manual LÁTEX

Institutode

Matem

atica,FısicayEstadıstica

-UDLA2012

CapacitacionLAT EX–Docentes

UDLA

MauricioGallardoCaballero

UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS

INSTITUTO DE MATEMATICA, FISICA Y ESTADISTICA.

SEDE CONCEPCION

Capacitacion de LATEX para

docente del IMFE

Mauricio Gallardo Cabalero

[email protected]

Desde 17 al 20 de Diciembre de 2012

El objetivo es dominar el programa LATEX para disenar cartas, apuntes,

memorias, afiches, libros, slides, con un enfoque matematico cientıfico.

Utilizar modelo estandar para guıas de ejercicios, catedras, apuntes y

generar una base de datos para asignaturas del IMFE.

mailto:[email protected]

Instituto de Matematica, Fısica y Estadıstica - UDLA2012

Capacitacion LATEX– Docentes UDLA

Mauricio Gallardo Caballero

2Mauricio

Gallardo

Caballero

-IMFE

Institutode

Matem


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Indice general

1. Introduccion al LATEX 5

1.1. Instalacion de LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Instalacion visualizadores, Miktex 2.9 y Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Comenzando con LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Estructura general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Preambulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Elaborando documento con en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Colores en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2. Tamano de letra en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3. Familia de letra en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4. Ambientes de listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Texto matematico con LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Definiendo Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2. Definiendo funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3. Definiendo tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.4. Definiendo ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Entorno grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1. Inclusion de imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2. Entorno Grafico Pstricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6. Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.1. Preambulo en Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2. Aspecto importante en el Documento de Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.3. Entorno grafico con Beamer (Tikz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.4. Apoyo de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

Instituto de Matematica, Fısica y Estadıstica - UDLA2012

Capacitacion LATEX– Docentes UDLA

Mauricio Gallardo Caballero

4Mauricio

Gallardo

Caballero

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Capıtulo 1

Introduccion al LATEX

1.1. Instalacion de LATEX

1.1.1. Instalacion visualizadores, Miktex 2.9 y Editor

☞ Instalar Acrobat Reader para visualizar archivos en formato PDF.

☞ Instalar GhostScript y GhostView (o GSview) para visualizar archivo en formato DVI o PS.

☞ Instalar MikTex 2.9 (Completa) la cual viene el CD o bien para obtener una version superior a 2.9

se debe ingresar a la pagina http://miktex.org/download

☞ Instalar Texmaker editor gratuito de LATEX

Al instalar Miktex 2.9 se debe instalar la version completa para ası utilizar todos los comandos que

se indicaran en este manual.

5

http://miktex.org/download

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6 Mauricio Gallardo Caballero - IMFE

Texmaker es un editor gratuito, en la siguiente imagen vemos en la parte izquierda se ilustra la

programacion en LATEXy en la parte derecha vemos el visualizador de Texmaker. Para

Realicemos una configuracion rapida de Texmaker, presionamos la pestanaOpciones luego presionamos

Configurar Texmaker

Figura 1.1: Configuracion Texmaker

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Capacitacion LATEX- UDLA 2012 7

presionamos Compilacion rapida y seleccionamos usuario.

Figura 1.2: Compilacion rapida

Finamente presionamos wizard y agregamos los comando de compilacion como se muestra en la si-

guiente figura

Figura 1.3: Comando para crear pdf

Despues al compilar presionamos F1 y crea nuestro pdf. Si volvemos a la 1.2 y presionamos Editor

podemos configurar el diccionario en espanol.

Figura 1.4: Configurar diccionario

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1.2. Comenzando con LATEX

1.2.1. Estructura general

La estructura general es

\documentclass [ opciones]{ Tipo}

Preambulo

\begin{document}

Documento

\end{document}

Tipos de documentos

En Tipo se puede introducir una de las siguientes opciones

☞ article: Para documentos cortos, solo con secciones y subsecciones y sus parrafos y subparrafos.

☞ book: Para documentos mas largos incluye capıtulos, prologo, apendices o incluso partes.

☞ report: Similar a book, formato intermedio entre article y book.

☞ slides: Para presentaciones, diapositivas.

