Sumrio

(-.pnulo 0 - \oc.\ hjsic.de dgicl.Intoduo,l.2,Prcposio.l.3.scnlcnaabda.2.4.Concctv.,2.5.jmpi.a.1gic,4.6, Equivln.r Ligica,.1. T, QuanliJicadores. 5. S, Neso de um ptuposio concndo quan

. Captulo t Conjuntos, subconjuntos e sa! rprstas ...... ..... ......1, IntnrdD.. I 2. Conceitos pnndros, 9. 3, RepEsenrao de um.juo rclo dc pcinnca, 10. 4. Tipos decojunro,l1 5. Conjunto unjveso (U ), 12. 6. slbconjunto,12.

, Cptulo 2 - Conjuntos cujos elmentos so coriuntl. lntoduo, 20. 2. cojDnto dm pas de u.onjl, 20.

. Captulo 3 Unio c inteseco de conjdros .1.Inrdi,25 2. Urio (ou eunino) deconirnros,25 3. [tersecc. de con]u!os.26.

. Capi t l : l -Cnjnlodihrenla . . . . .l. ConceilLao, 31. 2. coniDrto conip.ncilrr 15.

t prtlo 5 - Prnhlem\ \hr qunriddr\dr rlemrnro dr (uojtrnr\ finitu\

t apnrlo 6 . Cla*il@o d6 nmero\.. noduto. :16 2.ConjunbnosnrcrcsmruraisrL.I),46.3.ConjunrJsdosnLncrosntcibs(Z)..17 4. o conjurlo d.s rderos rcn,lis ((..1), ;19

( aptlo 7 -O\ numPros rci'l. Conjunto dos nnercs ncionais lO ),57. 2.conjL o dos nmcnrr rais ( Rl. 59

( aprulo 8 O eiro rcalt. cnciturno, 65. 2. ntervdos ais, 6.

. cpi tu lo 0-Oplno(! c\ i !no. . . . . . . . .l. !ioduo. 75 2.Sisrenia.asianoogonll(ecoodm'75.3.Prrrdrado.?7.

. ( -at i r lo l0- l rodtrro oe\ inl.Conceiluao,82.

( 'apnulo l l Rel .co . .l.Cnceilu4o,88.

t0-

t 3

123

9l. apnulo 12 - Domoio e imrgem de uma rclaol Conccnu4o.93

( dp'lulo l. funol. i,l.duqa., 98. 2, Iomdizo do conceilo dc fnDo, 99.

Cptrlo I;l - Imlgcn de m elemento trars de uma fno..... ... . . . .....................1, nag. de n ment) ltrvs do diagda ie lecha!. 103. 2, Inagcn de d eeinbntrs dlc') - /U). 103 3.IDged deulJneo avs do erfico de uma tino. 104.

' ( - !p i lu lo l5 E\nrdodo' grl cos.l l otuio, I 13. 2. Aniise glific! ec.ecinenod ntr funo.l3.

cpnuh l6- un!orl kr l r icrc l rd l . . . .

- l. Con.cliao. 123

rCptulo 17 - Funo costntq crescente ou decrescente. .... ........... .... .... .... ...............

l. Raiz !e un tuno. 28. 2. Fun contute. 128 3. Funao cE\cente e funo

4+Cpirlo lS tunl io f im u do l 'sraul.Conceituaa. l15. 2.Crncodeunr!run.do !srau, l18

128

115

182

207

23

r91

Captulo 19 - V.io de sin.l da tuno do l! gru .l.Irloduo. l4-,r 2. rsido sernco d vdiao d fu|a do ! eu(r) = ar + t. !45.

Clpulo 20 - Ineqao Drodulo e incquao quocien.. .... ........ ... .. . . .. . ...... .... ....l.lntoduto. 54. 2. lcquo produio, 154. 3.lncqaoq..ienle, l5l.

;Captulo2l-r 'noqui l t icaouto2.sau.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651. A prbola, 165. 2. A paho .oo gili.o de una lnno, 66 3. Grlco d. u!a lulodo 2! grxu, 67. 4, PoDtos noleis dapdbolx, 168.

" capttut" ,:.U U.\imo( minimo

'lc m tun{

t. V.lo niimo de ua tuno, 82. 2, Vd rinimo de ur! ln-o, 183

if Capitulo 23 - Vario de sinal de ufr funo do ? g.u... ....................1,C.nceitn4o,190. 2. Gcnlizxqo, 91. 3, Inequxio do 2' enu l93

Cphlo 2:l - Aplicao ds tncs do 2P grlu rcsoho dc uba incquoprodto ou de unincquao quocienc

Cptulo 25 FUDodef in idpormisdeunsentena.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Concirlrto.207.

( ap'rulo 2- o concei lodr mddulo. . . . . . . .l. Distncii enlre dois Fnos do cixo id. 2ll. 2, Mdulo de u nmcro ral, 2l'1 3. P'opiedtule! dos 'dl$. 2 5.

{Cprtub r'- t un!o mdlr.. ...L ConnLro.29.

. f lCaptulo28-Tcnicasparacost .odcgrt icosdfuelnodules. . . . . . . . . . . . .l.conatuaco,228.

Cprtlo 20 - E'tualoc\ modure\.. ... ..1. Equ4aes d. tipo ./() = s-),235.2. Eqnacs tlo tipo Jb) = ,(r), en que r(r) nnfun-o que io aE$cnta nduo.235. 3 Eqnas do tiP. ./(r) 1 () 1. 1n(r) =: i ( r ) .236.

Captulo 30 - Deigualddes c mdulos ...... ....l. Popicdades. 240. 2. lrequres nodes, 2.1r

.Cprtulo 3l ( ompdio de tun(es. ..l.Concenqo.246.

. captulo 32 - Funes sobrejetoras, injetors e biietol. Funcs soblreloras,252. 2. Funcs injelons,252. 3. FnDes bijcoras.253 4. Clsilicao de um funo atruy! do elco, 254 5, Ca$ilc4o de nn tuo / anavs da lei dessoci.io r =(). 256.

' ( aprtulo J. ] -Con.ei lodetuo(sinrrNd. . . . . . . .l,lntbduo,260.2.Relasnlesas,26 3,Funas invcsas,262 4. co.dio necessriae sulicienl paru que um Juno seia inveel, 26l. s Tcnica p. a obtenco dr vcBa deuna funo, 265. . Ponos sinicos eD.eha ca sup!e das bissnizs dos quad&esmpares.268. 7. Gticos de fune\ inve6s.269.

228

252

260

I

'. (-aptfufo 34 Pofn.id{ocmR ,re\o) ...

l.Ponciadc base rcal c cxpocnrc nreno.2?3. 2, Pmpieddcs da\ Dorn.irs de exD@ntcs jr

. Cptulo 35 Radicio etr R (revisol ........... .1, Rad.i!o enR.276. 2. PoFi.bdes dos .dicah.276 3. Simpliicao dendicais,2T?.rl. olcra.rs com ndicds. 278. s, PoGn.! de expoene rciona, 2t8. 6. pr oDriedadcs dxrroln.ias de exp.enbs .cionais, 279. 7, Polnci de expoente rnDa| 21t0. t. topiedadcsdas potncras dc crpn1es nacionais,2lll.

capilulo . Fu nio c\ponrn(ill ... ... ..l. Concciua. 283 2. Iopriedad c s d thn ro e rponeDcial, 285. 3. t4 uo xponencial, 18 6

( rprlo l7 - Inequrqno r\poneo.il1. Conceilualo, 290. 2- Resuo de unn incquao cx!onei.i1, 290.

Captulo 38 Tcori dos logaritmos o porqu dos logritmos....... .... ...... ............1, Pnnpios bsicos. 294. 2. Logxnho.294. 3, Frcpricdadcs d or logarln^.296.

Captulo 39 - Outrs proprieddes dos logaritmos. ....l. Apesentao. l(X)

326

351

231

310

3t5

lz t

. Cpilulo lru Funo lganlmi.al. ,rduao,305. 2. Prcpicddes dd tuno log.irnica, 307.

. p'iulo 4l - Lquro lermi( . .. ... ...r,conccui. 310. 2.Resoluodcnquao loarirnica, 310.

. (-a pil ulo ,12 - Tqua!o loga nt mi.a1. Cn.eu!o, 115. 2. Rcsoui de uma irerluao logdirnica. 315.

. Cpilul0 4.r- Logrilm\ de.imi.l.

^ Nibua de oAahnos, 32. 2. Uso da rbL! de ogadhos, 321.

Cpnlo 44 - Clclo de logaritos no-tabeldos.. .l Propricdade lni d!nen l da natis s, 126. 2. n terpola io logarini ca, 3 2t. 3. Tb ua de loga -nrnos decxmr, ll0.

Cptulo 45 Concito de ngulo....... .......---1, scniph, 316.

^2, nsulo lcomr.ico, 336. 3. reLo replenenar .le un nenlo

Eeonrtri.o.3l7 4. Angulo rso, 338. 5. r\ngu d ura volra e glo nuto,lj8 6. O gru,un ele de ncdid d arc. e lrgulo,338. 7, Opcrxges co edddcn g!us, njnos c sgur

Cpirulo 4 Ccncrlidde\ \obrr nClosl.

^rguo ero, 346 2. nguo ,gudo, 3.16 3. neo obluso. 1116 4. ,iellos

conpicmenhrs,34t. 5. nsulos supleneme!.34?. 6. Dsdos dj!rrcs. rlr. 7. .iulosopoos peo rricc, 34t 8.Bisserizdeumngu.318,9.ReLlspcrpndictrlurs,348

{"uonto n, Trisonomeia o tringulo retnsulol,nrodno.351 2. Seno, coaco c trgnre de urn ngulo .E!do, 152.

Cptulo 48 - Dois teorems i nportntes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . j jeL Relo cnoo sn.. o co leno e a anectc de r ngui rsudo,159. 2. nsulos.onDre

Cptuo 49 - A trigonobetri o toEma de Pitgore .................. 364r. Aplicccs. 164

Captulo50-Clculosdealgunssenos,co-seoisetngen1es.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368 --l . rs r ." . oo.L, r"

. Cpulo 51 - Unidades de medida de rcos glor.onncron(pi) ,375 2.orrdirno.ndadenedidadcarcoensulo,176. 3.Amedi{ tadacirunlenci. en mdiaDos. 371. 4. Medis equiulentes. 173 5, lnstornas de

cptrlo 52 -O \ikma trisonomdhi.o1, lnlrodo. 382. 2. citulnrerncir trisonontica, 382. l. Ar.os igonmlricos, 183.

,Cptulo 53 Seno e co-scno de rco tigoDomtrico........ . ....l.Extcnsesdosconceitosdesenoeco-scno.39l.2.Vtujaiodesiuatdsenoedocoseno,39l.3. Reduo ao l! quadntc.392.

Clptulo 54 Redno o l! qadranl (gencrulizao)r.Arcosdenedidasd.r d.r+o2r d,39? 2. Acos (le n.dLs oposras (dc o).:198.

. Capulo 55 - Relo crtre o seno e o co-seno de umI . Rel!o fu.d amenal da ligono mctri a. 403

Cptulo s - Oqaes trigonomhics en seno o .o , r^ ' . . r r . , . rq l r ,v iEvrorf | r . . ' . lO L Re.ot . , . J-

' . , : eqb\,o

xigononlica, 4( )7. 3. Eq"aes jnedialas en seno ou coicno.40l. 4. N1bd. gifico pa aEsoluo dc un cquio nnedirh. :108.

( aprtulo 57. fquEie\ n torma lirlorada ..l. Propndlde do pFduto nulo, 412

Cptuo 58 - Rsoluo d eqaes trigonomtrics arvs dc eqcspol inomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4t5

t. F4u!o polinonia, .1 | 5

CaDtolo 59 - Inequs .igodomtricas em seno o ...................... 4181.Inequ4@s inediatas en scno on .o sc.o.411. 2. Sisrn! de ncques tiigommticas em

Captulo 60 - Resoluo de inequaes trigoonhica.s trar's de inequaespoinomiais.. ..... .... .... ................ .123

4t2

-75

l. lnequ.o polinomi..123.

Caprlo 61 - Iequs produto inequaes qocientc m seno ou co-sno .. ....... .l. T.nicas (le solo, 417.

Cptlo 62 Tangene d um co trigonom.nco. ...r. Eenso do conceio de l{recnc,41L 2. Rcdo x. t!qu4an.,414 3, Arcos de ncdidasopoas (d e d).:136

- tCaptlo63-Equesr igoDomtr icasemtangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L fqu e. i fedrrL. ,

' .

' fcr ' . .1,"

Cptulo 64 Ineques trigonomrics cm tangentl. equa ae ! i mediahs en ranacnt., 4.13 .

Captulo 6s - As razes recprocs do*no,do co-seo dr tgcnle... .....................l. Co-langen.. sccaG e.o rec!0tede un aro tigomntrico, .146.

(-opirlo 6-Idenlidad6 . ... ... ..1,dentidadccn'n!i!,457.2.Tcnic.spadeno.strrodeidctrlidds..158.

,131

---

cspilulo 67 ldeolidddc\ o\eisL Atico dc idcntidad.s a Esoluio de nruhlenas,.16l.

Cptlo 68- Gimndo s inliDitas \oltas d cir.unfrnci trigonomtrica.................l lntuduo, 46.1. 2. P.gress xritn.a. ,tA 3. ExpElso Ecra das nedidxs de ud.o,465. 4. Arlic.do corjuDtodos Ddos eds (R) krhre .onjuntodc ponlos dcncun-fen.i tgo.omi.. .161. S. Resoluo de una equrio tigonotricr er R,.169.

Captulo 9-Anpliodo conccito de eryreso seal ds medidas dc arcos......... .l.PortossimlricoscnEhnoiorigerdosisre...173. 2.Ponlosqnodividem!crunternc!trigononddca en a.cos de ne.na

'ncdd. i1l5

,Captulo70-Incquast igonomr icascomunirceIR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. ResLLar dc nncquaqo tigononnica em R.479

518

521

Captulo 7l-frduls d dio dc arcos para osno1. sr.e.o scnodos xtr'os dc nedidr\ d I ed , 43,1.

