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Compilado por
Lic Esp Joseacute Francisco Barros Troncoso
Santa Marta2009
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso1
CONTENIDO
I Justificacioacuten II Objetivo GeneralIII Contenido TemaacuteticoIV Orientacioacuten MetodoloacutegicaV Criterios EvaluativosVI BibliografiacuteaVII Web grafiacutea
1 Estructura Epistemoloacutegica de la Matemaacutetica iquestQueacute es MATEMAacuteTICA El Nuacutemero iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica Las competencias
2 Nuacutemeros Reales Los Operadores Expresiones aritmeacuteticas Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Sistemas de Numeracioacuten Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
3 Nuacutemeros Enteros Valor Absoluto de un Nuacutemero Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros
4 Nuacutemeros Racionales- Definicioacuten - Origen de las fracciones- Propiedades de las fracciones- Principio fundamental de los Racionales- Operaciones con los nuacutemeros Racionales
o Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros Racionaleso Multiplicacioacuten de los Racionaleso Divisioacuten de los Racionales
- Nuacutemeros Mixtos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso2
- Ecuaciones con nuacutemeros Racionales- Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
5Nuacutemeros Decimales Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales Porcentaje
6 Potenciacioacuten Radicacioacuten Conjunto Notacioacuten de Conjunto Tipos de Conjuntos Relacioacuten entre Conjuntos Operacioacuten entre Conjuntoso Unioacuteno Interseccioacuteno Diferenciao Complementoo Diferencia Simeacutetrica
Desigualdad Intervaloso Abiertoo Cerradoo Semi-abierto o semi-cerrado o Intervalos Infinitos
Logaritmacioacuten
7 Expresiones Algebraicas Conceptos Baacutesicos Expresioacuten Aritmeacutetica Teacutermino Algebraico Teacuterminos Algebraicos Semejantes Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Expresioacuten Algebraica Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma
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Producto de polinomios Productos Notables Signos de Agrupacioacuten
8 Factorizacioacuten
9 Fracciones Algebraicas Definicioacuten Simplificacioacuten Suma y resta Producto Cociente
10 Ecuaciones Ecuacioacuten lineal con una variable Ecuacioacuten Cuadraacuteticao Solucioacuten por factorizacioacuten o Solucioacuten completando de cuadrados o Solucioacuten por la formula general
Inecuaciones Inecuaciones Lineales
11 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Conjunto Solucioacuten- Sistemas de Ecuaciones- Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal- Meacutetodo de Igualacioacuten - Meacutetodo de Sustitucioacuten - Meacutetodo de Eliminacioacuten- Por Determinante
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso4
I Justificacioacuten
El presente compilacioacuten es fruto de la experiencia obtenida durante 14 antildeos de servicio a la educacioacuten en diferentes instituciones acadeacutemicas en Maicao y Riohacha (Guajira) y en Santa Marta en los niveles de baacutesica media teacutecnica y profesional La propuesta busca darle sentido a la matemaacutetica en otros contextos que el estudiante le deacute una mirada distinta a la que tradicionalmente se le atribuye por las dificultades de su aprendizaje que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento loacutegico del ser humano y el desarrollo de la sociedad
II Objetivo General Exponer los conocimientos baacutesicos de la matemaacutetica en forma sencilla loacutegica criacutetica y analiacutetica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econoacutemicos
III Contenido Temaacutetico
Nordm Contenido1 Nuacutemeros Reales2 Factorizacioacuten3 Ecuaciones e Inecuaciones4 Sistemas de Ecuaciones
IV Orientacioacuten MetodoloacutegicaPara el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodoloacutegicas Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios praacutecticos de su vida
cotidiana Mostrar al estudiante ejercicios praacutecticos que estimulen el pensamiento criacutetico Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccioacuten de
conocimiento que permite discernir sobre la base conceptual
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso5
Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos
V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas
VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y
ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten
economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias
sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial
McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson
Tercera Edicioacuten 2005
Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-
racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com
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LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso16
1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso17
1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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CONTENIDO
I Justificacioacuten II Objetivo GeneralIII Contenido TemaacuteticoIV Orientacioacuten MetodoloacutegicaV Criterios EvaluativosVI BibliografiacuteaVII Web grafiacutea
1 Estructura Epistemoloacutegica de la Matemaacutetica iquestQueacute es MATEMAacuteTICA El Nuacutemero iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica Las competencias
2 Nuacutemeros Reales Los Operadores Expresiones aritmeacuteticas Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Sistemas de Numeracioacuten Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
3 Nuacutemeros Enteros Valor Absoluto de un Nuacutemero Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros
4 Nuacutemeros Racionales- Definicioacuten - Origen de las fracciones- Propiedades de las fracciones- Principio fundamental de los Racionales- Operaciones con los nuacutemeros Racionales
o Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros Racionaleso Multiplicacioacuten de los Racionaleso Divisioacuten de los Racionales
- Nuacutemeros Mixtos
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- Ecuaciones con nuacutemeros Racionales- Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
5Nuacutemeros Decimales Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales Porcentaje
6 Potenciacioacuten Radicacioacuten Conjunto Notacioacuten de Conjunto Tipos de Conjuntos Relacioacuten entre Conjuntos Operacioacuten entre Conjuntoso Unioacuteno Interseccioacuteno Diferenciao Complementoo Diferencia Simeacutetrica
Desigualdad Intervaloso Abiertoo Cerradoo Semi-abierto o semi-cerrado o Intervalos Infinitos
Logaritmacioacuten
7 Expresiones Algebraicas Conceptos Baacutesicos Expresioacuten Aritmeacutetica Teacutermino Algebraico Teacuterminos Algebraicos Semejantes Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Expresioacuten Algebraica Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma
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Producto de polinomios Productos Notables Signos de Agrupacioacuten
8 Factorizacioacuten
9 Fracciones Algebraicas Definicioacuten Simplificacioacuten Suma y resta Producto Cociente
10 Ecuaciones Ecuacioacuten lineal con una variable Ecuacioacuten Cuadraacuteticao Solucioacuten por factorizacioacuten o Solucioacuten completando de cuadrados o Solucioacuten por la formula general
Inecuaciones Inecuaciones Lineales
11 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Conjunto Solucioacuten- Sistemas de Ecuaciones- Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal- Meacutetodo de Igualacioacuten - Meacutetodo de Sustitucioacuten - Meacutetodo de Eliminacioacuten- Por Determinante
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I Justificacioacuten
El presente compilacioacuten es fruto de la experiencia obtenida durante 14 antildeos de servicio a la educacioacuten en diferentes instituciones acadeacutemicas en Maicao y Riohacha (Guajira) y en Santa Marta en los niveles de baacutesica media teacutecnica y profesional La propuesta busca darle sentido a la matemaacutetica en otros contextos que el estudiante le deacute una mirada distinta a la que tradicionalmente se le atribuye por las dificultades de su aprendizaje que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento loacutegico del ser humano y el desarrollo de la sociedad