Tamano de papel

En opciones se puede introducir una de las siguientes

☞ a4paper: Tamano a4

☞ letterpaper: Tamano carta

☞ a5paper: largo 210 mm y ancho 148 mm

☞ legalpaper :largo 14 in y ancho 8.5 in

☞ executivepaper: largo 10.5 in y ancho 7.25 in

Tamano de letra

☞ En opciones se puede introducir una de las siguientes tamanos de letra de fondo 10pt,11pt y 12pt

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1.2.2. Preambulo

A continuacion detallaremos el preambulo de nuestro archivo archivoIMFE.tex

En Preambulo estan los paquetes (\usepackage) adicionales que se cargan

\usepackage[latin1]{inputenc} %reconoce acento

\usepackage{amsmath,amssymb}

\usepackage[dvips]{graphicx} % usar graficos en dvi o ps

\usepackage[spanish,activeacute]{babel} % para que salga todo en espa~nol

\usepackage{amsfonts,amssymb,color} % Color y fondos matematico

% Graficos con pstrick

\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,

pst-func,pst-plot, pst-infixplot,pst-all,pst-node,psfrag}

\usepackage{pst-circ} % circuito

\usepackage{lastpage}

\usepackage{multicol} % Crea varias columnas

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{ulem}

\usepackage{pifont} % Para que listas salga dedo

\usepackage{multirow}

\usepackage{fancyhdr} % Numeracion de paginas

\usepackage{enumerate} % Manipular enumerate

\usepackage{hyperref} % Hiperlink

\usepackage{eso-pic} % Para sello de agua

\usepackage{dsfont} % Estilo de letra (Reales, enteros)

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Los margenes y tamanos del texto tambien son parte del preambulo

\parindent=2.1pc % Sangrıa

\setlength{\oddsidemargin}{-1cm} % Margen izquiedo 1 pulg a izquierda

(Hoja Izquierda)

\setlength{\evensidemargin}{-1cm} % Margen izquiedo 1 pulg a izquierda

(Hoja Derecha)

\setlength{\textwidth}{18cm} % Ancho del Texto

\setlength{\textheight}{25cm} % Altura del Texto

\setlength{\topmargin}{-3cm} % Texto queda 3cm mas arriba

\linespread{1.2} % Espacio entre lineas

Tambien podemos definir nuevo comando con la sentencia

\def\nombre{ Sentencia }

O tambien podemos definir nuevos colores a los ya predefinidos por LATEX

\definecolor\nombre{rgb}{ Tonalidad de Color }

En nuestro archivo tenemos las siguientes definiciones

\def\P{\mathds{P}}

\def\PP{\mathcal{P}}

\def\R{\mathds{R}}

\def\Ri{\mathcal{R}}

\def\K{\mathds{K}}

\def\C{\mathds{C}}

\def\CC{\mathcal{C}}

\def\L{\mathcal{L}}

\def\N{\mathds{N}}

\def\Q{\mathds{Q}}

\def\Z{\mathds{Z}}

\def\M{\mathcal{M}}

\definecolor{Navy}{rgb}{0.,0.,.5}

Con cual dan los siguientes resultados P,P,R,R,K,C, C,L,N,Q,Z,M y el color Navy

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Con el paquete de fancy podemos editar la numeracion de pagina

\fancyhead[Opciones]{ Texto }

Donde opciones tenemos las siguientes

☞ E: pagina de la derecha

☞ O: pagina de la izquierda

☞ L: izquierda

☞ C: centro

☞ R: derecha

☞ H: cabecera

☞ F: pie

\pagestyle{fancy}

\fancyhf{} %Numeracion en la parte superior

%\lhead[\thepage]{\thesection } %La seccion

\fancyhead[LE,RO]{ \color{blue} \thepage } %Numeracion de la pagina

\fancyhead[LO]{\sc \footnotesize \color{Navy} Capacitacion \LaTeX - UDLA 2012}

\fancyhead[RE]{\sc \footnotesize \color{Navy} Capacitacion \LaTeX - IMFE }

1.3. Elaborando documento con LATEX

Inmediatamente entre

\begin{document}

\end{document}

se realizara el documento en el cual hay dos partes importantes que es la parte de Texto y la parte

matematica, la primera es similar a cualquier editor, daremos algunas indicaciones

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1.3.1. Colores en LATEX

Existen una gran variedad de colores entre los cuales estan red, blue, yellow, magenta, pink,

orange, black , green se utiliza la siguiente sentencia para utilizar color

{ \color{Nombre del color en ingles} Texto }

1.3.2. Tamano de letra en LATEX

Existen varios tamanos de letras los cuales estos son

tiny , scriptsize , footnotesize, small, normalsize, large, Large, LARGE, huge, Huge

La sentencia es

{ \tama~noletra Texto }

1.3.3. Familia de letra en LATEX

Entre la familias estan negrita, Roman, Sans, Serif y Typewriter.

