Manual de Prácticas de Dinámica

7/17/2019 Manual de Prácticas de Dinámica

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ

“MANUAL DE PRÁCTICAS DE DINÁMICA UTILIZANDO

EL SOFTWARE WORKING MODEL”

MEMORIA DE RESIDENCIA

MIRIAM MEJÍA SALINAS

INGENIERA ELECTROMECÁNICA

CD. JUÁREZ, CHIH., MARZO DEL 2013



3

CAPÍTULO 2

FUNCIONES BÁSICAS

Este capítulo pretende explicar las funciones básicas del software, desde

como ingresar al programa, abrir una pieza ya existente, crear un documento

nuevo etc. Con esto se pretende que en el alumno esté familiarizado con elprograma y pueda dibujar cualquier sistema dinámico.

2.1 Ingresar a Working Model

1. Asegúrese de que Working Model esté instalado en su

computadora.

2. En el menú , haga clic en Programas y luego en Working Model

2D, o bien localice en el escritorio el icono del programa y

de doble clic. Esto crea un nuevo documento en Working Model

2D.

2.2 Abrir un documento existente

Para abrir un documento existe:

1. En la ventana de Working Model presione el botón derecho del

ratón en para abrir el archivo; o en el menú de archivos (File),

(Open) o bien presione Ctrl + O.



4

2. Seleccione el archivo que desea abrir y presione el botón derecho

del ratón en abrir.

2.3 Términos de Working Model

A continuación se muestra en la figura 2.1 un gráfico de la ventana

principal del software Working Model en el cual se identifican y explican los

términos mas comunes. El alumno debe familiarizarse con estos términos ya que

se verán a lo largo del manual.

Figura 2. 1 Pantalla principal del software



5

Barra de cuerpos. En esta se localizan las diferentes figuras que se

pueden realizar en el espacio de trabajo.

Barra unir/partir.

Barra de uniones. Aquí se encuentran las uniones que se pueden

colocar, como lo son la articulación con clavija (pin joint), articulación canalizada

(slot joint), articulación rígida (rigid joint), etc.

Barra de puntos. Son puntos utilizados para unir con otros cuerpos.

Barra de restricciones. En esta barra se encuentran elementos

como resortes, amortiguadores, motores, actuadores, etc.

Hoja o espacio de trabajo. Es en este espacio en el cual se realiza

el dibujo del sistema dinámico.

Barra de herramientas. Aquí se encuentran otras barras como lo

son la barra de edición donde se puede ajustar el tamaño del objeto así como la

barra run control desde la cual se inicia, reinicia detiene la simulación.

2.4 Configuración del espacio de trabajoLo primero que debe de hacer antes de comenzar a trabajar es configurar

el espacio de trabajo. Para eso, realice las acciones siguientes:

1. Desplegue de la barra de menús la pestaña de Vista (View).

2. Seleccione la opción de Espacio de trabajo (Workspace) y active

las casillas de Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas (Grid Lines), y Ejes X, Y ( X,

Y Axes) para observar en el espacio de trabajo la cuadricula y los ejes, así como

las reglas como se muestra en la figura 2.2.

3. A continuación haga clic en Cerrar (Close) para guardar los

cambios.



6

Figura 2. 2 Configuración del espacio de trabajo

Ahora ya debe observar en el espacio de trabajo las reglas, el

cuadriculado y los ejes coordenados como se muestra en la figura 2.3.

Figura 2. 3 Espacio de trabajo configurado



7

2.5 Selección de las unidades a trabajar

Es muy importante determinarlo desde el principio ya que si no se definen

el software puede generar errores en los cálculos. Para realizar la definición de

las unidades realice las siguientes acciones:

1. Acuda a la barra de herramientas en el menú Vista (View).

2. Seleccione Números y unidades (Numbers and Units) cómo lo

muestra la figura 2.4.

Figura 2. 4 Selección de unidades

A continuación aparece una ventana en la cual se muestran varios

elementos, por ejemplo en Sistema unitario (Unit System) se elije el sistema de

medición, si se desean realizar algunos cambios en un parámetro especifico, se

puede especificar en la pestaña de Mas opciones (More Choises) cómo lo

muestra la figura 1.4 a continuación.



8

Figura 2. 5 Especificación de las unidades

2.6 Creación de un dibujo en 2D

1. De la barra de cuerpos, presione con el botón derecho del ratón a

la figura que desea dibujar.

2. Coloque el puntero en la hoja de trabajo y presione el botón

derecho del ratón en la posición deseada para ubicar la figura.

3. Desplace el cursor para darle el tamaño deseado.

4. Realice un clic con el botón derecho del ratón para finalizar.

Es importante acotar que la posición o las dimensiones de la figura se

pueden modificar utilizando otras herramientas, no solamente las reglas. A

continuación se explica cómo.

2.7 Dimensionamiento de la figura

El dimensionamiento de la figura se puede realizar de dos formas, las

cuales se explican a continuación:



9

a) Utilizando la barra de menús.

1. Seleccione la figura con el botón derecho del ratón.

2. Posteriormente, desplegué en la barra de menús el menú de

Ventana (Window) y después la opción Geometría (Geometry). Aparecerá un

cuadro en el que podrá modificar las magnitudes, este cuadro se muestra en la

figura 2.6.

3. Después de realizar las modificaciones basta con cerrar el cuadro.

Figura 2. 6 Dimensionamiento de la figura desde el menú

b) Desde la barra de coordenadas.

1. Seleccione la figura presionando el botón derecho del ratón.

2. En la parte inferior de la pantalla se localiza la barra de

coordenadas. En esta barra se observan las dimensiones, coloque el puntero en

el cuadro de la dimensión que desea modificar y presione el botón derecho del

ratón, a continuación cambie el valor.



10

3. Presione introducir (enter ) para realizar el cambio.

A continuación se muestra la figura 2.7 la barra de coordenadas

anteriormente mencionada.

Figura 2. 7 Dimensionamiento de la figura desde la barra de coordenadas

2.8 Propiedades de la figura.

Para modificar propiedades como la posición con respecto a los ejes

coordenados, velocidad, material, masa, orientación, etc. acceda al respectivo

cuadro de diálogo realizando doble clic con el botón derecho del ratón a la

figura. Deberá observar el cuadro de la figura 2.8.



11

Figura 2. 8 Configuración de las propiedades de la figura

Con esto se da por visto las cuestiones básicas acerca del software,

desde luego que este programa tiene muchas más opciones que se verán

conforme se avance en la resolución de este manual. A partir del capítulo

siguiente se muestran diferentes ejercicios resueltos cada uno de ellos

vinculados con las unidades respectivas al avance programático. Asimismo se

muestra un ejercicio propuesto con la finalidad de que el alumno practique y se

familiarice con el software.



12

CAPÍTULO 3

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS, DESPLAZAMIENTO,

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Una pelota como se muestra en la figura 3.1 se lanza con una velocidad

de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 msobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a

9.81 m/s2 hacia abajo, determine a) la velocidad v y la elevación y de la pelota

sobre el suelo en cualquier tiempo t, b) la elevación más alta que alcanza la

pelota y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el

suelo y la velocidad correspondiente.

