Magnetisme & Superconductivitattoni/Magnetisme.pdf · Superconductivity, superfluids and condensates Oxford University Press, Oxford Master Series in Physics, Oxford 2004 Harald Ibach

Magnetisme & Superconductivitat. Curs 2013-2014. Antoni Planes, Departament d’Estructura i Constituents de la Matèria.

Departament d’Estructura i Constituents de la Matèria Universitat de Barcelona

Magnetisme & Superconductivitat

Professors: Antoni Planes & Lluís Mañosa

(http://www.ecm.ub.es/~toni)


Programa1. Introducció al magnetisme

1.1 Magnetostàtica i sistemes d’unitats1.2 Fenomenologia del comportament dels sòlids magnètics

2. Fonaments microscòpics2.1 Magnetisme d’electrons localitzats2.2 Magnetisme d’electrons itinerants

2.3 Bescanvi magnètic

3. Fenòmens cooperatius3.1 Teories efectives: ferromagnetisme i antiferromagnetisme

3.2 Altres tipus d’ordre magnètic: ferrimagnetisme, ...3.3 Vidres de spin

5. Superconductivitat5.1 Introducció històrica i fenomenologia

5.2 Termodinàmica. Models de London i de Ginzgurg-Landau

5.3 Introducció a la teoria BCS

4. Materials magnètics4.1 Anisotropia: magnetocristal·lina, de forma, ...

4.2 Magnetisme extrínsec: dominis4.3 Processos d’imantació i histèresi


Bibliografia

Stephan Blundell Magnetism in Condensed MatterOxford University Press, Oxford Master Series in Physics, Oxford 2001

Robert C. O’HandleyModern Magnetic Materials: Principles and ApplicationsJohn Wiley & Sons, Inc, New York 2000

J. Samuel SmartEffective field theories of magnetismSaunders, Philadelphia, 1966

Soshin ChikazumiPhysics of ferromagnetism (new edition)Oxford University Press, Oxford 1997

K.H.J. Buschow, ed.Handbook of Magnetic Materials19 Volumes, North Holland and Elsevier Science, 1985-2011

Magnetisme


Bibliografia

James F. Annett Superconductivity, superfluids and condensatesOxford University Press, Oxford Master Series in Physics, Oxford 2004

Harald Ibach and Hans LüthSolid State physics (4th Edition)Springer Verlag, Berlin 2009

Superconductivitat


Llista de treballs

1. Estudi del LevitronRef: M. V. Berry, Proc. Roy. Soc. London, Vol. 452, 1207-1220 (1996)T. B. Jones, M. Washizu and R. Gans, J. Appl. Phys., Vol. 82, 883-888 (1997)M. V. Berry and A. K. Geim, Eur. J. Phys., Vol. 18, 307 (1997)

2. Hamiltonià i energia lliure elèctrica i magnèticaRef: O. Narayan, A. P. Young, Am. J. Phys., Vol. 73, 293-298 (2005)

3. Dominis magnètics i parets de dominiRef: C. Kittel, Rev. Mod. Phys., Vol. 21, 541-583 (1949)

4. Diamagnetisme de LandauRef: A. H. Morrish, The physical principles of magnetism, Wiley, 1995

5. Mecànica estadística del MetamagnetismeRef: J. M. Kinkaid and E.G.D. Cohen, Phys. Rep. Vol. 22, 57-145 (1975)

6. Efecte magnetocalòric i refrigeració magnèticaRef: A. M. Tishin, Y. I. Spichkin, The Magnetocaloric Effect and its Applications, Institute of Physics Publishing, Bristol, 2003.

7. Superconductors de tipus II: xarxa de flux d'AbrikosovRef: J. F. Annett, Superconductivity, superfluids and condensates, Oxford U.P.

7. Efecte JosephsonRef: J. F. Annett, Superconductivity, superfluids and condensates, Oxford U.P.

8. Tècniques experimentals. SQUIDRef: J. C. Gallop and B. W. Petry, J. Phys. E: Sci. Inst. Vol. 9, 417-429 (1976)

9. Tècniques experimentals. Neutrons: estructura magnètica i magnonsRef: S. W. Lavesey, Methods of neutron scattering from condensed matter, Clarendon Press, Oxford, 1986


Introducció al Magnetisme(A. Planes)


Origens del magnetisme

• Magnet deriva de Μαγητιζ λιθοζ (Magnétis líthos): Pedra de Magnèsia

• Imant deriva del del francés aimant (que atrau)

Etimologia

Història i primeres aplicacions

Imant de ferradura

Brúixola* Existència de pols magnètica

* Els xinesos feien brúixoles imantant trocets (en forma de peix) de ferro amb pedres de magnetítaque denominaven Shao Shih (pedra de l’amor)


El magnetisme al segle XIX

Charles-Agustin Coulomb

André-Marie Ampère

Michael Faraday

James Clerk Maxwel

Interacciócoulombiana.Formulacióbasada en càrreguesmagnètiques.

