MAKALAH Transformasi Linier

8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier

1/26

MAKALAH

ALJABAR LINIER & MATRIK

“TRANSFORMASI LINIER”

DOSEN : SAMSURIADI, M.Pd.

Oleh Kelompok 5 !B " :

#. HENDRA KURNIA$AN % #.'(.55.)(

*. MUHAMMAD +AUAN % #.'(.55.)-'

. SETIAH M BUDI % #.'(.55.#)

'. SULAIMAN ALKONUNI % #.'(.55.#'#

5. AHID HABIBURRAHMAN % #.'(.55.#5

PRORAM STUDI TEKNIK IN+ORMATIKA

SEKOLAH TINI MANAJEMEN IN+ORMATIKA DAN KOMPUTER

STMIK " S/AIKH AINUDDIN N$ ANJANI LOTIM

*)#5


2/26

KATA PENANTAR

Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan

ridho-Nya kami masih diberikan kesempatan untuk bekerja sama dalam menyelesaikan

makalah ini. Dimana makalah ini merupakan salah satu tugas

mata kuliah Aljabar Linier & Matrik , yaitu “Transformasi Linier” . Tidak lupa kami

ucapkan terimakasih kepada Dosen Pembimbing dan teman-teman yang telah

memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini.

ami menyadari bah!a dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan.

"leh karena itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Dan

semoga makalah ini dapat berman#aat bagi pembaca dan teman-teman. Amin-amin

yarobbal alamin...

Penulis

2


3/26

DA+TAR ISI

$A%A&AN '(D(%........................................................................................ i

ATA P)N*ANTA+....................................................................................... ii

DATA+ S..................................................................................................... iii

A P)NDA$(%(AN............................................................................ /

A. %atar elakang............................................................................. /

. +umusan &asalah....................................................................... /

0. Tujuan.......................................................................................... /

A P)&A$ASAN.............................................................................. 1

A. Pengantar Trans#ormasi %inier................................................... 1

. Si#at Trans#ormasi %inier 2 ernel dan 'angkauan..................... 3

0. Trans#ormasi %inier dari +n ke +m *eometri

Trans#ormasi %inier dari +1 ke +1............................................. /4

D. &atriks Trans#ormasi %inier...................................................... /5

). eserupaan................................................................................. /6

A P)N(T(P........................................................................................ 17

A. esimpulan................................................................................ 17

. Saran........................................................................................... 1/

DATA+ P(STAA

3


4/26

BAB I

PENDAHULUAN

A. L0102 Bel0k034

&atematika merupakan ilmu dasar yang menjadi tolak ukur bagi perkembangan

ilmu pengetahuan serta teknologi. &atematika dapat memberikan kemampuan

berpikir logis dalam memecahkan masalah yang rumit. omputer merupakan

serangkaian intruksi-intruksi yang berjalan dengan metode matematika. &aka dari

itu, harus mampu menguasai seluruh materi. arena, hal itu adalah modal utama

dalam penguasan ilmu pengetahuan dan teknologi untuk menghadapi persaingan

global.

Salah satu materi yang harus benar-benar anak didik kuasai adalah materi

aljabar, materi ini banyak diterapkan pada kehidupan sehari-hari.

B. Rm603 M060l0h

/. &enjabarkan tentang apa itu trans#ormasi linier8

7. T803 M060l0h

Diharapkan pembaca khususnya minimal mengetahui tentang apa itu

trans#ormasi linier atau lebih bagus lagi jika memahami tentang trans#ormasi linier

itu sendiri

1


5/26

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pe3403102 T20369o2m06 L3e2

Di dalam bagian ini kita mulai mempelajari #ungsi bernilai 9ector dari sebuah

9ariable 9ector. :akni, #ungsi yang berbentuk ! ; F(v), dimana 9ariable bebas ; dan

9ariable tak bebas ; => @ =;> untuk semua 9ektor dan ; di dalam ; k => untuk semua 9ektor di dalam < dan semua skalar k.

