13.0

MATERI PENDUKUNG

Definisi cyclotomic polinom Misalkan n bilangan bulat positif, maka nth cyclotomic polynomial didefinisikan dengan

Dengan Contoh: akar dari

merupakan semua primitive nth root dari unity. adalah nth root dari unity:1, ,, , dimana

Definisi prime field jika F merupakan field, maka maka irisan dari semua subfield dari F disebut prime field (184:joseph j rothman) Characteristic ring banyaknya perkalian dengan 1 (sebut tersebut berkarakteristik Theorem a Characteristic dari integral domain merupakan salah satu dari bilangan positif prime p. atau sebuah , jika ), sehingga maka , maka ring nya 0,

Bukti : untuk membuktikan ini, kita anggap bahwa sebuah domain dengan finite characteric yakni sebuah bilangan komposit demikian , dengan demikian , dengan

Dengan penghapusan yang berlaku, yakni

atau

. Oleh

karena itu, characteristicnya haruslah pembagi dari atau yang kontradiksi dengan charnya .

1

Corollary b Characteristic dari finite field merupakan sebuah bilangan positif prime p. Bukti : karena field merupakan integral domain, maka teorema a berlaku. Definisi conjugate class Misalkan a dan b merupakan anggota dari group , kita katakana conjugate di class dari (sebut conjugate dari ) jika dan

. Conjugate . Dan |CL( )|=| |

adalah himpunan CL( )=

Definisi class equation Untuk sebarang finite group ,

yang merupakan penjumlahan atas satu unsure dari

dari masing-masing

conjugate class-nya.(galian, 1990: 328) Ingat bahwa Teorema c Bukti : ( ) karena , maka dengan demikian , jadi dengan demikian ( ) cukup jelas. Untuk menunjukkan kalau hanya merupakan anggota di ditunjukkan , kita andaikan ada saja yang , akan . Jadi hanya saja. . , dengan G merupakan suatu grup.

, perhatikan

dengan demikian anggota

2

Teorema d Misalkan D merupakan division ring dan misalkan V merupakan D-module. Maka V merupakan free D-modul. Bukti : (telah dibuktikan di teori modul) Teorema e Misalkan D merupakan ring, V merupakan free D-modul Bukti : (telah dibuktikan di teori modul) Definisi Normalizer Misalkan G merupakan grup, S himpunan bagian yang tidak kosong dari G. Normalizer dari S di G adalah V punya basis

Definisi Extension Field Jika F merupakan subfield dari field E, maka E disebut Extension Field dari F atau secara sederhana merupakan extension (perluasan) dari F. Definisi Algebraic Misalkan E adalah extension dari F. Anggota ada anggota disebut algebraic atas F jika

dari F, tidak semua sama dengan 0 sehingga .

Definisi Algebraic Extension Misalkan E adalah extension dari F. E disebut algebraic Extension dari F jika setiap anggota dari E merupakan algebraic atas F.

3

Definisi Algebra Misalkan D adalah ring dan F merupakan lapangan D disebut algebra atas F jika D merupakan ruang vektor atas F dan a(xy)=(ax)y=x(ay) untuk sebarang a di F dan x,y di D. 13. GELANGGANG PEMBAGIAN Dalam memulai bagian ini, kita akan mempelajari beberapa dari banyak akibat dasar yang diacukan pada gelanggang pembagian, beberapa notasi yang perlu di perhatikan: y y y D : gelanggang pembagian D*: grup perkalian dari D Setiap a,b di D dan x,y di D*, ab-ba disebut additive commutator x -1 y -1xy disebut multiplicative commutator y

: centralizer dari

di ,

merupakan division subring yang

memuat

, center dari .

hasil pertama, kita akan menampilkan wedderburns classic theorem yang menyatakan bahwa semua finite division ring adalah commutative. Ini merupakan suatu hasil yang sangat cantik yang ditemukan oleh wedderburn pada tahun 1905.

