1

Matematika Diskrit

Makalah

“Menentuan Jarak Terpendek, dan

Tapak Euler dalam graf”

Nama : Kelvin Sebastian

NIM : 1313003

Departemen Teknologi

Informasi

INSTITUT TEKNOLOGI HARAPAN

BANGSA

2014

2

ABSTRAK

Makalah ini membahas tentang salah satu aspek penting dalam sejarah

perkembangan ilmu matematika yaitu studi dan aplikasi Konigsberg Bridge Problem

(Teka-Teki Jembatan Konigsberg) yang berawal muncul dari penduduk sebuah kota

bernama yang dahulu bernama Konigsberg di Jerman. Adalah Leonard Euler, seorang

pakar matematika yang mencoba mempelajari teka-teki tersebut dari sudut pandang

matematis dan akhirnya mengemukakan sebuah teorema yang kini banyak digunakan

dalam berbagai permasalahan, yaitu teorema graf.

Graf yang memiliki komponen dasar berupa simpul dan sisi, yang kemudian

dapat membentuk graf terbuka dan graf tertutup dengan sejumlah lintasan dan sirkuit,

telah mengahpus tanda tanya besar dalam penyelesaian Teka-Teki Jembatan

Konigsberg dan berbagai masalah yang serupa dengannya.

Makalah ini membahas tentang persoalan lintasan terpendek suatu graf dengan

algoritma dijkstra. Lintasan terpendek merupakan bagian dari teori graf. Jika diberikan

sebuah graf berbobot, masalah jarak terpendek adalah bagaimana kita mencari sebuah

jalur pada graf yang meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk jalur tersebut.

Persoalan ini adalah persoalan optimasi, dimana kita akan mencari solusi penyelesaian

yang paling efektif dari masalah penentuan lintasan terpendek pada suatu graf.

Saat ini banyak sekali algortima-algoritma yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persoalan penentuan lintasan terpendek (shortest path problem) dari

suatu graf. Solusi yang didapat dari penelusuran algoritma tersebut dapat diberi nama

Pathing Algorithm. Ada dua algortima yang cukup terkenal yang bisa digunakaan

untuk menyelesaikan persoalan lintasan terpendek, yaitu Algoritma Dijkstra dan

Algoritma Bellman-Ford. Tetapi pada kesempatan ini kita hanya akan membahas

tentang algoritma dijkstra.

Algoritma Dijkstra merupakan salah satu algoritma yang digunakan untuk

memecahkan permasalahan lintasan terpendek yang terdapat pada suatu graf .

Algoritma ini digunakan pada graf berbobot dengan syarat bobot dari masing-masing

sisi haruslah bernilai positif (>=0).

3

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa,

karena anugerah-Nya penulis berhasil menyelesaikan makalah ini di dalam mata

pelajaran Matematika Diskrit. Karya tulis ini berjudul “Menentuan Jarak Jerpendek,

Jembatan Konigsberg dan Tapak Euler dalam graf”.

Penulis menyadari bahwa karya tulis ini masih kurang sempurna, baik dari segi

materi maupun sistematika pembahasannya. Hal ini dikarenakan terbatasnya waktu,

pengetahuan, pengalaman dan kemampuan yang penulis miliki.

Selama proses penelitian dan pembuatan makalah ini, penulis telah banyak

menerima bantuan dari berbagai pihak, baik berupa bimbingan, saran maupun

dorongan. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan rasa berterimakasih

secara khusus kepada :

1. I Putu Agus Eka Pratama, S.T, M.T selaku pembimbing dan dosen dalam mata

kuliah Matematika Diskrit.

2. Teman-teman yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini.

Harapan penulis, semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca dalam

pengetahuan graf. Penulis juga meminta maaf apabila ada kesalahan-kesalahan dalam

pembuatan karya tulis ini. Penulis bersedia menerima kritik, dan saran, karena bagi

penulis, kritik dan saran sangat penting dalam perbaikan-perbaikan di masa depan.