Cptulo 72-Fmlllsde dio de !cos pr a tngente. ... ................ .. :r9l1 Taneere do! aos de ndids r +, cd ,.49.

. Captlo 7l- trfrula! d rco duplo parao scno e c .................. 494.Si.d.. scN do dco dnplo..Ir,1.

.Clp tu lo74-F.nuldcrcoduploparu! tngent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4e8l. Tangctc do ar.o dupLo. 498

Captulo 75 Fmulas do rco f.iplo... .... .... ... ..... .... .... ... .... ... 50l. Seno c co seno do arco iplo,50l

Clptulo 7 - Fmuls do arco mellde .......... 5011, scno..o scno c raneetre do rrcometrd 5)3.

r Cptulo 77 - Equaes trigonontrics co .cos d brma a + r.. ..................... s071, Tcnica de sohrio, 507.

Cplo 7E- lnequ.es .igonontrics .om arcos d formaG + . - ----...... 512l. Tcnc de r.soluo. 5 2.

Capiulo 79 - Ftorao de elpBses lrigonomtricts em scno e co-seno - fmulasd. proslafres ..... ......... .... .................. ... 55

l. rnuls de *nsfoma) en produlo.515.

CptDlo 80 - Eques trigonontrica.s na foma fatorada. ..... .... ....... .. ........... ... ....1, Rsoluo de eq ur e s lhls das inula s de ttansfonra., e n nrodulo, 5 I 8.

Captulo 8l - ratorao de epr.sscs trigonontrics em hngente.................... ...-1. Fms dc ti xnoflmio en prcdut). 52 | .

Captulo 82-funoscn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523l. co.ccitqo, 523 2, Cfico na rno r = scn.52-r.

$capnub sJ- a runco.o*eoo. . . . . . . . . . . . . . . i o

l , '

on! f l ' . , \J" i 0 2. or

' . -J

Captulo 84 Outras funes trigonomtricas ..... ...... .. .... . . ........................ ........ ........ 535.1, Fno tlnaenr, 535. 2. Fnno co-tlnaenle, 518 3. Funo co{ecnt. 540. :1. F.o se-

7lt

Capihlo 86 -A inveN d funo sno.......l. Relxio dc. seDo,55. 2. Fnt arco-seno,552.

Captulo 87 - A inyersa da fDno co{eno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55ir. Rero dco c. seno,557. 2. Fno dc{tsco seno.558.

Captulo EE - A inye: d tuno tngete......L Rclao tuo t.ngertc.56l. 2. Funo arco-rtugcn tc. 5 6.1

a'api tu lo 89- Cra is d. \ tun(c. t r isooomeLricns inrcN\ . . . . . . . . . . . . . . 8l. runalo ar.o*cno. i8 2.lunotuco co sno.568. 3,nioano r,rseDle,569.

aptulo 90 Lei dos co-senol r\plic4al do co-scno .r rjouo de rineuos. j73

f ld-apnulo s l -Leidossen . . . . . . . . i .8l. Anlicao do seno en resolo dc ringulos, 578

\

Captulo 0Noes bsicas de lgica

1. IntroduoA lgica est de tal modo incxsada na matemlicaque s vezes xmbs se fundem num s estrutu.

A mrrenica necessita da gicpara suas definies, postuados e teotmas.

Apresntremos neltec.pLuo guns conceitos de gca que sernouliizados nos ts vomes des-

2. Proposio

lncaremos as proposies por letras minscuas:p, q, f, r, l,

Exemplos

)p:O So1 umaeslrel. (v) b).1:Todo ser vivo nmfero ( !)

Os snboos V ou F so chamdos de valoes lgicos.

2.1. Princpios bsicos das proposioes

I. hincpio da no conldio:

It. Pincpio do terceio excudo:

. Toda oro.o{fo ou e ' eraatei'a ou i

. : lsa: nao ex;re um rercio \ alo lrico.

2.2. Negao de uma proposioDad uma proposop, negao de p ser indicd por -p (l se '1ro1'"). /-iur | d !r utluslau /i a xgdlau uc / r x 'u!!du4 Pvr " /.-i

. / .

V,;7, Nos bsicasde lgic

A proposio ? ser fals se p for veddena:ou 'e , \erdddcirJ \e p Io ' f| . r . Podemo. rcf-esentr os vaocs de p e ? travs da tabcla noado, chamad de tbela verdde.

Ercmplos. r ) p:8 + 5 (v)b)pi5 3 (v)

3. Sentena abertaConsiderc as seg{nles nfinnaes:

a) p: '-r + 5 = 8" e b) q: "Fulano ,gador da serco basier de fuebol...

Qua o valor gico, V ou F. de cada uma dessas dfrmes?Nenhun delas pode ser classificda coro V ou F, pois nos faltn informes rcspeo do,ve do

"Fulano". Afinnaes desse tipo so chamadas de sntens aberrs.

Tod senten berta possui pelo nenos um reno varivel. ou sej, uln termo que pode ssunrr

Exemplos

. )Nasecna' l r+5=8'.av.r iver,poispodemosl ibuir ini |osvk,esa.Apenasrn

desses inlnitos vaorcs rransfon a senten bert num proposio verdadejra.b) Na scDtena "Flano jogndor da seeo brasileia dc futebol.,. vdve .,Fulno.., pols pu

demos substiuopor um nome qulquer. porm. para que proposio obtida seja ved.rej|a. a vaiveldeve scr substitudapelo none de umjogdorcla seeo b.asileira de furebo.

4. Conectivo uma exEtxo que une dus proposies danoo oflgem uma oua ploposro.Estudremos os seguintes conectivos:I . e (^); II. ou (v): lll se..., ento (-): lV. se, e soment se (-).L Drdr. duJ. pfopo. i,r , p e . / . ctrama-(

"conjuno dep e.1" a proposio.p ^

q.'(l,se' t, e 4'). A conjunop

^ 4 ser verdadeir. quan-

do p e ./ forem anbas verdadeiras; e se fatsa nos

Exemplos

a) 5>3

b) 5>3

6:5+1 (v) c A uJ e ur. , , e. l re la e oSot iL.nde,trc-

2>6

t'

6+5+1 (F)F

F

^ 4<

F

t '

Repr

rNsbsicasdlgica

_,

II- Ddas duas propolics p e 4, chama se"disjuno de p e 4" aproposio "/r v 4" (l se 7ou ./"). A disjuno p v q ser verddeira se pelr cno\ urnd dd\ propo. ine., ' f ou./) b \erdadera; c scr 1s penas no caso e' qe s duas (p e

Exenplos

) 8>6 v 8=7+l (v)- --

b)5>3 ( v ) , pois esspoposio pode serescr i t r assim: 5>3 v .5:3v '

c) A Lua uma estrel. o.r (v) d) 5>8 vF

(v)

5 = 8 (F)

liFV

l . DaJa' Jua. propo\ i !e. / , . q, . : r oopo-sio se p, cnto 4", que se indicad por'? - ,1 . ( chdmadr de condic ion|. 'proposio condicionlp- q ser fls quando Ilor \erdJJir ! | ,1 ' fa l .d: e .em \erddJc d no' ou

a)Se 5>3,ento 5>2

vv8>9 .- 8>7 (v)

2+3:8 - 3+2=8 (v)

FF

d)b) 5>3 - 5>6 (F)

VF

l\ . Dddrs duas p"otni \o( ' f e 4. a proF^i('7 \e. e .omenre.e. q. . lu .er rndicddr pol

f - r" . e chlmodr , l r b icondic ion|. \

t rpoi \ao brcondi . ionr l r - q.ed rerdrdc:rr

qua rJor r . / rorem Jmb ' \crd, le i ra ' ou Jn'b, 'falsasi e ser ilsr nos dems casos-

Exempos

) 5=5 se. e somenle se. 5:4+l

vv

b) 3>2 se, e somente se, 3>4 (F)

VF

c) A Lua uma estrela se, e somente sc.

t'

o So um{ cstela. ( l )

d) 3 pr se. e somente sc, 2 mpar 1v )

FF

Rcpresen do na tabela \edade, tetnosi

A tbela verdde daproposio condiciona :

Sua tabc verdade :

[ _

"*u"" onro* o",uno"

5. Implicao lgicaDizemos que rma proposio p implica um proposio q quando a proposio condjcion /r _ r/ e

Indicamos quep hplica q do seguinte modo: p -

./.

Exemplos

a)3=2+1=3,=(2+l)r .podeos usro smboo +. pois aproposio condicion:

3=Z+l _ 3,= (2+1)) verddci a.

' --

b) No podemos escrever que 3 > 2 j 3 > 4, poi! a poposio condicional

3>2 . . 3>4 ftsa.

YF

Enbora os smboos + e = represenremj especlivmente. xt operao e uma elo enrepoposies. empegacmo! ao ongo dos s votunes penas o smbolo =, romanrlo sernpre o cuidarlodexs lo apenis qundo apoposio condicional for vcrdadera.

. Equivalncia lgicaDizenoscue un proposio 1' equivalente a un proposio q quando aFoposio bicondlconal

Indicanos que r, equivlente a q do scguine modo:p 1a./.

Exemplos

)3>232>2'1.Podemos saro snboo e, pois proposo bicondicionat:

3>2 * 3,>21 verdadera.

b)3>43,>4,.Podcmos usr o smboo 4 * 3r>4r verddeirn.

c) No podenos escrevcr que 3 > -4

_3>-,1 *

Not

Embo os smbolos e e representem, respectivmenre, um! operao e uma reao entre, prop\ie\. ernpcgdremos rn Longo dos res vohrmes apenas o snboto 1]. tomando sempre o cridado

i oe u.ro |en quundo r f ropo, ic i , , b i .ondr io l r l Io \crdade. i .

l4II

F

) ( 3): > ( 4)2, pois n proposio bicondicnnal:

( -3 ), > ( 4), 1ls.

F

7. QuantificadoresQue va.o gico voc libuiria senena berta -r + 2 = 5?No podemos cassinc- como V ou F, pois nos faam infomaes sobe a varivel .P trirnsformamos uma senten abea em uma proposio, ou seja, uma afimao que pode ser

qualificada como V ou F. devemos tibur voes s vrveis ou utiizr snbolos lgicos chmdosde "quantificadores". Estudarcmos o quanlificado nilesl e os xisaenc;ais.

I. Quantificador universal: V (l se "qualquer que sej", ou, aind, "para todo").II. Quantificadoes existenciaisi I (l se "ex;ste pelo menos rn") e I (l-se "exse um nco").

Nos quatro exenplos seguintes. considec N = 10, I ,2,3,4,5,. . .1.

Exempos

) (V-, N) 0' + 2 = 5), que se l "qulquer qe seja , 1 eenenro de N. tem-se + 2 : 5", uma afmao falsa.

b) (fr. c N) ( + 2 - 5),que se "exise peo menos um.v.,v elemento de N, talque.r + 2:5", um afirno verddeir-

c) ( lL . - r N) ( : r+2=5).quesel"existeumnico, j |eemenlode! , . a lque"r+2:s",um afi.mao verdadeira.

d) (:lx, N) (i! + 2 > 5), que se 1 "existe um nico .,r, r eemeDto de N, tal que + 2 > 5", uma afimao fs.

Exerccios resolvidosi;.ili';it a."i' d-

"li..a"s seguinies so p.oposes Cl$ilcd cada proposio como v ou F:

!.::isr:r9re\

a)4+2=6 b)2+9>5 c)a+5=6 d),+r=10

. "4r5 : l .

Rsolu prcposio toda amaao que poie sr cla$ncada com V ou F- Asim. lenos quc:. (a) uma proposio vedaden:. (b) uma prcposio tlrai

' (c) e (d) n so proposies, lois no podem ser clasif,cadas como V ou F; so senLenas bes.

izilli 5saa.r,5 ;3,4,a * l. escrcver d nega de cadd uma ilessas sertenas.

Resoluo

' ^?: 5 < 3:

t-il Dadas ,l,as proposies , e q, conslruir a tabela verdade dc:

r',1s bsicas de gl

Ri4:Dadrsdust.oposespeq,compara.! tabcl .verda. lede-(rvq)comade-p^-4.

As poposies "(t V q) e ,p ^

-{ i r nesmr rlbcla lerdadei por ss diTenos quc so prpur!csequivlentcs, ou seja. -(/r v q) e -p

^ -q.

R.5 De lcordo con a concusodo exercco R.4. escrcvcr aleeao d pposjo .,Joo ailo ou go.do.,.

Ioo no 11 e no .nordo.

R.6 Morar quc as proposies -(p ^

q) c ? v -4 so equivalcnrcs.

Como as prcpos('ies -(r ^

q) e -p v,q tnr r mc!a abel. rerda{le. renos qe: -lp ^.i

-p v 11.

R.7 Daas s propsiesp e q. conp a rrbca vcfd.de dep ' 4 con .lc -q * -f.

8.8

A 1.bel. lerdadc dc p - .1 nresma dc -4 - ,t; lor i\so dizcmos .lue css proposies

quivalenes: (/,+ 4) (-t- -pl.

De a.odo com a .onclusno do exe( io r{.?, escrcl,cr a proposi equvalene r'.Se Cetso paGullhmc, cno Riia espo\! dc Celso

SeRiLa noesposade Ce\o. cntio Celso nio pai de cuilheme.

sendo Z = {''. .3, 2, 1, 0, 1. 2, 3,...}. cl$ilctu cada um das anmacs cdo V ou F:a)(v, , ea(- =0)b) (Y-, - Z) (r 5 : 7)

c)(1: . Z)(r 5:7)d)( l - ! . 7i)(r 5=7)

c) (:tr, - e a (r : e)f) (:r, Z) (2r: 3)

a) V pois adiferena rzercparalodof,.b)Bpois, se nzms-: , tere,os a senbna 6 5 = 7. qle fals.c) V, lois cxse - : 2 1a que 5 : 7.d) V pois eiiste e nicoo lalor 12pda-ral que, 5 = 7.e) F, pois existcD dois valorestara:3 ou 3tlquet-9_

r,r .p.ro.Jorque\. , \ .a/aieuxrde ' r ,c, - j . *" - . , " , " , " .

