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MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 29: Sistemas lineares
Sistemas de equacoes diferenciais lineares
Ate agora, aprendemos a resolver equacoes diferenciais em R: dada
uma equacao do tipo
F (x ′′, x ′, x , t) = 0,
onde F : U ⊂ R4 → R e uma funcao “boa”, aprendemos a
encontrar uma funcao x(t) que satisfaz a esta equacao, ou seja,
que
F (x ′′(t), x ′(t), x(t), t) = 0.
Um exemplo tıpico e F (x ′′, x ′, x ′t) = x ′′ − 5x ′ + 6x − et , que tem
como solucao x(t) = c1e2t + c2e
3t + et/2, c1, c2 constantes (que
serao definidas com as condicoes iniciais).
Sistemas de equacoes diferenciais lineares
Agora vamos resolver sistemas de equacoes diferenciais lineares, ou
seja, teremos varias funcoes para encontrar, e as relacoes entre elas
serao dadas por varias equacoes.
Uma forma de obter um sistema de equacoes diferenciais e a partir
de uma equacao de ordem superior: por exemplo, a equacao
x ′′ − 5x ′ + 6x = et
pode ser transformada num sistema introduzindo a variavel auxiliar
y = x ′, donde ficamos com
x ′ = y ,
y ′ = x ′′ = 5x ′ − 6x + et = 5y − 6x + et ,
e daı iremos procurar x(t), y(t) satisfazendo a este sistema.
Sistemas de equacoes diferenciais lineares
Estes sistemas admitem solucoes? Sim!
Teorema
Sejam aij(t), 1 ≤ i , j ≤ n e b1(t), . . . , bn(t) funcoes contınuas
definidas no intervalo (α, β). Seja t0 ∈ (α, β). Entao o PVIx ′1 = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + . . .+ a1n(t)xn(t) + b1(t),
x ′2 = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + . . .+ a2n(t)xn(t) + b2(t),...
x ′n = an1(t)x1(t) + an2(t)x2(t) + . . .+ ann(t)xn(t) + bn(t)
tem unica solucao x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) definida para t ∈(α, β).
Sistemas de equacoes diferenciais lineares
Exemplo
O sistema x ′ = x + y + et ,
y ′ = −x + y ,
com condicoes iniciais x(0) = 0, y(0) = 0 tem solucao dada por
x(t) = et sen(t), y(t) = −et(1− cos(t)),
ou em notacao vetorial por
x(t) =(et sen(t),−et(1− cos(t))
).
Sistemas de equacoes diferenciais lineares
Usaremos a notacao matricial para o sistema do teorema anterior:
se A(t) = (aij(t))i ,j e b(t) = (b1(t), . . . , bn(t))t , o sistema sera
denotado por
x′ = A(t)x + b(t).
Atencao a diferenca entre x e x : negrito significa que e uma
variavel vetorial.
Alem disto, denotaremos a derivada de x por x ao inves de x′
Iremos comecar a estudar como encontrar as solucoes no caso em
que as funcoes aij(t) sao constantes e o vetor b(t) e nulo. Assim,
o sistema que estaremos interessados e da forma
x′ = Ax.
Sistemas de equacoes diferenciais lineares
Na ultima aula vimos que se A e uma matriz n × n, entao a
solucao do sistema
x = Ax
com condicao inicial x(0) = x0 e
x(t) = eAtx0.
O que vamos fazer hoje?
# Ver muitos exemplos disto.
# Entender a relacao equacao diferencial x campo vetorial.
# Entender retratos de fase.
Equacoes diferenciais X campos vetoriais
Vamos fazer quase tudo em R2. Um campo vetorial de classe C r e
uma funcao X : Ω ⊂ R2 → R2 de classe C r .
O campo vetorial X associa a cada ponto (x , y) ∈ Ω ⊂ R2 o ponto
X (x , y) ∈ R2.
Geometricamente, iremos representar X (x , y) como sendo um
vetor (“setinha”) com ponto inicial em (x , y).
Isto nos permite dar uma representacao grafica para o campo
vetorial X , ja que seu grafico nao pode ser visto (o grafico de X
esta em R4).
Equacoes diferenciais X campos vetoriais
Exemplo
O campo vetorial X (x , y) = (−2x , y) esta representado abaixo.
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6y
Com o unico objetivo de deixar a figura mais bonitinha, representaremos todas
as setinhas com mesma norma.
Equacoes diferenciais X campos vetoriais
Exemplo
O campo vetorial X (x , y) = (−2x , y) esta representado abaixo.
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6y
Equacoes diferenciais X campos vetoriais
Acabamos de ver o campo vetorial X (x , y) = (−2x , y). Vamos
agora pensar no sistema de equacoes diferenciaisx ′ = −2x ,
y ′ = y .