Bandung, 23 November 2014

Salam Hangat,

Penulis

4

DAFTAR ISI

Abstraksi ..........……………………………………………………….... 2

Kata Pengantar ...……………………………………………………….. 3

Daftar Isi ……………………………………………………………….. 4

BAB I ………………………………………………………………….. 5

1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang …………………………………………….. 5

1.2 Rumusan Masalah …………………………………………. 6

1.3 Tujuan Penelitian …………………………………………... 6

1.4 Manfaat Penelitian …………………………………..…….. 6

1.5 Sistematika Penulisan ……………………………………... 7

BAB II ………………………………………………………………….. 8

2.1 Graf

2.1.1 Pengertian Graf ……………………….….………………… 8

2.1.2 Sejarah Graf …………………………….....……………….. 8

2.1.3 Definisi Graf …………………………….………………..... 9

2.2 Lintasan dan Sirkuit Euler …….………………………………… 11

2.3 Lintasan Terpendek …..………………………………………….. 12

BAB III ………………………………………………………………… 14

3.1 Jenis Peneletian ………………..………………………………... 14

3.2 Teknik Analisis Data

3.2.1 Sirkuit Euler ………………………………………………. 13

3.2.2 Lintasan Terpendek …………………………………...….. 16

3.2.3 Persoalan Tukang Pos Cina ………………………...…….. 18

3.2.4 Persoalan Perjalanan Pedagang …………………………… 19

BAB IV ……………………………………………………………….... 21

Lintasan Terpendek …..…………………………………………….. 21

BAB V …………………………………………………………………. 23

5. Kesimpulan

5.1 Lintasan Terpendek …………………………………..…… 23

5.1 Sirkuit Euler …………………………………………..…... 24

6 Saran ............................................................................................... 25

Daftar Pustaka …………………………………………………………. 26

5

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang

upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa.

Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada

perkembangan yang berarti dengan teori graf.

Tahun 1847, G.R. Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan teori pohon

(Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun

kemudian, A.Cayley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk

menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon.

Pada masa Kirchoff dan Cayley juga telah lahir dua hal penting dalam graf.

Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna, yang menyatakan bahwa

untuk mewarnai sebuah atlas cukup dengan menggunakan empat warna sedemikian

sehingga tiap negara yang berbatasan akan memiliki warna yang berbeda.

Para ahli teori graf berkeyakinan bahwa orang yang pertama kali

mengemukakan masalah empat-warna adalah A.F.Mobius (1790-1868) dalam salah

satu kuliahnya di tahun 1840. Sepuluh tahun kemudian, A.Demorgan (1806-1871)

kembali membahas masalah ini bersama ahli-ahli matematika lainnya di kota London.

Dengan demikian tulisan Demorgan dianggap sebagai referensi pertama berkenaan

dengan masalah empat-warna. Masalah empat-warna ini menjadi sangat terkenal

setelah Cayle mempublikasikannya tahun 1879 dalam Proceeding of the Royal

Geographic Society volume pertama.

Hal ini yang penting untuk membicarakan sehubungan dengan perkembangan

teori graf adalah apa yang dikemukakan oleh Sir W.R. Hamilton (1805-1865). Pada

tahun 1895 dia berhasil menemukan suatu permainan yang kemudian dijualnya ke

sebuah pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut dari kayu berbentuk

6

dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah polyhedron dengan 12 muka dan 20

pojok. Tiap muka berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk

oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari dodecahedron tersebut dipasangkan dengan

sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris, dll. Masalah dalam permaianan

ini adalah kita diminta untuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron

sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali. Walaupun saat

ini masalah tersebut dapat dikategorikan mudah, akan tetapi pada saat itu tidak ada

seorang pun yang bisa menemukan syarat perlu dan cukup dari eksistensi rute yang

dicari.

Kurang lebih setengah abad setelah Hamilton, aktivitas dalam bidang teori graf

dapat dikatakan relatif kecil. Pada tahun 1920-an kegiatan tersebut muncul kembali

yang dipelopori oleh D.Konig. Konig berupaya mengumpulkan hasil-hasil pemikiran

para ahli matematika tentang teori graf termasuk hasil pemikirannya sendiri, kemudian

dikemasnya dalam bentuk buku yang di terbitkan pada tahun 1936. Buku tersebut

dianggap sebagai buku pertama tentang teori graf.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah :

1. Bagaimana mencari jarak terpendek pada sebuah jalur ?

2. Bagaimana menentukan Tapak Euler pada sebuah graf ?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai :

1. Mengetahui jarak terpendek pada sebuah jalur.

2. Menentukan Tapak Euler pada suatu graf.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah bisa mengetahui jarak

terpendek / menentukan rute terpendek dari suatu tempat ke tempat yang lain,

menghemat biaya (ongkos) perjalanan dan menghemat waktu dalam sebuah

perjalanan dalam kehidupan sehari-hari. Menggunakan Tapak Euler biasanya untuk

7

mengetahui apakah kita bisa berjalan dari satu titik ke titik semula di mana kita mulai,

dan bisa mengetahui / menemukan rute yang melintasi setiap rute satu kali saja sama

dengan menemukan tapak Euler..

1.5 Sistematika Penulisan

Agar penulisan karya tulis ini lebih terarah, mudah mengerti, dan dipahami,

maka digunakan sistematika pembahasan yang terdiri dari empat bab. Masing –

masing bab dibagi ke dalam beberapa subbab dengan rumusan sebagai berikut :

BAB I. PENDAHULUAN

Dalam bab ini dijelaskan latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian,

batasan masalah, manfaat penelitian, hipotesis dan sistematika penulisan.

BAB II . LANDASAN TEORI

Bagian ini terdiri atas konsep- konsep (teori - teori) yang mendukung bagian

pembahasan, konsep – konsep tersebut antara lain : membahas tentang pengertian graf,

jarak terpendek, Tapak Euler, dan Jembatan Konigsberg.

BAB III . METODE PENELITIAN

Pada bagian ini terdiri atas jenis penelitian dan menganalisis data yang

diperoleh dan merupakan sebuah jawaban atas pernyataan masalah.

BAB IV . PEMBAHASAN

Pembahasan berisi tentang bagaimana menentukan jarak terpendek pada

sebuah jalur, menentukan Tapak Euler pada suatu graf, mencari solusi Jembatan

Konigsberg.

BAB V . PENUTUP

Pada bab ini akan dibahas tentang kesimpulan akhir penelitian dan beberapa

saran.

8

BAB II

LANDASAN TEORI

2. GRAF

2.1 Teori Graf

Teori Graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki

banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek

diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah

dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik. Sedangkan

hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

Graf sederhana (simple graf) adalah Graf yang tidak mengandung gelang

maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Graf tak-sederhana (unsimple-

graf/multigraf) adalah Graf yang mengandung ruas ganda atau gelung dinamakan graf

tak-sederhana (unsimple graf atau multigrapf).

2.2 Sejarah Graf

Menurut cacatan sejarah, masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang

pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota Konigsberg (sebelah timur

negara bagian Prussia, Jerman), sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai

Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak

sungai.

Ada tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh

sungai tersebut. Masalah jembatan Konigsberg adalah : apakah mungkin melalui

ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke

tempat semula? Sebagian penduduk kota sepakat bahwa memang tidak mungkin

memalui setiap jembatan itu hanya sekali dan kembali lagi ke tempat asal mula

keberangkatan, tetapi dengan cara coba-coba. Tahun 1736, seorang matematikawan

Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalash itu

dengan pembuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini ke dalam graf.

Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan) dinyatakan sebagai titik (noktah)

yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi

9

(edge). Setiap titik diberi label huruf A,B,C,dan D. Graf yang dibuat oleh Euler

diperlihatkan pada gambar berikut.

Gambar : Jembatan Konigsberg

Jawaban yang di kemukakan Euler adalah : orang tidak mungkin melalui

ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat asal

keberangkatan jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya genap. Yang dimaksud

dengan derajat adalah banyaknya garis yang bersisian dengan noktah. Sebagai contoh,

simpul C memiliki derajat 3 karena ada tiga buah garis yang bersisian dengannya,

simpul B dan D juga berderajat dua, sedangkan simpul A berderajat 5. Karena tidak

semua simpul berderajat genap, maka tidak mungkin di lakukan perjalanan berupa

sirkuit (yang dinamakan dengan sirkuit Euler) pada graf tersebut. Kelak kita akan

membahas lebih mendalam mengenai derajat dan sirkuit pada pemabahasan

selanjutnya.

