PROFMAT/UFCG/MA12 - MATEMATICA DISCRETA
Aluno: Welhington Sergio da Silva Matrcula: 2015.020.067-1
12 de abril de 2015
Exerccio da Unidade 7
Exerccio 4.5: Determine xn, dada a sequencia:
a) xn+1 = 2xn e x1 = 3;
b) xn+1 = xn + 3 e x1 = 2.
Resolucao:
a) xn+1 = 2xn e x1 = 3;
A sequencia dada e uma recorrencia linear de primeira ordem.
Resolvendo esta recorrencia temos,
x2 = 2x1x3 = 2x2x4 = 2x3. . . . . . . . .xn = 2xn1.
Da, multiplicando, obtemos xn = 2n1x1. Como x1 = 3, temos xn = 3
2n1.
outra maneira de resolver: xn+1 = 2xn, implica que xn+1/xn = 2,
assim observamos que a razao en-tre dois termos consecutivos e
constante e igual a 2. Logo, a sequencia e uma progressao
geometricade razao 2. Como o primeiro termo e x1 = 3, o termo geral
e dado por xn = 3 2n1.
b) xn+1 = xn + 3 e x1 = 2.
A sequencia dada e uma recorrencia linear de primeira ordem.
Resolvendo esta recorrencia temos,
x2 = x1 + 3x3 = x2 + 3x4 = x3 + 3. . . . . . . . .xn = xn1 +
3.
Da, somando, obtemos xn = x1 + (n 1) 3. Como x1 = 2, temos xn =
2 + (n 1) 3 = 3n 1.
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outra maneira de resolver: xn+1 = xn + 3, implica que xn+1 xn =
3, assim observamos quea diferenca entre dois termos consecutivos e
constante e igual a 3. Logo, a sequencia e umaprogressao aritmetica
de razao 3. Como o primeiro termo e x1 = 2, o termo geral e dado
porxn = 2 + (n 1) 3 = 3n 1.
Exerccio da Unidade 8
Exerccio 4.21: Quantas sao as sequencias de n termos, todos
pertencentes a {0, 1, 2}, que nao possuemdois termos consecutivos
iguais a 0?
Resolucao: Seja xn o numero de sequencias com n termos iguais a
0, 1 ou 2 satisfazendo a condicao: naoconter dois zeros
consecutivos.
Calculo de x1 e x2:
x1 = 3; As unicas sequencias possveis sao: 0, 1 e 2.
x2 = 8; As unicas sequencias possveis sao: 01, 02, 10, 11, 12,
20, 21 e 22.
Uma equacao de recorrencia para xn e dada por xn+2 = 2xn+1 +
2xn, n 1 com x1 = 3 e x2 = 8.
Justificativa:
As sequencias de n + 2 termos que nao tem dois termos
consecutivos podem comecar por 0, 1, ou 2.
i) As sequencias que comecam por 0 tem o proximo elemento igual
a 1 ou 2 e a seguir, uma sequenciade n termos sem zeros
consecutivos. Logo, o numero de sequencias de n + 2 termos que
comecampor 0 e igual a 2xn.
ii) As sequencias que comecam por 1 tem a seguir uma sequencia
de n+1 termos sem zeros consecutivos.Logo, o numero de sequencias
de n + 2 termos que comecam por 1 e igual a xn+1.
iii) As sequencias que comecam por 2 tem a seguir uma sequencia
de n+1 termos sem zeros consecutivos.Logo, o numero de sequencias
de n + 2 termos que comecam por 2 e igual a xn+1.
Portanto, xn+2 = 2xn+1 + 2xn, n 1, o que termina a
justificativa.
Passemos agora a resolver a recorrencia: xn+2 = 2xn+1 + 2xn, n 1
com x1 = 3 e x2 = 8. Esta e umarecorrencia linear de segunda ordem
homogenea com coeficientes constantes, cuja equacao
caractersticacorrespondente e dada por: r2 2r 2 = 0, cujas razes
sao r1 = 1 +
3 e r2 = 1
3. Logo, a solucao
geral da recorrencia sera da forma:
xn = C1(1 +
3)n + C2(1
3)n, n 1, C1 e C2 constantes.Atribuindo a n os valores 1 e 2 e
em seguida substituindo x1 por 3 e x2 por 8 na equacao acima,
obtem-seo sistema: {
C1(1 +
3) + C2(1
3) = 3
C1(4 + 2
3) + C2(4 2
3) = 8
2
