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MANUAL DE MATEMATICAS III
ESCUELA: ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA
ASIGNATURA: MATEMATICAS III
TETRAMESTRE: TERCERO
OBJETIVO: El alumno será capaz de analizar y graficar funciones lineales y cuadráticas mediante métodos matemáticos así como aplicara la estadística a procesos de producción.
UNIDAD OBJETIVOS ESPECIFICOS TEMAS Y SUBTEMAS
I PLANO CARTESIANO 1. Localización de coordenadas
2. Aplicación
II FUNCION LINEAL
1. Solución y grafica de una función lineal
2. Pendiente y ordenada
3. Gráfica de una familia de rectas
III FUNCION CUADRATICA
1. Solución y grafica de una función cuadrática
2. Método de factorización
3. Método de Formula Gral.
IV NOTACION CIENTIFICA 1. Operaciones con notación cientifica
V LOGARITMOS Y
ANTILOGARITMOS 1. Propiedades de los logaritmos
VI ESTADISTICA
1. Análisis de datos
2. Medidas de tendencia central
3. Graficas de Columnas
4. Histograma
VII PROBABILIDAD 1. Combinaciones
2. Permutaciones
MATEMATICAS III
UNIDAD I. PLANO CARTESIANO
1. Localización de coordenadas
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que
se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y
la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre
de origen.
El plano cartesiano
tiene como finalidad
describir la posición de
puntos, los cuales se
representan por sus
coordenadas o pares
ordenados.
Las coordenadas se
forman asociando un
valor del eje de las
equis y uno de las yes,
respectivamente, esto
indica que un punto se
puede ubicar en el
plano cartesiano con
base en sus
coordenadas, lo cual
se representa como:
P (x, y)
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de
cualquier punto que está en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en
el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la
derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo,
según sean positivas o negativas, respectivamente.
2. Aplicación
TEOREMA 1: Distancia Entre Dos Puntos Del Plano
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por:
Demostración
En la figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el
segmento de recta
PROCESO PARA ENCONTRAR EL PERIMETRO DE UNA FIGURA A PARTIR DEL PLANO
CARTESIANO.
1. Graficar estos puntos en el plano cartesiano para poder visualizarlo adecuadamente.
Ahora, ya que has hecho esto, lo siguiente es comprender tu problema.
2. Colocar la fórmula matemática para obtener el perímetro de la figura deseada.
El perímetro de una figura es la longitud de sus lados (la suma de cuánto miden éstos).
3. Encontrar la distancia entre 2 puntos P1(X1, Y1), P2(X2, Y2), etc. A partir de la
Nota:
Cada par coordenado pertenece a el vértice de cada figura.
La distancia entre los vértices es la medida del lado de la figura.
4. Obtener el perímetro de la figura al sumar sus lados de acuerdo a la fórmula matemática
que le pertenece.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN (no olvidar aplicar los 4 pasos del proceso)
1.encuentra el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los siguientes..
(5,8) (4,3) (0,1)"
Solución:
Para sacar la distancia entre dos puntos utilizas la siguiente fórmula:
Con tus puntos:
Distancia ((5,8),(4,3)) = √[(5-4)^2+(8-3)^2] = √[1+ 5^2] = √26
Distancia ((4,3), (0,1))= √[(4^2+(3-1)^2] = √[16+2^2] = √20
Distancia ((0,1),(5,8))= √[(0-5)^2+(1-8)^2] = √[(-5)^2+(-7)^2] = √25+49 = √74
Por lo tanto, el perímetro sería: √26+√20+√74
Practica 1: Dados los siguientes pares de coordenadas determina la distancia entre esos
puntos:
1. Distancia ((6,1),(7,3))
2. Distancia ((1,8),(9,3))
3. Distancia ((2,10),(5,3))
4. PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
https://mdsvmn.files.wordpress.com/2011/10/geometria-analitica-4-maritza.pdf
http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB3.pdf
http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB3.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=cXgW44Dnm34
UNIDAD II. FUNCION LINEAL
1. Solución y Grafica de una Función Lineal
Una función es: una correspondencia entre los elementos de un conjunto llamado Dominio
(X), y los elementos de un conjunto llamado Codominio (Y), de tal forma que a cada elemento
del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
FUNCION LINEAL es: una función cuyo dominio son todos los números enteros, fracciones
+s, -s incluyendo el “0” cuyo codominio son también dichos números, y cuya expresión
analítica es un polinomio de primer grado.
