Mandelbrot halmaz - people.inf.elte.hu · a fraktál kifejezést a Les objets fractals, forme, hasard et dimension című dolgozatában. 1982-ben kibővítette és frissítette a

$Page 1: Mandelbrot halmaz - people.inf.elte.hu · a fraktál kifejezést a Les objets fractals, forme, hasard et dimension című dolgozatában. 1982-ben kibővítette és frissítette a$
2011.

Nagy Krisztián

ETR azonosító: NAKSABI.ELTE

Eötvös Lóránd Tudományegyetem

Informatikai Kar

Mandelbrot halmaz

Fraktálok világa Matematika ELTE-IK jegyzet

2 Mandelbrot halmaz

Tartalomjegyzék Bevezető ...................................................................................................................................................3

A komplex számok ...................................................................................................................................4

A komplex számok algebrai alakja ........................................................................................................4

A komplex számsík, mint leíró eszköz ..................................................................................................6

Mandelbrot-halmazról általánosan ........................................................................................................7

Az iteráció szerepe és a halmazba eső pontok megrajzolása ................................................................8

Geometriai és topológiai tulajdonságok .................................................................................................9

Fraktálszerű tulajdonságok .....................................................................................................................9

Kapcsolat a Júlia-halmazokkal ............................................................................................................. 10

Viselkedés és struktúra ........................................................................................................................ 11

Grafikus ábrázolás ................................................................................................................................ 14

Buddhabrot és általánosítások ............................................................................................................ 16


3 Mandelbrot halmaz

Bevezető

Benoît B. Mandelbrot (Varsó, 1924. november 20. –

Cambridge, Massachusetts, 2010. október 14.) lengyel származású

francia-amerikai matematikus. A fraktálgeometria felfedezője, az

általa elsőnek leírt Mandelbrot-halmazt róla nevezték el. Erről a

halmazról a későbbiekben szó lesz.

Mandelbrot Varsóban született egy Litvániából származó zsidó

családban. Előre látva a lengyel politika alakulását családja 1936-ban,

az akkor 11 éves Benoît-val Franciaországba menekült. A második

világháború alatt a család Franciaországban élt. Mandelbrot 1944-től

a lyoni Lycée du Parc, majd a párizsi Ecole Polytechnique tanulója.

1947-1949 között a Kaliforniai Műszaki Egyetem, majd 1953-1954-

ben a Princetoni Egyetem hallgatója, ahol Neumann Jánosnak volt a

posztdoktori kutatója. 1955-ben feleségül vette Aliette Kagant. 1958-

ban az Egyesült Államokba költözött és belépett az IBM-hez, mint

kutató-munkatárs. 1975-ben alkotta meg és használta először

a fraktál kifejezést a Les objets fractals, forme, hasard et

dimension című dolgozatában. 1982-ben kibővítette és frissítette a

fraktálokról szóló gondolatait a The Fractal Geometry of Nature című

munkájában. 1987-ben nyugdíjba ment, és a Yale

Egyetem matematika tanszékén folytatta kutatásait, ahonnan 2005-ben

vonult vissza 2003-ban Magyarországra látogatott és részt vett a VIII.

Országos (centenáriumi) Neumann Kongresszuson. 2010-

ben hasnyálmirigyrákban hunyt el egy cambridge-i hospice házban.


4 Mandelbrot halmaz

A komplex számok

A valós számokból álló rendezett számpárok halmazát, ha abban

a műveleteket az alábbi módon értelmezzük, komplex számoknak

nevezzük, és a szimbólummal jelöljük: tetszőleges (a; b); (c; d) ϵ

esetén legyen

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) és (a; b)∙(c; d) = (ac - bd; ad + bc):

Az (a; b) és a (c; d) komplex szám tehát pontosan akkor egyenlő, ha a

= c és b = d.

