Tugas Individu

MAKALAHPERSAMAAN SCHRÖDINGER

Oleh :

Mahadir Muhammad AKNim : 081 314 036

Jurusan KimiaFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR2010

1

Kata Pengantar

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberi

rahmat, hidayah, serta karuniaNya kepada Penulis sehingga Penulis dapat

menyelesaikan makalah yang berjudul “Persamaan Schrödinger” tepat pada

waktunya.

Makalah ini ditulis sebagai persyaratan dalam memenuhi tugas individu

Ikatan Kimia program studi S1 Non Kependidikan.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna dan banyak

kesalahan, oleh karena itu kelompok kami mengharapkan saran dan kritik yang

membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Makassar, Januari 2011

( Penulis )

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR …………………………………………………………2

DAFTAR ISI……………………………………………………………………3

BAB I: PENDAHULUAN…………………………..…………………………4

Latar Belakang………………………………………………………………......5

BAB II: ISI……………………………………..……………………………….6

A. Persamaan Schrodinger……………………...…………………………..6

B. Persamaan Gelombang Schrodinger Untuk Atom Hidrogen ……..……11

BAB III: PENUTUP …………………………………………………………...12

Kesimpulan………………………………………………………………….…..12

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………….13

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada awalnya orang menganggap materi (zat) bersifat kontinu. Tetapi hasil

penemuan berikutnya seperti penemuan muatan elementer melalui percobaan

simpangan sinar katoda membuat para ilmuwan mulai memikirkan bahwa materi

bersifat diskrit. Lalu konsep atom muncul karena rasa ingin tahu terhadap struktur

zat. Struktur zat berarti komponen-komponen dan hubungan antar komponen yang

membentuk zat tersebut.

Penjelasan Rutherford tentang penerapan mekanika Newton pada model

atom, dimana elektron diandaikan melakukan gerak mengelilingi atom, seperti

planet mengelilingi matahari. Dalam gerak itu elektron mengalami percepatan

sentrifugal. Gambaran ini dapat disimpulkan bahwa elektron pada atom tidak

stabil. Karena mengalami percepatan maka elektron akan memancarkan

gelombang elektromagnetik. Energi pancaran ini akan mengurangi energi total

elektron sehingga jari-jari elektron akan mengecil. Karena adanya pancaran

gelombang elektromagnetik maka spektrum panjang gelombang yang dipancarkan

adalah spektrum yang kontinu.

Namun dalam konsep mekanika modern menganggap bahwa di dalam

atom terdapat kestabilan. Hal ini didukung oleh percobaan yang dilakukan oleh

J.J. Balmer pada tahun 1855 yang bereksperimen tentang pemanasan gas hidrogen

pada beda potensial tinggi yang menghasilkan spektrum emisi diskrit, dan juga

ditambahkan dengan teori atom Bohr yang menyatakan bahwa elektron memiliki

kestabilan.

Penjelasan mengenai struktur atom yang lebih lengkap diperlukan untuk

mengetahui struktur yang lebih detail tentang elektron di dalam atom. Model atom

yang lebih lengkap harus dapat menerangkan efek Zeeman dan sesuai untuk atom

4

berelektron banyak. Efek Zeeman merupakan terpecahnya satu garis spektrum

atomik yang dialiri arus listrik melalui gas dalam sebuah tabung menjadi beberapa

garis di dalam medan magnet. Berikut adalah gambar pemisahan garis spektrum

atomik di dalam medan magnet.

5

BAB II

ISI

A. Persamaan Schrodinger

Erwin Schrodinger (1887-1961), merumuskan teori mekanika gelombang,

yang menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi

gelombang. Pembuktian mekanika gelombang, schrodinger meneruskan

penemuan Louis de Broglie yaitu elektron atau partikel memiliki sifat gelombang

yang tidak memiliki posisi tertentu di dalam ruang. Persamaan dinamika Newton

yang sedianya untuk menjelaskan gerak elektron digantikan oleh persamaan

schrodinger yang menyatakan fungsi gelombang untuk elektron. Untuk model

atom pada prinsip ini disebut model atom mekanika kuantum.

Persamaan Schrödinger menghasilkan seperangkat fungsi keadaan yang

bergantung pada tiga bilangan kuantum n, l, ml. yn,l,ml2 dinyatakan maps out

probabilitas lokasi elektron. Fungsi ini ditunjukkan sebagai orbital-orbital.

