ÁREA DE MATEMÁTICAS

ESPACIO ACADÉMICO: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

DOCENTES ENITH C NIEBLES LARA

TEMA: SISTEMA NUMÉRICO, OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS ENTEROS

COMPETENCIAS

El estudiante estará en capacidad de:

· Desarrollar operaciones aplicando principios y leyes de los números enteros y fraccionarios.

· Soluciona problemas donde se requieran combinación de operaciones.

1. CONDUCTA DE ENTRADA

Para poder comprender el proceso de solucionar sistemas de ecuaciones que esta guía abordará, se hace necesario que el estudiante inicialmente tenga dominio de aspectos como:

· Tener bases sobre el sistema numérico

· Conocer y comprender las leyes y propiedades de los números

Se propone que el estudiante, para realizar una autocomprobación de su estado cognitivo para ejecutar esta guía, debe desarrollar los siguientes ejercicios que combinan los aspectos antes señalados. Estos ejercicios deberán ser presentados al docente para su verificación y corrección en dado caso.

2. SISTEMA NUMÉRICO

2.1 Números Reales

Los números que se utilizan en las matemáticas son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) Podemos verlo en la siguiente tabla:

Tabla n° 1. Sistema numérico.

http://kovalevskaya.wikispaces.com/N%C3%BAmeros+reales

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras:

* Decimales terminales, ejemplo 5/8 = 0.625

* Decimales que se repiten infinitamente 7/12 = 0.5833333…333

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma , donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

1.1 Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

· Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación.

· Evaluar las expresiones exponenciales.

· Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

· Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Operaciones básicas de la suma o “adición”

· En una adición los términos que se suman se denominan sumandos y el resultado suma

· Signo:

PROPIEDADES DE LA SUMA

DESCRIPCIÓN

SÍMBOLO

EJEMPLO

Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado

Conmutativa

El orden de los sumando no varía la suma

Elemento neutro

El cero 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con el da él mismo número

Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. La suma de números naturales no cumple esta propiedad

Operaciones básicas de la resta o “sustracción, diferencia” de números naturales (operación inversa de la suma)

· Los términos que intervienen en una resta se llaman: a “minuendo” b “sustraendo”, al resultado c lo llamamos “diferencia”

· Signo:

PROPIEDADES DE LA RESTA

DESCRIPCIÓN

SÍMBOLO

EJEMPLO

La resta no tiene las propiedades de la suma.

La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el número minuendo sea mayor que el número substraendo. Si eso no ocurre esa resta no es posible en el conjunto de los números naturales porque el resultado no sería un número natural.

La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar la posición del minuendo con la del substraendo.La resta tampoco tiene la propiedad asociativa.

Si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al substraendo obtenemos una resta equivalente. También restamos cuando queremos conocer lo que le debemos añadir al número menor para que sea igual que el número mayor.

Suma

Para sumar dos números enteros hay que tener en cuenta el signo y el valor absoluto de cada número. Luego podemos agrupar las reglas de la suma en dos proposiciones.

· Para sumar dos números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y el signo del resultado coincide con el signo que tienen los dos números.Ejemplos:

· Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y el signo del resultado coincide con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.Ejemplos:

· Al igual que en los números naturales el cero es el elemento neutro para la suma de números enteros.Ejemplos:

Resta

Para restar dos números enteros hay que transformar la resta en una suma con la siguiente regla:

· Para restar dos números sumamos al primer número (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).

Ejemplos:

–.–

Analizando los diferentes ejemplos de suma y resta de números enteros vemos que a veces para sumar tenemos que restar y otras veces cuando tenemos que restar, sumamos. Es decir, todo depende de la operación dada y de los signos de los números

1.2 Propiedades de los Números Reales:

PROPIEDAD

FÓRMULA

EJEMPLO

Conmutativa de adición

Conmutativa de la multiplicación

Asociativa de adición

Asociativa de la multiplicación

Distributiva de multiplicación y adición

1.3 Recta Numérica.

Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

RECTA NUMÉRICA

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.

Si a - b es positivo, entonces

Si b - a es positivo, entonces

2 USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN Y OPERACIONES EN LOS ENTEROS

Dentro de los signos de agrupación tenemos:

( ) Paréntesis[ ] Corchetes signos de agrupación

{ } LlavesSe usan para agrupar operaciones, facilitan el orden al operar, cuando tienes una operación, ejemplo:Algunas veces se hace necesario realizar operaciones de suma y resta con más de dos números enteros, por ejemplo:La diferencia entre un signo de agrupación y otro es sólo que se usan en este orden: el más interno: paréntesis, luego viene el corchete, y el más externo es la llave.