4

1. Wedderburns little theorem Misalkan D merupakan finite division ring, maka D merupakan lapangan (field) Bukti : misal adalah center, maka F adalah field, sebut (sebuah adalah

perpangkatan prime yang 2) kita ingin menunjukkan bahwa 1 (sehingga Asumsikan ). , dan tulis class equation untuk finite group D*:

Yang merupakan hasil jumlah dengan a merupakan anggota dari masing-masing kelas konjugasi. Dengan teorema c, maka kita bisa mengeluarkan semua anggota itu dan menulis kembali class equation dalam bentuk

Tulis kita punya

. Maka

,. Tulis kembali class equation,

Akan ditunjukkan Pandang maka sebagai , -modul. Karena merupakan division ring, . Dengan demikian setiap anggota Perhatikan bahwa untuk setiap i terdapat , dengan demikian ada sebanyak Jadi anggota ada sebanyak cara untuk memilih kombinasi linier yang mungkin. . Dengan demikian , jadi .

punya basis, sebut

dapat ditulis secara tunggal sebahai kombinasi linier

5

Karena

, kita punya pemfaktoran sebagai berikut di

:

Dimana

adalah polynomial cyclotomic ke-n. Persamaan ini berimplikasi adalah bilangan bulat yang terbagi oleh . Khususnya, . Dari

bahwa masing-masing (*), kita peroleh bahwa

Dimana

mencakup atas semua akar ke-n primitive dari unity. Ini adalah hal dan jelas mengakibatkan bahwa

yang tidak-tidak, karena

untuk masing-masing . maka

Perhatikan untuk

karena untuk maka jadi dengan demikian .6

, dengan demikian kita punya

2. Corollary Sebarang finite subring R dari division ring D adalah field division ring. Perhatikan bahwa 1 di R, karena D division ring, maka , karena , maka Bukti : untuk membuktikan hal ini, cukup kita tunjukkan bahwa R merupakan

(sifat ketertutupan). Jadi R

merupakan division ring, dengan menggunakan theotema di atas, maka terbukti R adalah field. Konsekuensi lain yang menarik perhatian dari Wedderburns Little Theorem adalah mengenai structure dari finite subgroup, dari multiplicative group dari division ring D. Dalam kasus D komutatif, maka finite subgroup dari D* adalah cyclic, hal ini berlaku selama Bukti : . akar dari 1(dengan q . Untuk membuktikan

(finite field), x memiliki

banyaknya anggota di F), dengan kata lain,

sebuah group cyclic, kita harus menemukan bilangan primitive yang memiliki akar dari 1, yang tidak punya pangkat yang lebih kecil

yang sama dengan 1, dan ini akan menuntaskan pembuktian. Pertama tulis sebagai hasil kali pangkat dari prime yang berbeda, Untuk masing-masing adalah semua akar-akar dari dari semua akar ,

, dengan demikian semuanya ada di F. , tepatnya

jadi akar-akar dari

yang berbeda, dari persamaan

akan memenuhi persamaan sedikit satu akar unsur memiliki order dari

; oleh karena itu F memuat paling yang tidak memenuhi dalam group perkalian dari F. hasil kali seperti yang . Jadi

adalah sebuah unsur yang memiliki order diharapkan.

7

3. Corollary Misal D division ring dengan characteristic p > 0, dan G finite subgroup D*, maka G cyclic Bukti : untuk membuktikan hal ini, kita akan mengkonstruksi field dimana group multiplicative dari field tersebut memuat G. Misal merupakan prime field dari , dan misalkan

Yang merupakan finite subring dari D, Bukti : 1. 2. 3. jelas, karena dibangun dari anggota yang ada di .

maka

dan

Perhatikan

= = = = = = Dengan menggunakan theorem (2), maka dari

, maka cyclic.

adalah field, dan karena

subgroup

8

Jika

division ring D dari quartenion real memuat grup quartenion yang tidak cyclic. Hal ini mengarahkan kita pada pertanyaan yang menarik apakah finite group bisa menjadi sebagai subgroup dari multiplicative group dari division ring dengan characterisric nol? jawaban lengkap dari pertanyaan ini telah diberikan oleh amitsur di 1955, tapi tidak akan dipaparkan disini. Selanjutnya kita akan membuat beberapa pengamatan dasar pada additive commutator dalam division ring. 4. Proposition Misal D division ring. Jika y di D commutative dengan semua additive commutator di D maka y anggota Z(D) Bukti : andaikan , maka ,

, tentu saja hasil diatas tidak akan berlaku. Sebagai contoh,

Perhatikan persamaan berikut:

Karena y komutatif dengan additive commutator, maka haruslah y komutatif dengan x, Perhatikan :

dan

,

hal ini kontradiksi dengan

, jadi dengan demikian haruslah

.

9

5. Corollary Jika semua additive commutator adalah central, dalam division ring D, maka D adalah field. Bukti : Jika kommutatif dengan additive commutator, dengan (4) maka

. Sehingga D kommutatif, dengan demikian D merupakan field. , maka division ring yang dibangun oleh adalah irisan dari semua

division ring dari dari

yang memuat . Jadi ini merupakan division subring terkecil

yang memuat .

