preambledjelatnici.unizd.hr/~makosor/mat3/plosni_integral_print.pdf · 2010. 12. 22. · Za plohu deﬁniranu parametrizacijom r : D→ R3 jedinični normalni vektor u svakoj točki

preamble

bb

b

1 / 40

Plošni integral

Mate Kosor

20.12.2010.

b

b

Uvodne napomene

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Ploha

Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju

Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju

Važni teoremi

2 / 40

Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ovaprezentacija biti će dostupna na webu.

b


3 / 40

� knjiga prof. Uglešića: str. 323–338

� možete pogledati web sadržaje na http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node19.html

Sadržaj:Ploha

Plošni integral prve vrste - na skalarnom polju

Plošni integral druge vrste - na vektorskom polju

Važni teoremi

b

bPloha

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe

Ploha - druga definicija

Ploha - treća definicija

Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi

Primjer računanjanormale

Ploština (površina)

Primjer računanjapovršine (1)


Usmjerenje plohe

Usmjerenje - primjeri

Sukladno usmjerenjeplohe i ruba

Po djelovima glatkaploha



Važni teoremi4 / 40

b

b

b

Definicija plohe

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Ploha je skup S u prostoru R3 (S ⊆ R3) koji se matematički možekarakterizirati:

1. u okolini svake točke T ∈ S postoji

(a) okolina VT ⊆ R3

(b) pravokutni koordinatni sustav(

OT ,−→iT ,

−→jT ,

−→kT

)

(c) otvoreni skup UT ⊆ R2

(d) preslikavanje g : U → R

takvi da je r = x−→iT + y

−→jT + g(x, y)

−→kT parametrizacija skupa S u VT

okolini točke T .

Ploha S je glatka ako je funkcija g neprekidno derivabilna, tj. ako jeparametrizacija neprekidno diferencijabilna.Ako formula z = g(x, y) vrijedi za cijelu plohu S naziva se eksplicitnajednadžba plohe S.

b


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







2.Neka je H : V → R skalarno polje. Neka je H derivabilna sa svojstvomgradH 6= 0. Tada je skup

S = {(x, y, z) ∈ V : H(x, y, z) = 0}

glatka ploha.Nultočke polja H(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4 definiraju kuglu radijusa 2.

bbb


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







3. Ploha je skup S u prostoru R3 (S ⊆ R3) takav da postoji otvoreni skupU ⊆ R2 i r : U → R3 parametrizacija skupa S koja je

r(u, v) =

φ(u, v)ψ(u, v)χ(u, v)

druge=

oznake

x(u, v)y(u, v)z(u, v)

, (u, v) ∈ U

� r neprekidno derivabilna

� r injekcija (osim možda na rubu)

� nijedna parcijalna derivacija od r nije nulvektor

Rub plohe S označava se sa ∂S.

b

Jednostavan primjer

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Parametrizacija r = ui+ vj+ sin(uv)k, u ∈ [0, π2], v ∈ [0, 2]. Eksplicitna

jednadžba z = sin(x y)

b

b

”Pramac broda”

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







x = sinu cos v, y = sin v

(cos3 u

2− cosu

3+ 2

)

, z = cosu,

u ∈ [−2, 2], v ∈ [0, 2]

b bb

Normalni vektori

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Glatka ploha S u svakoj točki T dopušta okomicu (normalu). Ta okomica jepravac koji u odabranoj točki T siječe plohu S okomito na tangencijalnuravninu. Možemo reći da S dijeli svaku svoju okomicu na dva dijela: dijeloviodgovaraju dvama stranama plohe, sa svake strane po jedan. Time suodređena i dva jedinična normalna vektora: −→n0 i −−→n0.Za plohu definiranu parametrizacijom r : D → R3 jedinični normalni vektor usvakoj točki računa se formulom

−→n0 =∂r

∂u× ∂r∂v∥

∥∥∥

∂r

∂u× ∂r∂v

∥∥∥∥

.

U slučaju eksplicitne jednažbe plohe z = g(x, y) formula za jediničninormalni vektor ”pojednostavljuje” se kao

−→n0 =− ∂g∂x i−

∂g∂y j+ k

√

1 +

(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2.

bb

b

Smjerovni kosinusi

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Ponekada se jedinični normalni vektor izražava u terminima smjerovnihkosinusa:

−→n0 = cosαi+ cosβj+ cos γk= (cosα, cosβ, cos γ)

Ovo je samo oznaka: nemojte da vas zbuni. Ako se traže smjerovni kosinusito su koordinate jediničnog normalnog vektora, jednostavno izračunajte −→n0 izranije danih formula.