utilizando bf, o bien it, o bien sc, o bien rm, o bien sf, o bien tt o bien sl

La sentencia es

{ \familialetra Texto }

Por ejemplo

Letra cursiva de color verde y tamano huge

la cual en formato latex es

{\sl \green \huge Letra cursiva de color verde y tama~no huge}

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1.3.4. Ambientes de listas

El ambiente Enumerate

Para generar

1. Hola

2. Ahora es la segunda

a) Una lista dentro de otra

b) Otro item

3. Sabias 2 + 13 = 3

\begin{enumerate}

\item Hola

\item Ahora es la segunda

\begin{enumerate}

\item Una lista dentro de otra

\item Otro item

\end{enumerate}

\item Sabias $2+13=3$

\end{enumerate}

El ambiente Itemize

Para generar

☞ Hola

☞ Ahora es la segunda

✎ Una lista dentro de otra

✎ Otro item

☞ Sabias 2 + 13 = 3

\begin{itemize}

\item Hola

\item Ahora es la segunda

\begin{itemize}

\item Una lista dentro de otra

\item Otro item

\end{itemize}

\item Sabias $2+13=3$

\end{itemize}

El ambiente Description

Para generar

1.1- Hola

π Ahora es la segunda

⋆ Una lista dentro de otra

Otro item

Numero Sabias 2 + 13 = 3

\begin{description}

\item[1.1-] Hola

\item[$\pi$] Ahora es la segunda

\begin{description}

\item[$\star$] Una lista dentro de otra

\item Otro item

\end{description}

\item[Numero] Sabias $2+13=3$

\end{description}

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Ejercicio 1.3.1 Escribir un parrafo en latex en el cual incluya una parte con negrita, una parte en color

rojo, una parte de tamano Large, y este parrafo debe estar separado en tres columnas con la sentencia

\begin{multicols}{3} Texto \end{multicols}

Solucion: Por ejemploPedagogıa en Matematicas y Estadıstica

Orientacion de la carrera

La carrera de Pedagogıa en Ma-

tematica y Estadıstica en UDLA -

Universidad de Las Americas, for-

ma profesores desde el conocimien-

to pedagogico de la disciplina, con

enfasis en la matematica escolar y

especializacion en estadıstica, con

autonomıa y etica profesional, ca-

paces de participar en los distintos

ambientes educativos de la socie-

dad; aptos para llevar a la practica

los actuales modelos educativos ba-

sados en las teorıas del proceso cog-

nitivo, y con los valores sociales y

culturales necesarios para desarro-

llar docencia en el sistema educa-

cional chileno.

Perfil de egreso del alumno

El Profesor de Matematica y Es-

tadıstica de UDLA - Universidad

de Las Americas, es un profesio-

nal con solidos conocimientos dis-

ciplinarios, formado en educacion

y didactica. Estimula aprendiza-

jes significativos de sus estudian-

tes de modo creativo, establece me-

tas y procedimientos claros, organi-

za contenidos y tiempo, verifica con

una adecuada evaluacion la efec-

tividad del proceso de ensenanza

aprendizaje. Tiene capacidad inves-

tigativa, y se preocupa de su forma-

cion profesional continua.

Campo Ocupacional

El profesor de matematica y es-

tadıstica esta habilitado para ejer-

cer docencia en los distintos ambi-

tos de la disciplina, en estableci-

mientos educacionales publicos o

privados de educacion media, en el

segundo ciclo de educacion basica

y/o en educacion superior. Tambien

puede desempenarse como docente

directivo de unidades educativas, o

en el ejercicio libre de su profesion,

en consultorıas y asesorıas relacio-

nadas con su disciplina y formacion.

1.4. Texto matematico con LATEX

Para escribir en modo matematico todos los comando deben estar entre $ $ o bien $$ $$ o tambien

utilizando la sentencia para ecuaciones

\begin{eqnarray}

\end{eqnarray}

Una gran cantidad de sımbolos matematicos los podemos visualizar en el siguiente archivo

http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/Symbols.pdf

http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/Symbols.pdf

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1.4.1. Matrices

Para escribir una matriz utilizaremos el co-

mando array mas especıficamente iniciaremos

con\begin{array}{clr} donde c indica que la pri-

mera columna centrada (center), l indica que la se-

gunda columna esta a la izquierda (left) y r indica

que la tercera columna esta a la derecha (right). Por

otro lado para saltar de fila utilizaremos \\

A =

(

1 2 π 3

−28 0 x3 12

)

$$

A = \left(\begin{array}{rccl}

1 & 2 & \pi & 3\\

-28 & 0 & x^3 & \frac{1}{2}

\end{array}\right)

$$

1.4.2. Definicion de funciones

Para definir una funcion por tramos utilizamos

el comando \begin{cases}

Por ejemplo sea f : R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

$$

f(x,y) = \begin{cases}

\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^2} &, (x,y)\neq (0,0)\\

0&, (x,y)=(0,0) \end{cases}

$$

1.4.3. Definiendo tablas

Por ejemplo realicemos la siguiente tabla, la

cual es muy similar a array en esta utilizare-

mos | para hacer las lineas verticales las cua-

les se ingresan en la misma parte de las colum-

nas \begin{tabular}{|c|r|l|} y con el comando

\hline se realiza las lineas horizontales.