(ntuk melukiskannya, misalkan 2 + 1→ + adalah #ungsi yang dide#inisikan

olehB

2


6/26

'ika ; = ?/ , y/ > dan ; ; = ?1 , y1 >, maka @ ; ; = ?/ @ ?1 , y/ @ y1 >,

sehingga 2

= @ ;> ; =?/ @?1 , C?/ @ ?1 @ Cy/ @ y1, C?/ @ ?1 - Cy/ @ y1>

; = ?/ , ?/ @ y/ , ?/ - y/ > @ = ?1 , ?1 @ y1 ,?1 - y1>

=u @ ;> ; => @ =;>

'uga , jika k adalah sebuah skalar , k ; =k?/ , ky/ >, sehingga

=k > ; =k?/ , k?/ @ky/ , k?/ - ky/>

; k =?/ , ?/ @y/ ,?/ - y/>

; k =>

'adi adalah sebuah trans#ormasi linear.

'ika 2 < → W adalah sebuah trans#ormasi linear, maka untuk sebarang 9 / dan

;1 di dalam < dan sebarang k / dan k 1 , kita memperoleh 2

=k / ;/ @ k 1 ;1> ; =k / ;/> @ =k 1 ;1> ; k / =;/> @ k 1 =;1>

Demikian juga, jika ;/ , ;1 , E , ;n adalah 9ektor-9ektor di dalam < dan k / , k 1 ,

E , k n adalah skalar, maka 2

=k / ;/ @ k 1 ;1 @ E @ k n ;n> ; k / =;/> @ k 1 =;1> @ E @ k n =;n>

Contoh !

&isalkan A adalah sebuah matriks m ? n yang tetap. 'ika kita

menggunakan notasi matriks untuk 9ektor di dalam + m dan + n , maka kita dapat

mende#inisikan sebuah #ungsi T2 + n→ + m dengan 2

T==> ; A =

3


7/26

Perhatikan jika bah!a = adalah sebuah matriks n ? / , maka hasil kali A

= adalah matriks m ? / B jadi T memetakan +n ke dakam +m . %agi pula , T

linear, untuk melihat ini , misalnya dan ; adalah matriks n ? / dan misalkan k

adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan si#at-si#at perkalaian matriks,

maka kita mendapatkan 2

A = @ ;> ; A @ A ; dan A =k > ; k =A >

Atau

T= @ ;> ; T=> @ T=;> dan T=k > ; k T=>

ita akan menamakan trans#ormasi linear di dalam contoh ini perkalian

oleh A. Trans#ormasi linear semacam ini dinamakan 120369o2m06 m012k6.

Contoh " !

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan θ adalah sebuah

sudut tetap, dan misalkan T 2 +1 → +1 adalah perkalian oleh matriks 2

A ; [cosθ sinθsinθ cosθ]

'ika 9 adalah 9ektor ; ;

[ x

y

]

&aka T=;> ; A ; ; [cosθ sinθsinθ cos θ][ x y ] ; [ x cosθ y sinθ x sinθ ycos θ]

Secara geometrik, maka T=;> adalah 9ektor yang dihasilkan jika ;

dirotasikan melalui sudut θ . (ntuk melihat ini, maka misalkan φ adalah sudut

di antara ; dan sumbu ? positi#.

4


8/26

Dan misalkan ;> ; [ x ' y ' ] adalah 9ektor yang dihasilkan bila ;dirotasikan melalui sudut. ita akan memperlihatkan bah!a ;> ; T=9>. 'ika r

menyatakan panjangnya ; , maka 2

? ; r cos φ y ; r sin φ

Demikian juga, karena ;> mempunyai panjang yang sama seperti ; maka

kita memperoleh 2

?F ; r cos=θ @ φ> yF ; r sin=θ @ φ>

&aka ;> ; [ x ' y ' ] ;θ+∅¿¿θ¿

r cos¿¿

; [rcos θ+∅−r sin θ sin ∅r sinθ+∅+r cosθ sin ∅ ]

; [ x cosθ− y sinθ xsinθ+ y cosθ ]

;

[cosθ−sinθsin θ cosθ

]; A; ; T=;>

Trans#ormasi linear di dalam contoh ini dinamakan rotasi dari +1 melalui sudut

θ.