Ejemplos de funciones lineales: f(x)= 2x+7; f(x)= -4x+3; f(x)= 2x+5+7x-3
Soluciones a Ejercicios de Función Lineal
En la recta C el valor de X
aplica para el conjunto de los números desde -∞ hasta +∞
Practica 2: Representa gráficamente las siguientes rectas
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
Ejercicios de aplicación Resueltos de función Lineal:
1. Tres kilogramos de azúcar valen $18. Escribe y representa la función que define el
costo del azúcar en función de los kilogramos comprados.
18/3 = 6 Por lo tanto y = 6x
2. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha
observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la
primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la
altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.
Altura inicial = 2cm
Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5 Por lo tanto y= 0.5 x + 2
3. Por el alquiler de un auto cobran $100.00 diarios más $ 0.30 por kilómetro. Encuentra
la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y
represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos
abonar?
y = 0.3 x +100
y = 0.3 · 300 + 100 = $190.00
2. Pendiente y Ordenada
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del
eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte
positiva del eje OX es obtuso.
A partir de 2 puntos en un plano cartesiano podemos determinar la pendiente de la
recta formada por dichos puntos y el ángulo de inclinación “α” respecto al eje positivo
de las “X”, por las siguientes ecuaciones:
1) m= Y1-Y2
X1-X2
P1(X1, Y1)= coordenadas del primer punto (X= abscisa, Y= ordenada)
P2(X2, Y2)= coordenadas del segundo punto
2) α = tg-1(m)
La ORDENADA en una función lineal en Funciones llamadas “función afín” y se
representa matemáticamente como:
y = mx + n
Donde:
m es la pendiente de la recta (es la inclinación de la recta con respecto al eje de
abscisas)
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje
de ordenadas. Observe la siguiente figura donde “n” establece el punto de corte
de a recta sobre el eje de Y.
Ejemplos de funciones afines
Representa las funciones:
1. y = 2x – 1
2. y = -¾x - 1
Practica 3. Problemas de aplicación para determinar la pendiente y el ángulo de
inclinación de una función lineal dados los siguientes pares de puntos (se pide que se
grafiquen dichos puntos, se trace la recta y se indique el ángulo de inclinación que
forman con el eje positivo de “X”:
1. P1 (3,5) y P2(–7,2)
2. P1 (-3,5) y P2(7,-2)
3. P1 (-2,9) y P2(1,-12)
4. P1 (8,-2) y P2(–4,2)
5. P1 (3,-7) y P2(–7,-2)
PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/1.3%20Pendiente%20y%20trin
gulo%20de%20inclinacion%20de%20una%20recta.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=ardRu4EpN-E
https://www.youtube.com/watch?v=Do-s0LWjflU
3. GRAFICA DE UNA FAMILIA DE RECTAS
UNIDAD III. FUNCION CUADRATICA
Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
1. Solución y grafica de una función cuadrática
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Ejemplo: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
X v = − (−4) / 2 = 2 Y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
OJO: Para determinar los valores de X1 y X2 lo hacemos por el método de la formula general
cuya ecuación es:
X1,2= [-b±√(b2-4ac)]/2a
Donde:
a= coeficiente del termino de segundo grado (de X2)
b= coeficiente del termino de primer grado (de X)
c= Termino independiente (numérico)
x² − 4x + 3 = 0
Para este caso:
a= 1
b= -4
c=3
(3, 0) (1, 0)
OJO: Si deseamos conocer en donde corta la parábola sobre el eje Y entonces siempre
hacemos que X=0 y sustituimos en la ecuación y tenemos que:
f(x)= x² − 4x + 3
f(0)= (0)2-4(0)+3=3
Y=3
El punto de corte de la parábola sobre el eje de las Y es (0,3)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
Ejercicios: Representa gráficamente las funciones cuadráticas:
Ejemplo1 y = −x² + 4x − 3
1. Vértice (No olvides aplicar las fórmulas que se te enseñaron)
X v = − 4/ −2 = 2 y Yv = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY. (0, −3)
Ejemplo1 OJO: Observa que cuando el término cuadrático es NEGATIVO, por lo tanto la
parábola se construye hacia abajo y si es positivo se construye hacia arriba como se presenta
en el Ejemplo 2.
