MA1201 MATEMATIKA 2A - personal.fmipa.itb.ac.id · limF(t) lim f(t).i limg(t).j. ... dan mempunyai gradien m adalah c 1 m y = mx + c. Persamaan garis iiini dapat di kdinyatakan dalam

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

12 Maret 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2‐4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11 2‐4 Vektor Hasilkali Titik Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang


11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DANMA1201 MATEMATIKA 2A

11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DANGERAK SEPANJANG KURVA•Menghitung limit dan turunan fungsi ber•Menghitung limit dan turunan fungsi ber‐nilai vektor•Menentukan kecepatan dan percepatan dari•Menentukan kecepatan dan percepatan darisuatu partikel yang bergerak sepanjangkurva yang diketahui persamaan posisinya


kurva yang diketahui persamaan posisinya

Fungsi Bernilai VektorFungsi Bernilai VektorFungsi F yang memetakan tiapbilangan real t I ke suatu vektorF(t) di R2 atau R3 disebut sebagaif i b il i kt /fungsi bernilai vektor.Sebagai contoh,

F(π/2)

F(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2πmerupakan fungsi bernilai vektor.

1

Daerah nilai fungsi ini adalahlingkaran yang berpusat di (0,0) danb j i j i 1berjari‐jari 1.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Limit Fungsi Bernilai VektorLimit Fungsi Bernilai Vektor

Kita tuliskan apabilaLtF )(limuntuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0sehingga

ct)(

F(t), t ≈ c

.)(0 LtFct( ),

L

Secara intuitif: semakin dekat t ke c, ki d k t F(t) k Lsemakin dekat F(t) ke L.


TeoremaTeorema

Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka Fmempunyai( ) ( ) g( )j p ylimit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyailimit di c. Dalam hal ini,,

.).(lim).(lim)(lim jtgitftFctctct

Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanyajika ).()(lim cFtF jika

Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilaivektor di R3

).()(lim cFtFct

vektor di R3.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Contoh/LatihanContoh/Latihan

Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di‐Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang didefinisikan

1sin et t

,0,1sin)(

tjtei

tttF

menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik.


Turunan Fungsi Bernilai VektorTurunan Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai

)()( cFtF

B d k t t t li it f i

.)()(lim)('ct

cFtFcFct

Berdasarkan teorema tentang limit fungsibernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan g

i t di kmempunyai turunan di c, maka

.)(')(')(' jcgicfcF


)()()( jgf

TeoremaTeorema

Misalkan F dan Gmempunyai turunan p fungsiMisalkan F dan Gmempunyai turunan, p fungsiskalar yang mempunyai turunan, dan c skalar. MakaMaka

1.

2

)(')(')]()([ tGtFtGtFDt )(')]([ FFD2.

3.

)('.)](.[ tFctFcDt )()(')(')()]().([ tFtptFtptFtpDt

4.

5)(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt

))((')('))](([ tpFtptpFD 5.


))(().())](([ tpFtptpFDt

TeoremaTeorema

Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R3Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R . Jika F dan Gmempunyai turunan, maka

6. )(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt )(')]([ FFD )('.)](.[ tFctFcDt

Catatan. Dt menyatakan operasi turunanterhadap tterhadap t.



Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikanTentukan apakah fungsi F yang didefinisikansebagai

1sin et t

0

,0,1sin)(

tji

tjtei

tttF

mempunyai turunan di 0.

,0, tji

p y



Diketahui F(t) = (cos t sin t) dan p(t) = t2Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t . Tentukan:

1 D [p(t) F(t)]1. Dt[p(t).F(t)]

2. DtF(p(t))


Integral Fungsi Bernilai VektorIntegral Fungsi Bernilai Vektor

Intergral dari fungsi F yang bernilai vektor di R2 Intergral dari fungsi F yang bernilai vektor di Rdidefinisikan sebagai

jdttgidttfdttF .)(.)()( bb b

jdttgidttfdttFaa a

.)(.)()(

Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor diR3 didefinisikan serupaR didefinisikan serupa.


Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva

Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjangMisalkan sebuah partikel bergerak sepanjangsuatu kurva di bidang dengan persamaan

r(t) = f(t)i + g(t)j t Ir(t) = f(t)i + g(t)j, t I,

yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsbd l h (f( ) ( )) M k k dadalah (f(t),g(t)). Maka, kecepatan danpercepatan partikel tsb adalah

v(t) = f’(t)i + g’(t)j, t I,

a(t) = f’’(t)i + g’’(t)j, t I.( ) ( ) g ( )j,


Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva

v(t)

r(t)

a(t)


ContohContoh

Diketahui sebuah partikel bergerak di bidangDiketahui sebuah partikel bergerak di bidangdengan persamaan

r(t) = (cos 2t sin 2t) t > 0r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0.