5


9/26

Contoh #!

&isalkan < dan W adalah sebarang dua 9ektor. Pemetaan

T 2 < → W sehingga T=9> ; 7 untuk tiap-tiap ; di dalam < adalah sebuah

trans#ormasi linear yang dinamakan trans#ormasi nol. (ntuk melihat bah!a T

linear, perhatikanlah bah!a 2

T= @ ;> ; 7 , T=> ; 7 , T=;> ; 7 dan T=k > ; 7

&aka

T= @ ;> ; T=> @ T=;> dan T=k > ; k T=>

Contoh $!

&isalkan < adalah sebarang ruang 9ektor. Pemetaan T 2 < → < yang

dide#inisikan oleh T=;> ; ; dinamakan 120369o2m06 de31106 p0d0 !.

'ika seperti di dalam contoh 1 dan 4 , T 2 < → < adalah trans#ormasi

linear dari sebuah ruang 9ektor < ke dalam dirinya sendiri, maka T dinamakan

operator linear pada ; k ;

6


10/26

adalah sebuah operator linear pada


11/26

Pemetaan T dinamakan proyeksi ortogonal dari < pada W B linearitasnya

didapatkan dari si#atsi#at dasar perkalian dalam. &isalnya 2

T= @ ;> ; < @ ;, adalah sebarang 9ektor di dalam + , maka proyeksi

ortogonal dari + pada bidang ?y diberikan oleh 2

T=;> ; < ;,

; =?, y , 7>

8


12/26

B. S901 T20369o2m06 L3e2 : Ke23el d03 J034k003

Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bah!a sekali bayangan 9ektor basis

diba!ah trans#ormasi linier telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan

9ektor yang selebihnya di dalam ruang tersebut.

Teoremanya 2

'ika T2 ; 7

1. T=-9> ; -T=9> untuk semua 9 di dalam <

. T=9-!> ; T=9> - T=!> untuk semua 9 dan ! di dalam <

ukti misalkan 9 adalah sebarang 9ektor di dalam ; T =79> ; 7T =9> ; 7 yang membuktikan /. 'uga, T=-9> ; T=-/=9>>

; =-/>T=9>, yang membuktikan 1. Akhirnya, 9 - ! ; 9 @ =-/>!. 'adi T=9 -!> ; T=9 @

=-/> !> ; T=9>@=-/>T=!> ; T=9>-T=!>

'ika T2< W adalah trans#ormasi linier, maka himpunan 9ektor di dalam < yang

dipetakan T ke dalam 7 dinamakan kernel =atau ruang nol> dari T B himpunan

tersebut dinyatakan oleh ker =T>. $impuanan semua 9ektor di dalam ! yang

merupakan bayangan di ba!ah T dari paling sedikit satu 9ektor di dalam <

dinamakan jangkuan dari T B himpunan tersebut dinyatakan oleh +=T>.

0ontoh ./

&isalkan T2< W adalah trans#ormasi nol. arena T memetakan tiap-tiap 9ektor

ke dalam 7, maka ker =T> ; terdiri dari 9ektor nol.

0ontoh .1

&isalkan T2+n +m adalah perkalian oleh

9


13/26

ernel dari T terdiri dari semua

:ang merupakan 9ektor pemecahan dari sistem homogeny

'angkuan dari T terdiri dari 9ektor-9ektor

Sehingga sistem

onsisten.

10


14/26

Teoremanya adalah 2

'ika T2< W adalah trasn#ormasi linier maka 2

/. ernel dari T adalah subruang dari ; kT =9/ > ; k7 ; 7

Sehingga k9/ berada di dalam ker =T>.