Un signo delante de un paréntesis o de un corchete, o de una llave, indica que se tomará el opuesto de todo lo que hay dentro del signo de agrupación. Deberán, entonces, realizarse las operaciones que están dentro de cada signo de agrupación y luego cambiarse el signo en este caso. Si el paréntesis, el corchete o la llave están precedidos por un signo +, no se cambia el signo de lo que está dentro de los signos de agrupación. Para realizar la operación anterior, se comienza por operar con lo que hay dentro de los signos de agrupación más internos:

Los paréntesis. Así la expresión: se transforma en: Ahora se calcula lo que hay dentro de los corchetes:

y se escribe: Resolviendo las operaciones dentro de las llaves, se obtiene

y así la expresión original es igual a:

Ejemplo N° 2

Ejemplo N° 3

Ejemplo N° 4

4-2 x { 3 x [ 5-2 x (5-6) – 7 ] + 10 } + 17 = 4-2 x {3 x [5- 2x(-1) -7 ] + 10 } + 17 =               = 4-2 x {3 x [ 5+2-7 ] + 10 } + 17 = 4-2 x { 3 0+10 } + 17=               = 4-2 x { 0+10 } + 17 = 4-2 x 10+17 = 4 - 20+17 = 21- 20 = 1

Ejemplo N° 5

*Operaciones aritméticas combinadas

 

Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

 Realizamos el producto y lo simplificamos.

  Realizamos las operaciones del paréntesis.

 Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Nota: Resuelve las multiplicaciones y divisiones antes de las sumas y restas. Resuelve las multiplicaciones y divisiones “en el mismo nivel,” de izquierda a derecha. Resuelve las sumas y restas “en el mismo nivel,” de izquierda a derecha. Los paréntesis ( ) cambian el orden. Resuelve primero lo que está adentro de los paréntesis.

TALLER N. 1

En los ejercicios siguientes, simplifique. Asegúrese de suprimir todos los paréntesis y simplificar todas las fracciones:

1.

2. RESPUESTAS:

3.

4. 1) 22 2) -2 3) 24

5. 5) 37 6) 135 7) 30 8) 2

6. 9) -43 10) -130

7.

8.

9.

10.

11.

2.1 MULTIPLICACIÓN

Operaciones básicas de la multiplicación o “producto”

· Signo:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

DESCRIPCION

SIMBOLO

EJEMPLO

Asociativa

El modo de agrupar los factores no varia el resultado

Conmutativa

El orden de los factores no varia el producto

Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

Elemento inverso

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

Distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

Importante conocer las tablas de multiplicar. Para estas operaciones, tendremos en cuenta aspectos muy importantes como son las leyes de los signos y los símbolos de agrupación.

FACTOR 1

FACTOR 2

PRODUCTO

EJEMPLO

+

+

+

-

-

+

+

·

-

-

+

-

Utilizando símbolos de agrupación para realizar multiplicaciones:

Ejemplo:

-= = *

*En este caso el signo (-) que esta antepuesto al corchete significa que se está multiplicando por (-1) por tal razón (-1) por el valor dentro del corchete (-252) es igual a 252. Se aplicó la ley que dice que un número negativo multiplicado por otro negativo el resultado es un número positivo.

2.2 DIVISIÓN

Operaciones básicas de la división o “cociente”

· La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en averiguar cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo.

· Signo:

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

DESCRIPCIÓN

SÍMBOLO

EJEMPLO

No es una operación interna en los números naturales y enteros

El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero

No es conmutativa

Cero dividido entre cualquier número da cero

El número cero divido entre cualquier número real siempre da como resultado siempre cero

No se puede dividir por 0

El cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo. Matemáticamente, un número dividido por cero, tiende a infinito.

División Exacta

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente

División entera

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto(residuo)

            

Las leyes de los signos de la multiplicación también aplican para la división:

FACTOR 1

FACTOR 2

DIVISIÓN

EJEMPLO

+

+

+

-

-

+

+

·

-

-

+

-

Ejemplo 1

Indeterminado porque no podemos dividir por cero

Nota: División por cero: El cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo. Matemáticamente, un número dividido por cero, tiende a infinito.

Ejemplo 2

Taller N. 2

1. Realizar las siguientes operaciones..

1. ( + 4 ) + ( - 10)

2. ( - 4 ) + ( - 7 )

3. ( - 5 ) + ( + 15 ) Respuestas:

4. ( 2 + 5 ) + (- 7) 1. -6 2. -11 3. +10 4. 0

5. [ ( - 5 ) + ( - 10 ) ] + (+ 4) 5. -11 6. -8 7. -6 8. +10

6. [ ( + 4 ) + ( - 5 ) ] + (- 7) 9. -11 10. -14

7. ( + 4 ) + ( - 10 )

8. ( - 5 ) + ( + 15 )

9. [ ( - 5 ) + ( - 10 ) ] + ( + 4 )

10. [ ( + 4 ) + ( - 5 ) ] + ( - 7 ) ( + 4) + ( - 10 )

2. Hallar el resultado para cada caso:

1.