6. Corollary Misal D adalah noncommutative division ring, maka D dibangun sebagai division ring oleh semua additive commutatornya bersama dengan Z(D). Dengan kata lain, D merupakan Z(D) division algebra yang dibangun oleh semua additive commutatornya. Bukti :untuk membuktikan akibat diatas, akan kita tunjukan bahwa division algebra yang dibangun oleh semua additive commutatornya, Pertama jelas bahwa Z(D) division algebra yang dibangun oleh semua additive commutatornya (dengan definisi), selanjutnya akan ditunjukkan bahwa , maka Z(D)

Z(D) division algebra yang dibangun oleh semua additive commutatornya. Ambil sebarang dan .

division algebra yang dibangun oleh semua additive commutator dari D memuat dan , dan oleh karena itu, termuat didalamnya (sifat

ketertutupan), dengan demikian semua additive commutatornya. Jadi

Z(D) division algebra yang dibangun oleh division algebra yang dibangun oleh

semua additive commutator dari D adalah D. Misal dengan pemetaan , maka

disebut derifatif, dalam artian bahwa

10

Kita katakana adalah innerderivatif dari D yang dihubungkan dengan a. subgroup penjumlahan dari D dikatakan lie ideal jika subgroup tersebut adalah invariant (sifat dari suatu class abject matematika yang tetap tidak berubah jika suatu transformasi tertentu diterapkan pada object) di bawah semua . Hasil

terakhir kita pada additive commutator adalah mengenai lie ideal di division ring. 7. proposition Misal adalah division ring, sehingga K merupakan lie ideal di D. jika char K2, maka Bukti : perhatikan sebarang , perhatikan , dan sebarang . . Kita claim bahwa

dan .

ideal )

dengan menjumlahkan keduanya maka akan kita peroleh )

Jika

, kita punya

multiplication group jadi berlaku sifat ketertutupan terhadap kali), yang kontradiksi dengan diclaim. , oleh karena itu seperti yang

, dan oleh karena itu (

11

Perhatikan sebarang

sebarang, kemudian

dan

keduanya di yang juga

, jadi

dengan demikian mereka komutatif dengan . Tetapi komutatif dengan , Perhatikan karena dan , haruslah ,

, karena jika

,

merupakan grup terhadap kali, maka

dengan demikian

Ini menunjukkan bahwa

dan dengan demikian

.

Kemudian kita akan melihat bahwa empat hasil diatas untuk additive commutator juga memiliki analogis yang valid untuk multiplication commutator dan selanjutnua kita akan berpindah ke pembuktian lemma dasar pada division ring dari herstein. 8. Hersteins lemma Misal torsi noncentral dari D*, maka adalah division ring dengan , anggap a adalah anggota , untuk beberapa

, lebih jauhnya y dapat dipilih dari additive commutator di D. , kita akan peroleh finite field . Misal

Bukti : gabungkan a ke prime field Tulis kita punya

.

, yang bukan derivative nol , ( merupakan center), jadi

(karena a bukan central). Untuk adalah K linier pada menunjukkan bahwa Pikirkan

. Langkah dasar dalam pembuktian ini adalah dengan mempunyai vector eigen di (karena . ) sebagai .

didefinisikan dengan dengan

adalah K linier pada dan

12

Karena

dan

komutatif, dan , jadi

memiliki karakteristik , kita punya

Jadi

, dan jika digunakan pemfaktoran

Dan menghitung dalam K-algebra E, kita punya

Karena

, ini mengakibatkan bahwa untuk suatu

bukan

merupakan monomorfisma. (ingat kembali bahwa monomorfisma bisa diberlakukan penghapusan kiri) Ini berarti bahwa kemudian merupakan vector eigen untuk Dari group cyclic K*, dan , kita peroleh dengan nilai eigen : ini . Dalam

memiliki order yang sama dan dengan demikian

mereka membangun subgroup cyclic yang sama. Oleh karena itu . Selebihnya jika kita mengganti , kemudian dengan additive commutator

Jadi

.

Pada akhir dari chapter terakhir, kita telah mempelajari Jacobson-heirstein theorem (9) pada kekomutatifan dan menunjukkan bahwa jika theorem berlaku benar pada division ring, maka ini berlaku benar untuk sebarang ring. Bagaimanapun juga pembuktian dalam kasus division ring tidak akan diberikan. Dengan bantuan Hersteins lemma, kita sekarang bisa untuk menghentikan akhir pemikiran yang sederhana ini.