R.9

l '

" . r . . "0"r"""0"*-

8. Negao de uma proposio contendo quantificadorConsideremot s seguines proposies:

/r: "Todo brasileiro golta de tuebo" e z/: "Existe mher 1".

As neges dessas poposies so:

-p: "Existe bisilciro que no gosta de futebol" e -4:'Toda mulher baju ".

observe que: (no at')

. para regannos proposiop. substitunos o quan1cdor "todo" peo qunrificado ,'existe,, enegnos a alimao sbseqente. "brasileiro gosa de futebo";

. para negrmos a proposio q. substitumos o quantificador "existe" peo qumtificador "toda" encgamos a afirmao subsqente. 'inlher nlta".

De modo gerl:

,1 " *ur* *

^09'e,o l , r iV.rr tx,ar iJaz a conA,r io, 'e -p, ' : ,1 ' , nao wri . I iz icondio, .

" ' : " ' \ * ' ' ' . -^ ' l " """" : - '

' ,

i

Exerccios resolvdosii:l{i:i Esc.e"- a '.s.ao dalroposiiorr: (V) (- + 2: ).

-rr (: )(+ 2 + ).'h:

E .."u"r "

n"gno ,1 propos/r (l) (r > 5).

-": (v0 (r < 5).

Exerccios btsicosE.1 Orxi . da' \ n .n( d. .ceui [ - . .ao propoi \o.1

c)r+6=10

g::'iii Sen.lop: 8 < l. a: - - , r: r nmero paa escrev egaio de cada uma desas senlenas.B:3.rir Cla\slquc cada uma das almaes coo v tr Fi

a) 5 nnro par e 5 nmero np. f e) 5 > 5 ,lq { r nmClo pou 5 e n e o rmpar. ,/ rr ) rc 1 numef. rpouae4ulrplodel . : S' . ofd 6 nmo prr 6 mulr l lo,1c l . !

B:,] : iUsandoaquvalnca-(pvq)(-")^(-4),escrevanegaodasentena"5nneropou5dife-

Biii:'.l Es.e'a a ncgAo da sentena "Cdlos foi liaj ou foi escola".

a)5 3:8b)8>3

7

rl:i: :i,:. ::r ::: : llr'] ,:r. l:.i:::::ir r :: ri :;:,il::: :ij,i:ri:r,].ri::

[_,r-=..==a,r=\

illtli Usando a equivalncla-(p ^.

e (-p) v (-., esev neso da senLe.a los csoD,s e foj vjal'.

iti'irl ese'a a negaao oa sentena Micia Do vorou c ibi @ cjnema .

r$.Si:il ctasinque cono v oD F ca.la uma ds senLenas:a) serdoa um nmero.lem-se (v) (>0). i c) Searlor um rnero, teh{e (:r) (>0). Fb)scldoumnerc. em seG) (-r > 0)- . , d ) se.do a m nmero. tem-se (V) ( +2=2+) .V

E x erccio s c o mple me ntqre sil!1ili::: Numa renrena ao ripo p - q. o condicional ' s pode ser substitudo lela eao de imllicaao -qumdo a serte!ap ' 4 for verdadela. Substta. quando for po$vel. o smbolo- pof +.

a)5>3-3+1=4 c)35bl6>5-3 2 = r > 3.c) BC u lringulo .etangulo + ot ingulo AC poslui lpenas dois ngulosagdos.d) O tringulo AC possui apenas dois ngulos agudos + ,,1-8C um rringu1o rengulo.e) Sendorunnmero, tem sef = 9 r = 3.f) Sendo r nm nmero, tem se = 3 + rr = 9.g) Scndo r nm nmero, tem se 2 > e r > 3!h) Sendo !m nmero, tem se. = 25 ei = 5..) Sendo r!m nmero, tem seJ pd se, e somente se.r + 1npd.\

j ) Sendo , um nmer. rem-r )

e r . r . . " 'menre. . , ; pJ.

(Sugesto:pdaclassi l cdcomoVouFunasentcnado ipopcq.enlendaacomop4tt^ t -p.)

il'iii uosne que -1-p1er. (Suseslo: bst nor que s Lbls vrdde de -(-p) e dcp so isxais.)

ici$:l:,: u*"4. " "q.ir"ter"ia

-(-?) p, d um sertera equivalente a "Nao verdade que Mcia no voltou .

ip-]r;': Usmdo a equivaltuc (p - 4) e (-q + -r), es.va una sentena equivalenre d cada uma das seNeryas:

a)>3->2b) Se Ruqul mulher do Jos, cnto Bero 1lho de Raqucl.c) Se um trin8xlo retngulo. ento o quadndo da medida do maior ado 8nxl soma dos qudd ados

das medidasdos onlros dois hdos.

Queste s dos ve stibularest ltililri:: (UFBA) sendo p c q prolosies quaisqler r uma !rcposo ve..ladei, s umr proposio fls, a

proposio (p ^

D+ (4 v s) ser:a) verdade, sonenle se p for verdadeira.b) verdrdei, soenle se 4 fo verddeirdcj veroaaeira. para quaisqio v]s ls;os dep e q.

ly';l'; (Puc-nS) I s.nt.na (t l- a = ) a nc-saao del

6)falsa. se, lbr vddadeira e 4, f.lsa. le) frlsa, se,, e a forcm anbas falsas.

OVr., ,+h

iY,i{ilili' tv*t*,i" spl p."s srddezas a e -! so tais que. "se r = 3. eniao 1 = 7 . Pode se cnclur qued)so = 5, enLoJ = 5.e ) nenhuna ds conc uses dteriores vidi-

d) f r7r,enao)= / .

Captulo 1Conjuntos, subconjuntos e suasrepresentaoes

l. IntroduoA eor dos conjunLos foi desenvolvidn pof Georg Cartor pof vola dc 1872. Delte oL1rs anrs

contribuies ddas ntcmtica por essa leoria. destacan se as defncs precisas dos conccilos dcinff nito e infinitsino.

No ncio do scuo XX (9 0 l9l3).,leori de Claror obtele un nlrxlio nestivel dornlcmrico, trlsofo e socilogo ingls Bcftrod Russell. .!e an avs da teoria dos tipo! elirjnou alguns pr.doxos da teoria dos conjuilos.

Geof g Cantor 11845 1918) lez d teor i dos conj !ntos!m vasto campo de invesl igao matmt ica.

Eudrcmo! agora os concelos eenentnes da leoia dos conunlos.

2. Conceitos primitivos

Pr dar incio sua leofia, Geog Canio admittr os concciros pdnltilos (o-delnnos) dc "conjunld e de elenento de un conjunlo". .uc cxcplificarnros a scgui..

A idia de coniunto a n'esnr dc colco.

a) Umr coleo de revjstas nn conjrnto: e cd cvisl r elemento desse conunto.b) Um time de fulebol um conjunto! e cada a1le1r do dmc unl elemento desse conjxmo.c) Os rlunos de sla sala de aula lbnnam unl co4junto: c voc um elemnto desse conjunlo.

conjunlos, subcon juntos suas rprsnis

3. Representao de um conjunto - relao de perinnciaVeremos em seguida trs modos de se epresentr um conjunto.

3,1, Representao tabularPodemos representar um conjunto sob foma de uma fabela. escrevendo seus elementos en{re chavcs

e sepados por vrgua.

Exempos

)A: la,e, ,o,ul

E usl darmos nomes aos conjuntos usando letas maiscuas de lIma , B, C. D, ... . Os eementosde um conjunto so comumene represenados por eas minscuas d, , ., d, ... .

Note, nos dois exemplos aneriores, que elemento do conjunlo e no elernento do conjunto B.Tri' filo! lerio indicddos

x (l se "u peence a ") e & B (l-se "Il no peence a B").

De nodo gelal. paa reacion eenenlo e conjn|o, s podenos us um desses smbolos:

3.2. Representao de um conjunto atravs de diagramas de VennO tentico iryls Jon Venn (1834-1923) dotou um mneir de representr conjuntos que

muilo nos ajuda na visuazao das operes entre conFntos que estudrenos mis adinte.Os elementos de um conjunto so representdos por pontos interiores a uma regio plana. limirada

por ltma linha fechada simpes, is.o , unl linh que no se entrclaa.

Exemplos)

3.3, Representao de um conjunto atravs de uma propriedadeSe una popriedade p comum a odos os eementos de um conjunio , e somenre esses elemenlos

tm a popriedde p, ento o conjunto pode ser desito por:

^ = lr r tem a popriedade p l.

L se ' o conjunto de todos os elemenos -r al que em popriedde p".

10

bl I = {1, 2, 1,4}

-conjuntos,subconjuntos e sua3 rprsnrs i..

Exemplos

a):1iY b)B:{

Propridader Propriedde p

Enlend bem:

. o conjunto fomdo por todos os pases d Euop;

. o conjunto B formado por todos os mamferos.

4. Tipos de conjunto

4.1. Conjunto unitrioConjunto unilio lodo conjunto fomdo po um nico eemenlo.

Exenplos) : t5 . b) ,9 = {.v | -r eela do S ism Solar }.

4.2. Conjunto vazioConjunto vzio o conjunto que no possui eemento al$m. Repesenta,se o vzio porO ou por I I.

Exemplos

a, 4 , . r l rnumeroe.0- 5l -4.b) B = {.v li palavra proparoxtona, da lnsua portusuesa, no-acenluada} : { .

4.3. Conjunto finitoConsidereoconjunto,4:\ , i .b,c,d,e,s,hl .Cntdoseselemenros,umaum.consesuimo\

chegar o "fim" d con(agem. Por isso dizemos que,,t um conjunlo finito.

Exemplos

)B: b)c= { i .2.3,4} c)D:{ -r brasi leiro}.

4.4. Conjunto infinito

Voc j esudou no pdmero gu o conjrnto dos nmeros naturais Ol e o conjunto dos nmeros n-teiros (Z):

N = 10, 1,2, 3, 4, . . . e Z : 1. . . -3, -2, -1. 0. 1, 2, 3, . . .1.

Cda um desses corjmtos inlnito, pois, se conarmos seus elementos um m,jmais chegaremos,ro

Exenplos

a- rC\ rep 0. ' .4.6.8. . . . .b)B:\ae7t r divsvel por 3 ) = { . . . 6, 3.0.3,6,9, . . .1.

F

11

f-r.*.r..r*r,*,-,=5. Conjunto universo (U)

Q, . , rdn e.rJnJrno. l nr ro11". ' h r : r , , . .de.conjunto de todos os sees hxnrnos qre !ivet.ln' i r \ i .er . , r ,o(. : Jdod- loniJr . | , ' rso (U) do estrdo er questo.

QMndo estudaros.s lgur.s conLidas ntr

t . l : . o .ur L u , c . J * , . f . , r '^ l . * . l l . I o conjunto xnilerso do csLudo cn qucsLo.

^+zlf f i@

Asstu, podcm)s gen.rli7{ri

Novembro de 1989: o tv luro de Ber lm come rL ' ,dando in ic io a uma rova rdem mlndia. Os per

r 'o p r ouniverso d hisr ia da h!manldade.

Coniurto univeNo de un esdo um coljun|o o qr peercen todos os elenen'os dessc

Cuiosidde

En cltudos antigos da teoia dos con unLos, rclmiLia sc r c\istncr clo co' iu nto tlni\ | .rbsu, u I o,isto , o conjunto qrLe possui todo e qualqucr clcnelo. Is) trcvocou guns trradoros na Lco x. quereve clc scr rctornulda. Aps a refbmuco. po!ou se quc no xist o connto nvcr) rl')luto.Fafenos essa pro!. .L tulo de curjosdade. no cpruo 2. rps estudarmos dlguns p r:rqujsros

. SubconjuntoConsidremos o counro B, l)nrdo por todos os brsileiros. Com os elenenbs dc I podenos for,

n1r o co.junio;. dos hornens basilciros, c o conjurto C,.las nrlheres bmsilcjras. Dircros.lue os conjnos l1 c C sio subconjuntos deB.

De rodo 8er1. podenos defn:

Scndo A eB dois conrntos, diz sc quc ,1 a subcoDjunto.lc B sc. e \omertc sc, todo elemcnto de petence 8.

Indca-se quc / subconjunlo deB po: CB ( se " ,4 csr condco c B") . ou. nrda. |o :Al i ( l se'A conln,,) .

12

conjunts, subconjunrs e sua".",""""r"rr

o r"njunro ra/ io e.L, l r .onJUnro de qualquerconJun.,O 9.,4. i

Dmonstro

Uma estratgia que podemos usr pn prov ess popriedde supor que ela falsa. ou seja: faso(FEACA'

Ora, pela definio de subconjuno, iemos que: se fso que O C aento exister, tl que.ir O e ,4. Mas isso uma contadio, pois o conjunto vazo no possui elemento agum.

Ass;n. a afirmao Z C A no fas. Peo princpio do terceiro excludo, que girante que todaproposioouverdadeiraoufls,concumosquepoposioOcvrddejra.

(c.q.dJExemplos

a) i c Ir ,2,3l

P nrdicr que um conjunro no subconjunto de a, simbolizarenos assin:

e a (l sc " no est contido em B") ou B y' (l se'" no conrn").

Exemplos

a) 1d,h,Ll la, b, d l b) {1.2.3 '

{4,5,8}

6,1. Representao em diagramas de VennPara indicar que C B ou C B sob a forma de digams de Ven, usaremos epresentes con

fome os seguines exempos:

)cB(ouBl) b)AeB\ouB.bA) c)eB(ouBl)

aoNots

L A relao de incluso ( c ) usada exclusivmente pam relaciona un subconjunto t com um con-junto A que contm A: B C .

2. A relo dc pelnrncia ( ) usada exclusivamente para reacionar um elenento com ltm coD

Exenplosa) 12, s,3 c {2, s,3,8,9 )

Propriedade

b).{6.9.6. s] r {9,6} c) {2. 8 l c {2,8 i

junlo que possui i como elemeno: .ir .

