, Б.Ю.Тащиров, Ф.М.Намазов,

С.Н.Яфянди, Е.А.Гасымов, Г.З.Абдуллайева

Мяктяб рийазиййат курсунун

елми ясаслары

2 0 0 7

Р.И.Мурадов

Елми редактор: физика-рийазиййат елмляри

доктору, профессор Карлен

Искяндяр оьлу Худавердийев

Ряйчиляр: ф.- р.е.д., профессор Я.М.Ящмядов,

ф.- р.е.н., досент В.Я.Гасымов

Компцтердя тяртиб едян – Р.Я.Йусубова

, Б.Ю.Тащиров, Ф.М.Намазов,

С.Н.Яфянди, Е.А.Гасымов, Г.З.Абдуллайева

«Мяктяб рийазиййат курсунун елми ясаслары»

Р.И.Мурадов

Э И Р И Ш

Мялумдур ки, эяляъяк рийазиййат мцяллимляри мяктяб рийазиййат курсунун цмуми мясяляляри, рийазиййат фяннинин мянтиги гурулмасы принсипляри, чохлуг, ядяд, ъябри ямял, щяндяси фигур, кямиййят, юлчц вя с. щаггында формал-мянтиги бахымдан ясасландырылмыш биликляря малик олмалыдырлар. Она эюря дя «мяктяб рийазиййат курсунун елми ясаслары» фяннинин мязмунуну орта мяктяб рийазиййат курсуна дахил олан мцщцм идейа, анлайыш, факт вя методлары елми-мянтиги ясасландырмаг вя мяктяб рийазиййатынын дилини тящлил етмяк тяшкил едир. Охуъулара тягдим олунан бу дярслик механика-рийазиййат факцлтясинин тялябяляри вя эянъ мцяллимляр цчцн нязярдя тутулмушдур. Дярслик механика-рийазиййат факцлтясинин тядрис прог-рамына уйьун олараг тяртиб олунмуш вя 9 фясилдян ибарятдир. Дярсликдя бязи мцщцм фактлар ъидди исбат олунмушдур. Дярслийя дахил едилмиш мисал вя мясяляляр щялли иля верилмишдир. Дярслийя охуъуларын сярбяст ишлямяси цчцн нязярдя тутулан мясяля вя мисаллар да дахил едилмишдир.

Ы ФЯСИЛ

ЕЛЕМЕНТАР РИЙАЗИЙЙАТЫН БЯЗИ ЦМУМИ МЯСЯЛЯЛЯРИ.

§1. Елементар рийазиййатын предмети вя мягсядляри.

Мялумдур ки, мяктяб рийазиййат курсуна мцхтялиф мя-сяляляр дахилдир: ядяд щаггында тялимин эенишляндирилмяси, ъябри ифадялярин тялими (чохщядлиляр, расионал ифадяляр, иррасионал ифадяляр), тянликлярин тялими, функсийалар щаггында тялимин елементляри, бязи трансендент функсийаларын юйрянилмяси (цстлц, логарифмик), координат методу щаггында анлайыш вя онун функсийаларын арашдырылмасына тятбиги, лимит щаггында анлайыш (ардыъыллыьын лимити), садя сыраларын ъямлянмяси (хцсуси щалда силсиляляр), тягриби щесабламаларын елементляри вя с. Бу мясялялярдян бязиляри билаваситя ъября аиддир (чохщядлиляр щаггында тялим, ейнилик чевирмяляри, ъябри тянликляр), бязиляри ися юзляринин сонракы инкишафыны башга рийази фянлярдя тапыр. Мясялян, лимит анлайышы, щямчинин садя трансендент функси-йаларын юйрянилмяси ъября дейил, рийази анализ курсуна аиддир. Мяктяб рийазиййат курсунун беля гейри-биръинс олмасы гачылмаздыр, беля ки, мяктяб рийазиййат курсунун гаршысында гойулан тялябляр щяр щансы бир фянн чярчивясиндя мящдудлашмадан, шаэирдляря мцяййян зярури комплекс цмумтящсил анлайышлары вя вярдишляри вермякдян ибарятдир. Универститетдя тядрис едилян елементар рийазиййат курсу-нун гаршысында гойулан ясас мягсядляр бунлардыр: мяктяб рийазиййат курсуна дахил олан ясас материалларын дяриндян юйрянилмясиня, мяктяб курсу цчцн характерик олан тядгигат цсулларынын инкишаф етдирилмясиня вя елми ъящятдян ясасландырылмасына кюмяк етмяк вя щазырда мяктяб курсуна дахил олмайан бир сыра мцщцм анлайышлары тялябялярин диггятиня чатдырмаг вя онлара бу мясяляляр щаггында зярури биликляр вер-мякдир.

Гейд етмяк лазымдыр ки, еля мцщцм мясяляляр дя вардыр ки (мясялян, тянликлярин вя бярабярсизликлярин ейниэцълцлцйцнцн цмуми нязяриййяси вя с.), онлара али рийазиййат курсунда тохунулмур. Онлары елементар рийазиййатдан мялум олан мясяляляр кими гябул едирляр. Мяктяб курсу ися онлары лазым олан ъиддиликля вя тамлыгла шярщ етмяк игтидарында дейилдир. Беля материаллары да тялябялярин диггятиня чатдырмаг лазымдыр.

§ 2. Рийазиййатын юйрянилмяси просесиндя тяфяккцр формалары.

Рийази биликлярин дяриндян мянимсянилмяси шаэирдин рийази тяфяккцрцнцн мягсядйюнлц инкишафына наил олмадан мцмкцн дейил. Фялсяфи нюгтейи-нязярдян тяфяккцр обйектив эерчяклийин инсан шцурунда фяал инкишафыдыр. Формал мянтигя эюря, тяфяккцр цч формада тязащцр едир:

1) анлайыш, 2) мцлащизя вя 3) ягли нятиъя.

Тяфяккцрцн бу формаларыны фяргляндирмяк цчцн ашаьыдакы мисаллара бахаг: Ы. а) цчбуъаьын медианы онун щяр щансы тяряфинин орта нюгтясини бу тяряфин гаршысындакы тяпя нюгтяси иля бирляшдирян парчадыр;

б) трапесийанын орта хятти онун йан тяряфляринин орта нюгтялярини бирляшдирян парчадыр.

Бу тяклифлярин щяр икисинин бир ортаг яламяти вар. Онларын щяр бири мцяййян шяртляшмяни ифадя едир вя щяр икиси анлайышдыр. ЫЫ. а) мцстявинин ики мцхтялиф нюгтясиндян йалныз бир дцз хятт кечирмяк олар;

б) истянилян цчбуъаьын дахили буъагларынын ъями 1800-йя бярабярдир.

Бунларын щяр икиси ясасландырылмаьа ещтийаъы олан щюкмц ифадя едир вя мцлащизя адланыр. ЫЫЫ. а) яэяр ba = вя cb = оларса, онда ca = ;

б) яэяр Aa ∈ вя BA ⊂ оларса, онда Ba ∈ . Бу тяклифлярин щяр икисиндя мцяййян шяртляря ясасланараг

мцяййян нятиъя чыхарылыр. Онларын щяр икиси ягли нятиъя адланыр.

§3. Рийази анлайышлар.

Обйектляри бир-бириндян мцхтялиф хцсусиййятляриня, хассяляриня вя яламятляриня эюря фяргляндирирляр. Тядгиг олунан обйектлярин хассялярини

1) фярди вя 2) цмуми хассяляря айырмаг олар. Обйектлярин цмуми хассяляри фяргляндириъи вя

фяргляндириъи олмайан ола биляр. Обйектин цмуми хассяси мцщцм хасся оларса, онда о фяргляндириъи хасся адланыр. Анлайыш юйрянилян обйектин мцщцм (фяргляндириъи) хассяляринин иникас олундуьу тяфяккцр формасыдыр. Яэяр анлайыш реал алямдя мювъуд олан обйектлярин иникасындан ибарятдирся, онда анлайвш дцзэцн анлайыш адланыр. Щяр бир анлайышы мязмун вя щяъминя эюря характеризя етмяк олар. Анлайышын бцтцн мцщцм (фяргляндириъи) хассяляринин кцллиси онун мязмуну адланыр. Анлайышда тямсил олунан обйектляр кцллиси онун щяъми адланыр. Мясялян «паралелограм» анлайышынын мязмунуну ашаьыдакы мцщцм хассяляр тяшкил едир:

1) гаршы тяряфлярин бярабярлийи, 2) гаршы буъагларын бярабярлийи, 3) диагоналларын кясишмя нюгтясиндя щяр бир диагоналын йарыйа бюлцнмяси вя с.

«Паралелограм» анлайышынын щяъмини ися ашаьыдакы фигурлар тяшкил едир: 1) паралелограмлар; 2) ромблар; 3) дцзбуъаглылар; 4) квадратлар. Анлайышын щяъми онун мязмунуну биргиймятли мцяййян едир вя тярсиня. Анлайышын щяъми вя мязмуну арасында бир нюв «тярс» ялагя вардыр: яэяр анлайышын мязмуну

артарса,онун щяъми азалар вя тярсиня, анлайышын мязмуну азаларса, онун щяъми артар. Мясялян, цмумиляшдирмя заманы анлайышын щяъми эенишлянир, мязмуну даралыр. Лакин хцсусиляшдирмя заманы анлайышын щяъми даралыр, мязмуну ися эенишлянир. Анлайышын мязмуну вя щяъми арасындакы эюстярилян асылылыг о заман доьру олур ки, мязмунун дяйишмяси просеси заманы бир анлайышын щяъми диэяр анлайышын щяъминин алтчохлуьу олсун. Яэяр бир анлайышын щяъми ( 1h ) о бири анлайышын щяъминин

( 2h ) алтчохлуьу оларса, онда икинъи анлайыш биринъи цчцн ъинс анлайыш, биринъи ися юз нювбясиндя икинъи цчцн нюв анлайыш адланыр. Мясялян, ромб паралелограм анлайышына нязярян нюв, юз нювбясиндя паралелрграм ромб анлайышы цчцн ъинсдир. Анлайышын формалашмасында онун нитг вя симяд васитясиля ифадя олунмасы зяруридир. Елм вя техниканын мцяййян анлайышыны биргиймятли ишаря едян сюз елми термин адланыр. Мясялян, «ромб» сюзц елми терминдир.

Анлайышын мязмунуну тясяввцр етмяк цчцн онун мцщцм хассялярини эюстярмяк лазымдыр. Буну анлайышын тярифиндя эюстярирляр. Анлайышын щяр бири айрылыгда зярури, щамысы бирликдя кафи олан бцтцн яламятляринин (хассяляринин) ялагяли ъцмляляр шяклиндя тясвири (ифадяси) анлайышын тярифи адланыр. анлайышын тярифиндя артыг сюз олмамалыдыр.

Шаэирдляря изащ олунмалыдыр ки, анлайышын тярифи исбат олунмур. Анлайышлара тяриф мцхтялиф цсулларла вериля биляр. 1. Йахын ъинс вя нюв фяргинин эюстярилмяси иля анлайыша тяриф ашаьыдакы схем цзря верилир:

,)}({ 11 ∅≠∧∧∈= AxPAxxA

∧∈= AxxA {2 l ,)}( 1 ∅≠∧ AxP

AAAAA =∪∅=∩ 2121 , оларса,

)( 21 AA анлайышы А анлайышына нязярян нюв, A анлайышы ися

)( 21 AA анлайышына нязярян ъинс анлайыш адланыр (бурада P мцяййян хассядир). Йахын ъинс вя нюв фяргинин эюстярилмяси иля верилян тярифя мисал эюстяряк: «Диагоналлары бярабяр олан паралелограма дцзбуъаглы дейилир». Бурада йахын ъинс – паралелограм, нюв фярги – диагоналларын бярабяр олмасы, термин ися дцзбуъаглыдыр. Йухарыдакы схемя уйьун йазсаг

А= {паралелограмлар чохлуьу}, А1= {диагоналлары бярабяр олан паралелограмлар

чохлуьу}, П= «Диагоналларын бярабяр олмасы».

Йахын ъинс нюв фяргинин эюстярилмяси иля верилян тярифляр ашаьыдакы конкрет формаларда ола биляр:

1) обйектлярин характерик яламятлярини эюстярмякля онлара верилян тярифляр;

2) инкар едян тярифляр; 3) конструктив вя рекурсив тярифляр.

Бу формаларын щяр бириндя мянтиги баьлайыъылардан (вя, вя йа) истифадя олуна биляр. Она эюря дя орта мяктяб рийазиййат курсунда конйуктив вя дизйунтив тярифляр дя фяргляндирилир. Обйектляря онларын характерик яламятлярини эюстярмякля верилян тярифя мисал эюстяряк: «Гаршы тяряфляри ъцт-ъцт паралел олан дцз хятляр цзяриндя йерляшян дюрдбуъаглы паралелог-рам адланыр». Бу тярифдя: ъинс – дюрдбуъаглы;

нюв фяргляри – бир ъцт гаршы тяряфин паралел олмасы вя о бири ъцт гаршы тяряфин паралел олмасы;

термин – паралелограмдыр. Диэяр тяряфдян, бу тярифдя нюв фяргляри мянтиги «вя» баьлайыъысындан истифадя олунмагла бирляшдирилдийиндян о щям дя конйуктив тярифдир. Башга бир мисал эюстяряк: «Мяхряъи сцрятиндян кичик олан вя йа мяхряъи сцрятиня бярабяр олан кяср дцзэцн олмайан кяср адланыр». Бу тярифдя: ъинс – ади кяср;

нюв фяргляри – мяхряъи сцрятдян кичикдир вя йа мяхряъ сцрятя бярабярдир;

термин – дцзэцн олмайан кяср. Бу тярифдя нюв фяргляри мянтиги «вя йа» баьлайыъысы иля бирляшдийиндян о дизйунтив тярифдир. Инкар едян тяриф тясвир етдийи обйектлярин хассялярини йох, бу обйектлярдя олмайан хассяляри тясвир едир. Мясялян, «Бир мцстявидя йерляшмяйян вя ортаг нюгтяси олмайан дцз хятляр чарпаз дцз хятляр адланыр». Бу тярифдя: ъинс – дцз хятляр;

нюв фяргляри – бир мцстявидя йерляшмямяк вя ортаг нюгтяйя малик олмамаг;

термин – чарпаз вя дцз хятляр. Бу тяриф щям дя конйуктив тярифдир. Конструктив вя рекурсив тярифлярдя обйектин хассяляри онун конструксийа олунмасынын тясвири иля эюстярилир. Башга сюзля, нюв фяргляри ямялляр васитясиля верилир. Мясялян, « bkxy += шяклиндя эюстяриля билян функсийа хятти функсийа адланыр, бурада k вя b мялум ядядляр, x ися сярбяст дяйишяндир». Бу тярифдя: ъинс – функсийа;

нюв фяргляри – x сярбяст дяйишян вя k вя b мялум ядядляр;

термин – хятти функсийадыр. Обйектин гурулмасы (конструксийа олунмасы) цчцн тяляб

олунан ямялляр мцхтялиф формаларда вериля биляр. Мясялян, рекурсив тярифдя мцяййян базис обйекти вя бу хассяли йени обйектляри гурмаьа имкан верян гайда верилир. Мясялян, «ядяди ардыъыллыгда икинъидян башлайараг щяр бир щядд юзцндян яввялки щядля бу ядяди ардыъыллыг цчцн сабит олан бир ядядин щасилиня бярабяр оларса, онда бу ядяди ардыъыллыг щяндяси силсиля адланыр: 2,1 ≥⋅= − nqaa nn .

§4. Рийази тяклифляр.

Тяфяккцрдя анлайышлар бир-бириля мцяййяр ялагядя олур. Анлайышларын ялагяляри тяклифляр васитяси иля ифадя олунур.

Рийази тяклифлярин ашаьыдакы нювляри фяргляндирилир: аксиомлар, теоремляр вя гайдалар (алгоритмляр). Аксиом исбатсыз гябул едилян рийази тяклифдир. Мясялян, «Мцстявинин ики мцхтялиф нюгтясиндян йеэаня дцз хятт кечирмяк олар». Рийази нязяриййя гуруларкян илк анлайышлар, илк мцнасибятляр, аксиомлар системи вя нятиъя чыхармаг гайдалары гябул едилир. Аксиомлар системи зиддиййятсиз, асылы олмайан вя там олмалыдыр. Яэяр верилян аксиомлар системиндян бу системля гурулан нязяриййяйя аид олан ейни бир тяклифин щям доьру, щям дя йалан олмасы алынмырса, онда аксиомлар системи зиддиййятсиз адланыр. Якс щалда аксиомлар системи зиддиййятли адланыр. Яэяр аксиомлар системинин щеч бир аксиому бу системин йердя галан аксиомларындан нятиъя кими алынмырса, онда верилян аксиомлар системи асылы олмайан адланыр. Аксиомлар системинин тамлыьы дедикдя бу системля ифадя олуна билян истянилян тяклифин доьру вя йа йалан олдуьуну исбат етмяйин мцмкцн олдуьу баша дцшцлцр. Доьрулуьу исбат олунан (ясасландырылан) рийази тяклифляр теорем адланыр. Алгоритм (гайда) дедикдя гойулмуш мягсядя чатмаг вя йа гойулмуш мясяляни щялл етмяк цчцн мцяййян ардыъыллыгла йериня йетирилян ямял вя йа ямялиййатлар кцллиси баша дцшцлцр. Мяктяб рийазиййат курсунда алгоритм вя гайдалар чохдур. Мясялян, натурал ядядин садя вуругларына айрылмасы гайдасы; кясрлярин ян кичик ортаг мяхряъя эятирилмяси гайдасы вя с. Алгоритмляря гойулан тяляблярин ян мцщцмляри ашаьыдакылардыр:

1) алгоритми йериня йетирдикдя щямишя конкрет нятиъя алынмалыдыр;

2) алгоритм садя вя айдын олмалыдыр; 3) алгоритм сонлу сайда адымлардан (ямял вя йа ямялиййатдан) ибарят олмалыдыр вя с.

Мясялян, bax = шяклиндя олан тянлийин щялли алгоритмини

йада салаг: 1) яэяр 0≠a ися, онда abx = ; 2) яэяр 0=a

вя 0=b ися, онда истянилян ядяд щялдир; 3) яэяр 0=a вя 0≠b ися, онда тянлийин щялли йохдур.

Асанлыгла йохламаг олар ки, бу алгоритм йухарыдакы тяляблярин щяр бирини юдяйир.

§5. Теоремлярин нювляри вя онларын гаршылыглы ялагяси.

Щяр бир теорем ясасян ики щиссядян ибарят олур: 1) бу вя йа диэяр рийази факта щансы шяртлярля бахылыр (теоремин шярти);

2) бу факт щаггында ня тясдиг олунур (теоремин щюкмц). Мясялян, беля бир теореми нязярдян кечиряк: «Яэяр дюрд-

буъаглы паралелограмдырса, онда онун диагоналлары кясишяряк, йарыйа бюлцнцрляр». Бурада теоремин шярти )( p : дюрдбуъаглы-паралелограм-дыр; теоремин щюкмц )(q : диагоналларын кясишмя нюгтяси онларын щяр бирини йарыйа бюлцр. Теоремин шяртини вя щюкмцнц асанлыгла айырд етмяк цчцн ону чох вахт «яэяр..., онда...» мянтиги баьлайыъысындан истифадя едяряк, имплакасийа шяклиндя ифадя едирляр. Она эюря дя теореми цмуми шякилдя, мянтиги дилдя беля йазмаг олар:

qp ⇒ . Теоремин исбат едилмяси ися ону эюстярмякдян ибарятдир ки, яэяр шярт юдянирся, бу щалда мянтиги олараг ондан щюкм алыныр, йяни p -нин доьрулуьуну гябул едяряк, мянтигин мцяййян гайдаларына уйьун олараг q -нцн доьру олдуьуну исбат етмякдян ибарятдир. Верилмиш qp ⇒ теореминдян истифадя едяряк ашаьыдакы теоремляри алмаг олар: а) тярс теорем: pq ⇒ ; б) якс теорем: qp ⇒ ;

ъ) якс теоремин тярс теореми: pq ⇒ . Яэяр йухарыдакы теореми дцз теорем гябул етсяк, онда бу

теоремдян ашаьыдакы теоремляри алмаг олар: 1) Яэяр дюрдбуъаглы - паралелограмдырса, онда онун диагоналлары кясишяряк, кясишмя нюгтясиндя йарыйа бюлцнцрляр )( 11 qp ⇒ .

2) Яэяр дюрдбуъаглыда диагоналлар кясишяряк, йарыйа бюлц-нцрся, онда бу дюрдбуъаглы паралелограмдыр )( 11 pq ⇒ .

3) Яэяр дюрдбуъаглы паралелограм дейилдирся, онда онун диагоналлары кясишяряк, кясишмя нюгтясиндя йарыйа бюлцнмцрляр )( 11 qp ⇒ .

