Upload
truongthien
View
240
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
19 Februari 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
9.2 Deret Tak Terhingga
Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnyabila mungkin, menghitung jumlahnya
9.3 Deret Positif: Uji Integral
M ik k k d t itifMemeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral
2/19/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
9.4 Deret Positif: Uji Lainnya
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasiodengan uji perbandingan dan uji rasio
9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyaratdan Kekonvergenan Bersyarat
Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratd t ti t dderet ganti tanda
2/19/2014 3(c) Hendra Gunawan
9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A
9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYAMemeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4
dengan uji perbandingan dan uji rasio
Mengapa Perlu Uji LainnyaMengapa Perlu Uji Lainnya
Kita telah mempunyai beberapa ‘senjata’ utkKita telah mempunyai beberapa senjata utkmenyelidiki kekonvergenan deret, ada: definisi, sifat deret geometri teorema kelinearan deretsifat deret geometri, teorema kelinearan deret, uji suku ke‐n, uji jumlah terbatas, dan uji integral (termasuk uji deret‐p) Namun kita masih(termasuk uji deret p). Namun, kita masihkesulitan menghadapi deret seperti
1 n
dan 411n
.!
2 n
n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Catatan. Di sini kita masih membahas deret positif.
Uji PerbandinganUji Perbandingan
Misalkan 0 ≤ a ≤ b utk n ≥ K (utk suatu K N)Misalkan 0 ≤ an ≤ bn utk n ≥ K (utk suatu K N).
(i) ik k k kb(i) Jika konvergen, maka konvergen. na nb
(ii) Jika divergen, maka divergen. na nb
Catatan. Kedua pernyataan di atas ekuivalen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6
ContohContoh
Deret konvergen karena 1 11Deret konvergen karena
k i d k
41 n
1
441 nn
untuk tiap n N dan konvergen. 4n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Uji Perbandingan LimitUji Perbandingan Limit
Misalkan a ≥ 0 dan b > 0 dan Lan limMisalkan an ≥ 0 dan bn > 0 dan .
(i) ik 0 k d b
Lbn
n
lim
(i) Jika 0 < L < ∞, maka dan sama‐sama konvergen atau divergen.
na nb
(ii) Jika L = 0 dan konvergen, maka nb na( ) g ,konvergen.
n n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
ContohContoh
Deret divergen karena 1 111lim Deret divergen karena
d di
n1
1
11
lim nnn
dan divergen. n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
SoalSoal
Selidiki kekonvergenan deret ln nSelidiki kekonvergenan deret .2n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Uji RasioUji Rasio
Misalkan deret dengan an > 0 dan na g n n
.lim 1
n
n aa
(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen.
n
n a
(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.
(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikan( ) ρ , jkesimpulan apapun.
Catatan. Pada deret geometri, rasionya konstan.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
ContohContoh
Selidiki kekonvergenan deret 2n
Selidiki kekonvergenan deret
b i hi
.!n
Jawab: Kita hitung
02lim22lim1
nn
.01
lim!)!1(
lim
nnn nn
2n
Menurut Uji Rasio, deret konvergen. !2n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
SoalSoal
Selidiki kekonvergenan deret berikut:Selidiki kekonvergenan deret berikut:
ln n1.
nn
.n
2. .!n
n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
9.5 DERET GANTI TANDAMA1201 MATEMATIKA 2A
9.5 DERET GANTI TANDAMemeriksa kekonvergenan mutlak/ bersyarat deret ganti tanda
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
bersyarat deret ganti tanda
Apa itu Deret Ganti TandaApa itu Deret Ganti Tanda
Kita telah mempelajari deret positif (dan deretp j p (negatif). Sekarang kita tinjau deret ganti tanda, yaitu deret berbentuky
...4321 aaaa
dengan an > 0 untuk tiap n N. Sebagai contoh, kita akan menyelidiki kekonvergenan derety gharmonik ganti tanda
1 111 2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15
...1 41
31
21
Kekonvergenan Deret Ganti TandaKekonvergenan Deret Ganti Tanda
Diketahui deret ganti tandaDiketahui deret ganti tanda
i hi j l h i l
...4321 aaaaKita hitung jumlah parsialnya
11 aS
21212
aSaaaSaSaaS
... 434
323213
aSSaSaaaS
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16
.dst
Kita perhatikan pula bahwa S1, S3, S5, … turun1 3 5dan terbatas di bawah, sehingga konvergen, katakan ke S*. Sementara itu, S2, S4, S6, … naik2 4 6dan terbatas di atas, sehingga konvergen, katakan ke S**. Baik S* maupun S** berada diantara Sn dan Sn+1 (ilustrasi di papan tulis).
