Manual Wiris

MANUALWIRIS 2.0

http://cv.uoc.edu/webapps/calculadora/ www.wiris.com 2007 maths for more sl. Todos los derechos reservados.

ndice1 minuto ...............................................................................................................................................4 Objetos matemticos ......................................................................................................................... 7Nmeros............................................................................................................................................................................................. 7 Variables.............................................................................................................................................................................................8 Asignacin y definicin de valores a variables ...............................................................................................................................8 Otros objetos.....................................................................................................................................................................................9

WIRIS ++ ............................................................................................................................................ 14Lenguaje de programacin............................................................................................................................................................14 Estructuras de datos...................................................................................................................................................................... 15

Aritmtica .......................................................................................................................................... 20Smbolos.......................................................................................................................................................................................... 20 Parntesis........................................................................................................................................................................................ 21 Divisibilidad..................................................................................................................................................................................... 22

lgebra lineal .................................................................................................................................... 24Operaciones.....................................................................................................................................................................................24 Funciones.........................................................................................................................................................................................26

Ecuaciones y sistemas ....................................................................................................................29Resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones...............................................................................................................29 Ecuacin ........................................................................................................................................................................................ 29 Sistema de ecuaciones ................................................................................................................................................................. 30 Sistemas lineales en forma matricial........................................................................................................................................... 30 Mtodos numricos........................................................................................................................................................................ 31 Uso de las soluciones....................................................................................................................................................................31 Ecuaciones diferenciales ordinarias.............................................................................................................................................32 Resolucin de ecuaciones y de sistemas de inecuaciones...................................................................................................... 33

Anlisis .............................................................................................................................................. 34Derivacin........................................................................................................................................................................................ 34 Integracin....................................................................................................................................................................................... 35 Clculo de primitivas ..................................................................................................................................................................... 35 Integracin definida ....................................................................................................................................................................... 36 Clculo de lmites........................................................................................................................................................................... 37 Lmite ............................................................................................................................................................................................. 37 Lmite lateral .................................................................................................................................................................................. 38 Series de Taylor.............................................................................................................................................................................. 39 Series................................................................................................................................................................................................39

Funciones .......................................................................................................................................... 41Definicin de funciones................................................................................................................................................................. 41 Funciones reales.............................................................................................................................................................................43

Progresiones ..................................................................................................................................... 47Funciones.........................................................................................................................................................................................47

Geometra .......................................................................................................................................... 49Objetos geomtricos...................................................................................................................................................................... 49 Funciones.........................................................................................................................................................................................54 Estudio geomtrico ........................................................................................................................................................................54 Transformaciones .......................................................................................................................................................................... 61

Grficos 2D ....................................................................................................................................... 64Comando dibujar.............................................................................................................................................................................64 Comando representar.....................................................................................................................................................................68 Comandos para escribir texto.......................................................................................................................................................69 Tablero de dibujo............................................................................................................................................................................70 Geometra interactiva..................................................................................................................................................................... 73

Grficos 3D ....................................................................................................................................... 75Comando dibujar.............................................................................................................................................................................75 Comandos para escribir texto.......................................................................................................................................................80 Tablero de dibujo............................................................................................................................................................................80 Geometra interactiva..................................................................................................................................................................... 82

Estadstica ......................................................................................................................................... 84Funciones.........................................................................................................................................................................................85 Funciones dos variables................................................................................................................................................................87

Combinatoria .....................................................................................................................................90Funciones.........................................................................................................................................................................................90

Unidades de medida ........................................................................................................................ 94Notacin .........................................................................................................................................................................................95 Aritmtica ....................................................................................................................................................................................... 95 Funciones ...................................................................................................................................................................................... 95 Tablas............................................................................................................................................................................................... 96 Unidades bsicas .......................................................................................................................................................................... 96 Unidades derivadas del SI ............................................................................................................................................................97 Unidades de otros sistemas de unidades .................................................................................................................................... 98 Prefijos del Sistema Internacional de Unidades ........................................................................................................................... 98

Mens, iconos... ..............................................................................................................................100Pestaas de la barra de herramientas....................................................................................................................................... 100 Tablero de dibujo..........................................................................................................................................................................110

Barra de herramientas .................................................................................................................. 113Quin puede configurar la barra de herramientas?............................................................................................................... 113 Por qu configurar la barra de herramientas?........................................................................................................................113 Cmo se puede configurar la barra de herramientas?.......................................................................................................... 113 Ejemplo...........................................................................................................................................................................................113

Primaria ...........................................................................................................................................115Qu es?........................................................................................................................................................................................115 Dnde est?................................................................................................................................................................................ 115 1 minuto......................................................................................................................................................................................... 115

Apndice........................................................................................................................................................................... 118 ndice Alfabtico.............................................................................................................................................................. 562

wiris, materiales de ayuda

1 minutoEn una sesin de trabajo con la calculadora wiris se pueden efectuar clculos diversos, que se agrupan en bloques. Los pasos del proceso de clculo son: 1. Construimos la expresin que queremos calcular mediante el teclado o usando los iconos asociados a diferentes comandos. 2. En cada bloque podemos introducir tantas expresiones como queramos. Para aadir una nueva expresin a continuacin de la expresin donde se encuentra el cursor, usaremos la tecla Enter (Retorno de carro). 3. Evaluamos la expresin o bloque de expresiones haciendo clic en el icono o la tecla Ctrl + Enter(Ctrl + Retorno de carro). 4. Obtenemos el resultado a la derecha de la expresin original y separada por la flecha .

Para crear clculos ms elaborados, debemos tener en cuenta los siguientes puntos relativos a la estructura de una pgina de wiris: Podemos aadir un bloque a nuestra sesin con el icono Cada vez que evaluamos (clic en del men Edicin.

o Ctrl + Enter), se calculan todas las expresiones del bloque activo, se muestran

los resultados, y se crea un bloque vaco a continuacin, que pasa a ser el bloque activo (eso es, donde est el cursor). Las variables y clculos de un bloque son independientes de las variables y clculos de todos los dems bloques. Para empezar una nueva sesin de trabajo, usamos . Para guardar la sesin actual, hacemos clic en y guardamos la pgina HTML que se genera.

Podemos volver a wiris para probar todo esto o ver los siguientes ejemplos:

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1 minuto

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wiris, materiales de ayudaNOTA 1 NOTA 2

Las minsculas y las maysculas son letras diferentes. Tan no es equivalente a tan. Los parntesis slo agrupan; (1,2,3) es equivalente a 1,2,3.

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Objetos matemticos

Objetos matemticosLas expresiones matemticas se basan, principalmente, en nmeros, variables, operaciones aritmticas y funciones. En este captulo se explican los dos primeros, nmeros y variables, adems de algunos otros objetos ms sofisticados que se pueden crear con wiris, como por ejemplo polinomios y ecuaciones. Se explican algunos objetos matemticos ms en los captulos Geometra y Wiris ++. >>rpido Nmeros Variables Otros objetos enteros racionales irracionales decimales complejos Asignacin y definicin de valores a variables polinomios ecuaciones e listas inecuaciones vectores y matrices expresiones matemticas

Nmeros Los tipos de nmeros que podemos construir son:

enteros: un nmero entero se crea escribiendo sus cifras en base 10. Si queremos que sea negativo pondremos el 64 smbolo - delante. Los nmeros enteros pueden tener tantas cifras como queris. Por haceros una idea, calcular 2 o 100!. Ms informacin en Entero.

racionales: un nmero racional se crea como una fraccin de dos enteros, con el icono o con el smbolo /. Disponemos de dos funciones asociadas a los nmeros racionales: numerador y denominador. Si q es un nmero racional, entonces numerador(q) y denominador(q) nos dan, respectivamente, el numerador y el denominador de la fraccin irreducible equivalente a q. Ms informacin en Racional.

irracionales: los nmeros irracionales que permite manipular wiris son #, e, , radicales, como por ejemplo la raz cuadrada de 2, y combinaciones de ellos, entendiendo por combinacin sus sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Ms informacin en Irracional.

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decimales: un nmero decimal se crea separando la parte entera y la decimal con un punto. Ms informacin en Flotante.

complejos: un nmero complejo se crea realizando operaciones aritmticas con el nmero imaginario i (que se puede crear con el icono o con el identificador i_) y con los nmeros reales. Se puede usar tambin la funcin polar para crearlos. Algunas funciones relacionadas con los nmeros complejos son parte_real, parte_imaginaria, argumento, norma o conjugado. Ms informacin en Complejo.

