Robtica Topolgica

por

Aniceto Murillo, Universidad de Mlaga

1. A robot may not injure a human being or, through inaction, allow a

human being to come to harm.

2. A robot must obey orders given to it by human beings, except where

such orders would conict with the First Law.

3. A robot must protect its own existence as long as such protection

does not conict with the First or Second Law..

Isaac Asimov, I, robot.

1. Introduccin

A decir verdad, el trmino robtica no fue acuado en importantes reu-

niones cientcas por eruditos ingenieros, informticos o matemticos. Fue el

prolco escritor estadounidense Isaac Asimov

1

quien la utiliz por primera

vez en 1941 en uno de sus cuentos cortos que conformaron ms tarde, el

volumen publicado en 1950 I, robot. A su vez, el trmino robot tal y como

hoy lo conocemos fue usado por primera vez en 1920 por el tambin autor

de ciencia ccin Karel Capeck

2

en su obra de teatro R.U.R. Rossum's

Universal Robots. No dira yo que, cuando Asimov us este vocablo, fuese

del todo consciente que estaba acuando el nombre de un importante campo

1

Isaac Asimov (1920-1992) naci en Rusia y emigr a muy corta edad a los Estados

Unidos. Fue bioqumico y un prolco escritor de todo tipo de obras, no slo de ciencia

ccin.

2

Karol Capek (1890-1938), ha sido uno de los escritores en lengua checa ms impor-

tantes del siglo XX.

95

96 Un Paseo por la Geometra

de la ciencia y la tecnologa actual. Muy a grosso modo, la robtica tiene por

objeto el diseo y construccin de robots, agentes mecnicos y/o electrnicos

con autonoma parcial o total para detectar propiedades de su entorno e

interactuar con l, as como algoritmos preconcebidos que hagan realizar a

estos robots, de forma inteligente y eciente, los nes para los que han sido

construdos.

Una de las principales ramas de la Robtica donde en la actualidad se

investiga con fruicin es la llamada planicacin de movimientos. Tambin

a grandes rasgos, el objetivo de esta crucial parte de la robtica donde con-

uyen la informtica, la ingeniera y por supuesto las matemticas, es la

creacin, diseo e implementacin de algortimos en un robot o conjunto de

robots que los permitan moverse adecuadamente por el entorno en el que

viven. El ejemplo tpico de planicacin de movimientos que mejor ilustra

esta somera descripcin, es el del transportista de pianos : imaginemos que

un tal transportista (robot) se encuentra con un piano a la entrada de una

casa y debe dejar la pesada carga en una precisa y (por desgracia para el

que lo transporta) recndita habitacin. Un algoritmo que haga que tanto

el transportista como su carga lleguen sanos y salvos al preciso rincn de la

recndita habitacin, sorteando todos los posibles obstculos, es un plani-

cador de este movimiento. Cmo hacer que un automvil aparque de forma

autnoma sin colisionar con otros vehculos, cmo hacer que varios robots

se desplacen sin colisionar en un determinado entorno, o simplemente, cmo

hacer que un brazo articulado se mueva de una posicin a otra, responden

tambin al diseo de algoritmos planicadores de movimientos.

De forma general la planicacin de un movimiento tiene dos importantes

tareas que llevar a cabo. La primera de ellas disear, modelar el robot o con-

junto de robots que intervienen en el movimiento as como el entorno donde

stos viven (obstculos a sortear, capacidad de movimiento de los robots,

posibles posiciones fsicas de todos y cada uno de los robots,...). A toda esta

amalgama de robots, mundo en el que viven y posibles situaciones de los mis-

mos se le denomina espacio de conguraciones. Un estado de un espacio de

conguraciones es por tanto una determinada posicin del robot o conjunto

de robots en el entorno donde se mueven. As, el espacio de conguraciones

del transportista de piano estara formado por el transportista en s, el piano,

junto con la casa y todos los obstculos anexos a sta.

La segunda tarea, no menos importante, una vez conocido y diseado el

espacio de conguraciones, consiste en la creacin e implementacin de algo-

ritmos que permitan al robot o conjunto de robots pasar de forma autnoma

de un estado a otro del espacio de conguraciones.