2.3 Definisi Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), yang dalam hal ini: V

= himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) = {

nvvv ,...,, 21 } dan E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang

simpul. = { neee ,...,, 21 } atau dapat ditulis singkat notasi G = (V, E )Simpul pada graf

dapat dinomori dengan huruf, seperti v, w,…,dengan bilangan asli 1, 2, 3,…, atau

gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul iv dengan simpul

jv dinyatakan dengan pasangan ( ji vv , ) atau dengan lambang ,..., 21 ee . Dengan kata

lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul iv dengan simpul jv , maka e dapat

10

ditulis sebagai : e = ( ji vv , ) secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan

noktah (simpul) di dalam bidang dwimatra yang dihbungkan dengan sekumpulan garis

(sisi). Berikut adalah contoh gambar graf :

Pada Gambar 3, G1 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }

E = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }

G2 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) }

= { e1, e

2, e

3, e

4, e

5, e

6, e

7}

G3 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }

1

2 3

4

1

1

2

2

4

4

3

3

ce

e2 e3

e4

e5

e6

e7

e1

e2 e3

e4

e5

e6

e7

e8

(a) (b)

(c)

Gambar :

Graf sederhana (a), Graf Ganda (b), Graf semu (c)

11

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4),(3,3) }

= { e1, e

2, e

3, e

4, e

5, e

6, e

7, e

8}

2. Lintasan dan Sirkuit Euler

Lintasan yang melalui masing-masing sisi dalam graf tepat satu kali disebut

lintasan Euler. Jika lintasan tersebut adalah lintasan tertutup, maka lintasan tertutup

tersebut disebut sirkuit Euler. Contoh seperti pada gambar berikut:

Lintasan Euler : 3, 1, 2, 3, 4, 1

Tidak ada sirkuit Euler

Untuk membuat graf G yang mempunyai lintasan Euler harus dipenuhi kondisi :

1. Graf terhubung.

2. Graf tidak mempunyai simpul derajat ganjil sama sekali atau mempunyai 2

buah simpul berderajat ganjil.

Untuk membuat graf G yang mempunyai sirkuit Euler harus dipenuhi kondisi :

1. Graf terhubung.

2. Semua simpul berderajat genap.

Graf berarah G mempunyai lintasan Euler jika G terhubung dan setiap simpul

mempunyai derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali 2 simpul. Yang pertama

memiliki derajat keluar satu lebih besar dari derajat masuk dan yang kedua memiliki

derajat masuk satu lebih besar dari derajat keluar. Graf berarah G mempunyai sirkuit

Euler jika hanya jika G terhubung dan setiap simpul mempunyai derajat masuk dan

derajat keluar sama.

1 2

Gambar : Lintasan Euler

3 4

12

3. Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Persoalan mencari lintasan terpendek di dalam graf merupakan persoalan

optimasi yang klasik. Graf yang diacu adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu

graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot pada sisi graf dapat

menyatakan jarak antar kota / tempat, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan

dan sebagainya. Kata “terpendek” pada persoalan lintasan terpendek berarti minimasi

dari bobot pada suatu lintasan di dalam graf.

Contoh terapan pencarian lintasan terpendek. Misalkan simpul pada graf dapat

merupakan kota dan sisi menyatakan jalan yang menghubungkan dua buah kota. Bobot

sisi graf dapat menyatakan jarak antara dua buah kota atau rata-rata waktu tempuh

antara dua buah kota. Apabila terdapat lebih dari satu lintasan dari kota A ke kota B,

maka persoalan lintasan terpendek di sini adalah menentukan jarak terpendek atau

waktu tersingkat dari kota A ke kota B.

Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain :

a. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

b. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

c. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.

d. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul

tertentu.

Gambar 5 menyatakan kondisi tetang 6 buah kota dengan jarak lintasan yang

menghubungi kota – kota tersebut.

