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SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENEIRIA EELCTRICA Y ELECTRONICA
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
ING. JOSE MACHUCA MINES
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
1 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL
1.1 INTRODUCION
La aplicación del computador digital se ha incrementado en estas décadas últimas, en el
procesamiento de algoritmos complejos de sistemas de control usando cualquier técnica
ométodo como es control convencional, control PID digital, control óptimo, control no
lineal, control robusto, control adaptativo, control predictivo, control deslizante, control
fraccional control multivariable, así como el desarrollo de sistemas basados en redes
neuronales, lógica difusa, algoritmos genéticos, desarrollo de sistemas expertos,
identificación de parámetros. También abarca las aplicaciones de control remoto,
control mediante de inteligencia artificial, robots industriales, en domótica,
automovilismo, sistemas fabriles, aviación, navegación, minería, pesquería, etc.
Los sistemas de control digital tienen la capacidad de toma de decisiones y flexibilidad
en los programas de control, productividad máxima, el máximo beneficio, el costo
mínimo o el mínimo gasto de energía y optimización del tiempo y costo debido que se
elaboran a base de logaritmos ejecutables en cualquier procesador digital.
Las ventajas del control digital frente al control continuo son:
Los controles por computador (digitales) son mucho más versátiles que los
analógicos. El programa que se realiza en un determinado control puede
modificarse con mucha facilidad para dar lugar a cambios en el diseño sin
necesidad de efectuar cambios en el hardware y se pueden implementar
cualquier tipo de ley de control, permitiendo realizar controles adaptativos, no
lineales robustos, predictivos, de cualquier proceso por muy complejo que
parezca, etc.
Los controladores digitales permiten realizar cálculos complejos con exactitud
constante a alta velocidad y se puede aumentar el grado de exactitud deseado con
un incremento relativamente del costo, permitiendo obtener respuestas rápidas y
exactas.
Los componentes digitales (procesadores, circuitos integrados, transductores,
codificadores, dispositivos electrónicos digitales, etc.) son más confiables y
robustos que los componentes analógicos. Además son menos susceptibles al
envejecimiento y a la variación de las condiciones ambientales.
Los componentes digitales son menos sensibles al ruido y a las perturbaciones y
proporcionan una mejor sensibilidad ante la variación de los parámetros.
Las desventajas de los sistemas digitales frente a los sistemas analógicos son:
Los controles digitales tienen limitaciones en la velocidad de cálculo lo cual
provoca retrasos en el lazo de control, que pueden llegar a provocar
inestabilidades en el sistema en lazo cerrado, debido que depende de la
velocidad de cálculo del procesador. Los sistemas analógicos trabajan en tiempo
real.
Los controles digitales tienen limitaciones en la resolución a ala longitud de la
palabra finita del procesador, lo cual puede dar origen inestabilidades en el
sistema. Los controladores analógicos tienen una resolución infinita
teóricamente.
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
1.1.1 TIPOS DE SEÑALES
Las señales utilizadas en el análisis de los sistemas de control en tiempo discreto se
detallan a continuación:
Señal analógica o señal en tiempo continuo. Es una señal que está definida en un
intervalo de tiempo continuo y puede tomar un intervalo continuo de valores.
Figura 1.1 . Señal analógica en tiempo continuo
Señal cuantificada en tiempo continuo. Es una señal que está definida en tiempo
continuo con un número finito de valores cuantificados en tiempo discreto.
Figura 1.2. Señal cuantificada en tiempo continuo
Señal de datos muestreados. Es una señal definida en tiempo discreto que puede tomar
un número finito de valores distintos. Esta señal se puede generar muestreando una
señal analógica en valores discretos de tiempo.
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Figura 1.3 Señal de datos muestreados en tiempo discreto
Señal digital. Es una señal en tiempo discreto que solo puede tomar un conjunto de
discreto de valores, es decir su valor está cuantificado, tanto en el tiempo como en la
amplitud y se puede representar mediante una secuencia de números normalmente en el
sistema binario.
Figura 1.4. Señal digital
El uso de control por computador requiere la utilización de señales digitales que son
señales cuantificadas tanto en amplitud como en el tiempo.
1.1.2 ESQUEMA BASICO DE UN CONTROL DIGITAL
La configuración básica de un sistema de control digital se presenta en el esquema de la
figura 1.5, donde el sistema de control digital se aprecia con mayor detalle en la figura
1.6
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Sistema de
Controlador
Digital Actuador
Planta o
proceso
Transductor
e(t) u(t) v(t) y(t)
Figura 1.5 Sistema de control digital
Conversor
D/A e(kT) e*(t)
Procesador
Digital Conversor
A/D Retenedor
Reloj
u*(t) u(kT) u(t) Retenedor
e(t) eh(t)
0101
1101
1101
0101
Figura 1.6 Esquema de un controlador digital
En un sistema con control digital intervienen todos los tipos de señales tanto en tiempo
continuo y discreto como señales codificadas en forma numérica. El procesador digital
procesa la secuencia de datos binarios de la señal del error e(kT) por medio de un
algoritmo de control y produce una señal digital de control u(kT).
Para el proceso de digitalización se utilizan un conversor A/D y para realizar el proceso
inverso se utiliza un conversor D/A. El muestreador convierte la señal analógica en
señal discreta y el retenedor transforma la señal discreta en una señal cuantificada de
datos discretos.
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2 REPRESENTACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE
TIEMPO DISCRETO EN EL ESPACIO DE ESTADOS
2.1 INTRODUCION
La representación en el espacio de estados de los sistemas de control se basa en la
descripción del sistema en términos de n ecuaciones en diferencias o diferenciales de
primer orden, que se pueden combinar en una ecuación matricial en diferencias o
diferencial de primer orden.
El diseño del sistema mediante el uso del concepto de espacio de estado permite al
ingeniero de control diseñar sistemas de control con respecto a índice de desempeño
dados. Además, el diseño en el espacio de estado se puede realizar con toda clase de
entradas. Asimismo, los métodos en el espacio de estado permiten al ingeniero incluir
condiciones iniciales dentro del diseño.
Definiciones
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto mas pequeño de variables
llamadas (variables de estado) tales que el conocimiento de dichas variables en t = t0 ,
junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0 determinan por completo el
comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ t0 .
Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinámico son las que
conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema
dinámico. Para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinámico se
requiere de por lo menos n variables x1 , x2 , x3 , ... , xn , dichas variables de estado se
consideran un conjunto de variables de estado. Las variables de estado no necesitan ser
físicamente cantidades medibles u observables. Sin embargo, en la práctica, lo
conveniente es seleccionar cantidades fácilmente medibles como variables de estado.
Vector de estado. Si n variables de estado son necesarias para describir
completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de
estado se pueden considerar como las n componentes de un vector de estado x. Un
vector de estado determina en forma única el estado x(t) del sistema para cualquier
tiempo t≥t0 , una vez dado el estado en t = t0 y especificado la entrada u(t) para t ≥ t0 .
Espacio de estado. El espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados están
formados por el eje x1 , eje x2 , ... , eje xn se conoce como espacio de estado. Cualquier
estado se puede representar por un punto dentro del espacio de estado.
Ecuaciones en el espacio de estado. En el análisis en el espacio de estado se trata
con tres tipos de variables que están involucradas en el modelamiento de sistemas
dinámicos; las variables de entrada, las de salida y las de estado. La representación en el
espacio de estado para un sistema dado no es única, pero el número de variables de
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estado es el mismo para cualquiera de las distintas representaciones en el espacio de
estado del mismo sistema.
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo
perturbados, la ecuación de estado se puede escribir como
kkkkk ),(),(),()1( vuxfx (2.1)
y la ecuación de salida como
kkkkky ),(),(),()( wuxg (2.2)
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la
ecuación de estado se puede escribir como
)(),()1( kkk uxfx (2.3)
y la ecuación de salida como
)(),()( kkk uxgy (2.4)
Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes ene el tiempo perturbados, la
ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden escribir como
)()()()()()()1( kkkkkkk vEuHxGx (2.5)
)()()()()()()( kkkkkkk wFuDxCy (2.6)
donde
x(k) : vector de estado de n×1
y(k) : vector de salida de m×1
u(k) : vector de entrada o de control de r×1
v(k) : vector de perturbación de estado de s×1
w(k) : vector de perturbación de salida de t×1
G(k) : matriz de estado de n×n
H(k) : matriz de entrada de n×r
C(k) : matriz de salida de m×n
D(k) : matriz de transmisión directa de m×r
E(k) : matriz de perturbación de estado de n×s
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F(k) : matriz de perturbación de salida de m×t
Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las ecuaciones de estado y de salida
se escriben como
)()()1( kkk HuGxx (2.7)
)()()( kkk DuCxy (2.8)
Las ecuaciones (2.7) y (2.8) que describe la dinámica de un sistema de control lineal
invariante en el tiempo (discreto) se pueden representar mediante un diagrama de
bloques representado en al figura 2.1
D
z-1
I
G
C H x(k+1) x(k) y(k) u(k)
Figura 2.1 Diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo discreto
invariante en el tiempo representado en el espacio de estado
Al igual que en el caso de tiempo discreto, los sistemas de tiempo continuo
perturbados (lineales o no lineales) variantes en el tiempo se pueden representar
mediante las siguientes ecuaciones de estado y de salida como
ttttt ),(),(),()( vuxfx (2.9)
ttttt ),(),(),()( wuxgy (2.10)
Los sistemas de tiempo continuo (lineales o no lineales) invariantes en el tiempo se
pueden representar mediante las siguientes ecuaciones de estado y de salida
)(),()( ttt uxfx (2.11)
)(),()( ttt uxgy (2.12)
Para sistemas lineales de tiempo continuo variantes en el tiempo perturbados, las
ecuaciones de estado y de salida están dadas por
)()()()()()( tttttt EvuBxx A (2.13)
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)()()()()()( tttttt FwuDxCy (2.14)
Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces las dos últimas ecuaciones
se simplifican a
)()()( ttt Buxx A (2.15)
)()()( ttt DuCxy (2.16)
Las ecuaciones (2.15) y (2.16) que describe la dinámica de un sistema de control
lineal invariante en el tiempo (continuo) se pueden representar mediante un diagrama de
bloques representado en al figura 2.2
D
dt
A
C B y(t) x(t) u(t) )(tx
Figura 2.2 Diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo continuo
invariante en el tiempo representado en el espacio de estado
2.2 LINEALIZACION DE SISTEMAS DE CONTROL
Si el sistema de control está representado por las ecuaciones (2.11) y (2.12) y en su
forma no lineal se puede expandir mediante series de Taylor respecto de un punto ),( ux
como sigue
))()(,())()(,(),()( uuuxf
uxxuxf
xuxfx ttt (2.17)
))()(,())()(,(),()( uuuxg
uxxuxg
xuxgy ttt (2.18)
Definiendo las siguientes expresiones
),( uxfx , ),( uxgy , xxx )()( tt , uuu )()( tt
),( uxfx
A
, ),( uxf
uB
, ),( uxg
xC
, ),( uxg
uD
Las ecuaciones (2.17) y (2.18) se pueden aproximar y escribir como
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)()()( ttt uBxAx (2.19)
)()()( ttt uDxCy (2.20)
Las matrices A, B, C, y D expresan las matrices jacobianas como sigue
n
nn
n
x
f
x
f
x
f
x
f
1
1
1
1
),( uxfx
A ,
r
nn
r
u
f
u
f
u
f
u
f
1
1
1
1
),( uxfu
B
n
mm
n
x
g
x
g
x
g
x
g
1
1
1
1
),( uxgx
C ,
r
mm
r
u
g
u
g
u
g
u
g
1
1
1
1
),( uxgu
D
Las ecuaciones (2.19), (2.20) son de la misma forma que las ecuaciones (2.15) y
(2.16) y por lo tanto representan a un sistema lineal invariante en el tiempo.
2.3 REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS
EN TIEMPO DISCRETO
Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto.
Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estado
correspondientes a sistemas de simple entrada y simple salida en tiempo discreto.
Considerando el sistema en tiempo discreto descrito por
)()1()()()1()( 101 nkubkubkubnkyakyaky nn
(2.22)
donde u(k) es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreo k.
Algunos de los coeficientes ai (i=0,1,2,...,n) y bi (i=0,1,2,...,n) pueden ser cero. La
ecuación (2.22) se puede escribir en forma de la función de transferencia pulso como
nn
nn
zazaza
zbzbzbb
zU
zY
2
21
1
22
110
1)(
)( (2.23)
o bien
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nnnn
nnnn
azazaz
bzbzbzb
zU
zY
2
21
1
22
110
)(
)( (2.24)
Existen muchas forma de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para
el sistema en tiempo discreto descrito por las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24). Aquí se
presentan las siguientes:
1. Forma canónica controlable (FCC)
2. Forma canónica observable (FCO)
3. Forma canónica diagonal (FCD)
4. Forma canónica de Jordan (FCJ)
5. Otras
Forma canónica controlable. La representación en el espacio de estado del sistema
en tiempo discreto obtenida de las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) se puede expresar
en la forma canónica controlable mediante las ecuaciones siguientes:
)(
1
0
0
0
)(
)(
)(
)(
1000
0100
0010
)1(
)1(
)1(
)1(
1
2
1
121
1
2
1
ku
kx
kx
kx
kx
aaaakx
kx
kx
kx
n
n
nnnn
n
(2.25)
)(
)(
)(
)(
)( 02
1
0110110 kub
kx
kx
kx
babbabbabky
n
nnnn
(2.26)
Las ecuaciones (2.25) y (2.26) representan a las ecuaciones de estado y de salida,
respectivamente.
Si se invierte el orden de las variables de estado, es decir, si se define nuevas
variables de estado, de acuerdo con la forma
)(
)(
)(
)(
0001
0010
0100
1000
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
1
2
1
1
2
1
kx
kx
kx
kx
kx
kx
kx
kx
n
n
n
n
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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entonces las ecuaciones de estado y de salida también están en su forma canónica
controlable y se pueden escribir respectivamente como sigue:
)(
0
0
0
1
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
0100
0010
0001
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
1
2
1121
1
2
1
ku
kx
kx
kx
kxaaaa
kx
kx
kx
kx
n
n
nn
n
n
(2.27)
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)( 02
1
0022011 kub
kx
kx
kx
babbabbabky
n
nn
(2.28)
Forma canónica observable. La representación en el espacio de estado del sistema
en tiempo discreto dada de las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) se puede expresar en la
forma canónica observable mediante las siguientes ecuaciones:
)(
)(
)(
)(
)(
100
000
001
000
)1(
)1(
)1(
)1(
011
022
011
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
ku
bab
bab
bab
bab
kx
kx
kx
kx
a
a
a
a
kx
kx
kx
kx
nn
nn
n
n
n
n
n
n
(2.29)
)(
)(
)(
)(
100)( 02
1
kub
kx
kx
kx
ky
n
(2.30)
Si se invierte el orden de las variables de estado, es decir, si se define nuevas
variables de estado, de acuerdo con la forma
)(
)(
)(
)(
0001
0010
0100
1000
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
1
2
1
1
2
1
kx
kx
kx
kx
kx
kx
kx
kx
n
n
n
n
entonces las ecuaciones de estado y de salida también están en su forma canónica
controlable y se pueden escribir respectivamente como sigue:
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)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
010
100
000
001
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
0
011
022
011
1
2
1
1
2
1
1
2
1
ku
bab
bab
bab
bab
kx
kx
kx
kx
a
a
a
a
kx
kx
kx
kx
nn
nn
n
n
n
n
n
n
(2.31)
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
001)( 02
1
kub
kx
kx
kx
ky
n
(2.32)
Forma canónica diagonal. Si los polos de la función de transferencia pulso dados de
las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) son todos distintos, entonces la representación en
el espacio de estado se puede expresar en la forma canónica diagonal como sigue:
)(
1
1
1
)(
)(
)(
00
00
00
)1(
)1(
)1(
2
1
2
1
2
1
ku
kx
kx
kx
p
p
p
kx
kx
kx
nnn
(2.33)
)(
)(
)(
)(
)( 02
1
21 kub
kx
kx
kx
cccky
n
n
(2.34)
Forma canónica de Jordan. Si la función de transferencia pulso dados de las
ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) incluye un polo múltiple del orden m en z=p1 y todos
los demás polos son distintos, entonces la representación en el espacio de estado se
puede expresar en la forma canónica de Jordan como sigue:
)(
1
1
1
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
00000
00000
00000
00010
00001
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
ku
kx
kx
kx
kx
kx
p
p
p
p
p
kx
kx
kx
kx
kx
n
m
m
n
m
n
m
m
(2.35)
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)(
)(
)(
)(
)( 02
1
21 kub
kx
kx
kx
cccky
n
n
(2.36)
No unicidad de las representaciones en el espacio de estado. Para un sistema con
función de transferencia pulso dada, la representación en el espacio de estado no es
única, sino que existen distintas representaciones en el espacio de estado para un
sistema con función de transferencia pulso. Las ecuaciones de estado, sin embargo,
están unas con otra mediante una transformación de similitud.
Considerando el sistema definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8). Se define un nuevo
vector de estado )(ˆ kx mediante
)(ˆ)( kk xPx (2.38)
Los vectores de estado )(kx y )(ˆ kx están relacionados entre sí mediante la ecuación
(2.38) donde P es una matriz no singular de n×n. Entonces, al sustituir la ecuación
(2.38) en la ecuación (2.7) se obtiene
)()(ˆ)1(ˆ kkk HuxGPxP (2.39)
Premultiplicando ambos lados de la ecuación (2.39) por P-1
, da
)()(ˆ)1(ˆ 11 kkk HuPxGPPx (2.40)
Definiendo
HHPGGPP ˆ , ˆ 11
La ecuación (2.40) se puede escribir como
)(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkk uHxGx (2.41)
En forma similar, si se sustituye la ecuación (2.38) en la ecuación (2.8), se obtiene
)()(ˆ)( kkk DuxCPy (2.42)
Definiendo
DDCCP ˆ , ˆ
la ecuación (2.42) se puede escribir como
)(ˆ)(ˆˆ)( kkk uDxCy (2.43)
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Demostrando así que la representación en el espacio de estado, dadas por las
ecuaciones (2.7) y (2.8) es equivalente a la representación en el espacio de estado dada
por las ecuaciones (2.41) y (2.43).
2.4 TRANSFORMACIONES UTILES EN EL ESPACIO DE ESTADOS
Mediante la propiedad de invariancia de las condiciones de rango para la matriz de
controlabilidad y la de observabilidad.
Cómo transformar en formas canónicas las ecuaciones en el espacio de estado.
Considerando nuevamente un sistema lineal e invariante en el tiempo, expresado
mediante las ecuaciones de estado y de salida como
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
Además la matriz de la función de transferencia pulso se representa por
nnnn
nnnn
azazaz
bzbzbzbzF
zU
zY
2
21
1
22
110)(
)(
)( (2.44)
Si el sistema de control descrito mediante las ecuaciones (2.7) y (2.8) es
completamente controlable y completamente observables, se aplicarán técnicas para
transformar las ecuaciones en el espacio de estados en las tres formas canónicas: forma
canónica controlable, forma canónica observable y forma canónica diagonal o de
Jordan.
Forma canónica controlable. El sistema definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8) se
puede transformar en su forma canónica controlable, mediante la matriz de
transformación
MWT (2.45)
donde
HGHGGHHM12 n
y
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
nn
nn
W
Los elementos ai mostrados en la matriz W son coeficientes de la ecuación
característica
012
21
1
nnnnn azazazazz GI (2.46)
Definiendo el siguiente vector de estado
)(ˆ)( kk xTx (2.47)
donde la matriz de transformación T está dada por la ecuación (2.45). Entonces las
ecuaciones (2.7) y (2.8) se convierten en
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11 kkkkk uHxGHuTxGTTx (2.48)
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)( kkkkk uDxCDuxCTy (2.49)
donde
0
11 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ b DDCTCHTHGTTG
es decir
)(
1
0
0
0
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
1000
0100
0010
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
1
2
1
121
1
2
1
ku
kx
kx
kx
kx
aaaakx
kx
kx
kx
n
n
nnnn
n
(2.50)
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)( 02
1
0110110 kub
kx
kx
kx
babbabbabky
n
nnnn
(2.51)
Los bi son los coeficientes que aparecen en el denominador de la funciona de
transferencia pulso.
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Forma canónica observable. El sistema definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8) se
puede transformar en su forma canónica observable, mediante la matriz de
transformación
WNQ (2.52)
donde
1nCG
CG
C
N
y
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
nn
nn
W
Definiendo el siguiente vector de estado
)(ˆ)( kk xQx (2.53)
donde la matriz de transformación Q está dada por la ecuación (2.52). Entonces las
ecuaciones (2.7) y (2.8) se convierten en
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11 kkkkk uHxGHuQxGQQx (2.54)
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)( kkkkk uDxCDuxCQy (2.55)
donde
0
11 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ b DDCQCHQHGQQG
es decir
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)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
100
000
000
000
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
011
022
011
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
ku
bab
bab
bab
bab
kx
kx
kx
kx
a
a
a
a
kx
kx
kx
kx
nn
nn
n
n
n
n
n
n
(2.56)
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
100)( 02
1
kub
kx
kx
kx
ky
n
(2.57)
Forma canónica diagonal. Si los valores característicos pi de la matriz G del sistema
definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8) son distintos, entonces los vectores
característicos correspondientes ξ1, ξ2, ..., ξn también son distintos.
