Manual de a

e

MANUAL DEL ALUMNO

S3C

MATEMÁTICA APLICADA I

Computación e Informática

Contabilidad Computarizada

IT - Expert Secretariado Ejecutivo de

Sistemas

Asistente de

Gerencia

Secretariado Ejecutivo

Computarizado

Ensamblaje mantenimiento y

Reparación de PC.

Diseño Gráfico

Fast Office

I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I

3

ÍNDICE

SESIÓN 1: LOGICA PROPOSICIONAL Ejercicios 1 SESIÓN 2: ESQUEMAS MOLECULARES Ejercicios 2 SESIÓN 3: CIRCUITOS Y COMPUERTAS LOGICAS Ejercicios 3 SESIÓN 4: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Ejercicios 4 SESIÓN 5: RAZONES Y PROPORCIONES Ejercicios 5 SESIÓN 6: REGLA DE TRES Y TEORIA DE PORCENTAJES Ejercicios 6 SESIÓN 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y TEORIA DE

EXPONENTES Ejercicios 7 SESION 8: MULTIPLICACION ALGEBRAICA Y PRODUCTOS

NOTABLES Ejercicios 8 SESION 9: FACTORIZACION Ejercicios 9 SESION 10: DIVISION ALGEBRAICA Ejercicios 10 SESION 11: ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO Ejercicios 11 SESION 12: SISTEMA DE ECUACIONES Ejercicios 12 SESION 13: MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES Ejercicios 13 SESION 14: INECUACIONES Ejercicios 14 SESION 15: TEORIA DE CONJUNTOS Ejercicios 15


4

SESIÓN 1

LÓGICA PROPOSICIONAL

ENUNCIADO:

Se denomina así a toda frase u oración. Ejemplo:

1. ¿Qué estudias en la Universidad?

2. ¡Alcánzame la toalla¡

3. 2x+3=11

4. Madrid es la capital de España. PROPOSICIÓN:

Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (v) o falsa (f), pero nunca verdadera y falsa a la vez

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, t,... a las que se les denomina variables proposicionales.

Ejemplos:

1. César Vallejo nació en París (f)

2. 2+3 < 10-3 (v)

3. El número 1331 es divisible por 11 (v)

4. Todos los hombres no son mortales (f)

LAS PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

1. Proposiciones Simples: Llamadas también proposiciones atómicas o elementales, son aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo

predicado.

2. Proposiciones Compuestas: Llamadas también proposiciones moleculares o coligativas, son aquellas que están constituidas por dos o mas proposiciones simples, las cuales están unidas por los conectivos lógicos


5

LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

FUNCIONES VERITATIVAS

1. CONJUNCIÓN ( . - Representa al conectivo “y”, es verdadera cuando las dos

proposiciones p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.

2. DISYUNCIÓN INCLUSIVA (v.- Representa al conectivo “o”, es verdadera si al

menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falsa solo cuando las dos son falsas.

3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( . - Representa al conectivo “o” en su sentido

excluyente, es verdadera cuando solamente una de las proposiciones es verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos.

4. NEGACIÓN (~. - El valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto al valor de verdad del enunciado.

5. LA CONDICIONAL ( . - Representa al conectivo “si ...entonces”, es falsa

solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadera en todos los demás casos.

6. LA BICONDICIONAL ( . - Representa al conectivo “si y solo si”, es

verdadera cuando las proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otros casos es falsa.

TABLA DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LOGICOS

P Q QP

QP

QP

QP

QP

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V


6

RELACIÓN ENTRE LA LÓGICA Y LA INFORMÁTICA:

Existe una íntima relación entre la lógica y la informática, puesto que la lógica

constituye el fundamento teórico de la informática, en cuanto comprende mejor las computadoras y su respectiva construcción de lenguajes de programación.

Entre sus múltiples aplicaciones, la lógica se aplica a la tecnología. En este

campo, la lógica se aplica a la construcción de circuitos lógicos, y entre ellos los circuitos eléctricos, compuertas lógicas, los diagramas de flujo, etc.

Ejercicios 1.

1. Evaluar las siguientes proposiciones:

a. Cesar Vallejo nació en Paris b. 1331 es divisible por 11 c. Carlos Marx nació en Alemania

d. 62341

e. 52

1

427042363 8

f. Carlos Marx nació en Alemania y es autor de “El Capital”

g. Enrique es medico o estudia arquitectura h. Si mañana el cielo esta nublado, entonces lloverá

i. José de San Martín es peruano o 12 es múltiplo de 3 j. William Shakespeare es autor de Hamlet o es autor de La Iliada k. Si 5 es un numero primo entonces 51 es un numero par

l. Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas

m. 6584y 11532

n. 56 o 1053233

o. No es el caso que 9 sea múltiplo de 3 o que 2 * 8 = 15


7

SESIÓN 2 ESQUEMAS MOLECULARES

Definición: Es una interacción de proposiciones, conectivos lógicos y signos de agrupación en base a los cuales se va a determinar el valor de verdad del operador principal

Clasificación

Tautología: cuando todos los valores de verdad del operador principal son verdaderos

Contradicción: cuando todos los valores de verdad del operador principal son

falsos Consistente o contingente: cuando algunos valores de verdad son verdaderos y

algunos son falsos Ejercicios 2.

1. Evaluar los siguientes esquemas moleculares:

RPQP

RQQPQR

QPRR

QRP

QPRPQ

QRPR

PQQP

PQ

PQP

QP

QP

RQP .12

QP .11

QP .10

RQP 9

P .8

QP .7

PQP .6

QP .5

QP .4

PQP .3

QPP .2

QP .1


8

SESION 3

Capítulo 1: CIRCUITOS Y

COMPUERTAS LOGICAS

CIRCUITOS EN SERIE

Los circuitos en serie constan de dos o más interruptores, donde un interruptor esta después de otro y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en

serie es la representación de una fórmula proposicional conjuntiva, cuya expresión más simple es “p y q”.

p q

p q

CIRCUITOS EN PARALELO

Los circuitos en paralelo constan en dos o más interruptores, donde cada interruptor esta en la otra línea y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en

paralelo es la representación de una fórmula proposicional disyuntiva, cuya expresión más simple es “p o q”.

p

q

p v q

Ejercicios 3.