Gambar : Lintasan Terpendek

45

50 10

35

30

315

1540

20 10 20

1 2

3 4 6

5

13

1 2 3 4 5 6

1 0 45 10 40 45 ∞

2 ∞ 0 15 ∞ 10 ∞

3 20 ∞ 0 15 ∞ ∞

4 ∞ 20 ∞ 0 35 ∞

5 ∞ ∞ ∞ 30 0 ∞

6 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ 0 Tabel 1 Ilustrasi matriks mengenai lintasan terpendek

Sampai saat ini, sudah banyak algoritma untuk mencari lintasan terpendek

yang pernah ditulis orang. Algoritma lintasan terpendek yang paling terkenal adalah

algoritma Dijkstra (sesuai nama penemunya). Aslinya, algoritma Dijkstra diterapkan

untuk mencari lintasan terpendek pada graf berarah. Misalkan sebuah graf berbobot

dengan n buah simpul dinyatakan dengan matriks ketetanggaan

M = ijm , yang dalam hal ini, ijm = bobot sisi (i, j) (pada graf tak berarah

ijm = jim ).

iim = 0

ijm = , jika tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j

Selain matriks M, kita menggunakan larik S = [ is ] yang dalam hal ini,

is = 1, jika simpul i termasuk ke dalam lintasan terpendek

is = 0, jika simpul i tidak termasuk ke dalam lintasan terpendek

dan larik / tabel D = [ id ] yang dalam hal ini

id = panjang lintasan dari simpul awal s ke simpul j

Algoritma : urutan langkah-langkah logis penyelesaian masalah yang disusun secara

sistematis dan logis.

14

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

3.1.1 Penelitian Kualitatif

Penelitian kualitatif merupakan penelitian yang bersifat ilmiah dan juga sistematis

sebagaimana penelitian kuantitatif sekalipun dalam pemilihan sample tidak seketat dan

serumit penelitian kuantitatif. Dalam memilih sample penelitian kualitatif

menggunakan teknik non probabilitas, yaitu suatu teknik pengambilan sample yang

tidak didasarkan pada rumusan statistik tetapi lebih pada pertimbangan subyektif

peneliti dengan didasarkan pada jangkauan dan kedalaman masalah yang ditelitinya.

Lebih lanjut pada penelitian kualitatif tidak ditujukan untuk menarik kesimpulan suatu

populasi melainkan untuk mempelajari karakteristik yang diteliti, baik itu orang

ataupun kelompok sehingga keberlakukan hasil penelitian tersebut hanya untuk orang

atau kelompok yang sedang diteliti tersebut.

3.2 Teknik Analisis Data

3.2.1 Sirkuit Euler

Pertama, Euler menunjukkan bahwa pilihan rute di dalam setiap daratan tidak

relevan. Satu-satunya fitur penting dari rute adalah urutan jembatan menyeberang. Hal

ini memungkinkan dia untuk merumuskan masalah dalam hal abstrak (meletakkan

dasar-dasar teori graph ), menghilangkan semua fitur kecuali daftar massa tanah dan

jembatan yang menghubungkan mereka. Dalam istilah modern, masing-masing satu

menggantikan massa tanah dengan sebuah "abstrak titik "atau node, dan masing-

masing jembatan dengan koneksi abstrak, sebuah"tepi ", yang hanya berfungsi untuk

merekam yang sepasang simpul (massa tanah) yang dihubungkan dengan jembatan itu.

Struktur matematika yang dihasilkan disebut graph.

Karena hanya informasi koneksi yang relevan, bentuk representasi bergambar

grafik mungkin terdistorsi dengan cara apapun, tanpa mengubah grafik itu sendiri.

15

Hanya keberadaan (atau kekurangan) dari tepi antara setiap pasangan node adalah

signifikan. Sebagai contoh, tidak masalah apakah tepi digambar lurus atau

melengkung, atau apakah satu node adalah ke kiri atau kanan lain.

Selanjutnya, Euler mengamati bahwa (kecuali pada titik akhir dari berjalan),

setiap kali salah satu titik masuk dengan jembatan, satu daun titik dengan jembatan.

Dengan kata lain, selama yang berjalan pada grafik, jumlah kali memasuki simpul non-

terminal sama dengan berapa kali satu daun itu. Sekarang, jika setiap jembatan dilalui

tepat satu kali, itu berarti bahwa, untuk setiap massa tanah (kecuali mungkin untuk

yang dipilih untuk mulai dan selesai), jumlah jembatan menyentuh daratan bahkan

(setengah dari mereka, pada khususnya traversal, akan dilalui "menuju" daratan

tersebut; setengah lainnya, "jauh" dari itu). Namun, keempat massa tanah dalam

masalah asli tersentuh oleh ganjil jembatan (satu disentuh oleh 5 jembatan, dan

masing-masing tiga lainnya disentuh oleh 3). Karena, paling tidak, dua massa tanah

dapat berfungsi sebagai titik akhir dari jalan putatif, proposisi berjalan kaki melintasi

jembatan setiap kali mengarah ke kontradiksi.