Jadi, |S* – S**| ≤ |Sn – Sn+1| = an+1., | | | n n+1| n+1
Jadi, jika maka S* = S**, sehinggaderet konvergen ke bilangan yang sama sebut‐
,0lim0
nn
aderet konvergen ke bilangan yang sama, sebutlah S. Dapat pula diperiksa bahwa
|S S | ≤ |S S | a|S – Sn| ≤ |Sn+1 – Sn| = an+1.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Uji Deret Ganti TandaUji Deret Ganti Tanda
Diketahui deret ganti tandaDiketahui deret ganti tanda
d k i
...4321 aaaadengan an > an+1 > 0 untuk tiap n N.
Dari pengamatan sebelumnya, kita simpulkan:
Jika maka deret konvergen.,0lim0
nn
a
Lebih jauh, jika jumlahnya ditaksir dengan Sn, maka kesalahannya tak lebih daripada a
0n
maka kesalahannya tak lebih daripada an+1.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18
ContohContoh
Deret merupakan deret ganti1 111 Deret merupakan deret gantitanda dengan an = 1/n turun dan menuju 0.
Jadi deret ganti tanda ini konvergen
...1 432
Jadi, deret ganti tanda ini konvergen.
Bila kita ingin menaksir jumlahnya dengank l h k l bih d i d 0 01 k kikesalahan tak lebih daripada 0.01, maka kitaharus menaksirnya dengan S99, yaitu
....1 991
981
41
31
21
99 S
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Kekonvergenan MutlakKekonvergenan Mutlak
Teorema Diketahui deret sembaranguTeorema. Diketahui deret sembarang.
Jika konvergen, maka konvergen.
nu
nu || nu g , g
Catatan. Deret dikatakan konvergen
n || n
nu gmutlak apabila konvergen.
Kebalikan teorema di atas tidak berlaku:
n
|| nuKebalikan teorema di atas tidak berlaku: kekonvergenan tidak menjaminkekonvergenan .
nu || ukekonvergenan .
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20
|| nu
ContohContoh
Deret konvergen1 11111 Deret konvergen
mutlak, karena deret...1 3216842
konvergen
...1 321
161
81
41
21
konvergen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Kekonvergenan BersyaratKekonvergenan Bersyarat
Deret harmonik ganti tanda ...1 41
31
21 Deret harmonik ganti tanda
konvergen, tetapi tidak konvergen mutlak.
...1 432
Deret yang konvergen tetapi nu || nutidak konvergen dikatakan konvergen bersyarat.
Sebagai contoh, merupakan
d k b...1 4
131
21
deret yang konvergen bersyarat. 2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Uji Rasio MutlakUji Rasio Mutlak
Misalkan deret sembarang dengan suku‐ nu g gsuku tak nol, dan
n
li 1nu
( )
.lim 1
n
n
n u
(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen mutlak.
(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.
(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikankesimpulan apapun.p p p
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23
LatihanLatihan
Selidiki kekonvergenan deret dan dalam halSelidiki kekonvergenan deret dan, dalam halkonvergen, tentukan apakah ia konvergenmutlak atau bersyaratmutlak atau bersyarat.
1ln)1(
n n
1.
sin n
.)1(2
n
n
n
2. 1
2 .sinn n
n
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 24