Variables En matemticas, as como en wiris, las variables son nombres, con o sin valor. Un nombre es una cadena de caracteres alfanumricos que empieza con una letra, como por ejemplo x, y, x1, x2, HAL o alpha. En cambio 2x o 3ab no lo son, porque su primer carcter es un dgito. wiris diferencia entre letras maysculas y minsculas. As, pues, x y X son variables diferentes, como tambin lo son f1 y F1.

Asignacin y definicin de valores a variablesPara dar valor a una variable se usan los operadores = y :=. Si usamos = , la variable toma el valor que tenga la expresin de la derecha del igual en aquel momento. En cambio, si usamos :=, la variable toma en cada momento el valor de la expresin a la derecha del :=. Por lo tanto, si el valor de la derecha cambia, tambin cambiar el valor de la variable. Si usamos :=, diremos que definimos el valor de la variable y, si usamos =, diremos que le asignamos un valor. Si hemos definido o asignado valor a una variable y queremos que vuelva a quedar libre, debemos aplicarle el comando limpiar. -8powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

Objetos matemticos

Otros objetos

polinomios: un polinomio se crea realizando ciertas operaciones aritmticas (suma, resta y multiplicacin) entre nmeros y variables. Para evaluar un polinomio en un valor se usa la funcin evaluar. Existen dos comandos ms que son importantes: races y factorizar que, como su nombre indica, permiten encontrar las races de un polinomio y factorizarlo, respectivamente. Ms informacin en Polinomio.

ecuaciones e inecuaciones: Los smbolos necesarios para definir y trabajar con ecuaciones e inecuaciones se muestran en la tabla siguiente. wiris dispone de iconos para escribirlos (esta va es la que da la mejor calidad tipogrfica), pero tambin se pueden entrar mediante el teclado o con una combinacin de teclas. tipo ecuacinNOTA 1

Smbolo

Icono

Teclado

= == != > >= <

+y o x:=>y. Llamamos variable o patrn a x segn si es una variable o no, respectivamente; llamamos imagen a y y llamamos par

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wiris, materiales de ayuda a x=>y o x:=>y. Una sustitucin es una regla definida exclusivamente por variables. Si escogemos =>, usamos el valor de y para definir la regla y, en cambio, al escoger :=>, consideramos y como variable al definir la regla. Los smbolos => y :=> se pueden crear con los iconos y , respectivamente.

Al aplicar una regla a una expresin, todas las ocurrencias de cada patrn (o variable) en esta expresin son sustituidas por la imagen de su patrn (o variable). Los trminos que no encajan con el patrn (o variable) no se modifican. Ms informacin en comando Regla o Sustitucin.

divisores: Desde el punto de vista sintctico, un divisor es un vector de objetos del tipo x->y. Decimos que x es un ndice, y su valor asociado y x->y un par del divisor. Para recuperar el valor asociado a un ndice se aplica el objeto al divisor; si no tiene ndice asociado el resultado de aplicarlo es 0. El smbolo -> se puede crear con el icono .

Los divisores son especialmente relevantes en varios contextos. Por ejemplo, la estructura que devuelve la funcin factorizar es un Divisor que tiene por ndices los divisores primeros del objeto factorizado (como por ejemplo un nmero entero o un polinomio) y por valores los exponentes de los divisores primeros citados. Otro aspecto importante de los divisores es que se pueden sumar, y que esta suma est definida de manera que los valores de un mismo ndice quedan sumados. Por ejemplo, la factorizacin de un producto es la suma de los divisores dados por la factoritzacin de los factores. Ms informacin en Divisor.

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WIRIS ++

relaciones: Desde el punto de vista sintctico, la relacin es una lista de objetos del tipo x->y. Decimos que x es un ndice, y su valor asociado y x->y un par de la relacin. El aspecto ms importante de las relaciones es que nos permite recuperar el valor (o secuencia de valores) asociado a un ndice; esto se hace aplicando el objeto a la relacin. Si un objeto no tiene ndice asociado en una relacin, el resultado de aplicarlo a la relacin es nulo. El smbolo -> se puede crear con el icono Ms informacin en Relacin. .

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AritmticaTodas las operaciones aritmticas se expresan en wiris con los smbolos habituales. Estos smbolos se pueden aplicar a los diversos tipos de objetos matemticos con los que puede trabajar wiris, desde nmeros enteros hasta matrices. >>rpido Smbolos Parntesis Divisibilidad suma fraccin cociente y residuo factorizar primo? resta potencia cociente mximo comn divisor producto factorial resto mnimo comn mltiplo

Smbolos Las operaciones aritmticas en wiris se representan mediante un smbolo asociado a una tecla, excepto la divisin entera, que puede introducirse un comando o con un icono. Algunas operaciones, como puede ser la fraccin, se pueden representar con notacin matemtica usando los iconos adecuados. As, por ejemplo, el icono permite elevar a una potencia y representarla en pantalla como un superndice.

Finalmente, para agilizar la escritura de frmulas complejas algunos iconos tienen asociada una combinacin de teclas que permite invocarlos sin necesidad del ratn. Siguiendo el ejemplo anterior, podemos tambin introducir un exponente mediante la combinacin de teclas Ctrl + Flecha arriba. A continuacin tenemos un cuadro que relaciona las operaciones aritmticas con smbolos y, segn el caso, con un icono o combinacin de teclas. Adems, veremos un ejemplo de cada operacin. Operacin Smbolo Icono Teclado

+suma:

resta:

*oproducto:

/fraccin:

Ctrl

+/

^potencia:

Ctrl

+ Flecha arriba o Ctrl + Shift + ^

!factorial: El smbolo * siempre aparece como un de acuerdo con las convenciones tipogrficas.

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Aritmtica

Parntesis Los parntesis, que podemos crear con las teclas ( y ) o con el icono , actan de la forma habitual en matemticas. Permiten agrupar trminos para, despus, realizar operaciones con ellos. Si no hay parntesis, la calculadora operar siguiendo la jerarqua de las operaciones: har primero las multiplicaciones y divisiones y, despus, las sumas y restas. Para mayor seguridad, se recomienda usar siempre parntesis en caso de duda sobre la operacin que queremos calcular. Si creamos los parntesis con el icono , stos sern de tamao variable segn su contenido. Las combinaciones de teclas Ctrl + ( y Ctrl + ) tambin crean parntesis de tamao variable. Si introducimos los parntesis escribiendo simplemente ( y ), no obtenemos parntesis de tamao variable; ntese que la funcionalidad de ambos tipos es exactamente la misma. Los ejemplos que siguen se han creado usando parntesis de tamao variable. Veamos un ejemplo: ((2-3/5)5) ; primeramente, se calcula 2-3/5; luego se multiplica el resultado por eleva todo ello a 3.3

5 y finalmente se

Las dos expresiones 2/4+3*2 y (2/4)+(3*2) son equivalentes. Veamos pues cmo usar los iconos de wiris para construir expresiones matemticas evitando ambigedades y, por lo tanto, sin la necesidad de usar parntesis.

Tambin usamos parntesis para indicar los argumentos de las funciones, si bien en algunas ocasiones podemos prescindir de ellos. En el caso de funciones con varios argumentos, stos estarn separados por comas.

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Divisibilidad A continuacin, exponemos algunas de las operaciones y funciones ms importantes de la aritmtica. Si no se indica lo contrario, se pueden aplicar indistintamente a nmeros enteros y polinomios.

cociente y residuo: Icono

, comando cociente_y_residuo o coc_res

Calcula el cociente y el residuo de la divisin entera del primer argumento por el segundo.

cociente: comando coc o cociente Calcula el cociente de la divisin (entera) del primer argumento por el segundo.

resto: comando res o resto Calcula el residuo de la divisin (entera) del primer argumento por el segundo.

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Aritmtica factorizar: comando factorizar Devuelve la descomposicin de un nmero entero como producto de nmeros primos. Tambin factoriza polinomios con coeficientes reales.

mximo comn divisor: comando mcd o mximo_comn_divisor Calcula el mximo comn divisor de dos o ms nmeros enteros o polinomios.

mnimo comn mltiplo: comando mcm o mnimo_comn_mltiplo Calcula el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros enteros o polinomios.

primo?: comando primo? Dado un nmero entero, responde sobre polinomios.

cierto si ste es un nmero primo y falso si no lo es. Esta funcin no acta

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lgebra linealLos elementos fundamentales de trabajo en lgebra lineal son los vectores y matrices, tratados en el captulo Objetos matemticos. En este captulo se tratan las operaciones que podemos realizar con vectores y matrices, adems de otras funciones que los reciben como argumentos. >>rpido Operaciones suma producto por escalares inverso longitud independencia lineal menor resta producto escalar potencia dimensiones rango producto producto vectorial transponer determinante

Funciones

Operaciones Las operaciones aritmticas con vectores y matrices (suma, resta y producto) se realizan con los smbolos habituales de wiris.

suma: comando + Suma de vectores o matrices. Los operandos deben ser del mismo tipo y tener las mismas dimensiones.

resta: comando Resta de vectores o matrices. Los operandos deben ser del mismo tipo y tener las mismas dimensiones.

producto: comando * o Producto de matrices o producto (escalar) de vectores. El nmero de columnas del primer operando debe de ser igual al nmero de filas del segundo. En wiris, todos los vectores son vectores fila, pero esto no es restrictivo, ya que si queremos multiplicar una matriz por un vector fila, se considera el vector como un vector columna, siempre que esto permita realizar la multiplicacin. El smbolo * siempre aparece como un de acuerdo con las convenciones tipogrficas.

