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outubro de 2013
Magda Sofia Lourenço Fernandes
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Universidade do MinhoInstituto de Educação
Ensinar Números Racionais no 1.º CEB- Uma experiência com alunos do 4.º ano em período de transição de documentos curriculares
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Dissertação de MestradoMestrado em Estudos da CriançaÁrea de Especialização em Ensino e Aprendizagem da Matemática
Trabalho realizado sob a orientação da
Professora Doutora Ema Mamede
Universidade do MinhoInstituto de Educação
outubro de 2013
Magda Sofia Lourenço Fernandes
Ensinar Números Racionais no 1.º CEB- Uma experiência com alunos do 4.º ano em período de transição de documentos curriculares
DECLARAÇÃO
Nome
Magda Sofia Lourenço Fernandes
Endereço electrónico: [email protected]
Título dissertação
Ensinar Números Racionais no 1.º CEB – Uma experiência com alunos do 4.º ano em período de transição de
documentos curriculares
Orientador: Ema Mamede
Ano de conclusão: 2013
Designação do Mestrado:
Mestrado em Estudos da Criança,
Área de Especialização em Ensino e Aprendizagem da Matemática
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO PARCIAL DESTA DISSERTAÇÃO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, , MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE;
Universidade do Minho, ___/___/______ Assinatura: ________________________________________________
iii
Agradecimentos
À minha orientadora, Professora Doutora Ema Mamede, pelo acompanhamento incansável, pelo
constante incentivo, pela confiança e disponibilidade sempre presentes, que tornaram possível a
realização deste trabalho e um crescimento profissional e pessoal.
À instituição de ensino onde foram recolhidos os dados deste estudo. À Drª Helena e à Drª
Cristina, por todos os momentos de acompanhamento, reflexão e permanente partilha de
experiências.
Aos alunos que participaram neste estudo pela sua disponibilidade, atenção e constante
motivação, sem os quais não teria sido possível realizar esta tão importante trajetória de
aprendizagem.
Aos colegas, pelo estímulo e motivação. Aos colegas, pela paciência e compreensão das muitas
ausências.
E por fim, aos meus pais e ao Gabriel, por acreditarem.
iv
v
Resumo
Este estudo procura perceber como as crianças no final do 1.º Ciclo constroem o conceito de
número racional quando este é trabalhado nos significados quociente, parte-todo, operador e
medida, após terem sido previamente expostas a um contacto com o Programa de matemática
tradicional. Para tal, procurar-se-á entender: como os alunos compreendem a representação, a
ordenação e a equivalência de fração em cada um dos significados; e como estes articulam os
diferentes modos de representação de um número racional nestes significados.
A metodologia adotada é de natureza qualitativa, de tipo de estudo de caso, tendo sido
realizados seis estudos de caso. Para foco dos estudos de caso foram selecionados alunos com
9 e 10 anos. O investigador deste estudo é igualmente o professor da turma. A recolha de dados
recorreu a técnicas como observação com registos vídeo e áudio, registos escritos dos alunos e
notas de campo. Os alunos em estudo realizaram uma trajetória de aprendizagem de 12
sessões, onde tiveram contacto com tarefas envolvendo números racionais com diferentes
significados e diferentes representações.
Os dados do estudo permitem caracterizar o desenvolvimento da compreensão do número
racional realizado pelos alunos com esta trajetória, concluindo que estes desenvolveram a noção
de número racional sendo capazes de trabalhar com as suas diferentes representações:
fracionária, decimal e percentual, e sendo capazes de resolver tarefas nos diferentes significados
de número racional. Os alunos, ao longo desta sequência, melhoraram as noções de ordenação
e equivalência de números racionais. Os dados apontam também que a sequência escolhida
para introdução de diferentes significados foi facilitadora da compreensão do conceito de
número racional, levando a concluir que a transição do Programa tradicional (ver DEB, 1991)
para as orientações do Programa de matemática (DGIDC, 2007) foi conseguida globalmente, de
uma forma tranquila.
Palavras-chave: Número racional, Comparação Ordenação e Equivalência de racionais,
Diferentes Significados, Representações
vi
vii
Abstract
This study aims to understand how children at the end of the 4th grade build the concept of
rational number when it is worked with the meaning of quotient, part-whole, operator and
measurement, after they have been exposed to the traditional math syllabus. For this purpose,
we will try to perceive: how students understand representation, ordering and equivalence of
fractions in each of its meanings; and how they articulate the different modes of representation of
a rational number in these meanings.
The methodology adopted is of qualitative, case study nature, having six case studies been
conducted. Children between the ages of 9 and 10 were selected as the focus group of the case
studies. The researcher of this study is equally the teacher of this class. The collection of data
used techniques such as observation with video and audio recording, written records of the
students and field notes. The students in the study made a learning trajectory of 12 sessions, in
which they had contact with tasks involving rational numbers with different meanings and
different representations.
The data of the study allow for a characterization of the development of understanding of the
rational number by the students on this trajectory, concluding that the students developed a
notion of rational number being able to work with its different representations: fractional, decimal
and its percentage, and being able to solve tasks in the different meanings of the rational
number. The students, during this sequence, improved the notions of ordering and equivalence
of rational numbers.
The data also indicate that the sequence chosen to introduce the different meanings facilitated
the understanding of the concept of the rational number, leading to conclude that the transition
from the traditional Syllabus (see DEB, 1991) to the guidelines of the math Syllabus (DGIDC,
2007) was achieved overall in a quiet and effective manner.
Key-words: Rational Number, Comparison Ordering and Equivalence of Rationals, Different
meanings, Representations
viii
ix
Índice
Capítulo 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1
1.1. A Literacia Matemática ...................................................................................................... 2
1.2. O Sentido do Número ....................................................................................................... 4
1.3. Orientações curriculares.................................................................................................... 6
1.4. Justificação/relevância do tema ......................................................................................... 9
1.5. Problema em estudo e questões de investigação ............................................................... 12
1.6. Organização da dissertação ............................................................................................. 12
Capítulo 2 - REVISÃO DE LITERATURA .............................................................................................. 14
2.1. Compreender conceito de número racional ....................................................................... 14
2.2. A ordenação e equivalência ............................................................................................. 15
2.3. A representação ............................................................................................................. 17
2.4. Os diferentes significados de número racional ................................................................... 20
2.5. O ensino e aprendizagem de números racionais ............................................................... 23
2.6. Estudos de investigação já realizados ............................................................................... 25
Capítulo 3 - METODOLOGIA ............................................................................................................. 31
3.1. Opções metodológicas ..................................................................................................... 31
3.2. Design do Estudo ............................................................................................................ 32
3.3. Os participantes .............................................................................................................. 33
3.4. As tarefas ....................................................................................................................... 34
3.5. Procedimentos ................................................................................................................ 36
3.6. A Recolha de dados ......................................................................................................... 37
Capítulo 4 - RESULTADOS SOBRE A TRAJETÓRIA ............................................................................. 39
4.1. Sobre o desempenho geral dos alunos .................................................................................. 39
4.2. O desempenho dos alunos em tarefas específicas .................................................................. 41
4.2.1. Sessões .......................................................................................................................... 42
4.2.1.1. Sessão 1 - significado quociente .............................................................................. 42
4.3.1.2. Sessão 2- significado quociente ............................................................................... 51
4.3.1.3. Sessões 3 e 4 - significado parte-todo ...................................................................... 56
x
4.3.1.5.Sessões 6 e 7 - significado operador......................................................................... 76
4.3.1.6. Sessão 8 - significados quociente e operador .......................................................... 87
4.3.1.7. Sessão 9 - significados parte-todo e operador .......................................................... 97
4.3.1.8. Sessão 10 significado medida ............................................................................... 106
4.3.1.9. sessão 11 significados quociente .......................................................................... 109
4.3.1.10. sessão 12 significados parte-todo e medida ......................................................... 113
4.2.2. Algumas reflexões .......................................................................................................... 117
Capítulo 5 - DISCUSSÃO DE RESULTADOS ..................................................................................... 123
Capítulo 6 - CONCLUSÕES ............................................................................................................ 125
6.1. Conclusões do estudo ........................................................................................................ 125
6.1.1. Como compreendem os alunos a ordenação, a equivalência e a representação ........... 125
6.1.2. Diferentes significados do número racional ............................................................... 128
6.2. Limitações da Investigação ................................................................................................. 129
6.3. Recomendações para futuras Investigações ......................................................................... 130
Capítulo 7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 131
Anexos ........................................................................................................................................ 137
Anexo 1 - Informação à Direção da Escola .................................................................................. 139
Anexo 2 - Informação aos Encarregados de Educação ................................................................. 140
Anexo 3 - Tarefas realizadas nas sessão 1 e 2 nos dias 27 e 29 de fevereiro ................................. 141
Anexo 4 - Tarefas realizadas nas sessões 3 e 4 nos dias 2 e 5 de março ...................................... 142
Anexo 5 - Tarefas realizadas na sessão 5 no dia 7 de março ........................................................ 146
Anexo 6 - Tarefas realizadas nas sessões 6 e 7 nos dias 9 e 12 de março .................................... 148
Anexo 7 - Tarefas realizadas na sessão 8 no dia .......................................................................... 149
Anexo 8 - Tarefas realizadas na sessão 9 no dia 16 de março ...................................................... 150
Anexo 9 - Tarefas realizadas na sessão 10, dia 19 de março ........................................................ 152
Anexo 10 - Tarefas realizadas na sessão 10 no dia 19 de março .................................................. 153
Anexo 11 - Tarefas realizadas na sessão 11 no dia 21 de março .................................................. 154
Anexo 12 - Trabalho realizado na sessão 12 no dia 23 de março .................................................. 155
xi
Índice de Figuras
Figura 1.1. Interligações entre as componentes fundamentais do sentido do número (McIntosh et al.,
1992) .............................................................................................................................................. 5
Figura 2.1. Modelo de conversões de Lesh (1979) ............................................................................ 20
Figura 3.1. Esquema elucidativo da estrutura adotada na trajetória .................................................... 32
Figura 3.2. Esquema elucidativo da trajetória de aprendizagem e número de sessões nos diferentes
significados de número racional, de acordo com o Programa de matemática do Ensino Básico (DGIDC,
2007) ............................................................................................................................................ 35
Figura 4.1. Tarefa 1 no significado quociente .................................................................................... 42
Figura 4.2. Tarefa 2 no significado quociente .................................................................................... 43
Figura 4.3. Resolução da tarefa 1 pelo grupo A ................................................................................. 43
Figura 4.4. Resolução da tarefa 2 pelo grupo A ................................................................................. 44
Figura 4.5. Resolução da tarefa 1 pelo grupo B ................................................................................. 45
Figura 4.6. Resolução da tarefa 2 por um aluno do grupo B ............................................................... 46
Figura 4.7. Resolução da tarefa 2 por um aluno do grupo B ............................................................... 46
Figura 4.8. Resolução da tarefa 2 por um aluno do grupo B ............................................................... 47
Figura 4.9. Resolução da tarefa 1 pelo grupo C ................................................................................. 48
Figura 4.10. Resolução da tarefa 2 a) pelo grupo C ........................................................................... 49
Figura 4.11. Resolução da tarefa 2 b) pelo grupo C ........................................................................... 49
Figura 4.12. Tarefa 3 no significado quociente .................................................................................. 51
Figura 4.13. Resolução da tarefa 3 pelo grupo A ............................................................................... 52
Figura 4.14. Resolução da tarefa 3 pelo grupo B ............................................................................... 53
Figura 4.15. Resolução da tarefa 3 pelo grupo C ............................................................................... 55
Figura 4.16. Tarefa 4, problema 1, no significado parte-todo .............................................................. 56
Figura 4.17. Tarefa 4, problema 2, no significado parte-todo .............................................................. 57
Figura 4.18. Resolução da tarefa 4, problema 1, pelo grupo A ........................................................... 58
Figura 4.19. Resolução da tarefa 4 pelo grupo A, problema 2 parte1 .................................................. 60
xii
Figura 4.20. Resolução da tarefa 4 pelo grupo A, problema 2 parte 2 ................................................. 60
Figura 4.21. Resolução da tarefa 4, problema 1, pelo grupo B ........................................................... 61
Figura 4.22. Resolução da tarefa 4, problema 2, parte 1 pelo grupo B ................................................ 62
Figura 4.23. Resolução da tarefa 4 pelo grupo C ............................................................................... 64
Figura 4.24. Resolução da tarefa 4, parte 1, pelo grupo C ................................................................. 65
Figura 4.25. Resolução da tarefa 4, parte 2, pelo grupo C ................................................................. 66
Figura 4.26. Tarefa 5 no significado quociente .................................................................................. 67
Figura 4.27. Resolução da tarefa 5 pelo grupo A ............................................................................... 68
Figura 4.28. Resolução da tarefa 5 por uma aluna do grupo B ........................................................... 70
Figura 4.29. Resolução da tarefa 5 por uma aluna do grupo B ........................................................... 70
Figura 4.30. Resolução da tarefa 7 pelo grupo C ............................................................................... 71
Figura 4.31. Resolução da tarefa 7 pelo grupo B ............................................................................... 73
Figura 4.32. Resolução da tarefa 7 pelo grupo C ........................................................................ 74
Figura 4.33. Resolução da tarefa 7 pelo grupo C ............................................................................... 75
Figura 4.34. Tarefa 8 no significado operador ................................................................................... 76
Figura 4.35. Resolução da tarefa 8 pelo grupo A ............................................................................... 76
Figura 4.36. Resolução da tarefa 8 por um aluno do grupo B ............................................................. 77
Figura 4.37. Resolução da tarefa 8 por um aluno do grupo B ............................................................. 77
Figura 4.38. Resolução da tarefa 8 pelo grupo A ............................................................................... 78
Figura 4.39. Resolução da tarefa 8 pelo grupo C ............................................................................... 79
Figura 4.40. Resolução da tarefa 8 pelo grupo A ............................................................................... 80
Figura 4.41. Resolução da tarefa 8 pelo grupo B ............................................................................... 80
Figura 4.42. Resolução da tarefa 8 pelo grupo C ............................................................................... 81
Figura 4.43. Tarefa 10 no significado operador ................................................................................. 82
Figura 4.44. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A ............................................................................. 82
Figura 4.45. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A ............................................................................. 83
Figura 4.46. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B ............................................................................. 83
xiii
Figura 4.47. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B ............................................................................. 84
Figura 4.48. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B ............................................................................. 84
Figura 4.49. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C ............................................................................. 85
Figura 4.50. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C ............................................................................. 85
Figura 4.51. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C ............................................................................. 86
Figura 4.52. Tarefa 9 no significado quociente .................................................................................. 87
Figura 4.53. Resolução da tarefa 9 pelo grupo A ............................................................................... 88
Figura 4.54. Resolução da tarefa 9 pelo grupo B ............................................................................... 90
Figura 4.55. Resolução da tarefa 9 pelo grupo C ............................................................................... 91
Figura 4.56. Tarefa 10 no significado operador ................................................................................. 92
Figura 4.57. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A ............................................................................. 92
Figura 4.58. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B ............................................................................. 93
Figura 4.59. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C ............................................................................. 93
Figura 4.60. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A ............................................................................. 94
Figura 4.61. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B ............................................................................. 94
Figura 4.62. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C ............................................................................. 95
Figura 4.63. Tarefa 11 no significado parte-todo ............................................................................... 97
Figura 4.64. Resolução da tarefa 11 pelo grupo A ............................................................................. 98
Figura 4.65. Resolução da tarefa 11 pelo grupo B ............................................................................. 99
Figura 4.66. Resolução da tarefa 11 pelo grupo C ........................................................................... 100
Figura 4.67. Resolução da tarefa 11 pelo grupo A ........................................................................... 101
Figura 4.68. Tarefa 11 no significado operador ............................................................................... 102
Figura 4.69. Resolução da tarefa 12 pelo grupo A ........................................................................... 102
Figura 4.70. Resolução da tarefa 12 pelo grupo B ........................................................................... 103
Figura 4.71. Resolução da tarefa 12 pelo grupo C ........................................................................... 103
Figura 4.72. Tarefa 12, pergunta 2 ................................................................................................ 103
Figura 4.73. Resolução da tarefa 12 pelo grupo B ........................................................................... 104
xiv
Figura 4.74. Resolução da tarefa 12 pelo grupo C ........................................................................... 104
Figura 4.75. Tarefa 12, alínea 3 .................................................................................................... 105
Figura 4.76. Resolução da tarefa 12 pelo grupo A ........................................................................... 105
Figura 4.77. Resolução da tarefa 12 pelo grupo C ........................................................................... 105
Figura 4.78. Tarefa 13 no significado medida ................................................................................. 106
Figura 4.79. Resolução da tarefa 13, alínea 1, pelo grupo A ............................................................ 107
Figura 4.80. Resolução da tarefa 13, alínea 2, pelo grupo A ............................................................ 107
Figura 4.81. Tarefa 14 no significado medida ................................................................................. 107
Figura 4.82. Resolução da tarefa 14 pelo grupo B ........................................................................... 108
Figura 4.83. Resolução da tarefa 15 pelo grupo A ........................................................................... 110
Figura 4.84. Resolução da tarefa 15 pelo grupo B ........................................................................... 111
Figura 4.85. Resolução da tarefa 15 pelo grupo C........................................................................... 112
Figura 4.86. Resolução da tarefa 16 pelo grupo A ........................................................................... 113
Figura 4.87. Resolução da tarefa 16 pelo grupo C ........................................................................... 114
Figura 4.88. Tarefa 16 no significado medida ................................................................................. 115
Figura 4.89. Resolução da tarefa 16 pelo grupo A ........................................................................... 115
Figura 4.90. Resolução da tarefa 16 pelo grupo C ........................................................................... 116
Índice de Tabelas
Tabela 3.1. Tabela síntese das tarefas trabalhadas ao longo das sessões desenvolvidas na trajetória de
aprendizagem ................................................................................................................................ 37
Tabela 3.2. Tabela síntese de recolha de dados empíricos ................................................................. 38
Tabela 4.1. Distribuição da proporção do desempenho dos alunos de acordo com o tipo de grupo e o
número de alíneas correspondentes a cada tipo de significado de fração ............................................ 40
xv
Índice de Transcrições
Transcrição 4.1. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 2 ......... 44
Transcrição 4.2. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 2 ......... 47
Transcrição 4.3. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 2 ......... 49
Transcrição 4.4. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 3 ......... 51
Transcrição 4.5. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 3 ......... 53
Transcrição 4.6. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 3 ......... 54
Transcrição 4.7. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 4,
problema 1 .................................................................................................................................... 59
Transcrição 4.8. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 4,
problema 1 .................................................................................................................................... 62
Transcrição 4.9. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 4,
problema 2 .................................................................................................................................... 63
Transcrição 4.10. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 44.3.1.4.
Sessão 5 - significados quociente e parte-todo .................................................................................. 66
Transcrição 4.11. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 6 ....... 68
Transcrição 4.12. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 6 ....... 69
Transcrição 4.13. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 6 ....... 69
Transcrição 4.14. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 6 ....... 72
Transcrição 4.15. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 7 ....... 74
Transcrição 4.16. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 7 ....... 74
Transcrição 4.17. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 8 ....... 77
Transcrição 4.18. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 8 ....... 78
Transcrição 4.19. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 8 ....... 79
Transcrição 4.20. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 8 ....... 81
Transcrição 4.21. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 10 ..... 86
Transcrição 4.22. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 9 ....... 88
xvi
Transcrição 4.23. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 9 ....... 89
Transcrição 4.24. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 9 ....... 91
Transcrição 4.25. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 10 ..... 93
Transcrição 4.26. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 10 ..... 94
Transcrição 4.27. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 10 ..... 95
Transcrição 4.28. Extracto de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 10 .... 96
Transcrição 4.29. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 11 ... 100
Transcrição 4.30. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 15 ... 109
Transcrição 4.31. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 15 ... 111
Transcrição 4.32. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 15 ... 112
1
Capítulo 1 - INTRODUÇÃO
O trabalho investigativo descrito ao longo desta dissertação tem por base o estudo realizado
sobre a aprendizagem do conceito de número racional numa fase de implementação de um
novo Programa de matemática (DGIDC, 2007).
Este primeiro capítulo remete para um enquadramento do tema a ser tratado focando a
importância da literacia matemática e a emergência do desenvolvimento do sentido do número
nos dias de hoje. Apresenta uma visão global dos documentos curriculares nacionais e
estrangeiros e sua organização e justifica a relevância do tema, apontando qual o problema em
estudo e quais as questões de investigação, por último é apresentada a sua organização.
A palavra fração deriva do latim fractio, ônis. De acordo com Vale e Pimentel (2004), os números
fracionários começaram a ser utilizados pelos egípcios e babilónios na resolução de problemas
de medida. Enquanto os egípcios só trabalhavam com fração de numerador 1 e com fração
, os
babilónios que utilizavam o sistema de numeração sexagesimal, trabalhavam com fração cujos
denominadores eram potências de 60. Durante toda a Idade Média, as fração eram utilizadas
correntemente. No entanto, a forma de as escrever foi evoluindo ao longo dos tempos. Só no
século XVII é que as fração se começaram a escrever da forma que hoje conhecemos. A fração é
apenas uma das representações utilizadas para escrever números fracionários outra
representação é a dízima (Vale & Pimentel, 2004). Os números racionais englobam os números
inteiros e os números fracionários. Kieren (1976), ao logo dos seus estudos, definiu número
racional como o quociente
, entre dois números inteiros x e y, com y ≠ 0 e é esta a definição
usada ao longo deste trabalho.
Kieren (1976) considerou que o conhecimento de fração representa um alargamento significativo
e complexo sobre os números. Desenvolver o sentido do número implica ter consciência da sua
complexidade e, segundo Mamede (2008) em particular no número fracionário, implica ter
consciência das várias interpretações onde se encontram fração e das suas diversas
representações.
2
A compreensão do conceito de número racional é um dos assuntos onde são manifestadas
muitas dificuldades ao longo da sua aprendizagem. No que concerne essas dificuldades há
consenso na literatura (Behr, Harel, Post & Lesh,1992), contudo de que forma se pode agir para
facilitar o processo de ensino-aprendizagem deste conceito ainda pouco se sabe. Sabe-se que os
diferentes significados do número racional devem ser trabalhados em sala de aula com os
alunos, contudo, pouco ainda se sabe sobre a ordem pela qual será mais benéfico trabalhá-los,
se é que existe uma.
1.1. A Literacia Matemática
A noção de Literacia Matemática tem sofrido alterações ao longo dos tempos, em função da
forma como os diferentes autores têm vindo a estabelecer a relação entre a matemática e o
contexto sociocultural onde se inserem. No mundo contemporâneo em mudança e na pressão
competitiva que o caracteriza, a Escola defronta o desafio de preparar a inserção dos alunos no
mundo de trabalho como trabalhadores matematicamente alfabetizados, tornando-os em
cidadãos responsáveis e críticos, avaliando a informação política, social e económica que os
rodeia (NCTM, 1991). Atualmente, é fundamental ser capaz de resolver problemas, analisar e
interpretar dados e tomar decisões e não apenas ser capaz de ler, escrever ou fazer contas
(Rosen, Weil & Zastrow, 2003).
Segundo Eva Jablonka (2002), a literacia matemática depende da forma como se analisa a
relação entre a matemática e o contexto sociocultural de quem a define, podendo ter múltiplas
conceções, apresentando cinco perspetivas diferentes sobre este tema. A primeira perspetiva é a
adotada pela Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico (OCDE), em 1999,
com o Programme for International Student Assessment, PISA, que define a literacia matemática
como a capacidade de identificar, de compreender e se envolver em matemática e de realizar
julgamentos bem fundamentados acerca do papel que a matemática desempenha na vida.
Tenta-se, nesta perspetiva, dar uma visão intercultural, permitindo avaliar os desempenhos de
estudantes de vários países, apesar de culturas e contextos diferentes. A segunda perspetiva
foca o sentido da etnomatemática e da identidade cultural, cidadãos que frequentaram a escola
utilizam no seu dia-a-dia diferentes técnicas matemáticas das aprendidas, mostrando que é
3
importante ter em conta o ambiente cultural e ligar as aprendizagens escolares com o quotidiano
dos alunos. Uma terceira perspetiva baseia-se na mudança social de Henry Giroux, aqui, a
Educação Matemática tem em vista desenvolver cidadãos críticos e a literacia matemática é
“uma competência para reinterpretar partes da realidade e participar num processo de
prosseguir uma realidade diferente” (Jablonka, 2002, p. 85). A matemática sensibiliza os alunos
para questões sociais e inclui a capacidade para compreender e avaliar criticamente dados
estatísticos e argumentos apresentados por outros, isto é, para compreender a matemática do
conhecimento político (Frankenstein, 2000). Quando há uma relação entre a literacia
matemática e a literacia científica, surge a quarta perspetiva, onde se espera que o aluno se
torne cidadão capaz de resolver problemas pessoais, locais e globais do ambiente. Jablonka
atribui a esta perspetiva de literacia um papel na modificação da visão da própria matemática no
sentido de uma maior abertura e criatividade e menos ligada a valores de racionalidade e
objetividade. Por fim, uma quinta perspetiva de literacia matemática, assumida por Jablonka,
defende uma literacia matemática para o desenvolvimento de uma cidadania crítica na
sociedade tecnológica, onde é necessário: a) interpretar informação apresentada de modo mais
ou menos científico; b) ter consciência das aplicações da matemática que afetam a sociedade e
c) desenvolver a consciência dos limites da fiabilidade dos modelos matemáticos (Jablonka,
2002).