Exerccios resolvidos,,;:i Rep-*'t- *

-'juDtos na foma tabud:

a)={rN 3

[-tr...,-rr*,..,=.r==

) = 13,,{ ,5.6.7,8, 9 .b) Rsolvendo a equo-, = 9.1emos quer: a!. isto ,r = a3. Como 3 e 3 s nncros ilreiros,

concumosqueB : { -3, 31.c 'A umula F'o u. iv, dp uar equa\o do.I gnu r , , Dr o," , . -r on,t"

Na equao 2r: I 1=0tenos:a=?.r= 1e.: L

Logo. emo.:A ' I ' r r ) ' l ' ' . . , - - r ' . ' . ,

t - ' -

como -7e 2

AZ.rem\o' - |

'lh: ll:l oa.minar to,tos os subconjunros do conjunLo : j a, . . .

os scor junlos de,4 sor, .1, - Z: A, : la l : L: lb l t A, = l .J; , , \ = 1d, j . = {a, . l i? = l / ' , . :

A,= la.b,c) .

i i .3 a as. ,n. d, c" no \ out . . l rumdJd.d i , re. .

9A l t ,2 ln) {3,5, 2) r 13.5J

a) Hlois o lico elenenro do conjunlo (3] rmb elemenlodo coljunro {1,2,31.b) pos todo eeme.to do cnjunto {2.3. I mbm eleenro do conjunto { t,2, 3 ).c) F. pois a rclao de incluso (c) s pode ser usada enLre um subconjunro e un conjunro,runc enre

eement e conjulo.d) V, pois o elemento 2 elemenlo do conjunto Jl,2l.) F. I ,o is todo eleenro de 12, 3,41 tamb elemento de {1,2, 3.4 ; logo. 2, 3, , { c 11,2.3, , { } .t V p,, . o 'r o e \Lbcor,unr^ de qualquer con-Ln o.e) F. los a rcao de peincia (e) s pode ser usda enirc ccmcDto e conjunro, nnnc entlE subcon

jnro e conjunto.h) V. pois todo elemento de 13,51 tambm eemenr de 13,5. 21.

r{iii Dds os corjunros ) : Ia, b , . I e Az : \d . el , de qulntas mdeiras diferenre! podenos escolher um e1e,me dereumder?ResoluoVamos cons.uif u'na tabela descrvendo todas as posibilidddes deescoha:

Esa tbeld possui t.s ljnhas por d!s coluns; togo,posui 3 . 2 : 6 elenenios. As$im, podeos oscohcrum eleento de r e um de , dc:

. l

4 {3 c 11.2,3}b) {2,3,11c {1,2,31c)2a l t ,2 l

d)2 {r ,21e) I2,3.4 e 11.2.3,41t)c 1.1,2)

3. 2 : 6mnis diferentes.

L!J

Nmero d erehentos d 2

Nmeo de elemenlos der

Fi6ji; Dads c mnjros \ = ta, b,.:),4 = td. e] eA. : {t s. l?. il, do qldras naejEs diferenres podemosescolher un elemento de,4r. um de r e u de r?

No erccio mrio vimos que o conju.to a das posibilidades de escoha de u elehnto de e um .leAz: B = ldd,ae,bd, be. cd. cel.

14

IL++

conj!ntos, subconjuntos e suas rpfsnis I

Vaos conshxir nma t bela descrcvendo 1ods as psibilidades de esclha de um elemeDto deB e um

l11, '

g3

Esa trbel posui seis lnhas por quarro comsilogo, possui 6.4 = 24 elementos- Assj, podefts

escolher tr elenento dc r, um de .4r e un de rde: 3. 2..1 : 24 maneins dlrcntcs.

3.2 4 = 24mne!s d lqentes.

J lu-*" *,".*., *,,.Nnro d element)s de 1

Nmri ' de elementos de ,

F:t:r Dads s or junts t = |a.b. c l .A, : ld," l , A1: \ ! . s. h, | l ,4 = U,k, t .n, n l er : {D}, d quanrasndelas diferentes podcnos cscollrer un elemenro de^,, um dc i, um de r. u de a e un de,?

RsoluoPela lrop.edade Lerior.lemos que o !mdo de cscolhs posveis :

, (,) , (J , ( .aJ , (AJ , ( ,1J=3 2 ' r '5 1: 20

R!7 Qunrs sbennos o conjunlo,l = {a, ,. possu?

N lonn de u subcorjnnto de. pa cdda um dos elemenlos a, e . h durs posibildds: ou oelemento .osideado peencer ao subconjunto a sr fomado ou no. A$in. ur subconjunro esldeteminad qudo escolbemos pd! cad.ccmento de una das posiblidades. sim (S) ou no (N):

Rcicnrdode naneira anloga aos cxcrccios R.4 e R.5. provaie o seguic:

Escollida a atemativa 5. o eememo fd parte do subconjunto a se iomado. Escolhida a altemativaN, o

a,b.c l -

l \ l \ l \S NS N S N

F

15

f .-rr*, **-rr* "

suas reprs.ntes

eletuenlo nio far pac do subconjunto. Terenos ento os sesuntes subconiunros:

N,,

Podermos te calculado o nherc de bcnjuntos de ^

peta poprjcdade enunci.I na re$iuo do eaercic R.5. consideando os conjuntos

B, = ls, N,8r = ls.N 8r=A:\ a , b

{S, N), 1l que

sN s sN

;- ;:- -Podenos escohe un elcDenro de ar , urn de B: e un dc B de:

"(B\) ' n(\) nlB):2 2 2 : 2r : 8 mdelra! ditcrenres.

Loeo, o conjuro A po$ui oto subconjuios.

i8l Qnos sltrcoljuntos losui o conjunro A = 1 a, ,, .. .t j l

Raciocinando do frerno modo que no cxerci I a b . .j l' ioR.7

reo\ . p. ,1. Jdl etemenl, oo co r iunro4du.po.nh,r id.de\. \ou^ { i i a iAsn.onn.odcposib l id ldcsdeescolha[,ar.osqarroccmenos:2.2.2.2:21..Logo, posui deze$cis sbcojnnros.

R.i:' QuaDlos subcniuntos po$ui u corjunr com, clerent{)$?

Sejr n = aj, 4! d., ... a, n conjunto com, elenenb$. pa cadr etemello.le,.l. temos duas lorsrbilidadcs:.S ou N, Poarro o nner de po\sibiidades de e$colha p.ra os eenenlos :

LoBo. posui 2, subconiunos.R.t0i: Rccordenos aleunas notaes e aleuns corceir\.h geomeria.

. Pontos so Domeads por lerras lalinas mansculs e de fma (,,1, B, C,l),...).

. Rctas so nomeadas lor le.s laLinas mi!scnla! (a, ..,... /,,, |...).' Um "egmenlo oe . ' Je - \ t remo\ 4 el ] e inon dJ.r por t j. Ua sem-rerade orjgem A que pssapo., i.dcdaporB-.. Uma reta trn corjunto de ponrosi bgo, cada un de \eus porros trm ccmenro da rta.. Uma senl eta D conjunro dc pontosi logo, cada um de scus lorlos elcmenro d. semi_rc.. t.m sgnerro de rt! um conjunro de ponros: logo. cad u de sens ponros um elemento do seg_

,16II

rconjunos,subconjuntosesuasrpsns .

De acordo com ! llgura. cassifrcar como v ou F cada um drs anmacs:

b) F. pois a rcl:o c s usada entrc subcnjuo c conjunto o .o en1o ecnento e.onjrfio

c) V pois o poo clenenro d. reta /.

d) F, pois ,a no elcmenlo de /. ms sin subconjuno de r'

e) V. pois todo ponto da semi-ttr,1 lemerto dc r'

f) V. pois todo porto dc D l.mbn ponto de ,4t. Logo ! rco c e coftta

g)V, pois o porto dcC.h) F, I'ois relao c \ nsadacte slbcoriunl(, e conjunnr. e no entre elemeo e colunlo'

lRi:l A supecie d lousa dc su clase uma $perfcie llana Por iso dizo\ que elae contid nn

pldo. Esse plano innnilo. isto , n se lim1a s aryens dd lousa. Un plato .onslitudo piifinios

pontos: e Loda reta que lssa por dois de sels PonLos (disilnto, e contide nese pdo.

Em geomebi. podc{e represenid u plmo po u pdalclogramo e usa se um! lct gEg ninscula (o,

b)c,c) {. /ere)Al tcr\ DE Cg) ACh) c ,1c

a) V lois po!1 de r.

9. 'y , . . . ) !n denonr inro.Sabeldo que os pontos e D peencem o

pano d (l$r! !o lLo) e qe C n pecnce

a d. clsif,ca cd una das almaes cono

)Ddb)Dcd

d) ,,rB c ee)ABeo

a) VpoisD /erao:ogo,D e d.b) F, poisD elenlo dc a: logo. a relo a no pode ser usad4 o coelo D d

c) F lois | subconjunlo dc d; logo, a rclo no lode ser usdar o clftto ' c e

d) V pois todo poro de 1bm ponto de d: logo' B subconjmo de d'

e) F, pois ,4-B subconjunto de d: logo, a reho n pode scr usd O 'oe1o

'$ c a

t) F. pois ncm tdo lotr1o de t lerletcc o

Exerccos btscosl.F.lllr:t: Rep*s.ile na fom' tbuld os coniunlos:

a):JeNl3r-4

'.-r**, **-"** " "!as

prsn,s

E2litl Reprcsente m ronm tabul os conjuntosla).a=lreZ|a-{ j -3:0l . )C:1xe7/. i 5 i+4=0B:bezl .+6 = \ )

4.3 '

lx* i , ou. . ^no V o, t - ! idxumad..ahnnd\oc. :

a) I1.2.3 c 11,2.3.4,5)b)\- '7c) { N dirise por 6 c { N r divisvel poi 3 ld)( N r 3l :e)3c{1.2,3f )3 { .2.3}g) l rZ 5

Cniunlos, subconiunts e suas rpsenbs

:,tiijitl conside um ptmo d, Dma reta r coniida emo e ur reta r que pssui um njco ponto ,4on comum com o plno o e no concoente

Cl6tinque cada um das afirmas como V ou F:a)rcd gFacdb)0 ) igoc)cod)ro j) Sc ,{, e r e M dislinlo de , ento M d.e)fcd k l se { . . enro { o.f )aao l )sePd.cnoPf.

IFj::i: letemine toaos os subconjDns de 4 : (1.2.3.

isilli Quntos subconjunbs posu un conjuto d d7 eements

E xe r cco s c o mple me ntare s

ffiS Represente 'ra roma tabuh s conjunto!:

A=lxezl) :1>ol

urr = { ' . z r =01

o c =lg ezl t =' '} tc"iauooll

ffi chsinque como v ou F cda uma das anrocs:

a)2{ 'Nlrp. imol

hl ,c\ l epmo c, \ ' . imP"r. .

c) { Z qadrado pcdito c ['{.

a)sc5B.ento5e.b)se8,enro8eB.c) se7 e B, enro 7 e .

ii$ii euc spl Q'nl ,lo, "onjunlos a sesu inndto?

a) {i l.1 r< 5b) {rZ - i

Captulo 2Conjunto cujosconju ntos

elementos so

r. rntroouqaoConsiderenos o conjuDto / cujos cternenos

' i . o. . i r r \ o< rurr \o l . tJe d.pJr. ,n o. : npr, ,nto bnsileiro. Assim. renns. por excmplo:

.ur i ne do(,rrr .n.dljDtoB;

. o ime do Flamengo trn elenento do con

I 'o ' ' { r r . rJoo. .J, J t rn. c rn .or J | r . ie

lerrr ' .Jq, 'eo. . { l , rnro8. . rn cor t , , r i i i | .elenentos so coniunlos.

Ard. .^ de..e c\ernf tu F- eb-r^. . ,'eerrJre rr( ao\ . . !e l . rn . r j r ' I pn.n I.or ro ( ler . r ' t . . ou| | .^ cotJ l u. . I . , . \J r r , .ajudar a cdendr a defio scguime

2. Conjunto das partes de um conjunto,C'hdma\e'Loniunodr.pJne.delmrur iuro,, .c i rd ica-seporr(),oco j r locujosctemenios.x odi i \ o sub( i in jUntos Llr 1.

Exemplo

sendo = la, 1,, . L rcmos que os subconjunros de A so:

. ,1dl , lb) . l (1. \d. b l .1a, . :J. lb.4 e td h.4.

Logo, o conjrnto das pLe! do conjunro :, tp(t\) : Ia, tu l , I b l , I c t. I d, b ). I a..: t , I b, c l , I n, h. c) j .

Jvolc que 3(,4) possui 2r = 8 ecmefios.

Os excccios esolvdos R-7. R.8 e R.9 do cprulo anrerior moram que o nmero de subconjunrosde un counto de, elemenlos 2". Logo,lenos:

Exemplos

a) o conjunto :b) ocorjunloB =c) oconjunlo C =

,20III

I l, 2, 3, 4, 5 possui cinco elemenros; loso. .j() possui 2r = 32 erementos1.,1 possll 1 elemenro: ogo, /(B) possui 2L : 2 eemcntos1 I possui 0 eceno; logo.9(C) posrui 2,,: I elemeno.

conjunto cujos lmntos so cnjntos \

E xe rccio s re s olvid,o s|Fjii sendo,4 = 12.5. detemnar9(A).

ResoluoO(A) o coinro fomado por lodos os subconjurtos dc,4, e somentc ecs Logo.lemos;

slA): {o. {2} , 15 . I2, 5 .

ij senooa: I7 , deteminr o().Resoruo

4J0!) = rz, r7.

iirirli sendo A : o. dcteminar 9(A)ResoluoO conjunto posui um nico lubconjlno, qe o propro o (vazio)i lo-so,9() = lZ.cudlol o conjunlo .{A) = {1] I un conjunro uniLrio. io . 9() possui um nico elemento. que o a.

;;*ll s."a. e = { 1. 21, Lenos que 9() : {2, l1}. {2 ), {1.2}}. clasincd como v ou F cada una ds '16rrolc!