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lgebra lineal

producto por escalares: comando * o Producto de un vector o matriz por un escalar. El smbolo * siempre aparece como un de acuerdo con las convenciones tipogrficas.

producto escalar: Icono

, comando * o

Producto escalar de dos vectores de la misma longitud. El smbolo * siempre aparece como un de acuerdo con las convenciones tipogrficas.

producto vectorial: Icono

, comando producto_vectorial

Producto vectorial de dos vectores. El producto vectorial est definido slo para vectores de longitud 3.

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inverso: Icono Matriz inversa.

, comando inverso

Si la matriz es invertible, se obtiene su matriz inversa. Si la matriz no es invertible, se obtiene un error.

potencia: Icono

, comando ^

Se puede elevar una matriz cuadrada a un nmero entero. Si el exponente es un nmero negativo y la matriz es invertible, se eleva la matriz inversa al valor absoluto del exponente. Si la matriz no es invertible, se obtiene un error.

Funciones

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lgebra lineal longitud: comando longitud Si se aplica a un vector, se obtiene el nmero de componentes; si se aplica a una matriz, se obtiene el nmero de filas.

dimensiones: comando dimensiones wiris devuelve la secuencia formada por el nmero de filas y el nmero de columnas de un matriz, respectivamente.

transponer: Icono

, comando transponer o '

wiris devuelve la matriz transpuesta de la original.

independencia lineal: comando linealmente_independientes? Dados dos a ms vectores de la misma longitud, se obtiene no lo son.

cierto si son linealmente independientes y falso si

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wiris, materiales de ayuda rango: comando rango Calcula el rango de una matriz.

determinante: Icono

o

, comando determinante

Dada una matriz cuadrada, calcula su determinante.

menor: comando menor Dada una matriz cuadrada A y dos enteros i y j, calcula el menor correspondiente a la posicin Aij de la matriz. Este menor es el determinante de la matriz resultante de eliminar de A la fila i y la columna j.

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Ecuaciones y sistemas

Ecuaciones y sistemaswiris incorpora las tcnicas ms adelantadas para resolverecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Tambin incluye usar algunos mtodos de clculo numrico para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones y sistemas. Adems, wiris puede resolver inecuaciones y ecuaciones diferenciales ordinarias. >>rpido Resolucin de ecuaciones y sistemas de Ecuacin ecuaciones Sistema de ecuaciones Sistemas lineales en forma matricial Mtodos numricos Uso de las soluciones Ecuaciones diferenciales ordinarias Resolucin de ecuaciones y de sistemas de inecuaciones Resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

resolver es el comando que permite resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En la seccin Objetosmatemticos vemos cmo construir ecuaciones. wiris primero intenta encontrar todas las soluciones de la ecuacin o del sistema de ecuaciones mediante procedimientos exactos. Si la resolucin exacta no tiene xito, siempre se puede intentar usar la resolucin numrica con el comando resolver_numricamente. wiris devuelve las soluciones encontradas en una lista. Si no se encuentra ninguna solucin, ni mediante mtodos exactos ni usando procedimientos numricos, wiris devuelve una lista vaca.

EcuacinPara resolver una ecuacin, debemos escribirla como primer argumento del comando resolver, seguida de la variable que queramos aislar. Si no especificamos esta variable, wiris interpreta que queremos usar todas las variables que aparecen en la ecuacin y asla una de ellas en funcin del resto. Podemos usar el icono construccin. para ayudarnos en esta

Tanto si especificamos la variable que queremos aislar como si no, podemos aadir el argumento en la ltima posicin para buscar soluciones en el cuerpo de los nmeros complejos. En este caso, las ecuaciones y sistemas de ecuaciones tienen que ser polinmicas.

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Sistema de ecuacionesUn sistema de ecuaciones es una lista de ecuaciones. El modo ms sencillo de construir un sistema de ecuaciones es usando listas verticales, que podemos crear con el icono .

De modo anlogo a la resolucin de ecuaciones, si no especificamos qu variables queremos aislar, wiris considera todas las variables del sistema y devuelve, si es necesario, una solucin paramtrica. Si queremos especificar qu variables queremos aislar, podemos introducirlas como segundo argumento del comando resolver dentro de una lista.

Sistemas lineales en forma matricial T T Dado un sistema lineal en forma matricial Ax =b , donde A es la matriz del sistema, x el vector de las incgnitas y b el vector de trminos independientes, podemos resolver el sistema invocando el comando resolver(A,b). Los elementos de la matriz A y el vector b pueden ser expresiones matemticas cualesquiera. El resultado de este comando cambia segn el tipo de sistema: Si el sistema es compatible determinado, el resultado es el vector solucin.

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Ecuaciones y sistemas Si es compatible indeterminado, wiris devuelve una lista formada por una matriz y una solucin particular. La matriz tiene la propiedad que sus columnas forman una base del espacio vectorial de soluciones del sistema homogneo AxT=0. Si el sistema es incompatible, wiris devuelve nulo.

Mtodos numricos wiris incorpora diversos mtodos numricos para la resolucin de ecuaciones. En cada caso selecciona el ms apropiado e intenta encontrar una solucin a partir de un punto o un intervalo inicial. El comando para resolver ecuaciones con estos mtodos es resolver_numricamente. wiris decide qu mtodo es el ms apropiado en cada caso, con lo que el usuario no debe preocuparse por saber qu mtodos existen y qu ventajas tiene cada uno. Debemos observar que el hecho de buscar una nica solucin de la ecuacin hace que los resultados obtenidos sean de una naturaleza distinta a los obtenidos con el comando resolver.

El comando resolver_numricamente tambin puede aplicarse a un sistema de ecuaciones, recordando, eso s, que se obtiene una sola solucin del sistema.

Uso de las soluciones La solucin de una ecuacin o sistema de ecuaciones es una lista de listas. La lista ms exterior es necesaria cuando la ecuacin tiene ms de una solucin. La lista interior est formada por parejas x=a donde x es una variable de la ecuacin o sistema y a su valor para aquella solucin.

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wiris, materiales de ayuda Para trabajar con las soluciones, podemos obtener los valores de estas soluciones de diferentes maneras: Usando las propiedades de una lista de parejas x=a.

Va la extraccin de elementos de una lista.

Ecuaciones diferenciales ordinarias wiris incorpora un mtodo para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias. Observamos que cuando escribimos la funcin derivada podemos usar el icono . Debemos indicar cual es la variable independiente de la que depende la funcin o variable dependiente, escribindola entre parntesis a continuacin de la funcin: y'(x), y(x).

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Ecuaciones y sistemas

Resolucin de ecuaciones y de sistemas de inecuaciones wiris tambin es capaz de resolver inecuaciones y sistema de inecuaciones de una sola variable mediante mtodos exactos y mediante procedimientos numricos aproximados. Similarmente a los casos anteriores, podemos llamar al comando resolver_inecuacin sin especificar el nombre de la variable que queremos aislar, o bien especificndolo como segundo parmetro, despus de la ecuacin o sistema.

Notemos que si la inecuacin o sistema no tiene solucin, o bien es cierto para todo valor de la variable, wiris devuelve falso o cierto, respectivamente. Esta peculiaridad se debe al uso de las inecuaciones como formas habituales de control de flujo en los lenguajes de programacin (y en wiris en particular). Para profundizar en este tema, podemos consultar la seccin WIRIS ++.