Definiendo la matriz de transformación P como sigue
n 21P (2.58)
Definiendo el siguiente vector de estado
)(ˆ)( kk xPx (2.59)
Entonces las ecuaciones (2.7) y (2.8) se convierten en
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11 kkkkk uHxGHuPxGPPx (2.60)
Definiendo la matriz de transformación P como sigue
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)( kkkkk uDxCDuxCPy (2.61)
donde
0
11 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ b DDCPCHPHGPPG
es decir
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
00
00
00
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
2
1
2
1
2
1
2
1
ku
kx
kx
kx
p
p
p
kx
kx
kx
nnnn
(1.62)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)( 02
1
21 kub
kx
kx
kx
ky
n
n
(1.63)
donde las αi y las βi son constantes, tales que αiβi es el residuo en el polo z=pi ,
cuando se expande la función de transferencia pulso en fracciones parciales como sigue:
Dpzpzpz
zn
nn
2
22
1
11)(F (2.64)
2.5 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO
DISCRETO
Solución de la ecuación de estado lineal en tiempo discreto e invariante en el
tiempo. Las ecuaciones de tiempo discreto (2.7) y (2.8) se pueden resolver mediante un
procedimiento de recursión. Considerando las siguientes ecuación de estado y de salida:
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
La solución de la ecuación (2.7) para cualquier entero positivo k se puede obtener
directamente por recursión como sigue:
)0()0()1( HuGxx
)1()0()0()1()1()2( 2HuGHuxGHuGxx
)2()1()0()0()2()2()3( 23HuGHuHuGxGHuGxx
...
,3,2,1 ; )()0()(
1
0
1
kjk
k
j
jkkHuGxGx (2.65)
El vector x(k) se forma por la contribución del estado inicial x(0) y por la
contribución de la entrada u(j) (j = 0, 1, 2, ..., k-1). La salida y(k) esta dada por
,3,2,1 ; )()()0()(
1
0
1
kkjk
k
j
jkkDuHuGCxCGy (2.63)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
Matriz de transición de estado o matriz fundamental. La solución de la ecuación de
estado homogénea
)()1( kk Gxx
es de la forma )0()()( xψx kk donde ψ(k) es una matriz única de n×n que satisface
la condición
kkkk GψIψGψψ )( , )0( , )()1(
La matriz de transición de estado ψ(k) es única y contiene toda la información sobre
los movimientos libres del sistema. En términos de la matriz de transición de estado la
ecuación (2.65) se puede escribir en la forma
,3 ,2 ,1 ; )()1()0()()(1
0
kjjkkkk
j
Huψxψx (2.64)
La ecuación de la salida y(k) esta dada por
,3,2,1 ; )()()1()0()()(
1
0
kkjjkkk
k
j
DuHuψCxCψy (2.65)
Método de la transformada z a la solución de la ecuación de estado en tiempo
discreto. Considerando el sistema en tiempo discreto descrito por la ecuación (2.7):
)()()1( kkk HuGxx
Si se toma la transformada z de ambos lados de la ecuación (2.7) se obtiene
)()()0()( zzzzz HUGXxX (2.66)
entonces
)()0()()( zzzz HUxXGI (2.67)
Premultiplicando ambos miembros de la última ecuación por (zI-G)-1
se obtiene
)()()0()()( 11 zzzzz HUGIxGIX (2.68)
Al tomar la transformada inversa z en ambos lados de la ecuación (2.68), da
)()( )0( )()( 11 zzzzk HUGIxGIx -1-1 ZZ (2.69)
Al comparar la ecuación (2.65) con la ecuación (2.69), se obtiene
zzk 1)( GIG-1Z (2.70)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
)()( )( 11
0
1 zzjk
j
jkHUGIHuG
1-Z (2.71)
donde k = 1, 2, 3, ...
Solución de la ecuación de estado lineal en tiempo discreto y variante en el tiempo.
La siguiente ecuación de estado lineal en tiempo discreto y variante en el tiempo junto
con la correspondiente ecuación de salida:
)()()()()1( kkkkk uHxGx (2.72)
)()()()()( kkkkk uDxCy (2.73)
La solución de la ecuación (2.72) se puede encontrar fácilmente mediante
reexcursión, como sigue:
)()()()()1( hhhhh uHxGx
)1()1()()()1()()()1(
)1()1()1()1()2(
hhhhhhhh
hhhhh
uHuHGxGG
uHxGx
...
La matriz de transición de estado (matriz fundamental) para el sistema definido por la
ecuación (2.72) se define como ψ(k, h). Se trata de una matriz única, que satisface las
condiciones
),( , ),()(),1( IψψGψ hhhkkhk
donde k=h, h+1, h+2, ...Se puede ver que la matriz de transición de estado ψ(k, h)
está dada por la ecuación
, )()2()1(),( hkhkkhk GGGψ (2.74)
Utilizando ψ(k, h), la solución de la ecuación se convierte en
hkjjjkhhkk
k
hj
; )()()1,()(),()(
1
uHψxψx (2.75)
El primer término del segundo miembro de la ecuación es la contribución del estado
inicial x(h) al estado actual x(k), y el segundo término es la contribución de la entrada
u(h), u(h+1),..., u(k-1).
Es fácil verificar la ecuación (2.74) que se puede expresar como
),()()()2()1()(),1( hkkhkkkhk ψGGGGGψ (2.76)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
La ecuación de salida (2.73) se convierte en:
hkkkjjjkkhhkkkk
hj
; )()( )()()1,()()(),()()(1
uDuHψCxψCy (2.77)
Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la
inversa de ψ(k, h) exista, denotada por ψ(h, k) está dada como sigue:
)1()1()( ),(
)()2()1(),(),(
111
11
khhkh
hkkkhhk
GGGψ
GGGψψ
2.6 MATRIZ DE FUNCION DE TRANSFERENCIA PULSO
Matriz de función de transferencia pulso. La representación en el espacio estado de
un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden n, con r entradas
y m salidas, se puede dar mediante las ecuaciones (2.7) y (2.8). Al tomar la transformada
z a las ecuaciones (2.7) y (2.8), se obtiene
)()()0()( zzzzz HUGXxX (2.78)
)()()( zzz DUCXY (2.79)
Considerando las condiciones iniciales nulas x(0)=0, entonces se obtiene
)()()( 1 zzz HUGIX (2.80)
y
)()()( )()( 1 zzzzz UFUDHGICY (2.81)
donde
DHGICF 1)()( zz (2.82)
F(z) se conoce como matriz de función de transferencia pulso. Se trata de una matriz
de m×r y caracteriza la dinámica de entrada/salida del sistema de tiempo discreto dado.
La matriz de función de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuación
DGI
HGICF
z
zz
)(adj )( (2.83)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
Los polos de F(z) son los ceros de 0GIz . Esto significa que la ecuación
característica del sistema en tiempo discreto está dado por
0GIz (2.84)
o bien
012
21
1
nnnnn azazazaz (2.85)
donde los coeficientes ai dependen de los elementos de la matriz G.
Transformación de similitud. Se ha demostrado que para el sistema definido por las
ecuaciones (2.7) y (2.8) la matriz de función de transferencia pulso está representada por
la ecuación (2.83). También se ha demostrado que para varias representaciones en el
espacio de estado distintas para un sistema dado están interrelacionadas por una
transformación de similitud expresado por la ecuación (2.38). La matriz de función de
transferencia pulso para el sistema definido por las ecuaciones (2.41) y (2.42) es
DHGICF ˆˆ)ˆ(ˆ)(ˆ 1 zz (2.86)
Se puede demostrar fácilmente que
)()(ˆˆ)ˆ(ˆ)(ˆ 11 zzzz FDHGICDHGICF (2.87)
2.7 DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE
ESTADO EN TIEMPO CONTINUO
En el control digital de plantas en tiempo continuo es necesario convertir ecuaciones
de tiempo continuo en el espacio de estado, en ecuaciones de tiempo discreto en espacio
de estado.
Considerando las ecuaciones de estado y de salida en tiempo continuo
respectivamente dadas las ecuaciones (2.15) y (2.16)
)()()( ttt Buxx A
)()()( ttt DuCxy
La solución de la ecuación (2.15) con estado inicial x(0) está dada por
t tt dteet0
)( )()0()( Buxx
AA (2.88)
Si el estado inicial es x(t0) la solución de la ecuación (2.15) esta dada por
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
t
t
tttdtetet
0
0 )()()( )(0
)( Buxx
AA (2.89)
Suponiendo que el vector de control u(t) se muestrea y se incluye un retenedor de
orden cero, de forma que todos los componentes de u(t) sean constantes en el intervalo
entre los instantes de muestreo consecutivos cualesquiera, es decir u(t)=u(kT) para kT ≤
t < (k+1)T , entonces haciendo t = kT en la ecuación (2.88) se llega a obtener
kTkTkT deeekT0
)()0()( Buxx
AAA (2.90)
En el instante t = (k+1)T la ecuación (2.90) se convierte en
TkTkTk deeeTk)1(
0
)1()1( )()0())1(( Buxx
AAA (2.91)
Si se premultiplica la ecuación (2.90) por TeA se obtiene la ecuación siguiente
kTTkTkT deeekTxe0
)1()1( )()0()( Bux
AAAA (2.92)
Sustraendo la ecuación (2.92) de la ecuación (2.91), pasando el factor kTeA dentro de
la integral se obtiene
Tk
kT
kTTT deekTeTkx)1( )( )()())1((
BuxAAA (2.93)
Haciendo t= τ-kT en la ecuación (2.93) y tomando en cuenta los limites de
integración se obtiene
T tTT dtkTteekTeTkx0
)()())1(( BuxAAA (2.94)
Como la integración es desde 0 hasta T entonces k = 0, también u(t )= u(kT) =
constante en el intervalo kT ≤ t < (k+1)T, entonces la ecuación (2.94) se convierte en
T tTT dtkTeekTek0
)()())1(( BuxxAAA (2.95)
TT dkTekTek0
)()())1(( Buxx
AA (2.96)
donde λ=T-t
)()()())1((0
kTdekTekTT
BuxxAA
(2.97)
Entonces la ecuación (2.97) se convierte en
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Ing. José A. Machuca Mines
)()()()())1(( kTTkTTk uHxGx (2.98)
La ecuación (2.98) se puede comparar con la ecuación (2.7) de lo cual se deduce que
las siguientes ecuaciones que representan la transformación de espacio continuo a
espacio discreto
ATeT )(G (2.99)
BHA
T
deT0
)( (2.100)
La ecuación de salida resulta ser la misma que la ecuación (2.8)
Si la matriz A es no singular, entonces H(T) de la ecuación (2.100) se puede
simplificar a
BABABHAAA 11
0)()()(
IeIedeT TT
T
2.101)
La matriz G(T) de la ecuación (2.99) se puede calcular de la siguiente forma
Tt
AT AsIek
1)()( -1LG (2.101)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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3 DISEÑO DE CONTROLADORES Y OBSERVADORES DE
SISTEMAS DE SIMPLE ENTRADA Y SIMPLE SALIDA EN EL
ESPACIO DE ESTADO MEDIANTE EL METODO DE UBICACIÓN
DE POLOS
INTRODUCION
El método de diseño de ubicar los polos en lazo cerrado en localizaciones deseadas
en el plano z, se conoce como la técnica de diseño de ubicación de polos; en esta técnica
se realimentan todas las variables de estado, de tal forma que todos los polos del sistema
en lazo cerrado quedan ubicados en las localizaciones deseadas. Sin embargo en algunos
sistemas reales de control, no se pueden medir todas las variables de estado para su
realimentación. Para poner en práctica un diseño basado en este método, es necesario
estimar las variables de estado no medibles mediante el uso de observadores de estados.
Considerando un sistema de control lineal invariante en el tiempo descrito mediante
las ecuaciones de estado y de salida como
)()()1( kukk HGxx (3.1)
)()()( kukky DCx (3.2)
x(k) : vector de estado de n×1
y(k) : vector de salida de 1×1
u(k) : vector de entrada o de control de 1×1
G : matriz de estado de n×n
H : matriz de entrada de n×1
C : matriz de salida de 1×n
D : matriz de transmisión directa de 1×1
3.1 CONTROLABILIDAD
Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable en el
tiempo, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario x(0) a cualquier
otro estado deseado arbitrario x(kT), mediante un vector de control u(kT) sin
restricciones, en un intervalo de tiempo finito
La matriz de controlabilidad M de dimensión n×n es
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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HGHGGHHM12 n (3.3)
El sistema es controlable en estado completo si la matriz M tiene rango = n
3.2 OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema de control es de estado completamente observable, si
cualquier estado inicial x(0) se puede determinar a partir de la observación de y(kT)
sobre un número finito de periodos de muestreo. El sistema, por lo tanto, es
completamente observable, si cualquier transición del estado de manera eventual afecta
a todos los elementos del vector de salida.
La matriz de observabilidad N de dimensión n×n es
1
2
nCG
CG
CG
C
N
(3.4)
El sistema es observable en estado completo si la matriz N tiene rango = n
3.3 DISEÑO DE UN CONTROLADOR (REGULADOR) CON ENTRADA DE
REFERENCIA NULA
La técnica de diseño se emplea para sistemas de control en los cuales la entrada de
referencia es cero. Este método empieza con una determinación de los polos deseados
en lazo cerrado, basados en los requisitos de respuesta transitoria y/o respuesta en
frecuencia. Los polos deseados en lazo cerrado deben estar en z=μ1 , z=μ2 ,..., z=μn. Al
seleccionar una matriz de ganancia apropiada para la realimentación de estado, es
posible conducir el sistema para tener los polos en lazo cerrado en las posiciones
deseadas, siempre y cuando el sistema original sea de estado completamente
controlable.
La condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polos, es que el
sistema sea de estado completamente controlable.
Sea el sistema de control completamente controlable de simple entrada descrito por
las ecuaciones (3.1) y (3.2 como)
)()()1( kukk HGxx
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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)()()( kukky DCx
La representación gráfica de las ecuaciones (3.1) y (3.2) se muestra en la figura 3.1
z-1
I
G
H x(k+1) x(k) u(k)
C
D
y(k)
Figura 3.1 Sistema de control en lazo abierto.
El diagrama de bloques del sistema de control de la figura 3.1 se puede simplificar
mediante la representación gráfica de la figura 3.2
)()()1( kukk HGxx )()()( kukky DCx
u(k) y(k)
x(k)
Figura 3.2 Sistema de control simplificado en lazo abierto.
-K
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
u(k) y(k)
x(k)
Figura 3.3 Sistema de control en lazo cerrado.
La señal de control u(k) no acotada se puede expresar como
)()( kku Kx (3.5)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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La matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n,
entonces el sistema se convierte en un sistema de control en lazo cerrado, como el que
se muestra en la figura 3.3 y al reemplazar la ecuación (3.5) en la ecuación (3.1) se
obtiene
)()()()()1( kkkk xHKGHKxGxx (3.6)
La matriz K se escoge, de tal manera que los valores característicos de la matriz G-
HK sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1, μ2, ..., μn. los que resultan de la
ecuación característica
0 HKGIz (3.7)
La solución de la ecuación de estado es
)0()()( xHKGxkk (3.8)
Reemplazando la ecuación (3.5) en la ecuación (3.2) resulta
)()()()()( kkkky xDKCDKxCx (3.9)
Método directo. Este método consiste en igualar la ecuación característica del
sistema en lazo cerrado a la ecuación característica deseada; es decir:
0)())(( 21 nzzzz HKGI (3.10)
Obteniendo el polinomio característico de lazo cerrado como
012
21
1
nnnnn zzzz
Para calcular los valores de nkkk 21K se desarrolla la ecuación (3.10) y
se igualan los valores de ambos lados de la ecuación (3.10) que tienen las mismas
potencias en z y se resuelven las ecuaciones planteadas para obtener los valores de la
matriz K.
Método algorítmico. Con este método la matriz de ganancias de realimentación K se
calcula empleando los siguientes pasos:
1. Verificar que el sistema es de estado completamente controlable, ya que en otro
caso no se puede calcular la matriz K.
HGHGGHHM12 n . rango(M)=n
2. Identificar los coeficientes, ai, del polinomio característico original.
nnnnn azazazazz
12
21
1 GI (3.11)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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3. determinar la matriz de cambio de base T, que transforma las ecuaciones de estado
del sistema a la forma canónica controlable.
MWT (3.12)
donde M es la matriz de controlabilidad y W es una matriz simétrica que se expresan
respectivamente como
HGHGGHHM12 n (3.13)
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
nn
nn
W (3.14)
siendo ai los coeficientes del polinomio característico del sistema original.
Si el sistema de control está expresado en su forma canónica controlable, entonces la
matriz T es igual a la matriz identidad (T=I)
4. Determinar los coeficientes, αi , del polinomio característico deseado.
)())(( 21 nzzzz HKGI (3.15)
nnnnn zzzzz
12
21
1 HKGI (3.16)
5. Determinar la matriz de ganancias de realimentación de los estados K como
1112211
TK aaaa nnnn (3.18)
Fórmula de Ackermann. Con este método la matriz de ganancias de realimentación
de los estados K se calcula siguiendo los siguientes pasos:
1. Verificar que el sistema es de estado completamente controlable, ya que en otro
caso no se puede calcular la matriz K.
HGHGGHHM12 n . rango(M)=n
2. Determinar el polinomio característico deseado
nnnnn
n zzzzzzzz
12
21
121 )())(()(
(3.19)
3. Determinar la matriz )(G , donde es el polinomio característico deseado y G
es la matriz de estados del sistema.
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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IGGGGG nnnnn
12
21
1)( (3.20)
4. Determinar la matriz de ganancias de realimentación de los estados K como
)( 1000 1GMK (3.21)
Método vectorial. Si los valores característicos que se desean μ1, μ2, μ3 ..., μn de la
matriz (G-HK) son distintos entonces la matriz de ganancia de realimentación de
estados requerida se puede expresar como
1
21 111
nζζζK
donde los vectores iζ son los vectores característicos de (G-HK) que satisfacen la
siguiente ecuación
niii , ,2 ,1 , 1
HIGζ
3.4 DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON ENTRADA DE REFERENCIA
Y COMPENSACIÓN EN PREALIMENTACIÓN DIRECTA
Esta técnica de diseño se utiliza para sistemas de control con entrada de referencia
diferente de cero. En este método se considera la colocación de polos para un sistema de
seguimiento en el cual se desea que el sistema compensado sea capaz de seguir a una
entrada de referencia de escalón.
Al realizar el método de ubicación de polos se modifica la ganancia del sistema en
lazo cerrado, y este cambio depende de la posición elegida para los polos del sistema en
lazo cerrado.
Este diseño no es robusto ante imprecisiones en el modelo, perturbaciones y señales
de ruido debido que se utiliza un control en lazo abierto para eliminar el error en estado
estacionario ante una entrada de un escalón.
Entonces es necesario colocar una ganancia ajustable k0 a la entrada del sistema
compensado para conseguir la ganancia deseada.
Sea el sistema de control de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2)
definas como
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
)()()( 0 krkkku Kx (3.22)
donde K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, y el
escalar k0 es un compensador ajustable proporcional.
En la figura 3.4 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones
(3.1), (3.2), y (3.22) que representa un sistema de control en lazo cerrado.
K
r(k) k0
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
u(k) y(k)
x(k)
Figura 3.4 Sistema de control con realimentación de estados y precompensador
Para usar el método de ubicación de polos del sistema representado en la figura 3.4 se
debe de transformar a un sistema de regulación alrededor de x(k∞). Evaluando al sistema
de control cuando k→∞ se obtiene
)()()1( kukk HGxx (3.23)
)()()( 0 kkrkku Kx (3.24)
Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema
como
)()()( kkk xxx , )()()( kukuku (3.25)
La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene
rkrkrkr )()1()( (3.26)
Restando las ecuaciones (3.1) y (3.23) se obtiene
))()(())()(()1()1( kukukkkk HxxGxx (3.27)
Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.27) se obtiene
)()()1( kukk HxGx (3.28)
Restando las ecuaciones (3.22) y (3.24) se obtiene
))()(())()(()()( 0 kkkrkrkkuku xxK (3.29)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.29) se obtiene
)()( kku xK (3.30)
Las ecuaciones (3.28) y (3.30) representan un sistema de regulación del sistema
alrededor de x(k∞) entonces al reemplazar la ecuación (3.30) en la ecuación (3.28) se
obtiene la ecuación con realimentación de estados como
)()()()()1( kkkk xHKGxHKxGx (3.31)
La matriz K de realimentación de estados del sistema obtenido en lazo cerrado de la
ecuación (3.31) se elige para que el sistema satisfaga las especificaciones para el
régimen transitorio y se determina de tal forma que los valores característicos de la
matriz (G-HK) sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1, μ2, ..., μn. los que resultan
de la ecuación característica siguiente
0 HKGIz (3.32)
El diseño de la matriz K se realiza utilizando cualquiera de los métodos de diseño de
un sistema regulador visto en la sección 3.3 mediante el método de ubicación de polos
de tal manera que el sistema debe ser asintóticamente estable.
Al reemplazar la ecuación (3.22) en la ecuación (3.1) se obtiene
)()()()1( 0 krkkkk HHKxGxx (3.33)
)()()()1( 0 krkkk HxHKGx (3.34)
Reemplazando la ecuación (3.22) en la ecuación (3.2) se obtiene la ecuación de
respuesta del sistema
)()()()( 0 krkkkky DDKxCx (3.35)
)()()()( 0 krkkky DxDKC (3.36)
La ganancia k0 se selecciona para que el sistema en lazo cerrado tenga una ganancia
unitaria en estado permanente, eliminado el error en estado estacionario ante una entrada
escalón, r(k)=r.