Figura 3. 1 Plano de situación del problema



13

3.1 Solución analítica

a) Velocidad y elevación. El eje y que mide la coordenada de la posición

(o elevación) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido positivo hacia

arriba. El valor de la aceleración y de los valores iniciales de v y y son como se

indica. Al sustituir a en a= dv/dt y observar que en t=0 , v 0 =10 m/s, se tiene

Al sustituir v y v= dy/dt y observar en t=0 , y 0 =20 m, se tiene

2905.41020

905.41020

905.410

81.910

2

2

0

2

20

0200

ecuaciónt t y

t t y

t t y

dt t dy

t y

t y

y

b) Máxima elevación. Cuando la pelota alcanza su máxima elevación, se

tiene v =0. Al sustituir en la ecuación 1

st t

019.1081.910

Al sustituir t = 1.019 s en la ecuación 2, se tiene

181.910

81.910

81.9

81.9

/81.9

010

010

2

0

ecuaciónt v

t v

v

dt dv

smadt

dv

t v

t v

v



14

m y

y

1.25

019.1905.4019.11020 2

c) La pelota golpea al suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, se tiene

y =0. Al sustituir en (2), se obtiene

st

st

t t

28.3

243.1

0905.41020 2

Solo la raíz t =3.28 s corresponde a un tiempo después de que el

movimiento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene

3.2 Simulación del sistema

Para la realización de este sistema en esta sección se explica lo

siguiente:

1. Configuración del espacio de trabajo.

2. Asignación del sistema de medición.

3. Modelado del sistema.

4. Asignación de la gravedad.

5. Definición del vector velocidad.

6. Obtención de las gráficas.

7. Realizar la simulación.

smv

smv

/2.22

/2.2228.381.910



15

8. Modificación de las gráficas.

9. Interpretación de las gráficas.

3.2.1 Configuración del espacio de trabajo

Para realizar la simulación en el software del problema anterior primero

debe configurar la hoja de trabajo activando en la ventana de Espacio de trabajo

(Workspace), en el menú Vista (View), las opciones de Reglas (Rulers), Líneas

cuadriculadas (Grid Lines) y Ejes X, Y (X, Y Axes) como se observa en la figura

3.2, esto hace que usted puede ver la regla, el cuadriculado y los ejes

coordenados.

Figura 3. 2 Configuración del espacio de trabajo

3.2.2 Asignación del sistema de medición

Realice las siguientes actividades para la asignación de unidades:

1. Desplegue el menú Vista (View).



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2. Seleccione Números y unidades (Numbers and Units) y elija el

sistema de unidades correspondiente que para el caso del

problema es el Sistema Internacional (SI).

3. Presione OK para guardar los cambios.

El cuadro de la figura 3.3 muestra la configuración de las unidades.

Figura 3. 3 Configuración del sistema de medición

3.2.3 Modelado del sistema

Una vez realizada las acciones anteriores se procede a dibujar la pelota.

1. Busque en la barra de cuerpos la figura del círculo y selecciónela

presionando el botón derecho del ratón (figura 3.4).

Figura 3. 4 Elemento en la barra de cuerpos



17

2. Ahora presione el botón derecho del ratón en el espacio de trabajo

y desplace el cursor a cualquier posición para crear la figura, para

finalizar vuelva a presionar el ratón como se menciono

anteriormente. Para este problema las dimensiones del círculo no

son importantes así que realícelo de cualquier radio.

3. Ahora seleccione el círculo y posiciónelo en el eje X en 0 y en el

eje Y en 20, utilizando la barra de coordenadas que se encuentra

en la parte inferior del espacio de trabajo como se indica en el

problema (ver figura 3.5).

Figura 3. 5 Posicionamiento de la pelota

3.2.4 Asignación de la gravedad

Para asegurarse de que el valor de la aceleración de la gravedad es

correcto, en el menú Mundo (World), Gravedad (Gravity) aparece el cuadro de

la figura 3.6:



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Figura 3. 6 Cuadro de gravedad

Se observa que la opción Vertical esta seleccionada previamente, sin

embargo, también se puede desactivar es decir, que se puede trabajar sin

aceleración; para este caso el problema indica que se debe considerar la

gravedad.

3.2.5 Definición del vector velocidad

A continuación se procede a colocar la velocidad, para esto

1. Seleccione el círculo con un clic.

2. Despliegue el menú Definir (Define), Vectores (Vectors) y

Velocidad (Velocity).

En la figura 3.7 se muestra el paso número 2.



19

Figura 3. 7 Colocación del vector

3. Ahora para asignarle una magnitud a esa velocidad presione dos

veces continuas el botón derecho del ratón en el círculo con lo cual

aparece el cuadro de la figura 3.8. En el recuadro de Vy se coloca

un 10 ya que la velocidad solo tiene componente en el eje de las Y,

obsérvese que las unidades están ya en m/s.

Figura 3. 8 Asignación de la velocidad



20

En caso de que se desee cambiar el tamaño del vector para que se pueda

observar mejor en la hoja; en el menú Definir (Define), seleccione Longitud de

los vectores (Vector Lenghts) que muestra la ventana de la figura 3.9. Desplace

la barra hacia la parte inferior y si aun así no disminuye el tamaño del vector

teclee un número más pequeño en el espacio que se encuentra en la parte

inferior de la barra.

Figura 3. 9 Modificación del tamaño del vector

3.2.6 Obtención de las gráficas

Ahora para recabar la información que pide el problema, se necesita

obtener las gráficas.

1. Seleccione el círculo con el botón derecho del ratón.

2. Desplegue el menú Medir (Measure). En él puede observar todas

las magnitudes de las cuales usted puede obtener una gráfica. En

este caso interesa conocer la elevación más alta que alcanza la

pelota y el tiempo correspondiente.

3. Seleccione la magnitud Posición (Posicion). Observe como al

seleccionar esta magnitud se desplegan 4 opciones.

4. Elija Gráfica Y (Y Graph), ya que el desplazamiento de la pelota

ocurre en ese eje.



21

5. Para la gráfica de velocidad, en el menú Medir (Measure) elija

Velocidad (Velocity) y Gráfica Y (Y Graph). Aparecerán las gráficas

como se muestra a continuación en la figura 3.10.

Figura 3. 10 Gráficas de velocidad y posición de la pelota

3.2.7 Realice la simulación

Ya se puede correr la simulación, y obtener datos en las gráficas. Para

esto ubique el botón de en la barra de herramientas, o en el menú Mundo

(World) elija la opción Arrancar (Run) o bien presione Ctrl + R.

3.2.8 Modificación de las gráficas

Es probable que no se observen con claridad los valores ya que las

gráficas no están configuradas. Para configurar el rango de valores de las



22

gráficas de doble clic en una de las gráficas y aparecerá la ventana de la figura

3.11.

Figura 3. 11 a) Configuración de la gráfica de posición, b) Configuración de la gráfica develocidad

Con los datos obtenidos en el procedimiento analítico se observa que no

interesa ningún tiempo mayor de 4 segundos y ninguna distancia mayor a 30

metros, así que coloque esos valores en su eje respectivo. En la gráfica de

velocidad no interesa ninguna velocidad diferente de los ±25 m/s y un tiempo de4 segundos, así que esos datos se colocan en sus ejes correspondientes.

Ahora bien, si usted desea que la simulación solo dure 4 segundos que es

el tiempo que interesa a este problema se debe agregar una restricción o

condición. Para agregarla, se busca en el menú Mundo (World), Control de la



23

pausa (Pause Control) y se selecciona Nueva condición (New Condition). En ese

cuadro se especifican los 4 segundos como se ve en la figura 3.12, así la

simulación solo correrá ese tiempo.

Figura 3. 12 Condición de restricción

Ahora corra la simulación, note usted que las gráficas se detienen al llegar

a los 4 segundos. Se pueden aumentar el tamaño de las gráficas haciendo clic

en ellas y arrastrando la gráfica de alguna esquina. Las gráficas resultantes se

muestran en la figura 3.13.