II Objetivo General Exponer los conocimientos baacutesicos de la matemaacutetica en forma sencilla loacutegica criacutetica y analiacutetica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econoacutemicos
III Contenido Temaacutetico
Nordm Contenido1 Nuacutemeros Reales2 Factorizacioacuten3 Ecuaciones e Inecuaciones4 Sistemas de Ecuaciones
IV Orientacioacuten MetodoloacutegicaPara el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodoloacutegicas Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios praacutecticos de su vida
cotidiana Mostrar al estudiante ejercicios praacutecticos que estimulen el pensamiento criacutetico Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccioacuten de
conocimiento que permite discernir sobre la base conceptual
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Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos
V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas
VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y
ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten
economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias
sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial
McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson
Tercera Edicioacuten 2005
Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-
racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso6
LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
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16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso56
y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso57
2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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- Ecuaciones con nuacutemeros Racionales- Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
5Nuacutemeros Decimales Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales Porcentaje
6 Potenciacioacuten Radicacioacuten Conjunto Notacioacuten de Conjunto Tipos de Conjuntos Relacioacuten entre Conjuntos Operacioacuten entre Conjuntoso Unioacuteno Interseccioacuteno Diferenciao Complementoo Diferencia Simeacutetrica
Desigualdad Intervaloso Abiertoo Cerradoo Semi-abierto o semi-cerrado o Intervalos Infinitos
Logaritmacioacuten
7 Expresiones Algebraicas Conceptos Baacutesicos Expresioacuten Aritmeacutetica Teacutermino Algebraico Teacuterminos Algebraicos Semejantes Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Expresioacuten Algebraica Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma
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Producto de polinomios Productos Notables Signos de Agrupacioacuten
8 Factorizacioacuten
9 Fracciones Algebraicas Definicioacuten Simplificacioacuten Suma y resta Producto Cociente
10 Ecuaciones Ecuacioacuten lineal con una variable Ecuacioacuten Cuadraacuteticao Solucioacuten por factorizacioacuten o Solucioacuten completando de cuadrados o Solucioacuten por la formula general
Inecuaciones Inecuaciones Lineales
11 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Conjunto Solucioacuten- Sistemas de Ecuaciones- Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal- Meacutetodo de Igualacioacuten - Meacutetodo de Sustitucioacuten - Meacutetodo de Eliminacioacuten- Por Determinante
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I Justificacioacuten
El presente compilacioacuten es fruto de la experiencia obtenida durante 14 antildeos de servicio a la educacioacuten en diferentes instituciones acadeacutemicas en Maicao y Riohacha (Guajira) y en Santa Marta en los niveles de baacutesica media teacutecnica y profesional La propuesta busca darle sentido a la matemaacutetica en otros contextos que el estudiante le deacute una mirada distinta a la que tradicionalmente se le atribuye por las dificultades de su aprendizaje que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento loacutegico del ser humano y el desarrollo de la sociedad
II Objetivo General Exponer los conocimientos baacutesicos de la matemaacutetica en forma sencilla loacutegica criacutetica y analiacutetica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econoacutemicos
III Contenido Temaacutetico
Nordm Contenido1 Nuacutemeros Reales2 Factorizacioacuten3 Ecuaciones e Inecuaciones4 Sistemas de Ecuaciones
IV Orientacioacuten MetodoloacutegicaPara el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodoloacutegicas Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios praacutecticos de su vida
cotidiana Mostrar al estudiante ejercicios praacutecticos que estimulen el pensamiento criacutetico Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccioacuten de
conocimiento que permite discernir sobre la base conceptual
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Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos
V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas
VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y
ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten
economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias
sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial
McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson
Tercera Edicioacuten 2005
Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-
racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com
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LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso26
6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso41
FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Producto de polinomios Productos Notables Signos de Agrupacioacuten
8 Factorizacioacuten
9 Fracciones Algebraicas Definicioacuten Simplificacioacuten Suma y resta Producto Cociente
10 Ecuaciones Ecuacioacuten lineal con una variable Ecuacioacuten Cuadraacuteticao Solucioacuten por factorizacioacuten o Solucioacuten completando de cuadrados o Solucioacuten por la formula general
Inecuaciones Inecuaciones Lineales
11 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Conjunto Solucioacuten- Sistemas de Ecuaciones- Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal- Meacutetodo de Igualacioacuten - Meacutetodo de Sustitucioacuten - Meacutetodo de Eliminacioacuten- Por Determinante
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I Justificacioacuten
El presente compilacioacuten es fruto de la experiencia obtenida durante 14 antildeos de servicio a la educacioacuten en diferentes instituciones acadeacutemicas en Maicao y Riohacha (Guajira) y en Santa Marta en los niveles de baacutesica media teacutecnica y profesional La propuesta busca darle sentido a la matemaacutetica en otros contextos que el estudiante le deacute una mirada distinta a la que tradicionalmente se le atribuye por las dificultades de su aprendizaje que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento loacutegico del ser humano y el desarrollo de la sociedad
II Objetivo General Exponer los conocimientos baacutesicos de la matemaacutetica en forma sencilla loacutegica criacutetica y analiacutetica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econoacutemicos
III Contenido Temaacutetico
Nordm Contenido1 Nuacutemeros Reales2 Factorizacioacuten3 Ecuaciones e Inecuaciones4 Sistemas de Ecuaciones
IV Orientacioacuten MetodoloacutegicaPara el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodoloacutegicas Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios praacutecticos de su vida
cotidiana Mostrar al estudiante ejercicios praacutecticos que estimulen el pensamiento criacutetico Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccioacuten de
conocimiento que permite discernir sobre la base conceptual
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Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos
V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas
VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y
ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten
economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias
sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial
McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson
Tercera Edicioacuten 2005
Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-
racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com
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LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso14
EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso15
Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso16
1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso17
1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso18
Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso24
3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso25
Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso26
6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso29
nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso30
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso47
4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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I Justificacioacuten
El presente compilacioacuten es fruto de la experiencia obtenida durante 14 antildeos de servicio a la educacioacuten en diferentes instituciones acadeacutemicas en Maicao y Riohacha (Guajira) y en Santa Marta en los niveles de baacutesica media teacutecnica y profesional La propuesta busca darle sentido a la matemaacutetica en otros contextos que el estudiante le deacute una mirada distinta a la que tradicionalmente se le atribuye por las dificultades de su aprendizaje que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento loacutegico del ser humano y el desarrollo de la sociedad
II Objetivo General Exponer los conocimientos baacutesicos de la matemaacutetica en forma sencilla loacutegica criacutetica y analiacutetica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econoacutemicos
III Contenido Temaacutetico
Nordm Contenido1 Nuacutemeros Reales2 Factorizacioacuten3 Ecuaciones e Inecuaciones4 Sistemas de Ecuaciones
IV Orientacioacuten MetodoloacutegicaPara el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodoloacutegicas Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios praacutecticos de su vida
cotidiana Mostrar al estudiante ejercicios praacutecticos que estimulen el pensamiento criacutetico Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccioacuten de
conocimiento que permite discernir sobre la base conceptual
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Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos
V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas
VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y
ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten
economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias
sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial
McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson
Tercera Edicioacuten 2005
Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-
racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com
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LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso16
1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos
V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas
VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y
ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten
economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias
sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial
McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson
Tercera Edicioacuten 2005
Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-
racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com
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LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
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16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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LA MATEMAacuteTICA
iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje
La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana
El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades
La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras
Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera
Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco
La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas
Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso15
Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso25
Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso26
6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso28
Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso29
nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso30
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos
Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1
En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre
iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad
No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la
formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente
Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales
Ejercicio Lea las siguientes cifras
a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125
Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco
Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores
Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)
Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548
Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores
Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es
1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso14
EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso15
Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso25
Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso26
6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso29
nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso30
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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4 Suma y resta
Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha
Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4
Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado
1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14
5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130
8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3
SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN
Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros
Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero
Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7
Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7
Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso57
2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9
CONJUNTO DE NUacuteMEROS
Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra
Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen
o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen
representaciones decimales que no se repiten ni terminan
Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales
1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana
2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500
3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender
4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida
NUMEROS ENTEROS
Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten
constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso15
Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso16
1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso17
1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso18
Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso25
Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)
Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|
Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|
Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta
1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo
5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8
2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo
5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2
Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo
Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)