1. &isalkan !/ dan !1 adalah 9ektor di dalam jangkauan dari T. (ntuk

membuktikan bagian ini maka kita harus memperlihatkan bah!a !/ @ !1 dan k

!/ berada di dalam jangkuan dari T untuk sebarang skalar kB yakni kita harus

mencari 9ektor a dan b di dalam < sehingga T =a> ; !/ @ !1 dan T=b> ; k!/.

arena !/ dan !1 berada di dalam jangkuan dari T, maka ada 9ektor a/ dan a1

di dalam < sehingga T =a/> ; !/ dan T=a1> ; !1. &isalkan a ; a/ @ a1 dan b ;

ka/.

&aka

T=a> ; T =a/ @ a1> ; T=a/> @ T=a1> ; !/ @ !1 dan

T=b> ; T=ka/> ; kT=a/> ; k!/ yang melengkapkan bukti tersebut.

11


15/26

0ontoh .

&isalkan T2+n +m adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran

m ? n.

Dari contoh .1 maka kernel dari T terdiri dari semua pemecahan dari A? ;

7 B jadi kernel tersebut adalah ruang pemecahan dari sistem ini. 'uga dari contoh

.1, jangkuan dari T terdiri dari semua 9ektor b sehingga A? ; b konsisten. 'adi,

menurut Teorema di atas dari bagian 4.5, jangkuan dari T adalah ruang kolom dari

matrik A.

&isalkan H9/ , 91,....., 9n I adalah sebuah basis untuk ruang 9ektor < dan

T2< K W adalah trans#ormasi linier. 'ika kebetulan kita mengetahui bayangan 9ektor

basis, yakni T=9/>, T=91>, ..., T=9n> maka kita dapat memperoleh bayangan T=9> dari

seberang 9ektor 9 dengan menyatakan dulu 9 dalam basis tersebut, katakanlah 9 ;

k/ 9/ @ k1 91 @ ... @ kn 9n dan kemudian menggunakan hubungan =L.1> dari bagian

L./ untuk menuliskan T=9> ; =/,7> T=91> ; =1, - /> T=9> ; =4,> 0arilah T=1, -,L> M

Pemecahan

&ula-mula kita menyatakan 9 ; =1, -, L> sebagai kombinasi dari

9/ ; =/, /, />, 91 ; =/, /, 7>, dan 9 ; =/, 7, 7>. 'adi =1, , L> ; k/ =/, /, /> @

k1 =/, /, 7> @ k =/, 7, 7> atau setelah menyamakan komponen-komponen yang

bersangkutan k/ @ k1 @ k ; 1 k/ @ k1 ; - k/ ; L yang menghasilkan k/ ; L, k1 ;

-, k ; L sehingga =1, -, L> ; L9/ -91 @ L9

'adi T=1, -, L> ; LT=9/> - T=91> @ LT ; L=/,7> - =1, -/> @ L=4,> ; =3, 1>

'ika T2< K W adalah trans#ormasi linier, maka dimensi dari jangkauan dari T

dinamakan rank dari T dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas =nullity> dari T.

0ontoh .4

&isalkan T2+1 K +1 adalah rotasi dari +1 melalui sudut pO4. 'elaslah secara

geometrik bah!a jangkauan dari T adalah semuanya +1 dan kernel dari T adalah

=7>. &aka T mempunyai rank 1 dan nulitas ; 7.

0ontoh .L

12


16/26

&isalkan T2+n K +m adalah perkalian sebuah matriks A yang berukuran m ?

n. Didalam contoh . kita mengamati bah!a jangkauan dari T adalah ruang kolom

dari A jadi rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A, yang persis sama dengan

rank dari A.