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AnlisisEl anlisis es el rea de las matemticas que se ocupa del estudio de las funciones. >>rpido Derivacin Integracin Clculo de lmites Series de Taylor Series Derivacin Para derivar, podemos usar el icono , el comando derivar o bien el signo ', correspondiente al apstrofe. Clculo de primitivas Integracin definida Lmite Lmite lateral

Al hacer clic en el icono , aparece la expresin habitual de la derivacin respecto de una variable, conteniendo dos cajas vacas de color verde. En la caja superior escribiremos la expresin que queremos derivar y en la inferior la variable respecto a la cual derivamos. El comando derivar recibe 2 argumentos, el primero corresponde a la expresin que queremos derivar y el segundo a la variable respecto a la cual queremos derivar. Si se trata de una funcin de una nica variable, se puede omitir este segundo argumento.

Podemos utilizar el operador ' detrs de la expresin que deseamos derivar, tal y como es habitual en matemticas. Ntese que aqu no cabe expresar cul es la variable respecto de la cual deseamos derivar, por lo que wiris detecta esta variable automticamente. Si aplicamos este operador a una expresin con ms de una variable, se obtiene un error.

El operador ' tambin se puede usar para derivar funciones. De hecho, si f=f(t) es una funcin de una variable, f' es la funcin derivada (de f respecto de t). Por tanto, la derivada de f en un punto a es el valor de f'(a), como corresponde a las notaciones habituales del anlisis. Veamos unos ejemplos. - 34 powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

Anlisis

Integracin

Clculo de primitivas

Para calcular la funcin primitiva de una funcin dada, usamos los iconos Icono

o

, o bien el comando integrar.

Al hacer clic en el icono , aparece la expresin habitual de la funcin primitiva respecto de una variable, conteniendo dos cajas vacas de color verde. En la primera, debemos escribir la expresin que queremos integrar y en la segunda, la variable respecto a la cual deseamos integrar. Si llamamos f a la funcin que deseamos integrar, F al resultado de la integracin y x a la variable respecto a la que integramos, decimos que F es una primitiva (o expresin primitiva) de f y se verifica que la derivada de F respecto de x es f. Alternativamente podemos usar el comando expresin y el segundo a la variable.

integrar con dos argumentos que se corresponden el primero a la

Si no existen dudas sobre la variable respecto a la cual queremos integrar, tambin podemos calcular primitivas de funciones con el icono . Al hacer clic en el icono, aparece un smbolo con una caja vaca de color verde, donde escribimos la funcin que queremos integrar. Si la expresin que queremos integrar no tiene variables, wiris integra respecto a una variable inventada; si tiene una nica variable, integra respecto a sta; y si tiene ms de una, devuelve un error. El resultado es en todo caso una funcin o expresin primitiva del argumento. Podemos usar el comando integrar con un nico argumento de modo alternativo al icono el icono se aplica tambin al comando. ; todo lo descrito para

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Integracin definida

Para calcular la integral definida entre dos valores, usaremos los iconos o , o bien el comando integrar. wiris intenta calcular la primitiva de la funcin y aplicar la regla de Barrow, que requiere simplemente evaluar la primitiva obtenida en los valores especificados como lmites de integracin y realizar una resta; si esta primitiva no se encuentra, se calcula el valor de de la integral mediante mtodos numricos (y se emite adems un mensaje de aviso). Al hacer clic en el icono , aparece el smbolo estndar de la integral definida, conteniendo cuatro cajas vacas de color verde. Las que se encuentran en los extremos inferior y superior del smbolo de integral corresponden a los lmites de integracin inferior y superior, respectivamente. De las otras dos cajas, escribimos la expresin que queremos integrar en la primera y la variable respecto a la cual deseamos integrar en la segunda. Alternativamente, podemos usar el comando integrar con cuatro argumentos, que se corresponden el primero a la expresin, el segundo a la variable y el tercero y cuarto a los extremos inferior y superior, respectivamente, entre los que deseamos integrar.

Si no existen dudas sobre la variable respecto a la cual queremos integrar tambin podemos calcular integrales definidas de funciones con el icono . Al hacer clic en el icono, aparece el smbolo estndar de la integral definida, conteniendo tres cajas vacas de color verde. Las que se encuentran en los extremos inferior y superior del smbolo integral se corresponden a los lmites de integracin inferior y superior, respectivamente. En la tercera caja, escribimos la funcin o expresin que queremos integrar. Si la expresin que queremos integrar no tiene variables, se integra respecto a una variable inventada; si tiene una nica variable, se integra respecto a sta; y si tiene ms de una, se obtiene un error.

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Anlisis Alternativamente, podemos usar el comando integrar con tres argumentos, que se corresponden el primero a la funcin o expresin que deseamos integrar y el segundo y tercero a los extremos inferior y superior, respectivamente, entre los que queremos integrar.

Clculo de lmites Para calcular lmites de funciones, usamos los iconos , o , o bien el comando lmite.

Lmite

Al hacer clic en el icono aparece el smbolo estndar de lmite, conteniendo tres cajas vacas de color verde. En la caja superior, a la derecha de lim, debemos escribir la expresin de la cual queremos calcular el lmite. En las cajas inferiores, escribimos la variable del lmite en la primera y el valor al cual deseamos aproximarnos en la segunda. Si usamos el comando lmite en lugar del icono, podemos escribir el lmite de la funcin f cuando x tiende al valor a de las formas siguientes:

lmite(f,x->a) lmite(f,x,a)Notemos que el icono El valor de permite crear un smbolo equivalente a ->. ), menos infinito (icono ) o infinito

a puede ser un nmero real o bien los valores ms infinito (icono).

sin signo (icono

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Lmite lateral

Los iconos

y

permiten calcular los lmites laterales por la derecha y la izquierda, respectivamente. Los parmetros .

de las cajas vacas son los mismos que para el icono

Para los clculos de lmites laterales, tambin podemos usar el comando lmite. Para calcular el lmite de la funcin f cuando x tiende a a por la derecha (o por la izquierda), se puede usar indistintamente cualquiera de las dos expresiones siguientes: lmite(f,x->a,1) (por la izquiera, lmite(f,x->a,-1) ) lmite(f,x,a,1) (por la izquiera, lmite(f,x,a,-1) )

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Anlisis Series de Taylor wiris nos permite calcular el desarrollo en serie de Taylor de una funcin real en un punto. Para calcular la serie de Taylor de una funcin en un punto, usamos el comando serie_de_taylor con tres argumentos, que se corresponden el primero a la funcin, el segundo a la variable y el tercero al valor en que deseamos encontrar la serie de Taylor (recordemos que la serie de Taylor nos permite aproximar una funcin cualquiera en un punto dado). Si deseamos visualizar una cantidad determinada de trminos de la serie (que es infinita), podemos especificar esta cantidad en un cuarto argumento.

Para obtener el polinomio de Taylor de un orden determinado de una funcin cualquiera, podemos utilizar el comando taylor, seguido de los cuatro argumentos que acabamos de describir. Debemos observar que el cuarto argumento es ahora imprescindible.

Series wiris permite determinar la convergencia de series, as como calcular la suma de las series convergentes. Para escribir una serie, usamos la notacin estndar en matemticas, tal y como se muestra en los ejemplos que siguen. La respuesta que obtenemos es el valor de la suma de la serie si sta es convergente (o si es divergente pero wiris sabe calcular el valor infinito correspondiente), y la propia serie en otro caso. Para preguntar a wiris sobre la converencia de una serie, utilitzamos el comando convergente?, y escribimos como nico argumento la propia serie.

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Funciones

FuncionesUna de las capacidades ms valiosas de wiris es que nos permite definir nuevas funciones, de manera que estas funciones tienen la misma consideracin que las que wiris ya tiene incorporadas. Los argumentos de estas funciones pueden ser cualquier objeto matemtico. En este apartado aprendemos cmo se definen las funciones y cmo se usan. Tambin estudiaremos varias funciones de variable real de uso fundamental en matemticas y que wiris tiene incorporadas. >>rpido Definicin de funciones Funciones reales

raz cuadrada exponencial, icono signo

raz logaritmo mximo

trigonomtricas valor absoluto mnimo

Definicin de funciones Para definir funciones, usamos el smbolo :=, creado con el teclado o con el icono . A la izquierda de este smbolo escribimos el nombre de la funcin seguido de la lista de argumentos de la funcin entre parntesis, y a la derecha escribimos el cuerpo de la funcin, es decir, las operaciones que queremos realizar con los argumentos. Una funcin puede tener tantos argumentos como queramos o incluso ninguno. En el cuerpo de la funcin, se pueden usar otras funciones ya definidas. Para aplicar la funcin a unos valores concretos, escribimos el nombre de la funcin seguido de los valores de los argumentos separados por comas y entre parntesis (esta estructura se llama Secuencia). Si intentamos aplicar una funcin que no est definida, no se realiza ningn clculo.