4) Яэяр дюрдбуъаглыда диагоналлар кясишяряк, кясишмя нюгтясиндя йарыйа бюлцнмцрся, онда беля дюрдбуъаглы паралелограм дейил )( 11 pq ⇒ . Асанлыгла исбат етмяк олар ки, бу мисалда алынан бцтцн

дюрд теоремин щяр бири доьрудур. Лакин бу щямишя беля олмур. Беля бир тяклифя бахаг: Яэяр буъаглар гаршылыглыдырса, онда

онлар бярабярдирляр « )( 22 qp ⇒ ». Верилмиш бу теоремин тярсини, якс теоремини вя якс теоремин тярс теоремини тяртиб едяк: a) Яэяр буъаглар бярабярдирся, онда онлар гаршылыглы буъаглардыр )( 22 pq ⇒ .

b) Яэяр буъаглар гаршылыглы дейился, онда онлар бярабяр дейил )( 22 qp ⇒ .

c) Яэяр буъаглар бярабяр дейился, онда онлар гаршылыглы дейил )( 22 pq ⇒ .

Бу мисал эюстярир ки: a) дцз теорем доьру олса да, онун тярси олан теорем доьру дейил (мясялян, дцз буъаглар бярабярдир, лакин онларын гаршылыглы олмалары ваъиб дейил);

b) дцз теорем доьру олдуьу кими, якс теоремин тярси олан теорем дя доьрудур;

c) верилмиш теоремин тярси олан теоремин доьру олмадыьы кими,

онун якси олан теорем дя доьру дейил. Бурада мцяййян едилмиш хассяляр тясадцфи дейил. Бу дюрд нюв теорем арасында сых ялагя вардыр: 1) qp ⇒ вя pq ⇒ ейни заманда доьрудур вя йа доьру дейил;

2) pq ⇒ вя qp ⇒ щямчинин ейни заманда доьрудур вя йа доьру дейил.

Теоремляр арасында беля гаршылыглы ялагянин олмасы он-ларын юйрянилмясини асанлашдырыр. Доьрудан да, рийази обйектлярин теоремляр шяклиндя ифа-дя олунмуш хассяляриня бахдыгда, бцтцн дюрд нюв теоремлярин щамысынын юйрянилмяси зяруряти йохдур: ъцт-ъцт еквивалент олан теоремлярдян (дцз вя тярс вя йа дцз вя якс вя с.) щяр щансы биринин доьру олдуьуну вя йа доьру олмадыьыны мцяййян-ляшдирмяк кифайятдир, беля ки, бу ики теоремдян щяр биринин доьру олмасы вя йа доьру олмамасы галан ики теоремдян щяр биринин доьру олмасыны вя йа доьру олмамасыны мцяййян едяъяк. Еля буна эюря дя истянилян рийазиййат курсунда биз адятян йалныз дцз вя тярс теоремлярля растлашырыг, галан теорем-лярля чох тясадцфи щалларда растлашмаг олур.

§6. Зярури вя кафи шяртляр.

Ашаьыдакы тяклифляри нязярдян кечиряк: 1) Яэяр верилмиш натурал ядяд ъцтдцрся, онда щямин ядяд 6-йа бюлцнцр.

2) Яэяр верилмиш натурал ядяд 6-йа бюлцнцрся, онда щямин ядяд ъцтдцр.

3) Яэяр верилмиш натурал ядяд ъцтдцрся, онда щямин ядяд 2-йя бюлцнцр.

4) Яэяр верилмиш натурал ядяд 2-йя бюлцнцрся, онда щямин ядяд ъцтдцр.

Бу тяклифлярдян щяр бирини рийази мянтиг дилиндя ифадя етмяк олар:

22221111 )4;)3)2;)1 pqqppqqp ⇒⇒⇒⇒ .

Биз эюрцрцк ки, биринъи тяклиф доьру дейил, лакин икинъи, цчцнъц вя дюрдцнъц тяклифляр доьрудур. Теоремляри ифадя етдикдя тез-тез «кафи» , «зярури», «кафи вя зярури» терминляриндян истифадя едирляр. Бу терминлярин мянасыны айдынлашдыраг: 1. Яэяр p -дян мянтиги олараг q алынырса (йяни qp ⇒ теореми доьрудурса), онда p шяртиня q щюкмц цчцн кафи шярт дейилир.

2. Яэяр q -дян мянтиги олараг p алынырса (йяни pq ⇒ теореми доьрудурса), онда p шяртиня q щюкмц цчцн зярури шярт дейилир.

3. Яэяр p -дян мянтиги олараг q алынырса вя q -дян дя мянтиги олараг p алынырса (йяни щяр ики теорем: дцз вя онун тярси доьрудурса), онда p шяртиня q щюкмц цчцн кафи вя зярури шярт дейилир.

Йухарыда бахдыьымыз мисалда 1p шярти 1q цчцн кафи шярт дейил,

чцнки 1p -дян мянтиги олараг 1q алынмыр (йяни 1p -ин доьру

олмасындан 1q -ин доьру олмасы алынмыр); 2p ися 2q цчцн кафи

шяртдир, чцнки 2p -дян мянтиги олараг 2q алыныр.

Бунунла беля 1p шярти 1q цчцн зярури шяртдир, беля ки,

1q -дян мянтиги олараг 1p алыныр.

2p шярти ися 2q цчцн кафи вя зярури шяртдир, беля ки, щяр

ики теорем ейни заманда доьрудур: 22 qp ⇒ вя 22 pq ⇒

(йяни бурада 22 qp ⇔ мянтиги еквивалентлилийи вардыр). Ашаьыдакы щаллар да мцмкцндцр: а) p шярти q щюкмц цчцн кафидир, лакин зярури дейил; б) p шярти q щюкмц цчцн зяруридир, лакин кафи дейил. Биринъи щалда p -нин доьрулуьундан q -нцн доьрулуьу алыныр,

лакин q -нцн доьрулуьу щям дя башга 1p шяртиндян дя алына биляр. Мясялян, ядядин ъцт олмасы цчцн, онун йалныз 6-йа бюлцнмяси дейил, щям дя 4-я бюлцнмяси кафидир. Икинъи щалда q -

нцн доьру олмасындан p -нин доьру олдуьу алыныр, ейни заманда, яэяр p доьру оларса, онда q щяр щалда доьру олмайа да биляр. Мясялян, ядядин 6-йа бюлцнмяси цчцн, щямин ядядин ъцт олмасы зяруридир, лакин кафи дейил; мясялян, 4 ъцт ядяддир, лакин 0, 6-йа бюлцнмцр.

«Кафи», «зярури», «кафи вя зярури» терминляриндян истифадя етдикдя «шярт» сюзцнцн явязиня тез-тез «яламят» сюзц ишлядилир. «Кафи вя зярури» сюзляринин явязиня чох вахт беля сюзлярдян истифадя олунур: «онда вя йалныз онда», «о щалда вя йалныз о щалда», «о вя йалныз о», «яэяр вя йалныз яэяр». Ону да гейд етмяк файдалыдыр ки, бу баьлайыъы ифадялярин айрыъа бахылан щиссяляри дя мцяййян мяна дашыйыр: мясялян, «йалныз о щалда», «йалныз онда» вя с.сюзляри ися «кафи шярт» сюзлярини явяз едирляр.

§7. Аксиоматик метод. Евклид щяндясясинин аксиомлары. Аксиоматик метод елми нязяриййялярин гурулмасы методур. Елми нязяриййя аксиоматик методла гурулдугда:

1) бу нязяриййянин илк анлайышлары вя илк мцнасибятляри мцяййян едилир (илк анлайышлара вя мцнасибятляря тяриф верилмир);

2) илк анлайышлар вя мцнасибятляр арасындакы ялагяни тяйин едян аксиомлар системи сечилир вя исбатсыз гябул едилир;

3) елми нязяриййянин щяр бир йени анлайышы илк анлайышлар вя даща яввял дахил едилмиш анлайышлар васитясиля тяриф едилир; елми нязяриййянин щяр бир йени тяклифи гябул едилмиш аксиомлардан вя даща яввял исбат едилмиш тяклифлярдян дедиктив методла алыныр. Нятиъя чыхармаг гайдалары, йяни бир доьру тяклифдян

диэяр тяклифлярин алынмасы гайдалары гурулан нязяриййянин дейил, рийази мянтигин предметидир.

Гябул едилмиш аксиомлар системи зиддиййятсиз, там вя асылы олмайан аксиомлардан тяшкил олунмалыдыр. Аксиоматик методун инкишафы просесиндя ашаьыдакы цч мярщяля

фяргляндирилир: 1) мязмунлу аксиомлашдырма мярщяляси; 2) йарымформал аксиомлашдырма мярщяляси; 3) формал аксиомлашдырма мярщяляси. Елми нязяриййянин мязмунлу аксиомлашдырылмасы заманы

аксиомлар системи мцяййян чохлуьун обйектляри арасында ясас ялагя вя мцнасибятляри тясвир едир. Теоремлярин исбаты заманы формал мянтиг ганунларындан истифадя олунур.

Мясялян, ясаслары мяктяб щяндяся курсунда шярщ олунан Евклид щяндясяси беля аксиомлашдырылмышдыр.

Елми нязяриййянин йарымформал аксиомлашдырылмасы заманы онун ящатя етдийи обйектляр дя аксиомлар васитясиля тяйин олунур. Йарымформал аксиомлашдырма заманы тяклифлярин исбаты просесиндя йеня дя формал мянтиг ганунларындан истифадя олунур. Мясялян, груплар нязяриййясинин яняняви шярщини йарымформал аксиомлашдырмайа мисал эюстярмяк олар.

Елми нязяриййянин формал аксиомлашдырылмасы заманы щям онун ящатя етдийи обйектляр, щям дя нятиъя чыхармаг ганунлары аксиомлар васитяси иля тяйин олунур.

Ашаьыда мяктяб щяндясясинин аксиомлар системинин бир варианты верилир:

1) (Аид олма аксиому). Истянилян дцз хяттин цзяриндя олан нюгтяляр вя онун цзяриндя олмайан нюгтяляр вар.

2) (Дцз хятт аксиому). Ихтийари ики нюгтядян бир вя йалныз бир дцз хятт кечир.

3) (Нюгтялярин дцз хятт цзяриндя йерляшмяси аксиому). Дцз хяттин ихтийари цч нюгтясиндян бири вя йалныз бири галан икиси арасында йерляшир.

4) (Дцз хяттин бюлцнмяси аксиому). Дцз хяттин ихтийари A нюгтяси бу дцз хяттин галан нюгтялярини ашаьыдакы шярт юдяйян ики чохлуьа айырыр: ейни чохлуьа аид ики нюгтя A нюгтясинин бир тяряфиндя йерляшир.

5) (Парчаларын юлчцлмяси аксиому). Узунлуг ващиди сечмякля щяр бир парчанын узунлуьуну юлчмяк олар, йяни онун узунлуьуну мцсбят ядядля ифадя етмяк олар.

6) (Парчаларын топланмасы аксиому). Парчанын узунлуьу,

онун щяр щансы дахили нюгтяси иля бюлцндцйц парчаларын узунлуглары ъяминя бярабярдир.

7) (Парчанын айрылмасы аксиому). Шцанын башланьыъындан, узунлуьу верилмиш, бир вя йалныз бир парча айырмаг олар.

8) (Буъаьын юлчцлмяси аксиому). Щяр бир буъаьын сыфырдан бюйцк мцяййян дяряъя юлчцсц вар. Ачыг буъаг 0180 -йя бярабярдир.

9) (Буъагларын топланмасы аксиому). Буъаьын дяряъя юлчцсц, онун юз дахили шцасы иля бюлцндцйц буъагларын дяряъя юлчцляри ъяминя бярабярдир.

10) (Туси-Паш аксиому). Цчбуъаьын тяпяляриндян кечмяйян дцз хятт онун бир тяряфини кясирся, онда щямин дцз хятт диэяр ики тяряфдян йалныз бирини кясир.

11) (Буъаьын айрылмасы аксиому). Истянилян шцадан башлайараг верилмиш йарым мцстявидя, бир тяряфи щямин шца олан бир вя йалныз бир буъаг айырмаг олар.

12) (Цчбуъагларын бярабярлийинин биринъи яламяти). Ики цчбуъаьын ики тяряфи вя онлар арасындакы буъаьы бярабярдирся, бу цчбуъаглар бярабярдир.

13) (Паралеллик аксиому). Дцз хяттин цзяриндя олмайан нюгтядян бу дцз хяття ян чоху бир паралел дцз хятт чякмяк олар. Яэяр щяндяси фигур, ортаг дахили нюгтяси олмайан сонлу сайда цчбуъаглардан ибарятдирся, она садя фигур дейяъяйик. Ашаьыдакы аксиомлар садя фигурларын сащялярини щесабламаьа имкан верир.

14) (Сащянин варлыьы аксиому). Щяр бир садя фигурун сечилмиш юлчц ващиди иля ифадя олунан мцсбят сащиси вар.

15) (Сащялярин бярабярлийи аксиому). Бярабяр цчбуъагларын сащяси бярабярдир.

16) (Сащялярин топланмасы аксиому). Яэяр фигур, ортаг дахили нюгтяси олмайан сонлу сайда садя фигурлардан ибарятдирся, онда бу фигурун сащяси онун щиссяляринин сащяляри сяминя бярябярдир.

17) (Сащя ващиди аксиому). Тяряфи a олан квадратын сащяси 2a -на бярабярдир.

ЫЫ ФЯСИЛ

ÇOXLUQ ANLAYIŞI VƏ ONUN MƏKTƏB RIYAZIYYATINDA ROLU.

§1. Çoxluq. Çoxluğun elementləri.

Müasir riyaziyyatda ən vacib, çox yayılmış və geniş

istifadə olunan anlayışlardan biri də çoxluq anlayışıdır. Məşhur rus riyaziyyatçısı akademik P.S.Aleksandrov demişdir: “Çoxluqlar nəzəriyyəsinin ideya və anlayışları tam mənası ilə demək olar ki, müasir riyaziyyatın bütün bölmələrinə nüfuz etmiş və onun simasını əsaslı surətdə dəyişmişdir. Ona görə də çoxluqlar nəzəriyyəsinin anlayışları ilə tanış olmadan müasir riyaziyyat haqqında düzgün təsəvvür əldə etmək olmaz”. Çoxluq anlayışı riyaziyyatın ilk anlayışlarından biridir. Çoxluq haqqında danışarkən, hər hansı bir obyektin bu çoxluğa daxil olması və ya daxil olmaması faktlarından biri doğru olmalıdır.

Çoxluğu əmələ gətirən obyektlər çoxluğun elementləri adlanır. Məsələn: 7, 11, 17, 19 ədədləri natural ədədlər çoxluğunun elementləridir. Çoxluqları bir-birindən fərqləndirmək üçün onları latın və yunan əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə edirlər. Çoxluğun elementləri isə bir qayda olaraq, latın və yunan əlifbasının kiçik hərfləri ilə işarə edilirlər. { }dcbaA ,,,= və

{ }badcB ,,,= çoxluqlarının elementləri müxtəlif qaydada yazılmasına baxmayaraq, A və B çoxluğu a, b, c, d elementlərinin çoxluğudur. a elementinin A çoxluğuna daxil olması münasibəti Aa ∈ şəklində göstərilir və belə oxunur: “a elementi A çoxluğuna daxildir” və ya a A çoxluğunun elementidir, bəzən bu faktı aA ∋ şəklində də yazırlar (“A çoxluğu a elementini özündə saxlayır”). a elementinin A çoxluğuna daxil olmaması faktı isə Aa ∉ kimi işarə edilir, bəzən Aa ∈ və ya

aA ∋ şəklində də yazırlar. Məsələn: Əgər A cüt natural ədədlər

çoxluğudursa, onda A321A17A328A16 ∉∉∈∈ ,,, və s.

Çoxluq o zaman verilmiş hesab edilir ki, istənilən elementin bu çoxluğa daxil olub və ya olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olsun. Elementlərinin sayının sonlu və ya sonsuz olmasından asılı olaraq çoxluqları sonlu və ya sonsuz çoxluqlara ayırırlar. Sonlu çoxluğu işarə edərkən onun elementlərini mötərizə daxilində “{” və “}” göstərirlər. Məsələn, { }γβα ,,=A .

Sonsuz çoxluğu işarə edərkən onun bütün elementlərinin elə xassəsi göstərilir ki, verilmiş elementin həmin çoxluğa daxil olub-olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olur, yəni çoxluğun elementlərinin mühüm və ümumi xarakteristik xassələri ğöstərilir. Məsələn: { }3:xNxA ∈= -yəni 3-ə bölünən natural ədədlər çoxluğu. Ola bilər ki, çoxluğun heç bir elementi olmasın. Məsələn: 02x 2 =+ tənliyinin həqiqi kökləri çoxluğuna heç bir ədəd daxil deyil. Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və adətən ∅ ilə işarə edilir. Boş çoxluğun elemntlərinin sayı sıfra bərabərdir. Bəzi ədədi çoxluqları işarə etmək üçün xüsusi hərflərdən istifadə olunur. Məsələn, natural ədədlər çoxluğu { },...3,2,1=N , mənfi olmayan bütün tam ədədlər çoxluğu - { },...3,2,1,00 =N , tam ədədlər çoxluğu

{ },...3,2,1,0,1,2,3..., −−−=Z , rasional ədədlər çoxluğu Q, həqiqi ədədlər çoxluğu R ilə işarə edilir.

§2. Alt çoxluq.

Tərif. Fərz edək ki, iki A və B çoxluqları verilmişdir. Əgər A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğunun da elementi olarsa, onda A çoxluğuna B çoxluğunun alt çoxluğu deyilir. Çoxluqlar arasında bu münasibət BA ⊂ şəklində yazılır və belə oxunur: “A B-yə daxildir” və ya “A B-nin alt çoxluğudur”. Bəzən

BA ⊂ əvəzinə AB ⊃ kimi yazılışdan da istifadə olunur, yəni B çoxluğu A çoxluğunu özündə saxlayır. Alt çoxluğun tərifindən görünür ki, hər bir çoxluq özünün alt çoxluğudur, yəni: AA ⊂ və ya AA ⊃ . Tərifə əsasən istənilən boş olmayan A çoxluğunun həmişə ən azı iki alt çoxluğu vardır. A və ∅ çoxluq. Bu çoxluqlar A çoxluğunun qeyri-məxsusi alt çoxluqları adlandırılır. A çoxluğunun ∅ -dan və A-nın özündən fərqli, istənilən M altçoxluğuna A çoxluğunun məxsusi alt çoxluğu və ya düzgün hissəsi deyilir. Məsələn: Tutaq ki,

{ } { }kfdcbaBdcbaA ,,,,,,,,, == çoxluqları verilmişdir. Göründüyü kimi A çoxluğunun bütün elementləri B çoxluğunda vardır. Onda BA ⊂ və ya AB ⊃ şəklində yazılır. Bu halda A çoxluğu B-nin məxsusi alt çoxluğu adlanır. Verilən tərifə əsasən { }cbaA ,,= çoxluğunun məxsusi alt çoxluqları bunlardır:

{ } { } { } { } { } { }cbcabacba ,,,,,,,, . A çoxluğunun qeyri-məxsusi alt çoxluqları isə { }cba ,, və ∅ çoxluqlarıdır. Qeyd. Biz yuxarıda elementin çoxluğa və bir çoxluğun başqa bir çoxluğa daxil olması münasibətlərini verdik. Lakin iki çoxluğu əlaqələndirən daxil olma münasibətilə, elementlə çoxluğu əlaqələndirən daxil olma münasibətini bir-birindən fərqləndirmək lazımdır. Bunu aşağıdakı misal üzərində aydınlaşdıraq. F ilə müəyyən bir müstəvini işarə edək. Aydındır ki, bu müstəviyə nöqtələr çoxluğu kimi baxmaq olar. A ilə bu müstəvidə yerləşən hər hansı düz xətti işarə edək. Burada A düz xətti F müstəvisinin nöqtələrindən təşkil olunduğundan A-ya F çoxluğunun alt çoxluğu kimi baxılmalıdır: FA ⊂ . Lakin demək olmaz ki, A F-in elementidir. Digər tərəfdən, həmin F müstəvisinə düz xətlər çoxluğu kimi baxmaq olar. Bu halda A düz xətti F çoxluğunun bir elementi olacaqdır: FA∈ . Lakin bu halda nöqtə F çoxluğunun elementi deyil.

§3. Çoxluqların bərabərliyi.

Tərif. BA ⊂ və AB ⊂ şərtlərini ödəyən çoxluqlara bərabər çoxluqlar deyilir və BA = şəklində yazılır. Məsələn:

1) { }10,2−=A çoxluğu ilə ( )( ) 0102 =−+ xx tənliyinin kökləri çoxluğu bərabər çoxluqlardır.

2) { }dcbaA ,,,= və { }badcB ,,,= çoxluqlarına baxaq. Göründüyü kimi, BA ⊂ və AB ⊂ . Deməli, BA = .