El magnetismeestà produït per corrents. Equivalència ambl’electricitat. Formulacióbasada en corrents elèctrics.

Demostracióexperimental equivalènciaelectricitat-magnetísme. Primeresaplicacions: dinamo.

Formulaciógeneral: Equacions de Maxwell.

Desenvolupament de les bases del magnetisme

Hans Christian Oersted

Experiments que demostrenque un correntpot crear un camp magnètic.


El magnetisme al segle XXInicis de la Teoria de Materials Magnètics

Pierre Curie Paul Langévin Pierre Weiss Louis Néel

Introducció delsconceptes de diamagnetisme, paramagnetisme i ferromagnetisme

Magnetismepermanent induït. Teoria estadística del paramagnetísme.

Magnetismepermanent espontani. Teoria estadística del ferromagnetísme.

Predicció del l’antiferromagnetismei del ferrimagnetisme.

Heike Kamerligh Onnes

Descobriment de la superconductivitat.

Walter Meissner

Descobriment del diamagnetisme (perfecte) dels superconductorst.


El magnetisme al segle XXMagnetisme i Mecànica Quàntica

George Uhlenbeck, Samuel Goudsmit,

Paul A. M. Dirac

Werner Karl Heisenberg

Léon Nicolas Brillouin

Descobreixenque l’electró téun moment angular intrinsic: spin. Confirmata nivell teòricper Paul Dirac.

Acoblamentmagnètic (entrespins): té un origenelectrostàtic i naturalesa quàntica(Coulomb+ principid’exclusió de Pauli)

Paramagnetismequàntic: generalització del la teoria de Langevinque té en compte la naturalesa quànticadel moment orbital.


Alguns ordres de magnitud

μ0H (T)10-14 10-11 10-8 10-5 10-2 10 104

Act

ivit

atce

reb

ral

Act

ivit

atca

rdía

ca

Cam

p m

agn

étic

terr

estr

e

Cam

ps

mag

nèt

icin

ten

sos


Importància del magnetisme en tecnologia

• Imants permanents (imants durs)

• Transformadors (imants tous)

• Memòries magnètiques

• Electrotècnia (enginyeria elèctrica altes freqüècies, ferrites)

• Robòtica


Imants permanents

acers

ferrites dures

Nd-Fe-B

Sm-Co

Any


Línies actuals de recerca

• Multicapes: magnetoresistència

• Electrònica de spin (spintrònica)

• Nanomagnetisme

• Magnetísme molecular

• Superconductors alta temperatura (òxids)

• Materials multiferroics: magnetisme-electricitat (òxids)

• Materials magnetocalòrics: refrigeració magnètica

• Aspectes fonamentals del magnetisme


Magnetoestàtica(A. Planes)


• Definició i caracterització de les magnituds fonamentals en magnetísme i superconductivitat:

• Inducció magnètica: B • Moment magnètic: m • Imantació: M • Camp magnètic: H • Susceptibilitat: χ

Problema general: Determinació de la inducció magnètica en presència de corrents i de matèria magnètica amb corrents de la quales coneix la corba d’imantació M(H).

• Problema de l’energia associada a la imantació d’un materials (depèn de la forma del sistema).

Contingut


Magnetostàtica dels corrents i de la matèriaConsiderem un circuit filiforme i rígid C pel qual circula un corrent I. La inducciómagnètica creada pel circuit ve donada per la llei Biot i Savart:

024 C

I dr r

μπ

= ×∫l rB

Força que experimenta un element de circuit dl per on circula un corrent I en

presència d’un camp d’inducció B (Llei de Laplace):

d I d= ×F l B

En el sistema SI la inducció s’express en T (Tesla), 1 T = 1 NA-1m-1.

μ0 és la permeabilitat del buit (= 4π × 10-7 N/A2). Per a una distribució volúmica de corrents de densitat j (A/m2):

024 V

dVr r

μπ

= ×∫j rB

on dV és un element de volum.

L’element corrent jdV és l’objecte elemental de la magnetostàtica de la mateixamanera que la càrrega puntual (dq = ρdV) ho és en electrostàtica.