Como el sistema debe permanecer en el punto de equilibrio, en el cual se tiene que
x(k∞+1)= x(k∞). Entonces la ecuación de estados del sistema escribe como:
)()()()1( 0 krkkk xHxHKGx (3.37)
es decir
rkk 01
)( HHKGIx
(3.38)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
La ecuación de salida del sistema en estado permanente se obtiene como
rkrkrkkky 001
0 )()()()( DHHKGIDKCDxDKC
(3.39)
La salida en estado permanente debe ser igual a la entrada r, por tanto de la ecuación
(3.39) se obtiene
rrkky
01
)()( DHHKGIDKC (3.40)
De la ecuación (3.40) se obtiene el precompensador de ganancia k0 expresado como
110 )(
DHHKGIDKCk (3.41)
La solución de la ecuación de estado es
,3 ,2 ,1 ; )()()0()()(1
0
01
kjrkkk
j
jkkHHKGxHKGx (3.42)
3.5 DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON ENTRADA DE REFERENCIA
INCLUYENDO UN INTEGRADOR DE ERROR
Para obtener un sistema de control que sea robusto ante imprecisiones en el modelo,
perturbaciones y señales de ruido, es necesario que la función de transferencia pulso del
sistema en lazo abierto, incluya uno o más integradores para eliminar el error en estado
permanente ante una entrada de un escalón, de una rampa según sea el caso.
Sea el sistema de control de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2)
definidas como
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
La variable de control u(k) no acotada se expresa como
)()()( kvkkku I Kx (3.43)
donde K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, y el
escalar kI es la ganancia del integrador.
Integrador en atraso. La ecuación de un integrador en atraso es la siguiente:
)1()1()( kekvkv (3.44)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
La ecuación (3.44) se puede modificar como
)()()()()()1( kykrkvkekvkv (3.45)
En la figura 3.5 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones
(3.1), (3.2), (3.43) y (3.44) que representa un sistema de control en lazo cerrado.
K
r(k) kI
1
1
1
z
z
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
u(k) y(k)
x(k)
v(k) e(k)
Figura 3.5 Sistema de control con realimentación de estados e integrador
Combinando las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.45) y manipulando se obtiene
)()()()()1( kukkrkvkv DCx
)()()()()1( krkukvkkv DCx (3.46)
De las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.46) se obtiene un sistema de control ampliado
como sigue:
Ecuación de estado
)(1
)()(
)(
1)1(
)1(krku
kv
k
kv
k
0
D
Hx
C
0Gx (3.47)
Ecuación de salida
)()(
)( 0)( ku
kv
kky D
xC
(3.48)
Ecuación de control
)(
)( )(
kv
kkku I
xK (3.49)
Definiendo las siguientes expresiones
)(
)()(ˆ
kv
kk
xx de dimensión (n+1)×1
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1ˆ
C
0GG de dimensión (n+1)×(n+1)
D
HH de dimensión (n+1)×1
1
0H
de dimensión (n+1)×1
0ˆ CC de dimensión 1×(n+1)
DD ˆ de dimensión 1×1
Ik KK de dimensión 1×(n+1)
Integrador en adelanto. La ecuación de un integrador en atraso es la siguiente:
La ecuación del integrador se escribe como
))()(()1()()1()( kykrkvkekvkv (3.50)
La ecuación (3.44) se puede modificar como
)1()1()()1( kykrkvkv (3.51)
En la figura 3.6 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones
(3.1), (3.2), (3.43) y (3.50) que representa un sistema de control en lazo cerrado.
K
r(k) kI
11
1
z
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
u(k) y(k)
x(k)
v(k) e(k)
Figura 3.6 Sistema de control con realimentación de estados e integrador
Para el caso del integrador en adelanto se debe considerar la matriz D=0.
Combinando las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.51) y manipulando se obtiene
)1()1()()1( krkkvkv Cx
)1())()(()()1( krkukkvkv HGxC
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Si la entrada de referencia es una entrada tipo escalón entonces se cumplen las
siguientes equivalencias:
)()0()()1( rrkrkr
Por lo tanto se obtiene:
)()()()()1( krkukvkkv CHCGx (3.52)
De las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.46) se obtiene un sistema de control ampliado
como sigue:
Ecuación de estado
)(1
)()(
)(
1)1(
)1(krku
kv
k
kv
k
0
CH
Hx
CG
0Gx (3.53)
Ecuación de salida
)()(
)( 0)( ku
kv
kky D
xC
(3.54)
Ecuación de control
)(
)( )(
kv
kkku I
xK (3.55)
Definiendo las siguientes expresiones
)(
)()(ˆ
kv
kk
xx de dimensión (n+1)×1
1ˆ
CG
0GG de dimensión (n+1)×(n+1)
CH
HH de dimensión (n+1)×1
1
0H
de dimensión (n+1)×1
0ˆ CC de dimensión 1×(n+1)
0ˆ DD de dimensión 1×1
Ik KK de dimensión 1×(n+1)
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Las ecuaciones (3.47), (3.48) y (3.49) o las ecuaciones (3.53), (3.54) y (3.55) se
pueden escribir respectivamente como
)()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ krkukk HHxGx
(3.56)
)(ˆ)(ˆˆ)( kukky DxC (3.57)
)(ˆˆ)( kku xK (3.58)
Para usar el método de ubicación de polos del sistema representado en la figura 3.5 se
debe de transformar el sistema a uno de regulación alrededor de )(ˆ kx . Evaluando al
sistema de control cuando k→∞ como sigue
)()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ
krkukk HHxGx
(3.59)
)(ˆˆ)( kku xK (3.60)
Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema
como
)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkk xxx , )()()( kukuku (3.61)
La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene
rkrkrkr )()1()( (3.62)
Restando las ecuaciones (3.56) y (3.59) se obtiene
))()(())()((ˆ))(ˆ)(ˆ(ˆ)1(ˆ)1(ˆ
krkrkukukkkk HHxxGxx
(3.63)
Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.63) se obtiene
)(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kukk HxGx (3.64)
Restando las ecuaciones (3.58) y (3.60) se obtiene
))(ˆ)(ˆ(ˆ)()( kkkuku xxK (3.65)
Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.65) se obtiene
)(ˆˆ)( kku xK (3.66)
Las ecuaciones (3.64) y (3.66) representan un sistema de regulación del sistema
alrededor de x(k∞) entonces al reemplazar la ecuación (3.66) en la ecuación (3.64) se
obtiene la ecuación con realimentación de estados como
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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)(ˆ)ˆˆˆ()(ˆˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk xKHGxKHxGx (3.67)
La matriz K de realimentación de estados del sistema obtenido en lazo cerrado de la
ecuación (3.67) se elige para que el sistema satisfaga las especificaciones para el
régimen transitorio y se determina, de tal forma que los valores característicos de la
matriz KHG ˆˆˆ sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1 , μ2 , ... , μn+1 , los que
resultan de la ecuación característica siguiente
0ˆˆˆˆ KHGIz (3.68)
El diseño de la matriz K se realiza utilizando cualquiera de los métodos de diseño de
un sistema regulador visto en la sección 3.3 mediante el método de ubicación de polos
de tal manera que el sistema debe ser asintóticamente estable.
Al reemplazar la ecuación (3.58) en la ecuación (3.56) se obtiene
)()(ˆˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ krkkk HxKHxGx
)()(ˆ)ˆˆˆ()1(ˆ krkk HxKHGx
(3.69)
Reemplazando la ecuación (3.58) en la ecuación (3.57) se obtiene la ecuación de
respuesta del sistema
)()(ˆˆˆ)(ˆˆ)( krkkky DxKDxC
)()(ˆ)ˆˆˆ()( krkky DxKDC
(3.70)
En un sistema lineal invariante en el tiempo si se aplica una entrada constante, los
estados del sistema llegan a un punto de equilibrio en estado permanente, es decir
)()1()(ˆ)1(ˆ kvkvkk xx (3.71)
Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.45) o (3.51) y (3.71) se demuestra que el error
en estado estacionario es cero ante una entrada tipo escalón del siguiente modo:
rkyrkykekekvkvkv )(0)()()()()()1(
3.6 DISEÑO DE ESTIMADORES DE ESTADO (OBSERVADORES)
MEDIANTE EL METODO DUAL VIA UBICACION DE POLOS
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
En la práctica no todas las variables de estado estarán accesibles, de forma que
algunas de ellas no se podrán medir. Para aplicar el método de localización de polos, es
necesario estimar aquellas variables que no se puedan medir directamente.
Un observador o estimador de predicción de estados, es un subsistema del sistema de
control que lleva a cabo una estimación de las variables de estado del sistema a partir de
las medidas de las variables de salida y las variables de control del sistema.
Un observador de orden completo es cuando estima todas las variables de estado del
sistema, es de orden reducido cuando no estima todas las variables de estado y es de
orden mínimo cuando estima únicamente las variables no medibles.
Observador de orden completo para sistemas de simple salida. Cuando el vector
real x(k) no está disponible o no es medible en forma directa se diseña un estimador de
estados )(~ kx para que este vector sea lo mas próximo al vector de estados real x(k).
Considerando el sistema de control completamente observable descrito por las
ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas por
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
Teniendo en cuenta que las señales y(k) e )(~ ky se pueden medir por lo tanto la
ecuación dinámica del observador de estados, se escribe como
))(~)(()()(~)1(~ kykykukk e KHxGx (3.72)
)()(~)(~ kukky DxC (3.73)
donde Ke es una matriz de ponderación de estados de dimensión n×1.
Las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.72) y (3.73) se representan en un diagrama de bloques
en la figura 3.7
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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z-1
I
G
H x(k+1) x(k) u(k)
C
D
y(k)
z-1
I
G
H )1(~ kx
C )(~ kx
Ke
D
)(~ ky
Figura 3.7 Sistema de control con estimador predicción de estados
Reemplazando las ecuaciones (3.2) y (3.73) en la ecuación (3.72) y operando se
obtiene
))()(~)()(()()(~)1(~ kukkukkukk e DxCDCxKHxGx
))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xCCxKHxGx
))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xxCKHxGx (3.74)
El sistema de control representado mediante la figura 3.7 y expresado mediante las
ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.74) se puede representar mediante un esquema simplificado
en la figura 3.8.
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
u(k) y(k)
Cx(k)
))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xxCKHxGx
)(~ kx
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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Figura 3.8 Sistema de control reducido con estimador de estados
Para determinar los valores de la matriz Ke se obtiene la ecuación de error del
observador restando la ecuación (3.74) de la ecuación (3.1) como sigue
))(~)(())(~)(()1(~)1( kkkkkk e xxCKxxGxx (3.75)
Definiendo un vector e(k) que representa la diferencia entre x(k) y )(~ kx
)(~)()( kkk xxe
Empleando el vector e(k) en la ecuación (3.75) se determina la ecuación siguiente
)()()1( kkk eCeKGee
)()()1( kk e eCKGe (3.76)
La ecuación (3.76) describe la dinámica del observador por lo que se debe diseñar la
ganancia Ke de forma muy apropiada para que el vector del error e(k) tienda
asintóticamente a cero a una velocidad lo suficientemente rápido. Para determinar el
valor de Ke se puede utilizar el método de la ubicación de polos de tala manera que los
valores propios de la matriz (G-KeC) sean estables.
)())(( 21 ne zzzz CKGI (3.77)
Sistema dual. Mediante el principio de “no unicidad de la representación en el
espacio de estado” de la sección 2.3 se puede representar un sistema de control dual al
sistema original descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) como
)(ˆ)(ˆ)1(ˆ kukk TTCxGx (3.78)
)(ˆ)(ˆ)(ˆ kukky TDxH (3.79)
Las matrices G, H, C, D son las mismas que las matrices de las ecuaciones (3.1) y
(3.2). Considerando al sistema descrito por las ecuaciones (3.78) y (3.79) como sistema
de regulación definido entonces la señal de control se expresa como
)(ˆ)(ˆ kku xK (3.80)
Reemplazando la ecuación (3.80) en la ecuación (3.78) se obtiene
)(ˆ)()1(ˆ kk TTxKCGx (3.81)
El polinomio característico del sistema dado por la ecuación (3.81) se escribe como
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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)())(( 21 nTT zzzz KCGI (3.82)
Aplicando la propiedad del determinante |A| = |AT| entonces la ecuación (3.82)
también se expresa por
)())(( 21 nT zzzz CKGI (3.83)
Al comparar las ecuaciones (3.77) y (3.83) y si los polos de lazo cerrado son iguales
es decir ii entonces igualando las ecuaciones (3.77) y (3.83) se obtiene
CKGICKGIT
e zz (3.84)
De la ecuación (3.84) se deduce que
Te KK (3.85)
Si se calcula la matriz K usando cualquiera de los métodos utilizados anteriormente
de diseño de un regulador mediante la ubicación de polos, entonces se determina la
matriz de ganancia de estimación Ke .
Método algorítmico. Para usar este método se aplica la fórmula de la ecuación (3.18)
y se obtiene la matriz K de realimentación de estados del sistema dual descrito por las
ecuaciones (3.78) y (3.79) del siguiente modo
1
112211
Tnnnn aaaa QK (3.86)
La matriz QT de la ecuación (3.86) es la matriz de transformación similar a la matriz
T de la ecuación (3.12) es decir
WNQTT (3.87)
La matriz W es la misma matriz que la de la ecuación (3.14) es decir
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
nn
nn
W
La matriz NT es la matriz de controlabilidad del sistema dual del sistema descrito por
las ecuaciones (3.78) y (3.79) similar a al matriz de la ecuación (3.3) es decir
TnTTTTTTTCGCGCGCN
12 )()( (3.88)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
Los coeficientes ai y αi son los mismos que de las ecuaciones (3.11) y (3.16).
Aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.86) y sabiendo que (A-1
)T
= (AT)-1
y (AT)T = A
-1 se obtiene
T
1122111 aaaa nnnn
T QK (3.89)
De las ecuaciones (3.85) y (3.89) se obtiene la ganancia Ke del estimador como
11
22
111
a
a
a
a
nn
nn
e
QK (3.90)
La matriz Q de la ecuación (3.90) aplicando la transpuesta a ambos miembros de la
ecuación (3.81) se determina como
WNQ (3.91)
Aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.88) se obtiene
1
2
nCG
CG
CG
C
N
(3.92)
La matriz N de la ecuación (3.92) es la misma matriz de observabilidad de la
ecuación (3.4) por lo tanto si el sistema presenta observabilidad de estado completo se
podrá determinar la inversa de la matriz Q y por consiguiente la matriz de ganancia del
observador Ke.
Fórmula de Ackermann. Para usar este método se aplica la fórmula de la ecuación
(3.18) y se obtiene la matriz K de realimentación de estados del sistema dual descrito
por las ecuaciones (3.72) y (3.73) aplicando la fórmula de la ecuación (3.21) del
siguiente modo
)()( 1000 1 TTGNK (3.93)
Utilizando directamente la ecuación (3.85) se obtiene la ecuación
TT
TTTTe 1000)(
1
NGKK
Aplicando propiedades de matrices se obtiene finalmente la expresión de la ganancia
del estimador de predicción Ke mediante la fórmula de Ackermann
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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1
0
0
0
)( 1 NGK e (3.94)
La matriz N de la ecuación (3.94) es la misma matriz de la ecuación (3.92)
La matriz )(G de la ecuación (3.94) es la misma matriz de la ecuación (3.20)
IGGGGG nnnnn
12
21
1)(
Donde los coeficientes )(G son los coeficientes del polinomio característico como
resultado de ubicar los polos arbitrarios en el plano Z para el observador.
Método vectorial. Si los valores característicos que se desean μ1, μ2, μ3 ..., μn de la
matriz (G-KeC) son distintos entonces la matriz de ganancia de realimentación de
estados requerida se puede expresar como
1
1
11
2
1
n
e
η
η
η
K
Los vectores iηT son los vectores característicos de (G-KeC)
T que satisfacen la
siguiente ecuación
niii , ,2 ,1 , 1
IGCη
3.7 EFECTO DEL ESTIMADOR DE ESTADOS EN UN SISTEMA DE
CONTROL EN LAZO CERRADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS
En el proceso del diseño de ubicación de polos, se había supuesto que el vector de
estado verdadero x(t) estaba disponible para la realimentación, pero en la práctica en
vector de estado real x(t) puede ser no medible, por lo que es necesario utilizar un vector
de estado estimado )(~ tx u observado, en lugar del vector de estado verdadero x(t), sobre
la ecuación característica de un sistema de control en lazo cerrado.
Considerando el sistema de control completamente controlable y completamente
observable descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas por
)()()1( kukk HGxx
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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)()()( kukky DCx
Para el control con realimentación del vector de estado basado en el vector de estado
estimado )(~ tx de tiene
)(~)( kku xK (3.95)
Este vector de control se origina de las ecuaciones del estimador denotadas en las
ecuaciones (3.72) y (3.73) como
))(~)(()()(~)1(~ kykykukk e KHxGx
)()(~)(~ kukky DxC
De las dos últimas ecuaciones se obtiene la ecuación (3.68) denotada como
))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xxCKHxGx
De las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.74) y (3.95) se obtiene el diagrama de bloques de
estado de un sistema de control (regulador de estado observado) tal como se muestra en
la figura 3.9
z-1
I
G
H x(k+1) x(k) u(k)
C
D
y(k)
z-1
I
G
H )1(~ kx
C )(~ kx
Ke
-K
Figura 3.9 Sistema de control con realimentación del vector de estado estimado
Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.1) se obtiene la siguiente
expresión
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
)(~)()()(~)()1( kkkkkk xxHKxHKGxHKGxx (3.96)
La ecuación (3.90) en función del vector de error de estimación )(~)()( kkk xxe se
convierte en
)()()1( kkk HKexHKGx (3.97)
Volviendo a restar la ecuación (3.68) de la ecuación (3.1) se obtiene la diferencia del
estado real x(t) y del estado estimado )(~ tx mediante la ecuación (3.76) que expresa el
error de estimación e(k) denotada por
)()()1( kk e eCKGe
Combinado las ecuaciones (3.97) y (3.82) se obtiene un sistema de control ampliado
como
)(
)(
)1(
)1(
k
k
k
k
e e
x
CKG0
HKHKG
e
x (3.98)
La ecuación (3.98) describe la dinámica del sistema de control con realimentación de
estado estimado. La ecuación característica para este sistema es
0
CKGI0
HKHKGI
ez
z (3.99)
La expresión (3.99) aplicando propiedades del determinante se vuelve a escribir
como
0 CKGIHKGI ezz (3.100)
La expresión (3.100) significa que el diseño del controlador y el diseño del estimador
u observador son independientes uno del otro y se pueden aplicar métodos de diseño por
separado y combinarse en forma independiente para formar el sistema de control con
realimentación de estado observado.
Este mismo principio de diseño se aplica a sistemas de control con entrada de
referencia distintas a cero, inclusive a sistemas de seguimiento que incluyen un
integrador en lazo cerrado, conduciéndolo a un sistema de regulación.
Por lo general el observador se diseña de tal modo que su velocidad de respuesta sea
más rápida que la respuesta del controlador. Los polos en lazo cerrado que se desea que
se genere mediante realimentación de estados se seleccionan para que el sistema
satisfaga los requisitos de desempeño. Los polos del observador se seleccionan para que
el error de estimación tienda asintóticamente a cero a una velocidad suficientemente
alta. Como el observador generalmente no es una estructura de hardware, sino un
algoritmo, es posible aumentar la velocidad para que el vector de estado estimado
converja con rapidez al vector de estado real.
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.1) se obtiene la expresión
)(~)()1( kkk xHKGxx (3.101)
Reemplazando la ecuación (3.89) en la ecuación (3.68) se obtiene la expresión
))(~)(()(~)(~)1(~ kkkkk e xxCKxHKxGx
)(~ )()1(~ kkk ee xCKHKGCxKx (3.102)
Para efectos de simulación una vez diseñado el sistema de control con vector de
estado observado se puede obtener una nueva representación de estado para sistema de
regulación haciendo uso de las ecuaciones (3.101) y (3.102) como
)(~)(
)1(~)1(
k
k
k
k
ee x
x
CKHKGCK
HKG
x
x (3.103)
Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.2) se obtiene la expresión de la
salida como
)(~)()( kkky xDKCx
)(~)(
)(k
kky
x
xDKC (3.104)
La ecuación (3.95) de la expresión de la ley de control se puede modificar como
)(~)(
)(k
kku
x
xK0 (3.105)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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4 DISEÑO DE CONTROLADORES Y OBSERVADORES DE
SISTEMAS DE MULTIPLE ENTRADA Y MULTIPLE (MIMO) EN
EL ESPACIO DE ESTADOS
4.1 INTRODUCION
Al diseñar sistemas de control de múltiple entrada y múltiple (multivariable) salida
usando el método de ubicación de polos en el plazo Z se presenta el inconveniente de
obtener soluciones múltiples, cada solución presenta diversidad de formas en el
transitorio y generalmente no cumplen con las especificaciones de tiempo elegidas, por
lo tanto el escoger la solución más próxima o sea la mejor es un gran inconveniente.
Otro método a usar es el Control Optimo que consiste en optimar u optimizar el valor
de una función seleccionada como el índice de desempeño y por lo tanto es de gran
interés para los ingenieros de control.