3) A ilə 042 =+x tənliyinin həqiqi kökləri çoxluğunu, B ilə 032 =−x tənliyinin rasional kökləri çoxluğunu işarə edək. Aydındır ki, bu halda BA = ( )∅=∅= BA , .

Çoxluqların bərabərliyinin aşağıdakı xassələri vardır: 1) Refleksivlik xassəsi: AA = . 2) Simmetriklik xassəsi: BA = olarsa, AB = olur. 3) Tranzitivlik xassəsi: BA = və CB = olarsa,

CA = olur. Bəzi hallarda eyni bir çoxluğun alt çoxluqları nəzərdən

keçirilir. Bu halda həmin çoxluğa universal çoxluq deyilir və J ilə işarə edilir. Məsələn: Bir universitetin bütün tələbələri çoxluğu universal çoxluq qəbul edilə bilər, çünki həmin universitetdə təhsil alan bütün fakültələrin tələbələri çoxluğu universitetin bütün tələbələri çoxluğunun (J) alt çoxluqlarıdır.

§4. Eyler-Venn dioqramları.

Çoxluqlar arasındakı münasibəti

əyani şəkildə təsvir etmək üçün Eyler-Venn dioqramlarından istifadə edilir [Eyler (1707-1783) İsveç riyaziyyatçisi, Peterburq EA-nın üzvü, Dyon-Venn (1834-1923) ingilis riyaziyyatçısı]. Eyler əyani olaraq hər bir çoxluğu dairə şəklində təsvir etməyi təklif etmişdir (bu zaman

A B

Şəkil 1.

dairənin ölçüləri və vəziyyəti nəzərə alınmır). Əgər A çoxluğu B çoxluğunun hissəsidirsə, onda A–nı ifadə edən dairə B-ni ifadə edən dairənin içərisində yerləşdirilir (Şəkil 1).

Qeyd edək ki, əgər hər hansı iki çoxluğun ortaq elementləri vardırsa və onların heç biri digərinin hissəsi deyilsə, onda bu çoxluqlara uyğun Eyler dairələrinin bir-birini örtən müəyyən hissələri vardır (Şəkil 2).

Qeyd edək ki, Eyler-Venn dioq-ramlarında çoxluqların həmişə dairə şəklində təsvir edilməsi vacib deyil. Dairə əvəzinə istənilən fiqur (müstəvi), məsələn, kvadrat, romb, yarımdairə və s. götürmək olar.

§5.Çoxluqlar üzərində əməllər. Çoxluqların birləşməsi (cəmi).

Tərif. İki çoxluğun birləşməsi bu çoxluqların heç olmazsa birinə daxil olan bütün elementlərdən düzəldilmiş çoxluğa deyilir və çoxluqların birləşməsi əməliyyatı “ ∪ ” simvolu ilə işarə edilir. Misal: 1) { } { }kfdcBdcbaA ,,,,,,, == şəklində olarsa, onda { }kfdcbaBAC ,,,,,=∪= olar. Qeyd edək ki, A və B çoxluqlarının hər birinə daxil olan element bu çoxluqların birləşməsinə (C çoxluğuna) yalnız bir dəfə daxil olmalıdır.

2) { }θξηγβα ,,,,,=A və { }ωξηβ ,,,=B çoxluqlarının birləşməsi olan { }ωθξηγβα ,,,,,,=∪= BAC çoxlugunda 7 element var. Amma bu iki çoxluğun birlikdə 10 elementi var, yəni birləşməyə hər bir element bir dəfə daxil olur.

Şəkil 2.

A B

A B

Şəkil 1.

A və B çoxluqlarının birləşməsinə daxil olan ixtiyari x elementi Ax ∈ və ya Bx ∈ xassəsinə malik olduğu üçün BA ∪ birləşməsini riyazi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar:

{ }BxAxxBA ∈∨∈=∪ . Buradan görünür ki, birləşməyə daxil olan hər bir element

ya A-nın elementlərinin xarakterisik xassəsinə və ya B-nin elementlərinin xarakteristik xassəsinə malikdir.

§6. Çoxluqların birləşməsinin xassələri.

1) Kommutativlik xassəsi: İxtiyari iki A və B çoxluqları üçün

aşağıdakı bərabərlik doğrudur: ABBA ∪=∪ .

2) Assosiativlik xassəsi: İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün

aşağıdakı bərabərlik doğrudur: ( ) ( )CBACBA ∪∪=∪∪ .

3) AB ⊂ olduqda ABA =∪ . Xüsusi halda ixtiyari A çoxluğu üçün aşağıdakı münasibətlər

doğrudur: )(,, JAJJAAAAAA ⊂=∪=∅∪=∪ .

Oxşar qayda ilə istənilən sayda sonlu və sonsuz çoxluqların birləşməsini tapa bilərik. n – sayda verilmiş

nAAA ,...,, 31 çoxluqlarının birləşməsi i

n

1iAA

=∪= , sonsuz sayda

çoxluqların birləşməsi isə i1iAA

∞

=∪= şəklində işarə edilir.

Aydındır ki, bu zaman ,...,,, 321iAAi =⊂ .

§7. Çoxluqların kəsişməsi.

Tərif. Verilmiş A və B çoxluqlarının bütün ortaq elementlərindən ibarət olan C çoxluğuna A və B çoxluqlarının kəsişməsi deyilir və bu CBA =∩ kimi işarə olunur (Şəkil 1). Burada “ ∩ ” – çoxluqların kəsişməsi simvoludur.

A və B çoxluqları ortaq elementlərə malik deyilsə, onda bu çoxluqlara kəsişməyən çoxluqlar deyilir və simvolik olaraq

∅=∩ BA kimi yazılır. Məsələn:

1) { } { }23,16,14,12,7,12,9,7,3,2 == BA şəklində olarsa, onda { }12,7=∩= BAC olar.

2) Əgər { } { }ξηβα ,,,,,, == BcbaA şəklində olarsa, onda ∅=∩ BA .

Qeyd edək ki, A və B çoxluqlarının heç olmazsa bir ortaq elementi olarsa, onda həmin çoxluqlar kəsişir, yəni A ∅≠∩ B olur.

n-sayda çoxluqların kəsişməsi aşağıdakı şəkildə yazılır:

{ }n21i

n

1iAxAxAxxAA ∈∈∈=∩=

=,...,,: .

iA çoxluqlarının sayı sonsuz olarsa,

{ },...3,2,1,:1

=∈=∩=∞

=iAxxAA iii

.

§8. Çoxluqların kəsişməsinin xassələri.

1) Çoxluqların kəsişməsi kommutativlik xassəsinə malikdir, yəni ixtiyari iki A və B çoxluqları üçün aşağıdakı münasibət doğrudur:

ABBA ∩=∩ .

A B

Şəkil 1.

2) Çoxluqların kəsişməsi assosiativdir, yəni ixtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

( ) ( )CBACBA ∩∩=∩∩ . Bu xassənin isbatı çoxluqların

kəsişməsinin tərifindən çıxır. Həmin xassəni əyani şəkildə göstərmək üçün Eyler-Venn dioqramından istifadə edək:

3) BA ⊂ olarsa, ABA =∩ olar. Xüsusi halda alınır ki, ixtiyari A çoxluğu üçün aşağıdakı münasibətlər doğrudur: ( )JAAJAAAAA ⊂=∩∅=∅∩=∩ ;; .

Misal. A, B, C, D nöqtələrindən

ibarət olan X çoxluğu ilə A, B, M, N, P nöqtələrindən ibarət olan Y çoxluğunun birləşməsini və kəsişməsini tapın:

{ } { }PNMBAYDCBAX ,,,,;,,, == . Şəkil 2. Tərifə görə yaza bilərik:

{ }{ }.,

,,,,,,BAYX

PNMDCBAYX=∩=∪

Şəkil 3. 4) İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik

doğrudur:

( ) ( ) ( )CABACBAa ∩∪∩=∪∩) ; ( ) ( ) ( ) .) CABACBAb ∪∩∪=∩∪

A

B C

Şəkil 1.

X Y

C A

D

B N

M P

X Y C

D

A

B

M P

N

§9. Çoxluqların cəm qaydası.

Tutaq ki, sonlu A və B çoxluqları verilmişdir. A və B çoxluqlarının elementlərinin sayını uyğun olaraq, ( ) ( )BmAm , ilə işarə edək. Onda ixtiyari A və B sonlu çoxluqları üçün aşağıdakı düstur doğrudur:

( ) ( ) ( ) ( )BAmBmAmBAm ∩−+=∪ . (1) Doğrudan da əgər A və B çoxluqları kəsişmirlərsə, onda

( ) 0=∩ BAm . Bu halda verilmiş çoxluqların birləşməsindəki elementlərin sayı onların elementlərinin sayının cəminə bərabər olur:

( ) ( ) ( )BmAmBAm +=∪ . Əgər A və B çoxluqlarının kəsişməsi boş deyilsə, onda

onların ortaq elementlərinin sayı ( ) 1≥∩ BAm olacaqdır. Bu çoxluqların birləşməsini düzəltmək üçün A çoxluğunun elementlərinə B çoxluğunun A-da olmayan bütün elementlərini qoşmaq lazımdır. Belə elementlərin sayı ( ) ( )BAmBm ∩− fərqinə bərabərdir. Beləliklə, ( ) ( ) ( ) ( )BAmBmAmBAm ∩−+=∪ . Bu düsturu

( ) ( ) ( ) ( )BAmBmAmBAm ∪−+=∩ (2) şəklində də yazmaq olar.

Bu qaydanı, yəni cəm qaydasını ikidən artıq sayda cüt-cüt kəsişməyən çoxluqlar üçün ümumiləşdirmək olar.

Cəm qaydası aşağıdakı kimi ümumi şəkildə ifadə edilir:

{ })3()(...)(

)(,...,,

2

121

n

n

AmAmAmAxyaAxyaAxyaxm

+++

+=∈∈∈

və ya ( ) )(...)()(... 21321 nn AmAmAmAAAAm +++=∪∪∪ ,

burada ( )jinjiAA ji ≠=∅=∩ ;,1, . Eyni qayda ilə isbat etmək olar ki, elementlərinin sayı sonlu olan BA, və C çoxluqları üçün

−∩−∩−++=∪∪ )()()()()()( CAmBAmCmBmAmCBAm

)()( CBAmCBm ∩∩+∩−

olur.

)...()1(

...)(...)()(...

)()(...)()()...(

1

23211

212121

n

nnnn

nn

AAm

AAmAAAmAAm

AAmAmAmAmAAAm

∩∩−+

++∩++∩∩+∩−−

−∩−+++=∪∪∪

−−

çoxluqların birləşməsindəki elementlərin sayını təyin etməyə imkan verən bu düsyur cəm qaydası adlanır. Məsələn. Qrupda olan 40 tələbədən 30 nəfəri ingilis dilini, 27 nəfəri isə alman dilini mükəmməl bilir, 5 nəfəri isə nə ingilis, nə də alman dilini bilir. Neçə tələbə həm ingilis, həm də alman dilini bilir?

Həlli. Tutaq ki, A ingilis dilini, B isə alman dilini bilən tələbələr çoxluğudur. Məsələnin şərtinə görə ( ) ,30=Am

( ) 27=Bm . (2) düsturundan alırıq ki,

( ) ( ) ( ) ( ) 22352730BAmBmAmBAm =−+=∪−+=∩ . Deməli, 22 şagird həm ingilis və həm də alman dilini mükəmməl bilir.

§10. Çoxluqların fərqi.

Tərif. A çoxluğunun B çoxluğuna

daxil olmayan bütün elementlərindən ibarət

A B

C

Şəkil 1.

olan C çoxluğuna A və B çoxluqlarının fərqi deyilir və bu BAC \= kimi işarə edilir.

Bu halda B-nin A çoxluğunun alt

çoxluğu olması vacib deyildir. Əgər xüsusi halda B çoxluğu A çoxluğunun alt çoxluğu olarsa ( )AB ⊂ , onda A ilə B-nin fərqi olan

BA \ , B çoxluğunu A çoxluğuna tamamlayan çoxluq adlanır və BCA kimi işarə edilir, yəni BABCA \= . Misal. { } { }752B7654321A ,,,,,,,,, == çoxluqlarının fərqi { }6,4,3,1\ == BAC şəklində olur. Buradan görünür ki, C çoxluğunun hər bir elementi A çoxluğuna daxildir, lakin B çoxluğuna daxil deyil. Bu xassəni nəzərə alsaq, çoxluqların fərqinin tərifini simvolik olaraq aşağıdakı kimi yaza bilərik:

{ }{ } .,|\

,,|\

1 AxBxxABCBxAxxBAC

∉∈==∉∈==

Ola bilər ki, ∅=∩ BA . Bu halda BABABA == \,\ olur. Məsələn:

1. [ ] [ ] [ ] [ ]12,7\,4,3\.12,7,4,3 ==== ABBAhaldaBuBA.

2. { } { }ξηγξηγβα ,,,,,,, == BA çoxluqları verilmişdir. Aydındır ki, { } ∅== ABBA \,,\ βα olar.

Aydındır ki, BA = olarsa, ABBA \\ = olar. Digər hallarda, ABBA \\ ≠ olur.

Çoxluqların fərqini çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi əməlləri ilə əlaqələndirən aşağıdakı bərabərliklər ixtiyari A, B, C çoxluqları üçün doğrudur:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),\\\)2

,\\\)1CABACBACABACBA

∩=∪∪=∩

( ) ( ) ( )CABACBA ∩∩=∩ \\)3

B C A

Şəkil 2.

Tutaq ki, A və B çoxluqları verilmişdir. Əgər AB ⊂ isə, onda

( ) ABBA =∪\ münasibəti doğrudur. Qeyd edək ki, ( ) BABBA ∪=∪\ bərabərliyi həmişə doğrudur.

Tutaq ki, A və B çoxluqları verilmişdir. Universal J çoxluğunda bu çoxluqların tamamlayıcısı ACJ və BCJ ilə, onların kəsişməsi və birləşməsinin tamamlayıcıları uyğun olaraq,

( ) ( )BACBAC JJ ∩∪ , ilə işarə edilir. Çoxluqların kəsişməsi və birləşməsinin tamamlayıcıları haqqında Şotland riyaziyyatçısı A.De Morqanın (1806-1871) aşağıdakı teoremi vardır: Teorem: 1) Tutaq ki, JA ⊂ və JB ⊂ (A və B çoxluqları eyni bir J çoxlugunun alt çoxluqlarıdır). Onda A və B çoxluqlarının kəsişməsinin tamamlayıcısı, onların tamamlayıcılarının birləşməsinə bərabərdir:

( ) BCACBAC JJJ ∪=∩ . (4)

2) A və B çoxluqlarının birləşməsinin tamamlayıcısı isə onların tamamlayıcılarının kəsişməsinə bərabərdir:

( ) BCACBAC JJJ ∩=∪ . (5)

İsbatı. (4) bərabərliyinin doğruluğunu isbat edək. ( )BACx J ∩∈∀ götürək. Onda tərifə əsasən, aşağıdakı məntiqi

ardıcıllığı alarıq: ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

[ ] [ ] .

,

BCxACxxBCxACxBCxACx

BCxACxJxBxAxBxAxBxAxJxBAxBACx

JJ

JJJJ

JJ

J

∈∪∈∈⇔⇔∈∧∈∨∈∧∉∨

∨∉∧∈⇔∈∉∧∉∨∉∧∈∨

∨∈∧∉⇒∈∩∉⇒∩∈∀

Beləliklə, ( ) [ ] [ ]BCACBAC JJJ ∪⊂∩ . (6)

Digər tərəfdən

[ ] [ ] ( )( ) ( )⇒∈∧∉∨∉∧∈∨

∨∈∧∈⇒∪∈∀BCxACxBCxACx

BCxACxBCACx

JJJJ

JJJJ

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) .BACxBAx

JxBxAxBxAxBxAx

J ∩∈⇔∩∉⇔⇔∈∉∧∈∨∈∧∉∨∉∧∉⇒

Buradan alırıq ki, [ ] [ ] ( )BACBCAC JJJ ∩⊂∪ . (7)

Beləliklə, (6) və (7) münasibətlərindən alırıq ki, ( ) [ ] [ ]BCACBAC JJJ ∪=∩ . İndi isə (5) bərabərliyinin doğruluğunu isbat edək.

( )BACx J ∪∈∀ götürək. Onda ( ) ( )( ) ( )⇒∪∉⇒∈∩∉⇒∪∈∀ BAxJxBAxBACx J ( )( ) ( ) ⇔∈∧∈⇔∈∉∧∉⇒ BCxACxJxBxAx JJ [ ] [ ],BCxACxx JJ ∈∩∈∈⇔ yəni

( ) [ ] [ ]BCACBAC JJJ ∩⊂∪ ; (8) sonra,

[ ] [ ] ( )

( )( ) ( )( )( ),BACx

JxBAxJxBxAxBCxACxBCACx

J

JJJJ

∪∈⇔⇔∈∪∉⇔∈∉∧∉⇒

⇒∈∧∈⇒∩∈∀

yəni [ ] [ ] ( )BACBCAC JJJ ∪⊂∩ . (9)

Onda (8) və (9)-dan alırıq: ( ) [ ] [ ]BCACBAC JJJ ∩=∪ . Teoremin hər iki hissəsi tamamilə isbat edildi. Misal. { }θξηγβα ,,,,,J = { } { }δβαγβα ,,B,,A == olsun. Onda

{ } { } { }( ) { } ( ) { }θηγθξηγ

βαθηγθξη,,,,,,

,,,,,,,=∪=∩

=∩==BACBAC

BABCAC

JJ

JJ

olur. Axırıncı bərabərliklərdən görünür ki,

( ) ( )BACBAC JJ ∪=∩ -dır (bu halda A və B J-nin alt çoxluqlarıdır). Qeyd edək ki, “tamamlama” əməliyyatının nəticəsi verilmiş çoxluğun hansı çoxluğa “tamamlanmasından” bilavasitə asılı olur. Məsələn: tam ədədlər çoxluğunu rasional ədədlər çoxluğuna tamamlayan – bütün adi kəsr ədədlər çoxluğudur. Əgər tam ədədlər çoxluğunun həqiqi ədədlər çoxluğuna tamamlanmasına baxırıqsa, onda kəsr və irrasional ədədlər çoxluqlarının birləşməsi tamamlayıcı çoxluq olacaqdır.

§11. Verilmiş çoxluğun bütün alt çoxluqları.

Tutaq ki, hər hansı A çoxluğu verilmişdir. Bu çoxluğun bütün mümkün olan alt çoxluqlarının əmələ gətirdiyi çoxluğu P(A) ilə işarə edək. Məsələn: { } ,, olarsabaA = =)(AP

{ } { } { }{ }baba ,,,,∅= olar. Aydındır ki, ∅ çoxluq ixtiyari çoxluğun alt çoxluğu və hər bir çoxluq özünün alt çoxluğu olduğu üçün, yəni A⊂∅ və AA ⊂ olduğuna görə )A(P∈∅ və )A(PA∈ olar. Sonlu A çoxluğunun elementlərinin sayını ( )Am simvolu ilə işarə edək. Bu halda A iki elementli çoxluq isə, onda ( ) 2Am = . Əgər

∅=A olarsa, onda ( ) 0Am = qəbul edilir. Teorem. Verilimiş n elementli A çoxluğunun bütün mümkün olan alt çoxluqlarının sayı n2 -ə bərabərdir, yəni

( )Am2APm =))(( . (10) Isbatı. Teoremi isbat etmək üçün riyazi induksiya metodundan istifadə edək.

1) Tutaq ki, 0n = . Bu o deməkdir ki, A boş çoxluqdur, yəni ∅=A ; onda }{)( ∅=AP və 1))A(P(m = olar, yəni

021))(( ==APm . 2) 1n = olduqda, { }aA = olar. { }{ }a,)A(P ∅= ,

1222APm == ;))(( .

3) 2n = olduqda { }b,aA = olar. { } { } { }{ }babaAP ,,,,)( ∅= .

224))A(P(m == .

İndi isə teoremin )1n( − üçün doğru olduğunu qəbul edək. Onda )( 1n − elementli çoxluq üçün

1n2))A(P(m −= olar.

Bu çoxluğa bir element də əlavə etməklə n elementli çoxluğa tamamlayaq. Bu elementi əvvəlki 1n2 − sayda elementi olan çoxluğun hər bir elementinin yanında yazsaq, onda n-elementli çoxluğun, əlavə olaraq 1n2 − sayda alt çoxluğunu almış oluruq. Aydındır ki, n-elementli çoxluğun bütün alt çoxluqları sayı 1n1n 22 −− + olar. Deməli,

.2))((

,22222))(( 111

n

nnnn

APm

APm

=

=⋅=+= −−−

Teorem isbat edildi.

§12. Nizamlanmış cüt.

Iki a və b elementlərinin müəyyən sırada düzülüşünə

nizamlanmış cüt deyilir və ( )b,a ilə işarə edilir. a- ya cütün birinci, b-yə isə ikinci elementi (komponenti, koordinatı) deyilir. Iki cüt o zaman bərabər hesab edilir ki, həmin cütlərin uyğun komponentləri bərabər olsun, yəni

2121 bb,aa == olduqda ( ) ( )2211 b,ab,a = hesab edilir. ba ≠ olduqda ( ) ( )a,bb,a ≠ olur.