24

Figura 3. 13 Gráficas de velocidad y posición

3.2.9 Interpretación de las gráficas

El punto máximo que se alcanza en la gráfica de posición se observa

alrededor de los 25 metros en un tiempo de 1 segundo, cuando la gráfica de

posición cruza el eje de las X (que en este caso es el suelo), el tiempo es 3.3

segundos aproximadamente, ahora leemos la velocidad en la Gráfica

correspondiente a ese tiempo, observándose que es aproximadamente -22 m/s

corroborando que los datos obtenidos en el método analítico son correctos.



25

3.3 Práctica propuesta

Durante una prueba, un elevador viaja hacia arriaba a 15 m/s y el cable

que lo sujeta se corta cuando la cabina se encuentra a 40 metros del suelo (ver

figura 3.14). Determinar la altura máxima sB y su rapidez justo antes de

estrellarse en el suelo. Durante todo el tiempo, el elevador se encuentra en

movimiento, sujeto a una aceleración constante hacia debajo de 9.81 m/s2

debida a la gravedad. Despreciar el efecto de la resistencia del aire.

Figura 3. 14 Elevador



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CAPÍTULO 4

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE

PARTÍCULAS

El proyectil que se muestra en la figura 4.1 se lanza desde el borde de un

acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s a un ángulo de 30° conla horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre a) la distancia

horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el suelo, b)

la elevación máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.

Figura 4. 1 Lanzamiento del proyectil


Los movimientos vertical y horizontal se considerarán por separado.



27

Movimiento vertical. Movimiento uniformemente acelerado. Eligiendo el

sentido positivo del eje y hacia arriba y situando el origen O en el cañón, se tiene

2/81.9

/9030/180 sma

sm sen smv O y

Al sustituir en las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado,

se tiene

)3(62.1981002

)2(90.490

2

1

)1(81.990

222

22

ecuación yvayvv

ecuaciónt t yat t v y

ecuaciónt vat vv

yO y y

o y

yO y y

Movimiento horizontal. Movimiento uniforme. Al elegir el sentido positivo

del eje hacia la derecha, se tiene

sm smvO x /9.15530cos/180

Al sustituir en las ecuaciones el movimiento uniforme, se obtiene

a) Distancia horizontal. Cuando el proyectil choca con el suelo, se tiene

m y 150

Al sustituir este valor en la ecuación 2 para el movimiento vertical, se

escribe

st t t t t 91.1906.3037.1890.490150 22

)4(9.155 ecuaciónt xt v xO x



28

Si se sustituye t=19.91 s en la ecuación 4 para el movimiento horizontal

se encuentra

m x x 100391.199.155

b) Elevación máxima. Cuando el proyectil alcanza su máxima elevación,

se tiene vy=0; al considerar este valor en la ecuación 3 para el movimiento

vertical se escribe

m y y 41362.1910080

Máxima elevación sobre el suelo= 150 m + 413 m = 563 m


Para la simulación de este sistema se llevaran a cabo las siguientes

actividades:



3. Construcción del sistema.

4. Definición del vector velocidad.

5. Obtención de la trayectoria del proyectil.

6. Obtención de gráficas de resultados.




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Esta es la primera actividad que debe de realizarse para la simulación de

cualquier ejercicio.

En la barra de menú Vista (View), Espacio de trabajo (Workspace) active

las casillas de Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas (Grid Lines) y Ejes X, Y ( X,

Y Axes).

4.2.2 Asignación del sistema de mediciónEn el menú Vista (View), Números y unidades (Numbers and Units) elija el

sistema de unidades en las cuales se encuentra definido el problema. Elija el

Sistema Internacional en grados (SI (degrees)).

4.2.3 Construcción del sistemaPara la construcción del proyectil realice lo siguiente:

1. De la barra de cuerpos, seleccione presionando el botón derecho

del ratón la figura del círculo.

2. Presione el botón derecho del ratón en cualquier lugar del espacio

de trabajo.

3. Desplace el cursor para crear el círculo del tamaño deseado (el

diámetro del círculo para el caso de este ejemplo no es relevante).4. Presione el ratón como se menciono anteriormente para terminar.

5. Posicione el círculo en las coordenadas (0,150) auxiliándose de la

barra de coordenadas que se ubica en la parte inferior del espacio

de trabajo.



30

En la figura 4.2 se muestran las actividades anteriores

Figura 4. 2 a) Barra de cuerpos, b) Posicionamiento del proyectil

4.2.4 Definición del vector velocidad Ahora es pertinente colocar el vector velocidad como se realizó en el

ejercicio anterior.

1. Seleccione el círculo, en este caso el proyectil presionando el

botón derecho del ratón.

2. En el menú Definir (Define), seleccione la opción Vectores

(Vectors). Se desplegará un submenú en el cual debe elegir la

opción Velocidad (Velocity).

3. Ahora para darle la magnitud a esta variable, presione dos veces

con el botón derecho del ratón el círculo, con lo cual aparecerá el

cuadro de diálogo de la figura 4.3.



31

Figura 4. 3 Introducción de valores de la velocidad

4. Para poder introducir la magnitud de la velocidad es necesario

descomponerla en sus componentes rectangulares, así pues como

la velocidad es de 180 m/s, anote 155.9 y 90 respectivamente en

los recuadros de V x y V y .

4.2.5 Obtención de la trayectoria del proyectilPara que usted pueda observar la trayectoria del proyectil al momento de

realizar la simulación, Working Model le ofrece una opción en la cual el proyectil

deja una sombra al momento de realizar dicha trayectoria.



32

1. En el menú Ventana (Window), seleccione Apariencia

( Appearance).

2. Se desplegará una ventana en la cual usted puede modificar

aspectos relacionados con la apariencia como son el color, el

sombreado, las líneas del contorno de la figura, etc. Asimismo

puede pedir que le muestre los centros de masa de la figura, la

carga, la orientación, etc. Seleccione la opción de Seguir la

delineación (Track outline) (figura 4.4).

3. Cierre el cuadro para finalizar.

Figura 4. 4 Activación del rastro de la trayectoria del proyectil

A continuación en la figura 4.5 se muestra la gráfica de la trayectoria del

proyectil obtenida anteriormente, al correr la simulación ( ).



33

Figura 4. 5 Trayectoria del proyectil

4.2.6 Obtención de gráficas de resultados

Es momento ahora de obtener las gráficas para validar los resultados del

método analítico. Interesa conocer la distancia horizontal desde el cañón hasta

el punto en el que el proyectil toca el suelo y la elevación máxima sobre el suelo

que alcanza el proyectil.

1. En el menú Medir (Measure), la opción Posición (Posicion)

seleccione Gráfica X ( X Graph) y Gráfica Y (Y Graph).

2. Corra la simulación presionando el botón de .

Se debe detener la simulación cuando se observa que la curva ya pasa

por cero en la Gráfica Y (Y Graph), ya que los demás datos no interesan a este

problema, recuerde que el cero es la referencia del nivel del suelo. Amplíe las

gráficas para que pueda leer con mayor facilidad los datos.

Las gráficas obtenidas son las que se muestran en la figura 4.6 a

continuación.



34

F igura 4. 6 Gráficas de posición en el eje X y el eje Y


Se muestra en la Gráfica Y (Y Graph) que el punto más alto de la gráfica

se observa alrededor de los 10 segundos y es de 570 m aproximadamente,

asimismo el tiempo en el que la gráfica pasa por cero es de 20 segundos, con

ese tiempo lea la distancia en la Gráfica X ( X Graph) observe que la distancia

horizontal que recorre hasta tocar el suelo es de 3,100 m es decir que los datos

concuerdan con los obtenidos en el método analítico.