Gal (2002) associa à literacia matemática a capacidade de interpretação e avaliação da
informação matemática com que todos nós nos confrontamos diariamente e apresenta literacia
matemática como tendo duas vertentes, literacia cultural e funcional. A primeira entende-se
como a matemática comum, utilizada nos meios de comunicação e a segunda a capacidade de
se usar estes termos nas conversas, nas leituras e nos documentos escritos. Segundo De Lange
(2003) para além de ser capaz de raciocinar, argumentar, comunicar, formular e resolver
problemas, um cidadão literado matematicamente tem de ter intuição, capacidade de raciocínio
e comunicação em situações do dia-a-dia, pelo que a definição de literacia matemática não pode
apenas focar a capacidade de aplicar aspetos quantitativos, tendo um sentido mais abrangente,
englobando noções de espaço e forma, mudança e relações e incerteza.
Serrazina e Oliveira (2005) consideram que a literacia matemática é mais abrangente do que
noções de literacia quantitativa ou numeracia, conceito muito utilizado em Inglaterra, onde desde
4
1997 existe o projeto National Numeracy Strategy, onde se dá especial relevo aos números e
operações e à confiança na aplicação e no uso da matemática em contexto real.
1.2. O Sentido do Número
Ao longo das últimas décadas, as definições do sentido do número que foram sendo
apresentadas procuram centrar a sua atenção no espírito intuitivo que evidencia, no carácter
gradual do seu desenvolvimento e nos processos pelos quais se tem vindo a evidenciar. O
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) considerou existirem cinco componentes
para a definição do sentido do número: desenvolvimento dos conceitos elementares de número,
incluindo conceitos de cardinal e de ordinal; exploração das relações entre os números, sendo
que a composição e decomposição de conjuntos de objetos permite escrever um número de
diferentes formas; compreensão do valor relativo dos números; desenvolvimento de referenciais
de medição de objetos e situações do meio envolvente e desenvolvimento da intuição do efeito
relativo das operações nos números, permitindo um pensamento crítico e uma maior
consciência sobre se o resultado obtido é, ou não, razoável (NCTM,1989).
Reys (1998), apesar de considerar existir um carácter volátil e personalizado e de ter realçado a
expectativa utilitária dos números que cada um de nós individualmente possuímos, considera
importante para que seja definido o sentido do número, a própria compreensão que todos temos
dos próprios números e operações, assim como a forma como os comunicamos, processamos e
interpretamos, como até a capacidade que temos no desenvolvimento de estratégias que os
envolvam para a resolução com sucesso dos nossos problemas, o que associando à definição do
conceito de números e de operações existente, conclui como determinante para a definição do
sentido do número, a forma de pensamento como individualmente cada um de nós for capaz de
estabelecer por si só.
McIntosh, Reys e Reys (1992) apresentam “três componentes em que o sentido do número
desempenha um papel chave, nomeadamente conceitos numéricos, operações com números e
aplicações das operações com números” (McIntosh et al., 1992, p.5). Além de focarem estas
componentes, os autores apresentam um modelo (ver Fig.1) onde as relacionam com o sentido
do número.
5
Este modelo (ver Fig.1.1.) consiste em diferenciar as três áreas de especial importância quando
se reflete sobre o desenvolvimento do sentido do número: o conhecimento e destreza dos
números (1), o conhecimento e destreza das operações (2) e a aplicação do conhecimento e da
destreza com os números e as operações em contextos de cálculo (3) e representam as
interligações entre as três componentes. Estas interligações mostram o possível processo
monitorizado com ligações entre sentido de número e a metacognição.
Vários aspetos indicados por McIntosh et al., (1992) são encontrados noutros documentos. O
NCTM (1991) indica que uma criança possui o sentido do número quando: compreende os
significados do número; desenvolve múltiplas relações entre os números; reconhece a grandeza
relativa dos números; conhece o efeito relativo de operar com os números e desenvolve padrões
de medida de objetos comuns e de situações no seu meio ambiente. Greenes Schulman e
Spungin (1993) defenderam existir uma estreita compreensão da relação entre os números, as
suas utilizações e o contexto do problema, pelo que o sentido do número corresponderia à
capacidade da obtenção de decisões baseadas na compreensão das relações matemáticas e do
contexto ou aplicação dessas mesmas relações.
Sabendo que o cálculo por estimativa é considerado satisfatório para a resolução de problemas e
conhecendo a importância que assume a conjugação do valor absoluto e valor posicional dos
números para a definição dos conceitos de número e das operações, Sowder e Shappelle
(1994), defendem que a coordenação das aptidões desenvolvidas para o processamento de
arrendamentos e o cálculo mental contribuem também para o conceito da definição do sentido
Figura 1.1. Interligações entre as componentes fundamentais do sentido do número (McIntosh
et al., 1992)
6
do número. No âmbito do processo de resolução de problemas defendem também que não
assumem importância a forma da resolução que lhes é associada, pelo que enfatizam o ensino
do cálculo mental como forma do desenvolvimento individual do sentido do número (Sowder &
Shappelle, 1994).
Recentemente, Serrazina (2007) refere que existem vários elementos a ter em consideração
quando é referida a noção de sentido do número, entre eles encontra-se a necessidade de
entender os diferentes significados do número, conhecer as múltiplas relações entre os números
e compreender a grandeza relativa dos mesmos, conhecer o efeito relativo das operações e as
propriedades de cada uma e conseguir recorrer a números de referência.
Hélia Pinto (2011) refere que, para desenvolver especificamente o sentido do número racional, é
de extrema importância trabalhar gradualmente os diferentes significados que estes podem
assumir. Num estudo que realizou, sugere que existem grandes dificuldades na transição do
conjunto dos números inteiros para o conjunto dos números racionais e das representações na
forma decimal para as representações em forma de fração. Integrada no Projeto Desenvolvendo
o Sentido do Número: perspetivas e exigências curriculares (2003-2007), estudou o sentido do
número nos alunos dos 5 aos 12 anos. No que concerne o sentido do número racional, Monteiro
e Pinto (2006) e Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005) indicam que os alunos apropriam-se
progressivamente dos símbolos convencionais e que no 2.º CEB resolvem compreensivamente
problemas de partilha equitativa recorrendo primeiro a esquemas e desenhos, e recorrendo
gradualmente à representação simbólica do número racional, mais especificamente da fração.
As autoras indicam também que os alunos ao longo dos anos foram trabalhando informalmente
com os números racionais nas diferentes representações, decimais, fração e percentagens. As
investigadoras salientam também a importância da unidade na compreensão dos números
racionais, relembrando que o número racional tem sempre subjacente uma unidade.
1.3. Orientações curriculares
National Research Council (1989) refere-se ao sentido do número como um objetivo essencial da
formação inicial matemática e o National Council of Teachers of Mathematics, NCTM (1989),
assinala-o como uma noção fundamental do currículo. Posteriormente, o NCTM (2000)
7
referencia esta noção juntamente com a compreensão dos números e das operações e da
fluência do cálculo. Intensifica-se a ideia de sentido do número argumentando que os currículos,
desde a educação de infância até ao final ao ensino secundário, devem potenciar nos alunos
uma expressiva compreensão dos números.
É de notar que a nível de orientações curriculares, enquanto para o NCTM, o sentido do número
é um conceito explícito a ter em consideração e a desenvolver ao longo de toda a escolaridade
há muitos anos, em Portugal, o sentido do número surge recentemente nos documentos oficiais
que orientam a aplicação dos programas do ensino básico. Em Portugal, Abrantes, Serrazina e
Oliveira (1999) refere que o sentido do número é um conceito nuclear do ensino dos números e
do cálculo desde os primeiros anos. De acordo com estes autores, há competências
matemáticas no domínio dos números e das operações que devem ser desenvolvidas pelos
alunos do ensino básico e que estão ligadas ao sentido do número.
No Programa anterior em vigor do 1º Ciclo do Ensino Básico (ver DEB, 1991), apesar de não
surgir o conceito de sentido do número, encontravam-se, no Bloco 1 – números e operações,
algumas orientações que remetiam para o desenvolvimento do mesmo.
Abrantes et al., (1999) escrevem o documento “A Matemática na Educação Básica” e usam a
expressão sentido do número, utilizando a ideia de McIntosh et al., (1992). As ideias destes
autores estão contidas no documento Currículo nacional do ensino básico: Competências
Essenciais (2001), onde se salienta que “ser matematicamente competente envolve hoje, de
forma integrada, um conjunto de atitudes, de capacidades e de conhecimentos relativos à
matemática” (ME, 2000, p. 57) que necessitam de ser desenvolvidos ao longo de toda a
Educação Básica e que inclui, entre outras:
“ […] A predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a
aptidão para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros
cometidos e ensaiar estratégias alternativas;
• A aptidão para decidir sobre a razoabilidade de um resultado e de usar, consoante
os casos, o cálculo mental, os algoritmos de papel e lápis ou os instrumentos
tecnológicos. (p. 57) [… ] ”
Num momento de mudança, de acordo com o Programa de matemática (DGIDC, 2007) é visível
o cuidado em explorar o sentido do número transversalmente, englobando este conceito de
8
forma explícita nos três ciclos do Ensino Básico. Para o 1.º Ciclo em vigor, o estudo das fração
deve ter início no primeiro Ciclo, de uma forma concreta e transversal a todos os significados de
“fração”. As alterações que o Programa de matemática (DGIDC, 2007) para o 1.º Ciclo introduz
relativamente às fração são essencialmente: antecipação para o 1.º e 2.ºanos de escolaridade;
ênfase nas conexões entre as diferentes representações: fração, numeral decimal e
percentagem; diferentes significados das frações - parte-todo, quociente, medida, razão e
operador.
Assim, analisando com detalhe a abordagem da noção de número racional referida naquele
documento, tem-se que desde o 1.º Ciclo do Ensino Básico, deve-se explorar o número racional
através de materiais concretos e modelos pictóricos, recorrendo à representação fracionária,
decimal e percentual, a partilha equitativa e a divisão no mesmo número de partes de um dado
todo, contínuo ou discreto. O Programa salienta também que ao longo dos anos de escolaridade,
especificamente nos 3.º e 4.º anos, os alunos deverão trabalhar outros significados de número
racional, começando de uma forma mais significativa, a partir da partilha equitativa por trabalhar
tarefas com significados quociente, parte-todo e operador. É nesta fase que se introduzem os
número racionais na forma de numeral decimal e posteriormente percentual e que posicionam
números racionais na reta numérica. No 2.º Ciclo do Ensino Básico aborda-se o número racional
nos cinco significados, tendo sido trabalhado de uma forma informal a noção de razão e a
utilização da proporção. Nesta altura os alunos operam com os números racionais aprendendo
os processos para operar com as frações, conhecendo as fração equivalentes, irredutíveis e
impróprias, sobre a forma de numeral misto.
É importante referir que ao longo do processo de escolarização e ao longo de todas as reformas
educativas este tema sempre foi desvalorizado, muito devido à sua complexidade (por parte dos
alunos e essencialmente por parte dos professores). De uma forma pobre e redutora o trabalho
dos números racionais ao longo dos primeiros anos de escolaridade recai apenas no significado
parte-todo, por vezes tocando nas situações operador (Mamede, 2008).
É notório, ao longo da elaboração de diferentes documentos orientadores do ensino da
matemática, a identificação das dificuldades dos alunos e a inserção de novos olhares e práticas
para combater o insucesso em relação aos números racionais. Observa-se uma preocupação na
organização da abordagem à noção do número racional de forma a que os alunos tenham
contacto com os diferentes significados e representações que estes números podem ter,
9
trabalhando-os numa situação de matemática realista, recorrendo aos seus conhecimentos
prévios e ao contexto onde estão inseridos. Nunca esquecendo que o currículo deve ser
elaborado tendo em conta o desenvolvimento global do aluno, pensando em todos os seus
processos e não apenas num desenvolvimento específico (Behr et al., 1992; Moss & Case,
1999). É de consenso geral na literatura que o conceito de número racional bem desenvolvido
pressupõe domínio dos diferentes significados e representações nele envolvidos (Behr et al.,
1992, Nunes et al., (2003), Mamede (2008).
1.4. Justificação/relevância do tema
O Programa do Ensino Básico (1991) está dividido em três blocos considerados como uma
unidade, onde os itens de cada bloco devem ser abordados de forma integrada ao longo do ano.
No 1.º Ciclo do Ensino Básico, no Bloco 1 – números e operações, são abordados os números
naturais e inteiros não negativos assim como as suas operações, também aqui se foca os
números racionais não negativos com significado operador, assumindo a forma de numeral
decimal. No 2.º Ciclo do Ensino Básico, no Bloco – números e cálculo é de novo abordado o
tema dos números racionais, onde os alunos aprendem a operar com fração e a ordená-las e
compará-las, só no fim deste Ciclo, no 6.º ano, é que são abordados os números racionais sob a
forma de percentagem. Este Programa realça que nesta altura do percurso escolar do aluno,
este deve ser confrontado com a resolução de problemas simples, recorrendo às representações
simbólica, verbal e esquemática/gráfica.
Analisando o Programa de matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007) para o 1.º Ciclo, no
domínio dos números e operações, subdomínio números racionais não negativos refere para os
1.º e 2.º anos: identificar a metade, a terça parte, a quarta parte, a décima parte e outras partes
da unidade e representá-las na forma de fração; compreender e usar os operadores: dobro,
triplo, quádruplo e quíntuplo e relacioná-los, respetivamente, com a metade, a terça parte, a
quarta parte e a quinta parte; explorar intuitivamente situações de partilha equitativa e de divisão
da unidade em partes iguais, envolvendo quantidades discretas e contínuas. Para os 3.º e 4.º
anos, aponta a compreensão de fração com os significados quociente, parte-todo e operador;
reconstrução da unidade a partir das suas partes; resolução de problemas envolvendo números
na sua representação decimal; ler e escrever números na representação decimal (até à
10
milésima) e relacionar diferentes representações dos números racionais não negativos;
comparar e ordenar números representados na forma decimal e usar a representação
percentual (25%, 50% e 75%); localizar e posicionar números racionais não negativos na reta
numérica; estimar e calcular mentalmente com números racionais não negativos representados
na forma decimal; adicionar, subtrair, multiplicar e dividir com números racionais não negativos
na representação decimal.
Fazendo uma comparação entre os programas pode-se verificar que a própria organização dos
documentos sofreu alterações. Se no Programa de 1991 há um documento individual para cada
ciclo de ensino, no Programa de 2007 encontra-se uma visão global, sendo ele próprio um só
documento englobando os três ciclos, dando aos professores uma ideia geral de como estão
organizados os conteúdos ao longo dos ciclos e permitindo uma maior articulação entre os
mesmos. Ambos os documentos estão organizados por blocos temáticos, mas enquanto que no
Programa de 1991 estes blocos funcionam por ano de escolaridade, no Programa de 2007
estão organizados por ciclo, à exceção do 1º Ciclo que está subdividido em dois (1.º e 2.º anos;
3.º e 4.º anos), desta forma promove-se a autonomia dos professores e da escola.
Analisando os dois documentos são notórias as alterações em relação aos conteúdos abordados.
No Programa de 1991 há uma maior valorização do domínio das operações, por sua vez, no
Programa de 2007 há uma grande preocupação para com o desenvolvimento do sentido do
número, valorizando assim o número no seu todo e as estratégias que os alunos utilizavam na
resolução de problemas em contexto, vindo posteriormente a sistematização e a introdução das
operações e dos algoritmos mais convencionais. Enquanto que no Programa de 1991, no 1.º
Ciclo do Ensino Básico, havia um enfoque muito grande apenas nos números decimais, no
Programa de 2007 fala-se de números racionais nas representações decimal, fracionária e
percentual, se no primeiro Programa toda a abordagem partia dos números decimais e só muito
no fim é que se abordava a representação fracionária, agora com o Programa de 2007, surge
também a representação fracionária logo nos dois primeiros anos de escolaridade. Neste último
Programa atende-se aos diferentes significados que a fração pode ter (quociente, parte-todo,
operador, medida e razão), estando presente no documento a indicação de que se deverão
explorar todos os significados no 1.º Ciclo, deixando apenas a razão para o 2.º Ciclo. Operar
com os números racionais sobre a forma de fração é conteúdo de 2.º Ciclo nos dois programas.
11
Assim, atualmente estão-se a sentir grandes mudanças, havendo documentos basilares que com
novas organizações ajudam os professores e regulam o ensino. É de realçar as alterações feitas
no Programa de 2007, nomeadamente, numa forma global, o enfoque no sentido do número e
numa forma particular, o sentido do número racional, onde estes números são abordados desde
os primeiros anos do 1.º Ciclo do Ensino Básico e onde se disponibiliza em situações
problemáticas as suas diversas representações e significados.
Em Portugal há poucos estudos sobre o impacto das diferentes interpretações de fração na
compreensão global do conceito de fração. A literatura (Kieren, 1993) mostra que os alunos têm
dificuldades em compreender este conceito e revela que existe pouca pesquisa sobre os efeitos
que os diversos significados poderão ter na compreensão do conceito de fração. Contudo, pouco
se sabe sobre os modos como a implementação deste Programa pode concretizar-se e sobre as
questões de articulação inevitavelmente existentes junto de práticas de sala de aula em que se
desenvolvem o Programa de matemática tradicional e agora passaram a implementar o
Programa de matemática, homologado em 2007.
Vários autores afirmam que o conceito de número racional é um dos conceitos mais complexos
que as crianças aprendem ao longo dos primeiros anos de escolaridade (Behr, Wachsmuth, Post
& Lesh, 1984; Kerslake, 1986; Kieren, 1993). De forma a compreender e adquirir este conceito
de modo mais completo, é importante desenvolver a compreensão dos aspetos lógicos da
fração, como a equivalência e a ordenação (Mamede & Nunes, 2008), bem como dos aspetos
de representação. Os estudos apontam no sentido da diversificação de contextos, de modo a que
as fração sejam entendidas nos seus diferentes significados. Na opinião de investigadores e
especialistas (ver Behr et al., 1984; Kerslake, 1986; Kieren, 1993), é na síntese dos diferentes
significados que os alunos podem construir o conceito de número racional.
Tendo os professores novas orientações curriculares que destacam e valorizam a construção do
sentido do número, neste caso específico, do sentido do número racional, importa perceber
como pode ser implementado tal Programa no 1.º Ciclo do Ensino Básico. Sendo que este ciclo
abrange quatro anos de escolaridade, como pode ser abordado o Programa de matemática
(DGIDC, 2007) quando os alunos se encontram em processo de transição de um programa
antigo para outro novo? Importa então conhecer formas de ajustar práticas de ensino ao novo
12
Programa ainda que os alunos tenham vindo a experienciar um ensino conduzido à luz do
Programa tradicional.
1.5. Problema em estudo e questões de investigação
Este estudo procura implementar um projeto de intervenção que visa identificar as facilidades e
as dificuldades dos alunos na aprendizagem do conceito de número racional, em período de
transição de implementação de novos documentos curriculares. Procura-se aqui perceber como
as crianças no final do primeiro Ciclo constroem o conceito de número racional quando este é
trabalhado nos significados quociente, parte-todo, operador e medida, após terem sido
previamente expostos a um contacto com o Programa de matemática tradicional. Para tal
procurar-se-ão respostas às seguintes questões de investigação:
o Como compreendem os alunos a representação, a ordenação e a equivalência de fração
em cada um dos significados?
o Como articulam os alunos os diferentes modos de representação de um número
racional nestes significados?
1.6. Organização da dissertação
Esta dissertação está organizada em 6 capítulos distintos com o propósito de elucidar com
clareza o leitor sobre o estudo de investigação conduzido. Assim, o Capítulo I – Introdução -
pretende dar um enquadramento geral sobre as noções de literacia matemática, de sentido do
número e revisitar as orientações curriculares referentes à compreensão e ao desenvolvimento
do número racional. Neste capítulo também se justifica a relevância do tema em estudo,
revelando-se a problemática e respetivas questões de investigação.
O capítulo II – Revisão de literatura - procura compreender o conceito de número racional,
abordando a ordenação e equivalência e a representação. Foca as diferentes abordagens sobre
os diferentes significados de número racional e enumera estudos realizados à luz deste tema.
13
Em relação ao capítulo III – Metodologia - são apresentadas e justificadas as opções
metodológicas adotadas, assim como o design do estudo. Apresentam-se os participantes, os
procedimentos tomados e explica-se como se procedeu à recolha de dados.
De seguida, no capítulo IV – Resultados sobre a trajetória - procede-se à apresentação da análise
dos resultados do trabalho empírico traçando uma caracterização geral das tarefas apresentadas
e analisando tanto o desempenho geral como em tarefas específicas por parte dos alunos.
No capítulo V – Discussão dos resultados - discutem-se os resultados obtidos ao longo das
sessões efetuadas na trajetória de ensino, apresentando-se em seguida, no capítulo VI -
Conclusões, as respetivas conclusões, que procuram dar resposta às questões desta
investigação, respondendo, tanto quanto possível ao problema em estudo.
14
Capítulo 2 - REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo apresenta-se o estado da arte onde se aborda as investigações já feitas sobre a
compreensão do número racional. Destacam-se os seus diferentes significados e representações
e os invariantes operacionais (ordenação e equivalência). Referencia-se também o ensino e
aprendizagem dos números racionais e alguns estudos de investigação já realizados. Pela sua
pertinência, salientam-se os diversos trabalhos de Vergnaud, de Kieren, de Behr, Lesh, Post e
Silver e de Hart.
2.1. Compreender conceito de número racional
O número racional consiste num dos conceitos mais complexos que as crianças têm de
aprender nos primeiros anos de escolaridade (Behr et al., 1984; Kerslake, 1986; Kieren, 1993)
e entender este conceito é facilitador para a compreensão do sentido do número. O número
racional engloba uma vertente tão ampla que, segundo Behr, Lesh & Post (1982), numa forma
generalizada promove o entendimento e resolução de problemas do dia-a-dia, ajuda a estruturar
mentalmente o seu intelecto e particularmente na matemática cria condições para os alunos
estarem mais aptos e disponíveis para a aquisição de conhecimentos mais difíceis noutra fase
de ensino. Interessa então perceber o que está envolvido na construção do número racional.
Vergnaud (1996) dá especial relevo ao estudo do funcionamento cognitivo de quem aprende em
ação. Surge assim a teoria dos campos conceptuais que pressupõe que conhecer é resultado da
interação entre situações, problemas e ações do aluno nessas situações, é através das suas
resoluções que um conceito adquire significado para o aluno. Assim, sendo conceito C a
construir, este resulta da articulação de três conjuntos, C = (S, I, R), com:
S: conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
I: conjunto de invariantes operacionais associados ao conceito;
R: conjunto de representações simbólicas, linguísticas e não linguísticas que permitem
representar o conceito, as suas propriedades, procedimentos e os seus invariantes.
15
Segundo Vergnaud (1996), são as situações que dão sentido aos conceitos, dando-lhes
aplicações. Aplicando esta teoria de Vergnaud à construção do conceito de fração, importa
perceber como compreendem as crianças o número racional nos diferentes significados, como
entendem os invariantes operacionais e como dominam os diferentes modos de representação
de número racional.
Entender a noção de racional exige, à luz da teoria de Vergnaud (1996), que se percebam os
invariantes operacionais dos números racionais, a ordenação e equivalência, e que se tenha a
capacidade de trabalhar com diferentes modos de representação em diferentes interpretações
deste conceito (Behr et al., 1984; Nunes et al., 2004; Mamede, 2008; Mamede & Nunes,
2008), mas também que se dominem os diferentes significados de número racional, isto é, as
diferentes situações ou interpretações que dão sentido ao conceito.
2.2. A ordenação e equivalência
Piaget (1952) definiu, para os números naturais, dois critérios essenciais para a compreensão
do número: equivalência e a ordenação. Seguindo a mesma ótica, adotou-se como
fundamentais, os mesmos critérios para os números racionais. É importante referir que se para
os números naturais é facilitador a tomada de consciência da ordenação através da contagem
de uma forma sequencial (conceito ordinal), onde o número anterior é sempre menor, nos
números racionais o mesmo não se aplica. Quando a criança aborda o número racional na sua
forma fracionária, as suas noções de ordenação podem levá-lo a assumir que
é maior do que
(porque 5 é maior do que 4) sendo importante trabalhar diferentes estratégias que desenvolvam
um pensamento multiplicativo além do aditivo já trabalhado nos números naturais (Post, Behr, &
Lesh, 1986). Na sequência deste aspeto, também se deve referir que os próprios termos
linguísticos utilizados na ordenação são, muitas vezes, obstáculos para os alunos serem bem-
sucedidos, confundindo “mais” divisões com “maior” parte criada, por exemplo,
tem três
divisões e é menor do que
que tem apenas duas divisões.