Ej2 y = x² + 2x + 1
1. Vértice
x v = − 2/ 2 = −1 y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0 V(− 1, 0)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + 2x + 1= 0
Coincide con el vértice: (−1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY. (0, 1)
2. Método de factorización
Introducción
Practica 4. Determina e valor de X1 y X2 de las siguientes ecuaciones por el método de
factorización:
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=pkWYq43L_Es
https://sites.google.com/site/aprendiendoalgebraconpepito/11-resolucion-de-
ecuaciones-por-factorizacion
https://www.youtube.com/watch?v=3VfAXKjSpEk
3. Método de Formula General
Ejemplo 1 y 2: Dadas la siguiente ecuación cuadrática, determina los valores de X1 y X2
por el método de la formula general:
Practica 5.
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=FM-wy09a02M
https://www.youtube.com/watch?v=Zl8mRoTrQ_k
http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/algebra/DGB1_4_1_3.pdf
UNIDAD IV. NOTACION CIENTIFICA
Una de las aplicaciones más importantes en el uso de números en notación científica es la
medición de cantidades demasiadas pequeñas o demasiadas grandes, en ciencias exactas
esto es una realidad como por ejemplo en la medición de la velocidad de la luz, las distancias
entre los planetas, la masa de partículas subatómicas, la longitud, peso de un
microorganismo, etc. La necesidad de lo anterior llevó al hombre a inventar los números con
notación científica, cuya base es el numero 10 con exponentes negativos y positivos para
generar cantidades pequeñísimas o demasiado grandes respectivamente en conjunto con la
cantidad representativa llamada coeficiente.
Notación de Cantidades en notación científica:
1) 234x10-14
Donde:
234= coeficiente
10=base
14= exponente
Observe que tanto el coeficiente como el exponente pueden llevar signos positivo o negativo.
2) -708x1034
1. Operaciones matemáticas con notación científica
Suma y resta de números expresados en notación científica
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deja la potencia de 10 con el mismo grado y se suman los números que multiplican a las potencias de 10 (o sea, se deben sumar las mantisas).
En caso de que no tengan el mismo exponente hay que hacer una transformación previa para
obtener el mismo exponente, para ello la mantisa se multiplica o divide por 10 tantas veces
como sea necesario hasta conseguir el mismo exponente.
Ejemplos:
a) 2×105 + 3×105 = 5×105 b) 3×105 - 0.2×105 = 2.8×105
c) 2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105
Producto de números expresados en notación científica
Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base).
Ejemplos:
a) (4×1012)×(2×105) = 8×1017 b) (3×1012)×(2×10-7) = 6×105
División de números que están expresados en notación científica
Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).
Ejemplos:
a) (4×1012)/(2×105) = 2×107 Esto es:
b) (24×1012)/(8×10-7) = 3×1019 Escrito en forma de fracción sería:
La potenciación de números en notación científica
Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
(3×106)2 = 9×1012
Radicación de números escritos en notación científica
Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz.
Ejemplos:
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:
http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Resueltos/Not_Cient_BC1_Resueltos_0
1.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=p13w6D277Ws
UNIDAD V. LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
1. Propiedades los logaritmos
Propiedades de los LOGARITMOS:
Practica 6: Hallar el valor de las siguientes operaciones por medio de logaritmos:
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
http://matematica1.com/logaritmos-ejercicios-y-problemas-resueltos-en-pdf-y-videos/
https://www.youtube.com/watch?v=3daASOhcRRQ
UNIDAD VI. ESTADISTICA
Introducción
Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una
distribución estadística. Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada
por una tabla o por una gráfica.
Hay tres tipos parámetros estadísticos:
1. De centralización.
2. De posición
3. De dispersión.
1. Análisis de datos
La Estadística: ciencia que estudia métodos científicos para obtener, organizar,
resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones
razonables basadas en tal análisis.
En otras palabras recolecta, ordena y clasifica los datos obtenidos por las observaciones, para
poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
1. Obtención de datos.
2. Organización y representación de datos.
3. Análisis de datos.
4. Obtención de conclusiones.
Conceptos de Estadística
1. Población
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio
estadístico.