Primjer računanja normale

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Parametrizacija r = ui+ vj+ sin(uv)k, u ∈ [0, π2], v ∈ [0, 2]. Eksplicitna

jednadžba z = sin(x y).

∂r

∂u= i+ v cos(uv)k,

∂r

∂v= j+ u cos(uv)k

−→n =

10

v cos(uv)

×

01

u cos(uv)

=

−v cos(uv)−u cos(uv)

1

∥∥−→n∥∥ =

√

1 + v2 cos2(uv) + u2 cos2(uv) =√

1 + (u2 + v2) cos2(uv)

−→n0 =−v cos(uv)i− u cos(uv)j+ k√

1 + (u2 + v2) cos2(uv)


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Za plohu S definiranu parametrizacijom r(u, v), r : D → R3 ploština(površina) se definira integralom

P (S) =

¨

D

dS =

¨

D

∥∥−→n (u, v)

∥∥ dudv =

¨

D

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r∂v

∥∥∥∥dudv .

U slučaju eksplicitne jednažbe plohe z = g(x, y) za (x, y) ∈ D formula zaploštinu ”pojednostavljuje” se kao

P (S) =

¨

D

dS︸︷︷︸

=‖−→n‖=

¨

D

√

1 +

(∂g(x, y)

∂x

)2

+

(∂g(x, y)

∂y

)2

dxdy .

b

b

Primjer računanja površine (1)

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Postaviti formulu za ploštinu dijela eliptičnog paraboloida z = x2

3+ y

2

3što

leži iznad područja D . . . x2

3+ y

2

3≤ 1.Koristimo parametrizaciju u cilindričnim

koordinatama r(r, ϕ) =

r cosϕr sinϕ

r2

3

, r ∈[0,√3], ϕ ∈ [0, 2π]

∂r

∂r× ∂r∂ϕ

=

cosϕsinϕ2r3

×

−r sinϕr cosϕ

0

=

− 2r23

cosϕ

− 2r23

sinϕr

P (S) =

¨

D

∥∥∥∥

∂r

∂r× ∂r∂ϕ

∥∥∥∥drdϕ =

2πˆ

0

√3ˆ

0

√

1 +4r2

9r drdϕ

{

u = 1 +4r2

9, du =

8

9r dr

}

= 2π

7/3ˆ

1

√u9

8du

=9π

4

[u3/2

3/2

]7/3

1

=3π

2

(√

343

27− 1)

b

Primjer računanja površine (2)

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Postaviti formulu za ploštinu dijela stošca z =√

x2

3+ y

2

3što leži iznad

područja D . . . x2

3+ y

2

3≤ 1.g(x, y) =

√x2

3+ y

2

3

∥∥−→n∥∥ =

√√√√√√1 +

2x

3√

x2

3+ y

2

3

2

+

2y

3√

x2

3+ y

2

3

2

P (S) =

¨

D

√

1 +4/91/3

dxdy

{polarne koordinate} =2πˆ

0

√3ˆ

0

√

7

3r drdϕ

= 2π ·√

7

3·[r2

2

]r=√3

r=0

=3π

√7√

3=

√21π

Usmjerenje plohe

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Ranije smo spomenuli dva odabira usmjerenja normalnog vektora.Odabiromjedne od tih strana, tj. svih −→n0 ili svih −−→n0 odabrano je određeno usmjerenjeglatke plohe. Kažemo da je glatka ploha S usmjerena ili orjentirana ako jeneprekidno odabrano jedno usmjerenje vektora normale, odnosno ako je naplohi konzistentno odabrana jedna njena strana.Oznaka za usmjerenje:

�

y

S za plohu usmjerenu vektorima −→n0

�

x

S za plohu usmjerenu vektorima −−→n0Posebno, ako je S jednostavno zatvorena ploha (tj. omeđuje dio prostora)tada označavamo:

�

y

S za plohu usmjerenu unutarnjim normalnim vektorima

�

x

S za plohu usmjerenu vanjskim normalnim vektorima

b


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Primjer. Plašt svakog geometrijskog tijela, npr. kugle, kocke, itd. ima dvije

strane: vanjskux

S i unutarnjuy

S .Primjer. Postoje plohe koje ne dopuštaju usmjerenje, npr. Mobiusova traka(vidi sliku).