1 Un comité de 3 personas desea emplear un circuito eléctrico para registrar

una mayoría simple en una votación secreta. Dibujar un circuito de modo que cada miembro del comité pueda apretar un botón para su voto

afirmativo y no apretando en caso de decidir por el “no” de tal manera que se encienda una señal si una mayoría de miembros del comité vota afirmativamente.


9

2. Juegan 2 personas, A y B, cada una tiene una moneda, lanzan al aire

simultáneamente las 2 monedas, si las 2 monedas coinciden gana A y si sale cara y cruz gana B. Simule este juego mediante un circuito.


10

SESIÓN 4

Capítulo 2: SISTEMAS DE

NUMERACIÓN

DEFINICIÓN:

Es un conjunto de reglas y principios que nos van a servir para una buena lectura y escritura de los números.

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN:

Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad del orden inmediato superior.

La base de un sistema de numeración es un número entero positivo y mayor que uno.

SISTEMA DECIMAL:

Su principio fundamental es: “diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediato superior”.

OBSERVACIONES:

1. En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0).

2. En base “n” se utilizan “n cifras” 3. La mayor cifras disponible es la base menos uno. 4. En los sistemas de numeración mayores que el de base diez, se

utilizan los siguientes convencionalismos: = 10; = 11; = 12


11

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

BASE SISTEMA CIFRAS

DISPONIBLES

2 Binario 0,1

3 Ternario 0,1,2

4 Cuaternario 0,1,2,3

5 Quinario 0,1,2,3,4

6 Senario 0,1,2,3,4,5

7 Heptal .

8 Octal .

9 Notario 0,1,2,3,..., 7,8

10 Decimal 0,1,2...,7,8,9

11 Undecimal 0,1,2,...,8,9,

12 Duodecimal 0,1,2,..., ,

. . .

. . .

. . .


12

CONVERSIÓN DE SISTEMAS

Primer caso.- “De un sistema de base “n” al sistema decimal, haciendo uso del principio de descomposición poli nómica

Ejemplo: Convertir 4256 al sistema decimal.

4256 = 4 x 6 2 + 2 x 6 + 5 x 05

4256 = 161

Segundo caso.- “Del sistema decimal a un sistema de base “n”, haciendo uso del principio de divisiones sucesivas

Ejemplo: Convertir 418 al sistema quinario.

418 5 3 83 5

3 16 5 3

Luego: 418 = 31335

Tercer caso.- “De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde “n” y “m”

10 y m n. Para tal efecto primero utilizamos descomposición poli nómica para

transformar a base 10 y posteriormente efectuamos divisiones sucesivas para transformar él número a la base que deseamos

Ejemplo: Convertir 2517

al sistema de base 4

A base 10: 2517

= 2 x 7 2 + 5 x 7 +1 x 7 0

2517

= 134

A base 4: 134 4

2 33 4 1 8 4 2

Luego: 2517

= 20124


13

Ejercicios 4.

1. Efectuar las siguientes transformaciones:

9 base a 7

23654312 10.

9 base a 123567 9.

8 5

2342341 8.

7 base a 125879 7.

6 base a 2

1001001 6.

10 base a 8

234567 5.

8 base a 6

12453 .4

10 5

12134 3.

4 base a 2

10011001 2.

5 base a 5439 .1

basea

basea

1. Si : n"" de valor elhallar 4551

354 nn

2. Si : n"" de valor elhallar 7

266102n

3. Si : x"" de valor elhallar 352763 xx

4. Hallar 75321aa : si , bcdaadcba

5. Hallar : 2554

aaaa

6. Hallar : 54

1011 : si abccba

7. Hallar : 8

3*1a15425 : si 22 bb

aba

8. Dado : cba :hallar 441333136 cb

acba

9. Si la edad de Juan es 1110002

años y la edad de Alejandro es 1101002

años, ¿Cuál de los dos es el mas joven?


14

SESION 5

Capítulo 3: RAZONES Y PROPORCIONES

RAZON: ES EL RESULTADO DE LA COMPARACION DE 2 CANTIDADES

CLASIFICACION.-

RAZON ARITMETICA: CUANDO LA COMPARACION SE EFECTUA A TRAVES DE UNA RESTA

64-10R BAR

POR CONSIGUIENTE EL VALOR DE LA RAZON ES 6

RAZON GEOMETRICA: CUANDO LA COMPARACION SE EFECTUA A TRAVES DE UNA DIVISION O UN COCIENTE

5.22

5

4

10R

B

AR

POR CONSIGUIENTE EL VALOR DE LA RAZON ES 2.5

LAS LETRAS “A” Y” B” RESPECTIVAMENTE SE DENOMINAN ANTECEDENTE Y CONSECUENTE.

PROPORCION: ES LA COMPARACION DE 2 O MÁS RAZONES

CLASIFICACION.- PROPORCION ARITMETICA: PROVIENE DE LA IGUALDAD DE 2 RAZONES

ARITMETICAS 88-162-10 RDCBA

LOS TERMINOS “A” Y “C” RECIBEN EL NOMBRE DE ANTECEDENTES, Y LOS TERMINOS “B” Y “D” RECIBEN EL NOMBRE DE CONSECUENTES

TAMBIEN SE LES PUEDE DENOMINAR “A” Y “D” TERMINOS EXTREMOS Y “B” Y “C” TERMINOS MEDIOS

PROPORCION GEOMETRICA: PROVIENE DE LA IGUALDAD DE 2 RAZONES GEOMETRICAS


15

56

30

4

20 R

D

C

B

A

LOS TERMINOS “A” Y “C” RECIBEN EL NOMBRE DE ANTECEDENTES Y LOS TERMINOS “B” Y “D” RECIBEN EL NOMBRE DE CONSECUENTES, TAMBIEN SE LES PUEDE DENOMINAR AL IGUAL QUE EN LA

PROPORCION ARITMETICA PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:

Si:d

c

b

a forman una proporción, entonces se cumple que:

1º d

dc

b

ba

2º dc

c

ba

a

3º cd

c

ab

a

4º d

cd

b

ab

5º d

c

b

a

db

ca

6º d

c

b

a

db

ca

Ejercicios 5.