. r , l lLJLa, dr l l l - -p 'n ' r r l l .7 '4, j 'Oe" '1

; . i ' " r i t - rL,rr i , i l r t rer , t , t ,a p

c/ lF P.) l ' l .2 eq | \ ' !PtA\

a) v, pojs conjio {l subconjunt de. e iodo subconj1o de elenenLo de g():

b) V. lois I elemento de Aic) 4 lois 1no subconjub del loso. no lode ser elemero de A);d)n pos {1) subconjunto de,'t: oso, eleme o de 9(.1) o contlo {l ??(A);

. e) Y pois. sendo {1 } u elenento dc qA). emos que o conjunto formado Por esse eemento; isto '

{{ }. subcojunlo de 9(,4);f )Rloisos n icoselenlosdcs1e2:oeo.oconjnnto{1,2noelenentodei

/ g) Y Poi! o corjunto I I , 2 slbconjunio de,4: oeo. elemento de +();h) F, lois 11,2 um eenenL de9()r ogo. o conjuto fomado por esse eemenlo. isto .1{1,21}, um

subcorjub de 9(A): o coreb {11.2} c .?)r

i) V, los slbconi uno de./t: ogo. A eemnlo d 9()

) pois o conjunto vazio sdhconjunto deAr o8o. elemerto de'_p(A);k) V. pois o conjunt vazo subconjunto de qualquer conlunl

in51ii: N'- p."c.-, a" "' u speclador paicipa de um joeo onde drye responder a cjnco pdsuas As Pegunts, p apEsentarem dinculdades em naes di ferentes, coftspondem a lrmios difeentes: nm rcgjo.

um rdio, u fo8o. un televisor e um geladeira. Pia cada rcsPosta e. o espectadof goha pmio

coespondnle perguntd De quells nneiras difcrcnes pode ser preniddo (ou no) esse esPectado'?

ResoluoSeja = lP,, P?. P,, Pa. P! o corjunb fomado pels cinco pcreunlas. O esp{rdor podc era Lodas as

estosas ou rcerlar pems ur!, ou aceff sonte dud ou somente ts. ou somenle quatro, ou, aind,

acear as cin.o resposias. Assim. o tolal de restados posveis do jog igu] ao nmero de subcdjunt'rsde. isto .25 : 32.

rrittliii Um artistd plsrico deve p1ar um panel cm peo me.os dlas cores, sclhidas entre quao cores distin

is. Qudlos coniDntos de cores diferentcs o atista lode escolher para pntd o panl?

ResoluoSeja = 1c, . . , . r , .a} oconjuntodascorcsdeqeoa isrdisPe.O paineldeve ter pel meros duas oes escolhdas entre.r..,,.r e.a Poanto o nnero de conjtos de

cores dilenles que o asl pode escolhr o nmro de slbconjDntos de. exceto os subconlntosLnir ioseo\ur l

2 4 - 1.

T"t"l d" subcjuntN Subconjuntosbconjri0s unitios Yazir)

ded de d

,.

- - -

Z .-r^"-',""-*-.*"-"r"*Curiosidd

Conlome promeLcmos no capluo I, vamos povar agora qe no existe o conjunto que possuiqualqer elemnto.

Demonstro

Conlideemos um conjunro .birrro U. cujos elemenos so conjunros. SejaB taL que:

B= lx x conjunro, x u e _x.x l.( r ) ( I I )

vamos povar queB e U. para isso, dmiiremos.ue B e U e povarcnros que ess suposio nosevr a conrradies.

De fao, dmitindo que B U. temos duas e apens duas alremrivs:B a (1 alternarv) ou a a (2!). Andnenos cd lima deas.

l4) BU e R8.Por (I) e (II), conclumos que a e B. or. B e B e B e a uma conrtdio; togo, lternariva

BUeAeBimpossve.

2a) BeU eB8.Por (l) e (II), concunos que B e B. Ora. B B e B A rm conrradiioj torp, a alternativ

BUeBeBimpossvcl .Asslm,aproposioBUnoslevaconrradies.Temosento:fsoque/eU.Logo.Betr.Comooconjuto Ufoi ronado abilriamente eprovamos queexisle pch menos um ctementoB quc

no pertence a U. conclumos no exisrir m conjumo que possui qxquer eterento.

Not

. "que no aceita estrio '

. :;i:.::.ffiExerccios bsicos

A palvra "arbihrianrene" significa "independente de ei ou regrr"

l . i i i i : ; l . i . . . : : ] j l . . : : : ] . . : : . : ' : . : : . | : . : . . . : : .

B. I r ! Sendo = 17.8,91, dereminip().

8.2: l : Sendo : {,7, 8.9 , . letcmine 0().

8.3 Sendo,l - {2, r,.. d,...1, quxms clcmentos possuj?(r)?

8.4 Un conjbto posui ele.renlosj quanLs elemclros posup():

8.5 O conjunto das prs dc um conjrnto.9(), possuj exaramenre 256 lemcntos. eual omcro oe ere-

8.6 seldo, l la.b. . . emu.q-e: .p.4, , ?. l r l n , t . t r .ht . tJ . , . .b. . . a.h. ,

Classlique cada una das afimaes como V ou F:d) ld 9()c) la c +()f) 1{"0 c .r?()c) td l c

8) {a,} 14)h) {{a, J .?(.1)i) lla, r l c .a,(,,1)

jaeAk)a E xA)\) ta cglA)

22

Yconjuni cujos e mnros s coniuntos

E xe rc co s c o mple me ntare st- iti: Seja o cijiLo dos lontos de ua reta. ca$ifique como v ou F cada una das maes:

a) ua seni-reta conlida nessa rera um eemento de;b) unn semi-rcta contida nessa rera elemento de O()ic) * 0 um ponto lorlencenle a e$a reta. ento O e q)rd) rc 0 um ponto lelencelle a essa rela. enro (O gp():

e) se segmonto de reia est cortido nessa reta. enro esk segmenro emenro de:f) s uh segmento de rcta est collido nessa reta, enro esk segnenro emenro d0().

lc-;irir sejA um cnj!r. stedo quo J4 e 9), lr l e 9(). ld.. 9(A) e que 0() possui eiarmenteoto eemenlos, delemne conjunto,4.

li,Srjii seja u corjunto. sabendo que o nmero de elenentos de 9(,a ) mior que 32, qua o memr nmercDssvel de elementos de ?

i-G-iiljli Caaa uma eas quatrc compoas de na reprcsa acinada lor un dentre qualro resjsrros. As comporastm vazes diferentes entre sj. Podc{e dd vazo apeMs por nma comloai ou lor duas quisquer. o! portrs qDaisque., o pelus quao smutucamcntc. De qumtd meiras diferentes pode se dar vdo Agua

iij-nji Um painet e composro por aezlpad de corcs difercntes.Es !inel transmitc ummensagem em cdigo pdacada .onjunto de npadasaesd, sendo 1ahm umameffagm o paine tollmenteapagado. Por exehpo. na n-

eua @ ldo. o lalnel etransmitjndo una ensa8en.

Qudtas mensagens difdenles poden ser reprsentdar por essas dez ]Dpadas?

$'$.iil auutos suuconjuntos cn pelo menos hs erenentos possui o conjunto = { , h. c. d, e.11

tern.id. Qub poln. |.de .e, . o,^-rruido' com vni.* en pelo men. r,

t' ;":;." " "-""." ".. """::Questes d.os ve stibulare s. (F. c. Chasas sP) so = 12,3, {31, 12.31}, ento:

) {2.3} c b)2 c)sA d)3cA

ffi G. M. sdra Cara-sP) Un conjuro possu, elemenlos. e um conjutuo a possui m emento t nais doqu . Sendo r ), os nmeros de subcnju os de e a, respectivamonte. tem_se que:

ffffi (]ICE) se um conjDnlo A poss n elemenios, entao o conjunto g\A), das Paos de , possui I elefrentos.

Qua o nmero de elementos do conjunto das partes do 0()?

c))=t r .

e) 16'a) 2' d) 8"

)

,24

Gaptulo 3Unio e interseco de conjuntos

Exemplos

) Sendo : 1 1 , 2, 3 eb) Sendo C: {1,2.3.4}c) sendo t = {1,2.3} e

B = {6,7 , temosqxe: AU B:11.2,3,6,1).e D : {3, 4. 5, 6, 7}, temos que: C U, = { l , 2, 3. 4, 5, 6, 7 .F: {0. 1.2.3,41, ternos q! e: t U F = 10. 1,2,3,4 .

2,1. Representao ern diagrarnas de Venn

@@Toda .egino tachuradeToda .egio hachadr lbd a regio hachurda

1. IntroduoConsidee os seguintes conjxmos: o conjuno ds lunas do cogio que,garn voeibot e a o

conjunto das lunas do colgio qejogm bdsquetebo.O professor de edcao fsic mrco dois treinos: pr o primeiro, oram convocadas as lunas quc

jogm voeibo o br,squerebo e, p o segundo. 1bn convocadas s alunas que jogam voteibol

Ts amsas, Regina, Crisna e Rita. so josadors. Resina jos s voeibot. Crisrina josa sbsqetebol e Ri1joea voleibo bsquetebol. Quem, dennc etas, deve comparecer ao Drimeio lreurorfqucm de\ecor rparece Jo segundol

Caro que s ls devem comprrecer o primeiro reino e penas Ria, dentre s ts. deve prcpal

Esse exempo nos judal a entender s defies seguintes.

z. unro tou reuntao) de con. luntosA unio (ou reunio) de dois conunlos e B, que indicremos porA U A (-sc.. unio B"). o

conjunto cuJos eementos !o rodos aquees que perencem ,,{ ou a B. Em smboos, temos:

f ," -. r*-**.0".-r.*

2.2. Propriedades da unio de coniuntos

:] V, B,

Em pticua, temos. Z J A = At A U A = Ai U : a

Conseqentemente. lemos: !U:UArU.. .U"1,= {-r ei ou . r ,4 ' ou. . . l ; e "} .

3. Interseco de conjuntosA inteneco de dois conjuntos e B. que indicaremos po n ,B (-se A inseco B"), o con-

jun|o cujos eementos so todos queles que pefencem a A e a B. Em smboos,

Exempos

a) SendoA : { l , 2, 3,4} e B = 13,4, 5. 6,7 . temosA n B = {3.4Jb)SendoC= l i1,2,3| e D = 17,8,9,10),remosCnD =O.

Dizemos que dois conjuntos so disjuntos se, e somene se, inteseco entre ees fo o conjuntov,zio. Noe, no exempo (b). que C eD so disjunros.

c) Sendo t = 1a,5.6) e F:12. l ,4,s,6,7 , temostnF:14,s,61.Note quet n F: t. lso sc dcve o fto de,E c F.

3.1. Representao em diagrarnas de Venn

'Iod a egio h..iurada Tod .eio tachrada

3.2. Propriedades da interseco de conjuntos

1. '1i6:,a as4 6;;; ;r Y1, s.

Em paicular, temos: J A: , A A: A; : .

II, YA,B,C.

CoDseqentementc, temos: r nrnr n . . . n,4, , : { - 1 e. 2 e - !43 e. . . ,4, ,1.

nB-1,

U"lo "

""r"""" d" "."jr"i"\

Exerccios resolvidosld i i 1 sa" o"a" ' o*

"ot" . ros =trzl-3

r-,","" ",..".,"",,"." ".","..",Inicilmente. vaos hachu.ar a regio que cone Agord, vmos hachua. a lnlerseo do conjunto

iFirirji'iiTemos, assim, a relresentao do conjuto n (B U C).

Colsidere un co.jufio lniveno a/ com dez elenertos. Sejam e B dois subconjunos de U ts que:. n B possni exatamente trs elemenrosi. possui exatamente quatro elemertosr, A possui exatancntc oito clcmentos.Qtrdtos elements peence, U e no pecen a U a?

L n B possui ls elenetos. Indiqreros essefaio escrevendo nro I n regio n al

possui qlro lementos. J indicas \ ele-ment(N At lallj portmto, apenas urn eldenro:

I I

III. , possui oilo elementos. Como j indlcosts elementos em B. falrm, pormto. cilco

IV Cono U posui dez eleentos e j foram indicr-dos nove elemenos eb U B, temos que existeapes nm elemcnlo que pccDce a aI c no

2A

Uni e lnerseco d conjuios

j;:i|: Reslver. Do @njunto uivcrso U = Z. o sstema de ineqn.es:

f+ ' , r4+5. (n)

ResoluoResoller csse sistema cm Z signinca deteni! o conjunto,S de nmos leiros que satiifaam rs neqDre. (l) e (ll) simultdneamcrrc. Iniciamcnte, deremimos o conjunr souoSr dainequo (I):

41 9s2r+3+4 22.

Loso.. t r : {3, 4. 5. 6, 7, . . .1.O conjnlo soluo ,t d sisLemd lo@do peos elemenlos que peiencem a ,t e J:, ou sela. S = .t1 n ,t2:

J = I . . . . 1.0. 1. 2, 3, 4,5.6 n {3,4,5, ,7. . .

Logo,J = 13.4,5,61.

r7r:: Resolver equo ( - l)(2r2 r l) = 0 no conjunto univeNoU = Z.ResoluoPa resolver e$a eqMo, vaos u!r propriedade do produto nulo, ou seja,

" ' : : . ,. , t . :d; ; _ o, . ; . t , , l i is , . .

(3r lxzrr r 1)=0e3 1=0(I) ou 2rr- , 1=00D.Determinudo o corjunto soluos da equao (I),leos: 3 1:0 + 3r = 1 ..:

Loeo. sr : l -1.

Detemindo o conjuto soluo S, da equao (tr). temos: 2f a I = 0.

Da lmua resolutiva da equao d 2! gnu, ar + r + . : 0. isto ,

la

_ ba' ['2. '

^=( 1): 4.2.

com A = ,'? .k., temos:

t+ l l ) :9. . r : I d f=

t

\

1 lLoco.r :=lr ,7 .

O conjunlo souo S da equao prolosta fmad pelos lements quc pertence a S, o Jr, sto ,J=SUSr:

'111,{ j l r Lo8o.r = 1i. ', il

29

f:u"r." -,"^*0,. **"r**

Exerccios btisicosiEi-!ti'il. sao dados os conjuntos:

4 - t reT 4 r ' . 2t .B= ( Nt r

Unio e nte6eco de onjunts

iqifrl um coj unro U losui lrecisanente 23 elemenos. Dois sulconjuntos e de u so js que:. A possui doze eementos. lrocismnle;. B possui nove elomenlos, pre.isamente;. Existem exatmente cinco elmenlos de U que !o perrencem a U A.Deiemile o nmero de elementos de n A.