b

b

bSukladno usmjerenje plohe i ruba

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Neka jey

S ploha usmjerena normalom koja je definirana formulama od ranije:

� n =∂r

∂u× ∂r∂v

uz parametrizaciju r : D → R3

� ili n = − ∂g∂x i−∂g∂y j+ k uz eksplicitnu jednadžbu z = g(x, y),

g : D → R

Primijeti da je D područje u ravnini s rubom ∂D. Tada sax

∂D označavamousmjerenje ravninske krivulje u smjeru suprotno kazaljci na satu.

Sax

∂S označavamo sukladno usmjerenje plohey

S i njenog ruba koje proizlazi

iz usmjerenja ravninske krivuljex

∂D:

�

x

∂S proizlazi iz slike parametrizacijom r(x

∂D)

� ilix

∂S proizlazi iz eksplicitne jednadžbe z = g(x

∂D)

bb

Po djelovima glatka ploha

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe







Dosad smo razmatrali samo glatke plohe, međutim u praksi nailazimo naplohe koje imaju određene ”lomove”. Na sreću, sve dosad rečeno lako seproširuje na tzv. po djelovima glatke plohe. To su plohe u cjelini s”lomovima”, ali sastavljene od konačno dijelova koji su glatki.Primjer. Površina plašta kocke koji zadovoljava jednadžbu:

max {|x| , |y| , |z|} = 1 .

sastoji se od dijelova:

r1 = xi+ yj+ k, x, y ∈ [−1, 1], r4 = xi+ yj− k, x, y ∈ [−1, 1],r2 = xi+ j+ zk, x, z ∈ [−1, 1], r5 = xi− j+ zk, x, z ∈ [−1, 1],r3 = i+ yj+ zk, y, z ∈ [−1, 1], r6 = −i+ yj+ zk, y, z ∈ [−1, 1].

Površina plašta kocke je suma površina svih 6 nabrojanih dijelova.

b

Plošni integral prve vrste - na

skalarnom polju

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

20 / 40

b

Definicija

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

21 / 40

Neka je f skalarno polje, a S glatka ploha

r(u, v) = φ(u, v)i+ ψ(u, v)j+ χ(u, v)k, (u, v) ∈ D .

Tada je dobro definirana kompozicija

f ◦ r(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v))

i duljina vektora normale

‖n(u, v)‖ =∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r∂v

∥∥∥∥.

Ako je umnožak (u, v) 7→ f ◦ r (u, v) ‖~n(u, v)‖ integrabilan na dijelu ravnineD tada taj integral označavamo

¨

S

f dS =

¨

D

f ◦ r(u, v) ‖~n(u, v)‖dudv

Primijeti, kada je f = 1 imamo istu formulu za površinu (usporedi ranije).

Primjer

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

22 / 40

Izračunati˜

S(x+ y)dS ako je S kružni stožac zadan jednadžbom

z =√

x2 + y2 i 0 ≤ z ≤ 4. . . Područje D je krug radijusa 4.Formula jeeksplicitna za varijablu z, parametrizacijar(x, y) = xi+ yj+

√

x2 + y2k. . . f ◦ r(x, y) = x+ y. . .

‖n‖ =

√√√√1 +

(

x√

x2 + y2

)2

+

(

y√

x2 + y2

)2

=√1 + 1 =

√2

¨

S

fdS =

¨

D

((f ◦ r) · ‖n‖) (x, y)dxdy

=√2

¨

D

(x+ y)dxdy

=√2

2πˆ

0

4ˆ

0

(r cosϕ+ r sinϕ)r drdϕ

. . . = 0

bb

Neke napomene

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

23 / 40

Neka je f skalarno polje, a S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn po dijelovima glatka ploha(Si su glatke plohe). Tada plošni integral prve vrste možemo računati kaosumu

¨

S

fdS =

¨

S1

fdS +

¨

S2

fdS + · · ·+¨

Sn

fdS .

Ako za funkciju f uzmemo težinu po jedinici površine tada integral´

SfdS

daje masu plohe.