Notas

Alumno Catedra 1 – Catedra 2

Mauricio Gallardo 7.0 – 6.9

Manuel Iturra 5.6 – 4.3

David Moreira 3.0 – 5.1

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|r@{ \ -- \ }l|}\hline

&\multicolumn{2}{c|}{Notas}\\

\cline{2-3}Alumno &Catedra 1 &Catedra 2 \\\hline

Mauricio Gallardo & 7.0 & 6.9 \\

Manuel Iturra & 5.6 & 4.3 \\

David Moreira &3.0 & 5.1 \\\hline

\end{tabular}

\end{center}

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1.4.4. Definiendo ecuaciones

Para definir una ecuacion utilizaremos el comando eqnarray, por ejemplo para escribir esta ecuacion

∣

∣

∣

∣

6

x

∣

∣

∣

∣

≤ 5 ⇔ −5 ≤ 6

x≤ 5

⇔ 6

x≥ −5 ∧ 6

x≤ 5

⇔ 6

x+ 5 ≥ 0 ∧ 6

x− 5 ≤ 0

⇔ 5x + 6

x≥ 0 ∧ 5x + 6

x≤ 0

\begin{eqnarray*}

\left| \frac{6}{x} \right | \le 5

&\Leftrightarrow& -5 \le \frac{6}{x }\le 5

\\\noalign{\medskip}

&\Leftrightarrow& \frac{6}{x }\ge -5\quad \wedge

\quad \frac{6}{x }\le 5 \\\noalign{\medskip}

&\Leftrightarrow& \frac{6}{x }+5\ge 0\quad \wedge

\quad \frac{6}{x }-5\le 0 \\\noalign{\medskip}

&\Leftrightarrow& \frac{5x+6}{x }\ge 0 \quad\wedge

\quad \frac{5x+6}{x }\le 0

\end{eqnarray*}

Si quitamos el cada linea queda enumerada

6

x≤ 5 ⇔ 6

x− 5 ≤ 0 (1.1)

⇔ 5x + 6

x≤ 0 (1.2)

\begin{eqnarray}

\frac{6}{x} \le 5 &\Leftrightarrow& \frac{6}{x }-5\le 0


&\Leftrightarrow& \frac{5x+6}{x }\le 0

\end{eqnarray}

Tambien se puede utilizar el comando \nonumber para quitar la numeracion de una linea especifica

∫ 1

0xn dx = 0 ⇔ xn+1

n + 1

∣

∣

∣

∣

1

0

=1

3

⇔ 1

n + 1=

1

3(1.3)

⇔ n + 1 = 3

⇔ n = 2 (1.4)

\\begin{eqnarray}

\int_0^1 x^n\, dx =0

&\Leftrightarrow& \frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg |_0^1=\frac{1}{3}

\nonumber\\\noalign{\medskip}

&\Leftrightarrow& \frac{1}{n+1} =\frac{1}{3}


&\Leftrightarrow& n+1=3 \nonumber\\\noalign{\medskip}

&\Leftrightarrow& n=2

\end{eqnarray}

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Ejercicio 1.4.1 Escribir

] − ∞,−3[ ] − 3,−2[ ] − 2, 0[ ]0,+∞[

x + 2 − − + +

x + 3 − + + +

x − − − +(x+2)(x+3)

x− + − +

Indicacion: Utilizar array

Solucion:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline

& ]-\infty ,-3[& ]-3,-2[ & ]-2,0[ & ]0,+\infty [ \\\hline

x+2 & - & - & + &+\\ \hline

x+3& - & +&+& +\\ \hline

x& - & - & -&+ \\ \hline

\frac{(x+2)(x+3)}{x}& - & + &- & + \\ \hline

\end{array} $$

Ejercicio 1.4.2 Demostremos que el siguiente limite No existe

lım(x,y)→(0,0)

x4

x − y

para esto basta considerar las trayectorias

B1 = {(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} : x = 0}

B2 = {(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} : y = x − x4}

de donde Indicacion: los parentesis \{ \}

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈B2

x4

x − y= lım

x→0

x4

x − (x − x2)

= lımx→0

x4

x4

= lımx→0

1

= 1

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈B1

x4

x − y= lım

y→0

0

y

= lımy→0

0

= 0

Indicacion: Utilizar\atop

como

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈B1

x4

x − y6= lım

(x,y)→(0,0)(x,y)∈B2

x4

x − y

se tiene que el limite no existe.