De acordo com Post e colegas (1986), no decorrer da apropriação dos conceitos subjacentes ao
número racional, os alunos tendem a desenvolver para o número fracionário, de uma forma
intuitiva, três estratégias diferentes para conseguir resolver problemas de ordenação e
16
comparação: pensamento diferencial, pensamento residual e recurso a pontos de referência. No
que concerne ao pensamento diferencial, algumas ideias erradas podem ser formadas, por
exemplo, quando os alunos comparam
com
chegam à conclusão que a
falta
para a
unidade e a
falta
para a unidade, deduzindo desta forma que as fração são equivalentes uma
vez que em ambas apenas falta uma parte para obter o todo, descartando erradamente que
essas partes não são equivalentes. O pensamento residual vem na mesma linha de pensamento
que o anterior, porém aqui os alunos comparam a fração que falta para obter o todo, seguindo o
exemplo anterior, os alunos apercebem-se que
não é o mesmo que
, sendo o primeiro menor
do que o segundo, ou seja, concluindo que a
falta uma quantidade menor para chegar à
unidade, logo
será maior do que
. Por último tem-se o pensamento por pontos de referência,
onde os alunos utilizam uma terceira fração, normalmente
,como termo de comparação entre
duas, a título de exemplo, para comparar
e
, os alunos apercebem-se que
é maior do que
enquanto que
é menor, acabando por concluir que
é maior do que
(Post et al., 1986).
Para que os alunos sejam capazes de ordenar números racionais fracionários é importante que
consigam interpretar corretamente determinadas características da fração. Por exemplo, o aluno
deve ser capaz de reconhecer que quando os denominadores são iguais, a ordenação da fração
reduz-se à ordenação dos numeradores; deve perceber que o tamanho da fração depende do
quociente da mesma, dividindo os dois números naturais (numerador pelo denominador); e
compreender a relação inversa entre o denominador e o numerador, reconhecendo que quanto
maior for o denominador em relação ao numerador menor a fração (Post, Wachsmuth, Lesh &
Behr, 1985; Nunes et al., 2004). Uma dificuldade que facilmente pode surgir reside na
representação na forma de numeral decimal das frações a comparar (Bezuc & Cramer, 1989).
No entanto, no que toca a esta estratégia é essencial compreender que os alunos devem
dominar a comparação de números com diferentes casas decimais visto que é comum os alunos
interpretarem com dificuldade a grandeza do número, por exemplo, afirmam que 0,5 é menor
do que 0,25 pois, recorrendo ao conhecimento prévio dos números naturais, 5 é menor do que
25 (Post, Cramer, Behr, Lesh,& Harel, 1993).
17
A compreensão dos números racionais sob a forma de fração pressupõe compreender que
existem classes de fração equivalentes (por exemplo,
,
,
, …) e, como já se referiu, estas
classes podem ser ordenadas (por exemplo
>
>
, …) (Nunes et al., 2004).
Para um domínio do conceito de fração equivalente é necessário que os alunos se apropriem da
noção de que para a mesma quantidade existem diferentes formas de a representar (Kamii &
Clark, 1995). Mamede (2008) aponta como obstáculos na compreensão de classe de fração
equivalentes as suas diferentes representações, uma vez que a mesma quantidade pode ser
representada por diferentes símbolos escritos (
,
,
, …), pode ser designada por diferentes
palavras (um meio, dois quartos, cinco décimas) e pode ser representada pictoricamente de
diferentes maneiras. De forma a ultrapassar estas dificuldades Kamii e Clark (1995) apontam
como essencial que os alunos tenham contacto com as fração a partir de situações
problemáticas do seu quotidiano, deixando-os construir as suas próprias estratégias, sendo eles
a recorrer à representação gráfica do problema e não, a partir de representações dadas, uma
vez que desta maneira criarão maiores competências na resolução destes problemas. Para estes
autores, além de se recorrer a material concreto e manipulável é essencial que, desde cedo, se
trabalhe com frações impróprias e se desenvolva o pensamento multiplicativo.
Numa fase posterior e de maior maturação da noção de número racional, segundo Orton et al.,
(1995), uma vez trabalhadas as fração equivalentes os alunos poderão recorrer a elas de uma
forma facilitadora para comparar e ordenar fração. Tendo duas frações com diferente
denominador, encontram-se duas frações equivalentes com igual denominador e facilmente se
verifica qual a menor e qual a maior.
.
2.3. A representação
Mamede (2008) refere como ponto necessário para a compreensão de números racionais a
representação dos mesmos. É muito comum haver modelos pictóricos, verbais e simbólicos,
entre outros. A interligação e a tradução destas representações manifestam-se difíceis por isso é
importante que haja uma boa articulação entre os modelos a que se recorre, modelos esses
tanto representativos de quantidades contínuas (por exemplo modelos de comprimento, área e
18
volume) como quantidades discretas (por exemplo objetos, pessoas). Para ajudar os alunos a
desenvolverem a noção de número racional e a trabalharem com os invariantes operacionais
corretamente e de uma forma consciente, deve-se promover o uso de material concreto aquando
a exploração de tarefas. Desta forma, estimula-se o pensamento dos alunos, ajudando-os a
construir estruturas sólidas para, gradualmente, se abstraírem do pensamento concreto e
intuitivo para um pensamento abstrato e formal (Post et al., 1986; Kamii & Clark, 1995).
É muito importante desenvolver nos alunos uma diversidade de representações internas
possíveis de serem relacionadas entre si e consolidadas através da exploração de
representações externas. Desta forma consegue-se dar evidências exteriores aos alunos do seu
pensamento recorrendo à linguagem padrão, ao sistema gráfico matemático e a todas as
aprendizagens estruturadas (Goldin, 2003). Referindo estes dois sistemas de representação,
interna e externa, Goldin e Shteingold (2001) defendem a importância da sua interação,
afirmando que só se desenvolve o pensamento quando há compreensão e relação entre as
diferentes representações do conceito em questão.
O “iceberg de representações” é um modelo desenvolvido pelo Instituto Freudenthal (Webb,
Boswinkel & Dekker, 2008) que ilustra a forma como os alunos experienciam a aprendizagem e
constroem as noções, dando sentido às representações matemáticas. Neste modelo, a parte do
iceberg que está debaixo de água, na zona mais funda, é grande e representa todas as
representações informais do aluno. Ao se aproximar da tona de água encontra-se as
representações pré-formais, de forma a fazer a transição com a parte do icebergue que está de
fora de água, a ponta, ou seja, uma pequena área reservada às representações formais e
simbólicas.
Este modelo indica que há necessidade de trabalhar com os alunos, durante mais tempo, as
representações informais e pré-formais, sendo que os professores deverão insistir nesta
exploração e só depois passar para a construção das representações formais. Estas
representações deverão ser construídas sobre as estruturas basilares das representações
informais e serão utilizadas sempre que o aluno precisar de recorrer a esta representação,
normalmente em situações de aprendizagem novas.
Uma vez que o número racional assume diferentes representações, os alunos acabam por ter
maiores dificuldades na compreensão quantitativa do mesmo, tendo dificuldade em
19
compreender que os números racionais têm tamanhos relativos e absolutos. Numericamente,
em termos absolutos,
é sempre maior do que
, contudo, se estas quantidades
corresponderem a unidades diferentes, pode-se verificar o contrário (ver Post et al., 1986).
Os alunos também apresentam dificuldades na representação do número racional enquanto
fração por esta ser expressa por dois números, conduzindo-os a lerem estes números
separadamente e ordenando-os tendo em conta o valor absoluto de cada um deles,
considerando erradamente que a fração maior é a que é composta pelos algarismos maiores
(ver Post et al., 1986; Monteiro & Pinto, 2005). Os alunos adquirem a noção quantitativa de
número racional quando, tanto em situações de ordenação como em situações de equivalência,
necessitam apenas de recorrer a representações matemáticas formais sem apoio de material
concreto (Kamii & Clark, 1995).Sabe-se que a compreensão dos conceitos por parte das
crianças e a qualidade de resolução de problemas está intimamente ligada com as situações
problemáticas com as quais as crianças trabalham.
Behr e colegas (1983) apontam como importante o recurso a materiais manipulativos uma vez
que a utilização destes materiais facilita a aquisição e a aplicação dos números, tornando a
aprendizagem mais significativa. Estes materiais ajudam os alunos a construir o seu próprio
pensamento, levando-os a reconstruir a situação e a manipular a informação para resolver o
problema. Os mesmos autores referem ainda a importância da utilização de material concreto ao
longo do desenvolvimento do número racional nos diferentes significados, uma vez que fazem a
ligação entre os contextos reais e as situações problemáticas.
Segundo Post (1981), a ligação que o material manipulável permite entre as situações
concretas, através da manipulação, e as situações problemáticas, através do uso da
representação simbólica é uma ligação isomórfica. Podem-se considerar os diferentes materiais
concretos como estruturas isomórficas (parciais) representativas das noções matemáticas mais
complexas a aprender. Na utilização de material manipulável há que ter em atenção o processo
de escolha do mesmo de forma a garantir que a seleção é a mais adequada à tarefa em
questão, tendo em conta as suas potencialidades e limitações.
O Rational Number Project (RNP) usou o modelo de Lesh (ver Fig.2.1.) que enfatiza as múltiplas
representações e conexões entre as diferentes representações. É necessário o envolvimento dos
alunos e o recurso a representações e materiais concretos.
20
Como se pode observar através do modelo, o desenvolvimento da compreensão do conceito de
número racional requere o contacto com diferentes representações e muito contacto e prática
nas conversões dentro e entre representações.
As representações informais e as estratégias utilizadas numa primeira fase de aprendizagem
ajudam os alunos a construir os alicerces para a construção de novos conceitos. Segundo
Gravemeijer (2005) deve-se recorrer a abordagens em sala de aula que estimulem a capacidade
de os alunos passarem com facilidade de uma representação para outra, facilitando o uso
destas estratégias. Contudo, a facilidade de tradução de representações nas diferentes situações
ou significados nem sempre é fácil.
2.4. Os diferentes significados de número racional
Foram vários os autores que estudaram e distinguiram as diferentes interpretações ou
significados de número racional. Kieren (1976) começou por distinguir sete significados para o
conceito de fração, baseando o seu estudo no conceito de subconstructo, entendendo-se este
conceito como os esquemas mentais que o indivíduo faz quando tem de resolver problemas
envolvendo o número racional nos diferentes significados. Mais tarde, após uma reformulação,
Kieren (1988) apresenta cinco subconstructos, sendo eles: parte-todo, quando há a divisão da
linguagem
verbal
situações do
mundo real
linguagem
simbólica
materiais
manipulávei
s
imagens
Figura 2.1. Modelo de conversões de Lesh (1979)
21
unidade em partes iguais; quociente, quando se encontra uma divisão equitativa entre dois
números inteiros; medida, havendo comparação entre grandezas; razão, quando há uma relação
entre duas quantidades, referentes a duas partes de um todo e operador, quando está presente
uma transformação de um número noutro.
Adotando a noção de subconstruto apresentada por Kieren (1988), Behr, Lesh, Post e Silver
(1983) sugerem uma classificação distinguindo cinco subconstructos: quociente, parte-todo,
operador, medida e razão. Desta forma, para estes autores entende-se por quociente a partilha
equitativa entre duas quantidades, onde o numerador representa um grupo de coisas a serem
distribuídas, por exemplo fatias de tartes, e o denominador representa o grupo de recetores a
recebê-las, por exemplo um grupo de crianças. Nesse sentido a fração correspondente ao
quociente representa não só a divisão como também o resultado da mesma; por parte-todo a
divisão de uma unidade, contínua ou discreta, em partes iguais, onde o denominador
corresponde ao número de partes em que o todo foi dividido e o numerador ao número de
partes selecionadas. Se cada parte igual corresponder a n, tem-se então
, ao representar a
relação parte-todo em fração; por operador a ação a reproduzir sobre um número ou uma
quantidade, permitindo a transformação do cardinal de um conjunto discreto.
Estando perante representação por figuras pictóricas de uma fração, esta tem o efeito de
redução ou ampliação, onde o denominador representa uma divisão e o numerador uma
multiplicação; por medida a utilização da fração como medida de comparação entre grandezas.
A unidade é assim fracionada, onde o denominador representa o número de partes em que foi
dividida e o numerador o número de partes iguais, de referência; e por fim a razão que não
representa uma quantidade, servindo antes como um índice de comparação, onde o
denominador e o numerador representam as quantidades ou grandezas a comparar. Numa
razão, estabelece-se uma relação comparativa entre duas quantidades de um mesmo todo ou
entre duas grandezas distintas resultando numa nova grandeza.
Mais recentemente, Kieren (1993, 1995) distingue apenas quatro significados, assentes na
noção de subconstructo, significado quociente, estruturante para a realização da divisão e
entendimento do quociente entre dois valores; significado operador, relação e transformação de
tamanho; significado medida (onde inclui o modelo parte-todo), quando se mede algum valor;
significado razão, a relação entre valores distintos.
22
Também Marshall (1993) apresenta um conjunto de esquemas mentais caracterizados como
“uma rede de conhecimentos sobre um evento ou situação”, distinguindo cinco situações
distintas: quociente, onde em
, é distribuído no número de partes dado por b (partilha
equitativa) e dividir a elementos em b grupos (divisão); parte-todo, quando um todo contínuo ou
discreto é dividido em partes iguais;
onde indica que está incluído em b; operador, quando
serve para relacionar e transformar um valor noutro; medida, onde
é usado para medir
distâncias e razão, quando duas quantidades distintas são relacionadas uma com a outra.
Recentemente, Nunes et al., (2004) apresentaram uma classificação baseada na noção de
situação, apresentada por Vergnaud (1997) onde as frações são usadas. Com Nunes et al.,
(2004) surge o termo “situação” seguindo a teoria de Vergnaud como significado que os valores
envolvidos na fração assumem, considerando que subconstructo envolve várias ideias que
podem ser usadas em várias situações. Assim, distinguem-se quatro situações distintas: situação
quociente, onde existe divisão de quantidades contínuas onde o denominador indica o número
de recipientes e o numerador o número de objetos inteiros contínuos a serem repartidos (por
exemplo,
, 2 chocolates a distribuir igualmente por 4 meninos; a parte de chocolate que cabe a
cada menino); situação parte-todo, onde há divisão de quantidades contínuas e o denominador
da fração corresponde ao número de partes em que o todo foi dividido e o numerador refere-se
ao número de partes tomadas (por exemplo,
, dividir a unidade em 4 partes e tomar 2);
situação operador que envolve quantidades discretas tomadas como um todo, o denominador
indica o número de grupos iguais em que o conjunto foi dividido e o numerador o número de
grupos tomados (por exemplo,
, dividir um conjunto discreto de itens em 4 grupos e considerar
2) e quantidades intensivas, onde os números envolvidos na escrita da fração representam
relações proporcionais, sendo o todo irrelevante (por exemplo,
, 2 limões para 4 colheres de
açúcar).
Apesar das diferenças entre classificações pelos diversos autores, os significados quociente,
parte-todo e operador são considerados importantes e estão presentes em todos eles. O
Programa de matemática (2007) realça que, ao trabalhar os números racionais, não interessa
que estes saibam distinguir estes significados, mas antes que tenham tido oportunidade para
representá-los em cada um deles.
23
2.5. O ensino e aprendizagem de números racionais
Post e Cramer (1989) fundamentaram que para uma melhor apropriação da noção de número
racional é importante o domínio dos conceitos e dos procedimentos e que estes devem ser
relacionados entre si por forma a estabelecer as mais diversas ligações criando um conjunto de
conhecimentos diversificado e consistente. Post e colegas (1993) argumentam ainda que além
deste aspeto, na abordagem ao estudo dos números racionais deve-se atender aos
conhecimentos que os alunos trazem consigo e ter em conta a necessidade de trabalhar os
invariantes operacionais de uma forma regular, apresentando os algoritmos numa fase posterior
e promovendo a compreensão dos vários significados de número racional: quociente, parte-todo,
operador, medida e razão (Post et al., 1993).
Sendo o conceito de número racional conhecido entre os investigadores como difícil para os
alunos, Moss e Case (1999) sistematizaram quatro possíveis justificações. Assim, referem que: o
conhecimento que os alunos têm dos números naturais e as generalizações que fazem deles
acabam por confundir e criar incompreensões no trabalho com o número racional; a própria
notação acaba por criar barreiras aos alunos; os programas de matemática estão mais
centrados nos processos para operar com números racionais e menos preocupados em
promover situações onde os alunos se apropriem do significado do conceito; na sequência desta
última razão e aliada à insegurança dos professores, são eles os primeiros a trabalhar com os
alunos unicamente os processos formais deixando de parte a exploração que cada aluno possa
fazer de forma informal. Trabalhando com os alunos de uma forma integradora e ao mesmo
tempo eclética face aos significados dos números racionais garante a construção de momentos
de ensino-aprendizagem sólidos, significativos e facilitadores da formação da noção de número.
Para tal, para além dos significados supracitados, deve-se considerar situações que envolvam
quantidades tanto contínuas como discretas.
Os estudos mostram que em diversos países as abordagens às frações baseiam-se quase
exclusivamente no modelo parte-todo (Kerslake, 1986; Behr et al., 1992; Monteiro et al., 2005).
Kerslake (1986) aponta que recorrer apenas a este modelo prejudica o conceito de fração das
crianças, impedindo o reconhecimento de outro tipo de interpretações em que as fração são
utilizadas, limitando a construção do conceito e levando a que seja difícil compreender que a
fração pode ser maior que a unidade.
24
Segundo Monteiro et al., (2005), também em Portugal a primeira abordagem faz-se através de
situações parte-todo, acreditando que desta forma se facilita a aprendizagem, ainda que poucos
estudos fundamentem esta ideia. Mamede, Nunes e Bryant (2005) mostram que o tipo de
situação ou significado em que as frações são usadas parece afetar a construção deste conceito,
havendo interpretações que poderão facilitar mais a compreensão do conceito tal como a sua
construção a partir do conhecimento informal de cada criança. Os autores vão mais longe e
argumentam que a interpretação quociente facilita a compreensão da relação inversa entre
divisor e quociente, fundamental no trabalho com fração, recaindo no uso da correspondência de
um para muitos (Mamede et al., 2005).
Cardoso e Mamede (2010) concluíram que para resolver atividades que envolvam equivalência e
ordenação de fração, o significado que vai mais ao encontro do conhecimento informal das
crianças é o significado quociente, sendo estas conclusões suportadas por outros autores como
Nunes et al., (2004) uma vez que este significado baseia-se na distribuição equitativa de
quantidades facilitando o entendimento da relação inversa entre o divisor e o quociente, quando
o dividendo é o mesmo.
Na abordagem aos números racionais não é relevante que os alunos distingam as classificações
acima mencionadas, mas é importante que estes tenham contacto com diferentes situações em
que as frações são utilizadas, como refere o Programa de matemática (DGIDC, 2007). Para
efeitos desta investigação, tomou-se como referência os cinco significados patentes no Programa
de matemática (DGIDC, 2007). Assim, nesta investigação entende-se por significado quociente a
partilha equitativa entre duas quantidades, onde o numerador representa um grupo de coisas a
serem distribuídas, por exemplo fatias de tartes, e o denominador representa o grupo de
recetores a recebê-las, por exemplo um grupo de crianças. Nesse sentido a fração
correspondente ao quociente representa não só a divisão como também o resultado da mesma;
entende-se por parte-todo a divisão de uma unidade, contínua ou discreta, em partes iguais,
onde o denominador corresponde ao número de partes em que o todo foi dividido e o
numerador ao número de partes selecionadas. Se cada parte igual corresponder a , tem-se
então
, ao representar a relação parte-todo em fração; entende-se por operador a ação a
reproduzir sobre um número ou uma quantidade, permitindo a transformação do cardinal de um
conjunto discreto. Estando perante representação por figuras pictóricas de uma fração, esta tem
o efeito de redução ou ampliação, onde o denominador representa uma divisão e o numerador
25
uma multiplicação e entende-se por medida a utilização da fração como medida de comparação
entre grandezas. A unidade é assim fracionada, onde o denominador representa o número de
partes em que foi dividida e o numerador o número de partes iguais, de referência.
As investigações ao longo dos tempos culminam com a certeza de que o conceito de fração só
está compreendido quando o aluno tem um grande domínio do conceito nas suas diferentes
interpretações, sendo capaz de traduzir, raciocinar e resolver problemas nas diferentes situações
(Mamede, 2008) utilizando as várias formas de representação. Mas, estarão as nossas práticas
de ensino no 1.º Ciclo do Ensino Básico desenvolvidas de forma a assegurar a construção de
conceito de número racional nas suas diferentes interpretações?
2.6. Estudos de investigação já realizados
Os anos 80 constituíram uma época de ouro para a investigação no âmbito dos racionais.
Contudo, pouco trabalho foi desenvolvido com crianças até aos 10 e 11 anos.
Com o objetivo de analisar de que forma os alunos evoluem na compreensão quantitativa do
número racional através do uso de materiais concretos até chegar a um pensamento mais
abstrato, Behr et al., (1984) desenvolveram um estudo com alunos do 4.º ano (10 anos)
recorrendo a tarefas em que era preciso que estes comparassem fração com o mesmo
denominador, com o mesmo numerador e com numeradores e denominadores diferentes. Nas
tarefas em que os denominadores eram iguais, o estudo distingue cinco estratégias: 1) focar o
numerador e o denominador, aqui os alunos, considerando o denominador igual como sendo o
número em que a unidade foi dividida, olham para o numerador e comparam o seu valor, esta
foi a estratégia mais utilizada; 2) a mesma estratégia mas conduzindo a resposta incorreta,
dando significado inverso ao numerador e denominador; 3) recorrer a uma terceira fração como
ponto de referência; 4) uso de material concreto para resolver as tarefas; por fim 5) comparação
de fração com base nos numeradores, fazendo paralelismo com os números naturais.
Também nas tarefas com fração cujos numeradores eram iguais foram encontradas cinco
estratégias diferentes pelos alunos, sendo uma delas incorreta: 1) atendem ao numerador e o
denominador (aqui os alunos considerando o numerador igual olham para o denominador e
26
comparam o seu valor, sendo maior a fração com menor denominador); 2) apenas referem os
denominadores; 3) utilizam uma terceira fração ou um número inteiro como ponto de referência;
4) recorrem a material concreto; e 5) comparam as frações tendo por base o seu conhecimento
dos números naturais (esta última estratégia foi a mais recorrente numa fase inicial, mas é de
salientar que não funciona uma vez que assim os alunos não consideram a relação inversa entre
o numerador e denominador).
Nos problemas com numeradores e denominadores diferentes foram seis as estratégias
catalogadas, sendo três corretas e outras três incorretas. Da mesma forma como nas tarefas
referidas acima, os alunos recorreram a uma terceira fração como ponto de referência e à
utilização de materiais manipuláveis e também recorreram a razões para calcular fração
equivalentes. Neste tipo de tarefas os alunos ainda, incorretamente, fizeram o paralelismo com
os números naturais, comparando o numerador e denominador como se se tratassem de
números naturais; recorreram à adição, juntando o valor do numerador com o do denominador e
por fim, demonstraram usar um raciocínio proporcional, porém com erros na utilização da
proporção.
Este estudo, de Behr e colegas (1984), mostrou que numa fase inicial, as estruturas de
ordenação de números naturais está muito presente nos alunos, implicando dificuldades na
compreensão quantitativa do número racional. Contudo, os resultados também revelam que os
alunos desta faixa etária têm capacidade de trabalhar a noção de número racional,
nomeadamente de trabalhar a sua ordenação e a equivalência, sendo importante ressalvar que
são muitos os alunos com dificuldades e que deve ser um tema tratado com calma e ao longo
de um período grande de tempo, estimulando-os a perceber a relação entre o valor absoluto da
fração e o seu valor relativo a diferentes unidades.
Hart (1981) coordenou o programa Concepts in Secondary Mathematics and Science (CSMS) no
Reino Unido, com o objetivo de identificar as dificuldades dos alunos na área de matemática. O
programa abrangeu cerca de 10 mil crianças, com idades compreendidas entre os 12 e os 16
anos e de entre os temas a serem trabalhados incluía-se o tópico de fração. As questões
formuladas para os alunos mais novos resolviam-se com recurso à adição e à subtração de
fração. O trabalho para as crianças mais velhas continha alguns aspetos em comum com este
trabalho, mas também envolvia problemas de multiplicação e divisão. Cada teste deste
27
programa apresentou resolução de problemas e, além disso, um conjunto de cálculos
necessários à sua resolução. Hart (1981) refere que os alunos sentem-se relativamente seguros
quando trabalham dentro dos números inteiros e com as restrições impostas por eles. O facto de
algumas restrições não se aplicarem ao conjunto dos números racionais e de as frações serem
necessárias para estender o sistema numérico além de contagem, frequentemente escapa-lhes.