Robtica Topolgica 97

2. Robtica Topolgica

En la robtica moderna, mtodos propios de la geometra y la topologa

pueden ser usados de forma eciente para llevar a cabo estas dos tareas

esenciales que conforman la planicacin de un movimiento. El volumen

Robot Motion Planning escrito por Jean Claude Latombe

3

, es un excelente

y enciclopdico trabajo donde pueden encontrarse las primeras aplicaciones

de mtodos topolgicos y geomtricos para el estudio de planicadores de

movimientos.

En efecto, por una parte, la geometra y la topologa nos permiten des-

cribir de forma esencial el espacio de conguraciones de un determinado

movimiento: imaginemos un robot consistente en un sencillo brazo articulado

como el que muestra la siguiente ilustracin:

Figura 1

Ntese que cada uno de los brazos tiene un slo grado de libertad, esto

es, puede rotar en un solo plano y por tanto su extremo describe una cir-

cunferencia (a la que los matemticos nos gusta llamar S1). As pues, elconjunto de todos los posibles estados del brazo articulado, esto es, el espacio

de conguraciones de este sencillo robot, puede ser interpretado de forma

geomtrica como el producto cartesiano de dos circunferencias S1 S1. Essabido tambin que el producto de dos circunferencias desde el punto de vista

geomtrico o topolgico no es ms que un toro. Hemos pues identicado

el espacio de conguraciones de este sencillo robot con un clsico objeto

geomtrico. De igual forma un brazo articulado con un nmero n de brazos(y cada uno de ellos con distinto grado de libertad) se identica al producto

de n esferas cada una de ellas de la dimensin correspondiente al grado delibertad del brazo.

Pongamos otro ejemplo: imaginemos que tres robots se desplazan sin coli-

sionar en un determinado espacio ambiente al que llamaremosM . Para descri-

3

Jean Claude Latombe, es profesor en el Departamento de Ciencias de la Computacin

de la Universidad de Stanford y lidera grupos de investigacin punteros en distintos mbitos

de la robtica relacionados con la planicacin de movimientos: ciruga asistida por robots,

movimiento molecular, sensores de movimientos,...

98 Un Paseo por la Geometra

bir topolgicamente el correspondiente espacio de conguraciones recordemos

que la topologa estudia las propiedades cualitativas (espacio, forma,...) que

no cuantitativas de los espacios geomtricos. Podemos suponer por tanto que

cada uno de los robots no son ms que puntos que se mueven en el espacio

ambiente M . Como quiera que los robots no pueden colisionar, cada estadodel espacio de conguraciones al que llamaremos X queda representado porternas de puntos de M distintos entre s. Esto es,

X = {(a, b, c) M M M, a 6= b, b 6= c, c 6= a}.El/la lector/a iniciado/a reconocer en esta

descripcin topolgica al denominadoespacio de

conguraciones de tres partculas por el que

se conoce, esta vez en ambientes fsicos y

matemticos, a este espacio cuyo estudio ha da-

do lugar a importantes resultados en el lugar

donde conuyen la topologa algebraica, la geo-

metra diferencial y la fsica matemtica. Claro

est, este ejemplo puede generalizarse de forma

natural a un nmero mayor de robots y en un

espacio ambiente M con distintos obstculos.

Figura 2

Una vez descrita de forma geomtrica y/o topolgica el espacio de congu-

raciones, la topologa tambin permite formular la descripcin de algoritmos

planicadores de movimientos. Veamos cmo:

Consideremos un determinado espacio de conguraciones al que llamare-

mos X e intentemos abstraernos de todas las dicultades de ndole mecnica,electrnica inherentes al mismo. As las cosas, un algoritmo planicador del

movimiento ha de tener como input dos estados cualesquiera (llammosles Ay B) del espacio de conguraciones X. El output del algoritmo debe propor-cionar un camino sin interrupciones del estado A al estado B. Un tal caminopuede ser descrito de forma topolgica por una aplicacin continua fA,B (sincortes, sin interrupciones) del intervalo cerrado [0, 1] en el espacio de con-guraciones X de forma que comience en A, esto es fA,B(0) = A, y termineen B, esto es fA,B(1) = B,

fA,B : [0, 1] X, fA,B(0) = A, fA,B(1) = B.Con esta idea en mente, consideremos el conjunto de todos los posibles

caminos enX, esto es, el conjunto de todas las aplicaciones continuas (curvas)del intervalo [0, 1] en X y denotmoslo por X [0,1]. Tomemos a continuacinla aplicacin : X [0,1] X X que asocia a cada curva en X sus extremos:

: X [0,1] X X, (f) = (f(0), f(1)).

