Making sense of non­Hermitian Hamiltonians  

Crab LenderPractised NymphetsWashing Nervy Tuitions

Making sense of non­Hermitian Hamiltonians

Carl BenderPhysics DepartmentWashington University

Quantum Mechanics

• “Anyone who thinks he can contemplate quantum mechanics without getting dizzy hasn’t properly understood it.” – Niels Bohr

• “Anyone who thinks they know quantum mechanics doesn’t.” – Richard Feynman

• “I don’t like it, and I’m sorry I ever had anything to do with it.” – Erwin Schrödinger

Axioms of Quantum Mechanics

• Causality• Locality• Stability of the vacuum• Relativity• Probabilistic interpretation

Dirac Hermiticity …

• guarantees real energy and conserved probability• but … is mathematical and not physical

32 ixpH +=

Wait a minute…This model has

PT symmetry

32 ixpH +=

Some references …

• CMB and S. Boettcher, PRL 80, 5243 (1998)• CMB, D. Brody, H. Jones, PRL 89, 270401 (2002)• CMB, D. Brody, and H. Jones, PRL 93, 251601 (2004) • CMB, D. Brody, H. Jones, B. Meister, PRL 98, 040403 (2007)• CMB and P. Mannheim, PRL 100, 110402 (2008)• CMB, Reports on Progress in Physics 70, 947 (2007)• P. Dorey, C. Dunning, and R. Tateo, JPA 34, 5679 (2001)• P. Dorey, C. Dunning, and R. Tateo, JPA 40, R205 (2007)

The originaldiscoverers of  PT symmetry:

MY TALK

Outline of Talk

• Beginning• Middle• End• (applause)

How to “prove” that the eigenvalues are real

PT Boundary

How to “prove” that the eigenvalues are real

The proof is really hard!You need to use (3)Bethe ansatz(4)Monodromy group(5)Baxter T­Q relation(6)Functional Determinants

PT BoundaryGreatest murder mystery of all time…Extinction of over 90% of species!

Permian era Triassic era

PT Boundary

OK, so the eigenvalues are real …But is this quantum mechanics??

• Probabilistic interpretation??• Hilbert space with a positive metric??• Unitarity??

Dirac, Bakerian Lecture 1941,Proceedings of the Royal Society A

The Hamiltonian determines its own adjoint

Unitarity

With respect to the CPT adjointthe theory has UNITARY timeevolution.

Norms are strictly positive!Probability is conserved!  

OK, we have unitarity…But is PT quantum mechanics useful??

• It revives quantum theories that were thought to be dead

• It is beginning to be observed experimentally

The Lee Model

The problem:

“A non­Hermitian Hamiltonian is unacceptable partly because it may lead to complex energy eigenvalues, but chiefly because it implies a non­unitary S matrix, which fails to conserve probability and makes a hash of the physical interpretation.”

PT quantum mechanics to the rescue…

Meep! Meep!

PT

GHOSTBUSTING: Reviving quantum theories that were thought to be dead

Gives a fourth­order field equation:

CMB and P. Mannheim, Phys. Rev. Lett. 100, 110402 (2008)CMB and P. Mannheim, Phys. Rev. D 78, 025002 (2008)

Pais­Uhlenbeck action

The problem: A fourth­order fieldequation gives a propagator like

GHOST!

There are now two possible realizations…

There can be many realizations!

Equivalent Dirac Hermitian Hamiltonian:

No­ghost theorem for the fourth­order derivative Pais­Uhlenbeckmodel, CMB and P. Mannheim, PRL 100, 110402 (2008)

TOTALITARIAN PRINCIPLE

“Everything which is not forbidden is compulsory.”              ­­­M. Gell­Mann

And there are now observations in table­top optics experiments!

• Z. Musslimani, K. Makris, R. El­Ganainy, and D.     Christodoulides, PRL 100, 030402 (2008)

• K. Makris, R. El­Ganainy, D. Christodoulides, and Z. Musslimani, PRL 100, 103904 (2008)

Observing PT symmetry using wave guides:

Date: Thu, 13 Mar 2008 23:04:45 ­0400From: Demetrios Christodoulides <demetri@creol.ucf.edu>To: Carl M. Bender <cmb@wuphys.wustl.edu>Subject: Re: Benasque workshop on non­Hermitian Hamiltonians

Dear Carl,I have some good news from Greg Salamo (U. of Arkansas). His students (who are nowvisiting us here in Florida) have just observed a PT phase transition in a passive AlGaAswaveguide system. We will be submitting soon these results as a post­deadline paper toCLEO/QELS and subsequently to a regular journal. We are still fighting against theKramers­Kronig relations, but the phase transition effect is definitely there. We expect evenbetter results under TE polarization conditions. I will bring them over to Israel.