1. La diferencia de 2 números es 244 y están en la relación de 7 a 3. ¿Cual es el mayor de los 2 números?

2. La critica especializada ha determinado que existe una posibilidad contra 3 de que Universitario derrote a Alianza Lima. Si las posibilidades de que Alianza

le gane Cristal están en la relación de 5 a 2. ¿Que posibilidades tiene Universitario de vencer a Cristal?


16

3. Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman 60 nuevos soles, lo que gasta y lo que cobra esta en al relación de 2 a 3. ¿ En cuanto tiene que

disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5 ¿

4. La relación de 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 unidades ambos resultados serian iguales. Hallar dichos números

5. En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presento una moción. En

una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 votos en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 votos en contra. ¿ Cuantos personas cambiaron de opinión’

6. En una fabrica embotelladora se tienen3 maquinas A, B y C, por cada 7

botellas que produce la maquina A la maquina B produce 5 y por cada 3 botellas que produce la maquina B, la maquina C produce 2. En un día la maquina A produjo 4400 botellas mas que la maquina C. ¿ Cuantas botellas

produjo la maquina B ese día ¿

7. Dos números están entre si como 7 es a 12. Si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro numero debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números

8. Determine la tercia proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la

cuarta proporcional de 10, 15 y 14.

9. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296

y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional.

10. La suma, diferencia y el producto de 2 números están en la misma relación

que los números 5, 3 y 16. Hallar estos números

11. En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y la diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes


17

SESION 6

REGLA DE TRES Y TEORIA DE PORCENTAJES

Ejercicios 6.

1. Un automóvil recorre 80 metros en 4 segundos, ¿cuantos segundos empleara

en recorrer 160 kilómetros?

2. Cuatro hombres efectúan una obra en 12 días, ¿en cuantos días podrían efectuarla 7 hombres?

3. Una cuadrilla de obreros tenia que hacer una obra en 20 días, pero debido a que 3 de ellos no trabajaron, los restantes tuvieron que hacerla en 4 días

mas, ¿ cuantos obreros laboraron ¿

4. Un regimiento debe tardar 5 días con marcha regular para llegar a su destino,

pero en el momento de salir recibió la orden de que hiciese el recorrido en 2 días menos, lo que obligo a aumentar la marcha en 20 kilómetros, ¿ de cuantos kilómetros fue el recorrido’

5. 12 obreros efectúan una obra en 28 días, si 8 aumentan su rendimiento en un

60%, ¿que tiempo emplearan en efectuar la misma obra?

6. “X” maquinas hacen una obra en 30 días, (x + 4) maquinas hacen la misma

obra en 20 días, ¿en cuantos días harán (x + 2) maquinas la obra?

7. Para efectuar una obra se cuenta con 2 cuadrillas. La primera cuadrilla cuenta con 40 hombres y puede concluir la obra en 30 días. La segunda cuadri lla tiene 60 hombres y puede terminar la obra en 20 días. Si solo tomamos los ¾

de la primera y los 2/3 de la segunda cuadrilla. ¿en cuantos días concluirán la obra las 2 cuadrillas juntas?

8. Hallar los siguientes porcentajes:

a. 19% de 2500 b. 13% + 5% de 1000

c. 25% del 37% del 12% de 10000 d. 25% de 12000 e. 12% +15% +22% de 1800

9. ¿A que aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 5%, 10% y 155

de 2500?

10. ¿ A que aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 13%, 15% y

22% de 12000’

11. ¿A que descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 5%, 12% y 23% de 10800?


18

12. ¿A que descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 16%, 22% y 28% de 3500?

13. Se vendió un objeto ganando el 12% del precio de venta, ¿ que porcentaje se

gana sobre el precio de compra’

14. Un artículo se ha vendido en $ 12000 ganando el 20% del precio de costo

más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo.

15. La mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano. ¿Que tanto por ciento del valor de dicha obra representa solota mano de obra?

16. En una empresa el 40% del personal masculino y el 30% del personal

femenino asisten a la escuela nocturna. Si el 20% del personal es femenino, ¿que porcentaje del personal asiste a la escuela nocturna?

17. Un comerciante rebajo el precio de venta de su mercadería en un 20%, si sus ventas aumentaron en un 40%, ¿ en que porcentaje aumentaron sus ingresos

¿

18. En una universidad se decidió rebajar las pensiones de enseñanza a los

estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en un 30% a los estudiantes de mayores recursos económicos. Si el monto total de las pensiones que da disminuido en un 10% con el cambio de política. ¿ que

porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos ¿


19

SESION 7

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y TEORIA DE

EXPONENTES DEFINICION:

Es el conjunto de números y letras unidos entre si por los signos de operación, tales como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la

radicación Ejemplo:

enteros numerosson exponentes los quepor racional, algebraicaExpresion 6728324354 xxxxx

iosfraccionar numerosson exponentes los quepor ,irracional algebraicaExpresion 62

1

772

853

294

375

4 xxxxx

Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suman o restan términos

semejantes, es decir, aquellos que están afectados por la misma parte literal e igual exponente.

Ejemplo:

25310

:

2122423373532x

:semejantes terminos

2123724352332

xx

Operando

xxxxx

Agrupando

xxxxxx


20

Ejercicios 7.

1. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

2438734223523482438xE .11

222c-d-c2d-2a-c2b-a-T .10

7z2y-3x-4y-x-z5y-4x-y-9z8xE .9

b-aa-a--R .8

222c-d-c3d-2a-c2b-a-P .7

2324232C.6

a-b--a-a-b-a-b-a-S .5

3.......a...aaT .4

2.......2........a......aa-R .3

232 .2

b-a-3b-2a-3b-2a-2b-a-E .1

xxxxxxxxxx

cdcba

bacba

cdcba

bcbaccbba

b

ncnacccbbbbcba

bababbb

cabdcbabadcbaQ

2. Dados los siguientes polinomios:

3

:

932334

93

5324

2423

7234

32342

12543

xGFEDCBAM

Calcular

xxxxG

xxF

xxxE

xxD

xxC

xxxB

xxxA


21

TEORIA DE EXPONENTES

Se llama así a los conjuntos numéricos expresados como potenciación y que se pueden representar de la siguiente manera:

na = P a es la base n es el exponente P es la potencia

PROPIEDADES.