Posisi dan keberadaan elektron di dalam atom dinyatakan sebagai peluang

terbesar elektron di dalam atom. Pada gambar atom diatas, Ψ elektron

mengandung tiga bilangan kuantum yang jika ditentukan akan diperoleh hasil

berupa orbital. Ketiga bilangan kuantum ini adalah bilangan kuantum utama,

6

orbital, dan magnetik. Ψ2 menggambarkan rapatan muatan elektron atau peluang

menemukan elektron pada suatu titik dalam atom. Ketiganya digambarkan dalam

proyeksi 3 dimensi :

Ψ * Ψ dx dy dz

probabilitas keberadaan elektron pada waktu t tertentu dalam volume dx dy dz di

sekitar titik (x, y, z); Ψ* adalah konjugat dari Ψ . Jadi persamaan Schrodinger

tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia

akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak dapat mengatakan secara

pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan

momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.

Persamaan gelombang partikel (misalnya elektron) yang bergerak dalam

satu arah (misalnya arah x) diberikan oleh:

(-h2/8π2m)(d2 Ψ /dx2) + V Ψ = E Ψ (2.14)

m adalah massa elektron, V adalah energi potensial sistem sebagai fungsi

koordinat, dan Ψ adalah fungsi gelombang.

Contoh paling sederhana persamaan Schrödinger adalah sistem satu

elektron dalam potensial kotak satu dimensi. Misalkan enegi potensial V elektron

yang terjebak dalam kotak (panjangnya a) adalah 0 dalam kotak (0 < x < a) dan, di

luar kotak. Persamaan Schrödinger di dalam kotak menjadi:

d2 Ψ /dx2 = (-8π2mE/h2) Ψ (2.15)

Ψ = 0 di x = 0 dan x = a (2.16)

Persamaan berikut akan didapatkan sebagai penyelesaian persamaan-

persamaan di atas:

Ψ (x) = (-2/a)sin(n π x/a)

Perlu diingat bahwa n muncul secara otomatis. Persamaan gelombang Ψ

sendiri tidak memiliki makna fisik. Kuadrat nilai absolut Ψ, Ψ2, merupakan

indikasi matematis kebolehjadian menemukan elektron dalam posisi tertentu, dan

dengan demikian sangat penting sebab nilai ini berhubungan dengan kerapatan

7

elektron. Bila kebolehjadian menemukan elektron pada posisi tertentu

diintegrasikan di seluruh ruang aktif, hasilnya harus bernilai satu, atau secara

metematis:

∫ Ψ 2dx = 1

Energinya (nilai eigennya) adalah E = n2h2/8ma2; n = 1, 2, 3... (2.18)

Jelas bahwa nilai energi partikel diskontinyu.

Perbedaan pokok antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum

terletak pada cara penggambarannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel

dapat ditentukan berdasarkan keadaan awal (kedudukan awal, momentum awal)

serta gaya-gaya yang bekerja padanya melalui hukum kedua Newton. Artinya

dengan menyelesaikan secara matematis dari hukum kedua Newton, maka bisa

diketahui dengan pasti kedudukan dan momentum partikel untuk setiap saat.

Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang keadaan masa depan partikel

seperti pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan

momentum awal tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.

Dimungkinkan uintuk memperluas metoda yang digunakan dalam

potensial kotak satu dimensi ini untuk menangani atom hidrogen dan atom mirip

hidrogen secara umum. Untuk keperluan ini, persamaan satu dimensi (2.14) harus

diperluas menjadi persamaan tiga dimensi sebagai berikut:

(-h2/8π2m) Ψ [(∂2/∂x2) + (∂2/∂y2) + (∂2/∂z2) + V(x, y, z) Ψ = E Ψ (2.19)

Bila didefinisikan ▼2 sebagai:

(∂2/∂x2) + (∂2/∂y2) + (∂2/∂z2) = ▼2 (2.20)

Maka persamaan Schrödinger tiga dimensi akan menjadi:

(-h2/8π2m) ▼2 Ψ +V Ψ = E Ψ (2.21)

atau

▼2 Ψ + (8π 2m/h2)(E -V) Ψ = 0 (2.22)

Energi potensial atom mirip hidrogen diberikan oleh persamaan berikut

dengan Z adalah muatan listrik.