Secara ringkas, maka rank =T> ; rank =A>, dan juga didalam 0ontoh ., kita

melihat bah!a kernel dari T adalah ruang pemecahan dari A? ; 7. 'adi nulitas dari T

adalah dimensi ruang pemecahan ini. Teorema kita berikutnya menghasilkan sebuah

hubungan di antara rank dan nulitas dari trans#ormasi linier yang dide#inisikan pada

sebuah ruang 9ektor berdimensi berhingga. ita akan menangguhkan buktinya

sampai keakhir bagian ini.

Teoremanya 2

'ika T2< K W adalah trans#ormasi linier dari sebuah ruang 9ektor < yang

berdimensi n kepada sebuah ruang 9ektor W, maka di dalam kasus khusus di mana

; =banyaknya kolom dari A> - =rank dari T>

Akan tetapi, kita memperhatikan di dalam 0ontoh .L bah!a nutilas dari T

adalah dimensi dari ruang pemecahan dari A? ; 7, dan rank dari T adalah rank dari

matriks A. 'adi =L.4> menghasilkan teorema yang berikut.

Teorema 2

'ika A adalah matriks m ? n maka dimensi ruang pemecahan dari A? ; 7

adalah 2 n - rank =A>

13


17/26

0ontoh .5.

Di dalam 0ontoh diatas, kita memperlihatkan bah!a sistem homogeny

&empunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan sistem

tersebut dan dengan mencari sebuah basis. arena matriks koe#isien

&empunyai lima kolom, maka jelaslah dari Teorema 4 bah!a rank A harus

memenuhi 1 ; L - rank =A>

Sehingga rank =A> ; . Pada pembaca dapat memeriksa hasil ini dengan

mereduksi A kepada bentuk eselon baris dan dengan memperilihatkan bah!a

matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris yang tak nol.

7. T20369o2m06 L3e2 d02 R 3 ke R m eome12 T20369o2m06 L3e2 d02 R * ke R *

Pada bagian ini akan dibahas mengenai 2

1) ah!a Trans#ormasi %inier dari + n → + m adalah merupakan trans#ormasi

matriks = artinya kita dapat menentukan sebuah matriks berukuran m?n sehingga

T adalah perkalian oleh A. Ditulis T==> ; A = dengan = ∈ + n

2) &endapatkan si#at si#at geometris dari Trans#ormasi %inier dari + 1 → + 1

&ula-mula kita akan memperlihatkan bah!a tiap-tiap trans#ormasi linier dari + n ke

+ m adalah trans#ormasi matriks. %ebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bah!a

jika T2+ n + m adalah sebarang trans#ormasi linier, maka kita dapat mencari sebuah

matriks A yang berukuran m ? n sehingga T adalah perkalian oleh A.

14


18/26

&isalkan e / , e 1 , ..., e3 adalah basis baku dari + n dan A adalah matriks berukuran

m?n yang kolom kolomnya adalah T=e/>, T=e*>, ... , T=e3> sebagai 9ektor-9ektor

kolomnya.

T2 + 1 → + 1 dengan T ([ x1 x1])=[ x1+2 x2 x1− x2 ]&aka T (e1 )=T ([10])=[11] dan T (e2 )=T ([01])=[ 2−1]

A=

[ x

1+2 x

2

x1− x2

]¿↑ ↑T (e

1) T (e

2)

Secara lebih umum, jika

Secara lebih umum jika

T=e / > ;

m/

1/

//

a

a

a

, T=

2

e¿¿

> ;

m1

1/

/1

a

1a

a

, ... , T=

3

e¿¿

> ;

mA

1A

/A

a

a

a

&aka A ; [ ]>T=e>T=e>T=e n1/ ;

mnm1m/

1n111/

/n/1//

aaa

aaa

aaa

&atriks A selanjutnya disebut matriks baku dari trans#ormasi linier T.

Selanjutnya untuk setiap =

∈

+ n berlaku = ;

m

1

/

?

?

?

; ?/ e/ @ ?1 e 1 @ ... @ ?n e3

arena T adalah trans#ormasi linier maka T== > ; T =?/ e / @ ?1 e 1 @ ... @ ?n e3 >

; ?/ T=e / " @ ?1 T= e 1 "@ ... @ ?n T= e3>. Dilain pihak

15


19/26

A= ;

mnm1m/

1n111/

/n/1//

aaa

aaa

aaa

m

1

/

?