Robtica Topolgica 99

As pues, tal y como hemos acordado, observamos que un algoritmo pla-

nicador del movimiento de nuestro espacio de conguraciones no es ms que

una aplicacin inversa por la izquierda (tambin llamada seccin) de . Estoes, una aplicacin

: X X X [0,1], = 1XX .Hemos por tanto reducido, de forma topolgica, el problema de encon-

trar algoritmos planicadores de movimientos a encontrar secciones de la

aplicacin que enva cada curva a sus extremos.

3. Complejidad topolgica de un espacio de congura-

ciones

Como quiera que el conjunto X [0,1] de todas las curvas de X puede serdotado de una estructura topolgica (podemos decir cuando dos curvas estn

cerca una de otra) que hace que la aplicacin sea continua, tiene sentidopreguntarse cuando una determinada seccin de , esto es, un algoritmo pla-nicador del movimiento, es una aplicacin tambin continua. La respuesta,

aunque fcilmente demostrable con conocimiento elementales de topologa,

no es menos sorprendente y debe ser enunciada como teorema:

Teorema 1. Para un espacio de conguraciones X existe un algoritmo pla-nicador de movimientos : X X X [0,1] que es adems una aplicacincontinua si y slo si el espacio X es contrctil.

Recordemos que un espacio X es contrctil si puede ser deformado a unpunto. Si imaginamos que nuestro espacio X est hecho de plastilina muymoldeable, para ser contrctil debemos ser capaces de deformarlo a un punto,

sin cortarlo ni pegar ninguna de sus partes. As, una bola maciza, un disco,

un plano, el espacio eucldeo son espacios contrctiles. La circunferencia, la

esfera (hueca), el toro, un disco agujereado son por el contrario espacios que

no pueden ser deformados a un punto.

Formalmente, el carcter contrctil puede ser formulado fcilmente en

los siguientes trminos: un espacio X es contrctil si existe una aplicacincontinua (deformacin)

H : X [0, 1] Xde forma que H(x, 0) = x y H(x, 1) = x0 para cualquier x X. Por x0entendemos un punto jo del espacio X.Pues bien, el resultado anterior nos dice que si un espacio de congura-

ciones resulta ser contrctil, una tal contraccin produce una seccin continua

de y por tanto, un algoritmo planicador del movimiento.

100 Un Paseo por la Geometra

Sin embargo, los espacios de conguraciones no son contrctiles en ge-

neral, tal y como hemos visto en ejemplos anteriores, por lo que encontrar

un algoritmo planicador puede ser complicado. Cmo de complicado? La

medida estndar hoy da que mide esta complejidad es la llamada complejidad

topolgica de un espacio de conguraciones X. Este ndice fue introducidoen 2003 por Michael Farber

4

y puede ser denido como el menor nmero de

trozos (abiertos) con que podemos recubrir el producto X X y donde encada uno de estos trozos existe una seccin continua de .Este ndice se corresponde en cierta medida con el menor nmero de r-

denes que debe contener cualquier algoritmo que rija un determinado plani-

cador de movimiento de un espacio de conguraciones dado.

Con ayuda de resultados que pueden probarse utilizando una batera ms

o menos elemental de teora de homotopa, puede calcularse la complejidad

topolgica de espacios de conguraciones que hemos estudiado en ejemplos

anteriores:

Consideremos en primer lugar un robot consistente en un brazo articulado

de n elementos de los cuales n1 brazos slo tienen un grado de libertad, estoes, se mueven en un plano y los restantes n2 brazos se mueven libremente enel espacio. La complejidad topolgica de este espacio de conguraciones es

n1 + 2n2 + 1.

n = 5, n1 = 3, n2 = 2, TC = 8Figura 3

Por otra la complejidad topolgica del espacio de conguraciones de nrobots movindose sin colisionar en un plano resulta ser 2n 2. Por contra,si estos n robots se mueven en el espacio eucldeo la complejidad topolgicaes 2n 1.4

Michael Farber es profesor de la Universidad de Durham en el Reino Unido y experto

en el uso de mtodos topolgicos en robtica.

Robtica Topolgica 101

TC = 2n 1 TC = 2n 2Figura 4

Terminemos esta coleccin de ejemplos indicando que si el espacio de

conguraciones resulta ser una supercie orientable compacta de genero g,esto es, un toro de g asas, su complejidad topolgica es 3 si g 1, es decir sise trata de una esfera o un toro estndar, o 5 si el nmero de asas es mayoro igual que 2.