Tutaq ki, ( )b,a nizamlanmış cütü 41 kəsrinin surət və

məxrəcini göstərir: ( ) ( ) ( )1,44,1;4,1 ≠== ondaba olar.

§13. Iki çoxluğun düz (Dekart) hasili.

Fərz edək ki, boş olmayan A və B çoxluqları verilmişdir. A çoxluğundan hər hansı bir a elementi götürüb, sonra ona B çoxluğunun müəyyən bir b elementini qoşmaqla ( )b,a nizamlı cütünü quraq. Bu qayda ilə hər dəfə birinci yerdə A çoxluğunun elementlərini, ikinci yerdə isə B çoxluğunun elementlərini yazmaqla A və B çoxluqlarının bütün elementlərindən istifadə etməklə bütün nizamlı cütləri tərtib etmək olar. Nəticədə A və B çoxluqlarının elementlərindən düzəldilmiş nizamlı cütlərdən ibarət olan C çoxluğunu alırıq.

Elementləri verilmiş A və B çoxluqlarının elementlərinin nizamlanmış ( )yx, cütlərindən ibarət olan C çoxluğuna (burada

By,Ax ∈∈ ) A və B çoxluqlarının düz hasili və ya dekart hasili deyilir. A və B çoxluqlarının düz hasili BAC ×= şəklində işarə edilir. Onda tərifə görə əsaslanaraq

( ){ }ByAxyxBAC ∈∈=×= ,|, şəklində yazmaq olar. Misal. Fərz edək ki, { } { }5,4,3B,6,4,2,1A == çoxluqları

verilmişdir. Bu halda BA× düz hasilinin elementlərini yazaq: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){

( ) ( ) ( ) ( ) ( )}.5,6;4,6;3,6;5,4;4,4;3,4;5,2;4,2;3,2;5,1;4,1;3,1=× BA

Göründüyü kimi BA× çoxluğunda 12 nizamlanmış cüt var. A çoxluğunun 4, B çoxluğunun 3 elementi var, yəni 1234 =⋅ Göstərmək olar ki, sonlu çoxluqların dekart hasilindəki cütlərin sayı A və B çoxluqlarında olan elementlərin sayını göstərən ədədlərin hasilinə bərabərdir. A və B çoxluqları üçün BA = olduqda AA× çoxluğu

( ){ }AyAxyxAA ∈∈=× ,|, şəklində olur. Məsələn, { } { }b,aB,b,aA == olarsa, onda BA = və

( ) ( ) ( ) ( ){ }bb,;a,b;b,a;a,aAA =× şəklində olar. Bu misal göstərir ki, dekart hasilin hər bir cütü nizamlanmışdır. Çoxluqların dekart hasilini təsvir etmək üçün “həndəsi dildən” istifadə etmək daha əlverişli olur. Bu halda BA×

çoxluğunun elementlərini nöqtələr adlandırırlar. Əgər ( )yxC ,= olarsa, Ax ∈ C nöqtəsinin absisi, By ∈ isə C nöqtəsinin ordinatı adlandırılır. Məsələn, həqiqi ədədlər çoxluğunu R ilə işarə etdikdə müstəvinin nöqtələr çoxluğu RR × dekart (düz) hasilindən ibarət olur. Başqa bir misal göstərək: [ ]1,0A = parçasını götürək. Onda ( ) [ ] [ ]{ }1,0y;1,0x|y;xAA ∈∈=× olar. Bu çoxluq kvadrat əmələ gətirir, yəni ixtiyari A çoxluğu üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur: 1. ∅=×∅=∅× AA . 2. BA ≠ olduqda

ABBA ×≠× . 3. A, B və C çoxluqlarından

heç biri boş çoxluq deyilsə, onda Şəkil 1.

( ) ( ) CBACBACBA ××=××=×× . 2-ci xassənin doğruluğunu izah edək. Doğrudan da, BA ≠ olduqda, ya elə 0x elementi vardır ki,

Bx,Ax 00 ∉∈ , ya da elə 0y elementi vardır ki, By,Ay 00 ∈∉ . Fərz edək ki, Bx,Ax 00 ∉∈ . Onda

( ) BAy,x 00 ×∈ cütü AB × ya daxil deyil, çünki Bx0 ∉ . Deməli ABBA ×≠× . AyBy 00 ∉∈ , olduqda da analoji qayda ilə

göstərmək olar ki, ABBA ×≠× . Deməli, BA ≠ olduqda həmişə ABBA ×≠× .

Çoxluqların dekart hasili əməlini çoxluqların birləşməsi və fərqi əməlləri ilə əlaqələndirən aşağıdakı distributivlik qanunları doğrudur:

1) ( ) ( ) ( )CBCACBA ×∪×=×∪ ; (11) 2) ( ) ( ) ( )CB\CACB\A ××=× . (12)

(11)- bərabərliyinin doğru olduğunu isbat edək: Tutaq ki, ( ) ( ) ,,,, CyBAxondaCBAyx ∈∪∈×∪∈

y 1

A 0

A x

AA×

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).,,,,,

,,,

CBCAyxCByxCAyxCyBxCyAx

CyBxAxCyBAxCBAyx

×∪×∈⇔×∈∨×∈⇒⇒∈∈∨∈∈⇒⇒

∈∈∨∈⇒∈∪∈⇒×∪∈

Buradan alırıq ki,

( ) ( ) ( )CBCACBA ×∪×⊂×∪ , (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) .,

,,,,

,,,

CBAyxCyBAxCyBxAx

CyBxCyAxCByxCAyxCBCAyx

×∪∈⇔⇔∈∪∈⇒∈∈∨∈⇒

⇒∈∈∨∈∈⇒⇒×∈∨×∈⇒×∪×∈∀

Beləliklə, göstərdik ki, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .

,,CBACBCA

CBAyxCBCAyx×∪⊂×∪×⇒

⇒×∪∈⇒×∪×∈∀ (14)

(13) və (14) münasibətlərindən alırıq ki, (11) münasibəti doğrudur yəni ( ) ( ) ( )CBCACBA ×∪×=×∪ . (12) –nin isbatı analoji qaydada aparılır. Misal. { } ( ) { }dC,b,aB,,,A === γβα çoxluqlarına baxaq. Əvvəlcə ( ) CBA ×∪ çoxluğunu tapaq.

{ } ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.,,,,,,,,,

,,,,,dbdaddd

CBAbaBAγβα

γβα=

=×∪=∪

İndi isə bərabərliyin sağ tərəfini, yəni ( ) ( )CBCA ×∪× -ni tapaq. { } { } ( ) ( ) { }{ }( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.,,,,,,,,,

,,,,

,,,,,,,

dbdadddCBCA

dbdaCB

ddddCA

γβα

γβαγβα

=×∪×

=×

=×=×

Bu münasibətlərdən alırıq ki, ( ) ( ) ( )CBCACBA ×∪×=×∪ doğrudur.

Çoxluqların Dekart hasilini istənilən k sayda k21 AAA ,...,, çoxluqları üçün ümumiləşdirmək olar. Bu hasil

( ){ }kk2211k21k21 AaAaAaaaaAAA ∈∈∈=××× ,...,,:,...,,... şəklində yazılır. Əgər k21 AAA === ... olarsa, onda AAA ××× ... Dekart hasili simvolik olaraq, kA ilə işarə edilir, burada kA -“ A çoxluğunun k -cı dərəcədən Dekart qüvvəti kimi oxunur”. Çoxluqların Dekart hasilində olan elementlərin sayı haqqındakı aşağıdakı teorem doğrudur. Teorem. Sonlu sayda verilmiş m21 AAA ..., çoxluqlarının Dekart hasilinin elementlərinin sayı verilmiş çoxluqların elementləri sayını göstərən ədədlərin hasilinə bərabərdir, yəni

( ) ( ) ( ) ( )m21m21 An...AnAnA...AAn =××× . (15) İsbatı. Teoremi iki sonlu çoxluq üçün isbat edək. Fərz edək ki, sonlu A və B çoxluqları verilmişdir. Onda göstərək ki, ( ) ( ) ( )BmAmBAm ⋅=× bərabərliyi doğrudur. Tutaq ki, { } { }n21n21 y,...,y,yBx,...,x,xA == şəklində verilmiş sonlu çoxluqlardır, yəni ( ) ( ) nBm,kAm == .

( ) ( )n,1j,k,1i,y,xhasiliBA ji ==× cütlərindən ibarətdir. Bu cütləri aşağıdakı kimi düzmək olar.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )44444 34444 21

sütun,,...,,,

....

....,,...,,,

,,...,,,

21

22212

12111

−

nyxyxyx

yxyxyxyxyxyx

nkkk

n

n

−k сятир.

(16) Buradan hər sətirdə ( )ji y,x şəklində n cüt sütun olmaqla k sətir alarıq. Onda BA× dekart hasilində olan bütün cütlərin sayı

kn ⋅ -ya bərabər olar, yəni ( ) knBAm ⋅=× ,

burada k-ədədi A çoxluğunun, n-ədədi isə B çoxluğunun elementlərinin sayını göstərdiyindən ( ) ( ) ( ) knBmAmBAm ⋅=⋅=× alarıq.

Beləliklə, iki sonlu çoxluq üçün teoremin doğruluğu isbat edildi. ( ) ( ) ( ) ( )m21m21 An...AnAnA...AAn ×××=××× bərabərliyi hasil qaydası adlandırılır. Əgər a elementini n üsulla, b elementini m üsulla seçmək mümkün olarsa, onda ( )b,a nizamlanmış cütünü mn ⋅ üsulla seçmək olar. Misal. A məntəqəsindən B məntəqəsinə üç yol gedir. B-dən C-yə isə iki yol gedir. B məntəqəsindən keçməklə A-dan C-yə neçə üsulla getmək olar? Məsələni həll etmək üçün A-dan B-yə gedən yolları γβα ,, ilə, B-dən C-yə gedən yolları isə a və b ilə işarə edək. Onda A-dan B-yə gedən hər bir üsul bir cüt göstərir. Bu cütlər aşağıdakılardır: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b,,b,,b,,a,,a,,a, γβαγβα . Aydındır ki, alınan cütlər çoxluğu A-dan B-yə gedən yollar çoxluğu { }γβα ,,A1 = ilə B-dən C-yə gedən yollar çoxluğunu { }b,aA2 = -nin dekart hasilini göstərir.

( ) ( ) ( )2121 AmAmAAm ×=× .

( ) 3Am 1 = və ( ) 2Am 2 = olduğuna görə ( ) 6AAm 21 =× olar. Deməli, A məntəqəsindən C məntəqəsinə (B-dən keçməklə) 6 üsulla getmək olar.

α β

γ

a

b A C

B

Şəkil 2.

§14. Eynigüclü çoxluqlar. Qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq. Fərz edək ki, F sonlu çoxluqdur və onun elementlərinin sayı n -dir. Onda bu çoxluğun elementlərinin sayı olan n ədədinə F çoxluğunun gücü deyilir və simvolik olaraq belə yazılır:

nF = və ya ( ) nAm = , burada F simvolu “ F çoxluğunun gücü” kimi oxunur. Məsələn, { }23,5,3,1=F şəklindədirsə, onda F

çoxluğunun gücü, yəni 4F = olur. Tutaq ki, F və A iki sonlu çoxluqdur. Təbii olaraq, belə bir sual meydana çıxır ki, bu çoxluqlardakı elementlərin sayı eynidirmi? F və A ədədlərini tapmaqla, başqa sözlə F və A çoxluqlarının elementlərinin sayını tapmaqla biz bu suala cavab verə bilərik. Biz bu çoxluqların elementlərini saymasaq (yəni bu çoxluqların gücünü hesablamasaq) da bu suala cavab verə bilərik. Məsələn, tutaq ki, { }edcbaF ,,,,= və { }εδγβα ,,,,=A çoxluqları verilmişdir. Bu çoxluqları aşağıdakı kimi göstərməklə

F a b c d e A α β γ δ ε

bu çoxluqlarda elementlərin sayının eyni olduğunu görürük. Göründüyü kimi 5AF == . Bu cədvəl F və A çoxluqları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq mümkün olduğunu göstərir. Misal. Tutaq ki, N natural ədədlər çoxluğu və M müsbət cüt ədədlər çoxluğudur. Bu çoxluqların elementlərini aşağıdakı cədvəl vasitəsilə göstərməklə

N 1 2 3 ... n ... M 2 4 6 ... 2n ...

bu iki çoxluqdakı elementlərin “sayının” eyni olduğunu görürük. Tərif. Əgər F və A çoxluqları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq mümkün olarsa, onda deyirlər ki,

bu iki çoxluq ekvivalentdir və simvolik olaraq, F ~ A kimi yazılır. Hökm. Fərz edək ki, F və A sonlu çoxluqdur. Bu çoxluqların ekvivalent olması üçün zəruri və kafi şərt bu çoxluqların güclərinin bərabər olmasıdır, yəni AF = . Ekvivalent çoxluqlarda elementlərin sayı sonsuz olarsa, bu çoxluqların “eynigüclü” olduğu qəbul edilir. Deməli, N natural ədədlər çoxluğu ilə M müsbət cüt ədədlər çoxluğu eynigüclü çoxluqlardır. Tərif. N natural ədədlər çoxluğu ilə ekvivalent olan çoxluğa hesabi çoxluq deyilir və bu çoxluğun gücü simvolik olaraq, a hərfi ilə işarə edilir. Deməli, aN = . Bu tərifdən istifadə edərək asanlıqla aşağıdakı teoremin doğruluğu isbat edilir. Teorem. A çoxluğunun hesabi olması üçün zəruri və kafi şərt onun elementlərinin “nömrələnə” bilməsidir, yəni A çoxluğunun

{ },...,...,,, n321 aaaaA = (17) şəklində göstərilməsinin mümkün olmasıdır. Qeyd edək ki, rasional ədədlər çoxluğu hesabi çoxluqdur. Hər bir sonsuz çoxluq hesabi çoxluq olmaya da bilər. Teorem. [ ]10F ,= parçasının nöqtələri çoxluğu hesabi çoxluq deyil. Isbatı. Əksini fərz edək. Tutaq ki, F hesabi çoxluqdur. Onda bu çoxluğun elementlərini nömrələyə bilərik:

[ ] { },...,...,,, n21 xxx10F == . (18) Başqa sözlə [ ]10, parçasının hər bir nöqtəsi (18) ardıcıllığının müəyyən həddidir. [ ]10, parçasını 3 bərabər yerə bölək. Aydındır ki, (18) ardıcıllığının birinci həddi 1x bu üç

1

32

32

31

310 ,,,,, (19)

parçalarının üçündə də eyni zamanda ola bilməz. 1x elementi bu üç parçanın hansına daxil deyilsə, o parçanı 1F ilə işarə edək. Ola bilər ki, 1x elementi (19) parçalarından ikisinə daxil olmasın, onda 1F ilə bu parçalardan hər hansı birini işarə edirik. Deməli,

11 Fx ∉ . Sonra 1F parçasını 3 bərabər yerə bölüb, 2x elementinin daxil olmadığı parçanı 2F ilə işarə edək (belə parça iki dənə olarsa, onda 2F ilə bu parçalardan hər hansı birini işarə edirik). Deməli, 22 Fx ∉ . Bu prosesi sonsuz dəfə davam etdirsək, bir-birinə daxil olan parçalar ardıcıllığı almış oluruq, yəni

...⊃⊃⊃ 21 FFF , kn Fx ∉ , ( ),...,,,..., 321n1nnk =+= . (20)

nF parçasının uzunluğu n31 -ə bərabər olduğu üçün n -in artması

ilə parçaların uzunluqları ardıcıllığı 0-a yığılır. Onda, limitlər nəzəriyyəsindən məlum olan Kantor teoreminə əsasən, elə bir yeganə [ ]( )10,∈ξξ nöqtəsi var ki, o nF parçalarının hər birinə daxildir, yəni

,...,, 321nFnn =∈ξ . (21) ξ nöqtəsi [ ]10, parçasına daxil olduğu üçün o (18) ardıcıllığındakı hədlərdən biri olmalıdır. Tutaq ki, mx=ξ ( m müəyyən natural ədəddir). Deməli, (20) münasibətinə əsasən,

,...1,, +=∉ mmkFkξ . (22) (22) münasibəti (21) münasibətinə zidd olduğu üçün bizim fərziyyəmiz, yəni (18) münasibəti doğru deyil. Bununla teorem isbat olundu. Tərif. [ ]10F ,= parçası ilə ekvivalent olan hər bir çoxluq kontinium güclü çoxluq adlanır və onun gücü simvolik olaraq c hərfi ilə işarə edilir.

Deməli, cF = , burada [ ]10F ,= . Həqiqi dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsində göstərilir ki, N natural ədədlər çoxluğunun bütün mümkün altçoxluqları olan ( )NP çoxluğu

[ ]10F ,= çoxluğu ilə ekvivalentdir. Ona görə (10) düsturuna oxşar olaraq, a və c simvolları arasında ac 2= simvolik münasibətini yazırlar. Burada c [ ]10, parçasının gücü, a isə natural ədədlər çoxluğunun gücüdür. Teorem. İxtiyari [ ]ba, parçasının nöqtələri çoxluğu kontinium güclü çoxluqdur. Isbatı. Əgər x elementi [ ]ba, parçasının nöqtəsi olarsa, onda

abaxy

−−

= (23)

vasitəsi ilə təyin olunan y elementi [ ]ba, parçasının nöqtəsi olacaq. (23) funksiyası [ ]ba, parçası ilə [ ]10, parçası arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradır, yəni [ ]ba, ~ [ ]10, .Bu isə hər iki çoxluğun eynigüclü çoxluq olması deməkdir, yəni [ ]ba, parçasının bütün nöqtələri çoxluğu kontinium güclüdür.Teorem isbat olundu.

Aşağıdakı hökmlər doğrudur: 1. İrrasional ədədlər çoxluğunun gücü c -dir. 2. Həqiqi ədədlər çoxluğunun gücü c -dir.

§15. Nizamlanmış çoxluq.

Tərif. Əgər aşağıdakı iki şərti ödəyən elə ϕ qaydası varsa ki, bu qaydaya əsasən F çoxluğunun ixtiyari iki müxtəlif a və b elementləri üçün onlardan birinin o birindən “əvvəl gəldiyini” söyləmək olur, onda F çoxluğuna nizamlanmış çoxluq deyilir:

1. əgər ϕ qaydasına görə a elementi b elementindən “əvvəl gəlirsə”, onda bu qaydaya görə b elementi a elementindən “əvvəl gəlmir”;

2. əgər ϕ qaydasına görə a elementi b elementindən və b elementi c elementindən “əvvəl gəlirsə”, onda bu qaydaya görə a elementi c - dən “əvvəl gəlir”.

ϕ -yə nizamlanma qaydası deyilir. a elementinin b elementindən “əvvəl gəlməsini” simvolik olaraq ba → kimi yazılır. Əgər a elementi b elementindən “əvvəl gəlirsə”, onda deyirlər ki, b elementi a elementindən “sonra gəlir” və simvolik olaraq, ab ← kimi yazılır. Əgər cba →→ isə onda deyirlər ki, b elementi a və c elementləri arasında yerləşir.

Misallara baxaq. 1. F həqiqi ədədlər çoxluğudursa, onda a və b ədədləri

üçün “əvvəl gəlir” sözünü “kiçikdir” sözü ilə əvəz etməklə F çoxluğunun nizamlı çoxluq olduğunu alırıq.

2. Tutaq ki, F kompleks ədədlər çoxluğudur. Onda ixtiyari 0≠z kompleks ədədini birqiymətli olaraq

( ) 0,20,,sincos ><≤=+= rzrirz πϕϕϕ (24) şəklində göstərmək olar.

Əgər 0z = isə, onda 0r = və 0=ϕ şəklində götürməklə, Z kompleks ədələr çoxluğu ilə ( )ϕ,r cütləri ( 0r ≥ və

πϕ 20 <≤ ) arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmış oluruq:

( )ϕ,rz ⇔ , 0r ≥ və πϕ 20 <≤ . (25) Fərz edək ki,

( )( )2222

1111

sincos,sincos

ϕϕϕϕ

irzirz

+=+=

(26)

kompleks ədədləri verilib. Əgər qəbul etsək ki (yəni elə ϕ qaydası vardır ki), 21 rr < olduqda, 1z kompleks ədədi 2z kompleks ədədindən “əvvəl gəlir” və 21 rr = olduqda şərtləşsək ki, 21 ϕϕ < olanda 1z kompleks ədədi 2z kompleks ədədindən “əvvəl gəlir”, onda kompleks ədədlər çoxluğunun da nizamlı çoxluq olduğunu alarıq.