1. EXPONENTE CERO

105 :Ejemplo 10x

2. EXPONENTE NEGATIVO

8

18- x:Ejemplo 1

xmx

mx

3. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES

2210751075 x:Ejemplo xxxxpnm

xp

xnxmx

4. DIVISIÓN DE BASES IGUALES

15510510

5

10x :Ejemplo xxx

x

nmxnx

mx

5. MULTIPLICACION DE BASES DIFERENTES

2744343*837*323

7*2 :Ejemplo ** mymxm

yx

6. DIVISON DE BASES DIFERENTES

81

16

43

424

3

2 :Ejemplo my

mxm

y

x

7. DIVISIÓN DE FRACCIONES CON EXPONENTE NEGATIVO

16

81

42

434

2

34

3

2 :Ejemplo

m

x

ym

y

x


22

8. POTENCIA DE UNA POTENCIA

24

1244324

32x :Ejemplo x

xxmnxnmx

9. EXPONENTE FRACCIONARIO

5

4

5 4 :Ejemplo xxn

m

xn mx

10. RAIZ DE RAIZ

120 32543 33 4 5 3 :Ejemplo xxx

mnpqx

m n p qx

11. RAIZ DE UN PRODUCTO

5*25 25*5 105 2510 :Ejemplo * yxyxyxn yn xn xy

12. RAIZ DE UN COCIENTE

5

2

4 625

4164

625

16 :Ejemplo

n y

n xn

y

x

EJERCICIOS.

1. Reducir:

nnn

Q27

82

9

4

2

3

2. Reducir:

20 3

410 13*8 5 2

x

xxE

3. Calcular el valor de :

2

144

3

4

834

n

n

T

4. Hallar el valor de “x”:

073 38

13 132x xx x


23

5. Hallar el valor de “x”:

16

9

3

41

4

3x

6. Reducir:

222222R 3 2X


12612432252

223642

xxxx

xxS


230*914*415

380*335*621P

9. Efectuar:

nmnmn

nmnmQ

43*6

23*6

10. Resolver:

m mx

m

m

mxmmxR 2

1111

11. Reducir la expresión:

xxxxC *

12. Luego de simplificar, indicar el exponente final de “x”:

4 3 23

5 4 3 234

xxx

xxx

13. Sabiendo que:

A :

29

323B y

13844

BCalcular

A


04416161298

1382532100Y


24

15. Indicar el exponente final de “x”, luego de efectuar:

16 3*

veces9

5*..........*5*5x

xxx

16. Efectuar:

28

11 74 aaF


6 33 3 33G


12

2 224Z

19. Reducir:

aaa

aaS

13123

123133

20. Hallar el valor de la expresión:

nnn

nC

22224

120

nnnnn 233/22

342n3Q

:rSimplifica .21

16 veces9

5...........*5*5*6

43

8 35xF .22

xxx

xx

x

21

31

337552

243

10243

1

8000

72941

625

8127K

:Ejecutar .23


25

3634103310321031103103

:Re.24

xxxxx

solver

10

91

9

11

3 52

3 4 25

:que cumple se si m"" de valor elCalcular .25

bam

bcab

mbca


26

SESION 8

MULTIPLICACION ALGEBRAICA Y PRODUCTOS NOTABLES

DEFINICION DE MULTIPLICACION ALGEBRAICA: Es la operación que consiste en obtener una expresión llamada producto total, conociendo otras dos

llamadas multiplicando y multiplicador

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION.

1. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los

exponentes

2. El termino independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores

DEFINICION DE PRODUCTO NOTABLE: Son aquellos productos cuyo

desarrollo es clásico y por eso se les reconoce fácilmente

Propiedades

1. CUADRADO DE UN BINOMIO

2222B-A 2222

BABABABABA

2. CUBO DE UN BINOMIO

3232333

3232333

BABBAABA

BABBAABA

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS

22 BABABA

4. CUADRADO DE UN TRINOMIO

BCACABCBACBA 22222

5. CUBO DE UN TRINOMIO

ABCBCACCBABCABACBACBA 62323232323233333


27

6. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

2233A 2233 BABABABBABABABA

7. IDENTIDADES DE STEVIN

ABCBCACABXCBAXXCXBXAX

ABBAXXBXAX

23

2

8. IDENTIDADES DE LEGENDRE

ABBABABABA 422

BA 22222

9. IDENTIDAD DE LAGRANGE

222222BAYXAYBXBYAX

10. IDENTIDAD DE ARGAND

42242222 BBAABABABABA

11. IDENTIDAD DE GAUSS

ABCCBABCACABCBACBA 3333222

12. SI : A + B + C = 0 ENTONCES SE CUMPLE:

A. BCACABCBA 2222

B. ABCCBA 3333

C. 44422222 CBACBA

D. 2222

BCACABBCACAB


28

Ejercicios 8.