2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64
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16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso25
Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso28
Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso30
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso64
-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4
TALLER
Tema Nuacutemeros Enteros
Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros
I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela
1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso13
5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso14
EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso15
Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso16
1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso17
1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso18
Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso24
3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso57
2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )
Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81
Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n
- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros
b Los tres nuacutemeros son
26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38
2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de
4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros
b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance
3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes
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EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA
TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9
TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12
4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros
En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso15
Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos
4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene
216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores
b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en
US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480
5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso
6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno
Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores
NUMEROS RACIONALES
httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml
Definicioacuten de Nuacutemero racional
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Posicioacuten Equipo Puntos12345
Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso16
1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso17
1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios
El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada
Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es
menor que el denominador como por ejemplo 12
23
y 1115
Un racional impropio es aquel que el
numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y
194
Los racionales impropios se
pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213
534
y 623
)si se divide el
numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador
Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional
Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas
Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado
Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero
Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso25
Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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1
43
2 74
3 25
4
37
Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones
1 48
2 3035
3 5x 4
15 x2
4 18 xy 3
64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales
Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si
1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente
adplusmnbd=aplusmnb
d Con d0
2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor
Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)
c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc
cd con c y d 0
Ejercicio Calcular
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1 23+ 1
92
14+ 3
63
23+3 4 2minus1
45
16+ 2
5+ 7
5
minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso19
6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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minus79minus3
5minus5
674minus 7
10minus3
883+ 2
7minus5
243+ 5
6minus1
2
1+
56+
12
minus12
+ 52
Multiplicacioacuten de los Racionales
El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es
decir
abxcd= axcbxd
Divisioacuten de los Racionales
El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador
Es decir
abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc
Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc
Ejemplo 5
143
127
232
14
Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional
5143
127
232
14
Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos
sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto
Ejemplo 1
43 2
115
3
278
4
12515
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso20
16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso21
Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso22
5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Ecuaciones con nuacutemeros Racionales
Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones
1 m +
7iquest3 iquestiquest
iquest = -
74 2 x -
25 = -
18 3 x -
56 =
18
4
3x4 = -
1iquest5 iquestiquest
iquest
5 -
6 x5 =
minus45 6
x3 +
12 =
13 7
3x5 -
13 = -
23
Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales
1 Si un fosforo mide 1
25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir
34
de metro
2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar
17 del total el
segundo
25 y el tercero
14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo
3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7
18 del total
iquestcuaacutentos estudiantes varones hay
4 De un tanque de gas se gasto
13 en la primera semana
38 en la segunda y
14 en la tercera
semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque
5 De un tanque de gas se gasto
25 en la primera semana
14 en la segunda
320 en la tercera y
15
la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
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16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso54
Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma
15 para su esposa
14 para sus hijos
16
para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno
7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y
13
de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le
corresponde a cada uno
8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute
25 de la
parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta
9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten
$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra
11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito
12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en
16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo
precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento
13 Despueacutes de una fiesta sobraron
285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar
iquestQueacute cantidad sobra
14 De una finca de 40 hectaacutereas
25 estaacute sembrada en cacao y
14 del resto de banano y el resto es
para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales
15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de
14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
254 metros de largo
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16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso23
8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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16 Si una llave vierte 814
litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un
deposito de 9014
NUacuteMERO DEacuteCIMALES
Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip
Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal
Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas
Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15
45=08
12=05
Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento
Procedimiento Ejemplo
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso27
c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero
(100 )x=0 25(100 )
Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25
100Se simplifica si es posibles
x=14
Ejercicio-1 Convertir en decimal
a
12 b c
512 d
25 e
2496
Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten
a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005
Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales
Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos
Ejercicio-3 Calcular
1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018
4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135
Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales
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5
3
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda
Ejercicio-4 Calcula
1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067
Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales
Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros
Ejercicio-5 Calcula
1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16
Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora
1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)
Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales
1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes
2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos
3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible
recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de
pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos
metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere
adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan
9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de
137 m de largo por 1245 m de ancho
a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita
11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura
Porcentaje
Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados
Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado
1 4 el 30 4 x
30100
=4 x 03=12
2 1600 el 18 1600 x
18100
=1600 x0 18=288
3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28
Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten
1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola
2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso28
Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso30
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento
4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos
5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado
6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta
POTENCIACIOacuteN
Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3
e 4-2
Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p
____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia
La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente
Debemos tener en cuenta que
Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0
Tambieacuten bminuse= 1
be
Propiedades
Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros
a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir
am xan=am+n
b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo
am
an=amminusn
c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir
(a x b) n = an x bn
d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir
( ab )n
=an
bn
e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir
(am )n=amxn
6 Exponente Racional amn=
nradicam
Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos
1
56
54 2
x2
x5 3
( xy )4
4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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6 (y3)-2 7
xminus3
xminus4 8
( yminus3
xminus2 )minus1
9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2
aminus4 bminus3c3 )minus3
Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn
1
2x 2
3
xminus2
3 (2x)3 4
1
4 xminus2 5
3
2x4 6
(minusx2 )
3
Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora
1 23 2
1
33
3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3
6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )
4
10 ( 2
3 )minus5
Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten
1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila
2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten
3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute
S = 1acute000000 (102)4x
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto
trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000
iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor
futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n
y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados
a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105
6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados
a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12
7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t
donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007
8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S = Pℓ0 1 n
Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos
9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula
N = 6302ℓ0 3739 t
donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007
10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten
N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva
a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos
RADICACIOacuteN
La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando
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Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
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9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso37
Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
Si nradica=p entoncesp
n=aCondiciones
Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos
1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p
2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp
Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical
1 16163
2 yminus32
3 (6m )23
4 (8 x )minus23
Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional
1 radic x3 2
13radicb2
3 3radic (( ab )3 4
3radic8m3
Regla de los Radicales
1 nradican=a
nn=a1=a
2 nradica nradicb=nradicab
3
nradicanradicb
=nradic ab
Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical
1 y14 y
32
2 z34 z4
3 yminus32 y 4
x13
xminus23
5 (x
23 )
34
Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales
1 radic64 x4 2 radic121x6 y8
3 radic125a6 4
3radic27 x3 5
4radic256 x8 y16
Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas
1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y
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nradicaa=0 agt0 alt0
Si n es par 0 gt0 infin
Si n es impar 0 gt0 lt0
5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
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5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso35
d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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5
radic12 x3 y12
radic27 xy 2 6
4radic32a9b5
4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn
donde C y n R
1radic x 2 radica5 3
3radic y4 4 radic16 x3
5
minus3
radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora
1 radic64 2 3radic216 3
4radic625 4
1
radic144 5
1+radic5
10radic 32
Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten
1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea
2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados
a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la
compantildeiacutea
3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por
C=20 xℓx2
100
donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos
4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es
P=250 ( x+4 )32
donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso30
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso59
(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso64
-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por
R=10(1minusℓminust5 )
iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados
6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula
S=Pℓ1
10n
iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo
Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )
donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad
8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por
P=30 (3q2 )
donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades
9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4
5x
donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea
10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por
N=3000 ( 0 2 )(35 )t
donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo
aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso31
TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso34
4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso35
d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso39
Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso41
FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso45
4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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TALLER
Tema Radicacioacuten
Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta
1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27
8 )minus13
es
a
8124 b
32 c
23 d
2481
2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6
3 La expresioacuten 3radic53
es equivalente a
a 125 b 5 c 1 d 153
4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a
a -2 b No existe c 2 d 24
5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a
a 3 b No existe c -3 d -27
6 La expresioacuten
213
2minus23
es equivalente a
a 2 b 2minus13
c -8 d Ninguna de las anteriores
7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a
a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4
d Ninguna de las anteriores
8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a
a 3 x3 b 3 x
32
c 3 x23
d Ninguna de las anteriores
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso32
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso59
(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso64
-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
9 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con
S=2000 (2 )minus110
x
donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625
10 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten
N=500 ( 0 02 )( 710 )t
donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10
INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf
Conceptos Baacutesicos
Conjunto
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso33
Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso35
d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso36
httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso46
12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos
Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula
Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)
A = a e i o u por extensioacuten
A= xx es una letra vocal por comprensioacuten
Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser
Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia
Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser
Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes
Operacioacuten entre Conjuntos
Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)
Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10
Determinar
1 A U C 6 Ac n Bc
2 C n B 7 (A n B) c
3 B ndash C 8 Bc U Cc
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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4 Ac 9 (B U C) c
5 C Δ A 10 (C - B) c
Desigualdad
El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo
Propiedades
P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc
Intervalos
Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en
Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b
Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a
TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular
a B n Cb B u Cc Ac
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc
g (A u B) c
2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales
LOGARITMACIOacuteN
httpusuarioslycosesmislogaritmos
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso42
xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Un logaritmo no es otra cosa que un exponente
Propiedades
log a1=0
log aa=1
log aax=1
a logax=x
log a(U V )iquest logaU+log aV
log aUV
=log aUminuslogaV
log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest
log a(nradicU iquestiquest)=1
nlog aU iquest
Tipos de Logaritmos
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso64
-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el
nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x
Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero
e Se escriben loge x = ln x
1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial
4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3
19
2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial
log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=
minus13
log 25 x=minus12
3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica
25 = 32 53 = 1254-1 =
14
912 = 3
4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes
log ax
x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln
x2
radicx+4
5 Use la calculadora para determinar
ln radic4 6ln radic56
2312iquest 1
2ln 56minusln 23
ln3radic 8
5
13
ln 8minusln 5ln 3417
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso40
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso48
La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOS BAacuteSICOS
Aacutelgebra
Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)
Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas
El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)
Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)
Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero
Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)
Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos
Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un
exponenteminus5 x2 3xy minus2
3a2b3 z minus6
Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia
Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos
Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso53
Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base
Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada
Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos
Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente
a(b+c)= ab + ac
Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales
1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2
4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2
5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2
6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3
7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3
Ejercicios Resuelva cada ejercicio
1 (x + 3)(x + 3)
2 (x ndash 1)(x + 1)
3 (2x ndash y)(x + 3y)
4 (x + 2)2
5 (y ndash 3)2
6 (2x + 3y)2
7 (2 + y)3
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8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
8 (3x ndash 2y)3
Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)
Ejercicio
1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables
a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4
c
2 xminus y
x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b
16 y1minus y donde y=-3
2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10
httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm
Divisioacuten de Polinomios
Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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FACTORIZACIOacuteN
Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores
Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor
2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar
x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32
7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto
2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2
Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes
2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49
+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8
X4y ndash 2x2y + y
Problemas de Aplicacioacuten del Algebra
1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm
a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura
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xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)
3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2
2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso43
9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto
3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000
a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades
b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto
al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten
5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt
a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una
tasa del 35
6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2
a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas
b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38
7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades
8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten
a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten
iquestQueacute encuentra
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso54
Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso56
y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus5400
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante
C=285000p
minus2850
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten
11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por
C=50000x
+105
Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos
Algebra con Tecnologiacutea
1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con
Costo promedio= 4 000x
+55+01 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso44
- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como
Costo promedio=Costo totalx
Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante
Costo promedio= 4 0500x
+190+02 x
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra
- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene
Volumende ventas=1+ 3t+3
minus 18
(t+3)2
Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra
2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula
S=100[ (10075)nminus100075 ]
Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos
3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula
R=10 000[ 00065
1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios
Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son
Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente
Ejemplos simplificar cada fraccioacuten
1x2minusxminus6x2minus7 x+12
2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2
Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador
1t
3t+2minus 4tminus1
2 xminus2
x2+6 x+9minus x+2
2(x2minus9) 3
3x+4 y
15 x y2+ 2 xminus3 y
10 x2 y
Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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12 x y 4
3a3blowast5ab4
5x3 y
2 12 xminus3 y15a+10b
lowast21a+14b
20 xminus5 y
Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede
135a3
18b3 divide14 a9b2 2 x
3minusxx+1
dividexminus1x+1
Racionalizacioacuten de Denominadores
Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario
Ejercicio Racionalice cada expresioacuten
1x
radic2minus6 2 radic5minusradic2
radic5+radic2
TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple
a2x
2x+4
b4 x2 y3minus6 x3 y 4
2 x2 y2minus3 x y3
2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12
dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4
3 Simplifique la fraccioacuten
xminus1minus xminus1x
1xminus1
+1
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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4 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con
c=540000100minusp
minus540 000
a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique
5 Racionalice el denominador de 3xminus3
radicxminus1
Actividad
En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios
httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf
ECUACIONES
Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten
Ejemplo
2 x+5=12
7 x+1=6 x+10
3( x+1)=5( x+2)
3x+12
= x3
La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
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1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten
Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales
Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa
Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten
1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t
4
Pminusbxminusa
=m 5 5 xminus4 P=1200
6x=65 4minusP
0 36
79 x+3
2P=11
8
32x+5P=1
3 9
P17
+066=r
Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten
1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18
4
x3=minus4
5
23x=1
56 2 x+8=1
7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9
minus34x=24
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso49
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso50
8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso51
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso52
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso59
(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso64
-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
1023x+ 1
4=1
2x
11
33minusx5 x
=212
2 x2x+5
=23minus 5
4 x+10
Aplicaciones
1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado
por C(x) = 120000
pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas
se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se
puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003
donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos
desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos
3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de
doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10
con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener
ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por
C(x) = 50000+105 x
x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares
5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son
S(t) = 400 + 2400t+1
Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares
6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos
7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso59
(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10
millones de pesos
9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las
empresas alcance el 50
10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000
12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten
I175 39
+0 66=r
Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198
13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por
Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio
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14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo
15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado
Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita
Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico
La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable
Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica
Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta
Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten
x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)
Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2
De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso54
Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x
Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13
2
Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)
En la (Ec1)y=1minus(minus13
2 )Entonces y=15
2
y=152
Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)
En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12
minus132
+ 152
=1 3(minus132 )+ 15
2=minus12
22=1
minus392
+ 152
=minus12
1=1minus24
2=minus12
minus12=minus12
Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten
4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)
Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso57
2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4
Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4
Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2
Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2
VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)
4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2