Fərz edək ki, { }cbaF ,,= çoxluğu nizamlı çoxluqdur. Onda elə 1ϕ qaydası var ki, bu qaydaya görə cba →→ . Əgər elə 2ϕ qaydası da var ki, bu qaydaya əsasən { }cabA ,,= çoxluğu nizamlı çoxluqdur, onda F və A çoxluqları müxtəlif nizamlı çoxluqlar sayılır. Aydındır ki, bu halda 1ϕ və 2ϕ qaydaları eyni ola bilməz.

3. Tutaq ki, F çoxluğu üç γβα ,, elementlərindən ibarətdir. Bu çoxluğu neçə müxtəlif qaydada nizamlamaq olar?

3 elementdən ibarət olan F çoxluğunu aşağıdakı kimi !3 sayda müxtəlif qaydada nizamlaya bilərik: 1. { }γβα ,,=1F (bu yazılış o deməkdir ki, α elementi β -dan, β elementi isə γ -dan əvvəl gəlir, yəni γβα →→ ). 2. { }βγα ,,=2F ( 1F və 2F müxtəlif nizamlanmış çoxluqlardır). 3. { }αγβ ,,=3F . 4. { }γαβ ,,=4F . 5. { }βαγ ,,=5F . 6. { }αβγ ,,=6F . Hökm. Əgər F çoxluğu n sayda elementdən ibarətdirsə, onda bu çoxluğu !n sayda müxtəlif qaydada nizamlamaq olar. Tərif. F nizamlanmış çoxluğunun hissəsi elə A nizamlanmış çoxluğuna deyilir ki: 1. FA ⊂ . 2. F çoxluğunda verilmiş nizamlanma qaydası A çoxluğunun

elementlərinə də şamil edilir. Fərz edək ki, müəyyən bir ϕ qaydasından istifadə etməklə

cba ,, elementləri vasitəsi ilə düzəldilmiş { }cbaF ,,= nizamlı çoxluğu verilib. Bu ϕ qaydasından istifadə etməklə a və b elementlərindən yalnız { }baA ,= nizamlı çoxluğunu ala bilərik.

{ }baA ,= nizamlı çoxluğu { }cbaF ,,= nizamlı çoxluğunun hissəsi olur.

Əgər a və b elementlərindən { }abD ,= kimi nizamlı çoxluq düzəltmək istəyiriksə, onda bu elementlərə əvvəl tətbiq edilən ϕ qaydası hökmən dəyişməlidir. Tutaq ki, ψ qaydasını tətbiq etməklə a və b elementlərindən { }abD ,= kimi nizamlı çoxluq alınmışdır. Bu halda aldığımız { }abD ,= nizamlı çoxluğu

{ }cbaF ,,= nizamlı çoxluğunun hissəsi deyil. Tutaq ki, A nizamlanmış çoxluqdur və Aa ∈ -dır. Əgər A çoxluğunun a elementindən əvvəl gələn elementi yoxdursa, onda a elementinə A nizamlanmış çoxluğunun birinci elementi deyilir. Fərz edək ki, Ab ∈ . Əgər A nizamlanmış çoxluğunun bütün elementləri b -dən əvvəl gəlirsə, onda b elementinə A nizamlanmış çoxluğunun sonuncu elementi deyilir. Lemma. Əgər A sonlu nizamlanmış çoxluq isə, onda onun birinci və axırıncı elementi var. Isbatı. Göstərək ki, A çoxluğunda birinci element var (analoji qayda ilə göstərilir ki, A -da axırıncı element var). A -dan hər hansı bir element götürək. Əgər o birinci isə lemma isbat olundu. Əks halda A -da bu elementdən əvvəl gələn element var. Əgər bu element birinci isə, onda yenə də lemma isbat olundu. Əks halda yeni üçüncü elementin seçilməsi imkanı yaranır. A -nın elementlərinin sayı sonlu olduğu üçün bu prosesi sonlu sayda davam etdirməklə A çoxluğunun birinci elementini almış oluruq. Lemma isbat olundu. Nəticə. Əgər A sonlu n sayda elementdən ibarət nizamalnmış çoxluq isə, onda onun elementlərini naaa ,...,, 21 kimi elə işarə etmək olar ki, naaa →→→ ...21 olar. Tərif. Tutaq ki, A və B iki nizamlanmış çoxluqdur və ψ qaydası bu çoxluqlar arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq

yaradır. Əgər A çoxluğundan olan ixtiyari a və /a üçün aa ′→ olmasından çıxırsa ki, bb ′→ -dir (burada ( ) ( ) BabBab ∈′=′∈= ψψ ; ), onda deyirlər ki, qarşılıqlı

birqiymətli uyğunluq olan ψ qaydası A və B çoxluqlarını bir-birinə “bağlayır”. Tərif. Nizamlanmış iki A və B çoxluqlarını bir-birinə “bağlamaq” mümkün olarsa, onda onlara oxşar çoxluqlar deyilir və simvolik olaraq BA ~− kimi yazılır. Bu tərifdən istifadə etməklə aşağıdakı üç teorem asanlıqla isbat edilir. Teorem 1. Əgər nizamlanmış çoxluqlar oxşardırlarsa, onda onlar ekvivalentdirlər. Teorem2. Əgər A və B sonlu nizamlanmış çoxluqlarının gücü eynidirsə, onda onlar oxşardırlar. Teorem 3. Tutaq ki, BA, və C nizamlanmış çoxluqlardır. Onda: 1) AA ~− , 2) Əgər BA ~− , isə onda AB ~− ; 3) Əgər BA ~− və CB ~− isə, onda CA~− . Tərif. Tutaq ki, A nizamlanmış çoxluqdur və Aa ∈ . A çoxluğunun a elementindən əvvəl gələn bütün elementləri çoxluğu a elementinin A çoxluğundan ayırdığı parça adlanır və bu parça aA kimi işarə edilir. Aydındır ki, a elementi aA parçasına daxil daxil deyil. Əgər a elementi A nizamlanmış çoxluğunun birinci elementi isə, onda ∅=aA .

Bu tərifdən istifadə etməklə aşağıdakı hökmün doğruluğu asanlıqla isbat edilir. Hökm. Tutaq ki, A nizamlanmış çoxluqdur, Aaa ∈′, və a′ elementi a -dan əvvəl gəlir, yəni aa →′ . Onda: 1) aA ′ parçası aA parçasına daxildir, yəni aA ′ ⊂ aA və

a′ ∈ aA . 2) ( )aa aAA ′′ = , burada ( )aaA ′ parçası a′ elementinin aA parçasından (nizamlanmış çoxluğundan) ayırdığı parçadır.

Tərif. Əgər nizamlanmış A çoxluğunun istənilən boş olmayan hissəsinin birinci elementi varsa, onda bu çoxluğa tam nizamlanmış çoxluq deyilir.

Bu tərifdən istifadə etməklə alırıq: 1. Hər bir nizamlanmış sonlu çoxluq tam nizamlanmış

çoxluqdur. 2. Natural ədədlər çoxluğu tam nizamlanmış çoxluqdur. 3. Nizamlanmış { }1,2,3,4...,=L çoxluğu tam nizamlanmış

çoxluq deyil. 4. “<”-dir simvolu ilə nizamlanmış ( ]1,∞−=A çoxluğu tam

nizamlanmış çoxluq deyil. Tam nizamlanmış çoxluqlara məxsus olan aşağıdakı

xassələri qeyd edək: 1. Tam nizamlanmış çoxluğun hər bir hissəsi tam

nizamlanmış çoxluqdur. 2. Boş olmayan tam nizamlanmış çoxluğun birinci elementi

var. 3. Iki oxşar nizamlanmış çoxluqlardan biri tam nizamlanmış

çoxluqdursa, onda o birisi də tam nizamlanmış çoxluqdur. 4. Tam nizamlanmış çoxluqda ən axırıncı elementdən başqa

(əgər varsa) hər bir elementdən bilavasitə sonra gələn element var.

5. Tam nizamlanmış çoxluqdan sonsuz azalan ardıcıllıq ayırmaq olmaz, yəni ...321 ←←← ααα kimi sonsuz ardıcıllıq ayırmaq olmaz.

6. Tam nizamlanmış çoxluq özünün parçasına, yaxud öz parçasının hissəsinə oxşar ola bilməz.

Tərif. Çoxluqda hər hansı bir qayda ilə yığılma anlayışı (limit anlayışı) təyin olunubsa, onda bu çoxluğa fəza deyilir.

ЫЫЫ ФЯСИЛ

ЯДЯД АНЛАЙЫШЫ ВЯ ОНУН ЭЕНИШЛЯНДИРЯЛМЯСИ.

§1. Натурал ядядляр системи. Пеано аксиоматикасы.

Яшйалары сайаркян истифадя едилян 1,2,3,… вя с. ядядляриня натурал ядядляр дейилир. Мцасир рийазиййатда натурал ядяд вя 1,2,3,… натурал ядядляр сырасына ики бахымдан йанашырлар: 1) нязяри-чохлуг; 2) аксиоматик нюгтяйи-нязяр. Натурал ядядляря нязяри-чохлуг бахымдан йанашмаьын садя варианты будур ки, щяр бир натурал ядядя сонлу чохлуьун елементляри сайы, онун эцъцнцн «эюстяриъиси» кими бахылыр. Мясялян, },,,,{ vuzyxA = чохлуьунун елементляринин сайыны эюстярмяк цчцн 5 натурал ядядиня истинад едирик. Натурал ядядляр чохлуьунун елементлярини онларын артмасы гайдасы иля ардыъыл дцзяндя натурал ядядлярин 1,2,3,… сырасы алыныр ки, бурада щяр бир натурал ядядин юз йери вардыр. Натурал ядядляр чохлуьуну N иля ишаря едирляр. Бу сырада k -дан бюйцк олмайан елементлярин чохлуьуну kN иля ишаря едиб, ону

натурал ядядляр сырасынын kN кясийи адландырырлар, йяни:

},:{ NxkxxN k ∈≤= . «Натурал сыранын кясийи» анлайышы чохлуьун елементляринин сайы анлайышыны бир гядяр дя дягигляшдирмяйя имкан верир. Мясялян, хцсуси щалда диггят йетиряк ки, йухарыда эятирдийимиз },,,,{ vuzyxA = чохлуьунун елементляринин

сайыны мцяййян едяндя ашкар эюрцнцр ки, A чохлуьу иля }5,4,3,2,1{5 =N чохлуьу арасында гаршылыглы биргиймятли

уйьунлуг йаратмыш олуруг. Демяли, сонлу A чохлуьунун елеметляри сайы олан k -ны, йяни онун эцъцнц тапмаг, бу чохлуьун елементляри иля натурал сыранын низамланмыш kN кясийи арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг йаратмагдыр. Яэяр бир-бири иля кясишмяйян мцхтялиф сонлу чохлуглары онларын

эцъляринин бярабярлийиня нязярян синифляря айырсаг, онда бир-бири иля кясишмяйян чохлугларын еля синифлярини йаратмыш олуруг ки, ейни синфя дахил олан чохлуглар мцхтялиф тябиятли елементляря малик олсалар да онларын елементляри сайы ейни олур. Щяр бир ейниэцълц сонлу чохлуглар синфи бу синфин бцтцн чохлуглары цчцн дяйишмяз галан вя орадакы елементлярин мигдарыны эюстярян бир ядядля характеризя едилир. Бу заман натурал ядяд бир-бири иля еквивалент олан сонлу чохлуглар синфинин инварианты кими чыхыш едир, йяни натурал ядядляр ейниэцълц чохлуглардан дцзялдилмиш щяр бир синфин сыра нюмрясини дя эюстярир. Бу ися о демякдир ки, натурал ядядя щям мигдар, щям дя сыра нюмряси эюстярян ядяд кими бахмаг тамамиля тябиидир. Инди ися натурал ядядляря аксиоматик бахышла таныш олаг.

Натурал ядядляр системинин аксиоматик гурулмасы цчцн бош олмайан N чохлуьу, натурал ядяд, 1 (ващид) ядяди вя илк анлайышлары «билаваситя сонра эялир» илк мцнасибяти эютцрцлцр. Бу илк анлайышларын вя мцнасибятин кюмяйи иля натурал ядядляр нязяриййяси гурула биляр.Италйан рийазиййатчысы Пеанонун ады иля баьлы аксиомлар системи ашаьыдакылардан ибарятдир (аксиомлар системиндя «a -дан билаваситя сонра эялян» ядяди a′ иля ишаря едирляр: 1+=′ aa ):

Тяриф. Натурал ядядляр бош олмайан еля N ( ≠N Ø) чохлуьунун елементляриня дейилир ки, онун ихтийари a вя b елементляри цчцн «b елементи a -дан билаваситя сонра эялир» мцнасибяти тяйин едилиб вя ашаьыдакы аксиомлар юдянилир: 10. Щеч бир натурал ядяддян билаваситя сонра эялмяйян 1

(ващид) натурал ядяди вардыр (йяни истянилян a натурал ядяди цчцн 1≠′a );

20. Ихтийари a натурал ядяди цчцн щямишя бундан билаваситя сонра эялян йалныз бир a′ натурал ядяди вардыр (йяни ba = ися, онда ba ′=′ );

30. Ихтийари a натурал ядяди бирдян чох сайда олмайан натурал ядяддян билаваситя сонра эялир (йяни ba ′=′ ися, онда ba = );

40. Ващиди юзцндя сахлайан щяр щансы M натурал ядядляр чохлуьу )1( M∈ истянилян a натурал ядядини вя a -дан

билаваситя сонра эялян a′ елементини дя юз дахилиндя сахлайырса )( Ma ∈′ , онда M чохлуьу N натурал

ядядляр чохлуьу иля цст-цстя дцшцр )( NM = . Пеанонун 10-ъи аксиому щюкм едир ки, натурал ядядляр чохлуьунда еля бир ядяд вар ки, бу чохлуьун щеч бир елементиндян билаваситя сонра эялмяйир (бу 1 ядядидир); 20-ъи аксиом натурал ядядляр чохлуьунун сонсуз олмасыны эюстярир (чцнки бурада щямишя aa ≠′ олмасы нятиъясиня эялмяк чятин дейил); 30-ъц аксиом эюстярир ки, щеч бир натурал ядяд ики мцхтялиф натурал ядяддян билаваситя сонра эяля билмяз; 40-ъц аксиом там рийази индуксийа цсулунун ясасыны тяшкил едир (буну «индуксийа аксиому» адландырырлар).

§2. Мянфи олмайан там ядядляр системи.

Сыфры натурал ядядляр чохлуьуна гошмагла бир чох хассяляри иля фярглянян йени ядядляр чохлуьу, йяни ,...}3,2,1,0{0 =N кими ишаря олунан, мянфи олмайан там ядядляр чохлуьу алыныр. Сыфрын натурал ядядляр системиня гатылмасы нятиъясиндя алынан мянфи олмайан там ядядляр чохлуьу цчцн Пеано аксиомлар системи ашаьыдакы шякил алыр: 10. Сыфыр мянфи олмайан там ядяддир вя щеч бир мянфи олмайан там ядяддян билаваситя сонра эялмяйир.

20. Ихтийари мянфи олмайан a там ядядиндян билаваситя сонра щямишя йалныз бир мянфи олмайан a′ там ядяди эялир (йяни

ba = олдугда ba ′=′ олур). 30. Ихтийари мянфи олмайан там ядяд бирдян чох сайда олмайан диэяр мянфи олмайан там ядяддян билаваситя сонра эялир (йяни ba ′=′ олдугда ba = олур).

40. Яэяр M чохлуьу сыфры вя истянилян мянфи олмайан a там ядядини юз дахилиндя сахламагла a -дан билаваситя сонра

эялян a′ ядядини дя юз дахилиня сахлайырса, онда M чохлуьу бцтцн мянфи олмайан там ядядляр чохлуьу олан

0N иля цст-цстя дцшцр )( 0NM = . §3. Щягиги ядядлярин онлуг кясрляр васитясиля тяснифаты. Расионал вя иррасионал ядядляр. ,...}3,2,1{ −−− ядядляр чохлуьуна мянфи там ядядляр чохлуьу дейилир. ,...}3,2,1;0{ ±±±=Z ядядляр чохлуьуна там ядядляр чохлуьу дейилир.

Тяриф 1.

=qpQ шякилли ади кясрляр чохлуьуна расионал

ядядляр чохлуьу дейилир, бурада 1),(,, =∈∈ qpBOBZpNq Я . Ади кясрин мяхряъи истянилян там ядяд ола биляр. Мяхряъи 10, 100, 1000,… вя с. кими ядядляр (беля ядядляр

,...3,2,1,10 =nn , кими эюстярилир) олан ади кясрляря онлуг кяср ады верилмишдир. Мясялян,

10009856742

=a (1)

кясри онлуг кясрдир. Бу кясри там вя кяср щиссяйя айырараг беля йазмаг олар:

742,9856=a . (2) (1) вя йахуд (2) бярабярлийи иля тяйин олунан a онлуг кясрини беля дя йаза билярик:

3210123 102104107106105108109 −−− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=a . (3)

(2) ифадясиня уйьун олараг щяр бир онлуг кясри цмуми шякилдя

mnn bbbaaaaa ...,... 21011−±= (4)

кими эюстярмяк олар, бурада mnn bbbaaaa ...,... 21011−± рягямляри

9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 (5)

рягямляриндян биридир; n вя m ися мянфи олмайан там ядядлярдир. (4) дцстуру иля тяйин олунан a ядядини, (3) йазылышына аналожи олараг, ашаьыдакы кими онлуг кясрляр васитясиля йаза билярик: +⋅++⋅+⋅±= −

−0

11

1 10...1010( aaaa nn

nn

)10...1010 22

11

mmbbb −−− ⋅++⋅+⋅+ . (6)

(4) ифадясиндяки верэцлдян сонра эялян ,..., 21 bb рягямляринин сайы сонсуз ися, йяни

......,... 21011 nnn bbbaaaaa −±= (7) ися, онда бу йазылыша a ядядинин сонсуз онлуг кяср васитясиля йазылышы дейилир. (6) дцстуруна ясасян (7) ифадяси иля верилмиш a ядядини ашаьыдакы кими сонсуз онлуг кясрляр васитясиля йаза билярик: +⋅+⋅++⋅+⋅±= −

−0

01

11

1 1010...1010( aaaaa nn

nn

...)10...1010 22

11 +⋅++⋅+⋅+ −−− k

kbbb . (8) Яэяр (7) ифадяси иля тяйин олунан сонсуз онлуг кяср

............,... 212121011 mmknn ddddddcccaaaaa −±= (9) шяклиндя эюстяриля билирся, онда она дюврц сонсуз онлуг кяср дейилир, бурада, яввял гейд етдийимиз кими,

mknn dddcccaaaa ,...,,,,...,,,,... 2121011− (5) ифадясиндяки

рягямлярдян биридир, mkn ,, - мянфи олмайан там ядяддир. Бу

заман ( mddd ...21 )-я бу онлуг кясрин дюврц дейилир вя (9) ифадяси ашаьыдакы кими гыса йазылыр:

)...(...,... 2121011 mknn dddcccaaaaa −±= . (10) Яэяр (7) дцстуру иля верилмиш сонсуз онлуг кясри (9) шяклиндя эюстярмяк мцмкцн дейился, онда бу онлуг кясря дюврц олмайан сонсуз онлуг кяср дейилир. Сонсуз онлуг кясрляр васитясиля расионал вя иррасионал ядядляря ашаьыдакы кими тяриф вермяк олар: Тяриф 2. Дюврц олан сонсуз онлуг кясрлярин тяйин етдийи ядядя расионал ядяд дейилир.

Тяриф 3. Дюврц олмайан сонсуз онлуг кясрлярин тяйин етдийи ядядя иррасионал ядяд дейилир. Рийазиййатда расионал вя иррасионал ядядя бир цмуми ад-щягиги ядяд ады верилиб. Расионал ядядляр чохлуьуну Q , иррасионал ядядляр

чохлуьуну T , щягиги ядядляр чохлуьуну R иля ишаря етсяк, онда

TQR ∪= . (11) Асанлыгла эюстярмяк олар ки, расионал ядядлярин йухарыдакы ики тярифи еквивалентдир. Дейилянлярдян айдын олур ки, мясялян

)12(,0...121212,0 ==a (12) ядяди расионал ядяд вя

...121121112,0=b (13) (кяср щиссясиндя щяр дяфя «1» сайы 1 ващид артыр) ядяди ися иррасионал ядяд олаъаг. Тяриф. Дюврц билаваситя верэцлдян сонра башлайан кясря сырф дюврц онлуг кяср дейилир. Мясялян

)218(,4...218218218,4);3(,0...33,0 == . Тяклиф. Дюврц билаваситя верэцлдян сонра башламайан

дюврц онлуг кясря гарышыг дюврц онлуг кяср дейилир. Мясялян, 10,24666…=10,24(6); 3,12757575…=3,12(75). Асанлыгла ашаьыдакы тяклифлярин доьрулуьу эюстярилир: Тяклиф 1. Сырф дюврц онлуг кяср, суряти дювря, мяхряъи ися

дюврдяки рягямлярин сайы гядяр 9 олан ади кясря бярабярдир. Мясялян,

334

9912)12(,0...1212,0 === .