V = -Ze2/4 ɛo r (2.23)

8

Bila anda substitusikan persamaan (2.23) ke persamaan (2.22), anda akan

mendapatkan persamaan berikut :

▼2 Ψ + (8π2m/h2) [E + (Ze2/4 ɛo r)] Ψ = 0 (2.24)

Ringkasnya, penyelesaian persamaan ini untuk energi atom mirip hidrogen cocok

dengan yang didapatkan dari teori Bohr.

Karena elektron bergerak dalam tiga dimensi, tiga jenis bilangan kuantum

bilangan kuantum utama, azimut, dan magnetik diperlukan untuk mengungkapkan

fungsi gelombang. Dalam Tabel 2.3, notasi dan nilai-nilai yang diizinkan untuk

masing-masing bilangan kuantum dirangkumkan. Bilangan kuantum ke-empat,

bilangan kuantum magnetik spin berkaitan dengan momentum sudut elektron

yang disebabkan oleh gerak spinnya yang terkuantisasi. Komponen aksial

momentum sudut yang diizinkan hanya dua nilai, +1/2(h/2π) dan -1/2(h/2π).

Bilangan kuantum magnetik spin berkaitan dengan nilai ini (ms = +1/2 atau -1/2).

Hanya bilangan kuantum spin sajalah yang nilainya tidak bulat.

Tabel 2.3 Bilangan kuantum

Nama (bilangan kuantum) simbol Nilai yang diizinkan

Utama n 1, 2, 3,...

Azimut l 0, 1, 2, 3, ...n - 1

Magnetik m(ml) 0, ±1, ±2,...±l

Magnetik spin ms +1/2, -1/2

Simbol lain seperti yang diberikan di Tabel 2.4 justru yang umumnya

digunakan. Energi atom hidrogen atau atom mirip hidrogen ditentukan hanya oleh

bilangan kuantum utama dan persamaan yang mengungkapkan energinya identik

dengan yang telah diturunkan dari teori Bohr.

Tabel 2.4 Simbol bilangan kuantum azimut

nilai l 0 1 2 3 4

simbol s p d f g

Fungsi gelombang elektron disebut dengan orbital. Bila bilangan koantum utama

n = 1, hanya ada satu nilai l, yakni 0. Dalam kasus ini hanya ada satu orbital, dan

kumpulan bilangan kuantum untuk orbital ini adalah (n = 1, l = 0). Bila n = 2, ada

9

dua nilai l, 0 dan 1, yang diizinkan. Dalam kasus ada empat orbital yang

didefinisikan oleh kumpulan bilangan kuantum: (n = 2, l = 0), (n = 2, l = 1, m = -

1), (n = 2, l = 1, m = 0), (n = 2, l = 1, m = +1).

Singkatan untuk mendeskripsikan orbital dengan menggunakan bilangan

kuantum utama dan simbol yang ada dalam Tabel 2.4 digunakan secara luas.

Misalnya orbital dengan kumpulan bilangan kuantum (n = 1, l = 0) ditandai

dengan 1s, dan orbital dengan kumpulan bilangan kuantum (n = 2, l = 1) ditandai

dengan 2p tidak peduli nilai m-nya. Sukar untuk mengungkapkan Ψ secara visual

karena besaran ini adalah rumus matematis. Namun, Ψ2 menyatakan

kebolehjadian menemukan elektron dalam jarak tertentu dari inti.

Bila kita batasi kebolehjadian sehingga katakan kebolehjadian menemukan

elektron di dalam batas katakan 95% tingkat kepercayaan, kita dapat kira-kira

memvisualisasikan sebagai cuping.

Bila atom mengandung lebih dari dua elektron, interaksi antar elektron

harus dipertimbangkan, dan sukar untuk menyelesaikan persamaan gelombang

dari sistem yang sangat rumit ini. Bila diasumsikan setiap elektron dalam atom

poli-elektron akan bergerak dalam medan listrik simetrik yang kira-kira simetrik

orbital untuk masing-masing elektron dapat didefinisikan dengan tiga bilangan

kuantum n, l dan m serta bilangan kunatum spin ms, seperti dalam kasus atom

mirip hidrogen. Energi atom mirip hidrogen ditentukan hanya oleh bilangan

kuantum utama n, tetapi untuk atom poli-elektron terutama ditentukan oleh n dan

l. Bila atom memiliki bilangan kuantum n yang sama, semakin besar l, semakin

tinggi energinya.