8minus4=4 2minus4=minus2
4=4 minus2=minus2
Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten
2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)
Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)
Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21
Despejando y=minus21
7 y=minus3
Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2
VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)
2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8
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4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8
-5 = -5 8 = 8
Por Determinante
Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n
Determinante de una matriz de orden 2
Dada la matriz A=a11 a12
a21 a22
El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene
det(A) = |A|= a11a22 - a21a21
Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f
con a b c d e y f R se cumple
x=[c bf e ]
[ a bd e ]
y=[a cd f ]
[[ a bd e ]]
Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -72x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=[minus7 2
4 minus3][3 22 minus3]
=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)
(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8
minus9minus4= 13
minus13=minus1 entonces x=minus1
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso56
y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso57
2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso58
Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso59
(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso60
O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]
=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)
=12+24minus9minus4
= 26minus13
=minus2 entonces y=minus2
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4
-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4
-7 = -7 4 = 4
Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal
1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12
10
52xminus7
2y=minus1 8x+3 y=11
PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten
a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados
1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto
3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego
4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron
5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional
6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado
7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido
8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender
9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio
10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla
11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto
12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute
13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana
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Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso66
Ecuaciones Cuadraacuteticas
La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x
Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta
Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c
El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones
1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten
Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute
Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a
(1)
La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales
Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados
Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica
Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso59
(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
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(1)
Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene
oacute
Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo
si ) se obtiene
de donde (2)
La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten
Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general
Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica
con a 0 viene dada por
(1)
Solucioacuten
La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten
Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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O equivalentemente
Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene
De donde
(2)
La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0
Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x
Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359
2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300
determine el valor de x si f(x) es igual a 25
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso64
-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
httpusuarioslycosescalculo21id401htm
TALLER
Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso65
Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
2004 2007 2009 2011
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3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda
p=100minus10x400minusx
donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares
4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida
5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto
6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t
t2+36 con
tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)
7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares
8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten
9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)
10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)
11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )
12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del
otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula
dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)
INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso62
Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso63
Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado
Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
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Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones
Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva
Ejemplo ilustrativo
Teorema2-Suma
Ejemplo ilustrativo
Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo
Ejemplo ilustrativo
Teorema4
Ejemplo ilustrativo
Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6
Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad
Teorema7 Teorema8
Teorema9 Teorema10
Teorema11
Inecuaciones Lineales
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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-infin
1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
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Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)
Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos
1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando
En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4
Graacuteficamente
0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6
2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5
Graacuteficamente
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1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
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1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1
2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2
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Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
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Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces
1 La expresioacuten para la ganancia es
G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000
2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)
125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades
3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es
(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)
4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por
R=28000 ndash 008X
Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio
Aumenta Disminuye Es variable Es constante
5 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas
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