Тяклиф 2. Гарышыг дюврц онлуг кяср, суряти икинъи дювря гядярки ядядля биринъи дювря гядярки ядядин фяргиня, мяхряъи ися дюврдяки рягямлярин сайы гядяр 9 вя биринъи дювря гядяр олан рягямлярин сайы гядяр сыфыр олан ади кясря бярабярдир. Мясялян,

1980817

9900414126)26(41,0...412626,0 =

−== .

Мясяля. Эюстярин ки, 5 ядяди расионал ядяд дейил.

Щялли. Яксини фярз едяк. Тутаг ки, 5 ядяди расионал ядяддир. Онда еля m вя n натурал ядядляри вар ки,

nm

=5 (14)

олур.

Цмумилийи позмадан m вя n ядядляринин гаршылыглы садя олдуьуну гябул етмяк олар:

ЯБОБ 1),( =nm . (15)

Якс щалда, яэяр ЯБОБ 1),( >= dnm ися, онда (14) кясрини

d -йя ихтисар етсяк, алынан йени кяср цчцн (15) шярти юдяниляъяк. (14) бярабярлийинин щяр ики тяряфини квадрара йцксялтмякля,

22 /5 nm= алырыг, бурадан ися чыхыр ки,

22 5nm = . (16)

(16) бярабярлийинин саь тяряфи 5-я бюлцндцйц цчцн 2m ядяди 5-я бюлцнмялидир. Асанлыгла эюстярмяк олар ки, там ядядин квадратынын 5-я бюлцнмяси цчцн зярури вя кафи шярт щямин ядядин юзцнцн 5-я бюлцнмясидир. Демяли,

Nkkm ∈= ,5 . (17)

(17)-ни (16)-да нязяря алсаг,

22 5kn = (18)

олдуьуну аларыг. Йухарыдакы мцщакимяни апармагла

Nppn ∈⋅= ,5 , (19)

олдуьуну аларыг. (17) вя (19)-дан чыхыр ки,

ЯБОБ 5),( ≥nm . (20)

(20) бярабярсизлийи (15) бярабярлийиня зиддир. Алынмыш зиддиййят бизим фярзиййямизин доьру олмадыьыны эюстярир. Бунунла да

5 ядядинин расионал ядяд олмадыьы исбат олунду. Гейд едяк ки, дюврдя 9-у вя йахуд 0-ы (сыфыры)

эюстярмякля ейни бир расионал ядяд цчцн сонсуз онлуг кясрляр васитяси иля ики ъцр йазылыш алмаг олар: мясялян, 63,0=a расионал ядядини щям ...63000,0=a вя щям дя ...62999,0=a сонсуз онлуг кясрляри васитясиля ифадя етмяк олар.

Тутаг ки, E - сонсуз онлуг кясрляр чохлуьудур; 1E -

дюврц 0 олан сонсуз онлуг кясрляр чохлуьудур; 2E - дюврц 9

олан сонсуз онлуг кясрляр чохлуьудур; R - щягиги ядядляр чохлуьудур.

Асанлыгла ашаьыдакы щюкмлярин доьрулуьу эюстярилир: Щюкм 3. R чохлуьу иля 1\ EE чохлуьу арасында

гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг вардыр. Щюкм 4. R чохлуьу иля 2\ EE чохлуьу арасында

гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг вар.

§4. Щягиги ядядлярин зянъирвари кясрляр васитясиля тяснифаты. Зянъирвари кяср анлайышы ядядляр нязяриййясинин мараглы,

щям дя эениш тятбигляри олан мювзуларындан биридир. Тяриф. 0q ихтийари там ядяд, nqqq ,...,, 21 натурал ядядляр

олдугда,

)1(

11

...........................1

11

1

1

2

3

2

1

0

nn

n

qq

q

qq

qqa

++

++

++=

−

−

кясриня сонлу зянъирвари кяср дейилир, бурада n - мянфи олмайан там ядяддир. (1) кясриндя иштирак едян ,...,, 210 qqq ядядляриня зянъирвари кясрин елементляри вя йа натамам гисмятляри,

,...1,1,1

321 qqq кясрляриня ися зянъирвари кясрин щалгалары дейилир.

(1) зянъирвари кясрини гыса олараг беля дя йазырлар: ],...,,;[ 210 nqqqqa = . (2)

(2) ишарялямясиндян истифадя етмякля (1) зянъирвари кясрини беля дя йазмаг олар:

],...,;[1],...,,;[

210210

nn qqq

qqqqqa +== . (3)

Щюкм 1. Щяр бир сонлу зянъирвари кяср расионал ядяддир. Доьруданда, (1) зянъирвари кясринин елементляри цзяриндя сонлу расионал ямялиййатлар апармагла нятиъядя онун

ади кясря, йяни ),( NqZpqp

∈∈ расионал ядядиня бярабяр олан

гиймятини щесабламыш олуруг. Бу щюкмцн тярси дя доьрудур: Теорем. Щяр бир расионал ядяди сонлу зянъирвари кяср шяклиндя эюстярмяк олар.

Исбаты. qpa = верилмиш расионал ядяд олсун, бурада

Zp∈ вя Nq ∈ олдуьу нязярдя тутулур. p вя q ядядляриня Евклид алгоритмини тятбиг едиб, ашаьыдакы бярабярликляр системини йазаг:

⋅=+⋅=+⋅=

+⋅=+⋅=

+⋅=+⋅=

−

−−−

−−−−

nnn

nnnn

nnnn

o

qrrrqrrrqrr

rqrrrqrr

rqrqrqqp

1

112

1223

4332

3221

211

1

,,

....................

,,,

(Е)

0...321 >>>>>> nrrrrq .

(Е) бярабярликляриндян асанлыгла ашаьыдакы бярабярликляр алыныр:

+==

1

01

rq

qqpa ,

...................

,1

,1

3

22

2

1

2

11

1

+=

+=

rr

qrr

rr

qrq

+=

−−

−

−

n

nn

n

n

rr

qrr

11

1

2 1 ,

.1n

n

n qr

r=−

Бу бярабярликлярдян ися алырыг ки,

=

+

++==

3

22

1

0 11

rrq

qq

qpa

nn

n

qq

q

qq

qq

11

...........................1

11

1...

1

2

3

2

1

0

++

++

++==

−

−

йахуд гыса йазсаг,

],...,,;[ 210 nqqqqqpa ==

аларыг. Яэяр qpa = там ядяд олса, йяни 1=q вя pa = олса,

онда (Е) бярабярликляриндя йалныз 0,,01 10 ==+⋅= rpqpp

бярабярликляри галыр вя зянъирвари кяср 0qa = олур. Теорем исбат олунду. Йухарыда шярщ олунанлардан ашаьыдакы щюкмцн доьрулуьу алыныр: Щюкм. Расионал ядядляр чохлуьу иля сонлу зянъирвари кясрляр чохлуьу арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг вар.

Мисал. 4397

=a ади кясрини зянъирвари кяср шяклиндя

йазын.

=+

+=

+=+==

11103

12

114312

43112

4397a

=

++

+=

++=

1011

13

12

101113

12

]10,1,3;2[= . Яэяр ]10,1,3;2[=a сонлу зянъирвари кясри верилмишся вя буна уйьун ади кясри тапмаг тяляб олунурса, онда йухарыдакы

просеси ашаьыдан йухарыйа доьру давам етдирмякля 4397

=a ади

кясрини алаъаьыг. Бу тярс просеся зянъирвари кясрин бцкцлмяси дейилир. Тяриф. (1) зянъирвари кясриндя ∞=n олса, йяни (1)-дя ъямлямя просеси ашаьыйа доьру сонсуз давам ется, башга сюзля ,...],,;[ 3210 qqqqa = олса, онда бу кясря сонсуз зянъирвари кяср дейилир.

Ядядляр нязяриййясиндя ашаьыдакы щюкмцн доьрулуьу эюстярилир: Щюкм. Иррасионал ядядляр чохлуьу иля сонсуз зянъирвари кясрляр чохлуьу арасында гаршылыглы биргиймятли уйьйнлуг вар. Демяли, щягиги ядядляр чохлуьу иля зянъирвари кясрляр чохлуьу арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг вар. Зянъирвари кясрдя щалгаларын сайы сонлу ися, онда о мцяййян бир расионал ядяди, яэяр щалгаларын сайы сонсуз ися онда о мцяййян бир иррасионал ядяди характеризя едир.

§5. Зянъирвари кясрлярин тятбиги иля ядядин кюкцнцн щесабланмасы.

Мисал 1. 2 ядядини зянъирвари кяср шяклиндя эюстярин вя кюкц 0,01 дягигликля щесаблайын.

2 иррасионал ядядинин там щиссяси 1-дир, кяср щиссяси

ися 2 -1 фяргидир. Бурада 1120 <−< -дир. 2 -1 кяср

щиссясини 1

1α

кими эюстяряк, йяни 2 -1=1

1α

. Бурадан алырыг

ки, ( )( ) 121212

1212

11 +=

+−

+=

−=α . Эюрцндцйц кими 1α

ядядинин там щиссяси 2, кяср щиссяси ися 1221 −=−α олаъаг. Беляликля,

( )12 2112

−+=− . (4)

рекурент мцнасибятиня эюря йаза билярик:

( )( )12 2

12

12

112 2

112

−++

+=

−+=− . (5)

(5) просесини сонсуз давам етдирсяк, алырыг: ...]2,2,2;0[12 =− . (6)

(6) бярабярлийиндян истифадя етмякля 2 иррасионал ядядинин сонсуз зянъирвари кяср шяклиндя ашаьыдакы ифадясини алырыг

2 =[1;2,2,2,…]. (7) (7) бярабярлийиндян истифадя етмякля 2 ядядинин квадрат

кюкцнц ихтийари дягигликля тапа билярик. 2-нин квадрат кюкцнц 0,01 дягигликля тапмаг тяляб олунурса, онда (7) сонсуз зянъирвари кясринин ашаьыдакы сонлу щиссясини эютцрмяк кифайятдир:

29121

212

12

12

11]2,2,2,2;1[2 +=

++

++=≈ .

Бурадан алырыг ки, ...4137,12 ≈ , йяни 41,12 ≈ .

Мисал 2. 3 иррасионал ядядини сонсуз зянъирвари кяср шяклиндя эюстярин вя 3 ядядинин квадрат кюкцнц 0,01 дягигликля щесаблайын.

3 иррасионал ядядинин там щиссяси 1-дир, кяср щиссяси

ися 3 -1 фяргидир. Бурада 0< 3 -1<1-дир. 3 -1 кяср щиссясини

1

1α

кими эюстяряк, йяни 3 -1=1

1α

. Бурадан =−

=13

11α

−+=

+=

2131

213

. Демяли,

( )2

131

113−

+=− . (8)

(8) рекурент дцстурундан истифадя етмякля йаза билярик:

( )13211

1

2131

1211

113

−++

=

−+

⋅+

=− . (9)

(9) рекурент мцнасибятиня ясасян йаза билярик:

( )13211

12

11

113

−++

++

=− . (10)

Бу просеси сонсуз давам етдирсяк, 13 − ядядинин сонсуз зянъирвари кяср шяклиндя ашаьыдакы ифадясини аларыг:

13 − =[0;1,2,1,2,…].

Бурадан алырыг ки,

3 =[11,2,1,2,…]. (11)

(11) сонсуз зянъирвари кясриндян истифадя етмякля 3 ядядинин квадрат кюкцнц ихтийари дягигликля щесабламаг олар. 3-цн квадрат кюкцнц 0,01 дягигликля тапмаг тяляб олунурса, онда

=+=

++

++=≈

1181

211

12

11

11]2,1,2,1;1[3

=1,7272…≈1,73.

Мисал 3. 5 иррасионал ядядини сонсуз зянъирвари кяср шяклиндя эюстярин вя кюкц 0,01 дягигликля тапын.

5 ядядинин там щиссяси 2-дир, кяср щиссяси ися 5 -2

фяргидир. Бурада 0< 5 -2<1-дир. 5 -2 кяср щиссясини 1

1α

кими

эюстяряк, йяни 5 -2=1

1α

. Бурадан алырыг ки,

( )( ) ( )254252525

2525

11 −+=+=

+−+

=−

=α .

Демяли,

( )254125

−+=− . (12)

(12) рекурент мцнасибятиня ясасян йаза билярик:

( )( )254

14

14

1

25414

125

−++

+=

−++

=− . (13)

(13) просесини сонсуз давам етдирсяк, ( 5 -2) ядядинин сонсуз зянъирвари кяср шяклиндя ашаьыдакы ифадясини аларыг:

5 -2=[0;4,4,4,…]. Бурадан алырыг ки,

5 =[2;4,4,4,…]. (14) (14) сонсуз зянъирвари кясриндян истифадя етмякля 5 ядядинин квадрат кюкцнц ихтийари дягигликля щесабламаг олар. 5-ин квадрат кюкцнц 0,01 дягигликля тапмаг тяляб олунурса, онда

≈+=

++

++=≈

30582

414

14

14

12]4,4,4,4;2[5

≈1,236065… .

§6. Комплекс ядядляр вя онлар цзяриндя ямялляр.

iba + шяклиндя олан ядядя комплекс ядяд дейилир

(бурада a , Rb ∈ , 1−=i ). a ядядиня z комплекс ядядинин щягиги щиссяси дейилир вя )Re(za = кими ишаря едилир, b ядядиня ися z комплекс ядядинин хяйали щисся ямсалы дейилир вя

)Im(zb = кими ишаря едилир. Комплекс ядядляр цчцн ашаьыдакы аксиомлар гябул едилир:

Ы. iba + вя idc + комплекс ядядляри йалныз ейни уйьун компонентляря малик олдугда бярабяр адланырлар, йяни iba + = idc + dbca ==⇔ , .

ЫЫ. iba + вя idc + комплекс ядядляринин ъями )()( dbica +++ комплекс ядядиня дейилир, йяни ( iba + )+( idc + )= )()( dbica +++ .

ЫЫЫ. iba + вя idc + комплекс ядядляринин щасили )()( bcadibdac ++− комплекс ядядиня дейилир, йяни

=+⋅+ )()( idciba )()( bcadibdac ++− . ЫВ. 0⋅+ ia комплекс ядяди a щягиги ядядиня бярабяр эютцрцлцр, йяни 0⋅+ ia = a . ( iba + ) вя ( idc + ) комплекс ядядляринин нисбяти

idciba

++

еля iyx + комплекс ядядиня дейилир ки,

iba + =( idc + ) )( iyx +⋅ (1) бярабярлийи юдянилсин, бурада фярз едилир ки, idc + 0≠ , йяни

0>+ cd .

ЫЫЫ аксиома ясасян (1) бярабярлийинин саь тяряфини щесабласаг, аларыг:

iba + = )()( dxcyidycx ++− . (2) Ы-ъи аксиома эюря (2) бярабярлийиндян алырыг:

=+=−

bcydxadycx

. (3)

Бу тянликляр системини щялл едяряк, тапырыг:

2222 ,dcadbcy

dcbdacx

+−

=++

= .

Беляликля

2222 dcadbci

dcbdac

idciba

+−

+++

=++

, (4)

йяни idc + 0≠ олдугда iba + вя idc + комплекс ядядляринин нисбяти вар, йеэанядир вя бу нисбят (4) дцстуру иля щесабланыр. Асанлыгла эюстярмяк олар ки, комплекс ядядляр чохлуьу мейдан тяшкил едир. z комплекс ядядинин квадраты дедикдя

zz ⋅ щасили баша дцшцлцр, йяни zzzz ;2 ⋅= комплекс ядядинин n -ъи дяряъядян (n натурал ядяддир) гцввяти дедикдя ися ашаьыдакы щасил баша дцшцлцр:

zzzzn ...⋅= , (5) беля ки, (5) дцстурунун саь тяряфиндяки вуругларын сайы n -дир. z комплекс ядядинин n -ъи дяряъядян ( n - натурал ядяддир) кюкц еля бир u комплекс ядядиня дейилир ки,

nuz = (6) бярабярлийи юдянилсин. z комплекс ядядинин n -ъи дяряъядян

кюкцнц символик олараг nz1

вя йа n z кими ишаря етсяк, (6) бярабярлийини беля дя йаза билярик:

nz1

=u вя йа n z =u . ibaz += комплекс ядядиля она гошма адланан ibaz −=

комплекс ядядинин ъями вя щасили дцстурларындан истифадя етмякля алырыг:

,

,2)()(22 bazz

aibaibazz

+=⋅

=−++=+

йяни, эюрцндцйц кими, гошма комплекс ядядлярин ъями вя щасили щягиги ядядлярдир.

Комплекс ядядин щяндяси тясвирини, тригонометрик шяклини, модулуну вя аргументини изащ етмяк цчцн мцстяви цзяриндя ХОЙ дцзбуъаглы декарт координат системини эютцряк (шякил 1).

ibaz += ядядинин щягиги щиссяси олан a ядядини абсис оху цзяриндя, хяйалы щисся ямси олан b ядядини ися ординат оху цзяриалыдя гейд етмякля, мцстяви цзяриндя ),( baM нюгтясини гураг. Бу гайда иля ibaz += комплекс ядядиня мцстявинин ),( baM нюгтясини гаршы гойаг вя тярсиня мцстявинин щяр бир ),( baM нюгтясиня

ibaz += комплекс ядядини гаршы гойаг. Беляликля, комплекс ядядляр чохлуьу иля мцстявинин нюгтяляри чохлуьа арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг йаратмыш олуруг. ibaz += ),( baM⇔ .

OM парчасынын узунлуьуна, йяни 22 ba + ядядиня

ibaz += комплекс ядядинин модулу дейилир вя 22 baz +=

кими ишаря едилир. →

OM вектору иля →

OX вектору арасындакы ϕ буъаьына ibaz += комплекс ядядинин аргументи дейилир вя беля ишагя едилир: ϕ=)(zarq . Шякил 1-дян эюрцндцйц кими

.sin

,cos

ϕ

ϕ

⋅=

⋅=

zb

za

Демяли, ibaz += комплекс ядядини ϕϕ sincos ⋅+⋅= zizz

вя йа )sin(cos ϕϕ += zz (7)

y M(a,b) b 0 a x

Шякил 1.

кими йазмаг олар. (7) ифадясиня ibaz += комплекс ядядинин тригонометрик шякли дейилир. xy sin= вя xy cos=

функсийалары π2 периодлу функсийалар олдуьу цчцн (7) дцстуруна ясасян ibaz += комплекс ядядинин тригонометрик шяклини ашаьыдакы кими дя йаза билярик:

( ) ( )( ) zkkikzz ∈+++= ,2sin2cos πϕπϕ . (8)

α щягиги ядяди цчцн αα sincos i+ -ны αie символу иля ишаря етсяк, йаза билярик:

αα sincos i+ = αie . (9) (9) дцстуруна комплекс ядяд цчцн Ейлер дцстуру дейилир.

Рийази анализ курсунда xyxy cos,sin == вя xey = функсийаларынын Тейлор дцстуру иля айрылышыны йазмагла вя (16) дцстурундан истифадя етмякля, (9) дцстурунун доьрулуьу эюстярилир. (9)-у (8)-дя нязяря алсаг ibaz += комплекс ядядинин тригонометрик шякли цчцн ашаьыдакы дцстуру аларыг:

zkezz zarqki ∈= + ,))(2( π . (10)

истянилян там m вя натурал n ядядляри цчцн

( ) mimi ee αα = ,

( ) nini eeα

α =1

, (11) олдуьуну нязяря алсаг, (10) дцстурундан ibaz += комплекс ядядинин m -ъи дяряъядян гцввяти цчцн

zkezz zarqmkmimm ∈= ⋅+ ,))(2( π , (12)

дцстуруну, n -ъи дяряъядян кюкц цчцн ися

zkezzz nzarqki

nnn ∈==+

,)(211 π

, (13) дцстуруну аларыг. (13) дцстурундан истифадя етмякля, ашаьыдакы щюкмцн доьрулуьу асанлыгла исбат едилир.

Щюкм. Сыфырдан фяргли олан z комплекс ядядинин n -ъи дяряъядян дцз n дяня мцхтялиф 110 ,...,, −nzzz кюкляри вар вя бу кюкляр ашаьыдакы дцстурла щесабланыр

nzarqkinn

k ezzz)(21 +

==π

, 1,...,1,0 −= nk . (14)

(11) дцстурунун биринъисини беля йазмаг олар Nmmimi m ∈+=+ ,sincos)sin(cos ϕϕϕϕ . (15)

(15) Муавр дцстуру адланыр. Мянфи олмайан k там ядяди цчцн

iiiiii kkkk −=−=== +++ 3424144 ,1,,1 (16) олдуьуну нязяря алмагла, (15)-ин сол тяряфиня Нйутон биномуну тятбиг етсяк, аргументин истянилян )( Nmm ∈ мислинин синус вя косинусу цчцн ашаьыдакы дцстурлары аларыг:

,...sincos

sincossincossin

...,sincossincoscoscos

555

33311

444222

−+

+−=

−+−=

−

−−

−−

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

mm

mm

mm

mm

mm

m

C

CCm

Cm

бурада k

kmmmC km ⋅⋅⋅

+−−=

...21)1)...(1(

биноминал ямсаллардыр.