Este estudo mostra a importância de trabalhar o tópico dos números racionais no contexto dos
números e, em vários momentos, deixa claro que a criança não compreende a fração como um
número. Este estudo sustenta a ideia de que, para a criança atingir este conhecimento, é
necessário trabalhar questões referentes a fração equivalentes e à ordenação de fração.
Embora existam algumas pesquisas sobre fração, as dificuldades dos alunos sobre este conceito
permanecem. Esta constatação sugere que estas dificuldades podem ter origem antes do estudo
de fração e, portanto, que uma das prováveis causas dessa situação é a transição do conjunto
de números naturais para o conjunto dos números racionais.
O estudo de Hart (1981) mostrou que os resultados não corresponderam às expectativas dos
investigadores, mostrando o quão difícil é compreender a noção do número racional e trabalhar
de forma a estimular o aluno para a sua apropriação. Os investigadores (Hart, 1981) concluíram
que um caminho necessário a seguir para melhorar esta lacuna na compreensão de número
racional é trabalhar com os múltiplos significados com que o número racional é apresentado aos
alunos. Lesh, Post e Behr (1987) referem que ao longo dos seus estudos, ao longo do decorrer
do National Number Project, os alunos mais bem-sucedidos foram aqueles que conseguiram
resolver os problemas utilizando um maior número de representações e que conseguiram
também, de uma forma intuitiva, adequar a sua estratégia mudando a representação para a que
lhes era mais conveniente.
Monteiro et al., (2005) desenvolveram um estudo onde analisaram as estratégias informais que
os alunos do 5.º ano utilizavam na resolução de tarefas em contextos de partilha equitativa
numa experiência em sala de aula. Os alunos trabalharam em grupo sem ter havido uma
explicação inicial de como resolver os problemas, nota-se que estes alunos nunca tinham
estudado fração nos anos anteriores. A abordagem deste trabalho caracterizou-se por trabalhar
com problemas significativos para os alunos, aleando os conhecimentos que estes já tinham
com situações do quotidiano. Este tipo de problemas é facilitador da construção da noção de
28
número racional uma vez que os alunos são co construtores das suas próprias aprendizagens
através da exploração das estratégias informais de cada um. Note-se que as tarefas
apresentadas aos alunos foram em contextos de partilha equitativa.
Nunes et al., (2004) levaram a cabo um estudo com 62 alunos com idades compreendidas entre
os 7 e os 10 anos de idade, para descrever as diferentes estratégias a que os alunos recorriam
quando eram confrontados com tarefas com fração no significado quociente. As crianças do
estudo tinham trabalhado previamente fração com significado parte-todo, contudo, um número
significativo realizou as tarefas recorrendo às noções de divisão por forma a justificar
equivalência de fração. Os resultados deste estudo sugerem que o tipo de significado em que o
número racional é trabalho pode afetar o entendimento do conceito de número racional pelo
aluno.
Mamede et al., (2005) trabalharam com crianças de 6 e 7 anos sem conhecimento formal
prévio de fração, procurando perceber o efeito dos significados quociente, parte-todo e operador
na compreensão do conceito de fração dos alunos. Para tal foram conduzidas entrevista
individuais em que os alunos tinham de resolver problemas de ordenação e equivalência de
quantidades representadas por fração, apresentados nas diversos significados. O estudo revelou
que o tipo de significados de fração nas tarefas influenciou o desempenho dos alunos, tendo-se
verificando maiores sucessos em tarefas com significado quociente. Este estudo vai ao encontro
do estudo referido anteriormente de Nunes e colegas (2004), onde parece haver uma relação
próxima entre a abordagem inicial ao estudo das frações através de tarefas no significado
quociente e uma maior compreensão do conceito de número racional neste significado,
promovendo uma construção mais estruturante do conceito a partir do conhecimento informal
dos alunos.
Nesta linha de raciocínio, Cardoso e Mamede (2009) realizaram um estudo quantitativo de
forma a compreender que alterações se dão no desempenho dos alunos quando estes
trabalham o conceito de fração como significado quociente e de que forma reagem quando
trabalham as frações nos diversos significados. Este estudo foi feito com 84 alunos do 6.º ano
de escolaridade com 11 e 12 anos, tendo-se apresentado um inquérito por questionário
individual. O estudo concluiu que as tarefas exploradas em sala evidenciam um contributo de
melhoria do desempenho dos alunos na resolução de problemas envolvendo os invariantes
29
operacionais (ordenação e equivalência) e uma melhoria no conceito de fração mais alargada e
completa. Destaca-se o aumento no nível de desempenho na resolução de tarefas com
significado quociente. Esta conclusão é surpreendente uma vez que em Portugal a abordagem
às frações é feita, maioritariamente, através do significado parte-todo, seguindo depois para o
significado operador. Os dados obtidos neste estudo sugerem que os alunos, de uma forma
intuitiva, são mais capazes de mobilizar os seus saberes quando estão na presença de tarefas
apresentadas no significado quociente.
Quaresma (2010) desenvolveu um estudo com uma turma do 5.º ano de escolaridade onde
procurou saber quais as estratégias utilizadas pelos alunos na comparação, ordenação e
equivalência de números racionais e quais as dificuldades que os alunos apresentam na
utilização das várias representações de número racional na resolução de problemas. Os dados
desta investigação indicam que a abordagem ao número racional deve ser feita a partir da
compreensão de conceitos e que deve envolver as diferentes representações de número
racional. Sugere ainda que os alunos têm mais sucesso em algumas questões quando usam de
forma ágil a representação decimal da fração.
Em síntese, a construção do conceito é complexa e envolve o domínio dos invariantes
operacionais, ordenação e equivalência, em diferentes modos de representação. A par destas
noções há que ter em conta o domínio dos diferentes significados que o número racional pode
assumir. A investigação sugere que o tipo de significado pode condicionar a compreensão e
construção do conceito de número racional.
O desenvolvimento do sentido do número racional no 1.º Ciclo de Ensino Básico pressupõe o
domínio de todos os aspetos acima referidos, por isso urge entre a comunidade escolar a
necessidade de saber mais sobre este tema, de dominar os conteúdos e de potenciar as
experiências de aprendizagem dos alunos. Há poucos trabalhos de investigação em Portugal
sobre estes assuntos, em especial, aqueles que se centram no 1.º Ciclo. Apesar de já haver
alguma investigação sobre este tema desenvolvido na realidade portuguesa, pouco ainda se sabe
sobre a construção do número racional nestas idades (6-10 anos) e quais os obstáculos e as
facilidades com que os alunos se deparam quando trabalham nos diferentes significados
referidos nas orientações curriculares (quociente, parte-todo, operador e medida). Também foi
pouco explorado o processo de transição de implementação dos novos documentos curriculares
apresentados em 2007 depois de se ter experienciado um ensino pobre na abordagem as
30
fração, como é aquele apresentado pelo Programa tradicional (ver DEB, 1991).e as vantagens
que se encontram no Programa de 2007.
Este trabalho foca uma trajetória de aprendizagem com alunos que se encontram a viver este
período de transição (de um currículo antigo para um novo), que são confrontados pela primeira
vez com os diferentes significados que o número racional pode ter, a par das diferentes
representações que este pode assumir, tendo que resolver problemas de ordenação e
equivalência.
É importante perceber como os alunos desenvolvem a noção de número racional com esta nova
abordagem em processo de transição. Para tal, foi elaborado ao longo da trajetória, uma
sequência de introdução de significados, começando pelo quociente, passando pelo parte-todo,
operador e, por fim, medida.
31
Capítulo 3 - METODOLOGIA
Este estudo tem como objetivo compreender de que modo os alunos do 1.º Ciclo do ensino
básico desenvolvem o de conceito de número racional. Assim, procura-se saber como
compreendem os alunos a representação, a ordenação e a equivalência de fração em cada um
dos significados e como estes articulam os diferentes modos de representação de um número
racional nestas interpretações. Este capítulo apresenta e justifica as opções metodológicas
adotadas e o plano da investigação desenvolvido para atingir tal propósito.
3.1. Opções metodológicas
Segundo Nóvoa (1991) “ [...] as opções científicas e metodológicas devem pautar-se por critérios
de coerência e de pertinência em relação ao objeto de estudo e não por uma qualquer decisão
apriorística sobre a validade das teorias ou das práticas de investigação” (p.30). Assim, a
natureza do problema a investigar é que determina a escolha do método e técnicas de
investigação.
Tendo em conta Bogdan e Biklen (1994), este estudo é uma investigação qualitativa. O interesse
do investigador é pelo processo e não pelos resultados dando especial atenção à compreensão
do ponto de vista dos participantes. O mais importante na escolha de uma metodologia, sendo
este um processo crítico que permite obter respostas adequadas às nossas preocupações,
formulações e objetivos, entre outros aspetos, tem de ser adequada ao objeto de investigação, à
forma de o abordar teoricamente e ao campo de estudo a que ele se reporta. Para atingir tal
objetivo e de modo a realizar a pesquisa de terreno, atravessada por uma abordagem
interpretativa, o método de investigação mais adequado será o estudo de caso, que para Yin
(2009) e Ponte (1994), é um método que permite ter como objetivo principal a compreensão em
profundidade do "como" e do "porquê" da problemática em estudo, não alterando o contexto em
questão, mas antes compreendendo-o.
Atendendo às características deste trabalho e às questões de investigação formuladas considera-
se que a metodologia seguida e a técnica adotada são as mais adequadas e vantajosas à
investigação.
32
3.2. Design do Estudo
Desenvolveu-se uma trajetória de aprendizagem com o objetivo de contribuir para o
desenvolvimento do sentido de número racional nos alunos de 4.º ano do 1.º Ciclo do Ensino
Básico. A trajetória de aprendizagem foi elaborada tendo subjacente a ideia de trajetória
hipotética de aprendizagem, no sentido que lhe é dado por Simon citado por Serrazina e Oliveira
(2010).
A Figura 3.1. elucida sobre a estrutura adotada na definição da trajetória de ensino.
Figura 3.1. Esquema elucidativo da estrutura adotada na trajetória
Abordam-se os significados indicados no Programa de matemática (DGIDC, 2007), explorando
em cada um deles os invariantes lógicos, bem como os diferentes modos de representação.
A trajetória de ensino explorou o número racional nos significados de quociente, parte-todo,
operador e medida, por esta ordem, tendo em conta a ordenação, a equivalência e a
representação. Ao longo destas aulas e do desempenho dos alunos, privilegiou-se esta sequência
embora se tenham intercalado tarefas com significados diferentes, de forma a ver como os
alunos reagiam e as resolviam. A abordagem ao número racional envolve frações, representação
decimal e percentagem, tal como é sugerido no Programa de matemática (ver DGIDC, 2007).
33
O investigador deste estudo é igualmente o professor da turma. O professor sente, regularmente,
a necessidade de compreender os acontecimentos no seu ambiente particular (Serrazina &
Oliveira, 2001), e neste caso conduz uma investigação com os alunos da sua turma, onde já foi
estabelecida uma relação próxima, eliminando assim a necessidade de existir outro adulto em
sala cuja presença pode alterar a forma de estar dos alunos (Bogdan & Bikle, 1994). Desta
forma há uma maior garantia de que o contexto observado não sofra alterações, premissa
importante na metodologia de estudo de caso. Segundo Serrazina e Oliveira (2001), a interação
entre o professor e o aluno é fundamental no processo de ensino-aprendizagem e crucial na
procura de respostas numa situação como esta, num estudo desta natureza.
3.3. Os participantes
Para foco dos estudos de caso foram selecionados seis alunos, embora as tarefas propostas
tivessem sido apresentadas e realizadas por toda a turma em que estavam integrados. A escolha
dos alunos foi feita após uma análise cuidada e criteriosa, tendo em conta a capacidade de
expressão dos seus raciocínios, os diferentes níveis de desempenho em matemática e a
heterogeneidade em questões de género. Usando estes critérios foram selecionados os alunos
Angelina e Alberto (grupo A), Sofia e Álvaro (grupo B), Ricardo e Natália (grupo C). Todos os
alunos nasceram em 2002, tendo 9 e 10 anos, e os seus nomes são fictícios, de modo a
assegurar o seu anonimato. Os três grupos em estudo formados têm assim características
diferentes.
O grupo A é constituído pela Angelina e pelo Alberto. Estes meninos são dois alunos que revelam
bastante autoconfiança e estão muito implicados no seu processo de ensino-aprendizagem. Têm
grande sucesso no seu desempenho escolar, não só a nível da matemática, como das restantes
áreas curriculares.
O grupo B é constituído pela Sofia e pelo Álvaro. São dois meninos muito concentrados e com
gosto por desafios. Em todas as áreas, na matemática também, revelam gosto em procurar e
partilhar as suas ideias, ainda que sejam razoavelmente competentes em matemática.
34
O grupo C é constituído pela Natália e pelo Ricardo. Estes dois alunos são bastante empenhados
e envolvem-se muito em quase todas as atividades propostas, contudo, a área forte dos dois são
as expressões, dramática e musical, respetivamente. A nível matemático apresentam
dificuldades de compreensão e de realização.
Estes alunos estão inseridos numa turma do 4º ano do 1º Ciclo, numa escola do ensino privado,
no concelho do Porto. De forma geral, os alunos pertencem a famílias com um poder
socioeconómico médio-alto. A turma é composta por 20 alunos: 11 raparigas e 9 rapazes, com
idades compreendidas entre os 9 e os 10 anos, sendo que um aluno tem 11 anos e é um aluno
com necessidades educativas especiais.
É uma turma heterogénea, apresentando ritmos de trabalho diferentes. A partilha de saberes e
experiências é valorizada e comum entre os alunos. Desde o 1.º ano que a turma não sofreu
grandes alterações de alunos, sendo o trabalho desenvolvido numa perspetiva colaborativa e
construtivista. Está organizada por cinco grupos de quatro alunos por isso, durante o estudo, os
grupos continuaram juntos, sendo que foi pedido aos alunos que realizassem as tarefas em
trabalho a pares. Desta forma proporciona-se um ambiente estimulante e de partilha, criando
discussão entre os alunos e necessidade de argumentação e justificação. O diálogo e as
interações em sala são utilizados para promover o reconhecimento de ligações entre ideias e a
produzir e reorganizar conhecimento (NCTM, 2007).
3.4. As tarefas
A seleção das tarefas foi feita à luz do Programa de matemática do Ensino Básico (DGIDC,
2007), onde se pretende que os alunos desenvolvam o sentido do número racional e com ele a
capacidade de compreender e resolver melhor as diferentes situações problemáticas com que
podem ser confrontados.
As diversas tarefas desenvolvidas durante essa trajetória foram construídas tendo por base as
questões do estudo e o quadro teórico já apresentado. O investigador teve em conta o Programa
de matemática (DGIDC, 2007). Todas as tarefas foram pensadas pelo investigador tendo por
base a revisão da literatura efetuada. Algumas tarefas foram adaptadas de ‘Desenvolvendo o
35
Sentido do Número Racional’ (Monteiro & Pinto, 2007) e de ‘Classroom Activities for Making
Sense of Fractions, Ratios, and Proportions: 2002 Yearbook’. (Bright, & Litwiller, 2002). Foram
também baseadas nas brochuras de apoio à concretização do Programa de matemática do
Ensino Básico para o 1.º e 2.º Ciclos (2008) e na brochura ‘Cadeia de Decimais’, publicada pela
ESELx (Monteiro et al., 2005).
Através do aprofundamento do estado da arte sobre o ensino e aprendizagem dos números
racionais elaborou-se um conjunto de tarefas, tendo por base o pressuposto de que os alunos
desenvolvem melhor a compreensão e o sentido do número racional ao trabalharem com as
suas diferentes representações de número racional, nos diferentes significados que estes podem
ter. As tarefas foram criadas tendo como linha condutora a utilização dos diferentes significados
nas diferentes representações que o número racional pode assumir. Construiu-se uma trajetória
de ensino com base em 12 sessões onde, através de situações problemáticas, se trabalhou o
número racional nos significados de quociente, parte-todo, operador e medida, por esta ordem
(ver Figura 3.2.). Ao longo destas aulas e do desempenho dos alunos, privilegiou-se esta
sequência embora se tenha intercalado tarefas com significados diferentes, de forma a ver como
os alunos reagiam e as resolviam. Os significados que receberam maior atenção foram o
quociente, o parte-todo e o operador e, por último, o que recebeu menor destaque foi o
significado medida.
Qc Qc
Pt
Pt Op Md Qc
Op
Pt
Op Qc
Pt
Md
2sessões 2sessões 1sessão 1sessão 1sessão 1sessão 1sessão 2sessões 1sessão
Legenda: Qc – quociente; Pt – parte-todo; Op – operador; Md - medida
Figura 3.2. Esquema elucidativo da trajetória de aprendizagem e número de sessões nos
diferentes significados de número racional, de acordo com o Programa de matemática do
Ensino Básico (DGIDC, 2007)
36
3.5. Procedimentos
No início de cada sessão havia a apresentação da situação problemática, onde os alunos liam os
respetivos enunciados, de seguida os pares resolviam o problema com o professor a apoiar
sempre que fosse solicitado. Após a resolução de cada tarefa alguns alunos apresentavam ao
grande grupo as estratégias de resolução mais significativas, seguindo-se um momento de
confronto de estratégias.
As duas primeiras sessões foram dedicadas ao significado quociente, sendo que as tartes I, II e
III (ver Anexo 3, p. 140) foram as tarefas escolhidas para abordar este significado. Nas três
sessões seguintes, os alunos resolveram 4 tarefas (ver Anexos 4 e 5, p. 141), sendo que as duas
primeiras e a quarta tinham significado parte-todo, a terceira regressou ao significado quociente.
Adotando o modelo das sessões anteriores, as duas sessões que se seguiram (ver Anexo 6, p.
147) exploraram um significado novo, o operador. Contudo, na sessão 8 e na sessão 9
revisitaram-se os significados abordados anteriormente, quociente e parte-todo, respetivamente
(ver Anexos 7 e 8, p. 149). Na décima sessão (ver Anexo 9, p. 151) os alunos trabalharam com
o significado medida, sendo que trabalharam a ordenação e equivalência com a representação
fracionária do número racional. Nas últimas duas sessões, 11 e 12 (ver Anexos 11 e 12, p.
153), os alunos realizaram uma tarefa nos diferentes significados. Assim, resolveram uma
situação problemática com números racionais nos significados quociente, parte-todo e medida.
As tarefas propostas ao longo da trajetória (ver Tabela 3.1.) baseiam-se em situações
problemáticas de ordenação e comparação de números racionais, recorrendo a números
racionais sobre a forma de fração, decimal e percentagem. Cada sessão teve a duração de
aproximadamente 90 minutos.
37
Tabela 3.1. Tabela síntese das tarefas trabalhadas ao longo das sessões desenvolvidas na
trajetória de aprendizagem
Sessão Data Nome da
tarefa Significado Representação Comparação
1ª e 2ª 27 e 29/02 Tartes I,II e III quociente fracionária ordenação e equivalência
3ª e 4ª 02/03 Mafalda e as
toalhas parte-todo
decimal, fracionária e percentagem
ordenação e equivalência
5ª 07/03 Tartes IV quociente
fracionária ordenação O todo parte-todo
6ª e 7ª 09 e 12/03 Situações
problemáticas; Marcelo e Ana
operador decimal,
fracionária e percentagem
ordenação e equivalência
8ª 14/03 Tartes V quociente
fracionária ordenação Cromos operador
9ª 16/03 Testamento
do rei parte-todo
decimal, fracionária e percentagem
ordenação e equivalência
Tampinhas operador
10ª 19/03
Unidades de medida
medida fracionária ordenação e equivalência Comparando
barras
11ª 21/03 Tartes VI quociente fracionária ordenação
12ª 23/03 Modelo circular
parte-todo decimal,
fracionária e percentagem
ordenação e equivalência
café medida
3.6. A Recolha de dados
A recolha de dados efetuou-se através de transcrições dos diálogos em momentos de trabalho
em sala de aula registados através de gravações áudio, registos escritos produzidos pelos
alunos, registos vídeo das sessões, notas de campo registadas durante e após essas sessões
pela investigadora (ver Tabela 3.2.). A diversidade destes instrumentos de recolha de dados
permite a triangulação desses mesmos dados, possibilitando ao investigador ter um conjunto
mais diversificado de tópicos de análise e também uma maior confiabilidade e segurança na
informação recolhida, tal como refere Yin (2009).
38
Tabela 3.2. Tabela síntese de recolha de dados empíricos
O processo de recolha de dados foi feito pelo professor da turma que também é o investigador, e
a recolha foi feita no ambiente natural de sala de aula, durante o horário escolar dos alunos.
Através das notas de campo há um constante pensar sobre a ação e a trajetória de
aprendizagem delineada, permitido ao investigador registar “os acontecimentos relevantes que
vão surgindo no decurso do trabalho, bem como as ideias e preocupações que lhe vão surgindo”
(Ponte, 2002, p. 18). Nestas notas constam o registo de atitudes dos alunos perante as tarefas,
pormenores das estratégias utilizadas e dúvidas e comentários levantados. As notas funcionam
também como um diário do investigador onde este regista as suas considerações e opiniões
relacionados com o decorrer das sessões do estudo.
As gravações vídeo e áudio das sessões permitem ouvir e rever com pormenor episódios
passados durante a realização das tarefas, possibilitando acompanhar à posteriori o trabalho de
toda a turma, mais especificamente, dos participantes neste estudo.
De forma a obter mais elementos que demonstrem as estratégias utilizadas pelos alunos, os
erros que cometem e as dificuldades e fragilidades que revelam, analisam-se os seus trabalhos
escritos ao longo das diferentes sessões. A análise dos dados é realizada de forma indutiva, e
sofre de uma interpretação fortemente subjetiva por parte da investigadora, impossibilitando
assim a generalização dos resultados aqui apresentados. Procura-se antes identificar e
caracterizar raciocínios e desempenhos dos alunos registados durante a intervenção.
Métodos de recolha Fontes de dados Formas de registo Documentos
Observação
participante Aulas
Gravação áudio e vídeo
das sessões
Transcrições, notas de
campo
Recolha documental Alunos Registos produzidos pelos
alunos nas sessões
39
Capítulo 4 - RESULTADOS SOBRE A TRAJETÓRIA
Neste capítulo é apresentado a análise dos resultados do trabalho empírico da trajetória de
aprendizagem realizada com os alunos. Foca-se o desempenho geral na realização de problemas
com diferentes significados de número racional e o desempenho dos alunos em tarefas
específicas nas diferentes sessões.
4.1. Sobre o desempenho geral dos alunos
Houve um maior número de insucesso nas atividades com significado quociente nomeadamente
nas representações fracionárias e na ordenação das mesmas, possivelmente devido a uma
dificuldade em distinguir o numerador do denominador, havendo troca frequente destes valores.
É necessário salientar que este tipo de atividade ainda não havia sido trabalhado
intencionalmente nas aulas. Outro fator que poderá ter contribuído para uma taxa maior de
insucesso foi o efeito novidade, uma vez que este significado foi o que iniciou este estudo.
Ao longo dos registos dos alunos, tanto escritos como orais, nota-se falta de rigor na linguagem
matemática, uma vez que nesta fase a sua consciência/perceção por parte dos alunos ainda
não está muito desenvolvida. O aluno consegue compreender a resolução do exercício mas
ainda lhe faltam ferramentas linguísticas para conseguir desenvolver a sua explicação
verbalmente. O facto de esta atenção aos conceitos linguísticos da matemática ser trabalhada
tardiamente contribui para esta falta de rigor.
Como se pode observar na tabela 4.1., em cada tipo de significado ocorreu uma concentração
de insucesso num único grupo, para o significado de medida o grupo B (13%), para o operador o
grupo A (6%) e para o parte-todo e quociente o grupo C (9 e 29% respetivamente).
Tanto o grupo A como o grupo B obtiveram taxas de sucesso de 100% em três significados. Em
relação à taxa de insucesso, o grupo B apresentou um número superior quando comparado com
o grupo A, contudo, ambas são referentes a significados diferentes, não levando a concluir que
um significado seja mais difícil de trabalhar do que outro.
40
Por sua vez o grupo C apresenta a taxa de insucesso mais elevada, resultados que não
surpreendem tendo em conta as características dos grupos. Porém, é de salientar que o grupo C
tenha tido uma taxa de sucesso de 100% nos dois significados, operador e medida, onde os
grupos A e B apresentaram, respetivamente, piores desempenhos.