[1]

[2]

[3]


Magnetostàtica dels corrents i de la matèria

•

Comentari: B no és un vector polar com la força, camp elèctric, .... Obeix a regles de simetria diferents (degut a la presència del temps en la definició). És un vector axial com la velocitat angular. Sota operacions de simetria, transforma com un circuit tancat orientat. És invariant respecte a una operacióde simetria respecte a un centre. Un pla deixa invariant la component normal però inverteix la tangencial.

Vector axialVector polar

• ⊗ .


Fenòmens magnètics estacionarisLa conservació de la càrrega s’expressa a través de l’equació de continuitat:

0tρ∂+∇⋅ =

∂j

En el cas de fenòmens magnètics estacionaris, la densitat de càrrega és constant en cada punt de l’espai (no varia en el temps) que porta a:

0∇⋅ =j

Aquesta és la situació que considerarem a continuació.


Camp magnètic

(Γ )dl

n(C)Considerem una superfície S limitada per una corba tancada Γ i un circuit filiforme i rígid C pel qual circula un corrent I que crea una inducció B.

(i) El circuit no travessa S: 0dΓ

⋅ =∫ B l

(ii) El circuit travessa S un sol cop: 0d IμΓ

⋅ =∫ B lDefinicío del camp magnètic (en el buit):

0μ=H BObtenim: d I

Γ⋅ =∫ H l (Teorema d’Ampère)

Generalització: Camp creat per un distribució contínua de corrents volúmics:

S

d dSΓ

⋅ = ⋅∫ ∫H l j n [4]

Tenint en compte el teorema de Stokes s’obté:

0μ∇× =

∇× =

B jH j

[5]

[6]


Potencial vector

La relació anterior indica que B deriva d’un potencial vector A tal que:

= ∇×B A• A es pot determinar a partir de [2] (equació integral):

0

4 V

dVr

μπ

= ∫jA

[7]

(A es un vector polar com pot j). • a partir de [5] (equació local):

Considerem un volum V limitat per una superfície S, tenint en compte [1] I [2], s’obté:

0 0 S

dS⋅ = ⇒ ∇⋅ =∫B n B [6]

Que indica que el flux que entra a V és igual al que surt (conservació del flux). Fixem-nos que aquesta proprietat s’aplica a dB donat per [1], per tant és vàlida per a circuits no-tancats (contràriament al teorema d’Ampère).

( ) 0μ∇× ∇× =A j

[8]

[9]


Transformacions de gaugeEstrictament, [7] porta a a la següent expressio general del potencial vector:

( )0

4 V

dVr

μψ

π= +∇∫

jA r

onψ és una funció (escalar) arbitrària. L’existècia d’aquest terme implica que A espot transformar lliurement segons:

ψ→ +∇A AAquesta transformació es denomina transformació de “gauge” i suposa que podemescollir lliurement ∇·A. Si, per exemple,escollim ∇·A = 0, utilitzant la relació local:

( ) ( ) 20 0 μ μ∇× ∇× = ⇒ ∇ ∇⋅ −∇ =A j A A j

Això ens porta a que A ha de satisfer l’equació de Poisson:2

0μ∇ = −A jEn forma integral retrobem l’expressió anterior:

0

4 V

dVr

μπ

= ∫jA

amb ψ constant.Aquest gauge es denomina gauge de Coulomb.


Condicions de contorn

• Continuïtat del potencial vector A

• Continuïtat de la component normal a la superfície de B

on B1i B2 són les induccions n els medis 1 i 2, i n12 un vector unitari normal a la superfície (orientat de 1 a 2).

• Discontinuïtat de la component tangencial de B

12 1 12 2⋅ = ⋅n B n B

Considerem una superfície sobre la qual existeixen correntssuperficials de densitat jS. Mitjançant un pas al límit de [8] i del teorema d’Ampère, s’obté:

( )1 2 0 12T T Sμ− = ×B B j non BT1i BT2 són les components tangencials a la superfície de les induccions.

[10]

[11]

n12

Medi 2

Medi 1

B2

B1


Exercicis

• Un current filiforme rectilini i infinit

• Un corrent superficial pla infinit i uniforme

• Un current filiforme circular de radi R

• Un solenoïde infinit

Determineu la inducció creada per:


Inducció i (camp magnètic) a grans distàncies

Considerem una distribució de corrents confinada en un volum finit al voltant de l’origen de coordenades. Lluny de l’origen es pot demostrar (a partir de [8]) que:

034 r

μπ

×=

m rA [12]

on m és el moment magnètic que s’expressa en funció de la densitat de corrent com:

( )12 V

dV= ×∫m r j r [13]

(analogia formal amb el moment angular definit en mecànica).