Algebrai alak. A z komplex szám algebrai alakja z = a + bi; ahol a; b ϵ R és i

a (0; 1) komplex számot jelöli. z valós része Re(z) = a; z képzetes

(imaginárius) része

Im(z) = b: Két komplex szám egyenlő, ha valós és képzetes részük is

egyenlő. Algebrai alakban írva a műveletek definíciója:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) ∙ (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

A szorzási szabályt alkalmazva azt kapjuk, hogy i2 = -1:

Gauss-féle számsík. A komplex számok geometriai realizációja az

úgynevezett

Gauss-féle számsík. Ha a síkon derékszögű koordinátarendszert

vezetünk be, akkor a komplex számok e sík pontjaiként ábrázolhatók:

a z = a + bi komplex szám képe az a abszcisszájú, b ordinátájú pont

(1.1. ábra).


5 Mandelbrot halmaz

A vízszintes tengelyt valós tengelynek, a függőlegeset képzetes vagy

imaginárius tengelynek nevezzük. A z = a+bi komplex szám

felfogható az origóból a P pontba mutató vektorként is. Komplex

számok összegének megfelelő vektor a tagoknak megfelelő vektorok

összege.

Trigonometrikus alak. A számsíkon a P pontnak megfelelő komplex

szám nem

csupán a és b koordinátáival azonosítható, hanem megadható az OP

vektor r hosszával és a vektor valós tengellyel bezárt α szögével is

(1.2. ábra). (Az óramutató járásával ellentétes irányítású szöget pozitív

szögként értelmezzük.)

r a komplex szám abszolút értéke vagy modulusa (|z|-kel is jelöljük), ξ

a szöge (arcusa illetve argumentuma). Nyilván r ≥ 0 minden z ϵ

esetén. Amint az 1.2. ábráról leolvasható: a = r cos ξ és b = r sin ξ; és

így z = r(cos α + i sin α), ami a z komplex szám trigonometrikus

alakja. A 0 komplex szám esetén r = 0; ξ pedig tetszőleges. A

trigonometrikus alak a z ≠ 0 esetben sem egyértelmű, hiszen az

egymástól 2π egész számú többszörösével eltérő argumentumok

ugyanazt a P pontot azonosítják, s így ugyanazt a komplex számot

jelentik.

Két komplex szám, z = r(cos ξ + i sin ξ) és z1 = r1(cos ξ 1 + i sin ξ 1) r

≠ 0 esetén akkor és csak akkor egyenlő, ha r = r1 és ξ - ξ 1 = 2kπ (k ϵ

): z fő argumentuma ξ, ha 0 ≤ ξ < 2π; illetve 0 ≤ ξ < 360◦:

(További kiegészítés a Komplex-számokhoz: Brunder Györgyi és Láng

Csabáné: Komplex számok [Példák és feladatok] című könyvében)


6 Mandelbrot halmaz

A komplex számsík, mint leíró eszköz

A Mandelbrot-halmaz egy síkbeli alakzat, amelyet egy alapvetően

nagyon egyszerű algebrai összefüggés bonyolultabb

(végtelennel kapcsolatos,analitikus fogalmakat, határértékszámítást ig

énylő) elemzése ad meg, rajzol ki. Ezeknek az összefüggéseknek a

még legegyszerűbb (bár nem az egyetlen lehetséges) megközelítési

módja a komplex számok felhasználásával történhet. A Mandelbrot-

halmaz a komplex számsíkon ábrázolható alakzat, amely számsík

geometriailag semmiben sem különbözik a jól ismert („euklideszi”)

síktól, csak a pontok számokkal való leírása más.

Az euklideszi sík minden pontja megadható egy valós számokból álló

számpárral, a derékszögű v. Descartes-koordinátáikkal: az (a,b)

számpár egy pontot ír le a síkon. Ugyanez a pont leírható

(egyértelműen megadható) az a+bi komplex számmal is,

ahol a és b továbbra is a pont derékszögű koordinátái, az i nem valós

szám viszont úgy van definiálva, miszerint i·i = i2 = -1, vagyis a -1

négyzetgyöke. Geometriailag az a valós szám a pontnak a vízszintes

(v. valós) tengelyen mért koordinátája, a b a függőlegesen felmért

(vagy képzetes) koordináta, az i szám pedig a függőlegesen felmért -

pozitív irányba mutató, vagyis iránnyal is rendelkező - hosszegység

(egységvektor). Az összeadás és szorzás a valós számoknál

megszokott szabályok figyelembevételével történik, az egyetlen

újdonság, hogy az i négyzete mindig -1. Geometriailag - amint az

meglehetősen elemi eszközökkel bizonyítható - az

összeadás vektorösszeadás, a szorzás pedig forgatva nyújtás (a pontok

origótól való távolságai összeszorzódnak, a vízszintes tengellyel

bezárt irányszögek pedig összeadódnak). Az a+bi nagysága (abszolút

értéke) egyenlő az a2+b

2 négyzetgyökével, geometriailag az origó és a

komplex számmal ábrázolt pont távolsága.