(a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatan‐nya.

(b) Periksa bahwa dan . )()( tvta )()( trtv (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu|v(t)|, konstan.


SoalSoal

Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/ ruang dengan r(t) menyatakan vektor posisinyapada saat t Buktikan bahwa |r(t)| konstan jikapada saat t. Buktikan bahwa |r(t)| konstan jikadan hanya jika r(t) ● r ’(t) = 0.


11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DIMA1201 MATEMATIKA 2A

RUANG•Menentukan persamaan garis di ruang baik•Menentukan persamaan garis di ruang, baikdalam bentuk persamaan vektor, persamaanparametrik atau persamaan Cartesiusparametrik, atau persamaan Cartesius


Persamaan Garis di BidangPersamaan Garis di Bidang

Persamaan Cartesius garis di bidangPersamaan Cartesius garis di bidangyang memotong sumbu‐y di P(0,c) dan mempunyai gradien m adalah c

1

m

dan mempunyai gradien m adalah

y = mx + c.

P i i i d di k

1

Persamaan garis ini dapat dinyatakandalam bentuk persamaan parametrik

x = t, y = mt + c,

atau persamaan vektor

Garis melalui (0,c) dan mempunyaivektor arah (1,m).p

r(t) = (t, mt+c) = (0,c) + t(1,m).3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20

( , )

Persamaan Garis di BidangPersamaan Garis di Bidang

Dari persamaan parametrikDari persamaan parametrikx = t, y = mt + c,

kita dapat pula memperoleh c1

m

kita dapat pula memperolehpersamaan simetrik

1

0 cyx

P h tik b h i l l i

.1

0m

cyx

Perhatikan bahwa garis melaluiP(0,c) dan mempunyai vektorarah v = (1 m) terekam dalamarah v = (1,m) terekam dalampersamaan simetrik.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21

Persamaan Garis di RuangPersamaan Garis di Ruang

Persamaan garis yang melalui titik P(x0 y0 z0) danPersamaan garis yang melalui titik P(x0,y0,z0) danmempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah

r(t) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c) … persamaan vektor

x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc … p. parametrik

000 zzyyxx persamaan simetrik...000

czz

byy

axx


ContohContoh

Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,‐2,3) dang ( , , )Q(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaanparametrik, dan persamaan simetrik garis tsb.p , p g

Jawab:


Soal 1Soal 1

Persamaan bidang yang melalui titik P(x0,y0,z0)g y g ( 0,y0, 0)dan mempunyai vektor normal n = (n1,n2,n3) diberikan oleh (x – x0, y – y0, z – z0)●n = 0.( 0, y y0, 0)

Tentukan persamaan garis yang merupakanperpotongan dua bidang: 2x – y – 5z = ‐6 danperpotongan dua bidang: 2x y 5z = 6 dan4x + 5y + 4z = 9.


Garis Singgung pada Kurva di RuangGaris Singgung pada Kurva di Ruang

Persamaan

r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

menyatakan sebuah kurva dimenyatakan sebuah kurva diruang. Pada saat t = t0, vektorposisi‐nya adalah r(t ) dan

r’(t0)posisi‐nya adalah r(t0) danvektor singgung‐nya adalah

’(t ) f’(t )i + ’(t )j + h’(t )kr(t0)

r’(t0) = f’(t0)i + g’(t0)j + h’(t0)k.


Persamaan Garis Singgung pada KurvaPersamaan Garis Singgung pada Kurva

Persamaan parametrikPersamaan parametrikgaris singgung padakurva tsb di titik P = r(t0)kurva tsb di titik P = r(t0) adalah:

x = f(t ) + t f’(t )

r’(t0)

Px = f(t0) + t.f (t0),

y = g(t0) + t.g’(t0),

r(t0)

z = h(t0) + t.h’(t0).


Soal 2Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurvaTentukan persamaan garis singgung pada kurvar(t) = (t, t2, t3) di titik P(1,1,1).


Documents

MA1201 MATEMATIKA 2A - personal.fmipa.itb.ac.id · limF(t) lim f(t).i limg(t).j. ... dan mempunyai gradien m adalah c 1 m y = mx + c. Persamaan garis iiini dapat di kdinyatakan dalam