2. Individuo
Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.
3. Muestra
Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de
individuos de una muestra es menor que el de la población.
4. Muestreo
El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción
reducida y representativa de la población.
5. Valor
Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio
estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.
6. Dato
Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si
lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.
7. Definición de variable estadística es cada una de las características cualitativas (no
numéricas) o cuantitativas (numéricas) que poseen los individuos de una población.
8. Tipos de variable estadísticas
a. Variable Cualitativa
Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser
medidas con números.
Podemos distinguir dos tipos:
1) Variable Cualitativa nominal
Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten
un criterio de orden.
Por ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
2) Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe
un orden. Por ejemplo:
La nota en un examen: suspendido, aprobado, notable, sobresaliente, regular, bien, muy bien,
excelente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º,...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
b. Variable cuantitativa
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden
realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:
1) Variable discreta
Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores
intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
2) Variable continua
Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.
Por ejemplo:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres
decimales.
TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de
los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Entonces la TABLA DE FRECUENCIAS es una disposición tabular de los datos por clases (ó
categorías) con sus correspondientes frecuencias de clase.
Clase o categoría: conjunto o grupo de elementos que tienen características muy
parecidas ó iguales.
Tipos de frecuencias
1. Frecuencia absoluta fi.
Es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa
por N.
------ Ecu. 1
Para simplificar estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o
sumatoria.
Su ecuación está dada por:
2. Frecuencia relativa ni.
Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
Su ecuación está dada por: ni= fi/N------ Ecu. 2
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
3. Frecuencia Absoluta acumulada Fi.
Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o
iguales al valor considerado.
Se representa por Fi.
Su ecuación está dada por: Fi=Δfi------ Ecu. 3
4. Frecuencia relativa acumulada Ni.
Es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de
datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
Se representa por Ni.
Ni=Fi/N ------ Ecu. 4
I. CONSTRUCCION DE UNA TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Ejemplo #1 Aplicación de las 4 fases de un estudio estadístico.
1. Obtención de datos.
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas
máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30,
31, 34, 33, 33, 29, 29.
2. Organización y representación de datos.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la
segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi Clasificar fi Fi=Δfi ni=fi/N Ni=Fi/N
27 I 1 1 1/31=0.032=3.2% 1/31=0.032
28 II 2 3 2/31=0.064=6.4% 3/31=0.096
29
6 9 6/31=0.193=19.3% 9/31=0.290
30
7 16 7/31=0.225=22.5% 16/31=0.516
31
8 24 8/31=0.258=25.8% 24/31=0.774
32 III 3 27 3/31=0.096=9.6% 27/31=0.870
33 III 3 30 3/31=0.096=9.6% 30/31=0.967
34 I 1 31 1/31=0.032=3.2% 31/31=1
N 31 1= 99.6%=100%
Nota: Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
3. Análisis de datos.
El análisis se basa en la obtención de los resultados obtenidos de las operaciones elaboradas
que nos presenta la tabla estadística y observamos:
Que el % más bajo para estas temperaturas es del 3.2% correspondiente a 327 y
34°C.
Que el % más alto para estas temperaturas es del 25.8% correspondiente a 37°C.
Nota: necesitamos conocer otros métodos como la media, mediana y media para tener un
análisis más completo y
4. conclusiones más precisas.
PRÁCTICA #7 Dados los siguientes datos aplica las 4 fases de un estudio estadístico.
Se tomaron el peso de 33 niños entre 11 y 12 años de edad y se obtuvieron los
siguientes datos:
40,45,34, 33, 43, 29, 37, 37, 44, 42, 37, 51, 45, 47, 39, 39, 29, 34, 36, 38, 44,
47, 37, 37, 33, 39, 39, 41, 41, 43, 45, 38, 38,
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/1.4%20ORGANIZACI%C3%93N%20
DE%20LOS%20DATOS.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=ZcxjURk69IA
2. Medidas de tendencia central
La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los
datos.
Las medidas de centralización son:
I. MEDIA
II. MEDIANA
III. MODA
I. MEDIA ARITMETICA
A. Calculo de la media para datos no agrupados
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre
el número total de datos. Comúnmente se conoce como el promedio.