35


En un lanzamiento lento de softbol el picheo por abajo del brazo debe

alcanzar una altura máxima de entre 6 ft y 12 ft por arriba del suelo como se

observa en la figura. Se realiza un lanzamiento con una velocidad inicial v 0 de

magnitud igual a 43 ft/s a un ángulo de 33° con la horizontal. Determine a) si el

lanzamiento cumple con la altura máxima requerida, b) la altura de la pelota

cuando llega el bateador.

Figura 4. 7 Lanzamiento de softbol



36

CAPÍTULO 5

CINÉMATICA DE CUERPOS RÍGIDOS

En el mecanismo mostrado en la figura 5.1, la manivela AB tiene una

velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000

rpm. Para la posición indicada de la manivela, determine a) la velocidad angularde la biela BD, b) la velocidad del pistón P.

Figura 5. 1 Planteamiento del problema


Movimiento de la manivela AB. La manivela AB gira alrededor del punto

A. al expresar ɯ AB en rad/s y escribir vB= r ɯ AB se obtiene

sinV

sin srad in ABv

srad rev

rad

s

rev

B

AB B

AB

/3.628

/3.628/4.2093

/4.2091

2

60

min1

min200



37

Movimiento de la biela BD. Este movimiento se considera como

movimiento plano general. Utilizando la ley de los senos, se calcula el ángulo β

entre la biela y la horizontal:

95.1338

40

in

sen

in

sen

La velocidad vD del punto D, donde la biela esta unida al pistón, debe ser

horizontal, en tanto que la velocidad del punto B es igual a la velocidad vB que se

obtuvo antes. Descomponiendo el movimiento BD en una traslación con B y una

rotación alrededor de B (figura 5.2), se obtiene

Figura 5. 2 Descomposición del movimiento de la biela

Al expresar la relación entre las velocidades vD, vB y vD/B, se escribe

B D B D

V V V /

A continuación se dibuja el diagrama vectorial correspondiente a esta

ecuación que se muestra en la figura 5.3. Si se recuerda β= 13.95°, se

determinan los ángulos del triangulo y se escribe



38

Figura 5. 3 Diagrama vectorial

s ft vv s ft v ft sinv

sin sinv

sen

sin

sen

v

sen

v

D P

D D

BvD B D

B D D

/6.43/6.436.43/4.523

/9.495/9.495

05.76

/3.628

5095.53

//

/

Puesto que vD/B= lɯBD, se obtiene

srad in sin BD BD /628/9.495


Para dibujar este sistema requiere realizar las acciones siguientes:


2. Definición del sistema de medición.3. Dibujo del sistema

a. Dibujo de la manivela.

b. Dibujo de la biela.

c. Unión manivela-biela.

d. Dibujo del pistón.



39

4. Velocidad de animación.

5. Gráficas del sistema.


Recuerde activar las opciones Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas

(Grid Lines) y Ejes X, Y ( X, Y Axes) de Espacio de trabajo (Workspace) en el

menú Vista (View).

5.2.2 Definición del sistema de medición

1. En el menú Vista (View), Números y unidades (Numbers and Units)

seleccione el Sistema Inglés en libras (English (pounds)).

2. Presione la pestaña de Más cambios (More Choises) para

personalizar las unidades. Busque las unidades de rotación

(Rotation) y cámbielas a radianes (radians).

3. Presione OK para guardar los cambios.

5.2.3 Dibujo del sistema

5.2.3.1 Dibujo de la manivela.

1. En la barra de cuerpos, seleccione la figura del rectángulo.

2. Presione el botón derecho del ratón en el espacio de trabajo.

3. Desplace el cursor para darle las dimensiones deseadas.

4. Presione una vez más el ratón para terminar el rectángulo.



40

5. En la barra de coordenadas, asigne los siguientes datos:

El largo de la manivela es de 3 in por 0.5 in de ancho.

La ubicación de la manivela es (0,0).

La manivela está ubicada según el problema a 40° con respecto

a la horizontal que corresponden a 0.6981 rad así que también

teclee este valor en espacio asignado para ello en la barra de

estado que aparece denotado por la letra ᵠ.

Es probable que no pueda observar el rectángulo con claridad, auxíliese

de la barra de herramientas con el zoom para visualizarlo mejor.

6. Ahora bien, la manivela está girando a una velocidad de 209.4

rad/s. Para asignar esta velocidad realice lo siguiente:

Localice en la barra de restricciones (ver figura 5.4) el elemento

del motor y selecciónelo presionando el botón derecho del

ratón. Note como el cursor adquiere la forma del motor.

Figura 5. 4 Ubicación del motor en la barra de restricciones



41

Lleve el motor hacia el rectángulo (o manivela) y ubíquelo en el

ancho inferior de la manivela en el centro. Observe que al

acercar el motor el programa marca con una “x” el punto donde

puede ubicarlo.

Presione la “x” con el botón derecho del ratón para que el motor

quede ubicado.

Para asignarle la velocidad de doble clic derecho en el motor.

Aparece un cuadro como el que se muestra en la figura 5.5 en

el cual debe introducir el valor de -209.4 rad/s (el signo negativo

indica que el giro del motor es en sentido horario).

Figura 5. 5 Asignación de la velocidad del motor

5.2.3.2 Dibujo de la biela

1. De la barra de cuerpos, seleccione la figura del rectángulo.

2. Presione con el botón derecho del ratón el espacio de trabajo.



42

3. Desplace el cursor para darle el tamaño deseado (de preferencia

que no interfiera con la manivela).

4. Presione el botón derecho del ratón una vez más para finalizar.

5. Ahora ayudándose de la barra de coordenadas asigne los

siguientes valores:

Las dimensiones del rectángulo que servirá de biela son de 8 in

de largo por 0.5 in de ancho.

El ángulo de inclinación de la biela ya se calculó en el

procedimiento analítico y corresponde a 13.95° que equivalen a

0.2434 rad. Introdúzcalo con signo negativo para que la barra

gire en sentido horario.

5.2.3.3 Unión manivela-biela.

Para realizar esta acción haga lo siguiente:

1. De la barra de puntos localice el Elemento de punto (Point element)

y selecciónelo presionándolo con el botón derecho del ratón, este

elemento le permite ubicar puntos de interés para después unirlos.

Note como el cursor se convierte en dicho punto. Este elemento se

muestra en la figura 5.6.

Figura 5. 6 Elemento en la barra de puntos



43

2. Acerque el cursor al ancho superior de la manivela (donde no se

encuentra el motor) y ubíquelo en el centro. Auxíliese de la “x” que

le proporciona el programa para ubicarlo, sino logra visualizarlo

claramente ayúdese de las herramientas de zoom y presiónelo con

el ratón para que quede ubicado.

3. Ahora realice la misma tarea, ubique el Elemento de punto (Point

element) el ancho superior de la biela en el centro.

4. Para realizar la unión:

Seleccione el Elemento de punto (Point element) de la manivela

presionándolo con el botón derecho del ratón (el Point element

se pondrá de color negro). Ahora presione la tecla Shift .

Con la tecla presionada, seleccione el Elemento de punto (Point

element) de la biela. Así ambos quedan seleccionados (ambos

deben verse de color negro, sino es así repita la acción).

Al realizar la acción anterior en la barra de unir/partir se activa

la opción , haga clic en y la biela se unirá a la

manivela. El sistema debe verse como se muestra en la figura5.7.

Figura 5. 7 Unión manivela-biela



44

5.2.3.4 Dibujo del pistón.

1. De la barra de cuerpos seleccione la figura del cuadrado.

2. Presione el botón derecho del ratón en la hoja de trabajo y

desplace el cursor para crear la figura.

3. Asigne las dimensiones de 1 in x 1 in en la barra de coordenadas.

4. Ahora bien para unir el pistón a la biela realice lo siguiente:

Coloque un Elemento de punto (Point element) de la barra de

puntos en el centro del pistón (o cuadrado), auxíliese de la “x”

que muestra el programa para colocarlo.