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Solucion:

Demostremos que el siguiente limite {\bf No existe}

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^4}{x-y}$$

para esto basta considerar las trayectorias

\begin{eqnarray*}

B_1&=& \{(x,y)\in \R^2-\{(0,0)\}: x=0\} \\\noalign{\medskip}

B_2&=& \{(x,y)\in \R^2-\{(0,0)\}: y=x-x^4\}

\end{eqnarray*}

de donde \hfill{\bf \red Indicacion: los parentesis \verb+\{ \}+}

\begin{multicols}{2}

\begin{eqnarray*}

\lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_2} \frac{x^4}{x-y} &=&

\lim_{x\to 0} \frac{x^4}{x-(x-x^2)} \\\noalign{\medskip}

&=& \lim_{x\to 0} \frac{x^4}{x^4}\\\noalign{\medskip}

&=& \lim_{x\to 0}1\\\noalign{\medskip}

&=& 1

\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}

\lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_1} \frac{x^4}{x-y} &=&

\lim_{y\to 0} \frac{0}{y} \\\noalign{\medskip}

&=& \lim_{y\to 0} 0\\\noalign{\medskip}

&=& 0

\end{eqnarray*}

\end{multicols}

\hfill{\bf \red Indicacion: Utilizar\verb+\atop+}

como $$\lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_1} \frac{x^4}{x-y}

\neq \lim_{(x,y)\to (0,0) \atop (x,y)\in B_2} \frac{x^4}{x-y} $$

se tiene que el limite no existe.

Ejercicio 1.4.3 Usando Induccion matematica demuestre que

1

1 · 3+

1

3 · 5+

1

5 · 7+ · · · + 1

(2n − 1) · (2n + 1)=

n

2n + 1, ∀n ∈ N

Notar que usando notacion de sumatoria se escribe

Indicacion: El color es Navy

n∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

n

2n + 1,∀n ∈ N

Indicacion: para sumatoria utilizar \sum

Sea

S =

{

n ∈ N :n∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

n

2n + 1

}

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i) Es facil ver que 1 ∈ S pues

1∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

1

3=

1

2 · 1 + 1

ii) Supongamos que p ∈ S es decir

p∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

p

2p + 1

Por probar que p + 1 ∈ S que es equivalente a demostrar

p+1∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

p + 1

2(p + 1) + 1

En efecto

p+1∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

p∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)+

1

(2(p+ 1) − 1) · (2(p+ 1) + 1)

=1

2p + 1+

1

(2p + 1) · (2p+ 3)/ Por Hipotesis de induccion

=1

2p + 1

(

p +1

2p + 3

)

=1

2p + 1· 2p

2 + 3p + 1

2p + 3

=1

2p + 1· (2p+ 1)(p+ 1)

2p + 3

=p + 1

2p + 3

=p + 1

2(p + 1) + 1

Ası S = N y luego se cumplen∑

k=1

1

(2k − 1) · (2k + 1)=

n

2n + 1,∀n ∈ N

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Solucion:

Usando Induccion matematica demuestre que

$$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\dots+

\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}=\frac{n}{2n+1} ,\forall n\in\N$$

Notar que usando notacion de sumatoria se escribe

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{n}{2n+1} ,\forall n\in\N$$

Sea $$ S=\left\{n\in \N: \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)\cdot

(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}\right\}$$

\begin{itemize}

\item[i)] Es facil ver que $1\in S$ pues

$$\sum_{k=1}^1 \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2

\cdot 1+1}$$

\item[ii)] Supongamos que $p\in S$ es decir

$$\sum_{k=1}^p \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{p}{2p+1}$$

Por probar que $p+1\in S$ que es equivalente a demostrar

$$\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{p+1}{2(p+1)+1}$$

\end{itemize}

En efecto

\begin{eqnarray*}

\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}

&=&{\color{green}\sum_{k=1}^p \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)} }+

\frac{1}{(2(p+1)-1)\cdot (2(p+1)+1)}\\\noalign{\medskip}

&=&{\color{green} \frac{1}{2p+1}}+ \frac{1}{(2p+1)\cdot (2p+3)}

\qquad \mbox{/ \color{green} Por Hipotesis de induccion} \\\noalign{\medskip}

&=& \frac{1}{2p+1}\left( p+ \frac{1}{ 2p+3} \right) \\\noalign{\medskip}

&=& \frac{1}{2p+1}\cdot\frac{2p^2+3p+1}{ 2p+3} \\\noalign{\medskip}

&=& \frac{1}{2p+1}\cdot\frac{(2p+1)(p+1)}{ 2p+3}\\\noalign{\medskip}

&=& \frac{p+1}{ 2p+3}\\\noalign{\medskip}

&=& \frac{p+1}{ 2(p+1)+1}

\end{eqnarray*}

Ası $S=\N$ y luego se cumple

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{n}{2n+1} ,\forall n\in\N$

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Ejercicio 1.4.4 Si el sexto termino de

(

xy

2− 2y2

)n

es 33ax7y17. Encontrar los valores de a y n.Sabemos

que T6 = 33ax7y17, por otro lado sabemos que

T5+1 =

(

n

5

)(

xy

2

)n−5(

2y2)5 ⇔ 33ax7y17 =

(

n

5

)

xn−5yn−5

2n−525 y10

⇔ 33ax7y17 =n!