(14) дцстурундан истифадя етмякля верилмиш z комплекс ядядинин кюклярини асанлыгла тапмаг олур. Мясялян

1=z ися, онда 0)arg( =z олур вя 1-ин n -ъи дяряъядян кюкляри цчцн

nki

nkz n

kππ 2sin2cos1 +== , 1,...,1,0 −= nk , (17)

ядядлярини алырыг. (17)-ни ачыг шякилдя йазсаг:

................................

,2sin2cos

,10sin0cos

1

0

ni

nz

izππ

+=

=+=

nni

nnzn

)1(2sin)1(2cos1−

+−

=−ππ

, (18)

ващидин n -ъи дяряъядян бцтцн кюклярини тапмыш оларыг, онларын сайы дцз n дянядир вя бу кюклярин щамысы мцхтялифдир, йяни qp zz ≠ , яэяр qp ≠ ися.

3=n олса, йяни 3 1 ядяди цчцн (18) дцстуруна ясасян

−−=+=

+−=+=

=

=

,23

21

34sin

34cos

,23

21

32sin

32cos

,1

1

2

1

0

3

iiz

iiz

z

ππ

ππ

олур.

ЫВ ФЯСИЛ

ФУНКСИЙА АНЛАЙЫШЫ ВЯ ОНУН МЯКТЯБ РИЙАЗИЙЙАТЫНДА РОЛУ.

§1. Функсийа анлайышы.

Функсийа анлайышы рийазиййатын реал алямля билаваситя

баьлы олан фундаментал анлайышларындан биридир. Рийазиййатын инкишафы просесиндя функсийа анлайышы ъидди дяйишикликляря мяруз галмышдыр. Мясялян, Л.Ейлерин вахтында функсийа анлайышы аналитик ифадя анлайышы иля ейниляшдирилирди. Дирихленин вахтында ися функсийа бир кямиййятин диэяриндян асылы олараг дяйишмяси кими гябул едилирди. Функсийа щаггында беля тясяввцрцн ясас нюгсаны функсийа анлайышынын кямиййят, дяйишмя вя асылылыг кими чох мцряккяб анлайышлар васитясиля тяйин едилмяидир.

Мяктяб рийазиййат курсунда функсийа анлайышы бир нечя вариантда дахил едилир: бир вариантда функсийа илк анлайыш кими дахил едилир. Башга вариантда иникас илк анлайыш кими дахил едилир, функсийа ися бир ядяди чохлуьун диэяр ядяди чохлуьа иникасы кими дахил едилир. Цчцнъц вариантда ися функсийа анлайышы ядяди чохлугларын елементляри арасында хцсуси мцнасибят кими дахил едилир. Нящайят, функсийа чохлугларын елементляри арасында гаршы гойма кими дя дахил едиля биляр:

Тутаг ки, щяр щансы ∅≠Χ ядяи чохлуьу верилмишдир. Яэяр истянилян ( )Xxx ∈∀∈ Χ ядядиня гаршы йеэаня y ядядини гаршы гойан f гайдасы верилмишся, онда дейирляр

ки, тяйин областы Χ чохлуьу олан ( )y f x= функсийасы верилмишдир.

Фунсийанын верилмяси цчцн: 1) онун тяйин областы вя

2) тяйин областына дахил олан щяр бир x ядядиня гаршы гойулан y ядядинин x -ядяди васитясиля тапылмасы гайдасы верилмялидир. Функсийанын верилмясинин ясас цсуллары аналитик,

ъядвял вя график цсуллар щесаб едилир. Функсийа аналитик цсулла верилдикдя щяр бир x ядядиня гаршы гойулан y ядядинин тапылмасы гайдасы дцстур вя йа дцстурлар васитясиля тясвир едилир. Функсийа ъядвял цсулу иля верилдикдя x -ин вя она уйьун y -ин гиймятляри ъядвял васитясиля верилир. Бу цсул васитясиля функсийанын гиймятини сонлу сайда нюгтядя вермяк олар. ( )y f x= функсийасынын графики дедикдя

координат мцстявисиндя ( )( )x f x, шяклиндя бцтцн нюгтяляр чохлуьу баша дцшцлцр. Функсийанын график цсулла верилмяси чох ялверишлидир: о функсийанын хассялярини яйани тясвир етмяк имканы йарадыр. Тутаг ки, ( )y f x= функсийасы верилмишдир. Бу функсийанын тяйин областыны D f иля ишаря едяк.

( ){ }E y x D y f xf f= ∈ =, чохлуьу ( )y f x= функсийасынын

гиймятляр чохлуьу адланыр. Фунсийанын графикини гурмаг цчцн онун цмуми хассялярини билмяк чох ваъибдир. Функсийанын цмуми хассяляри дедикдя онун тяк вя йа ъцт олмасы, артан вя йа азалан олмасы, дюврц олмасы вя йа дюврц олмамасы, мящдуд вя йа гейри-мящдуд олмасы вя с. баша дцшцлцр.

§2. Функсийанын цмуми хассяляри. Тяк вя ъцт функсийалар. Яэяр истянилян x ∈Χ цчцн − ∈x Χ оларса, онда Χ чохлуьу координат башланьыъына нязярян симметрик чохлуг адланыр.

Тяйин областы координат башланьыъына нязярян симметрик чохлуг олан ( )y f x= функсийасы ( ) ( )f x f x= − шяртини юдяйярся, онда о ъцт функсийа адланыр. Мисал. 5x2y 4 −= ъцт функсийадыр. Она эюря ки,

( ) ( ) ( )xf5x25x2xf 44 =−=−−=− . Тяйин областы координат башланьыъына нязярян симметрик чохлуг олан ( )y f x= функсийасы

( ) ( )f x f x− = − шяртини юдяйирся, онда о тяк функсийа адланыр.

Мисал. xxy −= 32 тяк функсийадыр. Она эюря ки,

( ) ( ) ( )xfxxxxxf −=+−=−−−=− 33 2)(2 . Ня тяк вя ня дя ъцт олан фунсийа аморф функсийа адланыр.

Мисал. 22xxy −= аморф функсийадыр. Ашаьыдакы щюкмляр доьрудур:

1. Истянилян функсийаны тяк вя ъцт функсийаларын ъями шяклиндя эюстярмяк олар: ( ) ( ) ( )xfxfxf −+ += ,

бурада ( ) ( ) ( )2

xfxfxf −+=+ ъцт, ( ) ( ) ( )

2xfxfxf −−

=− ися

тяк функсийадыр. Яэяр ( )xf функсийасы тяк (ъцт) оларса,

онда бу функсийа цчцн ( ) ( )( )00 == −+ xfxf олар. Мисал:

2x5xy 2 +−= функсийасы цчцн ( ) ,22 +=+ xxf

( ) xxf 5−=− -дир.

2. Ейни чохлугда тяйин олунмуш ( )f x вя ( )g x ъцт

функсийалары цчцн ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x+ − ⋅, , вя ( )( )

( )( )f xg x

g x ≠ 0 функсийалары да щямин чохлугда ъцт

функсийалардыр.

3. Ейни чохлугда тяйин олунмуш ( )f x вя ( )g x ейни заманда тяк функсийалар оларса, онда

( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x+ −, функсийалары тяк, ( ) ( )f x g x⋅ вя ( )( )

( )( )f xg x

g x ≠ 0 функсийалары ися щямин чохлугда ъцт

функсийалар олар. 4. Верилмиш чохлугда ( )f x ъцт, ( )g x ися тяк

функсийалар оларса, онда ( ) ( )f x g x⋅ вя ( )( )xgxf

( )( )0≠xg

функсийалары щямин чохлугда тяк функсийалар олар.

§3. Мящдуд функсийалар.

D f чохлуьунда тяйин олунмуш ( )f x функсийасы

∀ ∈x D f цчцн ( )f x A≥ ( A -сонлу ядяддир) шяртини юдя-

йярся, онда о ашаьыдан мящдуд функсийа адланыр. Мисал. 12 −= xy функсийасы ашаьыдан мящдуд

функсийадыр, чцнки ( )+∞∞−∈∀ ,x цчцн 112 −≥−x .

D f чохлуьунда тяйин олунмуш ( )f x функсийасы fDx ∈∀

цчцн ( )f x A≤ ( A -сонлу ядяддир) шяртини юдяйярся, онда о йухарыдан мящдуд функсийа адланыр.

Мисал. 3x50y 2 +−= , функсийасы йухарыдан мящдуд функсийадыр, чцнки

( )+∞∞−∈∀ ,x цчцн 335,0 2 ≤+− x .

D f чохлуьунда тяйин олунмуш ( )f x функсийасы бу

чохлугда щям ашаьыдан вя щям дя йухарыдан мящдуд оларса, онда бу функсийа мящдуд функсийа адланыр.

Мисал. ( )0xxxy ≠= функсийасы мящдуд функсийадыр.

Ашаьыдакы щюкмляр доьрудур: 1. Ейни чохлугда тяйин олунмуш ( )f x вя ( )g x мящдуд функсийалары цчцн

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxfxgxfxgxf ,,, ⋅−+ вя ( )g x

функсийалары да бу чохлугда мящдуд функси-йалардыр. 2. Ейни чохлугда тяйин олунмуш ( )f x вя ( )g x

функсийаларындан ( )f x мящдуд оларса, ( )g x ися

( )g x M≥ > 0 шяртини юдяйярся, онда ( )( )

f xg x

функсийасы

бу чохлугда мящдуд функсийа олур. 3. Яэяр ( )f x D f чохлуьунда мящдуд функсийа оларса,

онда ( ) ( )Nnxfn ∈ функсийасы да бу чохлугда

мящдуд функсийа олар. 4. Яэяр ( )f x D f чохлуьунда тяйин олунмуш ихтийари

функсийа оларса, онда ( )xfcos вя ( )xfsin функсийалары бу чохлугда мящдуд оларлар.

5. Яэяр ( )f x D f чохлуьунда мящдуд функсийа оларса,

онда ( )xfarcsin вя ( )xfarccos функсийалары

( ) fDx1xf ∈≤ , шяртини юдяйян чохлугда мящдуд олар.

§4. Монотон функсийалар.

Яэяр ( )y f x x D f= ∈, функсийасы истянилян

x x D x xf1 2 1 2, ,∈ < цчцн ( ) ( )f x f x1 2< ( ) ( )( )f x f x1 2>

шяртини юдяйярся, онда ( )f x D f чохлуьунда артан

(азалан) функсийа адланыр.

Мисал. 2x5y −= функсийасы бцтцн ядяд охунда

артан функсийадыр, чцнки истянилян ( )+∞∞−∈ ,, 21 xx ,

21 xx < цчцн ( ) ( ) 0xx52x52x5 1212 >−=−−− олдуьундан

2x52x5 21 −<− олур. Ейни гайда иля эюстярмяк олар ки, 4x3y +−= функсийасы бцтцн ядяд охунда азаландыр.

Яэяр ( )y f x x D f= ∈, функсийасы истянилян

x x D f1 2, ∈ , x x1 2< цчцн ( ) ( )f x f x1 2≤ ( ) ( )( )f x f x1 2≥

шяртини юдяйярся, онда ( )f x функсийасы D f чохлуьунда

азалмайан (артмайан) функсийа адланыр. Мисал.

( ]( )[ )

+∞∈

−∈

∞∈−

=

1,x

,-1-x

яэяр

яэяр

яэяр

,1

,1,1,

,,1

)( xxxf

азалмайан функсийадыр. Верилмиш чохлугда тяйин олунан ( )f x функсийасы

бу чохлугда артан вя йа азалан оларса, онда ( )f x функсийасы бу чохлугда ъидди монотон функсийа адланыр. Ашаьыдакы щюкмляр доьрудур: 1. Яэяр ( )f x функсийасы D f чохлуьунда артан (азалан)

функсийа оларса, онда ( )f x C+ функсийасы да D f

чохлуьунда артан (азалан) функсийасыдыр (бурада C истянилян сабитдир).

2. Яэяр ( )f x функсийасы D f чохлуьунда артан

функсийа оларса, онда ( )C f x⋅ функсийасы C > 0 олдугда артан, 0C < олдугда ися азалан функсийадыр (бурада 0≠C сабитдир). Яэяр ( )f x функсийасы D f

чохлуьунда азалан функсийа оларса, онда ( )C f x⋅ функсийасы C > 0 олдугда азалан, C < 0 олдугда ися артандыр.

3. Яэяр ( )f x вя ( )g x функсийалары Χ чохлуьунда

артан (азалан) функсийадырса, онда ( ) ( )xgxf + бу чохлугда артан (азалан) функсийадыр.

4. Яэяр ( )f x вя ( )g x функсийалары Χ чохлуьунда артан (азалан) вя мянфи олмайан функсийалардырса, онда

( ) ( )f x g x⋅ функсийасы да бу чохлугда артан (азалан) функсийадыр.

5. Яэяр ( )f x Χ чохлуьунда артан (азалан) вя мцсбят

гиймятли функсийадырса, онда ( )1

f x функсийасы бу

чохлугда азалан (артан) функсийадыр. 6. Яэяр ( )f x Χ чохлуьунда артан (азалан) вя мянфи

олмайан функсийа ися, онда ( )10,∈α цчцн ( )α xf

функсийасы бу чохлугда артан (азалан) функсийадыр. 7. Яэяр ( )f x функсийасы Χ чохлуьунда артан (азалан)

функсийа ися, онда 10 << a цчцн ( )a f x функсийасы бу чохлугда азалан (артан) функсийадыр.

8. Яэяр ( )f x функсийасы Χ чохлуьунда артан (азалан)

функсийа ися, онда a > 1 цчцн ( )a f x функсийасы бу чохлугда артан (азалан) функсийадыр.

9. Яэяр ( )f x функсийасы артан (азалан) вя мцсбят

гиймятли функсийа ися, онда a > 1 цчцн ( )loga f x функсийасы бу чохлугда артан (азалан), 1a0 << олдугда ися азалан (артан) функсийадыр.

§5. Дюврц функсийа.

( )y f x x= ∈, Χ функсийасы ашаьыдакы ики шярти юдядикдя о, Χ чохлуьунда T дюврлц функсийа адланыр: a) еля ( )T T ≠ 0 ядяди вар ки, истянилян x ∈Χ цчцн x T+ , Χ∈− Tx ;

б) истянилян x ∈Χ цчцн ( ) ( )f x f x T= + . Мисал. x2y sin= функсийасы π=T дюврлц функ- сийадыр. Ашаьыдакы фактлар доьрудур:

1. Яэяр T1 вя T2 ( ) ( )T T y f x x1 2≠ = ∈, Χ функсийасынын

дюврляри ися, онда 21 TT + ядяди дя бу функсийанын Χ чохлуьунда дюврцдцр.

2. Яэяр T ядяди ( )f x функсийасынын дюврц ися, онда

истянилян n Z∈ ( )n ≠ 0 цчцн n T⋅ дя бу функсийанын Χ чохлуьунда дюврцдцр.

3. Яэяр T1 вя T2 ( )y f x x= ∈, Χ функсийасынын дюврляри

ися, онда 021 ≠⋅+⋅ TkTn ядяди дя бу функсийанын Χ

чохлуьунда дюврцдцр ( )n k Z, ∈ . Дюврц функсийанын ян кичик мцсбят дюврц варса, онда о бу функсийанын ясас дюврц адланыр.

4. Дюврц функсийанын тябии тяйин областында кясилмя нюгтяляринин сайы сонлу ола билмяз.

5. Дюврц функсийа юзцнцн щяр бир гиймятини сонсуз сайда нюгтядя алыр.

6. Дюврц функсийа бцтцн тяйин областында ъидди монотон функсийа ола билмяз.

7. Бцтцн ядяд охунда кясилмяз вя дюврц олан функсийа мящдуддур. Демяли, бцтцн ядяд охунда кясилмяз, лакин мящдуд олмайан функсийа дюврц ола билмяз.

8. Фярз едяк ки, бцтцн щягиги охда ( )f x T1 1 0> дюврлц, ( )f x2 ися T2 0> дюврлц функсийадыр. Яэяр 21 TT

расионал ядяд оларса, онда ( ) ( )f x f x1 2+ , ( ) ( )f x f x1 2−

вя ( ) ( )f x f x1 2⋅ функсийалары мцяййян дюврлц функсийалардыр.

§6. Кясилмяз функсийалар.

Яввялъя функсийанын нюгтядя лимити анлайышыны дахил едяк.

Фярз едяк ки, ( ) fDxxfy ∈= , функсийасы верилмишдир

вя истянилян 0>ε ядядиня эюря еля ( ) 0>εδ ядяди вар ки,

истянилян ( ) ( )( )δαααδα +∪−∩∈ ,,fDx цчцн ( ) ε<− bxf

бярябярсизлийи юдянилир. Онда b ядядиня ax = нюгтясиндя ( )xf функсийасынын лимити дейилир. Яэяр x a -йа

йахынлашдыгда ( )xf -ин лимити b -йя бярабярдирся, онда бу факт ( ) bxf

ax=

→lim

кими ишаря олунур, бурада a вя b ядядляринин сонлу олдуьу нязярдя тутулур. Ола биляр ки, a вя b ядядляриндян бири вя йа щяр икиси сонсузлуьа бярабяр олсун. Мисал.

1sinlim0

=→ x

xx

.

Сонлу a вя b цчцн ( ) bxfax

=→

lim фактыны щяндяси

олараг беля шярщ етмяк олар: ( )( ∪−∩∈∀ αδα ,fDx

( ))δαα +∪ , цчцн ( )xfy = функ-сийасынын графикинин

бцтцн ( )( )xfx, нюгтяляри εε +<<− byb золаьы дахилиндя йерляшир.

Фярз едяк ки, ( ) ( )baxxfy ,, ∈= функсийасы

верилмишдир. Яэяр ( )bax ,0 ∈ цчцн ( ) ( )00

lim xfxfxx

=→

оларса,

онда ( )xf функсийасы 0xx = нюгтясиндя кясилмяз

функсийа адланыр. ( ) ( )baxxfy ,, ∈= функсийасы ( )ba, интервалынын бцтцн нюгтяляриндя кясилмяз оларса, онда

( )xf ( )ba, интервалында кясилмяз функсийа адланыр.

Мисал.

=

≠−

=оланда

оланда,

0,21

0,cos12

x

xx

x

y

функсийасы бцтцн ядяд охунда кясилмяздир. Ашаьыдакы фактлар дльрудур:

Ы. Фярз едяк ки, ( ) ( )baxxfy ,, ∈= вя ( ) ( )baxxgy ,, ∈=

функсийалары ( )bax ,0 ∈ нюгтясиндя кясилмяздирляр.

Онда: 1) еля 0>δ вар ки, ( )f x функсийасы

( )δδ +− 00 , xx интервалында мящдуддур; 2) яэяр

( ) 00 >xf ( )( )00 <xf ися, онда еля 0>δ вардыр ки,

( )δδ +−∈∀ 00 , xxx цчцн ( ) 00 >xf ( )( )00 <xf олур; 3)

( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x+ −, , ( ) ( )f x g x⋅ вя ( )( )xgxf

(яэяр

( ) 0≠xg ися) функсийаларынын щяр бири 0xx = нюгтясиндя кясилмяздир.

ЫЫ. Фярз едяк ки, ( ) ( )baxxfy ,, ∈= функсийасы ( )bax ,0 ∈

нюгтясиндя кясилмяздир вя ( )xf ( )ba, интервалында

ъидди монотондур. Онда ( )yfx 1−= тярс функсийасы

( )00 xfy = нюгтясиндя кясилмяз олур.

ЫЫЫ. Фярз едяк ки, ( ) ( )baxxfy ,, ∈= функсийасы ( )bax ,0 ∈

нюгтясиндя, ( ) ( ) fEdcyygu ⊃∈= ,, функсийасы ися

( )dcyxf ,)( 00 ∈= нюгтясиндя кясилмяздир. Онда

( )( ) ( )baxxfu ,, ∈ мцряккяб функсийасы 0xx = нюгтясиндя кясилмяз олур.

§7. Габарыг функсийа.

Χ парчасында тяйин олунмуш ( )f x функсийасы цчцн

истянилян x x1 2, ∈Χ вя истянилян ( )α ∈ 0 1, цчцн

( )( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f xα α α α1 2 1 21 1+ − ≥ + −

мцнасибяти юдянилярся, онда ( )f x функсийасы бу парчада йухарыйа габарыг функсийа адланыр. Χ парчасында тяйин олунмуш ( )f x функсийасы цчцн

истянилян x x1 2, ∈Χ вя истянилян ( )α ∈ 0 1, цчцн

( )( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f xα α α α1 2 1 21 1+ − ≤ ⋅ + −

мцнасибяти юдянилирся, онда ( )f x функсийасы ашаьыйа габарыг функсийа адланыр.