1. La suma de dos números es 39 y la suma de sus cuadrados es 801. Hallar el

producto de estos números

2. Efectuar:

363

13

1 xxxxxJ

3. 33a K :calcular 5 aby 4ba : bSi

4. 33 x:calcular 5x

1 x: xSi

5. Se sabe que a + b = 14 y que ab = 48 calcular: 3622 baA

6. Si: 22 xS :calcular 521

xx

x

7. Efectuar: 118141212 xxxx

8. Simplificar: 32222

babbababaC

9. Reducir: 502

1324523 aaaaaaD

10. Efectuar: 2

11725432 xxxxxxM

11. Hallar la raíz cuadrada de P, sabiendo que:

14321 xxxxP

12. Simplificar:

3225233

222333222

aaxxaxax

aaxxaxaxT

13. Simplificar: Si: cbcaba

cbcba

333a :Calcular 0

14. 222

ba R :

200222ay 10cba :

cacbCalcular

cbSi


29

15. Simplificar: 22

22

yx

aybxbyaxS

16. Si: x

yx

xy

y

yxyx 2

322xC :Calcular

411

17. Calcular el valor numérico de: : que sabiendo 21 BA

xy

y

yx

yxA

22x B

18. Simplificar:

2

2

2

2

yxyx

19. 2

b-a :Calcular 3aby 5a : bSi

20.

bcacab

cbcaba

abc

cb

Si

222

*333a

:hallar 0cba :


30

SESION 9

FACTORIZACIÓN

DEFINICION: Es la operación inversa a la regla de la distribución de la

multiplicación respecto a la suma, en la finalidad de obtener factores racionales uy primos entre sí. Toda expresión de primer grado es prima

FACTOR PRIMO

Es aquella expresión algebraica no constante que solo es divisible entre la unidad y consigo misma

METODOS DE FACTORIZACION

1. Factor Común:

Monomio

Polinomio

Por agrupación de términos

2. Método del aspa simple

3. Método de las identidades: haciendo uso de los productos notables

Ejercicio 9.

1. Factorizar los siguientes polinomios:


31

12222222.30

22222222a .29

222222222 .28

3212543x .27

223223223a .26

222a .25

2105101761717x .24

29298388x .23

2272

33

24

1x .22

22222222abd 21.

1x1x2x1x2x3x 20. 11

1251

10127

1a .19

24

22222a 18. 273 x.17

12274 x16. 32042c .15

1072 x14. 42523029b .13

1286 x12. 10428912256a .11

2a 10. 11xa .9

1144786831264x 8. 12274n x.7

2412

2y-x9 6. 22322244 x5.

1xy1y

xxyxyy

x4. nm x.3

72259yx 2. 2241148 2a72x .1

baba

cbacbabcacabcb

bacbac

xxxxxx

bacacbcb

bacacbcb

yyxx

yyxx

xxx

dbaccbaddabcc

aaa

cdabdcb

xc

xaba

ymb

bxaxabxb

yxyxynx

yxyxyxyxyxxyy

nxy

mxynmy

yxyxbyaxbyaxby


32

SESION 10

DIVISION ALGEBRAICA

DEFINICIÓN:

Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente,

conocidas otras dos cantidades llamadas dividendo, y divisor. METODOS DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

1. Método de Ruffini: se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor

es un binomio de primer grado

2. Método de Horner: se utiliza cuando los polinomios son de cualquier

grado, en particular cuando el divisor es por lo menos de segundo grado

3. Teorema del resto, de Descartes o del residuo: se utiliza cuando solo

se desea conocer el valor del residuo

Ejemplos:

Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división:

23

161225329518

x

xxxx Aplicando Ruffini por tratarse de un binomio

de primer grado en el divisor:

Determinación del valor de “x”, para tal efecto igualamos a cero el divisor:

3

2- xentonces , -23x : xa respecto despejando 023x

Determinación del grado del cociente y del residuo:

01-1 :residuo del Grado 41-5 :cociente del Grado

18 0 -29 -5 -12 -16

3

2

-12 8 14 -6 12

18 -12 -21 9 -18 -4

Por consiguiente el verdadero cociente se obtiene dividiendo los resultados de la fila inferior entre 3, por tratarse de un valor fraccionario:

-4r 63273446 xxxxq


33

Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división:

2625

3736455

xx

xxxx Aplicando Horner por tratarse de un divisor de

segundo grado:

Determinación del grado del cociente y del residuo:

11-2 :RESIDUO DEL GRADO 32-5 :COCIENTE DEL GRADO

5 5 -1 6 0 -7 3

6 6 -2

-2 5 6 -2

10 12 -4

10 12 -4

1 1 2 2 1 -1

La metodología de aplicación de Horner consiste: primero efectuar una división, segundo efectuar multiplicación algebraica y en tercer lugar efectuar suma algebraica

El valor del cociente es: 1-xr es residuo del valor el 2223 xxxq

Ejercicio 10.

1. Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división algebraica:

2

25223354252x 7.

142

34485208x .6

32

42542883x 5.

23

53499124x 4.

3

1

143104253x .3

193

1291718162717366x 2.

23

161225329518x .1

x

xxx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

2. Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división:

5543224354

82725353526137688x 5.

323

42245372x .4

122543

4274952566715x 3.

2625

3736455x 2.

123

2243649 .1

yxyyxyxx

yxyyxyxyxyx

xx

xxx

xxx

xxxx

xx

xxx

xx

xxxx


34

3. Hallar el resto de la siguiente división:

534

1464253

434102634x

.10

1822

223641-x .9

35

154103152x 8.

22

527428x .7

12

15243342x 6.

15

172938415x 5.

13

21023446x .4

2

666ax

3. 32

1514219346x 2.

3

41616

140

364

3-x .1

xx

xxxxx

xx

xxxxx

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

ax

ax

x

xxx

x

xx

4. Calcular “ p “ y “ q “ si la división dada: 562

24

xx

qpxx, es exacta

5. 5. Calcular “m” y “n” en la siguiente división: mxx

nxmxxx

524

3528323412,

sabiendo que el resto es 2x – 3

6. Calcular “m” en la siguiente división: 32

62336

x

mxxx, sabiendo que la

división es exacta

7. De la siguiente división exacta: 12

24

xx

baxx, calcular : a + b

8. Calcular: ab ba , si la división : 12

24

xx

bxax, es exacta

9. Determine: 1-6x residuo como deja 328

2311424x :division la si 0

xx

mxnxn

n

m

10. Determinar “m” y “n” para que 4322334 naxmaxaaxx sea divisible

entre222 aaxx


35

SESIÓN 11

ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO

DEFINICIÓN: es la igualdad entre dos expresiones

CLASIFICACION.