!b,ii tt*t'"." .., ai"g.-as a resio que cmesporde aos sesuintes conjunlos:

a)UAUC e)GnOU(nC)U(BnC)

b)Ananc J)n(duc)

: i ) ( i )

F'" -=r ) (nc)UB)(BUC)n(uD)

+le)AUAT)CDg)aUCUDh)BncnD

wi

t

c)(nB)UC

@@ij$'i obseNando a icua, lsitque como v ou F cada na ds afirna!esl

^)ACa\BD=BCb)ABUBC=AD.)EFAC=1BlEcD:1.)A-,eD:AtECniE={B}s)E .t IE = ah)D nE = {D}\ E

^E E = t

Exerccios complementares,,i?i sao aaaos os conluros:

A=lxeZ f>0l B: l Di l3r ol iD=

I ) B\J DVBNDc)aUCd)Bnc

Resoha, no conjunlo uiverso = Z, o sistema de ineques:

l5a 8

fl,"'.. " r,"**0," o" -"r'*

a) {9, 01b) 15,6.9, r0c) 12.5.6.7, 9, l0 l

V:2:'::: (FGV Sp) A paehachuadaDo grnco

a)n(BUC)b)n)ucc)(uB)ncd)u(anc)e) ncnhuma ds anrqiores.

::r i i ! : Ddemine elorcs de, , Z, de d que r 3

Gaptulo 4Conjunto

l ConceituaoA idia de dferena dc conjuntos usda Ireqenemente no noiso dia-a-di. Vejamos.Voc vai escola todos os dias d senn?

Ceamente vo. rcspondcu: "Todos os dias mnos sbado e dommgo .Na vedade. vo. usou par d ess resposta o conceito de difcrcn! de conjumos, ou sej. tirou do

conjunto : {segund fcna, le-feira, quaa-feira. qujnta fcia, scxla-lia. sbado, domingo} o

conjunto li : (sbado. domingo. Ess idin se lonnazada a segjr.con..rere o. conjunro. -epre.enradu' r ' , J i .

grana ao lado. Qua o conjuno do! elemeDtosqxe peencem A e no peencdn aBl

| -e

con-unr e - . ' ) .6.5e e ch,m," 'con-junto diferna de e 8'. nessaordenr.

Definio

Em snboos.lelnos:

e a 1, 1. . -1 ; ' * t f , , '

Exempos

a) Sendo,,1 : {1.2.3,4.51 c B : 14. s.6,7,8.91, tenos:

-B: {1.2.31: r ^ : {6,7,8.9I .

b) Sendo C = {1, 2, 3,4,5, 6 e, = {3,4,5}, tcmos:

C D=11.2.61; D C=O.

diferena

' ' : . I

l.l. Representao em diagramas de Venn

Td a regio hachurda .epresenra ,{ ,. Todi a regiohr.hada represenh a - .

@o o@Todr regio hchuad reprsenrr rr, Todi a regio hrch.la rep.senh .

Trd regio hachurad ftpresr / d,

1.2.

Em paicar. emos:q a:2.

@0Elpa l icular,-O=.

31

2. Conjunto cornplementarQual o signficado da pnvra "complemento ?Complemento "aquio qe completa", segundo o dicionio de Aurlio Buarque de Hond Ess

exatanenle a dia de conjunto complement: aquilo que completPor exemplo, dizemos que o conjunto compementa do conjunto das corsoantes em relao o con-

junto ds leas do nosso alfbeto o conjunto dds vogis.

Qu o conjunto complementar do conjunto A : I jneno. feveeio, no, b, mo. junho' llho, agosto) em to ao conjunto dos meses do rno? o conin|o B : lselembro. outubro, nove'bro. dezembro , isto , o conjunto dos meses que {atam em pra ompltr odos os meses d n

Defino

., ; -"

Em smboos, temos:

Noe que {- eB e.ve}=B -.Assin,oC o conjunto di ferena B

leB

que c B. Caso conlno. crzemos que nao e*lste B

Exeplos n,

) Sendo:: 11,2,31 e B = {1, 2, 3.4.51. 1emos queA c B;1ogo, exise t " ,queddopor

B , isto,kd -B -: {4,s} .

b)Sendo:N: {0, 1,2,3, . . . ) eZ=1.. 1, 3,-2, 1,0, 1,2.3. 1. emos que lN C Z: loso.

^eis le LN uuedadoDorT \ . isroe, \ -Z \ -1. 4. ' . 2. In^

c) sendo D : { I, 2, 3, 4} e : {3, 4, 5. 6, 7), lenos que D tr ogo, no existe 9"

2,1. Representao em diagramas de VennB

::.':.,l:,.:::

roda esio hachtrd! epresenb C

35

, -a

2,2. Complementar de emrelaco a um universo

Qundo tivermos m conjurto unveso pevia-mente fixado, indicaremos o complemenar de ,em relo a U, simplesmene por , (ou ) em

Uroda a .esio tachurada rD"",""u ,, ou"pode se indicdr por'o ).

2,3. Propriedades do complementar

'i;',#f,'8,*#.,'rl"'u.ffiffioPaticularmen. Co = O.m. :irililii,f#lsi i&i v,r. tv.'W.W::6W.fWf vA. B.Esss duas ims prcpdeddes sao conecidas como .,les de De Mogn,, (do ings Augusnrs de

Mogan, 1806- 1871. considendo um dos poneiros da lsica modema).

Exerccios resolvidosfsS Daoos os coi juntos = {1, 2. 3. a.5 e a : i0. 1,2,3, , { ,5,6.7}, derernind:

)a ; u ' ' d) ' 'a)B A= {- i - B e e.Loso.a :10,6,71.b) a:1r l r e e Bl . como o.ro elemonro de A rmbn cemenb de a (ouseja,A ca),

temdque A=2. a, n,c) Como c a. mos gantid a qsrncla de Ln =, /.Lgo, L = 10. ,7).

d) cona G. emos que no exisre L,

e) Cono c , temos gdtida a existnc .le Ui = A - A = .

il-ti oaao o oiasrama ao lado, hachurar rcgiocoespondente :) ( B) u (a ):t tC(ena).

Resoluoa) Hchurunos as regies B e B - . rcP|e

selando as no diagrdma:

Tod rgio hchurda reprsenta B) v (B a).

.r '

b) Cono n B subcotlo de, tcmos gmn-

, ;* u"t1r,6n" in 6" f , te n r) =A-(nB):

Toda a regio hchurada presnra

l ta nrr

it'

) )

36

R;j t r_ Fixado o unNc6o ar, e sendo ,6 e(/UR)'respe4r a_ en c o\ coml lefenl ' r . o . a e U B, en lo a U- lachurd no dirgraaas re81es .oesPondenrcs !:a)(u8):

a) lmos que ( U r) = U ( U a):

b) Temos qu n A' = (Lr A) n (U A). Hchurdndo !o parrcs: )A:U ,4: 2rB'-U B:

}) Finalmente, A nA':

Nolequcarcgiohachur.dnoi le()anernadoi tem(b):a$m.teos(UA)'=, ,1 'aB.queum! das leis de De Morgrn.

37

Exerccios bscosii i 5co oaoos o\ !onjunto\:

') F E

b)G-E

c)(ruc)-F'

8. ,4 . a = {1. 2. 3, 8,.4. 9 l e 6 = , { ,s, , 7,8}.

d)(,-G)u(c F)

O C(rnG)

"r Cc

'r 'rn

$*il:i wor oiug."."s u s"guir. hachure a regio que coresponde aos conlunros ndica.losi

ri'li,iiii:ji sao a"0". .' ".t,'os

.epresenrados peb .r,!erdxa:

r )B C

b)c-a

c)-(dUC)

liiili N" ai"g.*, u *g"j', hachure resio coespondenre a (d u c ).

o'r; Ct'u cr

r,p'

a)A UB

:- j i l i i i u*-r i"rr . r" i " .soUralque,(U)-27eosslbconlunroserdeusotaisqu:' 4(.4 U B) = 24'. ,(') = 10;'h(B)=12.Detenine o nmero de eementos do conjro n B.

38t .I

b) inBf

iriii Um conjlo iverso U r qne ,(U ) : 44. rs subconjunios , a e C ]e t/ so rais quel' " () :

i8:. n(B):221

' ntuuc) ' t=9r

"( n B n c) = r

Detemine o nnerc de elenentos do conjunto C.

liil-i'; u. .o";"rt" .rir-so tal que,(ar ):39. Dos subconjuntos e, de U so ais que:

4t(A .1 B)'l = 32 k(A B) :91 u(B - ) = 3

Delemine o nnero de eementos de ( U B )'.

. , (nr)=9i

. r (nc)=8;

. r (Bnc)=11.

d) ua.. . . . . . . . .8 - e) n4.... . . . . . . (B - )'0( nB1 . . . . . . . . . . (A -B)u ( )

e " e indic-se lor, lB o conjuro

.c (u):{d}.

iiliiiti s".ao e ". '.r."'lmto

de um universo U, crssirque como v ou ! cad uma das anlmes:

iitiii;,ll

s)U A=A

sejam4.8.Fel ,onlro.quai .q ler l ! i \que, ^ " , '

QJal . de1'e " . atLcrcrtras J.esx r . corer?

^)A=B b)=, c)E=F d)F= .)E=B

Conplele cada prcposio coft C ou I onde e I so subconjlntos quaisquer de um univdso a/:

r )A'a\A=ib),U:U;c) A' A: A' ,

a).. .- . . . . . . ,4 Ab) B . . . . . . . . . . a 'c) n4.. . . . . . - . . (')

d)A'- = ;

f)U A'=Al

E x e rccio s c omple me ntare si--'iii cr,"." se "lifren simtrica enrre dois conrunLos B

( B) U (B - ),jsro,

Dados os conjuios = {1,2.3.4,5 eB : {4,5,6,7, 8} . dere.mjne A a.

i!!Ji!il oois conlmtos e e a sao rars que:ua= {1,2.3,5,7.8.9),nB: {1,21,A A: J3,51.

Delemin o conjunto A. (Sugesto: relresenle os conjtos em digrma.)

i-iii!, r.e. "on;*to'l.

r "

c so ris que:.nanC-{a, t : .8nC=a, t . j } r.A n = {4, t . r l .B-(UC)={. .} ;.Ac: la, i .e, l i . (BuC): {s l i

Dtemine os conjuntos , B e C.

L+!,"i,ii nep-'.nt" no oiue'-a sgDinte o conjunro {,4 ) .

;it:ti

3s

r

C.8:_ con.,u . um ponro O dc um r l. e um nmcro pu'n: \o,\ : 'o do o\ con Jnlo. lPO'nurr r d i rr(b oe r r O .A:IPea Pc,=t l i ts : \QalQo

Captulo 5Problemas sobre quantidades deelementos de conjuntos f initos

Erdaremos nese crptulo lguns probemas prtjcos que envotvem quantidades de eemenros decoryuntos finitos. Apresentaremos alguns problems soividos e proporemos ourros para voc.

Lembremos: o smbolo r(), que se ..'1 de,,. indica o nneo de etementos do conlunto rinito,,l.

E xe rc cio s re s olvi.do siiBiliiri Forn cDtreviltadas clnqenta donds-de csa sbc suas prererncns eD rclao a duas marcs e ri de

\dbiu em pd. \ rc.ul tad^\ .a op\our\d .o prp. , .dnente.. 2l pessos spondera que nsarn a mdca;. dez pcssos espon'leam que usam a marca e ! marc Aj. cinco !e$os respondertm qne rio usam rcnhuma das .lus ndcas.

De acordo con eses dndos. quanhs pcssoas usansonenre a marca s /Resoluo

. U o corjunto universo das cjnqenta lessos

' A o conjurtodas pe$oas que usam amarca:. a o conjuro das pessods que us ammB.

l.lnicialnentc, vas corsldda. o @njunLo,1 n B que aquele d6 pesss que usdas ouas .cas, oD seJa. usn a hdca eLiunbm oNa B- Tal conjuno rosudez elenentos. Pa ns ofienrd. vmosescrcver o nqo l0 n esio coesDondenr ,4 n E:

IL O conjunto aquee das p$od queusm a hala . Tal corjuno posui 2lceme.tos, porm na pae (I) j foran con-sideradas dcz pe$oas q E usam a harca,,l,rrtdndo, poanlo. onze pessoas pda coDPlet o conjuto. o nnero l l deve serindicado na rcgio r1 3:

nt

r

Poblms sobre quntidades d lmentos d conjuntos finhos

I t l .oconiunrorL 8, edqueledt 'pc"os\que Iv o'onjunbB { rquele da Pe\ 'o_ qe''' 'r,i"L;;i"-"ai,-,i". -".),".

o""'i'- usan omente a maca. seja r nnero deio eiiementm aesse con;unto e cinm: elenentos dese conjunlo:

Cono"() = 50. dvemoster: 5 + lt + l0 + r = 50 + 1 - 24 : n(B A) = 24

I-ogo, z tlesoc usa' rcmente a mdcaB

RIEs; Um oroie"sor de DousDs passou Dma pesqisa numa sala de aula de tinta alunos. lelgulando qnen" hav l; lido a. obs D o C',nuro o" M cno' ias psthos de B ts Cubas, ^nbs

de Mchado de Ash O ;rcsultdo da pesquisa fo prcisamentel

' dezonove aunos leramDrn Cd.'nrto:. vinte alunos leim,{r'e,lrdr pstrtuds de Bt Cubds;. ts auos ! leran nenhum dos dois livros.

com base ese rosultdo, quantos alunos ler as duas obras?

. Lr o conjunlo milerso dos tnnta alunos

. D o conjunto dos aunos que leram Dah

. C o co.junto dos lDnos que len Mer-tias psums de Bnis Cubds.