Seja x(t) = (x(t), y(t)) uma solucao deste sistema. Entao
x′(t) = (x ′(t), y ′(t)) = (−2x(t), y(t).
Isto significa que, em cada ponto x(t0) = (x(t0), y(t0)) da curva, o
vetor tangente sera dado por (−2x(t0), y(t0)).
Equacoes diferenciais X campos vetoriais
Procurar solucao do sistema (x , y) = (−2x , y) e equivalente a
procurar uma curva x(t) cujo vetor tangente x′(t) e dado por
(−2x , y) em cada ponto (x , y).
Isto e verdade sempre que tivermos um sistema autonomo de
primeira ordem, ou seja, um sistema de equacoes diferenciais da
forma x1 = f1(x1, . . . , xn),
x2 = f2(x1, . . . , xn),...
xn = f2(x1, . . . , xn),
sem dependencia de t nas funcoes do lado direito, e com fj de
classe C r , r ≥ 1. Vamos comecar trabalhando com este tipo de
sistema, e suporemos tambem que as fj ’s sao lineares.
Nosso primeiro exemplo
Exemplo
Resolva o sistema x ′ = −2x ,
y ′ = y ,
com condicoes iniciais x(0) = α e y(0) = β.
Este e um caso onde e mais facil achar a solucao diretamente do
que usando exponenciais: pelos coeficientes indeterminados,
suponha que
x(t) = p cos(ωt) + q sen(ωt),
substitua na equacao, ache p, q, ω e pronto. Depois ache y
fazendo y ′ = x .
Mesmo assim, vamos usar exponencial matricial.
Nosso primeiro exemplo
Exemplo
Resolva o sistema x ′ = −2x ,
y ′ = y ,
com condicoes iniciais x(0) = α e y(0) = β.
Seja
A =
(−2 0
0 1
).
Vamos calcular exp(At). Note que
Ak =
((−2)k 0
0 1
)
Nosso primeiro exemplo
Exemplo
Resolva o sistema x ′ = −2x ,
y ′ = y ,
com condicoes iniciais x(0) = α e y(0) = β.
Daı
(At)k =
((−2t)k 0
0 tk
)
Nosso primeiro exemplo
Assim
exp(At) =∞∑n=0
1
n!(At)n =
(−2t)n
n!0
0tn
n!
=
∞∑n=0
(−2t)n
n!0
0∞∑n=0
tn
n!
=
(e−2t 0
0 et
)
Nosso primeiro exemplo
Portanto, a solucao com condicao inicial x(0) = α e y(0) = β e
dada por
x(t) =
(e−2t 0
0 et
)(α
β
)=
(e−2tα
etβ
),
onde x(t) = e−2tα e y(t) = etβ.
No proximo slides, vamos plotar as curvas x(t) para algumas
condicoes iniciais (α, β).
Nosso primeiro exemplo
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Cada curva representa uma condicao inicial diferente. Vamos
plotar, na mesma figura, o campo vetorial (normalizado) associado.
Nosso primeiro exemplo
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Como eu fiz esta figura? Fiz usando Python, com o matplotlib,
veja detalhes aqui:
https://rmiranda99.github.io/etc/python.html.
Retrato de fase
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
# As condicoes iniciais sao da forma x(t0) = α e y(t0) = β, e
no caso de sistemas autonomos o valor de t0 nao importa;
iremos sempre considerar t0 = 0.
# Uma consequencia do T.E.U. no caso de sistemas autonomos
e que as solucoes decompoe o espaco.
# Veja o exemplo anterior: dados dois pontos P,Q ∈ R2, ou
eles pertencem a mesma curva-solucao ou eles pertencem a
solucoes diferentes.
Retrato de fase
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
# Chamaremos de trajetoria a cada uma das curvas-solucao do
sistema.
# Chamaremos de retrato de fase a uniao de todas as trajetorias
(ou a sua representacao geometrica, como na figura acima).
Muitas vezes incluiremos o campo vetorial no retrato de fase.
# Quando a figura so incluir o campo vetorial, chamaremos de
campo de direcoes.
Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistemax ′ = −3y ,
y ′ = 2x .
Seja
A =
(0 −3
2 0
).
Precisamos calcular exp(At), so que agora Ak nao e tao facil de
obter como no caso da matriz anterior (que era diagonal).
Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistemax ′ = −3y ,
y ′ = 2x .
A =
(0 3
2 0
),A2 =
(−6 0
0 −6
),A3 =
(0 18
−12 0
),A4 =
(36 0
0 36
)
A5 =
(0 −108
72 0
),A6 =
(−216 0
0 −216
),A7 =
(0 648
−432 0
), . . .
Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistemax ′ = −3y ,
y ′ = 2x .
Portanto
exp(At) =∞∑n=0
1
n!Antn
= Id +
(0 −3t
2t 0
)+
1
2
(6t2 0
0 6t2
)+ . . .
=
−3t6
10+
3t4
2− 3t2 + 1 + . . .
9t7
70− 9t5
10+ 3t3 − 3t + . . .
−3t7
35+
3t5
5− 2t3 + 2t + . . . −3t6
10+
3t4
2− 3t2 + 1 + . . .
Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistemax ′ = −3y ,
y ′ = 2x .
Portanto
exp(At) =∞∑n=0
1
n!Antn
= Id +
(0 −3t
2t 0
)+
1
2
(6t2 0
0 6t2
)+ . . .
=
cos(√
6t)
−√
3
2sen(√
6t)
√2
3sen(√
6t)
cos(√
6t)
Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistemax ′ = −3y ,
y ′ = 2x .
Logo, a trajetoria com condicao inicial x(0) = (α, β) e dada por
x(t) =
(α cos
(√6t)−√
3
2β sen
(√6t),
√2
3α sen
(√6t)
+ β cos(√
6t))
Mais um exemplo
Plotando algumas trajetorias e tambem o campo vetorial, obtemos:
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Probleminha
A igualdade
− 3t6
10+ 3t4
2− 3t2 + 1 + . . . 9t7
70− 9t5
10+ 3t3 − 3t + . . .
− 3t7
35+ 3t5
5− 2t3 + 2t + . . . − 3t6
10+ 3t4
2− 3t2 + 1 + . . .
=
cos(√
6t)
−√
32sen(√
6t)
√23sen(√
6t)
cos(√
6t)
e verdadeira, mas estamos longe de descobrı-la so olhando para as
equacoes.
O problema e que calcular exp(A) pode ser complicado.
Apesar de termos uma formula fechada para isto, as vezes iremos
precisar de “reconhecer” o somatorio como uma funcao elementar
(e/ou combinacoes).
E aqui que precisara entrar um pouco de algebra linear na historia.
Por hoje, vamos so fazer mais um exemplo importante.
Exemplos importantes
Exemplo
Seja A uma matriz diagonal, A = diag(λ, µ), com λ, µ ∈ R. Exiba
o retrato de fase do sistema
x = Ax⇔
x ′ = λx ,
y ′ = µy .
Neste caso e facil calcular a exponencial de A:
exp(At) =
(eλt 0
0 eµt
).
Assim, se x(0) = (α, β) e a condicao inicial, a solucao e dada por
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βeµt
)
Exemplos importantes
Caso 1: λ > 0 e µ > 0 (repulsor)
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βeµt
)
Exemplos importantes
Caso 2: λ < 0 e µ < 0 (atrator)
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βeµt
)
Exemplos importantes
Caso 3: λ < 0 e µ > 0 (µ = −ρ, ρ > 0) (ou vice-versa) (sela)
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βe−ρt
)
Um pouco de algebra linear
TeoremaSejam A,B matrizes n × n e suponha que exista uma matriz in-
vertıvel M tal que A = MBM−1. Entao
exp(At) = exp((MBM−1)t) = M exp(Bt)M−1.
A prova fica como exercıcio, mas nao e difıcil.
Substitua A por MBM−1 no somatorio que define exp(A) e veja a
magica acontecer, lembrando que (MBM−1)k = MBkM−1
(consegue justificar?).
Como vamos usar este teorema neste curso?
Um pouco de algebra linear
Vamos recapitular um de nossos exemplos,x ′ = −3y ,
y ′ = 2x .
e definir, como antes,
A =
(0 −3
2 0
).
E possıvel encontrar uma matriz M tal que
A = M
(0 −
√6√
6 0
)M−1.
Um pouco de algebra linear
De fato, para que
A =
(0 −3
2 0
)= M
(0 −
√6√
6 0
)M−1 = MBM−1
basta escolhermos
M =
√
3
5−√
3
5√2
5
√2
5
.
Daı, para calcular exp(A) poderemos simplesmente calcular exp(B)
e multiplicar por M e M−1, ou seja,
exp(At) = M exp(Bt)M−1.
Um pouco de algebra linear
Como
B =
(0 −
√6√
6 0
),
apos alguns calculos (mostre!) obtemos que
exp(Bt) =
(cos(√
6t)− sen
(√6t)
sen(√
6t)
cos(√
6t) )
,
e daı multiplicando por M e M−1, obtemos o resultado anteriorcos(√
6t)
−√
3
2sen(√
6t)
√2
3sen(√
6t)
cos(√
6t)
.
Na proxima aula vamos entender como calcular esta matriz M.