Ahora coloque otro Elemento de punto (Point element) en elcentro del extremo inferior de la biela, auxíliese de las

herramientas de zoom para colocarlo correctamente.

Seleccione el Elemento de punto (Point element) de la biela,

deberá iluminarse con negro al ser seleccionado.

Presione la tecla Shift y haga clic en el Elemento de punto

(Point element) del pistón.

Ahora presione el botón que aparece en la barra

unir/partir, así el pistón deberá unirse a la biela.

5. Ahora bien para que el pistón no rote con respeto a la biela sino

que se desplace solamente en el eje “X” realice las siguientes

acciones:

De la barra de uniones, ubique el elemento Articulación de

cerrojo (Keyed Slot joint) mostrado en la figura 5.8 yselecciónelo presionándolo con el botón derecho del ratón.



45

Figura 5. 8 Keyed Slot joint en la barra de uniones

Desplace el cursor hacia el pistón y colóquelo cerca del

Elemento de punto (Point element) pero sin que se empalmen.Deberá aparecer un eje en color verde por el cual se

desplazará el pistón horizontalmente como lo muestra la figura

5.9.

Figura 5. 9 Sistema final



46

5.2.4 Velocidad de animación

Ahora el sistema ya está terminado y usted puede correr la simulación

pero es probable que no pueda apreciarla ya que va muy deprisa. Para cambiar

la rapidez de animación realice lo siguiente:

1. En el menú Mundo (World), seleccione la opción Precisión

( Accuracy). Aparecerá el cuadro de la figura siguiente.

2. En el cuadro Frecuencia de la animación ( Animation Step) la

opción Automático ( Automatic) aparece seleccionada previamente.

Para modificarla active la opción que aparece debajo de ésta, para

esto vea la figura 5.10. El primer recuadro muestra la rapidez de la

animación y el segundo los pasos por segundo correspondientes a

la rapidez. Coloque un número menor en el primer recuadro y así

usted apreciara que la animación corre más lento.

3. Presione OK para finalizar.

Figura 5. 10 Velocidad de animación

Ahora corra la simulación para apreciar los cambios.



47

5.2.5 Gráficas del sistema

Para obtener la velocidad de la biela y la del pistón obtenga las siguientes

gráficas:

1. Seleccione la biela y del menú Medir (Measure) seleccione

Velocidad (Velocity) y Gráfica de rotación (Rotacion Graph) para

observar la velocidad de rotación.

2. Ahora para el pistón, selecciónelo y del menú Medir (Measure)

seleccione Velocidad (Velocity) y Gráfica X ( X Graph).

Las gráficas obtenidas se muestran a continuación en la figura 5.11. Elvalor de la velocidad de rotación del bloque la biela es aproximadamente 60

rad/s y el valor de la velocidad del pistón es de 500 in/s que equivalen a 41.66

ft/s.

Figura 5. 11 Gráficas de velocidad de la biela y el pistón



48


La rueda del mecanismo corredera-cigüeñal representado en la figura

5.12 gira en sentido antihorario con celeridad constante de 10 rad/s. Determinar

la velocidad v B de la corredera y la velocidad angular de la biela AB del cigüeñal

cuando ᶿ= 60°.

Figura 5. 12 Mecanismo corredera-cigüeñal



49

CAPÍTULO 6

CINÉTICA DE PARTÍCULAS. TRABAJO Y ENERGÍA

Dos bloques están unidos por un cable inextensible en la forma que se

muestra en la figura 6.1. Si el sistema se suelta desde el reposo, determine la

velocidad del bloque A después de que este se ha movido 2 m. Suponga que elcoeficiente de fricción cinética entre el bloque A y el plano es µk= 0.25 y que la

polea no tiene peso ni fricción.



Trabajo y energía del bloque A (ver figura 6.2). Al detonar la fuerza defricción FA y la fuerza ejercida por el cable mediante F c, se escribe



50

)1()200(2

1)2()490()2(

2

1)2()2(0

490)1962(25.0

1962)/81.9()200(200

2

2

:2211

2

ecuaciónvkg m N m F

vmm F m F T U T

N N W N F

N smkg W kg m

c

A Ac

Ak Ak A

A A

Figura 6. 2 Diagrama de fuerzas del bloque A

Trabajo y energía del bloque B (ver figura 6.3). Se escribe:

)2()300(2

1)2()2()2940(

2

1)2()2(0

2940)/81.9()300(300

2

2

:2211

2

ecuaciónvkg m F m N

vmm F mW T U T

N smkg W kg m

c

Bc B

B B



51

Figura 6. 3 Diagrama de fuerzas del bloque B

Al sumar los miembros izquierdo y derecho de la ecuación 1 y 2, se

observa que se cancela el trabajo de las fuerzas ejercidas por el cable sobre A y

B:

smv

vkg J

vkg kg m N m N

/43.4

)500(2

1

4900

)300200(2

1)2()490()2()2940(

2

2


Para la realización de este problema se llevaran a cabo las siguientes

actividades:





52

3. Dibujo del sistema.

4. Obtención e interpretación de las gráficas.


Recuerde activar las casillas Líneas cuadriculadas (Grid Lines), Ejes X, Y

( X, Y Axes) y Reglas (Rulers) de Espacio de trabajo (Workspace).

6.2.2 Asignación del sistema de medición

Elija el Sistema Internacional de medidas que es el que corresponde a las

unidades del problema.


Para comenzar a dibujar el sistema de los bloques y la polea, lo primero

es dibujar la superficie en la que se desliza el bloque A. Para esto realice lo

siguiente.

6.2.3.1 Superficie

1. En la barra de cuerpos, localice la figura del Polygon como lo

muestra la figura 6.4 y selecciónelo.



53

Figura 6. 4 Polygon en la barra de cuerpos

2. Ahora realice en la hoja de trabajo la superficie mostrada en el

problema. Esta superficie tendrá un largo de 6m por 4 m de ancho

(puede ser cualquier espesor).

3. Colóquela en la posición (3, -0.95) para que la superficie quede

ubicada sobre el eje de las “X”.

4. Ahora bien, para que la superficie no se vea afectada por la

gravedad y caiga a la hora de realizar la simulación, del diagrama

de cuerpos seleccione el ancla y colóquela en la superficie delpolígono como se muestra en la figura 6.5.



54

Figura 6. 5 a) Barra de cuerpos, b) Superficie del bloque A

6.2.3.2 Bloques

Ahora es momento de dibujar los bloques.

1. En la barra de cuerpos localice la figura del cuadrado.

2. Dibuje 2 bloques y colóquelos en la posición según lo planteo el

problema.

a. Para el bloque A:

Ubíquelo en (0, -0.5)

Para agregar las otras propiedades como son la masa y la

fricción cinética, de doble clic derecho al bloque A. Aparecerá

un cuadro como el que se muestra en la figura 6.6. En el

recuadro de masa (mass) teclee 200 y en el de fricción cinética

(kin. fric) teclee 0.25.

Cierre el cuadro para terminar.



55

b. Para el bloque B:

Ubíquelo en (6, -1.5).

Ahora igual que con el bloque anterior agregue la masa de 300

kg.

Los bloques deben verse como lo muestra la figura 6.6

Figura 6. 6 Configuración de las propiedades del bloque A

6.2.3.3 Polea1. Ubique la polea en la barra de restricciones (figura 6.7).



56

Figura 6. 7 Polea en la barra de restricciones

2. Presione el centro de masa de uno de los bloques con el botón

derecho del ratón.