7 Mandelbrot halmaz

Mandelbrot-halmazról általánosan

A matematikában a Mandelbrot-halmaz azon c komplex számokból

áll (a „komplex számsík” azon pontjainak mértani helye, halmaza),

melyekre az alábbi (komplex szám értékű) xn rekurzív sorozat:

x1 := c xn+1 := ( xn )2 + c nem tart a végtelenbe.

A Mandelbrot-halmazt a komplex számsíkon ábrázolva, egy nevezetes

(és hasonnevű) fraktálalakzat adódik.

Tehát, az M Mandelbrot-halmaz a komplex számoknak az az

részhalmaza melyre M = { c ϵ C | xn ↛ ∞ }

A halmaz definíciója ekvivalens a következővel:

M azon komplex számok halmaza, melyekre az

fc : → ; z ↦ z2 + c

c-vel paraméterezett függvényrendszer elemeihez tartozó Julia-halmaz

összefüggő. A Mandelbrot-halmaz grafikus megjelenítése úgy

történik, hogy az ilyen tulajdonságú c pontokat a komplex számsíkon

ábrázolják.


8 Mandelbrot halmaz

Az iteráció szerepe és a halmazba eső pontok megrajzolása

Az alapképletben (z ↦ z2 + c) a z és c komplex számok. Ez nem az

alakzat algebrai egyenlete, hanem iterációval (az eredménynek a

képlet változójába való, a végtelenségig ismételt behelyettesítésével)

alkot Mandelbrot-halmazt, amikor a z2 tagot mindig az előző művelet

eredményeként kapott z értékével számítjuk újra. Ezáltal minden adott

kezdeti c érték esetén a lépésenként kapott z1, z2, z3, ... stb. értékek (c;

c2+c, (c

2+c)

2+c, [(c

2+c)

2+c]

2+c ... stb. ) a komplex síkon egymástól

mindig kissé eltérő helyet foglalnak el, egy pontsorozatot alkotnak. Ez

még mindig nem a Mandelbrot-halmaz. Viszont minden egyes

kiinduló c esetében megnézhető, hogy a pontsorozat hogyan

viselkedik. (Az iterációval kapott számsorozatok többféleképpen

viselkedhetnek: 1). Egy adott értékhez tartanak (konvergencia); 2).

Két, vagy több érték között ingadoznak határértékben (határciklus);

3). Korlátosak maradnak, de elemeik soha nem ismétlődnek

(kaotikus dinamikai rendszer); 4). Végtelenbe tartanak

Azok a c komplex számok, amik az első három kategória

valamelyikébe tartoznak, a Mandelbrot-halmaz pontjai.

Ha azt tapasztaljuk, hogy a pontok origótól való távolsága minden

határon túl növelhető (az n iteráció szám növekedtével a pontsorozat

„igyekszik lemászni a térképről”), akkor azt mondjuk, a pontsorozat a

végtelenbe tart (pontatlanul fogalmazva, néha azt is mondják, hogy a c

pont tart a végtelenbe). Ez esetben az eredeti kiindulópontot (c)

fehérre, vagy egy előre megadott színre színezzük, ami annak

elismerését jelenti, hogy nem tartozik a Mandelbrot-halmazhoz.

Minden más esetben (ld. lentebb) feketére, vagy egy másik megadott

színre színezzük, ami azt jelenti, a Mandelbrot-halmazhoz tartozik.

Látható, hogy a Mandelbrot-halmaz egy meglehetősen bonyolultan

definiált mértani hely. Azon pontok tartoznak hozzá, melyek

teljesítenek egy legkönnyebben komplex számokkal megfogalmazható

bonyolult határérték-számítási feltételt vagy tulajdonságot.