I. CNm, lesse lipo de problema. indic incia' II O conjunb D tem deanove eementos Como

mente o nn dc elemeos da inleneco j adDitinos que r eementos.j sto em D,

D n C- CoDo ese nm.o exahmente o qne o faham por.nro 19 t eementos' qle devem

lroblema pede, vmos cham o de t:

lI- O cjunlo C tem vinle elmentos Jdmitimosr Tv.

eemonios em C, fallam portanto 20 r clenen't$. que devem sr indicados na rcgio C D:

ser idicados na egio D C :

Trs alunos no leram nenu dos dois lvros.Assin. o conjunt (D U C)' dve ter ts el-

Como o numerede elemenro. de U 0. de\em. | f

3+19 r + a + 20 - I = 30 3 = 12 .n(DnC)= 12.

hgo. dod alunos lean as duas obras

,42

I

Problmssobrequantiddes daentosd oiunosfinhs

R.3. : Numa pesqlisa de ncdo fom eftvi$ladas 6t pe$r sobrc suas prcferciu en taao a res Jornais , A e C. O resultado da pesquisa lrecissmente:. :r4 pe$oas cm o jomli. 37 pessoas lem o joml Bi. 32 pessoas leD os jois c Cj. 28 pessoa$ cn os jomis ,1 c d;

Con base nesse rsutado, qnmts ressod lem o jomal C?

. 26 pessoas lm os jonais B C:

. vinte le$oas lcm osjormis, R eCi

. sele pessoas no emjomal.

Il

. U o conjunro unvefo d! I pesoas

. o coniunto das le$oas que lem ojom1,li

. B o conjunto das pesoas .ue leeD o jomal ai

. c o conjunLo das pesoas que Em o jonal C.

I. Conv indicar inicialmente o nmero de ele-mcntos de 14 n 6 n C, isto . o nnerc de pe$soas que le o$jomais. e C:

A seguir indicmos o Dmetu dc clemenlos dc

^ nB (28), n C(32)e, n c(261:

IIL Indcmos aeora o nnerc de elemenosconhecenros o reo de cemenrosC (,A t-) BJ.

de (44). de a (37) ed C, indicamos po

de( UB UC) (7); cDno o o nmero de ccmentos de

Cono o nmero de elemntos de 1, devemos ter

7+r+ 2 + 20+6 + 3 +8 +.1- 61- : I

Loso.39 lessoas len ojomalc.

, . , (c)=L2+20++I=t9.

' ,, , . ,; ,,;,',',,,,t

t

, ,t,,

43

Problemas sob@ a1idds de elementos d cnjntos n'tos

Exerccios btsicostiE;,", Numa festa, Zl pessoas dsculiam $be dois n mes e B Precisamenle:

. rreze dessas Fssoas assistiram ao nlmer

. cincopessoas a$islilm aosdois nnesl

. scis pessos no sistiram a nenhun dos dos lmes.

Quanlas pesoas assstrn ao filmeB, sabendo que todas as 29 Pesoas opindam?

4: l i ; : r ' * . .p ' . . . . xbicte dc:rhcJl . i .do. p,er ' nJe l .n.dr tm n,r . rcdurn n, ' , -e, . iJo Pm n oencomendou lma pesquis sobre as prcfcrncns dos consumidores enlre duas enbrlgens e B Forancnsullads 402 pessoas. e o resnldo foi lrecisamente o segumte:. I 50 pessoas gostdam soenle da embaagen Ai. 2!0 pe".oc. go.rd,a n da emb lasema: :. sessenta lessoas goslarm ds dnas etnbalagens.

Qanlas pesoas nao gostr de neuma ds ds embalagon!. sbendo que lodas s 402 pessoJs opl t

iB-,8j:f a'arenta e un atuos dc um clso opndan nua pesqlisa em qe ran solicitds d spnder se e'zmlelores de joma ou revjsta. Cncluiu se que cxatmente:. 24 unos lenjoral;. binta arrcs lcm rcvisLa:. cinco abnos no c jomal nem revrsl.

QuLos lunos lem jomd e revis?

lF.lj}iii s '-. ,"Liga rivatidade entrc os fbricantes de dois reiriserartes: o eud-cola c o pinba'cold P s'' ' slber qual o preferido numd ca regio, lbi feit uma pesquis! enL 245 Jovens dess loclidade

Preisamente:. 135 jovens entrevjstads beben 8rud coa:. 75 jorens bebem os do frieeraniesi

' quarella joacns no beben nelm dos do ftfiigerdtcsSaberdo que todos os 245 jovels opinam, co.clua voc qudl refriSerac preferldo por eles c qudnrusjovens bebem ess retiigerante.

E x erccio s c ornple me ntare sfEilli Dentre d alemalivs, qnl a corcra. pd qujsquer quc sejam os conjuntos,l e B ?

a)n(1ua)='()+,(B) d),6U4)=,( , ' l B)+n(.8 A)b) a( U B): , () +,(B) , ( ,4n4) e) n(A U B) = n(Al ' n(B).j n(A v B) : h(A) nlB)

tpiji?l um proressoL ae lisLri fez trs persutas dos 32 a1urcs da sala e pedi pda que os alnos leartdscn obrao sc a respoa fose"Sim'.11pergunta; Quen j estudou. !a Anliguidde orienta. a hisrri do Egiio? '2! pereunta: "Quem j esrudou. m Artiguidade ocident.l.. hstr! do mDndo grtSo?"3r pegunta: "Qnem j csiudou. n Antieuidade ocidntal, a histra do mndo romano? '

O profesor obsorvou qe exatamenle:. deksee alunos reslolderan Si" lq lergunta;. dczenov alulos esponderam "Sim 2 Pergunta;. 21 auros reslonden Sj" 3! peiguntar

' nze lunos responderm S m" la e 2i pergunra:. trcze alunos responderm "Sin" 2! e 3n perguntai. doze aunos rcslodem "Sim" lc e 3! pergunta;. dez alunos responderm "Sift" s bs perguntd.

Quelos aluos da sald l estudem lem o Egi1o. nem o mudo e:tgo, nem mdo ndo?

i44

I

Problms sbr quantidads de etemns de coniuntostinhos

-.*l tluna prcm rcUre o cop humdo consravam tis quees: primeiraj sobre o slstema circulaLonoi asegud, sobre o sistema respLioi e a rcrceim. sobre o sisrema newoso. Sabe se qDe, dos 29 auros qucfize1m a lrova, precisamefiei. qnin2e dlunos acert2lm a pea ques!o,. sele alunos ace1eam somee a seguda qneslol. un. ' l rnodceao(.omen,er 'e, .e 'cqucrdo:. on2e alunos rcerttr m a sgunda e a terccira qnesol. rc.hum luno crou lodas as quees,

Quuros alunos ecdm as 1rs qusresl

iti;i:l l,I^ f"*r"'. devido s pssms condies sanirrias, s .lenas prciferan con nui1a rapidez. Emexmes de fzcs, feitos em 4l cranas lveladas. foi constrLdd a prcsena de ts ripos de bctria [4. B e

. onzc cridas aprescntdm ! bactrd e Bi

. dozc cfreas apresentamm as brctras A e C;

. nve cnod aprcsentam s b.tias e C.Sabendo que cada uma das 4l cranar apesenron pelo nenos ud das bacrrias. quas .rid. alrescntdm s lrs badfias?

if4:11 O O"p".ta."nto O" reeo d p$oa de uma lndsrri atrtnbilsrcd apli.ou M iese en .!4 canddaros.

. 23 ins apresentambacrriai

. 25 cins apesertaran bactria Ai

. 22 ins npresentaran a bacli Ci

Uma ds perguntd foi: voc j Lrbdhou noa) setor de nontagcm? b) selor de pinlum?

cl60%

Conciuiu{e que todos os cmdidros tm cxpedncia em pelo menos trm dos serorcs e que exaLmee:. 28 pessoas abaham em monlagei. q@iro pesso.s lrabharam s em monagen:! uma pessoa trabalbo s en cerricidade;. 2l lesroas jtrabalhm en monlagcm eljnrunr. deresseis pessoas rrab.hmm en pirrd e elet.icidade:' ere pessoas rabdh{am em mofiage e lelrcidade,

L Qumlas pesos tm oxperincia nos trs srorcs?IL Qudtas pesos tm cxperiNia en linrar

IIL Qudlas pesoas tm experincia em eleriicidade?

Que ste s dos ve stibulnre s:rjie euc/Cmpinas sP) Nnm cnunidado corstiruda .ie 1800 pesos, h trs posramas de 1ev favontos:

esporre (), novea (N) e hunonsmo (,,t). A tabela a segui indica qutas peso$ a$istem a esses pro-

Alravs desses dados, verifrca{e que o nmero de pesoas da counidade que lo assisrem a qualquer dos

a) 100 c) 900 d) Os dados do probln esto incoretos.

c) setor de eleLcidade?

b) 200

ffff 1c"rg.*inl e* ,.a unive6idade so l.los dors jornds e B. Exar.mente 80% dos rtunos em o pmarr e 60%, o johd A. Sabendo que rodo auno leitor de peo menos nm ds iornais, o rrcentuat de alnos

a) 48Ea b) r4o% d) 80q.

,:&:i tcescen-Spl um subconjunrox.te mcrcs naturais conm pftcisaerte doze mltiplos dc 4, see mlri,plos de 6, cinco mtipos de 12 o1o nmercs mpres. O nmero de elemenros d x :

^) 32 b) 27 c) 2:l .1) 22 e) 20

45 ,'

Captulo 6Classif icao dos nmeros

1. IntroduoQuem poder dizer eln qe momento da histr;a surgiu o conceito de nmeo? Tlvez tenha surgido

co o prprio homem? Ou mesmo antes da prpr hunanidde?"Dtw:n, no The escent of mdr (1871), obseNou que agns animais super;ores possuem capa

ciddes como memriae imagino, e hoje nd mais clo que as capacidades de distinguinmero,tamano, orden e foma rudimentos de m sentido mtemtico - no so propriedades exclusivs dahumanidade. Experincis com covos. po exemplo, mostram qe pelo menos lgrns pssaros podemdistingir conjuntos com at quatro elementos." (Cl B. Boyer, em Hisrid da ,atentca, editadDpe Edilor Edgrd Blche e pel Editor d Universdade de So Pauo.)

Aind que ess discusso nosfic cuse polmics, no se pode pr em dvd a imponci donmefo n histri do homen. O conceilo de nmero evouiu e, povavelmente, ir muto lm do que

Paa orgnizrmos o estudo dos imeos vamos classificlos em conjuntos:

N (conjunto dos nneros nturis);Z (conjunto dos nmeros intei0s);Q (conjuito dos nmeros racionis);Q' (conjunto dos nmeros iacons);R (conjunto dos nmeos reis).

2. Conjunto dos nmeros naturais (lN)Admitiemos a exisncia do conjunto bJ : 10, 1, 2, 3, 4, ... ), denomjnado "conjto dos nneros

Podemos caracterizar nmero natur como sendo todo aqele que re-sulta da contagm de nidades; po exempo, iodo nmero que restada contagem de pessos um nmerc ntl (rctdos ecentes da ONU(Organizao das Naes Unidas) cusrarn que cerc de 1000000000 depessoas no mundo vivem em estdo de misri absoua; o nmero1000000000 um nrnerc ntura e sssladorl).

"Todo ser humano tem deito a alimentao, moradia, sd eeducao." E o qu esr escrito na chamada "Declarao Univrsl dos

Direitos Humanos", de 1948,

d6

Classiicao dos nmeros

NotA corstruo dos nmeros ntunis pode ser feita atravs da eoria dos conj untos (ye Teoria ngn

dos conjuntos, de PaulR. Halnos, pubicado pela Edior Polgono, So Paulo), porm a constuooge s pretenses desa obm.

Indicarcnos po N* o conjunto fofmado por todos os nmeros naturais excelo o zeo:

l I+: N {0}.Logo,temos: N+ : {1,2,3,4,5,6, . . . } .

2.1. Propriedades' A soma de dois nmeros naturais quaisquer um nmero natulal.

Exemplo

"8 +r:=?0

Nllu.d Natural Nltu.t

' O produto de dois nmeos natuis quisque um nnerc natul-

xemplo

il; il; "J*,. Se n un nmero natual, ento 'r

+ I um nnero natural tl {ue:I.

'r e r + I so chaados de "nmeros nturais consecutivos";

II. 'l

o ntecessor de rl + l:m. n + I osucessordeu.

Exempo3 e 4 so conscutivosi 3 o antecessor de 4;,+ o sucessor de 3.

3. Conjuntos dos nmeros inteiros (Z)Os nmeros nlurs no so sufcienes para esovemos iodos os poblemas matemticos que

aparecem no di-a-da. Por exempo, em econornia, define-se blana comercil como a diferena entreo vor lot ds expoes e o ds importaes de um pas, nessa orden.

Observe tbel seguir, que mostra s exporles, as importaes e a balana comecia de umpas nos anos 1990. 1991 e 1992 (em milhes de daes):

=30

Note que no existe nenhum nmero natual que represente a balana comerci desse ps no ro dc1992, pois, paa que a diferena l? - exista em lN, devemos te d > ,.

Para se rcpleseniff o rcsultado de 19.000 - 2 L000 necessno um ouo tpo de nmero, \o-ntu'aL o nrnero negtivo -2.000. Assm, dizemos que a balana conec il desse pais em 1992 toiv.000milhes de dlares, ou seja, o pas expofou 2.000 milhes de dlaes menos do que impotou. \

47

Claesif ko do nmos

No se sbe extmcnte qundo se fez uso dos nmeros negtivos pel primeia vez. Sbe,sepormque por voa do ano 300 a.C. os chineses j azim ccuos usando dus coees de baas de bamb,marlrn ou feo - um de barras vermelhas para indicff os nmeros posivos e a outa de barras petaspara indicar os nneos negvos. Provavenene esses clculos se referiam a dbitos e crditos resul-lanres do comcio de meLddoridr.

Um prte do conjnto dos nmeros negvos fbrmd peos nmeros l. 2, -3, -4, ..., quechanamos de "nmeros negatiros inteiros". Denominanos conjunto dos nrneros intiros oconjunto:

7t :1. . . 4, 3, 2, 1,0,1.2,3.4. . . .1.Alguns subconju-ros de Z que merecem destaque so descrjtoi a leguir.Z* (conjnto dos nmeros inteiros no nulos):

z*-1. . . 3, 2, 1,1.2,3, . . . j =z l0 , ou, inda, z*: \xzlr+ol .Z+ (conjnto dos nmeros inteiros positivos):

Z+ = 1r,2.3,4,. . .1, ou, ainda, Z : l r e Z -r > 0.Z (conjuno dos nneros inteircs no-negativos):

v*= 10,1,2.3. . . .1. ou, anda, z+: \xzl \>ol .