In close collaboration with us, more teams (also best friends!) are moving ahead in thisdirection. Moti Segev (from Technion) is planning an experiment in an  active­passive dualcore optical fiber ­­ fabricated in Southampton, England. More experiments will be carriedlater in Germany by Detlef Kip. Christian (his post doc) just left from here with a possibledesign. If everything goes well,  with a bit of luck we may have an experimental explosionin the PT area. I wish the funding situation was a bit better. So far everything is done on ashoe­string budget (it is subsidized by other projects). Let us see...

All the bestDemetri 

OK, but how do we interpret a non­Hermitian Hamiltonian??

Solve the quantum brachistochrone problem…

Classical Brachistochrone

• Newton• Bernoulli • Leibniz • L'Hôpital 

Classical Brachistochroneis a cycloid

Gravitationalfield

Quantum Brachistochrone

Constraint:

Hermitian case

becomes

Minimize t over all positive rwhile maintaining constraint

Minimum evolution time:

Looks like uncertainty principle but is merelyrate times time = distance

Non­Hermitian PT­symmetric Hamiltonian

where

Exponentiate H

Interpretation…

Finding the optimal PT­symmetricHamiltonian amounts to constructing a wormhole in Hilbert space!

“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.”

­­ Jacques Hadamard[The Mathematical

          Intelligencer 13 (1991)]

Overviewof talk:

Classical PT symmetry

Provides an intuitive explanation of what is going on…

Motion on the Real Axis

Motion of particles is governed by Newton’s Law:

            F=maIn freshman physics this motion is restricted to theREAL AXIS.

Harmonic Oscillator: Particle on a Spring

            Turning point Turning point

Back and forth motionon the real axis:

(     = 0)

Hamilton’s equations

Harmonic Oscillator: 

            Turning point Turning point

Motion in thecomplex plane:

(     = 0)

32 ixpH += (     = 1)

Broken PT symmetry

(ε < 0)

=     – 2         11 sheets

The Beast = 16/15

Lotka­Volterra equations

Other PT­symmetric classical systems

• KdV equation• Camassa­Holm equation• Sine­Gordon equation• Boussinesq equation

1

Making sense of non­Hermitian Hamiltonians  

Crab LenderPractised NymphetsWashing Nervy Tuitions

2

Making sense of non­Hermitian Hamiltonians

Carl BenderPhysics DepartmentWashington University

3

Quantum Mechanics

• “Anyone who thinks he can contemplate quantum mechanics without getting dizzy hasn’t properly understood it.” – Niels Bohr

• “Anyone who thinks they know quantum mechanics doesn’t.” – Richard Feynman

• “I don’t like it, and I’m sorry I ever had anything to do with it.” – Erwin Schrödinger

4

Axioms of Quantum Mechanics

• Causality• Locality• Stability of the vacuum• Relativity• Probabilistic interpretation

5

Dirac Hermiticity …

• guarantees real energy and conserved probability• but … is mathematical and not physical

6

32 ixpH +=

7

Wait a minute…This model has

PT symmetry

32 ixpH +=

8

9

Some references …

• CMB and S. Boettcher, PRL 80, 5243 (1998)• CMB, D. Brody, H. Jones, PRL 89, 270401 (2002)• CMB, D. Brody, and H. Jones, PRL 93, 251601 (2004) • CMB, D. Brody, H. Jones, B. Meister, PRL 98, 040403 (2007)• CMB and P. Mannheim, PRL 100, 110402 (2008)• CMB, Reports on Progress in Physics 70, 947 (2007)• P. Dorey, C. Dunning, and R. Tateo, JPA 34, 5679 (2001)• P. Dorey, C. Dunning, and R. Tateo, JPA 40, R205 (2007)

10

The originaldiscoverers of  PT symmetry:

11

12

13

14

15

16

17

18

19

MY TALK

20

Outline of Talk

• Beginning• Middle• End• (applause)

21

How to “prove” that the eigenvalues are real

22PT Boundary

23

How to “prove” that the eigenvalues are real

The proof is really hard!You need to use (3)Bethe ansatz(4)Monodromy group(5)Baxter T­Q relation(6)Functional Determinants

24

PT BoundaryGreatest murder mystery of all time…Extinction of over 90% of species!

Permian era Triassic era

PT Boundary

25

OK, so the eigenvalues are real …But is this quantum mechanics??

• Probabilistic interpretation??• Hilbert space with a positive metric??• Unitarity??

26

Dirac, Bakerian Lecture 1941,Proceedings of the Royal Society A

27

The Hamiltonian determines its own adjoint

28

Unitarity

With respect to the CPT adjointthe theory has UNITARY timeevolution.

Norms are strictly positive!Probability is conserved!  

