiples

Una integral doble, est definida con respecto a un rea en el plano

xy, existe si y slo si las dos integrales iteradas existen y son iguales.

Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral

iterada, sin importar si el orden de integracin es dydx dxdy.

A veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales

y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

Cambio de variable de una

integral doble

A menudo, es til para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra

que resulte ms cmoda, sin embargo esto exige el cambio de la regin de integracin,

adems de aadir un factor de correccin al diferencial conocido como determinante

jacobiano. Por otra es en un sentido geomtrico, una transformacin desde un espacio

hasta otro, y es esta transformacin la que exige estos ajustes.

Se obtiene una integral mltiple que es igual a la integral

original, si es que esta existe.

Integrales Mltiples

Aplicaciones de la integral doble

reas Volmenes

Consideramos la regin R acotada por

1 () 2 (). El rea plana R est

dada por la integral

Si F en una regin cerrada y acotada R del

plano xy, entonces la integral doble de f

sobre R est dada por:

COORDENADAS CILNDRICAS Y EESFRICAS

C. Cilndricas C. Esfricas

Cada punto (r, , z) queda

determinado por la interaccin de

un plano, un semiplano y un

cilindro.

Cada punto ( , , !) ) queda

determinado por la interaccin de

un semiplano, un cono y una

esfera.

Ecuaciones de Transformacin de Coordenadas Esfricas a Coordenadas

Cartesianas

X= sen!cos

Y= sen!sen

Z= sen!

Ecuaciones de Transformacin de Coordenadas

Cartesianas a Coordenadas Esfricas

!= tan^-1 )/2 ="tan^-1(y/x)

=" Facilita el trabajo con cilindros y

paraboloides

Facilita el trabajo con esferas y conos

INTEGRALES

TRIPLES

Si f es una funcin acotada y, existe el y

no depende de la eleccin de

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este

lmite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1,

entonces = V representa el

volumen.

Propiedades.

Se cumplen las mismas propiedades que en

la integral doble.

1. Toda funcin continua es integrable

2. Linealidad, monotona y aditividad

3. Teorema de Fubini para integrales triples

por el cual toda integral triple se puede

hallar por integracin reiterada.

Las regiones del Tipo

I

Las regiones del

tipo II

Las regiones del

tipo III

Las regiones del

tipo IV

(paraleleppedo con paredes frontal y posterior

rectas).

son aquellas que se pueden

expresar indistintamente como

regiones de los tipos I, II o III.

son aquellas en las que e

(paraleleppedos con fondo y tapa

planas)

son aquellas en las

que (paraleleppedos

con paredes izquierda y derecha

planas).

Leer

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W

es una regin acotada de

entonces

Integrales triples sobre regiones ms generales

Aplicaciones Integral Triple

Volumen de W Masa de W Momentos Estaticos Centros de Masa Momentos de

Inercia

Se considera un slido W que ocupa la posicin de una

regin R en el espacio, siendo d(x,y,z) la densidad de masa

en cada punto P(x,y,z).

Campos Vectoriales

Campo Conservativo

Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe

alguna funcin diferenciable F tal que F=f .

El campo vectorial s conservativo si y solo si rot f(x,

y, z)=0.

Rotacional de un Campo Vectorial

Sea F(x, y, z)= Mi+Nj+Pk, el rotacional de F viene

dado por

Divergencia de un Campo Vectorial

La divergencia de F(x, y, z)= Mi+Nj+Pk es

Sean M, N y P funciones de tres variables x, y, z definidas en una

region plana R. La funcion F definida por F(x, y, z)= Mi+Nj+Pk se llama

campo vectorial sobre R

Integral de lnea Integral de lnea en campos en campos vectorialesvectoriales

Consideremos un campo vectorial F, y sean P0 = (x0, y0, z0) y P1 = (x1, y1, z1) dos puntos fijos que determinan el inicio y

el final de una curva C.

Siendo T el vector tangente unitario a la curva y ds el elemento de longitud de arco de la curva. La interpretacin de esta integral de lnea, y que es su definicin bsica, es la misma que una integral ordinaria de la funcin escalar

El producto punto de la funcin que se integra puede desarrollarse de la siguiente manera. Sea el campo vectorial

Trayectoria de una partcula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior estn los vectores del campo vistos por la partcula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de lnea.

El teorema fundamental del clculo establece que la integral de una funcin f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio

de una antiderivada F de f:

Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinacin de derivadas sobre un rea limitada por la curva simple:

Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una funcin sobre una superficie con la integral de una combinacin de derivadas sobre el interior del conjunto:

Teorema Fundamental

Teorema de GreenTeorema de Green

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la regin limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que contiene D,

La superficie S es simplemente la regin en el plano D, con el vector normal unitario n apuntando (en la direccin positiva de z) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientacin positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica n = k.

TEOREMA DE STOKES

El Teorema de Stokes generaliza la frmula de Green, estableciendo la

igualdad entre una

integral de lnea y una de superficie.

El Teorema de Stokes establece que el clculo de la integral de lnea del campo vectorial F en la

direccin tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulacin del

campo F alrededor de la frontera, en la direccin de la componente normal unitaria a la superficie,

siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de

la superficie orientada positivamente S.

Teorema. Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por

la curva simple cerrada C, suave a trozos, con orientacin positiva. Sea F

(x, y, z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas

parciales continuas en alguna regin abierta que contiene a S.

El teorema de Stokes en geometra diferencial es una proposicin sobre la integracin de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del clculo vectorial. Se nombra as por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que l mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850. Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre

E

INTEGRAL DE SUPERFICIE

La integral de superficie es una extensin del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de lnea es una extensin del concepto de integral

de Riemann clsica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una superficie.

DE UN CAMPO ESCALAR

DE UN CAMPO VECTORIAL

SUPERFICIE CERRADA