La funcin f del ejemplo anterior tiene un nico argumento, pero, tal y como ya hemos dicho, el nmero de argumentos puede ser cualquier nmero no negativo. Adems, una misma funcin puede tener diferentes definiciones dependiendo del nmero de argumentos que reciba.

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wiris, materiales de ayuda Una funcin tambin puede tener ms de una definicin segn el dominio de sus argumentos. Para especificar, en la definicin de una funcin, el dominio de uno de sus argumentos, escribimos el argumento, seguido del carcter : y del nombre del dominio. Tambin podemos definir una funcin para un objeto concreto. Los ejemplos siguientes ilustran todas estas posibilidades. Notemos que el comando definicin, aplicado a una funcin, nos muestra las definiciones de esta funcin.

Un comando til para definir una funcin que se evaluar de una manera para determinados elementos de su dominio de aplicacin y de otra manera en otro subconjunto del dominio es el comando comprobar. Debemos escribirlo entre los argumentos de la funcin y el smbolo := en la forma comprobar , donde es una expresin booleana (es decir, una expresin que siempre podr evaluarse como cierto o falso) construida a partir de los argumentos de la funcin. De esta manera, podemos con ellas definir funciones a trozos que, sin embargo, no se convierten en elementos analticos (se pueden evaluar pero no calcular lmites, derivarlas, ni integrarlas).

Los nombres que podemos dar a las funciones tienen la misma forma que los que podemos dar a las variables. Las funciones, como cualquier objeto en wiris, son entidades independientes del nombre que se les da. Por ejemplo, la funcin que, dado un nmero, lo eleva al cuadrado y le suma 1 puede ser considerada en s misma, aun cuando a menudo nos convendr darle un nombre para poder trabajar con comodidad. Una funcin a la cual no asignamos ningn nombre, se llama una funcin annima. Las funciones annimas se definen con el icono , que es equivalente a --> , escribiendo sus argumentos, entre parntesis, a la izquierda del smbolo --> y el cuerpo de la funcin a la derecha de este smbolo. Notemos que el comando definicin devuelve, como se ha visto en ejemplos anteriores, una lista de funciones annimas.

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Funciones

Si hemos definido una funcin y queremos que vuelva a quedar libre, debemos aplicarle el comando limpiar. Funciones reales Vamos a descubrir ahora algunas de las funciones reales predefinidas en wiris y que se corresponden con funciones matemticas bsicas.

raz cuadrada: Icono

, comando raz2 o raz_cuadrada

Calcula una raz cuadrada del argumento que recibe. Una forma alternativa de calcular la raz cuadrada de un nmero es elevarlo a 1/2. El comando races2 o races_cuadradas calculan todas las races cuadradas de un nmero real.

raz: Icono

, comando raz

Calcula la raz n-sima de x, donde x es el primer argumento (el de la caja principal si hemos utilitzado el icono) y n el segundo (el de la caja superior). Como en el caso anterior, el clculo de la raz n-sima es equivalente a elevar x a 1/n. El comando races calcula todas las races complejas (o reales) de un nmero real.

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trigonomtricas: Las funciones trigonomtricas son las siguientes:

sen cosec

cos sec

tan cotan

Corresponden, respectivamente, a seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. El argumento de estas funciones se supone expresado en radianes. Si queremos usar grados, lo podemos hacer mediante el smbolo , que se encuentra a la pestaa de Unidades. Las funciones trigonomtricas inversas que incorpora wiris son:

asen

acos

atan

Corresponden, respectivamente, al arco seno, el arco coseno y el arco tangente. El argumento de estas funciones es un nmero real. El resultado de todas ellas es la determinacin principal de la funcin, expresada en radianes (la misma que nos dan las teclas sen , cos i tan de las calculadoras de bolsillo). Si queremos la respuesta en grados, podemos usar la funcin convertir.-1 -1 -1

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Funciones

exponencial, icono: comando exp, Icono

o

Calcula el resultado de aplicar la funcin exponencial a su nico argumento (es decir, el nmero que resulta de elevar el nmero e al argumento). Con el icono , se obtienen valores exactos (esto es, sin evaluar) y con valores aproximados. wiris tambin incorpora la exponencial compleja. se obtienen

logaritmo: comando ln o log Si los comandos anteriores reciben un nico argumento, calcularan el logaritmo neperiano y decimal, respectivamente. Si log recibe dos argumentos, a y b, calcula el logaritmo de a en base b.

logb(a) calcula el logaritmo de a en base b. Es equivalente a log(a,b). Recordemos que para crear un subndiceusaremos el icono

valor absoluto: Icono

, comando absoluto

Calcula el valor absoluto del argumento.

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wiris, materiales de ayuda signo: comando signo Permite obtener el signo de un nmero real. Devuelve 1 si el nmero es positivo, -1 si es negativo y 0 si no es ninguno de ambos.

mximo: comando mximo o max Calcula el mximo de los argumentos que recibe la funcin. Si el argumento es una mximo de sus elementos.

Lista o Vector, calcula el

mnimo: comando mnimo o min Calcula el mnimo de los argumentos que recibe la funcin. Si el argumento es una mnimo de sus elementos.

Lista o Vector, calcula el

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Progresiones

Progresiones>>rpido Funciones paso razn suma de trminos de una progresin

wiris detecta si una sucesin de nmeros que se le ha dado mediante sus primeros trminos sigue una progresin constante, aritmtica, geomtrica o polinmica. Esto permite obtener el trmino general de una sucesin y sumar sus trminos con las frmulas conocidas. El comando progresin permite decidir qu tipo de progresin sigue una sucesin de nmeros. wiris clasifica las progresiones segn el orden en que las acabamos de enumerar. As, si una progresin es constante, la clasifica como constante, aun cuando tambin es aritmtica y geomtrica. De igual forma, una progresin aritmtica, que corresponde a una polinmica de primero grado, se clasifica como aritmtica. Para toda sucesin finita de n nmeros, existe un nico polinomio de grado no superior a n-1 tal que los n primeros trminos de la sucesin polinmica correspondiente coinciden con los de la sucesin. wiris formar siempre la sucesin polinmica correspondiente al polinomio de menor grado que cumple esta condicin. Una vez definida una progresin, la podemos guardar en una variable. Si llamamos p a esta variable, entonces la expresin p(i) nos da su trmino i-simo, para cualquiera nmero i y, en el caso de que n sea una variable, la expresin p(n) devuelve la frmula para el trmino general de la progresin.

Funciones Las funciones asociadas a progresiones son:

paso: comando paso Dada una progresin aritmtica, se obtiene su paso (que es la diferencia entre dos trminos). Si tenemos una progresin constante, la funcin devuelve el valor 0.

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wiris, materiales de ayuda razn: comando razn Dada una progresin geomtrica, calcula su razn. Si tenemos una progresin constante, la funcin devuelve el valor 1.

suma de trminos de una progresin: comando sigma_progresin Dada una progresin, se obtiene la suma total de sus trminos. Debemos notar que el resultado no siempre tiene el aspecto con el que se suele presentar esta suma, debido a la generalidad de los mtodos empleados, aunque lgicamente el valor de la expresin obtenida ser el mismo que el de las expresiones clsicas. Este comando tiene tres argumentos: la progresin (el primero) y el lmite inferior y superior del sumatorio (segundo y tercero, respectivamente). Los lmites del sumatorio pueden ser nmeros enteros (incluso negativos) o polinomios con coeficientes nmeros enteros.

Si deseamos realizar la suma infinita de trminos, es decir, sumar desde un coeficiente n hasta el infinito, debemos utilizar otra funcionlidad de wiris: los lmites, que se explican en el captulo Anlisis. Podemos ver en el siguiente ejemplo cmo combinar estas funcionalidades.

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Geometra

Geometrawiris permite trabajar con elementos geomtricos en el plano y en el espacio (geometra eucldea en el plano y en el espacio) y, en particular, representarlos grficamente. Dedicaremos el primer apartado a los diferentes tipos de objetos geomtricos de que disponemos. En el segundo apartado, nos fijaremos en las funciones que nos permiten actuar sobre estos objetos. La representacin grfica de los elementos geomtricos se encuentra en el captulo de Grficos (para el caso de geometra en en plano) y Grficos 3D (para la geometra en el espacio). >>rpido Objetos geomtricos puntos circunferencias rectas cnicas segmentos tringulos planos polgonos (o poligonales)

Funciones

poliedros Estudio geomtrico distancia punto medio altura mediana ngulo intersecar Transformaciones simetra traslacin

mediatriz rea paralelas rotacin

bisectriz permetro perpendiculares

Objetos geomtricos En este apartado, se explican las figuras geomtricas que podemos construir.

puntos: comando punto, Icono

o

Construye el punto de coordenadas a y b, siendo los argumentos de la funcin nmeros reales. Notemos que si escribimos la expresin (a,b) sin la palabra punto, tenemos meramente la secuencia de a y b, y no hemos definido ningn punto. Algunas funciones relacionadas con los puntos son punto_medio o alineados?.