?

?

;

n

n

n

x x x

x x x

x x x

mn1m1/m/

1n111/1/

/n1/1///

aaa

aaa

aaa

; ?/

m/

1/

//

a

a

a

@ ?1

m1

1/

/1

a

1a

a

@ .... @ ?

mA

1A

/A

a

a

a

; ?/ T=e / " @ ?1 T= e 1 "@ ... @ ?n T= e3>

Sampai disini dapat disimpulkan bah!a T== > ; A=

D. M012k6 T20369o2m06 L3e2

Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bah!a jika < dan W adalah ruang

9ektor berdimensi berhingga =tidak perlu + n dan + m>, maka dengan sedikit

kepintaran, setiap trans#ormasi linier T2< W dapat dipandang sebagai

trans#ormasi matriks. Pemikiran dasarnya adalah memilih basis untuk < dan W dan

bekerja dengan matriks koordinat relati# terhadap basis ini dan buka bekerja dengan

9ektor itu sendiri.

&isalkan < berdimensi n dan W berdimensi m. 'ika kita memilih basis

dan F untuk < dan W, maka untuk setiap ? di dalam F akan

merupakan suatu 9ektor di dalam + m. 'adi di dalam proses pementaan ? ke dalam

T=?>, trans#ormasi linier T Gmenghasilkan sebuah pemetaan dari + n ke dalam + m

dengan mengirimkan C? ke dalam CT=?>. Dapat diperlihatkan bah!a pemetaan

yang dihasilkan ini selalu merupakan trans#ormasi linier. Dengan ini maka pemetaan

tersebut dapat dilangsungkan dengan menggunakan matriks A standar untuk

trans#ormasi ini, yakni 2

AC? ; CT=?>F

'ika, bagaimanapun, kita dapat mencari matriks A, maka seperti yang diperlihatkan

pada gambar berikut 2

16


20/26

Dapat dihitung di dalam tiga langkah menurut prosedur tak langsung yang berikut 2

/. $itunglah matriks koordinat C?

1. alikanlah C? di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan CT=?>F

. angunlah kembali T=?> dari matriks koordinatnya CT=?>F

(ntuk mencari nilai matriks A. &isalkan < adalah ruang berdimensi n dengan

basis ; Hu/, u1, ... , unI dan W adalah sebuah ruang berdimensi m dengan basis F

; H9/, 91, ... , 9nI. ita mencari sebuah matriks m ? n

¿a1n

A=

a11 a12 ⋯

a21

a22

…

⋮ ⋮ ¿

¿a1m

⋮

¿am1 am2 … amn¿

Sehingga berlaku untuk semua 9ektor ? di dalam F, Tetapi 2

[U 1 ]B=[1

0

0

⋮

0] sehingga

¿a1n

a11

a12

⋯

a21

a22

…

⋮ ⋮ ¿

¿a1m

⋮

¿

A [U 1 ]B= [am1 am2 … amn¿ ][1

0

0

⋮

0]=[

a11

a21

⋮

am1]

17


21/26

'adi ACu/ ; CT=u/>F berarti 2

[ a

11

a21

⋮

am1] ; CT=u/>F

&atriks A yang unik yang didapatkan dengan cara ini dinamakan matriks T

terhadap basis dan F.