9 Mandelbrot halmaz

Geometriai és topológiai tulajdonságok

A Mandelbrot-halmaz tükörszimmetrikus a valós tengelyre.

Összefüggő, és telt, vagyis nem tartalmaz szigeteket, vagy lyukakat.

Azonban nem ismert, hogy egyszeresen összefüggő, avagy

útösszefüggő-e. Önhasonló, de nem pontosan; nincs két

részstruktúrája, ami matematikai értelemben is hasonló lenne. Sok

perempont környezete azonban határértékben periodikus mintázatot

mutat.

Mivel a Mandelbrot-halmaz körlapokat és kardioidlapot tartalmaz,

fraktáldimenziója kettő. A határvonal végtelen hosszú, és Mitsuhiro

Shishikura szerint szintén két dimenziós, ezért a dobozszámlálási

dimenziója is kettő. Nem ismert viszont a határvonal területe, mint

ahogy a teljes Mandelbrot-halmaz területe sem. Numerikus becslések

szerint a Mandelbrot-halmaz területe 1,506 591 77; egyes nem

bizonyított meggondolások szerint a pontos

terület .

Fraktálszerű tulajdonságok

A Mandelbrot-halmaz peremén megtalálhatók a Mandelbrot-halmaz

hozzávetőleges, kicsinyített másai; ezek az úgynevezett szatelliták.

Minden képkivágás, ami egyaránt tartalmaz pontokat a Mandelbrot-

halmazból és a Mandelbrot-halmazon kívülről, végtelen sok ilyen

szatellitát tartalmaz.

Mivel minden szatellitát további szatelliták öveznek, ezért mindig van

egy hely, ahol tetszőleges struktúrák tetszőleges sorrendben

tartalmazzák egymást. Ennek észleléséhez azonban nagyon nagy

nagyítás kell.


10 Mandelbrot halmaz

Kapcsolat a Julia-halmazokkal

Amennyiben az alapképletben a z a változó érték, akkor Mandelbrot-

halmazt kapunk, ha a c, akkor Julia-halmazt. Egy adott Julia-halmaz

belső szerkezete a végtelenségig ugyanaz, de a különböző Julia-

halmazok nagy sokféleséget vonultatnak fel.

A Julia- és Mandelbrot-halmazok

összefüggnek egymással. Ha a

Mandelbrot-halmaz belsejéből

választunk c értéket, akkor a hozzá

tartozó Julia-halmaz összefüggő lesz,

ellenkező esetben viszont diffúz

halmazt kapunk. Ha a c értéke

pontosan a Mandelbrot-halmaz

határára esik, akkor a hozzá tartozó

Julia-halmaz egy bokorszerű fraktális

vonal, aminek területe nulla. Így a

Mandelbrot-halmaz az összes Julia-halmaz sokféleségét magában

foglalja.

A Mandelbrot- és Julia-halmazok határvonala fraktál, melyet

bármeddig nagyítunk, sosem érünk el egy maximális nagyítást. Ez alól

csak két Julia-halmaz kivétel, mégpedig a c=0 értékhez kör, a c=-2

értékhez egyenes szakasz tartozik. A színes képek úgy állíthatók elő,

ha különböző színekkel jelöljük, hogy hányadik iterációval éri el a

számítás az előre megadott abszolútértéket.



Viselkedés és struktúra

A konvergencia éppen a kardioid lap belső pontjaira, és annak megszámlálható sok határpontjára teljesül. A periodikus határciklus a kör alakú struktúrák, és a szatelliták kardioidjainak belső pontjaira, és azok megszámlálható sok határpontjára igaz. Egy fontos sejtés szerint a Mandelbrot-halmaz minden belső pontjának van határciklusa. A sorozatok csak a megszámlálható sok Misiurewicz-Thurston-pontban periodikusak. Ilyenek például a hosszú vonalas képződmények (antennák) csúcsai, és az elágazási pontok.

A Mandelbrot-halmaz többi nem megszámlálható pontjából képzett sorozatok többféleképpen viselkedhetnek, különféle kaotikus dinamikai rendszereket alkothatnak. Épp ezért élénk kutatás tárgyai.