En el caso de puntos en el espacio, el comando punto(a,b,c) construye el punto de coordenadas a, b y c, del mismo modo que en el caso del plano.

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rectas: comando recta, Icono Permite construir una recta. Los diferentes argumentos que acepta son: dos puntos de la recta (podemos usar el icono ),

un punto y un vector director, una ecuacin (de una recta), un punto y un nmero real (la pendiente de la recta). Si r es una recta, entonces pendiente(r), punto(r) y vector(r) devuelven la pendiente de la recta, un punto de la recta y un vector director de la recta, respectivamente. Para estudiar otras funciones que tambin sirven para construir una recta, podemos consultar paralelas, perpendiculares y bisectriz.

En el caso de rectas en el espacio, se aceptan los siguientes argumentos: dos puntos de la recta (podemos usar el icono un punto y un vector director, dos ecuaciones (de planos secantes). ),

segmentos: comando segmento, Icono Permite construir un segmento. Los diferentes argumentos que acepta son: los extremos del segmento (podemos usar el icono un punto y un vector. Algunas funciones relacionadas con los segmentos son longitud o punto_medio. ),

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Geometra

planos: comando plano, Icono Permite construir un plano. Los diferentes argumentos que acepta son: tres puntos (podemos usar el icono ),

un punto y un vector director (perpendicular al plano), un punto y dos vectores, una ecuacin lineal. Algunas funciones relacionadas con los planos son paralelas, perpendiculares o bisectriz.

circunferencias: comando circunferencia o cfr, Icono

,

o

Permite construir una circunferencia. Los diferentes argumentos que acepta son: un punto (centro de la circunferencia) y un nmero real (su radio); podemos usar el icono tres puntos no alineados (pertenecientes a la circunferencia); podemos usar el icono , , ,

dos puntos (el centro y un punto de la circunferencia, en este orden); podemos usar el icono la ecuacin de la circunferencia.

Si c es una circunferencia, entonces centro(c) y radio(c) devuelven el centro y el radio de la circunferencia, respectivamente. Si P es un punto de la circunferencia c, entonces, recta_tangente(c,P) devuelve la recta tangente a c por el punto P.

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cnicas: comando cnica, Icono Permite construir una cnica. Los diferentes argumentos que acepta son: cinco puntos (pertenecientes a la cnica); podemos usar el icono la ecuacin de la cnica. Los comandos elipse, hiprbola y parbola permiten construir cnicas a partir de sus elementos caractersticos como son el foco, el vrtice y la distancia focal. Para una descripcin detallada de los muchos constructores de estos objetos, debemos consultar la seccin Referencia. funciones relacionadas con las cnicas son centro, vrtice, focos, directriz, semieje_mayor, semieje_menor o semidistancia_focal. Algunas ,

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Geometra

tringulos: comando tringulo, Icono Esta funcin construye un tringulo tomando sus vrtices como argumentos; podemos tambin usar el icono comando tringulo_equiltero permite crear, como su nombre indica, un tringulo equiltero. . El

polgonos (o poligonales): comando polgono o poligonal, Icono

o

Genera el polgono (o la poligonal) resultado de unir puntos introducidos como argumentos. Cabe recordar que un polgono es una figura cerrada y plana, mientras que una poligonal son los segmentos que unen un conjunto de puntos y, en general, es una figura abierta y no plana.

poliedros: comando poliedro, Icono Genera el poliedro regular de n caras.

o

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wiris, materiales de ayuda funciones relacionadas con los poliedros son tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro, cilindro_tapado_polidrico, cilindro_polidrico, cono_tapado_polidrico, cono_polidrico, esfera_polidrica o toro_polidrico. Algunas

Funciones Las funciones geomtricas tienen como argumentos figuras geomtricas, generalmente construidas mediante las funciones descritas en el apartado anterior, pero tambin admiten directamente la ecuacin de la figura como argumento, caracterstica que se utilitza reiteradamente en este apartado.

Estudio geomtrico

distancia: comando distancia Calcula la distancia entre dos puntos, un punto y una recta o un punto y una circunferencia.

En el caso del espacio, tambin se puede calcular la distancia entre dos planos no secantes, una recta y un plano no secantes o entre un punto y un plano.

punto medio: comando punto_medio Calcula el punto equidistante de dos puntos dados y que pertenece al segmento que stos determinan. El comando punto_medio puede recibir como argumento o bien dos puntos o bien un segmento; en este ltimo caso, se calcula el punto medio de sus extremos.

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Geometra

mediatriz: comando mediatriz Calcula la mediatriz de un segmento, es decir, la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Tambin se puede definir como el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento. Este comando acepta como argumentos o bien un segmento o bien dos puntos, y, en este caso, calcula la mediatriz del segmento que definen estos puntos. Tambin podemos pasar como argumentos un tringulo y el nmero del lado del cual queremos encontrar la mediatriz. Ms informacin en circuncentro o circunradio.

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bisectriz: Icono

o

, comando bisectriz

Podemos calcular la bisectriz de los siguientes objetos: dos rectas secantes, tres puntos no alineados (que, por lo tanto, definen un ngulo), un ngulo de un tringulo. Ms informacin en incentro o inradio.

En el caso de geometra en el espacio, podemos calcular la bisectriz de dos planos que se corten.

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Geometra altura: comando altura Calcula la altura correspondiente al vrtice i-simo del tringulo, eso es, la recta que pasa por el vrtice y es perpendicular al lado opuesto. Este comando recibe como argumentos un tringulo y el nmero de vrtice del cual queremos calcular la altura. Ms informacin en ortocentro.

mediana: comando mediana Calcula la recta que une el vrtice de un tringulo con el punto medio del lado opuesto. Este comando recibe como argumentos un tringulo y el nmero de vrtice del cual queremos calcular la mediana. Ms informacin en baricentro.

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rea: comando rea Calcula el rea de la figura que recibe como argumento suponiendo que sta sea cerrada (tringulo, polgono, circunferencia o elipse). Ms informacin en rea_orientada.

permetro: comando permetro Calcula el permetro de la figura cerrada (tringulo, polgono o circunferencia) que recibe como argumento.

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Geometra

ngulo: comando ngulo Calcula el menor ngulo definido por dos rectas o dos vectores (planos en el caso del espacio). En el primer caso devuelve un valor entre 0 y #/2 y en el segundo caso, entre 0 y #. Si F es un Tringulo, Polgono o correspondiente a su vrtice i-simo.

Poligonal entonces el comando ngulo(F,i) calcula el ngulo

Ms informacin en ngulo_orientado.

En el caso del espacio, la funcin se llama ngulo3d y tambin se puede aplicar a planos. Podemos consultar el comando estado_geometra para descubrir cmo simplificar este comando.

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intersecar: Icono

, comando intersecar

Devuelve una lista con los elementos que forman la interseccin de las dos figuras que debe recibir como argumentos.

paralelas: Icono

o

, comando paralelas

Esta funcin recibe, como primer argumento, una recta (o segmento) y, como segundo argumento, un punto. Proporciona, as, la recta paralela al primer argumento que pasa por el punto. Ms informacin en paralelas?.

En el caso del espacio, podemos aplicar la funcin a un plano de modo anlogo a como se aplica a una recta o segmento en el caso bidimensional.

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Geometra

perpendiculares: Icono

o

, comando perpendiculares

Esta funcin recibe, como primer argumento, una recta (o segmento) y, como segundo argumento, un punto. Proporciona, as, la recta perpendicular al primer argumento que pasa por el punto. Ms informacin en perpendiculares?.

En el caso del espacio, podemos aplicar la funcin a un plano de modo anlogo al caso bidimensional.

Transformaciones

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wiris, materiales de ayuda wiris incorpora la posibilidad de calcular y dibujar la transformacin de una Figura mediante un movimiento del plano. Tambin podemos aplicar transformaciones a una lista de figuras; el resultado ser la lista que corresponde a aplicar la transformacin a cada una de les figuras de la lista.

simetra: comando simetra Podemos calcular una simetra axial o central de una figura dada. En el caso de una simetria axial, el comando simetra recibe como argumentos la recta que acta como eje de simetra y la figura. En el caso de la simetra central, los argumentos son el centro de simetra y la figura.