Tabela 4.1. Distribuição da proporção do desempenho dos alunos de acordo com o tipo de
grupo e o número de alíneas correspondentes a cada tipo de significado de fração
Grupo Resultado medida operador parte-todo quociente
A Insucesso 0% 6% 0% 0%
Sucesso 100% 94% 100% 100%
B Insucesso 13% 0% 0% 0%
Sucesso 88% 100% 100% 100%
C Insucesso 0% 0% 9% 29%
Sucesso 100% 100% 91% 71%
Durante este estudo os alunos trabalharam em pares, o que poderá conduzir a algum efeito de
contaminação durante a resolução das tarefas, uma vez que um dos alunos parece ter sempre
maior influência sobre o outro.
Todos os grupos tiveram elevados valores de sucesso na resolução das tarefas nos diferentes
significados Os elevados valores de sucesso alcançados pelos três grupos sugere que os alunos
não encontraram grandes dificuldades na resolução das tarefas nos diferentes significados.
Com este estudo apresentou-se aos alunos um conjunto de tarefas nos quatro significados de
número racional, começando pelo significado que a literatura diz mais intuitivo – o quociente -
para trabalhar a fração (Nunes et al., 2004). Em relação a este significado apenas o grupo C
apresentou dificuldades. Dificuldades essas não relacionadas com a resolução do problema em
si, mas antes com a escrita simbólica da fração, confundindo o numerador com o denominador.
Ao longo dos três anos os alunos trabalharam, predominantemente, fração no significado parte-
todo. Seria, portanto, expectável que neste significado o nível de sucesso fosse superior, o que
não se verificou, uma vez que os grupos obtiveram taxas de sucesso igualmente elevadas em
outros significados. Com exceção do grupo C, o único grupo a apresentar alguma dificuldade na
41
resolução de tarefas do significado parte-todo, especificamente na representação do número
racional tanto na forma decimal como na percentual.
Ao longo das tarefas propostas com significado operador, os alunos manifestaram uma maior
compreensão dos enunciados do que antecipado. Desta forma, todos os grupos tiveram um
desempenho elevado, onde só o grupo A revelou dificuldade em converter um número decimal
em fração. Nas tarefas com significado medida, o grupo B obteve algum insucesso,
manifestando dificuldades em fracionar a unidade. Contudo, tal ocorreu apenas numa das
alíneas, e derivado dos alunos terem fracionado a unidade de medida errada.
De forma a analisar em pormenor os processos que estão por trás da compreensão dos alunos
na representação, ordenação e equivalência de fração em cada um dos significados trabalhados
e tendo em vista perceber como articulam os diferentes modos de representação de um número
racional nesses mesmos significados, procede-se de seguida a uma visão específica do
desempenho dos alunos para cada sequência de questões trabalhadas referentes a cada um dos
significados do número racional aqui estudados.
Assim, seguindo a ordem cronológica das sessões de aula, fez-se um olhar pormenorizado a
cada tarefa, analisando as resoluções dos três grupos escolhidos, através dos seus registos
escritos e verbais.
4.2. O desempenho dos alunos em tarefas específicas
Procurando saber mais sobre o processo de aprendizagem dos alunos do estudo, conduziu-se
uma análise mais detalhada sobre o desempenho dos alunos na resolução das tarefas propostas
nos diferentes significados de número racional. Neste sentido, analisam-se os desempenhos dos
alunos na resolução das tarefas, bem como as estratégias de resolução adotadas.
42
4.2.1. Sessões
Nesta secção analisam-se os desempenhos dos alunos com algum detalhe ao longo das
sessões, centrando a atenção nos resultados e estratégias de resolução, no sentido de ser
possível identificar as suas dificuldades/fragilidades no processo de construção do conceito de
número racional.
A professora acompanhou os alunos no desenrolar das aulas, intervindo junto dos mesmos
sempre que necessário a fim de ajudar a organizar as suas argumentações.
4.2.1.1. Sessão 1 - significado quociente
O significado quociente constituiu uma novidade para os alunos do estudo aqui documentado.
Foram propostas aos alunos tarefas focadas no número racional apresentado, como fração,
onde se trabalharam questões de equivalência e ordenação.
A primeira aula, a 27 de Fevereiro, foi dedicada a introduzir o significado quociente. Os alunos
reagiram muito bem, não mostrando dificuldades de interpretação dos enunciados das tarefas.
Na tarefa 1 é dada uma tarte a um grupo de dois meninos e uma tarte a um grupo de três
meninas. A tarefa é seguida de três alíneas (ver Fig.4.1.)
Figura 4.1. Tarefa 1 no significado quociente
43
Na tarefa 2 é dito que oito meninas dividem igualmente 6 tartes. (ver Fig.4.2.)
Na primeira tarefa (ver Fig.4.3.) os alunos do grupo A tentaram ser minuciosos na sua
explicação recorrendo à relação inversa entre o numerador e o denominador para justificar quem
comeria mais. Apresentam um discurso escrito semelhante ao oral, ainda com algumas
dificuldades para traduzir o raciocínio para um discurso matemático.
Figura 4.2. Tarefa 2 no significado quociente
Figura 4.3. Resolução da tarefa 1 pelo grupo A
44
Na tarefa 2 (Fig. 4.2.), o grupo A distancia-se um pouco da forma de registo que apresentou na
primeira tarefa e engloba outras formas de representação da fração, nomeadamente a
percentagem.
Os alunos recorrem ao desenho pictórico como forma de registo de justificação para o que
discutem verbalmente (ver Transcrição 4.1.).
Alberto: Se 3 tartes é metade de seis tartes, para comerem o mesmo têm de
ser 8 meninas a dividir por dois, têm de ser 4 meninos.
Angelina: Eu dividi as 6 tartes em quatro quartos e cada menina come três
quartos, assim olha se tapar isto [e tapa parte do seu esquema, três
tartes] se forem quatro rapazes comem à mesma três quartos das
tartes. Já sabemos então que tanto os meninos como as meninas
comem
Alberto: Podemos pôr aqui ao lado que se só falta um quarto de tarte o que cada
menino vai comer é igual a 75% do todo
Transcrição 4.1. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 2
Figura 4.4. Resolução da tarefa 2 pelo grupo A
45
É de realçar o à vontade com que trabalham o número racional tanto como fração como
percentagem. Salienta-se o facto de no grupo A o Alberto ter usado um raciocínio proporcional
no diálogo com a colega (ver Transcrição 4.1.). No registo escrito, na tentativa de mostrar como
pensou, recorre à divisão efetiva das tartes para justificar o seu argumento, (ver Fig.4.4.).
No grupo B as alunas discutem as tarefas, dialogam sobre o enunciado e falam sobre as suas
estratégias, argumentando e explicando os seus raciocínios. Na tarefa 1 (fig. 4.1) as alunas
resolvem o problema da mesma forma desenhando as tartes e os meninos, de maneira a
verificar se todos comem a mesma quantidade (ver Fig.4.5.).
A Sofia, na tarefa 2 (Fig. 4.2), divide as tartes em oito partes, não respeitando a igualdade do
tamanho das fatias e conclui que cada menina come
de tarte (ver Fig.4.6.). Mesmo não sendo
rigorosa no desenho da tarte, a aluna resolve corretamente o problema e responde que serão
precisos quatro meninos, efetuando a divisão de uma tarte pelos quatro, chegando à fração
.
Figura 4.5. Resolução da tarefa 1 pelo grupo B
46
O outro aluno do grupo, o Álvaro, já não precisa de efetuar a divisão para compreender a relação
entre numerador e denominador, construindo apenas uma tabela para explicitar o seu raciocínio
(ver Fig.4.7.).
Figura 4.6. Resolução da tarefa 2 por um aluno do grupo B
Figura 4.7. Resolução da tarefa 2 por um aluno do grupo B
47
Em diálogo com Sofia, Álvaro explica como pensou (ver Transcrição 4.2.):
Álvaro: 6tartes são para 8 meninas e 3 tartes para quantos meninos?
[desenha uma tabela com esta informação]. Se três é metade de
seis, tem de ser quatro meninos, para comerem o mesmo que as
oito meninas.
Sofia: Eu desenho aqui para vermos se comem mesmo o mesmo. Todas
as tartes têm de estar divididas em oito e cada menina come uma
fatia da tarte. Cada menina come
. As outras três tartes divido-as
em quatro, e cada menino come um quarto de uma tarte [faz a
correspondência por traços de cada menino para cada quarto de
tarte]. Cada menino come
de tarte.
Álvaro: Que é a mesma quantidade, olha para o teu desenho, se dividires
cada fatia ao meio ficas com metade do quarto, que é o oito.
é
igual a
.
Transcrição 4.2. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 2
No final, a Sofia regista a igualdade mas sem mostrar perceber o que está a fazer. Depois desta
explicação, para Álvaro é clara a equivalência das frações
e
, respondendo à pergunta “que
fração da tarte vai comer cada menino e cada menina” da seguinte forma:
Figura 4.8. Resolução da tarefa 2 por um aluno do grupo B
48
O grupo C na primeira tarefa explicou quem iria comer menos tarde usando a relação entre o
número de meninos e o número de tartes, mostrando assim que reconhece a relação inversa
entre o numerador e o denominador sem precisar de levar a cabo a divisão.
Na segunda tarefa, os alunos do grupo C desenham uma tabela (ver Fig.4.10.) e facilmente
percebem a relação proporcional que existe entre o número de meninos e a quantidade de tarte
comida (ver Transcrição 4.3.).
Natália: É melhor fazermos uma tabela, assim: três tartes para um lado e
seis para o outro [diz enquanto constrói uma tabela na folha] e
agora pomos por baixo as meninas [e desenha as oito meninas].
Ricardo: Vê-se no desenho que há mais três tartes no lado das meninas.
Para eles comerem a mesma quantidade têm de ser estes de cima
[aponta para o desenho da sua tabela onde em cima estão 4
meninas e em baixo outras quatro].
Natália: É o dobro. Para todos comerem o mesmo é porque as meninas são
o dobro dos meninos. Para dividirmos os meninos pelas três tartes
podemos… se são três para quatro, dividimos cada uma em quatro
fatias e cada menino come três fatias de uma tarte. A fatia que
sobra das tartes dá para o outro menino. Dá mesmo três fatias
para cada um. São três quartos. Nas meninas podemos fazer igual,
assim, 1, 2, 3, 4, 5, 6 [desenha as 6 tartes] e se cada uma tiver
quatro fatias [divide as tartes em 4 partes iguais] agora damos uma
Figura 4.9. Resolução da tarefa 1 pelo grupo C
49
fatia a cada menina, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 [distribui os números em cada fatia da tarte] e dá
três fatias a cada menina.
Transcrição 4.3. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 2
Quando lhes é pedido que digam qual a fração comida por cada um, os alunos recorrem à
distribuição dos meninos pelas tartes e desenham as fatias correspondentes ao número de
meninos (ver Fig.4.11.). Desta forma, recorrendo à representação pictórica da situação, os
alunos levam a cabo a divisão da tarte pelo número de meninos, fazendo primeiro a divisão em
b)
a)
Figura 4.10. Resolução da tarefa 2 a) pelo grupo C
Figura 4.11. Resolução da tarefa 2 b) pelo grupo C
50
quartos de cada tarte e distribuindo os meninos por cada fatia, chegando ao fim e contabilizando
quantas fatias cada um irá comer.
51
4.3.1.2. Sessão 2- significado quociente
Na segunda aula, a 29 de Fevereiro, os alunos realizaram uma tarefa, a turma trabalhou de
forma autónoma, manifestando destreza de raciocínio e à vontade na resolução da mesma.
Na tarefa 3 é dito que 6 meninas dividiram igualmente 4 tartes (ver Fig.4.12.).
Nesta tarefa no significado quociente o Alberto do grupo A rapidamente demonstra perceber a
equivalência entre as frações
e
, dizendo que se os meninos têm que comer a mesma
quantidade de tarte, então tem de haver 3 tartes para dividir pelos meninos (ver Transcrição
4.4.).
Alberto: Se há seis meninas e quatro tartes para comerem igual quantidade
tem de ser três meninos para duas tartes. Porque assim dá
para
as meninas e
para os meninos.
Angelina: Vou dividir as tartes delas em 3 fatias iguais. Cada menina come
dois terços. Se é o que dizes então vou dividir o seis [das meninas]
e o quatro [das tartes], para dar metade e agora faço duas tartes
para três meninos, dividimos outra vez em 3 fatias iguais e dá
também
para cada menino.
Transcrição 4.4. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 3
Figura 4.12. Tarefa 3 no significado quociente
52
A Angelina acompanha o raciocínio do Alberto e tradu-lo no registo escrito (ver Fig.4.13.). Divide
a tarte em terços e utilizando o conceito da metade, descobre quantas tartes terão de comer os
meninos. Para confirmar, divide as tartes dos meninos em terços e pinta, em ambas, a
quantidade de tarte comida pelas meninas e pelos meninos.
No grupo B a Sofia segue a Álvaro, contudo esta sente necessidade de verificar através de
desenhos o que pensa, associando esta tarefa à tarefa anterior (ver Transcrição 4.5.).
Álvaro: Este é muito parecido com o outro que fizemos, vemos logo que
para os meninos é preciso metade das tartes das meninas!
Figura 4.13. Resolução da tarefa 3 pelo grupo A
53
Sofia: Se eu desenhar as tartes e as dividir em fatias iguais o que as
meninas comem tem de ser o que os meninos comem com duas
tartes. Vou ver [e desenha]. Cada menina come
e cada menino
come
, dizes que é igual mas… [é interrompida]
Álvaro: Vê, em cada terço cabe dois sextos. Por isso
é igual a
.
Transcrição 4.5. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 3
Os dois alunos manifestam um entendimento diferente ao longo da resolução da tarefa. Para
Álvaro, tudo se resume ao raciocínio proporcional que tinha descoberto na tarefa anterior; para
Sofia, é necessário reduzir o significado quociente a significado parte-todo, levando a cabo a
divisão das tartes e certificar-se que cada menina come o mesmo que cada menino (ver Fig.
4.14.).
O grupo C nesta terceira tarefa revelou entender a proporção direta entre a fração comida pelos
meninos e pelas meninas (ver Fig.4.15.). Contudo, manifesta ainda confusão entre o significado
do numerador e do denominador, tendo que, o professor, ao longo do diálogo dos alunos intervir
e questioná-los sobre o que significava cada valor que tinham (ver Transcrição 4.6.).
Figura 4.14. Resolução da tarefa 3 pelo grupo B
54
Natália: Vamos fazer outra vez a tabela. Aqui três meninos, aqui seis
meninas e em cima delas quatro tartes. A diferença é de
metade. Olha vê, se existem metade dos meninos para ser
igual tem de haver metade das tartes.
Ricardo: Se dividirmos as tartes vemos quantas fatias cada menina
come.
Natália: Então temos de dividir as tartes em seis partes iguais.
Podemos dividir metade em três e a outra metade em três.
Ricardo: Cada menina come quatro fatias. Come
das tartes.
Professora: O que representa o 4?
Ricardo: Quantas fatias cada menina comeu.
Professor: E o 6?
Natália: O 6 foi as divisões que fizemos das fatias iguais.
Ricardo: Ah, as meninas comeram
e os rapazes
.
Natália: Porque comeram duas fatias e cada tarte estava dividida em
três partes iguais.
Transcrição 4.6. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa 3
55
Figura 4.15. Resolução da tarefa 3 pelo grupo C
56
4.3.1.3. Sessões 3 e 4 - significado parte-todo
Nas terceira e quarta sessões, dias 2 e 5 de Fevereiro, os alunos foram confrontados com
tarefas no significado parte-todo. Este significado é o mais conhecido pelos alunos, tendo sido
abordado noutros anos neste grupo-turma.
Na tarefa “Mafalda e suas toalhas” (ver Fig.4.16. e Fig.4.17.), os alunos, numa primeira fase,
têm de pintar partes das toalhas de acordo com a informação que lhes é dada. Posteriormente,
é pedido aos alunos que representem as partes pintadas das toalhas utilizando a escrita
simbólica do número racional, sob a forma de número decimal, fração e percentagem.
Figura 4.16. Tarefa 4, problema 1, no significado parte-todo
57
Figura 4.17. Tarefa 4, problema 2, no significado parte-todo
58
O grupo A resolveu a tarefa com sucesso, mostrando-se muito à vontade com as diferentes
representações de número racional. Não constituiu dificuldade para este grupo trabalhar com
números racionais representados sob a forma de dízima e compará-los. O grupo explica todo o
seu raciocínio (ver Transcrição 4.7.), acabando por operar para justificar as suas respostas (ver
Fig.4.18.).
Figura 4.18. Resolução da tarefa 4, problema 1, pelo grupo A
59
Angelina: Isto é facílimo. As toalhas são iguais, só muda a forma como estão
divididas.
Alberto: Temos de ter atenção que a A está em 10 e a B em 100.
Angelina: A“A” é para trabalharmos em décimas e a “B” em centésimas.
Alberto: Uma toalha vale uma unidade, se pintámos metade é igual a 50% e
um meio de 100% é 50%. Na outra pintámos 50% e depois 25%, se
tirarmos 75 ao todo dá 25% que ficou em branco.
Angelina: 25 centésimas ou 2 décimas e meia.
Transcrição 4.7. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 4,
problema 1
60
Os alunos, no segundo problema, conseguem usar com sucesso a equivalência de fração e
operar com percentagem (ver Fig.4.19. e Fig.4.20.), sem estes conteúdos terem sido
previamente trabalhada de uma forma formal.
Figura 4.19. Resolução da tarefa 4 pelo grupo A, problema 2 parte1
Figura 4.20. Resolução da tarefa 4 pelo grupo A, problema 2 parte 2
61
O grupo B também esteve bastante à vontade a resolver os problemas iniciais do significado
parte-todo (ver Fig.4.21. e Fig.4.22.).As alunas compreendem a relação entre a unidade, a
décima e a centésima, (ver Transcrição 4.8. e Transcrição 4.9.) e conhecem e operam com as
fração
e
.
Álvaro: Já viste Sofia, as toalhas são iguais e pintámos a mesma
quantidade, mas numa há 10 partes iguais e noutra há 100.
Sofia: Pois, e pintámos metade da toalha.
Álvaro: Vamos pintar de azul-escuro metade da metade, pintamos assim
num cantinho para ficar direito.
Sofia: Pintamos 25 quadrados.
Figura 4.21. Resolução da tarefa 4, problema 1, pelo grupo B
62
Álvaro: Fica por pintar 2,5 décimas, 1,2,3,4,5,..., 25 [conta um a um os
quadrados brancos], vês?
Sofia: [contando os quadrados brancos que sobraram]
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, faz uma décima, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, faz
duas décimas, mais 1,2,3,4,5, metade de uma décima, sobra 2,5
décimas.
Transcrição 4.8. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 4,
problema 1
Figura 4.22. Resolução da tarefa 4, problema 2, parte 1 pelo grupo B
63
Álvaro: Pintámos 25 quadradinhos em cada toalha, por isso
é igual a 25
centésimas.
Sofia: E para sabermos qual a quantidade pintada nas duas fazemos 25
mais 25, que é metade de uma toalha.
Álvaro: Para dizermos em fração temos que fazer
mais
. É o mesmo que
quando temos aqui dividido em 8 e temos estes dois pintados mais
outros dois pintados, dá
que é metade.
Sofia: Que é o mesmo que ter 50 centésimas, que se pode escrever
assim e assim [e regista 0,50 e 0,5]
Álvaro: E em percentagem é fácil, 50%. Estes valores são todos iguais.
Podemos concluir que
mais
é metade, que é igual a
que é o
mesmo que
Sofia: Basta contar os quadrados! ... são 25.
Transcrição 4.9. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa 4,
problema 2
64
O grupo C acompanhou todo o desenvolvimento das atividades, contudo, teve pequenos erros
por falta de domínio dos termos, acabando por confundir a representação das décimas e das
centésimas (ver Fig.4.23.).
Figura 4.23. Resolução da tarefa 4 pelo grupo C
65
Nesta segunda atividade, os alunos já utilizaram corretamente a representação decimal (ver
Fig.4.24. e Fig.4.25), relacionando-a com a representação fracionária e percentual, entendendo
o que estão a fazer (ver Transcrição 4.10.).
Figura 4.24. Resolução da tarefa 4, parte 1, pelo grupo C
66
Natália:
da toalha é dividir a toalha em 4 e pintar uma parte.
Ricardo: 25 centésimas é pintar 25 quadradinhos.
Natália: Metade é assim, e agora, dividir assim (divide a toalha C com as
mãos para encontrar a quarta parte), são 1, 2, 3, 4,... 24, 25
quadradinhos também. É a mesma coisa.
Natália:
já sabemos que é igual à metade.
Ricardo: Vamos pintar metade assim, a fazer um triângulo.
Natália: 0,20 são 20 quadrados que temos de pintar. E depois 0,02 são
dois.
Ricardo: Pintamos assim, um aqui e metade mais metade do outro, para ser
diferente.
Transcrição 4.10. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
4
Figura 4.25. Resolução da tarefa 4, parte 2, pelo grupo C
67
4.3.1.4. Sessão 5 - significados quociente e parte-todo
Esta foi a terceira aula onde se abordou uma tarefa com significado quociente tendo sido
realizada na sequência de outras aulas onde foram realizadas tarefas com significado parte-todo.
Na tarefa 6três meninas dividem duas tartes e nove meninos dividem seis tartes iguais às das
meninas (ver Fig.4.26.). A professora acrescenta oralmente que em cada um dos grupos os seus
elementos comem a mesma quantidade de tarte.
Nesta tarefa, com significado quociente o grupo A utilizou a mesma estratégia que na tarefa
anterior com igual significado, desta vez dividindo todas as tartes com o mesmo número de
divisões e colorindo as partes que cada menino iria comer (ver Fig.4.27.). Desta forma o grupo
sentiu-se confiante para fazer novas conjeturas (ver Transcrição 4.11.).
Alberto: 3 meninas e 9 meninos… 3 é a terça parte de 9. E dois é a terça
parte de seis (refere-se ao número de tartes). É a mesma
quantidade.
Angelina: Então, duas tartes para dividir por 3 meninas, cada tarte divide-se
em 3 fatias iguais. Uma menina come esta e come esta (uma fatia
de cada tarte pintada). Os meninos também podem dividir as tartes
em 3 em vez de seis, como estavas a dizer, e cada menino come
duas fatias de três fatias em cada tarte.
Alberto: Uma menina come duas fatias em duas tartes divididas em três
que é
e um menino come também
.
.Professor: E a que corresponde o
dos meninos?
Figura 4.26. Tarefa 5 no significado quociente
68
Alberto: À quantidade comida por cada um. Cada comeu duas fatias em
seis tartes, mas estavam divididas em três partes iguais como as
das meninas.
Transcrição 4.11. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 6
Os alunos do grupo A, com calma e ponderação, resolveram a tarefa no significado quociente.
Mostraram-se seguros na sua aprendizagem e com segurança demonstram como dominam
trabalhar com fração equivalentes que lhes foram apresentadas (ver Transcrição 4.12.).
Alberto: 6 meninas comem
porque podemos dividir as tartes em três e é
mais fácil para comparar com os rapazes.
Angelina: Também podemos dizer que os rapazes comeram
em vez de
,
é a mesma quantidade, só que dividimos a tarte em 6 partes
iguais.
Figura 4.27. Resolução da tarefa 5 pelo grupo A
69
Alberto: Então, se as meninas comem
e os meninos comem
as meninas
é que comem mais tarte.
Transcrição 4.12. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 6
Os alunos do grupo B voltam a deparar-se com um problema de equivalência de fração. Na
sequência das outras tarefas o Álvaro chegou à conclusão que trabalhava com fração que
representavam a mesma parte do todo e que se conseguisse multiplicar o numerador e o
denominador pelo mesmo número, iria obter a mesma quantidade (ver Transcrição 4.13.).
Álvaro: Se três meninas comem duas tartes, cada uma come
da tarte e
se nove meninos comem seis tartes cada menino come
da tarte!
Sofia: Mas assim não sabemos quem come mais. Temos de as dividir
igualmente para ver…
Álvaro: Não é preciso,
=
. Se multiplicarmos as duas tartes (dos
meninos) por três, dá seis, que é o número de tartes dos meninos e
se multiplicarmos por três aqui (aponta para a tabela onde diz 3
meninos) dá 9, que é igual ao número de meninas.
Sofia: Se dois terços é igual a seis nonos então cada menina come tanto
como cada menino.
Transcrição 4.13. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
6
70
Mesmo assim Sofia recorre ao desenho pictórico de forma a verificar se a explicação que o
Álvaro dá é válida e conclui que sim (ver Fig.4.28.).
Álvaro, por sua vez, não precisa de fazer qualquer desenho, construindo uma tabela com a
informação do enunciado estabelecendo corretamente o raciocínio proporcional. Sem ter
estudado formalmente em sala de aula, o aluno conjetura sobre como criar frações equivalentes,
justificando que multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo valor, a parte comida
pelos meninos é a mesma (ver Fig.4.29.).
Figura 4.28. Resolução da tarefa 5 por uma aluna do grupo B
Figura 4.29. Resolução da tarefa 5 por uma aluna do grupo B
71
O grupo C resolveu toda a tarefa com o número de meninos e o número de tartes de meninos
trocados (ver Fig.4.30.). O que denota falta de atenção aquando a leitura do enunciado.