Periodikus viselkedés

Kör alakú struktúrák

A Mandelbrot-halmaz körlapjainak és a szatelliták kardiodlapjainak a

határciklusai az adott lapra jellemző hosszúságúak. Ezeknek a

lapoknak a helye egyértelműen megadja a határciklusok hosszát.

Minden körlap érintkezik egy alaptesttel, egy nagyobb körlappal, vagy

kardioiddal.

Egy lap határciklusainak hossza megegyezik az ugyanazt az alaptestet

érintő két nála nagyobb szomszédos lap határciklusainak hosszának

összegével. Ha csak kisebb lapok vannak, akkor az alaptest járul

hozzá az összeghez.

http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%A1jl:Mandelbrot_Set_%E2%80%93_Periodicities_coloured.png&filetimestamp=20051102112705



Egyszerű következmények:

Minél kisebb egy lap, annál hosszabbak a határciklusai.

Egy alaptesttel érintkező legnagyobb lap határciklusa éppen az

alaptest határciklusának kétszerese.

Egy szatellita egy lapjának határciklushosszának periódushossza a

szatellita kardioidjának és a fő kardioid megfelelő lapjának a

határciklusának a szorzata.

Vonzó ciklusok

Ha egy sorozatban van egy c elem, amire zn=z0=0, akkor a sorozat az

elejétől kezdve ciklikus, és periódushossza n. Mivel zn az iteráció n-

szeri alkalmazásával adódik, és az iteráció minden lépésében

négyzetre emelés történik, azért kifejezhető c egy 2n-1

-edfokú

polinomjaként. Így ennek a polinomnak a gyökei n hosszú periódust

adnak. Megmutatható, hogy ha egy iterált számsorozat egy tagja elég

közel van, akkor az a számsorozat ehhez a határciklushoz tart. Egy

ilyen határciklust attraktornak is neveznek.

Következik, hogy az attraktort reprezentáló c értékek egy

környezetében minden számsorozat az attraktorhoz tart, ami éppen

egy n hosszú stabil ciklus. Minden kör-, vagy kardioidlap éppen ilyen

ciklus.

Taszító ciklusok

A vonzó ciklusok mellett vannak taszító ciklusok is. Ezek arról

nevezetesek, hogy a számsorozatok nem közelednek hozzájuk, hanem

távolodnak tőlük. A sorozatokban visszafelé haladva ezek is

meghatározhatók.

A négyzetre emelések miatt minden zn≠0 pontnak két elődje lehet.

Egyes pontokban már a második lépésben látszik olyan pont, ami

ilyen instabil ciklus létezésére utal. Ilyenek az antennák végpontjai,

vagy a spirál alakú struktúrák érintkezési pontjai. Ezek a Misiurewicz-

pontok.

A Misiurewicz-pontok azáltal is kitűnnek, hogy egy környezetükben a

Mandelbrot-halmaz oda eső része nagyon hasonlít a Júlia-halmazra,

bár ez a hasonlóság nem áll fenn matematikai értelemben. Minél



kisebb környezetet tekintünk, annál több egyezést találunk. Ezekben a

pontokban mindkét halmaz egy összefüggő fraktális vonal. A

Mandelbrot-halmaz minden képkivágása, ami tartalmazza a perem egy

részét, végtelen sok Misiurewicz-pontot tartalmaz, ezáltal a vonalszerű

Julia-halmazok végtelen gazdagságát is.

Egy sorozat viselkedése nagyon bonyolult lehet, ha a sorozat az egyik

taszító ciklus közeléből egy másik taszító ciklus közelébe ugrik. Ezek

a sorozatok a Mandelbrot-halmaz struktúrákban különösen gazdag

részeiből indulnak ki.

Ezek a sorozatok ábrázolva is nagy bonyolultságot mutatnak. A taszító

ciklusok közelségében való kváziperiodikus viselkedés több karú

spirálban jelenik meg, ahol is az egymást követő pontok

körültáncolják a középpontot, miközben egyre távolabb kerülnek tőle.

A karok száma megegyezik a periódus hosszával. A pontok

halmozódása a spirálkarok végén két közeli taszító ciklust jelez.

