Management Sanitario per il corso di Laurea Magistrale ...palagi/didattica/sites/default/files/slide_2a... · Approccio modellisticoApplicazioni economico gestionali Programmazione

Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento

Management Sanitarioper il corso di Laurea Magistrale SCIENZE RIABILITATIVE DELLE PROFESSIONI SANITARIE

Modulo di Ricerca Operativa2a lezione: un problema di assegnamento

Prof. Laura Palagihttp://www.dis.uniroma1.it/∼palagi

Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. RubertiSapienza Universita di Roma

Via Ariosto 25

2a lezione modulo RO L. Palagi


Cosa e un modello

Il termine modello e usato per definire ”una rappresentazione diun oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosamodellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche ocomportamenti fondamentali” (wikipedia), di solito usato perevidenziare proprieta specifiche di oggetti reali.

I modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei oautomobili),

I modelli matematici costruiti usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.



Cosa e un modello

Il termine modello e usato per definire ”una rappresentazione diun oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosamodellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche ocomportamenti fondamentali” (wikipedia), di solito usato perevidenziare proprieta specifiche di oggetti reali.

I modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei oautomobili),

I modelli matematici costruiti usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.



In alcuni casi le situazioni in esame sono talmente complesse ele dimensioni talmente elevate da rendere difficile o troppocostoso l’uso di modelli analitici.

I modello di simulazione utilizzo di un calcolatore percostruire un modello che permetta di replicare lecaratteristiche del problema reale in esame.

Questi modelli hanno la differenza fondamentale rispetto aimodelli analitici di utilizzare il calcolatore non solo comestrumento di calcolo, ma anche come strumento perrappresentare le realta.

Non li tratteremo in questo corso.



I modelli matematiciRappresentano la realta attraverso variabili e relazioni logico -matematiche e descrivono in modo semplificato, ma rigoroso, ifenomeni del mondo reale che si vogliono considerare.

Perche un modello matematico ?

I obbligo ad un analisi per cogliere gli aspetti essenziali esignificativi di un problema

I possibilita effettuare un’analisi di tipo What if...? e quindi divalutare fuori linea leffetto delle scelte

I possibilita di individuare la miglior soluzione anche quandole possibili scelte sono molte



Alcuni esempi applicativi economico gestionaliI pianificazione della produzione: determinare i livelli di

produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazioneottima di risorse = distribuzione di risorse limitate traalternative concorrenti in modo da minimizzare il costo omassimizzare il guadagno

1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazione

I gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.

1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieriI project planning: decidere come gestire le risorse e come

sequenziare le molteplici attivita di un progetto.1. programmazione delle sale chirurgiche





1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazioneI gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,

durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.

1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieri

I project planning: decidere come gestire le risorse e comesequenziare le molteplici attivita di un progetto.

1. programmazione delle sale chirurgiche





1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazioneI gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,

durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.

1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieriI project planning: decidere come gestire le risorse e come

sequenziare le molteplici attivita di un progetto.1. programmazione delle sale chirurgiche



I progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamentie dimensionare le capacita di una rete stradale, ditelecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in mododa garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni eminimizzare il costo complessivo;

1. Nurse path

I determinazione dei turni del personale: coprire una seriedi servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi

I manutenzione di beni: decidere quando e se effettuare lamanutenzione di alcuni oggetti soggetti ad usura, in mododa minimizzare il costo complessivo.




1. Nurse pathI determinazione dei turni del personale: coprire una serie

di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi





1. Nurse pathI determinazione dei turni del personale: coprire una serie

di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi




I instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devonoseguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezziadibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodottiad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanzacomplessiva percorsa;

1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezziche prelevano i pazienti che devono subire dei trattamentimedici

I Misura di efficienza di unita operative:1. Reparti ospedalieri

I localizzazione e dimensionamento di impianti: decideredove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio















I Problemi di economia e finanza scelta di investimenti:scegliere fra un vasto numero di possibilita di investimentorispettando i vincoli imposti da un budget finanziario emassimizzando il guadagno;

I composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e conquali quote investire capitali in modo da massimizzare ilricavo o minimizzare il rischio;

I Problemi di revenue management (lett. ”Gestione delritorno economico”)

1. in una azienda caratterizzata da varieta di servizi e diprezzi, domanda variabile nel tempo, stabilire quanti e qualiservizi vendere avendo incertezza sulla domanda futura,allo scopo di massimizzare il profitto globale.