13

9. Theorem Misal D division ring maka D adakal field.. Bukti : Dengan hipotesis yang diberikan, sebarang additive commutator memiliki order tertinggi di D*. Misal kita asumsikan bahwa commutator dengan (5) maka ada additive

.

yang juga merupakan additive commutator yang tidak nol. Karena a dan ca punya order terhingga, maka Dari sini, ini menunjukkan bahwa . Karena

non central

dan torsion ( memiliki order hingga), Hersteins lemma menghasilkan sebuah additive commutator hipotesis, y juga torsion di D*(karena . Dengan memberikan berorder hingga, hal ini dikarenakan ).

dapat dipilih dari additive commutator dan berdasarkan hipotesis, Karena y normalizes group cyclic , maka hasil kali

adalah finite

subgroup dari D*. dengan (3) subgroup ini adalah commutative yang kontradiksi dengan .

Untuk penunjukan selanjutnya, kita akan memberikan penerapan yang lain dari Heirsteins lemma. Disini kita akan menggunakan notasi berikut:14

F merupakan subfield dari division ring D, S subset D, F(S) menotasikan division subring dari D yang dibangun oleh F dan S. Perhaatikan bahwa jika anggota S kommutatif dengan diri mereka sendiri dan dengan anggota F, maka F adalah sub field dari D. 10. Theorem Misal D division ring dengan center F, maka untuk sebarang dalam infinite subfield K dari D, lebih jauh centralizer infinite. Bukti : secara jelas kita akan mengasumsikan bahwa Lebih jauh dan terhingga. , dimuat adalah

adalah terhingga. Kita juga akan mengasumsikan bahwa dengan anggota selain

disisi lain, secara sederhana kita dapat mengganti anggota . Perhatikan sekarang

adalah noncentral dan torsion (order .

hingga)

di D*, jadi dengan hersteins lemma, Misalkan bahwa ada bahwa group yang dibuat pada group yang harus trivial pada komutatif dengan , jadi

dengan konjungsi, kita melihat (karena finite). Ini berarti

adalah field (yang memuat

). Tetapi dengan bagian terakhir dari pembuktian (9) harus punya order tak hingga. Oleh karena itu, adalah infinite field seperti yang diharapkan.

Penggolongan kita selanjutnya mengenai hasil dari algebraic algebra pada field. Ingar kembali bahwa algebraic algebra pada field F adalah algebra yang masingmasing anggotanya adalah algebraic pada field F. Perhatikan bahwa jika D algebra yang merupakan domain, maka D merupakan division algebra. (for adalah field) dalam hal berikutnya kita akan menentukan semua algebraic division algebra pada field terhingga dan field bilangan real 11. Theorem (Jacobson) Misal D algebraic division algebra pada finite field F, maka D commutative. .

15

Bukti : misal

= char F, untuk sebarang

perluasan dari , jadi

. Lebih jauh dengan hipotesis (9) yang berlaku untuk D, maka D field. Penentuan dari algebraic division algebra pada field bilangan real , dapat dilihat

merupakan finite field, jika

adalah finite algebraic , maka

pada abad 19, yang telah dijelaskan oleh Frobenius dalam paper yang dipublikasikan pada tahun 1877. Perhatikan bahwa dalam pernyataan berikut dari teorema frobenius, algebraic algebra tidak diasumsikan sebagai finite dimention pada untuk memulainya dengan. 12. Theorem (Frobenius) Misal D algebraic division algebra pada , kemudian sebagai -algebra, D isomorphic terhadap Bukti : kita asumsikan . Maka (division algera dari real quaternion). (dengan cara yang lain ), ambil

merupakan proper algebraic perluasan dari , jadi di D, dan D seagai ruang . . Itu merupakan . Kita claim bahwa dan ,

. Berikut ini kita akan menentukan penggandaan

vector kiri atas . Symbol i akan menotasikan bilangan complex Misal - subspaces dari CD dengan sehingga jika dan

, ini cukup mudah untuk melihat , karena , kita punya

Perhatikan jika kita melihat pemetaan . Persamaan

linier

dengan

secara tepat sejumlah penguraian ruang eigen dari .