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Geometra traslacin: comando traslacin Dados un vector y una figura, podemos calcular la traslacin de la figura respecto el vector.

rotacin: comando rotacin Dados un punto P, un nmero real a y una figura F, calcula la rotacin de centro P y ngulo a de la figura F. El nmero real se interpreta como un ngulo en radianes. Para usar grados, debemos utilitzar el icono .

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Grficos 2Dwiris dispone de procedimientos para la representacin grfica en dos dimensiones. Las principales aplicaciones de estos procedimientos son la representacin de las figuras de la geometra plana y la representacin de las funciones. La representacin se hace en un Tablero de dibujo mediante los comandos dibujar, si slo queremos dibujar un objeto, o representar, si queremos que el sistema dibuje ciertos elementos caractersticos del objeto, como por ejemplo las asntotas y los puntos crticos en el caso de una funcin. Para escribir texto en el dibujo usaremos el comando escribir. Podemos consultar el comando estado_geometra para descubrir cmo simplificar este comando. >>rpido Comando dibujar dibujar un objeto dibujar una ecuacin Comando representar representar Comandos para escribir texto escribir Tablero de dibujo opciones tablero Geometra interactiva desplazador Comando dibujar dibujar una funcin opciones dibujar opciones representar opciones escribir punto ms cercano

dibujar un objeto: dibujar(d:Dibujable2d) Por lo general, esta funcin dibuja d en un tablero de dibujo. Algunos de los objetos dibujables son Punto, Recta, Circunferencia, Segmento, Tringulo, Poligonal, Funcin, Curva o Caja_de_texto. Si el argumento es una Lista, entonces se dibujan todos sus elementos.

Mencin aparte merece el caso de que el parmetro d sea un identificador (variable). Si tiene como valor un objeto dibujable, entonces se dibuja; de lo contrario, no se hace nada y obtenemos un aviso. Si ms adelante el valor de d cambia, entonces el dibujo se actualiza para mostrar el nuevo objeto. Se podra decir que el tablero de dibujo recuerda qu elementos hay dibujados en l y, si cambian de valor, los redibuja. En el siguiente ejemplo podemos constatar este comportamiento. Si definimos P como el punto (3,5) y lo dibujamos (primer bloque), aparece el punto (3,5) en el tablero de dibujo. Si, a continuacin, P toma como valor el punto (2,-1), ste ser el punto que aparece dibujado. Notemos que esto pasa sin tener que volver a usar el comando dibujar con el punto P.

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Grficos 2D

dibujar una funcin: comando dibujar Es posible indicar cmo dibujar una funcin de muchas formas. En la mayora de casos ser suficiente indicar la expresin de la funcin que queremos dibujar y el sistema se encargar de escoger el recorrido y qu variables hacen el papel de abscisa y ordenada.

Los siguientes ejemplos ilustran cmo indicar, adems, la variable y el recorrido.

Curvas paramtricasPara dibujar curvas paramtricas, siempre ser necesario indicar la variable que acta como parmetro y su recorrido.

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dibujar una ecuacin: dibujar(eq:Ecuacin) El comando dibujar admite tambin una ecuacin como argumento. Este comando proporciona una representacin grfica del objeto matemtico asociado a esta ecuacin. Las ecuaciones que admite el comando son las que corresponden a objetos de tipo Cnica.

Recta, Circunferencia y

opciones dibujar: De forma opcional, el ltimo argumento del comando dibujar puede ser una Lista de opciones. Las opciones permiten controlar el aspecto (color, grueso, etc.) de las figuras. El funcionamiento de algunas opciones, o su calidad, depende de la versin de Java (JVM) que est instalada en el ordenador. Con Java versin 1.3 (Java 2) o una versin posterior, en el segundo ejemplo podemos ver rectas de diferente anchura. Descargar la ltima versin de Java.

Introducimos cada uno de los valores de las opciones separados por comas y siguiendo el formato 'nombre_opcin=valor_opcin'; por ejemplo, color=verde. Las principales opciones del comando dibujar son:

colorIndica el color con el que se dibujan las figuras en el tablero. Valores posibles: listas de tres enteros entre 0 y 255 con la forma '{r,g,b}', donde r, g, b corresponden a la cantidad de rojo (red), verde (green) y azul (blue) que definen el color. Para facilitar el trabajo, se han definido algunos colores: negro, blanco, rojo, verde, azul, cian, magenta, amarillo, marrn, naranja, rosa, gris, gris_oscuro, gris_claro y la lista completa de colores html. Valor por defecto: negro

contornoIndica si se tiene que pintar o no el contorno de las figuras cerradas. - 66 powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

Grficos 2D Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: cierto

llenarEn el caso de tener una figura cerrada, indica si se pinta el interior. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

color_rellenoEn el caso de tener una figura cerrada y el valor de llenar sea cierto, indica el color con el que se pinta el interior de las figuras. Valores posibles: un Color y "automtico"; si escogemos este segundo valor de la opcin, el interior de la figura se pinta con el color especificado en la opcin color. Valor por defecto: "automtico"

visibleIndica si el elemento es visible o no. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: cierto

mvilSi el objeto a dibujar no se ha definido de manera esttica, permite que ste se pueda o no mover en el plano. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: cierto

evaluarIndica si el elemento se evala en el momento de hacer el dibujo o no. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

dimensiones_fijasIndica si, en cambiar las medidas del tablero de dibujo, los objetos se tienen o no que reposicionar en el plano. Por defecto, se reposicionan. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

tamao_puntoIndica el tamao de los puntos que se dibujan en el tablero. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: 5

anchura_lneaIndica el grosor de las rectas, segmentos o grficas de funciones que se dibujan en el tablero. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: 1

mostrar_etiquetaIndica si se tiene que mostrar, en el grfico, la etiqueta de la figura. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

etiquetaIndica cul es la etiqueta que se muestra junto a la figura. Valores posibles: cualquier objeto y "automtico"; si escogemos este segundo valor de la opcin, la etiqueta indica el nombre de la figura. Valor por defecto: "automtico"

etiqueta_fuenteIndica el tipo de fuente que se usa para escribir las etiquetas al tablero. - 67 powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

wiris, materiales de ayuda Valores posibles: cualquier objeto de tipo Fuente. Valor por defecto: {negrita=falso,cursiva=falso,nombre="SansSerif",tamao=12}

nombreSi el comando dibujar no conoce el nombre del objeto que tiene que dibujar, indica su nombre. Solamente tiene efecto cuando se trata de un nico elemento y no una lista. Valores posibles: cualquier objeto de tipo Cadena. Valor por defecto: nulo

nombre_semilla Si el comando dibujar no conoce el nombre del objeto que tiene que dibujar, el nombre de dicha figuraes el valor de esta opcin concatenado con un nmero. Valores posibles: cualquier objeto de tipo Cadena. Valor por defecto: nulo

Comando representar

representar: representar(...) La finalidad de esta funcin es dibujar los objetos y mostrar, a su vez, su informacin relevante. Por ejemplo, la representacin de funciones consiste en dibujar la grfica y los elementos notables de las funciones, como pueden ser puntos singulares, asntotas y mximos locales. Admite los mismos argumentos que la funcin dibujar. Est definida para objetos de tipo: Funcin, Circunferencia y Cnica ( Hiprbola, Elipse y Parbola) Si se aplica el comando a un objeto para el que wiris no considera o no sabe cmo calcular ningn elemento especial, el comando es equivalente a dibujar. - 68 powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

Grficos 2D

opciones representar: Las opciones de representar son las mismas que las de dibujar.