2. compagnie di trasporto aereo, ferroviario, marittimo, catenealberghiere e di noleggio auto.

















Programmazione MatematicaIn questo corso tratteremo problemi di ProgrammazioneMatematica.

In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con

I un solo decisore,I un solo obiettivo che rappresenta il criterio di scelta tra le

diverse alternativeI deterministici, ovvero i dati si considerano ”cert” non affetti

da stocasticit.




In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.

I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con



da stocasticit.




In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con



da stocasticit.2a lezione modulo RO L. Palagi


Altre classi di problemi

Si tratta ovviamente di ipotesi siemplficative, ma checonsentono di modellare molte situazioni di interesse incontesto di management sanitario. Possibili estensioni sono:

I i problemi con piu decisori (in ”competizione”) che sonooggetto di studio nella Teoria dei Giochi;

I Problemi con piu obiettivi (in conflitto) che rientrano nell’Ottimizzazione a molti obiettivi;

I i problemi di ottimo in cui i dati sono soggetti da incertezzecaratterizzabili in modo probabilistico che rientrano nellaProgrammazione Stocastica.



Programmazione matematicaSono modelli con una struttura di questo tipo

Ottimizza obiettivorestrizione− 1restrizione− 2...restrizione−m

in cui obiettivo rappresenta il crierio di scelta individuato erestrizione-1, ....,restrizione-m rappresentano lelimitazioni alle scelte. Si tratta di relazioni matematiche chelegano i parametri del problema con le possibili sceltedecisionali.La parola Ottimizza sta a indicare che si vuole individuare lascelta che consente di ottenere il miglior valore dell’obiettivo.



Programmazione matematicaPer introdurre una simbologia matematica, le possibili scelte,leve decisionali sono spesso indicate con la lettera x el’obiettivo e le restrizioni sono funzioni matematiche chedipendono da x . La funzione obiettivo e spesso indicata con f(o f (x) per indicare la dipendenza dalle variabili decisionali).Inoltre la parola ottimizzare puo essere declinata comemassimizzare, se il criterio di scelta rappresenta un ”vantaggio”(ed es. profitto) oppure minimizzare, se il criterio rappresentauno ”svantaggio” (ad es. un costo). Le restrizioni sonoespresse in forma di uguaglianza o disuguaglianze.

Una volta ottenuto un modello matematico, la RO si dedica alladefinizione di metodi matematici efficienti (algoritmi disoluzione) per determinare una soluzione.



Ma algoritmo che vuol dire ?

Un insieme di istruzioni elementari che eseguite (sucalcolatore) consentono di determinare la soluzione di unproblema in un tempo finito

La scelta dell’algortimo da utilizzare dipende dal tipo diproblema che necessario risolvere.

Il piu famoso nella RO e il metodo del simplesso che consentedi determinare la soluzione ottima di una classe particolare diproblemi di programmazione matematica (problema diprogrammazione lineare).



Approccio modellistico ai problemi di decisioneI Descrizione e Analisi del problema

I individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi

I Costruzione del modello

I descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del

mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche

(equazioni, disequazioni, dipendenze logiche, etc.)

I Analisi del modello

I deduzione per via analitica di alcune importanti proprieta, quali esistenza, unicita, stabilita ecc.

I Selezione di “buone” soluzioni

I (ottimizzazione e/o simulazione)

I Validazione del modello

I verifica che i risultati ottenuti siano congruenti con il problema





I Costruzione del modello

I descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del













I Costruzione del modelloI descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del
















I Analisi del modelloI deduzione per via analitica di alcune importanti proprieta, quali esistenza, unicita, stabilita ecc.