Bagaimanapun juga alas an yang digunakan diatas secara langsung dan lebih mendasar. Bagaimana besarnya - subspaces dan ? Untuk sebarang haruslah , itu sendiri,

adalah algebraic field yang perluasannya dari , jadi yang menunjukkan bahwa asumsikan , ambil . Jika

pembuktian akan selesai, jadi linier ,

. Maka pemetaan

16

dengan menghasilkan bahwa Karena

adalah pemetaan injectif. Karena dan juga , jadi , . Disisi lain,

ini

adalah algebraic pada , jadi

Jika

di , kita dapat menulis

, yang merupakan kontradiksi. Oleh karena itu bisa menulis dan . Misalkan , kita punya

, ini menuntun kita bahwa di , dan kita

, jadi D adalah penggandaan dari

bilangan real quaternion.

Selanjutnya kita akan mempelajari multiplicative commutator pada division ring, adakalanya kita akan hanya mengatakan commutator untuk mempersingkat. Kita kembali pada beberapa hasil dari pembuktian awal kita mulai dari (4) sampai (7) untuk additive commutator yang analogi dengan multiplicative commutator. Dengan suatu keinginan untuk memperoleh hasil baru, kita pertama menurunkan sebuah pasangan identitas. Misal noncommutative di division ring D. misal adalah anggota

. Maka

Karena jika demikian

, maka

(13.13)

akan commutative dengan , dengan

17

Yang kontradiksi dengan c yang tidak commutative dengan a dan juga (13.14) 13. (15) Proposition Misal D division ring jika c di D commutative dengan semua multiplicative commutators, maka c di Z(D). Bukti : asumsikan . Misalkan seperti di atas, dan , jadi

dan gunakan (13.14). karena c commutative dengan

dengan (13.14) maka c haruslah commutative dengan a, perhatikan

hal ini bertentangan dengan dengan pengandaian, jadi terbukti. 14. Corollary Jika semua multiplicative commutator adalah central di division ring D, maka D adalah field. Bukti : maka kommutatif dengan multiplicative commutator, dengan (14) . Sehingga kommutatif, dengan demikian merupakan field.

Dalam point ini, ini sangat menarik perhatian untuk menyebutkan conjecture (dugaan) dari Heirstein:

18

Asumsikan bahwa, untuk sebarang anggota yang tidak nol a, b di division ring D, disana ada sebuah bilangan bulat positive n(a,b) sedemikian sehingga (aba-1b-1 )n(a,b)berada di Z(D), maka D adalah field, Heirstein telah membuktikan conjecture ini dalam kasus D countable, tetapi secara umum sepertinya masih belum. Selanjutnya kita akan membuktikan teorema yang terkenal oleh Cartan, Brauer,dan Hua. Ini adalah sebuah multiplicative yang analogis dengan hasil (7), yang dikecualikan bahwa disini tidak memerlukan pengasumsian pada characteristic. Akan lebih memudahkan jika kita mengambil istilah dari group theory: untuk pasangan dari division ring K subset D, kita katakan bahwa K normal di D jika untuk sebarang adalah subgroup normal dari D*). 15. Cartan-Brauer-Hua theorem Anggap K normal di D seperti di atas dan K D, maka Bukti : perhatikan sebarang, kita duga bahwa mereka . (dengan kata lain jika K*

commutative. Untuk membuktikan dugaan kita, asumsikan a, c tidak commutative, dan tulis dan (13.13), maka kita punya , jadi 16. Corollary Misalkan D merupakan division ring dan di . Maka D dibangun , dengan menggunakan kenormalan dari K dan di K* dan

, yang kontradiksi dengan pengandaian di atas.

sebagai division ring oleh semua conjugate dari d. Bukti : misalkan untuk sebarang Ini memberikan juga division subring dari D, yang dibangun oleh conjugate dari , memuat semua conjugate dari d, jadi , jadi K normal di D. karena di K bukan .

central di D, maka teorema mengakibatkan K=D. Kita memperoleh satu lagi kesimpulan (17) jika dibandingkan dengan (6).

19

17. Corollary Division ring D yang tidak kommutatif dibangun sebagai division ring oleh semua multiplicative commutatornya. Bukti : misalkan K division subring dari D, yang dibangun oleh semua commutatornya. Jelaslah bahwa K adalah invariant dibawah semua automorfisma dari D, lebih khususnya dibawah inner automorfisma. Oleh karena itu K adalah normal di D. tetapi D tidak commutative, jadi dengan (16), beberapa commutator bukan center, jadi (17) mengakibatkan bahwa K=D.