3. Ahora desplace el cursor y presione el ratón en el botón derecho

en el punto donde quiere que quede ubicada la polea.

4. Para terminar de ubicarla realice la misma acción con el ratón en el

centro de masa del bloque restante.

Auxíliese de la cuadricula para colocar la polea de acuerdo a los centros

de masa de los bloques. Si observa que los cables de la polea se muestran

curvos al terminar de ubicarla, basta con que arrastre la polea y vuelva a

ubicarla en el mismo punto para que los cables se acomoden. El sistema final

debe verse como lo muestra la figura 6.8 a continuación.



57


6.2.4 Obtención e interpretación de las gráficas

Ya solo falta obtener las gráficas del bloque A, utilice la Gráfica X ( X

Graph) en posición y velocidad, que encuentra en el menú Medir (Measure)

porque el bloque A solo se desplaza en ese eje como se muestra en la figura

6.9.

Figura 6. 9 Obtención de las gráficas



58

Las gráficas obtenidas se muestran en la figura 6. 10.

Figura 6. 10 Gráficas de desplazamiento y velocidad del bloque A

Ahora observe que cuando la el bloque A se desplaza 2 m corresponde

un tiempo de 0.9 segundos aproximadamente. En la gráfica de velocidad a ese

tiempo corresponde aproximadamente la de 4.42 m/s.



59


Un bloque de 45 kg descansa sobre una superficie horizontal, según se

indica en la figura 6.11. Determinar el desplazamiento, la velocidad y la

aceleración del bloque 3 s después de aplicarle la fuerza F de 250, si la

superficie horizontal es lisa.

Figura 6. 11 Plano de situación

.



60

CAPÍTULO 7

CINÉTICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Un collarín de 20 lb se desliza sin fricción a lo largo de una varilla vertical

en la forma que se indica. El resorte unido al collarín tiene una longitud no

deformada de 4 in y una constante de 3 lb/in. Si el collarín se suelta desde el

reposo en la posición 1, determine su velocidad después de que se ha movido 6

in, hasta la posición 2 (ver figura 7.1).

Figura 7. 1 Desplazamiento del collarín

7.1 Solución analíticaPara la resolución de este sistema tomaremos las posiciones según se

indica en figura 7.2



61

Figura 7. 2 Posiciones del desplazamiento del collarín

Posición 1. Energía potencial. El alargamiento del resorte

ininin x 4481

Y se tiene

lbinininlbkxV e 24)4()/3(21

21 22

1

Al elegir el nivel de referencia como se muestra, se tiene Vg = 0. Por lo

tanto,

lb ft lbinV V V g e 2241

Energía cinética. Puesto que la velocidad de la posición 1 es cero, T1= 0.

Posición 2. Energía potencial. El alargamiento del resorte es

ininin x 64102

Y se tiene



62

lbininlbWyVg

lbinininlbkxVe

120)6()20(

54)6()/3(2

1

2

1 22

2

Por lo tanto,

lb ft lbinVg VeV 5.566120542

Energía cinética

2

2

2

2

2

22 311.0

3.32

20

2

1

2

1vvmvT

Conservación de la energía. Al aplicar el principio de la conservación de

la energía entre las posiciones 1 y 2, se escribe

s ft v

s ft v

lb ft vlb ft

V T V T

/91.4

/91.4

5.5311.020

2

2

2

2

2211


Para esto se llevarán a cabo las siguientes actividades:

1. Acciones de configuración.2. Dibujo del sistema.

3. Graficas e interpretación.



63

7.2.1 Acciones de configuración

Estas acciones se refieren a la configuración del espacio de trabajo y la

selección de unidades vistas ya en ejemplos anteriores.


Para el dibujo del collarín realice lo siguiente:

1. De la barra de cuerpos, seleccione la herramienta del cuadrado.

2. Asigne las dimensiones de 10 in por lado.3. Ubíquelo en (0,0).

4. Ahora bien, de la barra de puntos seleccione con un clic el

Elemento de punto cuadrado (Square Point element) (ya que el

collarín es un cuadrado), note que al desplazar el cursor éste se

convierte en un cuadrado. Acérquelo al centro de masa del collarín,

el programa le ayuda a ubicarlo con una “x” y presione el botón

derecho del ratón sobre ésta para colocarlo.

5. Una vez realizada la acción anterior proceda a ubicar de la barra

de uniones la Articulación de cerrojo (Keyed Slot joint).

Selecciónelo y colóquelo en donde anteriormente ubico el

Elemento de punto cuadrado (Square Point element), esto para

indicarle al collarín que se desplazara a lo largo de este elemento.

Cada uno de estos elementos se muestran a detalle en la figura 7.3

a continuación.



64

Figura 7. 3 Elementos necesarios en la elaboración del collarín, a) Barra de cuerpos, b)Barra de puntos, c) Barra de uniones

El dibujo del collarín debe verse como el que se muestra en la figura 7.4.

Figura 7. 4 Dibujo del collarín

6. Posteriormente proceda a asignar el peso del collarín que es de 20

lb, presione dos veces la figura con el botón derecho del ratón y

modifique la masa en el cuadro de diálogo como se muestra en la

figura 7.5



65

Figura 7. 5 Asignación de la masa del collarín de 20 lb

7. Ahora hay que colocar el elemento del resorte a la cual está sujeto

el collarín, para esto localice el resorte en la barra de restricciones

(figura 7.6) y selecciónelo con el botón derecho del ratón.

Posiciónelo en el Elemento de punto cuadrado (Square Point

element) y arrástrelo hacia la izquierda, presione con el ratón para

finalizar. El resorte debe quedar ubicado como se observó en el

planteamiento del problema, es decir, de forma horizontal y con

una longitud de 8 in (esta es la longitud deformada del resorte).

Auxíliese de la regla para ubicarlo adecuadamente.



66

Figura 7. 6 Elemento resorte en la barra de restricciones

8. Para proporcionar la constante del resorte y la longitud sin

deformar del mismo realice doble clic derecho en el resorte que

ubicó anteriormente con lo cual aparecerá el cuadro mostrado en la

figura 7.7. Asigne los valores planteados en el problema, la

constante del resorte es de 3 lb/in y la longitud sin deformar de 4 in.

Debajo del espacio de Longitud (Legth) se muestra la longitud

actual del resorte que como indica el problema es de 8 in.

Figura 7. 7 Configuración de las propiedades del resorte



67

7.2.3 Gráficas e interpretación

Ahora el sistema ya está completo y solo resta obtener las gráficas para

realizar la simulación. Se requiere conocer la velocidad cuando el collarín se ha

desplazado 6 in, así que seleccione la Gráfica Y (Y Graph) en Velocidad

(Velocity) y en Posición (Posicion) respectivamente del menú Medir (Measure)

como se muestra en la figura 7.8.

Figura 7. 8 Obtención de las gráficas necesarias

Ahora puede proceder a correr la simulación, presionando .

Las gráficas obtenidas se muestran a continuación en la figura 7.9

(recuerde modificar la escala de las gráficas para que pueda observar mejor los

resultados). Se puede observar que las 6 in se alcanzan cuando ha transcurrido

un tiempo aproximado de 0.18 segundos a lo que corresponde una velocidad de

59 in/s que corresponden a 4.91 ft/s. Los resultados son coherentes con el

método analítico.



68

Figura 7. 9 Gráficas de desplazamiento y velocidad del collarín



69


Dos masas se deslizan por una barra horizontal exenta de rozamiento,

según se indica en la figura 7.10. La corredera A tiene una masas de 2 kg y se

desliza hacia la derecha a 3 m/s, mientras la corredera B tiene una masa de 0.75

kg y se desliza hacia la izquierda a 1 m/s. si el coeficiente de restitución de las

correderas vale 0.6 determine la velocidad de cada masa después de chocar.