I Selezione di “buone” soluzioniI (ottimizzazione e/o simulazione)











I Selezione di “buone” soluzioniI (ottimizzazione e/o simulazione)

I Validazione del modelloI verifica che i risultati ottenuti siano congruenti con il problema



Assegnamento: definizione del problemaUn’azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendentia 3 differenti attivita da svolgere.

Ciascun dipendente puo esprimere una preferenza

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 0,9 0,8 1dip]2 0,7 0,5 1dip]3 0,8 0,4 1

I ciascun dipendente deve essere assegnato ad un solaattivita ;

I ciascuna attivita deve essere svolta esattamente da undipendente.

Supponiamo che l’azienda voglia massimizzare il”soddisfacimento” medio.



Assegnamento: definizione del problemaUn’azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendentia 3 differenti attivita da svolgere.Ciascun dipendente puo esprimere una preferenza




Supponiamo che l’azienda voglia massimizzare il”soddisfacimento” medio.



Costruzione del modello

Si tratta di individuare le leve decisionali o variabili di decisioneche rappresentano le grandezze che e possibile scegliere, sucui si ha potere decisionale.

Nel caso del problema di assegnamento la scelta chedobbiamo individuare e se assegnare un certo dipendente]i adun’attivita ]j per ogni possibile coppia i , j .Si tratta di scelte dicotomiche che possono essere espresse

dip]i assegnato alla att]j =

{SINO

=

{©×

=

{10



Le leve decisionali

Valori diversi indicano scelte decisionali diversi. Nel caso diproblema di assegnamento la scelta e come assegnaredipendente]i all’attivita]j per ogni coppia i , j .Formalizzando con un linguaggio matematicoLe scelte decisionali=variabili di decisione

dip]i assegnato alla att]j =

{VEROFALSO

=

{©×

=

{10



Le leve decisionaliDunque una scelta decisionale puo essere rappresentata come

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 1 0 0dip]2 0 1 0dip]3 0 0 1

Per semplificare la scrittura indichiamo le variabili di decisionecome xij (ma si tratta di un nome !) che puo assumere solo duevalori {0,1} e sono n2 = 9

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 x11 x12 x13dip]2 x21 x22 x23dip]3 x31 x32 x33



La funzione obiettivo

L’ottimizzazione consiste nell’individuare il valore massimo o ilvalore minimo dell’obiettivo ottenuto in corrispondenza a diversivalori delle scelte.Spesso l’insieme delle leve decisionali si rappresenta ”inblocco” x = (x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33)L’obiettivo e una funzione matematica che lega i parametridel problema con le possibili scelte decisionali.

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 x11 x12 x13

dip]2 x21 x22 x23

dip]3 x31 x32 x33

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 V11 V12 V13

dip]2 V21 V22 V23

dip]3 V31 V32 V33



Ad esempioLa scelta decisionale {(1,1), (2,2), (3,3)} si rappresenta come


Dati i parametri


si ottiene il valoreV11x11 + V22x22 + V33x33 = 0,9 + 0,5 + 1 = 2,4



La funzione obiettivo

V11x11 + V12x12 + V13x13+V21x21 + V22x22 + V23x23+V31x31 + V32x32 + V33x33

Spesso la funzione obiettivo si indica con f e dipende dallascelta x :

f (x) =n∑

i=1

n∑j=1

Vijxij

Ottimizza significa individuare la particolare scelta x∗ chedefinisce il valore massimo o minimo dell’obiettivo f ∗ = f (x∗).Nel nostro caso abbiamo visto che f ∗ = 2,6.