Tenint en compte [12], es pot calcular la inducció lluny de l’origen. El resultat és:

( )05 33

4 r rμπ⎡ ⎤⋅

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

m r r mB [14]


Força i moment

La força F i el moment N experimentats per un moment magnètic m sotmès a l’acció duna inducció B s’expressen com:

( )= ⋅∇

= ×

F m BN m B

Aquestes expressions indiquen que apareix una força quan la inducció és no homogènia (varia amb la posició) i que el moment tendeix a orientar el moment magnètic paral·lel a la inducció.

[15]

[16]


Relació amb el moment angular

Suposem que la distribució de corrent prové d’un cert nombre de partículescarregades qi de massa Mi que tenen velocitats vi (cada partícula defineix un correntlocalitzat). La densitat de corrent es podrà expressar com:

( )i i ii

q δ= −∑j v r r

El moment magnètic vindrà donat per (eq.[13]) : 12 i i i

i

q= ×∑m r v

Recordant que el moment angular de la partícula i és: :

( )i i i iM= ×L r vResulta:

2i

ii i

qM

=∑m L [19]

[17]

[18]


Magnetisme en la matèria: imantació

La matèria imantada presenta les mateixes característiques que el moment magnètic associat a un bucle de corrent: crea una inducció i en presència d’unainducció experimenta una força i un moment.

Si el moment magnètic associat a un element de volum dV és dm, definim la imantació com: d

dV=

mM

Si la matèria està formada per àtoms i amb moment mi, la imantació s’expressa:

i ii

N=∑M m

on Ni és el nombre d’àtoms i per unitat de volum.

[21]

[22]


Problema general en presència de matèria

Fora de la matèria: la inducció està creada pels corrents macroscòpics i pels petitsbucles de corrent que constitueixen la matèria. Aquesta contribució microscòpica espot tractar en l’aproximació dipolar.

A l’interior de la matèria: cada microcorrent crea una inducció b que fluctua d’un punt a un altre. Es defineix la inducció a l’interior com una mitjana a l’espai de les induccions locals.

La determinació de la inducció en tot punt de l’espai es redueix al problema del buit considerant dos tipus de corrents:

• Els corrents reals o corrents lliures de densitat j0

• Els corrents associata a la matèria imantada de densitat volúmica jm i superficial jmsdonat per les equacions:

m

ms

= ∇×

= ×

j Mj M n

on n és un vector unitari normal a la superfície orientat cap a l’exterior.

[23]

[24]


Consideracions

• Si la imantació és uniform jm = 0. La inducció creada per un cilindre imantatuniformement al llarg del seu eix és la mateixa que crearia un solenoide de densitatde corrent (corrent per unitat de longitud) j = M.

• La inducció es pot escriure:

• Camp magnètic en la matèria imantada.

Tenint en compte:

0 m= +B B B

( ) ( )0 0 0 0 0mμ μ μ∇× = = + = +∇×B j j j j Mpodem escriure:

( )0 0μ⎡ ⎤∇× − = ∇× =⎣ ⎦B M H j

Relacié entre els camps:

( )0μ= +B H M

[25]

[26]

En el buit recuperem l’expressió:

0μ=B H

Fins I tot en presència de matèria, H verifica el teorema d’Ampère.


ConsideracionsSi tenim en compte que el camp és la suma de les contribucions associades alscorrents lliures i a la matèria imantada:

0 m= +H H Hi recordant:

0 0∇× =H j

resulta: 0m∇× =HHm deriva d’un potencial:

m mV= −∇HTenint en compte que la divergència de B, B0, Bm i H0 és nul·la:

m∇⋅ = −∇ ⋅H MPer analogia amb l’electrostàtica densitats (fictícies) volímiques i superficials de càrrega o massa magnètica:

m

m

ρσ

= −∇ ⋅

= ⋅

MM n

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]


Camp desmagnetitzantQuan l’única font de camp magnètic és una distribució d’imantació, el camp en presència de matèria es denomina camp desmagnetitzant. En cada punt, la projecció d’aquest camp Hd (= Hm) en la direcció de la imantació s’hi oposa.

Exemples:

• Cilindre molt llarg amb imantació paral·lela al seu eix, Hd = 0.