Plošni integral druge vrste - na

vektorskom polju

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1

Zadatak 1 (nastavak)

Važni teoremi

24 / 40

b

b

Definicija

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

25 / 40

Neka je w : X ⊆ R3 → R3 vektorsko polje iy

S usmjerena glatka krivulja susmjerenjem koje proizlazi iz parametrizacije r : D → R3. Sada je dobrodefinirana kompozicija w ◦ r

(u, v) 7→ r(u, v) 7→ w (r(u, v)) ∈ R3, (u, v) ∈ D

i skalarni umnožak

(u, v) 7→(w (r(u, v)) |−→n (u, v)

)∈ R, (u, v) ∈ D.

Integral vektorskog polja w po usmjerenoj plohiy

S dan je formulom

¨

y

S

(w|dS) =¨

S

(w|−→n0

)dS =

¨

D

(w (r(u, v)) |−→n (u, v)

)dudv .

Zapis sa smjerovnim kosinusima istog integrala:

¨

S

(wx cosα+ wy cosβ + wz cos γ) dS =

¨

y

S

wxdydz+wydxdz+wzdxdy.

b PrimjerUvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

26 / 40

Izračunati˜

x

S(w|dS) ako je w(x, y, z) = (yz, zx, xy) i

x

S vanjska strana

dijela tetraedrova ruba zadanog ravninama x = 0, y = 0, z = 0 ix+ y + z = 1. . .

� krivuljni integral druge vrste,˜

x

S(w|dS) =

˜

x

S1(w|dS) +

˜

x

S2(w|dS) +

˜

x

S3(w|dS) +

˜

x

S4(w|dS)

� računamo integral po dijelovima - stranice tetraedra: S1 . . . x = 0,S2 . . . y = 0, S3 . . . z = 0 i S4 . . . x+ y + z = 1

� jedinične normale n1 = −i,n2 = −j, n3 = −k,n4 =√3

3i+

√3

3j+

√3

3k

� ako se slabije snalazite napišite eksplicitne jednadžbe ploha: S1. . . izborr1(y, z) = (0, y, z) i D1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− y} daje n1 = iunutrašnju normalu što upućuje na unutarnju orjentaciju

y

S1, daklevanjska orijentacija ima suprotnu normalu n1 = −i. . . .S4 . . . r4 = (x, y, 1− x− y), D4 = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x}odgovara vanjskoj orijentaciji

x

S1 i jediničnoj normali n4 prikazanoj gore.

bb

b

Primjer - slika

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

27 / 40

bb

b

Primjer (nastavak)

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

28 / 40

w(x, y, z) = (yz, zx, xy)

y

S1. . . eksplicitna jednadžba x = g1(y, z) = 0 na trokutuD1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− y}, dakle w ◦ r1 = (yz, 0, 0), jediničnanormala −→n1 = i =⇒

(w|−→n1

)= yz. dS možemo računati po formuli

za eksplicitnu jednadžbu dS =

√

1 +

(∂g1∂y

)2

+

(∂g1∂z

)2

= 1

¨

x

S1

(w|dS) = −¨

S1

(w|−→n1

)dS = −

¨

D1

yzdydz = −1ˆ

0

1−yˆ

0

yzdzdy = − 124

Slično,

S2 . . . y = 0,

¨

x

S2

(w|dS) = −¨

D2

xzdxdz = − 124

S3 . . . z = 0,

¨

x

S3

(w|dS) = −¨

D3

xydxdy = − 124

b

Primjer (nastavak)

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

29 / 40

Orjentacije plohex

S4 odgovara eksplicitnoj jednadžbi z = g4(x, y) = 1− x− yna trokutu D4, w(x, y, z) = (yz, xz, xy), n4 =

√3

3i+

√3

3j+

√3

3k

w ◦ r4 =

y(1− x− y)x(1− x− y)

xy

(w|−→n4

)=

√3

3

(y − yx− y2 + x− x2 − xy + xy

)

dS =

√

1 +

(∂g4∂x

)2

+

(∂g4∂y

)2

=√3

¨

S4

(w|−→n4

)dS =

ˆ 1

0

ˆ 1−x

0

(y − yx− y2 + x− x2

)dydx =

1

8¨

x

S

(w|dS) =4∑

k=1

¨

x

Sk

(w|dS) = 3 · −124

+1

8= 0

Lagano korištenjem teorema o divergenciji (poslije) . . .

b

bZadatak 1

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

30 / 40

Izračunati˜

x

Szdxdy ako je S elipsoidova polovica

z ≡ g(x, y) =√

1− x22− y2

3. . . ”Dešifrirajmo” w = zk. ”Dešifrirajmo”