Bilangan kuantum yang kini dikenal merupakan aplikasi persamaan

schrodinger dalam bentuk 3 dimensi dan terlepas dari pada waktu. Dalam banyak

situasi energi potensial sebuah partikel V tidak bergantung dari waktu, sehingga

hanya berubah terhadap kedudukan partikel (x,y,z). untuk itu kita dapat

menyederhanakan persamaan Schrodinger dengan meniadakan kebergantungan

terhadap waktu t.

10

B. Persamaan Gelombang Schrodinger Untuk Atom Hidrogen

Model atom Bohr telah memberikan gambaran mental yang sangat

bermanfaat mengenai struktur sebuah atom. Banyak gambaran tentang atom yang

dapat dijelaskan berdasarkan orbit- orbit Bohr. Bahkan model ini sangat

mengesankan dengan gagasan baru tentang energi diskret dan keadaan mantap

suatu atom.

Meskipun model atom Bohr berhasil menerangkan banyak aspek dari

gejala atom, model ini masih mempunyai beberapa kelemahan. Model ini tidak

bisa menjelaskan tentang hasil pengamatan bahwa garis spektum ternyata bukan

merupakan garis tunggal, melainkan terdiri dari dua atau lebih garis spektrum

yang jaraknya sangat berdekatan. Dengan menggunakan model ini kita dapat

menghitung energi spektrum dengan teliti, tetapi kita tidak dapat menghitung

intensitasnya.

Hasil pengamatan bahwa kebanyakan garis spektrum ternyata bukan

merupakan garis tunggal, melainkan terdiri atas dua atau lebih garis spektrum

yang jaraknya sangat berdekatan menunjukkan adanya sub-tingkat energi yang

sangat berdekatan dalam tingkat-tingkat energi utama. Untuk menjelaskan

kenyataan ini, Erwin Schrodinger (1887-1961) mengemukakan suatu pendekatan

baru yang dikenal dengan mekanika gelombang. Berbeda dengan Bohr yang

melakukan percobaan dengan elektron-elektron partikel, Schrodinger

memperlakukan elektron-elektron tersebut sebagai gelombang de Broglie.

Selanjutnya penyelesaian persamaan Schrodinger khusus untuk atom

hidrogen yang menampilkan keadaan kuantum, sehingga membantu kita

memahami sifat-sifat dasar atom. Atom hidrogen terdiri dari inti bermuatan +e

dan sebuah elektron (partikel yang bermuatan –e). Untuk memudahkan, inti atom

dianggap diam dan elektron mengelilingi inti karena pengaruh gaya Coulomb dari

inti. Persamaan Schrodinger untuk elektron dalam sistem koordinat kartesian tiga

dimensi terdapat pada rumus diatas yang telah dibahas sebelumnya.

11

BAB III

Kesimpulan

Persamaan gelombang materi Schrodinger untuk elektron yang bergerak

mengelilingi inti atom hidrogen dalam sistem koordinat kartesian (dengan energi

potensial listrik). Schrodinger merumuskan teori mekanika gelombang, yang

menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi gelombang.

Pada intinya Schrodinger menggambarkan besar energi perilaku partikel

yaitu bersumber dari mekanika Newton yang kedua sukunya dikalikan dengan

fungsi gelombang,

12

DAFTAR PUSTAKA

Beisser A, 1987. Konsep Fisika Modern. Edisi Keempat. McGraw-Hill: International Book Company

Sukardiono-dkk. 2003. Konsep Dasar Fisika Modern. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta

www.wikipedia.com. Persamaan Schrodinger. Diakses pada tanggal 3 januari 2011. Makassar

www.wordpress.com. Dunia Fisika Kuantum. Diakses pada tanggal 3 januari 2011. Makassar

www.math.ucla.edu. Mekanika Kuantum Schrodinger. Diakses pada tanggal 3 januari 2011. Makassar

www.physlink.com. Mekanika Kuantum. Diakses pada tanggal 3 januari 2011. Makassar

13