Comandos para escribir texto

escribir: escribir(d,P:Punto) Esta funcin permite escribir d en el punto P. Normalmente d ser de tipo Cadena aun cuando puede ser cualquier objeto. Por lo general, podemos considerar que el comando escribir es una manera rpida de dibujar objetos de tipo Caja_de_texto.

opciones escribir: De forma opcional, el ltimo argumento del comando escribir puede ser una Lista de opciones. Las opciones que podemos pasar al comando escribir son tanto las del comando caja_de_texto como las de dibujar (podemos verlos aqu), ya que escribir(t,d,P,O) es equivalente a dibujar(t,caja_de_texto(d,P,O),O), donte t es un Tablero, O es una Lista de opciones, y d y P son como descritas en el prrafo anterior. Las principales opciones del comando caja_de_texto son:

fondoIndica si se tiene que pintar o no el fondo correspondiente al objecto que se representa. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

color_de_fondoEn el caso de que el valor de fondo sea cierto, indica el color con el que se pinta el fondo del objeto que se representa. Valores posibles: cualquier Color, en formato numrico {r,g,b} o bien, si est definido, por su nombre. - 69 powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

wiris, materiales de ayuda Valor por defecto: {255,255,255} (color blanco).

contornoIndica si se tiene que aadir o no un borde alrededor del objeto que se representa; y, en el primer caso, determina el grosor que tendr. Valores posibles: cualquier nmero Entero no negativo. Valor por defecto: 0

color_de_contornoEn el caso de que el valor de contorno sea un nmero Entero positivo, indica el color con el que se pinta el borde. Valores posibles: cualquier Color, en formato numrico {r,g,b} o bien, si est definido, por su nombre. Valor por defecto: {0,0,0} (color negro).

posicin_horizontalIndica la posicin horizontal de la Caja_de_texto tomando como referencia el punto especificado. Valores posibles: "izquierda", "centro" y "derecha". Valor por defecto: "derecha"

posicin_verticalIndica la posicin vertical de la Caja_de_texto tomando como referencia el punto especificado. Valores posibles: "arriba", "centro", "lnea_base" y "abajo". Valor por defecto: "lnea_base"

anchura_mximaIndica la anchura mxima de la Caja_de_texto. Cuando el texto la excede, ste salta de lnea. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: # (infinito).

fuenteIndica la fuente que se usa para escribir el texto en el tablero. Valores posibles: cualquier objeto de tipo Fuente. Valor por defecto: {negrita=falso,cursiva=falso,nombre="SansSerif",tamao=12}

fuente_negritaIndica si el texto del tablero usa letra en negrita. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

fuente_itlicaIndica si el texto usa letra cursiva. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: falso

nombre_fuenteIndica el nombre de la fuente usada. Valores posibles: "Serif", "SansSerif" y "Monospaced". Valor por defecto: "SansSerif"

tamao_fuenteIndica el tamao de la fuente del texto. Valores posibles: cualquier nmero Entero positivo. Valor por defecto: 12

Tablero de dibujo

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Grficos 2D Los comandos dibujar, representar o escribir pueden recibir como primer argumento, y de manera opcional, el tablero de dibujo donde queremos que se haga la representacin. Si el primer argumento no es uno tablero, wiris proporciona uno de caractersticas predefinidas. Cada bloque de clculos tiene su tablero por defecto y, de hecho, puede tener tantos como queramos. Los comandos para crear un tablero de dibujo son tablero() o tablero(P,x,y); este ltimo permite crear un tablero con centro en el punto P, anchura x y altura y.

Por defecto, cuando se crea un tablero, en ste aparecen los ejes coordenados y una malla de color naranja. Si queremos que estos elementos no aparezcan, debemos ejecutar mostrar_ejes(falso) y mostrar_malla(falso), respectivamente, antes de crear el tablero y de dibujar nada. Si un tablero de dibujo tiene la malla visible los puntos slo se pueden mover sobre los vrtice de la malla. Una vez generado un tablero de dibujo, podemos controlar los ejes y la malla con los iconos o , respectivamente.

En el siguiente ejemplo se crea un tablero de dibujo donde, a diferencia de lo habitual, no aparecen ni los ejes ni la malla:

La descripcin de los iconos del tablero de dibujo ( Mens,iconos....

,

,

,

, etc ) se encuentra en el apartado

opciones tablero: Las principales opciones del comando tablero son:

centroIndica el punto en el centro del tablero. Valores posibles: cualquier Punto. Valor por defecto: punto(0,0)

alturaIndica la altura del tablero. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: 21

anchuraIndica la anchura del tablero. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: 21

visibleIndica si el tablero es visible o no. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: cierto

color_de_fondo

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wiris, materiales de ayuda Indica el color de fondo del tablero. Valores posibles: cualquier Color, en formato numrico {r,g,b} o bien, si est definido, por su nombre. Valor por defecto: {255,255,240} (color crema).

proporcinIndica la proporcin deseada entre altura y anchura del tablero. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: 1

informacinIndica qu informacin debe mostrarse cuando pasamos el ratn por encima de una figura. Esta informacin puede cambiarse una vez el dibujo est en pantalla mediante los icionos herramientas del tablero de dibujo. Ms informacin en etiqueta o mostrar_etiqueta. Valores posibles: "nada", "nombre", "definicin" y "valor". Valor por defecto: "nombre" Atributos de la ventana , y de la barra de

altura_ventanaIndica la altura de la ventana de dibujo, en pxeles. Valores posibles: cualquier nmero Entero positivo. Valor por defecto: 450

anchura_ventanaIndica la anchura de la ventana de dibujo, en pxeles. Valores posibles: cualquier nmero Entero positivo. Valor por defecto: 450

proporcin_ventanaIndica la proporcin deseada entre altura y anchura de la ventana de dibujo. Valores posibles: cualquier nmero Real positivo. Valor por defecto: 1 Atributos de los ejes coordenados

mostrar_ejesIndica si los ejes coordenados aparecen o no en el dibujo. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: cierto

color_ejesEn el caso de que el valor de mostrar_ejes sea cierto, indica el color con el que se pintan los ejes. Valores posibles: cualquier Color, en formato numrico {r,g,b} o bien, si est definido, por su nombre. Valor por defecto: {150,150,255} (azul claro).

estilo_de_ejesIndica como se representan los ejes de coordenadas, si bien como dos rectas perpendiculares, o bien como un par de flechas perpenculares entre si. Adems, en este segundo caso, el eje de abcisas se puede identificar por x o por X y el eje de ordenadas por y o por Y. Valores posibles: "nada", "flecha", "flecha_xy" y "flecha_XY". Valor por defecto: "nada"

fuente_ejesIndica la fuente que se usa para escribir el texto y los valores que acompaan los ejes. Valores posibles: cualquier objeto de tipo Fuente.powered by WIRIS 2003 maths for more sl. Todos los derechos reservados. Aviso legal

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Grficos 2D Valor por defecto: {negrita=falso,cursiva=falso,nombre="SansSerif",tamao=10}

etiqueta_de_ejesDa nombre a los ejes de coordeandas. La primera componente de la lista da nombre al eje de las abcisas, mientras que la segunda lo da al eje de las ordeandas. Valores posibles: cualquier Lista de dos componentes. Valor por defecto: {,} (una Lista_vaca de dos elementos). Atributos de la malla

mostrar_mallaIndica si en la ventana aparece o no una malla. Si la malla aparece, el movimiento de los puntos dibujados se limita a los puntos de corte de la malla; si no aparece, los puntos se pueden mover libremente por el tablero de dibujo. Valores posibles: cierto y falso. Valor por defecto: cierto

color_mallaIndica el color de la malla. Valores posibles: cualquier Color en formato numrico {r,g,b} o bien, si est definido, por su nombre. Valor por defecto: {255,200,100} (naranja claro).

Geometra interactiva Es posible dibujar una serie de objetos usando relaciones geomtricas y ver como moviendo algunos de ellos se mantienen dichas relaciones. Para ello, los objetos que dependen de otros deben declararse con el smbolo :=. Despus de calcular el siguiente ejemplo, prubese de mover el punto P.

desplazador: comando desplazador Usaremos el comando forma interactiva.

desplazador y declararemos una variable con := para poder escoger nmeros reales de

Este comando recibe como argumentos un recorrido y, opcionalmente, un valor inicial.

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wiris, materiales de ayuda punto ms cercano: comando punto_ms_cercano En geometra interactiva a veces es necesario restringir un punto a estar sobre otra figura. Este comando recibe como primer argumento un objeto geomtrico y como segundo argumento el valor del punto inicial.

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Grficos 3D

Grficos 3Dwiris dispone de procedimientos para la representacin grfica en tres dimensiones. Las principales aplicaciones de estos procedimientos son la representacin de las figuras de la geometra y la representacin de las funciones. La representacin se hace en un Tablero de dibujo mediante el comando dibujo, usamos el comando escribir3d.

dibujar3d. Para escribir texto en el

Podemos consultar el comando estado_geometra para descubrir cmo simplificar este comando. >>rpido Comando dibujar dibujar un objeto dibujar una ecuacin Comandos para escribir texto escribir3d Tablero de dibujo opciones tablero3d Geometra interactiva Comando dibujar dibujar una funcin opciones dibujar3d opciones escribir3d

dibujar un objeto: dibujar3d(d:Dibujable3d) Por lo general, esta funcin dibuja un objeto d en un tablero de dibujo. Algunos de los objetos dibujables son Punto, Recta, Plano3d, Segmento, Tringulo, Poligonal, Poliedro3d, Superficie, Curva3d y Caja_de_texto. Si el argumento es una Lista, entonces se dibujan todos sus elementos.

Mencin aparte merece el caso de que el parmetro d sea un identificador (variable). Si tiene como valor u

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Manual Wiris