5!(n − 5)!32

xn−5yn+5

2n−5

⇔ 33ax7y17 =16n!

24(n − 5)!xn−5yn+5

Indicacion: para combinatoria \choose

De donde se obtiene que n − 5 = 7 y n + 5 = 17, ası n = 12. Por otro lado

33a =16 12!

24(12 − 5)!⇒ a =

16 12!

33 · 24 · 7!

⇒ a = 1920

Solucion:

Si el sexto termino de

$\displaystyle \left(\frac{xy}{2}-2y^2\right)^n$ es $33ax^7y^{17}$.

Encontrar los valores de $a$ y $n$. Sabemos que $T_6=33ax^7y^{17}$,

por otro lado sabemos que

\begin{eqnarray*}

T_{5+1}= {\ n\ \choose \ 5\ } \left(\frac{xy}{2}\right)^{n-5} \left(2y^2\right)^5

& \Leftrightarrow& 33ax^7y^{17} = {\ n\ \choose \ 5\ } \,

\frac{x^{n-5}y^{n-5}}{2^{n-5}}\, 2^5\, y^{10} \\\noalign{\medskip}

& \Leftrightarrow& 33ax^7y^{17} = \frac{n!}{5!(n-5)!}\, 32\,

\frac{x^{n-5}y^{n+5}}{2^{n-5}} \\\noalign{\medskip}

& \Leftrightarrow& 33ax^7y^{17} = \frac{16\,n!}{24(n-5)!}\, x^{n-5}y^{n+5}

\end{eqnarray*}

De donde se obtiene que $n-5=7 $ y $n+5=17$, ası $n=12$. Por otro lado

\begin{eqnarray*}

33a= \frac{16\,12!}{24(12-5)!}

& \Rightarrow& a= \frac{16\,12!}{33\cdot 24\cdot 7!}


& \Rightarrow& a= 1920

\end{eqnarray*}

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Ejercicio 1.4.5

∫ 1

0

dx√− ln x

=

∫ 0

∞

−e−t

√t

dt

=

∫

∞

0t−

12e−t dt

=

∫

∞

0t12−1e−t dt

= Γ

(

1

2

)

=√π

Indicacion: para sımbolo de integral a \int

Solucion:

\begin{eqnarray*}

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{-\ln x}}

&=& \int_\infty^0 \frac{-e^{-t}}{\sqrt{t}} \, dt \\\noalign{\medskip}

&=& \int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t} \, dt \\\noalign{\medskip}

&=& \int_0^\infty t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t} \, dt \\\noalign{\medskip}

&=&\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\\noalign{\medskip}

&=& \sqrt{\pi}

\end{eqnarray*}

1.5. Entorno grafico

1.5.1. Inclusion de imagen

Para incluir una imagen se utiliza la siguiente sentencia

\includegraphics[height=150mm,width=350mm]{nombreimagen.eps}

Donde el nombre de la imagen debe estar en formato eps. Si esta en otro formato utilizar convertidores

online como

http://www.pictureresize.org/online-images-converter.html

http://www.pictureresize.org/online-images-converter.html

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Tambien se puede utilizar el siguiente formato para dar mas opciones

\begin{figure}[h]

\includegraphics[opciones ]{nombreimagen.eps}

\caption{Texto}

\end{figure}

Por ejemplo

Figura 1.5: Logo UDLA

Lo cual realiza de la siguiente forma

\begin{figure}[h]

\begin{center}

\includegraphics[height=30mm,width=70mm,angle=45]{logo_udla}

\end{center}

\caption{Logo UDLA}

\end{figure}

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1.5.2. Entorno Grafico Pstricks

Pstrick es un paquete que permite graficar en LATEXa base de comando, existen muchos manuales donde

unos de ellos son

http://www.tex.uniyar.ac.ru/doc/pst_ug.pdf

http://www2.washjeff.edu/users/rhigginbottom/latex/resources/pstricks-add-manual.pdf

La estructura general es

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,

dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

En la cual se da opciones

☞ xunit=1cm,yunit=1cm : Escala grafica de 1:1 por defecto.

☞ algebraic=true: Cuando se define una funcion o una expresion reconozca la parte algebra.

☞ dotstyle=: Estilo del punto.

☞ linewidth=0.8pt: Grosor de linea.

☞ arrowsize=3pt 2: Grosor de punto de la flecha.