2.

3. Respuestas:

4. 1) 11 2) 20 3) 16 4) -16

5. 5) 24 6) -130 7) -10 8) -54

6. 9) 30

7.

8.

9.

2.3 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

NOTA:

El m. c. m. también llamado m.c.d. (mínimo común denominador), pues es utilizado para sumar fracciones heterogéneas o fracciones con diferente denominador, tema que se aclarará después.

Para calcular el mínimo común múltiplo:

Se factorizan los números, tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores exponentes

Ejemplo N. 1

Encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...,

Los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...,

Respuesta: 15

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimo-multiplo-comun.html

Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15.

Ejemplo 2: Calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36,... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40,....

Respuesta: 24

El . es el producto de los factores anteriores

Ejemplo N. 3

Los factores son: y elevados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían:

Multiplicando los factores anteriores se obtiene el

EJERCICIO N. 1

Hallar el mínimo común múltiplo de:

1. 48 y 16

2. 52 y 64

3. 26 y 42

4. 38 y 46

5. 36,48 y 12

2.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El Máximo Común Divisor (M.C.D. o MCD) de varios números es el mayor de sus divisores comunes.Para calcularlo:

Factorizamos los números Tomamos todos los factores comunes elevados a los menores exponentes El M.C.D. es el producto de los factores anteriores

Ejemplo:

Factores comunes (a todos los números): 2, y elevado al menor exponente (dentro de un recuadro) sería: 22. Por tanto;

EJERCICIO N. 2

Hallar el máximo común divisor de:

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTAAREA:CIENCIAS BASICAS CURSO: FUNDAMENTOS DE MATEMATICAGUIA TEMATICA No. 1FECHA: 2015 - IIVERSION: Página 1 de 23

1

1.

2. 48 y 16

3. 54 y 45

4. 1000 y 1500

5. 84 y 72

6. 860,240 y 168

TALLER N. 3

1. Hallar el mínimo común múltiplo de:

1. 48 y 16

2. 52 y 64 RESPUESTAS

3. 26 y 42 1) 48 2) 832 3) 546 4) 874 5) 72240

4. 38 y 46

5. 36,48 y 12

2. Hallar el máximo común divisor de:

1. 48 y 16

2. 54 y 45 RESPUESTAS

3. 1000 y 1500 1) 16 2) 9 3) 500 4) 12 5) 4

4. 84 y 72

5. 860,240 y 168

(

)

[

]

8

4

2

3

2

-

*

-

*

(

)

9

8

12

4

5

+

-

*

-

(

)

(

)

5

7

3

4

3

2

-

*

+

-

*

-

(

)

(

)

[

]

116

9

5

2

13

6

3

4

-

-

*

-

+

-

*

*

-

(

)

[

]

5

2

7

4

2

6

3

-

+

-

*

-

*

(

)

[

]

(

)

[

]

19

14

*

54

81

+

-

-

+

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

{

}

16

18

*

28

43

-

-

-

-

-

-

(

)

[

]

(

)

[

]

9

1

*

5

8

+

-

-

+

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

27

16

*

15

14

-

+

-

+

-

(

)

{

}

(

)

(

)

{

}

[

]

(

)

(

)

[

]

7

6

*

21

4

15

10

11

3

5

11

1

-

+

-

+

+

-

-

*

-

-

+

-

-

+

-

(

)

[

]

[

]

30

2

)

15

(

2

)

5

(

3

-

=

´

-

=

´

-

´

(

)

(

)

[

]

7

)

3

(

3

4

´

-

´

´

[

]

)

21

(

12

-

´

-

[

]

252

252

=

-

-

30

)

4

(

)

120

(

+

=

¸

3

)

15

(

)

45

(

+

=

-

¸

-

3

)

9

(

)

27

(

-

=

-

¸

+

3

)

3

(

)

9

(

-

=

+

¸

-

(

)

[

]

15

7

3

+

-

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

2

5

6

2

10

9

8

-

+

+

+

+

-

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

}

{

10

5

4

7

7

5

4

2

-

+

-

-

+

+

+

-

(

)

[

]

}

}

(

)

(

)

[

]

{

{

10

7

2

3

7

10

7

9

3

-

-

+

-

+

-

+

-

-

(

)

[

]

(

)

[

]

9

1

*

5

8

+

-

-

+

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

7

6

*

11

1

-

+

-

+

-

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

6

8

*

8

3

-

-

-

-

-

-

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

3

*

6

*

7

4

-

-

-

+

-