Es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo 1 Determine la media aritmética de los siguientes datos:
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
PRACTICA 7Determine la media aritmética de los siguientes datos:
45, 56, 78, 96, 55, 63, 65, 71, 49, 52, 52, 75, 63, 66, 55, 60, 60, 75, 60, 71, 60.
OJO: Cuando más de un dato se repite se puede usar la siguiente formula de la media para
datos agrupados:
II. MEDIANA
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados
de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
A. CALCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma. Ejemplo:
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6
Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las
dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12
Me= (9+10)/2=9.5
III. MODA
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
A. Calculo de la moda para datos no agrupados
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia
es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9
Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es
el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8
Mo = (3+5)/2=4
Practica 8. En base a los datos de la practica 7, determina la media, mediana y
moda.
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=SFyCbIOFNZ0
http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/18578/1/Capitulo%203.pdf
http://www.deie.mendoza.gov.ar/aem/material/teoria/MEDIDAS%20DE%20TENDENCIA%
20CENTRAL%20Y%20DE%20VARIABILIDAD.pdf
3. Grafica de Columnas
Una gráfica de PARETOS se utiliza para presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de
tipo discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas (X) se colocan los
valores de la variable (las marcas de clase), y sobre el eje de ordenadas (Y) las frecuencias
absolutas (fi.) o relativas (ni.) o acumuladas (Fi.)
Nota: Los datos se representan mediante columnas de una altura proporcional a la frecuencia.
Ejemplo 1
Determine la construcción de una gráfica de columnasa partir del siguiente conjunto de datos:
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo
sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo fi
A 6
B 4
AB 1
4. Histograma
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de paredes.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos,
y que se han agrupado en clases.
En el eje abscisas (eje X) se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del
intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo(eje Y de las ordenadas).
La superficie de cada columna es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase (Ci) que coincide con
el punto medio de cada columna.
Su ecuación está dada por: Ci=(Li+Ls)/2
Ejemplo de un Histograma y un polígono de frecuencias:
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS (Fi)
0 9
20
INTERVALOS ci fi Fi
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 110 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
Si se representan las frecuencias acumuladas (Fi) de una tabla de datos agrupados se
obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
Nota: esta grafica toma los datos de la tabla anterior.
Practica 9.En base a los datos de la practica 7 construye una gráfica de
columnas y un histograma con las columnas de la frecuencias.
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_barras
http://math.kendallhunt.com/documents/da1/condensedlessonplansspanish/da_clps_01.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Histograma
https://www.youtube.com/watch?v=hpXw2MawlQI
https://www.youtube.com/watch?v=DRSJxpKpL30
UNIDAD VII. PROBABILIDAD
1. Combinaciones
Una combinación r a r de un conjunto de n elementos es una selección desordenada
de r elementos del conjunto.
Ejemplo:
Un departamento consta de 4 personas A, B, C y D. Enumerar todos los comités de
tamaño 2 que se pueden formar.
Solución:
{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}
2. Permutaciones
Las permutaciones son maneras de distribuir objetos.
Dados n objetos distintos, cualquier forma de ordenarlos se denomina una permutación. Las
formas de ordenar r delosnobjetos se denominan permutaciones r a r.
Ejemplo 1:
Enumerar todas las permutaciones 2 a 2 de las letras a, b y c.
Solución:
ab, ac, ba ,bc, ca y cb
La regla del producto indica el número de pares ordenados que se pueden formar a partir
de los conjuntos A y B y es n1 x n2; donde n1=|A|yn2=|B|
Ejemplo 2:
Se tienen 3 procesos y 4 computadoras. Hay que asignar cada tarea a una sola
computadora y ninguna debe recibir más de un proceso. ¿De cuántas maneras se puede
hacer esto?
Solución:
Hay 3x4 maneras de asignar 3 procesos a 4computadoras. (Considere una tabla de 3
filas, una por cada proceso y 4 columnas, una por cada computadora).
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Teorema: El número de permutaciones
r a r de n objetos diferentes está dado por:
P(n,r)=n(n-1)(n-2)….(n-r+1),r≤n
Ejemplo 3:
¿De cuántas formas se pueden disponer tres letras del alfabeto inglés?