TC = 3 TC = 3 TC = 5 TC = 5Figura 5

Convencidos como estamos de que la complejidad topolgica determina el

nmero mnimo de instrucciones de un algoritmo planicador de movimiento,

cabe preguntarse, cun complejo es calcular la complejidad topolgica?, o en

otras palabras, cun difcil es adelantar el mnimo nmero de instrucciones

que un planicador de movimientos debe contener?

4. Complejidad algortmica y complejidad topolgica

Para contestar a esta pregunta, resumamos de forma breve en qu trmi-

nos se mide la complejidad algortmica (que no topolgica!) de un problema

dado.

Es habitual en ciencias de la computacin entender un problema de de-

cisin como una funcin {0, 1} siendo = {I} el conjunto de todas ycada una de las instancias del problema. La imagen de cada instancia I delproblema por la funcin es 1 si la respuesta a esa instancia del problema esS, y es 0 por contra, si la respuesta a tal instancia es No. Tiene esta

102 Un Paseo por la Geometra

ecuacin solucin? Es este nmero primo? Es 26 la complejidad topolgicade este espacio de conguraciones? Todos estos son ejemplos de problemas de

decisin. En el primero de ellos cada ecuacin es una instancia; en el segundo

problema, una instancia del mismo es sencillamente un nmero natural; y en

el tercero, cada instancia viene dada por un espacio de conguraciones.

Para que un algoritmo pueda procesar un problema es necesario codicar

cada una de las instancias I del mismo como una secuencia nita de nmerosnaturales, o ms sencillamente de ceros y unos de una cierta longitud. A sta

se le llama longitud de la instancia I.Los problemas de decisin ms sencillos de resolver son los problemas

polinomiales. Un problema de decisin decimos que pertenece a la clase P(polynomial) si existe un algoritmo A que resuelve cada instancia del pro-blema en tiempo polinomial respecto a la longitud de la instancia, esto es,

existe un polinomio p de forma que para cada instancia I del problema (elnmero primo, la ecuacin, el espacio de conguraciones,...) el algoritmo Aresuelve el problema para la instancia I en tiempo p(l) siendo l la longitud(o el tiempo de ordenador si queremos pensar en esos trminos) requerida

para codicar la instancia I.Por otra parte un problema de decisin pertenece a la clase NP (nonde-terministic polynomial) si existe un algoritmo A que tiene por entrada pares(I, C) formados por una instancia del problema ms un input aadido C quedenominamos certicado (candidato a solucin) y que opera de la siguiente

forma:

- Para cada instancia I del problema para la que la respuesta es S existeun certicado C(I) de forma que tomando (I, C(I)) como entrada para elalgoritmo A, ste reconoce en tiempo polinomial que en efecto la respuestaa la instancia I es S.- Para cada instancia I del problema para la que la respuesta es No,cualquier entrada para el algoritmo A de la forma (I, C) hace que ste con-cluya en tiempo polinomial que en efecto la respuesta para I es No.En otras palabras, la clase P est formada por aquellos problemas paralos que es fcil (polinomial) encontrar una solucin, mientras que la clase NPest formada por aquellos problemas para los que es fcil decidir si un can-

didato a solucin en efecto lo es. Decidir si una ecuacin polinmica tiene una

solucin de una determinada caracterstica puede no ser fcil. Sin embargo s

que lo es decidir si un determinado nmero de esa caracterstica es en efecto

solucin de la ecuacin. Con este otro ejemplo seguro que los/as lectores/as

se sentirn inmediatamente identicados/as: Demostrar un determinado teo-

rema en general no es fcil pero s que lo es vericar si una demostracin

dada es en efecto correcta y constituye una prueba del teorema en cuestin.

Obviamente todo problema de la clase P tambin est en la clase NP

Robtica Topolgica 103

puesto que el algoritmo que lo resuelve en tiempo polinomial no necesita de

certicado. As pues P NP . Pero, es esta inclusin estricta? En otraspalabras, ser cierto que cada problema de decisin para el que sea fcil

validar un candidato a solucin, posee de hecho un algoritmo polinomial

que lo resuelva? Esta cuestin, propuesta independientemente por Stephen

Cook y Leonid Levin

5

contina abierta y constituye uno de los principales

problemas en teora de la complejidad algortmica y por ende, en ciencias de

la computacin. Hemos de decir que la mayora de los expertos consideran

que P 6= NP , esto es, que la inclusin P NP es estricta y que hay portanto problemas NP que no pueden resolverse en tiempo polinomial.En orden creciente de dicultad se encuentra la clase de problemas NP -completos. Un problema es NP -completo si pertenece a la clase NP y cual-quier otro problema de NP puede reducirse polinomialmente a l. En otraspalabras si supiramos resolver un problema NP -completo podramos tam-bin resolver (en el mismo tiempo) cualquier otro problema NP .