Otra parte importante es la definicion de ejes, en el primer caso se suprime el eje Y .

\psaxes[xAxis=true,yAxis=false,Dx=10,Dy=0,

ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-1)(5,1)

En segundo caso aparece los dos ejes

\psaxes[arrowscale=1.5,Dx=2,Dy=4]{->}(0,0)(-5,-3)(6,7)[$x$,90][$y$,0]

☞ Dx=2,Dy=4: Con esta opcion el eje X mostrara los valores de dos en dos, en cambio el eje Y mostrara

valores de cuatro en cuatro.

☞ (0,0)(-5,-5)(6,7): Este comando indica que los ejes estan centrado en el origen y el eje X va desde

[−5, 6] y el eje Y va desde [−3, 7]

☞ [x,90][y,0] : Indica la orientacion de los ejes, si quiere realizar una orientacion debe cambiar los angulos.

En los link anteriores se puede analizar como crear lineas, (\psline), circunferencias (\pscicle),

funciones, curvas, etc. A continuacion veremos unos ejemplos.

http://www.tex.uniyar.ac.ru/doc/pst_ug.pdf

http://www2.washjeff.edu/users/rhigginbottom/latex/resources/pstricks-add-manual.pdf

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Ejercicio 1.5.1 Ejemplo construir el siguiente bosquejo

−2−3 2 3

Solucion:

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,

linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\begin{center}

\fbox{

\begin{pspicture*}(-5,-1)(5,1)

\psaxes[xAxis=true,yAxis=false,Dx=10,Dy=0,ticksize=-2pt 0,subticks=2]

{->}(0,0)(-5,-1)(5,1)

%Sombreado

\psframe[linecolor=black,fillcolor=red,fillstyle=solid](-3,0)(-2,.5)

\psframe[linecolor=black,fillcolor=red,fillstyle=solid](2,0)(3,.5)

%Texto

\rput[bl](-2,-.6){\footnotesize $ -2$}

\rput[bl](-3,-.6){\footnotesize $ -3$}

\rput[bl](2,-.6){\footnotesize $ 2$}

\rput[bl](3,-.6){\footnotesize $ 3$}

\end{pspicture*}}

\end{center}

Ejercicio 1.5.2 Grafica en coordenada polares

1

2

1 2

0

π6

π4

π3

π2

2π33π

45π6

π

7π65π4 4π

33π2

10π6

7π4

5π3

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\begin{center}

\fbox{

\begin{pspicture}[linewidth=1pt,xunit=1cm,yunit=1cm](-3,-3)(3,3)

\psaxes[Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0.1,0.1)(2.4,2.4)

\SpecialCoor

%lineas

\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.34;30)(0,0)(2.34;0)









%Circunferencia

\pscircle[linestyle=dashed](0,0){1}

\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}

%texto

\rput[bl](2.34;0){$0$}

\rput[bl](2.34;30){$\frac{\pi}{6}$}

\rput[bl](2.34;45){$\frac{\pi}{4}$}

\rput[bl](2.34;60){$\frac{\pi}{3}$}

\rput[bc](2.34;90){$\frac{\pi}{2}$}

\rput[br](2.34;120){$\frac{2\pi}{3}$}

\rput[br](2.34;135){$\frac{3\pi}{4}$}

\rput[br](2.34;150){$\frac{5\pi}{6}$}

\rput[br](2.34;180){$\pi$}

\rput[br](2.34;210){$\frac{7\pi}{6}$}

\rput[br](2.34;225){$\frac{5\pi}{4}$}

\rput[br](2.34;240){$\frac{4\pi}{3}$}

\rput[bc](2.34;270){$\frac{3\pi}{2}$}

\rput[bl](2.34;300){$\frac{10\pi}{6}$}

\rput[bl](2.34;315){$\frac{7\pi}{4}$}

\rput[bl](2.34;330){$\frac{5\pi}{3}$}

% Funcion implictamente

\psplotImp[linewidth=2pt,linecolor=red,algebraic](-5,-2.2)(5,2.4){(x^2+y^2)^2-8*x*y }

\end{pspicture}}

\end{center}

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Ejercicio 1.5.3 Otro ejemplo de grafica en coordenada polares

r = a sennθa

\begin{center}

\fbox{

\begin{pspicture}(-2,-2)(3,2)

\psaxes[labels=y,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)

%

\infixtoRPN{(1.5*sin(5*x))}

\psplot[polarplot=true,%

linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=500]{0}{360}{\RPN}

%

\uput*[45](0,1.5){\blue $r=a\sen n\theta$}

\uput*[45](-.7,1.3){\blue $a$}

\end{pspicture}}

\end{center}

Ejercicio 1.5.4 Area entre curvas

2

4

−2

3 6

x

y

y2 = 4xy = 3− x

x = 7

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\begin{center}

\fbox{

\begin{pspicture}[linewidth=1pt,xunit=1cm,yunit=1cm](-3,-2.5)(9,5.5)