Figura 7. 10 Representación de las masas



70

CAPÍTULO 8

CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS. TRABAJO Y ENERGÍA

Cada una de las barras delgadas que se muestra en la figura 8.1 tiene

una longitud de 0.75 m y una masa de 6 kg. Si el sistema se suelta desde el

reposo con β= 60°, determine a) la velocidad angular de la barra AB cuando β=20° b) la velocidad del punto D en el mismo instante.

Figura 8. 1 Planteamiento del problema


Cinemática de movimiento cuando β= 20°. Puesto que v B es

perpendicular a la barra AB y v D es horizontal, el centro instantáneo de rotación

de la barra BD se localiza en C . Al considerar la geometría (ver figura 8.2), se

obtiene



71

m senmCDm BC 513.020)75.0(275.0

Figura 8. 2 Cinemática del movimiento cuando la barra se encuentra a 20°

Al aplicar la ley de los cosenos al triangulo CDE (figura 8.3), donde E se

localiza en el centro de masa de la barra BD, se encuentra EC= 0.522 m. Al

denotar mediante ɯ la velocidad angular de la barra AB, se tiene

75.0)75.0(

375.0)375.0(

B B

AB AB

V mv

V mv

Puesto que la barra BD parece girar alrededor del punto C, se escribe

522.0)522.0()(

)75.0()75.0()(

BD BD BD

BD BD BD B

V m EC v

mm BC v



72

Figura 8. 3 Figura después de la aplicación de la ley de cosenos

Posición 1. Energía potencial. Al elegir el nivel de referencia como se

indica en la figura 8.4, y observar W= (6 kg) (9.81 m/s2)= 58.86 N, se tiene

J m N yW V 26.38)325.0()86.58(22 11

Figura 8. 4 Nivel de referencia para la posición 1

Energía cinética. Puesto que el sistema está en reposo, T1= 0.

Posición 2. Energía potencial (figura 8.5)



73

Figura 8. 5 Nivel de referencia para la posición 2

J m N yW V 10.15)1283.0()86.58(22 22

Energía cinética

2

2222

2222

2

222

520.1

)281.0(2

1)522.0()6(

2

1)281.0(

2

1)375.0()6(

2

12

1

2

1

2

1

2

1

281.0)75.0()6(12

1

12

1

BD BD BD AB AB AB

BD AB

I vm I vmT

mkg mkg ml I I

Conservación de la energía

srad srad

J J

V T V T

AB /90.3/90.3

10.15520.126.380 2

2211

Velocidad del punto D



74

smV

sm srad mCDv

D

D

/2

/2)/90.3()513.0()(


Para llevar a cabo la construcción del sistema se realizaran las siguientes

actividades:

1. Acciones de configuración.

2. Construcción del sistema.

a. Barra AB

b. Barra BD y rodillo

c. Unión del sistema.

d. Superficie.

3. Recabación de datos.

8.2.1 Acciones de configuración

Estas acciones son:

1. Configuración del espacio de trabajo, es decir, active las casillas de

Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas (Grid Lines) y Ejes X, Y ( X,

Y Axes) en Espacio de trabajo (Workspace) en el menú Vista

(View).

2. Seleccione las unidades del Sistema Internacional en grados (SI

(degrees)) en Números y unidades (Numbers and Units) en el

menú anterior.



75

8.2.2 Construcción del sistema

8.2.2.1 Barra AB

1. De la barra de cuerpos seleccione el elemento correspondiente al

rectángulo presionándolo con el botón derecho del ratón.

2. Proceda a crear la figura en el espacio de trabajo.

3. Asigne las dimensiones de 0.05 m de ancho por 0.75 m de largo (el

ancho de la barra no se especifica en el problema solo que ambas

barras son iguales).

4. Asimismo coloque los 60° de inclinación a la que se encuentra esta

barra.

5. Ahora para asignar el peso de la barra presione la figura dos veces

con el botón derecho del ratón con lo cual se desplegará el cuadro

de propiedades de la figura 8.6. Asigne la masa de 6 kg en el

espacio adecuado. (La posición de la barra no es necesariamente

la que se observa en el cuadro, usted puede ubicar la barra donde

mejor le convenga).

Figura 8. 6 Propiedades de la barra AB



76

6. La barra AB está articulada en el punto A, así que coloque una

Articulación con clavija (Pin joint) de la barra de uniones en el

extremo inferior de la barra como se muestra en la figura 8.7.

Figura 8. 7 a) Pin joint en la barra de uniones, b) Colocación del elemento en la primera

barra

8.2.2.2 Barra BD y rodillo

1. Dibuje una barra con las mismas dimensiones que la barra AB.

2. Asimismo configure la masa que también es de 6 kg como se

mostro anteriormente.

3. En el punto D de esta barra se encuentra un rodillo, para crearlo

seleccione de la barra de cuerpos la herramienta del círculo y

créelo en el espacio de trabajo. Asigne un diámetro de 0.08 m (este

diámetro también puede variar, según las dimensiones de la barra).

4. Coloque un Elemento de punto (Point element) (de la barra de

puntos) en el centro del círculo como en el centro del extremo D de

la barra.



77

5. Para unirlos seleccione uno de los Elemento de punto (Point

Element) y presione la tecla Shift para seleccionar el otro, esto

hace que los dos puntos queden seleccionados (ambos deben

verse de color negro) y en las barra de unir/separar se activa el

botón de Join como se muestra en la figura 8.8, ahora solo basta

con presionarlo para que se unan. También puede auxiliarse del

zoom para unirlos manualmente.

Figura 8. 8 a) Construcción de la segunda barra, b) Activación del comando Join

A continuación se muestra la unión de la rueda y la barra en la figura 8.9.



78

Figura 8. 9 Segunda barra con rodillo

6. Ahora coloque la segunda barra con el ángulo de -60° para que la

barra gire en sentido horario.

8.2.2.3 Unión del sistema

1. Coloque un Elemento de punto (Point element) en los extremos

restantes de las barras.

2. Para unirlas utilice cualquiera de los procedimientos explicados

anteriormente. Debe verse como lo muestra la figura 8.10 a

continuación.



79

Figura 8. 10 Unión de las barras

8.2.2.4 Superficie

Por último hay que colocar la superficie en la que deslizaran las barras;

para realizar esto dibuje un rectángulo de una longitud suficiente y ánclelo

utilizando la herramienta de anclar de la barra de cuerpos para que no se mueva

(no se vea afectada por la gravedad), el cuadro de propiedades del rectángulo

se muestra a continuación en la figura 8.11 (la posición está sujeta a la posición

que usted haya dado a las barras).



80

Figura 8. 11 Posición de la superficie

A continuación se muestra en la figura 8.12 como debe verse el sistema

terminado.




81

8.2.3 Recabación de la información

El problema requiere conocer la velocidad de la barra AB cuando β= 20° y

la velocidad de la rueda.

Para la velocidad de la barra AB:

Del menú Medir (Measure), seleccione Velocidad (Velocity) y Gráfica de

rotación (Rotation Graph).

Asimismo en el menú anterior seleccione Posición (Posicion) y Gráfica de

rotación (Rotation Graph).

Para la velocidad del rodillo:

Del menú Medir (Measure), seleccione Velocidad (Velocity) y Gráfica X ( X

Graph).

Las gráficas obtenidas se muestran en la figura 8.13. En la gráfica de

posición de la barra AB se alcanzan los 20° en un tiempo de 0.58 segundos, a

este tiempo la barra alcanza una velocidad de 225 °/s, que convertidoscorresponden a 3.92 rad/s y el círculo tiene una velocidad de 2 m/s con lo que

se comprueban los resultados obtenidos por el método analítico.