El principal ejemplo de problema NP -completo es el del coloreado de grafos.

Expliqumoslo de forma breve: un grafo

G puede ser entendido como un conjun-to nito V (G) cuyos elementos son losvrtices del grafo junto con una colec-

cin de pares (no ordenados) de vrtices

A(G) denominados aristas.

Vamos a suponer que todo vrtice del

grafo est conectado a otro vrtice

por alguna arista y que ninguna arista

conecta a un vrtice consigo mismo.

Figura 6

Pues bien, colorear un grafo G con k colores, k 2, consiste en asignar acada vrtice un color de forma que vrtices adyacentes tengan siempre colores

distintos. Dos vrtices v, w V (G) son adyacentes si hay una arista que losune, esto es, si (v, w) A(G). Formalmente un k-coloreado de G es pues unaaplicacin

f : V (G) {1, 2, ..., k}de forma que si (v, w) A(G) es una arista, entonces f(v) 6= f(w).Pues bien, si jamos un entero k 3, decidir si un grafo dado es k-coloreable es un problema NP -completo. Es conveniente hacer constar que

5

Stephen Cooke, profesor de la Universidad de Toronto, y Leonid Levin, profesor de la

Universidad de Boston, formularon independientemente la famosa cuestin P = NP? en1971. An sin resolver, es ste uno de los 7 Problemas del Milenio denominados as por el

prestigioso Clay Institute y cuya resolucin est premiada con un milln de dlares.

104 Un Paseo por la Geometra

hay distintas formas de codicar un grafo (instancia del problema) pero todas

ellas tienen una longitud acotada polinomialmente por el nmero de vrtices.

Tomemos por ejemplo un grafo G con vrtices V (G) = {v1, ..., vn}. Unacodicacin de este grafo viene dada por la llamada matriz de adyacencia,

que no es ms que una matriz cuadrada de orden n cuya entrada en el lugarde la i y columna j es 1 si los vrtices vi y vj son adyacentes, esto es, si(vi, vj) A(G), y 0 en caso contrario. Como se observa de forma elementalesta codicacin tiene longitud acotada por un polinomio en n, el nmero devrtices.

Por ltimo, tambin en escala creciente de dicultad, un problema dire-

mos que es NP -difcil si cualquier otro problema en NP puede reducirse entiempo polinomial a l. El hecho de no suponer que este problema sea NPes la nica sutil diferencia que lo distingue de un problema NP -completo.Una vez realizada esta brevsima incursin por el mundo de la compleji-

dad algortmica podemos volver a la tarea que nos ocupa. Sabemos que la

complejidad topolgica de un determinado espacio de conguraciones nos da

una idea de la cantidad de rdenes (y por ende de la dicultad) que debe

contener un algoritmo planicador del movimiento del espacio de congura-

ciones en cuestin. Sabemos adems calcularlos en algunos casos. Pero, desde

el punto de vista algortmico, cmo de complejo es calcular la complejidad

topolgica?

Es necesario en primer lugar relacionar un invariante tan actual como

la complejidad topolgica con otro invariante mucho ms antiguo pero no

menos importante, introducido y desarrollado a nales de los aos veinte del

siglo pasado por L. Lusternik y L. Schnirelmann

6

. Dado un espacio topolgi-

co cualquiera X la categora de Lusternik-Schnirelmann o LS-categora deX, a la que denotaremos por cat(X), es el menor entero n para el que existeun recubrimiento de X formado por n-trozos abiertos y cada uno de elloscontrctiles X. As por ejemplo la categora de un espacio contrctil es portanto 1 y la de una esfera es 2 para lo que basta con tomar cada uno de losdos hemisferios que trivialmente son contrctiles. Este invariante de tan sen-

cilla denicin ha resultado ser de valiosa utilidad en distintas ramas de las

matemticas, desde la geometra diferencial, a la topologa algebraica, pasan-

do por los sistemas dinmicos y como vemos ahora, tambin en la robtica

topolgica.