29

OK, we have unitarity…But is PT quantum mechanics useful??

• It revives quantum theories that were thought to be dead

• It is beginning to be observed experimentally

30

The Lee Model

31

The problem:

32

33

“A non­Hermitian Hamiltonian is unacceptable partly because it may lead to complex energy eigenvalues, but chiefly because it implies a non­unitary S matrix, which fails to conserve probability and makes a hash of the physical interpretation.”

34

PT quantum mechanics to the rescue…

Meep! Meep!

PT

35

GHOSTBUSTING: Reviving quantum theories that were thought to be dead

36

Gives a fourth­order field equation:

CMB and P. Mannheim, Phys. Rev. Lett. 100, 110402 (2008)CMB and P. Mannheim, Phys. Rev. D 78, 025002 (2008)

Pais­Uhlenbeck action

37

The problem: A fourth­order fieldequation gives a propagator like

GHOST!

38

There are now two possible realizations…

39

There can be many realizations!

Equivalent Dirac Hermitian Hamiltonian:

40

No­ghost theorem for the fourth­order derivative Pais­Uhlenbeckmodel, CMB and P. Mannheim, PRL 100, 110402 (2008)

41

TOTALITARIAN PRINCIPLE

“Everything which is not forbidden is compulsory.”              ­­­M. Gell­Mann

42

And there are now observations in table­top optics experiments!

• Z. Musslimani, K. Makris, R. El­Ganainy, and D.     Christodoulides, PRL 100, 030402 (2008)

• K. Makris, R. El­Ganainy, D. Christodoulides, and Z. Musslimani, PRL 100, 103904 (2008)

Observing PT symmetry using wave guides:

43

Date: Thu, 13 Mar 2008 23:04:45 ­0400From: Demetrios Christodoulides <demetri@creol.ucf.edu>To: Carl M. Bender <cmb@wuphys.wustl.edu>Subject: Re: Benasque workshop on non­Hermitian Hamiltonians

Dear Carl,I have some good news from Greg Salamo (U. of Arkansas). His students (who are nowvisiting us here in Florida) have just observed a PT phase transition in a passive AlGaAswaveguide system. We will be submitting soon these results as a post­deadline paper toCLEO/QELS and subsequently to a regular journal. We are still fighting against theKramers­Kronig relations, but the phase transition effect is definitely there. We expect evenbetter results under TE polarization conditions. I will bring them over to Israel.

In close collaboration with us, more teams (also best friends!) are moving ahead in thisdirection. Moti Segev (from Technion) is planning an experiment in an  active­passive dualcore optical fiber ­­ fabricated in Southampton, England. More experiments will be carriedlater in Germany by Detlef Kip. Christian (his post doc) just left from here with a possibledesign. If everything goes well,  with a bit of luck we may have an experimental explosionin the PT area. I wish the funding situation was a bit better. So far everything is done on ashoe­string budget (it is subsidized by other projects). Let us see...

All the bestDemetri 

44

45

46

47

48

49

OK, but how do we interpret a non­Hermitian Hamiltonian??

Solve the quantum brachistochrone problem…

50

Classical Brachistochrone

• Newton• Bernoulli • Leibniz • L'Hôpital 

51

Classical Brachistochroneis a cycloid

Gravitationalfield

52

Quantum Brachistochrone

Constraint:

53

Hermitian case

54

becomes

55

Minimize t over all positive rwhile maintaining constraint

Minimum evolution time:

Looks like uncertainty principle but is merelyrate times time = distance

56

Non­Hermitian PT­symmetric Hamiltonian

where

57

Exponentiate H

58

Interpretation…

Finding the optimal PT­symmetricHamiltonian amounts to constructing a wormhole in Hilbert space!

59

“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.”

­­ Jacques Hadamard[The Mathematical

          Intelligencer 13 (1991)]

60

Overviewof talk:

61

Classical PT symmetry

Provides an intuitive explanation of what is going on…

62

Motion on the Real Axis

Motion of particles is governed by Newton’s Law:

            F=maIn freshman physics this motion is restricted to theREAL AXIS.

63

Harmonic Oscillator: Particle on a Spring

            Turning point Turning point

Back and forth motionon the real axis:

(     = 0)

64

Hamilton’s equations

65

Harmonic Oscillator: 

            Turning point Turning point

Motion in thecomplex plane:

(     = 0)

66

32 ixpH += (     = 1)

67

68

Broken PT symmetry

(ε < 0)

69=     – 2         11 sheets

70

71

72

73

74

75

76

The Beast = 16/15

77

Lotka­Volterra equations

78

79

80

81

Other PT­symmetric classical systems

• KdV equation• Camassa­Holm equation• Sine­Gordon equation• Boussinesq equation