Szatelliták

A Mandelbrot-halmaz peremén találhatók a szatelliták, amik a

Mandelbrot-halmaz kicsinyített másaihoz hasonlítanak, bár ez a

hasonlóság nem matematikai értelmű. Az innen induló számsorozatok

viselkedése kapcsolatban áll a Mandelbrot-halmaz megfelelő helyéből

kiinduló számsorozatokkal. A határciklusok hossza a megfelelő hely

határciklushosszának a k-szorosa valamely k-ra. Ha a szatellitát

kinagyítjuk, és a sorozatoknak minden k-adik elemét vesszük, akkor

közelítőleg megkapjuk a Mandelbrot-halmaz megfelelő sorozatát. Ezt

Douady és Hubbard látta be mély matematikai eszközöket véve

igénybe.

Kapcsolata a káoszelmélettel

A sorozat képzési szabálya a legegyszerűbb nem lineáris egyenlet, ami

alapján a paraméter változtatásával megfigyelhető a rend átmenetele a

káoszba. Ehhez elég a valós értékekre korlátozódni.

Ha –0,75 ≤ c ≤ 0,25, akkor a sorozat konvergens. Ezek az értékek

éppen a fő kardioid belsejében levő valós számok. Az antennán a

sorozatok kaotikusak. Az átmenet periodikus határciklusok mentén

történik, mégpedig úgy, hogy a határciklusok hossza mindig

megkettőződik; ezt perióduskettőződésnek és bifurkációnak hívják.



Az egyes perióduskettőzésekhez tartozó szakaszokat egy-egy újabb

körlap tartalmazza az almaember fejétől kezdődően. Hosszuk aránya a

δ ≈ 4,669 Feigenbaum-konstanshoz tart. Az ilyen átmenetek tipikusak

a valóban előforduló rendszerekben is. A kaotikus tartományban

megjelenő ablakok az antennán található szatellitákhoz tartoznak.

Egyes komplex c értékekre zárt határciklusok jelennek meg, amik

pontjait a sorozatok nem periodikusan, hanem kaotikusan fedik le.

Ezek a különös attraktorok.

Ezzel a Mandelbrot-halmaz a káoszelmélet egy elemi objektumává

válik, amin a különféle jelenségek tanulmányozhatók. A

káoszelméletben ugyanolyan fontos, mint az egyenes az euklideszi

geometriában.

Univerzális struktúra

A Mandelbrot-halmaz más nem lineáris rendszerekben is felbukkan.

Ennek egy fontos előfeltétele, hogy a függvények szögtartók

legyenek, és legyen bennük egy c komplex paraméter. Ha iterált

dinamikus rendszerként a c paraméter függvényében vizsgáljuk, akkor

bizonyos esetekben a Mandelbrot-halmaz esetleg eltorzult példányai

jelennek meg, amikben azonban jelen van a Mandelbrot-halmaz

minden eleme. Egy ilyen kérdés például, hogy egy harmadfokú

polinom gyökeinek meghatározásánál mely komplex számok a

megfelelők, és melyek nem megfelelők a Newton-iteráció

megindításához.

Ennek az az oka, hogy ezek a függvénycsaládok jó közelítéssel

a függvénycsalád elforgatottjai és eltoltjai. Bár az

egyezés nem tökéletes, a Mandelbrot-halmaz mégis megjelenik. Ezt a

jelenséget strukturális stabilitásnak hívják, és végeredményben

ugyanez alakítja ki a szatellitákat is, mivel a részsorozatok lokálisan

ugyanúgy viselkednek, mint az egész.

Grafikus ábrázolás

A Mandelbrot-halmaz ábrázolása a nagy számításigénye miatt gépi

eszközöket igényel. A képernyő megfelel a komplex sík egy részének,

a pixelek az oda tartozó komplex számoknak. A számítógép minden

pontra kiszámítja, hogy az iterált pontsorozat a végtelenbe tart-e.

Ebben segít az a szabály, hogy ha az adott sorozat egy



tagjának abszolút értéke túllépi a kettőt, akkor a végtelenbe tart. Az

ehhez szükséges lépésszám méri a divergencia mértékét, amihez

különböző színek rendelhetők.