Al diseñar un controlador multivariable mediante sistemas de control óptimo, se
necesita encontrar una regla que determine la decisión de control presente, sujeta a
ciertas restricciones, para minimizar la desviación del comportamiento ideal, esta
medida es prevista, generalmente, por el índice de desempeño seleccionado que es una
función cuyo valor se considera una indicación de qué tanto se parece el desempeño del
sistema real al desempeñado deseado.
Formulación de un sistema de control multivariable
Considerando un sistema de control lineal invariante en el tiempo de múltiple entrada
y múltiple salida descrito mediante las ecuaciones de estado y de salida como
)()()1( kkk HuGxx (4.1)
)()()( kkk DuCxy (4.2)
x(k) : vector de estado de n×1
y(k) : vector de salida de m×1
u(k) : vector de entrada o de control de r×1
G : matriz de estado de n×n
H : matriz de entrada de n×r
C : matriz de salida de m×n
D : matriz de transmisión directa de m×r
La representación gráfica de las ecuaciones (4.1) y (4.2) se muestra en la figura 4.1
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
z-1
I
G
H x(k+1) x(k) u(k)
C
D
y(k)
Figura 4.1 Sistema de control multivariable en lazo abierto.
El diagrama de bloques del sistema de control de la figura 4.1 se puede simplificar
mediante la representación de gráfica de la figura 4.2
)()()1( kkk HuGxx )()()( kkk DuCxy
u(k) y(k)
x(k)
Figura 4.2 Sistema de control simplificado en lazo abierto.
Controlabilidad de un sistema de control multivariable
Un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir
el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado arbitrario en un
tiempo finito.
La matriz de controlabilidad M de dimensión n×rn es
HGHGGHHM12 n (4.3)
El sistema es controlable en estado completo si la matriz M tiene rango = n
Observabilidad de un sistema de control multivariable
Un sistema de control es de estado completamente observable, si cualquier estado
inicial x(0) se puede determinar a partir de la observación de y(kT) sobre un número
finito de periodos de muestreo. El sistema, por lo tanto, es completamente observable, si
cualquier transición del estado de manera eventual afecta a todos los elementos del
vector de salida.
La matriz de observabilidad N de dimensión nm×n es
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
1
2
nCG
CG
CG
C
N
(4.4)
El sistema es observable en estado completo si la matriz N tiene rango = n
4.2 DISEÑO DE UN CONTROLADOR (REGULADOR) CON ENTRADA DE
REFERENCIA NULA
En el diseño de controladores en realimentación del vector de estado x(k) de
dimensión n×1 cuando el vector de control u(k) de dimensión r×1 para un sistema
controlable en estado completo y descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2), se elige el
vector de control expresado como
)()( kk Kxu (4.5)
Para determinar la matriz de ganancias de estados K de dimensión r×n se siguen los
siguientes pasos:
1. Determinar si el par (G, H) es controlable en estado completo, es decir si la
matriz de controlabilidad M de dimensión n×rn tiene rango n.
2. Obtener aleatoriamente una matriz KS de dimensión r×n y definir G0=G-HKS de
tal modo que G0 presente valores propios distintos, sino elegir otra matriz Ks .
3. Realizar una combinación lineal aleatoria de las columnas de H para generar
H0=Hv de tal manera que el par (G0, H0) representa un sistema equivalente de
entrada simple. Es decir G0, tiene dimensión n×n, H0 dimensión n×1 y el vector
v debe tener dimensión r×1
4. Asignar el espectro o conjunto deseado de polos ubicados en lazo cerrado μ1, μ2,
..., μn y determinar la matriz de realimentación de estados K0 usando cualquier
método de diseño mediante ubicación de polos de sistemas de regulación con
entrada simple vistos en capítulo 3 tal que los valores propios de (G0-H0K0) sean
iguales a los polos deseados en lazo cerrado.
5. Determinar la matriz deseada de realimentación K haciendo K=Ks+vK0
6. Comprobar que la matriz (G-HK) presente el mismo espectro deseado.
La representación gráfica del sistema de control simplificado expresado mediante las
ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.5) se muestra en la figura 4.3
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Ing. José A. Machuca Mines
-K
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
u(k) y(k)
x(k)
Figura 4.3 Sistema de control en lazo cerrado.
Al reemplazar la ecuación (4.5) en la ecuación (4.1) se obtiene
)()1( kk xHKGx (4.6)
La solución de la ecuación de estado es
)0()()( xHKGxkk (4.7)
Reemplazando la ecuación (4.5) en la ecuación (4.2) resulta
)()()()()( kkkky xDKCDKxCx (4.8)
4.3 DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO DE MÚLTIPLE SALIDA
MEDIANTE EL METODO DE UBICACION DE POLOS
Cuando el vector real x(k) no está disponible o no es medible en forma directa de
diseña un estimador de estados para que un vector estimado )(~ kx sea lo más cercano al
vector de estados real x(k).
Considerando el sistema de control completamente observable descrito por las
ecuaciones (4.1) y (4.2) definidas por
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
Teniendo en cuenta que las señales y(k) e )(~ ky se pueden medir por lo tanto la
ecuación dinámica del observador de estados, se escribe como
))(~)(()()(~)1(~ kkkkk e yyKHuxGx (4.9)
)()(~)(~ kkk DuxCy (4.10)
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donde Ke es una matriz de ponderación de estados de dimensión n×m.
Las ecuaciones (4.1), (4.2), (4.9) y (4.10) se representan en un diagrama de bloques
en la figura 4.4
z-1
I
G
H x(k+1) x(k) u(k)
C
D
y(k)
z-1
I
G
H )1(~ kx
C )(~ kx
Ke
D
)(~ ky
Figura 4.4 Sistema de control con estimador predicción de estados
Reemplazando las ecuaciones (4.2) y (4.10) en la ecuación (4.9) y operando se
obtiene
))()(~)()(()()(~)1(~ kkkkkkk e DuxCDuCxKHuxGx
))(~)(()()(~)1(~ kkkkk e xxCKHuxGx (4.11)
El sistema de control representado mediante la figura 4.4 y expresado mediante las
ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.11) se puede representar mediante un esquema simplificado
en la figura 4.5
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
u(k) y(k)
Cx(k)
))(~)(()()(~)1(~ kkkkk e xxCKHuxGx
)(~ kx
Figura 4.5 Sistema de control reducido con estimador de estados
Para determinar los valores de la matriz Ke se obtiene la ecuación de error del
observador restando la ecuación (4.1) de la ecuación (4.11) y se obtiene
))(~)(())(~)(()1(~)1( kkkkkk e xxCKxxGxx (4.12)
Definiendo un vector e(k) que representa la diferencia entre x(k) y )(~ kx
)(~)()( kkk xxe
Empleando el vector e(k) en la ecuación (4.12) se determina la ecuación siguiente
)()()1( kkk eCeKGee
)()()1( kk e eCKGe (4.13)
La ecuación (4.13) describe la dinámica del observador por lo que se debe diseñar la
ganancia Ke de forma muy apropiada para que el vector del error e(k) tienda
asintóticamente a cero a una velocidad lo suficientemente rápido. Para determinar el
valor de Ke se puede utilizar el método de la ubicación de polos de tal manera que los
valores propios de la matriz G-KeC sean estables.
)())(( 21 ne zzzz CKGI (4.14)
Sistema dual. Mediante el principio de “no unicidad de la representación en el
espacio de estado” de la sección 2.3 se puede representar un sistema de control dual al
sistema original descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) como
)(ˆ)(ˆ)1(ˆ kkk TTuCxGx (4.15)
)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkk TuDxHy (4.16)
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Las matrices G, H, C, D son las mismas que las matrices de las ecuaciones (4.1) y
(4.2). Considerando al sistema descrito por las ecuaciones (4.15) y (4.16) como sistema
de regulación definido, entonces la señal de control se expresa como
)(ˆ)(ˆ kk xKu (4.17)
Reemplazando la ecuación (4.17) en la ecuación (4.15) se obtiene
)(ˆ)()1(ˆ kk TTxKCGx (4.18)
El polinomio característico del sistema dado por la ecuación (4.18) se da por
)())(( 21 nTT zzzz KCGI (4.19)
Aplicando la propiedad del determinante |A| = |AT| entonces la ecuación (4.19)
también se expresa como
)())(( 21 nT zzzz CKGI (4.20)
Al comparar las ecuaciones (4.14) y (4.20) y si los polos de lazo cerrado son iguales
es decir ii entonces igualando las ecuaciones (4.14) y (4.20) se obtiene
CKGICKGIT
e zz (4.21)
De la ecuación (4.21) se deduce que
Te KK (4.22)
Si se calcula la matriz K usando el algoritmo de solución de un sistema de control
multivariable, entonces se determina la matriz de ganancia de estimación Ke
4.4 SISTEMAS DE CONTROLADOR OPTIMO
Un sistema de control óptimo minimiza (o maximiza) el índice de desempeño
seleccionado, este índice, en realidad determina la configuración del sistema. Un
sistema de control que es óptimo bajo un índice de desempeño por lo general no es
óptimo bajo otro índice de desempeño.
Los problemas de control óptimo que se pueden resolver en forma analítica, dan una
buena visión de las estructuras y algoritmos óptimos que se pueden aplicar a casos
prácticos.
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Formulación de un sistema de optimización
El problema de un sistema de optimización de un sistema de control se puede
formular si se tiene la siguiente información: Ecuaciones del sistema, clase de vectores
de control permitidos, índice de desempeño y parámetros del sistema.
La solución de un problema de control óptimo consiste en determinar el vector de
control óptimo dentro de la clase de vectores de control permitidos. El vector de control
depende de la naturaleza del índice de desempeño, de la naturaleza de restricciones, del
estado inicial o salida inicial y del estado deseado o salida deseada.
Considerando un sistema de control multivariable lineal invariante en el tiempo
descrito mediante las ecuaciones de estado (4.1) y de salida (4.2) como
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
Donde (k = 0, 1, 2, ..., N-1) y el estado inicial arbitrario es cx )0( y la secuencia
u(0), u(1), u(2), ..., u(N-1) son los vectores de control óptimos que minimiza un índice
de desempeño cuadrático.
4.4.1 CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO NO ESTACIONARIO
Ley de control óptimo
La ley de control óptimo para un sistema de regulación se determina mediante la
ecuación
)()( k(k)k xKu (4.23)
Donde K(k) es una matriz de r×n variante en el tiempo. Si N = ∞, entonces K(k) es
una matriz constante de r×n.
Indice de desempeño cuadrático.
En el problema de control óptimo cuadrático se desea determinar una ley para el
vector de control u(k) tal que un índice de desempeño cuadrático se minimice. Un
ejemplo de índice de desempeño cuadrático es
1
0
)()()()(2
1)()(
2
1N
k
TTT kkkkNNJ RuuQxxSxx (4.24)
Donde las matrices S y Q son matrices de ponderación simétricas definidas positivas
o semidefinidas positivas y la matriz R es una matriz de ponderación, simétrica
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definida positiva. Estas matrices se seleccionan para valorar la importancia relativa de la
contribución en el desempeño debido al vector de estado x(k) (k = 0, 1, 2, ... , N-1). Al
vector de control u(k) (k = 0, 1, 2, ... , N-1) y al estado final x(N), respectivamente.
El primer término dentro de los corchetes de la sumatoria toma en cuenta la
importancia relativa del error durante el proceso de control y el segundo término toma
en cuenta el gasto de energía de la señal de control.
Al emplear un conjunto de multiplicadores de Lagrange λ(1), λ(2), ..., λ(N), se define
un nuevo índice de desempeño L como:
1
0
)1()1()()()1()()()1(2
1N
k
TT kkkkkkkkJL λxHuGxxHuGx
(4.25)
Donde J está expresado mediante la ecuación (4.24)
1
0
)()()()(2
1)()(
2
1N
k
TTT kkkkNNJ RuuQxxSxx
Para minimizar la función L, se necesita diferenciar L respecto a cada uno de los
componentes de los vectores x(k), u(k) y λ(k) e igualar los resultados a cero. Por lo tanto
se tiene
1 , ,2 ,1 , )()1()( )(
Nkkkk
k
T 0GQx0x
Lλλ (4.26)
0Sx0x
Lλ
)()(
)(NN
N (4.27)
1 , ,2 ,1 ,0 , )1()( )(
Nkkk
k
T 0HRu0u
Lλ (4.28)
Nkkkkk
, ,2 ,1 , )()1()1( )(
0xHuGx0
L
λ (4.29)
Modificando adecuadamente la ecuación (4.26) se tiene
1 , ,2 ,1 , )1()()( Nkkkk T λGQx (4.30)
Con la condición final )()( NN Sxλ
Al resolver la ecuación (4.28) para u(k) y sabiendo que R-1
existe, se obtiene
1 , ,2 ,1 ,0 , )1()( 1 Nkkk T λHRu (4.31)
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La ecuación (4.29) resulta ser la ecuación de estado y se puede escribir como
1 , ,2 ,1 ,0 , )()()1( Nkkkk HuGxx (4.32)
Al sustituir la ecuación (4.31) en la ecuación (4.32) se obtiene
)1()()1( 1 kkk TλHHRGxx (4.33)
Con la condición inicial cx )0( .
Para obtener la solución al problema de minimización, se necesitan resolver las
ecuaciones (4.30) y (4.33) en forma simultánea con dos puntos de frontera
)()( NN Sxλ y cx )0( respectivamente determinando el valor óptimo para el vector
x(k) y para el vector λ(k) y el vector de control óptimo u(k) se puede obtener en la forma
de lazo abierto. Sin embargo, si se emplea la ecuación de Riccati, el vector u(k) se puede
obtener en la forma de lazo cerrado como en la ecuación (4.23) es decir
)()( k(k)k xKu
Si se supone que el vector de multiplicadores de Lagrange λ(k) se puede aplicar la
transformación de Riccati al definir λ(k) como
)()( k(k)k xPλ (4.34)
Donde P(k) es una matriz simétrica definida positiva o semidefinida positiva de
dimensión n×n.
Al sustituir la ecuación (4.34) en la ecuación (4.30) resulta
)1(1)()( k)(kkk(k) TxPGQxxP (4.35)
Al sustituir la ecuación (4.34) en la ecuación (4.33) se obtiene
)1(1)()1( 1 k)(kkk TxPHHRGxx (4.36)
La ecuación (4.36) se puede escribir como
)()1(11 kk)(kTGxxPHHRI (4.37)
La ecuación (4.37) se convierte en
)(1)1(11 k)(kk TGxPHHRIx
(4.38)
Al sustituir la ecuación (4.38) en la ecuación (4.35), se obtiene
)(]1[1)()( 11 k)(k)(kkk(k) TTGxPHHRIPGQxxP
(4.39)
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La ecuación (4.39) también se puede escribir como
0xGPHHRIPGQP )(]1[1 11 k)(k)(k(k) TT (4.40)
En la última ecuación se debe cumplir para todo vector x(k). Por lo tanto se obtiene
GPHHRIPGQP11 ]1[1 )(k)(k(k) TT (4.41)
La ecuación (4.41) se puede modificar al utilizar el lema de inversión de matrices
111111 DABDAIBAABDA
Al hacer las sustituciones
)(kT 1 , , 1 PHDHRBIA
Se obtiene
)(k)(k)(k TTT 1]1[]1[ 11111 PHHRPHIHRIPHHRI
)(k)(k)(k TTT 1]1[]1[ 111 PHHPHRHIPHHRI
En consecuencia la ecuación (4.41) se puede modificar a
GPHHPHRHPGGPGQP )(k)(k)(k)(k(k) TTTT 1]1[11 1 (4.42)
La ecuación (4.42) se denomina ecuación de Riccati.
En referencia a las ecuaciones (4.27) y (4.34), para el valor de k = N se obtiene
)()()()( NNNN Sxx λP . Entonces SP )(N
Mediante la ecuación (4.34) se puede obtener
)1(1)1( k)(kk xPλ (4.43)
Reemplazando la ecuación de estado (4.32) en la ecuación (4.43)
)()( 1)1( kk)(kk HuGxPλ (4.44)
Sustituyendo la ecuación (4.44) en la ecuación de control (4.31) se obtiene
)( 1)(1)( 11 k)(kk)(kk TTHuPHRGxPHRu (4.45)
Despejando el vector de control óptimo u(k) obteniéndose como
)(1] 1[)( 111 k)(k)(kk TTGxPHRHPHRIu (4.46)
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Modificando la ecuación (4.46) se obtiene la siguiente ley de control óptima como
)(1] 1[)( 1 k)(k)(kk TTGxPHHPHRu (4.47)
Relacionado la ecuación (4.23) con la ecuación (4.47) se obtiene la expresión para la
matriz de realimentación K(k) como sigue
GPHHPHRK )(k)(kk TT 1] 1[)( 1 (4.48)
La ecuación (4.48) indica que la matriz de realimentación K(k) variante en el tiempo
se puede calcular antes de que el proceso comience, conociendo las matrices G, H, Q, R
y S y el valor de k=N.
Existen otras formas equivalentes para representar la matriz de realimentación K(k).
En la figura 4.6 se muestra el esquema de control óptimo del sistema regulador no
estacionario basado en el índice de desempeño cuadrático.
-K(k)
)()()1( kukk HGxx
)()()( kukky DCx
u(k) y(k)
x(k)
Precálculo
de K(k)
Figura 4.6 Sistema regulador óptimo basado en el índice de desempeño cuadrático
Al realizar manipulaciones se puede evaluar el valor mínimo del índice de
desempeño. Es decir
1
0
)()()()(2
1)()(
2
1min)min(
N
k
TTT kkkkNNJ RuuQxxSxx (4.49)
Obteniéndose el valor mínimo del índice de desempeño J como
)0()0()0(2
1min xPx
TJ (4.50)
4.4.2 CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO ESTACIONARIO
SE UN SISTEMA REGULADOR
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Cuando se considera el sistema de control óptimo cuadrático con el proceso sin
limitaciones, o cuando N→∞ (proceso de etapas infinitas). Como N→∞, la solución de
control óptimo se convierte en una solución de estado estacionario, y la matriz de
ganancia variante en el tiempo K(k) se convierte en una matriz de ganancia constante K
y se llama matriz de ganancia en estado estacionario.
Considerando el sistema descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) como
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
Teniendo en cuenta el control óptimo cuadrático en estado estacionario de un sistema
regulador, el índice de desempeño J se modifica a
0
)()()()(2
1
k
TT kkkkJ RuuQxx (4.51)
El índice de desempeño J, cuando N = ∞, converge a una constante, x(∞) = 0 por lo
tanto 0)()( )2/1( SxxT
La matriz de estado estacionario P(k) se define como P (matriz real simétrica
definida positiva). Entonces la ecuación de Ricatti (4.42) se convierte en
PGHPHHRPHGPGGQPTTTT 1][ (4.52)
La matriz de ganancia en estado estacionario K se obtiene modificando la ecuación
(4.48) como
PGHHPHRKTT 1] [ (4.53)
La ley de control óptimo para la operación en estado estacionario está dada por
)()( kk Kxu (4.54)
El índice de desempeño J asociando la ley de control óptimo en estado estacionario
se obtiene de la ecuación (4.50) como
)0()0(2
1min Pxx
TJ (4.55)
Al implantar el controlador óptimo en estado estacionario (invariante en el tiempo) se
requiere solucionar en estado estacionario la ecuación de Ricatti. Una forma es
resolviendo la ecuación de Ricatti de la expresión (4.52) o también invirtiendo la
dirección del tiempo de la ecuación de Ricatti (4.42) modificándose a la forma siguiente
GPHHPHRHPGGPGQP (k)(k)(k)(k))(k TTTT 1][1 (4.56)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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La solución de la ecuación (4.56) comienza con P(0) = 0, e iterar la ecuación hasta
obtener una solución en estado estacionario, es decir obtener una matriz P constante.
La representación gráfica del sistema de control óptimo en estado estacionario se
muestra en la figura 4.7
-K
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
u(k) y(k)
x(k)
Figura 4.7 Sistema de control en lazo cerrado.
4.5 DISEÑO DE UN CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO
ESTACIONARIO DE SEGUIMIENTO (PROPROCIONAL)
Sea el sistema de control de múltiple entrada descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2)
definas como
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como
)()()( 0 kkk rKKxu (4.57)
donde r(k) es el vector de referencia m×1 del mismo tamaño que el vector de salida
y(k), la matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión
r×n, y la matriz K0 es una matriz de compensación ajustable proporcional r×m.
En la figura 4.8 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones
(4.1), (4.2), y (4.57), que representa a un sistema de control óptimo en lazo cerrado.
r(k)
K0 )()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy
u(k) y(k)
x(k)
K
Figura 4.8 Sistema de control óptimo proporcional y precompensador
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Para determinar la ganancia óptima K en estado estacionario del sistema
representado en la figura 4.8 se debe de llevar a un sistema de regulación óptimo
cuadrático alrededor de x(k∞) evaluando al sistema de control cuando k→∞ como se ha
procedido en el capítulo 3 para un sistema de control seguimiento a un escalón con
precompensador de simple entrada obteniéndose la matriz óptima de ganancia K en
estado estacionario dada en la expresión (4.53) y escrita como
PGHHPHRKTT 1] [
Donde la matriz P se obtiene de la matriz de Ricatti dada en la ecuación (4.52) y
volviéndola a escribir como
PGHPHHRPHGPGGQPTTTT 1][
La solución de la ecuación de Ricatti en estado estacionario se obtiene mediante la
ecuación (4.56) como
GPHHPHRHPGGPGQP (k)(k)(k)(k))(k TTTT 1][1
La ganancia de prealimentación K0 se selecciona para que el sistema en lazo cerrado
tenga una ganancia unitaria en estado permanente, eliminado el error en estado
estacionario ante una entrada escalón, r(k)=r. Obteniéndose como en la ecuación (3.41)
pero en forma matricial como
110 )(
DHHKGIDKCK (4.58)
4.6 DISEÑO DE UN CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO
ESTACIONARIO DE SEGUIMIENTO (PROPORCIONAL-INTEGRAL)
Sea el sistema de control de múltiple entrada descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2)
definas como
)()()1( kkk HuGxx
)()()( kkk DuCxy , 0D
La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como
)()()( kkk I vKKxu (4.59)
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Donde el vector v(k) es un vector de m×1 del mismo tamaño que el vector de salida
y(k), la matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión
r×n, y la matriz KI es una matriz de ganancia integral de r×m.