Figura 4.30. Resolução da tarefa 7 pelo grupo C
72
Confrontados com outros valores que não os dados na tarefa,
em vez de
, os alunos do grupo
C mostram que são capazes de ordenar fração, notando que estas não são equivalentes e que
é maior do que
(ver Transcrição 4.14.).
Natália: Na tabela pomos as tartes e os meninos e vamos ver se comem o
mesmo. 9 tartes e 6 meninos e 2 tartes e 3 meninas (trocou o nº
de meninos com o nº de tartes). Já viste, só há aqui o dobro das
meninas, mas há muito mais que o dobro de tartes.
Ricardo: Então não comem a mesma quantidade, porque há mais meninos
e o número de tartes é maior do que se fosse para comerem o
mesmo. Aqui vamos fazer igual, desenhamos as tartes e dividimos
cada uma para as seis meninas. Pela tabela vemos logo que os
meninos comem mais. Para comerem o mesmo tinha de haver o
dobro de tartes das meninas, e há muito mais.
Transcrição 4.14. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
6
Na tarefa proposta com significado parte-todo (ver Anexo 5, p.147) foi pedido aos alunos que
recriassem o todo mediante os valores indicados. Numa das questões, a meio da tarefa, o
pedido era indicar uma percentagem do todo já dado.
73
Na figura 4.31. tem-se um exemplo da tarefa resolvida corretamente na íntegra pelo grupo B.
Figura 4.31. Resolução da tarefa 7 pelo grupo B
74
Os grupos A (ver Transcrição 4.15.) e C (ver Fig.4.32.) na questão 2, por uma má interpretação
do enunciado, responderam como se encontrar o todo fosse o pedido.
Angelina: Se este quadrado corresponde a 25% da figura para dar o 100%
tem de ser 25+25+25+25.
Alberto: Temos de desenhar mais 3 quadrados iguais a este.
Transcrição 4.15. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 7
Logo no início do trabalho, o grupo C construiu erradamente o todo da primeira questão (ver
Fig.4.33.), construindo uma tabela 10x10, como se o pequeno quadrado valesse 1%. Depois de
os próprios alunos desconstruírem esta confusão, conseguiram fazer uma figura em que o
quadrado inicial valesse 10% (ver Transcrição.4.16.).
Natália: Se este quadrado vale 10% da figura toda temos de fazer um
quadrado gigante de 100 quadrados. Fazemos assim, este é
de uma barra com 10, mais nove barras. [...depois de
construírem uma grelha 10x10]
Professora: O quadrado pequeno é que parte do quadrado grande?
Ricardo: …Desenhámos uma figura com 100 quadrados, um quadrado
pequeno é igual a uma centésima.
Natália: Tens razão, fizemos mal. Se este aqui (aponta para quadrado
inicial) é 10% então era só preciso serem 10 quadrados.
Transcrição 4.16. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
7
Figura 4.32. Resolução da tarefa 7 pelo grupo C
75
Figura 4.33. Resolução da tarefa 7 pelo grupo C
76
4.3.1.5.Sessões 6 e 7 - significado operador
Nas sessões do dia 9 e do dia 12 os alunos resolveram situações problemáticas envolvendo o
significado operador (ver Fig.4.34.).Foi a primeira vez que, intencionalmente, a turma trabalhou
este significado, havendo, constantemente, a relação entre as diferentes representações,
decimal, fracionária e percentagem.
Os grupos A, B e C foram consistentes nas suas resoluções e recorreram à divisão da
quantidade dada pelo número indicado no denominador da fração. Quando o valor não foi dado
sobre a forma de fração, os alunos optaram por representar a percentagem ou o número
decimal em fração, para assim operarem com um registo que lhes era mais familiar (ver
Fig.4.35. e ver Transcrição 4.17.).
Figura 4.34. Tarefa 8 no significado operador
Figura 4.35. Resolução da tarefa 8 pelo grupo A
77
Alberto: A Ana gastou 0,50 da sua mesada, é metade da mesada.
Angelina: Já só vai ficar com metade da mesada para a prenda. Fica com
metade de 25€.
Alberto: Um meio de 25 é igual a dez mais dois e meio.
Angelina: A Ana gastou doze euros e meio da sua mesada!
Transcrição 4.17. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 8
Uma aluna do grupo B confundiu, na primeira tarefa, 0,50 da mesada com 0,50€ da mesada,
fazendo apenas uma subtração para obter o resto que faltava para ter o dinheiro pretendido (ver
Fig.4.36.). Enquanto a outra colega, do mesmo grupo, calculou a metade de 25 e usou a divisão
parcial para obter o resultado (ver Fig.4.37.).
Figura 4.36. Resolução da tarefa 8 por um aluno do grupo B
Figura 4.37. Resolução da tarefa 8 por um aluno do grupo B
78
Como se pode observar pela Transcrição 4.18., o Álvaro conseguiu entender a situação
problemática, resolvendo-a e explicando o seu procedimento à Sofia, que apesar de se aperceber
do seu erro não o corrigiu na sua resolução.
Álvaro: Vamos tirar os 0,50 da sua mesada.
Sofia: Sim, tiramos e dá o valor que ele gastou.
Álvaro: Quanto te deu? Deixa ver, o que estás a fazer?
Sofia: Tiro os 50 cêntimos aos 25 euros.
Álvaro: Aqueles 0,50 não são euros, são centésimas! É como se fosse
0,5, a metade. Metade de 25€é 12,5, vês?
Sofia: Ah, tens razão.
Transcrição 4.18. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
8
No problema 2, tanto o grupo A como o grupo B converteram os 25% em fração, trabalhando
depois com
de 20, que automaticamente souberam dizer que era 5 (ver Fig.4.38.).
À semelhança dos grupos anteriores, o grupo C mostrou que também prefere trabalhar com
fração do que com percentagem. Através da transcrição 4.19. podemos perceber que o aluno
toma o 50% como referência para ter noção do quanto é 25% e que a sua colega percebendo
que 25% corresponde a metade da metade faz o paralelismo com
.
Figura 4.38. Resolução da tarefa 8 pelo grupo A
79
Assim, indicam a divisão que têm de fazer para resolver o problema, concretizando este
processo na indicação 20:4, dividindo a quantidade que tinha sido dada pelo numerador da
fração que escreveram (ver Fig.4.39.).
Ricardo: 50% é metade de 100% por isso 25% é metade da metade.
Natália: Sim, é um quarto de 100. Por isso 25% é igual a
.
Natália: O total de berlindes do Rui é 20, temos de dividir o 20 por 4
caixinhas e fica…
Ricardo: [interrompe] 5 berlindes.
Natália: 20 a dividir por 4 dá 5, o Rui deu 5 berlindes.
Transcrição 4.19. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
8
Figura 4.39. Resolução da tarefa 8 pelo grupo C
80
No problema 3, o grupo A optou por fazer o algoritmo da divisão, dividindo o número total de
peças necessárias para o colar por 3, número que está no denominador da fração
(ver
Fig.4.40.). Os alunos demonstram destreza no trabalho com fração de referência, como o
,
sabendo, com facilidade, que o 7 do quociente corresponde a fração
do total.
O grupo B, numa tentativa de justificar o seu raciocínio (ver Transcrição 4.20.), após ter efetuado
a divisão do número total de peças, 20, por 3 para saber quanto é um terço de 21 ainda
subtraiu os dois terços de peças que a mãe já tem ao número de peças necessárias,
confirmando assim que 7 é o número de peças que é preciso comprar (ver Fig. 4.41.).
Figura 4.40. Resolução da tarefa 8 pelo grupo A
Figura 4.41. Resolução da tarefa 8 pelo grupo B
81
Álvaro: 21 peças é o total.
Sofia: A mãe já tem
das peças que precisa.
Álvaro:
é duas vezes
. Se 21 é o todo é igual a
.
Sofia: Temos de dividir o todo em 3 partes iguais. (…) Este sete é
de 21.
Álvaro: Às 21 peças temos de tirar os
que ela já tem e dá 7.
Transcrição 4.20. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
8
O grupo C teve um procedimento similar ao grupo B, partindo logo do conhecimento do valor de
de 21. Porém, para mostrar quanto é
de 21 os alunos efetuam a divisão chegando ao 7,
como podemos ver na figura 4.42.
Figura 4.42. Resolução da tarefa 8 pelo grupo C
82
Os grupos resolveram de uma forma semelhante os três problemas (ver Fig.4.43) no significado
operador do dia 12.
Os três grupos assumiram que a quantidade a trabalhar, apesar de discreta, era contínua e
aplicaram o pensamento que utilizariam para uma situação de parte-todo.
O grupo A, como se pode ver pela figura 4.44, dividiu o número total de amigos convidados para
a festa por 5, e ao quociente multiplicou-o por 4, sendo que
de 40 é 32.
Figura 4.43. Tarefa 10 no significado operador
Figura 4.44. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A
83
Na resolução do problema 3, o grupo A continua a demonstrar que se sente
confortável na resolução de problemas com fração, fazendo de imediato o valor de
de
30 e
de 20. (ver Fig.4.45.).
Em relação ao grupo B, aquando da resolução do problema 1, as alunas dividiram 40 por 5 para
calcular
de 40, não bastando este cálculo, escreveram uma expressão utilizando a adição de
fração de forma a mostrar como chegaram ao valor final de 23 (ver Fig.4.46.).
Figura 4.45. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A
Figura 4.46. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B
84
No problema 2, o grupo B continua a registar o seu raciocínio através de operações com fração,
calculando
+
(ver Fig.4.47.).
Como se pode ver na figura 4.48 os alunos, para resolver o problema 3,primeiro calculam
quanto é
de 30 e é curioso a forma como reduzem este significado ao significado parte-todo,
representando a quantidade discreta, os berlindes, por um círculo. Visualmente é fácil verificar
que sobram 20 berlindes, e é sobre este valor que as alunas depois calculam a quarta parte,
dividindo-o por 4.
Figura 4.47. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B
Figura 4.48. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B
85
O grupo C, tal como os outros dois grupos, no problema 1, optou por, de uma forma simples,
dividir o número correspondente ao número de amigos, 40, por 5, número apresentado no
denominador da fração
(ver Fig.4.49.). O grupo revela entender que se o todo está dividido em
quintos então é porque cada uma das partes é
, logo 40 a dividir por 5 corresponde à quinta
parte de 40.Posteriormente, para saber quantos amigos foram à festa, o grupo teve necessidade
de multiplicar o 8, que corresponde a
de 40, por 4, para obter o valor pedido.
Face ao problema 2 os alunos do grupo C recorrem a uma reta numérica (ver Fig.4.50.) para
registar a informação que retiram do problema e utilizam-na como auxílio na resolução do
mesmo. Desta forma, os alunos dividem a reta numérica marcando 4 traços e marcam no
quarto traço a fração
e o seu valor correspondente, 12. A partir daqui, como se pode ver na
Transcrição 4.21. os alunos recorrem aos múltiplos de 4 para encontrar os valores de cada
fração, na tentativa de encontrar o valor que corresponde a
, logo à unidade pretendida.
Figura 4.49. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C
Figura 4.50. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C
86
Natália: Vamos fazer assim uma reta e traçar os valores que temos.
Ricardo: Temos de a dividir em 4, para ser
.
Natália: Marcamos aqui o
, podemos pôr por cima quanto é, não achas?
Ricardo: Sim, pomos o 12.
Natália: Se aqui é 12 e damos 2 saltinhos é porque é sempre mais 4, ora
deixa-me tentar (…) Se não tenho nada e tenho mais 4 fico com 4,
que era o
, depois mais 4 que dá 8 e era o
, mais 4 e dá o 12
que já sabíamos e agora, para ser
temos de pôr mais uma vez o
4, que é 16.
Transcrição 4.21. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
10
Na resolução do problema 3, o grupo resolveu rapidamente e sem hesitações como se pode ver
pela figura 4.51., calculando primeiro
de 30 e depois de subtrair este resultado ao total de
berlindes, dividiu-o por 4, uma vez que se falava em os distribuir pelas 4 amigas.
Figura 4.51. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C
87
4.3.1.6. Sessão 8 - significados quociente e operador
A quarta aula onde os alunos se defrontaram com o significado quociente é na oitava sessão,
após terem tido contacto com fração com significado operador.
Na tarefa com significado quociente, quatro meninas dividem três tartes e cinco meninos
dividem quatro tartes iguais às das meninas (ver Fig.4.52).
No grupo A, os alunos selecionam os dados da tarefa e demonstram que continuam a saber
bem que nesta tarefa, com significado quociente, o numerador corresponde ao número de tartes
e o denominador ao número de pessoas (ver Fig.4.53. e ver Transcrição 4.22.).
Angelina: Precisamos de ver o que cada menina come. 4 meninas dá
de
tarte para cada uma. Neles é quatro tartes a dividir para os cinco,
que é 4 sobre 5.
Alberto: Os meninos comem fatias mais pequenas porque cada fatia é
e
essa fatia é mais pequena do que as das meninas que é um quarto
da tarte.
Angelina: Então eles não podem comer o mesmo!
Alberto: As meninas comem
e os meninos comem
. Desenhamos para
mostrar. As fatias dos meninos são mais pequenas por isso sobra
menos em cada um do que nas meninas.
Figura 4.52. Tarefa 9 no significado quociente
88
Angelina: As meninas comem
e sobra
.
é maior, logo sobra mais tarte às
meninas.
Transcrição 4.22. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa 9
Figura 4.53. Resolução da tarefa 9 pelo grupo A
89
No grupo B, o Álvaro continua a revelar um domínio das operações com fração. Intuitivamente o
aluno adiciona e subtrai fração, tendo sempre consciência do significado do numerador e do
denominador destas (ver Transcrição 4.23). Sofia continua a precisar ainda de concretizar a
divisão das tartes pelo número de meninos (ver Fig.4.54).
Álvaro: Se temos 3 tartes para 4 meninas é porque cada uma vai comer
de tarte. O mesmo para os meninos, estás a ver aqui na tabela
[aponta para a pequena tabela que construiu na folha]?
Sofia: Então quatro meninas e três tartes. Para ser justo cada tarte é
dividida em quatro e assim cada menina come
da tarte. Tinhas
razão, cada menina come ao todo
da tarte.
Álvaro: Os meninos é igual. 4 tartes, 5 meninos, logo cada um come
das
tartes. Mas assim não sabemos quem come mais. Temos que ver
quem come mais. Só dá vendo quem deixa mais tarte.
Sofia: No que cada um come as meninas deixam mais.
Álvaro: Sim, nas meninas para haver
é preciso haver mais
e nos
meninos é só preciso haver
. Nas meninas sobra
que é mais do
que nos meninos. Cada menino come mais porque sobra menos
quantidade de tarte.
Transcrição 4.23. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
9
90
No grupo C, de forma a confirmar o que discutem (ver Transcrição 4.24.), os alunos desenham
as tartes e dividem-nas, apesar de não atenderem a divisões com igual tamanho. Desde logo que
têm noção da fração de tarte que cada menino e cada menina comem, contudo precisam de
recorrer ao registo pictórico para confirmar as quantidades comidas e para comparar os seus
tamanhos. Só depois fazem o paralelismo com a escrita simbólica das frações (ver Fig.4.55.).
Natália: Temos de fazer a tabela, é mais fácil. No lado dos meninos há mais
uma tarte e mas um menino do que no lado das meninas. Se são 4
tartes e 5 meninos cada um come
, não é?
Ricardo: Sim, e as meninas como são quatro a comer três tartes cada uma
come uma fatia se dividirmos as tartes em quatro partes iguais.
Figura 4.54. Resolução da tarefa 9 pelo grupo B
91
Natália: Cada menina vai comer menos que os meninos porque
é menor
do que
. Cada tarte pode ser dividida assim, com estes traços faz
de conta que ficam iguais. Cada menino come quatro fatias, por
isso é
. As meninas é igual, cada uma come três do mesmo
tamanho destas quatro [fatias] de uma tarte. Vamos ver como
vimos ali. Quem é que come mais?
Ricardo: Não se vê bem nos desenhos… Podemos tentar o que sobra na
tarte.
Natália: Nos meninos uma fatia é menos que nas meninas. Sobra menos
nos meninos! Por isso têm de ser eles a comer mais.
Transcrição 4.24. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
9
Figura 4.55. Resolução da tarefa 9 pelo grupo C
92
Na tarefa relativa ao significado operador, os alunos tinham duas situações problemáticas para
resolver (ver Fig.4.56.).
Em todos os problemas os alunos dos diferentes grupos conseguiram responder corretamente
com exceção do grupo A que errou a 2.ª situação problemática.
À semelhança das resoluções das tarefas anteriores no significado operador, o grupo A efetuou a
divisão do número total de cromos por 4, uma vez que estavam a trabalhar com
do todo (ver
Fig.4.57.). Desta forma descobriram quanto era
de 40 e multiplicaram esse valor por 3,
conseguindo assim calcular o valor da fração correspondente aos cromos dados aos colegas.
Para saberem com quantos cromos ficou o menino este grupo faz uma simples subtração.
Figura 4.56. Tarefa 10 no significado operador
Figura 4.57. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A
93
O grupo B resolve a situação recorrendo ao cálculo mental (ver Fig.4.58), acabando por justificar
o seu raciocínio verbalmente e apenas dar por escrito a resposta às perguntas colocadas. Uma
aluna diz logo que
de 40 é 30 pois cada quarto é 10 e explica o seu pensamento à colega (ver
Transcrição 4.25.) .
Álvaro: Fazer este problema com estes dados é fácil! […] Se o 40 foi
dividido em quartos, cada quarto é 10. Quantos cromos dei ao
colega? Se dei
foi 30 e sobrou-me o restante, que são 10.
Transcrição 4.25. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
10
O grupo C seguiu a linha de pensamento dos grupos A e B, desta vez não utilizou uma reta para
dividir a unidade mas sim resolveu fazer a operação de imediato, utilizando para divisor o
denominador da fração que aparecia no enunciado. Tal como o grupo A, após ter calculado o
valor correspondente a
recorrendo à soma de três
ainda fez a subtração para saber qual a
quantidade de cromos com que se ficou (ver Fig.4.59.).
Figura 4.58. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B
Figura 4.59. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C
94
No problema 2, os alunos do grupo A baralharam 3 décimas com um terço. Pensa-se que os
alunos terão cometido este erro por falta de atenção (ver Transcrição 4.26.), assim, quando
viram um 3 foram induzidos a pensar que seria para dividir o 150 por 3 (ver Fig.4.60.).
Angelina: A Diana tem 0,3 dos cromos do Marcelo. É só fazer o terço de 150.
Alberto: Hummm, 150 a dividir por 3 é 50.
Angelina:
de 150 cromos é igual a 50. A Diana tem 50 cromos
Transcrição 4.26. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa
10
.
O grupo B fez a correspondência entre o número decimal e a percentagem, calculando assim
30% do total de cromos (ver Fig.4.51.). Para isso primeiro, como cálculo auxiliar, recorreu a 10%
de 150, de seguida, já de uma forma completamente seguram calculou 30% de 150 (ver
Transcrição 4.27.).
Figura 4.60. Resolução da tarefa 10 pelo grupo A
Figura 4.61. Resolução da tarefa 10 pelo grupo B
95
Sofia: Como é que vamos saber 0,3 de 150…se fosse 0,5 era metade… assim…
Álvaro: Sofia, podemos resolver com os por cento, é igual!
Sofia: 150 é igual a 100%.
Álvaro: E 0,3 é 30%. Sabemos que 10% dos cromos é 150 a dividir por 10. 150 a
dividir por 10 é 15 cromos.
Sofia: Então 10% dos cromos é igual a 15 cromos.
Álvaro: 30% é como nas fatias, é igual a 10% mais 10% mais 10%. Fica 3 vezes o
10% que é o 15. 3 vezes 15 dá 45.
Sofia: Ah, 30% é 45.
Transcrição 4.27. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
10
O grupo C continuou a trabalhar com a representação do número racional dada e, à semelhança
da estratégia de cálculo do grupo B (ver Fig.4.62.), calculou primeiro 0,1 de 150 e depois
multiplicou esse valor por 3 para conseguir descobrir quanto seria 0,3 de 150 (ver Transcrição
4.28.).
Figura 4.62. Resolução da tarefa 10 pelo grupo C
96
Natália: O Marcelo tem 150 cromos e a Diana tem 3 décimas dos cromos dele. Uma
décima de 100 é 10.
Ricardo: Sabemos que multiplicar por uma décima é igual a dividir por 10.
Natália: Boa Manel, 0,1 vezes 150 é só fazer 150 a dividir por 10. Vamos escrever.
[fala enquanto acompanha a escrita] uma décima dos cromos do Marcelo é
igual a uma décima de 150 que é igual a… [espera]
Ricardo: 150 a dividir por 10 é só tirar o último zero, 15. Agora é fazermos 3 vezes o
15 que vai dar igual ao 0,3.
Natália: 3 x 15 é igual a: 15 e 15, 30 mais 15, 45. A Diana tem 45 cromos.
Transcrição 4.28. Extracto de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
10
97
4.3.1.7. Sessão 9 - significados parte-todo e operador
Na sessão 9, no dia 16 de Março, os alunos resolveram duas tarefas onde o número racional
apresenta diferentes significados, significado parte-todo e significado operador.
Na tarefa no significado parte-todo (ver Fig.4.63.) os alunos tiveram contacto com uma história
onde um Rei morre e deixou um testamento com as partilhas da sua fortuna pelos seus filhos.
Ao longo das questões relacionadas com este problema, os alunos demonstram ter
compreendido as relações entre as partes e as partes e o todo, relacionando-as também
operativamente na situação problemática envolvendo a representação fracionária, decimal e
percentual.
Figura 4.63. Tarefa 11 no significado parte-todo
98
De forma a descobrir qual a representação pictórica correspondente à distribuição da fortuna do
rei seguindo as indicações dadas, o grupo A demonstrou que escolheu a figura B depois de ter
relacionado a percentagem de cada porção de terreno com as frações dadas (Fig.4.64.), depois
de ter estabelecido paralelismo da fração
com 50% e da fração
com 25%, os alunos
calcularam a percentagem destas duas frações e subtraíram essa quantidade a 100%.
Continuaram estes cálculos e mostraram quanto era
em percentagem, calculando
de 25.
Figura 4.64. Resolução da tarefa 11 pelo grupo A
99
O grupo B identificou a unidade do terreno e dividiu-a recorrendo a cores para marcar as
divisões (ver Fig.4.65.), conseguindo estabelecer relação entre a percentagem e as frações do
terreno, tendo deixado para o fim a identificação da fração
por ser a que se repete duas vezes,
para ser dada aos dois irmãos.
Figura 4.65. Resolução da tarefa 11 pelo grupo B
100
O Grupo C analisa os três terrenos e seleciona o B por exclusão de partes (ver Fig.4.66.).
Demonstra que a figura A não pode ser uma vez que sabem que 25% não corresponde a
da
figura e excluem a figura C uma vez que sabem que o terreno não foi dividido em quatro partes
iguais (ver transcrição 4.29.).
Natália: Olha, esta figura [aponta para a figura C] não pode ser pois está dividida em
quatro partes iguais.
Ricardo: E os irmãos não receberam todos a mesma quantidade de terreno!
Transcrição 4.29. Extrato de diálogo entre o par do grupo C relativamente à resolução da tarefa
11
Figura 4.66. Resolução da tarefa 11 pelo grupo C
101
Todos os grupos resolveram as questões 3 e 4 da mesma forma (ver Fig.4.67.). Apropriaram-se
de uma divisão justa e equitativa, dividindo a fortuna do rei por quatro, desta forma, cada filho
iria receber 2250 pesos reais.
A título de exemplo, pode-se ver que os alunos do grupo A optaram por representar as divisões
feitas na fortuna por percentagem, utilizando o 25%, contudo, quando calcularam quanto recebia
cada filho em pesos reais, os alunos recorreram à representação fracionária, partindo da metade
de 9000 calcularam depois a
de 4500. De forma a justificar os seus cálculos, apresentam um
esquema onde se pode ver que 4 vezes 2250 é igual a 9000.
Figura 4.67. Resolução da tarefa 11 pelo grupo A
102
Na tarefa com significado operador, os alunos tinham um conjunto de três situações
problemáticas para resolver.
Na primeira (ver Fig.4.68.), era pedido que descobrissem o número de tampas perdidas
sabendo que havia 6 tampas e se perderam
. O facto do total de tampas ser 6 e a fração
perdida estar representada em sextos fez com que os alunos nesta tarefa manifestassem um
grande a vontade e domínio sobre o pedido.
O grupo A recorre ao seu conhecimento de fração e apercebe-se que
é equivalente a
, logo
de 6 tampas é 2 tampas (ver Fig.4.69.).
Figura 4.68. Tarefa 11 no significado operador
Figura 4.69. Resolução da tarefa 12 pelo grupo A
103
Por sua vez o grupo B calcula de imediato quanto é
de 6, considerando que 6 tampas é o
todo,
será 2 tampas (ver Fig.4.70.).