Dalam bahasa modern, Euler menunjukkan bahwa kemungkinan berjalan melalui

grafik, melintasi setiap sisi tepat satu kali, tergantung pada derajat dari simpul-simpul.

Derajat dari sebuah node adalah jumlah edge menyentuhnya. argumen Euler

menunjukkan bahwa kondisi yang diperlukan untuk berjalan dari bentuk yang

diinginkan adalah bahwa grafik dihubungkan dan memiliki tepat nol atau dua simpul

berderajat ganjil. Kondisi ini ternyata juga cukup-hasil dinyatakan oleh Euler dan

kemudian dibuktikan oleh Carl Hierholzer. Seperti jalan-jalan sekarang disebut jalur

Euler atau jalan Euler untuk menghormatinya. Selanjutnya, jika ada node derajat

ganjil, maka setiap path Euler akan dimulai pada salah satu dari mereka dan berakhir

pada yang lain. Karena grafik yang sesuai dengan Königsberg historis memiliki empat

node derajat aneh, ia tidak dapat memiliki jalur Euler.

Untuk membuat graf G yang mempunyai lintasan Euler harus dipenuhi kondisi :

1. Graf terhubung.

2. Graf tidak mempunyai simpul derajat ganjil sama sekali atau mempunyai 2

buah simpul berderajat ganjil.

16

Gambar : (Lintasan Euler)

a. Apakah Ada Lintasan Euler ?

b. Apakah ada Sirkuit Euler ?

Jawab :

a. Ada lintasan Euler dengan lintasan : a,b,c,d,e,f,g,b,d,f,a,g.

b. Tidak ada sirkuit Euler.

Untuk membuat graf G yang mempunyai sirkuit Euler harus dipenuhi kondisi :

1. Graf terhubung.

2. Semua simpul berderajat genap.

Gambar : (Sirkuir Euler)

a. Apakah ada Lintasan Euler ?

b. Apakah ada Sirkuit Euler ?

Jawab:

a. Ada lintasan Euler dengan lintasan : a,b,c,d,e,c,h,b,f,h,e,f,g,a.

b. Ada sirkuit Euler karena berawal dari simpul a dan berakhir di simpul a.

3.2.2 Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Persoalan mencari lintasan terpendek di dalam graf merupakan persoalan optimasi

yang klasik. Graf yang diacu adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf yang

setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot pada sisi graf dapat menyatakan

17

jarak antar kota / tempat, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan dan

sebagainya. Kata “terpendek” pada persoalan lintasan terpendek berarti minimasi dari

bobot pada suatu lintasan di dalam graf.

Graf berbobot (weighted graph),

Lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot minimum.

Contoh aplikasi:

1. Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah antara

dua buah kota

2. Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah

terminal pada jaringan komputer.

Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain:

a. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

b. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

c. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.

d. Lintasan terpendek abtara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul

tertentu.

Uraian persoalan

Diberikan graf berbobot G = (V, E) dan sebuah simpul a. Tentukan lintasan terpendek

dari a ke setiap simpul lainnya di G. Asumsi yang kita buat adalah bahwa semua sisi

berbobot positif.