Le restrizioniI vincoli sono funzioni matematiche che esprimono le restrizioniche devono rispettare le scelte decisionali.



dipendenti att]1 att]2 att]3

→

dip]1 1 0 0

→

dip]2 0 1 0

x21 + x22 + x23 = 1→

dip]3 0 0 1

↑ ↑ ↑x12 + x22 + x32 = 1






dipendenti att]1 att]2 att]3→ dip]1 1 0 0→ dip]2 0 1 0 x21 + x22 + x23 = 1→ dip]3 0 0 1

↑ ↑ ↑x12 + x22 + x32 = 1






dipendenti att]1 att]2 att]3

→

dip]1 1 0 0

→

dip]2 0 1 0

x21 + x22 + x23 = 1→

dip]3 0 0 1↑ ↑ ↑

x12 + x22 + x32 = 1



I vincoli

x11 + x12 + x13 = 1 dipendente 1 assegnato esattamente ad una attivitax21 + x22 + x23 = 1x31 + x32 + x33 = 1

x11 + x21 + x31 = 1 attivita 1 assegnata esattamente ad un dipendentex12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1

Sono 2 · n = 6



I vincoli

Anche i vincoli sono funzioni fi che dipendono dalle variabili didecisione x

f1(x) = x11 + x12 + x13 = 1 = b1f2(x) = x21 + x22 + x23 = 1 = b2f3(x) = x31 + x32 + x33 = 1 = b3f4(x) = x11 + x21 + x31 = 1 = b4f5(x) = x12 + x22 + x32 = 1 = b5f6(x) = x13 + x23 + x33 = 1 = b6

Una scelta x che soddisfa tutti i vincoli si dice ammissibile.L’insieme di tutte le soluzioni ammissibili si dice insiemeammissibile.



Un modello di programmazione matematica

maxn∑

i=1

n∑j=1

Vijxij

n∑i=1

xij = 1 per ogni j = 1, . . . ,n

n∑j=1

xij = 1 per ogni i = 1, . . . ,n

xij ∈ {0,1} i = 1, . . . ,n j = 1, . . . ,n




Determinare il valore x∗ delle variabili di decisione che siaammissibile e massimizzi il valore dell’obiettivo Tale soluzionex∗ si chiama soluzione ottimaNel nostro caso la soluzione ottima x∗ e


o anche x∗ = (0 1 0 0 0 1 1 0 0) e vale f ∗ = 2,6.




ATTENZIONE: le variabili di decisione non possono assumeretutti i valori nel rispetto dei vincoli ma devono {0,1}. Non sitratta di un aspetto secondarioAd esempio il valore delle variabili

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 1

212 0

dip]2 12

12 0

dip]3 0 0 1

soddisfa tutti i vincoli fi (la somma sulle righe e sulle colonne epari a 1) MA NON e una scelta valida !



Le fuzioni che descrivono l’obiettivo e i vincoli sono linearirispetto alle variabili x .

fi = a1x1 + a2x2 + . . . =N∑

i=1

aixi

Si tratta di un problema di

Programmazione Lineare intera

max f (x)fk (x) = bk k = 1, . . . ,2nxij ∈ {0,1}n

2

In generale xij ∈ {0,1} e un VINCOLO (restrizione)IMPORTANTE. In alcuni casi e possibile ”trascurarlo”garantendo la qualita della soluzione.



Un modello di programmazione matematicaIn particolare, per questa categoria di problemi grazie allaparticolare struttura delle funzioni di vincolo, puo esseresostituito

maxn∑

i=1

n∑j=1

Vijxij

n∑i=1

xij = 1 per ogni j = 1, . . . ,n

n∑j=1

xij = 1 per ogni i = 1, . . . ,n

xij ≥ 0 i = 1, . . . ,n j = 1, . . . ,n



Le fuzioni che descrivono l’obiettivo e i vincoli sono linearirispetto alle variabili x .

fi = a1x1 + a2x2 + . . . =N∑

i=1

aixi

Le variabili possono assumere valori continui nel rispetto deivincoli.Si tratta di un problema di Programmazione Lineare.

max f (x)fk (x) = bk k = 1, . . . ,2nxij ≥ 0 ∀ i , j


Documents

Management Sanitario per il corso di Laurea Magistrale ...palagi/didattica/sites/default/files/slide_2a... · Approccio modellisticoApplicazioni economico gestionali Programmazione