O grupo C ainda necessita de fazer um registo pictórico para descobrir quanto são
de 6 (ver
Fig.4.71.). Faz as divisões para ter
de 6, que corresponde a uma tampa e depois riscou duas
tampas, o correspondente a
.
Na segunda tarefa, sabendo que o Ricardo tinha 12 tampas e deu 9 a um amigo, era pedido que
os alunos calculassem a fração de tampas dada pelo Ricardo (ver Fig.4.72.).
Figura 4.70. Resolução da tarefa 12 pelo grupo B
Figura 4.71. Resolução da tarefa 12 pelo grupo C
Figura 4.72. Tarefa 12, pergunta 2
104
Tanto o grupo A como o grupo B subtraíram as 9 tampas ao total de tampas que havia. Os
alunos rapidamente souberam que 3 era
de 12 e que se o Nuno recebeu 9 tampas, então
recebeu 3 vezes
, sendo a fração correspondente
(ver Fig.4.73.).
Seguindo a linha de raciocínio do exercício anterior o grupo C recorre à representação pictórica
do problema (ver Fig.4.74.), dividindo as 12 tampas em quatro grupos de 3 e posteriormente
vendo que 9 tampas correspondem a três grupos de um total de quatro grupos de 3 tampas.
Figura 4.73. Resolução da tarefa 12 pelo grupo B
Figura 4.74. Resolução da tarefa 12 pelo grupo C
105
Na terceira situação problemática (ver Fig.4.75.) os alunos tinham que calcular quanto eram as
tampas do menino sabendo que 3 tampas correspondiam a
do total das tampas.
Mais uma vez, tanto o grupo A como o grupo B utilizaram a mesma estratégia, multiplicando 3
tampas por 4 (ver Fig.4.76.), demostrando que têm noção de que tendo informação de quanto é
conseguem facilmente calcular o total repetindo esse valor 4 vezes.
O grupo C recorre à representação pictórica e esquemática (ver Fig.4.77.) para conseguir
calcular o número de tampas que corresponde à unidade, ou seja a
.
Figura 4.75. Tarefa 12, alínea 3
Figura 4.76. Resolução da tarefa 12 pelo grupo A
Figura 4.77. Resolução da tarefa 12 pelo grupo C
106
4.3.1.8. Sessão 10 significado medida
Na sessão 10 do dia 19 de Março, os alunos resolveram duas tarefas onde o número racional
apresenta o significado de medida.
Foi proposto aos alunos que na primeira tarefa (ver Fig.4.78.) depois de observarem a figura
dissessem quanto mede o segmento de reta C tendo como unidade de medida o segmento de
reta A e utilizando como unidade de medida o segmento de reta A dissessem quanto mede o
segmento de reta B.
Todos os grupos responderam acertadamente ao que lhes foi pedido concretizando as suas
respostas de uma forma muito uniforme. Como exemplo, o grupo A reconhece o segmento de
reta A como unidade de medida e verifica que este cabe duas vezes no segmento de reta C,
medindo assim o dobro da unidade de medida.
Figura 4.78. Tarefa 13 no significado medida
107
Em relação ao segmento de reta B, o grupo verifica que é metade da unidade de medida e
representa esse valor recorrendo à representação decimal (ver Fig.4.79. e 4.80.).
Na segunda tarefa os alunos tinham de observar o comprimento de 5 barras e responder a 4
perguntas, comparando-as (ver Fig.4.81.).
Figura 4.79. Resolução da tarefa 13, alínea 1, pelo grupo A
Figura 4.80. Resolução da tarefa 13, alínea 2, pelo grupo A
Figura 4.81. Tarefa 14 no significado medida
108
Todos os alunos responderam corretamente, à excepção do grupo B que, como se pode
observar na figura 4.82., na última questão respondeu incorrectamente, dizendo que a barra 4
mede 1 unidade e
.
Este erro poderá ter sido devido a uma leitura errada da barra, havendo uma confusão da
unidade de medida considerada. Assim, desta forma, para descobrir qual era a fração
correspondente à parte excedente da barra 4 em relação à barra 3, o grupo B tomou como
unidade de medida a própria barra 4.
Figura 4.82. Resolução da tarefa 14 pelo grupo B
109
4.3.1.9. sessão 11 significados quociente
A 21 de março e depois de ser explorado o conceito de fração com significado medida, os alunos
realizaram uma tarefa com significado quociente.
Nessa tarefa um grupo de amigos foi a uma festa de anos. Seis raparigas comeram quatro
pizzas e três rapazes comeram uma pizza. As pizzas eram todas do mesmo tamanho. Foi
questionado aos alunos quem comeu mais pizza, cada menino ou cada menina, sabendo que
todos comiam fatias de igual tamanho, e por que razão.
O grupo A revela uma compreensão muito grande sobre frações equivalentes e de forma
informal transforma
em
para lhes ser mais fácil (ver Transcrição 4.30.). Assim, compara a
quantidade comida pelas meninas com a quantidade comida pelos meninos, ou seja, compara
a
(ver Fig.4.83.).
Alberto: 6 meninas comem
porque podemos dividir as tartes em três e é mais fácil
para comparar com os rapazes.
Angelina: Também podemos dizer que os rapazes comeram
em vez de
, é a mesma
quantidade, só que dividimos a pizza em 6 partes iguais.
Alberto: Então, se as meninas comem
e os meninos comem
as meninas é que
comem mais pizza.
Transcrição 4.30. Extrato de diálogo entre o par do grupo A relativamente à resolução da tarefa
15
110
No grupo B assiste-se aos alunos recorrerem à quantidade que sobra das pizzas para comparar
a quantidade comida por cada um. Os alunos apercebem-se que as raparigas comem
e que
este valor é maior do que a metade da pizza (
). Como os rapazes comem
de pizza então os
alunos comparam os dois valores tendo como referencial a metade da pizza. O Álvaro, depois da
discussão com a colega e depois do registo por desenhos do que falaram (ver
Fig.4.84.),apercebe-se que
é equivalente a
e que
é mais
do que a quantidade comida
pelos rapazes (ver Transcrição 4.31.).
Álvaro: Vamos fazer o registo, seis raparigas, 4 pizzas, 3 rapazes e uma pizza.
Sofia: Posso dividir cada pizza em 6 fatias para dar uma a cada menina.
Álvaro: E podes fazer o mesmo para os meninos, vai dar
para cada um.
Sofia: Sim, e cada menina come
.
Álvaro: Claro, 4 pizzas para as 6 e uma para os 3. Vamos ver quem comeu mais.
Temos
e
.
Figura 4.83. Resolução da tarefa 15 pelo grupo A
111
Sofia: Nas pizzas …
passa a metade da pizza e
é menos que metade. As
raparigas comem mais.
Álvaro: Pois é! Cada rapariga come mais do que
porque come o mesmo que
se
as divisões fossem em três partes e não em seis. E
é mais
do que
que
é o que cada rapaz comeu.
Transcrição 4.31. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
15
No grupo C, os alunos reconhecem o valor do numerador e do denominador com facilidade (ver
Transcrição 4.32.) contudo optam por comparar a quantidade de pizza que sobra em cada
situação (ver Fig.4.85.).
Natália: Havia 4 pizzas para 6 raparigas por isso é preciso dividir as 4 (pizzas) pelas
6 (meninas) que é
. Os rapazes eram três e comeram quatro pizzas.
Ricardo: Eles são menos que elas mas as pizzas também são menos. Se comessem
todos a mesma quantidade tinha de haver mais uma pizza para os meninos
para ser igual.
Figura 4.84. Resolução da tarefa 15 pelo grupo B
112
Natália: Cada rapaz come
, se comessem o mesmo (que elas) tinham de comer
.
Quem comeu mais foi cada rapariga. Sobra-lhes menos quantidade de pizza.
Transcrição 4.32. Extrato de diálogo entre o par do grupo B relativamente à resolução da tarefa
15
Figura 4.85. Resolução da tarefa 15 pelo grupo C
113
4.3.1.10. sessão 12 significados parte-todo e medida
No dia 23 de Março, na tarefa no significado parte-todo foi pedido aos alunos que respondessem
a um conjunto de 3 perguntas em relação a um modelo circular. Todos os grupos responderam
de acordo com o esperado, conseguindo fazer o paralelismo da quantidade pintada ou por pintar
em fração, decimal e percentagem.
O grupo A, demonstrando um domínio consciente do seu trabalho, apresentou as suas respostas
de uma forma muito completa e narrativa (ver Fig.4.86), explanando os seus argumentos para
as respostas dadas.
Figura 4.86. Resolução da tarefa 16 pelo grupo A
114
O grupo C resolve igualmente a tarefa, contudo é muito mais contido e linear no seu raciocínio
(ver Fig.4.87.), respondendo, por exemplo
, tendo alguma dificuldade em passar o mesmo
valor para décimas.
Figura 4.87. Resolução da tarefa 16 pelo grupo C
115
Tenho de comprar 2 quilograma e
de café. No supermercado há pacotes de
kg,
kg e 1 kg.
a) Que pacotes devo levar? Quais as possibilidades?
b) Quais escolho para levar a menor quantidade de pacotes?
A tarefa com significado medida consistia em verificar como é que os alunos conseguiam utilizar
pacotes de 1 kg,
kg e
kg para ter no final 2kg e
de café (ver Fig.4.88.).
O grupo A optou por construir uma tabela (ver Fig.4.89.) onde registasse todas as hipóteses
possíveis. Assim, de uma forma muito intuitiva, o grupo operou com as quantidades dadas de
café, conseguindo adicionar meios quilograma e quartos de quilograma.
Figura 4.88. Tarefa 16 no significado medida
Figura 4.89. Resolução da tarefa 16 pelo grupo A
116
Tanto o grupo B como o grupo C registaram algumas possibilidades de forma aleatória. A título
de exemplo, o grupo C (ver Fig.4.90.) começou pela combinação mais simples, passando depois
por utilizar pacotes de
kg, e, sem grande organização, descobriram seis possibilidades.
Figura 4.90. Resolução da tarefa 16 pelo grupo C
117
4.2.2. Algumas reflexões
Os alunos foram bem-sucedidos conseguindo responder acertadamente na maioria das
questões, porém as estratégias encontradas e as interações são diferentes e alvo de análise.
Significado quociente
Na trajetória de aprendizagem com tarefas no significado quociente, o grupo A revela um
raciocínio proporcional e reconhece a correspondência da representação do número racional
como fração e como percentagem, mesmo quando esta representação como percentagem não é
pedida.
No grupo B, verifica-se que ao longo das tarefas, as alunas divergem nos seus argumentos e na
concretização da resolução dos problemas. Um dos alunos necessita sempre de levar a cabo a
divisão e distribuição das tartes pelos meninos, percebendo assim que existe uma relação
inversa entre numerador e denominador, sendo que para melhor concretizar essa divisão, o
aluno recorre a cores nos seus esquemas. Por sua vez, o outro aluno do grupo não precisa de
levar a cabo a divisão das tartes, operando apenas simbolicamente. É este último aluno o motor
das resoluções das tarefas, trazendo para a discussão momentos importantes de reflexão sobre
a comparação e equivalência de frações, promovendo a construção de conhecimento.
No final da cadeia de tarefas com significado quociente, o grupo C mostra que, sem dificuldades,
consegue determinar corretamente a fração correspondente a cada recipiente e consegue
relacioná-las, comparando-as e ordenando-as corretamente. Recorrentemente, os alunos do
grupo C, justificam as respostas levando a cabo a divisão dos itens a dividir reduzindo o
significado quociente ao significado parte-todo, uma vez que apenas identificam a parte da piza
comida em relação ao total e não relacionam o número de itens com o número de recipientes.
Ao longo das atividades, denotou-se que quase todos os alunos recorreram à estratégia de,
através de tabelas ou desenhos, colocar tartes em cima e meninos em baixo, com exceção dos
alunos do grupo B na tarefa seis e de um aluno do grupo A nas tarefas cinco e seis, onde se
verificou o contrário. A estratégia de colocar tartes em cima e meninos em baixo indiciam a
correspondência da representação simbólica das frações: número de tartes como numerador e
118
número de meninos como denominador da fração, revelando compreensão na resolução das
tarefas e apropriação do conceito de fração.
Ao longo das tarefas, os alunos conseguem encontrar as principais relações existentes entre as
frações. Contudo, exprimem essas relações em linguagem verbal e mostram dificuldades em
representá-las utilizando a linguagem matemática. Ao longo deste percurso, os alunos não ficam
apenas pela representação pictórica da situação, todos avançam com a representação simbólica
da fração baseada nessa mesma representação. Em todas as tarefas propostas, os alunos
manifestaram à vontade na resolução das mesmas, conseguindo de uma forma intuitiva resolver
as questões colocadas e chegar à resposta correta das mesmas. Todos os alunos operam
intuitivamente com as fração, sendo capazes de as adicionar quando estas têm o mesmo
denominador, e ainda há alguns alunos capazes de adicionar frações com denominadores
distintos desde que possam substituir uma das frações por outra que lhe equivalente e de igual
denominador à fração a adicionar, utilizando sempre a representação sob a forma de fração.
Significado parte-todo
Em relação às tarefas com significado parte-todo, o grupo A resolveu-as com facilidade,
mostrando-se muito à vontade com as diferentes representações de número racional. Desde
cedo, não constituiu dificuldade para este grupo trabalhar com números racionais representados
sob a forma de dízima, nem compará-los. O grupo conseguiu explicar o seu raciocínio acabando
por, muitas vezes, operar de forma intuitiva com as frações para justificar as suas respostas.
Desde o início da trajetória que estes alunos conseguem usar, com sucesso, a equivalência de
fração e operar com a representação do número racional em percentagem, sem estes conteúdos
terem sido previamente trabalhados formalmente. No final da trajetória, os alunos apresentam
facilidade em relacionar o número racional apresentado sobre a forma de percentagem com o
número racional apresentado como uma fração, usando as traduções como
= 50% e
= 25%
como referência. Demonstram também ter facilidade em relacionar estas duas representações
com a representação decimal.
Ao longo das tarefas com significado parte-todo, o grupo A demonstrou um domínio consciente
do seu trabalho, apresentando as suas respostas de uma forma muito completa e narrativa,
argumentando na justificação das mesmas. Na fase inicial das tarefas com este significado, o
grupo B revelou à vontade na sua resolução. As alunas compreenderam a relação entre a
119
unidade, a décima e a centésima, e conseguiram operar, de uma forma informal com as frações
e
. Denota-se neste grupo o frequente recurso à representação pictórica e ao uso da cor para
orientação do raciocínio. No final da trajetória estabelecem, com facilidade, relações entre a
percentagem, a fração e o número decimal.
O grupo C acompanhou todo o desenvolvimento das tarefas no significado parte-todo, contudo,
teve pequenos erros por falta de domínio de terminologia, acabando por confundir na
representação do número decimal, as décimas com as centésimas. Estes alunos tiveram
dificuldade na construção da unidade sabendo a décima parte, construindo uma tabela 10x10,
como se o pequeno quadrado valesse 1%. Foram capazes de, junto da professora, desconstruir
esta confusão e no fim conseguiram fazer uma figura em que o quadrado inicial valesse 10%,
como era desejado.
Ao longo da trajetória, o grupo C resolve todas as tarefas com significado parte-todo, contudo é
mais contido e linear no seu raciocínio do que os outros dois grupos em estudo. Estes alunos
revelam ter mais dificuldades na correspondência das diferentes representações do número
racional, tendo mesmo alguma dificuldade em converter centésimas em décimas.
No final das tarefas neste significado, todos os alunos demonstram ter compreendido as
relações entre as partes e as partes e o todo. Os alunos do grupo A e do grupo B relacionam-
nas, operando sobre elas e envolvendo as representações fracionária, decimal e percentual. Os
alunos do grupo C revelaram mais fragilidades quando foi necessário envolver diferentes tipos de
representação em simultâneo.
Significado operador
Ao longo das tarefas no significado operador, o grupo A frequentemente dividiu o número total
dado pelo número que se encontrava no denominador da fração a trabalhar. Os alunos
demonstraram destreza no trabalho com fração de referência, como o
, sabendo, com
facilidade, que o quociente corresponde à fração pedida em relação ao total dado. Estes alunos
demonstraram que se sentem confortáveis na resolução de problemas com os números
racionais, calculando com rapidez
de 30 e
de 20. Numa das tarefas, este grupo confundiu
três décimas com um terço. Os alunos poderão ter cometido este erro por falta de atenção, pois
120
quando viram um 3 precipitadamente associaram-no ao denominador de
, e desta forma
dividiram o total por 3.
O grupo A descobre informalmente fração equivalentes, constatando por exemplo que
é
equivalente a
. Em relação ao grupo B, aquando da resolução das tarefas no significado
operador, os alunos recorreram à divisão, concretizando-a. Ao longo das tarefas, os alunos
conseguem realizar operações com fração, calculando por exemplo
+
. Uma das alunas
confundiu, na primeira tarefa, 0,50 com 0,50€. Esta confusão foi impeditiva da boa resolução da
tarefa. Contudo, a outra aluna do mesmo grupo resolveu este problema recorrendo à
representação simbólica da representação oral de “metade”.
No final das tarefas com significado operador, o grupo B resolve os problemas recorrendo ao
cálculo mental, acabando por justificar o seu raciocínio oralmente, escrevendo apenas a
resposta às perguntas colocadas, por exemplo, um aluno diz que
de 40 é 30, pois cada quarto
é 10. Uma das alunas deste grupo fez um percurso mais estruturado ao longo das tarefas,
conseguindo entender as situações problemáticas, resolvendo-as e explicando o seu
procedimento ao seu par. O grupo foi capaz de fazer correspondência entre o número decimal e
a percentagem, sempre que necessário.
O grupo C demostrou, ao longo da resolução das tarefas, que se sente mais à vontade em
trabalhar com o número racional sobre a forma de fração do que com a percentagem. Os alunos
tomam o 50% como referência para ter noção do quanto é 25% e associam este último a metade
da metade, fazendo assim o paralelismo com
. Tal como os outros dois grupos, optou por em
algumas tarefas deste significado dividir o número correspondente ao número total dado pelo
denominador da fração.
Numa resolução, a meio da trajetória, estes alunos do grupo C recorrem à reta numérica para
registar a informação que retiram do problema e utilizam-na como auxílio na resolução do
mesmo. Desta forma, os alunos dividem a reta numérica marcando 4 traços e marcam no
quarto traço a fração
e o seu valor correspondente. Posteriormente, nas últimas tarefas com
este significado, o grupo C não utilizou uma reta para dividir a unidade, mas sim resolveu fazer a
121
divisão, utilizando para divisor o denominador da fração que aparecia no enunciado, tal como
aconteceu com os outros dois grupos.
Os grupos A, B e C foram consistentes nas suas resoluções e recorreram à divisão da
quantidade dada pelo número indicado no denominador da fração. Quando o valor não foi dado
sobre a forma de fração, os alunos do grupo A e do grupo B optaram por representar a
percentagem ou o número decimal em fração, para assim operarem com um registo que lhes
era mais familiar, como por exemplo converter 25% em fração. O grupo C, por norma, trabalhou
com a representação do número racional dada, necessitando de fazer um registo pictórico para
ajudar a resolver os problemas.
Numa das situações problemáticas, os três grupos reduzem o significado operador ao significado
parte-todo, representando a quantidade discreta, berlindes neste caso concreto, por um círculo.
Visualmente é fácil verificar quantos berlindes sobram, e é sobre este valor que os alunos
calculam a fração do total pedido.
Significado Medida
Em relação às tarefas no significado Medida, todos os grupos responderam acertadamente ao
que lhes foi pedido concretizando as suas respostas de uma forma muito uniforme. Por exemplo,
o grupo A reconhece um segmento de reta como unidade de medida e consegue saber quantas
vezes esta medida cabe noutro segmento de reta, medindo assim dobros e metades da unidade
de medida dada. Todos resolveram com sucesso, à excepção de uma pergunta onde o grupo B
respondeu incorrectamente, dizendo que uma barra mede 1 unidade e
. Este erro poderá ter
sido devido a uma leitura errada da barra, havendo uma confusão da unidade de medida
considerada. Assim, desta forma, para descobrir qual era a fração correspondente à parte
excedente da barra em questão, em relação à outra barra, o grupo B tomou como unidade de
medida a própria barra a medir.
Uma das tarefas com significado medida consistia em verificar como é que os alunos
conseguiam utilizar pacotes de 1 kg,
kg e
kg para ter no final 2 kg e
de café. O grupo A
destaca-se na sua resolução, optando por construir uma tabela onde registou todas as hipóteses
possíveis. Assim, de uma forma muito intuitiva, o grupo operou com as quantidades dadas de
café, conseguindo adicionar meios quilograma e quartos de quilograma. Tanto o grupo B como o
122
grupo C registaram algumas possibilidades de forma aleatória. A título de exemplo, o grupo C
começou pela combinação mais simples, passando depois por utilizar pacotes de
kg, e, sem
grande organização, tendo conseguido descobrir seis possibilidades
Globalmente, o trabalho desenvolvido ao longo das aulas, nos diferentes significados possibilitou
a construção do conceito de número racional aos diferentes grupos do estudo, tendo assim
contribuído para o desenvolvimento do sentido do número destes alunos.
Esta trajetória constitui um exemplo de tarefas integradoras da abordagem aos diferentes
significados do número racional no 4.º ano de escolaridade, tal como era indicado no Programa
de matemática de então, ainda que até ao final do 3.º ano os alunos tenham tido um contacto
pobre com o conceito de número racional, na medida em que usufruíram do Programa
tradicional (ver DEB, 1991) em que o trabalho com o número racional se resumia quase
exclusivamente à abordagem da representação decimal.
123
Capítulo 5 - DISCUSSÃO DE RESULTADOS
De uma forma geral os alunos, no início da trajetória, comparavam com facilidade apenas pares
de fração com denominadores iguais sendo mais complicado comparar ou ordenar pares de
fração com numeradores iguais. Ao longo das sessões, indo ao encontro do que a literatura nos
diz em Post et al., (1985), Nunes et al., (2004), os alunos demonstraram ser capazes de
compreender que quando os denominadores são iguais para ordenar basta atender à ordenação
dos numeradores, manifestam que percebem que o tamanho da fração depende do quociente
da mesma, dividindo os dois números naturais, numerador pelo denominador e compreendem a
relação inversa entre o denominador e o numerador, reconhecendo que quanto maior for o
denominador em relação ao numerador menor a fração.
O grupo C, que apresenta mais dificuldades em matemática, tende a superar algumas
dificuldades no trabalho com o número racional fracionário, transformando-o na sua
representação decimal. Bezuc e Cramer (1989) referem que quando se usa esta estratégia há
que ter em atenção à confusão que os alunos fazem com o número de casas decimais e este
problema manifestou-se nos alunos, sendo preciso sempre uma grande regulação aquando da
representação de décimas e centésimas pois, tendencionalmente, baseando-se no domínio dos
números naturais, 5 é menor do que 25 (Post et al., 1993).
Indo ao encontro de Mamede (2008) numa fase inicial os alunos revelavam algumas
dificuldades em comparar números racionais uma vez que estes surgem em diversas
representações, contudo, ao longo das tarefas propostas que partiam de resolução de problemas
das vivências do dia-a-dia, os alunos manifestaram compreender que diferentes fração podem
representar a mesma quantidade surgindo assim, de forma intuitiva, o conceito de fração
equivalente, e como corroboram Nunes et al., (2004) e Kamii e Clark (1995) os alunos
apropriam-se do conceito de racional e compreendem que esta classe de números também ela
pode ser ordenada.
Os três grupos recorrem, predominantemente, ao pensamento residual (Post, et al., 1986) onde,
comparando a fração que falta para chegar à unidade, conseguem concluir qual das frações
dadas é maior.
124
De forma a comparar números racionais, verifica-se que os alunos tendem a escrever os
números sobre a mesma representação (fração, decimal e percentual) e que fazem esta
conversão com alguma agilidade ao longo da trajetória de aprendizagem.
Não se identificam grandes dificuldades inerentes ao confronto dos números racionais com o
conhecimento prévio dos números naturais nos alunos, o que conforme Post et al. (1986) é
fundamental para a construção da noção quantitativa de número racional. Em contrapartida os
resultados vão ao encontro do estudo de Behr e colegas (1984) que afirmam que as crianças
nesta idade são capazes de desenvolver e trabalhar com os números racionais, particularmente
com os seus invariantes operacionais.
Se no início da resolução das tarefas é notório o uso de estratégias informais, no decorrer das
sessões os alunos apropriaram-se de novas estratégias e de melhores formas de traduzirem o
seu raciocínio, melhorado assim a sua comunicação matemática. Nas últimas sessões desta
trajetória os alunos evidenciaram poucas dificuldades em comparar e ordenar números racionais
nos significados quociente, parte-todo, operador e medida.