Esztétikai okok miatt a határt gyakran kettőnél jóval nagyobbra

veszik, különben a színes sávok hossza egyenetlen lesz. Minél

nagyobb ez az érték, a színes sávok határai annál inkább közelítenek a

Mandelbrot-halmaz, mint elektromosan töltött test erővonalaihoz.

Mivel nincs korlát arra, hogy hány lépés alatt éri el egy sorozat a

határt, ezért praktikus okokból be kell vezetni egy maximális

iterációszámot. Ha eddig az adott c pontból indult sorozat nem érte el

a határt, akkor azt a program a Mandelbrot-halmazhoz tartozónak

tekinti. Minél közelebb van az adott c a Mandelbrot-halmazhoz, annál

több iteráció kell a határ túllépéséhez. Ezt figyelembe kell venni a

kinagyított határterületeken, így minél inkább kinagyítanak egy

részletet, annál több idő kell a számításokhoz. Ha egy sorozat egy

adott értékhez tart, akkor a számítás hamarább is befejeződhet. Egyes

kis részletekhez vagy hosszú iterációsorozatokhoz már nem elég a

megszokott algebrai pontosság, mert a kerekítési hibák

megváltoztathatják a sorozat sorsát. Egyes programok ezért 100 vagy

még több tizedesjeggyel számolnak.

Különösen érdekes a Mandelbrot-halmaz határa. Minél nagyobb a

nagyítás, annál részletgazdagabb struktúrák találhatók. Vannak

programok, amikkel kinagyíthatók ezek a részek. Itt a felhasználó

kiválaszthatja a kinagyítani kívánt részletet, a színeket és azok

használatának módját. Ezekkel a paraméterekkel művészi hatású

képek készíthetők.



Buddhabrot

A Mandelbrot-halmazhoz kapcsolódik a

Buddhabrot-rajz is. Itt a divergens pontsorozatok

elemeit jelzik ki. Minél több divergens sorozat ér el

egy pontba, annál inkább kivilágosodik az adott

pont.

Ezt a program úgy számolja, hogy minden pontra

elkészíti az iterált sorozatot egészen addig, amíg

kiderül, hogy az divergál-e. Ha igen, akkor a sorozat elemeit

kivilágosítja. A kép pontos kinézete nagyban függ az iterációszámtól:

minél tovább iterálnak minél több véletlenszerűen választott pontot,

annál részletgazdagabb lesz a végső kép. Színes kép is készíthető

több, különböző iterációszámú kép egyesítésével.

Általánosításai

Ha a Mandelbrot-halmaz definíciójában szereplő

rekurziót az általánosabb zn + 1 = fc(zn) rekurzióra cseréljük, akkor

általánosított Mandelbrot-halmazokhoz és Julia-halmazokhoz jutunk.

Megadva egy konkrét függvénycsaládot, ami a c komplex

paramétertől függ, egy általánosított Mandelbrot-halmaz és Julia-

halmazok hozzá tartozó családja adódik. A

függvénycsalád éppen a közönséges értelemben vett Mandelbrot-

halmazt adja.

Ha a c paraméter mellett az iterált függvény további paraméterektől is

függ, akkor kettőnél magasabb, de páros dimenziós általánosított

Mandelbrot-halmazokhoz jutunk. Például, ha két komplex paraméter

van, c és d, akkor a c és d komplex számok egy két dimenziós

komplex, vagy egy négy dimenziós valós tér koordinátáinak

tekinthetők. Ezeknek azonban csak a vetületei ábrázolhatók két

dimenzióban.

Valós paraméterekkel is megpróbáltak a Mandelbrot-halmazhoz

hasonló részletességgel bíró fraktált találni. A leghíresebb próbálkozás

a Mandelbulb, egy három dimenziós szerkezet, amit a térbeli

Mandelbrot-halmaznak is neveznek.

Az iteráció alapjául szolgáló képlet:

http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%A1jl:Buddhabrot-deep.jpg&filetimestamp=20060121151341



ahol x, y és z valós paraméterek.

Mindazonáltal vannak régiók ebben a halmazban, amik nem

fraktálszerűek.

Documents

Mandelbrot halmaz - people.inf.elte.hu · a fraktál kifejezést a Les objets fractals, forme, hasard et dimension című dolgozatában. 1982-ben kibővítette és frissítette a