Фунсийанын йухарыйа габарыг олмасы щяндяси олараг о демякдир ки, ( )f x функсийасынын графикинин

истянилян AB гювсцнцн щеч бир нюгтяси онун ( )( )A x f x1 1,

вя ( )( )B x f x2 2, уъ нюгтялярини бирляшдирян вятярдян

ашаьыда йерляшмяйир.

Доьрудан да ( )( ) ( )f x x f xα α1 21+ − функсийасынын

( )x x x= + −α α1 21 нюгтясиндяки гиймятидир.

( ) ( ) ( )α αf x f x1 21+ − ися графики ( )( )A x f x1 1; вя

( )( )B x f x2 2; нюгтяляриндян кечян хятти функсийанын

( )x x x= + −α α1 21 нюгтясиндяки гиймятидир. Функсийанын ашаьыйа габарыг олмасы щяндяси олараг о демякдир ки, ( )f x функсийасы графикинин

истянилян AB гювсцнцн щеч бир нюгтяси онун ( )( )A x f x1 1;

вя ( )( )B x f x2 2; уъ нюгтялярини бирляшдирян вятярдян

йухарыда йерляшмяйир.

Ашаьыдакы фактлар доьрудур:

1. Яэяр ( )f x йухарыйа (ашаьыйа) габарыг функсийа

оларса, онда - ( )f x ашаьыйа (йухарыйа) габарыг функсийа олар.

2. Яэяр ( )f x йухарыйа (ашаьыйа) габарыг функсийа

оларса, онда c > 0 цчцн ( )c f x⋅ йухарыйа (ашаьыйа) габарыг функсийа олар.

3. Ейни чохлугда йухарыйа (ашаьыйа) габарыг олан ики функсийанын ъями дя щямин чохлугда йухарыйа (ашаьыйа) габарыг функсийа олур.

4. Яэяр ( )y L u= артан вя ашаьыйа габарыг функсийа, ( )u f x= ися ашаьыйа габарыг функсийа оларса, онда

( )( )y L f x= ашаьыйа габарыг функсийа олар.

5. ( )y f x= вя ( )y f x= −1 гаршылыглы тярс функсийалар оларса, онда: а) ( )xf артан вя йухарыйа габарыг функсийа олдугда

( )f x−1 артан вя ашаьыйа габарыг функсийа олар;

б) ( )f x азалан вя йухарыйа габарыг функсийа

олдугда ( )f x−1 азалан вя йухарыйа габарыг фунсийа олар;

в) ( )f x артан вя ашаьыйа габарыг функсийа олдугда

( )f x−1 артан вя йухарыйа габарыг функсийа олар;

г) ( )f x азалан вя ашаьыйа габарыг функсийа олдугда

( )f x−1 азалан вя ашаьыйа габарыг функсийа олур. 6. Парчада сабит олмайан йухарыйа (ашаьыйа) ъидди габарыг функсийа бу парчанын дахили нюгтясиндя ян кичик (ян бюйцк) гиймятини ала билмяз.

§8. Мцряккяб функсийа.

Фярз едяк ки, ( )y g x= тяйин областы Dg , гиймятляр

чохлуьу ися E g олан функсийа, ( )xfz = ися тяйин областы

gf ED ⊃ , гиймятляр чохлуьу ися E f олан функсийадыр.

Онда щяр бир x Dg∈ ядядиня ( )y g x= , ( )f y z= шяртлярини

юдяйян z E f∈ ядядини гаршы гойан функсийа мцряккяб

функсийа адланыр. Фярз едяк ки, ( )y f x= тяйин областы D f , гиймятляр чохлуьу ися E f олан функсийадыр. Яэяр

( )f x функсийасы f21 Dxx ∈∀ , , 21 xx ≠ цчцн ( ) ( )f x f x1 2≠

шяртини юдяйярся, ( )x f y= −1 кими ишаря едилян функсийа щяр

бир y E f∈ ядядиня ( ) yxf = шяртини юдяйян йеэаня x D f∈

ядядини гаршы гойур. ( )x f y= −1 функсийасы ( )y f x=

функсийасынын тярси адланыр. Яэяр ( )y f x= функсийасынын

тярси варса, онда ( )f x−1 функсийасыны тапмаг цчцн

∀ ∈y E f цчцн ( )y f x= тянлийиндян x -и y васитясиля

тапмаг лазымдыр: ( )x f y= −1 .

Мисал. 13 −= xy функсийасынын тярсини тапаг:

31+

=yx . Демяли, ( ) 13 −= xxf функсийасынын тярси

( )3

11 +=− yyf -дцр. Гаршылыглы тярс функсийалар цчцн

( )( ) fDxxxff ∈∀=− ,1 цчцн вя ( )( ) fEyyyff ∈∀=− ,1 цчцн

мцнасибятляри юдянилир.

§9. Òþðÿìÿíèí òÿòáèãè èëÿ ôóíêñèéàíûí òÿäãèãè âÿ îíóí ãðàôèêèíèí ãóðóëìàñû. Òþðÿìÿ àíëàéûøû ôóíêñèéàíûí òÿäãèãè ïðîñåñèíè ÿùÿìèééÿòëè äÿðÿúÿäÿ ñàäÿëÿøäèðèð. Òþðÿмяíèí òÿòáèãè èëÿ ôóêñèéàíûí òÿäãèã îëóíìàñû ö÷öí áÿçè àíëàéûøëàðû âÿ òÿêëèôëÿðè äàõèë åòìÿê ëàçûìäûð. 1. ßýÿð ( )y f x= ôóíêñèéàñû ( )a b, èíòåðâàëûíäà

äèôåðåíñèàëëàíàíäûðñà, îíäà ( )f x -èí ñàáèò ôóíêñèéà îëìàñû

ö÷öí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðò èñòÿíèëÿí ( )x a b∈ , ö÷öí ( )′ =f x 0 îëìàñû øÿðòèäèð.

2. ßýÿð ( )y f x= ôóíêñèéàñû ( )a b, èíòåðâàëûíäà àðòàí (àçàëàí)

âÿ äèôåðåíñèàëëàíàí ôóíêñèéàäûðñà, îíäà èñòÿíèëÿí ( )x a b∈ ,

ö÷öí ( ) ( )( )′ ≥ ′ ≤f x f x0 0 îëуð.

3. ßýÿð ( )a b, èíòåðâàëûíäà äèôåðåíñèàëëàíàí ( )y f x=

ôóíêñèéàñû ö÷öí èñòÿíèëÿí ( )x a b∈ , ö÷öí ( ) ( )( )00 <′>′ xfxf

øÿðòè þäÿíèëÿðñÿ, îíäà ( )f x áó èíòåðâàëäà ъидди àðòàí (àçàëàí) ôóíêñèéàäûð.

4. Ôÿðç åäÿê êè, ( )y f x= , x X∈ ôóíêñèéàñû âåðèëìèøäèð. ßýÿð

x X0 ∈ íþãòÿñèíè þç äàõèëèíäÿ ñàõëàéàí åëÿ

( ) 0,, 00 >⊃+− δδδ Xxx èíòåðâàëû âàðñà êè, èñòÿíèëÿí

( )x x x∈ − +0 0δ δ, ö÷öí ( ) ( )f x f x≤ 0 ( ) ( )( )f x f x≥ 0 îëóð,

îíäà x0 íþãòÿñè ( )y f x= ôóíêñèéàñûíûí ëîêàë ìàêñèìóì (ìèíèìóì) íþãòÿñè àäëàíûð.

Ôóíêñèéàíûí ëîêàë ìàêñèìóì âÿ локал ìèíèìóì íþãòÿëÿðè îíóí åêñòðåìóì íþãòÿëÿðè àäëàíûð. Ôóíêñèéàíûí åêñòðåìóì

íþãòÿñèíäÿêè ãèéìÿòè îíóí

åêñòðåìàë ãèéìÿòè

àäëàíûð. Âåðèëÿí øÿêèëäÿ x1 íþãòÿñè ( )f x ôóíêñèéàñûíûí ëîêàë ìèíèìóì, x2 íþãòÿñè èñÿ ëîêàë ìàêñèìóì íþãòÿñèäèð. 5. Ôÿðç åäÿê êè, ( )y f x x X= ∈, ôóíêñèéàñû âåðèëìèøäèð. ßýÿð

x X0 ∈ íþãòÿñèíè þç äàõèëèíäÿ ñàõëàéàí åëÿ

( )x x X0 0 0− + ⊂ >δ δ δ, , èíòåðâàëû âàðñà êè, èñòÿíèëÿí

( )x x x∈ − +0 0δ δ, , 0xx ≠ ö÷öí ( ) ( )0xfxf <

( ) ( )( )0xfxf > îëóð, îíäà x0 íþãòÿñè ( )y f x= ôóíêñèéàñûíûí úèääè ëîêàë ìàêñèìóì (ìèíèìóì) íþãòÿñè àäëàíûð.

Ашабыдакы øÿêèëäÿ x1 íþãòÿñè ( )y f x= ôóíêñèéàñûíûí úèääè

ëîêàë ìàêñèìóì íþãòÿñèäèð.

у

х а 1x 0 2x b

Шякил 1.

6. Ôÿðç åäÿê êè, ( )y f x x X= ∈, ôóíêñèéàñû ( ]x x X0 0− ⊂δ ,

àðàëûüûíäà àðòûð (àçàëûð) âÿ [ )x x X0 0, + ⊂δ àðàëûüûíäà èñÿ

àçàëûð (àðòûð), îíäà x0 íþãòÿñè ( )y f x= ôóíêñèéàñûíûí ëîêàë ìàêñèìóì (ìèíèìóì) íþãòÿñè îëуð.

7. Ôÿðç åäÿê êè, ( )y f x= , x X∈ ôóíêñèéàñû âåðèëìèøäèð. ßýÿð

åëÿ XMMx0 ⊂∈ , íþãòÿñè âàðñà êè, èñòÿíèëÿí x M∈ ö÷öí

( ) ( ) ( ) ( )( )f x f x f x f x≤ ≥0 0 , îíäà ( )f x0 ãèéìÿòè M

÷îõëóüóíäà ( )y f x= ôóíêñèéàñûíûí ÿí áþéöê (ÿí êè÷èê) ãèéìÿòè àäëàíûð. Ãðàôèêè àøàüûäà âåðèëÿí ôóíêñèéàíûí x a b1 ∈[ , ] íþãòÿñèíäÿ þçöíöí ÿí áþéöê, x a b2 ∈[ , ] нюгтяñèíäÿ èñÿ ÿí êè÷èê ãèéìÿòèíè àëûð.

у

х а

0 1x b

Шякил 2.

у

х 0 1a 1x 2x b Шякил 3.

8. Ôÿðç åäÿê êè, ( ) ( )y f x x a b= ∈, , ôóíêñèéàñû âåðèëìèøäèð âÿ

( )x a b0 ∈ , áó ôóíêñèéàíûí åêñòðåìóì íþãòÿñèäèð. ßýÿð ( )f x

ôóíêñèéàñû ( )a b, èíòåðâàëûíäà äèôåðåíñèàëëàíàíäûðñà, îíäà

( )′ =f x0 0 îëàð.

9. Ôÿðç åäÿê êè, ( )y f x= ôóíêñèéàñû ( )a b, èíòåðâàëûíäà òÿéèí

îëóíìóøдур. ( )f x ( )x a b0 ∈ , íþãòÿñèíèí ìöÿééÿí

ÿòðàôûíäà êÿñèëìÿçäèð âÿ ùÿìèí ÿòðàôäà 0x нюгтясини

чыхмагла äèôåðåíñèàëëàíàíäûð. ßýÿð x0 íþãòÿñèíäÿí ñîëäà

( ) ( )( )′ < ′ >f x f x0 0 , ñàüäà èñÿ ( ) ( )( )′ > ′ <f x f x0 0

îëàðñà, онда x0 íþãòÿñè ( )y f x= ôóíêñèéàñûíûí ìèíèìóì (ìàêñèìóì) íþãòÿñèäèð.

10. Ôÿðç åäÿê êè, ( )y f x= ôóíêñèéàñû ( )a b, èíòåðâàëûíäà

äèôåðåíñèàëëàíàíäûð. ( )f x ôóíêñèéàñûíûí ( )a b, èíòåðâàëûíäà ашаьыйа (йухарыйа) ãàáàðûã îëìàñû цчцн çÿðóðè âÿ êàôè øÿðò ( )a b, èíòåðâàëûíдà ( )′f x òþðÿìÿñèíèí àçàëìàéàí (àðòìàéàí) îëìàñûäûð.

11. Òþðÿìÿíèí òÿòáèãè èëÿ ôóíêñèéàíûí òÿäãèãè âÿ îíóí ãðàôèêèíèí ãóðóëìàñûíû àøàüûäàêû ìÿðùÿëÿëÿðÿ áþëìÿê îëàð:

• ôóíêñèéàíûí òÿ’éèí îáëàñòûíûí òàïûëìàñû; • ôóíêñèéàíûí öìóìè õàññÿëÿðèíèí (òÿê, úöò, äþâðö âÿ ñ.)

ìöÿééÿí åäèëìÿñè; • ôóíêñèéàíûí èøàðÿñèíèí ñàáèò îëäóüó àðàëûãëàðûí òàïûëìàñû

(ôóíêñèéàíûí èøàðÿñèíèí ìöñáÿò (ìÿíôè) îëäóüó àðàëûãäà îíóí ãðàôèêè éóõàðû (àøàüû) éàðûììöñòÿâèäÿ éåðëÿøèð);

• ôóíêñèéàíûí òþðÿìÿñèíèí èøàðÿñèíèí ñàáèò îëäóüó àðàëûãëàðûí òàïûëìàñû вя áóíóí ÿñàñûíäà ôóíêñèéàíûí ìîíîòîíëóã àðàëûãëàðûíûí âÿ åêñòðåìóì íþãòÿëÿðèíèí òàïûëìàñû;

• ôóíêñèéà ãðàôèêèíèí àñèìïòîòëàðûíûí (øàãóëè, öôèãè âÿ ìàèëи) òàïûëìàñû.

Ìèñàë 1. ( ) ( )y x x= − − +2 223 23 ôóíêñèéàñûíû òÿдгиг åòìÿëè âÿ ãðàôèêèíè ãóðìàëû.

• òÿ’éèí îáëàñòû: ( )− ∞ +∞, ;

• òÿê ôóíêñèéàäûð:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )xfxx

xx

xxxf

−=

+−−−=

=−−+=

=+−−−−=−

3 23 2

3 23 2

3 23 2

22

22

22

• øàãóëè àñèìïòîòó éîõäóð: y = 0 äöç õÿòòè ôóíêñèéà ãðàôèêèíèí öôèãè àñèìïòîòóäóð, ÷öíêè

( ) ( ) =

+−−

±∞→

3 23 2 22lim xxx

( ) ( )

( ) ( )=

++−+−

+−−=

±∞→ 3 43 23 4

22

242

22limxxx

xxx

( ) ( )

;0242

8lim3 43 23 4

=++−+−

−=

±∞→ xxx

xx

• äþâðö ôóíêñèéà äåéèë; • ôóíêñèéàíûí ãðàôèêè êîîðäèíàò îõëàðûíû êîîðäèíàò

áàøëàíüûúûíäà êÿñèð: ( )f 0 0= .

• Àñàíëûãëà éîõëàìàã îëàð êè, èñòÿíèëÿí ( )x ∈ − ∞,0 ö÷öí

( )f x > 0 âÿ èñòÿíèëÿí ( )x ∈ +∞0, ö÷öí ( )f x < 0 , оíà ýþðÿ êè,

( ) ( ) ( )x x x− − + > ∈ − ∞2 2 0 023 23 , , âÿ

( ) ( ) ( )x x x− − + < ∈ +∞2 2 0 023 23 , , .

( ) ( ) ( ) =+−−=′ −−31

31

2322

32 xxxf

=

+

−−

=33 2

12

132

xx

3 2

33

4

2232

−

−−+⋅=

xxx

Àñàíëûãëà éîõëàìàã îëàð êè, èñòÿíèëÿí ( )x ∈ − ∞ +∞, ö÷öí

x x+ − − >2 2 03 3 . Îíà ýþðÿ äÿ èñòÿíèëÿí

( ) ( )x ∈ − ∞ − ∪ +∞, ,2 2 ö÷öí ( )′ >f x 0 âÿ èñòÿíèëÿí ( )x ∈ − +2 2,

ö÷öí ( )′ <f x 0 . Áàøãà ñþçëÿ )(xf ( ) ( )− ∞ − ∪ +∞, ,2 2

÷îõëóüóíäà àðòûð, ( )− +2 2, àðàëûüûíäà èñÿ ôóíêñèéà àçàëûð. x = −2 âÿ x = 2 íþãòÿëÿðèíäÿ )(xf ôóíêñèéàсыíûí òþðÿìÿñè éîõäóð, оíà ýþðÿ äÿ ôóíêñèéàíûí åêñòðåìóì íþãòÿëÿðè éîõäóð.

( ) ( )f − = − = ⋅2 4 2 223 3 )(xf ôóíêñèéàíûí ÿí бюйцк,

( )f 2 4 2 223 3= − = − ⋅ èñÿ щямин ôóíêñèéàíûí ÿí êè÷èê ãèéìÿòëÿðèäèð. • Ôóíêñèéàíûí йухарыйа ãàáàðûã âÿ ашаьыйа габарыг îëäóüó

àðàëûãëàðûíû òàïìàã ö÷öí îíóí èêèíúè òÿðòèá òþðÿìÿñèíè ùåñàáëàéàã:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) =

−−+=

=

++−−=

=′

+−−=′′

−−

−−

−−

34

34

34

34

31

31

2292

2312

31

32

2232

xx

xx

xxxf

( ) ( )

( )2,

4

2292

3 42

3 43 4

±≠−

+−−⋅= x

x

xx

Àñàíëûãëà éîõëàìàã îëàð êè, èñòÿíèëÿí ( ) ( )x ∈ − ∞ − ∪ −, ,2 2 0 ö÷öí ( )′′ >f x 0 îëóð. Äåìÿëè, áó ÷îõëóãäà ôóíêñèéà ашаьыйа

габарыгдыр. Èñòÿíèëÿí ( ) ( )x ∈ ∪ +∞0 2 2, , ö÷öí ( )′′ <f x 0

îëäóüóíäàí ôóíêñèéà ( ) ( )0 2 2, ,∪ +∞ ÷îõëóüóíäà йухарыйа ãàáàðûãäûð.

Éóõàðûäàêûëàð ÿñàñûíäà ôóíêñèéàíûí ãðàôèêèíè àñàíëûãëà ãóðìàã îëàð.

Шякил 4. Ìèñàë 2. y x x= ⋅ ln ôóíêñèéàñûíû òÿäãèã åòìÿëè âÿ

ãðàôèêèíè ãóðìàëû.

Áó ôóíêñèéàíûí ÿñàñ õàññÿëÿðè àøàüûäàêûëàðäûð:

• òÿ’éèí îáëàñòû: ( )0,+∞ ;

• íÿ òÿê, íÿ äÿ úöò ôóíêñèéàäûð; • äþâðö ôóíêñèéà äåéèëäèð;

х

у

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

3

2

1

-1

-2

-3

)22,2( 3−

)22;2( 3−

• ( )x ∈ 0 1, ö÷öí ( )f x < 0 âÿ ( )x ∈ +∞1, ö÷öí ( )f x > 0 îëóð; äþâðö ôóíêñèéà äåéèë;

• ôóíêñèéàíûí ãðàôèêè àáñèñ îõóíó ( )1 0, íþãòÿñèíäÿ êÿñèð; ôóíêñèéàíûí ãðàôèêè îðäèíàò îõóíó êÿñìяйèð;

• ( ) ( )x

xxf2

2ln +=′ îëäóüóíäàí ( )0 2,e− àðàëûüûíäà ôóíêñèéà

àçàëûð, ( )e− +∞2 , àðàëûüûíäà èñÿ ôóíêñèéà àðòûð;

• x e= −2 íþãòÿñè ôóíêñèéàíûí ìèíèìóì íþãòÿñè,

( )f e e ee

− − −= =−2 2 2 2

ln èñÿ ôóíêñèéàíûí ìèíèìóì

ãèéìÿòèäèð.

• ( )( )

′′ =⋅ − + ⋅

=−

+

=−

f x xx x

xx

xx

xx

xx x

12 2

1

4

2 2

4 4

lnln

ln

îëäóüóíäàн ( )1,0 àðàëûüûíäà ( )′′ >f x 0 , ( )+∞,1 àðàëûüûíäà èñÿ

( )′′ <f x 0 îëуð. Äåìÿëè, ( )1,0 àðàëûüûíäà ( )f x x x= ln

ашаьыйа габарыг, ( )+∞,1 àðàëûüûíäà èñÿ йухарыйа ãàáàðûãäûð. Áó ôóíêñèéàíûí ãðàôèêè àøàüûäà âåðèëèð.

Шякил 5.

х

у

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1

5 4 3 2

1