La ecuación del integrador se escribe como
))()(()1()( kkkk yrvv (4.60)
En la figura 4.9 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones
(4.1), (4.2), (4.59) y (4.60) que representa un sistema de control óptimo en lazo cerrado.
K
r(k) KI 11
1 z
)()()1( kkk HuGxx
)()( kk Cxy
u(k) y(k)
x(k)
v(k) e(k)
Figura 4.9 Sistema de control óptimo de seguimiento proporcional - integral
La ecuación (4.60) en base a las ecuaciones (4.1) y (4.2) se puede modificar como
)1()()()()1( kkkkk rCHuvCGxv (4.61)
De las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.61) se obtiene un sistema de control óptimo
ampliado como sigue:
Ecuación de estado
)1()()(
)(
)1(
)1(
kk
k
k
k
kr
I
0u
CH
H
v
x
ICG
0G
v
x (4.62)
Ecuación de salida
)(
)( )(
k
kk
v
x0Cy (4.63)
Ecuación de control
)(
)( )(
k
kk I
v
xKKu (4.64)
Definiendo las siguientes expresiones
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)(
)()(ˆ
k
kk
v
xx de dimensión (n+m)×1
ICG
0GG de dimensión (n+m)×(n+m)
CH
HH de dimensión (n+m)×r
I
0H
de dimensión (n+m)×r
0CC ˆ de dimensión m×(n+m)
0D ˆ de dimensión m×r
IKKK ˆ de dimensión r×(n+m)
Las ecuaciones (4.62), (4.63) y (4.64) se pueden escribir como
)1()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk rHuHxGx
(4.65)
)(ˆ)(ˆˆ)( kkk rDxCy (4.66)
)(ˆˆ)( kk xKu (4.67)
Para diseñar la ganancia óptima en estado estacionario K del sistema de control
descrito por las ecuaciones (4.65), (4.66) y (4.67) se transforma a un sistema de
regulación alrededor de )(ˆ kx evaluando al sistema de control cuando k→∞ como
sigue
)1()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk rHuHxGx
(4.68)
)(ˆˆ)( kk xKu (4.69)
Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema
como
)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkke xxx , )()()( kkke uuu
La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene
rrrr )()1()( kkk (4.70)
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Restando las ecuaciones (4.65) y (4.68) se obtiene
))1()1(())()((ˆ))(ˆ)(ˆ(ˆ)1(ˆ)1(ˆ krkrkukukkkk HHxxGxx
(4.71)
Evaluando con las variaciones de estados y entrada se obtiene
)(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkk eee uHxGx (4.72)
Restando las ecuaciones (44.67) y (4.69) se obtiene
))(ˆ)(ˆ(ˆ)()( kkkk xxKuu (4.73)
Evaluando con las variaciones de estados y entrada se obtiene
)(ˆˆ)( kk ee xKu (4.74)
Las ecuaciones (4.72) y (4.74) representan un sistema de regulación de un sistema de
control óptimo alrededor de x(k∞). Por lo tanto, el diseño se convierte en determinar la
matriz K tal que minimice al siguiente índice de desempeño cuadrático discreto en
estado estacionario J como sigue
0
)(ˆ)()(ˆˆ)(ˆ2
1
k
e
T
ee
T
e kkkkJ uRuxQx (4.75)
La matriz de ponderación Q , es simétrica definida positiva o semidefinida positiva
de (n+m)×(n+m) y la matriz de ponderación R , es simétrica y siempre definida positiva
de r×r .
Por lo tanto la matriz de ganancia óptima en estado estacionario K de la ecuación
(4.74) de control óptimo del sistema de control descrito por la ecuación que minimiza el
índice de desempeño J descrito por la ecuación (4.76) se determina mediante la
siguiente expresión
GPHHPHRK ˆˆˆ]ˆ ˆˆˆ[ˆ 1 TT (4.76)
Donde la matriz P sigue siendo una matriz simétrica definida positiva de dimensión
(n+m)×(n+m) se obtiene de la matriz de Ricatti descrita como
GPHHPHRHPGGPGQP ˆˆˆ]ˆˆˆˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆ 1 TTTT (4.77)
La solución de la ecuación de Ricatti se obtiene mediante la ecuación siguiente
GPHHPHRHPGGPGQP ˆˆˆ]ˆˆˆˆ[ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆ 1 (k)(k)(k)(k))(k TTTT (4.78)
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Al reemplazar la ecuación (4.67) en la ecuación (4.65) se obtiene ecuación de estado
el lazo cerrado como
)1()(ˆˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk rHxKHxGx
)()(ˆ)ˆˆˆ()1(ˆ kkk rHxKHGx
(4.79)
En un sistema lineal invariante en el tiempo si se aplica una entrada constante, los
estados del sistema llegan a un punto de equilibrio en estado permanente, es decir
)()1()(ˆ)1(ˆ kkkk vvxx (4.80)
Teniendo en cuenta las ecuaciones (4.60) y (4.80) se demuestra que el error en estado
estacionario es cero ante una entrada tipo escalón del siguiente modo:
ry0ryeevvv )()()()()()()1( kkkkkkk
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SISTEMAS DE CONTROL NO LINEAL EN TIEMPO DISCRETO
Y LINEALIZACION POR REALIMENTACION
1.1 INTRODUCION
Una vez formulado el modelo matemático o dinámico de un proceso, éste por lo
general resulta ser no lineal. Lo siguiente es analizar la formulación dinámica del
proceso para elegir la técnica de control que a veces resulta más conveniente aplicar
directamente con el modelo no lineal y así se pueden diseñar sistemas o estructuras de
control no lineal empleando diversas técnicas como el método directo de Liapunov,
control deslizante, control adaptivo, control predictivo, compensación no lineal por
realimentación, etc.
La idea fundamental del control de procesos no lineales empleando la técnica de
linealización por realimentación o realimentación no lineal, es linealizar el proceso
(parcial o total) mediante un cambio adecuado de coordenadas vectoriales y una
realimentación del vector de estado, de modo tal que el proceso resultante (representado
en su forma normal) permita aplicar técnicas de control lineal o resolver el problema de
control con un grado de dificultad menor (en caso de linealización parcial).
1.2 HERRAMIENTAS MATEMATICAS
Las herramientas matemáticas necesarias para desarrollar el método de control
tratado en este capítulo corresponden a la definición, análisis y uso de conceptos de la
geometría diferencial y a la topología. En esta sección sólo se tratarán los aspectos
involucrados con la técnica de linealización por realimentación para un proceso de
naturaleza no lineal.
Si f(x) es un campo vectorial suave en el espacio n-dimensional, es decir que posee
infinitas derivadas parciales continuas, donde x es el vector de estado. El jacobiano de
f(x) es
n
nn
n
x
f
x
f
x
f
x
f
1
1
1
1
x
ff (1.1)
Si h(x) es una función escalar suave de variable vectorial, donde x es el vector de
estado. El gradiente de h(x) es
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nx
h
x
h
x
hhh
21x (1.2)
1.2.1 Derivadas y corchetes de Lie
Definición 1.1 Dada una función escalar suave RRx nh :)( y un campo
vectorial suave nnRRxf :)( , entonces se puede definir una nueva función escalar
RRff nhhL : denominado la derivada de Lie, que viene ha ser la derivada
direccional de h a lo largo de la dirección del vector f
Sucesivas derivadas de se pueden definir recursivamente como
hhhL 00 ff
fff 11 hhhL
fffff )()( 112 hLhLLhL
,2 ,1 , )()( 11 ihLhLLhL iiif
ffff (1.3)
Del mismo modo, si g(x) es otro campo vectorial, la función escalar )(xfg hLL es
gx ffg )()( hLhLL (1.4)
Definición 1.2 Sean nnRRxgxf :)( ),( . El corchete de Lie de f y g se define
como un tercer campo vectorial de la forma
ggffggf fadj , (1.5)
El corchete de Lie también significa la adjunta del vector g(x) a lo largo de la
dirección del vector f(x). Sucesivos corchetes de Lie se pueden definir recursivamente
como
ggf
0adj
gfgfgff
, , 01 adjadj
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, , 12 gfgfg fffadjadjadj
,2 ,1 , , 1 iadjadj ii gfgff
(1.6)
Lema 1.1 Los corchetes de Lie satisfacen las propiedades siguientes:
1. Bilinealidad:
gfgfgff , , , 22112211
22112211 , , , gfgfggf
2. Anticonmutatividad:
fggf , ,
3. Identidad de Jacobi:
ggffggf fadjL ,
Donde f, f1, f2, g, g1 y g2 son campos vectoriales, α1 , α2 son constantes escalares y
h(x) es una función diferenciable.
1.2.2 Difeomorfismo global y difeomorfismo local
El concepto de difeomorfismo, que puede ser visto como una generalización del
concepto familiar de transformación de coordenadas en campos vectoriales, es el
siguiente:
Definición 1.3 Una función nnRRx :)( definida en una región , se denomina
un difeomorfismo si y su inversa son suaves. Si nR , entonces )(x es un
difeomorfismo global. Si xx de , entonces )(x define un difeomorfismo local en
una región de .
1.3 TRANSFORMACION NO LINEAL DE ESTADOS
Un difeomorfismo puede ser usado para transformar una representación no lineal en
otra, en términos de un nuevo vector de estado. Considerando que un proceso no lineal
está descrito por
)())(())(( ttt uxGxfx (1.7.a)
))(()( tt xhy (1.7.b)
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Donde u(t) es el vector de control de dimensión r×1, x(t) es el vector de estado de
dimensión n×1, y(t) es el vector de salida del proceso de dimensión m×1, la matriz
G(x(t)) de dimensión m×r está formada por r campos vectoriales infinitamente
diferenciables de dimensión n×1 y h(t) corresponde a un campo vectorial infinitamente
diferenciable.
Si se asume la siguiente transformación no lineal de estados:
) , ,(
) , ,(
) , ,(
)(
1
12
11
nn
n
n
xx
xx
xx
xz (1.8)
La transformación de la ecuación (1.8) es un difeomorfismo, donde la función de
transformación )(x es infinitamente diferenciable e invertible, la función inversa
)(1z
también debe ser infinitamente diferenciable, permite un retorno a los estados
originales.
Aplicando la ecuación (1.8), )(xz en la ecuación (1.7) y derivando se obtiene
)())(())(()()()()(
ttttttt
uxGx
xfx
xx
zxxx
(1.9)
Donde x es un punto de equilibrio para el cual la matriz jacobiana es no singular, lo
que significa que su inversa existe. Por lo tanto el proceso no lineal se puede expresar en
términos del vector de estado z como
)())((~
))((~
ttt uzGzfz (1.10.a)
))((~
)( tt zhy (1.10.b)
Donde
))(()(~ 1
zfx
zf
))(()(~ 1
zGx
zG
))(()(~ 1
zhzh
1.3.1 El Teorema de Frobenius
El teorema de Frobenius es una herramienta importante para el tratamiento formal de
la linealización por realimentación de procesos de orden n. Este teorema proporciona las
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condiciones necesarias y suficientes para resolver una clase especial de ecuaciones con
derivadas parciales.
Definición 1.4 Se dice que un conjunto linealmente independiente de campos
vctoriales pfff 21 en nR es completamente integrable sí y solo sí existen (n-p)
funciones escalares )( , ),( ),( 21 xxx pnmmm que satisfacen el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales parciales:
0 jim f , donde mni 1 , mj 1 . En suma, los gradientes im son
también linealmente independientes.
La definición anterior implica la existencia de n(n-m) ecuaciones diferenciales
parciales de la forma 0 jim f .
Definición 1.5 Se dice que un conjunto linealmente independiente de campos
vectoriales pfff 21 en nR es involutivo, integrable sí y solo sí existen funciones
escalares nnijk RRx :)( tales que
jik
p
k
ijk , , )( )()( )( ,
1
xfxxgffgxgf (1.11)
Partiendo de la definición anterior se puede deducir que:
1. Los campos vectoriales constantes, es decir, si fk y gk son constantes para
cualquier k = 1, ...,p, son siempre involutivos puesto que
jik
p
k
ijk , , )( )(0)( ,
1
xfxxgf
2. Un conjunto compuesto por un solo campo vectorial f es involutivo porque
0)( , xff
3. Si un conjunto de campos vectoriales pfff 21 es involutivo, implica
que para todo i, j
jipp rangorango ffxfxfxfxfxfxf ,)()()()()()( 2121
Teorema 8.1 (Teorema de Frobenius) Sea pfff 21 es un conjunto de
campos vectoriales linealmente independientes es integrable sí y sí es involutivo.
1.3.2 Grado relativo
Dado el siguiente proceso no lineal de una entrada y una salida
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)())(())(( tutt xgxfx (1.12.a)
))(()( thty x (1.12.b)
Se desea obtener una relación directa entre la entrada u y la salida y. Para ello se
deriva la salida como sigue
)()()(
)()()()(
tuhhh
dt
tdyxg
x
xxf
x
xx
x
x
O que es lo mismo
uhLhLy )()( xx gf (1.13.1)
Si 0)( xghL , entonces se tiene la relación deseada entre y y u; en caso contrario, se
sigue derivando la salida remanente )(xf hLy como sigue
uhLhLhLy )()()()()( xgxx
xfxx
xxx
fff
O que es lo mismo
uhLLhLy )()(2xx fgf (1.13.2)
Nuevamente, si 0)( xfg hLL , entonces se tiene la relación deseada. En caso
contrario, se debe seguir derivando la salida hasta que la r-ésima deriva la entrada u
aparezca en forma explícita, como sigue
0)( ; )()( 11)( xxx fgfgf hLLuhLLhLy rrrr (1.13.r)
Definición 1.6 El grado relativo de un proceso univariable no lineal descrito
mediante las ecuaciones (1.12), es el número de veces r que hay que derivar la salida
hasta obtener
2 , ,2 ,1 ; 0)( rihLL r xfg
xxfg ; 0)(1hLL r
1.4 FORMA NORMAL DE PROCESOS NO LINEALES
La técnica de linealización exacta requiere de una representación no lineal en su
forma normal bastante útil del proceso a controlar. La transformación no lineal de
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coordenadas que permite llevar un proceso no lineal de una entrada y una salida
representado por las ecuaciones (1.12) a su forma normal, se consigue utilizando la
ecuación (1.9) y obtener un sistema descrito mediante las ecuaciones (1.11). La
transformación de estados depende del grado relativo r del proceso. El caso más simple
se da cuando el grado relativo es igual al orden del proceso (r=n). Esto es
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
x
x
x
x
x
x
xz
f
f
hL
hL
h
rn
(1.14)
El vector de estado x de dimensión n×1 cumple con las condiciones de una
transformación no lineal; es decir, es un difeomorfismo basado en la hipótesis de que el
orden del sistema es r=n. Por consiguiente, dicha transformación puede llevar al
proceso descrito mediante las ecuaciones (1.12) como sigue:
Derivando )(11 xz de la ecuación (1.14)
uz )()()()( 11
1 xgxfx
xx
x
x
)()()()( 21 xxxx fgf hLuhLhLz
21 zz (1.11.1)
Derivando )(22 xz de la ecuación (1.14)
uhL
z )()()()(2
2 xgxfx
xx
x
x f
)()()()( 322
2 xxxx ffgf hLuhLLhLz
32 zz (1.11.2)
Derivando )(11 x nnz de la ecuación (1.14)
uhL
zn
nn )()(
)()( 21
1 xgxfx
xx
x
x f
)()()()( 1211 xxxx ffgf n
nnnn hLuhLLhLz
nn zz 1 (1.11.n-1)
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Derivando )(xnnz de la ecuación (1.14)
uhL
zn
nn )()(
)()( 1
xgxfx
xx
x
x f
uhLLhLz nnn )()( 1
xx fgf
uabuhLLhLz nnn )()())(())(( 111
zzzz fgf (1.11.n)
1zy (1.16)
En la ecuación (1.18.n) 0)( za por definición, debido a que r = n
Cuando el proceso no lineal tiene grado relativo r<n, entonces el cambio de
coordenadas desarrollado anteriormente conduce a una transformación parcial, en vista
de que sólo se puede definir r funciones de la forma )(,),(1 xx r linealmente
independientes. Sin embargo, es posible agregar n-r funciones de la forma
)(,),(),( 21 xxx nrr , de tal modo que )(x sea un difeomorfismo. Con ello, la
forma normal del proceso descrito por (1.12) resulta en la representación en el espacio
de estado como sigue
)(
)(
)()())(())((
11
111
1
32
21
z
z
zzzz fgf
rnn
r
rrr
rr
wz
wz
uabuhLLhLz
zz
zz
zz
(1.17.a)
1zy (1.17.b)
donde rnwww ,,, 21 son funciones suaves que dependen del nuevo estado z y no
de la entrada u.
1.5 LINEALIZACION EXACTA Y LEY DE CONTROL NO LINEAL
La linealización exacta se refiere a linealizar mediante realimentación, procesos no
lineales de grado r = n. En tales procesos es posible determinar una adecuada
realimentación no lineal que conduzca a una linealización exacta del proceso original.
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El proceso puede ser univariable (una entrada y una salida) o multivariable (múltiples
entradas y múltiples salidas). En este caso sólo se tratará del caso univariable y de grado
relativo igual a n.
Si el proceso de control no lineal descrito por las ecuaciones (1.12), no está en su
forma normal, entonces se debe transformar mediante el cambio de coordenadas en la
ecuación (1.14) y obtener una nueva representación como el proceso descrito por las
ecuaciones (1.15) y (1.16) que se vuelven a escribir como
uabuhLLhLz
zz
zz
zz
nnn
nn
)()())(())(( 111
1
32
21
zzzz fgf
(1.18.a)
1zy (1.18.b)
1.1.1 Ley de control no lineal para u(t)
Si se define una señal de realimentación u(t) (ley de control no lineal) de la forma
))(()()(
1)( tbtv
atu z
z (1.19)
Donde v es la nueva señal de control, el conjunto de ecuaciones viene a ser:
vz
zz
zz
zz
n
nn
1
32
21
(1.20.a)
1zy (1.20.b)
Las ecuaciones (1.20) se pueden representar en el espacios de estados lineal como
vBzAz (1.21.a)
zCy (1.21.b)
Donde
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00000
1000
0100
0010
A ;
1
0
0
0
B ; 0001 C
La figura 1.1 muestra el proceso de linealización descrito.
)(
1
za
u(t) u)()( xgxfx
x(t) )(xz
v(t) z(t) C
y(t)
)(zb
Figura 1.1 Linealización por realimentación
El proceso lineal descrito por las ecuaciones (1.21) es completamente controlable y
completamente observable, ya que las matrices de controlabilidad y observabilidad M y
N respectivamente poseen rango completo igual a n. Por otra parte, el proceso lineal
resultante es un integrador de orden n debido a que su función de transferencia es
nss
sv
sy 1)(
)(
)( 1 BAIC (1.22)
La figura 1.2 muestra el diagrama de bloques que representa la ecuación (1.22)
ns
1
v(t) y(t)
Figura 1.2 Diagrama de bloques equivalente de la linealización exacta
Respecto al proceso de linealización desarrollado, se remarca lo siguiente:
El sistema de lazo cerrado resultante representado en la figura 1.1 es lineal,
completamente controlable y completamente observable. Por consiguiente el
problema de control a resolver, ya sea de regulación o de seguimiento de
trayectorias, queda resuelto diseñando v con cualquier técnica de control lineal
conocida.
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En general la realimentación no lineal requiere de todo el vector de estado z, por
lo que es necesario que todos sus elementos sean medibles. De lo contrario es
necesario estimarlos empleando un observador no lineal.
1.1.2 Condiciones para la linealización exacta
La linealización desarrollada ha sido posible debido a la existencia de una función de
salida h(x) respecto a al cual el proceso no lineal original tiene grado relativo r=n. Se
resalta que un proceso no lineal univariable como el de la ecuación (1.12) posee grado r
= n cuando la función h(x), para un entorno alrededor del punto de operación x ,
satisface
0)(
0)()()(
1
2
x
xxx
fg
fgfgg
hLL
hLLhLLhL
n
n
Entonces las condiciones para la linealización exacta pueden ahora ser rigurosamente
formalizadas.
Teorema 8.1 El proceso univariable no lineal expresado por la ecuación (1.12):
u)()( xgxfx , donde f(x) y g(x) son campos vectoriales suaves, es linealizable si y
sólo si existe una región en donde se cumplan las condiciones siguientes:
1. Los campos vectoriales ][ 1ggg ff
nadjadj son linealmente
independientes en , lo que equivale decir, que el rango de la matriz resultante [.]
debe ser igual al orden n del proceso.