Ecuaciones de primer grado, se caracterizan por que tienen la siguiente forma general: 0BAx

Ecuaciones de segundo grado, se caracterizan por que tienen la siguiente

forma general: 02 CBxAx

Para resolver una ecuación de segundo grado se puede utilizar el método del

aspa simple o la formula:

a

acbbx

2

42 donde a, b y c representan coeficientes

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

11

5623

6253

x

xx

xx


32

x2

71

x

:ecuacion cada de x de valor el despejandoobtienen seecuacion dicha de raices las teconsiguienPor

03-x72x :resultado elgeneraron que primos factores los Agrupando 3- x

7 2x

:manera siguiente la de simple, aspa del metodo del uso hacemosecuacion dicharesolver Para

dos es minoprimer ter del expònente el que a debido grado, segundo deecuacion una de tratase ,02122 xx

Ejercicio 11.

1. Resolver las siguientes ecuaciones:


36

0862 x32. 01222x 31. 0422 .30

01622x 29. 01425x 28. 0524216 .27

0552 x26. 0662 x25. 01023 .24

03623x 23. 0122x 22. 02142 .21

04542 x20. 028112 x19. 0742 .18

01423x 17. 03652 x16. 01162 .15

01582 x14. 2

112362

1252

13 .13

82123

23

2x 12. 2

534325x .11

100 5-4xx-2

52x 10. ba para 2 .9

0235274x-a3 8. 23

735

52

58 .7

3

122

7

3x-1-2x-7 6. 9

3

14

5

13

2

7

3

12 5.

7x-3-3x9x-7- x4. 4

2

32

1 .3

5

3

4

52

2

3 2. 7256 .1

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

a

bx

b

xa

aaxaxx

x

x

x

xxxxx

xx

xxxx


37

0362134 .52

3

2-y 8son raices sus que sabiendo grado segundo deecuacion laFormar 51.

7y 4-son raices cuyas cuadraticaecuacion la es Cual .50

12

1

11

x

1E ,07322x-ecuacion la de raices las

2y x

1 xSiendo 49.

m"" de valor el determinar , iguales aices 1623xecuacion la Si 48.

iguales soluciones 2 admita

01221k :ecuacion la que modo talde k"" de valor elhallar .47

01622x 46. 01023x .45

02142 x44. 028112

x.43

72

42

3

34

3x-3

42. 2n

mx .41

2

4

3

1782

1062x 40. 23212b-3 x.39

02351274x-a3 38. 23

735

52x

5-8x .37

82123

23

2x 36. 2

534325x .35

3

122

7

3x-1-2x-7 34. 7x -3-3x 9x-7- x.33

xx

xhallarx

rtienemx

kxkx

xx

xx

xx

x

m

nx

x

x

xx

xbbx

aaxxx

x

xxxxxx

x

ba para , 2b

xa.59

02351274x-a3 58. 23

735

52x

5-8x .57

211236

2125

21-3x .56

2534325x .55

3

122

7

3x-1-2x-7 54. 9

3

14

5

13

2

7

3

12 .53

a

bx

aaxxx

x

xxxx

xxx

xxxxx


38

SESION 12

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN: es aquel sistema de 2 o más ecuaciones para 2 o más incógnitas las

cuales verifican simultáneamente el conjunto solución

Métodos de resolución de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

1. Igualación

2. Sustitución 3. Reducción ( el más común)

4. Determinantes 5. Matrices


-2y entonces 4y6 y, a respecto despejando 432

:Iecuacion laen doreemplazan

II, o Iecuacion laen x de valor el osreemplazamy de valor el determinar Para

3 xde valor el entonces 21, 7x resultado como da cual lo 132y-3x

82y4x

:y incognita lacancelar para 2,por Iecuacion la mosMultiplica

:reduccion de metodo el aplicando II 1323

I 42

y

yx

yx


-4z 3,y 2,- xobtenemos

:IVecuacion laen IIIy ,,I ecuaciones las doreemplazan ,IV -3zyx

:2por divisiblesser por expresion la reduciendo -6,2z2y2x

:ecuaciones 3 las de suma

III 6

II 1

I 1

II

laEfectuamos

xz

zy

yx

Ejercicio 12

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:


39

zxyyzxxyz

Obtener

zyxzyx

zyObtener

zyx

yzzy

yy

yx

y

y

zy

zy

zy

z

yx

x

ab

y

baba

y

:

129

252

33

343

42

5z3y4x .12

11-yz :

1202020

2

2

5

2

3

x-2z .11

22Obtener x 0126

7

3

5x

065y12x 10.

y-Obtener x 7

12

11

1

3x

2 9.

819y-25x

33x5 .8

0636

x

5263

x

3322

x 7.

6xz

-1zy

1y x6.

-103z-y- x

52z-y- x

6y x.5

22

1-y8x

7

2

y-x

yx .4

018yx2-9y-7x

6873yx5 .3

2a

x

ba

x 2.

-4x 13-3y

5y96x .1


40

12. Un cuarto de la suma de dos números es 14 y un séptimo de la diferencia es 2. Obtener el producto de dichos números

13. Un número entero consta de 3 dígitos. El digito de las centenas es la suma de

los otros dos, y el quíntuplo del digito de las unidades es lo mismo que la suma de los dígitos de las decenas y las centenas. Hallar este número sabiendo que si se invierten los dígitos, resulta disminuido en 594. Hallar el

producto de las cifras.

14. Tres personas pueden hacer un trabajo en 3 días; la primera y la segunda

juntos lo hacen en 5

13 días; la segunda con la tercera juntas pueden hacerlo

en 12 días. ¿En cuánto tiempo podría terminar la tercera persona sola el

trabajo?

-34u-2z3y-x

135uz-2y3x

94u-3zy-2x

10uzyx

:sistema del u"" de valor elObtener .15


41

SESION 13

MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES

DEFINICION: Es un arreglo de números ordenados en filas y columnas

Ejemplo:

243

312A

Donde los números 2, 1 y 3 se hallan en la primera fila y los números -3, -4 y -2

se hallan en la segunda fila

Donde los números 2 y -3 se hallan en la primera columna, 1 y -4 se hallan en la segunda columna y 3 y -2 se hallan en la tercera columna

ORDEN DE UNA MATRIZ

En base al ejemplo indicado : 2*3KA : significa que la matriz A pertenece al conjunto de los números reales y complejos y es del orden 3 ( debido al número

de filas) y 2 ( debido al número de columnas) Ejercicio 13.