• Disc o làmina prima amb imantació perpendicular a les cares, Hd = -M

• En el centre d’un cilindre finit imantat en el sentit de l’eix: Hd = -(1-cosθ)M

• Per a un material de forma el·lipsoidal:

d N=H M

on és el tensor de coeficients del camp desmagnetitzant (tensor de traçaunitaria)

N

θM


Comportament magnètic: susceptibilitatEl comportament magnètic d’un material està determinat per les corbes: M = M(H) o B = B(H) . En general, es mesuren les projeccions en la direcció del camp: M =M(H) o B = B(H).

Algunes substàncies presenten una resposta lineal, si a més són homogènis i isòtrops (materials LHI), aleshores es pot definir una susceptibilitat escalar χ com:

χ=M HQuan el comportament és no-lineal es defineix una susceptibilitat diferencial:

( )0 0,H M

dMdH

χ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

La susceptibilitat inicial és la mesurada al voltant de l’origen.

Definició de la permeabilitat μ (considerem una substància LHI):

( )0 0 1 r rμ μ μ μ μ χ= = + ⇒ = +B H = H H MEn substàcies anisotòpiques (lineal i homogènies) la susceptibilitat té caràctertensorial:

χ=M H


Susceptibilitat externaCorreccions associades al camp desmagnètitzant.

Considerem el cas d’una substàcia LHI i suposem que H és el camp intern, H0 el camp extern i N el factor desmagnetitzant en la direcció d’interès. En aquest cas:

( ) ( )0M H M H NM= −i la susceptibilitat està definida com:

MH

χ =

amb: 0 dH H H= +Resulta:

01M H

Nχχ

=+

Es defineix la susceptibilitat externa com:

1ext Nχχχ

=+


Energia magnètica• Energia d’un moment magnètic rígid en presècia d’una inducció.:

W = − ⋅m B• Energia d’imantació: energia del camp desmagnetitzant o magnetostàtica.

012d d

V

W dVμ= − ⋅∫H M

• Energia d’imantació intrinseca.

20 0

0 0

12i i i iW V d H V dμ μ= ⋅ = + ⋅∫ ∫

B M

H B H M

• Energia Zeeman: energia per unitat de volum per portar un sistema imantat a l’interior d’un camp mantenint l’imantació constant.

0 0ZW μ= − ⋅M H


Dominis magnètic


TermodinàmicaIdentitat termodinàmica per a un sistema magnètic:

0dU T dS V H dMμ= +on hem suposat que el camp I la imantació són paral·lels.

Potencials termodinàmics:

0 0

0

0 0

E U VHM dE T dS VM dHF U TS dF S dT VH dMG U TS VHM dG S dT VM dH

μ μμ

μ μ

= − = −

= − = − +

= − − = − −Relacions de Maxwell:

S M

H T


Materials magnèticsDiamagnetisme: Contribució associada a qualsevol tipus d’àtoms (magnètics i no-magnètics). La imantació induïda per un camp és molt feble i s’oposa al camp. La susceptibilitat és negativa i independent de la temperatura (~ 10-5). Elssuperconductors presenten diamagnetisme molt intens.

Paramagnetisme: Prové d’àtoms magnètics amb moment magnètic permanent. Aquest moments es comporten com a moments lliures que tendeixen a orientar-se sota l’aplicació d’un camp. La imantació induïda disminueix amb la temperatura. La susceptibilitat a l’origen divergeix en elímit de temperatura zero.


Materials magnèticsFerromagnetisme: El moments magnètics elementals interactuen (bescanvimagnètic) I tendeixen a ordenar-se paral·lelament entre sí per sota de la temperatura de Curie. La formació de dominis és degut a la necessitat de minimitzarl’energia associada al camp desimanantador. En la fase ferromagnètica la respostamagnètica presenta efefctes d’histèresi.

Antiferromagnetisme: En el cas de l’antiferromagnetisme els moments magnèticselementals d’ordenen antiparal·lelament a la temperatura de Néel. La imantació ésnul·la en la fase antiferromagnètica (en absència de camp).


Classes de magnetisme

C. M. Hurd, Contemp. Phys. 23, 459 (1982)


Unitats del magnetisme

Sistema SI:

Equacions bàsiques del magnetisme:

( )0μ= +B H M

Sistema cgs-emu : 4π= +B H M

Permeabilitat magnètica: és un tensor que es defineix a partir de l’equació:

μ≡B H

Sistema SI:

Sistema cgs-emu :

( )0 0 1rμ μ μ μ χ= = +

1 4μ πχ= +

Taula de conversió


Unitats del magnetisme

Documents

Magnetisme & Superconductivitattoni/Magnetisme.pdf · Superconductivity, superfluids and condensates Oxford University Press, Oxford Master Series in Physics, Oxford 2004 Harald Ibach