2. El conjunto ][ 2ggg ff
nadjadj es involutivo en .
La primera condición se puede interpretar como una condición de controlabilidad
dado que los campos vectoriales ][ 1ggg ff
nadjadj aplicados a procesos lineales
se convierten en la matriz de controlabilidad ][ 1BAABB
n . El rango de esta
matriz debe ser n para que el proceso lineal sea completamente controlable. Sin
embargo, puede ocurrir que un sistema no lineal sea controlable, mientras que su
modelo linealizado no lo sea. Por ello, la primera condición puede considerarse como
una generalización de la condición de la de controlabilidad.
La condición involutiva es menos intuitiva. Para sistemas lineales, tal condición se
satisface trivialmente ya que los campos vectoriales son constantes. Pero, en general, no
se puede decir lo mismo cuando se trata con procesos no lineales.
1.1.3 Ley de control lineal para v(t)
El sistema obtenido mediante la ecuación (1.22) es un sistema lineal de simple entada
v(t) y simple salida y(t) por lo tanto se puede diseñar cualquier tipo de control para un
proceso lineal, el cual debe cumplir condiciones de estabilidad, especificaciones de
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tiempo en régimen transitorio y permanente. El sistema de control no lineal completo se
muestra en la figura 1.3.
u(t) Proceso no lineal
u)()( xgxfx
)(xhy
v(t)
z(t)
y(t)
Transformación
de estados
)(xz
Realimentación
no lineal
),( vuu z
Realimentación
lineal
),( vvv z
r(t)
x(t) z(t)
Sistema lineal equivalente
Figura 1.3 Sistema de control no lineal
Una de las formas de control es elegir la siguiente ley de control para v(t) como
)()()()( 121
1
1
1
yrkdt
dy
dt
drk
dt
yd
dt
rdk
dt
rdtv
n
n
n
n
nn
n
(1.23)
De la ecuación (1.22) también se deduce que la relación en el tiempo de la entada v(t)
y la salida y(t) es
n
n
dt
ydtv )( (1.24)
Definiendo como señal e(t) del error entre la entrada y la salida como
)()()( tytrte (1.25)
Reemplazando la ecuación (1.24) en la ecuación (1.23) y utilizando la ecuación
(1.25) se obtiene una ecuación diferencial lineal de orden n como
0122
2
31
1
ekdt
dek
dt
edk
dt
edk
dt
ed
n
n
nn
n
(1.26)
Le ecuación (1.26) se puede representar mediante un polinomio expresado en la
notación de la transformada de Laplace como
0)()( 122
32
11
sEksksksksks n
nn
nn (1.27)
El polinomio de orden n de la ecuación (1.27), debe ser un polinomio Routh-
Hurwitz, es decir todas sus raíces deben tener parte real negativa.
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1.6 OBSERVADORES NO LINEALES
El estudio de la observabilidad en sistema lineales tiene su base en la matriz de
observabilidad, que para sistemas univariables no forzados de la forma
)()(;)( ttyt CxAxx (1.28)
se define como
1nCA
CA
C
N
(1.29)
El caso no lineal y no forzado posee la descripción:
)()(;)( xxfx hty (1.30)
Cuya matriz correspondiente de observabilidad generalizada es:
)(
)(
)(
)(
1x
x
x
xxO
f
f
hL
hL
h
n
(1.31)
Es fácil demostrar que si el sistema es )()(;)( ttyt CxAxx
Las matrices de observabilidad de las ecuaciones (1.29) y (1.30) son iguales.
Suponiendo que la matriz de observabilidad O(x) posea inversa para todo x; en tal caso
la transformación definida por
)(
)(
)(
)(
1x
x
x
xz
f
f
hL
hL
h
r
(1.32)
La ecuación (1.32) representa un cambio de coordenadas. Empleando los resultados
anteriores y en analogía con la ecuación (1.18); la descripción en el espacio de estado
para las nuevas coordenadas (con g = 0) es
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))(( 1
3
2
1
2
1
zf hL
z
z
z
z
z
z
z
nn
n
n
(1.32.a)
1zy (1.32.b)
Las ecuaciones (1.32) presentan la forma matricial siguiente
Cz
zBAzz f
y
hLn )]([ 1 (1.33)
Donde
0000
1000
0100
0010
A ;
1
0
0
0
B ; 0001 C
Se puede demostrar que la matriz de observabilidad del proceso descrito en la
ecuación (1.33) es la matriz identidad. Por consiguiente, el proceso es completamente
controlable. De las relaciones (1.30), (1.31) y (1.32) se tiene que:
Cz
zBAzxfxOxx
z f
y
hLn )]([)()( 1
(1.34)
El observador a diseñar debe estimar el vector de estado z; es decir, debe determinar
su estimado z~ empleando las mediciones a la entrada y a al salida del proceso. Para el
proceso no lineal se puede considerar la dinámica siguiente
]~[))((~~ 1zCKzBzAz f yhL e
n (1.31.a)
zCzx ~)()~(~ 1 hhy (1.31.b)
De la ecuación (1.35), el término ]~[ zCK ye es proporcional al error entre la salida
del proceso y y la salida del observador y~ . Para obtener la expresión del observador
para los estados x(t) del proceso no lineal, se emplea la versión estimada de la ecuación
(1.34) que permite despejar el vector estimado como sigue
zxOx ~)~(~ 1 (1.36)
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Usando la relación (1.31.a) en la ecuación (1.36) se obtiene
]}~[))((~{)~(~ 11zCKzBzAxOx f yhL e
n (1.37)
Sustituyendo ecuación (1.35) en la ecuación (1.37) se consigue
)]~()([)~()~(]}~[)~()~({)~(~ 11xKxOxfzCKxfxOxOx hyyy ee (1.38)
La notación (1.38) representa la ecuación del observador no lineal para el sistema no
forzado )(xfx , )(xhy , con la condición inicial )0(~x , siempre que )(1xO
exista.
Para el caso de procesos no lineales forzados con grado relativo r = n, y mediante la
transformación )(xz , entonces el sistema con las nuevas coordenadas resulta
))](())(([ 111zzBAzz fgf
hLLhL nn (1.39)
La dinámica del observador para el sistema forzado: u)()( xgxfx , )(xhy , por
extensión de la ecuación (1.31.a) tiene la forma
]~[))(())((~~ 111zCKzzBzAz fgf yhLLhL e
nn (1.40)
La ecuación (1.40) debe cumplir con los requerimientos siguientes: El proceso debe
tener grado relativo r = n, que la matriz de observabilidad sea invertible y que la entrada
u(t) sea uniformemente acotada.
La ecuación del observador para el sistema original tiene la forma siguiente
)]~()([)~()~()~(~ 1xKxOxgxfx htyu e (1.41)
Para una condición inicial )0(~x
1.6.1 Cálculo de la matriz de ganancia eK del observador
Dado que el par [A, C] obtenido es completamente observable, una forma de obtener
eK es aplicar la fórmula del observador lineal del capítulo 3.
11
22
111
a
a
a
a
nn
nn
e
QK (1.41)
Los parámetros ,,,2,1, niai se obtienen de la ecuación
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nnnnn asasasasAz
12
21
1 I (1.42)
Los parámetros ,,,2,1, nii se determinan a partir d e las raíces deseadas del
observador ,,,2,1, nii : las cuales deben tener parte real negativa para garantizar
la estabilidad del observador no lineal, mediante estas raíces se elabora el polinomio
característico del observador.
nnnnn
n sssssss
12
21
121 )()()( (1.43)
La matriz Q de la ecuación (1.41) está descrita como
WNQ
La matriz N es la matriz de observabilidad expresada como
1
2
nCG
CG
CG
C
N
Si el sistema presenta observabilidad de estado completo se podrá determinar la
inversa de la matriz Q y por consiguiente la matriz de ganancia del observador Ke.
La matriz W está definida como
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
nn
nn
W
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1 SISTEMAS DE CONTROL DIFUSO
1.1 INTRODUCCION A LA LOGICA DIFUSA
En las fuentes Literarias, se encuentran diferentes tipos de justificación para la
aplicación de la literatura de Sistemas Difusos. El conocimiento humano hoy en día se
va incrementando considerablemente, se mejora mediante la experimentación del
mundo dentro del cual vivimos y usamos nuestras habilidades para razonar, crear orden
en la masa de información, esto es formular el conocimiento humano de forma
sistemática, desde que estamos limitados en nuestras habilidades para percibir el mundo
y razonar profundamente, nosotros mismos encontramos por todas partes mediante
incertidumbres confrontadas, que es el resultado por la falta de información, en
particular, la inexactitud de mediciones. El otro factor de limitación en nuestro deseo
para mejorar la precisión es un lenguaje natural usado para la representación,
distribución del conocimiento, comunicación, etc. Entendemos los significados
esenciales de la palabra del lenguaje humano y somos capaces de comunicarnos
exactamente en un grado aceptable, pero generalmente no podemos precisamente
entendernos entre nosotros mismos en palabra simple en términos de significado de
sentido común.
Nuestra percepción del mundo real es difundido mediante conceptos los cuales no
tienen frontera definidos bien marcados, por ejemplo: muchos, alto, más grande, muy
joven, etc. son verdaderas sólo para algún grado y son falsas también para algún otro
grado. Estos conceptos (hechos) se pueden llamar conceptos difusos, imprecisos
(vagos). Esta teoría se puede utilizar para emular la manera en el que el cerebro razona o
piensa. Un cerebro trabaja con ellos, mientras los computadores no pueden hacerlo
(éstos procesan información con cadenas de 0s o 1s). Los lenguajes naturales, de más
alto nivel que los lenguajes de programación, son difusos mientras que los lenguajes de
programación no lo son. La puerta de desarrollo de los computadores difusos fueron
iniciaron en 1985, mediante el diseño del primer chip lógico por Masaka Tagai y
Hiroyuki Watanabe en los laboratorios de Belltelefone. En los años que vienen los
computadores difusos emplearan software y hardware difusos y serán muchos más
cercanos en estructura al cerebro humano que los computadores actuales.
El mundo real completo es complejo, la complejidad surge de la incertidumbre en
forma de ambigüedad. De acuerdo al doctor Sotfi Zadeh, el principio de compatibilidad,
la complejidad y la imprecisión son correlaciones agregadas.
Las herramientas de Lógica Difusa fueron introducidas en 1965 también por Sotfi
Zadeh y es una herramienta matemática para el comportamiento de los sistemas con
incertidumbres. Se ofrece a una sociedad computacional los conceptos importantes de
computación lógica con palabras. Esto proporciona una técnica para los sistemas frente
a imprecisiones. La teoría difusa proporciona un mecanismo para representar funciones
lingüísticas tales como: “mucho”, “bajo”, “medio”, “poco”, “frecuente”, etc. En general
la Lógica Difusa proporciona una estructura inferencial que permite describir
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habilidades de razonamiento apropiadas. En lo contrario, la teoría de conjuntos binarios
tradicionales, describe eventos definidos (rígidos), eventos que ocurren o no ocurren.
Usa la teoría de la probabilidad para explicar si un evento ocurrirá, midiendo la
posibilidad mediante la cual un evento se espera que ocurra. La teoría de la Lógica
Difusa se basa sobre la noción de la pertenencia relativa graduada y así son funciones de
procesos cognoscitivos. La utilidad de conjuntos difusos radica en la capacidad de
modelar información incierta o ambigua que se encuentra en la vida real. Ver la figura
1.1
Expresiones
Vagas
Decisión y(t)
Sistema de
Lógica difusa
Imprecisión
Imprecisa
Figura 1.1
Existe una conexión íntima entre difusividad y complejidad, como la complejidad
para la realización de alguna tarea excede un umbral seguro, el sistema necesariamente
debe ser tratado como difuso por naturaleza. Los problemas o sistemas del mundo real
son también complejos y la complejidad involucra el grado de incertidumbre, cuánto
más se incrementa la incertidumbre, por consiguiente aumenta la complejidad del
problema. Tradicionalmente la formulación del sistema y las técnicas de análisis
también deben ser precisos para tales sistemas y en orden para formular la complejidad
menos desvanecimiento se introduce en las simplificaciones y asunciones apropiadas
para conseguir un compromiso satisfactorio entre la información que se tiene y la
cantidad de incertidumbre a aceptar. La teoría se Sistemas Difusos es similar a otras
teorías de ingeniería, porque casi todas de éstas les caracteriza interpretar el mundo real
de una manera lo más aproximada posible. Los conjuntos difusos permiten modelar las
incertidumbres asociadas con la vaguedad, imprecisión y la carencia de información
respecto a un sistema.
1.2 CONJUNTOS CLASICOS Y CONJUNTOS DIFUSOS
1.2.1 CONJUNTOS CLÁSICOS
Se considera un conjunto clásico de un universo de discurso o conjunto universal X.
Los elementos individuales en el universo X se pueden denotar con x y pueden ser
discretos, enteros contables o cantidades continuas sobre una línea real. Eligiendo un
diverso que es discreto y finito o uno que es continuo o infinito es una elección
modelada, la elección hace no alterar la caracterización de los conjuntos definidos sobre
el universo, si el universo posee elementos continuos, entonces el conjunto
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correspondiente definido sobre el universo también será continuo. El número total d
elementos en un universo X se denomina su número cardinal y se denota por ηx. El
universo discreto se compone de un colección finita contable de elementos y tiene un
número cardinal finito y el universo continuo consiste de una colección incontable o
infinita de elementos y tiene un número cardinal infinito.
La colección de elementos en un universo se denominan conjuntos y la colección de
elementos con estos conjuntos se denominan subconjuntos. El conjunto nulo Ø el cual
no tiene elementos es análogo a un evento imposible y el conjunto completo es análogo
a un evento cierto. El conjunto potencia constituye todos los conjuntos posibles de X y
se denota por P(x).
1.2.2 OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS CLASICOS
Si se consideran dos conjuntos clásicos A, B y C definidos sobre el universo X se
pueden definir las siguientes operaciones sobre este universo:
Unión. Esta operación se denota por BA . En la forma teórica de conjuntos se
representa por:
BxoAxxBA /
En forma de Diagrama de Ven se representa en la figura 1.2.
y(t)
A B
Figura 1.2
Intersección. Esta operación se denota por BA . En la forma teórica de conjuntos
se representa por:
BxyAxxBA /
En forma de Diagrama de Ven se representa en la figura 1.3.
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y(t)
A B
Figura 1.3
Complemento. Esta operación se denota por A . En la forma teórica de conjuntos se
representa por:
XxyAxxA /
En forma de Diagrama de Ven se representa en la figura 1.4.
y(t)
X
A
Figura 1.4
Diferencia. Esta operación se denota por BA/ . En la forma teórica de conjuntos se
representa por:
BxyAxxBA //
En forma de Diagrama de Ven se representa en la figura 1.5.
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y(t)
A B
Figura 1.5
1.2.3 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CLASICOS
En algunas operaciones matemáticas las propiedades juegan un importante rol.
Basándose en las propiedades la solución de los problemas se puede obtener de una
forma más sencilla. Las siguientes son las propiedades importantes de los conjuntos
clásicos:
Conmutatividad
ABBA
ABBA
Asociatividad
)()( CBACBACBA
)()( CBACBACBA
Distributividad
)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
Idempotencia
AAA
AAA
Identidad
AA
AXA
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A
XXA
Transitividad
CACBASi
Involución
AA
Ley del centro excluido (tautología)
XAA
Ley de la contradicción
AA
Leyes de Morgan
BABA
BABA
Representación gráfica de conjuntos clásicos mediante funciones
Un conjunto clásico analógico A definido en un determinado rango de una variable x
mediante una función característica xA definida como:
Ax
Axxx
A ,0
,1)(
De forma gráfica se representa en la figura 1.6.
XA(x)
y(t)
x
1 A
Figura 1.6.
1.3 CONJUNTOS DIFUSOS
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La Teoría de de Conjuntos Difusos es parte de la teoría clásica de conjuntos,
añadiendo una función de pertenencia al conjunto, definida como una cantidad real entre
0 y 1, asociado a un determinado valor lingüístico, definido por una palabra, adjetivo o
etiqueta lingüística A. para cada conjunto o subconjunto difuso se define como una
función de pertenencia o de inclusión ]10[)( xA
, que indica el grado en que la
variable de discurso x está incluida en el concepto representado por la etiqueta A. Los
conjuntos difusos permiten agrupar objetos o sucesos por el valor de una cierta
magnitud. En la figura 1.7 se representa una función de inclusión de un conjunto difuso.
μA(x)
y(t)
x
1
Figura 1.7
1.3.1 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS
Considerando los conjuntos difusos )(xA
, )(xB
, )(xC
, las propiedades de los
más importantes son las siguientes:
Conmutatividad
)()()()( xxxxABBA
)()()()( xxxxABBA
Asociatividad
))()(()()())()(()()()( xxxxxxxxxCBACBACBA
))()(()()())()(()()()( xxxxxxxxxCBACBACBA
Distributividad
)()(())()(())()(()( xxxxxxxCABACBA
)()(())()(())()(()( xxxxxxxCABACBA
Idempotencia
)()()( xxxAAA
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)()()( xxxAAA
Identidad
)()( xxAA
AXxA
)(
)(xA
XXxA
)(
Transitividad
)()()()()( xxxxxSiCACBA
Involución
)()( xxCA
Ley del centro excluido
XxxAA
)()(
Ley de la contradicción
)()( xxAA
Leyes de Morgan
)()()()( xxxxBABA
)()()()( xxxxBABA
1.3.2 FUNCIONES DE INCLUSION DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS
Las funciones de inclusión o de pertenencia de un conjunto difuso en un universo X
se puede expresar como }/))(,{( XxxxFF
, si la variable es discreta o una función
continua si no lo es, el valor de )(xF
indica el grado en el que el valor x del universo
X está incluida en el concepto representado por la etiqueta F. Las funciones más
frecuentes son de tipo singleton, forma triangular, forma trapezoidal, forma de S, forma
de Z, tipo π, forma de campana, formas gausianas, sigmoidales, etc.
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Función tipo singleton. Es la función de inclusión más simple, tiene valor 1 para un
punto a y 0 para el resto. Se define como:
ax
axaxF
,0
,1);(
La función de inclusión tipo singleton se representa en la figura 1.8
μ(x)
x
1
a
Figura 1.8
Función forma triangular. La función de inclusión de forma triangular se define
como:
cx
cxbbc
xc
bxaab
ax
ax
cbaxF
,0
,
,
,0
),,;(
La función de inclusión forma triangular se representa en la figura 1.9
μ(x)
x
1
a b c
Figura 1.9
Función forma trapezoidal. La función de inclusión de forma trapezoidal se define
como:
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dx
dxccd
xd
cxb
bxaab
ax
ax
cbaxF
,0
,
,1
,
,0
),,;(
La función de inclusión forma trapezoidal se representa en la figura 1.10
μ(x)
x
1
a b c d
Figura 1.10
Funciones de inclusión forma de S. Las funciones de inclusión de forma de S se
pueden representar de diversa manera:
Función de forma de S simple. Esta función formada por líneas rectas se define
como:
bx
bxaab
ax
ax
baxF
,1
,
,0
),;(
La función de inclusión forma de S básica se representan en la figura 1.11
μ(x)
x
1
a b
Figura 1.11
Función de forma de S cuadrática. Esta función formada por funciones
polinomiales de segundo orden y se define como:
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2
,1
,21
,2
,0
),;(2
2
cab
cx
cxbac
xc
bxaac
ax
ax
caxF
La función de inclusión forma de S cuadrática se representa en la figura 1.12
μ(x)
x
1
a b c
0.5
Figura 1.12
Función de forma de S sigmoidal. La función de inclusión sigmoidal se define
como:
)(1
1),;(
cxaecaxF
La función de inclusión forma de S sigmoidal se representa en la figura 1.13
μ(x)
x
1
c
0.5
Figura 1.13
Funciones de inclusión forma de Z. Las funciones de inclusión de forma de Z se
pueden representar de diversa manera:
Función de forma de Z simple. Esta función formada por líneas rectas se define
como:
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bx
bxaab
xb
ax
baxF
,0
,
,1
),;(
La función de inclusión forma de Z básica se representan en la figura 1.14
μ(x)
x
1
a b
Figura 1.14
Función de forma de Z cuadrática. Esta función formada por funciones
polinomiales de segundo orden y se define como:
2
,0
,2
,21
,1
),;(2
2
cab
cx
cxbac
xc
bxaac
ax
ax
caxF
La función de inclusión forma de Z cuadrática se representa en la figura 1.15
μ(x)
x
1
a b c
0.5
Figura 1.15
Función de forma de Z sigmoidal. La función de inclusión sigmoidal se define
como:
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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)(1
11),;(
cxaecaxF
La función de inclusión forma de Z sigmoidal se representa en la figura 1.16
μ(x)
x
1
c
0.5
Figura 1.16
Función forma de π cuadrática. La función de inclusión de forma de π se forma
con las funciones polinomiales de forma de S y de Z y se define mediante funciones
polinomiales de segundo orden como:
2
2
,0
,2
,21
,1
,21
,2
,0
),,,;(
222
111
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
11
2
11
1
11
2
11
1
1
2211
cab
cab
cx
cxbac
ax
dxaac
xc
cxa
cxbac
xc
bxaac
ax
ax
cacaxF
La función de inclusión forma de π cuadrática se representa en la figura 1.17
y(t)
μ(x)
x
1
a1 c1
0.5
a2
c2
Figura 1.17
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Función forma de π sigmoidal. La función de inclusión de forma de π sigmoidal se
forma de la diferencia de dos funciones sigmoidales y se define como:
)()(22112211 1
1
1
1),,,;(
cxacxaee
cacaxF
La función de inclusión forma de π sigmoidal se representa en la figura 1.18
y(t)
μ(x)
x
1
c1
0.5
c2
Figura 1.18
Función forma de Campana. La función de inclusión de forma de campana se
define como:
b
a
cxcbaxF
2
1
1),,;(
La función de inclusión forma de campana se representa en la figura 1.19
y(t)
μ(x)
x
1
c
Figura 1.19
Función Gausiana. La función de inclusión simétrica gausiana se define como:
2
2
2
)(
),;(
cx
ecxF
La función de inclusión gausiana se representa en la figura 1.20
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y(t)
μ(x)
x
1
c
Figura 1.20
Función Gausiana asimétrica. La función de inclusión gausiana asimétrica se
define como:
cxe
cxecxF
cx
cx
;
;),,;(
2
2
2
2
1
2
2
)(
2
)(
21
La función de inclusión gausiana asimétrica se representa en la figura 1.21
y(t)
μ(x)
x
1
c
Figura 1.21
1.3.3 OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS DIFUSOS
Si se consideran dos conjuntos difusos expresados mediante funciones de inclusión
)(xA
, )(xB
y )(xC
definidos sobre el universo X se pueden definir las siguientes
operaciones difusas sobre este universo:
Unión. Esta operación se denota por )(xBA
. En la forma teórica de conjuntos
difusos se representa por:
))(,)(max()()()()(/)( xxxxxxoxxxxBABABABA
En forma de funciones de inclusión se representa en la figura 1.22.