82

Figura 8. 13 Gráficas de posición y velocidad de la barra AB y velocidad del círculo



83


La barra delgada de 10 kg que aparece en la figura 8.14 está constreñida,

de modo que sus extremos se mueven sólo en las ranuras. La barra está

inicialmente en reposo cuando ᶿ = 0°. Si el bloque deslizante en B recibe la

fuerza horizontal P= 50 N, determine la velocidad angular de la barra en el

instante ᶿ = 45°. Desprecie la masa de los bloques A y B.




84

CAPÍTULO 9

VIBRACIONES MECÁNICAS. VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

Un bloque de 50 kg como el que se muestra en la figura 9.1 se mueve

entre guías verticales. El bloque es empujado 40 mm hacia abajo desde su

posición de equilibrio y se suelta. Determine el periodo de la vibración, la

máxima velocidad del bloque y su máxima aceleración.

Figura 9. 1 Arreglo de resortes


Resortes conectados en paralelo. Se determina primero la constante k

de un solo resorte equivalente (figura 9.2) a los dos resortes determinando la

magnitud de la fuerza P que se requiere para causar una deformación .

Puesto que para una deformación las magnitudes de las fuerzas ejercidas

por el resorte son, respectivamente, k 1 y k 2 , se tiene



85

Figura 9. 2 Equivalencias de resortes en paralelo

)( 2121 k k k k P

La constante k del resorte equivalente es

m N mkN mkN mkN k k P

k /10/10/6/4 4

21

Per iodo de vibración: Puesto que m= 50 kg, la ecuación produce

s

srad nkg

m N

m

k

nn

n

n

444.02

/14.1450

/1042

Velo ci dad máxima:

smv

srad m xv

m

mmm

/566.0

)/14.14()040.0(



86

Ac elerac ión máxima:

2

22

/8

)/14.14()040.0(

sma

srad m xa

m

mmm


Para realizar la simulación del sistema realice las siguientes actividades:

1. Acciones de configuración.2. Dibujo del sistema.

3. Obtención de datos.


9.2.1 Acciones de configuraciónConfigure el espacio de trabajo activando las casillas Líneas

cuadriculadas (Grid Lines), Ejes X, Y ( X, Y Axes) y Reglas (Rulers) en el

submenú Espacio de trabajo (Workspace) del menú Vista (View).

Ahora en el menú Vista (View), Números y unidades (Numbers and Units)

elija el Sistema Internacional en radianes. Haga clic en Más cambios (More

Choices) con lo que se desplegarán las magnitudes con sus respectivas

unidades. Cambie las unidades de distancia (Distance) a milímetros (Milimeters)ya que esas son las unidades de desplazamiento del sistema, así podrá

observar el desplazamiento del bloque con mayor claridad como se muestra en

la figura 9.3.



87

Figura 9. 3 Configuración de unidades


Para dibujar el bloque realice lo siguiente:

1. De la barra de cuerpos, elija la figura del rectángulo.

2. Presione el botón derecho del ratón en la hoja de trabajo y

desplace el cursor para crear la figura, cuando tenga la dimensión

deseada vuelva a presionar para finalizar.

3. En la barra de coordenadas indique las siguientes dimensiones:

300 mm de largo por 100 mm de ancho.4. Posicione el bloque en (0,0).

5. Configure la masa del bloque, presionando dos veces el botón

derecho del ratón en él mismo e introduzca el valor de 50 kg.

6. Para colocar los resortes realice lo siguiente:



88

De la barra de restricciones, ubique el elemento del resorte y

selecciónelo con el botón derecho del ratón.

Ubique el resorte en la parte superior del bloque, el programa lo

ayuda a ubicar un punto con una “x” para que pueda colocarlo.

Presione la “x” con el botón derecho del ratón y desplace el

cursor hacia arriba y vuelva a presionar para finalizar. Repita el

procedimiento para el otro resorte. La longitud de ambos

resortes es de 50 mm y están colocados en el bloque en las

coordenadas (-100, 50) y en (100, 50).

Para asignarles la constante k realice doble clic derecho en el

resorte, con lo cual aparecerá un cuadro de diálogo como elque se muestra en la figura. Esta constante se encuentra

expresada en kN/m en el planteamiento del problema y en el

cuadro aparece en N/mm por el cambio de que se realizó al

principio en la configuración de las unidades. Para el resorte del

lado izquierdo, su constante es de 4 kN/m que equivale a 4

N/mm y para el resorte del lado derecho la constante es de 6

kN/m que equivalen a 6 N/mm. Los cuadros de las propiedades

de los resortes se muestran en la figura 9.4.



89

Figura 9. 4 a) Elemento Resorte en la barra de construcciones, b) Cuadro depropiedades del primer resorte, c) Cuadro de propiedades del segundo resorte

El sistema debe verse como se muestra en la figura 9.5 a

continuación.

Figura 9. 5 Dibujo del sistema



90

9.2.3 Obtención de datos

Se necesita conocer el periodo de vibración, la velocidad y aceleración

máximas, para esto realice lo siguiente:

Busque en el menú Medir (Measure), Gráfica Y (Y Graph) en

Aceleración ( Aceleration) y Velocidad (Velocity) respectivamente.

Asimismo localice en Posición (Posicion) la Gráfica Y (Y Graph),

para poder determinar el periodo de vibración.

Si se desea se puede medir el tiempo y para poder observarlo claramente

cambie la velocidad de la animación como se mostró en el capítulo 5, esto haráque el tiempo corra “más lento” y sea fácil de observar. Las gráficas obte nidas

se muestran en la figura 9.6.

Figura 9. 6 Gráficas de posición, aceleración y velocidad del sistema



91


El periodo de vibración es el intervalo de tiempo requerido para que el

sistema realice un ciclo de movimiento completo, en la gráfica de posición se

observa que la gráfica comienza a repetirse a los 0.447 segundos. Para cambiar

la manera en la que se visualizan los datos en las gráficas, basta con presionar

con el botón derecho del ratón en la flecha que se encuentra encima el eje Y. El

problema pide la velocidad y aceleración máximas cuando el bloque se ha

desplazado 40 mm, todas estas magnitudes se encuentran expresadas en mm

así que hay que realizar la conversión para que los datos concuerden con los del

problema. La aceleración es de 8 000 mm/s2 que corresponden a 8 m/s2 y la

velocidad corresponde a 600 mm/s aproximadamente que corresponden a 0.6m/s.



92


Un bloque de 1.4 kg (figura 9.7) está sostenido como se muestra

mediante un resorte de constante k= 400N/m que puede actuar bajo tensión o

compresión. El bloque se encuentra en la posición de equilibrio cuando se le

golpea desde abajo con un martillo que le imprime una velocidad hacia arriba de

2.5 m/s. Determine a) el tiempo requerido para que el bloque se mueva 60 mm

hacia arriba, b) la velocidad y aceleración correspondientes del bloque.

Figura 9. 7 Diagrama del bloque



FUENTES CONSULTADAS

1. Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., Phillip J. Cornwell

(2012). Dinámica. McGraw-Hill, traducido de la novena edición de

Vector Mechanics for Engineers, México D. F.

2. Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, William E. Clausen (2005).

Mecánica Vectorial para Ingenieros, Dinámica. McGraw-Hill,

séptima edición, México D. F.

3. R. C. Hibbeler (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros,

Dinámica. Prentice Hall, décima edición, Estado de México.

4. William F. Riley, Leroy D. Sturges (1996). Ingeniería Mecánica.

Dinámica, Reverté, edición en español, España.

Documents

Manual de Prácticas de Dinámica