1. Escribir explícitamente las siguientes matrices:

jiijdK

jiijcK

jiijbK

jiijaK

12/3*4ij

dD .4

,max/4*3ij

cC 3

2/3*3ij

bB .2

2/2*3ij

aA .1

2. Dadas las matrices:

3CAhallar , BA

01-

23

2

Cy 43

42B

3

2

Si

y

yx

xyxA


42

3. Sean las matrices:

BA si , xyzde valor el

165-z

213z

22y-3

B y

281

212

1212

Hallar

xz

yx

zxy

yx

zx

A

4. Si :

CBXAecuacionlasolver

A

2232B-X2 : Re

510

111 Cy

14

72-B

12

53

5. Si :

12

37-Cy

54

32B

22

53A

Resolver las siguientes ecuaciones:

BAXCB 252A-X3 .1

CXCBX 22BA-X3 .2

6. Si :

10141-

6512

736

Cy

191-

248

576

B

638

417

213

A

Resolver la siguiente ecuación:

XBACXCX 22322

7. Dadas las matrices:

2*2KYX, B2Y-5X

A3Y2X

:ecuaciones de sistema siguiente elResolver

2321

4016 By

616

35A


43

8. Multiplicar las siguientes matrices:

121

024-

114

By

321

212

121

A : siBA -ABCalcular 6. 1

4

11

22

11

433

322

211

000

.4

421

421

421

963

642

321

3. 23

12

16

53 2.

11

11

23

12 .1

9. Dadas las matrices.

212

541-

163

C 42

3

121

B

25

31

12

A

Si 322311

eS de suma lahallar , eeABCE

9. Si: b

a

ca

db

175

0511

1100

0030

2103

0211

12

12

Hallar el valor de la suma S = a + b +c + d

10. Una compañía tiene 4 fabricas, cada una emplea administradores, supervisores y trabajadores calificados en la forma siguiente:

Fabrica 1 Fabrica 2 Fabrica 3 Fabrica 4

Administrador 1 2 1 1

Supervisor 4 6 3 4

Trabajadores 80 96 67 75

Si los administradores ganan $350 a la semana, los supervisores $275 y los trabajadores $200, cual es la nomina de cada fábrica.


44

SESION 14

INECUACIONES

DEFINICIÓN: Son desigualdades con incógnitas que pueden reducirse a la

forma: 0bax o 0 bax

TIPOS DE INTERVALO Intervalo Abierto.- Es el conjunto de elementos “x” limitados en sus extremos

por los elementos “a” y “b” para los cuales se cumple que .bxa El intervalo

abierto se denota ba,

Ejemplo: Sea el intervalo, según la definición se deben tomar todos los

números reales comprendidos entre 2 y 5 a excepción de estos.

Intervalo Cerrado.- Es el conjunto de elementos de “x” limitados en sus extremos por los elementos “a” y “b”, donde

ba,por representa se cerrado intervalo El b.xa que cumple se cuales los para ,ba

Ejemplo: Sea el intervalo 7,2 , según la definición los elementos que forman

este intervalo, son todos los números comprendidos entre 2 y 7, incluyendo

estos

Soluciona una inecuación.

Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de las incógnitas que verifican la desigualdad, el resultado de una inecuación se presenta a través de

un intervalo ( conjunto solución)

Ejemplo. 1. Resolver la siguiente inecuación:

15

7x

715x

10-310x-25x

3-10x10-25x

:multiplocomun minimo

5

3225

Sacando

xx

Conjunto solución = ,15

7


45

2. Resolver la siguiente inecuación:

424532 xx Por tratarse de una inecuación exponencial, tenemos que

generar bases iguales para poder igualar los exponentes

:exponentes loscon s trabajamoentonces 2, numero elpor formadoestar por iguales,son bases las

842532

4222532

Como

xx

xx

,3-solucion

3

3485

8453

Conjunto

x

xx

xx

Ejercicio 14.

1. Resolver las siguientes inecuaciones:

031023x 12. 3

2

2

12

6

23

5

1-2x 11. 0

422

652x .10

01892 x9. 5

13

93

2

15

3 8. 7

4

18

275

2

135

3 .7

41x

2-3x 6.

20

7

5

1

2010

7

5

3x 5. 051423x .4

01272 x3. 4245-3x2 2. 5

3-2x2-5x .1

xxx

xx

x

x

xxxx

xxx

xx


46

0189x-2 x27. 5x

6

2x

3 26. 43-2x4- 25.

01-x

122x 24. 1

452x

3622x 23. 1

43-x

21-x 22.

14

4

x-1

2 21.

32x

1x 20. 0107x-2 x19. 532x7- 18. 75-2x3 17.

03-x-22x 16. 2

116x

4

5-3x 15. 4-3x62x- 14. 9-x73x .13

x

x

x

x

x

1452

3622x 57. 01662 x56. 0107

2 .55

0322x 54. 66

423x 53. 0

1

122 .52

5625722x

2x 51. 10

1

16102x 50. 0

422

652 .49

72

1x 48. 062

8x 47. 012

6 .46

052 x45. 02

4-x 44. 02

3 .43

0202 x42. 01892 x41. 062 .40

51-2x

2x 39. 0

2x

52x 38.

5

6

2

3 .37

02

7

1

3

1-x

6 36.

2

3

3

2

1x

1 35.

12

1

1.34

2

3

1-x

2-x-2 33.

14

32

2x

2-x 32. 4

38

57 .31

5

3

2

x 30. 3

1x

2-3x 29. 13654 .28

xx

xxxx

xxxx

xx

xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

xxxx

xx

xxxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx


47

5

6

2x

3 63. 43-2x4- 62. 1

43

21 .61

14

4

x-1

2 60. 532x7- 59. 7523 .58

xxx

xx

xx


48

SESION 15

TEORIA DE CONJUNTOS DEFINICIÓN:

Es una agrupación de elementos asociados por una característica común

Ejemplo: el conjunto de los números enteros (Z), el conjunto de los números

reales R , el conjunto de los números naturales (N).