En efecto, resulta que dado un determinado espacio de conguraciones X,

6

Lazar Lusternik (1899-1981) fue un matemtico ruso, famoso por sus trabajos en

topologa y geometra diferencial.

Lev Schnirelmann (1905-1938) fue tambin un matemtico ruso conocido, adems de

por sus trabajos en colaboracin con Lusternik, por los profundos resultados que prob en

teora de nmeros, intentando demostrar la conjetura de Goldbach.

Robtica Topolgica 105

la complejidad topolgica de X y la LS-categora de X quedan relacionadaspor la siguiente frmula:

cat(X) TC(X) 2cat(X). (1)

A partir de esta frmula es sencillo deducir que es tan difcil calcular

la complejidad topolgica de un espacio de conguraciones como su LS-categora.

Por otra parte, dados un grafo G y un entero k 3, es posible construirun espacio topolgico XG,k cuya codicacin est acotada por un polinomioen el nmero de vrtices del grafo G (y por tanto, como hemos recalcadocon anterioridad, requiere la misma longitud que para codicar el grafo G) ypara el que adems se puede demostrar la siguiente propiedad:

G es k-coloreable si y solamente si la LS-categora de XG,k es innita,esto es, no es posible recubrir el espacio XG,k por un nmero nito de trozosabiertos y contrctiles en el espacio.

Lamentablemente, para describir explcitamente el espacio XG,k necesi-taramos introducir nociones nada elementales de teora de homotopa que se

escapan al carcter divulgativo de este texto. No obstante, lo dicho aqu es

suciente para concluir que, en trminos algortmicos, podemos reducir poli-

nomialmente el problema del k-coloreado de grafos al problema de determinarsi la LS-categora de un espacio es nita o no.

Ahora bien, por la frmula (1), la LS-categora de XG,k ser innita siy slo si lo es su complejidad topolgica. Con esto hemos demostrado el

siguiente teorema:

Teorema 2. El problema del k-coloreado de grafos se puede reducir poli-nomialmente al problema de determinar si la complejidad topolgica de un

determinado espacio de conguraciones es nita.

Como quiera que el problema del k-coloreado de grafos en NP -completoy lo hemos reducido polinomialmente a determinar la nitud de un espacio

de conguraciones dado, este ltimo problema es tambin NP -difcil. Estoes, hemos demostrado:

Teorema 3. Determinar la complejidad topolgica de un espacio de congu-

raciones es NP -difcil.

As pues, no slo desarrollar un algoritmo en s para implementarlo en

un determinado robot es complicado. Tambin lo es el clculo de la cantidad

mnima necesaria de instrucciones de un tal algoritmo o, en otras palabras, de

las decisiones que el robot o conjunto de robots deben tomar. Este hecho, sin

embargo no debe ser desalentador. Ms al contrario, constituye un refrendo de

106 Un Paseo por la Geometra

los numerosos y profundos progresos en la utilizacin de mtodos geomtricos

y topolgicos en este campo de la robtica.

Quisiera por ltimo manifestar en estas ltimas lneas mi ms sincero

agradecimiento a los organizadores de Un paseo por la geometra 2007/2008,

Ral Ibaez y Marta Macho. No slo por permitirme impartir la charla cuyo

resumen aqu reseo o por su amabilsima hospitalidad. Sobre todo, por la

inestimable y difcil labor, a veces ingrata, de hacer llegar las matemticas a

rincones donde nunca pens que fuese posible.

Bibliografa

[1] I. Asimov, I, Robot, Panther Science Fiction, 1968.

[2] M. Farber, Topological complexity of motion planning, Discrete and Com-

putational Geometry 29(2), 211-221, 2003.

[3] M. Farber and M. Grant, Topological complexity of conguration spaces,

preprint ArXiv: 0806.4111v1 [math.AT], 2008.

[4] J.C. Latombe, Robot Motion Planning, Kluwer, 1991.

[5] L. Lechuga y A. Murillo, Complexity in rational homotopy, Topology

39(1), 89-95, 2000.

[6] L. Lechuga y A. Murillo, Topological complexity of formal spaces, Topo-

logy and Robotics, Contemporary Math. 438, 105-114, 2008.

Aniceto Murillo

Universidad de Mlaga

Departamento de lgebra,

Geometra y Topologa

Apartado 59

29080 Mlaga

e-mail: aniceto@agt.cie.uma.es

http://agt.cie.uma.es/aniceto