D ={

x2

2+ y

2

3≤ 1}

(elipsa). ”Dešifrirajmo”x

S : vanjska ploha elipsoida

(normala prema van). Odredimo normalu:

dg

dx=

−x2√

1− x22− y2

3

,dg

dy=

− 23y

2√

1− x22− y2

3

,

−→n = −∂g∂x

i− ∂g∂y

j+ k =xi+ 2

3yj

2√

1− x22− y2

3

+ k

Normala −→n gleda prema van, to je u skladu s traženom orjentacijomx

S .

b


Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

31 / 40

(w ◦ r|−→n

)=

0

0√

1− x22− y2

3

·

x

2

√

1− x22− y2

3

y

3

√

1− x22− y2

3

1

=

√

1− x2

2− y

2

3

Uvrstimo u formulu za integral druge vrste:

¨

x

S

zdxdy =

¨

D

(w ◦ r|−→n

)=

¨

x2

2+

y2

3≤1

√

1− x2

2− y

2

3dxdy

”polarne”koordinate

. . . x =√2r cosϕ, y =

√3r sinϕ detDψ =

√6r

¨

x

S

zdxdy =√6

2πˆ

0

1ˆ

0

√

1− r2r drdϕ = 2√6π

3

b b

bVažni teoremi

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi

Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)

Primjer

Zadatak

Nastavak (sfernekoordinate)

Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

32 / 40

b

b Teorem o divergenciji (Ostrogradski-Gauss)

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

33 / 40

Teorem (knjiga 6.4.3) w : X → R3 vektorsko polje (neprekidnodiferencijabilno),

x

S vanjska strana po djelovima glatke jednostavno zatvoreneplohe koja omeđuje zatvoreno područje V ⊂ X. Tada vrijedi:

˚

V

divw =

¨

x

S

(w|dS)

Plošni integral druge vrste na po djelovima glatkoj jednostavno zatvorenojplohi naziva se cirkulacija i može se označavati oznakom

‹

(w|dS)

Primjer

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

34 / 40

Izračunati˜

x

S(w|dS) ako je w(x, y, z) = (x2, y2, z2) i S = ∂V ,

V ={(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x, y, z ≤ 2

}. . .

Primijetimo da je V kocka s bridovima duljine 2, ima stranice S1, . . . , S6 seksplicitnim jednadžbama: g1 . . . x = 0, g2 . . . x = 2, g3 . . . y = 0,g4 . . . y = 2, g5 . . . z = 0, g6 . . . z = 2 i možemo traženi integral

˜

x

S(w|dS)

računati po dijelovima:Vanjske normale su n1 = −i− ∂g1∂y j−

∂g1∂z k = −i, n2 = −n1 = i, n3 =. . .

Međutim, sve to nije potrebno provoditi ako primjetimo da S = ∂V omeđujekocku i stoga je po djelovima glatka jednostavno zatvorena ploha — vrijediteorem od divergenciji

¨

x

S

(w|dS) =˚

V

divw

divw = 2(x+ y + z)

¨

x

S

(w|dS) = 22ˆ

0

2ˆ

0

2ˆ

0

(x+ y + z)dxdydz = 12

b

Zadatak

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

35 / 40

Izračunati˜

S−x cosα−y cos β−z cos γ

x2+y2+z2 dS ako je S središnja sfera polumjerar = 5, a cosα, cosβ, cos γ su smjerovni kosinusi unutrašnjih normalnihvektora. . .S . . . x2 + y2 + z2 = 25 i neka je n0 = − cosαi− cosβj− cos γk jediničnavanjska normala. Traži se

˜

x

S(w|dS) za w = xi+yj+zkx2+y2+z2 .Primijenimo teorem

o divergenciji

¨

x

S

(w|dS) =˚

V

divw

∂wx∂x

=x2 + y2 + z2 − 2x2

(x2 + y2 + z2)2

,∂wy∂y

= . . . ,∂wz∂z

= . . .

divw =1

x2 + y2 + z2˚

V

divw =

˚

{x2+y2+z2=25}

dxdydz

x2 + y2 + z2

b b

bNastavak (sferne koordinate)

36 / 40

Napraviti ćemo prijelaz u sferne koordinate

Ψ : {r ∈ [0, 5], ϕ ∈ [0, π], ξ ∈ [0, 2π]} →{(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 25