Representación: los conjuntos se representan por las primeras letras del

abecedario expresadas en mayúsculas(A, B, C, D,...) y los elementos del conjunto por letras minúsculas

Ejemplo: A conjunto al pertenece no f que expresa A,f

A, conjunto al pertenece c que expresa A,c donde ,,,, edcbaA

Hay 2 maneras de representar los elementos de un conjunto:

1. Por extensión: cuando se indican cada uno de los elementos del conjunto

2. Por comprensión: cuando se indica la ley de formación del conjunto

Ejemplo:

12xformacion deley lacon cumplen que naturales numeros los de conjunto al pertenecen que x que x tallos

por todos formado esta B conjunto del elementos los quedecir quiere ,12/ xyNxxB

Ejemplo: Determinar por extensión y dar como respuesta la suma de los

elementos de P

279765 a igual es suma la teconsiguienpor , 5,6,7,9P conjunto del elementos

91

9

45

162

5P

0

0

44

162

4

71

7

43

162

3P 6

2

12

42

162

2P 5

3

15

41

162

1P

formacion deley laen osreemplazam cuales los 3,4,5 1,2, : valoressiguientes los toma

entero numeroun esx/x y U 50,/4

162

Los

P

n

nZnn

nP


49

CLASIFICACIÓN.

2. Finitos: aquel que esta formado por un numero determinado de elementos

3. Infinitos: aquel que esta formado por un numero indeterminado de elementos

4. Unitario: aquel que esta formado por un solo elemento

5. Nulo o vació: aquel que carece de elementos. El conjunto vació esta incluido en todo conjunto

Representación: ,

6. Universal: Es el que contiene a todos los elementos que están siendo

considerados en el estudio, se representa por la letra U 7. Iguales: aquellos conjuntos que tienen idénticos elementos sin importar

el orden

8. Disjuntos: cuando por lo menos un elemento no esta contenido en el otro conjunto

9. Subconjunto: se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B,

Representación: BxAxBA

9. Potencia: es el conjunto formado por todos los subconjuntos que se pueden hallar a partir de un conjunto dado.

Representación: 2 n , n representa el numero de elementos del conjunto

Ejemplo:

M conjunto del elementos 2 los departir aformar pueden se ossubconjunt 4226,3 MPM

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNION

BxAxUxBA /

Tomando como referencia los

conjuntos: 2,4,6,8B 4,3,2,1A

8,6,4,3,2,1BA

2. INTERSECCIÓN

2,4BA

:indicado ejemplo el el

/

Para

BxAxUxBA

3. DIFERENCIA

8,6

3,1

/

AB

BA

BxAxUxBA


50

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA

8,6,3,1

2,4BA 8,6,4,3,2,1

/

BA

BA

BAxBAxUxBA

5. COMPLEMENTO. cAA ,!

9,8,7,6,5

4,3,2,1

9,8,7,6,5,4,3,2,1

/!

CA

A

U

AxUxA

6. PRODUCTO CARTESIANO

pnmpnmBxA

ppnnmmAxB

pnmA

ByAxyxAxB

,2,2,2,1,1,1

2,1,2,1,2,1,

1,2B ,,

/,

Ejemplo.

Dados los siguientes conjuntos:

CCUC

BAHallar

C

B

A

U

:

9,7,5,3,1

8,6,4,2

5,4,3,2,1

10,9,8,7,6,5,4,3,2,1

2,4,7,9,10C

BA

:teconsiguienpor 1,3,5,6,8BA

:entonces 4,2

8,6,5,4,3,2,1

BA

BA

BABABA

9,710,8,6,4,210,9,7,4,2BA

entonces 10,8,6,4,2

10,8,6,4,2

CCUC

CCU

CC


51

Ejercicio 15.

1. Hallar el conjunto potencia de 6,4,2A e indicar cada uno de

los subconjuntos

2. Si los conjuntos 2b,45ay 4,93 aba son unitarios,

demostrar que 382,6 abba también es unitario

3. Si : 100/ xZxU ,

3,5B-Ay 1,2,7BA 9,6,0 C

BA Cual es la suma de los elementos de AB

4. Si:

5/12

61/12

040132/

xNxxC

xZxxB

xxxA

Cuantos subconjuntos tiene F? si ABCF

5. Sea : 31/ xNxU y los subconjuntos:

CACC

CBC

CCB

C

Hallar

C

B

xNxxA

B-A .4

BA .3

CA .2

BA .1

:

7,6,4,3,1

9,8,7,6,5,2,1

31/2

6. Sean los conjuntos:

2

723

2

3/

32

32/

,1/

zz

ZzC

yyZyB

Znn

xZxA

Entonces es cierto que:


52

C-AA-B 5. CA 4. CBA 3. CBA 2. CB 1

7. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y BA tiene 32

subconjuntos, ¿ cuántos subconjuntos tiene ?BA

8. Si el número de elementos del conjunto potencia A es 128, el número de

elementos del conjunto potencia B es 32 y el número de elementos del conjunto potencia BA es 8, ¿ cuál es el número de elementos del conjunto

potencia ?BA

9. . ,4

cAhallar 4,-A :

cA

Si

10 3,12-BA

BAhallar 4,12By 3,8-A :

Si

11.

,124,

,83,

CBy CAhallar 4,12By 3,8-A:

CB

CA

Dados

BIBLIOGRAFIA

FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1998): Vectores y Matrices, Lima-Perú W. H.

Editores.

FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1998): Matemática básica, Lima-Perú W. H. Editores.

FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1998): Vectores y Matrices, Lima-Perú W. H. Editores.

FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1991): Geometría Analítica, Lima-Perú W. H.

Editores. ESPINOZA RAMOS, Eduardo (1993): Análisis Matemático II (solucionarlo de

DEMIDOVICH)

Documents

Manual de a