INDUKSI MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KHUSUSNYA DALAM BIDANG EKONOMI

MAKALAH

Disusun Oleh :

Heni Wulandari Muhammad AndanumNur Asyia PratiwiRizca Dienul Permata Silvia Andriani

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PEDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKAJAKARTA2014KATA PENGANTAR

Dengan segala kerendahan hati penulis memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Makalah ini untuk memenuhi dalam bidang penilaian mata kuliah Matematika Ekonomi yang berjudul Induksi Matematika dalam Kehidupan Sehari hari khususnya dalam Bidang Ekonomi. Mungkin dalam pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan baik itu dari segi penulisan, isi dan lain sebagainya, maka penulis sangat mengharapkan kritikan dan saran guna perbaikan untuk pembuatan makalah untuk hari yang akan datang.Demikianlah sebagai pengantar kata, dengan iringan serta harapan semoga tulisan sederhana ini dapat diterima dan bermanfaat bagi pembaca. Atas semua ini penulis mengucapkan terima kasih yang tidak terhingga.

Jakarta, Desember 2014

Penulis

1.1 PendahuluanInduksi Matematika berawal pada akhir abad ke-19 yang dipelopori oleh dua orang matematikawan yaitu R. Dedekind dan G.Peano. Dedikind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano. Postulat ini ditemukan sekitar tahun 1890 sebagai rumusan formula konsep bilangan asli.

Postulat Peano1. 1 adalah anggota .2. Setiap anggota mempunyai pengikut .3. Dua bilangan di yang berbeda mempunyai pengikut yang berbeda.4. 1 bukan pengikut bilangan yang manapun5. Jika subhimpunan memuat 1 dan pengikut dari setiap bilangan di , maka

1.2 Induksi MatematikaInduksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam pembuktian dan sering digunakan dalam berbagai buku. Induksi matematika merupakan suatu metode yang digunakan untuk membangun kevalidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli (N). Walaupun kegunaannya agak dibatasi dalam konteks yang agak khusus, namun keberadaannya merupakan suatu alat yang sangat diperlukan dalam cabang-cabang matematika.Dianggap bahwa kita sudah mengenal bilangan asli N = { 1,2,3, ... }, baik operasi biasa pada penjumlahan dan perkalian dan arti dari suatu bilangan asli yang satu lebih kecil dari yang lain. Teorema 1.1

Jika S adalah subset dari N dan jika S , maka terdapat suatu m S sedemikian sehingga m k, untuk setiap k S.Prinsip Induksi Matematika Misal S subset dari N, maka berlaku sifat-sifat:1. 1 S.2.

Jika k S, maka (k+1) S, dan S = N.Bukti

Anggaplah berlaku sebaliknya S N. Maka himpunan N S tidak kosong dan selanjutnya dengan sifat terurut dengan baik ia akan memuat suatu unsur terkecil. Misal m adalah unsur terkecil dari N-S. Karena 1 S, maka menurut hipotesis (1), kita tahu bahwa m 1. Selanjutnya untuk m > 1 mengakibatkan bahwa m 1 juga merupakan bilangan asli, Karena m 1 < m dan karena m adalah unsur terkecil dari N sedemikian sehingga m S, ia mestilah merupakan kasus bahwa m-1 S.

Selanjutnya kita gunakan hipotesis (2) untuk unsur ke ke k = m 1 dan menyimpulkan bahwa k+1 = (m-1) + 1 = m S. Kesimpulan ini bertentangan dengan pernyataan bahwa m S. Karena m diperoleh dengan mengasumsikan bahwa N-S tidak kosong, hal ini juga bertentangan dengan kesimpulan bahwa N-S kosong. Dengan demikian kita telah menunjukkan bawa S = N.Bentuk lain dari prinsip Induksi Matematika dinyatakan sebagai berikut:

Untuk setiap n N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n, anggaplah bahwa:1. P(1) benar 2. P(k) benar maka P(k+1) benar,

Maka P(n) adalah benar untuk setiap n N.Contoh

Untuk setiap n N, buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksi matematika.1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n = Penyelesaian