Gambar : Lintasan

45

50 10

35

30

315

1540

20 10 20

1 2

3 4 6

5

18

Simpul

Asal

Simpul

Tujuan Lintasan Terpendek Jarak

1 3 1 → 3 10

1 4 1 → 3 → 4 25

1 2 1 → 3 → 4 → 2 45

1 5 1 → 5 45

1 6 tidak ada -

2 5 2 → 5 10

2 1 2 → 3 → 1 35

2 3 2 → 3 15

2 4 2 → 3 → 4 30

2 6 tidak ada -

3 1 3 → 1 20

3 2 3 → 4 → 2 35

3 4 3 → 4 15

3 5 3 → 4 → 5 50

3 6 tidak ada -

4 1 4 → 2 → 3 → 1 55

4 2 4 → 2 20

4 3 4 → 2 → 3 35

4 5 4 → 5 35

4 6 tidak ada -

5 1 5 → 4 → 2 → 3 →1 85

5 2 5 → 4 → 2 50

5 3 5 → 4 → 2 → 3 65

5 4 5 → 4 30

5 6 tidak ada -

6 1 6 → 4 → 2 → 3 →1 53

6 2 6 → 4 → 2 23

6 3 6 → 4 → 2 → 3 38

6 4 6 → 4 3

6 5 6 → 4 → 2 → 5 33 Tabel 2 Ilustrasi Lintasan Terpendek

3.2.3 Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)

Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962. Masalahnya

adalah sebagai berikut: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat

sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya

supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal

keberangkatan.

19

Gambar : Persoalan Tukang Pos

=> menentukan sirkuit Euler di dalam graf.

Proses yang dilalui oleh tukang pos :

A→ B → C → D → E → F → C → E → B → F → A

Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A.

2 + 8 + 1 + 2 + 5 + 4 + 4 + 8 + 3 + 6 = 43

3.2.4 Persoalan Perjalanan Pedagang (Travelling Salesperson Problem - TSP)

Diberikan sejumlah kota dan jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang

harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota

asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal

keberangkatan.

=> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.

Aplikasi TSP:

1. Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di

berbagai sudut kota.

2. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin

dalam sebuah jalur perakitan.

3. Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.

Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n - 1)!/2.

n = titik dalam sebuah graf

B C

EF

8

5

3A D

8

2

1

6

44

2

20

Gambar : Sirkuit Terpendek / Halminton

Graf di atas memiliki (4 – 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu:

I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) ==> panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45

I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) ==> panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41

I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) ==> panjang = 10 + 5 + 9 + 8 = 32

Jadi, sirkuit Hamilton terpendek adalah I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan

panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.

a b

cd

12

8

15

1095

a b

cd

12

8

15

10

a b

cd

12

15

95

a b

cd

81095

21

BAB IV

PENGOLAHAN DATA

1. Lintasan Terpendek (Shortest Path)

(Algoritma lintasan terpendek dari simpul a ke semua simpul lain )

Langkah 0 (inisialisasi):

- inisialisasi si = 0 dan di = mai untuk i = 1, 2, ..., n

Langkah 1:

- isi sa dengan 1 (karena simpul a adalah simpul asal lintasan terpendek, jadi

sudah pasti terpilih)

- isi da dengan (tidak ada lintasan terpendek dari simpul a ke a)

Langkah 2, 3, 4, 5, 6 n-1:

- cari j sedemikian sehingga sj = 0 dan dj = min{d1, d2, ..., dn}

- isi sj dengan 1

- perbarui di, untuk i = 1, 2, 3, …, n dengan: di (baru) = min{di (lama), dj + mji

}.

Gambar : Lintasan Terpendek

Menentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke semua simpul lain.

45

50 10

35

30

315

1540

20 10 20

1 2

3 4 6

5

22

Tabel 3 Ilustrasi Algoritma Lintasan Terpendek

Jadi, lintasan terpendek dari:

1 ke 3 adalah 1, 3 dengan panjang = 10

1 ke 4 adalah 1, 3, 4 dengan jarak = 25

1 ke 2 adalah 1, 3, 4, 2 dengan jarak = 45

1 ke 5 adalah 1, 5 dengan jarak = 45

1 ke 6 tidak ada

Lelaran Simpul

yang

dipilih

Lintasan S

1

S

2

S

3

S

4

S

5

S

6

Inisial - - 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0 0

2 3 1,3 1 0 1 0 0 0

3 4 1,3,4 1 0 1 1 0 0

4 2 1,3,4,2 1 1 1 1 0 0

5 5 1,5 1 1 1 1 1 0

D

1

D

2

D

3

D

4

D

5

D

6

0 50

(1,2)

10

(1,3)

40

(1,4)

45

(1,5)

(1,6)

50

(1,2)

10

(1,3)

40

(1,4)

45

(1,5)

(1,6)

50

(1,2)

10

(1,3)

25

(1,3,4)

45

(1,5)