NofaNo podemos denoinr Z+ cono conjunto dos inteios posinvos porque o zero no positivo.

Zi (conjunto dos nmeros inteiros negativos):Z!=1.. . 4, 3, 2, 11, ou, anda, Z!=1teZ r

Clssc ds nmeros

. O produto de dois nmeos nleiros quisqe um nmcro inlcro.

Exemplo

31 2 : 6.\_ t- +Inieirc Intiro Inteiro

. Se '1

um nmero iteiroj eno ,? + I um nmeo inteiro al que:L ,? e /, + I so chamados de "nmeros inteiros consecutivos";

IL r o ntecessor de n + l;I IL ? + 1 osucessorder.

Exemplo

5 e 4 so consecutivos; -5 o anecessor de -,1: ,1 o sucesso de 5.

. Todo nmero inteiro possui sucessor e antecessor.

. P todo nmero inteirc existe o inteirc l. dcnoninado "oposto de i". aque:) + : r +}'=0.Indicaremos o oposto de-por -!.

Exempos

a) Oopostode5 5. b) Oopostode 8 ( 8) :8. c) Oopostode0-0=0.

4. O conjunto dos nmeros racionais (Q)As necessidades de cda poca tm exgido o sulgimeno de novos nmeros-Os nmeros racionais foran iados a pi da necessidade de divid dois nmeos nteiros (por

exemplo, :4). Essadivso, o Aeqente em nosso coridiano. fndanentl pm resolve nNitosprotrletnas pticos, ais cono: um honem deseja divir, em paes iguais. sua fzcnda entre seus quatrofilhos. Que parte da fazenda caber a cada filho? Hoje em dia esse pobem trivial: sabenos que a

._ lLada iilho caberi

a ou 0.25 da fazendr Porcm. se voc esiivesse vivendo num poc, cnl que ind

no existissem as fiaes, sentiria necessidade delas para responde o problema.SeguDdo Cd B. Boyer. en\ Hstria da natetutca. acrcdit se quej na Idade do Bonze tenh sur-

gido a necessidade do conceito de frao e de notao par fes.

4.1. Nmero racionalNmero racional todo aquele que pode ser representdo po uma rzo enre dois nmeros inteiros:

! ,1o, t '1czt " r+0.

h'

Exemplos

a) 0,25 nmero racional, pos pode ser reEesenado por uma rzo enlre dois nmeros inteiros(t 2 \ .4 8 ' - .1

b) 3 nmero raciona, pois pode ser reresenado por uma rzo enre doLS in"l-. (+ +,*) :1

^-OJIo. e\emplo" de nmero. rJcronr i ' : 0. S

. - i .26. etc

Indicamos o conjuno de todos os nmeros rcionais pela letr Q.

o"a

C si* ds nmros

^ =L-\ .Asim sendo. lemo\: o \ ;

aLebt l

sto , ( o conjunro de todos os nneros da forna f ,

con a inteiro e inteiro no nulo.

Agn ,ubconjunro. de O que merecem desuqe ,o:

Q* (conjunto dos nneros racionais no-nulos): Q* : {:r Q -r + 0}.

Q (conjuno dos n'lmeros rcionis positivos): Q+: l Q r> 01.

Q+ (conjunto dos nIneos rcionis no negativos): Q. : {r Q > 0}.

Q (conjunlo dos nmeros rcionais negativos): Q : I Q jr < 0.

(conjunto dos nineos acionais no-positivot: Q : lr Q l < 01.

Vale a pena obsen r {ue rodo numero inLeio acionI, pos todo inteiro - pode ser esito sob

iorma de zo enrre inreiroi : - : . J srbemojt

tambm qe todo nmerc naiura intero; ogc,lodo nmeo natual ambm racional.

Asiim \endo. podemos repre.en! o' conjun-tos l{, Z e Q no diagrama ao lado.

4.2. Propriedades

' A som de dois nmeros racionais quaisquer um nmero acional.

Exemplo

2-1'73. t -3

Racioml Racio.al Racio.al

' A difeena ente dois nmeos racioris qusquer m nmeo cional.

Exempo

Rcionl Rcion.l Raciorol

' O poduto de dois nmeros racionais quaisquer n nero acional.

E\empo

3

4' . )

. : -Raconal RacioDa Rrconl

2510R&ional Rionl Rcionl

. O quociente de dois nmeros rcionais, sendo o divisor diferente de zero, uln nmero racional.

Exemplo

31

l.50

C ssilic do. nm6ro

. Ddos dois nmeos cionis Z e q, comp < 4, existe um nmeo cional m tal que:

p

C1sif i ds nmrs

ilffi sur"nao qo" o ro.u e o produlo de dois nmeros inteiros so. lmb, nmeros inteios, povar que soma de dois nmeros racionais tambm um !mero acional.ResolnoSepeqsodoisnercsraclonais,entoexistemnmerosinteirosa,. .ed(+0e.1+0)tisque:

o=i"=iDevemos provd que p + qcionI. Drro,remos: p+,r =

+ +i = *#t

Ora,ad+.intei oedintelodi fcreniedeze.oi ogo,cnp+4igualrazoenrreessesdoisinteims, tcmos quc? + q raciona.

ffi Moslar qe nlia aritmlica ent os nmeros raciolas 0,6 e 0.8 mao que 0,6 e menor que 0,8.Resotuco iA meJb dr r ,mel\o en r 0 u. o. t

- 'o. , "u t 0.- .

Logo, temos 0.6< 0.7 < 0,8.

f f iHMos!quen1ii tmt icaentrdoisnmercsracionaisac.coma

-

Clssif ico dos nmrs

Not

A to ;

camrdr de "rao gerriz' da dzima peridca 6,888... . Isso porque. dividindo

'e 62 por q. obrem{e drTrr peridic, .888 ..

iffirii Deternind a fta sertz da dzima peri,dica 5,42222...R6oluoSei^:p:5,12222.. .0

Mujtiplicmdolor l0 mbos os menbros d iguldade (l).emos: 10p :5.1,2222._. Gr)

Mulliplicadopor 100ambos os mefrbros da igualdade (I). tenos: l00p = 5:12.2222.. (IlI)

subtraindo nbm a membrc (trI) GI), temos:

IOOp = 512,222...

IOp = 51.222...488 214qOp=488 + p= 90:.r= 45

R.: r or.raerar o .eemenro de rerc 4A de meoida .

AB

De\re\er Jm poce \o pm ohe, oponroadc sej err ad. ml que( - - . , .

1. Divide{e a unidad om trs ldtes iguais a +

auB

2. A p i , de . r medrm se. \obr. .en F,a 44. .e,e par- r -" . + onrendo.er*troplro.

a+c

i{i$ji nemiao r: r':merc ! to.lo nmero que pode ser exlreso sob a foma 2n, con , z.Definio 2: nftero mpd todo nmero que pd ser epr$so sob a fom + 1. con

' Z.

a) se k m nmero pd, eo kr um nmero par:b) se ft um nmrc frpr enro r npar:c) sek Ze&, !e, e l totpd;d) se & Z e k? mpd. ento & m!d.Demonst.a6

a) Sendo I un ninefo pd, e!t,o k:2n..on nZ.Logojl@Ns1? = (b), = 4h1:2(2n)Como n Z. conclumos qu e 2t1 e 7l .. WI^no. L = 2t2: I e nu meo !d. (c.q.o,

b) Sendo fr um nnr mpr. ento = 2r + 1. com r e Z. tngo, tmos:

E : 12 + 1l = 4n'. + 4n + 1 = 2(21f + 2a) + L

Comon Z. conclunos qe 2n2 + 2t eZ e. poarto, k:2(2n, + 2n) + r nmero m!ar.

53

ClssiJicao dos nmeros

c) Sendo t um nmero inteiro,lemo! quet par u ftpar. Pm, c par.l no pode ser n,pr, pois no iten (b) pr!nos que qladrado de un frero mpr npar. Logo,t par.

(c.q.d.)

d) Scndo um nmero inteifo, temos quc I pd ou mpd. Pom. como r mpa, t no pode sef pd.

l:

pois no ilem (a) provamos que o quatuado dc um Drncro pa par Logo./. par

NotasL As Fopredades () e (c) podem ser enunciadas assm: um nmero inteiro I par se. e somene se,

r': par.2. As popriedades (b) e (d) podem ser enunciadas assim: um nmeo inteirot mpir se. e somente

Exerccios brTsicosEr:1,rii clcsinque cada ma das afm.es como v ou F:

ll:::i Clasinque cono v ou Fcada una ds alaesl

a)5NbJ5ezc)- lNd) 3ez

a) 6.5 {lb)0.6eQc)5{ ld) sQe)0Qf) 0,8Q

a)ZcQb)NcQc) NcQ*d)Nnz:b

e)OeZDO eZ:EJ3e7t+

e)oeQh)0eQl)Q*c(i ) { l cQk)Q cQi

e)Nnz*:N0Nnz*=N+7riQ=71h)LQ*:Z n{l :N

h)Z 71,=l0li )z u7t*=7lj ) 7i : I z: : / t

I ) Q CQn)Q c0+

")Q nQ.:{0}

o)Q:nQ:zp)QluQ=Q

t )z cQj) z c 4)+h)Z:cQ+l) (N a z)

Bi3r Clr$ifique cono V ou Fcada uma ds anmaoes:

Redva os exerccios 8.4 c 8.5 com bdc na scguinlc propncdadc:

'::, l:ln:

. ' r ' " r . ' - - ' " l l ::,,,rr _ rt,r.t :.,r::lr:,f :Biri: rde qe o produto de dos nme.os conais q@isque. um nmercacinal.

BrSl:ri Pove quc o quocicntc dc dois nmeros racionas quasquer, scndo o divisor difercne de zelo. u numcro

8-6-,:ll Mostre que a dzina peridica 5.66... um me.o racional.

Bi7..lr Detemine geariz de cada un d6 dzinas peridicas:r) 12.4114..,b) 22.555...c) 0,333...d) 4,252525... (Sugesto: cosiderc a igulddep : 4.252525... e, seguir, nultiplique anbos s mem-

bros poi 100.)e) 3.421121421 ...

54

Classif ico dos nums

iElti clusitquecomov ou Fcadauma ds armaes:a) O oposb de tr nmeo iDteiro imeiro.b) O oposto de um nneo raciona racjndl.c) O oposto de zero o !pfio ao.d) O inveBo de um nmerc racionai no-nulo um nero rcional.e) O iNe6o de u nmerc ilreiro no-nulo ilreiro.i ) O inverso de zero o !!rio zerc.

s, u olos do r c6o de 1

T

h)o oDon d! oDosro de 5 a5

i) O iNeBo dojnveso de 3 3.j) Todo nner ciona teD inve6o.k) Todo nner ncional ten opoo.

lEjli:: o nr:m*o poirirc r opo de s e inveBo de -'. Deidmine /.

BO: Pro.e u. o Drodu! d. . + numero\ pr. . e ur numerc po,.

&. j rrcvc que o prodrto oe dois nneos mparcs n no !d.

Bii Prw q a sna de un nmero pd com nm nnero mld um nfro mpr

Exe rccios conplementare sCi.,trii::l Considde o sccmenro AB de medda a:

Descreva um p1oceso pra obter o ponlo C d

semi-rora,43. ral quC = +".

G:: priscitu e emerso. con esavm:

Voc saberia respoDder

Qual o nenor nnero

Qual o menor!inero

55

rCl$ilicao dos nmos

f f i I h. inque .o.o v ou Fcao um. da rhm"e":

- a) Se a e so nmeros narurais, com , + 0, enro ; D nmdo raciona.

b) Se a e , so nmeros inleiros, effo + um nr1eo racioral

c ' (eJe.donmeF\in,eirosed 0.enbo:- i "

* * . . . , - - .

d 'seaeD\;onmerosin!e"- *^# umnumerc,,onar '

e) se a e so neros intei.*. *'a" ff| n nmero racionr.

i) Se a !m nine.o inteiro, en1o 453 um nmerc intirc'g) Se p e 4 sb nDeros raaonais. entoPq un nmero racional.

h Se , e "

so nndos racionais. entao Z um nmero mcional..t

i# Mostre que a dzina pendic 4.52222... m nmerc ncional

ffi Detem;ne a genrriz de cada un das dzimas pidicas:a) 6,254144.. b) 13.82:134343...

Questes dos v e stibulares#a; Gatec-sP) Se a = 0,666...,l, : 1.333... e. = 0.141414.-., no ab

+.isaa:

, '71) gg.80 , . 187.,

30-. 67", 30

{ffi (cescea sP) se n e " so nmeros Dtuais e se , < n < s("). onde s(') o sDcessor de ,, ento sompe

iI

, . . r27'198

ffg (ces@m-sP) se p e a so nmeros inleios quaisquer com q + 0, onto:

) 3 um nnqo inteiro.

u) -4- e u n,.inerc intelo.

c) 4a un nfrrc inteiro

a)4 e rm ntmero inteiro se. e somcnle se, existii um intio ta que P : /.4

et senoo I inteiro. ten+e tmbm que a lnteiro.' .1 -P

56

Captulo 7Os nmeros reais

l. Conjunto dos nmeros irracionais (e,)Dunte mujtos scuos ncredi|ou se que os nmeros rcionais fosscr sxficiemes par resotver

qualqur poblema numnco que pudesse sugir. Adt]ljtia se que a nedida de un grande, elnquaquer unidadc, poda scmpre se cxprssa havs de unr nmero ciont. No se sbe-o ceno. nassupoe-se que da escola pitgica sxju um prcblema quc tnnou por tera a suficincia dos numercs

Qual a medida d dason de um qurdrado cujo tado mcde uma unidade?

Pclo teoena de PiLgoras em se que:

.11= 1> + l '1 = d ' :2.

Essc probema ceranrcnre cuso