Desta forma, pode-se dizer que a trajetória de aprendizagem escolhida foi facilitadora da
construção do conceito de número racional, começando com o significado quociente, onde os
alunos reconhecem intuitivamente duas frações equivalentes e ordenam fração com diferentes
numeradores e denominadores. Esta ideia é convergente com o que Nunes et al., (2004) e
Mamede et al., (2005) concluíram nos seus estudos com alunos da mesma faixa etária.
Passando para a abordagem ao significado parte-todo, significado este que lhes era mais familiar
na resolução de problemas antes deste estudo, indo de seguida explorar a resolução dos
problemas com significado operador e por fim as tarefas com significado medida.
Após serem introduzidas tarefas com significados novos, foi sempre proposto aos alunos que
realizassem uma tarefa com os significados previamente trabalhados e, apesar dos alunos
contactarem com tarefas inovadoras conseguiram de uma forma integrada e consistente
resolver, com sucesso, o que lhes foi proposto.
125
Capítulo 6 - CONCLUSÕES
Este capítulo apresenta as conclusões desta investigação procurando dar resposta às questões
de investigação, respondendo, tanto quanto possível ao problema em estudo.
À luz do Programa de matemática do Ensino Básico (ver DEB, 1991) vive-se nas escolas e entre
os professores um momento de mudança nas práticas de sala de aula, havendo um maior
cuidado com o sentido do número e, mais especificamente, no sentido do número racional.
Revisitando a literatura toma-se consciência de que o conceito de número racional é um dos
mais complexos e importantes a ser adquirido nesta fase inicial e, contudo, é um conceito
subexplorado tanto por alunos como professores, havendo estudos (ver Post et al., 1986) que
revelam as inúmeras dificuldades no processo de ensino-aprendizagem deste conceito. De forma
a compreender o conceito de número é fundamental ter em conta as suas diferentes
representações e os seus diferentes significados.
Procura-se, com esta investigação, estudar como crianças do 4.º ano do ensino básico
constroem o conceito de número racional quando este é trabalhado nos significados quociente,
parte-todo, operador e medida, após terem sido previamente expostos a um contacto com o
Programa de matemática tradicional. O estudo pretende assim entender como os alunos
compreendem a representação, a ordenação e a equivalência do número racional em cada um
dos significados e como articulam os diferentes modos de representação de um número racional
nestes significados.
6.1. Conclusões do estudo
6.1.1. Como compreendem os alunos a ordenação, a equivalência e a representação
A trajetória de aprendizagem parece ter contribuído para uma melhoria do desempenho dos
alunos na realização das tarefas que envolvem os invariantes operacionais (ordenação e
equivalência). À luz da teoria dos campos conceptuais de Vergnaud (1996), pode-se dizer que
126
houve compreensão do número racional uma vez que houve interação entre as situações, os
invariantes e as representações.
Em relação à resolução de tarefas com números racionais sob a forma decimal, os alunos não
revelam grande dificuldade, trabalhando bem com decimais. Os alunos que revelam dificuldades
na comparação de números decimais com número desigual de casas decimais adotam a
estratégia de transformarem as décimas em centésimas ou vice-versa. Também se verificou que
os alunos, em situações onde se sentiam mais desconfortáveis, transformaram os números
decimais em fração, comparando-as nesta forma.
Em relação à comparação de fração, os alunos bons demonstram que têm mais facilidade em
resolver os problemas do que os alunos razoáveis. Estes últimos apresentam mais dificuldade no
início em reconhecer o significado do numerador e do denominador. À semelhança do que
acontece com os números decimais, quando a tarefa é com números racionais sob a forma de
fração e com números decimais, os alunos mais fracos escrevem-nos todos sob a mesma forma.
Ao longo das tarefas com diferentes significados, sempre que os numeradores eram iguais, os
alunos compararam as fração com rapidez e sem dificuldade. É de salientar que, para fração
com o mesmo denominador, todos os alunos comparam os numeradores e compreendem que o
todo tem o mesmo número de partes. Sempre que estão envolvidas fração unitárias, os alunos
revelam compreender que quanto menor for o denominador menor será o tamanho da fração.
Quando os numeradores e os denominadores são diferentes, os alunos precisam de recorrer a
representações pictóricas e a esquemas para conseguir percecionar a grandeza de cada fração
face a unidade. Depois de várias tarefas, os alunos quando confrontados com ter que justificar
qual a fração maior, com numerador e denominador diferentes, recorreram à estratégia de
verificar qual a fração que falta para ter o todo, e depois compará-las. Esta estratégia já foi
identificada anteriormente na literatura (ver Post et al., 1986).
Quando as tarefas envolviam medidas com unidades de medida diferentes, o grupo dos alunos
razoáveis em matemática revelou ter dificuldades aquando da medição de uma medida menor
do que a unidade.
No decorrer das sessões, o grupo dos alunos bons a matemática utilizam a representação
pictórica para justificar o seu pensamento, enquanto que os alunos dos restantes grupos
recorrem a este registo para traduzir o enunciado da tarefa e para, posteriormente, resolverem o
127
problema. Durante a trajetória denota-se nos alunos um maior rigor na formulação da sua
justificação, não recorrendo tanto a estratégias informais, experimentando e resolvendo as
situações problemáticas através de estratégias mais formais. Ao longo das tarefas, uma das
alunas do grupo razoável começa por construir uma pequena tabela onde regista a informação
que posteriormente passa para o numerador e para o denominador.
À medida que os alunos vão ganhando à vontade e vão resolvendo as tarefas com outros
significados, sente-se que os alunos resolvem mais agilmente o que lhes é pedido, surgindo
mesmo quando não era pedido, valores em percentagem. Esta ação mostra flexibilidade na
utilização das diferentes representações de número racional e na conversão de fração e
decimais para percentagem.
Nas últimas tarefas da trajetória de aprendizagem, os alunos revelam ser capazes de utilizar
estratégias adequadas à comparação e ordenação de números racionais, quer na forma
fracionária, decimal ou percentual. Conseguem comparar números racionais nos significados
quociente, parte-todo, operador e medida em situações de maior complexidade.
Ao longo dos 4 anos, os alunos aprenderam a dominar as operações com os números naturais,
sendo que os números racionais sob a forma de fração surgiram sempre de uma forma um
pouco descontextualizada e muito formal. Seria expectável que, seguindo o que nos alerta a
literatura, os alunos aplicassem aos números racionais propriedades inerentes aos números
naturais, contudo, este contágio não se revela, verificando-se um entender de números racionais
como uma quantidade. Esta situação leva a concluir que, de acordo com Post et al., (1986) há
um avanço significativo na construção da noção quantitativa de número racional.
Pensa-se que esta noção de conceito de número racional está intimamente ligada com as
opções das tarefas escolhidas ao longo da trajetória, onde se intercalou os diferentes significados
de número racional com as suas diferentes representações, numa forma contextualizada e
realista.
Os alunos não dominavam a noção de fração equivalente, no entanto, ao longo do processo, foi
proporcionado aos alunos que se confrontassem com situações onde esta noção fosse
necessária e desenvolvida. Assim, de uma forma intuitiva e de registo informal, através do
significado quociente, os alunos confrontaram-se com fração com numeradores e
denominadores diferentes que queriam representar a mesma quantidade. Há uma aluna
128
razoável que revela um domínio grande desta noção ao longo das tarefas, calculando
intuitivamente fração equivalentes, multiplicando o numerador e do denominador pelo mesmo
número natural. Tanto o grupo dos alunos razoáveis como o grupo dos alunos mais fracos a
matemática recorreram, durante várias sessões, à representação pictórica e verbal, suportando
depois as suas estratégias recorrendo à representação fracionária. O grupo dos alunos bons
revela, desde cedo na trajetória, facilidade com a representação fracionária, revelando alguma
dificuldade na linguagem matemática simbólica, na escrita das suas justificações.
Todos os alunos são bem-sucedidos a escrever a fração correspondente a uma representação
pictórica ou vice-versa, e também convertem fração em percentagens de referência, como por
exemplo
= 50%.
Os alunos revelam facilidade em relacionar percentagens básicas de referências com a sua
representação decimal, fracionária e também pictórica. No geral, os alunos mostram mais
dificuldade em relacionar a representação decimal com a representação fracionária.
Recorrendo à representação pictórica, os alunos reconstroem a unidade tendo uma fração desta
e fazem o equivalente com a representação em número racional. Denota-se um entendimento do
número racional na construção de partes e reconstrução da unidade em situações que envolvem
o significado parte-todo, no entanto apresentam algumas dificuldades em dividir a unidade para
obter a fração unitária que depois têm de repetir para construírem o todo.
Em todos os grupos, ao longo das tarefas, os alunos revelam que compreendem que um
número racional pode ser representado através de números fracionários, decimais e percentuais.
Há um melhorar de adequações de representação do número racional no decorrer das sessões,
sendo que os alunos revelam ter facilidade em transformar o número na representação que mais
lhes dá jeito para a resolução da tarefa.
6.1.2. Diferentes significados do número racional
Os resultados desta investigação confirmam que o processo de ensino-aprendizagem do número
racional é bastante complexo. Para que haja compreensão deste conceito é necessário que os
alunos tenham contacto com os diferentes significados que o número racional pode ter e pode-
129
se afirmar que começar com o significado quociente, tal como é sugerido na literatura (ver
Nunes et al., 2004, Mamede, 2008) revelou ser uma opção estratégica positiva, pois são estas
tarefas que recorrem mais rapidamente ao conhecimento informal e intuitivo dos alunos,
levando-os a construir conhecimento formal (ver Kieren, 1988), e ajudando-os a desenvolver a
sua compreensão do número racional.
Durante a trajetória de aprendizagem, os diferentes significados foram abordados
sequencialmente, havendo claramente um maior domínio do significado parte-todo, uma vez que
este significado foi o mais abordado até então, seguindo as indicações do Programa tradicional.
Em relação ao significado operador, os alunos revelaram estar seguros, resolvendo as tarefas
propostas conscientes do que cada valor representava. Mesmo com quantidades discretas, os
alunos aderiram e resolveram as situações problemáticas.
Nas tarefas com significado medida, apesar de serem menos em número, houve um
desenvolvimento importante no que se espera da compreensão do número racional. Os números
fracionários têm o significado importante de servir para medir e, por exemplo, a tarefa que
envolvia a medida do café serviu para que se acabasse esta trajetória com uma noção concreta
de fração equivalentes como fração que representam a mesma quantidade.
As tarefas desta trajetória de aprendizagem foram propostas intercaladas, sendo que após
exploração de um significado havia sempre uma tarefa de um significado trabalhado
anteriormente. Os alunos denotaram grande destreza na resolução das tarefas, alternando tanto
nas representações de número racional como nos significados, adequando as suas estratégias e
mostrando que não há necessidade de saberem formalmente os nomes dos significados, há
antes que promover o contacto com os diferentes significados de número racional.
6.2. Limitações da Investigação
Uma das principais limitações desta investigação prende-se com o facto deste estudo ter sido
desenvolvido apenas em algumas aulas do 2.º período e não ao longo do ano escolar como seria
desejável. Pois o trabalho com números racionais deve ser desenvolvido ao longo do ano, dando
aos alunos mais tempo para construíram e interiorizarem conceitos. Contudo, tal não foi possível
130
num trabalho deste tipo por constrangimentos de tempo. Outra limitação deste estudo diz
respeito ao número de tarefas desenvolvidas com os grupos. As tarefas foram escolhidas e
lançadas de acordo o seguimento da trajetória, contudo, na hora da análise dos dados, o
material recolhido parece ainda insuficiente de modo a contemplar outras situações e promover
diferentes resoluções dos alunos. Tal situação, tornar-se-ia inviável, dado a limitação do tempo
para elaborar a investigação e o número de horas necessárias para que a investigadora estivesse
no terreno a recolher dados, contudo fica aqui a sugestão de criar tarefas recorrendo à reta
numérica e mais tarefas onde as diferentes representações se misturassem mais.
O número limitado de pares analisados no estudo e o não poder integrar no estudo a análise de
todos os alunos da turma, o que obrigaria o prolongamento deste trabalho por tempo
incomportável, pode também ser apontado como uma limitação.
6.3. Recomendações para futuras Investigações
Após a reflexão deste estudo sugerem-se algumas recomendações para futuras investigações.
Sendo este trabalho um estudo de caso, os dados aqui apresentados não servem de
generalização, contudo, contribuem para o aprofundamento da investigação sobre como os
alunos constroem a noção de número racional.
Seguindo a ideia de que é fundamental trabalhar as diferentes representações de número
racional, e sobretudo, as relações entre elas e a flexibilidade de escolher a representação mais
adequada a um determinado contexto ou situação problemática, considera-se pertinente realizar
este estudo com crianças mais novas, começando com esta sequência desde o início do 1º Ciclo
do Ensino Básico.
Sugere-se também que se modifique a sequência de significados, sendo que se recomenda que
comece por tarefas com o significado quociente.
131
Capítulo 7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Vale, I.& Pimentel, T. (2004). Resolução de problemas. Em P. Palhares (Coord.). Elementos de Matemática para professores do ensino básico. Lisboa: Lidel.
Vergnaud, G. (1996). A Teoria dos campos conceptuais. In J. Brun (Org.), Didáctica das Matemáticas (pp. 155-191). Lisboa: Instituto Piaget.
Vergnaud, G. (1997). The nature of mathematical concepts. In T. Nunes & P. Bryant (Eds.), Learning and Teaching Mathematics — An International Perspective (pp. 5–28). East Sussex: Psychology Press
Webb, D., Boswinkel, N. & Dekker, T. (2008). Beneath the tip of the iceberg: Using representations to student understanding. Mathematics Teaching in the Middle School, 14 (2), 110-113.
Yin, R. K. (2009). Case study research (4th Ed.): Design and methods. Newbury Park, CA: Sage.
136
137
Anexos
138
139
Anexo 1 - Informação à Direção da Escola
Exma. Sr.ª Diretora Pedagógica, No âmbito da realização de um trabalho de Mestrado na área da Didática da Matemática, onde procuro estudar como desenvolvem as crianças a noção de número racional, pretendo realizar a recolha de dados na minha turma, de 4.º ano de escolaridade. A recolha de dados irá decorrer ao longo do 2.º período e será realizada apenas por mim, implicará a realização de gravações áudio e vídeo do trabalho realizado pelos alunos, bem como fotografias dos seus cadernos. Os nomes dos alunos serão alterados, de modo a preservar a sua identidade.
Obrigada pela atenção dispensada, sempre ao dispor,
(Magda Fernandes)
140
Anexo 2 - Informação aos Encarregados de Educação
Exmo. Sr.ª Encarregado de Educação, No âmbito da realização de um trabalho de Mestrado na área da Didática da Matemática, onde procuro estudar como desenvolvem as crianças a noção de número racional, pretendo realizar a recolha de dados na nossa turma. Para o desenvolvimento do estudo será necessário realizar gravações áudio e vídeo do trabalho realizado pelos alunos, bem como fotografias dos seus cadernos, pelo que solicito e agradeço desde já a sua compreensão. Acrescento ainda que a recolha de dados será feita apenas por mim e que os nomes dos alunos serão alterados, de modo a preservar a sua identidade.
Obrigada pela atenção dispensada, sempre ao dispor,
(Magda Fernandes)
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Anexo 3 - Tarefas realizadas nas sessão 1 e 2 nos dias 27 e 29 de fevereiro
Tarefa 1 – Tartes I As meninas dividem igualmente uma tarte e os meninos também dividem igualmente uma tarte igual à das meninas.
a) Cada menina vai comer o mesmo que cada menino? Justifica a tua resposta.
b) Que fração de tarte vai comer cada menina? E cada menino?
c) Quem é que come mais, cada menino ou cada menina?
Tarefa 2 – Tartes II Numa festa, 8 meninas dividiram igualmente 6 tartes.
a) Quantos meninos têm de existir para dividir igualmente 3 tartes, sabendo que têm de comer exatamente a mesma quantidade que as meninas? Justifica a tua resposta.
b) Que fração da tarde vai comer cada menina? E cada menino?
Tarefa 3 – Tartes III No lanche, 6 meninas dividiram igualmente 4 tartes.
a) Quantas tartes têm de existir para serem divididas igualmente por 3 meninos, sabendo que cada um deles tem de comer exatamente a mesma quantidade que cada uma das meninas? Justifica a tua resposta.
b) Que fração da tarte vai comer cada menina? E cada menino?
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Anexo 4 - Tarefas realizadas nas sessões 3 e 4 nos dias 2 e 5 de março
Tarefa 4 - Mafalda e as suas toalhas A Mafalda quis pôr na mesa da festa de anos uma toalha bonita. Tinha duas hipóteses: uma
toalha às listas e outra toalha aos quadrados.
1. Pinta metade da toalha A de uma cor e metade da toalha B de outra cor.
1.1.Quantas décimas da toalha A pintaste?
1.2.Quantas centésimas da toalha B pintaste?
1.3 Pintaste a mesma quantidade de toalha nas duas situações? Porquê?
1.4. Que percentagem das toalhas está pintada? 1.5. Na toalha B pinta de azul-escuro mais 25% da toalha. Quantas décimas ficaram por pintar?
143
2. Pinta a quarta parte da toalha C de uma cor e 25 centésimas da toalha D de outra cor.
2.1 Pintaste a mesma quantidade de toalha nas duas situações? Porquê?
2.2.Regista a quantidade pintada das duas toalhas em número fracionário, em número
decimal e em percentagem.
2.3. Que conclusões podes tirar?
2.4 Na toalha E pinta 0,02 de uma cor, 0,20 de outra cor e
de outra.
2.5 Que parte da toalha ficou em branco?
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3. Uma das toalhas que a mãe da Mafalda vai utilizar nos anos da filha é aos quadrados.
Tem 100 quadrados. Pinta de modo a ficar uma toalha bonita utilizando apenas três
cores: azul, amarelo e uma cor à tua escolha.
Pinta 50% da toalha de azul, 0,25 da toalha de amarelo e
de uma cor à escolha. Achas
que fica algo por pintar? Porquê?
Tem atenção ao padrão da toalha, deve ficar simétrico em relação ao eixo de simetria.
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4. Observa as figuras:
toalha F
a) Se pintares 25% da toalha F de amarelo, 25% da toalha F de azul e
30% da toalha F de vermelho, quanto fica por pintar?
__________________________________________________
Pinta para veres.
toalha G
b)Se pintares
da toalha de amarelo,
da toalha de azul e 30% da
toalha de vermelho, quanto fica por pintar?
__________________________________________________
Pinta para confirmares.
toalha H
c)Se pintares 0,25 da toalha de amarelo, 50% da toalha de azul
quanto terias de pintar de verde para teres a toalha toda pintada?
__________________________________________________
Pinta para veres.
146
Anexo 5 - Tarefas realizadas na sessão 5 no dia 7 de março
Tarefa 5 – Tartes IV Três meninas dividem duas tartes e nove meninos dividem seis tartes iguais às das meninas.
a) Cada menina vai comer o mesmo que cada menino? Justifica a tua resposta. b) Que fração da tarte vai comer cada menina? E cada menino? c) Quem é que come mais? Cada menino ou cada menina? Exlica o teu raciocínio.
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Tarefa 6 – O todo
1. Se a figura seguinte representar 10% do todo, desenha a figura completa.
2. Representa 25% desta figura.
3. Se a figura representar
da unidade, desenha o todo.
4. Se a figura seguinte representar
da unidade, desenha a figura completa.
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Anexo 6 - Tarefas realizadas nas sessões 6 e 7 nos dias 9 e 12 de março
Tarefa 7 – Situações problemáticas
1. A Ana gastou 0,50 da sua mesada na compra de uma prenda para o aniversário da
mãe. Tinha 25€, quanto gastou?
2. O Rui deu 25% dos seus berlindes ao Tiago. Sabendo que o Rui tinha 20 berlindes,
quantos berlindes deu o Rui ao Tiago?
3. A mãe da Luísa queria fazer um colar para o qual necessitava de 21 peças. Reparou que
tinha apenas
das peças que necessitava. Quantas peças teve de comprar a mãe da
Luísa para terminar o colar?
Tarefa 8 – Marcelo e Ana
1. O Marcelo convidou 40 amigos para a sua festa de aniversário. No final da festa ele
verificou que apenas
dos convidados compareceram. Quantos amigos foram à festa do
Marcelo?
2. A Alexandra estava a resolver os exercícios de matemática. Ao terminar 12 exercícios
verificou que já tinha completado
dos exercícios. Qual era o número total de exercícios
de matemática?
3. A Ana comprou um saco com 30 berlindes. Separou
para si própria e dividiu o
restante entre quatro amigas. Quantos berlindes receberá cada amiga?
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Anexo 7 - Tarefas realizadas na sessão 8 no dia
Tarefa 9 – Tartes V
Quatro meninas dividem três tartes e cinco meninos dividem quatro tartes iguais às das
meninas.
a) Cada menina vai comer o mesmo que cada menino? Justifica a tua resposta.
b) Que fração da tarte vai comer cada menina? E cada menino?
c) Quem é que come mais, cada menino ou cada menina? Explica o teu raciocínio.
Tarefa 10 - Cromos
1. Eu tinha 40 cromos e dei
aos meus colegas da escola.
a. Quantos cromos dei aos colegas?
b. Com quantos cromos fiquei?
2. O Marcelo tem uma coleção com 150 cromos.
a. Calcula o número de cromos que a Diana tem, sabendo que tem 0,3 do número
de cromos que o Marcelo tem.
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Anexo 8 - Tarefas realizadas na sessão 9 no dia 16 de março
Tarefa 11 – Testamento do rei
1. Há muitos anos viveu um Rei que deixou em testamento toda a sua fortuna aos seus
quatro filhos. Segundo as leis da época a sua fortuna foi distribuída do seguinte modo:
- O filho mais velho recebeu 50% da fortuna;
- O filho mais novo recebeu 25% da fortuna;
- A restante fortuna foi dividida igualmente pelos restantes filhos.
1.1 Qual das seguintes representações (A, B ou C) corresponde à distribuição da fortuna
pelos quatro filhos? Justifica a tua resposta.
1.2 O valor da herança do filho mais velho foi de 4500 pesos reais. Quanto receberam, em
pesos reais, os restantes filhos? Explica o teu raciocínio.
1.3 Se tu fosses o Rei como dividias a fortuna pelos quatro filhos? Justifica.
1.4 De acordo com a tua opção que percentagem da fortuna recebia cada filho? Quanto
recebia cada um em pesos reais?
151
Tarefa 12 - Tampinhas
1. O Manuel coleciona tampinhas de garrafas de água. Quando tinha 6 tampinhas perdeu
dois sextos das tampas. Quantas tampinhas perdeu? Explica o teu raciocínio.
2. O amigo do Manuel tinha 2 tampinhas e deu 9 ao Nuno. Que fração das suas 12
tampas deu ao Nuno? Explica o teu raciocínio.
3. O Nuno continuou a colecionar tampinhas de garrafas de água. Passado alguns dias,
três tampinhas correspondiam a um quarto do número total de tampinhas da sua
coleção. Quantas tampinhas já tinha o Nuno? Explica o teu raciocínio.
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Anexo 9 - Tarefas realizadas na sessão 10, dia 19 de março
Tarefa 13 - Unidades de medida
Observa a figura:
1. Utilizando a unidade de medida dada, quanto mede o segmento de reta C?
2. Utilizando a unidade de medida dada, quanto mede o segmento de reta B?
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Anexo 10 - Tarefas realizadas na sessão 10 no dia 19 de março
Tarefa 14 - Comparando barras
Observa as barras:
1. Quanto mede a barra 2 tomando a barra 1 como unidade?
2. Quanto mede a barra 1 tomando a barra 4 como unidade?
3. Quanto mede a barra 3 tomando a barra 5 como unidade?
4. Quanto mede a barra 4 tomando a barra 3 como unidade?
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Anexo 11 - Tarefas realizadas na sessão 11 no dia 21 de março
Tarefa 15 - Pizza
1. Um grupo de amigos foi a uma festa de anos. As 6 raparigas comeram 4 pizzas e os 3
rapazes comeram uma pizza. As pizzas eram todas do mesmo tamanho.
Quem comeu mais, cada menino ou cada menina? Por quê?
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Anexo 12 - Trabalho realizado na sessão 12 no dia 23 de março
Tarefa 16 - Modelo circular
1. Pinta 10 centésimas do círculo a uma cor e 7 décimas do círculo a outra cor.
a) Que parte do círculo pintaste? Responde utilizando os números decimais, as frações e a
percentagem. Explica a tua resposta.
b) Que parte ficou por pintar? Responde utilizando os números decimais, as frações e a
percentagem. Explica a tua resposta.
c) Se agora pintasses 50% do círculo a amarelo e duas décimas a vermelho, irias obter
uma maior ou uma menor área pintada anteriormente?
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Tarefa 17 - Café
Tenho de comprar 2 quilograma e
de café. No supermercado há pacotes de
kg,
kg e 1 kg.
a) Que pacotes devo levar? Quais as possibilidades?
b) Quais escolho para levar a menor quantidade de pacotes?