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μA(x)
y(t)
x
1 μB(x)
Figura 1.22
Intersección. Esta operación se denota por )(xBA
. En la forma teórica de
conjuntos difusos se representa por:
))(,)(min()()(/)( xxxxxyxxxBABABABA
En forma de funciones de inclusión se representa en la figura 1.23.
μA(x)
y(t)
x
1 μB(x)
Figura 1.23
Complemento. Esta operación se denota por )(xA
. En la forma teórica de
conjuntos difusos se representa por:
)(1/)( xxxxAAA
En forma de funciones de inclusión se representa en la figura 1.24.
μA(x)
y(t)
x
1 )(x
A
Figura 1.24
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1.3.4 INFERENCIA DIFUSA
También como en el caso de la lógica clásica, la lógica difusa se ocupa del
razonamiento formal con proposiciones, pero a diferencia de ésta, los valores de las
proposiciones pueden tomar valores intermedios entre verdadero y falso.
De la misma forma que se define un isomorfismo entre la lógica y la teoría clásica de
conjuntos, es posible también definir un isomorfismo entre la lógica y la teoría de
conjuntos difusos, y éstas a su vez con un algebra de Boole. De esta forma, los
conjuntos difusos también representan predicados en la lógica proposicional. El objeto
de la lógica difusa es proporcionar un soporte formal al razonamiento basado en el
lenguaje natural, que se caracteriza por tratarse de un razonamiento de un tipo
aproximado, que hace uso de unas proposiciones que a su vez expresan información de
carácter impreciso.
Principio de extensión. El principio de extensión permite convertir conceptos no
difusos en difusos, siendo además la base de la inferencia de los sistemas difusos. Sean
X y Y dos universos de discurso, y f una función de X en Y. en general, para un conjunto
difuso A en X el principio de extensión define un conjunto difuso B en Y dado por:
)(max)()(1 xy
AyfxB
Es decir )(yB
es el máximo de )(xA
para todos los Xx que cumplan que
)(xfy , donde Yy suponiendo que )(1 yf no es vació. Si )(1 yf es vacío para
algún Yy , se define 0)( yB
.
Relación difusa. Para dos universos de discurso X y Y, una relación difusa se define
como un conjunto difuso R en el espacio X×Y , cuya función de inclusión se denota
como ),( yxR
con Xx y Yy . Una relación difusa se puede expresar como:
YXyxyxyxRR
),/()),(),,((
Las propiedades de las relaciones difusas son las mismas que de los conjuntos
difusos ya que toda relación difusa es un conjunto o subconjunto difuso. También se
pueden realizar operaciones con relaciones difusas y éstas pueden ser unión,
intersección, complemento e inclusión.
La operación unión se define como:
)),(,),(max(),( yxyxyxSRSR
La operación unión se define como:
)),(,),(min(),( yxyxyxSRSR
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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La operación complemento se define como:
),(1),( yxyxRR
La operación inclusión se define como:
),(),( yxyxSRSR
Se pueden definir también composiciones de relaciones difusas para dos relaciones
difusas. Sea una relación difusa R definida en el espacio X×Y , y una relación difusa S
definida en el espacio Y×Z entonces se puede obtener una relación difusa SRT
definida el espacio X×Z como una función de inclusión definidas como:
Composición máximo-mínimo, es una relación difusa que se define como:
Notación teórica de conjuntos difusos
XzYyXxzyyxzxTSR
y,,/),(),,(minmax),,((
Notación teórica de función difusa
),(),(),( zyyxyxSR
YyT
Composición máximo-producto, es una relación difusa que se define como:
Notación teórica de conjuntos difusos
XzYyXxzyyxzxTSR
y,,/),(*),(max),,((
Notación teórica de función difusa
),(),(),( zyyxyxSR
YyT
Composición máximo-promedio, es una relación difusa que se define como:
Notación teórica de conjuntos difusos
XzYyXxzyyxzxTSR
y,,/),(),(
2
1max),,((
Notación teórica de función difusa
),(),(2
1),( zyyxyx
SRYy
T
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Implicación difusa. Si se definen dos conjuntos difusos A y B en X y Y,
respectivamente, una implicación difusa de A en B, que se indica con A→B, es una
relación difusa en X×Y, que se puede definir por alguna de las siguientes funciones
empleadas en la literatura de lógica difusa:
Conjunción difusa )(*)(),( yxyxBABA
Disyunción difusa ))()(,1min(),( yxyxBABA
Implicación material ))()(,1min(),( yxyxBABA
Implicación proposicional ))(*),()(,1min(),( yyxxyxBAABA
Razonamiento directo ))(*)(/]1,0[max),( ycxcyxBABA
Razonamiento inverso ))())(,1min(/]1,0[min),( ycxcxyxAABA
1.3.5 REGLAS DIFUSAS
Las reglas difusas combinan uno o más conjuntos difusos de entrada, llamados
antecedentes o premisas, y les asocian un conjunto difuso de salida, llamado
consecuente o consecuencia. Los conjuntos difusos de la premisa se asocian mediante
conjuntivas lógicas como Y (AND), O (OR), etc. Una regla típica de tipo SI-ENTONCES
(IF-THEN).
Las reglas difusas permiten expresar e3l conocimiento que se dispone sobre la
relación entre antecedentes y consecuentes. Para expresar este conocimiento de forma
completa normalmente se precisa de varias reglas, que se agrupan formando que se
conoce como una base de reglas, es decir, el conjunto de reglas que expresan las
relaciones conocidas entre antecedentes y consecuentes.
La base de regla se puede presentar bien como una tabla de las reglas que la forman,
o bien como una Memoria Asociativa Difusa o FAM (Fuzzy Associative Memory). Las
FAM son matrices que representan la consecuencia de cada regla definida para cada
combinación de dos entradas. Las FAM permiten realizar una representación gráfica
clara de las relaciones entre dos variables lingüística de entrada y la variable lingüística
de salida, pero requiere que se indique explícitamente todas las reglas que se pueden
formar con estas dos variables de entrada. Cuando el número de conjuntos de cada una
de las particiones de entrada crece las FAM se hacen difícilmente manejables. Es
posible también definir FAM de más de dos dimensiones, pero el tamaño se hace
rápidamente excesivo y son más difíciles aún de manejar. En su lugar se suele operar
con varias FAM de dimensiones dos, para así definir subconjuntos de reglas que asocien
las entradas de dos en dos en la base de reglas general.
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Formalmente, una base de reglas difusas es una colección de reglas R(l)
con el
formato:
llnn
lll GesyentoncesFesxyyFesxyFesxSiR 2211
)( :
Donde lF1
, lG son conjuntos difuso en i
X y y , respectivamente, y
n
Tn
XXXxx 211
x e Yy son variables lingüísticas. Este
formato de reglas se conoce como difuso puro o de tipo Mamdani. Otro formato
frecuente para las reglas es el formato de tipo Sugeno. En este caso, la función de salida
es una combinación lineal de las variables de entrada, o en un caso más general, una
función genérica de las variables entrada:
)(:2211
)(x
lllnn
lll fyentoncesFesxyyFesxyFesxSiR
1.3.6 DISPOSITIVOS DE INFERENCIA DIFUSA
Se denomina Dispositivos de Inferencia Difusa a los sistemas que interpretan las
reglas de tipo SI-ENTONCES (IF-THEN) de una base de reglas, con el fin de obtener los
valores de salida a partir de los actuales valores de las variables lingüísticas de entrada
al sistema. En un sistema difuso las reglas de tipo Mamdani se interpretan como una
implicación difusa de lln
l GFF 1
en X×Y, con nn
UUU 1
, y .
Sea A la entrada en X del dispositivo de inferencia difusa, cada regla l define un
conjunto difuso Bl en Y utilizando alguna composición de relaciones difusas. Si por
ejemplo se utiliza la composición Máximo-producto se expresa coomo:
)(*),(max)(
'xx
AGFFXxByy ll
n
l
i
La ecuación anterior se puede proponer seis interpretaciones para la ejecución de la
implicación difusa definida por una regla del tipo de la ecuación de la base de reglas
difusas. Para simplificar las ecuaciones siguientes se denominará AFF ln
l 1
y
BGl , con lo cual se puede expresar simplemente como BA .
Implicación difusa por la regla del mínimo:
)(),(min),( yyBABA
xx
Implicación difusa por la regla del producto:
)(*)(),( yyBABA
xx
Implicación difusa por la regla aritmética:
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)()(1,1min),( yyBABA
xx
Implicación difusa por la regla Máximo-mínimo:
)(1,)(),(minmax),( xxxABABA
yy
Implicación difusa por la regla Booleana:
)(,)(1max),( yyBABA
xx
Implicación difusa por la regla de Goguen:
)()()()(
)()(1),(
yxy
yy
BAAB
BABA
x
xx
En las ecuaciones anteriores el término )()(1
xx l
n
l FFA , que a su ves se puede
definir por la regla del mínimo
)(,,)(min)(
11
xxx l
n
ll
n
l FFFF
O por la regla del producto
)()()(11
xxx l
n
ll
n
l FFFF
1.3.7 FUSIFICACION
La fusificación establece una relación entre puntos de entrada no difusa al sistema
Tn
xx ,,1x y sus correspondientes difusos A en X (las variables precedentes del
exterior son en general, valores no difusos que se deben fusificar previamente). Se
pueden utilizar diversas estrategias de fusificación utilizando funciones de inclusión
difusa que pueden ser deforma triangular, trapezoidal, forma de S, forma de Z, forma de
π, funciones gausianas, etc.
1.3.8 DEFUSIFICACION
La defusificación consiste en realizar la transformación de variables difusas de un
conjunto difuso en Z, normalmente salida de un dispositivo de inferencia difusa, en
variables no difusas Zz y obtener una función difusa de inclusión singleton situada
en z* como se muestra en la figura 1.25
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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μC(z)
z
1
z*
Figura 1.25
Para realizar la transformación de variables difusas expresada mediante una función
singleton en se utilizan diversos métodos:
1. Centro de área (Centroide)
2. Media ponderada de Funciones de inclusión
3. Máxima media de funciones de pertenencia
4. Principio de máximo valor
5. Centro de sumas de áreas
6. Centro de área más grande
7. Primero de máximas o último de máximas
Método del centro de área (Centroide) Este método de defusificación es empleado
para obtener el valor de salida no difusa de un dispositivo de inferencia difusa que
utiliza reglas de tipo Mamdani. Consiste en determinar la distancia al centro del área
resultante. Es el método más utilizado y se define en general como:
dzz
dzzzz
C
C
)(
)(*
Si la función de inclusión de salida )(zC
está formada líneas rectas se puede
utilizar las áreas Ai respectivas mediante la siguiente notación
i
ii
A
zAz*
En la figura 1.26 se muestra la defusificación mediante el método de centroide.
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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μC(z)
z
1
z*
Centroide
Figura 1.26
Método de media ponderada (Weighted Average Method). Consiste en
determinar la distancia al centro del promedio ponderado resultante de de los valores
máximos de las funciones de pertenencia con sus centros de área i
z del conjunto difuso
y se define en general como:
)(
)(*
zu
zzuz
Ci
iCi
En la figura 1.27 se muestra la defusificación mediante el método de media
ponderada para dos funciones de pertenencia.
μC2(z)
z
1
z* z1 z2
μ1 μ2
μC1(z)
Figura 1.27
Por ejemplo de la figura 1. se obtiene la siguiente la siguie
21
2211*
zzz
Método de media máxima de funciones de pertenencia. Consiste en determinar el
valor del promedio del valor máximo de las funciones de inclusión.
2
21* zzz
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
Ing. José A. Machuca Mines
En la figura 1.28 se muestra la defusificación mediante el método de media máxima
de funciones de inclusión para dos funciones de pertenencia.
μC2(z)
z
1
z* z1 z2
μ
μC1(z)
Figura 1.28
Principio de máximo valor. Consiste en determinar la función singleton en donde la
función de inclusión presenta su máximo valor ZzzzCC
)()( * y expresa
como:
))((max* zzC
Zz
En la figura 1.29 se muestra la defusificación mediante el método de máximo valor.
μC2(z)
z
1
z*
μ
μC1(z)
Figura 1.29
2 SISTEMAS DE CONTROL DIFUSO
Los sistemas expertos de control difuso basado en reglas, conocidos como
Controladores Difusos o FLC (Fuzzy Logic Controllers), o también, sistemas de
inferencia difusa o FIS (Fuzzy Inference Systems, FIS), son la aplicación más extendida
de la lógica difusa.
En la figura 2.1 se muestra el control de un proceso o sistema físico, que hace uso de
un módulo controlador, que recibe como entradas una o varias variables de control
denominadas generalmente variables de referencia, r(t), y una o varias variables de
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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salida del propio proceso, y(t), produciendo como salida una o varias variables, que se
conocen como variables de control, u(t). Normalmente el objetivo del control es hacer
que y(t) siga a r(t).
Controlador
General
Planta o
proceso
r(t) u(t) y(t)
Figura 2.1 Sistema de Control
La arquitectura del controlador a utilizar depende de la aplicación concreta a llevar a
cabo. Existen diversas arquitecturas posibles de controladores basados en lógica difusa.
La estructura típica e interna de un controlador basado en un sistema difuso o FLC de
forma básica se puede ver en la figura 2.2. El módulo de Fusificación permite
particionar las variables de discurso en funciones de inclusión lasque se utilizar por el
Dispositivo de Inferencia Difusa mediante la una base de conocimientos expresado en
base de reglas. El módulo Defusificador permite la conversión de funciones de inclusión
difusa en valores de un universo analógico.
Base del conocimiento
Base de datos Base de reglas
Fusificación Defusificación
Sistema físico u objeto bajo control
Controlador Difuso
Funciones de
inclusión de salida Funciones de
inclusión de entrada Tabla de reglas
Entradas
analógicas
Salidas
analógicas
Entrada
difusa
Salida
difusa Dispositivo de
Inferencia Difusa
Figura 2.2 Estructura básica de un Controlador Difuso
En un controlador difuso o FLC el fusificador realiza la conversión de valores
discretos en términos difusos, la salida del fusificador es utilizada por el dispositivo de
Inferencia Difusa (Motor inferencial) para aplicarla a cada una de las reglas de la base
de reglas, siguiendo el método de inferencia seleccionado. La salida del motor
inferencial que viene a ser uno o la unión de varios conjuntos difusos según Mamdani o
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bien un grupo de valores escalares según Sugeno. Finalmente, el defusificador
transforma los conjuntos difusos en un valor discreto no difuso.
En un Sistema de Control difuso de puede incluir módulos de Normalización que
permite realizar un preprocesado de las variables de entrada, que proporciona el vector
de entrada al controlador difuso o FLC. El Controlador Difuso aplica la entrada que
recibe a la base de reglas, para obtener la salida. La salida puede requerir un procesado
final (postprocesado) o una Denormalización, con el fin de adecuarla al proceso que se
ha de controlar. En la figura 2.3 muestra un Sistema de Control Difuso con
Normalización y Denormalización.
Base del conocimiento
Base de datos Base de reglas
Fusificación Defusificación
Controlador Difuso
Funciones de
inclusión de salida Funciones de
inclusión de entrada Tabla de reglas
Entrada
difusa
Salida
difusa
Normalización
(preprocesado)
Denormalización
(postprocesado)
Dispositivo de
Inferencia Difusa
Sistema físico u
objeto bajo control
Entradas
analógicas
Salidas
analógicas
Entradas de
referencia
Figura 2.3 Estructura Controlador Difuso con módulos de Normalización y
Denormalización
El tipo de preprocesado y postprocesado determina la clase de controlador, e influye
de forma considerable en sus propiedades. El preprocesador de las variables de entrada
para proporciona las entradas al Controlador Difuso, es el caso más simple puede
consistir en un simple escalado de magnitudes que se miden. Si el controlador se realiza
digitalmente, normalmente un microprocesador, y alguna de las entradas es analógica, es
necesario amplificarla y convertirla a valores digitales con un circuito apropiado. Para el
caso de un escalado a valores digitales discretos es importante considerar la resolución
empleada en la representación de la variable, con el fin de asegurar la precisión de la
información.
En el caso de elegir un controlador el módulo de Normalización o el tipo de
preprocesado de las entradas define la clase del controlador, que puede ser:
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a) Controlador Proporcional )(efX
b) Controlador Integral )( efX
c) Controlador Proporcional-Diferencial ),( eefX
d) Controlador Proporcional -Integral ),( eefX
e) Controlador Proporcional -Integral Diferencial ),,( eeefX
f) Controlador con realimentación nolineal ),( yrfX
Los controladores (a) al (f) se han utilizado por su similitud con los controladores
clásicos; permiten formular reglas independientes de la señal de referencia r(t)
utilizando solo el error e, la derivada del error e o la integral del error e , por su
parte los controladores del tipo (f) permiten definir comportamientos diferentes según la
señal de referencia. Esto resulta de especial importancia en el control de sistemas
nolineales, en lo que su comportamiento cambia según el punto de operación, lo cual
permite también definir reglas para controlar el sistema en caso de averías o de
funcionamiento anormal, que permiten llevarlo a un estado seguro sin grandes daños. En
la figuras 2.4.a, 2.4.b, y 2.4.c se muestran las configuraciones típicas de controladores
clásicos PD, PI y PID respectivamente.
Controlador
Difuso
Sistema
Físico
(Planta)
PK
DK
u(t) y(t)
t
e
e(t) r(t)
Figura 2.4.a Controlador Difuso tipo PD.
Controlador
Difuso
Sistema
Físico
(Planta)
PK
IK
u(t) y(t)
e
e(t) r(t)
Figura 2.4.b Controlador Difuso tipo PI.
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Controlador
Difuso PD
Sistema
Físico
(Planta)
PK21
DK
u(t) y(t)
t
e
e(t)
r(t)
Controlador
Difuso PI
PK21
IK )(te
e(t)
Figura 2.4.c Controlador Difuso tipo PID.
Los controladores directos permiten realice control de sistema utilizando una
descripción lingüística de las reglas de control.- Estas reglas se deben obtener del
conocimiento que dispones los expertos sobre el control del sistema, o bien por
procedimientos heurísticos, siendo esta solución en ambos casos suficiente para obtener
un buen control del sistema. Cuando se precisa una solución más eficiente, o no se
dispone de este conocimiento previo, se han de utilizar Controladores Difusos
Directos con Optimización. Este tipo de controladores incorporan módulos que
permiten ajustar los parámetros internos para mejorar la eficiencia de respuesta. En la
figura 2.5 se muestra un Sistema de Control Difuso con Optimización.
Un primer módulo realiza la evaluación del funcionamiento del controlador para
permitir al módulo siguiente decidir sobre las modificaciones a realizar. El módulo de
evaluación puede calcular la sobreoscilación del sistema en torno del punto de
operación, o al tiempo que tarda en estabilizarse el sistema tras una variación del
mismo. Estos parámetros se utilizan en el módulo de ajuste para realizar las
modificaciones necesarias en el FLC.
En algunos sistemas de Control Difuso Optimizados pueden ser Auto-organizador
debido a que los ajuste se realizan en la base de reglas del FLC. En otros Sistemas
Difusos con Auto-aprendizaje se modifican parámetros escalares del controlador o los
módulos de preprocesado y postprocesado. Otros controladores actúan como
modeladores de la dinámica inversa del proceso.
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Base del conocimiento
Base de datos Base de reglas
Dispositivo de
Inferencia Difusa Fusificación Defusificación
Sistema físico u
objeto bajo control
Controlador Difuso
Funciones de
inclusión de salida Funciones de
inclusión de entrada Tabla de reglas
Entradas
analógicas
Salidas
analógicas
Entrada
difusa
Salida
difusa
Normalización
(preprocesado)
Denormalización
(postprocesado)
Entradas de
referencia
Evaluación
Ajuste
Figura 2.5 Estructura Controlador Difuso con Optimización
Un Sistema de Control Difuso típicamente básico de simple entrada y simple salida
como el que se muestra en la figura 2.6 se pueden incluir los módulos Fusificador,
Dispositivo de Inferencia Difusa, Base de regla y Defusificador. Las variables de entrada
al Fusificador son el error e(t) y en cambio de error Δe(t), La salida del Defusificador es
la variable de control u(t).