(1,6)

45

(1,3,4,2)

10

(1,3)

25

(1,3,4)

45

(1,5)

(1,6)

45

(1,3,4,2)

10

(1,3)

25

(1,3,4)

45

(1,5)

(1,6)

45

(1,3,4,2)

10

(1,3)

25

(1,3,4)

45

(1,5)

(1,6)

23

BAB V

KESIMPULAN

5. Kesimpulan

5.1 Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Pada lintasan terpendek kita bisa mengetahui rute atau jalur yang paling efisien

(terpendek) dari suatu tempat ke tempat lainnya, kita pun bisa mempersingkat waktu

dengan menggunakan jalur yang efisien, dan juga bisa menghemat biaya atau ongkos

transportasi. Biasanya pada lintasan terpendek menggunakan algoritma yang

digunakan untuk memecahkan permasalahan lintasan terpendek yang terdapat pada

suatu graf. Algoritma ini digunakan pada graf berbobot dengan syarat bobot dari

masing-masing sisi haruslah bernilai positif ( >=0 ). Dalam mencari lintasan terpendek,

algoritma yang paling banyak digunakan orang ialah algoritma Dijkstra, karena

kerjanya paling efisien dan tidak membutuhkan waktu yang banyak.

Algoritma Dijkstra :

M = ijm , yang dalam hal ini, ijm = bobot sisi (i, j) (pada graf tak berarah

ijm = jim ).

iim = 0

ijm = , jika tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j

Selain matriks M, kita menggunakan larik S = [ is ] yang dalam hal ini,

is = 1, jika simpul i termasuk ke dalam lintasan terpendek

is = 0, jika simpul i tidak termasuk ke dalam lintasan terpendek

dan larik / tabel D = [ id ] yang dalam hal ini

id = panjang lintasan dari simpul awal s ke simpul j

24

5.2 Sirkuit Euler

Untuk membuat graf G yang mempunyai lintasan Euler harus memenuhi 2

syarat yaitu : Graf terhubung, dan Graf tidak mempunyai simpul derajat ganjil sama

sekali atau mempunyai 2 buah simpul berderajat ganjil.

Sebuah graf disebut terhubung jika graf tersebut hanya terdiri atas satu bagian

(satu komponen) maka graf itu disebut graf terhubung. Sementara untuk membuat graf

G yang mempunyai sirkuit Euler harus memenuhi 2 syarat yaitu : Graf terhubung, dan

semua simpul berderajat genap.

Graf berarah G mempunyai lintasan Euler jika G terhubung dan setiap simpul

mempunyai derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali 2 simpul. Yang pertama

memiliki derajat keluar satu lebih besar dari derajat masuk dan yang kedua memiliki

derajat masuk satu lebih besar dari derajat keluar. Graf berarah G mempunyai sirkuit

Euler jika hanya jika G terhubung dan setiap simpul mempunyai derajat masuk dan

derajat keluar sama.

Gambar : (Lintasan Euler)

Gambar : (Sirkuir Euler)

25

6 SARAN

Dalam penarikan kesimpulan dalam teori graf, banyak hal yang harus di perhatikan

agar penarikan kesimpulan dapat di lakukan dengan benar. Kepada para pembaca yang

kelak ingin membuat makalah atau karya tulis mengenai teori graf,di sarankan agar

lebih mau membaca dan mempelajari tentang teori graf. Penulis sangat menyadari

bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu, penulis sangat

mengharap kritik dan saran yang membangun dari para pembaca, agar penulis dapat

memperbaiki di waktu yang akan datang

26

DAFTAR PUSTAKA

Tirta Seputro, Theresia. 1995. Teori Graf. Jakarta : Erlangga

Di kutip dari :

http://nurhayati15.blogspot.com/2012/01/teka-teki-jembatan-konisberg.html

http://indigomenulis.blogspot.com/2011/11/jembatan-konigsberg.html

http://nic.unud.ac.id/~lie_jasa/Diskrit%20II%20Pertemuan%20XI%20dan%20XII.pd

f

Sutarno, Heri. 2000. Matematika Distrik. Bandung : Universitas Pendidikan Indonesia

Tri Baskoro, Edy. 2007. Matematika Distrik. Bandung : Institut Teknologi Bandung.