Untuk n = 1 1 = , sehingga 1 S,

Andaikan untuk n = k diasumsikan bahwa k S, sehingga

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... k = Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 benar, maka

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + k + (k+1) =

, karena n = k+1, maka:

Karena rumus ini terpenuhi untuk n = k+1, kita menyimpulkan bahwa k+1 S. Jadi dari Induksi matematika terpenuhi. Oleh karena itu dengan prinsip induksi matematika kita menyimpulkan bahwa S = N dan rumus tersebut adalah benar untuk semua n N.1.3 Prinsip Induksi SederhanaMisalkan p(n) adalah proporsi prihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan proporsi ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa :1. p(1) benar, dan2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar untuk setiap n1sehingga p(n) benar, maka semua bilangan bulat positif n

1.4 Langkah-langkah menyelesaikan induksi matematika1. Basis Induksi Untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil. 2. Induksi Asumsi yang menyatakan bahwa p(n) benar. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Kemudian kita harus menunjukkan bahwa implikasi p(n) p(n + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positif. Hal ini dapat diselesaikan dengan cara memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis p(n) benar maka p(n + 1) juga harus benar.3. Hipotesis InduksiPembuktian p(n + 1) bernilai benar.Contoh 1Buktikan bahwa untuk setiap n berlaku 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)Penyelesaian1. Basis Induksin = 11 = 1(1 + 1)1 = 1benar2. Langkah Induksin = k1 + 2 + 3 + + k = k(k + 1)benar3. Hipotesis InduksiAkan dibuktikan benar untuk n = k + 11 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = k(k + 1) + (k + 1)

Jadi benar 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1) untuk setiap n

Contoh 2 Buktikan bahwa untuk setiap n dan berlaku 1 + 3 + 5 + + n(n + 1)/2 = n(n + 1)(n + 2)1. Basis Induksin = 112 = 1(1 + 1)(1 + 2)1 = 1benar2. Langkah Induksin = k1 + 3 + 5 + + k(k + 1)/2 = k(k + 1)(k + 2)benar3. Hipotesis InduksiAkan dibuktikan benar untuk n = k + 11 + 3 + + k(k + 1)/2 + (k + 1)(k + 2)/2 = k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)/2