Solución:
El alfabeto inglés consta de 26 letras. Por lo tanto, se pueden distribuir 3 letras de P(26,3),
esto es 26 · 25 · 24 = 15,600 maneras.
Practica 10. Analice los siguientes ejercicios resueltos de combinaciones y permutaciones:
1-¿En cuántas formas pueden sentarse alternadamente 3 hombres y 2 mujeres en una banca
para 5 personas?
Primero acomodamos al H1 (hombre 1) tiene 5 posibilidades para sentarse, luego al H2, tiene 4
posibilidades pues ya hay un asiento ocupado y así sucesivamente. Por lo que obtenemos una
notación factorial = 5! = 5*4*3*2*1 =120
2-En una clase de 5 alumnos van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántas maneras pueden
distribuirse si los premios son diferentes y si una persona no puede recibir más de un premio?
El primer premio le puede tocar a 5 personas, el segundo cuatro personas y el tercero a tres, por
lo que se resume en 5*4*3=60
3- ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al nueve sin repetir
ninguno?
Bueno tenemos nueve posibilidades sin contar el cero, pues sería de tres cifras, para el segundo
tenemos 9 posibilidades, para el tercero 8 y para el cuarto 7 por lo que sería: *8*7= 4536
4-¿Cuántos números de 5 dígitos pueden formarse con los números del 0 al 9 sin que ninguno se
repita?
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Como en el problema anterior en el primero no contamos el 0 asi que la solución sería: *8*7*6*=
27216
5-¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra ZOOLOGICO?
El total de las letras es 9, por lo que para la Z hay 9 opciones n=9 r=1
Para la O hay 8 lugares, pero la letra se repite y la r=3
La L tiene 4 posibles lugares y solo se repite una vez n=4 r=1
Igual que la anterior la G tiene n=3 r=1
La I tiene n= 2 r=1
Por último la C tiene n=1 y r=1
Como en este caso no nos importa el lugar que ocupen las letras se trata de una combinación:
* * * * * = 12096
6- Un alumno tiene que 5 de las 7 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede
elegirlas?
Dado que el orden de las preguntas no importa se trata de una combinación, de la que el tota es
n=10 y solo queremos r=7, por lo que es: =120
7- un vendedor debe visitara 4 clientes ¿en cuántas ordenes diferentes puede hacer las visitas?
En este caso el orden es vital pues de él depende que una visita se diferencie de otra, por lo que
hablamos de una permutación, en la que n=4 y r=4 es decir =24
8- de cuantas maneras distintas pueden ser os resultados de unas elecciones estudiantiles si hay
2 candidatos a presidente, 1 a vicepresidente y 3 a tesorero?
Para los presidentes n=2 y solo pueden elegir a 1 por lo que r=1
Para el vicepresidente solo hay 1 candidato, entonces n=1 r=1
Para tesorero n=3 y r=1
Por lo que: 2*1*3= 6
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9-¿de cuantas maneras distintas pueden seleccionarse 4 películas para ver en un día?
Hay 4 posibilidades y podemos ver 4
n=4 r=4
y el orden importa así que es una permutación:
=24
10- ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas?
El orden importa es una permutación:
N=8
R=5
11- ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se
toman todos a la vez?
R: Permutaciones. 5
P5 = 5! = 120
12- De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una
exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.
R: Combinaciones
13- Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede
realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?
R: Recorrido implica orden.
14- ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es
combinación. 7
C3 = 35.
15- Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes
carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer?
R: No importa el orden de selección. 8
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C5 = 56
16- Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa.
a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin
diferenciar el color?
R: 12C5 = 792
b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado
final tres dulces de menta y dos de fresa?
R: (8C3) (4C2) = (56)(6) =336
c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar
cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa?
P (Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242
17- Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan.
a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas
funcionen?
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres
funcionen?
P(tres funcionen) = (7
C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917
una sin funcionar?
(3C1) (7C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin
funcionar?
P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203
18- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
19- ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
P7 = 7! = 5.040.
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20- ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
P6 = 6! = 720.
PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=cxL9kSS7ywE
https://www.youtube.com/watch?v=ynxsVxVZ9Vw
http://www.vicentegonzalezvalle.es/wpcontent/uploads/2011/10/14_Combinatoria_y_probabilidad.