%SOMBREADO

\pscustom[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=green]{

\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{sqrt(4*x)}

\psplot[algebraic,linecolor=blue,linewidth=2pt]{1}{3}{3-x}

\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{0}

}

%CURVAS

\psaxes[arrowscale=1.5,Dx=3,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-2)(8,4.8)[$x$,90][$y$,0]

%EJES

\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{3}{sqrt(4*x)}

\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{-sqrt(4*x)}

%Texto

\rput[bl](3,4){\red{$y^2=4x$}}

\psplot[algebraic,linecolor=blue,linewidth=2pt]{-1}{5}{3-x}

\rput[bl](-3,4){\blue{$y=3-x$}}

%

\psellipticarc[linewidth=0.05,linecolor=magenta]{->}(7,1)(.3,.3){120}{380}

\psline[linecolor=magenta,linewidth=1pt,linestyle=dashed](7,-.3)(7,4)

%Texto

\rput[bl](6,-1){\magenta{ $x=7$}}

\end{pspicture}}

\end{center}

Ejercicio 1.5.5 Una grafica de conjuntos

UF L

20 1020

10

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\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,runit=1cm}

\begin{pspicture}(0,0)(4,3)

\psframe[linewidth=2pt,framearc=.1,fillstyle=solid,fillcolor=cyan](4,3)

%

%\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=red](2,3){1.5}%

%\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=green](4,3){1.5}

%\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=yellow](3.5,2){1.5}

%

\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=orange](1.5,1.5){1}

\pscircle[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=yellow](2.5,1.5){1}

\pscircle[linewidth=2pt](1.5,1.5){1}

%

\rput(.3,2.7){U}

\rput(.6,2.3){F}

\rput(3.4,2.3){L}

\rput(1,1.5){20}

\rput(3,1.5){10}

\rput(2,1.5){20}

\rput(3.6,.5){10}

%

\end{pspicture}

\end{center}

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1.6. Beamer

Entorno de slides, para IMFE se anexa el archivo beamer_IMFE.tex

Figura 1.6: Modelo Beamer para IMFE

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1.6.1. Preambulo en Beamer

En este caso debemos iniciar con \documentclass{beamer}, resto de definiciones es similar al anterior

salvo los siguientes

☞ Colores de fondo y de letras.

\setbeamercolor{normal text}{bg=mycolor,fg=white}

%\setbeamercolor{Title bar}{fg=orange}

%\setbeamercolor{Location bar}{fg=yellow,bg=orange}

\setbeamercolor{block title}{bg=Navy,fg=orange}

\setbeamercolor{block body}{bg=black,fg=yellow}

\setbeamercolor{section in head/foot}{bg=mycolor,fg=black }

\setbeamercolor{block body example}{bg=mypink,fg=white}

\setbeamercolor{block title example}{bg=black,fg=orange}

\setbeamercolor{title}{fg=orange,bg=black}

\setbeamercolor{alerted text}{fg=green}

%\setbeamercolor{alerted text}{fg=white,bg=red}

\setbeamercolor{theorem title}{fg=white,bg=red}

☞ Estilo del Beamer, el mas utilizado es Warsaw

%\usetheme{Darmstadt}

\usetheme{Warsaw}

%\usetheme{Rochester}

%\usetheme{Hannover}

%\usetheme[height=22mm]{Rochester}

%\usetheme{Marburg}

1.6.2. Aspecto importante en el Documento de Beamer

Para crear una hoja se debe comenzar con

\begin{frame}

\end{frame}

dentro de este se pueden incluir varios tipos de

recuadros, entre los el cual mas comun es

\begin{block}

\end{block}

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1.6.3. Entorno grafico con Beamer (Tikz)

De igual forma se puede incluir graficos con includegraphics , pero no opera el paquete PStrick, en su

lugar uno muy similar el cual es Tikz, hay un completo manual y ejemplo en la siguiente pagina.

http://www.texample.net/tikz/examples/

Dentro de estos ejemplos es una animacion de area bajo una curva donde realiza al mismo tiempo el

calculo de integral, para esto debemos abrir el archivo animated-definite-integral.pdf

Figura 1.7: animated-definite-integral.pdf

1.6.4. Apoyo de Geogebra

Por ultimos podemos realizar graficos o dibujos con Geogebra y luego exportar en formato Pstrick o

Tikz

Figura 1.8: Apoyo de Geogebra

MGC 17 al 20 de Diciembre de 2012

http://www.texample.net/tikz/examples/

Documents

manual LÁTEX