E. Ke6e2p003

&atriks sebuah operator ilnier T2< < bergantung pada basis yang dipilih

untuk dan P-/C? ; CT=?>F

18


22/26

ni dapat dituliskan sebagai 2

[ x]

B'

P→[T [ x ]

]B dan [ x ]B P

−1

→ [T [ x ]]B'

Dari kedua hubungan di atas dapat dikaitkan menjadi sebuah gambar sebagai

berikut 2

P[ x ]B

↑

[ x ]B'

A→

¿ A'

→

[T [ x ]]B↓ P

−1

[T [ x ] ]B'

*ambar ini melukiskan bah!a ada dua cara untuk mendapatkan matriks

C T = ? > Fdari matriks C ? F. :akni 2

AFC?F ; CT=?>F atau P-/APC?F ; CT=?>F

19


23/26

Dari pernyataan di atas dapat dihasilkan 2

P-/APC?F ; AFC?F

Dan untuk semua ? di dalam < adalah P-/AP ; AF. Dengan begitu dari kedua

persamaan tersebut sudah membuktikan bah!a merupakan Teorema.

20


24/26

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

'ika < dan W adalah ruang 9ektor dan adalah sebuah #ungsi yang

mengasosiasikan sebuah 9ektor yang unik di dalam W dengan sebuah 9ektor di

dalam dan kita mengatakan bah!a ! adalah bayangan

dari 9 di ba!ah .

(ntuk melukiskannya, maka jika 9 ; =?,y> adalah sebuah 9ektor di dalam + 1,

maka rumus 2 =9> ; = ? , ? @ y , ? - y >.

Definisi.

'ika 2 < → W adalah sebuah #ungsi dari ruang 9ektor < ke dalam ruang

9ektor W, maka dinamakan trans#ormasi linear jika 2

/. = @ ;> ; => @ =;> untuk semua 9ektor dan ; di dalam ; k => untuk semua 9ektor di dalam < dan semua skalar k.

Di dalam trans#ormasi linier terdapat si#at, yakni kernel dan jangkauan. ernel

dan jangkauan merupakan sekali bayangan 9ektor basis diba!ah trans#ormasi linier

telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan 9ektor yang selebihnya di

dalam ruang tersebut.

Pada trans#ormasi linear terdapat istilah yang biasa disebutkan dalam

pembahasan kali ini, yakni Teorema. Teorema ini merupakan pernyataan yang dapat

dibuktikan kebenarannya, sehingga untuk membuktikan kebenaran dari suatu

pernyataan atau rumus dibutuhkan teorema.

Dan dalam matriks trans#ormasi linier terdapat dua alasan utama mengapa

prosedur tak langsung penting untuk dilakukan, yaitu 2

/. Prosedur tersebut menyediakan cara yang e#isien untuk melakukan trans#ormasi

linier pada komputer digital

1. ersi#at teoretis, tetapi dengan konsekuensi praktis yang penting

21


25/26

B. SARAN

Penulis sangat menyadari dan memahami bah!a pembuatan makalah ini jauh

dari kekurangan dan kelemahan dalam pembuatannya. &aka dari itu, penulis pun

tidak menolak adanya saran dan kritik yang si#atnya mendukung dan membangun

dari para pembaca agar &akalah selanjutnya nanti, jauh lebih sempurna dan layak

untuk dibaca oleh para pembaca sekalian.

22


26/26

DA+TAR PUSTAKA

http2OOkseminar.sta##.ipb.ac.idO#ilesO17/O71O73RTrans#ormasi-%inier.pd#

http://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.html

https2OO!!!.#acebook.comO&ental&ilyaderOpostsO371/51445/6

http2OOeprints.undip.ac.idO1144OLO&7R$ikmatulRAiniRchapterR.pd#
http://kseminar.staff.ipb.ac.id/files/2013/02/09_Transformasi-Linier.pdfhttp://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.htmlhttps://www.facebook.com/MentalMilyader/posts/390821624348617http://eprints.undip.ac.id/32244/5/M03_Hikmatul_Aini_chapter_I.pdfhttp://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.htmlhttps://www.facebook.com/MentalMilyader/posts/390821624348617http://eprints.undip.ac.id/32244/5/M03_Hikmatul_Aini_chapter_I.pdfhttp://kseminar.staff.ipb.ac.id/files/2013/02/09_Transformasi-Linier.pdf

Documents

MAKALAH Transformasi Linier