Base de reglas
Fusificador Defusificador
Controlador Difuso
Entrada
difusa
Salida
difusa Dispositivo de
Inferencia Difusa
Sistema físico r(t) y(t) u(t)
dted
Transductor Actuador
e(t)
Figura 2.6 Controlador Difuso Básico.
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La Fusificación de la variable de entrada e(t) al Fusificador mediante funciones
difusas de inclusión se muestra en la figura 2.7
e
NG NM NP Z PP PM PG
Figura 2.7 Fusificación de la variable de entrada de e(t)
La Fusificación de la variable de entrada Δe(t) al Fusificador mediante funciones
difusas de inclusión se muestra en la figura 2.8
Δe
NG NM NP Z PP PM PG
Figura 2.8 Fusificación de la variable de entrada de Δe(t)
La Fusificación de la variable de salida u(t) al Defusificador mediante funciones
difusas de inclusión se muestra en la figura 2.9
u
NG NM NP Z PP PM PG
Figura 2.9 Fusificación de la variable de salida de u(t)
La Fusificación de las variables de entrada y de salida se realizan dependiendo los
rangos de estas variables así como la cantidad de funciones de inclusión o conjuntos
difusos en forma de variables lingüísticas definiendo las particiones difusas.
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El Dispositivo de Inferencia Difusa se puede elaborar en forma matricial
dependiendo del comportamiento físico del sistema y de la disposición del conocimiento
intuitivo de las acciones recontrol a realizar sobre el sistema y del empleo de reglas
según Mamdani. Definiendo la base de reglas se hace uso de la Memoria Asociativa
Difusa (FAM). Se pueden definir diversas reglas con lo cual se pueden elaborar una
diversidad de Memorias Asociativas Difusas como por ejemplo se pueden representar
algunas de ellas de 27 reglas cada una en las siguientes figuras 2.10.a – 2.10.d.
Δe
e
u NG NM NP Z PP PM PG
NG PG PG PG PG PM Z Z
NM PG PG PG PG PM Z Z
NP PM PM PM PP Z NM NM
Z PM PM PP Z NP NM NM
PP PM PP Z NP NM NM NM
PM Z Z NM NG NG NG NG
PG Z Z NM NG NG NG NG
Figura 2.10.a Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)
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u NG NM NP Z PP PM PG
NG PG PG PG PG PM PP Z
NM PG PG PG PM PP Z NP
NP PG PG PM PP Z NP NM
Z PG PM PM Z NM NM NG
PP PM PP Z NP NM NG NG
PM PP Z NP NM NG NG NG
PG Z NP NM NG NG NG NG
Δe
e
Figura 2.10.b Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)
u NG NM NP Z PP PM PG
NG PG PG PG PG PM PP Z
NM PG PG PG PM PP Z NP
NP PG PG PM PP Z NP NM
Z PG PM PP Z NP NM NG
PP PM PP Z NP NM NG NG
PM PP Z NP NM NG NG NG
PG Z NP NM NG NG NG NG
Δe
e
Figura 2.10.c Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)
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u NG NM NP Z PP PM PG
NG PG PG PG PM PP Z Z
NM PG PG PG PM PP Z NP
NP PG PG PM PP Z NP NM
Z PG PM PP Z NP NM NG
PP PM PP Z NP NM NG NG
PM PP Z NP NM NG NG NG
PG Z Z NP NM NG NG NG
Δe
e
Figura 2.10.c Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)
Finalmente se selecciona los métodos de Defusificación de la variable de control u(t)
dependiendo de la eficiencia computacional, del comportamiento del sistema de control.
En la figura 2.11 se muestra un esquema de la Defusificación de la variable de control
u(t) mediante la función singleton y así determinar del valor de mando o de control.
u
NP Z PP
u*
NG PG PM NM
Figura 2.11 Defusificación de la variable de control u(t)
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1 CONTROL ADAPTATIVO
1.1 INTRODUCCION
El termino adaptativo significa cambiar el comportamiento conforme a nuevas
circunstancias. Un regulador o controlador adaptativo es un regulador que puede
modificar su comportamiento en respuesta a los cambios en la dinámica del sistema
físico y a las perturbaciones. Este mismo objetivo es el de la inclusión de la
realimentación en el lazo de control, por lo que surge la pregunta de cuál es la diferencia
entre control realimentado y control adaptativo.
Existen muchas definiciones de control adaptativo, siendo una de las más aceptadas,
que control adaptativo es un tipo especial de control no lineal en el que el estado del
proceso puede ser separado en dos escalas de tiempo que evolucionan a diferente
velocidad. La escala lenta corresponde a los cambios de los parámetros y por
consiguiente a la velocidad. La escala lenta corresponde a los cambios de los parámetros
y por consiguiente a la velocidad con la cual los parámetros del regulador son
modificados, y la escala rápida que corresponde a la dinámica del bucle ordinario de
realimentación.
El esquema básico del control adaptativo, (Landau 1974) según puede verse en la
figura 1.1, está compuesto por un bucle principal de realimentación negativa, en el que
actúa al igual que en los sistemas convencionales un regulador y de otro lazo en el que
se mide un cierto índice de funcionamiento, el cual se compara con el índice deseado y
se procesa el error en un mecanismo de adaptación que ajusta los parámetros del
regulador y en algunos casos actúa directamente sobre la señal de control. También
puede existir un tercer lazo dedicado a supervisar la marcha de los dos lazos anteriores
(Isermann 1982), con el fin de asegurar la estabilidad del sistema y a mejorar la
actuación del conjunto.
Sistema
físico
Controlador
ajustable
Salida del
índice de
actuación
y(t) u(t) eu(t
)
ru(t)
Mecanismo de
adaptación
d(t)
Comparación
decisión Actuación
deseada
Figura 1.1: Configuración básica de control adaptativo
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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El mecanismo de adaptación presenta una solución en tiempo real al problema de
diseño para sistema con parámetros conocidos, aunque como se verá más adelante,
puede ir a un tiempo de muestreo superior al correspondiente al regulador e
identificador.
La característica fundamental que distingue a los sistemas adaptativos es la presencia
de un bucle de control en el que se compara un índice de funcionamiento (Landau
1981).
Dado que un controlador adaptativo es un sistema no lineal en el que es necesario
ajustar una serie de parámetros, es importante explorar bajo qué circunstancias es
insuficiente utilizar un controlador fijo y será necesario un controlador adaptativo.
Un controlador convencional está pensado para controlar sistemas (la mayor parte de
las veces lineales), cuyos parámetros permanecen constantes. Esto es una buena
aproximación en la mayor parte de los casos, cuando se pretende regular un sistema en
un punto fijo de operación. Cuando existen perturbaciones, si éstas son pequeñas, dicha
aproximación continúa siendo suficiente para obtener un buen control. Sin embargo, la
aproximación en tormo a un punto de funcionamiento no suele seguir siendo buena, si el
punto de funcionamiento cambia.
Existen muchos tipos de controladores que proporcionan buenas características de
regulación en presencia de cambios de los parámetros del sistema y que según la
definición anterior no son realmente adaptativos, puesto que la adaptación se realiza en
lazo abierto.
Un ejemplo muy utilizado de control adaptivo en bucle abierto es el denominado
Cambio por tabla. Consiste en la modificación de los parámetros del controlador a partir
de una tabla que ha sido calculada previamente para distintos puntos de funcionamiento,
en función de una variable auxiliar. Un caso típico es el control de vuelo de un avión,
cuyo regulador puede ser cambiado en función de la altura de éste.
Sistema
físico
Controlador
ajustable
y(t) e(t) ru(t)
Mecanismo de
adaptación
d(t)
Medida de la
variable auxiliar Media
ambiente
u(t)
K
Figura 1.2: Sistema adaptativo en bucle abierto
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En la figura 1.2, se presenta esquemáticamente este tipo de controlador. Se supone
que existe una fuerte relación entre la variable auxiliar y la dinámica de los parámetros
del sistema. Este tipo de adaptación tiene la ventaja de que el controlador puede ser
cambiado muy rápidamente dependiendo de la rapidez con que la variable auxiliar
refleje el cambio de la dinámica del proceso, siendo muy importante la elección de dicha
variable. Sin embargo estos reguladores consumen mucho tiempo en la realización de la
tabla de parámetros, presentando así mismo algunos problemas en la conmutación de
unos parámetros a otros.
1.2 EL PROBLEMA DEL CONTROL ADAPTATIVO
Hay ejemplos que muestran por qué es necesario utilizar control adaptativo. Ellos
ponen de manifiesto que los procesos industriales son bastante complejos y la variación
de parámetros no puede determinarse desde un primer momento. Por lo tanto, puede ser
ventajoso emplear esfuerzo en desarrollar controladores más inteligentes. Un
controlador más complejo puede utilizarse para diferentes procesos y por tanto el mayor
costo en el desarrollo puede compartirse entre diversas aplicaciones. Sin embargo, es
muy importante recordar que la utilización de un controlador adaptativo no sustituye el
buen conocimiento del proceso que es necesario para elegir las especificaciones, la
estructura del controlador y el método de diseño.
Como se ha visto en las secciones precedentes, un controlador adaptativo debe
contener:
Una ley de control con parámetros ajustables.
Caracterización de la respuesta del sistema en bucle cerrado (Modelo de
referencia o las especificaciones para el diseño).
Procedimiento de diseño.
Actualización de parámetros basado en las medidas.
Realización de la ley de control.
Estas partes son un poco diferentes para los distintos esquemas de control adaptativo,
pero tienen muchos factores comunes.
Existe hoy en día una separación entre la teoría y la práctica en control adaptativo. En
teoría es posible manejar situaciones idealizadas. En la práctica se utilizan algoritmos
bastante complejos, que introducen reglas concretas para manejar las posibles
dificultades encontradas durante el análisis o con la experiencia de la aplicación.
El hecho de que haya variaciones significativas en la respuesta en el bucle abierto, no
significa necesariamente que sea necesario un controlador adaptativo.
Según sean diseñados los bloques descritos anteriormente, podemos tener uno u otro
tipo de controlador adaptativo, pudiéndose dividir principalmente en dos grupos:
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Controladores adaptativos con modelado de referencia (MRAC) y Controladores
Autoajustables (STC).
Los Sistemas de Control MRAC y STC pueden ser considerados como una
aproximación a la solución del problema de control adaptativo. La hipótesis que
justifica la aproximación es que para cualquier juego de valores posibles de los
parámetros de la planta y las perturbaciones, existe un controlador lineal con una
complejidad fijada, tal que el conjunto de controlador y planta tienen características
preespecificadas.
1. Los controladores Adaptativos con Modelo de Referencia, intentan alcanzar para
una señal de entrada definida, un comportamiento en bucle cerrado dado por un
modelo de referencia.
2. Los Controladores Adaptativos Autoajustables, tratan de alcanzar un control
óptimo, sujeto a un tipo de controlador y a obtener información del proceso y sus
señales.
Estas dos técnicas han sido desarrolladas separadamente durante varios años,
pudiéndose demostrar su equivalencia en muchos casos. Las ventajas de MRAC están
en su rápida adaptación para una entrada definida y en la simplicidad de tratamiento de
la estabilidad utilizando la teoría de estabilidad de sistemas no lineal. Sin embargo, no
se adapta convencionalmente si la señal de entrada al sistema tiene poca riqueza. El
STC tiene la ventaja de que se adapta para cualquier caso y en particular para
perturbaciones no medibles, teniendo al mismo tiempo una estructura modular, lo que
hace posible la programación por bloques, siendo fácil de realizar distintos
Controladores.
Hasta la actualidad han sido propuestas varias formas de diseño del algoritmo de
control de un sistema lineal, pudiéndose clasificar éstas de diferentes maneras, siendo
una posible, en función de que el criterio de diseño sea óptimo o no óptimo, pudiéndose
destacar entre ellos los siguientes:
1. Criterio óptimo
Controlador de mínima varianza de Astrom y Wittenmark 1973.
Controlador de mínima varianza generalizado de Clarke y Gawthrop 1975, 1979.
Controladores predictivos generalizados Clarke y Gawthrop 1988.
2. Criterio no óptimo:
Asignación de polos y ceros (Wellstead et al. 1979).
Asignación de polos y ceros (Astrom y Witternmark 1980).
Controlador en tiempo mínimo (Isermann 1981).
Controlador PID (Ortega 1982).
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1.3 CONTROLADOR ADAPTIVO CON MODELO DE
REFERENCIA (MRAC)
Los sistemas adaptativos con modelo de referencia fueron diseñados principalmente
para sistemas continuos por minimización de un índice de actuación, siendo dicho
índice la integral del error al cuadrado (Hang 1973). Esta regla de diseño fue propuesta
por Whitaker del MIT (1958), instrumentation laboratory, denominándose por ello como
la regla del MIT.
En cuanto a las configuraciones posibles con modelo de referencia, la más usual es
utilizar un modelo paralelo (figura 1.3), aunque son posibles otras configuraciones
(Landau 1974, 1981), como modelo serie, serie-paralelo, etc.
ru(t) Sistema
físico
Controlador
ajustable
y(t) u(t) e(t)
Mecanismo de
adaptación
d(t)
Modelo de
referencia
ym(t)
K
Figura 1.3: Estructura con modelo de referencia (MRAC)
Existe una dualidad entre los sistemas de control adaptativo a un modelo de
referencia y el problema de identificación con un modelo ajustable, siendo en este caso
el modelo de referencia la planta a identificar.
Dado que un modelo de referencia Gm(s,p) y un sistema ajustable Ga(s,^p), el cual se
desea que siga al modelo para que el error sea nulo (o mínimo en el caso de la presencia
de perturbaciones), se define el índice de funcionamiento:
ajustar. a parámetro-p
ajustable, modelo del saliday
,referenciademodelodelsalida
;2
1 2
m
m
y
yyedteJ
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Usando la técnica de optimización del gradiente (Landau 1981) se tiene que la regla
de adaptación es:
p
JKJKgradtep
)(),(
Siendo p
la variación p
con relación al último valor calculado y K es la ganancia
de adaptación.
La variación del parámetro ajustable con relación al tiempo será:
p
J
tK
dt
pdp
Si se asume variación lenta de la ley de adaptación, se puede intercambiar el orden de
las derivadas:
p
eKep
ep
Kp
J
tK
dt
pdp
2
1 2
La ley de adaptación (1) representa la regla del M.I.T.
p
y
p
yy
p
e aam
Luego,
p
yKep a
La pya
es la función de sensibilidad del modelo ajustable con respecto al
parámetro. En este caso la función de sensibilidad es proporcional a m
y , quedando la
ley de adaptación de la forma:
myeKp
1
Esta regla ha sido muy popular debido a su simplicidad. Sin embargo para el caso de
ajuste de varios parámetros requiere un número elevado de funciones de sensibilidad
(tantas como parámetros). Por otro lado la ganancia de adaptación gobierna la velocidad
de respuesta, si ésta es muy grande el sistema puede ser inestable y si es muy pequeña la
velocidad será muy lenta. Para obtener un buen compromiso entre velocidad de
respuesta y estabilidad es necesario un laborioso estudio por simulación.
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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Otra técnica de diseño se fundamenta en la utilización del segundo método de
Lyapunov, el cual tiene la ventaja de que asegura la estabilidad global para cualquier
valor de la ganancia de adaptación y cualquier tipo de entrada, la principal desventaja de
este método es que se requiere el conocimiento del vector de estado, que no siempre es
accesible. Otra desventaja es que no es aplicable a los casos donde los parámetros del
conjunto planta más controlador no pueden ser modificados directamente.
Parte lineal e
invariante en
el tiempo
v(t) Parte nolineal
y/o variable
en el tiempo
w(t)
Figura 1.4: Separación del sistema (Hiperestabilidad)
Landau (1981) propone una técnica de diseño basada en el concepto de
hiperestabilidad y en la teoría de estabilidad de Popov. El concepto de hiperestabilidad
está relacionado con la estabilidad de una clase de sistemas, tales que pueden ser
separado en dos bloques, figura 1.4. Este sistema está formado por una parte lineal
invariante en el tiempo y otra no lineal y/o variable en el tiempo.
Si la entrada y salida de la parte no lineal están relacionadas por la desigualdad de
Popov:
.0,,00
2 t
otYdtuvtn
Donde υ es la entrada y ω la salida e 2o
Y es una constante finita positiva
independiente de t el problema de encontrar la estabilidad absoluta de este sistema se
concreta en averiguar las condiciones que debe de cumplir la parte lineal para que el
conjunto sea estable.
Para diseñar la ley de adaptación mediante esta técnica se tienen que seguir los pasos
que se detallan a continuación de forma resumida:
1. Transformar el sistema con modelo de referencia en uno equivalente que tenga la
estructura de la figura 1.4.
2. Encontrar la ley de adaptación para que se cumpla la desigualdad de Popov.
3. Encontrar la parte de la ley de adaptación que aparezca en la parte lineal para que el
conjunto del sistema sea globalmente estable.
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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4. Volver al sistema original y formular la ley de adaptación explícitamente.
Una discusión extensa de esta técnica puede encontrarse en el libro de Landau
(1981), resultando en casos particulares que la ley de adaptación es de la forma
proporcional + integral ó proporcional + integral + derivada. Con esta técnica se
garantiza la estabilidad del conjunto, siendo su principal desventaja que a menudo son
necesarios una serie de diferenciadores.
1.4 CONTROLADOR ADAPTIVO AUTOSINTONIZADO (STC)
El diagrama de bloques de estos controladores se puede ver en la figura 1.5; en él se
distinguen tres partes claramente diferenciadas:
Un algoritmo recursivo de estimación de parámetros
Un mecanismo de adaptación que desarrolla la tarea de diseño del regulador y
Un Controlador con parámetros ajustables.
Estos Controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de
separación de las tareas de control e identificación. El diseño se hace de forma que se
suponen parámetros conocidos y después estos son sustituidos por sus estimados.
Desde el punto de vista del control estocástico de sistemas no lineales, es claramente
un controlador que aplica el principio de equivalencia cierta (supone que los parámetros
identificados coinciden con los reales).
Sistema
físico
Controlador
ajustable
Estimación de
parámetros del
sistema físico
y(t) u(t) e(t) ru(t)
Diseño y
adaptación del
controlador
d(t)
Actuación
deseada
K
Figura 1.5: Esquema del Controlador Adoptivo Autosintonizado (STC)
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO
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La idea de los Controladores Adaptivos Autoajustables puede ser aplicada a
muchos problemas de control que no sen formulados como un problema de control
estocástico. Dada la moduladuridad y la separación del control e identificación, pueden
formarse muchas clases de reguladores Autoajustables por combinación de diferentes
métodos de diseño e identificadores.
1.4.1 ESTIMACION DE EPARAMETROS DEL SISTEMA FISICO
Existen una gran variedad de métodos para la Identificación del Sistema o
Estimación de Parámetros de un determinado sistema físico. Entre estos métodos se
encuentran los métodos de Mínimos Cuadrados Recursivo, Mínimos Cuadrados
Recursivo Mejorado, Mínimos Cuadrados Recursivo Ampliado, Máxima verosimilidad,
Método mediante Algorítmicos Genéticos, Método mediante Redes Neuronales, etc.
Método de los Mínimos Cuadrados Recursivo
Para estimar los parámetros del Modelo del Proceso se pueden utilizar los valores
de las variables de la respuesta y(kT) y de la variable de Control u(kT). La dinámica de
cualquier sistema físico en general nolineal, variante en el tiempo y perturbado pero en
un determinado instante se puede considerar lineal invariante en el tiempo por lo que se
puede describir la dinámica del sistema físico como sistema lineal mediante una
ecuación de diferencias de la siguiente manera:
)()1()()1()(11
nkubkubnkyakyakynn
La ecuación anterior se puede escribir como:
)()1()()1()(11
nkubkubnkyakyakynn
O también
Tnn
bbaankukunkykyky 11
)()1()()1()(
Si se definen las siguientes expresiones:
)()1()()1()( nkukunkykykT
Tnn
bbaak 11
)(
)(kT , representa el vector de valores que corr4esponden a las variables de salida y de
control, )(k representa el vector de parámetros instantáneos reales del proceso,
entonces la ecuación de diferencias instantánea linealizada se puede escribir como:
)()()( kkky T
La última ecuación se puede escribir como:
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)()(ˆ)()( kekkky T
)(ˆ k representa el vector de parámetros estimados y )(ke representa el error de
estimación por lo que la última ecuación se puede escribir como
)(ˆ)()()( kkkyke T
De la ecuación última la expresión )(ke debe ser mímica para que el vector de
parámetros estimador )(ˆ k sea lo más próximo al vector de parámetros real )(k .
El algoritmo del método Mínimos Cuadrados Recursivo se expresa como:
)()()(ˆ)1(ˆ kekkk
)()()(
)()()(
kkPk
kkPk
T
1)()()(
kkkP T
/)()()()1( kPkkIkP T
La matriz de covarianza inicial P(0) se puede escribir IP )0( , 1 . λ es el
factor de olvido que puede estar entre 19.0 .
Con el vector estimado )(ˆ k ya se puede elegir algún controlador apropiado con
parámetros variante en el tiempo. Los controladores diseñados pueden ser
convencionales o mediante variables de estados incluyendo control óptimo.