}

Ψ :

x = r sinϕ cos ξy = r sinϕ sin ξz = r cosϕ

DΨ =

sinϕ cos ξ r cosϕ cos ξ −r sinϕ sin ξsinϕ sin ξ r cosϕ sin ξ r sinϕ cos ξcosϕ −r sinϕ 0

det (DΨ) = r2 sinϕ

˚

{x2+y2+z2=25}

dxdydz

x2 + y2 + z2=

5ˆ

0

π̂

0

2πˆ

0

r2 sinϕ

r2dξdϕdr = 5 · 2 · 2π = 20π

Možete pokušati isto riješiti prijelazom na cilindrične koordinate.

b b

b

Stokesova formula

37 / 40

Teorem (knjiga 6.4.4) w : X → R3 vektorsko polje (neprekidno diferencijabilno),y

S ⊆ Xpo djelovima glatka ploha,

x

∂S (rub od S) sukladno usmjerena po djelovima glatka jednostavnozatvorena krivulja. Tada vrijedi

¨

y

S

(rotw|dS) =˛

x

∂S

(w|dr)

Drugi zapis gornje formule:

˛

x

∂S

Pdx+Qdy + Rdz =

=

¨

y

S

((∂R

∂y− ∂Q∂z

)

cosα+

(∂P

∂z− ∂R∂x

)

cosβ +

(∂Q

∂x− ∂P∂y

)

cos γ

)

dS

gdje je jedinična normala zapisana smjerovnim kosinusima −→n0 = (cosα, cosβ, cos γ)

b b PrimjerUvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

38 / 40

Izračunati¸

x

∂S(w|dr) ako je w(x, y, z) = (x− z, z − x, x− y) i

S ={(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ 1, x+ z = 1

}. . .

b

bPrimjer (nastavak)

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

39 / 40

˛

x

∂S

(w|dr) =¨

y

S

(rotw|dS) =¨

y

S

(rotw ◦ r | −→n

)

w(x, y, z) =

x− zz − xx− y

=⇒ rotw =

−1− 1−1− 1−1

=

−2−2−1

=⇒ rotw ◦ r = −2i− 2j− kS . . . jednadžba z = g(x, y) = 1− x =⇒ −→n = i+ k

¨

y

S

(rotw ◦ r | −→n

)=

¨

{x2+y2≤1}

−3 dxdy = −32πˆ

0

1ˆ

0

r drdϕ = −3π

b

Zadatak

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

40 / 40

Primjenom Stokesove formule izračunati¸

x

∂Sx dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz ako je

S ={(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ 3, z = x+ y

}. . .

S zadan eksplicitno jednadžbom z = x+ y na domeni D koji je kružnicaradijusa

√3 oko nule. . .−→n = −i− j+ k Primijenimo Stokesovu formulu

˛

x

∂S

x dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz =

=

¨

S

(1− 0) cosα︸︷︷︸

=−1

+(0− 1) cosβ︸︷︷︸

=−1

+(1− 0) cos γ︸︷︷︸

=1

dS =

=

¨

{x2+y2≤3}

dx dy =

2πˆ

0

√3ˆ

0

r drdϕ = 3π

Uvodne napomenePlan današnjeg radaPlohaDefinicija plohePloha - druga definicijaPloha - treca definicijaJednostavan primjer''Pramac broda''Normalni vektoriSmjerovni kosinusiPrimjer racunanja normalePloština (površina)Primjer racunanja površine (1)Primjer racunanja površine (2)Usmjerenje ploheUsmjerenje - primjeriSukladno usmjerenje plohe i rubaPo djelovima glatka ploha

Plošni integral prve vrste - na skalarnom polju DefinicijaPrimjerNeke napomene

Plošni integral druge vrste - na vektorskom poljuDefinicijaPrimjerPrimjer - slikaPrimjer (nastavak)Primjer (nastavak)Zadatak 1Zadatak 1 (nastavak)

Važni teoremiTeorem o divergenciji (Ostrogradski-Gauss)PrimjerZadatakNastavak (sferne koordinate)Stokesova formulaPrimjerPrimjer (nastavak)Zadatak

Documents

preambledjelatnici.unizd.hr/~makosor/mat3/plosni_integral_print.pdf · 2010. 12. 22. · Za plohu deﬁniranu parametrizacijom r : D→ R3 jedinični normalni vektor u svakoj točki