Jadi benar 1 + 3 + 5 + + n(n + 1)/2 = n(n + 1)(n + 2) n .1.5 Penerapan Induksi Matematika Dalam Bidang Ekonomi1. aplikasi dalam pengunaan ATMa.Konsep ATM Secara Umum di IndonesiaATM, pada umumnya, hanya memiliki satu jenis nominal uang. Logikanya ialah sebuah ATM hanya memiliki satu cartridge uang, yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal (entah itu Rp 20.000,-, Rp 50.000,-, maupun Rp 100.000,-). Nah, pengolahan berapa jumlah uang yang dikeluarkan tidak secara langsung dihitung dari jumlah nominal uang yang ditarik, tapi dikonversikan dahulu, pecahan uang yang tersedia pada cartridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan tercukupi4. Misal pelanggan ingin menarik uang sebanyak Rp 200.000,-. Maka ada tiga kemungkinan :-Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 20.000,-, maka cartridge penyimpan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 10 lembar.-Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 50.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 4 lembar.-Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 100.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan untuk menghitung dan mengeluarkan uang sebanyak 2 lembar.Terdapat beberapa kelemahan dalam ATM yang memiliki sistem seperti ini, antara lain : Pelanggan ingin menarik uang yang tidak genap (misal ingin menarik uang sebesar Rp 70.000,- ).Pada kenyataannya, masalah ini memang sudah ditanggulangi dengan mengeluarkan pernyataan Mesin ini hanya mengeluarkan uang dalam pecahan kelipatan Rp 20.000,- (atau Rp 50.000,- atau Rp 100.000,-). Masyarakat juga telah memaklumi keadaan ini. Namun, apakah tidak jauh lebih mudah jika dapat dilakukan penarikan tunai dengan nominal yang tidak genap seperti itu? Apa sebenarnya keistimewaan cara berpikir ATM Multi Pecahan Uang?b. Penerapan Induksi Matematika dalam ATM Multi NominalPenerapan Induksi Matematik dalam ATM Multi Nominal yakni dengan penggunaan Prinsip Induksi yang Dirampatkan (prinsip pertama) pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari cartrige penyimpanan uang.Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada ATM Multi Nominal ini. Ketentuan tersebut antara lain :- jumlah minimal penarikan-jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya-pecahan uang berapa yang ada di ATM tersebutJadi, bagaimana cara perhitungannya?Ambil sebuah contoh, dalam satu ATM terdapat pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000,-. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Rp 40.000,-?Penyelesaian :1. tunjukkan bahwa f(n0) benar (berlaku)Basis induksi : Untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000,- dapat digunakan 2 lembar uang Rp 20.000,-. f(n0) jelas benar (berlaku) !!2. Jika f(n) benar (berlaku) maka tunjukkan f(n+k) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n n0. (k ialah kelipatan pengambilan uang di ATM)Langkah induksi : Jika f(n) benar, yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000 dapat digunakan e lembar uang Rp 20.000,- (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa f(n+k) juga benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n+k juga dapat menggunakan pecahan uang Rp 20.000,- dan/atau Rp 50.000,-.Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:a. Kemungkinan pertama, misalkan tidak ada uang pecahan Rp 50.000,- yang dikeluarkan, maka uang yang dikeluarkan senilai Rp n,- menggunakan pecahan Rp 20.000,- semuanya. Karena n Rp 40.000,-, setidaknya harus digunakan dua lembar pecahan Rp 20.000,-. Dengan mengganti dua lembar uang Rp 20.000,- dengan selembar uang Rp 50.000, akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-.b. Kemungkinan kedua, misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Rp n,- dengan sedikitnya satu lembar pecahan Rp 50.000,-. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp 50.000,- dengan tiga lembar uang pecahan Rp 20.000,- akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-Dari penjelasan di atas,, dapat diketahui bahwa nilai k (kelipatan) uang yang dapat diambil dari ATM tersebut, dengan minimal jumlah pengambilan sebesar Rp 40.000,-, ialah sebesar Rp 10.000,-.

Contoh soal dalam kehidupan sehari hari1. Buktikan pernyataan Untuk membayar biaya pos sebesar n sen (n 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen benar.Penyelesaian:(i) Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar.(ii) Langkah induksi. Andaikan p(n) benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n (n 8) sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:(a) Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen. (b) Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.Contoh Penerapan materi induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari yaitu:

1. Masalah: Mengambil nominal uang yang diinginkan melalui ATM.Solusi: Menentukan nominal yang diinginkan sesuai uang yang kita ambil melalui ATMDi mana: Di ATM/bank

2. Masalah: Menyusun keping dominoSolusi: Menggunakan teori induksi matematika dalam menyusun dominoDi mana: Di rumah

3. Masalah: Memasang ubin/keramik didalam ruanganSolusi: Menggunakan teori induksi matematika yaitu menentukan pemasangan ubinDi mana: Di rumah

Contoh dalam efek domino

Pada gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya. Bagian (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah.Contoh Pengubinan dengan Tromino

Diberikan suatu papan catur 2n 2n (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar)Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 21 21 yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2k + 1 2k + 1 yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2k 2k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah papan catur 2k + 1 2k + 1 sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B T, C T, dan D T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2k + 1 2k + 1 tepat sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

REFERENSIdwipurnomoikipbu.files.wordpress.com/2010/12/gabungan-file.doc (Diakses tanggal 13 Desember pada pukul 16.43 WIB)Pembuktian dengan Induksi Matematika, https://aimprof08.wordpress.com/2012/08/15/pembuktian-dengan-induksi-matematika/ (Diakses tanggal 13 Desember pada pukul 16.43 WIB)http://adrahma2.blogspot.com/2013/04/penerapan-induksi-matematik.html (Diakses tanggal 15 Desember pada pukul 20.15 WIB)http://dianparlindungan.blogspot.com/2013/11/normal-0-false-false-false-en-gb-x-none.html (Diakses tanggal 15 Desember pada pukul 20.17 WIB)http://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/ (Diakses tanggal 15 Desember pada pukul 20.30 WIB)