Ingat kembali bahwa untuk sebarang group G, upper central series dari G didefinisikan menjadi deret

Dimana nilpotent jika 18. Theorem Misalkan D division ring dan

untuk suatu bilangan bulat n.

dan seterusnya. Group G dikatakan

merupakan upper central .

series dari group G=D*. maka

Bukti : kita asumsikan bahwa D tidak commutative. Anggap disana ada , maka Misalkan , kita punya persamaan dimana Karena merupakan kontradiksi. Dari (18) kita dapat menyimpulkan dengan mudah konsekuensi yang berikut ini, 19. Corollary adalah field, ini mengakibatkan bahwa , yang , dengan demikian kita punya dan dengan menggunakan (13.14) dan karena juga untuk suatu .

. Dari (13.14) kita memiliki

20

Multiplicative group D* dari division ring D adalah nilpotent jika dan hanya jika D merupakan field. Bukti : misalkan K division subring dari D, yang dibangun oleh semua commutatornya. Jelaslah bahwa K adalah invariant dibawah semua automorfisma dari D, lebih jauh dibawah semua inner automorfisma. Oleh karena itu K normal di D. tetapi D tidak komutatif, jadi dengan Tujuan akhir kita di bab ini untuk memberikan beberapa informasi pada theoretic index [D*:K*] dimana K division subring dari D. dan jika maka

index [D*:K*] hampir tidak pernah terhingga, untuk merumuskan hasil ini secara lebih umum, kita memprosesnya sebagai berikut. Misalkan V adalah sebarang ruang vector kanan pada division ring K. Maka action K* pada V* :=V\{0} oleh perkalian kanan, dan kita dapat membentuk ruang orbit V*/K*. Kita akan menotasikan ruang ini dengan P(V) dan memanggilnya ruang projective yang dihubungkan dengan V. Dalam kasus dimana K commutative, dan dan ini jelas nyata secara geometris,

bahwa ruang projective P(V) adalah takhingga kecuali ketika V nya sendiri adalah terhingga. Pembuktian biasanya dari kenyataan ini didasarkan pada kemungkinan dari penemuan garis di P(V). Pembuktian ini, dalam kenyataannya tidak tergantung pada kekomutativan dari K, jadi kita dapat menggunakannya untuk memperoleh hasil yang sama dalam kasus secara umum. 20. Theorem Misalkan VK adalah ruang vector kanan atas division ring K dengan dim(VK)2. Maka P(V) terhingga jika dan hanya jika V(dan oleh karena K) finite. Bukti : (jika dan hanya jika) misalkan adalah dua K-independent vector

dalam . Untuk menemukan garis di P(V), kita mendefinisikan sebuah pemetaan dengan

21

Kita claim bahwa pemetaan ini injective. Dalam kenyataannya, jika sedemikian sehingga , maka untuk suatu Dengan membandingkan koefisien, kita punya dan . , jadi .

Asumsikan sekarang bahwa P(V) adalah terhingga. Maka dengan injective dari , terhingga, begitu juga dengan V juga terhingga. 21. Corollary Misalkan K adalah division subring dari ring R dan misalkan V K adalah

subruang dari ruang vector RK. misalkan V*=V\{0} dan misalkan V*/K* adalah ruang orbit dari action kanan K* pada V*. maka V*/K* adalah terhingga jika dan hanya jika V terhingga. Bukti : . 22. Corollary Untuk pasangan division ring K Bukti : . Perhatikan sebuah division subring D dari division ring E, dan sebarang , kita katakana bahwa . Untuk , kita punya [D* : K*] < D terhingga.

adalah D-conjugate dari a. dengan

conjugasi, action D* pada himpunan D-conjugate dari a isotropy sub group dari a dibawah action ini adalah K*, dimana K adalah division ring . Jadi

himpunan dari D-conjugate dari a berkorespondensi satu-satu dengan ruang coset D*/K*. dengan menerapkan (22) kita menyimpulkan hasil berikut: 23. Corollary

22

Dalam notasi di atas, asumsikan bahwa division ring D adalah takhingga. Maka salah satu dari berikut akan berlaku, yakni hanya ada satu D-conjugate dari a (yaitu Bukti : . Hasil akhir kita dalam bab ini adalah mengkombinasikan wedderburns little theorem dan (22) 24. Heirsteins theorem Jika a bukan central di division ring D, maka a memiliki conjugate di D sebanyak takhingga banyaknya. Bukti : karena a bukan central, wedderburns little theorem mengakibatkan bahwa D adalah takhingga. Dengan menerapkan (23) maka kita punya D=E. ) atau ada banyak takhingga D-conjugate dari a.

23